Рауль Ибаньес

«Мир математики»

№ 6

«Четвертое измерение

Является ли наш мир тенью другой Вселенной?»

Посвящается моей матери, сильной и позитивной женщине.

А также моей жене Ане и моим детям Айтору и Ванессе.

Предисловие

Нечасто математические теории опускаются с высоких научных сфер до уровня массовой культуры. Если это происходит, то лишь в качестве отдельных или поверхностных модных тенденций. Тем не менее в конце XIX и начале XX века люди были увлечены возможностью существования пространств других размерностей за пределами нашей трехмерной реальности.

При нормальных обстоятельствах эта двойная революция, вызванная открытием неевклидовой геометрии и рождением многомерной дифференциальной геометрии, осталась бы не замеченной широкой общественностью и привлекла бы внимание лишь ученых, понимавших ее важность для будущего математики, науки и техники.

Однако четвертое измерение захватило воображение масс и часто обсуждалось в ряде популярных изданий.

Это повальное увлечение вызвали сами математики, распространяя новые идеи на конференциях, в статьях и книгах, прежде рассчитанных на научное сообщество, а затем и на широкую общественность. Эти идеи вскоре закрепились, как мы не раз увидим на протяжении этой книги.

Ученые использовали четвертое измерение для описания Вселенной. Многомерные пространства оказались очень полезным инструментом. Философы размышляли над концепцией пространства, формы и структуры Вселенной, самого существования человечества. В более общем смысле богословы и религиозные деятели рассматривали четвертое измерение в качестве пути к созданию теорий о Боге, рае и аде, душе, духовности и существовании высшей реальности. Мистики, спиритуалисты, теософы и многие мнимые пророки также описывали картину Вселенной, открывшуюся им через четвертое измерение.

Писатели в своих книгах затрагивали интересные аспекты четвертого измерения, например, как могут выглядеть четырехмерные существа, их сверхъестественные возможности, путешествия во времени, в другие измерения и в параллельные миры.

В мире искусства это означало отрыв от метода перспективы эпохи Возрождения, появление нового языка и пути к доселе невиданной реальности. Поэтому дополнительное измерение открыло много возможностей для широкой общественности: многие люди увлеклись новыми идеями, и даже сейчас некоторые думают, что наши души обитают в четырехмерном пространстве.

Одной из книг, внесших наибольший вклад в распространение идей о четвертом измерении, была «Флатландия» Эдвина Эбботта, продолжающая оставаться хорошей отправной точкой для интересующихся этой математической концепцией. И мы начнем нашу книгу с идей, представленных в этом романе.

Глава 1. Флатландия: роман о четвертом измерении

Я [Квадрат]. Но взяв меня с собой в Страну Трех Измерений, Ваша Светлость показала мне внутренности моих соотечественников в Стране Двух Измерений. Что может быть легче, чем взять вашего покорного слугу во второе путешествие, в благословенную область Четвертого Измерения, откуда я мог бы бросить взгляд на Страну Трех Измерений…

Сфера. Но где находится эта Страна Четырех Измерений?

Я. Не знаю, но моему высокочтимому Наставнику это должно быть известно.

Эдвин Э. Эбботт. Флатландия

«Флатландия: роман о четвертом измерении», без сомнения, является книгой, которая внесла наибольший вклад в распространение и популяризацию идеи четвертого измерения среди математиков, ученых и студентов, а также мыслителей, художников и широкой общественности. Она была опубликована в 1884 г. и до сих пор остается популярной. Книга продолжает вызывать искренний интерес, по-прежнему печатаются новые издания, несмотря на то что текст свободно доступен в интернете.

Это не столько научно-популярная книга, сколько произведение художественной литературы, которое с помощью аналогий знакомит читателя с увлекательным миром четвертого, да и других измерений. Автор предлагает нам в образе двумерного существа исследовать плоский мир, в котором такие существа обитают, чтобы потом подвести нас к идее, что есть миры большей и меньшей размерности — трехмерные и одномерные. Это позволяет читателю ощутить всю сложность представления реальности с большим количеством измерений, чем те, что воспринимаются нашими чувствами. В то же время это также доказывает, что такие невоспринимаемые размерности вполне могут существовать. Автор предлагает мысленный эксперимент, который поможет нам представить четвертое измерение, существующее вне нашего трехмерного мира. У некоторых людей, прочитавших книгу, остается впечатление, что это просто околоматематический роман. Однако «Флатландия» — это нечто большее. Это социальная сатира викторианской Англии — той эпохи, в которую жил автор, поэтому он использовал метафоры для обсуждения интересовавших его богословских вопросов.

Обложка первого издания «Флатландии».

Центральная идея книги, объединяющая множество математических, социальных и богословских вопросов, заключается в том, чтобы читатели попытались разорвать цепи ограниченного восприятия реальности и открыли свой разум новым формам, новым идеям и новому миру. Простота сюжетных идей и используемого языка позволила этой книге оказать сильное влияние на широкий круг читателей. Следует заметить, что автор книги был викарием англиканской церкви и считал, что проповеди должны быть простыми, чтобы их понимали все. Он также работал директором школы и поэтому всегда интересовался вопросами обучения. Но успех «Флатландии» является не только результатом собственных достоинств книги, но и следствием интереса общества к возможности существования многомерной вселенной. Причиной этого растущего интереса, несомненно, стало развитие неевклидовых геометрий.

Автор: Эдвин Эбботт Эбботт

Как мы видим на обложке «Флатландии», автором книги является Квадрат (A Square). Этот псевдоним Эбботт использовал, возможно, в качестве игры слов, так как главного героя романа, жившего во Флатландии, звали Квадрат. К тому же из-за повторения в фамилии автора (Abbott Abbott) его можно было бы назвать «А в квадрате».

Эдвин Эбботт Эбботт родился в Лондоне в 1838 г. Он получил образование в Школе лондонского Сити, а затем в колледже Сент-Джон Кембриджского университета, где он изучал классическую литературу, грамматику и богословие.

В 1862 г. Эбботт был рукоположен в священники англиканской церкви, а год спустя женился. В возрасте всего лишь 26 лет он стал директором Школы лондонского Сити.

Как педагог и священник, Эбботт был социально ответственным человеком, а также имел радикальные взгляды. Ему удавалось внедрять новые идеи как в школе, где он был директором, так и на конференциях директоров английских школ. Эбботт считал, что образование помогает сломать социальные барьеры, и в качестве ведущего члена «Движения за права молодежи из всех социальных групп» боролся за права бедных классов.

Эбботт посвятил свою жизнь изучению грамматики, литературы и теологии, написал более 40 книг и множество статей на эти темы. «Флатландия» — единственная из его работ, связанная с математикой. Как получилось, что Эбботт, не имея специального математического образования, заинтересовался четвертым измерением и создал книгу, которая донесла эти идеи до широкой общественности?

Эдвин Эбботт в 1884 г., когда была опубликована «Флатландия».

Лучший друг Эбботта, учитель математики Ховард Кэндлер, поддерживающий с ним обширную переписку, преподавал в школе Аппингем (Uppingham School).

Кстати, английский математик Чарльз Хинтон, один из главных специалистов по четвертому измерению, также преподавал в этой школе. Возможно, Эбботт познакомился с Хинтоном в Аппингеме или узнал об этих идеях через своего друга Кэндлера. В любом случае он достаточно ясно представлял себе концепцию четвертого измерения, чтобы использовать ее в качестве метафоры социального и богословского устройства разделенного на классы общества викторианской Англии.

Цель книги

Как мы уже видели, «Флатландия» — это не просто научно-фантастический роман. По своей сути это аллегория, которая использует геометрические формы и размерности для описания насущных проблем современности. Помимо изложения математических понятий, связанных с размерностями, в книге явно прослеживаются еще две линии: социальная сатира и богословские размышления.

С социальной точки зрения «Флатландия» — явная сатира на английское общество того времени с его жесткой системой классов и сопротивлением переменам любого рода. Эбботт описывает жестокость, с которой обращались с наиболее нуждающимися слоями населения, лишая их возможности образования — исключительной привилегии социальной элиты. Он также выступает против подчиненного положения женщин и противодействия новым идеям. Социальную сатиру использовали и другие уважаемые предшественники Эбботта, такие как Джонатан Свифт в книге «Путешествия Гулливера» (1726) и Льюис Кэрролл с его «Алисой в стране чудес» (1865).

Наряду с социальной сатирой Эбботт также обращается к интересовавшим его богословским вопросам, которые он более явно затрагивал в других своих книгах и статьях. Некоторые пассажи, такие как путешествие главного героя книги Квадрата в страны других размерностей, можно интерпретировать как метафору мистического опыта потусторонней реальности. Кроме того, автор критикует веру в чудо как основу религиозных убеждений и пытается показать, что наука в состоянии обеспечить прогресс человеческого рода через развитие знаний о Вселенной, но никогда не сможет приблизить нас к Богу. Наконец, можно наблюдать определенную параллель между попытками Квадрата объяснить таинства третьего измерения и евангелистской деятельностью апостолов.

Тем не менее, именно математическое содержание выделяет «Флатландию» из ряда других книг того времени. Во времена Эбботта споры о четвертом измерении были в самом разгаре. Предпринималось множество попыток понять, что оно означает, и как-то визуализировать его. В 1952 г. философ и богослов Карл Хайм так описал серьезную проблему человеческой интуиции в постижении четвертого измерения: «Прогресс математики и физики дает нам крылья поэтического воображения, выводящего нас за границы евклидового мира в попытке представить себе пространство, в котором существует более трех координатных осей, перпендикулярных друг другу. Но все эти усилия выйти за пределы нашего мира в конечном итоге всегда приводят в трехмерное евклидово пространство. Пытаясь открыть четвертое измерение, мы сталкиваемся с непреодолимым препятствием. Нет никаких сомнений, что можно производить вычисления в пространствах высших размерностей, но мы не в состоянии вообразить их. Мы, как в тюрьме, заперты в пространстве, в котором мы оказались в начале нашего существования. Точно так же двумерные существа могут верить в третье измерение, но они не могут видеть его».

Можно сказать, что многомерная аналогия, использованная Эбботтом и являвшаяся одним из основных инструментов того времени, приблизила нас к возможности «увидеть» невидимое.

Часть первая: мир Флатландии

«Флатландия» написана от лица главного героя, математика Квадрата, который рассказывает о странном приключении, которое он пережил. В результате он узнал много нового об устройстве Вселенной, но оказался заключенным в тюремную камеру, в которой и пишет свою историю. Таким образом, первая часть книги дает описание его мира, двумерной Флатландии, и общества, в котором он живет. Именно эта часть содержит большую часть социальной сатиры.

Как мы уже говорили, мир главного героя является плоским, двумерным.

(«Представьте себе огромный лист бумаги», — пишет Эбботт.) В этом мире живут прямые линии, квадраты, пятиугольники, шестиугольники и другие многоугольники. За исключением укреплений, казарм и административных зданий, дома, в которых живут обитатели этого мира, имеют пятиугольную форму. Крыши домов ориентированы на север, так как сила тяжести направлена на юг, что означает, что дождь всегда «идет» с севера на юг. В дополнение к этому в домах имеется две двери: одна для мужчин, другая для женщин.

Типичный пятиугольный дом во Флатландии (иллюстрация Эдвина Эбботта).

Далее Эбботт описывает жителей этого любопытного мира. Женщины имеют вид отрезков прямых; солдатам и представителям низших слоев населения досталась форма равнобедренных треугольников. Средний класс состоит из равносторонних треугольников, а джентльмены и лица, владеющие какой-либо профессией, имеют форму квадратов и пятиугольников.

Затем идут благородные сословия. Их низшую ступень занимают шестиугольники, но по мере продвижения вверх число сторон у фигуры возрастает. Наконец, когда число сторон многоугольника становится столь велико, что фигуру нельзя отличить от окружности, ее причисляют к жрецам. Внутренний угол фигуры (самый маленький в равнобедренном треугольнике), очевидно, связан с числом сторон и отражает социальное положение и образование фигуры. В дополнение к этому дети мужского пола имеют на одну сторону больше, чем их отцы, хотя это не всегда так среди торговцев и еще реже встречается среди солдат и низших слоев рабочих. Если каким-то образом сын равнобедренного треугольника рождается равносторонним, то его забирают у родителей, после чего его усыновляет бездетная чета равносторонних треугольников.

Женщины являются отрезками прямых линий — без углов, без образования, без социальных прав. Это описано Эбботтом в одном из пассажей книги: «Не следует думать, будто наши женщины лишены увлечений. Но, к сожалению, увлечение, охватившее особу слабого пола в данный момент, всегда оказывается сильнее любых разумных соображений. Причину этого, разумеется, следует искать в неудачной конфигурации женского тела. Ибо женщины, не имея надежд получить собственный внутренний угол (в этом отношении они уступают даже последнему из равнобедренных треугольников), полностью лишены способности рассуждать, не обладают ни ясностью мышления, ни здравостью суждений, ни способностью обдумать заранее свои поступки, ни даже памятью. Поэтому в приступах ярости женщины не помнят своих обещаний и не признают никаких различий».

Геометрические формы, представляющие различные социальные классы жителей Флатландии.

В этом обществе мужчины, особенно представители высших классов, пытаются оправдать социальную изоляцию женщин и отсутствие у них прав, утверждая, что такое положение является не результатом дискриминации со стороны общества, а лишь следствием самой природы женщин, конфигурации их тел и размеров.

Жители Флатландии узнают друг друга различными способами. Низшие классы и женщины делают это на ощупь. Равносторонние треугольники, квадраты и пятиугольники используют слух, отличая других жителей по голосам. Высшие классы различают другие фигуры по внешнему виду. Любой житель Флатландии выглядит со стороны как прямая линия, однако постоянный туман, который держится в этом мире, позволяет определить глубину и, следовательно, углы другой фигуры. Из-за действия тумана видимость уменьшается с расстоянием; таким образом, когда угол мал, как у равнобедренных треугольников, его стороны начинают расплываться почти сразу, а для большего угла это происходит медленнее. Распознавание на ощупь преподается в школах, в основном с помощью практических тренировок. На уроках используются равнобедренные треугольники с углами от полградуса до десяти градусов. Эти фигуры не обладают достаточным интеллектом для использования хотя бы в качестве пушечного мяса и поэтому играют роль школьного реквизита. Науку и искусство распознавания по внешнему виду преподают представителям элиты в университетах, но для этого требуется изучение геометрии.

Искусство распознавания по внешнему виду во Флатландии (иллюстрация Эдвина Эбботта).

Все фигуры во Флатландии являются правильными. Неправильность фигуры — это признак моральной нечистоплотности и склонности к совершению уголовного преступления. Вот как описывает это главный герой книги Квадрат: «Неправильные фигуры с самого рождения не видят ласки от своих родителей, их осыпают насмешками братья и сестры, ими пренебрегают их ближайшие родственники, общество обливает их презрением и относится к ним с подозрительностью, им запрещается занимать ответственные и доверенные посты и исполнять всякую полезную работу. За любым передвижением неправильной фигуры ревностно наблюдает полиция.

Наконец, неправильная фигура достигает совершеннолетия и предстает перед комиссией для освидетельствования. Если отклонения окажутся слишком большими, фигуру разрушают, в противном случае ее замуровывают в каком-нибудь правительственном учреждении на должности клерка седьмого класса. Неправильная фигура не может вступать в брак. Обреченная на унылую деятельность, она получает ничтожную плату и должна жить и столоваться непосредственно в конторе. Даже свой отпуск она проводит под неослабным наблюдением».

На другом конце социальной лестницы находятся жрецы. «Наши жрецы занимают ведущие посты во всех отраслях коммерческой деятельности, искусства и науки. Они руководят розничной и оптовой торговлей, армией, архитектурой, промышленностью, решают наиболее важные государственные дела, им принадлежит самое веское слово в вопросах законодательства, морали и теологии. Не делая ничего сами, они являются побудителями, причиной всего, что следует делать и делается другими». Их предназначение состоит в том, чтобы беспокоиться о конфигурации флатландцев, так как это определяет роль и судьбу каждого.

Противодействие новым идеям и всему тому, что может означать нарушение установленного социального порядка, особенно отчетливо проявилось в случае с введением цвета в черно-белом мире Флатландии и последующим восстанием красок, которое в конце концов было подавлено жрецами с помощью женщин.

* * *

ШОВИНИЗМ ВО ФЛАТЛАНДИИ

Некоторые из прочитавших «Флатландию» в первый раз выступили против книги, обвинив ее автора в шовинизме. Однако это совсем не так: Эбботт был активным сторонником защиты прав женщин и одним из лидеров Движения за право на образование женщин. В 1870 г. университеты Оксфорда и Кембриджа начали принимать женщин на учебу, хотя до 1920 г. они были не в состоянии получить соответствующую подготовку. Женщин принимали в университет и позволяли получить образование такого же уровня, как и у мужчин, но школ, помогавших им подготовиться, было мало. Через английский Совет директоров и Педагогическое общество Эбботт помогал создавать возможности для девочек получить образование.

Часть вторая: иные миры

Вторая часть книги, озаглавленная «Иные миры», затрагивает проблемы многомерных аналогий и богословские аспекты, хотя социальная сатира присутствует на протяжении всей книги. Сначала Квадрат в странном сне оказывается в Лайнландии, мир которой представляет собой бесконечную прямую и поэтому является одномерным. Он населен отрезками прямых (мужчины) и точками (женщины). Находясь вне Лайнландии, Квадрат обращается к королю этого мира, который сначала не может понять, с кем или с чем он разговаривает. Квадрат пытается объяснить королю, что он сам живет в двумерном мире и воспринимает все в двух измерениях, но король его не понимает, а Квадрат не знает, как это все объяснить. Он начинает описывать ситуацию, когда точка, двигаясь в одномерной Лайнландии, образует отрезок — что очевидно для короля, — но если отрезок перемещается «вверх», то получается квадрат. Однако король не в состоянии понять ни смысл выражения «вверх», ни понятие «квадрат». Тогда двумерный математик решает пересечь Лайнландию, чтобы показать королю, что он представляет собой двумерное существо. Но король не верит, что отрезки, которые он видит, являются различными сечениями квадрата, а не неким жителем Лайнландии, обладающим непостижимой способностью появляться и исчезать.

На следующий день после пробуждения Квадрат встречается со Сферой, живущей в Спейсландии — мире с тремя измерениями, который содержит в себе Флатландию. Как и в случае с королем Лайнландии, Квадрат сначала не может понять, откуда доносится голос. На этот раз Сфера пытается описать природу трехмерного пространства жителю Флатландии, приведя аналогию, что если квадратная фигура будет расти в направлении «вверх», то получится куб, имеющий три измерения. Когда ученик оказывается неспособным понять эти аргументы, Сфера решает пересечь Флатландию так, что оказываются видны ее плоские сечения, являющиеся окружностями. Но Квадрат думает, что это жрец, который появился неким волшебным образом, потом быстро вырос, как если бы время ускорилось, а затем таинственно сжался и исчез.

Продолжая ряд аналогий относительно разных размерностей и социальной структуры, трехмерный посетитель приводит аргумент, основанный на количестве вершин (углов) и граней. Количества вершин точки, отрезка и квадрата образуют геометрическую прогрессию 1, 2, 4, которая продолжается числом 8, что, как Сфера объясняет Квадрату, является количеством вершин куба. Кроме того, точки не имеют граней, отрезок имеет две (его два конца), а квадрат имеет четыре грани (четыре стороны). Получается арифметическая прогрессия 0, 2, 4, которая продолжается числом 6, равным количеству граней куба.

Иллюстрация, показывающая, как Сфера проходит через Флатландию.

Сфера, убедившись в тщетности своих объяснений, принимает решительные меры и выносит нашего героя из Флатландии, что возможно благодаря тому, что Флатландия и все ее жители имеют постоянную толщину в трехмерном пространстве. Увидев свой мир со стороны, Квадрат понимает смысл третьего измерения пространства, о котором говорил его учитель. Сразу стали ясны все изложенные аргументы, но это еще не всё. Как хороший математик, он понимает, что эти аргументы позволяют ему пойти дальше. Подумав некоторое время, он объясняет Сфере, что если использовать ту же аналогию с размерностями, то, возможно, существует и четырехмерное пространство, содержащее и мир Сферы. Теперь сама Сфера приходит в замешательство, отказываясь признать этот аргумент и факт существования четырехмерного пространства: «Такой страны нет. Сама мысль о том, что она существует, лишена всякого смысла».

Если точка (нулевой размерности) движется в определенном направлении, то получается отрезок (размерность 1). Если отрезок перемещается в перпендикулярном направлении, то получается квадрат (размерность 2). При перемещении квадрата в перпендикулярном направлении получается куб (третье измерение). Гиперкуб (четвертое измерение) получается путем перемещения куба.

Как мы уже говорили, Эбботт не верил в чудеса и считал, что христиане не должны основывать на них свою веру. Эта идея также отражена во «Флатландии», где то, что кажется чудом двумерным существам, на самом деле легко объясняется при переходе в третье измерение. Приведем несколько ироничный диалог между Квадратом и Сферой:

«Потрясенный зрелищем сокровенных тайн земли, открывшихся моему недостойному глазу, я сказал своему спутнику:

— Я стал как бы богом. Ведь говорят же мудрецы во Флатландии, что способность все видеть или, как они выражаются, быть всевидящим присуща лишь богу.

В ответ мой наставник заметил:

— Так ли это на самом деле? У нас в Спейсландии найдется немало карманных воров и убийц, которых ваши мудрецы приняли бы за богов, ибо каждый из них, взглянув на Флатландию, увидел бы не меньше, чем вы сейчас. Поверьте мне, ваши мудрецы глубоко заблуждаются».

Роман заканчивается тем, что герой попадает в тюрьму за попытку написать трактат о тайнах третьего измерения и рассказать жителям своего плоского мира о существовании трехмерного пространства. Здесь мы можем увидеть аналогию со священными писаниями и гонениями, которым подвергались святые апостолы.

Даже язык Эбботта в этой части становится похож на библейскую речь, когда, например, он приводит слова Квадрата: «Смерть или тюремное заключение ожидает апостола учения о Спейсландии». Социальная сатира заключается в изображении общества, которое наказывает тех, кто пытается пропагандировать новые идеи.

Контекст «Флатландии»

Многомерные аналогии и изучение различных пространств с учетом их размерности являются ключевыми идеями «Флатландии», предложенными Эбботтом. В действительности, в то время они были широко распространенным подходом для понимания многомерных пространств, включая аналогию с двумерным пространством, населенным плоскими существами.

Одно из первых упоминаний о важности изучения различных пространств и идеи многомерных аналогий можно найти в «Республике» Платона (книга VII).

В этой книге Сократ обсуждает с Главконом образование, которое должны получать стражи идеального государства. Главкон объясняет, что начать нужно с арифметики и изучения ряда чисел. Затем надо перейти к плоской геометрии, содержащей необходимые знания для ведения войны («Очевидно, что мы имеем дело с той частью геометрии, которая относится к войне»), а также для всех других видов деятельности, относящихся к управлению государством. Когда Сократ спрашивает, что должно идти дальше, Главкон предлагает астрономию. Сократ замечает, что тот упустил важный шаг: «Правильнее было бы после второго измерения рассмотреть третье: оно касается измерения кубов и всего того, что имеет глубину». Только перейдя от первого измерения ко второму, а затем к третьему, ученики будут готовы к изучению «астрономии, или круговращения твердых тел».

Знаменитый миф о пещере — аллегория Платона — является основополагающим ориентиром для вопросов, рассматриваемых во «Флатландии». Здесь мы также находим многомерную аналогию, проблему познания мира, в котором мы живем, и образование как средство для достижения этого знания. Платон предлагает представить расу людей, которые с рождения живут в темной подземной пещере, связанные таким образом (тело, ноги, руки, шея), что они могут видеть только стену пещеры. За ними находится невысокая стена, за которой горит огонь. Между огнем и стеной перемещаются фигурки маленьких людей, животных и инструментов, а огонь проецирует их тени на стену пещеры. Когда заключенные разговаривают, их голоса отражаются от стен, и им кажется, что говорят тени. Более того, они думают, что они сами являются тенями. Пещерные жители считают эти тени единственной реальностью и не понимают, что они сами и эти фигурки расположены в трехмерном пространстве. Интересно упомянуть конец этой истории, когда пришелец извне пытается объяснить им истинную картину мира, но они считают его сумасшедшим.

Еще одна связь между мифом о пещере и четвертым измерением состоит в том, что пленники думают, что они являются двумерными существами. То, что они на самом деле трехмерные существа, так же странно для них, как для нас мысль о том, что мы являемся трехмерными проекциями четырехмерных существ.

В середине XIX в. идея, похожая на миф о пещере, появилась в коротком рассказе немецкого психолога и физика Густава Фехнера (1801–1887) «Пространство имеет четыре измерения», в котором человек-тень проецируется на экран с помощью проектора.

Схематичное изображение платоновского мифа о пещере.

* * *

«ФЛАТЛАНДИЯ» КАК ИСТОЧНИК ВДОХНОВЕНИЯ

«Флатландия» приобрела статус популярной классики, что вдохновило многих авторов на создание похожих произведений. Дионис Бюргер (1892–1987) написал «Сферландию, или Роман об искривленном пространстве и расширяющейся Вселенной с иллюстрациями автора, Шестиугольника» как продолжение «Флатландии» примерно с таким же относительно простым сюжетом. Главный герой романа — Шестиугольник, внук Квадрата, — живет в более равноправном обществе. При измерении очень большого двумерного треугольника выяснилось, что сумма его углов больше 180°. Это позволило предположить, что на самом деле двумерный мир является не плоскостью, а поверхностью сферы. Даже Иэн Стюарт (р. 1945), один из самых известных современных популяризаторов математики, не удержался от соблазна посетить «Флатландию»», создав ее аннотированную версию и даже продолжение «Флащеландию», то есть Флатландию, только в большей степени. Главный герой книги — Виктория Лейн, потомок Квадрата из классического произведения Эбботта, — исследует более современные понятия, такие как фрактальная размерность, скрытые пространственные измерения, гиперболическая геометрия, квантовая механика, теории относительности, сингулярности пространства-времени и путешествия во времени.

Другие идеи о плоских мирах

Математик Чарльз Хинтон, который уже в начале 1880-х гг. написал серию статей о двумерном мире и существах, населяющих его (мы расскажем о нем подробнее в четвертой главе), является автором романа под названием «Случай во Флатландии, или Как двумерные люди обнаружили третье измерение». Это не просто совпадение, что книги Хинтона и Эбботта были написаны примерно в одно и то же время.

В плоской вселенной Хинтона планеты-круги вращаются вокруг круга-солнца.

Одна из этих планет, Астрия, населена двумя расами треугольников: цивилизованные юнифы создали науку и технику, а варварские скифы являются воинами. В этой книге Хинтон в большей степени, чем Эбботт во «Флатландии», затрагивает вопросы науки и техники. В частности, он описывает физику двумерного мира и некоторые механические устройства. И конечно, в романе затрагиваются и социальные вопросы: автор повествует об отношениях между молодой леди и простым пролетарием. Дядя девушки является единственным человеком Астрии, который верит в существование трехмерного пространства.

Иллюстрация из книги Чарльза Хинтона «Случай во Флатландии». Действие разворачивается на планете Астрия, представляющей собой плоский круг и населенной треугольниками. На западе живут скифы, а на востоке — юнифы.

* * *

ОТ «ФЛАТЛАНДИИ» К «ПЛАНИВЕРСУМУ»

Использование компьютеров для имитации «Флатландии» привело к появлению в 1984 г. книги «Планиверсум. Виртуальный контакт с двумерным миром». Ее автор, математик Александр Дыодни, родился в Канаде в 1941 г. Он рассмотрел всевозможные аспекты двумерного мира, аналогичного описанному Хинтоном. Среди них — политика, география, архитектура, физика, химия, биология, культура, игры и даже что и как обитатели этого мира едят.

Глава 2. Что такое размерность?

Я знаю, что многие… считают, что обобщенное понятие [четырехмерного] пространства является не более чем формой алгебраической абстракции, но то же самое можно сказать и о нашей идее бесконечности в алгебре, или о невозможных линиях в геометрии, или линиях, которые образуют угол в 0 градусов, хотя никто не будет оспаривать пользу этих понятий.

Джеймс Джозеф Сильвестр. Призыв к математикам (1869)

В этой главе рассматриваются понятия размерности и многомерных пространств.

Термин «размерность» широко используется не только в науке и технике, но и в повседневной жизни. Это слово в разных смыслах часто встречается в газетах и в Интернете. Например, выражение «GPS-навигация в трехмерном пространстве» использует понятие трех измерений, которые необходимы устройству GPS для определения положения объекта на земном шаре: широты, долготы и высоты. Вместе с этим выражение «размеры коробки 30 см (длина) х 15 см (ширина) х 15 см (высота)» означает величину предмета. Мы можем даже найти что-то вроде выражения «культурная размерность интернета», которое можно интерпретировать метафорически, имея в виду всю многогранность интернета и нашей культуры в целом.

Слово «размерность», или «измерение», используемое сейчас в нашей повседневной жизни, имеет почти такой же смысл, как и в науке вплоть до XIX в., хотя значение термина развивалось по мере популяризации изначальных математических идей. Даже в таких фразах, как «жить в другом измерении» или «путешествие в другое измерение», значение слова по-прежнему основывается на тех же фундаментальных идеях. В науке и технике этот термин тоже приобрел несколько различных значений и разную степень сложности в зависимости от области, в которой он используется. Например, существуют такие понятия, как размерность векторного пространства, топологическая размерность, фрактальные размерности… Однако целью этой книги является не объяснение терминов, а лишь введение интуитивного понятия размерности.

Степени свободы

Во-первых, давайте остановимся на вопросе: «Что такое размерность?» В общем случае, когда мы говорим о размерности пространства, мы имеем в виду то, что физики и инженеры называют степенью свободы.

В одномерном пространстве у нас есть только одна степень свободы, то есть мы можем двигаться только вперед и назад по одной линии. В поезде мы всегда движемся либо вперед по рельсам, либо назад: состав не может совершать другие движения.

Рельсы, по которым движется поезд, образуют достаточно произвольную кривую, но эта кривая представляет собой одномерное пространство. Наблюдая в поле траектории движения муравьев, мы увидим, что эти траектории тоже представляют собой кривые линии. Насекомые движутся по ним, возвращаясь в муравейник или отправляясь на поиски добычи. Аналогичное движение — вперед и назад — является единственно возможным для короля и других жителей Лайнландии.

В упрощенном виде траектории движения муравьев являются одномерными пространствами, так как насекомые движутся по кривым линиям в обе стороны.

Муравьи движутся так, потому что они следуют по запахам феромонов, оставленным другими муравьями. Однако первый муравей (тот, что проложил путь) мог двигаться во всех направлениях. Если мы выпустим муравья на поверхность стола, мы увидим, что он ползает вперед и назад, а также вправо и влево и под любым углом к этим направлениям. Поверхность стола представляет собой двумерное пространство, другими словами, она имеет две степени свободы.

Муравей-первопроходец на поверхности стола с двумя степенями свободы будет двигаться не только вперед и назад, но и в других направлениях.

Этот муравей имеет такую же свободу передвижения, как и Квадрат, живущий во Флатландии. Корабль на поверхности моря и альпинист на склоне горы также движутся в двумерном пространстве. Положение корабля или альпиниста на поверхности земного шара может быть определено с помощью двух параметров: широты и долготы. Аналогично положение муравья на поверхности стола может быть установлено с помощью расстояний от обеих сторон стола.

Если вместо корабля мы рассмотрим подводную лодку, мы добавим возможность перемещения вверх и вниз на конкретную глубину. Точно так же вертолет может подниматься на разную высоту в воздухе. Следовательно, и вертолет, и подводная лодка имеют три степени свободы. Это и есть наше естественное трехмерное пространство.

Если вертолет летает, например, в определенное время каждый день, мы можем добавить еще одну степень свободы — время, хотя в этом измерении мы можем двигаться только вперед, по крайней мере, таково наше восприятие времени. Наша жизнь, таким образом, протекает в четырехмерном пространстве-времени и поэтому может быть задана с помощью четырех координат.

Координаты

При формулировании понятия степени свободы мы уже видели, что для определения положения в пространстве нам нужны не только числовые значения, но и количество измерений пространства. В примере с вертолетом, движущимся в трехмерном пространстве, GPS определяет его положение с помощью трех чисел — широты, долготы и высоты по отношению к уровню моря — и таким образом использует математическое понятие размерностей в виде набора координат, другими словами, группы чисел.

Возьмем теперь пример с поездом. Представьте себе железнодорожный путь, соединяющий два города с центральной станцией, которая контролирует движение поездов. Положение каждого поезда может быть определено как расстояние от станции в одном или другом направлении (чтобы различать направления, мы обозначим одно знаком плюс, а другое — знаком минус). Следовательно, для определения положения поезда будет достаточно одной координаты (x_1). Пространство всевозможных положений поезда может быть отождествлено с одномерным пространством координат, задаваемых всевозможными значениями х_1.

Аналогичным образом с помощью одного числа можно задать рост каждого члена семьи. Эти значения в некоторых домах можно увидеть на косяке двери, который таким образом становится графическим представлением одномерного пространства всевозможных значений роста.

Точное местоположение любого судна в любом океане Земли можно определить с помощью двух чисел — широты и долготы.

Двумя числами (х_1 — долгота, х_2  — широта) мы можем описать положение любого места на земной поверхности, которая является двумерным пространством. Более абстрактным примером двумерного пространства будет «пространство», образованное рамками для фотографий, заданными двумя размерами — длиной и шириной. В этом пространстве точкой с координатами (29, 35) является рамка, длина которой 29 см, а ширина — 35 см.

Аналогично, если мы измерим рост и вес членов некой семьи, эти измерения также будут точками в двумерном пространстве, заданными парой измеренных значений. Однако на дверном косяке нельзя будет изобразить эти точки, нам потребуется для этого вся стена. Вот почему ни одна семья не отмечает эти данные таким образом! Стена была бы представлением координатной плоскости. Мы бы отмечали рост по вертикали, а вес — по горизонтали. Тогда пара чисел для каждого члена семьи изображалась бы точкой на стене.

Стена кухни представляет собой координатную плоскость, дверной косяк является осью роста, а плинтус — осью веса. Четыре точки соответствуют четырем парам чисел — росту и весу каждого члена семьи.

* * *

МУХА ДЕКАРТА

Французский математик Рене Декарт (1596–1650) ввел понятие координатной плоскости, а также аналитической геометрии в своей работе «Геометрия», опубликованной в качестве приложения к книге «Рассуждение о методе». По одной из легенд, идея декартовой плоскости пришла к нему в голову, когда он думал о движении мухи по потолку спальни. Декарт понял, что положение мухи может быть задано расстояниями от двух стен. Таким образом, Декарт добавил координаты — алгебраический инструмент — к плоскости Евклида, которая, в свою очередь, находится в некотором геометрическом пространстве. Хотя в наше время координаты могут показаться простым понятием, в то время это было очень трудно воспринять даже Исааку Ньютону (1643–1727), который испытывал сложности при чтении работ Декарта.

Координатная плоскость с точками А = (4, 2), В = (-5, 3), С = (-2, -4) и D = (5, -3).

* * *

Трехмерное координатное пространство задается тройками чисел (х_1, х_2, х_3). Как уже говорилось, положение вертолета определяется тремя числами — широтой, долготой и высотой. Аналогично более абстрактным примером будет пространство, содержащее картонные коробки, определенные их длиной, шириной и высотой.

Коробка, изображенная в трехмерном координатном пространстве. Координаты точки (а, Ь, с) определяют размеры коробки длиной а, шириной b и высотой с.

В общем случае координаты точки в n-мерном пространстве задаются кортежем (набором) из n чисел (х_1…,xn), где n — размерность пространства. Таким образом, каждая точка пространства является кортежем (х_1…,xn), а n-мерное координатное пространство состоит из всевозможных кортежей. В математических символах это записывается так:

Во многих отраслях науки и техники различные данные представляют собой наборы числовых значений, поэтому, применяя понятие координатного пространства к этим кортежам чисел, мы можем использовать геометрические инструменты для организации, локализации и обработки информации. Таким образом мы получаем возможность делать полезные заключения. Можно привести разнообразные примеры, такие как результаты медицинских анализов крови (количество в крови натрия, калия, глюкозы, холестерина и других соединений). Эти результаты представляют собой кортеж из n чисел, где n обозначает количество проведенных клинических испытаний. Другими примерами могут выступать списки групп студентов, результаты спортивных соревнований и так далее.

* * *

ОБЫЧНОЕ РАССТОЯНИЕ

Понятие координатного пространства предполагает существование фиксированного расстояния между двумя точками в этом пространстве, так называемого обычного расстояния. Например, для двух точек р = (x_1, х_2, х_3) и q = (y_1, у_2, у_3) в трехмерном координатном пространстве R^3 обычное расстояние задается выражением

что делает наш мир трехмерным евклидовым пространством. Именно это расстояние мы используем в нашей повседневной жизни. Конечно, это понятие расстояния легко обобщается на n-мерное координатное пространство.

Расстояние (С) между двумя точками (x_1, y_1) и (х_2, у_2) на плоскости определяется по теореме Пифагора, так как С является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами А = у_2 — у_1 и В = х_2 — х_1

Существование пространств более высокой размерности

Несмотря на кажущуюся простоту этих идей, потребовалось много времени, чтобы привыкнуть к ним и начать применять их на практике. Математики, другие ученые и философы вели жаркие споры о смысле и реальности пространств более высокой размерности. Например, в «Началах» Евклида определяется, что точка не имеет размерности, прямая линия имеет одну размерность (длину), плоскость — два измерения (длину и ширину), а тело в пространстве — три измерения (длину, ширину и высоту). Но Аристотель в своей работе «О небе» утверждал, что четырехмерного пространства не существует: «Величина, делимая в одном измерении, есть линия, в двух — плоскость, в трех — тело, и кроме них нет никакой другой величины, так как три измерения суть все измерения, и величина, которая делима в трех измерениях, делима во всех измерениях».

Клавдий Птолемей (ок. 100–170 н. э.) в своей работе «О расстоянии» впервые доказал, что четвертого измерения не существует. К сожалению, эта книга не сохранилась до наших дней, мы знаем о ней благодаря греческому математику и философу Симпликию Киликийскому (490–560). Фактически Птолемей говорил, что если рассмотреть три перпендикулярные прямые, то невозможно провести четвертую прямую, перпендикулярную к трем другим. Таким образом, четвертого измерения не существует. Однако Птолемей лишь доказывает, что невозможно воспроизвести четыре измерения в нашем трехмерном пространстве.

Позже, при попытке дать геометрическую интерпретацию алгебраических уравнений, возникла идея, что могут существовать пространства более высоких размерностей, но некоторые математики отзывались об этой возможности как о «неестественной». Английский математик Джон Валлис (1616–1703) в своей работе «Алгебра» назвал четвертое измерение «чудовищем, возможным в природе не более, нежели химера или кентавр. Длина, ширина и толщина полностью заполняют пространство. Даже фантазия не может описать, как четвертое измерение может существовать наряду с этими тремя».

Были и те, кто пытался принять существование четвертого измерения на духовном уровне. Например, английский философ Генри Мор (1614–1687) утверждал, что души имеют четыре измерения. Эта идея, как мы увидим в пятой главе, стала очень популярной. В этой связи немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) писал: «Наука обо всех этих возможных видах пространства, несомненно, представляла бы собой высшую геометрию, какую способен построить конечный ум… Если возможно, чтобы существовали протяжения с другими измерениями, то весьма вероятно, что Бог где-то их действительно разместил. Поэтому подобные пространства вовсе не принадлежали бы к нашему миру, они должны были бы составлять особые миры».

В одной из своих работ Кант утверждал, что левая рука является зеркальным отражением правой и что мы не можем идеально совместить руку с ее отражением. Однако Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868) впервые заметил, что при вращении правой руки в гипотетическом четырехмерном пространстве она может стать своим зеркальным отражением — левой рукой, вернувшись в трехмерное пространство.

Если даже ученым было трудно представить пространства с более высокими размерностями, то обычным людям требовалось гораздо больше времени и усилий, чтобы понять это, и обычно это происходило на интуитивном уровне. Революция в геометрии XIX в., которая, как мы увидим в следующей главе, вышла за рамки простых обобщений пространств с более высокими размерностями, была ключевым моментом для науки и общества и означала вступление в мир многомерных пространств.

Физические и математические пространства

В двух предыдущих разделах мы уже затрагивали вопрос о различии физического и математического пространства, но не углублялись в детали.

Для физиков и других ученых понятие пространства тесно связано с понятием действительности, но для математиков это не совсем так. Вопрос «Существует ли четырехмерное пространство?» имеет различный смысл в зависимости от того, кто его задает. Для физиков этот вопрос звучит так: «Существует ли реальное четырехмерное пространство?» Ответ, конечно, отрицательный, если под реальным пространством имеется в виду наблюдаемый физический мир.

Таким образом, когда речь идет о четвертом измерении, физики имеют в виду четырехмерное пространство-время. Однако для математиков этот вопрос означает: «Существует ли концепция четырехмерного пространства?»

В конечном итоге это различие связано с самой сущностью математики и ее подходом. Математики не только изучают физический мир, который нас окружает, но и способны абстрагироваться от него и перенестись в мир идей, концепций и математических структур, в котором физический мир является лишь небольшой его частью или совсем отсутствует. Математики работают в этом мире идей, получая абстрактные результаты, общие понятия, создавая новые формы и инструменты. Несмотря на огромное расстояние между реальностью и математикой, эта наука успешно применяется в реальном мире. Венгерский математик и физик Юджин Вигнер (1902–1995), лауреат Нобелевской премии по физике, говорил о «необъяснимой эффективности прикладной математики в естественных науках». Математики Эдвард Казнер и Джеймс Ньюман в своей знаменитой книге «Математика и воображение» (1989) использовали другую метафору: «Математик — это портной, служащий благородному сословию наук. Он шьет всевозможные костюмы для всех, кто только пожелает их носить».

В этом смысле математики естественным образом работают с многомерными пространствами, не ограничивая себя физической реальностью. Для них математические понятия существуют, если только они не являются логически противоречивыми. Вот почему, когда математики говорят о четырехмерном пространстве, им не нужно обязательно думать о пространстве-времени или о четвертом пространственном измерении.

* * *

РАЗМЕРНОСТЬ ВСЕЛЕННОЙ

Наши чувства говорят нам, что мы живем в трехмерном пространстве, а если мы добавим время, то можно считать, что наша Вселенная является четырехмерной. В настоящее время физики работают над теорией струн, которая предполагает, что наша Вселенная может существовать в пространстве более высоких размерностей: 10,11 или даже 26. Но размерности эти существуют в субатомных масштабах, поэтому они — вне нашей способности воспринимать их. Многие из нас не в состоянии даже представить их! Интересно, что Чарльз Хинтон уже в конце XIX в. говорил о такой возможности, излагая теорию четвертого измерения.

Теория струн до сих пор не доказана экспериментально, хотя уже произвела глубокую научную и философскую революцию. Ее противники утверждают, что ее невозможно полностью проверить и, следовательно, в действительности она вообще не является научной теорией. Это один из вопросов, на который может пролить свет Большой адронный коллайдер, построенный в ЦЕРНе.

Какая польза от многомерных пространств?

В области математической физики важность работы с многомерными пространствами уже давно стала очевидной. Французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) в своей книге «Аналитическая механика» рассматривал механику в терминах многих координат (степеней свободы), включая время как отдельную координату. Впоследствии ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865) переписал уравнения механики для многомерных пространств.

Давайте рассмотрим следующий пример. Нам нужны четыре координаты для описания положения колеса, которое без скольжения движется вперед по поверхности: две координаты для описания точки касания колеса с поверхностью, одна — для угла поворота, и еще одна — для угла вращения вокруг продольной оси. Это делает пространство положений колеса четырехмерным. Если мы добавим движение, нам придется ввести еще четыре координаты для скорости. Таким образом, пространство положений колеса, движущегося по поверхности, имеет восемь измерений.

Эта диаграмма показывает, что пространство положений колеса, которое катится без скольжения по плоской поверхности, имеет четыре измерения. Координаты точек — х, у, α, Θ. Первые две, х и у, описывают точку касания колеса с плоскостью. Угол α является углом вращения вокруг продольной оси, а Θ — углом поворота.

Большинство областей науки (физика, астрономия, экономика, биология, медицина, машиностроение и многие другие) используют многомерные пространства.

Значение такого подхода заключается в том, что он позволяет нам оперировать геометрическими и математическими инструментами для получения полезной информации по изучаемому объекту или для выявления его интересных применений. Рассмотрим два ярких примера, которые показывают полезность этих методов в нашей повседневной жизни.

Шифрование сообщений

Мобильные телефоны, интернет, цифровые телевизоры, музыкальные компакт-диски, фильмы на DVD, цифровая идентификация — все это зависит от шифрования данных и их последующей расшифровки. В этом процессе обнаружение и исправление ошибок является важным элементом.

В наш цифровой век шифрование сообщений, будь то изображение, музыка или текст, требует перевода информации в последовательности нулей и единиц. Это называется двоичным шифрованием (каждый 0 или 1 называется бит — сокращение от английского выражения «двоичная цифра»). Такие последовательности делятся на «слова» фиксированной длины, которую мы обозначим k. Строки из 4 бит (содержащие 4 цифры) называют шестнадцатеричными цифрами. Всего существует 24 = 16 таких цифр, а строки из 8 бит называются байтами (их 28 = 256 штук).

Кодировка ASCII содержит 256 возможных кодов для выражения различных символов, другими словами, с помощью этих кодов можно закодировать 256 печатных символов. Бит каждого «слова» можно рассматривать как координату, хотя она принимает только значения 0 и 1. Каждое «слово» из k бит представляет собой точку в координатном пространстве размерности k, другими словами, количество размерностей равно длине слов. Например, шестнадцатеричное слово ООН отождествляется с точкой (0, 0, 1, 1) четырехмерного координатного пространства. В этом пространстве можно задать расстояние — способ измерения, насколько далеко друг от друга находятся точки (двоичные «слова») этого геометрического пространства.

Например, так называемое расстояние Хэмминга между двумя словами определяется количеством цифр, которыми эти слова различаются (так, слова ООН и 1011 находятся на расстоянии 1). В этом координатном пространстве мы можем использовать все математические инструменты арифметики, алгебры, анализа и геометрии.

Однако все не так просто, учитывая, что при передаче данных — со спутника или по электронной почте — или при чтении зашифрованных данных (например, на музыкальных компакт-дисках) могут возникнуть ошибки. В этой ситуации у нас имеется две проблемы: возможно, мы не знаем, что полученная информация является ошибочной, а также мы не знаем, какие биты неправильны. Поэтому приходится использовать дополнительные контрольные коды, увеличивая длину слов и, следовательно, размерность координатного пространства.

Пример кода, который помогает обнаружить ошибки, — это испанский налоговый идентификационный номер, содержащий дополнительную букву, которая генерируется с помощью математической формулы. Таким образом, если хотя бы одна цифра номера будет неверной, то буква будет отличаться от нужной, что и поможет выявить ошибку.

Самокорректирующийся код американского инженера Ричарда Уэсли Хэмминга устроен так: к каждому шестнадцатеричному слову с помощью математического алгоритма добавляются еще три бита (например, слово ООП превратится в 0011101). К тому же, этот код способен исправить ошибку в одном из битов слова.

Код Хэмминга очень прост, но существуют и другие, гораздо более сложные коды обнаружения и исправления ошибок. Например, код Рида — Соломона, который используется в компакт-дисках и в телеметрии с гражданских спутников, где применяются 65- и 265-битовые слова соответственно, то есть каждое слово представляет собой точку в координатном пространстве с 65 и 265 измерениями. Таким образом, использование математического аппарата в координатном пространстве оказывается очень полезным, особенно при создании кодов для обнаружения и исправления ошибок.

Поисковая система Google

В настоящее время поисковая система Google стала одним из основных инструментов поиска в интернете, и у нее огромное количество пользователей. Одной из причин такого успеха является ее эффективность, так как для каждого поискового запроса система быстро выдает упорядоченный список результатов, и первые из них, как правило, содержат то, что мы ищем. Способ упорядочивания результатов поиска, то есть присвоения числового рейтинга каждой странице, использует сложную математику — смесь линейной алгебры, теории графов и теории вероятностей.

При разработке поисковых систем, подобных системе Google, приходится решать и математические, и технические задачи. Другими словами, главный вопрос заключается в том, как упорядочить результаты поиска. Можно предположить, что рейтинг определенной веб-страницы зависит от количества других страниц, ссылающихся на нее. Однако существуют страницы, на которые мало ссылок, но которые очень важны для данного поиска. Поэтому такая модель невыгодна для пользователей. К тому же она может быть легко использована веб-сайтами для искусственного повышения рейтинга.

Создатели Google Сергей Брин и Ларри Пейдж разработали алгоритм для определения рейтинга страницы не по количеству ссылок на нее, а пропорционально важности этой страницы для данного поиска. Этот алгоритм требует решения системы алгебраических уравнений. Фактически задача сводится к линейной алгебре, а именно к вычислению собственных векторов и собственных значений некой матрицы. Если обозначить важность веб-страниц в интернете набором чисел (x_1, …., xn), где n — число страниц, существующих в интернете, а хi  — число, означающее важность конкретной веб-страницы i, то задача сводится к поиску в n-мерном пространстве элемента (x_1, …., xn), который является решением некой системы уравнений.

В 2006 г. было подсчитано, что в интернете существует около 600 миллиардов веб-страниц. Это число и соответствует числу измерений рассматриваемого пространства. Такое пространство, безусловно, является многомерным!

* * *

АЛГОРИТМ, КОТОРЫЙ ИЗМЕНИЛ ИНТЕРНЕТ

В 1998 г. два молодых студента-информатика Стэнфордского университета в Калифорнии Ларри Пейдж и Сергей Брин заканчивали исследовательский проекте несколько загадочным названием «Анатомия системы крупномасштабного гипертекстного интернет-поиска». Он содержал первую версию простого и элегантного алгоритма PageRank, используемого для упорядочивания списка

страниц в зависимости от их значимости. PageRank стал основой поисковой системы Google, которая через несколько лет обошла Yahoo, Altavista и многие другие поисковые системы. Поиск в Google даже стал синонимом поиска в интернете (слово «гуглить»» еще не вошло в словари, но активно употребляется в разговорной речи).

Алгоритм PageRank действительно элегантен и прост и может быть записан следующим образом:

где Wj  — рейтинг страницы j; Wi — рейтинг страницы i, которая содержит ссылку на страницу j; число d — коэффициент затухания со значением между 0 и 1, необходимый для сходимости рядов; ni, — число ссылок на странице Wi, на другие страницы; N — общее количество страниц, которые содержат ссылку на страницу j.

Рейтинг любой страницы является суммой рейтингов всех страниц, которые ссылаются на нее, с весовым коэффициентом, зависящим от общего числа ссылок на каждой.

Глава 3. Революция в геометрии XIX века

Геометрические аксиомы не являются экспериментальными данными. Лишь наблюдение физических явлений определяет выбор гипотез среди всех возможных. Тот или иной выбор может быть только более удобным, чем другие возможные.

Поэтому вопрос, какая геометрия истинна — Лобачевского или евклидова, — не имеет смысла. Это все равно что спрашивать, какие координаты вернее — декартовы или полярные.

А. Пуанкаре. О фундаментальных гипотезах геометрии (1887)

Нечасто математические проблемы представляют общий интерес. Однако вопросы четвертого измерения после двух геометрических революций XIX в. глубоко проникли в общество. Они заинтересовали ученых и философов, теологов и медиумов, писателей и художников, музыкантов и поэтов — общественность в целом.

Неевклидовы геометрии

Примерно в 300 г. до н. э. Евклид Александрийский опубликовал свою главную работу «Начала», в которой собрал все геометрические, арифметические и алгебраические сведения, известные в то время. Его труд начинался с изложения элементарных понятий и упорядочения имеющихся знаний; затем Евклид использовал дедуктивный метод и систему доказательств, в которой, среди прочего, важную роль играли более неформальные подходы, такие как интуиция, аналогии и симметрия.

Наряду с Библией «Начала» являются одной из наиболее влиятельных книг всех времен. Они неоднократно копировались, переводились на многие языки, а после изобретения книгопечатания постоянно переиздавались. На протяжении более двух тысячелетий этот труд использовался в качестве учебника и был стандартом математического мышления.

Одним из важнейших достижений Евклида был выбор группы основных постулатов, из которых с помощью аксиом и дедуктивного метода могут быть выведены все другие теоремы. Таким образом, для геометрии на плоскости сначала давались некоторые интуитивно понятные определения: точка, прямая линия, угол и так далее. Затем формулировались аксиомы — очевидные истины, не требующие доказательства. Например, «равные одному и тому же равны и между собой» или «целое больше части». И, наконец, пять постулатов Евклида, которые лежат в основе его геометрии, хотя он их не доказывает:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Пятый постулат в современных терминах формулируется следующим образом: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данную». Очевидно, что эта аксиома не зависит от предыдущих.

К тому же ее формулировка длиннее и содержит в себе условие. Многие математики думали, что пятый постулат можно вывести из предыдущих аксиом, и попытались доказать это. Некоторые из них до конца жизни были уверены, что им удалось сделать это, а другие сомневались даже в том, что его можно считать постулатом.

* * *

ЕВКЛИД АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ

Удивительно, как мало нам известно о жизни автора «Начал»». Его называют Евклид Александрийский, потому что он заведовал музеем в Александрии. Это учреждение наряду с великолепной библиотекой являлось хранилищем всех знаний того времени.

Евклид был скромен и доброжелателен, хотя часто саркастичен. «Нет царского пути к геометрии»», — так ответил он Птолемею, правителю города, когда тот спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели «Начала»». А когда один ученик спросил, какова выгода от геометрии, Евклид приказал дать ему три монеты, «раз он хочет извлекать прибыль из учебы»». Считается, что Евклид также написал труды по широкому кругу других вопросов, таких как оптика, астрономия, геометрия, музыка и дидактика, хотя историки не уверены в том, один и тот же ли Евклид является автором всех этих текстов, приписываемых ему.

* * *

На протяжении более двух тысячелетий многие знаменитые математики бились над проблемой пятого постулата, называемой также задачей о параллелях.

Ключевым моментом в решении этого вопроса стала работа итальянского математика Джироламо Саккери (1667–1733). Вместо того чтобы вывести пятый постулат из предыдущих, он использовал метод от противного. Доказательство основывалось на четырехугольнике с двумя прямыми углами А и D и равными сторонами АВ и CD. Для других равных углов В и С существует три возможности:

1) В = С = 90° (гипотеза прямых углов, или евклидова гипотеза);

2) В = С > 90° (гипотеза тупых углов);

3) В = С < 90° (гипотеза острых углов).

Четырехугольник Саккери с двумя прямыми углами.

Гипотеза тупых углов быстро отбрасывается, о гипотезе острых углов Саккери сказал следующее: «Гипотеза острых углов абсолютно ложна, потому что противна самой природе прямой линии». И Саккери, и немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) получили интересные геометрические результаты, вытекающие именно из гипотезы острых углов.

Лишь в XIX в. Гаусс, Лобачевский и Бойяи окончательно решили эту проблему, хотя немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс не публиковал свои открытия, поскольку они противоречили философским доктринам той эпохи о природе пространства.

Русский математик Николай Иванович Лобачевский был первым, кто обнародовал новую геометрию, отличавшуюся от геометрии Евклида. Лобачевский назвал ее «воображаемой геометрией», и теперь она известна как гиперболическая геометрия. Она соответствует гипотезе острых углов Саккери, по которой через точку вне данной прямой проходит бесконечное количество прямых, параллельных данной.

Лобачевский представил свою работу в 1826 г. на конференции в Казанском университете, где он работал, а затем опубликовал ее в журнале «Казанский вестник» в серии статей под названием «О началах геометрии». Три важнейшие его работы содержат описание новой геометрии: «О началах геометрии» (на русском языке), «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (на немецком языке) и его последняя книга «Пангеометрия» (на русском и французском языках).

Математик-любитель и офицер австро-венгерской армии Янош Бойяи (1802–1860) подошел к задаче с несколько иной точки зрения. Он разработал абсолютную геометрическую теорию, используя только первые четыре постулата, и исследовал, зависят ли полученные геометрические результаты от пятого постулата. Его статья была опубликована в 1832 г. в виде приложения к работе его отца, близкого друга Гаусса, математика Фаркаша Бойяи (1775–1856), который также работал над проблемой о параллелях. Он так написал об этом своему сыну: «Ради бога, молю тебя, оставь эту материю. Страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни…»

* * *

ИММАНУИЛ КАНТ И ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

После эпохи Возрождения образ Бога начал терять свое значение в области математики и науки в целом. Позже, в XVIII в., роль Бога как архитектора мира еще более поблекла. Говорят, что Наполеон упрекал французского математика Пьера Лапласа (1749–1827) в том, что в его главной работе «Небесная механика» тот не упоминал Творца, на что Лаплас ответил: «Сир, я не нуждался в этой гипотезе».

Но тогда философы задались вопросом, а верны ли сами математические законы природы?

Шотландский философ Дэвид Юм (1711–1776) считал, что наше знание о мире является субъективным, поскольку оно получено через наши органы чувств. Другими словами, никто не может гарантировать существование объективного физического мира, и, следовательно, не имеет смысла говорить о его научных законах.

Со своей стороны, Кант в работе «Критика чистого разума» (1781) утверждал, что пространство и время являются формами восприятия и интуиции, на основании которых ум рассматривает реальность. Так как понятие пространства находится в нашем сознании, оно принимает форму определенных истин, которые Кант называл «априорными синтетическими суждениями», являющимися частью наших врожденных умственных способностей. Геометрия просто следует из них. Евклидова геометрия и трехмерное пространство являются частью этих истин априори.

* * *

И сумма углов треугольника, и количество прямых, параллельных данной прямой линии и проходящих через точку вне ее, зависит от типа геометрии: евклидовой, гиперболической или эллиптической.

Сначала работы этих гениев никого не заинтересовали. Труды Лобачевского были в основном на русском языке, а Бойяи опубликовал свою статью в качестве приложения. Математическое сообщество проявило интерес к этой теме только после лекции немецкого математика Бернхарда Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854), которую мы рассмотрим более подробно в следующих главах. Риман был первым математиком, который обратил внимание на возможность существования геометрии, вытекающей из гипотезы тупых углов, так называемой эллиптической геометрии, в которой не существует прямых, параллельных данной прямой и проходящих через точку вне ее. Его идея заключалась в замене гипотезы бесконечного пространства на гипотезу неограниченного пространства. Например, сфера является конечной, но неограниченной.

* * *

НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792–1856)

Отец неевклидовой геометрии был человеком скромным, очень хорошо воспитанным и серьезным, неутомимым работником, который посвятил свою жизнь работе в Казанском университете. После окончания физико-математического факультета родного университета он начал в нем преподавать и вскоре получил должность декана факультета, а затем стал ректором Казанского университета. Этот пост он занимал в течение 19 лет. Параллельно с занятиями математикой он добился исключительных результатов на этой должности. Он улучшал здания университета и строил новые, организовывал работу библиотеки (иногда лично сортируя книги), открыл лабораторию и новую клинику и привлек на работу лучших преподавателей и ученых. Кроме геометрии Лобачевский также интересовался другими областями математики, такими как тригонометрические ряды, теория вероятностей, механика и интегральное исчисление. Наиболее важной негеометрической его работой была «Алгебра, или Вычисление конечных».

Советская марка с портретом Лобачевского.

Рождение многомерной геометрии

В 1822 г. с публикацией работы Гаусса «Исследования относительно кривых поверхностей» появилась новая ветвь геометрии — дифференциальная геометрия, в которой используется дифференциальное и интегральное исчисление для изучения кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Сразу после открытия этого исчисления в работах Ньютона и Лейбница математики стали использовать этот мощный инструмент для анализа кривых, а впоследствии Эйлер и Монж начали применять его также для поверхностей.

Однако даже работа Гаусса не содержит систематического и исчерпывающего исследования поверхностей в трехмерном пространстве. Гаусс заинтересовался поверхностями, когда занимался задачами геодезии и картографии, еще в Ганновере работая над методом триангуляции, а также благодаря своим астрономическим исследованиям. В «Общих исследованиях о кривых поверхностях», изучая поверхности в геометрических пространствах, он открыл новый научный метод. Он первым начал рассматривать поверхности как объекты, которые могут быть описаны двумя координатами и хг называемыми локальными координатами. До Гаусса поверхности считались всего лишь границами твердых тел. В то время как обычная геометрия изучала объекты на плоскости и в пространстве в их целостности, новая дифференциальная геометрия концентрировалась на отдельных локальных свойствах кривых и поверхностей.

Поверхности в пространстве — это геометрические объекты, которые могут быть локально описаны двумя координатами U и V, называемыми локальными координатами. Локальная карта (Т) является телескопом, через который математик наблюдает (получается двумерное изображение) конкретную область изучаемого объекта.

В упомянутой работе Гаусс ввел понятие ориентации поверхности и связанного с ориентацией поля нормальных векторов, содержащего векторы, перпендикулярные к поверхности в каждой ее точке, что стало основным инструментом для измерения кривизны поверхности. Эти инструменты позволили определить два вида кривизны поверхности, известные сегодня как кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н. Гаусс показал, что, вопреки определению, кривизна К зависит только от внутренней геометрии поверхности, доказав основную теорему теории поверхностей, так называемую Theorema Egregium. Он также определил другие основные элементы внутренней геометрии, в частности, геодезические линии как кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности. Им же были получены интересные результаты, следующие из внутренней геометрии, такие как отношение между углами геодезического треугольника и его кривизной.

Формула показывает, что разность между 180° (или π радиан) и суммой углов геодезического треугольника зависит от кривизны Гаусса.

Если взять полоску бумаги и соединить ее два конца, то получится лента с двумя поверхностями — внешней и внутренней, то есть двухсторонняя. Но если мы развернем один конец бумаги при склеивании, то получится лист Мёбиуса, который является односторонней поверхностью. Чтобы проверить это, достаточно провести карандашом линию по ленте и убедиться, что линия вернется в начало, пройдя по всей ленте. Эта лента имеет только одну сторону.

* * *

ИОГАНН КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855)

Гаусс, несомненно, один из самых выдающихся математиков всех времен. Еще ребенком он показал исключительный талант к математике, поэтому, несмотря на скромное происхождение юного гения, его обучение было профинансировано герцогом Вильгельмом Фердинандом. Так, в 1795 г. Гаусс начал изучать математику в университете Гёттингена. В возрасте 19 лет он решил одну из классических задач геометрии, показав, что правильный 17-сторонний многоугольник можно построить с помощью линейки и циркуля. Это была первая запись в его знаменитом научном дневнике, в который он заносил короткие заметки о своих самых важных открытиях. В 21 год он написал свой важнейший труд «Арифметические исследования». Гаусс стал известен всей Европе, когда с помощью вычислений определил орбиту астероида Цереры, используя свой метод наименьших квадратов. В 1807 г. он возглавил кафедру астрономии в Гёттингенском университете и был назначен директором обсерватории. Он сделал открытия во многих областях математики, в том числе в алгебре, теории чисел, дифференциальной геометрии, неевклидовой геометрии, математическом анализе, геодезии, астрономии, теории ошибок, а также в области физики, магнетизма, оптики и электричества. После его смерти король Ганновера Георг V назвал его принцем математики и распорядился выпустить памятную медаль в честь Гаусса.

Карикатура на Гаусса авторства Энрике Моренте.

Внутренние и внешние геометрии

В чем различие между внутренней и внешней геометрией поверхности? Внутренняя геометрия — это геометрия самой поверхности, которую могли бы описать существа, живущие на этой поверхности. Гаусс в письмах к своим коллегам упоминал гипотетическую моль, живущую в двумерном пространстве. Theorema Egregium, основная теорема теории поверхностей, утверждает, что гауссова кривизна определяется геометрией, которая присуща самой поверхности. Эта величина характеризует внутреннюю кривизну поверхности. Внешняя же геометрия отражает связь между поверхностью и внешним трехмерным пространством и определяет среднюю кривизну линий на поверхности.

Локально внутренние геометрии плоскости и цилиндра одинаковы, так как обе имеют гауссову кривизну, равную нулю. Если взять лист бумаги и соединить два противоположных конца, то получится цилиндр. Этот небольшой эксперимент изменяет геометрию (метрику) поверхности. Обе поверхности внутренне плоские, и существа, живущие на них, не смогли бы отличить одну от другой, если бы они не могли посмотреть на них снаружи. Вместе с этим в трехмерном пространстве плоскость не искривлена (ее средняя кривизна равна нулю), а цилиндр, средняя кривизна которого является положительным постоянным числом, искривлен.

Плоскость (К = 0, Н = 0); цилиндр радиуса r (К = 0, Н = 1/r > 0); сфера радиуса r(К = Н = 1/r^2 > 0).

Заметим, что внутренняя геометрия сферы, гауссова кривизна которой постоянна и положительна, отличается от внутренней геометрии плоскости. Вот почему жители сферы могут понять, что они живут на искривленной поверхности, не выходя за ее пределы. Это можно сделать, проверив, что сумма углов геодезического треугольника больше 180°. Гаусс пытался доказать это для поверхности Земли, но погрешность его измерений была слишком велика. Важным следствием этого является невозможность построения правильных карт поверхности Земли, сохраняющих геометрию (расстояния, кратчайшие пути, площади и направления). Более того, для большинства поверхностей значение гауссовой кривизны варьируется от точки к точке.

Примером может служить поверхность тора (или бублика), которая имеет точки с положительной, отрицательной и нулевой гауссовой кривизной (внешние, внутренние и граничные точки поверхности тора соответственно).

Точки поверхности тора выделены разным цветом в зависимости от кривизны — положительной, нулевой или отрицательной.

* * *

МОДЕЛИ ГЕОМЕТРИЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

Чтобы построить модель неевклидовой геометрии, надо представить пространство в виде поверхности, а геодезические линии на ней (кратчайшие расстояния между двумя точками) назвать прямыми линиями. Дифференциальная геометрия помогает определить, на каких поверхностях справедливы постулаты Евклида. Такие поверхности должны быть геодезически полными (геодезические линии неограниченны), чтобы выполнялись постулаты 1 и 2, и иметь постоянную гауссову кривизну К для выполнения постулатов 3 и 4. Таким образом, если К = 0, то справедлива евклидова геометрия на плоскости. Если К > 0, то мы имеем модель эллиптической геометрии (например, на сфере) с гипотезой тупых углов. В этом случае первый постулат не выполняется, так как через диаметрально противоположные точки проходит бесконечное количество геодезических линий. Диаметрально противоположные точки сферы можно отождествить, но тогда получится абстрактная поверхность вне трехмерного евклидова пространства. Если К < 0, то мы имеем модель гиперболической геометрии (псевдосферу) с гипотезой острых углов. Эта модель тоже не является геодезически полной, и, следовательно, ее тоже приходится обобщать до абстрактной поверхности вне трехмерного евклидова пространства.

Вклад Римана

В любом случае революция, начатая Гауссом, проходила в трехмерном евклидовом пространстве. Многомерные случаи были еще впереди, а пока обычная аналитическая геометрия занималась изучением координатных пространств первых трех измерений (на прямой, на плоскости и в трехмерном пространстве). Как мы уже говорили, признать существование высших измерений было нелегкой задачей для ученых и философов. Однако в середине XIX в. многомерные пространства появились как естественное продолжение аналитической геометрии. Одной из двух важных работ, связанных с этим, была статья «Главы из аналитической геометрии п измерений» английского математика Артура Кэли (1821–1895). Второй базисной работой стали «Лекции о линейном расширении» немецкого математика и философа Германа Грассмана (1809–1877).

Потом появился доклад Римана, представленный в Гёттингенском университете, «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Он содержал великие геометрические идеи:

1. Понятие n-мерного геометрического пространства (называемого дифференцируемым многообразием), обобщающее понятие поверхности, данное Гауссом.

2. Понятие метрического тензора, обобщающее понятие расстояния, и изучение метрических отношений на дифференцируемых многообразиях (рождение геометрии Римана).

3. Обобщение понятия кривизны и других элементов внутренней геометрии поверхности на римановы n-мерные многообразия.

Понятие n-мерного дифференцируемого многообразия включает в себя тот факт, что локально его можно определить с помощью n локальных координат x_1, …, xn, а также законов их преобразований. Геометрическое пространство (дифференцируемое многообразие) необязательно связано с реальным пространством, но может быть любым объектом, в котором выполняются общие условия, заданные определением.

Более того, Риман отказался от обычного математического и философского подхода, согласно которому понятие пространства подразумевает расстояние, заданное как обычное евклидово расстояние. Этим он разделил понятия пространства (п-мерного дифференцируемого многообразия) и расстояния, называемого метрическим тензором Римана. Таким образом, в одном и том же пространстве могут существовать три расстояния, с которыми, конечно, связаны различные значения кривизны. Поэтому геометрия Римана является неевклидовой геометрией в гораздо более общем смысле, чем разработанная Лобачевским и Бойяи, так как она подразумевает большее количество измерений и ее кривизна может принимать разные значения в разных точках.

Риман также глубоко интересовался проблемами физики и попытался объединить физические силы природы — гравитационные, электрические и магнитные.

По его мнению, силы притяжения являются следствием геометрии пространства и его кривизны. Он надеялся, что введенная им новая геометрия позволит обобщить силы природы.

Его идеи являются фундаментальными для физики XX в. В частности, они заложили основы теории относительности. В 1905 г. немецкий физик Альберт Эйнштейн (1879–1955) вместе с нидерландским физиком и математиком Хендриком Лоренцем (1853–1928) и французским математиком Анри Пуанкаре (1854–1912) представил специальную теорию относительности. Вскоре после этого немецкий математик Герман Минковский (1864–1909) связал четырехмерное многообразие Римана, пространство-время, с пространственным метрическим тензором Римана, который содержал скорость света. Именно на основе этого пространства в 1916 г. была разработана общая теория относительности Эйнштейна.

* * *

БЕРНХАРД РИМАН (1826–1866)

Риман за свою короткую жизнь опубликовал всего несколько работ, зато они были исключительно высокого достоинства, так как в них он решил некоторые из наиболее сложных математических проблем. Также он ввел новые понятия и методы и кардинально изменил представление о пространстве. Он был застенчивым человеком и избегал публичных выступлений, а из-за слабого здоровья страдал частыми нервными срывами.

Детство его было скромным, что неудивительно: он был сыном пастуха, но это не помешало проявлению фантастических способностей к вычислениям и особого математического таланта. Еще в школе юный Бернхард прочитал книгу Лежандра по теории чисел, поглощая 900 страниц в неделю.

Начав учиться на факультете теологии и философии, Риман вскоре увлекся математикой, поэтому отправился изучать ее в Берлинский университет. Там он начал развивать свои идеи по теории функций комплексного переменного, написав по этой теме докторскую диссертацию под руководством Гаусса в Гёттингенском университете. В 1859 г. Риман опубликовал свою единственную работу по простым числам. Этой областью он увлекался в течение многих лет, сформулировав одну из самых известных в математике гипотез.

Карикатура на Римана авторства Херардо Басабе.

От научных кулуаров до кофейни

Красивые идеи, представленные в диссертации Римана, вскоре распространились по всем образовательным и научно-исследовательским учреждениям Европы. Многомерная дифференциальная геометрия наряду с неевклидовыми геометриями начала набирать популярность в математических и научных кругах. Исследования продолжались. В области неевклидовых геометрий строились новые модели пространств, а также предпринимались попытки сделать геометрии более последовательными, чтобы они не содержали логических противоречий. В дифференциальной геометрии здание, заложенное Риманом, продолжили строить такие известные итальянские математики, как Эудженио Бельтрами (1835–1900), Грегорио РиччиКурбастро (1853–1925) и Туллио Леви-Чивита (1873–1941), а также немецкий математик Элвин Бруно Кристоффель (1829–1900). Ученые того времени пытались применять элегантную теорию Римана, и хотя сначала это было нелегко (например, необходимо было дальнейшее развитие физики), наука XX в. показала истинное значение этой новой области геометрии.

В то же время математики и ученые начали распространять информацию о неевклидовых геометриях и геометрии Римана в академических кругах, проводя конференции, публикуя статьи в научных журналах и книгах, и мало-помалу эти идеи стали доступны широкой публике.

Одним из самых активных популяризаторов четвертого измерения был немецкий математик Герман фон Гельмгольц (1821–1894). Его статьи публиковались в Германии, Франции, Англии и США в 1860—1870-х гг.

Гельмгольц, как и некоторые из его современников, также использовал образ двумерных существ, живущих на сфере и на других поверхностях. Эти существа имеют свою собственную геометрию, отличную от евклидовой; в их геометрии, например, сумма внутренних углов треугольника не будет равна 180°. По поводу четвертого измерения Гельмгольц писал в своей работе «Популярные лекции о науке» (1881), что нам не удастся его вообразить, и приводил сравнение с человеком, который родился слепым и не может представить себе цвета.

Немецкий физик Герман фон Гельмгольц написал много работ по неевклидовой геометрии и о гипотетических многомерных мирах. Его идеи стали популярны среди широкой общественности во всем мире.

В то время как одни ученые работали над серьезными вопросами, другие решали более приземленные проблемы: как двумерные существа питаются, как устроен их кишечно-желудочный тракт, как они передвигаются, как выглядят их глаза, как устроено их зрение — эти и другие подобные вопросы, конечно, были более интересны широкой публике. В те времена выражение «четвертое измерение» стало синонимом любого многомерного пространства и понятия неевклидовой и многомерной геометрий часто отождествлялись.

Масштабы геометрической революции привели к тому, что эти вопросы стали темой наиболее важных научных и философских дискуссий конца XIX — начала XX в. Важнейшими среди них были вопросы о научной истине, связях между наукой и реальностью, о возможности существования пространств высших измерений, о структуре, функции и значении математики. Понятие пространства также подвергалось переосмыслению, и прежде всего был поставлен такой вопрос: наше пространство евклидово или неевклидово? Другими словами, какова форма нашего пространства?

Популяризация четвертого измерения также имела удивительные, даже магические аспекты, как мы увидим в четвертой главе. Оно означало существование сверхсуществ, всемогущих и вездесущих, умеющих проходить через стены и обладающих другими впечатляющими способностями. Это неизбежно привело к тому, что многомерные пространства стали вопросом религии и даже веры. Четырехмерное пространство можно рассматривать как свидетельство существования Бога или сверхъестественных существ. Например, христианские мыслители предполагали, что Бог и бессмертие могут быть связаны с нашим трехмерным миром через четвертое измерение.

Особенно широко вопросы четвертого измерения освещались в 1877 г. во время скандального судебного процесса, состоявшегося в Лондоне, о котором писала как британская, так и международная пресса. Генри Слейд, знаменитый американский медиум, предстал перед судом за мошенничество во время проведения спиритических сеансов с участием важных представителей лондонского общества. Скандал разразился, когда выдающиеся ученые всего мира, в том числе будущие лауреаты Нобелевской премии, выступили в его защиту, утверждая, что сеансы Слейда доказывают, что духи — это на самом деле существа из четвертого измерения. Несмотря на приговор, вынесенный Слейду, Иоганн Карл Фридрих Цёлльнер (1834–1882), профессор физики и астрономии Лейпцигского университета, провел серию экспериментов, чтобы продемонстрировать существование духов. Об этом мы подробнее расскажем в пятой главе. Этот скандал сделал многомерные пространства (правда, совершенно антинаучный их вариант) главной темой разговоров в Великобритании и во всем мире.

Генри Слейд был одним из самых знаменитых медиумов XIX в., и когда его спиритические сеансы были объявлены мошенническими, некоторые представители научного сообщества встали на его защиту.

Другим популярным аспектом четвертого измерения стали попытки визуализации различных четырехмерных объектов.

Одной из первых научных работ по этой проблеме была статья американского математика Вашингтона Ирвинга Стрингхема (1847–1909) «Правильные фигуры в n-мерном пространстве» (1880). В частности, попытка визуализировать гиперкуб, четырехмерный аналог трехмерного куба, стала синонимом визуализации четвертого измерения. Чарльз Хинтон, как и многие другие ученые (Пуанкаре например), посвятил этой задаче много времени, — он был убежден, что четвертое измерение можно визуализировать. Хинтон был главным представителем теории, известной как философия гиперпространства, занимающейся вопросами многомерных пространств и их взаимодействий с другими объектами.

На следующей странице приведен рисунок из названной статьи. Первые три изображения в левой части рисунка — «фасады» фигур, которые можно назвать гипертетраэдром, гиперкубом и гиперикосаэдром, — аналогов тетраэдра, куба и икосаэдра в четвертом измерении. В случае гипертетраэдра в каждой его вершине сходятся четыре тетраэдра, как и в трехмерном тетраэдре в каждой вершине сходятся три треугольника. В случае гиперкуба в каждой его вершине сходятся четыре куба таким же образом, как и в трехмерном кубе в каждой вершине сходятся три квадрата. Во втором ряду — проекции этих трех четырехмерных фигур на плоскость.

Четвертое измерение стало излюбленной темой некоторых писателей той эпохи.

После всеобщего разочарования в материализме и позитивизме многомерные пространства и неевклидовы геометрии внесли значительный вклад в развитие различных культурных феноменов.

В мире искусства это позволило кубистам отказаться от метода перспективы эпохи Возрождения, и они начали изображать объекты с разных точек зрения одновременно. Аналогично музыканты, дизайнеры, архитекторы и художники начали говорить о новом языке искусства и приближении к высшей реальности. Четвертое измерение проникло во все социальные и культурные сферы и стало обычной темой разговоров в кафе, расположившись где-то между привычными сплетнями и политическими спорами.

Рисунок из статьи «Правильные фигуры в n-мерном пространстве» Вашингтона Ирвинга Стрингхема, опубликованной в American Journal of Mathematics в 1880 г.

Глава 4. Магия четвертого измерения

Душа моя — зеркальный узел,

Завязанный водоворотом мыслей

Разума в обители незримой,

Где ты как каторжник сидишь,

Гвоздем его пытаешься распутать,

Но узел остается неизменным,

Ведь инструменты для его развязки

В четвертом измерении лежат.

Джеймс Клерк Максвелл. Парадоксальная ода (1878)

Почему вопросы четвертого измерения привлекают внимание не только ученых, но и всего общества? Возможно, всех нас манит неизвестное, таинственное — одним словом, то, что мы не можем даже вообразить. Кроме того, для некоторых людей другие измерения могут служить способом ухода от действительности, от проблем социума, в котором они живут (вспомним, например, тяжелые условия жизни во времена викторианской Англии), или просто от личных неприятностей. Но прежде всего четвертое измерение представляет собой новую неизученную вселенную со всеми вытекающими отсюда возможностями развития науки, философии, религии и искусства.

Широкую публику четвертое измерение привлекало в основном своей связью с верой и религией, особенно тех, кто интересовался спиритуализмом. Мы расскажем об этом подробнее в пятой главе. Однако были и другие удивительные и, возможно, даже магические аспекты четвертого измерения, которые возбуждали воображение людей. О них речь пойдет в этой главе.

Взгляд из четвертого измерения

Представьте себе, что наша трехмерная вселенная является частью четырехмерного гиперпространства. Тогда такое гиперпространство можно разделить на две части, которые Чарльз Хинтон называл ана и ката. Точка нулевой размерности делит прямую на две полупрямые — «правую» и «левую». Прямая линия делит плоскость на две полуплоскости — «ближнюю» и «дальнюю». Плоскость делит пространство на два полупространства, которые мы можем назвать верхним и нижним, хотя, как и в других случаях, это просто вопрос выбора. В общем случае n-мерное гиперпространство будет делить (n + 1) — мерное гиперпространство на два полугиперпространства.

Точка нулевой размерности делит одномерную прямую на два отрезка, левый и правый. Прямая линия делит двумерную плоскость на две области, ближнюю и дальнюю. Плоскость делит трехмерное пространство на два полупространства, верхнее и нижнее. Аналогично трехмерное пространство будет делить четырехмерное гиперпространство на две отдельные области, ана и ката.

Некоторые христиане, интересовавшиеся четвертым измерением, увидели в этой теории способ определения местонахождения ада и рая. Рай, Бог и его ангелы находятся с одной стороны нашей видимой вселенной, например в ана, в то время как ад, дьявол и его демоны обитают в ката. Иными словами, ангелы и демоны разделены нашим земным миром.

* * *

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ВСЕЛЕННЫЕ

Мы можем предположить, что наша вселенная не единственная в гиперпространстве и что существуют другие параллельные вселенные. В простейшем случае две параллельные вселенные — физический мир и астральный. Затем христианская версия трех параллельных вселенных — рай, ад и земной мир. И, наконец, бесчисленное количество параллельных вселенных, содержащих всевозможные варианты нашего мира. Например, в одном из них математик пишет книгу о четвертом измерении, а в другом мире тот же человек решил заняться философией и немецким языком, тогда как в третьем мире этого человека просто не существует, потому что у его родителей не было детей. Можно даже найти вселенную, в которой люди имеют крылья.

Параллельные вселенные: две вселенные (наш мир и астральный), три вселенные (земной мир, ад и рай), бесконечное количество вселенных.

Также могут существовать перпендикулярные вселенные, пересечением которых — так называемым порталом — будет плоскость. Другая возможность — наша вселенная искривлена в гиперпространстве и даже пересекает сама себя, образуя пространственные туннели, соединяющие две отдаленные точки.

Две вселенные в четырехмерном пространстве могут быть перпендикулярны, образуя тем самым портал, связывающий их. Более того, вселенная не обязана быть плоской, она может быть искривлена в гиперпространстве и даже пересекать саму себя, образуя туннели, через которые можно путешествовать из одного конца вселенной в другой в мгновение ока.

* * *

В таком случае возникает вопрос: как существо из четвертого измерения, например ангел, находящийся в ана, может предстать перед нами, существами трехмерного пространства? Для ответа на этот вопрос можно использовать трехмерные аналогии, описанные Эбботтом во «Флатландии» в эпизоде, когда Сфера появилась перед Квадратом. На рисунке ниже показано, что Сфера, глядя из Спейсландии, видит Квадрат одновременно и снаружи, и изнутри, как и все дома Флатландии: она видит не только их периметр, но и всех их обитателей.

Глядя на Флатландию из Спейсландии, мы одновременно видим Квадрат у порога его дома и всю его семью внутри дома. Мы также видим сам Квадрат и его внутренности.

Как мы уже рассказывали в первой главе, когда флатландец смотрит на Квадрат или на любого другого жителя Флатландии, он видит только часть его внешнего периметра, а именно отрезок, и в некотором смысле глубину как результат действия тумана. Однако когда Сфера смотрит на Квадрат, она видит полный периметр — все его четыре стороны — а также его внутренности: желудок, кишечник, сердце и легкие. Если положить на стол монету и посмотреть на нее, находясь на уровне поверхности стола, мы сможем представить, как видят жреца жители Флатландии.

Однако если мы посмотрим на монету сверху, мы увидим не только ее окружность, но и изображение на ней.

Аналогично в нашем мире, когда мы смотрим друг на друга, мы видим одну сторону нашей внешней поверхности — плоское изображение с некоторой глубиной за счет эффекта перспективы. Объемное изображение получается благодаря расположению наших глаз (люди с одним глазом не видят объемных изображений).

Но как видят нас гиперсущества? В соответствии с описанной выше аналогией можно сказать, что они будут видеть всю нашу поверхность одновременно (грудь, спину, ноги, голову и другие части тела), а также все наши внутренности (сердце, легкие, печень, вены, кости и прочее). И все это с одного взгляда. Врач из четвертого измерения одним взглядом произведет медицинский осмотр и узнает, например, есть ли у нас проблемы с сердцем, камни в почках или трещины в костях, без хирургических операций и даже без рентгенографии или ультразвука.

Как такое возможно, что гиперсущество может увидеть нас и изнутри, и снаружи одновременно? Сетчатка глаза человека похожа на двумерный диск, с которым связаны окончания зрительных нервов. Они несут в мозг информацию от наших сферических глаз. Когда мы смотрим на Квадрат, живущий во Флатландии, каждая его точка соединяется в трехмерном пространстве лучом света с точкой на нашей сетчатке, в результате чего мы видим изображение квадрата, как будто Квадрат, уменьшившись, перенесся через пространство и попал в наш глаз.

* * *

ЖЕЛУДОК ДВУМЕРНОГО СУЩЕСТВА

Не всегда аналогии в различных измерениях настолько прямолинейны. Рассмотрим, например, пищеварительную систему двумерного существа. Если предположить, что это всего лишь двумерная версия нашего пищеварительного тракта, то возникает проблема: житель Флатландии будет разделен на две части. Очевидно, что так он выжить не сможет. В конце XIX в. пищеварительная система двумерных существ вызывала большой интерес и даже споры. Одним из возможных решений этой проблемы является такая форма пищеварительного тракта, когда он закрывается и открывается по мере прохождения пищи: своего рода застежка-молния, которая не дает двумерному существу распасться надвое.

Пищеварительный тракт Квадрата делит его пополам. Чтобы Квадрат не распался на две половины, его кишечник может иметь форму канала с воротами, которые открываются и закрываются.

* * *

Аналогичным образом сетчатка гиперсущества может быть трехмерной сферой с нервными окончаниями (сам глаз будет гиперсферой). Когда гиперсущество смотрит на нас, оно видит полный образ всего нашего тела, так как каждая точка нашего тела и снаружи, и внутри будет соединена с точкой на сетчатке гиперсущества лучом света, проходящим через ана и ката. Это походит на то, как если бы наша уменьшенная копия была перенесена лучами света на сетчатку гиперсущества. Дополнительное измерение необходимо, чтобы лучи света соединили каждую точку нашего тела с точкой на сетчатке.

В романе Эбботта Квадрат рассказывает, что он смог воспринять трехмерное пространство, лишь когда Сфера вынесла его из Флатландии и дала ему возможность посмотреть на его двумерный мир из Спейсландии. В этом эпизоде предполагается, что зрение Квадрата в трехмерном пространстве работало так же, как и у Сферы. Но давайте разберем эту ситуацию подробнее. Сетчатка глаза Квадрата представляет собой отрезок прямой с нервными окончаниями. Когда он смотрит на Флатландию, он видит лишь сечение своей страны плоскостью, в которой он находится в трехмерном пространстве. Точнее, несколько сечений по мере того, как Сфера перемещала его. Другими словами, его глаз работал бы как сканер, создавая серию сечений Флатландии, что с литературной точки зрения выглядит не так увлекательно и не совсем подходит для целей сюжета.

Квадрат, смотрящий на Флатландию из Спейсландии. В романе Эбботта Квадрат видит свой мир также, как Сфера, хотя его двумерный глаз на это не способен.

Аналогично если бы ангел из четвертого измерения взял нас в рай, то, глядя на наш мир из ана, мы бы увидели лишь двумерные сечения нашей вселенной, полученные пересечением нашего трехмерного пространства с тем трехмерным пространством, в котором наше тело будет находиться в четвертом измерении.

Великолепный вид

Еще одним интересным вопросом является обратная ситуация: как выглядит для нас гиперсущество из четвертого измерения, которое посетило наше пространство? Те, кто считает духов существами из четвертого измерения, думают, что, когда мы встретим некоторых из них, они будут выглядеть похожими на нас. Однако «на самом деле» это может быть совсем не так.

В книге Эбботта, когда Сфера пересекает Флатландию, Квадрат видит плоские сечения пришельца. Для него Сфера похожа на двумерное существо, в частности на жреца. Но что увидели бы жители этой двумерной вселенной, если бы ее посетил человек? Например, на рисунке из рассказа Руди Рукера «Послание, найденное во Флатландии» (1983) показано, как главный герой провалился сквозь Флатландию, которая удивительным образом оказалась расположена в подвале одного из пакистанских ресторанов. Флатландцы увидели плоские сечения человеческого тела: различные фигуры и кольца, образованные тканями кожи, волос и одежды.

Понятно, что вместо пальцев руки они бы увидели пять маленьких дисков с кожей и волосами на их окружностях, а вокруг диска тела — большие окружности тканей одежды.

Человек, провалившийся сквозь Флатландию. Ее житель Квадрат увидел бы лишь быстро меняющиеся темные области.

Гиперсущество, пересекая нашу трехмерную вселенную, будет выглядеть похожим образом. То есть, принимая во внимание дополнительное измерение, мы увидим ряд деформированных тел разных размеров. Некоторые из них будут окружены кожей и волосами, другие — тканью и частями плоти. Эти тела будут являться пересечением гиперсущества и нашей вселенной. Разве это не ужасное зрелище? Конечно, нужно признать, что мы не знаем, какую форму имеют гиперсущества, поэтому мы можем позволить себе представить их похожими на нас, но с дополнительным измерением.

* * *

КАК ПОЙМАТЬ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ СУЩЕСТВО

Если бы жители Флатландии захотели поймать человека, увидев его в своей двумерной вселенной, они могли бы захватить с помощью лассо или железных наручников одно из сечений человеческого тела. Человек смог бы убежать «вверх», если бы этой частью оказалось сечение пальца, но не запястья или лодыжки.

Главный герой романа «Монстр из ниоткуда» (1974) Нельсона Бонда во время путешествия в Перу обнаруживает четырехмерное существо и прибегает к аналогичному способу поимки. Он спрятал одно из сферических сечений существа в сумку, пригвоздив ее для надежности копьем, и таким образом не дал чудовищу убежать из нашей вселенной.

Ограбление века

Если четвертое измерение существует и если бы некоторые люди имели возможность свободно переходить из нашего мира в ана или ката и путешествовать там, они считались бы в нашем мире своего рода богами, так как в определенном смысле они были бы вездесущими, всемогущими и способными творить чудеса. Они могли бы проходить сквозь стены, как привидения в замках, могли бы легко убежать из любой тюрьмы, несмотря на решетки и охрану, они могли бы ограбить любой банк, входя и выходя из здания, не открывая дверей. Они могли бы видеть сквозь стены без рентгена, незаметно следить за любым человеком, пить напитки, не открывая бутылку, есть апельсин, не очищая его, читать письма в запечатанных конвертах и делать многое другое, используя для этого четвертое измерение.

Чтобы понять, как такие трюки возможны, мы вновь обратимся к двумерной аналогии с Флатландией. На что похожа тюрьма, где был заперт Квадрат? Тюрьма могла бы быть тоже квадратной, окружая пленника со всех сторон. Однако наш герой мог бы убежать через третье измерение, если бы он имел такую способность, или, например, с помощью своих друзей из Спейсландии. Побег представлял бы собой всего-навсего перемещение «вверх» из Флатландии, затем движение в третьем измерении и возвращение «вниз» в свой собственный мир, но только за пределами тюрьмы.

Кроме того, Квадрат мог бы шпионить из Спейсландии за своими тюремщиками, оставаясь незамеченным. Если бы он захотел пить, никто не смог бы помешать ему опуститься в соседний дом, не открывая дверей, через третье измерение. И если бы Квадрат захотел (хотя мы знаем, что он был честным существом), он мог бы украсть драгоценности из дома жреца опять же через третье измерение, и никто бы его не увидел. А если бы жрец неожиданно вернулся, Квадрату пришлось бы просто подняться вверх, чтобы остаться незамеченным.

А если внук Квадрата Шестиугольник вдруг подавился бы конфетой, его дедушка легко смог бы спасти ему жизнь, поднявшись в третье измерение и вынув конфету из горла внука. Аналогично врач в четвертом измерении легко сделал бы нам операцию без хирургического вмешательства.

Таким же образом, хотя это и кажется удивительным, можно через четвертое измерение разнять два сцепленных металлических кольца или развязать узел, как в стихотворении Максвелла, послужившем эпиграфом к этой главе.

В нашем пространстве невозможно разнять металлические кольца или развязать трилистный узел, хотя из четвертого измерения сделать это очень просто.

Симметрия: Алиса в Зазеркалье

Вот замечательная идея для сюжета рассказа. Человек, который может перемещаться в четвертом измерении, решает ограбить банк и таким образом совершает идеальное преступление. Убегая через гиперпространство, он роняет несколько банкнот, и они остаются в нашем мире, где их находит детектив, расследующий это дело. В изумлении детектив замечает, что изображение на банкнотах зеркально перевернуто. Детектив пытается понять, что случилось с банкнотами и как это связано с ограблением банка.

Зеркально перевернутые изображения на банкноте, после того как она побывала в четвертом измерении.

Итак, как можно определить, что человек побывал в четвертом измерении или что флатландец путешествовал в Спейсландию?

Вернемся еще раз к примеру с Флатландией. Если мы повернем Квадрат вокруг одной из его осей симметрии, как показано на рисунке ниже, то есть поднимем его из плоскости и развернем в третьем измерении, то мы получим его зеркальный образ.

Мы можем провести этот эксперимент, подняв со стола вырезанный из бумаги квадрат, повернув его в пространстве и снова возвратив в его плоскую вселенную.

Предположим, голова всех жителей Флатландии, в том числе и Квадрата, находится с северной стороны, их глаза и рот — с восточной стороны тела, а легкие — с западной. Если мы повернем Квадрат в пространстве, то мы получим его зеркальное изображение. Глаза и рот будут с западной стороны, а легкие — с восточной.

Другие жители Флатландии, встретив такой Квадрат, сразу поймут, что он побывал в третьем измерении.

Квадрат, повернутый в третьем измерении. В результате получилось его зеркальное изображение.

Теперь предположим, что в четырехмерном пространстве поворачивают человека вокруг плоскости, которая пересекает его сверху вниз (заметим, что вращение происходит вокруг плоскости, а не вокруг прямой линии). В результате человек останется самим собой, но зеркально отображенным. То, что было слева, например сердце, теперь будет справа. В самом деле, если трехмерное тело вращается в четвертом измерении, оно меняет ориентацию. Например, раковина улитки, закрученная по часовой стрелке, теперь будет закручена в противоположном направлении. То же самое произойдет с правосторонним объектом, который превратится в левосторонний.

Раковина улитки после ее путешествия через четвертое измерение.

Когда мы смотрим в зеркало, мы видим образ того «человека», который бы вернулся в наш мир после поворота в четвертом измерении. Если мы поднимаем правую руку, наш образ в зеркале поднимает левую.

А существует ли зеркало, которое показывает наше настоящее, а не зеркальное изображение? Да, если мы поместим два зеркала под углом друг к другу, отражение первого отражения и будет истинным представлением нашей внешности. Это изображение будет таким, как если бы мы повернулись вокруг линии пересечения зеркал. Если мы поднимем правую руку, то наше второе отражение в зеркале также поднимет правую руку, что мы не привыкли видеть в зеркалах.

* * *

И СНОВА ЛЕНТА МЁБИУСА

Если бы вселенная, в которой живет Квадрат и другие жители Флатландии, имела форму ленты Мёбиуса, то есть была бы односторонней поверхностью, то Квадрат мог бы встретиться со своим зеркальным отражением, что невозможно в плоской и в любой другой вселенной. Аналогичную ситуацию можно представить и в других измерениях, в том числе и в нашей трехмерной вселенной.

Квадрат и его зеркальное изображение встретились на ленте Мёбиуса.

Чарльз Хинтон и философия четвертого измерения

Математик Чарльз Хинтон был одним из тех, кто много сделал для популяризации четвертого измерения. Он интересовался различными областями: математикой и физикой, философией и религией, а также визуализацией четырехмерного пространства, в частности гиперкуба. Он также публиковал работы и на другие интересные темы.

Чарльз Хинтон родился в Лондоне в 1853 г. Он изучал математику в Оксфорде, который окончил в 1877 г., а степень магистра получил там же в 1886 г. Затем он начал работать учителем естественных наук в школе Аппингем.

С раннего возраста Хинтон интересовался проблемой визуализации. В Оксфорде он получил приличные математические знания, но ему их было недостаточно. В то время он начал работать с кубическим ярдом (91,5 см3), состоящим из 36 х 36 х 36 = 46 656 кубиков, каждый из которых имел соответствующее название на латинском языке, например Collis Nebula. Когда Хинтон хотел визуализировать четырехмерный объект, он мысленно как бы развертывал его и помещал внутри куба.

После этого он мог изучать структуру объекта, анализируя кубики, которые составляли его трехмерную развертку. Хинтон также разработал систему для уменьшения количества деталей, которые нужно было запомнить. Эта на первый взгляд абсурдная идея материализовалась в своего рода конвертер — преобразователь четырехмерных объектов в трехмерные — и стала еще одним шагом к пониманию четвертого измерения. Куб Хинтона являлся неким четырехмерным глазом, который вдохновил его на изобретение знаменитых цветных кубиков.

* * *

ДЖЕЙМС ХИНТОН

Молодой Чарльз Хинтон находился под сильным влиянием группы интеллектуалов с прогрессивными социальными и политическими взглядами. Среди них были врач-сексолог Хэвлок Эллис, основатель математической логики Джордж Буль и его жена, математик Мария Эверест Буль. Однако наиболее радикальным из них был отец Чарльза Джеймс Хинтон, работавший хирургом, прежде чем стать известным писателем и философом. Из-под его пера вышло несколько книг, как по медицине (Джеймс Хинотон считался лучшим хирургом-отоларингологом своего времени), так и по социальной философии.

* * *

Цветные кубики Хинтона представляют собой сложный набор из 12 кубиков с цветными гранями, ребрами и вершинами, которые, согласно Хинтону, дают возможность визуализировать гиперкуб. Каждый цвет имеет латинское название и соответствует 81 части гиперкуба: 16 вершинам, 32 углам, 24 граням, 8 гиперграням и 1 гиперкубу. Кубики Хинтона пользовались большим успехом. О них писали в женских журналах и даже использовали во время спиритических сеансов. Они были почти мистическими символами, потому что, как утверждалось, с их помощью можно было видеть призраков и умерших родственников в четвертом измерении.

Интерес Хинтона к четвертому измерению продолжал расти, и в 1880 г. он опубликовал статью «Что такое четвертое измерение» в журнале Дублинского университета, которая была переиздана в 1883 г. в журнале колледжа Челтенхем. В следующем году появился памфлет «Что такое призраки», опубликованный компанией Swan Sonnenschein & Со., которая выпустила девять памфлетов, очерков и научно-фантастических рассказов о четвертом измерении. Позже они были собраны вместе под названием «Научные романсы». Среди них был рассказ «Плоский мир» (1884) с идеей, аналогичной «Флатландии» Эбботта, хотя Хинтон больше интересовался физическими аспектами двумерного мира, являющегося поверхностью сферы, а не плоскостью.

* * *

БЕЙСБОЛЬНАЯ ПУШКА

Во время своего пребывания в Принстоне Хинтон уделял много времени разработке бейсбольной пушки — машины, подающей мячи, которая используется для тренировки бейсболистов. Машина выстреливала мячи со скоростью от 60 до 112 км/ч. Однако несмотря на то, что она применялась на протяжении многих лет, в конце концов она вышла из употребления, потому что была слишком опасной. Тем не менее и в настоящее время на бейсбольных полях используются приспособления, основанные на изобретении Хинтона.

* * *

Жизнь Хинтона шла благополучно, в некоторой степени он даже достиг социального успеха. Но в 1885 г. все рухнуло: он был арестован за двоеженство. Хинтон потерял работу, карьера его была разрушена, а после приговора, проведя три дня в тюрьме, он переехал со своей семьей в Японию, где работал учителем средней школы в Иокогаме. Оттуда он переслал своим друзьям рукопись «Новая эра мысли», которая была опубликована в 1888 г. Первая часть работы была посвящена вопросу осознания четырехмерности, а также философским и религиозным аспектам, связанным с четвертым измерением. Вторая часть относилась к визуализации гиперкуба, и в ней содержалось описание цветных кубиков и инструкции по их применению.

В 1893 г. Хинтон приехал в Северную Америку. Там он работал в университетах Принстона, штат Миннесота, а затем в Вашингтоне, округ Колумбия, а также в Морской обсерватории США и Патентном ведомстве. Он и в Соединенных Штатах распространял идеи о четвертом измерении и считался в интеллектуальных кругах признанной и уважаемой персоной. Хинтон написал множество статей и прочитал лекции по широкому кругу вопросов, в том числе о поэзии. В 1904 г. он опубликовал книгу «Четвертое измерение», которая включила в себя все его размышления на эту тему, а также новый рассказ о двумерной вселенной «Случай во Флатландии». Умер Хинтон в 1907 г.

Глава 5. Боги и привидения

Из того, что мы не слышим высокие или низкие частоты и не различаем цвета вне видимого спектра, вовсе не следует, что они не существуют. Разве это не возможно, разве это не так же вероятно, что существует четвертое измерение, которое не открыто нашим глазам, в котором могут жить души наших так называемых умерших людей и через которое мы сможем когда-нибудь с ними общаться? И этот новый мир вокруг тоже наш — этот мир бесконечного разнообразия цветов и звуков.

Чарльз Патерсон. Новые небеса и новая Земля, или Путь к вечной жизни (1909)

Четвертое измерение имело все необходимые качества для того, чтобы в конце XIX и начале XX вв. привлечь к себе внимание людей различных убеждений: как приверженцев традиционных религий, так и адептов новых религиозных движений, сектантов, любителей паранормальных явлений, оккультизма и спиритизма, философов, теологов, мистиков и так далее. Эта тема весьма серьезно обсуждалась в религиозном мире, мы видим это по книгам и статьям, опубликованным в то время. Однако если поискать в Интернете и в книгах, то окажется, что и в наше время четвертое измерение по-прежнему завораживает огромное количество людей.

Спиритизм и призраки из четвертого измерения

Спиритизм, или вера в то, что души умерших находятся рядом с нами и с ними можно вступить в контакт, возник в Европе в XIX в. как религиозное и философское движение. Он вскоре стал очень популярным в США, что привело к целой лавине сообщений о паранормальных явлениях. В то же время огромное количество медиумов начали организовывать сеансы связи с духами, устраивая спектакли и играя на чувствах, религиозных и мистических убеждениях тех, кто приходил к ним, чтобы поговорить со своими близкими. Деятельность медиумов больше была связана с психологией, чем с контактами с духами, и чаще всего сводилась к фокусам и театральным представлениям. Медиумов часто обвиняли в мошенничестве, а информация о них представляла собой красочные анекдоты и полное отсутствие научных сведений.

Лишь немногие ученые интересовались миром духов. Среди них были и те, как мы увидим далее, кто пытался доказать существование духов. Одним из самых выдающихся сторонников научного спиритуализма был английский химик Уильям Крукс (1832–1919), изобретатель электронно-лучевой трубки, на основе которой делались первые телевизоры и компьютерные мониторы.

О природе самих духов существовало два мнения. Первое, более распространенное среди спиритуалистов, заключалось в том, что духи — это нематериальные трехмерные существа, состоящие из энергии, эктоплазмы или иного вида сверхъестественной субстанции. Но если они были нематериальными, то как они могли передвигать предметы во время сеансов? Другое мнение, ставшее популярным к концу XIX в., заключалось в том, что духи материальны, но мы не можем их видеть потому, что они существуют вне нашего пространства и посещают нас, когда захотят. Они являются, например, существами, обитающими в четвертом измерении. Тогда материализация духов — не более чем их прохождение через наше трехмерное пространство. Некоторые спиритуалисты критиковали эту материалистическую версию, утверждая, что, если бы духи были материальны, они не могли бы проходить через двери или стены. Однако для существ из гиперпространства это возможно через четвертое измерение, как это было описано в предыдущей главе.

В XIX в. появилось много медиумов, которые утверждали, что обладают способностью устанавливать контакт с существами из четвертого измерения. Одним из ученых — сторонников спиритуализма был англичанин Уильям Крукс.

На иллюстрации перед доктором Уэтерли появляется призрак Маскелина.

* * *

СЭР УИЛЬЯМ КРУКС, УЧЕНЫЙ-СПИРИТУАЛИСТ

Английский химик, который также работал в области физики, был одним из самых крупных ученых Европы того времени. Среди его работ — изобретение электронно-лучевой трубки, исследование электрической проводимости, открытие таллия, разработка процесса амальгамирования для отделения золота и серебра от других минералов, изобретение химических красителей для текстильной промышленности, а также исследования по производству промышленных алмазов. В дополнение к этому Крукс был одним из пионеров исследований в области психических явлений, а также занимал должность президента Общества психических исследований. В 1870 г. он написал одну из своих самых известных статей «Спиритуализм в свете современной науки». Крукс изучал материализацию духов и работы целого ряда известных медиумов, таких как Дэниэл Хоум, Кэти Фокс и Флоренс Кук. Последняя из них — молодая дама из Лондона, которая умела вызывать и материализовывать духов. Ее самым известным сеансом материализации был вызов духа Кэти Кинг, дочери пирата Генри Моргана. Круксу удалось сделать 44 фотографии Кэти, а также пощупать ее пульс и отрезать прядь ее волос. Говорят, что ученый влюбился в привидение. Все это, опубликованное в его книге «Исследования явлений спиритизма», вызвало большой скандал, который еще более усугубился арестом женщины, похожей на дух Кэти Кинг.

Уильям Крукс перед призраком Кэти Кинг.

* * *

Идея о том, что духи являются существами из четвертого измерения, стала популярной в основном благодаря американскому медиуму Генри Слейду и немецкому физику Иоганну Цёлльнеру. Как мы уже упоминали, четвертое измерение приобрело широкую известность после обвинения Слейда в мошенничестве. Но его исследования в области спиритизма заинтересовали русского князя Константина, и Слейда пригласили полковник Олкотт и мадам Блаватская, основатели Теософского общества в Нью-Йорке. Сеансы, организованные Слейдом, стали чрезвычайно популярными в кругах любителей спиритизма и представителей высшего общества Лондона.

Однако вскоре Слейда обвинили в мошенничестве. Во время одного сеанса обнаружилось, что доска, на которой духи обычно оставляли свои сообщения, уже до начала сеанса содержала записи. Суд приговорил Слейда к трем месяцам каторжных работ. Но приговор был в конце концов отменен, и Слейд покинул Англию.

Уголовное дело Слейда попало в газеты и стало горячей темой. Оно вызвало большой скандал в английском высшем обществе, и хотя были другие процессы, связанные со спиритизмом, именно случай Слейда стал самым известным, потому что многие выдающиеся ученые во всем мире встали на его защиту. Среди них были Иоганн Цёлльнер, Уильям Крукс, немецкий физик Вильгельм Вебер (1804–1891) — коллега Гаусса и наставник Римана, английский физик Джозеф Томсон (1856–1940), который вскоре стал лауреатом Нобелевской премии за открытие электрона, и английский физик лорд Рэлей (1842–1919), также будущий лауреат Нобелевской премии за исследования плотности различных газов и открытие аргона. Эти светила науки подтвердили, что духи существуют и что паранормальные явления, из-за которых Слейд обвинялся, вполне возможны в четырехмерном пространстве. Призраки, по их словам, были существами, которые жили в четвертом измерении.

* * *

МЕДИУМЫ В КИНО

Медиумы часто были героями фильмов, таких как «Сеанс дождливым вечером» (Брайан Форбс, 1964), «Джульетта и духи» (Федерико Феллини, 1965), «Подкидыш» (Питер Медак, 1980), «Полтергейст» (Тоуб Хупер, 1982), «Привидение» (Джерри Цукер, 1990) и «Приют» (Хуан Антонио Байона, 2007). Однако одним из самых прославленных экстрасенсов была главная героиня фильма «Семейный заговор» (Альфред Хичкок, 1976). Привлекательная Бланш Тайлер представлялась ясновидящей и сладкими речами завораживала старушек, получая у них информацию и инсценируя контакты с призраками умерших родственников. Для пущей убедительности ее сеансы сопровождались световыми и звуковыми эффектами. Ей помогал ее друг, водитель такси, узнавая семейные обстоятельства богатых клиентов.

* * *

В 1875 г. Елена Блаватская, известная также как мадам Блаватская, стала одним из основателей Теософского общества в Нью-Йорке.

Через год после побега из Лондона Генри Слейд появился в Лейпциге по приглашению Цёлльнера, который вместе с рядом коллег, в том числе с Вебером и Фехнером (автором рассказа «Пространство имеет четыре измерения»), задумал провести серию экспериментов. Эти опыты должны были раз и навсегда доказать, что духи являются четырехмерными существами и, таким образом, четвертое измерение существует. Цёлльнер, занимаясь физическими исследованиями, был знаком с теорией многомерных пространств, а также изучал работы Гаусса, Римана и Гельмгольца и понимал, что эти теории могут быть использованы для объяснения паранормальных явлений.

В течение нескольких месяцев лейпцигская группа проводила сеансы, а затем Цёлльнер опубликовал две работы в Лондоне: статью «О четырехмерном пространстве» в 1878 г. и перевод третьей книги серии Wissenschaftliche Abhandlungen («Трансцендентальная физика») в 1880 г. Эта книга, обобщающая результаты экспериментов, пользовалась большой популярностью, став настольной для всех интересующихся духами: теософов и некоторых художников, в том числе русского художника-экспрессиониста Василия Кандинского.

Первым экспериментом американского медиума был опыт с веревкой, связанной в виде петли. После того как Слейд положил руку на веревку, на ней появились четыре узла. Так как веревка является замкнутым контуром, было невозможно завязать эти узлы в трехмерном пространстве, не разрезая веревки. Однако это вполне доступно существу из четвертого измерения, хотя для того чтобы завязать узел, существо должно было переместить веревку в ана или в ката. Для Цёлльнера результат этого эксперимента доказывал существование духов из четвертого измерения.

В книге «Трансцендентальная физика» содержится подробная информация о многих паранормальных экспериментах, проведенных Слейдом на заседаниях лейпцигской группы в дополнение к серии экспериментов, лично разработанных Цёлльнером для доказательства четырехмерной природы духов. Например:

1. В одном из экспериментов духи через четвертое измерение соединяли два деревянных кольца, не ломая их.

2. В природе часто встречается свойство определенной ориентации, например, раковина улитки. При переходе через четвертое измерение эта ориентация могла меняться.

3. На соединенной в виде петли веревке духи завязывали узел.

Но действительно ли эксперименты Цёлльнера и Слейда увенчались успехом?

Цёлльнер так думал, но с точки зрения научного подхода сами эксперименты были ошибочны. Духи не делали того, что Цёлльнер ожидал от них в соответствии с задуманным планом своих экспериментов. Вместо этого кольца были надеты на ножку подставки, улитка переместилась со стола на пол, а на веревке образовались две дополнительных петли.

Не всех удовлетворили объяснения Цёлльнера, и эксперименты вызвали ожесточенные дебаты среди интеллектуалов. Особенно сильная критика исходила от таких ученых, как Гельмгольц. Отошедший от спиритуализма физик считал, что ученый — не самый лучший специалист для оценки действий волшебника, так как, наблюдая за его правой рукой, он не видит, какие трюки делает левая. В конце концов все пришли к выводу, что Цёлльнер позволил ввести себя в заблуждение и, возможно, помешался.

Рисунок из книги Цёлльнера «Трансцендентальная физика», на котором изображена подставка с двумя деревянными кольцами вокруг ножки. Эти кольца якобы надели духи из четвертого измерения, хотя они должны были эти кольца соединить. Узлы на веревке на рисунке справа также якобы завязаны духами.

Результатом работы Цёлльнера стало то, что четвертое измерение превратилось в шутку, далекую от любых научных фактов. Однако в конце XIX в. английский протестантский священник Эдвин Эбботт еще раз вернулся к идее о том, что духи — это существа из четвертого измерения. Эбботт не имел ничего общего с медиумами и использовал эту концепцию для богословских дискуссий. Кроме того, такие специалисты, как Хинтон, продолжали работать над более серьезными аспектами четвертого измерения.

Теология и четвертое измерение

В теологических вопросах существовало два подхода к четвертому измерению.

С одной стороны, мы уже упоминали позицию Эбботта: «Мы не можем достичь Бога через четвертое измерение, через науку». Однако многие другие верующие люди, например, некоторые христиане, с энтузиазмом приняли идею, что рай, ад, души, ангелы и сам Бог могут быть «расположены» в четвертом измерении. Эти идеи можно найти в книге английского врача и писателя Альфреда Тейлора Шофилда (1846–1929) «Мир иной, или Четвертое измерение»:

«…Поэтому можно сделать вывод, что мир иной не только может существовать, но даже вполне вероятен. Во-вторых, такой мир может рассматриваться как пространство четырех измерений, и в-третьих, духовный мир управляется в основном своими таинственными законами, имеет свой странный для нас язык, полон чудесных явлений самого высокого уровня всеведения и вездесущности и так далее, что по аналогии является законами, языком и свойствами четвертого измерения…

…Хотя наша прекрасная материальная Вселенная выходит далеко за пределы нашего знания, несмотря на использование самых мощных телескопов, это не мешает иному миру и его существам, а также раю и аду, быть совсем рядом с нами…»

Два кратких замечания об идеях Шофилда. Вопреки общепринятому мнению, если бы ангелы или души могли проходить через наш мир в виде четырехмерных существ, это вовсе не значит, что внешне они были бы похожи на человека, как мы говорили в четвертой главе.

Кроме того, почему Бог в его совершенстве выбрал для себя именно четвертое измерение? Почему не пятое, или шестое, или более высокое? Двумерная плоскость находится в трехмерном пространстве, которое в свою очередь находится в четырехмерном, и так далее, вплоть до бесконечного числа измерений. Для такого совершенного, всемогущего и всевидящего существа, как Бог, более подошло бы пространство бесконечной размерности. Похожие выводы философы четвертого измерения сделали еще в XIX в.

Британский богослов и протестантский пастор Артур Виллинк (1850–1913) разделял эту точку зрения. В своей работе «Невидимый мир» он писал, что Бог обитает в пространстве бесконечной размерности:

«Но теперь мы можем пойти дальше и рассмотреть обобщение идеи высших измерений, которая отнюдь не исчерпывается концепцией пространства четырех измерений… Если мы признаем существование пространства четырех измерений, уже не так сложно прийти к идее существования пространства пяти измерений и так далее вплоть до бесконечномерных пространств… И хотя невозможно даже представить, как выглядит материальный объект нашего пространства для наблюдателя из мира большей размерности, все-таки очевидно, что он видит более прекрасный вид в его полноте, чем наблюдатель из пространства меньшей размерности. Из более высокого мира видны более совершенные образы, в том числе скрытые и тайные стороны явлений и объектов.

Это особенно подчеркивает аспект всеведения Бога. Ибо Он, обитая в самом высшем мире, не только прекрасно видит все составляющие нашего бытия, но также находится бесконечно близко к каждой точке и частице нашей души и тела. Так что даже в самом строгом физическом смысле все мы живем, движемся и существуем в Нем».

* * *

АЛГЕБРА ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ СУЩЕСТВ

Альфред Тейлор Шофилд использовал алгебраические метафоры для описания материальной и духовной части человеческого существа: «Еще одно универсальное и инстинктивное убеждение, характерное не только для христианства, заключается в том, что, когда человек умирает, часть его (душа или дух) покидает этот мир и отправляется в мир иной. И это общее убеждение, что человек имеет духовную природу…

может быть хорошо проиллюстрировано с помощью алгебры. Обозначим, например, материальное тело символом х^3, а душу — высшую и более могущественную субстанцию — х^4. Тогда (х^3 + х^4) представляет собой живого человека, а (х^3 + х^4) — х^4 обозначает вознесение души (х^4) в момент смерти и ее возвращение в свое собственное измерение, в то время как останки (х^3) возвращаются в землю, которой они принадлежат».

* * *

В то же время немецкие математики Рихард Дедекинд (1831–1916) и прежде всего Георг Кантор (1845–1918) изучали понятие бесконечности с самой строгой математической точностью. Впоследствии в начале XX в. немецкий математик Давид Гильберт (1862–1943) ввел понятие бесконечномерных пространств, в которых можно было измерять расстояние, — так называемые гильбертовы пространства.

Философ и математик Уильям Гранвиль (1864–1943), автор статьи «Четвертое измерение и Библия», также разделял убеждение, что Бог обитает в бесконечномерном пространстве. Однако он считал, что четвертое измерение и другие высшие измерения являются раем, а двумерные и одномерные миры — адом. Таким образом, когда человек умирает, его душа отправляется в мир более высокой или низкой размерности.

* * *

БЕСКОНЕЧНЫЙ ОТЕЛЬ ГИЛЬБЕРТА

Представьте себе отель с конечным числом номеров, и все они заняты. Если приезжает новый посетитель, то владельцу придется сказать, что свободных мест в отеле нет. Теперь предположим, что в отеле имеется бесконечное количество комнат, пронумерованных натуральными числами 1,2,3,4 и все комнаты, как и в предыдущем примере, заняты. Однако если приедет новый гость и попросит номер, то владелец отеля ответит: «Конечно. Нам только придется переселить гостя из первого номера во второй, из второго в третий и так далее до бесконечности». Тогда первый номер освободится, и новый гость может в нем поселиться.

Но что произойдет, если приедет бесконечное количество новых гостей? И в этом случае есть решение. Гостя из первого номера поселят в номер 2, гостя из номера 2 — в номер 4, гостя из номера 3 — в номер 6 и так далее, то есть каждый гость переселится в комнату, номер которой в два раза больше номера предыдущей комнаты. Таким образом, комнаты с нечетными номерами освободятся, и новые гости смогут поселиться в них.

Концепция бесконечности противоречит некоторым привычным для нас «истинам», которые справедливы лишь для конечных множеств. Например, утверждение, что «целое больше, чем части». Это не работает для бесконечных множеств. Как видно из примера с бесконечным отелем, множество четных чисел имеет столько же элементов, что и множество натуральных чисел.

Мистика, теософия и астральная вселенная

Русский философ и писатель Петр Демьянович Успенский (1878–1947) замечает в своем эссе «Четвертое измерение», что, вопреки нашим представлениям, мы вовсе не являемся трехмерными существами. По его мнению, существование четвертого измерения неизбежно означает одно из двух: либо мы четырехмерные существа, либо мы имеем только три измерения. Впрочем, в последнем случае мы бы физически не существовали.

Ибо если существует четвертое измерение, а мы являемся трехмерными существами, это значит, что реально мы не существуем: мы были бы условными, нематериальными существами, как точки, которые не имеют длины на прямой линии, или прямые линии, которые не имеют ширины на плоскости, или плоскости, которые не имеют объема в трехмерном пространстве. Таким образом, мы бы существовали только в уме высшего существа, называем ли мы его Богом или как-то иначе, и все наши поступки, мысли и чувства были бы всего лишь продуктом воображения этого существа.

Если мы не верим в то, что мы находимся в воображаемом мире, который зависит от высшего существа и его прихотей, то нам придется признать нашу четырехмерную реальность. То есть то, что не только духи или привидения, но и мы сами являемся четырехмерными существами. Однако только одна наша часть обитает в наблюдаемой трехмерной вселенной, и мы осознаем только эту часть нашего тела и нашего бытия, как в мифе Платона о пещере.

Для Хинтона и Успенского четвертое измерение было не только концептуальным пространством, но и особым знанием о высшей реальности. Их математическое исследование четвертого измерения основывалось на мистическом подходе, который можно сформулировать следующим образом: мир един и непознаваем.

Через мистическую единую сущность мы можем достичь всеобщего единства. Это суперпространство, объединяющее все (ближнее и дальнее, прошлое и будущее, реальное и мнимое) в одном (Едином, как его называют мистики; математики называют гиперпространством, а другие — Богом, Абсолютом или как-то иначе) не может быть представлено в виде понятных человеку символов. Это объясняет вторую часть подхода: «Единое является непознаваемым». Но что означает такой подход? С точки зрения мистиков, мы можем понять и осознать Единое в том смысле, как мы можем чувствовать пространство вокруг нас или как мы можем открыть наши сердца, чтобы почувствовать жизнь, красоту, любовь. Однако рационально Единое непознаваемо.

Петр Демьянович Успенский был ключевой фигурой эзотерической философии. Он утверждал, что мы существуем как порождение ума высшего существа.

Руди Рукер в «Четвертом измерении» (1984) использует следующую аналогию, чтобы пояснить это. Рассмотрим бесконечное множество, например множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4….}. Имея определение числа, мы можем понять, что такое N, но полное знание, то есть список всех натуральных чисел, нам недоступно. Следовательно, множество N непознаваемо.

Теософы тоже, как правило, очень интересовались четвертым измерением, хотя сама основательница Теософского общества мадам Блаватская интереса к нему не проявляла. Теософы, как и сторонники четвертого измерения, такие как Хинтон и Успенский, разделяли мистическую веру в Единое, а также в оккультизм. Таким образом, между теософией и спиритуализмом существовала определенная связь.

Кроме того, многие теософы, такие как священник англиканской церкви Чарльз Ледбитер (1854–1934), считали, что четвертое измерение является астральным миром, параллельным нашей видимой вселенной, и что идея этого мира хорошо объясняется с помощью четвертого измерения: «… теория четвертого измерения дает более аккуратное и более полное объяснение астральному миру».

Глава 6. Четвертое измерение в литературе

Что видело время во сне до сих пор, что, как и все в настоящем, является высшей точкой?.. Ему снилось пространство. Ему снилась музыка, которая не нуждается в пространстве. Ему снилось искусство слова, еще более необъяснимое, чем музыка, так как оно включает в себя музыку. Ему снилось четвертое измерение и странные существа, которые в нем обитают. Ему снилось множество песчинок. Ему снилось множество бесконечныхчисел, которое по-прежнему растет.

Хорхе Луис Борхес. Сон времени

Тему четвертого измерения, затронутую в книгах Хинтона и Эбботта, с энтузиазмом подхватили другие писатели того времени — как в жанре зарождающейся научной фантастики, например Герберт Уэллс, так и в других литературных жанрах.

Эта глава рассказывает о том, как четвертое измерение отразилось в литературе двух периодов: с конца XIX в. до начала 1920-х гг., называемого золотым веком, и десятилетий после открытия теории относительности, когда интерес к четвертому измерению начал угасать.

Золотой век

Тема четвертого измерения в литературе неразрывно связана с человеком, который наряду с Жюлем Верном считается пионером литературного жанра научной фантастики, — английским писателем Гербертом Уэллсом. Юность и часть взрослой жизни основоположника научной фантастики совпала с золотым веком четвертого измерения, поэтому не случайно его работы оказались под сильным влиянием идей о многомерных пространствах, например о путешествиях в четвертое измерение, о визитах в наш мир гиперсуществ, о параллельных вселенных и о машине времени.

Самый известный роман Герберта Уэллса «Машина времени» (1895) основан на его первом рассказе «Аргонавты времени» (1888). В нем Уэллс считает время четвертым измерением, но не в смысле теории относительности, которая стала популярной в 1920-х гг., а в смысле статического пространства-времени, как тогда считалось. Хинтон и другие философы четвертого измерения также рассматривали время как еще одно измерение, которое вместе с другими тремя пространственными измерениями образует пространственно-временной континуум. Именно поэтому, как они считали, во времени можно путешествовать вперед и назад с разной скоростью, останавливаясь, если захочется. Однако мы всегда воспринимаем течение времени в одном направлении и с постоянной скоростью. Кроме того, в то время путешествия во времени были одним из способов визуализировать четвертое измерение.

Это статическое пространство-время Уэллс описал в своем романе. Главный герой, ученый, изучающий геометрию четвертого измерения, построил машину, которая может перемещаться во времени. Он отправляется в будущее, в 802701 год, и видит, как изменилась жизнь в этом времени. В романе отразилось беспокойство автора о будущем человечества и его размышления о классовой структуре общества конца викторианской эпохи.

* * *

ГЕРБЕРТ ДЖОРДЖ УЭЛЛС (1866–1946)

Имя Уэллса связано с самыми известными произведениями научной фантастики: «Машина времени», «Человек-невидимка», «Война миров» и «Остров доктора Моро». Положение семьи Уэллса было довольно тяжелым, и ему приходилось совмещать учебу с работой.

В детстве он попал в аварию и провел несколько месяцев в постели. Именно в то время он пристрастился к чтению, что вдохновило его на написание своих книг.

Он получил грант на изучение биологии в Педагогическом колледже в Лондоне. Позже Уэллс работал преподавателем и сотрудничал с газетами и журналами, но его материальные трудности продолжались. Переболев туберкулезом и похудев на 40 кг, он оставил работу и посвятил себя литературе. В 1895 г. Уэллс опубликовал «Машину времени». Роман немедленно стал бестселлером и сделал его знаменитым — и богатым — писателем, навсегда избавив его от бедности. Уэллс написал более 100 книг. Человек либеральных взглядов, он критиковал жестокость и косность викторианского общества, защищал права менее удачливых людей, поддерживал движение суфражисток и верил в то, что наука и образование являются инструментами для улучшения жизни человека. Однако, по его мнению, необходимо было следить за этическими аспектами науки и не доверять слепо технологиям.

Уэллс был основоположником научной фантастики. По его книгам сняты несколько фильмов, например «Машина времени», сцена из которого изображена ниже вместе с испанским постером фильма «Остров доктора Моро».

* * *

В следующей цитате из романа говорится о четвертом измерении:

«— А из этого следует, — продолжал Путешественник по Времени, — что каждое реальное тело должно обладать четырьмя измерениями: оно должно иметь длину, ширину, высоту и продолжительность существования. Но вследствие прирожденной ограниченности нашего ума мы не замечаем этого факта.

И все же существуют четыре измерения, из которых три мы называем пространственными, а четвертое — временным. Правда, существует тенденция противопоставить три первых измерения последнему, но только потому, что наше сознание от начала нашей жизни и до ее конца движется рывками лишь в одном-единственном направлении этого последнего измерения…

<…> Однако некоторые философские умы задавали себе вопрос: почему же могут существовать только три измерения? Почему не может существовать еще одно направление под прямым углом к трем остальным? Они пытались даже создать Геометрию Четырех Измерений. Всего около месяца тому назад профессор Саймон Ньюком излагал эту проблему перед нью-йоркским математическим обществом. Вы знаете, что на плоской поверхности, обладающей только двумя измерениями, можно представить чертеж трехмерного тела. Предполагается, что точно так же при помощи трехмерных моделей можно представить четырехмерный предмет, если овладеть перспективой этого предмета. Понимаете?»

Следующий роман Уэллса, «Чудесное посещение», также опубликованный в 1895 г., основан на идее о том, как наш мир посещает существо из соседней трехмерной вселенной, граничащей с нашей в четырехмерном пространстве. Ангел падает в наш мир с небесной сферы, которую он называет миром грез. По его словам, наши миры находятся «так близко, как две страницы в книге». Ангел знает, что вселенная на самом деле четырехмерна. Таким образом, он играет роль Сферы из «Флатландии», в то время как жители английской деревни, куда он попал, оказываются в положении флатландских жителей. Когда ангел из своего мира грез обращается к викарию, викарий отвечает: «Это странно, но я почти верю, что четвертое измерение может существовать. Однако в этом случае… может существовать любое количество трехмерных вселенных, расположенных бок о бок…» Ту же идею Уэллс использует в романе «Люди как боги» (1923).

Еще одна тема, связанная с многомерной геометрией, раскрывается в рассказе «Замечательный случай с глазами Дэвидсона» (1895). С главным героем рассказа произошел несчастный случай в лаборатории, в результате чего он остался слепым, точнее, он ничего не видел вокруг себя. Однако он мог видеть море, пляж, песок, камни и пингвинов. В этом рассказе Уэллс использует понятие искривления пространства в четвертом измерении, что позволило Дэвидсону видеть из Лондона остров в Южном океане. В рассказе «Хрустальное яйцо» (1897) Уэллс описывает окно между параллельными вселенными.

Тема изменения ориентации человеческого тела после путешествия в другие измерения была использована Уэллсом в рассказе «История Платтнера» (1896–1897).

Профессор Платтнер в результате взрыва в лаборатории попадает в четвертое измерение, вернувшись из которого он рассказывает о том, что видел за пределами нашего пространства. Там обитают существа, не имеющие тел, шпионящие за человечеством. Платтнер называет их «наблюдателями за живыми». Платтнер описывает нашу вселенную, как он ее видел из того пространства, но его рассказы все принимают за бред сумасшедшего, пострадавшего от взрыва. Но самое интересное, что после возвращения на Землю ориентация его тела изменилась: левая и правая стороны поменялись местами, так что, например, сердце оказалось теперь справа.

Это доказывает, что он действительно побывал в четвертом измерении и что его истории правдивы. Как говорится в рассказе: «В нашем мире не существует способа поменять левые и правые стороны человека. Как бы он ни перемещался, правое попрежнему останется правым, а левое — левым… Строго говоря, изменение ориентации тела Платтнера является доказательством того, что он переместился из нашего пространства в то, что называется четвертым измерением, а затем вновь вернулся в наш мир». Еще одна история о путешествии в четвертое пространственное измерение описана в рассказе «Украденное тело» (1898).

Роман Уэллса «Машина времени» — одно из первых художественных произведений, в котором описана машина для путешествий во времени и озвучена идея о том, что время является еще одним измерением, в котором можно путешествовать.

Эта идея также появлялась в таких книгах, как «Рождественская песнь в прозе» (1843) Чарльза Диккенса и «Янки при дворе короля Артура» (1889) Марка Твена. Однако следует отметить, что испанский драматург Энрике Гаспар (1842–1902), создатель ряда инновационных театральных комедий, опередил Уэллса, описав создание машины времени в своем романе El anacronopete («Летящий навстречу времени», 1887). В нем Синдулфо Гарсия, изобретатель из Сарагосы, строит машину для путешествий во времени — anacronopete (от греческого ana — «назад», cronos — «время» и petes — «тот, кто летит»), в которой он путешествует вместе с другими пассажирами в разные периоды прошлого. Они отправлялись в годы Парижской коммуны, в Гранаду 1492 г., в Китай III в. до н. э., в последний день Помпеи к подножью Везувия и к моменту создания Вселенной. Первоначально это задумывалось как сарсуэла — испанская музыкальная драма, оригинальная рукопись произведения датируется 1881 г. и хранится в Национальной библиотеке Испании.

Постер одной из лучших экранизаций романа. Уэллс затрагивал тему четвертого измерения в нескольких своих произведениях. Главный герой одного из широко известных романов «Человек-невидимка» (1897) стал невидимым благодаря «формуле, которая является геометрическим выражением, включающим четыре измерения».

Когда речь заходит о математике в литературе, невозможно не упомянуть Кэрролла. Льюис Кэрролл — псевдоним английского математика Чарльза Доджсона (1832–1898). Его книга «Алиса в Стране чудес» (1865) не единственная, в которой автор играет с измерениями. Также в «Сильви и Бруно» (1889) он описывает часы, позволяющие путешествовать во времени с некоторыми ограничениями: сколько времени прошло на часах, столько же времени прошло в реальной жизни.

Но принимая во внимание, что Доджсон хорошо знал работы Римана и Лобачевского и даже, интересуясь спиритуализмом, читал книгу «Трансцендентальная физика» Цёлльнера, вовсе не удивительно, что в его работах имеются и другие аллюзии. В книге «Алиса в Зазеркалье» (1871), продолжении «Алисы в Стране чудес», он использует идею Римана о «червоточинах» — туннелях, которые соединяют два мира, наш и зазеркальный, связанные через зеркало. В первой книге Страна чудес соединена с нашим миром через кроличью нору, куда падает Алиса. Кроме того, Кэрролл также описывает идею изменения ориентации в результате путешествия через зеркало. Прежде чем отправиться туда, Алиса спрашивает своего котенка: «Ну как, Китти, хочешь жить в Зазеркальном доме? Интересно, дадут тебе там молока? Впрочем, не знаю, можно ли пить зазеркальное молоко».

«Червоточины» соединяют две вселенные и, возможно, позволяют путешествовать между ними.

На самом деле зазеркальное молоко пить нельзя, так как его молекулы либо «правовращающие» (они вращают плоскость поляризации света вправо), либо «левовращающие», а при прохождении через зеркало эти ориентации изменятся, и молоко станет несъедобным. Более наглядным примером изменения ориентации является момент, когда Алиса, оказавшись по другую сторону зеркала, замечает, что названия книг на полках написаны задом наперед, в зеркальном отражении. Алиса видит название стихотворения БАРМАГЛОТ, записанное так:

Иллюстрации Джона Тенниела к «Алисе в Зазеркалье». На первом рисунке Алиса стоит перед зеркалом слева от часов, а на втором, уже попав в Зазеркалье, она находится справа от часов.

Интересно, что отсылки на неевклидовы и многомерные геометрии можно найти в романе «Братья Карамазовы» (1879–1880) Федора Михайловича Достоевского (1821–1881). Иван Карамазов упоминает их, размышляя о существовании Бога.

«Но вот однако что надо отметить: если Бог есть и если он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал он ее по эвклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы и даже из замечательнейших, которые сомневаются в том, чтобы вся вселенная, или еще обширнее, — все бытие было создано лишь по эвклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые по Эвклиду ни за что не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись бы где-нибудь в бесконечности. Я, голубчик, решил так, что если я даже этого не могу понять, то где ж мне про Бога понять. <…> Все это вопросы совершенно несвойственные уму, созданному с понятием лишь о трех измерениях».

Идея о том, что призраки являются существами из четвертого измерения и могут посещать наш мир, когда им захочется, используется в новелле «Кентервильское привидение» (1887) английского писателя, поэта и драматурга Оскара Уайльда.

В этой смешной и ироничной пародии на истории о привидениях так описано исчезновение призрака: «Времени терять не приходилось, и, прибегнув спасения ради к четвертому измерению, дух скрылся в деревянной панели стены. В доме все стихло». Другими словами, призраки не проходят сквозь стены, а уходят в четвертое измерение.

Тема четвертого измерения привлекла внимание и британского писателя и поэта Редьярда Киплинга (1865–1936), автора «Книги джунглей» и лауреата Нобелевской премии по литературе 1907 г. Он использовал выражение «четвертое измерение» по крайней мере в двух из своих рассказов. В рассказе «Ошибка в четвертом измерении», впервые опубликованном в журнале Cosmopolitan, сюжет не связан с четвертым измерением, оно используется в названии метафорически. А вот рассказ «Сновидец» (The Brushwood Boy, 1895) повествует о приключениях главного героя в мире снов, который Киплинг называет четвертым измерением: «Он все же торопился отчаянно, пока не потерялся в четвертом измерении мира без надежды когда-либо вернуться».

Это не более чем малая толика примеров использования темы многомерных миров в литературе золотого века четвертого измерения, который длился до 1920-х гг.

Чтобы понять масштабы этого явления, рассмотрим еще несколько примеров.

В романе «Лилит» (1895) шотландского писателя и поэта Джорджа Макдональда главный герой с помощью зеркал создает проход между нашей и параллельной вселенной, в которой обитают души умерших. Американский писатель Амброз Бирс в сборнике «Таинственные исчезновения» (1893) рассказывает о различных случаях исчезновения людей, попадающих из нашего в другое, неевклидово пространство.

Там они оказываются запертыми в странном кармане, в котором их никто не видит и не слышит; так же и они не могут видеть, слышать, жить или умереть. Антон Павлович Чехов тоже использовал четвертое измерение при описании паранормальных явлений в своем рассказе «Тайна». Британские писатели Форд Мэдокс Форд и Джозеф Конрад написали роман «Наследники» (1901) о расе существ из четвертого измерения, которые хотят захватить наш мир. В рассказе «Дверь спальни» (1905) американской писательницы Мэри Уилкинс-Фримен главный герой рассматривал странную картину и вдруг оказался в четвертом измерении. В книге другого известного американского писателя Фрэнсиса Скотта Фицджеральда «Прекрасные, но обреченные» (1922) есть такой пассаж: «Ей вдруг представилось, что все, находящееся в комнате, лишившись опоры, проваливается сквозь переплетение туманно-голубых плоскостей в невообразимый четырехмерный круговорот».

* * *

ОРИЕНТАЦИЯ «ТИТАНИКА»

В фильме «Титаник» (1997) Джеймса Кэмерона есть сцена, когда пассажиры во время посадки на трансатлантический лайнер странно машут на прощание левой рукой, а кинооператор, снимающий это историческое событие, крутит ручку камеры с левой стороны, как если бы это была камера для левши — неслыханное устройство в то время. Дело в том, что копия «Титаника», построенная для фильма, стояла к берегу правым бортом, в то время как корабли швартуются левым бортом. Эту сцену предполагалось во время монтажа зеркально отобразить, поэтому режиссеру пришлось во время съемок зеркально изменить каждое движение. Даже для названия корабля пришлось использовать буквы, написанные зеркальным способом, чтобы в окончательном варианте название читалось правильно. Все это очень усложнило съемки некоторых сцен. На самом деле Кэмерон построил копию лишь половины корабля, только его правого борта, поэтому сцены, происходившие на левом борту, были сняты на правом, а затем зеркально отображены во время монтажа.

* * *

Американский поэт Уильям Карлос Уильямс в сборнике «Весна и все живое» (1923) пишет: «Что такое четвертое измерение? Это бесконечность познания, это воображение, на котором летит реальность».

Хотя большинство из названных авторов англоязычные, писатели других стран тоже интересовались этой темой. В этой связи стоит упомянуть трех из них. Французский писатель Гастон де Павловский написал роман «Путешествие в страну четвертого измерения», изданный между 1895 и 1912 гг., а в расширенном варианте — в 1923 г. Как и Уэллс, Павловский использует фантастическое четвертое измерение для обсуждения социальных вопросов. Однако, хотя эта книга о путешествии во времени, Павловский не считает время четвертым измерением, а, следуя примеру Эбботта и Хинтона, описывает страну в четырех пространственных измерениях.

Павловский также находился под сильным влиянием спиритуализма Цёлльнера и его работы «Трансцендентальная физика», которая была широко известна среди французских интеллектуалов в начале XX в., особенно среди художников-кубистов.

Французский писатель Марсель Пруст (1871–1922) рассматривал четвертое измерение и как пространство, и как время в своем романе «В сторону Свана» (1913) из цикла «В поисках утраченного времени». Такой подход можно назвать материализацией времени, что является не более чем статическим пространством-временем. Он описывает церковь, которая на самом деле оказывается своего рода машиной времени: «[Она была] зданием, помещавшимся, если можно так сказать, в пространстве четырех измерений — четвертым измерением являлось для него Время, — зданием, продвигавшим в течение столетий свой корабль, который, от пролета к пролету, от придела к приделу, казалось, побеждал и преодолевал не просто несколько метров площади, но ряд последовательных эпох, и победоносно выходил из них; зданием, прятавшим грубый и суровый XI век в толще церковных стен…».

Наконец, энтузиастом четвертого измерения был мексиканский поэт Амадо Нерво (1870–1919). Он написал статью о четвертом измерении, где говорится:

«Наше сознание в отличие от наших чувств вовсе не ограничено трехмерным миром, а совсем наоборот: оно приводит нас к четвертому измерению, которое, в общих чертах, является не более чем дополнением, необходимым для полного понимания вселенной… Поэт, который является высшим художником… проводит часы напролет в мире четырех измерений. Поэтический экстаз, как и любой экстаз, — это не более чем выход в новое измерение… Человеческая душа — это всего лишь наше продолжение в неизведанном измерении».

По обе стороны Атлантики четвертое измерение стало популярной темой в литературе начала XX в. Француз Марсель Пруст (слева) писал об этом в своем шедевре «В поисках утраченного времени», а американец Фрэнсис Скотт Фицджеральд — в романе «Прекрасные, но обреченные». Русский писатель Антон Чехов (справа) связывал четвертое измерение с паранормальными явлениями в рассказе «Тайна».

После открытия теории относительности

Альберт Эйнштейн опубликовал общую теорию относительности в 1915 г., а в 1920-х гг. она уже стала настолько популярной, что переключила внимание с четвертого измерения, как оно понималось ранее, к релятивистскому пространству-времени. Теория относительности впитала в себя большую часть интереса к четвертому измерению, добавив в то же время новые элементы как к пониманию нашей вселенной, так и к некоторым аспектам, вызвавшим особый интерес широкой публики, например к парадоксу близнецов и другим подобным темам. Эти парадоксы являются следствием того, что в теории относительности пространство и время взаимосвязаны и время не является еще одним измерением, как это понимается в пространственно-временном континууме. Теория относительности быстро приобрела много последователей среди интеллектуалов и художников.

* * *

ПАРАДОКС БЛИЗНЕЦОВ

Не вдаваясь в технические подробности теории относительности, парадокс близнецов можно описать так: возьмем двух братьев-близнецов, один из которых отправляется в долгое путешествие к далекой звезде на космическом корабле, летящем со скоростью, близкой к скорости света, в то время как другой брат остается на Земле. Когда брат-космонавт возвращается на Землю, оказывается, что теперь он гораздо моложе, чем его брат. Это произошло потому, что, согласно теории относительности, время замедляется в зависимости от скорости. То есть, когда космонавт летел с большой скоростью в космическом корабле, время для него шло медленнее, чем для его брата на Земле, и поэтому он постарел меньше.

В фильме «Планета обезьян» (1968) по одноименному роману Пьера Буля также используется парадокс близнецов. В конце фильма выясняется, что на самом деле космонавты вернулись на Землю, но за время их путешествия на Земле прошло много времени, человечество потеряло свое превосходство, а обезьяны стали доминирующим видом. Хотя для самих космонавтов прошло всего несколько лет.

* * *

Постепенно интерес к пространственному четвертому измерению переключился на релятивистскую версию, став буквально анекдотическим в 1950—70-е гг. Конечно, встречались и писатели, развивавшие идеи Хинтона и Эбботта, но прежде всего это было время научной фантастики, которая достигла к тому моменту периода своего расцвета. Все существующие концепции использовались в качестве литературных приемов, в том числе и многомерные пространства в любой их интерпретации. В эти десятилетия многомерные пространства вновь стали модными и в математике.

Несмотря на популярность, теория относительности имела два недостатка.

Во-первых, она была очень сложна даже для специалистов, а во-вторых, эта теория предполагала невозможность путешествий назад во времени — очень популярную тему среди писателей, которые продолжали использовать идею нерелятивистского пространственно-временного континуума, как бы они его ни называли.

Американский писатель Уильям Фолкнер (1897–1962), как и многие другие модернисты, в своих произведениях обращался к теме четвертого измерения. Роман «Когда я умирала» (1930) использует структуру пространства-времени для перевода прошлого в настоящее, а четвертое измерение — в качестве метафоры для памяти: «В сумерках он оглядывается на худое лицо [матери], обрамленное окном.

В этой картине составилось для него все время, начиная с детства». А вот почти пространственный образ времени из самого начала книги: «Тропа пролегла прямо, как по шнуру, ногами выглаженная, июлем обожженная, словно кирпич, между зелеными рядами хлопка, к хлопковому сараю, огибает его, сломавшись четырьмя скругленными прямыми углами, и дальше теряется в поле, утоптанная и узкая».

Еще одна книга, которая особым образом использует статическое пространство-время, — прекрасное произведение американского писателя Курта Воннегута (1922–2007) «Бойня номер пять» (1969), в котором автор описывает через художественные образы свой опыт пребывания в плену во время Второй мировой войны и страшные бомбардировки Дрездена союзниками, когда война была практически закончена. Это событие оставило в его памяти неизгладимый след, и глазами главного героя романа он снова вспоминает подробности этой бессмысленной бойни. Главный герой, страдающий «расстройством времени», перемещается во времени вперед и назад, вновь переживая события тех дней. Путешествие по четвертому измерению заканчивается благодаря тральфамадорцам, существам внеземной расы, для которых время — это просто еще одно измерение, где они могут перемещаться.

Британский писатель-юморист Пэлем Грэнвил Вудхауз (1881–1975) в своем рассказе «Страшная тайна» (The Amazing Hat Mystery, 1936) использует четвертое измерение в юмористическом смысле.

В рассказе два английских джентльмена купили шляпы, с которыми связана страшная тайна, и один из них говорит: «Сам знаешь, случится что-то странное, спросишь кого-нибудь умного, а он покачает головой и скажет: „А, четвертое измерение!“»

Уильям Фолкнер — один из самых почитаемых авторов американской литературы. В его произведениях часто используются прыжки во времени.

Владимир Набоков (1899–1977) тоже использует тему изменения ориентации в результате многомерных преобразований в романе «Смотри на арлекинов!» (1974).

Шведский писатель Ларе Густафссон (р. 1936), получивший в 2009 г. немецкую литературную премию Гёте, так пишет в своем самом известном романе «Смерть пчеловода» (1978): «Рай? Недавно я испытал это. Рай по определению исключает боль. Это означает, что мы живем в раю до тех пор, пока не испытываем боли! И мы даже не осознаем это. Счастливые и несчастные люди живут в одном мире, и они даже не знают об этом! У меня такое чувство, будто в течение последних месяцев я блуждал в моей собственной жизни, как в фантастическом, таинственном лабиринте, и только теперь я вернулся именно в то место, с которого начал. Но так как я бродил за пределами обычных измерений, правое и левое как будто поменялись местами. Моя правая рука теперь стала левой, а моя левая рука — правой. Я вернулся в тот же мир, но сейчас он для меня — рай».

Борхес и четвертое измерение

Говоря о четвертом измерении, невозможно не упомянуть аргентинского писателя Хорхе Луиса Борхеса (1899–1986), который очень интересовался математикой, что отразилось в его работах. Он затрагивал такие математические темы, как бесконечность, рациональные числа, парадоксы, лабиринты, рассечение плоскости, комбинаторика и теория множеств. Четвертое измерение также привлекло его внимание, и он даже написал статью для нескольких литературных журналов под названием «Четвертое измерение», в которой пытался объяснить его с геометрической точки зрения. В ней он ссылается на книгу Хинтона «Новая эра мысли» и на «Азбуку четвертого измерения» теософа и архитектора Клода Брэгдона.

В других своих произведениях Борхес также прямо ссылается на четвертое измерение. В рассказе «Тлён, Укбар, Орбис Терциус» из сборника «Вымыслы» (1944) говорится, что письмо, объясняющее тайну Тлёна, появляется в «книге Хинтона».

Про геометрию Тлёна там говорится, что «эта геометрия не знает параллельных линий и утверждает, что человек, перемещаясь, изменяет окружающие его формы».

Родольфо Мата в своей статье «Борхес и приключения в четвертом измерении» также пишет, что язык Тлёна удивителен, в одном полушарии существительные заменены глаголами: «луна» заменяется глаголом «лунить» или «лунарить», в то время как в другом полушарии существительные заменяются прилагательными — «луна» становится «воздушно-светлым на темном-круглом», что, возможно, имеет корни в работе Петра Демьяновича Успенского Tertium Organum (1911). По мнению русского мистика и философа, для адекватного понимания времени в четвертом измерении необходим язык без глаголов: «Если жизнь в третьем измерении соответствует движению в четвертом, то движение в третьем измерении в четвертом измерении исчезает».

Борхес снова цитирует Успенского в рассказе «Время и Дж. У. Данн» из сборника «Новые расследования» (1952). Объясняя теорию Данна бесконечных измерений, русский писатель пишет в Tertium Organum, что «будущее уже существует», другими словами, он использует статическое понятие пространства-времени.

В фантазии «Есть многое на свете» из «Книги песка» (1975) дядя главного героя дает ему «прочесть труды Хинтона, задавшегося целью доказать реальность четвертого измерения, в чем читатель должен был удостовериться на примере хитроумных фигур из цветных кубиков». Кубики Хинтона упоминаются и в других случаях, чтобы придать истории настроение сказки. Главный герой посещает дом, в котором умер его дядя, и обнаруживает проход в другие измерения. Сама «Книга песка» начинается с таких слов: «Линия состоит из множества точек, плоскость — из бесконечного множества линий; книга — из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига — из бесконечного множества книг».

Обложка книги «Алеф», в которой Хорхе Луис Борхес излагает новое видение Вселенной.

В рассказе «Абенхакан эль Бохари, погибший в своем лабиринте» из книги «Алеф» (1949) Борхес пишет от лица главного героя Данревена: «Я решил забыть твои нелепости и подумать о чем-нибудь осмысленном: о теории множеств например или о четвертом измерении».

А  закончить  можно  стихотворением  Борхеса  «Адроге»  из  сборника  «Создатель»  (1960):

Ни  бедам,  ни  смертям  не  подначальны,

Хранят  свое  былое  эти  тени,

Но  все  они,  как  всё  вокруг,  реальны

Лишь  в  памяти  —  в  четвертом  измеренье.

(Перевод Б. Дубина)

Научная фантастика

Нет никаких сомнений, что чаще всего тема четвертого измерения появлялась в научной фантастике XX в. К этим сюжетам обращались многие великие фантасты, такие как Айзек Азимов, Грег Бир, Артур Кларк, Говард Лавкрафт, Фредерик Пол, Руди Рукер, Клиффорд Саймак и многие другие.

Стоит отметить два произведения, тесно связанные с четвертым измерением.

Один из них — короткий рассказ «…И построил он себе скрюченный домишко» (1940) Роберта Хайнлайна, в котором архитектор построил дом, являющийся разверткой гиперкуба в третьем измерении (мы остановимся на этом подробнее в следующей главе). Этот дом после постройки сложился обратно в четвертое измерение вместе с архитектором, который находился внутри. Гиперкуб также описывает Мадлен Л’Энгл в детском рассказе «Складка времени» (1962).

Глава 7. Визуализация четвертого измерения

Таким же образом, как мы можем изобразить на плоскости фигуру, имеющую три измерения, мы можем сделать это и для четырехмерной фигуры на поверхности с тремя (или двумя) измерениями. Мы даже можем изобразить эту фигуру в разных ракурсах и с разных точек зрения… [и изучая «целое» по этим частям] мы можем представить четвертое измерение.

Анри Пуанкаре. Наука и гипотеза (1902)

Многие думают, исходя из трехмерности нашего мозга (что вовсе не очевидно, так как, может быть, мозг в нашем мире является одним из сечений четырехмерного мозга), что четвертое измерение представить невозможно. Конечно, это сложная задача, но можно рассуждать, как предлагал Пуанкаре. Как, например, художники используют двумерное полотно для изображения трехмерных фигур или инженеры применяют несколько проекций для проектирования инструментов, машин и зданий, так и мы могли бы попытаться визуализировать четырехмерные объекты, «рисуя» их в трехмерных проекциях. Хотя даже имея «трехмерные картины», нарисованные в разных ракурсах, сложно представить, как выглядит четырехмерный объект.

В конце XIX и начале XX вв. одной из главных проблем многомерных пространств была их визуализация. Многие ученые пытались изобразить гиперкуб — четырехмерную версию куба. Исследованием гиперкуба и других n-мерных многогранников занимались такие специалисты, как Чарльз Хинтон, Клод Брэгдон, Вашингтон Ирвинг Стрингхем, Алисия Буль Стотт (сестра жены Хинтона), американец Генри Мэннинг (автор книги «Простое объяснение четвертого измерения»), француз Эспри Жуффре (автор нескольких работ о четвертом измерении), Анри Пуанкаре и многие другие. На самом деле методы визуализации четвертого измерения заключаются в переходе к трем измерениям с помощью различных проекций, сечений или разверток.

Эти методы уже были известны и широко использовались в начале XX в. Описывая различные методы визуализации, мы будем опираться на интуицию и, как и в других главах книги, использовать многомерные аналогии.

Гиперкуб и гиперсфера

Гиперкуб, также известный как тессеракт (термин, введенный Чарльзом Хинтоном в книге «Новая эра мысли»), является обобщением куба в четвертом измерении.

Как и в первой главе, предположим, что точка, имеющая нулевую размерность, будет также 0-мерным кубом, то есть кубом в нулевом измерении. Если точка находится на прямой линии (в одномерном пространстве) и перемещается на определенное расстояние по этой прямой, то мы получим отрезок (который будет одномерным кубом). Если точка находилась в начале оси координат и переместилась на единицу вправо, то полученный отрезок будет отрезком [0, 1], другими словами, он состоит из всех точек между 0 и 1 (см. рисунок на странице 106). Если этот отрезок находится на оси X координатной плоскости, то, перемещая его на одну единицу по оси Y, перпендикулярной оси X, мы получим квадрат (двумерный куб) со сторонами 1.

Если мы переместим единичный квадрат на одну единицу в перпендикулярном направлении к плоскости ХУ по оси Z, то мы получим трехмерный куб. Перемещая трехмерный куб в направлении, перпендикулярном к трем остальным, по новой оси, которую мы будем называть W, мы, наконец, получим гиперкуб, или четырехмерный куб.

В нашем пространстве мы не можем визуализировать гиперкуб, поэтому мы будем представлять куб, перемещающийся в перпендикулярном направлении к трехмерному пространству, как показано на с. 106.

* * *

ПОМОГАЮТ ЛИ ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОЕКЦИИ ВИЗУАЛИЗИРОВАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ?

Многие считают, что невозможно полностью представить четырехмерный объект в трех измерениях, а тем более в двух. Это в некоторой степени правда, хотя, с другой стороны, люди привыкли представлять окружающий мир в двух измерениях с помощью картин, фотографий и кино. Другими словами, мы не подвергаем сомнению достоверность плоских изображений реальности. Более того, для получения информации о реальности эти двумерные изображения иногда просто необходимы, если учитывать изменение ракурсов и моментов времени. Приведем пару несложных примеров. Театр теней, например, несмотря на простоту плоских черных силуэтов, не мешает нам узнавать форму предметов и следить за сюжетом пьесы.

Вторым известным примером является бег лошади. Вплоть до 1870 г. завсегдатаи калифорнийских скачек вели дебаты о том, существует ли такой момент, когда ни одно из копыт лошади не касается земли. Спор был решен после того, как британский фотограф Эдвард Мейбридж (1830–1904) сделал ряд снимков, на которых было видно, что такой момент действительно существует.

Серия фотоснимков Мейбриджа, показывающих движение лошади. В один из моментов копыта лошади не касаются земли.

* * *

Отрезок прямой, квадрат, куб и гиперкуб со стороной 1 в соответствующих пространствах.

Интуитивно понятно, что каждый n-мерный куб, то есть куб в n-м измерении, получается путем перемещения (n — 1) — мерного куба из измерения на единицу меньше в направлении, перпендикулярном к предыдущим. Однако в математических терминах n-мерный куб может быть задан всеми точками в n-мерном пространстве, координаты которых больше 0 и меньше 1, то есть:

Каждый n-мерный куб состоит из элементов меньших размерностей — k-мерных кубов, где 0 <= k <= n. Например, гиперкуб состоит из следующих элементов: точек (вершин или углов), отрезков (ребер), граней (квадратных поверхностей), кубов (кубических граней) и самого гиперкуба. Для того чтобы попытаться понять, что такое гиперкуб, мы начнем с анализа элементов, из которых он состоит, используя следующие рассуждения и аналогии (с помощью рисунка).

Рассмотрим сначала элементы одномерного куба, то есть отрезка прямой линии.

Отрезок состоит из двух вершин и, конечно, самого себя. Теперь, переместив отрезок в перпендикулярном направлении и получив квадрат, мы имеем две начальные вершины и две конечные, следовательно, число вершин при перемещении удвоилось. Таким образом, квадрат имеет 4 вершины, куб — 8, а гиперкуб — 16. Теперь посчитаем ребра квадрата. У нас был начальный отрезок, затем конечный плюс два отрезка, образованные при перемещении каждой вершины, поэтому квадрат имеет 1 + 1 + 2 = 4 ребра. Аналогично куб будет иметь 4 + 4 + 4 = 12 ребер, а гиперкуб — 12 + 12 + 8 = 32 ребра.

Далее мы посчитаем грани. При перемещении квадрата в перпендикулярном направлении у нас получится начальная и конечная грани, плюс каждое ребро при движении образует новую грань, поэтому куб имеет 1 + 1 + 4 = 6 квадратных граней.

Гиперкуб будет иметь 6 + 6 + 12 = 24 квадратные грани. Наконец, при перемещении куба получаются начальный и конечный кубы, плюс каждая грань куба при движении образует новый куб, так что гиперкуб имеет 1 + 1 + 6 = 8 кубических граней. Занесем полученные данные в таблицу.

Гиперсфера является эквивалентом сферы в четвертом измерении. Но чтобы дать определение гиперсферы, мы должны понять, что такое сфера. Сфера образована всеми точками, находящимися на одном и том же расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). В терминах аналитической геометрии, если О = (0, 0, 0) — координаты центра, а r — радиус, это можно записать следующей формулой:

Кроме того, сфера является двумерной поверхностью.

* * *

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЭЛЕМЕНТОВ N-МЕРНОГО КУБА

С помощью комбинаторики мы можем получить общие формулы для определения количества элементов n-мерного куба. Пусть Е(k,n) обозначает количество k-мерных кубов в n-мерном кубе. Для расчета Е(k,n) мы сначала определим, сколько k-мерных кубов выходит из данной вершины. Если из каждой вершины выходит n ребер, то достаточно посчитать, сколькими способами мы можем выбрать k ребер из n. Это число и будет количеством k-мерных кубов, выходящих из данной вершины. Таким образом, задача свелась к комбинаторике:

где n! является факториалом n, другими словами, n! = n(n — 1)∙(n — 2)…3∙ 2∙1. Так как всего вершин 2n, то общее количество k-мерных кубов равно

Но каждый k-мерный куб имеет 2k вершин. Это значит, что каждый k-мерный куб мы посчитали 2k раз, поэтому мы разделим результат на это число. Получим

В общем случае количество k-мерных кубов считается так

Можно убедиться, что результаты в приведенной выше таблице согласуются с этой формулой.

* * *

В общем случае для любого (n + 1) — мерного пространства соответствующая n-мерная сфера образуется точками (n + 1) — мерного пространства, которые находятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Мы имеем следующую формулу:

В одномерном пространстве 0-мерная сфера с центром в точке 0 и радиусом 1 представляет собой две точки {—1, 1}, как показано на рисунке. На плоскости одномерная сфера является окружностью с центром в начале координат и радиусом 1, а в трехмерном пространстве двумерная сфера будет тем, что мы обычно понимаем под сферой.

N-мерные сферы с радиусом 1 и с центром в начале координат в пространствах размерности (n + 1), где n = 0, 1, 2.

Теперь мы подошли к задаче, как можно визуализировать и лучше представить себе, что такое гиперсфера. Предположим, что пространственное четвертое измерение существует, и мы находимся на огромном поле. Мы смотрим на пятиметровую мачту и хотим представить себе, как выглядит гиперсфера с центром на верхушке мачты и радиусом 5 м. Конечно, можно представить обычную сферу (двумерную) с центром в этой точке и радиусом 5 м (как показано на рисунке ниже), состоящую из точек нашего трехмерного пространства, которые находятся на расстоянии 5 м от центра. Ясно, что эти точки также принадлежат гиперсфере. Но можно ли визуализировать остальные точки гиперсферы, которые не находятся в нашем пространстве? Предположим, что мы переместились на 4 м от центра сферы в любом направлении, а затем — на 3 м в направлении к ана. Это направление, кстати, перпендикулярно к предыдущему. Тогда по теореме Пифагора 3^2  + 4^2 = 5^2. Другими словами, мы оказались в точке в 5 м от центра, которая, следовательно, принадлежит гиперсфере.

Сфера с центром О и радиусом 5 м является частью гиперсферы, той частью, которая находится в нашей трехмерной вселенной. Если мы отойдем от центра сферы на 4 м, а затем на 3 м в направлении к ана, то окажемся в точке Р, которая будет точкой гиперсферы с радиусом 5.

Так можно получить все точки гиперсферы. Чтобы лучше понять эту идею, мы повторим этот процесс на поверхности Флатландии. Предположим, что Квадрат, главный герой книги Эбботта, захотел изобразить на плоскости сферу с центром в точке О и радиусом 5. Сначала он нарисовал в своей плоской вселенной окружность радиуса 5, которая, как он знает, является частью трехмерной сферы, то есть той частью, которая находится во Флатландии. Затем он действует так же, как и мы: он перемещается в любом направлении от центра на расстоянии 4 м, а затем представляет движение на 3 м вверх. По теореме Пифагора (которую он, к счастью, знает) полученная точка также будет точкой сферы (см. рисунок ниже). Кроме того, из точек окружности меньшего радиуса, например 4 м, Квадрат может представить другую окружность в верхней части сферы (то есть плоское сечение сферы), расположенную в 3 м над Флатландией. Другая меньшая окружность может быть получена при движении вниз.

Окружность с центром О и радиусом 5 м, нарисованная Квадратом, является той частью сферы, которая находится во Флатландии. Если мы переместимся от центра круга на расстояние 4 м, а затем на 3 м вверх, то мы окажемся в точке Р, которая также будет точкой сферы радиуса 5 м.

Квадрату удалось понять, что такое сфера, но теперь он должен попытаться представить ее. Учитывая, что каждая окружность с центром О и радиусом меньше 5 м соответствует окружности сферы (на самом деле двум окружностям), квадрат-математик представляет себе половину сферы как группу всех окружностей с центром О и радиусом меньше 5 м, как показано на рисунке.

Полусфера, изображенная на плоскости в виде плоских окружностей с радиусами меньшими, чем радиус сферы (рисунок Хосу Арройо).

Квадрат может мысленно представить себе это изображение, но все еще с большим трудом, поэтому он идет дальше и разделяет все круги по длине отрезка (отрезка прямой линии с концами —5 и 5) так, что каждая точка отрезка обозначает высоту h от плоскости: положительная — вверх, отрицательная — вниз. Круг, соответствующий этой точке, будет кругом сечения сферы на высоте h (радиус которого равен положительному числу с, вычисляемому по теореме Пифагора: h^2 + с^2 = 5^2). Следующий рисунок получен именно так.

Точки, находящиеся на отрезке, указывают высоту, на которой расположена каждая из окружностей. Этот рисунок является визуализацией сферы на плоскости (рисунок Хосу Арройо).

Возвращаясь к случаю гиперсферы радиуса 5 м в четвертом измерении, мы можем применить аналогичный метод и представить полугиперсферу как семейство всех сфер с центрами на вершине мачты и с радиусами, меньшими 5 м или равными 5 м. Мы можем представить гиперсферу как все сферы, расположенные на различных высотах h в направлении ана или ката.

Все сферы в направлении, перпендикулярном к трехмерному пространству (в направлении ана или ката), являющиеся частями гиперсферы, изображены на отрезке, точки которого указывают высоту каждой сферы. Этот рисунок является визуализацией гиперсферы в нашем трехмерном пространстве (рисунок Хосу Арройо).

Ортогональные проекции

Одним из методов, используемых для визуализации четырехмерного объекта, в данном случае гиперкуба, в трехмерном или даже в двумерном пространстве, являются математические проекции, которые преобразуют четырехмерное пространство в трехмерное. Как правило, мы можем использовать математические проекции для преобразования любого n-мерного пространства в пространства меньших размерностей.

Существует два типа проекций — геометрические и алгоритмические. Первый является более естественным, его можно интерпретировать как лучи света, дающие изображения и тени. Алгоритмические проекции выражаются с помощью математических формул. Это означает, что геометрическая интерпретация теряется, зато можно использовать мощные математические средства.

В этой главе мы рассмотрим два типа естественных геометрических проекций, используемых в повседневной жизни. Это ортогональные проекции, соответствующие освещению солнечным светом, и центральные проекции, связанные с близко расположенным источником света, например лампой или фонарем. Именно так работает наше зрение, и именно их имитирует перспектива в живописи.

* * *

АЛГОРИТМЫ И АЛГОРИФМЫ

Алгоритм — это упорядоченный и конечный набор действий для решения задачи, будь то в области математики или других наук. Метод вычислений также называется алгоритмом. Раньше в качестве синонима слова «алгоритм» использовали слово «алгорифм», однако в наши дни такое написание практически не употребляется, за исключением устойчивых выражений, как, например, «Нормальный алгорифм Макарова». Математик А.А. Макаров (младший) (1903–1979) был основоположником советской школы конструктивной математики и ввел понятие нормального алгоритма.

* * *

Для начала вспомним, как мы в детстве рисовали куб. Наверняка наши изображения были похожи на рисунок слева. Но мы тогда и не подозревали, что рисуем ортогональную проекцию куба.

Ортогональная проекция — это отображение, а именно проецирование в определенном направлении n-мерного координатного пространства любой размерности n на одно из его подпространств (n — 1) размерности. Иными словами, все точки, которые находятся на одной прямой линии, расположенной в заданном направлении, проецируются в одну точку (n — 1) — мерного подпространства, в которой эта прямая линия пересекает подпространство. В трехмерном пространстве подпространство, на которое мы проецируем, является плоскостью. Образ объекта, полученный в результате ортогонального проецирования, представляет собой своего рода тень объекта, полученную при освещении его параллельными лучами света, падающими на плоскость проекции в заданном направлении (см. рисунок ниже). Например, так как Солнце находится очень далеко от Земли, солнечные лучи можно считать параллельными, и они падают на Землю в определенном направлении. Таким образом, тени предметов являются ортогональными проекциями. Конечно, если изменить направление проецирования, то получаются различные плоские проекции одного и того же объекта.

Ортогональная проекция куба из «Начертательной геометрии» французского математика Гаспара Монжа.

Рассмотрим теперь трехмерный куб и спроецируем его на плоскость. Чтобы лучше представить проекцию, возьмем кубическую рамку — стержни, показывающие структуру куба и представляющие линии, из которых состоит куб. Проецируя в разных направлениях, мы получим следующие изображения. Как видим, они очень хорошо отражают интуитивный подход, который мы использовали на протяжении всей книги: куб — это результат перемещения квадрата в перпендикулярном направлении.

Ортогональные проекции куба в следующих направлениях: а — перпендикулярном к двум граням куба и параллельном четырем другим; б — параллельном только верхней и нижней граням куба; в — параллельном диагонали; г — не параллельном ни граням, ни диагонали.

В этом случае хорошо видно свойства ортогональных проекций: они переводят отрезки прямых в отрезки или точки и сохраняют параллельность. Кроме того, параллельные отрезки равной длины проецируются в параллельные отрезки также равной длины.

Если мы теперь ортогонально спроецируем четырехмерный гиперкуб (точнее, его каркас) на трехмерное пространство, мы получим трехмерную фигуру, изображенную на рисунке ниже.

Ортогональная проекция каркаса гиперкуба на трехмерное пространство, сделанная с помощью конструктора Zometool.

Если мы ортогонально спроецируем ее на плоскость, то получим классическое изображение гиперкуба.

Как видно, оно соответствует интуитивному образу гиперкуба, который мы получали ранее, представляя, как куб перемещается в перпендикулярном направлении. Вернемся снова к этой идее. Если куб перемещается в перпендикулярном направлении, то он порождает гиперкуб, изображение которого на плоскости выглядит следующим образом:

В зависимости от направления перемещения и симметричности гиперкуба его изображение будет отличаться. Но можно пойти еще дальше: при перемещении гиперкуба в перпендикулярном направлении получается 5-мерный куб.

И так можно продолжать бесконечно, получая все более красивые изображения.

* * *

НОВЫЙ ЯЗЫК АРХИТЕКТУРНОГО ДИЗАЙНА

Американский архитектор, писатель, дизайнер и теософ Клод Брэгдон (1866–1946) в своей книге «Проективный орнамент» (1915) описал систему для получения геометрических узоров, которые можно использовать в архитектуре, графическом дизайне и украшениях. Этот метод широко использовался в современной архитектуре, например при строительстве Торговой палаты в Рочестере (1915–1917), а также в дизайне журналов, плакатов и книг. Брэгдон писал о необходимости создания нового языка архитектуры и орнаментов, основанного на геометрии. Более того, четвертое измерение оказалось одним из основных инструментов для декоративного дизайна. Брэгдон утверждал, что «новые декоративные мотивы следует искать в четырехмерной геометрии».

Иллюстрация из книги «Проективный орнамент», показывающая, как четвертое измерение используется для создания новых декоративных мотивов.

Центральная проекция

Изображения куба и гиперкуба, полученные в предыдущем разделе, являются «тенями» при падении на объект параллельных «лучей света». Но теперь мы будем рассматривать тени, порожденные лучами света, исходящими из одной точки.

Именно такие изображения видит наш глаз или объектив фотокамеры. Соответствующая проекция называется центральной проекцией. Это отображение n-мерного координатного пространства в (n — 1) — мерное подпространство, при котором лучи соединяют центральную точку (источник света) с подпространством проекции, так что все точки, которые находятся на одном таком луче, будут проецироваться в одну точку (n — 1) — мерного подпространства.

* * *

МЕТОД ПЕРСПЕКТИВЫ В ИСКУССТВЕ

Метод перспективы в искусстве Ренессанса был научной и художественной революцией в подходе к представлению пространства на плоскости. В древности и в средние века образы на картинах были плоскими, в том смысле, что у них не было глубины, пропорции не сохранялись, а формы и объемы искажались. В Средние века, например, более крупно изображали более важных с религиозной точки зрения персонажей. В эпоху Ренессанса художники обратились к науке в поисках методов и приспособлений, позволяющих получить изображение, более близкое к тому, что видит глаз художника. Среди великих художников, использовавших метод перспективы, были Джотто, Пьеро делла Франческа, Брунеллески, Леон Баттиста Альберти, Рафаэль, Дюрер и Леонардо да Винчи. Метод перспективы доминировал в искусстве с XV до XIX в.

Сцена с картины «Альфонсо Мудрый и его двор» (рис. вверху). Это пример плоской живописи Средневековья. Ниже — «Бичевание Христа» (1444–1469) Пьеро делла Франчески. Ренессанс принес с собой метод линейной перспективы.

* * *

Если спроецировать трехмерный куб, используя центральную проекцию из трех различных точек, то мы получим следующие изображения.

Как видим, центральная проекция не сохраняет параллельность. В этой проекции образом параллельных линий будут линии, которые пересекаются в точке схода. Как видно на рисунке, куб имеет три группы параллельных линий (или ребер), и его проекция может иметь одну, две или три точки схода (рисунки А, Б и В соответственно).

Кроме того, частям объекта, которые ближе к центральной точке проекции, соответствуют более длинные отрезки на проекции. Другими словами, у куба все ребра имеют одинаковую длину, а длина отрезков на проекции будет различаться в зависимости от расстояния от ребра до центральной точки проекции. Аналогично на рисунке А внешний квадрат соответствует грани, которая ближе к источнику света, а внутренний — той грани, которая дальше.

Как и для куба, можно получить разные центральные проекции гиперкуба в нашем трехмерном пространстве в зависимости от положения источника света в четырехмерном пространстве. Проекция гиперкуба, изображенного на рисунке Б, соответствует рисунку А. Как и в трехмерном случае, внешний куб представляет собой кубическую грань гиперкуба, которая расположена ближе к центральной точке проекции, в то время как внутренний куб является образом дальней кубической грани.

Одним из самых интересных примеров визуализации гиперкуба является фильм Томаса Бэнчоффа и Рихарда Страусса «Гиперкуб: проекции и сечения», который показывает проекции гиперкуба в различных ракурсах.

Сечения гиперкуба

В прошлом при изучении морфологии цветов и различных растений ботаники использовали особый метод, состоящий в том, что изучаемый объект помещали в контейнер, куда наливали специальное вещество. Это вещество делало растение твердым, так что его потом можно было нарезать тонкими слоями. Вспомним, что во Флатландии такой способ использовался для передачи информации между мирами различных размерностей. Квадрат использует «небольшие срезы», чтобы описать Флатландию или чтобы показать себя королю Лайнландии. Для этого он пересекает своим телом одномерный мир Лайнландии. Аналогично Сфера, пересекая Флатландию, пытается объяснить реальность существования самой себя и трехмерной вселенной. Что же видит Квадрат, когда Сфера пересекает Флатландию? Сначала он видит точку, затем — круг (хотя круг может быть жрецом Флатландии), который увеличивается, а затем снова уменьшается до точки и исчезает. Мы бы увидели то же самое, если бы наш мир посетила Гиперсфера, только вместо круга мы бы увидели меняющийся в размере шар. Иными словами, трехмерные срезы Гиперсферы являются сферами, которые меняются в размере.

* * *

ГИПЕРКУБ В ИСКУССТВЕ

С тех пор как четвертое измерение стало частью поп-культуры, многие художники пытались воссоздать различные визуализации гиперкуба, в том числе его проекции. Гиперкуб стал центральной темой произведений многих архитекторов, художников и скульпторов. Например, одна из скульптур, которая использует центральную проекцию гиперкуба, называется Monumento a la Constitution и находится в саду музея естественных наук в Мадриде. Она изготовлена из андалузского белого мрамора, символа чистоты. Сторона ее внешнего куба равна 7,75 м, четыре боковые грани открыты, и в каждой имеется шесть ступенек, ведущих к центральному кубу, так что к нему можно подойти с четырех сторон света, что символизирует демократические ценности. Гиперкуб представляет собой более высокую реальность, чем наше трехмерное пространство, соответствующее трем конституционным принципам: свобода, равенство, братство. Идею гиперкуба можно также найти в Большой арке Дефанс (La Grande Arche de la Defense), расположенной в пригороде Парижа.

Построенное по проекту датского архитектора Отто фон Спрекельсена в 1989 г., это внушительное сооружение высотой 110 м имеет форму центральной проекции гиперкуба. В верхней части арки располагаются зал для конференций и выставочный центр, музеи и смотровая площадка, а в боковых частях — правительственные учреждения.

На фотографии слева — Большая арка Дефанс, гиперкуб к 200-летию Французской революции. Справа — Monumento a la Constitucidn (1979) по проекту архитектора Мигеля Анхеля Руиса Ларреа, который использовал центральную проекцию гиперкуба.

* * *

Центральная проекция четырехмерного гиперкуба в трехмерном пространстве.

Прежде чем анализировать форму гиперкуба с помощью трехмерных срезов, рассмотрим случай в пространстве на размерность меньше, а именно плоские сечения куба в различных направлениях, чтобы далее использовать эту аналогию.

Трехмерные сечения гиперсферы (рисунок Хосу Арройо).

Если рассекать куб вдоль одной из его граней, другими словами, делать параллельные срезы, то полученные сечения будут квадратами, как видно на рисунке на следующей странице. Если сделать срез, проходящий через одно из ребер по диагонали куба, и другие сечения, параллельные этому срезу, то получаются прямоугольники, квадраты и отрезки. Самые интересные сечения, которые труднее всего представить, получаются, когда делаются срезы, начиная с одной из вершин и перпендикулярно к диагонали куба, соединяющей эту вершину с противоположной.

Сначала получается треугольник, который увеличивается в размерах, затем уменьшается, пока не исчезнет на противоположной вершине. Но какую фигуру мы увидим в середине этого процесса? Как ни странно, это правильный шестиугольник, то есть шестиугольник с равными сторонами и углами.

Это происходит потому, что треугольные сечения изменяются при прохождении через другие три вершины куба, образуя шестиугольник со сторонами разной длины, который потом снова становится треугольником, уменьшающимся в размере.

Но вершины этого треугольника теперь ориентированы в направлении, противоположном направлению изначального треугольника, поэтому в силу симметрии в средней точке мы получаем правильный шестиугольник.

Плоские сечения куба в зависимости от направления среза.

* * *

ГОРИЗОНТАЛИ

Плоские сечения трехмерных объектов с целью получения информации об их геометрии и форме используются, например, в топографии. На топографических картах можно видеть различные контуры, которые представляют собой точки, находящиеся на одной высоте над уровнем моря. Они показывают горизонтальные сечения поверхности местности на различной высоте. При пересечении поверхности горизонтальными плоскостями как раз и получаются такие кривые линии. Если они расположены очень близко друг к другу, то на местности это означает наличие крутого склона, а если они находятся далеко друг от друга, то поверхность более пологая. Горизонтали наряду с использованием цвета на топографических картах дают дополнительную информацию о рельефе.

Горизонтали служат для изображения рельефа местности.

* * *

Чтобы получить трехмерные сечения гиперкуба, мы, как и в случае с кубом, будем делать срезы вдоль кубической грани, затем параллельно квадратной грани, затем параллельно ребру и, наконец, начиная с вершины. Можно представить, будто гиперкуб падает сквозь наше трехмерное пространство. Мы будем изучать те части гиперкуба, которые мы видим во время его движения.

Если принять во внимание, что гиперкуб, или тессеракт, представляет собой куб, движущийся в дополнительном перпендикулярном направлении, то очевидно, что его трехмерные сечения вдоль кубической грани всегда являются кубами. И действительно, эти сечения — различные положения трехмерного куба при его движении в четвертом измерении.

Чтобы понять, как выглядят сечения гиперкуба при срезах параллельно квадратной грани, надо представить сечения куба вдоль его граней или ребер. Как видно на рисунке ниже, квадратная грань образует квадратные сечения при движении, в то время как кусочки рассекаемой квадратной грани образуют прямоугольники, поэтому сечения гиперкуба будут представлять собой прямоугольные призмы с квадратными основаниями.

Сечения куба со стороны ребра и вершины помогают понять форму трехмерного сечения гиперкуба при срезах параллельно ребру. Последовательность трехмерных срезов будет линией, треугольной призмой, затем шестиугольной призмой и правильной шестиугольной призмой. Затем эти фигуры будут повторяться в обратном порядке.

Наиболее интересный случай, как и в примере с кубом, — это сечения гиперкуба, начиная с его вершины. Последовательность сечений представляет собой точку, тетраэдр, усеченный тетраэдр, икосаэдр, снова усеченный тетраэдр, тетраэдр и опять точку.

Развертка гиперкуба

Другим методом визуализации гиперкуба является изучение его развертки в трехмерном пространстве. В нашем трехмерном пространстве обычная коробка образована внешней частью куба — его квадратными гранями. Если открыть одну из них, как крышку, мы получим внутреннюю часть куба — пространство для хранения вещей. Во Флатландии, например, коробки представляли собой квадраты, а гранями таких коробок были стороны квадрата, одна из которых являлась крышкой, с помощью которой флатландцы открывали и закрывали коробку, используя внутреннее двумерное пространство для хранения вещей. Гиперкоробкой будет являться внешняя часть гиперкуба, образованная трехмерными кубическими гранями, одна из которых будет использоваться как крышка, и гиперсущества смогут хранить в четырехмерном внутреннем пространстве гиперкоробки свои вещи.

Если развернуть квадрат, или куб, или гиперкуб, мы получим их внешнюю часть: для квадрата — отрезки, для куба — квадраты, для гиперкуба — кубы, то есть фигуры на одну размерность меньше. Следовательно, мы можем развернуть их в пространстве меньшей размерности. Коробка из Флатландии — квадрат — может быть развернута в Лайнландии, и ее сможет увидеть король Лайнландии, чтобы понять, что такое квадрат. Наша обычная кубическая коробка может быть развернута на плоскости. Таким образом флатландцы могут попытаться понять форму куба. И, наконец, мы можем развернуть гиперкоробку в нашем трехмерном пространстве и лучше понять, что такое гиперкуб. На следующих рисунках изображены развертки в каждом описанном случае.

Давайте представим, как Квадрат — житель Флатландии — развернул одну из своих коробок в Лайнландии. Для этого он сначала открыл крышку коробки (если у нее не было крышки, то две из ее сторон нужно отделить друг от друга в вершине), а затем развернул ее в прямую линию. В конечном итоге он получил четыре равных отрезка, расположенных на одной линии, то есть в Лайнландии.

Теперь рассмотрим хорошо нам знакомую развертку кубической коробки. Как обычно, сначала мы откроем крышку. Если крышки нет, то одну из граней надо отделить от других, разрезав по трем ребрам. Когда крышка открыта, отделим друг от друга четыре боковых грани, разрезав коробку по четырем соединяющим их ребрам. После этого кубическая коробка может быть разложена на столе, образовав так называемую развертку куба, как показано на рисунке, хотя возможны и другие развертки.

* * *

ГЕКСАМИНО

Плоские фигуры, образованные путем соединения шести квадратов ребро к ребру (квадраты не могут касаться только вершинами), называются гексамино. Примером такой фигуры является развертка кубической коробки. Рассмотрим интересную задачу: сколько существует различных таких фигур? Их количество, конечно, зависит от числа квадратов. В общем случае полимино, или n-мино, образовано из n квадратов. Существует одно-единственное домино (n — 2). Добавив один квадрат, мы можем построить два тримино (n — 3). С еще одним квадратом мы получим пять тетрамино. Именно эти фигуры, кстати, используются в игрететрис. Существует 12 пентамино, которые также появляются в интересных играх. Наконец, добавив еще один квадрат к 12 пентамино, мы получим 35 гексамино. Но какие из них являются развертками куба? Попробуйте сами ответить на этот вопрос!

35 возможных гексамино, но лишь 11 из них являются развертками куба.

* * *

Теперь, используя аналогии для случаев меньших размерностей, мы попробуем получить развертку гиперкуба. Как и раньше, мы откроем крышку гиперкоробки — верхнюю кубическую грань, соединенную с шестью другими гранями. Для этого мы должны отсоединить кубическую крышку от пяти граней гиперкуба, разрезав по пяти квадратам. Теперь гиперкуб открыт, но мы должны сделать дополнительные разрезы, чтобы развернуть его. Нужно разрезать по квадратам, которые соединяют те шесть кубов, что прилегали к крышке (таких разрезов будет восемь). Таким образом мы получили гиперкуб, развернутый в нашем трехмерном пространстве.

Каждый из подходов для представления гиперкуба в трехмерном пространстве дает нам часть информации о четырехмерном объекте, но скрывает другую часть информации и даже искажает ее. Например, проекции искажают форму гиперкуба, но сохраняют информацию о пространственных соотношениях элементов гиперкуба друг с другом в четвертом измерении. Сечения дают очень мало информации, так как показывают очень небольшую часть объекта, но зато без искажений, а последовательность нескольких сечений также несет в себе полезную информацию о внутренней структуре гиперкуба. Развертки показывают нам без искажений элементы гиперкуба, но мы теряем информацию о четырехмерных соотношениях элементов и изначальной форме гиперкуба.

Пространственно-временной континуум

Этот раздел, посвященный статическому пространству-времени, вроде бы не имеет ничего общего с визуализацией четвертого измерения. Однако в XIX в., когда время рассматривалось в качестве возможного четвертого измерения, этот подход также использовался для получения мысленных образов четырехмерных объектов.

Время (или движение как локальный вариант времени) являлось еще одним измерением, дополнительным к трем пространственным.

Теперь мы снова вернемся к двумерным аналогиям Флатландии для того, чтобы лучше понять, что такое пространственно-временной континуум. Хинтон сравнил его с книгой, страницами которой являются моменты времени, идущие не по порядку.

В этом случае пространственно-временной континуум будет трехмерным, пространственная часть которого является двумерным пространством, Флатландией, а время — еще одним измерением, перпендикулярным к ней. Чтобы лучше понять это, представим себе такую картину: Квадрат подходит к своему сыну Пятиугольнику, чтобы поговорить с ним, а затем снова уходит. В пространственно-временном континууме мы бы наблюдали два сближающихся, а затем удаляющихся стержня: один с пятиугольным сечением, а другой — с квадратным. Каждый момент времени этой сцены во Флатландии является двумерным сечением пространства-времени, которое, соответственно, представляет собой последовательность разных моментов времени — как пленка, состоящая из последовательности кинокадров.

Аналогично наше статическое пространство-время представляет собой четырехмерное пространство с тремя пространственными измерениями и одним временным.

Каждый момент времени является трехмерным сечением пространственно-временного континуума. В этом четырехмерном пространстве мы выглядим как стержни, конечные во времени. Статическое пространство-время объединяет в себе прошлое, настоящее и будущее, но почему тогда нельзя увидеть прошлое или будущее, если они, конечно, существуют? Более того, почему мы воспринимаем время как текущее вперед? Некоторые считают, что это свойство нашей вселенной и это надо принять как данность. Например, в своей статье «Миф о течении времени» физик Дэвид Парк писал: «… все события нашей жизни и нашей истории существуют одновременно, а иллюзия течения времени является свойством нашей вселенной, которое можно наблюдать, но нельзя объяснить…» Другие думают, что течение времени — это нечто субъективное, происходящее в нашем сознании, и что можно достичь определенного психического состояния, при котором мы можем изменить местоположение нашего сознания в пространстве-времени. Правда, приверженцев этой идеи не так уж и много.

Для Флатландии пространственно-временной континуум будет трехмерным, где Квадрат и его сын Пятиугольник выглядят как вытянутые во времени стержни.

Фильм или книга являются неплохой метафорой для пространственно-временного континуума, так как книги или фильмы находятся в нашей коллекции, даже если мы не смотрим и не читаем их. Тогда восприятие течения времени аналогично просмотру фильма или чтению книги. Но тут возникают интересные вопросы: можно ли посмотреть фильм несколько раз или даже бесконечное число раз? Возможно ли в определенный момент фильма вернуться к предыдущему эпизоду или перемотать на несколько эпизодов вперед? Если это возможно, то где находится пульт дистанционного управления временем?

Другим интересным вопросом, связанным с теорией статического пространства-времени, является проблема свободы воли. Обычно отмечают тот факт, что будущее вовсе не определяется тем, что произошло ранее, а если даже будущее предопределено, это вовсе не значит, что его можно предсказать. Если бы будущее можно было предсказать, то нарушился бы сам пространственно-временной континуум.

Ведь это бы означало, что у нас нет свободы действий, что наши жизненные пути предопределены, хотя мы даже не осознаем это. Если что-то случается, мы склонны спрашивать себя, как же это случилось? Что вызвало это событие, чем то или иное действие было мотивировано? Мы обычно считаем, даже веря в свободу воли, что всегда существуют внутренние или внешние причины, объясняющие любое событие.

Например, при изучении физики возникает впечатление, что для всего есть свои причины и ничто не является случайным. Положение каждой частицы определяется ее начальными условиями, положением в пространстве и силами, действующими на нее.

Однако физики доказали, что существуют события, которые могут произойти, а могут не произойти, независимо от того, что случилось ранее. Такая ситуация, например, имеет место при радиоактивном распаде атома урана. Решением проблемы свободы воли в пространственно-временном континууме является теория «параллельных вселенных». Эта идея была предложена и изучалась многими выдающимися физиками. Среди них американец Хью Эверетт, написавший диссертацию на эту тему, и Брайс Девитт, развивший идеи Эверетта. Благодаря Девитту работа Эверетта известна под названием «Многомировая интерпретация квантовой механики».

По этой теории, одновременно существуют все возможные вселенные, соединенные между собой в виде разветвленного дерева, и наша вселенная является не более чем одной из возможных ветвей. В каждый момент времени, когда какое-то событие происходит или не происходит, вселенная, точнее одна из ее ветвей, расщепляется на две части. Это означает огромное количество разветвлений и бесконечное число параллельных вселенных. Существуют вселенные, в которых мы есть и в которых нас нет, существуют даже вселенные, где у нас четыре руки или где мы можем летать.

Глава 8, Четвертое измерение в искусстве XX века

По отношению к пластическим формам четвертое измерение можно определить как осознание великого и могущественного чувства безмерности пространства во всех направлениях, существующего в трех известных измерениях. Это не физическая теория, не математическая гипотеза и не оптическая иллюзия. Это реальность, и как таковая она может восприниматься и ощущаться.

Макс Вебер. Четвертое измерение с точки зрения пластики (1910)

Метод перспективы эпохи Возрождения, заключавшийся в попытке изобразить то, что видит человеческий глаз, доминировал в искусстве на протяжении пяти веков. Однако изобретение фотографии, следствием которого стала возможность получения истинного изображения предметов, а также ряд других философских, социальных и культурных факторов привели к тому, что художники стали все реже использовать этот метод. Сначала это были робкие попытки импрессионистов, затем окончательный разрыв, начатый французским художником Полем Сезанном (1839–1906) и доведенный до логического завершения художниками-кубистами.

Неевклидовы и многомерные геометрии способствовали тому, что кубисты окончательно отказались от перспективы. Начиная с того времени, четвертое измерение проникло практически во все авангардные течения XX в. Оно пленяло художников различными аспектами — геометрическими, философскими, поэтическими — и использовалось в их работах в самых разнообразных формах.

Многие математики упрекали художников за отсутствие научной строгости в интерпретации четвертого измерения. Однако разве можно запретить проявлять интерес к какой-либо математической области, тем более что произведения искусства выходят за границы любой науки? Кроме того, разве это не нормально для работы художника, для его образа мышления и творчества — самому отражать социальные и общечеловеческие вопросы в поисках собственного пути, чтобы позже показать свое восприятие через произведения искусства? Почему такой подход, считающийся приемлемым для других тем, нельзя применить к математическим вопросам? Ведь художники не занимаются математикой, так почему мы должны требовать от них научной строгости? Их интерес к любым вопросам мироздания может завести их в любую область человеческого знания, включая математику. Мы не можем ожидать от них использования научных методов, у них есть собственный «художественный метод». Художники добавили к своему багажу четвертое измерение, неевклидовы и многомерные геометрии, чтобы использовать их в своих собственных открытиях.

Кубизм и разрыв с методом перспективы

Четвертое измерение было символом освобождения и источником новых идей для многих художников, в частности для кубистов. С восторгом встретив идеи о существовании многомерных пространств и высшей реальности, они попытались порвать с методом перспективы эпохи Возрождения, чтобы оторваться от «визуальной реальности», ограниченной теми проекциями трехмерного пространства, которые воспринимает наш глаз. В конце XIX в. четвертое измерение внесло вклад и в развитие идеалистической философии, которая пришла на смену господствующему в то время позитивизму.

Французские художники Альбер Глез (1881–1953) и Жан Метценже (1883–1956), видные теоретики кубизма, писали в своей книге «О кубизме», что художник-кубист в отличие от художника эпохи Возрождения не пытается изобразить объект так, как его видит глаз, а показывает объект таким, какой он есть. На эту тему существует анекдот о том, как Пабло Пикассо (1881–1973) как-то раз ехал в поезде. Другой пассажир узнал его и спросил, почему тот не может изображать людей такими, какие они есть, а не в искаженном виде. Пикассо попросил у того человека фотографию его семьи, некоторое время рассматривал ее, а потом ответил: «Разве ваша жена действительно такая маленькая и плоская?» Другими словами, изображение объекта в перспективе, как бы реалистично оно ни выглядело, даже если это фотография, не показывает объект таким, какой он есть на самом деле. Любое изображение объекта — это лишь его проекция. В статье, появившейся в журнале Comoedia Illustré в 1913 г., критик Морис Рейналь писал: «Вместо того чтобы изображать объекты, как они их видят, примитивисты изображали их, как они думали, как они их видят. И это именно тот подход, который кубисты видоизменили, расширив его и определив термином "четвертое измерение"».

Чтобы отказаться от метода перспективы и представлять объекты такими, какие они есть на самом деле, а не какими мы их видим, кубисты изображали на холсте несколько ракурсов. В качестве примера можно привести картину Пикассо «Портрет Марии Терезы Вальтер» (1937). На этом портрете, несмотря на то что он не относится к кубистскому периоду Пикассо (который, по мнению историка искусства Дугласа Купера, длился с 1907 по 1921 г.), Мария Тереза Вальтер изображена в различных ракурсах.

На картине Пикассо Мария Тереза Вальтер изображена в различных ракурсах. Ее шляпка показана с двух различных точек зрения: сверху и снизу. Лицо возлюбленной Пикассо (написанное в классическом стиле Пикассо) также изображено в разных планах: по одному для каждого глаза, еще один ракурс — для губ, четвертый — для носа и еще один — для волос. В изображении тела также можно найти несколько ракурсов. Стул и руки показаны по крайней мере с двух точек зрения. Пол изображен так, будто зритель смотрит на женщину сверху вниз, в то время как потолок показан снизу.

Однако метод, используемый в первые годы кубизма, заключался в том, чтобы разбить изображение на небольшие участки или грани и в каждом из них показать части объекта в различных ракурсах, которые все вместе образовывали на холсте полное изображение, представленное со всех точек зрения. При таком способе живописи изображение приобретает определенную сложность и начинает напоминать визуализации четырехмерных объектов. Примером использования такого метода является одна из картин кубистского периода Пикассо «Портрет Амбруаза Воллара» (1910).

На картине «Портрет Амбруаза Воллара» Пикассо изобразил парижского торговца произведениями искусства «многогранным» — с различных точек зрения.

Еще одним примером является картина Метценже «Обнаженная» (1910). Метценже был одним из тех художников, которые с восторгом приняли четвертое измерение, и эта картина представляет собой очень сложный образ, написанный с различных точек зрения, который вырывается из плена трехмерного пространства, изображая более высокую четырехмерную реальность. Другими работами Метценже, выполненными в разных ракурсах, хотя и не такими сложными, как предыдущая картина, являются «Чаепитие» (1911) и «Танец» (1912). Однако «Женщина в шляпке» (1913) написана в совершенно другом стиле с различными ракурсами женского лица на вертикальных гранях. Пикассо и Метценже были самыми активными из кубистов, развивавших технику многочисленных граней, хотя этот подход использовали и другие художники, такие как Жорж Брак, Робер Делоне и Альбер Глез.

В четвертой главе мы уже говорили о том, что глаз гиперсущества может одновременно видеть как внешнюю поверхность объекта, так и его внутреннее устройство, то есть гиперсущества могут видеть нас во всех возможных ракурсах. В каком-то смысле именно в этом заключалась цель кубистов. Кроме того, некоторые художники использовали мысль и воображение в качестве пути в четвертое измерение, о чем говорит следующая цитата Пикассо: «Я изображаю предметы так, как я думаю о них, а не такими, какими я их вижу». Кубисты ассоциировали перспективу эпохи Ренессанса с евклидовым трехмерным пространством, в то время как в пространстве своих картин они использовали четвертое измерение и неевклидовы геометрии.

Вот как объясняют это Метценже и Глез в своем манифесте «О кубизме»:

«Признаемся однако, что некоторое напоминание существующих форм не должно быть изгнано окончательно, по крайней мере в настоящее время. Нельзя же сразу возносить искусство до полного исчезновения конкретности. Художники-кубисты это знают. Они неустанно изучают живописную форму и те особые пространственные отношения, которые она создает. Это пространство мы по неосмотрительности путаем с визуальным, или с евклидовым пространством. Евклид в одном из своих постулатов говорит о неспособности к деформации движущихся фигур, поэтому мы не должны ограничивать себя этим положением.

Если бы мы захотели привязать художественное пространство к геометрии, нам следовало бы отнести его к неевклидовой математике, и нам пришлось бы изучать некоторые из теорем Римана».

Поэт и критик Гийом Аполлинер (1880–1918) придерживался такого же подхода в своей работе «Эстетические размышления — художники-кубисты» (1913):

«Тайной целью молодых художников экстремистских школ является чистая живопись. Их искусство представляет собой совершенно новые пластические формы. Оно еще только рождается и еще не так абстрактно, как хотелось бы.

Многие новые художники зависят в большей степени от математики, сами не осознавая это. Они еще не совсем отказались от существующих форм, терпеливо изучая их, надеясь найти правильные ответы на вопросы, поставленные жизнью. <…>

<…> Новых художников жестоко критикуют за их увлечение геометрией.

Однако геометрические фигуры являются сутью рисунка. Геометрия — наука о пространстве, размерах и отношениях — всегда определяла нормы и правила живописи. До сих пор три измерения евклидовой геометрии были достаточны для норовистых художников, тоскующих по бесконечности.

Новые художники не более, чем их предшественники, стремятся быть геометрами. Но следует сказать, что геометрия для пластических искусств — это то же самое, что грамматика для искусства писателя. Сегодня ученые больше не ограничивают себя тремя измерениями Евклида. И художники, что совершенно естественно (хотя кто-то и скажет, что только благодаря интуиции), привлекли новые возможности пространственных измерений, что на языке современных студий стало называться четвертым измерением.

Существуя в сознании образом пластики предмета, четвертое измерение зарождается благодаря трем известным измерениям: оно представляет собой необъятность пространства во всех направлениях в каждый данный момент.

Это само пространство, само измерение бесконечности; четвертое измерение одаряет предметы пластичностью».

Первая из этих двух цитат ссылается на утверждение Евклида о «неспособности к деформации движущихся фигур». Это означает, например, что квадрат не деформируется при движении на плоскости (под движением здесь понимается перенос или поворот). Однако Риман рассматривал пространства (поверхности или многомерные пространства) с переменной кривизной, в которых форма фигуры меняется при перемещении. Например, в третьей главе мы уже говорили о поверхности тора, которая имеет переменную кривизну — положительную снаружи и отрицательную внутри. Теперь изобразим на внешней стороне тора выпуклую фигуру более или менее прямоугольной формы. Мы увидим, что при перемещении этой фигуры на внутреннюю сторону тора ее форма изменится, то есть фигура исказится и станет выпуклой в одних направлениях и вогнутой в других.

«Прямоугольная» фигура на внешней стороне тора выпукла во все стороны, однако при перемещении на внутреннюю часть тора — рисунок перевернут для наглядности — стороны фигуры поменяли кривизну.

Для кубистов четвертое измерение означало не только разрыв с методом перспективы, но и определенную свободу в изображении пространства и формы. Кроме того, Метценже и Глез, Аполлинер и польско-американский художник Макс Вебер (1881–1961) связывали четвертое измерение с бесконечностью. Это была своего рода метафора, так как для них метод перспективы и третье измерение являлись тюрьмой искусства и его выразительных средств, в то время как четвертое измерение выпускало творчество на свободу. Альбер Глез подчеркнул это в интервью, данном в 1912 г.: «К трем измерениям Евклида мы добавили еще одно — четвертое, которое является конфигурацией пространства и мерой бесконечности».

Обратимся теперь к картине Пикассо «Авиньонские девицы» (Les Demoiselles d Avignon, 1907) — отправной точке кубизма и авангарда XX в. В этой работе мы видим полный разрыв с методом перспективы и использование нескольких ракурсов, и это означает начало нового визуального языка. Произведение явно написано под влиянием Сезанна как с точки зрения отказа от перспективы, так и учитывая попытку Пикассо представить реальность, сведя ее к основным формам. (Целью Сезанна было «трактовать природу посредством цилиндра, шара, конуса».) Пикассо познакомился с концепцией четвертого измерения благодаря математику Морису Принсе, который встретился с художником в 1905 г. и вскоре стал членом «группы Пикассо». Принсе рассказал членам группы о работах Пуанкаре и Эспри Жуффре, а также о четвертом измерении. В своей книге о Пикассо и Эйнштейне Артур Миллер отмечает сходство между эскизами Пикассо к этой картине и геометрическими фигурами Жуффре (см. рисунок на следующей странице). То же самое заметила историк искусства Линда Хендерсон в отношении картины «Портрет Амбруаза Воллара». Но конечно же, четвертое измерение является лишь одним из источников вдохновения для «Авиньонских девиц» наряду с африканским искусством, работами Сезанна, «иберийским» стилем живописи и др.

Проекции шестнадцати основных октаэдров и икоситетраэдров из книги Жуффре «О геометрии четырех измерений» (1903).

Но как эта работа, такая важная для искусства XX в., была встречена соратниками Пикассо? Он показал им картину в своей мастерской и, судя по всему, получил очень плохие отзывы. Жорж Брак, позже ставший наряду с Пикассо одним из основоположников кубизма, даже пошутил, что друг его, возможно, был пьян, когда писал эту картину. Лео Штейн, долгое время бывший покровителем Пикассо, саркастически заметил: «Вы пытались нарисовать четвертое измерение? Как забавно!»

Матисс решил, что картина просто шутка, и грозился уничтожить Пикассо. Дерен заявил, что после такой картины остается только совершить самоубийство. Только коллекционер Даниэль Анри Канвейлер заинтересовался картиной и предложил купить ее. Однако Пикассо оставил ее себе, ответив, что она не продается. Лишь девять лет спустя публика увидела «Авиньонских девиц».

В заключение мы приведем любопытное замечание, сделанное французским писателем и критиком Андре Салмоном в 1912 г., которое позже повторил Артур Миллер: «["Авиньонские девицы" — это] голые задачи, белые цифры на черной доске. Это новый провозглашенный принцип: картина = уравнение… Таким образом, живопись тоже стала наукой, не уступая ей в строгости».

Дружба между французским художником Жоржем Браком (1882–1963) и Пабло Пикассо привела к появлению аналитического кубизма, приверженцами которого стали также Метценже, Глез и Аполлинер. Потом была выставка кубистов в Салоне Независимых (Salon des Independants) в 1911 г., где были представлены произведения Метценже, Глеза, Анри Ле Фоконье (1881–1946), Фернана Леже (1881–1955) и Робера Делоне (1885–1941), хотя, как ни странно, там не было ни картин Пикассо, ни картин Брака. Сторонники аналитического кубизма образовали «группу из Пюто», в то время как Брак и Пикассо развивали синтетический кубизм, где доминировал коллаж.

«Группа из Пюто», также называемая la Section d’Or («Золотое сечение») в честь геометрической пропорции, сформировалась благодаря решению нескольких художников, поэтов и критиков встречаться каждое воскресенье в студии художника Жака Биллона (1875–1963) в Пюто — пригороде Парижа. В ее состав вошли Метценже, Глез, Хуан Грис из Мадрида (1887–1927), Ле Фоконье, Леже, Делон, три брата Жак Виллон, Раймон Дюшан-Виллон (1876–1918) и Марсель Дюшан (1887–1968), а также Франсис Пикабия (1879–1953), чешский теософ Франтишек Купка (1871–1957) и Аполлинер.

* * *

ПРИНСЕ, МАТЕМАТИК КУБИЗМА

Математик Морис Принсе (1875–1973) работал страховым агентом, но был важной фигурой среди кубистов и даже заслужил титул «математик кубизма». Познакомившись с Пикассо, он присоединился к его группе, а позже — к группе из Пюто. Он часто давал неофициальные консультации по четвертому измерению и неевклидовой геометрии. В своих мемуарах Метценже написал: «Морис Принсе часто бывал у нас… Он воспринимал математику как художник, а многомерные пространства рассматривал с точки зрения эстетики. Ему нравилось, когда ему удавалось заинтересовать художников новыми взглядами на пространство, открытыми Шлегелем и другими. И он в этом преуспел».

* * *

Каждый из кубистов имел свой собственный характерный стиль, но одним из общих интересов членов группы была геометрия. Если посмотреть на их работы, можно заметить использование четвертого измерения, основных геометрических фигур, золотого сечения и других геометрических элементов. На собраниях группы из Пюто часто бывал математик Принсе, который рассказывал художникам о геометрии, в частности о четвертом измерении и неевклидовых геометриях. Именно благодаря ему они познакомились с работами Анри Пуанкаре и Эспри Жуффре.

Большое значение для популяризации четвертого измерения имел научно-фантастический роман Гастона де Павловского «Путешествие в страну четвертого измерения». Картина Жана Метценже, которая была на выставке 1913 г., но в настоящее время потеряна, называлась «Мертвая природа (четвертое измерение)».

* * *

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Золотое сечение, золотая пропорция или божественная пропорция — это геометрическая пропорция, вызывавшая большой интерес в мире культуры и искусства.

Золотое сечение было определено еще в «Началах» Евклида следующим образом: золотое сечение — это такое деление целого отрезка на две неравные части а и Ь, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая — к большей. С помощью формулы это записывается так:

Если мы обозначим это отношение Ф = a/b, то предыдущее уравнение может быть записано как уравнение второй степени Ф^2  — Ф — 1 = 0, положительным решением которого является число

Кроме того, прямоугольник со сторонами а и Ь называется «золотым прямоугольником», если длины его сторон соотносятся в золотой пропорции. Это соотношение использовалось в греческих и египетских канонах красоты, а в эпоху Возрождения привлекало интерес не только математиков, таких как Лука Пачоли, но и художников, в том числе Леонардо да Винчи.

С того времени золотое сечение стало частью культуры. Жак Виллон наряду с другими кубистами заинтересовался им благодаря французскому переводу «Трактата о живописи» Леонардо да Винчи в 1910 г. Именно интерес к этой книге участников группы Пюто объясняет ее название — la Section d'Or («Золотое сечение»), хотя только два члена группы часто использовали золотое сечение в своих работах — Виллон и Грис. Также иногда эта пропорция появлялась у Метценже и Глеза.

Хуан Грис часто использовал золотое сечение в своих работах, например на картинах «Портрет Жермены Рейналь» и «Мужчина в кафе»(вверху), а также «Сидящий Арлекин».

Марсель Дюшан

Марсель Дюшан был одним из членов группы из Пюто, особенно интересовавшихся математикой и четвертым измерением. Его подход отличался от подхода других кубистов тем, что Дюшан пытался визуализировать четвертое измерение собственными художественными средствами, применяя математические методы чаще, чем другие художники.

Приведем отрывок из «Диалога с Марселем Дюшаном» (1966) Пьера Кабана:

«Пьер Кабан: Ваши знания математики удивительны, тем более если учесть, что у вас нет специального образования.

Дюшан: Не совсем так. В то время нас интересовало именно четвертое измерение. В „Зеленом ящике" есть много записей о четвертом измерении. Вы помните человека, кажется, его звали Поволовский [имеется в виду Павловский]? Он был редактором на улице Бонапарта. Я забыл его имя. Он писал статьи в журналы о четвертом измерении, приводя аналогии с плоскими двумерными существами… Это было действительно забавно, даже в период кубизма с Принсе.

Пьер Кабан: Принсе был псевдоматематиком, он иронизировал…

Дюшан: Совершенно верно. Мы были не настоящие математики, поэтому мы так верили Принсе. Он производил впечатление осведомленного человека».

Первая из трех картин, которые иллюстрируют интерес Марселя Дюшана к четвертому измерению, — это «Портрет шахматистов» (1911). Из записок Дюшана мы знаем, что он читал работы Пуанкаре и Эспри Жуффре, а также Гастона де Павловского.

Жуффре использовал шахматы в качестве метафоры для визуализации четвертого измерения, сравнивая его с мыслительным процессом шахматиста, который играет одновременно несколько партий вслепую, то есть не глядя на шахматные доски. Темой этой картины является мыслительный процесс шахматиста, хотя тот играет только одну партию. Кроме того, Дюшан, который сам был заядлым шахматистом, сказал в интервью, что он поместил своих игроков в бесконечное пространство (как мы уже говорили, теоретики кубизма связывали четвертое измерение с бесконечным пространством).

Впоследствии Дюшан начал исследовать статическое представление движения, что является одним из методов визуализации четвертого измерения, то есть статического, а не релятивистского пространства-времени. Он говорил о так называемом элементарном параллелизме: «…Поверхность образуется повторением линий точно так, как линия образуется повторяющимися в одном направлении точками. Та же самая аналогия используется при переходе от плоскости к пространству. Непрерывное повторение п-мерных пространств приводит к (n + 1) — мерному пространству».

Дюшан сам пришел к теории Хинтона и других философов, которая описывает гиперкуб как результат движения куба в дополнительном измерении. Картиной этого периода, наилучшим образом отражающей его элементарный параллелизм, является «Обнаженная, спускающаяся по лестнице. № 2» (1912).

В картине «Обнаженная, спускающаяся по лестнице. № 2» (внизу) Дюшан смешивает идеи кубизма, метод различных ракурсов и движение (тут можно даже говорить о пяти измерениях). Источником вдохновения была работа английского фотографа Эдварда Мейбриджа «Женщина, спускающаяся по лестнице» (вверху). Работа вызвала много споров среди кубистов, которые не признавали движение.

Марсель Дюшан, «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах» («Большое стекло») (1915–1923).

Однако Дюшан пошел еще дальше в своей интерпретации четвертого измерения. В конце 1912 г. он сделал первые наброски своей монументальной работы «Большое стекло». В результате получилась «Невеста», о которой Дюшан сказал, что она была «первым проблеском четвертого измерения» в его работе, поскольку на картине были изображены трехмерные проекции невесты, находящейся в четвертом измерении и позже появившиеся в «Большом стекле». В эти годы он интересовался такими вопросами, как четвертое измерение, машины, антиискусство, психология и отчуждение человека. После переезда в Нью-Йорк в 1915 г. он начал работу над картиной «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах» («Большое стекло»). С точки зрения визуализации четвертого измерения, центральной идеей того периода были проекции — представление четырехмерных объектов в виде их проекций в трехмерном пространстве. В своих записях об этой картине, собранных в «Белом ящике» и в «Зеленом ящике», он, например, писал: «Тень четырехмерной фигуры в нашем пространстве будет трехмерной тенью». И еще: «…если тени являются двумерными проекциями трехмерного мира, то трехмерный мир — это проекция четырехмерной вселенной».

* * *

ДЮШАН И АНТИИСКУССТВО

Возможно, именно Пабло Пикассо и Марсель Дюшан были художниками, оказавшими наибольшее влияние на искусство XX в. Пикассо был художником в классическом смысле этого слова, он постоянно генерировал новые идеи и воплощал их в своих работах. Дюшан же был художником, который размышлял об искусстве, подвергал его сомнению и даже отвергал его. Он был, по существу, философом искусства. Одним из неожиданных аспектов его подхода является его художественная неактивность — его антиискусство, когда Дюшан заменил картины размышлениями о них. Как сообщалось, в 1912 г. он ушел из мира искусства и начал работать в книжном магазине, но вскоре оставил это дело и переехал в Нью-Йорк. Однако он продолжал работать в течение еще десяти лет, обдумывая свою важнейшую работу «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах» («Большое стекло») (1915–1923) и делая к ней наброски. Результатом этих размышлений стали два сборника его разрозненных заметок — «Белый ящик» и «Зеленый ящик», в которых были описаны его идеи для «Большого стекла» и размышления о четвертом измерении. С того времени он стал антихудожником, создавая произведения не искусства, а антиискусства. Тем не менее он продолжал оставаться самой влиятельной фигурой в искусстве XX в.

* * *

Его работа «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах» («Большое стекло») является именно большим стеклом, разделенным на две части. В верхней части находится трехмерная проекция невесты — существа, которое обитает в четырехмерной вселенной. В нижней же части изображены девять холостяков в трехмерном евклидовом мире. Использование стекла, как написано в заметках Дюшана, — это метафора проекции: «Стекло и зеркала используются для изображения перспективы». Работа имеет несколько смысловых уровней, и, хотя ее изучению было отдано много усилий, значение четвертого пространственного измерения в течение многих лет упускалось из виду, как и в случае со всем искусством начала XX в., несмотря на прямые комментарии художников и критиков того времени.

Однако в 1970-х гг. историки искусства вновь открыли связь кубизма с четвертым измерением.

* * *

ЗАВЕРШЕНИЕ «БОЛЬШОГО СТЕКЛА»

Это произведение, как правило, датируется 1915–1923 годами. В 1915 г., приехав в Нью-Йорк, Дюшан начал работу над этой картиной, а в 1923 г. он вернулся в Европу. Однако у него осталось ощущение, что работа не закончена. После выставки в Бруклинском музее в 1926 г. два куска стекла — часть с невестой и часть с холостяками — положили друг на друга, и во время транспортировки по плохой дороге стекло разбилось. В 1936 г. Дюшан с помощью стекольщика восстановил картину. Увидев симметричные трещины на двух частях произведения, которые таким образом связывали невесту с холостяками, он понял, что его работа наконец-то завершена.

Четвертое измерение в различных движениях в искусстве XX века

На протяжении XX в. четвертое пространственное измерение не всегда присутствовало в искусстве. Поэтому можно выделить четыре этапа:

1900–1920: золотой век (примерно до 1920 г.).

1920–1950: популяризация теории относительности. В 1936 г. художники подписывают Dimensionist Manifesto, допускающий многомерные пространства, но по сути являющийся релятивистским. Только дадаисты и сюрреалисты по-прежнему интересуются четвертым пространственным измерением.

1950–1970: отказ от темы четвертого пространственного измерения. Исключением являлись такие известные художники, как Сальвадор Дали и американка Ирен Райс Перейра (1902–1971).

1970 — наше время: возрождение интереса к четвертому пространственному измерению. Многие современные художники работают в направлениях, которые упоминались в этой книге.

Как мы уже говорили, четвертое измерение стало для художников символом освобождения, источником идей, нового языка и новой концепции пространства. Вера в четвертое измерение позволила им дистанцироваться от визуальной реальности и полностью отказаться от метода перспективы, который представлял трехмерный евклидов мир. В дополнение к этому интерес к четвертому измерению являлся альтернативным подходом к идеалистическому восприятию высшей реальности, лежащему в основе нового абстрактного искусства. Многие увлекались четвертым измерением, хотя каждое движение и каждый художник выбирали для себя различные аспекты: отказ от метода перспективы, движение, цвет, время, бесконечное пространство, память, гравитация, антигравитация, мистика…

Кроме кубизма, другими движениями в искусстве XX в., связанными с четвертым пространственным измерением, в том числе с пространственно-временным континуумом, являются итальянский и русский футуризм, супрематизм, конструктивизм, американский модернизм, движение «Де стиль», сюрреализм и дадаизм. Далее мы расскажем о некоторых из этих движений и их представителях.

* * *

АБСТРАКТНОЕ ИСКУССТВО XX ВЕКА

Абстрактное искусство зародилось в XX в. Художники больше не желали копировать объекты реальности и отказывались от интерпретации искусства как воспроизведения реальности и истории, ведь это можно было сделать с помощью фотографии. Важной стала сама живопись, а не объекты живописи. Художники пытались посмотреть на мир с разных точек зрения и изображать не то, что они видят, а высшую реальность, которая может быть и внутренним миром.

Они ставили под сомнение все — истину, реальность предметов и мира — и пытались воплощать великие универсальные и утопические идеи.

В искусстве XX в. сложились три основные тенденции: выражение (связанное с чувствами), фантазия (лабиринты сознания) и геометрическая абстракция (с упором на формальную структуру). Все художественные движения прошлого века представляют собой сочетание этих тенденций.

Футуризм

Футуристическое движение использовало динамичное видение четвертого измерения. Футуристы отвергали статический подход кубистов и считали новое измерение движением, пространственно-временным континуумом. Итальянский футурист Умберто Боччони (1882–1916), один из теоретиков и соавторов футуристических манифестов, писал: «Динамическая форма является характерной чертой четвертого измерения как в живописи, так и в скульптуре. Благодаря уникальной форме, дающей непрерывность в пространстве, мы создали форму, которая является суммой разверток трех известных размерностей. Одухотворение будет определяться математическими значениями и геометрическими размерами».

Две работы Умберто Боччони: «Динамизм велосипедиста» (слева) и «Уникальные формы непрерывности в пространстве».

Боччони находился под сильным влиянием гиперпространственной философии Хинтона и его итальянских последователей, а именно идеи об использовании движения для понимания четвертого измерения. Его работы наряду с работами других футуристов представляют собой проекции пространственно-временного континуума между двумя моментами времени.

Одной из наиболее характерных работ Боччони, изображенной на итальянской монете в 20 евроцентов, является скульптура «Уникальные формы непрерывности в пространстве», представляющая собой движение идущего человека. Это пространственная (в данном случае трехмерная, так как это скульптура) проекция стержня, которым является человек в четырехмерном пространстве-времени.

Аналогично другие картины футуристов являются плоскими проекциями пространственно-временного континуума или движения. Например, «Динамизм велосипедиста» и «Динамизм футболиста» Боччони, «Голубая танцовщица» Джино Северини (1883–1966), «Динамизм собаки на поводке» (1912) и «Полет ласточки» (1913) Джакомо Балла (1871–1958).

Четвертое измерение интересовало и русских футуристов. Их искусство находилось под сильным влиянием парижского авангарда, а также четырехмерной философии теософа Петра Демьяновича Успенского. Представителями русского футуристического движения являются такие художники, как Михаил Ларионов (1881–1964), Наталья Гончарова (1881–1962), Михаил Матюшин (1861–1934) и Казимир Малевич (1878–1933). Последние три из названных работали также в стиле кубофутуризма — смеси кубизма и футуризма. Работа Малевича «Точильщик» — типичный пример этого направления.

Супрематизм

Основанный русским художником Малевичем супрематизм концентрировался на основных геометрических формах, в частности на круге и квадрате. Это направление стремилось к «чистому творчеству», пытаясь разрушить благодушное восприятие мира, чтобы привести человека к своего рода космическому сознанию. Это достигалось путем смешения движения, цвета и формы.

Как и русский футуризм, супрематизм был связан с гиперпространственными философиями Хинтона и Успенского. Очень похожим направлением было движение «Синий всадник» (Der Blaue Reiter), основанное Кандинским под сильным влиянием работ Успенского. Поэтому неудивительно, что супрематизм связан с духовным подходом к четвертому измерению. Работы Малевича этого периода напоминают плоские сечения объектов из высших измерений.

Линда Хендерсон писала, что «в дополнение к геометрии и движению гиперпространственная философия вдохновила Малевича на изображение четвертого измерения в его супрематических работах, связанных с новым пространством, свободным от гравитации».

Супрематическая картина Казимира Малевича «Живописный реализм футболиста. — Красочные массы в четвертом измерении» (1915).

На последней футуристической выставке «0,10» (1915) были впервые показаны супрематические работы Малевича. Из 39 представленных работ пять имели названия, связанные с четвертым измерением. Например, «Живописный реализм футболиста. — Красочные массы в четвертом измерении» и «Живописный реализм. Мальчик с ранцем. — Красочные массы в четвертом измерении», также известная под названием «Черный квадрат и красный квадрат».

Сюрреализм

Сюрреализм — это направление в искусстве, которое вызывало интерес как в связи с его геометрическим или пространственным подходом к четвертому измерению (включая статическое пространство-время), так и в связи с духовной составляющей.

Испанский художник Сальвадор Дали (1904–1989) является одним из самых выдающихся представителей этого движения. В своих работах он использовал золотую пропорцию, теорию катастроф, топологию, теорию фракталов, геометрические формы, стереоскопию, проективную геометрию и оптические иллюзии, а также многомерные пространства.

В связи с четвертым измерением особенно интересны две работы Дали — «Распятие, или Гиперкубическое тело» и «В поисках четвертого измерения». На первой из них изображена развертка гиперкуба (см. предыдущую главу) в виде трехмерного креста, на котором распят Иисус — аллюзия на связь религии и четвертого измерения. Крест, или развертка гиперкуба, становится символом перехода из нашего мира (трехмерного пространства) на небеса (в четвертое измерение). Вторая картина содержит много элементов, которые мы обсуждали в этой книге: многогранные формы, миф о пещере Платона, религию, проекции и многое другое, а также теорию относительности.

В интерпретации Сальвадора Дали на похожем кресте был распят Иисус Христос.

* * *

«ДЕ СТИЛЬ»

«Де стиль» — это художественная группа и журнал, основанные в Нидерландах в 1917 г. художником и архитектором Тео ван Дусбургом (1883–1931). Членом этой группы был также Пит Мондриан (1872–1944). Источником этого движения был аналитический кубизм, но затем оно превратилось в чистую геометрическую абстракцию. В своем журнале художники часто обсуждали вопросы четвертого измерения, например в статье Северини «Размерность пространства и четвертое измерение», фрагментах книги «Наука и гипотеза» Пуанкаре и в размышлениях на эту тему ван Дусбурга и Мондриана. По словам Тео ван Дусбурга, пытаясь изобразить духовные сферы и дух в качестве артефакта, художник по необходимости будет использовать мотостереометрические формы выражения.

Эти мотостереометрические формы выражения являются изображением четырехмерного мира в трехмерном пространстве.

По словам Мондриана, новые тенденции были обусловлены лучшим пониманием четвертого измерения и идеей о том, что четвертое измерение проникает в новое искусство через полное или частичное разрушение естественного порядка трехмерного мира и за счет использования новых пластических средств выражения.

Обложка журнала «Де стиль» от 1921 г. с изображением картины Тео ван Дусбурга «Композиция XVII» (1919).

* * *

Интерес к четвертому измерению среди сюрреалистов наиболее научно описан в трудах Оскара Домингеса (1906–1957). Можно выделить два типа его работ, связанных с многомерными пространствами. С одной стороны, это так называемые «многомерные космические картины», такие как «Пейзаж с автомагистралями» (1939) и «Ностальгия по пространству» (1939), содержащие многогранники.

С другой стороны, вместе с аргентинским писателем Эрнесто Сабато в 1939 г. Домингес сформулировал теорию затвердевания времени, или летохронизм. Его «летохронические» поверхности в некотором смысле связаны с футуризмом, так как они представляют движение. Эти поверхности являются графическим изображением стержней пространственно-временного континуума, характеризующих трехмерный объект в определенном интервале времени. Типичной работой этого периода является «Летохронический меч, или Воспевание Тельца» (1939).

Четвертое измерение в искусстве Соединенных Штатов Америки

Несмотря на отставание от парижского авангардного движения, в Соединенных Штатах, в частности в Нью-Йорке, искусство также находилось под влиянием четвертого измерения. Как и в остальном мире, революция в геометрии, теософия и научная фантастика вызвали усиление общественного интереса к многомерным пространствам. Кроме того, следует отметить, что Хинтон жил в Соединенных Штатах в течение нескольких лет и был очень популярной фигурой, что способствовало распространению этих идей. В мире искусства большое значение имели публикации теософа и архитектора Клода Брэгдона, оказавшие влияние на Макса Вебера после его возвращения из Парижа, а также на членов группы из Пюто, переехавших в Нью-Иорк, в частности Франсиса Пикабии и Марселя Дюшана. Вебер и Пикабия состояли в группе Альфреда Стиглица, а Дюшан был членом группы Аренсберга.

Макс Вебер, автор «Четвертого измерения с точки зрения пластики», активно использовал эту тему в своих работах, одна из которых называется «Интерьер четвертого измерения» (1913). Интерпретация Вебера была смесью подхода кубистов и последовательных форм в стиле картины Дюшана «Обнаженная, спускающаяся по лестнице. № 2». Для Вебера четвертое измерение включало в себя духовные и религиозные аспекты.

Фотография 1914 г. американского художника Макса Вебера, который родился в польском городе Белостоке, входившем тогда в Российскую империю.

Эпилог

Несмотря на то что уже более века четвертое измерение привлекает внимание широкой публики, оно продолжает оставаться чрезвычайно актуальной темой. Чтобы убедиться в этом, достаточно набрать слова «четвертое измерение» в любой поисковой системе интернета. Будет найдено огромное количество ссылок, связанных с этой темой, в разных областях человеческой деятельности, таких как искусство, религия, научная фантастика, наука, техника, приложения в области визуализации (например, в здравоохранении) и во многих других. Более того, на эту тему и по сей день продолжают публиковаться новые издания, в том числе научная фантастика, эссе и научно-популярные книги. Существует даже литература для детей и юношества, посвященная четвертому измерению. Эта тема естественным образом появляется и в телесериалах. Помимо этого, если на какой-то конференции или общественном мероприятии затрагивается тема четвертого измерения, она неизменно привлекает внимание присутствующих и поднимает всё те же вопросы, которые обсуждались в конце XIX в.

Это возобновление интереса характерно не только для общества. В науке, в частности в теории струн, обсуждаются модели, которые предполагают, что наша Вселенная может существовать в пространстве больших размерностей (10, 11 или 26), как пространственных, так и временных. Кроме того, средства массовой информации широко освещали темы, связанные с ускорителем элементарных частиц (Большой адронный коллайдер), который может доказать то, что когда-то казалось невозможным, — существование дополнительных пространственных измерений, и не только четвертого.

Список литературы

ABBOTT Abbott, Е., Flatland: A Romance of Many Dimensions, Oxford University Press, 2008. (Издание на русском языке: Эбботт, Эдвин Эбботт. Флатландия. Роман о четвертом измерении. — М.: Амфора, 2001.)

BANCHOFF, T.F., Beyond the Third Dimension; Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, New York, Scientific American Library, 1990.

DALRYMPLE HENDERSON, L., The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art, Princeton University Press, 1983.

GREENE, B., The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions and the Quest for the Ultimate Theory, Vintage Books, 2003.

Kaku, M., A Scientific Odyssey through Parallel Universes, Time Warps, and the Tenth Dimension, Oxford Paperbacks, 1995.

McMANUS, C., Right Hand, Left Hand, London, Phoenix, 2003.

MlLLER, A.I., Einstein, Picasso: Space, Time and the Beauty That Causes Havoc, Basic Books, 2002.

O’SHEA, D., The Poincare Conjecture: In Search of the Shape of the Universe, London, Penguin, 2008.

RUCKER, R., Geometry, Relativity and the Fourth Dimension, New York, Dover Publications, 1977.

RUCKER, R., The Fourth Dimension: A Guided Tour of the Higher Universes, New York, Houghton Mifflin, 1966.

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 6

Рауль Ибаньес

Четвертое измерение.

Является ли наш мир тенью другой Вселенной?

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия

Юридический адрес: Россия, 105066,

г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей по данному адресу не принимаются.

Генеральный директор: Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Старший редактор: Дарья Клинг

Финансовый директор: Наталия Василенко

Коммерческий директор: Александр Якутов

Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук

Менеджер по продукту: Яна Чухиль

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:

8-800-200-02-01

Телефон горячей линии для читателей Москвы:

8-495-660-02-02

Адрес для писем читателей:

Россия, 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245,

«Де Агостини», «Мир математики»

Пожалуйста. указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).

Распространение:

ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»

УКРАИНА

Издатель и учредитель:

ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина

Юридический адрес: 01032, Украина,

г. Киев, ул. Саксаганского, 119

Генеральный директор: Екатерина Клименко

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите иа сайт www.deagostini.ua, по остальным

вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:

0-800-500-8-40

Адрес для писем читателей:

Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,

«Мир математики»

Украïна, 01033, м. Киïв, а/с «Де Агостiнi»

БЕЛАРУСЬ

Импортер и дистрибьютор в РБ:

ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,

ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,

тел./факс: +375 17 331 94 27

Телефон «горячей линии» в РБ:

+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)

Адрес для писем читателей:

Республика Беларусь, 220040, г. Минск,

а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,

«Мир математики»

КАЗАХСТАН

Распространение:

ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»

Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:

Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2

35010 Trebaseleghe (PD) Italy

Подписано в печать: 21.08.2013

Дата поступления в продажу на территории России: 25.02.2014

Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».

Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.

Уел. печ. л. 6,48.

Тираж: 200 000 экз.

© Raul Ibanez, 2010 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2010

© ООО «Де Агостини», 2014

ISBN 978-5-9774-0682-6

ISBN 978-5-9774-0631-4 (т. 6)

Content

Рауль Ибаньес
«Мир математики»
№ 6
«Четвертое измерение
Является ли наш мир тенью другой Вселенной?»

Предисловие

Глава 1. Флатландия: роман о четвертом измерении

Глава 2. Что такое размерность?

Глава 3. Революция в геометрии XIX века

Глава 4. Магия четвертого измерения

Глава 5. Боги и привидения

Глава 6. Четвертое измерение в литературе

Глава 7. Визуализация четвертого измерения

Глава 8, Четвертое измерение в искусстве XX века

Эпилог

Список литературы