Стэнли Вейнбаум

Предел бесконечности

Жизнь профессора математики в Восточном университете небогата приключениями. Многие считают, что преподаватели влачат жалкое существование в мире книг и ученых премудростей, а учителя математики вообще жуткие зануды и сухари, и их предмет самая скучная наука. И все же даже в мире бездушных цифр есть свои мечтатели: Максвелл, Лобачевский, Эйнштейн и многие другие. Великий Альберт Эйнштейн был одним из немногих, кто сумел соединить философскую мечту с экспериментальной наукой и разрушить прочную связь математических символов.

И не забудьте, что «Приключения Алисы в Стране Чудес» написал мечтатель, серьезно занимавшийся математикой. Конечно, я не ставлю себя в один ряд с ними. Я мыслю достаточно приземленно, и не предаюсь пустым фантазиям. Преподавание — моя профессия. По крайней мере, мой основной заработок. Иногда, когда подворачивается случай, я занимаюсь обработкой статистических данных для промышленных корпораций. В телефонной книге обо мне так и написано: «Абнер Ааронс — статистика и математические консультации». Эта сфера деятельности дает дополнительный доход. Бывает, что среди прочего попадается интересный материал. Но в основном приходится вычерчивать графики изменений в сфере потребления для производителей и высчитывать прирост населения для предприятий коммунальный услуг.

Временами предприимчивые рекламные агентства просят подсчитать, сколько понадобится банок сардин, чтобы заполнить Панамский канал. Они используют такого рода информацию как наживку для покупателей. Работа эта не очень увлекательная, но весьма прибыльная.

Вот почему я не удивился, когда в одном июльское утро мне позвонили. Университет был закрыт уже несколько недель. Летний семестр должен был начаться без присутствия моей драгоценной персоны. Я собирался отдохнуть пару дней на речке в штате Вермонт, где отлично клевали речные форели. Причем вне зависимости от того, кто вытаскивал их на берег: боксер-профессионал, президент или профессор математики. Я хотел поехать один. Три четверти года, проведенные перед аудиторией безмозглых головастиков, которых называют студентами колледжа, отбили всякое желание видеть людей. Потребность в общении временно притупилась.

Однако я не настолько расточителен, чтобы пренебречь возможностью получить лишний пенни. Звонок с предложением работы оказался весьма кстати, ведь уже тот скромный отдых, который я планировал, грозил пробить брешь в скудном бюджете преподавателя, к тому же условия звучали заманчиво: простое и прибыльное дельце.

— Меня зовут Курт Строн, — представился звонивший. — Я химик-экспериментатор. Только что закончил серию опытов и хочу, чтобы вы свели результаты в таблицы и сделали выводы. Вы ведь беретесь за такую работу?

Я дал утвердительный ответ.

— Необходимо, чтобы вы зашли за материалами. — Вещал слащавый голос. — Я не могу выходить. — За этим последовал адрес, где-то на западной стороне, семнадцатая улица.

Обычно все данные мне доставляли с посыльным или присылали по почте. Но иногда я забирал их и сам, так что в просьбе не было ничего необычного. Я согласился и сказал, что скоро буду. И действительно не стал затягивать дело. Чем скорее я справлюсь с этой работой, тем скорее получу возможность отдохнуть.

Я поспешил на метро, такси для профессора роскошь, а личный автомобиль — недостижимая мечта. И вскоре уже входил в подъезд одного из невзрачных коричневых домов, еще встречающихся на Западной авеню. Строн впустил меня. Я сразу понял, почему он просил меня приехать. Он был страшно искалечен: обожженная левая сторона тела напоминала иссохшую шишковатую кору старого дуба. Из-за увечий он с трудом ковылял даже по квартире. Еще я отметил в нем маленькие пронзительные глазки и темные жесткие волосы.

Он довольно любезно меня поприветствовал, пригласил войти в маленькую библиотеку. Там он устроился за столом, заваленным бумагами, лицом ко мне, окинул меня своими глубоко посажеными глазами и усмехнулся.

— Вы хороший математик, доктор Ааронс? — спросил он. Это был даже не вопрос, а прямая насмешка.

— Я всегда работал качественно, — ответил я, слегка удивленный.

Он нетерпеливо взмахнул рукой.

— Конечно, конечно! Я не сомневаюсь в ваших практических умениях. Но хорошо ли вы разбираетесь в отвлеченных понятиях? В теории чисел или в пространственной математике?

Я начал раздражаться. Было в этом человеке что-то неприятное.

— Не понимаю, какое отношение это имеет к статистике? Давайте материалы, и я уйду.

Он усмехнулся, похоже, ситуация явно забавляла его.

— На самом деле, доктор Ааронс, сказал он, самодовольно ухмыляясь, — эксперимент еще не завершен. Точнее, он только начинается.

— Что? — я действительно разозлился. — Знаете, мне не до шуток…

Я встал, чтобы уйти.

— Одну минуту, — холодно ответил Строн, — в его руке угрожающе блеснул синеватой сталью пистолет, направленный на меня. Открыв рот от удивления, я опустился на стул. Признаюсь, что запаниковал, увидев устремленные на меня безжалостные бусинки-глаза и ствол пистолета.

— Согласно правилам хорошего тона, вы должны выслушать меня, доктор Ааронс. — Мне не нравилась приторная сладость его голоса, но что я мог поделать? — Как я сказал, эксперимент только начинается. Эксперимент — это вы!

— Что! — воскликнул я, надеясь, что он шутит.

— Вы математик, не так ли? — продолжил Строн. — Отлично! Это будет честная игра. Математики, мой друг, это дичь, на которую я охочусь.

«Передо мной сумасшедший!» — Поняв это, я попытался успокоиться. Лучше всего было не спорить с ним. Я попробовал внести в происходящее хоть какую-то ясность:

— Зачем на нас охотиться? Мы безвредные люди.

Его глаза свирепо вспыхнули.

— Безвредные? Безвредные! Благодаря одному из ваших коллег я стал калекой! — Он показал изуродованные руку и ногу. — Из-за его неверных расчетов. — Он придвинулся ближе. — Послушайте, доктор Ааронс, я химик, вернее, когда-то был им. Успешно работал со взрывчатыми веществами. Один из проклятых математиков вывел для меня формулу. Точка в десятичной дроби оказалась не на том месте и — бах! Теперь вы все — мои жертвы! — Строн замолчал, на губах заиграла злая улыбка. — Я просто восстанавливаю справедливость.

Представьте себе, в каком ужасе я находился, сидя лицом к лицу с маньяком-убийцей, державшим в руке пистолет. Я слышал, что в подобных случаях лучший способ поведения — потакать сумасшедшим. Использовать убеждение и соглашаться!

— Мистер Строн, — сказал я, — конечно, вы имеете право требовать правосудия. Я вас понимаю. Но, мистер Строн, неразумно вымещать свой гнев на мне. Это несправедливо!

Он дико засмеялся и ответил:

— Вы привели очень веский довод, доктор Ааронс. Что же, вам просто не повезло. Ваше имя оказалось первым в телефонной книге. Если бы ваш коллега оставил мне хоть малейший шанс, я был бы терпимее. Но я поверил его дурацким расчетам! — Лицо Строна исказила злая гримаса. — У вас будет больше шансов, чем у меня. Если вы действительно хороший математик, то найдете возможность спастись. Я не имею ничего против настоящих служителей цифр, — его взгляд стал зловещим, — но не переношу тупиц, мошенников и глупцов. У вас будет шанс! — Ухмылка вернулась на его лицо, но в глазах, сверкавших поверх пистолета, ничего не дрогнуло.

У меня не было другого выхода, кроме как продолжать этот отвратительный фарс. Прямое сопротивление, несомненно, спровоцировало бы вспышку гнева, поэтому я просто поинтересовался:

— Что же вы хотите от меня, мистер Строн?

Он оскалился:

— У меня есть очень справедливое предложение, сэр. Очень честное, на самом деле.

— Хотелось бы узнать, в чем оно заключается? — спросил я, надеясь на его замешательство.

— Конечно, узнаете. Вот оно! Вы математик и говорите, что хороший. Отлично! Я вас проверю. Я задумал некоторую математическую величину, числовую последовательность, если так вам понятнее. У вас есть десять вопросов, чтобы отгадать ее. Назовете правильно, и вы свободны. Если же нет, — он усмехнулся, — тогда я причислю вас к племени мошенников, против которых я веду войну, и последствия для вас будут весьма печальны.

Ничего себе! Я обрел голос только несколько минут спустя и начал бормотать слова протеста:

— Но, мистер Строн, это же абсолютно невозможно! Числовой ряд бесконечен! Как я могу угадать эту цифру всего за десять вопросов? Один шанс из миллиона, из миллиарда, что я справлюсь! Дайте выполнимое задание.

Он терпеливо выслушал упреки, слегка покачивая пистолетом.

— Доктор Ааронс! Вы слушали невнимательно. Я сказал, не число, а числовая последовательность. Это понятие гораздо шире понятия числа. Я не вычитаю эту подсказку из десяти вопросов. Цените мое великодушие! — Он засмеялся. — Правила нашей маленькой игры таковы. Вы можете задавать мне любые вопросы, кроме прямого: «Что это за выражение?». Я обязан отвечать на них настолько подробно и полно, насколько позволяют мои знания. Вы можете задавать сколько угодно вопросов за один раз, но отвечать я буду только на два в день. Это даст вам время подумать, — снова ужасный оскал, — да и мое время ограничено.

— Но, мистер Строн, — попробовал возразить я, — я не могу оставаться здесь пять дней. Завтра же моя жена заявит в полицию о моем исчезновении.

В его глазах загорелся сумасшедший гнев.

— Доктор Ааронс, вы играете нечестно. Я знаю, что вы не женаты. Я все разузнал о вас прежде, чем пригласить сюда. Вас никто не будет искать. Не пытайтесь лгать мне и помешать восстановить справедливость. Докажите, что вы хороший математик и имеете право на существование. — Он внезапно встал — Прошу вас, сэр, поднимитесь по лестнице и пройдите в ту дверь.

Выбора у меня не было, мне оставалось только подчиниться! Короткий пистолет в его руке служил достаточно веским аргументом, по крайней мере, для такого не склонного к авантюрам человека, как я. Я встал, гордо прошествовал через комнату, поднялся по лестнице и вошел в указанную дверь. За ней оказалась маленькая комнатка с небольшим световым люком в потолке, который, как показал беглый осмотр был заперт. Меблирована она была достаточно неплохо для пленника: кушетка, стул с прямой спинкой, глубокое кресло и письменный стол.

— Вот, — сказал мой «гостеприимный» хозяин, — ваша келья. На столе графин с водой и полный справочник по математике, которым вы можете пользоваться. — Он посмотрел на часы. — Сейчас без десяти четыре. Вы можете думать над вопросами до четырех часов завтрашнего дня. Обдумайте их хорошенько! Лишние десять минут — это подарок, чтобы вы не сомневались в моей щедрости. — Строн подошел к двери. — Я прослежу, чтобы вы получили обед вовремя. Желаю всего наилучшего.

Как только щелкнул замок, я приступил к осмотру комнаты. Световой люк, дверь… Пытаться вырваться отсюда бесполезно! Меня надежно и бесславно заперли. Около получаса я усердно исследовал свою камеру. Надо отдать должное Строну, она идеально служила своей цели. Массивная дверь запиралась снаружи на засов, световой люк защищала прочная решетка, в придачу ко всему толстые стены… нет ни малейшей надежды выбраться. Итак, Абнер Ааронс — заключенный!

Мои мысли вернулись к безумной игре, которую вел Строн. Возможно, я сумею разгадать его загадку. По крайней мере, целых пять дней, пока идет игра, я нахожусь в безопасности. За это время может произойти все что угодно. На столе я нашел сигары. Стараясь успокоится, закурил одну и принялся размышлять.

Конечно, бессмысленно рассматривать задачу только с количественной точки зрения. Можно использовать все попытки, спрашивая: «Это число больше или меньше миллиона, тысячи, ста?»

Но путем такого отсева найти невозможно. Кроме того, это может быть простая или десятичная дробь, мнимое число, такое, как квадратный корень из минус единицы, или любое сочетание этих чисел. Эти размышления подсказали мне первый вопрос. Когда от сигары остался один окурок, я окончательно его сформулировал. Возможности его задать долго ждать не пришлось. В начале седьмого дверь отворилась.

— Отойдите от двери, мистер Ааронс, — послышался голос моего тюремщика. Этот сумасшедший вошел, толкая перед собой столик на колесиках, на котором был сервирован полный ужин: бульон, ростбиф и бутылка вина. В здоровой руке он держал пистолет.

— Надеюсь, вы с пользой провели время, — усмехнулся он.

— Да, у меня уже готов первый вопрос, — ответил я.

— Хорошо, доктор Ааронс, очень хорошо! Давайте послушаем.

— Итак, — начал я, — всю бесконечность математики разделяют на действительные и мнимые числа, в пределах которых находится любое числовое выражение. Действительные включают в себя положительные и отрицательные числа, простые и десятичные дроби, любые множества. Мнимые — это результаты операций с числом Е, которое по-другому можно выразить как квадратный корень из минус единицы.

— Правильно, доктор Ааронс. Это элементарно!

— Так что же? Загаданная вами величина действительная или мнимая?

— Очень хороший вопрос, доктор! Очень хороший! Мой ответ, если он вам поможет: эта величина может быть любой!

Меня озарило! Разгадка ясна, как божий день! Любой студент, изучающий математику, знает, что лишь одна цифра является и одновременно и действительным, и мнимым числом. «Это — ноль! Я знаю ответ!» — эти слова звучали в ушах, как грохот барабанов! Мне стоило больших усилий оставаться внешне спокойным.

— Мистер Строн, — сказал я, — величина, которую вы задумали, ноль?

Он засмеялся. Неприятный дребезжащий звук разнесся по комнате.

— Нет, доктор Ааронс. Я так же, как и вы, знаю, что ноль — одновременно и действительное, и мнимое число. Позвольте обратить ваше внимание на мой предыдущий ответ. Я не сказал, что эта величина одновременно и мнимая, и действительная. Я сказал, что она может быть любой! — Он направился к двери. — Вынужден указать, что у вас осталось восемь попыток. Со своим поспешным ответом вы попали пальцем в небо. Доброго вам вечера!

Он ушел. За дверью послышался глухой звук засова, входившего в гнезда. Терзаемый отчаянием, я опустился в кресло, даже не притронувшись к роскошному ужину.

Прошло много времени, прежде чем мои мысли снова обрели ясность. Не знаю точно, сколько именно, я не смотрел на часы. Вскоре я, однако, несколько оправился, настолько, что выпил немного вина и съел ростбиф. Бульон, к сожалению, безнадежно остыл. Затем я задумался над третьим вопросом.

Я проанализировал всю имеющуюся информацию: намеки Строна относительно терминов, ответы на первый и второй вопросы… Он определенно указывал на некое числовое выражение. Значит, исключена возможность использования символов «X» и «У». Величина либо действительная, либо мнимая, но не ноль. Я начал перебирать возможные варианты. Квадратный корень действительного числа может дать мнимое число. Если в величине больше, чем одна цифра, или используется показатель степени, тогда загаданное им число, без сомнения, квадратный корень мнимого числа. Внезапно меня посетила еще одна идея! На клочке бумаги я нацарапал несколько символов, затем, чувствуя себя абсолютно опустошенным, бросился на кровать и уснул. Но покоя не было и во сне. Мне снилось, что Строн столкнул меня в море, кишащее зубастыми математическими чудовищами.

Утром меня разбудил скрип двери. Комната была освещена светом, проникавшим через люк в потолке. Строн вошел, балансируя на одной руке подносом, в другой он по-прежнему держал уже намозоливший глаза пистолет. Он поставил на столик полдюжины накрытых крышками тарелок и забрал остатки ужина.

— У вас плохой аппетит, доктор Ааронс, — прокомментировал он. — Неужели вы позволите, чтобы нервное напряжение повлияло на ваши умственные способности? — Он ухмыльнулся, наслаждаясь шуткой. — Больше вопросов пока нет? Это не принципиально. До четырех часов завтрашнего дня у вас есть время подготовить еще два вопроса.

— У меня есть вопрос, — ответил я, окончательно проснувшись, встал и расправил на столе листок бумаги. — Число, мистер Строн, можно выразить путем различных операций. Например, число 4 можно получить в результате умножения 2 × 2 = 4, сложения 3 + 1, деления 8 ÷ 2 или вычитания 5–1, возведения в степень 2^2, извлечения квадратного корня из 16 или кубического из 64. Все это различные способы представления числа 4. На листке я написал все символы математических операций. Вот мой вопрос: какие из этих знаков использованы в задуманном выражении?

— Очень тщательно продумано, доктор Ааронс! Вы соединили несколько вопросов в одном. — Он взял со стола листок бумаги и указал на первый знак в моем списке — знак вычитания, простое тире!

Это тире, обыкновенная горизонтальная палочка, зачеркнула все мои рассуждения. Проработанная теория об извлечении квадратного корня из мнимого числа, для получения действительного не подтвердилась. Путем сложения или вычитания действительно число никак не перейдет в мнимое. Только с помощью умножения, возведения в степень или деления можно совершить такое математическое чудо! Я снова оказался в полной растерянности и долго не мог собраться с мыслями.

Часы складывались в дни мучительно медленно и неотвратимо быстро, становясь пыткой для приговоренного к смерти. Я был словно парализован. Странные, парадоксальные ответы обезоружили меня. Но я продолжал бороться.

Четвертый вопрос:

— Есть ли мнимые числа в выражении?

Четкий, холодный ответ:

— Нет.

Пятый:

— Сколько однозначных чисел в этой последовательности?

Ответ снова четкий:

— Два.

Получив новую пищу для размышлений, я сформулировал очередную задачу: какие два однозначных числа, соединенные знаком минус, образуют либо действительное, либо мнимое число?

«Это невозможно, — думал я. — Этот маньяк просто издевается надо мной!»

И все же это было слишком изобретательное, слишком остроумное сумасшествие. Я готов поклясться, что Строн был искренен в желании добиться справедливости, пусть даже таким извращенным путем.

На шестом вопросе на меня снизошло вдохновение! По правилам игры Строн обязан был отвечать на любой вопрос, кроме прямого: «Что это за выражение?» По-моему, я нашел выход! Я едва дождался следующей встречи и торопливо спросил:

— Мистер Строн, вот вопрос, на который по правилам нашей игры вы обязаны ответить! Если поставить после вашего выражения знак равенства, какое число будет стоять после него? Чему равна задуманная вами числовая последовательность?

В ответ раздался дьявольский смех. Почему? Неужели я смутил его?

— Умно, доктор Ааронс! Очень умно! Она равна любому числу!

Кажется, в отчаянии я крикнул:

— Любому? Любому! Вы обманщик! Ваша игра — мошенничество! Такого выражения не существует!

— Оно есть, доктор! Хороший математик смог бы вычислить его. — Строн вышел, продолжая смеяться.

Я не спал всю ночь. Час за часом, сидя за проклятым столом, я собирал клочки информации, анализировал, вспоминал. И все-таки нашел решение! Вернее, несколько его вариантов. Бог мой, чего мне это стоило! До конца безумной игры оставалось два дня и четыре вопроса. Решение проблемы постепенно вырисовывалось, но от нервозности ситуации в голове все смешалось. Чувство самосохранения требовало, чтобы я действовал постепенно, проверяя свою догадку оставшимися вопросами. Но все мое существо восставало против невыносимого напряжения, в котором я жил последние дни: «Сделай ставку на последние четыре вопроса. Задай их все сразу и прекрати эту агонию любым способом».

Я подумал, что нашел ответ. О, этот сумасшедший оказался дьявольски умен! Он указал на знак вычитания, и я мыслил в ложном направлении. На самом же деле он, вероятно, имел в виду знак простой дроби. Графически они идентичны — обыкновенные тире. Но один означает вычитание, а другой деление. 1–1 = 0, но 1÷ 1 = 1! Если Строн подразумевал знак деления, тогда проблема легко решается. Выражение, которое буквально означает любое число, — это 0 ÷ 0! Да, ноль, разделенный на ноль. Для лучшего понимания этого утверждения привел пример: возьмем произведение 2 × 3 = 6. По-другому можно сказать, что в шести три раза по два. Теперь рассмотрим равенство 0 × 6 = 0. Совершенно верно, не так ли? В этом произведении шесть раз по нулю. Таким образом, частное — ноль, деленный на ноль, равно любому числу, действительному или мнимому.

Я решил, что победил этого хитрого дьявола.

Он пришел на закате с неизменной усмешкой на лице.

— Ваши вопросы, доктор Ааронс? Осталось всего четыре попытки.

Я спокойно посмотрел на него.

— Мистер Строн, числовая последовательность, которую вы загадали, ноль, деленный на ноль?

Он растянул губы в гримасе улыбки:

— Нет, сэр, вовсе нет.

Я не растерялся. У меня был припасен еще один вариант решения. Существовал еще символ, отвечавший всем условиям. Я задал восьмой вопрос:

— Тогда это бесконечность, разделенная на бесконечность?

Он растянул губы еще шире.

— Нет, доктор Ааронс.

Я слегка запаниковал! Развязка замаячила в ужасающей близости. Лишь одним способом можно было проверить, обман его игра или нет. Я использовал девятую попытку.

— Мистер Строн, когда вы указали на тире, как математический символ, который использовали в вашем выражении, вы имели в виду знак деления или вычитания?

— Знак вычитания, доктор Ааронс. У вас остался всего один вопрос. Не хотите ли подождать до завтра?

Он с наслаждением улыбался, полностью уверенный, что победа в этой безумной игре осталась за ним. Я колебался, терзаемый муками нерешительности. Ужасающая перспектива еще одной ночи сомнений заставила меня принять решение.

— Я задам его сейчас, мистер Строн.

Это решение должно быть верным. Другого не было. Час за часом мучительно размышляя над ответом. Я перебрал все возможные варианты.

— Выражение, которое вы задумали, бесконечность минус бесконечность?

Да, я угадал! Я понял это по тому, как разочарованно вспыхнули его глаза.

— Сам дьявол подсказал вам ответ! — взвизгнул Строн. Мне показалось, что у него на губах появились клочья пены. Он опустил пистолет, и я осторожно приблизился к двери. Он даже не шелохнулся, чтобы остановить меня, стоял молча. И лишь когда я вышел на лестничную площадку, тогда…

— Стойте! — закричал Строн. — Вы же все расскажете! Подождите, доктор Ааронс!

В два прыжка я преодолел лестницу, оказался внизу и рывком открыл дверь. Строн кинулся за мной, целясь из пистолета. Я услышал выстрел, когда уже выскользнул за дверь и бросился в спасительный свет улицы.

Конечно, я сообщил о нем в полицию. Его схватили, когда он пытался сбежать из дома, и отправили к психиатру. Как я позже выяснил, история его оказалась правдивой. Он действительно был покалечен во время взрыва в лаборатории.

Что касается разгадки, то все очень просто. Бесконечность — самая большая математическая величина, больше, чем любое мыслимое число. Попробую объяснить поподробнее.

Математический символ бесконечности — перевернутая восьмерка ∞.

Возьмем сумму ∞ + 6 = ∞. Утверждение абсолютно верно, так как к бесконечности невозможно прибавить ничего, что сделало бы ее больше, чем она есть. Бесконечность сама по себе самое большое из всех возможных чисел. Из этого равенства получается, что ∞ — ∞ = 6. Вот и все! Вместо 6 может быть любое число.

Разность бесконечностей равна любой величине, действительной или мнимой, от нуля до ∞.

Курт Строн на самом деле играл честно!

Content

Стэнли Вейнбаум
Предел бесконечности