Александр Николаевич Петров

Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Фонд некоммерческих программ «Династия» основан в 2001 году Дмитрием Борисовичем Зиминым, почетным президентом компании «Вымпелком».

Приоритетные направления деятельности Фонда – развитие фундаментальной науки и образования в России, популяризация и просвещение.

«Библиотека Фонда «Династия» – проект Фонда по изданию современных научно-популярных книг, отобранных экспертами-учеными.

Книга, которую вы держите в руках, выпущена в рамках этого проекта.

Более подробную информацию о Фонде Дмитрия Зимина «Династия» вы найдете по адресу www.dynastyfdn.ru

Предисловие

Все должно быть изложено так просто, как только возможно, но не проще.

Альберт Эйнштейн

Книги по теории тяготения, а также по отдельным вопросам и проблемам, связанным с ней, не редкость в книжных магазинах. Большая их часть – это монографии, учебники, справочники, то есть профессиональная литература. Другая часть, тоже не малая – популярные издания. Однако зачастую в популярном изложении делается упор на эффектность явлений. При этом пояснения либо отсутствуют вовсе, либо даются в сильно упрощенной форме: с помощью сравнений или ярких иллюстраций. В настоящей книге сделана попытка не только рассказать о необычных явлениях, но по возможности объяснить – как и почему они возникают.

Развитие представлений о тяготении дается в хронологическом порядке в соответствии со всей историей науки. Ее можно разделить на три части:

1) Древний период, когда, наблюдая и анализируя движения небесных тел, ученые и не предполагали, что изучают проявления тяготения.

2) Период осмысления, открытия закона всемирного тяготения и его триумфа в изучении движения небесных светил.

3) Последний период начинается с осознания того, что тяготение имеет геометрическую природу и построения общей теории относительности, на которой основана современная небесная механика, астрофизика и космология.

Проявления тяготения более чем очевидны, они даны человеку в повседневных ощущениях, достаточно поднять сумку с продуктами. Поэтому человечество размышляет о природе тяготения, действительно, давно и, конечно, не только на бытовом уровне. Каждый из периодов интересен тем, какие загадки волновали ученых, какими теоретическими и техническими методами решались проблемы, каков был дух исследований, насколько драматичными и возвышенными они были.

Значительно больше внимания уделено третьему периоду, связанному с общей теории относительности. Физическая теория – это лишь идеальная модель для описания явлений, инструмент, позволяющий обнаружить их причины. Любая модель связана с математическим аппаратом. Но реальная природа сложнее математических рамок, а модель всегда лишь приближение к реальности. Обычно теория считается признанной, если она описывает все явления, которые находятся в поле ее компетенции, а также, если на основании ее законов делаются новые предсказания. Именно такой гравитационной теорией в настоящее время является общая теория относительности. В книге рассказано об истории ее создания, основных принципах построения, продолжающемся многолетнем тестировании, наблюдаемых эффектах и предсказанных явлениях.

Гравитация играет особую роль в организации материи. Если остальные физические взаимодействия связывают разные виды элементарных частиц, обладающие тем или иным видом зарядов, то гравитационное – универсально, его следует учитывать при любом движении материи и даже при одном только ее наличии. Гравитация – самый слабый вид взаимодействия, ее проявления мизерны на масштабах элементарных частиц. Но она в полной мере проявляет себя на космических масштабах, поэтому играет главную роль в процессах мироздания в целом. На этом в книге акцентируется особое внимание. Анализируется формирование и строение черных дыр; обсуждается генерация и перспективы детектирования гравитационных волн; рассматривается эволюция Вселенной, начиная с Большого взрыва и заканчивая современной эпохой, а также обсуждаются возможные сценарии будущего. Обсуждаются также теоретические и наблюдательные перспективы развития гравитационной теории.

Биографические данные или исторические факты никак не претендуют на полноту описания. Они приведены для того, чтобы подчеркнуть особенности личности ученого и передать атмосферу научного поиска.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся развитием современной науки. Бо́льшая ее часть не требует никакой специальной подготовки. Некоторые места подразумевают знание физики в объеме средней школы. Те, кому некоторые места покажутся трудными для восприятия, могут пропустить их без ущерба для дальнейшего чтения. Кроме того, автор надеется, что книга будет интересной и полезной студентам начальных курсов и, возможно, повлияет на их выбор будущей специализации.

Автор признателен А. Дехтяренко, Р. Ломпею, С. Попову, Н. Сосову и М. Хегай, которые прочли рукопись и сделали ряд ценных замечаний. Особая благодарность В. Сурдину за многочисленные полезные рекомендации.

Глава 1

Представления о тяготении в древнем мире

Древние о Вселенной до Аристотеля

Земля, о достойнейший и благороднейший из преподавателей и наставников, имела и имеет форму плоского диска и омывается со всех сторон величественной рекой, называемой «Океан». Земля покоится на шести слонах, а те стоят на огромной черепахе. Вот как устроен мир, о учитель!

Лазарь Лагин «Старик Хоттабыч»

Тяготение в русском языке происходит от слова тяжесть, обозначающее ощущение, которое люди испытывают в повседневной жизни постоянно. Тяжести нужно поднимать, переносить, увертываться от них, чтобы не ушибли или не раздавили. Это бытовое восприятие рождало метафоры: «ложась тяжестью на душу» или «камнем на сердце», заставляло изобретать технологии его преодоления и/или использования: коромысла, рычаги, катапульты и т. п. У самых любопытных возникали вопросы: почему вещи падают на землю, а не взмывают в небеса. В небесах был совсем другой мир, высокий и, как казалось нашим древним предкам, идеальный, далекий от тягот бытия, мир Солнца, Луны и небесных светил. Светила катились по небосводу, подчиняясь неведомым законам. Не было известно и место в системе мироздания самой Земли, на которой располагался обитаемый мир.

Однако, чтобы начать рассказ о том, как понятие тяготения появилось в научном сознание человечества, связав оба мира, «низкий» и «высокий», все-таки было бы неразумным обращаться к тем временам, когда люди считали Землю плоской, покоящейся на китах, слонах и т. д. Начнем с Древней Греции, где около 3-х тысячелетий назад сложилось представление, что Вселенная сферична, а в ее центре находится Земля. Несколько позднее, в связи с тем, что в древнегреческой культуре понятия симметрии и идеального приобрели статус основополагающих, стали считать, что и сама Земля может (должна) иметь форму шара. Вселенная должна быть совершенной во всем и полностью.

Каковой представлялась Вселенная? Что может увидеть на небе наблюдатель без оптических инструментов? Множество неподвижных звезд на небосклоне, который обращается с периодичностью раз в сутки. Луна и Солнце также имеют суточное движение, но отмечается и их движение относительно неподвижных звезд. Несколько звезд перемещаются относительно множества неподвижных, их выделили в отдельную группу и назвали планетами (от греч. planetes – блуждающий).

Рассматривалось несколько моделей устройства мира. Остановимся на системе Евдокса (около 406–355 г. до н. э.). В его модели предполагалось, что шарообразная Земля покоится (не вращается) в центре сферической Вселенной (геоцентрическая модель). Для объяснения поведения небесных тел была введена система концентрических сфер с центром в Земле. На самой дальней сфере, обращающейся вокруг Земли один раз в сутки, закреплены звезды. Для объяснения движения каждого другого тела по небосклону требовалось несколько совмещенных сфер, чтобы описать иногда очень причудливые видимые движения. Именно система мироздания Евдокса (рис. 1.1) была принята и развита Аристотелем (384–322 г. до н. э.).

Рис. 1.1. Геоцентрическая схема мира Евдокса

Аристотель

Аристотель Стагирский (по месту рождения), рис. 1.2, один из величайших, если не самый значимый философ античной Греции. Его отец Никомах и мать Фестида принадлежали благородному сословию. Никомах был придворным врачом македонского царя Аминты III. В те времена это означало, что сын, скорее всего, тоже стал бы врачом. Кроме того, врач тогда был фактически естествоиспытателем. Поэтому с детских лет Аристотель, воспитываемый отцом, почувствовал вкус к исследованиям. Но он рано потерял родителей и в 17 лет оказался в Афинах, где стал учеником знаменитой школы Платона. Довольно быстро и успешно окончив школу, он в течение 20 лет преподавал в ней, хотя его суждения и выводы часто не совпадали с мнением учителя.

Рис. 1.2. Аристотель

После смерти Платона Аристотель был приглашен македонским царем Филиппом для воспитания сына – 13-летнего Александра, будущего великого полководца.

Александр на всю жизнь сохранил любовь к своему учителю. После двора Филиппа Аристотель вернулся в Афины и создал там свою школу «Ликей», поскольку была она при храме Аполлона Ликейского (вспомните, что Пушкин учился в лицее, многие дети в наше время учатся в лицеях). Школа называлась перипатетической (от греч. peri-patos – прогулка), занятия проходили во время прогулок. Иногда утверждается, что он, как и все благородные греки, вел праздный образ жизни бездельника. Но на основе его записей еще при жизни было составлено 150 текстов (томов). До наших дней дошло 15 книг. Возникает вопрос: как нужно бездельничать, чтобы быть настолько продуктивным?

После смерти Александра Аристотель был обвинен в безбожии, покинул Афины и переселился в Халкис на Эвбее, где через несколько месяцев в возрасте 62 лет скончался от болезни желудка (есть предположение, что он принял яд). Именно Аристотелю принадлежит знаменитая фраза о том, что корень учения горек, а плоды его сладки. Когда ученого спросили, какую пользу он извлек из философии, ответ был таков: «Я стал добровольно делать то, что другие делают лишь из страха перед законом».

Аристотель создал первую универсальную философскую (научную) систему, которая включила в себя все достижения греческой науки во всех (и очень разных) областях предшествовавшего периода. Философия Аристотеля делится на теоретическую, практическую и творческую. Это была первая в истории попытка обобщить представления того времени о природе, обществе, мире в целом в единую систему. Часть этой системы, представленная в книге о природе (естествознании), называлась «Физикой» (от греч. physis – природа), что дало в дальнейшем название науке. Его научная парадигма просуществовала практически в неизменном виде до XVI века нашей эры, т. е. почти 1800 лет. Представления о Вселенной были частью этой системы.

Ограничимся обсуждением тех воззрений Аристотеля, которые как-то связаны с его представлениями о тяготении. Итак, развивая модель Евдокса, Аристотель усложнил систему подвижных сфер, увеличив их количество, для удовлетворительного описания всех наблюдаемых тогда перемещений небесных тел. Причем Аристотель считал сферы не условными объектами, а вполне осязаемыми, созданными из некоего прозрачного вещества – хрусталя. В системе Аристотеля Земля также шарообразна и жестко закреплена в центре Вселенной. Но Аристотель уже не только полагался на идеи о симметриях, а доказывал, что поверхность Земли сферична. Он ссылался на искривленность ее тени на поверхности Луны во время лунных затмений, на то, что при движении на север и на юг наблюдатель видит на небосклоне разные звезды. Сферичностью Земли объяснялось и исчезновение кораблей за линией горизонта. В своем научном методе исследования Аристотель, отвергая эксперимент и математические доказательства, полностью основывается на логическом анализе, следуя в этом смысле методу Платона, своего учителя.

Важную, если не решающую, роль в механике Аристотеля играли понятия естественного местоположения и естественного движения. Следуя взглядам Эмпедокла (около 490–430 г. до н. э.), Аристотель считал, что все тела состоят из четырех основных элементов: воздуха, земли, огня и воды. Земля считалась абсолютно тяжелой, огонь – абсолютно легким, а вода и воздух занимали промежуточное положение. Естественным местоположением самого тяжелого элемента считался центр Земли – геометрический центр мира. Следовательно, естественным движением всех тел, состоящих из этого элемента, должно было быть движение по направлению к центру Земли (падение вниз). Это соответствовало и повседневным наблюдениям. Поэтому, хотя тяготение и не выделялось как специальное понятие, оно, конечно, в системе Аристотеля присутствовало.

Кроме понятия естественного движения у Аристотеля было понятие и неестественного, т. е. вынужденного или насильственного, движения. К таковым можно отнести движение стрелы, брошенного камня, повозки, которую тянут лошади, и т. д. Так, считалось, что движение свободного снаряда начинается под действием силы и продолжается до тех пор, пока это действие сохраняется. Предлагалась модель передачи этого воздействия через слои воздуха во время движения объекта. Как только действие силы прекращается, тело начинает двигаться к своему естественному местоположению – центру Земли. Эти утверждения находились в рамках всей философской системы мироздания Аристотеля. Их смысл в том, что любое подвижное бытие нуждается в некой внешней действующей причине, которой объясняется его происхождение и дальнейшее существование. Это касается и всей Вселенной, которая пребывает в вечном движении. Но тогда, следуя логике, необходимо признать существование первого неподвижного двигателя (перводвигателя), не подверженного изменению.

Естественные движения в окрестности Земли, как предполагалось, были обусловлены «внутренними» свойствами тел, которыми могут быть как тяжесть («гравитация», от лат. gravitas – тяжесть), так и легкость («левитация»). Каждое из этих свойств вызывает перемещения тел вниз или вверх.

В рамках системы Аристотеля тела одинаковых размеров, формы и веса должны падать с одинаковой скоростью, поскольку на них действуют те же самые силы гравитации (сопротивление также учитывается – оно одинаково для такого мысленного опыта). С другой стороны, если два тела, имеют одинаковые форму и размеры, но разный вес, то тяжелое тело должно падать быстрее, поскольку при равном сопротивлении сила тяготения, действующая на предмет большего веса, должна быть больше. Ускорение падающих тел объяснялось увеличением тяжести тела по мере приближения к своему естественному местоположению. Значительно позднее Галилей установил ошибочность этих утверждений.

Другим важным, но тоже ошибочным выводом механики Аристотеля, является то, что все тела вблизи Земли должны двигаться по прямым линиям. Это относится как к естественному, так и к вынужденному движениям. Чтобы поставить под сомнение это положение нет необходимости проводить специальные исследования. Повседневный опыт, кажется, с очевидностью опровергает его. По Аристотелю стрела, пущенная под некоторым углом к горизонту, должна двигаться по прямой до тех пор, пока не истощится сила, передаваемая ей тетивой, затем она должна падать вертикально вниз. Траектория должна быть ломаной, состоящей из двух прямых линий (рис. 1.3). Но этого никто никогда не наблюдал. Такой эксперимент показал бы несостоятельность теории движения Аристотеля. Однако, как его научный авторитет, так и стройная система его научных взглядов оказались более убедительными.

Рис. 1.3. Траектории стрелы в теории Аристотеля (а) и реальные: при сопротивлении воздуха (б) и без сопротивления воздуха (в)

Подведем некоторый итог. С одной стороны, с современной позитивистской точки зрения представления Аристотеля о законах тяготения ошибочны, они не соответствуют эмпирическим данным. С другой стороны, не будем очень строги. Это было самое начало попыток понять, как устроен мир, а вместе с этим – что есть тяготение. Были введены некоторые базисные понятия, оперируя которыми уже можно на научном уровне того времени исследовать явление. Центр Вселенной (он же центр Земли) был определен как центр притяжения. Падающие на Землю тела были наделены внутренним свойством «тяжесть». Пройдет время, и осмысление, переосмысление и развитие этих понятий приведет к закону всемирного тяготения Ньютона и теории относительности Эйнштейна.

Что касается небесных тел, то в механике Аристотеля считалось, что все они отделены от Земли и не имеют с ней ничего общего. На Земле четыре основных элемента претерпевают непрерывные взаимопревращения, тела могут состоять из различных сочетаний основных элементов. Различные предметы возникают, какое-то время существуют, а затем видоизменяются, распадаются, исчезают. На небе же ничто не меняется. Отсюда делается вывод, что существует пятый, неизменный и идеальный элемент – эфир, из которого и состоят небесные тела. Вакуум, пространство без какого-либо вещества, был недопустим в системе Аристотеля.

Расстояния до небесных тел не были известны во времена Аристотеля. Сам он считал, что нет возможности их вычислить. Тем не менее, сфера за сферой были выстроены вполне однозначным образом (рис. 1.1). Прямым способом вычисления расстояния могло бы служить использование параллакса объекта (рис. 1.4). Горизонтальным параллаксом называют угол между двумя направлениями от светила на центр Земли и по касательной к ней. С Земли этот угол определяется как разность угловых координат светила на небе для двух наблюдателей, для одного из которых светило в зените, а для другого – на горизонте. Поскольку в то время радиус Земли был уже известен, можно было вычислить расстояние до объекта. Впервые применил метод параллакса в астрономии древнегреческий ученый Гиппарх (около 180–125 г. до н. э.) для определения расстояния до Луны, которое стало известным чрезвычайно точно. Причем для вычисления параллакса Луны он использовал разность ее угловых координат на восходе и закате. Измерить расстояния до других планет стало возможным только после начала использования в астрономии телескопов. Хотя опосредованным методом Гиппарх сделал оценки расстояния до Солнца, а также приблизительно определил его размеры.

Рис. 1.4. Схема параллакса

Итак, в системе Аристотеля лунная сфера является ближайшей к Земле (рис. 1.1) и представляет собой границу между не подверженными разрушению небесами и изменчивым миром Земли. Отсюда возникло выражение «подлунный мир». За пределами лунной сферы, в «надлунном мире», природа представлялась абсолютно совершенной, а движение небесных сфер, определяющих движение небесных тел, считалось естественным и идеальным. Таким образом, в небесной механике Аристотеля (в надлунном мире) не было места представлениям о тяготении.

Мы подробно изложили представления о тяготении Аристотеля потому, что именно его система мироздания господствовала над умами многие столетия, хотя эти представления и ошибочны. Именно его взгляды в большой степени определяли развитие науки. Вместе с этим, нельзя не отметить, что существовали более реалистичные представления о тяготении. Так, Платон раньше Аристотеля утверждал, что подобное стремится к подобному – это ли не прообраз закона всемирного тяготения. Такую же мысль высказывал позднее римский поэт и философ Тит Лукреций Кар (около 99–55 г. до н. э.). Древнегреческий философ и астроном Плутарх (около 45–127 г.), фактически современник Птолемея, признанного последователя Аристотеля, несколькими столетиями позднее говорит: «Луна упала бы на землю как камень, чуть только уничтожилась бы сила ее полета». Сравните с рассуждениями Ньютона, приведенными ниже, о движениях яблока и Луны.

Птолемей

Вернемся к истории изучения движения небесных тел, хотя бы и в древности считали, что это не имеет отношения к гравитации. И, действительно, вряд ли предлагаемые модели того времени полезны для открытия реальных законов тяготения. Тем не менее, в итоге именно эти исследования привели к их построению.

Итак, геоцентрическая система мира Аристотеля стала основной моделью Вселенной на долгое время. Немногочисленные попытки выйти за ее рамки или даже заменить гелиоцентрической моделью (с центром в Солнце) не воспринимались всерьез. И наоборот, модель Аристотеля, казалось, безоговорочно подтверждалась. Например, Птолемей (ок. 100–165), рис. 1.5, один из самых авторитетных последователей Аристотеля, обосновывал ее следующим образом. Поскольку центр Вселенной – это место, куда стремятся все имеющие вес тела, то там должна находиться и сама Земля, как самое тяжелое тело в мире. Если предположить, что Земля не в центре Вселенной, то она должна туда стремиться (падать). Но тогда, следуя логике механики Аристотеля, Земля, будучи самым тяжелым телом, должна обгонять в своем движении все более легкие предметы. Поэтому, имеющиеся на ее поверхности деревья, животные, люди и все остальное оторвались бы от нее!

Птолемей был одним из древнегреческих ученых, кому пришлось творить на закате эллинской культуры. Он работал в Александрийской библиотеке, которая в то время уже прославилась и великими учеными, и великими достижениями. В распоряжении Птолемея были самые точные, разнообразные и многочисленные астрономические наблюдения. Он и сам их многократно производил. Но, самое главное, он их анализировал, делал достоверные астрономические предсказания.

Рис. 1.5. Птолемей

Для достижения соответствия расчетов и наблюдений Птолемей, следую воззрениям Гиппарха, фактически отказался от концентрических сфер. Основа его теории движения планет – это представление о равномерном движении по окружности. Среди прочего, было важно описать обратное движение планет, ведь они иногда описывали на небе петли. Простую схему движения по окружностям пришлось усложнить. Было использовано понятия эпицикла. Предполагалось, что планета движется по малой окружности (эпициклу) с постоянной скоростью, а центр эпицикла равномерно движется по большой окружности – деференту, в центре которого находится Земля (рис. 1.6). После признания гелиоцентрической системы стало ясно, что обратное движение – это кажущийся эффект, который возникает, когда Земля «обгоняет» такую планету. Автомобилистам особо знаком этот эффект, когда вдруг с паникой видишь, что машину не держат тормоза, и она начинает катиться назад. А на самом деле соседний автомобиль потихоньку тронулся вперед.

Рис. 1.6. Эпициклы Птолемея

Но все эти усовершенствования все равно не давали необходимого соответствия с наблюдениями. В своем основном труде «Альмагест» Птолемей упоминает Аполлония Пергского (около 262–190 г. до н. э.), александрийского математика, ученика Евклида. Он в свое время ввел понятие эксцентра для объяснения движения планет. Птолемей включил их в свою систему (рис. 1.7). Теперь представлялось, что центр эпицикла (А) движется по окружности (С) с центром (О), смещенным по отношению к Земле (В). Тогда равномерное движение небесного тела по такой окружности земному наблюдателю представлялось неравномерным.

Затем Птолемей добавил в систему еще один новый элемент – эквант. Благодаря этому планеты могли совершать уже неравномерное движение по кругу, но при условии существования некой точки (не обязательно на Земле), откуда это движение казалось бы равномерным! Таким образом достигалось удивительно точное соответствие с наблюдениями. Однако такая система в целом стала настолько громоздкой, что ее концепция фактически противоречила идеализированному представлению о равномерном движении по окружности, как исходному посылу, самой философии о геометрическом совершенстве Вселенной.

Поэтому многие мыслители, философы и астрономы время от времени высказывали сомнения в справедливости системы Птолемея, часто при этом предлагая свои варианты. Однако, как сказали бы сейчас, эти модели были скорее умозрительными, чем научными, хотя некоторые из них были ближе к реальности, чем птолемеевская. Преимущество системы Птолемея было в том, что она давала очень точное соответствие с наблюдениями. А это один из основных критериев востребованности теории.

Рис. 1.7. Эксцентр Птолемея

Наиболее известными работами Птолемея являются уже упомянутый «Альмагест» и «География», ставшие высшим достижением древней науки в области астрономии и географии. Работы Птолемея считались настолько совершенными, что господствовали в науке на протяжении 1400 лет наравне с догматами Аристотеля. За это время в «Географию» не было внесено практически ни одной серьезной поправки, а все достижения астрономов сводились, по сути, лишь к незначительным усовершенствованиям «Альмагеста».

Хотя Птолемей был одним из самых почитаемых авторитетов, историки науки не считают его гениальным математиком, астрономом или географом. Его основной дар и предназначение заключалось в способности собрать воедино результаты исследований своих предшественников, систематизировать и использовать их для уточнения собственных наблюдений и представить все вместе как логическую и завершенную схему, изложенную в ясной и отточенной форме. Созданные им учебники позволили поддерживать очень высокой уровень знаний по соответствующим предметам. Современная эпоха научных исследований в этих областях началась с критики утверждений, представленных в «Альмагесте» и «Географии» и отстаивании новых идей.

Глава 2

Новые представления о Вселенной и начало новой физики

Фундаментальные идеи… не висят на концах логических цепочек.

Аркадий Стругацкий, Борис Стругацкий «Беспокойство»

Гелиоцентрическая система Коперника

Время шло, и замечательный польский астроном (а также, врач, политик, богослов и даже руководитель обороны Вармии) Николай Коперник (1473–1543), рис. 2.1, предложил свою систему мира, пришедшую на смену системе Птолемея. Как результат, здание механики Аристотеля получило удар, от которого уже не оправилось.

Рис. 2.1. Николай Коперник

На самом деле, на всем протяжении развития физики, начиная со времен Аристотеля, высказывались идеи о возможном устройстве мира, в центре которого находится Солнце. Впервые об этом прямо заявил древнегреческий астроном, математик и философ Аристарх Самосский (ок. 310–230 г. до н. э.), но в те времена доказать это было невозможно. Коперник еще студентом познакомился с подобными доктринами. В результате он пришел к убеждению, что наблюдаемые движения небесных тел лучше всего объясняются двумя движениями Земли: ее вращением вокруг своей оси и обращением вместе с другими планетами вокруг Солнца. В этой системе планеты располагались в следующем порядке по мере удаления от Солнца: Меркурий, Венера, Земля (с Луной), Марс, Юпитер, Сатурн. Далее, как предполагалось, расположена сфера неподвижных звезд (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Гелиоцентрическая система мира Коперника

Каковы же были предпосылки для построения гелиоцентрической системы? Птолемеевская система, кроме громоздкости, страдала явной несистематичностью, отсутствием целостности. Каждая планета рассматривалась сама по себе, имела отдельные, фактически собственные, законы движения.

Установка на поиск внутреннего единства была той основой, вокруг которой концентрировалось стремление создать гелиоцентрическую систему. Ее построение, в определенной мере, было связано и с необходимостью реформы юлианского календаря, в котором моменты наступления равноденствий и фаз Луны, установленные еще в рамках птолемеевского «Альма-геста», вернее звездного каталога, включенного в это сочинение, потеряли связь с современными календарными датами.

Папа Лев X предложил Копернику принять участие в подготовке реформы календаря, но тот отказался, поскольку считал, что продолжительность года, лежащая в основе календаря, определяется недостаточно точно из-за неудовлетворительной теории движения Солнца и Луны. Однако это предложение стало для Коперника одним из мотивов совершенствования геоцентрической теории. Была и общественная потребность, стимулировавшая поиски новой теории движения планет, связанная с мореходной практикой и нуждами астрологии, как это ни парадоксально сейчас звучит.

Гелиоцентрическая система Коперника концептуально была существенно проще системы Птолемея. Признание вращения Земли вокруг оси устраняло необходимость говорить о суточном движении звездной сферы и всех небесных тел; обращение же Земли вокруг Солнца объясняло и годовое перемещение Солнца по небесной сфере, и петли обратного движения планет. Коперник, однако, твердо придерживался представлений об идеальном движении светил, которые, следуя многовековым догмам, должны двигаться по окружности с постоянной скоростью. Поэтому для более точного объяснения наблюдаемых перемещений планет Копернику опять же требовались эксцентры и эпициклы. В окончательном виде его система насчитывала 34 круговых движения – меньше, чем система Птолемея, но все равно много. Более того, Коперник еще строже, чем Птолемей, следовал догме идеального движения по окружности, поскольку не допускал неравномерного движения по экванту.

Концепция гелиоцентрической системы была опубликована в книге «О вращении небесных сфер» в 1543 году, незадолго до смерти ученого. Протестантов эта работа привела в ярость сразу. Со стороны же католической церкви она поначалу не подверглась осуждению, возможно потому, что Коперник посвятил ее римскому папе Павлу III. Книга вызвала живой интерес и многочисленные дискуссии. В те времена было трудно представить, каким преследованиям со стороны Ватикана будут подвергнуты в дальнейшем последователи учения Коперника, в частности, Галилей.

Астроном-наблюдатель Тихо Браге

Система мира Коперника имела среди ученых много сторонников, но было также и много противников. Опуская многое, необходимо упомянуть датского астронома Тихо Браге (1546–1601), рис. 2.3, самого замечательного наблюдателя своего времени. Он не поддерживал идею о движении Земли, а вместо этого выдвинул собственную модель, согласно которой Земля жестко закреплена в центре мира. Планеты в системе Тихо Браге обращались по круговым орбитам вокруг Солнца, которое, в свою очередь, совершало движение вокруг Земли. Несмотря на то, что теория Тихо Браге значительно упрощала систему Птолемея, она не получила поддержки у астрономов и не оказала особого влияния на их исследования.

Но главным вкладом Тихо Браге в науку были результаты астрономических наблюдений, проводившихся им в течение всей жизни, они позволили сделать следующий шаг в развитии представлений о Вселенной.

Рис. 2.3. Тихо Браге

Его страсть к наблюдениям проснулась очень рано. В возрасте примерно лет 15-ти он обнаружил, что данные известных тогда эфемерид (таблиц планетарных координат) существенно расходятся, как между собой, так и с данными его юношеских наблюдений. Для него это было нестерпимо! В это же время родители отправили его изучать «свободные искусства» в Лейпциг. Вот как он сам описывает свои занятия временем чуть позже:

«Позднее, в 1564 году (17–18 лет!), я тайно приобрел деревянный астрономический «посох Якова»[1], изготовленный по указаниям Геммы Фризия. Бартоломей Скультет, живший в то время в Лейпциге, с которым я поддерживал дружеские отношения на почве общих интересов, снабдил этот инструмент точными делениями с трансверсальными точками. Скультет почерпнул принцип трансверсальных точек у своего учителя Гомелия. Заполучив посох Якова, я не упускал ни одного удобного случая, когда ночь выдавалась звездной, и неустанно производил наблюдения. Нередко я проводил в бдении всю ночь напролет. Мой гувернер, ничего не подозревая, мирно спал, поскольку я производил наблюдения при свете звезд и заносил полученные данные в специально заведенную книжечку, которая сохранилась у меня поныне. Вскоре я заметил, что угловые расстояния, которые по показаниям посоха Якова должны были совпадать, превращенные посредством математических выкладок в числа, не во всем согласуются друг с другом. После того как мне удалось обнаружить источник ошибки, я изобрел таблицу, позволившую мне вносить поправки и тем самым учитывать дефекты посоха. Приобрести же новый лимб все еще не представлялось возможным, поскольку гувернер, державший в своих руках завязки от кошелька, не допустил бы подобных трат. Вот почему я, живя в Лейпциге, и позднее, по возвращении на родину, произвел при помощи этого посоха множество наблюдений».

Среди результатов Браге особенно нужно отметить данные наблюдений движения планет, а также его сотрудничество с Кеплером. Но об этом чуть позже, а сейчас, как пример, приведем исследование им сверхновой 1572 года, вспыхнувшей в созвездии Кассиопеи. Ее яркость была сравнима с яркостью Венеры. Попытки определить параллакс сверхновой оказались безуспешными, а это означало, что она находится далеко за пределами лунной сферы. Но звезда не участвовала и в движениях планет. Тогда Тихо Браге заключил, что она принадлежит звездной сфере, что противоречило догме Аристотеля об абсолютной неизменности сферы неподвижных звезд.

Также, изучая одну из комет, Тихо Браге обнаружил, что она движется по орбите вокруг Солнца, причем отстоит от него дальше, чем Венера. Так разрушалось еще одно представление Аристотеля, который предполагал, что кометы – это атмосферные явления. Но, несмотря на эти очевидные противоречия со стандартными представлениями, Тихо Браге не смог отказаться от того, что тяжелая Земля должна покоиться.

Галилей

Ученый, сверстник Галилея,

был Галилея не глупее.

Он знал, что вертится Земля,

но у него была семья.

Евгений Евтушенко «Карьера»

Итальянского ученого Галилео Галилея (1564–1642), рис. 2.4, по праву считают основателем современной физики, в рамках которой законы природы должны подтверждаться экспериментально. Его труды по исследованию движения стали базисом, основываясь на котором Ньютон построил непротиворечивую механику и теорию гравитации. Возможно, многим Галилей наиболее известен тем, что первым применил телескоп для астрономических наблюдений.

Рис. 2.4. Галелео Галилей

Исследуя какую-либо проблему досконально и многосторонне, Галилей почти каждый раз приходил к выводам, противоречащим утверждениям учения Аристотеля. Нельзя не отметить, что на протяжении столетий то один, то другой исследователь высказывал «крамольные» идеи или утверждения. Но они были, как правило, основаны на интуиции. Возражения же Галилея были обоснованы как математически, так и наблюдениями и опытами. Поэтому, конечно, Галилея можно считать одним из главных разрушителей многовековых догм. Неудивительно, что Галилей был и в числе самых известных сторонников системы Коперника. Поначалу эта система показалась Галилею неубедительной. Но шаг за шагом он все больше проникался идеями великого поляка.

Очень многие открытия были сделаны Галилеем благодаря использованию телескопа. Само изобретение телескопа обычно приписывают голландскому оптику Хансу Липперсгею (1587–1619). При этом полагают, что Галилей узнал об этом изобретении и начал изготавливать собственные инструменты, один из которых давал увеличение в 30 раз (рис. 2.5). Уже результаты первых наблюдений поражали воображение и противоречили устоявшимся представлениям. Всего за несколько месяцев наблюдений Галилей сделал открытия, которые полностью изменили представления человека о Вселенной.

Рис. 2.5. Телескопы Галилея

Наблюдения пятен, замеченных (хотя и не впервые) на поверхности Солнца, помогли Галилею выяснить, что оно вращается вокруг своей оси. Оказывалось, что Солнце – совсем не идеальное эфирное тело. Но если Солнце вращается вокруг своей оси, то и Земля может вращаться. У Венеры наблюдалась периодическая смена фаз, а это не объяснялось в системе Птолемея. Планеты имели вид кружков, а звезды оставались точками без параллактических смещений. Уже 1624 году Галилей заключает, что удаленные звезды не расположены на единой сфере, что противоречило прежним догмам.

Но самым важным открытием Галилея, совершенным с помощью «вооруженного глаза» и опубликованным в его труде «Звездный вестник» в 1610 году, было наблюдение четырех спутников планеты Юпитер. Это доказывало, что Земля не является единственным центром, вокруг которого все остальное должно вращаться, а, скорее всего, сама движется вокруг Солнца, что согласуется с взглядами Коперника. Наблюдения Галилея можно было объяснить и в рамках системы Тихо Браге. Но в любом случае они были против догмы, что мир разделен на небеса и Землю. А раз так, то к изучению законов природы (в том числе и законов тяготения) на Земле и небесах (в космосе) можно подходить с единых позиций, в рамках одних и тех же научных представлений. Это было прорывом, изменялась сама концепция (направленность) исследований, их мотивация.

Конечно, работа Коперника «О вращении небесных сфер» стала революцией в мировоззрении, но не было предложено объяснения новой системы. Не было создано соответствующей теории силы и движения, которая позволила бы объяснить наблюдаемые явления. Хотя Галилей и не создал такой теории, но он один из ее основателей. Отметим основные достижения Галилея в области механики.

Рис. 2.6. Опыт Галилея

Опытным путем Галилей доказал, что без сопротивления воздуха (или с равным сопротивлением) все тела, независимо от их веса, падают на землю с одинаковым ускорением. Два предмета, тяжелый и легкий, сброшенные с башни (говорят, Галилей бросал их с Пизанской башни, рис. 2.6) ударятся о землю одновременно, если они имеют одинаковую геометрическую форму. Это противоречило аристотелевскому представлению, что, чем тяжелее предмет, тем быстрее он должен падать. Галилей также доказал существование вакуума и продемонстрировал как его, в принципе, можно получить. Годы спустя английский физик, химик, теолог Роберт Бойль (1627–1691), один из основателей Лондонского королевского общества (академии наук), проверяя гипотезу Галилея о падении тел, показал, что в вакууме с одинаковой скоростью падают и перо, и тяжелая золотая монета. Вместе с этим Галилей установил математическое соотношение – закон – для свободно падающего тела. Он показал, что расстояние s, пройденное падающим телом, пропорционально квадрату времени падения t: s ~ t^2 Эти же исследования показали, что движущееся с ускорением тело достигает скорости v пропорционально времени: v ~ t, а не расстоянию, как считалось раньше. Природа ускорения стала одним из центральных вопросов механики, на который необходимо было найти ответ.

В отличие от Аристотеля, Галилей утверждал, что для продолжения движения не требуется постоянного действия силы. По смыслу это заявление было фактически прообразом первого закона механики Ньютона. Оно было основано на следующих соображениях. Галилей мысленно рассматривал горизонтальную плоскость, на которой не было никаких воздействий на тело, то есть сил сопротивления (трения) или каких либо сил, способствующих движению. Тогда он утверждал, что если телу сообщить начальную скорость, то оно будет продолжать двигаться в начальном направлении до бесконечности. Чтобы остановить тело, нужно оказать воздействие, препятствующее его движению. Это заявление основано на следующем рассуждении. Тяжелые тела «предрасположены» к падению и «противятся» подъему, но они «безразличны» к движению в горизонтальной плоскости. Движущееся в горизонтальной плоскости тело не испытывает ни ускорения, ни замедления. Совершенно очевидно, что эти выводы не имели ничего общего с общепринятым тогда представлением о необходимости приложения силы для поддержания любого движения.

Проводя опыты, Галилей убедился, что тело может совершать одновременно два различных типа движения. Снаряд, пущенный горизонтально, должен двигаться вперед, проходя за равные отрезки времени равные расстояния, и, кроме того, он должен падать по направлению к земле в соответствии с установленным законом падения тел. Движение снаряда, выпущенного под углом вверх, должно следовать тому же закону. Поскольку эти два вида движения должны совершаться одновременно, траекторией объекта будет кривая, называемая параболой. А по Аристотелю, как мы уже знаем, траектория должна быть ломаной линией (см. рис. 1.3).

Несмотря на революционные достижения в области механики, Галилей не смог освободиться от гипноза понятия естественности кругового движения. Его анализ движения по горизонтальной плоскости привел фактически к варианту закона инерции почти в современном понимании. Но наряду с ним он ввел также понятие «круговой инерции», смысл которого состоял в том, что в отсутствие каких-либо сил тело должно продолжать движение по окружности. Обоснование этого тезиса состояло в следующем. В небольших, земных, масштабах тела движутся по прямым на плоскости. Но поскольку Земля имеет форму шара, то горизонтальная плоскость, в которой осуществляется равномерное движение тела, увеличиваясь в масштабе, становится, в конечном счете, параллельной земной поверхности. То есть фактически становится концентрической сферой для земной поверхности. А значит, в планетарном масштабе свободное от воздействий тело будет двигаться равномерно по окружности. Это вывод Галилея. И действительно, Земля и планеты движутся вокруг Солнца по круговым орбитам без видимого воздействия на них внешних сил. Эти соображения побуждали Галилея настаивать на естественности кругового движения.

Чтобы обосновать движение с круговой инерцией, Галилею пришлось вводить понятие некоего отталкивания, не позволяющего телу упасть к центру Земли. Натянутость таких объяснений очевидна. А ведь он уже имел в руках собственный инструмент для объяснения движение вокруг Земли и был знаком с работами Кеплера, который открыл, что орбиты планет не круговые, а эллиптические. По Галилею, благодаря круговой инерции, тело будет вращаться по той же самой круговой орбите, если ему задать разные скорости, лишь бы оно оказалось на этой орбите. Но если распространить вывод Галилея о сложении движений на планетарный масштаб, то ясно, что сложение движения к центру Земли и движений по линейной инерции с разными скоростями должно дать разные орбиты, а не круговую. Так как раз получаются эллипсы Кеплера. Но мы забежали немного вперед.

Что же касается природы тяготения, то о ней Галилей, как и все его современники, не имел определенного представления. Он оставлял решение этой проблемы будущим исследователям.

Пропаганда идей Коперника и собственные открытия Галилея вызвали ярость католической церкви. В 1633 году Галилей был подвергнут суду инквизиции, вынудившей его отречься от идей Коперника. Обстоятельства дела до сих пор остаются неясными. Галилей был обвинен не просто в защите теории Коперника (такое обвинение юридически несостоятельно, поскольку книга прошла папскую цензуру), а в том, что нарушил данный ему ранее запрет «ни в каком виде не обсуждать» эту теорию.

Существует легенда, что Галилей, прочитав на суде предписанную форму отречения и встав с колен, произнес знаменитую фразу: «А все-таки она вертится!». Вряд ли можно быть уверенным в том, что это было именно так. Но вся последующая деятельность Галилея указывает на то, что он в действительности не отрекся и ни в коей мере не изменил своим прежним взглядам. В 1638 он опубликовал в Голландии новую книгу «Беседы и математические доказательства», где в более академической форме изложил свои мысли относительно законов механики, причем диапазон рассматриваемых проблем очень широк – от статики и сопротивления материалов до законов движения маятника и законов падения.

Эта книга, по сути, не менее революционна, чем та, за которую его судили, но теологи не обратили на нее внимания, потому что не поняли. До самой смерти Галилей не прекращал активной творческой деятельности: он пытался использовать маятник в качестве основного элемента механизма часов; за несколько месяцев до того как полностью ослеп, открыл либрации Луны (кажущиеся периодические покачивания); и уже совершенно слепой диктовал последние мысли своим ученикам – Винченцо Вивиани и Эванджелиста Торричелли. Так, в ссылке, непобежденный Галилей умер в 1642 году.

Законы эллиптического движения Кеплера

Вторым человеком, сыгравшим решающую роль в утверждении гелиоцентрической системы, был немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571–1630), рис. 2.7. Иоганн родился в бедной семье. Поступил в Тюбингенский университет, где с увлечением занимался математикой и астрономией. Его учитель профессор Местлин втайне был последователем Коперника. Конечно, в университете Местлин преподавал астрономию по Птолемею, но дома он знакомил своего ученика с основами нового учения. И вскоре Кеплер стал горячим и убежденным сторонником теории Коперника. Он закончил обучение как священник, но не был допущен к богословской деятельности, как вольнодумец. Он стал профессором математики и морали в городе Граце.

Рис. 2.7. Иоганн Кеплер

Затем был вынужден переезжать с места на место, в основном, из-за преследований со стороны католической церкви. Жил и умер в нищете.

Несмотря на жизненные перипетии, Кеплер в любых условиях вел научную работу. Для Карла Маркса, как пример самоотверженности, он был одним из двух любимых героев, другим был Спартак. После смерти Кеплера наследникам досталось: поношенная одежда, 22 флорина наличными, 29 000 флоринов невыплаченного жалованья, 27 опубликованных рукописей и множество неопубликованных – они позже были изданы в 22-томном сборнике. Со смертью Кеплера его злоключения не закончились. В конце Тридцатилетней войны было полностью разрушено кладбище, где он похоронен, и от его могилы ничего не осталось. Часть архива Кеплера исчезла. В 1774 году большую часть архива (18 томов из 22) приобрела Петербургская академия наук, там всё и хранится в настоящий момент.

Альберт Эйнштейн назвал Кеплера «несравненным человеком» и писал о его судьбе: «Он жил в эпоху, когда еще не было уверенности в существовании некоторой общей закономерности для всех явлений природы. Какой глубокой была у него вера в такую закономерность, если, работая в одиночестве, никем не поддерживаемый и не понятый, он на протяжении многих десятков лет черпал в ней силы для трудного и кропотливого эмпирического исследования движения планет и математических законов этого движения!»

Основываясь на мистической натурфилософии и пантеистических мотивах, Кеплер развил мысль о мировой гармонии. В его ранних работах использовались пифагорейские идеи. Число планет и расстояния от них до Солнца были связаны с числом и расположением правильных геометрических (евклидовых) тел, при этом движение планет вокруг Солнца объяснял действием своеобразных интеллектуальных сил, или душ. Эти результаты сегодня не представляют особой ценности (их критиковали и современники, в частности, Галилей). Но их публикация в 1596 году в книге, которую коротко называют «Космографической тайной», привлекла внимание Тихо Браге. Он пригласил Кеплера к себе в Прагу для совместной работы. Именно это сотрудничество, которое состояло в кропотливом анализе точных данных каталогов наблюдений Тихо Браге за движениями планет, привело к замечательным результатам.

В 1600 году Кеплер занялся исследованием движения Марса. Он перебрал всевозможные комбинации эпициклов, деферентов, эксцентров и эквантов, чтобы добиться наилучшего совпадения расчетных результатов с наблюдаемым перемещением планеты, но добился точности в совпадении угловых координат планет лишь в 8 угловых минут, то есть всего около ¼ видимого диаметра лунного диска. Даже по тем временам это было очень низкой точностью. Естественно, такой результат не удовлетворил Кеплера. Часто приводят его слова: «эти 8 минут привели к пересмотру всей астрономии». Перебрав около семидесяти различных комбинаций, Кеплер пришел к выводу, что орбита Марса должна быть эллипсом.

Чтобы согласиться с собственным выводом, Кеплеру нужно было переломить себя. Как и большинство его современников, он был убежденным сторонником концепции идеального кругового движения. К сожалению, в 1601 году скончался Тихо Браге, но бесценные записи его наблюдений остались у Кеплера, и он в полной мере ими воспользовался.

Свои открытия Кеплер опубликовал в 1609 году в книге «Новая астрономия». В последующие годы он существенно дополнил свою работу, включив в нее даже результаты исследования движения спутников Юпитера; эти результаты были напечатаны в 1619 и 1621 годах. Из огромной массы полезных сведений и довольно-таки путаных рассуждений были выведены и сформулированы три закона движения планет. Первые два были даны в «Новой астрономии», третий – в труде «Гармония мира», изданном в 1619 году. Сегодня они известны под названием законов Кеплера. В современной формулировке эти законы звучат так:

Первый закон: Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр Солнца.

Второй закон: Площадь сектора орбиты, описанная радиус-вектором планеты, изменяется пропорционально времени.

Третий закон: Квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца (под «средним расстоянием» здесь понимается большая полуось эллипса):

Законы Кеплера показали, как движутся планеты. Это, конечно, имеет практическую ценность для небесной механики. На рис. 2.8 проиллюстрирован второй закон Кеплера, где показано, что за равное время t радиус-вектор «Солнце – планета» «заметает» равные площади S. Очевидно, что чем ближе планета к Солнцу, тем больше ее скорость. Третий закон легко позволяет найти среднее расстояние планеты от Солнца, если известно время ее полного обращения по орбите. Эти вычисления принимают особо простой вид, если расстояние измерять в астрономических единицах (1 а. е. равна среднему расстоянию от Солнца до Земли), а время – в годах (время одного полного оборота Земли вокруг Солнца). Если период обращения планеты вокруг Солнца равен T годам, то ее среднее расстояние от Солнца в астрономических единицах равно T2/3.

Рис. 2.8. Иллюстрация второго закона Кеплера

Выводы Кеплера – это результат многолетнего кропотливого труда, но они не сразу были восприняты сторонниками теории Коперника. Галилей, как говорилось, «до конца» оставался верен концепции круговых движений. Однако простота в расчетах при использовании законов Кеплера была неоспоримой, а точность предсказания положения планет значительно превосходила птолемеевские. Все это обеспечило законам Кеплера широкое признание и популярность в использовании уже в XVII веке.

Попытки понять природу гравитации

Итак, Кеплер опроверг догму об идеальном круговом движении как единственно возможном для небесных тел. Кроме того, гелиоцентрическая модель настолько утвердилась, что Земля окончательно потеряла свою исключительность во Вселенной, ее уже не мыслили как центр мироздания. В естествознании назрела необходимость больших перемен (и они уже происходили), необходимость смены взглядов на устройство мира. Возникали новые вопросы, более глубокие. Почему планеты движутся именно так? Какая движущая сила удерживает их на эллиптических орбитах вокруг Солнца? У Кеплера были свои соображения на этот счет, по тому времени революционные.

Кеплер был твердо убежден, что для поддержания движения требуется действие силы, в том числе и для движения планет по орбитам. Из второго закона, открытого им, следует, что скорость движения планет зависит от расстояния до Солнца. Причем при удалении от него планеты движутся медленнее, а приближаясь – быстрее. Тогда Кеплер предположил, что эта сила исходит от Солнца и ослабевает с увеличением расстояния от него.

Большое влияние на Кеплера оказали взгляды английского физика Уильяма Гильберта (1544–1603), полагавшего, что Земля ведет себя подобно гигантскому магниту. Кеплер предположил, что Солнце обладает подобными свойствами, что и является причиной движения планет. Правда, в то время без надлежащего математического обеспечения не было возможности показать, как такой механизм приводит к движению по эллиптическим орбитам. Кеплер также склонялся к мысли о том, что существует общее (взаимное) притяжение между телами, благодаря которому удаленные в пространстве тела стремятся двигаться друг к другу. Он считал, что планеты движутся в пустоте (вакууме), а поэтому допускал возможность того, что силы притяжения могут действовать через пустоту. На основании идеи общего притяжения между всеми телами Кеплер также утверждал, что причиной океанских приливов является влияние Луны и в меньшей степени – Солнца. Как и идеи Галилея, идеи Кеплера во многих отношениях предвосхитили теорию тяготения Ньютона.

Однако только с эпохи Галилея и Кеплера начали понемногу осознавать физический смысл понятий массы, силы, инерции, скорости и ускорения. А без этого невозможно построение законов механики и тяготения. Шаг за шагом формулировались непротиворечивые определения этих величин. Тогда же получила всеобщее признание и гелиоцентрическая модель Вселенной. В итоге, все было готово к тому, чтобы разрозненные данные объединились в стройную законченную систему. Коротко отметим основные этапы на этом пути.

Рис. 2.9. Рене Декарт

Одним из ярких ученых того времени является французский мыслитель Рене Декарт (1596–1650), рис. 2.9. Он сформулировал закон инерции фактически в том виде, в каком позднее этот закон стал именоваться первым законом Ньютона. В определении Декарта тело продолжает двигаться равномерно и прямолинейно до тех пор, пока нечто не выведет его из этого состояния. Эта формулировка понятия инерции была, конечно, более универсальной, чем предложенная Галилеем, у которого движение ограничивалось плоскостью.

Особое место в механике Декарта отводится трактовке взаимодействия тел. Всякое изменение движения должно вызываться взаимодействием с материальными телами, невозможна передача действия через пустоту. Поэтому предполагалось, что падающие тела подталкиваются по направлению к Земле неизвестными мельчайшими невидимыми частицами. Таким образом, Декарт отстаивал корпускулярную природу гравитационного взаимодействия, что принципиально отличается от магнетизма Кеплера.

Многие ученые – и сам Декарт, и его современники пытались объяснить движение планет по орбитам. Были даже модели, связывающие действие гравитации с действием солнечного света! Однако остановимся на идее свободного инерциального движения. Созрело понимание, что планеты от прямолинейного движения отклоняет и заставляет двигаться по орбите вокруг Солнца некая сила. Источник силы приписывали Солнцу. Но чтобы при этом предотвратить падение планет на Солнце и обеспечить их наблюдаемое движение по окружности (или эллипсу), должно существовать еще одно воздействие – отталкивание от центра. Такое воздействие было названо центробежной силой. Однако не было сделано решающего шага – осознания, что движение по окружности – это равноускоренное движение, вызванное действием единственной силы, направленной к центру круга. Таким образом, центробежная сила – это кажущаяся сила, единственно реальной силой, действующей, скажем, на спутник Земли, является сила притяжения Земли.

Приведем известный пример из учебников: вращение камня на конце веревки. Чтобы камень двигался по окружности, мы должны приложить к нему силу, направленную вдоль веревки к центру вращения («центростремительную» силу), т. е. веревка должна быть все время натянутой. Если веревка оборвется, камень полетит не вдоль радиуса (как было бы, если бы на него действовала сила, направленная строго от центра), а по касательной к окружности. Причем он будет двигаться с постоянной скоростью и прямолинейно в том направлении, в каком двигался в момент обрыва веревки, подчиняясь тем самым закону инерции.

Трудности в понимании сути основных физических величин были преодолены со временем. Понятие скорости представлялось достаточно ясным, смысл ускорения разъяснил Галилей. Что касается величин, которые мы сегодня называем массой, силой и инерцией, то потребовались усилия и время, чтобы эти понятия были четко определены.

Существенное разъяснение в их толкование внес французский физик Эдм Мариотт (1620–1684). Масса – это мера вещества, содержащегося в теле; она зависит от размеров и плотности тела. Но самое главное в рассуждениях Мариотта состоит в следующем. Всякое тело оказывает сопротивление изменению состояния его движения, и величина этого сопротивления зависит от массы тела. Если два шара получат удар с одинаковой силой, то шар меньшей массы приобретет большую скорость. Таким образом, масса определяет меру инертности: большей массе соответствует большая инерция тела.

Сложнее обстояло дело с понятием силы. В конце концов, приемлемым определением стало следующее: сила – это физическая величина, которая определяет воздействие одного тела на другое. Силы могут быть разной природы, в нашей беседе интересна механическая сила. В чем ее основное проявление? Еще со времен опытов Галилея было установлено, что действие механической силы на свободный предмет вызывает изменение его скорости, т. е. ускорение. Именно такое понимание силы со временем стало общепринятым. Необходимо отметить, что понятие «тяжести» (или веса), связанное с падением, принципиально не имеет отношения к понятию инертной массы, определенной выше. Однако понятия веса и массы связаны между собой – более тяжелое тело имеет большую инертную массу.

Дискуссии о природе гравитации продолжались. Одним из главных вопросов был следующий: притягиваются ли разнесенные в пространстве тела непосредственно или же их движение объясняется ударами неких невидимых частиц? Последователи Декарта считали мысль о непосредственном притяжении (через пространство, через пустоту) совершенно неприемлемой. Точка зрения, что приводить тела в движение могло только воздействие реальных частиц, была в то время более популярной.

Глава 3

Закон всемирного тяготения

Творенья интеллекта переживают шумную суету поколений и на протяжении веков озаряют мир светом и теплом.

Альберт Эйнштейн «Исаак Ньютон»

Исаак Ньютон

Прежде чем начать рассказ о создании знаменитых законов механики и закона всемирного тяготения, вспомним несколько эпизодов из биографии их создателя – великого английского физика Исаака Ньютона (1643–1727), рис. 3.1. Биографы Ньютона пишут о нем по-разному: одни превозносят его, другие считают, что и работал он мало, и публиковал мало, и человеком был дурного характера – присваивал чужие идеи и т. д. Но все они сходятся в том, что написать «Начала натуральной философии» в XVII веке никто, кроме Ньютона, не мог. А это самая главная книга для естествоиспытателя того времени, она определила дальнейшее развитие науки. И этот факт затмевает все рассуждения о характере Ньютона.

Рис. 3.1. Исаак Ньютон

Ньютон родился в небольшой деревушке Вульсторп в Линкольншире в фермерской семье. Отец его умер еще до рождения сына, мать после этой смерти родила преждевременно, и новорожденный Исаак был поразительно мал и хил. Все думали, что он умрет. Ньютон, однако, дожил до глубокой старости и почти не болел. После того как мать вышла замуж второй раз, Исаака с трех лет воспитывала бабушка. Сначала он посещал начальную школу, по достижении двенадцатилетнего возраста начал ходить в общественную школу в Грантэме, а жить стал у аптекаря Кларка, где провел около шести лет.

Жизнь у аптекаря впервые возбудила в нем охоту к занятиям химией, но школьные знания не давались, вероятно, из-за неспособности учителей. С детства Ньютон любил сооружать разные механические приспособления – и, благодаря этой страсти, он навсегда остался, прежде всего, механиком. Еще 17-летним юношей он был принят в коллегию Троицы (достуденческое образование) в Кембриджский университет, который был в то время одним из лучших в Европе. Только в 1664 году Исаак Ньютон стал настоящим студентом и в 1665 он получил степень бакалавра изящных искусств (словесных наук).

В 1666 году в Кембридже началась эпидемия чумы, и Ньютон скрылся в своей родной деревне. В тиши, не имея под рукой ни книг, ни приборов, он жил почти отшельнической жизнью, предавался философским размышлениям. Плодом их было гениальнейшее из его открытий – учение о всемирном тяготении. Обсуждение смысла этого открытия впереди, а легенда такова:

Был летний день. Исаак Ньютон любил размышлять, сидя в саду, на открытом воздухе. Но размышления Ньютона были прерваны падением налившегося яблока. Знаменитая яблоня долго хранилась в назидание потомству, позднее засохла, была срублена и превращена в исторический памятник в виде скамьи.

Ньютон никогда не мог бы развить и доказательно сформулировать свою гениальную идею, если бы не обладал могущественным математическим методом – дифференциальным и интегральным исчислением. Задолго до него исследователи занимались вопросом о бесконечно малых, но ограничились лишь самыми элементарными выводами. Когда именно Ньютон разработал свой новый метод – в точности неизвестно. Однако по использованию его для развития теории тяготения следует думать, что он был развит между 1666 и 1669 годами.

Параллельно и независимо развитием этого же формализма занимался великий немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646–1716). В письме, написанном в июне 1677 года, Лейбниц прямо раскрывал Ньютону свой метод дифференциального исчисления, что, конечно, было позже разработок Ньютона. Тот на письмо Лейбница не ответил. Ньютон считал, что открытие принадлежит ему навечно. При этом достаточно того, что оно было лишь в его голове – результаты своих исследований Ньютон опубликовал лишь в 1704 году! Ученый искренне считал: своевременная публикация не приносит никаких прав. Перед Богом первооткрывателем всегда останется тот, кто открыл первым.

Систематическое изложение начал дифференциального исчисления Лейбниц напечатал в журнале «Труды ученых» в 1684 году. Все опубликованные им трактаты, особенно последний, вышедший почти за три года до первого издания «Начал» Ньютона, дали науке огромный толчок. Дело в том, что результаты Ньютона по математическому анализу в силу их запутанности с большим трудом доходили до умов лучших французских и английских математиков того времени. Ньютон сам считал, что его метод флюксий (производных), это не отдельная наука, а лишь инструмент для исследования природы. А после публикаций Лейбница все стало вдруг ясным, отчетливым и общедоступным.

Возвратившись после чумы в Кембридж, Ньютон занялся научной и преподавательской деятельностью. С 1669 по 1671 год он читал лекции, в которых излагал свои открытия относительно анализа световых лучей. Но пока ни одна из его научных работ еще не была опубликована.

Ньютон много работал над усовершенствованием оптических приборов. Замечательным результатом считается сконструированный им телескоп, который может с полным правом считаться первым отражательным телескопом (рефлектором). Лондонское королевское общество через посредство своего секретаря Ольденбурга обратилось к Ньютону с просьбою сообщить подробности изобретения. Этот инструмент впервые сделал имя Ньютона известным всему тогдашнему ученому миру. В конце 1670 года Ньютон был избран в члены Лондонского королевского общества (английской академии наук).

После этого, по некоторым данным, был период, когда он занимался наукой чрезвычайно мало, а увлекся алхимией, которую к науке не причисляли. На попытки получить золото (философский камень) Ньютон потратил в этот период значительно больше усилий и времени, чем на исследования по математике и физике.

В тетрадях Ньютона (а он подробно описывал все опыты, чтобы можно было их повторить) есть запись: «Вонь ужасная, видимо, я близок к цели».

В 1678 году секретарем Лондонского королевского общества стал английский естествоиспытатель с широчайшим научным кругозором Роберт Гук (1635–1703). У Ньютона с ним всегда были отношения соперничества, если не враждебные. Правда, нелюбовь к Ньютону не мешала Гуку признавать его гений. Гук был изумительным экспериментатором, у него всегда была масса идей. К сожалению, многие из них он не доводил до конца. А когда кто-нибудь их завершал, почти всегда лавры доставались последнему. Первое столкновение с Ньютоном произошло в 1673 году по поводу природы света, которую Ньютон считал корпускулярной, а Гук – волновой. Потом по инициативе Гука было примирение. Правда, отметим, что Ньютон результаты своих исследований по оптике опубликовал только после смерти Гука.

После того как Гук стал секретарем Королевского общества, между ним и Ньютоном произошел обмен письмами, в которых Гук изложил свою гипотезу тяготения и попросил Ньютона высказаться по этому поводу. Гук считал, что сила притяжения между двумя телами в соответствии с законами Кеплера должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Письмо датировано 6 января 1680 года. Получив его, Ньютон переписку с Гуком оборвал и больше ему никогда не писал. Возможно, причина была той же, что и при переписке с Лейбницем – уже поняв суть закона притяжения во время исследований «чумной ссылки», он не считал нужным что-то еще обсуждать. Кто знает? С этого, считают, и началась вошедшая в историю полемика и противостояние между этими учеными.

Тем не менее, общение с Гуком сыграло, конечно, очень важную роль. Например, Ньютон полагал, что падающее тело вследствие соединения его движения с движением Земли опишет спираль. Гук показал, что траектория этого типа получается лишь в том случае, если принять во внимание сопротивление воздуха, а в пустоте движение должно быть эллиптическим – речь идет об истинном движении, то есть таком, которое мы могли бы наблюдать, если бы сами не участвовали в движении земного шара. Проверив выводы Гука, Ньютон убедился, что тело, брошенное с достаточной скоростью, находясь в то же время под влиянием силы земного тяготения, действительно должно двигаться по эллипсу.

Это означало, что многолетние вычисления оказались верными. Теперь он вполне и окончательно убедился в возможности создать целую систему, основанную на одном простом начале. Все движения Луны, планет и даже комет стали для него вполне ясными. В конце 1683 года Исаак Ньютон, наконец, сообщил Королевскому обществу основные начала своей системы, изложив их в виде ряда теорем о движении планет. Свои основные выводы Ньютон представил в фундаментальном труде под названием «Математические начала натуральной философии». До конца апреля 1686 года первые две части его книги были готовы и посланы в Лондон. Весь трехтомник был издан в 1687 году. Отметим, что издание принадлежало не ему, а Королевскому обществу

Ньютону было уже за пятьдесят. Несмотря на свою огромную славу и успех книги, жил он в весьма стесненных обстоятельствах. Жалованье было незначительно, и Ньютон тратил все, что имел, частью на химические опыты, частью на помощь своим родственникам, он помогал даже своей старинной любви – бывшей мисс Сторей.

В 1695 году материальные обстоятельства Ньютона изменились. Его близкий друг и поклонник Чарльз Монтегю был назначен канцлером казначейства. Заняв этот пост, Монтегю озаботился проблемой улучшения денежного обращения в Англии, где в то время, после ряда войн и революций, было множество фальшивой и неполновесной монеты, что приносило огромный ущерб торговле. Монтегю решил перечеканить всю монету. Чтобы придать наибольший вес своим начинаниям, Монтегю обратился к тогдашним знаменитостям, в том числе и к Ньютону. И ученый не обманул ожиданий своего друга. Он взялся за новое дело с чрезвычайным усердием и вполне добросовестно, причем своими познаниями в химии и математической сообразительностью оказал огромные услуги стране. Благодаря этому, трудное и запутанное дело перечеканки было удачно выполнено в течение двух лет, что сразу восстановило торговый кредит. Ньютон из управляющего монетным двором был сделан главным директором монетного дела с окладом 15 тысяч фунтов в год и эту должность занимал до самой смерти. При его чрезвычайно умеренном образе жизни из жалованья образовался значительный капитал. Он никогда не вел счета деньгам, всегда поддерживал близких и дальних родственников, часто давал стипендии молодым ученым. Так, в 1724 году он назначил стипендию в двести фунтов Маклорену, впоследствии знаменитому математику.

В 1701 году Исаак Ньютон был избран членом парламента, а в 1703 году стал президентом английского Королевского общества. В 1705 году английский король возвел Ньютона в рыцарское достоинство. Многие историки считают (в отличие от многих других), что Ньютона отличали скромность и застенчивость. Он долго не решался опубликовать свои открытия и даже собирался уничтожить некоторые из глав своих бессмертных «Начал». Известно его изречение: «Я только потому стою высоко, что стал на плечи гигантов».

С 1725 года Ньютон перестал ходить на службу, умер в 1726 году во время эпидемии чумы. В день его похорон был объявлен национальный траур. Его прах покоится в Вестминстерском аббатстве рядом с другими выдающимися людьми Англии. Надпись на памятнике Ньютону, сделанная его современниками, гласит: «…сэр Исаак Ньютон, дворянин, наделенный почти божественным разумом…»

Механика Ньютона

Теория тяготения Ньютона без использования его законов механики не была бы создана. Опуская детали, которые можно найти и в школьном учебнике физики, приведем эти три основных закона в окончательном виде. Без всякого сомнения, они имеют фундаментальное значение и сейчас. Отметим только, что при публикации законов Ньютон отдал должное своим предшественникам, особенно Галилею. Ньютон считал, что первые два закона открыты до него, он их лишь представляет. Итак, в современной формулировке законы механики Ньютона звучат так.

Первый закон: Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на него силы не изменят этого состояния.

Второй закон: Произведение массы тела m на его ускорение a равно действующей на него силе F, т. е. F = ma, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Третий закон: Действию силы всегда соответствует равное по величине и противоположное по направлению противодействие.

Теория гравитации Ньютона

Теперь обратимся непосредственно к истории создания теории гравитации. Оставляя в стороне вопрос о природе тяготения, отметим, что с «практической» точки зрения (для вычисления движений небесных тел) было важно знать, как сила гравитационного взаимодействия между телами зависит от расстояния между ними.

В 1684 году английский астроном и физик Эдмунд Галлей (1656–1742), занимающий должность Королевского астронома, после долгих размышлений пришел к убеждению, что сила притяжения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Это предположение казалось вполне разумным. Действительно, если некое воздействие распространяется от источника симметрично по всем направлениям, то площадь, «охватываемая» этим воздействием, возрастает как квадрат расстояния от центра. Поэтому вполне вероятно, что эффективность этой силы должна уменьшаться пропорционально этой площади, то есть должна быть обратно пропорциональной квадрату расстояния. Однако Галлей и его коллеги не смогли доказать математически, что из такого закона притяжения следует вывод о движении планет по эллиптическим орбитам.

В августе того же 1684 года Галлей отправился в Кембридж за консультациями к профессору математики Исааку Ньютону. Вопрос Галлея звучал так: «По какой траектории должна двигаться планета под действием силы, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца?» К изумлению Галлея, Ньютон сразу ответил, что такой траекторией является эллипс. Дело в том, что изучать проблемы тяготения Ньютон начал еще в 1665 году, и уже получил решение. Свои расчеты он отослал Галлею через несколько месяцев и с его одобрения опубликовал результаты в книге «Математические начала натуральной философии». Повторимся, среди фундаментальных научных трудов в истории мировой науки эта книга – одна из самых значительных.

Встреча с Галлеем возродила у Ньютона интерес к проблемам тяготения и движения планет. Вернемся к легенде о падающем яблоке и обсудим ее. Если этого не было на самом деле, то такая легенда не могла не возникнуть. По сути, задается вопрос: не заставляет ли падать яблоко та же самая сила, что удерживает Луну на ее орбите вокруг Земли? Легенда олицетворяет прорыв в научном понимании тяготения, связывает «низкое» представление о тяготении, проявления которого мы воспринимаем каждый день, и «высокое», благодаря которому движутся светила, управляется вся Вселенная.

Ньютон установил, что тело, равномерно движущееся по окружности, фактически движется с ускорением (центростремительным), вызванным постоянной силой, направленной к центру окружности: aцс = v^2/R. Третий закон Кеплера устанавливает связь между периодами обращения планет вокруг Солнца и их расстояниями от него. Применяя это соотношение к движению по окружности, Ньютон легко нашел скорость линейного движения: v ~ 1/R1/2.

Тогда сила, соответствующая центростремительному ускорению и удерживающая планеты на орбитах (пусть пока круговых), должна иметь вид: F ~ 1/R^2, то есть должна быть обратно пропорциональной квадрату расстояния от планеты до Солнца. Тогда Ньютон решил выяснить, не управляет ли одна и та же сила движением Луны на орбите и падением яблока на поверхности Земли.

Интуитивно Ньютон понял, что существенно расстояние от центра Земли, а не от ее поверхности, хотя это предположение он сумел доказать значительно позднее. Зная период обращения Луны вокруг Земли, было нетрудно подсчитать с помощью третьего закона Кеплера, что центростремительное ускорение Луны по направлению к Земле, как показано выше aцс ~ 1/R^2. Ускорение падения тел вблизи поверхности Земли было хорошо известно из опытов. А поскольку Луна находится в 60 раз дальше от центра Земли, чем яблоко на ее поверхности, то ускорение для яблока должно быть в 60 × 60 = 3600 раз больше. Число 60 очень удачно для сравнения в данном случае. Используя законы ускоренного движения, легко подсчитать, что за одну секунду яблоко должно пролетать к центру Земли расстояние, которое Луна проходит только за одну минуту. Проделав расчеты, Ньютон обнаружил, что они согласуются с наблюдениями с точностью ~ 1 % и пришел к твердому убеждению, что движением планет, Луны и всех тел, падающих на землю, действительно, управляет одна и та же сила – тяготение.

Успехи Ньютона как физика были бы невозможны, если бы он не разработал необходимый математический аппарат, о чем мы уже говорили. Это фактически была совершенно новая область математики – математический анализ. С его помощью Ньютон показал, что эллиптическая форма орбит обусловлена движением под действием силы, направленной к одному из фокусов эллипса, величина которой обратно пропорциональна квадрату расстояния от него. Однако только в 1685 году с помощью созданного им аппарата математического анализа Ньютон сумел доказать, что гравитационное притяжение Земли можно рассматривать так, как если бы вся ее масса была сосредоточена в центре. Этот факт был принципиальным, он позволил Ньютону обосновать использованный ранее способ сравнения ускорений Луны и яблока.

С помощью своих законов механики Ньютон убедительно доказал, что нет деления на тела, которые притягивают, и тела, которые притягиваются. Все тяготеющие тела взаимопритягиваются, то есть законы гравитации имеют универсальный смысл.

Повторим коротко его вывод. У поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением g независимо от их массы (веса), а сила, действующая на тело на поверхности Земли, пропорциональна его массе (весу), поэтому F = mg. Далее, согласно третьему закону механики, если на тело массой m со стороны другого тела массой M действует некоторая сила, то тело массой m действует на тело массой M точно с такой же, но противоположно направленной силой. Скажем, не только Земля притягивает Луну, но и Луна притягивает Землю. Следовательно, сила взаимного притяжения двух тел должна быть пропорциональна каждой из масс. То, что эта сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами было уже установлено. Поэтому сила взаимного притяжения двух масс m и M, удаленных на расстояние r друг от друга, определяется выражением:

которое и является формулировкой закона всемирного тяготения; здесь G – это коэффициент пропорциональности, называемый постоянной всемирного тяготения. Величина G показывает, насколько сильно гравитационное взаимодействие. Это одна из фундаментальных мировых констант, чисел, значения которых определяют поведение и Вселенной в целом, и отдельных ее частей.

Понятие «масса», входящее во второй закон Ньютона, имеет смысл инертной массы – меры сопротивления тела любому изменению состояния его движения. Из второго закона Ньютона следует, что если к двум телам с разными массами приложить одинаковую силу, то менее массивное тело приобретает большее ускорение, чем тело с большей массой. Но понятие «массы» в законе всемирного тяготения имеет другой смысл – это «тяготеющая масса», или мера того, что условно можно назвать «количеством тяготения», присущим данному телу.

Нет логических оснований считать эти два вида массы тождественными. В конце концов, тяготеющую массу можно рассматривать как гравитационный эквивалент электрического заряда; два тела с одинаковой инертной массой могут иметь совершенно различные электрические заряды и, следовательно, приобретать разные ускорения под действием одного и того же электрического поля. В противоположность этому, в гравитационном поле Земли тела как с разными, так и с равными инертными массами всегда падают с одним и тем же ускорением. А это может быть только в том случае, если отношение тяготеющей массы к инертной для всех тел одинаково.

Ньютон провел серию экспериментов, чтобы выяснить, не оказывается ли это отношение различным для разных тел. Такого различия он не обнаружил, не обнаружено оно и до сих пор. Поскольку эти два вида массы всегда находятся в одной и той же пропорции друг к другу, единицу измерения для них подобрали так, чтобы их отношение оказалось равным единице. Это выражается в том, что формула для силы притяжения на поверхности Земли имеет вид второго закона: F = mg.

Факт равенства инертной и тяготеющей масс известен как принцип эквивалентности. Ниже мы увидим, что этот принцип служит одним из ключевых положений общей теории относительности Эйнштейна.

Значение закона всемирного тяготения нельзя переоценить. Ньютон показал, что тело совершает движение по какой-либо кривой конического сечения (окружности, эллипсу, параболе или гиперболе) в том случае, если на него действует сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния и направленная к фокусу этой кривой. И наоборот, движение тела под действием такой силы подчиняется законам Кеплера. Ньютон показал также, что действием такой универсальной силы можно объяснить движение Луны и планет, ускорение падающих тел, поведение спутников Юпитера и океанские приливы.

Были объяснены и предсказаны и другие явления. Ньютон предсказал, что в результате вращения вокруг своей оси Земля должна быть слегка выпуклой вблизи экватора и сплюснутой у полюсов. Он объяснил, как это отклонение формы Земли от идеальной сферы приводит к прецессии – явлению, открытому Гиппархом почти 2000 лет назад. В результате прецессии – медленного поворота земной оси – полюс небесной сферы описывает на небе окружность. Если бы Земля была идеальным шаром, то этого бы не наблюдалось, но вследствие экваториальной выпуклости Земли и наклона ее оси гравитационное воздействие на нее со стороны Солнца и Луны заставляет земную ось поворачиваться, описывая коническую поверхность. Точно так же вращается ось волчка, если при его запуске отклонить ось от вертикального направления, здесь внешней силой, вызывающей прецессию, является сила притяжения Земли.

Галлей, анализируя данные о наблюдениях комет и основываясь на законах Ньютона, сделал вывод, что часть из этих наблюдений относится к одной и той же комете и предсказал ее следующее появление. Когда предсказание оправдалось, комету назвали его именем. Комета Галлея, единственная из короткопериодических комет (орбитальный период около 76 лет), доступная для наблюдения невооруженным глазом. Последний раз она появилась вблизи Солнца и Земли, согласно все тем же расчетам по формулам Ньютона, в марте 1986 года. Тогда комету Галлея наблюдали не только многочисленные любители астрономии и профессиональные ученые, но и пять международных космических аппаратов.

С открытием закона всемирного тяготения стало возможным изучение влияния планет друг на друга, вызванного их взаимным притяжением. Так, исследуя возмущения в движении Урана, удалось точно рассчитать орбиту неизвестной планеты за Ураном, которая эти возмущения вызывала. Позднее ее обнаружили точно в расчетном месте и назвали Нептуном.

В 1803 году английский астроном и оптик Вильям Гершель (1738–1822) опубликовал данные своих наблюдений, из которых следовало, что многие звезды, видимые как точки, на самом деле состоят из пары звезд, медленно обращающихся одна вокруг другой под воздействием взаимного притяжения; такие системы получили название двойных звезд. Последующие наблюдения показали, что движение двойных звезд подчиняется законам Кеплера и закону всемирного тяготения Ньютона. В 1842 году известный немецкий астроном Фридрих Бессель (1784–1846) на основе закона Ньютона предсказал существование невидимого спутника у звезды Сириус. Спутник был открыт через 10 лет!

Уже к концу первой половины XIX века было установлено, что закон всемирного тяготения Ньютона в наблюдаемой Вселенной выполняется повсеместно.

Корпускулярная теория гравитации

Теория гравитации Ньютона завоевывала все больше сторонников. В законе обратных квадратов мало кто сомневался. Шли дискуссии о природе гравитации. Поскольку механизм передачи гравитационного взаимодействия с помощью частиц (корпускул) казался самым естественным, то именно он был более популярным. Как это ни странно, корпускулярный подход имеет сторонников и в наше время, и теория продолжает развиваться. Поэтому нельзя не рассказать о ней, хотя бы кратко.

Сейчас чаще всего корпускулярную теорию гравитации связывают с именем Жоржа-Луи Ле Сажа (1724–1803), швейцарского математика и физика. Тем не менее, первое известное построение такой теории принадлежит другому швейцарскому математику из Базеля Николасу Фатио де Дуилье (1664–1753). В 1690 году содержание его рукописи зачитали перед Лондонским Королевским обществом, но она не произвела впечатления. Однако де Дуилье не оставил своих исследований, хотя теория не воспринималась, и ни одна из его рукописей не была издана при жизни. Их частичное издание проходило на протяжении последующих столетий, почти до наших дней.

Некоторые фрагменты рукописей Фатио, включая одну в стиле поэмы, были приобретены Ле Сажем, но и он не смог найти издателя. А в 1748 году Ле Саж на их основе предложил свой вариант, который давал простое механическое объяснение формуле всемирного тяготения. Некоторое время эти результаты были не очень известны, но стали темой повышенного интереса в конце XIX века в контексте только что появившейся кинетической теории газов.

Обсудим содержание теории Ле Сажа. Предполагается, что Вселенная заполнена быстрыми маленькими «гравитационными частицами», интенсивность потока которых изотропна. Тогда удаленный от всех других тел объект A (рис. 3.2) испытывает равномерное сдавливание внутрь, но внешней направленной силы не возникает. Появление рядом другого объекта B приведет к их взаимной экранировке, и из-за дисбаланса сил внешних ударов тела будут прижимаются друг к другу. Этим имитируется сила притяжения.

Рис. 3.2. Схема корпускулярной теории гравитации

Однако развитие теории требовало постоянной корректировки. Например, если считать, что столкновение частиц полностью упруго (рис. 3.2), то отраженные частицы между объектами A и B компенсируют «экранирующий» эффект. Пришлось «подгонять» коэффициент отражения. Чтобы имитировать пропорциональность массам в законе притяжения, приходится вводить ряд ограничений и на сами частицы, и на строение вещества. Эти ограничения и в то время выглядели умозрительными, а с точки зрения современных представлений недопустимы, и т. д.

Поэтому теорию Ле Сажа скорее отклоняли, чем принимали. Мы приведем несколько пунктов современной критики.

1) Гравитационные частицы Ле Сажа не вписываются в современную хорошо подтвержденную Стандартную модель элементарных частиц.

2) Чтобы объяснить движения небесных тел, частицы Ле Сажа должны иметь скорость, существенно превышающую световую, что также противоречит современным данным (см. ниже).

3) Требуемая большая интенсивность фона гравитационных частиц противоречит модели горячей Вселенной (см. ниже).

4) Существуют также возражения, связанные с термодинамикой среды гравитационных частиц.

Все это вызывает значительный пессимизм в отношении теории Ле Сажа. Он усиливается успехами общей теории относительности. Тем не менее, периодически появляются новые работы, развивающие корпускулярную теорию, видимо, из-за наглядности и простоты. Возможной причиной внимания является отсутствие теории тяготения на микроуровне. Но мы к корпускулярной теории больше не вернемся.

Глава 4

От механики Ньютона до электродинамики Максвелла

Мне не стоило большого труда отыскание того, с чего следует начинать, так как я уже знал, что начинать надо с самого простого и доступного пониманию…

Рене Декарт «Рассуждении о методе»

Сейчас нам придется отвлечься от понятий, связанных непосредственно с теорией тяготения. Дело в следующем: чтобы подойти к обсуждению общей теории относительности (теории тяготения) необходимо понимать, что представляет собой ее предшественница – специальная теория относительности, не имеющая прямого отношения к описанию тяготения. Это связано с тем, что одна теория в определенном смысле «вырастает» из другой. Действительно, специальную теорию относительности можно мыслить как теорию плоского пространства-времени, в то время как общая теория относительности – это теория искривленного пространства-времени. В этой главе мы обсудим предпосылки создания специальной теории относительности, а в следующей – принципы ее построения, интерпретацию и интересные эффекты.

Протяженность и длительность. Методы измерений

Математика – мощный и универсальный метод познания природы, образец для других наук.

Рене Декарт «Начала философии»

Чтобы прийти к замечательным выводам, ставшими впоследствии законами механики, Галилей, Ньютон и многие другие ученые, экспериментируя с материальными телами на Земле и изучая движение небесных тел, должны были производить измерения. Определяли размеры тел и расстояния между ними (протяженности), положения тел и пройденные ими расстояния при движении. Особое место в механике занимает изучение последовательности событий, продолжительности событий (длительности), частоты возникновения событий. Все это осуществляется путем измерений момента каждого события по часам.

Говоря о пространственных измерениях, нельзя не вспомнить Декарта и Ферма, внесших неоценимый вклад в систематизацию этого процесса. Декарт был убежденным материалистом, а одним из главных свойств материальных вещей считал протяженность, которая может проявляться по-разному. Декарт отрицал существование пустого пространства на том основании, что везде, где есть протяженность, которую можно измерить, есть материя. Один из его тезисов: «В мире нет ничего, кроме движущейся материи различных видов. Материя состоит из элементарных частиц, локальное взаимодействие которых и производит все природные явления». Эти философские убеждения повлияли на выбор проблем, которые ему было интересно исследовать. Он стал одним из создателей аналитической геометрии, которую разрабатывал одновременно с французским математиком Пьером Ферма (1601–1665). Геометрические задачи стало возможно исследовать как алгебраические с помощью метода координат.

По мнению историков, Ферма, как математик, был более одаренным, чем Декарт. Он восхищался греками и был продолжателем их традиций. Ферма задавал положение точки на плоскости с помощью значений длин двух отрезков – абсциссы и ординаты, а кривая определялась уравнением, связывающим длины этих отрезков. Эта идея активно использовалась древними греками. Архимед, например, описывает конические сечения через их «симптомы», – пропорции, связывающие абсциссы и ординаты точек. Однако древние греки применяли лишь словесное описание пропорций, а Ферма представляет свои формулировки в виде уравнений, хотя тоже не символизированных. Это, конечно, значительно облегчает анализ проблем, но подход остается чисто геометрическим, пространственным.

Ферма изложил результаты своих исследования в трактате «Введение в изучение плоских и телесных мест». Книга была опубликована только в 1679 году, уже после его смерти, хотя в основном французские математики узнали о ее идеях и выводах значительно раньше, в 1630-х годах. Дело в том, что Ферма был юристом, и массу времени у него отнимала служба. Параллельно он занимался математикой и вел активную переписку с учеными того времени, его результаты были известны всему сообществу. Известно, что был он очень доброжелательным в своих письмах, иногда одно и то же объяснял много раз с разных позиций, не реагируя на возможно недоброжелательный тон оппонента.

Рене Декарт в детстве отличался хрупким здоровьем, но был чрезвычайно любознательным. Начальное образование он получил в иезуитском колледже. Учителя отбили, казалось, его природное стремление к познанию. Некоторое время он вел разгульный образ жизни, играл в карты. Однако религиозное образование сыграло и свою положительную роль в становлении ученого. Оно только укрепило в молодом Декарте недоверие к тогдашней философии и настроило на поиск своих ответов на вопросы, которые он сам для себя определял. Позже Декарт сформулировал свой метод познания как дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов. Достаточно времени было отдано Декартом военной службе, на которую он поступил, чтобы больше и не понаслышке узнать мир. Сначала он был в революционной Голландии, затем в Германии, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война). Затем – еще участие в осаде Ла-Рошели. Все это время он продолжал заниматься философией и математикой, как ее частью, и другими науками – от медицины до метеорологии. Он вел обширную переписку с лучшими учеными Европы. Свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт в 1628 году переезжает в Голландию, где проводит 20 лет. В 1634 году он закончил свою первую, очень важную книгу под названием «Мир». Но момент для издания был неудачным – годом ранее инквизиция судила Галилея. Теория Коперника, принятая и в книге Декарта, была официально запрещена. Поэтому Декарт решил не печатать этот труд.

Известная всем «Геометрия» Декарта была опубликована в 1637 году. Вряд ли он испытывал влияние Ферма, его метод сложился задолго до выхода «Геометрии», еще в 1620-х годах. Тем не менее собственно геометрические идеи Декарта и Ферма практически тождественны. Заслуга Декарта в том, что он создал новую алгебру, основанную на понятии отношения геометрических величин. Ферма был подвержен влиянию геометрической алгебры греков. У него и математиков, которым он следовал, можно складывать и вычитать только однородные величины, а в коэффициенты обязательно включается указание на их геометрическую природу. При этом простое алгебраическое уравнение раздувается неимоверно. Декарт, прежде всего, был философом, основоположником рационализма, утверждающего неограниченную способность человека познавать мир. Отношения, с которыми имеет дело алгебра Декарта, не геометрические пространственные объекты, а умозрительные понятия – «числа», мало того, выраженные «буквами». Его символика мало чем отличается от современной. Он следует некоторому набору интуитивно ясных истин и использует определенные правила или методы.

Именно Декарт впервые ввел координатную систему, которая является прообразом принятой в наши дни, но идеологически несколько отличается. Он далеко не всегда использовал прямоугольную систему координат. Кривая на плоскости рассматривалась относительно некоторой прямой с делениями. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, перпендикулярных или наклонных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направление отсчета от начала координат. Современное представление координатной системы, получившее имя Декарта, сформировалось только в XVIII веке. В ней для каждой из координат обычно вводят взаимно перпендикулярные оси, расстояния на которых градуированы одинаково. Тогда, например, легко вычисляется длина радиус-вектора в трехмерном пространстве (рис. 4.1):

Рис. 4.1. Система координат Декарта

r^2 = x^2 + y^2 + z^2 = a^2 + b^2 + c^2.

В итоге, появилось ясное понимание, как определить положение тела (точки) как на плоскости, так и в 3-мерном пространстве.

Абсолютные пространство и время

Итак, мы отметили два ключевых понятия: протяженность и длительность. Возникает вопрос: по отношению к чему производить их измерение? Один из ответов, кажущийся наиболее естественным, состоит в признании существования абсолютного пространства и времени. Тогда и протяженность, и длительность, и абсолютные пространство и время приобретают самостоятельный физический смысл, становятся частью всего физического учения.

Как определял «абсолютное» пространство Ньютон? Он говорил: «Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным».

Поскольку гелиоцентрическая система стала общепризнанной, то в качестве абсолютного он определял пространство, привязанное к центру тяжести Солнечной системы. Абсолютное пространство представлялось фоном для всей Вселенной, являлось состоянием абсолютного покоя. По отношению к нему в принципе можно определить абсолютное движение тела – от одной абсолютно покоящейся точки к другой.

Аналогично абсолютному пространству, Ньютон постулировал существование абсолютного времени. Он писал в своих «Началах»: «Абсолютное частное математическое время само по себе и по своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью». Другими словами, время идет с неизменной скоростью от одного абсолютного момента к следующему, независимо от того что происходит во Вселенной. Или – для любого наблюдателя, находящегося в любом состоянии движения и в любой точке пространства, время представляется ровным, непрерывным, одинаковым (одним и тем же) потоком, определяющим смену событий.

Инерциальная система отсчета. Принцип относительности Галилея

Если в рамках точности измерений времени той эпохи можно было согласиться, что часы с одними и теми же (лучшими) техническими характеристиками идут одинаково у всех возможных наблюдателей, а время, измеренное ими, можно считать абсолютным, то с измерениями абсолютных положений ситуация требовала осмысления. Если принципиально возможно определить координаты (положение) какой-либо точки относительно системы, связанной с центром тяжести Солнечной системы, то осуществить это практически на обращающейся вокруг Солнца Земле сложно.

Чтобы разобраться с ситуацией, необходимо ввести несколько определений. Под системой отсчета обычно понимают строго заданный способ измерения положения и времени. Такие измерения можно осуществлять с помощью системы декартовых координат (трех взаимно перпендикулярных осей) – для измерения положения и расстояний и с помощью часов – для отсчета времени. Инерциальной системой называется система отсчета, в которой тела при отсутствии внешних воздействий движутся равномерно и прямолинейно, то есть система, в которой работает первый закон Ньютона. Тогда, как минимум, абсолютное пространство вместе с абсолютным временем может мыслиться как инерциальная система отсчета.

Возникает вопрос: есть ли еще инерциальные системы и как они относятся к абсолютному пространству? Обратимся к так называемым преобразованиям Галилея (термин был введен в 1909 году). Они определяют связь между координатами для двух систем отсчета, движущихся относительно друг друга. Если скорость V направлена вдоль оси x, то координаты x в двух системах для постоянной скорости связаны соотношением: x′ = x + Vt. Время t, определенное в механике Ньютона как абсолютное, является одинаковым для всех систем отсчета. Для преобразований Галилея скорость движения частицы v′ в одной системе определяется как простая сумма скорости этой частицы в другой системе и скорости относительного движения систем V, если скорость частицы и относительная скорость систем имеют одно направление: v′ = v + V. Например, если в поезде выстрелят в направлении его движения, то для наблюдателя на перроне скорость пули будет определяться как сумма скорости поезда и скорости пули относительно оружия. Если скорости не параллельны, то используется векторная сумма. Таким образом, преобразования Галилея ясно показывают, что любая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно какой-либо инерциальной системы (скажем, абсолютного пространства), также является инерциальной. Это и есть ответ на вопрос.

Возвратимся к измерениям на Земле. Обычно они производятся в ограниченном пространстве (малом, по сравнению с размерами Земли) и ограничены во времени – малые длительности по сравнению с периодом обращения вокруг Солнца (годом). Такая «лаборатория» с большой степенью точности движется равномерно и прямолинейно относительно абсолютного (по Ньютону) пространства. Если с ней связаны пространственные и временные координатные системы, то она будет инерциальной системой отсчета.

Теперь уместно привести утверждение (постулат), который часто именуется принципом относительности Галилея. По Галилею он звучит так: если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых движется равномерно и прямолинейно относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым. То есть в двух инерциальных системах законы механики одинаковы. Рассмотрим законы Ньютона в рамках этого принципа. Что касается первого закона, то он справедлив для любой инерциальной системы отсчета просто в силу определения этих систем. Далее, если относительная скорость систем постоянна, то из преобразований Галилея следует также, что ускорение какого-либо тела относительно обеих систем отсчета будет одинаковым (одним и тем же). Тогда, в силу выполнения второго закона Ньютона в любой инерциальной системе отсчета (здесь мы используем принцип), действующие на частицу силы в обеих системах одинаковы. А раз силы одинаковы, то работает и третий закон. Хотя он должен действовать во всех инерциальных системах отсчета и непосредственно, в силу самого принципа.

Итак, в механике Ньютона все инерциальные системы отсчета эквивалентны между собой и одинаково относятся к абсолютному пространству. В рамках каждой из них работают одни те же законы Ньютона, а динамические характеристики – сила и ускорение – одинаковы. А какие физические свойства приписывались самому абсолютному пространству? Ньютон считал, что абсолютное пространство «безразлично» к равномерному прямолинейному движению, но оказывает сопротивление ускорению тел. То есть инерционные свойства тел возникают вследствие воздействия на них абсолютного пространства, на которое, в свою очередь, материальные тела воздействовать не могут. Стоит заметить, что последнее утверждение находится в противоречии с самой философией механики Ньютона. Действительно, это означает, что при взаимодействии с абсолютным пространством не работает третий закон Ньютона, и следовательно, разрушается единая система законов.

Концепция абсолютного пространства и интерпретация свойств инерции вызывали возражения, как современников Ньютона, так и следующих за ними исследователей. Для нас наиболее интересна гипотеза австрийского физика и философа Эрнста Маха (1838–1916). В 1872 году им была высказана идея, что свойство инерции возникает как результат взаимодействия каждого отдельного тела сразу со всеми остальными массами во Вселенной и не имеет ничего общего с абсолютным пространством Ньютона. Идеи Маха в большой степени стимулировали Эйнштейна в исследовании проблем теории тяготения. Именно Эйнштейн назвал эту гипотезу принципом Маха, хотя в реальности она не вошла в структуру общей теории относительности, созданной им позднее. Идея Маха до сих пор не получила ни основательного подтверждения, ни опровержения. Надо сказать, и в наше время она пересматривается после каждого значимого открытия в космологии или в рамках модифицированных теорий гравитации.

Электродинамика. Скорость света

Изменить представление о пространстве и времени решающим образом стало возможным только после успехов в исследовании природы электричества и магнетизма. Пропуская имена ряда замечательных ученых, совершивших открытия в этой области, остановимся на теоретических результатах английского математика и физика шотландского происхождения Джеймса Клерка Максвелла (1831–1879), рис. 4.2. Немного фактов его биографии. Отец Джима был членом адвокатской коллегии, владел поместьем в Южной Шотландии, мать была дочерью судьи Адмиралтейского суда и умерла, когда сыну было 8 лет. Сначала, когда нужно было начинать обучение, приглашали учителей на дом, но хороших найти не удалось. Поэтому отец отправил сына в Эдинбургскую академию.

Затем Джеймс поступает в Эдинбургский университет и успешно заканчивает его, а в 1850 году уезжает в Кембридж, несмотря на недовольство отца. О его напряженном режиме учебы, который, видимо, он сам себе устроил, свидетельствует следующий факт. После получения сообщения об обязательном посещении утреннего богослужения в Кембриджском университете он сказал: «Я в это время только ложусь спать».

Получив степень бакалавра, Максвелл остается в Тринити-колледже работать преподавателем. В этот период он занимается проблемой цветов, геометрией, электричеством. В 1854 году в письме одному из друзей Джеймс заявил о намерении «атаковать электричество». Это удалось – вскоре был опубликован труд «О фарадеевых силовых линиях» – одна из трех самых крупных работ

Максвелла. Главный труд этого периода жизни ученого – создание теории цветов. Он экспериментальным путем показал, как смешиваются цвета. Эти исследования впоследствии легли в основу цветной фотографии. Спустя сто лет компания «Кодак» доказала, что Максвеллу тогда просто повезло – его способом получить зеленое и красное изображения было нельзя, эти цвета образовались случайно. Тем не менее принципы все же были правильными.

Рис. 4.2. Джеймс Максвелл

В последующие годы он занимается расчетом движения колец Сатурна и издает трактат «Об устойчивости движения колец Сатурна». Затем разрабатывает кинетическую теорию газов. Уже после этого Максвелл сосредотачивается на исследовании электромагнетизма. Публикуются работы «О физических силовых линиях» и «Динамическая теория электромагнитного поля». С этого времени и до конца своей жизни ученый работает над проблемами электрических измерений. В 1873 году выходит главный труд всей его жизни – двухтомник «Трактат по электричеству и магнетизму».[2]

Одно из основных открытий состоит в том, что была установлена взаимосвязь электричества и магнетизма. Основываясь на результатах и идеях предшественников, Максвелл использовал и развил понятие поля. Согласно его теории каждая заряженная частица окружена полем – невидимым ореолом. Поле обладает силовой характеристикой – напряженностью – и тем самым воздействует на заряженные частицы, находящиеся в нем. Таким образом, одна заряженная частица через свое поле действует с некоторой силой на другие заряженные частицы.

Конечно, такие взгляды на природу взаимодействия отличаются от корпускулярной модели Декарта. Они отличаются и от точки зрения Ньютона на концепцию тяготения. Ньютон считал, что притяжение определяется силой прямого взаимодействия между разделенными пространством массами.

Хотя в нашем понимании это остается вопросом интерпретации. Силе Ньютона можно точно так же приписать потенциал, который представляет собой не что иное как поле. Разница будет в том, что, в отличие от электромагнитного взаимодействия, распространяющегося со скоростью света, гравитационное взаимодействие по Ньютону должно распространяться мгновенно (с бесконечной скоростью).

Самым интересным из результатов Максвелла для нас является следующее. Из уравнений электромагнитного поля следует, что движение заряженных частиц должно порождать электромагнитные волны, распространяющиеся в пространстве со скоростью света c = 300 000 км/с. Эти волны могут иметь любую длину – расстояние между двумя соседними гребнями волны.

По длине электромагнитные волны разделяются на разные диапазоны. Свет – это электромагнитная волна с довольно короткой длиной волны, у ультрафиолетового, рентгеновского и гамма-излучения длина волны еще короче, у инфракрасного, микроволнового и радиоизлучения – длиннее. Сегодня мы имеем возможность регистрировать электромагнитные волны длиной от 10–12 м до многих километров.

Рис. 4.3. Схема измерений Рёмера

Впервые скорость света была определена датским астрономом Оле Рёмером (1644–1710) в 1676 году. Он анализировал нерегулярность видимых затмений спутника Юпитера Ио.

Было обнаружено, что выход Ио из тени Юпитера наблюдается со все большим запаздыванием по мере удаления Земли от орбиты Юпитера. Рёмер связал это с тем, что свет имеет конечную скорость, и поэтому для его достижения Земли каждый раз требуется разное время (рис. 4.3). А тогда, зная разность расстояний для разных моментов появления Ио и наблюдаемое время запаздывания, можно определить скорость преодоления светом этого дополнительного расстояния. Скорость по данным Рёмера оказалась равной 215 000 км/с. Вполне приличная по тем временам точность.

Эфир

Тонкий по природе эфир ни с чем не смешивается, хотя и проникает всюду.

Кришна «Бхагавадгита как она есть»

Наш повседневный опыт, а также опыт научных достижений XIX века, не допускает распространения каких-либо колебаний без среды. То, что мы видим чуть не каждый день – это волны на поверхности воды. Звуковые волны представляют собой распространение уплотнений и разрежений в воздухе. Теория электромагнетизма не включает такого понятия, как некая специальная среда, в которой распространяются электромагнитные волны. Уравнения вполне справедливы и для вакуума. Поэтому Максвелл вернулся к старой идее о существовании эфира, заполняющего пространство. Именно эфиру отводилась роль носителя электромагнитных волн. Система отсчета, связанная с неподвижным эфиром, отождествлялась с абсолютным пространством, идея которого, в свою очередь, получила новую неожиданную поддержку.

Естественно, не заставили себя ждать попытки найти экспериментальное подтверждение существования эфира. Если таковой существует, то Земля, двигаясь сквозь него со скоростью 30 км/с (скорость движения по орбите вокруг Солнца), должна испытывать воздействие эфирного ветра. Как обнаружить это воздействие? Обычно приводят в пример эксперимент Майкельсона – Морли. На рис. 4.4 приведена его схема.

Рис. 4.4. Схема эксперимента Майкельсона-Морли

Предположим, что направление луча, испущенного источником, соответствует движению Земли по орбите, тогда в этом направлении должен «дуть» эфирный ветер. Свет из источника разделяется пластиной на луч, который отражается в направлении перпендикулярном движению, и луч, направление которого не изменилось. Затем лучи отражаются от зеркал и в конечном итоге встречаются на детекторе. Геометрические пути лучей одинаковы. Как рассчитать распространение луча? Если свет распространяется в среде (эфире), то в поперечном направлении нужно учитывать только скорость света в эфире, а в продольном направлении, следуя преобразованиям Галилея, скорости «ветра» и света нужно складывать, а после отражения – вычитать. Тогда окажется, что луч в направлении движения Земли запоздает, и это должно быть зарегистрировано на детекторе.

Впервые эксперимент был поставлен американским физиком Альбертом Майкельсоном (1852–1931) в 1881 году и повторен им на усовершенствованной установке совместно с Эдвардом Морли (1838–1923). Точность эксперимента в несколько раз превосходила ожидаемый результат, но эффект не был зарегистрирован. Многократные попытки в последующие десятилетия на усовершенствованных приборах так и не привели к успеху. Зарегистрировать наличие эфира не удалось.

Итак, пришлось смириться с тем, что эксперимент Майкельсона и Морли не в состоянии выявить факт движения Земли относительно эфира. Однако теоретические попытки спасти концепцию эфира продолжались.

Голландский физик Хендрик Лоренц (1853–1928) и ирландский ученый Джордж Фицджеральд (1851–1901) независимо друг от друга попытались объяснить, почему не удалось зарегистрировать эфир. Вспомним, что для расчета в опыте Майкельсона – Морли существенным образом используются преобразования Галилея, которые по сути своей очень просты. Теперь же выдвигалась гипотеза, что в результате движения сквозь эфир уменьшается длина вдоль движения и замедляется ход часов. Эти преобразования устраиваются как раз так, что движение относительно эфира остается незамеченным. Подводя итог на тот период, замечательный французский математик Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912) отмечал, что если преобразования Лоренца (как их стали называть с его подачи) верны, то эфир, если он и существует, все равно не доступен наблюдению. А поскольку вопрос о существовании или отсутствии эфира не удается решить, то остается рассматривать только относительные (не абсолютные) движения.

Но если сохранить наличие эфира в принципе, то возникает другая проблема. В силу принципа относительности Галилея законы механики Ньютона имеют один и тот же вид и верны во всех инерциальных системах отсчета. Для электродинамики Максвелла это правило не выполняется, поскольку ее уравнения существенным образом содержат скорость света. Действительно, если использовать преобразования Галилея, то скорость света должна быть разной в разных инерциальных системах отсчета, а это недопустимо для уравнений Максвелла. С другой стороны, они оказались инвариантными относительно преобразований Лоренца!

Таким образом, на рубеже XIX и XX веков возникла критическая ситуация в понимании места механики и электродинамики в общей физической картине мира. Теоретические и опытные данные вступили в противоречие. Эта ситуация требовала разрешения.

Глава 5

Специальная теория относительности

Установив исходные факты, мы начнем строить, основываясь на них, нашу теорию и попытаемся определить, какие моменты в данном деле можно считать узловыми.

Конан Дойль «Записки Шерлока Холмса»

Принципы построения

Попытки решить возникшие проблемы чрезвычайно активными были в начале XX века. В результате в 1905 году была окончательно сформулирована специальная теория относительности (далее будем обозначать ее СТО) и представлена одновременно в работах Альберта Эйнштейна (1879–1955), и Анри Пуанкаре. Позднее теория была представлена немецким математиком и физиком Германом Минковским (1864–1909) в четырехмерном формализме, объединяющем пространство и время. До сих пор идут споры – и кто, и что, и кто раньше, а кто позже. В конце главы мы кратко расскажем о взаимоотношениях между учеными той великой эпохи. Вне всяких сомнений, важный вклад внес каждый из исследователей.

Разные авторы по-разному приводят и формулируют принципы (постулаты), на основании которых построена СТО. Но можно сказать, что существуют два основных принципа, которые обычно представлены явно.

Первый из них – это принцип относительности, согласно которому во всех инерциальных системах отсчета действуют одни и те же физические законы. Принцип относительности, прежде всего, устраняет различия в проявлениях законов механики и электродинамики при переходе в другие инерциальные системы. Он также исключает идею о неподвижном эфире абсолютного пространства. Часто этот принцип называют принципом относительности Пуанкаре – Эйнштейна, который, конечно, является расширением принципа относительности Галилея на все физические явления.

Второй принцип постулирует постоянство (неизменность) скорости света во всех инерциальных системах отсчета. Обычно в качестве постулата выбирается некая аксиома, то есть очевидное утверждение, не требующее доказательств. Второй же принцип выглядит скорее парадоксальным, чем очевидным. На первый взгляд он плохо сочетается с принципом относительности. Поэтому можно только восхищаться смелостью и гениальностью создателей СТО.

Остальные принципы иногда озвучиваются явно, иногда скрыты в процессе построений. Они частично перекрываются двумя, отмеченными выше. Как минимум, нужно упомянуть, что все построения (измерение расстояний и отсчет времени) ведутся с помощью световых (электромагнитных) сигналов.

Была построена теория, удовлетворяющая этим принципам. Оказалось, что преобразования Галилея нужно заменить преобразованиями Лоренца. Их использование приводит к преобразованиям не только пространственных координат, но и времени, все перемешивая. Таким образом, становится естественным рассматривать пространство и время не по отдельности, а как составляющие единой «арены», на которой рассматриваются физические взаимодействия, – пространственно-временного континуума, или просто пространства-времени.

Напомним, что уравнения электродинамики неизменны (инвариантны) относительно преобразований Лоренца (иначе: лоренц-инвариантны). Это и означает, что законы электромагнетизма одни и те же во всех инерциальных системах отсчета. Но как быть с законами механики, которые инвариантны относительно преобразований Галилея, но не Лоренца? А эти законы пришлось подправить для случая скоростей близких к скорости света, и их называют релятивистскими законами механики. При малых скоростях тел (значительно меньших световых) релятивистские законы переходят в законы механики Ньютона.

Эффекты СТО

Названия созвездий вы можете и забыть, но людей, которые не преклоняются перед чудесами природы, я считаю недостойными уважения.

Сэмуэль Майкельсон (отец Альберта Майкельсона)

Теперь обсудим наиболее важные и интересные эффекты специальной теории относительности. Многие из них оказались неожиданными для бытового восприятия. Но нет никаких противоречий, просто нам в повседневной жизни не доводится перемещаться с околосветовыми скоростями, а именно тогда эти эффекты становятся наблюдаемыми.

Относительное сокращение длины. Как отмечали Лоренц и Фицджеральд, движение любого объекта влияет на измеренную величину его длины. Представим космический корабль, который проносится мимо нас с большой скоростью. Для нас его размеры уменьшатся. Чем ближе скорость корабля к скорости света, тем более заметным становится этот эффект. При приближении его скорости к световой, сжатие будет стремиться к предельному – нулевым размерам в направлении движения. Что

же касается пилота космического корабля, то он не заметит никакого сокращения корабля, зато мы для него сожмемся. На рис. 5.1 проиллюстрировано релятивистское сокращение длины, где штрихованная система отсчета движется вдоль оси x.

Относительное замедление времени. Любой наблюдатель, сравнивая ход своих часов и часов в движущейся относительно него системе отсчета, обнаружит, что последние идут медленнее. Поясним это. Пусть пилот корабля и земной лаборант имеют абсолютно одинаковые часы. Лаборант фиксирует и сопоставляет «тики» своих часов и часов на корабле. Окажется, что для него «космические тики» происходят реже, чем земные. А для пилота, наоборот, земные часы идут медленнее. Этот эффект также становится все более заметным по мере приближения скорости ракеты к скорости света и становится предельным, когда скорость становится околосветовой. Эффект замедления времени касается буквально всего, включая атомные процессы и биологические ритмы, иначе нарушился бы принцип относительности.

Рис. 5.1. Релятивистское сокращение длины

Приведем в качестве иллюстрации пример, подтверждающий как эффект замедления времени, так и эффект сокращения расстояний. Космические лучи – элементарные частицы, попадающие на Землю из космоса, сталкиваются с атомами атмосферы. В результате на высоте около 10 км рождаются новые частицы – мюоны. Время жизни мюонов очень короткое – они распадаются в среднем за 0,000 002 с в собственной системе отсчета. Если бы не было замедления времени, то они никак не смогли бы пролететь расстояние более 1 км. Но, преодолев 10 км, эти частицы долетают до поверхности Земли, где их регулярно регистрируют. Причина видится только в относительном увеличении времени жизни мюонов для земного наблюдателя. Кстати, почему тогда с точки зрения наблюдателя в системе покоя мюона он достигает Земли, ведь для него его часы идут нормально? Здесь нужно вспомнить о сокращении расстояний. Для такого наблюдателя 10 км до Земли значительно сократятся, и он успеет достичь ее поверхности за короткое время жизни этой элементарной частицы.

Сложение скоростей. Теперь вернемся ко второму принципу – постоянству скорости света в любой инерциальной системе отсчета. Сразу очевидно, что он определяет сложение скоростей, отличное от того, которое следует из преобразований Галилея. Действительно, движение источника света со скоростью V не должно влиять на скорость света c, который он испускает. Это выглядит парадоксально! Однако преобразования Лоренца именно к такому сложению скоростей и ведут. В соответствии с ними, сложение двух досветовых скоростей дает величину, меньшую их простой суммы, а если одна из скоростей – c, то сложение тоже дает c!

Многие эффекты СТО противоречат повседневному опыту (интуиции), кажутся невероятными и даже невозможными. Это вызывает сомнения в основах теории у многих людей, интересующихся наукой. Особое неприятие вызывает второй принцип – сложение скоростей. По мнению любителей, скорость света должна складываться со скоростью источника, как следовало бы из преобразований Галилея (баллистическая гипотеза). Неизменность скорости света давно подтверждена напрямую при сравнении света, испускаемого двумя экваториальными краями вращающегося Солнца. Однако сторонники баллистической гипотезы возражают тем, что перед сравнением лучей свет пропускался через оптику телескопа, а переизлучение преломляющей средой как бы приводит к уравниванию скоростей двух пучков.

Чтобы опровергнуть и эти возражения недавно (результаты опубликованы в 2011 году) в центре синхротронного излучения Курчатовского института был произведен опыт. Исследовали излучение сгустка электронов, разогнанного почти до скорости света и запущенного по искривленной траектории. В этом случае есть большое ускорение, а именно тогда происходит эффективное излучение. По баллистической гипотезе скорость света должна быть близка к двойной световой – 2c. Эффект огромный, его нельзя не заметить. Провели два типа экспериментов. Для первого – свет разделили на два пучка: один пустили напрямую, а второй – через стеклянную пластину, чтобы установить, изменяет ли переизлучение скорость света. Затем оба пучка сравнили. Разницы в скорости не было найдено! Во втором эксперименте скорость синхротронного излучения измерили напрямую. Как и ожидалось, она с высокой точностью оказалась равной своему обычному значению – c, никак не 2c. Можно сказать, что это еще одна непосредственная проверка второго принципа.

Пространство Минковского

Тогда нарушается закон причинно-следственной связи, закон, от которого я совершенно не собирался отказываться из-за каких-то паршивых попугаев, да еще дохлых вдобавок…

Аркадий Стругацкий, Борис Стругацкий «Понедельник начинается в субботу»

Как мы уже отметили, в СТО пространство и время нужно рассматривать как единый четырехмерный континуум – его называют пространством Минковского. Тогда непривычные (для бытового восприятия) свойства теории объяснять и интерпретировать значительно легче. Пространство Минковского представляют в виде диаграммы с временной и пространственными осями. На временной оси в качестве отсчета используется время, умноженное на скорость света – ct, это упрощает анализ, поскольку все данные имеют одинаковую размерность. Пространственные координаты, также для простоты, часто представлены только координатой x, хотя, конечно, подразумеваются все три. Кроме того, в отличие от общепринятых диаграмм, здесь роль функции играет время, а аргумента – пространственные координаты.

Диаграмма пространства Минковского, точно так же, как обычные диаграммы, используется для отображения в виде графика пути, который проходит материальная частица с течением времени. Если частица движется равномерно и прямолинейно – ее путь будет прямой линией, а котангенс угла наклона к оси x равен скорости частицы в долях скорости света. На рис. 5.2 изображен путь такой частицы от начала координат до точки A. Прямые, направленные под углом 45°, отображают пути фотонов, движущихся со скоростью света как через начало координат, так и через точку А в разные стороны. Позже мы определим такие «фигуры» как световые конусы. Движение частицы от точки А возможно только внутри конуса, поскольку ее скорость не может превышать световую.

Рис. 5.2. Путь частицы на диаграмме пространство-время

Если частица движется произвольно, то ее путь будет представлен кривой, а котангенс угла наклона касательной к оси x в какой-либо точке будет равен скорости частицы в момент, соответствующий этой точке.

Как в СТО, так и в общей теории относительности (мы увидим это позднее) ключевым понятием является метрическое пространство. Под этим понимается некое множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и определено понятие расстояния между ними. Вспомним обычное пространство Евклида. Квадрат расстояния r между началом координат и точкой с декартовыми координатами x, y, z определяется по правилу: r^2 = x^2 + y^2 + z^2.

Эта величина всегда положительная, за исключением случая, когда длина равна нулю.

Пространство Минковского тоже метрическое. Однако в нем расстояние между двумя точками называется интервалом и определяется непривычным образом. Квадрат интервала s между началом координат и какой-либо точкой 4-мерного пространства-времени (рис. 5.2) определяется по правилу:

s^2 = c^2t^2 – x^2 – y^2 – z^2 = c^2t^2 – r^2.

Временную координату ct и пространственные координаты Декарта x, y, и z, представляющие единую координатную сетку в пространстве Минковского, обычно называют координатами Лоренца. Как видно, временная и пространственные части в определении интервала входят с разными знаками. Из-за этого квадрат интервала может быть положительным, нулевым и даже отрицательным. Пространства, в которых расстояния определяются таким образом, называются псевдоевклидовыми.

Итак, пространство Минковского – это псевдоевклидово метрическое пространство, объединяющее время (длительность) и пространство (протяженность, 3-мерное пространство Евклида).

Точки в пространстве Минковского называют событиями или мировыми точками. Таким образом, каждой мировой точке соответствует момент времени и точка в 3-мерном пространстве. А интервал – это расстояние между двумя мировыми точками или, в ряде интересных случаев, промежуток времени между двумя событиями.

Теперь попытаемся понять, как в рамках исходной системы отсчета в пространстве Минковского выглядит другая инерциальная система отсчета. Оси 0ct и 0x (см. рис. 5.2) в исходной системе образуют базис. Путь наблюдателя, связанного с исходной системой, направлен вдоль оси 0ct. Для него же ось 0x и параллельные ей линии – это сечения одновременности. Наблюдатель другой инерциальной системы движется прямолинейно и равномерно по отношению к первой. Тогда ясно, что его путь направлен вдоль наклонной прямой, например, 0А на рис. 5.2. Для движущегося наблюдателя сечения одновременности также наклонятся. Остается сделать вывод: чтобы перейти к базису движущейся инерциальной системы отсчета нужно осуществить поворот исходного базиса. При этом угол поворота соответствует относительной скорости между системами. Вспомним, что две системы отсчета связаны преобразованиями Лоренца. Именно поэтому такие повороты базиса называют лоренцевыми вращениями.

На рис. 5.3 на диаграмме пространства Минковского изображен базис неподвижной системы K с нештрихованными координатами, и базис движущейся в направлении оси 0x со скоростью V инерциальной системы отсчета K’ с штрихованными координатами. Теперь выпишем преобразования Лоренца от одних координат к другим:

Преобразования дают возможность заключить, что обе системы отсчета эквивалентны. Действительно, если выразить штрихованные координаты через нештрихованные, то получим те же самые преобразования:

с заменой знака «плюс» перед V на «минус» – по отношению к штрихованной системе нештрихованная движется в противоположном направлении.

Одно из достоинств геометрической интерпретации пространства Минковского состоит в том, что лоренц-инвариантность выражается в инвариантности относительно лоренцевых вращений. В частности, значение интервала, записанного выше, не изменяется после поворота базиса, хотя теперь выражается через новые (штрихованные) координаты нового базиса. Чтобы убедиться в этом нужно лоренцевы преобразования (А) подставить в выражение для квадрата интервала, записанного выше. В результате получим

s^2 = c^2t′2 – x′2 – y′2 – z′ 2 = c^2t′2 – r′2.

то есть s = s’.

В инвариантности интервала нет ничего удивительного – это лишь геометрическое свойство пространства Минковского, а не следствие каких-то принципов. Действительно, поскольку интервал – это длина в метрическом пространстве, то эта величина не зависит от способов измерения (использования той или иной координатной сетки). Замечательно другое – известные геометрические свойства псевдоевклидовых пространств оказались весьма полезными для описания СТО.

Рис. 5.3. Переход к другой инерциальной системе на диаграмме пространства Минковского

Эффекты сокращения длины, замедления времени, сложение скоростей в СТО являются следствием лоренц-инвариантности. Остановимся на первых двух. Рассмотрим линейку, собственная длина которой l_0 – это длина в ее системе покоя. Пусть система покоя для выбранной линейка – это система K’, которая движется относительно нас (системы K) со скоростью V. Тогда, если концы линейки имеют координаты

x_1′ и x_2′, то l_0 = x_2′ – x_1′.

Определим длину этого отрезка с точки зрения наблюдателя системы K. Для этого нужно в один и тот же (!) момент времени t определить координаты концов линейки x_2 и x_1 в системе K. Тогда для нас длина линейки буде иметь величину l = x_2 – x_1. Чтобы определить каждое из значений x_2 и x_1 через соответствующие штрихованные координаты используем первую часть преобразований Лоренца (Б) каждый раз с одним и тем же значением t. Затем составим разницу и получим , то есть для нас (покоящейся системы K) движущаяся линейка становится короче.

Подтвердим вывод о замедлении времени. Находясь в системе K, будем отслеживать ход часов в системе K′, которые находятся в точке x′. Для нас часы в системе K идут одинаково во всех точках, поэтому часы системы K′ можно сравнивать с любыми нашими. Не теряя общности, можно предположить, что x′ = 0 и моменты первого сравнения в обеих системах также нулевые: t_1′ = t_1 = 0. Вопрос в том, как начнут разниться показания в любой следующий момент сравнения t_2 (а для системы K′ – t_2′). Теперь удобнее использовать вторую часть преобразований Лоренца (А). Получаем  . Как видно, показания часов в нашей системе K будут больше, чем в K′, хотя в обоих случаях отсчет начинался с нуля. Таким образом, движущиеся часы идут медленнее.

На этом этапе важно сделать замечание. Мы все больше убеждаемся, что пространство и время физически объединены в единое целое – пространственно-временной континуум. Действительно, и пространственные, и временные координаты участвуют в единых преобразованиях; инвариантная величина интервал построена как из временных промежутков, так и из пространственных отрезков. Несмотря на это, и пространство, и время сохраняют свою физическую сущность – протяженность и длительность. Формально это различие состоит в том, что временная часть входит в интервал со знаком «плюс», а пространственная – со знаком «минус».

Мы уже отметили, что квадраты интервалов могут быть положительными, нулевыми и даже отрицательными. Для положительных – временная часть превосходит пространственную, и они называются времениподобными. Нулевые соответствуют распространению света и называются светоподобными; совокупность светоподобных, представляющая распространение световых лучей из какой-либо мировой точки, образует, так называемый, световой конус в пространстве Минковского. На рис. 5.4 такой световой конус относится к началу координат и делит пространство-время на две части: внутри и вне конуса. Наконец, для отрицательных квадратов интервалов, пространственная часть превышает временную, и они называются пространственноподобными.

Для нас более интересны времениподобные интервалы. Почему? Отрезок прямой 0A, соединяющий мировую точку внутри конуса и начало координат на рис 5.4 вполне можно интерпретировать как путь материальной частицы, движущейся прямолинейно и равномерно. Скорость ее меньше скорости света, и поэтому путь находится внутри конуса. Квадрат интервала между точкой А и началом координат s^2 = c 2t 2 – xА^2  – положительный, и это относится ко всем мировым точкам внутри конуса, скажем A′. Наклон соответствующих отрезков пути меньше, чем у светового конуса. Если бы мы попытались интерпретировать отрезки пути с наклоном больше, чем у светового конуса, как путь материальной частицы, то нужно было бы говорить о скоростях больших скорости света. Но для материальной частицы это невозможно, мы об этом еще скажем.

Рис. 5.4. Интервалы в пространстве Минковского

Продолжим обсуждение времениподобных интервалов. На рис. 5.4 отрезок на временной оси, скажем, от начала координат до точки ct, определяет, конечно, такой интервал. В чем его смысл? Он соответствует наблюдателю, который покоится в этой инерциальной системе отсчета, а соответствующий интервал определяет промежуток времени жизни наблюдателя между этими событиями: s = ct. После лоренцева вращения этот отрезок станет наклонным. (Другими словами: в другой инерциальной системе этот наблюдатель будет двигаться прямолинейно и равномерно.) Однако, в силу лоренц-инвариантности значение интервала для этого отрезка не изменится, хотя примет другое выражение: s = (c^2t′2 – x′2)1/2. Это позволяет сделать важный вывод, давайте его зафиксируем:

Времениподобный интервал s между двумя событиями на мировой линии наблюдателя определяет промежуток собственного времени наблюдателя между этими двумя событиями: τ=s/c. Еще и поэтому такие интервалы называют времениподобными.

Перейдем к обсуждению светоподобных интервалов. Отрезок прямой 0C на конусе на рис. 5.4 вполне можно интерпретировать как путь фотона (луча света), движущего прямолинейно и равномерно со скоростью света. Действительно, лучу света отвечают прямые x = ct и x = – сt. Это как раз подтверждает, что интервал между любыми двумя мировыми точками на такой прямой равен нулю, т. е. светоподобный. Например, между началом координат и точкой C: s^2 = c^2t 2 – xс^2 = 0, или между началом координат и точкой C′, или между точками C и C′ и т. д.

А теперь дадим еще одно определение. Множество мировых точек, описывающее движения в зависимости от времени материальной частицы (в том числе и безмассовой, как фотон) на пространственно-временной диаграмме (в данном случае на диаграмме пространства Минковского) называется мировой линией. Если интервалы для любых двух точек на прямых мировых линиях времениподобны или светоподобны, то сами линии, соответственно, времениподобные или светоподобные. Конечно, мировые линии могут быть и искривленными. В этом случае, чтобы они соответствовали реальным частицам необходимо, чтобы углы наклона всех касательных не превышали угол наклона светового конуса. Тогда скорость частицы не превысит световую.

Также не нужно путать понятие мировой линии с обычной траекторией частицы в 3-мерном пространстве. Мировая линия – это путь на пространственной-временной диаграмме, траектория – это след, который оставляет зверек в зимнем лесу.

Наконец, обсудим пространственноподобные интервалы. Если мы возьмем любую мировую точку вне конуса, скажем B, как на рис 5.4, то квадрат интервала между этой точкой и началом координат s^2 = c^2t^2 – xВ^2 будет отрицательным, и он будет как раз пространственноподобным. Точно так же, это относится ко всем мировым точкам вне конуса, скажем B′, поскольку пространственная часть интервала превышает временную. Наклон соответствующих отрезков больше, чем у светового конуса.

При лоренцевых вращениях в силу инвариантности все интервалы сохранят свои значения, а значит и тип, к которому относятся. То есть все мировые точки, которые были внутри конуса, там и останутся, то же относится к точкам вне конуса. Интересным является поведение светового конуса при таких вращениях. Поскольку скорость света во всех инерциальных системах отсчета одинакова, то угол светоподобных отрезков не изменится (!), а это значит, что световой конус останется на месте.

На рис. 5.3 световой конус после лоренцева вращения не изменил своего положения, он относится как к покоящейся системе отсчета с нештрихованными координатами, так и к движущейся – со штрихованными.

Теперь определим еще одно важное понятие. Если для интервала между двумя событиями s^2 ≥ 0, то эти события могут быть соединены мировой линией, которая отвечает реальной частице или лучу света. Такие два события называют причинно связанными.

Если для интервала между двумя событиями s^2 < 0, то как бы мы не соединяли эти мировые точки непрерывными линиями, найдутся участки, где наклон касательной превышает наклон светового конуса. Такая линия не может быть отнесена к мировой линии какой-либо реальной частицы, а события, для которых s^2 < 0, называют причинно несвязанными.

Чтобы чувствовать себя уверенней, используя свойства пространства Минковского, полезно осознать, как сравниваются времениподобные интервалы на пространственно-временной диаграмме. Снова возьмем отрезок на временной оси от начала координат до момента t, квадрат его интервала – s^2 = c^2t^2. Затем рассмотрим наклонный отрезок прямой (времениподобной), также от начала координат до какой-либо мировой точки, но с той же временной координатой t (например, точки A, рис. 5.4). Его квадрат интервала – это s^2 = c^2t^2– xA^2. Мы видим, что интервал наклонного отрезка меньше, чем интервал вертикального для одинакового значения t!

Это выглядит парадоксально, ведь визуально все наоборот. Но вспомним, что интервал – это не длина траектории, а время, которое в движущейся системе отсчета (наклонный отрезок) течет медленнее, чем в покоящейся. Действительно (рис. 5.3), из преобразований Лоренца следует, что время t′2 движущихся часов меньше времени t_2 покоющихся. Ясно, что интервал наклонного отрезка станет еще меньше, если мы увеличим наклон. Если наклон сравняется с наклоном светового конуса, то интервал обратится в нуль.

В заключение перечислим основные понятия, определенные только что, и утверждения, важные для понимания свойств пространства Минковского:

• метрическое пространство – множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и введено правило определения расстояния между точками;

• мировая точка или событие – точка на диаграмме пространства Минковского (в 4-мерном пространстве-времени);

• мировая линия – совокупность мировых точек на диаграмме пространства Минковского, описывающая движение в зависимости от времени материальной массивной или безмассовой частицы;

• пространство Минковского – псевдоевклидово метрическое пространство, в котором связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, определяется интервалом, сохраняющимся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой;

• интервал времениподобный, если его квадрат положительный; в этом случае он эквивалентен промежутку собственного времени наблюдателя, следующего от одного события к другому прямолинейно и равномерно;

интервал светоподобный, если его квадрат равен нулю;

интервал пространственноподобный, если его квадрат отрицательный;

• световой конус в данной мировой точке – совокупность всех светоподобных прямых, проходящих через эту точку;

• причинно связанные события – события, которые могут быть соединены мировой линией, все касательные к таким линиям имеют наклон, не превышающий наклона светоподобных прямых;

• лоренцевы вращения – переход в пространстве Минковского из одной инерциальной системы отсчета в другую;

Теперь, используя представления о пространстве Минковского, продвинемся дальше.

Еще о свойствах СТО

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя. Знаменитая формула Эйнштейна. Вспомним обычные определения энергии и импульса из школьного курса, которые используются в нерелятивистской механике Ньютона. Энергия обычно разделяется на потенциальную и кинетическую. Потенциальная определяется высотой тела над поверхностью Земли. Ее исключим из рассмотрения, предполагая, что нет гравитационного поля Земли. Кинетическая энергия определяется массой и скоростью тела:

Импульс определяется простой формулой p = mv, m – инвариантная относительно преобразований инерциальная масса тела, масса покоя. Как изменятся эти величины при переходе к другой инерциальной системе? В рамках преобразований Галилея нужно лишь заменить скорость тела v на v′ = v + V, где V – скорость движения одной системы относительно другой.

В специальной теории относительности мы имеем дело с релятивистской механикой. В ее рамках энергия движущегося тела и его импульс выражаются формулами:

Как релятивистские энергия и импульс преобразуются при переходе от одной инерциальной системы к другой? Ответ простой: с помощью преобразований Лоренца. Релятивистские энергию и компоненты импульса (для сохранения размерности – ср) можно мыслить, как компоненты единого 4-х вектора в пространстве Минковского, который называют вектором энергии-импульса. Строим квадрат длины этого 4-мерного вектора точно так же, как был построен квадрат интервала между событиями. Как и интервал, эта величина инвариантна относительно поворотов Лоренца и всегда имеет значение:

E 2 – (сp) 2 = (mc 2) 2.

Знак минус и здесь отражает тот факт, что пространство Минковского – псевдоевклидово. Легко видеть, если частица покоится и p = 0, то ее полная энергия выражается знаменитой формулой: E = mc^2. Это согласуется с релятивистским выражением для энергии, если там положить v = 0, и приводит к выводу, что вся масса покоя тела может быть превращена в энергию, а энергия может обращаться в массу покоя.

Представим релятивистские энергию и импульс для малых скоростей v: они переходят в нерелятивистские E = mc^2 + Ek (где второе слагаемое – обычная кинетическая энергия, она определена выше) и p = mv. Как видим, здесь нерелятивистская энергия отличается от кинетической энергии Ньютона на величину, которую мы уже назвали энергией покоя. То есть в СТО у массивных частиц состояний с нулевой энергией не бывает.

Кроме этих выводов, сделаем еще один: в СТО естественным образом описываются частицы с нулевой массой покоя m = 0, такие как фотон, для них E^2 = (сp)2. Очевидно, что в пространстве Минковкого они распространяются со скоростью света. Действительно, длина 4-вектора энергии-импульса для них равна нулю, т. е. их мировые линии лежат на световом конусе.

«Утяжеление релятивистской массы». Иногда в литературе, особенно часто – в популярной, встречается понятие «релятивисткой массы». Откуда оно взялось? В выражениях для релятивистских энергии и импульса инвариантную массу покоя можно заменить выражением:

Эта величина и называется релятивистской массой. Тогда релятивистская энергия приобретает форму формулы Эйнштейна E = m′c^2, а релятивистский импульс форму обычного импульса p = m′v. Ясно, что с возрастанием скорости v, величина m′ увеличивается, а при v = c обращается в бесконечность. Возможно, это выглядит как яркий пример в популярной литературе. Но исследователи, как правило, этой величиной не оперируют, чтобы не создавать путаницы, ведь релятивистские энергия и импульс ведут себя точно так же. Действительно, они растут с увеличением скорости. Но для реальных тел ни энергия, ни импульс не могут достигать бесконечных значений. Это значит, что объекты с ненулевой массой покоя не могут достичь скорости света, а их траектория всегда находится внутри светового конуса. Куда удобнее использовать массу покоя, которая является инвариантной величиной.

Парадокс близнецов

– Это она стартовала двести восемнадцать лет тому назад, о ней уже все забыли, но благодаря эйнштейновскому сокращению времени, происходящему от движения на субсветовых скоростях, экипаж постарел всего на два года!

– Благодаря чему? Ах, Эйнштейн… Да-да, помню.

Аркадий Стругацкий, Борис Стругацкий «Понедельник начинается в субботу»

Представления о пространстве Минковского помогают разобраться и с так называемым парадоксом близнецов. Он связан с эффектом относительного замедления времени. Это мысленный эксперимент, в котором рассматривают двух близнецов, один из которых решил отправиться в космическое путешествие. В соответствии с релятивистским замедлением времени каждый из близнецов считает (и это подтверждается его наблюдениями), что часы другого близнеца идут медленнее, чем его собственные. Но тогда, когда путешественник вернется, окажется, что каждый из них должен обнаружить своего брата моложе, чем он сам! Это и есть парадокс. Так кто из них будет моложе при встрече после путешествия?

На самом деле парадокс сформулирован точно так же, как многие детские загадки, когда важные детали замалчиваются. Об их существовании нужно догадаться.

Парадокс был бы, действительно, парадоксом, если бы положение близнецов было симметричным. Но так ли это? Путешественник, прежде чем полететь к звездам, должен разогнаться до высоких скоростей, потом, где-то там далеко, развернуться, а вернувшись к Земле, замедлиться, чтобы встретиться со своим братом. Ничего этого не происходит с братом-домоседом. Как минимум, во время трех периодов своего путешествия космонавт будет испытывать ускорения. Поэтому, строго говоря, на пространственно-временной диаграмме мировая линия брата-путешественника будет кривая.

Рис. 5.5. Решение парадокса близнецов

Качественно проблему можно решить, представив мировую линию путешественника в виде ломаной, состоящей из двух отрезков, как показано на рис. 5.5, ускорения «скрыты» в изломах этой ломаной. Мировая линия брата-домоседа совпадает с осью времени. Сравним интервал отрезка прямой на оси времени между событиями a (расставания) и w (встречи) с суммой интервалов отрезков ломаной. Прежде всего, отметим, что наклонные отрезки ломаной линии времениподобные, поскольку описывают движение материального тела. Но тогда из наших рассуждений о сравнении интервалов на рис. 5.4 следует, что интервал каждого из наклонных отрезков меньше половины интервала отрезка aw, то есть интервал всей ломаной меньше, чем весь интервал aw. Но интервал отрезка мировой линии наблюдателя равен промежутку его собственного времени. Поэтому брат-путешественник при встрече будет моложе.

Тот же вывод можно сделать по-другому. Нанесем на наклонных мировых значения собственного времени путешественника и соединим их с точно такими же значениями для времени на мировой линии домоседа. Получим два набора параллельных линий, как на рис. 5.5, первый набор синхронизован на момент их разлуки и в будущее, второй набор синхронизован от момента встречи и в прошлое. Эти наборы параллельных линий всегда про-странственноподобны, они не имеют никакого отношения ни к световым конусам, ни к реальным наблюдателям. Очевидно, домосед проживет больше времени, см. рис 5.5. Отрезок на временной оси, не получивший своих точек-двойников на ломаной линии, определяет – насколько домосед будет старше путешественника при встрече.

Ситуация на рис. 5.5 несколько утрирована. Получается, что брат-путешественник стартовал с бесконечным ускорением, затем развернулся с бесконечным ускорением, и т. д. Реальная мировая линия брата-путешественника конечно плавная, соответствующая конечным ускорениям. Однако выводы не изменятся. Мы можем кривую аппроксимировать ломаной, причем с любой точностью. А анализ ломаной мировой линии, имеет она два отрезка, как на рис. 5.5, или любое другое количество отрезков, принципиально не отличается. Другими словами, парадокса не возникает, если не нарушаются правила вычисления интервалов. Тогда результат всегда таков: интервал отрезка aw на рис. 5.5 больше интервала, измеренного вдоль любой другой мировой линии, соединяющей события a и w. То есть собственное время домоседа всегда больше собственного времени любого путешественника из a в w.

Некоторые особенности ускоренных наблюдателей обсуждаются в Дополнении 6, которое лучше читать после главы 8 (о черных дырах).

Пуанкаре и Эйнштейн

В исторической литературе о науке много внимания уделяется взаимоотношениям создателей СТО в начале прошлого века. Иногда оценки разнятся чрезвычайно. К сожалению, часто доходят до крайностей, ничем не обоснованных. Можно было бы об этом просто не писать, но великие создатели великой теории тоже были людьми. Взаимоотношения были частью их жизни и, так или иначе, были связаны и с их творчеством.

Поскольку основными создателями СТО по праву считаются Пуанкаре и Эйнштейн, то на их взаимные отношения и отношение к ним научного сообщества обратим особое внимание. Весьма взвешанная оценка тех событий дана в послесловии (которое называется «Истоки релятивизма») в книге А. А. Тяпкина и А. С. Шабанова «Пуанкаре», вышедшей в 1979 году в серии «Жизнь замечательных людей». Поэтому, в основном, будем следовать изложению этого послесловия, иногда вставляя собственные комментарии. Но прежде, совсем немного об Анри Пуанкаре.

Математические таланты Пуанкаре проявились уже в престижной Политехнической школе. Там он опубликовал свою первую научную работу по дифференциальной геометрии. В 1875 году его приняли в еще более авторитетное заведение – Горную школу, где в 1879 году он защитил докторскую диссертацию, которая была оценена как «заслуживающая многих хороших диссертаций».

После этого Пуанкаре преподавал в нескольких университетах, иногда одновременно. Опубликовал несколько важных статей, фактически создавая новые разделы математики. Его исследования тесно связаны с небесной механикой и астрономией.

В 1887 году король Швеции Оскар II объявил математический конкурс и предложил участникам на выбор четыре темы. Самой сложной была первая: рассчитать совместное движение тел Солнечной системы. За нее и взялся Пуанкаре. Для решения этой проблемы, как минимум, необходимо было решить задачу совместного движения трех тел. Пуанкаре показал, что задача трех тел не имеет аналитического решения, но предложил эффективные методы приближенного решения. Эта работа и последовавшие за ней содержат идеи, ставшие базовыми для «теории хаоса».

Рис. 5.6. Анри Пуанкаре

Позднее Пуанкаре реализует замысел создания качественной геометрии, или топологии. С начала XX века он много занимается философией математики, ролью интуиции в науке. Однако основной сферой интересов в это время становятся физика.

О Пуанкаре как о человеке современники отзывались исключительно хорошо. Он никогда не участвовал в скандалах, всегда был доброжелательным. В научных спорах был тверд, но вежлив.

Теперь перейдем к событиям великой эпохи.

Начнем с того момента, когда преобразования Лоренца стали известны его современникам, пытающимся распутать клубок противоречий. Пуанкаре одним из первых понял, что необходима инвариантная относительно этих преобразований механика. И он впервые представляет уравнения классической механики в групповых переменных (инвариантной форме). Но в трудах ученых, развивавших это направление, не найдешь ссылок на новаторскую работу французского математика и механика. Возможно, она была слишком математезирована, возможно, его коллеги в то время «были не в теме» – статья была опубликована в 1901 году. Цитировать стали опубликованные только в 1904 году две статьи немецкого механика Георга Гамеля (1877–1954), в которых он тоже приходит к инвариантной записи уравнений движения.

В специальной теории относительности инвариантный подход получил дальнейшее развитие. И здесь первый шаг был сделан Пуанкаре, четко сформулировавшим требование инвариантности законов всей физики относительно преобразований Лоренца. Замечательный немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) писал впоследствии: «То, что современные физики называют теорией относительности, является теорией инвариантов четырехмерной области пространства-времени… относительно… «лоренцевой группы».

Рис. 5.7. Альберт Эйнштейн

Долгие годы инвариантное представление теории относительности целиком приписывалось Минковскому, развившему его несколько лет спустя. Но надо сказать, что в позднее время, когда требование инвариантности стало в физике нормой теоретического знания, ученые отдают должное Пуанкаре в становлении этого фундаментального подхода. Сейчас релятивистская инвариантность любой физической теории в плоском пространстве-времени формулируется как инвариантность относительно группы Пуанкаре. Введенные им преобразования более общие, чем преобразования Лоренца. К этому позднему признанию научная общественность пришла после длительного замалчивания вклада французского ученого в новую величайшую теорию физики.

Необходимо, конечно, отметить, что кроме отношений ученых между собой было противостояние научных школ, и это сказывалось с самого начала построения СТО. Тенденциозность представителей немецкой физической школы не исчезла после смерти Пуанкаре. В 1913 году в Германии вышел сборник работ классиков релятивизма под редакцией видного физика-теоретика Арнольда Зоммерфельда (1868–1951). В нем были опубликованы статьи Лоренца, Эйнштейна и Минковского. Работы Пуанкаре не были включены ни в это первое, ни в последующие издания сборника. Умалчивая о его достижениях, немецкие физики упорно представляли Эйнштейна единственным создателем теории относительности, Лоренца – его предшественником, а Минковского – последователем.

Французская школа физики оказалась слишком слабой и несамостоятельной, чтобы предпринять какие-либо серьезные шаги для защиты приоритета своего знаменитого соотечественника. Поль Ланжевен (1872–1946), наиболее авторитетный из французских физиков, не проявил настойчивости в своих попытках изменить уже сложившееся мнение. В своем докладе 1913 года, обсуждая различные аспекты новой теории, он неоднократно отмечает вклад Пуанкаре. В том же году Ланжевен публикует статью, посвященную достижениям Пуанкаре в физике, в которой подчеркивает, что французский ученый в то же самое время пришел к тем же самым результатам, что и Эйнштейн. Но в последующем Ланжевен уже не вспоминает об этом. Таким образом, даже во Франции Пуанкаре не снискал популярности как один из создателей теории относительности.

Было бы, наверное, правильно кому-то из виднейших ученых заявить о неоспоримости заслуг Пуанкаре в создании новой теории, и факты неминуемо привели бы научную общественность к необходимости дополнить родившуюся в Германии версию происшедшего в физике переворота. Это произошло, но далеко не в полной мере. В 1914 году крупнейший физик Лоренц выступил в журнале «Акта математика» с яркой статьей о двух работах Пуанкаре. Отмечая, что страницы его статьи «не могут дать хоть сколько-нибудь полного представления о том, чем теоретическая физика обязана Пуанкаре», Лоренц совершенно по-новому освещает значение работ французского ученого, подчеркивая его приоритет в развитии теории, построением которой занимался и он сам. «…Я должен, прежде всего, сказать, что меня весьма ободрил благосклонный интерес, который неизменно проявлял Пуанкаре к моим исследованиям, – пишет голландский физик. – Впрочем, вскоре будет видно, насколько он меня превзошел».

Говоря о преобразованиях, которым Пуанкаре дал его имя, Лоренц признается, что он «не извлек из этого преобразования все возможное… Это было сделано самим Пуанкаре, а затем Эйнштейном и Минковским». Далее Лоренц отмечает, что он не смог достигнуть полной инвариантности уравнений. «…Я не установил принципа относительности как строгую и универсальную истину. Напротив, Пуанкаре получил полную инвариантность уравнений электродинамики и сформулировал «постулат относительности» – термин, впервые введенный им… Добавим, что, исправляя, таким образом, недостатки моей работы, он никогда в них меня не упрекнул». В конце статьи Лоренц обращается к четырехмерному математическому представлению, введенному Пуанкаре в новую теорию. «Напоминаю об этих идеях Пуанкаре потому, что они близки к тем методам, которыми пользовались позже Минковский и другие ученые для облегчения математических действий, встречающихся в теории».

Какие причины того, что бесспорные достижения Пуанкаре в то время оставались в тени? Одна из них в том, что сформировавшееся мнение трудно разрушить. Поэтому предпринятые отдельными учеными попытки более полного и объективного описания истории рождения СТО наталкивались на сопротивление сторонников широко распространившегося уже мнения о том, что Эйнштейн является ее творцом. Именно поэтому без внимания остались цитированные выше высказывания Лоренца о решающем вкладе Пуанкаре в эту теорию. Кроме того, нужно не забывать о противостоянии научных школ, а вместе с тем, и о политическом противостоянии перед Первой мировой войной и во время нее. Пуанкаре был французом, а это враждебная Германии страна – ученые тоже люди и разные.

Возможно, некоторые оценки появлялись и без ведома ученых. Вернемся к оценкам Лоренца. В 1912 году он обсуждает свои собственные результаты 1904 года: «Можно заметить, что в этой статье мне не удалось в полной мере получить формулы преобразования теории относительности Эйнштейна… Заслуга Эйнштейна состоит в том, что он первый высказал принцип относительности в виде всеобщего, строгого и точно действующего закона». Неизвестно, откуда был взят издателями сборника этот текст, но в публикациях Лоренца таких утверждений не появлялось. Возможно, примечание было получено специально к данному сборнику или добавлено редактором (?).

Очень интересно и важно мнение молодого швейцарского физика Вольфганга Паули (1900–1958), будущего великого ученого. В 1921 году он написал для «Математической энциклопедии» обширную статью «Принцип относительности». Его краткий исторический обзор, изложенный всего на пяти страницах, в течение нескольких десятилетий является самым точным и непредвзятым освещением истории нового физического учения. В своей статье Паули ссылается на многие ранние исследования, способствовавшие возникновению этой теории. Для более подробного рассмотрения он выделяет три основные работы – Лоренца, Пуанкаре и Эйнштейна, «в которых были установлены положения и развиты соображения, образующие фундамент теории относительности». Затем Паули перечисляет все основные результаты, полученные впервые Пуанкаре. «В работе Пуанкаре были заполнены формальные пробелы, оставшиеся у Лоренца, – пишет он. – Принцип относительности был им высказан в качестве всеобщего и строгого положения». Что же касается работы Эйнштейна, то она была выделена, прежде всего, как «изложение совершенно нового и глубокого понимания всей проблемы». Далее шло подробное изложение этого понимания теории, в котором центральное место отводилось формулировке принципа относительности, распространенного на электромагнитные явления, и относительному характеру одновременности. Но Паули не знал, что именно эти важные для понимания вопросы были впервые рассмотрены в ранних работах Пуанкаре.

Написанное Паули историческое введение вносило существенное уточнение в картину создания теории относительности. Казалось бы, оно должно быть учтено во всех последующих изложениях и исторических изысканиях по этому вопросу. Но этого не случилось, несмотря на то, что в целом замечательная работа Паули заслужила признание как одно из лучших изложений теории относительности. При этом никто не опровергал и не оспаривал приводимые в ней исторические факты и выводы, к ним старались не привлекать внимания. Сам Эйнштейн с восторгом отзывался о книге Паули (а значит и соглашался с оценкой вклада Пуанкаре), но при этом ни разу явно не высказал своего отношения к оценке фундаментальной работы Пуанкаре.

Один из примеров спора в отношении приоритета связан со знаменитым соотношением между массой и энергией. Его обычно называют именем Эйнштейна. Однако еще в 1900 году Пуанкаре пришел к результатам, из которых это выражение непосредственно следовало для электромагнитного излучения. По-видимому, Эйнштейн, получивший эту связь в статье 1905 года также лишь для электромагнитного излучения, опирался на его идеи. И это подтверждается ссылкой на работу Пуанкаре в следующей статье Эйнштейна 1906 года – в ее вводной части Эйнштейн фактически признает приоритет Пуанкаре. Заслуга Эйнштейна заключается в том, что закон, полученный первоначально лишь для лучистой энергии, он обосновал для всех форм энергии, что, конечно, более важно. А это дает полное основание называть знаменитую формулу его именем. Однако многие авторы умалчивают (не знают?) о решающем значении предшествующих работ, безусловно оказавших влияние на молодого Эйнштейна Нет никакой необходимости принижать их роль.

Преемственность идей – общий закон развития научного познания. Достигнуть новых вершин можно лишь опираясь на результаты предыдущих исследователей. Конечно, воспринять и развить ранее высказанные новаторские идеи может только проницательный ум, обладающий большой смелостью суждений. И работы Эйнштейна сразу же выдвинули его на видное место среди знаменитостей того времени. Его понимание и изложение всей проблемы оказали огромное влияние на современников, способствовали признанию теории, которую не принимали или не понимали многие даже выдающиеся ученые. Однако для доказательства несомненных заслуг Эйнштейна не требуется преуменьшать значение других исследований по теории относительности.

Глава 6

Общая теория относительности

Каждый из магов имеет свой предел… [они] могут, скажем, останавливать время, но только в римановом пространстве и ненадолго.

Аркадий Стругацкий, Борис Стругацкий «Понедельник начинается в субботу»

Предпосылки построения ОТО

Наконец, переходим непосредственно к тяготению. Специальная теория относительности возникла в результате решения проблем, накопившихся в механике Ньютона. Иная ситуация сложилась к концу XIX века с нерелятивистской теорией гравитации. Ее авторитет, как незаменимого инструмента в небесной механике, не вызывал в то время никаких сомнений. Был известен только один случай, когда теория Ньютона давала неточный результат в расчете наблюдаемого эффекта. В 1859 году французский астроном Урбен Леверье (1811–1877) обнаружил, что поведение орбиты Меркурия не объясняется ньютоновским законом тяготения. Небесная механика того времени уже позволяла блестяще рассчитывать влияние соседних планет. Из-за их воздействия орбита Меркурия должна медленно вращаться вокруг Солнца, вследствие чего точка наименьшего удаления планеты от Солнца (перигелий) должна была смещаться на 532″ (угловых секунд) в столетие. Но как показал Леверье, перигелий Меркурия смещается за столетие на величину 575″, то есть большую ожидаемой на 43″. Казалось бы небольшое расхождение, но оно было замечено, поскольку значительно превосходило уровень погрешностей расчетов того времени. Сомнений в самой теории гравитации Ньютона не было. Поэтому возникло предположение, что это расхождение вызвано влиянием неизвестной планеты, расположенной ближе к Солнцу, чем Меркурий. Гипотетическую планету назвали Вулканом и долго пытались ее обнаружить.″

Релятивистская теория гравитации возникла не в результате необходимости объяснить непонятные явления или данные наблюдений. Скорее это результат бурного развития физики того времени, построения электродинамики и СТО. Они как бы «притащили» за собой и общую теорию относительности (ОТО). С построением СТО стало ясно, что релятивистский принцип относительности должен распространяться не только на электромагнитные явления и механику, но и на гравитационные явления. А гравитация Ньютона этому принципу не удовлетворяет, поскольку она представлена нерелятивистским скалярным полем (для теории Ньютона это будет пояснено позже), распространяющимся с бесконечной скоростью, что противоречит релятивистским воззрениям.

Здесь нужно немного отвлечься и пояснить некоторые термины и понятия, без которых дальше не обойтись – это скалярное и векторное поля. Скалярное поле – это функция (величина), заданная в каждой точке пространства. Например, распределение температуры в некотором теле – это скалярное поле, значение которого определено в каждой точке тела. Векторное поле в 3-мерном пространстве задано, если в каждой его точке определена стрелка. В координатном представлении стрелка определяется тремя величинами, заданными для каждой точки этого пространства. Эти три значения функции в каждой точке представляются компонентами вектора. Примером векторного поля может служить распределение скоростей жидкости или газа, или напряженностей электромагнитного поля, о котором мы сейчас говорили. Аналогично скалярные и векторные величины задаются в 4-мерном пространстве-времени. О более формальном определении скалярного, векторного, а также тензорного полей см. Дополнение 1.

Первые попытки построения релятивистской теории гравитации

Сделай первый шаг и ты поймешь, что не всё так страшно.

Сенека

Но вернемся в дорелятивистские времена XIX века, когда не было специальной теории относительности. Несомненно интерес к построению неньютоновских вариантов теории гравитации был вызван успехами электромагнетизма. Сам Максвелл, уже представивший миру уравнения электродинамики и воодушевленный этим успехом, в 1865 году опубликовал работу, где предположил, что гравитация может быть описана уравнениями, подобными уравнениям электромагнетизма. Однако его вариант теории приводил к отрицательной энергии статического гравитационного поля и отрицательному потоку гравитационной энергии. Это его остановило, и он не стал развивать теорию дальше.

Были и другие попытки. Но мы не ошибемся, если скажем, что первым ученым, представившим в 1893 году релятивистскую теорию гравитации, был английский математик и физик Оливер Хевисайд (1850–1925). Это теория векторного поля (похожая на электродинамику), инвариантная к преобразованиям Лоренца, хотя сами преобразования Лоренца еще не были построены. В своей исследовательской деятельности Хевисайд очень много внимания уделял электродинамике. Поэтому его интерес и усилия, направленные на построение аналогичной теории гравитации, вполне объяснимы. Он придал уравнениям Максвелла современный явно лоренц-инвариантный вид – это 4 векторных дифференциальных уравнения (до этого использовались 20 уравнений с 12 неизвестными). А поэтому, тот факт, что он представил лоренц-инвариантные гравитационные уравнения, также не очень удивителен.

Сразу после создания специальной теории относительности, в 1905 году, Пуанкаре представил свои уравнения векторной гравитации, сохраняющиеся при преобразованиях Лоренца и подобные уравнениям Максвелла. Как модель, Пуанкаре рассматривает параллельное движение двух тел, неподвижных друг относительно друга. На основе преобразований Лоренца Пуанкаре выводит ряд инвариантов, сохраняющихся при этих преобразованиях, а затем рассматривает их возможное значение. В теории Пуанкаре получается, что полная сила гравитации имеет два компонента. Один из них, обычный, связан с расстоянием до притягивающего тела, а второй компонент определяется скоростью этого тела и является аналогом магнитной силы в электродинамике. Без второго компонента гравитационной силы нарушилась бы лоренц-инвариантность и известный уже результат о замедлении времени в движущихся системах отсчета.

Позднее появились подобные работы Минковского и Лоренца и других авторов, целью которых было (как и в работе Пуанкаре) представить модифицированный закон Ньютона в лоренц-инвариантной форме. Это были теории векторного поля, распространяющегося в пространстве Минковского, речь об искривлении пространства-времени пока не шла вообще. Но векторные теории, включая и самую раннюю теорию Хевисайда, не могли объяснить сдвиг перигелия Меркурия, некоторые из теорий были внутренне противоречивы. Как и электродинамика, векторные теории предсказывают генерацию и распространение волн (гравитационных векторных), но в отличие от электродинамики эти волны должны переносить отрицательную энергию, что, конечно, недопустимо.

Действительно, простая модель двух связанных тел в пустом пространстве Минковкого, излучая гравитационные волны, будет наращивать полную энергию!? Фактически вечный двигатель!? Такая ситуация возникает из-за того, что тяготеющие заряды (массы) одного знака притягиваются, в отличие от зарядов в электродинамике. После появления ОТО и подтверждения нескольких ее эффектов интерес к векторным теориям пропал. Со временем их перестали активно обсуждать, энтузиазм разрешать их противоречия угас.

Среди релятивистских теорий гравитации, возникших до общей теории относительности, нельзя не упомянуть скалярную теорию Эйнштейна и голландского физика Адриана Фоккера (1887–1972), представленную в 1914 году. Эта теория обобщала аналогичные предшествующие теории. Новаторским было то, что она была первой теорией, инвариантной относительно произвольных преобразований координат и описывала искривленное пространство-время. Правда, она, как и другие релятивистские скалярные теории, не объясняла всех явлений, которые объясняет ОТО.

Принципы построения ОТО

Не природа …сообразуется с принципами, а наоборот, принципы верны лишь постольку, поскольку они соответствуют природе…

Фридрих Энгельс «Диалектика природы»

Пришло время начать рассказ собственно об общей теории относительности, о принципах ее построения. Сначала вспомним факт равенства инертной и тяготеющей масс, установленный еще Галилеем, затем подтвержденный Ньютоном и другими учеными, который мы уже подробно обсудили в главе 2. Сейчас это равенство проверено с относительной точностью 10–12–10–13. Этот опытный факт Эйнштейн положил в основу общей теории относительности в качестве одного из ключевых принципов. Обычно его называют слабым принципом эквивалентности. Что из него следует?

Если гравитационная масса точно равна инертной, то они могут быть заменены одна на другую как во втором законе Ньютона, так и в законе всемирного тяготения. Из этого следует, что ускорение тела, на которое действуют лишь гравитационные силы, не зависит от массы (или каких-то других свойств этого тела)! А значит и траектория тела не зависит от его массы. Но тогда, если все тела в одной и той же точке пространства получают одинаковое ускорение, то это ускорение нужно связать не со свойствами тел, а со свойствами самого пространства в этой точке. Поскольку в общем случае траектории тел, движущихся в гравитационном поле других тел, искривлены, то логично предположить, что пространство, в котором есть гравитационное взаимодействие, также искривлено. Далее, СТО убедительно показала, что пространство и время являются единой физической реальностью. Поэтому описание гравитационного взаимодействия между телами нужно сводить к описанию искривленного пространства-времени (рис. 6.1).

Но каково свободное движение тела, если пространство-время искривлено? Здесь разумно снова вернуться к СТО и первому закону Ньютона. В инерциальной системе отсчета такие тела движутся прямолинейно и равномерно. В искривленном пространстве аналогом прямых линий являются геодезические.

Рис. 6.1. Движение искривленном пространстве

Их теория подробно разработана математиками XIX века. Основной вклад внес немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866). В искривленном пространстве нет параллельных линий в понимании Евклида, сумма углов треугольника не равна 180°. Для примера рассмотрим поверхность Земли – это сфера, которая является 2-мерным пространством положительной кривизны. Что такое геодезическая на поверхности Земли? Это не прямая линия на карте, а дуга большого круга, который проходит через центр Земли (рис. 6.2). Именно с помощью такой дуги определяется кратчайшее расстояние между двумя точками на Земле. Сумма углов треугольника на поверхности Земли оказывается больше 180°.

Рис. 6.2. Линии кратчайшего расстояния на сфере

Снова вспомним, что в релятивистской теории пространство и время не рассматриваются (не существуют) раздельно. Поэтому разумно рассматривать не траектории тел, а их мировые линии на пространственно-временной диаграмме. Инерциальному движению в плоском пространстве-времени соответствуют мировые линии, которые тоже прямые. А каковы мировые линии в искривленном пространстве-времени? Опираясь на слабый принцип эквивалентности, Эйнштейн предложил принцип движения по геодезическим. Он звучит в одном из определений так: если нет других воздействий, кроме гравитационного, то тело движется свободно, по инерции, его мировая линия в пространстве-времени является геодезической. Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются линиями наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, жестко связанными с телом. Вспомним, что при обсуждении «парадокса близнецов» мы уже установили, что максимальное собственное время, требуемое для перемещения в плоском пространстве из одной мировой точки в другую, соответствует движению по прямой. Современные эксперименты подтверждают движение тел по геодезическим линиям с такой же точностью, как и равенство гравитационной и инертной масс. Отметим, что часто слабый принцип эквивалентности и принцип движения по геодезическим не разделяют.

Обсудим слабый принцип эквивалентности. Свободное движение какого-либо тела по инерции в поле тяготения является обобщением свободного движения в инерциальной системе отсчета в пространстве Минковского. Для такого движения взаимные ускорения всех свободных тел в ближайшей окрестности равны нулю. То есть собственная система отсчета исходного тела локально является инерциальной.

Приведем пример, несколько избитый, но наглядный. Представим закрытую со всех сторон кабину лифта. Если удерживающий ее трос вдруг оборвется, то кабина вместе со всем содержимым начнет свободно падать под действием силы тяжести, все тела в ней будут ускоряться совершенно одинаково. Наблюдатель, находящийся внутри такой кабины, не почувствует веса своего тела, а окружающие его предметы будут свободно «парить» в воздухе или двигаться прямолинейно и равномерно, не испытывая ускорений. Для стороннего взгляда все тела внутри кабины ускоряются точно так же, как и она сама (именно этот факт доказал Галилей). И поэтому всё в лифте для внутреннего наблюдателя окажется невесомым. Какие бы опыты он не проводил внутри кабины, он не сможет с их помощью установить, падает ли лифт на Землю или свободно парит в космическом пространстве.

Итак, внутри лифта (в небольшом объеме) наблюдатель ощущает себя вполне в пространстве Минковского и локально может использовать координаты Лоренца. Его мировая линия в этих координатах – это вертикальная линия вдоль оси ct. Следовательно, ускорение для наблюдателя в лифте отсутствует, а значит, отсутствует и «гравитационная сила». Но во внешней для лифта системе отсчета эта же мировая линия (геодезическая) будет выглядеть как кривая.

Пусть пространство искривлено, как это определить? Если запустить из двух близких точек два тела параллельно друг другу, то, двигаясь по геодезическим, они начнут либо сближаться, либо удаляться друг от друга. Этот эффект называется девиацией геодезических. Как это осознать? Если два путешественника начнут перемещаться по двум близким меридианам, начиная от экватора, то они будут сближаться и встретятся на полюсе. Это как раз говорит о том, что поверхность Земли, имея форму сферы, искривлена. Если бы радиус Земли увеличился, то кривизна уменьшилась бы, ведь поверхность Земли стала бы площе. Аналогично, в пространстве-времени девиация геодезических определяет его кривизну.

Математически кривизна определяется так называемым тензором кривизны Римана, величиной, которую нельзя обратить в нуль никакими преобразованиями координат, если пространство-время искривлено. Это понятие исключительно геометрическое. Пространство-время становится искривленным всегда, когда содержит материю в том или ином состоянии, так или иначе расположенную и движущуюся тем или иным образом. Однако оно может быть искривлено и в отсутствии материи! Для плоского пространства-времени тензор кривизны равен нулю.

Необходимо обсудить еще один принцип, который чаще называют сильным принципом эквивалентности. Существуют разные его формулировки, приведем нечто усредненное.

Малая по размерам локальная система отсчета, находящаяся в гравитационном поле, неотличима от такой же системы, но ускоренной относительно инерциальной системы отсчета, связанной с пространством Минковского.

Обычно этот принцип иллюстрируют следующим образом. Находясь в кабине, стоящей на поверхности Земли, наблюдатель ощущает свой обычный вес и замечает, что все предметы совершенно одинаково ускоряются по направлению к полу. Если же кабина, снабженная реактивным двигателем, вместе с наблюдателем переместится в космическое пространство, где будет двигаться с ускорением, в точности равным гравитационному ускорению у поверхности Земли, то наблюдатель снова обнаружит, что все свободные предметы падают на пол с тем же самым ускорением и опять почувствует свой нормальный вес. В такой закрытой кабине невозможны никакие эксперименты, которые позволили бы наблюдателю отличить явления, связанные с тяготением, от явлений, характерных для ускоренного движения.

Часто считают, что этот принцип тоже лежит в основе общей теории относительности. Однако это не так однозначно. Даже сейчас, почти через 100 лет после создания ОТО, в профессиональной литературе время от времени выходят статьи с обсуждением роли этого принципа. Даже его название является предметом дискуссии.

Приведем один из аргументов, который вносит некое сомнение в само представление об эквивалентности в этом случае. Основным отличием пространства-времени ОТО от пространства-времени СТО является его кривизна, которая (как было сказано) определяется тензором кривизны. В пространстве-времени СТО этот тензор тождественно равен нулю, поэтому пространство Минковского называют плоским. Если применить сильный принцип эквивалентности (а понятию «эквивалентность» придать абсолютный смысл) для описания движения в ускоренной системе в пространстве Минковского, то нужно будет сказать, что от плоского пространства-времени мы перешли к искривленному пространству-времени ОТО. Но это невозможно, поскольку невозможно воссоздать из нулевой кривизны ненулевую лишь переходом между системами отсчета. «Малые размеры системы отсчета» в определении принципа не могут быть оправданием, поскольку кривизна – понятие локальное, она определяется в каждой точке.

Хотя в окончательную форму теории Эйнштейна сильный принцип эквивалентности не вошел, исторически он сыграл большую роль в становлении ОТО. Эйнштейн при разработке теории активно его использовал. Также, если в принципиальном плане нельзя из плоского мира сделать искривленный просто переходом в другую систему отсчета, то многие эффекты теории Эйнштейна действительно имеют место в ускоренных системах отсчета.

В качестве принципов построения теории, конечно, необходимы принципы соответствия. В чем они должны состоять? В случае слабых гравитационных полей (малой кривизны пространства-времени) и малых (по сравнению со световой) скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона (их полевую форму мы обсудим несколько ниже). То есть предсказания общей теории относительности должны совпасть с результатами применения закона всемирного тяготения Ньютона с небольшими поправками, которые становятся значительными по мере увеличения напряженности поля и увеличения скоростей. В случае отсутствия гравитации (нулевая кривизна) уравнения новой теории тяготения должны перейти в уравнения СТО.

Наконец, иногда в качестве принципов, на основе которых была построена ОТО, упоминают ковариантность – требование, чтобы уравнения теории имели один и тот же вид во всех координатных системах. Это требование в определенном смысле является обобщением лоренц-инвариантности в СТО.

Построение ОТО

Что может сравниться по красоте с… неизменным правилом закономерности, которое управляет самыми, казалось бы, беспорядочными и сложными из ее [природы] проявлений?

Сэмуэль Майкельсон (отец Альберта Майкельсона)

Фактически все принципиальные предпосылки и необходимые требования для формулировки уравнений гравитационного поля в ОТО мы обсудили. Было осознано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространства-времени, а искривляется пространство-время под воздействием материи. Оказалось также, что и тела, и материя в целом, воздействуют на пространство-время не только своей массой (или, эквивалентно, энергией), но и состоянием движения, напряжениями внутри тел, взаимодействием между разными видами материи. Больше деталей о материальных источниках можно найти в Дополнении 2. С другой стороны, искривляя пространство-время, материя движется (взаимодействует) уже в пространстве-времени искривленном самой собой. То есть пространство-время в общем случае не является безучастной ареной, на которой кипят страсти физических взаимодействий, а само становится динамическим объектом и во всем участвует. Уравнения Эйнштейна как раз устанавливают правила воздействия материи на пространство-время и наоборот.

Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании аргументов изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецким математиком Давидом Гильбертом (1862–1943). Научные интересы Гильберта во многом были связаны с математической физикой. С большим интересом он следил за попытками Эйнштейна создать общую теорию относительности, основанными на логике анализа физических явлений. Это вдохновило его на поиски строгого математического подхода к построению уравнений, которые и были выведены из, так называемого, принципа наименьшего действия. В общем, Гильберт имел планы «заковать физику» в рамки аксиоматического подхода. Но несмотря на впечатляющие результаты в построении уравнений гравитации, этот глобальный замысел Гильберта не удался. До сих пор ведутся споры о приоритете, однако мы считаем, что одни исследования дополняют другие. Если можно так сказать, то Эйнштейн проник в самую глубину физических явлений, а Гильберт дал аппарат, позволяющий исследовать их более эффективно.

Логика построения уравнений Эйнштейна и их конкретный формальный вид даны в Дополнении 3, а здесь мы разъясним основные понятия ОТО, к которым будем часто обращаться в основном тексте. Вернемся к понятию интервала, который был введен для пространства Минковского. В отличие от плоского пространства, в искривленном пространстве-времени расстояние между двумя мировыми точками в общем случае невозможно определить как конечную длину отрезка прямой. Необходимо перейти к измерениям в малой окрестности мировой точки (к бесконечно малым величинам). Тогда квадрат интервала пространства Минковского между двумя бесконечно близкими точками перепишется как квадрат элемента интервала (уже бесконечно малой величины) в виде:

ds^2 = c^2dt^2 – dx^2 – dy^2 – dz^2.

Элемент пространства Минковского имеет такой простой вид еще и потому, что здесь используются координаты Лоренца, то есть декартовы координаты в совокупности с временной координатой. Этот же квадрат элемента интервала (часто его все равно называют «интервал») может быть записан в более формальном виде:

ds^2 = ηabdxadxb.

Здесь a, b = 0, 1, 2, 3; а нулевой координате обычно приписывают смысл временной, умноженной на скорость света: x^0 = ct. Величина ηab является диагональной (отличны от нуля только элементы на диагонали) матрицей 4 × 4,

и называется метрикой Минковского. Формальная запись интервала перейдет в уже привычную, если использовать простое правило суммирования по повторяющимся индексам, например: mana = m_0n^0 + m_1n^1 + m_2n^2 + m_3n^3. Метрика ηab задает способ измерения расстояний в пространстве Минковского в лоренцевых координатах.

Давайте «искривим» координаты (сделаем их произвольное преобразование), тогда интервал примет вид:

ds^2 = gabdxadxb.

Величина gab также называется метрикой и фактически задает способ измерения расстояний в пространстве Минковского, но в тех координатах, в которых она определена.

Важно отметить, что элемент ds, так же как и сам интервал, инвариантная величина, то есть его значение остается тем же в любых координатах. Метрика gab – это тоже матрица 4 × 4, но теперь в общем случае она уже не диагональна, ее компоненты g_00, g_01, g_11, g_12 … могут быть какими-либо функциями времени и пространственных координат, см. Дополнение 1.

В искривленном пространстве-времени способ измерения расстояний между мировыми точками такой же, как в плоском в криволинейных координатах – с помощью элемента интервала. Разница в том, что для пространства Минковского возможен переход от gab к простому диагональному виду ηab во всем пространстве-времени, а для искривленного – нет. Однако в малой окрестности отдельного свободно падающего наблюдателя такой переход возможен. Ведь согласно слабому принципу эквивалентности он ощущает себя в инерциальной системе отсчета! Искривление не позволяет связывать мировые точки прямыми, поэтому мировые линии (геодезические или нет), соединяющие события, будут в общем случае кривыми. Их длина вычисляется с помощью бесконечно малых элементов интервала и последующего интегрирования.

Как элемент интервала, так и длина мировых линий (их полный интервал), также являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат.

Пространственно-временные измерения и фиксация метрических свойств осуществляются также с помощью света. Скорость света не зависит от скорости излучателей, а для каждого локального наблюдателя, измеренная в его собственной системе отсчета, имеет одно и то же стандартное значение c. При измерениях самым важным является то, что для света элемент интервала ds в силу инвариантности всегда равен нулю.

Если в наше время спросить даже не самого сведущего, но все-таки образованного, человека: уравнения Эйнштейна – это уравнения чего? С большой вероятностью получишь ответ, что это уравнения гравитационного поля. А что такое гравитационное поле мы фактически только что рассказали – это поле метрики gab, или метрического тензора.

Именно это поле дает возможность построить величины, определяющие искривление пространства-времени. Тензорное поле определяется аналогично тому, как определяются скалярное и векторное поля. Задать поле метрического тензора означает, что в каждой мировой точке пространства-времени нужно задать набор функций, каждая из которых соответствует одной из компонент матрицы, представляющей этот тензор.

Решить уравнения Эйнштейна – это значит найти коэффициенты gab. Но гравитационные уравнения должны решаться вместе с уравнениями для материи, состояние и движение которой также должны стать известными, как результат найденного решения. Также часто решают гравитационные уравнения в вакууме, то есть для областей пространства-времени, где нет материи. Тогда задачей является определить только метрику gab, анализ которой даст всю информацию об искривлении пространства-времени, его геодезических и т. д. Решение уравнений ОТО с бо́льшими деталями обсуждается в Дополнении 4.

После того как решение уравнений ОТО найдено, необходимо обратиться к принципам соответствия, которые были определены в конце предыдущего параграфа. Первый из них касается соответствия теории гравитации Ньютона. Принцип звучит четко и довольно жестко. Но так и должно быть, если мы не хотим ошибиться в интерпретации решений новой теории. Теория Ньютона в данном случае играет роль критерия.

Уже сейчас очень полезно для последующего изложения записать простые формулы этого соответствия. Мы уже говорили, что гравитация Ньютона представлена скалярным полем (потенциалом) φ. Для точечной массы M (или сферически распределенного вещества) скалярное поле вне вещества определяется как φ= – GM/r, где r – расстояние до центра тела. Тогда сила, действующая на тело массы m в этом потенциальном поле, определяется стандартной формулой закона всемирного тяготения:

Движение тел в таком поле хорошо изучено. Как найти соответствие с движением тел в ОТО? Для этого нужно найти пространство-время, геодезические которого, в приближении малых скоростей и слабого поля φ, соответствуют движению тел в теории Ньютона. Такое пространство-время легко находится, его метрика в обсуждаемом приближении имеет в сферических координатах простую форму:

В силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. Эту метрику иногда называют метрикой «пространства-времени Ньютона». Здесь g_00 = 1 + 2j/c^2 = 1–2GM/rc^2. Если нет тяготеющего центра, т. е. масса M = 0, то поле φ исчезает и метрика обращается в метрику пространства Минковского.

Этим мы отметили соответствие для движения тел в теории Ньютона и ОТО. Но также необходимо показать, что для слабых гравитационных полей и малых скоростей уравнения релятивистской теории гравитации должны перейти в уравнения гравитации Ньютона. Но что такое уравнения тяготения Ньютона? Очевидно, что это должны быть уравнения для поля φ. Здесь приходится идти обратным путем. Мы знаем, какое поле создается каждой отдельной частицей. Если у нас имеется произвольное распределение плотности вещества ρ в пространстве, то для каждой точки нужно выписать соответствующее значение φ. А общее поле Φ в каждой точке пространства просто сложится из всех отдельных φ. Тогда получится, что поле Φ в каждой точке удовлетворяет уравнению:

Оказывается, что при всех ограничениях соответствия уравнения ОТО, действительно, сводятся к этому единственному уравнению.

Но на проблему связи между теориями можно посмотреть и с другой позиции. Сила Ньютона – это обычная сила, которая растягивает пружину динамометра, давит на поверхность Земли, держит, как на «цепочках» (или «резинках»), планеты в Солнечной системе. В ОТО ситуация другая. Представим, что нас одарили «божественной» способностью воспринимать искривленное пространство-время. При этом мы в состоянии фантастически осознать, где там проходят геодезические (по аналогии с тем, что нашего реального восприятия достаточно, чтобы оценить, что шайба, брошенная по гладкой поверхности катка, движется равномерно и прямолинейно). Тогда для нас понятие гравитационной силы исчезло бы вообще. Все заменилось бы геометрией. Вместо воображаемых «цепочек», на которых Солнце «тащит» планеты, мы увидели бы нечто, похожее на воронку, в которой планеты свободно (по инерции) обращаются вокруг Солнца (рис. 6.3). Если какой-нибудь планете придать достаточно большую скорость, то она «выскочит» из воронки (а на языке гравитации Ньютона – преодолеет солнечное притяжение) и улетит в космос. Проявление же силы тяготения в быту мы интерпретировали бы как препятствие движению по геодезическим. Так, и пружина динамометра, и поверхность Земли, препятствуют такому движению.

Теперь мы можем также пояснить фразу, прозвучавшую значительно ранее: «общая теория относительности не опровергла теорию Ньютона, а дополнила ее для описания режимов (систем), которые во времена Ньютона и вообразить-то было невозможно». Как и самые ранние представления о тяготении, так и теория Ньютона – это все-таки попытки описать известные проявления гравитационного взаимодействия. Да, теория Ньютона позволила открыть новые планеты. Но это результат приложения все того же закона всемирного тяготения, который фактически интерпретируется как известное решение уравнений Ньютона. Уравнения ОТО поставили исследователей совершенно в другую ситуацию. Внешне простые, они оказались весьма сложными для поиска решений, которых оказалось великое множество. Часто не менее сложной оказалась интерпретация новых решений: если одни из решений были некими обобщениями гравитирующих моделей теории Ньютона, то другие «и вообразить-то было невозможно». К последним, например, можно отнести решения для черных дыр, присутствие которых во Вселенной уже доказано. Но об этом немного позже.

Рис. 6.3. Движение планеты

Принцип соответствия специальной теории относительности связан с уравнениями для материи. При «отключении кривизны» эти уравнения, построенные в искривленном пространстве-времени, должны перейти в уравнения в плоском пространстве Минковского. Мы это не конкретизируем, но приведем простой пример. Если в одном из решений в искривленном пространстве-времени частица движется по кривой геодезической, то при «отключении» кривизны (гравитации) движение частицы переходит в движение по прямой – это очевидно.

Об Эйнштейне

О жизни Альберта Эйнштейна написано очень много. Мы ограничимся лишь некоторыми эпизодами и случаями из его жизни.

Интересной является история присуждения Нобелевской премии. Здесь нужно напомнить о работах Эйнштейна, которые были опубликованы в 1905 году.

«К электродинамике движущихся тел» – статья, которая вместе с работами Пуанкаре, стала основой СТО.

«Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света» – статья, объяснявшая явление фотоэффекта и ставшая фундаментом квантовой теории. Именно за этот результат была присуждена Нобелевская премия за 1921 год.

«О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты» – работа по броуновскому движению, существенно продвинувшая статистическую физику.

Эти работы не только показали его силу теоретика, но и изменили лицо всей физики. А уже в 1915 году Эйнштейну удалось завершить построение ОТО. Основания для номинации на Нобелевскую премию были весомые. Однако, несмотря на очевидную значимость достижений, Эйнштейн не очень подходил для кандидата. Поскольку он был теоретиком, то зримая польза от полученных результатов была неочевидной. Мало того, его гражданская позиция пацифиста с левым уклоном была не в его пользу. Не последнюю роль играли и еврейские корни… И, наконец, только очень узкому кругу ученых достижения Эйнштейна были понятны, они в то время были совсем «непубличными».

Но в ноябре 1919 года результаты наблюдений солнечного затмения подтвердили предсказания ОТО. Вся мировая пресса взорвалась сенсационными сообщениями. Эйнштейн стал знаменитостью. Его приглашали с лекциями в университеты всего мира, от США до Японии. Тем не менее, на Нобелевский комитет это действовало мало, и премию за 1920 год ему не присудили.

Как сейчас известно, основным противником присуждения премии Эйнштейну был влиятельный член Нобелевского комитета, офтальмолог Альвар Гульстранд (1862–1930). Он был талантливым физиком-самоучкой, занимался преломлением света в сложных оптических системах, включая глаз, и получил Нобелевскую премию за 1911 год по физиологии и медицине. С 1911 по 1929 годы он был членом Нобелевского комитета по физике (с 1922 – председателем). Как знаток классической геометрической оптики, Гульстранд имел свое мнение по поводу как СТО, так и ОТО, и изо всех сил противился: «Эйнштейн не должен получить Нобелевскую премию, даже если этого требует весь мир!»

Возможно, Эйнштейн и не получил бы премию, если бы не другой шведский физик – Карл Вильгельм Озеен (1879–1944). Он сам был специалистом в очень узкой области, но как профессор одного из университетов Швеции мог принять участие в номинации кандидатов. Озеен собирался номинировать на премию Нильса Бора (1885–1962), но тот также был теоретиком и имел мало шансов в Нобелевском комитете. Однако при объединении эйнштейновского объяснения фотоэффекта и боровской модели атома водорода получался результат, противопоставить которому было нечего. Это была теория о строении вещества, прочно стоящая на экспериментальном фундаменте.

10 ноября 1922 года было объявлено, что премия за 1921 год присуждается Эйнштейну «за его заслуги в области теоретической физики, и в особенности, за объяснение фотоэлектрического эффекта». В отдельном письме от Шведской Академии наук были слова: «…не учитывая при этом Ваши работы по теории относительности и теории гравитации, которые будут оценены после их подтверждения в будущем». Одновременно (!) премия за 1922 год была присуждена Нильсу Бору «за его заслуги в исследовании строения атомов и излучения, испускаемого ими». Эйнштейн не присутствовал на церемонии вручения – он направлялся в Японию читать лекции о теории относительности. Его нобелевская лекция, которую зачитал представитель Германии, тоже была о теории относительности.

Закончим рассказ несколькими штрихами. В домашнем кабинете Эйнштейна стоял небольшой телескоп. Когда его спрашивали: зачем? Он обычно отвечал:

Нет, это не для звезд. Телескоп принадлежал бакалейщику, ранее жившему здесь. Приятная вещь. Я его берегу как игрушку.

Всем известна фотография «с языком», сделанная 14 марта 1951 года в 72-й день рождения Эйнштейна. После празднования в Принстонском университете вместе с друзьями супругами Эйделот он сел в автомобиль. Машину окружили репортеры и просили Эйнштейна улыбнуться. Но вместо этого он, очень уставший, высунул язык. Впоследствии эта фотография понравилась и самому Эйнштейну.

Альберт Эйнштейн брал 1 доллар за простой автограф и 5 – за подпись на памятной вещи. Он был звездой своего времени, в этом не приходится сомневаться, и иногда зарабатывал до 1000 долларов за день. Все эти деньги шли на благотворительность.

Всю жизнь Эйнштейн выступал как активный противник насилия, противник войн. Его образ в конце жизни похож на образ мудреца, познавшего мир, и почти святого. В определенном смысле это так и было. Однако его близким было не совсем легко с ним. Вот как он сам определяет свое место в мире и обществе:

Я никогда по-настоящему не принадлежал ни к какой общности, будь то страна, государство, круг моих друзей и даже моя семья. Я всегда воспринимал эти связи как нечто не вполне мое, как постороннее, и мое желание уйти в себя с возрастом все усиливается. В такой самоизоляции есть привкус горечи, но я не жалею о том, что лишен понимания и сочувствия со стороны других людей. Конечно, из-за этого я что-то теряю, но обретаю куда больше, а именно: независимость от общепринятых привычек, мнений и предрассудков. Я свободен от соблазна воздвигнуть здание своего душевного спокойствия на столь шатком фундаменте.

Альберт Эйнштейн умер в Принстоне 18 апреля 1955 года от аневризмы. Он отказался от операции, не желая менять естественный ход вещей.

Глава 7

Наблюдательные подтверждения ОТО

Эксперимент – истинный посредник между человеком и природой.

Леонардо да Винчи

Решение Шварцшильда

Для того чтобы обсудить многие эффекты ОТО, необходимо познакомиться с одним из самых важных решений (а возможно, и самым важным) уравнений ОТО – решением немецкого астронома Карла Шварцшильда (1873–1916). Оно получено в 1916 году, всего лишь через несколько месяцев после публикации Эйнштейном своих уравнений гравитационного поля. Это решение соответствует статическому сферически симметричному вакуумному пространству-времени. (О вакуумных решениях уравнений Эйнштейна см. Дополнение 4.) Слова, выделенные курсивом – это условия (ограничения), при которых искалось решение. Эти же условия определяют, чему в реальности должно соответствовать найденное решение – это пространство-время вокруг изолированного сферически симметричного тела. «Изолированного» – это в идеале, а в реальности – вокруг тела, достаточно удаленного от всех остальных тел. Таким образом, в очень хорошем приближении это решение описывает и гравитационное поле вокруг Солнца и каждой из планет Солнечной системы, шаровых звездных скоплений. Поэтому с использованием именно этого решения были проверены первые эффекты ОТО.

Решение Шварцшильда в математическом плане простое, поэтому мы немного с ним повозимся. Собственно, решением уравнений явилась метрика:

Здесь также в силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. C – постоянная интегрирования, без дополнительных предположений или принципов ее определить невозможно. Здесь самое время обратиться к принципу соответствия. При «бесконечном» удалении от центра r → ∞ эта метрика обращается в метрику пространства Минковского в сферических координатах, точно так же, как и метрика пространства-времени Ньютона, которую мы уже обсуждали. Значит, на достаточном удалении нам необходимо сравнить новую метрику с метрикой пространства-времени Ньютона, обсуждавшейся в предыдущей главе. При аккуратной процедуре приближения оказывается, что здесь основное возмущение в метрику плоского мира вносится только первым слагаемым в выражении для интервала. Нужно сравнить его с аналогичным членом в метрике Ньютона. Это нам даст C = –2GM/c^2, после чего метрика Шварцшильда запишется в окончательном виде:

где величина rg = 2GM/c^2 называется гравитационным радиусом. Мы так подробно обсуждаем решение Шварцшильда потому, что это еще и базовое решения для черных дыр, речь о которых впереди. Также потом мы обсудим смысл гравитационного радиуса. А сейчас важно отметить, что появился параметр, определяющий решение, – это масса тела M, обращение в нуль этого параметра превращает решение Шварцшильда в метрику плоского мира.

Классические тесты теории Эйнштейна

Радостные новости сегодня! Лоренц телеграфировал мне, что английская экспедиция доказала отклонение лучей света вблизи Солнца.

Альберт Эйнштейн в письме матери

Теперь мы во всеоружии, чтобы перейти к классическим тестам, подтвердившим ОТО. Уже в 1915 году, сразу после опубликования своих уравнений, Эйнштейн назвал три эксперимента, результаты которых должны соответствовать выводам новой теории.

Первый из этих экспериментов – отклонение луча света в гравитационном поле массивного тела. Из-за слабости эффекта в роли массивного тела в то время могло выступить только Солнце. А отклонять оно может свет далекой звезды, координаты которой известны достаточно точно.

Второй эксперимент – смещение перигелиев планет. Мы уже говорили об аномальном смещении перигелия Меркурия, о котором было известно с середины XIX века.

Третий эксперимент – эффект гравитационного красного смещения. Его суть в том, что электромагнитное излучение, испущенное из окрестности гравитируещего тела, должно терять энергию. Это выражается в том, что частота сигнала уменьшается, то есть его спектр смещается в красную сторону. Для точного теоретического описания этих эффектов как раз было необходимо решение Шварцшильда, которое не замедлило появиться, как мы уже отметили и только что представили.

Отклонение луча звезды в гравитационном поле Солнца. Начнем с отклонения света и истории обсуждения проблемы, начавшейся задолго до релятивистской эпохи. Известно, что отклонение лучей света от прямой линии обсуждалось после создания Ньютоном классической механики, и как части ее – оптики. Сам Ньютон был убежденным сторонником корпускулярной теории света. А раз так, то «световые частицы» должны двигаться в поле тяготеющего центра точно так же, как и всякие другие тела – по линиям конического сечения. Поскольку скорость света Ньютону уже была известна (она очень большая по сравнению со скоростью планет), то траектории «световых частиц» должны быть скорее гиперболическими. Ньютону было известно, конечно, как вычислять угол между асимптотами, см. рис 7.1. Поэтому очень вероятно, что Ньютону была известна формула типа α = 2GM/c^2R. Она как раз определяет угол отклонения в поле тела массы M частицы, движущейся со скоростью света на расстоянии R от тела. Скорее всего ему была известна также величина отклонения луча света вблизи поверхности Солнца, поскольку все необходимые значения констант ко времени опубликования «Начал» были известны. Однако часто Ньютон не публиковал результаты, а форма представления их была очень сложной. Поэтому не известно наверняка, что Ньютон эту формулу выписывал. Кроме того, по тем временам не представлялось возможным измерить это отклонение света в поле Солнца, что могло поубавить заинтересованность в проблеме.

Рис. 7.1. Отклонение луча звезды в гравитационном поле Солнца

Хотя приведенная формула не была опубликована, она фигурировала в переписке нескольких ученых. Наконец, в 1801 году немецкий астроном Иоганн Георг фон Зольднер (1776–1833) представил в Берлинский астрономический ежегодник статью об отклонении луча света в гравитационном поле звезды, которая была опубликована в 1804 году и содержала эту замечательную формулу. Однако даже после публикации, она осталась на долгое время забытой.

О формуле Зольднера вспомнили в 1911 году, когда Эйнштейн в рамках специальной теории относительности получил точно такую же. К началу XX века телескопы уже давали возможность измерить угол отклонения луча света вблизи Солнца. Однако для такого измерения было необходимо затмение Солнца Луной, чтобы были видны звезды вблизи его края. Группа астрономов из Берлинской обсерватории заинтересовалась предсказаниями Эйнштейна и собралась провести измерения во время предстоящего полного солнечного затмения в Крыму в августе 1914 года, но началась Первая мировая война. А теория тем временем развивалась. В 1915 году на основе уже общей теории относительности, Эйнштейн получил новое значение для угла отклонения:

в два раза большее зольднеровского или своего 1911 года. Последовательный вывод этой формулы производится с помощью решения Шварцшильда. Уравнение траектории луча задается, как светоподобная геодезическая в пространстве-времени Шварцшильда, она имеет простой вид: ds^2 = 0. Единственным исходным условием должно быть направление света далекой звезды на край Солнца, то есть при расчетах учитывается тот факт, что луч проходит от тяготеющего центра на расстоянии радиуса Солнца R.

Итак, после этого заявления Эйнштейна нужно было проверять обе формулы. Наконец, во время ближайшего полного солнечного затмения 29 мая 1919 года группой английских астрономов измерения отклонения луча света были произведены. Перед группой стояла задача после сделанных наблюдений выбрать один из трех следующих ответов:

1) гравитационное поле Солнца не оказывает влияния на траекторию луча света;

2) гравитационное поле Солнца действует на световой луч как на обычные частицы в силу закона тяготения Ньютона, что приводит к кажущемуся смещению изображения звезды у края солнечного диска, равному 0,87″;

3) отклонение изображения звезды согласуется с предсказаниями общей теории относительности и равно 1,75″.

В пределах ошибок измерений был подтвержден третий ответ. И это было триумфом новой теории.

Смещение перигелиев планет. О смещении перигелия Меркурия мы уже говорили. В ОТО траектория планет также рассчитывается как движение массивной частицы по геодезическим в пространстве-времени Шварцшильда, окружающем Солнце. Расчет для массивных частиц немного сложнее, чем для световых. Необходимо знать массу планеты m, массу M центрального массивного тела (Солнца) и угловой момент планеты (последний определяется этими массами и эксцентриситетом e орбиты планеты). Расчет геодезической в пространстве-времени позволяет определить траекторию в пространстве. Эта траектория представляет собой вращающийся эллипс. Для орбиты с «неподвижным» эллипсом планета, начиная вращение от перигелия, за один оборот (2π) снова возвратится в перигелий. Для орбиты с «вращающимся» эллипсом это уже не так: за один оборот планета окажется в другой точке, при этом точка наименьшего удаления от Солнца («новый» перигелий) сместится. Угол между направлением из центрального тела на «старый» и «новый» перигелии равен

Получается, что кеплеровский эллипс сам начинает медленно вращаться, см. рис. 7.2. Формула определяет угловое перемещение за один период, то есть за один год этой планеты. За 100 земных лет у Меркурия накапливается величина 43,0″, что находится в хорошем согласии с аномальным смещением, обнаруженным в середине XIX века, когда орбиты рассчитывались только с помощью закона Ньютона. У Земли за 100 земных лет смещение перигелия орбиты, вычисленное по этой формуле, равно 3,8″. Оно также хорошо согласуется с наблюдениями.

Гравитационное красное смещение частоты сигнала. Чтобы перейти к третьему тесту необходимо определить, что такое истинное время, а что такое координатное время. Истинное время в данной точке – это время наблюдателя, его собственных часов. В какую точку наблюдателя не помещай, часы на его руке будут для него идти одинаково. Собственные биоритмы также не изменятся. У хорошо тренированных людей, например космонавтов, сердце одинаково стучит как на Земле, так и на орбите. Но на Земле мы ощущаем силу тяжести, в то время как космическая станция на орбите движется по геодезической (по инерции), является инерциальной системой отчета и там имеет место состояние невесомости. В отличие от истинного времени, координатное время не несет такой смысловой нагрузки. Оно вместе с пространственными координатами представляет как бы «сетку», накинутую на пространство-время, с помощью которой удобно производить измерения и не более.

Рис. 7.2. Смещение перигелия Меркурия (пунктир – траектория по Ньютону)

Как связаны истинное время и координатное? Ограничимся рассмотрением статического пространства-времени, то есть такого, для которого все метрические коэффициенты не зависят от времени. Рассмотрим два бесконечно близких события, происходящих в одной и той же точке пространства. Тогда интервал между этими событиями ds, как инвариантная величина, независимая от координат, определяет промежуток собственного (или истинного) времени dτ следующим образом: ds^2 = c^2dτ^2. Поскольку мы рассматриваем одну и ту же точку пространства, то пространственная часть не дает вклада в интервал, dx^1 = dx^2 = dx^3 = 0. Поэтому от всего выражения интервала остается только часть: ds^2 = g_00c^2dt^2. Таким образом, истинное время в данной точке определяется через координатное формулой dτ = (g_00)1/2dt. Если в данной точке g_00 = 1, то истинное время совпадает с координатным. Поясним это. В зависимости от модели и исследуемых проблем, координатное время можно менять так же, как и пространственные координаты. А истинное время неизменно, поскольку оно однозначно определятся интервалом – инвариантной величиной.

Из всего сказанного полезным является следующий вывод. Если имеется некоторый отрезок мировой линии некоторого произвольно движущегося наблюдателя, то его собственное время равно длине этого отрезка (инвариантной величине) в псевдоевклидовом искривленном пространстве-времени.

Теперь можно перейти к третьему эффекту, предсказанному Эйнштейном. Поскольку мы ограничились статическим случаем, для которого метрический коэффициент g_00 зависит только от пространственных координат, то от бесконечно малых по времени величин можно перейти к конечным. Таким образом, в каждой точке пространства τ = g_00)1/2t. Значит, в общем случае, в каждой точке пространства истинное время течет по-разному в зависимости от значения g_00. Для примера возьмем слабое гравитационное поле изолированного тела, которое представлено приближенной метрикой пространства-времени Ньютона. Тогда в приближении слабого поля в окрестности этого тела τ = t (1 + φ/c^2). А поскольку потенциал φ по определению отрицателен, то это время течет медленнее по сравнению с координатным. Учитывая, что координатное время совпадает с физическим временем на удалении от тела (на бесконечности), то это замедление можно интерпретировать, как замедление по сравнению с удаленным наблюдателем. Справедливо и более общее утверждение: собственное время течет медленнее по сравнению с наблюдателем, у которого потенциал гравитационного поля слабее.

Теперь вспомним, что частота ω электромагнитного сигнала обратно пропорциональна течению времени. Таким образом, в отсутствии гравитационного поля ω_0~ 1/t. А поскольку в реальности все физические явления в данной точке происходят в темпе истинного времени, то частота электромагнитного сигнала в какой-либо точке в окрестности тела ω~ 1/. Поэтому в приближении слабого поля

Это означает, что если в данную точку в окрестности тела сигнал пришел издалека (из бесконечности, где гравитационный потенциал фактически исчезает), то его частота в этой точке станет больше, чем на бесконечности – произойдет так называемое «фиолетовое» смещение. И наоборот, если пошлем сигнал от тяготеющего тела в область плоского пространства-времени, то там он воспримется с меньшей частотой, то есть его спектр сместится в «красную» область. Уменьшение частоты означает уменьшение энергии сигнала. То есть, покидая тяготеющее тело, электромагнитный сигнал ослабевает, что естественно. На рис. 7.3 отображена следующая ситуация.

Рис. 7.3. Замедление времени

Из двух идентичных источников света один расположен на поверхности массивной планеты, другой – далеко, как от нее, так и от всех остальных небесных тел. Наблюдатель находится рядом с последним источником и детектирует свет обоих. Левая картинка соответствует наблюдениям источника на планете, правая – наблюдениям собственного источника. Сравнивая свет от обоих источников, он найдет, что свет от планеты «покраснел» (поскольку его частота меньше частоты его собственного источника), и часы на планете идут медленнее его часов.

Также можно сравнить частоту сигнала, если он посылается между двумя точками пространства с разными гравитационными потенциалами. Снова вернемся к приближению слабого поля для изолированного тела:

Формула означает, что сигнал, испущенный в точке 1, регистрируется в точке 2. Тогда, например, если точка 2 дальше от центра, чем точка 1, то в ней частота станет меньше. Именно последняя формула лежит в основе третьего эффекта. Если его проверять на Земле, то нужно прием ник разместить выше источника. Из формулы следует, что ожидаемая разность частот в наименьшем приближении будет пропорциональной разности h = r_2 – r_1 по высоте приемника и источника: ∆ω/ω = GMh/c^2, где M – масса Земли. Этот эффект на Земле очень слаб.

В 1925 году гравитационное красное смещение света, испускаемого сверхплотной звездой-компаньоном Сириуса, впервые наблюдал американский астроном Уолтер Адамс (1876–1956). Прямой эксперимент по проверке существования гравитационного красного смещения в поле Земли был осуществлен только в 1960 году сотрудниками Гарвардского университета Робертом Паундом и Гленом Ребкой. Они измеряли сдвиг частоты гамма-излучения, пучок которого направляли вверх и вниз на 23 м по вертикали внутри здания лаборатории. Полученное в этом эксперименте значение красного смещения (относительный сдвиг частоты 2.57·10–15) совпало с предсказанием теории Эйнштейна с точностью до 1 %.

Эффект Шапиро

Рассмотренные эффекты обычно называют классическими, предсказанными самим Эйнштейном. Начиная с 60–70-х годов прошлого века, появились новые возможности, с помощью которых проверки ОТО стали значительно точнее. Это радиолокация планет и спутников, а также лазерная локация Луны. После этого четвертым классическим тестом принято считать задержку радиосигнала в гравитационном поле. Этот эффект был предсказан тоже Эйнштейном, и он тесно связан с отклонением луча света. Отклонение света можно вполне интерпретировать как результат действия линзы – «среды» с другим коэффициентом преломления. То есть гравитирующее тело можно рассматривать как гравитационную линзу, а поле тела рассматривать как имитатор преломляющей среды. Но эта среда, как мы знаем, не только отклоняет луч света, но и замедляет его: скорость света в среде меньше, чем в вакууме. Точно так же, луч света, проходя рядом с гравитирующим объектом, замедляется по отношению к достаточно удаленному наблюдателю.

Это замедление впервые было обнаружено только в 1964 году Ирвином Шапиро из Массачусетского технологического института (США) в ходе пассивной локации Венеры и Меркурия, находившихся с другой стороны Солнца. Время задержки сигнала, проходящего вблизи Солнца, достигало значения около 240 мкс. Использование этого эффекта оказывается более привлекательным, чем измерение отклонения луча, поскольку интервалы времени могут быть измерены с гораздо более высокой точностью, чем углы. Первые эксперименты с пассивной локацией давали точность 22 %. Чтобы измерить временную задержку с наибольшей точностью, необходим космический аппарат, располагающийся за Солнцем. При этом сигнал «перерабатывается», чтобы значительно снизить влияние помех, а лишь затем посылается обратно – активная локация. Впервые она было осуществлена группой Шапиро в 1977 году. Точность значительно улучшается при совмещении пассивной и активной локации, когда, например, одновременно с локацией Марса осуществляется локация аппарата рядом с ним. Результат группы итальянских астрофизиков Бруно Бертотти, Лусиано Иесса и Паоло Торторы за 2003 год составляет 1,00001 ± 0,000012 от предсказания ОТО, то есть эффект подтверждается с точностью до тысячных процента!

Гравитационные линзы

Почему попугаи за номером один, два и три…, похожи друг на друга до такой степени?

Аркадий Стругацкий, Борис Стругацкий «Понедельник начинается в субботу»

С понятием «гравитационная линза», которое мы ввели выше, связаны бурно развивающиеся в последнее время области исследований в астрофизике и космологии. Из российских ученых активными теоретиками-исследователями в этой области являются Михаил Сажин и Александр Захаров. Изложение этой части будет во многом соответствовать статье Захарова «Гравитационные линзы» на сайте pereplet.ru.

По-видимому первый, кто использовал термин «линза» для отклонения луча света гравитационным полем тела, был английский физик Оливер Лодж (1851–1949) в 1919 году. Однако он отметил, что «гравитационное поле действует как линза, но она не имеет фокусной длины». Петербургский физик Орест Хвольсон (1852–1934) в 1924 году опубликовал короткую заметку, в которой заметил, что в случае, когда рассматривается отклонение луча света далекой звезды звездой-линзой, возможно возникновение второго изображения фоновой звезды, но угол между двумя изображениями столь мал, что эти изображения нельзя разрешить с помощью наземного телескопа. В случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой, возникает изображение типа кольца.

Аналогичные результаты опубликовал Эйнштейн в 1936 году, где также описывалось появление кольца в случае, если наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой. Эти результаты более известны, возможно потому, что журнала «Science», где опубликована статья Эйнштейна, более популярен по сравнению с потсдамским астрономическим журналом «Astronomische Nachrichten», где опубликована статья Хвольсона. Поэтому кольца гравитационной линзы называют обычно «кольцами Эйнштейна», значительно реже «кольцами Хвольсона-Эйнштейна». Эйнштейн также заметил, что «конечно нельзя надеяться на то, что удастся прямо наблюдать это явление». Нужно сказать, правда, что и Хвольсон, и Эйнштейн рассматривали случай, когда и источник, и гравитационная линза являются звездами.

Однако в 1937 году американский астроном швейцарского происхождения Фриц Цвикки (1898–1974) пришел к выводу, что эффект может быть наблюдаем в случае, если источником является далекая яркая галактика, а гравитационной линзой – более близкая галактика. В публикации он ссылается на идеи нашего соотечественника, представителя первой русской эмиграции инженера Владимира Зворыкина (1888–1982), создателя современного телевидения, и чешского инженера Руди Мандла. То же самое написал Эйнштейн в своей работе: «Некоторое время тому назад меня посетил Руди Мандл и попросил опубликовать результаты небольшого расчета, который я провел по его просьбе. Уступая его желанию, я решил опубликовать эту заметку». Так что, может и была борьба за приоритеты, но исследователи вели себя очень корректно в отношении чужих идей и результатов. А ссылка Цвикки демонстрирует широкое влияние на развитие мировой науки российской научной школы.

Насколько плодотворным было замечание Зворыкина и, безусловно, последующий анализ Цвикки, стало ясно спустя более сорока лет. В 1979 году группа английских астрономов обнаружила первую гравитационную линзу при наблюдении двойного квазара QSO 0957+16 A, B: угловое расстояние между изображениями порядка 6″, а гравитационной линзой являлась галактика, рис. 7.4. Таким образом, предсказание Цвикки подтвердилось. На настоящий момент открыто более полусотни объектов, которые представляют результат гравитационного линзирования, и это число постоянно растет. Замечательный космолог, астрофизик, физик-теоретик Яков Зельдович (1914–1987), рис. 7.5, с его широчайшим научным кругозором, не мог не оценить важности этого открытия и обратил на него внимание одного из своих учеников – Михаила Сажина. Сейчас как теоретическое изучение этого явления, так и поиски новых наблюдательных подтверждений активно продолжаются.

Рис. 7.4. Первая гравитационная линза

Теперь расскажем о физике явления. Действительно, как было замечено Лоджем, гравитационные линзы не имеют «фокусного расстояния» в том смысле, как ее имеют оптические линзы. Поэтому их действие оказывается несколько непривычным. Они также «собирают» свет, при некоторых условиях это приводит к повышению яркости наблюдаемого объекта. Но более выдающимся их проявлением является «построение» двух, а иногда нескольких изображений этого объекта. Обратимся к схеме на рис. 7.6. На ней проиллюстрировано как действует точечная гравитационная линза. Собственно объект наблюдения (квазар) находится в точке S, линза в точке D, а наблюдатель в точке O.

Рис. 7.5. Яков Зельдович

Два луча (жирные линии) отклоняются линзой так, что наблюдатель видит два изображения квазара на небесной сфере: точки S_1 и S_2.

В случае, если точечный источник находится точно на оси симметрии, изображение является кольцом, которое обсуждалось в работах Хвольсона и Эйнштейна. Однако наблюдать подобное кольцо в реальности в случае точечного источника невозможно, поскольку при самом малом изменении параметров кольцо исчезает и появляется два точечных изображения.

Чаще всего обнаружить гравитационные линзы можно по наблюдениям пар квазаров, которые имеют похожие спектры и временную переменность компонентов, отличающуюся лишь временным сдвигом, который может принимать значения для различных пар изображений от нескольких дней до нескольких лет!

Рис. 7.6. Геометрия точечной гравитационной линзы

В случае, когда источник не точечный, появление кольца в принципе возможно, хотя скорее будет два растянутых изображения в виде дуг. В реальных ситуациях или угловое расстояние между изображениями слишком мало, или линза имеет большую массу и большие размеры, так что ее нельзя рассматривать как материальную точку (как в первых наблюдаемых примерах гравитационных линз). Реальные эффекты гравитационного линзирования зависят от разных параметров, а число возможных изображений и сами изображения разнообразны.

Гравитационные линзы в настоящее время являются и важным инструментом астрономических исследований. С их помощью можно: 1) получить независимую от других методов исследований оценку параметров расширения Вселенной; 2) оценить массы гравитационных линз, большая часть которых испускает слишком мало электромагнитного излучения, чтобы их можно было обнаружить с помощью стандартных астрономических методов; 3) по наблюдаемому изменению формы удаленных фоновых галактик с помощью методов так называемого слабого гравитационного линзирования можно восстановить распределение поверхностной плотности удаленных скоплений галактик; 4) по характерному изменению наблюдаемой светимости фоновой звезды можно обнаружить невидимые объекты с массами порядка солнечной, то есть обнаружить так называемое микролинзирование. Это как раз то явление, которое Хвольсону и Эйнштейну казалось слишком недоступным для наблюдения.

Недавно, в 2007 году, было установлено, что одно из событий микролинзирования вызвано коричневым карликом – это почти невидимые объекты небольшой (по звездным меркам) массы. Таким образом, микролинзирование расширяет возможности исследования этих малодоступных для обнаружения и наблюдений, но очень интересных и важных тусклых звезд.

Глава 8

Черные дыры

Горизонт стремительно загибался всё круче и круче, и казалось, что все мы находимся на дне колоссального кувшина.

Аркадий Стругацкий, Борис Стругацкий «Понедельник начинается в субботу»

Темные звезды Мичелла-Лапласа

Как ни странно, чтобы начать рассказ о черных дырах, которые предсказала общая теория относительности, мы снова должны вернуться к временам Ньютона. Как мы уже обсуждали, и сам Ньютон, и его современники имели все основания полагать, что световые лучи отклоняются тяготеющими телами, то есть свет притягивается точно так же, как обычные материальные частицы. Этого было вполне достаточно, чтобы построить модель невидимой (темной, черной) звезды. У такой звезды сила притяжения на поверхности, вычисленная в соответствии с законом всемирного тяготения, должна быть такой, что свет не может покинуть ее. Поскольку это было время научного подъема в просвещенном обществе, то, видимо, многие задумывались об этой проблеме. Сейчас известно, что в 1783 году свои соображения по этому поводу представил английский священник и один из основателей научной сейсмологии Джон Мичелл (1724–1793). Независимо, но позднее, аналогичные выводы были сделаны французским математиком, физиком и астрономом Пьером Лапласом (1749–1827). Аргументацию Лапласа мы и приводим.

Результаты были представлены в книге «Изложение системы мира», вышедшей в 1795 году. Утверждение Лапласа звучало следующим образом: «Светящаяся звезда с плотностью, равной плотности Земли, и диаметром в 250 раз больше диаметра Солнца, не дает ни одному световому лучу достичь нас из-за своего тяготения; поэтому возможно, что самые яркие небесные тела во Вселенной оказываются по этой причине невидимыми». Доказательство этого утверждения он опубликовал позднее. Расчет был основан на понятии второй космической скорости на поверхности небесного тела. Это та скорость, которую надо придать объекту, чтобы он, поборов тяготение, покинул небесное тело. Если начальная скорость меньше второй космической, то силы тяготения затормозят и остановят движение объекта. Для примера: вторая космическая скорость на поверхности Земли равна 11 км/с, на поверхности Юпитера – 61, на поверхности Солнца – 620. Вторая космическая скорость на поверхности небесного тела тем больше, чем больше масса и чем меньше радиус этого тела. А поскольку скорость света была известна Лапласу, то ему оставалось смоделировать небесное тело, для которого эта скорость оказалась бы второй космической.

Снова решение Шварцшильда

Пример невидимой звезды Мичелла-Лапласа, хотя и основан на теории, которая не в состоянии дать правильные решения для реальных черных дыр со всем многообразием эффектов и необычных свойств, демонстрирует самое главное их свойство. Черная дыра обладает настолько сильным гравитационным притяжением, что нет сил в природе, которые бы могли его превозмочь.

Теперь самое время перейти к черным дырам в ОТО. Сначала нужно вернуться к решению Шварцшильда, повторим запись интервала для него:

До сих пор мы использовали его для описания искривленного пространства-времени вокруг (вне) «обычных» статичных сферически симметричных тел, размеры которых существенно больше соответствующего гравитационного радиуса rg. Как видно, при этом условии внешнее решение не имеет особенностей. А как описывает теория Эйнштейна такие системы полностью? Внешнее вакуумное решение нужно дополнить внутренним, которое будет отличаться от решения Шварцшильда. Снова ограничимся условиями сферической симметрии и статичности, но к ним добавим условия «сшивки» с внешним решением на границе. Чтобы получить внутреннее решение, используют уже не вакуумные уравнения Эйнштейна, а уравнения ОТО с материей (веществом тела). Необходимо определиться также с уравнениями для самой материи. Как минимум, это уравнение состояния (связи между давлением и плотностью). Затем все уравнения решаются совместно. Такие внутренние решения найдены, они также не имеют никаких особенностей, то есть весь физический объект (тело с внешним полем) получается вполне регулярным, и пока нет речи о черных дырах.

Зададимся вопросом: что произойдет, если, сохраняя массу, взять тело меньшего радиуса, и, соответственно, меньшего объема? При несущественном сжатии ничего особенного не произойдет. Внешнее искривленное пространство-время будет представлено все тем же решением Шварцшильда. Если кто-то очень сильный «уплотнит» Солнце, сожмет его в несколько раз, сохраняя сферическую симметрию, то это никак не повлияет на движение планет – они будут двигаться по тем же орбитам. Обсуждая черные дыры Мичелла-Лапласа, мы отметили, что вторая космическая скорость тем больше, чем меньше радиус тела при той же массе. Поэтому, стремясь увеличить вторую космическую скорость, давайте, мысленно (пренебрегая реальными условиями состояния вещества) уменьшать радиус тела, сохраняя массу.

До каких пор интересно продолжать этот мысленный процесс? Как видно, при r = rg решение Шварцшильда перестает быть регулярным: коэффициент временной части обратится в нуль, а пространственной, наоборот, – в бесконечность! Может r = rg это как раз тот размер объекта, когда вторая космическая скорость равна скорости света? Поэтому, давайте, продолжим мысленное сжатие, пока все вещество не станет сосредоточено в сфере, меньшего радиуса, чем гравитационный rg.

Напомним, что гравитационный радиус пропорционален массе тела. Сжатая до гравитационного радиуса Земля была бы горошиной диаметром 1,6 см, а Солнце – шаром диаметром 6 км. После такого сжатия область в окрестности сферы радиуса rg и все остальное пространство станут вакуумными. Это дает возможность без помех исследовать распространение сигналов вдали от объекта и вблизи rg, к чему мы и переходим.

Сначала разумно вернуться к «эйнштейновским» эффектам, которые мы уже обсудили в окрестности «обычных» небесных тел, таких как Солнце. Приближение к области в окрестности гравитационного радиуса делает их проявление чрезвычайно выраженным и даже парадоксальным.

Начнем с отклонения луча света. То, что с приближением к сфере радиуса rg угол отклонения луча будет увеличиваться – вполне ожидаемо. Но до какой степени возможно это отклонение? Оказывается, при достаточном приближении луч может обогнуть объект и уйти в обратном направлении. Далее, если он будет проходить на расстоянии полутора rg от центра, то угол отклонения станет полным оборотом. То есть в этом случае луч света начнет вращаться по круговой орбите! В отличие от орбит планет, эта орбита неустойчива – после любого незначительного возмущения луч либо покинет объект, либо «свалится» в него. Если продолжить процедуру и еще приблизить луч к центру, то его траектория превратится в спираль, и он будет захвачен объектом.

Рис. 8.1. Фотонные орбиты вокруг черной дыры

На рис. 8.1 видно, что на расстояниях, близких к rg фотонные орбиты как бы перепутываются. Это приведет к странным ощущениям наблюдателя, по мере его приближения к объекту. Издалека он будет воспринимать перед собой объект как черное пятно, вокруг пятна – обычные созвездия, которые и были бы без объекта. Позади себя он увидит небо с обычным рисунком созвездий. Чем ближе к объекту, тем больше черное пятно. А на расстояниях близких к круговой фотонной орбите картина фантастически изменится. Поскольку он будет встречать лучи, которые «развернулись», то вокруг черного пятна вместе с прежними звездами он увидит и звезды, которые позади него. Внутри круговой фотонной орбиты позади себя он увидит кроме обычных звезд также и звезды, которые реально перед ним. Действительно, в этой области лучи закручиваются, разворачиваются.

Какое выражение примет эффект смещения перигелиев вблизи rg? Изучение траекторий обычных тел с ненулевой массой покоя, пролетающих на расстояниях сравнимых с rg, дает ответы, похожие на описание световых траекторий. Существуют некоторые предельные параметры (зависящие от скорости), дальнейшее изменение которых определяет неминуемый захват тела, который происходит в общем случае по спирали.

Следующие эффекты – это замедление времени и гравитационное красное смещение. Явная форма решения, которое представляет геометрию Шварцшильда, позволяет легко рассказать об этом. Во всем пространстве и на подступах к сфере радиуса rg распределим неподвижных наблюдателей. Они могут быть зафиксированы, например, с помощью ракетных двигателей, препятствующих падению к центру. У всех наблюдателей одинаковые часы, которые у каждого из них идут одинаково. Но каждая точка имеет собственное (истинное) течение времени, и в сравнении друг с другом это время течет по-разному.

Истинное время наблюдателя на бесконечности (где, по сути, пространство-время плоское) совпадает с координатным временем t. Для геометрии Шварцшильда истинное время в каждой конкретной точке представляется выражением τ = t(g_00)1/2 = t(1 – rg/r)1/2. Эта формула показывает, каким будет наблюдаться ход часов, помещенных в точке с радиальной координатой r удаленным наблюдателем (наблюдателем на бесконечности). То есть с его точки зрения часы, которые ближе к центру (с меньшими значениями r) идут медленнее тех, которые дальше от центра. Это, конечно, относится не только к часам, а ко всем наблюдаемым процессам. Если бы удаленный наблюдатель увидел часы в точке r = rg, то он бы констатировал, что и часы стоят, и все остальные процессы застыли! Поскольку эффект гравитационного красного смещения прямо связан с эффектом замедления времени, то чем ближе к сфере радиуса rg, тем эффект «покраснения» сильнее. Если бы удаленный наблюдатель попытался увидеть сигнал, испущенный из точки r = rg, то он бы обнаружил, что его частота нулевая.

Горизонт событий и истинная сингулярность

Нулевая частота означает, что нет никакого сигнала вообще! Из-под сферы радиуса rg световые сигналы не выходят, гравитационные силы не дают им вырваться во внешнюю окрестность. То есть, действительно, это сфера, где вторая космическая скорость становится равной скорости света. Поэтому из-под сферы радиуса rg невозможно распространение наружу никакой формы материи. Таким образом, эта сфера оказывается барьером, за который внешний наблюдатель не в состоянии заглянуть. Именно поэтому она получила удачное название горизонта событий, а сам объект стали называть черной дырой.

Термин черная дыра подсказал известному американскому физику-теоретику Джону Уилеру (1911–2008) один из студентов на конференции в 1967 году. Но еще ранее, в 1964 году, его использовала Анна Ивинг в докладе на собрании Американской ассоциации содействия науке.

До сих пор мы рассматривали фиксированные точки пространства и наблюдателей, связанных с ними. Теперь давайте проследим за свободно падающим телом. Пусть падение начинается из состояния покоя из удаленной области, где почти нет искривления, откуда мы будем отслеживать его траекторию. В восприятии удаленного наблюдателя история падения будет следующей. Сначала движение не будет вызывать удивления. Скорость будет нарастать медленно, затем все быстрее и быстрее, вполне соответствуя закону всемирного тяготения. Затем, на расстояниях от центра, сравнимых с гравитационным радиусом, нарастание скорости падения станет катастрофическим. Здесь мы тоже не очень удивимся, мы объясним это тем, что из зоны соответствия с гравитацией Ньютона объект попал в зону сильных искривлений. А на расстояниях долей гравитационного радиуса от горизонта событий он, к нашему изумлению, начнет резко тормозить и все медленней приближаться к горизонту событий, а в результате, никогда его не достигнет. Но здесь тоже нечего удивляться, недавно мы установили, что для удаленного наблюдателя все процессы при приближении к горизонту событий замирают, падение тела – не исключение.

Эффект того, что из-под горизонта событий ничего не выходит наружу, мы объяснили наличием чрезвычайно сильного гравитационного воздействия. Этот ответ, конечно, правильный, поскольку ничего, кроме гравитации, не рассматривается. Однако он не конструктивный, так как не позволяет понять механизм тех явлений, о которых мы только что говорили. Нет никакого представления о том, что происходит под горизонтом, и происходит ли вообще что-то. С другой стороны, мы договорились, что в эйнштейновской теории гравитационных сил, как таковых, нет вообще. Есть искривление пространства-времени. Поэтому, давайте, шаг за шагом перейдем к описанию в рамках геометрической теории.

Мы уже убедились, что в СТО использование светового конуса помогает понять многие явления. В ОТО, в искривленном пространстве-времени, имеет больший смысл представлять его не на всей диаграмме, а в окрестности каждой мировой точки. Это будет локальный световой конус, образованный касательными к световым геодезическим в данной точке. Уравнение светового конуса имеет простой вид – интервал приравнивается нулю: ds = 0.

На рис. 8.2 схематически изображены световые конусы для геометрии Шварцшильда. Предполагая, что движения происходят по радиальным направлениям, диаграмма представлена в координатах r и t. Эти координаты для удаленного наблюдателя в его собственной системе отсчета определяют истинные расстояние и время. Поэтому картина физических явлений, представленная с помощью r и t, – это как раз та картина, которую будет воспринимать удаленный наблюдатель. На рисунке видно, что на значительном удалении «лепестки» конуса расположены под углом 45°, то есть так, как в плоском пространстве-времени. Вертикальные линии соответствуют тем самым зафиксированным (неподвижным) наблюдателям, о которых мы говорили недавно. По мере приближения к черной дыре конус становится все уже, на горизонте он «слипается» и превращается в одну вертикальную линию. Вертикальная линия для удаленного наблюдателя означает, что свет «остановился», его скорость стала «нулевой». Это и означает, что на горизонте все явления замораживаются. Расчет нулевой геодезической показывает, что для удаленного наблюдателя свет никогда не достигнет горизонта.

Рис. 8.2. Пространство-время геометрии Шварцшильда в координатах удаленного наблюдателя

Частично такое поведение световых конусов связано с эффектом замедления времени при приближении к гравитирующему центру. Однако, полностью его форма, как мы уже говорили, определяется условием ds = 0, как раз оно определяет «видимую» скорость света для удаленного наблюдателя: vc = c (1 – rg/r). На значительном удалении от центра скорость близка к c, по мере приближения к центру она уменьшается, а на горизонте, действительно, обращается в нуль. Это прямо связано с формой световых конусов на рис. 8.2. Скорость материальных частиц всегда меньше скорости света (мировая линия физической частицы, находится между створками светового конуса), поэтому их «видимые» предельные скорости тоже уменьшаются при продвижении к центру, и они тоже никогда не достигнут горизонта в координатах r и t. Этот вывод еще раз подтверждает наше описание свободного падения к горизонту с точки зрения удаленного наблюдателя.

Далее продолжим наш мысленный эксперимент, теперь «сожмем» все вещество сферического объекта не только до гравитационного радиуса, а вообще, до «точки» r = 0. То есть все пространство-время будем рассматривать как вакуумное. Формально мы имеем право это сделать, поскольку решение Шварцшильда как раз вакуумное. Обратимся к выражению для метрики. Мы уже отметили, что на горизонте коэффициент g_00 при c^2dt^2 обращается в нуль, а коэффициент g_00 при dr^2 становится бесконечным. Мало того, есть особенность и в «точке» r = 0: здесь, наоборот, gстановится равным «минус бесконечности», g_11– равным нулю. Вспомним, что для «обычного» тела, о котором речь шла в начале параграфа, не возникло никаких особенностей. Далее мы обсудим смысл как особенности на горизонте, так и особенности в центре.

Начнем с горизонта. Вспомним, что в пространстве Минковского физические сущности пространства и времени остаются разными, несмотря на их релятивистский характер. Это проявляется в том, что временная и пространственная части входят в выражение для интервала с разными знаками: первая – со знаком «плюс», вторая – со знаком «минус». Это так и есть для решения Шварцшильда на удалении от горизонта (в «регулярной» области пространства). Временная часть, определяемая коэффициентом g_00 при c^2dt^2, действительно, положительна, а пространственная, определяемая коэффициентом g_11 при dr^2, – отрицательна.

А что будет под горизонтом? Там ситуация изменилась: в выражении для интервала мы должны учесть r < rg, тогда коэффициент g_00 при c^2dt^2 становится отрицательным, а коэффициент g_11 при dr^2 становится, наоборот, – положительным. А это, как только что мы

обсудили, означает, что под горизонтом координата t становится пространственной, а координата r – временной! Теперь, учитывая этот факт, построим световые конусы под горизонтом. Поскольку на диаграмме координаты r и t поменяли смысл, световые конусы как бы лягут на бок, с внутренней стороны на горизонте их створ равен 180°, затем приближаясь к центру r = 0, створ уменьшается. Как всегда, мировая линия реальной физической частицы должна быть внутри створа светового конуса. Наконец, при r = 0 лепестки конусов окончательно «слипаются», как показано на рис. 8.2. Расположение и форма световых конусов под горизонтом говорят о двух вещах. Первое, действительно, ни лучи света, ни какая материальная частица не могут покинуть горизонт и область под ним; второе, все частицы и свет, оказавшись под горизонтом, неминуемо достигнут начала координат при r = 0. Действительно, створ конуса всегда направлен к линии r = 0.

Мы видим, что под горизонтом нет препятствий для движения частиц, хотя и выглядит это несколько необычно. С другой стороны, сигналы извне не могут преодолеть горизонт. Происходит разрыв мировых линий световых лучей и падающих частиц. Самое время обсудить особенность на горизонте. Попытаемся понять, что на горизонте и в его окрестности происходит в реальности.

Придется вернуться к истокам ОТО и вспомнить, что основной характеристикой пространства-времени является его искривление (кривизна), которое определяется тензором кривизны Римана. Но вычисление компонент тензора Римана на горизонте и в его окрестности ничего необычного не обнаруживает. До горизонта, на горизонте и под ним кривизна не испытывает никаких разрывов, ведет себя вполне плавно, постепенно увеличиваясь по мере приближения к центру. Дело в том, что координаты удаленного наблюдателя (а это координаты плоского пространства-времени), в которых и записано решение Шварцшильда, не вполне годятся для описания явлений в окрестности горизонта. Это значит, что нужно найти координаты, которые не имели бы этого дефекта.

Вспомним, что истинное время каждого наблюдателя для него самого всегда имеет одно и то же течение, в том числе и совсем близко к горизонту. А возможно, и на горизонте, почему нет? Поэтому в искомых координатах можно использовать собственное время свободно падающих (сопутствующих) наблюдателей как новую временную координату. Такие координаты для решения Шварцшильда, свободные от дефектов на горизонте, предложил в 1938 году бельгийский астроном и математик Жорж Леметр (1894–1966). В его сопутствующей системе отсчета мировые линии частиц и световых лучей перестают испытывать разрыв на горизонте – они его свободно пересекают. Диаграмма в координатах Леметра обсуждается в Дополнении 5.

Что же испытают наблюдатели, минуя горизонт? Все зависит от кривизны этого горизонта. Если черная дыра огромная, то локально горизонт довольно плоский, и наблюдатель никак не отреагирует на его пересечение. Если уменьшать черную дыру, то в определенный момент наблюдатель начнет ощущать действие приливных сил. Его начнет «растягивать» по радиусу и «обжимать» с боков. Но эти явления могут начаться и до достижения горизонта, они с ним не связаны. Ключевым моментом является следующее. Оказавшись под горизонтом, наблюдатель имеет возможность получить сигнал из внешнего мира, но не имеет возможности послать сигнал наружу.

Наконец, обсудим особенность в «центре» r = 0. Пока мы получили ее, проводя мысленный эксперимент. А может ли такая особенность образоваться в реальности? Снова вернемся к примеру с «обычным» телом, который обсуждался в начале этой главы. Такой объект описывается внутренним решением, которое статично, не имеет особенностей и «сшивается» с внешним решением Шварцшильда. Внутреннее решение получено с учетом уравнения состояния вещества тела. В этом случае уравнение состояния определяет такое давление, что оно противостоит гравитационному сжатию. Именно поэтому объект статичен. Всегда ли это возможно? Забегая вперед, где эта проблема обсуждается, скажем: нет, не всегда. Если масса тела равна или превышает пять солнечных масс, то не существует такого состояния вещества, чтобы его давление могло противостоять гравитационному сжатию. Что произойдет, если тело такой массы образуется, как остаток погибшей звезды? Ясно – тело начнет сжиматься. Давайте проследим за этим сжатием, только не издалека (мы убедились, что удаленный наблюдатель для этого не годится), а с помощью наблюдателя, посаженного на поверхность этого тела. Сначала наблюдатель вместе с остатком звезды достигнет горизонта. До этого он имеет принципиальную возможность спастись на сверхмощной ракете, покинув злополучный коллапсар. Но сравнявшись с горизонтом, он неминуемо вместе с остатком звезды «свалится» в центр. Фатальное слово «неминуемо» вполне научно обосновано, расположение световых конусов под горизонтом говорит об этом однозначно.

Итак, действительно, все может свалиться в «центр» r = 0. Но можно ли сказать, что в результате образуется особенность, именно, в «точке». Строго говоря, нет. Дело в том, что при таком сжатии плотность и давление вещества достигают величин, для которых известные законы физики уже не работают. Скорее всего, пространство и время перестают быть классическими, поэтому в непосредственной близости от центра, куда все свалилось, уже нельзя построить тех самых световых конусов. Так что разумнее говорить о сверхплотном образовании в центре, физика которого пока не изучена.

С этими оговорками обсудим, тем не менее, идеализированную точечную особенность. Снова, как в случае горизонта, посчитаем компоненты тензора кривизны. Но теперь, в отличие от горизонта, получим, что кривизна обращается в бесконечность. А это означает, что такая особенность не может быть «ликвидирована» с помощью перехода к другим координатам, как особенность на горизонте. Таким образом, для r = 0 имеем особенность, которую часто называют истинной сингулярностью. Далее, поскольку получается, что вся масса объекта сосредоточена в нулевом объеме, то и плотность вещества также обращается в бесконечность. Отметим, что прямая r = 0 на диаграмме рисунка 8.2 пересекает «лепестки» близких световых конусов. То есть по прямой r = 0 никакие сигналы не распространяются и частицы не движутся. Исходя из этого, на умозрительном уровне (без необходимой научной строгости) сингулярность r = 0 можно интерпретировать, как часть пространства с нулевым объемом, бесконечной плотностью и кривизной, на котором «заканчивается» течение времени.

Разнообразие черных дыр

Мы рассмотрели самую простую черную дыру. Кроме нее в ОТО рассматриваются вращающиеся черные дыры, электрически заряженные статические и электрически заряженные вращающиеся черные дыры. Мы не обсуждаем частных свойств этих объектов – все самые для нас интересные и общие для всех типов черных дыр мы уже обсудили. Однако, упомянув об этом разнообразии, мы также упомянем о так называемой теореме «отсутствия волос» у черной дыры. Она устанавливает, что любая черная дыра из перечисленных имеет только три независимых физических параметра: массу, угловой момент (то же самое, что момент импульса – мера вращения) и электрический заряд. При совпадении этих параметров черные дыры считаются неразличимыми.

Указанные величины могут быть измерены внешним наблюдателем с помощью пробных тел: масса черной дыры – по их гравитационному ускорению, угловой момент – по эффекту увлечения инерциальной системы отсчета, заряженная черная дыра отталкивает заряды одинакового с ней знака. Объяснение действия заряда черной дыры не настолько простое, как кажется с первого взгляда. Действительно, фотоны, переносчики электромагнитного взаимодействия, не могут покинуть черную дыру, а поэтому электрической силы не должно быть! Однако при этом считается верным закон о сохранении общего электрического потока сферы как меры электрического заряда, и это спасает положение.

Теорема об «отсутствии волос» фактически говорит о потере детальной информации, связанной с падающей материей. Потеря информации в черной дыре остается принципиальной загадкой. Действительно, базовые теоретические построения в общем случае симметричны относительно обращения времени. Наличие же горизонта делает черную дыру несимметричной, поскольку материя может упасть в дыру, но не может вернуться. При всем этом, теорема об «отсутствии волос» у черной дыры имеет место в рамках ОТО, когда делается ряд предположений о природе Вселенной и свойствах материи. Если же учитывать другие предположения, то ее выводы не будут столь ограниченными. Но эти возможности еще плохо изучены, а пока предполагается, что в нашей почти плоской четырехмерной Вселенной и для больших черных дыр эта теорема должна выполняться.

Черные дыры и релятивистские звезды во Вселенной

Думаю, что для создания шмеля требуется больше мудрости, чем для создания черной дыры.

Юстейн Горде «Апельсиновая девушка»

Теперь мы много знаем о черных дырах, но все выводы сделаны на основании теоретических положений. Однако чрезвычайно важно знать существуют ли такие объекты в природе. Подтверждение их существования было бы еще одним основательным подтверждением общей теории относительности. Для тех типов черных дыр, о которых мы упомянули, основным параметром является масса. Естественно классифицировать черные дыры именно по этому параметру. Обычно в данном случае массу представляют в массах Солнца М⊙ = 2 ·10^30 кг, которая превышает массу Земли в 333 000 раз.

Начнем обсуждение с черных дыр звездных масс, для которых Мчд ~ 10 М⊙, а гравитационный радиус может быть 20–30 км. Во-первых, поиск черных дыр именно этого класса ведется очень давно. Во-вторых, на их примере легче понять, как черные дыры могут образовываться. Для этого необходимы некоторые знания из теории эволюции звезд. Один из вариантов такой эволюции изображен на рисунках 8.3. На рис. 8.3 а показано, что где-то во Вселенной из-за флуктуации плотности и последующего наращивания массы из окружающего пространства образовался достаточно массивный, как правило, водородный шар. Под действием гравитации шар сжимается и в результате сильно разогревается. Когда температура доходит до необходимых значений, в центре «зажигается» термоядерная реакция синтеза гелия из ядер водорода и значительно возрастает внутреннее давление. Со временем оно становится настолько большим, что сжатие прекращается и шар (звезда) приходит в стационарное состояние, рис. 8.3 б. После выгорания водорода в центре начинается синтез более тяжелых элементов, а синтез гелия смещается к периферии и т. д., образуется что-то вроде слоеного пирога, рис. 8.3 в. Термоядерные реакции заканчиваются, когда в центре образуется железное ядро. Внутреннее давление ослабевает и уже не может компенсировать внешнее давление гравитационного сжатия. Внешние слои обрушиваются на ядро в виде ударной волны, сталкиваются с ним и «резко» отражаются. В результате оболочка сбрасывается, рис. 8.3 г. Сброс может быть вызван не только отраженной волной, но и другими факторами, например закручиванием быстро вращающимся ядром магнитных силовых линий. Так моделируются взрывы сверхновых. Эта эволюция имеет свои особенности и зависит от множества самых разнообразных параметров, но главным образом – от начальной массы и химического состава звезды.

Рис. 8.3. Эволюция звезды

Остаток звезды будет продолжать сжиматься под действием гравитационных сил. Коллапс может остановиться благодаря давлению вещества, пришедшего в особое экзотическое сверхплотное состояние. При этом возможны следующие конечные состояния, перечисленные в порядке возрастания массы остатка:

1) Белый карлик, дальнейшее сжатие которого предотвращено давлением вырожденного электронного газа. Масса этих объектов ограничена сверху пределом Чандрасекара, который равен примерно 1,4 М⊙. Это будущее нашего Солнца.

2) Нейтронная звезда, дальнейшее сжатие которой предотвращено давлением вырожденного нейтронного газа. Масса этих объектов ограничена сверху пределом Оппенгеймера – Волкова – около 3 М⊙.

3) Если масса остатка больше, чем 5 солнечных масс, то с определенной долей уверенности можно сказать, что согласно ядерной физике и физике элементарных частиц нет таких состояний, которые бы смогли противостоять дальнейшему сжатию. В результате вещество коллапсирует в черную дыру.

Модели компактных звезд становятся все более разнообразными. Давление в центральной области нейтронной звезды может на порядок превышать давление в атомных ядрах. Это приводит к расслоению ядра и разнообразию уравнений состояния. Слои могут состоять из элементарных частиц: кварков, барионных резонансов, пионов и т. д. Возможны почти полностью кварковые звезды. Предельные массы такого семейства нейтронных звезд меньше предела Оппенгеймера – Волкова и находятся в диапазоне 1,5–2,2 М⊙.

Конкретные условия, при которых конечным состоянием эволюции звезды могла бы быть черная дыра, изучены недостаточно. Главная причина в том, что поведение вещества при чрезвычайно высоких плотностях недоступно экспериментальному изучению. Моделирование звезд на поздних этапах их эволюции также осложняется незнанием точного химического состава, резкого уменьшения характерного времени протекания процессов и многих других факторов. В одной из популярных программ телеканала «Дискавери» ведущий сравнил попытки смоделировать коллапс звезды с попытками дать правильный прогноз погоды. В обоих случаях чрезвычайно много неопределенностей. Тем не менее, различные модели дают нижнюю оценку массы черной дыры, возникшей в результате гравитационного коллапса: от 2,5 до 5,5 масс Солнца. Радиус черной дыры при этом очень мал – несколько десятков километров. Предсказаний для максимально возможной массы звездной черной дыры не существует.

Как будет представляться картина коллапса для внешнего наблюдателя? С точки зрения удаленного наблюдателя, приближаясь к горизонту, все частицы вещества будут замедляться и никогда его не достигнут. То есть все внешние наблюдатели не доживут до времени, когда все вещество провалится под горизонт. Поэтому все сколлапсировавшие звезды, которые должны стать черными дырами, нами будут восприниматься как объекты, вещество которых сконцентрировалось в окрестности горизонта в очень тонком слое – астрофизические черные дыры. Но если мы «посадим» наблюдателей на частицы вещества такой звезды, то они очень быстро по собственному времени минуют горизонт и погибнут в сингулярности.

Как же обнаружить черные дыры во Вселенной, если они все поглощают и ничего не выпускают? Уже после образования черная дыра может разрастаться за счет поглощения окружающего вещества. Процесс падения газа на любой компактный астрофизический объект, в том числе и на черную дыру, называется аккрецией. Вещество, например окружающий газ, падая в черную дыру, испытывает сильное ускорение, при этом газ интенсивно излучает в рентгеновском диапазоне. Регистрация такого излучения может быть признаком присутствия черной дыры или нейтронной звезды. Методы определения типа реального центрального тяготеющего тела не очень надежны. Более перспективными для обнаружения черных дыр являются такие объекты, как двойные звезды, которых, кстати, много во Вселенной. Часто оказывается, что один из компаньонов – это релятивистский компактный объект, который даже не виден оптически, а другой компаньон – обычная звезда известного класса с известными параметрами. Тогда, изучая орбиту обычной звезды, можно определить массу невидимой. Если она больше, скажем, 5 солнечных, то с большой вероятностью можно предположить, что это черная дыра.

Очень важной для регистрации черных дыр может оказаться аккреция газа с соседней звезды в двойных звездных системах. При этом из вращающегося газа формируется аккреционный диск. Вещество в нем ускоряется, разгоняется до релятивистских скоростей, нагревается и, как результат, сильно излучает. Излучение происходит и в рентгеновском диапазоне, что дает принципиальную возможность обнаруживать такие аккреционные диски при помощи рентгеновских телескопов. На рис. 8.4 показана двойная система, состоящая из черной дыры и обычной звезды. Вещество звезды притягивается черной дырой и собирается вокруг нее в аккреционный диск, с образованием джетов (струй раскаленного газа, вырывающихся из полюсов). Основной проблемой для идентификации таких объектов, также как и при обычной аккреции, является то, что трудно различить аккреционные диски нейтронных звезд и черных дыр. Основополагающая теоретическая разработка моделей таких дисков появилась в 1973 году в пионерской работе советских астрофизиков Николая Шакуры и Рашида Сюняева.

По разным оценкам кандидатов в черные дыры звездных масс существует до нескольких десятков. Все они являются компонентами рентгеновских двойных систем, в которых компактный объект имеет аккреционный диск из вещества звезды-компаньона. И почти все такие кандидаты в черные дыры (20–30) обнаружены в нашей Галактике. Массы компактных объектов могут быть от трех до двенадцати солнечных масс и даже более. Одна из наиболее удаленных рентгеновских двойных систем находится в галактике Треугольника. Компактный объект с массой около 10 солнечных масс, похожий по свойствам на черную дыру, был обнаружен в шаровом скоплении в галактике NGC 4472, находящейся на расстоянии 55 миллионов световых лет.

Рис. 8.4. Перетекание вещества с обычной звезды на черную дыру

В наше время большинство астрофизиков и космологов убеждены в существовании сверхмассивных черных дыр, содержащих от сотен тысяч до миллиардов солнечных масс и расположенных в центрах большинства галактик, включая нашу – Млечный Путь. Их гравитационный радиус находится в пределах от сотен тысяч до миллиардов километров, т. е. от сотых долей астрономической единицы (а. е. = 150 млн км – среднее расстояние от Земли до Солнца) до 100 а. е. Причина этой убежденности в том, что современная техника позволяет производить чрезвычайно точные наблюдения вблизи центра нашей и других галактик, различать и определять параметры орбит звезд, движущихся вблизи центра. А эти наблюдения в рамках ОТО дают однозначный ответ. Мало того, на фоне орбит близких звезд, буквально разрешается темный диск черной дыры в центре нашей галактики. Эти черные дыры представляют наиболее вероятную модель активных ядер галактик, которые образуются при слиянии малых черных дыр и (или) при аккреции газа и вещества окружающих звезд. Сверхмас-сивные черные дыры являются и самыми подходящими кандидатами для центров квазаров, объектов чрезвычайно удаленных от нас, а следовательно, очень старых (ранних), из которых и могли позднее (ближе к современной эпохе) образоваться галактики.

На чем основан вывод, что в центрах галактик – черные дыры? Прежде всего, на анализе динамики близких звезд – их класс, а соответственно, и масса известны. Параметры орбит известны благодаря современным

телескопам. Чем ближе к центру, тем больше скорости звезд, подобно тому как в Солнечной системе близкие планеты имеют большую скорость, чем дальние. Но там скорости звезд достигают десятков тысяч км/с! Этих данных достаточно, чтобы вычислить массу центрального тела. В нашей Галактике центр расположен в созвездии Стрельца. В настоящее время в его окрестности изучается движение десятков звезд. По современным оценкам масса центрально тела от 3 до 4 млн солнечных масс. Фиксируется излучающий источник, называемый Стрелец A*, причем по всем параметрам его излучение вызвано аккрецией газа на центральный объект, радиус которого (излучающей области) не более 45 а. е. Есть и непосредственные данные, подтверждающие компактность центрального объекта – это размеры орбиты одной из самых близких звезд S2. А при массе в несколько миллионов солнечных масс и таких малых размерах этот центральный объект может быть только черной дырой.

Среди других галактик с объектами-кандидатами в сверхмассивные черные дыры наиболее тщательно изучены галактика Андромеды, галактика M 32, эллиптические галактики M 87, NGC 3115, NGC 3377, NGC 4258 и галактика M 104 (Сомбреро).

Сейчас с увеличением точности и надежности наблюдений производят переоценки масс сверхмассивных черных дыр – как оказалось, они могут быть значительно недооценены. Например, для того, чтобы в галактике М 87 (расположена на расстоянии 50 миллионов световых лет от Земли) звезды двигались так, как это наблюдается сейчас, масса центральной черной дыры должна быть как минимум 6,4 миллиарда солнечных масс, что значительно превышает предыдущие оценки.

Обсудим более детально вопрос о существовании черных дыр. Проблема во многом связана с тем, насколько верна теория гравитации, из которой существование таких объектов следует. В современной физике стандартной теорией гравитации, лучше всего подтвержденной наблюдениями, является ОТО. Но, строго говоря, эта теория не проверена для условий в непосредственной близости от черной дыры. С другой стороны, попытки описать сверхплотные и свехкомпактные объекты в центрах галактик не так, как это предлагает ОТО, приводят к экзотическим моделям, которые вызывают больше вопросов, чем дают ответов.

Черные дыры промежуточных масс определяются массами от сотен до тысяч солнечных масс, а их гравитационные радиусы могут быть от сотен до тысяч километров. Нижней границей считается масса порядка 200 М⊙, как предел для отдельной звезды. Они предлагаются как возможные источники энергии сверхъярких источников рентгеновского излучения. В качестве механизма формирования таких черных дыр рассматриваются, прежде всего, ассоциации молодых звезд и, возможно, ядра шаровых скоплений. В 2002 году космический телескоп «Хаббл» производил наблюдения, показавшие вероятность существования в шаровых скоплениях M 15 (в созвездии Пегаса) и Mayall II (в галактике Андромеды) именно среднемассивных черных дыр. Такая интерпретация точно так же основывается на размерах и периодах орбит звезд в данных шаровых скоплениях. Однако в этом случае нет той уверенности, как в существовании сверхмассивных черных дыр. Оказывается, что вместо черных дыр в центрах шаровых скоплений вполне могут быть и группы нейтронных звезд, давая тот же результат наблюдений. В нашей Галактике среднемассивная черная дыра с массой порядка 1300 солнечных масс, возможно, находится внутри группы из семи массивных звезд на расстоянии 3 световых лет от Стрельца А*.

Наконец, кратко обсудим черные микродыры, их массы много меньше звездных, а минимальная величина ограничивается только квантовыми принципами. Их часто и называют квантовыми черными дырами, поскольку они (возможно) должны подчиняться законам квантовой механики. Такие дыры, мы уже понимаем, не могут образоваться обычным образом в результате коллапса. Но тогда как? Одним из наиболее вероятных механизмов является генерация черных дыр на ранних стадиях эволюции Вселенной, когда плотность материи и ее флуктуации были чрезвычайно велики. Такие черные дыры называют первичными. Некоторые варианты теории квантовой гравитации не исключают рождение микродыр при высокоэнергичных взаимодействиях в современную эпоху. Предполагается, что это могут быть взаимодействия космических лучей с атмосферой, либо взаимодействия частиц в ускорителях типа Большого адронного коллайдера. Но все эти предсказания пока остаются гипотетическими.

Упомянув о черных микродырах, нельзя не сказать несколько слов об излучении, теоретически предсказанном Стивеном Хокингом, известным английским теоретиком. Это излучение, правда, имеет больше отношения к квантовой теории поля и термодинамике, чем к чисто гравитационным явлениям, но прямо связано с черными дырами. Что же это такое? Квантовая теория поля утверждает, что, в согласии с принципом неопределенности, в физическом вакууме постоянно рождаются и исчезают виртуальные частицы. Гравитационное поле рядом с горизонтом увеличивает энергию виртуальных (короткоживущих) пар в вакууме, превращая их в реальные (долгоживущие). Один из компонентов пары становится реальной частицей снаружи (и вблизи) горизонта событий и, имея положительную энергию, может уйти в бесконечность; другой появляется внутри (и вблизи) горизонта и падает с отрицательной энергией внутрь черной дыры (см. рис. 8.5). В итоге черная дыра становится источником непрерывного потока частиц, уходящего в бесконечность. При формировании такого излучения никакая частица не пересекает горизонта событий, который тем самым по-прежнему обладает свойствами клапана.

Этот эффект и называется излучением Хокинга или испарением черных дыр. Оказывается, что скорость испарения обратно пропорциональна массе черной дыры. То есть, чем дыра меньше, тем быстрее испаряется, а на конечной стадии, буквально, происходит вспышка. Большинство исследователей сходятся в том, что в современную эпоху уже нет первичных черных дыр – все они успели испариться. Большим же черным дырам такая участь не грозит, поскольку они испаряются медленно, а из окружающего пространства, так или иначе, получают дополнительную энергию. Одним из постоянных источников пополнения массы является реликтовое электромагнитное излучение. Оно является результатом ранних стадий эволюции Вселенной, имеет микроволновой диапазон и температуру 2,73 К. Исходя из этих данных, определяется граничная масса черной дыры, когда испарение Хокинга компенсируется притоком массы извне – она приблизительно равна массе Меркурия.

Рис. 8.5. Рождение пар частиц у горизонта событий черной дыры

Сказавши «А», нельзя не сказать «Б». Одно цепляется за другое. Если уж мы упомянули об испарении Хокинга, нужно ненадолго вернуться к проблеме исчезновения информации в черных дырах. Обратимся к мнению по этому вопросу самого Хогинга. Он долгое время считал теорему об «отсутствии волос» у черных дыр неким абсолютом, как и большинство его коллег. При этом придерживался той позиции, что излучение черных дыр чисто тепловое и потому не содержит информации о падающей в черную дыру материи. Однако в 2004 году Хокинг изменил свое мнение. Поскольку испарение черных дыр уменьшает массу, то уменьшается площадь горизонта. А с площадью горизонта прямо связана энтропия. То есть излучение должно уносить энтропию, а с ней уже можно связать и информацию. В таком случае должна быть точная связь между начальной энтропией черной дыры и энтропией излучения, а значит, информация не может быть потеряна полностью.

Кротовые норы

Крот недавно прорыл под землей новую длинную галерею от своего жилья к дверям полевой мыши и позволил мыши и девочке гулять по этой галерее сколько угодно.

Ганс Христиан Андерсен «Дюймовочка»

Идея кротовых нор принадлежит Альберту Эйнштейну и Натану Розену (1909–1995). В 1935 году они показали, что ОТО допускает, так называемые, «мосты» – проходы в пространстве, через которые можно, казалось бы, значительно быстрее, чем обычным путем попасть из одной части пространства в другую, или из одной вселенной в другую. Но «мост» Эйнштейна – Розена – динамичный объект, после проникновения в него наблюдателя выходы сжимаются.

А нельзя ли преотвратить сжатие? Оказывается, можно. Для этого необходимо пространство «моста» заполнить особым веществом, препятствующим сжатию. Такие «мосты» называют кротовыми норами, в англоязычном варианте – wormholes (червоточины).

Особое вещество кротовой норы и обычное отличаются тем, что по разному «продавливают» пространство-время. В случае обычной материи его кривизна (положительная), напоминает часть поверхности сферы, а в случае особой материи кривизна (отрицательная) соответствует форме поверхности седла. На рис. 8.6 схематически представлены 2-мерные пространства отрицательной, нулевой (плоские) и положительной кривизны. Поэтому для деформации пространства-времени, которая не позволит кротовой норе сжаться, необходима экзотическая материя, которая создает отталкивание. Классические (не квантовые) законы физики исключают такие состояния материи, а вот квантовые законы, более гибкие, допускают. Экзотическая материя препятствует формированию горизонта событий. А отсутствие горизонта означает, что можно не только попасть в кротовую нору, но и вернуться. Отсутствие горизонта событий также приводит к тому, что путешественник, любитель кротовых нор, всегда доступен телескопам внешних наблюдателей, с ним можно поддерживать радиосвязь.

Рис. 8.6. Двумерные поверхности разной кривизны

Если мы представляем, как образуются черные дыры, то как создаются «кротовые норы» в современную эпоху и создаются ли вообще, совершенно неясно. А с другой стороны, сейчас есть почти общепринятое мнение, что на ранней стадии развития Вселенной кротовых нор было очень много. Предполагается, что перед началом Большого взрыва (о котором мы будем говорить в следующей главе), перед расширением Вселенная представляла собой пространственно-временную пену с очень большими флуктуациями кривизны, перемешанную со скалярным полем. Ячейки пены между собой соединялись. А после Большого взрыва эти ячейки могли остаться соединенными, что и может быть кротовыми норами в нашу эпоху. Этого типа модели обсуждались в публикациях Уилера в середине 1950-х годов.

Рис. 8.7, Кротовая нора в замкнутй вселенной

Итак, имеется принципиальная возможность войти в кротовую нору и выйти наружу в другой точке Вселенной или в другой вселенной (рис. 8.7). Если с помощью достаточно мощного телескопа заглянуть через горловину внутрь кротовой норы, можно увидеть свет далекого прошлого и узнать о событиях, которые случились несколько миллиардов лет назад. Действительно, сигнал из места наблюдения мог долго блуждать по Вселенной, чтобы с обратной стороны войти в кротовую нору и выйти в месте наблюдения. А если кротовые норы на самом деле возникли одновременно с рождением Вселенной, то в таком тоннеле можно увидеть самое далекое прошлое.

Именно с позиций путешествий во времени два известных ученых, признанных специалиста в исследовании черных дыр, Кип Торн из Калифорнийского технологического института и Игорь Новиков из Астрокосмического центра ФИАН в начале 1980-х годов опубликовали серию работ, защищающих принципиальную возможность создания машины времени.

Однако, если вспомнить фантастические романы на эту тему, то в каждом утверждается, что путешествие во времени, скорее всего, будет разрушительным. В серьезной теории оказывается, что никакие разрушительные действия с помощью машины времени Торна и Новикова невозможны. Причинно-следственные связи не нарушаются, все события происходят так, что изменить их нельзя – обязательно возникнет помеха, которая помешает путешественнику во времени убить «бабочку Брэдбери».

Вход в кротовую нору может быть самых разных размеров, нет никаких ограничений – от космических масштабов до размеров, буквально, песчинок. Поскольку кротовая нора – это некий родственник черной дыры, то не стоит в ее строении искать дополнительных измерений. Если это ход куда-то, то на языке геометрии – это сложная топология. Зададим вопрос. Как обнаружить кротовую нору? Снова вспомним, что это родственник черной дыры, тогда вблизи пространство-время должно быть сильно искривлено. Проявления (наблюдаемые и ненаблюдаемые) такого искривления были рассмотрены выше. Однако возможны модели кротовых нор, для которых нет окрестного искривления. Приближаясь к такой «норе», наблюдатель ничего не будет испытывать, зато наткнувшись на нее, упадет как с обрыва. Но такие модели наименее предпочтительны, возникают различные противоречия и натяжки.

Недавно группа наших ученых – Николай Кардашев, Игорь Новиков и Александр Шацкий – пришла к выводу, что свойства экзотической материи, поддерживающей кротовую нору, очень похожи на свойства магнитного или электрического полей. В результате исследований выяснилось, что вход в туннель будет очень похож на магнитный монополь, то есть магнит с одним полюсом. В случае кротовых нор реального монополя-то и нет: у одной горловины кротовой норы магнитное поле одного знака, а у другой – другого, только вторая горловина может быть в другой вселенной. Так или иначе, но магнитных монополей в космосе не обнаружено до сих пор, хотя их поиск ведется непрерывно. Но ищут фактически элементарные частицы с таким свойством. В случае кротовых нор нужно искать магнитные монополи большого размера.

Одной из задач недавно выведенной на орбиту международной обсерватории «РадиоАстрон» как раз является поиск таких монополей. Вот что говорит в одном из своих интервью руководитель проекта Николай Кардашев:

«С помощью этих обсерваторий мы заглянем внутрь черных дыр и проверим, не являются ли они кротовыми норами. Если окажется, что мы увидим лишь пролетающие мимо облака газа и будем наблюдать различные эффекты, связанные с гравитацией черной дыры, искривление траектории света, например, то это будет черная дыра. Если же мы увидим радиоволны, идущие изнут ри, то будет понятно, что это не черная дыра, а кротовая нора. Построим картинку магнитного поля по эффекту Фарадея. Пока для этого не хватало разрешения наземных телескопов. И если окажется, что магнитное поле соответствует монополю, то это почти наверняка «кротовая нора». Но сначала нужно увидеть.

…Сначала предполагаем исследовать сверхмассивные черные дыры в центрах нашей и ближайших галактик. Для нашей – это очень компактный объект с массой в 3 млн солнечных масс. Мы считаем, что это черная дыра, но она может оказаться и «кротовой норой». Есть объекты еще более грандиозные. В частности, в центре самой близкой к нам из массивных галактик М 87 в созвездии Девы есть черная дыра с массой в 3 млрд солнц. Эти объекты – одни из самых главных для исследования «РадиоАстроном». Но не только они. Есть, например, некоторые пульсары, которые могут оказаться двумя входами в одну и ту же «кротовую нору». И третий тип объектов – всплески гамма-излучения, на их месте возникает также кратковременное оптическое и радиосвечение. Мы их наблюдаем время от времени даже на очень больших расстояниях – как для самых далеких видимых галактик. Они очень мощные, и мы пока не вполне понимаем, что это такое. В общем, сейчас подготовлен каталог из тысячи объектов для наблюдения».

Глава 9

Космология

Вселенная не подозревает о твоем существовании! Расслабься!

Энтони де Мелло «Молитва лягушки»

Бесконечная в пространстве и времени стационарная Вселенная

Куда бы ты ни пошел, со всех сторон тебя окружает та же бесконечность.

Дипак Чопра «Путь волшебника»

Часто можно услышать, что предмет исследования космологии – это Вселенная. Однако понятие Вселенной является слишком общим. Как минимум, это предмет исследования и для астрономии, и для философии. Космологов интересует материальная Вселенная, доступная наблюдениям и исследованиям в прошлом, настоящем и будущем. Космология, в отличие от других естественных наук, занимается изучением Вселенной в максимально больших масштабах. При этом под Вселенной понимается или область мира, охваченная наблюдениями и космическими экспериментами, или физическая Вселенная как целое. Нашей целью является рассказ о тех аспектах космологии, которые так или иначе связаны с представлениями о гравитации.

Фактически, обсуждая воззрения древних греков или переход от геоцентрической системы к гелиоцентрической и т. д., мы обсуждали космологические проблемы того времени. Однако роль тяготения при этом не рассматривалась. Ситуация изменилась с открытием Ньютоном закона всемирного тяготения. На этой основе он строит уже свою модель Вселенной.

В своих «Началах» Ньютон не затрагивает вопросы строения Вселенной, там не обсуждаются перспективы использования теории гравитации в этих целях. Заняться этими проблемами его подтолкнула переписка с молодым священником, капелланом епископа Ворчестерского, Ричардом Бентли (1662–1742) в 1692–1693 годах. Бентли было поручено прочесть в Лондоне публичные проповеди в защиту христианства. Одной из целей было показать, что гелиоцентрическая система, подтвержденная трудами Ньютона, не противоречит теологической картине мира. Вот он и обратился к Ньютону, как к «первоисточнику».

Отвечая в нескольких письмах, Ньютон рассмотрел случаи конечной и бесконечной Вселенной, в которой действует закон всемирного тяготения. Ясно, что в случае ограниченного количества вещества во Вселенной все составляющие ее тела под действием взаимного притяжения должны свалиться к общему центру. Но это не происходит, поэтому Ньютон делает вывод, что Вселенная бесконечна. В бесконечной Вселенной неоднородностей, которые могут играть роль центров гравитационной конденсации, будет также бесконечное множество. Это должно быть механизмом для образования Солнца и других звезд. В бесконечной Вселенной на любую звезду с каждой из сторон действует бесконечная сила, эти силы уравновешивают друг друга и звезда остается в покое. Но такая модель будет неустойчива, потому что любое случайное изменение взаимного расстояния между небесными объектами нарушит равновесие, и они будут двигаться. Но наблюдения того времени свидетельствовали о том, что звезды покоятся. Что уж говорить о временах Ньютона – Эйнштейн и его современники были убеждены, что Вселенная статична! Поэтому Ньютону ничего не оставалось, как привлечь божественную силу: «непрерывно свершающееся чудо требуется для того, чтобы предотвратить падение Солнца и неподвижных звезд друг на друга под действием гравитации».

Данных, позволяющих сделать предположение о бесконечности, со временем становилось все больше. В 1755 году Иммануил Кант (1724–1804) в одной из своих работ высказал предположение, что наша Галактика (Млечный Путь) может быть вращающимся образованием, которое состоит из огромного количества звезд. Такая система может удерживаться гравитационными силами той же природы, что и в Солнечной системе. С точки зрения наблюдателя, расположенного внутри Млечного Пути, такое образование будет восприниматься как светлая полоса. Поэтому Кант высказал и следующее предположение: некоторые из туманностей, видимые на ночном небе, могут быть отдельными галактиками. Более поздние исследования английского астронома Вильяма Гершеля подтвердили предположения Канта.

В конце концов, сложилось убеждение, что Вселенная в целом является стационарной, безграничной и бесконечной, существующей бесконечное время, равномерно заполненной звездами или скоплениями звезд. Иногда ее называют космологической моделью Ньютона. Однако она содержит противоречия. Конечно, и сам Ньютон понимал это, признавая, что только божественные силы способны удержать небесные светила от падения друг на друга.

Одним из основных противоречий является «гравитационный парадокс». В конкретной форме он был сформулирован в 1874 году немецким математиком Карлом Нейманом (1832–1925) и чуть позднее независимо немецким астрономом Хуго Зеелигером (1849–1924). Суть в том, что, используя закон всемирного тяготения, невозможно однозначно определить гравитационное воздействие, создаваемое в какой-либо точке бесконечным количеством вещества вселенной Ньютона. Напомним, что обсуждая теорию Ньютона, мы уже установили, что поле тяготения удобно описывать гравитационным потенциалом. Изменение (производная) потенциала в пространстве определяет ускорение, которое получает любая масса в поле этого потенциала.

Но при бесконечном количестве материи потенциал становится бесконечным, становится невозможным однозначно представить его производные, то есть определить силу, действующую на конкретную точечную массу. Остаются неопределенными (или становятся бесконечными) и другие характеристики.

Проблему гравитационного парадокса обсуждали также Яков Зельдович и Игорь Новиков. Общий итог таков. Для однозначного определения гравитационного воздействия на произвольное материальное тело в бесконечной Вселенной с бесконечной массой в рамках ньютоновой гравитации либо недостаточно уравнений, либо нет возможности корректно определить граничные условия для определения констант интегрирования.

Другой парадокс, не менее известный, называется фотометрическим. Он носит имя Шезо-Ольберса. Сначала на него указал еще в 1744 году швейцарский астроном Жан Шезо (1718–1751), а затем независимо в 1823 году немецкий астроном Вильгельм Ольберс (1758–1840). В чем его суть?

В рамках космологии Ньютона невозможно объяснить, почему ночью темно. Поскольку все пространство заполнено звездами, то в любом направлении на луче зрения окажется звезда и вся поверхность неба должна представляться ослепительно яркой, подобной, например, поверхности Солнца. Падение с удалением наблюдаемого блеска звезды компенсируется возрастающим количеством звезд на более удаленной сфере. Предположение, что облака космической пыли экранируют свет далеких звезд, не разрешает парадокс. Расчеты показывают, что под действием света пыль должна нагреваться и светить так же ярко, как звезды.

Расширяющаяся Вселенная

Тот прозаический факт, что Вселенная существует, уже сам по себе разбивает всякие доводы и циников, и закоренелых прагматиков.

Стивен Кинг «Темная Башня 1: Стрелок»

Несмотря на эти парадоксы, парадигма стационарной бесконечной Вселенной не вызывала особых возражений даже в начале XX века. Мало того, большинство ученых, включая и самого Эйнштейна, были уверены, что мир устроен именно так. Однако попытки Эйнштейна найти стационарное космологическое решение своих уравнений не привели к успеху. Поэтому в 1917 году, пытаясь «спасти» ситуацию, он ввел в уравнения ОТО так называемую космологическую постоянную (см. Дополнение 4). Решения модернизированных уравнений оказались неустойчивыми. Любая незначительная флуктуация (а они всегда есть в природе) должна была вывести Вселенную из состояния покоя. Ситуация требовала разрешения.

Новой теорией гравитации заинтересовался наш соотечественник, замечательный математик Александр Фридман (1888–1925), рис 9.1. Он сделал два основополагающих предположения – об однородности и изотропии Вселенной, которые позже были объединены в космологический принцип. Однородность понимается как одинаковость всех точек Вселенной, например, достаточно малые ячейки пространства Вселенной имеют одинаковое количество материи, давление, кривизну. Изотропия означает, что во Вселенной нет выделенных направлений. (Более подробно понятия однородности и изотропии обсуждены в Дополнении 7). Итак, предполагая, что материя во Вселенной распределена однородно и изотропно, Фридман в 1922–1924 годах нашел космологические решения уравнений Эйнштейна. Они определяют метрические свойства Вселенной, которая оказывается нестационарной. Расстояния между космическими объектами меняются, Вселенная либо расширяется, либо сжимается.

Рис. 9.1. Александр Фридман

Такие же решения независимо были найдены Леметром и опубликованы в 1927 году. Эйнштейн выразил свое скептическое отношение к результатам Леметра. При встрече с ним на одном из конгрессов Эйнштейн указал ему на более ранние результаты Фридмана, которые Леметр фактически повторил, то есть не был первым. Известна и фраза, которую Эйнштейн тогда сказал Леметру: «ваши вычисления правильны, но ваше понимание физики отвратительно».

Как показали дальнейшие события, Эйнштейн оказался неправ – решения, найденные Фридманом и позднее Леметром, как раз соответствуют реальной физике расширяющейся Вселенной. К сожалению, Фридман умер рано и не успел развить идеи, связанные с его космологическими решениями. Кроме того, он был математиком и не был хорошо знаком, в отличие от Леметра, с данными астрономии. В дальнейшем именно Леметр предложил теоретическое обоснование новых решений как физик, что сделало теорию знаменитой.

Но решающим аргументом стали представленные в 1929 году итоги наблюдений блистательного американского ученого Эдвина Хаббла (1889–1953), рис 9.2. Наблюдая удаленные галактики, он установил следующую закономерность: смещение линий в спектрах удаленных галактик пропорционально расстоянию до них:

где λ – наблюдаемая длина волны линии, λ_0 – длина этой же волны в лаборатории, r – расстояние до галактики, c – скорость света, H_0 – постоянная Хаббла, медленно меняющаяся величина, постоянная во всем пространстве на текущую эпоху, z – космологическое красное смещение. Хаббл использовал расстояния до галактик, рассчитанные по видимому блеску цефеид в этих галактиках, собственная светимость которых хорошо известна. В настоящее время способов определения расстояний больше, и закон Хаббла подтверждается для расстояний в миллиарды парсеков. Напомним, что 1 пк (парсек) равен расстоянию до объекта в космосе, параллакс которого с радиуса орбиты Земли равен одной угловой секунде (1 пк = 3,3 св. года).

Рис. 9.2. Эдвин Хаббл

Объясняется космологическое красное смещение эффектом Доплера. Вспомним, что звук приближающегося поезда выше (частота больше), чем звук удаляющегося.

Аналогично звуковым волнам, такой же эффект имеет место и для электромагнитных волн, в частности, для света: от удаляющегося источника приемник зарегистрирует свет меньшей частоты (большей длины волны), чем от лабораторного источника, и большей частоты – от приближающегося. Для скоростей значительно меньше скорости света верна формула Доплера: v = cz. Если сравним ее с законом Хаббла, то придем к выводу, что галактики разбегаются и их скорость увеличивается прямо пропорционально расстоянию. Закон Хаббла перепишется в виде:

v = H_0r,

чем дальше от нас галактика, тем больше ее скорость.

Величина z также очень удобна для оценки возраста объекта, от которого пришел свет. Действительно, z прямо связано с расстоянием, а расстояния – значительные и для их преодоления необходимо значительное время. Поэтому сигнал приносит информацию об объекте на более ранних стадиях расширения. Чем больше z, тем более ранняя эпоха исследуется. Отметим, что для больших z простую формулу Доплера необходимо корректировать с учетом ОТО.

Это открытие заставило раз и навсегда отказаться от понятия статичной Вселенной. Кроме того, предсказанное в решениях Фридмана и Леметра, оно стало еще одним подтверждением правильности новой теории гравитации.

После открытия Хаббла ученые обратили внимание на распределение скоростей, и обнаружили, что оно изотропно, как и полагалось в решениях Фридмана. Это означает, что наблюдатели, помещенные в различные точки пространства, не обнаружат выделенных направлений. Для каждого из них картина распределения скоростей разбегающихся галактик будет выглядеть как для нас: сферически симметричной. Таким образом, предположения Фридмана были сформулированы в виде космологического принципа, согласно которому в больших пространственных масштабах во Вселенной нет выделенных областей и направлений. Большинство специалистов согласно с тем, что любая модель Вселенной должна ему удовлетворять. По современным наблюдательным данным материя во Вселенной распределена однородно и изотропно на масштабах больших 50–100 Мпк.

Существует три типа решений Фридмана. Каждому из них соответствует свой тип геометрии пространства однородной и изотропной Вселенной. Для первого типа – 3-мерное пространство, в котором мы себя ощущаем в каждый момент времени, оказывается бесконечным, безграничным и с отрицательным знаком кривизны. Такие пространства называют гиперболическими, а в решениях Фридмана значение радиуса кривизны увеличивается со временем. Для второго типа решений 3-мерное пространство также оказывается бесконечным и безграничным, но не искривленным; его называют плоским. Первый и второй типы решений называют открытыми. Для третьего типа решений 3-мерное пространство является безграничным, но не бесконечным – его объем конечен. Это пространство с положительным знаком кривизны; его называют замкнутым. В качестве наглядного примера можно привести 2-мерное пространство обычной сферы. Замкнутое пространство можно классифицировать как 3-мерную сферу, экзотические свойства которой мы обсудим ниже. Примеры 2-мерных поверхностей разного типа приведены на рис. 8.6.

Тип пространства определяется плотностью энергии (или, эквивалентно, массы материи) во Вселенной. Плотность, при которой пространство плоское, называют критической. Если плотность материи меньше критической, то пространство Вселенной будет первого типа, если больше – третьего. Более детальное обсуждение типа космологических решений в зависимости от критической плотности приведено в Дополнении 8.

Поскольку мы уже немного владеем понятием метрики, то здесь будет полезным символически представить метрику решений Фридмана:

ds^2 = c^2 dt^2 – a^2(t)dl^2.

Здесь единственной информативной переменной оказывается величина a(t), которая называется масштабным фактором и показывает, как меняется расстояние между фиксированными частицами в расширяющейся Вселенной. Именно a(t) определяет постоянную Хаббла:

в законе v = Hr. Напомним, что величина H(t) медленно меняется со временем и постоянна в каждый момент во всем пространстве.

Итак, для метрики Фридмана уравнения ОТО превращаются просто в уравнения для a(t), плотности ρ и давления p материи. Связь между плотностью и давлением задается уравнением состояния. При решении этих уравнений определяется поведение a(t) в зависимости от времени. Таким образом, увеличение a(t) и означает расширение.

В большой степени на этом уровне для данного типа моделей роль гравитационной теории заканчивается. Далее, в рамках ОТО, самым важным является определение поведения a(t), что зависит от динамики материи (наполнителя), ее взаимопревращений. Дальнейшее изложение будет посвящено именно этому.

Существует различие в характере расширения открытых и замкнутых вселенных Фридмана. В первом случае расширение продолжается, хоть и с замедлением, но бесконечно. На рис. 9.3: кривая I – это гипербола и описывает расширение открытого гиперболического мира, кривая II – это парабола и описывает расширение открытого пространственно плоского мира. В третьем случае расширение в определенный момент сменяется сжатием: кривая III на рис. 9.3 иллюстрирует такое поведение.

Рис. 9.3. Изменение масштабного фактора

Если представления о бесконечных пространствах обычно не поражают воображение и не требуют пояснений, то таковые необходимы для последнего случая. Свойства 3-мерной сферы напоминают свойства обычной 2-мерной сферы – поверхности шара. Представим путешественника, движущегося по меридиану от Северного полюса к Южному. Миновав Южный полюс, путешественник начнет возвращаться к Северному, но с другой стороны. Точно так же путешественник в «замкнутом мире» 3-мерной сферы, удаляясь от Земли, достигнет полюса мира на 3-мерной сфере, а затем станет возвращаться к Земле, но с другой стороны.

Но что такое полюс (или противоположная точка по отношению к данной) на поверхности Земли – ясно. А что такое полюс 3-мерной сферы? Вот и начнем объяснения с поверхности Земли. Пусть наблюдатель помещен на Северном полюсе Земли. Пусть радиусами (отрезками меридиана, исходящими из полюса) все большей длины он прочерчивает одну за другой концентрические окружности (данной широты). Эти окружности сначала будут увеличиваться, пока не достигнут максимума на экваторе. Затем, с увеличением радиуса, длины этих окружностей начнут уменьшаться! Наконец, когда длина радиуса достигнет полной длины меридиана, длина окружности превратится в ноль! Мы достигнем Южного полюса – противоположного Северному!

Аналогично описывается 3-мерная сфера! Определяя некоторую точку на 3-сфере, как Исходный полюс, и удаляясь от него, исследователь будет описывать концентрические 2-сферы. Сначала площади этих сфер будут увеличиваться, пока не достигнут наибольшей по площади с центром в Исходном полюсе. Эту сферу можно назвать экватором замкнутого 3-мерного мира по отношению к Исходному полюсу. Затем, продвигаясь за экватор, исследователь обнаружит уменьшение (!) площадей 2-сфер. Продвигаясь еще дальше, он максимально удалится от Исходного полюса – там площадь 2-сферы обратится в ноль (!). Это как раз и означает, что он достиг Противоположного полюса.

Большой взрыв

Что было до большого взрыва? Дело в том, что не было никакого «до».

Господин Никто (Mr. Nobody)

Пойдем дальше. Если Вселенная расширяется, то это значит, что раньше она находилась в более плотном состоянии. Проведем экстраполяцию назад по времени в соответствии с решениями Фридмана. В конечном итоге все физические и геометрические характеристики обратятся в бесконечность. Это состояние называется космологической сингулярностью, которая мыслится как некая «точка», где даже понятия пространства и времени не имеют смысла. Однако в предельном смысле сингулярность относят к моменту времени t = 0, с которого начинается «история» фридмановских вселенных. В следующие мгновения скорости разлетающихся частиц чрезвычайно велики, поэтому процесс называют Большим взрывом, к обсуждению которого мы еще вернемся. А сейчас важно обратить внимание на следующее. Основы современной космологии, заложенные в 20–30-х годах прошлого столетия Фридманом, Леметром, Хабблом и многими другими, остаются фундаментом современной науки. Но признаемся честно – многие наши современники, даже те, кто интересуется достижениями и развитием науки, эти основы понимают порой превратно. Повседневный бытовой опыт мешает правильно понять реальное устройство мира. Большой взрыв часто воспринимается как взрыв, аналогичный взрыву бомбы, а современное расширение – как разлет остатков такого рода взрыва. Эта аналогия ошибочна, и мы сейчас обсудим это.

Чтобы представить расширение открытого мира, уместно проводить сравнение с расширением некой бесконечной эластичной простыни. Чтобы представить расширение замкнутого мира, нужно представить надувной шарик. Эти примеры встречаются в каждой соответствующей популярной статье или книжке, но едва ли можно придумать что-то более наглядное. Остановимся на замкнутом мире и обсудим 2-мерное пространство поверхности шарика с равномерно нанесенными на нее метками. Представим, что нет пространства вне шарика. Мало того, нет пространства и внутри шарика. Есть только его поверхность! Такой объект безграничен, но не бесконечен (площадь 2-сферы конечна), точно так же, как 3-мерная сфера замкнутого мира Фридмана. Тогда лучи света будут распространяться по поверхности 2-сферы (им некуда деваться, потому что ничего нет, кроме нее), и, находясь на ней, можно наблюдать все, что происходит даже с противоположной стороны. Шарик начинают надувать, его поверхность увеличивается. Метки на шарике разбегаются друг от друга. Что увидит наш 2-мерный наблюдатель? Хотя плотность меток со временем уменьшается, но в каждый момент времени их распределение будет оставаться однородным. Для всех наблюдателей, помещенных в разные точки поверхности, все метки во всех направлениях убегают одинаково. Это – изотропия!

Причем, чем дальше метка от наблюдателя, тем быстрее она от него бежит. И, конечно, на поверхности нет никакого выделенного центра расширения! Качественно такая же модель расширения имеет место для 3-мерного пространства Вселенной.

Научный термин «Большой взрыв» сразу ассоциируется с представлением об обычном взрыве. Но это совершенно неверное сравнение. Что такое взрыв гранаты или бомбы? Возгорание взрывчатки создает внутреннее давление, которое значительно превышает внешнее давление атмосферы. За счет этого вещество снаряда разлетается во все стороны. В такой модели есть выделенный центр, а поэтому чрезвычайно неоднородны и давление, и распределение вещества. Кроме того, нет изотропии – детекторы, расположенные в разных точках пространства зарегистрируют различную картину распределения скоростей разлетающихся частиц, как по направлениям, так и по величине. Высокая степень однородности и изотропии в нынешней картине расширения Вселенной требует еще большей их степени в эпоху Большого взрыва. Все вместе говорит о том, что в модели Большого взрыва нет выделенного центра – точки, откуда могло бы что-то разлетаться! То есть Большой взрыв от взрыва обычного отличается принципиально.

Теперь вернемся к понятию космологической сингулярности, мыслимой как некая исходная «точка». Поскольку какого-то выделенного центра нет, ее нельзя представить как «точку», помещенную в какое-то внешнее пространство. Это объект «сам по себе» и содержащий в себе еще не возникшие пространство и время. Здесь, конечно, речь о внешнем пространстве той же размерности, что и наша Вселенная. Тогда, давайте, поместим нашу Вселенную («точку») в пространство большей размерности, и там ее «взорвем», как бомбу. Но при этом необходимо признать, что должно быть воздействие внешнего пространства на наше внутреннее и наоборот. Пока такого

«взаимодействия» не зарегистрировано, хотя очень активно возможности его проявления и анализируются, и проводятся соответствующие эксперименты. Кроме того, если мы разлетаемся из-за «реального» взрыва в пространстве большей размерности, то в раннюю эпоху его влияние на нашу Вселенную должно было быть чрезвычайным, и это влияние должно было бы оставить след. Но как показывают космологические исследования, нет необходимости привлекать такого рода экзотические силы, чтобы объяснять явления ранней Вселенной.

Наличие сингулярности в теории долгие годы вызывало и вызывает активную критику. Действительно, смещаясь назад по времени, исследователь достигает таких огромных значений физических характеристик, при которых физика явлений просто неизвестна. Поэтому говорить, что расширение началось с сингулярности, строго говоря, нельзя. Что служит разумным ограничением для предельных значений? С построением квантовой механики к двум основным физическим постоянным, о которых мы уже говорили – гравитационной G ≈ 6,67 · 10–8 см^3/г·с^2 и скорости света с ≈ 3 · 10^10 см/с, добавилась третья – постоянная Планка h ≈ 3,32 · 10–27 г · см^2/с = 3,32 · 10–34 Дж · с. С их помощью, с использованием всех трех, стало возможным построение любой физической величины любой размерности, а значение такой величины получило название планковской. Таким образом, планковские масштаб и время имеют значения l ~ 10–33 см и t ~ 10–43 с. Существуют также планковские плотность, давление и т. д.

Современная физика не может определенно сказать, что происходит на масштабах и в промежутки времени меньше планковских, или при плотностях, давлениях и т. д. – больше планковских. Таким образом, обычно историю развития Вселенной начинают исследовать с некоторого сверхплотного «зародыша», имеющего планковские характеристики. Конечно, вопрос появления самого «зародыша» есть и будет предметом дальнейших исследований.

Например, на основе тех же квантовых представлений при некоторых предположениях предлагаются модели рождения «из ничего». Их основное содержание в том, что Вселенная начинает развиваться из квантовой флуктуации. Важно отметить, что именно модели Фридмана с замкнутым пространством оказываются более подходящими для сценариев квантового рождения Вселенной. Подробнее об этой возможности мы поговорим в главе о гравитационной энергии.

Подведем некоторый итог. Конечно, понятие «Большой взрыв» принципиально отличается от обычных взрывов. Кроме того, это не одномоментное явление, которое происходит в виде разлета начальной сингулярности, а, скорее, самый ранний период в истории Вселенной, который начинается с планковских масштабов.

Новые проблемы космологии

Вернемся к парадоксам нерелятивистской космологии. Вспомним, что причина гравитационного парадокса в том, что для однозначного определения гравитационного воздействия либо недостаточно уравнений, либо нет возможности корректно задать граничные условия. В случае фридмановской космологии независимыми являются два уравнения Эйнштейна. Учитывается также уравнение состояния (связи между плотностью и давлением). Кроме того, на данный момент времени из наблюдений известны плотность и скорость расширения.

Все это однозначно определяет эволюцию масштабного фактора a(t), плотность ρ и давление p. Становится известной геометрия космологического пространства-времени, а значит, тип и динамика 3-мерного пространства, в котором звезды, галактики, скопления галактик ведут себя в соответствии с современными наблюдениями. То есть гравитационного парадокса не возникает.

Теперь зададимся, возможно, провокационным вопросом. А можно ли описать расширяющуюся Вселенную с помощью гравитации Ньютона? Оказывается, можно! Обратимся к опыту Зельдовича. В своих лекциях он всегда старался представить материал простейшим способом, а рассказывая о космологических решениях, по возможности ограничивался теорией Ньютона.

Рис. 9.4. Схема расчета ускорений

Рассмотрим шар радиуса R_0 и элемент массы m внутри шара на расстоянии от центра R < R_0 (рис. 9.4). Такая задача рассматривалась еще Ньютоном. Он же и установил, что сила, действующая на m, определяется массой материи внутри сферы радиуса R, а гравитационное действие внешних областей взаимно компенсируется:

F = GMm/R 2,

здесь: M = (4π/3)R 3ρ – масса материи внутри сферы, ρ – плотность материи, распределенная однородно. Следовательно, ускорение

a = (4π/3)GρR = CR.

Таким образом, ускорение элемента в точке R пропорционально его расстоянию от центра и не зависит от радиуса шара R_0 при любом, сколь угодно большом R_0. Это фактически означает, что соотношение справедливо для бесконечной однородной вселенной.

Но остается вопрос: решение было найдено для некоторого центра, в котором ускорение равно нулю, а в других точках имеет вполне определенную величину и направлено к центру. А где такой центр в бесконечной однородной вселенной? На самом деле, никакого выделенного центра нет или, если угодно, таким центром может быть любая точка. Возьмем произвольную точку О′, находящуюся на некотором расстоянии RО′ от «нашего» центра, ускорение которой aО′ = – СRО′. Радиус-вектор и ускорение направлены, разумеется, в разные стороны. Перейдем в систему координат с центром в точке О′ (рис. 9.5). Величины в этой новой системе координат будем обозначать штрихом.

Рис. 9.5. Переход к другой системе координат

Ускорения в старой и новой системах координат связаны правилом Галилея, которое, если кто забыл, справедливо не только для скоростей, но и для ускорений:

a′A = aA – aО′.

Подставляя в это соотношение выражение для ускорений aA = – CRA и aО′ = – СRО′ и используя правило сложения векторов R ′A = RA – RO′ (рис. 9.5), получим:

a′A = – CR′A.

Следовательно, наблюдатель в точке О′ будет видеть ту же картину – все частицы материи имеют ускорение, направленное к нему. Ситуация несколько непривычная – ускорение направлено к центру, но центр «виртуальный», им всегда является точка, в которой находится наблюдатель. Такая ситуация концептуально отличается от ньтоновой, в которой предполагается наличие выделенного пространства, общего для всех наблюдателей.

В приведенном выше расчете распределения ускорений в однородной вселенной не учитывались начальные скорости. Очевидно, что если начальное состояние статично, т. е. скорости нулевые, то вселенная начнет сжиматься, плотность и ускорения будут расти.

Рассмотрим ситуацию, когда есть некоторые начальные скорости, направленные от наблюдателя (от «центра»). Для сохранения однородности в постановке задачи необходимо, чтобы начальная скорость была пропорциональна расстоянию от наблюдателя:

V = HR,

здесь H – коэффициент пропорциональности.

Вселенная будет расширяться, но скорость расширения будет падать. Из-за расширения будет уменьшаться плотность, а, следовательно, и ускорение. Что «пересилит»? Если начальная плотность достаточно велика, или, если угодно, мала начальная скорость, расширение через некоторое время сменится сжатием. При достаточно большой начальной скорости расширение будет продолжаться вечно. Качественно ситуация аналогична, например, рассмотрению стартовавшей с Земли ракеты. При скорости, большей второй космической, ракета может преодолеть притяжение и улететь на бесконечность.

В нашем случае также можно определить критическое распределение скоростей, в данном случае это параметр Hк, при превышении которого сжатие никогда не наступит. Его значение определяется соотношением:

3Hк^2 = 8πGρ.

Но точно так же, можно оперировать с критической величиной плотности, рассчитывая ее по отношению к параметру H. Именно так делается при анализе решений Фридмана. Мало того, это соотношение для определения критической плотности полностью совпадает с фридмановским, см. Дополнение 8.

Подведем итог. Оказывается, что законы расширения, определенные Фридманом, полностью совпадают с описанием, представленным только что на основе ньютоновых законов. Таким образом, еще Ньютон мог представить картину расширения, соответствующую моделям Фридмана. По этому поводу приведем слова Зельдовича: «Величие открытия Фридмана заключается, может быть, не столько в применении общей теории относительности, сколько в отказе от предвзятого представления о стационарности Вселенной».

Объяснение фотометрического парадокса основано на конечности возраста Вселенной. Очень интересно, что такое решение проблемы было предложено задолго до построения ОТО, т. е. конечный возраст Вселенной был просто предположением, плодом интуиции. Скорее всего, приоритет нужно отдать немецкому астроному Иоганну Мёдлеру (1794–1874), заявившему об этом в 1861 году. Математическое изучение этого предположения провел английский физик Уильям Томсон (1824–1907), более известный как Кельвин. По современным данным возраст Вселенной более 13 млрд лет, следовательно, исключается основное предположение парадокса: бесконечное число звезд. В реальности их нет дальше границы определенной возрастом Вселенной. Справедливости ради нужно отметить, что это решение проблемы фотометрического парадокса было предложено еще раньше, и не ученым, а писателем и поэтом Эдгаром По в 1848 году в поэме «Эврика».

Существует еще один фактор, который снижает яркость неба. Это космологическое красное смещение, о котором речь уже шла.

Но как оказалось, модели, основанные на стандартном (обычном) фридмановском расширении имеют проблемы. Избавились от проблем нерелятивистской космологии, зато приобрели новые. Но ничего не поделаешь, в этом и состоит логика развития науки. Итак, фридмановское расширение имеет место тогда, когда пространство заполнено веществом с обычным уравнением состояния, то есть вещество имеет положительное (или нулевое) давление. Получив начальный импульс (что само по себе также является предметом для изучения), планковский «зародыш» далее расширяется по инерции в соответствии с решениями Фридмана. Все решения Фридмана имеют степенной по времени характер расширения: a(t) ~ tx. В зависимости от типа решения (гиперболическое, плоское, замкнутое) и от свойств наполнителя (материи) определяется конкретное значение x, но в любом случае 0 < x < 1, а это означает, что во всех случаях расширение происходит с замедлением. Это взаимное притяжение материи тормозит ее разлет. На настоящий момент весьма точно известны значения важных параметров модели Вселенной. Используя известный закон расширения, мы можем экстраполировать значения этих параметров на ранние времена, сравнимые с планковкими. Проделав это, мы обнаружим некоторые удивительные факты, не имеющие разумного объяснения. Опишем их ниже.

Рис. 9.6. Причинно связанные области и горизонты

Сначала определим понятие космологического горизонта событий. Пусть в момент времени t = 0 «родилась» вселенная (рис. 9.6). Но для простоты предположим, что эта вселенная не реальная, а «игрушечная», представляет мир Минковского (не расширяющийся и не сжимающийся). Все точки в «начальном» пространстве при t = 0 причинно не связаны. Действительно, они еще не успели обменяться никакими сигналами. Наблюдатель в любой точке в самый начальный момент ничего не видит из-за того, что никакой свет до него еще не дошел. Через момент Δt появятся области пространства размером Δx = cΔt, точки которого обменялись сигналами, пунктирные линии на рис. 9.6 обозначают мировые линии световых лучей. Ясно, что со временем такие причинно связанные области растут, на рис. 9.6 область от x_1 до x_2 стала причинно связанной за время tA. Чем такие области замечательны? Пусть они заполнены каким-то веществом. В силу случайного рождения оно изначально не однородно и не равновесно. Однако, становясь причинно связанными, эти области имеют большие шансы стать однородными и равновесными, поскольку даже крайние точки могли обменяться сигналами. Вернемся к наблюдателям. С течением времени они будут видеть все большую часть родившегося мира. Наблюдателю в мировой точке A на рис. 9.6 доступна область a_1a_2, а наблюдателю B в более поздний момент времени – уже область b_1b_2.

Граница принципиально наблюдаемой области пространства называется горизонтом событий для данного наблюдателя. На данный момент времени размеры горизонта и причинно связанной области одинаковы по порядку величины. В случае нашей «игрушечной» вселенной с пространством Минковского горизонт в 2 раза больше причинно связанной области на тот же момент времени, как показано на рисунке.

Теперь перейдем к обсуждению вселенной Фридмана. В отличие от «вселенной Минковского» она расширяется. Вспомним, что расширение имеет степенной характер по времени a(t) ~ tx при 0 < x < 1. Существует ли горизонт событий для такой вселенной? Поведение масштабного фактора a(t) позволяет вычислить расстояние, которое проходит свет за время t, – оно будет пропорционально t. В то же самое время, вселенная Фридмана расширяется с замедлением. Поэтому распространение света «обгоняет рост масштабного фактора», а значит, горизонт событий существует, и в далеком будущем в его пределах

окажется любая наперед заданная частица. Принципиально вселенная Фридмана имеет те же свойства, как и «игрушечная» вселенная Минковского. Размеры горизонта и причинно связанной области одинаковы по порядку величины на каждый момент времени.

Теперь сформулируем проблему горизонта вселенной Фридмана, или ее еще называют проблемой однородности и изотропии. Возраст Вселенной на настоящий момент считается большим 13 млрд лет, отсюда вычисляется современный горизонт, принципиально наблюдаемая область, который имеет порядок 10^28 см. Возвращаясь в планковскую эпоху t = 10–43 с, используя закон расширения Фридмана, получим, что тогда наша современная область наблюдений имела размеры порядка 10–3 см. Такой объем содержал 10^90 (!) планковских областей. В планковскую эпоху каждая такая область только что «родилась» и не имела возможности обменяться сигналами с остальными. То есть все они между собой причинно не связаны. Однако, как говорилось, наблюдаемая часть Вселенной весьма однородна и изотропна. Но это означает, что все 10^90 начальных планковских областей должны быть одинаковы. В силу неизвестной нам физики можно предположить, что «внутри себя» планковская область однородна и изотропна. Но это же утверждение для 10^90 начальных планковских областей невероятно и в рамках фридмановкой космологии объяснения не имеет.

Описание проблемы горизонта на примере планковких масштабов, хотя и выглядит впечатляюще, кому-то покажется оторванным от реальности. Часто, чтобы ее представить, обращаются к вполне подтвержденным наблюдениям. Для этого мы забегаем вперед, несколько предваряя рассказ об эволюции материи во Вселенной. Важным периодом является эпоха рекомбинации водорода. С расширением Вселенная остывает, и, естественно, состояние материи меняется. Был период, когда она была заполнена равновесным газом протонов и электронов совместно с электромагнитным излучением (фотонами). Когда температура достаточно понизилась, это было через 300 000 лет после Большого взрыва, отдельные протоны и электроны объединились в атомы водорода (момент рекомбинации). Среда стала прозрачной для электромагнитного излучения, которое далее расширяется независимо. Как следствие, в наше время это излучение (реликтовое) наблюдается очень остывшим.

Рис. 9.7. Проблема изотропии реликтового излучения

Обратимся к рис. 9.7. Реликтовое излучение приходит к нам с огромного расстояния около 14 млрд световых лет (большой круг). Однако когда это излучение начало свой путь, возраст Вселенной был, как мы отметили, 300 000 лет и за это время обменяться сигналами (пусть световыми) могли небольшие области (маленькие окружности). Два маленьких круга на рисунке никак не могли обменяться сигналами, т. е. они причинно не связаны. Поэтому нет оснований для того, чтобы они имели одинаковые характеристики, скорее, наоборот. Однако реликтовое излучение, которое мы наблюдаем со всей большой сферы, в высшей степени изотропно! Это и есть проблема однородности и изотропии в иной иллюстрации.

Обсудим другую проблему. Каждый из трех типов расширения глобального пространства Вселенной определяется средней плотностью вещества, заполняющего это 3-мерное пространство. Плоскому случаю соответствует критическая плотность. Если плотность меньше – будет гиперболическое пространство, если больше – замкнутое. Важно иметь в виду, что для каждого момента в эволюции критическая плотность имеет разное значение. Так вот, наблюдения показывают, что с очень высокой точностью современная плотность всего вещества во Вселенной близка к критической, то есть мы живем фактически в плоском пространстве, или (что то же самое) в пространстве с огромным радиусом кривизны. Возвращаясь в планковскую эпоху, получим, что тогда плотность должна была быть близкой к критической с невероятной точностью 10–60! Почему так? Объяснить этот факт в рамках обычной фридмановской модели тоже не получается. Это вторая проблема и она называется проблемой плоскостности.

Пойдем дальше. Когда говорилось об однородности – это означало, что видимая часть Вселенной мысленно разбивалась на «кубики», очень мелкие по сравнению со всем наблюдаемым объемом. Однородность означает, что массы всех таких кубиков одинаковы. Условно говоря, в каждом кубике одинаковое количество галактик. Продолжим операцию. Теперь каждый из уже имеющихся кубиков разобьем на еще более мелкие по отношению к исходным. Тогда обнаружится, что какой-то кубик второго порядка малости содержит отдельные галактики, какой-то скопления и даже сверхскопления галактик, а какие-то кубики останутся совсем пустыми. То есть обнаружится, что на меньших масштабах Вселенная неоднородна.

Распределение сверхскоплений, скоплений галактик и самих галактик называется крупномасштабной космологической структурой. Известно, что она развивается из флуктуаций плотности, возникших во времена, близкие к планковским. Если мы хотим получить в результате обычного фридмановского расширения ту структуру, которую имеем сейчас, и которая достаточно хорошо изучена, то исходные возмущения планковской эпохи должны быть не произвольными, а очень специфичными. Но для этого нет веских оснований, и это третья проблема – проблема первичных флуктуаций плотности.

Инфляция

Дорога к инфляции вымощена благими намерениями.

Уолтер Хеллер

Как решить эти проблемы? Мы не можем отказаться от того, что Вселенная расширяется от какого-то очень плотного состояния. Значит нужно подумать о характере расширения. До сих пор рассматривалось состояние вещества с положительным давлением, как в обычной жизни. Однако для физики, тем более для физики в искривленном пространстве-времени, ситуация с уравнением состояния вещества, в котором давление отрицательно, не является чем-то экстраординарным, она ничему не противоречит. Именно эта возможность была проанализирована. Было предложено много вариантов, моделирующих такое состояния. Общим для всех моделей является использование подзабытой космологической постоянной (см. Дополнение 4). Разница с величиной, введенной Эйнштейном, в том, что в этих сценариях она является эффективной, то есть ее присутствие в уравнениях Эйнштейна обеспечивается тем или иным полем или коррекциями самой геометрической теории. Формально именно такая космологическая постоянная имитирует вещество с отрицательным давлением.

Если предположить, что в послепланковскую эпоху вещество имело отрицательное давление, или что-то имитировало такое вещество, то расширение будет проходить не по степенному закону с замедлением, а по экспоненциальному a(t)~ eHt, с «бешеным» ростом масштабного фактора, с очень большим ускорением. Особенность такого расширения в том, что, несмотря на увеличение объема, плотность заполняющей его энергии остается постоянной! Это расширение ведет к быстрому раздуванию малых объемов и поэтому называется инфляцией (аналогично раздуванию денежной массы). Продолжительность инфляции определяется временем существования эффективной космологической постоянной. В разных версиях длительность инфляции варьируется, она должна быть более 70–100 планковских времен (10–43 с). Чаще рассматривают модели со значительно большей длительностью, например, инфляция продолжительностью 10–35 с раздувает «зародыш» размером 10–33 см в 101000000000000 раз (это число с триллионом нулей). Этого более чем достаточно, чтобы успешно решить все три основных проблемы фридмановской космологии.

Начнем с проблемы крупномасштабной однородности и изотропии Вселенной. С учетом инфляции весь современный наблюдаемый объем Вселенной оказывается результатом расширения единственной планковской причинно-связанной области доинфляционной эпохи, а не 10^90 таких областей. Формально это происходит потому, что при экстраполяции назад по времени мы используем вместе с фридмановским еще и инфляционный закон расширения. Таким образом, первая проблема решается. Далее, во время инфляционной стадии радиус пространственной кривизны увеличивается настолько, что его последующее увеличение до современного значения путем фридмановского расширения как раз с необходимой точностью соответствует плоскому пространству. И современная плотность оказывается близкой к критическому значению с необходимой точностью. Таким образом, решается вторая проблема. И наконец, в ходе инфляционного расширения произвольные флуктуации плотности приобретают в конце инфляции как раз такие специфические свойства, что в результате послеинфляционного развития они превращаются в наблюдаемую структуру при сохранении крупномасштабной однородности и изотропии. То есть разрешается и последняя проблема.

Разрешив проблемы стандартной фридмановской космологии, инфляция, как ранняя стадия в эволюции Вселенной, стала общепризнанной. Впервые эти идеи были высказаны в 1979–1980 годах в работах известного космолога Алексея Старобинского. К настоящему времени существует масса вариантов возникновения и развития инфляции, детали и следствия этого периода эволюции Вселенной очень активно изучаются.

Кроме решения проблем фридмановской космологии, инфляция снимает вопрос: что и почему «взорвалось»? Ничего не взорвалось! Это инфляция разогнала вещество до огромных скоростей. После прекращения инфляции вещество разбегается «по инерции» и фридмановским законам. Таким образом, понятие Большого взрыва в современной интерпретации обычно означает период от образования квантового «зародыша» до завершения инфляции, хотя иногда определяют и более продолжительный период.

Конец инфляционного расширения соответствует моменту прекращения действия механизма, обеспечивающего существование эффективной космологической постоянной.

Современное ускоренное расширение

Таким образом, с помощью инфляции модели Фридмана были подправлены на ранних стадиях развития Вселенной. Казалось бы, решив проблемы фридмановской космологии, можно было успокоиться. Но не тут-то было. В 1998 году два независимых коллектива исследовали удаленные сверхновые с целью измерения скорости расширения Вселенной. Одна из них, под руководством Сола Перлмуттера, приступила к работе в 1988 году, другая, возглавляемая Брайаном Шмидтом, подключилась к исследованиям в 1994 году. Результат был чрезвычайно неожиданным – оказалось, что Вселенная находится в режиме ускоренного расширения.

Позднее другие группы независимыми методами подтвердили этот результат, так что в настоящее время он не вызывает сомнений. За это открытие Нобелевская премия по физике 2011 года вручена американцу Солу Перлмуттеру, австралийцу Брайану Шмидту и американцу Адаму Рису. Итак, космологическое сообщество стало перед необходимостью подправить и поздние стадии эволюции фридмановских моделей.

Теперь эволюция масштабного фактора выглядит схематически так, как на рис. 9.8. До планковского времени t_1 = 10–43 с была эпоха квантового пространства-времени, о которой мы ничего не знаем, в этот момент появилось классическое пространство-время и началась инфляция, которая продолжалась примерно до момента t_2 ~ 10–35 с, но и эта оценка приблизительная. Затем наступила фридмановская стадия, которая продолжалась по разным оценкам до t_3 ~ 7–9 млрд лет, после чего начинается современное ускоренное расширение, которое мы и наблюдаем в наше время t_4 ~ 14 млрд лет.

Причем качественно эта картина является одинаковой как для открытых миров, так и для замкнутых.

Рис. 9.8. Эволюция масштабного фактора с учетом инфляции и современного ускорения

Рассказывая о гравитационном взаимодействии, мы не в состоянии (не имеем места) описать все космологические или астрофизические методы, с помощью которых получены те или иные данные. Поэтому часто представляем их без обсуждения способов получения. Как правило, именно эти результаты на настоящий момент не вызывают сомнений. Один из них уже упоминался – это то, что в настоящую эпоху радиус кривизны чрезвычайно велик, то есть кривизна Вселенной весьма близка к нулевой. И соответственно, плотность вещества во Вселенной близка к критической. Чатично об этом выводе говорится в Дополнении 8.

Чем же наполнена Вселенная? Это светящиеся звезды, газовые облака, и т. д., то есть обычная материя, состоящая из атомов, которая называется барионной. Также к обычной материи относят излучение, в основном электромагнитное. Однако на долю обычной материи относят всего 4 % всей материи Вселенной.

Несколько десятилетий назад было обнаружено, что звезды в галактиках движутся не совсем так, как предписано законами Ньютона (это приближение в данном случае совершенно оправдано). Со временем эти наблюдения подтверждались все надежнее. Самым подходящим объяснением оказалось предположение, что галактики (или скопления галактик) погружены в некое вещество, создающее гало вокруг этих объектов. Это вещество было названо темной материей, а его природа до сих пор не известна. На долю темной материи относят 22 % всей материи во Вселенной. А чем представлена остальная материя? Открытие ускоренного расширения дает возможность с определенной уверенностью сказать, что такая субстанция действительно есть.

Она получила название темной энергии и представляет собой материю с необычными свойствами, имеет отрицательное давление (которое и обеспечивает расширение, иначе его можно назвать гравитационным отталкиванием). На долю темной энергии относят оставшиеся 74 % всей материи во Вселенной. Надо сказать, что эти проценты не являются совсем уж общепринятыми во всех источниках. Но бесспорно, что порядок соотношений именно такой, рис. 9.9.

Рис. 9.9. Соотношение видов энергии во Вселенной

Теперь вспомним сценарий инфляции, там тоже было отрицательное давление, которое определялось эффективной космологической постоянной. В нашу эпоху плотность темной энергии со временем не меняется, поэтому также можно сказать, что она имитирует некую эффективную космологическую постоянную. Разница в том, что на ранних стадиях эффективная космологическая постоянная поддерживалась определенными условиями той эпохи и с расширением распалась, а космологическая постоянная современного расширения, если можно так сказать, – долговременная.

Так же как и природа темной материи, природа темной энергии неизвестна, а поиск ответа на этот вопрос является предметом значительных усилий современных исследований. Но возможны и другие варианты ускоренного расширения, с другими уравнениями состояния, отличными от непосредственного использования эффективной космологической постоянной, однако при этом условие отрицательного давления сохраняется.

С открытием темной энергии сильно изменились представления о том, каким может быть отдаленное будущее нашей Вселенной. До этого открытия вопрос о будущем однозначно связывался с вопросом о кривизне трехмерного пространства. Вспомните: открытые миры Фридмана расширяются бесконечно, для замкнутых – расширение сменяется сжатием. Теперь же понятно, что будущее определяется свойствами темной энергии. Поскольку нам эти свойства сейчас известны плохо, то предсказать будущее, хоть бы с какой-то определенностью, нельзя. Но есть разные варианты.

Если плотность темной энергии постоянна во времени, то Вселенная будет всегда испытывать ускоренное расширение, даже если она оказалась пространственно замкнутой. Большинство галактик удалится от нашей на значительно большие расстояние, чем сейчас, и наша Галактика вместе с немногими соседями окажется островком в пустоте.

Если темная энергия – это квинтэссенция (это состояние материи не столь жесткое, как состояние эффективной космологической постоянной с неменяющейся плотностью энергии), то в далеком будущем ускоренное расширение может прекратиться и даже смениться сжатием.

Самая драматическая судьба ожидает Вселенную, если темная энергия – это, так называемый, фантом, причем такой, что его плотность энергии возрастает неограниченно. Расширение Вселенной будет все более и более быстрым, оно настолько ускорится, что галактики будут вырваны из скоплений, звезды из галактик, планеты из Солнечной системы. Мало того, электроны оторвутся от атомов, а атомные ядра разделятся на протоны и нейтроны. Такой конец называют большим разрывом. Все это, однако, относится к очень отдаленному будущему даже по космологическим меркам. По разным оценкам в ближайшие 20 млрд лет Вселенная будет оставаться почти такой же, как сейчас.

Модель горячей Вселенной

Мы можем все высчитать и все просчитать, но Вселенная слушает себя, а не наши расчеты. А в ней все со всем связано, все на все влияет…

Анхель де Куатье «Дневник сумасшедшего»

До сих пор мы представляли модели Вселенной в большей мере с точки зрения геометрии и развития этой геометрии во времени. И это вполне соответствует нашей задаче обсуждения гравитационных взаимодействий. Действительно, как мы договорились, в современном научном понимании гравитационные явления должны рассматриваться с позиции искривления пространства-времени. Однако космология без обсуждения эволюции вещества выглядит незавершенной. Необходимо иметь хотя бы общие представления. Поэтому мы кратко изложим основную (наиболее признанную) парадигму эволюции вещества во Вселенной. Она называется моделью горячей Вселенной и предложена в 1948 году Георгием Гамовым (1904–1968). Основная идея состоит в том, что вещество, будучи в начальные моменты очень плотным, должно быть еще и очень горячим, а по мере расширения остывать.

Прежде всего отметим, что утверждения о самой ранней стадии эволюции Вселенной являются весьма приблизительными. Планковское время 10–43 с считают моментом отделения гравитационного взаимодействия от остальных трех фундаментальных взаимодействий: электромагнитного, слабого и сильного. Этому времени соответствует планковская температура ~ 10^19 ГэВ. Для пояснения, часто температура измеряется энергетическими единицами, как здесь – электронвольтами (эВ), а 10^19 ГэВ соответствует 10^32 К. С расширением (со временем) температура падает. После «планковского рождения» началась инфляция. Время ее завершения приблизительно 10-37 с или более.

После стадии инфляции Вселенная наполнилась обычной материей – известными нам элементарными частицами. В списке известных частиц каждой частице соответствует античастица, например, протону – антипротон и т. д. Но современный мир состоит почти из одних частиц, античастиц – ничтожное количество. Если бы состояние Вселенной после инфляции было строго равновесным, то частиц и античастиц должно было родиться одинаковое количество, они бы все аннигилировали с выделением энергии в виде, скажем, излучения, и нашего мира в современном восприятии не было бы. Прежде всего важно соотношение барионов (это протоны, нейтроны – основа нашего мира) и антибарионов. Но поскольку Вселенная расширяется, то равновесия не возникло, и это, полагают, привело к избытку числа барионов над числом антибарионов, а этот избыток и есть вещество нынешней Вселенной. Момент образования этой асимметрии относят также к моменту окончания инфляции и периоду рождения обычной материи.

Завершением инфляции будем считать время 10–35 с, когда температура остается не ниже 10^16–10^15 ГэВ (10^29 К) и неразличимы взаимодействия различных видов: электромагнитного, слабого и сильного (всех, кроме гравитационного) – они проявляют себя как единое взаимодействие. Этот период называется периодом Великого объединения. С расширением, при температуре ниже 10^15 ГэВ, эпоху Великого объединения сменяет эпоха электрослабого объединения, когда только электромагнитное и слабое взаимодействия представляют единое целое.

В момент, когда температура понижается до 100 ГэВ (10^17–10^16 К) эпоха электрослабого объединения заканчивается, это называют элетрослабым фазовым переходом и он происходит через 10–10 с после «рождения». Образуются такие элементарные частицы, как кварки, лептоны, глюоны и промежуточные бозоны. Это состояние называется кварк-глюонная плазма. Такие элементарные частицы, как барионы (протоны, нейтроны, и т. д.) и мезоны (пионы, каоны, и т. д.), называются адронами и состоят из кварков. В настоящую эпоху нет возможности увидеть кварки свободными – они «намертво» вморожены в частицы. А в то время они были в свободном состоянии равновесной плазмы. Но Вселенная остывает и при возрасте 10–4 с и температуре 100 МэВ (10^12–10^13 К) приходит эра, когда становится возможным слияние кварков в адроны (конфаймент кварков). В эту эпоху состав Вселенной начинает походить на современный; основные частицы – это фотоны, помимо них есть только электроны и нейтрино со своими античастицами, а также протоны и нейтроны. В этот период происходит одно важное событие: нейтрино перестают активно взаимодействовать с веществом (то есть вещество становится прозрачным для нейтрино) и далее расширяются самостоятельно. Возникает реликтовый фон нейтрино. К настоящему времени нейтринный газ должен был остыть до 1,9 К, если нейтрино не имеют массы (или их массы пренебрежимо малы).

При температуре 0,7 МэВ и ниже (10^10–10^9 К) термодинамическое равновесие между протонами и нейтронами, существовавшее до этого, нарушается и отношение концентрации нейтронов и протонов застывает на значении 0,19. Начинается синтез ядер дейтерия, гелия, лития. Момент начала такого процесса (который называется первичным нуклеосинтезом) от «рождения мира» – около 1 секунды. Примерно через 3 минуты после рождения Вселенной температура падает до значений, при которых синтез ядер уже невозможен, и химический состав вещества остается неизменным до момента рождения первых звезд.

Таким образом, для дозвездного вещества (по числу атомов) предсказывается: H (75 %), 4He (25 %), D (3 · 10–5), 3He (2 · 10–5), 7Li (10–9). Эти цифры хорошо согласуются с новейшими определениями химсостава вещества по линиям в спектрах квазаров на больших красных смещениях.

Важные моменты в ранней Вселенной приведены в таблице

Важной эпохой в эволюции Вселенной является эпоха рекомбинации водорода. Это произошло через 300 000 лет после начала расширения. Процесс состоял в том, что отдельные протоны и электроны объединились в атомы. Такая среда становится прозрачной для электромагнитного излучения, которое далее расширяется независимо, остывая при этом в соответствии с фридмановским законом. Как следствие, в наше время должно наблюдаться остаточное излучение, спектр которого такой же, как спектр абсолютно черного тела, и это излучение должно быть в высшей степени изотропно.

В 1964 году американские ученые Арно Элан Пензиас и Роберт Вилсон, испытывая чувствительную радиоантенну, обнаружили очень слабое фоновое микроволновое излучение, от которого никаким образом не могли избавиться. Его температура оказалась равной 2,73 К, что близко к предсказанной Гамовым величине в модели горячей Вселенной. Из экспериментов по исследованию изотропии было установлено, что источник микроволнового фонового излучения не может находиться внутри Галактики, так как тогда должна была бы наблюдаться концентрация излучения к центру Галактики. Источник излучения не мог находиться и внутри Солнечной системы, так как наблюдалась бы суточная вариация интенсивности. В силу этого был сделан вывод о внегалактической природе излучения.

Тем самым гипотеза горячей Вселенной получила, пожалуй, самое веское наблюдательное основание, после чего в ней уже мало кто сомневается. За это открытие Пензиас и Вилсон в 1978 году получили Нобелевскую премию по физике.

Расскажем о реликтовом излучении немного больше. Действительно, его спектр соответствует спектру излучения абсолютно черного тела с температурой 2,73 К. Максимальная интенсивность приходится на частоту 160,4 ГГц, что соответствует длине волны 1,9 мм (микроволновое излучение).

Обсуждая основы СТО и ОТО, мы заостряли внимание на том, что в этих теориях в общем случае нельзя выделить в чем-то особую систему отсчета. Однако решение для Вселенной – это уже не общий случай, а реликтовое излучение в силу своей всеобщности и изотропии вполне может играть роль такой выделенной системы отсчета. Фактически оно уже играет роль «каркаса», относительно которого проводят измерения во Вселенной. Существует так называемая дипольная анизотропия. Оказывается, в одной части неба реликтовое излучение чуть теплее, в противоположной – чуть холоднее, разница составляет 6,71 мК (милликельвин). Этот эффект вызван доплеровским смещением частоты из-за нашей собственной скорости относительно системы отсчета, связанной с реликтовым излучением. Он соответствует движению Солнечной системы по направлению к созвездию Девы со скоростью ≈ 370 км/с. Если учесть этот фактор, то все равно

окажется, что реликтовое излучение изотропно лишь до 0,01 %. Эта анизотропия сейчас хорошо регистрируется и анализируется, а ее изучение оказывается очень важным для изучения эволюции возмущений во Вселенной в целом.

Сразу после рекомбинации еще не было никаких массивных тел, космических объектов: вещество было рассеяно во Вселенной почти равномерно. Как же из однородной среды образовались звезды, планеты, галактики, скопления галактик? Здесь опять свою роль сыграла гравитация. Там, где плотность была чуть выше средней, сильнее было и притяжение, значит, более плотные образования становились еще плотнее. Распределение галактик и скоплений галактик во Вселенной называется крупномасштабной структурой. Большой вклад в развитие теории ее образования вн если Зельдович и его сотрудники.

По современным представлениям раньше сформировались наименее массивные объекты. Сначала образовались так называемые первые звезды, возможно это было уже через 30 млн лет после Большого взрыва. Затем – галактики и скопления галактик.

Как же происходило формирование крупномасштабной структуры? Выделялись крупные неоднородности с массой около 10^15 М⊙, которые несимметрично (что важно) сжимались с образованием плоских объектов, которые назвали «блинами». Это прообразы скоплений галактик. В пространстве блины расположены случайным образом (хаотично). Пересечения блинов образуют сверхскопления в виде нитей, см. рис. 9.10, в результате чего формируется ячеистая структура с размерами ячеек около 50–100 Мпк и толщиной стенок 3–4 Мпк. Образование блинов происходило примерно 13 млрд лет назад.

Эти теоретические выводы блестяще подтвердились. Перечисленные образования были обнаружены в 80-е годы прошлого столетия в результате изучения пространственного распределения галактик.

Рис. 9.10. Крупномасштабная структура Вселенной

Представленная картина образования структуры имеет место для фридмановской стадии расширения. Сейчас мы фактически перешли на стадию доминирования темной энергии. Предположим, что давление и плотность темной энергии не меняется со временем, т. е. она описывается космологической постоянной. Тогда из общих уравнений для флуктуаций в космологии следует, что рост возмущений не происходит и их размер неизменен. Это означает, что для этого предположения теория не допускает структур больше ныне наблюдаемых, тем более, этот же вывод будет и для фантомного уравнения состояния. В случае квинтэссенции, ситуация не настолько детерминирована.

В целом модель горячей Вселенной подтверждена и является общепризнанной. Однако постоянно появляются новые данные, которые требуют осмысления и коррекции основной модели, постоянно возникают вопросы, которые требуют ответов.

Глава 10

Гравитационные волны

А синуса график волна за волной

На ось ординат набегает.

Студенческая песня

Электромагнитные волны

Развивая рассказ о создании новой теории гравитации ОТО, мы все время возвращались к идеям Ньютона и результатам его теории. Сейчас, начиная рассказ о гравитационных волнах, мы нарушим эту традицию и обратимся к электромагнетизму Максвелла. Аналогия с электромагнитными волнами поможет нам лучше понять свойства гравитационных волн. В 1865 году, почти сразу после построения своих уравнений, Максвелл обнаружил, что они имеют волновое решение. Электромагнитное поле может существовать и распространяться как в вакууме, так и в среде независимо от источников (зарядов). Эти выводы он опубликовал. И, извините за каламбур, это вызвало, буквально, волнения среди физиков того времени. Если есть волновое решение, тогда должны быть волны. Никто не имел понятия, что они должны собой представлять. Однако задача была очевидной – их необходимо обнаружить. Представить, что свет – это тоже электромагнитные волны, тогда не могли.

В лаборатории Германа Гельмгольца (1821–1894), немецкого физика, математика, физиолога и психолога, в 1888 году проводились рядовые опыты с вибратором Генриха Герца (1857–1894). Лейденская банка разряжалась на диполь (он фактически представляет собой антенну с двумя лепестками). Такой же диполь стоял неподалеку. И лаборант заметил маленькую искорку в этом соседнем диполе!

Стало понятно, что это и есть результат воздействия волны, поисками которой все озабочены. Сам Герц принял деятельное участие в экспериментальном подтверждении электромагнитной теории Максвелла. Он не только экспериментально доказал существование электромагнитных волн, но впервые начал изучать их свойства – поглощение и преломление в разных средах, отражение от металлических поверхностей и т. п. Ему удалось измерить на опыте длину волны и скорость ее распространения, которая оказалась равной скорости света.

Опыты Герца сыграли решающую роль в признании электромагнитной теории Максвелла. Это была прямая демонстрация существования электромагнитного излучения. Затем было открыто рентгеновское излучение, понято, что свет – это тоже электромагнитное излучение. Стало ясно, что разные виды излучения имеют одну природу, но разные частоты (длины волн).

Давайте в поле электромагнитной волны поместим прибор, измеряющий электрическое и магнитное поле. Прибор обнаружит, что вектор электрического поля E и вектор индукции магнитного поля B колеблются, причем они ортогональны между собой, определяя плоскость. Теперь, в направлении ортогональном этой плоскости разместим несколько таких приборов. Они и определят наличие волны: распространение колебаний векторов E и B, причем всегда совместное.

То, что векторы электрического поля E и индукции магнитного поля B ортогональны между собой и вместе ортогональны направлению распространения означает, что электромагнитная волна – поперечная. В вакууме скорость распространения v = c.

Кроме описанной «одиночной» волны, решение уравнений Максвелла допускает еще одну волну, распространяющуюся одновременно с первой и в противофазе с ней. Векторы электрического поля и индукции магнитного поля второй волны перпендикулярны соответствующим векторам первой волны. Поэтому, в общем случае, говорят, что электромагнитная волна имеет две поляризации.

Рис. 10.1. Диполь Герца

А как генерируются электромагнитные волны? Оказывается, они возбуждаются только ускоренно движущимися зарядами. Постоянный ток, при котором носители заряда движутся с неизменной скоростью, не является источником электромагнитных волн.

Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь – система с двумя зарядами разных знаков q, разнесенных на расстояние l (рис. 10.1). Если дипольный момент такой системы p(t) = q(t)l изменяется, то мощность электромагнитного излучения пропорциональна квадрату его второй производной по времени (т. е. ускорению).

В радиотехнике диполь Герца эквивалентен небольшой антенне, размер которой много меньше длины волны λ. В современной радиотехнике излучение электромагнитных волн производится с помощью антенн различных конструкций, в которых возбуждаются быстропеременные токи.

Описание гравитационных волн

Термин «гравитационные волны» ввел сам Эйнштейн вместе с публикацией ОТО. Немного позднее он опубликовал еще одну статью, уточняющую заявление о гравитационных волнах. Точно так же, как и в электродинамике, должно быть излучение, которое может оторваться от источника и существовать независимо, распространяясь со скоростью света. Только мощность этого излучения в обычных условиях должна быть чрезвычайно малой.

Как можно прийти к выводу о существовании гравитационных волн наиболее простым способом? Рассмотрим метрику gab какого-либо пространства-времени. Предположим, что она незначительно отличается от метрики пространства Минковского. Напомним, что последняя в лоренцевых координатах представлена диагональной матрицей ηab = diag (1, –1, –1, –1). Возмущения реальной метрики пространства-времени по отношению к метрике Минковского можно представить соотношением gab = ηab + hab. Теперь, давайте, подставим gab в этом виде в уравнениях ОТО без источников (без материальной части) и сохраним только линейную часть по hab.

В результате для hab получим точно такие же волновые уравнения, как уравнения Максвелла для электрического поля или магнитной индукции. Причем уравнения показывают, что волна возмущений hab также распространяется со скоростью света в плоском пространстве-времени.

Какой же физический смысл распространяющейся волны hab? Еще раз напомним, что метрика определяет способ измерения расстояний в пространстве-времени. Следовательно, величины hab должны определять насколько и как этот способ будет возмущен. Образно можно представить себе гравитационную волну как мелкую «рябь», бегущую «по плоскости» пространства Минковского. Аналогично, метрические бегущие возмущения можно рассмотреть по отношению к какому-либо известному (фиксированному) искривленному пространству-времени. Например, если распространяющиеся возмущения рассматривают по отношению к космологическим решениям, то это гравитационные волны во Вселенной. Здесь уместно сравнение с мелкой «рябью» на поверхности океана, причем большой радиус кривизны мирового океана можно сравнить с фоновой кривизной пространства-времени Вселенной.

Легко понять, как гравитационные волны действуют на частицы и материю вообще. Их взаимодействие с макроскопическими телами можно сравнить с качанием «лодки» на ряби «фонового океана». Подобно тому, как заряженная частица в поле электромагнитной волны начинает совершать колебания, взаимодействие гравитационной волны с макроскопическими телами приводит к их движению. Появляются относительные ускорения между телами, и это приводит к изменению физического расстояния между ними.

В общем случае, в силу симметрии по индексам, метрическое возмущение hab представляет 10 независимых компонент (величин). Какой физический смысл имеют эти величины, и все ли они имеют физическое (наблюдаемое) значение? Вспомним, что уравнения ОТО допускают изменения координат. При этом выбор различных систем координат не сказывается на физических эффектах, но может значительно упростить выражения. Воспользуемся этой свободой. В случае слабой плоской гравитационной волны, которую мы и рассматриваем, это позволяет наложить 8 условий на hab, обращая 8 компонент из 10-ти в нуль.

Таким образом избавляются от так называемых нефизических степеней свободы. Оставшиеся две компоненты, для которых приняты обозначения h+ и h×, уже невозможно уничтожить никакими координатными преобразованиями, они описывают реальное воздействие гравитационной волны на пробные частицы. Их называют физическими степенями свободы.

Итак, гравитационная волна в ОТО имеет две степени свободы (поляризации). Как и электромагнитная, она является поперечной. Ее действие описывается следующим образом. В плоскости, перпендикулярной распространению, расположим по окружности пробные массивные частицы, как на рис. 10.2. Под действием одной из поляризаций волны окружность будет деформироваться в пульсирующий эллипс, большая и малая оси которого будут поочередно переходить одна в другую. Для другой поляризации ось соответствующего эллипса расположена под углом 45º к оси первого эллипса. В общем случае действием волны будет суперпозиция этих двух смещений.

Относительное изменение расстояния между двумя пробными частицами в поле плоской гравитационной волны определяется выражением ∆l/l ≈ h/2. Это соотношение показывает, что по своему физическому смыслу амплитуда является безразмерной величиной. Часто ее называют «безразмерной амплитудой возмущений метрики», создаваемых гравитационной волной. Кроме того, важен угол между направлением распространения волны и отрезком, соединяющим частицы. В силу поперечного характера, если эти направления совпадают (угол нулевой), то эффекта не будет, если они ортогональны, то эффект максимален.

Рис. 10.2. Действие гравитационной волны

Генерация гравитационного излучения

Гравитационное излучение чрезвычайно слабое. Это связано со слабостью гравитационного взаимодействия в природе. Например, электромагнитная константа связи (ее называют постоянной тонкой структуры) α=e^2/hc ≈ 1/137, где используются заряд электрона, постоянная Планка и скорость света. В то же время аналогичная безразмерная константа связи гравитационного взаимодействия имеет порядок αG = Gmp^2/hc = (mp/mPl)2 ≈ 10–38, где используются масса протона и планковская масса. В отличие от электромагнитного излучения, когда каждый атом может излучить фотон, и его можно зарегистрировать, гравитационное излучение формируется большим количеством атомов, электронов и т. д. и становится существенным при несимметричном движении больших масс вещества (отдельных объектов) в целом.

Продолжая сравнение с электродинамикой, вспомним, что электромагнитное излучение генерируется переменным дипольным моментом. А при каких условиях возникает гравитационное излучение? Чтобы ответить на этот вопрос, объясним, что такое дипольный момент и моменты других порядков массивного тела.

Вспомним, что потенциал точечной массы в теории Ньютона

Если вместо точки взять сферическое тело (однородный шар) той же массы M с центром, где раньше была точка, то значение потенциала вне тела не изменится.

При несферичности рассматриваемого тела выражение для потенциала изменится, и изменения будут связаны непосредственно с отклонениями от сферичности. Величину отклонения можно представить так. Если сферическую составляющую принять за исходную симметрию, то первая степень отклонения (грубая) – дипольная, следующая (более «тонкая») – квадрупольная, и т. д. Тогда значение потенциала в выбранной точке можно представить в виде:

Здесь d – дипольный момент, а D – квадрупольный. Формула является символической: в ней не учтены коэффициенты, а также векторный и тензорный характер некоторых величин. Но она показывает, что при удалении от источника каждый из последующих членов ряда дает все меньший вклад в формирование потенциала.

В электродинамике излучение определяется изменением дипольнного момента (рис. 10.1) В гравитации дипольный момент, который является вектором, определяется следующим образом: из начала координат к каждому элементу массы ΔM проводится радиус-вектор R, после чего величины ΔM·R векторно суммируются по всем элементам массы. Ясно, что выбрав начало координат в центре масс, мы получим дипольный момент тождественно равный нулю. Это можно сделать всегда, поскольку в гравитации, в отличие от электромагнетизма, нет противоположных зарядов (нет отрицательных масс). Следовательно, не может быть и гравитационного излучения, связанного с дипольным моментом.

Гравитационное излучение возникает при изменении квадрупольного момента – D. Вспомним о моменте инерции, который является мерой инертности тела во вращательном движении, точно так же, как инертная масса – мерой инерции в поступательном движении. Квадрупольный момент – это момент инерции из которого исключена шаровая составляющая, определяющая основной (симметричный) вклад в потенциал.

Если в электродинамике мощность электромагнитного излучения пропорциональна квадрату второй производной по времени от дипольного момента, то в ОТО гравитационное излучение возникает из-за переменной асимметрии, определяемой квадрупольным моментом D, и мощность излучения пропорциональна квадрату третьей производной по времени от D. Значит, как бы тело не было деформировано, оно не излучает, если покоится.

Проиллюстрируем на простых примерах, какие системы излучают гравитационные волны, а какие – нет.

Рассмотрим сначала однородный шар, который пульсирует без изменения сферичности. Излучает ли гравитационные волны такой объект? Ответ – нет. Действительно, если сферичность не нарушена, то из наших рассуждений о потенциале следует, что на любой стадии пульсации квадрупольный момент просто не возникает. Приведем другой пример. Пусть любое аксиально симметричное однородное тело типа дыни вращается, а ось вращения совпадает с осью симметрии. Хотя «дыня» и имеет квадрупольный момент, но при таком вращении он не будет меняться. Значит, снова не будет излучения.

Теперь приведем простые примеры излучающих систем. Рассмотрим два тела одинаковой массы m и незначительных габаритов, соединенные пружинкой длины l. Выберем направление одной из осей координат, скажем 0х, вдоль пружины, а середину пружины – за начало координат. У такой системы будет единственная независимая ненулевая компонента D. В состоянии покоя это Dxx = ml 2. Через нее определяются Dyy = Dzz = —Dxx/2. Теперь заставим грузы колебаться относительно своих положений равновесия с амплитудой L и частотой. Тогда компоненты квадрупольного момента станут переменными:

Dхх (t) = ml 2 + 4mL (l cos ωt + L cos^2ω t).

Соотношение Dyy = Dzz = —Dxx/2 сохранится. Производная по времени третьего порядка этих величин ненулевая, значит, система излучает гравитационные волны.

Другой пример ближе к жизни, и мы рассмотрим его подробнее. Пусть две звезды одинаковой массы m, вращаются по одной и той же окружности вокруг общего центра масс. Они все время находятся друг против друга на расстоянии 2R (рис. 10.3). Пусть плоскость орбиты совпадает с плоскостью x0y, а угловая частота вращений равна ω, она связана с орбитальным периодом как T = 2π/ω. Тогда ненулевыми компонентами квадрупольного момента являются:

Dxx = 2mR^2 (3 cos^2ωt – 1), Dyy = 2mR 2 (3 sin^2 ωt – 1),

Dxy = 3mR^2 sin2ωt, D zz = – 2mR^2

Рис. 10.3. Модель двух звезд

Начальное состояние соответствует t = 0, массы расположены на оси 0x. В данный момент компоненты квадруполя будут такими же, как в модели с пружинкой, т. е. независимой является только одна компонента.

Конечно, и такая система должна излучать. Поскольку движение обусловлено гравитационным взаимодействием, то и R связаны уравнением m^2R = Gm^2/4R 2. Тогда, после усредненияя по периоду и представления через R, мощность гравитационного излучения выражается формулой:

Система излучает тем интенсивнее, чем меньше R (или чем больше частота вращения, как следует из их уравнения связи).

Чтобы проиллюстрировать насколько мало гравитационное излучение, приведем следующий пример. В Солнечной системе, наибольшая мощность гравитационного излучения возникает в паре Солнце + Юпитер. Это излучение можно рассчитать по аналогичной формуле. В результате получим примерно 5 кВт (это всего лишь мощность пяти больших бытовых кипятильников советских времен). Энергия, теряемая Солнечной системой на гравитационное излучение за год, совершенно ничтожна по сравнению с кинетической энергией этих тел.

Необходимо сказать несколько слов о направленности гравитационного излучения. В случае с грузами на пружинке по ее оси вообще нет излучения, а максимум – в направлении перпендикулярном пружинке. В случае кругового движения интенсивность излучения в направлении перпендикулярном плоскости орбиты в несколько раз больше, чем в направлениях, лежащих в плоскости. Связаны эти особенности с тем, что излучаемая гравитационная волна является поперечной.

Источники гравитационного излучения

– Возьмем две звезды, разгоним почти до скорости света и столкнем. Что произойдет?

– Нехилый коллайдер получится…

Из форума

Слабость гравитационного излучения оставляет мало шансов для его регистрации. Где же искать подходящие источники? Наш соотечественник, замечательный физик-теоретик Владимир Фок (1898–1974), рис. 10.4, был первым, кто в 1948 году обратил внимание на возможность детектирования гравитационного излучения, возникающего при астрофизических катастрофах. Детальный анализ позволяет сделать вывод, что наиболее перспективными источниками гравитационных волн будут компактные объекты, размеры которых сравнимы с гравитационным радиусом, а скорости сравнимы со скоростью света. Согласно расчетам, при слиянии двух нейтронных звезд излучается около 10^45 Дж в виде всплеска гравитационного излучения, т. е. около 1 % от их полной энергии.

Теперь подробнее о космических источниках. Вспышки сверхновых. Итак, наиболее перспективные источники гравитационных волн должны быть компактными и иметь большие скорости движения масс, формирующих ненулевой квадрупольный момент.

Такие экстремальные физические условия могут сопутствовать рождению нейтронных звезд или черных дыр во время коллапсов ядер массивных звезд. Эту модель эволюции звезд мы вкратце рассмотрели выше. Невозможно дать надежный расчет этого процесса, хотя и можно ожидать значительной несферичности коллапса. Современная приблизительная оценка энергии, излученной в виде гравитационных волн за время коллапса, – 10–9–10–3 М⊙c^2, где М⊙ – масса Солнца. Такой импульс от сверхновой в нашей Галактике (пусть с расстояния порядка 10 кпк) дошел бы до нас с амплитудой h ~ 10–21. Вспышки сверхновых в нашей Галактике происходят в среднем 1 раз в 30–50 лет, поэтому вероятность зарегистрировать такое событие не очень велика.

Но чувствительность детекторов (о них будем говорить далее) возрастает, а значит и область пространства, доступная для наблюдений таких событий, тоже увеличивается, охватывая и соседние галактики. В результате вероятность регистрации событий становится все больше. Однако теоретически остается очень большая неопределенность в расчете параметров выделяемой энергии в виде гравитационных волн. Это не дает основания считать сверхновые оптимальными источниками для обнаружения гравитационных волн на современных детекторах.

Рис. 10.4. Владимир Фок

Вращающиеся нейтронные звезды. Если тело асимметрично или ось вращения не совпадает с осью симметрии, то оно излучает гравитационные волны, поскольку такая система имеет переменный квадрупольный момент. С большой вероятностью такие тела во Вселенной есть – это вращающиеся нейтронные звезды, если они деформированы. Есть различные их модели, но обычно параметры деформации предсказать сложно. При разумных предположениях излучение этого типа может иметь мощность 100–1000 кВт. Это, конечно, очень мало. Однако достаточно точно известна частота вращения таких звезд. А это дает возможность накапливать периодический сигнал в непрерывном потоке данных.

Двойные звезды. Чтобы представить пример системы с заведомо большим квадрупольным моментом, нужно, конечно, рассмотреть две звезды, вращающиеся по орбитам вокруг общего центра масс. Такой астрофизический объект называется двойной звездой.

Несмотря на некоторую экзотичность в обычном восприятии, двойных звезд в нашей Галактике не меньше половины от полного их числа, т. е. их должно быть около 100 миллиардов! Поэтому они являются самыми надежными источниками гравитационных волн в нашей Галактике. О свойствах излучения двойных звезд рассказано в предыдущем параграфе. Весь вопрос в том, насколько частота и амплитуда этих волн дают возможность обнаружить их с помощью современных детекторов.

Постоянное уменьшение энергии двойной системы за счет гравитационного излучения приводит к уменьшению орбитального периода. Если компонентом двойной системы является пульсар – вращающаяся нейтронная звезда, испускающая мощные, строго периодические радиоимпульсы, то по доплеровскому смещению частоты прихода импульсов можно точно отследить изменения орбитального периода.

Этот эффект уменьшения орбитального периода был обнаружен при многолетних наблюдениях пульсара PSR 1913+16, входящего в состав двойной системы, вторым компонентом которой является другая нейтронная звезда, не наблюдаемая как пульсар. В двойной системе из двух нейтронных звезд нет иных физических механизмов уменьшения орбитальной энергии, кроме как за счет излучения гравитационных волн. Причем темп уменьшения периода оказывается с точностью лучше 0.5 % равным значению, получаемому из квадрупольной формулы. За открытие и исследование этого пульсара американские астрофизики Джозеф Тэйлор и Рассел Халс получили Нобелевскую премию по физике за 1993 год. Таким образом, в настоящее время астрономические наблюдения косвенно доказывают реальность гравитационного излучения двойными звездами, подтверждая выводы ОТО с высокой точностью. Такое же явление зафиксировано ещё в нескольких случаях: для пульсаров PSR J0737-3039, PSR J0437-4715 и системы двойных белых карликов RX J0806. Например, расстояние между компонентами двойного пульсара PSR J0737-3039 уменьшается примерно на 6,35 см в день.

Слияние двух звезд. Сильная зависимость темпа уменьшения орбитального периода от самого значения периода приводит к тому, что сжатие орбиты двойной звезды происходит все быстрее и быстрее. В результате, за приемлемое для наблюдений время две звезды должны сблизиться и слиться в одну. Для двух компактных нейтронных звезд или черных дыр это время меньше жизни Вселенной. Например, для двойного пульсара PSR 1913+16 оно составляет всего около 100 млн лет. Хотя весь процесс довольно продолжительный, на заключительном этапе он длится доли секунды. В процессе слияния двух компактных тел полуось орбиты становится порядка радиуса звезды, то есть в несколько гравитационных радиусов. Происходит несимметричный коллапс, и за это короткое время в гравитационное излучение уходит энергия, составляющая, по некоторым оценкам, более 50 % от массы системы, амплитуда генерируемой волны близка к максимально возможной, hmax ~ rg/r. Поэтому сливающиеся двойные нейтронные звезды и черные дыры являются самыми перспективными (в смысле мощности) источниками для наблюдения. Необходимо оценить насколько часто подобные катастрофические события происходят в нашей Галактике. Из наблюдений достоверно известно о существовании нескольких тесных пар нейтронных звезд, а оценки темпа слияния дают одно событие в миллион лет. Из теории звездной эволюции следует, однако, что темп слияния таких двойных систем в Галактике (в среднем, и в других галактиках также) может быть на полтора-два порядка выше – примерно раз в 10–30 тыс. лет.

В таблице приведены характерная частота гравитационного излучения и частота событий для некоторых возможных источников.

Амплитуда сигналов от некоторых из этих источников в сравнении с проектной и имеющейся чувствительностью антенн обсуждается ниже.

Грвитационно-волновой фон ранней Вселенной. До сих пор мы рассматривали локализованные источники, которые могут произвести излучение достаточной силы, чтобы быть зарегистрированными гравитационно-волновыми детекторами. Но, конечно, ясно, что любые массы, достаточно несимметричные, при вращениях излучают гравитационные волны, все произвольные гравитационно связанные системы тел при относительном движении излучают и т. д. То есть вся Вселенная погружена в океан гравитационных волн, состоящий из волн посильнее или послабее. Все это вместе образует гравитационно-волновой фон Вселенной.

Но среди всего этого океана более интересна та его часть, которая была сгенерирована в раннюю эпоху эволюции Вселенной. Почему? Мы уже говорили о реликтовом нейтринном излучении, которое должно быть, но пока не зарегистрировано; о реликтовом электромагнитном излучении, которое образовалось (стало свободным) после рекомбинации водорода и, являясь очень важным носителем информации о той эпохе, активно исследуется со времени его открытия. Аналогично должно существовать реликтовое гравитационное излучение. Его формирование относится ко времени значительно более раннему, чем формирование нейтринного и, тем более, электромагнитного реликтового фона, а именно, 10-37–10-35 с, или ранее. Это соответствует энергиям 10^16 ГэВ, может даже большим. В эту эпоху еще невозможно различить электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия, а гравитационное уже становится независимым.

В отличие от электромагнитных, реликтовые гравитационные волны чрезвычайно слабо взаимодействуют с веществом. Это очень важно для космологии, поскольку означает, что они несут «чистую» (без искажений) информацию о самых ранних стадиях развития Вселенной. С другой стороны, до сих пор не зарегистрированы гравитационно-волновые сигналы от локальных источников, которые считаются перспективными. Трудностей в регистрации реликтового гравитационного излучения не меньше, однако надежды на успех есть. Тогда изучение таких гравитационных волн станет мощным инструментом для исследований физики элементарных частиц и всей физики вообще вплоть до энергий 10^16 ГэВ.

Важную информацию должен нести спектр ранних гравитационных волн. Из-за расширения Вселенной и частота гравитационной волны, и ее амплитуда меняются. Частота всегда уменьшается. А амплитуда может как расти, так и уменьшаться. Однако есть момент, начиная с которого амплитуда волны только уменьшается. Это момент, когда длина волны и размеры горизонта частиц Вселенной сравниваются. Таким образом, есть конкретная связь между частотой волны и температурой эпохи. Современные детекторы, работающие на частотах около 1 кГц, могли бы изучать состояние Вселенной при температурах 10^11 ГэВ. В параметрах гравитационных волн этой частоты должна быть «закодирована» информация о характеристиках плазмы эпохи этой температуры.

Существуют разные возможности для формирования гравитационных волн в ранней Вселенной. Одна из них – это так называемое сверхадиабатическое усиление гравитационных волн. Этот механизм был предложен в 1974 году известным космологом Леонидом Грищуком (1941–2012). Он приводит к усилению реально существующих волн или даже рождению гравитонов (гипотетических квантовых частиц, соответствующих гравитационному полю) из вакуума. Идея состоит в параметрическом возбуждении колебаний гравитационного поля, связанного со специальным соотношением параметров расширяющейся Вселенной. В некотором смысле, можно сказать, что механизм работает, когда параметры Вселенной входят в «резонанс» с колебаниями поля. Значительный гравитационно-волновой фон мог сформироваться во время стадии инфляции. Безразмерная амплитуда каждой волны в момент равенства длины волны размерам горизонта приблизительно равна 10–5. Со временем эти волны могут усиливаться на других этапах эволюции Вселенной. В теории существуют различные сценарии развития этого фона. В современную эпоху он должен иметь широкий спектр: от 1 ГГц до 10–17 Гц. В оптимистическом варианте среднее значение метрических вариаций в диапазоне приема гравитационных антенн (100–1000 Гц) ожидается на уровне h ~ 10–24 при очень узкой полосе приема ∆f = 3 · 10–8 Гц.

Гравитационно-волновой фон ранней Вселенной мог бы также сформироваться во время, так называемой, нестационарной доменной стадии. Предполагается, что в эту эпоху Вселенная представляет собой некие «соты», то есть состоит из отдельных областей, каждая из которых описывается разными значениями одного и того же параметра – направления анизотропного натяжения. Этот параметр связан с одним из фундаментальных свойств Вселенной – барионной асимметрией, то есть чрезвычайным преобладанием вещества над антивеществом.

Одно из свойств доменной модели состоит в том, что давление в доменах разное и разнонаправленное. Неопределенность направления анизотропного давления, нестабильность и, наконец, распад доменной стадии приводят к образованию стохастического (случайного) гравитационно-волнового фона. По разным оценкам характеристики этого излучения на настоящий момент могут быть следующими: усредненная частота – примерно 10–4 Гц, а усредненная безразмерная амплитуда – примерно 10–20.

Возможности детектирования гравитационных волн, в том числе и реликтового гравитационного фона, обсуждаются далее.

Детектирование гравитационных волн

Я сразу узнаю удачу, едва она появится…

Жюльетта Бенцони «Марианна в огненном венке»

Из сказанного выше об астрофизических источниках можно сделать вывод, что безразмерные амплитуды гравитационных волн, которые мы имеем шанс зарегистрировать на Земле (или в окрестности Земли), h ~ 10–21. Может быть «случайно» амплитуда окажется и больше, но ориентироваться нужно, скорее, на еще меньшую. Напомним, что h – это та характеристика, которая определяет изменение в измерении физической (реальной) длины: ∆l/l ≈ h/2. Так вот, если такая гравитационная волна пройдет, то метровый стержень изменит свою длину всего на ∆l ≈ 10–19 см. Для сравнения – порядок размера атомов 10–8 см.

Принцип обнаружения гравитационных волн основан на физическом воздействии на пробные тела. Есть два вида детекторов: твердотельные антенны и лазерные интерферометры. При прохождении гравитационной волны рабочий элемент детекторов первого типа должен деформироваться, а в детекторах второго типа должно изменяться взаимное положения свободных масс (зеркал).

Твердотельные детекторы стали создаваться с середины 1960-х годов. Пионером этих разработок по праву можно считать американского физика Джозефа Вебера (1919–2000). Вебер прожил яркую неординарную жизнь. В 1940 году закончил Военно-морскую академию США, активно участвовал во второй мировой войне на различных кораблях. На службе изучал радиоэлектронику, в 1948 году ушел в отставку и стал профессором по инженерии в Мэрилендском университете в Колледж-Парке. Но приняли его на условии, что он быстро защитит диссертацию. Так и случилось, в 1951 году Вебер защитил диссертацию «Микроволновые методы в химической кинетике». Во время этой работы была выдвинута идея о возможности получения когерентного стимулированного микроволнового излучения (мазера). Позднее эти идеи разрабатывались Николаем Басовым (1922–2001) и Александром Прохоровым (1916–2002) и американским физиком Чарльзом Таунсом. Они построили первые действующие модели мазеров и лазеров и получили Нобелевскую премию по физике 1964 года.

В 1950-х Вебер заинтересовался ОТО. В то время под сомнением было само существование гравитационных волн, которое, в основном, развеялось к 1960-м годам. Вебер построил первый тип гравитационных детекторов – резонансные антенны. Это аллюминиевые цилиндры массой около тонны; они могут колебаться, в основном, в продольном направлении, при этом деформации максимальны на торцах. Уже с конца 1960-х годов Вебер начал публиковать статьи, в которых утверждал, что обнаружил гравитационные волны. Это вызвало сенсацию, научные группы по всему миру начали строить аналогичные детекторы. Но никто не смог подтвердить эти результаты.

Наконец, утверждения Вебера были опровергнуты практически всеми другими исследователями. Вебер, однако, продолжал настаивать. Противостояние завершилось серией писем, которыми стороны обменялись в конце 1970-х. Оппонентами утверждалось, что сообщения Вебера выглядят «безумными, потому что вся энергия Вселенной должна была бы полностью перейти в гравитационное излучение примерно за 50 миллионов лет, если бы действительно детектировалось то, что детектирует Джо Вебер». Хотя утверждения Вебера о детектировании гравитационных волн не соответствовали действительности, он признается отцом направления гравитационно-волновой астрономии. В его честь названа премия в области астрономического инструментария.

Несмотря на отсутствие результата, построение и конструирование резонансных детекторов продолжается усилиями ведущих научных школ. В России их разработкой занимается группа под руководством профессора МГУ Владимира Брагинского. Его устройства также представляют собой цилиндры.

Обсудим развитие программы твердотельных антенн. Их главной особенностью является наличие резонансной частоты. Если в спектре гравитационной волны есть частоты, близкие к резонансной частоте антенны, то возбуждаемые в цилиндре акустические колебания усиливаются на этих частотах. Наиболее подходящими для изготовления цилиндров оказываются твердые материалы: алюминий, сапфир, ниобий. Цилиндры из этих материалов обладают наибольшей добротностью или «временем звона». Чем больше время затухания колебаний, тем выше чувствительность антенны, так как резонансное детектирование дает возможность накапливать сигнал.

Современные цилиндрические антенны имеют массу до нескольких тонн. Они хорошо изолированы от внешних воздействий и охлаждены до очень низких температур – около 10 мК. Понижение температуры не только снижает шумы, но и увеличивает добротность. Резонансное детектирование охватывает узкую полосу частот – от 100 Гц до 1 кГц. Полоса каждого детектора до недавнего времени была меньше 1 Гц, сейчас ее удается расширить до 10–20 Гц. Чувствительность у современных твердотельных антенн такова, что она дает возможность регистрировать сигнал с амплитудой 10–22 за время 1 с, или с амплитудой 19–23 за 100 с.

В настоящее время в Европе ведутся теоретические разработки новых моделей твердотельных детекторов. Предполагается, что рабочее тело будет представлять собой шар массой до 30 т, охлажденный до температур единиц мК. У такой антенны чувствительность возрастает на порядок по сравнению с действующими. Большим преимуществом является «всенаправленность» (чего нет у цилиндров).

Но пока гравитационных волн резонансными антеннами не зафиксировано. Несмотря на это, они уже давно приносят ощутимую пользу: с высокой точностью фиксируют сейсмический шум, что очень важно для геофизиков.

Интерферометры представляют собой двухплечевые интерферометры Майкельсона. Их мы уже обсуждали, когда говорили об опытах по обнаружению эфира, рис. 4.4. Можно сказать, что они возродились для решения другой задачи и на более совершенном техническом уровне. Зеркала, отражающие свет, теперь играют и роль свободных масс. Напротив каждого зеркала устанавливается еще по зеркалу, чтобы получить многократное отражение и тем самым увеличить эффективную длину плеч интерферометра. Все зеркала подвешиваются на кварцевых нитях, чтобы демпфировать возможные внешние шумы земного и техногенного происхождения. Источником излучения является мощный лазер непрерывного действия. Гравитационная волна с частотой большей, чем маятниковая частота подвешенных зеркал – это около 1 Гц – должна смещать зеркала относительно друг друга. Это приведет к изменению в разнице длин плеч интерферометра ∆l. Измеряемый на фотодетекторе выходной сигнал (если он есть) прямо пропорционален ∆l. Из уже неоднократно упомянутой формулы ∆l/l ≈ h/2 ясно, что чем больше плечи, тем более слабый сигнал можно зарегистрировать. Но удлинять бесконечно плечи интерферометра нельзя из-за того, что это трубы с высоким уровнем вакуума. В современных интерферометрах они уже имеют длину несколько километров. Вспомним также, что гравитационная волна – это поперечная тензорная волна, и она действует на пробные частицы как на рис. 10.2. Тогда ясно, почему у интерферометра два плеча, а не одно. Действительно, в случае одного плеча, если волна распространяется вдоль него, то эффекта просто не будет. В случае двух ортогональных плеч эффект будет всегда, а если волна ортогональна им обоим, то эффект удваивается. Наконец, скажем, что принцип использования пары свободных масс – зеркал и лазерного интерферометра – был предложен Владиславом Пустовойтом и Михаилом Герценштейном в 1962 году.

Поиски гравитационных волн ведутся в очень широком диапазоне частот – от 10–16 до 10^8 Гц, их длина волны от размера горизонта Вселенной до нескольких метров. То есть частотный диапазон поисков перекрывает более чем 20 порядков. Это важно, поскольку покрываются сигналы от большинства возможных источников. Хорошая чувствительность уже достигнута в интервале частот от 10 до 10^4 Гц, или на длинах волн от 30 тыс. км до 30 км. На этот диапазон рассчитаны наземные проекты LIGO и VIRGO. Для детектирования гравитационного излучения более низких частот – от 0.1 до 0.0001 Гц (это длины волн порядка расстояния от Земли до Солнца) готовится проект LISA – лазерная космическая антенна. К сожалению, он отложен на неопределенное время, об этом ниже.

Сначала обсудим наземные проекты. Проект LIGO (Laser Interferometer Gravitational wave Observatory) – лазерная интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория – это первоначально национальный проект США. VIRGO – название скопления галактик в созвездии Девы. Этот проект изначально был итало-французский. Фактически проект LIGO/VIRGO включает в себя сеть антенн: две антенны, собственно LIGO, – одна в Хэнфорде, другая в Ливингстоне (США) и антенну VIRGO недалеко от Пизы (Италия). К этой же сети относят меньшие по размерам (и, соответственно, по ожидаемой чувствительности) антенну в Японии (ТАМА) и в северной части Германии (GEO-600). Длина плеч американских инструментов – 4,5 км, итальянского – 4 км, детектора в Германии – 600 м, детектора в Японии – 300 м. Можно сказать, что такая сеть представляет собой единый гравитационно-волновой телескоп. Необходимо использовать именно всю информацию, которая регистрируется этими антеннами, использовать корреляцию между ними, чтобы получить максимум сведений о свойствах гравитационных волн и их источников.

Со временем проекты приобрели международный характер. Ответственность за разработку конструкций и операции на интерферометрах лежит на Калифорнийском технологическом институте. Но существует и международное научное сообщество, которое формулирует задачи, проводит исследовательские работы. В нем участвуют 250 ученых и инженеров из 25 институтов. Большую роль в этом сообществе играют профессор Брагинский и его коллеги из Московского государственного университета. Проблемы, которыми занимается группа из МГУ – это подвес зеркал и тепловые флуктуации, квантовые ограничения и квантовые невозмущающие измерения. Все это связано с наличием избыточных шумов, от которых нужно избавляться, чтобы повысить чувствительность, а это и есть основная задача для физиков, пытающихся зарегистрировать сигнал.

На настоящий момент проект LIGO достиг своей проектной чувствительности – примерно 10–21 на частоте около 100 Гц. Это соответствует сигналу от двух сталкивающихся черных дыр с кинетической энергией порядка М⊙c^2 (М⊙ – масса Солнца) и расстоянием от наземной антенны до места столкновения 30 Мпк (100 млн световых лет). Сигнала не было зафиксировано. Но вспомним, что прогноз на частоту таких событий в одной галактике крайне пессимистичен – одно событие в миллион лет, а грубая оценка показывает, что наблюдается несколько тысяч галактик.

Однако существующий проект LIGO находится в стадии существенного технического усовершенствования, названного Advanced LIGO («продвинутый» LIGO). Его чувствительность должна быть до 10 раз выше существующей. В результате новая модификация LIGO даст возможность «чувствовать» источники гравитационных волн на расстояниях в 10 раз больших, т. е. в объеме Вселенной в 1000 раз большем, чем это позволяют современные интерферометры LIGO. Число наблюдаемых галактик должно по всем оценкам превысить миллион! Вспомним, что частота слияния компактных звезд или черных дыр оценивается в одно событие в миллион лет на галактику. На этом основании многие ученые высказывают мнение, что сигнал должен быть зарегистрированы в течение года после запуска Advanced LIGO, запланированного на 2014 год.

Как детектировать сигнал от локализованных источников, более или менее ясно. Особый подход требуется для детектирования реликтового гравитационно-волнового фона, который представляет собой стохастическое излучение. Он сводится к известной задаче обнаружения «одного шума на фоне другого шума», которая имеет решение при отличии их законов распределения. Но, как предполагается, и реликтовый гравитационный фон, и собственный шум гравитационной антенны имеют одинаковый (!) гауссовый закон распределения. Поэтому остается единственная возможность – измерять взаимную функцию соответствия выходных сигналов двух совершенно одинаковых гравитационных детекторов.

Приходящий из космоса «сигнальный шум» для обеих антенн будет одинаковым по всем параметрам. Поэтому он должен оставаться на выходе и накапливаться со временем. А собственные шумы антенн, наоборот, независимы, так что их взаимная корреляция должна обнулить. Расчеты показывают, что чувствительности антенн должно хватить, чтобы зарегистрировать вариации метрического фона ~ 10–24 за время наблюдения равное одному году. Но это при условии, что два приемника находятся в одном месте (для полной тождественности «сигнальных шумов»). На практике все антенны, наоборот, разнесены. Этого требует стратегия «алгоритма совпадений», для детектирования «разовых» событий. Самое правильное решение этой проблемы – строительство двух совершенно одинаковых детекторов в одном месте. Это уже сделано на интерферометрической антенне Хэнфорда. Там в одной вакуумной трубе параллельно смонтированы два интерферометра с плечами в 2 и 4 км. Так что, наблюдения активно проводятся.

Условно можно сказать, что каждая антенна работает более эффективно на длине волны порядка своего собственного размера. Если сливаются две нейтронные звезды, то и характерная длина волны основного всплеска будет соответствовать «размерам» этой катастрофы, то есть порядка 20 км. Значит и детектирование будет более эффективным, если размеры антенны будут километровыми. Таковыми и являются наземные антенны. Но если цель детектировать реликтовые гравитационные волны или всплески от сливающихся сверхмассивных черных дыр при столкновении ядер галактик, то они имеют размер порядка астрономической единицы и более. Поэтому будет лучше, если детекторы будут как можно больше.

Ясно, чтобы построить детекторы, эффективные для регистрации длинноволновых сигналов (низкочастотных), необходимо их вынести на орбиту. Именно с этим связано проектирование космического интерферометра LISA (Laser Interferometer Space Antenna) – лазерно-интерферометрическая антенна в космосе. Это совместный проект Европейского космического агентства (ESA) и Национального управления по аэронавтике и исследованию космического пространства США (NASA). Схема проекта изображена на рис. 10.5. Роль свободных масс играют 6 зеркал, расположенных на трех спутниках, находящихся на специальных орбитах вокруг Земли. Расстояние между спутниками – 5 млн км. Расчетная частота – 10-4 Гц.

Однако этот проект преследуют неудачи в смысле поддержки. В 2011 году NASA из-за финансовых проблем вышла из проекта LISA, который в результате лишился носителей. Европа имеет свои носители, но они слишком дорогие. Была идея использовать в проекте два российских «Союза». Из-за этого пришлось проект переделать, причем удалось сохранить основные технические характеристики и не превысить разумный бюджет. Измененный проект получил название NGO – New Gravitational wave Observatory. Однако недавно в ESA был конкурс очень дорогих проектов, из трех выбирали один. К сожалению, проект NGO отвергли.

Рис. 10.5. Схема проекта LISA

Проектная чувствительность LISA/NGO уверенно перекрывает сигнал от двойных звезд в нашей Галактике. В отличие от слияния компактных звезд, или от вспышек сверхновых, которые происходят «одноразово» и редко (на эти события в основном нацелен проект Advanced LIGO), двойные звезды излучают непрерывно, сигнал должен быть всегда. Также, чувствительность LISA заметно перекрывает предполагаемый сигнал от процессов, связанных со свермассивными черными дырами, а частота этих событий – 50 раз в год! Сравните: всего 1 раз в 30 лет происходит вспышка сверхновой в среднем в каждой галактике. Поэтому будет очень обидно, если проект LISA/NGO отложат надолго.

Но что делать, если частота еще меньше, чем 10–4 Гц, то есть недоступна даже для LISA? Предложение по этому поводу принадлежит космологу из ГАИШ Михаилу Сажину. Трудность поиска гравитационных волн в низкочастотных областях от 10–4 Гц до 10–8 Гц заключается в том, что необходимо иметь две «пробные частицы». Для таких волн их период порядка 3 лет, тогда и пробные частицы должны находиться на расстоянии трех световых лет! В качестве таких детекторов можно использовать астрономические объекты, например пульсары, у которых чрезвычайно стабильный период пульсаций. Их электромагнитные импульсы, прежде чем попасть в земные радиотелескопы, проходят гигантские расстояния, вплоть до нескольких тысяч световых лет. Значит, два импульса одного пульсара можно считать «пробными частицами», которые пригодны для детектирования долгопериодических гравитационных волн.

Действительно, действие гравитационных волн на пути импульсов приводит к «растяжению» и «сжатию» расстояний между ними. Радиоастрономы будут фиксировать изменение времени прихода импульсов по сравнению со стандартным. Гравитационная волна с амплитудой 10–15 приводит к смещению импульсов, отстоящих друг от друга на расстоянии 3 года, на добавочное время примерно в 100 наносекунд. Но заметить это смещение пока невозможно – не хватает точности земных часов. Чтобы зарегистрировать такие тонкие эффекты, необходимо построить новую шкалу времени, основанную на миллисекундных пульсарах. Именно такие пульсары должны стать стандартными часами – на длительных промежутках времени их точность выше точности земных часов.

Скорость распространения гравитационных взаимодействий

В конце главы обсудим еще одну интересную проблему. ОТО включает две фундаментальных константы: гравитационную G и скорость света c. Присутствие первой из них очевидно и естественно – мы имеем дело с гравитационной теорией. Но скорость света – это скорость электромагнитного взаимодействия. А электромагнитное и гравитационное взаимодействия совершенно разной природы. Строго говоря, в ОТО должна быть другая константа – скорость распространения гравитационного взаимодействия, обозначим ее cg. Фактически Эйнштейн постулировал использование скорости света. Возможно, основанием для этого был принцип соответствия с СТО, где фигурирует как раз скорость света. Но это не выглядит убедительно. Если нет серьезных теоретических оснований, то этот факт нужно проверять. Этой проблемой занялся больше 10-ти лет назад научный тандем в составе нашего соотечественника (сейчас работающего в США, в университете Миссури-Коламбия), теоретика Сергея Копейкина и американского экспериментатора Эдварда Фомалонта из Национальной Астрономической Обсерватории, Шарлотсвилл, США. Мы коротко приведем их постановку задачи и результаты.

Представим, что Солнце внезапно исчезло из центра нашей Солнечной системы. Через какое время Земля почувствует его исчезновение? Для света все ясно: поскольку известна его скорость распространения, то оптически исчезновение Солнца обнаружится только через 8 мин 20 сек. Это время необходимо свету, чтобы преодолеть расстояние в одну астрономическую единицу (150 млн км), отделяющее нас от Солнца.

ОТО предсказывает точно такое же время и для исчезновения гравитационного притяжения Солнца на орбите Земли. В этом случае Земля продолжит движение по своей орбите в течение еще 8 мин 20 сек, а затем начнет двигаться по прямой линии, так как сигнал об исчезновении притяжения Солнца дойдет именно за это время. В отличие от ОТО, в теории Ньютона Земля мгновенно почувствует отсутствие Солнца. Но этим фантастическим способом невозможно экспериментально определить скорость распространения гравитационного взаимодействия.

Реальное явление – это некоторые гравитационные возмущения Солнца, связанные с его движениями относительно центра масс Солнечной системы. Однако центр Солнца расположен недалеко от центра масс всей Солнечной системы, и изменения гравитационного поля, вызываемые небольшими долговременными колебаниями положения Солнца относительно этой точки, пренебрежимо малы и недоступны для современных наблюдений. Скорость распространения гравитационного взаимодействия cg (скорость гравитации) можно измерить только в том случае, если гравитационное поле является переменным и эта переменность достаточно быстрая, чтобы возникли гравитационные релятивистские эффекты, доступные для современной измерительной техники. При этом возможны два метода, один из которых основан на детектировании гравитационных волн и прямом измерении скорости их распространения, а второй – на измерении переменного гравитационного поля движущегося тела. Как мы уже знаем, пока гравитационные волны не зарегистрированы непосредственно. А вот вторая возможность оказалась перспективной.

Изложим идею эксперимента Копейкина-Фомалонта. Самым массивным телом в Солнечной системе, которое создает переменное гравитационное поле, является Юпитер. Для данного эксперимента его движение можно вполне считать прямолинейным и равномерным. Как на примере этой модели можно представить, что гравитационное взаимодействие передается с конечной скоростью? Если бы использовалась теория Ньютона, где скорость передачи гравитационного взаимодействия бесконечна, то эквипотенциальные («равно-силовые») поверхности, перемещались бы, как вмороженные, вместе с Юпитером, оставляя его в центре. Но поскольку скорость распространения конечна, то эквипотенциальные поверхности будут запаздывать. Механизм запаздывания показан на рис. 10.6. Пусть за время ∆t информация о положении Юпитера в точке А переместилась до поверхности А′. Но за это же время Юпитер перейдет из точки А в точку В, то есть сместится из центра этой поверхности, и т. д.

Рис. 10.6. Отклонение радиоволны в переменном поле Юпитера

Теперь ясно, что для оценки скорости гравитационного взаимодействия, нужно оценить степень запаздывания. А для этого необходимо «поэкспериментировать» с переменным гравитационным полем Юпитера, анализируя излучение, проходящее рядом с ним. В качестве источника излучения был выбран радиоквазар за Юпитером, радиоволны от которого детектировались на Земле. Наблюдалось положение на небе квазара К′ во время прохождения Юпитера и сравнивалось с его же положением К на «чистом» небе. Таким образом определялся угол α отклонения радиоволн переменным гравитационным полем Юпитера.

Теперь предположим, что фундаментальная скорость, которая входит в ОТО – это не c, а независимая скорость распространения гравитационного взаимодействия cg. Какая бы скорость не использовалась, ОТО позволяет рассчитать теоретически переменное гравитационное поле движущегося Юпитера. Электромагнитная волна (фотоны), испущенные квазаром, движутся по геодезическим этого поля. Для определения геодезической существенными являются производные от метрики, которые для переменного гравитационного поля Юпитера характеризуются отношением V/cg, где V – скорость Юпитера. При анализе отклонения радиоволн от квазара рассматривались эффекты, связанные как раз с этим отношением. В пределах точности данного эксперимента было установлено, что скорость распространения гравитационного взаимодействия численно равна скорости света в вакууме, cg = c.

Провести аналогичный эксперимент в поле Солнца невозможно, поскольку оно статично, и уравнение его движения не содержит членов типа V/cg. Вспомним также о гравитационных волнах. В эксперименте Копейкина-Фомалонта речь шла о фундаментальной скорости в ОТО, как скорости передачи гравитационного взаимодействия cg, как бы не связанной с распространением волн. Однако уравнения ОТО устроены так, что гравитационные волны будут распространяться с той же скоростью. После эксперимента можно утверждать, что в пределах точности измерений эта скорость равна c.

Глава 11

Энергия и другие сохраняющиеся величины в ОТО

Я физик и имею право на сохранение энергии.

Хуго Штейнхаус

Развитие представлений о законах сохранения

Идея сохранения появилась еще в Древней Греции в виде догадки о наличии неизменных субстанций в мире, где все меняется. Древние материалисты пришли к выводу, что материя как неуничтожима, так и нетворима, и является основой всего существующего мира. Одновременно, наблюдение изменений в природе приводит к представлению о вечном движении материи как важнейшем ее свойстве.

Эти выводы, скорее, философские. Однако были открыты и конкретные их проявления. Например, еще Архимеду было известно, что произведение силы, поднимающей груз, на длину рычага – величина постоянная. Значительно позднее, с развитием экспериментальной физики, была сформулирована в виде закона сохранения массы идея о неуничтожимости материи. Его независимо установили основоположник российской естественнонаучной школы Михаил Ломоносов (1711–1765) и французский химик Антуан Лавуазье (1743–1794), систематически применявший в химических исследованиях количественные методы.

Рис. 11.1. Маятник Галилея

Теперь обсудим простые и поучительные опыты Галилея. Исследуя падение тел по наклонной плоскости, он обнаружил, что скорость, которую имеет тело у основания наклонной плоскости, не зависит от угла ее наклона, следовательно, от длины пути, а зависит лишь от высоты, с которой падает тело. Это не могло не заинтересовать Галилея, и он продолжил исследовать проблему «наоборот». Для этого он придумал маятник, получивший его имя (рис 11.1). На плоской вертикальной доске, на нити подвешивался груз – это маятник. Если груз отвести в сторону, чтобы он был на высоте h по отношению к низшей точке и отпустить, то он, пройдя низшую точку, поднимался на ту же высоту с другой стороны.

Получается, что скорость в нижней точке тратится на то, чтобы снова подняться выше. А изменится ли эта высота, если изменить траекторию подъема? Для этого по вертикали, на пути нити, Галилей стал вбивать гвоздики на разном уровне. Тогда траектория подъема стала разной в разных случаях, как на рисунке. Однако высота груза осталась прежней – h.

Следующим исследователем, значительно продвинувшимся к открытию закона сохранения механической энергии, был нидерландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс (1629–1695). Он поставил задачу исследовать законы механического движения системы тел. Изучая колебания сложных маятников, он пришел к выводу, что если система тел приведена в движение силами тяготения, то их общий центр тяжести не может подняться выше того уровня, на котором он находился в начале движения. Заметьте – это обобщение результатов опыта Галилея!

Это вдохновило и других ученых. Лейбниц обратил внимание на то, что из законов свободного падения следует пропорциональность высоты, на которую поднимается колеблющееся тело, квадрату его скорости. Поскольку при колебании без трения высота, с которой падает тело, равна высоте поднятия, то, следовательно, сохраняется произведение mv^2. В современной терминологии – это удвоенная кинетическая энергия. Лейбниц назвал это произведение «живой силой» и предложил идею, что Вселенная обладает сохраняющимся запасом «живых сил». Сохранение «живой силы» было установлено в опытах Гюйгенса с соударением шаров, где при ударе двух тел сумма произведений их масс на квадраты скоростей одинакова до и после удара.

Многие ученые уделяли внимание принципу сохранения живых сил. Из исследований упругого сжатия было ясно, что существуют состояния, которые способны отдавать живые силы, частично или полностью. Появилась уверенность, что должен быть переход живой силы в состояние упругой деформации. Однако до четкого представления о потенциальной энергии и строгой формулировки закона сохранения механической энергии со времен Лейбница пришлось ждать более 100 лет.

Мы не приводим фактов о замечательных прозрениях, когда стало ясно, что все явления в природе взаимосвязаны, и, скажем, механическая работа (а, следовательно, и энергия) может переходить в тепловую, химические явления связаны с электрическими и т. д. Мы ограничимся обсуждением механики.

Понятие потенциальной энергии в четкой форме появилось в 1847 году в книге великого немецкого физика Гельмгольца. Кинетическую энергию Гельмгольц называл по-прежнему живой силой, потенциальная энергия появилась под именем «количества сил напряжения». Здесь нужно отметить, что понятие работы (произведение силы на расстояние, на котором она действует) сложилось раньше понятия энергии. Закон сохранения энергии Гельмгольц представлял в двух формах.

Первая – обобщенная форма: количество затраченной работы равно количеству полученной энергии.

Вторая – частная – формулируется так: сумма кинетической и потенциальной энергии в замкнутой системе всегда остается постоянной.

Для измерения работы эталоном была работа поднятия груза определенной массы на определенную высоту: A = mgh. Чтобы подняться свободно на высоту h, тело должно обладать начальной скоростью v = (2gh)1/2. Такую же скорость приобретает тело, если с этой высоты упадет вниз, так происходит взаимопревращение энергии, причем mv^2/2 = mgh. Таким образом, к середине XIX века были сформулированы законы сохранения массы и энергии. Они трактовались как независимые, и их смысл был в сохранении материи и движения.

Снова вернемся к временам Ньютона. Еще в своих «Началах» он ввел понятие количества движения, которое определяется как произведение массы тела на его скорость – mv. Развитие представлений о сохранении со временем этой величины, как это ни удивительно, шло независимо от представлений о живых силах. Количество движения связывалось со вторым законом Ньютона, где его изменение служило мерой действия силы. В то же самое время произведение массы на скорость рассматривалось как мера движения. Именно исходя из этих представлений, возникла идея о сохранения количества движения.

Первая формулировка принадлежит Декарту, она опубликована в его «Началах философии» в 1644 году. В его понимании закон, без сомнения, существует и его основа – теологическая: «Бог – первопричина движения, он постоянно сохраняет в мире одинаковое его количество». Декарт не дал математического выражения закона, в том смысле, что не написал соответствующих формул. Однако, благодаря ясности его определений, нужды в этом фактически нет: «Когда одна частица материи движется вдвое скорее другой, а эта последняя – вдвое по величине больше первой, то в меньшей столько же движения, сколько и в большей из частиц; и что насколько движение одной частицы замедляется, настолько же движение какой-либо иной возрастает».

Активнейшим оппонентом Декарту выступил Лейбниц. Он, увлеченный идеей живых сил, как мы уже знаем, считал, что мерой движения является не mv, а mv^2, и что сохраняется только вторая, а не первая величина. Возникла путаница, которая долгое время оставалась в умах исследователей и мешала осознать соотношение законов сохранения для живых сил и количества движения.

Развитие динамики Ньютона, шаг за шагом, привело к пониманию, что сохраняются обе величины. Оказалось, что закон сохранения количества движения непосредственно связан со всеми законами механики Ньютона. Действительно, если нет внешних воздействий, то количество движения сохраняется (1-й закон); если есть определенное воздействие внешней силы, то определенным образом меняется и количество движения (2-й закон); для замкнутой системы взаимодействующих тел происходит обмен количеством движения, но поскольку взаимодействия осуществляются, следуя 3-му закону, то в результате общее количество движения сохраняется.

Законы сохранения в СТО

Как выводились законы сохранения и строились сохраняющиеся величины в дорелятивистской механике и электродинамике до появления СТО? Преобразованиями в уравнениях движения частиц, механических систем, уравнений поля выделялись специальные комплексы. Их интегрирование приводило к выражениям, которые не изменяются со временем. Это и были сохраняющиеся величины для системы: энергия, количество движения и угловой момент. Эта ситуация сохранялась до конца XIX – начала XX века. Было даже установлено, что количество движения и угловой момент соответствуют смещениям и вращениям плоского евклидова пространства – абсолютного пространства механики Ньютона. Именно эти «движения» являются симметриями пространства Евклида. Но как-то на этом особо не акцентировалось внимания, и этими симметриями не пользовались для построения сохраняющихся величин. Более того, долгое время оставалась в тени одна из главных симметрий – «смещение» по абсолютному времени, поэтому сохраняющаяся величина «энергия» была сама по себе.

Кроме того, в нерелятивистской механике законы сохранения для массы и энергии рассматривались как разные. Однако с построением СТО ситуация стала меняться. Само понятие энергии подверглось обобщению: оказалось, что полная энергия системы включает энергию покоя согласно известному соотношению Эйнштейна Е = mс^2. Согласно этому же соотношению существует взаимное превращение между массой и энергией. То есть в релятивистскую энергию, собственно, включена масса, и имеет смысл лишь закон сохранения энергии, объединяющий оба понятия.

Понятие количества движения также получило развитие – в настоящее время эту величину называют импульсом. Поскольку оно определяется скоростью, то это векторная мера движения. Замена термина «количество движения» на «импульс» имеет смысл физического обобщения. Дело в том, что импульсом обладают не только массивные частицы вещества, но и безмассовые, такие как фотоны. Для фотона мы не можем написать произведение mv, поскольку у него нулевая масса покоя. Однако известно, что он переносит энергию, она и оказывается прямо связанной с импульсом, который играет роль количества движения. Ясно, что энергия, в отличие от импульса, – скалярная мера движения.

Фактически СТО строилась как теория в пространстве Минковского. А каковы свойства самого пространства Минковского? Это плоское пространство-время, оно обладает 10-ю геометрическими симметриями. Не произойдет никаких изменений в пространстве Минковского, если произвести смещения, соответствующие этим симметриям. Перечислим их: смещения вдоль каждой из осей – временной и трех пространственных; три независимых пространственных вращения; три независимых пространственно-временных (лоренцевых) вращения.

Сама СТО была построена как теория, все законы и следствия которой инвариантны относительно вращений Лоренца. Затем очень быстро было установлено, что СТО инвариантна относительно более полной группы движений Пуанкаре (всех 10 смещений в пространстве Минковского).

В чем формально (математически) выражается эта инвариантность, когда изучается материальная система? Движение и взаимодействие материи определяется соответствующими уравнениями движения и/или уравнениями поля. Оказывается, что эти уравнения при каждом из 10-ти перечисленных смещений не изменяются, остаются инвариантными.

Поэтому сама логика построения должна бы навести на мысль, что этой инвариантности должны соответствовать фундаментальные величины. Фактически в 1905–1906 годах все было готово для того, чтобы в СТО (в Пуанкаре-инвариантной теории), основываясь на симметриях пространства Минковского, представить общие правила построения 10-ти сохраняющихся величин. Но этого не произошло. Историки объясняют это тем, что творцы науки того времени были в эйфории от работы по переформулировке всей физики в релятивистскую. До законов сохранения руки просто не дошли.

Первым, кто представил такие правила, был немецкий математик и механик Густав Герглотц (1881–1953). Он вывел законы сохранения из универсальных соображений инвариантности относительно группы Пуанкаре в 1911 году, разрабатывая релятивистскую теорию сплошных сред. Однако поначалу сам не придал этому никакого особого значения. Лишь немного позже фундаментальный смысл этих результатов был осознан замечательным немецким математиком Феликсом Клейном (1849–1925), который его всячески пропагандировал. После чего симметрии пространства Минковского стали основой построения законов сохранения в любой релятивистской теории. В частности, на результаты Герглотца Клейн обратил внимание другого немецкого математика Фридриха Энгеля (1861–1941). Тот свел в единую форму группу смещений в механике Ньютона. Это так называемая группа Галилея – Ньютона, она объединяет смещения в пространстве Евклида и смещения по времени. А в 1916 году показал в общем виде, что все сохраняющиеся величины (энергия, импульс и момент импульса) в нерелятивистской физике могут быть построены из инвариантности относительно движений этой группы. Мы привели этот пример, чтобы подчеркнуть насколько бурным было развитие релятивистской физики. Обоснование и интерпретация законов сохранения в СТО было достигнуты раньше, чем в механике Ньютона!

На основе инвариантности относительно группы Пуанкаре была пересмотрена и иерархия сохраняющихся величин, которые были объединены в единые комплексы. Обсуждая СТО, мы уже установили, что в случае пробной массивной частицы единый смысл имеет 4-вектор энергии-импульса: энергия представляет его временную компоненту, а импульс – три пространственные компоненты. При этом обе эти меры, определяющие 4-вектор, являются составляющими более общей единой меры – релятивистского тензора энергии-импульса Tab (об этом подробнее см. Дополнение 2). Можно сказать, что 4-вектор энергии-импульса дополняется компонентами давления и внутренних натяжений, что в результате дает тензор энергии-импульса. Этот тензор можно определить и для твердых тел, и для набора материальных частиц, и для сплошной среды, и для любого поля, распределенного в пространстве.

Подведем некоторый итог. Предположим, что физическая система в СТО замкнута, т. е. не взаимодействует с внешним миром. Тогда смещению по временной оси соответствует закон сохранения энергии; смещениям вдоль трех пространственных осей соответствуют законы сохранения для каждой из компонент импульса; трем независимым пространственным вращениям соответствуют законы сохранения компонент углового момента. Наконец, трем независимым лоренцевым вращениям отвечает равномерное и прямолинейное движение центра инерции («центр энергии») всей системы, другими словами, выполняется обобщенный 1-й закон Ньютона, или обобщенный закон сохранения инерции. А если система не замкнута, и есть взаимодействие с другими системами? В этом случае те же симметрии дадут возможность рассчитать изменение величины той или иной физической характеристики (энергии, импульса, и т. д.).

Нелокализуемость сохраняющихся величин в ОТО

Энергия любит материю, но изменяет ей с пространством во времени.

Славомир Врублевский

Теперь, располагая определенным представлением о сохраняющихся величинах для физических систем в пространстве Минковского, обратимся к ОТО. Прежде всего отметим принципиальную разницу в трактовке пространства-времени. В СТО пространство-время – это арена, на которой разворачиваются физические взаимодействия, это «жесткий каркас», по отношению к которому определяются сохраняющиеся величины, более того, симметрии «каркаса» однозначно связаны с ними. В ОТО ситуация сложнее: пространство-время играет двойственную роль. С одной стороны, оно остается ареной для физических взаимодействий материи, с другой стороны, само является динамическим объектом и участвует во всех взаимодействиях. То есть для того чтобы определить сохраняющиеся величины в ОТО, их нужно определять совместно для материи и гравитационного поля. Более того, пространство-время в ОТО искривляется и меняется со временем, поэтому нет возможности определить симметрии, подобные тем, что определены в пространстве Минковского. Это означает, что нельзя определить сохраняющиеся величины отдельно для материи без гравитационного поля. Этот факт является еще одним поводом задуматься над определением законов сохранения совместно для материи и гравитационного поля.

Роль пространства-времени, как «жесткого каркаса», в СТО проявляется еще и в том, что однозначно и без противоречий определяются плотности сохраняющихся величин. В этом случае говорят, что энергия и другие сохраняющиеся величины локализуются. В противоположность этому, в ОТО, где сохраняющиеся величины нужно определять совместно для материи и гравитационного поля, определение плотностей этих величин не является однозначным. С точки зрения основания гравитационной теории, эта проблема рассматривается как связанная с принципом эквивалентности. Действительно, в малой окрестности свободно падающий наблюдатель ощущает себя в пространстве Минковского. Для него нет ни гравитационного поля, ни его характеристик, представленных энергией, импульсом и т. д. Но если посмотреть со стороны (с точки зрения другого наблюдателя), то падение первого как раз обусловлено действием гравитационных сил, которые совершают работу, ускоряя его. В результате, и лифт, и все его содержимое приобретают энергию, импульс. А это означает, что гравитационное поле обладает теми же характеристиками. Пример с лифтом наглядный и простой. В общем случае ситуация интерпретируется как нелокализуемость не только энергии и импульса, но всех (десяти) сохраняющихся величин ОТО.

Для сравнения вернемся к теории Ньютона. В отличие от ОТО, здесь все взаимодействия происходят в абсолютном пространстве, и это дает возможность дать локальные характеристики гравитационного поля. Правда, чтобы быть корректными, необходимо оставаться в рамках теории. Вспомним, что в самой теории Ньютона нет понятия поля. Оно было введено лишь опосредовано, в частности, для сравнения с ОТО. Более того, не определена «энергия покоя», поэтому она не определена и для статического поля. Однако есть понятие гравитационного потенциала, для точечной массы φ – GM/r. Именно этой характеристикой определяется действие гравитационных сил и, благодаря наличию абсолютного пространства, определяется однозначно.

Многие критики ОТО, апеллируя к свойству нелокализуемости, говорят, что понятие энергии вообще отсутствует в ОТО, что другие сохраняющиеся величины также нельзя определить и использовать в ОТО. Это, конечно, не так. Гравитационное взаимодействие, а следовательно и гравитационное поле, без всякого сомнения, дает вклад в энергетические характеристики гравитирующих систем, но этот вклад определяется лишь нелокально. Примером может служить двойная система (двойная звезда). Ясно, что эта система существует благодаря гравитационной связи. Но как в ней распределена гравитационная энергия? Если мы запустим наблюдателя в качестве спутника одного из компонентов, то он, конечно, не определит ничего. Действительно, его состояние – это состояние свободного падения, и он себя ощущает как в пространстве Минковского (вспомните состояние невесомости космонавтов на орбитальной станции). Тем не менее, конечно, гравитационная энергия есть в наличии. Давайте извне «впрыснем» в систему энергию, в результате один из компонентов приобретет достаточную скорость, чтобы покинуть своего собрата. Полная релятивистская (с учетом масс покоя) энергия системы до разлета меньше, чем после, поскольку для разгона компонентов была добавлена положительная энергия. Разница – это и есть гравитационная энергия, энергия связи. Поскольку она была компенсирована «впрыскиванием» положительной энергии, то является отрицательной. Таким образом, нелокализуемость энергии в ОТО является лишь особым свойством теории.

Эйнштейн о проблеме определения энергии в ОТО

Уже в процессе создания ОТО Эйнштейн уделял особое внимание построению законов сохранения либо для свободного гравитационного поля, либо для гравитационного поля вместе с материальными источниками. Он приходит к выводу, что законы сохранения должны определяться совместно для материи и гравитационного поля. Как оказалось, именно это требование в конечном итоге привело Эйнштейна к правильной формулировке уравнений.

Хотя, конечно, более рационально построить уравнения так, как изложено в Дополнении 5, чтобы удовлетворить требованиям совместности геометрической и материальной частей. Мы привели этот факт, чтобы подчеркнуть, насколько важным оказался теоретический анализ законов сохранения еще в период построения ОТО.

Эйнштейн, интерпретируя нелокализуемость плотности энергии гравитационного поля, отстаивал точку зрения, что это не недостаток теории, а особое свойство такого поля. Для простых моделей были рассмотрены возможные способы «локализации» гравитационной энергии. Так, рассматривая островную (изолированную) систему, Эйнштейн предложил следующее: «Чтобы можно было говорить об энергии или импульсе системы, плотности энергии и импульса должны обращаться в нуль вне некоторой области B. Это будет только тогда, когда вне области B компоненты метрики постоянны, то есть когда рассматриваемая система как бы погружена в «галилеевское пространство», и мы пользуемся «галилеевскими координатами» для описания окружения системы». В данном случае «галилеевское пространство» играет роль пространства Минковского, относительно которого сохраняющиеся величины в СТО определяются однозначно. В СТО, однако, можно однозначно определить и плотности, а здесь только полные характеристики всей системы, поскольку «галилеевское пространство» определено только в окрестностях системы.

Локализация сохраняющихся величин в ОТО

Слабые гравитационные волны были представлены как метрические возмущения, распространяющиеся в плоском пространстве-времени. Это означает, что вводится некоторое «опорное» фиксированное пространство Минковского. Но его фактически нет в ОТО как теории с динамической метрикой! Но такова постановка задачи: изучение (1) слабых метрических возмущений (2) в плоском пространстве-времени. И (1), и (2) – это ограничения, определенные постановкой задачи, которые в данном случае вводятся везде, во всем физическом пространстве-времени. Эти ограничения позволяют рассматривать только линейные возмущения в пространстве Минковского. Такое исследование принципиально не отличается от исследования электродинамики в пространстве Минковского. У линейного гравитационного поля исключаются нефизические степени свободы, аналогично тому, как это делается в электродинамике.

А в итоге получается, что для системы слабых гравитационных волн (этой конкретной задачи) локальные сохраняющиеся величины (плотности энергии, импульса, и т. д.) определяются вполне однозначно.

Опорное, или фоновое, пространство-время не обязательно должно быть плоским, оно обычно определяется характером конкретных моделей или задач. Так, например, для реальных гравитационных волн естественно выбрать в качестве фона пространство-время какого-либо космологического решения. Конкретный выбор фона является одним из ограничений, которое позволяет корректно говорить о локализации. Гравитационные волны, в силу теории, должны переносить положительную энергию. Именно на этом основан метод детектирования, который заключается в том, что под их воздействием должны смещаться зеркала в интерферометрах. Кроме того, это уже, хотя и косвенно, подтверждено наблюдениями. Для некоторых двойных систем достоверно известно, что их компоненты сближаются. Это означает, что их отрицательная энергия связи по абсолютной величине становится больше, т. е. с гравитационными волнами происходит отток положительной энергии.

В отношении эйнштейновского примера с изолированной системой можно сказать, что также вводится некоторое «опорное» фиксированное пространство Минковского, но не везде, а в очень удаленной окрестности системы. В этом случае также удается локализовать сохраняющиеся величины, то есть определить глобальные (полные для всей системы) сохраняющиеся величины. Таким образом, можно определить энергию, импульс и т. д. всего, что «внутри», рассматривая энергию гравитационного поля вместе со всей материей.

Основываясь на этом принципе, можно определить энергию, скажем, черной дыры Шварцшильда. Удаляясь от центра, попадаем в почти плоскую область, где возмущения метрики очень слабые. Теперь их можно рассматривать как самостоятельное поле в пространстве Минковского. Характер убывания возмущений позволяет рассчитать полную энергию, которая заключена под сферой, определенной положением наблюдателя. В пределе, на бесконечности получим полную энергию всей системы. Для черной дыры Шварцшильда – это mc^2, где m – параметр массы в решении.

В силу сложности определения сохраняющихся величин в ОТО, существует множество методов их построения, среди них встречаются ошибочные, противоречащие некоторым фундаментальным требованиям. Расчет полной энергии черной дыры является одним из тестов на удовлетворение этим требованиям.

Обсуждая решение Шварцшильда, мы отмечали, что это внешнее вакуумное решение, которое может быть в равной степени связано как с черной дырой, так и с обычной регулярной звездой. Тогда что получается, если в обоих случаях решение характеризуется одним и тем же параметром m, то обе системы будут иметь одну и ту же полную энергию mc^2? Так и есть. Несмотря на принципиально различную внутреннюю структуру, и обычная звезда, и черная дыра будут иметь одинаковую энергию. Если в случае звезды можно получить эту же полную энергию интегрированием по всему объему без принципиальных трудностей, то в случае с черной дырой они неизбежно возникнут в силу нетривиальной геометрической структуры, связанной с наличием горизонта событий и сингулярности.

Таким образом, эйнштейновское «погружение в галилеевское пространство» и интегрирование по удаленной окрестности элегантно решает проблему определения глобальной энергии (и других сохраняющихся величин) для таких объектов, как черные дыры.

Для определения глобальных сохраняющихся величин удаленное фоновое пространство-время не обязательно должно быть плоским, оно также определяется характером конкретных моделей и задач. Будучи искривленным, оно может иметь симметрии, используя которые можно построить соответствующие сохраняющиеся величины.

В последнее время большое внимание уделяется так называемым квазилокальным характеристикам, например, квазилокальной энергии, которые рассчитываются для конечного объема. Уравнения ОТО устроены так, что позволяют связать динамику гравитационного поля, вещества и материальных полей внутри объема с поведением метрики на границе. Тогда оказывается, что если граничные условия для метрики и ее производных на границе объема заданы (известны), то можно определить сохраняющиеся величины для всего объема.

Рассказывая о законах сохранения, нельзя не упомянуть выдающегося немецкого математика Эмми Нётер (1882–1935).

Рис. 11.2. Эмми Нётер

С ее именем связаны различные разделы математики, она является основателем нового направления – абстрактной алгебры. Но для физиков ее имя прежде всего связано с законами сохранения, построение которых основано на универсальных принципах, сформулированных и опубликованных в 1918 году. Особо важны теоремы Нётер при анализе и развитии теорий, имеющих внутренние группы симметрий, которым соответствуют разного вида сохраняющиеся заряды. Именно эти теории представляют строение материи во всем ее многообразии.

Что касается ОТО, то искривленное пространство-время, как правило, не имеет симметрий. Поэтому нельзя, пользуясь теоремами Нётер, представить глобальные сохраняющиеся величины в общем случае. Однако ОТО инвариантна относительно общего вида координатных преобразований, здесь использование ее принципов вполне продуктивно. Результатом оказываются локальные законы сохранения – обобщенные уравнения непрерывности (см. Дополнение 2).

Энергия замкнутой Вселенной. Рождение из «ничего»

Поскольку существует такая сила как гравитация, Вселенная могла и создала себя из ничего.

Стивен Хокинг

Мы дали представление как посчитать энергию гравитационных волн и изолированных объектов, то есть наиболее востребованных в исследованиях физических систем. Но можно ли посчитать энергию всей Вселенной? Для открытых миров обычно дается ответ, что ее нельзя определить корректно, либо, что она бесконечна. А вот для замкнутых миров есть вполне определенный ответ. Давайте проведем расчет в замкнутом мире с помощью квазилокальной техники. Окружим себя сферой какого-либо радиуса, зададим граничные условия, которые будут регулярными (конечными), и, проинтегрировав соответствующее выражение по сфере, определим полную энергию материи и гравитационного поля внутри. Увеличим радиус и снова определим энергию уже внутри большего объема, и т. д. Чтобы определить энергию всей Вселенной нужно интегрировать по сфере, охватывающей всю Вселенную. А это противоположный полюс (точка), площадь такой сферы нулевая, и, следовательно, интегрирование по ней даст только нуль.

Таким образом, вывод, с которым согласны все или почти все исследователи, состоит в том, что энергия замкнутой Вселенной нулевая. Как это можно объяснить? Вернемся к примеру двойной звезды. Давайте сравним полную энергию системы до разрыва и после разрыва. Во втором случае, очевидно, энергия больше из-за того, что была «впрыснута» энергия извне, именно поэтому звезды разлетелись. Другими словами, сумма масс отдельных звезд больше, чем масса единой системы. Эта разница называется дефектом масс и она возникает из-за гравитационной энергии связи, которая отрицательна. Тогда для замкнутой Вселенной можно сделать вывод, что отрицательная гравитационная энергия связи настолько велика, что она полностью и точно компенсирует положительную энергию всей материи. Почему так получается? Некоторое обсуждение этой проблемы и вопросов, связанных с ней проводится в Дополнении 8.

Тот факт, что замкнутая Вселенная имеет нулевую полную энергию, никак не зависит от величины радиуса кривизны Вселенной. То есть с расширением такой Вселенной полная энергия не изменится, оставаясь нулевой. Что в деталях происходило на самых ранних этапах, трудно сказать. Это период, когда материя (в привычном для нас понимании) рождалась после распада первичных скалярных полей или как результат чрезмерных «напряжений» пространства-времени (поляризации вакуума). Когда Вселенная расширялась, состояние материи, заполняющей ее, менялось. Но, конечно, в любом случае (и в случае замкнутого мира) в ее составе мы должны учитывать, кроме обычной материи, и темную материю, и темную энергию.

Само решение для замкнутого мира появилось как решение уравнений Эйнштейна для однородной плотности энергии ε, которая связана с соответствующей плотностью масс ρ известным соотношением ε = ρc^2. А поскольку полный объем замкнутой Вселенной известен, он равен V = 2π^2a^3(t), то легко посчитать полную массу замкнутой Вселенной: M = 2π^2ρa^3. Для простых состояний материи (например, для «пыли», когда отсутствует давление) эта величина не изменяется со временем, поскольку при расширении Вселенной (с ростом масштабного фактора a(t)) плотность масс ρ соответственно уменьшается. Но мы уже знаем, что, скорее всего, живем в мире, более чем на 70 % заполненном «темной энергией». А «темная энергия», с одной стороны, должна обладать специальным свойством – отрицательным давлением. С другой стороны, плотность ее энергии не изменяется при расширении

Вселенной. Это сильно отличает ее от обычной материи. Все это означает, что если мы живем в замкнутом мире, то, следуя формуле M = 2π^2ρa^3, получим, что полная масса Вселенной растет. За счет чего это происходит? Ответ один, во Вселенной, вынужденной расширяться из-за «странных» свойств наполнителя, растет отрицательная энергия гравитационной связи.

Возвратимся к проблеме рождения Вселенной, о которой упоминалось в главе о космологии. Теперь становится ясно, почему именно замкнутые миры фигурируют в моделях «рождения из ничего». Дело в том, что вероятность рождения Вселенной в виде квантовой флуктуации с характеристиками замкнутого мира (нулевой энергией и т. д.) в разных моделях квантования ненулевые, в то время как для открытых миров эта вероятность тождественно равна нулю. Важным также является то, что при последующем расширении полная энергия остается равной нулю, удовлетворяя фундаментальному закону сохранения энергии.

Глава 12

Перспективы развития теории гравитации

То, что мы называем прогрессом, – является заменой одной неприятности на другую.

Генри Хейвлок Эллис

Теории гравитации альтернативные ОТО

Ничто не делает нашу жизнь столь приятной, как ее неизбежная альтернатива.

Народная мудрость

Все течет, все изменяется. Было время, казалось, что лучшей теории гравитации, чем ньютоновская, незачем желать. На протяжении всей книги мы рассказывали, как шаг за шагом общая теория относительности «занимала свое место под солнцем». Осталось всего несколько лет до ее 100-летнего юбилея. Каков же сейчас ее статус? Без сомнения, ОТО является самой востребованной теорией гравитации, прежде всего, в астрофизике и космологии, и мы попытались это показать. Теория строения и эволюции звезд, особенно на заключительных этапах; эффекты на поверхности компактных и сверхплотных объектов; космологические модели в разные эпохи эволюции и многое другое не могут быть удовлетворительно рассчитаны без использования ОТО. На основе эффектов, предсказанных ОТО, создаются целые направления исследований – поиск гравитационных волн, исследование гравитационных линз и т. д. Являясь частью теоретической физики, ОТО используется также во многих фундаментальных исследованиях.

Фактически сразу после подтверждения классическими тестами ОТО завоевала невиданную популярность. Но, конечно, измерениями отклонения луча света далекой звезды в гравитационном поле Солнца, смещения перигелиев планет в Солнечной системе, а также красного гравитационного смещения в поле Земли дело не закончилось и не могло закончиться. В течение всего времени после ее завершения в 1915 году, как основные принципы, так и уравнения непрерывно проверяются и перепроверяются со все возрастающей точностью. Однако результатов, которые бы противоречили ОТО, так и не было получено. Мало того, она давно используется в практических целях, таких как расчет орбит спутников, планет и траекторий межпланетных аппаратов.

Можно сказать, что эффекты ОТО уже используются и в быту: для повышения точности систем навигации и слежения типа GPS. Постоянно на орбитах на высоте 20 000 км находится от 24 до 27 спутников. Для повышения точности используются сигналы от нескольких спутников, обмен сигналами с устройствами на Земле. Для этого необходима строгая синхронизация часов на всех объектах. Оказывается точности атомных часов недостаточно. Необходимо учитывать замедление хода часов, которое происходит, согласно ОТО, в гравитационном поле Земли. Другими словами, одни и те же часы на Земле идут медленнее, чем на орбите. Для высоты 20 000 км эта разница составляет 38 мкс в сутки и приведет к ошибке в определении расстояния до 10 м. Чтобы компенсировать этот эффект, ход часов «по паспорту» на орбите настраивают медленнее. Если их спустить с орбиты и поместить рядом с земными – они будут запаздывать на 38 мкс в сутки.

До сих пор наше изложение фактически демонстрировало успехи ОТО, и может показаться, что в силу этой радужной картины, кроме ОТО никакие другие теории не рассматривались, ничего другого не предлагалось, или вовсе все «неэйнштейновское» наотмашь отметалось. Вовсе нет. Деятельность по созданию теорий гравитации была и остается очень бурной. Развитие теорий и их активная и всесторонняя проверка продвигались рука об руку весь XX век и далее.

Большинство проверок могут быть отнесены к специальным классам, предложенным американским релятивистом Клиффордом Уиллом в 2001 году:

• Простейшие основания.

• Эйнштейновский принцип эквивалентности.

• Параметризованный пост-ньютоновский формализм. О соответствии двум последним классам поговорим ниже, а сейчас обсудим, что же такое «простейшие основания»?

В начале 1970-х годов группа ученых из Калифорнийского технологического института под руководством идеолога проекта LIGO профессора Кипа Торна, а также Клиффорда Уилла и тайваньского физика Вей-Тоу Ни составила список теорий гравитации XX века. По каждой теории они задались следующими вопросами по проблеме простейших оснований:

• является ли теория самосогласованной?

• является ли она полной?

• согласуется ли она, в пределах нескольких стандартных отклонений, со всеми проведенными к настоящему времени экспериментами?

Критерий «согласование со всеми экспериментами, проведенными к настоящему времени», часто заменялся критерием «согласования с большинством следствий механики Ньютона и специальной теории относительности».

Самосогласованность неметрических теорий включает требования, например, отсутствия в ее решениях тахионов, гипотетических частиц, движущихся со скоростями больше световой; отсутствия проблем в поведении полей на бесконечности и т. п.

Для того чтобы теория гравитации была полной, она должна быть способна описать результаты любого мыслимого эксперимента, она должна быть совместной с другими физическими теориями, подтвержденными экспериментом. Например, любая теория, которая не может из первых принципов предсказать движение планет или поведение атомных часов, является неполной.

Примером неполной и несамосогласованной теории может служить теория тяготения Ньютона в сочетании с уравнениями Максвелла. В такой теории свет (как фотоны) отклоняется гравитационным полем (хотя и вдвое слабее, чем в ОТО), а свет (как электромагнитные волны) – нет.

Если теория не проходила по этим критериям, то ее, тем не менее, не спешили отбрасывать. Если теория была неполна в своих основах, группа пыталась дополнить ее с помощью малых изменений, обычно сводя теорию в отсутствие гравитации к специальной теории относительности. Только после этого делался вывод, достойна ли она дальнейшего рассмотрения. Теорий, которые заслуживают внимания, в 70-х годах насчитывалось несколько десятков. Трудно сказать, но за последние два-три десятилетия их число, возможно, достигло сотни и более. Все зависит от ответа на вопрос, что считать одной теорией, а что классом теорий. Поэтому отбор по различным критериям проводится и сейчас, и с еще большим пристрастием. Это крайне важно, поскольку есть предпосылки, что в ближайшие десятилетия или на малых масштабах, или на больших, или одновременно ОТО будет изменена.

Проверка ОТО на масштабах планетных систем

Теперь вспомним, что основой ОТО как метрической теории является принцип эквивалентности и постулат движения по геодезическим. Известно, что этим основам, если они установлены с абсолютной точностью, удовлетворяют лишь «чисто» метрические теории (с небольшими оговорками), т. е. теории, где гравитационное поле представлено только метрическим тензором. Оказывается, что ОТО это лишь простейший вариант метрической теории. Нисколько не нарушая этих основ, можно представить бесчисленное (без преувеличения) множество метрических теорий. Как тогда можно изменить теорию? За что же зацепиться в этом случае? Конечно, лишь эксперимент и наблюдения могут поставить все на место. Но для классификации альтернативных предложений нужна своя стратегия.

Работу над стандартным формализмом для проверки альтернативных моделей гравитации начал еще в 1922 году Артур Эддингтон (1882–1944). Усовершенствование этого формализма, так или иначе, продолжалось на протяжении десятилетий, а закончили дело американские физики Клиффорд Уилл и Кеннет Нордведт в 1972 году. Ими предложен так называемый параметризованный пост-ньютоновский (PPN) формализм. Он создан для теорий либо чисто метрических, либо с эффективной метрикой, представляющей искривленное пространство-время, где происходят физические взаимодействия. Рассматриваются лишь отклонения от механики Ньютона, поэтому формализм применим только в слабых полях. В общем случае существует 10 PPN-параметров. В случае ОТО 2 из них равны единице, а остальные 8 – нулю.

Чем полезен PPN-формализм в проверке ОТО? Новые технологии позволяют достаточно точно отслеживать движения небесных тел, и современная стандартная проверка происходит следующим образом. С помощью уравнений ОТО именно в PPN виде рассчитываются траектории тел в Солнечной системе. Этот вид оказывается наиболее конструктивным. Затем их сравнивают с данными наблюдений. Современный результат таков, что соответствие теоретических PPN параметров ОТО наблюдаемым подтверждается с точностью от десятых до сотых долей процента – это очень высокая точность.

Другие точные тесты – это наблюдения двойных пульсаров: систем, состоящих из двух нейтронных звезд, их известно сейчас около десятка. Кроме этого, есть системы, состоящие из радиопульсара и белого карлика, они тоже подходят для тестов. На основании этих наблюдений вычисляются параметры орбит. Оказывается, что отклонения от кеплеровских значений совпадают с отклонениями, предсказанными ОТО, также с точностью до десятых и сотых долей процента. Специалисты испытывают большой оптимизм в перспективах повышения точности при изучении именно двойных пульсаров. Он основан на том, что нейтронные звезды имеют размеры в десятки километров в системах с размерами орбит в миллионы километров. В таких системах звезды фактически являются точечными объектами. Их внутреннее строение, внутренние движения, а также деформации практически не влияют на траектории. В отличие от этого, в Солнечной системе все эти факторы, а также влияние многочисленных «соседей» существенно ограничивают повышение точности. Резюмируя, можно сказать, что на масштабах планетных систем ОТО подтверждена с высокой точностью и точность измерений будет повышаться.

Необходимость модификации ОТО

Надо жизнь сначала переделать, переделав – можно воспевать.

Владимир Маяковский

Однако исследования по созданию теорий альтернативных ОТО, в большей части как раз метрических, не прекращаются. Почему? ОТО хорошо подтверждается, как только что было сказано, на масштабах Солнечной системы. Проверить теорию на больших или меньших масштабах существенно сложнее. ОТО, как и любая другая теория, всего лишь модель для описания реальных явлений. Поэтому реальная природа может совпадать с предсказаниями ОТО на масштабах планетных систем, но отличаться на других масштабах.

Вместе с этим, многие современные теоретические и эмпирические данные говорят о том, что так и должно быть, и модификации необходимы. Например, во многих решениях ОТО необходимо рассматривать сильные гравитационные поля, огромные плотности и т. д. А это требует квантования гравитационного поля. Несмотря на значительные усилия, решающего успеха на этом поприще добиться не удалось. Это наводит на мысль, что на малых масштабах, где требуется квантование, гравитационная теория должна быть изменена. С другой стороны, недавнее открытие ускоренного расширения Вселенной многие ведущие специалисты склонны интерпретировать как геометрический эффект, который можно «получить», модифицировав ОТО на космологических масштабах. Независимо от этого, к необходимости изменений ОТО на больших и малых масштабах приводят результаты исследований в физике фундаментальных взаимодействий.

Если говорить о жизнеспособных теориях, то нет установившейся терминологической разницы для альтернативных, модифицированных или новых теорий. Все они, так или иначе, развивают ОТО, поскольку должны работать не хуже на тех масштабах, где она подтверждается. Разрабатывая модификации ОТО или новые теории, авторы сравнивают их с ОТО в соответствующих режимах точно так же, как ОТО сравнивается с гравитацией Ньютона. Если угодно, должен быть удовлетворен все тот же принцип соответствия, но на новом витке познания.

В настоящее время на многих конференциях по теории гравитации обобщенным (или альтернативным) теориям посвящаются целые секции, по этой тематике выходят отдельные сборники, некоторые теории становятся все более и более самостоятельными. Каковы же основные наиболее популярные и перспективные направления в этих разработках?

Во-первых, ОТО является чисто метрической (или чисто тензорной) теорией. Это означает, что геометрия пространства-времени и материя воздействуют друг на друга без посредников. Таких теорий можно построить бесконечно много (о чем мы уже говорили), и они активно разрабатываются. Как правило, уравнения этих теорий отличаются от уравнений ОТО тем, что они дополняются квадратичными и более высокого порядка по кривизне слагаемыми. Дополнительные члены обычно входят с малыми коэффициентами, которые обеспечивают согласие с наблюдениями, скажем, на масштабах планетных систем, но существенно изменяют решения на космологических масштабах.

Другой класс альтернативных теорий характеризуется тем, что воздействие друг на друга геометрии и материи осуществляется через дополнительное поле, чаще всего это скалярное или векторное поле. Однако вклад этих полей не может быть существенным. Отклонение современных альтернативных теорий от ОТО должно выразиться в разнице соответствующих PPN параметров. Чтобы оценить жизнеспособность отличной от ОТО теории (проверить ее) необходимо регистрировать отклонения от значений PPN параметров в ОТО на уровне 10–6–10–8. Это означает, что точность измерений, как в Солнечной системе, так и в двойных пульсарах, должна быть улучшена на 1–3 порядка.

Теория гравитации Хоржавы

Эта теория является одним из вариантов векторно-тензорных теорий гравитации и, пожалуй, самая популярная на настоящий момент. Именно поэтому мы рассказываем о ней. Теория была предложена в 2009 году американским теоретиком-«струнником» чешского происхождения Петром Хоржавой. Она несколько отличается от обычных векторно-тензорных теорий, поскольку в ней вместо векторного поля используется градиент скалярного. С одной стороны, сохраняются свойства векторных теорий, с другой – есть специфические собственные полезные свойства.

Еще раз вспомним, что непротиворечивую квантовую теорию гравитации, в которой не было бы расходимостей, на основе ОТО создать не удалось. Поэтому предлагаются различные модификации, которые на квантовых масштабах существенно расходятся с ОТО и становятся «подходящими» для квантования. Для этого при их построении некоторые принципы, лежащие в основе ОТО, изменяются, т. е. оказываются нарушенными. Конечно, это нарушение должно быть настолько незначительным, чтобы не противоречить лабораторным тестам, и чтобы не изменилось действие теории на масштабах планетных систем, где есть хорошее соответствие с наблюдениями. Именно такой является теория Хоржавы. Мы не будем рассказывать насколько она замечательна в смысле квантования, это несколько в стороне от темы книги, зато расскажем о ее свойствах как гравитационной теории – в чем и насколько они отличны от аналогичных свойств ОТО.

Лоренц-инвариантность. Мы уже обсуждали тот факт, что ОТО как бы «выросла» из специальной теории относительности – механики высоких скоростей, сравнимых со скоростью света. Напомним, что в СТО все инерциальные системы отсчета, движущиеся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эквивалентны. Важно вспомнить об измерениях времени в СТО. В каждой инерциальной системе отсчета часы идут в своем собственном темпе, отличном от темпа часов других систем, если их сравнивать. Однако нельзя выбрать ни «лучший», ни «худший» темп, если часы конструктивно идентичны. То есть собственное время каждой инерциальной системы равноправно в отношении других. Это означает, что в СТО нет выделенного течения времени.

Мы также говорили, что на геометрическом языке инвариантность в СТО при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой эквивалентна инвариантности относительно лоренцевых вращений во всем плоском пространстве-времени. В ОТО из-за «включения» гравитации и, соответственно, искривления пространства-времени лоренц-инвариантность во всем пространстве-времени уже невозможна. Тем не менее, ОТО остается лоренц-инвариантной локально, то есть в малой окрестности каждого наблюдателя. Эта инвариантность является одним из принципов, лежащих в основе ОТО, и связана с принципом соответствия ОТО и СТО.

Хронометрическая теория. В ряде модификаций ОТО нарушена как раз локальная лоренц-инвариантность. Среди них и теория Хоржавы. В последнее время особой популярностью пользуется одна из ее реализаций, так называемая «жизнеспособная» («healthy») непроективная версия, разрабатываемая американскими физиками Диего Бласом и Ориолом Пуйоласом и нашим соотечественником Сергеем Сибиряковым. Эффекты, обсуждаемые ниже, в основном относятся именно к этой модификации ОТО.

Итак, чем же теория Хоржавы отличается от ОТО? В дополнение ко всем обычным полям ОТО добавляют скалярное поле φ, но не обычным образом. Направление его изменения в пространстве-времени определяет специально выделенное направление времени. Именно поэтому скалярное поле называют полем хронона. Тогда поверхности постоянных значений скалярного поля – это поверхности постоянного времени, или «одновременности». В уравнения скалярное поле входит только через производные, поэтому не стоит опасаться бесконечных значений поля хронона. Существенным является только его изменение, а не значения. Поскольку в пространстве-времени есть выделенное направление, то существуют выделенные системы отсчета. Это не свойственно ни СТО, ни ОТО, но свойственно векторно-тензорным теориям. Для наглядности приведем простейший «игрушечный» пример. Одно из решений новой теории – это плоское пространство-время (такое как в СТО) плюс поле хронона, которое оказывается просто временем, φ = t. В СТО мы можем перейти с помощью лоренцевых преобразований из одной координатной системы x, t в другую x′, t′, где время течет по-другому. В новой теории – не можем, поскольку значение скалярного поля при координатных преобразованиях не меняются, а это есть время. Таким образом, здесь, в отличие от СТО, существуют часы, которые отсчитывают выделенное время.

Поскольку в ОТО гравитационным полем является поле метрики пространства-времени, то ясно, почему новую теорию называют хронометрической. Допустимые ограничения на параметры хронометрической теории дают возможность избежать расходимости при квантовании. Еще раз повторим: это и было главной целью ее построения. Но это теоретический успех, а проверить квантовые эффекты такого уровня сейчас вряд ли возможно.

Однако новая теория должна измениться и в классических (не квантовых) проявлениях. А это дает возможность доказать или опровергнуть ее право на существование. Далее мы покажем, в каких классических явлениях и насколько хронометрическая теория отличается от ОТО, можно ли выявить в наблюдениях эффекты новой теории, проиллюстрируем разницу для некоторых теоретических моделей. Для этого обсудим наиболее яркие, на наш взгляд, примеры.

Гравитационно-волновое излучение. Вспомним, что гравитационная волна в ОТО – поперечная, тензорная, имеет две поляризации (см. рис. 10.2) и распространяется со скоростью света. Гравитационные волны в теории Хоржавы также существуют. Однако помимо двух уже упомянутых тензорных поляризаций имеет место скалярная степень свободы. Это означает, что под действием такой волны к движению пробных частиц добавятся продольные (в направлении распространения волны) смещения. Важно то, что тензорная и скалярная составляющие имеют разные скорости распространения. Кроме того, обе скорости, имея зависимость от параметров модели Хоржавы, должны превышать (!) скорость света, хотя и незначительно. Эти отличия от ОТО интересны, но к сожалению пока только теоретически. До сих пор нет хотя бы непосредственного детектирования гравитационных волн, поэтому фиксация отмеченных различий представляется делом отдаленного будущего.

Тем не менее существует косвенное подтверждение существования гравитационного излучения. Это наблюдения за двойными пульсарами, уменьшение размеров орбит которых свидетельствует о потере энергии на гравитационно-волновое излучение. Этот эффект находится в соответствии с ОТО с относительной точностью 10-2,, о чем мы уже говорили. Но предсказания ОТО и теории Хоржавы различны. Поэтому если последняя жизнеспособна, то есть шанс, что уже дальнейшее увеличение точности выявит эти различия и уточнит параметры новой теории.

Взаимодействие частиц. Мгновенное действие. Теперь для хронометрической теории рассмотрим взаимодействие гравитационного поля с веществом. Обсудим только первое (линейное) приближение, которое может быть доступно для наблюдений. В этом порядке эффекты, связанные с нарушением лоренц-инвариантности, подавлены в силу различных причин, но поле хронона присутствует, оно включено лоренц-инвариантным образом в так называемую эффективную метрику. То есть метрика ОТО модифицируется, и материя распространяется не в исходном пространстве-времени, а в некотором эффективном пространстве-времени, причем универсальным образом. Возможно в будущем именно это взаимодействие позволит обнаружить классические явления, представленные хронометрической теорией.

В приближении слабых полей и малых скоростей пределом гравитационной теории должна стать гравитация Ньютона. В последней взаимодействие двух частиц представлено известным законом Ньютона, где сила пропорциональна массам, гравитационной постоянной, обратно пропорциональна квадрату расстояния, но не зависит от скоростей этих частиц. Присутствие поля хронона изменяет и дополняет и этот закон следующим образом. Незначительно меняется гравитационная постоянная, теперь ее называют эффективной, и появляется зависимость от скоростей. Возможность детектирования этих эффектов определяется константами связи хронометрической теории.

Влияние поля хронона проявляется также в том, что некоторые взаимодействия могут распространяться мгновенно (!), т. е. с бесконечной скоростью. Как сделан этот вывод? Обычно уравнения для возмущений содержат волновой оператор, который состоит из двух частей: пространственной и временной. Величина, обратная коэффициенту при второй части – это квадрат скорости распространения возмущений. Полное отсутствие второй части означает, что эта скорость бесконечна. Именно такую структуру имеет часть уравнений теории Хоржавы. Здесь уместно провести аналогию с теорией Ньютона. В ней точно так же, как и в хронометрической теории, выделено течение времени («абсолютное время») и гравитационное взаимодействие распространяется мгновенно.

Рис. 12.1. Причинно события в СТО Хоржавы связанные и теории

Как представить мгновенное распространение? Вообразите поверхность постоянного времени, тогда сигнал, распространяясь на ней (то есть без изменения времени), мгновенно проходит любые расстояния. Это недопустимо в таких релятивистских теориях как СТО или ОТО. Обратимся к диаграмме на рис. 12.1. Рассмотрим три точки в пространстве: A, B и C. В момент t = 0 эти точки соответствуют событиям A_0, B_0, C_0, которые, в рамках СТО причинно не связаны. Только в момент t_1 событие A_0 становится причинно связанным с событием B_1 в точке B, а в момент t_2 и с событием C_2 в точке C. Как и должно быть в СТО (или ОТО), распространение сигналов жестко связано и ограниченосветовыми конусами. В теории Хоржавы для некоторых взаимодействийэто вполне может быть не так. Мгновенное распространение означает, что все три события A_0, B_0, C_0 в момент времени t = 0, произошли как следствие одного мгновенно распространяющегося сигнала, то есть они могут быть причинно связанными. Однако такая «фантастическая» возможность не ограничивает хронометрическую теорию решающим образом. Выделенность направления времени означает, что понятие одновременности определено однозначно, поэтому не возникает проблем с причинностью, хотя бы и такой экзотической.

Солнечная система. Для проверки какой-либо гравитационной теории при измерении движений в планетной системе используется PPN-формализм. Как в любой векторной теории, в теории Хоржавы должны присутствовать эффекты привилегированной системы отсчета. Это приводит к тому, что оказываются ненулевыми PPN-параметры группы α. Действительно, кроме двух PPN-параметров, присущих ОТО, хронометрическая теория имеет еще два: α_1 и α_2. Чтобы не было противоречий с наблюдениями, они должны быть достаточно малыми: α_1 ≤ 10-4 и α_2 ≤ 10-7. Будем ждать повышения точности измерений, тогда, возможно, существование α_1 и α_2 (а значит и теории Хоржавы) будет подтверждено или опровергнуто.

Черные дыры. В ОТО черная дыра представляет объект, где центральная часть, обычно сингулярная, окружена сферической поверхностью, названной горизонтом событий. Его наличие связано с тем, что в ОТО существует предельная скорость – это скорость света. Основное свойство черной дыры состоит в том, что в ОТО никакая частица, никакое поле и даже световой сигнал не могут ее покинуть, то есть уйти за пределы горизонта событий.

В хронометрической теории есть также решения, описывающие объекты типа черных дыр. Однако вспомним, что в этой теории нет предельной скорости, возможно распространение взаимодействий со скоростью большей, чем скорость света и даже мгновенно. Если бы эта возможность была в ОТО, то само понятие горизонта событий потеряло бы смысл, поскольку появляется возможность покинуть объект, находясь и на горизонте событий, и под ним. При этом появляются противоречия, связанные с термодинамикой системы, такие как уменьшение энтропии. Сейчас не известны все решения для черных дыр в теории Хоржавы в силу ее молодости, однако среди известных есть такие, которые позволяют избежать этих осложнений. Оказывается, что в черной дыре в рамках хронометрической теории может быть так называемый универсальный горизонт. Он находится под горизонтом событий («ближе» к сингулярности) и замечателен тем, что поверхности постоянного времени, находящиеся под ним, не пересекают его. Это означает, что сигнал даже бесконечной скорости (мгновенный) не может выйти из-под этого промежуточного горизонта. А для таких объектов вышеупомянутые противоречия снимаются.

Рис. 12.2. Диаграмма хронометрической черной дыры

На рис. 12.2 представлена так называемая диаграмма Пенроуза черной дыры Шварцшильда. Точки i— и i+ представляют всю временную бесконечность прошлого и всю временную бесконечность будущего, точка i_0 объединяет всю пространственную бесконечность. Прямая B i+ является горизонтом событий шварцшильдовой черной дыры – это видно из расположения световых конусов. Действительно, квадрат B i+ i_0 i— – это все внешнее пространство-время вне горизонта событий, в то время как треугольник i+ B i+ – это пространство-время под горизонтом событий, откуда сигнал не может выйти во внешнюю область, и где ломаная линия – это сингулярность r = 0. На диаграмму шварцшильдовой дыры наложена диаграмма черной дыры хронометрической теории. Все кривые, соединяющие i_0 и i+, – это сечения постоянного поля хронона φ = const, то же самое, постоянного времени (одновременности). Жирная дуга – это тот самый универсальный горизонт ξ=ξ*, под ним, ближе к сингулярности, дуги i+ i+, соединяющие концы ломаной линии – это тоже сечения постоянного времени (одновременности). Ясно, что если сигнал в хронометрической теории распространяется даже мгновенно, то есть вдоль сечений одновременности, то он не сможет пересечь универсальный горизонт и покинуть хронометрическую черную дыру.

Космология. В масштабах Вселенной теория Хоржавы также имеет шанс заявить о своей жизнеспособности. Обсудим космологические решения в новой теории. Они будут примерно такими же, как в ОТО, с той разницей, что вместо обычной гравитационной постоянной G будет фигурировать эффективная гравитационная постоянная GE. Теперь вспомним модифицированный закон Ньютона, о котором говорилось выше. Там появляется своя эффективная гравитационная постоянная, отличная от G, обозначим ее GI. Сделаны оценки для разницы: |GI – GE | ≤ 0,1. Нет запрета на то, что в будущем будет определена значимая величина для этой разницы, но так же возможно, что она будет исключена.

На основе ОТО разработана хорошо согласованная с наблюдениями теория космологических возмущений. Она позволяет, например, объяснить структуру, то есть распределение галактик и их скоплений в доступной наблюдениям области Вселенной. Тем не менее, если при повышении точности наблюдений будет обнаружена, скажем, анизотропия, не предсказанная ОТО, то это повод обратиться к теории Хоржавы. Теория Хоржавы настолько молода, что вряд ли ее саму и выводы, сделанные на ее основе, можно считать устоявшимися и всеми признанными. Несмотря на это, как теория в целом, так и выводы, представляются очень интригующими и важными.

Многомерные модели

Привет, Многомерие!

Виктор Бохинюк

На протяжении всего последнего столетия различные теории гравитации конструировались, так или иначе, как самостоятельные теории, т. е. «снизу». В последние десятилетия ситуация изменилась: построение теорий гравитации стимулируется развитием фундаментальных теорий, различные модели гравитации являются их частью и «выкристаллизовываются» в границах этих теорий. То есть их создание идет «сверху». Будучи претендентами на «теории всего», фундаментальные теории включают и гравитацию.

«Теория всего» должна работать при самых фантастических условиях, в том числе при планковских энергиях.

Тогда все взаимодействия выступают как единое. Поэтому построение таких теорий в определенной степени – экстраполяция. А переход от теории, работающей при самых общих условиях, к условиям нашего мира будет ее приближением, которое называется низкоэнергетическим. Как минимум, наблюдательные эффекты в «приближенной теории всего» должны иметь место в наблюдаемом нами мире. «Гравитационная часть теории всего» в низкоэнер-гетическом пределе приобретает привычный для нас вид, и она должна выдержать все тесты, которые выдержала ОТО. Заметим, что некоторые варианты «теории всего» в низкоэнергетическом пределе в качестве гравитационной части содержат ОТО в точности.

Важное свойство фундаментальных теорий заключается в том, что, как правило, как на космологических масштабах, так и на масштабах микромира используется размерность пространства-времени больше, чем 4. Концепция многомерного пространства необходима, например, для теории суперструн, которая, по общему признанию, представляет собой наиболее перспективную теорию высоких энергий, объединяющую квантовую гравитацию и теорию так называемых калибровочных полей. Низкоэнергетические следствия этой теории требуют, например, (9+1) – мерного фундаментального пространства-времени (иногда (10+1) – мерного), в то время как другие размерности запрещены.

Но как же тогда быть, мы же ощущаем только 3 пространственных и одно временное измерение? На микромасштабах дополнительные измерения компактифицированы (как бы свернуты в «трубочки»), и это причина, по которой они и не должны восприниматься нами. Такое пространство обладает симметриями по дополнительным измерениям, которым отвечают законы сохранения для различных зарядов, точно так же, как симметриям пространства Минковского отвечают законы сохранения для энергетических характеристик.

Уже на современном уровне технологий для подтверждения фундаментальных теорий могут оказаться важными эксперименты на ускорителях. Например, если на Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе будут открыты так называемые суперсимметричные партнеры известных частиц – это будет означать, что идея суперсимметрии работает, а значит и более продвинутая теория гравитации, действительно, может быть построена в рамках теории струн.

Но может ли мир иметь протяженные (некомпактифицированные) измерения? Первые утверждения по этому поводу были сделаны в 1983 году Валерием Рубаковым и Михаилом Шапошниковым, продолжающими активно работать в этой области. Они показали, что в 5-мерном пространстве-времени (с 4-мерным пространством) вся материя может быть сосредоточена только на 3-мерном пространственном сечении. Возникает понятие моделей с бранами, где мир, в котором мы живем, эффективно сосредоточен в 3-мерном пространстве, и поэтому мы не чувствуем дополнительных протяженных пространственных измерений.

Некоторое время модели типа Рубакова-Шапошникова не привлекали большого внимания. Интерес к ним стал стимулироваться, в первую очередь, проблемой иерархии взаимодействий, к которой относится и чрезвычайная слабость гравитационного взаимодействия. Описывая взаимодействие элементарных частиц, о гравитационном взаимодействии можно забыть, как о совершенно несущественной поправке. Но если уж мы взялись объяснять устройство нашего мира, то должны ответить и на вопрос, почему гравитация так слаба.

Оказалось, что многомерные модели с протяженными дополнительными измерениями могут быть очень полезны для решения этих проблем. Таких моделей существует много. Пожалуй, самой известной является модель, предложенная в 1999 году американскими космологами Лизой

Рэндолл и Раманом Сундрумом. На самом деле они предложили одну за другой две модели.

В первой из них 5-мерный мир с двух сторон ограничен двумя 4-мерными постранственно-временными сечениям, одно из которых – наша Вселенная (три пространственных измерения плюс одна временная координата). Пространство между двумя бранами сильно искривлено вследствие их «механического» напряжения. Это напряжение приводит к тому, что все физические частицы и поля сосредоточены только на одной из бран и не покидают ее, за исключением гравитационного взаимодействия и излучения. Гравитация на этой бране есть, но очень слаба, и это тот мир, в котором мы живем. На другой же границе 5-мерного мира, недоступной нам, гравитация, наоборот, очень сильна, а вся материя значительно легче и взаимодействия между частицами материи слабее.

Во втором варианте модели Рэндолл и Сундрума обходятся без второй границы. Эту модель теоретики любят больше. Она позволяет превратить любимую ими теорию струн в пятимерном пространстве-времени в обычную квантовую теорию на его четырехмерной границе. Пространство в этой модели также сильно искривлено, и его радиус кривизны определяет характерный размер дополнительного пятого пространственного измерения. Окончательно признанной модели с бранами нет, они находятся в активной фазе разработок, выявляются проблемы, решаются, появляются новые, снова решаются и т. д.

На рис. 12.3 (слева) схематически представлен мир на бране, где свет (фотоны) распространяется внутри нее, но не может покинуть саму брану. На рис. 12.3 (справа) показано, что если бы наш мир был на бране, то он мог бы «плавать» в великом просторе дополнительных измерений, остающихся недоступными для нас, поскольку видимый нами свет (и никакие другие поля, кроме гравитационного) не может покинуть нашу брану. Могли бы существовать и другие миры на бранах, плывущие рядом с нами.

Рис. 12.3. Мир на бране и несколько непересекающихся бран

Еще одной идеей, ведущей к рассмотрению многомерных моделей, является так называемое AdS/CFT соответствие, которое возникает как одна из конкретных реализаций теории суперструн. Геометрически это означает следующее. Рассматривается многомерное (чаще, 5-мерное) антидеситтерово (AdS) пространство-время. Без деталей, AdS-пространство – это пространство-время постоянной отрицательной кривизны. Хотя оно и искривлено, но обладает таким же количеством симметрий, что и плоское пространство-время той же размерности, т. е. максимально симметрично. Далее, рассматривается пространственная бесконечно удаленная граница AdS-пространства, размерность которой, соответственно, на единицу меньше. Так, для 5-мерного AdS-пространства граница будет 4-мерной, то есть где-то аналогичной пространству-времени, в котором мы живем. Само же соответствие означает некую математическую связь этой границы с так называемыми конформными (масштабно инвариантными) полевыми теориями, которые могут «жить» на этой границе. Вначале это соответствие изучали только в чисто математическом плане, но около 10 лет назад осознали, что эту идею можно использовать и для изучения теории сильных взаимодействий в режиме сильной связи, где обычные методы не работают. С тех пор исследования, в которых привлекается (или изучается) AdS/CFT соответствие, только набирают обороты.

Из того, что сказано в предыдущем абзаце, для нашего рассмотрения важно, что изучается искривленное пространство-время – AdS пространство и его граница. В рабочих моделях рассматривают не идеальные AdS-пространства, а более сложные решения, которые ведут себя как AdS при асимптотическом приближении к границе. Такое пространство-время может быть решением той или иной многомерной теории гравитации. То есть идея AdS/CFT соответствия – это еще один из стимулов для развиватия многомерных теорий.

Одна из основных проблем моделей с бранами (и других многомерных моделей) – понять, насколько они близки к реальности. Опишем один из возможных тестов. Вспомним эффект квантового испарения черных дыр Хокинга. Характерное время испарения для черных дыр, которые возникают при взрывах массивных звезд, на много порядков превышает время жизни Вселенной; для сверх-массивных черных дыр оно еще больше. Но ситуация меняется в случае с 5-мерным пространством-временем Рэндолл и Сундрума. Черные дыры на нашей бране (она же наша Вселенная) должны испаряться гораздо быстрее. Оказывается, что с точки зрения 5-мерного пространства-времени черные дыры нашей Вселенной движутся с ускорением. Поэтому они должны эффективно терять энергию (испаряться в дополнение к обычному эффекту Хокинга) до тех пор, пока размеры уменьшающихся черных дыр остаются больше размера дополнительного измерения (что-то вроде трения об это измерение). Например, если бы характерный размер дополнительного измерения составлял 50 микрон, вполне измеряемые в лаборатории, то черные дыры в одну солнечную массу не смогли бы прожить больше 50 тысяч лет. Если бы такое событие произошло у нас на глазах, то мы бы увидели, как внезапно гаснут рентгеновские источники, в которых светилось вещество, падавшее на черную дыру.

Черные дыры в многомерной ОТО

Итак, шаг за шагом многомерные пространства становятся неотъемлемой частью различных физических моделей. Вместе с этим все больше внимания привлекает и обобщение ОТО на более чем четыре измерения (без других модификаций и дополнений), так как такая ОТО в некоторых вариантах сама является частью новых теорий. А это является одним из существенных стимулов для поиска и изучения возможных решений многомерной ОТО. В частности, интересными и важными являются решения для черных дыр. Почему?

1) Эти решения могут быть теоретическим базисом для анализа микроскопических черных дыр в струнных теориях, где они неизбежно возникают.

2) AdS/SFT соответствие связывает свойства D-мерных черных дыр со свойствами квантовой полевой теории на (D–1) – мерной границе, о чем мы кратко говорили выше.

3) Будущие эксперименты на коллайдерах предполагают рождение многомерных черных дыр. Их регистрация невозможна без представления об их свойствах.

4) И наконец, изучение решений классической 4-мерной ОТО начиналось с изучения черных дыр – решения Шварцшильда. Кажется естественным следовать логике исторического развития.

Интуитивно ясно, чем больше измерений, тем разнообразней будут свойства решений теории. В чем это проявляется в решениях для черных дыр? Разнообразие решений в многомерной ОТО обязано двум новым особенностям: нетривиальной динамике вращений и возможности формирования протяженных горизонтов событий. Обсудим их. В обычной ОТО с 4-мерным пространством-временем независимое вращение в 3-мерном пространстве может быть только одно. Оно определяется своей осью (или, что то же самое, плоскостью вращения, перпендикулярной к ней). В 5-мерной ОТО пространство (без времени) становится 4-мерным, но это свойство 3-мерного пространства иметь единственное независимое вращение сохраняется. А вот в 6-мерной ОТО, где пространство становится 5-мерным, возможны два независимых вращения, каждое со своей осью, и т. д. Другое новое свойство, которое имеет место для решений в размерностях больше 4-х – это появление протяженных горизонтов. Что под ними подразумевается? Это «черные струны» (одномерные) и «черные браны» разных размерностей.

Комбинация этих двух новых возможностей в разных вариациях привела к тому, что в рамках многомерной ОТО построена масса решений типа черных дыр, имеющих свою сложную иерархию. На рис. 12.4 приведены некоторые из этих решений. Если в 4-мерной ОТО горизонт событий известных черных дыр, как правило, имеет сферическую форму, то в многомерии ситуация существенно изменяется. Горизонты вырождаются в струны (как мы уже упомянули), могут быть в форме тора, и т. д. Следует иметь в виду, что изображения горизонтов на рис. 12.4 должны восприниматься в определенной степени символически, поскольку в реальности они представляют собой 3-мерные поверхности в 4-мерном пространстве.

Рис. 12.4. Стационарные 5-мерные черные дыры

Эти образования называют уже не «черными дырами», а «черными объектами». Они могут быть многосвязными, например, черная дыра, окруженная «черным тором» называется «черным сатурном». Часть из этих объектов определяется нестабильными решениями, для другой части оказывается невозможным корректно рассчитать сохраняющиеся величины, но многие не имеют таких дефектов. Однако несмотря на все разнообразие свойств (приемлемых или вызывающих сомнения) и вычурную форму некоторых объектов, их горизонты событий имеют все то же основное свойство, что и горизонт черной дыры Шварцшильда: история материального тела после его пересечения перестает быть доступной внешнему наблюдателю.

Эта картина выглядит весьма и весьма экзотично и, вроде, не имеет отношения к действительности. Но кто знает – когда-то решения для черных дыр казались далекими от реальности, а сейчас нет сомнений, что эти объекты повсеместно населяют Вселенную. Возможно, что мы живем на бране, а внешний 5-мерный мир включает что-нибудь типа «черного сатурна», и его влияние на брану будет обнаружено.

Биметрические теории и теории с массивным гравитоном

Вспомним, чтобы описать слабые гравитационные волны, мы разбивали динамическую метрику ОТО на метрику плоского пространства-времени и возмущения метрики. Оказалось, что возмущения в виде волн могут распространяться в пространстве Минковского, которое играет роль фонового. Фон может быть и искривленым, однако должен оставаться фиксированным, т. е. его метрика должна быть решением ОТО. В этой картине метрика фонового пространства-времени и метрические возмущения являются независимыми. Такое представление есть один из вариантов биметрической теории гравитации, где одна метрика известна и представляет фоновое пространство-время, а вторая, динамическая, играет роль распространяющегося в нем гравитационного поля. В данном случае такое описание индуцировано самой ОТО.

Однако биметрические теории строятся и без ссылок на существование ОТО, а как независимые теории. Их характерные черты в том, что фоновая и динамическая метрики объединяются в эффективную метрику, которая в свою очередь определяет эффективное пространство-время, где распространяются и взаимодействуют все физические поля. Как правило, в пределе слабого поля и малых скоростей предсказания ОТО и биметрических теорий совпадают, и они удовлетворяют всем или большинству тестов, которым соответствует и ОТО. Из-за чего уделяется внимание биметрическим теориям? Их устройство, например, позволяет более просто и непротиворечиво определять сохраняющиеся величины. Также они имеют преимущества при квантовании.

Обычно для биметрических теорий существует хотя бы принципиальная возможность определить «подстилку» – фоновое пространство-время. Но такого может и не случиться. Например, без ссылок на слабость поля (то есть точно, без приближений) ОТО можно переформулировать как биметрическую теорию. В этом случае принципиально невозможно придумать эксперимент или тест, чтобы определить фоновое пространство-время, которое поэтому играет роль вспомогательного. А реальным и доступным для наблюдений является лишь эффективное пространство-время – оно же, собственно, пространство-время ОТО.

Такое биметрическое представление ОТО называется ее теоретико-полевой формулировкой, в том смысле, что гравитационное поле рассматривается на равных правах со всеми остальными физическими полями во вспомогательном (поскольку ненаблюдаемом) фоновом пространстве-времени.

Теперь вернемся к старшим классам школы и вспомним, что в учебниках по физике говорится о так называемом корпускулярно-волновом дуализме. Что это значит? Оказывается, распространение того или иного поля можно рассматривать в зависимости от условий либо как частицу, либо как волну. Снова обратимся к электродинамике. Низкочастотный сигнал с достаточной амплитудой будет зафиксирован, скорее, как волна с помощью колебаний зарядов в ее поле. С другой стороны, высокочастотный, но слабый сигнал, скорее, будет зафиксирован как частица, которая выбивает электрон в фотодетекторе. Частица фотон – безмассовая (с нулевой массой покоя). Обратимся к другой известной частице – электрону, он имеет массу. Но оказывается, электрону тоже можно сопоставить волну, несмотря на его «массивность».

После этого вспомним о гравитационных волнах, которые предсказаны ОТО. В рамках ОТО этим волнам соответствуют частицы с нулевой массой покоя – гравитоны. А можно ли построить такую теорию гравитации, в которой гравитон имеет ненулевую массу покоя? Почему нет, если такая теория в слабополевом пределе и пределе малых скоростей будет совпадать с ОТО и удовлетворять ее тестам. История этих теорий начинается с массивной гравитации, предложенной швейцарскими теоретиками Маркусом Фирцем (1912–2006) и Вольфгангом Паули в 1939 году.

С тех пор варианты таких теорий появляются более или менее регулярно. В последнее время интерес к ним повысился в связи с тем, что варианты массивной теории гравитации возникают в фундаментальных теориях, таких как теория суперструн. В некоторых моделях с бранами более предпочтительным оказывается именно массивный гравитон. Массивные теории гравитации являются в определенном смысле разновидностью биметрических теорий: их общая черта состоит в том, что динамическое тензорное поле распространяется в фиксированном пространстве-времени, которое, как правило, принципиально наблюдаемо. Обычно в пределе, при стремления массы гравитона к нулю, такие теории переходят в ОТО. Если в пределе слабого поля и малых скоростей они совпадают с ОТО, то в сильных полях и на космологических масштабах расходятся с ОТО, предлагая другие эффекты. Например, может оказаться, что вместо решений для черных дыр появятся решения для сингулярностей без горизонтов («голых сингулярностей»), вместо расширяющейся вселенной появляются осциллирующие вселенные.

Проверить достоверность этих предсказаний напрямую пока невозможно, это остается предметом дальнейших исследований. До сих пор теории массивной гравитации имели общий изъян, их решения дают некие состояния с отрицательной энергией. Эти состояния называются «духами», объяснить их в рамках разумных представлений не получается, и поэтому они нежелательны. Однако буквально в последнее время появились варианты массивной гравитации без «духов».

Закон Ньютона

Закон всемирного тяготения после обсуждения в третьем чтении был отправлен на доработку…

Фольклор

Проверка закона Ньютона. Осмысление закона Ньютона до сих пор играет очень важную роль для осмысления представлений о гравитации вообще. Как можно проверить в лабораторных условиях, живем ли мы на бране (или каком другом многомерном мире), хотя и не можем «выйти» в дополнительное измерение? Вспомним, что гравитация, в отличие от остальных взаимодействий, распространяется во всех пяти измерениях. Чтобы использовать этот факт, озадачимся геометрическим смыслом закона Ньютона. Как мы помним, он утверждает, что сила гравитационного взаимодействия падает обратно пропорционально квадрату расстояния ~ 1/r^2. Теперь вспомним картинку из школьного учебника физики, где действие силы описывается силовыми линиями. На такой картинке сила на данном расстоянии r определяется плотностью силовых линий, «прошивающих» сферу радиуса r: чем больше площадь сферы, тем меньше плотность линий и, соответственно, сила. А площадь сферы пропорциональна r^2, откуда прямо следует зависимость от расстояния в законе Ньютона. Но это в 3-мерном пространстве, где площадь сферы пропорциональна r^2! В 4-мерном пространстве площадь окружающей сферы будет пропорциональна r^3, и, соответственно, изменится закон Ньютона – сила гравитационного взаимодействия будет падать обратно пропорционально кубу расстояния ~ 1/r^3, и т. д.

Если бы закон обратных кубов имел место на масштабах Солнечной системы, то ясно, что именно он был бы сформулирован Ньютоном. Значит нужно его искать на малых масштабах. Вместе с тем, проверка закона Ньютона важна и для некоторых перспективных многомерных теорий, где дополнительные размерности ком-пактификацированы (свернуты) и их размеры, конечно, меньше планетарных. Тем не менее, они могут достигать десятков микрометров. Когда Рэндолл и Сундрум только предложили свою теорию, закон Ньютона был проверен лишь до масштабов в метры. С тех пор ученые сделали несколько сложнейших (ввиду слабости гравитации) экспериментов с крутильными весами крохотных размеров, и сейчас лабораторные ограничения существенно снизились и приближаются к размерам компактификации.

Современными измерениями установлено, что размер дополнительного измерения составляет не более 50 микрон. На меньших масштабах закон обратных квадратов может нарушиться. На рис. 12.5 представлена схема крутильных весов для проверки закона обратных квадратов Ньютона. Сам прибор помещен в вакуумную колбу, тщательно изолирован от шумов и снабжен современной электронной системой детектирования смещений.

Ясно, что подобного рода эксперименты сопряжены с колоссальными технологическими трудностями, и дальнейший прогресс связывают с вынесением эксперимента в космос. Дело в том, что малые коррекции закона Ньютона ведут также к расчетному смещению планетных перигелиев (наряду с эйнштейновским). Лазерная локация Луны подтвердила эйнштейновское смещение с точностью до 10–11 радиана в столетие. А вот уже в следующем порядке может проявить себя эффект некоторых многомерных моделей.

Первые попытки такой локации проводились в начале 60-х, как американскими, так и советскими исследователями. Но лазерный луч сильно рассеивался поверхностью, и точность измерений была невысока – до нескольких сот метров. Ситуация сильно изменилась после того как в рамках американских миссий «Аполлон» и советских «Луна» на Луну были доставлены уголковые отражатели, которые и используются до сих пор (к сожалению, советская программа по Луне была свернута в 1983 году).

Рис. 12.5. Крутильные веся для проверки закона обратных квадратов

Как это происходит? Лазер посылает сигнал через телескоп, направленный на отражатель, при этом точно фиксируется время, когда сигнал был излучен. Площадь пучка от сигнала на поверхности Луны составляет 25 км² (площадь уголковых отражателей около 1 м²). Отраженный от прибора на Луне свет в течение примерно одной секунды возвращается в телескоп, далее происходит отсев шумов. Современная точность измерения времени порядка 30 пикосекунд. Время путешествия фотона позволяет определить расстояние, и это сейчас делается с точностью около двух сантиметров, иногда точность достигает нескольких миллиметров. И это при расстоянии между Землей и Луной 384 500 км!

Модифицированная ньютонова динамика (МОНД). Но закон Ньютона может нарушаться на масштабах существенно больше планетных систем. Аномальные движения и вращения в звездных системах «спровоцировали» поиски «темной материи», в которую погружены галактики, скопления галактик и т. д.

А что если сам закон Ньютона нарушен на этих масштабах? Оригинальная теория МОНД была разработана израильским физиком Мордехаем Милгромом в 1983 году как альтернатива «темной материи». Отклонения от ньютоновского закона обратных квадратов по этой теории должны наблюдаться при определенном ускорении, а не на определенном расстоянии (вспомните теорию Хоржавы, где закон Ньютона изменяется из-за влияния скоростей).

МОНД успешно объясняет наблюдаемые движения в галактиках. Эта теория также показывает, почему отклонения от ожидаемого характера вращения наиболее велики в карликовых галактиках.

Недостатки исходной теории:

1) не включает релятивистских эффектов типа СТО или ОТО;

2) нарушаются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса;

3) внутренне противоречива, так как предсказывает различные галактические орбиты для газа и звезд;

4) не дает возможности вычислить гравитационное линзирование скоплениями галактик.

Все это вызвало ее дальнейшее существенное совершенствование – с включением скалярных полей, приведения к релятивистскому виду и т. д. Каждое изменение, снимая одно возражение, вызывало другое, завершенной теории пока нет, но исследователи не теряют оптимизма.

Аномалия «Пионеров». Автоматические межпланетные станции «Пионер-10» и «Пионер-11» были запущены в 1972 и 1973 годах для исследования Юпитера и Сатурна. Они вполне справились со своей миссией сблизиться с этими планетами и передать данные о них, что называется, из первых рук. Последний сигнал от «Пионера-10» был получен в начале 2003 года после более чем тридцати лет непрерывной работы. В тот момент космический аппарат находился уже в 12 млрд километров от Солнца. На рис. 12.6 представлена фотография аппарата «Пионер-10».

Удивление вызвал тот факт, что как только «Пионеры» миновали орбиту Урана (примерно в 1980 году), на Земле стали замечать, что частота радиосигналов, посланных аппаратами, смещается в коротковолновую часть спектра, чего быть не должно, если их движение соответствует динамике Ньютона (влияние релятивистских эффектов ОТО на таком удалении от Солнца и планет значительно слабее).

С житейской точки зрения эффект, конечно, кажется мелочью – он в 10 млрд раз меньше, чем ускорение, которое мы испытываем со стороны гравитационного поля Земли. Но он значительно превосходит релятивистские эффекты ОТО! Наиболее банальными объяснениями загадочного явления могли бы стать, например, утечка остатков газообразного топлива из двигателей малой тяги, торможение на космической пыли, и т. д. Но эти эффекты временные, а аномалия стабильна на протяжении более чем 20-ти лет.

Некоторые ученые задались вопросом, не может ли аномалия «Пионеров» порождаться до сих пор неизвестные факторами, которые действуют лишь за пределами Солнечной системы (изменение закона Ньютона). Рассматривались даже модели с привлечением антиматерии, темного вещества и темной энергии.

Рис. 12.6. Аппарат «Пионер-10»

Норвежский физик Кьелл Танген всесторонне проанализировал создавшуюся ситуацию и пришел к выводу, что ни одна из известных модификаций закона гравитации не в силах описать аномалию. Действительно, эти изменения не должны привести к изменению описания движения внешних планет Солнечной системы. Так, изменяя закон Ньютона, Танген неизбежно получал неправильные результаты для описания движения Урана и Плутона.

Загадка «Пионеров» была разрешена совсем недавно в результате 20-летней работы группы Вячеслава Турышева, выпускника ГАИШ МГУ, работающего ныне в Лаборатории реактивного движения (JPL) NASA в Пасадене. В разное время группа насчитывала от 20 до 80 сотрудников. Сравнительно недавно удалось в достаточной мере расшифровать чудом сохранившиеся дополнительные данные от «Пионеров», которые ранее были недоступны из-за архаичных форматов файлов и информационных носителей (магнитофонные ленты). Изначально анализировалось более 20 факторов, которые могли бы привести к эффекту. В распоряжении группы была хранившаяся в музее копия аппаратов-двойников – третий «Пионер», оставленный на Земле после предполетных тестов, позволивших отобрать самые качественные детали для космоса. Этот аппарат исследовался досконально.

Один за другим, по разным причинам, кандидаты на эффект отклонялись. Наконец осталась лишь одна возможная причина, которая и подверглась исследованию с пристрастием. Аппарат представляет собой параболическую антенну для связи диаметром около 3 метров, снабженную аппаратурой, помещенной в коробку несколько меньшего размера. Аппаратура работает так долго благодаря энергии атомного элемента, также помещенного в эту коробку. Как результат, коробка греется. Антенна все время ориентирована на Землю, так что коробка находится позади нее.

Группа Турышева составила компьютерную карту распределения тепла во всем аппарате. Оказалось, что обратная часть аппарата (противоположная от Земли) немного теплее, чем передняя. То есть в противоположную от Земли сторону аппарат покидают более энергичные фотоны, чем те, которые летят к Земле. Фактически работает «фотонный двигатель», который в данном случае тормозит «улет» аппаратов из Солнечной системы. Данные расчетов очень хорошо согласуются с данными наблюдаемого эффекта. Мощность этого «двигателя» сравнима с мощностью «отдачи» света фар автомобиля, которая тоже его тормозит как фотонный двигатель. Это образное сравнение привел сам Турышев.

Возникают вопросы. Почему эффект обнаружили только через 8 лет? Дело в том, что есть еще такое явление, как солнечный ветер. До тех пор, пока аппараты не достигли орбиты Урана, его влияние было превалирующим, и «аномалия» просто в нем тонула. При большем удалении эффект «аномалии» стал сильнее эффекта ветра и ее обнаружили. Почему считается, что аномальная сила направлена к Солнцу, ведь антенна ориентирована на Землю? Дело в том, что уже на удалении орбиты Урана, орбита Земли видится как кружок в небольшом угле раствора. В этом случае различить, куда смотрит антенна (на Землю, на другую точку земной орбиты, на Солнце) невозможно – это примерно одно и то же.

Подведем итог. Аномалия «Пионеров» объяснена обычными простыми явлениями и пересмотра закона Ньютона и вообще гравитационных теорий для ее объяснения не требуется.

Что даст дальнейшее повышение точности наблюдений

Точность очень часто оборачивается неточностью.

Дмитрий Лихачев

Весьма важной является проверка постоянства фундаментальных констант. Для этого сравнивают разнообразные наблюдения за самыми отдаленными объектами во Вселенной с наблюдениями в Солнечной системе, а их – с результатами лабораторных экспериментов на Земле и даже с данными, полученными в геологии и палеонтологии. При анализе используются разные временные шкалы, с одной стороны, обусловленные космологической и астрофизической эволюцией, с другой – основанные на современных атомных стандартах. Кроме этого, явления, существенно зависящие от этих констант, сопоставляются для разных эпох.

Для гравитации прежде всего важна гравитационная постоянная. Ее точное значение необходимо для определения параметров той или иной альтернативной теории или даже для определения ее жизнеспособности – вспомните теорию Хоржавы. От стабильности гравитационной постоянной зависит постоянство параметров планетных орбит. Исследования в Солнечной системе подтвердили неизменность гравитационной постоянной с относительной точностью от 10–13 до 10–14 в год. И точность измерений постоянно повышается.

Насколько важен в смысле построения новой теории поиск гравитационных волн от астрономических источников? В этом смысле сама по себе регистрация гравитационных волн вряд ли сразу даст много информации. Но факт регистрации окончательно подтвердит правоту современных исследований и можно будет отвергнуть совсем уж маргинальные теории. Лишь позже, когда станет возможным анализировать детали излучения (например, поляризацию), станет возможным использовать его для выбора или модификации гравитационных теорий. Определение скорости гравитационного излучения также даст ограничения на альтернативные теории, например, с массивным гравитоном; и т. д.

Нужен ли какой-то экспериментальный прорыв для создания новой теории или выбора из уже построенных? Да, конечно, необходимы новые и более точные эмпирические данные. Но это стоит называть не прорывом, а, скорее, результатом последовательных усилий. Положение дел таково: за последние 100 лет точность измерений увеличилась на 3–4 порядка. Современные технологии обещают существенно ускорить процесс. По разным оценкам ожидается, что в ближайшие 25–30 лет точность увеличится еще на 3–5 порядков. А это по многим прогнозам дает полные основания (и мы попытались это показать), если не в ближайшие годы, то в ближайшие 10–20 лет, ожидать потрясающе интересных и важных открытий. Кроме того, большинство исследователей считает, что такого повышения точности будет достаточно, чтобы определиться с новой теорией.

Дополнения

1. Скалярные, векторные и тензорные поля

В основном тексте и далее в Дополнениях мы используем понятия скалярного, векторного и тензорного полей. Чтобы не было дискомфорта при встрече с этими терминами, дадим некоторые пояснения. Лучше начать с вектора. В обычном 3-мерном пространстве он определяется тремя компонентами – проекциями на оси x, y, z. Если представить себе n-мерное пространство, то для определения в нем вектора нужно задать набор n компонент. Тогда говорят, что задано поле вектора и его обозначают, например, va, где a пробегает все координаты, от 1 до n, в общем случае, если мы их пронумеровали. А все n значений va и есть те самые n компонент, часто их записывают в виде строки va = [v^1, v^2, …, vn–1, vn] или столбца

Величина va (набор значений) с одним индексом называется тензором 1-го ранга. Поле скаляра, в отличие от вектора, в каждой точке пространства, независимо от его размерности, имеет одну компоненту (функцию от пространственных координат) и записывается как величина без индексов, скажем, v. Скаляр, как величина без значков, является тензором нулевого ранга. В тексте очень часто встречается понятие метрического тензора gab, который и описывает гравитационное поле. Теперь, имея представление о векторе и скаляре, как о тензорах, смело можно говорить, что метрика – это тензор 2-го ранга и все его компоненты объединены в матрицу. В 4-мерном пространстве-времени это выглядит так:

В силу симметрии gab = gba независимых компонент из 16-ти остается 10. Поле метрического тензора задано, если в каждой точке пространства-времени задано 10 функций, представляющих эту матрицу. Аналогичные рассуждения справедливы для других тензоров второго ранга. Если бы мы хотели рассмотреть какой-нибудь тензор 3-го ранга, мы должны были представить величину с 3-мя индексами, а ей сопоставить 3-мерную матрицу (куб). Важно отметить, что все тензоры обладают общим свойством: при преобразованиях координат они преобразуются по специальному тензорному закону, сохраняя свою прежнюю структуру. Нетензорные величины при преобразованиях координат обычно приобретают дополнительные (по отношение к тензорным) слагаемые.

2. Материальные источники

В тексте обсуждается и утверждается, что искривление пространства-времени – это результат воздействия материальных источников. Что они собой представляют и как представлены формально? Эти источники являются материей в самом общем понимании. Они включают в себя все вещество, которое может быть сосредоточено в отдельных телах или распределено дисперсно, и все возможные поля, как статические, так и поля излучения. Обсуждая специальную теорию относительности, мы уже отметили, что энергию и импульс в релятивистской теории нельзя рассматривать отдельно, а правильно рассматривать 4-мерный вектор энергии-импульса, скажем, материальной частицы. Но оказывается, что в искривление пространства-времени свой вклад вносят и другие характеристики материи, такие как напряжения внутри тел, давление Все вместе они образуют тензор энергии-импульса материи Tab.

Далее нам необходимо вспомнить об уравнении непрерывности. Суть его в том, что изменения со временем плотности вещества в данной точке равно скорости притока и оттока со всех сторон. Это один из законов сохранения, иначе его называют уравнением баланса, и он является следствием уравнений движения для вещества. Обобщение этого закона для всего тензора энергии-импульса в искривленном пространстве-времени означает, что он также должен удовлетворять закону сохранения.

3. Построение уравнений Эйнштейна

Теперь мы в состоянии построить уравнения гравитации в ОТО. Как мы рассказали в главе 6, в начале XX века было постулировано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространства-времени. При этом пространство-время искривляется под воздействием материи, которая, в свою очередь, движется в этом искривленном собой пространстве-времени. Это и есть логическая основа для построения уравнений общей теории относительности. Но как их построить правильно?

Логика очевидна: нужно связать тензор энергии-импульса материи с кривизной пространства-времени. Самый простой и очевидный способ: отнести Tab в правую часть уравнений, а левую определить как некую комбинацию компонент тензора кривизны. Но как это сделать? Дело в том, что все уравнения вместе (гравитационные уравнения и уравнения для материи) должны быть совместны, иначе не будет существовать решений. Но как мы уже отметили, анализ уравнений материи в искривленном пространстве-времени приводит к выводу, что тензор энергии-импульса материи должен удовлетворять закону сохранения (непрерывности). Но тогда, чтобы все уравнения были совместны, нужно найти такую комбинацию из величин, связанных с кривизной, и которую мы собираемся написать в левой части уравнений, чтобы она тождественно удовлетворяла такому же закону сохранения. Такая комбинация была найдена – это так называемый тензор Эйнштейна Gab, построенный из компонент тензора Римана, а в конечном итоге зависящий от метрического тензора. Тогда уравнения для гравитационного поля записываются в виде:

Gab = κTab.

Здесь κ – постоянная Эйнштейна, которая выражается через ньютонову гравитационную постоянную G и скорость света c: κ = 8πG/c^4. Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании сображений, изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецкими математиком Давидом Гильбертом.

4. Решение уравнений Эйнштейна

Но если есть уравнения, значит их нужно решать. То есть при ограничениях и условиях каждой конкретной задачи или модели нужно найти метрические коэффициенты в каждой точке пространства-времени и тем самым определить его геометрические свойства. Также необходимо найти, как в этом пространстве-времени распределена, движется и взаимодействует материя. Система гравитационных и материальных уравнений решается одновременно. Если можно так сказать, материя, искривляя пространство-время, распространяется в этом уже искривленном собой пространстве-времени. То есть процесс «сцепленный». Именно поэтому изначально система гравитационных и материальных уравнений строилась как совместная. Однако чтобы система имела решения, нужно чтобы условия и ограничения модели также не были противоречивыми.

Уравнения Эйнштейна носят локальный характер, как и многие другие уравнения физики. Это значит, что величины, которые в них входят, относятся по отдельности к каждой точке пространства-времени (или его части), где модель определена или задача рассматривается. В этой связи рассуждения, которые привели к уравнениям, требуют дальнейшего пояснения. Может показаться, что если в некоторой точке (и ее окрестности) нет материи, то в этой окрестности нет и кривизны. Это, конечно, неправильный вывод. Связь материи и искривленности пространства-времени была использована, чтобы построить непротиворечивую (совместную) систему уравнений. После того как уравнения представлены, решать их можно (и нужно) и с нулевой правой частью тоже, то есть в отсутствие материи вообще. Эти решения называют вакуумными. Действительно, гравитирующее тело должно «продавливать» пространство-время не только в той части, где оно находится, но и на достаточном удалении, где никакой материи нет, то есть в вакууме. В противном случае просто не будет гравитационного взаимодействия. По этому поводу полезно привести аналогию с упругой плоской линейкой: ее нельзя изогнуть только в одном месте, поскольку это будет означать, что она просто сломана. Так и здесь, если бы материя никак не прогибала окружающий вакуум, то на границе всегда возникали бы разрывы в описании различных физических величин, чего не наблюдается.

Уравнения в вакууме нужно решать, чтобы узнать насколько этот вакуум «продавлен» соседней материей. Наконец, некоторые решения вакуумных уравнений представляют такие важные решения, как гравитационные волны, которые представляют собой свободное (без всякой материи) распространение метрических возмущений, о чем говорится в главе о гравитационных волнах.

Как только уравнения были получены, Эйнштейн стал искать их важные решения, в том числе и космологические. В то время считалось, что Вселенная статична. А статическое космологическое решение никак не получалось – как выяснилось, оно просто не существует. Чтобы спасти статическое решение, Эйнштейн немного изменил уравнения. Это оказалось возможным без нарушения закона сохранения для левой части. К тензору Эйнштейна можно добавить член с так называемой космологической постоянной – Λ. Уравнения Эйнштейна в 1917 году приобрели вид:

Gab + Λgab = κTab.

Это не помогло – статическое космологическое решение этих уравнений существует, но это решение неустойчиво, следовательно, не может быть моделью реального мира. Тем не менее, понятие космологической постоянной оказалось востребованным, особенно в последнее время.

5. Координаты Леметра

В этом дополнении мы обсуждаем координаты для черной дыры Шварцшильда, свободные от дефектов на горизонте. Их предложил Леметр, как систему отсчета, сопутствующую свободно падающим наблюдателям. Смысл ее в том, что в каждую точку пространства помещается наблюдатель. Наблюдатели никак не взаимодействуют между собой, они лишь свободно падают к центру, формально представляя собой точки. Каждому наблюдателю приписываются три пространственных координаты, которые вместе образуют пространственные координаты всего пространства-времени. А собственное время каждого наблюдателя вместе определяет координатное время новой системы отсчета. Форма решения сохраняет сферическую симметрию, поэтому можно сказать, что Леметр сделал переход от шварцшильдовых координат t и r к координатам сопутствующих наблюдателей (сопутствующей системе отсчета) τ и R.

Рис. Д1. Пространство-время геометрии Шварцшильда в сопутствующих координатах Леметра

Мы не приводим форму решения Леметра, а вот диаграмма на рис. 8.2 в его координатах принимает форму, представленную на рис. Д1. Обсудим ее. Наклонные на рис. Д1 соответствуют вертикальным линиям постоянных значений координаты r на рисунке 8.2, включая линии горизонта r = rg и сингулярности r = 0. Вертикальные на рис. Д1 – мировые линии сопутствующих наблюдателей. Как видно, они без помех пересекают горизонт.

Проследим за формой световых конусов на рис. Д1. Вне горизонта наклон «лепестков» превосходит 45º, на горизонте он равен 45º, а под горизонтом становится все меньше: конусы сужаются при приближении к «центру». Поскольку распространение лучей света происходит как раз по направлению конусов, а материальных частиц – по мировым линиям внутри конусов, то ясно, что вне горизонта r = rg возможно движение с удалением от горизонта во внешнюю область. По достижении горизонта такое движение невозможно. Под горизонтом становится неизбежным движение к «центру».

6. Система отсчета ускоренных наблюдателей

После того как определены понятия пространства Минковского в главе 5, собственного времени в главе 7 и горизонта событий в главе 8, интересно обсудить пространство-время ускоренных наблюдателей. Пусть один из таких наблюдателей движется прямолинейно вдоль оси x в пространстве Минковского с постоянным ускорением c^2/X в направлении x. Пусть таких наблюдателей много и их ускорения меняются от бесконечности до нуля, что соответствует изменению X от 0 до ∞.

На рис. Д2 на диаграмме пространства Минковского в лоренцевых координатах x и t изображены мировые линии таких ускоренных наблюдателей: каждому наблюдателю соответствует свое значение X. Чем больше ускорение наблюдателя, тем его мировая линия ближе к началу координат. Ускорение каждого из них направлено в сторону увеличения x. Поэтому изначально двигаясь к началу координат, они снижают скорость до нуля при t = 0, а затем движутся в обратном направлении.

Рис. Д2. Мировые линии ускоренных наблюдателей

Поскольку скорости этих наблюдателей не могут превысить световые, то их мировые линии ограничены световыми конусами: A—0 и 0A+, они вместе образуют так называемый «угол Риндлера». Кроме того, угол Риндлера – это предельная мировая линия наблюдателя, ускорение которого стремится к бесконечности. Эти конусы имеют смысл горизонта событий. Конус A—0 является горизонтом событий прошлого – ускоренные наблюдатели никак не могут повлиять на события за этим горизонтом. Конус 0A+ является горизонтом событий будущего, поскольку ускоренным наблюдателям недоступны для наблюдения события за этим горизонтом. Этот горизонт аналогичен горизонту шварцшильдовой черной дыры, в чем легко убедиться, сравнив рис. Д2 с диаграммой в координатах Леметра на рис. Д1.

Точно так же, как была представлена пространственно-временная диаграмма для сопутствующих наблюдателей в координатах Леметра, можно представить пространственно-временную диаграмму для равномерно ускоренных наблюдателей. Для этого каждому такому наблюдателю сопоставляют свою пространственную координату со значением X. Тогда метрика пространства Минковского (вернее его части, заключенной в углу Ринд-лера), в координатах этих ускоренных наблюдателей принимает форму:

ds^2 = (X/X_0) 2c 2dT 2 – dX 2 – dY 2 – dZ 2.

Здесь X_0 – произвольный пространственный масштаб, позволяющий сохранить размерность, кроме того, для наблюдателя, у которого X = X_0, эта система является локально лоренцевой. Эти координаты введены американским физиком Вольфгангом Риндлером, и представлены на диаграмме на рис. Д3. Каждому ускоренному наблюдателю соответствует вертикальная прямая с соответствующим значением X. Вертикальная прямая X = 0 соответствует горизонту Риндлера. Если время T является координатным временем в системе Риндлера, то собственным временем для ускоренного наблюдателя является τ = (g_00)1/2T = XT/X_0, как это было определено в главе 7.

Рис. ДЗ. Координаты Риндлера

Для ускоренного наблюдателя с параметром X_0 собственное время совпадает с координатным. Собственное время ускоренных наблюдателей идет тем быстрее, чем больше X, и тем медленнее, чем меньше X. В этом проявляется сильный принцип эквивалентности (глава 6) – ускорение имитирует действие гравитационного поля, где ход часов замедляется тем сильнее, чем больше потенциал.

На горизонте собственное время «замораживается», в этом смысле ситуация аналогична поведению собственного времени для наблюдателей в пространстве-времени шварцшильдовой черной дыры. Если мы проследим за формой светового конуса, то для наблюдателя X_0 его «лепестки» наклонены под «стандартным» углом 45° (это как раз потому, что для него система Риндлера оказалась локально лоренцевой). Для больших X угол наклона «лепестков» увеличивается, для меньших X – уменьшается. На горизонте «лепестки» световых конусов вообще слипаются, точно также, как на горизонте на диаграмме Шварцшильда, см. рис. 8.2. Горизонт в метрике Риндлера представляет лишь координатную особенность, как и горизонт в координатах Шварцшильда. Но поскольку система ускоренных наблюдателей – это система в пространстве Минковского, то в отличие от решения Шварцшильда, «решение Риндлера» не имеет истинной сингулярности.

Наконец, обратимся к мировой линии покоящегося наблюдателя в пространстве Минковского – на рис. Д2 вертикальная линия x_1 = const. Она соответствует кривой линии на рис. Д3. Координаты Риндлера охватывают лишь часть пространства Минковского, как видно из рис. Д2, поэтому ясно, что кривая на рис. Д3 отвечает лишь части истории покоящегося наблюдателя на рис. Д2.

7. Однородность и изотропия Вселенной

Приведем более строгие, чем в главе 6, определения однородности и изотропии. Почему это важно? Эти понятия определяются на данный момент времени, а космологическое пространство меняется со временем. В теории Ньютона в этом нет проблемы, поскольку понятие времени абсолютно. В СТО тоже нет больших проблем, определившись с выбором какой-либо инерциальной системы отсчета, наблюдатель также имеет единое время. А в ОТО, да еще в переменном по времени решении, ситуация сложнее. Поясним это на примере того же решения Фридмана: ds^2 = c^2dt^2 – a^2(t)dl^2. Здесь каждому значению времени соответствует пространство со своим значением масштабного фактора a(t). Пространство-время как бы распадается на слои – пространства, сложенные «стопочкой». Ход времени определяется переходом от одного слоя (пространственного сечения) к другому, а каждый слой отвечает своему единственному моменту времени.

Рис. Д4. Расслоение пространства-времени на пространственные сечения

На рис. Д4 такое расслоение произвольного пространства-времени изображено символически, каждый слой – это 3-мерное пространство в данный момент времени. Для вселенной Фридмана каждое такое 3-мерное пространство и однородно, и изотропно. Но это произошло потому, что для поиска решений Фридман специально выбрал такую удобную систему координат именно с этим определением времени. На самом деле можно выбрать другую систему координат, для которой сечения одновременности уже не будут ни однородными, ни изотропными. В неоднородной же Вселенной подобрать однородные пространственные сечения вообще невозможно.

Теперь можно дать строгое определение: Вселенная однородна, если через каждую мировую точку (событие) проходит пространственное сечение однородности. В каждой точке на таком сечении плотность ρ, давление p и кривизна пространства должны быть одинаковы.

Теперь определим изотропию Вселенной. Рост масштабного фактора означает и расширение материи, заполняющей Вселенную. На каждую частицу расширяющегося вещества можно мысленно «посадить» сопутствующего наблюдателя. Вселенная изотропна если, каждый сопутствующий наблюдатель не может отличить одно направление от другого.

Если Вселенная изотропна, то она автоматически однородна. Действительно, если это не так, то будут какие-то ее части с разной плотностью, давлением и т. п. Но тогда, найдутся выделенные направления к областям с разными характеристиками, а это нарушение изотропии. А вот однородная Вселенная может быть анизотропной. Но для всех сопутствующих наблюдателей эта анизотропия будет одинаковой. Таких моделей Вселенной существуют целые семейства, они до сих пор активно исследуются. Поскольку изотропия Вселенной подтверждена с определенной точностью, то модели с меньшей величиной анизотропии имеют право на жизнь.

В качестве наглядного и простого примера рассмотрим однородную, но анизотропную космологическую модель, предложенную американским математиком Эдвардом Каз-нером (1878–1955) в 1922 году. Эта вселенная, в отличие от фридмановской, без материи, хотя ее можно заполнить веществом, но «пробным», так что оно не влияет на геометрию. Решение Казнера, метрика которого имеет вид

ds^2 =c^2dt^2=t2p1dx^2=t2p2dy^2=t2p3dz^2,

не выдумано, а является решением уравнений Эйнштейна. Параметры p_1, p_2, p_3 удовлетворяют двум соотношениям p_1 + p_2 + p_3 = 1 и p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 = 1. Отсюда следует, что все числа не могут быть равными одновременно, мало того, одно из них всегда отрицательно. Исключение составляют два вырожденных случая.

Поскольку модель пустая, то пространство характеризуется только значениями кривизны в каждой точке. Эти значения определяются только моментом времени и одинаковы во всех точках пространства, так как метрические коэффициенты не зависят от пространственных координат, то есть пространство однородно. Из ограничений на параметры можно сделать вывод, что эта вселенная расширяется. Действительно, элемент объема

dV = tp1+p2+p3dxdydz = tdxdydz увеличивается пропорционально времени. Однако увеличивается такая вселенная довольно странно – по двум координатам расширяется (тем, которым соответствуют положительные параметры), а по третьей – сжимается (ей соответствует отрицательный параметр). Очевидно, что это анизотропное поведение.

Казнеровский режим расширения, конечно, не соответствует современному расширению – слишком очевидна его анизотропия, которая не наблюдается. Однако, вблизи сингулярности t = 0, которая имеет место, так же, как и во фридмановском сценарии, решение Казнера представляется интересным космологам. Оказывается, при приближении к сингулярности возникает осциллирующий режим Казнера, когда отрицательный параметр начинает переходить от одного пространственного измерения к другому с возрастающей частотой. Это дает дополнительные возможности «подобраться» к пониманию физики космологической сингулярности. Связь с вселенной Фридмана, в которой мы живем, в одном из вариантов осуществляется следующим образом. Анизотропная часть модели Казнера трактуется как эффективная материя, которая с расширением распадается с образованием обычной материи. Если и остается анизотропия, то она не наблюдается из-за слабости эффекта.

8. Модели Фридмана и критическая плотность

В основном тексте было сказано, что каждой из моделей Фридмана: открытой, плоской и закрытой, соответствуют свои значения плотности энергии ε или плотности массы ρ в соответствии с определением ε = ρс 2. Плоской модели соответствует критическая плотность εкр = ρкрс 2, открытой – ε < εкр, а закрытой – ε > εкр. Напрашивается очевидный вопрос: в каком мире мы живем?

Рассмотрим ситуацию несколько подробнее. Одно из уравнений Фридмана можно привести к виду:

Здесь ρM означает плотность массы всей материи Вселенной, которую обычно записывают в виде суммы ρM = ρm + ρdm + ρde, где вклад представлен обычной материей (барионы, излучение), темной материей и темной энергией. Величина k называется знаком кривизны и определяет тип модели Фридмана: гиперболическому пространству соответствует k = –1, плоскому – k = 0, замкнутому – k = +1. В ходе эволюции Вселенной знак кривизны не меняется.

Теперь вспомним, что постоянная Хаббла H= a /a, и нормируем это уравнение на ρкр = 3H 2/8πG. Тогда оно приобретет форму:

ΩM = 1 + Ωc.

Здесь ΩM = ρM/ρкр и Ωc = kc 2/(a 2H 2).

Как видно, величина Ωc описывает отклонение от единицы в ту либо другую сторону отношения ΩM, а конкретное значение Ωc определяет знак и величину кривизны пространства. Если отклонения нет, то кривизна пространства нулевая. Таким образом, вопрос о геометрии пространства решается, если известно значение ρM.

Однако определить ρM напрямую эмпирически невозможно. Поэтому, наоборот, сначала с помощью наблюдений определяют кривизну пространства. Это делается различными способами. Наибольшим доверием пользуется анализ анизотропии реликтового излучения. Другой способ основан на изучении видимой светимости (блеска) сверхновых известного типа в далеких галактиках, независимом определении расстояний до них и сопоставлении этих данных. Также информацию о типе и величине кривизны получают, исходя из картины крупномасштабной структуры Вселенной.

Кривизна трехмерного пространства оказывается весьма малой, радиус кривизны, по крайней мере, в 10 раз превышает размеры наблюдаемой части Вселенной. Это соответствует отклонению плотности всей материи от критической | Ωc | < 0,01. Если плотность массы обычной материи ρm и темной материи ρdm известны из эмпирических данных, то плотность темной энергии ρde не известна. Фактически она определяется расчетным путем из соотношения ρM ≈ ρкр. И, наконец, поскольку оценка кривизны приблизительна, то пока нельзя сказать какая именно из моделей Фридмана соответствует реальному миру.

Примечания

1

«Посох Якова» – один из первых инструментов для астрономических наблюдений, служивший для измерения углов. Появился он в IV веке до н. э. и был известен на Ближнем Востоке, в Китае, Индии и Европе. Этот инструмент представлял собой стержень с делениями, по которому перемещалась поперечная планка с отверстиямм или щелями – диоптрами (см. рис. 1.5). Стержень приставляли к глазу и направляли на линию горизонта. Затем передвигали планку до тех пор, пока та или иная звезда не совмещалась с диоптром. Наблюдатель отмечал положение подвижной планки на стержне и с помощью специальной таблицы определял угол между горизонтом и светилом.

2

Постановлением Международного астрономического союза, возвышенностям на Венере решено давать имена богинь, а низменностям и другим понижениям рельефа (каньонам и бороздам) – имена прочих мифологических женских персонажей или просто женские имена. Из этого правила существует три исключения: области «Альфа» и «Бета» и «Горы Максвелла».

Content

Александр Николаевич Петров
Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Предисловие

Глава 1 Представления о тяготении в древнем мире

Древние о Вселенной до Аристотеля

Аристотель

Птолемей

Глава 2 Новые представления о Вселенной и начало новой физики

Гелиоцентрическая система Коперника

Астроном-наблюдатель Тихо Браге

Галилей

Законы эллиптического движения Кеплера

Попытки понять природу гравитации

Глава 3 Закон всемирного тяготения

Исаак Ньютон

Механика Ньютона

Теория гравитации Ньютона

Корпускулярная теория гравитации

Глава 4 От механики Ньютона до электродинамики Максвелла

Протяженность и длительность. Методы измерений

Абсолютные пространство и время

Инерциальная система отсчета. Принцип относительности Галилея

Электродинамика. Скорость света

Эфир

Глава 5 Специальная теория относительности

Принципы построения

Эффекты СТО

Пространство Минковского

Еще о свойствах СТО

Парадокс близнецов

Пуанкаре и Эйнштейн

Глава 6 Общая теория относительности

Предпосылки построения ОТО

Первые попытки построения релятивистской теории гравитации

Принципы построения ОТО

Построение ОТО

Об Эйнштейне

Глава 7 Наблюдательные подтверждения ОТО

Решение Шварцшильда

Классические тесты теории Эйнштейна

Эффект Шапиро

Гравитационные линзы

Глава 8 Черные дыры

Темные звезды Мичелла-Лапласа

Снова решение Шварцшильда

Горизонт событий и истинная сингулярность

Разнообразие черных дыр

Черные дыры и релятивистские звезды во Вселенной

Кротовые норы

Глава 9 Космология

Бесконечная в пространстве и времени стационарная Вселенная

Расширяющаяся Вселенная

Большой взрыв

Новые проблемы космологии

Инфляция

Современное ускоренное расширение

Модель горячей Вселенной

Глава 10 Гравитационные волны

Электромагнитные волны

Описание гравитационных волн

Генерация гравитационного излучения

Источники гравитационного излучения

Детектирование гравитационных волн

Скорость распространения гравитационных взаимодействий

Глава 11 Энергия и другие сохраняющиеся величины в ОТО

Развитие представлений о законах сохранения

Законы сохранения в СТО

Нелокализуемость сохраняющихся величин в ОТО

Эйнштейн о проблеме определения энергии в ОТО

Локализация сохраняющихся величин в ОТО

Энергия замкнутой Вселенной. Рождение из «ничего»

Глава 12 Перспективы развития теории гравитации

Теории гравитации альтернативные ОТО

Проверка ОТО на масштабах планетных систем

Необходимость модификации ОТО

Теория гравитации Хоржавы

Многомерные модели

Черные дыры в многомерной ОТО

Биметрические теории и теории с массивным гравитоном

Закон Ньютона

Что даст дальнейшее повышение точности наблюдений

Дополнения

1. Скалярные, векторные и тензорные поля

2. Материальные источники

3. Построение уравнений Эйнштейна

4. Решение уравнений Эйнштейна

5. Координаты Леметра

6. Система отсчета ускоренных наблюдателей

7. Однородность и изотропия Вселенной

8. Модели Фридмана и критическая плотность

Примечания