Манкевич Ричард

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Ричард Манкевич

История математики

От счетных палочек до бессчетных вселенных

Посвящается Марине и памяти Пола

Вступление

Я наконец понял: большую часть жизни я боролся за то, чтобы сломать привычное представление, застрявшее в групповом менталитете моих сограждан. Сущность этого представления можно сформулировать в виде уравнения: математика = школа. При упоминании о математике перед глазами большинства людей сразу же всплывает образ школы. Не так давно реакцией при упоминании математики с вероятностью 99 % слышалось заявление, произносимое с забавной смесью обиды и дерзкой гордости: «В школе я никогда не отличался отличной успеваемостью по этому предмету». Но к 1995 году можно было прийти на вечеринку и объявить, что вы математик, — скорее всего, это вызвало бы длительное обсуждение фракталов, теории хаоса и Института Санта-Фе[1]. К концу 1990-х годов самой привлекательной темой была теорема Ферма. (Если вы понятия не имеете, о чем идет речь и кто это такой, вам обязательно надо купить эту книгу.) Но даже в 2000 году большинство людей все еще связывало математику со школой и больше ни с чем.

«Школа» — это вполне приемлемо. А вот «больше ничто» — это ужасно. Как справиться с жутким всепоглощающим невежеством, непониманием одной из основных движущих сил, сотворивших современный мир, одного из столпов человеческой интеллектуальной деятельности?

Не все сразу, конечно. Общество уже намного лучше усваивает математические понятия и воспринимает эту науку как разумную и нормальную форму человеческой деятельности — доказательством служит всё увеличивающаяся готовность средств массовой информации сообщать о достижениях или новых открытиях в области математики, причем не только на страницах научных журналов (помните формулу намокания печенья?). Общеизвестна удивительная популярность математических книг и журнальных статей для неспециалистов. Книги, посвященные математике, вышли на первые строчки в списках бестселлеров научно-популярной литературы. Кинофильмы, посвященные математике, получают награды.

Как это происходит? Международные движения и правительственные инициативы тут ни при чем. ЮНЕСКО объявила 2000 год Международным годом математики. Британское правительство решило ухватиться за уравнение «математика = школа», а затем попытаться что-то с этим сделать. Но тем не менее открытие, что «математика сексуальна, математика — новый рок-н-ролл» (я цитирую центральные газеты), было сделано в результате нескоординированных действий большого количества людей — тех, кто нашел свой собственный способ взглянуть на эту науку и заинтересовать ею более широкую аудиторию.

Вот так, шаг за шагом, стало выстраиваться новое представление о математике, согласно которому этот предмет считается пограничной областью научных исследований, центральной силой, способствующей развитию новых технологий, формой облагораживающего влияния на человеческую культуру. Математика всегда выполняла эти функции, но теперь это замечает намного больше людей.

Ричард Манкевич — один из воинов-одиночек, посвятивших себя продвижению этих идей. Впервые я встретился с ним в Кройдоне, на выставке работ голландского художника Мориса Эшера. Эшер не обучался математике, но в его почти ирреальных произведениях доминируют математические сюжеты — ячеистые формы, узоры неевклидовой геометрии и своего рода философские визуальные каламбуры, душа которых — математика в самом чистом ее виде.

Ричард не был организатором этой выставки, но в течение многих лет вкладывал свою безграничную энергию и энтузиазм в визуальные проекты, целью которых было донести математику до людей. И один из этих проектов — «История математики» — книга, которую он написал, потому что, по его словам, «такой книги не существовало».

Теперь она есть. И вот о чем в ней рассказывается. Несколько арифметических трюков, которые вы изучали в школе, а затем, повзрослев, быстро забыли, — это еще не вся математика. Эта наука — неотъемлемая часть человеческой культуры, и ее становление в этом качестве происходило по крайней мере в течение пяти тысяч лет. И, в отличие от истории искусства, в течение этих пяти тысяч лет х не просто незначительным образом влиял на у, нет, у строился непосредственно на исследованиях х. Математика была плодом коллективной деятельности относительно небольшого числа невероятно талантливых людей, которые прорывались сквозь пространственные и временные границы так, словно их вовсе не существовало. Вместе эти люди создали одно из величайших чудес света.

В школьные годы я проводил много времени в местных библиотеках, отыскивая книги по математике. Никто не сказал мне, что подростки такими вещами не занимаются, а если бы мне сказали что-то в этом духе, я все равно не обратил бы на эти слова никакого внимания, потому что эта наука уже тогда очаровала меня. По правде говоря, тогда в продаже было не так много книг, посвященных математике, поэтому я прочитал все. Среди них было несколько историй математики. Из наиболее ярких (но часто грешивших неточностями) следует назвать книги Эрика Темпла Белла «Гении математики» и «Развитие математики». Но не было ничего похожего на «Историю математики», это потрясающее произведение, делающее основной упор на культурную составляющую, то есть на непрерывное взаимодействие между математическим мышлением и прочими видами человеческой деятельности.

Математика играла ключевую роль в таких важнейших областях, как картография и навигация, она помогла создать перспективу в искусстве, а также способствовала изобретению радио, телевидения и телефона. Без нее авиалинии не смогли бы работать так эффективно, спутниковое телевидение имело бы в десять раз меньше каналов, а пищевая промышленность мира не смогла бы обеспечить потребности современного населения Земли. Я не говорю, что мы обязаны всем этим только математике, но она стала одним из наиболее важных компонентов. И я не говорю, что все эти вещи однозначно хороши, однако уверен, что они играют важную роль в нашей жизни.

Математика — одна из самых длинных, самых блестящих нитей в гобелене человеческой истории; нить, которая прочно и глубоко вплетена в ткань человеческих достижений. Книга «История математики» простым и доступным языком рассказывает нам о многих значительных событиях и доказывает, что эта наука во все времена вызывала глубочайшее уважение.

Это одна из тех книг, которую я с огромным удовольствием прочитал бы в подростковом возрасте. Но — и я снова возвращаюсь к тому, с чего начал, — это книга для всех. Если вы уже взрослый человек, это не значит, что для вас все потеряно. Пора обретать настоящую культуру.

Иэн Стюарт

Предисловие

— Что толку в книжке, — подумала Алиса, — если в ней нет ни картинок, ни разговоров?

Льюис Кэрролл. «Приключения Алисы в Стране чудес»[2]

Эта книга была создана, потому что ничего подобного раньше не существовало. Я искал способ доступно изложить историю математики. Вместо того чтобы развернуть перед читателем последовательность «великих теорем», я хотел наглядно показать, что математика была тесно связана с интересами и устремлениями цивилизаций. Я считал, что всего этого можно будет добиться, сочетая наглядную сторону математики с комментариями ученых и разворачивая это повествование на фоне исторических периодов и ключевых событий из области математических идей. Границы пространства и времени не позволят мне пересказать всю историю математики. Поэтому я выбрал для освещения ключевые моменты истории — ее приливы и отливы совпадают с расцветом и закатом величайших цивилизаций.

С самого начала математика оказывала заметное влияние на все виды человеческой деятельности. Торговля, сельское хозяйство, религия, война — везде ощущалось влияние математики, а все аспекты человеческой жизни, в свою очередь, порождали математические понятия. Тем не менее история этой науки в значительной степени скрыта от нашего пристального взгляда. Возьму на себя смелость утверждать, что взаимное развитие философии, математики и других естественных наук намного важнее для истории человечества, чем бесконечная смена правителей и парад войн. Я надеюсь, эта книга внесет свой скромный вклад в научную культуру общества небывалых достижений.

Возможно, науки, и особенно математика, испытывали недостаток общественного внимания, которое уделялось в основном искусствам, и в результате не смогли занять в сердцах и умах людей столь же значимое место. Уже произошло своего рода «перекрестное опыление» таких понятий, как теория относительности, квантовая механика, искусственный интеллект, теорема неполноты, и они стали частью общепринятых современных представлений. Но когда математики говорят о красоте своего предмета, это часто списывается на остаточные эмоции тех, кто провел слишком много времени в разреженной атмосфере башни из слоновой кости. Лишь использование компьютеров наконец сделало красоту математики доступной для всех.

Математика — не наука о непонятных символах. Это наука идей: идей о пространстве, времени, числах и их взаимоотношениях. Это наука о количественных соотношениях, развитие и усложнение которых отражают поиски знания. Любые идеи рождаются из образа. С ростом вычислительных возможностей математика родилась заново — как визуальная наука. Самые невероятные структуры, которые можно отыскать в хаотических сложных системах, прорываются сквозь лес символов и открывают для всех и каждого возможность своими глазами увидеть математический пейзаж. Возникает новая эстетика, в которой математическая точность сочетается с художественной выразительностью. Большая часть этой книги подтверждает факт, что эта смесь в той или иной степени присутствует везде и всюду. Эти два аспекта культуры — точность и выразительность — обручились очень давно, хотя так и не сумели предстать перед алтарем.

1. Начало начал

В любой книге должна быть первая глава со вступительным словом. История — не слишком однозначный и четкий предмет, так что поиск первого использования чисел — это путешествие в туманное прошлое к истокам человеческой жизни и цивилизации. Археологи и другие ученые пытаются выложить мозаику нашей праистории из жалкой горстки мелких обломков. Новые открытия не просто становятся дополнительными кусочками головоломки, они могут радикально изменить всю картину прошлого и наше отношение к нему. Мы всегда должны помнить об этом, глядя на самые ранние свидетельства математической деятельности, а также на математические культуры Месопотамии и Египта.

Самое раннее свидетельство записи чисел было раскопано в Свазиленде (Южная Африка). Это малоберцовая кость бабуина с двадцатью девятью четкими пометами, относящаяся относящиеся к 35-му тысячелетию до нашей эры. Она напоминает календарные палочки, до сих пор использующиеся в Намибии, — они позволяют фиксировать ход времени. В Западной Европе также были найдены кости неолитического периода. На лучевую кость предплечья волка, найденную в Чешской Республике и датированную 30-м тысячелетием до нашей эры, нанесено пятьдесят пять меток, разбитых на два ряда из пяти групп. Возможно, это долговая палочка, а возможно, пометы говорят о количестве убитых животных. Одна из самых интригующих находок — так называемая «кость Ишанго», обнаруженная на берегу озера Эдвардс между Угандой и Демократической Республикой Конго. Ее возраст — более 22 000 лет, и, похоже, это не просто долговая палочка. Микроскопический анализ показал дополнительные отметки, связанные с фазами Луны. Предсказывать полнолуние тогда было необходимо — возможно, по религиозным причинам, а вероятней всего, потому, что видеть ночью было полезно из чисто практических соображений. Неудивительно, что сохранение знаний о движении великих небесных часов стало главной задачей народов неолита. Скорее всего, на становление математики самое большое влияние оказали небо и светила — за счет них развивались астрономия, астрология или космология.

Существуют записи, сделанные в Месопотамии — области, расположенной между реками Евфрат и Тигр, — и относящиеся приблизительно к 3500-м годам до нашей эры. В этом регионе сменилось несколько культур. На смену древним шумерам и аккадцам пришли мастера по работе с железом — хетты, которые, в свою очередь, отступили перед внушающими страх ассирийцами. За ними последовали халдеи и их известный царь Навуходоносор, которые были впоследствии изгнаны персами, а тех разбили армии Александра Великого. Центральная власть последовательно концентрировалась в городах Ур, Ниневия и Вавилон. Базовые математические знания пришли из древней Вавилонской империи (1900–1600 до н. э.), на которую заметно повлияли шумеры и аккадцы, а также из империи, которой правила династия Селевкидов — наследников сподвижника Александра Македонского, получивших власть над этим регионом в четвертом столетии до нашей эры. Эти знания явно сформировались под греческим и вавилонским влиянием. В тот период Вавилон занимал ключевое положение в этом регионе, а потому математика часто называется «вавилонской наукой».

Наша современная десятеричная система счисления — это система со знакоместом на основе 10. Другими словами, десять единиц на одном знакоместе эквивалентны одной единице на следующем, более высоком знакоместе, при этом положение цифры в числе определяет ее значимость. На основании самых ранних записей можно показать, что вавилоняне использовали шестидесятеричную, или базирующуюся на основании 60, систему счисления. Она и поныне живет в нашем способе исчисления времени. Таким образом, например, вавилоняне выразили бы число 75 как «1,15», мы тоже записываем 75 минут как 1 час и 15 минут. Приблизительно за 2000 лет до нашей эры появилась система знакоместа, в которой применялось только два клинообразных символа: Т для 1 и < для 10, при этом сохранялась шестидесятеричная основа. Таким образом, 75 записывалось как Т < Т Т Т Т Т Для обозначения ноля символа не существовало. Позиционный символ не использовался до времен новой Вавилонской империи, возникшей в шестом веке до нашей эры, так что следует соблюдать осторожность, читая древние вавилонские числа, поскольку позиционное значение символов надо оценивать в зависимости от контекста. Например, без ноля нам было бы трудно различить числа 18, 108 и 180. Мы не знаем точно, почему вавилоняне предпочитали работать с такой системой, однако она оказалась очень эффективной при вычислениях и выдержала испытание временем, преимущественно за счет использования основы 60 при расчетах минут и секунд и при измерении времени и углов.

Веским доказательством существования вавилонской математики служат глиняные таблички с клинописными надписями. Они очень широко использовались, и сотни тысяч экземпляров этих табличек выжили — от крошечных фрагментов до целых блоков размером с портфель. Повсюду было много глины, и, пока она оставалась влажной, можно было стереть вычисление и начать писать заново. Как только глина затвердевала, табличка или выбрасывалась, или использовалась в качестве строительного материала. Арифметические вычисления тогда были распространены не меньше, чем теперь. Вавилоняне были плодовитыми творцами математических таблиц. Они оставили нам несколько довольно сложных образцов, касающихся исчисления обратных величин, площадей, кубов и более высоких степеней чисел — такие степени полезны при вычислении прибыли по ссудам. Использование математических таблиц теперь в значительной степени ушло в прошлое из-за широкого распространения калькуляторов, но их важность в облегчении вычислений имеет долгую историю, восходящую к глиняным табличкам вавилонян. Этот народ был очень опытен в алгебре, хотя вопросы и методы решения были риторическими — они объяснялись словами, а не символами. Вавилоняне решали квадратные уравнения приемом, который сейчас, по существу, не что иное, как «наш» метод «дополнения до полного квадрата». Их обоснование этой процедуры основывалось на том, что прямоугольную область можно перестроить таким образом, чтобы получился квадрат. Некоторые уравнения более высокого порядка решались или числовыми методами, или путем упрощения их до уже известных типов.

В геометрии они знали процедуры, позволявшие найти площади плоских фигур. Многие задачи решались алгебраически. Иррациональные числа, дающие начало бесконечному разложению на десятичные дроби, изображались в цифровой форме путем усечения дробного шестидесятеричного разложения. Например, в десятичной системе счисления в выражении √5 = 2,236067… три точки показывают, что разложение на десятичную дробь продолжается неопределенно долго. Усечение ее до двух десятичных знаков приводит к значению 2,23, хотя значение 2,24 — более точное приближение. Иногда усеченное и наиболее точное приближения дают один и тот же результат, например при усечении до трех десятичных знаков в обоих случаях √5 = 2,236. Записей о каком-либо обсуждении предполагаемой бесконечной природы таких разложений не существует, но на одной табличке изображено очень хорошее приближение √2, которое в шестидесятеричной системе изображается как 1:24,51,10 и соответствует пяти десятичным позициям. Обоснования этого результата не дается, но метод, названный в честь Гирона, греческого математика первого века нашей эры, то есть примененный почти две тысячи лет спустя, приводит к точно такому же результату. Вавилоняне также вовсю использовали теорему Пифагора за тысячу лет до его рождения.

Математика древних вавилонян была сложной и применялась в практических целях — в бухгалтерских и финансовых расчетах, в определении весов и мер. Некоторые из проблем, которыми они занимались, показывают, что существовала также теоретическая традиция, плоды которой можно увидеть в вавилонской астрономии.

Для цивилизации, охватывающей приблизительно четыре тысячи лет, египтяне оставили удивительно мало свидетельств занятий математикой. Папирус — хрупкий материал, и то, что хоть какие-то древние папирусы сумели выжить, — просто чудо. Два главных источника информации известны как папирус Ринда и Московский папирус. Есть также несколько малозначимых документов и множество изображений на могилах и храмах, где можно увидеть коммерческие и административные задачи, решаемые с помощью математических навыков. Папирус Ринда был написан приблизительно в 1650-х годах до нашей эры писцом по имени Ахмес, который объясняет, что он копирует оригинал двухсотлетней давности. Во вступлении сказано, что этот текст — полное исследование всего сущего, прозрение относительно всего существующего, источник знаний обо всех непонятных тайнах. Нам это может показаться скорее преувеличением, но этот документ показывает, что искусство писцов было заповедником просвещенной элиты. В папирусе содержится 87 задач и их решения, он написан знаками повседневного жреческого письма, а не сложными иероглифическими символами, которые выбирались для декоративной письменности. Большинство задач — задачи на вычисления, например задача разделения нескольких ломтей хлеба между определенным числом людей. Есть также метод определения площади прямоугольного треугольника. Все решения проиллюстрированы конкретными примерами, не дается никаких явных общих формул. Московский папирус посвящен практически тем же самым вопросам, но включает также вычисление объема усеченной пирамиды, или усеченного конуса, а также, похоже, площади поверхности полусферы.

В использовании чисел египтянами сразу же выделяются два момента. Прежде всего, вычисления основаны только на сложении и использовании таблицы умножения на два, а также на дробных единицах (1/2,1/3 и т. д.). Умножение, таким образом, состояло в повторяющемся удвоении (и, в случае необходимости, делении пополам), а затем происходило сложение соответствующих промежуточных значений. Например, чтобы умножить 19 на 5, писец должен был написать:

/1 19

2 38

/4 76

Затем, поскольку 1+4 = 5, сложение 19 и 76 дает 95, что соответствует 19 х 5. Деление происходит точно так же, но теперь есть возможность дробного решения. Здесь используются дробные единицы. Египетский способ обозначать долю единицы заключался в рисовании черточки над числом: таким образом, 1/5 писалось как 5. Символа для обозначения нашего числа 2/5 или любой другой дроби, за исключением 2/3, не существовало. Папирус Ринда начинается с таблицы дробей вида 2/n, где n — нечетное число, разложенное на доли единицы. Так, 2/5 равно 1/3 плюс 1/15, и во всех случаях, когда задача имела решением число, которое мы записываем как 2/5, египетские писцы записали бы его как 3¯ 15¯. Все еще трудно понять, как эта схема функционировала на практике, хотя она явно срабатывала, и мы ждем дальнейших открытий, позволяющих разъяснить ее происхождение.

Одна из причин использования такой системы заключается в том, что при числовых расчетах, связанных с разделением наследства или распределением благ, использовались дробные единицы, поскольку они точнее, чем самое близкое приближение. У египтян не было никакой валюты, так что они совершали сделки, используя в качестве эквивалента другие товары, чаще всего хлеб и пиво. Это отлично видно в задаче из папируса Ринда о том, как разделить девять хлебов на десять едоков. Сейчас мы вычислили бы, что каждый получит по 9/10 хлеба, и распределили бы хлебы, отрезав от каждого по одной десятой доле, чтобы девять человек получили бы по одному неполному хлебу — по 9/10 буханки, а десятый — девять отрезанных ломтей по 1/10. Решение, приведенное в папирусе: 9/10 = 2/3 + 1/5 + 1/30. Такое деление потребует больше надрезов, зато каждый человек получит не просто равное количество хлеба, но и одинаковые куски.

Меры объема имели свои собственные обозначения, составленные из частей иероглифа, изображавшего око Гора. Здесь заметна двойная функция жречества — административная и религиозная. Гор — бог-сокол, и его глаз отчасти человеческий, отчасти соколиный. Каждый элемент иероглифа представлял дробь от 1/2 до 1/64, а сочетания этих элементов могли отобразить любое число долей 1/64. Но око Гора также имело мистическое значение. Этот бог, единственный сын Изиды и Осириса, поклялся мстить за смерть своего отца, убитого собственным братом Сетом. Во время одного из бесчисленных сражений Сет вырвал у Гора око, разорвал его на шесть частей и разбросал по всему Египту. Гор в ответ оскопил Сета. Согласно легенде, боги, вмешавшись, провозгласили Гора царем Египта, богом-опекуном фараонов. Кроме того, они велели Тоту, богу образования и магии, собрать око Гора. Таким образом глаз стал символом цельности, ясновидения, изобилия и плодородия. Писцы, чьим покровителем был Тот, использовали его как талисман, символизировавший дробные меры. Существует рассказ о том, как ученик писца однажды заметил своему учителю: все доли ока Гора составляют в целом не единицу, а скорее 63/64. Учитель ответил, что Тот вознаграждает недостающей 1/64 того писца, который добивался покровительства бога и принял его.

Наши знания о египетской математике ограничены ввиду недостаточного числа артефактов. В результате она кажется шагом назад по сравнению с уровнем, которого достигли вавилоняне. Но скорее всего, это неправильно, особенно учитывая точность, с которой египтяне строили пирамиды и управляли такой обширной империей. До нас дошли лишь обрывки свидетельств, позволяющие предположить, что они добились важных результатов. Например, вполне вероятно, что они могли вычислить объем усеченной пирамиды. Однако по-прежнему неясно, что это за результат — отдельный, вдохновленный интересом к пирамидам, или же часть более передовой, но, к сожалению, не дошедшей до нас совокупности знаний. Древние греки открыто признавали, что их математика, в особенности геометрия, уходит корнями в египетские знания. Но сейчас нас больше всего поражает не сходство между египетской и греческой математикой, а огромные различия в способе выражения и глубине их знаний. Похоже, «трудные тайны» Ахмеса и сегодня остаются неразгаданными.

109. Этот царь [Сесострис[3]], как передавали жрецы, также разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать. Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу. Ведь «полос» и «гномон», так же как и деление дня на 12 частей, эллины заимствовали от вавилонян.

Геродот. История. Книга вторая[4].

Середина V века до н. э.

2. Блюстители неба

В самом начале математика развивалась, обслуживая нужды торговли и сельского хозяйства, но, помимо того, она также была связана с выполнением религиозных обрядов и наблюдением за движением небесных светил. Созданием календарей занимались астрономы-священники — картография небес требовала разработки специальных математических знаний. Поскольку в древности космология была геоцентрической, термин «планета» относится к Солнцу, Луне и пяти небесным телам, видимым невооруженным взглядом, — Уран, Нептун и Плутон были обнаружены относительно недавно. Различные цивилизации, существовавшие в самых разных уголках Земли, фиксировали движения небесных тел и создавали календари, и все они должны были найти способ сопоставить два самых важных временных цикла — лунный месяц и солнечный год.

Классический период цивилизации майя, существовавшей в Центральной Америке и формировавшейся до десятого века до нашей эры, относится к 300–900 годам нашей эры. Испанское нашествие 1519 года пережило очень небольшое число документов (самый значительный из них — рукопись с астрономическими таблицами, известная как Дрезденский кодекс), но, к счастью, от майя также остались высеченные на камне барельефы. Каждые двадцать лет майя устанавливали каменные стелы, или столбы, на которых отмечались дата строительства, основные события предшествующих двадцати лет, а также имена знатных людей и служителей храмов. Иероглифы, при помощи которых делались надписи, были стилизованными изображениями богов майя. Но для обозначения чисел они часто использовали нотацию, ныне известную как «точка и черточка». В этой лаконичной системе счисления с соблюдением знакоместа точка изображала единицу, горизонтальная черта изображала «пять», а ноль отображался символом, похожим на раковину. Эта система счисления, похоже, использовалась приблизительно с V века до нашей эры и, по существу, была двадцатеричной, то есть с основой 20, кроме аномалии в третьем разряде. В настоящей двадцатеричной системе числа выстраивались бы в последовательности 1, 20, 202, 203 и так далее, но в системе майя используется последовательность 1, 20,18 х 20,18 х 202, и так далее. Это усложняет вычисления, но на основании того, что 18 х 20 = 360, мы можем понять то значение, которое майя придавали своему календарю.

У майя было три календаря. Священный год, состоящий из 260 дней, был получен путем наложения двух циклов: один цикл состоял из чисел от 1 до 13, а другой был 20-дневным циклом божеств. Таким образом, каждый день в священном году был уникальным образом определен числом и божеством. Этот календарь был не слишком полезен для фермеров, поэтому они ориентировались также на обычный год, состоявший из 365 дней. В нем было 18 месяцев 20 дней плюс дополнительные 5 дней, известные как «период без названия». Иероглиф, обозначающий дополнительные дни, также использовался для изображения хаоса и беспорядка, и любой человек, рожденный в эти дни, оставался проклятым до конца жизни. Третий календарь, используемый для «длинного счета», был основан на хронологии, начинающейся 12 августа 3013 года до нашей эры. В нем использовался цикл из 360 дней. Кроме того, существовали жертвенные циклы из 4, 9 и 819 дней. В результате большую часть своего времени писцы тратили на вычисление календарей и важных дат. Не сохранилось явных свидетельств использования дробей или тригонометрических функций, однако майя умели очень точно предсказывать циклы, основываясь на огромном объеме накопленных ими астрономических наблюдений. Например, астрономы майя утверждали: 149 лунных месяцев равняются 4400 дням, что эквивалентно одному лунному месяцу в 29,5302 дня — очень близко к вычисленному в наши дни значению 29,53 059 дня. В Дрезденский кодекс входят таблицы лунных и солнечных затмений, а также предсказанные положения Венеры, которую они называли «утренняя звезда» и «вечерняя звезда». К сожалению, больше о математической астрономии майя почти ничего не известно.

В египетском календаре использовалась такая же система, как у майя. У них было 12 месяцев по 30 дней и 5 дополнительных дней в конце года. Именно египтяне первыми начали делить день на 24 отрезка, хотя неясно, когда именно была зафиксирована длительность одного часа. Они использовали то, что можно назвать «сезонными часами», — делили как дневное, так и ночное время на 12 отрезков, поэтому в течение года отрезки светлого и темного времени суток были разными. У египтян был свой набор маленьких созвездий — деканов, которые восходили на небе с промежутком в десять дней. В эллинистические времена они были объединены с вавилонским зодиаком, так что каждое зодиакальное созвездие, занимающее 30 градусов небесного круга, делилось на три декана. Деканы изображены на потолках царских гробниц и на крышках усыпальниц Среднего царства (ок. 2100–1800 до н. э.). Но сопоставить деканы с известными сейчас звездами оказалось довольно трудной задачей. Единственное исключение — звезда Сириус, восход которой в определенное время года был связан с разливом Нила, что было очень важно для ирригации. На более поздних захоронениях мы находим подробное изображение звезд на сетке координат. Расшифровать эти надписи помог демотический папирус, созданный в греческую эпоху. Однако создается впечатление, что мастера, наносившие эти изображения на гробницы, слишком свободно подошли к интерпретации исходной астрономической информации, хотя базовые рисунки, лежавшие в основе изображений, были значительно точнее. У нас нет письменных свидетельств о том, проводили ли египтяне астрономические наблюдения и создавали ли таблицы; даже Птолемей, перечисливший использованные им источники древней астрономии, не упоминает никаких египетских трудов.

С момента падения Ассирийской империи и до эллинских времен вавилоняне занимались созданием астрономии, пригодной для эффективного прогнозирования. Птолемей упоминает о том, что начиная с VIII века до нашей эры они вели запись лунных затмений, но данные о планетах были не слишком надежными. Вавилонский календарь был исключительно лунным. Начальный день месяца выпадал на первое появление полумесяца, каждый день длился от заката до заката. Поэтому вавилонян больше всего интересовала возможность предсказать время появления полумесяца, а также определить в зависимости от положения Солнца и Луны, сколько дней будет в предстоящем месяце — 29 или 30. То же самое и в случае с другими планетами — самым интересным для вавилонян было их первое появление на небе. Особенно важное место в ранних таблицах занимала планета Венера. Для того чтобы составить эфемериды — так назывались таблицы местоположения планет, — зодиакальную область делили на три зоны, куда входили двенадцать поименованных созвездий, а положения планет указывались относительно звезд. Есть также таблицы восхода и захода созвездий. Самые ранние эфемериды относятся к периоду Селевкидов, чаще всего они описывают движения Луны, но есть таблицы и для других планет.

Одним из величайших достижений этого периода был анализ видимых путей Солнца и Луны по небу — основы для определения начала каждого месяца. Вавилоняне установили, что угол между горизонтом и эклиптикой — видимым путем Солнца по небу — в течение года меняется. Кроме того, путь Луны периодически отклоняется от эклиптики примерно на 5° в ту и другую сторону. Более того, перемещение обоих небесных тел варьируется. Эти периодические отклонения от курса, которые на самом деле представляют собой синусоиды, были с высокой степенью точности описаны так называемыми «зигзагообразными функциями». Они рассчитывались арифметически как возрастающие и убывающие последовательности чисел. На многих вавилонских табличках представлены упражнения на арифметические прогрессии, которые, возможно, были подготовкой к созданию таблиц движения Солнца и Луны. Эти таблицы могли использоваться, чтобы заранее, на три года вперед, предсказать появление нового месяца, зависящее от относительных положений Луны и Солнца. На основании имеющихся у нас свидетельств мы, вероятно, можем заключить, что методы арифметической интерполяции использовались для скругления орбит, созданных на основании доминирующих показаний. В теории Птолемея (см. ниже) применялся противоположный подход — попытка построить наиболее точную планетарную модель, на основании которой можно было бы определить положения планет в конкретные моменты времени.

Какой была самая поздняя планетарная теория вавилонян, неясно. Согласно ранним описаниям, это геоцентрическая вселенная с круговыми орбитами планет. В эллинском мире Аристарх Самосский (ок.310 — ок.230 до н. э.) предложил гелиоцентрическую систему, по-видимому основанную на собственных вычислениях, согласно которым Солнце было самым большим небесным телом. Но в то время его теория не получила одобрения современников и не была принята вплоть до шестнадцатого столетия. Греческая планетарная теория находилась во власти представлений Аристотеля (384–322 до н. э.), согласно которым планеты двигаются с постоянной скоростью по идеальным круговым орбитам. Это философское положение сохраняло свои позиции, несмотря на явные признаки переменной скорости движения планет, фактов их ретроградного движения и изменения видимой яркости. Несоответствия между теорией и наблюдениями сглаживались за счет введения эпициклов: планета больше не двигалась вокруг самой Земли, она вращалась по эпициклу — круговой орбите, центр которой двигался по деференту — воображаемой окружности, в центре которой находится Земля. Благодаря этой уловке постоянная скорость планеты преобразовалась в наблюдаемую скорость, и при этом планеты оставались на округлых, если не идеально круговых орбитах. Наиболее полное выражение эта система нашла в работе Птолемея.

Прежде чем обратиться к Птолемею, мы должны упомянуть одного из наиболее известных его предшественников — Гиппарха (ок. 190 — ок. 120 до н. э.), математика из Никеи, города, находящегося в современной Турции. Его считали величайшим астрономом своего времени. Считается, что именно он создал астрономию, базирующуюся на греческих геометрических принципах. Как основу тригонометрии он использовал деление круга на 360 градусов, где каждый градус делился еще на шестьдесят минут. Его трактат на эту тему включал таблицу хорд — аналог современных таблиц тригонометрических функций (хорды Гиппарха — это, по современным понятиям, синусы). Значения хорд были вычислены для круга с радиусом 3438 минут — именно такой радиус необходим для того, чтобы окружность составила 360 х 60 = 21 600 минут. Эти таблицы, очень похожие на те, что существовали в индийской математике, позволили Гиппарху более точно описать положения небесных тел. Он смоделировал движение Солнца и Луны, используя геоцентрическую систему эпициклов. Гиппарх признавал: его данные были недостаточно точными, для того чтобы рассуждать об орбитах других планет. К сожалению, до нас дошла лишь одна из незначительных его работ, и он, как многие другие греческие астрономы, потерялся в тени Птолемея.

Клавдий Птолемей (ок. 87–165) жил в Александрии, и мы знаем, что он начал заниматься астрономическими наблюдениями 26 марта 127 года. О его семье известно очень немногое, неясны также точные даты его рождения и смерти. Птолемей оставил несколько сочинений, самое известное из них называется «Синтаксис» («Математическое построение»). Эта работа была повсеместно признана, и впоследствии, около 820 года нашей эры, когда ее перевели на арабский язык, заслужила название «Аль-Маджисти» («Величайшая»). Затем, после перевода на латынь, она стала известна как «Альмагест». Этот труд Птолемея для астрономии — то же, что «Начала» Евклида для геометрии. В результате, большая часть трудов, написанных до Птолемея, канула бы в небытие, если бы не собственный исторический комментарий автора «Синтаксиса». Он начинается с некоторых предварительных замечаний из области тригонометрии и расчета хорд, после чего излагается теория движения Солнца по круговой орбите. Однако, по мнению Птолемея, Земля располагалась не совсем в центре орбиты, несколько сместившись, — это положение он назвал эксцентрикой. Создавая теорию движения Луны, Птолемей многое позаимствовал у Гиппарха, но изменил к лучшему его модель эпициклов. Затем, комбинируя движения Солнца и Луны, Птолемей обсуждал лунные и солнечные затмения. После этого следовало доказательство, что сфера из неподвижных звезд — внешняя оболочка эллинского космоса — действительно неподвижна. Этот вывод делается из собственных наблюдений Птолемея за звездами; здесь он соглашается с мнением Гиппарха, составленным на основании наблюдений, которые были проведены приблизительно за двести лет до него. Птолемей приводит обширный каталог с описанием более тысячи звезд, а затем обозначает орбиты остальных пяти планет. В этой изобретательной конструкции использовался эквант — точка, находящаяся на таком же расстоянии от Земли, как и эксцентрик, но с противоположной стороны. Птолемей строит циклы планет так, чтобы они имели постоянную скорость относительно экванта. Вращение Земли вокруг Солнца было несовместимо с пониманием земной динамики того времени — считалось: если бы Земля двигалась, мы обязательно слетели бы с ее поверхности. Модель Птолемея, безусловно, самая успешная попытка создания прогнозирующей астрономии за все время существования этой науки, она воспроизводила видимые движения планет, включая ретроградные петли. Любые несоответствия в измерениях обычно не выходили за пределы погрешности методов измерения. Эта система не вызывала серьезных сомнений вплоть до шестнадцатого века, так что до этого времени, в течение 1400 лет, «Альмагест» Птолемея был непререкаемым авторитетом.

3. Теорема Пифагора

Каждый из нас сталкивался в школе с этой теоремой. Сейчас ее называют «теоремой Пифагора», но она была широко известна в древности задолго до рождения знаменитого грека. Существование этой теоремы дает нам возможность сравнить стили математических рассуждений и основные направления работы некоторых древних математиков, относящихся к различным культурам.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату наиболее длинной стороны. Можно построить такие треугольники с целочисленными сторонами; самый известный из них — треугольник со сторонами 3, 4, 5. Существует бесконечное множество таких, как их называют, пифагоровых треугольников, например треугольники со сторонами 5,12,13 и 7, 24, 25, которые также были известны в древности.

Одна из самых восхитительных математических таблиц Вавилона, ныне известная как «Плимптон 322», хранится в Колумбийском университете Нью-Йорка. Числа на ней расставлены в четыре столбца и пятнадцать рядов. Похоже, что это лишь часть разбитой таблицы. Теперь принято считать, что на ней описан дробный пифагоровский треугольник — источник всех последующих. Этот сложный метод означает, что вавилоняне знали теорему Пифагора уже в 1800–1650 годах до нашей эры, то есть больше чем за тысячу лет до Пифагора. Это предположение было подтверждено еще одной табличкой, найденной около Вавилона и датируемой приблизительно тем же периодом, — в настоящее время это один из самых древних примеров теоремы Пифагора. Для геометрических вычислений и решений алгебраических уравнений вавилоняне использовали линейку, хотя такая алгебра была скорее риторической, чем символической. Некоторые считают, что вавилоняне, возможно, заложили фундамент самой ранней формы тригонометрии.

Обычно истоки ведического периода индийской цивилизации относят к началу первого тысячелетия до нашей эры. В то время закладывались основы индийской культуры и религии — создавались священные тексты (такие, как «Веды» и «Упанишады»), а также правила социального поведения, например «Законы Ману». Математические знания того периода записаны в книгах «Шульба-сутры» — дополнений к «Ведам». Неудивительно, что эти памятники в основном посвящены математике, которая должна была обеспечить точность исполнения ритуалов. Термин «шульба» означает «шнур» или «веревка» — ею обычно измерялись алтари. До нас дошли три версии этих текстов, самая ранняя предположительно была написана между 800 и 600 годом до нашей эры. Упрощенная теорема Пифагора звучит там следующим образом: веревка, натянутая по диагонали квадрата, порождает квадрат, вдвое превышающий по размеру исходный квадрат. Более поздняя и более общая теорема формулируется в книге «Катьяяна»: «веревка, натянутая по диагонали прямоугольника, формирует площадь, которую совместно образуют вертикальная и горизонтальная его стороны». Никакого доказательства не приводится, но описано множество практических применений этого принципа. Существовали правила, согласно которым строились алтари. Они были совершенно однотипными и строились по одному проекту, вследствие чего геометрические методы были предпочтительнее, чем числовые. Например, если вам необходимо удвоить площадь квадрата, проще всего построить квадрат, стороны которого были бы диагональю исходного квадрата, а не тратить время на вычисление, по которому сторону нового квадрата придется увеличить на √2. У индийцев были превосходные методы вычисления √2, но по религиозным мотивам требовалась абсолютная точность — приблизительного значения было недостаточно.

Самый ранний китайский математический текст — «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»), написанный предположительно между 500 и 200 годом до нашей эры. Он основан на тексте времен династии Шан, созданном, возможно, за 500 лет до этого. Как предполагает название текста, в основном в нем рассматриваются вопросы астрономии, однако есть там и некоторые предварительные указания по арифметике и геометрии. Предположительно этот труд был написан одним из многочисленных странствующих философов в период, известный как Период Сражающихся царств, в смутную эпоху вражды между династиями Чжао и Хань. Самым известным из таких философов был Конфуций — его философию единства и стабильности можно считать реакцией на те бурные времена.

Первая часть «Канона расчета чжоуского гномона» — диалог между правителем Чжоу-гуном и сановником по имени Шан Гао, в котором обсуждаются свойства прямоугольных треугольников. Там формулируется теорема Пифагора, известная как «гоугу», и дополняется геометрической иллюстрацией. Описан процесс, названный «накоплением прямоугольников», а на рисунке показано применение этого метода для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 — самого маленького пифагорова треугольника. Распространение метода на другие длины сторон, как предполагалось, очевидно для читателя, но более общая формулировка была выполнена комментаторами, жившими в III веке нашей эры. Один из авторов, Лю Хуэй, приводит второе геометрическое доказательство теоремы, используя принцип «взаимоотклика внутреннего и внешнего»: два меньших квадрата разрезаются таким образом, чтобы выстроить больший квадрат. В числовых задачах использовалось правило roy^2 + ry^2 = сянь^2 (наше а^2 + b^2 = с^2). Эта теорема была очень важна для китайской математики, поскольку легла в основу других методов, вроде извлечения квадратных корней и решения квадратных уравнений. Одна классическая задача, известная под названием «сломанный бамбук», позднее появилась в европейских книгах — возможно, из китайской математики она просочилась на Запад через Индию и арабский мир.

Наконец мы подходим к легенде, имя которой Пифагор (ок. 570 — ок. 490 до н. э.). Возможно, этот древний грек был почти современником Будды, Конфуция, Махавиры, Лао Цзы и Заратустры. Его склонность сочетать математику и мистику получила продолжение — она проявляется в течении, которое в III веке нашей эры назвали неоплатонизмом. О личности Пифагора доподлинно ничего не известно. Упоминания о нем часто тенденциозны, даже Аристотель, всего двести лет спустя, не смог нарисовать нам портрет реального человека. Значимость Пифагора и его последователей видна в их философии математики. Вера в примат математики как единственного истинного источника знаний пришла к нам через таких философов, как Платон (428/427–347 до н. э.), Плотин (204/205–270), Ямвлих (245/280–325/330) и Прокл Диадох (412–485). Эта вера — краеугольный камень неоплатонизма, легшего в основу западного мышления.

После обучения у египтян и халдеев Пифагор обосновался в Кротоне (на юге Италии) и основал там свою школу. Она больше походила на тайное общество или культ — знания передавались только избранной группе посвященных. Пифагорейцы жили коммуной, имевшей строгий кодекс поведения. В него входили вера в метемпсихоз, или переселение душ, и строгое вегетарианство. Поскольку Пифагор не оставил никаких письменных трудов, мы можем только предполагать, какие результаты следует приписывать самому ученому. Существуют нередкие ссылки на пифагорейцев — это позволяет предположить, что члены школы позже ослабили запрет своего учителя на обнародование знаний. Одним из ключевых моментов обучения в пифагорейской школе было утверждение, что числа — это всё сущее, ничто нельзя придумать или узнать без помощи чисел. Наиболее уважаемым числом у пифагорейцев было десять, или «тетрактис», поскольку это сумма 1 + 2 + 3 + 4. Это — число точек, необходимое для формулировки измерений вселенной: 1 — это точка безразмерности и творец других измерений; две точки можно соединить, чтобы создать линию, имеющую одно измерение. Три точки можно соединить, чтобы создать двухмерный треугольник. Четыре точки можно соединить, чтобы создать трехмерный четырехгранник. Тетрактис стал символом пифагорейцев, которые пошли дальше всех своих предшественников в области мистики и нумерологии — они выстроили вселенную, и в ней числа имели особое значение для философского откровения. Пифагорейцам также приписывают числовой анализ музыки, в нем тетрактис символизировал важнейшие связи между нотами, например соотношение 1:2 для октавы. Из нумерологического описания музыки возникла общая концепция гармонии сфер, которая оказала влияние на планетарную модель Кеплера, созданную больше двух тысяч лет спустя.

Но теперь Пифагор более всего известен благодаря теореме, которая сейчас носит его имя. Как мы уже видели, в древности эта теорема была известна практически повсеместно. Считается, что Пифагор узнал о ней у представителей цивилизации, которую мы в этой связи не упоминали, — у египтян. Греческая литература постоянно ссылается на Египет как на источник знаний в области геометрии, но, к сожалению, у нас пока нет египетских документов, иллюстрирующих теорему Пифагора. Аристотель приписывает пифагорейцам первое доказательство того факта, что √2— иррациональное число. Если взять прямоугольный треугольник с основанием и высотой 1, его гипотенуза будет равна √2. На языке греческой математики пифагорейцы стремились выразить отношение гипотенузы к единице длины, то есть √2:1, как мы сейчас написали бы, то есть отношение целых чисел. В отличие от, например, пифагоровского треугольника со сторонами 3, 4, 5, где любая пара сторон составляет соотношение целых чисел, в треугольнике с катетами по единице этого достигнуть оказалось невозможно. Имеется в виду, что гипотенуза и любой катет несоизмеримы, то есть при наличии линейки с любыми одинаковыми делениями эти две стороны треугольника не могут быть измерены точно — если в гипотенузе откладывается целое число делений, то невозможно отложить целое число делений в катете, и наоборот. Историк Диоген Лаэртский рассказывает, что это открытие было сделано Гиппасом из Метапонта (574–522 до н. э.), последователем Пифагора, и что другие члены пифагорейской школы вывезли его в море и выбросили за борт, поскольку он разрушил их веру в то, что все может быть выражено целыми числами и их отношениями.

Эту историю теперь считают сомнительной, но отношения между соизмеримыми и несоизмеримыми длинами, и соответственно между рациональными и иррациональными числами, были важным вопросом математики. Действительно, определение иррациональных чисел в терминах рациональных чисел не было достигнуто в течение более двух тысяч лет (см. Главу 19).

Самым поразительным в греческом доказательстве теоремы Пифагора был метод, который описан в конце Первой книги «Начал» Евклида. В этом самом общем геометрическом доказательстве используется последовательность построений, преобразующих два меньших квадрата в два прямоугольника, которые стыкуются, образуя больший квадрат. Оно представлено без каких-либо ссылок на числовые значения, а характерную диаграмму «мельница», сопровождающую доказательство, позднее можно было найти в трудах по математике многих евразийских культур. Прокл оставил свой комментарий: «Хотя я восхищаюсь теми, кто первым понял истинность этой теоремы, я еще больше восхищаюсь автором „Начал“». Тем не менее этой теореме было дано имя Пифагора, ведь привлекательность пифагорейского идеала математической вселенной непреходяща.

4. Начала

Греки вошли в историю как захватчики с севера, обосновавшиеся на землях, что лежали между Ионийским и Эгейским морями. Они выказали жадность к знаниям и стремление учиться у своих более древних соседей, а также — что еще важнее — желание увеличивать мудрость, полученную от египтян и жителей Месопотамии. Греческий, или эллинский, мир объединяли скорее культурные, чем расовые узы. Его историю можно разделить на два обширных периода; переход от одного к другому ознаменовался началом царствования Александра Великого. Для наших целей назовем эти периоды афинским и александрийским.

Первые Олимпийские игры проводились в 776 году до нашей эры. К этому времени греческая литература могла похвастаться произведениями Гомера и Гесиода, но о математиках, творивших ранее VI века до нашей эры, мы ничего не знаем. Титул первого греческого математика, по-видимому, следует присудить Фалесу Милетскому (640/624–548/545 до н. э.) — предполагается, что именно он привел первые описания различных геометрических теорем, ставших прообразом великой дедуктивной системы Евклида. Но наши знания о греческой математике и вообще об этом периоде основываются по большей части на исторических слухах. Мало того что сочинения того времени до нас не дошли, мы вынуждены полагаться на комментарии, сделанные спустя тысячу лет после описываемых в них событий.

В IV веке до нашей эры, после основания Академии Платона, а позже Лицея его бывшего ученика, Аристотеля, Афины стали считаться центром средиземноморского интеллектуального мира. Роль Платона в истории математики — все еще тема жарких дебатов. От него не осталось никаких собственноручно написанных формальных математических сочинений, но он оказал сильное влияние на философию математики. В своем диалоге «Республика» он утверждал, что математика должна быть одной из основных наук, изучаемых будущими правителями, а в диалоге «Тимей» мы видим своего рода преобразованное пифагорейство плюс Платоновы тела, связанные с четырьмя стихиями, и додекаэдр как символ цельной Вселенной. Влияние философии Аристотеля было для математики не особенно полезным. То, что он требовал логики, имело положительный эффект, но отказ принять бесконечность и бесконечно малые величины, а также вера в то, что совершенное движение происходит по окружности и прямым линиям, поскольку это идеальные фигуры, пользы не принесли.

Академия и Лицей были и важными центрами математического образования и исследований. Аристотель был наставником Александра Великого, управлявшего империей, которая в период расцвета простиралась аж до Северной Индии. После смерти Александра обширное государство между собой поделили его враждовавшие друг с другом генералы. Но в одном из осколков огромной империи во времена просвещенного правления Птолемея I возник научный центр — новый город, Александрия, с ее Музеем и драгоценной Библиотекой. Во второй период классической эпохи Древней Греции, известный как Золотой век греческой математики, Александрия в значительной степени затмила Афины.

Самый выдающийся труд в греческой математике — это, несомненно, «Начала» Евклида (ок. 325–265 до н. э.). Несмотря на такую известность, о жизни математика известно очень немногое. Неясным остается даже место его рождения. Из текста более позднего комментатора Прокла Диадоха известно, что Евклид учился в Александрии во времена правления Птолемея. Когда царь спросил, как побыстрее изучить геометрию, Евклид ответил, что «не существует царского пути к геометрии». Известность «Начал» порой затмевала тот факт, что Евклид написал множество других работ, посвященных оптике, астрономии, механике и музыке. Но «Начала» стали стандартным учебником по геометрии, изучавшимся в течение многих последующих столетий. Он был настолько полным, что все предшествовавшие книги оказались избыточными, и их копий не сохранилось. Как и в случае многих других учебников, большая часть «Начал» — не оригинальная работа Евклида, но именно его мы должны благодарить за сведение результатов множества других источников и написание стройного труда, который стал общепринятой моделью логической, дедуктивной системы теорем и доказательств. «Начала» — это не краткое изложение всей греческой математики, в сочинении описаны только основы. В него не включены вычисления и многие более сложные математические задачи, такие, как конические сечения.

«Начала» состоят из 13 книг. В них охвачены вопросы планиметрии и стереометрии, теория чисел и теория непропорциональности. Книга начинается со списка, состоящего из 23 определений, например «точка — это то, что не делится на части», «линия — это длина без ширины». Затем следует пять аксиом и пять «общих понятий». У печально известного пятого постулата своя история. Фактически, каждый раздел книги открывается дальнейшими определениями, необходимыми для новых тем, которые рассматриваются в той или иной главе. Для Евклида определения были более очевидны, чем постулаты, хотя мы рассматриваем их одинаково — как аксиомы. Постулаты обычно описывают некое действие, например «от всякой точки ко всякой точке можно провести прямую», тогда как четвертое определение утверждает: «прямая линия есть та, которая ровно лежит на всех своих точках». В целом геометрия здесь сводится до методов построений с применением линейки и циркуля. Эти два простых инструмента послужили логическими генераторами целой системы. Круг и прямая считались самыми совершенными фигурами. Греки использовали и другие, так называемые «механические» методы построений, но в «Началах» они не описываются.

В книгах с первой по четвертую речь идет о построении плоскостных геометрических фигур, включая четырехугольники, треугольники, круги и многоугольники, созданные при помощи кругов. Утверждалось, что в некоторых книгах, особенно во второй, содержится намек на своего рода алгебраическую геометрию, где геометрические построения служат той же цели, что и алгебраические манипуляции. Независимо от того, верно это или нет, кажется, по крайней мере в ранних теоремах Евклид интересуется исключительно геометрическими понятиями. Термин «величина» используется для обозначения любого геометрического объекта — отрезка или фигуры, а теоремы связаны с построениями и выяснением отношений между этими величинами. В этом труде нет отсылок к числовым понятиям вроде длины; таким образом, например, квадрат рассматривается как геометрическое пострπоение, проистекающее из отрезка. Евклид нигде не заявляет, что площадь такого квадрата есть произведение его сторон, — это определение возникнет намного позже. Таким образом, величины — самое элементарное понятие в «Началах», фундамент, на котором построена остальная часть работы. В этом контексте интересно заметить, что доказательство теоремы Пифагора выполняется путем построений, в то время как обращение к фактическим площадям, возможно, привело бы к совершенно иной форме доказательства.

В пятой книге изложена общая теория пропорций, в том виде, в каком ее первоначально изложил Евдокс. Член Академии Платона, Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355 до н. э.) был одним из известнейших математиков своего времени. Ему приписывают два фундаментальных открытия: теорию отношений и метод исчерпывания. Выход из очевидного кризиса несоизмеримостей был найден в значительной степени благодаря возможности манипулировать их произведениями и отношениями посредством отношений Евдокса. Евклид фактически цитирует множество различных правил для составления отношений и условий их использования. Предпочтение отношений по сравнению с дробями давало некоторые преимущества. Теперь можно было сформулировать правило вроде: «отношение площадей кругов пропорционально отношению квадратов их диаметров» и использовать его для доказательства самых разных теорем, не применяя иррациональное число π. Кроме того, отношение величин одного и того же типа не имеет размерности и может быть сопоставлено с другими отношениями, как показано в примере, приведенном выше. Таким образом, отношение стало основополагающей связью между величинами, и теория Евдокса позволила сравнивать различные отношения. В шестой книге «Начал» описаны правила работы с подобными фигурами. Там содержится обобщение теоремы Пифагора, не ограниченной квадратами сторон треугольника. Теорема была расширена таким образом, что ее можно было использовать для любой построенной фигуры. Таким образом, если мы строим полукруги, диаметры которых равны катетам треугольника, тогда сумма площадей двух меньших полукругов равна площади большего.

Теория чисел рассматривается в седьмой, восьмой и девятой книгах. У Евклида словом «числа» обозначались только целые величины. Определения в седьмой книге показывают, что работа с числами воспринималась в основном в геометрическом контексте. Евклид говорит, что «кратное число — большее от меньшего, если оно измеряется меньшим», а произведение двух чисел — площадь прямоугольника. Есть также знаменитое правило, известное как «Евклидов алгоритм», позволяющее найти наибольший общий множитель двух величин, или, по словам Евклида, «наибольшую общую меру между двумя величинами». В девятой книге мы находим известное доказательство, которое, говоря современным языком, утверждает существование бесконечного числа простых чисел. Евклид отчетливо избегает упоминания бесконечности. Он заявляет, что «простых чисел больше любого наперед заданного количества» (иными словами, мы можем выбрать любое число, и простых чисел будет все равно больше, чем это число), и переходит к доказательству этого тезиса, взяв три конкретных простых числа, лишь подразумевая, что решение будет таким же для «любого наперед заданного количества». В этой книге также приведено правило построения совершенных чисел. Совершенное число — это число, сумма множителей которого равна самому этому числу. Первое совершенное число — 6, второе — 28 (его множители — 1, 2, 4, 7 и 14, сумма которых равна 28).

Десятая книга содержит подробный анализ различных иррациональных длин, и именно здесь мы находим идею несоизмеримости между основными величинами, сводящуюся к понятию иррациональности между длинами (и площадями). Если некий отрезок определен как рациональный, тогда любой другой отрезок, несоизмеримый с ним, считается иррациональным. Приводятся длинные доказательства для всех типов иррациональности, от простых квадратных корней до кратных корней вроде √ (√ a + √ b). Дискуссия о способах выражения иррациональных чисел в цифровой форме проливает свет на некоторые интересные проблемы. Числовая нотация (представление) иррационального числа, основанная на алгоритме Евклида, действительно существовала, но, хотя она была полезной для представления одного иррационального числа, простой процедуры для отображения в этой нотации сумм или произведений иррациональных чисел так и не нашлось. Любопытна Лемма 1 (лемма — это вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем), изложенная в этой книге: она демонстрирует два квадрата чисел, сумма которых тоже представляет собой квадрат числа, — в сущности, это теорема Пифагора в числовом виде, однако никакой ссылки на доказательство теоремы, приводимое в конце первой книги, здесь нет. Именно в десятой книге содержится дерзкое предположение, что подобные численно-геометрические процедуры — лишь первый шаг к более сложным задачам, в частности к задачам вычисления площадей, проблеме квадратуры. Также следует отметить, что все иррациональные числа, о которых говорится в книге, могут быть построены с помощью линейки и циркуля, — а вот, например, кубических корней там нет. В последних разделах «Начал» громоздкая классификация иррациональных чисел становится более понятной — там они вновь появляются в связи с описанием тел правильной формы.

В заключительных трех книгах «Начал» рассматриваются вопросы стереометрии. Там используется метод исчерпывания Евдокса как способ найти площади и объемы путем последовательных приближений. Архимед приписал Евдоксу первое доказательство, что объем конуса равен одной трети объема цилиндра с теми же основанием и высотой. Считается, что большая часть двенадцатой книги основана на работах Евдокса. В тринадцатой книге приводится доказательство, что существует всего пять правильных Платоновых тел, построенных из треугольников, квадратов и пятиугольников[5]. Все они вписаны в сферу, и есть подробные указания по поводу относительных расстояний от граней каждого тела до центра сферы. Здесь используются иррациональные числа, описанные в десятой книге. Этим труд Евклида завершается.

«Начала» были самым влиятельным учебником всех времен. Они многократно переписывались, к ним писались новые комментарии, дополняющие более древние. Книги переводились на другие языки и редактировались таким образом, чтобы соответствовать интересам и культуре разных цивилизаций. Восстановить оригинальную работу Евклида стало практически невозможно — к девятому веку нашей эры остались только фрагменты исходного текста. Однако наиболее важен тот факт, что работа Евклида не только выжила, но и отодвинула в тень все другие учебники, существовавшие до нее.

В течение некоторого времени Александрия оставалась научным центром. Там сначала учился, а затем преподавал Аполлоний Пергский (262–190 до н. э.), которого часто называют Великим Геометром. Самая известная его работа — специализированное исследование в области геометрии под названием «Конические сечения» (в 8 книгах). Конические сечения — это фигуры, получаемые в результате рассечения конуса под различными углами: круг, эллипс, парабола и гипербола. В Александрии учились Архимед, Птолемей и Диофант Александрийский (предположительно III в. н. э.). В IV веке нашей эры блеск Александрии начал угасать. В то время, когда главой платоновской школы стала Гипатия (ок. 370–415 н. э.) — дочь Теона Александрийского, первая женщина-математик, если верить сведениям, дошедшим до наших дней, — набирающее силу христианское движение становилось все менее терпимым к тому, что считало языческой наукой и философией. Смерть Гипатии от рук членов местной христианской секты считается началом конца Александрии — столицы наук. Центр научного мира переместился в восточном направлении — в Багдад.

5. Десять книг счетного канона

Поначалу китайская цивилизация развивалась по берегам рек Янцзы (Длинная) и Хуанхэ (Желтая) во времена легендарной династии Ся во втором тысячелетии до нашей эры. Династия Чан правила примерно с 1520 по 1030 год до нашей эры, после чего ее вытеснили захватчики Чжоу, которые к восьмому веку до нашей эры начали постепенно терять власть. Затем, приблизительно с 400 по 200 год до нашей эры, империя превратилась в раздробленную путаницу враждующих государств. Именно к этому периоду, известному как Период Сражающихся царств, относится первый чисто математический текст «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»). То было время Конфуция, одного из многочисленных ученых-перипатетиков, которые вели опасную жизнь советников при небольших правителях. Во времена воссоединения Китая при императоре Цинь Шихуанди произошло как объединение разрозненных оборонительных стен в Великую Китайскую стену, так и беспричинное сжигание книг. При следующей династии Хань (200 до н. э. — 200 н. э.) ученые искали рукописи, избежавшие уничтожения, и нередко восстанавливали тексты по памяти. К этому периоду относятся как важный математический текст «Цзю чжан суань шу» («Правила счета / методы вычислений в девяти разделах» / «Девять глав о математическом искусстве»), так и комментарии к «Канону расчета чжоуского/всеохватного гномона». Следующий значительный текст появился в седьмом веке нашей эры, когда во времена династии Суй (581–618) и династии Тан (618–907) была проведена образовательная реформа, в результате которой математика стала преподаваться в «Школе для сынов государства». Там использовался учебник, носивший название «Суань цзин ши шу» («Десять книг счетного канона» / «Математическое десятикнижие») — компиляция наиболее значительных работ, известных в то время. В него входили «Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона» и «Девять глав». Этот учебник считался важным учебным пособием в течение многих столетий. В седьмом веке был совершен величайший инженерный подвиг — две величайшие реки Китая были соединены Великим каналом. В конце концов люди восстали против тягот, которые принесло им строительство этого канала, и просуществовавшая совсем недолго династия Суй уступила место династии Тан. Столица империи Тан — город Чанань (современный Сиань) — стала интеллектуальным мостом между Китаем и Средней Азией, играя ту же роль, что и другой большой космополитический город, расположенный намного западнее, — Багдад. В период трехсотлетнего правления династии Тан произошло изобретение книгопечатания и пороха. Наша экскурсия заканчивается династией Цзинь, которая просуществовала до 1234 года. Сейчас мы рассмотрим «Девять глав о математическом искусстве».

Интерес китайцев к магическим квадратам, похоже, больше связан с предсказаниями, чем с математикой. Легенда гласит, что император Юй, правивший в третьем тысячелетии до нашей эры, стал обладателем двух важных диаграмм на нефритовых пластинках. Одну он получил от волшебного дракона-лошади, который поднялся из Хуанхэ, а другую император вынул из панциря черепахи, найденной в реке Лохэ — правом притоке Хуанхэ. Первые иллюстрации волшебного креста и квадрата относятся к десятому веку, и вплоть до тринадцатого века никакие магические квадраты размером больше 3 x 3 не обсуждались. К этому времени упоминания о предполагаемых магических свойствах квадратов уже прекратились, а математик Ян Хуэй сконцентрировался на числовых свойствах разнообразных числовых квадратов и кругов. Начиная с девятого века свойства магических квадратов изучали арабские математики, и недавно в Сиане был найден арабский магический квадрат, относящийся к периоду монгольского завоевания Китая (1279–1368).

«Девять глав» — важнейший труд китайской математики. Сейчас почти невозможно вычленить оригинал из массы позднейших комментариев. Комментатор третьего века нашей эры Лю Хуэй заявляет, что в его время работа была в значительной степени переписана, был включен новый материал и выброшены некоторые ненужные разделы. Самая ранняя сохранившаяся версия текста датируется тринадцатым веком, но это только часть книги; наиболее полный текст относится к восемнадцатому столетию. Это очень похоже на нехватку оригинальных греческих текстов, хотя в данном случае промежуток между повторами и оригиналами, которые, как утверждается, он отражает, намного длиннее. «Девять глав» содержат 246 задач. Каждый раздел начинается с заявленной задачи, после чего приводится числовой ответ и метод, позволяющий получить решение. Не приводятся никакие логические объяснения или доказательства. Большая часть книги состоит из практических вычислительных задач, вроде распределения земли, разделения товаров и управления крупномасштабными строительными работами. В данном случае мы рассмотрим методы извлечения квадратных корней и решения уравнений.

Вычисления проводились путем выкладывания счетных палочек на счетной доске. Иногда счетная доска выполнялась в виде специальной сетки, но в некоторых текстах упоминается, что для подсчетов могла использоваться любая поверхность. Главное — правильно выложить палочки во время вычисления, что позволяет возобновлять прерванное вычисление с того места, где оно было прервано, что особенно важно при длительных расчетах. Ответы записывались сразу же после того, как они появлялись на счетной доске. Получающееся изображение числа палочками по своему характеру относится к десятичной системе счисления, но цифры с 1 до 9 строятся при помощи сложения — вертикальные палочки обозначали каждую единицу, а горизонтальная палочка обозначала 5. В некоторых источниках приводятся иллюстрации, на которых направление палочек меняется, но палочка, обозначавшая 5, всегда была перпендикулярна единицам — это, несомненно, визуально облегчало процесс счета и ускоряло вычисления. Использование специального символа для 5 перенесено на абаку, которая, похоже, не стала общепринятым инструментом счета вплоть до шестнадцатого века. Как и вавилоняне, китайцы, по-видимому, не имели особого символа для обозначения ноля. При раскладывании счетных палочек, там, где должен быть ноль, оставляли пустое место, но это, похоже, не фиксировалось при записи ответа, и только из контекста можно было понять, был ли ответ, скажем, 18, 108 или 1800. Есть письменное свидетельство — китайский перевод индийского текста, — что в восьмом веке в качестве ноля использовалась точка. Круглый ноль появился намного позже, в тринадцатом веке, равно как и «квадратный» ноль, легко получающийся при работе со счетными палочками.

Извлечение квадратного и кубического корней начинается с определения порядка величины корня путем осмотра, и затем по очереди вычисляется каждая цифра. В примере из «Девяти глав» вычисляется квадратный корень из 71 824. Легко понять, что значение квадратного корня находится между 200 и 300, и потому ясно, что это число из трех знаков — abc — где а равно 2. Таким образом, задача заключается в том, чтобы вычислить значения b и с. Объяснение процедуры вычисления, согласно Лю Хуэю, исходит из геометрии. Квадрат анализируется специфическим способом. Установив, что корень больше 200, мы удаляем из схемы квадрат 200 х 200, оставляя L-образную форму, называемую «гномоном». Затем мы находим максимальное значение десятков, которое вписывается в гномон. Это число 60, и в результате возникает следующий L-образный гномон. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено требуемое решение. Если ответ — не целое число, процесс или продолжается до получения необходимого количества десятичных значений, или остаток дается в виде дроби. Та же самая техника используется для вычисления кубического корня — куб расчленяется аналогичным образом.

Эта геометрическая техника эквивалентна использованию биномиального разложения, числовые коэффициенты которого могут быть выражены тем, что сейчас известно как треугольник Паскаля. Этот алгебраический метод активно применялся в одиннадцатом столетии и, возможно, еще ранее, позволяя китайцам вычислить корень любой n-й степени, какой им было нужно. И снова неясно, был ли треугольник Паскаля получен из индийских источников или открыт самостоятельно. Каждый шаг извлечения квадратного корня требует решения квадратного уравнения. Аналогично извлечение корней более высокого порядка, например кубического корня, требует решения уравнений более высокого порядка, или полиномиалов. Соответственно подобный метод мог использоваться для того, чтобы решить любой полиномиал без применения геометрической структуры гномонов. Как и в других культурах, одного корня было всегда достаточно, и мы не можем сказать, знали ли китайцы о том, что полиномиал мог иметь несколько решений. Уравнения не записывались в терминах переменной воде «х», они выражались только в терминах числовых коэффициентов, которые выкладывались на вычислительной доске. Похоже, китайцев не интересовало, конечно или бесконечно решение, — алгоритм был одинаково эффективен в обоих случаях, и вычисление заканчивалось в тот момент, когда достигалась требуемая точность.

В «Девять глав» также входят задачи, представляющие собой системы линейных уравнений с более чем одним неизвестным. Лю Хуэй заявляет в своем комментарии, что общий метод трудно объяснить без обращения к конкретному примеру. В этом методе коэффициенты системы уравнений представлены счетными палочками, разложенными в виде матрицы. Затем с числами производятся определенные манипуляции, чтобы устранить некоторые из коэффициентов, оставляя явные числовые решения. Это очень похоже на современный метод, известный как Гауссово исключение (по имени математика Карла Фридриха Гаусса), но китайцы не развили идею до вычисления детерминанта матрицы, так что, возможно, более корректно расценивать конфигурацию счетных палочек не как матрицу, а как таблицу.

Есть также важная работа по неопределенным уравнениям, где существует несколько возможных ответов — иногда бесконечное их множество. В книге представлены два типа задач: первая — задача на остаток, вторая известна как «задача о сотне домашних птиц». Задача о сотне домашних птиц в самом разном виде встречается в самых разных уголках средневекового мира — в европейских, арабских и индийских текстах. В «Десяти канонах» сказано, что петушки стоят 5 цянь, курицы — 3 цянь, а 3 цыпленка — 1 цянь. Если 100 птиц куплены за 100 цянь, сколько каких птиц было куплено? Приводятся три решения. Одно из них — 4 петушка, 18 куриц и 78 цыплят. (Есть решение с отсутствующим элементом, когда можно купить 25 куриц и 75 цыплят, но ни одного петушка.) Эти ответы правильные, но объяснение, похоже, неверное.

При описании задачи на остаток приводится и результат, и общий метод, но снова без объяснения. В этой задаче, согласно описанию в «Девяти главах», приобретается неизвестное число предметов. Если посчитать их по три, остается две штуки, если посчитать их по пять штук, остается три, а если считать их по семь штук, остается два. Цель состоит в том, чтобы найти число купленных предметов. Решение скорее методологическое, чем объяснительное. В целом для решения задачи требуется найти наибольший общий сомножитель для чисел 3, 5 и 7. Странно, но в следующий раз эта же задача упоминается только в тринадцатом веке в работе Цинь Цзюшао.

Цинь Цзюшао родился в городе Аньюэ (ныне в провинции Сычуань). Его отец занимал множество различных административных постов, включая должность заместителя директора Дворцовой библиотеки. Цинь Цзюшао изучал астрономию в столице, Ханьчжоу, но в 1234 году вступил в армию, чтобы противостоять монгольским захватчикам. Это были десять тяжелых лет. В 1244 году он вернулся и стал «придворным чиновником с широкими полномочиями» (это высокий титул) в префектуре Цзянькан (ныне Нанкин), однако в том же году Цинь Цзюшао удалился от службы на три года, чтобы оплакать смерть матери. Вероятно, именно в этот период он составил свой труд «Шу шу цзю чжан» («Девять книг по математике»), структура которого напоминает «Десять канонов», но несколько сложнее.

В «Шу шу цзю чжан» описываются методы решения задач индивидуального сравнения и ряда одновременных сравнений, как в случае задачи на остаток. Сравнения, возможно, лучше известны в форме модульной арифметики (арифметические операции над абсолютными значениями чисел). Решения соответствуют тому, что теперь известно как китайская теорема остатка. Цинь Цзюшао утверждает, что он научился этому методу у составителей календарей, работавших в Императорском Астрономическом бюро в Ханьчжоу, но там использовали правило, не понимая его. Это правило было выведено для того, чтобы решить проблему сопоставления различных циклов вроде лунного месяца, солнечного года и искусственного шестидесятеричного цикла. Фактически даже Гаусс, который вновь открыл метод пять столетий спустя, использовал для примера задачи с календарными циклами. Неясно, где Цинь Цзюшао на самом деле узнал это правило. Подлинное новаторство первоклассного математика заключается в выходе за пределы традиции комментариев. Он применил давнюю китайскую вычислительную традицию для решения реальных проблем.

6. Математические сутры

Древнейшие свидетельства о наличии математики в Азии мы видим в следах цивилизации Хараппы, существовавшей в долине Инда; они датируются концом четвертого — началом третьего тысячелетия до нашей эры. Хотя самые ранние документы довольно трудно расшифровать, понятно, что это торговые счета, с весами и размерами, с особой ссылкой на передовую технологию производства кирпичей. Приблизительно в 1500-х годах до нашей эры культура Хараппы была уничтожена захватчиками с севера. Их называли ариями. Они были пастухами, говорили на индоевропейском языке, предшественнике санскрита и многих современных языков. Первая письменная кодификация языка была сделана великим филологом Панини в четвертом веке до нашей эры. Он в одиночку сумел сделать санскрит понятным языком, кодировавшим мысли целого субконтинента в течение более чем двух тысяч лет. Если можно сказать, что греческая математика проистекает из философии, то корни индийской математики уходят в лингвистику.

Самая ранняя ведическая литература прежде всего носит религиозный и церемониальный характер. Наиболее ценны с точки зрения математики — приложения к главным «Ведам», известные как «Веданги». Они записаны в виде сутр — коротких поэтических афоризмов, столь типичных для санскритских текстов, которые стремятся передать содержание в наиболее сжатой и запоминающейся форме. «Веданги» разделены на шесть областей: фонетика, грамматика, этимология, поэзия, астрономия и ритуалы. Последние два предмета дают нам возможность оценить уровень развития математики того времени. Раздел «Веданг», посвященный астрономии, называют «Джьотиша-сутра», в то время как раздел, посвященный ритуалам, носит название «Кальпа-сутра». Одна из его частей, посвященная строительству жертвенных алтарей, называется «Шульба-сутра».

Самый ранний текст «Шульба-сутры» был написан приблизительно в 800–600 годах до нашей эры, еще до кодификации санскрита Панини. Геометрия выросла из потребности соответствовать размеру, форме и ориентации алтарей, определенных в священных текстах «Вед». Абсолютная точность была столь же важна для эффективности ритуала, как и правильное произнесение мантр. Геометрия выражена тремя основными способами: явно сформулированные геометрические теоремы; процедуры, необходимые для того, чтобы строить различные формы алтарей; алгоритмы, связанные с предыдущими двумя группами. Самая важная теорема — теорема Пифагора прямоугольных треугольников.

Один пример иллюстрирует, как теоретические результаты шли бок о бок с практическими задачами. Используя теорему Пифагора, всегда можно построить квадрат, площадь которого равна удвоенной площади заданного квадрата. Но если мы начинаем с двух реальных квадратов, скажем сделанных из ткани, каков самый эффективный способ разрезать их и снова сложить куски так, чтобы составить больший квадрат? Хотя этот тип построения не приводится в «Шульба-сутре» в явном виде, существует свидетельство подобных конкретных способов рассуждения. Один из ключей — приближение, используемое для вычисления √2, которое осуществляется с точностью до пятого десятичного знака: «Увеличьте измерение на треть от него, а эту треть — на четверть от этой трети минус тридцать четвертую часть от этой четверти». Это могло отображать разделение одного из квадратов на подходящие прямоугольники и расположение их вокруг другого квадрата, чтобы построить квадрат двойной площади. Этот подход имеет аналоги в китайской геометрии, а результат очень близок к тому, который получали вавилоняне.

Учитывая выдающееся положение индо-арабских цифр в десятеричной системе со знакоместом, стоит кратко вспомнить раннюю историю индийских цифр. Цифры «кхарошти» можно увидеть на надписях, относящихся к четвертому столетию до нашей эры. В них есть особые символы для единицы и четверки, а также для десяти и двадцати. Числа свыше сотни получаются путем сложения. Самые ранние следы цифр «брахми» относятся к третьему столетию до нашей эры, их можно увидеть на колоннах Ашоки, разбросанных по всей Индии. Это более развитая система, в нее входили специальные символы для чисел, кратных десяти и ста, а также для значений второго десятка. Датировка чисел «бакшали» (по названию города, где они были обнаружены) крайне ненадежна, но если она все же верна, то эти числа, относящиеся к третьему веку нашей эры, — первая известная система с учетом знакоместа, где было специальное обозначение для ноля. Там было всего десять символов, но ими можно было выразить любое число, сколь угодно большое. Цифры «гвалиор» (тоже по названию города) девятого века нашей эры узнаваемо похожи на наши современные, это первое бесспорное появление ноля в индийской надписи, За пределами Индии, но тем не менее в рамках ее культурного влияния мы находим кхмерскую надпись в Камбодже, датированную 683 годом, в которой используется ноль.

Классический период индийской математики начался в середине первого тысячелетия. Большей частью Индии правила династия Гуптов, которые поощряли исследования в области наук и искусств. Математическая деятельность была сконцентрирована в трех центрах: в столице Паталипутре (современная Патна), в Удджайне на севере и в Майсуре на юге. Два самых крупных математика этого периода — это Ариабхата (476–550), автор «Ариабхатии» (499), и Брахмагупта (ок. 598–660), который в 628 году сочинил трактат под названием «Брахма-спхута-сидцханта» («Открытие Вселенной»). Основными задачами, которыми занимались эти ученые, были математическая астрономия и анализ уравнений.

«Ариабхатия» состоит из 123 стихов. Трактат начинается с восхваления богам, а затем в нем описываются алгоритмы для вычисления квадратов, кубов, квадратных и кубических корней. В работе приведены 33 правила по арифметике, алгебре и тригонометрии на плоскости. Семнадцать правил посвящены геометрии, 11 — арифметике и алгебре. В десятом правиле приводится значение π как отношение 62,832:20,000, что эквивалентно 3,1416, — это самое точное значение, вычисленное в то время, и оно останется таковым еще тысячу лет. Трактат включает также таблицу синусов. В отличие от Птолемея, использовавшего в качестве основной меры хорды, индусы использовали полухорды и выражали их в радиусах. Поэтому, за исключением постоянного множителя, индийские синусы намного ближе к нашим современным. Разделив четверть окружности на 24 равные части и начав с нескольких базовых результатов и формул, вроде sin 30° = 1/2, Арьябхата составил таблицу синусов для углов от 3°45′ и выше. Ему также приписывают создание формулы, позволяющей приблизительно оценить синус любого угла без использования таблицы с точностью до нескольких десятичных знаков.

Позже Брахмагупта создал формулу интерполяции, используя арифметический метод разностей, чтобы найти синусы промежуточных углов. В дальнейшем тригонометрию развивали арабы на севере и математики Кералы на юге. Арабы, а затем и западный мир познакомились с индийской математикой и астрономией отчасти благодаря переводу «Брахма-спхута-сиддханты».

Брахмагупта основал ставшую широко известной школу в Удджайне. Его «Брахма-спхута-сиддханта» — самый полный трактат по астрономии того времени. В некоторых разделах этого труда производится анализ неопределенностей, взятых из календарных вычислений и астрономии. Арьябхата решал линейные неопределенные уравнения, используя алгоритм Евклида, описанный в «Началах», — сокращение коэффициентов до тех пор, пока уравнения не будет удобно решать методом проб и ошибок. Брахмагупта приводит алгоритм для решения в целых числах уравнений вида ах^2 ± с = у^2, которые геометрически представляют собой гиперболы. В Европе эта формула получила известность под названием «уравнение Пелля»[6].

Позднее знаменитый индийский математик Бхаскара (Бхаскарачарья) (1114 — ок. 1185) улучшил эти методы, создав «циклический» метод, известный как «чакравала» (метод нахождения наименьшего нетривиального решения). Он привел решение известной задачи — уравнения 61х^2 + 1 =у^2. Это та самая задача, над которой Пьер Ферма бился в семнадцатом столетии и решение которой было найдено Жозефом Луи Лагранжем лишь сто лет спустя. Но даже и в восемнадцатом веке алгоритм «чакравала» был намного более эффективен. Наименьшие решения: х = 226 153 980, у = 1 766 319 049.

Ни в «Ариабхатии», ни в «Брахма-спхута-сиддханте» не доказываются представленные там результаты. Но это не означает, что их авторы не знали доказательств или не понимали, насколько важно продемонстрировать обоснованность приведенных правил. То, что индийские математики осознавали необходимость доказательств, видно хотя бы из того, что Бхаскара отклонил джайнистское приближенное значение π, представленное как √10: хотя и численно близкое, оно не сопровождалось никакими внятными объяснениями. В любом случае индийские математики не ограничивались только лишь представлением методов расчета и результатов, эти результаты проверялись и перепроверялись много раз, что, в свою очередь, способствовало возникновению еще более строгих методик.

Бхаскара из Удджайны был выдающимся математиком. Ему приписывается открытие некоторых понятий из области вычислений, которые стали широко известны намного позже. Трактаты Бхаскары издавались даже в девятнадцатом столетии. Одним из аспектов индийской астрономии было исследование мгновенных движений планет, особенно Луны. Были сделаны удивительно верные расчеты времени затмений, поэтому будущие затмения могли быть предсказаны с невероятной точностью. И Ариабхата, и Брахмагупта использовали для этого одну и ту же формулу, а Бхаскара усовершенствовал метод расчета, выведя то, что можно считать дифференциалом синуса. В его трактате «Сиддханта-широмани» («Венец учения») используется «бесконечно малая» единица измерения — «трути», равная 1/33,750 секунды. По сути, в определенном смысле трактат Бхаскары можно рассматривать как предварение математического анализа, но, похоже, этот «пред-анализ» не рассматривался как самостоятельная тема и не распространялся на другие ветви математики.

Впоследствии Ньютон в своем математическом анализе будет активно использовать бесконечные ряды. Особенно полезным достижением индийской математики была аппроксимация синусов и косинусов полиномами с бесконечным числом членов — работы именно в этом направлении мы можем увидеть у математиков Кералы. После Бхаскары успехи индийской математики были невелики — страну охватил политический хаос. Но юго-западная Индия оставалась в значительной степени защищенной от этих потрясений, так что там математика могла развиваться вплоть до четырнадцатого — семнадцатого веков. Керала была центром морской торговли, туда стекались люди из самых разных стран. Конечно, необходимо более точно изучить историческую роль Кералы в продвижении математических идей, но некоторые результаты указывают на то, что математика там процветала.

Мадхава из Сангамаграма (ок. 1340–1425), известный более поздним астрономам как Голавид, или «Повелитель сфер», был одним из величайших средневековых математиков. Его работы по исследованию бесконечных рядов были утеряны, но постоянно цитировались более поздними авторами вплоть до шестнадцатого века. Многие результаты, которые были названы в честь европейских математиков, возможно, должны были носить имя Мадхавы. Сюда входят разложение синусов и косинусов в бесконечный многочлен, считающееся заслугой Ньютона, а также формулы малоуглового приближения, представляющие собой часть рядов Тейлора. Эти формулы позволяли составлять тригонометрические таблицы с любой желательной точностью; таблицы Мадхавы были составлены с точностью до восьми десятичных знаков. Мы также находим у него бесконечный ряд, выражающий значение числа π. Один пример, приведенный в стихотворной форме, иллюстрирует, как определенные объекты традиционно использовались для того, чтобы обозначить числа и способствовать их последующему вспоминанию:

Боги [33], глаза [2], слоны [8], змеи [8], огни [3], тройка [3], качества [3], веды [4], наксатры [27], слоны [8] и руки [2] — мудрые говорят, что это длина окружности, когда диаметр круга — 900 000 000 000.

Прочтение чисел справа налево и деление получившегося числа на указанный диаметр приводят к значению π с точностью до одиннадцати десятичных знаков. Такое вычисление с использованием бесконечного ряда сразу напоминает о гениальном индийском математике-самоучке из Кералы — Сринивазе Рамануджане (1887–1920), невероятные способности которого позволили ему поступить в Кембриджский университет.

7. Дом Мудрости

В седьмом веке нашей эры на Аравийском полуострове возникла новая монотеистическая религия, которая должна была втиснуться между христианским и персидским мирами. В 622 году пророк Мухаммад бежал из Мекки и нашел прибежище в Медине. Восемь лет спустя он возвратился во главе армии и триумфально вошел в Мекку. Вдохновленные прозрениями Мухаммада, его последователи распространили слово Корана и создали Арабский халифат, который в пору своего расцвета раскинулся от Кордовы до Самарканда. С 661 года империей, со столицей в Дамаске, правила династия Омейядов, но в 750 году они были свергнуты Аббасидами, которые перенесли столицу в Багдад (с 762 года). Омейяды бежали в испанские земли, где создали Кордовский халифат.

Халифы династии Аббасидов стремились построить в Багдаде новую Александрию и основали там астрономическую обсерваторию, библиотеку и исследовательский центр под названием «Байт аль-Хикма» («Дом Мудрости»). Был задуман и осуществлен гигантский проект, согласно которому на арабский язык были переведены все лучшие научные труды того времени, какие только можно было найти. В арабской математике мы можем увидеть влияние вавилонских, индийских и греческих идей. Их синтез и развитие привели к созданию фундаментальных трудов, особенно по алгебре и тригонометрии. Хотя алгебраическая символика, какой мы ее знаем сегодня, — это намного более поздняя европейская разработка, создание алгебраических рассуждений с большой долей вероятности можно приписать арабским математикам. Более ранняя математика нередко могла алгебраически интерпретироваться, но явное признание того факта, что геометрические проблемы могут быть выражены алгебраически, что геометрические процедуры могут быть преобразованы в алгебраические алгоритмы и что алгебраические процедуры могут выйти за рамки своих геометрических корней, — это вклад арабов в математику.

Очень важной работой в истории алгебры был труд Диофанта Александрийского (ок. 200 — ок. 284) «Арифметика». При том, что даты жизни Диофанта, казалось бы, известны, тем не менее до сих пор нет окончательной ясности, к какому столетию следует его отнести, хотя решение математической загадки, которая, по слухам, была начертана на его могиле, указывает на его возраст в момент смерти. «Арифметика» считается новой ветвью греческой математики, она посвящена решению определенных и неопределенных уравнений в числовой форме, независимо от геометрических обоснований. Ограничение на целочисленные решения ныне сформировалось в отдельную ветвь математики, известную как диофантовы уравнения. Примером таких уравнений может служить поиск пифагоровых троек. Диофант также использовал то, что называют синкопированной алгебраической записью, то есть промежуточной стадией между риторической и полностью символической алгеброй. Эта работа была переведена на арабский язык и тщательно изучалась арабскими математиками.

Одним из наиболее значительных арабских математиков был Абу Джафар Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (ок. 783 — ок. 850). По его имени можно понять, что он приехал из Хорезма — города в Средней Азии. Похоже, что большую часть своей жизни ал-Хорезми провел в Багдаде, где занимал должность директора библиотеки недавно основанного там Дома Мудрости. Его трактат по алгебре «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Книга о восполнении и противопоставлении») позднее оказал огромное влияние на развитие математики в Европе. Наше слово «алгебра» возникло от латинской транслитерации слова «ал-джабр». Ал-Хорезми стремился решить практические задачи, возникающие в торговле, при наследовании и в использовании земли. В алгебраических разделах рассматриваются линейные и квадратные уравнения — термины «восполнение» и «противопоставление» относятся к алгебраическим преобразованиям. Ал-Хорезми разделяет квадратные уравнения на шесть различных групп. В арабской математике требовалось, чтобы все коэффициенты и все ответы были положительными, поэтому вместо того, чтобы писать общий вид уравнения ах^2 + bx + с = 0, где х — неизвестная величина, и а, b,с — коэффициенты, что было бы бессмысленным, поскольку сумма положительных элементов никогда не могла быть равна нолю, ал-Хорезми рассматривал уравнения ax^2 + bx = с и ax^2 + с = bx как два различных типа уравнений. Алгебраические решения для каждого типа уравнения приводятся отдельно, они сопровождаются геометрической иллюстрацией, возможно используя работы Евклида, но он также применяет методы, похожие на вавилонские и индийские. Геометрические иллюстрации алгебраических методов пока еще риторические: ал-Хорезми не развил символический язык, но непринужденность, с которой он перемещается между царствами алгебры и геометрии, значительно отличается от греческого стиля математики.

Ко времени ал-Караджи (953-1029) арабские математики пытались освободить алгебру от геометрических рассуждений и превратить ее в общепринятую технику арифметической работы с неизвестными. Выдающийся персидский математик Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн ал-Хусайн ал-Караджи основал очень влиятельную школу алгебры в Багдаде. Его главная работа «Ал-Фахри» содержит учение об алгебраическом исчислении и об определённых и неопределённых уравнениях. Ал-Караджи дал правила для определения суммы арифметической прогрессии, а также суммы квадратов и кубов последовательных чисел, хотя он не сумел определить, что х^0 = 1. Ал-Караджи вывел формулу бинома и привел таблицу биномиальных коэффициентов, известную ныне как треугольник Паскаля, — интересно, что персидский математик пришел к этому индуктивным методом. Его доказательство, строго говоря, нельзя назвать доказательством по индукции, тем не менее это числовая и алгебраическая процедура без ссылки на геометрию.

Ко времени Гиясаддина Абу-ль-Фатха Омара ибн Ибрахим ал-Хайяма Нишапури, более известного как Омар Хайям (1048–1131), турки-сельджуки захватили Багдад и объявили там ортодоксальный мусульманский султанат. После обучения в Нишапурском медресе Хайям в 1070 году оставил эти политически опасные земли и перебрался в относительное спокойствие Самарканда. Хотя он больше известен как поэт и автор рубаи, Хайям главным образом был ученым и философом. Именно в Самарканде он написал свою «Алгебру», самая оригинальная часть которой была посвящена решению кубических уравнений геометрическими средствами. Его открытие состояло в том, что решение кубического уравнения можно было найти путем определения точки пересечения двух конических сечений, с которыми он познакомился, читая перевод труда Аполлония Пергского. Например, уравнение вида х^3 + ах = с решалось как пересечение соответственно построенного круга и параболы. Он разделил по типам кубические уравнения и их решения, создал алгебраические методы для того, чтобы упростить некоторые сложные кубические уравнения до уже известных типов или до более простых квадратных уравнений. Хотя с точки зрения развития алгебры это может показаться шагом назад, многие аспекты делают вклад Хайяма уникальным. Он утверждал, что древние не оставили никаких сведений относительно решения кубических уравнений, так что нам следует предположить, что у него был достаточный доступ к лучшим библиотекам в империи. Хайям также заявлял, что геометрическое решение кубических уравнений не может быть найдено с использованием только циркуля и линейки — доказательство этого факта будет получено только через семьсот лет. Хайям первым сумел понять, что в кубическом уравнении может быть больше одного решения, но не сумел уловить, что их может быть три. Хайям признавал, что его работа не закончена, и искал полное алгебраическое решение кубического уравнения и уравнений более высокого порядка, аналогичное формуле для решения квадратных уравнений. Но это достижение будет сделано только в эпоху итальянского Ренессанса. Аналитическая геометрия Хайяма стала кульминацией арабского сплава алгебраических и геометрических познаний. Затем до Декарта не было сделано практически ни одного серьезного шага.

Арабские математики в основном интересовались астрономией, их достижения в области тригонометрии позволили им построить более точные астрономические таблицы. Исламский календарь был основан на лунных месяцах. Каждый месяц начинался с первого появления лунного месяца после новолуния. Ежедневно, в зависимости от положения Солнца, должны были читаться пять молитв: например, дневная молитва должна происходить в тот момент, когда длина тени, отбрасываемой предметом в полдень, увеличилась на величину, равную высоте самого предмета. Верующий должен произносить молитву, обратившись лицом в направлении Каабы в Мекке. Все три этих правила требовали астрономических знаний и понимания движений планет, а также географии Земли. Поначалу они в основном использовали методы наблюдения, а из греческих и индийских источников пришли таблицы. Арабы значительно улучшили и таблицы, и методы наблюдения, в мечетях в тринадцатом веке работали астрономы, профессионально использовавшие астролябии, секстанты и солнечные часы.

Стало очевидно, что любой шаг вперед в области астрономических вычислений требовал создания более точных тригонометрических таблиц. Давайте оценим это развитие по методам, используемым для вычисления синуса 1°. Были даны определения синуса, косинуса и тангенса, были выведены различные формулы, вроде синуса суммы и разницы двух углов. Общие методы начинали создаваться с тех синусов, которые были точно известны из геометрических вычислений, вроде синуса 60° = √3/2 или синус 30° = 1/2, а затем использовались формулы для уменьшения угла вдвое. Угол последовательно делился пополам, пока не доходил до значения в 1° или становился близок к этому значению. Один из крупнейших математиков и астрономов средневекового Востока Абу-л-Вафа (Абу-л-Вафа Мухаммад ибн Мухаммад ибн Яхья ибн Исмаил ибн Аббас ал-Бузджани) (940–998) начал с известного значения синуса 60° и уже вычисленного значения синуса 72°, и, применяя подходящие формулы, он смог вычислить синус 2°. Используя формулу двойного угла, он постепенно вычислил синус 1°30′ и синус 45'. Поскольку эти два угла достаточно близки, он предполагал, что промежуточные значения будут подчиняться относительно линейным соотношениям и арифметический метод, таким образом, привел бы к необходимому значению синуса 1°. При использовании подобных методов Абу-л-Вафа смог построить полную таблицу синусов, с углами около 1/4°, или 15' в шестидесятеричной системе. Он добился точности в 5 шестидесятеричных знаков или 8 десятичных знаков.

Следующий серьезный шаг был сделан только через триста лет, несмотря на то что теория была полностью разработана. К тому времени Багдад находился уже под властью монголов, которые разорили и разрушили его. Внук Тимура Улугбек (Султан Мухаммед ибн Шахрух ибн Тимур Улугбек Гураган) (1394–1449) — выдающийся астроном и астролог — в 1409 году был объявлен правителем Мавераннахра со столицей в Самарканде. Став правителем державы Тимуридов, Улугбек перенес центр науки в Самарканд. Математик и астроном Ал-Каши (1380–1429), первый директор новой Самаркандской обсерватории, значительно уточнил значения синусов в таблице. Используя формулу синуса тройного угла, он составил кубическое уравнение, чтобы найти синус 1° исходя из синуса 3°. Затем, используя повторяющуюся процедуру, он вычислил синус 1° до 9 шестидесятеричных знаков, что эквивалентно 16 десятичным знакам. Остальную часть таблицы можно было завершить с помощью уже установленных взаимоотношений, однако в любом случае это был феноменальный вычислительный подвиг. Аналогичный метод использовал Иоанн Кеплер двести лет спустя. Помимо увеличения точности вычислений, арабы усовершенствовали астролябию и использовали ее не только как инструмент для астрономических наблюдений, но и как аналоговый калькулятор, с помощью которого определяли время. Впрочем, звезда Багдада уже закатилась. За монгольским завоеванием последовало нашествие оттоманских турок, которые сделали столицей и интеллектуальным центром Стамбул.

…я был лишен возможности систематически заниматься этим делом и даже не мог сосредоточиться на размышлении о нем из-за мешавших мне превратностей судьбы. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых осталась малочисленная, но многострадальная кучка людей. Суровости судьбы в эти времена препятствуют им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть из тех, кто в настоящее время имеет вид ученых, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и притворяясь знающими. Тот запас знаний, которым они обладают, они используют лишь для низменных плотских целей. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек.

Омар Хайям.

Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы (ок. 1070)[7].

8. Семь свободных наук и искусств

В 529 году Юстиниан, римский император и христианин, закрыл языческие философские школы, включая Академию в Афинах. Так подошла к концу тысячелетняя история греческой математики. Многие ученые покинули страну и двинулись на Восток, в более интеллектуально развитую Персидскую империю. За двести лет до этого Константин Великий сделал христианство официальной религией римского мира и переместил административный центр из Рима в Византий, который он переименовал в Новый Рим, Константинополь. Карл Великий, император Священной Римской империи (742/747 или 748–814), впервые объединил в своих руках духовную и светскую власть. В то время Константинополь входил в состав зарождающейся исламской империи, а Багдад был научной столицей известного мира того времени. Как правитель западноевропейской империи, Карл Великий был обеспокоен интеллектуальной неполноценностью христианского мира и стимулировал проведение образовательных реформ, опиравшихся на соборные школы. Отвечал за эти реформы ученый и поэт Алкуин Йоркский (735–804), глава придворной школы Карла Великого в Ахене. Алкуин также разработал каролингское строчное письмо, легшее в основу современных латинских прописных букв. После смерти Карла Великого три его сына перессорились и снова разделили Европу на части. Образование не входило в список их важнейших интересов, но в соборных школах и монастырях все же бился скудный огонек научных знаний.

Список научных дисциплин состоял из семи гуманитарных наук. Учебный план их изучения был расписан еще в римские времена. Список был разделен на «тривиум» — грамматика, риторика и логика, и «квадривиум» — геометрия, арифметика, астрономия и музыка. Можно предположить, что математика была ключевой частью учебного плана, но в действительности уровень знаний был очень низким. Боэций (Аниций Манлий Торкват Северин Боэций) (ок. 480–524) — вероятно, лучший математик римского мира — определил то, что должно было стать стандартными текстами для каждой ветви квадривиума. Его трактат «Наставление в арифметике» был просто сокращенной копией «Введения в арифметику» — последней работы известного неопифагорейца Никомаха Герасского (ок. 60 — ок. 120). «Наставление в геометрии» базировалось на первых четырех книгах Евклида (причем доказательства были исключены). «Наставление в астрономии» представляло собой сильно сокращенную версию «Альмагеста» Птолемея, а «Наставление в музыке» — сборник греческих источников. Казалось, эта программа была разработана для того, чтобы соответствовать минимальным стандартам, а не создать трамплин для движения к новым открытиям. Математика использовалась, главным образом, для того, чтобы обслуживать календарь и вычислять дату Пасхи — обе задачи требовали астрономических знаний. Научная мысль Западной Европы начала возрождаться благодаря проникновению идей через границу между христианским и исламским мирами.

Вдохновленные пророком Мухаммадом и учением Корана, арабы выплеснулись за пределы своего полуострова, стремясь завоевать Персидскую и Восточную Римскую империи. Границы с Западной Европой шли от южной Испании и Сицилии до восточных регионов. Именно в Испании, особенно в городе Толедо, шел интенсивный интеллектуальный диалог между двумя культурами, которые в то же время находились практически в бесконечном конфликте друг с другом. Почти чудо, что удалось достичь такого климата научной терпимости в период, включавший два столетия крестовых походов. Прежде чем в восьмом веке нашей эры арабские войска захватили Толедо, город был столицей вестготов. В конце одиннадцатого века христианские армии отбили Толедо. Кордова стала столицей иберийского арабского государства, и его правители — Омейяды — планировали превзойти управляемый Аббасидами Багдад по блеску и учености. Гранада, столица султаната Насридов, последний оплот ислама на Иберийском полуострове, просуществовала как таковая до 1492 года, когда насридский правитель Мохаммед XII капитулировал перед испанцами и передал город королеве Изабелле Кастильской и королю Фердинанду II Арагонскому, после чего мусульмане и евреи были изгнаны из католической Испании. Однако за предшествовавшие века этот западный форпост арабской империи добился многого и, уж во всяком случае, сравнялся с Багдадом как пристанище искусств и наук. Христианские, мусульманские и еврейские ученые тесно сотрудничали здесь, стремясь свести воедино все наиболее важные научные работы на всех основных языках того времени. Тексты работ переводились с языка на язык, а основными языками науки того времени были арабский, латынь, греческий, еврейский и кастильский. Для Европы то был важнейший период: повторно открывалась утерянная греческая математика, впервые прочитывались оригинальные арабские и индийские математические труды. Космополитический характер Толедо XI–XII веков можно понять, перечислив имена некоторых ведущих ученых того времени: Роберт Честерский, Майкл Скот, Герман Каринтийский, Платон Тиволийский, Евгений Палермский, Рудольф из Брюгге, Иоанн Севильский, Герард Кремонский, Аделард Батский.

Аделард Батский (ок. 1080 — ок. 1160) — вероятно, самый известный переводчик, который тем не менее отсутствует на «доске почета» толедских переводчиков. Считается, что он выучил арабский язык на Сицилии, где столетием раньше власть перешла от арабов к норманнам, однако сохранился дух исламской науки. В 1126 году Аделард перевел с арабского языка на латынь астрономические таблицы ал-Хорезми, а в 1142 году — «Начала» Евклида. Приблизительно в 1155 году он перевел «Альмагест» Птолемея с греческого на латынь. О жизни Аделарда известно очень немного, за исключением того, что он много путешествовал по Франции, Италии и Турции.

Возможно, самым блестящим переводчиком был Герард Кремонский (1114–1187), которому приписывается выполнение более чем 85 переводов. Первоначально он пришел в Толедо, чтобы изучить арабский язык, — Герард хотел прочитать «Альмагест» Птолемея, перевода которого на латынь в то время не существовало. Герард так и остался в Толедо до конца жизни, переводя работы по математике, естественным наукам и медицине. Помимо прочего, он перевел переработанную арабскую версию «Начал» Евклида, выполненную астрономом, математиком и врачом Сабитом ибн Коррой (836–901), усовершенствовав более раннюю работу Аделарда. Первый перевод «Книги о восполнении и противопоставлении» ал-Хорезми был сделан в 1145 году Робертом из Честера. Именно в это время в европейский словарь вошли многие слова, ставшие ныне привычными, часто в результате недопонимания или неправильной транслитерации. Такие слова, как «алгоритм» и «алгебра», были искажением имени ал-Хорезми и слова «ал-джабр» из названия его труда «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала». В полном арабском названии термин «ал-джабр» означает «завершение» и относится к методу удаления отрицательных элементов из уравнения. В тот же период в обиход вошли и другие арабские слова, такие, как «надир», «зенит», «зеро» («ноль») и «цифра».

Вскоре после этого переводы вдохновили людей на поиски новых знаний. Ранние доктрины Церкви впитали в себя значительную дозу платоновской философии, тем не менее в 529 году, спустя девятьсот лет после основания платоновской Академии в Афинах, император Юстиниан закрыл ее из страха распространения языческих воззрений. Приблизительно в то же время логика Аристотеля была бережно сохранена в «тривиуме» Боэция. Учения Платона и Аристотеля были, хотя и по-разному, тесно переплетены с христианским богословием. В результате критическая переоценка греческой науки и философии считалась в некоторых регионах атакой на власть самой Церкви. Аристотель писал работы на самые разные научные темы, включая механику, оптику и биологию. К сожалению, несмотря на то, что он делал особый акцент на наблюдения, многие из его теорий противоречили реальному опыту. Платон же весьма немного писал на темы науки и часто весьма презрительно относился к ее практическим аспектам, однако именно он подчеркивал примат математики при описании Вселенной. Согласно Аристотелю, математика должна была быть подчинена физике. Ситуация еще более усложнялась наличием переводов арабских и греческих работ, которые противоречили друг другу. Выдающимися научными центрами в то время были Париж и Оксфорд, и мы уделим особое внимание движению, известному как Оксфордская школа. Эта школа прежде всего связана с научной деятельностью членов Мертонского колледжа при Оксфордском университете. В возникающем научном подходе математика играла центральную роль.

Начало этой новой философии рационального познания положил Роберт Гроссетест (ок. 1175–1253). Он получил образование в Мертонском колледже, с 1215 по 1221 год был канцлером Оксфордского университета, с 1224 по 1232 год — первым ректором оксфордского францисканского колледжа, а затем стал епископом Линкольна — епархии, к которой относится Оксфорд. Сама по себе математика в значительной степени теологически нейтральна, но сочетание математики и физики бросило серьезный вызов общепринятым космологическим доктринам того времени. Это отлично иллюстрирует средневековая оптика. Гроссетест демонстрирует некоторую симпатию к идеям неоплатонизма, вследствие важности, которую он приписывает свету как основе всей Вселенной. Он создал космологическую теорию, напоминающую нашу концепцию Большого взрыва, согласно которой Вселенная началась как вспышка света и, расширяясь, уплотнилась до материи. В основном Гроссетест был последователем таких арабских авторов, как, например, Ибн ал-Хайсам (965–1039, возможно, более известна латинизированная версия его имени — Альхазен), и отдавал предпочтение грекам — главным образом, конечно, Аристотелю. Он утверждал, что свет — это пульсация материи, распространяющаяся в воздухе по прямой линии подобно тому, как распространяется звук. И свет, и звук двигаются с постоянной скоростью, но ясно, что свет движется быстрее. Гроссетест экспериментировал с линзами и описал их использование для увеличения предметов. Арабы делали линзы в одиннадцатом веке, а в тринадцатом веке в северной Италии уже умели изготовлять очки, хотя и не очень хорошего качества. Гроссетест считал, что радуга создается облаком, работающим как линза, поскольку свет дважды преломляется, входя в облако и выходя из него, — в отличие от Аристотеля, который полагал, что радуга возникает за счет отражения света от капелек воды. Самый знаменитый ученик Гроссетеста — Роджер Бэкон (ок. 1214 — после 1294) — пошел еще дальше. Он изучал видимый центр радуги, ее диаметр и пространственные отношения с Солнцем и наблюдателем. Более того, Бэкон считал, что радуга создается за счет внутреннего преломления в каждой капельке воды, а не во всем облаке. В трудах Бэкона, который в свое время был известен как «удивительный доктор» (doctor mirabilis), рассматривается широкий спектр математических и естественно-научных вопросов. Его рассуждения о подводных лодках и самолетах можно сравнить со значительно более поздними трудами Леонардо да Винчи (1452–1519). В конце тринадцатого века немецкий монах Теодорих (Дитрих, Тьерри) Фрейбургский (ок. 1250 — ок. 1310) экспериментировал со сферическими стеклянными флягами, заполненными водой, и хрустальными шарами, пытаясь смоделировать капли воды. Его наблюдения привели к теории внутреннего преломления света и расщепления света на цветные лучи внутри капли воды или в стекле. Сейчас эта теория обычно приписывается Рене Декарту, но мы можем видеть, что за триста лет до Декарта ученые Средневековья достигли огромных успехов в оптике.

В некоторых регионах звезда Аристотеля начала гаснуть. Роджер Бэкон писал: «Если бы я имел власть, то сжег бы все работы Аристотеля». Он видел в них тормоз на пути прогресса из-за чрезмерной самоуверенности Аристотеля, предпочтения философских догм наблюдению и опыту. Его откровенные и решительные идеи привели его в тюрьму, что в ту эпоху нередко происходило и с другими интеллектуалами. Уильям Оккам (ок. 1285–1349) продолжал нападать на Аристотеля, утверждая, что богословие и натурфилософия должны быть отделены друг от друга, поскольку первая имеет дело со знанием, полученным в результате откровения, а вторая — на основании опыта. То, что теперь известно как «бритва Оккама», было уже заявлено Гроссетестом — это философия, согласно которой в науке нужно искать самое простое решение, соответствующее фактам. Богословие и схоластическая философия стремились объяснить физическую действительность посредством дедуктивной системы, основанной на чистых предположениях. Средневековые ученые искали индуктивный переход от экспериментальных данных к физической гипотезе, который, будучи выраженным на языке математики, позволил бы вывести следствия, поддающиеся проверке. Можно увидеть, что эти средневековые ученые предпринимали колоссальные усилия, чтобы создать реальную эмпирическую философию.

Уильям из Оккама умер преждевременно в 1349 году от чумы — Черной смерти, которая неистовствовала по всей Европе. Неясно, чума была виновата в угасании математики и естественных наук, или их погубило убеждение церковников, что эта напасть была наказанием за непокорство и свободный дух. Какой бы ни была причина случившегося, но средневековая наука была пресечена в корне, и потребовалось еще двести лет, прежде чем она снова смогла расцвести.

9. Перспектива в эпоху Возрождения

Очень много писалось об итальянском Ренессансе как о периоде, определившем направление европейского сознания. Пробуждение интереса к классическим наукам соединилось с желанием выйти за пределы простого подражания и изучить новые стили, новые идеи и новые направления исследования. Этот новый путь отлично иллюстрирует взаимодействие между искусством и геометрией, и, в частности, использование перспективы. Натурализм Ренессанса был заметен в искусстве еще до того, как исследование перспективы принесло свои плоды, но перспектива усилила реалистичность изображения, формально включив точку зрения зрителя в ткань живописи. Перспектива была также очень важна для архитекторов. Возрождение классического стиля в архитектуре в значительной степени основывалось на трактате римского архитектора и инженера Марка Витрувия Поллиона (ок. 80/70 до н. э. — после 15 н. э.) «Десять книг об архитектуре» и возобновившемся интересе к изучению оставшихся классических зданий. Одними из первых авторов, писавших о перспективе, были великий итальянский архитектор Филиппо Брунеллески (1377–1446) и итальянский же ученый Леон Баттиста Альберти (1404–1472), которые соединили практическую математику каменщиков и архитекторов с геометрическими построениями, однако считается, что первым трудом, посвященным вопросам перспективы и предназначенным для живописцев, был математический трактат «О перспективе в живописи» итальянского художника и теоретика Пьеро делла Франчески (ок. 1415–1492).

Пьеро делла Франческа был сыном торговца из Борго-Сан-Сеполькро, городка под Флоренцией, и, вероятно, чтобы занять место в семейном бизнесе, изучал математику в одной из многочисленных школ практической математики, которые возникали в Италии в то время. Он выказал большой талант и, возможно, стал бы математиком, специализирующимся на задачах из области торговли, но вместо этого решил пойти в обучение к местному художнику. Уникальная комбинация его навыков сделала Пьеро одним из немногих людей, упоминающихся одновременно в анналах как искусства, так и математики. Скорее всего, он провел некоторое, очень короткое время во Флоренции, и большинство его известных работ находили в небольших городках вроде Урбино. До нас дошли только три его трактата, причем не известны ни точные даты их написания, ни их оригинальные названия. Прежде чем мы обратимся к его работе о вопросах перспективы, стоит упомянуть одно новшество в геометрии. Считается, что Пьеро вновь открыл пять из архимедовых тел, которые называются так потому, что в четвертом веке нашей эры математик Папп Александрийский (ок. 290 — ок. 350) приписал их открытие Архимеду. В работе Иоганна Кеплера 1619 года приводятся тринадцать архимедовых тел — в это число входят и пять Платоновых тел. Пять архимедовых тел строятся путем усечения ребер Платоновых тел. До Пьеро эти фигуры описывались риторически — просто заявлялось об использовании необходимых многоугольников, — но Пьеро описывает их построение и изображает его. Не все фигуры изображались с правильной перспективой, однако это был огромный шаг вперед в то время, когда в работах по практической геометрии фигуры нередко иллюстрировались схематично, например, конус изображался как треугольник, стоящий поверх круга. Работа Пьеро была использована в трактате итальянского математика Луки Пачоли (1445–1517) «О божественной пропорции», изданном в Венеции в 1508 году. В трактат были включены иллюстрации друга Пачоли — Леонардо да Винчи — и рисунок шестого архимедова тела — ромбокубоктаэдра.

Рукопись дела Франчески «О перспективе в живописи» сохранилась до наших дней. Трактат был написан Пьеро как на латыни, так и на тосканском диалекте. Во введении сказано, что в нем объясняется только использование перспективы живописцами. Но Пьеро и его современники видели в правилах перспективы часть более общей науки — оптики. Речь идет не только о создании натуралистических картин — дело в том, что, для того чтобы картины выглядели естественно, они должны подчиняться правилам, объясняющим, как глаз видит мир. Таким образом, глаз наблюдателя — центр всей работы. Если на картине изображается сценка, увиденная в окно, существует только одна точка в пространстве, с которой зритель может видеть ее правильно. Глаза зрителя должны располагаться на той же высоте, что и горизонт картины, и фокусироваться на точке схода. Трансверсали, которые помогают в построении изображений объектов с учетом перспективы, сходятся в одной точке на горизонте. Обычно эта точка находится за рамками изображения, и расстояние между этой точкой и точкой схода — оптимальное расстояние от холста, с которого следует рассматривать картину. Трактат «О перспективе в живописи» написан на манер «Начал» Евклида, в виде теорем и их доказательств. Пьеро представляет множество конструкций, отображающих реальные «идеальные фигуры» на плоскость картины, таким образом, создавая «ухудшенные» фигуры, которые должны быть изображены на холсте, с линиями взгляда, сходящимися в глазу зрителя. Он использует квадратные плитки мощеного пола — pavimento, — чтобы показать, как плитки, более удаленные от зрителя, выглядят в перспективе с увеличением расстояния. Затем он рассматривает другие многоугольники, приводя как их надлежащую форму, так и их «ухудшенные», искаженные формы. Далее Пьеро рассматривает призмы, от куба до различных форм колонн, например шестиугольную призму, и показывает, как длинный ряд колонн выглядел бы с учетом перспективы. Он заканчивает рядом изображений человеческой головы с множества различных точек зрения.

Работа Пьеро позднее использовалась живописцами и архитекторами, а также художниками-декораторами в театрах. На картинах той эпохи уже использовался эффект перспективы. Мы видим, что он использовался и до Пьеро, на таких картинах, как «Благовещение» (ок. 1445–1447) Доменико Венециано (1410–1461) и «Битва при Сан Романо» (1456–1460) Паоло Уччелло (1397–1475). Мы видим его на картине Пьеро «Бичевание Христа» (1469), которую можно считать практическим воплощением его трактата, но на его же фреске «Благовещение» (1464) мы видим, что фигуры святых намного больше, чем они были бы в случае реалистической живописи, — художник сделал это, чтобы подчеркнуть важность святых. Микеланджело утверждал, что мало обращал внимания на математическую точность, потому что «циркуль — в глазах, не в руке, ибо руки работают, а глаз оценивает». Однако Сикстинская капелла расписана в строгом соответствии с перспективой; и в «Страшном суде» Микеланджело сделал фигуры в верхней части картины намного большими, чем фигуры внизу, заранее предположив: они будут рассматриваться с большего расстояния, — цель не очевидная, если смотреть на фреску как на изображение в книге. Хотя художники очень быстро изучили эту новую технику, они не жертвовали живописностью в угоду математической точности.

В шестнадцатом веке о Пьеро помнили уже скорее как о математике, чем как о художнике. В эпоху Ренессанса его трактат не издавался, но циркулировал в форме рукописи, а содержание работы часто цитировалось в публикациях других авторов. Однако многие его построения самых сложных фигур было трудно повторить, и содержащие их разделы — наиболее трудные для понимания — часто опускались. Однако возрастал интерес к измерительным инструментам, подобным тем, которыми пользуются землемеры, — они помогали художникам изображать предметы в перспективе. В трактате Альбрехта Дюрера «Руководство к измерению циркулем и линейкой» изображено множество таких инструментов. В большинстве из них натянутая веревка представляла собой линию взгляда, упирающуюся в рамку с подвижным перекрестьем нитей; изображение при этом наращивалось точка за точкой. Художник мог также рассматривать сцену через квадратную сетку, которая действовала наподобие системы координат. Такое устройство уже использовалось и ранее — как способ привести рисунок к определенному масштабу, перед тем как наносить краски.

Альбрехт Дюрер (1471–1528) был одним из восьми детей, рожденных в Нюрнберге в венгерской семье. По всей видимости, он должен был, как и его отец, заниматься торговлей украшениями. Однако к тринадцати Альбрехт проявил себя как очень хороший художник. Позднее он был направлен на учебу к нюрнберскому живописцу и граверу Михаэлю Вольгемуту (1434–1519), и Альбрехт освоил не только живопись, но и гравирование по дереву и меди. В начале 1490-х годов Дюрер предпринял путешествие по Германии, Швейцарии и Нидерландам и начал разрабатывать планы создания нового искусства, основанного на математике. После возвращения в Нюрнберг он принялся изучать работы Евклида, Витрувия, Пачоли и Альберти. Позднее Дюрер даже посетил Пачоли в Болонье и планировал сам написать крупный труд по вопросам математики и искусства. Ко времени создания его известной гравюры «Меланхолия» (1514) он был уже известным мастером. Дюрер получал очень хорошие заказы от курфюрста Саксонии Фридриха Мудрого и от императора Священной Римской империи Максимилиана I, владел процветающей печатной компанией. В 1523 году он уже закончил свой трактат «Четыре книги о пропорциях» (издан в 1528 году), но посчитал его математическую составляющую слишком сложной для читателей и потому приступил к редактированию и сокращению своего труда. В результате получилось более легко читаемое «Руководство к измерению циркулем и линейкой», которое Дюрер издал в 1525 году. Если не считать книг о применении арифметики в торговле, которые уже выходили к тому времени, это была первая книга по математике, напечатанная на немецком языке, что сделало Дюрера одним из крупнейших математиков эпохи Возрождения. Работа по большей части охватывала проблемы планиметрии и стереометрии, включая методы построения фигур. Один из ее разделов был посвящен перспективе. Значительная часть работы отдана изображению пространственных фигур в плане и в проекциях — это та ветвь математики, которая ныне носит название начертательной геометрии, — а также решению практических задач, стоявших перед архитекторами и инженерами.

Брак начертательной геометрии с коническими сечениями — рассечениями конуса, которые создают фигуры вроде круга, эллипса и параболы, — привел к рождению другой новой ветви математики — проективной геометрии. Математик и военный инженер Жерар Дезарг (1591–1661) из Лиона за свою жизнь опубликовал немного работ, однако он был в курсе математических событий, узнавая о них от физика и философа Марена Мерсенна, который вел обширную переписку с выдающимися учеными того времени — Галилеем, Декартом, Паскалем, Ферма и многими другими. В 1639 году Дезарг издал брошюру с забавным названием «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью». Читать этот текст было очень тяжело, поэтому было напечатано только пятьдесят экземпляров, которые Дезарг раздал знакомым.

Основой начертательной геометрии был тот факт, что с точки зрения зрителя «идеальные» и «ухудшенные» фигуры кажутся одинаковыми. Распространение этого результата за пределы плоскости живописи означает, что исходное изображение может быть спроецировано на бесконечное число плоскостей и все еще казаться неподвижному наблюдателю неизменным. Дезарг изучал, какие свойства фигур оставались неизменными, или инвариантными, при таких проективных преобразованиях. Одним из его достижений было объединение конических сечений — он рассматривал их как проективные преобразования круга, движущегося по световому конусу. Наклонный круг действительно становился эллипсом.

Красота этого подхода заключается в том, что, сформулировав теорему для одного конического сечения, скажем для круга, можно было просто выполнить соответственную проекцию и перетолковать теорему. Однако достижением Дезарга было скорее развитие нового метода, чем создание новаторских теорем. В то же время алгебраическая геометрия Декарта оказалась таким мощным инструментом, что сам Декарт высказал предположение: не исключено, работа Дезарга станет несколько более ясной, если ее перевести на язык алгебры. Позднее Декарт признал, что, возможно, это была придирка к стилю, а не к содержанию. Однако математика того времени двигалась совсем в ином направлении, и работа Дезарга затерялась. И его проективная геометрия, и начертательная геометрия Дюрера возродились позднее, в начале девятнадцатого столетия, уже на надежной математической основе.

Когда великие и искусные художники созерцают свои столь нелепые творения, можно заслуженно высмеивать слепоту этих людей. Нет ничего столь ненавистного, как картины, написанные хотя и с большим усердием, но без наличия технических познаний. Ныне же единственная причина, почему подобные живописцы не знают о своей ошибке, заключается в том, что они не изучали геометрию, без которой никто не может быть совершенным художником, но вина за это должна быть возложена на их учителей, которые сами не осведомлены в этом искусстве.

Альбрехт Дюрер.

Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах, составленное Альбрехтом Дюрером и напечатанное на пользу всем любящим знания с надлежащими рисунками в 1525 году.

(Из Посвящения Пиркгеймеру)[8].

10. Математика для общего блага

Шестнадцатый век в Европе отмечен обещанием бесконечных возможностей. В предшествующие два столетия континент сотрясался различными бедствиями, как природными, так и созданными руками человека: в середине четырнадцатого столетия Черная смерть выкосила фактически половину населения, не обращая внимания на социальный статус и богатство, закончилась Столетняя война между Англией и Францией, вымотав население этих двух стран и физически, и морально. В 1453 году под ударами оттоманских турок пал Константинополь, что стало концом Византийской империи. Одновременно мы можем увидеть расцвет итальянского Ренессанса и гуманистических традиций, сочетание почтения к античности со вновь открытой верой в личную свободу и образование. Изобретение печати и гравюры означало, что новые идеи могли распространяться шире, чем было возможно до этого. Европа с интересом смотрела на остальной мир, увеличивалось количество заморских путешествий, открытий, завоеваний, расширялась торговля. Но навигация требовала точных карт морей и неба, торговля нуждалась в эффективной бухгалтерии — в то время все это было практически не развито. Алгебра, тригонометрия, начертательная геометрия, логарифмы и исчисление — все это либо появилось впервые, либо активно развивалось. Прежде чем повести рассказ об этих достижениях, стоит сказать о возрастающем в то время статусе математики.

Как мы уже видели ранее, математика была неотъемлемой частью обучения в монастырях, она входила в квадривиум, состоящий из арифметики, геометрии, гармонии и астрономии. Но рабское почтение к древним текстам и тесные границы требований к математике духовных властей ограничивало то, что можно было достичь в рамках этой схоластической традиции. Термин «mathematicus» использовался для того, чтобы обозначить или математика, или астролога (Кеплер жаловался, что получал гораздо больший доход от вычисления астрологических диаграмм, чем от своей работы астронома). Хотя в то время не было пока такого явления, как профессиональный математик, экономический рост в Европе создал потребность в большом количестве людей, обученных вычислениям, которые могли заниматься финансовыми и коммерческими расчетами. Эти должности занимали люди не из университетов, а из гильдий и ремесленных цехов. В эпоху Ренессанса сыновья торговцев получали образование, изучая элементарную математику в школах или цехах. Именно там стало очень популярным использование индо-арабских цифр.

Новые числа пришли в Европу в двенадцатом веке вместе с переводами на латынь из арабских текстов. В 1202 году увидела свет «Книга аббака» (Liber abbaci) Леонардо Пизанского (ок. 1170 — ок. 1250), известного также как Фибоначчи. Теперь эту книгу считают поворотной вехой в истории математики, но в то время она была намного менее популярной, чем достаточно простая книга «Алгоритм» математика и астронома Джона Холивуда (Халифакса) (ок. 1195 — ок. 1256), более известного как Сакробоско. Название Liber abbaci, к сожалению, скорее вводит в заблуждение. Термин abbacus, с двумя b, относится к методам вычисления, в которых используются новые цифры, и не имеет никакого отношения к вычислительному устройству, известному как «абака». Действительно, существовала конкуренция между сторонниками двух форм вычисления, и лучше использовать термин «алгоритмист» для того, кто использовал технику abbacus, и «мастер абаки» для обозначения человека, который все еще предпочитал абаку или счетную доску. Математика, опытного в использовании техники abbacus, называли maestro d’abbaco — «мастером аббака».

В «Книге аббака» Фибоначчи отвел значительное место коммерческой математике. В международной торговле коммерсантам приходилось иметь дело со множеством различных систем мер и весов, осуществлять сделки в различных валютах, и им нужны были эффективные методы вычислений, чтобы избежать серьезных ошибок. В 1494 году Лука Пачоли издал свой труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», ныне известный как первая работа о методах бухгалтерии, например о двойной бухгалтерии[9], но это также был свод полезных математических методов того периода, включая приемы из области арифметики, алгебры и геометрии. За шестнадцать лет до этого, в 1478 году, в Тревизо был анонимно напечатан самый ранний учебник по арифметике. В то время нотация была все еще неустойчивой, дроби по-прежнему записывались в шестидесятеричной нотации или в виде дробных единиц. В шестнадцатом веке стали популярны десятичные дроби, хотя шестидесятеричная запись сохранилась в астрономических вычислениях, а Джон Непер[10] сделал популярной десятичную точку.

Возникла тенденция писать учебники по математике на местном языке, а не на латыни, что делало их более доступными для обычных людей, хотя одновременно препятствовало их распространению вследствие языковых барьеров. Германский математик, выдающийся учитель арифметики Адам Ризе (1492–1559) повлиял на распространение индо-арабских цифр на территориях, где говорили на немецком языке. Уэльский врач и математик Роберт Рекорд (ок. 1510–1558) был, по-видимому, первым популяризатором математики. Он написал самые ранние учебники по математике на английском языке, и его работа «Основа искусств» (ок. 1540), посвященная арифметике, переиздавалась больше ста пятидесяти лет. Большинство книг Рекорда были написаны в форме диалога, в них входили схемы и примеры, помогавшие ему в педагогической деятельности, — в каком-то смысле он был первым ведущим первого в истории курса «дистанционного обучения». Наиболее известная его работа — книга «Точильный камень мудрости» (1557). Это учебник по элементарной алгебре, в котором мы находим первое использование = — знака равенства.

Как торговцы садятся на корабли, чтобы обрести огромные богатства,

Так и я мог бы с полным правом на встать на их место. Корабли в море, те, что с парусами и драгоценной рудой,

Были впервые созданы и с тех пор делаются

благодаря познаниям в практической геометрии. Их компас, их карты, их блоки, их якоря Были созданы с помощью практических навыков мудрых геометров.

Плотники, резчики по камню, столяры и каменщики, Живописцы, иллюстраторы рукописей, если уж они этим занимаются,

Вышивальщицы, золотых дел мастера, если они хотят быть искусны в своих ремеслах,

Должны применять геометрию при обучении мастерству.

Хорошие и точные карты, а также межи между полями Можно сделать только с использованием геометрии.

И она также нужна Портным и обувщикам, что бы они ни делали,

Их работу не похвалят, если не соблюдены правильные пропорции.

Ткачи используют геометрию при создании тканей, Их ткацкий станок — устройство, созданное удивительным воображением.

Гончарный круг, который вращается, жернов, который вращается,

Мельница, что мелет зерно, приводимая в действие ветром или водой, —

Их работа стала возможной благодаря геометрическим расчетам.

Немногие смогли бы сделать такие же устройства, если бы эти еще не были изобретены.

И все, что требует для изготовления измерений веса или размеров,

Не может быть надежно сделано без знания геометрии.

Часы, измеряющие время, — это самое хитроумное устройство Из всех, что когда-либо выведал человек.

Теперь, когда они стали обычными, их не ценят, на мастерство часовщика смотрят свысока, его работа не вознаграждается.

Но поскольку они были созданы с помощью геометрии, то люди должны знать:

Нет искусства более изумительного и мудрого, а также более нужного людям, чем добрая геометрия.

Роберт Рекорд, из книги «Путь к знанию» (1551)[11]

В этом стихотворении мы можем обнаружить два противоположных взгляда на математику, сохранившиеся и в более позднее время: математика как прикладная наука и как исследование, осуществляемое органами чувств. Рекорд всегда оставался верен поиску истины, несмотря ни на какие авторитеты. Он считал математику благородным искусством, призванным искать и открывать подлинные знания. По-видимому, такое отношение к науке разделяли не все, потому что, хотя он занимал пост управляющего Королевского монетного двора и был к тому же Генеральным контролером шахт и денежного обращения в Ирландии, Рекорд провел последние дни своей жизни в тюрьме, скорее всего, в результате политического доноса.

У современника и коллеги Рекорда, Джона Ди (1527–1609), была похожая успешная карьера, закончившаяся не менее головокружительным падением. Они оба были консультантами в Московской компании, где занимались вопросами навигации и картографии. В 1577 году Ди опубликовал книгу «Искусство навигации». Но больше всего его занимали оккультные науки, на которые в Елизаветинскую эпоху был направлен основной научный интерес ввиду распространения неоплатонических традиций Ренессанса. Ди изучал каббалу и алхимию. Он занимал пост Королевского астролога при королеве Елизавете I, составлял гороскопы и давал советы относительно календарных реформ. Но, вследствие его репутации при дворе, он одновременно вызывал восторженное восхищение и страх, и, хотя он был советником Елизаветы с тех времен, когда она еще не была королевой, Ди понимал, что его враги не дремлют. Он часто чувствовал необходимость публичной защиты, старательно доказывая всем, что его исследования направлены на пользу государства. Действительно, по возвращении из путешествий по Европе ему обещали пенсию, но он так никогда и не получил ее и умер в бедности в 1608 году. В предисловии к «Началам» Евклида в переводе Генри Биллингсли, который позже стал лорд-мэром Лондона, Ди провозгласил неоценимое значение математики. Эта книга была первым академическим выпуском «Начал» на английском языке, и, вероятно, ее отредактировал сам Ди.

Джон Непер был не профессиональным математиком, а богатым помещиком, шотландским бароном (восьмым лэрдом Мерчистона), и большую часть жизни занимался управлением своим поместьем. Однако он находил время и для того, чтобы писать труды на самые разные темы, и даже был втянут в антипапские богословские дебаты. Хотя к тому времени уже активно использовались индо-арабские цифры, тем не менее вычисления выполнялись с помощью ручки и бумаги, и люди искали способы ускорить порой очень длинные процедуры вычислений. Неперу приписывают два изобретения, которые очень облегчили вычисления, — кости Непера и логарифмы. Кости Непера, также известные как палочки Непера, — это прутки, на которых были вырезаны таблицы умножения. Они могли быть разложены в виде решетки так, чтобы можно было быстро произвести любое громоздкое умножение. Палочки, по существу, превращали длинное умножение в простые сложения. Изобретение логарифмов также было навеяно жгучим желанием ускорить вычисления. Сам термин был придуман Непером и представляет собой слияние слов logos («слово, пропорция») и arithmos («число»). Многих математиков поражали взаимоотношения между арифметическими и геометрическими рядами и то, что вычисление произведения двух степеней может быть сокращено до вычисления суммы степеней. Открытие Непера заключалось в том, что оно могло относиться к любым степеням, и он составил таблицу логарифмов Непера, которая была опубликована в 1614 году в его книге «Описание удивительной таблицы логарифмов» (на латинском языке).

В исходном рассуждении он не использует основание системы счисления: вместо этого он делит числовую ось до 10^7, получая части, которые дают вполне удовлетворительный результат для большинства вычислений. Затем он определил отношение: N = 10^7 (0,9 999 999) L, где L — логарифм N. При этом логарифм 10^7 = 0, логарифм 9 999 999 = 1. Промежуточные значения варьируются от 0 до 1. В его таблицах описаны скорее логарифмы тригонометрических функций, чем натуральных чисел, что отражает раздражавшие его проблемы с утомительными вычислениями, необходимыми в астрономии и навигации. Одним из больших поклонников Непера был Генри Бриггс, первый савильянский профессор геометрии в Оксфорде (иначе говоря, первый профессор Савильянской кафедры геометрии, учрежденной в Оксфордском университете в 1619 году). Они оба пришли к выводу, что можно построить более практичную таблицу, задав соответствие log 1 = 0 и log 10 = 1. Но в 1617 году Непер умер, и именно Бриггсу выпало составить первую таблицу логарифмов с основанием 10, которая служит основой для той таблицы, что мы знаем теперь. Эта таблица была составлена для чисел от 1 до 1000; в 1624 году Бриггс расширил ее до 100 000. Оба набора логарифмов были вычислены до 14 десятичных знаков. Преимущество наличия фиксированного основания заключалось в том, что удаление из вычислений множителя 10^7 продемонстрировало фундаментальное правило логарифмов — логарифм произведения двух чисел равен сумме отдельных логарифмов. Сегодняшние калькуляторы сделали ненужными таблицы логарифмов, тригонометрических функций и обратных чисел, равно как и логарифмические линейки, но в то время таблицы Бриггса считались замечательным бытовым прибором, существенно ускоряющим и облегчающим вычисления. Штурманы на кораблях, которые должны были постоянно высчитывать синусы и косинусы, увидели, что привычная для них задача умножения двух семизначных чисел сократилась до обращения к логарифмам, выполнения одного сложения, а затем повторного обращения к таблице, где обратный логарифм даст необходимый ответ. Прежде, когда вычисление могло занять целый час, полученный ответ на целый час отличался от положения корабля в настоящий момент. Теперь вычисления сократились всего до нескольких минут.

Фрэнсис Бэкон (1561–1626) не был ни математиком, ни ученым и все же, как и Платон, имел огромное влияние на философию науки. Во времена господства королевы Елизаветы он был членом палаты общин и одним из советников королевы, хотя без соответствующих полномочий. Его карьера резко пошла в гору после вступления на престол короля Якова I. Он последовательно занимал ряд весьма влиятельных постов. Самым значительным его карьерным достижением было получение в 1618 году поста лорд-канцлера. Во времена, когда покровительство и раздача постов своим людям были совершенно обычным явлением, кажется странным, что в 1621 году Бэкона привлекли к ответственности за взяточничество. Несмотря на это, Яков I продолжал платить ему пенсию, и отставка, похоже, больше ударила по гордости Бэкона, чем по его карману. Его публикации инициировали процесс, благодаря которому натурфилософия стала важной темой как для правительства, так и для Короны. Его труды «О достоинстве и приумножении наук» (1605) и «Великое восстановление наук. Новый Органон» (1620) были посвящены Якову I и служили призывом к королю стать покровителем науки. Труды Бэкона повлияли на более поздних ученых вроде Ньютона и Галлея, которым приписывается честь быть английским краеугольным камнем научной революции, духовной основой создания Королевского общества. Его положение также означало, что наука получила мощного защитника с политическим и финансовым влиянием. Знание было силой, и наука стала цениться как двигатель к дальнейшему процветанию, ко Всеобщему Благу, представление о котором Бэкон ввел в своем труде «Новый органон». Взгляды Бэкона на математику были чрезмерно прагматичными — он считал математику языком науки и инструментом, находящимся в ее распоряжении. Но он также обладал достаточной скромностью и предвидением, предсказав, что математика — не статичная дисциплина и наверняка будут возникать новые ветви этой науки. Использование математики торговцами, навигаторами и учеными считалось зримой помощью для создания большего богатства нации. Развитие математики больше не было заботой всего лишь нескольких ученых, это был набат, который услышали практически все.

Если начинать знакомить дитя с числами с той

минуты, когда оно лишь пробует лепетать,

это, возможно, не обогатит государство, отдельного

человека или ребенка,

но послужит пополнению копилки мудрости всего

человечества.

Числа есть повсюду — от важнейших деяний

до мелких дел,

Так что тот, у кого нет навыков счета, может быть

уподоблен животному:

Ведь что может быть более скотоподобным,

чем нежелание людей

Изучать искусство, которое должно помочь им

намного превзойти всех остальных тварей.

Неумение считать отбрасывает человека к его

изначальному состоянию.

Умение считать — это (почти) все, что отделяет

человека от животного,

Каждому мужчине необходимо научиться считать.

Нужно постичь это искусство,

Если ты решил стать военным или тебя ждут

при дворе,

На службе или в деревне, где ты обитаешь, или

если ты решил

посвятить дни своей жизни физике, философии либо

изучению законов,

будь уверен, что без этого искусства ты никогда

не сможешь добиться успеха.

Я не сказал еще об астрономии, а также о геометрии,

космографии, географии и многом другом,

О музыке с ее приятными мелодиями, то есть

обо всем, что, не изучив искусство счета,

Ты никогда не сможешь постичь ни полностью,

ни даже частично.

Не зная чисел, ты не сможешь также быть аудитором

или сделать правильные наблюдения,

Произвести правильные подсчеты.

Если ты хочешь быть торговцем, не расставайся

с этой книгой,

И ты найдешь в ней необходимые тебе правила,

любые, какие только пожелаешь.

Если ты всего лишь ремесленник, даже тогда ты

найдешь здесь такие вещи,

Которые сослужат тебе добрую службу и обогатят

твой разум.

Даже если ты пастух, тебе будет довольно трудно

Выполнять свои обязанности без помощи чисел.

Чтобы перечислить все выгоды, которые числа

приносят человеку,

здесь пришлось бы потратить очень много места,

намного больше, чем я могу сделать.

Вот почему я говорю только одно и отбрасываю все

остальное:

без этого искусства человек — не человек,

а каменный валун.

Томас Хиллес.

Искусство обыкновенной арифметики (1592)[12]

11. Бракосочетание алгебры и геометрии

Начиная со времен древней Греции математика была раздроблена на две основных ветви — геометрию и арифметику. Первая оперировала размерами, вторая — числами. Но между ними никогда не существовало полного разрыва — мы видели, как в разных культурах одна ветвь порой развивалась быстрее и активнее, чем другая, в зависимости от конкретных нужд и обстоятельств. Развитие алгебры и ее взаимоотношений с геометрией можно проиллюстрировать с помощью истории решения кубического уравнения, которое сегодня записывается так: ах^3 + bx^2 + сх + d = 0.

Слово «аль-джабр» («восстановление») взято из заглавия алгебраического трактата ал-Хорезми «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Книга о восполнении и противопоставлении») (см. Главу 7), именно от него происходит название дисциплины «алгебра».

В книге ал-Хорезми отсутствуют формулы — он объяснял решения уравнений риторическим способом. Степеням неизвестных значений он давал названия, такие, как «shay» («вещь») для х, «mal» («богатство») для х^2 и «ka'b» («куб») для х^3. Названия степеней никто не утвердил навечно, и в своей «Книге аббака», написанной в 1202 году (см. Главу 10), Фибоначчи для обозначения степеней использовал как заимствования из арабского языка, так и некоторые собственные изобретения. Мы ведь, например, называем радикал квадратным корнем, а х^3 — кубом. «Книга аббака» — очень важная работа, познакомившая Европу с индо-арабскими цифрами: в ней были описаны девять индийских цифр и «zephirum», или ноль.

В тексте ал-Хорезми, написанном в первой половине IX века, решения квадратных уравнений делятся на шесть типов, ограничивая положительными значениями и числовые коэффициенты, и заключительные решения (см. Главу 7). Последние объясняются геометрическими иллюстрациями, которые, по сути, то же самое, что и вавилонское дополнение квадрата (см. Главу 1). В одиннадцатом веке Гиясаддин Абу-ль-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хайям Нишапури, более известный как Омар Хайям, открыл метод геометрического решения кубических уравнений: ответы находились на точках пересечения двух конических сечений, — например, решение уравнения х^3 + ах = с может быть найдено путем пересечения круга и параболы. Но и в этом случае коэффициенты и решения — только положительные числа. Хайям не нашел общего алгебраического решения кубического уравнения, однако он использовал достаточно сложный метод — применил греческую геометрию в решении алгебраических уравнений. По его словам, «алгебра — это доказанная геометрия». Он надеялся, что простое общее алгебраическое решение кубического уравнения будет найдено его потомками-математиками. К сожалению, «Алгебра» ал-Хайяма была одной из немногих арабских книг, не переведенных на латынь.

Общий алгебраический способ решения кубического уравнения — то есть конечная последовательность алгебраических шагов, ведущих к получению окончательного решения, — был действительно найден, но только в эпоху итальянского Ренессанса, почти 400 лет спустя. Но приблизительные решения были известны и ранее. Например, в 1225 году Фибоначчи издал трактат о решении кубического уравнения, в котором описывал приблизительное решение конкретного случая, но, к сожалению, без описания метода. Рассматривая историю решения кубического уравнения, мы погружаемся в конкурентную борьбу эпохи итальянского Ренессанса. Новые результаты редко издавались, поскольку «придерживание» открытий поднимало репутацию математика в глазах покровителей. Научное общение приняло вид соревнований — математики бросали друг другу вызов, обмениваясь списками вопросов, а победа на таких соревнованиях еще больше укрепляла репутацию ученого и возносила его над другими.

Решение кубического и, конечно, квадратного уравнений впервые было опубликовано Джироламо Кардано (1501–1576) в книге «Великое искусство» (1545). Однако эти решения не были открытием самого Кардано. Впервые решить уравнения удалось Сципиону дель Ферро (1465–1526), профессору математики из Болоньи. Он никогда не публиковал их и завещал своему студенту, Антонио Марии Фиоре. Тот посчитал, что при помощи такого наследства сможет обрести известность и благополучие, и вызвал других математиков на соревнование по решению задач. Однако Фиоре был, похоже, довольно посредственным ученым, полагавшимся лишь на одно тайное оружие. Над решением кубических уравнений работал также математик Никколо Фонтана (1499–1557), более известный как Тарталья, что означает «заика». Прозвище было дано ему из-за дефекта речи, приобретенного в детстве, когда во время нападения на город Брешию его ударили мечом по нижней части лица. В 1535 году Фиоре и Тарталья встретились на соревновании, и вечером 12 февраля Тарталья заявил, что также решил кубическое уравнение. Он выиграл соревнование, решив все задачи Фиоре, в то время как Фиоре не смог решить ни одной задачи Тартальи.

В те времена кубическое уравнение не выделяли особо — все уравнения делились на типы, согласно приравниваемым элементам, что больше походило на квадратные уравнения ал-Хорезми. Именно поэтому Тарталья решил не один тип, представленный Фиоре, но и множество других кубических уравнений. Новости о победе Тартальи достигли ушей Кардано, который в конечном счете убедил Тарталью обнародовать свою тайну в обмен на рекомендательное письмо предполагаемому покровителю. Однако на встрече в Милане в 1539 году Тарталья взял с Кардано клятву никогда не публиковать решение, которое тот получил в форме зашифрованного стиха. Позднее Кардано обнаружил, что зять дель Ферро обладал оригиналом этого стиха, и получил позволение прочитать его. Он и его помощник Лодовико Феррари (1522–1565) также значительно продвинулись в поиске общего решения кубических и квадратных уравнений. Кардано отдавал должное работе Тартальи, но, узнав о том, что первым уравнение решил дель Ферро, больше не был связан обязательством хранить секрет. Тарталья был рассержен предательством и решил отомстить Феррари в собственной книге, где по-своему изложил всю историю поиска решения в виде длинного ожесточенного диалога. Он заявил, что Феррари отнял у него приоритет открытия, в то время как самого Феррари нельзя считать серьезным математиком. В 1548 году Тарталье удалось оставить свою непритязательную должность учителя математики в Венеции и получить пост лектора в Брешии. Он решил, что, бросив вызов Феррари, сможет еще больше прославиться и отомстить, но сильно недооценил помощника Кардано, так что ему пришлось бежать, не дожидаясь, пока судьи на соревновании вынесут свое решение. Для Тартальи все это имело весьма неприятные последствия — власти Брешии отказались платить ему заработную плату. Он возвратился в Венецию, где и продолжил преподавание математики.

В отличие от Тартальи, бедняка, постоянно искавшего покровителей, Кардано удалось достичь известности и сколотить небольшое состояние. Кардано был настоящим сыном своего времени — математиком, врачом, астрологом, игроком и еретиком. В течение почти пятнадцати лет его отказывались принимать в медицинский колледж, якобы из-за того, что он был незаконнорожденным, но, скорее всего, из-за его репутации откровенного и неуживчивого человека. Он был настолько азартен в игре, что почти разорился, однако ему удалось наладить процветающую частную медицинскую практику, а в 1543–1552 годах Кардано читал лекции по медицине в Милане и Павии. Затем его вызвали в Шотландию лечить архиепископа Сент-Эндрюсского. По возвращении он получил звание профессора медицины в университете Павии благодаря известию о выздоровлении архиепископа. Однако его карьерным успехам помешали серьезные семейные проблемы. Он не смог спасти своего любимого старшего сына от казни по обвинению в отравлении жадной и скупой жены. Ее семья потребовала от Кардано совершенно грабительской компенсации. В результате ему пришлось покинуть Павию и стать профессором в Болонье. Затем его младший сын обокрал дом отца, чтобы заплатить долг за проигрыш. На сей раз рассерженный Кардано сообщил о сыне властям, и тот был выслан. У Кардано в Болонье почти не было друзей, а в 1570 году ученый был арестован за ересь — он составил гороскоп Иисуса Христа и восхвалял императора Нерона. Удивительно, но впоследствии ученый обосновался в Риме, и папа согласился выплачивать ему пенсию. Тяга Кардано к игре подрывала семейный бюджет, но она же, скорее всего, дала ему богатый материал для написания книги по теории вероятности. Его автобиография — откровенное повествование об удивительной жизни на пороге математической революции.

Успешный штурм кубического уравнения, предпринятый Кардано, был, по существу, геометрическим «дополнением до полного куба», аналогичный методу дополнения до полного квадрата. Однако описание метода было выдержано все еще в стиле ал-Хорезми, с длинными риторическими объяснениями и уверенностью, что кубические уравнения следует разбить на несколько групп, поскольку отрицательные коэффициенты все еще не считались допустимыми. Преобразовывая более сложные кубические уравнения в более простые разрешимые типы, Кардано смог вырваться на шаг вперед по сравнению с дель Ферро и Тартальей. Кардано также заметил, что иногда промежуточные шаги в решении требовали вычисления квадратного корня из отрицательного числа. Сталкиваясь с этими сложными числами, он выказал определенную интеллектуальную брезгливость. Считая подобные ответы бессмысленными, он все же не отвергал их полностью. В одном случае он зашел достаточно далеко и понял: при умножении того, что мы теперь называем комплексным числом, получается реальное число. Он описал условия, при которых кубическое уравнение имеет комплексные решения, но не стал исследовать эти новые типы числа. В 1572 году Рафаэль Бомбелли (ок. 1526–1572) издал трактат «Алгебра», в котором расширил область чисел, дополнив их квадратными и кубическими корнями, а также комплексными числами. Он также сделал решающий шаг в алгебраическом решении геометрических задач и наоборот, но, к сожалению это не было замечено современниками, поскольку значительная часть его работы была опущена и издана только в двадцатом веке.

В Европе развитие алгебры шло бок о бок с использованием новых индо-арабских цифр. В 1494 году монах Лука Пачоли издал свой труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», который считают первой книгой по алгебре. Трактат Пачоли все еще представляет собой смесь риторических и алгебраических объяснений (это называют синкопированием). Неизвестное в уравнении часто называлось на латыни «cosa» («вещь»), а затем — в онемеченном варианте — «coss». После появления книги «Die Coss», написанной знаменитым «счетным мастером» Адамом Ризе (1492–1559), в Германии в XVI веке стало быстро развиваться так называемое «коссическое искусство». В то время впервые появились многие символы, которые мы сегодня считаем алгебраическими. Знаки «+» и «-» пришли в математику из Германии, знак «=» — из Англии. В целом переход от риторической алгебры через различные виды синкоп к стандартизированной и однозначной символической алгебре занял несколько сотен лет. Серьезной проблемой была, например, роль степеней выше третьей. Поскольку алгебраические методы полагались на геометрические доказательства, а измерений свыше третьего не существовало, казалось неразумным приписывать какое-либо значение четвертой или более высоким степеням. Важность этой проблемы подчеркивали сами термины, которые использовали для обозначения таких степеней. Четвертая степень числа обычно упоминается как «квадрат квадрата». В середине XVI века Роберт Рекорд чувствовал необходимость чем-нибудь подкрепить свое стремление к использованию более высоких степеней. Он объяснял, что площадь квадрата, стороны которого также квадраты некоего числа, — это число, возведенное в четвертую степень, и, следовательно, называется «квадратом квадрата».

Отход от чисто геометрического подхода начался с публикации «Геометрии» Рене Декарта (1596–1650). Эта важная работа была всего лишь приложением к основополагающему труду Декарта «Рассуждение о методе» (1637) (полное название «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках») и нередко выбрасывалась из последующих переизданий. Декарт писал «Рассуждение…», чтобы изложить философию науки, которая позволит получить знания о Вселенной вещества и движения. А правильное описание Вселенной на языке математики требовало, чтобы сам этот язык «базировался на надежном фундаменте». Несмотря на то что приложение называлось «Геометрия», по существу, оно знаменовало брачный союз алгебры и геометрии, появление дисциплины, которая теперь называется аналитической геометрией. В сущности, она доказывает эквивалентность геометрических построений и алгебраических преобразований. Кривые в ней описываются уравнениями. Декарт также перестал оценивать степени как числа, а не как геометрические объекты: х^2 больше не обозначало площадь — оно стало числом, возведенным во вторую степень, его геометрическим эквивалентом была парабола, а не квадрат.

Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва ее рассматривать как уже решенную и дать названия всем линиям, которые представляются необходимыми для ее построения, притом неизвестным так же, как и известным. Затем, не проводя никакого различия между этими известными и неизвестными линиями, нужно обозреть трудность, следуя тому порядку, который показывает наиболее естественным образом, как они взаимно зависят друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство выразить одну и ту же величину двояким образом: это то, что называется уравнением, ибо члены, полученные одним из этих двух способов, равны членам, полученным другим.

Декарт. Геометрия (1637)[13]

Это освобождало алгебру от обязательств перед однородностью размерности — ограничения, согласно которому все члены уравнения должны были иметь одинаковую размерность. Мы находим, например, выражения вроде ххх + аах = bbb: каждый элемент здесь — куб. Действительно, Декарт с удовольствием рассуждал о кривых любой степени, то есть об xn. И это новшество имело огромное значение. Сейчас мы больше не считаем в математике х^2 фактическим квадратом. Алгебра Декарта кажется нашим современникам знакомой — он использовал начальные буквы алфавита для обозначения коэффициентов, а последние буквы алфавита для обозначения переменных. Единственный символ, который кажется нам странным, — это ∞, знак бесконечности: Декарт использовал его в качестве знака равенства.

Задача с кубами по-прежнему могла быть решена с помощью пересечения конических сечений, по методу ал-Хайями, однако теперь любому было по силам построить кубическое уравнение. Декарт изо всех сил старался связывать алгебраические манипуляции с геометрическими преобразованиями, и в итоге формула Кардано выполняла не «дополнение куба», но преобразования кубической кривой. Более того, Декарт освободил геометрию от использования построений с помощью циркуля и линейки. В «Геометрии» Декарта вы не найдете многое из того, что теперь известно как алгебраическая геометрия, например координатные оси, формулы для вычисления расстояний между точками или углов между прямыми. Важно понимать, что Декарт подарил математикам будущего новый язык постановки математических проблем и установил определенный паритет между алгебраическими и геометрическими методами.

Когда куб и «нечто» вместе

равны некоторому числу,

найдите два других числа,

отличающиеся от него.

Затем вам надо взять за правило,

что его произведение всегда будет точно равно

кубу одной трети этого «нечто».

Тогда остаток в большинстве случаев,

будучи вычтенным из кубических корней,

будет равным вашему исходному «нечто».

Во втором из этих действий,

когда куб остается одиноким,

вы будете наблюдать другие согласования:

вы сразу разделите число на две части так,

чтобы вторая произвела

точно куб трети «нечто».

Тогда у этих двух частей, по обыкновенному правилу,

Вы возьмете кубические корни и сложите их вместе.

Эта сумма и будет вашей целью.

Третье из этих вычислений

Рассчитывается с помощью второго, если вы

все сделали аккуратно,

поскольку по своей природе они почти согласуются.

Эти «нечто» я нашел, шагая энергичной походкой,

в году одна тысяча пять сотен четыре и тридцать

с прочным и надежным обоснованием

в городе, опоясанном морем.

Решение кубического уравнения, переданное Никколо Тартальей Джероламо Кардано в 1539 году

12. Вселенная как часовой механизм

В шестнадцатом веке основным источником информации об орбитах планет оставался «Альмагест» Птолемея (см. Главу 2). Громоздкая структура Птолемеевой системы эпициклов и деферентов просуществовала в различных формах почти две тысячи лет — вероятно, потому, что и тригонометрические таблицы, и собранные в процессе наблюдения данные не были достаточно точными, чтобы продемонстрировать глубокие недочеты этой системы. Стеклянные сферы Аристотеля находились в постоянном и равномерном круговом движении — «мотором» был Аристотелев перводвигатель. Теперь же на место перводвигателя заступили ангельские силы — небесные тела стали приводиться в движение небесными духами. Для Птолемея математика была средством описать явление, а не объяснить его, и он успешно объединил философские требования Аристотеля и данные, полученные в результате наблюдения. Революция представлений о Вселенной в буквальном смысле поменяла местами небо и землю. Ключевым аспектом была роль математики — может ли точная математическая модель что-то рассказать нам о физической действительности?

Одна из самых очевидных проблем с Птолемеевой системой заключалась в том, что пока планета перемещается вокруг эпицикла, ее расстояние от Земли значительно изменяется, и, таким образом, ее видимый размер на небе также должен меняться. Это изменение наиболее очевидно в случае Луны, и, скорее всего, именно оно побудило Николая Коперника (1473–1543) выдвинуть предположение о гелиоцентрическом (с Солнцем в центре) устройстве Вселенной. Коперник получил образование в престижном Краковском университете, он также учился в Италии, а затем занял пост каноника во Фрауенбурге (Фромборке) — маленьком городке на побережье Балтийского моря. В действительности система Коперника практически не отличалась от Птолемеевой, поскольку он тоже строил орбиты как круги с эпициклами. Однако размещение Солнца в центре Вселенной изначально упростило число необходимых циклов, хотя, когда Коперник уточнил свою модель, в ней получилось даже больше эпициклов, чем у Птолемея. Система Коперника также правильно предсказывала расположение орбит планет в порядке их удаления от Солнца и позволяла оценить относительные расстояния каждой планеты от этого светила. Видимое ретроградное движение планет теперь частично объяснялось в терминах их движения относительно перемещающейся Земли, а не в терминах движения по эпициклам относительно неподвижной Земли. Великая работа Коперника «Об обращении небесных сфер» была издана только в 1543 году, в год его смерти, и отчасти вопреки его желанию.

Коперник дал свое имя революции, в которой он, похоже, играл не самую главную роль. Идеи, которые будут сформулированы в сочинении «Об обращении небесных сфер», Коперник сначала изложил в конспекте своей теории, названном «Малым комментарием о гипотезах, относящихся к небесным движениям». Эта рукопись рукописи была создана в начале 1510-х годов и распространялась среди друзей, переходила из рук в руки. Похоже, Коперник стремился не перестроить систему Птолемея, а уточнить ее, сделать лучше, «более греческой»! Каламбур заключался в том, что в модели Птолемея планеты перемещались с переменной скоростью по эпициклам, тогда как Коперник был привержен идее аристотелевского равномерного движения по идеальным окружностям с постоянной скоростью. Именно эти требования заставили его выдвинуть предположения, из-за которых нам, живущим пятьсот лет спустя, его взгляды кажутся очень современными. Согласно этим предположениям, Солнце помещается в центре Вселенной, а Земля вращается вокруг Солнца, равно как и вокруг своей собственной оси. Этот гелиоцентрический макет был, однако, не менее громоздким, чем система Птолемея, — в нем было 34 эпицикла (у Птолемея их было 40), и это для семи небесных тел плюс сфера неподвижных звезд! «Малый комментарий» был всего-навсего схемой, которую Коперник обещал детально описать позднее. Но с годами его желание издать этот труд уменьшалось, несмотря на поддержку церковных властей и самого Ватикана.

В 1514 году Коперник был приглашен участвовать в Пятом Латеранском Соборе по преобразованию календаря, но отказался приехать на том основании, что календарь не может быть преобразован должным образом до тех пор, пока не будут точно определены движения планет. В конечном счете он не был уверен в своей системе, потому что не нашел реального доказательства того, что она хоть немного лучше или точнее Птолемеевой. Коперник полагался на астрономические таблицы древних и, похоже, мало занимался самостоятельными наблюдениями. Лишь благодаря энтузиазму и усилиям его лучшего и любимейшего ученика Ретикуса труд «Об обращении небесных сфер» был издан в Нюрнберге, который к тому времени стал лютеранским городом. Однако незадолго до выхода книги Ретикус переехал из университета Виттенберга в Лейпциг, и печать труда была поручена Андреасу Осиандеру, одному из последователей Лютера. Именно тогда в книгу было вставлено известное предисловие — скорее всего, это сделал сам Осиандер. Предисловие предупреждало читателя: не важно, правдива ли система Коперника, — сравнение между различными системами полезно, чтобы решить, какую из систем легче использовать в вычислениях. Фактические движения небесных тел якобы должны оцениваться с помощью иных, философских и теологических критериев. Справедливости ради следует сказать, что подобные сомнения были и у самого Коперника, но предисловие, скорее всего, вставили, чтобы успокоить Мартина Лютера, резко возражавшего против коперниканского представления о Вселенной, а не для защиты от Ватикана, который, казалось, поддерживал предположения Коперника. Не стоит забывать, что работу астронома не помещали в ватиканский список еретических трудов до тех пор, пока не утвердилась Контрреформация, то есть приблизительно на протяжении 80 лет после ее публикации.

В «Малом комментарии» Коперник замахнулся на утверждения, которые почти не смог подтвердить в «Об обращении…». В заключительной версии системы у Коперника было даже больше эпициклов, чем у Птолемея, и планеты теперь вращались не вокруг Солнца, а вокруг точек, удаленных от Солнца (он в некотором смысле предвосхитил открытие истинной природы орбит — планета следует по эллиптической орбите, а Солнце находится в одном из фокусов эллипса, а не в его центре). В книге было одно полезное утверждение — видимое ретроградное движение планет есть следствие движения планет и Земли по отношению друг к другу. Труд оказался полностью провальным. В то время движение по земле и астрономическое движение считались двумя совершенно различными явлениями. Решающее открытие Коперника — в том, что Земля действительно движется, а его трагедия в том, что он не смог понять, как именно. Имя Коперника оставалось на слуху благодаря публикации в 1551 году его астрономических таблиц. Труд «Об обращении небесных сфер» бесследно исчез.

«Моя цель — показать, что небесная машина не некое божественное живое существо, а скорее часовой механизм (а тот, кто верит, что у часов есть душа, приписывает славу творца творению), поскольку почти все из ее многочисленных движений вызываются простейшей материальной силой, так же, как все движения часов вызываются весом гири».

Иоганн Кеплер.

Письмо к Герварту фон Гогенбургу, 10 февраля 1605 года[14]

Наш сдержанный каноник невольно запустил процесс медленного тления, позднее отозвавшийся взрывами. Иоганн Кеплер (1571–1630), горячий последователь Коперника, был оскорблен анонимным предисловием, создавшим у излишне доверчивого читателя впечатление, будто оно написано самим Коперником. Кеплер все-таки осмелился восстать против тирании греческой астрономии. Детство у него было безрадостное, здоровье слабое, но тем не менее он обладал блестящим интеллектом, и недавно созданное протестантское государство помогло ему получить образование. Он хотел стать священником, но декан теологического факультета в Университете Тюбингена явно был проницательнее своего студента и, как только представилась возможность, назначил его преподавателем математики в Граце. В научном мировоззрении Кеплер придерживался промежуточной позиции. С годами его представление об астрологии менялось: он не сомневался, что планеты оказывали какое-то духовное влияние, но не понимал, каким образом. Его работы — удивительная демонстрация того, как успешно могут развиваться идеи ученого, при том что все тупики теории в ней же — в теории — и остаются!

В 1595 году Кеплера впервые посетило видение космической гармонии — в тот момент, когда он вел занятие в аудитории. На доске ученый начертил фигуру, которая состояла из равностороннего треугольника со вписанным в него кругом, и другим кругом, описанным вокруг него. Внезапно его осенило, что соотношение этих двух кругов такое же, что и известное тогда соотношение орбит Сатурна и Юпитера. Эта вспышка вдохновения привела Кеплера к его знаменитой модели Солнечной системы, в которой расстояния между орбитами шести известных в то время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять Платоновых тел в орбиту Сатурна. Со времен Евклида было известно, что существует только пять идеальных тел, и тут имеются шесть известных планет (включая Землю и исключая Солнце и Луну). Вокруг каждого правильного тела можно описать сферу, которая касалась бы всех вершин этого тела, а внутрь тела можно также вписать сферу, которая касалась бы центра каждой грани. Если бы Кеплер мог определить истинный порядок тел, он мог бы упаковать их одно в другое как матрешки, и сферы соответствовали бы орбитам планет. Кеплер был опьянен этой идеей и тем, как математическая точность соединилась с космической гармонией. В 1596 году, когда ученому было двадцать пять лет, он изложил новую идею в своей первой книжке «Тайна мира». Во вступлении Кеплер впервые поддержал идею гелиоцентрической системы и таким образом заложил основу посмертной славы Коперника. Хотя Кеплер последовал доброму совету и не стал посвящать целую главу примирению коперниканства со Священным Писанием, в своей работе он заявил, что гелиоцентрическая Вселенная абсолютно и физически верна. Он верил не в то, что правильные Платоновы тела между планетами в каком-то смысле существовали на самом деле, а в то, что лежавшая в основе этой модели структура была знаком, подаваемым самим Великим Архитектором. После долгих метафизических рассуждений на темы вроде пифагорейской гармонии сфер «Тайна мира» внезапно меняет тональность и становится похожей на книгу по современной математической физике. Кеплер описывает все выполненные им вычисления и умозаключения. Например, Сатурн вдвое дальше от Солнца, чем Юпитер, но ему требуется в два с половиной раза больше времени, чтобы совершить один оборот вокруг Солнца. Таким образом, Сатурн не только дальше, но и движется медленнее. Кеплер ищет физическое решение, отвергая предположение, что по мере удаления от Солнца ангелы больше устают вращать планеты. Мы находим здесь первые предположения о своего рода гравитационной силе, исходящей от Солнца и уменьшающейся с расстоянием. Источником этой силы был сам Бог — в виде Бога Отца, эманирующего Святой Дух по всей Вселенной. Создатель, который ранее был «переселен» в зазвездное царство — царство, располагающееся за сферой неподвижных звезд, — теперь снова находился в самом сердце Солнечной системы. В финале «Тайны мира» Кеплер возвращается к астрологическим проблемам — он делает набросок гороскопа, определив днем творения воскресенье, 27 апреля 4977 года до нашей эры. Эта книга была настоящим шедевром. Правда, шедевром с большим изъяном: теория вписанных Платоновых тел оказалась ложной, а кеплеровская версия закона тяготения не работала. Кеплер хорошо понимал это, но, чувствуя, что он близок к истине, начал эксперименты.

Ученый нуждался в точных таблицах, полученных в результате астрономических наблюдений, а они были только у одного человека — великого датского астронома, астролога и алхимика Тихо Браге (1546–1601). Получив книгу Кеплера, Тихо признал гений молодого человека, и три года спустя Иоганн уже работал в Праге помощником Тихо. Трудно представить себе более непохожих друг на друга людей. Тихо, с золотым протезом, заменяющим потерянную на дуэли часть носа, был очень яркой личностью. Он стремился узнать точное строение небес. Кеплер был поглощен мистической физикой. У Тихо были лучшая обсерватория в мире и данные, в которых нуждался Кеплер. А еще у него была собственная теория движения планет, и он не только отказывался издать ее, но даже не рассказывал о ней почти никому из своих коллег и помощников. Тихо был преисполнен благоговейного страха перед затмением, произошедшим во времена его юности, но еще больше его очаровывал тот факт, что это затмение было предсказано. В 1600 году Кеплер и Браге наконец встретились. Кеплеру поручили разобраться с данными, касавшимися Марса и его самой сложной орбитой. Отношения между двумя учеными всегда были напряженными, но Тихо, экспериментатор до мозга костей, знал, что ему придется завещать работу всей своей жизни Кеплеру, чтобы тот смог спроектировать новую модель Вселенной. Они были нужны друг другу. Спустя всего восемнадцать месяцев после их встречи Тихо умер, и Кеплер стал новым придворным астрономом и астрологом императора Рудольфа II.

Данные, полученные Браге в результате наблюдений, теперь принадлежали Кеплеру, но превращение чисел в орбиты заняло довольно много времени. В 1609 году Кеплер издал свой великий труд — книгу «Новая астрономия». Как и предыдущая его работа, это сочинение скорее дневник, чем учебник. Здесь отражался каждый прихотливый поворот его творческой мысли — читатель словно бы слышит каждый возглас радости и каждый крик отчаяния ученого, вступившего в жестокое сражение с орбитой Марса. Трудность последней заключается в том, что она самая короткая и, следовательно, сильнее прочих отклоняется от круга. Однако она должна была дать ключ к определению всех остальных орбит. Кеплер не мог накладывать эпицикл на эпицикл, как его предшественники. Его задача состояла не в том, чтобы «зафиксировать явление», а в том, чтобы найти законы движения планет и выразить их языком геометрии. Достижение Кеплера в «Новой астрономии» заключалось в следующем утверждении: каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Это первый закон Кеплера. Он впервые употребил в этом смысле латинское слово «фокус» (то есть «огонь»). Хитроумные пируэты планет из древней астрономии были заменены изящными эллипсами. В этой же книге Кеплер представил второй закон, названный его именем: линия, соединяющая планету с Солнцем, описывает равные площади за равные промежутки времени. Он невероятно близко подобрался к теории притяжения, совершенно верно связав приливы и отливы с притяжением Луны и признав, что та же сила гравитации не дает земным морям утечь в космос. Но он не сформулировал закон, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния, хотя знал, что такому закону подчиняется интенсивность света. Это сделает уже Ньютон. Кеплер понимал, как движутся планеты, но его волновали силы, стоящие за этим движением. Он так и не узнал, почему орбиты имеют форму эллипсов, зато из астрономии теперь убрали невидимых ангелов и неподвижный перводвигатель. Теперь это была Вселенная геометрии и приложенных сил.

В 1618 году Кеплер вернулся к делу всей своей жизни, опубликовав «Гармонию мира» — сплав математики, физики и мистики, пик пифагорейской мечты. В этой работе мы находим третий закон Кеплера о движении планет: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. В совокупности трех его законов была спрятана теория всемирного тяготения, но Кеплер не сумел четко сформулировать ее. Труд «Коперниканская астрономия» в трех томах, выходивших с 1618 по 1621 год, дал полное описание кеплеровской астрономии, орбит Марса и всех известных планет и стал самым важным астрономическим трактатом после «Альмагеста» Птолемея. Но Кеплер, по крайней мере, на поколение опередил своих современников, продолжавших верить в доктрины Птолемея. Даже в «Диалоге о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой» (1632) Галилео Галилея все еще упоминались циклы и эпициклы.

Несмотря на то что Кеплер и Галилей были современниками, скорее всего, они никогда не встречались. В 1597 году Кеплер послал Галилею экземпляр своей «Тайны мира». В то время Галилей еще не был уверен в необходимости публично поддерживать идеи Коперника. В целом его отношение к Кеплеру было в лучшем случае недобрым: он делал вид, что коллега ему симпатичен, а сам отказывался послать Иоганну новый телескоп и даже экземпляры собственных работ, предпочитая расположение потенциальных покровителей дружбе с немецким ученым. В 1609 году Галилей начал свои известные наблюдения при помощи недавно изобретенного телескопа; один экземпляр новинки он представил венецианскому сенату. В ответ сенат удвоил его жалованье и сделал его пожизненным профессором. В течение года Галилей увеличил мощность телескопа и опубликовал свою работу «Звездный вестник». Наблюдения Галилея показали, что Луна не была идеально гладкой сферой — планету покрывали горы. У Венеры, как и у Луны, были повторяющиеся фазы, а Юпитер располагал собственной системой спутников. Галилей даже считал, что Сатурн был тройной планетой, потому что в его довольно грубом телескопе кольца Сатурна казались двумя выпуклостями на диске планеты. Галилей стал придворным математиком Медичи. В Риме его приняли в «Академию деи Линчеи», первое научное общество в мире. Он стал очень широко известен, потому что писал свои книги не на латыни, а на родном итальянском языке.

Церковь была обеспокоена тем, что система Коперника противоречила толкованиям из Священного Писания, но иезуиты были готовы принять гелиоцентрическую систему, если отыщется неопровержимое доказательство. Не в первый раз религиозная доктрина менялась под напором научных фактов, так было, например, когда церковь признала сферичность Земли. Иезуиты проверили все наблюдения Галилея и поддерживали работу Кеплера. О разыгравшейся впоследствии трагедии было написано очень много книг, так что я обозначу ее достаточно кратко. Церковь признала, что система Кеплера «описывала явление» более точно, чем система Птолемея, но не видела достаточно веской причины, чтобы поверить в физическую реальность системы движения планет. Чтобы опрокинуть многовековое мировоззрение и начать переубеждать мирян, приучая их к новому миропредставлению, необходимо было найти больше доказательств. Новшества критиковали многочисленные богословы, обладавшие серьезной властью и стоявшие на аристотелевских позициях. Галилео неблагоразумно и жестоко насмехался над ними. Галилей стремился к богатству и всеобщему признанию, но, лишившись поддержки при дворе, потерял многих друзей в академических кругах. В 1616 году Галилея обязали никогда более не излагать систему Коперника, а в 1632 году ученый нарушил запрет, издав свой труд «Диалог о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой». Эта работа фактически была манифестом системы Коперника и содержала очень тонко завуалированную критику ряда самых влиятельных богословов того времени. Терпение Ватикана лопнуло, и Галилео был немедленно вызван в Рим. В следующем году он отрекся от своих взглядов и был посажен под домашний арест. Ученый продолжал жить достаточно комфортно, к нему допускались многочисленные посетители, однако Галилео не мог ничего публиковать и заниматься преподаванием. В его записях того времени говорится, что он совершенно сломлен. Галилей недооценил и свое влияние, и изменение в настроениях общества. Пришло время инквизиции, и преследование за ересь было очень жестоким. Кеплер несколько лет потратил на то, чтобы защитить свою мать от обвинения в колдовстве, а когда началась Тридцатилетняя война, ему пришлось покинуть Прагу и уехать в Австрию. Коперник и Кеплер работали в условиях относительной свободы и могли писать то, что им хотелось, не бросая вызов религиозной власти. Когда орден иезуитов встал во главе инквизиции, Римская коллегия инквизиции попыталась ограничить научную свободу. Власти папы и Ватикана была придана метафизическая легитимность — ведь и сама Вселенная строится иерархически! Этой власти угрожала не только Реформация, но и новая физика, посему подавление системы Коперника не было следствием невежества — оно диктовалось иезуитским пониманием целесообразности. Это подтверждается тем, что вскоре после суда над Галилеем иезуиты принялись изучать систему Коперника: им очень хотелось научиться делать астрономические прогнозы, чтобы производить впечатление на народы отдаленных стран, вроде Китая и Японии.

Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее — треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту.

Галилео Галилей.

Пробирных дел мастер (1623)[15]

В последние годы жизни Галилей все-таки сумел написать труд «Беседы и математические доказательства двух новых наук» (1638), который контрабандой был вывезен из Италии и напечатан в Лейдене. В нем ученый возвращается к механике, предмету, который волновал его больше всего, и анализирует ускорение. Анализ колебания маятника, который он создал еще в юности, показал, что время, затраченное на каждое колебание, не зависит ни от амплитуды, ни от веса груза — на него влияет только длина маятника. Время колебания обратно пропорционально квадратному корню длины маятника. Эксперименты Галилея с телами, скатывающимися по различным плоскостям и находящимися в свободном падении, привели его к двум важным открытиям: во-первых, скорость тела пропорциональна времени, в течение которого оно двигается, а во-вторых, пройденное расстояние пропорционально квадрату времени движения. Также считалось, что более тяжелое тело упадет быстрее, чем легкое, но Галилей показал ложность этого утверждения, заявив, что эти тела упадут с одной и той же скоростью, если не учитывать сопротивление воздуха. В реальной жизни пушечное ядро падает быстрее, чем перо, но не из-за разницы в весе, а вследствие разного сопротивления воздуха — маленький шарик одного веса с перышком упал бы так же быстро, как и пушечное ядро. Галилей различал две силы, действующие на предмет, и это привело его к анализу движения снаряда в полете. Разделив горизонтальную и вертикальную компоненты силы, он обнаружил, что снаряд движется по параболе. Это подтолкнуло его к дальнейшим работам по баллистике.

Закончим говорить об авторитете Священного Писания. Ныне скажем о том, что касается мнения святых относительно природы. Я говорю только одно: в богословии важна значимость авторитета, но в философии весом только авторитет разума. Святой Лактанций отрицал округлость Земли; святой Августин допустил округлость, но отрицал существование антиподов. Священная канцелярия наших дней свята, она допускает ограниченность размеров Земли, но отрицает ее движение. Но для меня священнее всех их будет Истина, когда я, при всем уважении к отцам церкви, демонстрирую с помощью философии, что Земля круглая, что на обратной ее стороне живут антиподы, а сама Земля — маленький межзвездный скиталец.

Иоганн Кеплер.

Новая астрономия. Вступление (1609)

Исаак Ньютон родился в год смерти Галилея. Ему выпало свести все разрозненные элементы в единую теорию. Чтобы понять, какой беспорядок царил в то время в науке, следует представить, что в то время еще существовало две отдельные науки — земная и астрономическая механика. По мнению Кеплера, планеты перемещались по эллиптическим орбитам, их двигала таинственная магнитная сила, исходящая от Солнца, при этом инерция планет замедляла их движение относительно скорости вращения самого Солнца. По мнению Галилея, планеты перемещались по кругам, потому что такое движение идеально и присуще их природе, а инерция поддерживала движение планет. Все еще сильнее запуталось, когда Декарт, уточняя модель Кеплера, объявил, что инерция заставляет тела двигаться по прямой линии, а пути планет изогнуты вихрями, бушующими в Солнечной системе. Новаторская работа Галилея в области ускорения и земной механики, казалось, не могла иметь никакого отношения к механике небесной. Согласования в определениях ключевых физических понятий — таких, как масса и вес, инерция и импульс, сила и энергия, магнетизм и гравитация, не существовало.

В 1687 году после долгих уговоров и при финансовой поддержке со стороны Эдмунда Галлея (1656–1742) Ньютон издал свой труд «Математические начала натуральной философии», более известный под сокращенным названием «Начала». Он стал широко известен только в 1720-е годы, после двух последующих переизданий. В этой главе я коснусь лишь механики, об исчислении же поговорим позже. В «Началах» приводятся три закона движения, выведенные Ньютоном. Согласно традиционно принятому порядку (хотя появились они в иной последовательности), первый закон гласит: «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние». Это согласуется с представлениями Декарта и учитывает как статическое, так и динамическое равновесие сил. Второй закон звучит так: «Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует». Теперь он записывается следующим образом: F = та. А третий закон говорит о том, что «действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны». Затем Ньютон рассуждает о различных типах силовых полей и законе тяготения. Его мастерский ход заключался в том, что он уравнял в правах силы Кеплера и силы Галилея. В третьей книге «Начал», носящей название «О системе мира», изложены ключевые моменты его теории, приравнивающей силу, которая действует на падающее тело, и силу, которая действует на движущиеся по орбитам планеты. Итак, две механики внезапно стали единой наукой — земная и небесная разновидности, оказывается, подчиняются одним и тем же законам. Невидимым клеем, соединившим их, оказалась тогда еще загадочная сила гравитации.

Ньютон прославился изобретением (или со-изобретением, если можно так сказать) дифференциального и интегрального исчислений, но доказательства в «Началах» все еще геометрические, хотя чертежи часто отображают бесконечно малые изменения силы и перемещения, показывая, что получающееся движение должно считаться гладким. Но в космологии Ньютона все еще оставались нерешенные проблемы. Например, он не смог объяснить, что все планеты вращаются в одном и том же направлении, и не знал, почему они движутся именно по тем орбитам, на которых их наблюдают. Что касается силы гравитации, Ньютона беспокоила столь мощная сила, действующая на огромном расстоянии без посредства какой-либо передающей среды. Он не считал возможным действие на расстоянии в космическом вакууме. Скорее, ученый полагал, что есть некая среда (эфир), через которую передается сила, хотя вопрос, была ли она материальна, оставался нерешенным. Образ ангелов, двигающих планеты, заменили на универсальный дух. Кроме того, если бы тяготение было столь всепроникающим, то все объекты стремились бы притянуться друг к другу и Вселенная погибла бы. Ньютон обратился к Богу, назвав его защитником Вселенной от этой силы Судного дня. Теорию тяготения можно было бы легко отвергнуть, если бы математическая модель тяготения не соответствовала наблюдаемым фактам, но все было как раз наоборот: физическая реальность полностью совпадала с научным анализом этой самой реальности. Вихри Декарта были в конечном счете отвергнуты, потому что тяготение работало лучше. Математика действительно отлично «отражала явление». Новая механика шла в ногу с очередной ветвью математики — дифференциальным и интегральным исчислениями. Сейчас мы узнаем историю их изобретения.

Я, Галилео Галилей, сын покойного Винченцо Галилея из Флоренции, 70 лет, самолично поставленный перед судом, преклонив колена перед их эминенциями, досточтимыми кардиналами генерал-инквизиторами против еретической злобы во всем христианском мире, имея пред глазами Святое Евангелие, коего касаюсь собственными руками, клянусь, что всегда веровал, ныне верую и с помощью Божьею впредь веровать буду во все, что Святая Католическая и Апостольская Римская церковь за истинное приемлет, что проповедует и чему учит. Но так как я — после того, как мне от сего судилища сообщено было повеление, чтобы совсем оставил ложное мнение, будто Солнце есть центр мира и недвижно, Земля же не центр и движется, и чтобы не смел держаться того ложного мнения, не защищал его, не преподавал каким-либо способом или писанием и после того, как мне указано было, что учение это противно Священному Писанию, — написал и напечатал книгу, в которой излагаю это осужденное уже учение и привожу с настойчивостью аргументы в его пользу, не давая опровержения оных, то посему подвергся суду, как сильно заподозренный в ереси, а именно, что держусь мнения и верю, будто Солнце центр мира и недвижно, Земля же движется. Желая изъять из умов ваших эминенций и всякого христианина католика сие сильное возникшее против меня подозрение, я с чистым сердцем и верою неложною отрекаюсь от упомянутых заблуждений и ересей, проклинаю их и отвращаюсь от них и вообще от всяких заблуждений и сект, противных сказанной Святой Церкви. Клянусь, что в будущем ни устно, ни письменно не выскажу чего-либо, способного возбудить против меня подобное подозрение. И если узнаю какого-либо еретика или внушающего подозрение в ереси, не премину донести о нем сему священному судилищу или инквизитору или ординарию того места, где буду находиться. Клянусь, кроме того, и обещаю все эпитимии, наложенные на меня, или кои будут наложены, с точностью исполнять и соблюдать. А если, сохрани Боже, совершу что-либо противное сим моим обещаниям, протестациям и клятвам, то подлежу всем наказаниям и казням, кои Священными Канонами и другими общими и частными постановлениями установлены и обнародованы против такого, рода нарушителей. Да поможет мне Бог и Святое Его Евангелие, коего касаюсь руками.

В удостоверение того, что я, Галилео Галилей, как выше приведено, отрекся, поклялся, обещал и обязал себя, я собственноручно подписал сей акт и от слова до слова прочел его в Риме в монастыре Минервы сего 22-го июня 1633 года.

Публичное отречение Галилея от гелиоцентрической теории[16]

13. Математика в движении

Мы уже упоминали, что Ньютон и Кеплер моделировали орбиты планет исключительно геометрически. Однако в космическом пространстве не существует реальных эллипсов, они — лишь невидимые пути, по которым движутся планеты. Поэтому, чтобы больше не строить орбиты геометрически, по точкам, было бы очень полезно найти математический инструмент для описания движения планет. Те, кто пытался перейти от последовательности прямолинейных движений к действительно плавному пути, снова столкнулись с проблемой бесконечности и бесконечно малых величин.

Прежде чем обратиться к изобретению дифференциального и интегрального исчислений, стоит вспомнить более ранние попытки решить общие задачи с площадями и тангенсами. Это «до-дифференциальное и до-интегральное счисление» можно найти уже у Архимеда, разработавшего два метода определения площадей, ограниченных кривыми линиями. Их нередко называли геометрическим и механическим методами. Одна из самых известных задач, доставшихся нам от древних, — вычисление площади круга, так называемой квадратуры круга. В коротком трактате «Об измерении круга» Архимед приводит доказательства двух важных результатов. Во-первых, площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно окружности круга, а высота — радиусу круга, что эквивалентно нашей формуле πr^2, но без необходимости вводить собственно число π. Второй важный результат — доказательство, что числовое значение π находится между 3 1/7 и 3 10/71. В обоих случаях использовался геометрический метод: строились описанные и вписанные в круг многоугольники; затем, последовательным удвоением числа сторон каждого многоугольника они постепенно приближались к окружности. Помимо всего прочего, эти два многоугольника постепенно сближаются, в некотором смысле получается бутерброд из многоугольников с окружностью, прослоенной между ними, так что, если процесс продолжить до бесконечности (то, что математики называют «в пределе»), площади многоугольников постепенно сближаются с площадью круга. Чтобы найти значение π, Архимед начал с описанного и вписанного шестиугольников и закончил процесс, когда достиг 96-стороннего многоугольника, хотя мог бы продолжать до тех пор, пока бы не достиг любого задуманного уровня точности. Архимед использовал метод последовательных элиминаций, за который мы должны благодарить Евдокса (см. Главу 4), но старался не заявлять, что многоугольники постепенно становятся кругом, приходя к результату посредством длинной логической аргументации. Это умалчивание понятно, поскольку, с точки зрения греков, многоугольник и круг были совершенно разными фигурами.

Механический метод Архимеда иллюстрируется в работе, носящей название «Послание к Эратосфену о методе». Она считалась утерянной, но в 1906 году была обнаружена в Константинополе. Этот труд был палимпсестом, пергаментом десятого века; он содержал различные работы Архимеда, а затем его использовали в качестве молитвенника, но тексты древнего грека соскребли не окончательно, так что их еще можно было разобрать. (В 1998 году «Послание к Эратосфену о методе» было продано с аукциона за два миллиона долларов.) Метод, который обсуждает Архимед, — по существу, разборка площади на линии, преобразование этих линий, а затем восстановление их в виде другой площади. Точное преобразование было выполнено путем использования Архимедова правила рычага. В некотором смысле ученый уравновесил известную площадь с неизвестной. Положение точки опоры определяет относительные размеры площадей — отсюда термин «механический метод». Архимед утверждал, что это очень полезный эвристический инструмент для получения новых результатов, однако он понимал, что его метод ненадежен, и, когда встал вопрос о получении безупречного результата, вернулся к геометрическому методу. Главная проблема в том, что приходится принять: площадь фигуры может быть составлена из неделимых линий, поскольку линия — это длина без ширины, одномерный объект, и, когда мы мысленно соединяем линии, сумма одномерных объектов остается одномерной и не может дать двумерную площадь. Несмотря на это, Архимед сумел правильно вычислить множество площадей и объемов, включая площадь сегмента параболы, а также центры тяжести объемных тел вроде конуса.

К началу XVII века вырос интерес к построению различных кривых и вычислению их длин, ограничиваемых ими площадей и объемов фигур, получаемых в результате их вращения. Стимулом послужило решение различных задач механики — как статики, так и динамики. Определение центра тяжести предмета математическими методами было очень важным для решения вопроса о его устойчивости и, естественно, представляло большой интерес в таких областях, как архитектура и судостроение. Используемые методы в принципе можно было разбить на две Архимедовы категории, но все сильнее чувствовалось, что, несмотря на логическую форму задачи, методы, в той или иной форме использующие неделимые или бесконечно малые величины, легче приводили к более правильным результатам, чем геометрические методы.

Математика больше не могла избегать понятий бесконечности и бесконечно малых величин — Сциллы и Харибды греческой математики. Кеплер использовал инфинитезимальный метод при вычислении площади сектора эллиптической орбиты, по которому планета проходит за определенное время. Вот еще более впечатляющий пример. В книге под названием «Новая стереометрия винных бочек» (1615) Кеплер рассчитал объем винной бочки, используя бесконечно большое число бесконечно малых дощечек. Галилей верил в реальное существование бесконечности, приводя в пример круг, который он считал многоугольником с бесконечным числом сторон. В то же самое время итальянский математик Бонавентура Франческо Кавальери (1598–1647), ученик Галилея, а с 1629 года — профессор математики в Болонье, издал свой труд, здоровенный том почти в семьсот страниц, посвященный методам вычисления площадей и объемов. В этой работе, именуемой «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635), обсуждались различные методы вычисления неделимых бесконечно малых величин, причем площади плоских фигур считались составленными из неделимых линий, а объемные фигуры предполагались состоящими из неделимых плоских объектов. Самым главным его результатом стала формула площади фигуры, ограниченной кривыми: у = хn при любом целочисленном n.

Теперь давайте хотя бы бегло рассмотрим, как развивались события, предшествовавшие рождению дифференциального и интегрального исчислений, — например, каким образом определялись тангенсы кривых. Пьер де Ферма (1601–1665) добился некоторых важных результатов, однако не стал публиковать их. Вместо этого он активно делился своими открытиями в переписке со многими математиками того времени. Эту корреспондентскую сеть организовал Маренн Мерсенн (1588–1648). Ферма разработал методы, позволяющие найти тангенс в любой точке полинома, а также методы определения максимума и минимума этой кривой. Он также вновь открыл правила Кавальери для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми вида у = хn, расширив их множество таким образом, что теперь n могло быть как положительным, так и отрицательным. Единственным случаем, выходящим за рамки общего правила, был случай n = -1 — эта кривая, как известно, представляет собой логарифмическую функцию. Методы Ферма очень близки тем к современному дифференциальному исчислению, за исключением того, что у Ферма не использовалось понятие предельного перехода. Ни в одном из трудов ученого, посвященных анализу бесконечно малых величин, не упоминается, что задачи построения тангенсов и вычисления площадей, по существу, обратны по отношению друг к другу. При этом он не расширил диапазон используемых функций.

Изобилие до-дифференциальных и до-интегральных методов вскоре сформировалось в новую ветвь математики. Как это часто бывает в истории, революционные методы уже витали в воздухе и только и ждали человека, способного уловить их и придать им зримую форму. В данном случае честь изобретения метода отдается сразу двум ученым — Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу. Как в случае любого совместного изобретения, всегда есть некоторое сомнение в том, кто из них все-таки оказался первым, так что споры об этом шли по всей Европе.

Исаак Ньютон родился на Рождество 1642 года — в год смерти Галилея. В 1661 году он поступил в Тринити-колледж в Кембридже, а в 1664-м — получил диплом о высшем образовании. В течение последующих двух лет колледж был закрыт из-за чумы, и Ньютон возвратился домой в Линкольншир. Позднее он писал, что именно тогда совершил известные прорывы в науке — открыл уравнение с бесконечным рядом членов, закон всемирного тяготения, а также дифференциальное и интегральное исчисления. Это могло бы показаться чрезмерным упрощением, но в 1669 году он написал работу «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», в которой он рассматривал бесконечный полином так же, как конечный, и позднее распространил бином Ньютона на любую рациональную степень. «Анализ…» также содержал первое описание дифференциального и интегрального исчислений, основанных на методе, похожем на метод Ферма, однако в нем использовались большие степени вследствие работы с бесконечными рядами. Именно в этом труде вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, впервые было представлено как задача, обратная нахождению тангенса. В 1671 году Ньютон написал другой труд о том, что он назвал флюентами и флюксиями — переменными, или текущими, величинами (флюент — от лат. fluo, «теку»), и скоростями их изменения. В этой работе он изображал величины х и у как функции времени, а х´ и у´ — как скорости их изменения. Величины, насколько изменяются сами х и у — собственно производные, — были обозначены х´ и у´. Ньютон пришел к этой идее, рассматривая линию как местоположение точки, перемещающейся в пространстве. Время служит в этой системе невидимым хронометром и не появляется в качестве отдельной переменной t. К сожалению, Ньютон держал все рассуждения при себе, показывая коллегам лишь некоторые из своих работ. «Анализ…» не издавалась вплоть до 1711 года, а описание метода вычисления производных появилось на английском языке лишь в 1736 году. Впервые ученый кратко опубликовал свои выводы — в виде нескольких, крайне трудных для понимания пассажей — в «Началах», изданных в 1687 году. В самих «Началах» дифференциальное и интегральное исчисления практически не фигурируют. Ньютон описывал все свои построения в области математической физики, пользуясь терминами геометрии. Его упорный отказ издавать свои работы можно объяснить отвращением к публичным спорам и дрязгам, которые могли за ними последовать. Он уже конфликтовал с Робертом Гуком по вопросам оптики (Ньютон дождался смерти коллеги и лишь затем опубликовал свою «Оптику»). Даже «Начала» никогда не появились бы на свет, если бы не настоятельные требования и финансовая поддержка Эдмунда Галлея. Ньютон хотел лишь одного — чтобы его оставили в покое и не мешали работать. В итоге это привело к самому решительному сражению в его жизни.

В «Началах» есть раздел (это Отдел I Книги I), носящий название «О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается». В нем Ньютон дает геометрическую трактовку ключевых идей, касающихся дифференциального и интегрального исчислений. В другом разделе перечисляются некоторые результаты того, что Ньютон назвал «моментом любого происхождения», — теперь мы назвали бы это термином «дифференциал». Это первое публичное упоминание о новом виде исчисления, и неудивительно, что, кроме нескольких математиков, научный мир поначалу не пришел в восторг. Ньютон шел от геометрических доказательств к обобщенным результатам, не приводя алгебраические манипуляции. В тексте он признал, что в таком виде метод легче представлять, но он все еще беспокоится, что доказательство его теории бесконечно малых величин достаточно шатко. Ньютон — не первый ученый, взявшийся за дифференцирование и интегрирование, но именно он впервые создал прочную конструкцию, в которой эти две операции были обратны друг другу. Своими бесконечными рядами он чрезвычайно расширил диапазон функций, с которыми теперь можно было работать.

А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?

Джордж Беркли. Аналитик (1734) [17]

Давайте внимательно присмотримся к проблеме, за которую взялся Ньютон. Если мы возьмем точку на кривой и пожелаем определить наклон касательной в этой точке, мы можем выбрать вторую точку, близкую к первой, и соединить эти две точки прямой. Мы также можем построить прямоугольный треугольник, в котором эти две точки находятся на концах гипотенузы. Отношение двух других сторон треугольника дает нам наклон линии, соединяющей точки. Если мы представим себе, что вторая точка медленно перемещается в сторону первой, мы сможем увидеть, что по мере того, как наш треугольник становится все меньше и меньше, наклонная линия становится все более похожей на касательную. Если эти две точки встретятся, мы увидим касательную, а треугольник исчезнет, и две стороны, которые давали нам числовое значение угла наклона, будут равны нулю. В таком случае мы имеем соотношение двух нулей, которое и дает нам ответ! На языке Ньютона наше конечное соотношение исчезающе малых величин — реальная величина. Таким образом, прочность метода исчисления была основана на уверенности самого Ньютона, а широкое распространение было обеспечено его широкой применимостью. Однако сомнения относительно правильности основ метода все же сохранялись, и впоследствии ученые возвратились к проблеме вычисления бесконечно больших и бесконечно малых величин. Вскоре после смерти Ньютона философ Джордж Беркли (1685–1753) в своей работе «Аналитик» яростно напал на дифференциальное и интегральное исчисления, выдвигая на первый план логические проблемы этого метода, о которых математики были отлично осведомлены. Он набросился на теорию Ньютона с яростным религиозным фанатизмом, обвинив математиков в ереси за то, что они верили в «призраки усопших величин».

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) родился в Лейпциге, там же он изучал богословие, право, философию и математику. Университет отказал ему в докторской степени по законоведению, потому что ученый был слишком молод — ему было всего двадцать лет, так что защищать диссертацию Лейбниц отправился в Альтдорф-Нюрнберг. После получения степени он отказался от предложения преподавать право и стал советником, историком, библиотекарем и дипломатом на службе у герцога Эрнеста-Августа Брауншвейг-Люнебургского (Ганновер). О нем нередко говорят как о последнем великом универсале, который особенно интересовался логикой и созданием основ всеобщего языка. Возможно, именно поэтому языком счисления, который используется сегодня, мы в значительной степени обязаны Лейбницу. Ему принадлежат термины «дифференциальное исчисление» и «интегральное исчисление», равно как запись dy/dx и dx. Дипломатическая должность давала Лейбницу возможность путешествовать. В 1613 году он посетил Лондон, где стал членом Королевского общества. А в 1676 году ученый вернулся туда, чтобы продемонстрировать новую механическую вычислительную машину. Во время этого визита он не был знаком с Ньютоном, но позднее историки науки много спорили о том, мог ли тогда Лейбниц прочитать «Анализ…». Эти два математика много переписывались, обмениваясь мнениями относительно бесконечного ряда.

Хотя исчисление Лейбница также выросло из анализа рядов, его вид был в значительной степени иным: он увлекся суммированием бесконечно малых величин. Будучи в Париже, он поставил задачу вычисления суммы обратных величин треугольных чисел (треугольное число — это число кружков, из которых можно составить равносторонний треугольник). Последовательность треугольных чисел Tn для n = 0, 1, 2… начинается так: 0,1, 3, 6,10,15…, выраженных общей формулой 2/[n(n+1)]. Он очень хитроумно переписал это как разницу между двумя членами, то есть 2 [1/n — 1/(n+1)]. Просто выписав первые несколько элементов ряда, он увидел, что все члены ряда взаимно уничтожаются за исключением первого и последнего. Увеличивая сумму до бесконечного числа элементов, Лейбниц получил ответ 2. Ученый рассмотрел много других рядов и постепенно научился определять, сходится он или расходится. Тогда он понял, что проблема обнаружения касательной к кривой сводится к вычислению отношения разницы в ординатах и абсциссах (значений х и у), в то время когда они становятся бесконечно малыми величинами, и квадратуры зависят от суммы ординат или бесконечно узких прямоугольников, из которых состоит область, располагающаяся под кривой. В случае с числовыми рядами суммы и разности были инверсиями друг друга. То же самое получалось в задачах о касательной и квадратуре. Все это основывается на характеристиках бесконечно малого треугольника, того самого, который Ньютон описал как «соотношение бесконечно малых величин». Ключевая концепция Лейбница заключалась в том, что дифференциал dx — бесконечно малое изменение значения х. Для функции у = ƒ(х) градиент вычисляется как dy/dx, а квадратура — как ∫ydx. Обозначение интеграла может символизировать утверждение, что это сумма прямоугольников со сторонами у и dx. Первые рукописи Лейбница датируются 1675 годом, а после небольшого изменения нотации он издал свои результаты в статьях. Первая вышла в 1684 году, а вторая — в 1686-м, обе напечатали в журнале «Acta eruditorum», соиздателем которого был сам Лейбниц. В них можно найти общеизвестные теоремы дифференциального и интегрального исчислений, включая фундаментальную теорему, что дифференцирование и интегрирование — прямо противоположные процессы. Лейбниц подчеркнул: новое исчисление дает универсальный алгоритм для решения задачи касательной и квадратуры в случае с целым диапазоном функций, включая трансцендентные (термин, придуманный Лейбницем для обозначения функций типа sin х и In х), которые могут быть выражены как бесконечные степенные ряды, но не представляют собой решения алгебраических уравнений.

Результаты, полученные Лейбницем, аналогичны тем, которые отказался опубликовать Ньютон. Возникший спор о приоритете в изобретении дифференциального и интегрального исчислений омрачил последние годы жизни обоих ученых. Если говорить о датах публикаций, первое издание «Начал» вышло в 1687 году, уже после статей Лейбница в «Acta eruditorum». Ньютон послал экземпляр «Начал» Лейбницу, полагая, что тот находится в Ганновере. Лейбниц, будучи в Италии, прочитал обзор книги в 1689 году в «Acta eruditorum» и, основываясь на этом обзоре, написал статьи по механике и оптике, в которых, конечно, использовались достижения Ньютона. Многие европейцы приписывали ему открытие дифференциального и интегрального исчислений лишь благодаря успеху его предшествующих статей, опубликованных на континенте. В 1699 году в работе малоизвестного математика, представленной Королевскому обществу, упоминалось, что Лейбниц позаимствовал свои идеи у Ньютона. Последовал жесткий ответ. Лейбниц закусил удила. Он использовал «Acta eruditorum», в то время как Ньютон опирался на поддержку Королевского общества, создавшего целый комитет, чтобы тщательно изучить этот вопрос. В 1705 году в «Acta eruditorum» был опубликован неблагоприятный обзор последней публикации Ньютона, а в 1712 году комитет Королевского общества принял решение, что именно Ньютон был первым изобретателем дифференциального и интегрального исчислений. В 1726 году, после смерти Лейбница, Ньютон удалил из третьего издания «Принципов» все ссылки на Лейбница. Если бы Ньютон открыто и полностью опубликовал свои «Принципы» еще в 1669 году, возможно, неприятных баталий можно было бы избежать. Британцы придерживались ньютоновых флюксий и флюентов вплоть до начала XIX столетия, но в других странах Европы дифференциальное и интегральное исчисления развились в невероятно мощный математический аппарат именно на языке Лейбница.

Ньютон старался избегать публичности, однако в последние годы жизни много занимался общественной деятельностью. В 1696 году его назначили смотрителем Монетного двора. В 1699 году он был повышен в должности. Теперь в его обязанности входило улучшение процесса чеканки и выявление фальшивомонетчиков, которых отправляли на виселицу. В 1701 году Ньютон во второй раз представлял Кембриджский университет в парламенте. А в 1699-м был избран вторым иностранным членом-корреспондентом Французской академии наук — первым был все тот же Лейбниц. В 1703 году Ньютона избрали президентом Королевского общества, и на этой должности он оставался вплоть до самой смерти. В 1705 году королева Анна посвятила его в рыцари. Ньютон похоронен в Вестминстерском аббатстве. Вольтер так сказал о Ньютоне: «Он жил, чтимый своими соотечественниками, и был погребен, как король, облагодетельствовавший своих подданных».

Лейбниц продолжал расширять свои познания в философии, религии и универсальной логике (тем самым предвосхитив Джорджа Буля — см. Главу 17). В 1700 году он помог создать Берлинскую академию наук и собирался сделать это же в Санкт-Петербурге, но эти планы были реализованы только после смерти ученого. В 1714 году казалось, что ему придется жить в Лондоне, потому что герцог Брауншвейгский стал первым представителем Ганноверской династии, восшедшим на английский престол. Но его, человека, оказавшего множество неоценимых услуг в качестве дипломата, историка, адвоката и воспитателя, попросили остаться в библиотеке, исследуя запутанное королевское генеалогическое древо. Возможно, предполагалось, что Ньютону и Лейбницу будет ни к чему встречаться при дворе.

Чтобы закончить этот рассказ на более радостной ноте, следует сообщить, что в 1701 году, в ответ на обращение королевы Пруссии, Лейбниц написал: «Если рассмотреть математику с начала мира до времени сэра Исаака, то, что он сделал, можно смело считать лучшей ее частью». А в письме, написанном Лейбницу в 1676 году, Ньютон говорит, что «метод Лейбница получения сходящихся рядов весьма изящен, и его было бы достаточно для того, чтобы показать гений автора, даже если бы он не написал ничего другого». К счастью, история всегда будет хранить память об этих двух гениях.

Доказанное относительно кривых линий и ограниченных ими площадей легко прилагается к кривым поверхностям и объемам.

Предыдущие леммы приведены, чтобы избежать утомительности длинных доказательств, основываясь по образцу древних на приведении к нелепости.

Доказательства делаются более краткими и при помощи способа неделимых, но так как самое представление неделимых грубовато (durior), то этот способ представляется менее геометричным, почему я и предпочел сводить доказательства всего последующего к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений, поэтому я и предпослал сколь можно краткие доказательства свойств этих пределов. Способом пределов достигается то же, что и способом неделимых, и после того как его основания доказаны, мы можем им пользоваться с еще большею уверенностью. Поэтому, если во всем последующем изложении я рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими из постоянных частиц, или если я принимаю за прямые линии весьма малые части кривых, то следует разуметь, что это — не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это — не суммы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм и пределы отношений исчезающих величин, и сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам.

Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует «предельного отношения», ибо то отношение, которое они имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под «предельной» скоростью надо разуметь ту, с которою тело движется не перед тем как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, т. е. именно ту скорость, обладая которою тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем как они исчезают и не после того, но при котором исчезают. Точно так же и предельное отношение зарождающихся количеств есть именно то, с которыми они зарождаются. Предельная сумма зарождающихся или исчезающих количеств есть та составленная из них сумма, когда они, увеличиваясь или уменьшаясь, только начинают или прекращают быть.

Исаак Ньютон

Математические начала натуральной философии.

О движении тел. Книга первая. Отдел I.

О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается (1726)[18]

14. Океаны и звезды

Все ранние цивилизации занимались составлением карт. Цели ставились разные — строительство, сбор налогов или подготовка к войне, однако землемер — одна из самых древних профессий, для которой были необходимы математические знания. Одна из статуй, датируемая приблизительно XXIII веком до нашей эры, изображает царя шумерского города-государства Лагаш с планом храма Нингирсу, а также с линейкой и орудием для письма. Это — самый ранний известный пример того, когда для строительства чего бы то ни было используется масштаб. Были найдены карты известного тогда мира, изображенные на вавилонских глиняных табличках, египетском папирусе и китайском шелке. Римляне продолжили греческие традиции картографирования — их трактат о землемерном деле — Corpus agrimensorum — основывается на правилах измерений и рисовании карт в масштабе.

Делая карту небольшого участка, мы можем допустить, что поверхность земли плоская, но, когда мы стремимся изобразить большие территории, искривление поверхности земли становится значимым фактором. Когда люди поняли, что Земля имеет сферическую форму, точно не известно. Согласно некоторым легендам, населено было только одно полушарие. Эратосфен, с 240 года до нашей эры ставший главным библиотекарем Александрии, составил первую известную карту, основанную на научных принципах, с неравномерной сеткой параллелей и меридианов. На его современников карта не произвела особого впечатления, и лишь «География» Клавдия Птолемея, появившаяся приблизительно в 150 году, стала общепринятым стандартом в картографии. В этой работе утверждается, что Земля имеет сферическую форму, но населена она лишь частично, и ее окружность равна 180 000 стадиям. Более точное значение высчитал Эратосфен, считавший, что окружность Земли равна 250 000 стадиям (считается, что один стадий приблизительно равен 160 метрам). Самым значительным вкладом «Географии» можно считать создание основ для преобразования сферы в плоскую поверхность. Карта Птолемея была обновлена ал-Хорезми (см. Главу 7), который полагался на знание Птолемеем стран Средиземноморья, но существенно уточнил ее в области Средней Азии.

Преобразование сферической Земли в плоскую карту всегда будет приводить к некоторым искажениям, и главная задача картографа — определение, какие факторы приводят к наибольшим искажениям, а какие — к наименьшим. Конформная проекция минимизирует искажение углов и форм объектов, в равновеликой проекции очень точны значения площадей, а в равнопромежуточной — расстояния. Как мы увидим в дальнейшем, к картам континентальных массивов и изображениям морей выдвигаются совершенно разные требования.

После того как в Европе с начала XIV века стали развиваться мореплавание и торговля, начали появляться портуланы (от итальянского слова «portolano», первоначально обозначавшего лоцию — письменные указания для мореплавателей). Они представляли собой сетку из прямых линий, или румбов, призванных помогать мореплавателям в планировании маршрутов вокруг Европы и по Средиземноморью. Главным образом портуланы делались в Венеции, Генуе и на Майорке. Эти «дедушки» нынешних лоций были удивительно точными, даже при том, что неясно, учитывалась ли в них какая-либо проекция. До сих пор ведутся споры о том, насколько активно использовались компасы (китайское изобретение), а также об объемах астрономических знаний, необходимых для навигации. Но после открытия Америки и выхода первого печатного издания «Географии» Птолемея все было готово для появления более точной карты мира. «География» Птолемея повторно появилась в Европе уже в XV веке: она впервые была напечатана в Болонье в 1477 году. В период Ренессанса использовались различные виды проекций, порой просто по эстетическим причинам. В качестве примера можно привести популярную овальную карту мира, впервые использованную Франческо Росселли (1445–1513) в 1508 году. Эти проекции были основаны скорее на графических построениях, нежели на использовании тригонометрических формул.

Герхард Меркатор (1512–1594), которого называли «Птолемем нашего времени» создал первую проекцию специально для того, чтобы помочь мореплавателям. Меркатор учился в Лёвенском университете, где получил степень по философии, а затем продолжил образование, изучая математику, астрономию и картографию. Он также стал мастером-гравером и специалистом по изготовлению оптических инструментов. С середины 1500-х годов он составил множество карт, включая карты Фландрии и Палестины. В 1544 году Меркатор был арестован за ересь, но вскоре, благодаря активной защите университета, его освободили, после чего он переехал в Дуйсбург (ныне Германия), и в 1564 году стал придворным космографом герцога Вильгельма. Именно в Дуйсбурге в 1569 году он создал известную Меркаторову проекцию для карты мира. Ее новизна заключалась в том, что линии румбов изображены на карте в виде прямых, что значительно облегчало навигацию для мореплавателей. На сфере, если корабль отправился в путь под определенным румбом к меридиану (если это не точное движение на север, юг, восток или запад), его путь будет представлять собой кривую на сфере; фактически, если бы корабль мог плыть непрерывно, то его путь представлял бы собой спираль к одному из полюсов. Преобразование румбов в прямые линии значительно облегчало задачу мореплавателей. Другое преимущество этой системы заключается в том, что проекция Меркатора сохраняет углы, так что при смене курса, скажем, на 30°, новая линия румба будет располагаться под углом 30° к предыдущему курсу. С тех пор эта проекция стала самой популярной в картографии, хотя сильно искажала контуры на высоких широтах и некоторые хотели бы заменить ее равновеликой проекцией, вроде той, что не так давно была названа в честь Арно Петерса.

Математический анализ проекции Меркатора впервые провел английский математик и картограф Эдвард Райт (1561–1615) в книге «Некоторые ошибки в навигации» (1599). В том же году в «Книге путешествий» Ричарда Хаклута была опубликована карта мира Райта, основанная на проекции Меркатора. Когда ученые узнали больше о земной и небесной сферах, приобрели популярность двойные глобусы, — они чаще всего использовались для обучения, но были также символами нового знания: земной шар в таких моделях был заключен в шарнирно устроенную небесную сферу. В связи с увеличением точности астрономических наблюдений и с началом великих геодезических проектов во Франции, Великобритании и других европейских странах, возникла необходимость постоянного и регулярного обновления карт.

Но, чтобы создавать точные карты, нужно было безошибочно определить широту и долготу ключевых точек поверхности. Найти широту всегда было довольно просто — она соответствовала высоте небесного полюса. Днем использовалось положение Солнца с применением таблиц склонения, по которым можно было определить угловое расстояние Солнца от экватора в любой день года. Однако определить долготу было намного труднее. Теоретически все было ясно: считая нулевой меридиан основой для измерения времени, сдвиг на каждые 15° долготы от меридиана соответствовал отклонению местного времени от меридианного на один час. Местное время можно было установить астрономически или при помощи солнечных часов, но при этом надо было знать точное время на меридиане. Сначала предлагалось использовать Луну как своего рода ночные часы, отмеряющие время, когда она пересекает небо. Но Луна движется по небу крайне неравномерно, а морские плавания были настолько долгими, что такой метод можно было применять лишь тогда, когда у навигатора имелись таблицы движения Луны, расписанные на много лет вперед. Именно с этой целью в 1675 году была основана Гринвичская королевская обсерватория. Лишь в 1767 году королевский астроном Невил Маскелайн (1732–1811) издал свой «Навигационный альманах», в который входили таблицы угловых расстояний до Луны, измеренные через каждые 3 часа в течение всего года. К тому времени был уже почти готов морской хронометр Джона Харрисона и вскоре стал самым распространенным методом вычисления долготы во время похода в открытом море. Точные часы, установленные на борту судна, показывают время на меридиане, значит, необходимо определить местное время по Солнцу и звездам. Разница между этими двумя показателями и даст долготу судна.

Создание проекции еще более усложнилось, когда стало ясно, что Земля не идеальная сфера, а сплющенный с полюсов сфероид — сфера, полюса которой немного уплощены. Рисунок Земли, сжатой у полюсов, который Ньютон опубликовал в своих «Началах», был в конечном счете подтвержден экспериментально. Если Земля сплющена на полюсах, то при перемещении от экватора к полюсу длина одного градуса широты должна увеличиться, точно так же, как благодаря гравитации должно увеличиться ускорение. Для того чтобы измерить оба явления, были организованы целые экспедиции. В 1735 году Парижская академия наук организовала экспедиции в Лапландию и Перу с целью измерить разницу в градусах долготы возле полюса и в районе экватора. Классический опыт Христиана Гюйгенса, в котором был использован простой маятник, показал, что период его колебаний зависит от величины гравитационного ускорения. Рассогласование было замечено еще в 1672 году, когда маятник, отбивающий время с точностью до секунды в Париже, пришлось укоротить, чтобы он показывал то же самое время в Кайенне. К сожалению, ошибки наблюдения обычно приводили к несопоставимым результатам. Некоторые даже считали, что Земля — вытянутый сфероид, то есть удлиненный, а не сглаженный на полюсах. В 1832 году американский математик Натаниэль Баудич (1773–1838) получил 52 измерения из самых разных точек земного шара — от Лапландии до мыса Доброй Надежды. К переводу труда французского математика, физика и астронома Пьера Симона Лапласа (1749–1827) «Небесная механика» он добавил свой анализ этих результатов и рассчитал степень сплющивания (эллиптичность) Земли, которая составила 1/297. Почти сто лет спустя это значение было принято практически во всем мире.

Отклонения от идеальной сферы потребовали поисков тригонометрических форм, выходящих за рамки плоскости и сферы, с помощью которых будет удобно обращаться со сфероидами. Сумма углов треугольника, расположенного на сфере, больше 180°, но превышение будет меняться в зависимости от места расположения треугольника на сфероиде. Французский математик Адриен Мари Лежандр (1752–1833) в 1799 году выполнил довольно изящную работу — связал стороны треугольника с разницей между суммой углов и 180°. Затем с помощью дифференциального и интегрального исчислений были определены новые проекции, формулы которых позволяли определить необходимые искажения. Немецкий физик и математик Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) опубликовал в 1772 году несколько различных проекций, одна из которых, конформная коническая проекция, используется до сих пор. В этом случае Земля проецируется на конус, который касается сферы в «стандартной параллели». Затем конус можно «развернуть», создавая плоскую карту.

Приборы, необходимые для навигации и геодезии, совершенствовались быстро. Астролябия, унаследованная от греков и усовершенствованная арабами, была своего рода аналоговой счетной машиной. Вращая диск, на котором были выгравированы проекция неба и орбиты различных небесных тел, можно было вычислить время восхода и захода. Каждая проекция подходила для фиксированной широты, так что в комплекте с астролябией шел набор дисков, каждый из них был предназначен для своей широты. Астролябия также могла использоваться для вычисления угла возвышения и азимутов небесных тел, вычисления времени и измерения астрономических расстояний. Использование угла возвышения и азимута в качестве стандартных измерений ввели арабы. Угол возвышения — это угол по отношению к горизонту, а азимут — угловое расстояние от меридиана. Солнечные часы были обычным инструментом определения времени, использующим изменения угла возвышения Солнца в течение дня или изменения его азимута. Большинство дисков надо было ориентировать с помощью компаса, но это было очень сложно, если принимать во внимание изменение скорости движения Солнца по небу. В XVII веке были созданы универсальные солнечные часы, которые могли использоваться на любой широте, хотя их все еще необходимо было настраивать. Затем морскую астролябию — довольно простой прибор — сменил квадрант. Постепенно квадранты, секстанты и тому подобные инструменты, используемые мореплавателями, астрономами и землемерами, становились все более и более точными, поскольку стали объединяться с оптическими инструментами и более точными шкалами.

Постоянно усиливавшаяся потребность в точности измерений на земле, в море и в небесах влекла за собой увеличение объема необходимых вычислений. Добавление новых формул означало удлинение вычислений. В результате начиная с XVII века к облегчению расчетов привело применение логарифмов. У штурманов имелись таблицы тригонометрических функций и логарифмов, позволявшие облегчить вычисления, хотя в таких таблицах было очень много ошибок, закравшихся в процессе печати. Изобретение логарифмической линейки если и не смогло увеличить точность вычислений, то по крайней мере сберегало время, и потому в XVIII веке она получила широкое распространение. К тому времени взгляд на мир сильно отличался от представлений Птолемея — теперь Земля была простой планетой, сплюснутым с полюсов сфероидом, вращавшимся вокруг Солнца по своей орбите. Во второй половине XX века мы наконец оторвались от поверхности Земли и увидели свою планету с высоты, и тогда искусственные спутники позволили исправить географические карты.

15. Уравнение пятой степени

В XVI веке математики почти случайно натолкнулись на комплексные числа (см. Главу 11). К XVIII веку комплексные числа считались расширением области действительных чисел, но работа с ними все еще приводила к ошибке четности, как в труде Леонарда Эйлера «Универсальная арифметика» (1767–1770). Он писал, что √ - 2х√ - 3 = √6, а не -√6, смущая более поздних авторов, писавших на ту же тему. Даже Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) в своем великом труде по теории чисел «Арифметические исследования» (1801) избегал использования так называемых «мнимых чисел». Как мне кажется, самая важная часть этой работы — первое доказательство фундаментальной теоремы алгебры. Гаусс понял, насколько важной была эта теорема, создав за последующие годы несколько дополнительных доказательств. В 1849 году он переделал первый вариант, на сей раз использовав комплексные числа. Пользуясь современными терминами, можно сказать, что для любого конечного многочленного уравнения с действительными или комплексными коэффициентами все его корни будут действительными или комплексными числами. Таким образом, мы получаем отрицательный ответ на давний вопрос о том, требует ли решение полиномиальных уравнений высокого порядка создания чисел более высокого порядка, чем комплексные.

Одной из самых тернистых проблем алгебры того времени был вопрос, разрешим ли алгебраическими методами, то есть с помощью конечного числа алгебраических шагов, полиномиал пятого порядка — квинтик. Сейчас в школе учат формулу решения квадратных уравнений, а с XVI века известны аналогичные методы для решения уравнений третьей и четвертой степени (Глава 11). Но для квинтиков не было найдено ни одного метода. Может показаться, что фундаментальная теорема алгебры содержит перспективу положительного ответа, но на самом деле она просто гарантирует, что решения существуют, в ней ничего не говорится о существовании формул, дающих точные решения (к тому времени уже существовали приблизительные числовые и графические методы). И вот появились два математических гения с трагической судьбой.

Нильс Хенрик Абель (1802–1829) родился в большой бедной семье, жившей в маленькой деревушке в Норвегии — стране, разоренной долгими годами войны с Англией и Швецией. Учитель, доброжелательно настроенный к мальчику, давал ему частные уроки, но после смерти отца, в восемнадцать лет, несмотря на юный возраст и хрупкое здоровье, Абель вынужден был содержать семью. В 1824 году он издал научную статью, в которой заявил, что квинтик не разрешим алгебраическими средствами, как, впрочем, и любой полиномиал более высокого порядка. Абель полагал, что эта статья послужит ему пропуском в научный мир, и послал ее Гауссу в университет Геттингена. К сожалению, Гаусс так и не собрался разрезать страницы ножом (в те дни этим приходилось заниматься любому читателю) и не прочитал статью. В 1826 году норвежское правительство наконец выделило Абелю средства для поездки по Европе. Опасаясь, что личное общение с Гауссом не доставит ему большой радости, математик решил не посещать Геттинген и вместо этого поехал в Берлин. Там он подружился с Августом Леопольдом Крелле (1780–1855), математиком, архитектором и инженером, консультировавшим прусское министерство образования по вопросам математики. Крелл собирался основать «Журнал чистой и прикладной математики». Так Абель получил возможность распространить свой труд и много печатался, особенно в ранних номерах «Журнала», который сразу же стал считаться очень престижным и авторитетным научным изданием. Норвежец напечатал там расширенную версию своего доказательства, что квинтик неразрешим алгебраическими методами. А затем уехал в Париж. Эта поездка очень огорчила Абеля, потому что он практически не получил так необходимой ему поддержки французских математиков. Он сблизился с Огюстеном Луи Коши (1789–1857), который в то время был главным светилом математического анализа, но имел очень сложный характер. Как выразился сам Абель, «Коши безумен, и с этим ничего нельзя поделать, хотя в настоящее время он — единственный, кто на что-то способен в математике». Если пытаться искать оправдания проявлениям неуважения и пренебрежения, исходившим от Гаусса и Коши, можно сказать, что квинтик достиг определенной славы и привлекал внимание как уважаемых математиков, так и оригиналов. Абель возвратился в Норвегию, где все сильнее страдал от туберкулеза. Он продолжал посылать свои работы Крелле, но в 1829 году умер, не зная о том, насколько упрочилась его репутация в научном мире. Через два дня после смерти на адрес Абеля пришло предложение занять научную должность в Берлине.

Абель показал, что любой полиномиал выше четвертого порядка не может быть решен с помощью радикалов, вроде корней квадратных, кубических или более высокого порядка. Однако явные условия, при которых в особых случаях эти полиномиалы могли быть решены, и метод их решения сформулировал Галуа. Эварист Галуа (1811–1832) прожил короткую и богатую событиями жизнь. Он был невероятно одаренным математиком. Галуа был неумолим к тем, кого считал менее талантливым, чем он сам, и при этом терпеть не мог социальную несправедливость. Он не выказывал никаких способностей к математике до тех пор, пока не прочитал труд Лежандра «Начала геометрии» (изданная в 1794 году, эта книга в течение последующих ста лет была основным учебником). Затем он буквально проглотил остальные труды Лежандра и, позднее, Абеля. Его энтузиазм, уверенность в себе и нетерпимость привели к поистине ужасным последствиям в его отношениях с преподавателями и экзаменаторами. Галуа принял участие в конкурсе на поступление в Политехническую школу — колыбель французской математики, но из-за неподготовленности провалил экзамен. Некоторое время после знакомства с новым преподавателем, который признал его дарование, ему удавалось держать свой нрав под контролем. В марте 1829 года Галуа издал свою первую статью о непрерывных дробях, которую считал своей самой значительной работой. Он послал сообщение о своих открытиях в Академию наук, и Коши обещал представить их, но забыл. Более того, он просто потерял рукопись.

Второй провал Галуа при поступлении в Политехническую школу вошел в математический фольклор. Он настолько привык постоянно держать в голове сложные математические идеи, что его привели в бешенство мелочные придирки экзаменаторов. Поскольку экзаменаторы с трудом понимали его объяснения, он бросил тряпку для стирания с доски в лицо одному из них. Вскоре после этого умер его отец, покончивший с собой в результате церковных интриг. На его похоронах практически вспыхнул бунт. В феврале 1830 года Галуа написал следующие три статьи, послав их в Академию наук на соискание гран-при по математике. Жозеф Фурье, в то время бывший секретарем академии, умер, так и не прочитав их, и после его смерти статей среди его бумаг не нашли. Такой поток разочарований свалил бы любого. Галуа восстал против власть имущих, потому что чувствовал: они не признавали его достоинств и погубили его отца. Он с головой окунулся в политику, став ярым республиканцем, — не самое мудрое решение во Франции 1830 года. В последней отчаянной попытке он послал научную статью знаменитому французскому физику и математику Симеону Дени Пуассону (1781–1840), который в ответе потребовал дополнительных доказательств.

Это стало последней каплей. В 1831 году Галуа был дважды арестован — в первый раз за то, что якобы призывал к убийству короля Луи Филиппа, а затем ради того, чтобы его защитить, — власти опасались республиканского бунта! На сей раз он был приговорен к шестимесячному заключению по сфабрикованному обвинению в незаконном ношении формы расформированного артиллерийского батальона, в который он поступил. Освобожденный под честное слово, он занялся делом, которое вызывало у него такое же отвращение, как и все остальное в жизни. В письмах к преданному другу Шевалье чувствуется его разочарование. 29 мая 1832 года он принял вызов на дуэль, причины которой до конца не выяснены. «Я пал жертвой бесчестной кокетки. Моя жизнь гаснет в жалкой ссоре», — пишет он в «Письме всем республиканцам». Самая известная работа Галуа была набросана в ночь перед роковым поединком. На полях рассыпаны жалобы: «У меня больше нет времени, у меня больше нет времени». Он вынужден был оставить другим подробное изложение промежуточных шагов, которые были несущественны для понимания основной идеи. Ему необходимо было выплеснуть на бумагу основу своих открытий — истоки того, что ныне называют теоремой Галуа. Он закончил свое завещание, попросив Шевалье «обратиться к Якоби и Гауссу с просьбой публично высказать свое мнение не относительно правильности, а относительно важности этих теорем». Ранним утром Галуа отправился на встречу со своим соперником. Они должны были стреляться с расстояния в 25 шагов. Галуа был ранен и умер в больнице на следующее утро. Ему было всего двадцать лет.

Галуа опирался на работы Лагранжа и Коши, однако он разработал более общий метод. Это было крайне важное достижение в области решения квинтиков. Ученый уделял меньше внимания исходным уравнениям или графической интерпретации, а больше думал о природе самих корней. Для упрощения Галуа рассматривал только так называемые неприводимые квинтики, то есть те, которые не могли быть разложены на множители в виде полиномиалов более низкого порядка (как мы сказали, для любых полиномиальных уравнений до четвертого порядка есть формулы нахождения их корней). Вообще неприводимый многочлен с рациональными коэффициентами — это полиномиал, который не может быть разложен на более простые многочлены, имеющие рациональные коэффициенты. Например, (x^5 - 1) может быть разложен на множители (х-1)(x^4 + х^3 + х^2 + х + 1), тогда как (x^5 - 2) неприводим. Цель Галуа состояла в том, чтобы определить условия, при которых все решения общего неприводимого многочленного уравнения могут быть найдены в терминах радикалов.

Ключ к решению заключается в том, что корни любого неприводимого алгебраического уравнения не независимы, они могут быть выражены один через другой. Эти соотношения были формализованы в группу всех возможных перестановок, так называемую группу симметрии корней — для квинтика эта группа содержит 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 элементов. Математические алгоритмы теории Галуа очень сложны, и, скорее всего, отчасти именно вследствие этого их поначалу понимали с большим трудом. Но после того как уровень абстракции позволил перейти от алгебраических решений уравнений к алгебраической структуре связанных с ними групп, Галуа смог предсказать разрешимость уравнения на основании свойств таких групп. Более того, его теория также обеспечила метод, которым можно было найти сами эти корни. Что касается квинтиков, то математик Жозеф Лиувилль (1809–1882), который в 1846 году издал большую часть работ Галуа в своем «Журнале чистой и прикладной математики», отметил, что молодой ученый доказал «красивую теорему», и для того, «чтобы неприводимое уравнение исходной степени было разрешимо в терминах радикалов, необходимо и достаточно, чтобы все его корни были рациональными функциями любых двух из них». Поскольку для квинтика это невозможно, он не может быть решен с помощью радикалов.

За три года математический мир потерял две самые яркие новые звезды. Последовали взаимные обвинения и переоценка ценностей, и Абель и Галуа добились заслуженного признания, но лишь посмертно. В 1829 году Карл Якоби через Лежандра узнал о «потерянной» рукописи Абеля, и в 1830 году разразился дипломатический скандал, когда норвежский консул в Париже потребовал отыскать статью своего соотечественника. В конце концов Коши нашел статью, но лишь затем, чтобы ее снова потеряли в редакции академии! В том же году Абелю был присужден Гран-при по математике (совместно с Якоби) — но он был уже мертв. В 1841 году была издана его биография. В 1846 году Лиувилль отредактировал некоторые из рукописей Галуа для публикации и во введении выразил сожаление, что первоначально академия отвергла работу Галуа из-за ее сложности, — «действительно, необходима ясность изложения, когда автор уводит читателя с избитого пути на неизведанные дикие территории». Он продолжает: «Галуа больше нет! Не будем впадать в бесполезный критицизм. Давайте отбросим недостатки и посмотрим на достоинства!» Плоды краткой жизни Галуа умещаются всего на шестидесяти страницах. Редактор математического журнала для кандидатов в Эколь Нормаль и Политехническую школу прокомментировал дело Галуа следующим образом: «Соискатель с высоким интеллектом был отсеян экзаменатором с более низким уровнем мышления. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis[19]».

Прежде всего, вторая страница этой работы не обременена именами, фамилиями, описаниями положения в обществе, титулами и элегиями в честь некоего скупого принца, кошелек которого будет открыт с помощью этих фимиамов — с угрозой закрыть его, когда восхваления закончатся. Вы не увидите здесь почтительных восхвалений, написанных буквами втрое большими, чем сам текст, обращенных к тем, кто обладает высоким положением в науке, некоему мудрому покровителю — нечто обязательное (я бы сказал, неизбежное) для кого-то в возрасте двадцати лет, кто хочет что-то написать. Я не говорю здесь никому, что я обязан их совету и поддержке всем хорошим, что есть в моей работе. Я не говорю этого потому, что это было бы ложью. Если бы мне пришлось упомянуть кого-либо из великих в обществе или в науке (в настоящее время различие между этими двумя классами людей практически незаметно), клянусь, это не было бы знаком благодарности. Я обязан им тем, что я издал первые из этих двух статей столь поздно, и тем, что написал все это в тюрьме — в месте, которое вряд ли можно считать подходящим для научных размышлений, и я часто поражаюсь своей сдержанности и способности держать рот на замке по отношению к тупым и злобным зоилам. Мне кажется, я могу использовать слово «зоилы» без опасения быть обвиненным в неблагопристойности, поскольку именно так я именую моих оппонентов. Я не собираюсь писать здесь о том, как и почему я был отправлен в тюрьму, но я должен сказать, что мои рукописи чаще всего просто терялись в папках господ членов академии, хотя, по правде говоря, я не могу представить себе подобной неосмотрительности со стороны людей, на совести которых смерть Абеля. На мой взгляд, любой хотел бы, чтобы его сравнивали с этим блестящим математиком. Достаточно сказать, что моя статья по теории уравнений была направлена в Академию наук в феврале 1830 года, что извлечения из нее были посланы в феврале 1829 года, и при этом ничего из этого не было напечатано, и даже рукопись оказалось невозможно возвратить.

Галуа,

неопубликованное предисловие, 1832 год

16. Новые геометрии

С тех пор как в третьем столетии до нашей эры появились «Начала», евклидова геометрия (см. Главу 4) считалась самой совершенной из всех математических систем. Основанная на самых общих допущениях, она выстраивает удивительно стройное здание математических теорем. Евклидова геометрия — типичная аксиоматическая дедуктивная система. Однако на этом храме геометрии имелось маленькое пятнышко, прыщик, который математики не переставали почесывать. Евклид сформулировал ныне печально известный пятый постулат, согласно которому «если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Этот постулат также известен как постулат о параллельных прямых. В нем говорится: если две прямые линии не параллельны, они в конечном счете пересекутся в некоторой точке. Все согласились, что постулат верен, но было слишком сложно гарантировать истинность этой, по сути, аксиомы, ставшей отправной точкой «Начал». Сперва усилия были направлены на доказывание того, что на самом деле это не постулат, а теорема, которая может быть доказана с помощью других аксиом. Многие обманывались, считая, что им удалось доказать ее, но более тщательное изучение их доказательств непременно показывало, что в них обязательно присутствуют новые предположения, которые, по существу, оказывались перепевкой пятого постулата. Найти ему более очевидную замену оказалось очень трудно.

Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии.

Письмо Фаркаша Бойаи сыну Яношу

Математики продолжали изучать пятый постулат. Особенно много сил отдали этому ал-Хорезми и персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274). Работа последнего, переведенная на латынь, вдохновила иезуита и математика Джироламо Саккери (1667–1733). В последний год своей жизни Саккери издал труд под названием «Евклид, очищенный от всех пятен», в котором он попытался доказать постулат о параллельности, опровергая как абсурд все другие постулаты. Он построил то, что теперь известно как «четырехугольник Саккери», с двумя парами «параллельных» сторон. Он выдвинул три различные гипотезы о сумме внутренних углов четырехугольника — что сумма меньше, равна или больше суммы четырех прямых углов или 360°. Если бы он смог показать, что первая и третья гипотезы приводят к логической несогласованности, то доказал бы, что средняя гипотеза, эквивалентная постулату о параллельности прямых, и есть единственно верная.

Я еще не сделал открытие, но путь, которым я иду, почти наверняка приведет меня к цели, поскольку показывает, что она достижима. Я еще не дошел до конца, но то, что мне удалось обнаружить, оказалось настолько великолепным, что я был просто поражен. Было бы невероятно жаль, если бы это оказалось отброшенным как Вы, мой дорогой отец, сочли необходимым допустить, когда увидели это. Все, что я могу сказать сейчас, — то, что я создал из ничего новый и совершенно иной мир. Все, что я отправил Вам к настоящему времени похоже на карточный домик рядом с каменной башней.

Письмо Яноша Бойаи своему отцу Фаркашу

Саккери легко отверг третью гипотезу как приводящую к логическим противоречиям. Однако первая гипотеза не создавала никаких логических проблем. Используя этот новый постулат, он мог доказывать теорему за теоремой. Саккери выстроил самую первую неевклидову геометрию, но отказался поверить этому. Как мы помним, его главная цель — опровергнуть истинность этой гипотезы, а не создать новую геометрию. Вновь обратившись к церковному учению, он отверг новую геометрию на ошибочных теологических основаниях. Однако математики, жившие после него, оказались более доверчивыми.

Навязчивая идея о пятом постулате имела более глубокое значение, чем просто чистота логики. Под угрозой оказалась сама природа физического пространства. Евклидова геометрия была не только последовательной и разумной математической системой, но и принципом, по которому структурировалось пространство — самая короткая линия между двумя точками была прямой линией не только в теории, но и на практике. Казалось бы, уже существовала хорошо сформулированная геометрия, в которой даже это не было истинным, — классическая сферическая геометрия. Самая короткая линия между двумя точками на сфере — это дуга, часть большого круга, соединяющая две точки. Кроме того, сумма углов любого треугольника на сфере в целом больше 180°. Так из-за чего вся эта суета? Все сводилось к различию между тем, что называли внутренними и внешними свойствами геометрии. Внешние свойства — те, которые можно вывести вне системы; внутренние — те, которые выводятся из самой системы. Например, правила сферической геометрии могут быть выведены из наблюдения сферы извне, скажем, за шаром в руке, но как мы можем сказать с геометрической точки зрения, живем мы на сфере или нет? Как геометрически определить, живем мы на плоской Земле или на сферической? Или, иначе говоря, есть ли какие-то внутренние свойства, отличающие плоскость от сферы? Эти относительно простые понятия важны для изучения истинной природы трехмерного пространства, в котором мы имеем доступ только ко внутренним свойствам.

Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) изучал лишь небольшой раздел общей неевклидовой геометрии. В своей книге «Теория параллельных» (1786, издана посмертно) он использовал метод, похожий на тот, который применил Саккери. Ламберт взял треугольник и предположил, что сумма его углов меньше, равна или больше 180°. Он также показал, что сферическая геометрия соответствует третьему из этих предположений, и рассуждал, что первый случай мог бы соответствовать геометрии на сфере с мнимым радиусом. Замена реального радиуса на мнимый приводила к теоремам и формулам, объединенным в то, что позднее стало называться гиперболической геометрией. В ней знакомые sin х и cos х были заменены на sinh х и cosh х. Хотя идея кажется физически неправдоподобной, математически это звучит вполне разумно. Впоследствии рассуждения Ламберта показали, чтобы он был недалек от истины.

К началу XIX века, когда все попытки доказать пятый постулат закончились поражением, математики поняли, что возможны другие непротиворечивые геометрии, кроме евклидовой. И вот на сцену выходят два неизвестных математика, совершающих одновременное открытие.

Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) был сыном мелкого российского чиновника, который умер, когда Николаю было всего семь лет, оставив в тяжелом финансовом положении вдову и трех сыновей. Семья переехала в Казань, где все дети отлично учились, но Николай Лобачевский проявил себя ярче других. В четырнадцать лет он поступил в недавно основанный Казанский университет и там познакомился с выдающимися профессорами, многие из них были родом из Германии. В возрасте двадцати одного года Лобачевский начал преподавать, а два года спустя был утвержден экстраординарным профессором. Будучи терпеливым, методичным и трудолюбивым человеком, он заслужил уважение других ученых, которые взвалили на него множество неблагодарных административных задач. Он стал университетским библиотекарем, а также хранителем плохо организованного университетского музея. Он сам, без помощников, выполнил всю работу, внеся в организацию музея и библиотеки некоторый порядок.

В 1825 году правительство наконец назначило в университет профессионального хранителя, который впоследствии использовал свое политическое влияние для того, чтобы утвердить Лобачевского на высокий пост. В 1827 году Лобачевский стал ректором университета. Со свойственной ему энергией он приступил к реорганизации штата, либерализовав обучение и создав новую инфраструктуру. Кроме этого он основал обсерваторию. Университет был его жизнью. В 1830 году, когда в Казань пришла холера, Лобачевский разрешил всем студентам, сотрудникам и их семьям укрыться в стенах университета. Поскольку там действовали строгие санитарные правила, из 660 человек умерло только 16. В 1846 году, несмотря на его неутомимый труд на благо Казанского университета, правительство, не объясняя причин, уволило Лобачевского с поста ректора и профессора. Его коллеги и друзья умоляли власти сменить гнев на милость, но все было напрасно. У Лобачевского сильно упало зрение, но, несмотря на это, ученый продолжал свои математические исследования. Последнюю публикацию Лобачевскому пришлось надиктовывать, поскольку к тому времени он окончательно ослеп.

В 1826 году Лобачевский представил для напечатания в «Записках физико-математического отделения» сочинение под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке), в котором высказал некоторые свои геометрические идеи. Издание не состоялось. Потребовалось три года, чтобы «Казанский вестник» опубликовал работу Лобачевского «О началах геометрии». Но в любом случае 1826 год — официальная дата рождения неевклидовой геометрии в том виде, в каком ее сформулировал Лобачевский. В своей работе он утверждал, что пятый постулат не может быть доказан, и выстроил новую геометрию, заменив этот постулат другим. Он сумел оценить смутные догадки Саккери и Ламберта, выстроив геометрию, которая была в каждой своей части такой же прочной и логичной, как геометрия Евклида. Даже самому Лобачевскому казалось, что некоторые из выведенных им теорем противоречат здравому смыслу. Он назвал свое открытие «воображаемой геометрией». Ученый не тешил себя иллюзиями о важности собственной работы. В 1835–1838 годах его «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» появились на русском языке, а в 1840 году «Геометрические исследования по теории параллельных линий» вышли на немецком. Именно на основании этой книги Гаусс рекомендовал Лобачевского Научному обществу Геттингена, в которое тот был избран в 1842 году. Однако Гаусс отказался похвалить его работу в печати, тем самым замедлив понимание этих революционных идей математическим сообществом. Этот факт больше всего разочаровал Лобачевского, даже больше, чем его изгнание из университета и слепота. В 1855 году вышла последняя книга Лобачевского, «Пангеометрия», она была издана одновременно на французском и русском языках. На следующий год Лобачевский — «Коперник геометрии» — умер. Физическая интерпретация неевклидовой геометрии была выполнена итальянским математиком Эудженио Бельтрами (1835–1900), который показал, что геометрии Лобачевского и более ранней работе Ламберта соответствует поверхность псевдосферы.

Новый постулат Лобачевского можно объяснить следующим образом. Вообразите себе бесконечную прямую и выберите точку, не лежащую на этой линии. Согласно постулату Евклида, через эту точку можно провести одну и только одну линию, параллельную первой. Лобачевский заявил, что через эту точку можно провести больше одной линии и все эти линии «параллельны» исходной линии в том смысле, что они не пересекаются ни в одной точке. Выражение этого в математических терминах приводит к странной, но совершенно непротиворечивой геометрии. Фактически существует бесконечное число таких геометрий, каждая из которых соответствует своему «углу параллелизма».

Нежелание Гаусса позитивно оценить работу Лобачевского отчасти вызвано его стремлением продемонстрировать беспристрастность своему другу Фаркашу Бойаи, сын которого, Янош Бойаи (1802–1860) одновременно с Лобачевским работал в области неевклидовой геометрии. Фаркаш был провинциальным преподавателем математики в венгерской глубинке (теперь эта территория принадлежит Румынии), который потратил много сил и времени на то, чтобы доказать пятый постулат. Когда этой задачей занялся его сын, он отчаялся и написал ему в письме: «Ради Бога, я умоляю тебя, брось все это. Бойся этого не меньше, чем чувственных страстей, потому что это также может поглотить все твое время и лишить здоровья, спокойствия духа и счастья в жизни». Неустрашимый или, возможно, даже подталкиваемый неким страхом, Янош продолжал свои исследования и в 1829 году фактически пришел к тем же заключениям, что и Лобачевский. По его собственным словам, Бойаи разработал «абсолютную науку о пространстве» на базе тех же принципов, что и Лобачевский. Его отец издал статью сына как приложение к собственному трактату. Эта работа датируется 1829 годом, то есть тем же годом, что и труд Лобачевского, но она не была издана вплоть до 1832 года. Спрятанная в конце непопулярной книги, она, возможно, была бы полностью потеряна для истории, если бы не тот факт, что Фаркаш был другом Гаусса. Он послал ученому книгу. Даже сухой ответ Гаусса мог бы выразить одобрение, но Гаусс отказался от публичной поддержки этого труда, заявив, что похвалить работу означало бы просто похвалить себя, поскольку он в последнее время придерживался тех же взглядов. Янош был раздавлен ответом, он опасался, что у него отнимут его открытия. В дальнейшем он отказался от каких-либо публикаций.

Нежелание Гаусса признать работы Лобачевского и Бойаи выглядит грубостью. Да, Гаусс, конечно, думал об этих проблемах, но нет никаких свидетельств, что он изучал различные результаты неевклидовой геометрии. Рука помощи, протянутая признанным мастером, могла бы спасти карьеру Бойаи и здоровье Лобачевского. Гаусс подошел к вопросу с другой стороны. Рассматривая линии на плоскости, он вывел теорему о том, что «кривизна поверхности связана с используемым методом измерения» (то есть с математическим выражением, используемым для вычисления расстояния между двумя точками). Гаусс показал, что искривление не зависит от места нахождения поверхности. Кривизна была внутренней особенностью, связанной с суммой углов треугольника, расположенного на такой поверхности. В этом контексте близость к неевклидовой геометрии очевидна.

Когда пал пятый постулат, этот столп евклидовой геометрии, просуществовавший более двух тысяч лет, то рухнула и сама конструкция.

Как ни парадоксально, открытие геометрии, в которой постулат Евклида о параллельности прямых не верен, тем не менее реабилитировало геометрию Евклида, хотя и весьма изощренным способом: раз для разрушения этого столпа потребовались такие усилия, значит, он все-таки необходим! Евклидова геометрия оставалась логически последовательной, но теперь это была просто одна из многих возможных геометрий, и, следовательно, уже никто не был уверен, что это геометрия окружающего нас пространства. Развивающееся понимание внутренних свойств пространства приобрело значение как метод исследования реальной геометрии пространства, поскольку не существовало способа его познания извне! Существовала опасность, что геометрия может стать занятным экспонатом экзотического собрания редкостей, но был один математик, который дал совершенно новое определение геометрии.

Бернхард Риман (1826–1866), сын пастора, был воспитан в скромности, но получил хорошее образование в Берлине и Геттингене, где в 1854 году стал приват-доцентом, а затем и доцентом. Чтобы занять этот пост, Риман должен был по уставу выступить перед профессорским составом с лекцией. Это был самый увлекательный доклад в истории математики. Лекция, носившая название «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», самым подробным образом описывала геометрию как предмет. Это было описание долгого пути от линейки и циркуля Евклида. Риман определил геометрию как исследование множеств — ограниченных или неограниченных пространств любого порядка (возможно бесконечное число порядков), вместе с системой координат и способом измерения кратчайшего расстояния между двумя точками. В евклидовой трехмерной геометрии способ измерения определяется как ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 — дифференциал, эквивалентный теореме Пифагора. Эти множества — само пространство без внешней системы координат. Искривление пространства было, таким образом, полностью определено в терминах внутренних свойств множеств в любом пространстве. Для Римана геометрия была, по существу, наукой о наборах упорядоченных n-кортежей, объединенных согласно определенным правилам; его идеи о пространствах были настолько общими, что казались практически нереальными. Любые отношения между переменными можно было счесть «пространством». Если для системы не существует метода определения расстояния между двумя точками пространства или двумя элементами множества, тогда применяется ветвь математики, известная как топология. Она описывает, как различные области пространства связаны между собой.

Риман изобрел инструменты, которые теперь активно используются всеми математиками. Нет ничего удивительного в том, что в этом случае обычно скупой на похвалу Гаусс выразил энтузиазм по отношению к работе другого ученого. В рамках расширенного представления о геометрии Римана мы видим, что евклидова геометрия — это пространство, определенное постоянной кривизны, равной нулю. Геометрия Лобачевского имеет кривизну -1, а сферическая геометрия — кривизну +1. Хотя Римана можно было бы считать новым Евклидом, его имя связано с очень своеобразной геометрией, которая преобразует сферу в плоскость.

Позднее Риман внес свой вклад в теоретическую физику, и его общее исследование измерения расстояний между точками в искривленных пространствах в конечном счете проложило путь к общей теории относительности. Пространство, в котором мы живем, больше не было евклидовым, теперь у нас появились математические инструменты, позволявшие исследовать истинную геометрию Вселенной.

В геометрии я нашел некоторые несовершенства, которые я считаю причиной того, что эта наука, поскольку она не переходит в анализ, до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида. К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных линий, к восполнению которого все усилия математиков до настоящего времени были тщетными.

Николай Иванович Лобачевский.

Геометрические исследования по теории параллельных линий (1840)[20]

17. Диалекты алгебры

В главе 11 мы видели, как алгебра освобождалась от кандалов геометрической размерности и как, начиная с Декарта, символы алгебры — те самые х и у — могли обозначать любое число и сочетаться любым способом, предусмотренным правилами арифметики. В этой главе мы познакомимся с развитием алгебры в англоязычных странах, а затем понаблюдаем за развитием этой дисциплине в других государствах Европы. Быстрое увеличение количества диалектов алгебры привело к фундаментальной переоценке понимания самой математики.

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА АРИФМЕТИКИ ДЛЯ ЛЮБЫХ ЧИСЕЛ X, Y И Z

х + у=у + х сложение коммутативно — сумма двух чисел не зависит от порядка расположения слагаемых

X х у=у х х умножение коммутативно

х + 0 = х сложение имеет нейтральный элемент, ноль, который оставляет любое число неизменным

х х 1 = х умножение имеет нейтральный элемент, единицу, которая оставляет любое число неизменным

X х(у + z) = х х у+х х z умножение ассоциативно по отношению к сложению.

Британский математический анализ отставал от европейского. Здесь во многом виновата ньютоновская нотация флюксий и ее неполноценность по сравнению с символикой, предложенной Лейбницем, — dy/dx. После того как британцы, пусть поначалу и неохотно, приняли европейскую систему обозначений, они добились нескольких довольно заметных достижений. В 1817 году, когда английский математик Джордж Пикок (1791–1858) был назначен экзаменатором по математике в Кембриджском университете, символическая нотация Лейбница наконец заменила флюксии Ньютона. По словам Чарльза Бэббиджа (1791–1871), целью Аналитического общества, основанного в 1813 году, была разработка «принципов чистого „де-изма“ в противовес „староточкизму“ университета»[21]. Другая цель общества заключалась в том, чтобы «сделать мир более мудрым, чем он был, когда мы в него пришли». Пикок в своем «Трактате об алгебре» (1830) назвал эту дисциплину «иллюстративной наукой». Первым делом арифметическая алгебра была отделена от символической. Элементами арифметической алгебры были числа и арифметические операции, тогда как символическая алгебра — это «наука, расценивающая комбинации знаков и символов согласно определенным законам, которые в целом независимы от определенных значений этих символов». Это откровенно неопределенное утверждение открыло дверь к общим исследованиям в области алгебры.

Никому не известный преподаватель начальной школы из Линкольна Джордж Буль (1815–1864) написал, как теперь считают, первую работу по математической логике. Буль подружился с шотландским математиком Огастесом де Морганом (1806–1871), которого поддерживал в споре о логике с шотландским философом сэром Уильямом Гамильтоном (1788–1856). Последний, кстати, не был родственником ирландского математика сэра Уильяма Роуэна Гамильтона. Об этом споре теперь все забыли, но именно он вдохновил Буля, математика-самоучку и лингвиста, издать в 1847 году краткую работу, озаглавленную «Математический анализ логики». В том же году вышла публикация де Моргана «Формальная логика». Два года спустя, скорее всего при поддержке де Моргана, Буль был назначен профессором математики в недавно открывшемся Королевском Колледже в Корке. Буль был твердо уверен, что логика должна считаться частью математики, а не метафизики и что правила логики должны выводиться не путем рассуждений, а посредством построения из простых формальных элементов. Только после создания логической структуры можно давать лингвистическую интерпретацию. Он отвергал представление, согласно которому математика считалась наукой о числах и размерах (представление, восходящее к древним грекам), и считал, что любая последовательная символическая логическая система — часть математики. Впервые мы видим ясно сформулированное представление, согласно которому математика — это наука, где главное не столько содержание, сколько структура. В работе Буля «Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей» (1854) эти идеи подробно разъяснялись, устанавливалась формальная логика и новая алгебра, которую теперь называют алгебраической логикой. Булева алгебра — по существу, алгебра классов объектов, и переменные вроде х теперь обозначали не числа, а скорее ментальный акт выбора класса из заданного пространства. Например, х может быть классом «мужчины» из пространства «люди». Символы подчиняются тем же правилам, что и в арифметической алгебре, за исключением дополнительной аксиомы, что x^2 = х. В арифметике это уравнение верно только в случае, когда х равен 1 или 0, но в булевой алгебре это верно всегда — выбор класса «мужчин» дважды даст то же самое, что и однократный выбор. Кроме того, Буль придал символам 1 и 0 конкретные значения: 1 — это «всё», а 0 — «ничто». Эти идеи лежат в основе всемирной компьютерной революции, и мы снова вернемся к ним и подробно их рассмотрим в Главе 23.

Огастес де Морган был верным сторонником новой алгебры. Он родился в Индии, посещал Колледж Троицы в Кембридже, но не стал «оксфордианцем» или «кембриджианцем», потому как, хотя и принадлежал к англиканской церкви, де Морган отказался пройти теологический экзамен, необходимый для получения диплома. Вместо этого в возрасте двадцати двух лет он был назначен профессором недавно основанного светского Лондонского университета, позднее получившего название Университетского колледжа в Лондоне. Он значительно развил идеи Пикока, уже в 1830 году заявив, что «за одним-единственным исключением, в этой главе ни одно из понятий или знаков арифметики или алгебры не имеет ни малейшего значения. Предмет обсуждения этой главы — символы и законы их сочетания, позволяющие создать символическую алгебру, которая после этого может стать грамматикой для ста различных алгебр». Единственным исключением, по де Моргану, был символ равенства, по этой причине в выражении х=у х и у должны иметь одно и то же значение. Это странно звучащее высказывание взято из книги «Тригонометрия и двойная алгебра» (1830): «двойная алгебра» относится к сдвоенной природе комплексных чисел в противоположность «одиночной алгебре» действительных чисел. Но де Морган, казалось, не сумел до конца понять важность собственного заявления: увидев подобие между одинарной и двойной алгебрами, он полагал, что тройной или четверной алгебры быть не может. В этом он сильно ошибался.

Несмотря на то что оба родителя Уильяма Роуэна Гамильтона умерли, когда он был еще ребенком, его дарование стало заметным очень рано. Талантливый лингвист, он уже в пятилетием возрасте читал тексты на греческом, иврите и латыни. Он проступил в Дублинский Тринити Колледж и в двадцать два года, еще не получив диплома о завершении образования, был назначен Королевским астрономом Ирландии, директором обсерватории Дансинка и преподавателем астрономии. Одной из его любимых тем было рассуждение о том, что пространство и время неразрывно связаны, причем геометрия — это наука о пространстве, а алгебра — наука о времени. В 1833 году он представил в ирландскую Королевскую академию характерное представление сложных чисел а + ib как упорядоченной пары (а, b) со ставшими теперь стандартными геометрическими интерпретациями сложения и умножения:

(а, b) + (с, d) = (а + с, b + d)

(а, b) х (с, d) = (ас - bd, ad + bc)

Затем он попытался распространить систему двумерных сложных чисел до трех измерений. Поначалу это казалось довольно просто — он просто определил z = а + ib + jc с длиной, равной √ (а^2 + b^2 + с^2). Определение сложения тоже было довольно простым, но умножение просто не будет работать: невозможно менять сомножители местами без изменения результата. Эта проблема и числа более высокого порядка не давали ему покоя больше десяти лет. Затем, 16 октября 1843 года, он шел с женой вдоль Королевского канала, и вдруг на него снизошло озарение: нужно использовать четверки, а не тройки и отбросить закон коммутативности. В результате четверки выглядели так: z=a + ib +jc + kd c i^2 =j^2 = k^2 = ijk = -1. Это означало, что ij = k, но ji = -k, так что переместительный закон был отброшен. Но в целом структура была последовательной. Так возникла новая алгебра. Гамильтон остановился и вырезал формулу ножом на камне Бротонского моста. В тот день он оповестил ирландскую Королевскую академию, что на следующей встрече он желает прочитать лекцию о кватернионах — так он назвал свои четверки.

Важность этого открытия — не только в создании новой алгебры, но и в том, что математики получали свободу построения новых видов алгебры. Это первая подробная теория о некоммутативной алгебре. Свойство некоммутативности означает, что при трех измерениях общая последовательность двух вращений даст различные результаты в зависимости от того, в каком порядке они будут выполняться, в отличие от того, что происходит при двух измерениях. Оставшуюся часть жизни Гамильтон развивал новую алгебру и в 1853 году опубликовал «Лекции о кватернионах». Большая часть этой работы посвящена применению кватернионов в геометрии, дифференциальной геометрии и физике. Как мы увидим в следующей главе, Джеймс Клерк Максвелл сформулировал свои уравнения электромагнетизма в нотации кватернионов. Гамильтон был до одержимости твердо уверен, что кватернионы — ключ к полному описанию законов Вселенной. Он умер в 1865 году, почти завершив свой труд «Основы теории кватернионов», который был отредактирован и издан его сыном уже после смерти ученого.

Не только алгебра вырвалась из цепей геометрии, но и геометрия вышла за рамки пространственных концепций (см. Главу 16). И алгебру, и геометрию все больше рассматривали как абстрактные конструкции, простыми частными случаями которых были знакомая нам арифметическая алгебра и двух- и трехмерная геометрия.

Теорема 1

Все операции с языком как инструментом рассуждения могут быть выполнены с помощью системы знаков, состоящих из следующих элементов:

1. буквенные символы, такие, как х, у и т. д., которые отображают объекты наших концепций.

2. Знаки операций, такие, как +, -, х, описывают операции, являющиеся предметом наших размышлений, при помощи которых концепции и объекты комбинируются или решаются, чтобы сформировать новые концепции, вовлекающие те же самые элементы.

3. Знак равенства, =.

И эти символы логики используются, подчиняясь определенным законам, отчасти согласующимся с законами, соответствующими тем, что приняты в алгебре, а частично отличающимся от них.

Джордж Буль.

Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей (1854)

Молодая американская математика проявила себя именно в области создания новых алгебр. Бенджамин Пирс (1809–1890), профессор математики в Гарварде и директор Геодезической службы, был очень впечатлен работой Гамильтона и начал широко распространять его идеи в США. Пирс начал составлять таблицы для 162 различных алгебр. Каждая алгебра начиналась с нескольких — от двух до шести — элементов, которые могли быть скомбинированы при помощи двух операций — ассоциативного умножения и сложения. В сложении всегда был нейтральный элемент ноль, однако умножение порой не имело нейтрального элемента 1. Каждая из этих «линейных ассоциативных алгебр» разворачивалась в матрицу. Из-за того что профессор Гарварда в 1870-е годы был вынужден издавать свою работу литографическим способом, некоторые заключили, что в США экономические трудности. Работа была записана переписчицей от руки и напечатана в количестве всего 100 экземпляров. Сын Бенджамина, Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914), продолжил работу отца и показал, что из всех 162 алгебр только в трех была уникально определенная операция деления — в арифметической алгебре, алгебре комплексных чисел и алгебре кватернионов. В Англии Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879) создал свои алгебры (в том числе алгебру октонианов и бикватернионов). Он сделал это прежде всего для того, чтобы изучить движение в неевклидовом пространстве. Все эти новшества увели ученых далеко от той алгебры, которую знали в начале столетия.

Здесь история разветвляется на множество переплетающихся путей. Последователи Буля применили математику к логике, создав алгебраическую логику; итальянский математик Джузеппе Пеано (1858–1932), а позднее английский математик и философ Бертран Рассел (1872–1970) стремились вывести математику из логики — эту затею можно определить как логицизм. Другие ученые, тревожась из-за появления новых математических структур, начали искать твердый фундамент математики — то, на чем сможет надежно стоять все здание этой науки. О практических результатах этого поиска можно узнать из главы 23.

Если человек не знает, как рассуждать логично, — а я должен отметить, что большинство довольно хороших, да и выдающихся математиков подпадают под эту категорию, — но просто пользуется счетом на пальцах, слепо делая выводы по аналогии с другими выводами, которые оказались правильными, он, конечно, будет постоянно делать ошибки в отношении нон-финитных чисел. Истина заключается в том, что такие люди вообще не рассуждают. Однако для того меньшинства, что способно рассуждать, рассуждение о нон-финитных числах оказывается проще, чем рассуждение о числах финитных, поскольку [в первом случае] не требуется сложный силлогизм транспонируемого количества. Например, то, что целое больше своих частей, не является аксиомой, в отличие от мнения Евклида, в высшей степени плохого логика. Это теорема, легко доказуемая с помощью силлогизма транспонируемого количества, но не иначе. Она верна в отношении конечных множеств, но ошибочна в отношении бесконечных. Так, четные числа являются частью целых чисел. Тем не менее четных чисел не меньше, чем всех целых чисел; это несложная теорема, поскольку если любое число в целом ряде целых чисел удвоится, результатом будет ряд четных чисел:

1,2, 3, 4, 5, 6 и т. д.

2, 4, 6, 8,10,12 и т. д.

Так что для каждого числа существует отдельное четное число. На самом деле существует столько же отдельных удвоенных чисел, сколько существует вообще отдельных чисел. Но все удвоенные числа являются четными…

Чарльз Сандерс Пирс[22].

Закон разума (1892)[23]

18. Поля деятельности

С середины восемнадцатого века события в дифференциальном и интегральном исчислениях шли рука об руку с развитием математического анализа физических явлений, особенно движения. Исследуемые темы включали термодинамику, астрономическую механику, гидродинамику, оптику, электричество и магнетизм. Ученые составляли дифференциальные уравнения, описывая эти явления, а затем разрабатывали методы, необходимые для их решения. Единственное точное решение было трудно найти, а потому математики сосредоточились на методах приблизительного решения. Хотя упомянутые выше явления физически выглядели совершенно по-разному, все они в некотором смысле были связаны со средой. Со времени появления ньютоновских «Начал» бушевали споры относительно реальности «действия на расстоянии»: как, например, тяготение может действовать на большом расстоянии? Что такое тяготение и магнетизм — разные проявления одной и той же силы или совершенно различные явления? Возможно ли, что пространство заполнено некоей средой, известной как эфир? Если да, то что такое эфир и каковы его свойства? Чтобы проиллюстрировать все эти вопросы, я сосредоточусь на истории теории потенциала и ее связи с электромагнетизмом.

Дифференциальное и интегральное исчисления Лейбница усложнились и теперь позволяли работать более чем с одной независимой переменной, так что можно было исследовать функцию z=t (х,у) так же, как кривую y=ƒ(x) на плоскости. Это стало возможно благодаря появлению частичных дифференциальных уравнений, в которых каждую переменную можно было дифференцировать независимо от остальных. Взаимодействия движущихся частиц могли быть представлены дифференциальными уравнениями. Первоначальные решения Ньютона, описывавшие эллиптические орбиты планет, были получены только благодаря применению достаточно грубых упрощений, в частности утверждений, что Солнце и планеты имеют точечные массы и что каждую планету можно рассматривать независимо от всех остальных. Теперь, когда неприятие гелиоцентрической модели и эллиптических орбит было преодолено, можно было начать работу по созданию более точной и сложной модели. Одним из приемов было рассмотрение изменения энергии внутри динамической системы — речь идет о теории потенциалов, представляющей собой математический способ выразить физическую идею сохранения энергии.

Главные проблемы в области небесной механики возникли после того, как было обнаружено, что планеты не движутся по идеальным эллиптическим орбитам, а скорее покачиваются, двигаясь из стороны в сторону. По мере получения более точных данных становилось все очевиднее, что объекты Солнечной системы отклоняются от идеального пути, и это привело к развитию теории возмущений. Теперь путь планеты рассматривали как результат ее взаимодействия не только с Солнцем, но со всеми остальными планетами. Это сделало математический анализ движения планет невероятно трудным делом, так как теперь приходилось учитывать очень много переменных. Очень подробно рассматривалась задача трех тел: даже для упрощенной системы, состоящей только из Солнца, Земли и Луны, все равно невозможно было получить точное решение. Но затем, в 1747 году, Эйлер разработал новую технику, посредством которой можно было приблизительно вычислить расстояния между планетами в любой момент времени, используя раскрытие тригонометрических рядов.

Леонард Эйлер (1707–1783) — самый плодовитый математик в истории. В Базельском университете ему помогал Иоганн Бернулли. (Семейство Бернулли в течение нескольких поколений давало миру выдающихся математиков, это действительно настоящая научная династия.) В 1727 году Эйлер начал работать в Санкт-Петербургской академии наук, которую незадолго до этого открыла Екатерина Великая. В 1733 году Даниил Бернулли, сын Иоганна, возвратился домой в Базель, оставив кафедру математики в Санкт-Петербурге молодому Эйлеру. Год спустя Эйлер женился. У него родилось тринадцать детей, однако восемь умерли в младенчестве. Позднее он писал, что самые значительные свои открытия сделал, держа ребенка на руках или играя с детьми. У него были серьезные проблемы со зрением — в 1740 году он написал, что один глаз у него не видит, а в 1771 году ученый полностью ослеп. В 1741 году Эйлер принял приглашение Фридриха Великого переехать в Берлин и несколько лет спустя вошел в состав правления недавно основанной Берлинской академии наук. В 1766 году Эйлер возвратился в Санкт-Петербург и, несмотря на слепоту, получил там больше половины своих результатов. В работе ему помогали преданные ассистенты и его феноменальная память.

Математические исследования Эйлера охватывали практически все области математики. Он делал практические работы по картографии, судостроению, составлял календари, занимался финансовыми вычислениями. Но более всего он известен своими работами по математическому анализу и аналитической механике. Особенно известны такие поистине революционные работы, как «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Теория движения твердых тел» (1765) и главный труд, посвященный дифференциальному и интегральному исчислениям. Эйлер создал язык функций, запись ƒ(х), а также внедрил множество общепринятых теперь математических символов, вроде π для обозначения отношения окружности к ее диаметру, е — для базы натуральных логарифмов, i — для обозначения √-1 и знак ∑, для суммы. Он считал, что теория чисел, геометрия и математический анализ должны поддерживать друг друга в процессе моделирования явлений природы.

Теория возмущений позволила получить более точные результаты при вычислении орбит планет, но также привела к тревожному заключению, что планеты вовсе не должны оставаться на тех орбитах, по которым они движутся в настоящий момент. Небольшие колебания легко могут увеличиться, и планета сойдет со своей орбиты — казалось, придется допустить существование ангелов, не позволяющих планетам сойти со своих орбит. (В XX веке выяснилось, что динамику Солнечной системы можно объяснить с помощью теорий хаоса, — см. Главу 24.) Увеличилось число и сложность уравнений, необходимых для описания движения планет. Во Франции аналитические методы предпочли геометрическим, и это привело к огромному числу громоздких уравнений. Аналитический подход наиболее ярко использовал Жозеф Луи Лагранж (1736–1813), создавший систему уравнений, известную как «лагранжиан». В его «Аналитической механике» (1788) на всех 500 страницах не было ни одной схемы. В 1799 году Лаплас издал первый том энциклопедического труда «Небесная механика», в котором особое внимание уделялось теории потенциалов и теории возмущений.

В то время во Франции произошло множество значительных событий, и лишь немногие математики смогли избежать политических беспорядков французской революции. Молодой Огюстен Луи Коши (1789–1857) избежал самых серьезных неприятностей, связанных с революцией, лишь потому, что его семья решила на время покинуть Париж. После окончания Политехнической школы он занимался постройкой портовых сооружений для запланированного Наполеоном вторжения в Англию. Но в основном он хотел посвятить себя математике, и после многочисленных разочарований ему наконец удалось занять пост доцента математического анализа в Политехнической школе.

Производительность Коши была просто потрясающей: основными его трудами были «Курс математического анализа» (1821), и «Лекции по дифференциальному анализу» (1829). Его собрание сочинений составляет приблизительно 27 толстых томов. Но в политическом климате Франции начала девятнадцатого столетия многие плохо воспринимали его верность католицизму, и его отношения с коллегами нередко были довольно напряженными. За то, что Коши поддерживал иезуитов в их борьбе против Академии наук и отказался поклясться в преданности новому режиму, в 1830 году он был лишен всех своих постов и отправился вместе с Карлом X в изгнание. По возвращении в Париж он дважды не прошел конкурс на право занять должность руководителя кафедры математики в Коллеж де Франс, хотя, безусловно, был самым лучшим кандидатом. Лишь в 1848 году, после низвержения Луи Филиппа он вернул свое положение в университете. Между 1840 и 1847 годом Коши издал свой четырехтомный труд «Упражнения по математическому анализу и математической физике». Коши помог заложить фундамент действительного и комплексного анализа, которые составляют основу математической физики.

Французский подход к приблизительному вычислению функций посредством усеченных степенных рядов и надежда на получение более точных приближений за счет большего количества членов ряда критиковались многими из тех, кто искал более надежные методы вычислений. Например, уже в 1860-х годах Шарль Делоне опубликовал уравнение поистине чудовищных размеров, занимающее целую главу, за которым следовали почти шестьдесят методов оценки его элементов. В 1834 году Уильям Роуэн Гамильтон послал Королевскому обществу статью, где представил функцию, которую ныне называют гамильтонианом. В одном уравнении он смог описать движение любого числа частиц, перемещающихся в границах одного потенциала. Как объяснял сам Гамильтон, это выражение не только позволяло описать движение частиц, но и давало метод решения, в отличие от функции Лагранжа, попытки решения которой приводили к неудачам. С середины девятнадцатого века работа Римана в области геометрии преобразовала методы и язык теории потенциалов (Глава 16). Новая область, которая стала известна как дифференциальная геометрия, расширила представления об исчислении в трехмерном пространстве. Геометрические объекты, такие, как точки, кривые и поверхности, были описаны в терминах векторов, а динамические понятия, вроде скорости, ускорения и энергии, могли быть описаны функциями и операторами, действующими на эти векторы. В трех измерениях есть три различно описанных векторных оператора: оператор градиента, в котором векторная функция выражается через скалярную функцию f (х, у, z); оператор вращения, который выражает один вектор через другой вектор, и скалярный оператор, который выражает скалярную функцию через вектор. Действительно, поскольку каждую переменную динамической системы можно было бы рассматривать как «размерность» системы, работа Римана с многомерными пространствами сделала дифференциальную геометрию прекрасным средством для моделирования физических систем в рамках одной системы. Максвелл сформулировал свою теорию электромагнетизма именно в нотации дифференциальной геометрии.

К середине девятнадцатого века набралось уже очень много экспериментальных и теоретических результатов в области электричества и магнетизма. В 1780-х годах Шарль Кулон обнаружил в процессе эксперимента, что электростатическая сила, возникающая между двумя заряженными частицами, подчиняется закону обратного квадрата. Теперь ученые могли применить к электростатическим явлениям некоторые из математических моделей и методов, которые были развиты при работе с силами гравитации. В 1812 году Симон-Дени Пуассон рассматривал электростатику практически так же, как несколько десятилетий назад Лаплас решал задачи небесной механики. Он предполагал, что электричество состоит из двух жидкостей с противоположным зарядом, которые присутствуют во всех телах, где одинаково заряженные частицы отталкиваются, а разнозаряженные — притягиваются. Год спустя он получил частичное дифференциальное уравнение, которое связывает потенциал с плотностью заряда, теперь известное как «уравнение Пуассона». В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед обнаружил электромагнетизм, показав, что провод, несущий ток, может заставить колебаться намагниченную иглу. Это вдохновило Андре Мари Ампера начать изучать взаимодействие между электричеством и магнетизмом, для которого он выдумал термин «электродинамика». Он показал математически, что электромагнитная сила подчиняется закону обратного квадрата, так же как и электростатическая. Открытие электромагнитной индукции Майкла Фарадея показало, что электричество и магнетизм неразрывно связаны. Но физические теории того времени не были готовы адекватно объяснить эти явления. Например, идея Ампера о наличии в эфире крошечных электрических вихрей, которые передают магнетизм, столкнулась с проблемами, подобными тем, с которыми сталкивалась вихревая модель Декарта, призванная объяснить движение планет.

В результате анализа гравитационного взаимодействия между Землей и Луной астрономам стало очевидно, что из-за размеров этих двух тел и большого расстояния между ними их больше нельзя было считать точечными массами: теперь необходимо было рассмотреть влияние всего тела планеты. Если рассматривать все из некоей точки на Земле, гравитационное влияние Луны связано и с ее объемом или массой, и с ее формой. Эти взаимосвязи между силами внутри тела и на его поверхности были математически решены как отношения между объемным интегралом и поверхностным интегралом. Эти отношения были описаны в 1828 году в теореме Грина, названной в честь Джорджа Грина, который изучал математику в Кембридже. Эта теорема, которую Грин разработал для электромагнитных потенциалов, могла также использоваться и для гравитационных потенциалов.

В 1873 году Максвелл издал свой «Трактат об электричестве и магнетизме», в котором, вслед за Фарадеем, он описал такие ключевые понятия, как электрическое и магнитное поля. Максвелл попытался избежать того, чтобы его теории стали дополнительным аргументом в спорах о существовании эфира и истинной природы пространства, использовав, по существу, принцип нисходящего анализа (от сложных элементов к простым). Его теория избегает опоры на микроскопические идеи вроде заряда или тока, тогда еще не вполне понятные, а скорее применяет макроскопический подход, допуская существование полей, которые взаимодействуют друг с другом и со средой, через которую происходит это взаимодействие. Для Максвелла пространство было упругим континуумом, благодаря чему оно могло передавать движение из точки в точку. Из-за этой эластичности сама среда могла сохранять кинетическую и потенциальную энергии. Он многократно использовал теорию потенциалов и дифференциальную геометрию, поначалу записав свои уравнения в гамильтоновской кватернионной нотации, а затем в декартовском эквиваленте. Лишь Оливер Хевисайд перевел уравнения Максвелла в векторную форму, в которой они используются и по сей день.

Успех сопутствовал теории и представлениям Максвелла не с первых дней. Дж. Дж. Томпсон обвинял Максвелла в «мистике» за его теории полей. Эти обвинения довольно сильно напоминали реакцию, которую получил Ньютон в ответ на его теорию всемирного тяготения. В этот период в описании природы пространства царил полный хаос, и многие физики приспособили уравнения Максвелла для того, чтобы подтвердить свои собственные теории. В 1861 году Максвелл вычислил, что скорость электромагнитных волн очень близка к скорости света, что вдохновило его сделать свет частью электромагнитного спектра. В 1888 году Генрих Герц экспериментально доказал теорию Максвелла путем демонстрации существования электромагнитных волн. В то же самое время эксперименты Альберта Майкельсона и Эдварда Морли показали, что если эфир и существовал, то на него не влияло никакое движение как планет, так и пучка света. Старые аргументы о действии на расстоянии исчезли перед лицом экспериментальных доказательств. Но в основном переосмысление общего понятия пространства и времени произошло в 1905 году в результате работы Альберта Эйнштейна.

Впервые уравнения Максвелла с успехом были использованы в телеграфии и радиокоммуникациях. Хевисайд преобразовал его уравнения для телеграфии, где принял во внимание самоиндуктивность в линиях передач, которая была пропущена другими исследователями. Это привело к внедрению индуктивных катушек, чтобы повышать уровень сигнала, идущего по кабелям, в особенности по трансатлантическому кабелю. В 1902 году Гульельмо Маркони сумел успешно передать радиосигналы через Атлантику. Это подарило математическим физикам проблему точного моделирования того, как именно электромагнитные волны движутся в атмосфере Земли, особенно когда приемник находится вне поля зрения передатчика. С тех пор телекоммуникационная промышленность больше никогда не оглядывалась назад.

19. Заманчивая бесконечность

Математики и философы всегда боролись с понятием бесконечности. Греки боялись бесконечности и ее противоположности — бесконечно малых величин. Их страх время от времени всплывал на поверхность, особенно это заметно в определениях дифференциального и интегрального исчислений. Наконец в девятнадцатом веке проблема встала в полный рост. Результаты работы многих умов преобразовались во множество различных направлений математики, но сражение с бесконечностью и получившаяся в результате теория множеств была работой одного человека — Георга Кантора. Стимулом к этому стали все увеличивающееся использование бесконечных рядов и сомнения в их обоснованности.

Коши отобразил фундаментальные понятия дифференциального и интегрального исчислений в терминах арифметики, а не геометрии (это называлось арифметизацией исчисления). В отличие от древнегреческой традиции, в которой геометрии предоставлялось почетное место самого точного научного метода, девятнадцатый век поставил своей целью преобразовать математический анализ в арифметические образы. Это в значительной степени достигалось путем все увеличивающегося использования функций многочисленных переменных и функций комплексных переменных, визуальное представление которых часто было невозможно.

В 1822 году Жозеф Фурье (1768–1830) издал свой классический труд «Аналитическая теория тепла». Анализируя тепловой поток, Фурье решил получающееся дифференциальное уравнение способом, который стал известным как ряд Фурье. Согласно Фурье, любая функция может быть представлена бесконечным рядом синусов и косинусов, причем не только непрерывные функции, но даже прерывные или имеющие разрывы. Однако некоторые ученые начали сомневаться, что этот бесконечный ряд всегда сходится к необходимой функции, а немецкий математик Иоганн Петер Лежён-Дирихле (1805–1859) доказал, что это происходит только при наличии определенных ограничений. Дирихле обобщил понятие функции: он заявил, что любое правило, связывающее х и у, и есть функция, — и теперь не было необходимости иметь аналитическое выражение этого соотношения или уравнение. В качестве примера Дирихле построил «дикую функцию», определяя ее следующим образом: у = а, если х рациональное число, и у = b, если х — иррациональное число. Эта функция, которую сейчас математики описали бы как «патологическую», была прерывной в каждой точке и потому не могла быть нигде продифференцирована, но обсуждения сосредоточились на вопросе, можно ли ее интегрировать. Решение этой задачи потребовало определить, что именно следует считать иррациональным числом.

Галилей в своем анализе ускорения говорил, что, взяв бесконечный ряд натуральных чисел — 1, 2, 3… и возведя их в квадрат, вы получаете ряд 1,4, 9… Теперь, каждому числу из второго ряда может быть поставлено в соответствие число из первого ряда, таким образом, два ряда будут иметь одно и то же число членов. Но во втором ряду часть чисел отсутствует, так что в нем должно быть меньше элементов, чем в первом. Или две бесконечности были одинаковыми, или могут существовать различные виды бесконечности.

Бернхард Больцано (1781–1848), священник, живший в Праге, разработал интересные идеи, которые, к сожалению, долгое время оставались не замеченными учеными. Он выполнял арифметизацию дифференциального и интегрального исчислений методами, очень похожими на те, которые применял Коши, который во время своего изгнания бывал в Праге и встречался с Больцано. В своей работе «Paradoxien des Unendlichen», изданной посмертно в 1850 году, Больцано показал, что парадоксы вроде того, что обнаружил Галилей, обычны не только среди натуральных, но и среди действительных чисел. Например, в одном линейном сегменте то же число действительных чисел, что и в линии вдвое большей длины, что кажется алогичным и трудным для понимания. Этот богемский философ, похоже, очень близко подошел к пониманию того, что бесконечность действительных чисел относится к совершенно иному типу, чем бесконечность натуральных чисел. Он также внес свой вклад во все возрастающий список патологических функций, которые нарушали привычные правила исчисления.

Эта двойная проблема со свойствами функций и чисел была не случайной. Если какая-нибудь функция могла быть выражена как бесконечный ряд, скажем ряд Фурье, то было важно проверить, что этот ряд сходится к функции при каждом значении х — так называемая поточечная сходимость. Поскольку проверять это для каждого ряда довольно утомительно, предлагались различные критерии сходимости, каждый из которых требовал очень четкого понимания идеи бесконечной последовательности чисел, сходящейся к определенному числу. Коши, с его эллинистическим отвращением к бесконечностям, соскользнул в закольцованное доказательство, в одном месте определяя иррациональное число как предел последовательности рациональных чисел, а в другом выводя рациональные числа из иррациональных. Карл Вейерштрасс попытался освободить зависимость иррациональных чисел от пределов и постарался определить их не как предел последовательности, но как саму последовательность.

Тем временем Бернхард Риман переформулировал понятие интеграла в то, что сегодня преподается в школе. Функция Дирихле, упомянутая выше, все еще не имела интеграла в определении Римана. Приняв участие в собирании диких функций, Риман нашел еще одну, свою собственную, прерывистую в бесконечном числе точек, однако для этой функции интеграл не только существует, но и определяет непрерывную функцию, которая, в свою очередь, однако, не в состоянии иметь производную для того же самого бесконечного числа точек. Фундаментальная теорема дифференциального и интегрального исчислений была еще раз подвергнута сомнению.

Становилось ясно, что необходимо более четкое понимание того, что же на самом деле представляет собой иррациональное число, и, следовательно, было необходимо более ясное определение действительного числа. К 1850-м годам уже знали, что действительные числа можно разделить на два типа двумя различными способами: на рациональные и иррациональные числа, а также на алгебраические и трансцендентные. Рациональные числа — это любые числа вида m/n, то есть любая положительная или отрицательная дробь, включая целые числа и ноль. Иррациональные числа — это числа, которые не являются рациональными, вроде √2 и π. Алгебраические числа — это те, которые служат решениями конечных полиномиальных уравнений с целочисленными коэффициентами, то есть все числа, включая числа типа √2, но не π. Трансцендентными были числа, которые не были алгебраическими. Мы видим, что иррациональные и трансцендентные числа просто определяются тем, чем они не являются, и было непонятно, есть ли у них хоть какие-то специфические собственные свойства. В 1872 году была опубликована ключевая работа по этой теме — труд Рихарда Дедекинда (1831–1916) и Георга Кантора (1845–1918). В том же году началась их долгая дружба. Оба занимали относительно небольшие должности — Дедекинд в Политехническом института своего родного города Брансвик, Кантор — в Университете Галле, — но их работа оказала огромное влияние на весь математический мир.

Если множество действительных чисел непрерывно, Дедекинд задался вопросом, в чем разница между рациональным и иррациональным числами. Лейбниц, например, считал, что «сплошность» точек на линии связана с их плотностью, то есть для любых двух точек всегда есть некая третья, расположенная между ними. Однако рациональные числа также имеют это свойство, но тем не менее они не непрерывны. Вместо того чтобы продолжать искать способы склеивать точки, чтобы сформировать континуум, Дедекинд встал на противоположную точку зрения и стремился определить непрерывность в терминах определения разрывов в линейном сегменте. Представьте себе числовую ось как бесконечно длинную твердую трубу, набитую упорядоченными рациональными числами. Разрыв разрежет трубу на две части, обозначим их А и В. Образуются два торца трубы, конечные точки А и В. Глядя на открытый торец, мы можем прочитать число. Если на торце не видно никакого числа, то мы сделали разрез на иррациональном числе. Дедекинд определил иррациональные числа в терминах этих множеств А и В, а не в виде последовательности. Таким образом, свойства непрерывности или пределов могли быть формализованы в терминах арифметики, а не в виде остаточных геометрических понятий. Бертран Рассел позже отметил, что каждое из множеств А и В определено через другое и поэтому логически необходимо только одно из них, так что иррациональное число можно определять только в терминах множества А (или В).

Возвращаясь к вопросу о бесконечности, Дедекинд увидел в парадоксах Больцано не аномалию, а определение. Он понял, что множество бесконечно, если оно подобно точному подмножеству самого себя, то есть если может быть установлено некое соответствие между подмножеством и множеством. Например, множество {2,4,6...} — подмножество {1,2,3…}, и между ними можно определить прямое соответствие. Спустя два года после выхода книги Дедекинда, в 1874 году, Георг Кантор женился, и в поездку на медовый месяц он повез жену в Интерлакен, где они встретились с Дедекиндом. В том же году Кантор издал одну из своих самых революционных статей. Он согласился с определением бесконечного множества Дедекинда, но при этом считал, что не все бесконечности равны между собой.

Кантор начал с того факта, что любое множество, для которого может быть установлено некоторое соответствие с рядом натуральных чисел, является исчисляемым. Это очевидно для конечных множеств, но Кантор расширил понятие исчисляемости до бесконечных множеств. Множество всех натуральных чисел — само по себе «счетная бесконечность», и любое бесконечное множество, для которого можно установить некое взаимно однозначное соответствие этому множеству, — также счетная бесконечность. Например, хотя кажется, что целые числа уходят в бесконечность как в положительном, так и в отрицательном направлении, они также являются счетной бесконечностью, поскольку их можно переупорядочить следующим образом: {0, +1, -1, +2, -2…}. Кроме того, так же как в конечных множествах существует величина, известная как количество элементов (по существу, размер множества), так и бесконечным множествам Кантор определил значение степени множества. Два бесконечных множества имеют одну и ту же степень, если можно определить между ними взаимно однозначное соответствие. Выше мы видели, что рациональные числа образуют плотное множество. Целые числа этого не делают, то есть не всегда есть третье целое число, расположенное между любыми двумя другими целыми числами, — например, нет никакого целого числа между 1 и 2. Поэтому казалось вероятным, что множество рациональных чисел будет иметь более высокую степень, чем множество целых чисел. Однако в 1873 году Кантор нашел, что это не так. При помощи хитроумного расположения рациональных чисел он нашел метод, при помощи которого они могли быть поставлены во взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел.

Этот результат заставлял думать, что все бесконечные множества чисел на самом деле имеют одинаковую степень. Кантор показал, что это ложное утверждение, при помощи своего знаменитого аргумента диагонализации. Он предположил, что действительные числа между 0 и 1 исчисляемы и могут быть записаны по порядку и выражены как бесконечные десятичные числа: например, 0,2 может быть записано как 0,199 999… Затем он записал число, которое отличалось от первого в первом десятичном знакоместе, отличалось от второго во втором десятичном месте, и так далее. Это новое число отличалось от любого исходного числа, совокупность которых считалась завершенной, и поэтому реальные числа не были исчисляемыми. Множество реальных чисел имеет более высокую степень, чем множество рациональных. Далее Кантор показал, что даже алгебраические числа, которые представляют собой намного более общий класс, чем рациональные, имеют ту же самую степень, что и натуральные числа. Становилось все более очевидно, что континуум реальных чисел «уплотняется» за счет трансцендентных чисел. В определенном смысле большая часть чисел были трансцендентными.

Никто никогда не видел трансцендентное число; их существование было доказано в 1851 году Жозефом Лиувиллем. Лишь в 1882 году Фердинанд Линдеманн доказал, что старое доброе число π — это трансцендентное число, тем самым ответив отрицательно на многовековой вопрос о том, можно ли сделать невозможное, вычислив его с помощью циркуля и линейки. И все же Кантор пришел к еще более ошеломляющим результатам.

В письме к Дедекинду от 1877 года Кантор продолжил доказывать то, что Дедекинд просто принял как данность: то, что степень множества точек на любом линейном сегменте равна степени множества любого другого линейного сегмента. Таким образом, на линии единичной длины находится то же самое число точек, что и на всей числовой оси. Еще более впечатляющим было открытие, что это не зависит от размерности: на линии единичной длины находится такое же число точек, что и на площади со стороной единичной длины, и в кубе со стороной единичной длины — фактически то же самое число точек, как и во всем трехмерном пространстве. Кантор прокомментировал это Дедекинду: «Я вижу это, но я не могу поверить в это». К сожалению, слишком многие разделяли его недоверие.

В 1895 году Кантор письменно изложил свои отточенные представления об изобретении нового вида числа, так называемых трансфинитных кардинальных числах. Он обозначает счетную бесконечность символом אo (произносится как «алеф-ноль»), а первое неисчисляемое множество как אI. Таким образом, это целая бесконечная последовательность трансфинитных чисел, каждое из которых формируется как множество всех множеств предыдущего множества. Кантор также предложил, чтобы набор אI был эквивалентен множеству реальных чисел. Это так называемая Гипотеза Континуума, и она до сих пор не имеет доказательства.

Несмотря на столь новаторскую работу, Кантор так никогда и не реализовал свои амбиции, не сумев получить степень профессора в Берлинском университете. В значительной степени к этому привела открытая враждебность Леопольда Кронекера — его старого профессора. Кронекер активно выступал против новой ветви математики, открытой Кантором, делая заявления вроде «Бог создал целые числа, все остальные — работа человека». Плодотворная дружба с Дедекиндом прекратилась в 1882 году, когда Дедекинд отказался присоединиться к Кантору в Галле, хотя их дружба возобновилась в 1897 году, когда они встретились на конгрессе. Дедекинд, похоже, был вполне удовлетворен уютной провинциальной атмосферой, в которой он жил. Большую часть своего времени он посвящал редактированию собрания сочинений Дирихле и Гаусса — его бывших преподавателей, и Римана — его уважаемого современника. Кантор оставался в университете Галле. В 1884 году он перенес первый приступ умственного расстройства. В более поздние годы депрессии были постоянной темой его писем. Перед самым началом Первой мировой войны он вышел на пенсию и умер в 1918 году в психиатрической больнице в Галле. Конечно, неприятие его работ усугубило его душевное состояние. Но он дожил до того момента, когда его идеи получили законное признание как «самый удивительный продукт математической мысли», по словам Дэвида Гилберта, одного из ведущих математиков начала двадцатого столетия. Гилберт добавил: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Работа Кантора плодотворно повлияла на многие ветви математики, включая новый вид теории интегрирования в терминах измерения множеств. Это также помогло проинтегрировать функции Дирихле — ответ b.

20. Об игральных костях и генах

Исследование вероятности в том виде, каким мы видим это сегодня, началось лишь в семнадцатом веке, однако изучение комбинаций и перестановки объектов или событий имеет более длинную историю. Огромный интерес к ним был в Индии, особенно у джайнских математиков, работавших в IV веке до нашей эры. Джайнов вдохновляла религия, но большинство более поздних авторов стремилось изучить эти процессы для того, чтобы провести анализ азартных игр — предсказать возможные результаты и вывести правила, которые сделают игру совершенно честной. Поскольку вероятность стала тесно переплетаться со статистикой, появились новые методы анализа данных как в естественных, так и в общественных науках. Хотя эта наука никогда не покидала игорные столы, статистика в эпоху Просвещения стала математическим способом проведения государственной политики и гарантировать моральную и социальную справедливость.

Джайнизм появился в Индии почти одновременно с буддизмом, и его математическая литература относится к третьему или четвертому векам до нашей эры. Джайны выказали особый интерес к работе с числами и к средствам для того, чтобы выразить очень большие количества. Они обсуждали различные типы бесконечных чисел и методы их получения, а также различные способы комбинирования бесконечного числа объектов. Они занимались этими исследованиями, изучая различные способы сочетать пять чувств. Интерес к перестановкам можно увидеть также в ведической литературе — там это выражалось в способах объединения слогов в поэтические произведения и молитвы. В Майсуре в девятом веке джайнский математик Махавир (ок. 850) создал ставшие теперь стандартными правила комбинаций и перестановок.

Исследование комбинаций и перестановок теперь называется комбинаторикой. Космологическое и мистическое использование законов комбинаторики можно увидеть в трудах каталонского философа и мистика тринадцатого века Раймунда Луллия (1232 — ок. 1316), но, похоже, они прошли незамеченными для большинства математиков. Стимулом для изучения комбинаторики стала вполне мирская озабоченность азартной игрой. В «Божественной комедии» Данте упоминается «азартная игра», в которую играют с тремя костями. Один игрок бросает кости, а другой должен сделать предположение относительно их суммы. В поэме тринадцатого века «De vetula», написанной поэтом, известным как псевдо-Овидий, перечисляются 56 различных способов, которыми могут выпасть кости. Обе работы породили различные комментарии относительно математических правил игры. «Предыстория» этого предмета, вероятно, заканчивается трудом Кардано «Книга об игре в кости», изданным после его смерти в 1663 году, но написанным на сотню лет раньше, в котором описывается, как установить правильные ставки и в игре в кости, и в карточных играх.

Теория вероятности достигла нового уровня сложности в переписке 1654 года между Блезом Паскалем и Пьером де Ферма. Они обсуждали так называемую проблему очков игрока, которая касается разделения выигрыша между двумя игроками, когда игру в кости приходится оставить незаконченной. Этой проблемой занимались многие итальянские математики эпохи Ренессанса, включая Пачоли, Кардано и Тарталью, но ни один из них не добился окончательного решения. Ферма предпочел метод, основанный на составлении списка всех возможных результатов и вычислении абсолютного победителя в каждой игре. Вычисления становятся весьма длинными, поскольку число игр увеличивается, и Паскаль предпочитает метод математического ожидания. В своем «Трактате об арифметическом треугольнике» он объяснял отношения между числами в треугольнике Паскаля и о необходимых комбинациях. Каждый ряд треугольника дает коэффициенты биномиального разложения: третий ряд, например, дает числа 1, 3, 3, 1, которые служат коэффициентами разложения (а+ b)3 = а^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Число 3 во втором элементе показывает, что есть три комбинации, дающие а^2b, то есть aab, аbа и bаа. Используя соответствующий ряд в треугольнике Паскаля, можно таким образом быстро решить задачу разделения выигрыша. Если игроку А нужно две игры для того, чтобы выиграть, в то время как игроку В для этого нужно три игры, то один из игроков должен победить по крайней мере в четырех играх. Из ряда 1, 4, 6, 4, 1 в треугольнике Паскаля, выигрыш должен быть разделен в соотношении (1+4+6): (4+1) или 11:5.

Эти проблемы обычно обсуждались в терминах дробей, а не вероятностей. Первое теоретическое обсуждение вероятностей, лежащих в промежутке между 0 и 1, мы находим в трактате «Искусство предположений» Якоба Бернулли, изданном в 1713 году уже после его смерти. Он также указал, что вероятности можно оценить по частоте выпадения события, и попытался установить верхний предел числа испытаний, после которого можно быть «нравственно уверенным» в оценке вероятностей. К сожалению, такое строгое условие приводило к очень высоким значениям числа необходимых испытаний: например, чтобы быть на 99,9 % уверенным относительно правильного соотношения числа шаров разного цвета в коробке, потребовалось бы 25.500 испытаний. Эта процедура была уточнена Абрахамом де Муавром (1667–1754), который правильно оценил нормальное распределение как предел двучлена и получил более разумное число испытаний, позволяющих экспериментально приблизиться к истинным значениям вероятности. Де Муавр также многократно переиздавал свой труд «Страхование жизни», в котором эти открытия были применены к оценке страхования жизни и вычислению ренты. Стимул для того, чтобы применить вероятностные методы к демографическим данным, появился совершенно неожиданно. И здесь нам снова придется обратить взор к небесам.

Астрономам, пытавшимся определить точные орбиты планет, приходилось полагаться на результаты ряда наблюдений, в каждом из которых имелась небольшая ошибка. Таким образом, каждое измерение могло привести к немного иному уравнению орбиты планеты, и было неясно, какой метод следует использовать, чтобы гарантировать, что взятый набор данных позволит вычислить самую точную орбиту. И Кеплер, и Галилей боролись с этими ошибками наблюдения. Основной идеей было найти кривую, которая минимизировала бы общее число ошибок, и в 1805 году эта задача была решена Лежандром в его «Новых методах определения орбит комет» методом наименьших квадратов. В этой работе было приведено понятное обоснование и дан удобный обобщенный метод. В 1809 году Гаусс публикует свой метод в трактате «Теория движения небесных тел», утверждая, что использует его уже с 1795 года, и тем самым оспаривая приоритет Лежандра. Действительно, похоже, что уже в 1801 году Гаусс использовал именно этот метод для вычисления пути движения недавно обнаруженного астероида Церера на основании всего нескольких неоднородных данных наблюдений, сделанных ранее в том же году. Он также показал, что распределение ошибок происходило по тому, что сегодня называют гауссианой или нормальной кривой, и обобщало более ранний результат де Муавра. Обоснование метода Гаусса заключалось в том, что это распределение делало среднее значение наблюдений наиболее вероятным. Затем Лаплас уточнил методику расчета: каким бы ни было распределение ошибок отдельных замеров, их средние значения стремились к нормальному распределению. Он также показал, что оценки наименьших квадратов Лежандра будут также стремиться к тому же самому распределению. Астрономы быстро признали ценность предложенного метода, тем более что было известно — ошибки астрономических наблюдений были неизбежными. К ним приводила не просто недостаточная точность измерительных инструментов, но и искажение пути движения света, идущего от звезд и попадающего в очаги турбулентности в атмосфере. В 1812 году Лаплас издал свой великий трактат «Аналитическая теория вероятности», в котором синтезировал все события в математике, происходившие до этого момента. Эта книга оставалась для многих поколений ученых главным текстом по математике.

В социальном контексте теория вероятности считалась «исчислением рационального поведения». В 1814 году Лаплас сказал, что вероятность — это просто здравый смысл, преобразованный в вычисления. Математики эпохи Просвещения полагали, что просвещенные люди действуют рационально и вероятность дает обычным людям измеримый образец, с помощью которого они могли бы, по крайней мере, подражать здравому смыслу лучших представителей общества. Целью ученых было создание универсального стандарта человеческого поведения, а исследование азартных игр было просто способом найти инструменты для того, чтобы принимать рациональные решения в мире, полном неопределенностей. Например, Лаплас и другие ученые рассматривали вероятность того, что суд с определенным количеством присяжных вынесет несправедливый приговор. Но другие мыслители были совершенно не согласны с рационалистическим духом французской революции. Джон Стюарт Милль считал, что разумное решение лучше определяется путем наблюдения и эксперимента, а не посредством умозрительных вероятностных предположений.

Адольф Кетле (1796–1874), бельгийский математик и астроном, выявил связь между статистикой, стоявшей на службе у астрономии, и социальной статистикой. В основе его идеи о «среднем человеке» лежала формула нормального распределения. Так же, как отдельные несовершенные данные о наблюдениях за звездой группировались вокруг ее истинного положения, так и свойства реальных людей распределялись вокруг «среднего значения». Таким образом, отклонение от этой «теоретической нормы» считалось своего рода ошибкой измерения. Он считал государственно важным делом собрать и проанализировать демографические данные так, чтобы «социальный физик» мог раскрыть социальные законы, аналогичные физическим законам. Он объяснял свои теории тем, что показатели рождений, смертей, преступлений и браков, похоже, оставались неизменными из года в год, хотя в разных странах эти цифры могли различаться между собой, таким образом оправдывая предположение, что каждое социальное тело имеет устойчивую, но несколько отличную от других «социальную физику».

Такие социальные данные начали собирать в семнадцатом веке и продолжают делать это до сих пор. В 1662 году Джон Граунт издал свои «Природные и политические наблюдения», основанные на статистическом анализе лондонских «Отчетов о смертности населения», которые печатались еженедельно и использовались как барометр, чтобы предупреждать людей о возможном начале эпидемии и дать им возможность покинуть город. В 1693 году астроном Эдмонд Галлей издал «таблица продолжительности жизни», основанные на отчетах о смертности жителей города Бреслау, данные которого были более точными, чем те, к которым имел доступ Граунт. Галлей также смог показать, что правительство того времени слишком дешево продает ежегодную пожизненную ренту. Математическая статистика конца девятнадцатого века может считаться новой ветвью математики, которая соединила статистические методы астрономов и приемы сбора данных страховщиков.

Вряд ли мне известно что-либо, способное столь сильно поразить воображение, как удивительная форма космического порядка, выраженная «Законом частоты появления ошибок». Если бы греки знали его, они наверняка связали бы его с каким-нибудь божеством. Этот закон действует в полнейшем хаосе, сохраняя абсолютное спокойствие и до поры оставаясь в тени. Чем буйнее толпа, чем очевиднее проявляется анархия, тем более заметно его влияние. Это — высший закон безумия. Всякий раз, когда большая выборка хаотически разбросанных элементов выстроена в порядке их величины, оказывается, что в них скрыта самая прекрасная форма регулярности, о которой никто и подозревать не мог.

Сэр Фрэнсис Гальтон.

Природная наследственность (1889)

Фрэнсис Гальтон (1822–1911), кузен Чарльза Дарвина, разработал биометрические принципы. Он использовал статистические методы для анализа социальных данных и наследственных свойств. Главной целью так называемого движения евгеники было улучшить человеческий вид при помощи селективного размножения, а статистика использовалась для обеспечения количественного представления пути развития человечества и способа определения направления его усовершенствования. Гальтон применил нормальное распределение не как «кривую ошибок», но как меру изменения, поняв на основании теории эволюции Дарвина с помощью естественного отбора, что биологическая изменчивость нуждалась в анализе сама по себе, а не как эволюционная ошибка относительно некоторой идеализированной «нормы».

Именно Гальтон ввел понятия регресса и корреляции. Статистическое понятие регресса возникло из исследования душистого горошка. Гальтон разделил партию семян на семь групп согласно размеру семени. Семена получающегося потомства показали ту же самую изменчивость, или разницу в размере, соответственно группам. Средний размер семени всей партии оставался постоянным, но значения размера отдельных групп далеко ушли от своей родительской группы в сторону этого среднего значения — математического ожидания группы. Таким образом, значения «регрессировали» в направлении среднего значения по совокупности. В 1885 году Гальтон обнаружил явление регресса и разобрался в нем, а в 1889 году он ввел связанную с этим понятием идею корреляции. Измеряя две взаимосвязанные переменные и отображая эти значения в виде графика, Гальтон обнаружил единую безразмерную величину, которая служила коэффициентом взаимосвязанности между этими двумя переменными. Этот коэффициент корреляции варьировался между +1 — идеальная положительная корреляция — до -1 — идеальная отрицательная корреляция. Когда этот коэффициент приближался к нулю, это означало, что между переменными нет никакой корреляции. Сам по себе коэффициент корреляции не мог доказать никакой причинной связи между переменными, но мог оправдать дальнейшие эксперименты, которые позволили бы обнаружить эту связь.

Гальтон занимался изучением наследования непрерывного изменения, в то время как Мендель изучал дискретное изменение, хотя ни один из них не знал ничего о работе другого. Грегор Мендель обучался математике и физике. В статье 1865 года он написал о возможном существовании генов, и в 1900 году на эту статью обратили внимание сторонники биометрии. Она привела к серьезной полемике, верные дарвинисты и сторонники биометрического движения по большей части отвергали понятие генетического материала. Пирсон считал эту идею излишне метафизической и не мог понять, как дискретный объект может демонстрировать непрерывные свойства. Вопрос не был решен до тех пор, пока в 1918 году Фишер не показал, что при достаточно большом числе генов в модели Менделя возникнут корреляции, изученные сторонниками биометрии. Это было похоже на дискретное биномиальное распределение, стремящееся к нормальному распределению при увеличивающемся числе испытаний.

Философские аргументы находятся за пределами наших возможностей, но важно подчеркнуть, что статистика развивалась не как независимая ветвь математики. Развитие статистики и инструментов аналитики было поставлено на службу социальным проблемам. В конце жизни Гальтон финансировал профессуру по евгенике (теперь «Генетика человека») в Лондонском университете. Первым профессором был Карл Пирсон (1857–1936), за которым следовал Роналд Эйлмер Фишер (1890–1962).

В 1901 году Пирсон и Гальтон основали журнал «Биометрика», который стал ведущим изданием в области статистики. На его страницах мы находим не только теорию регресса и корреляции Гальтона, но и критерий хи-квадрат Пирсона, разработанный им в 1900 году. Этот критерий позволил правильно оценить, насколько точно подходит теоретическое распределение к данным, к которым оно должно быть применено. В 1908 году B. C. Госсет, ученый-биолог, работавший на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине, ввел t-распределение для маленьких выборок. Он написал статью под псевдонимом «Студент», и t-тест иногда упоминается как «студенческий тест». Большая часть работ Пирсона потерялась в тени более поздних трудов Фишера, который разработал дисперсионный анализ — технику, первоначальным предназначением которой было проверять значение данных экспериментов. Поначалу он применялся для обработки данных случайных групп экспериментов, вроде тех, которые используются в сельском хозяйстве для проверки удобрений. Этот метод математически отделяет любой реальный «эффект» от любой случайной «ошибки». Если какой-то эксперимент показывает реальный эффект, то математический метод выявит интенсивность этого эффекта относительно ошибки.

В 1920-х годах статистика стала считаться математиками вполне законным предметом исследования, поскольку она приводила к большей точности и позволяла уточнять применяемые методы. Фишер изложил идеи относительно плана экспериментов и дисперсионного анализа в своей книге «Проект экспериментов» (1936). Она оказала большое влияние на ученых Англии и США. Они радикально изменили практику проведения экспериментов в тех науках, где приходится иметь дело с изменчивым материалом, который невозможно абсолютно точно повторить в лабораторных условиях.

21. Военные игры

Люди всегда любили играть в игры, и в каждую эпоху существовало свое повальное увлечение. Большинство игр — сочетание умения и удачи, и лишь после многократных розыгрышей, нивелирующих влияние случая, выяснялось, кто на самом деле самый хороший игрок. Однако существуют некоторые игры, которые практически ничего не оставляют на откуп судьбе — никакого бросания игральных костей, никакой опоры на удачу. Это стратегические игры, и их исследование — предмет теории игр. Есть также игры, выигрыш в которых в буквальном смысле становится вопросом жизни или смерти. Поскольку грубые тактические ошибки менее дорого обходятся на смоделированном поле битвы, военные стратеги всегда обращались к военным играм, чтобы отточить свои навыки, так что нет ничего удивительного, что шахматы или японская игра го — это идеальные военные игры. Также не стоит удивляться тому, что первым практическим применением теории игр был анализ нового вида войны — скорее всего, последней.

В девятнадцатом веке пруссаки изобрели игру, называвшуюся «Кригшпиль», буквально «военная игра». В нее играли на специальной доске. Это была тактика в чистом виде, и она стала реалистичной, как никогда после, когда в ней появился рефери, выносящий решение по спорным ситуациям при помощи таблиц данных, полученных во время реальных сражений. Военный успех прусской армии в значительной степени приписывался их изощренной тактике, отработанной на этой игре. Эту игру взяли на вооружение такие удаленные от Германии страны, как Америка и Япония. Поражение Германии в Первой мировой войне положило конец мифическому статусу игры. Становилось очевидным, что быстрое развитие нового вооружения и систем поставок означало полный пересмотр военной стратегии. Вооруженные силы нуждались в математиках и ученых не только для того, чтобы развивать вооружение, но также и для разработки новых стратегий, что до этого времени было прерогативой генералов, погруженных в изучение военной истории. Особенно заметно это стало после Второй мировой войны, и понимание, что две супердержавы обладают оружием массового поражения, полностью изменило правила. Настольные игры с конницей и пушками казались почти доисторическими.

Но математики продолжали анализировать стратегические игры, чтобы создать теорию, имеющую практическое применение. Эмиль Борель, французский математик, бывший в 1920-х годах военно-морским министром Франции, написал труд, озаглавленный «Теория игр», в котором он проанализировал такие вещи, как блеф в покере и применение математики игр в экономике и политике. Влияние Бореля можно увидеть в такой значительной книге, как «Теория игр и экономического поведения», изданной в 1944 году. Она была написана венгерским математиком Джоном фон Нейманом и австрийским экономистом Оскаром Моргенштерном. Оба этих ученых в то время работали в Принстоне. Они представили теорию игр как возможную модель экономических взаимодействий. Экономисты не спешили хвататься за новую теорию, которая своими корнями уходила в военные стратегии.

Янош фон Нейман (1903–1957), позже известный как Джон фон Нейман, родился в Будапеште и с самого раннего детства демонстрировал феноменальные математические способности. В 1921 году он стал одним из крайне ограниченного числа евреев, поступивших в Будапештский университет, а в 1926 году получил докторскую степень, защитив диссертацию по теории игр, несмотря на то что никогда не посещал лекции. Вместо этого он провел предшествующие годы в Берлине и Цюрихе, изучая химию — предмет, который его отец считал наиболее перспективным с точки зрения выбора карьеры, продолжая математические исследования совместно с такими математиками, как Герман Вейль и Джордж Полья, а позднее учился вместе с Давидом Гилбертом в Геттингене. В 1930 году он отправился в Принстон, и в 1933 году стал одним из пяти первых математиков, поступивших в недавно основанный Институт специальных исследований в Принстоне, где провел большую часть своей жизни. Когда нацисты пришли к власти, он отказался от всех постов в Германии и решил обосноваться в Америке, но не как беженец, а потому, что считал, что там у него будет больше возможностей для работы. С 1940 года он активно занимался научным консультированием по военным вопросам, работал в Лос-Аламосе над проблемами квантовой механики для создания атомной бомбы, а в 1955 году был назначен в Комиссию по ядерной энергии. Вспоминая о днях, проведенных в Цюрихе, Полья рассказывает: «Джонни был единственным студентом, которого я боялся. Если по ходу лекции я упоминал о нерешенной проблеме, то почти всегда он подходил ко мне по окончании лекции с полным решением, накарябанным на клочках бумаги». Нейман умер в 1957 году от рака, и друзья рассказывали о его отчаянии от потери мыслительных способностей после того, как он всю жизнь старательно взращивал их. Самая запоминающаяся из его работ была посвящена теории игр, квантовой механике и методам вычисления.

Самый простой тип игры — игра с нулевой суммой, с двумя стратегиями и двумя игроками — игра, в которой два совершенных, рационально мыслящих игрока стремятся к победе. В этой игре общий счет равен нулю, то есть то, что один игрок выигрывает, другой проигрывает. Забавный пример такой игры — «раздел пирога». Этот сценарий случается во многих домах — надо разделить пирог между двумя детьми так, чтобы ни один из них не считал, что другому досталось больше. Решение — двухступенчатый процесс; один ребенок разрезает пирог пополам, а второй ребенок имеет право первого выбора. Оба ребенка хотели бы кусок побольше, но при разумном предположении, что каждый ребенок понимает жадность другого, это оптимальное решение. Первый ребенок должен разрезать пирог самым справедливым способом, потому что, если одна часть будет намного большей, тогда второй ребенок, без сомнения, выберет именно его. Так называемая минимаксная теория, разъясненная фон Нейманом, гласит, что в этом случае возникает «седловая точка», или оптимальное решение, когда оба игрока будут довольны. Теория была дополнена включением большего числа игроков. Когда число игроков увеличивается, решение задачи становится все более трудным. Большая часть книги обсуждает игры в терминах таблиц выплат игрокам, и, по мере того, как число игроков все увеличивается, таблицы становятся все больше и больше, требуя значительных матричных расчетов.

В 1940-х годах Джон Форбс Нэш дополнил теорию игр фон Неймана играми «с ненулевой суммой». Пример такой игры — фондовая биржа: среди игроков могут быть победители и проигравшие, но общий денежный банк также меняется вследствие увеличения капитализации рынка. Нэш обнаружил, что игры с «ненулевой суммой» также имеют равновесное решение. Он родился в 1928 году в Западной Вирджинии, закончил Технологический институт Карнеги и получил докторскую степень в Принстоне, защитив в 1950 году диссертацию по бескоалиционным играм. Подготавливая докторскую диссертацию, он написал статью, которая, в сочетании с многими другими, стала основанием для присуждения ему в 1994 году Нобелевской премии по экономике. Начиная с 1951 года он занимался преподаванием в Массачусетском технологическом институте, где провел революционную работу, посвященную геометрии, многочленам Римана и евклидовому пространству. В 1959 году этот самый многообещающий из молодых математиков заболел шизофренией. События его жизни и излечение в середине 1970-х годов были описаны им лично на Всемирном конгрессе по психиатрии в 1996 году. Он продолжал создавать выдающиеся работы даже во время пребывания в больнице, занимаясь такими областями математики, как геометрия, топология и дифференциальные уравнения. Он также продолжал заниматься геометрией пространства.

Работа Нэша показала, что есть сценарии, в которых оптимальный результат не является следствием действий, кажущихся наиболее очевидными. Известный пример этого — так называемая дилемма заключенного, изобретенная Мелвином Дрешером и изложенная Альбертом Такером на лекции студентам-психологам. Сценарий при пересказывании изменился, но в его оригинальной форме двое мужчин были арестованы за нарушение закона и помещены в отдельные камеры. Если один из них признается, он будет вознагражден, а второй — оштрафован. Если оба признаются, то оба будут оштрафованы. Если ни один не признается, то они оба будут освобождены. Суть дилеммы в том, что оптимальной стратегией будет сохранять спокойствие, в результате чего оба будут выпущены на свободу, но страх, что такая стратегия может иметь неприятные последствия, если другой человек признается, вполне может вынудить обоих признаться, и тогда оба будут оштрафованы. Именно такие сценарии и стратегические игры используют на переговорах, будь то торговля, военные переговоры, бизнес или работа с персоналом. Экспериментально было выяснено, что люди отлично умеют находить теоретически оптимальные решения, и случайное отступничество ведет к быстрому и неотвратимому возмездию другой стороны — тактика, известная как «зуб за зуб».

Есть игры, в которых существует оптимальная стратегия, и как только она нащупывается, игра становится чрезвычайно тривиальной. Например, крестики-нолики — популярная детская игра, но как только ее стратегия становится понятной и каждый игрок начинает действовать согласно этой стратегии, интерес к игре сразу теряется.

Нэш доказал, что даже шахматы имеют оптимальную стратегию, но эта игра настолько сложна, что оптимальная стратегия все еще не найдена, даже не ясно, будет ли результат ничьей или победой для белых. Если оптимальная стратегия когда-либо будет найдена, шахматы станут столь же тривиальными, как крестики-нолики. Есть ли оптимальная стратегия для применения ядерного оружия? В течение нескольких коротких лет Америка была единственной ядерной державой, но страх, что Россия создаст ядерный арсенал, заставил некоторых мыслителей, вроде фон Неймана и даже Бертрана Рассела, протестовать против первого ядерного удара по России и призывать всемирный парламент добиваться глобального мира. Это не было осуществлено, и мир вскоре перешел к политике сдерживания и взаимно гарантированного уничтожения. Подобные стратегии были разработаны в секретном консультативном органе ученых Корпорации RAND.

Корпорация RAND была основана в 1945 году на оборонные фонды, оставшиеся после войны. Первоначально они были частью проекта «Дуглас Эркрафт». В 1948 году она была формально заявлена как некоммерческая организация с финансированием, осуществляемым военными и деловыми кругами. Это был типичный мозговой центр, ученые которого должны были «придумывать невероятное». Целью RAND были «исследования и развитие», большая часть его проектов была сосредоточена в области национальных ядерных стратегий. В 1940-е и 1950-е годы там какое-то время работали все известные математики США. Нэш познакомил их с семейством стратегических игр, включая «Кригшпиль». Была тщательно изучена логистика войны, были задействованы предохранительные механизмы, чтобы предотвратить любые случайности. Поскольку обе стороны выражали опасения относительно растущего запаса оружия, применение стратегии «зуб за зуб» казалось маловероятным — ядерная игра была одной из тех, в которую можно играть только один раз. Подобная политика привела к сильнейшему напряжению в жизни двух поколений населения мира и их лидеров.

RAND работал скорее как университет, чем как военное агентство, позволяя ученым свободно вести привлекательный для них образ жизни. Здание агентства было открыто круглосуточно. В RAND имелось процветающее издательство. Одной из самых популярных книг, изданных в 1954 году, была книга «Умелый стратег», написанная Джоном Д. Вильямсом, — популярное описание применения теории игр для непрофессионалов. В книге присутствовал столь типичный для этой корпорации черный юмор. Сейчас существует множество других мозговых центров, порожденных успехом RAND, но ни один из них не имел такого мощного коллектива математиков, занятых исключительно абстрактным мышлением.

Терминология, используемая в этих стратегических играх, включает сотрудничество и измену. Позднее теория игр много критиковалась за циничный взгляд на людей как на существ совершенно корыстных и пекущихся только о своей выгоде. Однако последующие исследования показали, что реальные стратегии людей действительно отражают их восприятие относительной пользы. В игре с нулевой суммой ничья оставила бы каждого игрока с теми же деньгами, с которыми он начал ее, но в игре с «ненулевой суммой», типа фондовой биржи, победа и проигрыш относительны, и там игра заключается скорее в получении максимального выигрыша, чем в уничтожении противника. Таким образом, сотрудничество становится более обычным делом, если обе стороны извлекают выгоду из сделки. Хотя поначалу теория игр развивалась довольно медленно, теперь это неотъемлемая часть анализа рыночной экономики. Недавно она была использована в глобальной продаже с аукциона лицензий предприятия коммунального обслуживания частным фирмам, в результате чего был получен очень необходимый доход и открыты новые рынки. Весь глобальный рынок — это сцена, где игроки колеблются между сотрудничеством и соревнованием. Это мир теории игр.

Я собираюсь рассмотреть вопрос: могут ли машины мыслить. Но для этого нужно сначала определить смысл терминов «машина» и «мыслить». Можно было бы построить эти определения так, чтобы они по возможности лучше отражали обычное употребление этих слов, но такой подход таит в себе некоторую опасность. Дело в том, что, если мы будем выяснять значения слов «машина» и «мыслить», исследуя, как эти слова определяются обычно, нам трудно будет избежать того вывода, что значение этих слов и ответ на вопрос «могут ли машины мыслить?» следует искать путем статистического обследования… Однако это нелепо. Вместо того чтобы пытаться дать такое определение, я заменю наш вопрос другим, который тесно с ним связан и выражается словами с относительно четким смыслом.

Эта новая форма может быть описана с помощью игры, которую мы назовем «игрой в имитацию». В этой игре участвуют три человека: мужчина (А), женщина (В) и кто-нибудь задающий вопросы (С), которым может быть лицо любого пола. Задающий вопросы отделен от двух других участников игры стенами комнаты, в которой он находится. Цель игры для задающего вопросы состоит в том, чтобы определить, кто из двух других участников игры является мужчиной (А), а кто — женщиной (В). Он знает их под обозначениями X и Y и в конце игры говорит либо: «X есть А и Y есть В», либо: «X есть В и Y есть А». Ему разрешается задавать вопросы такого, например, рода:

С: «Попрошу X сообщить мне длину его (или ее) волос».

Допустим теперь, что в действительности X есть А. В таком случае А и должен давать ответ. Для А цель игры состоит в том, чтобы побудить С прийти к неверному заключению. Поэтому его ответ может быть, например, таким:

«Мои волосы коротко острижены, а самые длинные пряди имеют около девяти дюймов в длину».

Чтобы задающий вопросы не мог определить по голосу, кто из двух других участников игры мужчина, а кто — женщина, ответы на вопросы следовало бы давать в письменном виде, а еще лучше — на пишущей машинке. Идеальным случаем было бы телеграфное сообщение между двумя комнатами, где находятся участники игры. Если же этого сделать нельзя, то ответы и вопросы должен передавать какой-нибудь посредник. Цель игры для третьего игрока — женщины (В) — состоит в том, чтобы помочь задающему вопросы. Для нее, вероятно, лучшая стратегия — давать правдивые ответы. Она также может делать такие замечания, как «Женщина — я, не слушайте его!», но этим она ничего не достигнет, так как мужчина тоже может делать подобные замечания.

Поставим теперь вопрос: «Что произойдет, если в этой игре вместо А будет участвовать машина?» Будет ли в этом случае задающий вопросы ошибаться столь же часто, как и в игре, где участниками являются только люди? Эти вопросы и заменят наш первоначальный вопрос «могут ли машины мыслить?».

Алан Тьюринг.

Статья «Могут ли машины мыслить?» (1950)[24]

22. Математика и современное искусство

В двадцатом веке произошли множество научных открытий и взрыв технологического развития физики, биологии и гуманитарных наук. В эпоху Просвещения считалось, что накопленные знания обеспечат нам неограниченную власть над природой и освободят от власти материального мира. Реакция искусства на эти события не всегда была позитивной, о чем свидетельствует отказ Уильяма Блейка от ньютоновского представления о Вселенной, как о часовом механизме. В начале двадцатого века наш взгляд на Вселенную радикально изменился — теория относительности и квантовая механика вернули Вселенной ее тайну и магию. Однако, поскольку во время двух мировых войн научные и политические события столкнулись в непримиримом конфликте, было много серьезных оснований для того, чтобы по-новому оценить наше место во Вселенной. Хочется надеяться, что в будущем наша мудрость будет развиваться пропорционально нашим знаниям.

В других главах я уже рассматривал роль математики в этих событиях. Здесь я сконцентрируюсь на влиянии математики, порой тесно сплетающейся с новейшей физикой, на культуру и искусство. Искусство нередко становится самым общепринятым выражением философских изменений и личных реакций художников на изменяющуюся технологическую среду. Конечно, будет преувеличением думать, что лишь математика оказывает влияние на различные культурные движения, не следует даже говорить, что она оказывает на них наиболее заметное влияние, но интересно рассмотреть те области, в которых математика играла уникальную и важную роль. Само использование математических терминов в артистической среде наглядно продемонстрировало, что художники впитали язык и идеи математики и преобразовали их в реалии мира искусства.

Во многих новых художественных движениях, возникавших в течение первых двух десятилетий двадцатого века, использовались язык и идеи новых версий геометрии, разработанных математиками. Живопись и скульптура по самой своей природе — художественное выражение соответственно двухмерного и трехмерного пространств. Но и живопись, и скульптура — это лишь ограниченное представление о мире и человеческом существовании. Как новые геометрии помогли по-новому увидеть окружающее пространство?

В эпоху итальянского Ренессанса математический расчет перспективы позволил более реалистично отобразить трехмерный мир на двухмерной поверхности. Перспектива расширила язык живописи, и художники быстро освоили новые правила. Позже они сознательно нарушили эти правила ради визуального и эстетического эффекта. В двадцатом веке концепции новых геометрий, вроде неевклидовой геометрии и многомерного пространства, и в особенности понятие четвертого измерения, легли в основу кубизма, футуризма и сюрреализма. В начале века новые геометрии оказывали влияние на отдельных художников в большей степени, чем на художественный стиль в целом. К концу 1920-х годов получила распространение концепция теории относительности Эйнштейна о четвертом временном измерении, но к тому времени уже было проведено множество исследований пространственного четвертого измерения. В середине девятнадцатого века, приблизительно в 1830 году, в результате независимого открытия Лобачевским и Бойаи неевклидовой геометрии, произошла математическая революция (Глава 16). В 1854 году Бернхард Риман издал свой труд «О гипотезах, которые лежат в основе геометрии», подготовивший почву для математического исследования многомерных пространств и физических экспериментов, нацеленных на изучение истинной геометрии пространства.

Евклидова геометрия была теперь всего лишь одной из многих возможных конфигураций. Фактическая геометрия пространства была и продолжает быть предметом исследований математиков и физиков, но одновременно с ними художники начали исследовать геометрию восприятия и изображения. Если мы посмотрим на расширение идеи трех измерений пространства на четвертое, мы сразу же натолкнемся на проблему отображения. В книге Эдвина Эбботта «Флатландия» (1844) описана классическая аналогия того, как будут воспринимать двухмерные существа, живущие в выдуманном им плоскостном двухмерном мире, случайно попавший к ним трехмерный объект. Это представление было проиллюстрировано Клодом Брагдоном во многих книгах, включая «Человек-квадрат: притча о пространстве более высокого порядка» (1912). Смысл этого представления заключался в том, чтобы составить интуитивное представление о целом объекте при помощи последовательного выполнения ряда срезов, или поперечных сечений, проходящих через объект. Таким образом, чтобы живопись могла выполнить свое предназначение как средство выражения и отобразить весь объект, не важно трехмерный или четырехмерный, нужно было выполнить последовательность сечений, проходящих через объект, или сделать множество изображений объекта с различных ракурсов. Кубисты именно так и представляли себе предмет их живописи.

Перспектива стала считаться ограничением и была отброшена, поскольку сужала представление об объектах. Различие между восприятием объектов и самими этими объектами, о котором говорил философ Иммануил Кант, легло в основу многогранных форм кубизма. Возникло множество формулировок четвертого измерения, выходящих за пределы строго математического и пространственного определения: для некоторых людей это было платоновское царство идеального, мистики и иррациональности. Короче говоря, четвертое измерение освободило художника, позволив ему исследовать действительность, лежащую за рамками трехмерной перспективы. Эта свобода была подхвачена не только кубистами, но и итальянскими футуристами. Их интеллектуальный манифест 1909 года был отчасти политическим, отчасти художественным. Они провозглашали современность, индустриализм и технологичность. Художники типа Умберто Боччони, Джино Северини и Джакомо Балья выражали в своем творчестве динамизм четвертого измерения.

Давайте себе представим любое трехмерное тело, например африканского льва, в промежуток времени между любыми двумя моментами его существования. Между львом L0, или львом в момент времени t=0, львом L1, или финальным львом, расположено бесконечное число африканских львов самых разных видов и форм. Теперь, если мы рассмотрим множество, сформированное всеми этими точечными львами, существовавшими во все мгновения и во всех положениях в пространстве, и затем изучим развертывающуюся поверхность, то мы получим огибающего суперльва, наделенного чрезвычайно тонко нюансированными морфологическими особенностями. Именно такие поверхности мы называем «литохрониками».

Оскар Домингес.

Статья «Окаменение времени» (1942)

Вероятно, самым влиятельным математиком в мире официоза Франции в то время был Анри Пуанкаре, уважаемый интеллектуал, статьи которого выходили далеко за пределы математики, затрагивая вопросы политики, образования и этики. В 1906 году он стал президентом Академии наук, и его популярные работы вывели физику и математику на общественную сцену. Его философия относительности знания и сосредоточенность на творческой стороне математической деятельности, включая роль подсознательной инкубации трудных проблем, оказали огромное влияние на научную мысль начала двадцатого столетия. Возможно, в кубистских кругах не меньшее влияние имел малоизвестный математик Морис Принсе, специалист по страховой математике и живописец-любитель, который исследовал математику неевклидовой геометрии совместно с художниками Жаном Метцингером и Хуаном Грисом.

В 1905 Альберт Эйнштейн, в то время все еще скромный патентный чиновник, впервые написал о специальной теории относительности. В 1916 году, став профессором, он издал свою общую теорию. К концу 1920-х годов четвертое пространственное измерение было почти полностью заменено идеей относительно четвертого темпорального, или временного, измерения. Время, а следовательно, и движение полностью завладело умами некоторых художников, таких, как Марсель Дюшан и Умберто Боччони с его скульптурой «Уникальные формы непрерывности в пространстве» (1913), а также Франтишека Купки, и породило абстрактное искусство Казимира Малевича.

Кубизм был основан Пабло Пикассо и Жоржем Браком. Картина Пикассо «Авиньонские девицы» (1907) была первой кубистской картиной. Наиболее плодотворный период кубизма закончился в 1922 году, поскольку его последователи к тому времени отошли от ранее единого стиля. Хотя кубизм считался последовательным течением в искусстве, в основной философии и практике всегда существовали некоторые различия. Пикассо, кажется, находился в некоторой степени под влиянием математических идей, заявляя, что на него сильно повлияли смещающиеся перспективы Сезанна и строение африканского искусства и скульптуры. Брака также очень интересовали геометрические представления, ведь именно он придумал термин «кубизм». Конечно, можно проследить и непрекращающийся интерес к более традиционным геометрическим представлениям перспективы и структуры пространства. В 1912 году в Париже происходила выставка, оказавшая значительное влияние на развитие искусства. Она называлась «Золотое сечение» — ссылка на классическую пропорцию, которую часто можно увидеть в архитектуре и в искусстве. В то же самое время художники вроде Гриса и Жака Виллона приблизились к чисто абстрактной и геометрической форме кубизма, лишенного любых предметно-изобразительных свойств.

Оценить влияние на искусство начала двадцатого столетия неевклидовой геометрии намного труднее, чем воздействия идеи четвертого измерения. Проблема может корениться в сложности отображения неевклидовых пространств. Итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835–1900) отобразил геометрию Лобачевского в виде физической модели псевдосферы. Простого знания о существовании неевклидовой геометрии было достаточно, чтобы дать волю артистическому воображению. Возможно, ее формальный математический характер привел к тому, что она оказалась менее плодотворной, чем артистическая свобода, предложенная четвертым измерением. Живописцы вроде Дюшана были очень влиятельными, но они оставались в меньшинстве со своим предложением, чтобы художники изучали математику и другие точные науки. Однако анализ неевклидовой геометрии оказал влияние на основателя дадаизма — Тристана Тцара — и сюрреалистов.

В 1936 году живописец Шарль Сирато издал «Манифест дименсионизма». Цитируя теории Эйнштейна как один из источников своего вдохновения, он объявляет, что, «одухотворенные новой концепцией мира», искусства проникли в новое измерение. Живопись должна была оставить плоскость и выйти в объемное пространство, таким образом придя к пространственным конструкциям и инсталляциям. Он настаивал, что «скульптура должна покинуть замкнутое, неподвижное и мертвое пространство, то есть трехмерное пространство Евклида, чтобы завоевать артистически выразительное, четырехмерное пространство [Германа] Минковского». Манифест был подписан внушительным числом ведущих художников. Декларация учитывала и основные интерпретации четвертого измерения, то есть как пространственное и духовное измерение, так и время.

Однако, вообще говоря, немногие живописцы после 1930-х годов демонстрировали открытый интерес как к четвертому пространственному измерению, так и к неевклидовым пространствам, за исключением сюрреалистов. Андре Бретон нашел новые геометрии идеально подходящими в качестве аргументов в пользу новой «сюрреальности». Хотя сюрреалистичная теория Бретона в значительной степени базировалась на анализе подсознания Фрейда, на их создание также оказали влияние измерения высшего порядка, четырехмерное пространство-время, объединенное с более высокими измерениями иррационального и подсознательного. Мы можем заметить этот интерес в названиях некоторых из их работ, вроде «Молодой человек, удивленный полетом неевклидовой мухи» Макса Эрнста (1942), а также в их содержании. Примеры таких произведений — «пластичные» часы Сальвадора Дали, а также «Постоянство памяти» (1931) и гиперкуб — четырехмерный аналог куба — в его «Распятии» (Corpus Hypercubicus) 1954 года. Наиболее научный подход к искусству продемонстрировал сюрреалист Оскар Домингес, который, работая в скульптуре, был очарован жизнью объектов во времени. Его идеи относительно литохронических поверхностей кажутся очень близки к скульптурным работам Боччони. Оскар Домингес создал ряд пространственных «космических» картин, многогранные формы которых сравнивались с геометрическими моделями, построенными в Институте Анри Пуанкаре и показанными на фотографиях Мэна Рея на выставке сюрреалистов 1936 года. Но, чтобы неевклидовы геометрии явились миру во всей своей эстетической прелести и математической точности, надо было дождаться появления компьютеров.

Новые многомерные и неевклидовы геометрии, которые зародились как абстрактные математические теории, не только стали использоваться в новой физике, но и послужили источником вдохновения для художественных и философских движений, которые стремились свергнуть привычный образ мышления. В мире искусства эти геометрии принимали самые разные формы, от духовных до совершенно анархических, а порой и оба вида одновременно. Отказ от евклидовой геометрии как пространственной парадигмы означал, что было создано пространство для нового взгляда на жизнь, Вселенную и все сущее.

Новые художники подвергались яростному нападению за их озабоченность геометрией. Однако геометрические фигуры — сущность рисунка. Геометрия — наука о пространстве, его измерениях и соотношениях — всегда определяла нормы и правила живописи.

До сих пор трех измерений геометрии Евклида было вполне достаточно для выражения беспокойства, которое чувствуют великие художники, тоскующие по безграничности.

Новые живописцы не собираются, как и их предшественники, быть геометрами. Но можно сказать, что геометрия для скульптуры — то же самое, что грамматика для искусства слова. Сегодня ученые не ограничиваются тремя измерениями Евклида. Живописцы совершенно естественно, можно сказать интуитивно, увлеклись новыми возможностями измерения пространства, которые на языке современных студий обозначаются термином «четвертое измерение».

С точки зрения пластики четвертое измерение выходит из трех известных измерений. Оно отображает необъятность пространства во всех направлениях в любой взятый момент. Это само пространство, это измерение бесконечности. Четвертое измерение придает всему пластичность. Оно придает всему правильные пропорции, в то время как в греческом искусстве, например, из-за несколько механического ритма пропорции постоянно нарушаются.

В греческом искусстве было чисто человеческое понимание красоты, в нем нужен человек как мера совершенства. Но в искусстве новых живописцев за новый идеал принимается бесконечная Вселенная, и именно по этому идеалу мы сверяем новые формы прекрасного, именно он позволяет живописцу располагать предметы в соответствии с желаемой им степенью пластичности…

И наконец, я должен отметить, что четвертое измерение… призвано поддержать устремления и предчувствия многих молодых художников, которые изучают скульптуры Египта, Африки и народов Океании, медитируют на различных научных работах и живут в ожидании великого искусства.

Гийом Аполлинер.

Статья «О предмете современной живописи».

Журнал «Суаре де Пари», февраль 1912 г.

23. Машинные коды

В истории математики существовало множество параллельных течений, из которых то одно, то другое периодически выходило на передний план. Такими были отношения между арифметикой и геометрией, или между чистой и прикладной математикой. Другой парой противоположностей можно назвать алгоритмическую и «аналитическую» математику. Последнюю более интересовали лежащие в основе структуры и «красивые» теоремы, тогда как первая в основном занималась выработкой процедур, необходимых для принятия практических решений. Мы видели, например, как в различных системах счисления использовались различные методы или алгоритмы, позволяющие найти иррациональные числа вроде √2. Исследование того, какая процедура наиболее эффективна в терминах достижения необходимого уровня точности при наименьшем числе шагов, — основная забота алгоритмической математики.

Первоначально термин «алгоритм» обозначал вычисления, выполняемые при помощи индо-арабских цифр, в отличие от вычислений на абаке или на счетной доске. По мере сокращения в Европе подсчетов на абаке, а также потому, что вычисления стали намного более трудоемкими, росло желание выполнять вычисления при помощи механического вычислительного устройства. В семнадцатом веке математики вроде Паскаля, Декарта и Лейбница мечтали создать универсальный язык, на котором можно было бы закодировать все математические проблемы, и написать методы решения, которые можно было бы выполнять механически. Они пытались построить разнообразные механические калькуляторы. Представление Лейбница об универсальном языке исчисления выходило за рамки дифференциального и интегрального исчислений и включало формальные правила, с помощью которых можно было решать вопросы науки, этики и закона. Использование вычислительных машин могло значительно увеличить мощность любого эффективного алгоритма, но лишь в двадцатом веке произошло объединение программного обеспечения и аппаратных средств.

В 1819 году Чарльз Бэббидж (1791–1871) создал первый проект «дифференциальной машины», а в 1822 году выстроил опытный рабочий образец. Он надеялся, что это улучшит и скорость, и точность вычисления очень необходимых таблиц, например таблицы логарифмов. Британское правительство поддержало полномасштабное строительство этой машины, способной к созданию беспрецедентно точных таблиц для страхового, административного и научного использования. Но к 1834 году проект намного превысил бюджет и вышел из графика. Хотя идеи Бэббиджа и его честность в отношении финансовых вопросов никогда нее вызывали сомнений, правительство отложило дальнейшее финансирование. К тому времени он перенес свое внимание на проект «аналитической машины» — настоящего предшественника современного компьютера. Ключевой особенностью этого агрегата было разделение хранилища, где находились числа во время вычисления, и машины, которая выполняла арифметические операции. Входные и выходные данные были закодированы на перфорированных картах, равно как и устройство контроля, которое осуществляло выполнение программы. Был также предусмотрен вывод на печатное устройство. Чтобы можно было выполнять эти операции, использовался паровой двигатель. Но «аналитическая машина» так никогда и не была построена, и в 1842 году правительство решило прекратить финансирование «разностной машины». Это стало еще одним подтверждением желчного отношения Бэббиджа к британской науке. Он был сооснователем Аналитического общества, главная цель которого состояла в том, чтобы довести обучение математике в Кембридже до стандартов континента. В 1830 году он написал статью, в котором яростно критиковал состояние британской науки, в основном обвиняя в этом изолированность Королевского общества, что привело к созданию британской Ассоциации развития науки. К сожалению, анализ соотношения стоимости и эффективности идей Бэббиджа показал, что они не будут реализованы в течение еще почти ста лет.

Как и предвидел Бэббидж, развитие компьютеров в значительной степени зависело от потребности ускорить выполнение расчетов с помощью механических калькуляторов. Первая автоматическая вычислительная машина была построена в Гарварде на средства IBM приблизительно в 1940 году. Первый электронный программируемый компьютер назывался «Колосс». Он был построен в 1943 году в результате сотрудничества Алана Тьюринга и Джона фон Неймана и представлял собой часть работы по взлому шифров в Блетчли-Парке. Однако был проект, который оказал особое влияние на будущую компьютерную архитектуру, — ENIAC (электронный цифровой интегратор и калькулятор), построенный приблизительно в то же время в университете штата Пенсильвания. Фон Нейманн надеялся, что ENIAC, первоначально разработанный для расчета баллистических таблиц, сможет выполнить некоторые вычисления, необходимые для Манхэттенского проекта. Однако затем он предложил новый, свой собственный проект компьютера, сохраняющего программу, называющийся EDVAC (Электронный Автоматический Компьютер Дискретных Переменных). Новая структура состояла из пяти основных компонентов: входные данные, выходные данные, блок управления, память и арифметический блок. Компьютер с сохранением программы называется так потому, что программа вводится в память посредством числовых данных, в то время как блок управления выполняет последовательность инструкций. Первый практический компьютер этого типа был построен в 1949 году в Великобритании и назывался EDSAC (Электронный Автоматический Калькулятор с задержкой Хранения). Следующие машины были построены в США и Великобритании, и к 1960-м годам хранение программ стало обычным делом. Использование полупроводниковых компонентов для замены электронно-лучевых ламп привело к значительному увеличению скорости и надежности работы. Несмотря на то что эти компьютеры сильно напоминали проекты Бэббиджа, их авторы ничего не знали о его работах.

Совершенно ясно, что изобретение компьютеров было мотивировано вполне практическими проблемами в бизнесе, управлении, криптографии или в решении уравнений математической физики. Компьютеры с хранением программ отделили аппаратные средства от программного обеспечения. Но первичная работа над программами — алгоритмами для выполнения соответствующих вычислений — шла не от практических проблем, а от логического рассмотрения формальных систем.

Самый привычный пример формальной системы — обычная арифметика. В ней есть четкий набор символов, есть процедуры для того, чтобы работать с этими символами, разобраться с проблемой и найти решение. Сами символы не имеют никакого значения кроме как в отношении правил формальной системы. Например, если я хочу понять, что означает ABmBAeBEB, я могу использовать различные методы или алгоритмы, чтобы выполнить вычисление. Вероятно, будет легче понять это выражение в виде 12 х 21 = 252, но этот пример хорошо иллюстрирует, что фактические символы не важны, имеет значение лишь истинность утверждения, в данном случае вычисления, которая может быть доказана посредством выведения из установленных аксиом. Если убрать общепринятое использование букв в обозначении функций, числа могут не только обозначать количества, но могут также действовать как операторы. Это — критический фактор перехода от вычислительных устройств, разработанных для решения определенных типов задач, к общим, универсальным компьютерам. В современном компьютере любая команда, например указание показать красный пиксель в определенном месте на мониторе, — это, по существу, цепочка чисел. Фактически вся программа, преобразованная в бинарный код, есть одно (очень большое) число. Базисная простота компьютеров часто не замечается из-за все возрастающей скорости и мощности этих машин.

Курт Гедель (1906–1978) в своей статье 1931 года «О формально неразрешимых суждениях Principia mathematica и связанных систем» описал специфический метод присвоения уникального числа каждому суждению, выраженному внутри формальной системы. Даже доказательство истинности суждения может быть выражено как уникальная цепочка натуральных чисел, причем на основании этих базовых символов можно решить, какие из них значащие, а какие — нет. Первый из двух классических результатов, описанных в этой статье, — это «теорема неполноты», заключающаяся в том, что аксиоматическая система, даже такая базовая, как арифметика целых чисел, содержит суждения, истинность или ложность которых не могут быть доказаны. Это до некоторой степени походит на лингвистическую дилемму «данное предложение — ложь». Существование таких неразрешимых суждений показало, что программа аксиоматизации математики, предпринятая Бертраном Расселом и Альфредом Нортом, невыполнима. Гедель также разочаровал Дэвида Гилберта, который стремился создать полную и последовательную арифметику, то есть арифметику без внутренних противоречий. Гедель также показал, что имеет место и прямо противоположное — если система последовательна, она не может доказать свою собственную последовательность изнутри самой себя. Короче говоря, мы говорим, что арифметика неполна. После того как в крышку гроба арифметики был забит огромный гвоздь, математики оставили поиски великой единой математики и вместо этого сосредоточились на исследовании того, как различные формы аксиоматизации приводят к различным математическим системам. Сам факт наличия математического языка должен позволить нам отвечать на вопросы, так что главным образом следует обсуждать процесс, которым определяется истинность математических суждений. Теперь математики в основном говорят об исчисляемости, а не о разрешимости проблемы.

Параллельно с фокусировкой внимания на алгоритмах появилось обобщение понятия функции. В самом общем смысле функция ƒ — произвольное соотношение между математическими объектами. Считается, что функция вычислима, если существует алгоритм, который создает на выходе ƒ(х) для любого значения х, для которого ƒ(х) определено, то есть для так называемой области определения ƒ(х). Лишь в конце девятнадцатого столетия, когда были построены патологические функции, до математиков дошло, что функция может и не быть вычислимой. В результате внимание переместилось на вычислительные алгоритмы. Стало совершенно ясно, вычисляет ли данный алгоритм именно ту функцию, которая необходима. Но если невозможно было подобрать ни одного алгоритма, необходимо было доказать, что такового алгоритма вообще не существует. Появилась необходимость в точном определении понятия алгоритма. В статье Геделя содержались идеи относительно рекурсивных функций, где необходимая функция получалась путем последовательности промежуточных функций. Эти концепции оказались очень плодотворными для определения вычислительных алгоритмов. В 1936 году Алонзо Чёрч в Принстоне и Алан Тьюринг в Кембридже независимо друг от друга опубликовали свои концепции исчисляемости. Затем Тьюринг показал, что эти два понятия полностью эквивалентны. Определение алгоритма Тьюринга было основано на модели вычислительной машины, названной Чёрчем «машина Тьюринга». На вопрос о том, существует ли алгоритм, который мог бы определить, верна формула или нет, был дан отрицательный ответ. Эти результаты, совместно с данными Геделя, окончательно похоронили надежду на то, что компьютер однажды сможет определить истинность и ложность всех математических суждений. Однако сосредоточенность на алгоритмах положила начало развитию программного обеспечения, которое объявило о начале новой эры в математической физике. Вычислительная математика вернулась к обсуждению старых проблем динамики, вроде стабильности Солнечной системы, а также обратила взор на биологические системы и саму сложную динамику жизни.

В естественных науках автоматы играли роль, значение которой непрерывно возрастало и которая к настоящему времени стала весьма значительной. Этот процесс развивался в течение нескольких десятилетий. В конце этого периода автоматы стали захватывать и некоторые области математики, в частности (но не только) математическую физику и прикладную математику. Их роль в математике представляет интересный аналог некоторых сторон жизнедеятельности организмов в природе. Как правило, живые организмы гораздо более сложны и тоньше устроены и, следовательно, значительно менее понятны в деталях, чем искусственные автоматы. Тем не менее рассмотрение некоторых закономерностей устройства живых организмов может быть весьма полезно при изучении и проектировании автоматов. И наоборот, многое из опыта нашей работы с искусственными автоматами может быть до некоторой степени перенесено на наше понимание естественных организмов.

При сравнении живых организмов и, в частности, наиболее сложно организованной системы — нервной системы человека — с искусственными автоматами следует иметь в виду следующее ограничение. Естественные системы чрезвычайно сложны, и ясно, что проблему их изучения необходимо подразделить на несколько частей. Один метод такого расчленения, особенно важный в нашем случае, заключается в следующем. Организмы можно рассматривать как составленные из частей, из элементарных единиц, которые в определенных пределах автономны. Поэтому можно считать первой частью проблемы исследование структуры и функционирования таких элементарных единиц в отдельности. Вторая часть проблемы состоит в том, чтобы понять, как эти элементы организованы в единое целое и каким образом функционирование целого выражается в терминах этих элементов.

Джон фон Нейман. Статья «Общая и логическая теория автоматов»

(1948)[25]

24. Хаос и сложность

С начала девятнадцатого века математика рассматривалась как аналитический и логический предмет; к концу столетия она произвела на свет целый зверинец математических монстров, вроде непрерывных функций, не имеющих касательных. В динамике задача трех тел — тестовый пример стабильности Солнечной системы — все еще не имела никаких устойчивых решений, и Анри Пуанкаре, анализируя частный случай этой задачи, создал очень сложную, запутанную структуру. Изменение точки зрения с аналитической на геометрическую показало математикам, что то, что казалось ужасающим беспорядком, имело много подобий с тем видимым беспорядком, коим является реальным мир. Математические монстры, оказалось, охраняли пещеру Аладдина с новыми и замечательными математическими объектами. Вход в этот мир осуществлялся с помощью компьютеров, которые стали лабораториями новой математики, базирующейся на алгоритмах. В свою очередь, сделанные при этом открытия могли поддержать аналитическое представление и приводили к пониманию, что «простые» системы, которые использовались математиками, — всего лишь верхушка колоссального айсберга.

Имя, неразрывно связанное с фрактальной геометрией, — Бенуа Мандельброт. Ныне он профессор Йельского университета и почетный профессор IBM[26]. Его интерес к тому, что он позже назвал фракталами, возник в 1951 году. В 1977 году Мандельброт издал книгу «Фракталы: форма, случай и размерность», а в 1982 году вышло ее пересмотренное и расширенное издание — «Фрактальная геометрия природы». О фракталах было написано очень много, широко известны создаваемые ими узоры в стиле рококо. В динамике была хорошо известна идея «аттракторов», например, орбита планеты — это эллиптический аттрактор. В ней существуют некоторые возмущения, но они удерживаются в определенных пределах. При решении полиномиалов числовыми методами, если итерации сходятся к определенному решению, то это решение — аттрактор. Иногда корень, который, как известно, может быть выражен графически, не может быть получен методом итерации — такой корень называют «отражателем». Но в хаотической системе вроде турбулентного воздушного потока аттрактор представляет собой фрактал, и он известен как странный аттрактор.

Как только мы понимаем, как надо правильно на это смотреть, мы находим хаотическое поведение в самых простых ситуациях. Логистическое разностное уравнение z = λz (1 — z) — простое квадратное уравнение со всего одним изменяющимся коэффициентом, обозначенным λ. Уравнение имеет два корня, как и предполагается для квадратного уравнения, но если мы используем итерационную процедуру, то обнаружим некоторые удивительные свойства. Для большинства значений λ итерация «взрывается» и отклоняется к бесконечности. Но если мы начнем с λ = 1 и начнем медленно увеличивать значение этого коэффициента, мы увидим, что итерация не отклоняется и при этом не сходится к единственному значению: вместо этого она колеблется между рядом значений. В некоторый момент система ведет себя хаотически, выполняя дикие скачки между множеством чисел. Если мы теперь добавим комплексные числа, сегмент вещественной оси разветвляется, демонстрируя фрактальную структуру. С помощью простого преобразования разностное уравнение принимает вид другого квадратного уравнения z = z^2 - т. Итерационный процесс весьма прост, но очень утомителен, если его выполнять вручную. Мандельброт первым с помощью компьютера распечатал то, что теперь называют множеством Мандельброта для случая, где z — комплексное число. Множество Мандельброта — по сути, ряд чисел, и его исходная одноцветная распечатка представляла собой черно-белый текст, состоящий из значений m, для которых итерация не сходилась к бесконечности — то есть тех, для которых итерации оставались ограниченными. Лишь после того, как компьютеры обзавелись более мощными принтерами и увеличилась сложность компьютерной графики, стала видна невероятная красота этой структуры, с ее зубчатыми завитками. Эта простая система выявила многие характеристики, которые Мандельброт стремился свести воедино. С помощью компьютера стало возможно увидеть самоподобие, столь характерное для фракталов, когда путем изменения масштаба изображения выполняется погружение внутрь множества, где обнаруживаются мини-множества, подобные большему целому. Возвращаясь к разностному уравнению, для комплексных значений λ итерации создают то, что Мандельброт любил называть «драконами». Страшные монстры математического анализа переродились в прекрасных существ, которые с радостью были приняты в дружную семью математики.

Слово «хаос» обычно истолковывается неверно, поскольку в повседневном языке оно часто служит синонимом «беспорядка». Но теория хаоса совершенно детерминистская — множество Мандельброта всегда будет выглядеть одинаково, и любое начальное значение z всегда будет приводить к одной и той же повторяющейся последовательности. Различие между хаотической и случайной системой заключается в том, что случайная система вообще не имеет никакой структуры — это математический эквивалент белого шума, — тогда как хаос систему имеет, хотя очень сложную и трудноуловимую. Однако, хотя порождение фракталов — детерминистский процесс, он непредсказуем: нет никакого алгоритма для того, чтобы заранее решить, будет ли точка относиться ко множеству Мандельброта или нет. Единственный способ сделать это — осуществить итерацию. Цветные версии фракталов — наглядная демонстрация того, сколько шагов итерации будет достаточно, чтобы точка устремилась к очень большой величине, а сложные узоры с расположенными рядом точками разного цвета иллюстрируют, что такие точки в конечном счете будут стремиться разойтись. Известно, что точка на экране компьютера — это пиксель конечного размера, но по мере увеличения разрешения экрана увеличивается и сложность рисунка. Именно поэтому хаотические системы настолько трудно предсказать. Хотя итерации детерминистичны, они также очень чувствительны к начальным значениям. Когда они используются для моделирования систем реального мира, ошибки начальных измерений будут только возрастать. То, что многие природные динамические системы ведут себя хаотично, остается одной из тайн нашей Вселенной.

Может показаться, что теория хаоса рисует довольно гнетущую картину Вселенной как о нестабильном пространстве, которому суждено рассеяться под неустанным гнетом второго закона термодинамики. И все же Вселенная полна четких структур, от регулярных ударов пульсаров до изящных спиралей в молекуле ДНК. Постеленное наступление энтропии, похоже, обращено вспять, по крайней мере, локально — джинн загнан в бутылку. Исследование, как такие структуры появляются, — область математики, называемая теорией сложности вычислений. В исследование сложных систем теперь включено много разделов математики, включая теорию хаоса, теорию искусственного интеллекта, теорию создания систем и теорию автоматов.

Интерес к сложным системам зародился в самых разных областях науки, и ключевой фигурой в работе по их сопряжению был Джордж А. Коуэн. В 1942 году Коуэн, специалист в области химии радиоактивных элементов, работал в Чикагском университете, где итальянский физик Энрико Ферми строил первый атомный реактор — союзники боялись, что немцы уже работают над созданием атомной бомбы. Ранние эксперименты Ферми и его теоретические исследования по вопросу осуществимости цепной реакции были направлены на достижение достаточной энергии для создания атомной бомбы. В то время Коуэн работал в Манхэттенском проекте и после войны стал руководителем исследовательской группы в лаборатории Лос-Аламоса. Именно группа Коуэна проанализировала последствия первого советского атомного взрыва. Он почти тридцать лет служил в Группе Бете — тайной группе ученых, которой был поручен контроль за ядерными исследованиями России. В это время он стал все больше интересоваться проблемами науки и государственной политики. Он считал, что традиционные образовательные методы не дают ученым возможности видеть ни более широкие связи между тем, что казалось разрозненными дисциплинами, ни связь между наукой и более политическими проблемами экономики, экологии и этики. В 1982 году Коуэн ушел из Лос-Аламоса и вошел в состав Совета по науке Белого дома. В то же самое время он зондировал отношение коллег к его мечте — создать центр, посвященный целостному исследованию всех количественных наук.

Рост мощности вычислительной техники позволил ученым исследовать все более сложные уравнения, не только уравнения со многими параметрами, но и так называемые нелинейные уравнения. До этого момента математика по большей части имела дело с линейными уравнениями. Этот подход, хотя и был в свое время очень успешным, теперь, когда речь зашла о точном моделировании сложных систем, начинал казаться ограничением. Но компьютерам было не важно, что решать — линейные или нелинейные уравнения, — они просто производили в большом количестве и с невероятной скоростью как числовые решения, так и решения в графическом виде. Ученые и математики теперь получили новую цифровую лабораторию. Именно нелинейные уравнения позволяют нам рассмотреть взаимосвязи между переменными, которые мы раньше считали совершенно независимыми друг от друга. Началось плодотворное сотрудничество между физиками и биологами, и в Лос-Аламосе даже открылся собственный Центр нелинейных систем. Но Лос-Аламос не должен был отклоняться от своей основной области — ядерной физики, так что Коуэну надо было приискать себе другое место, где он мог бы, опираясь на успех, достигнутый в Лос-Аламосе, распространить исследование на другие области.

Коллеги Коуэна с энтузиазмом отнеслись к основанию нового института согласно выдвинутым предложениям, но именно предполагаемая широта охвата мешала точно определить, чем же фактически должен заниматься этот институт. Поворотный момент наступил тогда, когда к команде ученых присоединился Мюррей Джелл-Манн. Ведущий физик-теоретик, именно Джелл-Манн приспособил слово «кварк», придуманное Джеймсом Джойсом в «Поминках по Финнегану», для обозначения нового типа субатомных частиц. Он был одним из ведущих пропагандистов теории Великого Объединения, которая сводила воедино все фундаментальные силы природы в единственную, когерентную структуру. Теперь он хотел пойти еще дальше, создав Великую Единую Теорию Всего — от древних цивилизаций до сознания. В 1984 году институт был зарегистрирован как Институт Рио-Гранде, поскольку более предпочтительное название — Институт Санта-Фе — тогда использовалось для терапевтических исследований. К концу того же года в институте были проведены первые симпозиумы в рамках Школы всеамериканских исследований в Санта-Фе. Финансирование шло от самых разных организаций, но, поскольку сам Коуэн сумел сколотить небольшое состояние в 1960-х, основав Национальный банк Лос-Аламоса, недостаток средств не стал для него непреодолимым препятствием. При первой же встрече стало совершенно ясно, что многим из величайших умов в соответствующих областях науки действительно было что сказать друг другу. Выяснилось, что многие из них занимаются одними и теми же проблемами. По существу, они говорили о системах на стадии становления: это было понимание, что целое больше, чем сумма составляющих его частей, что от взаимодействия многих агентов — не важно, частиц, людей, молекул или нейронов, — появляется сложность, которая не очевидна у отдельных составляющих этих систем. Похоже, научный редукционизм работал лучше при переходе от сложных систем к более простым единицам, однако при построении здания сложных структур из простых единиц наука была менее успешна. Всплеск интереса, возникший в самом начале, не привел сразу же к полному финансированию работы института, но новый центр в конечном счете смог получить название Института Санта-Фе. Вполне естественно, что первый крупный спонсор пришел из мира финансов.

Банки и инвестиционные компании все сильнее интересовались выяснением способности традиционной экономики сделать точные предсказания о развитии финансовой системы. В 1987 году недавно назначенный генеральный директор «Ситикорп» воспользовался возможностью профинансировать симпозиум экономистов и физиков, проходивший под эгидой Института. Определенные физические системы имели те же особенности, что и социальные системы: они обе описывались похожими математическими выражениями, и эта математика была математикой сложных систем. Фактически они известны как сложные адаптивные системы, в которых можно проследить множество отрицательных и положительных механизмов обратной связи. К ним относятся иммунная система, развитие эмбриона, экология, развитие экономических рынков и политических партий. Сложность — результат сочетания соперничества и сотрудничества, поскольку они находятся в состоянии непрерывного динамического равновесия: по сути, это ходьба по канату, натянутому между строгим порядком и хаосом. И что самое удивительное — такие системы действуют по довольно простым правилам, даже самые сложные и запутанные узоры так или иначе рождаются из взаимодействия простых стандартных блоков без предварительного предопределенного шаблона. Сложность — это феномен становления. И Институт Санта-Фе теперь занимал видное положение в научном мире.

Один из примеров действия сил, описанных выше, — автомат. Один «мир» автоматов был известен как «игра жизни». Он был придуман в 1970 году Джоном Конвеем, математиком из Кембриджа. Это была не столько игра, сколько миниатюрная вселенная, в которой двумерная сетка была населена эволюционирующими клетками. Как только население заполнило этот мир, каждая клетка жила и умирала в зависимости от числа соседних живых клеток — если их было слишком много, она умирала от перенаселения, если их было слишком мало — клетка умирала от одиночества. Вселенная начала развиваться, и на ней возникло множество структур, вроде мерцающих алмазов, узоров в виде бабочки и «планеров», которые, казалось, летели над поверхностью. Джон фон Нейман начал исследовать клеточные автоматы еще в 1940-е годы, но его незаконченная работа была отредактирована и издана только в 1966 году, почти через десять лет после его смерти. Он заявил, что существует по крайней мере одна клеточная форма автомата, которая может воспроизвести себя, посему самовоспроизводство не может считаться уникальным свойством живых организмов. Он также показал, что программное обеспечение не зависит от аппаратных средств, будь это компьютер или мозг. Открытие структуры ДНК, сделанное Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном в 1953 году, подтвердило анализ фон Неймана математических требований к системам саморепродуцирования. В 1984 году Стивен Вольфрам показал, что автоматы имеют глубокие подобия с нелинейной динамикой. Он разделил клеточные автоматы на четыре «класса всеобщности». Классы I и II производят статические решения за короткое число циклов. В первый класс входят твердые, неподвижные структуры, во второй — периодические и устойчивые. В класс III входили хаотические системы, не выказывающие никакой видимой структуры, в то время как в класс IV входили «игра жизни» и другие системы, демонстрирующие порядок на стадии становления. Кристофер Лэнгтон уточнил эту классификацию и обнаружил, что система, проходящая фазу изменения, например лед, превращающийся в воду, будет развиваться, проходя от порядка через сложность к хаосу. Клеточные автоматы были объявлены новой формой жизни. При подходящих условиях они могли воспроизводиться и даже действовать как компьютер, не подражая аппаратным средствам, управляющим программой, но действуя по принципу, который фон Нейман и Тьюринг назвали универсальным компьютером. «Игра жизни» продемонстрировала, что поведение, подобное тому, что мы наблюдаем у живых существ, возникает в состоянии между порядком и хаосом, в состоянии сложности в рамках идеально настроенной вселенной.

В 1990 году Институт Санта-Фе стал всемирным центром исследований сложных систем. Возможно, сейчас еще слишком рано оценивать важность его работы, но ясно одно — изменилась сама природа математики, что привело к фундаментальным изменениям в философии жизни и представлении о структуре Вселенной. Вселенная, подобная часовому механизму, какой представлял ее Ньютон, умерла. Ее заменила эволюционная модель взаимосвязанной сложности. Математика остается столь же непредсказуемой, как и сама жизнь.

Почему геометрия часто описывается как «холодная» и «сухая»? Одна из причин этого лежит в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не окружности, кора не гладкая, и даже свет двигается не по идеально прямой линии. В более широком смысле я утверждаю, что многие природные формы настолько нерегулярны и фрагментированы, что, по сравнению с Евклидом… природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Число природных форм различных размеров практически бесконечно — и так во всем.

Существование этих форм предполагает необходимость изучать формы, которые Евклид вообще отбрасывает как «бесформенные», — морфологию «аморфных тел». Математики же презирали эту необходимость, стремясь убежать от природы. Они изобретали теории, совершенно не связанные с тем, что мы можем видеть или чувствовать.

Я выдумал термин «фрактал», создав его из латинского прилагательного «fractus». Соответствующий латинский глагол «frangere» означает «разбивать», то есть создавать несимметричные фрагменты. Поэтому — и это очень подходит для наших нужд! — в дополнение к «фрагментированности» (как во «фракции» или «рефракции»), «fractus» должен также означать «нерегулярный». Оба значения сохраняются в термине «фрагмент».

Я совершенно убежден, что ученые будут удивлены и восхищены, узнав, что многие формы, которые они должны были бы называть негладкими, шероховатыми, змеевидными, ни на что не похожими, прыщавыми, рябыми и неровными, ветвистыми, похожими на клубок водорослей или клуб дыма, странными, запутанными, извилистыми, изогнутыми, морщинистыми и т. п., теперь можно описывать строгим количественным способом.

Бенуа Мандельброт. Фрактальная геометрия природы (1982)

Благодарности

Я премного благодарен профессору Айвору Граттану-Гиннесу за его решительную поддержку моих разнообразных проектов, а также за его долготерпение и благоразумные советы касательно текста этой книги. Все оставшиеся ошибки — разумеется, мои собственные. Спасибо Питеру Таллаку за его восторженную поддержку моего ведения этой книги и Тиму Уитингу за то, что он лелеял ее, пока книга не обрела должную форму. Также я благодарен Группе математики и статистики Университета Мидлсекс, а также многим членам Британского общества по истории математики, равно как всем, кто присылал мне свои советы по почте. Еще я хотел бы поблагодарить моих друзей, которые последние два-три года поддерживали огонь этой книги: Эйлин Барлекс, Бена Дики, Юрия Габриеля, Питера Гришена, Дейва Джексона, Криса Масланку, Дэвида Принса, Джона Ронейна и Дэвида Сингмастера. Бесконечная благодарность — моим родителям, и извинения перед всеми, кого я по недомыслию упустил упомянуть.

Примечания

1

Институт Санта-Фе — уникальное учреждение в западном научном мире. Институт не государственный, существует на средства спонсоров. Штатных сотрудников не много. Профессора и доктора приглашаются на время. Оклады преподавателей и стипендии студентов оплачиваются из средств института. Тематика института охватывает очень широкий круг проблем, относящихся к гуманитарным и естественным наукам. В частности, в институте ведутся работы по физике, химии, математической истории, лингвистике, экономике, биологии. Главная цель работ — объединение этих наук, так чтобы все участники понимали друг друга, иными словами — возвращение к науке эпохи Ренессанса, когда ученые были «всезнаями» и не разделялись по узким профессиям. (Здесь и далее — прим. ред.)

2

Перевод Н. Демуровой.

3

Имеется в виду фараон Сенусерт (Сесострис) III (1878–1842 до н. э.).

4

Перевод Г. А. Стратановского.

5

Напомним: пять правильных Платоновых тел — это тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

6

В общем виде эту задачу сформулировал великий французский математик Пьер Ферма (1601–1665), и во Франции оно носит «правильное» название — уравнение Ферма. Название «уравнение Пелля» родилось в результате того, что не менее великий швейцарский, немецкий и российский математик Леонард Эйлер (1707–1783) ошибочно приписал один из способов его решения английскому математику Джону Пеллю (1620–1685).

7

Цит. по: Омар Хайям. Трактаты. Перевод Б. А. Розенфельда. Вступительная статья и комментарии Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. / Трактат досточтимого мудреца Гийас ад-Дина ‘Омара Ал-Хаййами ан-Найсабури, да освятит Аллах его драгоценную душу, о доказательствах задач алгебры и алмукабалы. — М.: Издательство восточной литературы, 1961. — С. 70.

8

Цит. по: Альбрехт Дюрер. Дневники. Письма. Трактаты. В 2-х тт. Пер. с ранневерхненем., вступит, статья и коммент. Ц. Г. Нессельштраус. / Руководство к измерению. — М. — Л.: Государственное издательство «Искусство», 1957. — Т. 2.Вилибальд Пиркгеймер (1470–1530) — известный немецкий гуманист, с детства был ближайшим другом Дюрера.

9

Собственно бухгалтерии был посвящен лишь один раздел из первой части этой объемной книги — Трактат IX «О счетах и записях».

10

Джон Непер (1550–1617) — шотландский математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.

11

Подстрочный перевод фрагмента стихотворения, сочиненного Робертом Рекордом и включенного в Предисловие к первой книге четырехтомного трактата «Путь к знанию». Трактат представляет собой перевод и вольную аранжировку первых четырех книг «Начал» Евклида, изложенных в доступной для современников Рекорда форме.

12

О Томасе Хиллесе, или Томасе Хилле (Thomas Hylles или Hill) в истории осталось мало упоминаний, разве что его сочинение «Искусство обыкновенной арифметики» (The Arte of Vulgar Arithmeticke), выполненное в виде поэтического трактата, часто упоминается в ряду гимнов, воспетых математике.

13

Цит. по: Ренэ Декарт. Геометрия. Перевод, примечания и статья А. П. Юшкевича. — М.—Л.: Государственное объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР. Редакция технико-теоретической литературы, 1938. — С. 14.

14

Цит. по: Харольд Абельсон, Джеральд Джей Сассман при участии Джулии Сассман. Структура и интерпретация компьютерных программ. — М.: Добросвет, 2006. — С. 450.

15

Цит. по: Галилео Галилей. Пробирных дел мастер. Перевод Ю. А. Данилова. — М.: Наука, 1987. — С. 41.

16

Цит. по: Астрономические очерки. Сборник популярных статей по астрономии. Составил А. Ф. Вебер. — Л.: Издательство «Мысль», 1924.

17

Д. Беркли. Сочинения. Сост., общ. ред. и вступит, статья И. С. Нарского. / Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику. Перевод Е. С. Лагутина. — М.: Мысль, 2000, —С. 391.

18

Цит. по: Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. Под редакцией Л. С. Полака. Перевод с латинского и комментарий А. Н. Крылова. — М.: Наука, 1989. — С. 69.

19

Сам я за варвара здесь: понять меня люди не могут (лат.). Овидий. Скорбные элегии. Книга пятая. Элегия 10. Перевод С. В. Шервинского.

20

Цит. по: Н. И. Лобачевский. Геометрические исследования по теории параллельных линий. Перевод, комментарии, вступительные статьи и примечания профессора В. Ф. Кагана. — М.—Л.: Издательство Академии наук СССР, 1945. — С. 37. Не найдя понимания в России, Н. И. Лобачевский опубликовал эту книгу на немецком языке в Берлине в 1840 г.

21

В английском языке здесь игра слов: d-ism и dotage. «Де-изм» означает принятие символики Лейбница, где фигурирует символ d. Отрицание «староточкизма» — это отказ от флюксий и флюентов Ньютона, где над х и у полагалось ставить точки или черточки. Dot-age — соединение слов dot (англ. «точка») и age (англ. «старость, возраст») — это и есть «староточкизм». Единственное, что невозможно передать средствами русского языка, — это второй смысл словечка — age, которое выполняет еще и роль суффикса, образующего существительные со значением действия, условия или результата.

22

Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914) — американский философ, логик, математик, основоположник прагматизма и семиотики.

23

Ч. С. Пирс. Избранные философские произведения. Перевод с английского К. Голубович, К. Чухрукидзе, Т. Дмитриева. / Синехизм и агапизм. Закон разума. — М.: Логос, 2000. — С. 350–351.

24

Цит. по: А. Тьюринг. Может ли машина мыслить? С приложением статьи Дж. фон Неймана «Общая и логическая теория автоматов». Пер. и примечания Ю. А. Данилова. М.: ГИФМЛ, 1960.

25

Цит. по: А. Тьюринг. Может ли машина мыслить? С приложением статьи Дж. фон Неймана «Общая и логическая теория автоматов». Пер. и примечания Ю. А. Данилова. М.: ГИФМЛ, 1960.

26

К моменту выхода этой книги в свет Бенуа Мандельброт (1924–2010) — знаменитый французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии — был еще жив. Он скончался 14 октября 2010 года в Кембридже (штат Массачучетс, США).

Content

Манкевич Ричард История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Ричард Манкевич История математики От счетных палочек до бессчетных вселенных

Вступление

Предисловие

1. Начало начал

2. Блюстители неба

3. Теорема Пифагора

4. Начала

5. Десять книг счетного канона

6. Математические сутры

7. Дом Мудрости

8. Семь свободных наук и искусств

9. Перспектива в эпоху Возрождения

10. Математика для общего блага

11. Бракосочетание алгебры и геометрии

12. Вселенная как часовой механизм

13. Математика в движении

14. Океаны и звезды

15. Уравнение пятой степени

16. Новые геометрии

17. Диалекты алгебры

18. Поля деятельности

19. Заманчивая бесконечность

20. Об игральных костях и генах

21. Военные игры

22. Математика и современное искусство

23. Машинные коды

24. Хаос и сложность

Благодарности

Примечания