Басина Г. И.

Басин М. А.

Синергетика. Основы методологии

Г. И. Басина, М. А. Басин

Синергетика. Основы методологии

Введение. Что такое синергетика?

Синергетика — красивое слово:

иссине-синий тугой поток энергии

с одурительным привкусом грецкого ореха…

Слово это прохладное.

Но в окрестности его ощутим жар по кругу.

Это прохлада лесной тени в знойный полдень.

Зоя Журавлёва [1]

1. Синергетика: её особенности как науки

Интенсивное развитие нелинейных методов исследования сложных систем и сделанные в процессе этого развития открытия привели к тому, что учёные различных специальностей почувствовали необходимость в обобщении и синтезе потока новых знаний. Возникшую при этом междисциплинарную науку Г. Хакен назвал красивым именем «Синергетика».

Термин Синергетика происходит от греческого synergeia «синергеиа» — содействие, сотрудничество. Более часто встречавшимся до появления синергетики было слово «синергизм»:

1) координированное функционирование органов и систем;

2) комбинированное действие лекарственных веществ на организм, при котором суммарный эффект превышает сумму воздействий, оказываемых каждым компонентом в отдельности.

Слово Синергетика также употреблялось еще до Г. Хакена. Ч. Шеррингтон называл синергетическим согласованное воздействие спинного мозга в процессе управлении мышечными движениями. С. Улам, один из учёных, вновь открывших солитон, понял всю важность и пользу «синергии, т. е. непрерывного сотрудничества между машиной и её оператором».

Другой учёный, имевший прямое отношение к вторичному открытию солитона, Н. Забусский предложил единый синергетический подход к нелинейным математическим и физическим задачам как совместное использование обычного анализа и численной машинной математики.

Сжато и четко сформулировал триаду элементов, формирующих синергетику, Р. Г. Баранцев нелинейность-когерентность-открытость.

Эти три элемента присутствуют в многочисленных определениях синергетики, данных различными авторами.

По мнению Ю. А. Данилова и Б. Б. Кадомцева [2], «в отличие от большинства новых наук, возникавших, как правило, на стыке двух ранее существовавших и характеризуемых проникновением метода одной науки в предмет другой, она (Синергетика) возникает, опираясь не на граничные, а на внутренние точки различных наук, с которыми она имеет ненулевые пересечения: в изучаемых (ею) системах, режимах и состояниях физик, биолог, химик и математик видят свой материал, и каждый из них, применяя методы своей науки, обогащает общий запас (её) идей и методов».

Среди предшественников Синергетики Р. Г. Баранцев называет тектологию и близкую к ней общую теорию систем, кибернетику и семиодинамику.

2. Основные научные результаты, составившие базу Синергетики

Вобрав в себя последние достижения математики, нелинейной физики, химии, биологии, наук о Земле, Синергетика позволила обнаружить существование в сложных системах различной природы универсальных качественных закономерностей возникновения, развития и разрушения различных структур.

Основными предшественниками синергетики, по мнению Р. Г. Баранцева, являются Российская школа нелинейной динамики (Л. И. Мандельштам, А. А. Андронов, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий), бельгийская школа диссипативных процессов (И. Р. Пригожий), германская школа лазерной физики (Г. Хакен). Сюда же можно отнести создателей теории динамического хаоса и фрактальной геометрии (Е. Н. Лоренц, Б. Мандельброт, М. Фейгенбаум).

Перечислим основные результаты, которые в последние годы были получены в математике и естественных науках, и в настоящее время вошли в арсенал синергетики.

1. Создание математической теории катастроф.

2. Качественная теория динамических систем.

3. Изучение закономерностей перехода от регулярных процессов к хаотическим. Открытие новых фундаментальных чисел — чисел Фейгенбаум а.

4. Открытие «странных аттракторов», перевернувшее представление учёных о соотношении хаоса и порядка в природе.

5. Создание фрактальной геометрии.

6. Обнаруженное Г. Хакеном явление, связанное с тем, что самоорганизация сложных структур определяется, в основном, поведением очень небольшого количества параметров, названных им ведущими модами или параметрами порядка.

7. Последние достижения в теории динамических систем, в том числе создание эргодической теории.

8. Введение представлений о руслах и джокерах.

9. Создание неравновесной термодинамики.

10. Разработка принципиально новых подходов к энтропии и информации.

11. Внедрение в исследование самоорганизующихся структур методов асимптотической математики.

12. Разработка новой классификации волн, вихрей, дипольных структур и транспортно-информационных систем.

13. Новый мощный всплеск в теоретическом и экспериментальном исследовании солитонов. Перевязка теории солитонов с теорией бесконечномерных групп Каца-Муди.

14. Разработка качественной теории нелинейных волновых процессов, авто-волн и авто-структур. Исследование диссипативных структур. Открытие и подробное исследование режимов с обострением.

15. Открытие резонансных вихре-волновых структур. Разработка концепции вихре-волнового и структурно-волнового резонанса как одного из важнейших механизмов самоорганизации.

16. Открытие и исследование реакций Белоусова-Жаботинского и биологических автоволн.

17. Экспериментальное открытие и теоретическое обоснование степенных и логарифмических статистических закономерностей при изучении распределения элементов и структур в сложных самоорганизующихся системах и разработка новых методов качественного и количественного анализа динамики сложных информационно-транспортных систем.

18. Обнаружение и анализ режимов самоорганизованной критичности.

19. Разработка математических моделей исследования нейросистем.

20. Принципиально новые результаты, связанные с применением синергетических методов в таких «гуманитарных» науках, как биология, медицина, психология, история, социология, экономика, теория права, искусствоведение и языкознание.

21. Философские обобщения, базирующиеся на синергетических принципах.

22. Разработка и внедрение в синергетическую методологию триадного принципа изучения целостных транспортно-информационных систем.

Значительный вклад в развитие синергетических исследований внесли Санкт-Петербургские ученые. С мая 1993 г. по инициативе выдающегося ученого и общественного деятеля В.Д. Поремского в Санкт-Петербурге работает семинар «Синергетика и методы науки», возглавляемый профессором М.А. Васиным, а с октября 1995 г. — научно-исследовательский центр «Синергетика». В организации Семинара и центра активную роль сыграли Санкт-Петербургский Научный Центр РАН, Санкт-Петербургский союз ученых и Санкт-Петербургский гуманитарно-политологический центр «Стратегия». 10 марта 1997 г. в Малом Конференц зале Санкт-Петербургского научного центра РАН состоялось заседание Круглого стола на тему: «Синергетика и психология», организованного научно-исследовательским центром «Синергетика» Санкт-Петербургского союза учёных — (СПбСУ). Спонсорами круглого стола выступили Балтийский институт экологии, политики и права и Фонд интеллектуального сотрудничества. Издан сборник докладов Круглого стола. В 1998 г. вышел из печати сборник трудов семинара: «Синергетика и методы науки» (издание поддержано грантом РФФИ № 97–06-87108). В 1999 г. в издательстве «Наука» вышла из печати монография М.А. Басина и И.И. Шиловича «Синергетика и Internet». 21 ноября 2000 г. состоялось юбилейное заседание Семинара «Синергетика и методы науки», посвященное пятилетию работы Научно-исследовательского центра «Синергетика» и представлению последних работ центра «Синергетика».

С 2000 по 2006 годы вышли в свет монографии М.А. Басина «Волны. Кванты. События». СПб.: Норма, 2000, 168 с.; «Компьютеры. Вихри. Резонансы» СПб.: Норма, 2002, 144 с.; С.В.Харитонова «Проявление космического закона в психике человека». СПб.: Петербург-XXI век, 2000, 80 с.; Р.Г. Баранцева «Синергетика в современном естествознании». М.: УРСС, 2003,144 с.; Г.И. Басиной, М.А. Басина «Синергетика: Эволюция и Ритмы Человечества». СПб: Норма, 2003, 260 с.; И.В. Андрианова, Р.Г. Баранцева, Л.И. Маневича «Асимптотическая математика и синергетика». М.: УРСС, 2004, 302 с.; М.А. Басина, И.И. Шиловича «Путь в Synergonet». СПб.: Норма, 2004.128 с.; Р.Г. Баранцева «Становление тринитарного мышления» М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2005, 124 с.; «История семиодинамики: документы, беседы, комментарии». М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2006, 376 с.

Работы Центра были поддержаны грантами РФФИ №№ 95-01-1582а, 96-06-80418а, 00-06-80077а (руководитель М.А.Басин) и РГНФ по совместным с белорусской стороной грантам №№ 00-03-36003а/Б, 03-03-00247а/Б (Руководитель с Российской стороны Р. Г. Баранцев)

В монографиях «Синергетика и Internet», «Синергетика. Эволюция и ритмы человечества», «Путь в Synergonet» были кратко изложены и апробированы основы методологии исследования сложных самоорганизующихся систем.

В настоящей монографии читателю предлагается более полное и подробное её изложение.

При создании методологии авторами использованы работы учёных, исследующих в рамках синергетической парадигмы основные свойства сложных природных и технических систем, в частности, учёных, принадлежащих к Санкт-Петербургской синергетической школе: Р.Г. Баранцева, И.И. Шиловича, Ю.К. Крылова, С.В. Харитонова и других участников семинара «Синергетика и методы науки» и сотрудников Научно-исследовательского центра «Синергетика».

Глава 1. Три языка Синергетики

1. Выделение объекта исследования. Создание его мысленного образа

Объектом исследования обычно является некоторая структура или система (совокупность связанных структур), которая может быть выделена из окружающей природы и в течение некоторого времени сохраняет собственную индивидуальность, то есть частичную или полную независимость от окружающей среды (поля).

Целостная структура может быть охарактеризована одним словом, названием объекта. Название объекта ассоциируется в человеческом мозгу с первоначальным образом объекта, сложившимся на основе визуальных, звуковых и других типов ощущений, связываемых в единое целое. При дальнейшем изложении до введения классификации волн, структур и систем мы будем рассматривать термины объект, структура, система как синонимы. При выделении объекта из природы мы составляем в мозгу его образ, даем ему имя и вводим два числа: единица и нуль, характеризующие соответственно существование и отсутствие объекта.

2. Использование трёх языков Синергетики

Тем самым, мы вводим в рассмотрение три языка синергетики и науки вообще:

а) язык образов,

б) язык слов,

в) язык математики.

Язык образов позволяет получить общее представление о красоте и разнообразии окружающего мира и о взаимодействии объектов между собой.

Язык слов помогает отметить очень важную особенность окружающей природы, позволяющую строить её научную картину, — существование объектов, во многих отношениях идентичных друг другу, которые могут быть названы одним словом.

Язык математики позволяет уже на первой стадии рассмотрения ввести логистическую математическую группу, описывающую отсутствие, рождение, существование и гибель исследуемого объекта.

3. Проведение лингвистического анализа

Название и, если это возможно, словесное определение объекта, позволяют включить в процесс исследования язык слов и тем самым подключить к анализу все те возможности изучения глубинных связей структуры или системы, которые существуют в человеческом языке, несущем в себе в символьном виде всю историю человечества. Переводы названия объекта на другие языки, отыскание близких по смыслу слов, позволяет построить поле слов и соответствующих им объектов, так или иначе связанных с изучаемой нами системой или структурой. При этом выявляются скрытые первоначально связи объектов и явлений.

4. Предварительная классификация процесса или объекта. Включение процесса (объекта) в систему квант-волна

Этот пункт исследования является наиболее важным на первом этапе изучения объекта, так как позволяет ввести масштабную (в обобщенном, не только геометрическом, смысле) иерархию, включающую в себя объект исследования. В основу этой классификации положен тот не до конца объясненный экспериментальный факт, который, по-видимому, является проявлением фундаментального закона существования волновых систем: большинство объектов или процессов не существуют в единственном числе, а образуют группы или классы идентичных или почти идентичных объектов или процессов.

Именно это свойство является, по нашему мнению, основанием, позволяющим человеку познавать окружающую природу, предсказывать будущее, в некоторой мере управлять будущими событиями и выживать в бурно меняющемся мире.

Структуры или процессы, входящие в совокупности идентичных или почти идентичных объектов, названы нами «квантами» (по аналогии с квантовой механикой), а совокупности идентичных или почти идентичных объектов — обобщенными волнами.

Любая сложная транспортно-информационная система, состоящая из большого количества элементов и имеющая в природе некоторое количество аналогов, может одновременно рассматриваться и как квант, и как обобщённая волна. По отношению к своим элементам — квантам, — она является обобщенной волной, а по отношению к совокупности систем, аналогичных данной, — квантом. Иерархия обобщённых волн-квантов может быть продолжена как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения масштабов. При этом каждый уровень иерархии может быть рассмотрен как волна и как квант, в зависимости от масштаба рассмотрения.

5. Словесная история объекта

Всякая сложная структура или система взаимодействует с окружающей средой (полем) и, трансформируясь в процессе этого взаимодействия, сохраняет те некоторые основные параметры (инварианты), которые позволяют считать её (и ей осознавать себя — в случае наличия у неё сознания) именно данной системой. Это свойство системы обычно называют целостностью.

Исследование сложных систем должно выполняться как историческое исследование, должна быть определена последовательность событий, в которых участвует данная система.

Первым этапом динамического исследования должна быть словесная история объекта, включающая в себя описание в хронологическом порядке наиболее существенных для данной системы событий. Такое описание может выполняться параллельно с другими методами исследования и развиваться по мере поступления новой информации.

Уже на первых этапах исследования язык слов позволяет нам качественно изучать качественно динамику системы как процесс, вводя в рассмотрение внешнее «абсолютное» время окружающей среды (поля) и внутреннее время изучаемого нами процесса (последовательности качественных изменений, происходящих в изучаемой системе).

Глава 2. Параметр целого

1. Выбор основной меры, характеризующей объект (параметра целого)

Этот творческий процесс обеспечивает переход от словесного описания к математическому. Любая целостная система, которая может быть описана одним словом, должна иметь определённую действительную скалярную меру — параметр целого, — изменение которого описывает процесс возникновения и развития системы. Выбор этого параметра с целью построения математической модели системы не является однозначным, так как сложные системы могут быть описаны большим (иногда бесконечным) числом координат. Удачный выбор параметра целого, характеризующего систему и соответствующий ей процесс, является следствием того мысленного образа изучаемого объекта, который сложился на предыдущих этапах исследований. Параметр целого должен быть выбран таким образом, чтобы он легко измерялся или вычислялся и характер зависимости его от времени был устойчив для ряда аналогичных систем (квантов).

На этом этапе нужно не точное знание о природе, а шарж, схватывающий характерные черты изучаемых объектов и процессов. Это связано с тем, что научные данные — это проверяемые опытом данные, то есть повторяющиеся с той или иной точностью. Чем более сложен объект научного исследования, тем больше в нем индивидуального, тем меньшее число частных особенностей предмета может быть научно исследовано на первом этапе. Если мы оставляем при исследовании сложного объекта лишь одну обобщенную координату (меру, параметр целого), то в качестве неё можно использовать величину, характеризующую объём многообразия координат, более детально описывающих систему. Это может быть действие, энергия, масса системы, энтропия или информация, реальный геометрический объем, количество входящих в неё подсистем, количество денег, прибыль, количество слов в языке и даже переменная возможность существования самой системы.

В ряде случаев можно принять за параметр целого изучаемого объекта число элементов — квантов, которые включены в объект как в обобщенную волну. Если каждый из них имеет свою меру или параметр целого и эти меры аддитивны, — суммарную меру всех квантов.

В этом случае введение параметра целого подразумевает значительное информационное сжатие, то есть идентификацию квантов, включённых в систему как в обобщённую волну.

Однако, параметр целого не полностью определяет динамику исследуемой структуры или системы. В действительности, в некоторых случаях отдельные части системы могут воздействовать на изменение этого параметра. Поэтому близкие по типу системы на одном и том же этапе развития могут иметь отличающиеся друг от друга значения этого параметра. Правильно выбранный параметр целого обычно является управляющим параметром системы, он изменяется более медленно, чем другие обобщённые координаты системы, и более устойчив к внешним возмущениям и к переходу от анализа одной системы к изучению другой.

В некоторых случаях параметр целого может характеризовать качество системы и различие в этих параметрах для сравниваемых систем определяет превосходство одной системы над аналогичной.

2. Простейшая форма математического описания объекта. Рождение и разрушение объекта

Простейший вид описания состоит в представлении динамики объекта в виде двух чисел 0 и 1, где 0 соответствует отсутствию объекта, а 1 — его существованию.

Введём групповое умножение.

0*1=0 — ликвидация объекта.

1*0=0 — подтверждение отсутствия объекта.

0*0= 1 — рождение объекта.

1*1=1 — подтверждение существования объекта.

{0,1} — коммутативная группа, описывающая существование объекта.

На этом уровне изучения уже можно построить одномерное фазовое пространство, в котором фазовая траектория описывается в виде двух направленных отрезков прямых, отрезка {0,1} и отрезка {1,0}.

Если взаимно однозначно отобразить группу {0,1} на группу {-1,1}, являющуюся группой зеркальной симметрии, то устанавливается соответствие между существованием и отсутствием объекта с его тождественностью самому себе и зеркальным отображением.

Всякий реальный объект должен иметь начало и конец во внешнем времени, а следовательно, некоторый период существования. Предположим, что до момента t1, объекта не существовало. Параметр целого данного объекта равнялся нулю. В момент t1, произошло рождение объекта, который просуществовал до момента времени t2, после которого он исчез. Такое простейшее эволюционное рассмотрение позволяет ввести ряд математических понятий.

1. Момент рождения объекта t1.

2. Момент исчезновения — разрушения объекта или его превращения в новый объект t2.

3. Срок жизни объекта dt = t2 — t1.

Если рассмотреть множество идентичных структур (квантов) — обобщённую волну, — то подобный подход позволяет нам вводить в рассмотрение определённые типы распределений, связанные с числом структур, их моментами рождения и гибели и длительностью их существования.

Предположение о конечности времени существования реальных объектов ставит следующие вопросы:

Что такое рождение структуры (системы)?

Что такое разрушение структуры (системы)?

При первичном (простейшем) рассмотрении можно считать, что структура рождается и исчезает мгновенно. В этом случае можно осуществить простейшее графическое, описание динамики объекта в виде графика зависимости параметра целого от времени. Этот график представляет собой три отрезка горизонтальных прямых:

— бесконечность < t <= t1, μ = 0

t1 < t < t2, μ = 1

t2 <= t < бесконечность, μ = 0

(Здесь, как и ниже, для параметра целого, описывающего структуру, введено обозначение μ.).

В моменты возникновения и разрушения структур в природе должны происходить качественные изменения (ведь рождается или исчезает) нечто новое).

Большинство существующих научных теорий описывает взаимодействие уже существующих структур. Проблема же их возникновения и разрушения не имеет в настоящее время полного решения.

Однако, при первичном исследовании конкретного объекта целесообразно начинать с рассмотрения именно этого вопроса, тем более, что во многих случаях эго решение представляет наибольший практический интерес.

В простейшем рассмотрении мы считали, что рождение и исчезновение структуры происходят мгновенно. Это достаточно сильное допущение, хотя во многих случаях мы действительно наблюдаем очень быстрое формирование новых структур и разрушение старых. В человеческом языке существуют такие слова, как катастрофа, кризис, взрыв, революция, рождение, разрушение, удар и т. д. Однако в любом случае рождение и разрушение структур — это процесс, имеющий ту или иную протяжённость во времени.

В некоторых случаях процесс формирования структур может оказаться длительным. Тогда вместо мгновенного формирования структуры и мгновенного её разрушения необходимо ввести конечные периоды её возникновения и разрушения. Это вполне естественное допущение влечёт за собой ряд следствий.

Первое следствие состоит в том, что возникает вопрос, а что же происходит со структурой в эти периоды, существует она или нет? Ответ на этот вопрос совсем не тривиален. По-видимому, в периоды рождения и разрушения про структуру нельзя с полной определённостью сказать ни то, что она существует, ни то, что её нет. Параметр целого структуры, изменяясь, принимает значения, промежуточные между нулём и единицей.

Если считать процесс формирования структуры непрерывным, то горизонтальные прямые вблизи точек ({ и <г можно соединить плавной кривой.

В период рождения уже нельзя сказать, что структура не существует, но ещё нельзя сказать, что структура полностью оформлена. На этом уровне рассмотрения попытка интерпретации введенного нами параметра оказывается не вполне корректной. По-видимому, такая интерпретация должна быть сделана в каждом частном случае отдельно с учетом эмпирических данных и «физического смысла», который должен вкладываться в понятие параметра целого, описывающего структуру.

Укажем путь возможного решения этой задачи с другой стороны. Мера, характеризующая произвольную структуру, может быть получена как объём многообразия, формирующегося обобщёнными координатами, которые характеризуют структуру при более детальном описании. Этот объём может меняться со временем. Если структуры нет, то мера равна нулю. В процессе существования (функционирования) структуры существует какой-то промежуток времени, когда многообразие, описывающее структуру, имеет максимальный объём. Если объём многообразия, описывающего структуру в любой момент времени, поделить на его максимальное значение, то получим в наиболее естественном случае кривую, которую мы построили ранее из других соображений и форму которой ищем.

В случае, если изучаемая структура в течение длительного времени остаётся стабильной и сохраняет фазовый объём соответствующего ей многообразия, а в периоды возникновения и разрушения резко его изменяет, то её параметр целого может быть отождествлен с объёмом многообразия, её описывающего.

Можно рассматривать несколько способов рождения новых структур.

а) Появление новой структуры (обобщённой волны) вследствие объединения или самоорганизации структур более низкого уровня иерархии, имеющих меньший объём или размерность описывающих их многообразий (квантов).

б) Появление новых структур в результате деления структуры на две и более частей.

в) Появление новой структуры вследствие потери устойчивости структуры, существовавшей до её образования.

г) Рождение новой структуры в результате слияния двух родственных структур с возможным переходом затем к многократному использованию второго способа.

д) Рождение новой структуры или волны путем излучения структур более высоких классов.

е) В качестве отдельного способа может рассматриваться целенаправленное формирование новых структур структурами более высокого класса (творчество).

Описанные способы приводят к необходимости анализа процесса формирования новых структур как бифуркационного изменения старых, уже существовавших ранее систем и структур. Тем самым, процесс появления и разрушения структур включается в цепочку превращений одних структур в другие. Таким образом, можно проследить не только время существования той или иной структуры, но и построить граф появления, существования и разрушения структур, проанализировав при этом не только внешние связи структуры с окружающей средой: полем, — но и генетическую связь структур. Многие структуры после появления начинают изменять значения своих основных обобщённых координат. В качестве примеров можно привести:

а) рост амплитуды волны при приближении её к берегу;

б) рост парового пузырька или паровой каверны при увеличении скорости движения тела;

в) рост кристаллов в растворе;

г) рост атомного гриба;

д) рост биологической клетки после деления;

е) рост живого организма;

ё) рост числа научных исследований в новой отрасли знаний;

ж) рост количества людей.

Таким образом, вновь сформировавшаяся структура может после своего появления в течение некоторого промежутка времени интенсивно увеличивать объём описывающего её многообразия, а следовательно и параметра целого, пока не выйдет на некоторое стационарное состояние. Процессы такого бурного (или не очень бурного) роста могут сильно отличаться друг от друга, однако во многих случаях они обладают некоторыми общими особенностями. Эти особенности могут быть исследованы эмпирически и описаны математическими уравнениями.

3. Эмпирический анализ двумерного фазового пространства, описываемого выбранным параметром целого и скоростью его изменения или некоторым итерационным процессом

Если параметр целого выбран, то на основании эмпирических данных может быть построена для данной системы или для серии систем, аналогичных данной, зависимость параметра целого, характеризующего систему, от времени. Эта зависимость может быть дискретной, когда для некоторых моментов времени определяется выбранный параметр, или непрерывной, в этом случае при помощи специальных приборов осуществляется непрерывная запись некоторых величин, которые затем могут быть использованы для вычисления параметра целого.

Наиболее реалистичными являются непрерывная запись или дискретное определение параметра в конкретные моменты времени с последующей аппроксимацией полученных данных в виде непрерывных функций от времени.

В этом случае вместо зависимости параметра от времени может быть построена более информативная картина двумерной фазовой плоскости, по оси абсцисс которой отложен выбранный параметр, а по оси ординат — его производная по времени. Для автономных систем, то есть систем, динамика которых слабо зависит или вовсе не зависит от параметров поля, такой график может оказаться универсальным, не зависящим от начальной точки отсчёта во внешнем времени.

Здесь проявляется интуиция — параметр целого должен быть выбран таким образом, чтобы характер его изменения для автономных систем был универсальным, то есть, чтобы зависимость его изменения от времени для данной системы и её аналогов не зависела от внешних условий. Однако, любая сложная система может считаться автономной лишь приближённо.

4. Разработка одномерной математической модели динамики объекта в рамках выбранного параметра целого

Если выбран один параметр, интегрально определяющий меру структуры, то можно построить простейшие математические модели, приближенно описывающие процесс формирования, роста структуры и выхода её на тот или иной стабильный режим, а также процесс её разрушения или превращения в качественно новую структуру.

Для параметра целого, описывающего структуру, как и ранее, введем обозначение μ. Рассмотрим два типа аппроксимации — итерационный и непрерывный.

Итерационный способ аппроксимации состоит в выражении последующего измеренного состояния системы через предыдущие μp= F(μp-1,…., μp-k, t).

Особо следует выделить системы, которые могут принимать конечное число состояний. Динамика таких систем оказывается во многом эквивалентной динамике орбит конечных математических полугрупп или групп. Наиболее известным представителем таких систем является современный компьютер, который может быть непосредственно использован для моделирования их динамики.

Практически неограниченное развитие компьютерной техники и области её использования свидетельствует о существовании широкой сферы применения дискретных математических моделей с большим, но конечным числом возможных состояний, то есть значений параметра целого для достаточно подробного описания природных и техногенных процессов.

Фазовое пространство при детерминированном итерационном процессе может быть построено следующим образом. По оси абсцисс откладывается μp-1, а по оси ординат μp. Точка на соответствующей фазовой плоскости соответствует отображению. Для систем с конечным числом состояний количество точек конечно и равно числу состояний.

Любой динамический процесс такого типа в пределе выходит на стационарную точку, μp = μp-1, или на циклическую траекторию μp = μp-к, где к можно считать периодом цикла.

В пределе очень большого числа состояний область изменения параметра целого может быть аппроксимирована континуумом. В этом случае количество типов траекторий становится значительно больше, чем при дискретном задании. Именно здесь появляются странные аттракторы.

Значительный практический интерес представляет использование аппроксимирующих функций, имеющих разрывы функций и их производных в конечном числе точек. В этом случае особые точки отображений и аттракторы приобретают дополнительные особенности.

В случае гладкой зависимости параметра целого от времени динамика его изменения может быть описана дифференциальным уравнением dμ/df = f(μ, t), где f(μ,t) — заданная гладкая функция.

Решение и качественный анализ этого уравнения позволяют не только приближенно описывать динамику структуры, но и в какой-то степени предсказывать её будущее. Если структура или система развивается по внутренним законам (воздействие внешней среды (поля) на неё пренебрежимо мало либо носит стационарный характер), то для её описания может быть использовано автономное дифференциальное уравнение dμ/df = f(μ).

В случае непрерывной аппроксимации наиболее удачным подходом является построение двумерных фазовых диаграмм, по одной из осей которых откладывается сам параметр, а по другой — его производная. Для автономных объектов фазовые траектории от времени не зависят.

В некоторых случаях дифференциального уравнения первого порядка для адекватного описания динамики параметра целого оказывается недостаточно. В этом случае можно перейти к дифференциальным уравнениям более высоких порядков или к введению комплексного параметра целого. В обоих случаях это математически эквивалентно увеличению числа координат.

5. Качественный анализ и численное решение одномерной математической модели динамики объекта

Качественный анализ итерационной системы или нелинейного дифференциального уравнения позволяет ещё до их решения определить особенности поведения моделируемой системы как нелинейного объекта не только в прошлом и настоящем, но и в будущем.

Начнём анализ с автономной итерационной системы.

Выполнение условия μn = F(μn) означает, что система находится в стационарном состоянии.

Стационарное состояние называется устойчивым и обозначается μSU, если существует некоторая область (окрестность μSU) в фазовом пространстве такая, что, как только процесс в какой-то момент времени пришел в состояние из этой области, то он начинает стремиться к устойчивому стационарному состоянию параметра целого μSU. Если такой области нет, т. е. если микроотклонение от точки, соответствующей стационарному значению μSU, приводит к существенным макроизменениям в течении процесса, состояние системы является неустойчивым стационарным состоянием.

В общем случае график μ_2 = F(μ_1), соответствующий итерационному соотношению, иллюстрирует закон эволюции системы и позволяет определять стационарные состояния системы и их тип.

Если кривая μ_2 = F(μ_1), определяемая соответствующим итерационным соотношением μn+1 = F(μn), пересекает прямую μ_2 = μ_1, в точке μS и |F^1(μ_1)| < 1, то μS — устойчивая стационарная точка, а если |F^1(μ_1)| > 1, то неустойчивая. Рассмотрим подробнее математическую модель автономного дифференциального уравнения первого порядка dμ/df = f(μ). Его общее решение имеет вид.

Если для какой-либо структуры в определенные моменты удалось экспериментально определить как величину выбранного нами параметра целого, так и его производной по времени, то затем, аппроксимируя функцию f(μ), например, при помощи дробно-рациональной функции

можно найти коэффициенты аппроксимации ai, bi, соответствующие экспериментальным данным.

Во многих случаях поведение системы вблизи особых точек, соответствующих нулям или полюсам функции f(μ) описывается степенной функцией с рациональным или иррациональным показателем степени или логарифмической функции. При этом появляется многозначность поведения исследуемой модели. Величины f(μ) могут одновременно с различной степенью вероятности принимать конечное или бесконечное множество действительных и комплексных значений, физический смысл которых для реальных систем должен быть специально уточнён.

Экспериментальные данные показывают, что большинство структур после периода бурного роста выходят на стабильный режим. в котором структура находится значительное время.

Этот процесс можно описать, используя квадратичную функцию f(μ).

Рассмотрим так называемое логистическое уравнение, которое было подробно изучено в связи с анализом роста и стабилизации популяций животных, однако имеет широкое применение при исследовании различных систем. Оно имеет вид dμ/dt = f(1-μ)μ.

Описываемый этим уравнением процесс имеет две стационарные точки μ=0 и μ= 1. Точка μ=0 неустойчива; это значит, что новые структуры могут появляться, в частности, при потере устойчивости старых. Точка μ=0 устойчива. Фазовая плоскость уравнения — зависимость dμ/dt от μ, представляющая собой параболу, наиболее сжато и полно характеризует особенности процесса.

В некотором смысле логистическое уравнение универсально, так как его интегральные кривые описывают процесс перехода динамической системы из одного — неустойчивого состояния в другое — устойчивое. Оно также характеризует типичный процесс роста и стабилизации структур различной природы. Его решение в случае μ< 1 имеет вид.

При стремлении μ к нулю в момент начала роста структуры логистическая кривая асимптотически приближается к экспоненциальной. Однако, по мере увеличения меры μ в структуре, описываемой этой кривой, развиваются процессы, препятствующие дальнейшему экспоненциальному росту структуры, и вблизи μ=0,5 различие кривых становится существенным. Логистическая кривая выходит на асимптоту μ = 1, а экспоненциальная кривая уходит вверх.

Этот закон является простейшим законом, описывающим непрерывным образом формирование новых структур.

Существуют и другие дифференциальные уравнения, решения которых дают функции, позволяющие смоделировать плавный переход из одного состояния в другое. В частности, при анализе роста и размножения биологических объектов нами было получено дифференциальное уравнение dμ/dt = -μlnμ, обладающее теми же стационарными точками, что и логистическое уравнение, но позволяющее вместе со своим аналогом, итерационным соотношением со степенной правой частью единым образом описывать рост и размножение объектов.

Во многих случаях процесс роста сложных систем происходит не непрерывно, а путём размножения элементов системы или поглощения растущей системой новых элементов. Если скачки параметра целого малы, то в первом приближении этот дискретный процесс может быть заменён непрерывным, и для его описания может быть использован аппарат дифференциальных уравнений, в противном случае для описания динамики роста и стабилизации структур может быть использован аппарат итерационных соотношений.

Устойчивые стационарные точки фазовой плоскости или графика, представляющего решение системы итерационных соотношений, обычно являются пределом, к которому стремятся фазовые траектории системы. Такие точки называются аттракторами.

Аттракторами могут быть не только устойчивые стационарные точки, но и замкнутые траектории циклического типа (циклы и торы). В последние годы открыты и в настоящее время интенсивно изучаются ациклические аттракторы, названные странными.

Следующим этапом исследования является численное решение полученных уравнений. Численное решение совместно с качественным анализом позволяет строить не только зависимость меры от времени, которая была в прошлом, и сопоставить полученные данные с результатами наблюдений, но и предсказывать характер этой зависимости, которого следует ожидать в будущем.

Однако, учитывая наши предыдущие рассуждения, можно утверждать, что точное определение параметра целого системы в подавляющем большинстве случаев невозможно. Любое детерминированное математическое описание, использующее дифференциальные уравнения или итерационные процессы должно сопровождаться дополнительным к нему вероятностным описанием, характеризующим меру и характер распределения отклонения реальной величины параметра целого от его расчётного значения. Существование такой двойственности приводит к необходимости рассмотрения третьей величины, характеризующей структуру и её модель. Этой величиной может являться соотношение мер, определяемое некоторой функцией от параметра целого и меры его вариации. Элементы указанной триады в зависимости от ситуации и способа рассмотрения могут меняться местами.

Глава 3. Фазовое пространство динамической системы

1. Выбор основных координат, характеризующих систему, поведение которой близко к детерминированному, и качественный анализ фазового пространства, описывающего такую систему. Аттракторы системы и возможные бифуркации её фазового пространства

Однако анализа динамики одного, хотя и удачно выбранного, параметра целого чаще всего бывает недостаточно для полного исследования поведения сложной системы, особенно в тех случаях, когда выбранный параметр принимает устойчивое стационарное значение. Система существует и активно функционирует при постоянном значении параметра целого. В этом, случае можно ввести некоторые обобщённые координаты, изменение которых более подробно характеризуют динамику системы. При этом исследуемый объект может быть описан как динамическая система в некотором фазовом пространстве обобщённых координат.

Величина Xi,i=1,…, n, описывает изменение i-й координаты. X, может включать несколько переменных, характеризующих действие этой координаты, а возможно, и целого континуума. Эти координаты собраны в вектор состояния Х(Х_1, Х_2, …).

Состояние изучаемого объекта в данный момент времени может быть задано точкой в некотором множестве X, в частности в n-мерном многообразии, В этом случае изучаемому объекту соответствует некоторая n-мерная динамическая система, а множество всех точек, соответствующих различным состояниям, называется n-мерным фазовым пространством. Совокупность состояний данной системы в различные моменты времени формирует одномерное пространство (линию), называемую фазовой траекторией системы. Если фазовое пространство системы — n-мерное гладкое многообразие, то фазовая траектория системы гладкая кривая (за исключением некоторых особых точек) и для её описания (а также для описания пучка траекторий, начинающихся из различных точек фазового пространства) может быть использован аппарат системы дифференциальных уравнений dX/dt = f(X,t). Здесь dX/dt — производная вектора X по времени.

Пусть мы имеем какое-либо решение системы дифференциальных уравнений в виде Х(t) = Ф(Х_0, t), где Х(t) — значения координат фазовой траектории, проходящей через точку Х_0 в момент времени t_0. В принципе, эта система уравнений может быть разрешена относительно t: t = Ф-1 (Х, Х_0).

Предположим, что мы знаем состояние динамической системы в момент Tn, соответствующее точке Хn, и хотим определить состояние той же системы Xn+1 в момент Tn+1. Тогда, воспользовавшись предыдущими формулами, получим Xn+1= Ф(Х_0, Тn+1) = Ф(Х_0,Tn + (ΔT)n) = Ф{X_0, [Ф-1(X_0, Хn) + (ΔTn]}.

Введем понятие оператора F, определяющего изменение системы Х во времени: Хn+1 = F(Xn). Оператор F порождает итерационный процесс и указывает преобразование состояния динамической системы Хn в момент времени Tn в её состояние Хn+1 в момент времени Tn+1.

В принципе, оператор F может быть введён в более общем случае, когда непрерывная зависимость от времени либо отсутствует вовсе, либо не может быть определена.

Основной идеей Г. Хакена, являющейся одной из основополагающих в Синергетике, является идея выделения среди обобщенных координат сложной системы нескольких наименее устойчивых мод, названных им главными модами или параметрами порядка, неустойчивость которых приводит к качественному изменению состояния всей системы, и таких координат, которые сами мало изменяются, однако которых изменяет характер устойчивости состояния основных мод. Они были названы управляющими параметрами.

Теория нелинейных динамических систем в настоящее время интенсивно развивается. Предложены различные формы классификации систем и их математических моделей. Введена терминология, которая активно внедряется в практику теоретических и экспериментальных исследований. Понятия фазового пространства, стационарной точки, цикла, тора, аттрактора, бифуркации, сепаратрисы уже давно вошли в обиход тех, кто использует результаты качественного анализа и расчётов параметров модельных динамических систем для исследования реальных явлений.

2. Выделение странных аттракторов. Количественный и качественный анализ поведения системы, находящейся в области странного аттрактора. Изучение эргодических свойств исследуемой системы

В настоящее время бурно развивается теория «странных» непериодических аттракторов, породившая новую терминологию: каскад бифуркаций, числа Фейгенбаума, фрактальная геометрия, множество Мандельброта, показатели Ляпунова.

Рассматриваются различные сценарии перехода от регулярного движения системы к детерминированному хаосу:

1. через каскад бифуркаций удвоения периода устойчивых циклов Фейгенбаума;

2. через разрушение неустойчивого трёхмерного тора с образованием странного аттрактора по сценарию Рюэля-Такенса;

3. через явление перемежаемости (сценарий Помо-Маннервиля).

Разработаны математические методы и алгоритмы, позволяющие говорить о становлении нового направления науки, которое в настоящее время называется «теорией детерминированного хаоса», и применять их при исследовании тех объектов, которые могут быть описаны с помощью математических моделей динамических систем.

Н. А. Магницким и С. В. Сидоровым предложена новая теория динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах, утверждающая существование единственного универсального сценария перехода к хаосу и рождения сингулярных аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений.

Особо следует выделить анализ эргодических свойств динамической системы, указывающих на возможность неоднозначного предсказания её будущего поведения даже для случая динамических систем, описываемых детерминированными уравнениями.

Глава 4. Анализ поля системы

1. Классификация волн, вихрей, грибовидных (мультипольных) структур и транспортно-информационных систем

Всякая самоорганизующаяся система является открытой системой, обменивающейся с окружающей средой (полем) материей, энергией и информацией. Этот обмен может происходить непрерывно и дискретно. Взаимодействие с внешней средой может способствовать как сохранению структуры, так и её разрушению. Поэтому адекватное и полное описание самоорганизующихся систем возможно лишь совместно с окружающей средой — полем, в котором существует система.

Поле системы может также рассматриваться как новая система. В частности, для него может быть выбран параметр целого и выполнен эмпирический анализ его динамического изменения от времени. Поле может во многих случаях определять управляющие параметры системы.

Введение при анализе взаимодействия системы и поля времени как основного параметра позволяет обратить внимание на одну очень важную особенность взаимодействия структуры и ее поля — на волновой характер выделяемых нами из окружающей природы структур.

Более детальное качественное и количественное исследование полей в большинстве случаев, в отличие от исследования отдельной структуры или системы должно проводиться не в рамках конечномерных, а в рамках континуальных моделей, то есть для описания поля должен быть использован глубоко развитый аппарат линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и связанных с ними бесконечномерных математических групп преобразований, а также конечно-разностных систем уравнений.

Однако прямое получение решений этих уравнений для данной конкретной системы на первом этапе исследований во многих случаях оказывается нецелесообразным, а иногда и невозможным, ввиду трудностей, связанных с построением системы дифференциальных уравнений или конечноразностных итерационных процессов.

Более адекватным является использование качественных методов, которые, в частности, включают классификацию волновых структур, порождаемых континуальными полями.

Нами предложена классификация волновых движений, структур и систем, опирающаяся на их общие волновые свойства, в рамках которой удалось проследить за характером влияния нелинейности на переход классических линейных волновых движений в динамические структуры и сложные самоорганизующиеся транспортно-информационные системы.

Классификация проводится по трём параметрам.

Классификация по типу:

1. Обобщённые волны, представляющие собой классы идентичных или почти идентичных объектов (квантов).

2. Вероятностные волны, характеризующие изменение плотности вероятности отыскания системы или структуры в одном из возможных для неё состояний из континуума возможных состояний системы.

3. Классические волны в сплошной среде, характеризующие изменение во времени и пространстве плотности какого-либо параметра или связанной между собой совокупности параметров сплошной среды.

Классификация по характеру взаимодействия с другими системами, аналогичная классификации конечномерных динамических систем

1. Свободные (собственные) волны.

2. Вынужденные волны.

3. Автоволны.

Классификация по степени нелинейности

1. В качестве первого класса рассматриваются все волны относительно малой амплитуды, математическое описание которых может быть дано в виде совокупности решений линейных волновых уравнений в частных производных.

2. Ко второму классу, названному нами умеренно-нелинейными волнами, отнесены различные формы ударных волн в сплошных средах, солитоны, а также скачки тех или иных параметров в однородной среде и границы раздела сред. В качестве подкласса данного класса могут быть рассмотрены диссипативные континуальные структуры и структуры, формируемые в результате возникновения режимов с обострением.

3. К третьему классу, названному вихревыми ударными волнами, отнесены вихревые структуры, формируемые вследствие пространственной потери устойчивости фронта и формы умеренно нелинейных волн.

4. К четвертому классу, названному грибовидными структурами, отнесены структуры мультипольной природы, формирующиеся из вихревых структур и вторичных умеренно-нелинейных волн — вихревых пелен. Различные модификации и комбинации структур такого типа составляют основу практически всех объектов живой и неживой природы.

5. К пятому классу отнесены структуры, названные нами древовидными, бифуркационная динамика которых может быть описана методами математической теории сетей и графов, в частности при помощи теории математических деревьев.

6. К шестому классу мы отнесли сложные самоорганизующиеся системы, названные нами транспортно-информационными, и являющиеся, в основном, результатом трансформации и взаимодействия грибовидных и древовидных структур и волн более низких классов.

Несмотря на то, что четвертый, пятый и шестой классы структур и систем встречаются и в неживой природе, наиболее широко они распространены в биологических объектах. Поэтому общие закономерности их динамики оказываются важными не только для физики и химии, но и, главным образом, для биологии и наук о человеке и обществе.

Изучаемая структура или система и её поле на этом этапе исследований должна быть отнесена к тому или иному классу.

2. Вихре-волновой резонанс

Предложенная классификация позволила объяснить ряд новых физических явлений, обнаруженных при исследовании взаимодействия сложных систем и их полей, как резонансное волновое взаимодействие вихревых и грибовидных структур между собой или с волновыми структурами поля, в результате которого возникают новые аномальные явления и формируются новые структуры и системы.

В последние годы было открыто и широко исследовано резонансное взаимодействие поверхностных и внутренних гравитационных волновых движений в стратифицированной жидкости или газе.

Нами была высказана гипотеза о возможности возникновения аналогичных резонансных явлений также при взаимодействии свободных вихрей и вихревых структур, а также каверн и отрывных зон, формирующихся при движении тел в неоднородной сплошной среде (поле), с диспергирующими внутренними волнами и другими типами волновых движений, а также при взаимодействии волновых структур различных классов между собой.

При теоретическом обосновании предложенной гипотезы была использована изложенная выше классификация волн, вихрей, структур и систем, на основании которой были определены необходимые условия резонанса, названного нами вихре-волновым (или структурно-волновым), состоящие в том, что скорости и размеры взаимодействующих структур должны быть близки. Теоретические расчеты и экспериментальные исследования частных проявлений вихре-волнового резонанса подтвердили высказанную гипотезу.

Экспериментально и теоретически вихре — волновой резонанс исследовался при движении в неоднородной среде несимметрично обтекаемых тел — крыльев. В этом случае возникают две вихре — волновые структуры:

а) вихревой пограничный слой на поверхности крыла и вихревой след за ним;

б) диспергирующие поверхностные и внутренние волны в неоднородной среде.

Проблема их взаимодействия частично поддается математическому моделированию. Для резонансного режима движения были выполнены расчеты характеристик потока при взаимодействии возникающих вблизи крыла вихревых структур с возбуждаемыми движением крыла присоединенными внутренними и поверхностными волнами. Результаты расчётов показали, что даже при установившемся движении крыла в неоднородной среде, если длина хорды крыла близка к полудлине присоединенной к движущемуся крылу гравитационной волны, в потоке жидкости или газа должны возникать аномальные возмущения, приводящие к появлению новых резонансных структур.

При этом с уменьшением относительного скачка плотностей при сохранении размеров движущегося тела скорость его движения, соответствующая резонансному режиму, также уменьшается, тем не менее, кинематические возмущения, связанные с проявлением вихре-волнового резонанса, сохраняют свою интенсивность.

Если отношение плотностей сред, разделяемых границей, стремится к нулю, то относительная скорость, при которой возникает резонанс, также стремится к нулю.

Этот результат, хотя ему и может быть найдено разумное теоретическое объяснение, УДИВИТЕЛЕН и, по нашему мнению, чрезвычайно значим: малые флуктуации плотности и малые скорости относительного движения могут привести, благодаря вихре-волновому резонансу, к значительным возмущениям в стратифицированной среде. Аналогичные явления могут происходить вблизи подводных хребтов или горных массивов на поверхности Земли при наличии незначительных скачков плотности, вызываемых сравнительно слабыми ветрами и течениями.

Вихре-волновой резонанс может быть также причиной бифуркационных событий, о которых мы будем говорить несколько ниже.

Так как диапазон параметров движения, порождающего вихре-волновой резонанс, очень узок, то сам резонанс требует создания специальных условий для своего изучения.

Тем не менее возмущения, им вызванные, настолько велики, что могут явиться причиной аварий глубоководных аппаратов или самолетов, летающих в горных областях.

Вихре-волновой и структурно-волновой резонанс обнаружен экспериментально и теоретически также в ряде других случаев взаимодействия вихревых и волновых структур (например, при кавитационном обтекании несимметричных тел, когда длина присоединенной к телу паровой или газовой каверны близка к длине тела, при обтекании плохообтекаемых тел, ниш и отверстий, при взаимодействии концентрированных вихрей с внутренними волнами в неоднородной жидкости или газе).

Во всех этих случаях не только наблюдались аномально большие возмущения параметров потока (поля), но и формировались новые типы устойчивых структур, не наблюдавшиеся при обычных условиях.

Возникшие резонансные структуры могут оказаться достаточно устойчивыми и существовать долго, «забывая» о своём происхождении.

Исходя из вышеизложенного, можно предположить, что появление резонансов подобного типа возможно при различных природных явлениях, в которых присутствует неоднородная сплошная среда (поле) и движущиеся в ней объекты, вихревые и грибовидные (мультипольные) структуры, и транспортно-информационные системы. А эти условия повсеместно встречаются в природе, на различных масштабных уровнях иерархии.

Структурно-волновой резонанс может явиться одним из главных механизмов возникновения и стабилизации новых структур от наномасштабов до масштабов Вселенной — то есть одной из причин структуре — и системоформирования, особенно у биологических объектов и в социальных системах.

Поэтому условия его возникновения и особенности этого типа процессов имеют особое значение при качественном анализе взаимодействия исследуемой системы и поля.

Поиск аномальных состояний динамических систем, в частности, транспортно-информационных, которые могут быть вызваны явлением структурно-волнового резонансного взаимодействия или аналогичных ему, должен войти как неотъемлемая часть в синергетическую методологию исследования сложных систем.

Глава 5. Бифуркационные процессы

1. Определение бифуркационного события и графа структур и событий

Хаотичность, возникающая в динамических моделях реальных систем, теоретическое обнаружение и исследование странных аттракторов, а также анализ бифуркаций, происходящих в детерминированных динамических системах в связи с изменениями управляющих параметров свидетельствуют о том, что даже в случае использования детерминированных математических моделей иногда проявляется основное свойство природных процессов — их принципиальная неполная предсказуемость, У детерминированных моделей — динамических систем это свойство проявляется в случае потери устойчивости их стационарных состояний или других аттракторов или при возникновении странных аттракторов. Для сложных систем принципиальное отсутствие возможности точного предсказания будущего поведения самой системы (обобщённой волны) и её элементов (квантов) становится их основной особенностью. Это свойство определяется тем, что подобные системы, взаимодействуя с окружающим полем, принимают участие в «бифуркационных событиях», исход которых не может быть заранее предсказан и которые становятся для них скорее правилом, чем исключением.

Мир состоит из взаимодействующих между собой волн, структур и систем, которые с той или иной степенью достоверности могут быть выделены из окружающей среды. Всю мировую историю можно представить себе как эволюцию взаимодействующих структур и систем.

Простейшей математической моделью эволюции систем является граф, названный нами графом структур и событий, одной из координат которого является время.

Определенному критическому моменту эволюции соответствует узел эволюционного графа с малыми отрезками прилегающих к нему ребер.

Назовём этот критический момент и соответствующий ему узел графа событием.

Не всегда повторение казалось бы одинаковых опытов приводит к однозначному результату. События, результаты которых не могут быть однозначно предсказаны, будем называть бифуркационными событиями.

Для бифуркационного события мы в лучшем случае можем на основании предыдущего опыта определить множество возможных исходов и вероятность реализации каждого из них. Это множество может быть как непрерывным, так и дискретным, как одномерным, так и многомерным. В этом случае граф структур и событий приобретает новую обобщённую координату — бифуркационную.

Здесь уместно ввести аналогию с дорогой, по которой едут автомобили. Дорога может быть одна, дорог может быть много, дороги могут разделяться и сливаться, они образуют некоторый граф или сеть возможных (разрешённых) путей. Каждая развилка дороги — это условие реализации бифуркационного события, в результате которого может быть выбран тот или иной путь следования, возможно, с некоторой вероятностью. Изучаемая нами система взаимодействующих структур — это автомобиль, который едет по дороге, и на каждой развилке (бифуркация — двойная вилка) выбирает тот или иной путь. Каждый индивидуальный автомобиль проезжает только один путь. Проблема взаимодействия индивидуальных автомобилей и сети разрешенных для них дорог есть аналог основной проблемы, связанной с построением бифуркационной проекции графа структур и событий.

Каждому бифуркационному событию соответствует не один, а несколько или бесконечное множество результатов, которые могут реализоваться после свершения события. Эти результаты образуют множество возможных результатов данного события. Если событие произошло, то из всего множества возможных результатов реализуется один, и дальнейшее развитие процесса происходит лишь по одному из возможных сценариев до тех пор, пока не произойдет новое событие с несколькими возможными исходами.

Таким образом, формируется новая размерность — бифуркационная размерность. При этом каждый вариант результатов взаимодействия может иметь свое количество результирующих структур.

С другой стороны, если взаимодействующие структуры рассматривать как единую динамическую систему, то бифуркационное событие — это такая качественная трансформация параметров системы, которая может вывести на несколько различных аттракторов (зон притяжения).

Перевязка аттракторной и вероятностной интерпретаций исходов бифуркационного события дала путеводную нить к выяснению механизмов многозначности результатов почти идентичных событий.

Будущее может быть известно лишь с какой-то вероятностью. Изучение законов природы позволяет лишь снизить до минимума неопределенность в этом знании (уменьшить число допустимых дорог, по которым должна двигаться автомашина).

Однако, будущее может через некоторое время стать настоящим и, если считать, что о настоящем известно все, то принципиально всегда можно уменьшить неизвестность будущего до нуля, сделав его настоящим, после чего оно становится прошлым, и вновь неизвестным, но по-другому.

В графе структур и событий могут быть выделены определенные области (ветви), начинающиеся с какого-либо события и кончающиеся каким-либо событием, которые обладают некоторой независимостью от остальных областей графа. Такие ветви были названы нами процессами.

Исследование процессов, аналогичных данному, то есть тому, в котором участвует исследуемая нами система, позволяет в случае бифуркционных процессов, определить несколько возможных траекторий движения и, зная частоту встречи той или иной траектории, приближенно определить вероятность реализации каждой из них.

Это можно сделать лишь в том случае, если нам удастся включить исследуемую систему в качестве кванта в какое-либо семейство систем — обобщённую волну — и исследовать эмпирически динамику поведения значительного количества аналогичных систем (квантов).

Каждому варианту возможной фазовой траектории изучаемой динамической системы как модели реального объекта можно сопоставить некоторое число, характеризующее относительную частоту встречи этого варианта в процессе эксперимента, называемое вероятностью реализации.

Выбор этих чисел производится таким образом, чтобы их сумма по всем вариантам равнялась единице.

2. Вектор вероятности бифуркационного события с конечным числом исходов

Любое бифуркационное событие при его анализе за счёт факторизации вероятностного пространства или идентификации его исходов может быть на первом этапе рассмотрения сведено к бифуркационному событию с двумя возможными исходами.

Варианты соответствующих исходов могут быть обозначены введением чисел 1–0. 1 — «да» — первый вариант результата события, 0 — «нет» — второй вариант результата события. Для дальнейшего рассмотрения, однако, целесообразнее ввести изоморфный аналог.

1 — первый вариант результата события — «да»,

— 1 — второй вариант результата события — «нет».

Предыдущий опыт («интуицио») позволяет нам с определенной точностью предсказать степень предпочтительности того или иного результата. Пока событие не произошло, мы можем лишь догадываться о том, какой вариант результата будет реализован. Наши догадки, в принципе, могут колебаться между — 1 и +1, при этом колебания обратимы и могут быть охарактеризованы некоторым числом а.

Чтобы понять, какую интерпретацию может иметь число а, можно привести пример.

Пусть имеется желоб длиной 2 см. В какой-то момент времени на желоб положен шарик. Этот момент можно считать началом события. В точках, расположенных от середины желоба на расстоянии —1 см и +1 см, находятся дырочки, в которые может провалиться шарик. Событие состоит в том, что фокусник катает шарик по желобу, стараясь, чтобы шарик не провалился, и продолжается до тех пор, пока шарик не провалится в одну из дырок. Положение шарика по длине желоба характеризуется тем самым числом а, которое было введено нами выше. Пока шарик не провалился, величина а может принимать любое значение. Все значения а могут быть достижимы. Когда же шарик провалился в одну из лунок — 1 или +1 — событие свершилось. Лунка символизирует один из вариантов результатов события с двумя исходами. Если подобный эксперимент проводить несколько раз, то возникает относительная частота (в пределе при очень больших значениях N, стремящаяся к некоторому числу, называемому нами вероятностью) того, что шарик провалится либо в точку +1 — p+ = N+/N, либо в точку —1 — p- = N-/N.

Аналогичное рассмотрение может быть проведено в общем (абстрактном) случае. Пусть бифуркационное событие имеет два исхода с вероятностями р+, p-,где обе вероятности могут принимать значения в диапазоне 0–1. В результате события вероятность изменяется таким образом, что либо р+ = 1, либо р+ = 0.

Так как р++ p- = 1, то можно ввести параметр α такой, что р+ = cos^2α, p- = sin^2α.

Отсюда следует, что величину α можно представить себе в виде единичного вектора α = {αx, αy}где αх = cosα, αy = sinα. Квадраты проекций вектора α на оси х, у равны соответствующим вероятностям α^2x = р+, α^2y = Р-

Таким образом, выбор того или иного результата события может быть связан с вращением вектора α в двумерном пространстве.

Пусть количество вариантов результатов данного события равно n. В результате события реализуется лишь одна из возможностей. Перед событием существует вероятность реализации каждой из возможностей pr. Сумма вероятностей реализации каждого из указанных исходов равна единице:

В результате свершения события вероятность реализации одного из результатов окажется равной 1, а вероятность того, что наступит какой-либо другой исход, окажется равной нулю. Набор вероятностей p — вероятностный вектор — коллапсирует к одному из единичных векторов, то есть он коллапсирует к одному из ортов системы координат, сформированных возможными исходами события.

Итак, перед самым событием существует некоторый вектор р, характеризующий распределение возможностей реализации тех или иных возможных результатов события. Этот вектор может быть назван вектором вероятности будущего события, n-мерный вектор p перед событием может, в принципе, принимать любые значения на n-1 — мерном многообразии, имеющем уравнение:

Предыдущий опыт может приближенно подсказать точку на многообразии, соответствующую моменту, предшествующему изучаемому нами событию, однако мы не можем предсказать точно, что произойдет в результате события.

Совсем по иному выглядит картина после происшедшего события. Событие произошло. Определенный результат реализовался, остальные не реализовались. Вектор p принял одно из n возможных значений. Можно сказать, что событие подействовало как оператор, резко уменьшивший область допустимых значений вектора p — c n— 1 — мерного многообразия — до одной из точек.

То же самое можно сформулировать и по-другому. Соотношения вероятностей попадания системы в одно из возможных состояний до и после события резко изменились. До события система еще имела возможность попасть в любое из допустимых состояний. После события возможность попадания во все состояния, кроме одного, оказались равными нулю.

Наблюдатель системы приобрёл значительную новую информацию не только о настоящем, но и о будущем системы. Здесь, как и ранее для случая с двумя исходами интуитивно появляется понятие информации как результата отождествления системы, которая до свершения события могла с некоторой вероятностью оказаться в одном из возможных состояний с некоторым конкретным состоянием.

Нашему рассмотрению может быть дана и другая математическая интерпретация. Пусть мы имеем фазовое пространство взаимодействующих структур, имеющее n аттракторов — зон притяжения; существует некоторая точка (или область), отделяющая друг от друга бассейны притяжения этих аттракторов. Перед событием фазовое состояние системы взаимодействующих структур попадает в указанную точку или область, выйдя из которой в процессе события оно попадает в бассейн притяжения того или иного аттрактора, откуда ей уже не вернуться назад.

В классической теории вероятностей вместо вектора/) вводится некоторая функция на множестве возможных исходов бифуркационного (случайного) события.

Рассматривается в элементарном случае конечное множество Ω элементов ω, которые мы будем называть элементарными исходами бифуркационного события и ξ(Ω) множество подмножеств из Ω. Элементы множества φ(Ω) будем называть совокупностями исходов бифуркационного события, а Ω — пространством элементарных исходов бифуркационного события.

Каждому элементу ω из Ω поставлено в соответствие неотрицательное действительное число p_1, — вероятность реализации i-го исхода бифуркационного события. При этом выполняется условие

В этом случае p_1, …, pn суть вероятности элементарных исходов ω_1, …, ωn или просто элементарные вероятности.

Каждому множеству A из ξ(Ω) поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(A). Это число называется вероятностью реализации совокупности исходов. Оно определяется как сумма вероятностей элементарных исходов, входящих в A:

где ik — номера элементарных исходов, входящих в совокупность Aj.

Если P(A) > 0, то частное Р(В\А) = Р(АВ)/Р(А), где AB — пересечение множеств А и В, называется условной вероятностью реализации совокупности исходов В при условии реализации совокупности исходов. Отсюда непосредственно следует, что Р(АВ) = Р(В\А)Р(А).

Заключение по индукции даёт общую формулу Р(А_1А_2…Аn) = Р(А_1)Р(А_2\А_1)P(A_3\A_2\A1)…Р(Аn\А_1…Аn-1) (теорема умножения).

Отсюда получаем Р(А\B) = Р(А)Р(В\А)/Р(B), и далее формулу полной вероятности Р(В) = P(A_1)P(B\A_1) + P(A_2)P(B\A_2) +…+ P(Аn)P(B\Аn),

где А_1+А_2+…+ Аn = Ω и В — произвольная совокупность исходов, и формулу Байеса:

Введение вектора α = {α_1}, где αi =Υрi, позволяет вместо некоторой аддитивной меры, рассматривать метрический вектор единичной длины в евклидовом пространстве. В этом случае вся изложенная выше теория может быть переформулирована в терминах амплитуды вероятности.

Каждому множеству А из ξ(Ω) может быть поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Аp(А). Это число называется амплитудой вероятности реализации совокупности исходов А. Оно определяется как корень квадратный из суммы квадратов амплитуд вероятности элементарных исходов, входящих в А:

где ik — номера элементарных исходов, входящих в совокупность Аj. Ар(Ω) = 1. Если А и B не пересекаются, то [Ap(A+B)]2 =[Ар(А)]2 + [Ар(В)]2.

Каждому множеству Аj, состоящему из mj элементарных исходов бифуркационного события, соответствует некоторый mj-мерный евклидов вектор Ар(Аj) = {ajk} k = 1,…,mj, модуль которого равняется

При этом разложение множества Аj на сумму взаимно не пересекающихся множеств эквивалентно разложению вектора

на сумму взаимно ортогональных векторов, каждый из которых имеет координаты, равные амплитудам элементарных событий, входящим в множество, которое он характеризует, еj — орт координаты, характеризующей i-й элементарный возможный исход бифуркационного события.

Формула Байеса переписывается в терминах амплитуды вероятностей следующим образом:

3. Случайные величины и их связь с параметром целого. Комплексный волновой вектор

Пусть дана однозначная функция s(ω) исхода бифуркационного события ω. Тогда функция Рs, определённая формулой Рs(А) = Р{s-1(A)}называется вероятностной функцией s, а функция АРs амплитудой вероятностной функции s.

Функция Fs (S) = Рs (-бесконечность, S) = Р {s(ω) < S} называется функцией распределения случайной величины s.

Если свойства состояний системы являются периодическими функциями от s, с периодом h, то назовём величину s действием и вместо величины s введём спиральную переменную, путём отображения прямой линии s на цилиндрическую круговую спираль с основанием цилиндра единичного радиуса.

Точка на этой спирали может быть описана спиральным комплексным числом с единичным модулем e2ms/h. Проекцией каждого такого числа на комплексную плоскость является точка на окружности единичного радиуса, описываемая алгебраическим комплексным числом e iθ.

Как величина действия s. так и величина периода действия h, могут быть приняты в качестве параметра целого при исследовании системы на ранних стадиях.

Следующим шагом в анализе бифуркационного события является введение в рассмотрение, по аналогии с действительным вектором вероятности, комплексного волнового вектора Ψ.

Рассмотрим первоначально компоненты этого вектора. Каждому элементарному исходу бифуркационного события (каждому элементу ωi) сопоставим единичный вектор ej направленный вдоль оси абсцисс комплексной плоскости zi.. В этом случае можно ввести собственный волновой вектор данного исхода бифуркационного события

принимающий значения в любой точке единичного круга комплексной области zi, включая его центр (в случае невозможности данного исхода) и окружность единичного радиуса (в случае неотвратимости наступления события). Наряду с этим вводим единичный комплексный собственный вектор.

Сумма комплексных волновых векторов для всего конечного множества возможных исходов формирует полный волновой вектор бифуркационного события, или волновой вектор возможных состояний системы.

4. Энтропия будущего и информация о прошлом бифуркационного события

В синергетической методологии существенную роль играют логарифмы вероятностей исходов бифуркационного события, совокупность которых для данной системы можно представить в виде собственных чисел некоторого оператора, названного нами оператором энтропии.

Осреднение собственных чисел оператора энтропии по всему пространству возможных исходов бифуркационного события позволяет получить некоторое число, которое может быть названо энтропией будущего этого события.

Это число даёт общее представление о степени неопределённости исходов бифуркационного событии и является важной характеристикой исследуемой системы.

Однако, величина энтропии зависит от нашего произвола в выборе вариантов элементарных исходов события, особенно в случае, если пространство возможных исходов представляет собой континуум. Поэтому этот параметр должен быть использован достаточно осторожно.

Более разумно принять несколько вариантов разбиений пространства возможных исходов события.

Для каждого варианта разбиения можно подсчитать своё значение энтропии и максимальное её значение, соответствующее равномерному распределению вероятностей различных вариантов исходов.

Различие между полученным значением энтропии для данной системы и максимальным её значением при данном числе разбиений характеризует доступную нам информацию о возможном поведении системы.

В качестве пространства разбиений для системы, поведение которой нельзя считать детерминированным, можно на первом этапе исследований принять область значений параметра целого. Если поведение системы с некоторым приближением можно считать детерминированным, то энтропия события, в котором участвует система, может быть принята равной нулю, и мы можем вернуться к исследованию объекта как детерминированной динамической системы.

При вычислении энтропии бифуркационного события необходимо рассматривать несколько возможных вариантов.

Первый вариант соответствует наличию дискретного набора возможных состояний системы после совершения события. Если вероятности каждого из вариантов заданы или определены эмпирически, то энтропия события определяется однозначно.

В случае, если возможные исходы бифуркационного события до его свершения составляют континуум и плотность вероятности является гладкой функцией от меры, такой подход невозможен, так как величина энтропии зависит от числа разбиений континуального множества и стремится к бесконечности при увеличении числа элементов разбиения. Однако в этом случае энтропия события может быть представлена в виде двух составляющих, одна из которых стремится к бесконечности, сохраняя универсальный закон зависимости от числа разбиений, а другая в пределе не зависит от числа разбиений, а лишь от формы кривой распределения плотности вероятности по пространству возможных состояний. Эту последнюю часть и можно принять за энтропию события в этом случае.

После свершения бифуркационного события система оказывается в некотором определённом состоянии. Её энтропия обращается в нуль. А наблюдатель получает количество информации, равное энтропии события до его свершения.

5. Граф структур и событий. Бифуркационная координата. Переходные матрицы и дифференциальные уравнения

У исследуемой системы можно выделить два характерных типа поведения.

Периоды сравнительно плавных изменений, когда система может быть приближённо описана как детерминированная и для её описания пригодны методы теории динамических систем (русла в терминологии Г.Г.Малинецкого). Этим периодам соответствуют рёбра графа структур и событий.

Периоды резких бифуркационных изменений — бифуркационные события — (джокеры в терминологии Г. Г. Малинецкого), в результате которых система может оказаться не в одном детерминированном, а с различной степенью вероятности в каждом из спектра возможных состояний, выбор одного из которых заранее не предрешён.

Приближённое графическое представление последовательности связанных между собой бифуркационных событий, которые уже произошли и которые ещё могут произойти, мы назвали графом структур и событий.

В графе структур и событий особо следует выделить текущий момент времени.

Позади него прошлое, события в котором уже свершились, впереди — будущее, которое должно быть предсказано с той или иной степенью вероятности. Предсказание будущего, получение знания о будущем — основная задача исследователя.

При анализе графа целесообразно выделить в качестве опорных два предельных случая.

Граф с бесконечной памятью

Пусть система устроена таким образом, что после каждого бифуркационного события она может оказываться только в новых состояниях, отличных от предыдущих. Причём, время и относительные вероятности реализации этих состояний известны.

Граф становится «математическим деревом».

Вероятность и амплитуду вероятности для каждого состояния в будущем можно вычислить как произведение относительных вероятностей или амплитуд по единственному пути, ведущему к данному состоянию в соответствии с рассмотренными выше формулами элементарной теории вероятностей.

Если мы знаем, в каком состоянии оказалась система в данный момент, то можем определить не только всю цепочку бифуркационных событий, которую она прошла, но и все их исходы. Поэтому такой граф назван нами графом с бесконечной памятью.

Однако, определение относительных вероятностей и моментов свершения будущих бифуркационных событий представляет отдельную задачу, решение которой относится к проблеме получения знаний. В случае графа с бесконечной памятью она практически неразрешима, если знания о будущем не даны нам априори.

Граф системы с конечным числом состояний

В этом случае появляется зависящая от времени матрица вероятностей перехода из одного состояния в другое при совершении серии бифуркационных событий. Если бифуркационные события происходят регулярно, то могут быть рассчитаны асимптотические статистические распределения вероятностей и определено асимптотическое значение энтропии системы в будущем.

Если частота бифуркационных событий в выбранном нами масштабе времени стремится к бесконечности, а число состояний системы становится большим, что чаще всего происходит в системах состоящих из большого числа элементов, то к исследованию графа структур и событий можно применять методы случайных процессов. Можно считать происходящие процессы непрерывными и для их изучения использовать стохастические и детерминированные уравнения сплошной среды.

Глава 6. Транспортно-информационные системы

1. Переход от одной системы или структуры к совокупности систем или структур. Статистические закономерности

Одной из структурных координат графа структур и событий является иерархическая. Всякая сложная система обычно включает в себя большое количество элементов — квантов, являясь для них обобщённой волной и, в свою очередь, является квантом совокупности аналогичных систем, то есть включается в масштабную иерархию волн-квантов. В этой иерархии структуры и системы, находящиеся на каждом её уровне обычно сохраняют свою индивидуальность и могут изучаться в соответствии с настоящей методикой. При этом остальные структуры и системы включаются в поле каждой из них. Взаимодействие с ними может рассматриваться как взаимодействие с полем.

Существование идентичных структур позволяет строить ветви графа структур и событий, принадлежащие к будущему, и упрощает изучение проблемы взаимодействия, позволяя в первом приближении считать, что кванты, входящие в обобщённую волну либо слабо взаимодействуют между собой, либо их взаимодействие подчиняется некоторым простым закономерностям, определяемым законами динамики математических групп (законами симметрии). Таким образом, изучаются объекты неживой природы и их основные состояния.

Однако, в более сложных случаях, соответствующих самоорганизующимся системам, между системой как обобщённой волной и её элементами (квантами) выстраивается масштабная иерархия подсистем, статистическое распределение параметров которых, как показывает практика, определяется степенными законами, а геометрия таких систем становится фрактальной, то есть самоподобной, — или квазифрактальной.

В резонансных случаях возникают всплески самоорганизации и фазовых переходов, характеризующихся логарифмическими законами распределения элементов в сложных системах.

Изучение степенных и логарифмических статистических закономерностей иерархических систем является одним из важнейших элементов синергетической методологии. Теория интаэросистем, теория самоорганизованной критичности, теория режимов с обострением, теория идеального трансформера, исследование комплексных динамических систем со степенными функциями от обобщённых координат, использование степенных и логарифмических функций для создания новых моделей роста и размножения живых объектов и многие другие направления исследований в этой области — всё это первые попытки решения этой фундаментальной проблемы самоорганизации сложных систем. В. П. Маслову удалось доказать математическую теорему, указывающую на универсальный характер экспоненциальных, степенных и логарифмических распределений элементов в транспортно-информационных системах и определить условия перехода от одной формы распределения к другой.

2. Триадная методология. Структура — Поле — Контроллер

На предыдущих этапах исследования предлагалось при анализе систем изучать диаду: структура — поле. Однако диадный подход к исследованию сложных систем ограничен.

Вот что пишет Р. Г. Баранцев [3]: «…диада, или бинарная оппозиция, есть элементарная структура анализа. Синтеза на ней не построить. Для синтеза требуется более ёмкая структура. Примеры из естественных наук подсказывают, что следует обратиться, по меньшей мере, к триадам.

Будем называть триадой совокупность из трёх элементов, каким-то образом связанных между собой. В зависимости от вида связи различаются следующие типы триад.

Линейные (вырожденные, одномерные), когда все три элемента расположены на одной оси в семантическом пространстве. Например, 1–10-100, дивергенция-параллелизм-конвергенция, левые-центр-правые. Структурно они не богаче, чем диады.

Переходные (гегелевские), характеризуемые известной формулой „тезис-антитезис-синтез“. Они лишь провозглашают снятие противоречия, не раскрывая его движущей структуры.

Системные (целостные), единство которых создаётся тремя элементами одного уровня, каждый из которых может служить мерой совмещения двух других. Все три принципиально равноправны.

Особого внимания заслуживает общее семантическое свойство всех системных триад, сложившихся в самых разных культурных традициях…

Источник этой закономерности можно видеть в способности человека мыслить одновременно и понятиями, и образами, и символами.

(Здесь можно вспомнить первый и второй пункты нашей методологии — три языка синергетики — образный, словесный и математический).

Предлагаемая семантическая формула системной триады.

Интуицио

/ \

Рацио — Эмоцио использует понятия, сложившиеся в диадной парадигме и потому довольно условные. Новое смысловое содержание должно постепенно наполняться по мере их проявления в такой триадической структуре. Перекодировка понятий составляет значительную трудность при любой смене парадигмы. Стереотипы, закреплённые в подсознании, очень трудно вытащить и преодолеть на уровне сознания. Тут не обойтись без „эмоцио“ и „интуицио“».

Триадная методология исследования с необходимостью должна быть использована при исследовании транспортно-информационных систем.

Транспортно-информационные системы относятся к шестому классу рассмотренной ранее классификации волн, вихрей, структур и систем. Основным свойством транспортно-информационных систем, является то, что они состоят из большого количества взаимодействующих между собою элементов, каждый из которых участвует в локальных бифуркационных процессах. Поэтому поведение, а следовательно и его знаковое описание для таких систем не может быть строго детерминированным.

В транспортно-информационных системах, элементы которых и они сами участвуют в бифуркационных событиях, возникает необходимость в появлении специального внутреннего механизма выбора.

По-видимому, именно развитие этого механизма, названного нами управляющей системой-контроллером, — в транспортно-информационных системах волнового типа является основным механизмом эволюционного развития.

Включение в рассмотрение контроллера позволило построить фундаментальную триаду элементов взаимодействия, включающую в себя

а) материальную часть системы,

б) поле, взаимодействующее с системой,

в) контроллер системы.

Диада система-поле дополнена до целостной триады новым элементом — контроллером.

В зависимости от соотношения элементов этой триады внутри шестого класса, охватывающего все сложные системы, в том числе и самоорганизующиеся, могут быть выделены подклассы, различающиеся особенностями процессов, в которых участвуют входящие в них системы, а также структурой элементов триады.

а) Системы квазидетерминированного типа, бифуркационные процессы внутри которых оказывают незначительное влияние на их макропарамегры.

Основным свойством таких систем является значительная разница между масштабами самой системы как обобщённой волны и отдельными элементами (квантами), её составляющими, а также близость параметров квантов. Для них характерны экспоненциальные законы статистических параметров.

Границы таких систем, являющиеся обычно волновыми структурами, относящимися ко второму классу предложенной нами классификации, во многом определяют их макроскопические свойства. Для их изучения существуют глубоко разработанные методы равновесной и неравновесной статистической физики и механики сплошных сред.

При этом квазидетерминированность на системном (волновом) уровне допускает различную степень хаотичности на уровне квантов. Большинство макроскопических объектов неживой природы относятся к этому подклассу.

б) Транспортно-информационные системы, у которых реализуется иерархическая материальная и информационная связь между уровнем системы-волны и элемента-кванта.

В таких системах обычно выстраивается масштабная иерархия подсистем, каждая из которых может обладать свойствами волновых структур классов более низкого уровня. Эта масштабная иерархия имеет квази-фрактальный характер. Именно в таких системах наблюдается соответствующее их квази-фрактальной структуре степенное статистическое распределение масштабов элементов и подструктур.

На каждом уровне иерархии такой системы её подструктуры проявляют свою свободу.

в) Транспортно-информационные системы, способные к размножению, то есть к формированию себе подобных систем.

Способность к размножению не является прерогативой только транспортно-информационных систем. Практически в той или иной степени это свойство характерно для любых колебательных и волновых систем, начиная от линейных колебаний и волн. Однако, когда мы переходим к рассмотрению транспортно-информационных систем третьего подкласса, то их размножение может иметь специфический характер, проявляя, особенно у живых систем, такую сложность, которую невозможно даже помыслить у структур более простых типов. Здесь возникают структурно-волновые резонансы и могут появляться логарифмические законы распределения параметров элементов.

г) Транспортно-информационные системы, способные моделировать свою динамику и динамику окружающей среды-поля и выбирать близкие к оптимальным модели бифуркационного поведения.

Именно у таких систем интенсивно развивается, определяя их эволюцию, внутренний контроллер, названный нами гомеостатическим.

д) Транспортно-информационные системы, обладающие сознанием и творческими способностями.

Итак, системе, участвующей в бифуркационных событиях, мы сопоставили целостную триаду

Поле

(Ближнее и Дальнее)

/ \

Структура — Контроллер

(Внешняя часть системы) (Управляющая система)

Структура (внешняя материальная часть системы) — это часть объекта, которая взаимодействует с полем на материальном и энергетическом уровне,

Поле (ближнее и дальнее) — это внешняя по отношению к структуре совокупность объектов, интенсивно взаимодействующая со структурой. Поле может быть условно разделено на ближнее и дальнее, для исследования взаимодействия которых с системой могут быть применены асимптотические методы.

Контроллер (управляющий механизм) — внутренний механизм системы, обеспечивающий выбор из числа возможных исходов бифуркационного события или процесса того, который приведет к наиболее устойчивому состоянию системы.

Появление контроллера включает в действие механизм эволюции. Развиваются в непосредственной связи между собой все три элемента триады. Возникает тройное резонансное взаимодействие (по-видимому, здесь действует механизм структурно-волнового резонанса), приводящее к увеличению сложности и динамической устойчивости (увеличению числа возможных исходов бифуркацонных событий и увеличению информации, хранимой и перерабатываемой контроллером).

3. Триадный анализ структуры

Анализ триады сложной волновой транспортно-информационной системы показывает, что все её элементы могут быть изучены более глубоко и для каждого из них может быть построена своя внутренняя системная триада.

Структура характеризуется тремя главными координатами: мерой, типом и иерархией.

Тип

Структура / \

Мера — Иерархия

Мера — характеризует величину основного параметра структуры, который часто (но далеко не всегда > совпадает с параметром целого всей системы.

Тип — Структура может быть отнесена к одному из классов волн, вихревых, грибовидных и древовидных структур или транспортно-информационных систем, в соответствии с изложенной выше классификацией. Относя структуру к определенному классу, мы определяем тип структуры.

Иерархия — Сложные системы обычно состоят из подсистем различных масштабов, связанных между собой. Каждая из них может иметь свою меру или свой тип. Вместе они образуют иерархию сложной системы.

4. Триадный анализ контроллера

Аналогичная триада формируется в управляющем механизме.

Информация

Контроллер / \

Управление — Память

Управление — Главная «цель» управляющего механизма — это управление вероятностями исходов бифуркационных событий. Управление производится путём изменения иерархической структуры объекта, установления новых внутренних связей, а также активации, разрушения или резервирования старых.

Информация — Для такого управления необходимо получение информации об изменениях, происходящих в самой системе и во внешнем поле.

Память — специальный механизм сохранения и переработки полученной ранее информации, а также своевременного использования её для целей управления.

Контроллер — это механизм управления бифуркационными процессами, в которых участвует система. Контроллеры могут быть двух типов.

1. Контроллер, порождающий структуру.

2. Контроллер, обеспечивающий устойчивое существование структуры, выбор ее поведения при взаимодействии с полем, способный до начала событий изменять вероятности реализации возможных результатов, а также осуществляющий в момент события выбор того или иного конкретного результата — гомеостатический контроллер.

1. Контроллер, порождающий структуру

Он может находиться как вне структуры, в её поле, так и внутри самой структуры. Порождающий контроллер должен обеспечивать существование и воспроизводство обобщённой волны, в которую структура входит как квант.

2. Гомеостатический контроллер

В результате формирования системы и выхода её на режим стабильного существования возникает стационарный режим обмена веществом, энергией и информацией между структурой и полем, при котором параметр целого системы остаётся близким к постоянной величине. Устойчивость этого режима и безопасность системы обеспечивает гомеостатический контроллер.

Основной принцип его действия — это обобщённый принцип обратной связи. Он реализуется через управление вероятностями исходов бифур-бифуркационыхсобытий и процессов. Любое возмущение внешнего поля приводит к возмущению параметров системы. При этом включается нелинейный механизм стабилизации, возвращающий гомеостаз.

Пусть произошло некое событие, связанное с локальным взаимодействием структуры и поля, в результате которого структура изменила свое состояние. Тогда гомеостатический контроллер в соответствии с памятью об аналогичных процессах, которые происходили со структурой ранее, разрабатывает и реализует модель поведения, целью которой является приведение системы после воздействия флуктуации в состояние, максимально близкое к равновесному. С этой целью обмен веществ и энергии изменяется таким образом, чтобы обеспечить такую серию бифуркационных событий, чтобы она привела к гомеостатическому состоянию, или близкому к нему. Одновременно происходит и совершенствование системы управления. Она запоминает порядок действий, все успехи и неудачи в достижении цели, и в следующий раз приходит к цели более эффективным способом.

Поэтому одним из главных орудий гомеостатического контроллера является накопление информации о возможных способах решения поставленной задачи, полученной в результате свершения бифуркационных событий и процессов — память о прошлом.

Основным свойством гомеостатического контроллера является также способность моделирования будущего, исходя из поставленной цели и информации, накопленной в прошлом. Здесь возникает проблема получения контроллером знания, то есть информации о возможном будущем.

5. Триадный анализ поля

Поле — это внешняя среда, окружающая структуру. Для континуального описания, наиболее удобного для поля, используются системы непрерывных обобщенных координат, число которых может быть как конечным, так и бесконечным. В рамках континуального подхода поле описывается потенциалами различных типов. Кроме того, поле несёт информацию о происходящих в нём событиях. Таким образом, поле также может охарактеризоваться триадой.

Координаты

/ \

Потенциал(тип) — Информация

Координаты — параметры пространства (обычно непрерывного и многомерного), в котором происходят те или иные события.

Потенциал (тип) — определяет характер взаимодействия поля со структурами или системами.

Информация — данные о бифуркационных процессах, происходивших с объектами, взаимодействующими с полем и между собой.

6. Построение и анализ усложненного комплекса

Выстроенные триады могут быть объединены в единый комплекс.

Координаты

/ \

Тип потенциала Информация

Тип структуры Информация

/ \ / \

Мера — Иерархия-Управление — Память

Соответствующие элементы триад взаимодействуют между собой, но у каждой триады есть свой особый элемент, не соединяющий ее с другими. Эти особые элементы вновь формируют триаду

Координаты

/ \

Мера — Память

Между элементами этой узловой триады может быть построена новая триада

Материя — Творчество

\ /

Управление

Объединение первого и последнего треугольников характеризует основные параметры сложной транспортно-информационной системы

Поле

/ \ Материя / \ Творчество

X X

Структура — \ — / — Контроллер

\ / Управление

Заключение. Бифуркация — Информация — Знание

Так как возникновение и эволюция контроллера является принципиально новым фактором, отличающим сложные транспортно-информационные системы, то причины его появления и механизм действия требуют специального рассмотрения и анализа. Одним из важнейших направлений исследований на этом пути являются исследования в области динамической теории информации и искусственного интеллекта, в частности анализ нейросетей.

Если бы все события в природе были детерминированы, и процессы происходящие со всеми структурами были заранее предопределены, то никакой потребности в контроллере бы не возникло. Информация и представление о ней возникают только как следствие существования неопределённости, при совершении бифуркационных событий.

Однако, это только одна сторона информационного процесса. Возможность существования в природе бифуркационных событий и процессов порождает принципиальную неполную предсказуемость будущего, а следовательно, возможность управления будущим, путем выбора одного из возможных исходов. В этом случае возникает необходимость предсказания будущего знания. Переход от информации о прошлом к информации о будущем знанию — это творческий процесс. Резкий скачок информации о будущем может произойти без дополнительного получения информации о прошлом и наоборот, можно получать бесконечное количество информации о прошлом, не выжимая из неё информации о будущем.

При изучении систем, управляемых контроллером, необходимо не только анализировать динамику её основной материальной структуры и строить соответствующие математические модели, но также и знать принципы действия контроллера и моделировать процесс создания им моделей поведения. Здесь возникает новая триада:

Исследователь

/ \

Структура — Контроллер

Литература

1. Андрианов И. В. Баранцев Р. Г., Маневич Л. И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. М.: Едиториал УРСС, 2004, 304 с.

2. Арапов М.В., Шрейдер Ю.А. Классификации и ранговые распределения. НТИ. 1977, Сер.2. № 11–12, с. 15–21.

3. Аршинов В.И. Синергетика как феномен постнеклассической науки. М., 1999. 203 с.

4. Баранцев Р.Г. Синергетика на фоне научных школ // Академические научные школы Санкт-Петербурга. К 275-летию Академии Наук. СПб., 1998.

5. Баранцев Р.Г. Нелинейность — когерентность — открытость как системная триада синергетики // Мост. 1999, № 29, с, 54–55.

6. Баранцев Р.Г. Имманентные проблемы синергетики // Вопросы философии. 2002, № 9, с. 91–101.

7. Баранцев Р.Г. Синергетика в современном естествознании. М.: Едиториал УРСС, 2003, 144 с.

8. Баранцев Р.Г. Становление тринитарного мышления. М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2005, 124 с.

9. Баранцев Р.Г. История семиодинамики: документы, беседы, комментарии. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика», 2006, 376 с.

10. Басина Г.И., Басин М.А. Синергетика. Эволюция и ритмы человечества. СПб.: Норма, 2003, 260 с.

11. Басин М.А. Синергетика. Волновой подход к исследованию открытых структур и систем // Проблемы ноосферы и устойчивого развития. Материалы первой международной конференции. СПб. 9–15 сентября 1996 г. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996.

12. Басин М.А. Основы классификации нелинейных волновых движений, вихрей и транспортных систем // Синергетика и методы науки. СПб.: Наука, 1998, с. 356–375.

13. Басин М.А. К теории идеального трансформера//Синергетика и методы науки. СПб.: Наука, 1998, с. 95–131.

14. Басин М.А. Волновой подход к исследованию структур и систем // Реальность и субъект. 1998, №№ 2–3, 57–72.

15. Басин М.А. Концептуальные проблемы синергетики//Доклад, представленный на юбилейную конференцию, посвящённую 10 годовщине Санкт-Петербургского союза учёных. СПб 29 октября 1999 г. Опубликован в качестве Приложения 3 в монографии: Басин М.А. Волны. Кванты. События. Волновая теория взаимодействия структур и систем. Часть 1.СПб.: Норма, 2000, с. 136–140.

16. Басин М.А. Волны. Кванты. События. Волновая теория взаимодействия структур и систем. Часть 1. СПб.: Норма, 2000, 168 с.

17. Басин М. А. Спиральные числа. Степенные особенности. Волны. Вихри. Грибовидные структуры. Транспортно-информационные системы /,/ Международная междисциплинарная научно-практическая конференция: «Современные проблемы науки и образования». Керчь 27.06.^4.07.2001. 4.1. Харьков, 2001, с. 12–13.

18. Басин М.А. Нестандартные математические модели динамики человеческого общества // Материалы 2-й международной междисциплинарной научно-практической конференции: «Современные проблемы гуманизации и гармонизации управления».4–11 ноября 2001 г. Харьков, 2001, с. 273–274.

19. Басин М.А. Информационно-волновая теория структур и систем // Материалы Второй научной конференции Санкт — Петербургского союза учёных «Проблемы и перспективы междисциплинарных фундаментальных исследований». 10–12 апреля 2002 г. СПб., 2002, с. 8–9.

20. Басин М.А. Человек и человечество. Некоторые нестандартные модели // Реальность и субъект. Т.6. 7002, № 1, с. 33–43.

21. Басин М.А. Компьютеры. Вихри. Резонансы. Волновая теория взаимодействия структур и систем. Часть 2. СПб.: Норма, 2002, 144 с.

22. Басин М. А. О функции, описывающей поведение системы перед катастрофическими событиями, и дифференциальных уравнениях, которым она удовлетворяет. Письма в журнал технической физики. 2006, том 32, № 8, с. 30–33.

23. Басин М. А. Вихре-волновой и структурный резонанс. Возникновение и особенности,// Материалы международной конференции «Идеи синергетики в естественных науках — (Вторые Курдюмовские чтения)». 20–23 апреля 2006 г. Тверь. С. 108–114.

24. Басин М.А., Шилович И.И. Синергетика и Internet (Путь к Synergonet) СПб.: Наука, 1999,71 с.

25. Басин М.А., Шилович И. И. Путь в Synergonet//Современные проблемы науки и образования. Материалы международной конференции Керчь, 27 июня—4 июля 2001 г. 4.1. Харьков, 2001, с. 177–178.

26. Басин М.А. Шилович И.И. Синергетика и Internet. Путь в Synergonet// Материалы Второй научной конференции Санкт-Петербургского союза учёных «Проблемы и перспективы междисциплинарных фундаментальных исследований». 10–12 апреля 2002 г. СПб, 2002, с. 10.

27. Басин М.А., Шилович И.И. Путь в Synergonet. СПб.: Норма, 2004, 128 с.

28. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука. Физматгиз, 1998, 288 с.

29. Брюно А.Д. Самоподобные решения и степенная геометрия // УМН. 2000, т. 55, № 1.

30. Буданов В.Г. Когнитивная психология или когнитивная физика. О величии и тщетности языка событий // Событие и смысл (Синергетический опыт языка) М.: РИНС, 1999, с. 38–66.

31. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987, 240 с.

32. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Л.И. Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний и волн // УФН. 1979, 128, № 4, с. 579–624.

33. Гленсдорф П., Пригожий И. Термодинамическая теория структур, устойчивости и флуктуации. М.: Мир, 1972.

34. Данилов Ю.А. Причудливый мир науки / Сост. А.Г. Шадтина. Под общей ред. Д.И. Трубецкова. Саратов: Изд-во Гос УНЦ «Колледж», 2004, 228 с.

35. Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика? // Нелинейные волны. Самоорганизация. М.: Наука, 1983, с. 5–16.

36. Дульнев Г.Н. Введение в синергетику. СПб., 1998, 256 с.

37. Евин И.А. Синергетика искусствам., 1993, 171 с.

38. Евин И.А. Что такое искусство с точки зрения физики? М., 2000, 144 с.

39. Ершова-Бабенко И.В. Философия, методология, синергетика и наука. Одесса, 1996, 122 с.

40. Ершова-Бабенко И.В. Психосинергетические стратегии человеческой деятельности (Концептуальная модель). «Nova Knyha», 2005, 358 с.

41. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М., 1999, 400 с.

42. Журавлёва З.Е. IV Международная конференция «Нелинейный мир. Языки науки — Языки искусства». Суздаль, 7–12 июня 1999 г. Тезисы. М., с. 7–9.

43. Иванова В.С., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Октоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М., 1994, 384 с.

44. Информация и самоорганизация. М., 1996, 292 с.

45. Каган М.С. Синергетика и культурология// Синергетика и методы науки. СПб: Наука, 1998, с. 201–219.

46. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М.: УФН, 1997, 400 с.

47. Капица С.П. Общая теория роста человечества: сколько людей жило, живёт и будет жить на Земле. М.: Наука, 1999, 190 с.

48. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: УРСС, 2003, 288 с.

49. Климентович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Т. 1. М.: Янус, 1995, 624 с.

50. Князева Е.Н. Одиссея научного разума. Синергетическое видение научного прогресса. М., 1995, 228 с.

51. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1994, 238 с.

52. Корнфельд Л.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980, 384 с.

53. Котельников Г.А. Теоретические основы синергетики. Белгород, 1998, 125 с.

54. Крылов Ю.К. Интаэрология и синергетика // Синергетика и методы науки / Под ред. МА Васина. СПб.: Наука, 1998, с. 77–94.

55. Крылов Ю.К., Кудрин Б.И. Целочисленное аппроксимирование ранговых распределений и идентификация техноценозов. «Ценологические исследования». Вып. 11. М.: Центр системных исследований, 1999, 80 с.

56. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Синергетика — новые направления. М.: Знание, 1989, 48 с.

57. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука. Физматлит, 1997, 625 с.

58. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта. М.: Мир, 1991, 568 с.

59. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической механики. М.: УРСС, 2004,318 с.

60. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000, 336 с.

61. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: ИКИ, 2002.

62. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. М.:Изд-во АН СССР, 1955,503 с.

63. Маслов В.П. Квантовая экономика. М.: Наука, 2005, 68 с.

64. Маслов С.Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. М: Радио и связь, 1986, 136 с.

65. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 320 с.

66. Митин Н.А., Слепнёв А.С. О фрактальной размерности временных рядов // Материалы международной конференции: «Идеи синергетики в естественных науках (Вторые Курдюмовские чтения)». 20–23 апреля 2006 года. Тверь, с. 82–85.

67. Моисеев Н.Н. Современный рационализм. М., 1995, 376 с.

68. Моисеев Н.Н. Судьба цивилизации. Путь разума. М., 1998, 228 с.

69. Московский синергетический форум. Тезисы. М., 1996, 118 с.

70. Николае Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1977, 512 с.

71. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М.: Наука, 1996.

72. Новое в синергетике. Взгляд в третье тысячелетие. М.: Наука, 2002, 478 с.

73. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989, 328 с.

74. Пейтгеп Х.-О., Рихтер П. X. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993, 176 с.

75. Поддубный Н.В. Синергетика: диалектика самоорганизующихся систем. Белгород: Изд-во Белгородского ун-та. 1999, 352 с.

76. Пригожий И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М., 1994, 272 с.

77. Режимы с обострением. Эволюция идеи. Законы коэволюции сложных структур. М.: Наука, 1999, 256 с.

78. Семиодинамика. Труды семинара/ Под ред. Р.Г. Баранцева. СПб., 1994, 192 с.

79. Синергетика в современном мире. Белгород: БГТСАМ.4.1., 2000, 320 с.; Ч.2., 2000, 217 с.; Ч.3., 2001,232 с.

80. Синергетика и методы науки / Под ред. М.А. Басина. СПб.: Наука, 1998,438 с.

81. Синергетика и образование. М.: Гнозис, 1997, 360 с.; Синергетика и социальное управление. М.: РАГС, 1998, 352 с.; Синергетика и учебный процесс. М.: РАГС, 1999,300 с.: Синергетика; человек, общество. М.: РАГС, 2000, 342 с.; Синергетика, философия, культура. М.: РАГС, 2001, 363 с.; Глобализация: синергетический подход. М.: РАГС, 2002, 472 с.

82. Синергетика и психология. Материалы круглого стола 10.03.1997/ Под ред. М.А. Басина, С.В.Харитонова. СПб.: Изд. СПбУВК, 1997, 148 с.

83. Синергетика и психология. Тексты. Вып. 1. Методологические вопросы / Под ред. И.Н. Трофимовой и В.Г. Буданова. М.: Союз, 1997, 361 с.; Вып.2. Социальные процессы, 2000, 272 с.

84. Синергетика. Труды семинара. МГУ. Вып. 1, 1998, 256 с.; Вып.2, 1999,232 с.; Вып. З, 2000, 368 с.; Вып. 4, 2001, 360 с.

85. Синергетическая парадигма. Многообразие поисков и подходов. М.: Прогресс-Традиция, 2000, 536 с.

86. Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. М., 2002, 496 с.

87. Слепнёв А. С. Фрактальная размерность применительно временным функциям и рядам. Выпускная квалификационная работа на степень бакалавра. М.: МФТИ, 2004.

88. Сорока Э.М. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984. 264 с.

89. Странные аттракторы. Математика. Новое в зарубежной науке. 22. Сборник статей. М.: Мир. 1993, 176 с.

90 Тахтаджян А.Л. Тектология: история и проблемы // Системные исследования. Ежегодник 1971. М., 1972. с. 200–2.77.

91. Трубников Б.А., Румынский И.А. Простейший вывод закона Ципфа — Крылова для слов и возможность его «эволюционной интерпретации». ДАН СССР. Том 321. 1991, № 2, с. 270–275.

92. Улам С. Нерешённые математические задачи. М.: Наука, 1964, 161 с.

93. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. М.: Наука, 2000,431 с.

94. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

95. Хакен Г. Синергетика. М: Мир, 1980, 414 с.

96. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

97. Хакен Г. Информация и самоорганизация. М.: Мир, 1985. (4-й том в Шпрингеровской серии книг по синергетике)

98. Харитонов С.В. Проявление космического закона в психике человека. Синергетический подход к классификации психических потребностей. СПб.: Петербург-XXI век, 2000, 80 с.

99. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации. М.: Наука, 2001, 244 с.

100. Чернавский Д. С. Синергетика и информация. М.: УРСС, 2003.

101. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. М.-Ижевск: РХД, 2005.

102. Bak P., TangC., Wiesenfeld K. Self-organized Criticality. Physical Revue A. 1988. vol. 38, N9 1, p. 364–374.

103. Bak P. How Nature Works: the Science of Selforganized Criticality. — Springer-Verlag. New York, Inc. 1996, 205 p.

104. Basin M.A. Vortex-Wave Resonance // Proceedings of the First International Conference on Vortex Methods. November 4–5. 1999. Kobe. Japan, p. 303–310

105. Bassin M. Information-Wave Theory of Structures and Systems and its Application to the Life Sciences// International Nonlinear Sciences Conference. Research and Application in the Life Sciences. February 7–9.2003 (INSC 2003). Vienna. Austria. P. 23–24.

106. Basin M. A. Differential Equations Determining the Function That Describes Precatastrophic Behavior of a System. Technical Physics Letters. 2006. Vol.32. No.4. P. 338–339. Pleiades Publishing. Inc.2006

107. Dubovikov M.M., Starchenko N.V., Dubovikov M.S. Dimension of the Minimal Cover and Fractal Analysis of Time Series//Physica A, 2004, V. 339, p. 591–608.

108. Feigenbaum M.J. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations/ / J. Stat. Phys.,1987, V. 19, Nsl, p. 25–52.

109. Mandelbrot B. Fractals: Form, Chance and Dimension. San Francisco: Freeman Comp., 1977, 365 p.

110. Mandelbrot B. Fractals. Paris: Hazard et Finance, Flammarion, 1997.

111. Nonlinear Partial Diffeiential Equations. N.Y.: Acad. Press, 1967.

112. Penrose R. Shadows of the Mind. Vintage, 1995.

113. Thorn R. Arnold V. L, Smale S. Dynamical Systems and Differential Equations. In: Mathematical developments arising from Hilbert Problems. Providense. RI: Amer. Math.Soc., 1976, p. 59–62 (I'toc. Sympos. Pure. Math., 28).

Васина Г. И., Васин М.А. Синергетика. Основы методологии Серия «Синергетика» Научно-исследовательский центр «Синергетика» Санкт-Петербургского союза учёных

Санкт-Петербург

2006

Работа выполнена при поддержке

РФФИ (гранты №№ 95–01-Ш2а, 96–06-80418а,00–06-80077 а)

РГНФ (гранты №№ 00–03-36003 а/Б,03–03-00247 а/Б)

Басина Г. И., Басин М.А. Синергетика. Основы методологии. — СПб.: Норма, 2006. — 56 с.

Примечания

1

Журавлёва З.Е. IV Международная конференция «Нелинейный мир. Языки науки — Языки искусства». Суздаль, 7–12 июня 1999 г. Тезисы. М., с. 7–9.

2

Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика? // Нелинейные волны. Самоорганизация. М.: Наука, 1983, с. 5–16.5

3

Баранцев Р.Г. Синергетика в современном естествознании. М.: Едиториал УРСС, 2003, 144 с.

Content

Басина Г. И. и др Синергетика. Основы методологии

Г. И. Басина, М. А. Басин Синергетика. Основы методологии

Введение. Что такое синергетика?

Глава 1. Три языка Синергетики

Глава 2. Параметр целого

Глава 3. Фазовое пространство динамической системы

Глава 4. Анализ поля системы

Глава 5. Бифуркационные процессы

Глава 6. Транспортно-информационные системы

Заключение. Бифуркация — Информация — Знание

Литература

Примечания