Дербишир Джон

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Посвящается Рози

Предисловие к русскому изданию

О том, что готовится русский перевод моей книги, я впервые услышал от переводчика А.М. Семихатова, обратившегося ко мне для уточнения некоторых деталей.

Это известие привело меня в восторг. Мой не слишком убедительный опыт в изучении русского языка описан в примечании [29]. Стыдно признаться, но с тех пор мое знание русского не сильно продвинулось. Несмотря на это, я по-прежнему испытываю немалую сентиментальную привязанность к этому языку. Азам русского меня обучал преподаватель из Школы славянских и восточноевропейских исследований, расположенной поблизости от того колледжа в Лондоне, где я учился. Мой преподаватель — да простят меня небеса, я позабыл, как его звали, — был из той редкой породы людей, которые действительно искренне любят язык ради самого языка (насколько я понял из нашей электронной переписки, к числу таких людей относится и A.M. Семихатов). Чтобы мы прочувствовали, как в русских словах ставится ударение — а это самый сложный момент для всех иностранцев, изучающих русский, — он заставлял нас учить наизусть короткие отрывки из стихотворений прекрасных русских поэтов. Так что и по сей день я могу наизусть прочитать что-то из Пушкина и Есенина, хотя при этом вряд ли способен заказать по-русски и чашку кофе.

До того как A.М. Семихатов связался со мной, я ничего не знал о фонде «Династия», под эгидой которого был организован перевод моей книги. Я принялся расспрашивать своих русских друзей, те стали расспрашивать своих друзей, и т.д. Теперь я знаю гораздо больше. Я знаю, какую огромную работу по поддержанию замечательных традиций российской науки, и в частности математики, ведет фонд «Династия». И я рад, что часть этих традиций я сумел описать в своей книге. Я благодарен фонду «Династия» за то, что среди других они выбрали для перевода именно мою книгу. Это большая честь для меня.

Главная тема моей книги — Гипотеза Римана и усилия, направленные на ее доказательство, — это всего лишь небольшая часть математики, а сама математика — лишь одно из многочисленных направлений в мыслительном процессе, посредством которого человечество стремится познать ту Вселенную, где нам довелось жить. Тем не менее я надеюсь, что мое повествование достойно передает дух интеллектуальной свободы и честного научного соревнования — двух составляющих, лежащих в основе всего, что мы знаем или надеемся узнать; только они и делают возможными новые открытия и позволяют реализовать знаменитые слова Давида Гильберта, которые я цитирую в главе 16: «Wir müssen wissen, wir werden wissen» — «Мы должны знать, мы будем знать!» Я приветствую деятельность фонда «Династия», направленную на создание условий для этого.

От автора книги такого рода требуется предоставить читателям возможность одновременно и получать удовольствие от чтения, и обучаться чему-то. Удовольствие проще простого испортить плохим переводом. Я уверен, что перевод моей книги — это совсем другой случай, и склонен даже подозревать, что из рук переводчика книга вышла даже в несколько улучшенном виде. Переводческий труд редко бывает благодарной (и хорошо оплачиваемой) работой. Так что авторам остается только надеяться, что с переводчиком им повезет. Судя по нашей переписке и по тем фактам, которые стали мне известны от моих русских друзей, мне и моим русским читателям по-настоящему повезло и такой переводчик, как Алексей Семихатов, — большая удача для всех нас. И я бесконечно благодарен ему за его тщательную и кропотливую работу и за неизменное внимание к деталям.

Напоследок я хочу еще раз поблагодарить фонд «Династия» за то, что их выбор пал именно на мою книгу.

Джон Дербишир

Хантингтон, Лонг-Айленд

Июнь 2008 г.

Вступление

В августе 1859 года Бернхард Риман стал членом-корреспондентом Берлинской академии наук; это была большая честь для тридцатидвухлетнего математика. В согласии с традицией Риман по такому случаю представил академии работу по теме исследований, которыми он был в то время занят. Она называлась «О числе простых чисел, не превышающих данной величины». В ней Риман исследовал простой вопрос из области обычной арифметики. Чтобы понять этот вопрос, сначала выясним, сколько имеется простых чисел, не превышающих 20. Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих тысячи? Миллиона? Миллиарда? Существует ли общий закон или общая формула, которые избавили бы нас от прямого пересчета?

Риман взялся за эту проблему, используя самый развитый математический аппарат своего времени — средства, которые даже сегодня изучаются только в продвинутых институтских курсах; кроме того, он для своих нужд изобрел математический объект, сочетающий в себе мощь и изящество одновременно. В конце первой трети своей статьи он высказывает некоторую догадку относительно этого объекта, а далее замечает:

Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких недолгих бесплодных попыток я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования.

Эта высказанная по случаю догадка оставалась почти незамеченной в течение десятилетий. Но затем, по причинам, которые я поставил себе целью описать в данной книге, она постепенно завладела воображением математиков, пока не достигла статуса одержимости, непреодолимой навязчивой идеи.

Гипотеза Римана, как стали называть эту догадку, оставалась навязчивой идеей в течение всего XX столетия и остается таковой по сей день, отразив к настоящему моменту все без исключения попытки доказать ее или опровергнуть. Эта одержимость Гипотезой Римана стала сильна как никогда после того, как в последние годы были успешно решены другие великие проблемы, долгое время остававшиеся открытыми: Теорема о четырех красках (сформулирована в 1852 году, решена в 1976), Последняя теорема Ферма (сформулирована, по-видимому, в 1637 году, доказана в 1994), а также многие другие, менее известные за пределами мира профессиональных математиков. Гипотеза Римана сегодня — это гигантский Белый Кит математических исследований.

Гипотеза Римана поглощала внимание математиков в течение всего XX века. Вот что говорил Давид Гильберт, один из виднейших математических умов своего времени, обращаясь ко второму международному конгрессу математиков:

В теории распределения простых чисел в последнее время Адамаром, де ля Валле Пуссеном, фон Мангольдтом и другими сделаны существенные сдвиги. Но для полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», необходимо прежде всего доказать справедливость исключительно важного утверждения Римана <…>.

Далее Гильберт приводит формулировку Гипотезы Римана. А вот как сто лет спустя высказался Филип А. Гриффите, директор Института высших исследований в Принстоне, а ранее — профессор математики в Гарвардском университете. В своей статье, озаглавленной «Вызовы исследователям XXI века», в январском номере Journal of the American Mathematical Society за 2000 год он пишет:

Несмотря на колоссальные достижения XX века, десятки выдающихся проблем все еще ожидают своего решения. Наверное, большинство из нас согласится, что следующие три проблемы относятся к числу наиболее вызывающих и интересных.

Первой из них является Гипотеза Римана, которая дразнит математиков уже 150 лет <…>.

Интересным явлением в Соединенных Штатах в последние годы XX века стало появление частных математических исследовательских институтов, финансируемых богатыми любителями математики. И Математический институт Клея (основанный в 1998 году бостонским финансистом Лэндоном Т. Клеем), и Американский математический институт (основан в 1994 году калифорнийским предпринимателем Джоном Фраем) ориентировали свои исследования на Гипотезу Римана. Институт Клея установил премию в миллион долларов за ее доказательство или опровержение. Американский математический институт обращался к Гипотезе на трех полномасштабных конференциях (в 1996, 1998 и 2000 годах), собравших исследователей со всего мира. Помогут ли эти новые подходы и инициативы в конце концов победить Гипотезу Римана, пока не ясно.

В отличие от Теоремы о четырех красках или Последней теоремы Ферма Гипотезу Римана нелегко сформулировать так, чтобы сделать ее понятной для нематематика, потому что она составляет самую суть одной трудной для понимания математической теории. Вот как она звучит:

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

Для обычного читателя, даже хорошо образованного, но без продвинутой математической подготовки, это, вероятно, полная бессмыслица. С равным успехом можно было бы сформулировать Гипотезу на церковнославянском. В данной книге параллельно с описанием истории Гипотезы и ряда людей, имевших к ней отношение, я попытался довести этот глубокий и таинственный вывод до уровня, доступного широкому читателю, сообщая при этом ровно столько математических сведений, сколько необходимо для понимания Гипотезы.

План книги очень простой. Главы с нечетными номерами (сначала они планировались как главы с простыми номерами, но я подумал, что не стоит казаться слишком умным) содержат математические объяснения, подводя читателя — надеюсь, плавно — к пониманию Гипотезы Римана и к осознанию ее важности. В главах с четными номерами раскрываются исторические и биографические подробности.

Изначально я собирался сделать эти две нити повествования независимыми, так чтобы читатели, недолюбливающие формулы, могли наслаждаться только четными главами, а читатели, которых не слишком интересуют история и байки про математиков, могли спокойно читать нечетные. Реализовать этот план мне удалось не в полной мере, и я теперь сомневаюсь, что со столь запутанным предметом это вообще возможно. Тем не менее в своей основе планировавшееся разбиение сохранилось. Математики намного больше в нечетных главах и намного меньше в четных, и читатель волен, разумеется, попытаться следовать при чтении той или иной линии. Правда, я все же надеюсь, что вы прочтете книгу целиком.

Книга предназначена для понятливого и любознательного читателя-нематематика. Такое утверждение, конечно, вызывает целый ряд вопросов. Что имеется в виду под «нематематиком»? Какой уровень математических знаний предполагается у читателя? Ну, начнем с того, что каждый хоть что-то знает из математики. Наиболее образованные люди могут, вероятно, иметь смутное представление о том, что такое математический анализ. Я думаю, что мне удалось написать книгу, отвечающую уровню тех читателей, кто был в терпимых отношениях со школьной математикой и, возможно, прослушал пару институтских курсов по математике.

Первоначально я собирался объяснить Гипотезу Римана вообще без использования математического анализа. Такая постановка задачи оказалась немного слишком оптимистичной; в результате набрались три главы, содержащие (в очень ограниченном объеме) самый элементарный анализ, причем все необходимое объясняется по ходу дела.

Практически все остальное — это просто арифметика и элементарная алгебра: раскрытие скобок в выражениях типа (a + b)×(c + d) или преобразования уравнений, позволяющие превратить S = 1 + xS в S = 1/(1 − x). Еще потребуется готовность читателя принять кое-какие сокращенные обозначения, позволяющие пощадить мускулы кисти руки при переписывании математических выражений. Я могу утверждать по крайней мере следующее: я не думаю, что Гипотезу Римана можно объяснить, используя математику более элементарную, чем та, что излагается в этой книге; поэтому если, закончив чтение, вы так и не будете понимать, в чем состоит Гипотеза, то можете быть уверены, что вы этого никогда не поймете.

Многие профессиональные математики и историки математики великодушно откликнулись на мои просьбы о помощи. Я глубоко благодарен целому ряду людей, добровольно уделивших мне время, за данные мне советы (которым я не всегда следовал), за их терпение, когда им приходилось отвечать на одни и те же тупые вопросы, а одному из них я особенно благодарен за оказанное мне гостеприимство. Вот эти люди: Джерри Александерсон, Том Апостол, Мэтт Брин, Брайан Конри, Хэролд Эдварде, Деннис Хеджхал, Артур Джаффе, Патрисио Лебеф, Стивен Миллер, Хью Монтгомери, Эрвин Нейеншвандер, Эндрю Одлыжко, Сэмюэль Паттерсон, Питер Сарнак, Манфред Шредер, Ульрике Форхауер, Матти Вуоринен и Майк Вестморланд. За все серьезные ошибки в книге несу ответственность я, а не они. Бригитт Брюггеман и Херберт Айтенайер помогли мне восполнить пробелы в немецком. Заказы на статьи от моих друзей из National Review, The New Criterion и The Washington Times позволяли кормить моих детей, пока я работал над книгой. Многочисленные читатели моих онлайновых колонок помогли мне осознать, какие именно математические идеи представляют наибольшую трудность для понимания нематематиками.

Вместе с благодарностями приходится принести и примерно такое же количество извинений. Книга посвящена предмету, который целый ряд лучших умов человечества интенсивно исследует на протяжении сотни лет. В рамках отведенного объема и в соответствии с выбранным методом изложения пришлось выкинуть целые области исследований, связанных с Гипотезой Римана. В книге вы не найдете ни слова ни о гипотезе плотности, ни о приближенном функциональном уравнении, ни даже о целом захватывающем направлении, лишь недавно пробудившемся к активной жизни после долгой спячки, — исследовании моментов дзета-функции. Не будут также упомянуты обобщенная гипотеза Римана, модифицированная обобщенная гипотеза Римана, расширенная гипотеза Римана, большая гипотеза Римана, модифицированная большая гипотеза Римана и квазириманова гипотеза.

Еще огорчительнее, что в моей книге не встретится имен многих ученых, которые десятилетиями трудятся на этом поприще, не покладая рук. Это Энрико Бомбьери, Амит Гош, Стив Гонек, Хенрик Иванек (в половине приходящей к нему электронной корреспонденции указан адресат «Хенри К. Иванек»), Нина Снейт и многие другие. Я приношу им свои искренние извинения. Когда работа начиналась, я и не подозревал, какой груз взваливаю на свои плечи. Эта книга с легкостью могла оказаться в три или в тридцать раз длиннее, но мой редактор уже шарил под столом в поисках бензопилы.

И еще одна благодарность. Я придерживаюсь того суеверия, что всякая книга, выходящая за рамки ремесла, — другими словами, всякая книга, написанная с тщанием и любовью, — имеет своего духа-хранителя. Этим я просто хочу сказать, что за всякой книгой стоит определенный конкретный человек, образ которого не покидает мысли автора во время работы и личность которого добавляет красок его страницам. (В художественной литературе, боюсь, таким человеком слишком часто оказывается сам автор.)

Дух-хранитель этой книги, чей взгляд через плечо я, казалось, временами ловил, пока писал, чье легкое покашливание в соседней комнате я иногда слышал в своем воображении и кто неслышно действует за сценой и в математических, и в исторических главах, — это Бернхард Риман. Чтение того, что написано им, и того, что написано о нем, вызвало во мне смешанные чувства по отношению к этому человеку: глубокое сочувствие к его неприспособленности к жизни в обществе, подорванному здоровью, выпавшим на его долю тяжелым утратам и хронической бедности смешано с благоговением перед невероятной мощью его ума и силой его сердца.

Книгу следует посвятить кому-то из живущих, чтобы посвящение могло доставить удовольствие. Я посвятил эту книгу своей жене, которая совершенно точно знает, насколько это посвящение искренне. Но в определенном смысле, и это нельзя обойти молчанием в предисловии, эта книга принадлежит Бернхарду Риману, который за свою короткую жизнь, омраченную многими горестями, оставил людям столь много имеющего непреходящую ценность — включая и задачу, которая продолжает манить их через полторы сотни лет после того, как он с типичной для себя застенчивостью упомянул о своих «недолгих бесплодных попытках» ее решить.

Джон Дербишир

Хантингтон, Лонг-Айленд

Июнь 2002 г.

Часть первая

Теорема о распределении простых чисел

Глава 1. Карточный фокус

I.

Как и многие другие представления, это начинается с колоды карт.

Возьмем обычную колоду из 52 карт; положим ее на стол, подровняв со всех сторон. А теперь сдвинем самую верхнюю карту колоды, не пошевелив при этом ни одну из остальных карт. Насколько можно сдвинуть верхнюю карту, чтобы она еще не упала?

Ответ понятен: на половину длины карты, что мы и видим на рисунке 1.1. Если подвинуть ее так, чтобы на весу оказалось более половины карты, она упадет. Точка опрокидывания находится в центре тяжести карты, т.е. на середине ее длины.

Рисунок 1.1.

Теперь сделаем кое-что еще. Пусть верхняя карта так и лежит, сдвинутая на половину своей длины — т.е. с максимальным нависанием, — а мы начнем осторожно сдвигать следующую карту. Насколько в сумме могут нависать две верхние карты?

Фокус состоит в том, что эти две карты надо рассматривать как единое целое. Где у этого целого находится центр тяжести? Ясно, что посередине общей длины — длины в полторы карты. Значит, центр тяжести расположен на расстоянии в три четверти длины карты от выступающего края верхней карты (см. рисунок 1.2). Суммарное нависание, следовательно, равно трем четвертям длины карты. Заметим, что верхняя карта по-прежнему свисает со второй на половину своей длины. Но две верхние карты мы сдвигали как единое целое.

Рисунок 1.2.

Если теперь начать двигать третью карту и посмотреть, насколько можно увеличить нависание, окажется, что ее можно сдвинуть на одну шестую длины карты. Как и ранее, надо воспринимать три верхние карты как единое целое. Центр тяжести тогда расположен на расстоянии в одну шестую длины карты от выдвинутого края третьей карты (см. рисунок 1.3).

Рисунок 1.3.

За край у нас выдвинута одна шестая третьей карты, одна шестая плюс одна четверть второй карты, а также одна шестая плюс одна четверть плюс одна вторая верхней карты, что в сумме дает полторы карты:

1/6 + (1/6 + 1/4) + (1/6 + 1/4 + 1/2) = 1^1/2.

Это половина от длины трех карт; вторая половина находится за точкой опрокидывания. На рисунке 1.4 изображено, что у нас получилось после максимально возможного сдвига третьей карты.

Рисунок 1.4.

Полное нависание теперь составляет одну вторую (за счет верхней карты) плюс одна четверть (за счет второй карты) плюс одна шестая (за счет третьей). Всего — одиннадцать двенадцатых длины карты. Потрясающе!

Можно ли добиться нависания, превышающего длину одной карты? Да, можно. Прямо следующая карта — четвертая сверху — при осторожном сдвигании добавит к нависанию одну восьмую длины карты. Я не буду проделывать все эти арифметические выкладки — или поверьте мне, или сделайте их сами, подобно тому как мы это только что сделали для трех первых карт. Вот чему равно полное нависание с четырьмя картами: одна вторая плюс одна четверть плюс одна шестая плюс одна восьмая — все вместе одна и одна двадцать четвертая длины карты (см. рисунок 1.5).

Рисунок 1.5.

Если продолжать действовать в том же духе и целиком использовать всю колоду, то за счет пятидесяти одной карты накопится нависание, равное

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + 1/14 + 1/16 + … + 1/102

(самую нижнюю карту сдвигать бессмысленно). Такая сумма на самую толику меньше, чем 2,25940659073334. Таким образом, мы добились полного нависания более чем в две с четвертью длины! (Рис. 1.6.)

Рисунок 1.6.

Я был студентом, когда узнал про это. Дело было в летние каникулы, и я занимался подготовкой к следующему семестру, пытаясь несколько опередить программу. Свой вклад в оплату обучения я вносил, нанимаясь на время каникул рабочим на стройки — в Англии в те времена профсоюзы не сильно контролировали этот сектор. На следующий день после того, как я узнал про фокус с картами, мне предстояло в одиночку прибраться во внутренней части строящегося здания, где пачками хранились сотни больших квадратных потолочных панелей. Часа два я с забавлялся со стопкой из 52 панелей, пытаясь добиться нависания в две с четвертью панели. Проходивший мимо прораб застал меня глубоко погруженным в созерцание гигантской колышущейся башни, составленной из потолочных панелей, и он, я думаю, утвердился в своих худших подозрениях относительно целесообразности найма студентов.

II.

Есть одна вещь, которую очень любят делать математики и которая оказывается очень плодотворной, — это экстраполировать, т.е. брать конкретную задачу и распространять ее выводы на более широкую область.

В нашей конкретной задаче у нас было 52 карты. Оказалось, что полное нависание составило более чем две с четвертью карты.

Но почему 52 карты? А если бы было больше? Сотня? Миллион? Триллион? А предположим, что у нас имелся бы неограниченный запас карт — какого максимального нависания мы смогли бы тогда добиться?

Сначала взглянем на нашу постепенно растущую формулу. При 52 картах полное нависание составило

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + 1/14 + 1/16 + … + 1/102.

Поскольку все знаменатели здесь четные, можно вынести одну вторую за скобки и переписать в виде

1/2∙(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + … + 1/51).

Если бы у нас была сотня карт, то полное нависание составляло бы

1/2∙(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + … + 1/99).

Имея в распоряжении триллион карт, мы добились бы нависания величиной в

1/2∙(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + … + 1/999999999999).

Чтобы посчитать такое, требуется проделать немало арифметических действий, но у математиков есть способы спрямлять подобные вычисления, и я могу твердо заверить вас, что полное нависание в случае сотни карт будет лишь чуточку меньше, чем 2,58868875882, а для триллиона карт — на самую толику меньше, чем 14,10411839041479.

Полученные числа удивительны вдвойне. Во-первых, тем, что вообще удается добиться нависания в 14 с лишним карточных длин, пусть даже для этого понадобится триллион карт. Четырнадцать карточных длин — это более четырех футов, если брать стандартные игральные карты. А во-вторых, если об этом подумать, тем, что числа оказываются именно такими, а не большими. При переходе от 52 к 100 картам мы заработали дополнительное нависание лишь в одну треть длины карты (даже чуть-чуть меньше, чем в одну треть). А затем переход к триллиону — а колода в триллион стандартных игральных карт будет иметь такую толщину, что покроет большую часть расстояния до Луны, — принес нам всего лишь одиннадцать с половиной карточных длин.

Ну а если бы число карт у нас было неограниченным? Какого максимального нависания мы могли бы достичь? Замечательный ответ на этот вопрос состоит в том, что максимального нависания просто нет. Если в запасе имеется достаточное число карт, можно сделать нависание сколь угодно большим. Желаете получить нависание в 100 карточных длин? Пожалуйста, возьмите что-то около 405 709 150 012 598 триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов карт — колоду, высота которой намного превысит размеры известной нам части Вселенной. А можно сделать и большее нависание, и еще большее — настолько большое, насколько захотите, если только у вас есть желание иметь дело с невообразимо большим числом карт. Нависание в миллион карт? Пожалуйста, но, правда, количество необходимых для этого карт будет таким большим, что только для записи этого числа понадобится нормального размера книга — в этом числе будет 868 589 цифр.

III.

Теперь нам предстоит сосредоточить свое внимание на выражении в скобках, а именно

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ….

Математики говорят, что это — ряд; ряд означает неограниченно продолжающееся суммирование членов, каждый из которых задается некоторым общим законом. В нашем случае члены ряда 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, … — это обратные величины к обычным натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….

Ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + … играет в математике достаточно важную роль, чтобы иметь собственное название. Он называется гармоническим рядом.

Подведем промежуточный итог. Складывая достаточно большое число членов гармонического ряда, можно получить сколь угодно большой результат. У этой суммы нет предела.

Грубый, но распространенный и доходчивый способ выразить то же самое — это сказать, что гармонический ряд суммируется к бесконечности:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + … = ∞.

Хорошо воспитанных математиков учат морщиться при виде таких выражений; но я думаю, что с ними вполне можно иметь дело, если знать опасности, которые вас тут подстерегают. Леонард Эйлер, один из величайших математиков всех времен, использовал подобные выражения постоянно и весьма плодотворно. Но все же правильный, профессиональный математический термин, описывающий то, что здесь происходит, звучит так: гармонический ряд расходится.

Сказать-то я это сказал, но смогу ли я это доказать? Всем известно, что в математике каждый результат надо строго логически доказывать. Результат у нас такой: гармонический ряд расходится. Как его доказать?

Доказательство оказывается довольно простым и опирается только на самую элементарную арифметику. В Средние века его нашел французский ученый Никола Орем (ок. 1323-1382).[1] Орем заметил, что сумма 1/3 + 1/4 больше чем 1/2; равным образом и 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 также больше чем 1/2; то же верно и для суммы 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16. Другими словами, будем брать сначала 2, потом 4, потом 8, потом 16 и т.д. членов гармонического ряда и группировать их вместе; получится бесконечное число таких групп, каждая из которых в сумме превосходит одну вторую. Полная сумма, следовательно, должна быть бесконечной. Не стоит переживать из-за того, что размеры этих групп растут очень быстро: «в бесконечности» полно места, и неважно, сколько групп мы уже образовали, следующая все равно окажется на своем месте и к нашим услугам. Всегда есть возможность добавить еще одну а это и означает, что сумма растет неограниченно.

Данное Оремом доказательство расходимости гармонического ряда, по-видимому, пролежало невостребованным в течение нескольких столетий. Пьетро Менголи передоказал этот же результат в 1647 году с помощью другого метода. Сорок лет спустя Иоганн Бернулли дал доказательство еще одним, третьим, способом, а вскоре после того старший брат Иоганна Якоб предложил четвертый способ. Судя по всему, ни Менголи, ни братья Бернулли не знали о найденном в XIV веке доказательстве Никола Орема — одном из хорошо забытых шедевров средневековой математики. Тем не менее доказательство Орема остается наиболее прямым и изящным среди всех доказательств, и его, как правило, и приводят в современных учебниках.

IV.

В рядах изумляет не то, что некоторые из них расходятся, а то, что так делают не все ряды. Когда мы складываем бесконечное число слагаемых, разве мы не вправе ожидать, что и ответ будет бесконечен? То, что это не всегда так, легко проиллюстрировать.

Возьмем линейку, на которой делениями отмечены четверти, восьмые, шестнадцатые и т.д. (чем дальше, тем лучше — я изобразил линейку, на которой отмечены доли в одну шестьдесят четвертую). Поставим остро заточенный карандаш у самого первого деления на линейке — нуля. Подвинем карандаш на один дюйм вправо. Теперь карандаш указывает на деление, обозначающее один дюйм, а переместили карандаш мы также на один дюйм (рис. 1.7).

Рисунок 1.7.

Вслед за тем сдвинем карандаш вправо еще на полдюйма (рис. 1.8).

Рисунок 1.8.

Далее сдвинем еще на четверть дюйма вправо, потом на восьмую часть дюйма, потом на шестнадцатую, на тридцать вторую и на шестьдесят четвертую. Где теперь находится карандаш, видно на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9.

А полное расстояние, на которое переместился карандаш, равно

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64

что, как нетрудно посчитать, составляет 1^63/64. Понятно, что если продолжать в том же духе, то мы всякий раз будем оказываться все ближе и ближе к двухдюймовой отметке. Точно на нее мы никогда не попадем, но нет предела тому, насколько близко к ней можно подобраться. Можно приблизиться менее чем на миллионную долю дюйма, можно на триллионную; или на триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллионную. Этот факт выражается таким образом:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + … = 2. (1.1)

Здесь имеется в виду, что слева от знака равенства выполняется суммирование бесконечного числа членов.

Важно осознать разницу между гармоническим рядом и этим новым рядом. В случае гармонического ряда сложение бесконечного числа слагаемых дало бесконечный результат. Здесь же сложение бесконечного числа слагаемых дает ответ 2. Гармонический ряд расходится. Наш новый ряд сходится.

В гармоническом ряде есть свое очарование, и он имеет прямое отношение к главной теме данной книги — Гипотезе Римана. Но вообще-то математиков больше интересуют сходящиеся ряды, нежели расходящиеся.

V.

Предположим теперь, что вместо того, чтобы передвигаться направо на один дюйм, потом на полдюйма, потом на четверть дюйма и т.д., мы будем менять направление: дюйм вправо, полдюйма влево, четверть дюйма вправо, одна восьмая дюйма влево… После семи шагов мы попадем в точку, показанную на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10.

С математической точки зрения сдвиг налево означает сдвиг направо на отрицательную величину, и поэтому наши передвижения выражаются такой суммой:

1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + 1/16 − 1/32 + 1/64,

что на самом деле равно 43/64. В действительности несложно доказать — и мы это сделаем в одной из последующих глав, — что если продолжать прибавлять и вычитать до бесконечности, то результат будет таким:

1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + 1/16 − 1/32 + 1/64 − 1/128 + … = 2/3. (1.2)

VI.

Теперь представим себе, что вместо линейки с делениями, обозначающими половины, четверти, восьмые, шестнадцатые и т.д. доли дюйма, в руках у нас линейка с делениями в третьи, девятые, двадцать седьмые, восемьдесят первые и т.д. доли. Другими словами, вместо половинок, половин от половин, половин от половин от половин… у нас нанесены трети, трети от третей, трети от третей от третей и т.д. Будем теперь упражняться в том же, что и раньше, — переносить карандаш сначала на дюйм, потом на треть дюйма, потом на одну девятую, потом на одну двадцать седьмую (рис. 1.11).

Рисунок 1.11.

Совсем несложно убедиться, что если продолжать такую операцию до бесконечности, то получится полная сумма в 1^1/2 дюйма. Другими словами,

1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729 + 1/2187 + … = 1^1/2. (1.3)

А можно, конечно, и на нашей новой линейке менять направление движения: направо на дюйм, налево на треть, направо на одну девятую, налево на одну двадцать седьмую и т.д. (рис. 1.12).

Рисунок 1.12.

Соответствующая арифметика, возможно, не так уж прозрачна, но, как бы то ни было, результат имеет вид

1 − 1/3 + 1/9 − 1/27 + 1/81 − 1/243 + 1/729 − 1/2187 + … = 3/4. (1.4)

Итак, у нас имеются четыре сходящихся ряда: первый (1.1) подкрадывается слева все ближе и ближе к 2, второй (1.2) приближается к 2/3 попеременно то слева, то справа, третий (1.3) подбирается слева все ближе и ближе к 1^1/2, а четвертый (1.4) приближается к 3/4 попеременно то слева, то справа. А перед этим мы познакомились с одним расходящимся рядом — гармоническим.

VII.

При чтении математической литературы полезно знать, в какой области математики вы находитесь — какую часть из этого обширного предмета изучаете. Та область, где обитают бесконечные ряды, в математике называется анализом[2]. Обычно считается, что анализ занимается изучением бесконечного, т.е. бесконечно большого и бесконечно малого (инфинитезимального). Когда Леонард Эйлер — о котором будет много всего сказано ниже — в 1748 году опубликовал свой превосходный первый учебник по анализу, он назвал его просто Introductio in analys in infinitorum — «Введение в анализ бесконечного».

Однако понятия бесконечного и инфинитезимального привели в начале XIX века к возникновению серьезных проблем в математике и в конце концов были полностью сметены с дороги в ходе большой реформы математики. В современный анализ эти концепции не допускаются.{A1} Но они застряли в словарном запасе математиков, и в этой книге я нередко буду использовать слово «бесконечность». Надо только помнить, что оно представляет собой просто удобное и выразительное сокращение для более строгих понятий. Каждое математическое утверждение, где присутствует слово «бесконечность», можно переформулировать, не используя этого слова.

Когда мы говорим, что сумма гармонического ряда равна бесконечности, на самом деле имеется в виду, что если задаться сколь угодно большим числом S, то сумма гармонического ряда[3] рано или поздно превысит S. Видите? Никаких «бесконечностей». Во второй трети XIX века анализ был целиком переписан на языке подобного рода. Если какое-то выражение нельзя переписать таким образом, то оно не допускается в современную математику. Далекие от математики люди иногда меня спрашивают: «Раз вы знаете математику, ответьте на вопрос, который меня всегда занимал: сколько будет бесконечность разделить на бесконечность?» На это я могу ответить только: «Вы произносите слова, которые не имеют никакого смысла. Это не математическая фраза. Вы говорите о „бесконечности“ так, как если бы это было число. Но это не число. С таким же успехом вы могли бы спросить „Сколько будет истина разделить на красоту?“ Я ничего не могу по этому поводу сказать. Я умею делить только числа, а „бесконечность“, „истина“, „красота“ — это не числа».

Каково же тогда современное определение анализа? Для наших целей, как мне кажется, подойдет такое определение: это изучение пределов. Понятие предела лежит в основе анализа. Например, все дифференциальное и интегральное исчисление, составляющее наиболее значительную часть анализа, основано на понятии предела.

Рассмотрим такую числовую последовательность: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, …. Каждая следующая дробь получена из предыдущей по простому правилу: новый знаменатель равен сумме старого числителя и старого знаменателя, а новый числитель равен сумме старого числителя и удвоенного старого знаменателя. Эта последовательность сходится к квадратному корню из числа 2. Например, возведение в квадрат числа 3363/2378 дает 11309769/5654884, что равно 2,000000176838287…. Говорят, что предел этой последовательности равен √2.

Рассмотрим еще один пример последовательности: 4/1, 8/3, 32/9, 128/45, 768/225, 4608/1575, 36864/11025, 294912/99225, …. Здесь N-й член последовательности получается так: если N четно, то умножаем предыдущий член на N/(N + 1), а если N нечетно, то умножаем предыдущий член на (N + 1)/N. Такая последовательность сходится к числу π. Последняя из приведенных дробей равна 2,972154… (данная последовательность сходится очень медленно).[4] А вот еще пример: 1^1, (1^1/2)2, (1^1/3)3, (1^1/4)4, (1^1/5)5, … — эта последовательность сходится к числу, которое примерно равно 2,718281828459. Это необычайно важное число, и мы будем использовать его в дальнейшем.

Стоит заметить, что приведенные только что примеры — это примеры последовательностей, т.е. наборов чисел, записанных через запятую. Это не ряды, члены которых надо складывать. Но с точки зрения анализа ряд — это все-таки слегка замаскированная последовательность. Утверждение «ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … сходится к 2» математически эквивалентно такому утверждению: «последовательность 1, 1^1/2, 1^3/4, 1^7/8, 1^15/16, 1^31/32, … сходится к 2». Четвертый член этой последовательности представляет собой сумму первых четырех членов ряда и т.д. (Название последовательности такого типа на математическом языке — последовательность частичных сумм данного ряда.) Аналогично, утверждение «гармонический ряд расходится» эквивалентно утверждению «последовательность 1, 1^1/2, 1^5/6, 2^1/12, 2^17/60, 2^27/32, … расходится». В этой последовательности N-й член равен предыдущему плюс 1/N.

Все это относится к анализу, т.е. к изучению пределов — того, как именно числовая последовательность может приближаться к некоторому предельному числу, никогда точно его не достигая. Когда говорится, что последовательность продолжается неограниченно, имеется в виду, что, сколько бы членов мы уже ни выписали, всегда можно написать следующий. Когда говорится, что последовательность имеет предел, равный a, имеется в виду, что, какое бы малое число x мы ни взяли, начиная с некоторого момента каждый член последовательности будет отличаться от a на величину, меньшую, чем выбранное x. А если вы предпочитаете говорить «Последовательность стремится к бесконечности» или «Предел N-го члена при N, стремящемся к бесконечности, есть a», то вы вправе так выражаться, если вы сами осознаете, что это просто удобная фигура речи.

VIII.

Традиционное деление на дисциплины внутри математики таково.

• Арифметика — наука о целых числах и дробях. Пример теоремы из арифметики: вычитание нечетного числа из четного дает в ответе нечетное число.

• Геометрия — наука о фигурах в пространстве — точках, линиях, кривых, трехмерных объектах. Пример теоремы: сумма углов треугольника на плоскости равна 180 градусам.

• Алгебра — использование абстрактных символов для представления математических объектов (чисел, линий, матриц, преобразований) и изучение правил, по которым эти символы можно комбинировать. Пример теоремы: для любых двух чисел x и y имеет место равенство (x + y)×(x − y) = x^2 − y^2.

• Анализ — наука о пределах. Пример теоремы: гармонический ряд расходится (т.е. неограниченно возрастает).

Кроме этого, в современной математике есть, конечно, много всего другого. Например, в ней есть теория множеств, созданная Георгом Кантором в 1874 году а есть «основания» — раздел, который в 1854 году усилиями англичанина Джорджа Буля отделился от классической логики и в котором исследуются логические основы всех математических концепций. Сами традиционные категории также разрослись и стали включать в себя целые новые темы — геометрия вобрала в себя топологию, алгебра — теорию игр и т.д. Еще до начала XIX века происходило значительное просачивание из одной области в другую. Например, тригонометрия (само слово было впервые употреблено в 1595 году) содержит в себе элементы и геометрии, и алгебры. В XVII веке Декарт арифметизировал и алгебраизировал значительную часть геометрии (правда, чисто геометрические доказательства в стиле Эвклида сохранили свою популярность до наших дней за их ясность, изящество и остроумие).

Как бы то ни было, четырехчленное деление сохраняет свою роль в качестве первоначальной ориентировки в математике. Эта классификация полезна и для понимания одного из величайших завоеваний математики XIX столетия, о котором мы далее будем говорить как о «великом соединении» — привязывании арифметики к анализу, что привело к созданию совершенно новой области исследований — аналитической теории чисел. Позвольте познакомить вас с человеком, который одной только публикацией статьи объемом в восемь с половиной страниц дал жизнь аналитической теории чисел, успешно развивающейся и поныне.

Глава 2. Почва и всходы

I.

О Бернхарде Римане известно немного. Он не оставил никаких документов, позволяющих судить о его внутренней жизни, — за исключением того, что можно почерпнуть из его писем. Его современник и друг Рихард Дедекинд оказался единственным близким к Риману человеком, оставившим подробные воспоминания. Но и они занимают всего 17 страниц и проясняют не так много. Я не могу поэтому даже пытаться охватить в дальнейшем изложении всю личность Римана, но все-таки надеюсь, что читатель вынесет из этого рассказа нечто большее, чем просто имя. В данной главе описание научной деятельности Римана и всего, что с ней связано, сведено к минимуму; об этом мы поговорим более подробно в главе 8.

Сначала опишем время и место жизни нашего героя.

II.

Решив, что Французская революция дезорганизовала нацию и сделала французов в силу пробудившихся в них республиканских и антимонархических идей недееспособными, враги Франции попытались извлечь пользу из сложившейся ситуации. В 1792 году огромные силы, в основном состоящие из австрийских и прусских войск, но включавшие и отряд из 15 тысяч французских эмигрантов, двинулись на Париж. К их удивлению, армия революционной Франции оказала сопротивление, навязав наступавшим артиллерийскую дуэль в густом тумане у деревни Вальми 20 сентября того года. Эдвард Кризи в своем классическом труде «Пятнадцать решающих битв в мировой истории» называет это битвой при Вальми.[5] Немцы называют ее канонадой при Вальми. Под тем или иным именем это событие часто берут за отметку, знаменующую начало серии войн, захлестнувших Европу в последующие 23 года. Эти войны известны как Наполеоновские, хотя есть своя логика в том, чтобы называть их (если бы такое название еще оставалось вакантным) Первой мировой войной, поскольку они в том числе включали столкновения в обеих Америках и на Дальнем Востоке. Когда все в конце концов завершилось мирным договором, выработанным на Венском конгрессе (8 июня 1815 года), Европа перешла в другой долгий (почти в столетие) период — период относительного мира.

Северо-западная Германия после 1815 года. Государство Ганновер состоит из двух частей: ему принадлежат и город Ганновер, и Геттинген. Пруссия состоит из двух больших частей и нескольких более мелких; и Берлин, и Кельн — прусские города. Герцогство Брауншвейгское состоит из трех частей.

Одним из последствий договора явилось некоторое упорядочение ситуации с германскими народами в Европе. До Французской революции говорящий по-немецки европеец мог оказаться подданным или габсбургской Австрии (в этом случае он почти наверняка был бы католиком), или королевства Пруссия (где он с большей вероятностью был бы протестантом) либо жителем одного из трехсот с чем-то мелких княжеств, раскиданных по карте того, что мы сейчас называем Германией. Мог он оказаться и подданным короля Франции или короля Дании либо гражданином Швейцарской конфедерации. («Упорядочение» надо понимать относительно — после него осталась достаточная доля беспорядка, чтобы периодически вызывать войны меньшего масштаба и внести свою лепту в создании предпосылок великих конфликтов XX века.) Австрия сохранила свою империю (включавшую огромное число ненемцев: венгров, славян, румын, чехов и т.д.); в Швейцарии, Дании и Франции при этом оставались те, кто говорил по-немецки. Но все же сделанное было неплохо — для начала. Триста с чем-то административно-государственных единиц, составлявших Германию XVIII столетия, консолидировались в 34 суверенных государства и 4 вольных города, и признанием их культурного единства послужило создание Германского союза.

Крупнейшими германскими государствами оставались Австрия и Пруссия. Население Австрии составляло около 30 миллионов человек, из них лишь 4 миллиона говорили по-немецки. В Пруссии насчитывалось около 15 миллионов подданных, большинство из которых говорило по-немецки. Кроме Австрии и Пруссии только одно германское государство обладало населением более 2 миллионов человек — Бавария. В каждом из четырех оставшихся было менее миллиона жителей: это королевства Ганновер, Саксония, Вюртемберг и Великое герцогство Баден.

Королевство Ганновер было образованием достаточно странным, потому что король в этом королевстве практически отсутствовал. Дело в том, что ввиду сложных династических причин он одновременно являлся королем Англии. Все четыре первых короля, именуемые в Англии «ганноверскими королями», носили имя Георг.[6] Четвертый из них сидел на троне и в 1826 году, когда появился на свет главный герой нашей истории про Гипотезу Римана.

III.

Георг Фридрих Бернхард Риман родился 17 сентября 1826 года в деревушке Брезеленц в выдающемся на восток углу королевства Ганновер. Эта часть королевства известна под названием Вендланд; «венд» — старое немецкое название говорящих по-славянски народов, живших в этих землях. Вендланд был самой западной точкой, достигнутой славянами в ходе великого славянского переселения VI века. Само название «Брезеленц» происходит от слова «береза». Славянские наречия и фольклор сохранились там до Нового времени — философ[7] Лейбниц (1646-1716) поощрял их исследование, однако с самого конца Средневековья в Вендланде постоянно оседало немецкое население, и ко временам Римана это в значительной степени определило его состав.

Вендланд был, да и остается, до некоторой степени захолустьем. В настоящее время это наименее густонаселенный район земли Нижняя Саксония с плотностью населения всего в 110 человек на квадратную милю. Здесь мало промышленных предприятий и больших городов. В прежние времена главным связующим звеном с остальным миром была могучая — шириной около 250 ярдов — Эльба, протекающая всего в 7 милях от Брезеленца. В XIX столетии идущие по Эльбе корабли везли в Гамбург строевой лес и сельскохозяйственную продукцию из Центральной Европы, а на обратном пути загружали уголь и промышленные товары. Недавно, когда Германия в течение нескольких десятилетий была разделена на Восточную и Западную, как раз через Вендланд по Эльбе проходила граница, что ни в коей мере не способствовало развитию региона. Эта равнинная, однообразная местность, на которой фермы перемежаются пустошами, болотами и негустыми лесами, к тому же подвержена наводнениям. Крупное наводнение 1830 года могло оказаться первым значительным событием, вторгшимся из внешнего мира в детство Бернхарда Римана.[8]

Отец Римана Фридрих Бернхард Риман был лютеранским священником и ветераном войн с Наполеоном. Уже в зрелом возрасте он женился на Шарлотте Эбелль. Бернхард, бывший вторым ребенком в семье, испытывал особенно тесную привязанность к своей старшей сестре Иде (свою дочь он назовет этим же именем). За ним родились еще четверо детей — мальчик и три девочки. С точки зрения современного жизненного уровня, который мы склонны воспринимать как само собой разумеющийся, нелегко представить себе тяготы, которые приходилось преодолевать немолодому уже деревенскому священнику ради содержания жены и шестерых детей в бедном и малоразвитом районе на задворках государства в начале XIX столетия. Из шести детей Риманов только Ида прожила достаточно долго. Все остальные умерли рано, одной из причин чего могло быть плохое питание в детстве. Мать Римана также умерла рано, еще до того, как ее дети выросли.

Но даже если не говорить о бедности, то нам, живущим и работающим в странах с современной экономикой, все равно требуется усилие, чтобы представить себе, как в те времена и при тех обстоятельствах сложно было найти работу. За пределами больших городов средний класс практически отсутствовал. Тут и там можно было встретить торговца, пастора, школьного учителя, врача или государственного чиновника, но подавляющее большинство населения, не державшего в собственности землю, представляло собой ремесленников, домашних слуг или крестьян. Единственным достойным занятием для женщин было идти в гувернантки; во всех остальных случаях женщины целиком зависели от мужа или других мужчин в семье.

Когда Бернхард был еще ребенком, его отец получил новый приход в Квикборне, в нескольких милях от Брезеленца и ближе к великой реке. Квикборн и сегодня сонная деревня, состоящая из обшитых деревом домов и в основном немощеных улиц, по краям которых растут мощные старые дубы. Это местечко, еще меньшее, чем Брезеленц, оставалось домом для всей семьи до смерти старшего Римана в 1855 году. Оно было средоточием эмоционального мира Бернхарда практически до тридцатилетнего возраста. При каждой возможности он стремился вернуться туда и побыть в кругу семьи — единственном обществе, где он чувствовал себя легко.

Поэтому, когда мы читаем о жизни Римана, его следует представлять себе на фоне именно этого окружения — окружения родного дома, где он рос и воспитывался, которое он заботливо хранил в себе и вдали от которого тосковал. Равнинная, сырая местность; открытый ветрам, освещаемый лишь керосиновыми лампами и свечами, недостаточно отапливаемый зимой и плохо проветриваемый летом дом; долгие периоды болезней домашних, никто из которых не отличался крепким здоровьем (все, по-видимому, болели туберкулезом); один и тот же узкий круг общения семьи священника в отдаленной деревушке; однообразная пища в утяжеленном варианте и без того тяжелой национальной кухни («В течение длительного времени он страдал хроническими запорами», — пишет Нейеншвандер[9]). Как они все это перенесли? Но они не знали лучшей доли, а простой сердечной привязанности и любви порой достаточно, чтобы участием поддержать человеческий дух среди невзгод.

IV.

Всё это изобилие государств — королевств, княжеств, герцогств и великих герцогств, — составлявших во времена Римана северную Германию, по большей части представляло собой независимые друг от друга образования, каждое из которых проводило свою собственную внутреннюю политику. И в этой аморфной структуре находилось место для гордости за свое государство и для соревнования с соседями.

Во многих аспектах пример подавала Пруссия. Восточные области этого королевства оставались единственным германским государством, сохранившим после поражений 1806-1807 годов по крайней мере некоторую степень независимости от Наполеона. Под давлением постоянно нависающей угрозы пруссаки сконцентрировались на реформе внутренней жизни; в 1809-1810 годах, в частности, под руководством философа, дипломата и лингвиста Вильгельма фон Гумбольдта в Пруссии пересмотрели всю систему среднего образования. Классицист фон Гумбольдт был человеком, жившим в башне из слоновой кости, который однажды сказал: «Alles Neue ekelt mich an» — «Все новое меня отвращает» (его брат Александр был великим путешественником и естествоиспытателем). Но, как ни странно, реформы, проведенные этим закоренелым реакционером, в конце концов превратили образовательную систему в германских государствах в самую передовую в Европе с точки зрения учебного процесса.

В основу образовательной системы была положена десятилетняя гимназия, предназначенная для обучения с десятилетнего до двадцатилетнего возраста. В самом первоначальном виде учебный план в гимназии выглядел следующим образом:

латынь

25 процентов

греческий

16 процентов

немецкий

15 процентов

математика

20 процентов

история и география

10 процентов

естественные науки

7 процентов

религия

7 процентов

Для сравнения, в 1840 году в широко известных английских школах для мальчиков 75-80 процентов учебного времени — 40 часов в неделю — отводилось на изучение классических языков и литературы (Джонатан Гаторн-Харди, «Феномен частных школ»).

В Квикборне не было гимназии, и Риман начал по-настоящему учиться в школе лишь в четырнадцатилетнем возрасте, что соответствовало четвертому классу гимназии. Сама гимназия находилась в городе Ганновере, столице королевства, в 80 милях от Квикборна. Выбор в пользу Ганновера определялся тем, что там жила бабушка Бернхарда по материнской линии, и это позволяло семье Риман сэкономить на плате за проживание. До поступления в гимназию Римана обучал отец при некотором содействии деревенского учителя по фамилии Шульц.

Четырнадцатилетнему Риману пришлось в Ганновере несладко: он был смертельно застенчив и к тому же сильно тосковал по дому. Его единственным внеклассным занятием, насколько нам известно, был поиск доступных ему по карману подарков, которые он посылал на дни рождения родителям, братьям и сестрам. После смерти бабушки в 1842 году ситуация несколько поправилась — Римана перевели в другую гимназию, на этот раз в городе Люнебург. Вот как Дедекинд описывает новое положение дел.

Большая близость к дому и представившаяся в силу этого возможность проводить каникулы вместе с семьей добавили немного счастья в его более поздние школьные годы. Нет сомнения, что путешествия туда и обратно, в основном совершавшиеся пешком, изматывали его физически, как никогда ранее.[10] Его мать, которую, увы, ему скоро предстояло потерять, выражала в своих письмах сильное беспокойство по поводу его здоровья, прибавляя многочисленные сердечные предупреждения, чтобы он избегал слишком больших физических нагрузок.

Не похоже, чтобы Риман был хорошим учеником. При его складе ума он мог сосредоточиваться только на вещах, которые он находил интересными; по большей части это была математика. Кроме того, он был перфекционистом, для которого скрупулезность в написании безупречного сочинения была важнее срока, в который он это сочинение напишет. Чтобы подтянуть его в плане школьных занятий, директор устроил так, что Риман поселился вместе с учителем древнееврейского языка по фамилии Зеффер или Зайфер. Заботами этого господина Риман настолько улучшил успеваемость, что в 1846 году его приняли в Геттингенский университет на богословский факультет. Предполагалось, что он станет священником, как и его отец.

V.

Геттингенский университет был единственным университетом в области юрисдикции Ганноверской церкви, так что это был вполне естественный выбор. Название «Геттинген» будет постоянно возникать на протяжении всей этой книги, поэтому несколько слов о его истории будут нелишними. Геттингенский университет был основан в 1734 году Георгом II Английским (который являлся курфюрстом Ганновера[11]) и быстро попал в число лучших германских провинциальных университетов; в 1823 году в нем обучалось более 1500 студентов.

Однако 1830-е годы были тревожным временем. Из-за политических волнений, затронувших как студентов, так и профессоров, в 1834 году число обучающихся упало до цифры менее чем в 900 человек. Три года спустя ситуация достигла критической стадии, а Геттинген стал известен на всю Европу. В 1837 году король Англии и Ганновера Вильгельм IV умер, не оставив законного наследника, и английский трон перешел к его племяннице Виктории. Ганновер, однако, придерживался салических законов средневековых франков, по которым трон мог наследовать только потомок мужского пола. На этом Англия и Ганновер расторгли взаимные объятия. Новым правителем Ганновера стал Эрнст-Август, старший из здравствовавших потомков Георга III.

Эрнст-Август был большим реакционером. Его первым актом стала отмена либеральной конституции, пожалованной за четыре года до этого Вильгельмом IV. Семь видных профессоров Геттингенского университета отказались принести присягу в поддержку новой конституции и были уволены. Троих из них даже изгнали за пределы королевства. Уволенные ученые, известные как «геттингенская семерка», стали героями среди социальных и политических реформаторов по всей Европе.[12] К уволенным относились и двое братьев Гримм, прославившихся своими сказками; они были серьезными кабинетными учеными-филологами.

В ходе перемен, последовавших за прокатившимися по Европе волнениями и переворотами 1848 года, Ганновер получил новую либеральную конституцию. По крайней мере один из «геттингенской семерки», физик Вильгельм Вебер, был восстановлен в должности. Университет вскоре вернул себе свой былой блеск и в конце концов, как мы увидим, стал знаменитым центром знаний. Но когда Бернхард Риман появился там в 1846 году, этот подъем еще не наступил. Риману Геттингенский университет представился местом, находящимся в состоянии упадка, поскольку число студентов еще не выровнялось после событий девятилетней давности.

Тем не менее одно существенное обстоятельство делало Геттинген привлекательным местом для молодого Римана. Геттингенский университет был университетом Карла Фридриха Гаусса, величайшего математика своего времени (а возможно, и всех времен).[13]

Когда Риман прибыл в Геттинген, Гауссу было 69 лет. Его лучшие работы были уже сделаны, а преподавал он немного, относясь к преподаванию как к пустой трате времени. Однако его присутствие в любом случае должно было произвести впечатление на Римана, который к этому моменту уже заразился вирусом математики. Известно, что Риман ходил на лекции Гаусса по линейной алгебре и на лекции Морица Штерна по теории уравнений. В какой-то момент в течение академического 1846-47 года Риман, по-видимому, признался отцу, что его куда более интересует математика, нежели теология; отец, судя по всему, бывший добрым родителем, признал сделанный сыном выбор жизненного поприща. Так Бернхард Риман стал математиком.

VI.

О личности Римана в зрелом возрасте до нас дошло очень немногое. Основным источником служат короткие воспоминания Дедекинда, уже упоминавшиеся в начале главы. Эти воспоминания, написанные спустя 10 лет после смерти их героя, были напечатаны в качестве дополнения к первому изданию «Собрания трудов» Римана (однако, насколько мне известно, они так и не были переведены на английский).[14] Я существенно опирался на эти воспоминания, так что многие утверждения и в этой главе, и в главе 8 должны были бы сопровождаться словами «согласно Дедекинду», о чем читателю следует постоянно помнить. Хотя Дедекинд мог, разумеется, ошибаться фактологически, он имел самые большие основания претендовать на то, чтобы считаться Риману другом. Он был прямым и честным человеком, и мне никогда не встречалось никаких намеков на то, что он писал о своем герое как-то иначе, нежели скрупулезно излагая истину, за единственным и объяснимым исключением, о котором будет сказано чуть ниже. Другие доступные источники — это личные письма Римана, многие из которых сохранились, а также случайно зафиксированные комментарии студентов и коллег.

Всё вместе говорит нам следующее.

1. Риман был чрезвычайно застенчивым человеком. Он избегал человеческих контактов настолько, насколько это удавалось, и неуютно чувствовал себя в кругу других людей. Его единственные близкие привязанности — а они были и правда очень близкими — концентрировались в семье, а какие бы то ни было другие связи, если и возникали, касались математики и математиков. Когда он находился вдали от семьи, от дома отца в его приходе Квикборн, он страдал от тоски.

2. Он был очень набожным, в духе немецкого протестантизма (Риман был лютеранином). По его убеждению, суть религии, если буквально переводить с немецкого, как об этом пишет Дедекинд, заключалась в том, чтобы «ежедневно ответствовать за себя пред лицом Господа».

3. Он глубоко размышлял о философии и рассматривал свою работу в сфере математики в более широком философском контексте.

4. Он был ипохондриком, как в старом, так и в новом понимании этого слова. (Раньше оно стояло в ряду синонимов к выражению «подверженный депрессиям».) Дедекинд избегает этого слова, вероятно, из-за уважения к чувствам вдовы Римана, которая очень не хотела, чтобы ипохондрия Римана стала широко известной. Тем не менее Дедекинд ясно дает понять, что Риман был подвержен наплывам очень глубокой печали, в особенности после смерти своего отца, которого он боготворил. Способом справиться с этим для Римана было погружение в работу.

5. Он никогда не отличался хорошим здоровьем; особенно разрушительное влияние на него оказали долгие годы лишений, которым в той стране и в те времена бедному человеку приходилось подвергать себя, если он намеревался получить высшее образование.

Есть соблазн воспринимать Римана как довольно унылую личность, при этом несколько патетического склада. Но это означало бы, что мы принимаем во внимание лишь внешние черты и манеры. Под внешностью застенчивого и неуверенного в себе человека скрывался блестящий и потрясающе дерзкий ум. Сколь бы робким и вялым ни казался этот человек тем, кто эпизодически с ним встречался в обыденной жизни, в математике Риман демонстрировал бесстрашный размах и энергию, свойственные кампаниям Наполеона. Его математические друзья и коллеги, разумеется, знали об этом и относились к нему с почтением.

В связи с Риманом мне вспоминается один эпизод из романа Сомерсета Моэма «Луна и грош», основанного на жизни художника Гогена. Герой Моэма, подобно Гогену, умирает от проказы в хижине на острове в Тихом океане, куда он удалился в поисках своего видения искусства. Узнав, что тот умирает, местный доктор приходит в его хижину. Это бедная лачуга, убогая и полуразвалившаяся. Но, переступив порог, доктор в изумлении обнаруживает, что изнутри стены с пола до потолка завешаны великолепными, волшебной красоты картинами. Риман подобен той хижине: на взгляд извне он был достоин жалости; внутри же он сиял ярче солнца.

VII.

В области высшего образования реформы Вильгельма фон Гумбольдта в течение некоторого времени давали положительные результаты только в столице Пруссии Берлине. Положение в других немецких университетах оставалось таким, как оно описано у Генриха Вебера в предисловии к «Собранию трудов» Римана:

Университеты и смысл их существования воспринимались их коронованными покровителями как место для подготовки юристов и врачей, учителей и проповедников, а также место, где сыновья знати и богачей могли бы проводить время ярко и со вкусом.

И действительно, реформы фон Гумбольдта временно оказали на немецкое высшее образование негативный эффект. Они привели к повышению спроса на квалифицированных учителей старших классов, а единственным способом удовлетворить этот спрос была подготовка этих учителей в университетах. Даже великий Гаусс в 1846-1847 годах читал в Геттингенском университете в основном элементарные курсы. В поисках более серьезных возможностей Риман перевелся в Берлинский университет. Два года, проведенные в этом учреждении, где наставниками были лучшие математические умы Германии, подвели Римана к полной математической зрелости.

(Читая эту главу, как и другие исторические главы, посвященные той эпохе, следует отдавать себе отчет: до того как в Европе благодаря Наполеону — впрочем, в некоторых странах даже еще позже — произошла переоценка ценностей, существовало четкое различие между университетами, назначение которых состояло в обучении и подготовке к тому, что считалось необходимым для думающей элиты в данной стране, и научными академиями и обществами, созданными для проведения исследований. Эти же исследования в основном, с большими или меньшими вариациями в зависимости от места, времени и наклонностей правителя, были ориентированы на практическую пользу для государства. Учреждения, подобные Берлинскому университету (основанному в 1810 году), где велась некоторая исследовательская работа, или Санкт-Петербургской академии наук на раннем этапе ее существования, были редким исключением из этого общего правила. Берлинская академия наук, где Гипотезе Римана предстояло впервые увидеть свет, была чисто исследовательским учреждением, построенным по образцу Королевского общества в Англии.)

Нам не известно практически ничего о бытовой стороне жизни Римана в берлинский период, жизни за пределами его математических занятий. Дедекинд сообщает только об одном достойном упоминания инциденте. В марте 1848 года берлинская толпа, разгоряченная февральской революцией в Париже, вышла на улицы, требуя объединения германских государств в единую империю. Возводились баррикады, солдаты пытались их снести, пролилась кровь. Прусским королем в то время был Фридрих-Вильгельм IV, несколько мечтательный и отрешенный от мира человек, находившийся под сильным воздействием идей романтизма, с сентиментальными воззрениями относительно своего народа и с представлениями об идеальном государстве как о патерналистской монархии. Во время кризиса он показал свою полную несостоятельность, отправив армию назад в казармы и оставив дворец незащищенным до того, как бунтовщики были рассеяны. Студенты университета образовали верные власти караульные отряды для защиты короля, и Риман нес службу в таком карауле с 9:00 одного дня до часа следующего дня, т.е. в общей сложности 28 часов.

По возвращении в Геттинген в 1849 году Риман начал работу над диссертацией, которую он защитил через два года, в возрасте 25 лет; диссертация была посвящена теории функций комплексной переменной. Через три года после этого он начал преподавание в Геттингене, а в 1857 году получил место экстраординарного профессора, что было его первой должностью, на которой ему платили постоянное жалованье. (Обычно предполагалось, что лекторы обходятся тем, что платят за обучение студенты, — столько студентов, сколько лектору удастся привлечь на свои лекции. Должность эта называлась Privatdozent — буквально «частный преподаватель».)

Если пользоваться языком, употребительным в современных биографиях знаменитостей, то 1857 год следует также назвать «годом прорыва» Римана. Его диссертация 1851 года ныне рассматривается как классический математический труд XIX столетия, но в момент своего появления она не привлекла большого внимания, несмотря на энтузиазм, который выказал Гаусс. Другие работы, написанные Риманом в начале 1850-х годов, не получили широкой известности и были опубликованы в доступном для публики виде только после его смерти. Относительная известность, которую он вообще приобрел, пришла к нему благодаря содержанию его лекций, но и тут таилась сложность: значительная часть этого содержания слишком опережала время, чтобы ее должным образом оценили. Однако в 1857 году Риман опубликовал работу по анализу, немедленно получившую признание как существенный вклад в эту науку. Она называлась «Теория абелевых функций».[15] В ней он обратился к актуальным проблемам, применив остроумные и новаторские методы. За год или два его имя стало известно математикам по всей Европе. В 1859 году он стал ординарным профессором[16] в Геттингенском университете; эта должность наконец принесла ему достаточные средства, чтобы жениться. Женился он три года спустя на Элизе Кох, подруге своей старшей сестры.

11 августа того же 1859 года, незадолго до своего 33-летия, Бернхард Риман стал членом-корреспондентом Берлинской академии наук. Основанием для принятия его в ряды академии послужили те две единственные работы Римана, которые пользовались известностью, — диссертация 1851 года и работа 1857 года по абелевым функциям. Избрание в члены Берлинской академии наук было огромной честью для молодого математика. По традиции, новоизбранный член представлял в академию оригинальную работу по теме своих исследований. Работа, которую представил Риман, называлась «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse).

Математика после этого уже никогда не была прежней.

Глава 3. Теорема о распределении простых чисел

I.

Итак, сколько же имеется простых чисел, не превышающих некоторую заданную величину? Очень скоро мы это узнаем, но сначала — пятиминутное повторение на тему простых чисел.

Возьмем положительное целое число — для примера, 28. Какие числа делят его нацело? Ответ таков: 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Эти числа называются делителями числа 28. Будем говорить, что «28 имеет шесть делителей».

Разумеется, каждое число делится на 1; и каждое делится само на себя. Так что единица и само число — не слишком интересные делители. Если использовать слово, которое математики очень любят, — это «тривиальные» делители. Интересные же делители в нашем случае — это 2, 4, 7 и 14. О них говорят как о собственных делителях.

Получаем, что у числа 28 четыре собственных делителя. Но у числа 29 собственных делителей нет вовсе. Ничто не делит число 29 нацело, кроме, конечно, 1 и 29. Это — простое число. Простое число — это такое, у которого нет собственных делителей.

Приведем все простые числа, не превосходящие 1000.

2   3   5   7  11  13  17  19

23  29  31  37  41  43  47  53

59  61  67  71  73  79  83  89

97 101 103 107 109 113 127 131

137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223

227 229 233 239 241 251 257 263

269 271 277 281 283 293 307 311

313 317 331 337 347 349 353 359

367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431 433 439 443 449 457

461 463 467 479 487 491 499 503

509 521 523 541 547 557 563 569

571 577 587 593 599 601 607 613

617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719

727 733 739 743 751 757 761 769

773 787 797 809 811 821 823 827

829 839 853 857 859 863 877 881

883 887 907 911 919 929 937 941

947 953 967 971 977 983 991 997

Как видно, их 168. В этот момент обычно раздаются возражения, что в список простых чисел не включена единица. Разве единица не удовлетворяет определению? Ну, строго говоря, да — удовлетворяет, и закоренелые педанты могут для своего собственного удовлетворения вписать «1» в начало списка. Однако включение 1 в список простых чисел — серьезная помеха, и современные математики по взаимному согласию этого просто не делают. (Последним из крупных математиков, кто такое делал, был Анри Лебег в 1899 году.) На самом деле даже включение двойки — тоже помеха; однако присутствие 2 в конце концов себя окупает, а присутствие 1 — нет, так что мы ее выбрасываем, и все.

Если посмотреть на список простых чисел повнимательнее, то станет заметно, что они скудеют по мере продвижения вперед по списку. Между 1 и 100 имеется 25 простых; между 401 и 500 их 17; а между 901 и 100 — всего 14. Как видно, число простых в каждом блоке из сотни чисел убывает. Если бы мы продлили список, включив в него все простые числа до миллиона, то обнаружилось бы, что в последнем блоке из сотни чисел (т.е. среди чисел от 999 901 до 1000 000) всего лишь восемь простых. А если продлить до триллиона, то в последнем блоке из сотни чисел нашлись бы только четыре простых (конкретно, они таковы: 999 999 999 937, 999 999 999 959, 999 999 999 961 и 999 999 999 989).

II.

Возникает естественный вопрос: истощатся ли рано или поздно простые числа до конца? Если продолжить список до триллионов триллионов или до триллионов триллионов триллионов триллионов, то дойдем ли мы в конце концов до точки, за которой простых чисел больше нет, так что последнее простое, встреченное нами по пути, окажется наибольшим простым числом?

Ответ на это около 300 года до P.X. дал Эвклид. Нет, простые числа не истончаются до конца. Всегда найдутся еще. Нет наибольшего простого числа. Сколь большое простое число вы бы ни взяли, всегда найдется еще большее. Простые числа продолжаются без конца. Доказательство: пусть число N — простое. Образуем такое число: (1×2×3×…×N) + 1. Оно не делится нацело ни на одно из чисел от 1 до N — в остатке всегда будет единица. Значит, или оно не имеет собственных делителей (и, следовательно, является простым числом, превосходящим N), или же наименьший из его простых делителей — некоторое число, превосходящее само N. Этим результат и доказан, поскольку наименьший собственный делитель любого числа с необходимостью является простым, ведь иначе в нем в свою очередь нашелся бы меньший делитель. Скажем, если N есть 5, то 1×2×3×4×5 + 1 есть 121, и наименьший простой делитель этого числа равен 11. С какого бы простого числа вы ни начали, вы получите большее простое. (Другое доказательство бесконечности числа простых чисел я дам в главе 7.iv, после того как покажу вам Золотой Ключ.)

При том что этот вопрос удалось урегулировать на столь раннем этапе истории математики, следующей по очереди вещью, естественным образом занимавшей головы математиков, была такая проблема: можно ли найти правило, закон для описания того, как именно истончаются простые числа? В пределах сотни имеется 25 простых чисел. Если бы простые числа были распределены строго равномерно, то, разумеется, в пределах тысячи их было бы в 10 раз больше, т.е. 250. Но из-за истончения там в действительности только 168 простых. Почему 168? Почему, скажем, не 158, или 178, или еще сколько-нибудь? Существует ли правило, формула, говорящая, сколько имеется простых чисел, меньших данного числа?

Вот мы и пришли к тому вопросу, с которого, как и Бернхард Риман, мы начали: сколько имеется простых чисел, меньших заданного числа?

III.

А что мы можем выяснить, действуя «от готового»? Я на самом деле знаю ответы на последний вопрос для довольно внушительных чисел. Некоторые из них показаны в таблице 3.1.

N

Сколько простых, меньших, чем N?

1 000

168

1 000 000

78 498

1 000 000 000

50 847 534

1 000 000 000 000

37 607 912 018

1 000 000 000 000 000

29 844 570 422 669

1 000 000 000 000 000 000

24 739 954 287 740 860

Таблица 3.1.

Здорово, конечно, но на самом деле не слишком информативно. Да, простые числа истончаются. Если бы они продолжали появляться в том же темпе, что и в первой тысяче, где их 168, то в последней графе их было бы что-то около 168 000 000 000 000 000. Но там в действительности лишь одна седьмая этого значения.

Сейчас я покажу фокус, который прольет немного света на эту туманную картину. Но сначала два слова о функциях.

IV.

Двухколоночная табличка вроде таблицы 3.1 иллюстрирует понятие функции. «Функция» — одна из важнейших концепций во всей математике, вторая или третья по значимости, на мой взгляд, после «числа» и, возможно, «множества». Основная идея функции состоит в том, что некоторое число (из правой колонки) зависит от другого числа (из левой колонки) в соответствии с некоторым заданным законом или процедурой. Конкретно для таблицы 3.1 процедура такова: «Посчитать, сколько имеется простых чисел в пределах, определяемых числом в левой колонке».

Другой способ сказать то же самое таков: функция — это способ превратить (математики говорят «отобразить») число в другое число. Функция в таблице 3.1 согласно выбранной процедуре превращает, или отображает, число 1000 в число 168.

Профессиональные термины здесь таковы. Поскольку слишком утомительно постоянно произносить слова «число в левой колонке» и «число в правой колонке», математики говорят о них соответственно как об «аргументе» и «значении» (или «значении функции»). Итак, суть дела во всякой функции — это получить значение по заданному аргументу, следуя некоторому правилу или процедуре.

И еще один ключевой профессиональный термин. Бывает, что правило, на котором основано определение функции, можно применить к одним числам или к одному типу чисел, но не к другим или другому. Скажем, правило «вычесть из аргумента единицу и взять обратное число» определяет весьма уважаемую функцию — математик сказал бы, что это функция 1/(1 − x), и мы довольно плотно с ней познакомимся в главе 9.iii, — но это правило нельзя применить к аргументу 1, поскольку такая попытка повлекла бы за собой деление на нуль, чего в математике не разрешается. (Нет никакого толка спрашивать: «А что если я попробую?» Нельзя, и все. Это против правил. Если вы попытаетесь, то игра остановится и все вернется в последнюю разрешенную позицию.)

В качестве другого примера рассмотрим функцию, действующую по правилу «посчитать, сколько делителей имеет аргумент». Мы видим, что число 28 имеет шесть делителей (будем сейчас включать и тривиальные делители тоже), а 29 — только два. Значит, данная функция превращает 28 в 6, а 29 (как и любое другое простое число) в 2. Это еще одна уважаемая и полезная функция, как правило, обозначаемая как d(N). Однако эта функция осмысленна только для целых чисел — и даже только для положительных целых чисел. Сколько делителей у числа 12^7/8? Сколько делителей у числа π? Не спрашивайте. Эта функция — не для них.

Относящийся сюда профессиональный термин — это «область определения». Область определения какой-нибудь функции — это те числа, которые она допускает в качестве аргумента. Функция 1/(1 − x) допускает в качестве аргумента все числа, кроме 1. Функция d(N) допускает в качестве аргумента любое положительное целое число; это и есть ее область определения. Область определения функции √x — все неотрицательные числа, поскольку из отрицательных извлекать квадратный корень нельзя (впрочем, по этому поводу я оставляю за собой право передумать далее по тексту).

Некоторые функции допускают все числа в свою область определения. Функция возведения в квадрат x^2, например, применима к любому числу. Любое число можно возвести в квадрат (т.е. умножить само на себя). То же верно и для полиномиальных функций (другими словами, многочленов) — т.е. функций, значения которых получаются сложением и вычитанием степеней аргумента. Примером полиномиальной функции может служить 3x^5 + 11x^3 − 35x^2 − 7x + 4. Область определения полиномиальной функции — все числа. Это обстоятельство сыграет свою роль в главе 21.iii. Но наиболее интересные функции имеют определенные ограничения на свою область определения: или возникают какие-то значения аргумента, при которых правило не действует (обычно из-за того, что пришлось бы делить на нуль), или же правило вообще применимо только к определенному классу чисел.

Важно понимать, что табличка, подобная таблице 3.1, — это только модель функции. Сколько имеется простых чисел, меньших числа 31 556 926? Можно было бы ответить, внедряя в табличку дополнительные строки, но с учетом моего намерения удержать число страниц этой книги в некоторых разумных пределах имеется, очевидно, ограничение на то, сколько строк я могу вставить. Приведенная таблица — не более чем модель функции, ее «моментальный снимок», сделанный при определенных аргументах (выбранных с некоторым дальним прицелом).

На самом деле обычно не существует хорошего способа показать функцию во всей ее красе. Иллюстрировать какие-то конкретные свойства функции иногда помогает график, но в данном случае он достаточно бесполезен. Если вы попытаетесь изобразить содержимое таблицы 3.1 в виде графика, вы быстро поймете, что я имею в виду. Усилия по построению графика дзета-функции, которые будут предприняты в главе 9.iv, прояснят этот момент. Математики обычно получают некоторое общее представление о конкретной функции, тесно работая с ней в течение достаточно длительного времени, наблюдая при этом за всеми ее свойствами и особенностями. С помощью таблицы или графика не часто удается охватить функцию целиком.

V.

Еще о функциях надо заметить, что наиболее важные из них носят имена. А действительно важные обозначаются специальными символами. Функция, модель которой приведена в таблице 3.1, носит имя «функции числа простых чисел» и обозначается символом π(N), что читается как «пи от эн».

Знаю, знаю — может возникнуть путаница. Ведь π — это отношение длины окружности к ее диаметру, то самое невыразимое

3,14159265358979323846264….

Но новое использование символа π не имеет к этому числу ровно никакого отношения. В греческом алфавите всего 24 буквы, и к тому времени, как математики собрались дать имя этой функции (лично ответственный за это — Эдмунд Ландау, который ввел такое обозначение в 1909 году, — см. главу 14.iv), все 24 буквы уже были порядком израсходованы, и пришлось пустить их по кругу. Мне жаль, что так получилось, но это не моя вина. Данное обозначение в настоящий момент является абсолютно стандартным, так что его придется терпеть.

(Если вы хоть раз занимались мало-мальски серьезным программированием на компьютере, то вам знакома концепция перегрузки символа. Использование буквы π для двух совершенно различных целей есть некоторое подобие перегрузки этого символа.)

Итак, функция π(N) определена как число простых чисел до N (включая само N, хотя это довольно редко имеет значение, и я не буду особенно следить за употреблением выражений «меньших, чем» и «не превышающих»). Но вернемся к нашему основному вопросу: есть ли какое-нибудь правило, какая-нибудь изящная формула, которая даст нам значение π(N), избавив от необходимости заниматься счетом?

Позвольте мне устроить небольшой фокус с таблицей 3.1. Я поделю первую колонку на вторую — аргументы на значения. Я не гонюсь за безумной точностью. И вообще буду пользоваться карманным калькулятором за 6 долларов, с которым я хожу в супермаркет. Вот что получается: 100 разделить на 168 даст 5,9524; 1 000 000 разделить на 78 498 даст 12,7392. Еще четыре результата подобного же вычисления дают нам таблицу 3.2.

N

N/π(N)

1 000

5,9524

1 000 000

12,7392

1 000 000 000

19,6665

1 000 000 000 000

26,5901

1 000 000 000 000 000

33,5069

1 000 000 000 000 000 000

40,4204

Таблица 3.2.

Посмотрим пристально на эти значения. Они всякий раз возрастают на 7. Точнее, на число, которое болтается между 6,8 и 7,0. Может, вам это и не кажется чем-то особенно чудесным, но когда математик видит такую таблицу, над головой у него ярко вспыхивает лампочка и определенное слово приходит ему на ум. Позвольте объяснить.

VI.

Имеется определенное семейство функций, которые страшно важны в математике, — показательные функции. Не исключено, что вы о них кое-что знаете. Их еще называют «экспоненциальными», и это слово проникло из математики в обычный язык. Мы все надеемся, что наши деньги, вложенные в инвестиционные фонды, будут расти экспоненциально — другими словами, быстрее и быстрее.

С принятой нами точки зрения — иллюстрирования функций двухколоночными таблицами типа таблицы 3.1 — можно нестрого определить показательную функцию следующим образом. Если взять набор значений аргумента так, чтобы при переходе от строки к строке они росли как результат регулярного сложения, и если при этом окажется, что получающиеся значения функции растут как результат регулярного умножения, то перед нами — показательная функция. Слово «регулярный» здесь означает, что происходит прибавление одного и того же числа или умножение на одно и то же число.

Рассмотрим пример. Возьмем правило «вычислить 5×5×5×5×… — выражение, содержащее N пятерок».

N

5N

1

5

2

25

3

125

4

635

Видите, как аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, в то время как значения каждый раз увеличиваются путем умножения на 5? Это показательная функция. Аргументы увеличиваются «по сложению», а значения — «по умножению».

Я для удобства выбрал вариант, когда аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, и буду придерживаться его и далее. Для данной конкретной функции это приводит к умножению аргумента на 5. Разумеется, в числе 5 нет ничего специального. Можно было бы выбрать функцию, в которой множитель равен 2, или 22, или 761, или 1,05 (что, кстати, дало бы таблицу накопления сложных процентов при ставке в 5%), или даже 0,5. В каждом из случаев мы получим показательную функцию. Вот почему я сказал, что имеется некоторое «семейство функций».

Еще один термин, который математики обожают, — «канонический вид». В ситуации, подобной данной, когда имеется явление (в нашем случае — показательная функция), которое может проявляться многими различными способами, есть, вообще говоря, один способ, которым математики желают представить все явление. В данном случае вот какой. Есть одна показательная функция, которую математики предпочитают всем остальным. Если бы вы принялись угадывать, то, наверное, предположили бы, что это та функция, в которой множителем является число 2 — самое простое в конце концов, на что можно умножить. Но нет! Канонический вид показательной функции, предпочтительный для математиков, имеет множитель 2,718281828459045235. Это еще одно магическое число наряду с π, которое проявляет себя во всех областях математики.[17] Оно уже встречалось нам в этой книге (см. главу 1.vii). Оно иррационально[18], так что последовательность знаков после запятой никогда не повторяется и его нельзя переписать в виде дроби. Символ e для этого числа был введен Леонардом Эйлером, о котором будет много всего сказано в следующей главе.

Но почему именно это число? Не слишком ли оно неуклюже, чтобы с его помощью определять канонический вид? Разве не много проще было бы с числом 2? Да, наверное, для целей умножения было бы проще. Я не могу объяснить важность числа e, не вдаваясь в вычисления, а я дал торжественный обет объяснить Гипотезу Римана с минимумом вычислений. По этой причине я просто убедительно попрошу вас принять на веру, что e — действительно, действительно важное число и что ни одна другая показательная функция не может и близко сравниться с этой eN. Вот как выглядит наша таблица:

N

eN

1

2,718281828459

2

7,389056098931

3

20,085536923188

4

54,598150033144

(здесь точность — 12 знаков после запятой). Основной принцип, конечно, сохраняется — аргументы (левая колонка) растут каждый раз за счет добавления 1; при этом значения в правой колонке каждый раз умножаются на e.

VII.

А если наоборот? Представим себе функцию, основанную на таком правиле: когда аргумент растет «по умножению», значения растут «по сложению». Что за функция получится?

Здесь мы вступаем в царство обратных функций. Математики имеют особое пристрастие к тому, чтобы обращать самые разные вещи — выворачивать их наизнанку. Если у есть 8 умножить на x, то как выразить x через y? Понятно, что это y/8. Деление обратно умножению. Еще есть такое любимое нами действие, как возведение в квадрат, когда мы умножаем число само на себя. И каково же его обращение? Если y = x^2, то чему равен x в терминах y? Ну да, это квадратный корень из y. Если вы немного знакомы с анализом, то знаете, что есть действие, называемое «дифференцированием», которое позволяет превратить функцию f в другую функцию — g, говорящую о том, какова мгновенная скорость изменения функции f при каждом ее аргументе. И каково же действие, обратное дифференцированию? Это интегрирование. Ну и так далее. Обращение станет ключевой темой позднее, когда мы вникнем в работу Римана 1859 года.

С точки зрения принятого нами подхода, когда функции показаны в виде таблиц, обращение просто означает отражение таблицы, при котором ее правая часть становится левой, а левая — правой. Правда, это быстрый способ нажить себе неприятности. Возьмем функцию возведения в квадрат — скорее всего, первую нетривиальную функцию, с которой вы познакомились в школе. Чтобы возвести число в квадрат, мы умножаем его само на себя. Вот соответствующая таблица:

N

N^2

−3

9

−2

4

−1

1

0

0

1

1

2

4

3

9

(Я полагаю, что вы помните о правиле знаков, так что −3 умножить на −3 дает 9, а не −9).[19] А теперь поменяем колонки местами и получим обратную функцию:

N

√N

9

−3

4

−2

1

−1

0

0

1

1

4

2

9

3

Но постойте-ка! Каково же значение функции при аргументе, равном 9? Это −3 или 3? Похоже, что эта функция принимает такой вид:

N

√N

0

0

1

1, а может быть, −1

4

2 или, возможно, −2

9

3, или это может равняться −3?

Так дело не пойдет — слишком путано. Вообще-то… вообще-то существует математическая теория многозначных функций. Бернхард Риман был знатоком этой теории, и мы познакомимся с его идеями в главе 13.v. Но сейчас не время и не место для этого, и я не собираюсь тащить сюда сундук, набитый подобными вещами. Во всяком случае, что касается меня, то железное правило состоит в том, что на один аргумент — самое большее одно значение (ни одного значения, разумеется, если аргумент не лежит в области определения функции). Квадратный корень из 1 равен 1, квадратный корень из 4 равен 2, квадратный корень из 9 равен 3. Означает ли это, что я не признаю того факта, что −3 умножить на −3 даст 9? Разумеется, я его признаю, я просто не включаю его в мое определение «квадратного корня». Вот мое определение квадратного корня (по крайней мере на данный момент): квадратный корень из N есть единственное неотрицательное число (если таковое имеется), которое при умножении само на себя дает N.

VIII.

По счастью, показательная функция не доставляет нам подобных хлопот. Вы можете шутя обратить ее и получить функцию, которая при выборе аргументов, получаемых друг из друга умножением, дает значения, получаемые друг из друга сложением. Разумеется, как и в случае показательных функций, обратные им функции также образуют семейство, зависящее от множителя; и, как и с показательной функцией, математикам намного, намного больше всех остальных нравится та, к значениям которой прибавляется единица, когда аргументы умножаются на e. Получаемую функцию называют логарифмической, а обозначают ln.[20] «Логарифм!» — вот слово, которое возникло в голове математика при вспышке лампочки, когда он увидел таблицу 3.2. Если y = ex, то x = ln y. (Отсюда, кстати, путем простой подстановки следует, что для любого положительного числа у выполнено y = eln y — факт, которым мы не преминем как следует воспользоваться в дальнейшем.)

В математических сюжетах, имеющих отношение к данной книге — то есть к Гипотезе Римана, — логарифмическая функция присутствует повсеместно. Мы поговорим о ней куда более подробно в главах 5 и 7, и она будет играть роль настоящей звезды нашего рассказа, когда в главе 19 мы повернем наконец Золотой Ключ. Пока же давайте примем на веру, что это — функция в только что описанном смысле, по-настоящему важная математическая функция, и при этом обратная к показательной функции: если y = ex, то x = ln y.

Теперь я перейду прямо к сути дела и покажу вам логарифмическую функцию, но вместо того, чтобы двигаться вперед шагами, соответствующими умножению на e, давайте умножать аргументы на 1000. Как мы уже говорили, когда функцию представляют в виде таблицы, надо выбрать аргументы (а также число знаков после запятой — в нашем случае четыре). Клянусь, что это та же самая функция. Чтобы лучше было видно, что тут происходит, я справа добавил в таблицу еще две колонки: первая из них — это просто правая колонка из таблицы 3.2, а вторая выражает в процентах отклонение нашей колонки номер 2 от колонки номер 3. Результат приведен в таблице 3.3.

N

ln N

N/π(N)

Ошибка, %

1 000

6,9078

5,9524

16,0409

1 000 000

13,8155

12,7392

8,4487

1 000 000 000

20,7233

19,6665

5,3731

1 000 000 000 000

27,6310

26,5901

3,9146

1 000 000 000 000 000

34,5388

33,5069

3,0794

1 000 000 000 000 000 000

41,4465

40,4204

2,5386

Таблица 3.3.

Представляется разумным следующее утверждение: N/π(N) близко к ln N, причем тем ближе, чем больше становится N.

У математиков есть специальная запись для этого: N/π(N) ~ ln N. (Читается так: «N, деленное на π(N), асимптотически стремится к ln N»). Волнистый знак в этой формуле по науке называется «тильда», однако, судя по моему опыту, математики нередко называют его просто «волной».

Если слегка переоформить этот факт, следуя обычным правилам алгебры, то мы получим следующее утверждение.

Теорема о распределении простых чисел

π(N) ~ N/ln N

Разумеется, мы эту теорему не доказали — мы просто увидели, что такое утверждение правдоподобно. Это очень важный результат, настолько важный, что он называется Теоремой о распределении простых чисел. Это не какая-то там теорема о распределении простых чисел, нет, а Теорема о Распределении Простых Чисел. Специалисты по теории чисел нередко пишут просто «ТРПЧ», и в этой книге мы так и будем поступать.

IX.

И наконец, получим два следствия из ТРПЧ (в предположении, конечно, что она верна). Чтобы вывести эти следствия, сначала заметим, что в некотором смысле (логарифмическом смысле!) при работе со всеми числами вплоть до некоторого большого N большинство из этих чисел вполне сравнимы по величине с самим N. Например, среди всех чисел от 1 до одного триллиона более 90 процентов имеют 12 или более разрядов и в этом смысле вполне сравнимы с триллионом (у которого 13 разрядов), а не, скажем, с одной тысячей (с ее четырьмя разрядами).

Если на интервале от 1 до N имеется N/ln N простых чисел, то средняя плотность простых в этом интервале составляет 1/ln N. А поскольку большинство чисел в этом интервале сравнимы по размеру с числом N в том грубом смысле, который я только что описал, то справедливым будет заключение, что в районе числа N плотность простых чисел есть 1/ln N. Именно так и есть. В конце первого раздела данной главы мы подсчитали число простых в каждом блоке из 100 чисел, предшествующих 100, 500, 1000, 1 миллиону и 1 триллиону. Результаты этих подсчетов были такими: 25, 17, 14, 8 и 4. Соответствующие значения выражения 100/ln N (т.е. его значения при N = 100, 500 и т.д). с точностью до ближайшего целого числа таковы: 22, 16, 14, 7 и 4. Другой способ выразить то же самое — это сказать, что в окрестности большого числа N вероятность того, что некоторое число окажется простым, ~ 1/ln N.

Руководствуясь той же грубой логикой, можно оценить величину N-го простого числа. Рассмотрим отрезок числового ряда от 1 до K для какого-нибудь большого числа K. Если в этом интервале простых чисел, то в среднем следует ожидать, что первым простым, которое мы встретим, будет число К:C, вторым — число 2K:C, третьим — 3K:C и т.д. N-е простое будет находиться где-то около числа NK:C, а C-е (другими словами, последнее простое в этом интервале) окажется около числа K:C, что, понятно, равно просто K. И вот, если верна ТРПЧ, то количество простых чисел C есть К/ln K, а потому N-е простое в действительности встретится вблизи числа NK:(К/ln K), или, другими словами, вблизи числа Nln K. Поскольку большинство чисел в этом интервале сравнимы по величине с числом K, здесь можно поменять местами N и K, а потому N-е простое есть по величине ~ N/ln N. Я знаю, что такое рассуждение выглядит небольшим жульничеством, но в действительности оно дает неплохую оценку, которая к тому же становится все лучше и лучше «по принципу волны». Эта оценка предсказывает, например, что триллионное простое число равно 27 631 021 115 929, а на самом деле триллионное простое число есть 30 019 171 804 121, так что ошибка составляет 8 процентов. Выраженные в процентах ошибки для тысячного, миллионного и миллиардного простого числа равны соответственно 13, 10 и 9.

Следствия из ТРПЧ

Вероятность того, что число N простое, ~ 1/ln N.

N-е простое число ~ Nln N.

Эти утверждения не просто следуют из ТРПЧ; сама ТРПЧ также следует из них. Если математически доказать справедливость любого из них, то в качестве следствия получится ТРПЧ. Каждый из этих результатов равносилен ТРПЧ, и его можно считать просто альтернативной формулировкой этой теоремы. В главе 7.viii мы познакомимся с другим, более важным способом переформулировать ТРПЧ.

Глава 4. На плечах гигантов

Первым человеком, которому открылась истина, содержащаяся в Теореме о распределении простых чисел (ТРПЧ), был Карл Фридрих Гаусс, живший с 1777 по 1855 год. Гаусс, как уже говорилось в главе 2.v, вполне может претендовать на звание величайшего математика из всех вообще когда-либо живших. В течение своей жизни он был известен как Princeps Mathematicorum — Князь Математиков, а после его смерти король Ганновера Георг V распорядился о выпуске памятной медали в его честь, с указанием этого титула.[21]

Гаусс был чрезвычайно невысокого происхождения. Его дед был безземельным крестьянином, а отец — перебивавшимся с места на место садовником и каменщиком. Гаусс ходил в самую скромную местную школу. Знаменитый эпизод, который, как рассказывают, произошел в этой школе, имеет гораздо больше шансов оказаться правдой, чем большинство обычных историй такого рода. Однажды учитель, желая устроить себе получасовой перерыв, дал классу задание сложить друг с другом первые 100 чисел. Почти мгновенно Гаусс бросил грифельную доску на учительский стол со словами «Ligget se!», что на местном крестьянском диалекте того времени означало: «Вот он [ответ]!» Карл мысленно расположил числа горизонтально в порядке (1, 2, 3, …, 100), затем в обратном порядке (100, 99, 98, …, 1), а после этого сложил два списка вертикально: (101, 101, 101, …, 101). Получилось 100 раз число 101, а поскольку числа были выписаны дважды, ответ равен половине этой суммы, т.е. 50 умножить на 101, что равно 5050. Совсем просто, когда вам об этом рассказали, но все же это не тот способ, который сам собой придет в голову обычному десятилетнему мальчику; да и обычному взрослому лет в тридцать тоже, если уж на то пошло.

Гауссу повезло в том, что учителя разглядели его способности и готовы были предпринять некоторые усилия, чтобы их развить. Еще большее везение состояло в том, что ему случилось жить в маленьком германском герцогстве Брауншвейг — в пределах той самой кляксы, что разделяет на две части королевство Ганновер на карте из главы 2.ii. В Брауншвейге в то время правил Карл-Вильгельм-Фердинанд, носивший полный титул герцог Брауншвейга-Вольфенбюттеля-Беверна. Мы уже встречались с ним, хотя в тот момент этого и не подозревали: известный как отважный воин, он носил чин генерал-фельдмаршала прусской армии и командовал теми самыми соединенными прусско-австрийскими силами, которые французы остановили у Вальми 20 сентября 1792 года.

Карл-Вильгельм поступил воистину благородно. Если существует Рай для математиков, то для герцога там должны быть зарезервированы роскошные апартаменты, чтобы он мог останавливаться в них всякий раз, как соберется заехать. Услыхав о таланте мальчика Гаусса, герцог распорядился, чтобы его привели к нему. Молодой Гаусс в тот момент не мог похвастаться значительными успехами на ниве светского этикета. Позднее, в течение своей жизни, после длительного знакомства с дворами и университетами, он производил впечатление человека мягкого и приветливого, но это не могло скрыть грубоватые черты лица и коренастую фигуру, изобличавшие крестьянское происхождение. Однако герцог оказался достаточно проницательным, чтобы с первого же взгляда не ошибиться в мальчике; впоследствии он оставался его другом, пока смерть не разлучила их, и обеспечивал постоянную финансовую поддержку, позволившую молодому Гауссу сделать блестящую карьеру в качестве математика, физика и астронома.[22]

Возможности герцога по поддержке Гаусса подошли к концу довольно плачевным образом. В 1806 году Наполеон был в зените своего могущества. В кампании предыдущего года он в битве при Аустерлице разбил соединенные войска России и Австрии, предварительно откупившись от пруссаков тем, что предложил им Ганновер. Затем он основал Рейнский союз, поставив под французское влияние всю западную часть современной Германии, и взял обратно свое обещание по сделке с Ганновером, на этот раз предложив его Британии. Против него держались только Пруссия и Саксония, а их единственным союзником была Россия, впрочем, боявшаяся пушек после поражения под Аустерлицем.

Чтобы помешать Саксонии стать французским сателлитом, пруссаки оккупировали ее, снова призвав в строй герцога Брауншвейгского — ему в то время был 71 год — и предложив ему возглавить их силы. Наполеон объявил войну, и его армия ударила на северо-запад через Саксонию по направлению к Берлину. Пруссаки пытались сконцентрировать силы, но французы, действуя очень быстро, не позволили им этого сделать и разгромили основные прусские силы под Йеной. Герцог находился с подразделением в Ауэрштедте в нескольких милях к северу; одна из фланговых частей Наполеона захватила его и рассеяла его войска.

Разбитый и смертельно раненный, герцог через эмиссара испросил у Наполеона разрешения удалиться домой, дабы там умереть. Император — вполне современный диктатор, не слишком приверженный правилам рыцарства — рассмеялся посланнику в лицо. Несчастного герцога, ослепшего и находящегося при смерти, поспешили на телеге перевезти на свободные территории за Эльбой. Секретарь Наполеона Луи де Бурьен в своих мемуарах так описывает печальный конец этой истории:

Герцог Брауншвейгский, тяжело раненный в битве при Ауэрштедте, прибыл в Альтону [на другом берегу Эльбы, прямо к западу от Гамбурга] 29 октября. Его въезд в этот город явил собой еще один яркий пример переменчивости судьбы. Люди взирали на суверенного принца, пользовавшегося, заслуженно или нет, репутацией великого воина и до недавнего времени могущественного и никем не тревожимого в своей столице; теперь же его, смертельно раненного, вносила в Альтону на жалких носилках лишь горстка людей, при нем не было адъютантов и слуг, а сопровождала его лишь ватага ребятишек. Пока герцог оставался жив, он не желал видеть никого, кроме своей жены, которая прибыла к нему 1 ноября. Он продолжал упорствовать в своем отказе принимать визитеров и умер 10 ноября.

Последний путь герцога пролегал через Брауншвейг, и говорят, что Гаусс видел повозку из окна своей комнаты, выходящего на крепостные ворота. Герцогство Брауншвейгское после этого прекратило свое существование и стало частью наполеоновского марионеточного «королевства Вестфалия». Наследник герцога Фридрих-Вильгельм был лишен трона и бежал в Англию. Он также погиб, сражаясь с Наполеоном в битве при Катр-Бра в 1815 году, за несколько дней до Ватерлоо, но, правда, уже после того, как получил обратно свое герцогство.

(Чтобы отдать должное Наполеону, следует заметить, что некоторое время спустя, во время другого похода в западную Германию, когда Гаусс уже обосновался в Геттингене, Император пощадил этот город — потому, что «там живет величайший математик всех времен».)

II.

После потери своего покровителя Гауссу пришлось искать работу. Ему предложили стать директором обсерватории в Геттингене, он согласился и приехал в Геттинген в конце 1807 года.[23] Геттинген уже пользовался достаточной известностью за то, что был оснащен лучше других провинциальных немецких университетов. Гаусс и сам учился здесь с 1795 по 1798 год; во время учебы его, судя по всему, привлекала великолепная университетская библиотека, в которой он и проводил большую часть времени. Теперь же он стал главным университетским астрономом и оставался в Геттингене до своей смерти в феврале 1855 года, последовавшей за несколько недель до его 78-летия. В течение последних 27 лет жизни он выбирался из любимой обсерватории лишь единожды — ради поездки на конференцию в Берлин.

Чтобы рассказать об отношениях, в каких состояли между собой Гаусс и ТРПЧ, надо объяснить главную особенность Гаусса как математика. Он опубликовал намного меньше, чем написал. Из его переписки, сохранившихся неопубликованных статей и различного рода указаний, которые можно найти в опубликованных работах, видно, что он представил миру лишь часть всех сделанных им открытий. Теоремы и доказательства, которые прославили бы кого-нибудь другого, Гаусс оставлял заброшенными в своих личных дневниках.

Есть, наверное, две причины, объясняющие столь вопиющее небрежение. Одна — отсутствие честолюбия. Уравновешенный, самодостаточный и экономный человек, лишенный материальных благ в детстве и юности и так, по-видимому, и не приобретший к ним вкуса в зрелом возрасте, Гаусс не сильно нуждался в чьем бы то ни было одобрении и не стремился к продвижению по социальной лестнице. Другая причина — намного более распространенная среди математиков во все времена — состояла в перфекционизме. Гаусс не мог заставить себя представить свои результаты на суд других, пока эти результаты не окажутся отшлифованы до блеска и расставлены в безупречном логическом порядке. На его личной печати было изображено дерево с редко висящими плодами и девизом «Pauca sed matura» — «Немного, но спелые».

Как я сказал, перфекционизм — частая проблема среди математиков, из-за которой чтение опубликованных математических статей нередко превращается в очень тяжелое занятие. В одной из книг, получивших некоторую известность в современной психологической литературе, «Представление себя в повседневной жизни», Эрвинг Гоффман развивает теорию «социальной драматургии», согласно которой каждый результат деятельности, создаваемый «для внутреннего пользования» в беспорядке и не без вмешательства случайности, представляется «для внешней аудитории» в виде законченного и совершенного творения. Эту мысль хорошо иллюстрируют рестораны. Блюда, приготовленные среди стука и звона посуды, криков поваров в раскаленной кухне, предстают перед публикой как творения безупречно сервированные, на сверкающих тарелках, подаваемые проворными мурлыкающими официантами. В значительной своей части так же устроен и интеллектуальный труд. Вот что пишет Гоффман:

В тех взаимодействиях, где индивид представляет результат своей деятельности другим людям, он склонен обнародовать только конечный продукт; они же судят о нем на основе вещей законченных, отполированных и расфасованных. В ряде случаев, если для завершения деятельности было достаточно лишь очень небольшого усилия, этот факт будет скрыт. В других случаях сокрытию подлежат долгие, изнурительные часы одинокого труда…

Опубликованные математические статьи нередко содержат слегка раздражающие высказывания типа «Отсюда следует, что…» или же «Ясно, что…», тогда как в действительности совершенно не следует и абсолютно не ясно, пока вы не потратите те же шесть часов, что потратил автор, на прописывание промежуточных шагов и проверку их правильности. Об английском математике Г.X. Харди, с которым мы еще встретимся ниже, рассказывают такую историю. Дойдя на лекции до определенного места в своих рассуждениях, он сказал: «Теперь очевидно, что…» Тут он остановился, замолчал и несколько секунд простоял без движения с нахмуренными бровями. Потом вышел из аудитории. Минут через двадцать он вернулся, улыбаясь, и продолжил: «Да, действительно, очевидно, что…»

Но кроме отсутствия амбиций Гаусс демонстрировал и отсутствие такта. Он нажил массу неприятностей в общении с коллегами-математиками из-за того, что ссылался на открытия, которые он сделал, но не опубликовал за годы до того, как другие открывали то же самое, однако публиковали свои результаты. Дело было не в тщеславии — Гауссу не было свойственно тщеславие, — а в том, что доктор Джонсон называл «грубой бесчувственностью». Например, в опубликованной в 1809 году книге Гаусс ссылается на метод наименьших квадратов, придуманный им в 1794 году (способ найти наилучшую «подгонку» для некоторого количества экспериментальных данных). В момент, когда он сделал это открытие, он его, разумеется, не опубликовал. Принадлежащий к чуть более старшему поколению французский математик Адриен-Мари Лежандр открыл и опубликовал этот метод в 1806 году; он был разъярен, когда Гаусс приписал приоритет открытия себе. У нас нет сомнений в правоте Гаусса — тому имеются документальные подтверждения, — но если Гаусс желал, чтобы его имя ассоциировалось с этим результатом, ему надо было его опубликовать. Он, однако, не беспокоился, будет ли увековечено его имя, и не намеревался публиковать свои результаты, если ему не хватало времени отполировать их до полного совершенства.

III.

В декабре 1849 года Гаусс вел переписку с немецким астрономом Йоханом Францем Энке (именем которого названа знаменитая комета)[24] Энке высказал кое-какие комментарии по поводу частоты появления простых чисел. Ответное письмо Гаусса начиналось так:

Любезное сообщение о ваших наблюдениях по поводу частоты появления простых чисел заинтересовало меня более, чем просто упоминание. Оно напомнило мне мои собственные изыскания по тому же предмету, начало которым было положено в далеком прошлом, в 1792 или 1793 году. <…> Одна из первых вещей, которые я сделал, состояла в том, что, обратив внимание на уменьшающуюся частоту, с которой появляются простые числа, я их вычислил в нескольких группах из тысячи чисел и бегло набросал результаты, листок с которыми прилагаю к письму. Я вскоре осознал, что при всех своих флуктуациях эта частота в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму… (Курсив мой. — Дж. Д.) С тех пор я время от времени (поскольку мне недостает терпения, чтобы последовательно посчитать весь интервал) уделяю свободные четверть часа, чтобы то тут, то там пересчитать еще один отрезок длиной в тысячу; но в конце концов я забросил это дело, не добравшись толком и до миллиона.

Итак, начиная с 1792 года — когда ему было лишь 15 лет! — Гаусс забавлялся пересчетом всех простых чисел в интервале из 1000 чисел за раз и довел эти вычисления до сотен тысяч («не добравшись толком и до миллиона»). Чтобы представить себе, усилия какого порядка здесь требуются, я задался целью извлечь все простые числа из отрезка в тысячу чисел от 700 001 до 701 000, пользуясь при этом лишь теми средствами, которые могли быть доступны Гауссу, — карандашом, несколькими листами бумаги и списком простых чисел до 829 — именно такие простые требуются в процессе поиска простых среди чисел до 701 000.[25] Сознаюсь, что я бросил это занятие через час, когда я провел вычисления с простыми делителями до 47 — что означает, что мне оставалось еще 130 простых делителей. Я приглашаю вас самостоятельно попробовать такое упражнение. Это и были гауссовы «свободные четверть часа» (unbeschäftigte Viertelstunde).

Предложение, выделенное курсивом в отрывке из письма, которое Гаусс написал Энке, и составляет один из двух связанных с ТРПЧ результатов, обсуждавшихся в главе 3.ix. Как там было замечено, это утверждение эквивалентно самой ТРПЧ. Нет никаких сомнений в том, что Гаусс действительно работал над этим в начале 1790-х годов. Его заявлениям было найдено документальное подтверждение, так же как и другим заявлениям того же типа. Он просто не трудился публиковать свои результаты.

IV.

Любопытно, что первая опубликованная работа, относящаяся к ТРПЧ, принадлежит тому самому Адриену-Мари Лежандру, которого так возмутило заявление Гаусса об открытии им метода наименьших квадратов. В 1798 году — через пять или шесть лет после того, как Гаусс докопался до формулировки ТРПЧ, но не предоставил свои результаты в распоряжение человечества, — Лежандр опубликовал книгу, озаглавленную «Очерки о теории чисел», в которой он на основе своих собственных подсчетов числа простых чисел высказал предположение, что

для некоторых чисел A и B, которые «подлежат определению». В более позднем издании своей книги он уточнил это предположение (доказать которое он не смог) таким образом:

где A при больших значениях x стремится к некоторому числу, близкому к 1,08366. Гаусс обсуждает предположения Лежандра в своем письме к Энке в 1849 году он отвергает значение 1,08366, но не приходит ни к каким другим определенным выводам.

Нет сомнений, что если бы несчастный Лежандр прочитал письмо Гаусса к Энке, то оно вызвало бы у него еще один приступ гнева. По счастью, он скончался за несколько лет до того, как это письмо было написано.[26]

V.

Раз уж эта глава посвящена обзору важных открытий и предположений, сделанных до 1800 года, и поскольку именно этот человек был создателем Золотого Ключа, о котором мы так много всего будем говорить в последующих главах, сейчас самое время представить вам другого математического гения высшей пробы, родившегося в XVIII столетии, — Леонарда Эйлера. Эйлер (1707-1783), как пишет Э.Т. Белл в своей книге «Творцы математики»[27], был, «вероятно, величайшим из всех ученых, которых породила Швейцария»; насколько мне известно, он остается единственным математиком, именем которого названы два числа: уже упоминавшееся число e, равное 2,71828…, и число Эйлера-Маскерони, для внятного описания которого в этой книге недостаточно места[28], равное 0,57721…{A6} Чтобы познакомить вас с Эйлером, мне придется сначала представить вам новый географический регион, сыгравший важную роль в истории нашей темы.

Россия, как, я думаю, хорошо известно, вступила в современную эпоху несколько позднее остальной Европы, причем это вступление свершилось главным образом благодаря энергии и силе воображения Петра Великого, взошедшего на трон десятилетним мальчиком в 1682 году. Годами правления Петра обычно считаются 1682-1725, но в течение первых семи лет он правил совместно со своим подслеповатым, хромым и плохо выговаривающим слова сводным братом Иваном, а реальное управление находилось в руках сестры Ивана Софьи. Петр добился единоличного правления лишь в 1689 году в возрасте 17 лет. Но он и тогда не выказал большого интереса к государственным делам и провел следующие пять лет в забавах. По счастью, он был человеком острого ума и неуемной любознательности, и многие из его забав оказывались весьма полезными. Ему особенно нравилось общество иностранцев, которые к тому времени в значительном числе расселились в пригороде Москвы, в так называемой Немецкой слободе. Здесь, среди шотландских наемников, голландских купцов и немецких и швейцарских инженеров, Петр мог познакомиться с европейской наукой и культурой, а заодно удовлетворить свою страсть к фейерверкам и кораблям (в перерывах между бурными застольями и кутежами ночи напролет). В 1692-1693 годах на Плещеевом озере Петр сам построил военный корабль, от киля до мачт. В следующем 1694 году умерла его мать, и Петр стал полновластным государем.

В 1695-1696 годах этот необычный и необычной внешности человек — вдобавок к росту в 6 футов 7 дюймов он страдал нечастыми, но устрашающими лицевыми судорогами — напал на порт Азов на Черном море и отобрал его у турок-оттоманов. В 1697-1698 годах он инкогнито отправился во Францию, Британию и Голландию, став первым российским самодержцем, вообще выехавшим за границу; в ходе своего путешествия он учился. (По поводу его странствий в Британии хорошо известна — хотя и является, скорее всего, апокрифом — следующая история. Остановившись в сельском доме Джона Ивлина в пригороде Лондона, Петр однажды вошел в гостиную с мушкетом в руках и заявил на своем ломаном английском: «Я только что стрелял пейзан». — «Нет, нет, мой добрый друг, — со смехом ответил хозяин, — вы имеете в виду фазана». — «Nyet, — ответил Петр, качая головой, — Это быфф пейзан. Он быфф дерзкий, унт я стрелял его».) Вернувшись в Россию, Петр приступил к осуществлению целого ряда невиданных реформ, повелев боярам сбрить бороды, усмирив церковь и уничтожив старую московскую царскую гвардию — стрельцов, которые терроризировали его в детстве. В 1700 году он начал двадцатилетнюю войну со шведским королем Карлом; в 1703 году Петр вторгся на шведские земли и занял области вдоль Невы, от Ладожского озера до берегов Балтики. Там, на земле, которая все еще формально принадлежала могущественному и непобежденному врагу, в болотистой дельте Невы, он основал новую столицу, Санкт-Петербург.

Будучи одной из тех потрясающих личностей, существование которых опровергает взгляд на ход истории как на театр теней — бездушную пьесу, разыгрываемую обезличенными силами, — Петр продолжил реформы в сфере управления, дворянства, торговли, образования и даже повседневного одеяния своих подданных. Не все из этого заработало — другими словами, не все закрепилось; и не все достигло сумрачных, скрытых в лесах глубин этой обширной и древней страны; но нет сомнения, что положение, в котором Петр оставил Россию, было совсем не похоже на то, в котором он ее принял.

И, что имеет прямое отношение к теме данной книги, он превратил ее в место, гостеприимное для математиков и математики![29]

VI.

В январе 1724 года Петр издал указ об основании Академии наук в Санкт-Петербурге. В указе объяснялось, что в обычной ситуации академия наук, где ученые занимаются исследованиями и изобретениями для блага государства, отличается от университета, предназначение которого состоит в обучении молодых людей. Однако из-за острого недостатка образованных людей в России под управлением Санкт-Петербургской академии будут находиться еще университет и гимназия (т.е. учреждение для среднего образования). Предполагалось, что академия будет иметь также свои собственные обсерватории, лаборатории, мастерские, издательство, печатный цех и библиотеку. Петр ничего не делал наполовину.

Нехватка образования в России была и правда столь высока, что попросту не существовало россиян, способных стать членами академии. Более того, поскольку в России отсутствовало достаточное число начальных и средних школ, не было даже молодых россиян, в достаточной степени подготовленных для того, чтобы стать студентами в университете. Эти проблемы были решены путем импорта требуемого персонала. В Европе подобная практика была вполне распространенной. Первым директором Парижской академии наук, основанной за 60 лет до того, был голландский физик Кристиан Гюйгенс. Правда, Санкт-Петербург находился далеко от главных центров европейской культуры, а западноевропейцы все еще воспринимали Россию как страну темную и варварскую, и поэтому им следовало предложить очень привлекательные условия. Как бы то ни было, в конце концов колеса механизма закрутились, нехватка университетских студентов была компенсирована за счет импорта восьми немецких юношей. Санкт-Петербургская академия распахнула свои двери в августе 1725 года — слишком поздно для того, чтобы царь Петр мог председательствовать на церемонии: он умер за шесть месяцев до этого.

Среди иностранных ученых, присутствовавших на первом заседании Санкт-Петербургской академии наук, были два брата, Николай и Даниил Бернулли. Им было соответственно 30 и 25 лет — то были сыновья Иоганна Бернулли из швейцарского Базеля, того самого господина, с которым мы уже встречались в главе 1.iii в связи с гармоническим рядом. (Имелась целая династия математиков Бернулли; в описываемом поколении был и третий брат, который последовал примеру отца и стал профессором математики в Базельском университете и который «воплощал в себе математический гений своего родного города во второй половине XVIII столетия», как написано в «Словаре научных биографий».)

К несчастью, проведя менее года в Санкт-Петербурге, Николай Бернулли умер («от чахоточной лихорадки»), в результате чего в академии образовалась вакансия. Даниил Бернулли еще в Базеле был знаком с Леонардом Эйлером и сейчас же рекомендовал его. Эйлер был рад возможности занять академический пост в столь молодом возрасте и прибыл в Санкт-Петербург 17 мая 1727 года, через месяц после своего двадцатилетия.

По несчастливому стечению обстоятельств это произошло спустя десять дней после смерти императрицы Екатерины, жены Петра, которая наследовала ему на троне и которая продолжала воплощать в жизнь его план устройства академии. Для России наступали не лучшие времена. Пятнадцатилетний период между смертью Петра и воцарением его дочери Елизаветы был временем слабого, безвольного руководства, политики временщиков и периодических приступов ксенофобии. Все враждующие кланы содержали сети шпионов и доносчиков, и атмосфера в столице (каковой теперь являлся Санкт-Петербург) менялась с «плохо» на «очень плохо». В правление жестокой, коварной и сумасбродной императрицы Анны Иоанновны (1730–1740) Россия скатилась к одному из периодов государственного террора, к которому сама императрица испытывала особую склонность: в течение этого времени не прекращались суды по обвинению в измене, массовые казни и другие зверства. Этот период получил печальную известность под названием бироновщины, по имени фаворита Анны Иоанновны немца Эрнста Иоганна Бирона[30], на которого простые россияне возлагали всю вину.

Эйлер стойко выносил все это в течение 13 лет, с головой погрузившись в работу и твердо держась подальше от двора с его интригами. «Общая осмотрительность привила ему неистребимую привычку к работе», — пишет Э.Т. Белл, и это кажется разумным объяснением невероятной продуктивности Эйлера. Даже сейчас еще не закончено полное издание собрания его трудов. К настоящему моменту оно состоит из 29 томов по математике, 31 по механике и астрономии, 13 по физике и 8 томов переписки.

Но для друга Эйлера Даниила Бернулли, с которым они вместе поселились в первые годы жизни в Санкт-Петербурге, удушливая политическая атмосфера в послепетровской России оказалась слишком тяжелой. В 1733 году Даниил уехал обратно в Базель, а Эйлер возглавил кафедру математики в академии. Это позволило ему получать доход, достаточный для женитьбы. Его избранницей стала швейцарская девушка Екатерина Гзель, дочь художника, жившего в то время в Санкт-Петербурге.

В такой обстановке в 1735 году Эйлер и решил базельскую задачу, которую мы рассмотрим в следующей главе. Двумя годами позже в небольшом меморандуме о бесконечных рядах Эйлер получил результат, который я назвал Золотым Ключом и которому будет посвящена первая половина главы 7. Коротко говоря, Эйлер — одно из главных действующих лиц в нашем повествовании, однако это станет понятно немного позднее, по мере развертывания математической части истории.

VII.

К 1741 году Эйлер устал от окружавших его доносов и публичных экзекуций «изменников». На прусский трон к этому моменту взошел Фридрих Великий, уже приступивший к своему плану превращения прусского королевства (до 1700 года — всего лишь герцогства) в одно из наиболее могущественных государств в Европе. Он запланировал создание Академии наук в Берлине с целью заменить ею или с ее помощью вдохнуть новую жизнь в находившееся при смерти Научное общество этого города; он пригласил Эйлера — к этому моменту знаменитого по всей Европе — в качестве директора математического класса академии. Эйлер прибыл в Берлин 25 июля 1741 года, после месячного путешествия по морю и суше из Санкт-Петербурга. Мать Фридриха София-Доротея Английская (приходившаяся сестрой Георгу II) понравилась молодому Эйлеру (ему было всего 34 года), но не могла толком его разговорить. «Почему бы вам не побеседовать со мной?» — спросила она, на что Эйлер ответил: «Потому, мадам, что я приехал из страны, где тех, кто много говорит, отправляют на виселицу».

Но вообще-то Эйлеру полагалось заговорить. Это было частью плана по переселению его в Берлин. Фридрих желал видеть свой двор своего рода салоном, где блестящие люди обмениваются блестящими речами. Эйлер в самом деле был блестящим человеком, но, к сожалению, только в математике. Его высказывания на темы философии, литературы, религии, а также о событиях в мире, хотя и демонстрировали его хорошую информированность и здравый смысл, оставались довольно общими и невыразительными. Фридрих, кроме того, был эгоистом, любившим манипулировать людьми и хотя в принципе желал бы окружить себя гениями, в реальности же предпочитал посредственностей, которые ему льстили. Если не считать нескольких светил, таких как Вольтер и Эйлер, общий интеллектуальный уровень при дворе Фридриха, судя по всему, несколько недотягивал до выдающегося. В 1745-1747 годах Фридрих построил для себя летний дворец Сан-Суси в Потсдаме, в 20 милях от Берлина. (Эйлер помогал разработать систему водяных насосов для дворца.) Кто-то из гостей Сан-Суси спросил одного из наследных принцев: «Чем вы здесь занимаетесь?» Принц ответил: «Мы спрягаем глагол s'ennuyer». «S'ennuyer» означает «скучать». Языком двора Фридриха был французский — язык высшего общества по всей Европе.[31]

Эйлер задержался в Берлине на 25 лет, пережив там все ужасы Семилетней войны, когда иностранные армии дважды занимали Берлин, а каждый десятый подданный Фридриха умер от голода, болезни или пули. К тому времени на российском престоле воцарилась вторая Екатерина — Екатерина Великая. (Занятно, что на протяжении двух третей XVIII века — 67 лет из 100 — Россия, одна из наиболее трудных в управлении стран, управлялась женщинами, и в целом весьма успешно). Екатерина выказывала все признаки просвещенного монарха, при этом твердо удерживая трон. Более того, она была немецкой принцессой, и не исключено, что Эйлер каким-то образом свел с ней знакомство при дворе Фридриха еще до того, как ее отправили в Санкт-Петербург, чтобы выдать замуж за внука Петра Великого. Так или иначе, Эйлер оставил жеманство и интриги Сан-Суси и снова занял свою должность в Санкт-Петербурге — должность, которая невероятным образом ждала его, оставаясь незанятой. Последние 17 лет своей жизни он провел в России, до конца сохраняя работоспособность, и умер в возрасте 76 лет, полный сил и энергии (если не считать оставившего его зрения), в одно мгновение, держа внука на коленях.

VIII.

В этом очерке о Леонарде Эйлере мне пришлось серьезно себя сдерживать, потому что по ряду причин Эйлер вводит в число наиболее любимых мною личностей в истории математики. Одна из причин — чтение его работ доставляет большое удовольствие. Эйлер всегда выражается коротко и ясно, без лишней суеты и без излишнего лоска, свойственного Гауссу. Эйлер писал преимущественно по-латыни, но это не препятствие для понимания его текстов, поскольку ему был присущ сдержанный и утилитарный стиль.[32]

Кристально ясная латынь Эйлера позволяет осознать, чего же лишилась западная цивилизация, когда ученые перестали писать на этом языке. Гаусс был последним из крупных математиков, кто придерживался латыни; ее забвение было одним из тех сдвигов, что принесли с собой Наполеоновские войны. Любопытно, что, хотя Венский конгресс, которым было отмечено окончание этих войн, представлял собой собрание реакционеров, намеревающихся восстановить в Европе status quo ante («как было прежде»), на самом деле эти войны до такой степени изменили все, что ничто после них не могло уже оставаться прежним. Историк Пол Джонсон написал об этом хорошую книгу «Рождение современности».

Другая причина, по которой меня привлекает фигура Эйлера, состоит в том, что он не гонялся за внешним блеском, не обладал какой-либо эксцентричной или курьезной чертой, а просто являл собой пример превосходного человека. Читая о его жизни, проникаешься его спокойной уверенностью в себе и внутренней силой. Эйлер ослеп на правый глаз, когда ему едва было 30 лет (бессердечный Фридрих называл его «мой Циклоп») и окончательно лишился зрения после шестидесяти. Похоже, что ни частичная, ни полная инвалидность не согнули его ни на йоту. Из его тринадцати детей лишь пятеро дожили до взрослого возраста и только трое пережили его. Его жена Екатерина умерла, когда Эйлеру было 69 лет; через год он женился во второй раз — тоже на девице по фамилии Гзель, сводной сестре Екатерины.

Он любил детей и, говорят, мог заниматься серьезными вычислениями в то время, как дети играли у его ног. (На меня как писателя, работающего дома в окружении двух маленьких детей, это производит действительно немалое впечатление.) По-видимому, он был не способен к интригам, никогда не терял друзей иначе как по причине смерти и был честен во всех своих начинаниях — хотя, если верить Стрэчи, готов был слегка поступиться принципами ради спокойной жизни![33] Он написал один из первых научно-популярных бестселлеров «Письма к немецкой принцессе», где объяснял обычным читателям, почему небо голубое, почему луна кажется больше, когда она восходит, а также рассматривал другие подобные вопросы, занимающие умы.[34]

В основе всего этого лежала твердая как гранит религиозная вера. Эйлер рос кальвинистом и всегда был привержен этой вере. Его отец, как и отец Римана, был пастором в деревенской церкви, и Эйлеру, как и Риману, изначально предназначалась церковная карьера. Сообщают, что во время жизни в Берлине «он каждый вечер собирал всю семью целиком и читал главу из Библии, сопровождая чтение проповедью». И это происходило ровно тогда, когда при дворе, согласно Маколею, «главнейшие темы разговоров вертелись вокруг нелепости религиозных убеждений любого толка». Трудолюбивый, благочестивый, стоический, преданный своей семье, живущий в простоте и просто изъясняющийся — неудивительно, что Фридрих его недолюбливал. Но настало время перейти от дней к трудам и взглянуть на первый великий триумф Эйлера — базельскую задачу.

Глава 5. Дзета-функция Римана

I.

Базельская задача

Выразить в замкнутом виде бесконечный ряд

Базельская задача[35] названа в честь швейцарского города, в университете которого профессорами математики один за другим были двое братьев Бернулли — Якоб (с 1687 по 1705 год) и Иоганн (с 1705 по 1748 год). Мы упоминали в главе 1.iii, что оба брата Бернулли нашли доказательства расходимости гармонического ряда. В книге, где он опубликовал сначала доказательство брата, а потом и свое, Якоб Бернулли сформулировал приведенную выше задачу и обратился ко всем, кто знает, как с ней разобраться, с просьбой сообщить ему ответ. (Я очень скоро объясню, что значит «выразить в замкнутом виде».)

Заметим, что ряд, фигурирующий в этой задаче, — будем называть его «базельским рядом» — не слишком далек от гармонического ряда. Каждый член в нем, собственно говоря, равен квадрату соответствующего члена в гармоническом ряде. А возведение в квадрат числа, меньшего единицы, дает число еще меньшее: квадрат одной второй уменьшает ее до одной четвертой. И чем меньшее число возводится в квадрат, тем сильнее выражен этот эффект: одна четвертая лишь немного меньше одной второй, но квадрат одной десятой дает одну сотую, которая намного меньше, чем одна десятая.

Каждый член в базельском ряду, таким образом, меньше соответствующего члена в гармоническом ряду, и по мере продвижения вперед они делаются все меньше и меньше. Поскольку гармонический ряд лишь «едва-едва» расходится, вполне реальны надежды на то, что базельский ряд, составленный из меньших и даже много меньших величин, сойдется. Вычисление подсказывает, что на самом деле так и есть. Сумма первых десяти членов равна 1,5497677…, сумма ста членов составляет 1,6349839…, тысячи — 1,6439345…, а десяти тысяч — 1,6448340…. Действительно, впечатление такое, что ряд сходится к какому-то числу в окрестности 1,644 или 1,645. Но к какому?

В подобных ситуациях математиков не устраивает просто найти приближение, особенно когда рассматриваемый ряд сходится медленно, как в данном случае. (Сумма 10 000 членов все еще на 0,006 процента отличается от значения полной, бесконечной суммы, которая равна 1,6449340668….) Выражается ли ответ дробным числом, скажем, 9108/5537 или 560 837 199/340 948 133? Или он имеет более сложный вид, может быть, в него входят корни, например, √46/17, или же корень пятой степени из 11 983/995, или же корень восемнадцатой степени из 7776[36]? Чему равен ответ? Неспециалист решил бы, что вполне достаточно знать это число с точностью до нескольких знаков после запятой. Но нет, математики желают знать его точно, если только это возможно. Не просто потому, что они одержимы навязчивой идеей, но и потому, что по опыту знают: получение точного ответа нередко открывает ранее запертые двери и проливает свет на более глубокие математические вопросы. Математический профессиональный термин для такого точного представления — это «замкнутый вид». А десятичное приближение, неважно, насколько точное, — «незамкнутый вид». Число 1,6449340668… — это незамкнутый вид. Сами видите, что многоточие сообщает нам, что правая часть не завершена и при желании можно проделать вычисление, чтобы добавить туда еще цифры.

Базельская задача была поставлена так: найти замкнутый вид ряда из обратных квадратов. Задача была в конце концов побеждена в 1735 году, через 46 лет после своей постановки, и сделал это молодой Леонард Эйлер, трудившийся в далеком Санкт-Петербурге. Потрясающий ответ имеет вид π^2/6. Да, это «то самое» π, магическое число, равное 3,14159265…, — отношение длины окружности к ее диаметру. Что же оно делает в задаче, которая не имеет ни малейшего отношения не только к окружностям, но и вообще к геометрии?! Современных математиков это не так уж изумляет, они привыкли, что π можно встретить в математике где угодно, но в 1735 году этот ответ произвел сильное впечатление.

Базельская задача подводит нас к дзета-функции — объекту, с которым мы имеем дело в Гипотезе Римана. Но прежде чем мы сможем познакомиться с дзета-функцией, надо вспомнить кое-что из математических основ: степени, корни и логарифмы.

II.

Степени — это прежде всего повторяющееся умножение. Число 12^3 — это 12×12×12, где перемножаются три сомножителя, а 12^5 — это 12×12×12×12×12, где сомножителей пять. Что получится, если умножить 12^3 на 12^5? Это будет (12×12×12)×(12×12×12×12×12), что, конечно, составляет 12^8. Надо просто сложить степени: 3 + 5 = 8. В этом и состоит первое великое правило действий со степенями.

1-е правило действий со степенями:

xm×xn = xm + n.

(Давайте я здесь прямо и скажу, что во всем этом разделе мы будем иметь дело только с положительными значениями буквы x. Возводить в степень нуль — пустая трата времени, а возведение в степень отрицательных чисел приводит к занятным проблемам, о которых мы поговорим позднее.)

Что будет, если разделить 12^5 на 12^3? То есть вычислить (12×12×12×12×12)/(12×12×12). Можно сократить три множителя 12 сверху и снизу, и в результате останется 12×12, т.е. 12^2. Как видно, это все равно что вычесть степени.

2-е правило действий со степенями:

xm: xn = xm − n.

А теперь возведем 12^5 в куб: (12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12) дает 12^15. На этот раз степени перемножаются.

3-е правило действий со степенями:

(xn)m = xmn.

Таковы три самых важных правила, которые говорят нам, как обращаться со степенями. В дальнейшем мы будем ссылаться на них как на «правила действий со степенями» без дополнительных объяснений. Однако это пока не все правила. Нам потребуется еще несколько, потому что до сих пор у нас были степени, выражаемые положительными целыми числами. А как обстоит дело с отрицательными и дробными степенями? А со степенью нуль?

Начав с последнего, заметим, что если x^0 вообще что-нибудь будет означать, то хорошо бы добиться согласованности с теми правилами, которые у нас уже есть, потому что они являются прямым выражением здравого смысла. Возьмем во 2-м правиле n равным m. Тогда в правой части, как видно, получится x^0. А в левой части будет xm: xm. Но когда число делится само на себя, получается единица.

4- e правило действий со степенями:

x^0 = 1 для всякого положительного числа x.

2-е правило можно использовать и для того, чтобы придать смысл отрицательным степеням. Разделим 12^3 на 12^5. Согласно 2-му правилу, ответ должен быть равен 12−2. Но при этом он равен и (12×12×12)/(12×12×12×12×12), что после сокращения трех множителей 12 в числителе и знаменателе даст 1/12^2.

5-е правило действий со степенями:

x−n = 1/xn (в частности, x−1 = 1/x).

3-е правило наводит нас на мысль о том, что же должны означать дробные степени. Как можно поступить с величиной x1/3? Например, возвести ее в куб, тогда по 3-му правилу должно получиться просто x. Значит, x1/3 есть просто кубический корень из x. (Определение «кубического корня из x»: это число, куб которого равен x). 3-е правило теперь говорит нам, какой смысл имеет всякая дробная степень; x2/3 — это кубический корень из x, возведенный в квадрат (или, что одно и то же, кубический корень из x^2).

6-е правило действий со степенями:

хm/n есть корень n-й степени из хm.

Поскольку 12 — это 3×4, получаем, что 12^5 равно (3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4). Это можно переписать как (3×3×3×3×3)×(4×4×4×4×4). Короче говоря: 12^5 = 3^5×4^5. Такое верно и в общем случае:

7-е правило действий со степенями:

(x×y)n = xn×yn.

А что насчет возведения x в иррациональную степень? Что могло бы означать 12√2, или 12π, или 12e? Здесь мы снова попадаем в царство анализа. Вспомним про ту последовательность из главы 1.vii, которая сходилась к √2. Она выглядела так: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, … Продолжая эту последовательность достаточно далеко, можно подобраться к √2 сколь угодно близко. А из 6-го правила, которое говорит о значении всякой дробной степени, понятно, что же представляет собой число 12, возведенное в каждую из этих дробных степеней. Разумеется, число 12^1 равно просто 12, а 123/2 — это квадратный корень из 12 в кубе; 41,569219381…. Далее, 127/5 — это корень пятой степени из 12 в седьмой степени, что равно 32,423040924…. Таким же образом, 1217/12 равно 33,794038815…, 1241/29 равно 33,553590738…, 1299/70 равно 33,594688567… и т.д. Как мы видим, эти дробные степени числа 12 сходятся к некоторому числу — на самом деле к числу 33,588665890…. Поскольку сами дроби при этом сходятся к √2, очень похоже на правду, что 12√2 = 33,588665890….

Итак, задавшись положительным числом x, можно возводить его вообще в любую степень — положительную, отрицательную, дробную или иррациональную. При этом будут выполняться приведенные выше правила действий со степенями, поскольку мы ввели определения таким образом, чтобы именно это и гарантировать! На рисунке 5.1 показаны графики функций xa для различных чисел a в интервале от −2 до 8. Отдельно отметим нулевую степень х^0, представляющую собой горизонтальную прямую на высоте 1 над осью x — то, что математики называют «постоянной функцией» (а медсестры в реанимации называют «остановкой»). Для любого аргумента x значение этой функции равно 1. Стоит еще обратить внимание, как быстро возрастают целочисленные степени x^2, x^3, x^8, а также — что имеет более прямую связь с главной темой этой книги — как медленно возрастают дробные положительные степени, такие как x0,5.

Рисунок 5.1. Степенные функции xa для различных чисел a.

III.

Возведение чисел в степени на первый взгляд выглядит похожим на умножение. Умножение сначала представляют как кратное сложение: 12×5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12, затем на следующем уровне сложности объясняется, что такое 12×5^1/2 где на самом деле содержится кое-что еще, кроме кратного умножения. Похожим образом обстоит дело и с возведением в степень. Определить 12^5 совсем легко, это кратное умножение: 12×12×12×12×12. Чтобы справиться с , требуются дополнительные объяснения, подобные тем, что предложены в предыдущем разделе.

Как я уже говорил, математики обожают обращать выражения. Скажем, пусть задано выражение величины P через Q. Отлично, давайте посмотрим, можно ли выразить Q через P. И здесь аналогия между умножением и возведением в степень нарушается. Обратить умножение легко: если x = a×b, то a = x:b и b = x:a. Деление полностью решает проблему обращения умножения.

Аналогия нарушается, потому что a×b всегда и без единого исключения равно a×b, но, к сожалению, неверно (за исключением случайных совпадений), что ab = ba (единственный случай, когда это так для целочисленных степеней и не совпадающих a и b — это 2^4 = 4^2). Например, 10^2 есть 100, но 2^10 есть 1024. Поэтому, если мы собираемся обратить x = ab, то нам понадобятся две разные вещи: способ выразить a через x и b и, отдельно, способ выразить b через x и a. Первое — не проблема. Возведем обе части в степень 1/b и в соответствии с 3-м правилом получим a = x1/b (что согласно 6-му правилу означает, что a есть корень b-й степени из x). Но как же выразить b через x и а? Правила действий со степенями не дают здесь никаких подсказок.

Здесь-то и появляются логарифмы. Ответ таков: b есть логарифм x по основанию a. Это просто-напросто определение логарифма. Логарифм числа x по основанию a (обычно записываемый как loga x) определяется как такое число b, для которого верно равенство x = ab. Это дает целое семейство логарифмических функций: логарифм x по основанию 2, логарифм x по основанию 10 (который более старшие читатели могут припомнить в качестве облегчающего вычисления средства, — его проходили в старших классах школы примерно до 1980 года) и т.д. Можно было бы представить их все в виде графиков, как это сделано для графиков функций х^0 на рисунке 5.1.

Я не буду этого делать, потому что мне глубоко безразличны все члены логарифмического семейства, кроме одного — логарифма по основанию e, где e — необычайно важное, хотя и иррациональное число 2,71828182845…. Логарифм по основанию e — единственный, который меня интересует, и единственный, которым мы будем пользоваться в этой книге. На самом деле я больше не буду говорить «логарифм по основанию e», а буду говорить просто «логарифм».[37] Так что же такое логарифм числа x? По данному выше определению, это такое число b, для которого делается верным равенство x = eb.

Поскольку ln x — это такое число b, для которого верно равенство x = eb, ясно, что x = eln x. Это равенство — просто записанное математически определение того, что такое ln x. Но в дальнейшем оно будет играть такую важную роль, что мы сделаем из него правило.

8-е правило действий со степенями:

x = eln x.

Это верно для любого положительного числах. Например, ln 7 есть 1,945910… по той причине, что (с точностью до шести знаков после запятой) 7 = 2,7182811,945910. Отрицательные числа не имеют логарифмов (хотя это еще одна вещь, по поводу которой я оставляю за собой право потом передумать). И нуль также не имеет логарифма. Не существует такой степени, в которую можно было бы возвести в, чтобы получить отрицательный или нулевой результат. Область определения логарифма составляют все положительные числа.

Логарифмическая функция присутствует повсеместно в рассматриваемой области математики. Мы уже встречали ее в главе 3.viii-ix, где она участвовала в Теореме о распределении простых чисел и в ее эквивалентных формулировках. Она будет появляться снова и снова в этой книге во всем, что имеет отношение к простым числам и дзета-функции.

Раз уж логарифмическая функция будет встречаться на каждом шагу, рассмотрим ее подробнее. На рисунке 5.2 показан график[38] функции ln x для аргументов, простирающихся до 55. В частности, отмечены значения этой функции для аргументов, равных 2, 6, 18 и 54. Эти аргументы растут «по умножению» на тройку, а как видно из графика, соответствующие значения функции растут равными шагами — т.е. «по сложению». Именно это обстоятельство подчеркивалось, когда мы говорили о логарифмической функции в главе 3.viii.

Рисунок 5.2. Логарифмическая функция.

Дело стоит того, чтобы сказать еще несколько слов. Логарифмическая функция хороша тем, что она превращает умножение в сложение. Взглянем на линии, отмеченные на графике. Аргументы равны 2, 6, 18 и 54 — мы начинаем с 2, потом умножаем на 3, потом снова на 3, потом еще раз на 3 и еще раз на 3. Значения функции, если ограничиться четырьмя знаками после запятой, равны 0,6931, 1,7918, 2,8904 и 3,9890 — они начинаются с 0,6931, потом прибавляется 1,0987, затем 1,0986 и еще раз 1,0986. Логарифмическая функция превратила умножение (на 3 в нашем случае) в сложение (прибавление числа ln 3, равного 1,09861228866811…).

Это следует из определения ln x и из правил действий со степенями. Из 8-го правила следует, что если a и b — любые два положительных числа, то a×b = eln a×eln b. Но, заменяя правую часть согласно 1-му правилу, получаем a×b = eln a + ln b. Однако a×b — само по себе некоторое число, и, согласно 8-му правилу, имеем a×b = eln (a×b). Мы получили два различных выражения для a×b. Приравнивая их, получаем новое правило действий со степенями.

9-е правило действий со степенями:

ln (a×b) = ln a + ln b.

Это потрясающая штука. Она означает, что, когда мы сталкиваемся со сложной задачей на умножение, «взятие логарифмов» (т.е. применение того принципа, что из равенства P = Q следует равенство ln P = ln Q) позволяет свести ее к задаче на сложение, которая может оказаться проще. Звучит это почти банально, и тем не менее именно этот нехитрый приемчик понадобится нам в главе 19.v для того, чтобы повернуть Золотой Ключ.

Из того, что ln (a×b) = ln a + ln b, следует, что ln (a×a×a×…) = ln a + ln a + ln a + …. И это дает последнее правило действий со степенями.

10-е правило действий со степенями:

ln (aN) = N×ln a.

Не повторяя необходимую цепь логических рассуждений, просто отметим, что это правило применимо ко всем степеням буквы а, включая и отрицательные. Особо важный частный случай состоит в том, что ln (1/a) = −ln a, поскольку 1/а есть не что иное, как a−1. Так что если нам известно, что ln 3 = 1,09861228866…, то мы немедленно заключаем, что ln 1/3 = −1,09861228866…. Вот почему график функции ln x проваливается вниз к отрицательной бесконечности по мере того, как x делается все ближе и ближе к нулю. Это обстоятельство тоже поможет нам повернуть Золотой Ключ.

IV.

Как мы видим, ln x — медленно возрастающая функция. Неторопливость, с которой ln x возрастает, не только сама по себе обворожительна, но и важна. Главное здесь то, что ln x растет медленнее, чем любая степень буквы x. На первый взгляд это кажется довольно очевидным. Когда я говорю «степень буквы x», вы, должно быть, думаете о квадратах и кубах; а как вы знаете, график функции возведения в квадрат или куб так лихо вылетает за границы рисунка, что его и сравнивать нечего с еле плетущейся логарифмической функцией. Это, конечно, верно, но дело не в этом. Я имею в виду не степени вроде х^2 или х^3, а степени типа х0,1.

На рисунке 5.3 показаны графики некоторых функций xa для малых значений a. Там выбраны a = 0,5, 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1, а пунктиром для сравнения показана логарифмическая функция. Как видно, чем меньше a, тем более плоским делается график функции xa. А кроме того, для тех a, которые меньше определенного значения (на самом деле — значения 1/e, что равно 0,3678794…), кривая, отвечающая функции ln x, пересекает кривую xa до того, как уйти достаточно далеко на восток.

Рисунок 5.3. Функции xa при малых положительных a.

Так вот, неважно, сколь маленьким вы возьмете a, все равно график функции ln x рано или поздно окажется более плоским, чем график xa. Если а больше чем 1/e, то это видно сразу, даже на изображенных графиках. Если же a меньше чем 1/e, то, уйдя достаточно далеко на восток — т.е. взяв достаточно большой аргумент x, мы увидим, как кривая ln x снова пересекает кривую xa, после чего уже навсегда остается ниже нее.

Разумеется, путешествие может оказаться неблизким. Кривая ln x повторно пересекает кривую x0,3 чуть к востоку от точки x = 379; она повторно пересекает кривую x0,1 только после того, как пройдет через точку x = 332 105; и она повторно пересекает кривую x0,001 только после прохождения точки x = 3 430 631 121 407 801. Если бы мы нарисовали график функции x в степени одна триллионная (т.е. x0,000000000001), то она выглядела бы до безобразия плоской. Настолько, что ее нелегко было бы отличить от функции «остановки сердца», которая имеет высоту 1 над осью x, — ничего похожего на изящно восходящую кривую логарифмической функции. Логарифмическая кривая пересекла бы ее на малюсеньком расстоянии к востоку от e. И однако же степенная функция растет, хотя и чрезвычайно медленно, в то время как логарифмическая функция постепенно становится все более пологой. Рано или поздно они снова пересекутся, и тогда уже логарифмическая кривая навеки останется под кривой x0,000000000001. Точка пересечения в этом случае наступит при таком большом аргументе, что я не могу его здесь записать: это число начинается как 44 556 503 846 304 183… и содержит еще 13 492 301 733 606 цифр.

Картина такова, как будто ln x старается быть функцией x^0. Конечно, это не x^0: для любого положительного числа выражение x^0 определяется равным числу 1, согласно 4-му правилу, и соответствующий график, как мы видели, — это «остановка сердца». Но хотя функция ln x и не есть x^0, она умудряется при достаточно больших x поднырнуть под функцию xε со сколь угодно малым ε и оставаться там уже навсегда.[39]

В действительности дело обстоит даже еще более странным образом. Рассмотрим утверждение: «функция ln x рано или поздно будет расти медленнее, чем x0,001, и x0,000001, и x0,000000001, и …» Представим себе, что мы возвели все это утверждение в некоторую степень — скажем, в сотую. (Это, надо признать, не очень строгая математическая операция, но она приводит к верному результату.) После применения 3-го правила утверждение будет выглядеть так: «функция (ln x)100 рано или поздно будет расти медленнее, чем x0,1, и x0,0001, и x0,0000001, и …». Другими словами, если логарифм растет медленнее, чем любая степень буквы x, то это же верно и для любой степени функции ln x. Каждая из функций (ln x)2, (ln x)3, (ln x)4, …, (ln x)100, … растет медленнее, чем любая степень x. Независимо оттого, сколь велико N и сколь мало ε, график функции (ln x)N в конце концов поднырнет под график функции xε и останется там, внизу.

Такое нелегко себе представить. Функции (ln x)N растут быстро — и даже очень быстро. И тем не менее, если на рисунке 5.3 отойти достаточно далеко на восток, то рано или поздно, при некотором впечатляюще большом аргументе, каждая из них опустится ниже кривой x0,3, x0,2, x0,1 и вообще любой кривой из этого семейства, какую вы только потрудитесь нарисовать. Придется отправиться на восток в окрестность точки x = 7,9414×10^3959, прежде чем (ln x)100 опустится ниже, чем x0,3; и однако же это случится.

V.

Кое-что из сказанного понадобится нам прямо сейчас, а кое-что останется на потом. Но все сказанное важно для понимания Гипотезы Римана, и я призываю вас проконтролировать некоторые основные моменты — проверить, как вы их понимаете, прежде чем двигаться дальше. Для этого сгодится карманный калькулятор. Можете, например, найти ln 2 (он равен 0,693147…) и ln 3 (равный 1,098612…) и удостовериться, что при сложении их действительно получается ln 6 (равный 1,791759…). Но только обратите, пожалуйста, внимание, что (как я уже упоминал) прежде использовались логарифмы по основанию 10, так что клавиша «log» на многих карманных калькуляторах вычисляет именно десятичные логарифмы. Тот единственный логарифм, который нас здесь интересует, — логарифм по основанию e — на калькуляторе, как правило, вычисляется с помощью альтернативной клавиши, помеченной ln x. Вот эта клавиша вам и нужна. (Буква n указывает на «натуральный» логарифм; логарифм по основанию e по всем правилам называется «натуральный логарифм».)

Ну а теперь вернемся к базельской задаче.

VI.

Эйлерово решение базельской задачи прекрасно иллюстрирует сделанное в разделе I этой главы замечание, что поиск решений в замкнутом виде расширяет понимание, позволяя проникнуть в суть вещей. Эйлерово решение дало не только замкнутое выражение для ряда из обратных квадратов, но в качестве побочного продукта еще и замкнутые выражения для рядов ,  и т.д. Для четных N результат Эйлера дает в замкнутом виде точное значение для следующего бесконечного ряда (5.1):

Когда N равно двум, ряд сходится к π^2/6, как уже было сказано; когда N равно 4, ряд сходится к π^4/90; когда N равно 6, ряд сходится к π^6/945 и т.д. Метод Эйлера дает ответ для каждого четного N. В более поздней публикации он сам добрался до N = 26, когда ряд сходится к числу 1 315 862π^26/11 094 481 976 030 578 125.

А что, если N нечетное? Полученный Эйлером результат ничего про это не говорит. Как не говорит и ни один другой результат, полученный за последующие 260 лет. Нет никаких идей относительно замкнутого выражения (если таковое вообще существует) ни для , ни для аналогичного ряда при других нечетных показателях степени. Никто не смог найти замкнутое выражение для этих рядов. Мы знаем, что они сходятся, и можем, конечно, методом грубой силы вычислить их значение с любой требуемой точностью. Мы просто не знаем, что они означают. Только в 1978 году было доказано, что ряд  определяет иррациональное число.[40]

Итак, к середине XVIII века немало математиков задумывались над бесконечным рядом из выражения (5.1). Точные значения — замкнутый вид — были известны для всех четных чисел N, тогда как для нечетных можно было получать приближенные значения, беря сумму достаточного числа членов. Не будем забывать, что, когда N равно 1, соответствующий ряд становится просто гармоническим рядом, который расходится. В таблице 5.1 приведены значения выражения (5.1) (которое, напомним, есть ) с точностью до 12 знаков после запятой.

N

Значение выражения (5.1)

1

(нет значения)

2

1,644934066848

3

1,202056903159

4

1,082323233711

5

1,036927755143

6

1,017343061984

Таблица 5.1.

Эта таблица похожа на один из тех «мгновенных снимков» некоторой функции, которые мы рассматривали в главе 3.iv. Так примерно дело и обстоит. Вспомним утверждение Гипотезы Римана, приведенное во вступлении.

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

Таблица 5.1 дает нам первое представление о дзета-функции Римана и тем самым представляет собой первый шаг к пониманию Гипотезы Римана.

VII.

Коль скоро в предшествующих разделах данной главы мы потрудились придать смысл степенной функции xa для любого числа a, а не просто для целых чисел, сейчас нет причины ограничивать букву N в выражении (5.1) целыми числами. Можно представить себе, как это число свободно парит, принимая различные значения — дробные, отрицательные и иррациональные. Нет, правда, гарантии, что ряд будет сходиться для всех чисел — как мы уже знаем из главы 1.iii, он не сходится при N = 1. Но можно, по крайней мере, попытать счастья, исследуя разные возможности.

В связи с осознанием этой новой мысли, сменим обозначение N на другую букву, которая имеет меньше традиционных ассоциаций с целыми числами. Очевидным выбором, конечно, была бы буква x. Но Риман в своей работе 1859 года не использовал икса. Подобные вопросы в его время не были урегулированы. Вместо этого он пользовался буквой s; а его работа 1859 года приобрела такое значение, что все математики, жившие после Римана, вслед за ним использовали ту же букву. В исследованиях, посвященных дзета-функции, аргумент всегда обозначается буквой s.

И вот наконец перед нами дзета-функция Римана (дзета, которая пишется как ζ, — это шестая буква греческого алфавита) (5.2):

VIII.

Прежде чем двигаться дальше, давайте введем полезные математические обозначения, которые сократят работу по набору формул. (Думаете, легко вставить штуки, подобные выражению (5.2), в Microsoft Word?)

Если математики хотят сложить некоторое множество членов, которые все построены по общему закону, то они используют знак ∑. Это заглавная буква «сигма», восемнадцатая буква греческого алфавита, обозначающая греческую «с» (первую букву в слове «сумма»). Применяется она следующим образом. Суммируемый член, записанный с помощью данного правила, помещается «под» (на самом деле имеется в виду — справа, хотя вопреки логике говорится «под») знаком сигмы. А снизу и сверху от сигмы указывается, где сумма начинается и где заканчивается. Например, выражение

представляет собой математическую «стенографию» — краткую запись выражения √12 + √13 + √14 + √15. Сигма говорит нам: «Сложить их!»; выражения сверху и снизу от сигмы показывают, где начать сложение и где его закончить; и наконец, выражение под знаком сигмы говорит, что, собственно, надо складывать — в данном случае √n.

Математики не особенно педантичны по поводу стиля таких выражений. Приведенную выше сумму часто записывают как

поскольку ясно, что именно n пробегает значения от 12 до 15. Теперь, вовсю используя знак сигмы, мы можем не тратить силы на лишние символы, а записать выражение (5.2) в виде

А с учетом 5-го правила действий со степенями это же можно записать как

И более того, поскольку n с очевидностью (и часто) используется для обозначения положительных целых чисел 1, 2, 3, 4, …, математики сокращают запись еще сильнее и просто пишут

что выражает ту же самую дзета-функцию Римана. Читается это так: «дзета от s определена как взятая по всем n сумма от n в степени минус s». Здесь «по всем n» понимается как «по всем целым положительным п».

IX.

Получив дзета-функцию в виде изящного выражения, посмотрим повнимательнее на ее аргумент s. Из главы 1.iii мы уже знаем, что при s, равном единице, ряд расходится, и, следовательно, у дзета-функции нет значения. При s, равном 2, 3, 4, …, он всегда сходится и тем самым дает значения дзета-функции (см. таблицу 5.1). На самом деле можно показать, что ряд сходится при любом s, большем единицы. При s, равном 1,5, ряд сходится к 2,612375…. При s, равном 1,1, он сходится к 10,584448…. А при s, равном 1,0001, он сходится к 10000,577222…. Может показаться странным, что ряд расходится при s = 1, но при этом умудряется сходиться при s = 1,0001. Это, однако, нормальная ситуация в математике. На самом деле, когда s очень близко к 1, дзета-функция замечательным образом ведет себя подобно функции 1/(s − 1). Эта функция также имеет значения при всех s, кроме того случая, когда s в точности равняется 1, поскольку знаменатель тогда равен нулю, а на нуль делить нельзя.

Некоторую ясность может внести график. На рисунке 5.4 показан график дзета-функции. Как видно, когда аргумент s приближается к 1 справа, значения функции убегают на бесконечность, а когда s само уходит на бесконечность далеко справа, функция все более и более приближается к 1. (Я пририсовал еще два пунктира: линию s = 1 и график постоянной функции.)

Рисунок 5.4. Дзета-функция для аргументов, превышающих 1.

На графике не показано ничего про дзета-функцию слева от линии s = 1. Это потому, что до сих пор мы предполагали, что s больше единицы. А если меньше? Если, скажем, s равно нулю? Ну, тогда выражение (5.2) примет вид

Но согласно 4-му правилу эта сумма равна 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …, что довольно очевидным образом расходится. Возьмем сумму ста членов: она будет равна 100; тысячи — 1000. Сложение миллиона слагаемых дает значение 1000 000. Да, ряд расходится.

С отрицательными числами дело обстоит еще хуже. Каково значение выражения (5.2), если s равно −1? Из 5-го правила следует, что 2−1 — это просто 1/2, 3−1 — просто 1/3 и т.д. Поскольку 1:1/2 есть просто 2, 1:1/3 — просто 3 и т.д., наш ряд принимает вид 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …, что определенно расходится. А как насчет s = 1/2? Поскольку 21/2 — это просто √2 и т.д., ряд принимает вид

Поскольку квадратный корень из любого целого числа меньше самого числа, каждый член этого ряда[41] больше, чем соответствующий член ряда 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + …. (Элементарная алгебра: если a меньше, чем b, то 1/a больше, чем 1/b. Например, 2 меньше, чем 4, но 1/2 больше, чем 1/4). Указанный ряд расходится, а значит, интересующий нас ряд также расходится. Ну и правда, если вы потрудитесь вычислить суммы, то окажется, что первые десять членов суммируются к 5,020997899…, первые сто — к 18,589603824…, первые тысяча — к 61,801008765…, а первые десять тысяч — к 198,544645449… и т.д.

Похоже, что на графике изображено все, что можно показать про дзета-функцию Римана. Кроме этого, ничего больше нет. Функция имеет значения, только когда s больше единицы. Или, как мы теперь можем сказать с использованием должного профессионального термина, область определения дзета-функции составляют все числа, большие единицы. Верно? Нет!

Глава 6. Великое соединение

I.

Китайское слово Тай-е буквально переводится как «самый дальний дедушка» (прадедушка). Такой титул присвоен в семье моей жены ее деду по отцовской линии. Когда мы ездили в Китай летом 2001 года, нашей первейшей обязанностью было навестить Тай-е. Семья бесконечно им гордится, ибо он дожил до 97 лет в добром здравии и с ясной головой. «Ему девяносто семь лет! — говорили мне все. — Вам непременно надо встретиться с ним!» Я и встретился с ним — бодрым, располагающим к себе Буддой в цветущем человеческом воплощении, с румяным лицом и по-прежнему острым умом. Однако вопрос о том, правда ли ему 97 лет, довольно интересен.

Тай-е родился на третий день двенадцатого лунного месяца лунного года и сы по традиционному летосчислению, принятому в поднебесной.[42] По западному календарю это было 28 декабря 1905 года. Поскольку мой приезд пришелся на начало июля 2001 года, возраст Тай-е по современному западному исчислению в тот момент составлял 95^1/2 лет и несколько дней. Так почему же все говорили, что ему 97 лет? Потому что по старому китайскому стилю, которого и придерживался Тай-е, возраст его при рождении составлял один год, и к этому добавлялся год всякий раз, как наступал Новый год по лунному календарю — каковой случился 24 января 1906 года по нашему календарю, через 27 дней после его рождения. Он не прожил еще и месяца в этом мире, а ему уже было два года! Таким образом, когда наступил лунный Новый год в 2001 году (что случилось также 24 января, хотя вообще-то лунный Новый год может выпасть на любую дату между 21 января и 20 февраля), Самый Дальний Дедушка отпраздновал свое 97-летие.

В традиционной китайской системе подсчета возраста нет ничего неправильного. Вы появляетесь в этом мире в такой-то день. Этот день является частью определенного года. Ясно, что этот год — ваш первый год. Если спустя 28 дней наступает следующий год — отлично, он будет вашим вторым годом. Все это вполне осмысленно. Единственная причина, по которой такая система выглядит странно, состоит в том, что современные люди (в Китае в той же степени, что и на Западе) привыкли при подсчете лет оперировать временем как чем-то таким, что можно измерить. Но когда Тай-е был молодым, китайцы воспринимали возраст человека как нечто, подлежащее счету.

II.

Такое различие между числами для счета и числами для измерения глубоко проникло в людскую речь и само мышление. Похоже на то, что мы одной частью своей головы воспринимаем мир составленным из четко отделенных друг от друга твердых объектов, которым можно присвоить инвентарные номера, а другой частью видим мир в виде совокупности материалов, тканей и субстанций, которые надлежит делить на единицы и измерять. Параллельное осмысление обеих концепций дается нелегко. Мой шестилетний сын до сих пор путает слова для обозначения числа и количества, «many» и «much». После рождественских праздников он спросил у своего друга: «How much presents did you get?»[43]

Наше восприятие мира отражается в языке. Английский язык воспринимает мир как место, в основном поддающееся подсчету в существующих отдельно штуках: одна корова, две рыбы, три горы, четыре двери, пять звезд. Несколько реже наш язык воспринимает мир как нечто, нуждающееся в измерении при помощи соответствующих единиц: трава — одна былинка; бумага — два листа; скот — три головы; рис — четыре зернышка; бензин — пять галлонов. Слова «былинка», «лист», «голова», «зернышко», «галлон» — хотя, разумеется, каждое из них и может жить своей собственной жизнью — выступают здесь в роли единиц измерения. Китайский же язык, в отличие от английского, рассматривает практически все сущее как измеряемое. Одна (хотя и не самая главная) вещь, которую приходится зубрить при изучении китайского, — запоминание правильного «счетного слова» (таков точный перевод китайского грамматического термина лян цы) для каждого существительного: одна голова коровы, две ленты рыб, три постамента гор, четыре лопасти дверей, пять зерен звезд.[44] Во всем китайском языке только два слова можно выпустить на свободу без счетного слова: «день» и «год». Все остальное — коровы, рыбы, горы, двери, звезды — представляет собой род субстанции, которую необходимо разделить и измерить, прежде чем о ней можно будет говорить.

Затруднения по поводу определения количества в свое время вызвали многочисленные споры и привели ко многим неудобствам. Во времена миллениума, например, который большинство из нас отмечали, когда год 1999-й сменился годом 2000-м, немногочисленные сеющие раздор диссиденты говорили, что все это неправильно. Их недовольство основывалось на том факте, что наш обычный календарь сконструирован без нулевого года. Первому дню первого года от P.X. предшествовал последний день первого года до P.X. Так произошло, потому что Дионисий Малый — живший в VI веке монах, совместивший христианскую систему нумерации лет с месяцами и днями календаря Юлия Цезаря, рассматривал годы как вещь исчисляемую, в точности как наш Тай-е. Первому году христианской эры тем самым надлежало быть годом 1, второму — годом 2 и т.д.

Источник проблемы несложно понять. Возьмем обычную школьную линейку. (Не в первый уже раз на протяжении этой книги. Удивительно, сколь много математики — и даже высшей — можно соотнести с отметками на футовой линейке за 1 доллар 89 центов.) Ну да, на ней отмечены 12 дюймов. Да, вы можете их пересчитать: 1, 2, 3, …, 12. Но если вы муравей и начали путешествие от левого конца линейки к правому и только что прошли первые полдюйма, то где же вы? В середине первого дюйма? Да. Значит, в середине дюйма номер 1? Конечно, если угодно. Но какова точная мера расстояния, которое вы прошли? Хм, это 0,5 дюйма. Поскольку движение — это непрерывный процесс (ибо муравей рано или поздно пройдет через каждую точку на линейке), это число намного более интересно и важно для математика. Математик предпочитает поэтому говорить, что вы на половине пути (другими словами, на 0,5 пути) через нулевой дюйм, что и определяет ваше положение как 0,5.

Современные люди достаточно математически изощренны, чтобы большую часть времени думать подобным образом. Это в действительности и представляло собой источник смятения для упомянутых «жалобщиков» на миллениум или же, в зависимости от того, какую точку зрения вы принимаете, для беззаботных весельчаков поздним вечером 31 декабря 1999 года. Жалобщики говорили: «Если вы измерите время, прошедшее от момента начала новой эры до самого конца 1999 года, вы наберете только 1999 полных лет. Вам надо подождать, пока не истечет 2000-й год». Они применяли логику измерений к системе, основанной на логике счета. А предающиеся веселью говорили: «Наступает год с номером 2000. Ур-ра!» — чисто «счетная» логика. И однако, те же весельчаки могут скатиться на логику измерения при ответе на вопрос о возрасте их недавно родившегося ребенка: «Ах, ему всего полгода». Другими словами, его возраст составляет 0,5 года — измерительная логика, по крайней мере по контрасту с традиционным китайским подходом. (У них, правда, есть возможность запутать все дело еще больше, сказав «Шесть месяцев…»)

Я однажды вступил в мягкую полемику с писателем и любителем слов Вильямом Ф. Бакли-мл. относительно слова «data» — слово это во множественном или единственном числе? Происходит оно от латинского глагола dare — давать. Отсюда, следуя обычным процессам в латинской грамматике, можно образовать отглагольное существительное datum, означающее «то, что дано». Из него, в свою очередь, можно образовать множественное число: data — «те вещи, которые даны». Но мы говорим по-английски, а не на латыни. Масса существительных в латинском множественном числе используется в английском в единственном числе: agenda, например. Никто не говорит «The agenda are prepared». Английский — это наш язык, и если мы заимствуем слово из другого языка, мы можем поступать с ним, как нам нравится.

Проработав с данными (data) всю свою сознательную жизнь, я неплохо себе представляю, что это такое. Это особое «тело» или даже субстанция, состоящая из неисчислимых маленьких частичек, неотличимых одна от другой — подобно рису, песку или траве. Применительно к субстанциям и телам такого типа в английском языке надо употреблять глаголы в единственном числе («рис сварился») или же использовать счетные слова. Если вы желаете ухватить одну частичку и рассматривать именно ее, требуется счетное слово: «зернышко риса», «элемент данных». Именно так, кстати, инстинктивно и говорят люди, которые зарабатывают себе на жизнь обработкой данных. Среди людей, содержание работы которых — данные, никто никогда не скажет «One datum, two data».[45] Если бы они сказали такое, их никто бы не понял. И однако же грамматисты хотят, чтобы мы говорили «The data are…» Мое предсказание состоит в том, что они в конце концов проиграют бой.[46]

В качестве последнего примера приведу тот, который озадачивал меня в школьные годы, прошедшие под знаком англиканской церкви: рассмотрим те три дня, которые Иисус Христос пролежал в могиле перед тем, как воскреснуть в согласии со своим собственным пророчеством: «После трех дней воскресну». Трех дней? Он был распят в пятницу — Страстную пятницу. Воскресение состоялось в воскресенье. Это составляет 48 часов, если измерять, но, разумеется, три дня (пятница, суббота, воскресенье), если считать, как и поступали те эллинизированные интеллектуалы, которые составили Новый Завет.[47]

III.

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

Гипотеза Римана родилась из столкновения, названного в заглавии данной главы великим соединением, между логикой подсчета и логикой измерения. Выражаясь точным математическим языком, она возникла, когда некоторые идеи из арифметики были скомбинированы с некоторыми идеями из анализа и образовалась новая штука, новая ветвь на древе математики — аналитическая теория чисел.

Вспомним традиционные категории математики, о которых мы говорили в главе 1.viii.

1. Арифметика — наука о целых числах и дробях.

2. Геометрия — наука о фигурах в пространстве.

3. Алгебра — использование абстрактных символов для представления математических объектов (чисел, линий, матриц, преобразований) и изучение правил, по которым эти символы можно комбинировать.

4. Анализ — наука о пределах.

Эта четырехчленная схема закрепилась в людских головах около 1800 года, а великое соединение, которое я собираюсь описать в данной главе, было соединением идей, до 1837 года существовавших каждая сама по себе под двумя из приведенных вывесок — арифметики и анализа. Это соединение создало такую дисциплину, как аналитическая теория чисел.

Сегодня мы достаточно искушены в подобных взлетах воображения, и они, возможно, чуть лучше нам удаются. В действительности на сегодняшний день наряду с аналитической теорией чисел существуют алгебраическая теория чисел и геометрическая теория чисел. (Мы дойдем до некоторых элементов алгебраической теории чисел в главе 20.v.) Но в 30-х годах XIX столетия соединение концепций из двух областей, до того считавшихся не связанными друг с другом, несколько ошарашивало. Однако, прежде чем можно будет познакомить вас с главным действующим лицом в этой части нашей истории, надо сказать еще кое-что о тех двух дисциплинах, которые он друг с другом соединил.

IV.

В то время, о котором у нас идет речь, — в начале XIX столетия — анализ оставался самой новой и самой привлекательной частью математики, где совершались великие достижения и где работали самые проницательные умы. К концу столетия об арифметике, геометрии и алгебре было известно больше, чем в начале, но об анализе — намного больше. В самом же начале того столетия основную концепцию анализа — концепцию предела — ясно не представляли себе и лучшие умы. Если бы вы спросили Эйлера или даже молодого Гаусса, о чем идет речь в анализе, они сказали бы: «О бесконечном и инфинитезимальном». Но если бы вы вслед за тем спросили Эйлера, а что же в точности означает «бесконечное», он бы разразился приступом кашля и ушел из комнаты или же развернул дискуссию о значении слова «означает».

Анализ на самом деле ведет свое начало от изобретения дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем в 70-х годах XVII века. Без сомнения, идея предела — идея, разграничивающая анализ и остальную математику, — имеет фундаментальное значение для дифференциального и интегрального исчисления. Если вы хоть раз сидели в аудитории на лекции по математическому анализу, то у вас, возможно, остались смутные воспоминания о графике, на котором изображены кривая и пересекающая ее в двух точках прямая. «А теперь, — говорит лектор, — если вы будете сдвигать эти точки все ближе друг к другу, то в пределе…» — а остальное вы позабыли.

Дифференциальное и интегральное исчисление не составляют всего анализа: расходимость гармонического ряда — это теорема из анализа, но она не относится к дифференциальному и интегральному исчислению, которых просто не было в те времена, когда жил Никола Орем. Имеются и другие достаточно обширные области анализа, которые, строго говоря, не относятся к дифференциальному и интегральному исчислению. Теория меры, например, развитая Анри Лебегом в 1901 году, а также солидный кусок теории множеств. Тем не менее мне кажется справедливым сказать, что даже новейшие области анализа, не связанные с дифференциальным и интегральным исчислением, были открыты в связи с идеей совершенствования последнего: в случае Лебега — в связи с совершенствованием определения интеграла.

Концепции, которыми оперирует анализ, — «бесконечное и инфинитезимальное», как сказал бы Эйлер, или «пределы и непрерывность», как поправил бы его сегодняшний коллега, — относятся к вещам, которые всего труднее охватить человеческим умом. Вот почему дифференциальное и интегральное исчисления так пугают столь многих образованных людей. Причины всех затруднений были сформулированы на очень раннем этапе развития математики — около 450 года до P.X. греческим философом Зеноном. Каким образом, спрашивал Зенон, оказывается возможным движение? Как можно говорить о том, что стрела летит, если в каждый данный момент времени она где-то должна находиться? Если все время составлено из моментов, а движение невозможно ни в какой заданный момент, то каким же образом вообще возможно движение?

В начале XVIII века, когда дифференциальное и интегральное исчисление впервые стало известно в широких кругах образованной публики, понятие бесконечно малого сделалось объектом многочисленных насмешек. Известным скептиком был ирландский философ Джордж Беркли (1685-1753 гг.; это его именем назван город в Калифорнии): «А что из себя представляют эти приращения текущих величин? Это не конечные величины, не бесконечно малые, ни даже ничто. Не следует ли называть их призраками почивших величин?»

Трудности, с которыми давались эти идеи, напоминают нам о том, что на определенном уровне математическое мышление является глубоко неестественным. Не говоря уже об анализе, это относится и к основам арифметики. В предисловии к Principia Mathematica Уайтхед и Рассел отмечали:

Сама по себе абстрактная простота идей в этой работе парализует язык. С помощью языка проще выражать сложные идеи. Высказывание «кит — большой» представляет язык в его лучшем проявлении, соотнося сжатое выражение со сложным фактом, тогда как полный анализ высказывания «единица — это число» приводит к непереносимому многословию.

(И они не шутили. В Principia Mathematica на определение числа 1 отводится 345 страниц.)

Совершенно верно. Кит, в соответствии с любыми осмысленными стандартами сложности, является значительно более сложной штукой, чем «пять», и однако же его намного проще охватить человеческим умом. В языке любого человеческого племени, знакомого с китами, несомненно найдется слово для них. И однако же есть народы, в языке которых нет слова для «пяти», несмотря на то что его, так сказать, содержание находится у них в буквальном смысле на пальцах! Повторюсь: математическое мышление представляет собой глубоко неестественный способ мыслить и, вероятно, по этой-то причине и отталкивает столь многих. Но если это отталкивание удается преодолеть, то воздается сполна! Посмотрим на 2000-летнюю историю одомашнивания концепции нуля — числа, которое получило широкое признание математиков лишь около 400 лет назад. Ну и что бы мы без него сегодня делали?

Арифметику, в отличие от анализа, принято рассматривать как простейшую, легче всего постижимую область математики. Целые числа? Ясное дело, требуются для счета. Отрицательные числа? Без них не обойтись, если вы интересуетесь температурой в холодный денек. Дроби? Разумеется, понятно, что гайка в 3/8 дюйма не навинтится на болт 13/32. Если вы предоставите мне бумагу, карандаш и немного времени, я, пожалуй, смогу вам сказать, подойдет ли гайка размером 15/23 к болту размера 29/44. Чего же тут бояться?

Но арифметика обладает тем занятным свойством, что в ней довольно легко сформулировать утверждения, которые невероятно трудно доказать. В 1742 году Кристиан Гольдбах выдвинул свою знаменитую гипотезу, что любое четное число большее двойки можно представить как сумму двух простых чисел. Усилия, прилагавшиеся лучшими умами на планете на протяжении двадцати шести десятков лет, не принесли ни доказательства, ни опровержения этого простого утверждения (которое послужило источником вдохновения по крайней мере для одного романа: «Дядя Петрос и гипотеза Гольдбаха» Апостолоса Доксиадиса.[48] В арифметике имеются сотни подобных гипотез, одни из них доказаны[49], а другие остаются открытыми.

Нет сомнения, что именно это имел в виду Гаусс, когда отверг предложение вступить в соревнование за награду, обещанную за доказательство Последней теоремы Ферма. Генриху Олберсу, который побуждал его участвовать, Гаусс ответил: «Должен сознаться, что теорема Ферма… не слишком меня интересует, поскольку я без труда мог бы произвести множество утверждений подобного типа, — таких, которые будет невозможно ни доказать, ни опровергнуть».

Следует, впрочем, сказать, что равнодушие Гаусса в данном случае — это точка зрения меньшинства. Задача, сформулировать которую можно в нескольких простых словах, но решить которую лучшие математические таланты не могут на протяжении десятилетий — или, как в случае гипотезы Гольдбаха или Последней теоремы Ферма, столетий, — обладает неотразимой привлекательностью для большинства математиков. Они знают, что могут прославиться, если решат ее, как это произошло с Эндрю Уайлсом, доказавшим Последнюю теорему Ферма. Из истории вопроса им также известно, что даже неудачные попытки могут привести к созданию мощных новых методов и получению новых результатов. И кроме того, никуда не делся «фактор Мэлори»: отвечая на вопрос «Нью-Йорк таймс», почему ему так хочется забраться на гору Эверест, Джордж Мэлори[50] ответил: «Потому что она есть».

V.

Связь между измерением и счетом такова. Поскольку нет никакого теоретического предела точности, с которой можно измерить некую величину, список всех возможных измерений бесконечен и при этом бесконечно измельчен. Между измерением, которое дает 2,3 дюйма, и измерением, которое дает 2,4 дюйма, имеются промежуточные, более точные результаты в 2,31, 2,32, 2,33, …, 2,39 дюйма, которые можно разбивать далее, и так до бесконечности. Поэтому мы можем совершить мысленное путешествие, в котором, переходя от одного результата измерения к любому другому, мы связываем их через бесчисленное количество других, расположенных между ними, и при этом никогда не возникнет проблемы, что нам будет не на что наступить. Эта идея связности — путешествия через пространство или некоторый интервал без необходимости перепрыгивать через пустоты — лежит в основе жизненно важных математических понятий непрерывности и предела. Другими словами, она лежит в основе всего анализа.

Наоборот, если мы занимаемся счетом, то между семью и восемью ничего нет; нам приходится совершать прыжок от одного числа к другому, причем между ними нет никаких камешков, по которым можно было бы скакать. Да, измеряя что-то, можно получить результат в семь с половиной дюймов, но нельзя насчитать семь с половиной объектов. (Ваше возражение могло бы быть таким: «А что, если у меня семь с половиной яблок? Разве это не высказывание о результате счета?» Я бы ответил: «Я могу разрешить вам выражаться таким образом, но только если вы уверены, что там ровно семь с половиной яблок, — в той же степени, в которой Ларри, Керли и Моу[51] — это ровно три человека. А что, если у вас 0,501 или 0,497 от целого яблока?» И если мы желаем разрешить этот вопрос, то мы немедленно попадаем в царство измерений. «Семь с половиной струнных квартетов» — это жульничество.)

Великое соединение арифметики и анализа — соединение счета и измерения, чисел staccato и чисел legato — возникло в результате исследования простых чисел, предпринятого Леженом Дирихле в 30-х годах XIX века. Дирихле (1805-1859), несмотря на свои имя и фамилию, был немцем из городка близ Кельна, где он и получил большую часть своего образования.[52] Тот факт, что он был немцем, уже сам по себе заслуживает небольшого отступления, ибо соединение идей из арифметики и анализа, выполненное Дирихле и Риманом, происходило на фоне широких социальных изменений в математике в целом — подъемом немцев.

VI.

Первая десятка величайших математиков, работавших в 1800 году, выглядела бы примерно так: Арган, Бойаи, Больцано, Гаусс, Жермен, Коши, Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж, Пуассон, Уоллес, Фурье. Другой автор, или даже тот же самый, но в другом настроении, мог бы, конечно, добавить или вычеркнуть одну-две фамилии, но это не повлияло бы на самое поразительное свойство данного списка: практически полное отсутствие в нем немцев. Единственный из них — Гаусс. Еще в списке один шотландец, один чех, один венгр и один «спорный» (Лагранж, нареченный при крещении Джузеппе Лагранджа, считается «своим» и в Италии, и во Франции). Все остальные — французы.

Работавших в 1900 году математиков было вообще намного больше, так что составление подобного списка на тот год с большей вероятностью привело бы к потасовке. Однако мне представляется, что следующие фамилии вызовут локально минимальное количество возражений: Адамар, Борель, Вольтерра, Гильберт, Дедекинд, Кантор, Каратеодори, Клейн, Лебег, Миттаг-Лефлер, Пуанкаре, Харди. Четыре француза, итальянец, англичанин, швед и пятеро немцев.[53]

Появление немцев на ведущих позициях в математике тесно связано с историческими событиями, которые мы вкратце рассмотрели в главах 1 и 2. При всех реформах Фридриха Великого поражение под Йеной в 1806 году показало пруссакам, что им предстоит еще пройти значительный путь по совершенствованию и модернизации своего государства. Подъем националистических чувств, питаемый, с одной стороны, долгими войнами с Наполеоном, а с другой — движением романтизма, стимулировал дополнительное ускорение реформ, несмотря на то что их тормозил (с точки зрения националистов) провал на Венском конгрессе идеи объединения всех говорящих по-немецки народов. В годы, последовавшие за Йеной, прусская армия подверглась реорганизации на основе всеобщей воинской повинности, было отменено крепостное право, были сняты ограничения на развитие промышленности, пересмотрены система налогов и вся финансовая система, а также проведены образовательные реформы Вильгельма фон Гумбольдта, уже упоминавшиеся в главе 2.iv. Более мелкие немецкие государства последовали примеру Пруссии, и довольно скоро Германия в целом превратилась в место, где привольно себя чувствовали наука, промышленность, прогресс, образование — и, разумеется, математика.

Стоит, наверное, заметить, что была и еще одна, меньшая по масштабу, причина подъема немецкой математики в XIX столетии — Гаусс. Он единственный немец в списке, который я составил на 1800 год; но как один доллар стоит десятка десятицентовиков, так и один Гаусс стоил десятка обычных математиков. Одного того факта, что Гаусс находился в своей обсерватории в Геттингене и преподавал там (хотя он и не любил преподавать и, как мог, избегал подобных занятий), было достаточно, чтобы Германия, да и Геттинген, были отмечены на мысленной карте каждого, кто интересуется математикой.

VII.

Таков был мир, в котором вырос Лежен Дирихле. Родившись в 1805 году, он принадлежал к поколению, предшествовавшему поколению Римана. Он был сыном почтмейстера из городка в 20 милях к юго-западу от Кельна, в рейнских провинциях Пруссии. Его поколение первым выиграло от реформированной фон Гумбольдтом системы среднего образования. Он, по-видимому, исключительно быстро учился, поскольку к 16 годам имел достаточную подготовку для поступления в университет. Уже «подсев» к этому времени на математику, он отправился в город, который по-прежнему оставался мировой столицей математического знания, — Париж, везя с собой книгу, которой дорожил больше всего, Disquisitiones Arithmeticae Гаусса. В Париже с 1822 по 1825 год Дирихле посещал лекции многих великих французских светил того времени, включая по крайней мере четверых из тех, кто входит в приведенный выше список: Лапласа, Лежандра, Пуассона и Фурье.

В 1827 году, по достижении 22 лет, Дирихле вернулся в Германию и начал преподавать в университете Бреслау в Силезии. (Бреслау в настоящее время находится в Польше и на современных картах фигурирует под именем Вроцлава.) Он получил там должность при поддержке и поощрении Александра фон Гумбольдта — исследователя и путешественника, приходившегося братом Вильгельму. Оба брата фон Гумбольдт играли ключевую роль в культурном развитии Германии в начале XIX столетия.

Однако за пределами Берлина немецкие университеты находились в состоянии, описанном в главе 2.vii, занимаясь в основном подготовкой учителей, адвокатов и т.п. Разочаровавшись в Бреслау, Дирихле получил должность в Берлине, где и провел, преподавая, большую часть своей профессиональной жизни (с 1828 по 1855 год). Среди тех, кого он учил, был блестящий молодой ученый из местности Вендланд на севере Германии — Бернхард Риман, перешедший из Геттингенского университета в погоне за наилучшим математическим образованием. В главе 8 мы гораздо более подробно рассмотрим влияние, которое Дирихле оказал на Римана, а здесь лишь упомянем об этой связи и о том, что благодаря ей Риман приобрел глубокое уважение к Дирихле, считая его вторым по величине математиком после Гаусса.

Дирихле женился на Ребекке Мендельсон, одной из сестер композитора Феликса Мендельсона, образовав одну из многочисленных взаимосвязей между Мендельсоном и математикой.[54]

Сохранились некоторые записки о Дирихле и о стиле, в котором он читал лекции в годы своего пребывания в Берлине. Записки эти оставлены Томасом Херстом — англичанином, который занимался математикой, вел дневники и провел значительную часть 1850-х годов, путешествуя по Европе и принимаясь изучать математику везде, где это ему удавалось. Осень и зиму 1852-1853 года он провел в Берлине, где свел дружбу с Дирихле и стал посещать его лекции. Из дневника Херста:

31 октября 1852. Нельзя превзойти Дирихле в отношении богатства материала и ясного понимания его сути; но как оратор он не обладает особыми достоинствами — он не производит впечатление человека, хорошо владеющего речью. Однако же ясный взгляд и понимание предмета это компенсируют: если специально за этим не следить, то на его неровную речь и не обратишь внимания. У него такая своеобразная черта — он не видит своей аудитории: когда он не пишет на доске (и посему не стоит к нам спиной), он сидит за своей высокой кафедрой лицом к нам, подняв очки на лоб и оперев голову на обе руки; при этом, если глаза его не прикрыты руками, он держит их по большей части закрытыми. Никакими заметками он не пользуется, а загородившись руками, видит на них воображаемое вычисление, читая его нам вслух, чтобы мы смогли понять его так, как если бы тоже его видели. Мне импонирует такая манера чтения лекций.

14 ноября 1852. <…> Вечер среды я провел у Дирихле: снова встретил миссис Дирихле и узнал, что она — сестра Мендельсона; она сыграла мне несколько пьес своего брата, которые я слушал с большой охотой.

20 февраля 1853. <…> У Дирихле свои причуды, одна из которых — забывать о времени. Он вытаскивает свои часы, выясняет, что уже четвертый час, и убегает, даже не закончив фразы.

VIII.

Определяющая роль Дирихле в том, что относится к нашему рассказу, состоит в следующем. Вдохновленный результатом, доказанным Эйлером ровно за сто лет до того, — результатом, который я отныне буду называть Золотым Ключом, — Дирихле в 1837 году свел вместе идеи из анализа и арифметики для доказательства важного результата о простых числах. Этот момент многими рассматривается как начало аналитической теории чисел — арифметики с пределами. Открывшая новые горизонты работа Дирихле называлась, уж извините, Beweis des Satzes, doss jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Gleid und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sindf unendlich viele Primzahlen enthält — «Доказательство теоремы о том, что каждая неограниченная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой являются целыми числами без общего делителя, содержит бесконечно много простых чисел».

Возьмем любые два целых числа и будем последовательно прибавлять одно к другому. Если наши два числа имеют общий делитель, то каждое из получающихся чисел тоже будет иметь этот делитель: например, последовательное прибавление числа 6 к 15 даст числа 15, 21, 27, 33, 39, 45, …, каждое из которых делится на тройку. Но если два исходных числа не имеют общего делителя, то в получающемся списке могут попадаться и простые числа. Например, будем последовательно прибавлять 6 к 35: получим 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, …, где масса простых (вперемешку, разумеется, с массой не простых, таких как 65 или 77). А как много простых? Может ли такая последовательность содержать бесконечно много простых чисел? Другими словами, может ли случиться так, что для любого сколь угодно большого числа N нам удастся получить более чем N простых чисел, достаточно долго прибавляя для этого 6 к 35? А может ли любая подобная последовательность, построенная из двух чисел без общего делителя, содержать бесконечно много простых чисел?

Да. Может. И именно так дело и обстоит. Возьмем любые два числа без общего делителя и будем последовательно прибавлять одно к другому. Получим бесконечно много простых чисел (наряду с бесконечно большим количеством не простых). Гаусс высказал предположение, что так должно быть, — зная мощь Гаусса, хочется сказать, что он это чувствовал интуитивно, — но твердо доказал это Дирихле в той работе 1837 года. Именно в доказательстве, которое привел Дирихле, реализовалась первая часть того самого великого соединения.

На самом деле все даже еще интереснее. Возьмем любое положительное целое число, скажем, 9. Как много чисел, меньших, чем 9, не имеют общего делителя с девяткой (единица не считается за делитель)? Таких чисел шесть — это 1, 2, 4, 5, 7, 8. Будем по очереди брать каждое из них и последовательно прибавлять к нему девятку.

1: 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 100, 109, 118, 127…

2: 11, 20, 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 101, 110, 119, 128…

4: 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 103, 112, 121, 130…

5: 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77, 86, 95, 104, 113, 122, 131…

7: 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 79, 88, 97, 106, 115, 124, 133…

8: 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 89, 98, 107, 116, 125, 134…

Каждая из этих шести последовательностей содержит не просто бесконечно много простых чисел (выделены жирным), но и одну и ту же долю простых чисел. Другими словами, представим себе, что последовательности продолжены до окрестности какого-то очень большого числа N, а не просто до окрестности числа 134; тогда каждая последовательность будет содержать примерно одно и то же количество простых чисел, причем если верна Теорема о распределении простых чисел, то около 1/6(N∙ln N) (впрочем, эта теорема еще не была доказана во времена Дирихле). Если N — это 134, то 1/6(N∙ln N) составляет около 4,55983336…. Приведенные выше шесть последовательностей содержат 5, 5, 4, 5, 4 и 5 простых чисел, что дает среднее 4,6666… — на 2,3 процента больше, чем утверждается, что совсем неплохо для такой маленькой выборки.

Для доказательства своего результата Дирихле начал с арифметики в той форме, в какой она была подробно развита Гауссом в Disquisitiones Arithmeticae. Математики называют ее «арифметикой сравнений». Ее можно представлять себе как арифметику циферблата. Временно заменим 12 на циферблате часов на 0. Двенадцать часовых отметок на циферблате теперь имеют вид 0, 1, 2, 3, …, 11. Если времени сейчас восемь часов, а вы прибавите 9 часов, то что получится? Ага, вы получите пять часов. В данной арифметике, таким образом, 8 + 9 ≡ 5. Или, как это выражают математики, 8 + 9 ≡ 5 (mod 12), что читается как «девять плюс восемь сравнимо с пятью по модулю 12». Фраза «по модулю двенадцати» означает «я определяю результаты по циферблату с 12 часовыми отметками, от 0 до 11». Это может показаться тривиальным, но в действительности арифметика сравнений уходит очень глубоко и полна странных и трудных результатов. Гаусс был в ней великим гроссмейстером; ни одна из семи глав Disquisitiones Arithmeticae не обходится без знака ≡.

Не забудем, что Disquisitiones была постоянным спутником Дирихле в его молодые годы. Когда он приступил к упомянутой выше задаче в 1836 или 1837 году, ему было уже тридцать с небольшим лет, и к тому времени он не раз уже проштудировал работу Гаусса по сравнениям. Затем каким-то образом в поле его зрения попал результат Эйлера 1737 года — Золотой Ключ. Это и дало ему подсказку. Он соединил две вещи вместе, применил некоторые элементарные методы анализа и получил свое доказательство.

IX.

Дирихле, таким образом, был первым, кто подобрал Золотой Ключ — связующее звено между арифметикой и анализом — и всерьез воспользовался им. Однако (если продолжить ту аналогию, которую я здесь развиваю) утверждение о том, что он еще и повернул ключ, было бы некоторым преувеличением. Скорее я бы сказал, что он его взял, оценил его красоту и потенциальную мощь, затем отложил его в сторону, но использовал как образец для другого похожего ключа — серебряного, можно сказать, — чтобы отпереть дверь, ведущую к стоявшей перед ним конкретной проблеме. Великое соединение — аналитическая теория чисел — появилось во всем своем великолепии лишь 22 года спустя, в работе Римана 1859 года.

Вспомним, однако, что Риман был одним из учеников Дирихле и, без сомнения, знал о его работах. Действительно, в первом же абзаце своей статьи 1859 года он упоминает Дирихле вместе с Гауссом. Они были двумя его математическими кумирами. Если Риман повернул ключ, то Дирихле сначала показал ему этот ключ и продемонстрировал, что он в самом деле может что-то отпереть; и именно Дирихле заслуженно принадлежит бессмертная слава создания аналитической теории чисел.

Но что же представляет собой этот Золотой Ключ? Что именно оставил Леонард Эйлер, работая в своей комнате наедине со свечой, когда по улицам Санкт-Петербурга пробирались тайные агенты Бирона, что именно оставил он — для того чтобы через сто лет это нашел Дирихле?

Глава 7. Золотой Ключ и улучшенная Теорема о распределении простых чисел

I.

Внимательный читатель уже, должно быть, заметил, что математические главы этой книги развиваются по двум основным колеям. Главы 1 и 5 были целиком посвящены различным бесконечным рядам, приводящим к математическим объектам, которые Риман назвал дзета-функцией. А в главе 3, посвященной простым числам, отталкиваясь от заглавия работы Римана 1859 года, мы рассмотрели Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Эти два предмета — дзета-функция и простые числа, — очевидно, связны в силу того интереса, который к ним проявлял Риман. В самом деле, определенным образом связав одну концепцию с другой и повернув Золотой Ключ, Риман открыл целую область аналитической теории чисел. Но как он это сделал? Какова связь? Что именно представляет собой Золотой Ключ? В данной главе я намерен ответить на этот вопрос — предъявить вам Золотой Ключ. После этого мы начнем готовиться к повороту Золотого Ключа, рассмотрев улучшенный вариант ТРПЧ.

II.

Начинается все с «решета Эратосфена». Золотой Ключ по существу представляет собой способ, которым Леонард Эйлер сумел выразить решето Эратосфена в терминах анализа.

Эратосфен из Кирены (в настоящее время — городок Шаххат в Ливии) был одним из библиотекарей великой александрийской библиотеки. Около 230 года до P.X. — примерно через 70 лет после Эвклида — он разработал свой знаменитый метод решета для нахождения простых чисел.

Работает этот метод следующим образом. Сначала выпишем все целые числа, начиная с 2. Разумеется, нельзя выписать их все, поэтому остановимся на сотне с небольшим.

2   3   4   5   6   7   8   9  10  11

12  13  14  15  16  17  18  19  20  21

22  23  24  25  26  27  28  29  30  31

32  33  34  35  36  37  38  39  40  41

42  43  44  45  46  47  48  49  50  51

52  53  54  55  56  57  58  59  60  61

62  63  64  65  66  67  68  69  70  71

72  73  74  75  76  77  78  79  80  81

82  83  84  85  86  87  88  89  90  91

92  93  94  95  96  97  98  99 100 101

102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

Теперь, начиная с 2 и сохраняя при этом саму двойку в неприкосновенности, уберем каждое второе число после 2.

2   3   .   5   .   7   .   9   .  11

.  13   .  15   .  17   .  19   .  21

.  23   .  25   .  27   .  29   .  31

.  33   .  35   .  37   .  39   .  41

.  43   .  45   .  47   .  49   .  51

.  53   .  55   .  57   .  59   .  61

.  63   .  65   .  67   .  69   .  71

.  73   .  75   .  77   .  79   .  81

.  83   .  85   .  87   .  89   .  91

.  93   .  95   .  97   .  99   . 101

. 103   . 105   . 107   . 109   . 111

Первое выжившее число после двойки — это 3. Сохраняя теперь 3 в неприкосновенности, удалим каждое третье число после 3, если оно еще не удалено. Получим

2   3   .   5   .   7   .   .   .  11

.  13   .   .   .  17   .  19   .   .

.  23   .  25   .   .   .  29   .  31

.   .   .  35   .  37   .   .   .  41

.  43   .   .   .  47   .  49   .   .

.  53   .  55   .   .   .  59   .  61

.   .   .  65   .  67   .   .   .  71

.  73   .   .   .  77   .  79   .   .

.  83   .  85   .   .   .  89   .  91

.   .   .  95   .  97   .   .   . 101

. 103   .   .   . 107   . 109   . 111

Первое выжившее число после тройки — это 5. Сохраняя теперь 5 в неприкосновенности, удалим каждое пятое число после 5, если оно еще не удалено. Получим

2   3   .   5   .   7   .   .   .  11

.  13   .   .   .  17   .  19   .   .

.  23   .   .   .   .   .  29   .  31

.   .   .   .   .  37   .   .   .  41

.  43   .   .   .  47   .  49   .   .

.  53   .   .   .   .   .  59   .  61

.   .   .   .   .  67   .   .   .  71

.  73   .   .   .  77   .  79   .   .

.  83   .   .   .   .   .  89   .  91

.   .   .   .   .  97   .   .   . 101

. 103   .   .   . 107   . 109   . 111

Первое выжившее число — это 7. Следующий шаг состоит в том, чтобы, сохраняя теперь 7 в неприкосновенности, удалить каждое седьмое число после 7, если его еще не удалили до этого. Первое число, которое выживает после этого, — 11. И так далее.

Если проводить эту процедуру бесконечно, то оставшимися числами будут все простые числа. В этом и состоит «решето Эратосфена». Если остановиться прямо перед тем, как пришло время обрабатывать простое число p — другими словами, прямо перед тем, как надо будет удалять каждое p-е число, если оно еще не было удалено, — то мы получим все простые числа, меньшие p^2. Поскольку выше мы остановились прямо перед обработкой семерки, у нас имеются все простые до 7^2, т.е. 49. После этого числа остаются и не простые числа, такие как 77.

III.

Решето Эратосфена — вещь достаточно простая. И ему уже 2230 лет. Как же оно перенесет нас в середину XIX века, к глубоким результатам в теории функций? А вот как.

Я собираюсь повторить только что проведенную процедуру. (Именно по этой причине мы разобрали ее столь тщательно.) Но на этот раз я применю ее к дзета-функции Римана, которую мы определили в конце главы 5. Дзета-функция от некоторого аргумента s, большего единицы, записывается как

Стоит заметить, что такая форма записи предполагает выписывание всех положительных целых чисел — в точности как в начале наших действий с решетом Эратосфена (с тем только исключением, что на сей раз включена 1).

Сделаем такое: умножим обе части равенства на . Получим

где мы пользовались 7-м правилом действий со степенями (которое говорит, например, что 2s умножить на 7s равно 14s). А теперь вычтем второе из этих выражений из первого. В одну из левых частей входит ζ(s) с множителем 1, а в другую — та же ζ(s) с множителем . Вычитая, получаем

Вычитание устранило из бесконечной суммы все члены с четными числами. Остались только члены, в которые входят нечетные числа.

Вспоминая решето Эратосфена, умножим теперь обе части порченного равенства на , руководствуясь тем, что 3 — это первое выжившее число в правой части:

Теперь вычтем это выражение из того, которое мы получили ранее. При вычитании левых частей будем рассматривать  как неделимую штуку, — просто как некоторое число (каковым оно, конечно, и является при любом заданном s). Вся эта штука входит в левую часть одного выражения с множителем 1, а в левую часть другого — с множителем . Вычитая, получаем

Из бесконечной суммы исчезли все члены, содержащие числа, кратные тройке! Первое выжившее число — это теперь 5.

Умножив теперь обе части полученной формулы на , будем иметь

А теперь, вычитая это равенство из предыдущего и рассматривая на этот раз  как неделимую конструкцию, видим, что в левую часть одного выражения она входит с множителем 1, а в левую часть другого — с множителем . Вычитание дает

Все слагаемые с числами, кратными 5, исчезли при вычитании, и первое выжившее число в правой части — это 7.

Замечаете сходство с решетом Эратосфена? Но вы должны заметить и отличие. При работе с исходным решетом мы оставляли сами простые числа в неприкосновенности, удаляя только их кратные — числа, полученные из них умножением на 2, 3, 4, …. Здесь же при вычитании мы устраняем из правой части как само простое число, так и все его кратные.

Если продолжать описанную процедуру до достаточно большого простого числа, скажем, до 997, мы получим

Теперь заметим, что если s — любое число, большее единицы, то правая часть этой формулы совсем ненамного больше чем просто 1. Например, при s = 3 правая часть этой формулы равна 1,00000006731036081534… Поэтому выглядит довольно правдоподобным предположение, что если продолжать указанный процесс до бесконечности, то для любого числа s большего 1 получится следующий результат (7.1):

где в левой части содержится ровно одно выражение в скобках для каждого простого числа, причем эти скобки продолжаются налево без конца. Теперь поделим обе части полученного выражения последовательно на каждую из этих скобок (7.2):

IV.

Это — Золотой Ключ. Чтобы он предстал перед нами во всей красе, давайте немного его почистим. Дроби с дробными знаменателями нравятся мне ничуть не больше, чем вам, а кроме того, есть еще полезные математические приемы, которые позволят нам сэкономить на наборе формул.

Прежде всего вспомним 5-е правило действий со степенями: оно говорит, что a−N есть 1/aN и a−1 есть 1/a. Поэтому выражение (7.2) можно записать поаккуратнее:

ζ(s) = (1 − 2−s)−1×(1 − 3−s)−1×(1 − 5−s)−1×(1 − 7−s)−1×(1 − 11−s)−1×….

Есть даже еще лучший способ. Вспомним про обозначение ∑, введенное в главе 5.viii. Когда мы складываем компанию слагаемых единообразной структуры, их сумму можно записать коротко, используя знак ∑; у этого имеется эквивалент для умножения, когда сомножители имеют единообразную структуру: тогда используется знак ∏. Это заглавная греческая буква «пи», используемая в этом качестве из-за слова «product» (произведение). Используя знак ∏, выражение (7.2) можно переписать таким образом:

Читается это так: «Дзета от s равна взятому по всем простым числам произведению от величины, обратной единице минус p в степени минус s». Подразумевается, что маленькое p под знаком ∏ означает «по всем простым».[55] Вспоминая определение функции ζ(s) в виде бесконечной суммы, можно подставить эту сумму в левую часть и получить

Золотой Ключ (7.3):

И сумма в левой части, и произведение в правой части простираются до бесконечности. Это, кстати, дает еще одно доказательство того факта, что простые числа никогда не кончаются. Если бы они вдруг кончились, то произведение в правой части содержало бы конечное число множителей, и тем самым мы его немедленно вычислили бы как какое-то число при абсолютно любом аргументе s.[56] При s = 1, однако, левая часть представляет собой гармонический ряд из главы 1, сложение членов которого «уводит нас в бесконечность». Поскольку бесконечность в левой части не может равняться конечному числу в правой, количество простых чисел с необходимостью бесконечно.

V.

Что же такого — как вы, должно быть, недоумеваете — замечательного, такого неординарного и вызывающего имеется в выражении (7.3), что оно удостоилось столь высокопарного имени?

Окончательно это прояснится только в одной из последующих глав, когда мы на самом деле повернем Золотой Ключ. На данный же момент главное, что должно производить впечатление (на математиков оно, во всяком случае, производит большое впечатление), — это что в левой части выражения (7.3) мы имеем бесконечную сумму, пробегающую все положительные целые числа 1, 2, 3, 5, 6, …, а в правой его части — бесконечное произведение, пробегающее все простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….

Выражение (7.3) — Золотой Ключ — на самом деле называется «эйлерова формула произведения».[57] Она впервые увидела свет, хотя и в несколько иной обработке, в статье Variae observationes circa series infinorum, написанной Леонардом Эйлером и опубликованной Санкт-Петербургской академией в 1737 году. (Заглавие переводится как «Различные наблюдения о бесконечных рядах». Прочитайте еще раз оригинальное латинское название и убедитесь в справедливости моего тезиса из главы 4.viii о легкости, с которой читается Эйлерова латынь.) Точная формулировка утверждения о Золотом Ключе в той работе такова.

Theorema 8

Si ex serie numerorum primorum sequens formetur expressio

erit eius valor aequalis summae huius seriei

Латынь означает: «Если из последовательности простых чисел образовать следующее выражение…, то его значение будет равно сумме ряда…» Опять же, если вы знакомы с десятком основных латинских окончаний (-orum — родительный падеж; -etur — пассивный залог сослагательного наклонения настоящего времени и т.п.), то эйлерова латынь вас не отпугнет.

Делая наброски идей, из которых выросла данная книга, я сначала полез в математические тексты у себя на книжной полке, чтобы найти доказательство Золотого Ключа, подходящее для читателей, не являющихся специалистами. Я остановился на одном, показавшемся мне подходящим, и включил его в книгу. На более поздней стадии работы над книгой мне подумалось, что стоит, пожалуй, проявить авторское тщание, и я отправился в научную библиотеку (в данном случае — замечательное отделение по наукам, промышленности и бизнесу Нью-Йоркской публичной библиотеки в центре Манхэттена) и отыскал оригинальную статью в собрании трудов Эйлера. Данное им доказательство Золотого Ключа занимает десяток строк и куда проще и изящнее, чем доказательство, которое я извлек из своих учебников. Поэтому я заменил первоначально выбранное доказательство эйлеровым. Доказательство, приведенное в разделе iii этой главы, по сути и есть эйлерово доказательство. Я знаю, что это писательский штамп, но он от этого не перестает быть верным: нет ничего лучше, чем обратиться к первоисточнику.

VI.

После того как мы увидели, что же собой представляет Золотой Ключ, пришло время готовиться к тому, чтобы его повернуть. Для этого понадобится вспомнить некоторое количество математики, включая кусочек дифференциального и интегрального исчислений. В оставшейся части данной главы я приведу все, что нужно знать из дифференциального и интегрального исчисления, чтобы понять Гипотезу Римана и оценить ее значение. А затем, обратив необходимость в удобство, я воспользуюсь этими сведениями, чтобы представить улучшенный вариант ТРПЧ — вариант, имеющий более непосредственное отношение к работе Римана.

Обучение дифференциальному и интегральному исчислению традиционно начинается с графика. График, с которого мы начнем, — тот же, что и изображение логарифмической функции в главе 5.iii; теперь он воспроизведен на рисунке 7.1. Представьте себе, что вы — очень маленький (бесконечно малый, если получится представить) гомункулус, взбирающийся вверх по графику логарифмической функции слева направо. Если вы начали свое путешествие из какой-го точки, находящейся недалеко от нуля, то сначала путь вашего восхождения очень крутой и вам требуется скалолазное снаряжение. Но по мере продвижения ландшафт становится более пологим. К тому времени, как вы достигнете аргументов в районе 10, вы можете распрямиться и просто шагать, как на прогулке.

Рисунок 7.1. Функция ln x.

Степень крутизны кривой изменяется от точки к точке. Но в каждой точке наклон кривой имеет определенное численное значение — точно так же, как ваша машина, когда вы разгоняетесь, имеет определенную скорость в каждый данный момент времени — скорость, которую вы фиксируете, бросая взгляд на спидометр. Через мгновение она может слегка измениться, но в каждый определенный момент времени она имеет некоторое определенное значение. Точно так же для любого аргумента в своей области определения (которую составляют все числа, большие нуля) логарифмическая функция имеет некоторый определенный наклон.

Как нам измерить этот наклон и что это такое? Сначала давайте определим «наклон» наклонной прямой линии. Это подъем по вертикали, деленный на смещение по горизонтали. Если, пройдя по горизонтали расстояние в 5 единиц, вы поднялись на 2 единицы вверх, то, значит, наклон равен двум пятым, т.е. 0,4 (рис. 7.2).

Рисунок 7.2. Наклон.

Чтобы найти наклон некоторой кривой в произвольной точке на ней, построим прямую линию, касающуюся кривой в выбранной точке. Ясно, что имеется ровно одна такая прямая. Если я слегка ее «покачаю» (можно представлять себе, что прямая — это стальной стержень, а кривая — стальной обод), то точка касания с кривой слегка сместится. Наклон кривой в данной точке — это наклон этой единственной касательной в этой точке. Для ln x наклон при аргументе x = 10, если вы его измерите, равен 1/10. Наклон при аргументе 20, конечно, меньше этого; измерение дает 1/20. Наклон при аргументе 5 больше — и измерение дает 1/5. На самом деле еще одно поразительное свойство логарифмической функции состоит в том, что при любом аргументе x ее наклон равен 1/x — числу, обратному x (обозначаемому еще как x−1).

Если вы когда-нибудь слушали лекции по дифференциальному исчислению, то все это вам хорошо знакомо. Дифференциальное исчисление в действительности начинается с такого утверждения: из любой функции f можно произвести другую функцию g, которая выражает наклон функции f при любом ее аргументе. Если f — это ln x, то g — это 1/x. Произведенная таким образом функция называется, как ни странно, производной функции f. Например, 1/x — это производная функции ln x. Если вам дали какую-то функцию f, то процесс нахождения ее производной называется дифференцированием.

Дифференцирование — действие, которое подчиняется некоторым простым правилам. Например, оно прозрачно для нескольких основных арифметических операций. Если производная функции f — это g, то производная функции 7f — это 7g. (Так что производная от 7∙ln x равна 7/x.) Производная суммы f + g — это производная функции f плюс производная функции g. Правда, все не совсем так для умножения: производная произведения f и g не равна произведению производной функции f на производную функции g.[58]

Единственные функции, кроме логарифма, производные которых нам понадобятся в этой книге, — это простые степенные функции xN. Приведем без доказательства тот факт, что для любого числа N производная функции xN есть функция NxN−1. Таблица 7.1 дает некоторые производные степенных функций.

Функция

Производная

x−3

−3x−4

x−2

−2x−3

x−1

−x−2

x^0

0

x^1

1

x^2

2x

x^3

3x^2

Таблица 7.1. Производные функций xN.

Конечно, x^0 — это просто единица, а график этой функции — горизонтальная прямая. У нее нет наклона — точнее, нулевой наклон. Дифференцирование любого фиксированного числа дает нуль. А x^1 — это просто x, график же представляет собой прямую, идущую по диагонали вверх и покидающую рисунок через правый верхний угол. Наклон ее повсюду равен 1. Заметим, что нет такой степенной функции, производная которой была бы равна x−1, хотя x^0 вроде бы стоит на правильном месте, чтобы дать такую производную. Это неудивительно, поскольку мы уже знаем, что производная ln x есть как раз x−1. Это еще одно свидетельство того, что ln x как будто пытается выдать себя за x^0.

VII.

Вы, должно быть, помните мои слова о том, что математики обожают все обращать. Если задано выражение P через Q, то как выразить Q через P? Именно так мы исходно и получили логарифмическую функцию — как обращение показательной функции. Если a = eb, тот как найти b через a? Как ln а.

Так вот, предположим, что мы продифференцировали функцию f и получили функцию g. То есть g представляет собой производную функции f. А f представляет собой… (что именно?!) функции g? В чем состоит обращение дифференцирования? Производная ln x — это 1/x, так что ln x — это… (что?) функции 1/x? Ответ: интеграл, вот что. Обращение производной — это интеграл, а обращение дифференцирования — это интегрирование. Поскольку вся эта деятельность прозрачна для умножения на фиксированное число, переворачивание таблицы 7.1 вверх ногами и некоторая ее «доводка» дадут нам обратную операцию, которая и представлена в таблице 7.2. И вообще, если только N не равно −1, то интеграл от функции xN равен xN+1/(N + 1). (Взгляд на таблицу еще раз показывает, как функция ln x изо всех сил старается вести себя как функция x^0, каковой она, конечно, не является).

Функция

Интеграл

x−3

−1/2x−2

x−2

−x−1

x−1

ln x

x^0

x

x^1

1/2x^2

x^2

1/3x^3

x^3

1/4x^4

Таблица 7.2. Интегралы функций xN.

Если производные годятся для того, чтобы выражать наклон функции — т.е. скорость, с которой функция изменяется в данной точке, — то для чего же годятся интегралы? Ответ: для нахождения площадей под графиками.

Рисунок 7.3. Для чего пригодно интегрирование.

Функция, показанная на рисунке 7.3, а это в действительности функция 1/x^4, т.е., другими словами, x−4, — ограничивает собой некоторую площадь между аргументами x = 2 и x = 3. Чтобы найти эту площадь, сначала надо найти интеграл от x−4. Согласно приведенному выше общему правилу, этот интеграл равен −1/3x−3, т.е. −1/(3x^3). Эта функция, как и всякая другая, имеет значение для каждого x из своей области определения. Чтобы найти площадь между аргументами 2 и 3, надо вычислить значение интеграла при аргументе 3, затем вычислить значение интеграла при аргументе 2, а потом вычесть второе значение из первого.

При x = 3 значение функции −1/(3x^3) равно −1/81, при x = 2 оно составляет −1/24. Вычитаем, не забывая, что вычесть отрицательное число — это все равно что прибавить соответствующее положительное: −1/81 − (−1/24) = 1/24 − 1/81, что равно 19/648, т.е. примерно 0,029321.

У математиков есть специальный способ для записи всей этой процедуры: , что читается как «интеграл от икс в минус четвертой степени по дэ-икс от двух до трех». (Не слишком озадачивайтесь этим самым «по dх» — назначение этих слов состоит в указании, что именно x является основной переменной, с которой мы работаем, и именно ее интеграл надо найти. Если под знаком интеграла окажутся еще другие переменные, то они будут там присутствовать праздно, интегрирование ведется не по ним. В главе 19 у нас появится такой пример.)

Далее. Иногда оказывается возможным отправить правый конец интегрирования на бесконечность, но при этом получить конечную площадь. Это напоминает ситуацию с бесконечными суммами: если значения ведут себя должным образом, такие суммы могут сходиться к конечному значению. То же и здесь. У функций, которые ведут себя должным образом, площадь под кривой может оказаться конечной, несмотря даже на то, что область бесконечно длинная. Интегралы связаны с суммами на глубинном уровне. Даже знак интеграла, впервые использованный Лейбницем в 1675 году, представляет собой вытянутое S, обозначающее «сумму».

Смотрите: предположим, что вместо того, чтобы останавливаться на тройке, мы бы продолжили интегрирование до x = 100. Тогда, поскольку куб числа 100 равен 1 000 000, наше вычисление приобрело бы вид:

(−1/3 000 000) − (−1/24) = 1/24 − 1/3 000 000.

Ясно, что если бы мы пошли еще дальше, то второе слагаемое стало бы еще меньше. По мере того как мы спешим к бесконечности, оно постепенно угасает, стремясь к нулю, и у нас есть полное право написать:

Стоит заметить, что, когда интеграл используется для вычисления площади, x исчезает из ответа: вместо x подставляются числа и в ответе получается число.

Вот и все. Клянусь, это все, что нам понадобится из дифференциального и интегрального исчисления. И поскольку ничего нового вводиться не будет, пользоваться дифференциальным и интегральным исчислением мы начнем прямо сейчас. С их помощью мы определим новую функцию, которая чрезвычайно важна в теории простых чисел и дзета-функции.

VIII.

Сначала рассмотрим функцию 1/ln t. Ее график показан на рисунке 7.4. Обозначение для аргумента заменено с x на t по той причине, что букве x отведена другая роль, чем просто быть бессловесной переменной.

На рисунке затемнена некоторая область под графиком, поскольку мы сейчас устроим небольшое интегрирование. Как только что объяснялось, интегрирование — это способ вычислить площадь под графиком функции. Сначала надо найти интеграл от интересующей нас функции, а потом взять калькулятор. Итак, каков же интеграл от функции 1/ln t?

К сожалению, в домашнем хозяйстве нет обычной функции, которая позволила бы выразить интеграл от 1/ln t. Но интеграл этот весьма важен. Он снова и снова появляется в исследованиях, связанных с Гипотезой Римана. Поскольку нежелательно писать всякий раз, как потребуется эта монструозная конструкция, мы попросту определим новую функцию, выражаемую этим интегралом, и выдадим ей свидетельство, что это добропорядочная и уважаемая функция, ни в чем не уступающая другим своим коллегам.

Рисунок 7.4. Функция 1/ln t.

У этой новой функции есть имя: ее зовут интегральный логарифм. Для нее обычно используется обозначение Li(x). (Иногда пишут li(х).) Она определена как функция, выражающая площадь под кривой — то есть под графиком функции 1/ln t — от нуля до x.[59]

Здесь не обошлось без некоторой ловкости рук, потому что у функции 1/ln t нет значения при t = 1 (из-за того что логарифм единицы равен нулю). Я обойду эту сложность, не углубляясь в нее, — просто заверю вас, что имеется некоторый способ привести все в порядок. Надо еще заметить, что при вычислении интегралов области ниже горизонтальной оси считаются отрицательными, так что по мере увеличения t область справа от 1 «тратится» на сокращение области слева от 1. Другими словами, Li(x) выражается затемненной областью на рисунке 7.4, причем отрицательный вклад в площадь, набираемый слева от t = 1, гасится положительным вкладом от площади справа от t = 1 (когда x лежит справа).

На рисунке 7.5 показан график функции Li(x). Мы видим, что она принимает отрицательные значения, когда x меньше единицы (поскольку соответствующая площадь на рисунке 7.4 дает отрицательный вклад), но по мере того, как x уходит направо от 1, положительный вклад в площадь постепенно сокращает отрицательный, так что Li(x) возвращается из отрицательной бесконечности, достигает нуля (т.е. отрицательный вклад в площадь полностью сокращается) при аргументе x = 1,4513692348828…, а после этого уже постоянно возрастает. Наклон этой функции в каждой точке равен, конечно, 1/ln x. А это, как мы видели в главе 3.ix, есть вероятность того, что целое число в окрестности числа x окажется простым.[60]

Рисунок 7.5. Функция Li(x).

Именно поэтому данная функция так важна в теории чисел. Дело в том, что по мере того, как N делается все больше и больше, мы имеем Li(N) ~ N/ln N. Но ТРПЧ утверждает, что π(N) ~ N/ln N. Секундное размышление показывает, что знак волны транзитивен — т.е. что если P ~ Q, a Q ~ R, то должно быть и P ~ R. Так что если ТРПЧ верна — а мы знаем, что это так, она была доказана в 1896 году, — то должно быть верно и π(N) ~ Li(N).

Это не просто верно. Это, в некотором роде, еще вернее. Я хочу сказать, Li(N) дает на самом деле лучшую оценку функции π(N), чем N/ln N. Намного лучшую. Таблица 7.3 показывает, почему Li(x) играет центральную роль в нашем исследовании.

Таблица 7.3.

На самом деле ТРПЧ чаще всего формулируют как π(N) ~ Li(N), а не как π(N) ~ N/ln N. Поскольку знак волны транзитивен, два утверждения эквивалентны, как можно видеть из рисунка 7.6. Из работы Римана 1859 года следует и точное, хотя и не доказанное, выражение для π(N), и во главе этого выражения стоит Li(x).

ТРПЧ (улучшенный вариант)

π(N) ~ Li(N)

Отметим еще одно обстоятельство, связанное с таблицей 7.3. Для всех приведенных там значений N функция N/ln N дает заниженную оценку для π(N), а функция Li(N) — завышенную. Оставим это замечание без комментариев до тех пор, пока оно нам не понадобится.

Рисунок 7.6. ТРПЧ.

Глава 8. Не лишено некоторого интереса

I.

До сих мы интересовались далекими предпосылками Гипотезы Римана — предысторией Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ) и работы Римана 1859 года, где Гипотеза и была впервые высказана. В данной главе мы обратимся к непосредственным истокам той работы. Вообще-то здесь переплетены две истории: Бернхарда Римана и Геттингенского университета в 1850-х годах: в придачу к этому мы предпримем короткие путешествия за национальным колоритом в Россию и Нью-Джерси.

Следует держать в поле зрения целостную картину европейской интеллектуальной жизни 1830, 1840 и 1850-х годов. Разумеется, то было время огромных перемен. Колоссальные изменения, произведенные Наполеоновскими войнами, выпустили на свободу новые патриотические и реформаторские силы. Полным ходом шла промышленная революция. Подвижки в мыслях и чувствах, которые мы условно объединяем под названием «движение романтизма», проникали повсюду и уже достигли широких слоев населения. 1830-е годы, годы возрождения духа после истощения долгими войнами, были неспокойным временем, отмеченным Июльской революцией во Франции, Польским восстанием (в то время Польша принадлежала Российской империи[61]), мечтами немцев о национальном единстве и великим Биллем о реформе в Британии.[62] Алексис де Токвиль, посетив Соединенные Штаты, написал книгу, в которой глубоко проанализировал новые любопытные эксперименты с демократической формой правления.[63] В течение следующего десятилетия зашевелились темные силы, причем кульминация пришлась на 1848 год, «год революций», перипетии которого, как мы видели в главе 2, на какое-то время нарушили даже сокровенное уединение Бернхарда Римана.

В течение всего этого периода Геттинген был тихой провинциальной заводью, освещаемой главным образом присутствием Гаусса. Момент политической известности университета пришелся, как уже упоминалось, на 1837 год, когда была уволена «геттингенская семерка». Главным результатом этого стала потеря университетом части своего престижа. Великим центром математических исследований оставался Париж, но при этом быстро набирал силу Берлин. В Париже Коши и Фурье произвели пересмотр анализа, заложив основы современного подхода к пределам, непрерывности и дифференциальному и интегральному исчислению. В Берлине новых успехов добились Дирихле в арифметике, Якоби в алгебре, Штайнер в геометрии и Эйзенштейн в анализе. Любой, кто в 1840-х годах желал серьезно заниматься математикой, должен был находиться в Париже или Берлине. Вот почему молодой Бернхард Риман, которому весной 1847 года исполнилось 20 лет, не удовлетворенный уровнем обучения в Геттингене и всеми силами жаждавший заниматься серьезной математикой, отправился в Берлин. Он учился там два года, в течение которых огромное влияние на него оказал Лежен Дирихле — человек, который поднял Золотой Ключ в 1837 году. Дирихле испытывал личную привязанность к застенчивому, задавленному бедностью молодому Риману, выказывая к нему отношение, на которое Риман, выражаясь словами Генриха Вебера, «отвечал почтительной благодарностью».

Вернувшись в Геттинген после пасхальных каникул 1849 года, Риман принялся за свою диссертацию под руководством самого Гаусса. Ясно, что он рассчитывал стать преподавателем в университете. Однако путь к этой цели был неблизкий. Чтобы преподавать в Геттингене, необходимо было не только защитить диссертацию, но и получить еще более высокую квалификацию, так называемую Habilitation — вторую степень, для которой требовалось подготовить текст диссертации и прочитать пробную лекцию. Все вместе — и первая диссертация, и вторая — заняло у Римана более пяти лет — с двадцати двух и почти до двадцати восьми. В течение этих лет ему вообще ничего не платили.

С самого начала вместе с математикой Риман записался на ряд курсов по физике и философии. Эти предметы были обязательными для всех, кто желал преподавать в гимназии, к чему в основном и свелись бы перспективы карьеры для Римана, если бы он не сумел получить должность университетского преподавателя. Выбирая эти курсы, он, надо полагать, хотел подстраховаться. Однако он проявил глубокий интерес к обоим предметам, так что, вероятно, немалую роль при выборе сыграли и его личные склонности. Обстановка в Геттингене к этому времени улучшилась. Физик Вильгельм Вебер — один из членов «геттингенской семерки», уволенный в 1837 году, — вернулся в университет и снова стал там преподавать; в политическом климате наступила заметная оттепель. Старый друг и коллега Гаусса — они вдвоем изобрели электрический телеграф — Вебер читал курс экспериментальной физики, который посещал и Риман.[64]

II.

Эти пять лет неоплачиваемой научной работы должны были даться Бернхарду Риману нелегко. Он находился вдали от дома; от Геттингена до Квикборна было 120 миль, что означало двухдневное путешествие, столь же неудобное, сколь и дорогое. Однако он все же не был в полном одиночестве: в 1850 году в университет прибыл Рихард Дедекинд. Дедекинду было 19 лет — на пять меньше, чем Риману, — и он также планировал написать диссертацию. Из биографического очерка, написанного Дедекиндом и включенного в «Собрание трудов» Римана, явствует, что он питал приязнь и симпатию к своему старшему коллеге, а также глубоко восхищался его математическими способностями; несколько труднее решить, каковы в данном случае были чувства самого Римана.

Оба они защитили свои диссертации с интервалом в несколько месяцев — Риман в декабре 1851 года, а Дедекинд на следующий год. Обоих экзаменовал Гаусс, которому к тому моменту шел восьмой десяток, что не помешало ему сохранять исключительную чуткость к редким математическим талантам. По поводу диссертации, представленной молодым Дедекиндом, еще не достигшим своей математической зрелости, Гаусс написал отзыв, который лишь едва выходил за рамки сухого официального одобрения. Но по поводу диссертации Римана он разразился — а Гаусс был человеком, который нечасто расточал похвалы, — таким пассажем: «Существенная и ценная работа, которая не просто удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к докторским диссертациям, но и намного превосходит их».

И Гаусс не ошибся. (В том, что касается математики, он вряд ли вообще когда-либо ошибался.) Докторская диссертация Римана является ключевой работой в истории теории функций комплексной переменной. Я постараюсь подробно рассказать о теории функций комплексной переменной в главе 13, а пока достаточно сказать, что это очень глубокая, мощная и прекрасная ветвь анализа. До настоящего времени практически первое, что изучается в курсе теории функций комплексной переменной, — это условия Коши-Римана, которыми определяются хорошо себя ведущие и заслуживающие дальнейшего изучения функции. Эти уравнения в их современном виде впервые появились в докторской диссертации Римана. Эта работа также содержит первые наброски теории римановых поверхностей, которая представляет собой слияние теории функций с топологией (последний предмет в те времена также был новинкой, в нем не существовало какой бы то ни было связной системы знания, а только разрозненные результаты, восходящие ко временам Эйлера).[65] Докторская диссертация Римана была, одним словом, шедевром.

И Риман, и Дедекинд приступили ко второй ступени академического марафона, которому они себя посвятили, — второй диссертации и пробной лекции, которые требовались для занятия преподавательской должности в университете.

III.

Оставим на некоторое время Бернхарда Римана в его комнате в далеком Геттингене за трудами над диссертацией на право чтения лекций и перенесемся назад на год или два во времени и на тысячи миль в пространстве — в Санкт-Петербург. Много воды утекло под мостами этого города с тех пор, как мы побывали здесь в последний раз, наблюдая, как Леонард Эйлер радовался жизни и плодотворно работал, несмотря на старость и слепоту, во времена правления Екатерины Великой. Эйлер умер в 1783-м, а сама императрица — в 1796 году. Екатерине наследовал ее эксцентричный и безответственный сын Павел. Четырех с половиной лет правления Павла оказалось более чем достаточно для знати, чтобы организовать переворот, удушить Павла и посадить на трон его сына Александра.

Вскоре вся нация оказалась поглощена конфликтом с Наполеоном, а ее говорящая по-французски аристократия — блеском светской жизни, как это описано Толстым в «Войне и мире». После войны Александр на какое-то время увлекся «управляемым самодержавием», затем последовал провал восстания группировки, боровшейся за либеральные идеи и известной под именем декабристов, и в 1825 году трон перешел к Николаю I, склонному к более старомодному абсолютизму.

Однако подтверждение и возобновление принципов абсолютизма не могло предотвратить грандиозных социальных перемен, наиболее достопамятная из которых — первый великий расцвет русской литературы (Пушкин, Лермонтов и Гоголь). Университет в Санкт-Петербурге, в то время отделенный от академии, разросся и процветал; кроме того, были основаны новые университеты в Москве[66], Харькове и Казани. Казанский университет мог похвастаться присутствием великого математика Николая Лобачевского, который занимал должность ректора до своего увольнения в 1846 году. Лобачевский был создателем неэвклидовой геометрии, о которой довольно скоро нам будет что сказать.[67]

В 1849-1850 годах, через 25 лет после воцарения Николая I, интеллектуальная жизнь в России подверглась еще одному всплеску репрессий, вызванному реакцией Николая на европейские революции 1848 года. Число принимавшихся в университеты было сокращено, а учившиеся за границей россияне получили указание вернуться. В такой обстановке молодой преподаватель Санкт-Петербургского университета выпустил две замечательные статьи о ТРПЧ.

Первое, что необходимо сказать о Пафнутии Львовиче Чебышеве, это что его фамилия — кошмар для всякого, кто занимается поиском по базам данных. В своих изысканиях для данной книги я насчитал 32 различных варианта написания его фамилии: Cebysev, Cebyshev, Chebichev, Chebycheff, Chebychev и т.д., и т.д.[68]

А если вы обратили внимание и на необычное имя Пафнутий, то вы не одиноки. Примерно в 1971 году на него обратил внимание математик Филип Дж. Дэвис. Дэвис решил исследовать происхождение имени Пафнутий и написал о своих изысканиях исключительно забавную книгу «Нить» (1983). Если очень коротко, то имя Пафнутий имеет коптское происхождение (Papnute — «Божий человек») и проникло в Европу через коптское христианство; такое имя носил один из второстепенных Отцов Церкви в IV столетии. Присутствовавший на Никейском соборе епископ Пафнутий (Paphnutius, как обычно пишется его имя) высказывался против целибата духовенства. К более позднему времени относится вскользь упоминаемый Дэвисом преподобный Пафнутий Боровский, сын знатного татарина; в возрасте 20 лет он удалился в монастырь, где и оставался до своей смерти в 94-летнем возрасте (1478). Вот что говорит агиограф этого Пафнутия: «Он был девственник и аскет и в силу этого великий чудотворец и пророк». (Примерно посередине моей работы над этой главой я получил электронное письмо от читательницы моей веб-колонки с просьбой предложить имя для ее новой собаки. Так что теперь некий Пафнутий гоняет белок где-то на Среднем Западе.)

Наш с вами Пафнутий был также в некотором роде чудотворцем. Он удостоился чести добиться единственных реальных успехов на пути к доказательству ТРПЧ в период между тем, как Дирихле поднял Золотой Ключ в 1837 году, и тем, как Риман повернул его в 1859-м. Занятно, что наиболее оригинальная работа Чебышева оказалась в стороне от основного направления исследований по ТРПЧ и послужила образованию менее значительного бокового течения, которое развивалось само по себе и слилось с главным потоком лишь 100 лет спустя.

Чебышев на самом деле написал две статьи по ТРПЧ. Первая, датируемая 1849 годом, озаглавлена «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины»[69]; стоит отметить схожесть с заглавием статьи Римана, написанной 10 лет спустя. В этой работе Чебышев взял Золотой Ключ Эйлера, поиграл с ним немного, примерно как Дирихле за 12 лет до того, и пришел к следующему интересному результату.

Первый результат Чебышева.

Если π(N) ~ CN/ln N для некоторого фиксированного числа C, то C должно быть равным 1.

Вся проблема, конечно, лежала в этом «если». Чебышев не смог преодолеть эту проблему, как, впрочем, в течение полувека не смог и никто другой.

Вторая статья Чебышева, датируемая 1850 годом, значительно более любопытна. Вместо использования Золотого Ключа она начинается с формулы, доказанной шотландским математиком Джеймсом Стирлингом в 1730 году и выражающей приближенные значения факториальной функции для больших чисел. (Факториал числа N равен 1×2×3×4×…×N. Факториал числа 5, например, равен 120: 1×2×3×4×5 = 120. Обычно для факториала числа N используется обозначение N!. Формула Стирлинга утверждает, что для больших значений N его факториал примерно равен ). Чебышев превратил ее в другую формулу, содержащую ступенчатую функцию — функцию, которая имеет одно значение на некотором интервале аргументов, а затем прыгает к другому значению.

Вооруженный только этими средствами и используя ряд вполне элементарных приемов из дифференциального и интегрального исчисления, Чебышев получил два важных результата. Первый состоит в доказательстве «постулата Бертрана», выдвинутого в 1845 году французским математиком Жозефом Бертраном. Постулат гласит, что между любым числом и его удвоением (например, между 42 и 84) всегда найдется простое число. Второй результат Чебышева таков.

Второй результат Чебышева.

π(N) не может отличаться от N/ln N более чем примерно на 10% в большую или меньшую сторону.

Вторая статья Чебышева важна в двух отношениях. Прежде всего, использование в ней ступенчатой функции могло вдохновить Римана на использование подобной же функции в его работе 1859 года (об этом будет подробно рассказано ниже). Не подлежит сомнению, что Риман знал о работе Чебышева; имя российского математика появляется в записках Римана (где оно пишется как «Tschebyschev»).

Но большего внимания заслуживает сама идея подхода, развитого Чебышевым во второй статье. Он получил свои результаты без использования теории функций комплексной переменной. У математиков есть короткий способ для выражения этого факта: они говорят, что методы Чебышева «элементарны». Риман в своей работе 1859 года не использовал элементарные методы. Для решения исследуемой им проблемы он привлек всю мощь теории функций комплексной переменной. Полученные результаты оказались столь замечательными, что другие математики последовали его примеру, и в конце концов ТРПЧ была доказана с использованием неэлементарных методов Римана.

Вопрос о том, можно ли доказать ТРПЧ элементарными методами, оставался открытым, но по прошествии нескольких десятилетий общее мнение утвердилось в том, что это невозможно. Так, в тексте Алберта Ингэма 1932 года «Распределение простых чисел» автор сообщает в подстрочном примечании: «Доказательство теоремы о распределении простых чисел „в терминах вещественных переменных“, т.е. доказательство, не вовлекающее, будь то явным или неявным образом, понятие аналитической функции комплексной переменной, никогда не было обнаружено, и теперь понятно, почему так и должно быть».

Ко всеобщему изумлению, такое доказательство было обнаружено в 1949 году Атле Сельбергом — норвежским математиком, работавшим в Институте высших исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси.[70] История получения этого результата неоднозначна, поскольку Сельберг предварительно сообщил о своих, еще неокончательных, идеях эксцентричному венгерскому математику Паулю Эрдешу, который использовал их и получил свое собственное доказательство одновременно с Сельбергом. После смерти Эрдеша в 1996 году были написаны две его популярные биографии, и любознательный читатель может найти полный отчет об этой запуганной истории в любой из них. Доказательство называется «доказательством Эрдеша-Сельберга» в Венгрии и «доказательством Сельберга» за ее пределами.{A2}

В дополнение к своим исследованиям Чебышев был замечательным научным руководителем, умевшим увлечь своими темами. Его ученики несли идеи и методы учителя в другие российские университеты, повсюду пробуждая интерес и поднимая уровень преподавания. Сохраняя активность и на восьмом десятке лет, Чебышев был также оригинальным изобретателем, сконструировавшим несколько арифмометров, которые сохранились до нашего времени в музеях Москвы и Парижа. В его честь назван лунный кратер, расположенный около 135°W 30°S.[71]

IV.

Я не могу расстаться с Чебышевым, не упомянув, по крайней мере мимоходом, о его знаменитом отклонении — знаменитом, я хочу сказать, среди специалистов по теории чисел.

Если разделить простое число (отличное от 2) на 4, то остаток должен быть или 1, или 3. Демонстрируют ли простые числа какое-нибудь отклонение? Да: в пределах до p = 101 имеются 12 простых, которые дают остаток 1, и 13 тех, что дают остаток 3. В пределах до p = 1009 счет равен 81 к 87. В пределах до p = 10 007 счет равен 609 к 620. Ясно видно, что остаток 3 встречается не намного, но все же отчетливо чаще, чем остаток 1. Это дает пример чебышевского отклонения, первое замечание Чебышева о котором относится к 1853 году. Отклонение, которое таким образом выказывают остатки, в конце концов нарушается при p = 26 861, когда простые, дающие остаток 1, на короткое время вырывают первенство. Однако это не более чем единовременное отклонение: настоящая первая зона, где происходит нарушение, составлена из 11 простых чисел от p = 616 877 до p = 617 011. Простые с остатком 1 удерживают лидерство только для 1939 из первых 5,8 миллиона простых (предел, до которого я дошел в своих проверках). Они ни разу не вырываются вперед среди последних 4 988 472 из этих простых чисел.

Что касается делителя 3, то для него отклонение выражено даже еще радикальнее. Здесь остаток (для чисел, больших p = 3) может быть или 1, или 2, и имеющееся отклонение — в пользу 2. Оно ни разу не нарушается до p = 608 981 813 029. Вот это вам отклонение! Нарушение выявили в 1978 году Картер Бейс и Ричард Хадсон. Нам еще представится случай упомянуть чебышевское отклонение в главе 14.

V.

Осенью 1852 года — первого года работы над своей диссертацией на право чтения лекций — Риман снова встретил Дирихле. Весь эпизод достаточно трогателен, и я приведу отрывок из биографии, написанной Дедекиндом:

Во время осенних каникул 1852 года Лежен Дирихле ненадолго останавливался в Геттингене. Риман, только что вернувшийся из Квикборна, имел счастливую возможность видеться с ним практически ежедневно. И в первый день, когда он приходил к Дирихле, и на следующий день <…> Риман спрашивал у Дирихле, который считался величайшим из живущих тогда математиков после Гаусса, советов касательно своей работы. Риман так писал своему отцу об их встрече: «Давеча утром Дирихле провел со мной около двух часов. Он дал мне несколько советов относительно моей диссертации на право чтения лекций; замечания его настолько обстоятельны, что моя работа существенно облегчилась. Иначе мне пришлось бы проводить много времени в библиотеке, выискивая кое-какие из этих вещей. Мы вместе с ним просмотрели мою диссертацию, и он был в целом очень ко мне расположен, чего я не вполне ожидал, учитывая огромную разницу в нашем положении. Надеюсь, что он не забудет обо мне в будущем». Несколько дней спустя <…> большая группа сотрудников отправилась на совместную экскурсию — путешествие очень ценное в том отношении, что по прошествии некоторого времени, проведенного в компании, сдержанность Римана заметно уменьшилась. На следующий день Дирихле и Риман снова встретились в доме Вебера. Импульс, который Риман вынес из этого общения, принес ему массу пользы. И тем не менее отцу об этом он пишет так: «Как видишь, я тут оказался не вполне домоседом; однако же на следующее утро я работал еще напряженнее и сделал так много, как если бы я просидел над своими книгами целый день».

Последнее замечание показывает, сколь высокие требования Риман предъявлял к себе, а также говорит о его сильнейшем чувстве долга и твердой решимости оправдать каждую минуту времени, проводимого в Геттингене, в своих глазах, в глазах отца (который, как-никак, обеспечивал его существование) и в глазах Бога.

Процедура получения второй ученой степени состояла в том, что Риману надо было сначала представить написанную диссертацию, а затем подготовить пробную лекцию, которую следовало прочитать перед всем профессорским составом. Сама по себе диссертация — она называлась «О представимости функции тригонометрическим рядом» — является краеугольной работой, в которой миру был представлен интеграл Римана, изучаемый теперь как фундаментальное понятие в институтских курсах дифференциального и интегрального исчисления. И однако, лекция Римана намного превзошла текст диссертации.

Предполагалось, что Риман подготовит для лекции три темы, из которых Гаусс, как его руководитель, выберет одну, на которую лекция и будет прочитана. Три предложения Римана касались двух вопросов по математической физике и одного по геометрии. Гаусс выбрал лекцию, озаглавленную «О гипотезах, лежащих в основами геометрии», и Риман прочитал ее собравшимся профессорам 10 июня 1854 года.

Это одна из десяти лучших математических работ, представленных вообще когда бы то ни было, поистине сенсационное достижение. Ее прочтение, как утверждает Ханс Фрейденталь в «Словаре научных биографий», было «одним из озарений в истории математики». Идеи, содержащиеся там, были настолько передовыми что прошло несколько десятилетий до их полного принятия и 60 лет до того момента, как они нашли свое приложение в физике, в качестве математического аппарата общей теории относительности Эйнштейна. Джеймс Р. Ньюмэн в книге «Мир математики» отзывается об этой работе как об «эпохальной» и «непреходящей» (забыв, правда, включить ее в свою обширную антологию классических математических текстов). При этом потрясает еще и то, что работа практически не содержит математических обозначений. Пролистывая ее, я обнаружил пять знаков равенства, три знака квадратного корня и четыре знака ∑, что в среднем составляет менее одного символа на страницу! Имеется всего одна настоящая формула. Все это было написано с целью быть понятым — или, возможно (см. ниже), непонятым обыкновенным профессором в провинциальном университете средней руки.

Отправной точкой для Римана стал ряд идей, высказанных Гауссом в статье 1827 года, озаглавленной «Общее исследование искривленных поверхностей». В предшествовавшие тому несколько лет Гаусса привлекали к работе по подробной топографической съемке Баварского королевства (в ходе этой работы, между прочим, он изобрел гелиотроп — устройство для наблюдений на больших расстояниях за счет отражения вспышек солнечного света от системы зеркал). Колоссальный ум Гаусса вычленил из материала, с которым он работал, некоторые соображения о свойствах двумерных поверхностей и о том, как эти свойства можно было бы описать математически. Статья Гаусса широко рассматривается в качестве работы, положившей начало новой дисциплине — дифференциальной геометрии.

Риман в своей лекции развил эти идеи и обобщил их на пространства любого числа измерений. Что еще более важно, он привнес совершенно новый взгляд на весь предмет. Гаусс воспринимал его в терминах искривленных двумерных листов, вложенных в обычное трехмерное пространство, из которого их можно разглядывать, — что было естественным обобщением его опыта работы в качестве топографа. Риман переместил точку зрения таким образом, что она стала внутренней по отношению к рассматриваемому пространству.

Я полагаю, вы знакомы с идеей, содержащейся в общей теории относительности Эйнштейна, о том, что с тремя пространственными измерениями и одним временным можно математически обращаться как с четырехмерным пространством-временем и что этот четырехмерный континуум изогнут и искорежен за счет присутствия массы и энергии. С точки зрения Гаусса геометрию этого пространства-времени надо было бы развивать, представляя себе, что оно вложено в пятимерный континуум, подобно тому как Гаусс рассматривал двумерные поверхности вложенными в обычное трехмерное пространство. Тем, что современные физики так не думают, мы обязаны Риману. На самом деле, если вы отправитесь в ближайший университет и запишетесь там на курс по общей теории относительности, то названия тем, которые вы будете проходить (по порядку), могут оказаться такими:

• метрический тензор;

• тензор Римана;

• тензор Риччи;

• тензор Эйнштейна;

• тензор энергии-импульса;

• уравнение Эйнштейна G = 8πT.

Охватив это, вы овладеете основами общей теории относительности.

Хотя цель данной книги состоит в описании открытий Римана в арифметике и великой Гипотезы, которая берет в них свое начало, нельзя сказать, что эти геометрические исследования не имеют никакого отношения к делу. Общий склад ума Римана, а также все его лучшие математические работы родились из напряжений, возникавших между соображениями двух противоположных свойств. С одной стороны, он был великим глобалистом, всегда склонным воспринимать вещи в полном объеме. Для Римана функция не представляет собой просто множество точек; еще менее она передается каким бы то ни было изобразительным способом типа графика или таблицы и еще менее — набором выражений, содержащих алгебраические формулы. (В одном из немногих засвидетельствованных отрицательных отзывов о ком бы то ни было Риман отмечает, что берлинский математик Готхольд Эйзенштейн «остановился на уровне формального вычисления».) Но что же тогда такое функция? Это объект, который без нарушения правил нельзя лишить ни одного из его атрибутов. Риман воспринимал функцию способом, каким, говорят, шахматные гроссмейстеры воспринимают шахматную партию — всю целиком, как единое целое, Gestalt.

Однако в напряженных отношениях с этой тенденцией была противоположная ей, причем также ясно прослеживающаяся в работах Римана тенденция сводить всякий математический предмет к анализу. «Риман <…> всегда мыслил в аналитических терминах», — говорит Лаугвитц. Писатель имеет в виду анализ в его бесконечно-малом аспекте: пределы, непрерывность, гладкость; локальные свойства чисел, функций и пространств. Если задуматься об этом, то должно показаться довольно странным, что исследование бесконечно малых окрестностей точек и чисел может снабдить нас знанием о глобальных свойствах функций и пространств. Это становится особенно явным в общей теории относительности, где начинают с изучения микроскопических областей пространства-времени, а приходят к осознанию формы Вселенной и рассмотрению предсмертной агонии галактик. Тем, что нам удается рассуждать столь необычным способом и в чистой, и в прикладной математике, мы обязаны главным образом математикам начала XIX века, и более всего — Бернхарду Риману.

Великая лекция Римана была в действительности документом философским в той же мере, что и математическим. В этом смысле много раз отмечавшаяся туманность многих ее мест могла быть сознательным выбором Римана. (Впрочем, см. замечание Фрейденталя ниже.) То, о чем он говорил, касалось природы пространства на самом фундаментальном уровне. А для среднего, довольного собой стареющего профессора того времени — вроде тех людей, что заседали в числе геттингенских слушателей лекции Римана в тот июньский день, — природа пространства была делом решенным. Она была открыта за 70 лет до этого Иммануилом Кантом в его «Критике чистого разума». Пространство представляет собой предсуществующую часть нашего рассудка, посредством которого мы организуем чувственные восприятия, и оно с необходимостью эвклидово, другими словами, плоское — такое, в котором прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, а сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Неэвклидова геометрия, описанная Лобачевским в 1830-х годах, с этой точки зрения воспринималась как философская ересь. Работа Римана была куда большей ересью; в этом могла состоять причина, по которой он представил свои мысли на уровне столь большой общности, что их связь с неэвклидовой геометрией должна была ускользнуть от всех, кроме наиболее математически подкованных людей в сидевшей перед ним аудитории. (Но, конечно, не от Гаусса. Гаусс на самом деле еще ранее сам изобрел неэвклидову геометрию, но не опубликовал своих результатов из опасений, как он писал, «что болваны поднимут шум и гам». В XIX столетии немцы относились к своей философии весьма серьезно.)

В статье из уже упоминавшегося «Словаря научных биографий» Ханс Фрейденталь говорит о философских способностях Римана следующее.

Один из глубочайших и наиболее одаренных воображением умов среди математиков всех времен, он испытывал сильную тягу к философии и на самом деле был великим философом. Если бы он жил и творил дольше, философы признали бы за ним членство в своем цехе.

Я недостаточно подготовлен для того, чтобы судить об истинности этого высказывания. Однако с чем я могу согласиться от всего сердца, так это с другим замечанием Фрейденталя: «Стиль Римана, на который повлияла философская литература, демонстрирует худшие черты немецкого синтаксиса; этот стиль должен представляться шифром всякому, кто не постиг немецкий язык во всей его глубине». Сознаюсь, что хотя у меня есть экземпляр собрания трудов Римана в немецком оригинале — а это один том в 690 страниц — и хотя я приложил все старания, чтобы разобраться в его словах там, где он отклоняется от непосредственно математического изложения, как, например, в своей знаменитой лекции, мое знакомство с его великими мыслями главным образом основано на переводах и вторичных источниках.[72]

VI.

Дедекинд получил вторую степень вскоре после Римана, и оба математика начали преподавание в осенне-зимнем семестре 1854 года; Риману исполнилось 28, а Дедекинду 23. Впервые в жизни Риман получал жалованье. Однако вряд ли это было серьезное жалованье. Преподавателям обычно платили посещавшие их лекции студенты (формально университет переводил плату за обучение от студентов к преподавателям). В то время в Геттингене было немного студентов, изучавших математику, — первая лекция Римана собрала их в количестве восьми — и лекции нередко отменялись из-за того, что не было записавшихся. По-видимому, Риман и Дедекинд ходили на лекции друг друга, хотя мне и не удалось установить, платили ли они друг другу за обучение.

Следующая проблема состояла в том, что Риман, по-видимому, не был хорошим лектором. Дедекинд откровенно высказывается по этому поводу:

Нет никаких сомнений, что в течение первых лет его академической карьеры чтение лекций было сопряжено для Римана со значительными трудностями. Его блестящий интеллект и прозорливость обычно не были заметны. Что было заметно, — так это значительные скачки в логике изложения — скачки, которые нелегко давались более слабым умам. Если его просили дать разъяснения по поводу пропущенной связи вещей, то он приходил в волнение и не мог приспособиться к более медленному ходу мыслей вопрошающего. <…> Его попытки судить о том, не слишком ли быстро он продвигается, по реакции своих слушателей, также сбивали его всякий раз, когда, вопреки его ожиданиям, слушатели давали ему понять, что следует остановиться на доказательстве какого-то момента, который ему самому представлялся совершенно понятным.

Дедекинд, отзывающийся о герое своих записей с неизменной симпатией, далее утверждает, что с годами риманова манера чтения лекций улучшилась. Не исключено, что это правда, но сохранившиеся письма студентов Римана показывают, что даже в 1861 году «его мысли часто подводили его, и он был не в состоянии объяснить простейшие вещи». Отношение к этой проблеме самого Римана было, как всегда, достаточно трогательным. После своей первой лекции, состоявшейся 5 октября 1854 года, он пишет отцу: «Надеюсь, что через полгода мне будет легче с моими лекциями и мысль о них не будет отравлять моего пребывания в Квикборне и нашего с тобой общения, как это случилось в прошлый раз». Он был безнадежно застенчивым человеком.

VII.

Самым крупным событием того осенне-зимнего семестра стала смерть Гаусса 23 февраля 1855 года, в возрасте 77 лет. Он находился в добром здравии до самого конца и умер внезапно, от сердечного приступа, сидя в своем любимом кресле в дорогой его сердцу обсерватории.[73]

Профессорскую должность Гаусса сразу же предложили Дирихле, который принял приглашение и уже через несколько недель прибыл в Геттинген. С учетом того, сколь великодушно Дирихле отнесся к нему в Берлине, а также тесного общения между ними в 1852 году во время приезда Дирихле в Геттинген, Риман должен был воспринять это с воодушевлением. А мозг Гаусса, кстати, был забальзамирован и оставлен на хранение на факультете физиологии Геттингенского университета, где находится и поныне.

Дирихле также был воодушевлен; в Берлине ему приходилось слишком много работать. Насчет воодушевления его жены полной уверенности нет. Привыкнув к берлинскому высшему обществу, Ребекка Дирихле, урожденная Мендельсон, должна была счесть Геттинген тоскливым и провинциальным. Она изо всех сил старалась скрасить свое пребывание там, устраивая балы — Дедекинд упоминает, что на одном из них присутствовало от 60 до 70 человек, — и вечера музыки в берлинском стиле. Сам Дедекинд, будучи человеком и светским, и музыкальным, расцвел в таком окружении. С Риманом, конечно, все обстояло наоборот, и если его другу хотя бы иногда удавалось затащить его на одно из таких мероприятий, то бедному Риману, должно быть, приходилось в муках терпеть, пока оно не закончится.

Куда большую муку он пережил в октябре того же 1855 года, когда умер его отец, а вскоре после того и младшая сестра Клара. Это положило конец лелеемой им связи с Квикборном. Брат Римана занимал должность почтового служащего в Бремене, и три оставшихся сестры Римана, не имея других средств к существованию и даже жилья (после того как должность викария в Квикборне занял новый пастор), переехали жить к брату.

Несчастный Риман должен был быть совершенно опустошен. Он набросился на работу и в 1857 году написал основополагающую статью о теории функций, упоминавшуюся в главе 1, — статью, принесшую ему известность. Но напряженная работа в соединении с горем повлекла за собой нервный срыв. У Дедекиндов был летний домик в горах Гарц в нескольких милях к западу от Геттингена.[74] Дедекинд смог уговорить Римана провести там несколько недель; он сам ненадолго приезжал туда и ходил с Риманом на прогулки.

В ноябре, после возвращения Римана в Геттинген, его назначили доцентом в университете со скромным жалованьем в 300 талеров в год. Но беда не приходит одна. Его брат Вильгельм в тот же месяц скончался в Бремене, а затем, в начале следующего года, умерла его сестра Мария. Семья, которую Риман боготворил и в которой сосредотачивалась вся его эмоциональная жизнь, исчезала у него на глазах. Он перевез двух оставшихся сестер к себе в Геттинген.

Летом 1858 года во время лекции в Швейцарии у Дирихле случился сердечный приступ, и в Геттинген его перевезли с немалым трудом. Пока он лежал тяжелобольным, его жена скоропостижно умерла от удара. Дирихле воссоединился с ней в мае следующего года. (Его мозг составил компанию мозгу Гаусса на факультете физиологии.) Должность Гаусса теперь освободилась.

VIII.

От смерти Гаусса до смерти Дирихле прошло четыре года, два месяца и двенадцать дней. За этот отрезок времени Риман потерял не только двух коллег, которых он ценил более всех других математиков, но и отца, брата, двух сестер и жилище викария в Квикборне — то единственное место на земле, которое было ему домом и прибежищем с самого детства.

В то самое время, как эмоциональная жизнь Римана омрачалась одним ударом за другим, его звезда на математическом небосклоне восходила. К концу 1850-х годов блеск и оригинальность его работ стали известны математикам почти по всей Европе. Болезненно застенчивый молодой студент, лишь за десять лет до того приехавший в университет, чтобы начать работу над своей диссертацией, теперь стал заметным математиком, и о Геттингенском университете, который в начале 1850-х годов слыл прежде всего университетом Гаусса, начали говорить как об университете Гаусса, Дирихле и Римана. (Но не Дедекинда, которому еще предстояло создать свои лучшие работы. Дедекинд, кстати, уехал из Геттингена, получив должность в Цюрихе, осенью 1858 года.)

Не слишком неожиданным поэтому был выбор руководства университета в пользу Римана как второго преемника Гаусса. 30 июля 1859 года он получил должность ординарного профессора, что означало обеспеченное существование, и — видимо, как признание за ним необходимости содержания двух оставшихся в живых сестер — апартаменты Гаусса в обсерватории. Скоро последовали и другие знаки отличия. Первый — 11 августа, когда он был произведен в члены-корреспонденты Берлинской академии наук. Риман вернулся в Берлин спустя немногим более 10 лет после того, как уехал оттуда, но вернулся со скромной коллекцией венков на своем челе и был встречен с почетом теми, чьи имена составляли славу немецкой математики: Куммером, Кронеккером, Вейерштрассом, Борхардом.

Венцом триумфа Римана стало представление им на суд академии своей работы «О числе простых чисел, не превышающих данной величины». В ее первой фразе он благодарит двух людей, к этому моменту уже покойных, помощь которых (хотя и предоставившаяся намного более охотно со стороны Дирихле, чем со стороны Гаусса) позволила ему покорить высоты. Во второй фразе он демонстрирует Золотой Ключ. В третьей присваивает имя дзета-функции. Первые три предложения работы Римана 1859 года в действительности таковы:

За внимание, которое Академия выказала в мой адрес, приняв меня в качестве одного из своих членов-корреспондентов, более всего, как мне представляется, я мог бы высказать благодарность, незамедлительно воспользовавшись таким образом полученными мною привилегиями представить сообщение об исследовании частоты появления простых чисел; несмотря на длительный интерес к этому предмету со стороны и Гаусса, и Дирихле, сообщение по этому поводу представляется не лишенным некоторого интереса.

В качестве отправной точки моего исследования я исхожу из наблюдения Эйлера о выражении произведения

где p — все простые, a n — все целые числа. Функцию комплексной переменной s, которая задается каждым из этих выражений, коль скоро они сходятся, я обозначу как ζ(s).

Гипотеза Римана, появляющаяся на четвертой странице той работы, утверждает некий факт о дзета-функции. Чтобы продвинуться в понимании Гипотезы, нам предстоит теперь более серьезно углубиться в устройство дзета-функции.

Глава 9. Расширение области определения

I.

Итак, мы начинаем приближаться к Гипотезе Римана. Просто чтобы освежить память, сформулируем ее еще раз:

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

И мы уже знаем, что такое дзета-функция! Если s — некоторое число, большее единицы, то дзета-функция определяется таким выражением (9.1):

или же, несколько более изысканным образом,

где слагаемые бесконечного ряда отвечают всем положительным целым числам. Мы видели, что если к этой сумме применить процедуру, напоминающую решето Эратосфена, то ее можно переписать как

то есть

где множители в бесконечном произведении отвечают всем простым числам.

Таким образом, получаем

что я и назвал Золотым Ключом.

Пока все прекрасно, но что это там говорилось насчет нетривиальных нулей? Что такое нуль функции? Что представляют собой нули дзета-функции? И когда они нетривиальны? Не переживайте, сейчас все будет!

II.

Позабудем на время о дзета-функции. Рассмотрим бесконечную сумму совсем другого типа:

S(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + ….

Сходится ли она вообще когда-нибудь? Без сомнения. Если x равно 1/2,то сумма представляет собой просто-напросто выражение 1.1 из главы 1.iv, поскольку (1/2)2 = 1/4, (1/2)3 = 1/8 и т.д. Следовательно, S(1/2) = 2, потому что именно к этому значению ряд и сходится. Более того, если вспомнить правило знаков, то (−1/2)2 = 1/4, (−1/2)3 = −1/8 и т.д., а следовательно, S(−1/2) = 2/3 согласно выражению 1.2 из главы 1.v. Аналогичным образом выражение 1.3 говорит нам, что S(1/3) = 1^1/2 выражение 1.4 — что S(−1/3) = 1^3/4. Легко получить и еще одно значение для этой функции: S(0) = 1, поскольку нуль в квадрате, кубе и т.д. все равно равен нулю, и остается только единица, с которой ряд начинается.

Однако если x равен 1, то S(1) есть 1 + 1 + 1 + 1 + …, а этот ряд расходится. При x равном 2 расходимость еще более явная: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …. Когда x равен −1, происходит странная вещь: по правилу знаков сумма принимает вид 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …. Такая сумма равна нулю, если взять четное число членов, и единице, если нечетное. Данное выражение определенно не убегает на бесконечность, но оно и не сходится. Математики рассматривают такое поведение как некоторый вид расходимости. Ситуация с x = −2 еще хуже: сумма 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − … ведет себя так, словно убегает на бесконечность сразу по двум направлениям. Такая ситуация определенно далека от сходимости, и если вы скажете, что здесь налицо расходимость, то никто с вами спорить не будет.

Короче говоря, функция S(x) имеет значения, только когда x лежит в границах между −1 и 1, не включая сами границы. В других случаях у нее значений нет. В таблице 9.1 приведены значения функции S(x) для аргументов x между −1 и 1.

x

S(x)

−1 или меньше

(нет значений)

−0,5

0,6666…

−0,333…

0,75

0

1

0,333…

1,5

0,5

2

1 или больше

(нет значений)

Таблица 9.1. Значения функции S(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ….

Вот и все, что можно извлечь из бесконечной суммы. График этой функции показан на рисунке 9.1; на этом графике у функции нет вообще никаких значений к западу от −1 и к востоку от 1. Используя профессиональную терминологию, можно сказать, что область определения этой функции заключена строго между −1 и 1.

Рисунок 9.1. Функция S(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ….

III.

Но смотрите, нашу сумму

S(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + …

можно переписать в таком виде:

S(x) = 1 + x(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + …).

Ряд в скобках здесь равен просто S(x): каждый член, встречающийся в одном, встречается также и в другом из двух выписанных выше рядов, а это и означает, что они совпадают.

Другими словами, S(x) = 1 + xS(x). Перенося самый правый член в левую часть, получаем равенство S(x) − xS(x) = 1, или, другими словами, (1 − x)S(x) = 1. Следовательно, S(x) = 1/(1 − x). Возможно ли, чтобы за нашей бесконечной суммой скрывалась столь простая функция, как 1/(1 − x)? Может ли равенство

1/(1 − x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + … (9.2)

оказаться верным?

Без сомнения, может. Если, например, x = 1/2, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − 1/2), что есть 2. Если x = 0, то 1/(1 − x) равно 1/(1 − 0), что есть 1. Если x = −1/2, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − (−1/2)), т.е. 1:1^1/2 что есть 2/3. Если x = 1/3, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − 1/3) т.е. 1:2/3, что есть 1^1/2. Если x = −1/3, то 1/(1 − x) равняется 1/(1 − (−1/3)), т.е. 1:1^1/3, что есть 3/4. Все сходится. Для аргументов −1/2, −1/3, 0, 1/3, 1/2, при которых мы знаем значения функции, значения бесконечного ряда S(x) такие же, как и значения функции 1/(1 − x). Похоже, что этот ряд и эта функция — одно и то же.

Рисунок 9.2. Функция 1/(1 − x).

Но они не одно и то же, поскольку у них различные области определения, как это видно из рисунков 9.1 и 9.2. S(x) имеет значения только между −1 и 1, не включая границы; функция же 1/(1 − x) имеет значения везде, за исключением точки x = 1. Если x = 2, то ее значение равно 1/(1 − 2), то есть −1. Если x = 10, то значение равно 1/(1 − 10), то есть −1/9. Если x = −2, то значение равно 1/(1 − (−2)), то есть 1/3. Можно нарисовать график функции 1/(1 − x). Как видно, он совпадает с предыдущим графиком в промежутке между −1 и 1, но имеет еще и значения к западу от −1 (включая саму −1) и к востоку от 1.

Мораль здесь в том, что бесконечный ряд может определять только часть функции; или, используя подобающие математические термины, бесконечный ряд может определять функцию только на части ее области определения. Остальная часть функции может где-то прятаться, ожидая, пока ее не вытащат на свет с помощью фокуса типа того, что мы применили к S(x).

IV.

Это приводит к очевидному вопросу: а не обстоит ли дело подобным же образом и с дзета-функцией? Не случилось ли так, что бесконечная сумма, которую мы использовали для дзета-функции, — выражение (9.1) — описывает только часть этой функции? И у этой функции есть что-то еще, что нам только предстоит открыть? Может ли область определения дзета-функции

оказаться больше, чем просто «все числа, большие 1»?

Конечно может. Иначе зачем бы мы тут стали влезать во все эти подробности? Да, дзета-функция имеет значения при аргументах, меньших 1. На самом деле, как и функция 1/(1 − x), она имеет значения при всех числах за единственным исключением x = 1.

Сейчас подходящий момент, чтобы привести график дзета-функции, который продемонстрировал бы все ее свойства в широком интервале значений. К сожалению, это невозможно. Как уже упоминалось, кроме как для простейших функций, обычно нет хорошего и надежного способа показать функцию во всем ее великолепии. Близкое знакомство с функцией требует времени, терпения и тщательного изучения. Можно, однако, изобразить дзета-функцию по кускам. На рисунках с 9.3 по 9.10 показаны значения ζ(s) для некоторых аргументов, находящихся слева от s = 1, хотя для этого потребовалось выбрать свой собственный масштаб на каждом графике. Понять, где мы находимся, можно, руководствуясь подписанными аргументами (на горизонтальной оси) и значениями (на вертикальной оси). При обозначении масштаба m указывает на миллион, tr на триллион, mtr обозначает миллион триллионов, a btr — миллиард триллионов.

Коротко говоря, когда s лишь немного меньше единицы (рисунок 9.3), значения функции очень большие по величине и отрицательные — как если бы при движении на запад при пересечении линии s = 1 значения внезапно переметнулись из бесконечности в минус бесконечность. Если продолжить путешествие по рисунку 9.3 — т.е. устремлять s ближе и ближе к нулю, — то подъем вверх радикально замедляется. Когда s равно нулю, ζ(s) равна −1/2. При s = −2 кривая пересекает ось s, т.е. ζ(s) равна нулю.

Рисунок 9.3.

Затем (мы по-прежнему двигаемся на запад, добравшись теперь до рисунка 9.4) график взбирается на относительно скромную высоту (в действительности до 0,009159890…), а после этого поворачивает вниз и снова пересекает ось при s = −4. График попадает в неглубокую впадину (−0,003986441…), а после нее снова взбирается вверх и пересекает ось при s = −6. Еще один невысокий пик (0,004194…), спуск до пересечения с осью при s = −8 и далее в несколько более глубокую впадину (−0,007850880…), затем пересечение с осью в точке −10, после чего уже довольно заметный пик (0,022730748…), пересечение с осью при s = −12, впадина поглубже (−0,093717308…), пересечение с осью при s = −14 и т.д.

Рисунок 9.4.

Дзета-функция равна нулю при каждом отрицательном четном числе, а по мере продвижения на восток (рисунки от 9.5 до 9.10) последовательные пики и впадины быстро делаются все более и более значительными. Последняя показанная впадина расположена при s = −49.587622654…, а глубина ее составляет около 305 507 128 402 512 980 000 000. Сами видите, как нелегко изобразить дзета-функцию на одном графике.

Рисунок 9.5.

Рисунок 9.6.

Рисунок 9.7.

Рисунок 9.8.

Рисунок 9.9.

Рисунок 9.10.

V.

Ho как я получил все эти значения ζ(s) для s, меньших 1? Мы уже видели, что бесконечный ряд из выражения (9.1) для этого непригоден. А что пригодно? Если бы ради спасения своей жизни мне пришлось вычислить значение ζ(−7,5), как бы я к этому подступился?

Я не могу объяснить этого в полной мере, потому что такое объяснение требует слишком значительного погружения в математический анализ. Но я попробую передать общую идею. Сначала определим некоторую новую функцию, используя бесконечный ряд, слегка отличный от ряда в выражении (9.1). Это η-функция; η (читается «эта») — седьмая буква греческого алфавита. Определим η-функцию как

Грубая прикидка подсказывает, что у этой функции перспективы сходимости лучше, чем у выражения (9.1). Вместо непрестанного прибавления чисел здесь мы по очереди то прибавляем, то вычитаем, так что каждое следующее число до некоторой степени сокращает вклад предыдущего. Так оно и выходит. Математики в состоянии доказать — хотя здесь мы этим заниматься не будем, — что этот новый бесконечный ряд сходится всегда, когда s больше нуля. Это существенное улучшение по сравнению с выражением (9.1), которое сходится, только когда s больше единицы.

Но какая нам от всего этого польза в отношении дзета-функции? Для начала заметим, что в силу элементарных алгебраических правил A − B + C − D + E − F + G − H + … равно (A + B + C + D + E + F + G + H + …) минус 2×(B + D + F + H + …). Поэтому функцию η(s) можно переписать как

минус

Первая скобка — это, конечно, ζ(s). Вторую скобку легко упростить, пользуясь 7-м правилом действий со степенями: (ab)n = anbn. Таким же образом каждое из этих четных чисел можно разбить в произведение вида , после чего можно вынести  в качестве множителя перед всей скобкой. А что останется в скобке? Там останется ζ(s)! Коротко говоря,

или, переписав это «наоборот» и слегка причесав, получаем

Вот. Это означает, что если нам удастся узнать какое-то значение η(s), то мы немедленно будем знать и значение ζ(s). А поскольку можно узнать значения η(s) между 0 и 1, можно получить и значение ζ(s) в этом промежутке, несмотря на то что «официальный» ряд для ζ(s) там не сходится.

Пусть, например, s равно 1/2. Если сложить 100 членов ряда для η(1/2), то получится 0,555023639…; если сложить 10 000 членов, получится 0,599898768…. В действительности значение η(1/2) составляет 0,604898643421630370…. (Существуют определенные приемы позволяющие вычислять такое без необходимости сложения мириад членов.) Вооруженные всем этим, мы можем вычислить значение ζ(1/2) оно оказывается равным −1,460354508…, что выглядит очень правдоподобно, если судить по первому графику из приведенного выше набора.

Но задержимся на мгновение. Не устроили ли мы тут игру в наперстки с двумя бесконечными рядами, один из которых сходится при аргументе s = 1/2, а другой — нет? Ну, строго говоря, мы действуем не совсем по правилам, и я обошелся довольно безответственно с той математикой, на которой здесь все основано. Однако же я получил правильный ответ, причем этот фокус можно повторить для любого числа между нулем и единицей (не включая ее) и получить правильное значение для ζ(s).

VI.

За исключением одного только s = 1, где ζ(s) не имеет значения, мы можем теперь предъявить значение дзета-функции для любого числа s, большего нуля. А как насчет аргументов равных нулю или меньших нуля? Вот здесь все по-настоящему круто. Один из результатов в работе Римана 1859 года состоит в доказательстве формулы, впервые предложенной Эйлером в 1749 году, которая выражает ζ(1 − s) через ζ(s). Таким образом, если мы желаем узнать, например, значение ζ(−15), то надо просто вычислить значение ζ(16) и подставить его в эту формулу. Это, правда, неслабая формула, и я привожу ее главным образом для полноты картин:[75]

Всюду здесь π — это магическое число 3,14159265…, sin — добрая старая тригонометрическая функция синус (от аргумента, выраженного в радианах), а знак «!» обозначает факториальную функцию, упоминавшуюся уже в главе 8.iii. В математике, изучаемой в старших классах, вы встречались только с факториальной функцией, аргументами которой являются положительные целые числа: 2! = 1×2, 3! = 1×2×3, 4! = 1×2×3×4 и т.д. В высшей математике, однако, есть способ определить факториальную функцию для всех чисел, кроме отрицательных целых, для чего применяется прием расширения области определения вполне в духе того, которым мы только что пользовались. Например, (1/2)! оказывается равным 0,8862269254… (на самом деле — половине квадратного корня из π), (−1/4)! = 1,2254167024… и т.д. Отрицательные целые создают проблемы в этой формуле, но это не критические проблемы, и я ничего о них говорить не буду. На рисунке 9.11 изображена полная факториальная функция для аргументов от −4 до 4.

Рисунок 9.11. Полная факториальная функция x!.

Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ζ(s) для любого числа s за единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ζ(1 − s) через ζ(s); если вы знаете, как посчитать ζ(16), то вы можете тогда вычислить ζ(−15); если вам известна ζ(4), то вы можете вычислить ζ(−3); если вам известна ζ(1,2), то вы можете выделить ζ(−0,2); если вам известна ζ(0,6), то вы можете вычислить ζ(0,4); если вам известна ζ(0,50001), то вы можете вычислить ζ(0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ζ(1 − s) и ζ(s), потому что если s = 1/2, то 1 − s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4 и рисунков с 9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента 1/2. И тем не менее ее значения при аргументах слева от 1/2 связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.

Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: ζ(s) равна нулю всегда, когда s — отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:

−2, −4, −6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.

А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.

VII.

В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2) два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:

1/(1 − x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + …

Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/x равен ln x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 − x) равен −ln(1 − x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:

−ln(1 − x) = x + x^2/2 + x^3/3 + x^4/4 + x^5/5 + x^6/6 + ….

Будет чуть удобнее, если обе части умножить на −1:

ln(1 − x) = −x − x^2/2 − x^3/3 − x^4/4 − x^5/5 − x^6/6 − … (9.3)

Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение (9.3) верно при x = −1, тогда как выражение (9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x = −1 выражение (9.3) дает следующий результат:

ln 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + 1/7 − … (9.4)

Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.

Правая часть выражения (9.4) несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке. Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому — или может даже вообще не сойтись![76]

Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 − 1/2 − 1/4 + 1/3 − 1/6 − 1/8 + 1/5 − 1/10 − …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 − 1/2) − 1/4 + (1/3 − 1/6) − 1/8 + (1/5 − 1/10) − …, т.е. 1/2(1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда![77]

Ряд из выражения (9.4) — не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения (9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.

Глава 10. Доказательство и поворотная точка

I.

Работа 1859 года «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» была единственной публикацией Бернхарда Римана по теории чисел, а также единственной из всех написанных им работ, которая вовсе не содержала никаких геометрических идей.

Эта блестящая и основополагающая статья была, однако, неудовлетворительна в некоторых отношениях. Прежде всего, имелась сама великая Гипотеза, которую Риман оставил висеть в воздухе (где она пребывает и поныне). Его собственные слова после формулировки утверждения, эквивалентного Гипотезе, были такими:

Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких недолгих бесплодных попыток (einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen) я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования.

Вполне разумно. Поскольку Гипотеза не имела решающего значения для развиваемых им идей, Риман оставил ее без доказательства. Но это был наименьший из недостатков той статьи. Некоторые другие вещи в ней утверждаются, но их тщательного доказательства не приводится — причем это относится и к основному результату работы! (Сам этот результат мы рассмотрим в одной из последующих глав.)

Бернхард Риман являл собой весьма чистый случай интуитивного математика. Это требует пояснений. Личность математика состоит из двух главных компонент: логической и интуитивной. Обе присутствуют в каждом хорошем математике, но при этом или одна, или другая значительно преобладает. Типичным примером исключительно логического математика является немецкий аналитик Карл Вейерштрасс (1815-1897), создавший свои великие работы в третьей четверти XIX века. Чтение работ Вейерштрасса подобно наблюдению за скалолазом. Каждый шаг, прежде чем будет предпринят последующий, твердо закрепляется доказательством. Пуанкаре говорил, что ни одна из вейерштрассовых книг не содержит ни одного рисунка. На этот счет на самом деле имеется одно исключение, но так или иначе логически выверенное построение работ Вейерштрасса весьма характерно именно для логического математика: каждый тщательно обоснован перед тем, как осуществляется переход к следующему, и при этом не делается никаких воззваний к геометрической интуиции.

Риман воплощал в себе полную противоположность. Если Вейерштрасс — это скалолаз, методично отвоевывающий у утеса каждый дюйм, то Риман — скорее акробат на трапеции, бесстрашно взлетающий в воздух в уверенности (которая зрителю может показаться опасным самообманом), что, когда он достигнет точки своего назначения где-то посреди неба, там будет за что ухватиться. Совершенно ясно, что Риман обладал прекрасно развитым зрительным воображением, а также и то, что его мозг совершал прыжки к результатам настолько мощным, элегантным и плодотворным, что он не мог заставить себя остановиться для доказательства. Он живо интересовался философией и физикой, и набор концепций, накопленных им в результате длительного знакомства с этими двумя дисциплинами, — поток ощущений через наши органы чувств, организация этих ощущений в формы и понятия, поток электричества через проводник, движения жидкостей и газов — просматривается за фасадом его математики.

Поэтому работу 1859 года почитают не за ее логическую чистоту и уж заведомо не за ее ясность, а за одну лишь оригинальность примененного Риманом метода и за величайший размах и мощь его результатов, которые уже обеспечили и продолжают обеспечивать его коллег-математиков материалом на десятилетия работы.

О том, что последовало за статьей 1859 года, пишет в своей книге о дзета-функции[78] Хэролд Эдвардс:

В течение первых 30 лет после опубликования статьи Римана в этой области не наблюдалось практически никакого прогресса. Это выглядело так, как будто именно столько времени потребовалось математическому миру для переваривания римановых идей. Затем в течение промежутка примерно в 10 лет Адамар, фон Мангольдт и де ля Валле Пуссен добились успехов в доказательстве как основной формулы Римана для π(x), так и теоремы о распределении простых чисел, а также ряда других родственных теорем. Во всех этих доказательствах идеи Римана сыграли ключевую роль.

II.

Работа Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» имела прямое отношение к попыткам доказать Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Если бы выяснилось, что Гипотеза Римана верна, то ТРПЧ была бы получена в качестве следствия. Однако Гипотеза представляет собой намного более сильный результат, чем ТРПЧ, и последнюю можно было бы доказать, исходя и из более слабых предпосылок. Основное значение работы Римана для доказательства ТРПЧ состояло в том, что она предоставила средства — результаты, позволяющие глубоко проникнуть в суть аналитической теории чисел, — с помощью которых и была проложена дорога к доказательству.

Это доказательство появилось в 1896 году. Период, прошедший между выходом работы Римана и доказательством ТРПЧ, был отмечен следующими вехами.

• Вырос объем практических знаний о простых числах. Были опубликованы более длинные таблицы простых чисел, среди которых выделяются таблицы Кулика, представленные Венской академии наук в 1867 году, — там были приведены делители всех чисел до 100 330 200. Эрнст Майсель разработал хитрый способ вычисления π(x) — функции, которая считает количество простых чисел. В 1871 году он нашел правильное значение для π(100 000 000). В 1885 году он вычислил значение π(1000 000 000), которое оказалось на 56 меньше правильного результата (хотя это и обнаружили лишь 70 лет спустя).

• В 1874 году Франц Мертенс добился скромного результата, касающегося чисел обратных к простым, используя методы, которые заимствовали кое-что как у Римана, так и у Чебышева. Ряд 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + … + 1/p + … расходится, хотя и более медленно, чем гармонический ряд. Явно выписанная сумма ~ ln(ln p).

• В 1881 году Дж. Дж. Сильвестр из Университета Джонса Хопкинса в Соединенных Штатах улучшил найденные Чебышевым границы отклонений (см. главу 8.iii) с 10 до 4 процентов.

• В 1884 году датский математик Йорген Грам опубликовал статью под названием «Исследования числа простых чисел, меньших данного числа» и получил за нее премию Датского математического общества. (Статья не содержала существенного прогресса, но заложила основы для полученных позднее результатов Грама, которые мы рассмотрим в должный момент.)

• В 1885 году голландский математик Томас Стилтьес заявил, что у него есть доказательство Гипотезы Римана. Подробности этой истории мы опишем чуть ниже.

• В 1890 году французская Академия наук объявила, что главная премия будет присуждена за работу по теме «Определение числа простых чисел, меньших заданной величины». Крайним сроком подачи работ на конкурс был июнь 1892 года. В объявлении было ясно сказано, что академия приветствует работу, которая прояснила бы некоторые доказательства, отсутствовавшие в работе Римана 1859 года. Молодой француз Жак Адамар направил статью о представлении некоторых классов функций в терминах их нулей. Риман опирался на подобный результат при выводе своей формулы для π(x); именно на этом (математические детали будут подробнее объяснены позже) зиждится связь между простыми числами и нулями дзета-функции, но Риман оставил этот результат без доказательства. Ключевые идеи Адамар взял из своей диссертации, которую защитил в том же году. Он и получил премию.

• В 1895 году немецкий математик Ханс фон Мангольдт доказал основной результат работы Римана, в котором утверждается связь между π(x) и дзета-функцией, и преобразовал его к более простому виду. Тогда стало ясно, что если бы была доказана некая теорема, намного более слабая, чем Гипотеза Римана, то применение ее к формуле фон Мангольдта дало бы доказательство ТРПЧ.

• В 1896 году два работавших назависимо математика — уже упомянутый Жак Адамар и бельгиец Шарль де ля Валле Пуссен — доказали этот более слабый результат и, следовательно, ТРПЧ.

Уже говорилось, что любой, кто бы ни сумел доказать ТРПЧ, тем самым снискал бы себе бессмертие. Это предсказание едва не сбылось: Шарль де ля Валле Пуссен умер за пять месяцев до своего 96-летия, а Жак Адамар — за два месяца до 98-летия.[79] Они не знали — по крайней мере, достаточно долго не знали, — что соревнуются друг с другом; и, поскольку оба они опубликовали свои результаты в один и тот же год, со стороны математиков было бы нечестно отдавать предпочтение кому-то одному из них за то, что он получил этот результат первым. Как и в случае восхождения на Эверест, они разделили славу.

Судя по всему, де ля Валле Пуссен опубликовался чуть раньше. Статья Адамара — она называлась Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques[80] — вышла в бюллетене Французского математического общества. Адамар добавил замечание о том, что он узнал о результате де ля Валле Пуссена, когда читал гранки своей статьи. И далее: «Однако я полагаю, что никто не сможет отрицать, что преимущество моего метода состоит в его простоте».

Этого никто никогда и не отрицал. Доказательство Адамара проще; из того факта, что он знал об этом до того, как его статья была напечатана, следует, что он не только слышал о результате де ля Валле Пуссена, но и имел возможность ознакомиться с ним. Однако поскольку их работы с очевидностью независимы, поскольку никогда не было ни малейшего намека на нечестную игру и поскольку и Адамар, и де ля Валле Пуссен были настоящими джентльменами, эти одновременные доказательства не стали причиной вражды или полемики. Я удовлетворюсь тем, что скажу, как говорит и весь математический мир: в 1896 году француз Жак Адамар и бельгиец Шарль де ля Валле Пуссен, работая независимо, доказали ТРПЧ.

III.

Доказательство ТРПЧ является великой поворотной точкой в нашей истории — настолько важным моментом, что в соответствии с ним я разбил книгу на две части. Во-первых, оба доказательства 1896 года опирались на некоторый результат в духе Гипотезы. Если бы или Адамар, или де ля Валле Пуссен смогли доказать справедливость Гипотезы, то справедливость ТРПЧ была бы остановлена немедленно. Они, разумеется, этого не смогли, но им этого и не требовалось. ТРПЧ — это орех, а Гипотеза Римана — молоток. ТРПЧ следует из более слабого (и безымянного) утверждения:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, меньшую единицы.

Если доказать такое, то можно воспользоваться основным результатом Римана в форме, которую ему придал фон Мангольдт, и тем самым доказать ТРПЧ. Именно это и сделали двое наших ученых в 1896 году.

Во-вторых, как только ТРПЧ перестала застилать горизонт, Гипотеза стала видна в полный рост. В ней был сосредоточен следующий по очереди ключевой открытый вопрос в аналитической теории чисел; и по мере того, как математики стали уделять ей внимание, выяснилось, что из доказательства ее справедливости последовало бы огромное множество вещей. Если ТРПЧ была гигантским Белым Китом теории чисел в XIX столетии[81], то Гипотеза Римана заняла ее место в XX. Даже больше чем просто заняла ее место, поскольку она зачаровала не только специалистов по теории чисел, но и математиков всех сортов и даже, как мы увидим, физиков и философов.

И в-третьих — сколь бы тривиальным ни казалось такое обстоятельство, подобные вещи некоторым образом откладываются в людских головах, — имелось чистое совпадение, определяемое тем, что идея о ТРПЧ зародилась в конце одного столетия (Гаусс, 1792), а доказана теорема была в конце следующего (Адамар и де ля Валле Пуссен, 1896). И как только с этой теоремой дело было решено, внимание математиков переключилось на Гипотезу Римана, которая и занимала их в течение всего следующего столетия — столетия, которое завершилось, так и не принеся никакого доказательства. И это подтолкнуло любознательных исследователей широкого профиля к написанию книг о ТРПЧ и Гипотезе в начале очередного столетия!

Чтобы наполнить сформулированные выше пункты социальным, историческим и математическим содержанием, я кратко расскажу о Жаке Адамаре; мой выбор определен отчасти тем, что среди многих действующих лиц он играл наиболее важную роль, а отчасти тем, что для меня он — привлекательная и располагающая к себе личность.

IV.

В политическом отношении XIX столетие выдалось для Франции не очень счастливым. Если считать вместе со ста днями Наполеона (а также если простить мне незначительные ошибки округления), то с 1800 по 1899 год государственное устройство этой древней нации выглядит следующим образом.

• Первая республика (4^1/2 года)

• Первая империя (10 лет)

• Реставрация монархии (1 год)

• Реставрация империи (3 месяца)

• Ререставрация монархии (33 года)

• Вторая республика (5 лет)

• Вторая империя (18 лет)

• Третья республика (29 лет)

И даже те 33 года монархии прерывались революцией и сменой династии.

Для французского народа во второй половине столетия величайшей национальной трагедией было поражение, которое французская армия потерпела от Пруссии в 1870 году; затем последовали осада Парижа пруссаками зимой 1870/71 года и мирный договор, по которому Пруссии были уступлены две провинции и выплачена колоссальная денежная контрибуция. Сам этот договор вызвал краткую, но ожесточенную гражданскую войну. Разумеется, последствия всего этого для Франции были огромны. Нация вступила во Франко-прусскую войну империей, а вышла из нее республикой.

Особенно оказалась затронута французская армия. В течение всей оставшейся части столетия, да и позднее, этому гордому институту пришлось не только терпеть унижение из-за поражении 1870 года; в армии воплотились и все надежды нации на реванш и возвращение потерянных земель. Кроме того, армия стала оплотом старомодного французского патриотизма: молодые люди из аристократических, католических и богатых буржуазных семей массово шли служить офицерами. Это склоняло офицерский корпус к консерватизму в старом французском духе «трона и алтаря», до некоторой степени изолируя его от основного направления, в котором развивалась французская жизнь в эти десятилетия. А жизнь шла по направлению к непоседливой и открытой торговой и промышленной республике, занимавшей ведущее положение в искусствах и науках, являвшей средоточие блеска, остроумия и веселья, — к восхитительной, блистательной Франции времен Belle Epoque[82], одной из высших точек в развитии западной цивилизации.

Жак Адамар ребенком пережил осаду Парижа, а дом, который занимала его семья, сожгли во время гражданской войны. Родился он в декабре 1865 года во франко-еврейской семье. Его отец преподавал в старших классах школы, а мать давала уроки игры на фортепиано. (Среди ее учеников был Поль Дюка, написавший симфоническую поэму «Ученик чародея», столь хорошо знакомую поклонникам Диснея.[83]) После получения диплома и недолгого преподавания в школе Адамар в 1892 году защитил диссертацию и в том же году женился. В 1893 году они с женой переехали в Бордо, где он получил должность преподавателя в университете. Их первый ребенок, Пьер, родился в октябре 1894 года, и они занялись созданием одной из тех любящих и деятельных буржуазных семей, где все тесно связаны друг с другом и где каждому полагается играть на музыкальном инструменте и выбрать себе карьеру в бизнесе или науке или же стать врачом или каким-нибудь другим специалистом.

В те дни, как и в наше время, Франция была высокоцентрализованным государством. Получить преподавательскую должность в Париже было необычайно сложно, и подразумевалось, что молодые ученые должны прежде в течение нескольких лет пройти стажировку в провинции. Для Адамара парижский шанс открылся в 1897 году. В том году он вернулся в столицу, оставив свое профессорство в Бордо — его повысили от преподавателя до полного профессора всего за два года, — и стал доцентом в Коллеж де Франс, что представляло собой продвижение с точки зрения престижа — т.е. шаг вверх.

Те шесть лет с 1892-го по 1897-й заложили основу карьеры и славы Адамара. Он был математиком широкого профиля и получал оригинальные результаты в нескольких различных областях. Как правило, студенты, специализирующиеся по математике, впервые встречают его имя в связи с теоремой о трех окружностях в теории функций комплексной переменной — результат, полученный Адамаром в 1896 году; о нем можно прочитать в любой хорошей энциклопедии по математике.[84]

Там будет написано, что Адамар был последним из универсальных математиков — из тех, другими словами, кто охватывал весь предмет целиком, — позже этот самый предмет разрастется до такой степени, что это станет просто невозможно. Однако то же самое будет сказано и о Гильберте, Пуанкаре, Клейне и, наверное, еще об одном или двух математиках того периода. Я не знаю, кто больше заслуживает звания универсального математика, хотя и подозреваю, что правильный ответ — Гаусс.

V.

Получение доказательства ТРПЧ относится к бордоскому периоду жизни Адамара. Отступим чуть в сторону и взглянем на непосредственное математическое окружение, в котором это доказательство было получено.

Главной фигурой во французской математике того времени был Шарль Эрмит (1822-1901) — профессор анализа в Сорбонне до своего ухода на пенсию в 1897 году. Одно из его творений будет играть роль в нашей истории (глава 17.v).

Начиная с 1882 года Эрмит вел математическую переписку с более молодым математиком, голландцем по имени Томас Стилтьес.[85] В 1885 году Стилтьес опубликовал в Comptes Rendus[86] заметку, где утверждал, что доказал нашу теорему 15.1 — результат более сильный, чем Гипотеза Римана, из которого, если Стилтьес действительно его доказал, следует справедливость Гипотезы (однако неверность его не будет опровержением Гипотезы, см. главу 15.v). Однако в той заметке Стилтьес не привел доказательства. Примерно в то же время он написал Эрмиту и в письме повторил свое утверждение, однако добавил: «Мое доказательство слишком сильно закручено; я попробую упростить его, когда вернусь к работе над этими вопросами». Стилтьес был честным человеком и серьезным, уважаемым математиком — его именем назван один вид интеграла. Ни у кого не было причин сомневаться, что у него действительно имелось доказательство, Стилтьес наверняка и сам так считал.

Тем временем работу Римана 1859 года тщательно исследовали и придали его рассуждениям более аккуратный вид. Удостоенный премии результат Адамара также представлял собой значительный шаг в этом направлении. Далее, в 1895 году в Берлине (Германия в то время была империей, правил которой кайзер Вильгельм I) немецкий математик Ханс фон Мангольдт расчистил значительную часть еще не пройденных дебрей и доказал основной результат Римана о связи функции π(x), подсчитывающей количество простых чисел, с нулями дзета-функции.

Оставались только два ключевых вопроса: Гипотеза и ТРПЧ. К этому времени все заинтересованные наблюдатели понимали, что Гипотеза — более сильное утверждение. Если бы Гипотезу (молоток) удалось доказать, то ТРПЧ (орех) была бы получена как следствие, без всяких дополнительных усилий. Но ТРПЧ можно было установить и исходя из более слабых результатов, без привлечения Гипотезы, причем доказательство ТРПЧ не означало бы справедливости Гипотезы.

Итак, что было делать математику, если учесть широкую распространенность убеждения, что Стилтьес разделался как с первой, так и со второй проблемой? Начать работать над доказательством более слабого результата — путь к которому благодаря работе по расчистке, которую провели Адамар и фон Мангольдт, был теперь довольно ясен? Но стоило ли затрудняться из-за этого, если более сильный результат Стилтьеса по поводу Гипотезы может появиться в тот момент, когда работа сделана лишь наполовину? С другой стороны, к середине 1890-х годов с момента сделанного Стилтьесом заявления прошло 10 лет, и многих, должно быть, начали одолевать сомнения. Эти сомнения никак не касались личности Стилтьеса; в математике нередки случаи, когда математик верит, что доказал некий результат, а потом, просматривая доказательство, обнаруживает (или, чаще, обнаруживают его коллеги), что в нем содержится логический изъян. Так случилось с первым доказательством Последней теоремы Ферма, данным Эндрю Уайлсом в 1993 году. Такое происходит при более драматических обстоятельствах с героем, от лица которого ведется повествование в написанном в 2000 году романе Филиберта Шогта «Дикие числа». Никто не стал бы думать о Стилтьесе хуже, если бы с ним случилось то, что сплошь и рядом случалось в карьерах математиков. Но где все же это доказательство?

И Шарль де ля Пуссен в Лувенском университете в Бельгии, и Жак Адамар в Бордо взялись за более скромную задачу и вскоре добились успеха. Они доказали ТРПЧ. Тем не менее оба, должно быть, гадали, имели ли смысл их усилия, поскольку, даже если бы их статьи были опубликованы раньше статьи Стилтьеса, его гораздо более сильный результат затмил бы их более слабые достижения. Действительно, Адамар пишет в своей статье: «Стилтьес доказал, что все мнимые нули функции ζ(s) имеют (в согласии с предсказанием Римана) вид 1/2 + ti, где t вещественно; однако его доказательство не было опубликовано. Я просто намереваюсь показать, что ζ(s) не может иметь нулей с вещественной частью, равной 1».

Доказательство Стилтьеса так и не было опубликовано; Стилтьес умер в Тулузе в последний день 1894 года. Адамар наверняка знал об этом в ходе работы над своей статьей в 1895-1896 годах, так что он, по-видимому, ожидал появления доказательства в ранее не опубликованных результатах среди наследия Стилтьеса. Но оно так и не появилось. Тем не менее до самого недавнего времени не исключалось, что Стилтьес мог доказать Гипотезу. Однако в 1985 году Эндрю Одлыжко и Херман те Риле доказали результат, который ставит теорему 15.1 под серьезное сомнение. Вера в потерянное стилтьесово доказательство Гипотезы Римана после этого, как я понимаю, в значительной мере улетучилась.{A3}

VI.

Как уже отмечалось, одним из последствий национальной трагедии 1870–1871 годов стало усиление консервативных элементов в офицерской прослойке французской армии, а также определенное дистанцирование этого класса от основного направления развития французского общества. Это повлекло за собой одно колоссального размера последствие в последние годы XIX века — дело Дрейфуса.

Безнадежно пытаться в нескольких абзацах разобраться и восстановить справедливость в этом знаменитом деле. Оно более десятилетия находилось в центре французской общественной жизни, да и поныне может еще распалить страсти. По этому поводу имеется обширная литература, а также фильмы, романы и по крайней мере один телевизионный мини-сериал (на французском). В кратчайшем изложении: офицер Генерального штаба французской армии Альфред Дрейфус, происходивший из богатой еврейской буржуазной семьи, был арестован в конце 1894 года по обвинению в измене. Его судили закрытым военным трибуналом, осудили, разжаловали и пожизненно заключили в тюрьму на Чертовом острове во Французской Гвиане. Дрейфус, который громко заявлял о своей невиновности, не имел никаких явных мотивов для измены — он всегда проявлял безупречный патриотизм и при этом никогда не нуждался в деньгах.

В марте 1896 года полковник Жорж Пикар из французской войной разведки обратил внимание на то, что почерк, которым был написан документ, послуживший основным свидетельством против Дрейфуса, очень похож на почерк не столько Дрейфуса, сколько другого офицера, майора Эстерхази, человека неуравновешенно характера и широких привычек, хронически обремененного карточным долгами. Пикар сообщил об этом вышестоящим командирам. Ему приказали ничего больше об этом не рассказывать а затем перевели его на французскую пограничную заставу в Северной Африке. На следующий год (1897) брат Дрейфуса Матье узнал о находке Пикара и потребовал, чтобы Эстерхази отдали под суд. Эстерхази был оправдан военным трибуналом в январе 1898 года. Писатель Эмиль Золя без промедления опубликовал открытое письмо, знаменитое «Я обвиняю», адресованное президенту республики Феликсу Фору, где заклеймил ряд людей, вовлеченных в осуждение Дрейфуса, как соучастников чудовищного подлога и несправедливости. Против Золя завели уголовное дело о клевете в адрес военного министерства.

Вслед за тем дело Дрейфуса получило широкую огласку, поглощая внимание общества вплоть до момента окончательного и официального провозглашения невиновности Дрейфуса в июле 1906 года. Имели место горячие судебные разбирательства, драматические повороты сюжета, самоубийство одного из заговорщиков и иные многочисленные захватывающие события. (Возможно, самым захватывающим событием, пусть и не вытекающим непосредственно из дела Дрейфуса, однако же повлиявшим на его ход, была смерть президента Фора «на месте преступления» со своей любовницей в одной из дальних спален Елисейского дворца: у него случился обширный инсульт, и в предсмертной агонии он схватил несчастную женщину за волосы с такой силой, что она не могла самостоятельно освободиться. Ее стоны привлекли слуг во дворце, которые освободили даму, одели ее и вытолкали через черный ход.)

Так случилось, что Жак Адамар был троюродным братом жены Альфреда Дрейфуса, урожденной Люси Адамар. Дело Дрейфуса, таким образом, касалось и его лично. В дополнение к этому личному касательству оно поставило перед всеми французскими евреями важные вопросы самосознания и лояльности. До дела Дрейфуса большинство французской еврейской буржуазии — люди типа Адамаров и Дрейфусов — считали себя полностью ассимилированными, патриотически настроенными французами, которые по стечению обстоятельств были евреями. Однако где-то в глубине общества шевелился антисемитизм, причем не только в армии. Антисемитская полемическая книга «Еврейская Франция» имела большой издательский успех в 1886 году; широкое распространение имела и антисемитская газета «Свободное слово». Дело Дрейфуса вытащило все это на поверхность и заставило французских евреев задуматься, не пребывают ли они в мире собственных иллюзий. Но даже если оставить в стороне фактор антисемитизма, был совершен акт чудовищной несправедливости, и ряды дрейфусаров — тех, кто агитировал в пользу обесчещенного капитана, — включали неисчислимое количество граждан-неевреев, возмущенных лживостью армейских чинов и неспособностью политических властей к действию.

До дела Дрейфуса Адамар, судя по всему, был человеком аполитичным и слегка не от мира сего, кем-то вроде «рассеянного профессора» — тип, часто встречающийся среди великих математических умов. Этот шаблон получил широкое распространение, и в нем и вправду что-то есть. Из-за чисто абстрактной природы материала, с которым они работают, а также из-за необходимости по многу часов подряд сосредотачиваться на нем математикам свойственна тенденция некоторого отрешения от более житейских дел. Нет, конечно, ничего невозможного и в отсутствии у математика подобной отстраненности, и имеется множество контрпримеров. Рене Декарт был солдатом и придворным. (Он смог пережить первое, но не второе.[87]) Карл Вейерштрасс проводил свои университетские годы за выпивкой и потасовками и вышел из университета без диплома. Джон фон Нейман, один из величайших математиков XX века, был тем еще гулякой, увлекавшимся красивыми женщинами и быстрыми машинами.

Жак Адамар, по свидетельствам, не относился к числу упомянутых контрпримеров. Даже если не принимать во внимание апокрифы, которые всегда окружают великих, можно утверждать, что Адамар был не в состоянии завязать галстук без посторонней помощи. Его дочь утверждала, что он не умел считать далее четырех: «После этого наступало n». Так что его участие в деле Дрейфуса говорит о глубине чувств, которые всколыхнуло в нем это событие расшевелившее даже таких людей, которые, как он, являли собой воплощенное беспристрастие. Адамар стал страстным дрейфусаром. Он активно участвовал в Лиге прав человека, которую основал Золя. Третьего сына Адамаров, который родился в феврале 1899 года, назвали Матье-Жоржем — Матье в честь брата Дрейфуса, который был его самым неутомимым защитником, а Жоржем в честь полковника Пикара, чья несгибаемая твердость и спокойная нацеленность на правду были ключевыми факторами в окончательном оправдании Дрейфуса (которого Пикар лично не переносил).

Адамар сохранил общественную активность в течение всей своей последующей жизни, которая была не только исключительно долгой, но и необычайно деятельной и продуктивной. Была она сполна отмечена и трагедиями. Великие войны XX века отняли у него всех трех сыновей. Двое старших погибли при Вердене, с интервалом в три месяца один после другого; Матье-Жорж был убит в 1944 году во время службы в войсках свободной Франции в Северной Африке. В горе и отчаянии после Первой мировой войны Адамар обратился к пацифизму и Лиге Наций. Он содействовал избранию правительства Народного фронта в 1936-1938 годах. Как и многих, даже более искушенных, его до некоторой степени захватили коммунизм и Советский Союз.[88] Изгнанный из Парижа немецким наступлением в 1940 году, он в течение четырех лет преподавал в Колумбийском университете в США. Он повсюду путешествовал, читал лекции и встречался со всеми. Он был увлеченным натуралистом, собравшим музейного уровня коллекцию папоротников и грибов. Он одним из первых поддержал Еврейский университет в Иерусалиме (основанный в 1925 году). Среди многих написанных им книг имеется «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945)[89] — книга, которая все еще заслуживает прочтения благодаря глубокому пониманию автором процесса мышления математиков; некоторые из высказанных там мыслей я использовал в данной книге. У себя дома Адамар организовал любительский оркестр; Альберта Эйнштейна, который был его другом на протяжении всей жизни, приглашали туда в качестве скрипача. В течение 68 лет он был женат на одной и той же женщине. Жаку было 94 года, когда она умерла. После этого он боролся за жизнь в течение двух лет; но вслед за тем силы его духа исчерпала смерть его любимого внука из-за несчастного случая в горах, и через несколько месяцев он умер, не дожив лишь немного до своего 98-летия.

VII.

Остановившись на Жаке Адамаре, я поддался собственным симпатиям — теплым чувствам к приятному человеку и большому математическому таланту. Это, однако, никоим образом не умаляет моего почтения к другим математикам, внесшим вклад в прояснение великой работы Римана и доказательство ТРПЧ.[90] К концу XIX столетия математический мир перешел от эры, когда поистине великих успехов мог достичь великий ум, работающий в одиночку, к эре, когда математика стала коллективным предприятием, в котором работа даже наиболее блестящих исследователей основывается на работе современников и питается ею.

Одним из признаний этого факта стало устройство периодических международных конгрессов математиков. Первое такое собрание состоялось в Цюрихе в августе 1897 года. Жена Адамара как раз ожидала первого ребенка, а потому Адамар там не присутствовал. Он направил свою работу, с тем чтобы ее прочитал его друг Эмиль Пикар. (Интересно заметить, что как раз в то время в 40 милях от Базеля происходил первый Сионистский конгресс, вызванный, по крайней мере отчасти, делом Дрейфуса.)

2-й конгресс математиков прошел в Париже летом 1900 года, и намерение состояло в том, чтобы проводить конгресс каждые четыре года. Однако у Истории имелись собственные планы. Конгресс не проводился в 1916-м, равно как и в 1940, 1944 и 1948 годах. Система их проведения возродилась с 1950 года, когда конгресс состоялся в Кембридже, штат Массачусетс. Адамар, конечно, получил приглашение, но из-за его просоветских склонностей ему сначала отказали в визе для въезда в США. Потребовалось ходатайство коллег-математиков и личное вмешательство Трумэна чтобы обеспечить его приезд в Гарвард. (Во время написания этой книги, в начале 2002 года, идут приготовления к 24-му конгрессу этим летом в Пекине — всего лишь второму конгрессу, проводимому за пределами Европы, России и Северной Америки.[91])

VIII.

Первый математический конгресс XX века состоялся в Париже с 6 по 12 августа 1900 года, и это был один из тех конгрессов, о которых все помнят. Парижский конгресс навсегда останется связан с именем Давида Гильберта — немецкого математика, работавшего в Геттингене — университете Гаусса, Дирихле и Римана. Хотя ему было всего 38 лет, Гильберт уже имел репутацию одного из выдающихся математиков своего времени.

Утром 8 августа в актовом зале Сорбонны Гильберт выступал с докладом о «Математических проблемах» перед примерно двумястами делегатами конгресса, среди которых был и Жак Адамар. Цель Гильберта состояла в том, чтобы обратить мысли коллег-математиков к главным проблемам, которые ставило перед ними новое столетие. Ради этой цели он предложил их вниманию несколько наиболее важных тем, требующих исследования, и задач, требующих решения. Он собрал эти темы и задачи в 23 пункта, восьмым из которых значилась Гипотеза Римана.

С этой речи математика XX века началась всерьез.

Часть вторая

Гипотеза Римана

Глава 11. Обитатели матрешек

I.

В главе 9.vi мы познакомились с некоторыми нулями дзета-функции. Мы видели, что каждое четное отрицательное целое число является нулем дзета-функции: ζ(−2) = 0, ζ(−4) = 0, ζ(−6) = 0 и т.д. Это несколько продвигает нас в понимании Гипотезы Римана, которая, как мы помним, звучит так:

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

К сожалению, все эти отрицательные четные числа — тривиальные нули. Ну… а где же нетривиальные? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо отправиться в царство комплексных и мнимых чисел.

Эта тема многих напрягает. Они полагают, что мнимые числа это просто страшилки или же что-то надуманное, чего не может быть, но что просочилось в математику откуда-то из области научной фантастики. Все это чепуха. Комплексные числа (частным случаем которых являются мнимые) появились в математике из весьма практических соображений. Они приносили математикам пользу при решении задач, которые без этих чисел не решались. Они не более «мнимые», чем числа любого другого вида. Когда это в последний раз вы спотыкались о семерку?

Иррациональные числа (такие как √2 и π) на самом деле более таинственны, более страшат наш разум и пугают даже сильнее, чем квадратный корень из минус единицы. Действительно, иррациональные числа принесли (и в обличье так называемой континуум-гипотезы продолжают приносить, см. речь Давида Гильберта в главе 12.ii) философам математики куда больше хлопот, чем когда бы то ни было принес безобидный малыш √−1. Предпринимались целенаправленные попытки отказаться от иррациональных чисел, причем даже в наше время и даже со стороны видных профессиональных математиков: Кронеккера в XIX столетии, Брауэра и Г. Вейля в начале XX. По поводу некоторых дополнительных замечаний на эту тему см. раздел V в этой главе.

II.

Чтобы получить сбалансированное представление о комплексных числах, неплохо бы понять, как вообще современные математики воспринимают числа. Это мы сейчас и рассмотрим, включив в наш рассказ заодно и комплексные числа. Не нервничайте пока слишком сильно по поводу того, что же они собой представляют: подробности последуют очень скоро, а в несколько следующих абзацев комплексные числа включены просто для полноты.

Итак, как же современный математик воспринимает числа? В виде ажурных букв, вот как! В виде букв N, Z, Q, R и C.{1} Я пытался придумать какое-нибудь идиотское, а потому застревающее в памяти мнемоническое правило для их запоминания, но не смог изобрести ничего, кроме Nine Zulu Queens Ruled China.[92]

А может, я и поспешил немного. Вот альтернативный ответ на тот же вопрос: математики воспринимают числа как набор сидящих одна в другой матрешек. Вот таких.

• Самая внутренняя матрешка: натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ….

• Следующая матрешка: все целые числа. Другими словами, натуральные числа вместе с нулем и отрицательными целыми (такими как −12).

• Следующая матрешка: рациональные числа. Другими словами, все целые вместе с положительными и отрицательными дробями (например, числа 3/2, −1/917 635, 1000 000 000 001/6).

• Следующая матрешка: вещественные числа. Другими словами, рациональные вместе с иррациональными, такими как √2, π, e. (Из примечания [18] в главе 3.vi мы помним, что древние греки открыли существование чисел, которые не являются ни целыми, ни дробями, — иррациональных чисел.)

• Внешняя матрешка: комплексные числа.

Уместно сделать несколько замечаний по поводу такой организации. Во-первых, числа из каждой матрешки записываются характерным для каждой из них способом.

• Натуральные числа обычно записываются так: 257.

• Целые могут иметь перед собой знак, например −34.

• Рациональные числа чаще всего записываются в виде дробей. В том, что касается записи в виде дроби, рациональные числа бывают двух видов. Те, величина которых (без учета знака) меньше единицы, называются «правильными дробями», а все остальные — «неправильными». Правильная дробь записывается таким образом: 14/37. Неправильную дробь можно записать двумя способами: как собственно неправильную дробь 13/9 или же в «смешанном» виде (с выделенной целой частью) 1^4/9.

• Наиболее важным вещественным числам присвоены специальные обозначения, такие как π и e. Многие другие можно выразить «в замкнутом виде», подобно  или π^2/6. Когда больше ничего нельзя сделать или же просто для того чтобы оценить реальное численное значение вещественного числа, его записывают в виде десятичной дроби, как правило, с многоточием в конце, которое означает: «Это не все! если надо, можно добавить сюда еще десятичные разряды», например −549,5393169816448223…. Их можно округлять, скажем, до «пяти знаков после запятой» −549,53932, или до «пяти значащих цифр» −549,54, или с любой другой точностью.

• Комплексные числа выглядят так: −13,052 + 2,477i. О них мы еще поговорим.

Следующее, что нужно заметить, — это что обитатели каждой матрешки являются привилегированными гражданами следующей (внешней) и при желании могут быть записаны в стиле, принятом для этой внешней матрешки:

• Натуральные числа (скажем, 257) — это привилегированные целые числа, и их можно записать, поставив перед ними знак плюс, как +257. При виде целого числа со знаком плюс перед ним мы думаем: «Натуральное!»

• Целые (скажем, −27) — это привилегированные рациональные числа, и их можно записать в виде дроби, знаменатель которой равен 1, как −27/1. При виде рационального числа со знаменателем 1 мы думаем: «Целое!»

• Рациональные числа (скажем, 1/3) — это привилегированные вещественные числа, и их можно записать в виде десятичных дробей, как 0,33333333…. Насчет рациональных чисел интересен тот факт, что при записи рационального числа в виде десятичной дроби знаки после запятой рано или поздно обязательно начнут повторяться (если только они вообще не исчерпаются, как, скажем, в числе 7/8 = 0,875). Рациональное число 65 463/27 100, например, в виде десятичной дроби выглядит следующим образом:

2,4156088560885608856088….

Все рациональные числа демонстрируют такие повторы, но ни одно из иррациональных ничего подобного не делает. Другими словами, иррациональное число не может проявлять никакого порядка в последовательности своих знаков после запятой. Число

0,12345678910111212131516171819202…

ясно демонстрирует некий порядок, и несложно заранее сказать, каков в нем сотый знак после запятой, или миллионный, или триллионный. (Спорим? Это соответственно 5, 1 и 1). Однако число это иррациональное. Когда же мы видим вещественное число, в котором знаки после запятой повторяются, мы думаем: «Рациональное!»

• Любое вещественное число можно записать как комплексное. Например, √2 записывается в виде комплексного числа как √2 + 0i. Подробности ниже.

(В этом списке можно и перескочить через несколько ступенек и записать, скажем, натуральное число как вещественное: 257,000000000….)

Каждое семейство чисел — каждая из матрешек — обозначается ажурной буквой: N — семейство всех натуральных чисел, Z — целых, Q — рациональных, a R — вещественных. Каждое семейство в определенном смысле содержится внутри следующего. И каждое расширяет возможности математики, позволяя делать что-то такое, чего нельзя было делать с предыдущей матрешкой. Например, Z позволяет получить ответ для вычитания любого целого числа из любого целого, чего не удавалось сделать, оставаясь в N (7 − 12 =?). Подобным же образом Q позволяет получить ответ для деления на любое число (кроме нуля), чего не удавалось сделать, оставаясь в Z ((−7):(−12) =?). И наконец, R открывает дорогу анализу — математике пределов, — поскольку любая сходящаяся бесконечная последовательность чисел в R имеет предел (что неверно для Q).

(Вспомним последовательности и ряды, с которыми мы встретились в конце главы 1. Все они состояли из рациональных чисел. Некоторые из них сходились к 2, или 2/3, или 1^1/2 — т.е. их пределы также оказывались рациональными. Но другие, напротив, сходились к √2, или π, или e — иррациональным числам. Таким образом, бесконечная последовательность чисел из Q может сходиться к пределу, который не лежит в Q. Математический профессиональный термин: Q не является полным. Напротив, R полно, как полно и С. Эта идея пополнения Q приобретет новое значение, когда в главе 20.v мы будем говорить о p-адических числах.)

Можно выделить и другие категории чисел или внутри приведенной схемы N—Z—Q—R—C, или же «нарезав ее поперек». Очевидный пример доставляют простые числа — подмножество в N. Их совокупность иногда обозначается как P. Имеется также очень важное подмножество в С, называемое алгебраическими числами и иногда снабжаемое собственной ажурной буквой А. Алгебраическое число — это такое число, которое является нулем некоторого многочлена, все коэффициенты которого взяты из Z, например, 2x^7 − 11x^6 − 4x^5 + 19x^3 − 35x^2 + 8x − 3. Среди вещественных чисел каждое рациональное (и, следовательно, каждое целое и натуральное) — алгебраическое; 39 541/24 565 есть корень многочлена 24 565x − 39 541 (или, если вы предпочитаете язык уравнений и их решений языку функций и их нулей, — решение уравнения 24 565x − 39 541 = 0). Иррациональное число может быть, а может и не быть алгебраическим. Те, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными. И число π, и число e трансцендентны, как это доказали, соответственно, Эрмит в 1873 году и Фердинанд фон Линдеманн в 1882.

III.

На рассматриваемый предмет можно взглянуть и с другой стороны, в аспекте истории чисел, которую я тут скроил. «Скроил» — почти в том же смысле, в каком было сшито новое платье короля. На самом деле это полное вранье.

Подложная история чисел, рассказанная Джоном Дербиширом

Люди всегда умели считать. С доисторических времен у них была N — система натуральных чисел. Но N несет в себе запрет, невозможность. Нельзя вычесть большее число из меньшего. По мере развития техники это превратилось в препятствие. Температура была 5 градусов, а потом понизилась на 12 градусов — какая стала температура? В N нет ответа на этот вопрос. Тогда люди изобрели отрицательные числа. Да, и кто-то еще додумался до нуля.

Отрицательные числа, положительные числа и нуль были собраны вместе в новую систему Z. Однако Z несет в себе невозможность, запрет. Нельзя поделить число на другое число, не являющееся делителем первого. Можно поделить 12 на 3 (ответ: 4) или даже на −3 (ответ: −4), но нельзя поделить 12 на 7. В Z нет ответа для такого действия. По мере развития науки об измерениях это превратилось в препятствие. Для все более точной работы требуются все более точные измерения. Можно на время добиться желаемого совершенства, если ввести новые единицы измерения. Требуется что-то меньшее одного ярда? Хорошо, вот вам дюйм… Однако есть пределы тому, как далеко можно продвинуться таким образом, и насущной стала нужда в общем способе выражения долей единицы. Так были изобретены дроби.

Дроби вместе со всеми целыми были собраны в новую систему рациональных чисел Q. Увы, Q несет в себе свой собственный запрет. Не всегда удается найти предел сходящейся последовательности. Три примера таких последовательностей были приведены в главе 1.vii. По мере развития науки к моменту, когда потребовался анализ, это стало препятствием, поскольку весь анализ основан на идее предела. Для развития анализа были изобретены иррациональные числа.

Иррациональные числа вместе с рациональными (включая, разумеется, все целые) были собраны в новую систему вещественных чисел R. Но и вещественные числа по-прежнему содержали запрет. Нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. К концу XVI века математика развилась до такой степени, что это стало препятствием. Так были изобретены мнимые числа. Мнимое число — это квадратный корень из отрицательного числа.

Мнимые числа вместе со всеми вещественными составили великий новый синтез: комплексные числа C. С комплексными числами нам доступно все, никаких запретов нет — и наступил конец истории.

Подчеркну, что эта история — полная фальшивка. Наше понимание чисел вовсе не развивалось подобным образом. Порядок — и тот неправильный. Он должен быть таким: N, Q, R, Z, С. Натуральные числа и правда были известны в доисторические времена. Египтяне изобрели дроби в начале третьего тысячелетия до P.X. Пифагор (или один из его учеников) открыл иррациональные числа около 600 года до P.X. Отрицательные числа возникли во времена Возрождения из необходимости бухгалтерского учета (хотя нуль появился чуть раньше). Комплексные числа появились в XVII веке. Все это развивалось малопредсказуемым образом, хаотично, как и большая часть того, что делают люди. Неверно и то, что наступил конец истории. История никогда не кончается; как только одна шахматная партия доиграна, немедленно начинается следующая.

Что моя подложная история все же показывает, так это каким образом матрешки помещаются одна в другой; надеюсь также, что она проливает некоторый свет на то, почему математики не склонны воспринимать мнимые и комплексные числа как нечто необычное. Эти числа представляют собой просто еще одну матрешку, созданную с практическими целями — решать задачи, которые иначе не решаются.

IV.

Утомительно все время писать √−1, поэтому математики заменили эту величину буквой i. Поскольку i — квадратный корень из минус единицы, имеем i^2 = −1. Умножая здесь обе части равенства на i, находим, что i^3 = −i. Продолжая процесс, получаем i^4 = 1.

А как обстоят дела с √−2, √−3, √−4 и т.д.? Не понадобятся ли и для них отдельные обозначения? Нет. Согласно обычным правилам перемножения целых чисел, имеем −3 = −1×3. Поскольку √x есть просто x1/2, 7-е правило действий со степенями говорит нам, что √(a×b) = √a×√b. (Например, √(9×4) = √9×√4 — довольно изысканный способ записи того факта, что 6 = 3×2.) Итак, √−3 = √−1×√3. Далее, √3, понятно, — совершенно обычное вещественное число, имеющее значение 1,732050807568877…. Следовательно (с точностью до трех знаков после запятой), √−3 = 1,732i; в замкнутом виде это обычно записывают как i√3. То же относится и к корню из любого другого отрицательного числа. Целой кучи новых чисел не требуется; достаточно одного только i.

Так вот, i — очень гордое число. Оно довольно надменно и не любит путаться с другими числами. Прибавим 3 к 4; в полученной семерке исчезло всякое воспоминание о «тройности» тройки, как, впрочем, и о «четверности» четверки; они растворились в «семерности» семерки. Напротив, если мы прибавим 3 к i, то получим… 3 + i. И такая же история с умножением. Когда мы умножаем 5 на 2, вся «пятерность» пятерки и «двойность» двойки проглатываются «десятностью» десятки, исчезая без следа. Но, умножая 5 на i, получаем… 5i. Дело выглядит так, словно i никак не может расстаться со своей индивидуальностью; или, быть может, вещественные числа чувствуют, что i сделано из другого теста, чем они сами.

Итак, достаточно один раз впустить букву i в порядок вещей, как она породит целый новый класс чисел вида 2 + 5i, −1 − i, 47,242 − 101,958i, √2 + πi — все возможные a + bi с вообще любыми вещественными a и b. Они называются комплексными числами. Каждое комплексное число имеет две части: вещественную и мнимую. Вещественная часть комплексного числа a + bi — это a, а мнимая — это b.

Как и в случае с другими матрешками N, Z, Q и R, числа, принадлежащие к одной из внутренних матрешек, являются привилегированными комплексными числами. Натуральное число 257, например, есть комплексное число 257 + 0i; вещественное число √7 есть комплексное число √7 + 0i. Вещественное число — это просто комплексное число с нулевой мнимой частью.

А как насчет комплексных чисел с нулевой вещественной частью? Они называются (чисто) мнимыми числами. Примеры чисто мнимых чисел: 2i, −1479i, πi, 0,0000000577i. Чисто мнимое число можно, конечно, записать как полновесное комплексное число, если вы специально хотите такое сделать: 2i можно записать как 0 + 2i. При возведении чисто мнимого числа в квадрат получается отрицательное вещественное число. Заметим, что это верно и для отрицательных мнимых чисел: квадрат числа 2i равен −4, но и квадрат −2i тоже равен −4 по правилу знаков.

Сложение двух комплексных чисел — дело несложное. Надо просто складывать по отдельности вещественные части и отдельно мнимые части: сложение комплексных чисел −2 + 7i и 5 + 12i даст 3 + 19i. То же и с вычитанием: если в последнем примере вычитать, а не складывать, получим −7 − 5i. Что касается умножения, надо только помнить правило раскрытия скобок, не забывая при этом, что i^2 = −1: так, (−2 + 7i)×(5 + 12i) дает −10 − 24i + 35i + 84i^2, что сводится к −94 + 11i. В общем случае (a + bi)×(c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i.

Деление основано на нехитром приеме. Что такое 2:i?. Ответ: запишем это в виде дроби, как 2/i. Чудесное свойство дробей состоит в том, что одновременное умножение и числителя, и знаменателя на одно и то же число (не равное нулю) не изменяет дроби: 3/4, 6/8, 15/20 и 12 000/16 000 — это все разные способы записи одной и той же дроби. Итак, умножим числитель и знаменатель дроби 2/i на −i. Умножение двойки на −i даст, конечно, −2i, а i умножить на −i есть −i^2, то есть −(−1), что равно 1. Следовательно, 2/i равно −2i/1, что есть просто −2i.

Такое всегда можно сделать — превратить знаменатель дроби в вещественное число. А поскольку всем известно, как делить на вещественные числа, мы у цели. Как нам поделить два полновесных комплексных числа, скажем, (−7 − 4i)/(−2 + 5i)? Вот как: умножим числитель и знаменатель на −2 − 5i. Давайте сначала выполним умножение сверху: (−7 − 4i)×(−2 − 5i) = −6 + 43i. Теперь снизу: (−2 + 5i)×(−2 − 5i) = 29. Ответ: −6/29 + 43/29i. Знаменатель дроби (a + bi)/(c + di) всегда можно превратить в вещественное число, умножив ее на (c − di). Общее правило на самом деле имеет вид

А каков квадратный корень из i? Не потребуется ли нам ввести целый новый класс чисел, чтобы включить √i? И все далее и далее до бесконечности? Ответ: перемножим скобки (1 + i)×(1 + i). Результат, как можно видеть, равен 2i. Значит, квадратный корень из 2i равен 1 + i. С поправкой на масштаб, квадратный корень из i должен быть равен 1/√2 + i/√2. Это число на самом деле им и является.

Комплексные числа по-настоящему прекрасны. С ними можно делать все, что угодно. Можно даже возводить их в комплексные степени, если вы полностью отдаете себе отчет в том, что делаете. Например, (−7 − 4i)−2+5i равно приблизительно −7611,976356 + 206,350419i. Однако подробное обсуждение этой темы мы отложим до другого момента.

V.

Чего нельзя сделать с комплексными числами, так это уложить их на прямую, как вещественные.

Семейство вещественных чисел R (конечно, с содержащимися в нем Q, Z и N) очень легко себе представить. Просто выстроим все числа вдоль прямой линии. Этот способ представления вещественных чисел называется «вещественная прямая» (рис. 11.1).

Рисунок 11.1. Вещественная прямая.

Каждое вещественное число лежит где-то на этой прямой. Например, √2 расположен немного к востоку от 1, чуть ближе, чем на полпути до 2, −π лежит лишь немного к западу от −3, а 1 000 000 — за пределами рисунка, где-то в соседнем районе. Ясно, что на конечном листе бумаги удается показать только часть прямой. От читателя требуется известная доля воображения.

Вещественная прямая представляется вещью очевидной, но в действительности дело с ней обстоит довольно серьезно и не лишено тайны. Рациональные числа, например, «всюду плотны» на ней. Это значит, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще одно. А это означает, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще бесконечно много рациональных. (Ну правда: если между a и b гарантированно живет c, то между a и c, а также между c и b гарантированно имеется некое d и некое e… и т.д., без конца.) Ладно, это почти удается себе представить. Но где же тогда помещаются иррациональные числа? Кажется, что им приходится как-то втискиваться между рациональными числами, которые, как мы только что видели, уже сидят всюду плотно! Всюду плотно — но при этом расселение еще не закончено.

Возьмем последовательность из главы 1.vii, которая сходится к √2, например 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, …. Ее члены по очереди делаются то меньше, то больше, чем √2, так что 1393/985 меньше, чем √2 примерно на 0,000000036440355, a 3363/2378 больше примерно на 0,00000006252177. Между этими двумя дробями втиснуто еще бесконечно много других дробей… и тем не менее где-то там остается место для √2. И не для одного только √2, а для бесконечного количества других иррациональностей!

Поражает не просто то, что иррациональностей бесконечно много, и не то, что и они тоже всюду плотны, но тот факт, что имеется строгий математический смысл в утверждении, что иррациональных чисел куда больше, чем рациональных. Это показал в 1874 году Георг Кантор. Число рациональных чисел бесконечно, и число иррациональных чисел тоже бесконечно, но вторая бесконечность больше первой. Как, черт возьми, все они умещаются на вещественной прямой? Как может столь непредставимо грандиозное количество иррациональных чисел втиснуться между рациональными, если те и так уже всюду плотны?

У нас здесь нет места, чтобы вдаваться в эти вещи. Мой совет — не думать о них слишком много. Это путь в безумие. (Действительно, Кантор закончил свои дни в лечебнице, хотя это и было в большей степени результатом врожденной предрасположенности к депрессии, усугубленной трудностями, с которыми его теории пробивались к признанию, нежели результатом слишком усердных размышлений о вещественной прямой. Его теории сейчас не подвергаются серьезным сомнениям.)

Но куда же нам теперь поместить комплексные числа? Вещественная прямая вся забита — и как забита! — рациональными и иррациональными числами. А ведь для каждого вещественного a имеется бесконечно много комплексных чисел вида a + bi, где b свободно бегает себе вверх и вниз по вещественной прямой. Что же с ними делать?

Последнее замечание подсказывает ответ. Для каждого вещественного числа нам нужна прямая, а поскольку вещественных чисел бесконечно много, нам нужно бесконечно много таких прямых бок о бок друг с другом. Это означает, что нам требуется плоскость. Тогда как вещественные числа можно выстроить для парада вдоль прямой, для комплексных чисел требуется плоскость — которую, разумеется, называют «комплексной плоскостью». Каждое комплексное число изображается точкой где-то на этой плоскости.

Рисунок 11.2. Комплексная плоскость и точка z на ней (изображена точка −2,5 + 1,8i); показаны ее модуль и фаза, а также сопряженное число.

Чаще всего комплексную плоскость рисуют так (рис. 11.2) что, вещественная прямая простирается с запада на восток. Под прямым углом к ней в направлении с юга на север проведена другая прямая, на которой живут все чисто мнимые числа: i, 2i, 3i и т.д. Чтобы добраться до числа a + bi, надо уйти на расстояние a на восток (на запад, если a отрицательно), а затем на расстояние b на север (на юг, если b отрицательно). Вещественная прямая и мнимая прямая (их чаще называют «вещественная ось» и «мнимая ось») пересекаются в нуле. Точки на вещественной оси имеют нулевую мнимую часть. Точки на мнимой оси имеют нулевую вещественную часть. Точка их пересечения — т.е. точка, расположенная на обеих осях, — имеет и вещественную, и мнимую части равными нулю. Это точка 0 + 0i, т.е. попросту нуль.

Введем три новых профессиональных термина. Модуль комплексного числа — это расстояние по прямой от этого числа до нуля. Обозначается модуль как |z|, что произносится «модуль зет». По теореме Пифагора модуль комплексного числа a + bi есть . Это всегда положительное вещественное число или нуль. Фаза комплексного числа — это угол, составленный с положительной частью вещественной оси, измеряемый в радианах. (Один радиан равен 57,29577951308232… градуса; 180 градусов — это π радиан.) Фазу по соглашению считают углом, лежащим между −π (не включая) до π (включая), а обозначается она как Φ(z).[93] У положительных вещественных чисел фаза равна нулю, у отрицательных вещественных она равна −π, у положительных мнимых равна π/2, а у отрицательных мнимых фаза равна −π/2.

И наконец, комплексным сопряжением комплексного числа называется его зеркальное отображение относительно вещественной оси. Комплексное сопряжение числа a + bi есть a − bi. Обозначается оно как z', что произносится как «зет-с-чертой».{2} Если перемножить комплексное число с его сопряженным, то получится вещественное число: (a + bi)×(a − bi) = a^2 + b^2, что, как видно, есть квадрат модуля числа a + bi. На этом и основан фокус, позволяющий делить комплексные числа. Используя введенные обозначения, можно записать z×z' = |z|2, а фокус с делением выражается как z/w = (z×w')/|w|2.

Модуль комплексного числа −2,5 + 1,8i, показанного на рисунке 11.2, равен √9,49, то есть около 3,080584, фаза составляет 2,517569 радиана (или, если вам так больше нравится, 144,246113 градуса), а сопряженное число, конечно, есть −2,5 − 1,8i.

VI.

Чтобы продемонстрировать комплексную плоскость в действии, я чуть-чуть потренируюсь в анализе с комплексными числами. Рассмотрим бесконечный ряд из выражения (9.2):

1/(1 − x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + …

(x лежит строго между −1 и 1).

Поскольку здесь не предпринимается никаких действий, кроме сложения, умножения и деления чисел, нет причин, по которым x нельзя было бы сделать комплексным числом. Работает ли эта формула для комплексных чисел? Да, при определенных условиях. Пусть, например, x равен 1/2i. Тогда ряд сходится. Имеем

1/(1 − i/2) = 1 + 1/2i + 1/4i^2 + 1/8i^3 + 1/16i^4 + 1/32i^5 + 1/64i^6 + …

Левая часть вычисляется с помощью рассмотренного выше фокуса с делением как 0,8 + 0,4i. Правую часть можно упростить, используя тот факт, что i^2 = −1:

0,8 + 0,4i = 1 + 1/2i − 1/4 + 1/8i − 1/16 + 1/32i − 1/64 + …

Можно пройти правую часть этой формулы на комплексной плоскости. Идея видна из рисунка 11.3. Начнем из точки 1 (которая, разумеется, расположена на вещественной оси). Оттуда идем на север, что соответствует прибавлению 1/2i. Затем на запад на 1/4 потом на юг в соответствии с вычитанием 1/8i и т.д. Получается спираль, замыкающаяся на комплексном числе 0,8 + 0,4i. Вот вам анализ в действии — бесконечный ряд сходится к этому пределу.

Рисунок 11.3. Анализ на комплексной плоскости.

Заметим, что при переходе к комплексным числам мы потеряли простоту одного измерения, но зато приобрели некоторые преимущества наглядности. При наличии в нашем распоряжении двух измерений можно, как мы только что это и делали, демонстрировать математические результаты в виде замечательных наглядных образов и картинок. В этом до известной степени и состоит привлекательность комплексного анализа (для меня, во всяком случае). В главе 13 мы сможем увидеть дзета-функцию Римана (и саму великую Гипотезу!), выраженную в виде изящных узоров на комплексной плоскости.

Глава 12. Восьмая проблема Гильберта

I.

Давиду Гильберту было 38 лет, когда утром в среду 8 августа 1900 года он выходил к трибуне 2-го международного конгресса математиков. Сын судьи из столицы Восточной Пруссии Кенигсберга[94], он прославился как математик за 12 лет до того, решив проблему Гордана в теории алгебраических инвариантов.

То был не просто succès d'estime, но до некоторой степени и succès de scandale.[95] Гильберт смог доказать существование объектов, но при этом не сконструировал их, не предложил даже метода для их построения. Математики говорят о таком как о «доказательстве существования». В своих лекциях Гильберт использовал следующий бытовой пример: «Среди вас имеется по крайней мере один студент — назовем его X, — в отношении которого верно следующее утверждение: ни у одного другого студента в аудитории нет на голове большего числа волос, чем у X. Кто этот студент? Этого мы никогда не узнаем; но в его существовании мы можем быть абсолютно уверены». Доказательства существования довольно распространены в современной математике и в наше время не вызывают особых возражений. Другое дело — Германия 1888 года. Лишь за год до того Леопольд Кронеккер, уважаемый член Берлинской академии наук, выступил с манифестом «О концепции числа», в котором сделал попытку изгнать из математики то, что он считал ненужным уровнем абстракции — все, по его мнению, что нельзя вывести из целых чисел за конечное число шагов. Гордан сам отозвался о гильбертовом доказательстве существования фразой, ставшей знаменитой: «Это не математика. Это теология».

Однако в целом математики признали обоснованность предложенного Гильбертом доказательства. Гильберт вслед за тем продолжил важную работу по алгебраической теории чисел и основаниям геометрии. Он дал новые блестящие доказательства — оба помещающиеся на трех с половиной страницах — трансцендентности чисел π и e. (Когда в 1882 году фон Линдеманн впервые доказал трансцендентность числа π, вышеупомянутый Кронеккер[96] похвалил его за элегантность доказательства, но добавил, что оно ничего не доказывает, ибо трансцендентные числа не существуют!) В 1895 году Гильберт получил место профессора в Геттингене, где и оставался до своего ухода на пенсию в 1930 году.

Слова «Гильберт» и «Геттинген» связаны друг с другом в головах современных математиков столь же тесно, как в других сферах связаны «Джойс» и «Дублин», «Джонсон» и «Лондон».[97] Гильберт и Геттинген играли ведущую роль в математике в течение первой трети XX века — не просто в немецкой математике, а в математике как таковой. Швейцарский физик Пауль Шеррер, студентом приехав в Геттинген в 1913 году, сообщал об обнаружении там «интеллектуальной жизни непревзойденной интенсивности». Необычайно большая доля видных математиков и физиков первой половины столетия училась или в Геттингене, или под руководством кого-то, кто сам там учился.

Относительно личности Гильберта до нас доходят несколько разнородные впечатления. Будучи вполне светским человеком, он был увлеченным танцором и пользовался популярностью как преподаватель. Не чуждался он и погони за юбками — в той весьма ограниченной степени, какая вообще была возможна в провинциальной Германии времен Вильгельма. (Впрочем, нельзя сказать, чтобы эта погоня заводила его достаточно далеко.) В нем была бунтарская жилка: похоже, он тяготился жесткой расписанностью университетской жизни, обычаями, правилами и общественными установлениями. Одна профессорская жена пришла в ужас, узнав, что Гильберта видели в дальней комнате одного из городских ресторанов, играющим в бильярд с младшими преподавателями. Когда во время Первой мировой войны университет отказался предоставить Эмми Нетер постоянную преподавательскую позицию на том основании, что она женщина[98], Гильберт просто-напросто объявил, что прочитает курс лекций, а затем предоставил Нетер их чтение. Он, по-видимому, был мягким экзаменатором, всегда готовым истолковать сомнение в пользу экзаменуемого.

И все же трудно избавиться от впечатления, что Гильберт был человеком, которому нелегко давалась терпимость к глупцам — категории, к которой он относил весьма значительную часть человечества. Для Гильберта это было тем более печально, что его единственный ребенок, Франц, страдал от серьезного умственного расстройства. Не в состоянии ни изучить как следует какой бы то ни было предмет, ни постоянно работать на одной и той же работе, Франц страдал еще и периодическими приступами паранойи, после которых в течение некоторого времени его приходилось содержать в лечебнице для душевнобольных. Зафиксировано высказывание Гильберта во время первого из этих заточений: «С этого момента мне придется считать, что у меня нет сына».

Как бы то ни было, Гильберт пользовался уважением своих студентов и коллег-математиков. Про него имеется обширное собрание анекдотов, по большей части незлых. Вот только три. Первый касается Гипотезы Римана и взят из англоязычной биографии, написанной Констанс Рид[99]:

У Гильберта был студент, который однажды показал ему работу, претендующую на доказательство Гипотезы Римана. Гильберт тщательно изучил работу; на него произвела большое впечатление глубина аргументации. Но, увы, он обнаружил там ошибку, которую даже он сам не смог устранить. На следующий год студент умер. Гильберт попросил у охваченных горем родителей разрешения выступить с речью на похоронах. Родственники и друзья студента рыдают под дождем возле могилы; Гильберт выходит вперед. Он начинает со слов о том, какая это большая трагедия, что такой одаренный молодой человек умер прежде, чем ему представилась возможность продемонстрировать, чего он в состоянии достичь. Но, продолжает Гильберт, несмотря на то что предложенное этим молодым человеком доказательство Гипотезы Римана содержало ошибку, возможно тем не менее, что однажды доказательство этой знаменитой проблемы будет получено именно на том пути, который наметил покойный. «И в самом деле, — с энтузиазмом продолжал Гильберт, стоя под дождем возле могилы студента, — рассмотрим функцию одной комплексной переменной…»

Второй анекдот я позаимствовал из книги «Универсальный компьютер» Мартина Дэвиса.

Гильберт каждый день появлялся в порванных брюках, что многих смущало. Задачу тактично сообщить Гильберту об этом возложили на его ассистента Рихарда Куранта. Зная о том, какое удовольствие Гильберту приносят длинные прогулки по пересеченной местности, сопровождаемые разговорами о математике, Курант пригласил его пройтись. Устроив при этом так, что им пришлось продираться через заросли колючих кустов, Курант тогда и сказал Гильберту, что тот, похоже, порвал свои брюки об один из таких кустов. «Да нет же, — ответил Гильберт, — они такие уже не одну неделю, хотя никто этого и не замечает».

Третий анекдот апокрифичен, хотя, весьма вероятно, правдив.

Один из студентов Гильберта перестал появляться на занятиях. Поинтересовавшись причиной этого, Гильберт получил ответ, что студент ушел из университета, решив стать поэтом. «Не могу сказать, что я удивлен. Мне всегда казалось, что у него недостаточно воображения, чтобы стать математиком».

Гильберт, между прочим, не был евреем, хотя имя, которым он был наречен, необычное среди немецких христиан, навлекло на него подозрения при Гитлере. Предки Гильберта по отцовской линии относились к фундаменталистской протестантской секте, называемой пиетистами, которые питали пристрастие к Ветхому Завету и к именам-наставлениям. Деда Гильберта звали ни много ни мало Давид Фюрхтеготт Леберехт (т.е. Бойся Бога Живи Праведно) Гильберт.

II.

Констанс Рид так описывает Гильберта во время его выступления на конгрессе 1900 года:

Человеку, который вышел в то утро к трибуне, не было еще сорока; среднего роста и сложения, жилистый, быстрый в движениях, с выступающим высоким лбом, лысый, с отдельными клоками все еще рыжеватых волос. Очки твердо сидели на крупном носу. У него была небольшая борода, растущие в легком беспорядке усы, а под ними рот, неожиданно широко очерченный для столь аккуратного подбородка. Яркие глаза глядели невинно, но твердо из-под сверкающих линз очков.

Гильберт выступил со своим докладом, сделанным по-немецки, в душном актовом зале Сорбонны. Всего на конгрессе было 250 участников, но вряд ли все они присутствовали на выступлении Гильберта утром 8 августа.

Его доклад был озаглавлен «Математические проблемы». Слова, которыми он открывался, стали так же близки математикам XX столетия, как Геттисбергская речь — американским школьникам.[100] «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия?» Гильберт продолжал говорить о том, как важны трудные проблемы, которые концентрируют внимание математиков, способствуя созданию новых направлений развития и новых знаковых систем, и которые также ведут математиков ко все более и более высоким уровням обобщения. Он закончил выступление списком из 23 проблем, «исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки».

Мне хотелось бы отправиться с вами в обзорное путешествие по 23 проблемам Гильберта.[101] Но тогда эта книга станет недопустимо длинной. А кроме того, имеется обширная, приспособленная к различным уровням понимания литература, с помощью которой такое путешествие осуществимо.[102] Я лишь замечу попутно, что самая первая из проблем Гильберта относилась к упоминавшейся в предыдущей главе континуум-гипотезе, которая посвящена самой сути запутанного вопроса о природе вещественных чисел и возражениям, выдвигавшимся против них Кронеккером. О континуум- гипотезе также имеется обширная литература. Хорошая библиотека или хороший интернет-поисковик вполне удовлетворят любопытство любого, кто захочет обратиться к этой завораживающей задаче.[103]

Только одна из проблем Гильберта — восьмая — имеет прямое отношение к теме нашей книги. Вот она — в переводе Мэри Уинстон Ньюсон из Bulletin of the American Mathematical Society[104]:

8. Проблемы простых чисел

В теории распределения простых чисел в последнее время сделаны существенные сдвиги Адамаром, Валле Пуссеном, Мангольдтом и другими. Для полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», необходимо прежде всего доказать справедливость исключительно важного утверждения Римана: все нули функции ζ(s), определяемой рядом

имеют вещественную часть, равную 1/2, если не считать известных отрицательных целочисленных нулей. Как только это доказательство будет получено, то дальнейшая задача будет заключаться в том, чтобы использовать бесконечный ряд Римана для более точного определения числа простых чисел и в особенности выяснить, будет ли разность между числом простых чисел, меньших данного числа x, и интегральным логарифмом от x действительно не выше половинного порядка при неограниченно возрастающем x. Далее, действительно ли те члены формулы Римана, которые зависят от первых комплексных нулей функции ζ(s), обусловливают сгущение простых чисел, которое обнаружено при подсчете числа простых чисел.

Тем читателям, которые до сих пор не потеряли нить, этот пассаж должен быть понятен хотя бы отчасти. Я надеюсь, что все целиком приобретет смысл, когда мы доберемся до конца книги. Сейчас главное для нас — тот факт, что Гипотеза Римана рассматривалась как один из 23 больших и сложных вопросов, стоящих перед математиками в XX столетии, и именно так ее рассматривал Давид Гильберт— вероятно, величайший среди математиков, активно работавших в 1900 году.[105]

III.

В главе 10.iii мы кратко упомянули причину, определявшую важность Гипотезы Римана на рубеже столетия. Основным фактором было то, что Теорема о распределении простых чисел была к этому моменту доказана. С 1896 года с математической точностью было известно, что π(N) ~ Li(N), и всеобщее внимание было приковано к этому значку «волны» посередине. Да, по мере того как N неограниченно растет, делаясь все больше и больше, π(N) пропорциональным образом становится все ближе и ближе к Li(N). Но какова природа этой близости? Нельзя ли указать лучшее приближение? И вообще, насколько приближенно это приближение? Каков «остаточный член»?

Когда вопрос с ТРПЧ решился и математики смогли свободно предаваться мыслям об этих «второстепенных» вещах, они обнаружили, что их взор прикован к Гипотезе Римана. В работе Бернхарда Римана 1859 года ТРПЧ не была, конечно, доказана, но та работа явственно подсказывала, что теорема эта верна, и, более того, там предлагалось выражение для остаточного члена. В это выражение входили все нетривиальные нули дзета-функции. Точное знание о том, где, собственно, находятся эти нули, стало делом неотложной важности.

Математическая суть дела будет проясняться по мере нашего продвижения вперед, но, думается, вы вовсе не удивитесь, узнав, что все эти нули — комплексные числа. В 1900 году о расположении этих нетривиальных нулей (имеется в виду расположение на комплексной плоскости) с математической точностью было известно следующее.

• Существует бесконечно много нулей дзета-функции, причем все они имеют вещественную часть, заключенную в пределах от 0 до 1 (не включая границы). Чтобы наглядно это представить, математики используют комплексную плоскость (рис. 12.1) и говорят, что все нетривиальные нули лежат в критической полосе. В Гипотезе Римана делается более сильное утверждение: что все они лежат на линии, вещественная часть которой равна одной второй — т.е. на критической прямой. «Критическая полоса» и «критическая прямая» — распространенные термины при обсуждении Гипотезы Римана, и мы отныне будем свободно ими пользоваться.

Рисунок 12.1. Критическая полоса (затемнена) и критическая прямая (показана штрихами).

Гипотеза Римана (в геометрической формулировке)

Все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой.

• Нули появляются сопряженными парами. Другими словами, если a + bi — один из нулей, то нулем является и a − bi. Или еще по-другому, если z — один из нулей, то нулем будет и результат его комплексного сопряжения z'. Мы определили «комплексное сопряжение» и обозначения «зет-с-чертой» в главе 11.v. И еще одним способом скажем так: если имеется нуль сверху от вещественной прямой, то его зеркальное отображение снизу от вещественной прямой также будет нулем (верно, разумеется, и обратное).

• Вещественные части нулей симметричны относительно критической прямой, т.е. нуль или имеет вещественную часть, равную 1/2 (в духе Гипотезы Римана), или же представляет собой один из элементов пары с вещественными частями 1/2 + α и 1/2 − α для некоторого вещественного числа α, заключенного между 0 и 1/2, и с одинаковыми мнимыми частями. Примерами могли бы служить вещественные части 0,43 и 0,57 или же вещественные части 0,2 и 0,8. Другой способ сказать то же самое таков: если предположить, что имеется нетривиальный нуль не на критической прямой, то его зеркальный образ при отражении относительно критической прямой также должен быть нулем. Это следует из той формулы в главе 9.vi. Если одна сторона формулы равна нулю, то другая также должна равняться нулю. Не будем рассматривать целые значения буквы s (при которых другие члены в той формуле или ведут себя плохо, или обращаются в нуль); тогда эта формула сообщает, что если ζ(s) равна нулю, то ζ(1 − s) также равна нулю. Тем самым, если (1/2 + α) + it представляет собой нуль дзета-функции, то нулем является и (1/2 − α) − it, а значит, в соответствии с предыдущим пунктом и результат его сопряжения (1/2 − α) + it.

Когда Гильберт выступал со своим докладом, сверх этого было известно немного. Риман предложил еще другую формулу с волной для приближенного числа нулей с мнимой частью между нулем и неким большим числом T (см. главу 16.iv). Однако эту формулу доказали лишь в 1905 году (сделал это фон Мангольдт). Но Гипотезу Римана не забыли совсем. Она мелькает как тема для обсуждения в математической литературе 1890-х годов, например, во французском журнале задач L'lntermédiaire des Mathématiciens. Но по сути дела математики XIX века оставили задачу разбираться с великой и ужасной Гипотезой Бернхарда Римана математикам XX столетия.

IV.

XX столетие было довольно… довольно деятельным столетием. Много чего произошло во всех сферах человеческой жизни. Поэтому в ретроспективе век кажется ужасно долгим, намного дольше, чем просто полторы стандартные протяженности человеческой жизни, в общем-то и составляющие век. Но математика выступает величавой неспешной поступью, и глубокие проблемы, исследуемые современными математиками, выдают свои тайны очень медленно и неохотно. Внутри каждой конкретной математической дисциплины мир также довольно тесен, со своими героями, фольклором и устными традициями, связывающими сообщество воедино как в пространстве, так и во времени. Когда я собирал материал для этой книги, то из разговоров с ныне здравствующими математиками сделал вывод, что XX столетие не так уж далеко простерлось во времени — великие имена, связанные с его началом, находятся от нас все еще «в пределах слышимости».

Например, я пишу эти строки всего неделю спустя после разговоров с Хью Монтгомери, ключевым персонажем в достижениях (о которых будет рассказано в подходящий момент) 70-х и 80-х годов XX века. Хью закончил аспирантуру в Тринити-колледже в Кембридже в конце 1960-х. Среди сотрудников колледжа, которых он знал лично, был Джон Идензор Литлвуд (1885-1977), который в 1914 году получил один из первых значительных результатов, продвигающих вперед наше понимание Гипотезы Римана. «Он пытался убедить меня понюхать пороху с этой задачей», — рассказывает Хью, у которого до сих пор сохранились рукописные записки Литлвуда. Литлвуд теоретически мог бы встретиться и говорить о математике с другом Римана Рихардом Дедекиндом, который дожил до 1916 года, продолжая заниматься математикой практически до самого конца жизни, и который учился у Гаусса! (Мне не удалось выяснить, имела ли такая встреча место в действительности. В реальности она не очень вероятна. Дедекинд ушел на пенсию с поста профессора в Брауншвейгской политехнической школе в 1894 году, после чего, согласно Джорджу Пойа[106], «жил тихой жизнью, встречаясь лишь с очень небольшим числом людей»).

Описываемый период развития математики вызывает сильное ощущение непрерывности, из-за которого меня так и подмывает отбросить строго хронологический подход при рассказе о XX столетии. Это искушение усиливается ввиду характера достижений совершенных в течение этого столетия. История о Гипотезе Римана в XX веке состоит не из одной линии рассказа, а из нескольких нитей, иногда пересекающихся, иногда переплетающихся друг с другом. Здесь требуется маленькое предварительное объяснение; а объяснение само по себе требует предисловия — замечания о том, как математика развивалась в период с 1900 по 2000 год.

V.

Если не считать парижского доклада Гильберта, то 1900 год, конечно, представляет собой произвольную отметку во времени. Математика развивалась равномерно и непрерывно на протяжении всего современного периода. Математики не отправлялись домой с новогодних вечеринок в первые часы 1 января 1900 года (или, если вам больше нравится, 1901 — см. главу 6.ii) с мыслями: «Ага! Уже XX столетие! Нам надо переходить на более высокий уровень абстракции!» — по крайней мере, не в большей степени, чем европейцы, проснувшиеся утром 30 мая 1453 года, думали: «Средние века закончились! Надо бы заняться книгопечатанием, усомниться в авторитете Папы и отправиться открывать Новый Свет!» Мне бы очень не хотелось оказаться в ситуации, когда перед судом моих коллег мне пришлось бы обосновывать термин «математика XX века».

Но при этом все же верно, что математика последних нескольких десятилетий приобрела характерный оттенок, ясно отличающий ее от той математики, которой занимались Гаусс, Дирихле, Риман, Эрмит и Адамар. Насколько его можно передать в одном слове, этот оттенок — алгебраический. Вот начало первого утверждения в книге «Некоммутативная геометрия» Алена Конна, вышедшей в 1990 году и представляющей собой довольно-таки типичный для конца XX века текст по высшей математике:

Классы ограниченных случайных операторов (q/)/єx, рассматриваемых по модулю равенства почти всюду, образуют алгебру фон Неймана W(V,F) относительно следующих алгебраических правил…

Алгебраический… алгебра… И это в книге о геометрии! (Кстати, одиннадцатое слово в формулировке последней теоремы — слово и «риманово».[107])

Происходило же в эти последние десятилетия в общих чертах такое. По ходу большей части своего развития математика твердо опиралась на число. Большая часть математики XIX столетия имела дело с числами: целые числа, рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа. В процессе этого развития возникали новые математические объекты, а также раздвигались границы существующих объектов — функций, пространств, матриц — и изобретались новые мощные средства для работы с ними. Но все это так или иначе имело отношение к числам. Функция отображает одно множество чисел в другое множество чисел. Например, функция возведения в квадрат отображает 3, 4 и 5 в 9, 16 и 25; дзета-функция Римана отображает 0, 1 + i и 2 + 2i в −1/2, 0,58216 − 0,92685i и 0,86735 − 0,27513i. Аналогично, пространство — это множество точек, задаваемых своими координатами, которые также суть числа. Матрица — это таблица из чисел. И так далее. (Мы будем рассматривать матрицы в главе 17.iv.)

В математике же XX столетия объекты, введенные ранее для выражения важных фактов о числах, сами сделались объектами исследования, и к ним стали применять развитые к тому времени методы изучения чисел и множеств чисел. Математика как бы сорвалась с якоря, привязывающего ее к числу, и воспарила к новым уровням абстракции.

Классический анализ, скажем, имеет своим предметом предел бесконечной последовательности чисел или точек (причем «точка» определяется своими координатами, каковые суть числа). Типичный же продукт XX века — «функциональный анализ», в котором фундаментальный объект исследования — последовательности функций, которые могут сходиться или расходиться и в которых сами функции предлагается рассматривать как «точки» в пространстве бесконечного числа измерений.

Математика уже обратилась сама на себя до такой степени, что даже сами методы исследования и доказательства превратились в объекты изучения. Ряд самых важных теорем в математике XX века касается полноты математических систем (Курт Гедель, 1931) и разрешимости математических пропозиций (Алонсо Черч, 1936).

Но эти основополагающие изменения пока еще, даже в начале XXI века, не нашли своего отражения в математическом образовании (по крайней мере на уровне знаний, необходимых для поступления в университет). Не исключено, что это вообще невозможно. Математика — предмет, где знания накапливаются. Каждое новое открытие что-то добавляет к общему знанию, но ничто никогда оттуда не изымается. Один раз установленная математическая истина навечно остается истиной, и каждое следующее поколение обучающихся должно ее усвоить. Такая истина никогда (ну, практически никогда) не становится неверной или несущественной — хотя и может выйти из моды или же оказаться частным случаем некоторой более общей теории. (Заметьте при этом, что в математике «более общая» не обязательно означает «более сложная». В проективной геометрии имеется теорема Дезарга, которую легче доказать в трех измерениях, чем в двух. Теорема, которую легче доказать в размерности четыре, чем в размерности три, содержится в главе 7 книги Г.С.М. Кокстера «Правильные политопы».[108])

Молодые и толковые американцы, приступающие к изучению математики в качестве предмета основной специализации на первом курсе в колледже, будут изучать математику, по существу, в том же виде, в каком она была известна молодому Гауссу — возможно, с короткими экскурсами в некоторые области, развитые в более позднее время. Поскольку моя книга нацелена примерно на такой уровень читателей, та математика, о которой здесь рассказывается, в сильной степени пропитана духом XIX века. В повествовательных главах я собираюсь рассмотреть все достижения вплоть до сегодняшнего дня, предлагая для них лучшие объяснения, которые я только смогу придумать, но математические главы этой книги нечасто будут переходить рубеж 1900 года.

VI.

История Гипотезы Римана в XX веке — это история навязчивой идеи, хватку которой рано или поздно почувствовало большинство великих математиков этой эпохи. Примеры одержимости этой идеей имеются в изобилии, как будет видно из нескольких последующих глав. Сначала обратимся к отдельному примеру. Давид Гильберт, как уже рассказывалось, поместил Гипотезу Римана восьмой в списке из 23 проблем, на которых математикам XX столетия предстояло сконцентрировать свои усилия. Это было в 1900 году, до того как навязчивая идея взяла свое. Его умонастроение несколько лет спустя видно из следующей истории, рассказанной его младшим коллегой Джорджем Пойа:

Про германского императора XIII века Фридриха Барбароссу, умершего во время Крестового похода, немцы в массе своей полагали, что он по-прежнему жив, погруженный в сон в пещере глубоко в горах Кифхойзер, готовый к тому, чтобы пробудиться и восстать когда он понадобится Германии. Кто-то спросил Гильберта, что бы он сделал, если бы, подобно Барбароссе, восстал к жизни после сна длиною в несколько столетий. Гильберт ответил: «Я бы спросил, доказал ли кто-нибудь Гипотезу Римана».

А ведь речь идет не о периоде, скудном на мощные проблемы, бросающие вызов ученым. Последняя теорема Ферма (гласящая, что не существует целочисленных[109] решений уравнения xn + yn = zn при n > 2, и доказанная в 1994 году) еще оставалась открытой, как и Проблема четырех красок (о том, что четырех красок достаточно для раскрашивания любой карты на плоскости таким образом, что никакие две соседние области не будут выкрашены одним и тем же цветом, — доказана в 1976 году) и гипотеза Гольдбаха (согласно которой любое четное число, большее двойки, представимо в виде суммы двух простых чисел и которая все еще не доказана), а также множество менее значимых, но давно ждущих своего решения задач, гипотез и головоломок. Гипотеза Римана возвышалась над ними всеми.

Навязчивая идея захватывала различных математиков различными способами, сообразно их математическим наклонностям. Поэтому в течение столетия развивалось несколько направлений — различных подходов к исследованию Гипотезы, у истоков каждого из которых стояла какая-то одна личность, затем передававшая эстафету другим, причем пути этих исследований порой пересекались и перепутывались друг с другом. Например, в рамках вычислительного направления усилия математиков были направлены на явное вычисление все большего и большего количества нулей и на усовершенствованию методов для таких вычислений. Было и алгебраическое направление, инициированное Эмилем Артином в 1921 году в попытке доказать Гипотезу Римана фланговым маневром через раздел алгебры, называемый теорией полей; позднее в том же столетии замечательная встреча двух людей, о которой я расскажу в свое время, привела к возникновению физического направления, соотносящего Гипотезу с математикой, управляющей физикой элементарных частиц. И пока все это продолжалось, специалисты по аналитической теории чисел не прекращали своих усилий, продолжая заложенную самим Риманом традицию по изучению Гипотезы средствами теории функций комплексной переменной.

Исследование простых чисел самих по себе тем временем шло своим чередом, без особенных приложений к Гипотезе, но все же с часто выражаемой надеждой, что новые результаты о распределении простых чисел прольют свет на причину, по которой Гипотеза на самом деле верна — или, если уж так случится, неверна. Ключевыми продвижениями здесь явились развитие в 1930-х годах вероятностной модели для распределения простых чисел и данное в 1949 году Сельбергом «элементарное» доказательство Теоремы о распределении простых чисел, рассмотренной в главе 8.iii.

Рассказывая об этих достижениях, я буду стараться, чтобы в каждый данный момент было ясно, какое из направлений рассматривается, хотя временами ради поддержания общей хронологии рассказа придется перескакивать с одного на другое. Начнем с небольшого вступительного замечания о «вычислительном» направлении, ибо оно проще всего для понимания нематематиками. Каковы в реальности значения — числовые значения — нетривиальных нулей дзета-функции? Как их можно вычислить? И если взять их все вместе, то каковы будут их статистические свойства?

VIII.

Первые конкретные сведения о нулях были получены датским математиком Йоргеном Грамом, вскользь упоминавшимся в главе 10. Будучи математиком-любителем, не работавшим ни в каком университете (а работавшим, подобно поэту Уоллесу Стивенсу, управляющим страховой компанией), Грам, похоже, в течение нескольких лет забавлялся с методами, позволяющими реально вычислять положения нетривиальных нулей (происходило это, понятно, задолго до эры компьютеров). В 1903 году, остановившись на достаточно эффективном методе, он опубликовал список 15 «первых» нулей — тех, которые расположены выше вещественной оси и лежат ближе всего к ней. На рисунке 12.2 грамовские нули показаны жирными точками на критической прямой. Его список, содержавший кое-какие неточности в последних из приведенных знаков после запятой, начинался как

1/2 + 14,134725i, 1/2 + 21,022040i, 1/2 + 25,010856i, ….

Рисунок 12.2. Грамовские нули.

Каждый из выписанных нулей, как видно, имеет вещественную часть, равную одной второй.[110] (А кроме того, существование каждого из корней предполагает и существование сопряженного, расположенного под вещественной осью: 1/2 − 14,134725i и т.д. Я буду считать этот факт само собой разумеющимся и не буду упоминать его специально до главы 21, когда он снова станет важным.) Поэтому в тех пределах, докуда они простираются, эти нули подтверждают справедливость Гипотезы Римана. Однако простираются они не слишком далеко. Известным фактом про число нулей — неявно содержавшимся в работе Римана 1859 года — было то, что число их бесконечно. Все ли они имеют вещественную часть, равную одной второй? Риман полагал, что дело так и обстоит — в этом-то и состояла его мощная Гипотеза. Но в тот момент никто не знал, как к этому подступиться.

После появления списка Грама математики, должно быть, взирали на него со священным ужасом. Тайна распределения простых чисел, которая удерживала на себе внимание математиков со времен легендарного Гаусса, оказалась каким-то образом заключенной в перечне чисел: 1/2 + 14,134725i, 1/2 + 21,022040i, 1/2 + 25,010856i, …. Но как?! Их вещественные части, без сомнения, равняются одной второй, как и предполагал Риман; однако мнимые части не проявляют никакого очевидного порядка или системы.

Я только что сказал: «Математики, должно быть…» Мне надо было бы сказать: «Несколько математиков в континентальной Европе, должно быть…» Одержимость Гипотезой Римана, захватившая математиков в течение XX столетия, в 1905 году только набирала силу. Во многих частях света о ней толком и не знали. В следующей исторической части нашего повествования мы с читателем отправимся в Англию, в период эдвардианского расцвета ее имперской славы. Но сначала позвольте показать вам, как же на самом деле выглядит дзета-функция.

Глава 13. Муравей Арг и муравей Знач

I.

Предположим, что, как я и пытался вас убедить, комплексные числа представляют собой простое и понятное расширение обычных вещественных чисел и подчиняются всем обычным правилам арифметики с тем единственным добавлением, что i^2 = −1; кроме того, вспомним, что функции занимаются тем, что превращают числа из одной области — своей области определения — в числа из другой области; так вот, есть ли какая-нибудь причина, которая препятствует существованию функций от комплексных чисел? Никаких таких причин нет.

Функция возведения в квадрат, например, прекрасно работает для комплексных чисел в соответствии с правилами умножения. Скажем, квадрат числа −4 + 7i есть (−4 + 7i)×(−4 + 7i), что равно 16 − 28i − 28i + 49i^2, т.е. −33 − 56i. В таблице 13.1 показан «моментальный снимок» функции возведения в квадрат для некоторых случайным образом выбранных комплексных чисел.[111]

z

z^2

−4 + 7i

−33 − 56i

1 + i

2i

i

−1

0,174 − 1,083i

−1,143 − 0,377i

Таблица 13.1. Функция возведения в квадрат.

Читателю, возможно, нелегко в это поверить, но изучение «функций комплексной переменной» представляет собой одно из наиболее элегантных и прекрасных направлений в высшей математике. Области определения всех функций, знакомых нам из школьной математики, легко расширяются на все, или почти все, комплексные числа. Например, в таблице 13.2 приведен «моментальный снимок» показательной функции для некоторых комплексных чисел.

z

ez

−1 + 2,141593i

−0,198766 + 0,30956i

3,141593i

−1

1 + 4,141593i

−1,46869 − 2,28736i

2 + 5,141593i

3,07493 − 6,71885i

3 + 6,141593i

19,885 − 2,83447i

Таблица 13.2. Показательная функция.

Заметим, что, как и ранее, когда мы увеличивали аргументы «по сложению» — а сейчас, разумеется, дело обстоит таким же образом, поскольку к аргументу каждый раз прибавляется 1 + i, — значения функции изменяются «по умножению», в данном случае за счет умножения на 1,46869 + 2.28736i. Если бы мы взяли аргументы, отличающиеся друг от друга прибавлением каждый раз числа 1, то, конечно, получающиеся значения отличались бы умножением на e. Заметим еще, что в эту таблицу включено одно из самых прекрасных тождеств во всей математике:

eπi = −1.

Говорят — и я полагаю, что такое вполне могло быть, — Гаусс утверждал, что если истинность этого выражения не становится для вас очевидной сразу же, при первом взгляде на него, то вы никогда не станете первоклассным математиком.

Но как же вообще можно определить комплексную степень числа e, как, впрочем, и любого другого числа? С помощью ряда, вот как. Следующее выражение дает реальное определение того, что такое ez для вообще любого числа z, будь оно вещественным или комплексным (13.1):

Чудесным (как мне представляется) образом эта бесконечная сумма сходится для любого числа z. Знаменатели растут так быстро, что рано или поздно побеждают любую степень любого числа. Равным образом чудесно, что если z — натуральное число, то бесконечная сумма оказывается в точности равной тому, что мы ожидаем от определения «степени» в обычном смысле, хотя разглядывание выражения (13.1) и не дает никаких намеков на то, почему бы такое могло случиться. Если z равно 4, то этот ряд оказывается равным в точности тому же, чему равно e×e×e×e (что, собственно, и понимается под обозначением e^4).

Давайте просто подставим πi в выражение (13.1) и посмотрим, как быстро оно сходится. Если z равно πi, то z^2 равно −π^2; z^3 равно −π^3i; z^4 равно π^4; z^5 равно π^5i и т.д. Подставляя эти значения в бесконечную сумму и вычисляя возникающие степени числа π (для простоты с точностью до шести знаков после запятой), получаем сумму

eπi = 1 + 3,141592i − 9,869604/2 − 31,00627i/2 + 97,409091/24 + 306,019685i/120 − ….

Если сложить первые 10 из этих членов, то получим −1,001829104 + 0,006925270i. Если сложить первые 20 чисел, то результат будет равен −0,9999999999243491 − 0,000000000528919i. Вполне определенным образом сумма сходится к −1. Вещественная часть приближается к −1, а мнимая исчезает.

Можно ли и логарифмическую функцию продолжить на комплексные числа? Да. И получится, разумеется, в точности функция, обратная к показательной. Если ez = w, то z = ln w. К сожалению, как и в случае квадратных корней, если мы не соблюдем меры предосторожности, мы тут же попадем в зыбучие пески многозначных функций. Это происходит из-за того, что в комплексном мире показательная функция иногда принимает одно и то же значение при различных аргументах. Например, куб числа −1, в соответствии с правилом знаков, есть −1; так что возведение в куб обеих частей равенства eπi = −1 дает e3πi = −1; таким образом, аргументы πi и 3πi дают одно и то же значение функции, равное −1, подобно тому как −2 и +2 дают при возведении в квадрат одно и то же значение 4. Тогда что же такое ln (−1)? Это πi? Или же 3πi?

Это πi. Чтобы не наживать лишних неприятностей, ограничим мнимую часть значений функции отрезком от −π (не включая) до π (включая). Тогда для всякого ненулевого комплексного числа имеется его логарифм, причем ln (−1) = πi. На самом деле, если использовать обозначения, введенные в главе 11.v, то ln z = ln |z| + iΦ(z), где Φ(z), разумеется, измеряется в радианах. В таблице 13.3 показан «моментальный снимок» логарифмической функции с точностью до шести знаков после запятой. Аргументы здесь изменяются «по умножению» (каждая строка получается умножением 1 + i на предыдущую строку), а значения функции — «по сложению» (всякий раз прибавляется 0,346574 + 0,785398i).

z

ln z

−0,5i

−0.693147 − 1,570796i

0,5 − 0,5i

−0,346574 − 0,785398i

1

0

1 + i

0,346574 + 0,785398i

2i

0,693147 + 1,570796i

−2 + 2i

1,039721 + 2,356194i

−4

1,386295 + 3,141592i

−4 − 4i

1,732868 − 2,356194i

Таблица 13.3. Логарифмическая функция.

Итак, у нас есть логарифмическая функция. Единственное усложнение заключается в том, что, когда мнимая часть значения функции становится больше π, как это случается при переходе от аргумента −4 к аргументу −4 − 4i, приходится вычитать 2πi, чтобы остаться в нужных пределах (2π радиан равны 360 градусам; мы помним из главы 11.v, что радианы — это просто способ измерения углов, который больше всего любят математики). Но это не причиняет на практике никаких неудобств.

II.

Коль скоро имеются показательная и логарифмическая функции от комплексных чисел, нет причин, запрещающих возводить любое комплексное число в любую комплексную степень. Согласно 8-му правилу действий со степенями из главы 5.ii любое вещественное число a равно eln a, а тогда по 3-му правилу ax — это просто-напросто exln a. Нельзя ли распространить эту идею в мир комплексных чисел и сказать, что для любых двух комплексных чисел z и w выражение zw означает просто-напросто ewln z?

Можно, конечно, и именно так и делается. Если пожелать возвести −4 + 7i в степень 2 − 3i, то надо сначала вычислить логарифм числа −4 + 7i, который оказывается равным примерно 2,08719 + 2,08994i. Затем надо умножить это на 2 − 3i, что даст 10,4442 − 2,08169i. И теперь возвести число e в эту степень, что и даст окончательный результат −16793,46 − 29959,40i. Итак,

(−4 + 7i)2 − 3i = −16793,46 − 29959,40i.

Ничего сложного! Еще пример: поскольку −1 = eπi, извлечение квадратного корня из обеих частей даст i = eπi/2. И если теперь возвести обе части в степень i, то, снова пользуясь 3-м правилом действий со степенями, получим ii = e−π/2. Заметим, что это вещественное число, равное 0,2078795763….

Поскольку можно возводить любое комплексное число в любую комплексную степень, несложным должно оказаться возведение вещественного числа в комплексную степень. Следовательно, для заданного комплексного числа z можно вычислить 2z, 3z, 4z и т.д. Понятно, к чему идет дело. Можно ли расширить область определения дзета-функции

в мир комплексных чисел? Можно, конечно. С комплексными числами, доложу вам, можно делать что угодно.

III.

Поскольку формула для дзета-функции остается бесконечной суммой, возникает вопрос о сходимости. Оказывается, что сумма сходится для любого комплексного числа, вещественная часть которого больше единицы. Математики скажут «в полуплоскости Re(s) > 1», где Re(s) используется для обозначения вещественной части числа s.

Но, как и в случае с дзета-функцией вещественных аргументов, для расширения области определения в те области, где бесконечная сумма не сходится, можно применить некоторые математические уловки. В результате получается полная дзета-функция, область определения которой составляют все комплексные числа за единственным исключением числа s = 1. Там, как мы еще в самом начале убедились при помощи колоды карт (см. главу 1), у дзета-функции нет значения. Везде, кроме этой точки, она имеет единственным образом определенное значение. Имеются, конечно, и такие места, где это значение нулевое. Это мы и раньше знали. Графики из главы 9.iv показывают, что дзета-функция принимает равное нулю значение для всех отрицательных четных чисел −2, −4, −8, …. Мы на них не останавливаемся, потому что, как уже было замечено, они не слишком важны. Это тривиальные нули дзета-функции. Могло ли бы так случиться, что значение дзета-функции равно нулю при некоторых комплексных аргументах? И что, это и будут нетривиальные нули, упоминаемые в Гипотезе? Делайте ваши ставки; но я несколько забежал вперед в нашей истории.

IV.

Сорок лет назад блестящий, но эксцентричный Теодор Эстерман[112] написал учебник, озаглавленный «Комплексные числа и функции», в котором содержались всего два рисунка. «Я <… > избежал всякого обращения к геометрической интуиции», — объявлял автор в предисловии. Известно некоторое число родственных ему душ, однако большая часть математиков не следует подходу Эстермана. Они трактуют теорию функций комплексной переменной в высшей степени визуально. Многие из нас полагают, что функции комплексной переменной легче освоить, пользуясь некоторыми наглядными образами.

Но как же можно наглядно представить себе функцию комплексной переменной? Возьмем простейшую нетривиальную функцию комплексной переменной — функцию возведения в квадрат. Есть ли какой-нибудь способ узнать, на что она похожа?

Скажем сразу: от обычных графиков толку здесь немного. В мире вещественных чисел можно изобразить функцию на графике таким образом: проводим прямую, изображающую аргументы (как мы помним, вещественные числа живут на прямой); затем проводим другую прямую под прямым углом к первой и используем ее для значений функции. Чтобы выразить тот факт, что данная функция превращает число x в число y, двигаемся на восток от нулевого аргумента на расстояние x (на запад, если x отрицательно), а затем на север от нулевого значения на расстояние y (на юг, если y отрицательно). Отмечаем там точку. Повторяем такое для стольких значений функции, сколько нам не лень вычислить. Это и дает график функции. На рисунке 13.1 приведен пример.

Рисунок 13.1. Функция x^2.

Однако это не годится для функций комплексной переменной. Аргументам требуется двумерная плоскость, чтобы на ней расположиться, а значениям функции нужна еще одна двумерная плоскость. Так что для графика требуются четыре пространственных измерения: два для аргументов и два для значений функции. (В четырехмерном пространстве, хотите верьте, хотите нет, две двумерные плоскости могут пересекаться в единственной точке. Это можно сравнить с тем фактом — совершенно недоступным для понимания обитателей двумерной вселенной, — что в трехмерии две непараллельные прямые не обязаны пересекаться.)

Это разочаровывает; но в качестве компенсации имеется кое-что, что можно делать для создания картинок, представляющих функции комплексной переменной. Вспомним то главное, что надо знать про функцию: она превращает одно число (аргумент) в другое (значение). Так вот, число-аргумент представляет собой точку где-то на комплексной плоскости, а значение функции представляет собой некоторую другую точку. Таким образом, функция комплексной переменной отправляет все точки из своей области определения в другие точки. Можно выбрать какие-то точки и посмотреть, куда они отправляются.

На рисунке 13.2, например, показаны числа, образующие стороны некоторого квадрата на комплексной плоскости. Углы отмены буквами a, b, c и d. Это в действительности комплексные числа −0,2 + 1,2i, 0,8 + 1,2i, 0,8 + 2,2i и −0,2 + 2,2i.

Рисунок 13.2. Функция z^2, примененная к квадрату.

Что с ними произойдет при применении функции возведения в квадрат? Если умножить число −0,2 + 1,2i само на себя, то получится −1,4 − 0,48i; значит, таково значение функции для точки a. Возведение в квадрат чисел, соответствующих точкам b, c и d, дает значения для всех остальных углов; эти значения отмечены как A, B, C и D. Если повторить это для всех точек вдоль сторон квадрата, а также для точек, образующих сетку внутри него, получится искаженный квадрат, также изображенный на рисунке 13.2.

V.

При работе с функциями комплексной переменной полезно думать о комплексной плоскости как о бесконечно растяжимом резиновом листе, при этом спрашивая себя, что же функция делает с этим листом. По числам, выбранным на рисунке 13.2, можно видеть, что функция возведения в квадрат растягивает лист, закручивая его против часовой стрелки вокруг нулевой точки и одновременно вытягивая наружу. Число 2i, например, которое само по себе живет на положительной (северной) части мнимой оси, при возведении в квадрат отправляется в число −4, расположенное на отрицательной (западной) части вещественной оси, причем вдвое дальше от нулевой точки. В свою очередь −4 при возведении в квадрат растягивается до 16 (еще дальше от нуля) и попадает на положительную (восточную) часть вещественной оси. По правилу знаков число −2i, находящееся на отрицательной (южной) части мнимой оси, «докручивается» до числа −4. На самом деле, согласно правилу знаков, всякое[113] значение функции возведения в квадрат встречается дважды, возникая при двух аргументах: не будем забывать, что −4 есть квадрат не только числа 2i, но и числа −2i.

Бернхард Риман, обладавший, судя по всему, чрезвычайно развитым зрительным воображением, представлял себе это таким образом. Возьмем всю комплексную плоскость. Проведем разрез вдоль отрицательной (западной) части вещественной оси, остановившись в точке нуль. Теперь ухватимся за верхний край этого разреза и потянем его против часовой стрелки, поворачивая вокруг точки нуль, как будто туда встроен шарнир. Повернем этот край на 360 градусов. Теперь наш край разреза находится над растянутым листом, а другой край расположен прямо под ним. Проведем наш край через лист (для этого следует представить себе, что комплексная плоскость не только бесконечно растяжима, но и сделана из некоторого рода туманной субстанции, которая может проходить сама сквозь себя) и склеим оба края исходного разреза. Картинка у нас в голове теперь выглядит примерно так, как показано на рисунке 13.3. Вот что функция возведения в квадрат делает с комплексной плоскостью.

Рисунок 13.3. Риманова поверхность, отвечающая функции z^2.

Это вовсе не досужие изыски. На основе такого мысленного упражнения Риман развил целую теорию, впоследствии названную теорией римановых поверхностей. Она содержит ряд мощных результатов и дает глубокое понимание того, как ведут себя функции комплексной переменной. Она также соединяет теорию функций с алгеброй и топологией — двумя ключевыми областями математики XX столетия. А главное — она представляет собой типичный продукт дерзкого, бесстрашного и самобытного воображения, которым обладал Риман, — продукт одного из величайших умов, вообще когда-либо существовавших.

VI.

Я воспользуюсь гораздо более простым подходом для иллюстрации функций комплексной переменной. Позвольте представить моего друга, муравья по имени Арг; он перед вами на рисунке 13.4.

Рисунок 13.4. Муравей Арг.

Муравья Арга невероятно трудно разглядеть, потому что он имеет бесконечно малый размер. Но если бы мы могли его видеть, то обнаружили бы, что он выглядит совсем как обычный муравей — если уж быть точным, то как рабочий Camponotus japonicus — с соответствующим числом лапок, усиков и прочего. В одной из своих передних лапок, которую можно для удобства называть «рукой», муравей Арг держит приборчик вроде пейджера, или мобильного телефона, или одного из тех устройств для глобального позиционирования, что всегда сообщают вам, где именно вы находитесь. На этом приборчике (рис. 13.5) имеются три окошка. В первом окошке, под которым написано «функция», показано название некоторой функции: z^2, ln z и т.д. — в общем, на приборчике можно выставить любую функцию. Во втором окошке, под которым написано «аргумент», показана точка — т.е. комплексное число, — на которой муравей Арг стоит в данный момент. И в третьем окошке, с подписью «значение функции», показано значение выбранной функции при данном аргументе. Таким образом, муравей Арг всегда точно знает, где находится; а для любой заданной функции он знает, кроме того, куда данная функция отправляет точку, на которой он стоит.

Рисунок 13.5. Муравьиный приборчик.

Моя задача состоит в том, чтобы показать вам дзета-функцию, И поэтому я собираюсь отправить муравья Арга свободно бродить по комплексной плоскости.[114] Когда в окошке «значение функции» показан нуль, это значит, что Арг стоит на точке («аргументе»), которая является нулем дзета-функции. Я договорюсь с ним, чтобы он отмечал эти точки волшебным маркером, который он носит в маленьком кармашке на брюшке. Тогда мы сможем узнать, где располагаются нули дзета-функции.

На самом деле я попрошу муравья Арга потрудиться еще немного. Пусть он отмечает все аргументы, которые дают чисто вещественное или чисто мнимое значение функции. Он отметит аргумент, при котором значение функции равно 2, или −2, или 2i, или −2i; а точку, в которой значение функции равно 3,7i, он отмечать не будет. Другими словами, он отметит все точки, которые дзета-функция отправляет на вещественную ось или на мнимую ось таким способом мы получим нечто вроде картинки, представляющей дзета-функцию.

На рисунке 13.6 представлен результат этой одиссеи. Прямыми линиями на ней показаны вещественная и мнимая оси, а также критическая полоса. Все кривые линии составлены из точек, которые дзета-функция отправляет на вещественную или мнимую оси. Разумеется, поскольку вещественная и мнимая оси пересекаются в нуле, нулями дзета-функции будут как раз точки, где эти линии пересекаются. В точках, где каждая из этих кривых уходит с рисунка, подписано значение функции, соответствующее этой точке.

Рисунок 13.6. Плоскость аргумента. Показаны точки, которые дзета-функция отправляет на вещественную или мнимую оси.

Попытка представить себе, что же дзета-функция делает с комплексной плоскостью — в том же духе, как на рисунке 13.3, где показано, что делает с ней функция возведения в квадрат — это упражнение, требующее довольно серьезного умственного напряжения. Если функция возведения в квадрат заворачивает комплексную плоскость саму над собой в двулистную поверхность, изображенную на рисунке 13.3, то дзета-функция делает подобную же вещь бесконечное число раз, что дает бесконечнолистную поверхность. Не расстраивайтесь, если не получается такое себе представить. Чтобы начать интуитивно воспринимать подобные функции, требуется практика в течение нескольких лет. Как я уже говорил, наш подход будет попроще.

Муравей Арг разметил комплексную плоскость так, что получились узоры, показанные на рисунке 13.6. Теперь отправим его путешествовать вдоль одной из этих кривых. Пусть он выходит из точки −2. Поскольку это нуль дзета-функции — один из тривиальных нулей, — окошко «значение функции» показывает 0. А муравей собирается ползти на запад вдоль вещественной оси. Значения функции начинают отодвигаться от нуля.

Вскоре после прохождения точки −2,717262829 при движении на запад окошко «значение функции» покажет число 0,009159890…. Затем число в этом окошке начнет снова уменьшаться до нуля. Поскольку вы читали главу 9, то вполне можете догадаться, что должно произойти. Значение функции будет убывать и убывать до нуля, который и будет достигнут при аргументе −4.

Это оказалось не слишком интересным. Начнем снова. Из точки −2, где показание «значение функции» равно 0, муравей Арг отправится на запад в точку, где значение функции было наибольшим. Но вместо того, чтобы продолжать путь на запад до −4, он резко поворачивает направо и берет курс на север вдоль верхней ветви напоминающей параболу кривой. Теперь значение функции будет все возрастать и возрастать — сначала оно достигнет значения 0,01, затем 0,1, потом (вскоре после пересечения с мнимой осью) достигнет 0,5. И когда муравей устремится на восток по верхней ветви «параболы», значение продолжит расти. Когда муравей выйдет за пределы страницы, направляясь при этом уже почти точно на восток, показание в окошке будет составлять 0,9990286. Оно все еще продолжает возрастать, но страшно медленно, и муравью придется прошагать всю дорогу до бесконечности, пока в окошке не появится 1.

Оказавшись на бесконечности, муравей Арг может захотеть развернуться и пойти обратно. Но чтобы ему не возвращаться той же дорогой, отправим его домой вдоль положительной части вещественной оси. (Не ломайте себе голову на этот счет слишком сильно. Для наших целей на самом деле имеется всего одна «точка на бесконечности», так что, раз оказавшись там, можно отправиться назад в мир настоящих конечных чисел вдоль вообще любого направления). Показания в окошке «значение функции» теперь возрастают: там будет высвечено 1,0009945751… в момент возвращения на рисунок, 1,644934066848… в момент, когда муравей Арг проходит 2 (помните базельскую задачу?), а потом при подходе к 1 показания резко взлетают вверх.

Когда муравей Арг наступает на число 1, из приборчика, который он держит в руке, раздается звонок, а в окошке «значение функции» загорается большой ярко-красный мигающий знак бесконечности ∞. Если муравей Арг посмотрит на это окошко повнимательнее, он обнаружит занятную вещь. Справа от знака бесконечности очень быстро вспыхивает и гаснет маленькая буква i. Одновременно с этим слева от бесконечности загорается и гаснет знак минус, причем тоже очень быстро, но рассогласованно с пульсациями буквы i. Дело выглядит так, будто бы окошко пытается одновременно показать четыре различных значения: ∞, −∞, ∞i и −∞i. Занятно!

Причина кроется в том, что у муравья Арга теперь три возможных варианта выбора (помимо возможности отправиться обратно той же дорогой, которой он пришел). Если он просто пойдет вперед, направляясь на запад вдоль вещественной оси, до тех пор пока не достигнет нуля при аргументе −2, он увидит, что значения функции становятся большими отрицательными числами типа минус одного триллиона, затем быстро доходят до отрицательных чисел умеренной величины (−1000, −100) и в конце концов достигают −1, затем −0,5, когда он наступит на точку нуль (поскольку ζ(0) = −0,5), и окончательно возвращаются к нулю при аргументе −2.

Если же из точки 1 он резко повернет направо и пойдет на север, пересекая верхнюю половину кривой овальной формы вблизи нулевой точки, то в окошке будут показаны значения функции, поднимающиеся вверх по отрицательной мнимой оси, от таких чисел, как −1000 000i, далее через числа −1000i и до −10i, −5i, −2i и затем −i. Незадолго до пересечения с мнимой осью в окошке высветится −0,5i. Далее, по мере приближения к нулю дзета-функции в точке −2, значения функции, разумеется, возрастут до нуля.

Чтобы помочь вам справиться со всем этим непосильным грузом, а также чтобы найти прочную привязку к миру функций (которые мы ввели с помощью таблиц в главе 3), в таблице 13.4 проиллюстрирована только что описанная прогулка против часовой стрелки по верхушке овальной кривой. Аргументами в этой таблице выбраны числа со следующими фазами (в градусах, а не радианах): 0, 30, 60, 90, 120, 150 и 180. Все числа в таблице 13.4 округлены до четырех знаков после запятой.

z

ζ(z)

1

−∞i

0,8505 + 0,4910i

−1,8273i

0,4799 + 0,8312i

−0,7998i

0,9935i

−0,4187i

−0,5737 + 0,9937i

−0,2025i

−1,3206 + 0,7625i

−0,0629i

−2

0

Таблица 13.4. Муравей Арг проходит по верхушке овала на рисунке 13.6.

Если бы муравей повернул из точки 1 налево, то значения функции вернулись бы к нулю через положительную мнимую ось, проходя через числа 1,8273i, 0,7998i и т.д.

VII.

Муравей Арг может начать свою прогулку из любого другого нуля дзета-функции. Все они показаны на рисунке 13.6 в виде маленьких кружочков. Чтобы нашему приятелю было проще разобраться, куда же он идет, там показаны значения, которые высвечиваются в окошке «значение функции» в тот момент, когда он уходит с рисунка вдоль любой из выбранных линий. (Для экономии места при записи этих значений m обозначает «миллион». Разумеется, i, как всегда, обозначает просто i.) Обратим внимание на явления, которые происходят по мере движения вверх по левому краю рисунка, т.е. при движении по аргументам, вещественная часть которых равна −10. Первая линия, уходящая с рисунка с этого края, — это та, которая отображается в отрицательную вещественную ось. Следующая отображается в положительную мнимую ось; следующая после нее — в положительную вещественную ось; следующая — в отрицательную мнимую ось… и т.д.; картина повторяется.

Наоборот, все линии, уходящие с рисунка по правому краю, отображаются в положительную вещественную ось. Как видно из рисунка, справа от критической полосы это довольно скучная функция. Вся обширная восточная область отображается в малюсенькую область вокруг точки 1. Здесь намного «меньше жизни», чем слева в западном регионе; но и этот западный регион не так интересен, как критическая полоса. Все интересное происходите дзета-функцией именно в критической полосе. (По поводу другой иллюстрации этой общей истины см. рассказ о гипотезе Линделёфа в приложении.)

Рисунок 13.6 фактически выражает суть данной книги. Он позволяет видеть дзета-функцию Римана настолько хорошо, насколько вообще можно видеть функцию комплексной переменной. Я призываю читателя провести какое-то время за молчаливым созерцанием этого рисунка и ради упражнения пройти несколькими муравьиными дорожками. Функции из высшей математики это чудесные создания. Они не выдают своих секретов просто так.

Некоторые — такие как эта — могут обеспечить вас занятием на всю жизнь. Лично я никоим образом не могу отнести себя к специалистам по дзета-функции. У меня нет исчерпывающего собрания литературы по дзета-функции, и при сборе материала для данной книги я опирался главным образом на университетские библиотеки и личные контакты. Но, даже не прилагая специальных усилий, я оказался обладателем собственных экземпляров книг «Теория дзета-функции Римана» Э.Ч. Титчмарша (412 страниц), «Введение в теорию дзета-функции Римана» С. Дж. Паттерсона (156 страниц) и незаменимой «Дзета-функции Римана» Хэролда Эдвардса (316 страниц, причем она у меня в трех экземплярах — это долгая история), а также толстенной папки с копиями статей из различных журналов и периодических изданий. Наверняка есть еще масса других увесистых книг, помогающих проникнуть в тайны этой функции, и, кроме того, тысячи статей. Это серьезная математика.

И что самое замечательное, на приведенном рисунке Гипотеза Римана сияет во всем своем блеске. Смотрите: нетривиальные нули и в самом деле все выстроились на критической прямой. На рисунке 13.6 критическая прямая не проведена, но совершенно ясно, что она лежит посередине критической полосы, как разделительная полоса на шоссе.

VIII.

Еще пара картинок, прежде чем мы покончим с темой наглядного представления дзета-функции. Во-первых, заметим, что при продвижении вверх общая тенденция, наблюдаемая на рисунке 13.6, сохраняется в тех пределах, до которых мы можем добраться.

Для иллюстрации этого на рисунке 13.7 показан блок нулей вблизи точки 1/2 + 100i. Можно заметить, что они упакованы теснее, чем нули на рисунке 13.6. В действительности средний интервал между восемью показанными здесь нулями равен 2,096673119…, тогда как для пяти нулей, показанных на рисунке 13.6, средний интервал составлял 4,7000841…. Таким образом, здесь, наверху — в окрестности числа 100i на мнимой оси, — нули упакованы более чем в два раза плотнее, чем в окрестности числа 20i.

Рисунок 13.7. Более высоко расположенная область на плоскости аргумента.

Ha самом деле имеется правило, позволяющее найти средний интервал между нулями на высоте T в критической полосе. Этот интервал ~ 2π/ln (T/2π). Если T равно 20, то это выражение вычисляется как 5,4265725…. Если T равно 100, то оно равно 2,270516724…. Как можно видеть, правило не слишком точное, хотя знак волны говорит нам, что оно становится все точнее по мере того, как числа растут. Эндрю Одлыжко опубликовал список 10 000 нулей в окрестности числа 1/2 + 1370919909931995308897i. Там за 2π/ln (T/2π) дают что-то около 0,13516467, а среднее, вычисленное для 9999 интервалов, равно 0,13417894…. Не так плохо!

Остановимся на еще одном моменте, который окажется довольно важным в дальнейшем изложении. Имеется симметрия относительно вещественной (т.е. идущей с запада на восток) оси. Если продлить рисунок 13.6 на юг от вещественной оси, линии окажутся зеркальными отображениями линий из северной половины. Единственная разница состоит в том, что если вещественные числа, отмеченные на рисунке 13.6, будут одинаковыми на юге и на севере, то мнимые числа поменяют знак. Математически это выражается так, что если ζ(a + bi) = u + vi, то ζ(a − bi) = u − vi. Или, если по-настоящему использовать язык комплексных чисел, ζ(z') = ζ'(z). Важное следствие отсюда состоит в том, что если a + bi — нуль дзета-функции, то a − bi — тоже нуль.

IX.

И наконец, графическое представление Гипотезы Римана — или по крайней мере того факта, что на критической прямой полно нулей.

Чтобы разобраться в рисунке 13.8, вспомним, что рисунки 13.6 и 13.7 изображают плоскость аргумента. Функция комплексной переменной отправляет комплексные числа из одного множества (аргументы) в другое множество (значения). Поскольку комплексные числа располагаются на плоскости, можно представлять себе, что функция отправляет точки из одной плоскости (плоскости аргумента) в точки на другой плоскости (плоскости значений). Дзета-функция отправляет точку 1/2 + 14,134725i на плоскости аргумента в точку 0 на плоскости значений. Взглянем снова на рисунок 13.2. Там плоскость аргумента и плоскость значений показаны одновременно — как если бы это были наложенные друг на друга прозрачные пленки для проектора.

Рисунки 13.6 и 13.7 изображают плоскость аргумента; там указано, какие аргументы отправляются в интересные нам значения. Муравей Арг живет на плоскости аргумента — потому его так и назвали. Он бродит по этой плоскости, отмечая, какие точки отправляются в нули при применении дзета-функции. Он у нас путешествовал по странным кривым и завиткам, образованным точками, которые отправляются в чисто вещественные или чисто мнимые числа (т.е. точками, в которых дзета-функция имеет чисто вещественные или чисто мнимые значения). Будем говорить, что это — изображения плоскости аргумента типа «отсюда», имея в виду, что отсюда дзета-функция отображает во что-то интересное.

Альтернативным способом функцию можно представить, показав картинку типа «сюда» на плоскости значений.[115] Вместо того чтобы показывать, как это делалось на рисунках 13.6 и 13.7, какие аргументы отправляются в интересные нам значения (а такими у нас были чисто вещественные и чисто мнимые числа), можно дать картину плоскости значений, на которой будет показано, в какие значения отображаются интересующие нас аргументы.

Представим себе, что у муравья Арга есть брат-близнец, который живет на плоскости значений.{A4} Зовут его, понятно, муравей Знач. И допустим еще, что близнецы постоянно общаются между собой по рации и таким способом синхронизируют свои передвижения, так что, на каком бы аргументе ни находился муравей Арг в любой момент времени, муравей Знач стоит на соответствующем значении в плоскости значений. Если, например, муравей Арг стоит на числе 1/2 + 14,134725i, а на его приборчике выставлена дзета-функция, то муравей Знач стоит на числе 0 в своей плоскости (плоскости значений).

Предположим теперь, что муравей Арг, вместо того чтобы ползать по всем этим причудливым завитушкам, изображенным на рисунке 13.6 (что заставляет муравья Знача скучать, вышагивая взад и вперед по вещественной и мнимой осям), предпримет прогулку прямо по критической прямой, направляясь на север из аргумента 1/2. По какой траектории будет тогда следовать муравей Знач? Это показано на рисунке 13.8. Его путь начинается в точке ζ(1/2), что, как мы видели в главе 9.v, равно −1,4603545088095…. Далее он описывает нечто вроде полуокружности против часовой стрелки ниже нулевой точки, а затем поворачивает и движется по петле по часовой стрелке вокруг точки 1. Он держит путь к нулю и проходит через него (это первый нуль — муравей Арг как раз прошел точку 1/2 + 14,134725i). Затем он продолжает описывать петли по часовой стрелке, проходя через нулевую точку снова и снова через некоторый промежуток — всякий раз, как его брат-близнец наступает на нуль дзета-функции на плоскости аргумента. Я прервал путешествие Знача, когда муравей Арг достиг точки 1/2 + 35i, потому что рисунок 13.6 продолжается лишь до этих пор. К тому моменту, как эта точка достигнута, кривая на плоскости значений прошла через нуль пять раз, что соответствует пяти нетривиальным нулям на рисунке 13.6. Отметим, что точки на критической прямой демонстрируют выраженную тенденцию к тому, чтобы отображаться в точки с положительной вещественной частью.

Рисунок 13.8. Плоскость значений; показаны точки, которые приходят из критической прямой.

Еще раз: на рисунке 13.8 показана плоскость значении. Это не диаграмма типа «отсюда», подобная рисункам 13.6 и 13.7; наоборот, это диаграмма типа «сюда», которая показывает, что же дзета-функция делает с критической прямой, подобно тому как на рисунке 13.2 было показано, что функция возведения в квадрат делаете расчерченным квадратиком. Если мы желаем выражаться чисто математически, то следует сказать, что завивающаяся в петли кривая на рисунке 13.8 есть ζ(критическая прямая) — множество всех точек, которые происходят из точек на критической прямой. Кривые на рисунках 13.6 и 13.7 суть ζ−1(вещественная и мнимая оси) — множество всех точек, которые дзета-функция отправляет в вещественную и мнимую оси. Мы используем запись «ζ(критическая прямая)», чтобы указать на «все значения дзета-функции при аргументах, лежащих на критической прямой». Наоборот, «ζ−1(вещественная и мнимая оси)» означает «все аргументы, для которых значения дзета-функции лежат на вещественной или мнимой осях». Заметим, что выражение ζ−1 используется здесь в специальном смысле теории функций и указывает на обратную функцию. Не следует путать его с a−1 из 8-го правила действий со степенями, где имеется в виду 1/a, арифметическое обратное числа a. Это другое использование — еще один пример перегрузки математических символов, как и с буквой π, которая обозначает и число 3,14159…, и функцию числа простых чисел.

Вообще говоря, картинки типа «отсюда» на плоскости аргумента — предпочтительное средство для понимания того, что такое функция во всем охвате ее свойств (например, где расположены ее нули). Картинки «сюда» на плоскости значений полезнее всего для изучения конкретных аспектов или любопытных особенностей функции.[116]

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой — прямой, составленной из комплексных чисел с вещественной частью одна вторая. Все нетривиальные нули, изображенные в этой главе, действительно лежат на этой прямой, что видно из рисунка 13.6, 13.7 и 13.8. Конечно, это ничего не доказывает. У дзета-функции бесконечное число нетривиальных нулей, и никакой рисунок не позволит изобразить их все. Откуда нам знать, что триллионный нуль, или триллион триллионный, или же триллион триллион триллион триллион триллион триллионный лежит на критической прямой? Этого мы не знаем — во всяком случае, не можем заключить из картинок. А какое отношение все это имеет к простым числам? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо повернуть Золотой Ключ.

Глава 14. Во власти одержимости

I.

Геттинген, конечно, был не единственным местом на земле, где в первые годы XX века создавалась первоклассная математика. Взглянем на английского математика Джона Идензора Литлвуда за шестьдесят с чем-то лет до того, как он предлагал «понюхать пороху» Хью Монтгомери. В 1907 году, будучи молодым математиком в Тринити-колледже в Кембридже, Литлвуд был занят поиском содержательной задачи, из которой удалось бы вырвать хороший «кусок мяса» для диссертации.

Барнс[117] решился предложить такую новую задачу: «Доказать Гипотезу Римана». В конце концов оказалось, что это героическое предложение привело к некоторым результатам; но сначала надо сказать о ситуации с ζ(s) и с простыми числами на 1907 год, в особенности в том плане, как я ее воспринимал. Я впервые познакомился с ζ(s) у Линделёфа[118], но там вообще ничего не говорится о простых числах, а я и не догадывался о существовании какой бы то ни было связи между ними. Я знал, что ГР — знаменитая гипотеза, но полагал, что это просто проблема из теории целых функций. А все это происходило в течение долгих каникул, когда у меня не было доступа к литературе (даже если бы мне пришло в голову заняться какими-нибудь поисками). (Что касается людей образованных лучше меня, то лишь некоторые слышали о работе Адамара и лишь совсем немногие — о статье де ля Валле Пуссена в каком-то бельгийском журнале. Во всяком случае, та деятельность воспринималась как очень сложная и проходящая в стороне от основного течения математики. Знаменитая статья Римана была включена в собрание его трудов; в ней утверждается ГР и потрясающая, но не доказанная формула для π(x). Сама Теорема о распределении простых чисел не упоминается, хотя ее ничего не стоит получить, если принять приведенную там формулу. Что же касается Харди, то, как он впоследствии сказал мне, он знал, что ТРПЧ была доказана, но, правда, думал, что это сделал Риман. Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау в 1909 году.)

Это отрывок из «Математической смеси» Литлвуда — причудливого собрания мемуарных фрагментов, шуток и математических головоломок, впервые опубликованного в 1953 году.[119] Кроме самого Литлвуда, действующие лица в приведенном отрывке — это английский математик Годфри Хэролд Харди (1877-1947) и немец Эдмунд Ландау (1877-1938). Эти трое — Ландау, Харди, Литлвуд — через полпоколения после Гильберта были пионерами в ранних попытках одолеть Гипотезу Римана.

II.

Британская математика в XIX столетии демонстрировала странную асимметрию в своем развитии и достижениях. Британские ученые добились значительных успехов в наименее абстрактных областях математики — тех, которые ближе всего связаны с физикой. Такое наблюдение — результат моего высшего математического образования, полученного в Лондоне. Когда у нас были занятия по вещественному анализу, теории функций комплексной переменной, теории чисел и алгебре, фамилии ученых в названиях теорем сыпались на нас с той стороны Ла-Манша: Коши, Адамар, Якоби, Чебышев, Риман, Эрмит, Банах, Гильберт… А потом мы шли на лекции по ММФ (т.е. по методам математической физики) и внезапно снова оказывались на Британских островах викторианской эпохи: теорема Грина (1828), формула Стокса (1842), число Рейнольдса (1883), уравнения Максвелла (1855), оператор Гамильтона (1834)…

Кроме того, заметной активностью отличались британские ученые, занятые в наиболее абстрактных областях математики: Артур Кэли и Дж. Дж. Сильвестр изобрели матрицы (о них мы еще поговорим ниже) и теорию алгебраических инвариантов. Джордж Буль открыл целый новый материк «оснований» — математической логики, которую он называл «законами мышления». (Можно поспорить по поводу того, действительно ли этот предмет находится так уж далеко по шкале абстракции; сам Буль заявлял, что его намерением было сделать логику частью прикладной математики. Однако мне кажется, что математическая логика достаточно абстрактна для большинства из нас, простых смертных.) Любопытно отметить, что за неделю до того, как Гильберт выступил на Парижском конгрессе, тот же актовый зал Сорбонны был зарезервирован для Международного философского конгресса. Один из прочитанных там докладов назывался «Представления о порядке и абсолютном положении в пространстве и времени». Докладчиком был молодой английский логик, также из Тринити-колледжа, по имени Бертран Рассел, который спустя 10 лет вместе с Элфредом Нортом Уайтхедом стал автором классического трактата по математической логике (точнее, логифицированной математике) — Principia Mathematica.

Таким образом, в Британии полным ходом развивалась наименее абстрактная и наиболее абстрактная математика, а огромное количество всего, требующего среднего уровня абстракции, — теория функций, теория чисел, большая часть алгебры — было оставлено для континентальной Европы. В анализе — наиболее плодородном разделе математики XIX века — присутствие британцев практически незаметно. К концу столетия они фактически исчезли даже из тех областей, где традиционно были сильно представлены. Лишь семь британских математиков присутствовали на Парижском конгрессе; по этому показателю Британия стояла ниже Франции (90), Германии (25), США (17), Италии (15), Бельгии (13), России (9), Австрии и Швейцарии (по 8 каждая). В плане математики Британия в 1900-х годах была тихой заводью.

Но и в тихой заводи, как известно, черти водятся. Тринити-колледж в Кембридже, где обитал Литлвуд, поддерживал сильную математическую традицию. Некогда здесь работал сэр Исаак Ньютон (1661-1693), и колледж мог похвастаться тем, что в течение XIX столетия выпустил из своих стен нескольких гениев от математики и физики: это Чарльз Бэббидж, которого обычно считают изобретателем компьютера; астроном Джордж Эйри, именем которого названо семейство математических функций; логик Огастес де Морган; алгебраист Артур Кэли; Джеймс Клерк Максвелл и другие, несколько менее известные имена. Бертран Рассел защитил диссертацию в Тринити-колледже в 1893 году, стал сотрудником[120] в 1895-м и продолжал преподавать там в то время, когда сотрудником стал и Харди. История Тринити-колледжа в XX столетии оказалась несколько менее однородной. Отсюда происходили основные участники кембриджской шпионской сети[121] а также несколько блумсберийцев[122]. Однако в том, что касается математики в первые годы столетия, Тринити-колледж был прежде всего местом, где работал Г.X. Харди — тот самый Харди из воспоминаний Литлвуда. Именно Харди, как никто другой, пробудил английскую чистую математику от долгого сна.

Когда в 1897 году Харди трудился в Тринити-колледже над диссертацией, на глаза ему попался знаменитый в то время учебник Cours d'Analyse[123] написанный французским математиком Камилем Жорданом. Жордан известен тем, кто изучает теорию функций комплексной переменной, поскольку в ней есть теорема Жордана, утверждающая примерно следующее: несамопересекающаяся замкнутая плоская кривая (например, окружность) разбивает плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Эту теорему необычайно трудно доказать — Эстерман говорит о собственном доказательстве Жордана как об «интеллектуальном подвиге». По-видимому, Cours d'Analyse произвел на Харди примерно такое же впечатление, какое Гомер в переводе Чапмена произвел на Китса.[124]

После того как Харди приняли в Тринити-колледж (в то самое лето, когда Гильберт выступал со своей речью), он посвятил несколько последующих годов написанию работ по анализу.

Одним из плодов раннего увлечения Харди анализом стал учебник для студентов, называвшийся «Курс чистой математики», впервые вышедший в 1908 году и с тех пор никогда не перестававший издаваться. Как и большинство британских студентов XX века, я учил анализ по этой книге. Мы называли ее просто «Харди». Заглавие книги в сильной степени вводит в заблуждение, потому что там на самом деле нет ничего, кроме анализа, — никакой алгебры, никакой теории чисел, никакой геометрии, никакой топологии. Правда, никто не обращал на это внимания. В качестве введения в классический (т.е. в рамках XIX века) анализ этот учебник близок к идеалу настолько, насколько это вообще возможно для учебника. Его влияние на мой собственный подход к математике оказалось огромным. Когда я смотрю на то, что уже написано в этой книге, я явственно вижу Харди.

III.

Г.X. Харди был чудаком такого рода, который только Англия XIX века могла породить. В старости он написал довольно занятную книгу под названием «Апология математика» (1940), в которой описал свою жизнь как математика. В некоторых отношениях это печальная, точнее, элегическая книга. Причину этого прекрасно выразил Ч.П. Сноу в своем предисловии к последующим изданиям. Харди был Питером Пэном — мальчиком, который так и не вырос. По словам Сноу, «до старости жизнь его оставалась жизнью блестящего молодого человека. Таким же оставался и его дух — его игры, его интересы поддерживали легкость молодого дона.[125] И, как и у многих людей, которые сохраняют интересы своей молодости до седьмого десятка, его последние годы были из-за этого не очень веселыми». А вот что пишет Литлвуд: «До тридцатилетнего возраста он выглядел невероятно молодым». Харди играл в крикет, к которому питал настоящую страсть, а также в теннис на закрытом корте (известный также как real (royal) tennis или jeu de paume) — игру более трудную, требующую большего интеллекта, чем обычный теннис.

В течение 12 лет, с 1919 по 1931 год, Харди возглавлял кафедру в Оксфорде. На 1928-29 академический год он уезжал в Принстон, а остальную часть своей жизни провел в Тринити-колледже в Кембридже. Приятный и обходительный, он никогда не был женат и, насколько известно, не имел никаких близких привязанностей какого бы то ни было сорта. Следует помнить, что в те времена колледжи в Оксфорде и Кембридже были учреждениями только для мужчин, с сильным оттенком женоненавистничества. До 1882 года сотрудникам Тринити-колледжа не разрешалось жениться. Недавно, вполне в духе нашего времени, высказывались предположения о гомосексуальности Харди. Я отошлю любознательного читателя к написанной Робертом Канигелом биографии Сринивасы Рамануджана[126], которому Харди оказывал поддержку, — «Человек, который знал, что такое бесконечность»; там эта тема обсуждается более подробно. Ответ представляется таким: скорее всего нет, разве только в самых сокровенных мыслях.

Историй о Харди даже больше, чем историй о Гильберте — одну из них, как я понимаю, я уже рассказал. Вот две другие, причем в каждой из них присутствует Гипотеза Римана. Первая взята из его некролога в британском научном журнале Nature.

У Харди была одна главенствующая страсть — математика. Помимо этого его основными интересами были игры в мяч, в которых он был опытным игроком и искушенным экспертом. Его пристрастия и антипатии иллюстрируются списком из «шести новогодних пожеланий», который он открыткой отправил другу (в 1920-х годах):

1) доказать Гипотезу Римана;

2) в четвертом иннинге последнего Тест-матча на «Овале» сделать 211 пробежек, пока не выбит никто из игроков своей команды.[127]

3) найти доказательство несуществования Бога, способное убедить широкую общественность;

4) оказаться первым человеком на вершине Эвереста;

5) быть провозглашенным первым президентом Союза Советских Социалистических Республик Великобритании и Германии;

6) убить Муссолини.

Третий пункт иллюстрирует другую сторону присущей Харди эксцентричности. Хотя он и утверждал, что не верит в Бога, он вечно состязался с Ним в остроумии. В 1930-х годах Харди часто ездил к своему другу Харальду Бору (младшему брату физика Нильса Бора), который был профессором математики в Копенгагенском университете. Про одно из таких путешествий Джордж Пойа рассказывает следующую историю.

Харди оставался в Дании у Боров до самого конца летних каникул, а когда ему наконец пришлось возвращаться в Англию и приступать там к чтению лекций, для путешествия нашлось лишь одно довольно утлое судно <…> Северное море может быть достаточно суровым, и вероятность того, что такое маленькое судно потонет, не была строго равной нулю. Как бы то ни было, Харди сел на этот корабль, но послал Бору открытку: «Я доказал Гипотезу Римана. Г.X. Харди». Если корабль потерпит бедствие и Харди утонет, то все будут думать, что он сумел доказать Гипотезу Римана. Однако Господь не допустит, чтобы Харди досталась такая слава, а потому Он сделает так, чтобы корабль не затонул.

Помимо своего замечательного учебника Харди знаменит более всего благодаря своему участию в двух прославленных научных тандемах. Широкую известность получила его совместная работа с Рамануджаном, что и справедливо, поскольку эта фабула — одна из наиболее любопытных и волнующих во всей истории математики. Она полностью изложена в упоминавшейся уже книге Роберта Канигела. Однако сотрудничество Харди и Рамануджана имеет только очень косвенное отношение к истории Гипотезы Римана, так что ничего больше говорить о нем я не буду.

Другим знаменитым научным тандемом, в котором участвовал Харди, была совместная работа с Литлвудом, с воспоминаний которого о его собственных аспирантских исследованиях и начинается данная глава. Литлвуда приняли в число преподавателей Тринити-колледжа в 1910 году. Его сотрудничество с Харди началось в том же году и продолжалось до 1946 года. В те годы, когда Харди был в Оксфорде и Принстоне, а также во время Первой мировой войны, когда Литлвуд выполнял работы для нужд британской артиллерии, их совместная работа в основном проходила по переписке. Однако такой способ общения нисколько их не затруднял: они нередко обменивались письмами и в то время, когда оба проживали в своих квартирах в Тринити-колледже.

И Харди, и Литлвуд были великими математиками; оба были сыновьями школьных учителей и оба на всю жизнь остались холостяками. Практически во всем остальном они были совершенно не похожи. Харди обладал определенными странностями. Например, он ненавидел, когда его фотографируют, — сохранилось не больше десятка его фотографий[128], а когда он останавливался в гостинице или в квартирах для приезжих профессоров, завешивал там все зеркала. Литлвуд же был человеком куда менее притязательным. Харди был стройного и худощавого телосложения, а Литлвуд — крепким и коренастым и при этом прекрасным спортсменом во всех дисциплинах — в плавании, гребле, скалолазании, крикете. До 39 лет он продолжал кататься на лыжах и добился в этом занятии высокой степени профессионализма, что для англичанина в то время было весьма необычным. Литлвуд любил музыку и танцы.

Несмотря на свое соответствие традиционному представлению о сотруднике колледжа — он не был женат и жил в одной и той же квартире в Тринити-колледже в течение 65 лет, с 1912 по 1977 год, — у Литлвуда было по крайней мере двое детей. Как рассказывает его коллега Бела Боллобаш, в свои молодые годы Литлвуд обычно раз в год ездил в отпуск в Корнуолл, где останавливался в семье доктора. Дети в этой семье выросли, называя его «дядя Джон». Об одной из девочек — ее звали Энн — Литлвуд говорил как о своей племяннице. Но когда Литлвуд сделался близким другом семьи Боллобаш, он признался, что Энн была на самом деле его дочерью. Боллобаш с женой стали убеждать его, чтобы он перестал называть ее племянницей и начал говорить «моя дочь». Однажды вечером в профессорской он так и сделал — и испытал немалое разочарование, когда никто из его коллег не выказал ни малейшего удивления. Позднее, после смерти Литлвуда в 1977 году, в Тринити-колледже появился мужчина средних лет, интересовавшийся личными вещами покойного, объясняя при этом, что он его сын.

IV.

В 1910-х и и 1920-х годах сочетание «Харди и Литлвуд» стало настолько часто встречаться в качестве авторов математических статей, что ходили шутки, будто Литлвуд был вымышленной фигурой, которую придумал Харди, чтобы сваливать на него все ошибки. Говорят, что один немецкий математик пересек Ла-Манш только лишь для того, чтобы утвердиться в своем убеждении, что Литлвуда не существует.

Этим математиком был Эдмунд Ландау; он был на семь дней младше Харди. Ландау был феноменом, который встречается не так часто: выходец из богатой семьи, он тем не менее выбрал совершенно не прибыльную сферу деятельности и добился в ней больших успехов — придерживаясь при этом высочайших стандартов трудовой этики. Его мать Йоханна, урожденная Якоби, происходила из богатой семьи банкиров, а отец был успешным профессором гинекологии в Берлине, имевшим прекрасную практику. Кроме того, Ландау-старший активно поддерживал идеи еврейского движения. Их дом располагался в наиболее фешенебельном берлинском квартале по адресу Pariser Platz 6а, недалеко от Бранденбургских ворот. Эдмунд Ландау стал профессором в Геттингене в 1909 году. Когда люди спрашивали, как найти дорогу к его дому, он отвечал: «Вы его не пропустите. Это самый элегантный дом в городе». Как и отец (и как Жак Адамар), он проявлял интерес к сионизму, способствовал организации Еврейского университета в Иерусалиме и прочитал там (на иврите) первую лекцию по математике вскоре после открытия университета в апреле 1925 года.

Ландау был незаурядной личностью — а это было великое время для незаурядных личностей от математики, — и апокрифов о нем имеется не меньше, чем о Гильберте и Харди. Наверное, самый известный анекдот — его замечание об Эмми Нетер, которая была его коллегой по Геттингену. Нетер была мужеподобна манерами и фигурой. Когда Ландау спросили, не являет ли она собой пример великого математика-женщины, он ответил: «Я твердо заявляю, что Эмми — великий математик; но насчет женственности не поручусь». Его трудовая дисциплина вошла в легенду. Рассказывают, что, когда один из его ассистентов лежал в больнице, поправляясь после серьезной болезни, Ландау забрался по лестнице к окну, которое вело к несчастному, и пропихнул через него толстенную папку с работой. Литлвуд говорил о нем: «Он просто не знал, что такое чувствовать себя усталым». Харди добавляет, что Ландау работал каждый день с семи утра до полуночи.

Ландау был одаренным и увлеченным преподавателем и необычайно продуктивным математиком. Он написал более 250 статей и 7 книг. Его роль в нашей истории определяется первой из них — классическим трудом по теории чисел, опубликованным в 1909 году. Это та книга, о которой говорит Литлвуд в отрывке, приведенном в самом начале этой главы: «Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау…» Полное название книги было Handbuch der Lehre van der Verteilung der Primzahlen — «Учебник по теории распределения простых чисел». Теоретико-числовики обычно называют ее просто Handbuch.[129] В двух томах этой книги, каждый из которых состоит более чем из 500 страниц, собрано все, что было в тот момент известно о распределении простых чисел; изложение построено с сильным акцентом в сторону аналитической теории чисел. Гипотеза Римана сформулирована на странице 33. Handbuch была не первой книгой по аналитической теории чисел — Пауль Бахманн опубликовал такую книгу в 1894 году, — однако очень подробное и систематическое изложение в книге Ландау сделало весь предмет более ясным и привлекательным, и эта книга немедленно стала стандартом в этой области.

Мне кажется, что Handbuch Ландау не переводился на английский. Специалист по теории чисел Хью Монтгомери (он будет главным действующим лицом в главе 18) выучил немецкий по мере того, как трудился над чтением Handbuch, держа один палец на раскрытом словаре. Он рассказывает следующее. Первые 50 с чем-то страниц посвящены историческому обзору, разбитому на разделы, каждый из которых озаглавлен по имени великого математика, внесшего главный вклад в данную область: Эвклид, Лежандр, Дирихле и т.д. Последние четыре раздела озаглавлены Hadamard, Von Mangoldt, De la Vallée Poussin, Verfasser. На Хью произвел большое впечатление вклад, который внес в науку Verfasser, но он недоумевал, почему же раньше ему не приходились слышать об этом замечательном математике. Лишь некоторое время спустя он узнал, что Verfasser по-немецки означает «автор» (обычные существительные в немецком пишутся с заглавной буквы).

V.

«Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау…» И Харди, и Литлвуд наверняка прочитали ее, как только она вышла. Вот слова Харди из некролога Ландау, написанного им (совместно с Хансом Хайльбронном) для Лондонского математического общества:

Handbuch, вероятно, была самой важной из написанных им книг. В ней аналитическая теория чисел впервые представлена не как собрание нескольких прекрасных разрозненных теорем, а как систематическая наука. Появление этой книги изменило сам предмет, до того представлявший собой нетронутый уголок для нескольких безрассудных смельчаков, превратив его в плодороднейшее поле для исследований, каким он и оставался в течение прошедших с тех пор трех десятилетий. Почти по всем рассматриваемым там вопросам сейчас получено новое знание, в силу чего написанное в книге устарело, и в этом-то и состоит ее величайшая роль.

Без сомнения, именно из Handbuch и Харди, и Литлвуд заразились навязчивой идеей Гипотезы Римана. Первые плоды последовали в 1914 году, но не в виде совместной работы, хотя они и сотрудничали в то время, а в виде двух отдельных статей, каждая из которых сыграла значительную роль.

Статья Харди под названием Sur lez zéros de la fonction ζ(s) de Riemann[130] вышла в Comptes Rendus Парижской академии наук. В ней он доказал первый важный результат о распределении нетривиальных нулей.

Результат Харди 1914 года

Бесконечно много нетривиальных нулей дзета-функции удовлетворяют Гипотезе Римана (т.е. имеют вещественную часть одна вторая).

Хотя это и был значительный шаг вперед, для читателя важно понимать, что это не решило вопроса с Гипотезой. Имеется бесконечно много нетривиальных нулей; Харди доказал, что бесконечно много из них имеют вещественную часть одна вторая. Тем самым остаются открытыми три возможности.

• Бесконечно много нулей не имеют вещественную часть одна вторая.

• Лишь конечное число нулей не имеет вещественной части одна вторая.

• Нет нулей, вещественная часть которых не равна одной второй, — утверждение Гипотезы!

Чтобы провести аналогию, рассмотрим следующие утверждения о четных числах, превосходящих двойку, т.е. 4, 6, 8, 10, 12, …

• Бесконечно много этих чисел делится на 3; бесконечно много не делится.

• Бесконечно много из них больше чем 11; только четыре числа не больше.

• Бесконечно много из них представимы в виде суммы двух простых; нет таких, которые не представимы — гипотеза Гольдбаха (которая все еще не доказана на момент написания книги).

Статья Литлвуда, также опубликованная в Comptes Rendus Парижской академии наук в том же году, называлась Sur la distribution des nombres premiers. В ней доказан результат столь же тонкий и столь же замечательный, как результат Харди, хотя и относящийся к несколько другому направлению исследований в данной области. Обсуждение этого результата требует небольшой преамбулы.

VI.

Мы уже отмечали, что в начале XX века наблюдалось следующее общее направление мыслей по поводу Гипотезы Римана. Теорема о распределении простых чисел (ТРПЧ) была доказана. С математической точностью было установлено, что действительно π(x) ~ Li(x) — или, словами, что относительная разность между π(x) и Li(x) уменьшается до нуля по мере того, как x делается все больше и больше. Так что же тогда можно утверждать об этой разности — т.е. об остаточном члене? Именно при внимательном рассмотрении остаточного члена математики обратили свои взоры к Гипотезе Римана, поскольку в работе Римана 1859 года для остаточного члена было приведено точное выражение. Как будет показано в должном месте, это выражение включает в себя все нетривиальные нули дзета-функции, так что ключ к пониманию остаточного члена каким-то образом скрыт среди этих нулей.

Чтобы говорить более конкретно, я приведу некоторые реальные значения остаточного члена. В таблице 14.1 «абсолютн.» означает разность Li(x) − π(x), а «относит.» означает это же число, отнесенное к (т.е. деленное на) π(x).

Таблица 14.1.

Мы видим, что относительная ошибка, без сомнения, уменьшается, стремясь к нулю, как ей и предписывает ТРПЧ. Это происходит потому что, хотя абсолютная ошибка тоже растет, она делает это далеко не так быстро, как π(x).

Пытливый математический ум сейчас спросит: «А как именно ведут себя эти два числа?» Имеются ли правила, описывающие медленный рост абсолютной ошибки или стремление относительной ошибки к нулю? Другими словами, если выкинуть из таблицы 14.1 вторую и четвертую колонки и рассмотреть получившуюся двухколоночную таблицу как «моментальный снимок» некоторой функции (колонки аргумент-значение), то что это будет за функция? Можно ли для нее получить формулу с волнами, как это было сделано для π(x)?

Здесь-то на сцене и появляются нетривиальные нули дзета-функции. Они тесно связаны (способом, который мы рассмотрим ниже во всех математических подробностях) с остаточным членом.

Хотя в ТРПЧ говорится об относительной ошибке, исследования в этой области в большей степени имеют дело с абсолютной ошибкой. На самом деле неважно, какую из них рассматривать. Относительная ошибка есть просто абсолютная ошибка, деленная на π(x), так что в любой момент несложно перейти от одной к другой. Итак, можно ли получить какие-нибудь результаты об абсолютном остаточном члене Li(x) − π(x)?

VII.

Взглянув на рисунок 7.6 и таблицу 14.1, можно с достаточной уверенностью заключить, что абсолютная разность Li(x) − π(x) положительна и возрастает. Численные свидетельства в пользу этого так убедительны, что Гаусс в своих собственных исследованиях полагал, что всегда так и происходит. Весьма вероятно, что исследователи поначалу соглашались с тем, или, по крайней мере, чувствовали уверенность в том, что π(x) всегда меньше чем Li(x). (Относительно мнения Римана по этому поводу ясности нет.) Поэтому статья Литлвуда 1914 года оказалась сенсацией, ибо в ней было установлено, что, напротив, существуют такие числа x, что π(x) больше чем Li(x). На самом деле доказано было гораздо большее.

Результат Литлвуда 1914 года

Разность Li(x) − π(x) изменяется от положительной к отрицательной и обратно бесконечно много раз.

Если учесть, что π(x) меньше, чем Li(x), для всех x, до которых смогли добраться даже самые мощные компьютеры, то где же находится первая точка перехода, первое «литлвудово нарушение», когда π(x) становится равной, а затем и превосходит Li(x)?

В подобных ситуациях математики отправляются на поиски того, что они называют верхней границей, — такого числа N, для которого можно доказать, что, каким бы ни был точный ответ на данный вопрос, он во всяком случае будет меньше, чем N. Установленные верхние границы такого рода нередко оказываются много больше, чем реальный ответ[131].

Так и обстояло дело с первой установленной верхней границей литлвудова нарушения. В 1933 году студент Литлвуда Сэмюель Скьюз показал, что если Гипотеза Римана верна, то переход должен наступать раньше, чем , что представляет собой число из примерно 10десять миллиардов триллионов триллионов цифр. Это не само число — это число цифр в том числе. (Для сравнения заметим, что общее количество всех атомов во Вселенной оценивается числом из примерно восьмидесяти цифр.) Этот монстр получил известность как «число Скьюза» — самое большое число, которое когда-либо до того следовало из математического доказательства.[132]

В 1955 году Скьюз улучшил свой результат, на этот раз даже не предполагая справедливости Гипотезы Римана, и оказалось, что новое число содержит 10одна тысяча цифр. В 1966 году Шерман Леман сумел понизить верхнюю границу до куда более разумного (по крайней мере, позволяющего себя записать) числа 1,165×10^1165 (числа, другими словами, из каких-то 1166 цифр), а потом еще сильнее, до 6,658×10^370.

На момент написания книги (середина 2002 года) лучшее достижение принадлежит Картеру Бейсу и Ричарду Хадсону, которые также исходили из теоремы Лемана.[133] Они показали, что имеются литлвудовы нарушения в окрестности числа 1,39822×10^316, а также привели некоторые аргументы в пользу того, что это нарушение может оказаться первым. (Статья Бейса и Хадсона оставляет открытой маленькую лазейку для существования нарушений на более малых высотах, возможно, даже на столь низкой высоте, как 10^176. Они также установили существование грандиозной зоны нарушений вблизи числа 1,617×10^9608.)

VIII.

Колебания остаточного члена Li(x) − π(x) от положительных к отрицательным значениям и затем обратно происходящем не менее в пределах вполне определенных ограничений. Иначе не выполнялась бы ТРПЧ. Некоторые соображения по поводу природы этих ограничений возникли еще в результате усилий, направленных на доказательство ТРПЧ. Де ля Валле Пуссен включил в свое доказательство ТРПЧ некоторую оценку для функции, выражающей это ограничение. Пять лет спустя шведский математик Хельге фон Кох[134] доказал следующий ключевой результат, который я сформулирую в его современной записи.

Результат фон Коха 1901 года

Если Гипотеза Римана верна, то

π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x).

Уравнение здесь читается так: «Пи от икс равно интегральному логарифму от икс плюс Ο большое от корня из икс, умноженного на логарифм икс». Теперь надо объяснить, что же такое «О большое».{3}

Глава 15. О большое и мебиусово мю

I.

Эта глава посвящена двум математическим темам, которые связаны с Гипотезой Римана, но помимо этого друг с другом никак не связаны. Эти темы — «Ο большое» и мю-функция Мебиуса. Рассмотрим сначала Ο большое.

II.

Когда Пауль Туран — великий венгерский математик, занимавшийся теорией чисел, — умирал от рака в 1976 году, его жена находилась у его постели. Она сообщила, что его последние слова были «Ο большое от единицы». Математики передают эту историю с благоговением: «Заниматься теорией чисел до самого конца! Истинный математик!»

Ο большое пришло в математику из книги Ландау 1909 года, влияние которой, как я уже рассказывал, было поистине огромным. Ландау на самом деле не изобрел Ο большое. Он чистосердечно признается на странице 883 своего Handbuch, что позаимствовал его из трактата Пауля Бахманна 1894 года. Поэтому довольно несправедливо называть его «ландаувским О большим» равно как несправедливо и то, что многие математики, по-видимому, полагают, что именно Ландау его изобрел. Ο большое присутствует повсеместно в аналитической теории чисел и даже просочилось оттуда в другие области математики.

Ο большое — это способ наложить ограничение на величину функции, когда аргумент устремляется к (как правило) бесконечности.

Определение Ο большого

Функция A есть Ο большое от функции B, если для достаточно больших аргументов величина A никогда не превосходит некоторого фиксированного кратного величины B.

Вслед за Паулем Тураном рассмотрим Ο большое от единицы. «Единица» здесь понимается как функция, причем функция простейшего вида. Ее график — горизонтальная прямая, проходящая на высоте 1 над горизонтальной осью. Для вообще любых аргументов значение этой функции равно… просто 1. Ну и что же тогда означает, что функция f(x) есть Ο большое от единицы? По только что данному определению это означает, что, когда аргумент x уходит на бесконечность, f(x) никогда не превзойдет некоторого фиксированного кратного 1 — другими словами, график функции f(x) навсегда останется ниже некоторой горизонтальной прямой. Это полезная информация о данной нам функции f(x). Существует множество функций, для которых это не так. Это не так, например, для x^2 и для x в любой положительной степени, ни для ex ни даже для ln x.

На самом деле Ο большое означает еще кое-что, кроме этого. Заметим, что в определении сказано «величина A». Это означает «значение A без учета знака». Величина числа 100 есть 100; величина числа −100 есть также 100. Ο большое не принимает в расчет знак минус. Сказать, что некоторая функция f(x) есть Ο большое от единицы, означает сказать, что f(x) навсегда заключена между двумя горизонтальными прямыми, одна из которых проходит выше горизонтальной оси, а другая проходит на таком же расстоянии ниже.

Как уже говорилось, очень многие функции не являются Ο большим от единицы. Простейшая из них — это функция x, то есть функция, значения которой всегда равны ее аргументу. Ее график — диагональная прямая, покидающая рисунок в верхнем правом углу. Ясно, что она не заключена между какими бы то ни было горизонтальными прямыми. Вне зависимости оттого, сколь широко вы расположите эти горизонтальные прямые, функциях рано или поздно вырвется за их пределы. Это останется верным, если уменьшить наклон. Функции 0,1x (показана на рисунке 15.1), 0,01x, 0,001x и 0,0001x все в конце концов прорвутся через любые горизонтальные прямые, которые вы установите в качестве ограничения. Ни одна из них не является Ο большим от единицы.

Рисунок 15.1. Функция 0,1x не есть Ο большое от единицы.

Этим иллюстрируется и еще один аспект Ο большого. Ο большое игнорирует не только знаки, но и множители. Если A есть Ο большое от B, то таковыми же будут 10A, 100A и 1000 000A; таковыми будут и одна десятая A одна сотая A одна миллионная A. Ο большое не сообщает нам о точном темпе роста — для этого у нас есть производные. Она сообщает о типе роста. Функция «единица» вообще не имеет никакого темпа роста — она намертво постоянная. Функция, являющаяся Ο большим от единицы, никогда не возрастет быстрее этого. Она может выделывать всякое другое: прижиматься к нулю, колебаться без конца внутри ограничивающих ее прямых или же подходить к одной из ограничительных линий все ближе и ближе, но она никогда не взовьется внезапно вверх и не нырнет внезапно вниз, прорываясь через эти линии и оставаясь после этого снаружи.

Приведенные функции 0,1x, 0,01x, 0,001x и 0,0001x — не Ο большое от единицы; все они — Ο большое от x. Такова же и любая другая функция, которая остается навсегда заключенной в «куске пиццы» между прямой ax и ее зеркальным отражением −ax. На рисунке 15.2 приведен пример функции, которая не остается в таких пределах. Это 0,1x^2 — квадратичная функция. Не важно, сколь широким вы сделаете этот кусок пиццы — т.е. не важно, сколь велико значение a, — график функции 0,1x^2 рано или поздно прорвется через верхнюю границу.

Рисунок 15.2. Функция 0,1x^2 не есть Ο(х).

Теперь мы можем оценить значение результата фон Коха 1901 года. Если Гипотеза Римана верна, то при x, стремящемся к бесконечности, абсолютная разность между π(x) и Li(x) — т.е. или Li(x) − π(x), или π(x) − Li(x), что не важно, потому что Ο большому нет дела до знаков, — остается заключенной между двумя ограничивающими кривыми. Ограничивающие кривые — это C√x∙ln x и ее зеркальное отражение, где C — некоторое число. Остаточный член может делать что хочет между этими двумя кривыми, но он никогда не выберется наружу и никогда не вырвется внезапно из-под их контроля. Разность между π(x) и Li(x) есть Ο большое от √x∙ln x.

На рисунке 15.3 приведен пример функции, которая есть Ο(√x∙ln x). Там показаны: 1) кривая √x∙ln x (верхняя половина отдаленно напоминающей параболу кривой), 2) зеркально отраженная кривая −√x∙ln x (нижняя половина) и 3) придуманная для иллюстрации и ничего особенно не выражающая функция, которая есть Ο(√x∙ln x). Буква m обозначает миллион, ведь вещи подобного рода интересны только для больших аргументов. Стоит отметить, что "функция Дербишира" в действительности на некоторое время вырывается за пределы ограничивающих ее кривых при аргументах, равных примерно 200 миллионам. Это не страшно, поскольку больше она никогда такого не делает. Начиная с некоторой точки — и навсегда после нее — функция остается в пределах границ. Верьте мне, что она там остается, хотя по понятным причинам я и не могу показать вам всю функцию до бесконечности. Ο большое принимает во внимание исключения из правил при малых аргументах (а такие исключения — общее место в теории чисел, взять хотя бы утверждение «все простые числа нечетные… кроме самого первого»).

Рисунок 15.3. Функция Дербишира есть Ο(√x∙ln x).

Можно заметить еще, что, поскольку Ο большое не принимает во внимание множители, масштаб по вертикали совершенно произволен. Важны лишь конфигурация — форма ограничивающих кривых — и тот факт, что начиная с какого-то места наша функция навсегда заключена между ними.

III.

Результат фон Коха 1901 года[135] — а именно утверждение, что, если Гипотеза Римана верна, то π(x) = Li(x) + Ο(√x∙ln x), — один из первых примеров определенного типа результатов, которыми сейчас полна теория чисел, — результатов, которые начинаются словами «Если Гипотеза Римана верна, то…». Если окажется, что Гипотеза Римана не верна, то немалую часть теории чисел придется переписывать.

А есть ли какой-нибудь результат типа Ο большого для остаточного члена Li(x) − π(x), который не зависел бы от справедливости Гипотезы Римана? О да. Среди специалистов по аналитической теории чисел долгие годы любимым спортом был поиск все лучших и лучших формул типа Ο большого для остаточного члена. Но ни один не может сравниться с Ο(√x∙ln x). Это абсолютно лучшее, наиболее точное ограничение на остаточный член, известное к настоящему моменту. Правда, раз оно зависит от справедливости Гипотезы, мы не можем быть полностью уверены, что оно верно. Все те оценки остаточного члена, в справедливости которых мы уверены, менее точны, чем эта. Соответствующая параболическая кривая на рисунке 15.3 несколько шире, причем различие делается все более заметным по мере того, как x уходит на бесконечность. Если же Гипотеза Римана верна, то среди всех известных оценок остаточного члена выражение Ο(√x∙ln x) является наилучшим возможным — наиболее точной формулой типа Ο большого. Оно же и простейшее. При этом все формулы, которые были доказаны без предположения о справедливости Гипотезы, выглядят достаточно уродливо. Вот наилучшая из тех, что известны мне на данный момент:

где С — некоторое постоянное число. Ни одна из других подобных формул на вид не проще этой.

Сравним результат фон Коха 1901 года с выделенными курсивом словами в восьмой проблеме Гильберта, приведенной в главе 12.ii. Гильберт перекликался с Риманом, написавшим в своей работе 1859 года, что приближение функции π(x) функцией Li(x) «верно только по порядку величины x1/2». Ну а √x есть, конечно, попросту x1/2. Более того, в главе 5.iv мы видели, что ln x растет медленнее, чем любая положительная степень x, даже самая ничтожно малая. Это можно выразить в терминах Ο большого таким образом: для любого сколь угодно малого числа ε выполнено ln x = Ο(xε). А следовательно (это, правда, не сразу очевидно, но в действительности несложно доказать), можно подставить xε вместо ln x в выражение Ο(√x∙ln x); а поскольку √x — это просто x1/2, можно сложить степени и получить Ο(x1/2+ε). Таким путем получается довольно распространенный вид результата фон Коха: π(x) = Li(x) + Ο(x1/2+ε). Символ ε настолько часто используется для исчезающе малых чисел, что слова «… для любого сколь угодно малого ε» здесь подразумеваются.

Заметим, однако, что, делая эту подстановку, мы слегка ослабили результат фон Коха. Из того, что «остаточный член есть Ο(√x∙ln x)», следует, что «остаточный член есть Ο(x1/2+ε)», но обратное неверно. Эти два утверждения не являются точно эквивалентными. Такое происходит, потому что, как мы видели в главе 5.iv, не только ln x растет медленнее, чем любая степень x, но (ln x)N обладает тем же свойством при любом положительном N. Так что если бы результат фон Коха утверждал, что остаточный член есть Ο(√x∙(ln x)100), то мы все равно в качестве альтернативного вида вывели бы Ο(x1/2+ε)!

Однако запись результата фон Коха в этом слегка ослабленном виде Ο(x1/2+ε) хороша тем, что наводит на размышления. Риман был почти прав в том же смысле, в каком логарифмическая функция есть почти x^0; порядок величины есть не х1/2, а x1/2+ε. Если учесть, какие средства имелись у него в наличии, каким было общее состояние знания в данной области и какие численные данные были доступны в то время, то риманово x1/2 все равно должно считаться прозрением потрясающей глубины.[136]

Вводя Ο большое, я начал с истории, так что сейчас, прощаясь с ним, расскажу еще одну. Суть ее в том, что математики, как и другие специалисты, иногда любят напустить туману, чтобы отпугнуть и смутить профанов.

На конференции в Курантовском институте летом 2002 года (см. главу 22) я разговаривал по поводу своей книги с Питером Сарнаком. Питер — профессор математики в Принстонском университете и специалист по теории чисел. Я упомянул, что пытаюсь придумать, как объяснить Ο большое тем читателям, кто с ним незнаком. «О, — сказал Питер, — вам надо бы поговорить с моим коллегой Ником (т.е. Николасом Кацем — он тоже профессор в Принстоне, но занимается в основном алгебраической геометрией). Ник ненавидит Ο большое. Никогда его не использует». Я это проглотил, но взял на заметку, рассчитывая, что смогу придумать, как это использовать в книге. В тот же вечер мне случилось разговаривать с Эндрю Уайлсом, который очень хорошо знает и Сарнака, и Каца. Я упомянул нелюбовь Каца к Ο большому. «Чепуха, — сказал Уайлс, — они просто над вами потешаются. Да Ник все время его использует». И будьте уверены, Кац использовал его в лекции на следующий же день. Своеобразное чувство юмора у математиков.

IV.

Оставим Ο большое. Теперь перед нами функция Мебиуса. Есть несколько способов ввести функцию Мебиуса. Подойдем к ней со стороны Золотого Ключа.

Возьмем Золотой Ключ и перевернем его вверх ногами, т.е. возьмем обратную величину к каждой стороне равенства в выражении (7.2). Очевидно, если A = B и при этом ни A, ни B не равны нулю, то 1/A = 1/B. Получаем (15.1)

Теперь раскроем скобки в правой части. На первый взгляд, это сильно сказано: как-никак, сомножителей в скобках бесконечно много. На самом деле процедура требует несколько большего внимания и обоснования, чем мы можем здесь ей уделить, но в конце концов мы получим полезный и верный результат, так что в данном случае цель оправдывает средства.

Раскрытие скобок все мы изучали в курсе элементарной алгебры. Чтобы перемножить (а + b)(p + q), сначала умножаем a на (p + q), что дает ар + aq. Затем умножаем b на (p + q), что дает bp + bq. А потом, поскольку в скобках у нас a плюс b, мы складываем вместе то, что получилось, и окончательный ответ имеет вид ap + aq + bp + bq. Если надо перемножить три скобки (а + b)(p + q)(u + v), то повторение этих действий дает apu +aqu + bpu + bqu + apv + aqv + bpv + bqv. Перемножение четырех скобок (а + b)(p + q)(u + v)(x + у) дает

apux + aqux + bpux + bqux + apvx + aqvx + bpvx + bqvx + apuy + aquy + bpuy + bquy + apvy + aqvy + bpvy + bqvy. (15.2)

Грандиозность того, что получается, начинает внушать некоторые опасения. А ведь нам предстоит перемножить бесконечное число скобок! Фокус состоит в том, чтобы посмотреть на это дело глазами математика. Из чего составлено выражение (15.2)? Ну, это сумма некоторого числа членов. Как эти члены выглядят? Выберем наугад какой-нибудь один из них, скажем aqvy. Сюда входит a из первой скобки, q из второй, v из третьей и y из четвертой. Это произведение, составленное из чисел, выбранных по одному из каждой скобки. И все выражение целиком получается в результате всех возможных комбинаций того, как мы выбираем эти числа из скобок.

Как только вы смогли это увидеть, перемножение бесконечного числа скобок больше не проблема. В ответе будет сумма — разумеется, бесконечная — членов, каждый из которых получен путем выбора одного числа из каждой скобки и перемножения всего, что выбрали. Если сложить результаты всех таких возможных выборов, то и получится ответ. Однако в том виде, как эта процедура описана, она все еще выглядит несколько устрашающей. Согласно сказанному, каждый член в нашей бесконечной сумме есть бесконечное произведение. Да, так оно и есть, но, поскольку каждая скобка в правой части выражения (15.1) содержит 1, наша жизнь делается приятнее за счет того, что мы будем выбирать бесконечное число единиц и лишь конечное число не-единиц. В конце концов, поскольку каждый не-единичный член в каждой скобке есть число между −1/2 и 0, перемножение бесконечно большого числа таких членов дает результат, величина которого (я имею в виду — без учета знака) заведомо не больше, чем (1/2)∞, а это равно нулю! Теперь смотрите, как я построю бесконечную сумму.

Первый член в бесконечной сумме: берем 1 из каждой скобки. Это даст бесконечное произведение 1×1×1×1×1×…, значение которого есть, конечно, просто 1.

Второй член: берем 1 из всех скобок, кроме первой. Из первой же возьмем . Это даст бесконечное произведение ×1×1×1×1×…, которое равно просто .

Третий член: берем 1 из каждой скобки, кроме второй. А из второй возьмем . Это даст бесконечное произведение 1××1×1×1×…, что равно просто .

Четвертый член… Я думаю, понятно, что, если брать 1 из каждой скобки, кроме n-й, мы получим слагаемое равное , где p — n-е простое число. Итак, получилась бесконечная сумма вида (15.3):

Но это еще не конец. При перемножении скобок возникает сумма всех возможных членов, получаемых взятием одного числа из каждой скобки. Предположим, мы выбрали из первой скобки, из второй и 1 из всех остальных. Это дает ××1×1×1×…, что равно . Похожие вещи мы получим из каждой возможной пары выборов не-единиц. Выбирая из третьей скобки и из шестой, а единицы из всех остальных, получаем член, равный .

(Заметим, что здесь работают два простых правила арифметики. Одно — это правило знаков, гласящее, что минус умножить на минус дает плюс, а другое — 7-е правило действий со степенями, согласно которому (x×y)n = xn×yn.)

Так что наряду с членами, уже собранными в выражении (15.3), имеется новый набор, каждый член в котором происходит из каждой пары простых чисел, как 5 и 13, и которые все входят со знаком плюс. Таким образом, выражение (15.3) разрослось до такого:

где каждое число во второй строке есть произведение двух различных простых.

А ведь мы едва начали нашу деятельность по перемножению бесконечного числа скобок. Следующий шаг состоит в том, чтобы перебрать все возможные способы выбрать три не-единицы (при всех остальных единицах). Например, 1××1×1×××1×1×…, из чего возникает .Теперь результат разрастается до

где каждое число в третьей строке есть произведение трех различных простых.

В предположении, что мы продолжаем так поступать, а также в предположении, что получающиеся члены можно переставлять, как мы пожелаем, выражение (15.1) превращается в следующее (15.4):

Натуральные числа в правой части — это… что? Это заведомо не все натуральные числа: 4, 8, 9 и 12 там отсутствуют. Но и не простые: присутствующие там 6, 10, 14 и 15 не являются простыми. Если оглянуться на процесс перемножения этого бесконечного количества скобок, то станет ясно, что ответ такой: каждое натуральное число, которое равно произведению нечетного числа (включая 1) различных простых, взятое со знаком минус, и, кроме того, каждое натуральное число, которое равно произведению четного числа различных простых, взятое со знаком плюс. Отсутствуют такие числа, как 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, … — т.е. числа, которые делятся на квадрат некоторого простого.

Поприветствуем функцию Мебиуса! Она названа по имени немецкого математика и астронома Августа Фердинанда Мебиуса (1790–1868).[137]

Рисунок 15.4. Лента Мебиуса и муравей на ней.

В наше время ее общепринято обозначать греческой буквой μ, что произносится как «мю» — греческий эквивалент буквы «м».[138] Приведем полное определение функции Мебиуса.

• Ее область определения есть N, то есть все натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ….

• μ(1) = 1.

• μ(n) = 0, если среди делителей числа n есть квадрат.

• μ(n) = −1, если число n простое или является произведением нечетного числа различных простых чисел.

• μ(n) = 1, если число n является произведением четного числа различных простых чисел.

Такое определение функции может показаться вам страшно громоздким. Однако функция Мебиуса приносит колоссальную пользу в теории чисел и далее в этой книге будет играть ведущую роль. В качестве примера приносимой ею пользы заметим, что все трудоемкие алгебраические действия, через которые нам пришлось продираться, сводятся к изящному выражению (15.5):

V.

B истории Гипотезы Римана наряду с самой функцией μ(n) не меньшую роль играет ее нарастающее значение, т.е. результат сложения μ(1) + μ(2) + μ(3) + … + μ(k) для некоторого числа k. Так определяется «функция Мертенса» М(k). Ее первые 10 значений (т.е. значения при k = 1, 2, 3, …, 10) равны 1, 0, −1, −1, −2, −1, −2, −2, −2, −1. Функция M(k) весьма нерегулярна — она совершает колебания в обе стороны вокруг нулевого значения в стиле, который математики называют «случайными блужданиями». Для аргументов, равных 1000, 2000, …, 10 000, ее значения равны 2, 5, −6, −9, 2, 0, −25, −1, 1, −23. Для аргументов миллион, 2 миллиона, …, 10 миллионов ее значения равны 212, −247, 107, 192, −709, 257, −184, −189, −340, 1037. Если не обращать внимания на знаки, то видно, что величина функции M(k) возрастает, но помимо этого никакой ясной картины не просматривается.

Из выражения (15.5) видно, что поведение функций μ и M (накапливающейся μ) жестко привязано к дзета-функции, а тем самым и к Гипотезе Римана. На самом деле если вам удастся доказать приведенную ниже теорему 15.1, то вы сможете заключить, что Гипотеза Римана верна!

Теорема 15.1

M(k) = Ο(k1/2).

Однако если теорема 15.1 не верна, то отсюда еще не следует, что не верна Гипотеза. Математики говорят, что теорема 15.1 сильнее Гипотезы.[139] Слегка ослабленный вариант, сформулированный как теорема 15.2, в точности равносилен Гипотезе:

Теорема 15.2

M(k) = Ο(k1/2+ε) для любого сколь угодно малого числа ε.

Если теорема 15.2 верна, то верна и Гипотеза; а если она не верна, то не верна и Гипотеза. Это в точности эквивалентные теоремы. Мы еще вернемся к этому в главе 20.vi.

Глава 16. Вверх по критической прямой

I.

В 1930 году Давиду Гильберту исполнилось 68 лет. В соответствии с принятыми в Геттингенском университете правилами он вышел на пенсию. Посыпались почести. Среди них — решение властей Кенигсберга предоставить прославленному сыну этого города почетное гражданство. Церемония должна была состояться на открытии запланированного на осень того года съезда Общества немецких ученых и врачей. Понятно, что случай обязывал к ответному слову. Таким образом, 8 сентября 1930 года в Кенигсберге Гильберт выступил со своей второй великой публичной речью.

Его выступление было озаглавлено «Логика и познание природы». Цель Гильберта состояла в том, чтобы высказать некоторые положения о связи между нашим внутренним миром — нашими умственными процессами, включая и те, с помощью которых мы создаем и доказываем математические истины, — и физической вселенной. Подобные идеи, разумеется, имеют долгую философскую родословную, особую роль в которой сыграл другой великий сын Кенигсберга — живший в XVIII веке философ Иммануил Кант. По существу, как мы увидим в главе 20, Гильберт высказал идеи, имеющие отношение к современному пониманию Гипотезы Римана. Впрочем, во время выступления Гильберта в Кенигсберге никто этого, конечно, не знал.

Было предусмотрено, что после окончания выступления Гильберт повторит его сокращенный вариант по местному радио — в те времена, понятно, бывшему новинкой. Этот сокращенный вариант речи Гильберта был записан и издан на граммофонной пластинке (78 оборотов в минуту). (В Веймарской Германии, похоже, слова «математик-знаменитость» не содержали в себе внутреннего противоречия). В наши дни эту запись можно найти в Интернете. Сделав лишь небольшое усилие, вы услышите, как голос самого Гильберта произносит шесть слов, за которые его более всего помнят и которые выгравированы на его надгробии на Геттингенском кладбище. Это последние слова кенигсбергской речи.

Гильберт твердо верил в неограниченную мощь человеческого разума в постижении истин и природы, и математики. Во времена его юности определенной популярностью пользовались пессимистические теории французского философа Эмиля Дюбуа-Реймона. Дюбуа-Реймон утверждал, что определенные вещи — например, природа материи и человеческого сознания — в принципе непознаваемы.[140] Ему принадлежит тезис ignoramus et ignorabimus — «мы не знаем и не узнаем». Гильберту никогда не импонировала эта мрачная философия. И теперь, когда весь мир (во всяком случае, вся его научно-математическая часть) внимал его словам, он ясно заявил о своем несогласии:

Тот, кто способен почувствовать истинность возвышенного склада мышления и взгляда на мир… не поверит тем, кто ныне с философской миной на лице глубокомысленным тоном пророчествует о закате культуры и самодовольно принимает принцип ignorabimus. Для математика не существует ignorabimus, как, по моему мнению его не существует и для естествоиспытателя. Вместо непознаваемого, о котором твердят глупцы, наш лозунг гласит прямо противоположное: «Мы должны знать. Мы будем знать!»

Шесть последних слов — по-немецки Wir müssen wissen. Wir werden wissen — самые знаменитые из всего, произнесенного Гильбертом, и являются одними из самых известных во всей истории науки. Они выражают твердый оптимизм, тем более знаменательный, что он звучит из уст человека, который был далеко не молод и, более того, не мог похвастаться здоровьем. (Гильберт в течение нескольких лет страдал от злокачественной анемии — заболевания, которое в 1920-х годах только-только начало поддаваться лечению.) Эти слова составляют жизнеутверждающий контраст по сравнению с довольно мрачным солипсизмом, выраженным Харди в «Апологии», написанной десять лет спустя, когда Харди было 63 года — на пять лет меньше, чем Гильберту во время его кенигсбергской речи.

II.

Особенно жизнеутверждающе — как понимаем мы теперь, задним числом, — выступление Гильберта звучало по контрасту с тем кошмаром, которому предстояло вскоре поглотить Германию. В момент, когда Гильберт оставил свое профессорство в 1930 году, Геттинген был все еще тем же, что и в течение 80 лет до этого, — крупнейшим центром математических исследований и математического образования, в то время, возможно, лучшим в мире. Через четыре года он представлял собой всего лишь пустую скорлупу — оттуда уехали или были выдворены все величайшие умы.

Главные события, конечно, развернулись в первые месяцы 1933 года: вступление Гитлера в должность канцлера Германии 30 января, поджог Рейхстага 27 февраля, выборы 5 марта, на которых национал-социалисты получили 44 процента голосов (большинство), и Акт о дополнительных полномочиях от 23 марта[141], по которому основные конституционные полномочия передавались от законодательной к исполнительной власти. К апрелю национал-социалисты практически полностью управляли Германией.

Один из их первых декретов, изданный 7 апреля, имел целью изгнать евреев с государственной службы. Я сказал «имел целью», потому что фельдмаршал Пауль фон Гинденбург еще оставался президентом Германской республики и с ним приходилось считаться. По его настоянию было оговорено два типа изъятий из декрета от 7 апреля: декрет не затрагивал, во-первых, евреев, служивших в армии в Первую мировую войну, а во-вторых, всех, кто уже занимал должность на государственной службе до августа 1914 года, когда началась война.

Университетские профессора были государственными служащими и тем самым подпадали под действие декрета. Из пяти профессоров, преподававших в Геттингенском университете математику, трое — Эдмунд Ландау, Рихард Курант и Феликс Бернштейн — были евреями. У четвертого, Германа Вейля (который руководил кафедрой после Гильберта), еврейкой была жена. Только Густав Херглотц не был ничем скомпрометирован с расовой точки зрения. Правда, декрет от 7 апреля не распространялся на Ландау и Куранта, поскольку они подпадали под действие гинденбурговских изъятий. Ландау стал профессором в 1909 году, а Курант храбро сражался на Западном фронте.[142]

Однако нацисты не собирались скрупулезно придерживаться буквы закона. Не помогло и то, что Геттинген в целом достаточно сильно поддерживал Гитлера. Это относилось в равной мере и к обычным жителям, и к университетским студентам и профессорам. На выборах 1930 года в Геттингене за партию Гитлера было отдано вдвое больше голосов, чем в среднем по стране; и у нацистов было большинство в университетском студенческом союзе начиная уже с 1926 года. (Прекрасный дом, которым Эдмунд Ландау так гордился, в 1931 году был обезображен нарисованными на нем виселицами.) 26 апреля городская газета Gottinger Tageblott занимавшая активно пронацистскую позицию[143], напечатала объявление, что шесть университетских профессоров были отправлены в отпуск на неопределенный срок. Для самих профессоров это объявление явилось неожиданностью: их заранее не предупредили.

С апреля по ноябрь того года Геттинген как математический центр был фактически уничтожен. Это коснулось не только евреев, которые занимали должности в университете; под подозрение попадали все, кому приписывалось сочувствие к левым. Математики бежали — большинство в конце концов оказались в Соединенных Штатах. Всего из математического института в Геттингене уехали или были уволены 18 постоянных сотрудников.

Одним из неподчинившихся был Эдмунд Ландау (кстати, единственный профессор математики в Геттингене, посещавший городскую синагогу). Полагаясь на нерушимость прусских законов, Ландау попытался в ноябре 1933 года возобновить чтение лекций по дифференциальному и интегральному исчислению, но научный студенческий совет, узнав о его намерениях, организовал бойкот. Штурмовики в форме не пускали студентов Ландау в аудиторию. Демонстрируя недюжиную отвагу, Ландау потребовал от лидера совета, двадцатилетнего студента Освальда Тейхмюллера, в письменной форме объяснить причины бойкота. Тейхмюллер так и сделал, и это письмо каким-то образом уцелело.

Тейхмюллер был очень одаренным человеком и в действительности стал прекрасным математиком.[144] Из письма ясно видно, что мотивировка бойкота была идеологическая. Тейхмюллер искренне и всем сердцем верил в нацистские доктрины, включая расовую, и ему представлялось совершенно недопустимым, чтобы немецких студентов учили евреи. Мы привыкли воспринимать нацистских активистов как головорезов, люмпенов, приспособленцев и неудачников того или иного сорта, каковыми многие из них в самом деле являлись. Полезным, однако, бывает напоминание, что среди них встречались люди исключительно одаренные.[145]

Убитый горем Ландау уехал из Геттингена и отправился в Берлин, в свой семейный дом. Позже он несколько раз ездил за границу читать лекции, что, по-видимому, доставляло ему огромное удовольствие, однако он не собирался навсегда покидать родную землю и перебираться за границу; он умер своей смертью в Берлине в 1938 году.

Гильберт же умер в Геттингене во время войны — 14 февраля 1943 года, за три недели до своего 81-летия, вследствие осложнений после падения на улице. Не более десятка людей собрались на прощальной службе. Лишь двое из них могли похвастаться значительными математическими достижениями: физик Арнольд Зоммерфельд, бывший старым другом Гильберта, и вышеупомянутый Густав Херглотц. Родной город Гильберта Кенигсберг сровняли с землей во время войны; теперь это российский город Калининград. Геттинген в настоящее время представляет собой обычный провинциальный немецкий университет с сильным математическим факультетом.

III.

Те годы — начало 1930-х, перед тем как сгустился мрак, — подарили нам один из самых романтических эпизодов в истории Гипотезы Римана — открытие формулы Римана-Зигеля.

Карл Людвиг Зигель, сын берлинского почтальона, преподавал во Франкфуртском университете. Состоявшийся ученый, специалист по теории чисел, он прекрасно понимал (как это должен был понимать и любой читавший ее математик), что статья Римана 1859 года представляла собой, в терминологии Эрвинга Гоффмана, с которым мы встречались в главе 4.ii, всего лишь фасад намного более масштабной конструкции, сжатое изложение для публикации гораздо большей по объему работы, проходившей, по-видимому, «за сценой». Поэтому он постарался выкроить как можно больше времени, чтобы провести его в Геттингене, просматривая относящиеся к тому периоду личные математические записи Римана и надеясь найти какие-нибудь зацепки, указывающие на ход мыслей Римана во время его работы над той статьей.

Зигель был вовсе не первым, предпринявшим такую попытку. В 1895 году Генрих Вебер закончил работу над вторым изданием «Собрания трудов» Римана, после чего отдал его бумаги на хранение в университетскую библиотеку. Когда там появился Зигель, бумаги пролежали среди архивов в Геттингене (где они находятся и по сей день, см. главу 22.i) уже 30 лет. Разные исследователи неоднократно предпринимали попытки изучить эти записи, но все в конце концов отступали перед фрагментарным и неорганизованным стилем черновиков Римана, или же, вполне вероятно, им просто не хватало математической квалификации для понимания этих записей.

Зигель был сделан из более крутого теста. Он не отступил и продолжал изучать толстые кипы небрежно исписанных листков и в результате сделал потрясающее открытие, которое и опубликовал в 1932 году в статье под названием «О Nachlass[146] Римана, относящихся к аналитической теории чисел». Это одна из ключевых работ в истории Гипотезы Римана. Чтобы объяснить суть сделанного Зигелем открытия, нам надо вернуться к вычислительной линии повествования — другими словами, к попыткам реально вычислить нули дзета-функции и проверить Гипотезу Римана экспериментально.

IV.

В нашем рассказе о вычислительном направлении в главе 12 мы остановились на Йоргене Граме, который в 1903 году опубликовал результаты вычисления 15 первых нетривиальных нулей. Работа в этом направлении не прекращается по сей день. В 1996 году на конференции по Гипотезе Римана в Сиэтле Эндрю Одлыжко представил историю вопроса, которая показана в таблице 16.1.

Исследователь(и)

Дата опубликования

Число нулей с вещественной частью 1/2

Й. Грам

1903

15

Р.Дж. Бэклунд

1914

79

Дж. И. Хатчинсон

1925

138

Э.Ч. Титчмарш и др.

1935-1936

1041

А.М. Тьюринг

1953

1054

Д.Х. Лемер

1956

25 000

Н.А. Меллер

1958

35 337

Р.Ш. Леман

1966

250 000

Дж. Б. Россер и др.

1969

3 500 000

Р.П. Бренти др.

1979

81 000 001

X. те Риле, Я. ван де Луне и др.

1986

1 500 000 001

Таблица 16.1. Вычисление нулей дзета-функции.

В конце 2000 года ван де Луне довел вычисления до 5 миллиардов нулей дзета-функции Римана, а в октябре 2001 года — до 10 миллиардов. Тем временем в августе 2001 года Себастьян Веденивски, использовав свободные процессорные мощности на 550 офисных персональных компьютерах корпорации IBM в Германии, инициировал проект по дальнейшему развитию этих вычислений. Последний опубликованный результат Веденивски датируется 1 августа 2002 года; число нетривиальных нулей с вещественной частью одна вторая доведено до 100 миллиардов.

Здесь на самом деле происходит несколько вещей сразу, и важно четко их разделять.

Во-первых, не следует смешивать а) высоту вдоль критической прямой и б) число нулей. «Высота» означает просто мнимую часть комплексного числа: высота числа 3 + 7i равна 7. При рассмотрении нулей дзета-функции принято обозначать высоту буквой t или T. (Поскольку мы знаем, что нули симметричны относительно вещественной оси, мы интересуемся только положительными t). Имеется формула для числа нулей вплоть до высоты T:

N(T) = T/2π∙ln (T/2π) − T/2π + Ο(ln T)

Это на самом деле очень хорошая формула (первые два слагаемых в ней принадлежат Риману): она дает превосходное приближение уже для достаточно малых значений T. Если не обращать внимания на член с Ο большим[147], то для T, равного 100, 1000 и 10 000 она дает соответственно 28,127, 647,741 и 10 142,090. Истинное же число нулей на этих высотах составляет 29, 649 и 10 142. Чтобы получить значение N(T) величиной в 100 миллиардов, как у Веденивски, требуется взять T равным 29 538 618 432,236… — до такой высоты Веденивски и добрался в своих исследованиях.

Далее, имеется путаница по поводу того, что именно вычисляется. Не предполагается, что Веденивски способен предъявить все 100 миллиардов этих нулей, вычисленных с высокой (или даже со средней) точностью. Цель подобных исследований состоит главным образом в подтверждении Гипотезы Римана, а это можно сделать, не прибегая к высокоточным вычислениям нулей. Имеются некоторые теоретические построения, позволяющие вычислить, сколько нулей имеется в критической полосе между высотами T_1 и T_2 — т.е. внутри прямоугольника, верхняя и нижняя стороны которого задаются числами T_1 и T_2, отложенными вдоль мнимой оси, а левая и правая сторона — числами 0 и 1 на вещественной оси, как показано на рисунке 16.1. Имеется и другое теоретическое построение, которое позволяет вычислить, сколько нулей расположено на критической прямой между данными высотами.[148] Если два вычисления дают один и тот же результат, то можно считать, что вы тем самым подтвердили Гипотезу Римана в данном интервале. Это можно сделать, имея лишь грубое знание о том, где на самом деле расположены нули. Большая часть таблицы 16.1 относится к работе такого сорта.

Рисунок 16.1. Высоты T_1 и Т_2 на критической полосе.

А как обстоит дело с табулированием точных положений нулей? Оказывается, помимо того, что делалось в связи с проверкой Гипотезы Римана, в этой задаче сделано на удивление мало. Насколько мне вообще известно, первые сколько-нибудь длинные таблицы такого рода были опубликованы Брайаном Хейзелгровом. В 1960 году, работая на мощных компьютерах второго поколения в университетах Кембриджа и Манчестера в Англии, Хейзелгров с сотрудниками затабулировали первые 1600 нулей с точностью до шести знаков после запятой и опубликовали эту таблицу. Эндрю Одлыжко сообщил мне, что, когда он в конце 1970-х годов начинал исследования нулей дзета-функции, таблицы Хейзелгрова были единственными известными ему данными такого рода, хотя он и думает, что Леман в ходе своей работы в 1966 году мог в действительности с высокой точностью вычислить большее количество нулей. У самого Эндрю есть таблица (на диске компьютера, а не в печатном варианте) первых двух миллионов нулей с точностью до девяти знаков после запятой. На момент написания этой книги это наибольшая из известных таблиц нулей.

Вся описанная выше деятельность относится к первым N нулям. Кроме этого, Эндрю Одлыжко совершил несколько «прыжков» вверх с целью исследовать небольшие изолированные отрезки на очень больших высотах. Он опубликовал результат вычисления самого высокорасположенного нетривиального нуля дзета-функции из известных на данный момент — это 10 000 000 000 000 000 010 000-й нуль. С точностью до пяти знаков после запятой в мнимой части он расположен в точке 1/2 + 1 370 919 909 931 995 309 568,33539i. Эндрю вычислил и первые 100 нулей с точностью до тысячи знаков после запятой.[149] Первый нуль начинается как (имеется в виду, конечно, мнимая часть):

14,134725141734693790457251983562470270784257115699243175685567460149963429809256764949010393171561012779202971548797436766142691469882254582505363239447713778041338123720597054962195586586020055556672583601077370020541098266150754278051744259130625448….

V.

За таблицей 16.1 скрываются разнообразные истории. Фигурирующий там А.М. Тьюринг, например, — это тот самый Алан Тьюринг, который работал в области математической логики, разработав идею теста Тьюринга (способ решить, обладает ли компьютер или программа интеллектом) и машину Тьюринга (идеализированный компьютер, некий вариант мысленного эксперимента, позволяющий решать определенные задачи в математической логике). Имеется Премия Тьюринга, которую начиная с 1966 года ежегодно присуждает Ассоциация вычислительной техники за достижения в области программирования и прикладной математики, — аналог Филдсовской медали по математике или же Нобелевской премии в других науках.[150]

Тьюринг был зачарован Гипотезой Римана. К 1937 году (когда ему было 26 лет) он составил мнение, что Гипотеза не верна, и вынашивал идею построения механического вычислительного устройства, которое позволило бы найти контрпример — нуль вне критической прямой. Он подал заявку на грант в Королевское общество с тем, чтобы покрыть расходы на создание этого устройства, и даже сам выточил несколько зубчатых колес на инженерном факультете Кингс-колледжа в Кембридже, где он тогда преподавал.

Работа Тьюринга по созданию «дзета-функциональной машины» резко прервалась в 1939 году, когда разразилась Вторая мировая война. Он перешел работать в Британскую школу кодов и шифров[151] в Блетчли-Парк и провел там все годы войны, посвятив себя раскрытию немецких военных шифров. Однако некоторые из зубчатых колес сохранились — они остались среди его вещей после смерти ученого, последовавшей (как считается, в результате самоубийства) 7 июня 1954 года.

При том, насколько печальной и необычной была смерть Тьюринга (он съел яблоко, в которое сам ввел цианистый калий), он снискал себе посмертную славу стараниями биографов. Эндрю Ходжес написал о нем замечательную книгу («Алан Тьюринг: Энигма», 1983), а Хью Уайтмор сделал по ней чрезвычайно интересную пьесу («Разгадка шифра», 1986).

У меня нет возможности вдаваться глубже в подробности жизни Тьюринга. Я отсылаю читателя к биографии, написанной Ходжесом, из которой процитирую только следующее:

15 марта [1952 года] он направил для публикации работу по вычислению дзета-функции, несмотря на то что предпринятая ранее практическая попытка такого вычисления на прототипе компьютера в Манчестерском университете оказалась неудовлетворительной. Возможно, он просто хотел закончить с этим делом на тот случай, если ему придется отправиться в тюрьму.

31 марта 1952 года Тьюринг предстал перед судом по 12 обвинениям в «крайне непристойном поведении», поскольку в то время в Британии гомосексуальные акты по взаимному согласию были уголовно наказуемы. В конечном итоге он не попал в тюрьму: его признали виновным, однако дали условный срок с оговоркой, что он согласится на медицинское вмешательство. «В Британии 1952 года не было, — пишет Ходжес, — понятия о праве на сексуальное самовыражение».

Есть и другие истории. Эдвард Титчмарш — ученик Харди (кстати, учеником Харди был и Тьюринг) — получил свои 1041 нулей[152], используя для этого работающие с перфокартами машины, арендованные у Британского адмиралтейства, где с их помощью составляли таблицы приливов. На основании этих результатов Титчмарш написал классический математический текст по дзета-функции.[153]{A7} Разумеется, с появлением электронных компьютеров после Второй мировой войны вся эта «механическая» вычислительная деятельность подошла к своему концу.

Есть еще истории… однако я слишком отклонился от темы.[154] Я собирался рассказать о формуле Римана-Зигеля.

VI.

Первые три строки в таблице 16.1 — это вклады Грама, Бэклунда и Хатчинсона, полученные как результат упорного труда с карандашом, бумагой и томами математических таблиц. Это был тяжелый вычислительный труд — значения дзета-функции посчитать нелегко. Основной метод, называемый «суммированием Эйлера-Маклорена», был развит около 1740 года Леонардом Эйлером и, независимо от него, шотландским математиком Колином Маклореном. Он основан на аппроксимации интегралов длинными и сложными суммами. Несмотря на свою чрезвычайную трудоемкость, этот метод оставался наилучшим из всех предложенных. Грам сам в течение примерно года пробовал работать с несколькими другими методами, но без большого успеха.

Суть открытия, которое сделал Карл Зигель, изучая Nachlass Римана в геттингенской библиотеке, такова: в ходе исследований, приведших к статье 1859 года Бернхард Риман разработал гораздо лучший метод вычисления нулей и, более того, применил его и сам нашел первые три нуля! Никаких следов этого в статье 1859 года не видно. Все осталось скрытым в Nachlass.

Вот что пишет Хэролд Эдвардс: «Риман в действительности обладал средствами, позволявшими вычислять ζ(1/2 + ti) с впечатляющей точностью».[155] Однако Риман удовлетворился достаточно грубыми вычислениями, поскольку точное знание о положении нулей не играло существенной роли в его работе. Он получил мнимую часть первого нуля (см. выше) равной 14,1386 и проверил, что это действительно первый нуль; второй и третий он вычислил с точностью до одной или двух сотых.

Открытие формулы Римана, которая после обработки и опубликования ее Зигелем стала формулой Римана-Зигеля, сильно упростило работу по получению нулей. На этой формуле держались все значимые исследования до середины 1980-х годов. Например, классическая статья Эндрю Одлыжко 1987 года «О распределении интервалов между нулями дзета-функции», о которой еще много будет сказано в главе 18.v, опиралась на формулу Римана-Зигеля. На основе этой работы Одлыжко и Арнольд Шонхаге позднее развили и реализовали некоторый улучшенный алгоритм, но все тем не менее основано на формуле Римана-3игеля.[156]

Карл Зигель, кстати, не был евреем, и его напрямую не задевали ограничительные законы в начальный период нацизма. Однако он не терпел нацистов и уехал из Германии в 1940 году, начав работать в Институте высших исследований в Принстоне. Он вернулся в Германию в 1951 году и завершил карьеру в качестве профессора в том самом Геттингене, где за двадцать лет до того архивы позволили ему увидеть, как яркую вспышку, невероятную мощь ума, скрывавшегося за тихой застенчивостью Бернхарда Римана.

Глава 17. Немного алгебры

I.

Этой книге следовало бы содержать куда больше алгебры, чем в конце концов в ней оказалось. Мы уделяли основное внимание Бернхарду Риману и его работе о простых числах и дзета-функции. Эта работа относится к теории чисел и анализу, и поэтому в нашем рассказе преобладали именно эти темы. Однако современная математика, как уже отмечалось, стала довольно алгебраической. В данной главе читателю предлагаются алгебраические сведения, которые могут потребоваться для понимания двух важных подходов к Гипотезе Римана.

Как и главы 7 и 15, эта глава состоит из двух частей. В разделах II и III обсуждаются основы теории полей, а оставшаяся часть главы посвящена теории операторов. Теория полей важна потому, что она уже позволила доказать нечто, сильно напоминающее Гипотезу Римана. Многие исследователи полагают, что теория полей предлагает наиболее многообещающее направление исследования исходной, классической Гипотезы Римана. Теория операторов приобрела важность после знаменательных и даже романтических событий, о которых будет рассказано в следующей главе.[157] Но сначала о теории полей.

II.

B математике слово «поле» имеет весьма конкретный смысл. Множество элементов образует поле, если эти элементы можно складывать, вычитать, перемножать и делить в согласии с обычными правилами арифметики — например, с правилом a×(b + c) = ab + ac. Результаты всех этих действий должны оставаться в поле.

Например, N не является полем. Если попробовать из 7 вычесть 12, то получится результат, не лежащий в N. Аналогично обстоит дело и с Z — если поделить 12 на 7, то ответ не будет лежать в Z. Это не поля.

Но Q, R и C — поля. Если складывать, вычитать, перемножать или делить друг на друга два рациональных числа, то получится другое рациональное число. То же самое с вещественными и комплексными числами. Они дают нам три примера поля. Ясно, что каждое из этих полей содержит бесконечное число элементов.

Несложно построить и другие бесконечные поля. Рассмотрим семейство всех чисел вида а + b√2, где a и b — рациональные числа. Здесь b или равно нулю, или нет. Если b не равно нулю, то, поскольку число √2 не является рациональным, число а + b√2 также не рациональное. Следовательно, это семейство содержит все рациональные числа (при нулевом b) и тучу весьма специальных иррациональных. Такие числа образуют поле. Сложение числа а + b√2 с числом c + d√2 дает (a + c) + (b + d)√2, их вычитание дает (a − c) + (b − d)√2, результат умножения есть (ac + 2bd) + (ad + bc)√2, а деление с использованием приема, подобного тому, который применяется при делении комплексных чисел, приводит к (ac − 2bd)/(c^2 − 2d^2) + ((bc − ad)/(c^2 − 2d^2))√2. Поскольку a и b могут быть вообще любыми рациональными числами, в этом поле бесконечно много элементов.

Поля не обязательно бесконечны. Простейшее из всех полей содержит всего два элемента, 0 и 1. Таблица сложения имеет вид 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. Таблица вычитания такова: 0 − 0 = 0, 0 − 1 = 1, 1 − 0 = 1, 1 − 1 = 0. (Можно заметить, что получающиеся результаты таковы же, как для сложения. В данном поле любой знак минус можно спокойно заменить знаком плюс!) Таблица умножения: 0×0 = 0, 0×1 = 0, 1×0 = 0, 1×1 = 1. Таблица деления: 0:1 = 0, 1:1 = 1, а деление на нуль запрещено. (Делить на нуль нельзя никогда.) Это абсолютно нормальное, а вовсе не тривиальное поле, и мы очень скоро не преминем им как следует воспользоваться. Математики называют его полем F_2.

На самом деле конечное поле можно построить для любого простого числа р и даже для любой степени любого простого числа. Если p — простое число, то имеется конечное поле из p элементов, поле из p^2 элементов, поле из p^3 элементов и т.д. Более того, мы только что перечислили все возможные конечные поля. Их можно организовать в список: F_2, F_4, F_8, …, F_3, F_9, F_27, …, F_5, F_25, F_125, …; выписав их все, мы тем самым перечислим все возможности построения конечных полей.

Ошибкой было бы считать (как это порой делают начинающие), что конечные поля представляют собой просто переформулировку арифметики циферблата, описанной в главе 6.viii. Это верно только для полей, содержащих простое число элементов. А вот арифметика других конечных полей устроена более тонко. На рисунке 17.1, например, представлена арифметика циферблата — сложение и умножение — для циферблата с четырьмя отметками (т.е. 0, 1, 2 и 3). Эта система чисел и правил интересна и полезна, но она не является полем, поскольку нельзя разделить 1 ни на 3, ни на 2. (Если бы можно было разделить 1 на 2, то уравнение 1 = 2×x имело бы решение. А у него решения нет.) Математики называют это кольцом, что не лишено основания, коль скоро речь идет о циферблате. В кольце можно складывать, вычитать и умножать, но не всегда можно делить.

+

0

1

2

3

×

0

1

2

3

0

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

1

2

3

0

1

0

1

2

3

2

2

3

0

1

2

0

2

0

2

3

3

0

1

2

3

0

3

2

1

Рисунок 17.1. Сложение и умножение на циферблате с четырьмя отметками (другими словами, сложение и умножение выполняются по обычным правилам, после чего берутся остатки по модулю 4).

Конкретное кольцо, показанное на рисунке 17.1, имеет официальное обозначение Z/4Z. Должен сознаться, что мне такое обозначение никогда не нравилось, так что на правах автора я изобрету для него свое собственное обозначение: CLOCK_4.[158]{4} Ясно, что можно построить такое кольцо для любого натурального числа N. В моих обозначениях оно будет называться CLOCKN.

Но поле FN можно построить не для любого числа N, а только для простых чисел и их степеней. Для простого числа p самого по себе поле Fp выглядит в точности как CLOCKp — та же таблица сложения, та же таблица умножения. Однако для степени простого числа ситуация усложняется. На рисунке 17.2 показаны сложение и умножение (откуда, конечно, извлекаются вычитание и деление) в поле F_4. Видно, что F_4 отличается от CLOCK_4.

+

0

1

2

3

×

0

1

2

3

0

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

1

0

3

2

1

0

1

2

3

2

2

3

0

1

2

0

2

3

1

3

3

2

1

0

3

0

3

1

2

Рисунок 17.2. Сложение и умножение в конечном поле F_4.

Всякое поле, конечное или бесконечное, имеет важный параметр — число, называемое характеристикой. Характеристика поля говорит о том, сколько раз надо прибавить единицу к самой себе, чтобы получить нуль. Если 1 + 1 + 1 + … = 0 (где берется N слагаемых), то характеристика равна N. Понятно, что характеристика поля F_2 равна 2. Чуть менее очевидно, хотя и без труда проверяется с помощью таблицы сложения на рисунке 17.2, то, что характеристика поля F_4 тоже равна 2. Такие поля, как Q, R, С, в которых никакое прибавление единицы к самой себе какое угодно количество раз никогда не даст в результате нуль, по определению имеют характеристику «нуль». (Вы могли бы подумать, что более логичной будет характеристика «бесконечность», и вы, возможно, правы, но имеются веские причины и для того, чтобы объявить характеристику нулевой.) Можно проверить, что характеристика любого поля есть или нуль, или некоторое простое число.

Поскольку мы имеем дело с алгеброй, элементы полей не обязаны быть числами. Алгебра позволяет работать с математическими объектами любого типа. Рассмотрим все многочлены (полиномиальные функции) любой заданной степени, т.е. все выражения вида axn + bxn−1 + cxn−2 + …, где a, b, c и т.д. — целые числа. Теперь образуем множество всех рациональных функций, другими словами, функций, являющихся отношением (ratio) двух многочленов. Получим поле. Приведем пример сложения в этом поле:

(Примерно этим и занимаются на уроках алгебры в старших классах.)

Коэффициенты многочленов не обязаны быть целыми. На самом деле можно позабавиться, сделав их элементами из конечного поля, такого как рассмотренное выше поле F_2. В качестве примера сложения, которое при этом получается, имеем

(При проверке этого равенства надо помнить, что в поле F_2 выполнено 1 + 1 = 0, а потому x + x = 0, x^2 − x^2 = 0 и т.д.) Это поле будет называться полем рациональных функций над F_2. В нем, разумеется, бесконечно много элементов; лишь коэффициенты ограничены своей принадлежностью к конечному полю. Таким образом, можно использовать конечное поле для построения бесконечного. Заметим еще, что, поскольку 1 + 1 = 0, это поле имеет характеристику 2. Следовательно, и бесконечные поля могут иметь конечную характеристику.

Не имеет особого смысла спрашивать, что собой представляет x в последних двух примерах. Это символ, для манипуляций с которым у нас имеются строго определенные правила. С алгебраической точки зрения главное в этом и состоит. На самом деле почти наверняка ответ на данный вопрос звучит как «x представляет собой число». Однако алгебраисты куда больше интересуются тем, какого типа это число — каким семействам, каким группам, каким полям оно принадлежит и какие правила манипуляций с ним выполнены. Для аналитика же наше число а + b√2 не слишком интересно. «Это просто вещественное число», — скажет аналитик. — «Ладно, алгебраическое число» (см. главу 11.ii), — если на него надавить. Но для алгебраиста, однако, оно представляет особый интерес постольку, поскольку относится к некоторому полю. Вообще алгебраисты и аналитики рассматривают не столько разные вещи, сколько аспекты одной и той же вещи.[159]{A8}

III.

Краткий взгляд на размах, мощь и красоту теории алгебраических полей — это все, на что нам здесь хватает места, хотя мы и вернемся ненадолго к полям, рассмотрев их под другим углом зрения в главе 20.v. Я привел здесь этот краткий обзор алгебраических сведений, потому что в 1921 году Артин в своей диссертации, которую он защищал в Лейпцигском университете, применил теорию полей для развития нового подхода к Гипотезе Римана. Соответствующий математический аппарат достаточно серьезен, и я расскажу о нем лишь очень бегло.

Как уже упоминалось в предыдущем разделе, для всякой степени pN простого числа имеется конечное поле. Мы также видели, как конечное поле можно использовать в качестве основы для построения других полей, в том числе бесконечных. Оказывается, что если начать с конечного поля, то имеется способ таким образом построить эти поля-«расширения», что с ними будет связана некоторая дзета-функция. Под «некоторой дзета-функцией» здесь понимается функция комплексного аргумента, определенная над полем комплексных чисел и по целому ряду своих свойств необъяснимым образом напоминающая дзета-функцию Римана. Например, эти аналоги римановой дзета-функции снабжены своим собственным Золотым Ключом — своей собственной эйлеровой формулой произведения, а также своей собственной Гипотезой Римана.[160]

В 1933 году работавшему в Магдебургском университете в Германии Хельмуту Хассе удалось для определенной категории полей доказать результат, аналогичный Гипотезе Римана. В 1942 году Андре Вейль[161] распространил это доказательство на гораздо более широкий класс объектов, а затем предположил — в знаменитых трех «гипотезах Вейля», — что подобные результаты должны иметь место для еще более широкого класса. В 1973 году бельгийский математик Пьер Делинь получил сенсационное достижение, принесшее ему Филдсовскую премию, — он доказал гипотезы Вейля, тем самым, по существу, завершив программу исследований, начало которой положил Артин.

Неизвестно, в какой степени методы, развитые для доказательства аналогов Гипотезы Римана, относящихся к столь замысловатым полям, пригодны для доказательства классической Гипотезы Римана. Но очень многие считают, что вполне пригодны, и данная область остается очень активным направлением в исследовании Гипотезы Римана.

Ведут ли эти исследования куда-нибудь? Это не ясно — по крайней мере, мне не ясно. По поводу существа дела обратимся снова ко второму абзацу в этом разделе, где говорилось, что с полями определенного вида связаны аналоги дзета-функции. Для классической дзета-функции — той, о которой говорится в исходной Гипотезе Римана и которой главным образом и посвящена данная книга, — полем такого вида будет Q, поле обычных рациональных чисел. По мере развития исследований в последние десятилетия выяснилось, что элементарное поле рациональных чисел Q в некотором смысле глубже и более своенравно, нежели «искусственно выведенные» поля, к которым применимы результаты Артина, Вейля и Делиня. Но с другой стороны, методы, развитые для обращения с этими «искусственными» полями, оказались достаточно мощными — Эндрю Уайлс использовал их для доказательства Последней теоремы Ферма!

IV.

Для понимания физической линии в исследовании Гипотезы Римана, генезис которой будет описан в разделе VI и которая открыла исследователям новые обширные территории, следует обратиться к другой алгебраической теме — теории операторов. Поэтому данный раздел, как и следующий, посвящен рассказу об операторах, рассматриваемых с точки зрения связанной с ними теории матриц.

В современной математике и физике матрицы вездесущи, и способность управляться с ними относится к числу основных математических навыков. Из-за ограничений в объеме мне придется спрямить историю, приведя лишь самое необходимое. В частности, я вообще обойду стороной вопрос о вырожденных матрицах, как если бы таких в природе не было. Это, должно быть, самое возмутительное упрощение во всей книге, и я приношу свои извинения математически подкованным читателям.

Матрица — это квадратная таблица из чисел, например . Целые числа выбраны здесь исключительно для простоты. Числа, входящие в матрицу, могут быть рациональными, вещественными или даже комплексными. Данная конкретная матрица — это матрица 2×2. Матрицы могут быть любого размера, скажем, 3×3, 4×4, 120×120 и т.д. Они могут иметь даже бесконечный размер, хотя для бесконечных матриц правила и подвергаются некоторой модификации. Важная часть во всякой матрице — это ее главная диагональ, т.е. диагональ, ведущая из левого верхнего угла в правый нижний. В нашем примере на главной диагонали стоят элементы 5 и 6.

Если даны две матрицы одного и того же размера, то их можно складывать, вычитать, умножать и делить. Правила, по которым выполняются эти действия, не сразу очевидны. Например, если A и B — две матрицы одного и того же размера, то, вообще говоря, не верно, что А×В = В×А. Правила обращения с матрицами несложно найти в любом обычном учебнике по алгебре, и нам нет нужды вдаваться в них. Достаточно сказать, что такие правила существуют и что имеется арифметика матриц, в целом напоминающая арифметику обычных чисел, только похитрее.

Нам же важно знать про матрицы следующее. Из всякой матрицы (N×N) можно извлечь многочлен N-й степени — полиномиальную функцию, составленную из различных степеней буквы x, вплоть до N-й степени. Боюсь, я не могу объяснить, как же найти этот многочлен для данной матрицы. Придется поверить мне, что он действительно существует и что имеется способ его построить. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы.

Характеристический многочлен для приведенной выше матрицы 2×2 равен x^2 − 11x + 28.[162] При каких значениях x этот многочлен равен нулю? Это все равно что спросить, каковы решения квадратного уравнения x^2 − 11x + 28. По хорошо известной формуле (или, как оптимистически говаривал мой школьный учитель, «путем усмотрения») находим, что решения — это 4 и 7. Ну и правда, если подставить 4 вместо x, то значением многочлена будет 16 − 44 + 28, что в самом деле равно нулю. То же самое и с подстановкой числа 7: 49 − 77 + 28 тоже равно нулю.

Эти факты служат иллюстрацией ситуации, которая верна в общем случае. Всякая (N×N)-матрица имеет характеристический многочлен степени N, и этот многочлен имеет N нулей.[163] Нули характеристического многочлена матрицы невероятно важны. Они называются собственными значениями матрицы. Заметим еще одно. Если сложить числа на главной диагонали нашей (2×2)-матрицы, то получится 11 (поскольку 5 + 6 = 11). Такова же и сумма собственных значений (7 + 4 = 11); и это число противоположно первому из чисел, которые встречаются в характеристическом многочлене (−11 и 11 противоположны). Это очень важное число, называемое следом матрицы.

Характеристический многочлен, собственные значения, след — для чего все это? Видите ли, важность матриц не в них самих, а в том, что они представляют. Матричная арифметика, коль скоро вы ею овладели, — это просто набор технических навыков, как и в обычной арифметике. Но подобно тому, как обычные числа можно использовать для выражения гораздо более глубоких, более фундаментальных вещей, так же используются и матрицы. Прогулка от моего дома до Хантингтон-Вилидж занимает у меня 12 минут; расстояние составляет приблизительно 0,8 мили. Если начиная с завтрашнего утра Соединенные Штаты перейдут на метрическую систему, мне придется говорить «приблизительно 1,3 километра», а не «приблизительно 0,8 мили». Расстояние, однако, от этого не изменится; только числа, используемые для его выражения, пришлось бы изменить. Я по-прежнему проходил бы это расстояние за 12 минут (если только не состоится еще и переход к метрическим единицам времени).

Вот еще один пример: календарь, висящий у меня на стене, представляет собой численное выражение движений Солнца и Луны. Главным образом Солнца, поскольку у нас в Америке принят солнечный календарь, месяцы в котором рассинхронизированы с движением Луны. Однако этот календарь нам дали в соседнем китайском ресторане. Если присмотреться, то можно заметить, что там указаны месяцы и дни традиционного китайского лунного календаря, причем каждый месяц начинается в новолуние. Все числа отличаются от «солнечных» чисел, но они выражают те же небесные явления, то же течение времени, те же фактические моменты времени.

Точно так же обстоит дело и с матрицами. Великое значение матриц в том, что их можно использовать для представления и численного выражения некоторых более глубоких и более фундаментальных вещей. Что же это за вещи? Это операторы. Понятие оператора — одно из самых важных как в математике, так и в физике XX столетия. Я не собираюсь вдаваться в подробности насчет того, что же такое операторы, по крайней мере, до главы 20 точно не собираюсь. Важный момент, который надо осознать, — что это именно они притаились за всей этой суетой с матрицами и что именно их свойства мы и можем численно изучать, используя матрицы.

Теперь понятно, почему характеристический многочлен, собственные значения и след — понятия фундаментальные. Они суть свойства скрывающегося за матрицей оператора, а не матрицы самой по себе. На самом деле данный оператор можно представить многими матрицами, но это обязаны быть матрицы с одними и теми же собственными значениями. Приведенная выше (2×2)-матрица представляет некоторый оператор. Один и тот же оператор представляется и матрицей и матрицей .

У всех этих матриц — и, конечно, еще у бесконечного числа матриц — один и тот же характеристический многочлен x^2 − 11x + 28, одни и те же собственные значения 4 и 7 и один и тот же след 11. Это происходит просто потому, что такими свойствами обладает оператор.

Все это применимо к матрицам любого размера. Возьмем (4×4)-матрицу:

Ее характеристический многочлен равен x^4 − 11x^3 + 40x^2 − 97x + 83. (Можно заметить, что след этой матрицы, как и след приведенной выше, равен 11. Это чистое совпадение, и эти матрицы больше никак не связаны.) Этот многочлен имеет полный набор из четырех нулей. С точностью до пяти знаков после запятой они равны 1,38087, 7,03608, 1,29152 − 2,62195i и 1,29152 + 2,62195i. Это, конечно, собственные значения матрицы. Два из них, как мы видим, являются комплексными числами (причем комплексно сопряженными друг другу, что всегда верно для многочлена с вещественными коэффициентами). Это вполне нормально, даже когда, как в данном случае, все числа в исходной матрице вещественные. Сумма четырех собственных значений равна 11 — мнимые компоненты сокращаются при сложении.

V.

После нескольких десятилетий исследований матриц математики расклассифицировали их на несколько различных типов. Они развили, так сказать, таксономию матриц, в которой полное семейство (N×N)-матриц — называемое математиками общей линейной группой порядка N и обозначаемое как GLN — было разбито на виды и рода.

Выберем всего один из видов в этом большом зверинце — эрмитовы матрицы, названные по имени великого французского математика Шарля Эрмита, с которым мы мельком встречались в главе 10.v. Числа, входящие в эрмитову матрицу, являются комплексными и организованы таким образом, что если число, стоящее в m-й строке и n-м столбце, есть a + bi, то число, стоящее в n-й строке и m-м столбце, есть a − bi. Другими словами, каждый элемент матрицы равен комплексному сопряжению (см. главу 11.v) своего отражения относительно главной диагонали. Попытаюсь прояснить это на примере эрмитовой (4×4)-матрицы:

Как видно, элемент в третьей строке и первом столбце равен комплексному сопряжению элемента в первой строке и третьем столбце. Это эрмитова матрица. Заметим, что из определения следует, что все числа на главной диагонали должны быть вещественными, поскольку определение требует, чтобы каждое число на диагонали было комплексно сопряжено самому себе, а этим свойством обладают только вещественные числа: a + bi = a − bi, если и только если b = 0.

Насчет эрмитовых матриц имеется знаменитая теорема, гласящая, что все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны. Если немного подумать, то это выглядит несколько неожиданным. Даже когда все элементы какой-либо матрицы вещественны, ее собственные значения могут оказаться комплексными, как мы видели на примере первой из наших (4×4)-матриц. Если же некоторая матрица с комплексными элементами имеет вещественные собственные значения, то это поистине замечательно. Именно так и происходит, если матрица эрмитова. Собственные значения приведенной выше эрмитовой матрицы (приближенно) равны 4,8573, 12,9535, −16,553, −3,2578. Все они вещественны (и в сумме дают −2, т.е. след матрицы).

Из этой теоремы между прочим следует, что все коэффициенты характеристического многочлена эрмитовой матрицы вещественны. Это получается потому, что собственные значения любой матрицы по определению являются нулями характеристического многочлена. Если нули многочлена — это a, b, с, …, то его можно разложить на множители как (x − а)(x − b)(x − c)…. Если здесь просто раскрыть скобки, то получится многочлен в обычном виде. Но раз все числа a, b, с, … вещественные, то раскрытие скобок приводит к выражению, в котором все коэффициенты — вещественные числа. Используя приведенные выше собственные значения нашей эрмитовой (4×4)-матрицы, получаем, что характеристический многочлен равен (x − 4,8573)(x − 12,9535)(x + 16,553)(x + 3,2578). Раскрытие скобок дает характеристический многочлен в виде x^4 + 2x^3 − 236x^2 + 286x + 3393.

VI.

Все это было известно 100 лет назад… Другими словами, в то время, когда Давид Гильберт только приступал к изучению интегральных уравнений, причем исследование операторов играло там ключевую роль. В начале XX века другие математики — одни независимо, другие — вдохновившись работой Гильберта, — также были поглощены исследованием операторов. Операторы просто носились в воздухе. Гипотеза Римана в тот момент тоже висела в воздухе, но не до такой степени, хотя после доклада Гильберта в 1900 году и публикации книги Ландау в 1909-м всерьез задумываться о ней начали многие лучшие умы.

Поэтому не должно показаться слишком неожиданным, что два наиболее блестящих и широко мыслящих интеллекта своего времени смогли соединить эти две вещи. Один из этих интеллектов принадлежал Гильберту, а другой — Джорджу Пойа. И тот и другой, судя по всему, пришли к одному и тому же пониманию независимо друг от друга. Их мыслительные процессы, наверное, развивались примерно таким образом:

Имеется математический объект — эрмитова матрица, которая построена из комплексных чисел, но самая сокровенная и важная характеристика которой — набор собственных значений — неожиданным образом выражается одними лишь вещественными числами. А вот имеется функция — дзета-функция Римана, которая построена из комплексных чисел; и ее наиболее сокровенная и важная характеристика — набор ее нетривиальных нулей. (Для целей данного рассуждения забудем пока о других нулях.) Каждый из этих нулей лежит в критической полосе. Они симметричны относительно критической прямой с вещественной частью 1/2. Скажем, что типичный нуль имеет вид 1/2 + zi с некоторым числом z. Тогда Гипотеза Римана утверждает, что все z — вещественные числа.

Математики 1910-х годов на самом деле сказали бы «оператор», а не «матрица». Хотя матрицы и были разбросаны повсюду после их изобретения Артуром Кэли в 1856 году, они все же не стали всеобщим достоянием, пока около 1925 года на сцене не появилась квантовая механика. И все же здесь можно увидеть грубую аналогию. И набор собственных значений эрмитовой матрицы, и набор нетривиальных нулей дзета-функции представляют собой наборы чисел, возникающих из ключевого свойства существенно комплексных объектов и неожиданным образом оказывающихся вещественными. Отсюда возникает следующая

Гипотеза Гильберта-Пойа

Нетривиальные нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям некоторого эрмитова оператора.

Происхождение этой гипотезы несколько туманно. И Гильберт, и Пойа должны были бы упоминать возможность некоторой подобной эквивалентности в лекциях или в разговорах в те годы (1910–1920). Но насколько мне удалось установить, ни один из них не воплотил эту мысль в опубликованной статье. Насколько я знаю — и, как сообщает Питер Сарнак, насколько он знает, — единственным письменным свидетельством того факта, что гипотеза Гильберта-Пойа вообще была высказана, остается письмо, которое 20 лет тому назад Пойа написал Эндрю Одлыжко и фрагмент которого приведен на рисунке 17.3. В нем Пойа сообщает, что Эдмунд Ландау задал ему следующий вопрос: «Можете ли вы придумать какую-нибудь физическую причину, в силу которой Гипотеза Римана была бы справедлива?» О том, какие именно предположения делал сам Гильберт, нет вообще никаких известных мне материальных свидетельств.

Рисунок 17.3. Фрагмент письма Джорджа Пойа к Эндрю Одлыжко.

Не следует, однако, забывать, что в математике начала XX века Гильберт был фигурой незаурядного масштаба, а также о том, что он жил и работал в немецкой академической среде, где на университетских профессоров их студенты и подчиненные взирали как на недоступных и всеведущих божеств, приближаться к которым следовало не иначе как с величайшим почтением. Не только к профессору нельзя было и помыслить себе обратиться как-нибудь иначе, нежели «господин профессор», но и жена его становилась «госпожа профессор». Однако для величайших из этих олимпийцев даже такого обращения оказывалось недостаточно. Наиболее выдающимся личностям немецкое правительство присваивало титул Geheimrat, «тайный советник», — примерный эквивалент посвящения в рыцари в Британии. Так что правильное обращение должно было звучать как «господин тайный советник», хотя сам Гильберт и не утруждал себя подобными формальностями.

В силу всего этого неудивительно, что если по удачному стечению обстоятельств вам случалось оказаться в достаточной близости от одного из этих небожителей, чтобы слышать его речь, то вам не скоро удавалось забыть его слова. Конечно, подобные гиганты вызывали к жизни определенное количество не подлежащих проверке апокрифов. И тем не менее, подсчитав все за и против, я склонен думать, что Гильберт в самом деле в какой-то момент высказал гипотезу Гильберта-Пойа или нечто ей эквивалентное. (Между прочим, если бы мы для краткости говорили просто «гипотеза Пойа», это привело бы к недоразумениям, поскольку имеется совершенно другая гипотеза, известная под таким названием.)

Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой

I.

В предыдущей главе мы рассмотрели математические предпосылки и некоторые исторические обстоятельства, которые привели к гипотезе Гильберта-Пойа. Эта гипотеза значительно опередила свое время и с полвека пролежала на полке невостребованной.

Эти полвека, однако, оказались очень насыщенными событиями в области физики — вообще самыми насыщенными за всю ее историю. В 1917 году, как раз примерно в то время, когда была выдвинута эта гипотеза, Эрнест Резерфорд открыл делимость атома; 15 лет спустя Кокрофт и Уолтон провели первый в мире эксперимент по искусственному делению атома. Это, в свою очередь, явилось шагом к работам Энрико Ферми и к первой управляемой цепной ядерной реакции, осуществленной в 1942 году, а затем к первому ядерному взрыву 16 июля 1945 года.

«Деление атома», как сообщают своим ученикам все без исключения преподаватели физики в старших классах, — название неправильное. Мы делим атомы всякий раз, как зажигаем спичку. То, о чем идет сейчас речь на самом деле, — это деление атомного ядра, т.е. сердца атома. Чтобы запустить ядерную реакцию — управляемую или уж как получится, — надо выстрелить субатомной частицей в атомные ядра какого-нибудь очень тяжелого элемента. Если сделать это некоторым определенным способом, то ядро расщепится, в свою очередь выстреливая при этом новые субатомные частицы. Эти частицы проникнут в ядра соседних атомов… и т.д., что и приведет к цепной реакции.

А ядра тяжелых элементов — весьма специфические создания. Их можно представлять себе как постоянно бурлящий и колышущийся сгусток из протонов и нейтронов, слипшихся вместе таким образом, что нелегко сказать, где кончается одна частица и где начинается другая. У по-настоящему тяжелых элементов, таких как уран, весь этот сгусток пульсирует на грани неустойчивости. Он может и в самом деле оказаться неустойчивым — это определяется точным соотношением между числом протонов и числом нейтронов — и в этом случае вполне способен разлететься на части по своему собственному усмотрению.

За несколько десятилетий развития ядерной физики в середине XX века возникла потребность хорошо понимать поведение этих странных созданий и, в частности, понимать, что произойдет, если попасть в них другой частицей. Дело в том, что ядро — этот колышущийся сгусток — может существовать в некотором числе состояний, одни из которых обладают большей энергией (здесь надо представлять себе по-настоящему энергичные пульсации), а другие — меньшей (вялые, ленивые пульсации). Если выстрелить частицей в ядро таким образом, чтобы ядро ее поглотило, но само не распалось на куски, то (поскольку энергия частицы не может никуда исчезнуть и поглощается ядром) ядро перейдет из состояния с меньшей энергией в состояние с более высокой энергией. Через некоторое время, утомившись своим пребыванием в возбужденном состоянии, ядро может испустить такую же частицу или, возможно, частицу совсем другого типа и снова оказаться в состоянии с меньшей энергией.

Как много существует энергетических уровней? Когда ядро переходит с уровня a на уровень b? Насколько энергетические уровни отстоят друг от друга и почему именно настолько? Подобная постановка вопроса по сути вводит задачу об исследовании атомного ядра в контекст более широкого круга задач — задач о динамических системах, т.е. о наборах частиц, каждая из которых во всякий момент времени занимает определенное положение в пространстве и имеет определенную скорость. По мере развития исследований в 1950-х годах стало ясно, что некоторые из наиболее интересных динамических систем, включая тяжелые ядра, слишком сложны и не поддаются точному математическому анализу в квантовой области. Число энергетических уровней оказалось слишком большим, а возможные конфигурации слишком многочисленны. Такая картина представляет собой самый устрашающий вариант «задачи многих тел» из классической (т.е. доквантовой) механики, где несколько объектов (например, планеты Солнечной системы) действуют друг на друга посредством гравитации.

Когда приходится иметь дело с таким уровнем сложности, точная математика сталкивается с целым рядом проблем, и поэтому исследования в этой области стали опираться на статистику. Если мы не можем определить, что произойдет точно, то, возможно, нам удастся выяснить, что скорее всего произойдет в среднем. Подобные статистические подходы широко развивались в классической механике начиная примерно с 1850 года, т.е. задолго до появления квантовой теории. В квантовом мире все устроено слегка по-другому, но там, по крайней мере, можно использовать значительный объем результатов, накопленных в классической теории. В конце 1950-х и начале 1960-х годов был создан основной аппарат и были разработаны статистические средства для анализа сложных квантовых динамических систем, подобных ядрам тяжелых элементов. Главными действующими лицами здесь были ядерные физики Юджин Вигнер и Фримен Дайсон. Главным же понятием оказались случайные матрицы.

II.

Случайная матрица — это именно то, что следует из ее названия: матрица, составленная из чисел, выбранных случайным образом. На самом деле не совсем случайным. Позвольте привести пример. Вот случайная (4×4)-матрица достаточно специального типа, важность которого я объясню чуть позже. Для экономии места будем все округлять до четырех знаков после запятой:

Первое, что можно заметить по поводу этой хитроумной штуковины, — данная матрица является эрмитовой: она обладает той самой как бы симметрией относительно главной диагонали, которая упоминалась в главе 17.v. Вспомним еще несколько фактов из той главы.

• С каждой (N×N)-матрицей связан многочлен степени N, называемый характеристическим многочленом.

• Нули характеристического многочлена называются собственными значениями матрицы.

• Сумма собственных значений называется следом матрицы (и равна сумме элементов, занимающих главную диагональ).

• В частном случае эрмитовых матриц все собственные значения вещественны и, следовательно, вещественны и коэффициенты характеристического многочлена, а также след.

Для матрицы из приведенного примера характеристический многочлен имеет вид

x^4 − 1,1836x^3 − 15,3446x^2 + 26,0868x − 2,0484,

а собственные значения равны −3,8729, 0,0826, 1,5675 и 4,0864. След равен 1,8636.

Посмотрим теперь повнимательнее на те числа, из которых состоит приведенная выше матрица. Числа, которые мы видим, — вещественные числа на главной диагонали и также вещественные и мнимые части комплексных чисел, занимающих места недиагональных элементов, — случайны в некотором специальном смысле (диагональные случайны с небольшим уточнением, которое будет объяснено ниже). Они выбраны случайным образом из нормального гауссова распределения — знаменитой «колоколообразной кривой», которая повсеместно возникает в статистике.

Рисунок 18.1. Нормальное гауссово распределение.

Представим себе стандартную колоколообразную кривую, нарисованную на разлинованном листе бумаги с очень мелкими делениями, так что под кривой расположены сотни квадратиков, образованных разметкой листа (рис. 18.1). Случайным образом выберем один из этих квадратиков; расстояние по горизонтали от него до вертикальной линии, проходящей через середину пика, представляет собой случайное число с нормальным гауссовым распределением. Вблизи самого пика скопилось намного больше этих квадратиков, чем под хвостами кривой, так что с гораздо более высокой вероятностью мы выберем число между +1 и −1, нежели число справа от +2 или слева от −2. Это же видно и из приведенной выше матрицы. (Впрочем, по некоторым техническим причинам элементы на ее главной диагонали в действительности представляют собой случайные гауссовские числа, умноженные на √2, а потому их значения — несколько большие, чем того следовало ожидать.)

Оказалось, что случайные гауссовы эрмитовы матрицы — только гораздо, гораздо большего размера — позволяют моделировать поведение определенных квантовых динамических систем. В частности, их собственные значения, как выяснилось, прекрасно соответствуют энергетическим уровням, которые наблюдаются в экспериментах. По этой причине в 1960-х годах эти собственные значения — собственные значения случайных эрмитовых матриц — стали объектом пристального изучения. В частности, очень интересными оказались интервалы между собственными значениями. Эти интервалы не распределены случайным образом. Например, два уровня оказываются близко друг к другу с гораздо меньшей вероятностью, чем можно было бы ожидать, исходя из случайного распределения. Это явление получило название «отталкивания» — энергетические уровни стараются разойтись по возможности дальше друг от друга, как длинная очередь из малосимпатичных друг другу людей.

Чтобы сделать некое наглядное пособие по этой теме, я попросил математическую программу Mathematica 4, которой я пользуюсь, создать случайную эрмитову матрицу размером 269×269 и вычислить ее собственные значения (рис. 18.2). Причина, по которой выбрано число 269, станет ясной очень скоро. Mathematica, которая не перестает меня удивлять, справилась с задачей в мгновение ока. Все 269 собственных значений попали в интервал от −46,207887 до 46,3253478. Моя идея заключалась в том, чтобы нанизать их, как бусинки, на прямую, тянущуюся от −50 до +50, чтобы они висели там, как дождевые капли на проволочной ограде, а мы, глядя на них, смогли увидеть, имеется ли какой-нибудь порядок в распределении интервалов между ними. Однако это оказалось неосуществимым в пределах книжной страницы, поэтому пришлось порезать прямую на десять отрезков (от −50 до −40, от −40 до −30 и т.д.) и поместить эти отрезки один над другим. В результате получился рисунок 18.2.

Рисунок 18.2. Собственные значения случайной эрмитовой матрицы размера 269×269.

Никакого явного закона в распределении интервалов не просматривается. Хочется сказать, что они случайны. Но нет! На рисунке 18.3 показаны 269 чисел, выбранных совершенно случайно в интервале от 0 до 10 и изображенных тем же образом. Сравнение рисунков 18.2 и 18.3 позволяет увидеть, что собственные значения случайной матрицы раскиданы по прямой не случайным образом. На рисунке 18.2 заметен эффект отталкивания, тогда как для случайного разброса на рисунке 18.3 мы видим, что имеется большее по сравнению с распределением собственных значений число пар, расположенных достаточно близко друг к другу (а потому, неизбежно, и большее количество тех, что сидят дальше друг от друга). Хотя собственные значения на рисунке 18.2 и отказываются следовать какому-нибудь заметному глазу порядку (в конце концов, они же возникли из случайной матрицы!), они все же изо всех сил стараются сохранять дистанцию между собой. Напротив, чисто случайная точка, судя по всему, совсем не возражает, если ее прижмут к другой случайной точке.

Рисунок 18.3. Случайные интервалы между числами: 269 случайных чисел в интервале от 0 до 10.

Позвольте ввести три профессиональных термина, имеющие прямое отношение к обсуждаемому вопросу. Множество случайных (т.е. гауссовых случайных) эрмитовых матриц[164]{A9} описанного типа называется во всей своей совокупности «гауссовым унитарным ансамблем» (ГУА). Точные статистические свойства интервалов в длинных неоднородных строках из чисел типа тех, что фигурируют в приведенных примерах, выражаются так называемой парной корреляционной функцией. А некоторое отношение, связанное с этой функцией и достаточно точно эту функцию характеризующее, называется формфактором.

Теперь я готов рассказать о знаменательной встрече, которая привела к постановке весьма странных и загадочных вопросов о Гипотезе Римана и впоследствии послужила «виновницей» тысяч исследовательских проектов.

III.

Эта встреча произошла в 1972 году, когда в Институте высших исследований в Принстоне случайно столкнулись специалист по теории чисел и физик. Специалистом по теории чисел был Хью Монтгомери — молодой американец, который тогда состоял в аспирантуре в кембриджском Тринити-колледже — колледже Г.X. Харди. Физиком же был Фримен Дайсон, который в то время являлся профессором в принстонском Институте высших исследований. Дайсон, которого мы уже упоминали, был известным физиком. В тот момент он еще не освоил параллельную профессию автора наводящих на размышления бестселлеров о происхождении и будущем человеческого рода.

Как раз незадолго до этого Хью Монтгомери исследовал интервалы между нетривиальными нулями дзета-функции. Это исследование не было частью программы по возможному доказательству Гипотезы Римана. Просто так случилось, что определенный результат о природе этих интервалов имел приложения в области теории чисел, для полей, несколько напоминающих поле а + b√2, с которым мы познакомились в главе 17.ii.[165] Этим и занимался Монтгомери. Вот как звучит эта история в его собственном изложении:

Я сделал эту работу еще будучи аспирантом. Я уже подготовил текст диссертации, но еще не защитился. В начале работы я не понимал, что все это означает. У меня было такое чувство, что здесь нечто скрывается, но я не знал, что именно, и это меня сильно тревожило.

Той весной 1972 года Хэролд Даймонд[166] организовал конференцию по аналитической теории чисел в Сент-Луисе. Я поехал на эту конференцию и сделал там доклад, а потом полетел в Энн-Арбор. К тому моменту я принял приглашение на работу в Энн-Арбор и собирался купить там дом. И действительно купил. Затем, на обратном пути в Англию, я остановился в Принстоне с целью поговорить с Атле [Сельбергом] о своей работе. Я побаивался, что, показав ему свои результаты, услышу в ответ: «Неплохо, Хью, но я доказал все это много лет назад». С моей души упал камень, когда он ничего такого не сказал. Он выказал некоторый интерес, но в целом достаточно поверхностный.

В тот же день вечером мы вместе с Чоула[167] отправились на чай в Фалд-Холл. Посреди комнаты я увидел Фримена Дайсона. Предыдущий год я провел в Институте и прекрасно знал Дайсона в лицо, однако никогда с ним не разговаривал. Чоула спросил: «Вы знакомы с Дайсоном?» Я ответил, что не знаком. Он сказал: «Давайте я вас представлю». Я сказал, что не надо, я как-то не настроен знакомиться с Дайсоном. Но Чоула не отставал и в конце концов поволок меня через всю комнату, чтобы представить Дайсону. Дайсон был очень вежлив и спросил меня, чем я занимаюсь. Я ответил, что изучаю разности между нетривиальными нулями дзета-функции Римана и что у меня есть гипотеза, что в выражении для функции распределения этих разностей под интегралом стоит 1 − (sin πu/πu)2. Он очень оживился и сказал: «Это же формфактор для парных корреляций собственных значений случайных эрмитовых матриц!»

До этого я и не слышал о «парных корреляциях». Оказалось, что именно они являются недостающим связующим звеном. На следующий день Атле передал мне записку Дайсона со ссылкой на книгу Мехты[168] и с указанием на то, какие именно места мне надо посмотреть, и т.д. Этот разговор с Дайсоном остался нашим единственным разговором, и его письмо ко мне также было ровно одно. Но и этого оказалось немало. Я полагаю, что к сегодняшнему дню эту связь все равно удалось бы как-нибудь найти, но, без сомнения, было крупным везением, что она нашлась так быстро, потому что, когда я писал статью в выпускаемый по итогам конференции сборник, я уже был в состоянии использовать соответствующую терминологию, привести ссылки и дать интерпретацию. Забавно, что несколько лет спустя Дайсон опубликовал статью под заглавием «Упущенные возможности». Наверняка имеется масса упущенных возможностей, но моя история представляет собой контрпример. Поистине потрясающее стечение обстоятельств привело к нашей встрече в самый решительный момент.

Нетрудно понять, почему Фримен Дайсон так оживился. Выражение, упомянутое Хью Монтгомери, — выражение, которое возникло из исследований нетривиальных нулей дзета-функции Римана, — оказалось в точности формфактором, связанным с эрмитовыми матрицами, т.е. с объектом, которым Дайсон занимался в течение нескольких лет до этого в ходе исследования квантовых динамических систем. (И Монтгомери даже преуменьшил степень чудесного везения, благодаря которому произошла их встреча. Хотя Дайсон приобрел известность как физик, свою первую ученую степень он получил по математике, причем первой областью его интересов была теория чисел. Если бы не эта его предыстория, то он не смог бы оценить сообщение Монтгомери.[169])

Чтобы проиллюстрировать сказанное, возьмем все нетривиальные нули дзета-функции Римана до высоты 500i — т.е. на критической прямой от 1/2 до 1/2 + 500i (на этих небольших высотах мы точно знаем, что Гипотеза Римана верна). В этом интервале имеется 269 нулей (именно поэтому на рисунках 18.2 и 18.3 выбрано число 269). Они показаны на рисунке 18.4: интервал, на котором они живут, разбит на 10 отрезков, которые расположены друг над другом аналогично тому, как мы это делали раньше. Сравнивая рисунок 18.4 с рисунками 18.2 и 18.3, можно заметить, что он похож на рисунок 18.2, но не на рисунок 18.3.

Рисунок 18.4. Первые 269 значений t, где 1/2 + ti — нетривиальные нули дзета-функции.

При сравнении этих рисунков надо кое-что принять во внимание. Нулям дзета-функции на рисунке 18.4 требуется некоторое время для «разгона», и в соответствии с принципом, описанным в главе 13.viii, они группируются плотнее в более высоких областях вдоль критической прямой. Кроме того, собственные значения на рисунке 18.2 расположены несколько более свободно в начале и, соответственно, несколько более тесно в середине. Оба эффекта можно уменьшить, если взять большее количество нулей для большей матрицы, а также использовать нормировку (см. ниже). Даже с учетом этих искажений на основе приведенных рисунков довольно правдоподобными представляются следующие выводы.

• Ни нули дзета-функции, ни собственные значения не похожи на случайным образом разбросанные точки.

• Нули дзета-функции и собственные значения ведут себя похожим образом.

• В частности, и для нулей дзета-функции, и для собственных значений наблюдается эффект отталкивания.

IV.

Статья Монтгомери об интервалах между нулями дзета-функции была опубликована в журнале Американского математического общества в 1973 году. Она начинается словами «На протяжении данной статьи мы принимаем справедливость Гипотезы Римана (ГР)…». В этом нет ничего особенного. К 1973 году множество математических статей состояли из теорем, в которых предполагалась справедливость Гипотезы.[170] На сегодняшний день число их выросло еще больше, и если ГР (как отныне я буду ее именовать, следуя Монтгомери и всем другим современным исследователям) окажется неверной, то вся эта структура обвалится. Правда если контрпримеров окажется немного, значительную часть удастся спасти.

В работе Монтгомери 1973 года содержатся два результата. Первый — это теорема об общих статистических свойствах интервалов между нулями дзета-функции. В этой теореме предполагается справедливость ГР. Второй результат — гипотеза. Она утверждает, что парная корреляционная функция для этих интервалов именно такова, как Монтгомери описал ее в разговоре с Дайсоном. Важно понимать, что это гипотеза. Монтгомери не смог ее доказать даже в предположении о справедливости ГР. И никому другому тоже не удалось этого доказать.

Большая часть свойств нулей дзета-функции Римана, о которых пишут или рассказывают, как и большая часть идей, возникших за последние 30 лет, подобным же образом носят гипотетический характер. В этой области науки наблюдается явный дефицит твердых доказательств. Отчасти это вызвано тем, что после того, как Монтгомери выявил связь между нулями дзета-функции и собственными значениями, исследованиями ГР занялось много физиков и прикладных математиков. Сэр Майкл Берри[171] любит по этому поводу цитировать лауреата Нобелевской премии по физике Ричарда Фейнмана: «Известного куда больше, чем удается доказать». Отчасти же это происходит потому, что ГР представляет собой очень, очень упрямую проблему. ГР посвящено такое грандиозное количество литературы, что приходится все время напоминать себе, что на самом деле о нулях дзета-функции лишь очень мало известно наверняка и даже при всем всплеске интереса в течение нескольких последних лет математически неопровержимые результаты по-прежнему появляются лишь изредка, через длительные интервалы времени.

V.

Институт высших исследований в Принстоне, Нью-Джерси, находится всего в 32 милях от исследовательского центра Белловских лабораторий компании AT&T в Мюррей-Хилл. В 1978 году Хью Монтгомери читал в Принстоне лекции по теме, которая в то время называлась «гипотеза Монтгомери о парных корреляциях». Среди присутствовавших был молодой исследователь Эндрю Одлыжко, работавший в одном из отделов AT&T. Как раз в тот момент они приобрели суперкомпьютер Cray-1. Исследователи с воодушевлением строили планы запуска на нем своих программ и готовились к знакомству с теми алгоритмами, которые отвечали его архитектуре.

Размышляя по поводу лекции Монтгомери, Одлыжко рассуждал следующим образом. Гипотеза Монтгомери утверждает, что интервалы между нулями дзета-функции подчиняются некоторому статистическому закону. Этот закон возникает также при исследовании определенного семейства квантовых динамических систем, которые отвечают модели ГУА. Статистические свойства этого семейства были предметом интенсивного изучения в течение ряда лет. Однако статистические свойства нулей дзета-функции исследовались совсем мало. Пользу могло бы принести восстановление баланса — т.е. исследование статистических свойств нулей дзета-функции.

К этому Эндрю Одлыжко и приступил. Используя в качестве платформы для вычислений свободные процессорные мощности суперкомпьютера Cray в Белловских лабораториях[172] (ограниченные, однако, пятичасовым интервалом для каждого этапа вычислений), он с высокой точностью (около 8 десятичных знаков) получил первые 100 000 нетривиальных нулей дзета-функции Римана, исходя из формулы Римана-Зигеля. Далее, чтобы составить какое-то представление о происходящем много выше по критической прямой, он получил еще 100 000 нулей, начиная с 1000 000 000 001-го. Затем он прогнал эти два множества нулей через разнообразные статистические тесты, чтобы сравнить их с собственными значениями матриц, представляющих ГУА-операторы. Результаты этой работы были опубликованы в 1987 году в знаменитой статье, озаглавленной «О распределении интервалов между нулями дзета-функции».

Результаты оказались не полностью убедительными. Как сам Одлыжко весьма деликатно выразился в своей статье, «все полученные к настоящему моменту данные довольно неплохо согласуются с предсказаниями модели ГУА». Получилось несколько больше малых интервалов, чем это предсказывала модель ГУА. Тем не менее результаты Одлыжко произвели достаточное впечатление, чтобы привлечь внимание исследователей из нескольких различных областей. Дальнейшая работа позволила прояснить ситуацию с несоответствиями, отмеченными в статье 1987 года, и «гипотеза Монтгомери о парных корреляциях» стала законом Монтгомери-Одлыжко.[173]

Закон Монтгомери-Одлыжко

Распределение интервалов между последовательными нетривиальными нулями дзета-функции Римана (в правильной нормировке) статистически тождественно распределению собственных значений ГУА-оператора.

О природе полученных Одлыжко результатов я могу рассказать лишь вкратце. С этой целью я воспроизвел их на своем персональном компьютере, используя список нулей, который Одлыжко любезно разместил на своем веб-сайте.[174] Чтобы избежать всяких аномалий, связанных с малыми значениями, я взял нули от 90 001-го до 100 000-го, если считать вверх по критической прямой от z = 1/2. Это составляет 10 000 нулей — вполне достаточно, чтобы извлечь из них некоторый статистический смысл. Нуль с номером 90 001 расположен в точке 1/2 + 68 194,3528i, а 100 000-й нуль — в точке 1/2 + 74 920,8275i (если округлять до 4 знаков после запятой). Итак, изучим статистические свойства последовательности из 10 000 вещественных чисел, которая начинается числом 68 194,3528, а заканчивается числом 74 920,8275.

Мы говорили в главе 13.viii, что по мере движения вверх по критической прямой нули делаются в среднем ближе друг к другу и поэтому необходимо внести поправку — растянуть верхнюю часть выбранного интервала. Это совсем не сложно сделать, умножив каждое число на его логарифм. У бóльших чисел бóльшие логарифмы, а это как раз и требуется для того, чтобы выровнять среднее расстояние между нулями. В этом и состоит смысл слова «нормировка» в приведенной выше формулировке закона Монтгомери-Одлыжко. Теперь наша последовательность начинается числом 759 011,1279 и заканчивается числом 840 925,3931.

Далее, нас интересуют относительные интервалы между нулями, поэтому можно вычесть 759 011,1279 из каждого числа в последовательности — это не повлияет на результат. Последовательность теперь идет от нуля до числа 81 914,2653. И наконец, просто для того, чтобы сделать числа покрасивее, перейдем к другому масштабу, поделив каждое число на 8,19142653. Это также не повлияет на относительные интервалы, ведь все, что мы сделали, — это сменили масштаб. В этом окончательном виде наша последовательность начинается такими числами: 0, 1,2473, 2,5840 и т.д., а заканчивается числами 9 997,3850, 9 999,1528, 10 000.

Если включить значения на концах, то перед нами будет 10 000 приготовленных для исследования чисел, простирающихся от 0 до 10 000. Поскольку имеется 9999 интервалов между последовательными числами, средний интервал равен 10 000 : 9999, что лишь совсем чуть-чуть больше единицы.

Теперь можно задавать статистические вопросы. Например: как именно интервалы отклоняются от среднего? Сколь многие из них имеют длину меньше единицы?[175] Ответ: 5 349. У скольких из них длина больше 3? Ни у одного. Этот результат радикально отличается оттого, что получается из идеально случайного разброса[176], где эти числа соответственно равны 6 321 и 489. Это подтверждает те выводы, которые можно извлечь из рисунков 18.2 и 18.3. Наши нули не разбросаны случайным образом. Они более многочисленны вблизи среднего интервала (который слегка превышает 1), и при этом имеется острая недостача интервалов малой или большой величины.

Подсчитав число интервалов величиной от 0 до 0,1, от 0,1 до 0,2 и т.д. и нанеся полученные результаты на гистограмму, масштаб которой выбран так, что полная площадь равна 9999, получаем рисунок 18.5.

Рисунок 18.5. Закон Монтгомери-Одлыжко (распределение расстояний между нулями дзета-функции от 90 001-го до 100 000-го).

Там показано распределение интервалов между выбранными корнями и для сравнения — кривая, предсказываемая теорией ГУА. Совпадение не слишком хорошее, но и наша выборка не так уж велика или находится недостаточно высоко на критической прямой. Тем не менее соответствие достаточно хорошее, вполне в пределах отклонений, допускаемых случайностью; разумеется, совпадения в статье Одлыжко намного лучше.[177]

VII.

Итак: да, судя по всему, нетривиальные нули дзета-функции и собственные значения случайных эрмитовых матриц некоторым образом связаны друг с другом. Это ставит нас перед довольно серьезным вопросом, который все время висел в воздухе с момента встречи Хью Монтгомери и Фримена Дайсона в Фалд-Холл в 1972 году.

Нетривиальные нули дзета-функции Римана появились при исследовании распределения простых чисел. Собственные значения случайных эрмитовых матриц появились при исследовании поведения систем субатомных частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Скажите, пожалуйста, что вообще может быть общего между простыми числами и поведением субатомных частиц?

Глава 19. Поворот Золотого Ключа

I.

А теперь попытаемся проникнуть в самую сердцевину работы Римана 1859 года. Это по необходимости подразумевает знакомство с некоторым довольно продвинутым математическим аппаратом, который использовал сам Риман. Мне придется без лишних слов перескакивать через по-настоящему трудные места, преподнося их как faits accomplis[178]; я просто попытаюсь описать логические этапы в рассуждениях Римана, говоря при этом нечто вроде: «У математиков есть способ перейти от этого к этому», не объясняя, в чем же этот способ состоит и как он работает.

Я надеюсь, что у читателя в итоге сложится впечатление по крайней мере насчет общей логической канвы тех шагов, которым следовал Риман. Но даже и это не удастся без небольшой толики анализа, существенные моменты которого уже изложены в главе 7.vi-vii. Несколько следующих разделов могут показаться вам сложными. Но наградой будет результат столь же мощный, сколь и прекрасный, из которого вытекает все — сама Гипотеза, ее значение и ее связь с распределением простых чисел.

II.

Для начала выскажу нечто противоречащее тому, что было сказано в главе 3.iv. Ну, вроде как противоречащее. Там мы говорили, что не слишком интересно рисовать график функции π(N), которая подсчитывает для нас простые числа. В том месте книги так и было. А теперь это не так.

Однако сначала кое-что подкорректируем. Вместо того чтобы писать π(N), что на глаз математика выглядит как «число простых чисел, не превышающих натурального числа N», будем писать π(x), что должно означать «число простых чисел, не превышающих вещественного числа x». Ничего особенного мы не сделали. Разумеется, число простых чисел, не превышающих 37,51904283, есть просто число простых чисел, не превышающих 37 (и равно двенадцати: это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37). Но нам предстоит познакомиться с некоторым объемом дифференциального и интегрального исчисления, и поэтому желательно находиться в царстве всех, а не одних только целых чисел.

И еще одна корректировка. При постепенном приближении к аргументу x в пределах некоторого интервала значений функция π(x) внезапно совершает прыжки. Пусть, например, x постепенно переходит от числа 10 к числу 12. Число простых чисел, не превышающих 10, равно 4 (это 2, 3, 5 и 7), так что значение функции равно 4, когда x = 10 и, равным образом, разумеется, когда x = 10,1, 10,2, 10,3 и т.д. Но при аргументе 11 это значение внезапно совершает прыжок к 5; и для 11,1, 11,2, 11,3, … оно твердо стоит на 5. Математики называют такое «ступенчатой функцией». И здесь нам потребуется корректировка, которую используют довольно часто, когда имеют дело со ступенчатыми функциями. Ровно в той точке, где π(x) совершает прыжок, присвоим ей значение, лежащее посередине между значениями, от которого и до которого она прыгает. Так, при аргументе 10,9, или 10,99, или 10,999999 функция имеет значение 4; при аргументе 11,1, или 11,01, или 11,000001 функция имеет значение 5; но при аргументе 11 это будет 4,5. Сожалею, если это представляется вам немного необычным, но это важно для наших целей. Если мы так сделаем, то все рассуждения из этой главы и из главы 21 будут иметь силу; а если нет, то они не будут работать.

Теперь можно, наконец, продемонстрировать график функции π(x) (рис. 19.1). К ступенчатым функциям не сразу привыкаешь, но с математической точки зрения они представляют собой совершенно нормальное явление. Область определения у нас сейчас — все неотрицательные числа. В этой области определения для каждого аргумента имеется единственное значение нашей функции. Дайте мне аргумент, и я скажу вам значение. В математике бывают функции и покруче.

Рисунок 19.1. Функция, считающая простые числа.

III.

Теперь введем другую функцию — также ступенчатую, но при этом слегка более хитрую, чем π(x). В статье 1859 года Риман называет ее просто «функция f», но мы вслед за Хэролдом Эдвардсом будем называть ее «функцией J». Со времен Римана математики привыкли использовать f для обозначения функции вообще: «Пусть f — произвольная функция…» — так что они могут слегка напрячься, увидев f в роли некоторой конкретной функции.

Итак, определим функцию J. Для любого неотрицательного числа x значение функции J равно

J(x) = π(x) + 1/2π(√x) + 1/3π(3√x) + 1/4π(4√x) + 1/5π(5√x) + …. (19.1)

Здесь «π» обозначает функцию числа простых чисел именно в том виде, как выше мы ее определили для любого вещественного числа x.

Заметим, что приведенная сумма — не бесконечная. Чтобы убедиться в этом, возьмем любое фиксированное число x, скажем, x = 100. Квадратный корень из 100 равен 10; кубический корень равен 4,641588…; корень четвертой степени равен 3,162277…; корень пятой степени 2,511886…; корень шестой степени 2,154434…; корень седьмой степени 1,930697…; корень восьмой степени 1,778279…; корень девятой степени 1,668100… и корень десятой степени равен 1,584893…. Можно было бы, конечно, вычислить и корни одиннадцатой, двенадцатой, тринадцатой степени и т.д., сколько вам заблагорассудится, но в этом нет необходимости, потому что функция числа простых чисел обладает таким очень приятным свойством: если x меньше 2, то π(x) равна нулю — просто потому, что нет никаких простых чисел, меньших 2! Таким образом, при вычислении корней из 100 можно было на самом деле остановиться после корня седьмой степени. Вот что мы в результате имеем:

J(100) = π(100) + 1/2π(10) + 1/3π(4,64…) + 1/4π(3,16…) + 1/5π(2,51…) + 1/6π(2,15…) + 0 + 0 + …,

и если теперь сосчитать число простых, то это равно

J(100) = 25 + (1/2×4) + (1/3×2) + (1/4×2) + (1/5×1) + (1/6×1),

что дает 28^8/15 или 28,53333…. При извлечении корней из любого числа рано или поздно значения падают ниже 2, и начиная с этого места все члены в выражении для функции J равны нулю. Поэтому для любого аргумента x значение функции J(x) можно получить, вычисляя конечную сумму — существенное улучшение по сравнению с некоторыми из функций, что нам встречались!

Как уже говорилось, функция J ступенчатая. На рисунке 19.2 показано, как она выглядит при аргументах до 10. Как видно, функция J совершает прыжок от одного значения к другому, остается на новом значении на некоторое время, потом совершает новый прыжок. Что это за прыжки? Какой закон за ними стоит?

Рисунок 19.2. Функция J(x).

Вглядевшись очень внимательно в выражение (19.1), мы увидим следующую закономерность. Во-первых, когда x — простое число, функция J(x) совершает прыжок на высоту 1, потому что π(x) — число простых чисел, не превышающих x, — при этом увеличивается на 1. Во-вторых, когда x является точным квадратом простого числа (например, x = 9, что есть квадрат числа 3), J(x) совершает прыжок на одну вторую, потому что квадратный корень из x есть простое число, а значит, π(√x) возрастает на 1. В-третьих, когда x есть точный куб простого числа (например, x = 8, что есть куб числа 2), J(x) совершает прыжок на одну треть, потому что кубичный корень из x равен простому числу, а значит, π(3√x) возрастает на 1, и т.д.

Попутно заметим, что функция J обладает тем же свойством, которым мы снабдили функцию π(x): в точке, где реально происходит прыжок, она принимает значение, лежащее посередине между теми значениями, от которого и до которого она прыгает.

Для полноты представления функции J на рисунке 19.3 изображен график J(x) при аргументах до 100. Самый маленький прыжок здесь совершается при x = 64 — это число представляет собой шестую степень (64 = 2^6), так что функция J прыгает при x = 64 на одну шестую.

Рисунок 19.3. Еще о функции J(x).

Какую пользу может принести подобная функция? Терпение, терпение. Сначала придется совершить один из тех логических скачков, о которых я предупреждал в начале главы.

IV.

Напоминаю в который уже раз, что у математиков есть масса способов обращать соотношения. Дали нам выражение для P через Q — отлично, посмотрим, не найдется ли способа выразить Q через P. В течение столетий в математике был развит целый инструментарий для того, чтобы совершать обращения, — он включает набор приемов для использования в самых разных условиях и обстоятельствах. Один из таких приемов носит название мебиусова обращения, и оно-то нам сейчас и нужно.

Не буду пытаться объяснить мебиусово обращение в общем виде. Оно описано в любом хорошем учебнике по теории чисел (см., например, раздел 16.4 в классической монографии «Теория чисел» Харди и Райта), а кроме того, поиск в Интернете наведет вас на множество ссылок. Подражая до некоторой степени самим функциям π и J, я вместо того, чтобы уныло тащиться от одной точки в моих рассуждениях к другой, перескочу сразу к следующему факту: применение мебиусова обращения к выражению (19.1) дает такой результат:

π(x) = J(x) − 1/2J(√x) − 1/3J(3√x) − 1/5J(5√x) + 1/6J(6√x) − 1/7J(7√x) + 1/10J(10√x) + …. (19.2)

Можно заметить, что некоторые члены (четвертый, восьмой, девятый) здесь отсутствуют. А из тех, что присутствуют, некоторые (первый, шестой, десятый) входят со знаком плюс, тогда как другие (второй, третий, пятый, седьмой) — со знаком минус. Ничего не напоминает? Здесь спрятана функция Мебиуса из главы 15. На самом деле

(где 1√x как и в других местах в книге, есть, конечно, просто x). Почему, как вам теперь кажется, это назвали мебиусовым обращением?

Итак, мы записали функцию π(x), выразив ее через J(x). Это чудесно, потому что Риман нашел способ, как выразить J(x) через ζ(x).

Прежде чем расстаться с выражением (19.2), надо еще упомянуть, что, подобно выражению (19.1), это не бесконечная сумма, а конечная. Это происходит из-за того, что функция J, как и функция π, равна нулю, когда x меньше 2 (взгляните на график!), а если последовательно извлекать корни из какого-нибудь числа, то результат рано или поздно упадет ниже 2 и там останется. Например,

π(100) = J(100) − 1/2J(10) − 1/3J(4,64…) − 1/5J(2,51…) + 1/6J(2,15…) − 0 + 0 + … = 28^8/15 − 2^2/3 − 5/6 − 1/5 + 1/6,

что дает в точности число 25, которое и в самом деле является числом простых чисел меньших 100. Волшебство.

А теперь повернем Золотой Ключ.

V.

Вот Золотой Ключ, первое равенство в статье Римана 1859 года, полученное нами в главе 7, когда я убеждал вас, что это просто хитрый способ переписать решето Эратосфена:

He будем забывать, что числа, появляющиеся в правой части, — это в точности все простые числа.

Возьмем логарифм от обеих частей. Если что-то равно чему-то, то, конечно, и логарифм одного должен быть равен логарифму другого. Согласно 9-му правилу действий со степенями, которое гласит, что ln(a×b) = ln а + ln b, получаем

Но, поскольку ln 1/a = −ln a согласно 10-му правилу, это выражение равно

Теперь вспомним ряд сэра Исаака Ньютона для функции ln (1 − x) из главы 9.vii. Он пригоден при x, лежащем от −1 до +1, что, без сомнения, выполнено в нашем случае, поскольку s положительно. Поэтому каждый логарифм можно разложить в бесконечный ряд таким образом (19.3):

Это бесконечная сумма бесконечных сумм — с первого взгляда, я полагаю, подобное немного пугает, но в математике такие конструкции встречаются достаточно часто.

Сейчас может показаться, что мы оказались в ситуации, которая много хуже той, что была вначале. Аккуратненькое бесконечное произведение мы превратили в бесконечную сумму бесконечных сумм. Предприятие может показаться безнадежным. Да, но это если не использовать всю мощь анализа.

VI.

Возьмем какой-нибудь один из членов в этой сумме сумм. Выберем, например, . Рассмотрим функцию x−s−1 и будем временно считать, что s — положительное число. Каков интеграл от x−s−1? В силу общих правил обращения со степенями, приведенных в главе 7.vii, это x−s/(−s), т.е. (−1/s)×(1/xs). Если мы возьмем этот интеграл при x, равном бесконечности, и вычтем из того, что получится, тот же интеграл, взятый при x равном 3^2,то что получится? Ну, если x — очень большое число, то (−1/s)×(1/xs) — число очень маленькое, так что справедливо будет считать, что, когда x бесконечно велико, это выражение равно нулю. И из этого — из нуля — мы собираемся вычесть (−1/s)×(1/(3^2)s). Такое вычитание дает (1/s)×(1/(3^2)s). Сухой остаток таков: выбранный член в выражении (19.3) можно переписать в виде интеграла

Но зачем мы вообще все это делаем? Чтобы вернуться к функции J, вот зачем.

Дело в том, что x = 3^2 — это значение, при котором функция J совершает прыжок на 1/2. В голове у математика — и уж точно в голове у великого математика, каким был Риман, — приведенное выражение сразу вызывает некоторый образ. Этот образ представлен на рисунке 19.4: это функция J с заполненной полосой. Полоса тянется от 3^2 (т.е. от 9) до бесконечности и имеет высоту одна вторая. Ясно, что вся площадь под (говорим «площадь под» — думаем «интеграл») графиком функции J составлена из подобных же полосок. Полоски высотой 1, протянувшиеся от каждого простого числа до бесконечности; полоски высотой одна вторая, идущие от каждого квадрата простого числа до бесконечности; полоски высотой одна треть от каждого куба простого числа до бесконечности… Видите, как все срастается с той бесконечной суммой бесконечных сумм в выражении (19.3)?

Рисунок 19.4. .

Конечно, площадь под графиком функции J бесконечна. Нарисованная полоска уже имеет бесконечную площадь (высота 1/2, длина бесконечна, площадь 1/2×∞ = ∞). Таковы же площади и всех других полосок. Все вместе они складываются в бесконечность. Но что, если я пожелаю «придавить» функцию J справа таким образом, чтобы площадь под графиком стала конечной? Так, чтобы каждая из этих полосок постепенно сужалась и сжималась до такой степени, чтобы площадь ее стала конечной? Как можно было бы осуществить такое «придавливание»?

Последний интеграл подсказывает как. Предположим, что мы взяли какое-нибудь число s (которое будем считать большим единицы). Для каждого аргумента x умножим J(x) на x−s−1. Для иллюстрации возьмем s = 1,2. Тогда x−s−1 = x−2,2 или, другими словами, 1/x2,2. Возьмем аргумент x, скажем, равным 15. Вот, J(15) есть 7,333333…, а 15−2,2 равно 0,00258582…. Перемножая, получаем, что J(x)x−s−1 имеет значение 0,018962721…. Если брать большие аргументы, то сдавливание будет выражено более ярко. При x = 100 значение выражения J(x)x−s−1 равно 0,001135932….

На рисунке 19.5 показан график функции J(x)x−s−1 при s = 1,2. Чтобы подчеркнуть «эффект сдавливания», там показана та же самая полоска, которая была выделена и ранее, но теперь после сдавливания. Видно, как она все более и более худеет по мере того, как аргумент устремляется на восток. Имеется вполне реальный шанс, что вся площадь окажется конечной, несмотря на свою бесконечную длину. В предположении, что так и есть и что дело обстоит таким же образом для всех полосок, спросим себя: какова же будет полная площадь под графиком этой функции? Или, выражаясь математически, каково будет значение ?

Рисунок 19.5. при s = 1,2.

Давайте посмотрим. Будем перебирать простые числа одно за одним. Для простого числа 2 до сдавливания имеем полоску высоты 1, идущую от 2 до бесконечности, далее полоску высоты идущую от 2^2 до бесконечности, затем полоску высоты идущую от 2^3 до бесконечности, и т.д. Сумма площадей сдавленных полосок — если мы рассматриваем пока только простое число 2 — равна (19.4):

Конечно, это пока только 2-полоски. Имеется аналогичная бесконечная сумма интегралов для 3-полосок (19.5):

И аналогичная сумма для 5, потом для 7 и т.д. для всех простых чисел. Бесконечная сумма бесконечных сумм интегралов! Все хуже и хуже! Да, но самый густой мрак перед рассветом.

Это возвращает нас к началу данного раздела. Поскольку интеграл прозрачен для умножения на число,  — это то же самое, что . Но в начале раздела мы видели, что член, который мы в качестве пробного выбрали в выражении (19.3), т.е. , равен — другими словами, s умножить на то, что мы только что получили. Так к чему же сводится выражение (19.5)? Вот именно, в точности ко второй строке в выражении (19.3), деленной на s! А выражение (19.4) плюс выражение (19.5) плюс аналогичные выражения для всех остальных простых чисел суммируются к выражению (19.3), деленному на s. Вот и рассвет! Получается, что штука, с которой я тут забавляюсь, т.е. , равна просто выражению (19.3), деленному на s. Но выражение (19.3) равно ln ζ(z), как нам подсказывает Золотой Ключ. Отсюда получается следующий результат.

Золотой Ключ (аналитический вариант) (19.6)

Я просто не нахожу слов, чтобы выразить, насколько это чудесный результат. Он ведет прямо к центральному результату в работе Римана — результату, который будет предъявлен в главе 21. На самом деле это просто переписывание Золотого Ключа в терминах анализа. Однако переписать его так — это невероятно мощное достижение, потому что теперь Золотой Ключ открыт для всех мощных средств дифференциального и интегрального исчисления XIX века. В этом состояло достижение Римана.

Среди упомянутых средств обращения имеется еще один метод, который позволяет вывернуть полученное выражение наизнанку и записать J через ζ. Я немного потяну с предъявлением обращенного выражения. Но логика во всяком случае ясна:

• можно выразить π(x) через J(x) (раздел IV данной главы);

• обратив выражение (19.6), можно выразить J(x) через дзета-функцию

и, следовательно,

• можно выразить π(x) через дзета-функцию.

Именно за это предприятие Риман и взялся, потому что в результате окажется, что все свойства функции π некоторым образом закодированы в свойствах ζ-функции.

Функция π относится к теории чисел; ζ-функция относится к анализу, и мы перебросили понтонный мост через пролив, разделяющий два берега — счет и измерение. Коротко говоря, мы только что получили мощный результат в аналитической теории чисел. На рисунке 19.6 графически представлено выражение (19.6) — Золотой Ключ в аналитическом виде.

Рисунок 19.6. Затемненная область представляет собой интеграл при s = 1,2. Его численное значение составляет 1,434385276163. Он равен 1/s∙ln ζ(s).

Глава 20. Риманов оператор и другие подходы

I.

Закон Монтгомери-Одлыжко утверждает, что нетривиальные нули дзета-функции Римана выглядят — имеется в виду статистически — как собственные значения некоторой случайной эрмитовой матрицы. Операторы, представляемые такими матрицами, можно использовать для моделирования определенных динамических систем в квантовой физике. А имеется ли при этом оператор Римана — оператор, собственные значения которого в точности совпадают с нулями дзета-функции? Если да, то какую динамическую систему он представляет? Удастся ли создать такую систему в физической лаборатории? И если удастся, то поможет ли это в доказательстве Гипотезы?

Эти вопросы активно изучались еще до выхода статьи Одлыжко 1987 года. За год до того Майкл Берри опубликовал статью под заглавием «Дзета-функция Римана: Модель квантового хаоса?». Используя ряд хорошо известных и широко обсуждавшихся в то время результатов (и среди них некоторые результаты Одлыжко), Берри обратился к следующему вопросу. Предположим, что риманов оператор существует; тогда динамическую систему какого типа он бы моделировал? Ответ, который он предложил, — хаотическую систему. Чтобы объяснить это, нам надо ненадолго переключиться на знакомство с теорией хаоса.

II.

Тот факт, что чистая теория чисел — наука о натуральных числах и их взаимоотношениях — может соотноситься с субатомной физикой, вовсе не удивителен. В квантовой физике арифметическая составляющая выражена намного сильнее, чем в классической физике, поскольку основополагающая идея состоит в том, что материю и энергию нельзя делить до бесконечности. Энергия передается только в виде 1, 2, 3 или 4 квантов, но никак не 1^1/2, 2^17/52, √2 или π квантов. Это, конечно, далеко не все, что есть в квантовой механике; ее саму невозможно было бы разработать без наиболее мощных средств самого современного анализа. Например, знаменитое волновое уравнение Шредингера записывается на традиционном языке дифференциального исчисления. Тем не менее арифметическая составляющая в квантовой механике несомненно присутствует, тогда как в классической механике ее практически вовсе нет.

Основания классической физики — физики Ньютона и Эйнштейна — по сути своей аналитические, в математическом смысле. Они опираются на математический анализ, на понятия бесконечной делимости, гладкости и непрерывности, предела и производной, а также вещественных чисел. Не будем забывать, что, именно развивая и доводя понятие «предела» до логического конца, Ньютон и изобрел дифференциальное и интегральное исчисление, в конце концов ставшее содержанием большей части анализа.

Рассмотрим классическую задачу о движении одного тела вокруг другого по эллиптической орбите под действием силы их взаимного гравитационного притяжения. На некотором расстоянии (измеряемом вещественным числом r) от основного тела другое тело (спутник) имеет некоторую строго определенную скорость (выражаемую другим вещественным числом v). Связь между v и r дается точным математическим выражением; v есть в действительности функция от r, выражаемая так называемым уравнением vis viva[179], знакомым всем, кто изучал элементарную небесную механику:

где M и a — некоторые заданные числа, определяемые параметрами системы и начальными условиями — в частности, массами тел и т.п.

На практике, конечно, нельзя достичь бесконечной точности, требуемой для того, чтобы присвоить определенные вещественные значения величинам r и v. Пусть даже мы измеряем r с точностью до 10 или даже 20 знаков после запятой; но ведь для точного выражения вещественного числа требуется бесконечно много десятичных разрядов, а добиться такого мы не можем. Следовательно, для любой реальной орбиты имеется некоторая, пусть очень малая, ошибка при определении вещественных значений буквы r, а также соответствующая ошибка в вычисленных значениях буквы v. Это не играет большой роли: законы Кеплера уверяют нас, что все равно получится правильный эллипс, а математика уравнения vis viva говорит, что ошибка в 1 процент при определении r, как правило, приведет лишь к 0,5-процентной ошибке при вычислении значений v. Таким образом, ситуация управляема и предсказуема. Как говорят математики, «задача интегрируема».

Но это была очень простая задача. Почти все реальные физические проблемы сложнее, чем эта. Рассмотрим, например, случай трех тел, испытывающих взаимное гравитационное притяжение, — знаменитую «задачу трех тел». Можно ли найти ее решение в замкнутом виде, как для уравнения vis viva? Интегрируема ли она?

К концу XIX столетия стало ясно, что ответы таковы: «нет, не можем» и «нет, задача неинтегрируема». Единственный способ получить решение — использовать численные расчеты на компьютере, которые неизбежно носят приближенный характер.

На самом деле в 1890 году Анри Пуанкаре опубликовал статью, внесшую ясность в задачу трех тел: он четко показал, что эта задача не только не допускает решения в замкнутом виде, но и обладает куда более тревожным свойством — ее решения временами приобретают хаотический характер. Это значит, что даже малейшие изменения начальных условий в задаче — аналогов величин M и a в рассмотренном примере задачи двух тел — могут привести к изменению вычисленных орбит до неузнаваемости. Сам Пуанкаре заметил, что один набор условий дает «орбиты столь запутанные, что я даже и не пытался их изобразить».

Согласно распространенному мнению, работа Пуанкаре знаменует собой рождение современной теории хаоса. В течение нескольких десятилетий в теории хаоса не происходило ничего особенного, главным образом потому, что у математиков просто не было средств для обращения с числами — средств для перемалывания чисел в масштабах, требуемых при анализе хаоса. Ситуация изменилась, когда стали доступными компьютеры, и теория хаоса пережила второе рождение в 1960-х годах в трудах метеоролога Эда Лоренца, работавшего в Массачусетсом технологическом институте.[180] Теория хаоса в настоящее время представляет собой обширный предмет, охватывающий много различных более частных дисциплин из физики, чистой математики и вычислительной математики.

Важно осознать, что такая хаотическая система, как решение задачи трех тел, не обязана состоять из случайных движений (и, как правило, из них и не состоит). Прелесть теории хаоса заключается в том, что в хаотических системах присутствуют определенные структуры. В общем случае хаотическая система никогда не проходит снова по раз пройденным положениям, однако она повторяющимся образом воспроизводит указанные структуры; в их основе лежат некоторые правильные, но неустойчивые периодические орбиты, по которым система теоретически могла бы двигаться, если бы нам была доступна бесконечная точность, требуемая для запуска системы именно и абсолютно точно по такой орбите.

III.

При первом появлении современной теории хаоса физики восприняли ее как чисто классический предмет, не имеющий никакого отношения к квантовой теории. Хаос возникает из явлений, подобных тем, какие происходят в задаче трех тел, вследствие того, что начальные условия задаются вещественными числами, числами для измерения, которые можно дробить до бесконечности; их можно изменить на 1 процент, или на 0,1 процента, или на 0,001 процента… Поскольку условия можно варьировать бесконечно, возникает бесконечно много возможных вариантов движения системы. В квантовой же теории, наоборот, начальные условия можно варьировать на 1, 2 или 3 единицы, но не на 1^1/2 или 2,749. Получается так, что в квантовой теории для хаоса «не должно быть места». Верно, что в квантовой механике имеется некоторая степень неопределенности, но управляющие всем уравнения тем не менее линейны. Малые возмущения приводят к малым последствиям, как это имеет место и для классического уравнения vis viva в задаче двух тел.

И все же в динамических системах квантового масштаба можно наблюдать некоторую степень хаоса. Упорядоченную структуру уровней энергии для электронов на орбите вокруг атомного ядра, например, можно «взболтать», приведя в нерегулярное состояние путем наложения достаточно сильного магнитного поля. (Это, кстати, одна из динамических систем, моделируемых операторами ГУА.) После этого поведение атома становится хаотичным — оно будет радикально другим уже при самом легком изменении начальных условий.

Однако даже если такие системы с квантовым хаосом и сохраняют свое существование в течение некоторого времени, то законы квантовой механики в конце концов приводят их к порядку, отфильтровывая весь хаос. Число разрешенных состояний уменьшается; число запрещенных растет. Чем больше и сложнее система, тем большее время занимает восстановление порядка за счет квантовых законов и тем больше число разрешенных состояний… пока, уже на масштабе нашего обычного мира, утверждение квантового порядка не станет занимать триллионы лет, а число разрешенных состояний не достигнет столь большой величины, что его спокойно можно будет считать бесконечным. Поэтому в классической физике и имеется хаос.

Еще в 1971 году физик Мартин Гутцвиллер[181] нашел способ связать хаотические системы в классическом масштабе с подобными системами в квантовом мире путем взятия предела в уравнениях квантовой механики, когда квантовый множитель — постоянная Планка — стремится к нулю. Таким образом получается «квазиклассическая» система, а периодические орбиты, лежащие в основе классических хаотических систем, отвечают собственным значениям оператора, задающего эту систему.

Майкл Берри показал, что если риманов оператор существует, то он моделирует одну из этих квазиклассических хаотических систем, причем его собственные значения — мнимые части нулей дзета-функции — являются уровнями энергии этой системы. Периодические орбиты в аналогичной классической хаотической системе отвечали бы… — простым числам! (Строго говоря, их логарифмам). Кроме того, он показал, что у этой квазиклассической системы не было бы свойства «симметрии относительно обращения времени» — другими словами, если представить себе, что все скорости всех частиц в системе мгновенно и одновременно заменяются на противоположные, то система не вернется к своему начальному состоянию. (Хаотические системы могут допускать, а могут и не допускать обращение времени. Те, которые его допускают, моделируются не операторами типа операторов ГУА, а операторами другого вида, принадлежащими другому ансамблю — ГОА, т.е. гауссову ортогональному ансамблю.) Работа Берри (в значительной ее части — в сотрудничестве с его коллегой из Бристоля Джонатаном Китингом) представляет собой тонкое и глубокое исследование. Например, он очень детально проанализировал формулу Римана-Зигеля с целью глубоко проникнуть в природу нулей и их влияния друг на друга на различных отрезках их существования. На момент написания книги он пока не отождествил динамическую систему, отвечающую оператору Римана, но если такой оператор существует, то благодаря его работе мы распознаем его немедленно, как только он попадется нам на глаза.{A5}

IV.

Альтернативный подход развил другой исследователь — Ален Конн, профессор математики из парижского Коллеж де Франс. Вместо того чтобы выискивать, оператор какого типа мог бы иметь своими собственными значениями нули дзета-функции, он просто взял и построил такой оператор.

Это потребовало немалой ловкости. Оператор необходимо снабдить чем-то, на что он может действовать. Операторы того типа, о которых говорилось выше, действуют на пространствах. Плоское двумерное пространство может послужить иллюстрацией общего принципа, если в качестве наглядного пособия взять лист миллиметровки, хотя при этом и придется представлять себе, что он продолжается по всем направлениям до бесконечности. Предположим, что мы повернули это пространство на 30 градусов против часовой стрелки, так что каждая точка в нем тем самым переместилась в некоторую другую точку (за единственным исключением точки, вокруг которой происходит вращение, — она-то остается на месте). Это вращение дает пример оператора. Характеристический многочлен этого конкретного оператора имеет вид x^2 − √3x + 1[182], а собственные значения равны 1/2√3 + 1/2i и 1/2√3 − 1/2i.

При желании для описания каждой точки в нашем пространстве можно ввести систему координат: для этого надо провести горизонтальную ось x и вертикальную ось y, пересекающиеся в точке вращения, и, как обычно, отложить расстояния в дюймах или сантиметрах вдоль этих осей. Тогда можно заметить, что наш оператор вращения отправляет точку (x, y) в новую точку с другими координатами — которые в действительности равны (1/2√3x + 1/2y, 1/2√3x − 1/2y). Для оператора самого по себе это, впрочем, большого значения не имеет — оператор существует и отправляет точки на плоскости в новые точки независимо от какой бы то ни было системы координат. Вращение остается вращением, даже если мы забыли нарисовать пару осей.

Операторы, применяемые в математической физике, разумеется, действуют на значительно более сложных пространствах, чем в нашем примере. Эти пространства не двумерны и даже не трехмерны (подобно обычному пространству, которое окружает нас в быту), и даже не четырехмерны (как пространство-время, возникающее в теории относительности). Они представляют собой абстрактные математические пространства с бесконечным числом измерений. Каждая точка в таком пространстве является функцией. Операторы преобразуют функции в другие функции, а на языке пространств и точек это выражается как отображение одной точки в другую.

Чтобы получить первое представление о том, каким образом функцию можно отождествить с точкой в пространстве, рассмотрим один простой класс функций — квадратичные многочлены p + qx + rx^2. Семейство всех таких многочленов можно представить в трехмерном пространстве, если многочлену p + qx + rx^2 поставить в соответствие точку с координатами (p, q, r). В том же духе, четырехмерное пространство будет моделировать кубические многочлены; пятимерное пространство — многочлены четвертой степени и т.п. Далее, поскольку некоторые функции можно записать в виде рядов, а ряд выглядит как бесконечный многочлен (например, ex записывается в виде 1 + x + 1/2x^2 + 1/6x^3 + 1/24х^4 + …), становится понятно, как бесконечное число измерений может пригодиться при описании функций. На этом языке ex станет точкой в пространстве, заданной бесконечным набором координат (1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, …).

Функции, с которыми имеет дело квантовая механика, — это волновые функции, которые определяют вероятность того, что частицы, составляющие описываемую систему, занимают определенные положения и имеют определенные скорости в данный момент времени. Другими словами, каждая точка в пространстве функций представляет некоторое состояние системы. Используемые в квантовой механике операторы кодируют наблюдаемые свойства системы; наибольшую известность имеет оператор Гамильтона, который кодирует энергию системы. Собственные значения оператора Гамильтона представляют собой уровни энергии в системе. Далее, каждое собственное значение определенным образом связывается с вполне определенной точкой (т.е. функцией) в бесконечномерном пространстве, называемой собственной функцией; она служит для представления состояния системы при заданном уровне энергии. Эти собственные функции играют ключевую роль при описании состояний системы. Всякое возможное состояние системы, любое ее физическое проявление дается некоторой линейной комбинацией собственных функций, в точности так же, как всякую точку в трехмерном пространстве можно записать в виде (x, y, z), т.е. в виде линейной комбинации точек (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1).

Ален Конн построил довольно своеобразное пространство, на котором предстояло действовать его риманову оператору. Простые числа встроены в это пространство некоторым способом, заимствованным из понятий алгебраической теории чисел. Дадим краткий обзор работы Конна.

V.

B основе построения всей классической физики лежат вещественные числа, такие как 22,45915771836…; поскольку такие числа не имеют замкнутого вида, требуется бесконечная последовательность десятичных разрядов, чтобы теоретически достичь полной точности. Реальные физические измерения, однако, носят приближенный характер, давая что-то вроде 22,459. Это рациональное число, равное 22 459/1000. Все, что есть в физическом эксперименте, можно, таким образом, выразить с помощью рациональных чисел — элементов из Q. Чтобы перейти от мира эксперимента к миру теории, надо пополнить поле Q (см. главу 11.v). Другими словами, требуется его расширить таким образом, чтобы для всякой имеющей предел бесконечной последовательности чисел из Q этот предел лежал бы или в самом Q, или в поле-расширении. Обычный и естественный способ такого пополнения приводит к вещественным числам R и комплексным числам С.

Однако в алгебраической теории чисел имеются и другие возможности для пополнения Q. В 1897 году прусский математик Курт Хензель[183], работая над определенной задачей в теории алгебраических полей, ввел целое новое семейство объектов, подобных полю чисел вида а + b√2, которое мы рассматривали в главе 17.ii. Эти объекты называются p-адическими числами. Для каждого простого числа p имеется по одному из этих экзотических созданий, содержащих бесконечно много элементов. Кирпичики, из которых строится такое поле, — это обсуждавшиеся в главе 17.ii «циферблатные» кольца размера p, p^2, p^3, p^4 и т.д. В моих обозначениях это кольца CLOCKp, CLOCKp2, CLOCKp3, …. Например, поле 7-адических чисел построено из CLOCK_7, CLOCK_49, CLOCK_343, CLOCK_2401, …. Помните приводившуюся ранее иллюстрацию того, как конечное поле можно использовать для построения бесконечного поля? Так вот, здесь используется бесконечное число конечных колец для построения нового бесконечного поля!

Поле p-адических чисел обозначается символом Qp. Таким образом, имеются поле Q_2, поле Q_3, поле Q_5, поле Q_7, поле Q_11 и т.д. Каждое из них — полное поле: Q_2 есть поле 2-адических чисел, Q_3 есть поле 3-адических чисел и т.д.

Как можно догадаться уже из обозначений, p-адические числа чем-то похожи на обычные рациональные числа. Однако поле Qp богаче и устроено более сложно, чем поле Q, и в некоторых отношениях скорее напоминает поле вещественных чисел R. Как и R, поле Qp можно использовать для пополнения поля Q.

Здесь вы можете высказать определенное недоумение: «Все отлично, но ведь было сказано, что поле Qp этих странных новых объектов — р-адических чисел — существует для всякого простого числа p и что любое Qp позволяет пополнить поле Q; так какое же из них надо предпочесть? Q_2? Q_3? Q_11? Q_45827? Какое простое число должен выбрать профессор Конн, чтобы устроить свой фокус — перекинуть мост между простыми числами и физикой динамических систем?»

Ответ таков: их все! Дело в том, что имеется алгебраическое понятие, называемое аделем, которое охватывает в свои широкие объятия все Qp для всех простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, …. И там же оказываются и вещественные числа! Адели построены из Q_2, Q_3, Q_5, Q7, … и R способом, напоминающим тот, каким p-адические числа построены из CLOCKp, CLOCKp2, CLOCKp3, …. Если угодно, адели находятся на один уровень абстракции выше p-адических чисел, которые сами располагаются на один уровень абстракции выше, чем рациональные числа.

Если от всего этого у вас кружится голова, то достаточно сказать, что имеется класс суперчисел, являющихся одновременно 2- адическими, 3-адическиими, 5-адическими, … и при этом еще и вещественными. В каждое из этих суперчисел вложены все простые числа.

Без сомнения, адель — довольно заумное понятие. Однако нет на свете ничего настолько заумного, чтобы оно рано или поздно не пробило себе дорогу в физику. В 1990-х годах математические физики взялись за создание адельной квантовой механики, где реальные измерения в эксперименте, приводящие к рациональным числам, воспринимаются как проявление этих причудливых созданий, вытащенных из темных глубин математической бездны.

Пространство такого типа — адельное пространство — и построил Ален Конн в качестве площадки, где может резвиться его риманов оператор. Из-за того что оно адельное, в него, так сказать, встроены все простые числа. Действующие на этом пространстве операторы по необходимости основаны на простых числах. Теперь, я надеюсь, стало немного понятнее, как же можно построить риманов оператор, собственные значения которого являются в точности нетривиальными нулями дзета-функции, а в пространство, на котором он действует, простые числа встроены тем способом, который я пытался описать, но которое при этом имеет отношение к реальным физическим системам — реальным наборам субатомных частиц.

Доказательство Гипотезы Римана (ГР) в этом случае сводится к доказательству определенной следовой формулы — т.е. формулы типа формулы Гутцвиллера, которая связывает собственные значения оператора, действующего на конновском адельном пространстве, с периодическими орбитами в некоторой аналоговой классической системе. Поскольку простые числа уже встроены в одну часть формулы, все должно получиться без труда. Некоторым образом так и происходит, и конструкция Конна элегантна до блеска — уровни энергии в ней суть в точности нули дзета-функции на критической прямой. К сожалению, из нее до сих пор не последовало даже намеков на то, почему же нули дзета-функции не могут оказаться вне критической прямой!

Спектр мнений о ценности построения Конна довольно широк. Вовсе не будучи уверенным, что я сам ее понимаю, я опросил нескольких настоящих математиков, работающих в этой области. Сейчас мне надо продвигаться вперед с крайней осторожностью. Насколько мне известно, Ален Конн, возможно, заявит о доказательстве Гипотезы Римана в тот день, когда эта книга выйдет из печати, и мне не хотелось бы никого вводить в заблуждение. Приведу две цитаты из того, что мне сказали профессионалы:

Математик X: «Колоссально важная работа! Конн не только докажет ГР, но заодно и предложит нам Единую теорию поля!»

Математик Y: «То, что по сути сделал Конн, сводится к замене одной нерешаемой задачи на другую задачу, которая равным образом не решается».

У меня недостаточно подготовки, чтобы выбрать, какая из точек зрения правильна. Но с учетом высокого положения и способностей математиков X и Y я сильно подозреваю, что одна из них наверняка верна…[184]

VI.

Разумеется, активно развиваются и другие подходы к ГР. Алгебраический подход с помощью конечных полей, упомянутый в главе 17, никуда не делся. И, как мы мельком видели в разделе V, этот подход демонстрирует интересные связи с физическим направлением исследований ГР. Аналитическая теория чисел также остается активной областью, способной выдавать сильные результаты.

Имеются два непрямых подхода. Например, есть наша теорема 15.2 о функции M, получаемой накапливанием значений мебиусовой функции μ. Эта теорема, как было сказано, в точности эквивалентна Гипотезе. Специалист по аналитической теории чисел Деннис Хеджхал из университета Миннесоты использует этот подход, чтобы познакомить с Гипотезой Римана нематематическую аудиторию и при этом избежать введения комплексных чисел. Вот как, по его словам (я пересказываю, а не цитирую), выражается ГР.

Выпишем все натуральные числа, начиная с 2. Под каждым числом запишем его простые делители. Затем, игнорируя всякое число, среди делителей которого есть квадрат (или любая более высокая степень, которая по необходимости содержит в себе и квадрат), будем двигаться вдоль чисел, отмечая как «орел» каждое число с четным числом простых делителей и как «решку» — с нечетным. Получаем бесконечную строку из орлов и решек — нечто вроде того, что возникает в опыте по подбрасыванию монеты:

Далее, из классической теории вероятностей хорошо известно, чего ожидать от подбрасывания монеты большое число раз N. В среднем будет 1/2N орлов и 1/2N решек. Но, разумеется, далеко не всегда будут получаться в точности эти значения. Предположим, мы вычли число орлов из числа решек (или наоборот, в зависимости оттого, какое из них больше). Что мы ожидаем по поводу величины этого избытка? В среднем это будет √N, т.е. N1/2. Это было известно уже 300 лет назад, во времена Якоба Бернулли. Если подбрасывать «честную» монету миллион раз, то в среднем получится избыток в тысячу орлов (или решек). Может выйти больше или меньше — но в среднем, коль скоро вы продолжаете подбрасывать монету, т.е. при стремлении N к бесконечности, — величина избытка растет в определенном темпе: не быстрее, чем N1/2+ε для любого сколь угодно малого числа ε. Прямо как у нас в теореме 15.2!

На самом деле теорема 15.2, которая эквивалентна ГР, утверждает, что функция M растет точно так же, как избыток в опыте по подбрасыванию монеты. По-другому утверждение теоремы можно выразить так: свободное от квадратов число является орлом или решкой — т.е. имеет четное или нечетное число простых делителей — с вероятностью 50:50. Такое положение дел выглядит довольно правдоподобным и может на самом деле оказаться верным. Если вы сможете доказать, что это утверждение действительно верно, то вы тем самым докажете и ГР.[185]

VI.

Менее прямой вероятностный подход касается так называемой «модели Крамера». Харальд Крамер (Cramér), несмотря на букву «é» в своей фамилии, был шведом, причем еще одним служащим страховой компании — актуарием в Svenska Livförsöakringsbolaget[186], но одновременно и талантливым лектором, выступавшим с популярными рассказами о математике и статистике.[187] В 1934 году он опубликовал статью, озаглавленную «О простых числах и вероятности», в которой выдвинул идею, что простые числа распределены настолько случайным образом, насколько это вообще возможно.

Одно из следствий, вытекающее из Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ), которое было продемонстрировано в главе 3.ix, состоит в том, что в окрестности некоторого большого числа N доля простых чисел составляет ~1/ln N. Например, логарифм триллиона равен 27,6310211…, так что в окрестности триллиона примерно одно из каждых 28 чисел простое. Модель Крамера утверждает, что помимо этого ограничения на среднюю частоту их появления простые числа распределены полностью случайно.

Один из способов понять, что это означает, состоит вот в чем.[188] Представим себе длинный ряд горшков из обожженной глины, на которых написаны натуральные числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … до бесконечности (или до какого-нибудь очень большого числа). В каждый горшок положим некоторое количество деревянных шаров. Число шаров в горшке с номером N должно быть равно ln N (или ближайшему целому числу). Таким образом, первые несколько горшков содержат 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, … этих шаров. Более того, в каждом горшке должен быть по крайней мере один черный шар; все остальные шары в каждом горшке белые. Следовательно, в горшках с написанными на них числами 2, 3 и 4 имеется только черный шар; в горшках с числами от 5 до 12 лежит один черный и один белый; в горшках с 13 по 33 — один черный и два белых и т.д.

Теперь возьмем планшет и большой (желательно бесконечный) лист бумаги и отправимся на прогулку вдоль ряда из горшков. Случайным образом вытащим по шару из каждого горшка. Если это черный шар, запишем номер данного горшка. В конце такой прогулки у нас получится длинный список, начинающийся как 2, 3, 4, …. Шансы, что в списке окажется число 5, распределены как 50:50, поскольку в горшке 5 имеется один белый шар и один черный. Шанс, что там будет число 1 000 000 000 000, — один из 28.

Что же можно сказать о таком списке? Это, конечно, не список простых чисел. Например, в него входит много четных чисел, но лишь одно простое число, 2, является четным. Так вот, если модель Крамера верна, то список будет статистически неотличим от списка простых чисел. Любое общее статистическое свойство, которым обладают простые числа, — скажем, сколь много их мы ожидаем найти в интервале определенной длины или степень их кластеризации (о которой Гильберт в формулировке восьмой проблемы говорил как о «конденсации») — будет присуще и полученному случайному списку.

Чтобы развить некоторую аналогию, рассмотрим десятичные разряды числа π. Насколько вообще известно, их последовательность совершенно случайна.[189] Они никогда не повторяются. И цифры, и пары цифр, и тройки цифр, и четверки цифр появляются с точно такой же частотой, которую даст чистый случай. Никому никогда не удавалось обнаружить какой-нибудь закон в миллиардах десятичных знаков числа π, которые в настоящее время доступны изучению. Десятичные знаки числа π — это случайная последовательность цифр… за тем единственным исключением, что они представляют именно число π! Так же обстоит дело и с простыми числами в модели Крамера. Они неотличимы от любой другой последовательности с частотой появления 1/ln N, и в этом смысле они полностью случайны… за исключением, конечно, того обстоятельства, что они простые!

В 1985 году Хельмут Майер доказал, что модель Крамера в том простом виде, как я ее обрисовал, не дает полной картины распределения простых чисел. Но некоторый модифицированный вариант модели приводит к правильным предсказаниям распределения простых чисел и при этом связан с Гипотезой Римана довольно хитрым и непрямым образом. Имеется скромная надежда, что дальнейшие исследования этого вопроса приведут к прогрессу в понимании ГР.[190]

VIII.

И наконец, я не могу не упомянуть самый непрямой подход — подход в рамках недедуктивной логики. Строго говоря, это не математическая тема. Математика требует строгих логических доказательств для обоснования своих результатов. Однако большая часть мира устроена иначе. В обычной жизни мы действуем, исходя главным образом из вероятностей. В суде, на приеме у врача, при оформлении страховых полисов мы учитываем именно баланс вероятностей, а вовсе не исходим из железной определенности. Временами, конечно, для количественного выражения подобных вопросов мы пользуемся настоящей математической теорией вероятностей — именно по этой причине страховые компании берут на работу актуариев. Но гораздо чаще мы ее не используем, да и не можем использовать — представим себе хотя бы судебное разбирательство.

Математики порой бросали заинтересованный взгляд на эту сторону жизни. Джордж Пойа даже написал по этому поводу двухтомник[191], в котором он делает довольно неожиданное заявление, что недедуктивная логика больше ценится в математике, чем в естественных науках. Эту линию рассуждений совсем недавно продолжил австралийский математик Джеймс Фрэнклин. Его статья 1987 года «Недедуктивная логика и математика», опубликованная в British Journal for the Philosophy of Science, содержит раздел, озаглавленный «Свидетельства в пользу Гипотезы Римана и других гипотез».

Фрэнклин подходит к ГР так, как если бы она представляла собой дело, рассматривающееся в суде. Он приводит свидетельства в пользу справедливости Гипотезы Римана.

• Результат Харди 1914 года о том, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей.

• Из ГР следует ТРПЧ, о которой известно, что она верна.

• «Вероятностная интерпретация Данжуа» — другими словами, рассмотренное выше рассуждение, основанное на подбрасывании монеты.

• Еще одна теорема 1914 года, которую доказали Ландау и Харальд Бор, согласно которой большинство нулей — все, кроме бесконечно малой доли, — очень близки к критической прямой. Стоит заметить, что коль скоро число нулей бесконечно, один триллион считается бесконечно малой долей.

• Алгебраические результаты Артина, А. Вейля и Делиня, упомянутые в главе 17.iii.

А теперь свидетельства со стороны обвинения.

• У самого Римана не было внятных причин для подкрепления своего утверждения в статье 1859 года о том, что ГР «очень правдоподобна», а полупричины, которые могли бы послужить мотивировкой его утверждения, с тех пор были опровергнуты.

• В 1970-х годах компьютерные расчеты показали, что на большой высоте вдоль критической прямой дзета-функция демонстрирует весьма своеобразное поведение (по-видимому, Фрэнклин не знает о работе Одлыжко).

• Результат Литлвуда 1914 года об остаточном члене Li(x) − π(x). Фрэнклин пишет: «Значимость открытия Литлвуда для Гипотезы Римана далеко не очевидна. Но оно в самом деле дает некоторые основания подозревать, что к Гипотезе Римана могут найтись очень крупные контрпримеры, хотя малые контрпримеры и отсутствуют». Насколько я понимаю, Фрэнклин рассуждает здесь по аналогии. «Для некоторых исключительно больших чисел остаточный член ведет себя плохо. Но он связан с нулями дзета-функции [см. главу 21 в этой книге]. Так что, вероятно, для очень больших T дзета-функция ведет себя плохо и имеет нули вне критической прямой».

Конечно, все это косвенные свидетельства. Однако их не следует сбрасывать со счетов просто как псевдофилософскую игру слов. Выводы, основанные на свидетельствах, могут способствовать получению весьма убедительных результатов, порой вопреки строго аргументированным математическим непреложностям. Рассмотрим, например, очень нематематическую ситуацию, когда гипотезу можно значительно ослабить с помощью подтверждающих ее свидетельств. Гипотеза: ни одно человеческое существо не может быть ростом выше девяти футов. Подтверждающее свидетельство: человек, рост которого 8 футов и 11^3/4 дюйма. Обнаружение такого индивида подтверждает гипотезу… и, однако, в то же время бросает на нее серьезную тень сомнения![192]

Глава 21. Остаточный член

I.

В главе 19 мы определили ступенчатую функцию J, выразив ее через функцию π, которая подсчитывает для нас простые числа, а потом использовали мебиусово обращение, чтобы выразить π через J. Повернув затем Золотой Ключ, мы шаг за шагом прошли по тем вычислениям, с помощью которых Риман выразил дзета-функцию ζ через функцию J. А другое обращение, как я сказал, позволит выразить J через ζ. Сухой остаток всего этого таков.

• Функцию π, которая пересчитывает простые числа, можно выразить через другую ступенчатую функцию J.

• Функцию J оказывается возможным выразить через дзета-функцию Римана ζ.

Отсюда получается, что все свойства функции распределения простых чисел π некоторым образом закодированы в функции ζ. Достаточно тщательное исследование свойств функции ζ подскажет нам все, что мы хотим узнать про функцию π, другими словами, про распределение простых чисел.

Как же все это на самом деле работает? Какова программа действий? Где в ней найдется место тем самым нетривиальным нулям? И как выглядит этот «посредник» — функция J — когда он переписан через функцию ζ? Ответ на последний вопрос я замял в конце главы 19.

II.

Я замял ответ на этот вопрос по вполне уважительной причине, которая сейчас станет ясной. Выражение (21.1) содержит результат этого второго обращения, окончательное и точное выражение функции J(x) через дзета-функцию:

Вот с чем предстоит иметь дело. Если вы не математик, то перед вами — страшный монстрик (и где, кстати, в нем сидит дзета-функция?). Я собираюсь разобрать эту штуку на кусочки, один за другим, и показать, что творится у нее внутри. Но прежде всего сообщу, что это равенство и составляет основной результат статьи Римана 1859 года. Если вы сможете его одолеть, то поймете суть того, что сделал Риман в этой области, и получите ясное представление обо всем, что было после.

Первое, что надлежит заметить, — это что правая часть выражения (21.1) состоит из четырех частей, или членов. Первый член, Li(x), носит общее название главного члена. Про второй член, имеющий вид ∑ρLi(xρ), Риман говорил во множественном числе как о «периодических членах» (periodischer Gleider) — по причинам, которые вскоре выяснятся; мы будем говорить о нем в единственном числе как о «вторичном члене». Третий член в нашей формуле — дело нехитрое. Это просто число, ln 2, равное 0,69314718055994…

С четвертым членом, несмотря на страх, который он наводит на нематематиков, разобраться на самом деле несложно. Он представляет собой интеграл, т.е. площадь под кривой, описывающей некоторую функцию, причем площадь вычисляется от аргумента x и аж до самой бесконечности. Функция здесь — это, разумеется, 1/(t(t^2 − 1)ln t). Нарисовав ее график (рис. 21.1), мы убеждаемся, что она очень даже отзывчива в отношении того, чего мы от нее хотим. Надо только помнить, что нас совершенно не волнуют значения аргументах, меньшие 2, поскольку J(x) равна нулю, когда x меньше двойки. Поэтому при x = 2 показанная на рисунке затемненная область — это максимальное значение, которого вообще может достигать этот интеграл (т.е. четвертый член в формуле). Площадь затемненной области, т.е. максимальное значение четвертого члена при любых x, которые вообще могут нас интересовать, составляет в действительности 0,1400101011432869….

Рисунок 21.1. Четвертый член в выражении Римана для J(x).

Таким образом, взятые вместе (с учетом знаков) третий и четвертый члены ограничены интервалом от −0,6931… до −0,5531…. Поскольку изучаемая нами функция π(x) по-настоящему интересна только для миллионов и триллионов, эффект от этих двух членов невелик, так что мы практически ничего не будем о них говорить, а сконцентрируемся на двух первых членах.

Главный член тоже не представляет особой проблемы. В главе 7.viii мы уже определили функцию Li(x) как площадь под кривой 1/ln t, измеряемую от нуля до x; мы также привели Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ) в виде π(N) ~ Li(N). В нашем главном члене x — вещественное число, а потому значение Li(x) можно взять из математических таблиц или же вычислить с помощью любой нормальной математической программы, типа Maple или Mathematica.[193]

Разобравшись таким образом с первым, третьим и четвертым членами в выражении (21.1), мы сфокусируемся на втором, имеющем вид ∑ρLi(xρ). В нем — корень происходящего, и дело тут нешуточное. Сначала я в общих чертах расскажу, что он означает и как он попал в выражение (21.1). А потом разберу его на части и покажу, почему он играет ключевую роль для понимания распределения простых чисел.

III.

Знак ∑ — это приглашение к тому, чтобы суммировать, т.е. складывать многое в одно. На множество, по которому производится суммирование, указывает маленькая буква ρ под знаком ∑. Эта буква — не латинская p, а ро — семнадцатая буква греческого алфавита, причем в данном случае она фигурирует в значении «корень».[194] Для вычисления этого вторичного члена надо сложить друг с другом Li(xρ) для всех корней, по очереди придавая букве ρ значение, равное каждому из корней. Что это, кстати говоря, за корни? Ясное дело, ведь это нетривиальные нули дзета-функции Римана!

Как же все эти нули попали в выражение для J(x)? Объяснить это я могу лишь в общих чертах. Вспомним выражение, которое мы, повернув Золотой Ключ, получили в главе 19:

Мы говорили, что у математиков есть способ обратить это выражение — вывернуть его наизнанку, т.е. выразить J(x) через дзета-функцию. Процедура обращения в действительности и длинна, и сложна; в большинстве из составляющих ее шагов задействована математика, выходящая за рамки того, что приводится в этой книге. Поэтому-то я и перескочил прямо к окончательному результату — выражению (21.1). Тем не менее, как мне кажется, я в состоянии объяснить одну часть этой процедуры. Дело в том, что один шаг в этом обращении заключается как раз в выражении дзета-функции через ее нули.

Сама по себе идея выражения функций через их нули не несет в себе особой новизны для тех, кто изучал алгебру в старших классах. Рассмотрим старые добрые квадратные уравнения, выбрав в качестве примера то, которое мы использовали в главе 17.iv, а именно z^2 − 11z + 28 = 0 (однако будем писать букву z вместо x, поскольку сейчас мы находимся в царстве комплексных чисел). Левая часть этого уравнения, разумеется, представляет собой функцию, причем полиномиальную функцию (т.е. многочлен). Если мы подставим в нее любое значение аргумента z, то после выполнения определенных арифметических действий получим значение функции. А если, скажем, мы подставим аргумент 10, то значением функции будет 100 − 110 + 28, что дает 18. Если подставим аргумент i, то значением функции будет 27 − 11i.

А каковы решения уравнения z^2 − 11z + 28 = 0? Как мы видели в главе 17, это 4 и 7. При подстановке любого из этих чисел в левую часть уравнение превращается в верное равенство, поскольку левая часть оказывается равной нулю. Другой способ выразить то же самое — это сказать, что 4 и 7 являются нулями функции z^2 − 11z + 28.

Теперь, зная нули, мы можем разложить эту функцию на множители. Она разлагается на множители как (z − 4)(z − 7). По правилу знаков это можно записать и как (4 − z)(7 − z). Еще один способ записи — это 28(1 − z/4)(1 − z/7). Смотрите: так или иначе, мы выразили функцию z^2 − 11z + 28 через ее нули! Разумеется, такое можно делать не только для квадратичных функций. Многочлен пятой степени z^5 − 27z^4 + 255z^3 − 1045z^2 + 1824z − 1008 тоже можно записать через его нули (каковыми являются числа 1, 3, 4, 7, 12). Вот как: −1008(1 − z/1)(1 − z/3)(1 − z/4)(1 − z/7)(1 − z/12). Любую полиномиальную функцию можно переписать через значения ее нулей.

Полиномиальные функции обладают интересным свойством с точки зрения теории функций комплексной переменной. Область определения полиномиальной функции составляют все комплексные числа. Полиномиальная функция никогда не «обращается в бесконечность». Нет такого значения аргумента z, при котором оказалось бы невозможным вычислить ее значение. При вычислении значения полиномиальной функции для любого заданного значения аргумента используются только возведение аргумента в положительные целые степени, умножение этих степеней на числа и сложение полученных результатов друг с другом. Такое можно проделать со всяким числом.

Функции, область определения которых составляют все комплексные числа и которые ведут себя достаточно симпатичным образом (для чего имеется точное математическое определение!), называются целыми функциями.[195] Все полиномиальные функции — целые. Показательная функция — тоже целая. Однако рациональные функции, которые мы рассматривали в главе 17.ii, не целые, потому что знаменатели в них могут обращаться в нуль. Функция ln также не является целой: у нее нет значения при нулевом аргументе. Подобным же образом у дзета-функции Римана нет значения при аргументе, равном единице, а потому она не является целой функцией.

Целая функция может не иметь нулей вовсе (как, например, показательная функция: равенство ez = 0 никогда не выполняется), может иметь их несколько (как, например, полиномиальные функции: числа 4 и 7 — нули функции z^2 − 11z + 28), а может — бесконечно много (как, например, синус, который обращается в нуль при всех целых кратных числа π).[196] Ну и раз полиномиальные функции выражаются через свои нули, интересно, можно ли все целые функции выразить подобным же образом? Пусть у нас есть какая-нибудь целая функция — назовем ее F, — определяемая бесконечной суммой вида F(z) = a + bz + cz^2 + dz^3 + …, и пусть еще нам удалось узнать, что у этой функции бесконечно много нулей; назовем их ρ, σ, τ, …. Можно ли выразить данную функцию через ее нули, в виде бесконечного произведения F(z) = а(1 − z/ρ)(1 − z/σ)(1 − z/τ)… — как если бы бесконечная сумма была чем-то вроде «сверхмногочлена»?

Ответ таков: да, при определенных условиях можно. И когда такое удается сделать, получается, как правило, чрезвычайно полезная штука. Например, именно таким способом — применив подобное рассуждение к синусу — Эйлер и решил базельскую задачу.

Но какая нам польза от всего этого для дзета-функции, которая, увы, не является целой функцией? Дело в том, что в ходе упомянутой выше сложной процедуры обращения Риман преобразовал дзета-функцию в нечто слегка от нее отличающееся — в целую функцию, нули которой суть в точности нетривиальные нули дзета-функции. И эту-то слегка измененную функцию можно выразить через данные нули. (Тривиальные нули спокойно исчезли в ходе преобразования.)

Таким вот образом, после некоторой дополнительной обработки, в конце концов и получается выражение ∑ρLi(xρ), в котором сумму надо брать по всем нетривиальным нулям дзета-функции.

И теперь, чтобы продемонстрировать важность вторичного члена в выражении (21.1), а также связанные с ним проблемы, мы разберем его на части. Для этого начнем с его сердцевины и будем двигаться изнутри наружу, т.е. сначала рассмотрим xρ, затем функцию Li, а потом уже — вопрос о суммировании по всем возможным значениям буквы ρ.

IV.

Вот, стало быть, перед нами число x, являющееся вещественным. (Окончательная цель всего упражнения состоит в том, чтобы получить формулу для функции π(x), а она осмысленна только для вещественных чисел и даже, честно говоря, для натуральных; правда, мы изменили обозначения от N к x, чтобы использовать средства математического анализа.) С этим x мы делаем такое: возводим его в степень ρ, представляющую собой комплексное число, причем если Гипотеза Римана верна, то комплексное число вида 1/2 + ti (где t — некоторое вещественное число). Это действие само по себе заслуживает обсуждения.

При возведении вещественного числа x в комплексную степень а + bi правила комплексной арифметики предписывают следующее. Модуль результата — т.е. расстояние до нуля, измеряемое по прямой, — есть xa. Буква b на модуль никак не влияет. Зато фаза результата — насколько он повернут и в каком секторе комплексной плоскости лежит — зависит от x и b, но a на фазу не влияет.

При возведении вещественного числа x в степень 1/2 + ti, таким образом, модуль результата есть x в степени 1/2, т.е. √x. Фаза при этом может оказаться какой угодно — результат может угодить в любой сектор комплексной плоскости, при условии только, что расстояние от нуля равно √x. Иными словами, если при заданном x вычислять значения выражения xρ для множества различных нулей ρ дзета-функции, то получаемые числа будут разбросаны по окружности радиуса √x в комплексной плоскости с центром в нуле (при условии, что ГР верна!).

На рисунке 21.2 отмечены точки, представляющие собой результат возведения числа 20 в степень, определяемую первым, вторым, третьим, …, двадцатым нулем дзета-функции. Видно, что результаты разбросаны по окружности радиуса √20 (что равно 4,47213…) в комплексной плоскости, причем без особого порядка. Это происходит потому, что функция 20s отображает критическую прямую в окружность радиуса √20 таким образом, что критическая прямая (вместе со всеми нанесенными на нее нулями дзета-функции) наматывается и наматывается на эту окружность, делая это бесконечное число раз. На математическом языке данная окружность в плоскости значений задается как 20критическая прямая.

Рисунок 21.2. Плоскость значений для функции w = 20z. Показаны значения w для первых двадцати нетривиальных нулей дзета-функции.

Представим себе, что наш приятель муравей Арг топает на север по критической прямой в плоскости аргумента, а на его приборчике выставлена функция 20s; тогда его брат-близнец, муравей Знач, отслеживая соответствующие значения в плоскости значений, нарезает круги по нашей окружности. Он продвигается против часовой стрелки, и к тому моменту, как муравей Арг доберется до первого нуля дзета-функции, муравей Знач одолеет уже почти три четверти своего седьмого круга.[197]

V.

А теперь мы найдем, одно за одним, значения функции Li во всех этих точках — во всем бесконечном числе этих точек. К сожалению, это комплексные числа, а мы определили функцию Li только для вещественных чисел — как площадь под кривой. Имеется ли способ определить Li также и для комплексных чисел? Что из себя представляют интегралы для комплексных чисел? Да, способ определить эту функцию есть; и, кроме того, да, существует способ интегрировать, когда в этом деле участвуют комплексные числа. Интегрирование на самом деле представляет собой один из важнейших элементов комплексного анализа, объект самых прекрасных и мощных теорем во всем этом разделе. Не вдаваясь в подробности, я скажу только, что, да, функция Li(z) определена[198] для комплексных чисел z.

На рисунке 21.3 показано, куда функция Li отображает первые 10 точек, изображенных на рисунке 21.2. Другими словами, (точнее, ее отрезок от 1/2 + 14i до 1/2 + 50i). Как видно, эта функция отображает критическую прямую в спираль, идущую против часовой стрелки и приближающуюся к числу πi по мере того, как аргумент взбирается вверх по критической прямой. Там, где функция 20z бесконечно много раз наматывала и наматывала критическую прямую на окружность радиуса √20, применение функции Li разматывает ее в изящную спираль; на ней по-прежнему нарисованы точки, изображающие нули.

Рисунок 21.3. Функция Li(20z) для отрезка критической прямой.

VI.

Теперь примемся за знак сигмы, где надо суммировать эти точки (каждая из которых — просто комплексное число) по всем возможным нетривиальным нулям дзета-функции. Для этого сначала вспомним один момент, который мы до сих пор практически игнорировали. Для каждого нетривиального нуля, расположенного на северной половине критической прямой, имеется соответствующий нуль на ее южной части. Если, например, 1/2 + 14,134725i — нуль дзета-функции, то нулем должно быть и число 1/2 − 14,134725i. На чисто математическом языке можно сказать, что если z — нуль, то и его комплексное сопряжение z' также есть нуль. (Мы помним, что z' произносится как «зет-с-чертой».{2} Сейчас может оказаться нелишним взглянуть на рисунок 11.2 и освежить в памяти основные факты о комплексных числах.)

При выполнении суммирования южная часть критической полосы играет ключевую роль. На рисунках 21.2 и 21.3 были показаны лишь первые несколько нулей вдоль северной половины критической прямой. Для создания более полной картины, включающей и южную половину этой прямой, в самой левой части рисунка 21.4 показана плоскость комплексных чисел с отмеченной критической полосой от 1/2 − 15i до 1/2 + 15i. Этого достаточно, чтобы был виден первый нуль при 1/2 + 14,134725i, а также его комплексное сопряжение 1/2 − 14,134725i. Они отмечены буквами ρ и ρ'.

Рисунок 21.4. Критическая прямая, продолженная до первой пары нетривиальных нулей, и ее отображение сначала с помощью функции 20z, а затем с помощью функции Li(20z).

Рассматривая эту плоскость как плоскость аргумента для функции 20z, мы получаем на средней части рисунка 21.4 картинку типа «сюда» в плоскости значений — окружность радиуса √20, где, как и на рисунке 21.2, отмечено 20ρ, а наряду с этим отмечено еще и 20ρ'. Заметим, что, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения функции. Такое происходит не со всеми функциями, но, по счастью, происходит с функцией 20z. Если мы применим функцию Li, на этот раз используя в качестве ее плоскости аргумента среднюю часть рисунка 21.4, то мы увидим, что критическая прямая, которая намоталась на эту окружность бесконечное число раз под действием функции 20z, теперь разматывается в симпатичную двойную спираль в правой части рисунка. (Рисунок 21.3 представлял собой «наезд камеры» на верхнюю часть этой спирали.) И по-прежнему, когда аргументы комплексно сопряжены друг другу, сопряжены и значения.

Осталось заметить еще только одну вещь перед тем, как мы приступим к сумме ∑ρLi(20ρ). Показанная спираль — что лучше всего видно из рисунка 21.3 — стремится к точке своего назначения не слишком быстро. Скорость, с которой она сходится, по сути дела гармоническая: если представить себе, что муравей Арг шагает на север по критической прямой, а на его приборчике выставлена функция Li(20ρ), то муравей Знач будет двигаться по спирали, постепенно приближаясь к точке πi — приближаясь на расстояние, обратно пропорциональное высоте, на которую забрался муравей Арг. Если последний вскарабкался на высоту T, то муравей Знач будет находиться от точки πi примерно на расстоянии, пропорциональном 1/T.

Имея это в виду, мы теперь готовы взяться за сумму ∑ρLi(20ρ). Сложению подлежат комплексные числа, соответствующие всем нашим точкам на спирали, изображенной на рисунке 21.3, а также их комплексно сопряженным точкам на соответствующей южной части спирали. Поскольку для каждой точки северной спирали имеется ее зеркальное отображение на южной, все мнимые части сократят друг друга: для каждого a + bi найдется соответствующее a − bi, так что при их сложении получится просто 2a. Ну и отлично, потому что J(x) — вещественное число, и решительно не годится иметь мнимые слагаемые в правой части выражения (21.1)! Это и вправду хорошая новость, потому что она означает, что складывать надо только вещественные (т.е. западно-восточные) части точек на рисунке 21.3. Вклад южного полушария сводится просто к тому, что ответ удваивается, т.е. (a + bi) + (a − bi) = 2а.

Остальные новости похуже. Точки, раскиданные по спирали на рисунке 21.3, как уже было замечено, сходятся к числу πi — а их вещественные части, стало быть, сходятся к нулю — с гармонической скоростью. Сложение вещественных частей всех этих точек, следовательно, чревато опасностью, что мы будем складывать нечто вроде гармонического ряда, который, как мы помним из главы 1, расходится. Откуда нам знать, что сумма ∑ρLi(20ρ) сходится?

Делу помогает тот факт, что вещественные части этих точек то положительны, то отрицательны. На самом деле наша сумма похожа не на гармоническую сумму, а на ее близкого родственника, с которым мы бегло встречались в главе 9.vii:

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + 1/7 − …

Слагаемые здесь приближаются к нулю гармонически: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, но чередующиеся знаки плюс и минус означают, что каждый следующий член до некоторой степени сокращает предыдущий, что и приводит к сходимости. Но эта сходимость, если использовать введенную в главе 9.vii терминологию, лишь условна. Она зависит от суммирования всех членов в правильном порядке.

Так же обстоит дело и с рядом ∑ρLi(20ρ). Если мы желаем обеспечить сходимость к правильному числу, то нам следует проявлять осторожность относительно порядка суммирования. Так каков же правильный порядок? Он ровно такой, как вы и подумали. Берем нули один за другим, двигаясь вверх по критической прямой, и прибавляем к каждому его комплексно-сопряженный нуль из южной части.

VII.

Итак, для вычисления суммы ∑ρLi(20ρ) мы сначала складываем каждый нуль дзета-функции с его зеркальным образом (т.е. с комплексным сопряжением) из южной половины плоскости аргумента. Далее эти пары надо сложить в порядке возрастания положительных мнимых частей. Таким образом, мы складываем нули в следующем порядке:

1/2 + 14,134725i и 1/2 − 14,134725i; затем

1/2 + 21,022040i и 1/2 − 21,022040i; затем

1/2 + 25,010858i и 1/2 − 25,010858i; затем ….

Чтобы посмотреть, что же получается в результате этого процесса, и разобраться в том, почему Риман назвал этот вторичный член «периодическими членами», поупражняемся немного в арифметике, используя конкретные значения буквы x. Как и раньше, возьмем x = 20; тем самым мы вычисляем величину J(20) — что, как несложно проверить из исходного определения функции J, равно 9^7/12 т.е. 9,5833333…. Вот как это получается.

Сначала возводим 20 в степень 1/2 + 14,134725i. В результате получаем точку, которая на рисунке 21.2 помечена как 1 и численно выражается как −0,302303 − 4,46191i. Интегральный логарифм от этого — т.е. функция Li — дает самую западную точку на рисунке 21.3, выражаемую числом −0,105384 + 3,14749i. Теперь разберемся с сопряженным членом из этой пары нулей. Возводим 20 в степень 1/2 − 14,134725i. Результат равен −0,302303 + 4,46191i. Он показан на средней картинке на рисунке 21.4. Это зеркальный образ точки, помеченной на рисунке 21.2 как 1, относительно вещественной оси. Берем интегральный логарифм и получаем ответ −0,105384 − 3,14749i — точку, лежащую глубоко на юге в правой части рисунка 21.4. Складывая два ответа, получаем −0,210768. Мнимые части, разумеется, сократились. Вот и все с первой парой сопряженных нулей.

Повторим все это для второй пары, 1/2 + 21,022040i и 1/2 − 21,022040i. На этот раз окончательный ответ будет равен 0,0215632. Для третьей пары он равен −0,0535991. С тремя парами мы разобрались, но впереди бесконечность!

После 50 таких вычислений получаем (таблицу следует читать по колонкам):

Первое значение представляет собой некоторую аномалию, поскольку самая западная точка на рисунке 21.3 отстоит от вертикальной оси более чем в два раза дальше, чем остальные. Однако затем числа в таблице уменьшаются по мере того, как значения, соответствующие северной половине критической прямой, по спирали приближаются к πi. И взгляните на их знаки — имеется примерно равное число положительных и отрицательных.[199] Это хорошая новость, потому что, хотя ответы и становятся меньше, они делают это не очень быстро, и нам потребуется вся возможная помощь, которую могут нам оказать сокращения между положительными и отрицательными значениями. Не будем забывать, что все это происходит под знаком суммы — эти 50 чисел предстоит еще сложить друг с другом. (Сумма равна −0,343864, что, кстати, составляет не более 8 процентов от полной бесконечной суммы. Не так плохо для всего лишь 50 слагаемых.)

Рисунок 21.5. Первые 50 значений, полученных путем взятия нетривиального нуля и его комплексно сопряженного, вычисления значений функции Li(20z)и их последующего суммирования.

Из рисунка 21.5 видно, почему Риман назвал эти компоненты вторичного члена «периодическими». Они изменяются нерегулярным образом (что означает, если уж быть совсем скрупулезным, что они не строго «периодические», а только «колебательные») вверх и вниз от положительных к отрицательным значениям и обратно.[200] Причина этого совершенно ясна из рисунка 21.3. Колебательная природа вторичных членов связана с тем, что, как видно из рисунка 21.3, функция Li(xρ) скручивает критическую прямую во все более и более плотную спираль. Значения функции, соответствующие нулям дзета-функции, могут при этом оказаться где угодно на этой спирали; определяющая причина состоит в том, что для больших x критическая прямая чрезвычайно сильно растягивается перед закручиванием. Закручивание настолько плотное, что высоко расположенный отрезок критической прямой отображается в нечто очень близкое по форме к окружности. В силу этого получается, что значения функции Li(xρ) в нулях дзета-функции выглядят примерно как точки, раскиданные по окружности. Если вы немного знакомы с тригонометрией, то вам известно, что это приводит нас в мир синусов и косинусов, волновых функций, колебаний, вибраций… музыки. Именно отсюда и взялось введенное сэром Майклом Берри понятие «музыка простых чисел».

По мере прибавления новых членов сами они убывают, а положительные и отрицательные до некоторой степени сокращают друг друга при суммировании, так что мы зарабатываем сходимость. Эта сходимость, правда, страшно медленная. Для получения результата с точностью в три значащие цифры приходится складывать более 7000 членов; в четыре цифры — более 86 000. На графике на рисунке 21.6 показаны первые 1000 результатов (хотя некоторые из самых левых при выбранном масштабе оказались за пределами рисунка); на этот раз не делается никаких попыток соединить точки между собой. Видно, что члены под знаком суммы действительно уменьшаются, хотя и делают это с достаточной ленцой.

Рисунок 21.6. То же, что на рисунке 21.5, но показана 1000 значений (точки не соединены между собой).

Окончательный результат равен −0,370816425…. Это, как мы помним, второй член в выражении (21.1). Первый же член — это в нашем случае Li(20), равный 9,90529997763…. Третий равен ln 2, что составляет 0,69314718055994…. И четвертый член, тот самый надоедливый интеграл, добавляет пустячный результат 0,000364111…. Подставим все это в выражение (21.1) и — хлоп! — J(20) = 9,58333333… (что мы, конечно, и так знали).

VIII.

Закончим тем, что с использованием формулы Римана проведем полное вычисление π(1000 000) — т.е. числа простых чисел в пределах одного миллиона — не ради веселья, хотя веселье и немалое, а для того, чтобы сделать несколько важных замечаний по поводу остаточного члена.

Как мы помним из главы 19.iv,

π(1000 000) = J(1000 000) − 1/2J(√1000 000) − 1/3J(3√1000 000) − ….

Сколько же членов в правой части надо вычислять? До тех пор пока числа в скобках не станут меньше 2, потому что J(x) равна нулю, когда x меньше 2. Корень девятнадцатой степени из 1000 000 равен 2,069138…, а корень двадцатой степени 1,995262… Следовательно, можно остановиться на 19. Поскольку число 19 свободно от квадратов и имеет только один простой делитель — самого себя, — функция Мебиуса μ(19) имеет значение −1. Таким образом, последний член в правой части равен −1/19J(19√1000 000). Всего в правой части будет 13 слагаемых, поскольку между 1 и 19 функция Мебиуса принимает ненулевые значения 13 раз — при аргументах 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19. Напомним, что функция Мебиуса равна нулю всякий раз, когда аргумент делится на точный квадрат (например, 4 или 9).

Каждое из этих 13 слагаемых состоит из четырех членов: главный член, вторичный член (куда и входят нули дзета-функции), член с ln 2 и интегральный член. Если сложить все эти 52 куска, получится π(1000 000) — число, про которое мы заранее знаем из главы 3.iii, что оно равно 78 498.

Вся эта арифметика расписана в таблице 21.1 (там опущены строки с N, для которых J(N) равно нулю). Двигаясь вдоль строки N и используя y для обозначения N-го корня из одного миллиона, имеем главный член , вторичный член , член с ln 2, равный , и интегральный член . Суммы по строкам должны быть равны — и в самом деле равны — выражению (μ(N)/N)J(y).

Таблица 21.1. Вычисление π(1000 000).

В качестве простой проверки возьмем строку с N = 6. Поскольку миллион — это 10^6, корень шестой степени из миллиона — это просто 10. Значение J(10) легко посчитать — оно оказывается равным 16/3. Поскольку число 10 свободно от квадратов и представляет собой произведение двух простых чисел, функция Мебиуса μ(10) имеет значение +1. Итак, в строке с N = 6 последний столбец должен быть равен (+1)×(1/6)×(16/3). Это составляет 8/9, что и говорится в суммарной колонке для строки с N = 6.

При N = 1 главный член, равен просто Li(1000 000); именно такое приближение к точному ответу дает нам ТРПЧ. Какова же разница между этим приближением и π(1000 000)? Ответ получается мгновенно путем простого вычитания: разность, вычисленная как π(1000 000) минус Li(1000 000) (чтобы сохранить знаки в нашей таблице), равна −129,54916. Из чего эта разница слагается?

Вот из чего:

из главных членов

−100,20254

из вторичных членов

−29,37378

из членов с ln 2

0,03515

из интегральных членов

−0,00799

Наибольший вклад в разницу дают главные члены. Однако эти члены вполне предсказуемы — они убывают быстро и неуклонно.

Разница, возникающая из вторичных членов, имеет тот же порядок величины, однако составляющие ее компоненты — те самые вторичные члены — вызывают куда больше беспокойства. Первый вторичный член достаточно велик и отрицателен; правда, нет никаких очевидных причин, почему он должен оказаться именно таким. Но и другие не очень помогают. Если просто двигаться вниз вдоль колонки с вторичными членами, не обращая внимания на знаки минус, а следя только за тем, будет ли каждый следующий член больше или меньше предыдущего по величине, то мы увидим такое: меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, больше. Вторичный член при N = 19 оказывается почти таким же, как и при N = 6. Все эти вторичные члены — члены, которые выражаются через нули дзета-функции, — джокеры в нашем вычислении. А члены с ln 2, как и было обещано, несущественны.

Вспомним о статье Литлвуда 1914 года (см. главу 14.vii), где он доказал, что неверно утверждение, что Li(x) всегда превосходит π(x). Это означает, что разность рано или поздно станет положительной. Поскольку главные члены очень быстро убывают по величине, а функция Мебиуса делает несколько первых из них отрицательными, включая и по-настоящему большие (при N = 2, N = 3 и N = 5), нелегко представить себе, как же эти главные члены вообще могут внести в разность какой-нибудь иной вклад, кроме как большое отрицательное число. Если в итоге разность должна оказаться положительной (а Литлвуд доказал, что такое рано или поздно случится), то это отрицательное число должно поглотиться большими, положительными, вторичными членами. Чтобы такое произошло, вторичные члены — нули дзета-функции — должны серьезным образом выйти из-под контроля. Судя по всему, так они и делают.

IX.

Чтобы еще глубже разобраться в смысле остаточного члена, снова взглянем на двойную спираль в правой части рисунка 21.4. Она представляет нам функцию Li(xкритическая прямая) при x = 20. Критическая прямая — испещренная, если ГР верна, всеми нетривиальными нулями дзета-функции — отображается под действием функции Li(20z) в спираль. Что будет, если вместо 20 мы возьмем какое-нибудь большее значение х? Какой вид примут соответствующие спирали?

Общее представление о том, что при этом происходит, дается на рисунке 21.7. Там представлены три функции: Li(10крит. прямая), Li(100крит. прямая) и Li(1000крит. прямая). Во всех трех случаях показано, как отображается один и тот же отрезок критической прямой — отрезок от 1/2 − 5i до 1/2 + 5i.

Рисунок 21.7. Li(xкритическая прямая) при x = 10, 100 и 1000. Отображаемая часть критической прямой представляет собой отрезок от 1/2 − 5i до 1/2 + 5i.

Как видно, при увеличении x от 10 до 100 и далее до 1000 происходят следующие явления.

• Спирали растут в размере, но при этом по-прежнему сходятся к тем же двум точкам −πi и πi.

• Отрезок критической прямой, который мы отображаем (длина его равна 10 единицам), все сильнее и сильнее растягивается, накручиваясь все большее и большее число раз вокруг точек −πi и πi.

• Верхняя и нижняя спирали приближаются друг к другу, «целуются» при каком-то значении x между 100 и 1000, а после этого пересекаются (спирали в действительности «целуются», когда x = 399,6202933538…).

Выбранный нами отрезок критической прямой слишком короткий для того, чтобы достичь первой пары нулей при 1/2 ± 14,134725i. Поскольку сама прямая растягивается, а спирали при этом, наматываясь все более и более вокруг точек −πi и πi, растут в размере, возникает интересный вопрос. Не случится ли так, что растяжение прямой и намотка спиралей удержат нули дзета-функции на небольшом удалении от точек −πi и πi независимо от того, сколь сильно увеличились спирали? Ответ — нет; по мере роста x нули дзета-функции отображаются в точки, расположенные сколь угодно далеко. Когда ρ равняется первому нулю дзета-функции (это нуль при 1/2 + 14,134725i), а аргумент x достигает скромного триллиона, функция Li(xρ) добирается до вещественных частей, превышающих 2200.

В главе 14.vii упоминался недавний результат, полученный Бейсом и Хадсоном, — первое литлвудово нарушение (когда π(x) впервые оказывается больше чем Li(x)) происходит до, а весьма вероятно, что и при x = 1,39822×10^316. Представим себе, что нам надо повторить весь процесс, с помощью которого мы вычислили π(1000 000), но для указанного числа (назовем его числом Бейса-Хадсона) вместо 1000 000. Какая арифметика была бы тут задействована?

Ясно, что пришлось бы взять не 13, а большее число значений функции J. Корень 1050-й степени из числа Бейса-Хадсона равен 2,0028106…, а корень 1051-й степени равен 1,99896202…, так что надо будет взять корни первой, второй, …, 1050-й степени из этого числа и вычислить функцию J при всех этих аргументах. Это не так уж страшно, потому что многие числа между 1 и 1050 делятся на точные квадраты, а потому функция Мебиуса для них равна нулю. Сколь многие? На самом деле таких чисел 411, так что остается посчитать 639 значений функции J.[201]

Изображенные на рисунке 21.7 двойные спирали пересекают положительную часть вещественной оси последовательно все далее на восток — в точках 2,3078382, 6,1655995 и 13,4960622. Если бы мы проводили вычисления для числа Бейса-Хадсона, то двойная спираль пересекла бы вещественную ось при гораздо большем значении, определяемом числом, которое начинается как 325 771 513 660 и далее содержит еще 144 цифры до запятой. Спирали при этом невообразимо широкие, но, несмотря на это, все равно сходятся к πi и −πi. Это означает, что верхняя и нижняя спирали в сильной степени накладываются друг на друга — настолько сильно, что на рисунке их невозможно было бы различить. А критическая прямая, испещренная сидящими на ней нулями (если ГР верна!), колоссально растянута. Тогда на рисунке, аналогичном рисунку 21.3, в центре была бы значительно большая дыра — хотя все равно с центром в πi, — а спираль триллионы раз наматывалась бы между двумя последовательными нулями с малыми номерами, весьма эффективно разбрасывая их координаты по комплексной плоскости, так что вещественные части колебались бы между чудовищно большими отрицательными и чудовищно большими положительными числами. И все это относится только к первым из 639 строк в таблице для вычисления π(число Бейса-Хадсона). Вторичные члены и правда разошлись не на шутку.

Во всех вычислениях, проводившихся в данной главе, предполагалось (о чем мы время от времени напоминали), что ГР верна. Если она не верна, то наши изящные окружности и спирали представляют собой не более чем приближение, а где-то на большой высоте вдоль критической прямой — для значений ρ где-то далеко-далеко в той бесконечной сумме по вторичным членам — логика нашего рассмотрения рассыпается. В теории, касающейся остаточного члена, ГР занимает центральное место.

X.

Мы достигли главной цели, поставленной перед математической частью этой книги, — показать глубокую связь между распределением простых чисел, воплощенным в функции π(x), и нетривиальными нулями дзета-функции, которые дают значительный (а по теореме Литлвуда — временами и доминантный) вклад в разность между π(x) и Li(x), т.е., другими словами, в остаточный член в ТРПЧ.

Все это открылось нам в блестящей работе Бернхарда Римана 1859 года. Сегодня, конечно, мы знаем намного больше, чем было известно в 1859 году. Однако великая головоломка, впервые сформулированная в той работе, по-прежнему остается нерешенной — она противостоит атакам лучших умов планеты так же твердо, как когда Риман писал о своих «недолгих бесплодных попытках» доказать ее в далекие времена, когда аналитическая теория чисел только-только родилась. Каковы же перспективы на сегодняшний день, когда усилия расколоть орешек ГР прилагаются уже пятнадцатое десятилетие?

Глава 22. Она или верна, или нет

I.

Можно находить известное удовлетворение в наличии некоторой симметрии, выражающейся в том, что после стодвадцатилетнего пребывания среди математиков Гипотеза Римана (ГР) привлекла внимание и физиков. Как отмечалось в главе 10.i, сам Риман в большой степени обладал воображением, присущим ученому-физику. «Четыре из девяти работ, которые он успел сам опубликовать, относятся к физике» (Лаугвитц). Кроме того, как мне напомнила специалист по теории чисел Ульрике Форхауер[202], во времена Римана деление на математиков и физиков было не слишком отчетливым. А незадолго до того оно не проводилось вовсе.

Гаусс был первоклассным физиком в той же мере, что и первоклассным математиком, и его немало озадачила бы идея рассматривать эти две дисциплины по отдельности.

Джонатан Китинг[203] рассказывает следующую историю — на мой взгляд, имеющую легкий оттенок сверхъестественного:

Я отдыхал в горах Гарца вместе с несколькими коллегами. Двое из нас решили, что стоит проехать 30 миль, отделявших нас от Геттингена, чтобы взглянуть на черновики Римана, хранящиеся там в библиотеке. Лично мне было интересно посмотреть на заметки, относящиеся примерно ко времени написания работы 1859 года о дзета-функции.

Но мой коллега — прикладной математик, которого не занимала теория чисел, интересовался совершенно другой работой Римана, имеющей отношение к возмущениям. Представим себе большую каплю газа в пустом пространстве, удерживаемую в одно целое гравитационным притяжением между частицами этого газа. Что будет, если по ней хорошенько ударить? Вообще-то могут случиться две основные вещи: капля может разлететься на части, а может начать вибрировать с некоторой частотой. Все зависит от величины, направления и места приложения удара, а также формы и размера исходной капли и т.д.

Мы добрались до библиотеки, и я попросил, чтобы мне показали заметки по теории чисел, а мой коллега — по теории возмущений. Библиотекарь что-то проверила, а потом вернулась и сказала, что нам обоим нужна одна и та же подшивка черновиков Римана. Он работал над этими двумя задачами одновременно.

Разумеется, добавляет Джонатан, в распоряжении Римана не было операторной алгебры XX столетия, которая помогла бы ему в задаче о возмущениях и дала бы ему все возможные частоты вибраций в виде спектра собственных значений. Ему приходилось продираться сквозь дифференциальные уравнения, создавая специально для своих целей некоторый зачаток теории операторов. И все же трудно поверить, что ум столь острый и столь проницательный, как у Римана, не заметил бы аналогии между нулями дзета-функции, нанизанными на критическую прямую, и спектром частот в теории возмущений — аналогии, которая при столь драматических обстоятельствах высветилась за чашкой вечернего чая в Фалд-Холл 113 лет спустя!

II.

Мне довелось услышать этот рассказ Китинга в Институте Куранта при Нью-Йоркском университете в начале лета 2002 года. Поводом была четырехдневная серия лекций и дискуссий, организованная Американским математическим институтом (АМИ). Называлось все это мероприятие «Рабочее совещание о дзета-функциях и связанных с ними гипотезах Римана».

На эту конференцию были приглашены многие знаменитости. Показался и сам Атле Сельберг, нисколько не потерявший прежнюю остроту ума в свои 84 года. (В ходе самого первого выступления он поддел Питера Сарнака по поводу одного факта из истории математики. Во время обеденного перерыва я отправился в великолепную библиотеку Курантовского института и проверил, как оно на самом деле. Сельберг оказался прав.) Присутствовали многие из тех, чьи имена мы упоминали в предшествующих главах, включая обоих открывателей закона Монтгомери-Одлыжко. Среди других участников был нынешняя математическая супер-звезда Эндрю Уайлс, ставший знаменитым после того, как доказал Последнюю теорему Ферма, Хэролд Эдвардс, автор несколько раз упоминавшейся самой надежной книги о дзета-функции, и Дэниел Бамп — одно из двух имен, связанных с самым неординарным на слух из всех результатов, имеющих отношение к ГР, — теоремой Бампа-Нг.[204]

В последние годы АМИ превратился в значительную силу, направленную на штурм ГР. Конференция в Курантовском институте была третьей из спонсировавшихся АМИ конференций по проблемам, связанным с ГР. Первая состоялась в университете штата; Вашингтон в Сиэтле в августе 1996 года и была приурочена к 100-летию доказательства Теоремы о распределении простых чисел, данного Адамаром и де ля Валле Пуссеном. Вторая проводилась в 1998 году в Институте Эрвина Шредингера в Вене. В целом АМИ вовсе не ограничивает свою деятельность исследованиями Гипотезы Римана — ни даже просто теорией чисел. Например, недавно АМИ поддержал проект по исследованиям в области общей теории относительности. Но в отношении ГР они сделали очень много, чтобы собрать вместе исследователей из различных областей, развивающих различные, уже упоминавшиеся нами подходы: алгебраический, аналитический, вычислительный и физический.

АМИ был основан в 1994 году Джеральдом Александерсоном — крупной фигурой в американской математике (кстати, Александерсон — автор очень хорошей книги о Джордже Пойа) и Джоном Фраем — калифорнийским бизнесменом. Фрай происходит из семьи предпринимателей. Его родителям принадлежала пользующаяся успехом сеть супермаркетов в Калифорнии. Джон еще в юности влюбился в математику и в 1970-х годах учился математике в университете Санта-Клары, где в то время работал Александерсон. После окончания университета Джону пришлось решать, продолжать ли семейную традицию в бизнесе или поступать в аспирантуру. Джон сделал выбор в пользу бизнеса и вместе с двумя братьями основал сеть магазинов электроники (Fry's Electronics), сначала только в Калифорнии, а в последнее время выросшей до масштабов всей страны.

Джон Фрай и Джерри Александерсон не теряли друг друга из виду. Их общим интересом было коллекционирование редких математических книг и оригинальных статей. В начале 1990-х годов они загорелись идеей основать математическую библиотеку, в которой хранилось бы их собрание. Это постепенно развилось в план устройства математического института. Они привлекли еще Брайана Конри — одногруппника Джона в университете Санта-Клары, получившего относительную известность в области теории чисел и чрезвычайно успешно руководившего факультетом в университете штата Оклахома.

В течение нескольких первых лет своего существования АМИ почти целиком финансировался из личных пожертвований Джона Фрая, доходивших до 300 000 долларов в год. Это был тот самый случай, когда добрые дела творятся втихую. Джон — сдержанный и склонный к уединению человек, не выставляющий напоказ того, что он делает. Когда я впервые услышал об АМИ, я принялся искать портрет Фрая в Интернете; но портретов там не нашлось. В своей собственной среде, однако, т.е. среди математиков и людей, любящих математику, до Джона добраться несложно. В ходе конференции в Курантовском институте в Нью-Йорке он пригласил нескольких человек, включая и меня, на ланч. Высокий живой человек с лицом, которое загорается, когда он начинает говорить о математике. Я хотел осторожно поинтересоваться, не приходилось ли ему жалеть о своем решении пойти в бизнес, а не по академической стезе, но все-таки решил, что вопрос не слишком уместный, и я не воспользовался представившейся мне возможностью.

Побывав за несколько дней до конференции в Курантовском институте в штаб-квартире АМИ, я выяснил, что она располагается во вполне рядовых офисных помещениях, соединенных с магазином Фрая в Пало-Альто в Калифорнии. Однако в 2001 году АМИ подал заявку в National Science Foundation[205] на поддержку финансирования центра для конференций на зеленом 200-акровом участке к югу от Сан-Хосе в Калифорнии. Средства были выделены, и исследовательские программы будут осуществляться по новому адресу с декабря 2002 года.

Начало другому предприятию, финансируемому, подобно АМИ, из частных источников, было положено на Восточном побережье Соединенных Штатов в 1998 году, когда бостонский бизнесмен Лэндон Т. Клей и гарвардский математик Артур Джаффе организовали Математический институт Клея (МИК). Если первое крупное мероприятие, проведенное АМИ, было посвящено столетию Теоремы о распределении простых чисел, то в МИК решили отметить годовщину доклада Гильберта на Парижском конгрессе 1900 года.

Для этого в мае 2000 года МИК организовал двухдневное мероприятие, в Коллеж де Франс в Париже, в ходе которого было объявлено о создании фонда в семь миллионов долларов — по миллиону в качестве награды за решение каждой из семи великих математических проблем. Естественно, ГР была включена и значилась как проблема номер 4. (Выбранный порядок определялся длиной фразы, в которой проблема формулируется, чтобы объявление об установленных наградах выглядело приятнее.) Не знаю, как там с шестью остальными проблемами, но миллион долларов нельзя считать значительным дополнительным стимулом, чтобы доказать или опровергнуть Гипотезу. К началу XXI века она твердо заняла свое место в качестве нерешенной проблемы в математике, так что любой, кто бы ни решил ее, в довершение к непреходящей славе получил бы еще и финансовую выгоду в размере, намного превышающем миллион долларов, за одни только лекции, интервью и авторские отчисления.[206]

III.

Так каковы же перспективы доказательства или опровержения ГР? Высказывать прогнозы по предметам подобного рода — прекрасный способ выставить себя дураком. Это остается верным даже и в том случае, если вы великий математик, каковым я, понятно, не являюсь. Семьдесят пять лет назад, читая лекцию нематематической аудитории, Давид Гильберт расположил три задачи в порядке возрастания сложности.

• Гипотеза Римана.

• Последняя теорема Ферма.

• «Седьмая» — другими словами, проблема номер 7 в списке из 23 проблем, которые Гильберт огласил на конгрессе 1900 года. В явной формулировке: если a и b — алгебраические числа, то ab трансцендентно (см. главу 11.ii), за исключением тех случаев, когда это не так по очевидным и тривиальным причинам.

Гильберт утверждал, что ГР будет решена в течение его жизни, а Последняя теорема Ферма будет доказана в течение жизни младшего поколения из тех, кто присутствовал в аудитории, но «никто в этом зале не доживет до доказательства Седьмой». На самом деле Седьмая проблема была доказана менее 10 лет назад Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером, которые работали независимо. Насчет Последней теоремы Ферма Гильберт был с некоторой натяжкой прав — ее доказал Эндрю Уайлс в 1994 году, когда младшим из слушателей Гильберта должно было стукнуть девяносто с небольшим. Однако он радикально ошибся насчет ГР. Если ГР сыграет и со мной злую шутку — если все то, что я собираюсь сказать, обесценится и «умножится на нуль» из-за того, что доказательство ГР появится в тот момент, когда эта книга будет лежать уже в переплетном цехе, — если такое случится, то я, по крайней мере, буду утешаться тем, что окажусь в неплохой компании.

Итак, я подставляю шею и говорю, что, по моему мнению, доказательство ГР лежит где-то далеко за границами того, что нам сегодня доступно. Обзор новейшей истории попыток доказательства Гипотезы Римана несколько напоминает изложение хода затяжной и тяжелой войны. Случаются внезапные наступления, застающие неприятеля врасплох, масштабные битвы и перемены судьбы, от которых сжимается сердце. Наступают и временные затишья — периоды истощения, когда обе измученных войной стороны почти ничего не предпринимают, но совершают вылазки малыми силами для проверки оборонительных рубежей противника. Случаются и прорывы, за которыми следует всплеск энтузиазма, но также бывают и патовые ситуации, сопровождаемые периодом апатии.

Мое впечатление о состоянии дел на данный момент (середина 2002 года) — хотя надо оговориться, что это лишь впечатление наблюдателя, который сам в бою не участвует, — таково, что исследователи находятся в патовой ситуации. В битве наступило затишье. Мощнейший взрыв интереса, вызванный доказательством гипотез Вейля, предложенным Делинем в 1973 году, и продвижениями Монтгомери-Одлыжко в период с 1972 по 1987 год, как мне кажется, исчерпался.

В мае 2002 года я провел три дня в офисе АМИ в Пало-Альто, занимаясь тем, что просматривал видеозапись конференции 1996 года в Сиэтле. А через месяц после этого я был на рабочем совещании в Институте Куранта. Вычитание числа 1996 из числа 2002 дает шесть лет. «Вычитание» содержания конференции в Сиэтле из курантовского совещания показывает, что математики, собравшиеся в Институте Куранта, смогли показать не так много нового. Вообще-то это не слишком неожиданное заявление, и я никоим образом не придаю ему пренебрежительного или уничижительного оттенка. Деятельность, о которой идет речь, исключительно трудна. Прогресс в ней дается не быстро, а шесть лет — срок в истории математики небольшой. (Доказательство Последней теоремы Ферма потребовало 357 лет!) И кроме того, на совещании в Курантовском институте были яркие доклады молодых математиков, таких как Иван Фесенко.

Но основное впечатление все же свелось к тому, что наблюдается патовая ситуация. Как будто бы ГР представляла собой гору, на которую совершается восхождение, но с какого направления к ней ни подбираешься, рано или поздно застреваешь у края широкой и бездонной расселины. Я сбился со счета, пытаясь прикинуть, сколько раз, будь то в 1996 или в 2002 году, докладчик заканчивал свое выступление, буквально разводя руками: «Это, конечно, очень важное достижение, однако неясно, удастся ли перекинуть отсюда мостик к доказательству классической Гипотезы Римана…»

Сэр Майкл Берри, который знает толк в словах, ввел в обращение концепцию «кларитона», который он определяет как «элементарную частицу внезапного понимания».[207] В области ГР в настоящее время ощущается дефицит кларитонов.

Эндрю Одлыжко: «Сказано, что, кто бы ни доказал истинность Теоремы о распределении простых чисел, тот достигнет бессмертия. И верно: и Адамар, и де ля Валле Пуссен дожили до девяноста с лишним лет. Возможно, ГР не верна; но если кто нибудь сумеет доказать ее ложность — найти нуль вне критической прямой, — то он умрет на месте и о его результате никто никогда не узнает».

IV.

Если оставить в стороне вопрос о поиске доказательства, то каковы ощущения математиков насчет ГР? Что им подсказывает их интуиция? Верна ГР или нет? Что они по этому поводу думают? Я специально спрашивал всех математиков, с которыми удавалось поговорить, верят ли они в справедливость Гипотезы. Ответы образовали широкий спектр с довольно разнообразным набором собственных значений.

Для тех математиков, кто верит в ее справедливость (сюда относится, например, Хью Монтгомери), определяющую роль играет совокупная убедительность свидетельств в ее пользу. Но всем профессиональным математикам известно, что веские свидетельства и указания могут сыграть злую шутку. Имелись веские основания полагать, что Li(x) всегда превосходит π(x), пока Литлвуд не показал в 1914 году, что это не так. Верно, скажут вам те, кто верует в ГР, но ведь то были всего лишь свидетельства, затрагивающие только одну нить, ведущую к ГР. Численные свидетельства вкупе с неподкрепленным предположением, что второй член — т.е. член с интегральным логарифмом −1/2Li(x1/2) — будет и далее доминировать в разности, которая в силу этого будет оставаться отрицательной. А к самой Гипотезе ведет большее число нитей. На Гипотезе Римана основано огромное количество результатов, большинство из которых весьма разумны и — если использовать слово, которое особенно нравится математикам, — изящны. Имеются сотни теорем, которые начинаются словами «В предположении, что Гипотеза Римана верна…». Если ГР окажется ложной, то все они рассыплются. Это, понятно, было бы нежелательным, так что тех, кто верует, можно упрекнуть в выдавании желаемого за действительное, и, однако же, дело не в нежелании потерять все эти результаты, а в факте их существования. В веских свидетельствах.

Другие математики полагают (как полагал Алан Тьюринг), что ГР, скорее всего, не верна. Мартин Хаксли[208] — один из неверующих наших дней. Его неверие основано исключительно на интуитивных посылках — если процитировать аргумент, впервые выдвинутый Литлвудом, «Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из анализа, как правило, оказывается ложной. Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из алгебры, как правило, оказывается истинной».

Ответ, который мне нравится больше всех, принадлежит Эндрю Одлыжко. Ему я на самом деле задал этот вопрос впервые — он был первым математиком, к кому я обратился, когда вынашивал планы написания этой книги. Мы отправились ужинать в ресторан в городок Саммит в Нью-Джерси. Эндрю в то время работал в Белловских лабораториях (сейчас он в университете Миннесоты). Я в то время был новичком во всем, что касалось ГР, и мне приходилось много всего изучать. Покончив с превосходной итальянской едой и проведя два часа за серьезным разговором о математике, мы подошли к моменту, когда у меня больше не осталось, о чем спрашивать; тогда я сказал:

Дж.Д. Эндрю, вам довелось рассмотреть больше нетривиальных нулей дзета-функции Римана, чем любому другому на нашей планете. И что вы думаете по поводу этой проклятой Гипотезы? Верна она или нет?

Э.О. Она или верна, или нет.

Дж.Д. Да ладно, Эндрю, у вас же должно быть какое-то ощущение по этому поводу. Ну скажите мне, какова вероятность. Скажем, восемьдесят процентов, что она верна, и двадцать, что нет. Или сколько?

Э.О. Она или верна, или нет.

Кроме этого мне ничего не удалось из него вытянуть. Он просто не желал связывать себя никаким утверждением. В другом разговоре, состоявшемся позднее и в другом месте, я спросил Эндрю, имеются ли веские математические причины полагать, что Гипотеза не верна. Да, сказал он, некоторые имеются. Например, можно разбить дзета-функцию на различные части, каждая из которых будет вам говорить что-то свое о поведении дзета-функции. Одна из этих частей — так называемая S-функция (никакого отношения не имеющая к функции, которую мы обозначали как S(x) в главе 9.ii). Во всем интервале, в котором до сих была изучена дзета-функция, — т.е. для аргументов на критической прямой до высоты около 10^23 — S в основном барражирует между −1 и +1. Наибольшее известное ее значение равно примерно 3,2. Имеются серьезные основания думать, что если S сумеет в какой-то момент добраться до величины около 100, то ГР может оказаться в беде. Ключевое слово здесь — «может»; достижение функцией S значений около 100 — это необходимое условие для того, чтобы с Гипотезой Римана случилась беда, но не достаточное.

Могут ли значения функции S когда-нибудь вообще стать столь большими? Представьте себе, могут. На самом деле Атле Сельберг в 1946 году доказал, что S неограничена; другими словами, рано или поздно, если только забраться достаточно высоко по критической прямой, значение этой функции превысит любое заранее выбранное число! Скорость роста функции S столь чудовищно мала, что соответствующие высоты находятся за пределами воображения, но тем не менее нет сомнений, что S в конце концов дойдет до 100. Докуда надо будет исследовать критическую прямую, чтобы увидеть, как S достигнет такой величины? Эндрю: «Возможно, до T, равного ». Это намного больше, чем современные вычислительные возможности, да? «О да. Серьезно больше».

V.

Вопрос, который всегда задают читатели-нематематики, вопрос, который возникает всякий раз, когда математики обращаются к аудитории из простых людей: какая от всего этого польза? Предположим, что Гипотезу Римана доказали или опровергли. Какие практические следствия отсюда произойдут? Станем ли мы от этого здоровее, повысится ли наш комфорт, станет ли наша жизнь более безопасной? Изобретут ли новые устройства? Сможем ли мы быстрее путешествовать? Получим ли более разрушительное оружие? Колонизируем ли Марс?

Пожалуй, мне пора снять маску и предстать перед вами в образе чистого математика sans mélange[209], которого вообще не интересуют подобные вопросы. Для большинства математиков — как и для большинства физиков-теоретиков — стимулом является не какая бы то ни было идея об улучшении здоровья или повышении комфорта человеческой расы, но чистая радость открытия и удовольствие от преодоления сложных проблем. Математикам, в общем, приятно, когда их результаты находят какое-нибудь практическое применение (во всяком случае, если это применение в мирных целях), но мысли о таких вещах не часто проникают в ту сферу их жизни, которая связана с работой. На конференции в Курантовском институте я просидел четыре дня с 9:30 до 18:00 вечера на докладах, где рассказывалось о вопросах, связанных с ГР, и ни разу не слышал, чтобы упоминались практические приложения.

Вот что по этому поводу говорил Жак Адамар в своей книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики»:

Ответ возникает перед нами еще до того, как возник вопрос <…> Практическое приложение обнаруживается, когда его не ищут, и можно сказать, что весь прогресс человечества зиждется на этом принципе <…> Практические вопросы чаще всего удается разрешить с помощью уже существующих теорий <…> Редко случается так, что важные математические изыскания предпринимаются непосредственно ввиду той или иной практической пользы; мотивировкой их является то же стремление, которое служит основой всякой научной деятельности, — стремление узнать и понять.

Г.X. Харди на заключительных страницах своей странной «Апологии» высказался по этому поводу более резко и откровенно:

Я никогда не делал ничего «полезного». Ни одно из моих открытий не произвело и не имеет шансов произвести, будь то явным или неявным образом, к добру или ко злу, ни малейшей перемены в удобствах жизни <…> При оценке по стандартам практики значение моей математической жизни равно нулю.

В отношении теории простых чисел применимо высказывание Адамара «Ответ возникает перед нами еще до того, как возник вопрос», а заявление Харди уже не верно. С конца 1970-х годов простые числа стали приобретать все большее значение в создании методов шифровки — как в военных, так и в гражданских целях. Способы, позволяющие проверить, является ли данное большое число простым, способы разложения больших чисел на простые множители, способы производства простых чисел огромной величины — все эти вопросы действительно приобрели исключительно e практическое звучание в последние два десятилетия XX века. Теоретические результаты, включая и несколько из тех, что получил Харди, сыграли существенную роль на пути к этим достижениям, которые, среди прочего, позволяют использовать кредитную карту для покупки товаров через Интернет. Разрешение вопроса о ГР, несомненно, повлекло бы дальнейшее развитие в этой области, переведя в разряд истинных все те бессчетные теоремы о простых числах, которые начинаются словами «В предположении, что Гипотеза Римана верна…», и подстегнув дальнейшие открытия.[210]

И конечно, если физики и правда преуспеют в идентификации «римановой динамики», то это изменит наше понимание физического мира.

К сожалению, невозможно предсказать, к чему приведет такое изменение. Даже умнейшие люди не в состоянии высказывать подобные предсказания, а тем, кто их все же высказывает, доверять не следует. Вот математик за работой всего около 100 лет назад:

Каждое утро я сажусь перед чистым листом бумаги. В течение дня, с коротким обеденным перерывом, я все смотрю и смотрю на чистый лист. Порой, когда наступает вечер, он все еще пуст. Два лета — 1903 и 1904 годов — останутся в моей памяти как период полного интеллектуального тупика <…>. Вполне вероятно, что весь остаток моей жизни может пройти за разглядыванием этого чистого листа бумаги.

Это из автобиографии Бертрана Рассела. Терзавшая его проблема состояла в попытке найти определение «числа» на языке чистой логики. В самом деле, что именно обозначает «три»? Немецкий логик Готлоб Фреге ранее предложил ответ, но Рассел нашел изъян в рассуждениях Фреге и искал способ заделать дыру.

Если бы вы спросили Рассела в течение одного из этих летних периодов отчаяния, мог ли предмет его затруднений привести к каким-нибудь практическим приложениям, то он бы разразился смехом. Его занятия являли собой чистейший образец чистейшего интеллекта — до такой степени, что даже сам Рассел, математик по образованию, временами недоумевал, чего ради он этим занимается. «Казалось, что негоже взрослому человеку проводить свое время за такими никчемными вещами…» — замечал он. На самом деле работа Рассела в конце концов привела к появлению Principia Mathematica — ключевого момента в современных исследованиях оснований математики. Среди плодов этого исследования к настоящему времени числятся и победа во Второй мировой войне (или, во всяком случае, победа меньшей ценой, чем это в противном случае произошло бы), и машины, подобные той, на которой я набираю эту книгу.[211]

К ГР поэтому следует подходить в духе Адамара и Харди (но желательно без того оттенка меланхолии, который Харди внес в свое «отречение»). Как сказал мне Эндрю Одлыжко, «она или верна, или нет». Когда-нибудь это станет известно. Я представления не имею, какими будут следствия, и я не думаю, что кто бы то ни было другой это знает, однако я уверен, что последствия будут огромными. В конце охоты наше понимание претерпит изменение, а до этого момента радость и очарование заключаются в самой охоте, а для тех из нас, у кого нет подходящего снаряжения, — в наблюдении за энергией, решимостью и изобретательностью охотников. Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Эпилог

Бернхард Риман умер в пятницу 20 июля 1866 года, не дожив нескольких недель до своего сорокалетия. Осенью 1862 года он подхватил очень сильную простуду, ускорившую развитие туберкулеза, которым он, по-видимому, страдал с детства.[212] Коллеги по Геттингену выхлопотали Риману несколько правительственных субсидий, которые позволили ему перебраться в более благоприятный климат, что в то время было единственным способом, который мог принести облегчение больному туберкулезом и замедлить развитие болезни.

Таким образом, последние четыре года своей жизни Риман почти полностью провел в Италии. Умер он в Селаске, на западном берегу Лаго-Маджоре в Пьемонтских Альпах. Его жена Элиза и их трехлетняя дочь Ида были с ним. В краткой биографии, которой он дополнил «Собрание трудов» Римана, Рихард Дедекинд так описывает последние дни своего друга.

28 июня он прибыл на Лаго-Маджоре, где поселился на вилле Пизони в Селаске, неподалеку от Интры.[213] Силы быстро оставляли его, и он с полной ясностью понимал, что конец его приближается. Тем не менее за день до смерти, отдыхая в тени фигового дерева и наслаждаясь прекрасными видами вокруг, он трудился над одной из тех работ, которая, увы, осталась незавершенной. Скончался он мирно, без борьбы и агонии. Он как будто с интересом наблюдал за тем, как душа его отделяется от тела. Жена принесла ему вина и хлеба. Он попросил ее передать его последний привет всем домочадцам и сказал: «Поцелуй наше дитя». Она прочитала ему «Отче наш», но сам он уже не мог говорить. При словах «прости нам прегрешения наши» он благоговейно возвел взор вверх. Она чувствовала, что его рука холодеет в ее руках, и после нескольких вдохов его чистое и благородное сердце перестало биться. Благочестивый дух, заложенный в нем под крышей отцовского дома, он сохранил на всю жизнь и служил Господу верой и правдой, избрав свой собственный путь. Со своей высшей пробы преданностью Господу, он никогда не вмешивался в веру других: главное в религии, по его мнению, заключалось в том, чтобы ежедневно ответствовать за себя пред лицом Господа.

Он похоронен при церкви в Биганцоло, в приходе Селаски. На его надгробной плите начертано:

Здесь покоится в мире

ГЕОРГ ФРИДРИХ БЕРНХАРД РИМАН

профессор из Геттингена

род. в Брезеленце 17 сент. 1826

сконч. в Селаске 20 июля 1866

Любящим Бога

все содействует ко благу.

Вся надпись сделана по-немецки. Эпитафия взята из Послания к римлянам св. апостола Павла, 8:28. (По-немецки: Denen die Gott lieben müssen alle Dinge zum Besten dienen.) Могилы Римана больше не существует — она была уничтожена при перепланировке церковных земель. Однако плита с надписью сохранилась и стоит возле стены неподалеку.

Элиза Риман с дочерью вернулись в Геттинген. Они жили там с оставшейся сестрой Бернхарда Римана, которую также звали Ида, по адресу Weender Chaussee 17. Соседний дом с номером 17А занимал Херманн Шварц — университетский профессор математики.[214] Кафедру Римана в университете занял Альфред Клебш, написавший основополагающий текст по современной алгебраической геометрии.

В 1884 году дочь Римана Ида, которой к тому времени исполнилось 20 лет, вышла замуж за Давида Шиллинга, который в 1880 году получил ученую степень под руководством Шварца и сохранил с ним дружеские отношения. Вскоре после этого Шиллинг получил должность директора Морской академии в Бремене. В сентябре 1890 года вдова Римана и его сестра отправились жить вместе с Шиллингами в Бремен. Дочь Римана дожила до 1929 года, а ее муж до 1932-го. По-видимому, у них была большая семья, но точное число их детей от меня ускользнуло. Как бы то ни было, потомки Бернхарда Римана к настоящему времени слились с общей массой человечества.

Хотя недолгие годы были ему отпущены и немного имеется печатных страниц, запечатлевших результаты его исследований, имя его есть и будет на языке у математиков. Большая часть его трудов — шедевры, наполненные оригинальными методами, глубокими идеями и широким творческим воображением.

Джордж Кристал, из статьи «Риман» в издании Encyclopedia Britannica, 1911 год

Приложение 1

Гиганты и их покровители

Леонард Эйлер

Петр Великий

Карл Фридрих Гаусс

Карл-Вильгельм-Фердинанд, герцог Брауншвейгский

Бернхард Риман, его наставник и его друг

Риман, начало 1950-х годов

Риман, 1863

Лежен Дирихле

Рихард Дедекинд

Теорема о распределении простых чисел

Шарль де ля Валле Пуссен

Жак Адамар

Пафнутий Львович Чебышев

Атле Сельберг

Первопроходцы XX столетия

Давид Гильберт

Эдмунд Ландау

Г.Х. Харди

Джон Идензор Литлвуд

Вычислительное направление

Йорген Педерсон Грам

Карл Зигель

Алан Тьюринг

Эндрю Одлыжко

Алгебраисты

Эмиль Артин

Андре Вейль

Пьер Делинь

Ален Конн

Физическое направление

Джордж Пойа

Фримен Дайсон

Хью Монтгомери

Сэр Майкл Берри

Гипотеза Линделёфа и модель Крамера

Эрнст Линделёф

Харальд Крамер

Счет и измерение

Автор с семьей и Тай-е, которому арифметически 97 лет, но аналитически всего 95,522…

Приложение 2. Гипотеза Римана в песне

Том Апостол, заслуженный профессор математики в отставке из Калтеха, написал в 1955 году гимн по поводу Гипотезы Римана (ГР) и исполнил его на конференции по теории чисел, проходившей в Калтехе в июне того года. Исходно написанные Томом стихи заканчивались на 32-й строке; последние два куплета в 1973 году вывесил на доске объявлений в Кембриджском университете алгебраический тополог Сондерс Маклейн. В песне упоминается гипотеза Линделёфа (ГЛ) — младшая сестра ГР. Она была сформулирована в 1908 году, и, по существу дела, ее надо было бы привести где-то в главе 14; но, поскольку она второстепенна по отношению к нашей главной теме и поскольку в ней используется обозначение «Ο большое» из главы 15, а также потому, что я в тот момент посчитал, что в книге и так уже достаточно математики, я не стал ее включать в текст. Правда, стихи Тома без нее не понять, а заставить себя выкинуть песню я не смог. В результате перед вами и сама песня, и, в качестве бесплатного приложения, еще и гипотеза![215]

Где же нули у функции дзета?

(на мотив Sweet Betsy from Pike)

1   Где же нули у функции дзета?

Нам Риман оставил догадку про это:

«На критической линии, там они все,

А их плотность — один-на-два-π ln T».

5   И эта гипотеза, словно заноза,

Многих людей довела до психоза.

Стремились они дать строгий расчет,

Что происходит, когда t растет.

Ландау, и Бор, и Крамер, и Харди

10 Среди одержимых шли в авангарде.

Но все-таки даже они не смогли

Уверенно все перечислить нули.

Впоследствии Харди сумел доказать,

Что на этой прямой их несметная рать,

15 Но его теорема все ж не исключает,

Что где-то еще те нули обитают.

Пусть P будет π минус Li — вот прелестно!

Но как там с порядком P — неизвестно.

Если корень из x ln x — потолок,

20 То Гипотезу Римана вывесть я б смог.

Вопрос про μ(σ) задал Линделёф;

Над ним потрудилось немало умов.

Проверим критическую полосу,

И сколько нулей там — как на носу.

25 Но функция эта ведет себя сложно,

Ее изучили, насколько возможно.

«График должен быть выпуклым, — смог он сказать, —

Если сигма сама превосходит 0,5».

Так где же нули у функции дзета?

30 Даже через столетие все нет ответа.

А ТРПЧ можно все улучшать,

Но контур обязан нули избегать.

Тем временем Вейль обратился к предмету,

Используя более хитрую дзету.

35 Коль характеристика поля равна

Простому числу — теорема верна.

Мораль этой притчи нетрудно понять,

И всем юным гениям следует знать:

Если не выручает обычный подход,

40 То по модулю p — авось повезет!

Том М. Апостол, перевод Сергея Ельницкого

Where are the zeros of zeta of s?

Where are the zeros of zeta of s?

G.F.B. Riemann has made a good guess:

«They're all on the critical line,» stated he,

«And their density's one over two pi log T».

This statement of Riemann's has been like a trigger,

And many good men, with vim and with vigor,

Have attempted to find, with mathematical rigor,

What happens to zeta as mod t gets bigger.

The efforts of Landau and Bohr and Cramér,

Hardy and Littlewood and Titchmarsh are there.

In spite of their effort and skill and finesse,

In locating the zeros there's been no success.

In 1914 G.H. Hardy did find,

An infinite number that lie on the line.

His theorem, however, won't rule out the case,

That there might be a zero at some other place.

Let P be the function pi minus Li;

The order of P is not known for x high.

If square root of x times log x we could show,

Then Riemann's conjecture would surely be so.

Related to this is another enigma,

Concerning the Lindelöf function mu sigma,

Which measures the growth in the critical strip;

On the number of zeros it gives us a grip.

But nobody knows how this function behaves,

Convexity tells us it can have no waves.

Lindelöf said that the shape of its graph

Is constant when sigma is more than one-half.

Oh, where are the zeros of zeta of s?

We must know exactly. It won't do to guess.

In order to strengthen the prime number theorem,

The integral's contour must never go near 'em.

André Weil has improved on old Riemann's fine guess

By using a fancier zeta of s.

He proves that the zeros are where they should be,

Provided the characteristic is p.

There's a moral to draw from this long tale of woe

That every young genius among you must know:

If you tackle a problem and seem to get stuck,

Just take it mod p and you'll have better luck.

Примечания

Мотив. Sweet Betsy from Pike — песня, которую поют на этот мотив в Америке. Однако мелодия старше, чем слова. Впервые она прозвучала в английской песенке Villikens and his Dinah[216], популярной в середине XIX века. (Из этой песенки, кстати, взято имя кошки в книгах Льюиса Кэрролла об Алисе. Villikens and his Dinah была любимой песней Алисы Лидделл — девочки, которая вдохновила его на написание книг, и у нее и в самом деле была кошка по имени Дина.) Если ваше обучение в Британии включало в себя членство в школьном клубе регби[217], то вы, скорее всего, распознаете эту мелодию как мелодию известной печальной баллады, начинающейся словами О Father, О Father, I've come to confess. I've left some poor girl in a hell of a mess.[218]

Строка 1. См. главу 5.vii.

Строка 2. Полное имя Римана было Георг Фридрих Бернхард Риман (глава 2.iii). Насколько известно, он всегда пользовался только именем Бернхард.

Строка 3. По поводу «критической прямой» (она же критическая линия) см. главу 12.iii, рисунок 12.1.

Строка 4. Это следует сравнить с утверждением из главы 13.viii, что на высоте T вдоль критической прямой средний интервал между нулями ~2π/ln (T/2π). Это означает, что на единицу длины вдоль прямой приходится ~(1/2π)/ln (T/2π) нулей. Это автор песни и имеет в виду под «плотностью». Заметим, что, согласно правилам обращения с логарифмами, ln (T/2π) равен ln T − ln (2π), т.е. ln Т − 1,83787706…. Умножив это на 1/2π, получим (1/2π)ln T − 0,29250721…. По мере роста T растет (хотя и намного медленнее) и ln T, так что слагаемое величины 0,29250721… становится совершенно несущественным. Следовательно, плотность равна «один-на-два-пи эль-эн T».

Строка 8. В оригинале обозначение mod t использовано для модуля числа t, определенного в главе 11.v. Когда, как в данном случае, под t понимается вещественное число, mod t — в нормальных обозначениях |t| — выражает просто величину t без учета знака.[219] Как отмечалось в главе 16.iv, t (или T) — довольно стандартное обозначение в теории дзета-функции, когда говорят о больших высотах вдоль критической прямой (или, более общим образом, как видно из обсуждения ГЛ в примечаниях к строчкам 21-28, о мнимой части аргумента дзета-функции).

Строка 9. Харальд Бор (глава 14.iii) и Эдмунд Ландау доказали в 1913 году важную теорему о функции S (см. главу 22.iv), которая гласит, что если дзета-функция имеет лишь конечное число нулей вне критической прямой, то функция S(t) неограничена, когда t стремится к бесконечности. Упоминавшееся в главе 22.iv доказательство Сельберга 1946 года, что S(t) неограничена, — более сильный результат, поскольку не требует указанного условия. По поводу Крамера см. главу 20.vii. Помимо разработки упомянутой там «вероятностной модели» для распределения простых чисел Крамер также доказал и один менее значительный результат о функции S: если ГЛ (см. примечания к строчкам 21-28) верна, то S(t)/ln t стремится к нулю, когда t стремится к бесконечности. По поводу Литлвуда и Харди см. главу 14; по поводу Титчмарша — главу 16.v.

Строки 13-16. Глава 14.v.

Строка 17. Чтобы попасть в размер, термин Li здесь надо произносить как как ell-eye (в оригинале, и как «ли» в переводе. — Примеч. перев.). Далее автор песни обсуждает остаточный член π(x) − Li(x), который мы подробно рассматривали в главе 21.

Строка 18. «Как там с порядком P — неизвестно» означает, что «P есть Ο большое от… от чего? — неизвестно». По поводу Ο большого см. главу 15.ii-iii; при этом имеются в виду большие значения x.

Строки 19-20. Если бы удалось доказать, что π(x) − Li(x) = Ο(√x∙ln x) (другими словами, на разность имеется ограничение, т.е. «потолок»), то и ГР была бы доказана. В этом заключается результат, обратный результату фон Коха 1901 года, приведенному в главе 14.viii. Там это не упомянуто, но если формула фон Коха верна, то верна и ГР. Они следуют друг из друга.

Строки 21-28. Следующие несколько строк целиком посвящены гипотезе Линделёфа (ГЛ) — знаменитому предположению в теории дзета-функции. Его гипотеза касается роста дзета-функции в вертикальном направлении — т.е. вверх по вертикальной прямой в комплексной плоскости.

Линделёф, записав аргумент дзета-функции в виде σ + ti, задался таким вопросом: пусть задана вещественная часть σ (это, кстати, строчная греческая буква сигма); что можно сказать о величине ζ(σ + ti), когда t (мнимая часть аргумента) изменяется от нуля до бесконечности? «Величина» здесь понимается в смысле модуля, который мы определили в главе 11.v; другими словами, это означает |ζ(σ + ti)| — расстояние от значения дзета-функции до точки нуль. Это вещественное число, так что для всякой заданной σ и аргумент t, и значение |ζ(σ + ti)| — вещественные числа. Следовательно, можно нарисовать график. На рисунках от П1 до П8 показаны графики для некоторых характерных значений σ; эти графики иллюстрируют суть дела лучше всяких слов.

Рисунок П1.

Рисунок П2.

Рисунок П3.

Рисунок П4.

Рисунок П5.

Рисунок П6.

Рисунок П7.

Рисунок П8.

Обратим внимание на нетривиальные нули дзета-функции на рисунке П5. Стоит обратить внимание и на оживление, которое по сравнению с остальными демонстрируют рисунки от П4 до П6. Все интересное, что может случиться с дзета-функцией, происходит в критической полосе.

Кроме того, отметим некоторые знакомые значения при t = 0: 1/2 на рисунке П4 (что отвечает ζ(0) = −1/2 на рисунке 9.3, поскольку, разумеется, |−1/2| есть просто 1/2); бесконечность на рисунке П6 (расходимость гармонического ряда, глава 1.iii); 1,644934… на рисунке П7 (решение базельской задачи, глава 5.i); и 1,202056… на рисунке П8 (число Апери, глава 5.vi). Нулевое значение функции при t = 0 на рисунке П2 есть вещественный, тривиальный нуль дзета-функции (глава 9.vi). То, что кажется нулями на рисунках П1 и П3, на самом деле нулями не является; реально принимаемые там значения при t = 0 слишком малы, чтобы их можно было заметить. (Они соответственно равны 0,0083333… и 0,0833333….).

ГЛ — это утверждение об Ο большом (см. главу 15.ii) для этих графиков. Просто посмотрев на них, можно предположить следующее.

• При σ = −1, −2 и −3 график выглядит так, как если бы он был Ο большое от некоторой ускоренно растущей функции от t, может быть, степенной типа t^2 или t^5, причем эти степени, по-видимому, делаются все больше по мере того, как σ движется на запад вдоль отрицательной вещественной оси.

• При σ = 2 и 3 дело выглядит так, как будто у нас Ο(1), или, другими словами, Ο(t^0).

• В критической полосе, т.е. при σ = 0, 1/2 и 1, нелегко сказать, какое Ο большое могло бы подойти.

Могло бы так случиться, чтобы для любого значения σ существовало определенное число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(tμ)? Так, чтобы μ = 0, когда σ больше 1, и чтобы μ было некоторым растущим положительным числом, когда σ уходит от нуля на запад. Вроде именно так дело и обстоит. Но что же происходит в критической полосе, когда а лежит между 0 и 1? И в частности, что происходит на критической прямой, когда σ = 1/2?

Ну что же, вот перед нами (рис. П9) все, что известно на момент написания книги. Для любого заданного значения σ действительно имеется число μ, для которого |ζ(σ + ti)| = Ο(tμ+ε) для произвольно малого ε. Это не вполне то же самое, что предполагалось в предыдущем абзаце, но если вы не заметили разницы, то это простительно. (Однако если вспомнить про ε, которое появлялось у нас в главе 15.iii, то станет понятно его значение здесь). Несомненно, это число μ является функцией от σ. Отсюда и взялась функция Линделёфа μ(σ) в строке 21. Она, конечно, не имеет никакого отношения к функции Мебиуса μ из главы 15 — еще один прискорбный случай перегрузки символов.

Рисунок П9. Функция Линделёфа.

Кроме того, математически точно известно следующее.

• Когда σ меньше или равна нулю, μ(σ) = 1/2 − σ.

• Когда σ больше или равна единице, μ(σ) = 0.

• В критической полосе (т.е. когда σ заключена между 0 и 1, не включая границ), μ(σ) < 1/2(1 − σ). Другими словами, функция μ лежит ниже штриховой линии на рисунке П9.

• Для всех значений σ функция μ(σ) выпукла вниз. Это означает, что если соединить любые две точки на ее графике прямой линией, то отсекаемая от графика функции дуга будет целиком лежать ниже (или на) полученной прямой. Это верно везде, включая и критическую полосу; отсюда следует, что для σ, заключенной между 0 и 1, функция μ(σ) должна быть положительной или равняться нулю. (Строка 27 в песне.)

• Из справедливости ГР следует и справедливость ГЛ (которую мы сформулируем прямо сейчас), но не наоборот. ГЛ — более слабый результат.

Это, повторюсь, предел нашего знания на данный момент. ГЛ, представленная на рисунке П10, утверждает, что μ(1/2) = 0, откуда легко следует, что μ(σ) = 1/2 − σ для всех значений от минус бесконечности до σ = 1/2 и μ = 0 для всех аргументов далее на восток — ср. строки 27 и 28 из песни. Это открытая гипотеза, до сих пор не доказанная. В действительности не известно ни одного значения μ(σ), когда σ лежит строго между 0 и 1. ГЛ — величайший вызов в теории дзета-функции после ГР; она оставалась предметом активных исследований, с тех пор как Линделёф высказал ее в 1908 году.

Рисунок П10. Гипотеза Линделёфа.

Строка 24. Можно доказать, что ГЛ эквивалентна утверждению, которое ограничивает число нулей дзета-функции вне критической прямой. Если ГР верна, то, конечно, таких нулей не должно быть вовсе. Но как уже отмечалось, из доказательства ГР последует и ГЛ.

Строка 31. «А ТРПЧ можно все улучшать» — т.е. получить наилучшее возможное выражение типа Ο большого для остаточного члена.

Строка 32. При обычном интегрировании, как мы определили его в главе 7.vii, интегрируют вдоль оси x, от некоторого числа a до какого-то большего числа b. При наличии комплексных переменных можно интегрировать вдоль некоторого контура — т.е. прямой или кривой линии — в комплексной плоскости, от некоторой точки на этом контуре до какой-нибудь другой точки. Обычно контур при этом надо выбирать: результат интегрирования может зависеть от того, по какому именно контуру происходит интегрирование.[220] Контурное интегрирование — одно из основных средств в аналитической теории чисел (и вообще в теории функций комплексной переменной). Для получения определенных результатов об остаточном члене надо интегрировать по контуру, который не проходит через нули дзета-функции.

Строка 33. «Вейль обратился к предмету…». В этих последних куплетах говорится об алгебраическом подходе, упоминавшемся в главе 17.iii, и о результате А. Вейля 1942 года.

Строка 34. «Используя более хитрую дзету» — другими словами, один из упоминавшихся в главе 17.iii аналогов дзета-функции, связанных с конечными полями.

Строка 35. Мы определили характеристику поля в главе 17.ii. Аналоги ГР были доказаны только для дзета-функций, связанных с полями ненулевой характеристики — т.е. характеристики, равной некоторому простому числу p.

Строка 36. «…теорема верна». Благодаря А. Вейлю известно, что аналоги ГР для этих специальных полей верны.

Строка 40. Слова «по модулю p» используются здесь в смысле арифметики циферблата из главы 6.viii; как отмечалось в главе 17.ii, здесь имеется связь с теорией полей.

В Интернете можно найти варианты этой песни, несколько отличающиеся оттого, что написан Томом; среди них я отмечу один, который заканчивается строчкой Use R.M.T. and you'll have better luck. Это добродушный пинок в сторону «физического» подхода: R.M.T. означает random matrix theory — теорию случайных матриц.

Организации и частные лица, предоставившие возможность воспроизвести портреты

Леонард Эйлер, Джордж Пойа — воспроизводится с разрешения Джеральда Александерсона. Фрагмент из письма Дж. Пойа в главе 17 — с разрешения Эндрю Одлыжко.

Петр Великий — художник Жан Марк Натье (1717). Государственный Эрмитаж, Санкт-Петербург.

Лежен Дирихле, Карл Гаусс, Давид Гильберт — Deutsches Museum.

Герцог Брауншвейгский — Braunschweigisches Landesmuseum.

Бернхард Риман — в начале 1950-х — с разрешения Михаила Монастырского; 1863 — с разрешения Staatsbibliothek zu Berlin, Preussischer Kulturbesitz.

Рихард Дедекинд, Эдмунд Ландау, Карл Зигель — Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen; Abteilung für Handschriften und seltene Drucke.

Шарль де ля Валле Пуссен — Louvain-la-Neuve, Archives de I'Université Catholique de Louvain, CHUL.

Жак Адамар — Archives of Woodson Research Center, Fondren Library, Rice University.

П.Л. Чебышев — Государственная библиотека имени Максима Горького, Санкт-Петербургский государственный университет.

Ален Конн, Хью Монтгомери, Эндрю Одлыжко, Атле Сельберг — фотографии C.J. Mozzochi, Princeton, NJ, USA.

Годфри Хэролд Харди, Дж. И. Литлвуд — The Master and Fellows of Trinity College, Cambridge.

Йорген Педерсен Грам — фрагмент картины «Собрание Академии» П.С. Кройера, написана в 1895-1897. The Royal Danish Academy of Sciences and Letters.

Алан Тьюринг — The National Portrait Gallery, London.

Эмиль Артин — Princeton University Library.

Андре Вейль, Пьер Делинь— фотографы Herman Landshoff (Вейль), Randall Hagadorn (Делинь). Archives of the Institute for Advanced Study, Princeton.

Фримен Дайсон — с разрешения Ф. Дайсона.

сэр Майкл Берри — с разрешения М. Берри.

Эрнст Линделёф — фотография W. Sjörström (1930). Helsinki University Museum.

Харальд Крамер — с разрешения профессора Андерса Мартин-Лефа, Факультет математической статистики Стокгольмского университета.

Тай-е — фотография автора.

Примечания и дополнения автора, сделанные в середине 2003 года

A1

«В современный анализ эти концепции не допускаются». На самом деле существует «нестандартный» анализ, построенный на основе строгого определения «бесконечно малой величины». Это направление связано главным образом с работами А. Робинсона в 1960-х годах (хотя некоторые идеи восходят к Гильберту). Нестандартный анализ полностью обоснован и сам по себе достаточно интересен, но он не оказал большого влияния на текущую работу математиков в той области, о которой я пишу. И более того, моя книга направлена на объяснение обычного анализа для неспециалистов, и поэтому я не собирался отклоняться от темы в эту сторону. Наверное, следовало бы сказать «В современный стандартный анализ…», но и это уже до некоторой степени замутило бы воду. В общем, примечание с объяснением тут вполне уместно…

A2

Что касается подробностей запутанной истории с Сельбергом и Эрдешем, то мои намерения состояли в том, чтобы сохранять некоторую дистанцию, дабы самому не стать ее участником. Вокруг этой темы все еще накаляются страсти. Я столкнулся с ней только при написании книги, и, если не считать двух прочитанных (и отрецензированных) мною биографий Эрдеша, единственной точкой соприкосновения был разговор с Атле Сельбергом, состоявшийся в 2002 году. Несмотря на прошедшие 53 года, эта история явно его расстраивала.

После выхода в свет «Простой одержимости» я получил несколько бумажных и электронных писем по поводу данного раздела. Один мой корреспондент воспринял мой рассказ как «едкий сарказм» — характеристика, которая привела меня в недоумение. Всякий, кто думает, что предпоследний абзац в главе 8.iii представляет собой «едкий сарказм», просто не много оттуда понял. Я совершенно не собирался излагать это с каким бы то ни было сарказмом, а, наоборот, сохранял в споре полный нейтралитет. Однако мой собственный нейтралитет не может помешать мне сообщить следующий простой факт: большинство из тех, кто мне писал по данному поводу, выбирают сторону Сельберга, несмотря на не подлежащий сомнению факт, что Эрдеша практически все буквально обожали.

Например, нижеследующее написано заслуженным профессором в отставке из Сиракузского университета Эриком Хеммингсеном (приводится с его разрешения). Профессор Хеммингсен сначала обращает внимание на то, что, хотя Сельберг действительно работал в Институте высших исследований в то время, когда его статья вышла из печати, всю работу он в действительности проделал, пока был в Сиракузском университете. Профессор Хеммингсен далее пишет:

Сельберг находился с визитом в Институте в течение академического 1947/48 года, когда он пересекся с одним из моих коллег, который в тот год также находился там с визитом. Сиракузский университет был первым, кто предложил Сельбергу исследовательскую работу в Америке, и вместе с женой они приехали в Сиракузы как раз перед началом осеннего семестра 1948 года. Они вернулись в Принстон летом 1950 года.

Когда я приехал в Сиракузы в сентябре 1947 года, Эрдеш уже находился там. Он был моим старым знакомым по Пенсильванскому университету, где он уже работал, когда я там появился в 1941 году в качестве аспиранта. Мы оба провели в Пенсильванском университете несколько лет, и он был очень любезен по отношению ко мне.

Сельберг, естественно, был очень рад, что ему удалось найти свое доказательство Теоремы о распределении простых чисел, и примерно равный ему по возрасту коллега, выказывавший серьезный интерес к теории чисел, представлялся подходящей фигурой для того, чтобы говорить с ним о своей работе. К сожалению, это было огромной ошибкой, настолько печальной [sic], что теперь некоторые люди считают, что доказательство принадлежит Эрдешу. После смерти Эрдеша появилась статья в Notices of the Amer. Math. Soc., автор которой дошел до того, что утверждал, будто Теорема о распределении простых чисел — это лучшая из работ, сделанных Эрдешем. Меня это исключительно покоробило, и я решил записать свои собственные впечатления о том, что имело место. Этот рассказ в настоящее время хранится в математической библиотеке Сиракузского университета.

A3

«…до самого недавнего времени не исключалось…» Специалист по аналитической теории чисел Сид Грэм из Мичиганского университета замечает, что имелись гораздо более ранние результаты, ставящие под сомнение теорему 15.1. Это, в первую очередь, результат Ингэма 1942 года (О двух предположениях в теории чисел. Amer. J. Math. Vol. 64. P. 313-319). Упомянутый в тексте результат Одлыжко и Риле основан на работе Ингэма. Сид пишет: «Хотя гипотеза Мертенса была опровергнута только в 1985 году, к ней относились скептически уже задолго до этого».

A4

«…у муравья Арга есть брат-близнец…» Один из читателей заметил, что рабочие муравьи, строго говоря, самки, так что это должна быть «сестра».

A5

«Майкл Берри показал…» Сэр Майкл написал мне очень любезное и занятное письмо, в котором поблагодарил за книгу и добавил в мое собрание математических баек парочку новых. Кроме того, он подверг критике один момент, который, как мне кажется, самое место обсудить именно здесь. С его разрешения я в точности воспроизвожу его письмо. Вот что он пишет:

<…> написанное вами, хотя и верно само по себе, упускает из виду весьма существенное обстоятельство, которое следует из квантовой аналогии. А именно — предсказание и детальное описание(1),(2) отклонений от ГУА-статистики в корреляциях между сильно разнесенными нулями. Эти отклонения заметил Эндрю Одлыжко (он наблюдал их в численной дисперсии положений нулей); он задался вопросом, не являются ли они результатом ошибки в его программе. Он чрезвычайно любезно предоставил мне полученные им данные, из которых получалось, что отклонения точно соответствуют «квантовой» теории, за исключением некоторых осцилляций малого масштаба, объяснение которым теперь нашли Джон Китинг и Эжен Богомольни(3). С моей точки зрения, данное ими объяснение этих отклонений является сильнейшим свидетельством в пользу гипотезы Римана; оно, кроме того, помещает неуловимый оператор в класс квантовых систем с классическим хаосом, а не в класс случайных матриц.

(1) Berry M.V. Semiclassical formula for the number variance of the Riemann Zeros, in: Nonlinearity Vol. 1. 1988. P. 399-407.

(2) Berry M.V. and Keating J.P. The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics, in: the SIAM Review. Vol. 41. №2. 1999. P. 236-266. [SIAM означает Society for Industrial and Applied Mathematics.]

(3) Bogomolny E. and Keating J.P. Asymptotics of the pair correlation of Riemann zeros. 1999.

A6

В то время, когда я работал над книгой, я не знал о книге Джулиана Хейвила «Гамма: Изучение константы Эйлера», которая вышла примерно в то же время, что и «Простая одержимость», и целиком посвящена этой загадочной гамме. Она прекрасно написана и содержит много интересной математики, хотя и на несколько более высоком уровне, чем в моей книге. Я рекомендую ее каждому, кто хочет узнать, почему число 0,577215664901532860606512… так чертовски важно.

A7

Книга Титчмарша вышла в переработанном (Роджером Хит-Брауном) издании в 1986 году.

A8

Сэр Майкл Атья повторил тут вещь довольно известную: идеи о том, что алгебра = время, а геометрия = пространство, восходят по крайней мере к Гамильтону (т.е. к 1840-м годам).

A9

«„Ансамбль“ (в данном употреблении, кстати, это слово было введено Альбертом Эйнштейном)…» Это, по-видимому, неверно. Один физик обратил мое внимание, что одна из глав в книге Уилларда Гиббса «Основные принципы статистической механики» называется «О движении систем или ансамблей систем на длительных промежутках времени». Эта книга опубликована в 1902 году, т.е. за три года до того, как Эйнштейн с блеском ворвался в физику, написав три статьи в Annalen der Physik. По-видимому, Гиббс был первым, кто употреблял этот термин таким образом. Однако я был бы весьма благодарен, если бы кто-нибудь смог дать более точную привязку.

Примечания

1

Никола Орем (Nicole d'Oresme) был не только математиком, но и естествоиспытателем, философом, физиком, астрономом и экономистом, а также воспитателем Дофина, будущего короля Карла V. (Примеч. перев.)

2

Стандартным русским словосочетанием является также математический анализ (или матанализ, как говорят, например, все те студенты, которые не называют его просто матаном). В переводе в подавляющем большинстве случаев оставлен просто «анализ», чего достаточно для передачи сути дела. Соответственно, прилагательное «аналитический» означает «[изучаемый или выраженный] средствами анализа». (Примеч. перев.)

3

Точнее, сумма некоторого числа членов гармонического ряда. (Примеч. перев.)

4

То есть для того, чтобы приблизиться к пределу — в данном случае к числу π — с хорошей точностью, надо брать члены последовательности с достаточно большими номерами. (Примеч. перев.)

5

Силы французской армии «Север» под командованием Франсуа Дюмурье и французской армии «Центр» под командованием Франсуа-Кристофа Келлермана остановили продвижение армии под командованием герцога Брауншвейгского Карла Вильгельма Фердинанда. Артиллерийское сражение оказалось тактически безрезультатным, но стратегически важным как доказательство жизнеспособности Французской революции. Книга «Пятнадцать решающих битв в мировой истории» вышла в 1851 г. (Примеч. перев.)

6

Этот исторический факт я усвоил, когда ходил в Англии в школу, с помощью следующей песенки викторианских времен:

Георг был Первый трусом; даже

Второй был ненамного гаже.

И не сыскал никто на свете

Достойных черт в Георге Третьем.

Когда ж Георг Четвертый помер —

То, к счастью, был последний номер.

(Пер. М. Визеля.)

На самом деле Георги на этом не закончились — в XX веке их было еще двое. (Здесь и далее не отмеченные особо примечания принадлежат автору.)

7

И математик, один из создателей дифференциального и интегрального исчисления (в частности, автор современного обозначения для интеграла). (Примеч. перев.)

8

Другой мощный подъем Эльбы произошел в 1962 г. и вызвал значительные жертвы и разрушения в районе Вендланд. После этого возвели систему крупных дамб. В августе 2002 г., как раз во время завершения моей работы над книгой, Эльба снова вышла из берегов. Однако сооруженные в 1962 г. дамбы выдержали напор, и регион пострадал меньше других, расположенных выше по течению.

9

Эрвин Нейеншвандер — профессор истории математики в Цюрихском университете. Он является главным авторитетом по жизни и творчеству Бернхарда Римана; он издал письма Римана. Я использовал в этой книге результаты его исследований. Я также многое взял из двух единственных изданных на английском книг, в которых удалось найти сколько-нибудь обстоятельный рассказ о Римане: «Риман, топология и физика» Михаила Монастырского (перевод 1998 г., выполненный Роджером Куком, Джеймсом Кингом и Викторией Кинг) и «Бернхард Риман, 1826-1866» Детлефа Лаугвитца (перевод 1999 г., выполненный Абе Шенитцером). Хотя это математические биографии — т.е. в них больше математики, чем биографических фактов, — обе книги позволяют составить хорошее представление о самом Римане и о его времени и содержат много ценных наблюдений. (См.: Монастырский М.И. Бернхард Риман. Топология. Физика. М.: Янус-К, 1999. — Примеч. перев.)

10

Еще бы не изматывали. 38 миль по прямой — это 10 часов ходьбы быстрым шагом.

11

Ганновер стал королевством только в 1814 г. До этого его правители носили титул курфюрста, означавший их право участвовать в выборах императора Священной Римской империи. Священная Римская империя прекратила свое существование в 1806 г.

12

Эрнст-Август был предпоследним королем Ганновера. В 1866 г. это королевство стало частью Прусской империи, что оказалось поворотным моментом в создании современной Германии. (Носивший титул герцога Камберлендского Эрнст-Август был пятым сыном Георга III. Королева Виктория была дочерью его старшего брата Эдуарда, герцога Кентского, умершего в 1828 г. — Примеч. перев.)

13

Оценки разнятся, но Гаусса почти всегда ставят в число первых трех — как правило, вместе с Ньютоном и Эйлером или Архимедом.

14

Генрих Вебер и Рихард Дедекинд подготовили первое издание в 1876 г. Самое последнее издание «Собрания трудов», составленное Рагаваном Нарасимханом, вышло в 1990 г. Кстати, по-немецки «собрание трудов» — Gesamelte Werke, и эти слова так часто встречаются в математической литературе, что, по моим наблюдениям, англоговорящие математики употребляют их по-немецки, совершенно не отдавая себе в этом отчета.

15

Абелева функция — это многозначная функция, получаемая при обращении интегралов определенного вида. Данное название не имеет широкого распространения в наше время. Мы упомянем многозначные функции в главе 3, теорию функций комплексной переменной в главе 13, а обращение интегралов — в главе 21.

16

Используя уже утвердившийся у нас американизм — «полным профессором». В этих же терминах «экстраординарный профессор» — это Assistant Professor, что до некоторой степени соответствует российскому доценту. (Примеч. перев.)

17

Вот только один пример неожиданного появления числа e. Возьмем случайное число, заключенное между 0 и 1. Теперь возьмем другое и прибавим его к первому. Продолжим так поступать, накапливая случайные числа. Сколько в среднем случайных чисел потребуется, чтобы сумма оказалась больше, чем 1? Ответ: 2,71828….

18

Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть S обозначает множество положительных целых чисел n, для которых выполнено такое свойство: n√2 — также положительное целое число. Если множество S не пусто, в нем есть наименьший элемент. (Любое непустое множество положительных целых чисел имеет наименьший элемент.) Обозначим этот наименьший элемент буквой k. Теперь образуем число u = (√2 − 1)k. Легко видеть, что (i) u меньше, чем k, (ii) u — положительное целое и (iii) u√2 — также положительное целое, так что (iv) u лежит в множестве S. Это противоречие, поскольку мы определили k как наименьший элемент из S, и, следовательно, предположение, из которого мы исходили, — что S не пусто — должно быть ложным. Следовательно, множество S пусто. Следовательно, нет положительного целого числа n, для которого n√2 — положительное целое число. Следовательно, √2 — не дробь. Число, которое не является ни целым, ни дробным, называется «иррациональным», поскольку оно не есть отношение (ratio) двух целых чисел.

19

Правило знаков: минус умножить на минус дает плюс. Многие люди застревают в арифметике именно на этом месте. Они спрашивают: «Что это значит — умножить отрицательное на отрицательное?» Лучшее объяснение, какое мне приходилось встречать, принадлежит Мартину Гарднеру. Оно таково. Рассмотрим большую аудиторию, в которой находятся два типа людей: хорошие и плохие. Определим «сложение» как «приглашение людей в аудиторию». Определим «вычитание» как «удаление людей из аудитории». Определим «положительный» как «хороший» (имея в виду «хороших людей»), а «отрицательный» — как «плохой». Прибавление положительного числа означает, что в аудиторию приходит сколько-то хороших, что несомненно повышает в ней уровень «хорошести». Прибавление отрицательного числа означает, что в аудиторию приходят плохие парни, что понижает суммарный уровень «хорошести». Вычитание положительного числа означает, что наружу выходит сколько-то хороших, и суммарный уровень «хорошести» понижается. Вычитание отрицательного числа означает уход нескольких плохих, в результате чего суммарная «хорошесть» повышается. Таким образом, прибавление отрицательного числа — это все равно что вычитание положительного, а вычитание отрицательного — все равно что прибавление положительного. Умножение — это просто кратное сложение. Минус три умножить на минус пять? Попросим выйти пятерых плохих парней. Повторим это три раза. Результат? Суммарная «хорошесть» увеличилась на 15… (Когда я проверил это на шестилетнем Дэниеле Дербишире, он сказал: «А что, если ты попросишь плохих парней выйти, а они не выйдут?» Философ-моралист в процессе становления!)

20

В отличие от распространенного американского обозначения log принятое у нас обозначение ln уже содержит напоминание не только о логарифме (буква l), но и о том, что это натуральный (т.е. в некотором смысле естественный) логарифм (буква n). Заметим попутно, что «стандартные» функции типа логарифма записываются, как правило, без скобок вокруг аргумента, если этот аргумент достаточно прост (например, выражается одной буквой N или x). (Примеч. перев.)

21

Георг был последним королем Ганновера. После сделанного в 1866 г. неудачного выбора, на чьей стороне воевать в австро-прусской войне, это королевство было в том же году поглощено Пруссией. Медаль, по-видимому, была отлита лишь к столетию Гаусса в 1877 г.

22

Среди разнообразных обстоятельств, позволявших герцогу притязать на славу, стоит, пожалуй, отметить, что он был отцом Каролины Брауншвейгской, вышедшей замуж за английского принца-регента. Брак оказался несчастным, и Каролина уехала из Англии. Но когда принц взошел на трон под именем Георга IV, она вернулась и предъявила свои права в качестве королевы. Это привело к незначительному конституционному кризису и одновременно к значительному увеселению публики по поводу стеснительного положения, в которое попал король, а также из-за довольно надменного характера его королевы, ее своеобразных личных привычек и вопиющих связей. Немалой популярностью пользовалась песенка:

Мадам, мы умоляем Вас

Оставить блуд, покинуть нас;

Но если выбирать одно —

Вы нас покиньте все равно.

(Пер. М. Визеля.)

Одна из теток герцога по материнской линии вышла замуж за императора Священной Римской империи и родила Марию-Терезию, великую императрицу Габсбургского дома. Другая вышла за Алексея Романова и стала матерью Петра II, номинального царя, в то самое время, когда Леонард Эйлер сходил с корабля в Санкт-Петербурге (раздел VI этой главы). Стоит только углубиться в генеалогию всех этих мелких германских правителей, как уже нельзя остановиться.

23

Не забыл ли я упомянуть, что, будучи из ряда вон выходящим математическим гением и первоклассным физиком, Гаусс был еще и блестящим астрономом, первым, кто правильно вычислил орбиту астероида?

24

После кометы Галлея — вторая комета, последовательные зафиксированные появления которой были после трудоемких вычислений связаны с одним и тем же космическим телом. (Примеч. перев.)

25

Чтобы узнать, является ли простым некоторое число N, надо просто делить его по очереди на числа 2, 3, 5, 7, … до тех пор, пока или одно из них не разделит N нацело, что будет означать, что N не простое, или… или что? Как узнать, когда остановиться? Ответ: остановиться надо, когда простое, на которое вы собрались разделить, оказывается больше, чем √N.Если, скажем, N равно 47, то √N = 6,85565…, так что надо проверить только делимость на 2, 3 и 5. Если ни одно из них не делит 47, то, значит, 47 — простое. Почему не надо проверять 7? Потому что 7×7 = 49, так что, если бы число 7 точно делило 47, частное было бы каким-то числом, меньшим 7. Аналогично, √701000 равен 837,2574. Последнее простое число ниже этого равно 829, а следующее простое выше этого есть 839. Если бы 839 делило 701000, то частное было бы числом, меньшим 839 — или некоторым простым, меньшим 839 (которое, следовательно, уже было проверено), или же составным, равным произведению еще меньших простых сомножителей…

26

Лежандр умер в нищете из-за того, что своей принципиальной позицией разгневал политических покровителей. Мне неловко, что я представил его здесь как вечно сердитого и слегка комического персонажа. Лежандр (1752-1833) был прекрасным математиком, одним из лучших во втором ряду, и в течение многих лет получал очень ценные результаты. Его «Элементы геометрии» были главным элементарным учебником по этому предмету в течение более чем столетия. Говорят, что именно эта книга побудила Эвариста Галуа — человека с трагической судьбой (от лица которого ведется повествование в романе Тома Пециниса «Французский математик») — выбрать своим занятием математику. Для нашего рассказа более существенно, что его книгу «Теория чисел» — переименованное третье издание упомянутых «Очерков» — школьный учитель дал почитать юноше Бернхарду Риману, который вернул ее менее чем через неделю со словами «Поистине прекрасная книга. Я теперь знаю ее наизусть». В книге было 900 страниц.

27

Русское издание: М.: Просвещение, 1979. (Примеч. перев.)

28

О числе Эйлера-Маскерони очень хорошо рассказано в главе 9 «Книги чисел», написанной Джоном Конуэем и Ричардом Гаем. Хотя я толком не описал его в данной книге, очень внимательный читатель заметит, как число Эйлера-Маскерони мелькнет за кадром в главе 5.

29

На математическом факультете того английского университета, где я учился, всем студентам старших курсов следовало пройти начальный курс немецкого. Тех, кто, как я, изучал немецкий в школе, отсылали в соседнюю Школу славянских и восточноевропейских исследований, чтобы учить русский, который наши наставники считали наиболее важным для математиков языком после немецкого. Вот вам наследие Петра.

30

Строго говоря, Эрнст Иоганн Бирон (латыш. Ernests Johans Birens, нем. Ernst Johann von Bühren, 1690–1772) был не немцем, а курляндцем, т.е. выходцем с территории современной Латвии; но его родным языком действительно был немецкий. (Примеч. перев.)

31

Я взял эту историю из захватывающего рассказа об отношениях Фридриха с Вольтером написанного в 1915 г. английским остроумцем и сатириком Литтоном Стрэчи вошедшего в его сборник «Книги и характеры: французы и англичане».

32

Латынь Эйлера представляет собой упрощенный, освобожденный от всего лишнего вариант этого языка, приспособленный не для похвальбы тем, как пишущий овладел стилем времен Августа (что Эйлер, наверное, мог бы при желании сделать — он знал «Энеиду» наизусть), но для максимально ясной, с минимумом словесных украшений, передачи идей тем читателям, кто более заинтересован в содержании, нежели обращает внимание на форму. Нам представится пример его латыни в главе 7.v.

33

Швейцарский математик Сэмюэль Кениг обвинил (и, возможно, справедливо) президента Берлинской академии наук Пьера Мопертюи в плагиате работы Лейбница. Мопертюи созвал заседание академии с целью объявить Кенига лжецом, что собравшиеся и исполнили. Стрэчи пишет по этому поводу: «Члены академии были напуганы, ведь их пенсии зависели от благорасположения президента. И даже знаменитый Эйлер не постеснялся принять участие в этом абсурдном и постыдном осуждении».

34

Первое английское издание вышло в 1795 г., первое американское — в 1883-м. По каким-то причинам сейчас эту книгу можно найти только в дорогих изданиях для коллекционеров. (См.: Эйлер Л. Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских историях. СПб.: Наука, 2002. — Примеч. перев.)

35

Сформулирована Пьетро Менголи в 1644 г. Менголи в то время был профессором в университете Болоньи, так что правильнее было бы говорить «болонская задача». Но именно Якоб Бернулли впервые предложил эту задачу вниманию широкой общественности, и название «базельская задача» закрепилось.

36

18√7776 = 1,64495160…. (Примеч. перев.)

37

loge x = ln x. (Примеч. перев.)

38

Если форма кривой кажется странно знакомой, то это потому, что сложение друг с другом N членов гармонического ряда (глава 1.iii) дает число, близкое к ln N. В действительности:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + … + 1/N ~ ln N,

и профиль той едва держащейся колоды карт, если его повернуть на 90 градусов и отразить в зеркале, и есть график функции ln x.

39

Замечание: математики по соглашению используют букву ε (это эпсилон, пятая буква греческого алфавита) для обозначения «некоторого очень маленького числа».

40

Доказательство принадлежит греко-французскому математику Роже Апери, которому в тот момент исполнился 61 год — это по поводу мнения, что математики никогда ничего не создают после тридцатилетнего возраста. В честь этого достижения сумма — которая в действительности равна 1,2020569031595942854… — стала известна как «число Апери». Оно имеет некоторые приложения в теории чисел. Случайным образом выберем три положительных целых числа. Какова вероятность, что у них нет общего делителя? Ответ: около 83 процентов, точнее, 0,83190737258070746868… — число, обратное числу Апери.

41

Очевидно, кроме первого. Читатель, вознамерившийся тем или иным способом проверять утверждения автора, должен делать скидку на подобные, как часто горят математики, «вольности речи». В серьезных математических статьях их, как правило, не меньше, чем в данной книге. (Примеч. перев.)

42

Речь идет о «шестидесятилетнем цикле» — системе, основанной на комбинации десятеричного и двенадцатеричного циклов. Десятеричный цикл называется «Небесные стволы», а двенадцатеричный — «Земные ветви». Система также известна как «гань чжи» — букв. «стволы и ветви». (Примеч. перев.)

43

Что-то вроде «Сколько подарка ты получил?». Невозможность адекватного перевода попытаемся компенсировать следующей историей: когда сыну переводчика этой книги тоже было около 6 лет, он часто спрашивал «Сколько много?» вместо простого «сколько», а как-то раз, выучив в походе, что палатки бывают одноместные, двухместные и т.д., спросил: «Эта палатка какая местная?» (Примеч. перев.)

44

И шесть ртов людей. Определенная логика состоит в том, что, например, для плоских предметов (дверь, стол, лист бумаги…) используется одно счетное слово, а для длинных предметов (река, улица, веревка, рыба, ноги…) — другое (с исходным значением «лента»). (Примеч. перев.)

45

Обсуждающееся употребление во множественном или единственном числе можно сравнить (правда, поверхностно, а не по сути) с высказываниями типа «К нам поступила одна информация, потом еще две информации». (Примеч. перев.)

46

Характерно, что Вильям Ф. Бакли (1925-2008) был виднейшим публицистом, всю жизнь отстаивавшим консервативные политические ценности. Сейчас русскому читателю гораздо больше знаком его сын Кристофер Бакли, автор сатирических романов «Здесь курят» и «День бумеранга». (Примеч. перев.)

47

Русский язык, на котором образованные люди говорили в начале XX века, отчетливо демонстрировал тот же эффект в сочетании «третьего дня» (которое к настоящему моменту практически полностью вытеснилось некогда простонародным «позавчера»). (Примеч. перев.)

48

Английское издание: Uncle Petros and Goldbach's Conjecture. Bloomsbury USA, 2000. Роман впервые вышел на греческом в 1992 г. Как отмечает Доксиадис, в ясных математических терминах эту гипотезу впервые сформулировал Эйлер. (Роман переведен на все основные языки мира и имел успех более чем в 20 странах. Русский перевод: Доксиадис А. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха, М.: ACT, 2002. — Примеч. перев.)

49

Относительно вещей типа гипотезы Гольдбаха и Последней теоремы Ферма вы могли бы сказать: «Но это же не арифметика, а теория чисел». Эти два понятия состояли друг с другом в интересных отношениях. Выражение «теория чисел» восходит по крайней мере к Паскалю (1654, в письме к Ферма), но до XIX столетия оно четко не отделялось от арифметики. Великий классический труд Гаусса по теории чисел назывался Disquisitiones Arithmeticae («Арифметические исследования», лат.) (1801). По-видимому, в некоторый момент ближе к концу XIX века термин «арифметика» окончательно закрепился за основными действиями, изучаемыми в начальной школе, тогда как термин «теория чисел» стали использовать в отношении более глубоких изысканий профессиональных математиков. Затем, примерно в середине XX века, произошел поворот в обратном направлении. Быть может, все началось с вышедшей в 1952 г. книги Хэролда Девенпорта «Высшая арифметика», представлявшей собой блестящее популярное изложение серьезной теории чисел; ее заглавие, как эхо, стало время от времени употребляться в качестве синонима для «теории чисел», восходящей по крайней мере к 40-м гг. XIX века. А далее, в некоторый момент в 70-х гг. (тут я исхожу уже из собственных впечатлений), среди специалистов по теории чисел стало считаться особым шиком называть свою сферу деятельности просто «арифметикой». Книга Жана-Пьера Серра «Курс арифметики» (1973) представляет собой курс по теории чисел для старшекурсников и аспирантов, охватывающий такие предметы, как модулярные формы, p-адические поля, операторы Гекке, и (да!) дзета-функцию. Не могу сдержать улыбки, представляя себе сверхзаботливую мамашу, которая выбирает на полке эту книгу для своего третьеклашки, чтобы помочь ему освоить умножение столбиком.

50

Джордж Херберт Ли Мэлори — участник первых трех британских экспедиций к Эвересту. В июне 1924 г., при попытке осуществить первое в истории восхождение на Эверест, пропал вместе с напарником в верхней части северо-восточного гребня в ходе финальной стадии восхождения (или, возможно, уже на спуске). Тело Мэлори было обнаружено в 1999 г. Достигли они вершины или нет, остается загадкой. (Примеч. перев.)

51

Ларри (Louis Feinberg), Керли (Jerome Lester Horwitz), Moy (Harry Moses Horwitz) — американские комедийные актеры первой половины XX века, более всего известные благодаря многочисленным короткометражным фильмам-сценкам с их участием. (Примеч. перев.)

52

Как произносить фамилию Dirichlet — вопрос непростой. Поскольку он был немцем, произносить следовало бы как Дирихлет. Англоговорящие так никогда не делают. Они используют или французское произношение Диришле, или нечто среднее — Дирихле. (Это последнее — стандартное русское произношение. — Примеч. перев.)

53

Константин Каратеодори, хотя и грек по происхождению, родился, получил образование и умер в Германии. Кантор родился в России — у него была русская мать, — но переехал в Германию в возрасте 11 лет и прожил там практически всю свою жизнь. Миттаг-Лефлер был шведом. Согласно математическому фольклору, именно он виноват в отсутствии Нобелевской премии по математике. Рассказывают, что у него был роман с женой Нобеля, а Нобель об этом узнал. История неплохая; правда, Нобель не был женат.

54

Кузина Феликса — Оттилия — вышла замуж за великого немецкого математика Эдуарда Куммера. Их внук Рональд Персиваль Спрейг был соавтором «теории Спрейга-Гранди» в развитой в XX веке теории игр… Мне следует побороть искушение развивать эту тему дальше — это все равно что прослеживать генеалогические линии всяких немецких князей. Другая связь с Мендельсоном возникнет в главе 20.v.

55

Математика допускает бесконечные произведения точно так же, как она допускает бесконечные суммы. Как и бесконечные суммы, некоторые из бесконечных произведений сходятся к определенному значению, а некоторые расходятся к бесконечности. Данное произведение сходится, когда s больше 1. Например, при s = 3 оно равно

8/7×27/26×125/124×343/342×1331/1330×2197/2196×4913/4912×6859/6858×….

Сомножители становятся все ближе и ближе к 1, причем делают это очень быстро, так что каждое следующее умножение — это умножение на нечто, лишь на самую малую малость отличающееся от 1, что, конечно, меняет результат очень незначительно. Прибавим к чему-нибудь нуль: никакого эффекта. Умножим что-нибудь на единицу: никакого эффекта. В бесконечной сумме члены должны достаточно быстро приближаться к нулю, чтобы прибавление их сказывалось мало; в бесконечном произведении они должны достаточно быстро приближаться к 1, чтобы умножение них сказывалось мало.

56

Все-таки кроме s = 0. (Примеч. перев.)

57

Золотой Ключ — это исключительно моя номенклатура. «Эйлерова формула произведения» — стандартное название. Стандартные же названия для двух ее частей — «ряд Дирихле» для бесконечной суммы и «эйлерово произведение» для бесконечного произведения. Строго говоря, левая часть — это некоторый ряд Дирихле, а правая часть — некоторое эйлерово произведение. Но в узком контексте данной книги дополнительные уточнения не требуются.

58

Надо полагать, что автор сознательно (и, скорее всего, после некоторых размышлений) остановился перед формулировкой так называемого правила Лейбница для производной произведения. Последуем его примеру и не будем приводить это замечательное правило, обладающее глубоким математическим смыслом, выходящим за рамки собственно математического анализа. (Примеч. перев.)

59

Есть два способа определения Li(x) — к сожалению, оба достаточно распространенные. В данной книге я использую «американское» определение, которое приводят Абрамовиц и Стеган в своем классическом «Справочнике по специальным функциям», опубликованном в 1964 г. Национальным бюро стандартов. В этом определении интеграл берется от 0 до x; в этом же смысле использовал Li(x) и Риман. Но многие математики — среди них великий Ландау (см. главу 14.iv) — предпочитают «европейское» определение, в котором интеграл берется от 2 до x, чтобы избежать неприятностей при x = 1. Два приведенных определения различаются на 1,04516378011749278…. В компьютерной программе Mathematica реализовано американское определение.

60

Неплохое приближение к Li(N) можно получить, складывая 1/ln 2, 1/ln 3, 1/ln 4, …, 1/ln N. Если, например, взять такую сумму для N, равного миллиону, то результат будет равен 78 627,2697299…, тогда как значение интегрального логарифма есть 78 627,5491594…. Так что сумма дает приближение, которое недобирает лишь 0,0004 процента. Этот интеграл вполне оправдывает свое обозначение в виде вытянутой буквы S, указывающей на «сумму».

61

Большая ее часть. Пруссия и Австрия также удерживали исторически польские земли.

62

Речь идет о первом из законодательных актов, сформировавших современную избирательную систему Великобритании. (Примеч. перев.)

63

Алексис де Токвиль (Alexis Charles Henri Clérel de Tocqueville, 1805-1859) — французский историк, социолог и политический деятель, лидер консервативной Партии порядка, министр иностранных дел Франции (1849). Книга, о которой идет речь, произвела сильное впечатление на Пушкина, который писал о ней: «Уважение к сему новому народу и к его уложению, плоду новейшего просвещения, сильно поколебалось. С изумлением увидели демократию в ее отвратительном цинизме, в ее жестоких предрассудках, в ее нестерпимом тиранстве». (Примеч. перев.)

64

Он проработал полтора года в качестве ассистента в физической лаборатории Beбера, за что могли платить кое-какое скромное жалованье, так что, возможно, все же не был совершенно лишен средств.

65

Топология представляет собой «геометрию резинового листа» — изучение тех свойств фигур, которые остаются неизменными при растяжениях, но без разрезов и склеек. Поверхность сферы топологически эквивалентна поверхности куба, но не поверхности бублика или кренделя. Слово «топология» было введено в обиход Йоханом Листингом в 1836 г. в письме к своему старому школьному учителю. В 1847 г. Листинг написал небольшую книгу, озаглавленную «Предварительные наброски по топологии». Он был профессором математической физики в Геттингене в то же время, когда там находился Риман, и Риман, без сомнения, знал и его самого, и его работы. Однако Риман, по-видимому, никогда не использовал слово «топология», всегда употребляя для этой цели латинский термин, который предпочитал Гаусс, analysis situs («анализ положения»).

66

Московский университет, как мы помним, был основан Ломоносовым и Шуваловым еще в 1755 г. (Примеч. перев.)

67

Кроме того, он явился персонажем шуточной песни «Лобачевский», написанной в 1959 г. математиком и музыкантом Томом Лерером. (Нельзя сказать, чтобы содержание этой достаточно известной песни популярного исполнителя добавляло математической славы ее герою. Впрочем, Николай Иванович в этом и не нуждается. — Примеч. перев.)

68

Русским исследователям по понятным причинам не приходится сталкиваться с этой проблемой, но зато многие (если не все) русскоязычные математики произносят эту фамилию не «Чéбышев», а «Чебышóв». (Примеч. перев.)

69

В 1849 г. Чебышев написал работу «Теория сравнения», которая была его диссертацией. Работы о простых числах — «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1851; первый доклад на эту тему был сделан Чебышевым в 1848) и «О простых числах» (1852). Помимо математических исследований Чебышев занимался конструированием механизмов, среди которых — «стопоходящая машина», имитирующая движение животного при ходьбе. На постановку математической задачи о наилучшем приближении функций его натолкнуло изучение параллелограмма Уатта. Он был избран членом Санкт-Петербургской, Берлинской, Полонской и Шведской академий наук, членом-корреспондентом Парижской академии наук, а также членом Лондонского королевского общества. (Примеч. перев.)

70

Атле Сельберг, великий гуру теории чисел нашего времени, на момент написания этих строк (июнь 2002) все еще работает в институте и не прекращает занятий математикой. Связанная с ним история будет рассказана в главе 22. Он родился в Лангесунде, Норвегия, 14 июня 1917 г. (Атле Сельберг умер 6 августа 2007 г. — Примеч. перев.)

71

Риман, Гаусс, Дирихле и Эйлер все удостоены этого отличия. Кратер Римана расположен на 87°E 39°N.

72

Возможно, следует объяснить, что у математиков особый подход к изучению иностранных языков. Для чтения математических текстов не на своем родном языке глубокое знание этого языка вовсе не требуется. Достаточно выучить несколько десятков распространенных слов и конструкций, используемых при изложении математической канвы: «отсюда следует, что…», «достаточно показать, что…», «без потери общности…» и т.д. Остальное составляют обозначения, такие как √ и ∑, единые во всех языках (хотя и с незначительными «диалектными» отклонениями в зависимости от традиций, принятых в данной стране). Разумеется, некоторые математики — превосходные лингвисты. Андре Вейль (см. главу 17.iii) говорил и читал по-английски, по-немецки, по-португальски, по-гречески, на латыни и на санскрите, помимо своего родного французского. Но я имею в виду обычных математиков.

73

Двое из шести детей Гаусса эмигрировали в Соединенные Штаты, где приняли участие в заселении штата Миссури.

74

Горы Гарц (Харц) — самые высокие горы Северной Германии, располагаются на территории земель Нижняя Саксония, Саксония-Анхальт и Тюрингия. Наивысшая точка — Брокен, 1142 м. — считается самым известным местом встреч ведьм в Европе. Эта гора описана также в «Фаусте» Гете. (Примеч. перев.)

75

«Неслабая формула» на самом деле не столь уж и страшна. Если, конечно, вы не забыли математику из старших классов. За исключением дзета-функции, там нет ничего такого, чего бы не проходили, по крайней мере частично, в школе. Синус и факториал — это, как говорят математики, «элементарные» функции, так что выписанная формула «элементарно» связывает значение дзета-функции при аргументе 1 − s со значением при аргументе s. Такая формула, кстати сказать, называется «функциональным уравнением».

76

К слову, этот факт был впервые доказан Бернхардом Риманом.

77

Чтобы суммировать ряд к другому значению, необходимо переставить бесконечное число слагаемых; в отношении конечных сумм, разумеется, верен закон перестановочности для сложения. (Примеч. перев.)

78

Эдвардс Х.М. Дзета-функция Римана. 1974. Перепечатано изд-вом Dover в 2001 г.

79

Несмотря на некоторое число печальных примеров, — как, скажем, Риман — математики высокого уровня демонстрируют потрясающее здоровье. При написании этой книги меня поразило число математиков, доживших до значительного возрасту и продолжавших активно трудиться практически до конца своих дней. «Математика — очень тяжелая работа, и ее корифеи имеют тенденцию быть выше среднего в том, что касается энергии и здоровья. Ниже определенного предела человек сдает, но выше этого предела напряженная умственная работа способствует сохранению энергии и здоровья (а также — как можно судить из многочисленных исторических свидетельств на протяжении многих лет — способствует долголетию)» (Литлвуд Дж. И. Искусство работы математика. 1967). Литлвуд, о котором еще много будет сказано в главе 14, стал иллюстрацией своего собственного тезиса, дожив до 92 лет. В 1972 г. его коллега X.А. Холлонд сделал о нем следующую запись: «Ему идет 87-й год, а он продолжает работать по нескольку часов подряд, занимаясь написанием статей для публикации и помогая математикам, которые прислали ему свои задачи». (Цит. по Беркил Дж. Ч. в кн.: Математика: Люди, проблемы, результаты. Brigham Young University. 1984.)

80

О распределении нулей функции ζ(s) и их арифметических следствиях. (Примеч. перев.)

81

Имеется в виду роман-притча Г. Мелвилла «Моби Дик, или Белый Кит» (1851). (Примеч. перев.)

82

«Прекрасная эпоха» — название, закрепившееся за периодом 1890–1914 гг., характеризовавшимся стабильностью жизни, расцветом культуры и техники. Впрочем надо заметить, что название это появилось после Первой мировой войны и носило отчетливо ностальгический характер. (Примеч. перев.)

83

Эта музыка — наряду с музыкой Баха, Бетховена, Чайковского, Мусоргского, Понкьелли и Стравинского — была использована в классической полнометражной анимационной ленте «Фантазия» (1940). (Примеч. перев.)

84

Нет, не могу сдержаться. «Если f — аналитическая функция в кольце 0 < r_1 < |z| < r_2 < ∞, r — некоторое число строго между r_1 и r_2, а M_1, M_2 и M — максимумы функции f на трех окружностях, соответствующих r_1, r_2 и r, то выполняется неравенство:

Mln(r2/r1) ≤ M_1ln(r2/r)M_2ln(r/r1)».

85

Годы жизни Стилтьеса — 1856-1894.

86

«Полученные доклады». Этот термин столь распространен в научной библиографии, что часто сокращается до C.R.

87

В 1627 г. Декарт присутствовал при осаде Ла-Рошели, а еще до этого, во время Тридцатилетней войны, служил наемником, отчасти из желания «посмотреть мир». Одной же из вероятных причин смерти Декарта в 49-летнем возрасте (в 1650 г. в Стокгольме называется необходимость раннего подъема по утрам для занятий со шведкой королевой Кристиной. (Примеч. перев.)

88

Он не вступил в коммунистическую партию, но его дочь Жаклин вступила.

89

Русский перевод этой книги вышел в Москве в 1970 г. в издательстве «Советское радио». (Примеч. перев.)

90

Хотя слава доказательства ТРПЧ принадлежит в равной мере Адамару и де ля Валле Пуссену, я написал массу всего о первом и почти ничего о втором. Отчасти это вызвано тем, что я нахожу Адамара интересным и симпатичным человеком. Отчасти же тем, что о де ля Валле Пуссене имеется гораздо меньше материалов. Будучи прекрасным математиком, он, по-видимому, не проявлял себя ни в каких других сферах. Я спросил об этом у Атле Сельберга, единственного из тех математиков, с кем я разговаривал, который мог знать обоих. Адамар? «А, да. Я встречал его на Кембриджском конгрессе» (т.е. в 1950 г). Де ля Валле Пуссен? «Нет. Я никогда его не встречал, и не знаю никого, кто бы встречал. Не думаю, что он много путешествовал».

91

В 2006 г. конгресс прошел в Мадриде (собрав более 4500 участников), а конгресс 2010 г. планируется провести в Хайдерабаде (Индия). (Примеч. перев.)

92

Буквально — «девять зулусских цариц правили Китаем», фраза в русском переводе столь же бессмысленная, как и в оригинале, но, кроме того, еще и бесполезная. Вообще-то одной этой фразой дело в любом случае не ограничивается: в математике встречаются еще и ажурные буквы H и O. В рамках аналогии, приводимой автором в следующем абзаце, это, если угодно, огромные и толстые матрешки, которые по некоторым признакам уже не совсем матрешки. (Примеч. перев.)

93

В наше время фазу чаще называют «аргументом» и обозначают Arg(z). Я использовал старое название (в оригинале «amplitude» и Am(z) — пер.), отчасти из уважения к Г.Х. Харди (см. главу 14.ii), а отчасти чтобы избежать путаницы со словом «аргумент» для обозначения «числа, к которому применяется функция». (В переводе, следуя желанию автора избежать подобной путаницы, использован термин «фаза», который несет в себе некоторые «физические» коннотации, но в целом достаточно ясно указывает на то, что он призван обозначать. — Примеч. перев.)

94

Гильберт родился в 1862 г. в Велау, ныне поселок Знаменск Калининградской области. (Примеч. перев.)

95

Успех, приносящий уважение; скандальный успех (франц). (Примеч. перев.)

96

В мои намерения вовсе не входит выставлять Кронеккера никчемным чудаком. Тезис, который он защищал, хоть я и не согласен с ним, представляет собой весьма тонкий и глубокий математический вопрос. По поводу вдохновенной защиты Кронеккера см. статью Хэролда Эдвардса в: Mathematica Intelligencer. Vol. 9. № 1. Кронеккер, по словам профессора Эдвардса, был человек «вполне разумный и рассудительный, но едкий».

97

Сэмюэл Джонсон (доктор Джонсон, или просто Хан) — английский литератор и филолог XVIII в., прославившийся работоспособностью, широтой интересов и любовью к лондонским кофейням, заменявшим ему рабочий кабинет. (Примеч. перев.)

98

См. однако, высказывание, приписываемое Ландау в главе 14.iv. (Примеч. перев.)

99

Рид К. Гильберт. С приложением обзора Германа Вейля математических трудов Гильберта. М.: Наука, 1977. (Примеч. перев.)

100

Геттисбергская речь Авраама Линкольна 19 ноября 1863 г. на месте одного из сражений войны между Севером и Югом — одна из вершин политического красноречия. Эта короткая (из десяти предложений) речь оказала огромное воздействие на американцев и считается одной из наиболее известных и часто цитируемых речей на английском языке. (Примеч. перев.)

101

На самом деле Гильберт представил аудитории 10 из этих проблем, поскольку те, кто заранее прочел печатный вариант его доклада, посоветовали ему сократить устный вариант. Все 23 проблемы перечислены в печатном варианте, и на них обычно ссылаются именно по номеру в этой работе. Те проблемы, которые он в действительности огласил собравшейся в Сорбонне аудитории, имеют номера 1, 2, 3, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22. Дополнительная путаница возникает из-за того, что некоторые из 23 пунктов, которые выделил Гильберт, всего лишь очерчивают области исследований и небезоговорочно являются проблемами. Характерен пункт 2: «Исследовать согласованность аксиом арифметики». Этим могут объясняться различные схемы нумерации проблем Гильберта, которые может встретить читатель. Например, Эндрю Ходжес в своей биографии Алана Тьюринга насчитывает 17 проблем Гильберта, а не 23, причем доказательство Гипотезы Римана приводится под номером 4, а не 8. Те из выделенных Гильбертом пунктов, которые составляют четко определенные проблемы, в настоящее время все решены, за единственным исключением Гипотезы Римана.

102

Лучший из таких известных мне рассказов длиною в книгу — это The Hilbert Challenge Джереми Дж. Грея.

103

Хорошее популярное изложение можно найти в книге Джона Л. Касти Mathematical Mountaintops. Oxford University Press (2001).

104

Перевод с немецкого М.Г. Шестопал и А.В. Дорофеевой по изданию: Проблемы Гильберта: Сб. под общ. ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969. (Примеч. перев.)

105

Большинство математиков того времени присвоили бы этот титул Анри Пуанкаре (1854-1912). Венгерская академия наук так и поступила, наградив Пуанкаре своей первой премией Бойаи как «математика, достижения которого за последние 25 лет внесли наибольший вклад в прогресс математики». Вторая премия Бойаи была присуждена в 1910 г. Гильберту.

106

Джордж Пойа: 1887-1985. Вглядитесь в эти даты — еще один «бессмертный». Пойа был венгром. Еще более удивительным, чем подъем немецкой математики в начале XIX столетия, был подъем венгерской в начале XX. Тогда как немецкие государства (не считая Австрии и Швейцарии) в 1800 г. насчитывали около 24 миллионов жителей, говорящее по-венгерски население Венгрии составляло в 1900 г. около 8,7 миллиона и, как мне кажется, так и не перешло через 10-миллионный рубеж. К этой небольшой и неприметной нации относится потрясающая доля первоклассных математиков мирового уровня: Боллобаш, два Кенигса, Керекярто, Кюрчхак, Лакатош, Радо, Реньи, два Риса, Сас, Сеге, Секефальви-Надь, Туран, Фейер, Хаар, Эрдейи, Эрдеш, фон Нейман — и, наверное, еще нескольких я забыл. На объяснение этого феномена были направлены кое-какие литературные попытки. Сам Пойа считал, что ключевым фактором являлся Фейер (1880–1959), вдохновенный наставник и способный администратор, который привлекал и поощрял математические таланты. Значительная часть великих венгерских математиков (включая Фейера) были евреями — или же, как в случае родителей Пойа, «социально» обращенными в христианство, но исходно еврейского происхождения. (В отечественной литературе более известен венгерский вариант написания имени математика: Дьердь Пойа. — Примеч. перев.)

107

А именно — «четырехмерное спиновое риманово многообразие». (Примеч. перев.)

108

«Для правильного политопа все фигуры примыкания к вершине эквивалентны». Политоп — это n-мерный эквивалент двумерного многоугольника или трехмерного многогранника. Он называется правильным, если все его «клетки» — (n−1)-мерные «грани» — правильные и все его фигуры примыкания к вершине также правильные. Гранями куба являются квадраты, а фигурами примыкания к вершине — равносторонние треугольники. К вопросу о долголетии: «Доналд» Кокстер родился 9 февраля 1907 г. В конце 2002 г. он все еще числился в списке сотрудников университета в Торонто. В 2001 г. он опубликовал статью (совместно с Бранко Грюнбаумом). Про знаменитого своей научной плодовитостью Кокстера один математик в разговоре со мной заметил следующее: «Что-то Доналд в последнее время немного притормозил». (Гарольд Скотт Макдоналд («Доналд») Кокстер умер 31 мая 2003 г. — Примеч. перев.)

109

Положительных целочисленных. (Примеч. перев.)

110

Теория уверяет нас между прочим, что вещественная часть со всей математической точностью равна 1/2, а не 0,4999999 или 0,5000001. Мы вернемся к этому в главе 16.

111

Пользуясь случаем, заметим, что «неизвестное» комплексное число чаще всего обозначается буквой z, а не x. Математики, как правило, используют n и m для целых чисел, x и y для вещественных, a z и w для комплексных. Разумеется, можно использовать любые другие буквы, какие нам захочется, — это все не более чем традиция. (Для аргумента дзета-функции я твердо следую другой традиции: он обозначается буквой s, и так делают все математики.) Пойа говаривал своим ученикам, что общепринятое обозначение z для аргумента и w для значения в теории функций комплексной переменной происходят от немецкого Zahl, что означает «число», и Wert — «значение». Я, правда, не знаю, так ли это на самом деле.

112

Эстерман (1902-1991) оставил свой след в математике, доказав в 1929 г., что гипотеза Гольдбаха, согласно которой любое четное число большее 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел, верна почти всегда. Он также был творцов доказательства иррациональности числа √2, приведенного в примечании [18] в главе 3, — «первого нового доказательства после Пифагора», как он любил похвастаться.

113

Кроме нулевого. (Примеч. перев.)

114

С этого момента, конечно, в окошке «функция» выставлено ζ(z). (Примеч. перев.)

115

Математики, работающие с функциями комплексной переменной, обычно говорят «плоскость z» и «плоскость w», подразумевая при этом, что в теории функций комплексной переменной z — общее обозначение для аргумента, a w — общее обозначение для значения функции.

116

Иллюстрации и того, и другого типа заняли свое настоящее место лишь с появлением мощных компьютерных рабочих станций и быстродействующих персональных компьютеров. До того построение картинок, подобных изображенным на рисунках с 13.6 до 13.8, было исключительно нелегким делом.

117

Э.В. Барнс — в то время заместитель декана Тринити-колледжа по учебной работе. Позднее он стал англиканским епископом.

118

Автор Calcul des Résidus (фр. «Исчисление вычетов») — учебника по теории функций комплексной переменной — Эрнст Линделёф (1870–1946) был главным героем скандинавской математики, развитию которой он уделял много сил, занимаясь преподаванием, научной работой и написанием учебников. Он родился в Хельсинки и в начале своей жизни был подданным русского царя — Финляндия получила независимость от России лишь в 1917 г. Линделёф, однако, был финским патриотом (один из двух финнов в этой книге) и с энтузиазмом принял участие в жизни нового государства. Он высказал гипотезу («гипотезу Линделёфа») — знаменитое предположение о дзета-функции Римана, относящееся к скорости ее роста в критической полосе. Оно описано в приложении.

119

Литлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Физматгиз. 1962. Имеются и последующие издания, например: М.: Наука. 1978. (Примеч. перев.)

120

В Тринити это означало должность лектора, что предполагало регулярную стипендию и право занимать квартиру в колледже и ужинать в «зале» (столовой). Это не обязательно включало в себя перспективу получения там постоянной работы. (Речь идет о том, что репутация кембриджского Тринити-колледжа столь высока, что его администрация могла позволить себе не давать обещания постоянной работы при приеме на должности, которые во многих других местах предполагали со стороны университета подобные обязательства. — Примеч. перев.)

121

В середине 1930-х гг. советская разведка завербовала пятерых студентов старших курсов из Кембриджа; это были Гай Берджесс, Доналд Маклин, Ким Филби, Энтони Блант и Джон Кернкросс. Все члены этой «кембриджской пятерки», как их называли в Советском Союзе, со временем заняли высокое положение в британских политических и разведывательных учреждениях в 1940-х и 1950-х гг. и передавали жизненно важные сведения в СССР в течение Второй мировой войны и холодной войны. Четверо из пяти были из Тринити-колледжа, а пятый — Маклин — из Тринити-холл (отдельного и меньшего колледжа).

122

Литтон Стрэчи, Леонард Вулф, Клайв Белл, Десмонд Маккарти, Сэксон Сидни-Тернер и оба брата Стивен (Тоби и Эдриен) — все были из Тринити. Но Джон Мейнард Кейнс, Роджер Фрай и Э.М. Форстер — из Кингс-колледжа. (Созданная в 1906 г. группа «Блумсбери» объединила молодых людей, интересы которых были связаны с искусством. Центром группы была семья Стивен, где кроме Тоби и Эдриена были и две сестры, Ванесса и Вирджиния. Ванесса вскоре вышла замуж за художника Клайва Белла, а Вирджиния (Вирджиния Вулф, 1882-1941) вышла в 1912 г. за известного журналиста Леонарда Вулфа. В 1910 г. в среде блумсберийцев появился Р. Фрай, игравший важную роль в культурной жизни Англии тех лет. — Примеч. перев.)

123

«Курс анализа» (фр.) (Примеч. перев.)

124

Имеется в виду известный всякому английскому школьнику восторженный сонет поэта-романтика Джона Китса (1795-1821), написанный сразу по прочтении «Одиссеи» в далеком от оригинала, но весьма экспрессивном «ренессансном» переводе Джорджа Чапмена (1559?_1634). Сонет заканчивается строками в переводе С. Сухарева:

Вот так Кортес, догадкой потрясен,

Вперял в безмерность океана взор,

Когда, преодолев Дарьенский склон,

Необозримый встретил он простор.

(Примеч. перев.)

125

Дон — преподаватель, член совета колледжа в Кембридже и Оксфорде. (Примеч. перев.)

126

Сриниваса Рамануджан (1887-1920) — индийский математический гений-самоучка. Он написал письма трем кембриджским математикам с просьбой высказать мнение о его результатах; вник и откликнулся один лишь Харди. Среди многого другого на Харди произвела впечатление следующая найденная Рамануджаном сумма ряда:

1 − 5(1/2)3 + 9(1×3/2×4)3 − 13(1×3×5/2×4×6)3 + … = 2/π.

(Примеч. перев.)

127

«Овал» — легендарное поле для игры в крикет в лондонском Кеннингтоне. Игрок выбит, если мяч попал в калитку, когда хотя бы один из бегущих игроков находился между калитками (игрок тогда считается «bowled out») или если игрок подающей команды поймал мяч после того, как игрок бьющей команды коснулся мяча битой, но до удара мяча о землю (игрок считается «cought out»). Иннинг заканчивается, когда выбиты 10 игроков бьющей команды. (Цифра в 211 пробежек колоссально велика при любой схеме подсчета числа пробежек без выбывания). Тест-матч играется по правилам, делающим встречу самым долгим соревнованием в крикете. На два иннинга обычно отводится 5 дней. (Примеч. перев.)

128

Так всегда говорится. Правда, Александерсон в книге о Джордже Пойа утверждает, что дома у Пойа их много больше.

129

Хотя на корешке моего экземпляра (первого издания) написано просто Primzahlen.

130

«О нулях функции Римана ζ(s)». Упоминаемая чуть ниже статья Литлвуда: «О распределении простых чисел». (Примеч. перев.)

131

Разумеется, предпочтительнее знать точный ответ; но речь идет о том, что часто удается доказать лишь менее строгое ограничение. (Примеч. перев.)

132

В задачах такого типа имеются еще и нижние границы. Нижняя граница — это такое число N, для которого можно доказать, что, каков бы ни был точный ответ, он заведомо больше, чем N. В случае с литлвудовым нарушением, похоже, сделано куда меньше — можно думать, из-за того, что все знают, что точное значение числа, при котором происходит первое нарушение, необычайно велико. Делеглиз и Риват в 1996 г. установили в качестве нижней границы 10^18, а позднее довели нижнюю границу до 10^20, однако ввиду результата Бейса и Хадсона подобные нижние границы почти ничего не значат.

133

Если имена Бейса и Хадсона кажутся знакомыми, то это из-за того, что они упоминались в главе 8.iv в связи с отклонением Чебышева. На самом деле на очень глубоком уровне, определенно слишком глубоком, чтобы здесь о нем говорить, имеется родство между тенденцией функции Li(x) быть больше, чем π(x), и чебышевскими отклонениями. В теории чисел эти два вопроса обычно рассматриваются совместно. В действительности в работе Литлвуда 1914 г. показано не только, что тенденция функции Li(x) быть больше, чем π(x), нарушается бесконечно много раз, но и что тоже самое верно для чебышевских отклонений. По поводу некоторых недавних. весьма впечатляющих и глубоких результатов по этому вопросу см. статью Майкла Рубинстейна и Питера Сарнака Chebyshev's bias в журнале: Experimental Mathematics. 1994. Vol. 3. P. 173-197.

134

Читателям популярной литературы по математике фон Кох более известен благодаря «кривой Коха». В этом контексте всегда опускают «фон» — ума не приложу, почему. (Кривая Коха — фрактальная кривая, которая нигде не имеет касательной, хотя всюду непрерывна. Три копии кривой Коха, расположенные вдоль сторон правильного треугольника, образуют «снежинку Коха». — Примеч. перев.)

135

Или не зная о книге Бахманна, или же (что более вероятно) просто решив не использовать новое обозначение с Ο большим, фон Кох на самом деле выразил свои результат в более традиционном виде:

|f(x) − Li(x)| < K∙√x∙ln x.

136

В этой области ведется немало исследований. Весьма вероятно, что на самом деле π(x) = Li(x) + Ο(√x), что, возможно, и имел в виду Риман в своем замечании насчет «порядка величины». Однако мы ни в какой мере не близки к доказательству этого факта. Некоторые исследователи, между прочим, предпочитают обозначение Οε(x1/2+ε), чтобы подчеркнуть, что постоянная, подразумеваемая в определении О большого, зависит от ε. Если использовать это обозначение, то логика раздела 15.iii слегка изменяется. Заметим, что квадратный корень из N примерно в два раза короче (я имею в виду, что он содержит примерно в два раза меньше цифр), чем N. Отсюда следует (хотя я и не буду останавливаться ради подробного доказательства), что Li−1(N) дает для N-го простого числа правильный результат примерно до половины длины (примерно первая половина цифр оказывается правильной). Выражение Li−1(N) здесь надо понимать в смысле обратной функции, как в главе 13.ix, следующим образом: «число К, для которого Li(K) = N». Миллиардное простое, например, есть 22 801 763 489, a Li−1(1 000 000 000) равно 22 801 627 415, где мы видим пять, почти шесть правильных цифр из одиннадцати.

137

Мебиуса более всего помнят за ленту (лист) Мебиуса, показанную на рисунке 15.4, которую сам он придумал в 1858 г. (Ранее она была описана другим математиком, Йоханом Листингом, также в 1858 г. Листинг опубликовал свое открытие, а Мебиус — нет, так что, согласно академическим правилам, ее следовало бы называть «лентой Листинга». Мир устроен несправедливо.) Чтобы сделать ленту Мебиуса, надо взять полоску бумаги за концы (один конец в правой руке, другой — в левой), перекрутить один из них на 180 градусов и склеить их друг с другом. Получится односторонняя поверхность — муравей может переползти из любой точки на полосе в любую другую точку, не перелезая при этом через край.

138

Если вам кажется, что выбор буквы, указывающей на свое собственное имя, было проявлением тщеславия со стороны Мебиуса, то сообщу вам, что сам Мебиус при первом описании своей функции в 1832 г. не использовал буквы μ; виновник появления μ — Франц Мертенс, который ввел ее в 1874 г., причем в честь Мебиуса, к тому времени уже скончавшегося, а не в свою.

139

Если подразумеваемая здесь логика от вас ускользает, давайте рассмотрим аналогию. Представим себе, что теорема 15.1 утверждает: «Все люди имеют рост менее 10 футов», а Гипотеза Римана утверждает, что «все граждане США имеют рост менее 10 футов». Если первое утверждение верно, то должно быть верно и второе, поскольку каждый гражданин США — человек. Более слабый результат следует из более сильного. Если человека ростом в 11 футов обнаружат в дебрях Новой Гвинеи, то его существование продемонстрирует ложность теоремы 15.1. Однако Гипотеза Римана будет по-прежнему оставаться открытой, поскольку найденный гигант не является гражданином США. (Хотя, как я подозреваю, довольно быстро им станет.)

140

Утверждение тем более примечательное, что Дюбуа-Реймон (не столько француз, сколько немец швейцарского происхождения) был также признанным физиологом, установившим ряд закономерностей, характеризующих электрические явления в мышцах и нервах. (Примеч. перев.)

141

«Закон об устранении бедственного положения народа и государства», дающий Гитлеру законодательную власть (формально принят как временный до 1 апреля 1937 г.). Закон ограничивал свободу личности и свободу мнений, включая свободу печати, собраний и союзов; позволял нарушать тайну переписки, телеграфной и телефонной связи, устраивать домашние обыски, конфисковывать имущество; правительству рейха предоставлялось право пользоваться полнотой власти в землях, когда это вызывалось необходимостью. (Примеч. перев.)

142

Бернштейн стал профессором только в 1921 г. Мне приходилось читать, что он формально не подпадал под действие декрета в силу гинденбурговских поправок, но я не знаю, на основании чего делается такое утверждение. В период, пока Гитлер находился у власти, Ф. Бернштейн (1874-1956) бежал в США, но в 1948 г. вернулся в Геттинген.

143

Карл Зигель рассказал Хэролду Дэвенпорту следующую историю. В 1954 г. в связи с празднованием 1000-летия основания Геттингена отцы города решили предоставить почетное гражданство трем из изгнанных в 1933 г. профессоров. Из редакции Tageblatt к Реллиху (Франц Реллих, в то время директор математического института при университете) направили корреспондента, который спросил его, сможет ли он написать статью об этих троих. Реллих ответил: «А чего бы вам просто не посмотреть, что вы сами писали про них в 33-м?»

144

Имеется ветвь геометрической теории функций, называемая, быть может не вполне правильно, «теорией Тейхмюллера». Там рассматриваются свойства Римановых поверхностей. Тейхмюллер добровольцем пошел в действующую армию во время Второй мировой войны и пропал без вести в боях на Днепре в сентябре 1943 г.

145

В мире математики другим примером является Людвиг Бибербах, автор знаменитой гипотезы в теории функций комплексной переменной (гипотезу доказал в 1984 г. Луи де Бранж). Устные экзамены у аспирантов в Берлинском университете в 1933 г. Бибербах принимал в полном нацистском облачении.

146

Я не в состоянии придумать никакого удовлетворительного перевода слова Nachlass. Равным образом — если судить по эпизодическому появлению этого слова в написанных по-английски текстах — и никому другому это не удалось. Это «литературные останки», как сообщает мне мой немецкий словарь. В данном контексте это должно означать «неопубликованные записи, найденные среди личных вещей ученого после его смерти».

147

Из нашего обсуждения Ο большого мы помним, что оно включает в себя некоторый постоянный множитель. Так, Ο(ln T) означает, что «этот член никогда не превосходит некоторого постоянного кратного величины ln T». Характеристика формулы как «очень хорошая» означает, что этот постоянный множитель мал. В данном случае он меньше чем 0,14.

148

Соответствующая теория имеет дело с нулями, расположенными в точности (в математическом смысле) на критической прямой. Это важно для понимания логики происходящего. Теория A говорит вам: «Имеется n нулей в прямоугольнике от T_1 до T_2» (рис. 16.1). Теория B говорит: «Имеется m нулей на критической прямой от T_1 до T_2». Если окажется, что m = n, то, значит, мы проверили Гипотезу Римана между T_1 и T_2, если же m меньше, чем n, то мы опровергли Гипотезу! (Ясно, что ситуация, когда m больше n, логически невозможна.) Теория B имеет дело с тем, что происходит на критической прямой. Рассматриваемые там нули не могут иметь вещественных частей 0,4999999999 или 0,5000000001. Это замечание полезно сравнить с другим замечанием на эту тему, сделанным в главе 12.vii.

149

Похоже, кстати, что все вычисленные до сих пор нули — иррациональные числа. Потрясающим чудом было бы появление среди них целого числа или хотя бы повторов в десятичных знаках (что указывало бы на рациональное число). Причины, по которым такого не может быть, мне неизвестны, однако же этого не происходит.

150

Инициатором присуждения Филдсовской медали, впервые врученной в 1936 г., является канадский математик Джон Чарльз Филдс (1863-1932). В настоящее время она присуждается раз в четыре года и ставит своей главной целью отметить выдающихся молодых математиков. Поэтому она присуждается только тем, кому не исполнилось 40 лет. Некоторые из математиков, упомянутых в данной книге, являются лауреатами Филдсовской медали: это Сельберг (1950), Жан-Пьер Серр (1954), Пьер Делинь (1978), Ален Конн (1982). Эта медаль высоко ценится среди математиков. Если вы филдсовский медалист, то каждый математик знает об этом и упоминает ваше имя с глубоким уважением. (Филдсовским лауреатом является и упомянутый во вступлении Энрико Бомбьери (1974). Лауреатами последних лет стали: 1990 — В. Дринфельд (СССР), В.Ф.Р. Джоунс (Новая Зеландия), Ш. Мори (Япония), Э. Виттен (США); 1994 — Ж. Бурген (Бельгия), П.-Л. Лион (Франция), Ж.-К. Йоккоз (Франция), Е. Зельманов (Россия); 1998 — Р. Борхердс (Великобритания), В.Т. Говерс (Великобритания), М. Концевич (Россия), К.Т. Макмаллен (США), Э. Уайлс (Великобритания, серебряная медаль); 2002 — Л. Лаффорг (Франция), В. Воеводский (Россия); 2006 — А. Окуньков (Россия), Г. Перельман (Россия, отказался от премии), Т. Тао Австралия), В. Вернер (Франция). — Примеч. перев.)

151

Британская школа кодов и шифров — секретный шифроаналитический центр правительства Великобритании. (Примеч. перев.)

152

Не 104, как говорит Ходжес.

153

«Теория дзета-функции Римана» (1951). Ее все еще можно купить. (Титчмарш Э.Ч. Дзета-функция Римана. Пер. с англ. Москва. 1947. — Примеч. перев.)

154

Всего одно только биографическое замечание. Джозеф Бэклунд (1888-1949) — второй финн в этой книге; он родился в рабочей семье в городе Якобстад, расположенном на Ботническом заливе. «Члены семьи были одаренными, но, по-видимому, психически неуравновешенными; три брата Джозефа покончили с собой». (Элфвинг Густав. История математики в Финляндии, 1828-1918. Хельсинки. 1981). Бэклунд был учеником Линделёфа, а после аспирантуры стал актуарием и сделал карьеру в области страхования, как и Грам. Накопленные человечеством знания немало обязаны страховому бизнесу. Грам, кстати, умер нелепой смертью — его сбил велосипед.

155

В книге профессора Эдвардса приведены несколько фотографий страниц из Nachlass, по которым можно судить о масштабе работы, предпринятой Зигелем.

156

В 2004 г. Ксавье Гурдон, используя метод Одлыжко-Шонхаге, проверил, что десять триллионов нетривиальных нулей дзета-функции лежат на критической прямой. Это вычисление показывает, что Гипотеза Римана верна по крайней мере до высоты T, равной 2,4 триллиона. Читателю этой книги может быть небезынтересно, что «техническую» основу метода Гурдона составляет некоторый прием (из теории функций, а не теории чисел), называемый интерполяцией Чебышева. (Примеч. перев.)

157

Например, С. Дж. Паттерсон в своей книге «Введение в теорию дзета-функции Римана» в параграфе 5.11 пишет: «Наиболее убедительные аргументы, которые имеются к настоящему моменту в пользу справедливости Гипотезы Римана, — это справедливость аналогичного утверждения для дзета-функций, связанных с кривыми над конечными полями. Формальное сходство настолько впечатляюще, что трудно представить себе, как оно могло бы не приводить к еще более далеко идущим совпадениям» (курсив мой. — Дж. Д.).

158

Clock (англ). — часы. (Примеч. перев.)

159

Попытаюсь выразить это в афористичной форме: алгебраистов заботит не столько то, чем являются вещи, сколько то, что с ними можно делать. Они — «отглагольные», а не «отсуществительные» люди. Другой интересный концептуальный взгляд на алгебру предложил сэр Майкл Атья в своей лекции в Филдсовском институте в Торонто в июне 2000 г. Тогда как геометрия с очевидностью имеет дело с пространством (говорил сэр Майкл, лауреат Филдсовской премии), алгебраисты имеют дело с временем. «Геометрия по существу статична. Я могу просто сидеть здесь и наблюдать, при этом может ничего не меняться, но это не мешает мне наблюдать. Алгебра, однако, имеет дело с временем, потому что там имеются операции, которые надлежит выполнять последовательно.» (Шенитцер А., Атья М.Ф. Математика в двадцатом столетии. American Mathematical Monthly. Vol. 108. № 7.)

160

Здесь (как и в ряде других случаев в этой книге и повсеместно в математике в целом) название — скажем, «Гипотеза Римана» или «формула Эйлера», — стандартно используемое в некотором устоявшемся контексте, смело применяется расширительно, причем иногда в контекстах, очень далеких от исходного и таких, о существовании которых ученый, давший свое имя названию, и не подозревал. Когда при этом хотят вернуться к исходной теореме, формуле, гипотезе и так далее, иногда используют эпитет «классическая». (Примеч. перев.)

161

Андре Вейль (Andre Weil), один из наиболее прославленных математиков XX века, был братом героини французского Сопротивления и мистического философа Симоны Вейль. Он учился у Адамара в Коллеж де Франс. Следует отличать его от Германа Вейля (Hermann Weyl). (Исчезновение всякой разницы в написании по-русски, очевидно, лишь усложняет задачу «отличать» — и эта проблема в самом деле присутствует в русских математических текстах. — Примеч. перев.)

162

Для получения более ясной картины читателю все же может быть полезна формула, по которой получается характеристический многочлен матрицы 2x2. Общий вид такой матрицы (ab cd). Ее характеристический многочлен равен (a − x)×(d − x) − bc. Таким образом и получается x^2 − 11x + 28. Далее автор рассматривает характеристические многочлены с точностью до общего ненулевого множителя. (Примеч. перев.)

163

Возможно, лучше было бы говорить «от 1 до N нулей», поскольку нули иногда повторяются. Нули многочлена x^2 − 6x + 9 — это числа 3 и 3. Данный многочлен разлагается на множители как (x − 3)(x − 3). Поэтому вам может прийтись больше по душе говорить, что он имеет только один нуль, а именно 3. В строгом математическом смысле это «нуль кратности 2». Имеется, между прочим, способ приписывать подобную кратность любому нулю любой функции. Насколько известно, все нетривиальные нули дзета-функции имеют кратность 1, однако это пока не доказано. Если окажется, что какой-то нетривиальный нуль дзета-функции имеет кратность 2 или выше, то это само по себе не опровергнет Гипотезу, но произведет опустошение в некоторой части вычислительной теории.

164

На самом деле, конечно, речь идет об операторах. Математическая модель для описания динамических систем строится в терминах операторов. «Ансамбль» (в данном употреблении, кстати, это слово было введено Альбертом Эйнштейном) означает набор операторов, у которых общими являются некоторые статистические свойства.

165

Точнее говоря, сферой интересов Монтгомери была так называемая «задача числовых классов», доступное изложение которой можно найти в книге Кита Делвина «Математика: Новый золотой век», Columbia University Press, 1999.

166

Хэролд Даймонд — специалист по теории чисел. В настоящее время — профессор математики в Университете Иллинойса в Урбана-Шампейн.

167

Сарвадаман Чоула (1907-1995) — превосходный специалист по теории чисел, в основном работавший в Колорадском университете.

168

Стандартное введение в теорию случайных матриц: Мадан Лал Мехта. Случайные матрицы и статистическая теория энергетических уровней. New York: Academic Press. 1991.

169

Дайсон — еще один человек из Тринити, учившийся в этом колледже в начале 1940-х гг. По его воспоминаниям, состояние Харди, который в то время окончательно впал в депрессию, «было не слишком веселым».

170

Это поднимает интересный вопрос о том, в какой степени они могут являться «настоящими» теоремами. Некий результат, в котором предполагается справедливость ГР, с моей точки зрения, сам, строго говоря, является гипотезой — или, если угодно, подгипотезой, но уж никак не настоящей теоремой. С учетом того, что математика считается наиболее точной из всех наук, математики не слишком последовательны по поводу использования таких терминов, как «предположение», «гипотеза» и «теорема». Почему, например, Гипотеза Римана — «гипотеза», а не «предположение»? Я не знаю, и мне не удалось найти никого, кто мог бы мне это разъяснить. И на беглый взгляд кажется, что эти замечания применимы, по-видимому, и к другим языкам, а не только к английскому. По-немецки, кстати, Гипотеза Римана — Die Riemannsche Vermutung, от глагола vermuten — высказывать догадку. (Неудивительно. Древнегреческое слово «гипотеза» как раз и означает «предположение». — Примеч. перев.)

171

Майкл Берри — профессор физики в Бристольском университете в Англии. Возведен в рыцарское достоинство в июне 1996 г., став таким образом сэром Майклом Берри. Я очень старался упоминать его как Берри при описании его работ, сделанных до 1996 г., и как сэр Майкл после этого, но не гарантирую, что всегда был последователен.

172

Где-то в конце 1980-х Cray-1 был дополнен компьютером Cray X-MP.

173

Самой ранней ссылкой на закон Монтгомери-Одлыжко (именно под таким названием), которую мне удалось найти, является статья Николаса Каца и Питера Сарнака, опубликованная в 1999 г. Слово «закон» здесь, конечно, понимается в физическом, а не в математическом смысле. Это факт, установленный эмпирическим путем, как законы движения планет, сформулированные Кеплером. Это не математический принцип, подобный правилу знаков. В статье Сарнака и Каца на самом деле был доказан закон для дзета-функций над конечными полями (см. главу 17.iii), что позволило перекинуть мост между алгебраическим и физическим подходами к ГР.

174

http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html (Примеч. перев.)

175

Ответ не гласит «половина». Сказать «половина» означало бы перепутать середину и среднее. Среднее из четырех чисел 1, 2, 3, 8 510 294 равно 2 127 575, но половина из них меньше, чем 3.

176

Известного в математике как «распределение Пуассона». Здесь, кстати, повсюду присутствует число e: например, указанное число 6 321 есть 10 000(1 − 1/e).

177

Уравнение, которым задается изображенная на рисунке 18.5 кривая, имеет вид y = (320 000/π^2)x^2e−4х∙x/π. Это скошенное распределение, а не симметричное, как гауссовское нормальное. Его пик находится при аргументе 1/2√π, т.е. 0,8862269…. Эту кривую для распределения последовательных интервалов ГУА предложил в качестве догадки Юджин Вигнер. Его догадка основывалась на небольшом количестве данных, собранных из экспериментов на атомном ядре. Позднее оказалось, что это не в точности правильная кривая, хотя она и находится в пределах ошибки около 1%. Истинная кривая, которую нашел Мишель Годен, описывается более сложным уравнением. Эндрю Одлыжко пришлось написать целую программу, чтобы ее нарисовать.

178

Свершившийся факт (франц.) (Примеч. перев.)

179

Уравнение живой силы — термин из истории механики. В современной русской научной литературе он мало распространен, и в переводе оставлено оригинальное латинское название. Данное уравнение выражает собой закон сохранения энергии при орбитальном движении. Здесь M — произведение гравитационной постоянной на массу того тела, вокруг которого обращается спутник, r — расстояние до фокуса, а a — главная полуось орбиты. (Примеч. перев.)

180

Хотя слово «хаос» и не применялось к этим теориям, пока физик Джеймс Йорк не ввел его в оборот в 1976 г. Бестселлер Джеймса Глейка 1987 г. «Хаос. Создание новой науки» остается лучшим введением в теорию хаоса для простых людей… если не считать пьесы Тома Стоппарда «Аркадия» 1993 г. (Русский перевод книги Глейка вышел в 2001 г. в издательстве «Амфора». — Примеч. перев.)

181

Лауреат медали имени Макса Планка 2003 г. за развитие квантовой теории металлов. (Примеч. перев.)

182

Чтобы у читателя не возникало ощущение систематического надувательства, стоит, возможно, заметить, что, например, √3 в характеристическом многочлене — это котангенс 30 градусов, т.е. угла поворота. (Примеч. перев.)

183

Курт Хензель (Гензель) (1861-1941) — еще один представитель семейного древа Мендельсонов. Его бабушка Фанни была сестрой композитора, а его отец Себастьян Хензель — ее единственным сыном. Себастьяну было 16 лет, когда Фанни умерла, а его отправили жить с семейством Дирихле (глава 6.vii), где он и оставался до своей женитьбы. Большая часть карьеры Курта прошла в Магдебургском университете в центральной Германии; он вышел на пенсию в 1930 г. Несмотря на свое еврейское происхождение, он, по-видимому, не пострадал при нацистах. «В целом Мендельсоны не испытали на себе весь ужас нюрнбергских антисемитских законов, поскольку большинство представителей семейства были крещены несколько поколений назад» (Купферберг X. Мендельсоны). В 1942 г. невестка Хензеля принесла его обширную математическую библиотеку в дар только что подвергшемуся нацификации Страсбургскому университету в оккупированном Эльзасе — университет заново открылся в ноябре того года под немецкой вывеской Reichsuniversität Strassburg (сейчас он снова во Франции). (Курт Хензель выступил также соавтором известного конспекта лекций Т. Моммзена о римских императорах; в течение двух зимних и одного летнего семестра эти лекции были «оазисом души» Себастьяна Хензеля, которому «было трудно примириться с тем, что Моммзен не написал истории римских императоров». — Примеч. перев.)

184

И как минимум один математик в письменном виде выразил сдержанный скептицизм. В рецензии на статью Конна 1999 г. «Следовые формулы в некоммутативной геометрии и нули дзета-функции Римана» Питер Сарнак (не являющийся ни математиком X, ни математиком Y) заметил: «Аналогии и вычисления в статье и в приложениях к ней многозначительны, симпатичны и замысловаты, и по этой причине представляется, что предложено нечто большее, чем просто еще одна эквивалентная переформулировка ГР. Однако рецензенту не очевидно, удастся ли на самом деле использовать развитые здесь идеи, в частности пространство X, для получения каких-нибудь новых результатов о нулях функции L(s, λ)». Функция L(s, λ), о которой пишет Сарнак, представляет собой один из тех аналогов дзета-функции Римана, которые упоминались в главе 17.iii.

185

Официально этот подход называется «вероятностная интерпретация Данжуа», по имени французского аналитика Арно Данжуа (1884-1974). Данжуа был профессором математики в Парижском университете с 1922 по 1955 г.

186

Это длинное шведское название буквально и означает: «Шведская компания по страхованию жизни». (Примеч. перев.)

187

«Прикасаясь к скучным формулам своей волшебной палочкой, он превращал их в поэзию», — вспоминал Гуннар Блом в своем очерке, включенном в собрание трудов Крамера. Крамер (1893-1985) — еще один «бессмертный». Он умер спустя несколько дней после своего 92-летия.

188

Я позаимствовал этот мысленный эксперимент из главы 3 книги «Простые числа и их распределение», которую написали Джеральд Тененбаум и Мишель Мендес-Франс (American Mathematical Society publications, 2000).

189

Хорошая статья на эту тему — «Нормально ли π?» Стена Вейгена (Mathematical Intelligencer. Vol. 7. № 3).

190

У меня имеется распечатка недавней статьи Хью Монтгомери и Каннана Сундарараджана «За пределами парных корреляций», которая наносит еще один удар по модели Крамера. Статья заканчивается такими словами: «…по-видимому, здесь происходит нечто такое, что еще предстоит понять». (Эта статья доступна по адресу:

http://arxiv.org/abs/math.NT/0003234 — Примеч. перев.)

191

Математика и правдоподобные рассуждения (1954). (Русский пер. под ред. С.А. Яновской. М.: Наука. 1975. — Примеч. перев.)

192

Фрэнклин написал в 2001 г. прекрасную книгу о нематематической теории вероятностей под названием «Наука догадок». Я рецензировал ее для журнала The New Criterion в июне того же года. (См.:

http://www.newcriterion.com/articles.cfm/franklin-derbyshire-2175 — Примеч. перев.)

193

Ради тех читателей, которых мое изложение воспламенило до такой степени, что они готовы немедленно бежать за покупкой какой-нибудь из математических программ, мне надо, видимо, заметить, что относительно достоинств различных таких программ ведутся яростные споры вполне в духе неувядающих дебатов на тему PC/Macintosh, причем создатель Mathematica Стивен Волфрам играет там роль Билла Гейтса. Будучи простым журналистом, я прошу считать себя на этой войне hors de combat (выбывшим из строя (франц.) — Примеч. перев.). Я определенно не занимаюсь пропагандой от имени Mathematica. Она была первой математической программой, которая мне попалась, и осталась единственной, которой я пользовался. Она всегда делала то, что я ей говорил. Если уж начистоту, то иногда требовалось ее слегка пинать, но мне никогда не попадалась программа, которую не приходилось бы время от времени пинать.

194

По-английски — root; на первый звук в этом слове и указывает буква ро, также представляющая звук «р» — в духе того, как греческая же буква мю (звук «м») использовалась в честь Мебиуса (см. главу 15). Математики часто применяют подобные фонетические соответствия в качестве мнемонических. Здесь может быть уместным упомянуть, наконец, что для англоязычного читателя ζ фонетически ассоциируется с буквой z. (Примеч. перев.)

195

Употребительных слов, особенно русских, не хватает, подобно тому как, по замечанию автора в главе 3, не хватает греческих букв; целые функции и целые числа имеют мало общего. (Примеч. перев.)

196

Хотя здесь нет прямой связи с нашими рассуждениями, я не могу удержаться и не сказать, в качестве интересного добавления, что одна из самых знаменитых теорем в теории функций комплексной переменной касается целых функций. Эту теорему сформулировал Эмиль Пикар (1856-1941). Теорема Пикара утверждает, что если целая функция принимает более одного значения — если, иными словами, она не равна просто-напросто постоянной, — то она принимает все (комплексные. — Примеч. перев.) значения, кроме, быть может, одного. Значение, которое не принимает функция ez, — это как раз нуль.

197

Муравей Арг начинает свой путь из точки 1/2 на вещественной оси (а не приходит, например, из «далекого юга» вдоль критической прямой). (Примеч. перев.)

198

Хотя в определении и есть некоторый произвол, для преодоления которого нет общего рецепта. Например, в программе Mathematica 4 функция Li(x) реализована как одна из встроенных функций, Loglntegral[х]. Для вещественных чисел она ровно такая, как я ее описал, — собственно, ее я и использовал для построения графика Li(x) в главе 7.viii. Однако для комплексных чисел определение интеграла, реализованное в Mathematica, слегка отличается оттого, которое использовал Риман. Поэтому для своих комплексных вычислений я не использовал определение Loglntegral[х] из Mathematica, а определил там Li(x1/2+ir) как ExpIntegralEi[(1/2 + Ir)Log[x]].

199

Одним глазом разглядывая этот список, а другим — рисунок 21.3, можно видеть, что тенденция, согласно которой первые несколько нулей отправляются в числа с отрицательными вещественными частями, представляет собой лишь случайный эффект, и дело вскоре поправляется.

200

На рисунках 21.5 и 21.6 нуль, комплексно сопряженный к k-му нулю, обозначен как (−k)-й нуль. Разумеется, неверно, что ρ' = −ρ.

201

Заметим, что 639:1050 = 0,6085714…. Для больших чисел N вероятность того, что N свободно от квадратов, равна ~ 6/π^2, т.е. 0,60792710…. Вспоминая из главы 5 найденное Эйлером решение базельской задачи, можно заметить, что эта вероятность равна 1/ζ(2). Это верно и в общем случае. Вероятность того, что положительное целое число N, выбранное случайным образом, не делится на п-ю степень никакого целого числа, равна ~ 1/ζ(n). Например, среди всех чисел, не превышающих 1000 000, в действительности 982 954 не делятся ни на какую шестую степень; при этом 1/ζ(6) равняется 0,98295259226458….

202

На домашней страничке Ульрике на веб-сайте Ульмского университета вывешена фотография, на которой она стоит рядом с надгробным камнем Бернхарда Римана в итальянской Селаске.

203

Джонатан Китинг — профессор прикладной математики в Бристольском университете в Англии. Он тесно сотрудничал с сэром Майклом Берри в исследовании физических аспектов ГР.

204

«Нули преобразования Меллина от функции Эрмита имеют вещественную часть одна вторая» (1986). Соавтором Бампа по доказательству был некто Е.К.-С. Нг, о котором мне больше ничего не известно.

205

Независимое федеральное агентство в США, созданное по решению Конгресса США в 1950 г.; среди его целей первой названа цель способствовать развитию науки. (Примеч. перев.)

206

Мне, по крайней мере, так кажется. Однако один профессиональный математик, познакомившийся с рукописью этой книги, выразил по этому поводу искреннее недоверие. Математикам исключительно сложно всерьез принять мысль о том, что занятиями математикой можно зарабатывать серьезные деньги.

207

От англ. clarity — ясность, прозрачность. (Примеч. перев.)

208

Мартин Хаксли — профессор чистой математики из университета Уэльса в Кардиффе.

209

Без примесей, чистокровный (франц.). (Примеч. перев.)

210

Гипотеза Римана эквивалентна, в частности, ряду утверждений о делителях натуральных чисел, например, такому утверждению: «Для всякого натурального числа n ≥ 5041 сумма его делителей меньше величины eγn ln(ln n)». Здесь γ — упоминавшееся число Эйлера-Маскерони, в России чаще называемое просто постоянной Эйлера. (Примеч. перев.)

211

Цепь событий в наикратчайшем изложении такова. Метод, принятый в Principia Mathematica, не давал гарантии от ошибок, подобных той, на которую Рассел обратил внимание в работе Фреге. Программа «метаматематики» Гильберта ставила целью объять и логику, и математику в единый четкий формализм. Это послужило мотивировкой исследований Курта Геделя и Алана Тьюринга. Гедель доказал ряд важных теорем путем построения соответствия между символами типа гильбертовых и числами; Тьюринг закодировал и инструкции, и данные в виде чисел в своей идее «машины Тьюринга». Ухватившись за эту идею, Джон фон Нейман развил концепцию хранящейся в памяти программы — концепцию, на которой основано все современное программное обеспечение и согласно которой и код, и данные можно единообразно представить в памяти компьютера…

212

В письме к брату от 26 июня 1854 г. он упоминает возобновление mein altes Übel — «моей старой болезни», вызванное разыгравшейся непогодой.

213

Ныне — в муниципалитете Вербания.

214

Weender Chaussee было позднее переименовано в Bertheaustrasse.

215

В оригинале песню Тома Апостола «Где же нули у функции дзета» можно послушать (и даже посмотреть видеоклип с исполнением первого куплета) по адресу:

http://olimu.com/Riemann/Song.htm. (Примеч. перев.)

216

Вилликенс и его Дина. (Примеч. перев.)

217

В Англии, как правило, в регби играют в частных школах (а в футбол — в остальных). (Примеч. перев.)

218

«0 святой отец, прими мою исповедь. Я оставил одну бедную девочку в чертовски трудном положении». (Примеч. перев.)

219

Поскольку в данном случае — при движении вверх по критической прямой — t, очевидно, положительно, указание на его модуль излишне, если только оно не служит попаданию в размер стиха. (Примеч. перев.)

220

Упомянутые в главе 8.ii условия Коши-Римана, которые определяют «хорошо ведущие себя функции», как раз выделяют такие функции, для которых зависимость от контура, по которому ведется интегрирование между двумя заданными точками на комплексной плоскости, носит контролируемый, «дискретный» характер. (Примеч. перев.)

Комментарии

1

Или, правильней:

и так далее.

2

В оригинале .

3

В оригинале обозначается как .

4

В оригинале обозначается как .

Джон Дербишир

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Главный редактор Варвара Горностаева

Художник Андрей Бондаренко

Ведущий редактор Галина Юзефович

Ответственный за выпуск Мария Косова

Технический редактор Татьяна Тимошина

Корректор Екатерина Комарова

Верстка Марина Харитонова

ООО «Издательство Астрель»,

обладатель товарного знака «Издательство Corpus»

129085, г. Москва, пр-д Ольминского, 3а

Подписано в печать 11.01.2010. Формат 60x90/16

Бумага офсетная. Гарнитура «MetaNormalC»

Печать офсетная. Усл. печ. л. 29

Тираж 5000 экз. Заказ № 0808.

Общероссийский классификатор продукции OK-005-93, том 2;

953000 — книги, брошюры

Санитарно-эпидемиологическое заключение

№77.99.60.953.Д.012280.10.09 от 20.10.2009

Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части воспрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке.

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ЗАО «ИПК Парето-Принт»

г. Тверь, www.pareto-print.ru

Издание осуществлено при техническом содействии ООО «Издательство ACT», ООО «Издательство Астрель»

По вопросам оптовой покупки книг Издательской группы «ACT» обращаться по адресу:

г. Москва, Звездный бульвар, 21, 7-й этаж,

тел.: (495) 615-01-01, 232-17-16

Content

Дербишир Джон Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Предисловие к русскому изданию

Вступление

Часть первая Теорема о распределении простых чисел

Глава 1. Карточный фокус

Глава 2. Почва и всходы

Глава 3. Теорема о распределении простых чисел

Глава 4. На плечах гигантов

Глава 5. Дзета-функция Римана

Глава 6. Великое соединение

Глава 7. Золотой Ключ и улучшенная Теорема о распределении простых чисел

Глава 8. Не лишено некоторого интереса

Глава 9. Расширение области определения

Глава 10. Доказательство и поворотная точка

Часть вторая Гипотеза Римана

Глава 11. Обитатели матрешек

Глава 12. Восьмая проблема Гильберта

Глава 13. Муравей Арг и муравей Знач

Глава 14. Во власти одержимости

Глава 15. О большое и мебиусово мю

Глава 16. Вверх по критической прямой

Глава 17. Немного алгебры

Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой

Глава 19. Поворот Золотого Ключа

Глава 20. Риманов оператор и другие подходы

Глава 21. Остаточный член

Глава 22. Она или верна, или нет

Эпилог

Приложение 1

Приложение 2. Гипотеза Римана в песне

Организации и частные лица, предоставившие возможность воспроизвести портреты

Примечания и дополнения автора, сделанные в середине 2003 года

Примечания

Комментарии

Джон Дербишир
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.