Луис Арталь, Жузеп Салес

«Мир математики»

№ 19

«Ипотека и уравнения

Математика в экономике»

Предисловие

Еще в древние времена математику и экономику объединиться заставила необходимость в счете, важная для выживания. Людям той далекой эпохи требовалось подсчитывать, сколько пищи нужно для семьи или клана, а когда запасов оказывалось больше, чем необходимо для выживания, требовалось правильно подсчитать излишки, чтобы затем обменять их у соседних племен на другие товары. Сложность расчетов с самого начала была связана с доступными средствами для вычислений: изначально счет велся парами, затем — при помощи пальцев руки, позднее для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления были придуманы цифры и алгоритмы письменных расчетов. Развитие счета подтолкнула торговля, которая с течением времени также менялась и совершенствовалась.

В первой главе этой книги рассказывается о том, какой путь прошла торговля за века своего существования, о системах счисления и об алгоритмах вычислений, о том, какой вклад в их развитие сделали древние египтяне и римляне, индийцы, майя, а также арабы и европейцы в Средневековье, и, наконец, о развитии коммерции и появлении двойной бухгалтерской записи в эпоху Возрождения. Появление государства в его современном виде потребовало стандартизировать систему мер и весов, а необходимость собирать налоги и развивать систему здравоохранения привела к созданию демографических таблиц и появлению статистики. В это же время мир узнал и первые вычислительные машины — так, «Паскалина», созданная французским ученым Блезом Паскалем, стала прообразом современных компьютеров.

Во второй главе рассматривается история денег, неразрывно связанная с развитием и усложнением коммерции: на смену металлическим монетам пришли бумажные деньги и банковские билеты, а золотой стандарт сменился валютным. Сегодня каждая страна имеет национальную валюту, конвертируемую в валюты других стран, и валютный паритет зависит в том числе от изменения цен внутри страны, то есть от инфляции. Для ее оценки правительства разрабатывают индексы цен, а для контроля инфляции они проводят в жизнь монетарную политику. Одним из инструментов контроля инфляции является изменение ставки рефинансирования, от которой зависит размер процентов по кредитам, полученным банками от центрального банка страны.

В третьей главе с математической точки зрения рассматриваются наиболее распространенные банковские операции — кредитование, ипотека, реструктуризация кредитов, а также рассказывается о роли статистики в экономическом анализе.

Четвертая глава в основном посвящена промышленному производству, доходности и оценке отдачи от инвестиций. В следующей главе анализируется структура и поведение рынка, спрос и предложение, а также роль рынка в формировании цен.

В шестой главе изучаются принципы работы биржи, графические и математические инструменты анализа и прогнозирования котировок ценных бумаг. Наконец, последняя глава знакомит читателя с развитием системы национальных счетов, взаимосвязью между макроэкономическими параметрами и производственными секторами, рассказывает об экономических циклах, распределении доходов и индикаторах уровня развития.

Эта книга посвящена использованию математики в экономике и роли точных наук в экономическом развитии. Со времен Возрождения, когда математик Лука Пачоли изобрел двойную бухгалтерскую запись, и до сего дня математика как инструмент экономического анализа позволила придать экономическим постулатам более строгую форму и тем самым сделать полученные выводы надежнее.

В издании объясняются основные математические инструменты, используемые для экономического анализа: базовые понятия счисления, переменных, функций, трендов и производных, кривых, уравнений, последовательностей, прогрессий, корреляции, регрессии и т. д. С их помощью легче понять происходящее в экономической сфере и сформулировать правила, важные при принятии решений об инвестировании, размещении сбережений и кредитовании.

Деньги, инфляция, банки, финансовая система — в основе всех этих экономических понятий лежат математические инструменты, а финансовая математика используется при расчете выплат по кредитам и определении рентабельности инвестиций.

Авторы говорят о производстве и рынке, спросе и предложении, международной торговле, ценообразовании, рынке капитала, фондовых биржах и экономическом росте, и этот разговор немыслим без строгой красоты математики.

Глава 1. История чисел в экономике

Человечество использовало числа с первых дней своей истории. Даже в языке некоторых австралийских и африканских племен, сохранивших первобытный образ жизни, существуют слова для обозначения чисел от одного до пяти, а для всех чисел больше пяти используется слово «много». Каждая культура создает присущие только ей способы выражения мыслей (цифры и буквы, слова и числа), согласно своему образу жизни, и возможно, что современным первобытным племенам просто не нужно говорить о величинах больше пяти. Сегодня эти племена живут так, словно и не прошло нескольких тысяч лет цивилизационного развития, и точно так же выполняют расчеты.

Системы счисления. Необходимость в счете

Для обозначения чисел люди используют слова и цифры: в устной речи числовые величины выражаются с помощью слов, а на письме для обозначения чисел и операций с ними применяются цифры. В начале своей истории люди охотились, занимались собирательством и жили там, где в изобилии водилась дичь и росли плоды. Когда по какой-то причине источники пропитания иссякали, племя переселялось в другое место.

В этот период числа были практически не нужны, и длился он намного больше, чем вся последующая, «цифровая» эпоха.

Пытаясь получить постоянные источники пищи, люди постепенно начали одомашнивать животных, а позже — обрабатывать землю. Произошло это приблизительно 11000 лет назад, и в то время население Земли составляло около 8 миллионов человек. С этого момента числа начали использоваться чаще, и возникали ситуации, когда нужно было подсчитать, записать и выразить словами относительно большие величины. Скотовод должен был рассказать другим членам общины, сколько у него овец и сколько их было в прошлом году. Людям нужно было знать количество дней в году, чтобы определять, когда домашние животные дадут приплод, когда нужно сеять и собирать урожай. С течением времени потребовались подсчеты, сколько дани следует платить жрецам, а сами жрецы должны были записывать, кто заплатил дань, а кто — нет. В этих и многих других ситуациях необходимо было как-то выражать и записывать числовые величины.

Чтобы упростить запись, человек изобрел специальные знаки — цифры. В западной цивилизации сегодня используется десять цифр — всем известные 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 И 9.

А как подсчитывали овец доисторические пастухи? К примеру, собрав животных в стадо, его разбивали на десятки, затем — на сотни (десять групп по десять), затем — на тысячи (десять групп по сто) и так подсчитывали количество. Основанием этих групп было число десять, поэтому мы говорим, что 10 является основанием системы счисления. Однако так действовали не все пастухи — у каждого народа была собственная система счисления, но все они имели одну общую черту: основание системы счисления неизменно делилось на пять. Так, в разных цивилизациях использовались системы счисления по основанию 5,10, 20 и 60.

Число 5 появилось, когда первобытный человек начал считать, используя пальцы рук, — точно так же, как это делают современные дети. Некоторые народы, например майя, считали на пальцах рук и ног, поэтому они использовали систему счисления по основанию 20.

Шумеры, египтяне, индийцы, китайцы и майя первыми упорядочили числа и стали использовать системы счисления. Шумеры, жившие на Ближнем Востоке, на территории современного Ирака, около 4000 года до н. э., выполняли сложные арифметические операции и геометрические расчеты, изучая положение звезд на небосводе.

Благодаря их расчетам появился первый календарь. Основанием системы счисления шумеров было число 60, а значения цифр зависели от их положения в записи: одними и теми же знаками обозначались единицы, десятки, группы по 20 и группы по 60.

Такая система счисления называется позиционной.

Шумеры писали палочками из заостренного тростника на глиняных табличках, затем обжигали их в печах, и в пустынях Ирака археологи нашли тысячи табличек с математическими расчетами.

Шумерская глиняная табличка, найденная в районе города Ур, на которой записаны площади земельных участков в городе Умма.

Элементы шумерской системы счисления сохранились до сих пор — они используются при измерении углов и времени. Так, час равен 60 минутам, минута — 60 секундам. Угол в один градус (речь идет о шестидесятеричных градусах, которые на калькуляторах обозначаются символами DEG) делится на 60 частей — минут (60'), каждая из которых делится на 60 секунд (60").

Древние египтяне писали на папирусе, изготовленном из стеблей растения, росшего в долине Нила. Египетские жрецы — ученые той эпохи — сделали множество открытий, связанных с числами. Например, чтобы определить, чему равна третья часть выращенной на поле пшеницы, которую нужно уплатить в качестве дани, или чтобы подсчитать, на сколько частей можно разделить испеченный хлеб, жрецы изобрели дробные числа, или дроби. В 1858 году шотландский египтолог Александер Генри Райнд купил старый папирус, на котором были записаны задачи о дробях и задачи по геометрии. По сути папирус Райн да — первый известный нам учебник математики: он был написан примерно в 1700 году до н. э., и благодаря ему мы можем оценить уровень развития науки в Древнем Египте.

Фрагмент так называемого папируса Райнда — библии египетских математиков.

Папирус имеет 33 сантиметра в ширину и более 5 метров в длину.

Китайцы, в свою очередь, записывали числа не в строки, а в столбцы. Они делили числа на «мужские» и «женские» (нечетные и четные соответственно). Одним из достижений китайских математиков является определение положительных и отрицательных чисел. В Китае в качестве цифр использовались иероглифы, то есть каждый иероглиф, кроме обычного, имел и числовое значение, и это вызывало немало трудностей. Кроме того, китайцы считали, что слова имеют магический смысл, зависящий от того, какое число они обозначают, и приписывали иероглифам всевозможные сверхъестественные свойства.

Майя, жившие в Центральной Америке за много лет до прибытия туда Колумба, также записывали числа в столбцы, а не в строки. Они использовали календарь, в котором месяц состоял из 20 дней, год — из 360 дней, и позиционную систему счисления по основанию 20, а их знаки для обозначения числовых величин были весьма похожи на китайские и индийские.

Майя и их предшественники, ольмеки, совершили множество открытий в математике и астрономии и примерно в 36 году до н. э. дали определение такому понятию, как ноль, или «ничто» (именно этим годом датировано первое письменное упоминание этого числа). Но поскольку 0 в системе счисления майя не мог использоваться в арифметических операциях, это помешало дальнейшему развитию вычислений.

Китайская система счисления: 8 раз по 10 = 80.

Греческая система счисления: (3 + 5) раз по 10 = 8 раз по 10 = 80.

Система счисления майя: 4 раза по 20 = 80.

Египетская система счисления: 8 раз по 10 = 80.

Римская система счисления: 50 + 10 + 10 + 10 = 80.

Система счисления шумеров: 60 + 10+10 = 80.

Одно и то же число, представленное в шести разных системах счисления.

Самыми умелыми математиками древнего мира были индийцы. В своих арифметических расчетах они использовали огромные величины и решали задачи, требующие невероятного воображения (в одной из них, например, упоминаются 1024 дерущиеся обезьяны).

VI веком н. э. датируются два великих открытия индийских математиков: они стали присваивать цифрам разные значения в зависимости от их позиции в записи (одна и та же цифра в зависимости от позиции обозначала единицы, десятки, сотни или тысячи) и начали обозначать особым знаком, 0, число элементов пустого множества (индийцы называли это число «шунья», арабы — «сефир»). Вначале 0 обозначался просто точкой, потом — точкой, расположенной внутри круга, а затем на смену этим обозначениям пришел круг.

Индийские цифры VI века н. э. записывались так же, как и современные: восемьдесят тысяч триста сорок три

= 80 343

= восемь десятков тысяч, ноль тысяч, три сотни, четыре десятка и три единицы

= 8∙10^4  + 0∙10^3 + 3∙10^2 + 4∙10^1 + 3∙10^0.

Греки, подобно китайцам, использовали в качестве цифр буквы, однако их система счисления не была позиционной, что усложняло запись чисел и развитие алгоритмов вычислений. По этой причине древние греки не очень преуспели в науке о числах — арифметике, однако добились огромных успехов в геометрии.

Аристотель (384–322 годы до н. э.) понимал слово «экономия» как управление домашним хозяйством, а науку, которую мы сегодня называем экономикой, называл по-гречески хрематистикой. Он не занимался подробным анализом экономических вопросов и не изучал взаимосвязь между переменными, однако рассмотрел такие понятия, как стоимость, деньги и проценты.

Аристотель рассматривал экономику прежде всего с точки зрения этики и первым выделил различные методы управления предприятием и домашним хозяйством.

Он говорил о потребительской и меновой стоимости, деньгах и богатстве и проанализировал две функции денег: как меры стоимости и как средства обращения товаров. Отрицательное отношение Аристотеля к ростовщичеству сохранилось до Нового времени и легло в основу доктрины католической церкви. Ученый рассуждал и на другие экономические темы, например о частной собственности и рабстве, и его идеи оказали большое влияние на исламскую этику.

Римляне не внесли в греческую систему счисления существенных изменений.

Они использовали для обозначения чисел буквы М, D, C, L, X, V и I, а большие числа обозначали горизонтальной чертой над этими буквами. Естественно, римлян ожидали те же трудности, что и греков: нетрудно представить, насколько сложно записать в римской системе счисления действительно большое число, например миллион, или выполнить с числами различные действия.

Именно поэтому когда в VIII веке арабы через Андалусию принесли в Европу индийскую систему счисления, все, кто занимался расчетами, сразу же начали использовать индийские цифры, а римская система счисления окончательно отошла в прошлое.

* * *

ОСНОВАНИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ И ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ

Сегодня почти не верится, что раньше люди вели все подсчеты только на пальцах рук, однако именно на этом основана современная система счисления, которую мы используем каждый день — позиционная десятичная. Однако эта система не универсальна — ее не используют самые быстрые и точные устройства для вычислений — компьютеры. Какие же системы счисления применялись в прошлом и какие — используются сейчас?

Десятичная система счисления

— Десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

— Выражение: 72 603_10 = 7∙10^4  + 2∙10^3 + 6∙10^2 + 0∙10^1 + 3∙10^0.

Используется в повседневной жизни с древних времен.

Шестнадцатеричная система

— 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

— Выражение: 72 603_10  = 11В9В_16 = 1∙16^4 + 1∙16^3 + 11∙16^2 + 9∙16^1 + 11∙16^0.

— Используется в электронике.

Двоичная система

— Две цифры: 0, 1.

— Выражение: 72 603_10 = 10001101110011011_2 = 1∙216 + 0∙215 + 0∙214 + 0∙213 + 1∙21^2 + 1∙ 2^11 + 0∙2^10 + 1∙2^9 + 1∙2^8 + 1∙2^7 + 0∙2^6 + 0∙2^5 + 1∙2^4 + 1∙2^3 + 0∙2^2 + 1∙2^1  + 1∙2^0.

— Используется в компьютерной технике.

Двадцатеричная система счисления

∙ Двадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F, G, Н, I, J.

∙ Выражение: 72 603_10 = 91А3_20  = 9 ∙ 20^3  + 1∙20^2 + 10∙20^1 + 3∙20^0.

∙ Применялась майя и шумерами, для записи использовались особые знаки.

Напомним, что на протяжении веков в разных культурах бытовали совершенно разные единицы измерения величин (веса, длины, объемов, денег), которые довольно часто были тесно связаны с применяемой системой счисления. Однако если при измерении величин и записи чисел в качестве основания используется одно и то же число, то вычисления, без которых невозможна экономика, становятся гораздо проще. Например, в десятичной метрической системе для обозначения кратных единиц измерения применяются десятичные приставки, а для записи величин также используется система счисления по основанию 10 (пример: 2,547 метра — это 2 метра 5 дециметров 4 сантиметра и 7 миллиметров).

УМНОЖЕНИЕ В ДРЕВНОСТИ И В НАШИ ДНИ

Последовательности вычислений, направленные на получение результатов арифметических действий, называются алгоритмами. За всю историю человечества алгоритмы невероятно усложнялись и постепенно становились все более совершенными. В таблицах ниже представлены два алгоритма умножения на примере чисел 2409 и 94, которые использовались в разные эпохи.

Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовали древние египтяне (3600 год дон. э.)

2409 94

(1204 188)

(602 376)

301 752

(150 1504)

75 3008

37 6016

(18 12032)

9 24064

(4 48128)

(2 96256)

1 192512

= 94 + 752 + 3008 + 6016 + 24 064 + 192 512 = 226 446.

Первый множитель (2409) последовательно делится на два, пока результат деления не станет равен единице. Одновременно с этим второй множитель (94) столько же раз умножается на два. Результатом умножения является сумма чисел в правом столбце, которым соответствуют нечетные числа в левом столбце.

Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовался в компьютерах середины XX века

Выполняется умножение 4 на 9,90 на 9,4 на 0,90 на 0 и т. д. до умножения 90 на 2000. Результат умножения равен сумме промежуточных результатов, записанных в левой части таблицы.

* * *

Алгоритмы вычислений

Греки и римляне, как и доисторические пастухи, использовали для вычислений камешки или палочки. Цифры нужны были только для записи результатов. Чтобы не носить с собой постоянно мешочек с камнями, был изобретен абак — устройство для счета, которое до сих пор иногда используется для обучения детей основам арифметики.

Современная модель абака и представленное на нем число.

Каждый ряд абака соответствует позиции в записи числа. Если в каком-то ряду не сдвинут ни один шарик, это соответствует нулю, однако римляне в своей системе счисления не могли записать ноль. В римской системе число три миллиона двести восемьдесят четыре тысячи шестьсот пятьдесят семь записывалось так:

Однако в V веке н. э. индийцы уже использовали форму записи, очень похожую на современную запись 3284657. В VIII веке арабы, захватившие север Индии, заимствовали индийскую позиционную систему счисления и ноль. В Средние века они начали использовать отрицательные числа, перекрестное умножение и правило пропорции для решения задач следующего вида: «У Хусейна 22 динара, у Орнара — 19, у Халила — 7. Они сложили деньги вместе и заключили сделку, на которой заработали 12 динаров. Как нужно поделить прибыль?» В Коране также описываются сложные задачи о наследстве, которые легли в основу арабского права и подтолкнули развитие математических методов пропорционального деления наследства в зависимости от степени родства с умершим. Для решения подобных задач и уравнений была создана алгебра — от арабского «аль-джабр», что означает «восполнение». Тогда же были созданы первые алгоритмы — это слово происходит от имени известнейшего арабского математика Аль-Хорезми.

Итальянский ученый Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи («сын Боначчи»), в XIII веке совершил множество открытий в области арифметики и алгебры, которые получили дальнейшее развитие в эпоху Возрождения (XIV–XV века).

В своей «Книге абака» он изложил все знания, накопленные арабами, в том числе объяснил позиционную систему счисления и число ноль (который он называл zephyrum), а также алгоритмы действий с целыми и дробными числами. В «Книге абака» объясняются правило пропорции, способы вычисления квадратного корня числа и алгоритмы решения уравнений первой и второй степени. А самое известное открытие математика — числовой ряд, известный как последовательность Фибоначчи.

Элементарные действия. Арифметика и торговля

Первый трактат по арифметике в торговле был опубликован в Тревизо (Италия) в 1470 году, и автор его неизвестен. В течение XV века было издано около 30 книг на эту тему (из них 14 в Италии, 11 — в Германии). Во всех книгах описывалась арабская система счисления по основанию 10 и алгоритмы действий с отрицательными и положительными числами (так называемыми натуральными). В этих книгах также были описаны дробные числа и операции над ними, правило пропорции, прогрессии, алгоритмы решения прикладных задач торговли (например, расчет реальной стоимости товара при обмене), приводились примеры вычисления налогов и таможенных пошлин, решение задач о сплавах и о преобразованиях единиц измерения.

В это время и была сформирована тесная связь между экономикой, которая понималась как наука об управлении ограниченными ресурсами, и математикой — абстрактной наукой, основанной на правилах элементарной арифметики и логических умозаключениях. Эффективные методы сложения и вычитания чисел (которыми обозначались товары в обращении) легли в основу прогресса. Позднее, с развитием коммерции, возникла необходимость в таких же эффективных и простых алгоритмах умножения и деления.

* * *

СТОЛКНОВЕНИЕ АЛГОРИТМОВ

Средневековая наука в христианском мире ограничивалась переводом оригинальных арабских трудов и арабских изданий древнегреческих книг, в частности «Экономики» Аристотеля. За несколько лет до 1000 года монах Герберт Орильякский, будущий папа римский Сильвестр II, обучился у арабов Андалусии использованию цифр и позиционной системы счисления, а также усовершенствовал римский абак, в котором, тем не менее, по-прежнему не использовался ноль. И лишь в XII веке крестоносцы принесли из Иерусалима в Европу индо-арабские цифры, их систему счисления и ноль. Церковь в те годы препятствовала использованию арабских методов вычисления, объясняя их простоту проделками дьявола, и профессиональные вычислители вынуждены были использовать восточные алгоритмы втайне. И все же, несмотря на противодействие духовенства, с началом эпохи Возрождения арабские алгоритмы широко распространились в торговле.

* * *

Для решения этой задачи требовались новые числа, в частности десятичные дроби, с помощью которых можно было бы говорить о частях единиц длины, веса и объема, а также выражать соответствующую стоимость при купле, продаже и обмене. И тут экономике пришлось обратиться к прошлому, ведь впервые дробные числа упоминаются уже в древнеегипетских папирусах.

Важным применением дробей стало представление процентов как частей целого при вычислении скидок и процентного дохода. Позднее эти числа стали использоваться для представления и других дробей, со знаменателем, отличным от 10 и 100.

Эволюционный процесс завершился, когда дробные величины стали записывать в позиционной системе счисления по основанию 10, которую мы используем и сейчас.

36/100 = 3,6/10 = 36 % (процент) = 0,36 (десятичная дробь).

В эпоху Возрождения величина 78, 4/10, 5/100, 6/1000 записывалась как

78 + 4/10 + 5/100 + 6/1000 = 78,456.

Дробные числа используются в математике начиная с XVII века. Они получили название рациональных чисел и могут записываться двумя способами (в двух нотациях): в виде процентов и в виде десятичных дробей с запятой.

Рациональные числа могут иметь конечное (ограниченное) число десятичных знаков. Это происходит, когда результат деления можно определить точно, например, 34/64 = 0,53125.

Однако они могут иметь и бесконечное (неограниченное) число цифр после запятой, которые иногда неким образом повторяются, например 34/70 = 0,4857142857142857142857142857 …

В это же время появились банки, задачей которых было гарантировать безопасность денежного обращения при покупке и продаже товаров и услуг. Первыми банкирами стали средневековые ювелиры, которые чаще всего были иудеями или мусульманами. Церковь считала ростовщичество греховным, поэтому христианам было запрещено давать деньги в рост. Конечно, по прошествии некоторого времени к числу банкиров и ростовщиков присоединились и христиане, но об этом — позже.

«Меняла с женой», Квентин Массейс, 1514 год. Считается, что на этой картине отражен типичный для той эпохи конфликт между набожностью и стремлением к достатку: жена менялы откладывает молитвенник в сторону, чтобы посмотреть, как муж считает деньги.

* * *

ИЗОБРЕТЕНИЕ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА

В 1494 году монах-францисканец Лука Пачоли изобрел метод, лежащий в основе современного бухгалтерского учета. Его идея о двойной записи стала поистине гениальной, а кроме того, она еще раз подтверждает, какую помощь математика оказала коммерции. Запись доходов и расходов перестала быть бессмысленной — между ними появились наглядные причинно-следственные связи.

Книга Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» была опубликована в Венеции, в эпоху формирования новых политических и торговых отношений.

В этой книге популярно, простым языком описывается ведение дел до начала непосредственной купли-продажи товаров. Пачоли отмечает, что предприниматель должен подготовить полный перечень всей собственности (активов) и перечень обязательств перед третьими лицами (пассивов).

Активы должны группироваться по принципу ценности и мобильности (наличные деньги должны указываться первыми, имущество — последним), а пассивы — согласно срочности (краткосрочные и долгосрочные). Для соблюдения принципа двойной записи необходимо, чтобы все совершенные торговые операции имели причину, а каждая причина — следствие, что и должно быть отражено в равенстве разделов баланса.

Пачоли писал о бухгалтерии: «Все, что запишешь, будет числиться в твоих книгах как долг, и напротив, все, что извлечешь или получишь от нее, запишешь так, как если бы должник уплатил тебе часть долга». Он рассматривает склад товаров как должника при любых операциях и движении товаров по складу. Для записи операций Пачоли предложил вести четыре книги: inventario (книга с перечнем имущества и балансов), giornale (книга учета операций), cuaderno (главная бухгалтерская книга) и memoriale (в настоящее время не используется). Он также описывает важность ведения бухгалтерского учета в системе счетов и другие понятия бухгалтерии, так как они позволяют оценить рыночную ситуацию и определить, является ли торговое дело выгодным.

* * *

Бухгалтерский учет возник как следствие роста торговли, пережившей упадок в позднее Средневековье и эпоху Возрождения (XV–XVI века), и использовался для того, чтобы оценить оборот и величину доходов, размеры вложенного капитала и личного имущества предпринимателей. Чтобы начать новое дело, требовавшее больше средств, чем имелось у предпринимателя, ему необходимо было взять заем, предварительно точно определив его размеры.

Начиная с этого времени двойная бухгалтерская запись стала обязательной. Возникла необходимость и в применении отрицательных чисел, которые назывались «долговыми», или «абсурдными» числами. И действительно, в то время, когда основной целью человека было выжить и справиться с насущными проблемами, казалось, что отрицательные числа не имеют смысла. И хотя они были открыты в Индии еще в V веке, на Западе их начали использовать лишь в XVI столетии.

Операции с отрицательными числами также выполнялись с помощью абаков — эти числа обозначались табличками или шариками другого цвета. И хотя уже в XV веке торговцы для указания на излишки и недостатки товаров на складе использовали германские знаки + и —, отрицательные числа и в XVI веке по-прежнему назывались «ложными», а их повсеместное применение началось лишь в конце XVIII века.

Дополнить традиционную систему счисления отрицательными числами было очень важно, поскольку это упрощало бухгалтерские расчеты. Кроме того, использование отрицательных и рациональных чисел позволяло найти решение любого уравнения первой степени. Например, уравнение Р + 50 = 32 до введения отрицательных чисел не имело решений: Р + 50–50 = 32–50; Р = 32–50; Р = —18.

С появлением протестантизма в XVI веке лютеране и кальвинисты почувствовали себя свободными от запрета давать деньги в рост. Ростовщичество получило широкое распространение и способствовало накоплению капитала, появилась так называемая денежная этика. К этому времени относится и зарождение капитализма, когда деньги превратились практически в высшую жизненную ценность. Их получение перестало быть средством и стало целью, работать необходимо было так, чтобы как можно больше разбогатеть.

В соответствии с протестантской этикой богатому человеку уготовано спасение и обретение после смерти царства небесного. Набожность, благочестие и аскетизм, свойственные протестантам, достаточно хорошо сочетались с новыми капиталистическими ценностями, и многие церковные приходы становились центрами будущих капиталистических компаний.

Социолог Макс Вебер (на этой фотографии, сделанной в 1917 году, он изображен в центре) в 1904–1905 годах создал фундаментальный труд «Протестантская этика и дух капитализма», в котором выдвинул различные гипотезы, касающиеся взаимосвязи между лютеранской моралью и развитием капитализма.

* * *

ДОЛГОВЫЕ ЧИСЛА

Одно из первых определений отрицательного числа дал святой отец Тома Висенте Тоска в труде «Краткое изложение математики», изданном в 1709 году. В одной из задач в книге он с помощью понятий «имущество», «долг» и «выгода» привел пример использования капитала и пояснил смысл отрицательных величин, показав, что означает число, «меньшее, чем ничего». В одной из глав книги он объясняет: «Предположите, что у некоего человека нет никакого имущества, а его долг составляет 1000 эскудо. У другого человека также нет никакого имущества, но он никому ничего не должен. Безусловно, состояние первого меньше, чем второго, но у второго нет ничего, следовательно, у первого человека есть меньше, чем ничего. Если тому, кто не имеет ничего и должен 1000 эскудо, дать 1000 эскудо, чтобы он выплатил долг, его состояние увеличится. Однако после этого увеличения его состояние есть ничто, следовательно, до этого увеличения его состояние было меньше, чем ничего».

Стандартные системы мер

В XVIII веке, в эпоху Просвещения и революций, развитие коммерции дало толчок совершенствованию денежных систем. В 1791 году Национальное собрание Франции определило метр как одну десятимиллионную часть расстояния от Северного полюса до экватора на долготе Парижа и килограмм — как массу одного литра воды. Так была учреждена десятичная метрическая система — первая система мер и весов, и ее

появление упростило международный товарооборот.

Когда благодаря работам по измерению земного меридиана стало возможным точнее определить размеры Земли и когда свойства воды были изучены лучше, выяснилось, что единицы измерений расходятся с эталонами, определенными ранее.

В 1799 году для системы мер и весов были изготовлены эталоны метра и килограмма из платинового сплава. К этому же времени относится начало промышленной революции. Для нового оборудования было необходимо производить детали стандартных размеров, особенно болты и гайки, а для этого требовались высокоточные измерительные инструменты. В связи с этим пришлось найти другой способ для определения единиц длины и веса, не привязывая их к каким-либо естественным явлениям. С этого момента основой системы мер и весов стали сами эталоны, и такое положение сохранялось до 1960 года.

Огромным преимуществом новой системы было то, что кратные и дробные величины отличались в десять раз, в то время как раньше единицы мер и весов делились на три, двенадцать или шестнадцать частей в зависимости от самой единицы и страны ее происхождения, что усложняло арифметические расчеты в десятичной системе счисления.

Международное использование первой метрической системы было закреплено на Генеральной конференции по мерам и весам в 1889 году. Сто лет спустя, в 1983 году, эта система была преобразована в Международную систему единиц (СИ). В настоящее время примерно 95 % населения Земли живет в странах, где используется метрическая система и ее производные.

Математика и экономические теории

С XVI по XVIII век появились различные научные школы, которые поставили экономику на службу государству. Из-за этого экономическую науку стали называть политической экономией, а в ее рамках появился меркантилизм — доктрина, в соответствии с которой государство обогащается только тогда, когда продает за границу товаров больше, чем покупает из-за рубежа. Иными словами, требовалось поддерживать положительный торговый баланс, увеличивая таким образом государственные запасы драгоценных металлов. Главной заслугой сторонников этой доктрины стало создание количественной теории денег.

В XVIII веке физиократы рассматривали общественные институты сквозь призму «естественного порядка», по аналогии с телом человека. Они очень точно определили структуру экономической системы государства, что можно увидеть на примере «Экономической таблицы» французского экономиста Франсуа Кенэ, посвященной взаимосвязям отраслей экономики. «Экономические таблицы» стали прообразом современных таблиц межотраслевого баланса.

В 1776 году Адам Смит, который считается подлинным создателем политической экономии, опубликовал труд «Исследование о природе и причинах богатства народов». В этой книге были изложены новаторские идеи, касающиеся различий между потребительской и меновой стоимостью, разделение труда, то есть специализация при выполнении конкретных задач, в ней признавалось как способ снизить затраты на производство, предсказывались возможные конфликты между владельцами заводов и высокооплачиваемыми рабочими, накопление капитала считалось источником экономического роста, а рынок — наиболее эффективным механизмом распределения ресурсов. Словом, Смит выступал в защиту экономических свобод.

Карл Маркс, в свою очередь, утверждал, что источником стоимости является только труд. Этот тезис он подробно рассмотрел в своей книге «Капитал» (1864).

Маркс определил четыре разных формы стоимости: отдельную (для сравнения прямой и производственной стоимости), прямую (при ее определении учитывается только межотраслевая конкуренция), производственную (учитывается межотраслевая и внутриотраслевая конкуренция) и действительную (определяемую рынком). Однако Маркс не подвел под свою теорию какой-либо математической основы.

Адам Смит (слева) и Карл Маркс — два мыслителя, давшие огромный толчок политической экономии, рассмотрев ее с совершенно разных позиций.

На протяжении XIX века вклад в развитие теории цен и стоимости внесли многие экономисты, например Давид Рикардо и Карл Маркс, однако только благодаря трудам более поздних исследователей, в частности Леона Вальраса, Пьеро Сраффа, Карла Менгера, Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна, эти идеи были изложены на языке математики, и родилась математическая экономика. Леон Вальрас критиковал модные в то время либеральные теории, считая, что они не в силах объяснить современные ему экономические проблемы. В «Элементах чистой политической экономии» (1874) он выразил несогласие с трудовой теорией стоимости и теорией ренты Давида Рикардо, а также подверг сомнению классические труды Адама Смита. Вместе с математиком Антуаном Курно Вальрас ввел в экономику математические расчеты.

В его модели цены предложения и спроса описывались посредством взаимосвязанных уравнений с тремя переменными: ценой, величиной спроса и величиной предложения. Требовалось вычислить значения двух неизвестных: стоимости и объема, так как при рыночном равновесии величина спроса должна равняться величине предложения. Вальрас был первым, кто описал общее экономическое равновесие, связав спрос и предложение, на языке математики.

Несмотря на столь важные открытия, идея о том, что для политической экономии вполне пригоден язык математики, с ее функциями, уравнениями и анализом бесконечно малых, вызвала серьезную критику со стороны других великих экономистов XIX столетия. Многие из них использовали исторический анализ и считали абсурдной саму идею — выражать человеческую предприимчивость на языке чисел и математических формул. Сходились с ними и сами математики, ссылавшиеся на то, что использование в экономике математических методов позволило получить весьма немногочисленные результаты. Итогом многолетнего сотрудничества экономистов и математиков стала лишь система уравнений, описывающих равновесие Вальраса.

Большой шаг вперед в изучении ценообразования сделал Пьеро Сраффа, ученик английского ученого Джона Мейнарда Кейнса. В своей книге «Производство товаров посредством товаров» он предложил следующее уравнение:

Р = S + В + R,

в котором уравновешены цена (Р) и переменные зарплата (S), прибыль (В) и рента (R).

Политическая арифметика, или Рождение статистики

В 1642 году молодой французский математик Блез Паскаль изобрел «Паскалину» — первую вычислительную машину с зубчатым механизмом. Машина могла складывать и вычитать любые числа, количество разрядов в которых не превышало восьми.

С помощью своего изобретения Паскаль хотел облегчить труд отца — налогового инспектора. Всего было изготовлено около пятидесяти «Паскалин».

Слева — «Паскалина», справа — вычислительная машина, изобретенная Лейбницем.

В 1694 году Готфрид Вильгельм Лейбниц на основе «Паскалины» создал машину, способную выполнять умножение и деление. Швейцарский математик Якоб Бернулли в 1705 году в книге «Искусство предположений» изложил зачатки теории вероятностей. Он показал, что с ростом числа наблюдений неопределенность уменьшается, и описал такой идеальный эксперимент: «В урне находится 3000 черных шариков и 2000 белых. Если мы будем извлекать шарики из урны, записывать их цвет и опускать их обратно в урну, то убедимся, что с ростом числа наблюдений соотношение белых и черных шариков будет все ближе к 2/3». Сегодня это утверждение известно как закон больших чисел — одна из основ математической статистики.

Антуан Лавуазье, создавший современную систему химических обозначений и формул, использовал свои знания в области вычислений и измерений в администрировании. Он участвовал в работе комиссии по десятичной метрической системе и в 1791 году создал «Краткое изложение различных работ по политической арифметике». Его труд решал насущные для Французской республики задачи, ведь в ту эпоху налоги взимались в зависимости от стоимости имущества, размеров обрабатываемой земли и поголовья скота.

Лавуазье попытался вычислить общую площадь всей обрабатываемой земли во Франции. Для этого он собрал данные о ежегодном потреблении пищи и алкоголя в городах и деревнях и подсчитал, сколько земли необходимо для производства всех этих продуктов. Благодаря Лавуазье известно, что в 1790 году во Франции насчитывалось 25 миллионов жителей, из которых восемь жили в городах, а еще восемь занимались виноградарством. Лавуазье призывал создать учреждение, которое регулярно собирало бы статистические данные о сельском хозяйстве, торговле, численности и составе населения. Ученый был так убежден в возможностях статистики, что полагал: скоро она заменит политическую экономию.

Другой работой, важной для появления статистики, стал «Опыт закона о народонаселении» Томаса Мальтуса. Этот труд, написанный в конце XVIII века, оказал огромное влияние на многих социологов и экономистов. Мальтус отмечал, что производство продуктов питания растет в арифметической прогрессии (1, 2, 3, 4, …), а численность населения — в геометрической (1, 2, 4, 8, …), при этом площадь земли, пригодной для возделывания, ограничена, и производительность труда на ней снижается. Так как население с определенной периодичностью удваивается, мир словно делится снова и снова пополам, и каждый раз для удовлетворения потребностей остается все меньше ресурсов. Наступит момент, когда их окажется недостаточно, и тогда возрастет смертность или же оплата труда установится на минимальном уровне, достаточном для выживания.

В 1799 году было опубликовано объемное «Статистическое описание Шотландии 1791–1799», в 21 томе которого сэр Джон Синклер собрал множество статистических данных, взятых из церковных книг, приводил годовые суммы доходов и расходов домохозяйств и виды деятельности, служившие источниками доходов.

К концу XIX века интерес к количественному измерению социальных и экономических процессов значительно возрос. Государственные учреждения, стремясь выработать эффективную политику, собирали статистические данные и проводили переписи населения. Математические модели позволили получать понятные выводы, пригодные для дальнейшего использования в сфере предпринимательства, политики и исследований.

Демографические таблицы: второе рождение статистики

В 1839 году врач Уильям Фарр с помощью методов статистики провел анализ британской системы здравоохранения. Он работал составителем отчетов в управлении актов регистрации Лондона и в 1864 году опубликовал документ «Таблицы английской жизни», в котором познакомил общество с таблицами, которые заполняют специалисты страховых обществ для расчета рисков и определения стоимости полисов. Основой для таблиц стали записи в книгах регистрации рождений и смертей, а также данные переписей. Таблицы составлялись с помощью сложных численных методов, и для выполнения соответствующих расчетов британское правительство приобрело механическую вычислительную машину с печатающим устройством, разработанную шведом Георгом Шутцем.

Механическая вычислительная машина, созданная Георгом Шутцем в 1856 году.

Фарр сотрудничал с Флоренс Найтингейл — медсестрой, которая видела в статистике инструмент, способный «улучшить условия жизни людей, подсказав правящим кругам наиболее удачные решения». Найтингейл разработала и использовала статистические диаграммы и графики, которые делали огромные таблицы с числами более понятными. Наконец, Фарр совместно с Адольфом Кетле, бельгийским математиком, поклонником статистики и учеником Лапласа, работал над переизданием книги «Социальная физика» (1835), в которой приводились накопленные за много лет разнообразные данные о населении Франции и проводился анализ взаимосвязей между статистическими переменными. Главным изобретением Фарра был так называемый средний человек, измеримые характеристики которого подвергались численному анализу. И хотя сегодня это понятие больше не используется, его можно считать прообразом современных средних величин.

В США решение провести перепись населения было принято на Конституционном Конвенте в Филадельфии в 1787 году, одновременно с принятием конституции.

Первая перепись состоялась в 1790 году, а затем они повторялись каждые десять лет. При проведении переписи 1890 года стало очевидным, что подсчитывать анкеты и составлять таблицы вручную невозможно — этот метод требовал слишком много времени для анализа данных и не позволял правительству принимать своевременные политические и экономические решения.

Чтобы найти выход из этой ситуации, был проведен конкурс на создание машины, которая позволила бы быстро и эффективно обрабатывать данные переписи.

Первое место заняла электрическая машина инженера Германа Холлерита, работающая на перфокартах: она подсчитывала количество отверстий, которыми обозначались значения статистических переменных, полученные при переписи. Отверстия в картах делал оператор на основе данных, зафиксированных в анкетах.

Для классификации и составления таблиц Холлерит сконструировал другие машины, и благодаря ему все расчеты для переписи 1890 года были проведены за два с половиной года — это на пять лет меньше, чем потребовалось при анализе данных переписи 1880 года. Холлерит создал компанию по производству машин для табулирования, классификации и перфорирования карт, имевшую огромный успех на рынке. В 1914 году компания Холлерита Tabulating Machine Company была преобразована в International Business Machines (IBM).

Слева направо и сверху вниз: Brunsviga (1927), Mercedes Euklid (1935), ANITA (1961) и персональный компьютер IBM 1980 года демонстрируют головокружительные темпы развития вычислительных машин в XX веке.

В период с 1900 по 1935 год на смену арифмометру Brunsviga пришла вычислительная машина Mercedes Euklid, выполнявшая четыре основные арифметические операции с точностью до 16 цифр. В 1960-е появились электромеханические машины и, наконец, электронные машины на полупроводниках — родоначальники современных компьютеров. В эти же годы появились первые языки программирования, а также программы для управления базами данных, например SAP и DB2, предназначенные для работы с огромными объемами данных, что необходимо крупным корпорациям и государственным структурам.

Глава 2. Деньги и инфляция

Деньги — это прежде всего общепринятое средство платежа, используемое при купле-продаже товаров и услуг или финансовых операциях. Они используются как для обмена, так и для измерения стоимости товаров. Следовательно, деньги — это единица измерения ценности вещей, а также платежный инструмент. Физически деньги представляют собой металлические монеты или банковские билеты, но они могут быть и единицей измерения остатка на нашем банковском счете или карте — на ее чипе или магнитной полосе с использованием современных методов шифрования хранится информация о карте и ее держателе.

Краткая история денег: от товарных денег к фидуциарным

С течением времени деньги довольно сильно видоизменились. Изначально торговля основывалась на обмене товарами: люди обменивали излишки, накопленные одним сообществом, на излишки, накопленные другим. Вскоре некоторые товары, например скот, стали использоваться при обмене как базовые для оценки стоимости других товаров. Так, например, двадцать амфор оливок по стоимости равнялись одной овце, сто амфор вина — волу. Амфоры емкостью от 25 до 30 литров, наполненные водой, назывались талантами и выступали единицами веса, а позднее так стали называть денежные единицы.

Использование голов скота как платежной единицы привело к тому, что их изображения появились на камнях, глиняных табличках, а позднее — на металлических монетах. Впоследствии монеты стали чеканиться из драгоценных металлов, таким образом, стоимость монеты равнялась стоимости металла, из которого она была отчеканена (такие деньги называются товарными, или натуральными).

Следующим шагом стала чеканка монет из менее ценных металлов, и стоимость металла, из которого изготавливалась монета, была значительно меньше ее номинала. Такие деньги стали называться фидуциарными (от лат. fiducia — «доверие»)[1], или символическими, и этот этап их эволюции завершился с появлением бумажныхденег. Так как деньги чеканились из бронзы, серебра или золота, купцы позднего Средневековья обращались к ювелирам, чтобы те, взвесив наиболее ценные монеты, определили их реальную стоимость. Ювелиры и стали первыми банкирами: они принимали ценности на хранение, выдавая при этом свидетельства-расписки. Вскоре купцы стали считать эти свидетельства удобной и безопасной заменой самих монет.

Позднее на смену распискам пришли банковские билеты, и появились первые банки.

В древности ценность монет зависела от материала, из которого они были отчеканены. На фото — бронзовый римский сестерций.

В банках хранились вклады, за которыми владельцы обращались нечасто. Вскоре ювелиры и банкиры поняли, что достаточно хранить постоянно лишь небольшое количество ликвидных средств своих клиентов, а остальные вклады можно выдавать в виде займов при условии сохранения определенного коэффициента ликвидности, — так появились банковские деньги. Когда собственник клал деньги в банк, а банк выдавал их в виде займа третьему лицу, то эти деньги формально находились у трех разных людей: владельца вклада, банкира и заемщика, — отсюда следует определение денежной массы как суммы наличных денег на руках у населения и банковских вкладов.

Денежные стандарты, фидуциарные деньги и счетные денежные единицы

Денежный стандарт — это металл, для которого при предъявлении банку-эмитенту гарантирована конвертация в металлические монеты или банковские билеты. В основе каждой денежной системы лежит определенный металл: золото, серебро или их сплав.

Государство и банки — эмитенты бумажных денег гарантируют автоматический обмен драгоценного металла, лежащего в основе денежного стандарта, на банковские билеты. Фидуциарные деньги появились благодаря уверенности общества в банке-эмитенте, который гарантирует обратный автоматический обмен денег на драгоценный металл.

Семья Фуггеров стала одной из главных коммерческих и финансовых организаций XV–XVI веков. На иллюстрации Карл V слушает Якоба Фуггера, благодаря поддержке которого он взошел на трон.

Золотой стандарт использовался вплоть до Первой мировой войны. В 1944 году он был модифицирован в золотовалютный стандарт, основанный на двух твердых валютах, для которых гарантировался обмен на золото: американском долларе и британском фунте стерлингов. Так как все страны производили международные платежи в этих твердых валютах, они постепенно начали использовать эти же валюты для своих резервов, пока в 1971 году Соединенные Штаты Америки не объявили об отмене конвертируемости доллара в золото, что способствовало окончательному отказу от использования золотого стандарта. Ему на смену пришел фидуциарный стандарт, основанный на доверии к определенным твердым валютам, составляющим основу резервов центральных банков разных стран.

Отель «Маунт Вашингтон» на курорте Бреттон-Вудс, где в 1944 году прошла валютно-финансовая конференция Организации Объединенных Наций. На ней был подписан ряд соглашений взамен тех, что были заключены во время Первой мировой войны. Бреттон-Вудские соглашения утратили силу в 1971 году, когда Соединенные Штаты Америки объявили об отмене конвертируемости доллара в золото.

Валюты и виды обмена: почему одни деньги дороже других

Деньги, выпущенные центральными банками иностранных государств, называются валютой и являются средством платежа при международной торговле. Как правило, расчеты при этом ведутся в валюте страны-экспортера, однако часто предпочтение отдается твердым валютам, в частности американскому доллару или евро. Цена денежной единицы одной страны, выраженная в денежной единице другой страны, называется валютным курсом. Валюты являются конвертируемыми, если их можно обменивать на другие валюты по курсу, определяемому рынком, то есть по гибкому, свободному курсу.

Таким образом, на валютном рынке доллар ($) может котироваться по определенному курсу по отношению к евро (€): $1 = €0,69 (или, что аналогично, для покупки 1 евро требуется заплатить 1,449 доллара). В свою очередь, обменный курс фунта стерлингов (£) может равняться, например, €1,11 или $1,61, курс японской иены (¥) — £0,0067, €0,0075 или $0,0108. Это означает, что если мы покупаем в США автомобиль, который стоит 10000 долларов, а в нашем распоряжении есть только евро, сначала нужно купить доллары на сумму 6900 евро. Если же у нас на руках только фунты стерлингов, то потребуется заплатить 10000/1,61 = 6211,18 фунта стерлингов.

Если валютный курс фиксирован, это означает, что руководство страны установило для своей национальной валюты по отношению к валютам других государств определенный неизменный курс, который может колебаться лишь в строго заданных границах. Курс свободно конвертируемых валют колеблется в определенном интервале по отношению к другим валютам, причем желательно, чтобы колебания не превосходили 1 %, иначе это повлияет на стабильность валютного обмена.

Валютный курс государства оказывает огромное влияние на конкурентоспособность страны на мировом рынке. Если инфляция внутри страны высока, товары, произведенные на ее предприятиях, дорожают, что снижает возможности экспорта и, как следствие, уровень торговой активности со всеми возможными негативными последствиями для рынка труда. По этой причине страны с высоким уровнем инфляции вынуждены девальвировать свою валюту по отношению к остальным, чтобы повысить конкурентоспособность своих производителей на международном рынке.

Говорят, что первая валюта обесценивается по отношению ко второй, когда для ее приобретения требуется меньшее количество второй валюты. Так, если доллар обесценивается по отношению к евро, это означает, что для покупки 1 евро требуется, например, 1,60 доллара вместо прежних 1,449, то есть чтобы купить 1 евро, теперь требуется платить более высокую цену, так как доллар по отношению к евро обесценился.

Одна и та же валюта может обесцениваться по отношению к одним и одновременно расти в цене по отношению к другим валютам. Происходит это из-за того, что, в дополнение к валютным колебаниям, в этих странах меняются индексы цен.

Так, например, если в стране 1 зарегистрирован рост цен р_1 больший, чем рост цен р_2 в стране 2, обменный курс валют этих двух стран будет изменяться в зависимости от изменения индексов цен в этих двух странах. Если обменный курс валют этих стран равен E, он будет меняться в зависимости от относительного изменения роста цен р_1 и р_2, а именно:

Если цены в стране 1 увеличились больше, чем в стране 2, то обменный курс возрастет, то есть валюта страны 1 обесценится. И наоборот, если цены в стране 2 увеличатся больше, чем в стране 1, валюта страны 1 подорожает по отношению к валюте страны 2.

* * *

ПАРИТЕТ ПОКУПАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТИ И СТОИМОСТЬ ВАЛЮТ

Чтобы ответить на вопрос, почему одни валюты стоят больше, чем другие, введем еще одно понятие: паритет покупательной способности одной валюты по отношению к другой. На один доллар можно приобрести определенный набор продуктов, однако за эквивалент одного доллара в другой валюте по текущему обменному курсу можно приобрести больше или меньше продуктов.

Подумайте, можно ли купить за 69 евроцентов тот же набор продуктов, что и за один доллар?

Или за 69 евро — в сто раз больше продуктов, чем количество, купленное за один доллар, то есть столько же, сколько можно купить за 100 долларов? Очевидно, что если доллар обесценивается на 10,4 % по отношению к евро, то чтобы купить набор продуктов стоимостью в один доллар, потребуется всего 62,5 евроцента, а не 69 евроцентов, как раньше.

Например, если мы покупаем фотоаппарат, который в США стоит 150 долларов при обменном курсе $1- €0,69, то его стоимость составит €0,69/$ 1∙$150 = 103,50 евро.

Если доллар обесценивается по отношению к евро на 10,4 % и обменный курс снижается до $1 = €0,625 (или €1 = $1,6), то в этом случае фотоаппарат станет для нас дешевле, если мы будем платить в евро: €0,625/$1∙$150 = 93,75 евро.

Может случиться так, что евро обесценится по отношению к доллару (или, что аналогично, доллар повысится в цене по отношению к евро), и его курс станет равным $1,25 за €1 ($1 = €0,80).

В этом случае фотоаппарат обойдется нам дороже, чем европейским покупателям: €0,80/$1∙$150 = 120 евро.

Поэтому когда страна обесценивает свою валюту по отношению к валюте другой страны, экспортируемые ею товары оказываются за границей дешевле, а товары, импортируемые этой страной, дорожают. В этом случае говорят, что покупательная способность валюты снижается.

* * *

С другой стороны, условия торговли определяются как отношение средних цен экспорта к средним ценам импорта, то есть:

Чем лучше условия торговли в стране, тем больше у нее преимуществ при международной торговле: хорошие условия торговли означают, что страна продает товары по высоким ценам, а взамен получает намного больше импортных товаров по более низким ценам. В международной торговле все страны стремятся получить сравнительное преимущество, то есть хотят экспортировать и импортировать определенные товары при благоприятных для себя условиях торговли.

Курсы различных валют являются следствием сделок, совершаемых на финансовых рынках и определяемых потребностями в международных платежах, которые испытывают различные учреждения: коммерческие и центральные банки, транснациональные корпорации, финансовые институты (инвестиционные фонды, пенсионные фонды, страховые компании и т. д.). Наибольшим спросом пользуются валюты, которые чаще всего применяются в международных расчетах. Как правило, это валюты стран с наиболее сильной экономикой.

Спрос на валюту также определяют базовые процентные ставки в странах с этой валютой, а также ожидания участников рынка относительно ее будущих котировок.

На курсы некоторых валют также влияют решения, принимаемые центральными банками государств для поддержания заниженного курса с целью стимулирования экспорта. Так, США, Китай и Япония поддерживают заниженные курсы своих валют по отношению к евро для стимулирования международной торговли.

Простые практические алгоритмы

Расскажем о простейших правилах арифметики в торговле, которые использовались начиная с эпохи Возрождения и до конца XX века. Первое из них — правило пропорции, позволяющее решать задачи, в которых две переменные прямо пропорциональны друг другу (с увеличением одной увеличивается и другая). Если, например, ростовщик зарабатывает три динара на займе в 50 динаров, сколько он заработает на займе в 120 динаров?

50 динаров ____ 3 динара

120 динаров ___ х динаров.

Как известно, эта задача решается так:

50/120 = 3/х

50х = 120-3

50х/50 = 120∙3/50

х = 120∙3/50 = 7,20 динара.

Правило пропорции.

Похожи на них задачи с обратной пропорциональностью. Два каменщика строят стену за 12 дней. Сколько дней понадобится на постройку стены пяти каменщикам?

2 человека ___ 12 дней

5 человек ____ х дней.

Задача решается следующим образом:

2/5 = х/12

2∙12 = 5х

5х/5 = 2∙12/5

х = 2∙12/5 = 4,80 дня = 4 дня 19 часов 12 минут.

Второй вариант использования правила пропорции.

Наконец, правило пропорции применимо и для решения более сложных задач: если 40 маляров, работая по 8 часов в день, красят 320 метров забора за 10 дней, то за сколько дней 55 маляров покрасят 440 метров такого же забора, если будут работать по 6 часов в день?

Задача решается следующим образом:

10/х = 55/40∙6/8∙320/440

х = 10∙440/320∙8/6∙40/55 = 13,3 дня = 13 дней 8 часов.

Определенная сумма

Греческая буква Σ (заглавная сигма) очень часто используется в математических формулах экономической теории и обозначает сумму слагаемых. Например, для обозначения суммы x_1  + х_2 + х_3  + х_4  можно использовать выражение Σ 4i=1 xi

Знак Σ перед хi означает, что нужно сложить все значения х. Числа, указанные под буквой Σ и над ней, обозначают границы суммы, то есть наибольшее и наименьшее значение индекса, которое используется при сложении.

Сумма Σ 6k=3 xk означает х_3 + х_4 + х_5 + х_6,

Cумма Σ nj=m xj означает хm + хm+1 … + хn-1 + хn.

Индексы могут принимать только целые значения, а нижний индекс может быть обозначен любой буквой.

Так, Σ mi=1 xi = Σ mj=1 xj = Σ mk=1 xk

Член, следующий за буквой Σ, называется слагаемым. В выражении Σ mk=1 xk слагаемыми являются хk.

* * *

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнение — это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.

Уравнение обращается в верное равенство лишь при определенных значениях этих неизвестных. Неизвестная в уравнениях может быть возведена в квадрат или в куб.

Например, х + 12 = 25 — Зх — уравнение первой степени, 12 + х^2 — 6х = 3 — уравнение второй степени, 9 — Зх^2 — 6х^3 = -12 — уравнение третьей степени.

В XIII веке Леонардо Пизанский решал задачи, подобные следующей: у ювелира есть золото 975-й пробы и золото 750-й пробы, и он хочет получить слиток золота 900-й пробы весом в два килограмма.

Сколько золота каждой пробы потребуется для этого? Эта задача решается так:

х кг вес золота 975-й пробы

(2 — х) кг вес золота 750-й пробы

х∙0,975 + (2 — х)∙0,750 = 2∙0,900

х∙0,975 + 2 0,750 — 0,750∙х = 1,800

х∙0,975 — 0,750х = 1,800 — 2∙0,750

х∙0,225 = 1,800 — 1,500

х∙0,225 = 0,300

х = 0,300/0,225 = 4/3 = 1 1/3 кг золота 975-й пробы

(2 — х) = 2 – 1 1/3 = 2/3 кг золота 750-й пробы.

Фибоначчи также сформулировал и решил задачи, описываемые уравнениями второй степени, подобные следующей: площадь прямоугольного поля равна 2400 м^2 Известно, что его длина на 20 м больше ширины. Вычислите размеры поля. Таким образом, произведение ширины (х) на длину (х + 20) равно 2400 м^2. Стандартное уравнение второй степени выглядит так: ах^2 + Ьх + с = 0. Значение неизвестной х можно вычислить по формуле:

В этом случае:

х∙(х + 20) = 2400; х^2 + 20х = 2400; х2 + 20х — 2400 = 0.

Таким образом, поле имеет размеры 40 х 60 м.

Неравенства похожи на уравнения, однако вместо знака равенства (-) содержат один из четырех возможных знаков неравенства:

<= «меньше либо равно»

< «меньше» (строго)

>= «больше либо равно»

> «больше» (строго).

Неравенству с одной переменной х — 7 > 13 удовлетворяют все числа, которые при уменьшении на 7 равняются 13 или более. Неравенства решаются по схожему алгоритму. Пример:

х — 7 >= 13; х — 7 + 7 >= 13 + 7; х >= 20.

Решением этого неравенства является множество всех чисел, больших или равных 20.

Иногда уравнения и неравенства ведут себя по-разному, как, например, в следующем случае.

Здесь для решения неравенства нужно сменить его знак на противоположный.

Это можно показать так: 7 < 13, однако, напротив, — 7 > — 13.

* * *

Сумма первых восьми нечетных чисел записывается следующим образом:

Σ nj=0 (1 + 2j) = (1 + 2∙0) + (1 + 2∙1) + (1 + 2∙2) + (1 + 2∙3) + (1 + 2∙4) + (1 + 2∙5) + (1 + 2∙6) + (1 + 2∙7) + (1+ 2∙8) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 +15 + 17.

Сумма Σ 5j=2 2j равняется 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 4 + 8 +16 + 32.

Сумма Σ 3l=1 (l+1)∙3l = 2∙З^1 + 3∙З^2 + 4∙3^3 = 6 + 27 + 108.

* * *

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Во многих областях современной математики переменная определяется как дискретное множество (это означает, что она может принимать только определенные значения, и между двумя соседними значениями не может находиться никакого другого). На языке математики это записывается так: {х_1, х_2, …,хn}. Между значениями х_1 и х_2 нет никакого другого значения переменной х.

Существуют и другие переменные, используемые намного чаще, которые определены на непрерывных множествах (это означает, что такие переменные могут принимать целые, дробные и иррациональные значения). Примером такой переменной является {0 <= t <= }. Очень часто для решения различных задач, связанных с функциями, определенными на непрерывных множествах, требуется выполнить операцию интегрирования , как, например, в случае с функцией вероятности или нормальным распределением вероятности. Когда речь идет о дискретных переменных, операцией, аналогичной интегрированию, является сложение.

Функция f(t) непрерывной переменной t, определенная на множестве {a <= t <= b}.

Функция у(х) дискретной переменной х, определенная на множестве {х_1, х_2, х_3, x_4}.

Множество из четырех элементов можно обозначить буквами и цифрами, которые будут выступать в качестве индексов: х_1, х_2, х_3, x_4.Если мы хотим работать с множеством из n элементов (n может изменяться в зависимости от задачи), они будут обозначаться {х_1, х_2…. хn-1, xn}. Так, хn - 1 обозначает элемент, идущий перед хn, последним элементом множества. Произвольный элемент ряда (занимающий в нем i-е место) обозначается хi. Таким образом, например, цены четырех товаров можно обозначить p_1, р_2, р_3 и р_4, а запрошенные объемы каждого товара — q_1, q_2, q_3 и q_4.

* * *

Определенная сумма применяется при записи математических рядов, например биномиального ряда. Биномиальное распределение вероятности используется при анализе результатов опросов, когда на вопрос возможны лишь два ответа (например, «да» и «нет»). Вероятность их появления равняется р и q. А поскольку сумма их вероятностей равна р + q = 1, следовательно, q = 1 — р.

Чтобы узнать вероятность того, что будет получено три или менее ответа «да», нужно вычислить вероятности следующих событий: ни одного ответа «да», один ответ «да», два ответа «да» или три ответа «да», то есть Р (0 < k < 3) = Р (0) + Р (1) + Р (2) + Р (3). Эту же формулу можно записать так:

Функция, позволяющая вычислить вероятность того, что на п вопросов будет дано от 0 до k ответов «да», равна сумме вероятностей, последним слагаемым в которой будет Р(k). Эта же формула записывается в следующем виде:

В похожем виде записываются статистические функции, к примеру:

Эта же формула в виде ряда будет записываться так:

Аналогичный вид имеют статистические формулы:

Как измеряется инфляция. Виды индексов

Инфляция — это повышение цен на товары и услуги, при которой зарплаты или доходы потребителей не меняются и, таким образом, их покупательная способность снижается. Это означает, что на ту же сумму денег, что и раньше, можно купить меньше товаров. Чтобы измерить инфляцию, необходимо проанализировать изменения цен. Высокая инфляция негативно сказывается на экономике страны, так как уровень доходов потребителей и домохозяйств снижается, одновременно с этим ухудшается конкурентоспособность страны на мировом рынке. Следовательно, инфляцию необходимо контролировать. Стабильность цен — одна из необходимых характеристик здоровой экономики государства.

Колебания цен измеряются с помощью индексов. При расчете инфляции рассматриваются средние цены потребительской корзины товаров и услуг, в которой различным ценам присваиваются весовые коэффициенты. Выбранный год рассматривается в качестве исходного, и ему присваивается значение 100, на основе которого рассчитывается рост средневзвешенных цен в последующие годы.

Так, например, если в качестве базового выбран нулевой год с индексом 100, и в последующие годы зарегистрированы приведенные ниже показатели роста цен, индекс цен изменится так:

Расчет индекса цен.

Статистические организации государства разрабатывают различные индексы цен для разных продуктов. Самым известным является индекс потребительских цен, рассчитываемый на основе фиксированной корзины определенных продуктов и обязательных расходов потребителей (продукты питания, одежда, коммунальные услуги, образование, общественный транспорт ит.д.). Так же формируются индексы цен для других продуктов, например промышленных, сельскохозяйственных, строительных товаров, индекс цен на недвижимость и т. д.

Годовой уровень инфляции (в %) рассчитывается по следующей формуле:

Существует множество теорий, объясняющих рост цен. Некоторые из них записаны на языке алгебры, как, например, количественная теория денег Ирвинга Фишера. Согласно этой теории уровень цен (Р) в стране зависит от общего объема всех товаров и услуг (Q), количества денег в обращении (М) и скорости обращения денежной массы (V), показывающей, сколько раз деньги переходят из рук в руки:

Р∙Q = М∙V.

* * *

ИНДЕКСЫ ЦЕН

Для количественной оценки изменения цен, объемов производства или стоимости за определенный период времени используется огромное количество различных индексов. Если мы хотим рассчитать глобальные индикаторы изменения цен или объемов производства в стране, нужно рассмотреть соответствующие временные ряды. Цены сравниваются с ценами определенного года, выбранного в качестве базового. Индексы производства рассчитываются при неизменном уровне цен, индексы цен — при неизменных объемах производства.

Наиболее популярные индексы производства и цен — это индексы Ласпейреса (QL, PL), Пааше (Qp, Pр) и Фишера (QF, PF).

где Р — цена, Q — объем производства, Σp_0qt, обозначает общую стоимость всей продукции, выпущенной за год t при неизменных ценах р_0 года 0, а Σp_0q_0 стоимость всей продукции, произведенной в стране за год 0. Аналогично рассчитываются индексы при неизменных ценах.

Индекс Фишера является средним геометрическим индексов Ласпейреса и Пааше.

* * *

Американский экономист Ирвинг Фишер (1867–1947) совершил множество открытий в области экономической теории, в частности описал уравнения количественной теории денег.

Если выразить из этого равенства переменную Р, получим новое уравнение: Р = М∙V/Q. Из него нетрудно понять, что цены возрастают с ростом М (денежной массы на руках у населения) при условии, что остальные две переменные, V и Q, остаются неизменными, либо если возрастает V — скорость обращения денег. Цены снижаются, когда уменьшается денежная масса или скорость обращения денег. Изменение цен обратно пропорционально изменению количества товаров и услуг: если предложение растет, а объем денежной массы и скорость обращения денег остаются неизменными, цены снижаются, если объем производства падает, цены растут.

Существуют другие теории и математические модели, объясняющие инфляцию, например кривая Филлипса. Олбан Филлипс связывал уровень инфляции с уровнем безработицы: он проанализировал статистические данные Великобритании и представил их на графике, на оси ординат которого откладывался уровень инфляции, на оси абсцисс — уровень безработицы. Кривая Филлипса является нисходящей и по своему поведению напоминает кривую спроса: при росте цен уровень спроса снижается. В итоге Филлипс получил обратную зависимость между уровнем безработицы и инфляцией, основной причиной которой являлся рост зарплат. Иными словами, с ростом инфляции уровень безработицы снижается и, напротив, политика сдерживания цен приводит к росту безработицы.

Кривая Филлипса.

Рост цен может быть вызван разными причинами: например, избыточным повышением спроса при неизменном уровне производства (предложения) — этот процесс известен как инфляция спроса. Причиной инфляции также могут стать рост зарплат как следствие снижения безработицы и увеличение цен на сырье. Цены растут, однако уровень безработицы остается неизменным, а в условиях экономического роста цены повышаются еще быстрее. В XX веке наблюдался неизменный рост цен, в том числе и во время рецессии. В периоды рецессии может возникать инфляция издержек, иными словами, цены увеличиваются несмотря на одновременный рост безработицы.

В условиях сильной экономической рецессии могут складываться ситуации, когда цены снижаются. В этом случае идет речь о дефляции — отрицательной инфляции.

Дефляция возникает, когда из-за снижения объема выданных кредитов сокращается денежная масса, безработица растет и в то же время наблюдается перепроизводство, в итоге компании вынуждены снижать цены, чтобы распродать излишки.

Еще одним предельным случаем является гиперинфляция, возникающая, когда власти страны выпускают в обращение большие массы денег (иными словами, включают печатный станок на полную мощность), чтобы покрыть расходы или стимулировать потребительский спрос, при этом структура производства в стране не меняется, а уровень производства находится на прежнем уровне или даже снижается. Гиперинфляция обычно выражается трехзначными числами и более и порой превышает 1000 %. Высокая инфляция, достигающая нескольких сотен процентов в год, называется галопирующей.

В периоды экономической рецессии, как, например, во время экономического спада в начале 1970-х, вызванного нефтяным кризисом, отмечается значительный рост цен вкупе с ростом безработицы. Такая ситуация называется стагфляцией.

В 1920-е годы, когда Германия страдала от гиперинфляции, не знавшей аналогов в истории, на смену банкнотам в тысячу марок пришли банкноты в миллиард марок.

Процентная ставка: стоимость денег

Номинальная стоимость денег, по сути, всегда неизменна: один доллар — это один доллар, один евро — это один евро, один фунт стерлингов — это один фунт стерлингов. Эта неизменность позволяет использовать деньги как единицу расчета стоимости товаров, услуг, недвижимости, земли, а также общепринятое средство платежа, имеющее конкретную физическую форму — металлических монет, банковских билетов и т. д. Однако стоимость товаров и услуг меняется и с течением времени за одну и ту же сумму денег — в случае если цены растут — можно купить все меньше товаров. Это означает, что покупательная способность денег снижается, или, другими словами, для приобретения прежнего количества товаров нужно больше денег.

Стоимость денег меняется в зависимости от того, сколько товаров можно на них купить. Во время инфляции стоимость денег снижается, при снижении цен (дефляции) происходит обратный процесс. Однако деньги обладают еще одним неотъемлемым качеством — ликвидностью, то есть возможностью использования в качестве средства платежа. Когда кому-либо не нужны ликвидные деньги, он может дать их взаймы третьему лицу, которому они необходимы для приобретения каких-либо товаров. Взамен третье лицо возвращает долг в размере, превышающем полученную сумму. Эта дополнительная сумма, которую готов платить должник за предоставленный займ, называется процентной ставкой. Таким образом, процентная ставка — это цена денег.

Процентная ставка определяется как количество процентов от заемного капитала, которые должны быть уплачены за пользование им. Так, если мы получили займ в 1000 евро на три года с процентной ставкой 5 % годовых, каждый год мы будем должны заплатить 50 евро процентов. К концу срока займа, когда мы вернем его полностью, мы заплатим всего 1150 евро.

Представим ситуацию: потребителю нужна определенная сумма денег для покупки товара, предпринимателю — для покупки оборудования, при этом ни у того, ни у другого недостаточно денег для удовлетворения своих потребностей. Они обращаются в банк и, получив нужную сумму, обязуются вернуть ее в указанный срок и заплатить определенную цену за возможность использовать эти деньги. Цена, которую они заплатят за деньги, полученные взаймы, называется процентной ставкой. С другой стороны, некий человек, у которого есть лишние деньги, согласен снизить их ликвидность и поместить их на банковский вклад за определенный процент от этой суммы. Следовательно, деньги имеют свою цену не только для заемщиков, которым нужно вернуть займы с процентами, но и для банка, которому, чтобы привлечь деньги клиентов, необходимо заплатить им.

Процентная ставка также является ценой, уплачиваемой за определенные финансовые активы. Так, если власти страны, стремясь привлечь средства населения, выпускают государственные облигации, казначейские векселя и другие ценные бумаги, то, помимо срока погашения, на них указывается и определенная процентная ставка. Например, государство может выпустить облигации под 3,5 % либо краткосрочные векселя на срок 3 или 6 месяцев под 1 % и 1,5 % соответственно. Частные компании также могут выпускать ценные бумаги с фиксированным доходом (например, облигации) с определенной процентной ставкой. Таким образом компании получают необходимые средства на рынке капитала, однако взамен им нужно будет уплатить определенную процентную ставку.

Процентные ставки центральных банков: EURIBOR, ставка ФРС и другие

Центральные банки разных стран устанавливают базовую (официальную) процентную ставку для контроля инфляции и денежной массы в обращении. Если процентная ставка снижается, количество денежной массы в обращении увеличивается, так как кредиты становятся дешевле. Чем больше денег находится в обращении, тем больше ликвидных платежных средств на руках у потребителей, в итоге растет спрос и, как следствие, цены. И наоборот, если экономический рост слишком высок и инфляция растет, центральные банки (Федеральная резервная система, Европейский центральный банк и другие) стремятся поднять процентные ставки, чтобы замедлить потребление и рост цен.

Базовые процентные ставки в разных странах и денежных зонах отличаются.

Так, в январе 2010 года процентная ставка, установленная Федеральной резервной системой США, находилась на уровне 0,25 %, ставка Европейского центрального банка — 1 %, ставка Банка Англии составляла 0,50 %, ставка Банка Японии — 0,10 %, Банка Канады — 0, 25 %, Резервного банка Австралии — 3,75 %, Национального банка Швейцарии — 0,25 % и т. д. Официальная базовая процентная ставка используется в качестве отправной точки при определении ставок межбанковских кредитов, то есть процентной ставки, под которую банки дают займы друг другу.

Официальные базовые процентные ставки (на январь 2010 года).

Эти межбанковские процентные ставки, как правило, немного выше, чем базовые процентные ставки. Так, EURIBOR — это межбанковская процентная ставка в еврозоне. Она рассчитывается на основе межбанковских ставок, используемых при сделках на открытом рынке ведущими европейскими банками, и является основой при расчете процентов по большинству кредитов. Выдавая любой потребительский или ипотечный кредит, банки обычно используют EURIBOR (или межбанковскую ставку Банка Англии или ФРС, если речь идет об Англии или США соответственно) в качестве базисной процентной ставки и увеличивают ее на несколько пунктов.

Колебания ставки EURIBOR в 2005–2010 годах.

По сути, для каждой кредитной операции существует отдельная ставка EURIBOR в зависимости от срока выдачи кредита: 1 месяц, 3 месяца, 6 месяцев, 12 месяцев и т. д. Межбанковские процентные ставки ФРС, Банка Англии и Банка Японии для займов сроком в 1 день, 3 месяца или 1 год также отличаются. Расчет EURIBOR выполняется ежедневно до И утра на основе ставок, используемых 64 основными европейскими банками, по следующей схеме: крайние значения (15 % самых высоких и 15 % самых низких ставок) отбрасываются, после чего рассчитывается среднее арифметическое. Дневная межбанковская ставка EONIA рассчитывается Европейским центральным банком на основе дневных межбанковских ставок, используемых 48 европейскими банками.

Глава 3. Банки и страхование. Кредиты и виды процентов

Математика в банковской сфере имеет наибольшее значение при расчете ставок по кредитам и ипотеке. Как вы увидите далее, при принятии финансовых решений очень важно использовать функции и прогрессии.

Простые и сложные проценты

Сначала дадим определение некоторым основным понятиям: капиталу, процентам с капитала и процентной ставке. В экономике капитал является фактором производства: капитал — это совокупность инвестиций владельца предприятия в оборудование (капиталовложения) или производство. В финансовой сфере капитал ассоциируется с суммой денег, размещаемых на банковском вкладе и предназначенных для приобретения облигаций, ценных бумаг с переменной доходностью и прочих финансовых активов. Также капитал — это деньги, выдаваемые третьим лицам в качестве займов за определенную плату (взимаемую ежедневно, ежемесячно, ежегодно и т. д.), называемую процентной ставкой.

Так, когда мы запрашиваем у банка кредит на некую сумму С_0  сроком, например, на три года (n = 3) под 6 % годовых (номинальная процентная ставка i = 6 %), по прошествии трех лет мы должны будем вернуть взятую в кредит сумму плюс три раза по 6 % капитала — сумму процентов, рассчитанных по используемой процентной ставке. Например, если C_0 = 1000, срок кредита n = 3 года, процентная ставка i = 6 %, то по прошествии трех лет мы должны будем вернуть банку 1000 денежных единиц плюс 3∙(6/100)∙1000 = 180 — капитал плюс проценты в размере 60 денежных единиц в год (общая сумма к уплате — 1180 единиц).

Если каждый год необходимо возвращать одну и ту же сумму процентов, то говорят, что используются простые проценты, а итоговая сумма Сn, которую требуется вернуть к концу срока кредита, состоит из начального заемного капитала и процентов и равняется:

сn = С_0 + n∙i∙С_0 = С_0∙(1 + n∙i).

Это формула простых процентов, где C_0 — заемный капитал, i — процентная ставка (выраженная в виде десятичной дроби); n — число периодов, в течение которых применяется процентная ставка; Сn — общий капитал плюс проценты к уплате; n∙i∙C_0 — общая сумма процентов, которые должны быть уплачены за весь срок кредита.

Когда клиент банка открывает вклад на определенный срок, требуется решить обратную задачу. В этом случае банк должен вернуть клиенту вложенную сумму с процентами, начисляемыми, например, в конце каждого года. Банк перечисляет проценты на текущий счет клиента в сроки, указанные в банковском договоре. Проценты могут начисляться раз в год, раз в полгода, раз в квартал или раз в месяц.

В договоре может указываться годовая процентная ставка, а проценты при этом выплачиваются, например, раз в год, квартал или месяц. В этом случае на счет клиента будет поступать полная сумма процентов за год либо разделенная на 4 или на 12 в зависимости от периодичности начисления процентов. В договоре может использоваться месячная или квартальная процентная ставка. В этом случае для расчетов процентов применяется формула, приведенная выше, однако период времени n выражается в месяцах или кварталах соответственно.

Иногда клиент хочет прибавить полученные проценты к вкладу, чтобы на них также начислялись проценты. В этом случае речь идет о так называемых сложных процентах. Рассмотрим предыдущий пример снова, несколько его изменив. В конце первого года клиент помещает на счет вклада итоговую сумму в 1060 денежных единиц. В конце второго года его капитал будет равен 1123,60, так как, помимо 120 денежных единиц, выплаченных в качестве процентов, также будут выплачены 6 % от 60 единиц, вложенных по итогам первого года, то есть дополнительно 3,6 денежной единицы. В конце третьего года итоговый капитал составит 1191,02, то есть рентабельность вложений за весь срок вклада составит 19,10 % — на 1,1 пункта больше, чем если бы использовались простые проценты.

Процентная ставка по кредиту, или доходность капитала, может быть месячной, квартальной или годовой. Следовательно, если номинальная годовая процентная ставка составляет 12 %, но на сумму кредита ежемесячно начисляется 1 %, и эта сумма добавляется к телу кредита, то итоговая сумма будет отличаться. Поэтому определяется эквивалентная годовая процентная ставка. Эквивалентная годовая процентная ставка по кредиту с годовой процентной ставкой i, проценты по которому начисляются n раз в год (например, ежемесячно), рассчитывается так:

* * *

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Общая формула для расчета сложных процентов за n лет, начисляемых по вкладу или по кредиту с начальной суммой С_0, выводится так: в первый год (n = 1) начисляется сумма процентов, равная С_0∙i. Во второй год (n = 2) эта сумма процентов прибавляется к начальному капиталу: С_1 = С_0 + С_0∙i = С_0∙(1 + i), и так происходит до последнего года.

n = 0; С_0,

n = 1; С_1 = С_0 + С_0∙i = С_0∙(1 + i),

n = 2; С_2= С_1 + С_1∙i = С_0∙(1 + i) + С_0∙(1 + i)∙i = С_0∙(1 + i)∙(1 + i) = С_0∙(1 + i)2,

n = 3; С_3= С_2 + С_2∙i = С_0∙(1 + i)2 + С_0∙(1 + i)2∙i = С_0∙(1 + i)2∙(1 + i) = С_0∙(1 + i)3

……

n = n; Сn = С_0∙(1 + i)n.

Таким образом, общая формула сложных процентов записывается так: Сn = С_0∙(1 + i)n. Из этой формулы, в свою очередь, можно определить значение процентной ставки i или число периодов n при известных остальных значениях переменной:

С другой стороны, если в формуле Сn = С_0∙(1 + i)n перейти к логарифмам, получим:

Эти формулы используются как для расчета будущей стоимости капитала, вложенного под определенные проценты, так и для расчета годовой суммы процентов, полученной на вложенный капитал, а также для определения числа лет или периодов времени, по прошествии которых мы получим заданную сумму.

* * *

Если i = 12 % годовых, но проценты начисляются ежемесячно (n = 12), эквивалентная процентная ставка будет равняться

где i = 12 % годовых, n = 12 месяцев.

Если бы проценты начислялись раз в квартал, то эквивалентная процентная ставка равнялась бы

где i = 12 % годовых, n = 4 квартала.

Реальная процентная ставка изменяется под влиянием инфляции. Так, если мы вложим средства в государственные облигации под 5 %, а инфляция составит 3 %, реальная процентная ставка, характеризующая реальный прирост покупательной способности денег, будет определяться как разность между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции.

Реальная процентная ставка = Номинальная процентная ставка — Уровень инфляции.

Сколько времени должно пройти, чтобы вложенный капитал удвоился

Формула сложных процентов очень проста в использовании. Покажем, как можно вычислить конечную стоимость денег при известных процентной ставке и периоде времени. Например, если мы вложим первоначальный капитал C_0  = 10 000 евро на три года под 5 % годовых, каким будет конечный капитал С_3?

C_0 = 10000 евро; i = 5 % (0,05), n = 3 года.

Применив формулу С_3 = С_0∙(1 + i)3 получим:

С_3 = 10000∙(1 + 0,05)3  = 10000∙1,157625 = 11576,25 евро.

Однако расчет сложных процентов становится труднее, если другие члены этого уравнения неизвестны. Так, перед инвестором может встать вопрос: на какой срок нужно вложить капитал под определенный процент, чтобы вложенный капитал удвоился или чтобы получить определенную сумму?

Рассмотрим простой пример: допустим, мы хотим определить, за какой период времени вложенный капитал в 10000 евро удвоится, если процентная ставка находится на уровне i = 5 %. Зная начальный капитал С_0 = 10000 евро, конечный капитал Сn = 20000 евро и процентную ставку i = 5 %, применим формулу

и получим следующий результат:

Логарифмы легко вычислить с помощью инженерного калькулятора, программы наподобие Excel или на интернет-сайтах (для этого введите в строку поиска log х).

* * *

СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ Я ПЛАЧУ НА САМОМ ДЕЛЕ?

Этим вопросом может задаться, например, покупатель автомобиля, выплачивающий автокредит.

Продавец говорит, что цена автомобиля — 10000 евро, которые нужно выплатить за пять лет, таким образом, общая сумма к уплате, включая проценты, составит 15000 евро. Покупатель хочет узнать, какова процентная ставка по этому кредиту.

Зная число лет n = 5, начальный капитал С_0 = 10000 евро и конечный капитал Сn = 15000 евро, процентную ставку i можно вычислить по формуле

Подставив в эту формулу исходные значения, получим процентную ставку

* * *

Кредиты и ипотека. Как рассчитываются взносы по кредитам.

Процентные ставки по кредитам

Как правило, потребители или предприниматели, которые не располагают достаточными средствами для приобретения товаров длительного пользования, промышленного или торгового оборудования, обращаются в банк за кредитом. При покупке недвижимости кредит выдается под залог приобретенного имущества, такой кредит называется ипотечным. Это означает, что если заемщик не сможет выполнить обязательства по кредиту, приобретенная им недвижимость перейдет в собственность банка.

Погашение обычных и ипотечных кредитов осуществляется периодическими платежами (раз в месяц, квартал, полугодие, год и т. д.), в этих платежах часть суммы идет на уплату процентов, а остаток — на погашение основного долга.

Большинство потребительских и ипотечных кредитов выплачиваются фиксированными платежами, то есть их размер остается неизменным. Платежи могут осуществляться в начале или в конце периода (как правило — в конце периода), при этом выплачиваемая сумма процентов и основного долга будет отличаться.

Однако существуют и другие способы погашения кредитов: в некоторые периоды могут выплачиваться только проценты, сумма платежа может изменяться, при этом в каждом периоде будет выплачиваться фиксированная сумма в счет основного долга плюс проценты по кредиту. Такие платежи называются дифференцированными. Их величина меняется: они включают фиксированную сумму в счет уплаты основного долга и переменную сумму процентов, начисленных на остаток долга по кредиту.

Чаще используются так называемые аннуитетные платежи. Размер аннуитетных платежей (как правило, выплачиваемых в конце расчетного периода) фиксирован. Часть аннуитетного платежа идет в уплату процентов, часть — в уплату основного долга по кредиту. В первые годы большую часть аннуитетных платежей составляют проценты и лишь малая часть идет в уплату долга по кредиту. С течением времени доля выплачиваемых процентов в каждом платеже уменьшается, а доля, идущая в уплату основного долга, возрастает. Чтобы рассчитать размер аннуитетного платежа по кредиту в размере С_0 с процентной ставкой i, выданному на n расчетных периодов (лет), нужно использовать формулу суммы геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число начиная со второго получается из предыдущего умножением его на определенное число r, которое называется знаменателем прогрессии. Так, последовательность чисел а_1, а_2, а_3, а_4…, аn-1, аn (индекс обозначает порядковый номер: первый член последовательности обозначается цифрой 1, последний — n) является геометрической прогрессией тогда, когда для данного знаменателя r выполняется соотношение: а_2 = а_1∙r, а_3 = а_2∙r, …, аn = аn-1∙r, так, что r = аn/аn-1. Выразив члены геометрической прогрессии через ау получим:

a_1 = a_1

a_2 = a_1∙r

a_3 = a_1∙r^2

……

an = a_1∙rn-1

Сумма этой геометрической прогрессии Sn равна:

S = а_1 + а_2 + а_3  + … + аn-1 + аn  (1)

Если умножить обе части равенства (1) на знаменатель r, получим:

r∙Sn = r∙(а_1 + а_2 + а_3  + … + аn-1 + аn) = r∙а_1 + r∙а_2 + r∙а_3 + … + r∙аn-1+ r∙аn

r∙Sn = а_2 + а_3 + … + аn + r∙аn  (2)

(если мы умножим данный член прогрессии аi на знаменатель r, получим следующий член, аi+1, так как аi+1 = r∙аi).

Вычтя из равенства (2) равенство (1), то есть r∙Sn — Sn, получим:

r∙Sn — Sn = — а_1 + r∙аn; Sn∙(r — 1) = r∙an — a_1,

откуда

(3)

Это формула суммы геометрической прогрессии. Учитывая, что аn = a_1∙rn-1 и подставив это равенство в (3), имеем:

Вот еще одна форма записи суммы геометрической прогрессии:

(4)

Для кредита с аннуитетным платежом а сроком n лет и процентной ставкой i будущая стоимость капитала Сn, выплаченная в виде суммы платежей а за n расчетных периодов, будет равна:

Сn  = a∙(1 + i)0 + a∙(1 + i)1 +… + a∙(1 + i) n-2 + a∙(1 + i) n-1 = a + a∙(1 + i)1 + … + a∙(1 + i)n-2 + a∙(1 + i)n-1

Результат является суммой геометрической прогрессии, первый член которой равен а, знаменатель — (1 + i).

Применив формулу (4) суммы геометрической прогрессии, получим

(5)

Учитывая, что Сn = C_0∙(1 + i)n, и подставив это значение в (3), имеем:

Перенеся переменную а, обозначающую сумму аннуитетного платежа, в левую часть, получим формулу для расчета суммы аннуитетного платежа по кредиту:

(6)

где С_0  — сумма кредита.

* * *

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Геометрическая прогрессия — одна из простейших последовательностей, то есть это упорядоченное множество чисел, значение определенного члена которого можно вычислить с помощью математической формулы с переменной, указывающей место этого члена в последовательности.

Указанная формула задает общий член последовательности. Как правило, это функция аn = f(n), где n — порядковый номер члена последовательности.

Существуют другие последовательности, члены которых можно вычислить с помощью формулы, в которой фигурируют один или несколько предшествующих членов: например, последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 в которой каждый член является суммой двух предыду щих, или последовательность, общий член которой выражается формулой аn = n + аn-1; a_1 = 3 (членами этой последовательности являются 3, 5, 8, 12, 17, 23…).

В каждой последовательности необходимо указывать значение начального члена (или членов) и их количество (если последовательность является ограниченной). Если последовательность содержит бесконечное число членов, ее можно продолжать сколь угодно долго, вычисляя значения новых членов по формуле общего члена. Существуют возрастающие последовательности (значения их членов последовательно увеличиваются) и убывающие (значения их членов последовательно уменьшаются), которые могут быть ограниченными или неограниченными.

Последовательности широко используются в финансовой математике. Например, последовательность, члены которой обозначают сумму простых процентов, которые должны быть уплачены ежегодно при начальном капитале, равном 1, и процентной ставке, равной 20 %, выглядит так: 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; 2,2;… Это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой an = 1 + 0,2∙n.

Последовательность, члены которой обозначают сумму сложных процентов, которые должны быть уплачены ежегодно при начальном капитале, равном 1, и процентной ставке, равной 20 %, выглядит так: 1; 1,2^2; 1,2^3; 1,2^4;… Это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой аn = (1 + 0,2)n.

Последовательность 21, 23, 25, 27, 29, 31, … - это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой аn  = 21 + 2(n — 1); a_1 = 21.

Последовательность 1, 5, 25, 125, 625, 3125, … - это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой an = 5 n-1; а_1 = 1.

Последовательность 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9… - это неограниченная убывающая последовательность, общий член которой может быть найден по формуле аn = 1/(2n — 1); a_1 = 1

Наконец, 1, 1/7, 1/49, 1/343, 1/2401, неограниченная убывающая последовательность, общий член которой выражается формулой аn = 1/(7n-1); а_1 = 1.

Расчет ипотечных кредитов. Как снизить размер долга

Когда мы запрашиваем кредит, то подписываем договор, в котором закрепляются условия кредитования: сумма и периодичность платежей, вид процентов, эквивалентная процентная ставка (в случаях когда срок кредита составляет меньше года), а также действия, предпринимаемые в случае невыполнения одной из сторон своих обязательств.

Если платежи осуществляются в конце расчетного периода, величину фиксированного платежа следует рассчитывать по формуле, которую мы вывели в предыдущем разделе. Часть фиксированного платежа идет в уплату процентов, остаток — в уплату основного долга. В конце каждого периода сумма основного долга к уплате уменьшается, следовательно, уменьшается и сумма процентов к уплате, а часть платежа, направленная в уплату основного долга, последовательно увеличивается.

На основе этих данных составляется график выплат по кредиту, который позволяет в любой момент времени определить, какая часть основного долга выплачена, а какая — подлежит уплате. Далее в качестве примера приведен график платежей по кредиту суммой 10 000 евро под 5 % годовых сроком на пять лет. В этих условиях рассчитывается сумма годового платежа, составляющая 2309,75 евро.

Эта величина получена по формуле (6):

График платежей по кредиту 1.

Как вы можете видеть, с течением времени и по мере внесения платежей сумма основного долга, подлежащего уплате, уменьшается. Как следствие, уменьшается и сумма процентов, а доля платежа, идущая в уплату основного долга, растет.

Может случиться так, что человеку или семье нужно выплачивать сразу несколько кредитов. Например, если человек, взявший кредит, описанный в предыдущем примере, возьмет второй кредит на сумму 30000 евро со сроком погашения 10 лет под 8 % годовых, платеж по которому составляет 4470,88 евро, общая сумма платежей будет составлять 6780,63 евро.

График платежей по кредиту 2.

Если этому человеку не удается вовремя вносить платежи по кредитам, он может обратиться в банк или другое финансовое учреждение, выдавшее кредит, с просьбой о его реструктуризации под более низкие проценты, а главное, при меньшем размере платежей, так как, например, он не может вносить свыше 5000 евро ежегодно. Организация, выдавшая кредит, может предложить объединить два кредита в один суммой 40000 евро под 6 %. Задача заключается в том, чтобы определить срок погашения нового кредита при условии, что ежегодный платеж не превышает 5000 евро.

Чтобы рассчитать срок нового кредита, нужно выразить переменную n из формулы (6) для расчета платежа:

Разделив обе части равенства на С_0, получим

Затем, разделив числитель и знаменатель на (1 + i)n, имеем:

Перейдем к логарифмам:

Вынесем число лет n в левую часть:

Подставив в эту формулу значения a, i и С_0, получим:

Если мы составим график погашения кредита, то увидим, что на 11-м году остаток долга к уплате будет составлять 1073,73 евро, что соответствует 21,5 % платежа. Следовательно, срок кредита составляет 11 лет плюс 22 % года, то есть 11 лет и 80 дней.

График платежей по реструктуризированному кредиту.

Ипотечные кредиты, или просто ипотека, — это кредиты с фиксированной суммой платежа и переменной процентной ставкой, которая зависит от колебаний базовой процентной ставки. При изменении процентной ставки составляется новый график платежей при том же сроке кредита. Как правило, процентная ставка по ипотеке равна официальной базовой процентной ставке, увеличенной на несколько пунктов или десятых долей пункта. В качестве базовой процентной ставки обычно используется межбанковская процентная ставка — например, EURIBOR для еврозоны или процентная ставка, по которой продаются и приобретаются ипотечные кредиты на кредитном рынке. При подписании ипотечного договора указывается базовая процентная ставка (EURIBOR за один квартал, один год и т. д.), а также число пунктов, на которые она увеличивается, и сроки пересмотра процентной ставки по кредиту (раз в год, раз в квартал и т. д.).

Изменение процентной ставки по ипотечному кредиту может стать неприятным сюрпризом. Например, если семья взяла ипотечный кредит на сумму 300 000 евро сроком на 20 лет с процентной ставкой, равной базовой процентной ставке (например, EURIBOR) плюс 0,5 пункта, когда эта ставка равнялась 2 % (в этом случае процентная ставка по кредиту составит 2,5 % годовых), то сумма годовых платежей равняется 19244,14 евро, то есть 1603,68 евро в месяц (эта сумма получена делением годовой суммы платежей на 12). Но если базовая процентная ставка возрастет до 5 %, то при следующем пересмотре ставка по кредиту повысится до 5,5 % годовых, и сумма годовых платежей составит уже 25103,80 евро (а месячный платеж будет равен 2091,98 евро), то есть платежи по кредиту возрастут на 30,45 %. Впрочем, бывает и наоборот: когда базовая процентная ставка снижается, существенно уменьшается и сумма платежа.

Основы страхования. Как рассчитывается страховая премия

Страховые компании покрывают риски предприятий, семей и отдельных лиц, предлагая страхование от несчастных случаев, автомобильных аварий, болезней и смерти (страхование жизни), страхование жилья, медицинское страхование, страхование от различных стихийных бедствий (пожаров, наводнений), страхование гражданской ответственности и т. д. Для покрытия рисков страховые компании должны рассчитать сумму, которую вносит клиент, при этом деятельность компании с учетом всех необходимых расходов на покрытие возможного ущерба должна приносить прибыль учредителям.

Реклама американской страховой компании начала XX века, в которой перечислены все услуги, предлагаемые населению.

При расчетах страховых премий используются методы статистики (например, формирование выборок) и математики, как, например, актуарные расчеты, подбор аппроксимирующей кривой (линейная и нелинейная регрессия), теория вероятностей и матричное исчисление для таблиц смертности и данных о заболеваемости населения.

Применение этих методов невозможно без качественных баз данных за прошлые периоды: для прогнозирования необходимо располагать очень точной информацией о прошлых значениях переменных, которые влияют на расходы для покрытия ущерба от несчастного случая и должны учитываться при определении размеров страхового взноса, уплачиваемого клиентом.

Страховые компании при прогнозировании событий анализируют генеральные совокупности. Так как генеральные совокупности имеют значительные размеры, для формирования выборок используются статистические методы (выборки — малые части рассматриваемой совокупности, характеристики которых схожи с характеристиками всей совокупности). При формировании выборки необходимо рассчитать ее надежность и погрешность результатов. Существует множество различных методов формирования выборок, как случайных, так и стратифицированных, когда формируются отдельные репрезентативные выборки по каждому сегменту (сектору) генеральной совокупности, географическому региону и т. д.

Страховые компании ведут статистику общего числа несчастных случаев, ущерба от них, числа полисов и доходов от них и сравнивают затраты на покрытие ущерба с итоговым доходом от страховых премий. Наряду с этими основными переменными учитываются и другие, в частности возраст застрахованного или место его проживания. Они позволяют определить формулы, по которым можно спрогнозировать риски, вероятность страховых случаев и т. д. с помощью многовариационного анализа, кластерного анализа и критерия хи-квадрат.

В актуарных расчетах страховых премий при страховании жизни используются статистические таблицы (матрицы), в которых для каждой половозрастной группы на основе данных прошлых периодов определяется вероятность дожития до определенного возраста. Зная затраты на возмещение ущерба от несчастных случаев, можно определить размер страховых премий, при котором страховой бизнес будет прибыльным.

Описательная статистика

Статистика позволяет проводить количественный анализ различных ситуаций. Представление о них перестает быть чем-то, основанным лишь на интуиции, и обретает объективность. Разумеется, статистика может быть обманчивой, однако тщательно спланированное и проведенное статистическое исследование помогает понять, что происходит на самом деле, и принять обоснованные решения.

Статистику можно определить как математический анализ, позволяющий с максимальной точностью изучать события, информации о которых недостаточно, в том числе и экономические события. Тремя ключевыми понятиями статистики являются: признак — изучаемое свойство некоторого события или явления (чтобы изучить признак, необходимо проанализировать, как он изменяется); объект исследования (это могут быть люди, семьи, избиратели, товары, детали, автомобили и т. д.) и генеральная совокупность — совокупность всех объектов, на которой проводится статистическое исследование.

При изучении генеральной совокупности можно рассмотреть значения признаков для всех ее элементов, однако во многих случаях это нецелесообразно. Часто выбирается группа объектов совокупности — формируется выборка, после чего все элементы выборки тщательно анализируются. По сути, одной из основных задач статистики является правильное формирование выборок и определение способов их изучения, позволяющих делать выводы, справедливые для всей генеральной совокупности.

Изучаемые признаки могут быть качественными (например, степень удовлетворенности обслуживанием) или количественными, которые, в свою очередь, могут быть дискретными (то есть принимать только целые значения, например число детей в семье) или непрерывными (например, диаметр деталей, изготавливаемых на станке).

Данные, собранные при статистических исследованиях, отображаются на различных графиках: столбчатых диаграммах, гистограммах, круговых диаграммах и т. д.

Глава 4. Производство и затраты на него. Рентабельность инвестиций

Максимальный объем продукции, которую можно произвести при определенном количестве факторов производства, определяется производственной функцией: х = f(v_1, v_2, …, vn), где х — объем произведенной продукции, v_1, v_2, …, vn — факторы производства. Факторы производства зависят от уровня технологий и остаются неизменными, пока не произойдет смена технологий. При смене технологий изменяются значения используемых факторов либо они заменяются новыми, более эффективными факторами. Предполагается, что переменные, используемые в производственной функции (объемы и факторы производства), измеримы, а используемая технология и поведение факторов производства не меняются.

Предельные издержки и оптимизация прибыли предприятия

Оптимальный уровень производства

Производственную функцию, как и любую другую, можно выразить аналитически с помощью формулы, построив ее график или составив таблицу значений. В строках и столбцах таблицы значений будут записаны значения факторов производства, необходимые для получения определенного объема продукции. На графике изображаются значения, содержащиеся в этой таблице.

Проанализируем упрощенную модель, в которой рассматриваются всего два фактора производства. Рассмотрим пример с изготовлением сплава алюминия с никелем, в котором количество готовой продукции (х) зависит от массы никеля (v_1) и алюминия (v_2) по следующему закону:

x = v_1 + 2v_2

* * *

ФУНКЦИИ

Функция — это количественная взаимосвязь между переменными. В простейшем случае функция определяет влияние одной переменной — аргумента (ее значения выбираются произвольно) на другую переменную — зависимую (ее значение зависит от выбранного значения аргумента).

Существуют эмпирические функции, значения переменных для которых получены в результате эксперимента, и математические функции, в которых значения переменных подчиняются определенной формуле.

В экономике некоторые эмпирически выведенные зависимости между переменными можно приближенно описать математической функцией с помощью метода, называемого регрессией.

В других случаях используется формула, которая достаточно точно описывает связь между значениями двух переменных. Если мы будем рассматривать сумму, подлежащую уплате, как зависимую переменную, а число купленных единиц товара — как аргумент, то зависимость между ними будет определяться следующей формулой:

Сумма к уплате = стоимость за единицу товара ∙ число единиц товара.

В математической нотации эта функция будет записываться как f(x) = а∙х, где f(x) обозначает, что значение f (зависимой переменной) зависит от х, а — постоянная, равная стоимости единицы товара, х — число приобретенных единиц товара (аргумент).

Математическую функцию можно представить тремя способами: в виде формулы, таблицы значений или графика в декартовой системе координат. Существует множество видов функций.

Простейшими являются линейные функции, или полиномы (многочлены) первой степени, как, например, f(х) = 0,65х. Далее эта функция представлена в трех различных вариантах.

Функция f(x) = 0,65х — это линейная возрастающая функция, или прямая пропорциональность.

С увеличением независимой переменной х зависимая переменная f(x) также возрастает. В случае с функцией, предложенной выше (сумма к уплате = стоимость за единицу товара ∙ число единиц товара), число единиц товара не может принимать отрицательные значения, и часть графика, расположенная слева от 0, не имеет смысла. Существует множество других линейных функций.

Каждая из них описывает особый тип связи между двумя переменными — х и f(х), как, например, две убывающие линейные функции g(х) и h(х), графики которых представлены ниже.

Функция i(х) называется обратной пропорциональностью. В функциях такого типа при возрастании независимой переменной х значение зависимой переменной i(х) соответственно уменьшается. Например, когда х принимает значение 3, i(х) равняется 0,8/3 = 0,267.

Также существуют полиномы второго порядка. Их графиками являются параболические кривые, как, например, график функции р(х), представленный на иллюстрации.

Периодические функции широко используются при решении многих задач биржевого анализа.

* * *

Для различных объемов производства сплава составляется следующая таблица производства. Числовые данные в таблице соответствуют формуле, которую мы привели выше.

Сочетание факторов производства при выпуске алюминиево-никелевого сплава.

Любое изменение технологий предполагает изменение сочетания факторов производства и, как следствие, ведет к формированию новой таблицы производства с последующим изменением производственной функции. Каждому состоянию технологий соответствует график производства с кривыми, описывающими, как объем готовой продукции связан со значениями всех факторов, соответствующих данному состоянию технологий. Так, например, на графике внизу слева можно увидеть изменение сочетания факторов производства v_1 и v_2 соответствующих двум различным состояниям технологий А и В.

Кривые производительности.

Изокванты (линии равного выпуска).

С применением различных технологий для выпуска одного и того же объема продукции (например, 50 кг сплава) будут использоваться разные сочетания факторов производства.

Графики, иллюстрирующие выпуск одного и того же объема готовой продукции Q_1(величины Q_1, Q_2, Q_3, Q_4 на графике вверху справа), называются изоквантами — линиями равного выпуска.

Каждая изокванта иллюстрирует различные сочетания факторов производства, позволяющие получить один и тот же объем готовой продукции Q_1. Например, объем выпуска Qt можно обеспечить сочетанием 420 единиц фактора v_1 и 400 единиц фактора v_2 либо сочетанием 810 единиц фактора v_1 и 30 единиц фактора v_2.

В процессе производства возникают постоянные и переменные издержки, зависящие от объема произведенной продукции. Сумма постоянных и переменных издержек равна общим издержкам. Предельные издержки определяются как дополнительные затраты, связанные с увеличением выпуска готовой продукции на одну единицу:

Предельные издержки также выражаются производной функции издержек по объему продукции:

Для определенного объема выпуска значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке А, соответствующей этому объему выпуска.

График общих издержек, производная функции издержек и касательная к графику.

Средние издержки, или издержки на единицу продукции, определяются как результат деления общих издержек на число единиц произведенной продукции:

Например, при производстве 10 единиц продукта для каждой единицы можно рассчитать предельные и средние издержки.

Общие, предельные и средние издержки производства.

На основе этих данных можно построить кривые всех издержек производства.

Как можно видеть, средние издержки обычно намного выше предельных. Кривая предельных издержек показывает минимальные издержки на каждую единицу продукции. Точка пересечения графиков предельных издержек и средних издержек совпадает с точкой минимума средних издержек, так как если предельные издержки меньше средних, то средние издержки снижаются. После точки пересечения графиков предельные издержки превышают средние издержки, при этом последние возрастают.

Тот факт, что кривая средних издержек восходит после точки пересечения с кривой предельных издержек, служит подтверждением закона убывающей доходности. Точка пересечения этих кривых соответствует минимуму издержек, начиная с которого средние издержки неизбежно возрастают (если только не появляются новые технологии, ведущие к снижению производственных издержек). Как следствие, с ростом средних издержек доходность будет убывать.

* * *

ПРОИЗВОДНЫЕ И ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ

В экономике для определения зависимости одной переменной от другой (например, предложения товара от его цены) необходимо знать, как сильно возрастает функция, описывающая связь между этими переменными, в точке А. Благодаря этому можно сравнить уровень ее вариации (роста или падения) относительно других точек кривой. Чтобы оценить уровень вариации, определяется угол наклона касательной к графику рассматриваемой функции в точке А. Этот угол определяется как угол между касательной в точке А и горизонтальной осью координат.

Рассматриваются различные точки на графике: В_1, В_2, В_3, которые постепенно приближаются к точке А. Затем рассматриваются прямые s_1, s_2, s_3, соединяющие эти точки с точкой А и пересекающие график функции (секущие прямые). Можно видеть, как постепенно секущие s1, s2, s3 приближаются к t — касательной к графику функции в точке А.

Углы, образуемые секущими s1, s2, s3 с горизонтальной осью, уменьшаются, и наконец, когда точки B1, В2, В3 совпадают с А, угол, образуемый этими прямыми с горизонтальной осью, становится равен углу наклона касательной tg(A) = c/b.

В прямоугольном треугольнике АВС тангенс угла А определяется как tg (А) = с/Ь.

Отношение катетов в треугольниках AB_1A_1, АВ_2Т_2, АВ_3Т_3 изменяется и становится соответственно равным тангенсу угла 1, угла 2, угла 3 пока точка В не совпадет с точкой А (в пределе) и тангенс этого угла не станет равен тангенсу указанного угла α.

IimB->Atg(угол i) = AT/RT = tg α — это тангенс угла наклона прямой x (касательной к графику функции f(x) в точке A).

Значение IimB->Atg(угол i) = (AT/RT)∙(угол i) = AT/RT называется производной функции f(х) в точке А и совпадает со значением тангенса угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная любой функции рассчитывается по правилам дифференцирования, выведенным с помощью пределов, приведенных выше. При анализе зависимостей используются таблицы производных для произвольных функций.

* * *

Точка пересечения кривой средних издержек и кривой предельных издержек соответствует оптимальному объему производства, так как она совпадает с точкой минимума средних издержек. Логично, что компании всегда стремятся производить продукцию при минимальных затратах.

Кривые средних и предельных издержек.

Тем не менее эта задача не так проста, поскольку для достижения оптимального объема производства нужно учитывать, что для выпуска заданного объема продукции при заданной технологии можно использовать разные сочетания факторов производства. Как определить оптимальное соотношение факторов для предприятия?

Для простоты предположим, что существует всего два фактора производства, А и В. Введем новое понятие — предельной продуктивности фактора производства, то есть отношение прироста продукции, вызванного увеличением фактора производства на единицу, к приросту затрат, вызванных увеличением этого фактора производства.

При сравнении производительности двух факторов производства оптимальным из них будет тот, при котором выполняется равенство:

Для изучения экономического, общественного или статистического процесса, для которого известна соответствующая ему его функция f(х), при изменении значения переменной х нужно рассматривать график этой функции, описывающий этот процесс с точки зрения математики.

Где и как хранить сбережения

Оцениваем выгодность вложений

Простейший способ размещения сбережений — это банковский вклад или вложение в инвестиционный фонд. Существуют и более сложные способы разместить сбережения, например игра на бирже или инвестиции в бизнес-проекты. Доход по банковскому вкладу выплачивается в виде процентов. Инвестиционный фонд позволяет получить доход на вложенные средства, а по ценным бумагам, котирующимся на бирже, выплачиваются дивиденды, и инвестор, при благоприятном для него изменении курса, получает доход в виде прибавочной стоимости. Окупаемость инвестиций (англ. ROI) равняется величине полученной прибыли, разделенной на величину вложенного капитала, и выражается в процентах:

Критерий окупаемости вложенного капитала используется для оценки выгодности инвестиций и бизнес-проектов.

Уровень дохода от инвестиций можно сравнить с уровнем доходности по банковскому вкладу и определить, является ли инвестиционный проект более выгодным, чем банковский вклад. Эта доходность инвестиций называется экономической добавленной стоимостью. Когда инвестор получает прибыль В на вложенный капитал С, нужно сравнить прибыль В с прибылью, которую получил бы инвестор, если бы поместил капитал С на банковский вклад под процент i. Таким образом,

Экономическая добавленная стоимость = В — i∙С.

Например, если инвестор вложил 1000 долларов и получил 110 долларов прибыли, а процентная ставка, предлагаемая банком, равняется 5 %, то окупаемость инвестиций и экономическая добавленная стоимость будут соответственно равны:

Окупаемость инвестиций = (110/1000)∙100 = 11 %.

Экономическая добавленная стоимость = 110 — (1000∙0,05) = 60 долларов.

Когда речь идет об инвестициях, нужно понимать разницу между реальными и финансовыми инвестициями. Реальные инвестиции — это вложения капитала в различные факторы производства (оборудование, сырье, электроэнергию, технологии и т. д.) с целью получения товаров и услуг. Реальные инвестиции относятся к так называемому реальному сектору экономики. Финансовые инвестиции представляют собой вложения в финансовую систему и приносят доход исключительно как результат обращения денег: деньги преобразовываются в банковские вклады, финансовые инструменты, акции и облигации, базовые активы, опционы, фьючерсы, производные финансовые инструменты, варранты и т. д.

Размещение сбережений на бирже — довольно сложная операция, так как здесь начинают действовать различные дополнительные факторы: знание рынка и финансовых активов, в которые планируется вложить средства и которые можно приобрести; определение благоприятного момента для покупки и продажи; осознание рисков, которыми сопровождаются операции; анализ изменения рыночной ситуации, затрагивающей ценные бумаги, в которые планируется вложить средства или которые уже имеются в инвестиционном портфеле, а также перспективы этих бумаг. Все эти вопросы будут рассмотрены в следующей главе.

В этой же главе речь пойдет о реальных инвестициях. Простой пример — бизнес, который каждый год приносит постоянный доход аi  = 1000 евро на вложенный капитал х (его величина в этой задаче является неизвестной). Если нам известен годовой показатель окупаемости r инвестиций х, например r = 5 %, можно определить объем вложенного капитала.

По формуле простых процентов получим:

аi  = r∙х,

х = аi/r.

Следовательно, 1000 = r∙х, откуда х = 1000/0,05 = 20000. Капитал, позволяющий получать постоянный доход в 1000 евро в год, равен 20 000 евро.

Любые инвестиции в бизнес или промышленность предполагают несение расходов в первый год, а также получение прибылей или несение убытков ежегодно в течение всего срока инвестирования. Следовательно, речь идет о денежном потоке, который в первый год является отрицательным (расходы), а в последующие годы, когда проект или предприятие набирает обороты, — положительным (доходы), однако первые несколько лет работы проекта также могут оказаться убыточными.

Каждый инвестиционный проект, подобно живому существу, имеет свой жизненный цикл. Денежные выплаты рассчитываются в зависимости от срока инвестирования.

Инвесторы часто задаются вопросом: будет ли положительный денежный поток в течение жизненного цикла инвестиционного проекта достаточным, чтобы окупить вложенные средства. В течение жизненного цикла проекта покупательная способность денег из-за инфляции снижается, поэтому инвестора интересует не только то, сможет ли он вернуть вложенную сумму, но и то, будет ли покупательная способность полученных доходов, скорректированная с учетом инфляции, больше покупательной способности вложенных средств.

Очевидно, что 100 долларов сегодня стоят больше, чем 100 долларов через четыре года, особенно если ожидается, что в следующие четыре года инфляция будет составлять 5 % годовых. Если мы будем получать годовой доход, например, равный 100 долларам, в этом году и в последующие четыре года, то очевидно, что 100 долларов, которые мы получим в следующем году, из-за инфляции будут составлять всего 95 % от своей нынешней стоимости. А на третий год стоимость полученных нами 100 долларов будет эквивалентна всего 90,25 доллара.

Реальная стоимость денег при условии, что мы получаем годовой доход в размере 100 долларов в течение 5 лет при уровне инфляции в 5 %, то есть реальная стоимость 500 долларов, составит:

первый год: 100;

второй год: 100/1,05 = 95,23809524;

третий год: 95,23809524/1,05 = 90,70294785;

четвертый год: 90,70294785/1,05 = 86,38375985;

пятый год: 86,38375985/1,05 = 82,27024748.

* * *

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЧДД

Расчет ЧДД (чистой приведенной стоимости, или чистого дисконтированного дохода от инвестиционного проекта) производится следующим образом. Рассмотрим проект, требующий начальных вложений а_0, который приносит ежегодный доход. Обозначив денежный поток (положительный или отрицательный) в году i через аi, срок проекта — через n лет, уровень инфляции — через r, получим приведенную стоимость дохода за второй год а_2, то есть сумму денег, обладающую той же покупательной способностью: а_2 = а/(1 + r). Логично, что стоимость денежной единицы во втором периоде из-за инфляции будет меньше, чем в первом.

Обобщив эти рассуждения на весь жизненный цикл проекта в n лет и сложив величины всех годовых денежных потоков, получим приведенное значение суммарного денежного потока за n лет:

Σni=1 аi  = а_1 + а_2  + а_3 + а_4 + a_5 +… + аn.

Приведенный доход в каждом периоде рассчитывается следующим образом:

И так далее до года n: аn  = а_1∙(1 + r)-(n-1).

Аналогично, если в нулевом году мы вложили средства i на n лет, считая с нулевого года, и каждый год начиная с первого будем получать положительный или отрицательный денежный поток а_1 + а_2  + а_3 +… + аn, чистый дисконтированный доход от инвестиции, учитывая прогнозный уровень инфляции r, составит:

ЧДД = — a_0 + a_1∙(1 + r)-1 + a_2∙(1 + r)-2 +… + an∙(1 + r)-n

где а_0 имеет отрицательное значение, так как инвестиция осуществляется в нулевой год.

* * *

Приведенная величина денежного потока в размере 100 долларов в год в течение 5 лет с учетом инфляции в следующие четыре года будет равна:

100 + 95,23809524 + 90,70294785 + 86,38375985 + 82,27024748 = 454,59505042.

Следовательно, приведенная величина совокупного денежного потока за пять лет будет на 9,0809899 % меньше номинала в 500 долларов.

Рассмотрим пример с вложением в размере I = 1000 000 евро в оборудование, срок службы которого составляет 10 лет. Жизненный цикл проекта равен десяти годам, считая с нулевого года, в котором осуществляется инвестирование. Прогнозный годовой доход на следующие 10 лет приведен в таблице.

Инвестор хочет знать, достаточно ли этих доходов для того, чтобы окупить вложенные средства и получить определенную прибыль, при условии что прогнозный уровень инфляции составит 5 %. По формуле ЧДД имеем:

a_0 + I

ЧДД = — a_0 + a_1∙(1 + r)-1 + a_2∙(1 + r)-2 +… + an∙(1 + r)-n =

= -1000 000 + 15 000(1,50)-1 +16 000(1,50)-2 + 120 000(1,50)-3 + 150 000(1,50)-4 + 80 000(1,50)-5 + 1 50 000(1,50)-6 + 170 000(1,50)-7 + 180 000(1,50)-8 + 125 000(1,50)-9 + 250 000(1,50)-10 = -92 820,20 евро.

Проведя расчеты, получим для потока доходов приведенные значения, сумма которых будет равной —92 820,20. Это означает, что при данном потоке доходов инвестор не сможет окупить вложенные средства и, более того, потеряет 92 820,20 евро.

Еще одним показателем, используемым для оценки окупаемости инвестиций, является внутренняя норма доходности. Это процентная ставка доходности, при которой инвестор сможет полностью окупить вложенные средства, то есть чистый дисконтированный доход от проекта будет равен нулю, а при превышении этой минимальной ставки доходности вложение средств будет выгодным. Как правило, внутренняя норма доходности проекта сравнивается с процентной ставкой или ценой денег. Если внутренняя норма доходности меньше базовой процентной ставки, реализация инвестиционного проекта не рекомендуется. Внутренняя норма доходности (ВНД) рассчитывается для ЧДД = 0, то есть:

ЧДД = — a_0 + a_1∙(1 + r)-1 + a_2∙(1 + r)-2 +… + an∙(1 + r)-n= 0

где а_0 = I — величина начальных вложений. Суть задачи заключается в том, чтобы найти неизвестную r, которая в этом случае будет внутренней нормой доходности.

В нашем примере значение г, при котором выполняется условие ЧДД = 0 для данных, приведенных в таблице, составляет г = 3,45 % (этот результат можно получить с помощью специальных инструментов, электронных таблиц или вручную, последовательно выполнив все необходимые расчеты).

Как рассчитываются зарплаты

Зарплаты зависят от соотношения предложения (со стороны рабочей силы) и спроса (со стороны компаний) на рынке труда. В разные годы были созданы различные теории, описывающие механизмы регулирования зарплат. Экономисты классической школы считали, что для выплаты заработной платы рабочим предназначается часть накопленного капитала, называемая зарплатным фондом. Величина зарплаты является частным от деления зарплатного фонда на число рабочих часов. Вопрос заключался в том, чтобы определить величину накопленного капитала и его часть, предназначенную не для расходов на оборудование, недвижимость и сырье, а на выплату зарплат.

Уровень покупательной способности заработной платы в соответствии с теориями Мальтуса стремится к уровню выживания, так как рост населения значительно опережает темпы производства продуктов питания. Этот закон позднее получил название «железный закон заработной платы». Адам Смит также был сторонником этой теории, однако признавал, что зарплаты могут расти, если увеличивается накопленный капитал, направленный на их выплату, чем объясняется разница в заработной плате в богатых и бедных странах.

Уровень зарплат зависит от величины доступного капитала, а также текущего уровня технологий.

Для разных участников рынка труда ситуация неравновесна. С одной стороны находятся предприятия, которые диктуют условия: во-первых, они располагают огромными экономическими ресурсами (капиталом), во-вторых, капитал сконцентрирован в немногочисленных крупных компаниях. С другой стороны находятся рабочие, которым необходимо выжить. Их позиция очевидно слабее, и они полностью зависят от спроса, предъявляемого крупными компаниями.

* * *

ДЖОН МЕЙНАРД КЕЙНС (1883–1946)

Многие экономисты вслед за Джоном Мейнардом Кейнсом заинтересовались темой безработицы, так как она имеет значительные социальные последствия. Безработица напрямую зависит от ситуации на рынке труда, где для каждого уровня спроса и предложения определяется уровень зарплат. Если бы рынок был полностью свободным, а конкуренция — совершенной, то определенному уровню спроса на рабочую силу со стороны компаний соответствовал бы определенный уровень предложения и зарплат, при котором достигалась бы точка равновесия. Точка равновесия определяла бы минимальный уровень зарплат, при котором рабочие были бы готовы продавать свой труд.

Маркс считал, что при капитализме рабочая сила — это одна из форм товара, однако, по мнению Кейнса, это не совсем так: определение уровня зарплат имеет важные общественные последствия, поэтому рабочую силу нельзя рассматривать как обычный товар. Кейнс был первым, кто определил занятость как макроэкономическую переменную и провел экономический анализ с точки зрения спроса.

Джон Мейнард Кейнс (справа) беседует с Гарри Декстером Уайтом, представителем министерства финансов США, на открытии Бреттон-Вудской конференции 1944 года.

* * *

Плакат 1911 года, изображающий эксплуатацию рабочих того времени.

Джон Кеннет Гэлбрейт в книге «Американский капитализм» (1956) проанализировал, как предприятия объединяются в гигантские монополии, которые он называл техноструктурами, и начинают играть определяющую роль в формировании цен и зарплат. В ответ на натиск корпораций в обществе возникает противодействующая сила, которую Гэлбрейт назвал уравновешивающей. Она стремится приблизить ситуацию на рынке труда к совершенной конкуренции. Источниками этой силы являются объединения поставщиков, кооперативы и потребительские союзы. Особенно важна уравновешивающая роль профсоюзов, государства и международных организаций, в частности Международной организации труда.

Таким образом, деятельность профсоюзов, которые ведут активные переговоры с работодателями, и государства, принимающего нормативные акты, компенсирует слабую позицию отдельных рабочих на рынке труда и противодействует стремлению корпораций удерживать зарплаты на минимальном уровне. При этом учитывается, что зарплаты определяют покупательную способность рабочих, следовательно, если уровень оплаты труда опускается ниже определенной черты, качество жизни рабочих и социальная ситуация существенно ухудшаются. Именно по этой причине в большинстве стран установлен минимальный уровень оплаты труда, государство регулирует условия найма и труда, продолжительность рабочего дня, а также права работников в целом.

Регулирующая деятельность государства, разрабатывающего трудовое законодательство, и действия профсоюзов, которые достигают определенных соглашений с компаниями, лишают рынок труда гибкости, вводя для него определенные ограничения. В каждой компании определены организационная структура и уровень зарплат сотрудников.

В последние годы в развитых странах был отмечен значительный рост общего уровня оплаты труда. Средняя зарплата, которая является индикатором общего благосостояния, существенно увеличилась — главным образом под действием двух факторов: роста спроса на труд и роста уровня технологий и производительности.

При этом производительность труда повысилась не только благодаря капиталовложениям и технологическому прогрессу, но и вследствие роста общей культуры и образованности рабочих.

Зарплаты могут также увеличиваться в ситуации полной занятости в условиях снижения предложения со стороны активной части населения и роста числа работников, не согласных на предлагаемый уровень оплаты труда.

Зарплаты растут до тех пор, пока не становятся равными предельному продукту труда, умноженному на стоимость продукции, то есть

Предельный продукт труда ∙ Стоимость продукта = Доход от предельного продукта труда — Заработная плата.

Если мы рассмотрим количество труда, то совершенно логично, что чем выше заработная плата (доход от предельного продукта труда), тем меньше труда требуется предприятиям, а со снижением зарплат спрос на труд повысится. Если провести кривую спроса на труд и дохода от предельного продукта труда, равного заработной плате, мы заметим, что она приближается к осям координат, подтверждая вывод: чем выше зарплаты, тем меньше спрос на труд, и напротив, со снижением уровня зарплат спрос на труд возрастает.

График заработной платы и спроса на труд.

Если же проанализировать рынок труда с точки зрения предложения, мы увидим, что с ростом зарплат, предлагаемых предприятиями, предложение труда увеличивается, а по достижении определенного уровня оплаты труда предложение может снизиться, так как с ростом покупательной способности работники могут позволить себе посвящать больше времени досугу, семье и культурным мероприятиям, а не работе. Этот эффект замещения иллюстрирует точка С на графике предложения рабочей силы. В этой точке вследствие высокого уровня зарплат предложение труда снижается, и кривая выгибается в сторону оси абсцисс, таким образом, при определенном уровне оплаты труда существует максимальное предложение, после которого тенденция на рынке меняется на противоположную.

Кривая предложения труда (зависимость предложения труда от заработной платы).

Статистический вывод в трудовой статистике. Исследования безработицы

Суть статистического вывода — использование выборки для получения представления о свойствах генеральной совокупности. Статистический вывод не является абсолютно верным — он лишь принимается за истину с небольшой величиной погрешности (уровнем значимости).

Допустим, что при сборе сведений о безработице в регионе с 8 миллионами жителей сформирована случайная выборка из 2000 человек. Из них 700 указали, что не имеют работы (35 % от 2000). Можно ли на основании этого сделать выводы об уровне безработицы? Иными словами, можно ли утверждать, что уровень безработицы приближается к 35 %? Цель исследования — получить результат с надежностью 95 %, то есть с уровнем значимости 5 % (α = 5/100 = 0,05).

Чтобы решить поставленную задачу, нужно сформулировать несколько статистических гипотез об уровне безработицы. Они не должны слишком отличаться от 0,35 (35 %): 34, 36, 33, 37, 32, 38 … Выбор гипотез следует продолжать до тех пор, пока мы не найдем значение, большее или меньшее 35 %, которое нужно будет отвергнуть. Так как требуемый уровень значимости составляет 5 %, чтобы проверить гипотезу, нужно проанализировать следующее неравенство.

Гипотезы, соответствующие этому, отвергаются.

Аналогичные расчеты повторяются для разных гипотез. Каждой гипотезе соответствует определенное значение р (предполагаемый уровень безработицы в регионе). Нужно выбрать значения р, близкие к 0,35 (35 %), и использовать биномиальное распределение вероятности, так как в нашем случае рассматриваемая переменная может иметь всего два значения: «да» и «нет». Однако поскольку в нашем примере размер генеральной совокупности значителен (n = 8000000), вместо биномиального распределения с высокой точностью можно использовать нормальное распределение вероятности.

Выберем в качестве первой гипотезы значение р = 0,33. Найдем среднее значение и среднеквадратическое отклонение по формулам биномиального распределения:

откуда имеем

Число безработных k в генеральной совокупности, выходящее за границы доверительного интервала, равно |k — μ|, число безработных в нашей выборке, большее или меньшее среднего по выборке, равно |700 — μ|. Чтобы гипотеза р = 0,33 была верна, вероятность |k — μ| — |700 — μ| согласно биномиальному закону распределения должна быть меньше, чем α = 0,05, что выражается следующим образом:

РВ(|k — 660| >= |700–660 |) < 0,05.

Преобразуем неравенство и получим:

Вместо биномиального распределения можно с высокой точностью использовать нормальное распределение, симметричное относительно среднего значения μ = 660 при р = 0,33. Следовательно,

PB(|k — 660)| >= 40) = РВ(620 >= k >= 700) = 2РВ(k >= 700), так как выделенные области равны.

Чтобы заменить биномиальный закон (РВ для дискретной переменной k) на нормальный (PN для непрерывной переменной х), нужно внести поправку:

PBinominal (k >= 1) PNormal (x >= a — 0.5).

Таким образом, как можно видеть на графике,

PB(|k — 660)| >= 40) = 2РВ(k >= 700) 2∙PN(x >= 700 — 0,5) = 2∙PN(x >= 699,5).

Теперь переменная х заменяется переменной z, соответствующей стандартизованному нормальному распределению, и мы сможем воспользоваться стандартными таблицами. Замена выполняется по формуле

Как можно видеть на графике,

В таблицах значений, соответствующих стандартизованному нормальному распределению, значению z < 1,878 соответствует вероятность PNT (z <= 1,878) = 0,96999 и РВ(|k — 660 | >= 40)  2 (1–0,96999) = 0,0602, что превышает 0,05. Так как вероятность, соответствующая гипотезе р = 0,33, составляет 0,0602, что превышает 0,05, мы можем не отвергать гипотезу о том, что в генеральной совокупности численностью 8 миллионов человек уровень безработицы составляет 33 %. Иными словами, можно утверждать, что в этом регионе уровень безработицы составляет 33 %, возможная ошибка не превышает 5 %.

Аналогичные расчеты следует провести и для других гипотез, соответствующих значениям р, близким к 35 % (р = 0,35), например 34, 36, 37, 38 %…

Затем можно составить таблицу полученных результатов и определить, стоит ли принимать или опровергать гипотезу для каждого значения р.

В соответствии с этой таблицей можно сделать вывод: значения выборки (700 безработных из 2000 опрошенных) могли быть взяты из генеральной совокупности, в которой уровень безработицы находится между 33 и 37 %, при этом возможная ошибка, или уровень значимости, составляет 5 %.

Чтобы гарантировать, что выборка корректно отражает свойства генеральной совокупности (то есть чтобы сделать статистический вывод), сначала необходимо рассчитать необходимый размер выборки, определить ее тип (способ выбора опрашиваемых), который будет лучше всего подходить для изучения рассматриваемой статистической переменной, примерные значения переменных, которые будут подвергаться оценке, и наиболее подходящие статистические методы.

Сколько стоят звезды

Многие возмущаются, когда читают в прессе, что команда приобрела футболиста, баскетболиста или хоккеиста за астрономическую сумму. Какими могут быть экономические причины столь огромных трат? Ведь к стоимости перехода игрока следует прибавить его годовую зарплату, порой превышающую 5 миллионов евро.

Формулировка этой задачи достаточно сложна. Если команда заключает контракт со звездным игроком, то вполне возможно, что ее показатели улучшатся, и она одержит больше побед. Если команда побеждает, у нее становится больше болельщиков, которые будут приходить на стадион, фан-клуб пополнится новыми членами, возрастут доходы от членских взносов, продажи билетов, рекламы, атрибутики с цветами клуба, отчисления от телетрансляций, а за победу в турнирах команда получит значительные средства от национальных и международных федераций — организаторов соревнований. Таким образом, нужно определить, будут ли компенсированы высокие расходы на приобретение спортсмена и на выплату ему заработной платы дополнительными доходами.

Рассмотрим следующий пример: футбольная команда из 22 игроков уже несколько лет не выигрывала ни одного турнира. Для простоты предположим, что все расходы клуба ограничиваются зарплатами игроков, которые в среднем получают 3 миллиона евро в год, таким образом, суммарная зарплата составляет 66 миллионов евро.

Также будем предполагать, что команда получает доходы всего из двух источников: за выступление в чемпионате страны команда получает 10 миллионов от продажи билетов и телетрансляций, а также 5 миллионов евро в год от телетрансляций. Таким образом, общий доход клуба составляет 15 миллионов евро, расходы — 66 миллионов евро, убытки — 51 миллион евро ежегодно.

Победы в турнирах — это для команды возможность получить дополнительные доходы. Если команда выигрывает чемпионат, то, помимо обычных 10 миллионов, она получает еще 30 миллионов евро от продажи билетов и членских взносов.

В соответствии с приведенной ниже таблицей победа в Лиге чемпионов приносит 200 миллионов евро, а участие — 50 миллионов евро.

К доходам от победы в чемпионате страны и Лиге чемпионов прибавятся 10 миллионов евро, которые команда получит за участие в чемпионате. С другой стороны, при победе в чемпионате доходы от рекламы, которые ранее составляли 5 миллионов евро в год, удвоятся. А если команда побеждает в Лиге чемпионов, то у нее появится возможность заключить новые рекламные контракты на сумму 40 миллионов евро. Только участие в Лиге чемпионов принесет дополнительные доходы от рекламы в размере 10 миллионов евро, а выигрыш чемпионата страны и победа в Лиге чемпионов в течение одного сезона дадут команде 70 миллионов евро рекламных доходов. Доходы от рекламы, взятые из авторитетных источников, представлены в следующей таблице.

За последние 5 лет убытки клуба составили 255 миллионов евро, и руководство приняло решение заключить контракт со звездным игроком, чтобы улучшить финансовую ситуацию и положение команды в турнирной таблице. Стоимость перехода составила 100 миллионов евро, зарплата игрока — 7 миллионов евро в год, контракт рассчитан на 5 лет. Этот переход, конечно же, вызвал шумиху в спортивной прессе.

Попробуем определить, рентабельна ли для команды покупка звездного игрока при заданном сроке контракта и расходах с учетом будущих возможных доходов.

После приобретения звездного игрока показатели команды в следующих сезонах существенно улучшились. В первом сезоне команда не выиграла ни одного турнира, но благодаря завоеванному месту в чемпионате получила право выступить в Лиге чемпионов в следующем сезоне. Во втором сезоне, помимо выступления в Лиге чемпионов, команда одержала победу в чемпионате страны. В третьем сезоне победу в чемпионате одержать не удалось, но команда успешно выступила в Лиге чемпионов. В четвертом сезоне команда одержала победу в чемпионате страны и участвовала в Лиге чемпионов, а в последний год контракта звездного игрока отметилась лишь участием в Лиге чемпионов. Всего команда выиграла три турнира (дважды — чемпионат страны и один раз — Лигу чемпионов) за пять лет.

По истечении контракта игрока руководство команды захотело узнать финансовые показатели клуба за пять последних лет. Была составлена сравнительная таблица финансовых показателей, полученных благодаря наличию звездного игрока, и показателей, которые продемонстрировала бы команда, если бы выступала в прежнем составе, не потратив на звезду в общей сложности 135 миллионов евро (100 евро за переход игрока и 35 — на зарплату). Сравнение выглядит следующим образом.

Денежные потоки со звездным игроком и без него.

Как можно видеть, в конце срока контракта игрока клуб не только вернул по¬ траченные 135 миллионов, но и получил доход в размере 100 миллионов евро. Затем руководство клуба решило подсчитать чистый дисконтированный доход положительного денежного потока с учетом того, что цена денег составляет 4 %. Руководство также захотело узнать внутреннюю норму доходности денежных потоков, чтобы оценить выгодность покупки игрока по различным критериям. Были получены следующие выводы.

Денежные потоки при условии приобретения звездного игрока.

Как вы можете видеть, ЧДД (чистый дисконтированный доход) составляет 80 миллионов евро, а внутренняя норма доходности проекта по приобретению игрока оказалась очень высокой — 28 %.

Тем не менее в этих рассуждениях имеется один важный недостаток: не была оценена вероятность того, что после приобретения звездного игрока команда не выиграет ни одного турнира, а этот риск обязательно стоит учитывать. В следующей таблице приведены финансовые показатели в случае, если бы и после приобретения звездного игрока команда продолжала выступать на прежнем уровне.

Денежные потоки при условии приобретения звездного игрока (без побед в турнирах).

Как можно видеть, в этом случае финансовые показатели клуба значительно хуже: команда понесла 390 миллионов евро убытков, что на 50,94 % больше, чем отрицательный итог последних пяти лет. Таким образом, при оценке рентабельности проектов следует учитывать различные сценарии развития событий, как благоприятные, так и связанные с возможными рисками.

Глава 5. Как покупать по минимальной цене. Рынок

Рынок изначально был местом, где встречались продавцы и покупатели: производители товаров и купцы предлагали свои товары, а местные жители покупали все необходимое. Очевидно, что продавцы хотели получить максимальную выгоду, то есть обеспечить как можно большую разницу между ценой продажи и стоимостью производства товара, а покупатели стремились приобрести необходимые товары как можно дешевле. Продавцы прекрасно знали, что если они поднимут цены, то продажи снизятся, а если в течение торгового дня какие-то товары останутся непроданными, по сниженной цене их будет легче продать. Во время подобного взаимодействия между продавцами и покупателями устанавливался достаточно стабильный уровень цен, которые изменялись лишь в неурожайные годы.

Спрос и предложение

Рынок существует столько же, сколько и само человечество, однако сегодня он представляет собой чрезвычайно сложный механизм. Товары могут производиться на расстоянии нескольких тысяч километров от места продажи и претерпевать различные изменения. Небольшая группа продавцов, вступив в сговор, может зафиксировать монополистические цены, а влиятельная группа покупателей, в свою очередь, может вынудить продавцов пойти на уступки. Однако рынок продолжает оставаться механизмом, в котором цены определяются как результат взаимодействия продавцов (предложения) и покупателей (спроса). Равновесная рыночная цена — это цена, устанавливаемая покупателями и продавцами в условиях совершенной конкуренции.

Когда одна из сторон обладает большими возможностями, чем другая, возникает монополия со стороны спроса или предложения.

Рынок существует не только для потребительских товаров, услуг и инвестиций, но и для факторов производства, в частности труда, сырья и технологий. Ситуацию на рынке, по сути, определяют предпочтения покупателей (предпочтения и цена, которую они готовы платить) и затраты на производство товаров, а также стратегии, которые используют предприятия для получения максимальной прибыли.

Рынок — традиционное место встречи продавцов и покупателей, однако в наши дни он имеет более широкое значение и является одним из основных элементов капиталистической экономики. На иллюстрации изображен центральный рынок американского города Ланкастер в штате Пенсильвания.

Спрос изучается с помощью статистических таблиц, в которых содержатся данные прошлых периодов об изменении спроса в зависимости от изменения цен. Каждой цене соответствует определенная величина спроса. Кривая спроса представляет собой ветвь гиперболы, при этом на оси ординат откладываются цены, на оси абсцисс — соответствующая величина спроса.

Кривая спроса не фиксирована, а смещается по мере изменения рыночных условий. Таким образом, если уровень доходов покупателей возрастает, то очевидно, что при неизменной цене товара спрос на него увеличится, и кривая спроса сместится вправо. Это же произойдет и при увеличении числа потребителей. Однако на фоне экономического кризиса уровень доходов потребителей снизится, а кривая спроса сместится влево.

Следует различать перемещение вдоль кривой спроса, вызванное исключительно изменением цены или объема предлагаемого товара при том, что остальные переменные (уровень доходов, число потребителей и другие) остаются неизменными, и смещение кривой влево или вправо при увеличении спроса, вызванном изменением одной из этих переменных.

Кривая предложения описывает объем товара, который готовы предложить предприятия по определенной цене, гарантирующей получение прибыли.

Кривая предложения изображается на той же координатной плоскости, где на оси ординат откладываются цены, на оси абсцисс — объем товара, предлагаемого при соответствующем уровне цен. Кривая предложения представляет собой часть параболы, нижняя точка которой определяется минимальной ценой, по которой производители согласны продавать свой товар, — цена меньше этой не окупит стоимость производства товара.

При изучении предложения следует учитывать очень важный показатель — затраты на производство. Чем они ниже по отношению к цене, тем выше будет прибыль предприятия и, как следствие, предприятие будет готово предложить на рынке больше продукции.

Существенную долю затрат на производство составляет стоимость факторов производства — труда, электроэнергии, оборудования. Их сочетание зависит от уровня технологий на предприятии. Технический прогресс заключается в том, что постепенно для производства товара требуется все меньше электроэнергии и труда, а оборудование используется более эффективно. Также прогресс предполагает поиск замещающих факторов, которые повысят эффективность и объемы производства.

Таким образом, производственный процесс автоматизируется, на смену ручному труду приходит автоматизированная производственная цепочка, что позволяет экономить на оплате труда, материалы заменяются другими, более прочными, надежными и одновременно более дешевыми и т. д.

Подобно кривой спроса, кривая предложения также может смещаться. Если цены на рынке меняются, то точка, описывающая рыночную ситуацию, будет смещаться вдоль кривой предложения. Однако если изменяются технологии производства или возрастает число конкурентов, совокупное предложение увеличивается, и, как следствие, кривая предложения смещается вправо.

Роль рынка в формировании цен. Теория рыночного равновесия

Чем выше рыночная цена, тем больше величина предложения, однако при высоком уровне цен величина спроса, как правило, снижается. И напротив, чем ниже цена, тем больше величина спроса, но тем ниже прибыль предприятий.

В определенный момент кривые спроса и предложения пересекаются, и точка их пересечения соответствует совпадению предложения и спроса, то есть указывает цену, по которой покупатели готовы приобретать товар, а предприятия — продавать его.

Эта точка называется точкой равновесия, и если рыночные условия (уровень доходов, предпочтения потребителей, уровень технологий, стоимость факторов производства и т. д.) стабильны, то не существует причин, по которым ситуация на рынке сместилась бы в сторону от равновесной.

На положение равновесной точки могут влиять смещения кривых спроса и предложения, которые сигнализируют об изменении уровня технологий, росте конкуренции между производителями, изменении уровня доходов и количества потребителей, а также их предпочтений. Для производителей равновесная точка соответствует ситуации, при которой предельные издержки (то есть затраты, вызванные увеличением производства на одну единицу продукции) равны предельному доходу (то есть доходу, полученному от продажи дополнительной единицы товара).

Предельный доход рассчитывается по формуле

lim Δq->0  (Δb/Δq), что с помощью производных можно записать так: db/dq

где b — доход, q — объем продукции. Предельные затраты рассчитываются по формуле:

lim Δq->0  (Δc/Δq), что с помощью производных можно записать так: dc/dq

где с — затраты, q — объем продукции.

Для анализа ценообразования и поведения рынка требуются широкие знания математики. Во-первых, необходимо сформировать статистику продаж, объемов производства и цен, а также проанализировать, при каких ценах достигается равенство спроса и предложения, или, иными словами, какой уровень спроса будет соответствовать определенной фиксированной цене и какими при этом уровне затрат будут доходы предприятия или всего сектора экономики (в случае если проводится макроэкономический анализ).

Очевидно, что для изучения рынка как на уровне отдельных предприятий (микроэкономическом), так и на уровне секторов экономики необходимо формировать статистику, анализировать графики и проводить другие, более сложные виды статистического анализа — анализ дисперсии, многовариационный анализ и подбор аппроксимирующей кривой, чтобы определить, какие переменные, помимо спроса и предложения, влияют на уровень цен и доходы предприятий.

* * *

ОБЩЕЕ РАВНОВЕСИЕ

При изучении общего равновесия все секторы экономики рассматриваются одновременно и анализируются все возможные прямые и косвенные воздействия рынков друг на друга. Леон Вальрас (1834–1910) был первым, кто описал общее экономическое равновесие на языке математики.

Вальрас считал, что центром экономики является предприятие, и изучал деятельность предприятий в условиях конкурентной борьбы. Он также выявил взаимозависимость всех рынков в экономике: товарных (где продаются и покупаются товары и услуги) и рынков факторов производства (труда, земли и капитала). Он проанализировал механизмы определения цен и объемов продаваемых и приобретаемых товаров и сформулировал теорию общего экономического равновесия, то есть устойчивого положения на рынке. Итальянский экономист Вильфредо Парето и австрийский ученый Карл Менгер, считающиеся основателями неоклассической экономической школы маржинализма, продолжили исследования Вальраса.

Теория общего равновесия изучается в микроэкономике (экономике предприятия) и объясняет поведение производителей и потребителей, а также механизмы ценообразования в экономике. В теории общего равновесия используется подход снизу вверх, так как изначально в ней рассматриваются отдельные рынки и экономические субъекты. В макроэкономике, напротив, используется подход сверху вниз, и макроэкономический анализ начинается с рассмотрения наиболее масштабных компонентов.

Леон Вальрас — французский экономист, сформулировавший математическую основу теории общего равновесия.

* * *

Современные модели общего экономического равновесия очень сложны, и для поиска точных численных решений необходимо использовать мощные компьютеры.

В модели Вальраса в виде взаимосвязанных уравнений представлены функции спроса и предложения, аргументами которых являются цены. Переменными являются цена, величина спроса и величина предложения. Необходимо найти значения двух неизвестных: цены и объема, при которых величина спроса будет равна величине предложения. В функции предложения с ростом объема цена возрастает, в функции спроса с ростом объема цена снижается. Точка пересечения кривых спроса и предложения является точкой равновесия.

Принцип Вильфредо Парето (1848–1923), в свою очередь, основан на эмпирических наблюдениях. Этот итальянский философ и экономист заметил, что общество неизменно делится на «немногих, владеющих многим» и «многих, владеющих немногим». Он определил две группы с соотношением численности 80/20, при этом меньшинство, составляющее 20 %, владеет 80 % чего-либо, а большинство, составляющее 80 % населения, владеет 20 % этого же «чего-либо». Эти цифры не являются окончательными и могут изменяться. Принцип Парето используется для описания событий, является примерным и в каждом конкретном случае корректируется. Нужно учитывать, что даже распределение причин и следствий не является линейным: 80 % следствий вызваны лишь 20 % причин.

Было обнаружено, что принцип Парето можно применить в различных областях экономики и бизнеса. Этот принцип гласит, что 20 % действий вызывают 80 % результатов, а остальные 80 % действий являются причиной всего 20 % последствий. Для равномерного распределения благ, максимально далекого от соотношения 80/20, нужно свести действие принципа Парето к минимуму.

Принцип Парето используется и в коммерческом анализе. Компании, проводящие анализ счетов-фактур, констатируют, что примерно 80 % счетов выставляется 20 % клиентов. Соотношение 80/20 почти никогда не соблюдается буквально, однако само распределение объемов продаж это соотношение описывает, как правило, с высокой точностью.

Вильфредо Парето — итальянский экономист, сформулировавший принцип распределения в соотношении 80/20, который с успехом применяется в самых разных областях.

* * *

АВС-АНАЛИЗ РЕСУРСОВ

Принцип Парето также используется для анализа ресурсов или ассортимента товаров, предлагаемых торговыми предприятиями, в которых 20 % ассортимента дают 80 % продаж. Такой анализ получил название АВС-анализа. А — 20 % товаров, приносящих 80 % продаж, В — 15 % от общего объема продаж и 30 % ассортимента, С — 5 % продаж и 50 % ассортимента. Эта классификация также используется для разделения ассортимента на ограниченное число категорий в зависимости от наличия товаров. Продукты категории А располагаются ближе к зоне обработки заказов, чтобы на их перемещение тратилось минимальное время.

* * *

Принцип Парето успешно применяется во многих областях политики и экономики. Согласно этому принципу, около 20 % населения обладают 80 % политической власти и экономических ресурсов, а между остальными 80 %, которых Парето называл «массами», распределено 20 % богатства и незначительное политическое влияние. Этим же соотношением в целом описывается и распределение природных богатств.

Эластичность спроса

Материальные блага ограничены, и для их получения необходимы определенные затраты, которые измеряются в физических и денежных единицах. После того как вследствие определенных действий произведен некоторый объем благ, их необходимо продать на рынке. Цена благ определяется спросом, и если установившиеся цены выше стоимости производства благ, производитель получает прибыль. Таким образом, принимая решение вывести на рынок товар, производитель руководствуется следующими принципами.

1. Предвидеть изменение спроса и следующее за ним изменение цен.

2. Попытаться сделать минимальными затраты на производство, чтобы получить как можно большую прибыль, а также определить порог рентабельности, за которым производство товаров или услуг становится невыгодным.

3. Разработать экономическую модель, которая позволит определить параметры рыночного равновесия и увидеть, как формируются цены в зависимости от спроса и предложения.

Таким образом, нужно изучить, как меняется спрос при изменении цены предложения. Для этого определяется отношение изменения спроса и изменения цен, которое называется эластичностью спроса и выражается следующим образом:

Эластичность спроса = Δq/Δр,

где Δq — изменение величины спроса на определенное благо, Δр — изменение его цены.

Эти изменения можно также выразить в процентах:

Иными словами, эластичность равна производной q по р, dq/dp, умноженной на p/q

Эластичность спроса измеряется в процентах. Она показывает, на сколько изменяется спрос на определенное благо при изменении его цены на одну денежную единицу.

Если при незначительном изменении цены спрос существенно меняется, то говорят, что спрос является эластичным. При значительном росте цен спрос пропорционально падает, и потребители начинают покупать более дешевые товары-заменители. Эластичный спрос характеризуется эластичностью больше единицы, то есть при изменении цены на одну денежную единицу отмечается изменение спроса на несколько единиц. Если же, напротив, при изменении цены спрос практически не меняется, то говорят, что спрос является неэластичным. В этом случае эластичность спроса меньше единицы.

Спрос на товары первой необходимости, в частности продукты питания, одежду и обувь, обычно неэластичен, так как эти товары сложно заменить. Товары роскоши характеризуются более эластичным спросом, так как с ростом цен потребители отдают предпочтение более дешевым товарам, в то время как при падении цен на товары роскоши спрос на них быстро восстанавливается.

На цены также влияет уровень доходов потребителей — высоким доходам соответствует высокая покупательная способность, как следствие, потребители могут приобретать больше благ. Следовательно, эластичность спроса соответствует определенному уровню дохода, и с изменением доходов, то есть при смещении кривой спроса вправо, она также может изменяться.

Как функционирует рынок

В теории кажется, что рынок функционирует в условиях совершенной конкуренции и абсолютной прозрачности, то есть на нем действует множество предприятий, предлагающих продукцию как можно более высокого качества, созданную при минимально возможных затратах, товары идеально соответствуют запросам потребителей, а потребители всегда действуют рационально, то есть приобретают блага наилучшего качества, удовлетворяющие их потребностям, по самой низкой цене, таким образом, получают максимальный уровень полезности по минимальной цене. В действительности это не так: на рынке отсутствует совершенная конкуренция и, как правило, существует несколько предприятий, способных производить товары при недостижимом для остальных уровне затрат и технологий. Как следствие, такие предприятия устанавливают на свои товары максимально возможную цену, которую готовы платить потребители. Иногда на рынке действует единственная компания, занимающая привилегированное положение, например поставляющая топливо или высокотехнологичные товары (высокоточное оборудование, самолеты и т. п.), при этом цены на ее продукцию формируются в интересах производителя, а не потребителей.

А бывает и так, что компании выпускают на рынок товары и услуги, о которых потребитель ничего не знает, потому что раньше ничего подобного на рынке не было. С помощью рекламной кампании у потребителя создается ощущение, что новый продукт ему необходим, и он спонтанно и нерационально приобретает по завышенной цене товар, который в действительности ему не нужен (при этом сам покупатель убежден в обратном).

Также существуют предприятия, занимающие привилегированное положение на рынке, в частности концессии (поставщики воды, электричества, транспортные компании), которые могут устанавливать слишком высокие цены. Существование подобных монополий (то есть компаний, доминирующих на рынке) при невмешательстве государства крайне негативно отражается на потребителях, однако в некоторых странах функции таких монополий берет на себя само государство. Порой, когда предложение формируется ограниченным числом производителей (такая ситуация называется олигополией), они могут вступить в сговор и установить на свою продукцию определенный уровень цен. Олигополии действуют подобно монополисту: ситуация на рынке полностью контролируется производителями и неблагоприятна для потребителей (подобные истории очень часто происходят в автомобильной промышленности и страховании).

На этой карикатуре 1885 года американский художник Фредерик Бурр Оппер изобразил монополистов-миллионеров, узурпировавших ресурсы страны.

Помимо монополии предложения, может существовать и монополия спроса (монопсония), то есть ситуация, при которой на рынке имеется только одна компания-покупатель и несколько компаний-поставщиков. В этом случае компания-покупатель может выдвигать жесткие условия, касающиеся сроков поставки, скидок, расположения товаров в магазинах, условий платежа и т. д. Примером монопсонии являются супермаркеты, которые требуют у поставщиков (в том числе транснациональных компаний) скидок за большой объем приобретаемого товара, передачи товара на реализацию, при которой счета-фактуры оформляются только в момент продажи конечному потребителю, устанавливают сроки оплаты, превышающие 30 дней, и взимают с поставщиков дополнительные платежи, так как владельцы супермаркетов полагают, что появление товара на их полках само по себе является рекламой, за которую нужно платить, и т. д. Если компания хочет сотрудничать с супермаркетом, она должна подписать договор о поставках, в котором на поставщика накладываются серьезные ограничения.

Еще одним фактором, влияющим на итоговую стоимость товаров, является деятельность посредников или комиссионеров, которые взимают небольшой процент от исходной цены или получают комиссию в зависимости от объема продаж. Существование цепочек посредников, участвующих в процессе распределения товара, может существенно повысить его итоговую стоимость для потребителя, и некоторые посредники могут быть настоящими монополистами. Такая ситуация обычно складывается на рынке сельскохозяйственной продукции, что вызывает значительную разницу между ценой, по которой товар покупается у производителей, и ценой, которую платит за него потребитель.

Еще одним способом организации рынка является аукцион, при котором товар получает тот покупатель, который предложит наибольшую цену.

* * *

ФАКТОРИНГ

Существует множество способов ведения торговых операций, особенно касающихся способов оплаты. Один из таких способов — факторинг, при котором компания обращается в финансовое учреждение, чтобы получить авансом оплату счета, выставленного клиенту. Банк перечисляет поставщику определенную часть суммы счета (выполняет дисконтирование платежа), а после того как покупатель оплатит продукцию, доплачивает продавцу остаток суммы, удерживая процент за предоставленный кредит и комиссию за оказанные услуги. Если сумма, которая должна быть уплачена клиентом на дату n, равняется Vn, банк выплатит компании авансом меньшую сумму V_0 и удержит процент по ставке i процентов годовых (при пересчете этой процентной ставки на период времени n фактическая процентная ставка становится равной iв), таким образом, сумма процентов, удержанных банком, будет равна:

D = Vn- iв

В виде авансового платежа V_0 компания получит сумму, равную:

V_0 = Vn — Vn∙ie = Vn(1 — iв) = Vn — D; V_0 < Vn

где V_0 — сумма, выплаченная банком, Vn - дисконтированная сумма; i — годовая процентная ставка банка, ie — эффективная процентная ставка, применяемая в зависимости от сроков уплаты; n — срок погашения и D — сумма процентов (= Vn∙i).

Эта формула аналогична формуле расчета простых процентов, но в ней используется авансовый платеж.

* * *

Существуют различные разновидности аукционов. Наиболее распространенным является прямой (английский) аукцион, при котором товар выставляется на торги по начальной цене, затем потенциальные покупатели увеличивают ее, и лот в итоге достается тому, кто предложит наибольшую сумму. Другая разновидность аукциона — обратный (голландский) аукцион, при котором исходная цена является максимальной, но если никто не желает приобрести товар по этой цене, аукционист постепенно ее снижает, и товар достается тому, кто первым согласится приобрести его по предложенной цене.

Американский аукцион проводится по правилам английского, однако его торги закрыты, и один участник может подать заявку лишь один раз.

Также существуют аукционы покупателя, их обычно проводят государственные учреждения, закупающие какие-либо товары или услуги. На этих аукционах предложения подаются в закрытых конвертах, побеждает тот, чья цена будет наименьшей. С этим аукционом схож тендер, в котором победитель определяется на основании не только цены, но и с учетом других факторов.

Сегодня существует множество разновидностей аукционов в зависимости от отрасли, вида товара и других условий: таможенные аукционы, на которых распродаются конфискованные товары, аукционы недвижимости, где финансовые учреждения реализуют имущество, изъятое за долги, публичные торги, интернет-аукционы, проводимые в электронной форме, аукционы, на которых выставляются монеты, произведения искусства, антиквариат и т. д.

Аукцион — это очень прозрачный способ формирования цены и организации рынка, поскольку спрос и предложение на нем ничем не ограничены. Такая форма торговли часто используется на довольно сложных рынках, например валютных, так как аукционы являются очень эффективным средством контроля обмена валют, ассигнования государственных ценных бумаг, казначейских векселей и ценных бумаг с фиксированной доходностью. На рынке ценных бумаг биржи используют аукционы для фиксации котировок на момент начала торгов или на момент закрытия биржевых сессий.

На этой английской карикатуре 1819 года изображается аукцион, на котором Георг IV продал вещи недавно умершей матери.

Изучение рынка

Проведем исследование рынка на следующем примере: по оценкам, чистящее средство некой марки используют 26 % семей. Была сформирована выборка из 12 семей, которым задали вопрос, какую марку чистящего средства они используют. Нужно определить, какова вероятность того, что в этой выборке от 6 до 9 семей используют чистящее средство рассматриваемой марки. Анализируемая переменная может принимать одно из двух возможных значений («да, используется» и «нет, не используется»), вероятности которых соответственно равны 26 % и 74 % (74 = 100—26).

С помощью законов комбинаторики можно показать, что вероятность РВ(k) того, что в выборке из n семей k будут использовать рассматриваемое чистящее средство, равна где р = 0,26 и (1 — р) = 1–0,26 = 0,74. Эта формула соответствует так называемому биномиальному закону распределения вероятностей, выведенному Якобом Бернулли в XVII веке. В свою очередь, указывает число различных сочетаний из k элементов в группе из n объектов.

где р = 0,26 и (1 — р) = 1–0,26 = 0,74. Эта формула соответствует так называемому биномиальному закону распределения вероятностей, выведенному Якобом Бернулли в XVII веке. В свою очередь,

указывает число различных сочетаний из k элементов в группе из n объектов.

* * *

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ГРУППИРОВКИ ОБЪЕКТОВ

Сочетаниями из n объектов по k (где k < n) называются все группы из k объектов; две группы считаются различными, если они отличаются по меньшей мере одним объектом, при этом порядок объектов в группах не имеет значения. Так, число сочетаний (групп) из четырех объектов по 3 обозначается С^3_4 и вычисляется по следующей формуле:

Всего можно составить четыре различные группы. Так, если в качестве четырех исходных элементов мы рассмотрим буквы А, В, С, D, то искомыми четырьмя сочетаниями будут AВС, ABD, ACD, BCD. Существуют другие типы группировки объектов, которые широко используются в дискретной математике, к ним относятся размещения и перестановки.

Размещение из n объектов по m Anm определяется так: две группы считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом или же их элементы расположены в разном порядке. Все возможные размещения из четырех элементов (р, q, r, s) по 3 таковы:

pqr, pqs, prq, psq, prs, psr,

qrp, qpr, qps, qsp, qrs, qsr,

rps, rsp, rpq, rqp, rsq, rqs,

spq, sqp, sqr, srq, spr, srp.

Число размещений вычисляется по формуле Anm = m∙(m — 1)∙(m — 2)…(m — n + 1). В нашем случае число размещений равно

V^3_4 = 4(4—1) … (4 — 3 + 1) = 4∙3∙2 = 24.

Перестановки — это размещения, содержащие все исходные элементы, то есть размещения при m = n. Перестановками из трех элементов (М, N, Р) являются размещения из 3 по 3. Все возможные перестановки таковы: MNP, MPN, NMP, NPM, PMN, PNM. Число перестановок вычисляется по формуле

Рn = n(n — 1)(n — 2)…(n — n + 1) = n(n — 1)(n — 2)…3∙2∙1 = n!

В нашем случае Р_3 = 3(3 — 1)(3 — 2) = 3! = 6.

* * *

Вероятность того, что произойдет одно или несколько возможных событий, равняется сумме вероятностей отдельных событий, если они являются независимыми (то есть не могут произойти одновременно).

В нашем примере вероятность того, что шесть опрошенных используют определенное чистящее средство, равна

Использовав эту формулу, рассчитаем с помощью Excel таблицу значений от РВ(1)до РВ(12).

Распределение вероятностей передается графически двумя способами: справа оно представлено на гистограмме, слева — с помощью графика непрерывной функции

Искомая вероятность того, что рассматриваемую марку средства используют от 6 до 9 опрошенных, равна

РВ (6 < х < 9) = РВ (6) + РВ (7) + РВ (8) + РВ (9) =

= 0,0468708102 + 0,0141155039+ 0,0030996943 + 0,0004840363 = 0,0645700627 = 6,46 %

Средняя величина и среднеквадратическое отклонение для биномиального распределения рассчитываются по формулам:

среднее = μ = n∙p; среднеквадратическое отклонение = σ =

В нашем случае

среднее μ = р = 12∙0,24 = 2,88; среднеквадратическое отклонение = σ =  = 1,479.

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, график которого при больших объемах выборки стремится к графику нормального распределения.

Кривая биномиального распределения слегка асимметрична по сравнению с кривой нормального распределения, которая полностью симметрична.

Слева — графики, описывающие три нормальных распределения с одинаковой средней μ и среднеквадратическим отклонением σ = 1; σ = 2; σ = 3. Справа — графики, описывающие три нормальных распределения с одинаковым среднеквадратическим отклонением σ = 1 передними μ_1, μ_2, μ_3, μ_4.

Статистики и экономисты должны уметь работать с широким спектром распределений вероятности. Каждой конкретной ситуации, в которой встречаются случайные величины (переменные, значения которых невозможно спрогнозировать), соответствует определенное распределение вероятностей (функция распределения).

Некоторые распределения вероятностей описывают экономические и социальные явления. Ситуации, когда изучаемая переменная является дискретной (принимает только целые значения или значения «да»/«нет»), адекватно описываются биномиальным распределением. При непрерывных переменных во многих случаях применяется нормальное распределение, или кривая Гаусса.

Живительная математическая теорема, называемая «центральной предельной теоремой», гласит, что на очень больших генеральных совокупностях (при анализе множества деталей, изготовленных на станке, множества избирателей в стране, роста, веса, психологических характеристик людей, поведения групп людей и т. д.) рассматриваемые значения стремятся к нормальному распределению, следовательно, средние значения на выборках, взятых из этой совокупности, также подчиняются нормальному закону и совпадают со средними по всей совокупности. Среднеквадратическое отклонение на выборках также подчиняется нормальному закону и равняется среднеквадратическому отклонению генеральной совокупности.

Центральная предельная теорема является основным связующим звеном между значениями на выборке (несколько объектов) и значениями на большой генеральной совокупности (множество объектов) и показывает, насколько большое значение имеет нормальное распределение вероятности в статистических исследованиях.

По данным периодически проводимых опросов активного населения можно определить параметры всего населения страны с определенной погрешностью, которая описывается доверительным интервалом, о чем мы уже говорили выше.

Вероятность P(z) возникновения события z вычисляется как площадь, ограниченная графиком функции распределения и осью ОХ. Поэтому нет смысла говорить о Р(0,45), так как, во-первых, в связи с погрешностями измерения, неизбежными для любого инструмента, можно говорить лишь об определенном интервале, во-вторых, потому что площадь полученной области будет равна 0.

* * *

СТАНДАРТИЗОВАННОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Стандартизованное нормальное распределение — это упрощенное нормальное распределение изучаемого параметра или переменной. Все значения хi изучаемой переменной меняются: из них вычитается среднее значение i, после чего результат делится на среднеквадратическое отклонение σ. Стандартизованная переменная обозначается буквой z.

Таким образом, центральным значением множества хi становится не μ, а 0. При делении на σ распределение становится стандартизованным, среднеквадратическое отклонение принимает значение σ = 1. Таким образом, одно и то же распределение (один и тот же график, одну и ту же функцию и одну и ту же таблицу значений) можно использовать для любого нормального распределения после замены переменной, а благодаря этой замене при анализе любого нормального распределения можно использовать одну и ту же таблицу значений.

При переходе к новой переменной (от х к z) все распределения статистических переменных, подчиняющихся нормальному закону, определяются одной и той же функцией распределения (так  при среднем значении, равном 0, и среднеквадратическом отклонении, равном 1.

* * *

При изучении непрерывных статистических переменных имеет смысл говорить только о вероятности попадания значения z на определенный интервал .

Тогда площадь, ограниченная графиком, есть интеграл от функции плотности:

Также можно говорить о вероятности того, что величина z будет не больше определенного значения, то есть будет принадлежать открытому интервалу []. Эта вероятность рассчитывается так:

В обоих случаях интеграл позволяет найти необходимую площадь.

Графически вероятность того, что значение z будет меньше или равно а, изображается областью, выделенной серым цветом на следующем графике, и вычисляется с помощью интеграла:

Значение этого интеграла можно вычислить только с помощью методов аппроксимации. С их применением были составлены таблицы распределения вероятностей для стандартизованного нормального закона распределения, позволяющие выполнить любое статистическое исследование, в котором фигурирует нормальное распределение. Эти таблицы можно найти в любой книге по основам статистики, и они позволяют вычислить следующие вероятности:

PNT (z <= 1) = 0,8413; PNT (z <= 2) = 0,9972; PNT (z <= 3) =0,9987.

Глава 6. Математика на бирже

Существует два экономических мира: сфера производства товаров и услуг, измеряющихся с помощью денег — этот сектор можно назвать реальным сектором экономики, и совершенно иная сфера, в которой обращаются только деньги — этот сектор называется финансовым сектором экономики. К последнему относятся финансовые рынки, которые различаются в зависимости от торгуемых на них ценных бумаг: валютные рынки, денежные (межбанковские) рынки, рынки производных финансовых инструментов и т. д. Сюда же относятся биржи ценных бумаг (или рынки капитала), где продаются и покупаются финансовые активы, то есть акции, облигации и т. д.

Биржи и рынки ценных бумаг

Биржи образуют организованный рынок с утвержденными правилами, и стать его участниками могут не все компании. Традиционно сделки совершались так: собравшись вместе в оговоренный час, участники рынка (биржевые агенты) совершали операции со всеми видами ценных бумаг. Там же брокеры заключали договоры с покупателями и продавцами ценных бумаг, те передавали брокерам указания относительно покупки и продажи, и все сделки заключались на словах.

В зависимости от полученных указаний сделки заключались на аукционах: брокер выкрикивал число продаваемых акций и начальную цену, а другой брокер, получивший от клиента указание покупать, выкрикивал количество акций и цену, которую он был готов заплатить. Если цены покупки и продажи совпадали, заключалась сделка (вновь на словах), и таким образом формировался курс (стоимость) акций. Финальные котировки обычно отличались от исходной стоимости акций: если на продажу было выставлено больше ценных бумаг, чем покупатели были готовы приобрести, курс акций снижался, и напротив, если покупатели были готовы купить больше акций, чем предлагали продавцы, котировки росли.

Две фотографии Нью-Йоркской биржи: на фотографии вверху — биржа в эпоху, когда все сделки заключались на словах, на фотографии внизу — современная биржа, где правят компьютеры.

В настоящее время все рынки ценных бумаг представляют собой единое целое: участники рынка и посредники (брокеры) в реальном времени подключены к биржам с помощью электронных средств связи.

Виды рынков ценных бумаг в разных странах отличаются, так как каждая биржа имеет особую организацию и собственные правила проведения торгов. Первичным рынком ценных бумаг называется рынок, где происходит первичное размещение акций (ценных бумаг с переменным доходом) и облигаций (ценных бумаг с фиксированным доходом). Вторичным рынком называется рынок, где торгуются уже выпущенные ценные бумаги — их покупают и перепродают инвесторы.

На финансовых рынках торгуется множество разных ценных бумаг. Помимо ценных бумаг с переменным доходом (акций) и частных и государственных ценных бумаг с фиксированным доходом (облигаций, векселей, казначейских векселей и т. д.), существуют и другие финансовые инструменты: варранты, инвестиционные паи, опционы, фьючерсы и т. д. Финансовые инструменты выставляются на рынке по номинальной цене, после чего их котировки изменяются в зависимости от ситуации на рынке.

Опционы — это ценные бумаги, дающие право на приобретение определенного количества акций по определенной цене в течение указанного промежутка времени.

Выделяют опционы на покупку (call-опционы), дающие право приобрести в будущем определенную ценную бумагу, и опционы на продажу (put-опционы), которые дают право продать определенную ценную бумагу в указанный период времени. Европейские опционы могут быть погашены только в указанную дату, а американские — в любой день до истечения указанного срока.

Для оценки изменений котировок используются биржевые индексы. Они составляются на основе изменений курсов ценных бумаг по основанию 100 (иногда в качестве основания выбирается 1000 или другое число). Так, для ценной бумаги Vi, ее стоимость PiVi в момент времени t сравнивается с котировкой в момент времени 0, P_0Vi, и рассчитывается изменение курса относительно момента времени 0 с помощью индекса Iit, в котором моменту времени 0 соответствует базисное значение 100:

Индекс ценной бумаги Vi в момент времени t: = (PtVi/P_0Vi)∙100

Так рассчитывается индекс одной ценной бумаги. Для нескольких ценных бумаг можно вычислить простое среднее значение цен в момент времени t и сопоставить его со средним значением цен в момент 0, которое будет служить базовым значением индекса. Однако чаще вычисляются средневзвешенные значения, то есть индекс каждой ценной бумаги умножается на ее относительный вес на множестве ценных бумаг, для которых рассчитывается индекс. При определении весов используются различные критерии, например рыночная капитализация (рыночная стоимость всех акций компании в момент их выпуска на биржу) или объем биржевых торгов.

В этом случае общий индекс для n ценных бумаг будет рассчитываться как взвешенная сумма индексов для каждой ценной бумаги, при этом вес каждой ценной бумаги i будет равен М:

Общий индекс = I = Σni=1 Ii∙Mi

Для расчета биржевых индексов используются индексы различных типов. Чаще всего применяется индекс Ласпейреса, однако на некоторых биржах применяются индексы Пааше и индексы Фишера. Простые средние значения практически не используются. На каждой бирже формируются собственные индексы, рассчитываемые по разным формулам. Так, в США рассчитываются индексы Доу-Джонса и Nasdaq, в Токио — Nikkei, на Франкфуртской фондовой бирже — DAX, на Парижской фондовой бирже — САС 40, в Риме — MIB 30, в Брюсселе — BEL 20, в Мадриде — Ibex 35, в Лондоне — Financial Times-SE 100 и т. д. Индексы рассчитываются на основе изменений котировок акций, при этом веса индексов на разных биржах определяются в зависимости от величины рыночной капитализации или объема биржевых торгов.

Когда курс ценных бумаг, используемый при расчете, изменяется ввиду выплаты дивидендов или подписки на акции, то соответствующий индекс корректируется.

Так, если на курс ценной бумаги Vi  влияет выплата дивидендов d, то сумма дивидендов вычитается из курса акции Vi, и скорректированный индекс будет рассчитываться по формуле

Скорректированный индекс Vi в момент времени t: Iit = ((PtVi - d)/P_0Vi)∙100

Существует множество ценных бумаг: ценные бумаги, выпущенные частными компаниями (акции, облигации, инвестиционные паи, векселя) или государством (государственные облигации, казначейские облигации и т. д.), имеющие фиксированный (с фиксированной процентной ставкой) или переменный доход (в этом случае по ценным бумагам выплачиваются дивиденды, зависящие от прибыли компании и решений руководства о выплате дивидендов), варранты и т. д.

Операции, которые могут выполняться с ценными бумагами на бирже, также очень отличаются. Это могут быть наличные сделки (выполняются в тот же день), кредитные сделки (как покупки в кредит на заемные средства, так и продажи в кредит), форвардные сделки (заключаемые в указанный срок) или сделки с опционами, когда покупатель или продавец обязуется купить или продать определенные активы на определенных выгодных условиях (с премией).

Активы, право на покупку или продажу которых дает опцион, называются базовыми. В качестве базового актива могут выступать биржевые индексы, акции, товары (золото, нефть, сырье), процентные ставки, валюты и прочее. Сделки с блокирующими пакетами акций выполняются за пределами рынка: покупатель и продавец договариваются о продаже определенного числа ценных бумаг по указанной цене, которая необязательно совпадает с текущим курсом. В таких случаях обычно количество ценных бумаг слишком велико, чтобы заключать сделку на рынке, поскольку она вызовет значительные изменения котировок этой ценной бумаги.

Также существуют фьючерсные сделки — в этом случае стороны обязуются купить или продать определенные финансовые активы в оговоренную дату в будущем.

Фьючерсы отличаются от опционов тем, что опционы не накладывают обязательств на покупку или продажу актива в указанный срок — эти действия осуществляются добровольно в течение всего периода действия контракта. При заключении же фьючерсной сделки одна из сторон берет на себя обязательство купить или продать указанный актив в установленный срок. Цель фьючерсных сделок — застраховаться от падения рынка, установив цену базового актива на определенном уровне. В этом случае продавец потеряет деньги, если котировка базового актива начнет расти.

Интерес покупателя при фьючерсной сделке — зафиксировать цену актива на растущем рынке, чтобы в будущем получить право на приобретение актива по более низкой цене, чем рыночная. Если цена растет, то прибыль продавца, подписавшего фьючерсный контракт, снизится, а покупатель останется в выигрыше, так как приобретет базовый актив по цене ниже рыночной.

Другими типами биржевых операций являются поглощение и первичное публичное размещение (IPO). Поглощение заключается в том, что одна компания предлагает другой приобрести ее акции по цене выше рыночной на очень выгодных для покупателя условиях, чтобы получить контроль над этой компанией. Первичное публичное размещение — это первая публичная продажа акций компании неограниченному кругу лиц на рынке.

В настоящее время торги на всех биржах выполняются в электронном виде.

На биржах существуют информационные инструменты для ведения торгов, действуют клиринговые палаты, используются компьютерные программы, упрощающие работу брокеров и других участников рынка. Работу бирж организуют специальные служащие, которые контролируют оплату совершенных операций и сами эти операции. Каждая биржа имеет свой порядок и режим работы, и чтобы участвовать в ее торгах как покупатель или продавец, нужно соответствовать определенным требованиям, зависящим от страны и конкретной биржи.

Фундаментальный анализ

Биржевые аналитики проводят два вида анализа торгующихся ценных бумаг. Первый вид анализа заключается в рассмотрении финансовой структуры предприятия, то есть его бухгалтерского баланса и прочих форм финансовой отчетности. Второй вид анализа — технический, в котором с помощью статистических и в особенности графических методов рассматриваются колебания курса ценных бумаг. Изменения курса связываются с другими переменными для прогнозирования поведения рынка и изучаемых переменных.

При фундаментальном анализе необходимо подробно ознакомиться с финансовой структурой интересующего предприятия. Для этого рассматриваются бухгалтерские балансы и отчеты о прибылях и убытках, как правило, за 3–5 лет работы компании, анализируется содержание ее годовых отчетов, а также данные о ситуации на рынке, экономическая и социально-политическая обстановка.

Баланс показывает источники финансирования предприятия (капитал, резервы, долгосрочные займы и прочее) и способы их использования. Капитал, резервы и долгосрочные займы составляют так называемый используемый капитал, из которого финансируются внеоборотные активы (материальные и нематериальные), однако в начале деятельности предприятия часть используемого капитала может быть направлена на приобретение товаров.

* * *

СТРУКТУРА БАЛАНСА

Баланс предприятия представляет собой таблицу, разделенную на две части. В левой части записываются активы — имущество и права компании, упорядоченные по возрастанию ликвидности.

Очевидно, что наиболее ликвидным активом являются деньги, хранящиеся в кассе и на банковских счетах. Чуть менее ликвидны счета, выставленные клиентам и ожидающие оплаты, а земля и недвижимое имущество являются активами с наименьшей ликвидностью. Активы делятся на две части: внеоборотные, которые не являются объектом рыночной деятельности, и оборотные, которые фигурируют в повседневной хозяйственной деятельности предприятия и имеют срок использования менее одного года.

Пассивы записываются в правой части баланса в порядке возрастания срочности гашения обязательств. К пассивам с наибольшей срочностью гашения относятся краткосрочные обязательства, которые должны быть уплачены в срок, не превышающий одного года. Далее идут долгосрочные обязательства (срок погашения которых превышает один год), резервный капитал (прибыль, не распределенная в предыдущие периоды) и, наконец, уставный капитал предприятия, внесенный учредителями.

Структура баланса.

* * *

Фундаментальный анализ заключается в сопоставлении различных разделов бухгалтерского баланса и их сравнении с величиной дохода и другими величинами с целью определения платежеспособности предприятия, его ликвидности, бюджета, уровня задолженности, рентабельности бизнеса и т. д. Основу фундаментального анализа составляет расчет показателей баланса.

Особое внимание привлекает следующий вопрос фундаментального анализа: почему рыночная капитализация предприятия (рыночная капитализация = число выпущенных акций ∙ курс акций) обычно намного превышает стоимость компании по данным ее бухгалтерского баланса?

Таким образом, теоретический курс акций согласно бухгалтерскому балансу рассчитывается так:

Теоретический курс акций = Собственный капитал (капитал и резервы)/Число акций

Если сравнить это теоретическое значение с биржевым курсом акций, можно определить, является предприятие недооцененным или переоцененным. Для оценки стоимости предприятия также можно сравнить его рыночную капитализацию с валютой баланса предприятия (суммой активов):

Соотношение стоимость/валюта баланса = Рыночная капитализация/Валюта баланса

Аналогичное соотношение можно рассчитать для денежного потока (cashflow) или дохода, рассчитываемого как чистая прибыль + амортизация:

Соотношение стоимость/денежный поток = Рыночная капитализация/Cashflow (либо доход)

Соотношение стоимость/денежный поток на акцию = Курс акции/Денежный поток на акцию

* * *

ФИНАНСОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

Платежеспособность предприятия зависит от его собственных оборотных средств. Их сумма должна быть достаточной, однако не превышать определенные значения.

Собственные оборотные средства = Оборотные средства — Краткосрочные обязательства.

Собственные оборотные средства можно рассчитать, используя активы и пассивы в балансе:

Собственные оборотные средства = Используемый капитал — Внеоборотные активы.

Коэффициент текущей ликвидности = (Оборотные средства/Краткосрочные обязательства) > 1

Коэффициент быстрой ликвидности = ((КДЗ + КФВ + ДС)/Краткосрочные обязательства) = 1

где КДЗ — краткосрочная дебиторская задолженность, КФВ — краткосрочные финансовые вложения, ДС — денежные средства.

Если коэффициент быстрой ликвидности меньше 1, это свидетельствует о рисках просрочки платежей. Если он значительно больше 1, это говорит об излишке ликвидных фондов и возможной низкой рентабельности.

Коэффициент абсолютной ликвидности = (КФВ + ДС)/Краткосрочные обязательства

Низкие значения этого коэффициента говорят о проблемах в бюджете предприятия.

Коэффициент финансового риска = Долгосрочные и краткосрочные обязательства/Собственный капитал

Оптимальные значения этого коэффициента лежат в интервале от 0,5 до 0,7.

Коэффициент финансовых расходов = (Финансовые расходы/Выручка) < 0,04

Значения, превышающие 0,05, считаются избыточными.

КМД = (Выручка — Совокупные переменные затраты)/Выручка

где КМД — коэффициент маржинального дохода, показывает долю выручки, идущую на покрытие постоянных затрат и обеспечение прибыли.

Рентабельность активов = (Операционная прибыль/Общие активы) > Цена денег.

Рентабельность капитала = (Прибыль/Капитал) > Цена денег.

СОДЗ = (Средняя дебиторская задолженность/Выручка)∙365,

где СОДЗ — срок оборачиваемости дебиторской задолженности, в течение которого клиенты производят уплату по счетам.

СОКЗ = (Средняя кредиторская задолженность/Себестоимость проданных товаров)∙365,

где СОКЗ — срок оборачиваемости кредиторской задолженности, средний срок уплаты задолженности поставщикам и кредиторам.

Коэффициент оборачиваемости активов = Выручка/Общие активы

Значение этого коэффициента, превышающее 1, указывает, насколько выручка превышает величину активов.

% роста продаж = ((Продажи Vn/Продажи Vn-1) — 1)∙100 между периодами n — 1 и n.

Технический анализ

Технический анализ заключается в изучении того, как меняется стоимость различных финансовых активов, в частности ценных бумаг, индексов, опционов, фьючерсов, валют и других, посредством статистического анализа и анализа графиков, чтобы предсказать поведение рынка в будущем. Для этого требуется не только изучить изменение курсов ценных бумаг с течением времени с помощью графиков (к ним относятся «японские свечи», столбчатые диаграммы, пункто-цифровые графики и т. д.), но и выполнить подбор аппроксимирующей кривой с помощью методов регрессии, позволяющих связать значение цены со значениями других переменных и спрогнозировать будущие значения цен с достаточной достоверностью. В основе технического анализа лежат три принципа: история повторяется, в изменениях цен прослеживаются тренды, в изменении рыночных цен отражается вся информация о деятельности предприятия, макроэкономические параметры и т. д.

* * *

ТЕОРИЯ ДОУ

Первым начал анализировать колебания рыночных цен и заложил основы технического анализа американец Чарльз Генри Доу (1851–1902), разработавший в 1884 году первый биржевой индекс. Это его именем назван знаменитый биржевой индекс Доу-Джонса. На основе графического анализа поведения индексов он разработал теорию о колебаниях рыночных цен, выделив три тренда: первичный (долгосрочный), вторичный (промежуточный) и малый (краткосрочный).

Первичный тренд относится к долгосрочному периоду (от одного года до трех лет за исключением определенных ситуаций) и может быть восходящим или нисходящим. После периода снижения цен группа инициативных инвесторов решает вложить средства в ценные бумаги. С ростом котировок к ним присоединяются другие инвесторы, в то время как самые первые инвесторы продают свои ценные бумаги и остаются в выигрыше. По прошествии определенного времени, поняв, что рост цен замедляется, инвесторы постепенно прекращают инвестирование, и начинается период застоя, который сменяется падением цен.

Первичный тренд сроком три года.

Вторичный тренд описывает период продолжительностью от одной до восьми недель. Эти более короткие циклы накладываются на долгосрочные колебания и проявляются как незначительное снижение цены в период роста или как повышение цены в период падения котировок.

Вторичный тренд сроком два месяца.

Малые тренды описывают периоды длительностью не более нескольких дней и являются следствием воздействия со стороны спроса или предложения в данный момент.

Малый тренд сроком два дня.

* * *

Ральф Нельсон Эллиотт (1871–1948) позднее дополнил теорию Доу, описывающую поведение рынка ценных бумаг. Он заметил, что котировки изменяются в соответствии с определенными шаблонами. Эллиотт определил волны, по своему поведению схожие с числами Фибоначчи — числовым рядом, каждый член которого равен сумме двух предыдущих. В 1946 году, изучив значения промышленного индекса Доу-Джонса (DJIA), он изобразил эти волны на графике.

На основании полученного графика Эллиотт сделал вывод: в колебаниях цен прослеживаются повторяющиеся волны различной длительности и амплитуды колебаний. Волновой принцип Эллиотта гласит, что на рынках ценных бумаг наблюдается повторяющийся ритм: пять волн идут в направлении тренда, три волны — против тренда. Полный цикл состоит из восьми волн — пяти восходящих и трех нисходящих. В рамках цикла волны 1, 3 и 5 являются движущими (импульсными), 2 и 4 — коррекционными, они компенсируют эффект от волн 1 и 3. Пять восходящих волн сменяются тремя нисходящими, А, В и С. В период снижения курсов акций на рынке также наблюдаются кривые, схожие с пятью волнами, описанными выше.

Как можно видеть, на графиках биржевых котировок реальных ценных бумаг действительно можно заметить волны Эллиотта.

Если рассматривать волны Эллиотта как отражение психологии поведения участников рынка, которое вызывает значительные колебания биржевых котировок, то вполне логично предположить, что эти волны можно описать именно числами Фибоначчи.

Эллиотт утверждал, что для описания рынков ценных бумаг применимо и золотое сечение. Таким образом, изменение котировок подобно логарифмической спирали, по форме напоминающей раковину улитки или облако в урагане. Говоря проще, можно предсказать, что по окончании периода роста наступит период снижения, длительность и амплитуда которого будут составлять 3/5 длительности и амплитуды периода роста.

Было отмечено, что изменение цен на основные товары также описывается волнами Эллиотта, — это можно заметить на примере такого товара, как золото: в последнее время его цена неизменно движется в направлении, противоположном биржевому тренду, следовательно, оно также следует волнам Эллиотта, но в противоположном направлении.

* * *

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И БИРЖА

Изучив изменения котировок на многих рынках ценных бумаг, Эллиотт определил, что в основе теории волн лежит последовательность Фибоначчи, открытая еще в XIII веке! Эта последовательность (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …) обладает многими свойствами, применимыми к биржевому анализу.

Сумма любых двух соседних членов последовательности равна ее следующему члену, отношение любого члена последовательности к следующему стремится к иррациональному числу Ф — 1–0,618034 … (где Ф — так называемое золотое число, описывающее золотое сечение), которое часто встречается в природе и произведениях искусства. Таким образом, когда коррекционная волна достигает 61,8 % прежней величины индекса, наступает поворотный момент: рыночный тренд либо сменится на противоположный, либо сохранит направление, и индекс достигнет 100 % от прежнего значения.

Квадратные корни, которые не являются целыми или рациональными числами, относятся к новому, отдельному классу так называемых иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде дроби. Эти числа содержат бесконечное множество десятичных знаков и, в отличие от рациональных чисел, в их записи отсутствуют циклы, или периоды, как, например,

4/7 = 0,571428571428571428571…

Примерами иррациональных чисел являются число π, число е, используемое при расчете сложных процентов, и золотое число Ф.

Как рассчитывается рентабельность инвестиций на бирже

При эмиссии государственных облигаций покупатель совершает начальные вложения, а затем в течение срока действия облигации получает доход. Чтобы вычислить общую рентабельность за весь срок владения облигацией, рассчитывается внутренняя норма доходности, причем в качестве доходов учитываются и налоговые вычеты.

При эмиссии облигаций с переменной процентной ставкой общая рентабельность обычно рассчитывается по формуле чистого дисконтированного дохода на основе примерной цены денег (процентной ставки). Этот же метод используется для оценки прибыльности предприятия, когда денежные потоки за каждый год приводятся к текущему моменту времени с учетом объема начальных вложений и определенной ставки дисконтирования.

Рассмотрим расчет годовой рентабельности инвестиций. В момент времени t была совершена инвестиция в размере I_0, по прошествии n дней акции были проданы за It, причем I_0 < It. Общий доход В в результате инвестирования равен разнице курсов акций |It — I_0| > 0 вкупе с дивидендами, правом подписки на акции и т. д.

Рентабельность инвестиций R (в %) будет равна:

R = (B/I_0)∙100

Рентабельность за год Ra рассчитывается по правилу пропорции:

рентабельность R за срок в ___ n дней

рентабельность R за срок в ___ 365 дней

Ra = R∙(365/n)

Часто при оценке доходности ценных бумаг используется показатель PER (коэффициент цена/прибыль), который связывает цену приобретения бумаги Сt  с полученными или ожидаемыми доходами от нее за период t (дивиденды, ожидаемая положительная курсовая разница и т. д.):

PER = Ct/Gt = Цена акции/ Чистая прибыль (на акцию)

где Ct — стоимость бумаги, Gt — ожидаемая прибыль от нее за период t.

Обратите внимание, что показателем, обратным этому коэффициенту, является рентабельность акции:

Рентабельность акции = Чистая прибыль (на акцию)/Цена акции = 1/PER

Чаще всего используются следующие коэффициенты, показывающие финансовые итоги в пересчете на акцию:

Дивидендная доходность = Общие дивиденды/Рыночная капитализация = Дивиденд на одну акцию/Курс акции

где

Дивиденд на акцию = Прибыль после уплаты налогов/Количество акций

если прибыль после уплаты налогов полностью распределяется между акционерами.

Если же в виде дивидендов выплачивается лишь часть прибыли, то важен коэффициент, показывающий, какая именно доля прибыли направлена на уплату дивидендов.

Дивиденды могут рассчитываться на основе учетной стоимости акций, их рыночной или номинальной стоимости.

Коэффициент, связывающий денежный поток предприятия (чистый доход = прибыль + амортизация) с числом акций:

Денежный поток на акцию = (Прибыль + амортизация)/Количество акций

Индикатор β показывает уровень риска, связанный с вложением в определенные ценные бумаги, и характеризует волатильность котировок ценной бумаги. Если коэффициент β равен n, это означает, что доходность волатильной ценной бумаги в n раз больше доходности по индексу или по всем ценным бумагам на рынке. Так, если β = 2, а средняя доходность ценных бумаг на рынке равна 10 %, то доходность рассматриваемой ценной бумаги составит 20 %.

Риск измеряется путем сравнения доходности ценной бумаги и всех бумаг на рынке, при этом ее доходность будет отклоняться от среднерыночной. Эти отклонения оцениваются с помощью среднеквадратического отклонения σ или дисперсии, равной σ^2. Если средняя доходность по рынку равна R, а доходность ценной бумаги i равна Ri, то риск, рассчитанный с помощью среднеквадратического отклонения, будет равен:

Также можно использовать полудисперсию, то есть дисперсию, в которой учитываются только отрицательные отклонения, характеризующие риск потери средств.

Корреляция и регрессия

В экономике часто существует взаимосвязь между произвольными переменными — ковариация. Считается, что между двумя статистическими переменными существует ковариация, если между ними наблюдается однонаправленная причинно-следственная связь (значения переменной X влияют на значения Y, но не наоборот) или взаимозависимость (значения X влияют на значения Y и наоборот).

Изучение ковариации между двумя статистическими переменными можно начать с графических методов. На следующих диаграммах представлено множество точек, соответствующих парам значений переменных, для которых мы хотим определить наличие ковариации. Эта диаграмма называется диаграммой рассеяния.

Положительная линейная корреляция.

Отрицательная линейная корреляция.

Отсутствие корреляции.

Существуют два метода анализа ковариации между двумя статистическими переменными: регрессия и корреляция. При анализе корреляции рассчитывается числовой коэффициент, который используется как индикатор степени ковариации между двумя переменными, а при регрессионном анализе определяется математическая функция, описывающая ковариацию для всех значений переменных.

Вывод коэффициента корреляции для всей генеральной совокупности на основе анализа выборки, который обозначается R, выполняется на основе коэффициента корреляции r, рассчитанного для выборки. Этот процесс подробно изучен. По сути, r можно рассмотреть как оценочное значение R и проанализировать, действительно ли оно является точным оценочным значением. Выборки из одной и той же генеральной совокупности можно формировать множеством способов, и коэффициент корреляции на каждой выборке будет отличаться. Коэффициенты корреляции r для всех возможных выборок являются значениями случайной величины, которая характеризуется собственным распределением.

* * *

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Чтобы подтвердить исходное предположение, что между двумя переменными наблюдается корреляция (к такому выводу можно прийти, взглянув на диаграмму рассеяния), рассчитаем коэффициент корреляции. Для выборки из n пар значений (хi, уi) при i = 1, 2, 3…., n показателем линейной связи между переменными является r — линейный коэффициент корреляции,

где х¯, у¯, σх, σу — средние значения и среднеквадратические отклонения, рассчитанные для переменных X и Y на выборке. Значения коэффициента корреляции r всегда находятся в интервале от -1 до 1. Если r = 1 или r = -1, то все точки, соответствующие выборке, лежат на одной прямой. Если значение r близко к 1 (или к -1), то между двумя переменными имеется очень сильная линейная зависимость. Если значение r мало (близко к 0), то зависимость между двумя переменными практически отсутствует, за исключением случаев, когда на основе диаграммы рассеяния можно сделать вывод о наличии нелинейной корреляции.

Коэффициент r — безразмерная величина, не зависящая от единиц измерения значений X и Y.

В следующей таблице представлены значения двух статистических переменных, X и Y, на выборке объемом в пять значений

Диаграмма рассеяния.

Для анализа корреляции рассчитывается среднее х, среднеквадратическое отклонение σ и коэффициент r.

ЛИНИИ РЕГРЕССИИ

Если точки (х, у) на диаграмме рассеяния расположены близко к некоторой прямой или кривой, то можно определить функцию, которая с наибольшей точностью будет описывать это множество точек. Графиком указанной функции будет линия регрессии, которую можно будет использовать для составления прогнозов.

Математический метод, используемый для определения функции, которая точнее всего описывает множество значений выборки, называется методом наименьших квадратов.

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения а и Ь. Допустим, что эти значения равны, например, а' и Ь'. В этом случае уравнение искомой прямой будет записываться так: у = а'х + Ь'. Для приведенных ниже таблицы значений и диаграммы рассеяния линия регрессии рассчитывается следующим образом:

Уравнение линии регрессии, описывающей зависимость Y от X, выглядит так: y = (11/14)∙x + (6/7). Чтобы найти линию регрессии, описывающую зависимость Y от X, хi меняется на уi, результатом чего будет следующая система уравнений (чтобы избежать путаницы, заменим а и Ь на с и d):

Результатом будет прежнее уравнение: y = (11/14)∙x + (6/7). В большинстве случаев это уравнение будет отличаться от первого. В нашем случае между Х и Y имеется взаимозависимость.

* * *

Следует различать корреляцию и причинно-следственную связь: при изучении, например, трех переменных (к примеру, числа выпущенных книг, количества проданных телевизоров и численности убийств в год) можно сделать совершенно ошибочные выводы (к примеру, чем больше продается книг, тем больше продается телевизоров и тем больше совершается преступлений).

Глава 7. Экономический рост и развитие

В экономическом анализе выделяют два крупных направления: микроэкономический анализ, в котором экономические переменные рассматриваются на уровне отдельных потребителей, домохозяйств и предприятий, и макроэкономический, где эти же переменные изучаются на более высоком уровне. Так, изучение цен, стоимости производства и объемов продаж предприятия, анализ доходов отдельных людей, домохозяйств и уровень потребления, рассмотрение потребительских предпочтений и объемов продаж товара по определенной цене относятся к микроэкономике. Анализ совокупной деятельности всех предприятий сектора экономики, касающийся как уровня производства, так и уровня занятости, а также анализ общего уровня цен и совокупного спроса и предложения относится к макроэкономике. К макроэкономическому анализу относятся анализ уровня производства в стране, уровня совокупного спроса и предложения, импорта и экспорта, сбережений, инвестиций, государственных расходов, уровня инфляции и т. д.

Национальный доход, уровень потребления, сбережений и инвестиций

Валовый внутренний продукт

Валовый внутренний продукт (ВВП) страны — это совокупная стоимость всех товаров и услуг, созданных в стране за определенный период времени, чаще всего за один год. Он равен суммарной стоимости продукции всех секторов экономики, то есть суммарной добавленной стоимости, созданной всеми секторами экономики.

Так, предприятия одного сектора приобретают товары и услуги у предприятий других секторов (сырье, полуфабрикаты, электроэнергию, технологии, труд), включая их стоимость в свои затраты на производство, затем, после ряда преобразований, производят товар или услугу, имеющие более высокую цену, — так создается добавленная стоимость. Сумма всех добавленных стоимостей, созданных в течение года всеми производственными секторами экономики страны, равняется, как мы уже отмечали, ее валовому внутреннему продукту, и рост ВВП является одним из наиболее распространенных индикаторов экономического роста страны.

ВВП может измеряться в ценах каждого года, в ценах текущего года или же постоянных ценах некоторого базового года, что исключает воздействие инфляции и позволяет корректно сравнивать уровни производства разных лет. Так, например, если суммарный продукт молочной промышленности в 2005 году составлял 500 миллионов евро, в 2010 году — 700 миллионов, что соответствует годовому приросту в 6,96 %, эти цифры соответствуют номинальному ВВП и приведены в ценах 2005 и 2010 года соответственно. Однако если в течение этих пяти лет наблюдался уровень инфляции в 3 % годовых, то 700 миллионов евро в 2010 году будут равняться 603,83 миллиона евро в ценах 2005 года, то есть реальный прирост молочной промышленности составит не 6,96 %, а 3,85 % годовых.

Часть произведенных в стране за год товаров и услуг предназначается для потребления населением, часть товаров, к примеру, промышленное оборудование или объекты инфраструктуры, предназначена для инвестирования, а часть товаров, не потребленных внутри страны, продается в другие страны и составляет экспорт государства. Стоимость произведенных товаров учитывается по ценам продажи, которые устанавливаются рынком. Как правило, цена продажи превышает стоимость факторов производства. Разность между ценой продажи и стоимостью факторов производства называется добавленной стоимостью. По сути, ВВП страны в течение года рассчитывается по следующей формуле:

ВВП = С + G + I + Ехр,

где С — конечное потребление, G — государственные расходы, I — инвестиции, Ехр — экспорт.

ВВП рассчитывается на основе системы национальных счетов. Если из ВВП вычесть стоимость импортированных товаров, получим валовый национальный продукт (ВНП) по рыночным ценам, то есть общую величину потребления в стране, которая рассчитывается как произведенный продукт минус разница между экспортом и импортом:

ВНП = ВВП — Imp = С + G + I + Ехр — Imp,

где Imp — импорт.

Если из ВНП вычесть амортизацию средств производства, получим чистый национальный продукт по рыночным ценам. Если добавить к нему субвенции и вычесть косвенные налоги, то получим национальный доход. Поэтому

Национальный доход = С + G + I — Exp — Imp — Amort + Subv — Tax,

где Amort — амортизация средств производства, Subv — субвенции, Tax — косвенные налоги.

Если к национальному доходу прибавить трансфертные платежи, пенсии и субсидии, выплачиваемые домохозяйствам, а затем вычесть выплаты на социальное страхование, нераспределенный доход и налоги на прибыль предприятий, получим личный доход. И наконец, если вычесть из личного дохода прямые налоги (на доходы и наследство), получим личный располагаемый доход, который является истинным показателем уровня жизни и покупательной способности населения.

Как следствие, когда речь идет о национальном доходе или ВВП, нужно понимать, что эти понятия не синонимичны — как вы увидели, формулы их расчета заметно отличаются. Тем не менее ВВП, в частности показатели его роста, чаще всего используется политиками развитых и развивающихся стран как показатель состояния экономики.

Не реже используется и ВВП на душу населения (рассчитывается как ВВП /Численность населения), который иногда называют «доход на душу населения», хотя в действительности речь идет не о доходе, а о ВВП. Следует учитывать, что положительное значение роста не всегда свидетельствует о благоприятной экономической обстановке. Иногда избыточный рост ВВП, выражаемый двузначными цифрами, может вести к определенным издержкам роста, вызывающим серьезный структурный дисбаланс экономики в виде, например, недееспособности финансового сектора, неэффективной работы транспорта и инфраструктуры распределения благ. Издержки роста могут замедлить экономическое развитие и даже повлечь за собой экономический кризис.

С точки зрения макроэкономики и системы национальных счетов производство страны можно рассматривать с двух позиций: с позиции объема производства как суммарной добавленной ценности, созданной всеми секторами производства товаров и услуг, и с позиции совокупного потребления товаров и услуг различными экономическими агентами. Совокупный объем товаров и услуг, произведенных в стране, предназначается для конечного потребления либо для инвестиций (покупки оборудования, объектов инфраструктуры и прочего).

По сути, общая стоимость произведенных товаров равняется сумме всех доходов (Y), которые идут на потребление (С) и инвестиции (I), таким образом, Y = С + I. Если мы также будем учитывать, что часть доходов, которые не тратятся на потребление, составляют сбережения (A), вышеуказанное равенство можно записать в виде Y = С + А — совокупный доход равен сумме потребления и сбережений. Следовательно, I = А, поэтому в замкнутой экономике (в которой отсутствуют иностранные инвестиции) сбережения равны инвестициям.

Кейнс определил функцию потребления в зависимости от дохода С = f(Y) и показал, что определенным колебаниям дохода соответствует различная склонность к потреблению, определяемая как отношение прироста потребления и прироста дохода:

Эта величина принимает значения от 0 до 1, то есть является неотрицательной и не превышает 1.

Кейнс также определил мультипликатор инвестиций k, связывающий рост дохода с последующим приростом инвестиций: ΔY = k∙ΔI, откуда k = ΔY/ΔI. Учитывая, что Y = С + I, выразив I из этой формулы (I = Y — С) и подставив это значение в предыдущее уравнение, получим k = ΔY/(ΔY — ΔС). Разделив числитель и знаменатель на ΔY, имеем:

Иными словами, мультипликатор инвестиций равен величине, обратной 1 минус склонность к потреблению. Это означает, что с ростом склонности к потреблению и с повышением чувствительности уровня потребления к приросту дохода мультипликатор будет увеличиваться.

В противном случае при высоких доходах, когда запросы потребителей в основном удовлетворены, и они не направляют весь дополнительный доход на потребление, склонность к потреблению будет близка к 0, и, как следствие, мультипликатор k уменьшится.

Так, в слаборазвитой стране склонность к потреблению высока и равна, например, 0,9, что означает, что на потребление уходит 90 % доходов. Применив вышеуказанную формулу, получим значение мультипликатора k, равное 10. В развитой стране, напротив, склонность к потреблению намного ниже и равна, например, 0,6, то есть на потребление уходит всего 60 % доходов. В этом случае значение мультипликатора составит всего 2,5. Таким образом, мультипликатор инвестиций прямо пропорционален склонности к потреблению.

Распределение производства между секторами экономики

Межотраслевой баланс

Одним из важнейших моментов при изучении производства страны является анализ распределения производства между секторами экономики, в частности взаимосвязей производства в разных секторах, то есть анализ того, какая доля производства каждого сектора предназначена для использования в других секторах в качестве промежуточной продукции, а какая — предназначена для конечного потребления.

Следует отметить вклад Василия Леонтьева (1906–1999), который, продолжив работы Франсуа Кенэ, автора экономической таблицы, и развив математические исследования общего рыночного равновесия, проведенные Вальрасом, представил отношения между отраслями экономики страны в виде матрицы, в строках которой записана стоимость продукции, произведенной каждым сектором («выпуск») и потребленной другими секторами, в столбцах — суммы, потраченные секторами экономики на приобретение товаров других секторов («затраты»). Межотраслевые связи, представленные с помощью этой матрицы «затраты — выпуск», записываются в ячейках матрицы так, что ячейка хij, обозначает общую стоимость продукции, произведенной сектором i, использованной сектором j, а Xi является суммарной стоимостью продукции i, проданной в остальные секторы экономики.

Далее в качестве примера представлена матрица «затраты — выпуск» для отдельной страны. В строках записаны данные о производстве различных секторов (1, 2, 3, …, n), в число которых входит сельское хозяйство, промышленность и третичный сектор экономики (сфера услуг). В столбцах, в свою очередь, представлены данные о потреблении различных секторов.

Матрица «затраты — выпуск». Межотраслевой баланс.

Матрица «затраты — выпуск» является очень эффективным инструментом для составления национальных счетов, оценки валового национального продукта и прогнозирования. Из матрицы промежуточного потребления вычисляется общая стоимость произведенных продуктов. Часть этих продуктов предназначена для внутреннего потребления (внутренний спрос) индивидуальными домохозяйствами и государством, а также для инвестирования (валовых вложений в основной капитал).

Излишки, не покрытые внутренним потреблением, предназначены для экспорта.

Сумма внутреннего спроса и экспорта составляет итоговое потребление, или итоговый выпуск. С точки зрения потребления (столбцы матрицы «затраты — выпуск») если к совокупному межотраслевому потреблению прибавить налоги на продукцию (налог на добавленную стоимость и другие), заработную плату и излишки предприятий (доходы), получим совокупный объем внутреннего производства. Если прибавить к нему величину импорта, получим общую стоимость экономических ресурсов.

При анализе матрицы «затраты — выпуск» полезно учесть технологические возможности экономики, представленные в матрице технологических коэффициентов.

Для каждой ячейки матрицы определяется технологический коэффициент сектора i по отношению к сектору j:

aij = xij/Xj

Матрица технологических коэффициентов очень полезна для составления экономических прогнозов, так как позволяет оценить воздействие определенных событий на экономику (например, войны или выноса сектора экономики за пределы страны).

Экономические циклы

Экономические циклы — это повторяющиеся периоды роста или падения экономической активности региона, страны, нескольких стран или всего мира, при которых рост производства, занятости и доходов предприятий, ведущий к процветанию населения, сменяется рецессией и кризисом. Экономические циклы можно представить в виде графика синусоиды, на оси ординат которого откладывается ВВП, на оси абсцисс — время. Расстояние между точками максимумов или минимумов указывает на продолжительность фаз цикла.

Цикл начинается с фазы подъема, следующей после фазы кризиса, которая сменяется пиком — высшей точкой экономической активности. По прошествии определенного времени с момента наивысшей деловой активности, получения максимальных доходов и минимального уровня безработицы начинается спад, вызванный падением спроса, производства, инвестиций и занятости.

Причиной спада обычно становятся излишние инвестиции в производство, которые, в свою очередь, вызваны расширением кредитования и низкими процентными ставками, что способствует обновлению средств производства в кредит. Следствием этого являются излишние вложения, ведущие к перепроизводству и последующему неполному использованию производственных мощностей. За этим следует рост средних издержек производства, падение предельного дохода и производительности, последующий рост безработицы, рост неуплат по кредитам и общего долга.

С ростом безработицы продажи падают, так как покупательная способность населения снижается, безработица возрастает еще больше, с уменьшением производства также снижается уровень инфляции, зарплаты и цены на товары фиксируются на определенном уровне или опускаются, доходы предприятий сокращаются. Падение доходов предприятий негативно сказывается на финансовых рынках и служит причиной падения котировок на финансовых биржах.

Спад, или рецессия, усиливается и в определенный момент достигает дна, когда большее падение невозможно. Дно соответствует минимальному объему экономической активности, необходимому для функционирования экономики страны. К этому моменту неконкурентоспособные компании уже ушли с рынка, и можно сказать, что с помощью кризиса экономика избавляется от наименее эффективных агентов. Достигнув дна, экономика вновь начинает набирать обороты, после чего весь цикл повторяется сначала. Толчком к оживлению экономики могут стать инвестиции со стороны государства, программы по увеличению занятости или оживление спроса.

Следует отметить, что описанный выше кризис относится к реальному сектору экономики, то есть к производству товаров и услуг. Однако кризис может начаться и в финансовом секторе вследствие спекуляций в определенных областях, он может быть вызван недостаточным контролем финансовых рынков или эйфорией инвесторов при оценке обстановки на финансовых рынках. Кризисы, которые начинаются в финансовом секторе, обычно имеют катастрофические последствия для реального сектора экономики, так как они влияют на платежеспособность банковских учреждений, а недостаток ликвидности крайне негативно сказывается на работе предприятий и потребительском спросе. Во время подобных кризисов восстановление экономики может затянуться надолго.

Протест клиентов у гонконгского отделения Citibank, принадлежащего Citigroup — крупнейшей финансовой группе США до момента банкротства ее кредитных подразделений, действовавших на ипотечном рынке, вследствие мирового экономического кризиса 2008 года.

Теории экономических циклов основываются на долгосрочных статистических рядах. Было доказано, что существуют циклы разной продолжительности, которые могут накладываться друг на друга, серьезно ухудшая экономическую обстановку.

Было проведено множество статистических исследований экономических циклов, чтобы определить, какие величины вызывают кризисы, с помощью регрессионного и многофакторного анализа. Для прогнозирования рыночных трендов также часто используются эконометрические модели, представляющие собой множества уравнений относительно определенных величин (ВВП, уровня цен, экспорта, спроса, спроса на деньги и т. д.), зависящих от поведения ряда внешних переменных.

Следует учитывать, что экономические кризисы могут быть вызваны и событиями, которые никак не связаны с экономическими процессами, как в случае с нефтяным кризисом 1973 года или при вторжении Ирака в Кувейт.

В ходе эмпирических исследований были выявлены различные виды экономических циклов. Кроме сезонных циклов, свойственных, например, сельскому хозяйству или туризму, существуют краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные циклы: краткосрочные циклы Китчина длятся от 18 до 40 месяцев, среднесрочные циклы, описанные Митчеллом, — 4–5 лет, а длительность циклов, отмеченных французским экономистом Жугляром, составляет от 6 до 10 лет. Русский экономист Николай Кондратьев изучал циклы большой продолжительности (около 50–60 лет), следствием которых, по его мнению, являются масштабные кризисы, подобные кризису 1929 года. Как вы знаете из предыдущей главы, на фондовых биржах также наблюдаются циклические изменения котировок ценных бумаг и биржевых индексов, описанные Чарльзом Доу и, позднее, Эллиоттом, который выделил восемь различных волн.

Краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные экономические циклы и их фазы.

Измерение благосостояния страны. Богатые и бедные страны

Традиционно считается, что благосостояние страны зависит от уровня дохода на душу населения (в действительности — уровня ВВП на душу населения), уровня роста ВВП или положительного сальдо торгового баланса (разница между экспортом и импортом), баланса по текущим операциям (рассчитывается как сумма торгового баланса и баланса услуг, в числе которых учитываются транспорт, туризм, страхование и т. д.)

или баланса движения капитала (разница между его притоком и оттоком). Говоря о платежном балансе, следует учитывать, что в нем всегда наблюдается равновесие: положительный баланс по текущим операциям уравновешивается отрицательным балансом движения капитала, и наоборот.

С платежным балансом тесно связано понятие внешнего долга. Для развивающихся стран и стран с высоким уровнем бедности, в которых темпы роста населения превышают темпы роста ВВП и сельского хозяйства, обычно характерен высокий уровень внешнего долга. Особенно справедливо это для развивающихся стран с высоким экономическим потенциалом.

С другой стороны, стран с высоким уровнем доходов немного: в их число входят страны Европейского союза, Швейцария, Скандинавские страны и карликовые государства Европы, США и Канада, Япония, Австралия, Южная Корея, а также страны Персидского залива — экспортеры нефти.

Как видим, распределение богатств в мире крайне неравномерно. Так же неравномерно распределяется и богатство внутри стран. Для оценки распределения доходов в стране используется кривая Лоренца, в которой на одной оси координат откладывается процент доходов, на другой — процент населения. На вертикальной оси (оси ординат) откладывается процент накопленного дохода, на горизонтальной оси (оси абсцисс) — накопленный процент населения. Каждой точке кривой соответствует определенный процент доходов, который получает определенный процент населения. Если провести прямую из начала координат до точки, в которой 100 % получаемого дохода соответствует 100 % населения, то эта прямая, проведенная под углом 45° к осям координат, будет описывать абсолютно равномерное распределение доходов — во всех точках этой прямой определенному проценту населения будет соответствовать такой же процент доходов. Однако обычно кривая Лоренца лежит ниже этой линии полностью равномерного распределения доходов. Чем ближе кривая Лоренца к оси абсцисс, тем неравномернее распределяются доходы. Изображенная на графике кривая В описывает более равномерное распределение доходов, чем кривая А.

Кривая Лоренца.

* * *

МИРОВОЕ НЕРАВЕНСТВО В ЦИФРАХ

Экономическое неравенство в мире очень велико. Если мы разделим страны на группы согласно классификации по уровню доходов, утвержденной Всемирным банком (высокие доходы: больше или равны 9361 доллару на душу населения, средние: от 3031 до 9360 долларов, ниже среднего: от 761 до 3030 долларов, низкие: менее 761 доллара), то увидим, что 16 % населения Земли производят 76 % мирового ВВП, а 37 % населения Земли, имеющие низкий доход, производят всего 3 % мирового ВВП. Такое положение вещей демонстрирует и следующая таблица, в которой страны с низкими и средними доходами сгруппированы по регионам.

* * *

На основе кривой Лоренца итальянский математик Коррадо Джини определил коэффициент измерения экономического неравенства, носящий его имя. Кривая Лоренца определяет две области: область А, заключенную между линией равенства и кривой Лоренца, и область В, заключенную между кривой Лоренца и осью абсцисс. Коэффициент Джини определяется как отношение площади А к общей площади А + В:

Коэффициент Джини = Площадь между линией равенства и кривой Лоренца/Площадь треугольника под линией равенства

Кривая Лоренца и области А и В, используемые при расчете коэффициента Джини.

Коэффициент Джини = Площадь области А/Общая площадь областей А + В

Чем меньше площадь области А, тем более равномерно распределяются доходы.

Как следствие, когда ее площадь стремится к нулю, кривая Лоренца приближается к линии равенства, и значение коэффициента Джини также стремится к нулю. И напротив, чем больше площадь области А, тем ближе будет значение коэффициента Джини к 1. Этот коэффициент используется для оценки неравенства при распределении доходов не только внутри страны, но и между странами и регионами, а также для оценки равномерности распределения определенных социальных услуг или государственных расходов в стране или регионе.

Важным параметром, который следует учитывать при оценке развития страны, является уровень экономического развития. Что означает, когда одна страна более развита, чем другая? Какие переменные следует использовать для разделения стран на богатые и бедные? Уровень роста ВВП, конечно же, важен, однако в менее развитых странах обычно наблюдаются более высокие темпы роста, так как исходный уровень валового внутреннего продукта в этих странах ниже, и напротив, уровень роста ВВП в развитых странах сравнительно невысок.

Основной вопрос, которым задаются международные организации и подразделения ООН по борьбе с бедностью и экономической отсталостью, состоит в том, какие меры следует предпринять, чтобы недостаточно развитые (или, как их называют, развивающиеся страны) встали на путь экономического развития? Экономическое развитие ведь не ограничивается исключительно ростом ВВП. Оно включает также улучшение социальных условий, рост благосостояния и качества жизни населения, более равномерное распределение доходов и богатств не только между разными социальными группами, но и между регионами страны.

Необходимым условием экономического развития является первичное накопление капитала, обычно наблюдаемое в сельском хозяйстве. Накопленные излишки вкладываются в промышленность, и в итоге производительность экономики страны увеличивается. Рост экспорта ведет к накоплению капитала, который вкупе с привлеченными иностранными инвестициями направляется на развитие промышленности. Рост производительности ведет к повышению зарплат, а также к увеличению спроса и росту на внутреннем рынке. Бурный экономический рост подразумевает появление спроса на услуги все более высокого качества, и в конечном итоге третичный сектор экономики, или сфера услуг, обгоняет по объемам сферу производства и становится самым важным.

Экономисты стремятся определить, какие переменные на практике определяют экономический рост и экономическое развитие страны. Основными показателями являются валовой внутренний продукт (ВВП), накопленный капитал, инфраструктура транспорта и коммуникаций (так называемый социальный капитал), расходы на образование (человеческий капитал), рабочая сила, уровень сбережений, уровень доходов потребителей, уровень технологий, структура и объемы рынков и т. д.

Однако основной вопрос звучит так: каковы причины экономического роста государств? Многие связывают его с инвестированием, развитием технологий, инвестициями в образование и повышение квалификации рабочей силы, увеличением численности трудоспособного населения и т. д.

Чтобы упросить задачу, был составлен ряд уравнений, связывающих значения этих переменных. Правильность этих уравнений подтверждается статистическими методами эконометрики, например методами линейной регрессии и подбора аппроксимирующей кривой. Эконометрический метод заключается в следующем: экономическая модель описывается рядом уравнений, связывающих между собой объясняющие и зависимые переменные. Затем эти уравнения необходимо оценить и проверить их правильность, чтобы при подобранных значениях параметров (постоянных коэффициентов уравнений, значения которых определяются эмпирическими данными) с помощью этих уравнений можно было делать корректные прогнозы.

Примером простой экономической модели является модель спроса и предложения на конкурентном рынке. Пусть q_1 — величина спроса на продукт при цене р_1, q_2 — величина предложения этого же продукта по той же цене. И q_1, и q_2 задаются функциями f(р) и g(р) соответственно, аргументом которых является цена. Функция спроса записывается так: q_1 = f(р), функция предложения — так: q_2 = g(р). Функции — q_1 = f(р) и q_2 = g(р) можно записать так: q_1 = α + βp, q_2 = ω + ηр, где α, β, ω, η — параметры, значения которых рассчитываются на основе эмпирических данных. Должно выполняться следующее условие: величина предложения q_2 и величина спроса q1 на рассматриваемый продукт должны совпадать, так как в точке равновесия q_1 = q_2. Посредством регрессионного анализа множеств точек, соответствующих статистическим данным об изменениях величины спроса и предложения на рассматриваемый товар при колебаниях цен, можно определить значения параметров и сформулировать уравнения, которые можно будет использовать для прогнозирования величины спроса и предложения при изменении цены.

Индексы богатства, экономического развития и развития человеческого потенциала

Чтобы с точностью измерить уровень экономического развития страны, мало знать уровень роста ВВП и его величину на душу населения, особенно если учитывать огромные структурные различия и разницу в качестве жизни между богатыми и бедными странами. ООН были определены индексы, позволяющие более точно оценивать реальные различия в уровне развития стран.

Среди этих индексов выделяются индекс развития человеческого потенциала (ИРЧП) и индекс бедности (ИБ). Индекс развития человеческого потенциала — это составной индекс, оценивающий развитие страны по трем основным параметрам.

1. Долгая и здоровая жизнь (ожидаемая продолжительность жизни).

2. Доступ к знаниям, то есть уровень образованности (измеряется по общему числу людей, получивших начальное, среднее и высшее образование, а также по длительности обязательного обучения).

3. Достойный уровень жизни, измеряемый с помощью ВВП на душу населения и по паритету покупательной способности, выраженному в долларах США.

ООН определяет развитие человеческого потенциала как процесс, в ходе которого улучшаются условия жизни общества за счет увеличения объемов благ для удовлетворения базовых и дополнительных потребностей человека, а также формируется среда, в которой соблюдаются права человека. Человеческий потенциал — это величина, характеризующая возможности человека стать тем, кем он хочет, и заниматься тем, чем он хочет. Чем шире эти возможности, тем выше развитие человеческого потенциала. Уровень развития человеческого потенциала, который является основным индексом оценки стран и регионов, также можно определить как способ измерения качества жизни людей в окружающей их среде.

В докладе ООН, опубликованном в 2009 году, первое место по ИРЧП занимает Норвегия с показателем 0,971, последнее, 182 место, — Нигер с показателем 0,340. ООН делит все страны на три большие группы:

— страны с высоким индексом развития человеческого потенциала (ИРЧП >= 0,800): 83 страны;

- страны со средним индексом развития человеческого потенциала (0,500 <= ИРЧП <= 0,799): 75 стран;

— страны с низким индексом развития человеческого потенциала (ИРЧП <= 0,500): 24 страны.

К странам с высоким индексом развития человеческого потенциала относятся развитые страны Северной Америки, Западной Европы, Скандинавии, Швейцария, Япония и другие, в то время как практически все страны с низким индексом развития человеческого потенциала находятся в Африке южнее Сахары.

ИРЧП был создан как инструмент классификации стран на основе переменных, обычно не рассматриваемых в экономике. Они характеризуют другие сферы общественного развития и определяют качество жизни, в частности уровень образования (распространение грамотности, число людей, получивших начальное, среднее и высшее образование) и здоровья (уровень рождаемости, ожидаемая продолжительность жизни и прочее). Значение индекса рассчитывается как взвешенная сумма следующих индикаторов: ожидаемая продолжительность жизни при рождении, уровень грамотности взрослого населения (в возрасте 15 лет и старше), доля людей с начальным, средним и высшим образованием, а также ВВП на душу населения.

ООН предлагает и другие индексы: индекс бедности (IPH), в котором учитывается вероятность дожития до 40 лет, уровень грамотности, доля детей с весом меньше среднего для каждой возрастной группы и численность населения, живущего менее чем на 2 доллара в день. Разработаны индексы для оценки состояния окружающей среды (уровень выбросов СО_2) и других параметров (уровень использования первичной, возобновляемой и ядерной энергии, расходы на оборону, соблюдение прав человека, прав женщин и их интеграция в общество).

Для расчета ИРЧП нужно определить индекс каждой из переменных (ожидаемой продолжительности жизни, уровня образования и ВВП). Для этого определяются минимальные и максимальные значения каждого из этих показателей. Каждому показателю ставится в соответствие значение от 0 до 1 по следующей формуле:

Индекс компонента = (Реальное значение — Минимальное значение)/(Максимальное значение — Минимальное значение)

ИРЧП рассчитывается как среднее трех его основных компонентов. Граничные (минимальные и максимальные) значения, используемые для расчета ИРЧП, таковы: 85 и 25 лет для ожидаемой продолжительности жизни при рождении, 100 % и 0 % для образовательного компонента, 40000 и 100 долларов для ВВП на душу населения, выраженного в долларах США по паритету покупательной способности.

Заключение

Как вы увидели, при изучении экономического роста и развития используются уравнения и системы уравнений, функции, алгоритмы, графики, матричное исчисление и т. д. В этой книге мы изложили основные математические понятия, применяемые в экономическом анализе. На протяжении веков представители разных экономических школ часто использовали математический анализ при разработке и доказательстве своих теорий. Все шире применялся индуктивный метод, экономические теории требовали подкрепления в виде анализа собранных данных, а для этого необходимо было выполнять начальные расчеты, что, в свою очередь, было гораздо проще сделать с помощью статистических и математических методов анализа.

Дифференциальное исчисление и производные использовали представители школы маржинализма Леон Вальрас, Вильфредо Парето, Уильям Стенли Джевонс и Альфред Маршалл при создании теорий потребительского поведения и общего экономического равновесия. Системы уравнений нашли свое применение в определении экономических моделей, применяемых в эконометрике — дисциплине, возникшей на стыке экономического, математического и статистического анализа и использующей эти виды анализа для проверки корректности макроэкономических теорий.

Матричное исчисление Леонтьева легло в основу таблиц «затраты — выпуск», необходимых для изучения межотраслевых взаимодействий в экономике.

По сути, в течение последних ста лет математика все чаще использовалась в экономическом анализе — и нередко происходило это из-за того, что сами математики испытывали интерес к экономике. В развитие этой науки огромный вклад внесли многие великие математики — создатель макроэкономики Джон Мейнард Кейнс, вдохновивший других исследователей на создание эконометрических моделей, авторы теории игр Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн… Развитие экономики как науки сопровождается использованием все более сложных математических методов.

Именно поэтому хорошая математическая подготовка стала одним из обязательных условий обучения на экономических факультетах и в бизнес-школах.

Библиография

Амат О., La Bolsa. Funcionamiento у tecnicas para invertir, Barcelona, Deusto, 2000.

BARBANCHO A.G., Estadistica elemental moderna, Barcelona, Ariel Economia, 1990.

COLLETTE J.P., Histona de las matematicas, Madrid, Siglo XXI, 1993.

ELVIRA О. у Puig, X., Analisis tecnico bursatil, Barcelona, Gestion 2000, 2001.

FRISCH R., Las leyes tecnicas у economicas de la production, Barcelona, Sagitario, 1963.

HALM G.N., Economia del dinero у la banca, Barcelona, Bosch, 1963.

Ifrah G., Histona universal de las cifras, Madrid, Espasa Forum, 2001.

-, The Universal History of Computing, Hoboken, John Wiley & Sons Inc., 2001.

KRUGMAN P.R. у OBSTFELD, M., Economia international. Teona у politica, Madrid, Addison Wesley, 2000.

LoRING J., La gestion financiera, Barcelona, Deusto, 1997.

SaMUELSON P.A. у NoRDHAUS, W.D., Economia, Madrid, Me Graw Hill, 1996.

STIGLER S.M., The History of Statistics, Cambridge, Harvard University Press, 1989.

SuAREZ A., Decisiones optimas de inversion у financiacion de la empresa, Madrid, Piramide, 1987.

SYDSAETER К. у HAMMOND, P.J., Matematicas para el analisis economico, Madrid, Prentice Hall, 2002.

TURNER J.C., Matematica moderna aplicada, Madrid, Alianza Universidad, 1986.

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 19

Луис Арталь, Жузеп Салес

Ипотека и уравнения.

Математика в экономике

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия

Юридический адрес: Россия, 105066,

г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей по данному адресу не принимаются.

Генеральный директор: Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Выпускающий редактор: Людмила Виноградова

Финансовый директор: Наталия Василенко

Коммерческий директор: Александр Якутов

Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук

Менеджер по продукту: Яна Чухиль

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.cleagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:

8-800-200-02-01

Телефон горячей линии для читателей Москвы:

8-495-660-02-02

Адрес для писем читателей:

Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,

«Де Агостини», «Мир математики»

Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).

Распространение:

ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»

УКРАИНА

Издатель и учредитель:

ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина

Юридический адрес: 01032, Украина,

г. Киев, ул. Саксаганского, 119

Генеральный директор: Екатерина Клименко

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:

0-800-500-8-40

Адрес для писем читателей:

Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,

«Мир математики»

Украïна, 01033, м. Киïв, а/с «Де Агостiнi»

БЕЛАРУСЬ

Импортер и дистрибьютор в РБ:

ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,

ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,

тел./факс: (+375 17)331-94-41

Телефон «горячей линии» в РБ:

+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)

Адрес для писем читателей:

Республика Беларусь, 220040, г. Минск,

а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,

«Мир математики»

КАЗАХСТАН

Распространение:

ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»

Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:

Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2

35010 Trebaseleghe (PD) Italy

Подписано в печать: 09.04.2014

Дата поступления в продажу на территории

России: 27.05.2014

Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».

Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 4,5.

Уел. печ. л. 5,832.

Тираж: 90 000 экз.

© Lluis Artal, Josep Sales, 2010 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2011

© ООО «Де Агостини», 2014

ISBN 978-5-9774-0682-6

ISBN 978-5-9774-0714-4 (т. 19)

Примечания

1

В американской литературе для этого феномена чаще используется название «фиатные деньги», от лат. fiat — «да будет так».

Content

Луис Арталь, Жузеп Салес
«Мир математики»
№ 19
«Ипотека и уравнения
Математика в экономике»

Предисловие

Глава 1. История чисел в экономике

Глава 2. Деньги и инфляция

Глава 3. Банки и страхование. Кредиты и виды процентов

Глава 4. Производство и затраты на него. Рентабельность инвестиций

Глава 5. Как покупать по минимальной цене. Рынок

Глава 6. Математика на бирже

Глава 7. Экономический рост и развитие

Заключение

Библиография

Примечания