Эдуардо Арройо

«Мир математики»

№ 42

«Путешествие от частицы до Вселенной.

Математика газовой динамики»

Предисловие

Возьмите пустую бутылку и понаблюдайте за ней. На первый взгляд ничего интересного: сосуд остается неподвижным, а его невидимое содержимое — неизменным. И кажется, что тратить время на математическое описание содержимого бутылки — абсурд: движения нет, следовательно, и объяснения излишни.

Однако действительность оказывается намного сложнее. Содержимое бутылки — это бурлящий мир, полный молекул, которые мчатся с головокружительными скоростями, ударяясь о стенки сосуда с силой, достаточной для того, чтобы противостоять атмосферному давлению снаружи. Каждая из этих молекул движется в соответствии с законами, открытие которых состоялось благодаря работе великих математиков, таких как Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865) или Жозеф Луи Лагранж (1736–1813).

Законы, управляющие молекулами газа, — это мощные математические структуры. Они являются предметом изучения физики, но сфера их действия выходит далеко за пределы этой науки. Собственно, для физики это очень типично: каждая конкретная проблема влечет появление математического решения, которое затем уточняется и совершенствуется, пока не находит новые области применения. Иногда такое решение, пройдя долгий и сложный путь, вновь возвращается в сугубо физическую сферу. Поведение газа иллюстрирует многочисленные математические теории, принципиальные для понимания современного мира. Как видите, в неизменном содержимом пустой бутылки кроется невероятная сложность.

Знание законов, которым подчиняются молекулы газа, — важный, но недостаточный шаг для определения их поведения. Из-за громадного количества частиц любые прогнозы невозможны, и на первый план выходит случайность. Именно в этой сфере лежат истоки статистики и вероятности, которые Людвиг Больцман (1844–1906) использовал для объяснения поведения газа, основываясь на поведении его микроскопических составляющих. Труд Больцмана породил современное понятие энтропии, которое затем было уточнено и расширено, пока не легло в основу теории информации и не стало главным элементом в понимании Вселенной.

Несмотря на усилия Больцмана, до середины прошлого века научное сообщество не могло объяснить такие системы, как земная атмосфера, характеризующаяся постоянным притоком энергии. Новые математические инструменты привели к понятию диссипативной системы и к серии неожиданных прогнозов, в которых живые творения оказываются гораздо ближе к инертным веществам, чем казалось вначале. Такие математические курьезы, как игра жизни, показали, что сложность присуща не только биологическим процессам, но может проявляться в результате работы ограниченного количества простых правил.

Итак, изучение газа открывает окно в другой мир: внутри пустой бутылки находится карта нашей Вселенной.

Глава 1

Ленивая частица

Когда Исааку Ньютону (1642–1727) удалось объяснить небесную и земную механику одним-единственным уравнением, это стало толчком для существенных подвижек в понимании природы. Внезапно оказалось, что яблоки падают не потому, что имеют естественную тенденцию двигаться вниз, а потому, что на них воздействует та же сила, что и на другие тела во Вселенной. Введение внешней по отношению к этим телам силы исключало необходимость говорить о какой-то предрасположенности: деревянные бруски, движимые внешней силой, останавливались после прекращения ее действия не потому что покой — это естественное состояние бруска, а из-за силы трения. Теперь физические объекты могли считаться субъектами, не наделенными волей, а всю Вселенную можно было представить как шестеренку отлаженного механизма.

Восприятие Вселенной как механизма появилось в XVIII веке, и его отголоски живы до сих пор, хотя и с некоторыми изменениями. Понимание того, что все природные явления можно объяснить с помощью математических законов, стимулировало научный прогресс после Ньютона. Сферы, которые столетиями были предметом философского анализа, одна за другой склонялись перед научным методом.

Введенные Ньютоном инструменты использовались для объяснения таких явлений, как электричество, магнетизм или тепло, и результатом было рождение ряда новых физических дисциплин, к примеру электромагнетизма или термодинамики.

Однако до удовлетворительного описания газовой динамики методами механики оставалось еще два века: физическое сообщество отказывалось принять идею существования атомов, а в тех редких случаях, когда подобное предположение принималось, это преследовало скорее математические цели, не имевшие никакого отношения к реальной действительности. К тому же математический аппарат того времени не был предназначен для решения таких сложных задач. Даже если принять существование атомов и молекул, уравнения, описывавшие их движения, оказались слишком сложными. Некоторые их решения были найдены лишь через 200 лет, но в целом проблема так и осталась нерешенной.

Как описать частицу

Законы, сформулированные Ньютоном, опирались на очень сильный математический аппарат. Например, в его втором законе утверждалось, что сила, примененная к частице, пропорциональна характерному для нее ускорению, при этом константой пропорции является масса. Выражаясь математически,

F = m·а,

где F обозначает силу, m — массу, а — ускорение.

Применение этой формулы выходит далеко за пределы вычисления ускорения частицы, ведь на самом деле второй закон Ньютона является так называемым дифференциальным уравнением, то есть уравнением, приравнивающим функции. В качестве пояснения рассмотрим обычное уравнение, например

х + 3 = 5.

В этом уравнении говорится, что х — это число, при добавлении к которому числа три получится пять. Таким образом, х равен двум.

В дифференциальном же уравнении неизвестное — это не число, а функция. Функцию можно понимать как механизм, который заданное число превращает в другое число. Например, функция х^2 дает нам квадрат любого числа, которое мы подставим вместо х: для двух — четыре; для трех — девять.

В дифференциальном уравнении необходимо найти функцию, которая удовлетворяла бы некоторым условиям. Любой физический закон можно выразить как систему дифференциальных уравнений, в которых показано, как некоторые физические величины изменяются с течением времени.

В уравнении второго закона Ньютона говорится, как найти ускорение тела. Однако узнав ускорение, мы можем получить гораздо больше информации. Ускорение — это изменение скорости за единицу времени, так что если мы знаем ускорение, то мы знаем и скорость. Далее, скорость говорит нам, как сильно меняется положение тела за некоторый промежуток времени, так что если мы знаем скорость, мы можем определить положение.

Таким образом, если мы решим уравнение второго закона Ньютона, то можем выяснить, в какой точке находится и с какой скоростью движется тело в каждый момент времени. И эти огромные возможности скрыты в короткой формуле.

* * *

РЕШАЯ УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА

Уравнения Ньютона относительно просто решить при постоянном ускорении тела. Представим себе монету, падающую с Эйфелевой башни, высота которой составляет около 300 м. Мы знаем, что ее ускорение равно ускорению свободного падения, то есть 9,81 м/с^2 (для упрощения расчетов округлим до 10 м/с^2). Это означает, что монета каждую секунду движется на 10 м/с быстрее. Исходя из этой информации, мы можем вычислить, какова ее скорость в любой момент. Если исходное состояние — покой, то через секунду ее скорость будет 10 м/с; через две — 20 м/с; через десять — 100 м/с.

Узнав скорость, мы можем вычислить расстояние, которое монета прошла за время своего падения. Например, мы можем определить путь, пройденный за первые две секунды. Поскольку исходная скорость монеты равна нулю (монета не двигалась), а конечная — 20 м/с, монета перемещалась со средней скоростью 10 м/с. И поскольку она падала в течение двух секунд, пройденное расстояние равно 20 м. Выполняя одну и ту же операцию для различных временных интервалов, мы можем выразить высоту относительно времени в таблице.

Также мы можем построить график, в котором видно положение монеты в каждый момент времени.

* * *

Преодолевая законы Ньютона

Несмотря на всю свою важность, законы Ньютона оказались малоприменимы к некоторым типам задач. Но чтобы понять причину этого, нам нужно обратиться к такому понятию, как координаты.

Большинству людей знаком, как минимум, один тип координат: долгота и широта. Зная эти числа, мы можем ориентироваться по карте. Координаты частицы — это группа чисел, позволяющих определить ее положение. Наиболее распространена прямоугольная система координат х и у (названа так Декартом, который эту систему и ввел).

Как видите, если известна координата х (горизонтальное положение) и у (вертикальное положение), можно определить положение частицы на рисунке. Если бы мы говорили о частице в трех измерениях, нам потребовалось бы еще одно число для выражения глубины, или координата z. Если предположить, что газ находится в закрытой коробке, то для уточнения его состояния нужно знать положение каждой его частицы, то есть все три ее координаты. Если учесть, что число частиц в коробке, наполненной воздухом, около 10^23, то есть двадцать три нуля после единицы, несложно догадаться, что сделать нечто подобное является слишком сложной задачей.

Координаты х и у подходят для того, чтобы представить, например, машину, движущуюся по прямой. В этом случае, если выбрать у в качестве высоты, видно, что вертикальное положение машины всегда одно и то же, а горизонтальное с течением времени меняется. Описывать движение машины в прямоугольной системе координат просто: пройденное расстояние — это скорость, умноженная на время. Итак, если мы едем со скоростью 100 километров в час в течение трех часов, то проедем 300 километров.

Однако прямоугольная система координат не подходит для описания кругового движения (см. рисунок).

Если сосредоточиться на горизонтальном положении частицы, можно увидеть, что она движется справа налево и слева направо зигзагом. То же происходит и с вертикальным положением: если смотреть на частицу сбоку, кажется, что она движется сверху вниз, как показано на графике.

Такое простое движение, как круговое, имеет очень сложное выражение в прямоугольной системе координат.

В этом случае для указания положения на плоскости используются полярные координаты. С их помощью можно показать расстояние до центра и угол относительно горизонтальной оси, как показано на рисунке.

Координата r постоянна, так как расстояние до центра никогда не меняется; координата Θ увеличивается с течением времени, по мере вращения частицы. Как видите, смена системы координат значительно облегчает нашу задачу.

Физики вскоре поняли, что для решения сложных задач законам Ньютона недостает гибкости. Нужно было найти новую формулировку этих законов, которая подходила бы для любой системы координат и для любого числа частиц. Жозефу Луи Лагранжу и Уильяму Роуэну Гамильтону удалось переформулировать законы классической механики и привести их к современному виду. Результаты их работы используются для описания самых современных теорий в физике частиц, начиная с квантовой механики и кончая теорией струн.

Принцип наименьшего действия

Гамильтон потратил на переформулирование законов Ньютона довольно много времени. Важным шагом при этом было использование понятия энергии, не включенного в уравнения Ньютона.

Первым предложил нечто похожее на идею энергии Готфрид Лейбниц (1646–1716), который оспаривал с Ньютоном первенство изобретения анализа бесконечно малых — математического инструмента, позволявшего работать с бесконечно малыми числами. Лейбниц обнаружил, что при описании некоторых типов движения используется математическая величина, которая остается постоянной, vis viva, или живая сила. Ученый открыл, что эта сила пропорциональна массе и квадрату скорости. Лейбниц доказал, что для некоторого типа столкновений частиц общая живая сила остается постоянной.

С течением времени понятие живой силы трансформировалось в понятие энергии. Сегодня при описании движения тела говорят о его кинетической энергии. Выражение кинетической энергии практически идентично выражению живой силы: ее значение равно половине последней. Если мы обозначим через Т кинетическую энергию, через m — массу и через v — скорость, кинетическая энергия частицы равна:

T = m·v^2/2

Кинетическая энергия остается постоянной при столкновениях тел, например бильярдных шаров. Однако на практике часть этой энергии всегда теряется, преобразуясь в молекулярные движения, невидимые глазу. При этом столкновения атомов, или элементарных частиц, абсолютно эластичны: вся кинетическая энергия при столкновениях сохраняется. Поэтому можно говорить о внутренней энергии газа как о сумме энергий всех частиц: хотя атомы постоянно сталкиваются, их общая энергия остается неизменной.

Идея кинетической энергии, или живой силы, привела к формулировке принципа наименьшего действия, предложенной Пьером Луи Моро де Мопертюи (1698–1759), который утверждал, что все изменения в природе совершаются наименьшим возможным количеством действия. Мопертюи при этом искал вдохновение в области оптики: еще в Древней Греции заметили, что луч света идет по кратчайшему пути между двумя точками. Ученый говорил: «Природа в своих действиях всегда пользуется наиболее простыми средствами».

Однако вскоре было установлено, что для описания движения частицы недостаточно кинетической энергии. Если подбросить тело в воздух, его начальная кинетическая энергия будет высока, но вскоре тело останавливается и начинает падать вниз. Куда девается его кинетическая энергия? Очевидно, что она никуда не исчезает, поскольку, падая, тело ускоряется, возвращая исходную кинетическую энергию. Должно быть, эта энергия хранится в теле в каком-то виде, из которого может снова возникнуть.

Решение задачи было связано с открытием понятия потенциальной энергии, то есть потенциала тела для получения кинетической энергии. Например, камень, расположенный на крыше небоскреба, обладает большим количеством потенциальной энергии: если его уронить, его кинетическая энергия в момент достижения земли будет огромной. Итак, потенциальная энергия камня определяется как кинетическая энергия, которой он обладал бы, если бы его уронили с высоты небоскреба. Обычно потенциальная энергия обозначается буквой V.

Тело на высоте небоскреба имеет гравитационную потенциальную энергию, поскольку именно гравитация обеспечивает ускорение тела при падении. Однако существует большое количество потенциальных энергий, каждая из них — со своим математическим выражением. Например, потенциальная энергия пружины проявляется после того, как сжатая пружина освобождается. Имеют потенциальную энергию и электрические заряды: два положительных заряда на близком расстоянии отталкиваются, высвобождая кинетическую энергию. Все виды потенциальной энергии трансформируются в кинетическую.

Потенциальная энергия особенно важна, когда речь идет о газах. При низкой плотности и высокой температуре газа его молекулы находятся на очень большом расстоянии друг от друга и движутся очень быстро, поэтому потенциальная энергия каждой из них, показывающая степень взаимодействия молекул, очень мала.

Однако если газ остынет, взаимодействие между молекулами станет значительным, то есть потенциальная энергия каждой молекулы возрастает и сравнится с кинетической. Чтобы реализовать это понимание, для изучения газовой динамики потребовались новые математические инструменты.

* * *

ЭНЕРГИЯ И РАБОТА

Современное понятие энергии определяется в зависимости от другой физической величины — работы. Физическая «работа» отличается от повседневной «работы», но оба понятия связаны между собой. Предположим, мы хотим измерить, сколько работы совершает человек за минуту. Поскольку мы говорим о физике, ограничимся физической работой, например передвижением объекта из одной точки в другую.

Сравним работу, которую выполняют два человека, задача которых — отнести коробки на склад. Очевидно, что чем больше вес коробки, тем больше работы совершил человек; то есть работа пропорциональна приложенной силе. Кроме того, чем больше расстояние, на которое переносится коробка, тем больше работа. Таким образом, работа пропорциональна расстоянию. На основании этих идей мы можем определить физическую работу как произведение силы на расстояние:

W = Fd,

где W — «работа» (от английского work), F — сила и d — расстояние.

Энергию можно определить как работу, проделанную телом при отсутствии трения. Например, вся работа, необходимая для перемещения коробки по ледовому катку (если предположить, что трение отсутствует), превращается в кинетическую энергию. Работа, необходимая для того, чтобы поднять коробку на крышу небоскреба, равна ее потенциальной энергии. Значит, энергия — это способность тела осуществлять работу. Эта простая формулировка дает нам инструмент для определения потенциальной энергии тела в любой ситуации: потенциальная энергия — это работа, необходимая для перемещения из одной точки в другую. Именно так математически выглядит выражение для расчета электрической и гравитационной потенциальной энергии.

* * *

Кажется, что любое тело движется так, будто хочет уменьшить свою потенциальную энергию. Например, камни всегда падают, а не движутся вверх. Более того: камень движется в область меньшей энергии по определенному пути, который позволяет ему потерять потенциальную энергию максимально быстро. Как показано на рисунке, камень будет следовать по прямой линии вниз: это самый короткий путь к нижней точке, в которой у него минимальная потенциальная энергия.

Различные пути, по которым камень мог бы достигнуть земли. Все они длиннее, чем его настоящий путь — самый короткий.

Великий математик Леонард Эйлер (1707–1783) использовал этот факт для формулировки новой версии принципа наименьшего действия; он предложил считать, что тела стремятся потерять потенциальную энергию с максимально возможной скоростью. Принцип Эйлера привел к современной идее о том, что система частиц всегда стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией. Этот простой тезис способен объяснить магнетизм железа, структуру молекулы воды, а также помочь в изучении поведения газа при низких температурах.

Однако принцип Эйлера в своем первоначальном виде работал не везде. Если подбросить камень, он сначала получит потенциальную энергию, а лишь затем начнет ее терять. Кажется, что при определении траектории частицы на нее воздействует не только потенциальная энергия, но и кинетическая.

Окончательная формулировка принципа наименьшего действия принадлежит Лагранжу и Гамильтону. С одной стороны, эти ученые переформулировали принцип Эйлера таким образом, чтобы он работал во всех случаях. С другой стороны, Лагранж и Гамильтон разработали новые математические методы для решения уравнений, которые следуют из этого принципа.

Ими было введено математическое понятие, названное лагранжианом, которому, по иронии судьбы, определение дал Гамильтон. Лагранжиан — это просто разница между кинетической и потенциальной энергией. Если мы обозначим лагранжиан через L, кинетическую энергию — через Т, а потенциальную — через V, то лагранжиан можно вычислить следующим образом:

L = T — V.

Значение лагранжиана различно для каждого промежутка времени движения частицы. В случае с камнем, брошенным вверх, его кинетическая энергия сначала уменьшается, пока не достигнет верхней точки, где становится нулевой, а затем снова увеличивается по мере того, как камень падает. Потенциальная энергия, в свою очередь, увеличивается, пока камень поднимается, а во время падения уменьшается.

* * *

ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ (1736–1813)

Он был одним из самых значительных математиков XVIII века. Среди заслуг Лагранжа — разработка вариационного исчисления, математического инструмента, позволяющего найти функцию, на которой заданный функционал достигает максимального или минимального значения. Методы Лагранжа до сих пор широко используются в физике, математике и даже в экономике, где найти максимальные значения некоторых величин, таких как выгода, очень важно. Помимо вклада в базовую науку, Лагранж стал одним из инициаторов внедрения метрической системы. Считается, что именно ему принадлежит идея выбрать килограмм и метр в качестве международных единиц.

Несмотря на закрытый характер, Лагранж пользовался большим признанием: он провел два десятилетия в Берлине, где Фридрих II Великий (1712–1786) регулярно обращался к нему за советами. После смерти монарха математик переехал в Париж, и его авторитет сохранился даже в период революции, в то время как другим ученым, таким как Антуан Лавуазье (1743–1794), повезло гораздо меньше. За два дня до смерти Лагранжа Наполеон наградил его Великим крестом имперского ордена Собрания. Похоронен ученый в Пантеоне, его могила открыта для посещений.

* * *

Лагранжиан можно вычислить в каждый промежуток времени, вычтя потенциальную энергию из кинетической. Все три случая показаны на графиках.

Этот математический объект оказался ключевым элементом, которого не хватало для дополнения принципа наименьшего действия, потому что его можно было использовать, имея в виду как кинетическую, так и потенциальную энергию. В новой формулировке утверждалось, что любое тело движется таким образом, что лагранжиан уменьшается как можно быстрее. За этой внешней простотой кроется удивительная способность прогнозировать движение любой классической системы, то есть любой системы, для описания которой нет необходимости прибегать к законам квантовой механики.

Кроме того, формула Лагранжа имеет еще два преимущества: во-первых, она подходит для любой системы координат, и это решило проблему уравнений Ньютона, применимых только для прямоугольной системы координат; во-вторых, эту формулу совершенно свободно можно применить к произвольному числу частиц.

Новая математика открыла для физиков новые возможности, поскольку теперь ученые уже не были ограничены изучением только простых систем, но могли обратить внимание на до сих пор не решенные задачи. Хотя формулировка Лагранжа соответствует законам Ньютона, на практике она позволяет максимально расширить действие этих законов. Изучение таких сложных систем, как газ, было бы невозможным без лагранжевой механики.

И все же, несмотря на всю свою важность, лагранжиан — это только инструмент, позволяющий узнать положение и скорость частицы. Следуя принципу наименьшего действия, траектория тела должна быть такой, чтобы лагранжиан уменьшался как можно быстрее. Но как найти эту траекторию? Одним из способов могло бы стать сравнение нескольких траекторий и выбор той, при которой лагранжиан уменьшается быстрее. К сожалению, количество существующих возможностей очень велико, и до изобретения компьютера не стоило и думать об этом методе. Для решения задачи Лагранжу пришлось воспользоваться вариационным исчислением — совершенно новым математическим инструментом.

Совместная работа Лагранжа и Эйлера привела ученых к открытию уравнений, известных сегодня как уравнения Эйлера — Лагранжа. Они сводят проблему нахождения наименьшего действия к решению системы дифференциальных уравнений, в которых неизвестное — это функция. Решение таких уравнений в XVIII веке было хорошо развито.

Можно представить метод Лагранжа следующим образом: берется некая траектория и слегка изменяется; затем исследуются похожие траектории и вычисляется, как уменьшается лагранжиан для всех них до тех пор, пока не находится подходящая траектория. На следующем графике можно наблюдать различные траектории частицы.

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Принцип наименьшего действия гласит, что тела движутся таким образом, что лагранжиан уменьшается как можно быстрее. Однако существует и более точная формулировка, основанная на такой величине, как действие.

Предположим, что мы знаем, как развивается лагранжиан частицы во времени. Сначала представим это развитие графически.

Действие определяется как область под кривой лагранжиана между исходным моментом (t) и конечным моментом (t_1) движения за определенное время. То есть действие — это закрашенная на рисунке область.

Принцип наименьшего действия можно изложить следующим образом: тело движется так, что действие, связанное с его движением, минимально.

Вычисление площади под кривой может потребовать использования анализа бесконечно малых — области математики, разработанной независимо друг от друга Ньютоном и Лейбницем именно для решения физических задач.

* * *

Лагранж действительно воспользовался этой идеей для того, чтобы найти общую форму, которая позволила бы ему определить траекторию, не останавливаясь на вычислении уменьшения лагранжиана.

Теоретически уравнения Эйлера — Лагранжа могли бы использоваться для определения траектории каждой частицы газа, поскольку, как уже было сказано, их легко можно расширить на произвольное число частиц. Однако на практике из-за огромного количества частиц решить эти уравнения невозможно без помощи мощного компьютера.

Импульсы и положения

Одно из основных преимуществ лагранжевой механики состоит в том, что она была определена в терминах обобщенных координат. В отличие от законов Ньютона, она не предполагала использование прямоугольной системы координат, а была справедлива для любых других систем, подходящих для изучения проблемы. Обобщенные координаты необязательно должны быть выражены единицами измерения длины; как мы видели раньше, одна из них может быть углом. Главное требование к таким координатам — они должны быть достаточными для того, чтобы определить положение частицы в некоторой области пространства.

Чтобы отличить обобщенные координаты от прямоугольной системы координат, оси которых названы х, у, z, используется буква q с индексами — q_1, q_2  или q_3. Это очень удобно, когда рассматриваются системы с несколькими частицами, как в случае с газом.

В предыдущем примере с полярными координатами, где положение на плоскости задано расстоянием до центра и углом, можно определить:

q_1 = r

q_2 = Θ

Другой пример — сферические координаты.

В этом случае для определения положения в пространстве нужны три числа: расстояние до центра и два угла, как показано на рисунке. В этом случае получаются следующие обобщенные координаты:

q_1 = r

q_2 = Θ

q_3 = ф

Существует неограниченное количество вариантов, каждый из которых подходит для разных задач. Преимущество формулировки Лагранжа заключается в том, что координаты подстраиваются к задаче, а не наоборот.

Числовое значение лагранжиана определяется не только положением частицы, но и ее скоростью, квадрату которой пропорциональна кинетическая энергия. Скорость частицы определяется как изменение положения за единицу времени: если известно положение тела в каждый момент, известна и его скорость.

Зависимость лагранжиана от положения тела и, в свою очередь, от его изменения, усложняла решение уравнений. Если бы лагранжиан зависел только от положения, проводить вычисления было бы намного легче.

Уильям Роуэн Гамильтон предложил решение этой проблемы. Его идея заключалась в том, чтобы переформулировать уравнения Эйлера — Лагранжа таким образом, чтобы они зависели только от положения тела, но не от его скорости. Для этого оказалось необходимым понятие импульса.

Импульс — это мера того, насколько сложно остановить тело. Чем тяжелее тело и чем быстрее оно движется, тем больше усилий необходимо, чтобы его затормозить. Поскольку импульс растет как вместе с массой, так и вместе со скоростью, он определяется как произведение обеих величин. Импульс обозначается буквой р и математически выражается как:

р = m·v,

где m — масса, а v — скорость.

Понятие импульса было известно с древности, хотя современную трактовку он получил от Ньютона, который говорил, что импульс представляет собой количество движения. На основании законов Ньютона можно доказать, что для системы, на которую не воздействуют внешние силы, количество движения остается постоянным. Если мы сложим импульсы каждой частицы в разные моменты времени и сравним результаты, то увидим, что суммы импульсов равны.

Разговор об этом понятии тесно связан с третьим законом Ньютона, в котором утверждается, что любому действию соответствует равное ему противодействие. Более точная формулировка звучит так: когда тело А оказывает некоторую силу на тело В, последнее оказывает на тело А такую же силу в противоположном направлении.

Представим себе человека, опирающегося о стену. В это время человек оказывает на нее силу F. Стена, в свою очередь, воздействует на человека аналогичным образом, но в противоположном направлении, благодаря этому мы и не можем проходить сквозь стены. Точно так же Земля воздействует на нас с силой, равной той, с которой мы воздействуем на Землю, и благодаря этому мы не проваливаемся к центру планеты. Что произошло бы, если бы мы воздействовали на Землю с силой больше нашего веса? В этом случае Земля ответила бы такой же силой, и мы бы отлетели бы от ее поверхности, то есть совершили прыжок.

Используя закон действия и противодействия, можно доказать, что импульс системы частиц должен оставаться постоянным. Возьмем предыдущий пример с прыжком: с одной стороны, человек толкает Землю вниз, в то время как Земля толкает человека вверх. Сила, примененная к человеку, вызывает изменение его скорости, согласно второму закону Ньютона, в котором говорится, что сила пропорциональна ускорению. Точно так же сила, примененная к Земле, влечет изменение ее скорости. Естественно, изменение скорости человека намного больше: масса человека по сравнению с массой Земли очень незначительна. Хотя изменение скорости Земли незаметно ввиду огромной массы планеты, однако изменение ее импульса равно изменению импульса человека, но в противоположном направлении. Итак, оба изменения импульса взаимно сокращаются, и общий импульс остается постоянным.

* * *

УИЛЬЯМ РОУЭН ГАМИЛЬТОН (1805–1865)

Гамильтон был ирландским физиком и математиком. Его главный вклад в физику состоял в том, что он вывел уравнения движения для тела в классической механике в их современном виде. Гамильтон изобрел кватернионы — систему представления комплексных чисел в четырех измерениях. Кватернионы подходят для описания любого типа вращений и широко использовались в физике, пока не были заменены векторным исчислением.

Гамильтон с детства проявил удивительные лингвистические способности, и уже к подростковому возрасту говорил на 12 языках. Однако потом эта его страсть уступила место все возрастающему интересу к математике, вызванному чтением великих трудов, таких как «Начала» Ньютона и «Небесная механика» Лапласа. Гамильтону удалось не только найти новые формулировки для законов Ньютона, но и построить параллели между механикой и оптикой, а затем перейти к разработке серии уравнений, применимых к обеим этим дисциплинам. Работы ученого использовал австрийский физик Эрвин Шрёдингер (1887–1961) для получения своего знаменитого уравнения, определяющего квантовую механику и использующего идею корпускулярно-волнового дуализма (вспомним, что механика работает с частицами, а оптика — с волнами).

* * *

Газ — это система частиц, на которую не воздействуют внешние силы. Это означает, что количество движения его частиц должно оставаться неизменным. Что удивительно, так это возможность сделать подобный прогноз, абсолютно ничего не зная о свойствах молекул, из которых состоит газ. Это делает возможными определенные вычисления, связанные с законами сохранения импульса или энергии. Эти законы являются фундаментальными для прогнозирования поведения какой-либо сложной системы.

Гамильтон решил «заново выразить» уравнения Лагранжа в терминах положений и импульсов вместо положений и скоростей. Таким образом он намеревался упростить математические методы, необходимые для определения траектории изучаемой частицы. Поскольку положения частиц выражались в обобщенных координатах, Гамильтон вынужден был дать импульсу другое определение, адаптированное для этих координат. Он назвал эти новые импульсы обобщенными импульсами и определил их таким образом, чтобы они совпадали с импульсами Ньютона в случае, когда обобщенные координаты совпадают с координатами в прямоугольной системе.

Гамильтон пытался уравнять импульсы и положения, предположив, что импульс — просто координата. Сделав это, он столкнулся с тем, что количество уравнений, требовавших решения, увеличилось, но сами уравнения при этом стали проще.

Поясним, как скорости заменяются импульсами. Возьмем частицу, брошенную в воздух на определенной скорости. Ее кинетическая энергия определяется следующим образом:

T = m·v^2/2

Теперь заменим скорости импульсами. Мы знаем, что импульс — это произведение массы на скорость:

p = m·v.

Сократив скорость, получаем:

v = p/m

Теперь, если в формуле кинетической энергии заменить скорость (v) на полученный результат, имеем:

Это выражение включает не скорость, а импульс частицы. Выражение лагранжиана теперь включает в себя только положение и импульс, но в нем при этом удвоилось число неизвестных: теперь нужно найти как положение, так и импульс частицы в каждый момент времени. Но несмотря на такое усложнение, это все же проще, чем решать уравнения Эйлера — Лагранжа.

Уравнения Гамильтона

Следующим шагом для Гамильтона был поиск системы уравнений, которые позволили бы описать изменение во времени импульса и положения частицы, если даны их кинетическая и потенциальная энергии. Для решения задачи Гамильтон пошел дальше уравнений Эйлера — Лагранжа и нашел собственную формулировку классической механики.

Ключевым шагом было введение новой величины, названной в честь ученого гамильтонианом. Гамильтониан частицы совпадает с суммарной энергией, это сумма кинетической и потенциальной энергий. То есть:

H = T + V.

Здесь нужно сделать важное замечание: хотя представленное выше уравнение обычно верно, в некоторых случаях необходимо получать гамильтониан другими способами. Например, это происходит при изменении энергии или когда изучаемая система ускоряется. Однако в подавляющем большинстве физических систем суммарная энергия остается неизменной, поэтому обычно используется именно это уравнение.

Необходимо помнить, что кинетическая и потенциальная энергия зависит от импульсов и положений, которые, в свою очередь, являются временными функциями.

Найдем, как зависят положение и импульс от времени. Другими словами, мы хотим узнать, куда и с какой скоростью движется изучаемое тело. Используя уравнения Эйлера — Лагранжа, Гамильтону удалось изменить их так, чтобы найти новые равенства, зависящие только от гамильтониана. Открытые ученым уравнения могут быть выражены следующим образом:

— изменение положения во времени равно изменению гамильтониана за единицу импульса;

— изменение импульса во времени противоположно изменению гамильтониана в пространстве.

Ниже приведено их математическое выражение, в котором символы d и , несмотря на то что их значения немного различаются (не станем углубляться в эти различия), могут читаться как «изменение»:

Говоря об уравнениях Гамильтона, следует отметить некоторые моменты. Во-первых, как и можно было ожидать, мы видим два уравнения вместо одного, поскольку теперь мы должны вычислить изменение как положения, так и импульса.

Во-вторых, уравнения не зависят от скорости, а только от импульса, положения и гамильтониана, как этого и хотел Гамильтон. Наконец, оба уравнения симметричны, кроме знака. Это совпадение кажется почти волшебным: как может быть, что положение и импульс, абсолютно разные величины, ведут себя так похоже? Это совпадение не давало покоя нескольким поколениям физиков, особенно после того, как было открыто, что подобное отношение — фундаментальная часть квантовой механики. В теории струн дуализм импульса и положения привел к еще более важному утверждению: можно математически описать вселенные, где импульс ведет себя так, как будто является положением, в то время как положение играет роль импульса, что было названо Т-дуализмом.

Применение уравнений Гамильтона

Применение уравнений Гамильтона открывает широкие возможности, благодаря чему сегодня эти уравнения используются не только в классической механике, для которой они были разработаны. Если законы Ньютона в релятивистской системе, где скорость частиц приближается к скорости света, перестают действовать, то уравнения Гамильтона продолжают давать верные результаты: надо лишь заново определить значения кинетической и потенциальной энергии. Уравнения Гамильтона можно считать основой супертеории в том смысле, что они охватывают частную физическую теорию и применяются для тел в электрических или гравитационных полях. Эти уравнения могут быть применены к любой еще не открытой силе при одном условии: необходимо вычислить связанную с ней потенциальную энергию.

Квантовая механика — это физическая теория, которая рассматривает процессы в микромире. В отличие от релятивистской механики, здесь уравнения Гамильтона перестают работать, поскольку все изменения положений и импульсов в микромире в некотором роде случайны. И все же гамильтониан в этой теории становится еще более важным, поскольку определяет изменение любой квантовой системы во времени. Особое отношение между положением и импульсом является ключевым для такого понятия, как принцип неопределенности, который гласит, что невозможно одновременно точно измерить и импульс, и положение частицы.

Математический аппарат, предложенный Гамильтоном почти 200 лет назад, работает и сегодня. Потенциал уравнений Гамильтона очень высок, и они используются в дисциплинах, мало связанных с физикой. Так, Давид Касс (1937–2008), профессор экономики Пенсильванского университета, использовал эти уравнения для создания модели экономического роста. Он сопоставил значения импульсов, положений и некоторых экономических переменных, таких как экономический поток или цены, чтобы с помощью гамильтониана создать модель валового внутреннего продукта государства. Конечной целью Касса была возможность прогнозировать и даже направлять экономическое развитие. Ученые продолжают адаптировать уравнения Гамильтона для многих других отраслей.

До сих пор мы приводили только примеры применения уравнений Гамильтона к одной частице, но благодаря гибкой формулировке этот инструмент позволяет работать с неограниченным их числом. Анализ систем из нескольких частиц — это первый шаг к пониманию газовой динамики.

Глава 2

Размышляя об N-ном количестве измерений

Наиболее простые проблемы физики связаны с рассмотрением объекта, движущегося под воздействием некой силы. Однако наблюдать такую ситуацию в реальном мире мы не можем: Вселенная — это совокупность огромного количества частиц, которые взаимодействуют друг с другом различным образом, и газ — идеальный пример такого взаимодействия. Вообразить движение всех этих частиц относительно просто, но как выразить это математически? Для ответа на вопрос физикам и математикам пришлось дать новое определение понятию пространство и превратить его в математический объект. Ученые разработали модели различных типов пространств, которые очень отличаются от нашего: в этих моделях кратчайшая линия, соединяющая две точки, не является прямой или в них существует больше направлений, чем вверх и вниз, направо и налево, вперед и назад. Применение таких моделей вышло далеко за границы изучения газов: они подходят как для описания пространства-времени, так и для анализа работы биржи.

Что такое измерение

Обычно говорят, что пространство, в котором мы живем, имеет три измерения, то есть объекты в нем обладают некоторой глубиной, хотя в математической модели этот тезис формулируется намного точнее.

Понятие измерения связано с понятием координаты. Вспомним, что координаты — это группа чисел, которые позволяют определить положение тела. Долгота и широта, например, показывают нам, как найти объект на поверхности Земли.

С математической точки зрения число измерений — это количество координат, необходимое для определения положения тела.

Самый простой случай — это прямая, которую математики обычно называют числовой прямой, поскольку она образована из действительных чисел, то есть всех целых чисел, таких как 1, 2, 3 или —5; дробей, таких как 3/4, и иррациональных чисел, таких как квадратный корень из двух или число π.

* * *

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

В античности считали, что любое число можно выразить в виде частного; то есть что для любого числа а должны быть два таких натуральных числа р и q, что:

a = p/q

Однако пифагореец Гиппас из Метапонта открыл, что это не так. Например, квадратный корень из двух нельзя выразить в виде частного двух натуральных чисел. Пифагорейцы назвали такие числа иррациональными и, как гласит легенда, даже пытались скрыть от мира само их существование, отправив Гиппаса в изгнание.

Сегодня иррациональные числа вполне привычны, узнать их можно по десятичной записи: в ней такие числа имеют бесконечное число знаков после запятой с непериодичной последовательностью.

Рациональные и иррациональные числа называют действительными и связывают их с положением точки в ее измерении.

* * *

Представим, что числовая прямая — это бесконечно длинная проволока, по которой ползет муравей. Если мы возьмем любую точку и обозначим ее как 0, мы сможем определить положение муравья, сказав, за сколько метров от нее он находится. Ноль обычно называют началом координат. Поскольку для определения положения муравья нам необходимо только одно число, говорят, что проволока — это одномерное пространство.

На практике для указания положения нужно больше чисел. Например, чтобы определить на GPS-карте местоположение нашего автомобиля, нужно два числа: горизонтальное и вертикальное положение на экране. Значит, карта — двумерное пространство, поскольку для определения положения частицы на ней необходимы две координаты.

Теперь мы легко понимаем, как определить положение объекта в трехмерном пространстве — для этого нам нужно не меньше чем три числа: одно — для определения высоты тела и два — для определения его положения на плоскости.

Положение частицы может быть представлено группой чисел. Рассмотрим случай частицы на плоскости.

Ее положение задано двумя точками: 5 для горизонтального положения и 7 — для вертикального. Если обозначить положение частицы через r, можно записать:

r = (5, 7).

В случае с тремя измерениями положение задано тремя числами, например:

r = (5, 7, 9),

где последнее число показывает нам глубину.

Многомерные системы

Как только мы представили каждое измерение в виде обычного числа, переход к многомерным системам упрощается: надо только продолжать добавлять числа, одно за другим. Положение точки в десятимерном пространстве задано десятью числами:

r = (5, 7, 9, 2, 3, 6, 4, 1, 3, 3).

Но как выглядит положение в десяти измерениях? Все понимают, что значит положение на плоскости, но очень сложно и даже невозможно представить пространство из пяти и более измерений. И какой смысл в том, чтобы анализировать пространства, имеющие больше трех измерений?

Великий потенциал математики состоит в том, что эта наука способна описывать объекты, которые невозможно представить. Если удается обнаружить ряд правил, работающих для одного, двух и трех измерений, их можно распространить на произвольное количество последних. Использование этих правил не требует какого-либо наглядного представления, а с его помощью можно описать свойства абсолютно новых геометрических объектов. Со временем оказалось, что многие из этих геометрических объектов, находящихся в стороне от повседневного опыта, имеют огромное значение при изучении действительности. Кажется, что математики способны, основываясь на абстрактных рассуждениях, раскрыть тайны Вселенной до того, как на них обратят внимание естественные науки.

Для того чтобы получить представление о типе отношений, которые могут выводиться для любого измерения, лучше всего подходит понятие длины, например длины стрелки.

Начнем с одномерного пространства. Предположим, что мы хотим найти длину этой стрелки.

Для этого вычитаем точку, где стрелка начинается, из точки, где она заканчивается, то есть ее длина равна 10 — 0 = 10 единиц.

В двумерном пространстве найти длину сложнее.

Как можно заметить, невозможно вычислить длину, просто глядя на график.

Нам потребуется теорема Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть если h — гипотенуза, а и Ь — катеты, то:

h^2 = a^2  + Ь^2.

Таким образом, длина гипотенузы равна квадратному корню суммы квадратов катетов:

Поскольку отрезок образует треугольник с горизонтальными и вертикальными осями, нам нужно только заменить стороны а и b числами 3 и 4 соответственно, длину стрелки обозначим через l:

Теперь рассмотрим трехмерное пространство.

Горизонтальная проекция образует прямоугольный треугольник.

В этом случае длину можно найти в два этапа. Мы видим, что отрезок снова образует треугольник, в котором мы знаем высоту (она равна семи единицам), но не основание. Чтобы найти основание, нужно понять, что оно также является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами три и четыре, как показано на рисунке. Обозначив основание через h, имеем:

h^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 25.

Используя полученный результат, применим теорему Пифагора к большому треугольнику, высота которого семь единиц, а основание — пять. Обозначим через с высоту, через l длину. Помня, что h^2 = a^2  + Ь^2 имеем:

В наших рассуждениях просматривается определенная модель. В двух измерениях длина — это квадратный корень суммы квадратов каждой координаты, то есть:

В то время как в трех измерениях длина равна:

* * *

НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Геометрия, которой мы пользуемся до сегодняшнего дня, была описана греческим математиком Евклидом (ок. 325 до н. э. — ок. 265 до н. э.). В своей книге «Начала» он описал пять аксиом, то есть утверждений, которые Евклид считал истинными, построив на их основе остальную геометрию.

В пятой аксиоме Евклида утверждается, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Включение этой аксиомы в число основных вызывало вопросы у математиков: они были убеждены в том, что ее можно вывести из четырех предыдущих. Однако все попытки сделать это не увенчались успехом. В конце концов было решено попробовать другой путь: изменить пятую аксиому и доказать, что это ведет к противоречию. Но, к удивлению математиков, новые геометрии с измененной пятой аксиомой не были противоречивыми. В конце концов ученые вынуждены были признать, что евклидова геометрия не является единственно возможной.

Новые геометрии могут рассматриваться как обобщение понятия расстояния. Вспомним, что длина стрелки вычисляется суммированием квадратов длин сторон и извлечением квадратного корня:

Но мы можем определить расстояние и по-другому. Например, общая теория относительности определяет расстояние в пространстве и во времени. Если с — скорость света, a d — евклидово расстояние, то пространственно-временное расстояние выражается следующим образом:

Неевклидовы геометрии больше подошли для описания действительности, чем наш здравый смысл.

* * *

На самом деле, в одном измерении это просто а, которое можно выразить следующим образом:

l = √(a^2)

Рассмотрев эти три выражения, можно сделать вывод, что для получения длины в еще одном измерении нужно прибавить квадрат следующей координаты. Таким образом, в n-мерном пространстве складываются квадраты n координат и извлекается корень суммы. Выражаясь математически, если обозначить n-ную координату через х, то:

Это выражение легко распространяется на любое число измерений. Таким образом, мы получили формулу для расчета длины стрелки в пространстве с любым количеством измерений. И это потрясающее математическое достижение.

Объемы, гиперобъемы, площади и гиперплощади

Понятие объема можно определить как количество пространства, которое занимает объект. Можно ли говорить об объемах в других измерениях? Например, подошло бы наше понятие объема обитателям Вселенной из пяти измерений?

Прежде чем анализировать пространства с размерностью больше трех, рассмотрим меньшее количество измерений.

В нашей повседневной действительности объем измеряется в кубических метрах (м^3), кубических сантиметрах (см^3) или в целом в любой единице измерения расстояния, возведенной в куб. Любопытно, что показатель степени единицы измерения объема совпадает с числом измерений пространства, в котором мы живем.

Теперь возьмем другую знакомую величину — площадь. Она измеряется в единицах измерения длины в квадрате, обычно в квадратных метрах, или м^2. Площадь используется для измерения количества пространства, которое занимает плоская, то есть двумерная фигура. Итак, мы можем трактовать площадь как вид объема для двумерных объектов. Точно так же длина соответствует объему одномерных объектов.

Теперь вообразим, что в нашем мире только два измерения. То есть мы существа, ограниченные площадью, как муравьи. В этом мире мы не знали бы понятия объема, а только понятие плоскости. Для нас двумерным эквивалентом объема была бы площадь.

* * *

ФЛАТЛАНДИЯ

«Флатландия» (в переводе с английского "Flatland") — это название романа английского автора Эдвина Эбботта (1838–1926), в котором для сатирического описания викторианского общества используется понятие пространств из нескольких измерений. Во «Флатландии» рассказывается история о Квадрате, который живет в двумерном мире, где социальный статус каждого многоугольника определяется числом его сторон. Однажды квадрату наносит визит Сфера, которая живет в Трехмерии — трехмерной стране, и рассказывает ему о своей родине. Однако Квадрат отказывается верить в существование третьего измерения, пока не посещает страну своей новой знакомой.

Увидев третье измерение, главный герой предполагает существование еще большего количества измерений, например четвертого, пятого и шестого, но Сфера не верит ему и возвращает его обратно, во Флатландию, где Квадрат проводит остаток дней в тюрьме, пытаясь убедить соотечественников в том, что в мире больше двух измерений. Этот сюжет очень похож на сюжет мифа о пещере Платона, который, как говорят, поместил на дверях своей Академии изречение: «Не знающий геометрии да не войдет сюда».

В момент публикации «Флатландия» была принята довольно тепло, а после открытия Альбертом Эйнштейном общей теории относительности Эбботта стали считать фантастом за предвидение новых измерений.

Обложка первого издания «Флатландии».

* * *

Мы можем видеть, что объем указывает нам размер областей с тем же количеством измерений, что и наше пространство. Например, у куба три измерения, следовательно, у него есть объем. У квадрата, наоборот, объема нет, поскольку он не имеет толщины. Но у квадрата есть определенная площадь, которая описывает размер объекта с меньшей размерностью, чем наше пространство, в этом случае два.

Рассуждая подобным образом, мы можем расширить понятия объема и площади на пространства с количеством измерений больше трех. Назовем эти новые объем и площадь гиперобъемом и гиперплощадью.

В четырехмерном пространстве, скажем, гиперобъем выражается в единицах измерения длины в четвертой степени, например в м^4. Гиперплощадь имеет на одно измерение меньше и выражается в единицах измерения длины в кубе — м^3; то есть гиперплощадь в четырехмерном пространстве — это как объем в трехмерном. Кажется, что это сложно, но пользуясь математическими инструментами, разработанными для изучения п-мерных пространств, можно не только представить эти гиперобъемы и гиперплощади, но даже определить геометрические тела, подобные привычным нам трехмерным.

Простой пример — сфера. Трехмерная сфера определяется как геометрическая фигура, все точки которой находятся на одном и том же расстоянии от центра; двумерная сфера, круг, определяется точно так же. Подобным же образом мы можем определить четырехмерную гиперсферу как фигуру, у которой все точки равноудалены от центра. Как видите, это определение справедливо для любого количества измерений. То есть n-мерная сфера — это геометрическое тело, все точки которого равноудалены от центра. Объем такой сферы выражается в единицах измерения длины в степени N, где N — число измерений рассматриваемого пространства.

Четырехмерный куб

Особый интерес вызывает такое четырехмерное тело, как гиперкуб. Поскольку это идеальный многогранник, вычислить его гиперобъем и даже представить его проекцию в трехмерном пространстве довольно просто.

Куб — это фигура, стороны которой равны и перпендикулярны друг другу. Пользуясь этим определением, мы можем заметить, что квадрат — это двумерный куб. Площадь квадрата, или двумерного куба, то есть его двумерный объем, вычисляется умножением длин его сторон.

В трехмерном пространстве объем куба также вычисляется умножением длин трех его сторон. Следовательно, в четырех измерениях нужно перемножить длины четырех его сторон. То есть гиперобъем гиперкуба со стороной два метра равен:

2·2·2·2 = 16 м^4.

Можно ли представить трехмерный куб в двух измерениях? Конечно, мы делаем это постоянно.

Обратите внимание на то, как мы получили эту фигуру: сначала мы нарисовали два квадрата, то есть кубы в двух измерениях, и соединили их вершины. Результат — изображение трехмерного куба в перспективе. Как видите, мы изобразили на двумерном листе бумаги фигуру, существующую в пространстве, количество измерений которого на единицу больше, чем два.

Мы можем использовать этот же прием для того, чтобы нарисовать четырехмерный куб. Для этого нарисуем два трехмерных куба следующим образом.

Затем соединим все вершины и получим изображение четырехмерного куба, или гиперкуба, в перспективе.

Двумерная проекция гиперкуба.

* * *

СКОЛЬКО ГРАНЕЙ У ГИПЕРКУБА

Сначала нужно определить, что мы называем гранью. Если мы говорим о квадрате, является ли гранью каждая из его сторон? Или речь идет о его площади? Если речь идет о площади, то на самом деле мы задаемся вопросом, сколько квадратов — или двумерных кубов — есть в квадрате. Очевидно, что у квадрата только одна грань, образованная двумерным кубом.

Итак, мы хотим узнать, сколько граней, или двумерных кубов, содержится в четырехмерном кубе. Мы знаем, что в трехмерном кубе шесть двумерных кубов: по одному на каждую грань фигуры. Математическая задача, которая стоит перед читателем, — понять, сколько двумерных кубов в одном четырехмерном кубе.

Ответ можно получить, посчитав грани на двумерной проекции, которую мы показали ранее. У внутреннего куба шесть граней, у внешнего — еще шесть, а кроме того, есть двенадцать диагональных граней, что в сумме дает двадцать четыре. А теперь посчитайте число трехмерных кубов в гиперкубе.

* * *

Наглядное представление дополнительных измерений

Хотя мы и не можем оказаться в четырехмерном пространстве, каждое измерение которого представлено числом, в действительности мы видим мир в гораздо большем количестве измерений, чем три.

Так, мы различаем цвета, которые воспринимаем в зависимости от интенсивности зеленого, красного и голубого. Это означает, что нам нужно три дополнительных числа для представления каждой точки пространства, следовательно, мы видим в большем количестве измерений, чем три. Один из способов наглядно представить дополнительные измерения — это вообразить черно-белую шкалу и сопоставить окраску определенной интенсивности с каждым дополнительным измерением, которое нам потребуется. Так мы можем получить наглядное представление о пространствах, существующих только в мире математики.

Другой способ — представить число, парящее над объектом. Это число обозначает положение в четвертом измерении, в которое перемещается объект.

Измерения могут выражаться не только с помощью указания на положение точки. Например, для выражения температуры тоже необходимо число. Если мы говорим, что частица находится в некоторой точке, и ее температура равна двадцати семи градусам, на самом деле мы используем четыре измерения: три для пространства и одно для температуры. То же происходит, если говорить об интенсивности электромагнитного поля области или о влажности; для каждой из этих величин нам нужны новые числа, значит, мы увеличиваем размерность изучаемой системы.

Другой способ, помогающий наглядно представить пространства высокой размерности, связан, как ни странно, с сокращением количества измерений. Большинство движений, которые могут быть изучены, происходят на самом деле в двух измерениях: например, вращение Земли вокруг Солнца совершается по орбите в виде эллипса и может быть схематически отображено на бумаге без каких-либо затруднений. Таким образом, для представления движения нам нужно только два измерения, а третье мы можем использовать для других интересующих нас величин, таких как энергия или импульс. То есть мы можем использовать пространственные измерения для представления величин, никак не связанных с пространством.

Фазовое пространство

Познакомившись с n-мерными пространствами, мы можем рассмотреть, как они используются для описания поведения молекул газа. Для начала сосредоточим внимание на одной частице, а затем расширим анализ на неограниченное их число.

Вспомним, что положение частицы может быть описано с использованием любого типа координат, необязательно в прямоугольной системе. Поскольку наше пространство имеет три измерения, нам необходимо три числа для указания положения частицы. Координаты могут быть любыми, так что обозначим их через q и добавим какой-нибудь индекс: q_1, q_2 и q_3.

Однако знание положения частицы не дает нам достаточно информации для возможности прогнозировать ее поведение. Для этого мы должны также знать, в каком направлении частица движется и с какой скоростью. В качестве варианта мы можем использовать импульс, который является произведением массы частицы на скорость (этот способ предпочитают физики, поскольку он значительно упрощает вычисления).

Для определения как импульса, так и скорости также нужно три числа. Предположим, что кто-то говорит нам: «Автомобиль выезжает на скорости 100 км/ч из Стамбула. За сколько времени он доедет до Москвы?» Ответ зависит от того, в каком направлении он едет: если авто выезжает на юг, поездка окажется очень длинной, потому что водителю придется обогнуть земной шар, но если он поедет напрямую в сторону Москвы, то прибудет на место намного раньше. Итак, недостаточно знать скорость автомобиля, нам нужно и число для определения направления. Кроме того, если бы у автомобиля была возможность летать, нам понадобилось бы и третье число, чтобы показать, что он движется не вверх, а горизонтально.

Другой способ понимания заключается в том, что у скорости есть три составляющие, по одной для каждого возможного направления. Каждая составляющая говорит нам о скорости, с которой объект движется в этом направлении. Поскольку импульс частицы — это масса, умноженная на скорость, нам также нужны три составляющие, по одной для каждой составляющей скорости.

Так как мы используем обобщенные координаты, каждой координате приписывается обобщенный импульс, обозначенный буквой р. Координате q_1 соответствует импульс p_1 и так далее.

Следовательно, чтобы представить частицу, нам нужно шесть чисел: три для положения и три для импульса, и это означает, что частица движется по шестимерному пространству. Положение частицы можно представить математически, записав три положения, а затем три импульса. Если обозначить положение в этом абстрактном пространстве положений и импульсов через r, мы можем его выразить следующим образом:

r = (q_1, q_2, q_3, p_1, p_2, p_3)

Пространство положений и импульсов называют фазовым пространством. Можно сказать, что частица описывает определенную траекторию в фазовом пространстве: как положение, так и импульс меняются во времени, следуя правилам, заданным уравнениями Гамильтона. Мы можем представить траекторию в фазовом пространстве точно так же, как мы это делаем в обычной жизни: нужно только помнить, что часть этих положений на самом деле представляют собой скорость частицы.

Теперь мы можем рассмотреть проблему многих частиц. Мы знаем, что для того, чтобы определить частицу в фазовом пространстве, нам нужно шесть чисел.

Сколько чисел потребуется для двух частиц? Шесть для первой и шесть для второй, то есть 12. Итак, систему из двух частиц можно рассматривать так, будто речь идет об одной частице, движущейся в 12-мерном пространстве. Поскольку уравнения Гамильтона работают для любого числа измерений, мы должны будем всего лишь решить большее число уравнений, и в этом преимущество его математической разработки.

Из предыдущих рассуждений можно сделать вывод, что каждый раз, когда мы будем добавлять частицу, нам потребуются еще шесть чисел: три для ее положения и три для ее импульса. Следовательно, для системы из N частиц число координат, которые нам понадобятся, равно 6N. То есть система из N частиц соответствует одной частице, движущейся по пространству из 6N измерений. Хотя в это и не верится, но решить задачу с частицей, движущейся по пространству из 6N измерений, легче, чем задачу с шестью измерениями для каждой частицы.

Положение частицы на фазовой диаграмме можно представить как группу чисел, разделенных запятыми:

r = (q_1, q_2, q_3, p_1, p_2, p_3)

где q обозначает положения, р — импульсы. Чтобы представить две частицы, нам нужно всего лишь удвоить число координат следующим образом:

r = (q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6,p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6)

где первые три положения соответствуют первой частице, а три следующие — второй; то же самое касается импульсов.

В целом для N частиц положение в фазовом пространстве задано рядом чисел, в котором количество каждой координаты в три раза больше, чем число частиц:

r = (q_1, q_2, q_3… q3N, p_1, p_2, p_3… p3N )

Этот набор чисел, разделенных запятой, говорит нам о положении точки в фазовом пространстве, поскольку это аналог точки в трех измерениях, но распространенный на произвольное число измерений. С течением времени частица меняет положение в фазовом пространстве, следуя траектории, которую мы можем вычислить, пользуясь уравнениями Гамильтона.

Траектории в фазовом пространстве

Описать траекторию частицы в фазовом пространстве — сложная задача, поскольку невозможно представить столько измерений одновременно. Но иногда мы можем ограничиться некоторыми измерениями, например горизонтальным положением и импульсом в этом же направлении.

Самый простой случай — это случай частицы, движущейся в одном измерении, то есть вдоль прямой линии. Несмотря на это ограничение, частица может перемещаться самыми разными способами: она может колебаться вперед и назад или осуществлять ускоренное движение в одном направлении.

Каждому случаю будет соответствовать своя траектория в фазовом пространстве. Изучение этих траекторий позже поможет нам понять некоторые свойства систем с большим количеством частиц, в частности газов.

Рассмотрим случай, когда частица движется по прямой с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, а импульс — это произведение массы на скорость, импульс также будет постоянным. Итак, частица будет двигаться вдоль горизонтальной оси х, сохраняя один и тот же импульс. Рисуя ее траекторию, представим себе, что частица движется, оставляя после себя след, как от сверхзвукового самолета (см. рисунок на следующей странице). След — это то, что представлено на графике: области, по которым прошла частица.

Траектория в фазовом пространстве частицы, которая движется прямолинейно на постоянной скорости, имеет следующий вид.

На графике показано, что импульс частицы при любом ее положении один и тот же. Подобным образом движется, например, поезд, который всегда едет на одной и той же скорости.

Более интересен случай, когда частица движется зигзагом, например как игрушка, прикрепленная к пружине и подпрыгивающая вверх-вниз. В этом случае скорость игрушки уменьшается, пока она не доходит до одного края, затем она начинает увеличиваться по мере того, как игрушка доходит до центра движения, и затем снова уменьшается, когда она доходит до противоположного края. Форма такого движения в фазовом пространстве довольно любопытна.

Как можно заметить, траектория имеет форму эллипса, то есть типичную форму колебательного движения, хотя возможны и более сложные случаи. Эта траектория соответствует некоторым начальным положению и скорости, то есть начальным условиям. С каждым набором начальных условий связана разная траектория в фазовом пространстве. На первом графике на стр. 46 показаны возможные траектории для частицы, движущейся зигзагом, в зависимости от ее начального положения.

* * *

РАЗЛИЧНЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Существует огромное количество возможных траекторий в фазовом пространстве, и их форма зависит от правил, регулирующих развитие системы. Например, на графике показана траектория в фазовом пространстве частицы, которая колеблется под воздействием силы трения, так что постепенно теряет энергию.

Но возможно и намного менее предсказуемое поведение. Рисунок ниже соответствует аттрактору Лоренца — траектории, возникающей при описании погоды. В целом существует столько возможных траекторий, сколько можно вообразить систем. Некоторые из них упорядочены, но существует и огромное количество систем, в которых траектория частицы непредсказуема. Трехмерная траектория абсолютно непредсказуема и никогда не проходит через одну и ту же точку.

* * *

Различные траектории в фазовом пространстве.

Каждая траектория соответствует различной энергии.

В случае с газами мы хотим изучить не одну траекторию системы, а все возможные траектории; поскольку начальные условия нам неизвестны, следовательно, мы должны предположить, что они находятся в определенном диапазоне. Метод Гамильтона позволяет нам вывести некоторые свойства без необходимости останавливаться на каком-то из них конкретно. Одно из этих свойств, которое приобретет чрезвычайную важность при изучении газов, заключается в том, что траектории в фазовом пространстве никогда не пересекаются: невозможно прийти в одно и то же место, исходя из различных начальных условий, если только оба начальных условия не порождают один и тот же тип движения.

То есть представленное ниже невозможно.

Кажется, что это противоречит здравому смыслу. Неужели действительно два объекта не могут пройти через одну и ту же точку? Не нужно забывать, что мы говорим о фазовом пространстве: в нем занять одну и ту же точку означает иметь одно и то же положение и один и тот же импульс, то есть одну и ту же скорость. Пред ставим себе, что в фазовом пространстве возможно пересечение траекторий, как на предыдущем графике. Это означало бы, что у частицы, которая находится в этой точке, есть выбор из двух возможных вариантов движения. Какой вариант она выберет? Возможно ли, чтобы законы физики приводили к разным результатам? Нет, это невозможно, и, следовательно, траектории не могут пересечься. Ни для одной из них невозможно разветвление.

Проблема трех тел

Теперь у нас есть необходимые инструменты для изучения поведения газов. Мы знаем, что молекулы газа ведут себя в соответствии с принципом наименьшего действия, а также можем применить уравнения Гамильтона к произвольному числу частиц. Теперь нам осталось написать уравнения и начать их решать.

Конечно же, это титаническая работа. В литре газа приблизительно 10^23 частиц, или двадцать три нуля после единицы. Поскольку для каждой частицы нужно шесть координат и для каждой координаты мы должны решить уравнение, перед нами — около квадриллиона уравнений. Даже если воспользоваться мощным компьютером, для решения этой задачи потребуются тысячи лет.

И это не единственная проблема. Оказывается, что современные математические инструменты не позволяют решить уравнения Гамильтона даже в сравнительно простом случае — задаче трех тел с взаимным гравитационным притяжением. Это открытие, сделанное Анри Пуанкаре (1854–1912) в конце XIX века, легло в основу такого понятия, как детерминированный хаос. Детерминированный хаос был открыт благодаря физике, но сегодня это отрасль математики, которая используется для изучения любого типа явлений. Как видите, тактическая проблема вычислений в физике вызвала к жизни математические разработки, каждая из которых пошла своим путем.

На первый взгляд в проблеме трех тел нет ничего особенного. Можно взять, например, Солнце, Землю и Луну — три тела с взаимным гравитационным притяжением. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца, а Луна, в свою очередь, — вокруг Земли. Решение кажется элементарным. Однако наше описание очень сильно упрощено по сравнению с тем, что происходит в действительности. Луна притягивается не только Землей, но и Солнцем; кроме того, сила солнечного притяжения меняется в зависимости от положения тел.

Земля, в свою очередь, испытывает притяжение не только Солнца, но и Луны. Хотя при первом приближении можно считать влияние Луны незначительным, но если мы хотим найти точные траектории движения, этого делать нельзя.

* * *

АНРИ ПУАНКАРЕ (1854–1912)

Этот французский физик и математик внес огромный вклад в обе науки. Кроме того, что он был первооткрывателем детерминированного хаоса, Пуанкаре первым изучил свойства уравнений Гамильтона в качественном виде, получив огромное количество данных о поведении их решений.

Пуанкаре также был ключевой фигурой в развитии топологии, изучающей характеристики форм и пространств, которые остаются постоянными после деформации. Выдвинутая им гипотеза о свойствах сферы была доказана всего лишь десять лет назад. Кроме работ в области математики, Пуанкаре был одним из авторов специальной теории относительности и получил верные преобразования пространственно-временных координат еще до того, как Эйнштейн сформулировал свою теорию. Поэтому наиболее общие преобразования координат в релятивизме называются преобразованиями Пуанкаре.

Ученый не ограничивался математикой, а был еще и горным инженером и в течение жизни работал над различными инженерными проектами, такими как развитие сети французских железных дорог.

* * *

В 1860 году, в честь дня рождения короля Швеции и Норвегии Оскара II (1829–1907), был проведен конкурс, посвященный решению проблемы трех тел. Победившая статья должна была быть напечатана в математическом журнале под патронатом самого короля.

Пуанкаре, который уже тогда был известным математиком, представил статью с возможным решением и выиграл конкурс. Однако незадолго до публикации в его математических рассуждениях обнаружилась важная ошибка, и Пуанкаре вынужден был исправить ее, добавив сотню страниц к оригиналу. И все же конечный результат, хотя и содержал революционное открытие, не решал проблему. Пуанкаре удалось доказать, что невозможно найти ее аналитическое решение, то есть можно решить проблему трех тел с помощью компьютера, используя приближения, но не существует точной математической формулировки, чтобы это решение описать.

Ученый изучал различные возможные орбиты в фазовом пространстве и сделал важнейшее открытие: минимальные различия в начальном положении трех тел дают огромные расхождения в их конечном положении. То есть похожие начальные условия порождают абсолютно разные орбиты. При одной и той же отправной точке может получиться так, что одно из тел отлетит вдаль или будет описывать непериодические случайные орбиты. При данных начальных положениях и импульсах спрогнозировать последующее поведение трех тел невозможно. Сегодня это называется чувствительностью к начальным условиям и является одним из необходимых условий хаоса.

Чувствительность к начальным условиям могла объяснить явления, которые, как казалось до последнего времени, противоречат ньютоновой механике. Если Вселенная представляет собой отлаженный механизм, в ней нет места случайным фактам: когда мы подбрасываем игральный кубик, результат предопределен и может быть предсказан с помощью уравнений Гамильтона. Однако кубик — это система, чувствительная к начальным условиям, так что наименьшее отклонение от начальной скорости и положения ведет к совершенно другому результату. При таком подходе случайность — это только проявление этого свойства, общего для сложных систем, в которых больше одной частицы, как в случае с газами.

Открытие Пуанкаре, с одной стороны, радует, потому что объясняет такое явление, как случайность, в рамках законов физики, но с другой стороны — обескураживает: чувствительность к начальным условиям делает поведение некоторых систем непредсказуемым. Это крайне неудобно, особенно если учесть, что любая физическая система состоит из большого числа взаимно притягивающихся и взаимно отталкивающихся тел, таких как атомы или электроны, и, следовательно, любая система превращается в потенциально непредсказуемую.

Конечно, ситуация не так безнадежна, как может показаться на первый взгляд, но для того, чтобы осознать это, необходимы новые математические инструменты, которые позволили бы изучать нелинейные системы, то есть системы с хаотическими элементами.

Несмотря на то что открытие Пуанкаре произошло в конце XIX века, изучение нелинейных систем не продвинулось до 60-х годов прошлого века, пока метеоролог Эдвард Лоренц (1917–2008), неудовлетворенный математическим аппаратом, которым тогда пользовались в его сфере деятельности, не расширил работу Пуанкаре, сформулировав теорию хаоса.

Открытие к Лоренцу пришло случайно: в его распоряжении был компьютер, с помощью которого ученый мог смоделировать погоду на неделю. При данном метеорологическом состоянии в определенный момент времени компьютер вычислял давление и температуру на следующую неделю. Однажды Лоренц решил сэкономить время и начал моделирование, пользуясь лишь частью данных, полученных за предыдущий день. К его удивлению, оказалось, что при вводе одних и тех же начальных величин компьютер делает абсолютно разные прогнозы. Каким-то образом одни и те же алгоритмы, примененные почти к одним и тем же начальным условиям, давали другие результаты.

Лоренц пришел к выводу, что система настолько чувствительна к начальным условиям, что даже небольшие различия в двоичном представлении чисел заставляют сделать абсолютно разные прогнозы. Сегодня известно, что предсказать погоду более чем за две недели невозможно, какой бы мощный компьютер мы ни использовали. Это явление будет подробнее рассмотрено в главе 5.

Динамические системы

Изучение хаотических систем, как и проблема трех тел с взаимным притяжением, требует введения нового понятия — динамической системы. Введение динамических систем следует из уравнений Гамильтона, но эти системы могут использоваться в самых разных областях, от метеорологии до социологии. Динамические системы применяются в физике, но представляют собой не физическую теорию, а отрасль математики. Понять, как работают динамические системы, очень важно для возможности прогнозировать поведение газа, как будет видно в следующей главе.

Идея динамической системы появляется, если с новой точки зрения посмотреть на гамильтониан. Вспомним, что уравнения Гамильтона говорят нам, как изменяются импульсы и положения во времени, то есть при заданных начальных положении и импульсе мы можем сделать вывод о движении частицы для любого момента в будущем.

Возьмем очень маленький промежуток времени. Если мы знаем положение и импульс нашей частицы в определенный момент, то уравнения Гамильтона дадут нам положение и импульс этой частицы в последующий момент. Как только мы узнаем эти положение и импульс, мы снова можем применить уравнения Гамильтона, и так далее. То есть эти уравнения можно понимать как ряд инструкций для поиска клада: исходные положение и импульс показывают нам, где мы должны начинать искать.

На карте сказано: «Два шага вправо», — и мы двигаемся туда. В случае с частицей именно уравнения Гамильтона указывают нам, куда двигаться. Затем мы снова смотрим инструкции: «Два шага вперед», — и получаем наше новое положение, и так далее.

Это можно проиллюстрировать следующим образом.

Итак, уравнения Гамильтона — это серия инструкций для поиска следующей точки траектории при заданном начальном положении, только траектории живут не в привычном пространстве, а в фазовом, которое, как мы помним, включает в себя как положения, так и импульсы. Таким образом, уравнения Гамильтона — это просто правило для описания изменения определенной системы в каждый промежуток времени, если заданы начальные условия.

Теперь пойдем немного дальше. У нас есть два элемента: положение частицы в абстрактном пространстве из N измерений и правило для нахождения ее следующего положения. В нашем случае пространство — это пространство положений и импульсов, а правило задано уравнениями Гамильтона. Что произошло бы, если бы мы воспользовались другим правилом? И другим пространством? Мы бы получили другую систему, более общую, которая называется динамической системой.

Итак, динамическая система — это некое абстрактное пространство, также известное как фазовое пространство, и правило для получения следующего положения исходя из начального. Любая система, которую можно описать таким образом, — динамическая. Это необязательно должны быть физические системы: любой объект, развивающийся во времени, может быть описан как динамическая система. Все выводы, которые мы сможем сделать о динамических системах, будут справедливы для любой системы, которую можно выразить таким же образом. Поскольку количество проявлений, которые можно выразить как динамическую систему, огромно, мы получим мощную теорию с удивительно большим количеством видов применения. Даже человеческий мозг может быть смоделирован подобным образом: состояние каждого нейрона определяет положение в абстрактном пространстве, а правила взаимодействия между нейронами представляют изменение системы. Практически любой процесс, который подразумевает изменение во времени, может быть рассмотрен как динамическая система.

Некоторые динамические системы демонстрируют поведение, которое кажется стихийным, но это справедливо не всегда. Например, камень, брошенный ребенком, описывает параболическую траекторию, и его движение представляет собой динамическую систему, которая при этом полностью предсказуема. Даже динамические системы высокой сложности могут порождать очень простые модели. В целом хаотичное или нехаотичное поведение системы задано как законами, управляющими ею, так и начальными условиями движения.

Теория хаоса изучает динамические системы, поведение которых непредсказуемо, причем хаотичное поведение могут демонстрировать даже простые системы.

Рассмотрим функцию под названием логистическое отображение, которое описывает движение только в одном измерении, с единственной координатой х. Предположим, что мы начинаем с некоторого числа х: логистическое отображение дает нам правило для получения следующего х с помощью простых умножений и вычитаний.

Математическая формула для его нахождения следующая:

xn + 1 = r·xn·(1 — xn),

где r — некий параметр, который мы можем произвольно изменить.

Предположим, что мы берем r = 4 и начинаем с х_1 = 0,5. Тогда х_2 равно:

х_2 = 4·0,5·(1 – 0,5) = 1.

Следуя тому же правилу, х_3  равно:

х_3 = 4·1·(1 – 1) = 0.

И так далее.

Оказывается, что если выбирать значения r от 3,56995 до 4, то поведение логистического отображения оказывается непредсказуемым: малейшие изменения первого значения х порождают абсолютно разные значения последующих значений х. Это хаотическое поведение можно проиллюстрировать бифуркационной диаграммой, изображенной ниже, которая показывает возможные конечные значения х для каждого значения r. На диаграмме видно, как диапазон возможных значений х становится огромным при некотором значении r, а это признак хаотического поведения.

Изучение хаотических систем стало возможным благодаря прогрессу в вычислениях в последние десятилетия. Компьютерное моделирование позволило классифицировать все траектории системы и, следовательно, сделать качественный прогноз их поведения. Возможно, если бы в конце XIX века уже существовали компьютеры, изучение газовой динамики пошло бы по пути, сильно отличающемуся от того, который привел к развитию статистической механики. Однако ограниченные вычислительные возможности заставили физиков и математиков искать другие способы прогнозирования для объектов высокой сложности.

Применение динамических систем

Изучение динамических систем — крайне актуальная область, необходимая для решения множества проблем, начиная от создания искусственного интеллекта до решения биологических задач. Идея состоит в том, чтобы смоделировать систему, развитие которой в абстрактном пространстве задано рядом правил. Затем изучаются различные возможные траектории развития и выводятся их общие характеристики.

Любой газ можно считать динамической системой. Его положение в фазовом пространстве определяется положениями и импульсами всех его частиц, а изменение его состояния определяется уравнениями Гамильтона. Теория динамических систем может быть применена для вывода некоторых общих характеристик поведения газов, к которым затем можно будет применить другие инструменты, такие как вероятность или статистика. При изучении газовой динамики нужно различать два режима газа: в состоянии равновесия или вне него. Анализировать газ в состоянии равновесия, то есть газ, состояние которого не меняется, относительно просто, и эта задача была решена Людвигом Больцманом (1844–1906) в конце XIX века без применения инструментов, связанных с динамическими системами. Его работу подробнее мы рассмотрим в главе 3. Проблема газа вне равновесия намного сложнее и до сих пор полностью не решена, хотя начиная с 70-х годов прошлого века в ее решении произошел значительный прогресс именно благодаря применению теории динамических систем. Более подробно об этом мы расскажем в главе 5.

Помимо изучения газов, динамические системы имеют очень широкое применение. Так, их можно использовать для описания заражения инфекционными заболеваниями. Используя координаты зараженной области в качестве точки фазового пространства и характеристики изучаемого вируса в качестве правил изменения, можно смоделировать следствия и, соответственно, предусмотреть некоторые профилактические меры. Различные траектории динамической системы показывают различные варианты развития заболеваемости, что позволяет выработать оптимальную стратегию преодоления инфекции.

Другой способ применения динамических систем связан с нейробиологией, где нелинейная природа процессов в нашем мозге превращает эти системы в инструмент, необходимый для изучения как индивидуального поведения нейронов, так и общей структуры мозга. Эти модели можно применять для построения новых моделей, что, в свою очередь, ведет к прогрессу в области создания искусственного интеллекта. Действительно, нейронные сети, используемые такими программами, как Siri или распознавание голоса от Google, могут рассматриваться как тип динамической системы. Более подробно они будут рассмотрены в главе 5.

Молекулярная биология также воспользовалась преимуществами, которые дают динамические системы при моделировании взаимодействия между протеинами или механизмов клеточной пролиферации. Очень интересный способ применения — это использование динамических систем для прогноза роста опухолей, что позволяет более точно определять размер и расположение новообразований, повысить эффективность лечения и избежать неприцельного использования рентгенотерапии. Также очень большую роль динамические системы сыграли в экологии, где они используются для описания поведения пищевых цепочек различных видов и для прогнозирования изобилия в определенных областях, а также для изучения эффекта введения в экосистему определенного числа хищников. Анализируя траектории изменения системы, можно установить сферу наименьшего поражения в каком-либо регионе или даже определить стратегии, позволяющие избежать вымирания вида и решить другие проблемы, связанные с окружающей средой.

В социальных науках особую пользу из теории динамических систем извлекает экономика. Бенуа Мандельброт (1924–2010) открыл, что цены на хлопок колеблются, следуя хаотической структуре, сходной на всех уровнях: то есть вне зависимости от периода времени, который берется в расчет, от десяти минут до десяти лет, цены на хлопок показывали один и тот же тип колебаний. Это типичная характеристика хаотических систем, что делает их подходящими для изучения подобных ситуаций.

Так же, как и в физике, многие математические инструменты, используемые для анализа развития экономики, связаны с состоянием равновесия — условием, необходимым для формулирования математически управляемой теории. Использование динамических систем позволяет ослабить это условие и работать с системами, меняющимися со временем.

Наконец, некоторым авторам, таким как Кэтрин Эннис, профессор кинезиологии в Мэрилендском университете, удалось использовать инструменты, основанные на динамических системах, для моделирования образовательного процесса.

Динамические системы применяются очень широко и постоянно появляются новые области их применения, особенно в сферах, традиционно мало связанных с математикой (например, в биологии). Во многих дисциплинах этот мощный инструмент сделал возможными количественные исследования там, где раньше существовало только качественное понимание. Наверняка в следующие десятилетия использование динамических систем еще более расширится, особенно в таких науках, как социология.

Динамические системы — идеальный пример того, как развивается математика: от описания физической системы она приходит к более абстрактной и общей формулировке, которая затем распространяется на большее количество областей, совсем не связанных с первоначальной сферой. Как мы увидим, история повторится и с остальными инструментами, необходимыми для изучения такого явления, как поведение газов.

Глава 3

Как предсказать непредсказуемое

Газ — это агрегатное состояние, представляющее собой тысячи миллионов молекул, которые движутся хаотично. Поскольку каждая молекула подчиняется законам Ньютона и, соответственно, уравнениям Гамильтона, можно было бы рассчитать траекторию каждой из них. Но на практике это не так. Более того, в таких вычислениях нет необходимости, потому что при наблюдении газа невозможно увидеть отдельные молекулы. Что действительно можно измерить, так это его давление, температуру и объем. Следовательно, математическая теория, описывающая изменение этих трех характеристик, смогла бы с достаточной степенью точности описать и поведение газа.

Такая теория была разработана австрийским физиком Людвигом Больцманом в конце XIX века, когда он доказал, что макроскопические характеристики газа можно вывести исходя из распределения скоростей его молекул. То есть достаточно знать процент молекул газа с каждой возможной скоростью, чтобы предсказать его поведение. Работа Больцмана была направлена на то, чтобы найти это распределение скоростей для газа в состоянии равновесия, то есть газов, макроскопические свойства которых ощутимым образом не изменяются. Ученый открыл, что скорости молекул в газе распределяются следующим образом.

Газ с большим пиком слева соответствует большим температурам.

Чтобы сделать это, ему пришлось воспользоваться несколькими математическими теориями. Одни из них, такие как механика Гамильтона, были хорошо приняты в физическом сообществе, но другие, такие как вероятность и статистика, были совершенно новыми. Ниже мы опишем путь, который привел Больцмана к его закону и математическому обоснованию предыдущего графика.

Давление, объем и температура

Вспомним, что состояние системы в определенный момент времени может быть выражено лишь одной точкой в фазовом пространстве. Эта точка находится в пространстве из 6N измерений, где 3N используются для уточнения положения каждой из N частиц, а другие 3N — для импульсов. Если позволить системе развиваться, точка будет двигаться по фазовому пространству, описывая некоторую траекторию.

В случае с газом в самом начале мы сталкиваемся с проблемой: мы не знаем, в какой точке фазового пространства он находится. Мы знаем только его давление, объем и температуру, но не положение и не импульс его частиц. Часто мы даже не можем быть уверены в том, сколько их. Как же получить какой-либо прогноз поведения системы, о которой мы знаем так мало?

Для начала оценим наше незнание количественно: возьмем бутылку, наполненную кислородом. Если вместимость бутылки — один литр, то в ней содержится приблизительно 2,6·10^22 молекул, что означает, что для того, чтобы полностью описать их состояние, нам потребуется это количество чисел, умноженное на шесть, то есть 1,6·10^23 (2,6·10^22·6 ~= 1,6·10^23). Предположим, что мы знаем температуру, объем и давление газа, то есть у нас есть три характеристики. Таким образом процент информации, которой мы владеем, в сравнении с информацией, теоретически нам необходимой, равен:

Неужели с этим смехотворным количеством информации мы можем прогнозировать состояние содержимого бутылки в каждый последующий момент? Хотя это и кажется невероятным, но это так.

Чтобы понять, каким образом мы это делаем, рассмотрим, какую информацию о внутреннем состоянии газа дают нам его давление, объем и температура.

Объем указывает нам, в какой области пространства находятся наши молекулы: нет ни одной молекулы кислорода вне бутылки, что помогает нам ограничить точки фазового пространства, в которых может находиться наш газ. Мы знаем, что возможные положения ограничены объемом сосуда. Понять роль, которую играет давление, несколько сложнее. Давление газа — это сила, которую он оказывает на сосуд, содержащий его, на единицу площади.

Представим себе, что газ — это джинн, заточенный в лампе. Чем меньше лампа и чем больше джинн борется за освобождение, тем большее давление он применяет. Чем больше давление, тем сложнее сдерживать газ; и если оно превысит определенные показатели, сосуд лопнет.

Но как связано давление с частицами, образующими газ? Если это вещество образовано огромным числом молекул, которые движутся хаотично, как объяснить эту силу, воздействующую на стенки сосуда? Давление — это результат совокупного действия миллионов молекул газа. Каждая молекула движется приблизительно по прямой до столкновения со стенкой; накопление этих столкновений и вызывает давление. Каждое столкновение воздействует на сосуд с определенной силой, и хотя удар одной молекулы не дает ощутимого эффекта, сотни миллионов молекул способны создать значительную силу.

Чем быстрее движутся молекулы, тем выше давление на стенки сосуда — по той же причине, что удар мячом по лицу тем болезненнее, чем быстрее летит мяч. Кроме того, чем больше молекул, тем большее давление они оказывают, поскольку в этом случае число ударов о стенки сосуда больше. Итак, давление дает нам информацию о движении частиц и об их числе, но в неполной форме: например, две частицы, сталкивающиеся со стенкой на одной и той же скорости, оказывают на нее такую же силу, как и две частицы на разных скоростях, если их средняя скорость равна скорости двух предыдущих частиц. Давление дает нам информацию о средней скорости частиц газа, но ничего не говорит о скорости каждой конкретной частицы.

Последняя часть информации, которой мы владеем, — это температура газа. Природа температуры была загадкой в течение веков, когда думали, что она связана с количеством флюида под названием теплород, содержащегося в веществе. Сегодня мы знаем, что температуры самой по себе не существует, то есть в фундаментальных законах Вселенной нет ничего, что было бы связано с температурой. Когда мы дотрагиваемся до очень горячего объекта, то на самом деле мы чувствуем движение частиц, его образующих. Повышенная температура соответствует быстрому движению, а низкая температура — более медленному движению. Понятие температуры можно будет определить точнее, как только мы раскроем математические инструменты, позволяющие изучать газ на основе его микроскопических характеристик. Мы можем утверждать, что температура показывает нам, как движутся молекулы. Если мы знаем температуру, объем и давление газа, то можем выяснить и сколько в нем примерно молекул и с какой средней скоростью они движутся.

* * *

ЗАКОН ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Газ образован электрически заряженными молекулами разнообразных форм, и именно по этой причине так сложно предсказать их поведение. К счастью, при высоких температурах и низких давлениях эти молекулы ведут себя практически как идеально круглые мячи, которые взаимодействуют только при столкновении друг с другом. Газ, образованный таким типом частиц, называется идеальным газом, и его поведение можно описать простым уравнением.

Уже в XVII веке открыли, что произведение давления на объем газа остается постоянным при постоянной температуре. Также было известно, что повышение температуры влечет за собой повышение давления при постоянном объеме или увеличение объема при постоянном давлении. Количество газа также имеет значение: чем больше молекул, тем больше давление, так как число столкновений со стенками сосуда растет.

Все эти открытия можно свести воедино в известном законе идеального газа. В формуле ниже Р обозначает давление, V — объем, Т — температуру, R — газовую постоянную, а n — это величина, связанная с числом молекул:

PV = nRT.

С помощью этого простого уравнения можно объяснить большую часть свойств газов, которые мы наблюдаем.

* * *

Объемы в фазовом пространстве

Зная объем, температуру и давление газа, мы не можем знать, в какой части фазового пространства он находится, но можем ограничить область, в которой микроскопические свойства порождают макроскопические, которые мы и наблюдаем. Для этого сначала рассмотрим две частицы, чтобы затем расширить наш метод на сколь угодно большое их число. Также ограничимся только одним измерением, то есть предположим, что частицы движутся стихийно из стороны в сторону по прямой, что позволит увидеть их положения в фазовом пространстве.

Предположим, что наши частицы ограничены областью пространства длиной в один метр, то есть представим, что газ находится в коробке объемом в один кубический метр. Вне этой области частицы находиться не могут. Если мы обозначим через q_1 положение первой частицы и через q_2 — положение второй, их общее положение в фазовом пространстве будет ограничено квадратом со стороной в метр, как показано на рисунке.

То есть ни частица 1, ни частица 2 не могут выйти за пределы области, их ограничивающей.

Поскольку мы знаем температуру и давление частиц, мы также знаем, чему равна их средняя скорость. Чтобы вычислить ее, сложим скорость обеих частиц и разделим ее на два. Выражаясь математически, если v¯ обозначает среднюю скорость, v_1 — скорость первой частицы, a v_2 — скорость второй, получается, что:

Для N частиц мы бы сложили скорости их всех и разделили на N, то есть

Мы считаем, что все скорости положительны и все частицы движутся в одном направлении. Теперь предположим, что средняя скорость обеих частиц — 2 м/с. Может быть так, что обе движутся со скоростью 2 м/с; что одна движется со скоростью 3 м/с, а другая — 1 м/с; что одна абсолютно неподвижна, а другая движется со скоростью 4 м/с. Единственный невозможный вариант — так это чтобы какая-либо из двух частиц двигалась со скоростью больше 4 м/с, поскольку тогда средняя скорость была бы больше 2.

Можно сделать вывод, что если известна средняя скорость, область в фазовом пространстве, в которой может двигаться система, снова ограничена. В этом случае скорость любой из частиц не может быть больше четырех; кроме того, скорость одной из частиц определяет скорость другой. Это можно представить следующим образом (скорость первой частицы представлена горизонтально, скорость второй — вертикально).

Как можно заметить, возможные точки ограничены прямой линией. Если мы совместим этот результат с полученным ранее, то увидим, что все возможные точки ограничены некоторой областью фазового пространства, которое в этом случае имеет четыре измерения, по два для каждой частицы.

Описанная ситуация справедлива для любого числа частиц. Объем, температура и давление определяют, в какой области фазового пространства находится газ. Любая из точек этой области порождает значения для характеристик газа — давления, объема и температуры. Итак, при изучении газа мы можем предположить, что наша система начинается в одной из этих точек, но не можем выяснить, в какой именно.

Что произойдет, если мы позволим системе меняться? Останутся ли температура, объем и давление теми же? И если нет, то как они будут меняться? На эти вопросы можно ответить не всегда. Порой попытка найти ответ заставляет обратиться к физике неравновесных систем, о которой мы расскажем в следующей главе.

Понятие совокупности

Поскольку мы не способны определить даже начальное положение нашего газа в фазовом пространстве, нам нужна стратегия, которая позволила бы нам описать его изменение на основании трех величин, которые мы можем измерить: давления, объема и температуры. Для этого мы можем задать вопрос, что происходит со всеми системами, которые находятся в ограниченной области фазового пространства с указанными характеристиками. Кажется нелогичным считать, что описать изменение тысяч миллионов систем легче, чем сделать это для одной. Но здесь в игру вступают теория вероятностей и статистика.

Возьмем груз, привязанный к пружине, как показано на рисунке.

Если мы знаем общую энергию частицы и область в пространстве, в которой она находится, можно выяснить, какие точки в фазовом пространстве совместимы с этими условиями. В нашем случае они распределяются таким образом.

Точки фазового пространства для объекта, привязанного к пружине.

Результат вполне логичен, поскольку траектория частицы в фазовом пространстве — это именно эллипс, как мы видели в главе 2. Если мы позволим нашей системе меняться, она пройдет через все возможные точки в фазовом пространстве, совместимые с этой средней скоростью и энергией.

В целом множество точек в пространстве, совместимых с некоторой температурой, давлением и объемом, будет иметь подобный вид, хоть и в пространстве с большим количеством измерений.

Возможные точки в фазовом пространстве. Любая из них может представлять газ.

Наша система могла бы быть представлена любой из этих точек. Возможно, что при изменении состояния газ пройдет через них, и мы этого не осознаем, поскольку способны измерить только макроскопические величины. Таким образом, имеет смысл изучать поведение каждой системы в рамках интересующей нас области.

Множество систем, совместимых с макроскопическими переменными, которые мы измерили, называется совокупностью. Следующие параграфы посвящены изучению изменения нашей совокупности, которая является не чем иным, как всеми системами, которые могли бы порождаться измеряемыми величинами.

Газ в состоянии равновесия

Мы увидели, что невозможно узнать положение и импульс каждой молекулы газа. Однако можно узнать распределение импульсов и скоростей. То есть мы можем знать, какая доля частиц находится в данном месте и движется с определенной скоростью.

Найти распределение импульсов и положений — довольно сложная задача. Однако ее можно облегчить, если мы сосредоточимся на равновесных системах. Равновесие, если речь идет о газах, немного отличается от равновесия в обычно понимаемом виде. Мы говорим, что частица пришла в равновесие, когда она перестает двигаться или движется с постоянной скоростью, и это означает, что на нее не воздействует какая-либо сила. В случае с газами их частицы продолжают двигаться под воздействием силы, которую на них оказывают стенки сосуда. Однако мы можем говорить о состоянии равновесия: если мы позволим нашей системе развиваться в течение бесконечного времени, наступит момент, когда макроскопические изменения больше не будут наблюдаться. Тогда мы скажем, что наступило равновесие. Газ придет в равновесие, когда прекратится обмен энергией и материей с внешним миром.

Заметьте: это не значит, что система не развивается. Поскольку молекулы движутся постоянно, частицы газа описывают траекторию в фазовом пространстве. Но эта траектория не приведет к макроскопическому состоянию, несовместимому с общей энергией, которой обладает газ, поскольку нет притока энергии извне.

Итак, траектория частиц ограничена некоторой областью в фазовом пространстве. Мы хотим увидеть, можно ли сделать какой-то вывод о движении газа в состоянии равновесия по области фазового пространства, которой он ограничен. Вначале мы должны убедиться в том, что как бы ни менялось состояние, газ никогда не выйдет за пределы этой области, поскольку это будет означать, что газ вышел из состояния равновесия.

Обратим внимание на точки границы нашей области в фазовом пространстве. Эти точки представляют собой границу нашей системы: если бы наш газ находился вне их, мы могли бы замерить изменение одной из макроскопических переменных, которые мы контролируем. Теперь возьмем точку из середины, как показано на рисунке.

Возможно ли развитие системы таким образом, чтобы эта точка оказалась вне нашей области?

Предположим, что точка внутри области может двигаться по траектории, которая вывела ее за границу. Это означало бы, что в какой-то момент траектория, пройденная точкой на границе, и наша система пересеклись бы. Но в предыдущей главе мы видели, что это невозможно: классическая физика основана на идее о том, что в каждый момент времени Вселенная меняется по определенным законам, и эти законы не предполагают больше одного варианта развития событий, иначе это привело бы к непредсказуемости мира. Значит, две одинаковые точки должны двигаться сходным образом. Следовательно, точка внутри никогда не сможет пересечь контур, и все точки внутри области останутся в ней. А поскольку никакая внешняя система не может войти в область и никакая внутренняя не может выйти, число систем нашей области должно оставаться постоянным.

Из этого рассуждения есть и другое следствие, которое автоматически применяется при рассмотрении газа в состоянии равновесия: область, которую занимает множество наших систем в пространстве, никогда не меняется. Пользуясь уравнениями Гамильтона, можно доказать, что это справедливо для любой совокупности, независимо от того, находится ли она в равновесии. То есть:

— количество систем в совокупности всегда одинаково;

— область, которую занимает совокупность в фазовом пространстве, всегда одинакова.

Если рассматривать точки нашей совокупности, как будто это частицы, движущиеся по пространству из многих измерений, это означает, что они ведут себя как несжимаемый флюид: траектории никогда не пересекаются, и невозможно сжать область, которую занимает одна из них. Этот вывод известен как теорема Лиувилля.

Теперь у нас есть почти все необходимые элементы, чтобы спрогнозировать распределение скоростей в газе. С одной стороны, мы знаем, что область, которую занимает наша совокупность в фазовом пространстве, не изменится; с другой стороны, если газ находится внутри границы, он останется внутри нее.

Нам не хватает только одной детали, которую необходимо ввести вручную, поскольку она не следует из уравнений Гамильтона. Вспомним, что состояние газа представлено точкой на фазовой диаграмме и что эта точка постепенно движется, описывая траекторию в рамках границы, которая очерчивает нашу совокупность.

Выдвинем гипотезу о том, что газ в конце концов пройдет по всем точкам фазового пространства, или, другими словами, что у всех этих точек одинаковая вероятность быть занятыми. Этот принцип называется принципом равновероятности начальных состояний. Теперь у нас действительно достаточно условий для вычисления распределения скоростей и положений газа. Осталось только изложить теорию вероятностей.

Теория вероятностей

Предположим, что мы хотим спрогнозировать, что будет делать какой-то человек в воскресенье вечером. Как бы хорошо мы его ни знали, нам сложно угадать: люди иногда меняют свое мнение внезапно, и это придает их поведению некоторую хаотичность. Даже человек, который привык ходить в кино каждое воскресенье, однажды может проснуться с болью в желудке и остаться дома.

Учитывая сложность, которая таится в прогнозировании поведения человека, резонно предположить, что предсказать поведение миллионов людей еще сложнее. Но в действительности оказывается наоборот: каждый человек непредсказуем, но миллион людей ведут себя известным образом. Мы не можем знать, пойдет ли наш друг смотреть фильм в это воскресенье, но можем быть уверены, что определенный процент населения это сделает. Если нас интересует прогноз, сколько заработает кинотеатр в течение года, у нас более чем достаточно информации.

То же самое происходит с переменными, еще более хаотичными, чем человек, такими как результат броска игрального кубика. Невозможно узнать, получим ли мы при следующем броске три, но мы можем быть почти уверены, что на каждый миллион бросков количество выпавших троек составит одну шестую. Если бы результат многочисленных бросков был таким же непредсказуемым, как и одного, казино давно разорились бы.

Идея о том, что миллион человек более предсказуем, чем три, делает возможным и изучение газов. Именно тот факт, что число его молекул огромно, превращает газ в крайне регулярный объект, и мы можем использовать для прогнозирования теорию вероятностей. Хотя мы и не можем знать, как поведет себя каждая отдельная молекула, в случаях когда речь идет об огромном их числе, неизвестность уступает место предсказуемому поведению.

Вероятность и газ

Прежде чем сосредоточиться на поведении газа в состоянии равновесия, рассмотрим наиболее простые примеры теории вероятностей для разработки необходимого математического аппарата. Начнем с классического подбрасывания монеты, чтобы затем расширить эту модель на газ с частицами, обладающими разной энергией.

Предположим, что мы подбрасываем монетку в воздух больше миллиона раз. Мы знаем, что, согласно теории вероятностей и здравому смыслу, мы получим в половине случаев орла и в половине — решку. Вероятность какого-то события измеряется отношением к единице, то есть вероятность в 50 % выражается как 0,5. Итак, вероятность получить орла — 0,5. Поскольку вероятность получить решку также 0,5, можно заметить, что вероятность получить либо орла, либо решку равна единице, то есть 100 %. Это общий закон вероятностей: если даны все возможные результаты, сумма вероятностей их получения должна быть равна единице.

Вероятность получения орла относительно легко вывести: это 50 %. Но как мы можем узнать вероятность получения за три броска двух орлов и одной решки?

Рациональная стратегия состоит в том, чтобы сосчитать все вероятности, возможные при этой комбинации, и поделить полученное число на общее количество возможных бросков. Если обозначить через 1 орла и через 0 решку, мы увидим, что возможны три сочетания, дающие два орла и решку:

110, 101, 011.

Для того чтобы вычислить вероятность, мы должны узнать общее количество возможных последовательностей, а именно:

111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000,

то есть у нас есть восемь вариантов, три из которых соответствуют нужной последовательности. Вероятность получения двух орлов и одной решки равна 3/8.

Однако газ состоит не из трех, а из миллиардов частиц. Следуя аналогии с монетами, какова вероятность получить ровно 70 % орлов при двух миллионах бросков? В этом случае становится очевидным, что наш метод вычисления вероятностей не годится, и нам нужно разработать более мощный математический аппарат, который позволил бы нам легко рассчитать вероятность некоторого распределения результатов для любого количества бросков, то есть распределение вероятностей.

Как мы увидим, существуют различные варианты распределения вероятностей, и каждый из них имеет место в каждом отдельном случае. В данном случае нас интересует, что происходит с дискретной переменной — это означает, что мы имеем дело с отдельными результатами, такими как орел или решка. Существует другой тип переменных, называемых непрерывными, под которыми подразумевается любая величина в некотором диапазоне: например от 0 до 10, включая любое число с произвольным количеством знаков после запятой.

Для наших рассуждений важно знать факториальную функцию. Факториал 3 обозначается 3! и вычисляется следующим образом:

3! = 3·2·1.

5! = 5·4·3·2·1.

Факториал п вычисляется следующим образом:

n! = n·(n — 1)·(n — 2)·…·2·1.

Теперь мы можем начать выводить формулу, которая даст нам вероятность получения некоторой последовательности орлов и решек при любом количестве бросков.

Для начала посмотрим, сколько возможных комбинаций выпадения орла и решки существует для n бросков. Для первого броска возможны два варианта: орел или решка. Для второго — еще два, что в сумме дает четыре. Для следующего броска у нас есть по две возможности для каждого предыдущего, что в сумме дает восемь. Итак, общее число возможностей для n бросков равно 2n, то есть два, умноженное само на себя n раз.

Далее нам нужно вычислить количество комбинаций, при которых можно получить k орлов при n бросков. Подставляя различные числа, можно выяснить, что количество комбинаций задано биномиальным коэффициентом, который определяется по следующей формуле с использованием факториальной функции:

Вероятность выпадения k сторон, следовательно, равна разделенному на число комбинаций орлов и решек, которое, напомним, равно 2n. Поскольку в этом распределении вероятностей используется биномиальный коэффициент, оно известно как биномиальное распределение и может быть легко расширено на фальшивые монеты, где вероятность выпадения решки больше, чем орла, или наоборот.

Биномиальное распределение позволяет сделать прогнозы, которые, как кажется, противоречат здравому смыслу. Например, какова вероятность выпадения 50 орлов за 100 бросков? Применим нашу формулу, помня, что вероятность — это отношение к единице, а не к 100:

Этот результат может показаться удивительным, мы ведь ожидали 50 орлов на 100 бросков. Почему же вероятность получилась такой низкой? Ответ в том, что мы интересуемся вероятностью выпадения именно 50 орлов. Теперь найдем вероятность выпадения сорока девяти:

* * *

ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА

Парадокс Монти Холла — это применение теории вероятностей, противоречащее обычной интуиции. Представьте конкурс, когда игроку предлагается на выбор три двери, за одной из которых — ценный приз.

Конкурс состоит из двух частей: в первой части конкурсант выбирает дверь, но не открывает ее. При этом ведущий открывает одну из двух оставшихся дверей и показывает, что приза за ней нет. Во второй части конкурсант должен или сохранить свой первоначальный выбор, или изменить его на ту дверь, которую осталось открыть.

Большинство людей считают, что изменение выбора не имеет значения: вероятность того, что игрок выбрал правильную дверь, 50 %, поскольку есть две двери и приз. Однако это не так: лучшая стратегия — изменить выбор.

Объяснить это можно следующим образом: вероятность выбора правильной двери составляет одну треть. И после того, как ведущий убрал один из вариантов, вероятность того, что игрок выбрал правильную дверь, не изменилась: она по-прежнему равна одной трети. Но вероятность того, что приз за оставшейся дверью — 66 %.

Хотя люди считают эту проблему очень сложной, недавние эксперименты с голубями показали, что у этих птиц статистические способности выше, чем у нас, потому что после нескольких попыток они всегда выбирают смену двери.

* * *

Полученное число несколько меньше, но относительно высоко. Получаем, что вероятность выпадения 48 орлов равна 7,3 %. Следовательно, вероятность выпадения числа орлов между 48 и 52 равна:

Р = Р_48 + Р_49 + Р_50 + Р_51 + Р_52 = Р_50 + 2Р_49 + 2Р_48 = 7,9 + 2·7,8 + 2·7,3 = 38,1 %.

Распределение вероятностей максимально для 50 орлов и уменьшается по мере того, как мы отдаляемся от центра, что и показано на графике.

Биномиальное распределение для различного числа бросков (n) и вероятности получения орла (р).

Итак, хотя вероятность выпадения ровно 50 орлов невысока, мы можем быть достаточно уверены в том, что получим от 45 до 55 орлов. Этот способ рассуждения используется при проведении социальных опросов.

Предположим, что 50 % жителей страны проголосуют за определенного кандидата. Если мы проведем опрос тысячи людей, выбранных случайно, крайне маловероятно, что ровно 500 из них ответят, что проголосуют за этого кандидата. Однако гораздо более вероятно, что таким будет ответ от 450 до 550 опрошенных. Способ увериться в том, что опрос достоверный, — установить, между какими двумя величинами заключено 95 % вероятности получить необходимый результат.

Биномиальное распределение — это только одно из многочисленных дискретных распределений вероятностей. Кроме него, существует распределение вероятностей для непрерывных переменных, при котором нас интересует вероятность того, что какое-то значение находится в определенном диапазоне.

Самое известное непрерывное распределение вероятности — это распределение Гаусса, или нормальное распределение. Оно имеет форму колокола, как можно заметить на графике на стр. 74.

* * *

ДРУГИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Другое широко используемое распределение — это геометрическое распределение. Как и в случае с биномиальным распределением, у нас есть случайное событие, такое как бросок кубика или монеты. Назовем успехом один из возможных вариантов, например выпадение орла. Какова вероятность того, что первый успех появится после к бросков, если его вероятность равна р?

Геометрическое распределение говорит, что эта вероятность вычисляется по

Р = (1 — р)k-1р,

что можно представить следующим образом.

Среди распределений вероятности, где переменная может принимать любое значение в определенном диапазоне, самое простое — равномерное распределение, при котором каждому событию просто назначается одна и та же вероятность, так что получается фигура, подобная этой.

* * *

Различные формы нормального распределения, согласно разным параметрам.

Нормальное распределение имеет большое значение как в статистике, так и в естественных и социальных науках, благодаря центральной предельной теореме. В ней говорится, что в некоторых условиях любая случайная переменная имеет тенденцию следовать нормальному распределению. Например, если мы будем измерять такую физическую величину, как скорость, наши результаты будут иметь тенденцию распределяться согласно фигуре, изображенной на графике, вокруг среднего значения. Именно использование этого распределения позволяет физикам определить границы доверия своим экспериментам: измерив площадь под кривой Гаусса, можно получить вероятность того, что результат измерения случаен.

Нормальное распределение можно наблюдать практически во всех областях знания, и оно имеет очень широкое практическое применение. Например, результаты любого экзамена имеют тенденцию следовать нормальному распределению вокруг средней оценки. Этот фактор можно использовать при вычислении нормализованных оценок, то есть оценка каждого студента определяется в зависимости от положения на кривой. Распределение скоростей молекул газа также следует этому распределению, как будет показано далее.

Нормальное распределение связано с биномиальным распределением, о котором мы говорили ранее. При очень большом числе попыток биномиальное распределение описывает кривую Гаусса.

Связь между биномиальным и нормальным распределениями. Прямые показывают биномиальное распределение, вокруг которого проходит нормальное распределение.

Действительно, для получения знаменитого распределения вероятностей для газа Больцман начал рассматривать дискретные значения энергии как биномиальную функцию и затем перешел к бесконечно большому их числу, что привело его к распределению Гаусса.

Микро- и макросостояния

Познакомившись с теорией вероятностей, пора применить полученные знания к описанию газа. Для этого нам потребуются такие понятия, как микросостояния и макросостояния.

Предположим, что у нас есть газ, обладающий некоторым давлением, объемом и температурой. Нам известны макроскопические характеристики газа, но мы не знаем, под каким давлением находится каждая его молекула и с какой скоростью она движется. Итак, можно сказать, что мы знаем макроскопическое состояние газа, но не микроскопическое. Это макроскопическое состояние газа называется макросостоянием.

Макросостоянию могут соответствовать тысячи миллионов микроскопических состояний: например, поменяв положение и скорость любой пары частиц, мы получаем систему, на первый взгляд, с теми же свойствами. Поскольку у нас тысячи миллионов частиц, существует огромное количество микроскопических состояний, согласующихся с тем, что мы наблюдаем в лаборатории. Эти микроскопические состояния, которых невозможно добиться экспериментально, называются микросостояниями. Каждому макросостоянию в целом соответствуют тысячи миллионов микросостояний, которые порождают одно и то же поведение в крупном масштабе.

Теперь обратим внимание на газ, обладающий некоторым количеством возможных макросостояний, каждому из которых соответствуют некоторое давление, температура и объем. Мы хотим узнать, в каком из этих макросостояний находится газ. Поскольку макроскопические характеристики газа связаны с распределением скоростей его молекул, на самом деле мы хотим узнать это распределение.

Как мы видели, для этого мы не можем воспользоваться уравнениями Гамильтона, но зато мы можем использовать различные результаты, полученные ранее: например, то, что, перейдя в состояние равновесия, газ не выйдет из него и что все микроскопические конфигурации — или микросостояния — в нашей области фазового пространства равновероятны.

Поскольку все микросостояния равновероятны, разумно предположить, что макросостояние с наибольшим числом совместимых микросостояний будет наиболее вероятным. Если вероятность некоторого макросостояния намного выше, чем у любого другого, мы можем сделать вывод, что газ находится в нем. То есть наше макросостояние будет тем, для которого распределение скоростей наиболее вероятно.

Теперь нам осталось только выяснить, какое из возможных распределений скоростей имеет самую высокую вероятность.

Чтобы рассмотреть возможные состояния, нам нужно сделать небольшое упрощение: предположим, что все молекулы могут обладать только определенными значениями энергии, а не любыми в некотором диапазоне. Как только мы получим интересующее нас выражение, мы ослабим это условие. Энергии и скорости пропорциональны, так что, узнав распределение энергии, мы получим распределение скоростей.

Присвоим число каждому из этих значений энергии, от одного до k. У нас всего N частиц; число частиц с энергией i будет обозначаться Ni. То есть если у нас есть 50 частиц первого уровня энергии, то N_1 = 50. Теперь предположим, что у нас есть некоторое распределение энергии.

Мы хотим узнать, сколько комбинаций частиц дает нам именно это распределение. У нас всего 200 частиц, из которых 50 находятся на первом уровне энергии.

Пронумеруем наши частицы от одного до 200. Сколько существует возможных комбинаций, при которых на этом уровне находятся 20 частиц? Чтобы выяснить это, воспользуемся стратегией, очень похожей на ту, что мы применяли с биномиальным распределением.

Для первой частицы у нас есть 200 возможностей — столько, сколько у нас частиц. Для второй — 199, поскольку первая уже выбрана; для третьей — 198, и так далее. В итоге у нас получится:

200·199·198·197·…·151 возможностей.

Нам нужно разделить общее число возможных комбинаций между 50 частицами, которыми мы располагаем, так же как мы это делали с выпадением орла или решки. Так как у нас 50 частиц, получаем 50·49·…·1 возможностей. Число возможностей равно:

Если мы повторим эту операцию для каждого значения энергии, то получим число конфигураций, совместимых с нашим распределением. Больцман доказал, что это число можно вычислить, пользуясь факториальными функциями:

С этим уравнением очень сложно работать, так как оно содержит факториальные функции, которые, при больших значениях N, дают в результате огромные числа. Однако мы можем примерно понять возможные прогнозы.

У нашего газа есть заданная энергия. Так как она ограничена с внешней стороны, суммарная энергия не может измениться. Если бы у нас было много частиц с очень большой энергией, нам пришлось бы выбрать много частиц с небольшой энергией, чтобы компенсировать это. Поскольку количество энергии ограничено, число частиц с большой энергией также ограничено. Мы можем сделать вывод, что существует мало комбинаций, при которых у большого количества частиц очень большая энергия. Точно так же, если бы у большого количества частиц была очень небольшая энергия, нам пришлось бы выбрать много частиц с большой энергией, чтобы компенсировать это. Это означает, что сокращается число вариантов и, следовательно, существует мало комбинаций со значительным числом частиц с очень большой или очень небольшой энергией.

* * *

ВЫВЕДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬЦМАНА

Распределение вероятности Больцмана можно получить после серии операций с факториалами. Предположим, что у нас есть N_1 частиц с энергией первого уровня, N_2 — с энергией второго уровня, и так далее. Нас интересует число возможных комбинаций для помещения N_1 частиц в N мест. Для первой частицы у нас есть N вариантов, для второй (N — 1), и так далее до (N — (N_1 — 1)). Это дает нам следующее количество состояний:

Поскольку нам не важен порядок, в котором мы расположим N_1 частиц, мы должны разделить это на все их возможные комбинации, а именно на N_1!. Получаем:

Если мы осуществим ту же операцию для второго уровня, то получим похожую формулу, хотя в этом конкретном случае вместо N начальных возможностей у нас будет только (N — N_1):

Мы можем применить это рассуждение ко всем энергетическим уровням. Общее число комбинаций будет результатом их умножения:

Далее видим, что большинство членов сокращается и остается выражение:

Это распределение вероятностей и вывел Больцман.

* * *

Зато если большинство частиц имеют энергию, приближенную к средней, у нас есть много вариантов для выбора. Следовательно, наиболее вероятная комбинация значений энергии — та, в которой большинство частиц имеет энергию, приближенную к средней, и только энергия некоторых сильно отличается от средней. Поскольку энергия и скорость частицы связаны, мы можем сделать тот же вывод о скоростях.

Из предыдущего рассуждения следует, что распределение скоростей молекул газа имеет форму, похожую на ту, что показана на графике на стр. 57.

Как видно из этого графика, пик скоростей находится вокруг наиболее вероятной скорости, и чем больше мы отдаляемся от него, тем сложнее найти частицу с такой скоростью. Результат совпадает с тем, что нам говорит здравый смысл. Представим себе, что у нас есть частица, которая движется очень быстро; рано или поздно она столкнется с другой и передаст ей часть своей энергии, после чего замедлится. Если частица движется очень медленно, рано или поздно она столкнется с другой, более быстрой, и ее скорость увеличится. А частица, движущаяся со средней скоростью, скорее столкнется с частицами, движущимися с той же скоростью, и, следовательно, она не приобретет и не потеряет энергию.

Хотя распределение скоростей, которое мы видели выше, было предложено Джеймсом Клерком Максвеллом (1831–1879), именно Больцман подвел под его идеи теоретическое обоснование, поэтому его называют распределением Максвелла — Больцмана. В его математическом выражении используется экспоненциальная функция у основанная на числе Эйлера, е. Число е — это иррациональное число, приблизительно равное 2,71828. Вычисляется оно сложением следующего бесконечного ряда:

Точно так же как 2^3 — это 2·2·2, е можно возвести в любую степень: е^3  = = е·е·е. Распределение Максвелла — Больцмана выражается с помощью экспоненциальной функции следующим образом:

где m — масса молекул газа, k — постоянная Больцмана, Т — температура газа и v — скорость молекулы. Экспонента быстро растет при росте v — поскольку 2^10 намного больше, чем 2^2. Это означает, что вероятность найти молекулы с очень высокими скоростями должна быть очень маленькой. С другой стороны, когда v равна нулю, вероятность равна ему же, и это означает, что невозможно найти молекулу, которая находилась бы в состоянии покоя.

* * *

ЧИСЛО ЭЙЛЕРА

Число Эйлера — одно из самых важных в математике. Кроме того, что это иррациональное число, у него есть ряд поистине волшебных свойств. Возможно, самое интересное из них то, что экспоненциальная функция, еx равна своему угловому коэффициенту. Возьмем следующий график.

Угловой коэффициент функции — это точка, которая определяется как отношение между возрастанием функции по высоте и возрастанием по горизонтали. На этом графике мы можем вычислить угловой коэффициент в каждой точке. Итак, если мы представим угловой коэффициент функции х, то получим тот же график.

Число Эйлера связано и с другим известным числом, π. Существует уравнение, связывающее е с π и мнимой единицей i, которая определяется как квадратный корень из -1:

eiπ - 1 = 0

Многие математики считают это уравнение одним из самых элегантных в истории науки, поскольку в нем самые важные числа собраны в простом тождестве.

* * *

Другие виды статистики

До сих пор мы считали, что частицы газа подобны бильярдным шарам. Даже если они очень похожи, мы можем каким-то образом различить их. Например, мы можем снять их на видео и следить за их изменением или пометить их фломастером. Однако это предположение, которое, кажется, соответствует здравому смыслу, не работает для очень маленьких частиц, таких как атомы или молекулы. Не существует способа отличить два атома водорода, дело выглядит так, будто это одна и та же частица, которая одновременно находится в двух разных местах. Это справедливо для любой элементарной частицы — электрона, протона или фотона.

Указанная тонкость не имеет значения при анализе свойств газа комнатной температуры, но становится очень важной в изучении газовой динамики при низких температурах и высокой плотности. В этой ситуации распределение Максвелла — Больцмана дает ошибочный результат для распределения скоростей молекул.

Этот факт обязал физику полностью трансформировать математическую теорию, которая использовалась для описания объекта, образованного из нескольких частиц, благодаря чему были созданы новые типы статистики: статистика Бозе — Эйнштейна и статистика Ферми — Дирака, которые мы рассмотрим позже. Несмотря на то что основание этих дисциплин лежит в области физики, они могут считаться математическими инструментами.

Предположим, что у нас есть газ, состоящий из нескольких молекул. Возьмем две из них и заменим одну на другую. Изменилось ли при этом состояние газа?

Классическая физика утверждает, что изменилось: хотя обе частицы на практике неразличимы, им можно, например, дать имена — «Андрей» и «Филипп». В первом случае Андрей стоит слева, а Филипп справа, а во втором случае — наоборот. А поскольку микросостояние изменилось, то и целая вселенная, в которой Андрея и Филиппа поменяли местами, совсем не та же самая, что была до этой перемены.

Квантовая механика, то есть теория, описывающая микроскопический мир, дает другой ответ. Единственное, что нам важно во время изучения частицы, это ее степени свободы — числа, нужные для описания ее состояния. Например, состояние молекулы задано ее импульсом, положением и вращением вокруг своей оси. Если мы заменим ее на идентичную молекулу с тем же импульсом, положением и вращением, не существует способов различить эти частицы. Поскольку все получение информации о Вселенной сводится к замерам, обе частицы — на самом деле одна и та же. Даже в теории между ними невозможно найти различия.

Есть и еще одна важная тонкость. В квантовой механике известно два типа частиц: бозоны и фермионы, которые отличаются типом вращения вокруг своей оси. Оказывается, что эти частицы имеют совершенно разные статистические свойства: два бозона могут быть одновременно в одном и том же состоянии, в то время как два фермиона — нет. Из-за этого макроскопическое поведение субстанций, образованных бозонами либо фермионами, абсолютно различно.

Когда мы говорим, что два бозона могут находиться в одном и том же состоянии, мы имеем в виду, что, например, у нас может быть два фотона в одном и том же месте с одинаковой энергией. Это справедливо не только для фотонов, но и для твердых объектов. Примером этого является гелий-4 — атом гелия с двумя протонами и двумя нейтронами.

В газе комнатной температуры тот факт, что два бозона могут быть в одном и том же состоянии, не имеет значения: при высоких температурах и низких концентрациях существует большой диапазон доступной энергии и положений, так что очень редко две частицы газа находятся в одном и том же состоянии. Однако по мере увеличения плотности газа его частицы располагаются все ближе друг к другу, но пока не соприкасаются. Если температура очень низкая, молекулы также имеют довольно небольшую энергию, и это означает, что число доступных энергий также очень невелико. Именно здесь вступает в игру статистика Бозе — Эйнштейна.

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, два бозона могут быть в одном и том же состоянии. То есть если сильно охлаждать газ и одновременно сжимать его, наступит момент, когда молекулы газа окажутся очень близко друг к другу и будут иметь очень маленький диапазон доступной энергии. Это приведет к тому, что некоторые молекулы войдут в одно и то же состояние, то есть будут иметь одно и то же положение и энергию. Если мы достаточно охладим газ, мы сможем добиться того, что это сделают все молекулы, то есть все вещество газа будет вести себя как одна-единственная молекула, и это состояние материи отличается от газообразного, твердого или жидкого. Оно называется конденсатом Бозе — Эйнштейна. За последние десятилетия конденсат перестал быть теоретическим курьезом и может быть создан в лабораторных условиях.

На следующем графике показана вероятность нахождения бозона с некоторой энергией для низких температур в сравнении с той же вероятностью по распределению Максвелла — Больцмана. При высоких температурах оба распределения совпадают.

Число частиц на энергетический уровень для распределений Бозе — Эйнштейна (темно-серый) и Максвелла — Больцмана (светло-серый). Пунктиром показана статистика Ферми — Дирака.

Если же частицы, образующие газ, являются фермионами, их поведение при высокой плотности и низких температурах сильно отличается. Фермионы следуют другому типу статистики, называемой статистикой Ферми — Дирака. В этом случае два фермиона не могут быть в одном и том же состоянии. Пример фермиона — электрон, частица с отрицательным зарядом, которая вращается вокруг атомного ядра. Согласно статистике Ферми — Дирака, у двух электронов, вращающихся вокруг ядра, должны быть различные состояния, поэтому на каждый энергетический уровень может быть только два электрона: при одной и той же энергии у них будет разное внутреннее вращение. В результате не все электроны могут располагаться на орбите, ближайшей к атомному ядру, что, в свою очередь, порождает химические свойства вещества. То есть химия — это прямое следствие из статистики Ферми — Дирака.

Пример, в котором статистика Ферми — Дирака получает огромное значение, — это случай белого карлика. Белый карлик — остаток такой звезды, как Солнце, которая, избавившись от внешних слоев, остается с чрезвычайно плотным ядром. Ядро сжимается из-за гравитации, создавая огромное давление. При сжатии ядра электронные оболочки атомов разрушаются, и вещество ядра превращается в электронно-ядерную плазму. Однако при достижении некоторой массы звезды наступает момент, когда силы гравитации уравновешиваются силами давления, которое называется давлением вырожденного газа. Это давление препятствует превращению белого карлика в черную дыру — область пространства, из которой ничего не может вырваться. Плотность белого карлика огромна: чайная ложка его вещества весит более тонны.

* * *

КОНДЕНСАТЫ БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА, СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ И СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ

Некоторые конденсаты Бозе — Эйнштейна, если их достаточно охладить, ведут себя как сверхтекучие жидкости. Сверхтекучая жидкость — это жидкость с нулевой вязкостью: она никак не сопротивляется изменению формы, и из-за этого ее поведение очень отличается от поведения обычной жидкости. Например, если поместить сверхтекучую жидкость в сосуд, она будет стремиться выйти из него и собраться на земле, где потенциальная энергия меньше.

Наглядное представление способности жидкого гелия выходить за пределы тел, с которыми он контактирует.

Хотя электроны являются фермионами, а не бозонами, электроны некоторых металлов могут соединяться в пары, так называемые пары Купера, которые ведут себя как бозоны. При низких температурах эти пары создают сверхтекучую жидкость электронов, и это означает, что подобный материал может проводить электричество без какого-либо сопротивления. Такое свойство называется сверхпроводимостью и имеет большое технологическое применение: с ним, например, связана возможность поддерживать в воздухе магнитопланы или конструировать мощные магниты Большого адронного коллайдера — ускорителя частиц, построенного в ЦЕРНе.

* * *

Хотя статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна были разработаны для работы с физическими явлениями, их применение (впрочем, это справедливо для любого хорошего математического инструмента) вышло далеко за пределы физики. Например, статистика Бозе — Эйнштейна используется при изучении комплексных сетей.

Комплексную сеть можно рассматривать как ряд узлов, связанных между собой некоторыми законами, регулирующими появление и связь новых узлов. Существует большое количество систем, которые можно смоделировать как комплексные сети, например группа друзей какого-то человека: каждый индивид связан со своими друзьями, которые, в свою очередь, связаны с другими, и эти связи образуют развитую сеть. Любопытный результат теории комплексных сетей состоит в том, что у человека обычно меньше друзей, чем у его друзей в среднем. Это можно объяснить тем, что некоторые узлы сети стремятся сконцентрировать на себе множество связей, и, следовательно, вероятность быть связанным с таким узлом выше, чем с узлом с небольшим количеством связей.

Это справедливо и для числа людей, с которыми у человека были в течение жизни любовные отношения: теория комплексных сетей утверждает, что в среднем у партнера таких отношений было больше. Это связано с тем, что гораздо вероятнее образовать пару с человеком, у кого было много других партнеров, чем с тем, у кого их было очень мало.

Теорию сетей можно использовать и для моделирования мозга, при этом нейроны рассматриваются как узлы, а также для того, чтобы математически представить связи между людьми в социальных сетях или объяснить число ссылок между сайтами. Другое важное применение, возникшее совсем недавно, заключалось в анализе концентрации богатства: Джеймс Глаттфельдер (1972) провел исследование, в котором пытался выяснить, кому принадлежит большинство предприятий планеты.

Для этого он использовал комплексную сеть, в которой узлы были компаниями или индивидами, а связи между узлами устанавливались в зависимости от процентного соотношения владения. Глаттфельдер выяснил, что 43 тысячи проанализированных компаний контролируются одним процентом членов общества, образуя взаимосвязанную и нестабильную сеть.

В 2001 году Джинестра Бьянкони, будучи еще аспиранткой Университета Нотр-Дам, поняла, что существуют идеальные параллели между комплексными сетями и конденсатами Бозе — Эйнштейна. Если представить узлы сети в качестве вариантов доступной энергии, а связи между ними — в качестве частиц, становится очевидно, что сеть ведет себя как бозонный газ при низкой температуре: частицы стремятся к состояниям с более низкой энергией. Этот эффект проявляется во всех типах сетей, как социальных, так и экономических. Например, в случае с интернетом и рынком существует эффект, называемый преимуществом первого пользователя, при котором первая компания, создающая некоторый тип продукта, или первые пользователи социальной сети получают наибольшее количество преимуществ. Это также соответствует нашей модели, в которой этих первых пользователей можно считать состояниями низкой энергии системы, что создает скопление частиц или появление связей между ними. Пользуясь этой моделью, можно объяснить различные вещи: от структуры друзей в социальных сетях до связи между ссылками на сайты.

Статистические суммы

Изучение газовой динамики подтолкнуло создание других математических инструментов, имеющих большое значение для изучения любого типа систем. Пример этому — так называемые статистические суммы газа. Для того чтобы понять, что такое статистическая сумма, сначала мы должны остановиться на некоторых тонкостях микро- и макросостояний.

Вспомним, что число микросостояний, совместимых с макросостоянием, задано различными комбинациями энергии, которую могут иметь молекулы. Как только мы получили это значение, можно задать вопрос, каково распределение энергии, которая дает наибольшую вероятность, то есть какое из макросостояний наиболее вероятно. В конце концов мы обнаружим, что скорости частиц должны быть распределены определенным образом, как было показано ранее.

Исходя из распределения скоростей, можно сделать вывод, что число частиц с определенным уровнем энергии при увеличении энергии уменьшается. Значит, можно создать математический объект, который бы кодифицировал все возможности получения каждого значения энергии. Этот объект называется статистической суммой и выражается также с помощью экспоненциальной функции. Если энергия частицы i равна Еi, то статистическая сумма Z равна:

Каждый член статистической суммы пропорционален вероятности найти частицу с такой энергией, таким образом, статистическая сумма кодифицирует всю информацию о нашей системе. Благодаря этому мы можем использовать ее для интересующих нас расчетов: например, общей энергии или вероятности нахождения газа в состоянии, отличном от наиболее вероятного.

Газ не имеет памяти

Важное свойство статистической суммы заключается в том, что ее состояние не зависит от прошлого. Газ не помнит того, что случилось две секунды назад, и его изменение абсолютно не зависит от этого — это известно как Марковское свойство, и им обладает любая система, которую можно описать с помощью статистической суммы.

То, что газ обладает Марковским свойством, означает, что как только он придет в состояние равновесия, будет невозможно узнать, каким образом он в него пришел: информация, касающаяся прошлого газа, исчезнет. Два газа одного вещества одной и той же температуры, давления и объема неотличимы, даже если один пришел к этому состоянию с помощью заморозки, а другой — путем разогрева. В других классических системах, таких как бильярдные шары, Марковское свойство не соблюдается: всегда можно восстановить последовательность. В случае с газом теоретически это также можно было бы сделать, но на практике поведение этого состояния материи непредсказуемо.

Марковское свойство довольно полезно в некоторых областях, например в таких как искусственный интеллект, когда необходимо добиться того, чтобы компьютер рассуждал, словно человек, а это обязывает программиста допустить в рассуждениях машины определенную степень случайности. Один из способов сделать это — взять законы логики и применить их для получения вероятностного поведения (такой способ называется логической сетью Маркова).

Пример логического закона — это принцип транзитивности: если А предполагает В, а В предполагает С, то А предполагает С. Однако в логике нет места неопределенности: А либо истинно, либо ложно, но оно не может быть истинным частично. Программа искусственного интеллекта должна уметь управлять неопределенностью, а для этого ей нужно адаптировать законы логики к вероятности. Например, у А может быть только одна вероятность быть истинным. Кроме того, А может предполагать В только иногда, и то же самое может происходить с С. Тогда мы получим, например, такую логическую цепочку: если А обычно предполагает В, а В иногда предполагает С, то А иногда предполагает С. Этот тип вероятностных систем может быть описан с помощью статистических сумм, похожих на те, что мы вывели для газов.

И вновь идея, рожденная в лоне физики, была адаптирована математиками и использована для функций, очень мало связанных с исходным предназначением. Для решения практической задачи был найден математический инструмент, который, оказывается, может служить гораздо более широким целям, чем предполагалось вначале.

В следующей главе будет рассмотрен потрясающей пример этого явления: как понятие энтропии, изначально введенное для изучения работы паровой машины, стало использоваться для разработки математической теории информации.

Глава 4

Информация и хаос

Изучение газовой динамики началось не с теории атома, а развивалось независимо в течение нескольких десятилетий, пока Больцману не удалось соединить механику, изучавшую движение частиц, с термодинамикой, которая занимается такими явлениями, как тепло и температура.

До этих пор законы, управлявшие газами, открывались эмпирически. Например, было известно, что давление газа в сосуде увеличивается с ростом температуры. Было также известно о соответствии между теплом и энергией: можно увеличить температуру жидкости, поставив ее на огонь или даже просто помешивая жидкость палочкой. Значит, тепло — это другая форма энергии.

Связь между теплом и энергией сделала возможным появление двигателей, то есть машин, которые превращают тепло в энергию механически с помощью расширения и сжатия газов. В автомобиле бензин сжигается, чтобы привести машину в движение. Энергия, хранящаяся в топливе, превращается в кинетическую энергию автомобиля. Вскоре было открыто, что превращение тепла в механическую энергию несовершенно, потому что всегда связано с потерями энергии. В целом при трансформации энергии одного типа в энергию другого типа в итоге получается немного меньше полезной энергии, чем в начале процесса. Это довольно нежелательная ситуация, поскольку двигатель, теряющий часть энергии, требует больше топлива, а топливо дорогое, так что инженеры искали способ создания более эффективных двигателей с нулевыми потерями энергии. Но эта цель так и не была достигнута.

* * *

ЦИКЛ КАРНО

Первая формулировка второго закона термодинамики принадлежит Николя Леонару Сади Карно (1796–1832) — французскому инженеру, который занимался изучением эффективности паровых машин. Карно сосредоточился на идеальной машине, или машине Карно, в которой источник тепла нагревает газ, газ расширяется и выполняет работу, чтобы затем снова сжаться при контакте с источником холода.

Карно открыл, что эффективность его машины ограничена разницей температур, создаваемых этими двумя источниками; он доказал также, что его идеальная машина — наиболее эффективная из возможных, но на практике любая машина будет менее эффективной. Это стало первой формулировкой второго принципа термодинамики, что в итоге привело к появлению понятия энтропии.

* * *

Однако в этих поисках родилось понятие энтропии. Физики того времени осознали, что в любом процессе во Вселенной энергия стремится распределиться таким образом, что всегда в итоге оказывается меньше полезной энергии, чем было вначале. Энтропия системы — это мера рассеивания ее энергии. Поскольку энергия стремится рассеиваться, как мы заметили в примере с двигателями, можно предположить, что энтропия в любом процессе стремится расти. Так родился второй закон термодинамикиf который гласит: суммарная энтропия изолированной системы будет увеличиваться.

Второй закон термодинамики нельзя было вывести из более фундаментальных принципов. Казалось, что само его существование противоречит законам Ньютона, которые не имеют направленности во времени и справедливы как по отношению к будущему, так и по отношению к настоящему. Иными словами, законы Ньютона воздействуют на такие системы, словно бильярдные шары на поле, и невозможно увидеть запись их столкновения на повторном просмотре. Однако второй закон термодинамики показывает разницу между прошлым и будущим: будущее — это то направление, в котором растет энтропия.

В дальнейшем будет видно, как развивалось понятие энтропии, которая перестала быть инструментом изучения газа и превратилась в один из столпов математической теории информации, а затем была применена к еще более фундаментальным проблемам.

Энтропия и вероятность

В предыдущей главе мы видели, что газ стремится к макросостоянию, для которого характерно наибольшее число микросостояний, совместимых с ним. Это дает нам много информации о макроскопическом состоянии газа. Предположим, что у системы есть три различных возможных макросостояния, из которых у первого — два микросостояния, совместимых с ним, у второго — четыре, а у третьего — 300 тысяч миллионов. Если мы наблюдаем систему в случайно выбранный момент, существует огромная вероятность того, что мы наблюдаем ее в третьем макросостоянии, просто потому что оно имеет намного больше возможностей для возникновения. Можно сказать, что вероятность третьего макросостояния намного больше, чем двух других.

Если мы посчитаем общее число микросостояний, получится:

N = 2 + 4 + 300 000 000 000 = 300 000 000 006.

Вероятность первого состояния равна числу микросостояний (2), разделенному на общее число возможных микросостояний, то есть:

Между тем вероятность третьего равна:

Позже мы увидим, как наиболее вероятные состояния соответствуют более высокой энтропии.

Теперь предположим, что у нас есть газ в коробке, и, используя поршень, мы заставляем все молекулы разместиться в ее верхнем углу, как показано на рисунке.

Если мы уберем поршень, как поведет себя газ? Куда будут двигаться его частицы?

Опыт и здравый смысл говорят нам, что они будут стремиться заполнить весь объем коробки. Это совпадает со вторым законом термодинамики, в котором утверждается, что энергия стремится от большей концентрации к меньшей. Вначале энергия очень концентрированная, поскольку она вся находится в углу коробки; но как только объем расширился, энергия стала меньше. Посмотрим, что гласит модель газа Больцмана.

Для проверки прогноза по модели распределения Больцмана обратим внимание на число микросостояний, которые имеют оба макросостояния: то, которое соответствует расположению газа в верхнем углу коробки, и то, которое соответствует равномерному распределению газа по всему объему. Представим, что молекулы могут занимать только определенные области, располагаясь решеткой. Так мы можем сравнить число микросостояний одной и второй конфигураций. Сделаем огромную по сравнению с молекулой решетку, чтобы расчеты были более понятными, и представим себе, что у коробки только два измерения, то есть квадрат, представленный на фигуре ниже, — это вся коробка.

Предположим, что наш газ имеет три частицы. В первом случае они будут ограничены верхней левой площадью коробки, отмеченной серым. Как видно, для этой области есть 25 возможных положений для каждой из частиц. Поскольку у нас есть три частицы, которые мы можем расположить где угодно без наложений, общее число микросостояний будет 25·24·23 = 13800.

Теперь обратим внимание на целую коробку. Ее сторона равна 10 единицам, так что общее число возможных позиций равно 100. Общее число микросостояний равно 100·99·98 = 970200. Итак, очевидно, что гораздо больше микросостояний совместимо со второй возможностью, чем с первой. Действительно, мы можем вычислить вероятность того, что газ окажется в верхнем углу. Это будет число совместимых микросостояний, разделенное на общее их число:

Итак, существует 98,6 % вероятности того, что газ займет всю коробку. Если бы мы взяли больше частиц и более мелкую сетку, то получили бы более значительную разницу. Таким образом, модель распределения Больцмана говорит то же самое, что и термодинамика.

Можно задаться вопросом, существует ли какой-нибудь микроскопический способ понять энтропию термодинамики. Энтропия — это величина, которая возрастает в каждом изолированном процессе и дает нам меру разрежения энергии. Можем ли мы найти какую-то величину, которая бы тоже выросла в процессе, который мы только что изучили? Ответ — да: возросло число микросостояний. Если в начале мы насчитывали их 13 800, то в конце — почти миллион. Число микросостояний показывает нам, какова вероятность получения этого макросостояния; кроме того, разумно предположить, что система всегда эволюционирует в сторону наиболее вероятного состояния. Итак, мы можем прийти к выводу, что энтропия и число микросостояний могут быть каким-то образом связаны.

* * *

ЛЮДВИГ БОЛЬЦМАН И АТОМЫ

Людвиг Больцман (1844–1906), портрет которого вы видите рядом с этими строками, был австрийским физиком, который ввел идею, что такие термодинамические явления, как температура, на самом деле — крупномасштабное проявление микроскопического поведения атомов. В то время само существование атомов еще вызывало дискуссии, и многие коллеги ученого отвергали его теорию, считая, что не существует никакого доказательства того, что материя состоит из элементарных частиц.

Больцман покончил жизнь самоубийством в 1906 году — как гласит легенда, из-за того, что научное сообщество отвергло его идеи. На самом деле это было связано с проблемами медицинского характера, а не с научным разочарованием. Через два года после смерти Больцмана Жан Батист Перрен (1870–1942) подтвердил существование атомов с помощью эксперимента над броуновским движением, в котором маленькие частицы пыли хаотично двигались, сталкиваясь с молекулами жидкости.

* * *

К этому же выводу пришел и Больцман, которому удалось доказать, что энтропия пропорциональна логарифму числа микросостояний, умноженному на его известную постоянную. Логарифм обозначается как log и является обратным экспоненте. Например, выражение log3 говорит нам, в какую степень мы должны возвести число 10, чтобы получить 3. Математически энтропия Больцмана выражается следующим образом:

S = k·logW,

где S — энтропия, k — постоянная Больцмана и W — число микросостояний.

Энтропия как хаос

В популярной литературе часто встречается объяснение энтропии как хаоса. Теперь, когда мы знаем связь между энтропией и числом микросостояний, мы можем понять, почему это происходит. Самый простой способ увидеть это — обратить внимание на доску, покрытую шашками.

Предположим, что мы ставим шашки в порядке, как показано на рисунке.

Каково сейчас число микросостояний, совместимых с этой конфигурацией? Чтобы найти его, воспользуемся рассуждениями из области комбинаторики, подобными приведенным в предыдущей главе. У нас 32 черные клетки и столько же белых. Мы ставим первую черную шашку на любое белое поле; для следующей есть только 31 вариант, и так далее. Следовательно, существует всего 32! способа распределить черные шашки, если считать, что они отличаются друг от друга. Точно так же есть 32! способа распределения белых шашек, так что всего у нас 32!·32! способов установить шашки, чтобы получить вышеуказанную конфигурацию.

Остальные конфигурации будут более беспорядочными, чем эта, поскольку нет никаких ограничений, связанных с тем, как следует располагать шашки. Например, конфигурации, показанные ниже, более беспорядочны, чем предыдущая.

Вычислим общую сумму возможных конфигураций всех шашек. Поскольку нам все равно, белая шашка или черная и где она находится, рассмотрим их все одновременно. Для первой у нас будет 64 возможности, для второй — 63, и так далее.

Итак, общее число конфигураций равно 64! Вероятность получения упорядоченной конфигурации равна числу упорядоченных конфигураций, разделенному на общее число конфигураций:

Как видите, упорядоченное положение имеет очень малую вероятность, а хаотичные состояния, напротив, очень вероятны. Поскольку состояния, характеризующиеся высокой энтропией, а также хаотичные состояния имеют очень высокую вероятность, мы можем связать их друг с другом и заключить, что состояния высокой энтропии более хаотичны.

Энтропия как непредсказуемость

Как мы только что увидели, энтропия пропорциональна числу микросостояний, характерных для макросостояния, в котором находится система. Однако даже зная макросостояние, мы не можем знать микросостояние, и чем выше энтропия системы, тем ниже ее предсказуемость. Предположим, что у нас есть система с 1000 различных микросостояний. Если мы знаем, что в этот момент она находится в первом, мы можем быть уверены только в том, что в следующий момент она будет находиться в одном из других 999. Но если у нас есть система только из десяти состояний, мы знаем, что есть только девять возможностей, начиная с текущего момента, то есть такая система более предсказуема.

Можем пойти еще дальше и задать вопрос, какова минимально возможная энтропия для любой системы и какому количеству микросостояний она соответствует.

Вспомним, что энтропия равна:

S = k·logW,

где функция log — это логарифм, функция, обратная экспоненте. Предположим, что у нас только одно микросостояние: в этом случае логарифм единицы равен нулю, поскольку любое число, возведенное в нулевую степень, равно единице. Итак, энтропия одного микросостояния равна нулю. С точки зрения непредсказуемости это справедливо: нет более предсказуемой системы, чем та, у которой только одно состояние. Ее непредсказуемость точно равна нулю.

Энтропия как степень неосведомленности

Есть и другой способ понимания энтропии, который может быть адаптирован для применения за пределами физики — в рамках теории информации. Речь идет о понимании энтропии как недостающей информации о системе, то есть о степени нашей неосведомленности.

Как было видно в предыдущей главе, обычно мы знаем давление, температуру и объем газа, но при этом не знаем всего остального, то есть мы обладаем смехотворным количеством информации, необходимой для описания состояния системы.

Пусть даже эта информация — единственно значимая для прогнозирования, но она остается крайне малой по сравнению со всей информацией о рассматриваемом газе. Главную роль в способе описания энтропии снова играет число доступных микросостояний. Если в системе миллион состояний и мы не знаем, в каком из них она находится, степень нашей неосведомленности намного больше, чем если бы в ней было только десять состояний. Итак, мы знаем о системе с высокой энтропией намного меньше, чем о системе с низкой энтропией.

Какой же смысл в том, чтобы принимать энтропию за информацию? Информации нужен наблюдающий субъект — это не что-то, что можно потрогать. Когда мы говорим «энтропия системы — это степень нашей неосведомленности о ней», кажется, будто мы утверждаем, что энтропия не имеет реального существования во Вселенной, это просто человеческое понятие, которое измеряет то, что мы знаем, и не более.

Действительно, есть системы, для которых понятие энтропии не имеет смысла. В системе, состоящей из предмета, прикрепленного к пружине, и самой пружины, нет никакой энтропии: само это понятие неприменимо к ситуации. Энтропия — макроскопическая величина и сама по себе применима только для скоплений частиц. Однако в фундаментальных законах Вселенной о ней нет никакого упоминания: речь идет о статистическом понятии, которое помогает нам осмыслить некоторые характеристики сложных систем.

Именно понимание энтропии как меры информации привело американского математика Клода Шеннона (1916–2001) к использованию ее в качестве ключевого элемента в своей теории информации.

Энтропия как информация

Предположим, что мы опаздываем на ужин с нашей второй половинкой и хотим послать ей сообщение: «Сегодня я опоздаю на ужин». Для этого наш мобильный телефон должен обработать информацию, содержащуюся в нашем сообщении, перевести ее в электрические импульсы и послать ее с помощью электромагнитных волн. Телефонной компании хотелось бы использовать минимальное количество энергии для передачи нашего сообщения, поскольку энергия стоит денег. Так что ей нужно знать минимальное количество информации, которое должно быть зашифровано.

Первая мысль, которая приходит в голову, заключается в том, что компания должна зашифровать столько информации, сколько букв в сообщении. Например, «Сегодня я опоздаю на ужин» содержит 21 единицу информации или 25, если считать пробелы. Но мы ошибаемся, потому что в одной букве содержится больше, чем одна единица информации. Итак, прежде всего мы должны подумать о том, что такое информация и как ее можно измерить.

Понятие информации связано с понятием сообщения: предположим, что каждый раз, когда мы посылаем сообщение, мы передаем информацию. Если мы определим самое простое сообщение, которое можем послать, оно и будет минимальной единицей информации.

В нашу информационную эпоху все знают о том, что минимальной единицей информации является бит. Бит — это единица или ноль, аналог ответа на вопрос: «да» или «нет». Не существует меньшей единицы, ведь наименьшее, что мы можем передать, это присутствие или отсутствие чего-либо. Чтобы узнать содержание сообщения, мы должны перевести его в биты.

Посмотрим, как можно зашифровать фразу «Сегодня я опоздаю на ужин» в битах. При этом мы можем шифровать только два типа данных: ноль или один. Однако в двух битах мы можем зашифровать четыре: 00, 01,10, 11. В трех битах у нас уже восемь возможностей: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. А для n бит у нас есть 2n  возможностей, то есть два, умноженное на себя n раз. Каково минимальное число битов, нужное нам, чтобы зашифровать буквы алфавита? Поскольку в латинском алфавите 26 букв, нам потребуется по крайней мере 26 возможностей. Наиболее близкая степень двух — 32, или 23, так что минимальное необходимое число битов для того, чтобы зашифровать букву, равно пяти.

На практике для шифрования буквы используется более пяти битов, поскольку у нас есть заглавные буквы и различные символы, которые также нужно связать с последовательностью битов. Обычно используют восемь битов, из которых составлен так называемый код ASCII, который позволяет представить каждую букву в виде последовательности единиц и нулей. Например, буква а соответствует последовательности 01100001.

Коды ASCII для заглавных и строчных букв. Существует 8-битная кодировка кириллического алфавита, совместимая с ASCII, — КОИ-8.

Поскольку каждой букве соответствуют восемь битов, а наше сообщение содержит двадцать пять букв, мы можем сосчитать, сколько информации в нем содержится:

25·8 = 200 битов.

В целом мы можем представить любую цепочку символов в качестве цепочки битов, информация которой обычно равна ее длине. Но это не всегда так. Например, возьмем цепочку:

1111111111111111111111111111111111111111111111.

Это сообщение содержит 46 битов, но они несут меньше информации, чем могли бы, поскольку здесь повторяется одна и та же цифра. Действительно, если бы мы хотели продлить цепочку, то легко могли бы догадаться, что следующий символ — тоже единица. Итак, предсказуемость цепочки делает информацию, которую она содержит, меньшей, чем ее длина в битах. Именно здесь вступает понятие энтропии: предсказуемая цепочка битов характеризуется меньшим количеством энтропии и, следовательно, меньшим количеством непредсказуемой информации. Поэтому энтропия — хорошая мера информации, содержащейся в цепочке битов.

Энтропия Шеннона

Связь между информацией и случайностью очень тонка и предполагает, что создание цепочки в битах — процесс с непрогнозируемым результатом. Представим, что цепочка битов выбирается на основе броска монеты. В этом случае мы знаем, что следующий бит будет либо нулем (орел), либо единицей (решка), но не более того: монета абсолютно непредсказуема. В этом случае случайно возникшая цепочка битов содержит количество информации, равное ее длине.

Но предположим, что монета, которую мы используем, фальшивая, и на вероятность выпадения орла приходится 70 %. В этом случае каждый бит будет содержать немного меньше информации, поскольку мы знаем, что более вероятно выпадение орла.

Крайний случай — это цепочка, состоящая из единиц. Если мы знаем, что при броске всегда выпадает решка, то, подбрасывая монету, не получаем вообще никакой информации. Итак, когда цепочка битов полностью предсказуема, содержание информации в ней нулевое. Шеннон основывался на этой идее в сочетании с формулой энтропии Больцмана для создания собственного определения энтропии, применимого к информации.

Поскольку вероятность получения результата играет роль, подобную числу микросостояний в теории Больцмана, Шеннон определил энтропию как сумму логарифмов вероятности получения этого результата для каждого бита. В математической нотации его формула выглядит следующим образом:

Н = — P_1log_2P_1 — P_2log_2P_2 — P_3log_2P_3 — … — Pnlog_2Pn,

где H — энтропия, Р — вероятность получения некоторого значения для каждого символа.

Символы log_2 означают, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень двух. Например, логарифм восьми по основанию два равен трем, поскольку три — это степень, в которую надо возвести два, чтобы получить восемь.

Формулу можно трактовать следующим образом: если некоторое значение бита очень вероятно, его информационное содержание низко; если значение маловероятно, бит несет гораздо больше информации. Нам нужно найти сумму всех возможных значений и умножить на их вероятность, поскольку наиболее вероятные значения встречаются чаще.

Формулу Шеннона можно использовать для определения информационной насыщенности сообщения, статистически исследовав появление в нем различных символов.

Возьмем предыдущий пример: «Сегодня я опоздаю на ужин». Порядок букв может показаться стихийным, и только зная, что фраза написана на русском языке, мы можем сделать какие-либо выводы о вероятности каждой буквы. Например, мы знаем, что в русском языке вероятность встретить букву ы после ж, ш или я после ч, щ крайне низка. Мы также знаем, что в начале слова никогда не встречаются буквы ъ и ь. Вся эта информация может использоваться для сжатия сообщения. Но даже если бы мы ничего не знали о языке как таковом, статистический анализ любого текста позволяет, основываясь на частоте каждой буквы, довольно сильно сжать его. Этот метод используется в программах для сжатия архивов: вначале они ищут в сообщении закономерности, а затем используют их для уплотнения информации.

Энтропия Шеннона измеряется в битах. Если вычислить ее содержание в букве такого текста, как эта книга, окажется, что она равна примерно одному биту, что намного меньше восьми битов, необходимых для передачи этой буквы.

* * *

ШЕННОН И ФОН НЕЙМАН

Определение энтропии Шеннона, кажется, гораздо больше связано с информацией, чем с энтропией, так что выбор названия может показаться удивительным. Согласно некоторым его биографам, идея принадлежала великому математику Джону фон Нейману (1903–1957), который во время одного из своих визитов сказал Шеннону следующее: «Тебе следует назвать ее энтропией по двум причинам. Во-первых, твоя функция неопределенности уже используется в статистической механике под таким названием, так что у нее уже есть имя. А во-торых, и это более важно, никто на самом деле не понимает, что такое энтропия, поэтому в спорах у тебя всегда будет преимущество».

* * *

Энтропия чисел

Поскольку число также может быть выражено как цепочка символов, в нем тоже имеется некоторое количество информации и, следовательно, некоторая энтропия Шеннона. Самый простой способ вычислить энтропию числа — это рассмотреть его выражение в двоичной системе. При этом вместо привычных арабских цифр используются единицы и нули. Когда мы записываем число арабскими цифрами, то на самом деле используем степени числа 10:

2345 = 2·1000 + 3·100 + 4·10 + 5·1 = 2·10^3 + 3·10^2 + 4·10^1 + 5·10^0.

Но мы можем использовать и степени числа два. Возьмем, например, число 10:

10 = 1·8 + 0·4 + 1·2 + 0·1 = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 0·2^0.

Его запись в двоичной системе выглядит так:

1010.

Значит, для передачи числа 10 требуется четыре бита информации. В десятичной форме мы могли бы выразить 10 как:

10,000000000…

И для его передачи нам потребовалось бы бесконечное число символов. Двоичное выражение десяти также можно было бы представить в виде:

1010,000000000000000…

И снова нам потребовалось бы бесконечное количество битов для передачи его в таком виде. Однако, поскольку ноль после запятой повторяется бесконечно, он не несет никакой информации, и его энтропия Шеннона равна нулю. Итак, энтропия Шеннона числа 10 — четыре бита.

Теперь обратим внимание на хорошо всем нам известное число — π. Это иррациональное число, то есть его десятичное выражение представляет собой бесконечный ряд цифр, следующих друг за другом без какой-либо регулярности. Невозможно сказать, какой будет следующая цифра числа π на основе предыдущих, даже если их тысячи миллионов. Какова же энтропия Шеннона этого числа?

Десятичное представление К выглядит следующим образом:

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781…

Как видите, перед нами бесконечное число случайных и равновероятных знаков: следующей цифрой с одинаковой вероятностью могут быть как ноль, так и, например, три. В двоичном выражении число π выглядит как:

11,0010010000111111011010101000100010000101101000110000100011010011…

И снова мы сталкиваемся с бесконечным рядом непредсказуемых нулей и единиц. В соответствии с определением энтропии Шеннона, число π содержит бесконечное количество информации, поскольку каждый его знак соответствует одному биту, и таких знаков бесконечное количество.

Многие математики предполагают, что, поскольку число знаков К бесконечно и они следуют в случайном порядке, должна существовать такая последовательность внутри числа π, которая соответствовала бы полному содержанию «Одиссеи» в двоичном коде. Или должна быть последовательность, соответствующая двоичному представлению всех фотографий, которые читатель когда-либо сделал в своей жизни. Но подобные предположения пока остаются недоказанными.

Применение энтропии Шеннона

Теория информации Шеннона имеет принципиальное значение для разработки эффективных систем коммуникации, в которых нужно не только передать сообщение с минимальными затратами энергии, но и учитывать ошибки при передаче и предусмотреть возможность их исправления. В нашу эпоху телекоммуникаций энтропия Шеннона стала чрезвычайно важным компонентом технологий.

Другая область применения теории информации — лингвистика, где энтропия Шеннона используется для анализа избыточности языковых средств. Один из самых удивительных результатов формулируется следующим образом: из каждого текста можно исключить половину букв, и информация при этом сохранится. Как видите, язык — крайне избыточный инструмент для передачи сообщений. Также было открыто, что обычно самые короткие слова в языке встречаются чаще всего — в соответствии с законом минимального усилия, в котором можно увидеть параллель с принципом наименьшего действия в физике.

Поскольку любой физический или биологический процесс влечет за собой обмен и обработку информации, теория информации может применяться в изучении живых систем, например для определения плотности информации, содержащейся в молекуле ДНК. С этой точки зрения может быть проанализирован и человеческий мозг, поскольку этот орган в основном занимается обработкой информации. Последние оценки говорят о нашей способности обрабатывать примерно 50 битов в секунду. Подтверждает это и скорость нашего чтения: обычный человек читает около страницы в минуту. Если предположить, что на странице примерно триста слов, это составит около пяти слов в секунду, а если принять, что в слове 10 битов, окажется, что человек обрабатывает 50 битов в секунду.

Однако наши органы могут получить гораздо большее количество информации о внешнем мире. Так, глаза посылают в наш мозг около 10 млн битов в секунду. Но сырая информация, которую мы получаем, перед передачей в наши центры аналитической обработки должна быть очень сильно сжата.

Алгоритмическая теория информации

Мы видели, что, согласно теории Шеннона, количество информации, содержащееся в числе π у бесконечно. Но существует и другой способ восприятия данных: например, мы можем предположить, что вся информация, необходимая для вычисления знаков π, содержится в математической формуле, описывающей это число, и, следовательно, нам не нужно бесконечное количество информации.

Этот альтернативный взгляд привел к появлению алгоритмической теории информации. Эта математическая теория, которая дополняет теорию Шеннона, была разработана сначала русским математиком Андреем Колмогоровым (1903–1987), а затем — аргентинско-американским математиком Грегори Хайтином (1947). Она основывается на понятии алгоритма — набора простых инструкций для компьютера. Ниже приведен пример алгоритма на вымышленном языке программирования, с помощью которого можно определить, является число символов во фразе четным или нечетным.

1. Посчитай число символов во фразе и сохрани результат в х.

2. Вычисли остаток деления х на два и сохрани результат в r.

3. Если r равен нулю, напиши на экране: «Число символов четное».

4. Если r не равен нулю, напиши на экране: «Число символов нечетное».

* * *

ГРЕГОРИ ХАЙТИН

Грегори Хайтин, родившийся в 1947 году, — аргентинско-американский программист и математик. Еще будучи подростком, он вывел алгоритмическую теорию информации и свою собственную версию теоремы Гёделя о неполноте, где показал, что количество недоказуемых теорем в математике намного больше, чем было принято считать. Сейчас Хайтин занимается метабиологией — математическим подходом к биологии, который изучает случайное развитие компьютерных программ для понимания биологической эволюции и возникновение творчества в строгой математической форме.

* * *

Согласно алгоритмической теории информации, информация, содержащаяся в цепочке символов, задана длиной самой короткой программы, которая ее порождает. Возьмем цепочку:

Существует программа, порождающая ее с помощью очень короткого кода.

1. Напиши единицу.

2. Вернись к началу программы.

В этой цепочке содержится очень мало информации.

Важно, что количество информации зависит от используемого языка программирования. Так, программа на языке Java и программа на языке С имеют разное количество строк, даже если обе делают одно и то же. Чтобы преодолеть эту проблему, воспользуемся понятием универсального языка программирования: язык программирования универсален, если его можно использовать для написания любой программы, которую можно написать на любом другом языке. Все существующие сегодня языки программирования универсальны, в том смысле что можно создать программу на языке Java, которая понимала бы программы, написанные на С, и наоборот. Хотя содержание информации в этих программах будет разным, эти отличия относительно небольшие и зависеть они будут не от количества строк кода, а от разницы между двумя языками программирования. А эта разница всегда постоянна.

Применим алгоритмическое определение информации к вычислению знаков числа π. Вспомним, что, согласно Шеннону, количество информации, содержащейся в числе π, бесконечно. Однако существует простая формула, которая позволяет довольно точно вычислить знаки этого числа. Выглядит она следующим образом:

На основании этой формулы можно создать очень короткую программу. И это означает, что в соответствии с алгоритмической теорией π не содержит бесконечного количества информации.

Как видите, в этом конкретном случае алгоритмический подход несколько отличается от предложенного Шенноном, но в большинстве других случаев они согласуются. Например, для передачи случайной последовательности нулей и единиц самой короткой программе необходимо столько же бит, сколько цифр содержится в цепочке.

Число омега

Возникает вопрос: существует ли число, содержащее бесконечное количество информации по определению Колмогорова и Хайтина (подобное π в определении Шеннона)? Да, такое число существует, и это одно из самых удивительных чисел в истории математики — число омега, известное также как постоянная Хайтина. Ее свойство заключается в том, что эта постоянная не может порождаться кодом, содержащим меньше битов, чем она сама. Это означает, что все биты числа омега полностью случайны.

Для того чтобы понять, что такое постоянная Хайтина, поговорим о проблеме остановки, которая заключается в том, чтобы определить, остановится ли какая-либо программа. Так, мы знаем, что программа, вычисляющая 2 + 2, остановится, как только будет найдена требуемая сумма. Но точно так же программа, вычисляющая все простые числа, не остановится никогда. Можно доказать, что способа решить проблему остановки для любой программы не существует: мы можем узнать, остановится ли какая-то конкретная программа, но не можем сделать этого для любого алгоритма.

Например, представим себе программу, которой даны инструкции остановиться при нахождении четного числа, которое не может быть выражено как сумма двух простых. Программа остановится, если существует четное число с такими характеристиками, и никогда не остановится в противном случае. Ни один математик до сих пор не смог найти ответ на эту проблему, связанную с доказательством гипотезы Гольдбаха, в которой утверждается, что любое четное число может быть выражено как сумма двух простых чисел. Сегодня кажется, что гипотеза верна — по крайней мере, уже полученные результаты вычислений вполне ей соответствуют, но не доказано, что эта тенденция сохранится до бесконечности.

Постоянную Хайтина можно понимать как вероятность того, что программа, выбранная наугад, остановится. Предположим, что во Вселенной существуют только программы, содержащие три бита информации, то есть всего таких программ восемь: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Если бы останавливалась только программа 000, вероятность остановки составила бы 1/8.

Итак, мы можем вычислить вероятность того, что программа, выбранная наугад, остановится, если сложим вероятности выбора всех останавливающихся программ.

Результат будет равен единице, деленной на число программ, содержащих 2n битов.

Используем для обозначения суммы символ Σ. Постоянная Хайтина в математической нотации записывается следующим образом:

Таким образом, число омега равно вероятности выбора случайной программы, которая остановится, и эта вероятность вычисляется суммированием вероятности выбора всех программ, которые останавливаются.

Число Хайтина имеет любопытные математические свойства. С одной стороны, его невозможно вычислить, поскольку для этого потребовалась бы программа с бесконечным числом битов. Также это число случайно, ведь если бы это было не так, можно было бы сжать содержащуюся в нем информацию и вычислить эту постоянную. Но самое важное — это то, что вычисление постоянной Хайтина позволяет решить проблему остановки для любой программы. Поскольку подавляющее большинство нерешенных математических задач можно свести к вопросу о том, остановится ли программа, знание постоянной Хайтина равносильно владению всем математическим знанием Вселенной.

Число омега зависит от используемого языка программирования, так что, строго говоря, следует говорить о постоянных Хайтина — своей для каждого языка. Как мы видим, физическое понятие энтропии порождает математическую дисциплину, теорию информации, которая может быть использована при анализе самых разных ситуаций. Уточнение этого понятия ведет к открытиям, весьма далеким от области физики, но очень важным для чистой математики (например, в работах Хайтина). Впрочем, это обычный путь, которым идет математический прогресс.

* * *

ВЫЧИСЛЯЯ НЕВЫЧИСЛИМОЕ

Хотя постоянные Хайтина и невычислимы, в 2002 году математику Кристиану Калуду (родился в 1952 году) удалось вычислить первые шестьдесят четыре символа для одной из них. Используемый им способ заключался в том, чтобы взять все возможные программы с некоторым числом битов и выяснить, какие из них останавливаются. Вычислять знаки постоянной Хайтина — трудная задача, сложность которой растет с каждым новым знаком после запятой. Если бы в нашем распоряжении были хотя бы первые 10 тысяч битов постоянной Хайтина, мы бы находились на удивительном уровне развития математического знания. Хайтин даже утверждал, что количество знаков числа омега, известных цивилизации, — хорошая мера ее интеллектуального прогресса.

* * *

Энтропия, информация и черные дыры

Энтропия Шеннона тесно связана с физической энтропией: она не только основана на ней, но и может полностью заменить старое определение. Если мы снова вернемся к газу, то можем задуматься о количестве информации, которое он содержит, то есть о числе битов, необходимых для определения положения и импульса каждой из его частиц.

Найти ответ на вопрос можно, рассмотрев микросостояния. Если у газа всего два возможных микросостояния, одного бита достаточно, чтобы определить, в каком из них он находится: ноль для первого, единица для второго. Но если у газа 100 тысяч микросостояний, количество информации равно наиболее близкой степени числа два, которая определяет число битов, необходимых для выбора одного из них.

Итак, количество информации пропорционально числу микросостояний, а именно его логарифму, как в физической энтропии. Другими словами, энтропия системы прямо пропорциональна информации Шеннона, которую она содержит: энтропия Шеннона соответствует физической энтропии. Как только мы провели эту параллель, можно рассматривать и те физические системы, которые до сих пор были закрыты для такой области, как информатика.

Например, мы можем задуматься, каково максимальное количество информации, которое может храниться в определенном объеме. Это открыло бы нам путь к законам, управляющим Вселенной: если количество информации на единицу объема конечно, то Вселенная, вероятно, дискретна, то есть существует минимальная единица длины, и невозможно разделить пространство на меньшие.

Для хранения информации нужна энергия. Эту задачу можно решить различными способами: с помощью изменения направления магнитного поля электронов в каком-то материале, как в случае с жесткими дисками, или проведя бороздки на пластике, в которых отражается свет лазера, как в DVD-дисках. Но нам всегда нужен какой-то физический носитель, поскольку вакуум не может содержать информацию. И если мы хотим узнать, какова максимальная информация, которую мы хотим поместить в каком-то месте, мы должны знать, какова максимальная энергия, которую мы можем в нем сжать.

К счастью, ответ на этот вопрос известен. Существует предел количества энергии, которую можно хранить в конкретном месте, и он задан импульсом, при котором эта энергия трансформируется в черную дыру.

Черная дыра — это область пространства, в которой материя так сжата, что даже свет не сможет высвободиться из нее, поскольку скорость освобождения выше скорости света. Скорость освобождения (или вторая космическая скорость) — это минимальная скорость, которую должно развить тело для того, чтобы преодолеть гравитационное притяжение планеты или звезды, на которой оно находится. Для Земли вторая космическая скорость равна примерно 11,2 км/с, но для черной дыры она так высока, что даже свет не достигает ее. Эйнштейн доказал, что ничто не может двигаться быстрее света, а это означает, что ничто не может освободиться из черной дыры.

Эйнштейн также в своей известной формуле Е = mс^2 показал, что масса и энергия — на самом деле одно и то же. Это означает, что огромная концентрация энергии соответствует огромной концентрации массы. Следовательно, можно создать черную дыру с помощью чистой энергии.

Итак, существует предел количества информации, которую можно хранить в какой-либо области пространства, и после превышения этого предела энергия хранения трансформируется в черную дыру. Как видите, максимальное количество информации содержат черные дыры.

Теперь выясним, сколько же информации содержится в черной дыре. Для этого нам потребуется вычислить ее энтропию. Стивен Хокинг (1942), пользуясь инструментами, лежащими на стыке квантовой механики, справедливой для микроскопического мира, и общей теории относительности, описывающей гравитационные поля, смог доказать, что черные дыры имеют некоторую температуру и, следовательно, энтропию. Ученый открыл нечто удивительное: энтропия пропорциональна не объему черной дыры, а ее площади. Это означает, что количество информации, которое можно хранить в области пространства, зависит не от объема этой области, а от ее площади. Этот вывод, казалось бы, противоречит здравому смыслу.

Поставим небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что мы хотим сохранить некоторую информацию. Для этого мы строим маленькие кубики двух цветов — нули и единицы. Теперь мы должны составить эти кубики так, чтобы они заняли минимальное пространство. Естественное решение — расположить их рядом друг с другом, образуя трехмерную структуру. Очевидно, что чем большим объемом мы располагаем, тем больше кубиков сможем составить. Получается, что информация должна быть пропорциональна объему, который занимают кубики, а не площади.

Но это не так. Если кубики будут достаточно маленькими, то содержащаяся в них информация будет пропорциональна площади, которую они занимают, а не объему, как доказал Хокинг. Но это справедливо только в том случае, если кубики будут сжиматься в объеме, образовав в конце концов черную дыру — микроскопический объект, очень далекий от нашей повседневной действительности. Если плотность вещества меньше, чем в черной дыре, здравый смысл вновь будет демонстрировать свою эффективность.

Этот вывод Хокинга привел физическое сообщество к формулировке голографического принципа. Согласно ему, Вселенная представляет собой голограмму: кажется, что в ней три измерения, но на самом деле вся необходимая информация находится на плоскости. Знакомая нам трехмерная Вселенная не более чем иллюзия — на самом деле в ней на одно измерение меньше.

Формулировка голографического принципа обязала физическое сообщество пересмотреть такие понятия, как пространство или время. Поскольку в пространстве существует ограниченное количество информации, а само пространство может быть описано в двух измерениях, то, возможно, информация первична, а пространство само по себе вторично? Это утверждение привело к попыткам описать Вселенную в терминах информации, а пространство и время рассматривать в качестве ее вторичных следствий.

Как видите, физическое понятие снова нашло применение в математике, оно там было отшлифовано, расширено и вновь возвращено в лоно физики, чтобы стать основой революционных открытий в нашем понимании Вселенной.

Гравитация как энтропия

Понятие энтропии нашло также неожиданное применение в теории энтропической гравитации Эрика Верлинде (1962), согласно которой предполагается, что гравитации не существует, она — всего лишь эффект энтропии в комбинации с голографическим принципом.

Равномерно насыплем на стол зернышки риса. Если сейчас стол встряхнуть с достаточной силой, зернышки перераспределятся, стремясь образовать кучки. Между ними не существует никакой силы притяжения: перед нами естественное развитие событий, когда хаотичные процессы не гомогенны, а включают сгустки.

Согласно Верлинде, это же происходит и с гравитацией: нам кажется, что существует некая сила, но на самом деле мы наблюдаем тенденцию материи к группированию, поскольку эта конфигурация обладает большей энтропией, чем равномерное распределение.

Теория Верлинде объясняет некоторые свойства гравитации различием в плотности энтропии в пространстве между двумя телами и в окружающем пространстве.

Как говорит ученый, «законы Ньютона не работают на микроуровне, но они действуют на уровне яблок и планет. Вы можете сравнить это с давлением газа. Сами по себе молекулы газа не создают никакого давления, но некоторый объем газа оказывает давление».

Сегодня теория Верлинде все еще находится на уровне гипотез и ждет подтверждения физическим сообществом.

Несмотря на то что понятие энтропии было введено для объяснения некоторых свойств газов, позже оно стало важным инструментом в математике и инженерном деле, выйдя за пределы физики элементарных частиц. Энтропия — идеальный пример того, как идея шлифуется и становится все более абстрактной, пока ее действие не распространяется на гораздо более широкую сферу, чем это было вначале.

Глава 5

Порядок из хаоса

Большинство газов, изучаемых в лаборатории, представляют собой совокупность равномерно распределенных молекул, макроскопические свойства которых не меняются со временем. Благодаря этому для их описания можно использовать математические инструменты, такие как статистика и вероятность.

Но в реальной жизни газы, окружающие нас и образующие воздух, которым мы дышим, имеют разную температуру и давление на разной высоте и движутся, образуя малопрогнозируемые потоки. В противоположность лабораторной изолированной системе при постоянной температуре мы имеем Землю — тело, которое получает энергию Солнца и вращается вокруг своей оси, при этом температура его поверхности периодически меняется. Модель газа с постоянным давлением и неизменной температурой в этих условиях неприменима, поскольку все термодинамические переменные измеряются в зависимости от положения и времени. Изучение реальных газов, образующих в движении ветер, намного сложнее, чем это предполагает математический аппарат Больцмана.

Воздух, которым мы дышим, — это система вне равновесия, ее состояние нестабильно из-за постоянного поступления солнечной энергии. Другие системы, находящиеся вне состояния равновесия, — это морские течения, экосистемы или человеческое общество. Изучение таких систем необходимо для понимания подавляющего большинства процессов, происходящих во Вселенной и не поддающихся строгому математическому описанию. Науке еще далеко до их полного понимания, но некоторый прогресс в этой области начиная с 70-х годов прошлого века позволяет нам отметить основные характеристики таких систем.

Проблема газа вне состояния равновесия

Вспомним, что газ представляет собой совокупность частиц, движущихся стихийно. В равновесии его состояние задано давлением, температурой и объемом, который он занимает. Равновесие характеризуется либо тем, что газ погружен в какую-либо емкость при постоянной температуре, либо тем, что общая энергия его молекул не изменяется. Но если поместить сосуд, наполненный газом при низкой температуре, например, в духовку, то мы заметим, что газ, находящийся внизу сосуда, будет нагреваться, и молекулы в этой области начнут двигаться быстрее, в то время как молекулы верхней части сосуда сохранят прежнюю температуру. Поскольку температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул, частицы газа сверху и снизу сосуда будут иметь различное распределение скоростей, и решение проблемы газа, находящегося вне состояния равновесия, окажется очень сложным.

Если разница в температуре верхней и нижней частей не очень выражена, мы можем откорректировать уравнения для расчетов, чтобы получить решение, похожее на решение проблемы газа в состоянии равновесия, с некоторыми поправками. Но когда разница температур растет, газ начинает вести себя непредсказуемым образом, и его поведение становится невозможно объяснить с помощью правил Больцмана. В этот момент нужно изменить набор инструментов и вернуться к динамическим системам.

Типы равновесия

В предыдущих главах речь шла о системах в равновесии, но исчерпывающее определение понятия равновесия так и не прозвучало. Существуют различные типы равновесия, но когда мы говорим о газе, то имеем в виду стабильное равновесие.

Идею стабильного равновесия легко понять с помощью рисунка. У треугольника длинная сторона находится внизу. Если толкнуть его вправо или влево, он будет стремиться в свое начальное положение. Мы говорим, что его равновесие стабильно: при небольшом нарушении система сама возвращается в исходное состояние. В случае с газом хаотичное движение молекул играет роль таких небольших нарушений. Если бы газ не находился в стабильном равновесии, мы не могли бы гарантировать сохранение его макросостояния.

Стабильное равновесие можно понимать как точку, в которой система имеет минимальную потенциальную энергию, следуя принципу наименьшего действия Эйлера. То есть на графике уровня энергии относительно положения система будет занимать низшую точку.

Нестабильное равновесие — это противоположное понятие, которое также можно объяснить с помощью рисунка.

Мы имеем треугольник, поставленный на вершину. Даже самый минимальный толчок в одну или другую сторону вызовет изменение состояния, и фигура уже не сможет вернуться в исходное положение. Это равновесие нестабильно, поскольку любое, даже самое маленькое, нарушение полностью меняет состояние системы. Газ, находящийся в состоянии нестабильного равновесия, практически невозможно наблюдать, поскольку само движение его молекул играло бы роль таких нарушений и привело бы газ в состояние стабильного равновесия.

Система в состоянии нестабильного равновесия имеет максимальную энергию, так что любое движение в любом направлении способствует ее уменьшению. Следуя принципу наименьшего действия Эйлера, в момент, когда система отклонится от средней точки, она будет стремиться в области меньшей энергии, как показано на графике.

Любопытный аспект системы с нестабильным равновесием — это нарушение симметрии, математическое понятие, которое также применяется в фундаментальной физике для объяснения того факта, что частицы имеют массу. Ситуация, когда треугольник перевернут на вершину, симметрична относительно правой и левой стороны. Нельзя утверждать, что объект упадет в ту или другую сторону. На самом деле уравнения сами по себе также симметричны и не могут использоваться для подобного прогноза. Однако в конце концов треугольник в любом случае упадет и нарушит симметрию исходной ситуации и симметрию уравнений. Невозможно спрогнозировать, в какую сторону будет направлено нарушение симметрии, известно только то, что оно произойдет.

Это принцип справедлив для любой математической проблемы, в которой уравнения имеют симметрию, но их решения могут быть самыми разными.

Другая форма равновесия — это метастабильное равновесие. В этом случае мы имеем систему, которая находится на минимуме локальной энергии, что не соответствует минимально возможной энергии. Это утверждение можно проиллюстрировать с помощью графика.

Система в метастабильном равновесии. Речь идет о локальном минимуме: существует другая точка меньшей энергии, но не непосредственно рядом.

* * *

МЕГАСТАБИЛЬНАЯ ВСЕЛЕННАЯ

Недавнее открытие бозона Хиггса с помощью Большого адронного коллайдера вызвало тревожный прогноз: наша Вселенная находится в метастабильном состоянии.

В квантовой механике, то есть теории, описывающей микромир, вакуум имеет энергию. Существуют различные возможные уровни энергии, но только наименьшая соответствует стабильному состоянию. Когда вакуум находится в нестабильном состоянии, это означает, что можно ожидать его изменения до достижения состояния с меньшим уровнем энергии, но вся произведенная энергия в конце концов полностью меняет вид Вселенной.

Некоторые признаки указывают на то, что вакуумное пространство находится в метастабильном состоянии, и это означает, что рано или поздно оно перейдет в стабильное состояние, разрушив при этом известную нам Вселенную. Переход в стабильное состояние может произойти завтра или через 100 тысяч миллионов лет. Впрочем, физики полагают, что у нашей Вселенной осталось еще по меньшей мере 10 тысяч миллионов лет.

* * *

Типичный пример — горячий лед, который можно сделать на кухне. Смешаем уксус с пищевой содой и получим ацетат натрия. Затем из кипящей воды и соли получим перенасыщенный раствор, добавим в него немного ацетата, и он закристаллизуется.

Если поставить раствор в холодильник, его температура снизится, будет пройдена граница точки замерзания, после которой состояние вещества с минимальной энергией должно быть твердым, но не жидким. Однако наш раствор все еще остается в жидком состоянии, а чтобы перейти в твердое, ему нужна некоторая энергия. Слегка постучим по стакану пальцем. Раствор получит достаточную энергию, чтобы дойти до реального минимума. При этом вся лишняя энергия высвободится, превращаясь в тепло. Мы увидим сверхскоростную реакцию, при которой раствор за несколько секунд застывает с высвобождением большого количества энергии, которая согревает получающийся кристалл. Наш раствор стал похожим на лед, но этот лед будет горячим.

Аттракторы

Решить уравнения Гамильтона для газа невозможно, но по крайней мере мы знаем, что газ ведет себя как динамическая система. Следовательно, у него будут те же характеристики, что и у обычной динамической системы, и вывести их можно с помощью элементарной математики и здравого смысла. Вспомним, что теория динамических систем — это не физическая, а математическая теория: любая система, изменяющаяся во времени по определенному правилу, — динамическая.

Мы можем представить газ как одну частицу, движущуюся в двух измерениях и описывающую некоторую траекторию. Конечно, движение газа сложнее, но качественные характеристики примерно такие же.

Если взять динамическую систему и начать вычислять ее траектории исходя из различных начальных условий, мы получим рисунок, похожий на приведенный ниже.

Это говорит о том, что несмотря на сложное поведение, такие динамические системы, как газ вне состояния равновесия, демонстрируют некоторые закономерности, которые можно определить, изучив траектории. Если мы обратим внимание на рисунок, то увидим, что наша система стремится приблизиться к некоторым областям фазового пространства. Эти области называются аттракторами, они бывают различных типов, с разными характеристиками. Если предоставить динамической системе для изменения достаточно времени, любая из них будет стремиться к аттрактору, поскольку все траектории ведут к ним.

Аттрактор необязательно должен быть точкой: это в целом область фазового пространства, которая может быть точкой, плоскостью, некоторым объемом или даже иметь более сложную форму.

Самый простой вид аттракторов — это неподвижная точка, или точка в фазовом пространстве. Если динамическая система находится в этом аттракторе, она из него никуда не передвинется. Вспомним, что динамическая система связана с трансформацией, переходом из одной точки фазового пространства в другую, но если аттрактор — неподвижная точка, то любые трансформации приводят нас в нее же.

Пример такого аттрактора — самое нижнее положение качелей: если человек находится в этой точке, он в ней и останется, если только не будет применять силу. И наоборот, находясь вверху, он стремится к этой нижней точке (это и указывает, что речь идет об аттракторе).

Но аттракторами являются не все неподвижные точки. Мяч на вершине горы представляет собой другую неподвижную точку — репульсор: минимальное воздействие вызовет перемещение мяча от нее. Итак, неподвижные точки, являющиеся аттракторами, совпадают с системами в стабильном равновесии, в то время как неподвижные точки, являющиеся репульсорами, показывают нам, что система находится в состоянии нестабильного равновесия.

Один из самых интересных видов аттракторов — это предельный цикл, или периодическое движение, к которому стремится система, если располагает достаточным количеством времени.

Пример предельного цикла. Все траектории стремятся к форме пути, выделенному жирным.

Как можно заметить, любая соседняя орбита предельного цикла стремится к нему. Классический пример предельного цикла — часы с маятником, период колебания которого определен длиной маятника, а дополнительная энергия исходит от гири и от завода часов. Обычный маятник, однако, стремится потерять энергию и остановиться в точке стабильного равновесия. Предельные циклы возникают только в системах с постоянным притоком энергии, как в случае с земной атмосферой.

Предельные циклы замечены во всех видах систем. Наиболее интересный случай — химические часы, о которых далее мы расскажем подробнее: в них два вещества реагируют друг с другом, и одно способно превращаться в другое. В некоторых условиях оба вещества превращаются друг в друга с определенным периодом, который можно видеть невооруженным глазом по смене цвета раствора.

Еще сложнее, чем предельные циклы, странные аттракторы. В этом случае траектории стремятся к области с фрактальной структурой. Фрактал — это геометрическая фигура, которая обладает самоподобием, то есть любая часть фрактала подобна ему целиком. Классический пример — снежинка Коха.

Различные этапы создания снежинки Коха.

Конечная фигура получается в результате бесконечного числа этапов.

Эту фигуру можно построить, применяя одну и ту же трансформацию несколько раз для каждой линии рисунка, так что он усложняется с каждым циклом. Трансформация применяется бесконечное число раз, и это предполагает, что фигура имеет одинаковый вид, в каком бы масштабе мы на нее ни смотрели. На рисунке слева на следующей странице показано множество Мандельброта — одна из самых известных фрактальных структур, в определенном масштабе, а справа — тот же самый фрактал, увеличенный в 100 раз.

Фракталы имеют дробную размерность, то есть для них характерно не целочисленное количество измерений — одно, два или три, — а, например, 1,65. Это можно объяснить следующим образом: если вычислить периметр снежинки Коха, окажется, что он бесконечен, потому что линии фигуры бесконечно сложны. Итак, с одной стороны, определяющая его линия имеет больше одного измерения, значит, ее размерность должна лежать в промежутке между единицей и двумя. Существуют различные способы вычислить размерность фрактала, и в случае со снежинкой она примерно равна 1,26.

Поскольку странный аттрактор — это фрактальная геометрическая фигура, то хотя она и ограничена конечной областью фазового пространства, траектории необязательно должны повторяться или сходиться в одной точке. На самом деле предполагается непериодическое поведение: тело движется непрогнозируемо, даже будучи ограниченным определенной областью фазового пространства, и никогда не проходит два раза через одну и ту же точку, иначе его траектория была бы периодической. В целом траектория тела напоминает изображенную на рисунке.

* * *

ФРАКТАЛЫ В ПРИРОДЕ

Фракталы существуют и в реальном мире. Например, брокколи имеет структуру, которая повторяется в любом масштабе, как видно на фотографии. Другие примеры фракталов — это молния, древовидная структура которой остается неизменной в любом масштабе, или лист папоротника, изображение которого можно сгенерировать математически. Фрактальную природу также имеют морские побережья или раковины моллюсков. Действительно, живые структуры очень часто фрактальны, поскольку именно этой модели соответствуют модели роста органической ткани. В человеческом теле, например, фрактальные характеристики имеют структура венозной системы кровообращения или структура легких.

* * *

Странные аттракторы существуют везде. Наиболее удивительный их пример встречается в метеорологии, поскольку погода также следует непрогнозируемым моделям. Еще примеры — двойной маятник, представляющий собой один маятник, прикрепленный к оконечности другого, или проблема трех тел с взаимным притяжением, рассмотренная в главе 2.

Диссипативные системы

Теперь мы можем вплотную подойти к проблеме газа вне состояния равновесия. Вспомним, что система в этом состоянии характеризуется постоянным притоком энергии. Также нам нужно вспомнить второй закон термодинамики, согласно которому для любой изолированной системы энтропия стремится увеличиваться. Поскольку наш газ обменивается энергией с внешним миром, мы не можем говорить об изолированной системе, но мы можем считать источник энергии и наш газ единой системой, для которой энтропия должна будет расти.

Энтропия, как было сказано раньше, — это мера рассеяния энергии. То, что энтропия стремится к увеличению, означает, что энергия стремится все больше рассеиваться, и это очень важно для понимания поведения любой системы, получающей энергию извне. Примером системы такого типа является и человек: необходимую энергию мы получаем из еды. Подобным же образом ведет себя и земная атмосфера, хотя она получает энергию из солнечного излучения. В целом существует намного больше систем такого типа, чем систем в состоянии равновесия, так что их изучение принципиально для понимания законов существования Вселенной.

Во втором законе термодинамики говорится, что когда газ получает значительное количество энергии из внешнего источника, его поведение должно вести к росту общей энтропии. Газ принимает структуру, которая рассеивает энергию как можно эффективнее, что, в свою очередь, вызывает появление упорядоченных моделей, поведение которых, на первый взгляд, противоречит второму принципу термодинамики в том смысле, что энтропия газа уменьшается. Но нужно помнить, что газ не изолированная система, следовательно, к нему неприменим второй закон, он справедлив только для системы, включающей в себя источник энергии и окружение. При таком подходе рост упорядоченности газа вызывает увеличение хаотичности вокруг него, так что второй закон термодинамики все еще оказывается справедливым.

Поскольку тело стремится рассеять энергию как можно эффективнее, структуры такого типа называются диссипативными системами. В следующих абзацах вы увидите, что результаты, касающиеся поведения динамических систем и типов равновесия, окажутся крайне важными для понимания диссипативных систем.

При изучении таких систем нужно различать ситуации, близкие и далекие от равновесия. Предположим, что у нас в контейнере газ комнатной температуры: поскольку его температура и число частиц остаются постоянными, мы можем сделать вывод, что он находится в состоянии стабильного равновесия, или, другими словами, в неподвижной точке динамической системы. Но если сейчас мы слегка поколеблем газ, например слегка ударим контейнер, то мы изменим распределение его молекул. Однако вспомним главный признак стабильного равновесия: после небольшого отклонения от равновесия система возвращается в свое исходное состояние. Итак, при небольших отклонениях можно ожидать, что состояние газа не отклонится от равновесного. И пока газ находится близко от состояния равновесия, мы можем предположить, что его поведение предсказуемо. Даже если мы слегка нагреем газ, то можем вычислить, что произойдет, если скорректируем наши уравнения газа, пользуясь теорией возмущений. Состоит она в том, чтобы, опираясь на решения для состояния равновесия, вносить в них поправки, компенсирующие небольшие отклонения от этого состояния.

Если мы обеспечим приток к газу большого количества энергии, все изменится. Наша динамическая система выйдет из сферы влияния аттрактора, и ее поведение перестанет быть предсказуемым. Однако изучение динамических систем позволяет нам сделать некоторые важные прогнозы. Например, мы знаем, что газ будет стремиться к новому аттрактору, если дать ему достаточно времени. Если нам известны различные аттракторы нашей динамической системы, мы можем рассчитать несколько траекторий ее поведения после выхода из состояния равновесия.

Одна траектория приведет газ к другой неподвижной точке: в этом случае следует ждать, что система остановится в ней, что будет сопровождаться новыми показателями давления, объема и температуры. Другой вариант — это стремление системы к предельному циклу: в этом случае следует ждать ее периодического поведения, при котором характеристики газа будут меняться предсказуемым образом.

Наконец, возможно и хаотическое движение, заданное странным аттрактором. Подобное мы наблюдаем ежедневно в прогнозах погоды: нам известны некоторые параметры климата, но точно предсказать его мы не можем.

Бельгийский физик Илья Пригожин, изучавший диссипативные системы, объяснил несколько примеров сложного поведения с помощью обычных инструментов термодинамики. Один из самых иллюстративных примеров поведения жидкости вне состояния равновесия — это ячейки Бенара.

* * *

ИЛЬЯ ПРИГОЖИН (1917–2003)

Илья Пригожин был бельгийским ученым, который получил Нобелевскую премию по химии за изучение диссипативных систем. Пригожин родился в России, но его семья бежала в Бельгию из-за преследований коммунистического режима. Учился он в Бельгии и в 1949 году получил бельгийское гражданство. Ученый провел свои последние годы, пытаясь разрешить задачу стрелы времени: почему время движется от прошлого к будущему, а не наоборот. В своих работах Пригожин пришел к выводу, что увеличение энтропии — такой же фундаментальный закон, как и законы квантовой механики, но его выводы до сих пор не нашли признания в научном сообществе.

* * *

Ячейки Бенара получаются при нагревании жидкости снизу и обязаны эффекту гравитации в сочетании с разницей в плотности, вызванной воздействием тепла. Если жидкость нагревать, ее температура повышается, что ведет к более быстрому движению молекул и, в свою очередь, к потере плотности. Поскольку более тяжелые тела стремятся вниз, теплая жидкость будет подниматься, а холодная жидкость с поверхности — опускаться. Это создает конвекционное движение, похожее на представленное на рисунке.

Когда тепла достаточно, конвекция во всей жидкости прекращается и наблюдается в меньшем масштабе, образуя конвекционную ячейку. В структуре жидкости можно выделить небольшие ячейки, в каждой из которых происходит уменьшенный вариант конвекции в крупном масштабе.

* * *

ПОЧЕМУ ДАЖЕ В ОТАПЛИВАЕМОМ ПОМЕЩЕНИИ НОГИ МЕРЗНУТ

Конвекционное движение газа объясняет многие обычные явления: например, бриз в любом морском городе — это результат разницы в температурах воздуха над морем и сушей. Теплый воздух в наших домах имеет меньшую плотность, чем холодный, поэтому он стремится подниматься. По этой причине батареи устанавливают как можно ниже, чтобы они грели воздух над полом. И несмотря на это, нижний слой воздуха всегда имеет самую низкую температуру в комнате, так что наши ноги всегда остаются холодными. Единственный способ решить проблему мерзнущих ног — установить систему подогрева полов.

* * *

В ячейках Бенара мы наблюдаем упорядоченное состояние жидкости, следовательно, они характеризуются гораздо меньшей энтропией, чем при глобальной конвекции всей жидкости. Однако благодаря тому, что такие ячейки рассеивают энергию лучше, чем другие структуры, жидкость стремится к этому состоянию. Рассмотрим пример того, как условия неравновесия вызывают появление определенной структуры — это явление, называемое самоорганизацией, наблюдается в большом количестве систем. Самоорганизация — базовое понятие для описания живых существ, которые, похоже, являются крайним случаем диссипативной структуры.

У ячеек Бенара есть и другие любопытные свойства. Например, направление движения жидкости в них хаотично меняется при каждом эксперименте, как в случае с бифуркацией функций, чувствительных к начальным условиям, которые были рассмотрены в главе 2. Поскольку ни газ, ни источник тепла не имеют предпочитаемого направления вращения, мы также наблюдаем случай симметричного вращения: начальная ситуация симметрична относительно направления вращений, но жидкость в ячейках Бенара принимает только какое-то одно направление вращения, но никогда — оба одновременно.

Если количество тепла продолжает расти, ячейки Бенара исчезают и на смену им приходит хаотичное, абсолютно непредсказуемое движение жидкости. Это совпадает с присутствием странных аттракторов для некоторых значений притока энергии. Можно посчитать, что появление кажущейся сложности движения, похоже, ограничено некоторыми значениями потока энергии.

Изменение климата и диссипативные системы

Предыдущий анализ можно применить и к земной атмосфере, а именно к явлению, известному как глобальное потепление. Сегодня ученые начинают называть его просто изменением климата, и для этого есть свои причины.

Атмосферу можно рассматривать как диссипативную систему, поскольку она поглощает энергию Солнца и рассеивает ее с максимальным эффектом. Климат Земли был относительно стабильным в течение сотен лет, и только в последние десятилетия он начал характеризоваться значительными изменениями, вызванными, как считают ученые, деятельностью людей.

Поведение климата можно понять, если рассмотреть атмосферу как динамическую систему. Стабильность климата в течение нескольких веков указывает на то, что система располагалась рядом с аттрактором. Хотя солнечное излучение со временем слегка меняется, динамическая система после небольших отклонений стремится вернуться к точке равновесия, двигаясь по относительно постоянной модели. Однако когда нарушения очень сильны, система выходит из области влияния аттрактора, после чего ее поведение становится непредсказуемым. Можно только сказать, что она будет двигаться по фазовому пространству, пока не найдет новый аттрактор, но каким он будет, узнать невозможно. Это соответствует тем изменениям климата, которые мы наблюдаем: человеческая деятельность вызвала большие отклонения в составе атмосферы, и это влечет изменение привычных климатических моделей. Но невозможно знать, где это изменение остановится, поэтому многие ученые предпочитают говорить не о глобальном потеплении, а об изменении климата. Другими словами, глобальное потепление — это наблюдаемое нами проявление нарушений климатических моделей, но конечное их развитие необязательно будет соответствовать потеплению.

Собственно, этим и объясняется общая тревога в научном сообществе: мы нарушили атмосферу так сильно, что развитие этой системы стало непредсказуемым. Мы не знаем ни когда вернемся в состояние стабильности, ни к какому состоянию стабильности придем. А поскольку большая часть мировой экономики построена вокруг известных климатических моделей, внезапная их смена катастрофична. Например, огромный вред может быть нанесен сельскому хозяйству, поскольку ему нужны стабильные климатические модели, и изменение в цикле времен года может вызвать голод на планете.

Самоорганизующиеся системы

Как было видно, ячейки Бенара ведут себя почти волшебным образом: порядок появляется из хаоса без какого-либо вмешательства со стороны человека. Существует множество систем с подобными свойствами — в физике, химии и даже экономике.

В этом разделе мы коротко остановимся на математических системах, обладающих свойством самоорганизации, а затем применим полученные знания к другим ситуациям, таким как лазеры или экосистемы.

Появление самоорганизующихся систем в таких структурах, как газы, заставляет задать важный вопрос: может ли достаточно сложное поведение опираться на небольшой перечень простых правил? Для изучения этого явления применялись клеточные автоматы.

Клеточный автомат — это решетка с одним, двумя или большим количеством измерений, в которой каждая клетка считается ячейкой. Ячейки могут быть окрашены в два и более цвета, но используются белый и черный. Изменение каждой ячейки происходит согласно простому алгоритму и зависит от состояния соседних ячеек.

Простой пример клеточного автомата — это игра «Жизнь», созданная английским математиком Джоном Хортоном Конвеем (1937). В ней берется двумерная бесконечная решетка. Каждая ячейка на этой поверхности может быть «живой» (черной) или «мертвой» (белой). Начинается игра с произвольной конфигурации клеток.

Начальное состояние игры «Жизнь». Конкретно для этого состояния характерно поведение, напоминающее периодически стреляющий пистолет.

Затем система начинает развиваться на основании одного и того же правила. Правила просты.

1. Если с живой клеткой граничат меньше двух живых клеток, она умирает.

2. Живая клетка, с которой граничат две или три живые клетки, выживает.

3. Живая клетка, граничащая с более чем тремя живыми клетками, умирает.

4. Мертвая клетка, граничащая с тремя живыми клетками, оживает.

Если взять приведенное начальное состояние, мы увидим следующее развитие.

Последовательные состояния игры «Жизнь», слева направо, сверху вниз.

Игру Конвея можно считать динамической системой. Существует определенное положение в фазовом пространстве — конфигурация системы, которая работает по установленным правилам. Следовательно, если рассматривать другие динамические системы, одни начальные условия приведут систему к неподвижным точкам, после которых развитие остановится; другие — к предельным циклам, когда одно и то же поведение будет периодически повторяться. Наконец, третьи начальные условия приведут систему к странным аттракторам, и она начнет демонстрировать непредсказуемое и хаотичное поведение.

Так, все эти конфигурации из двух, трех и четырех клеток ведут к аттрактору в виде неподвижной точки.

Эти конфигурации, наоборот, порождают повторяющиеся предельные циклы.

В целом поведение игры «Жизнь» хаотично: при изменении начального состояния хотя бы одной клетки мы получим абсолютно разные результаты.

Возникновение произвольных сложных конфигураций в игре Конвея доказывает, что самоорганизация — нередкое явление, не связанное с большой сложностью системы: она может опираться на самые простые законы и не требовать вмешательства человека. Подобный подход совпадает с видением мира как физической системы, управляемой конечным набором простых законов, которые, несмотря на свою простоту, делают возможным существование таких сложных существ, как люди.

* * *

ИГРА «ЖИЗНЬ» КАК КОМПЬЮТЕР

Игра «Жизнь» так разнообразна, что ею можно пользоваться как персональным компьютером. Если взять достаточно большую доску, можно рассматривать ячейки в качестве битов и логических схем — двух базовых элементов для создания процессора, с помощью которых можно написать любую компьютерную программу. Это означает, что при достаточно большом размере решётки игры «Жизнь» можно выполнить любой алгоритм, написанный для персонального компьютера. Например, уже существуют программы, которые вычисляют простые числа, пользуясь исключительно игрой «Жизнь». Конечно, это не очень практичное использование игры, но оно хорошо иллюстрирует то, как на основе ограниченного перечня простых правил можно создать действительно сложную конфигурацию.

* * *

Английский физик и разработчик Стивен Вольфрам (1959) посвятил значительную часть своей жизни изучению клеточных автоматов. Полученные им заключения показывают, что простые правила лежат в основе достаточной высокой сложности результата. Вольфрам сегодня работает над выведением физических законов с помощью клеточных автоматов: ему уже удалось получить модели, совместимые с релятивизмом и квантовой механикой.

Одно из самых важных достижений Вольфрама заключается в том, что его клеточный автомат, называемый правило 110, является тъюринг-полным. Система называется тьюринг-полной, если она способна выполнять любую операцию, подвластную машине Тьюринга, которую можно считать примером идеального компьютера с бесконечными вычислительными возможностями и памятью. Машина Тьюринга может использоваться для вычисления любой математической функции.

Итак, один из клеточных автоматов Вольфрама способен вычислить результат любой математической функции, если задать ему подходящие начальные условия. Клеточный автомат 110 гораздо проще, чем игра «Жизнь» Конвея. В нем имеется только одна линия расчетов, размещенная рядом с другой. Правила трансформации определяются значением этой ячейки и двух соседних. Если обозначить «живое» состояние через 1 и «мертвое» — через 0, правило 110 можно свести к следующей записи:

111 —> 0

110 —> 1

101 —> 1

100 —> 0

011 —> 1

010 —> 1

001 —> 1

000 —> 0

Ниже показан пример развития правила 110 при произвольных начальных условиях.

Правило 110. Для создания рисунка начинают с произвольной последовательности белых и черных квадратов в нижней части. Затем для создания следующей линии над предыдущей используется правило 110. Процесс продолжается до формирования завершенного рисунка.

Вольфрам использовал свои клеточные автоматы для описания самых разных систем, например пигментации шкуры животных. Некоторые морские раковины в своем поведении демонстрируют огромное сходство с клеточными автоматами.

По мнению Вольфрама, это происходит благодаря тому, что алгоритмы роста живых существ — это также наборы простых правил, которые лежат в основе сложных моделей.

Клеточные автоматы были использованы для изучения поведения газа вне состояния равновесия. С помощью метода, названного автоматом решеточного газа (lattice gas automaton), ячейки используются для представления частиц с разными скоростями. Изменение системы происходит на основе простых правил, как и в игре «Жизнь», эти правила определяют, как скорость каждой ячейки меняется со временем. В 90-е годы прошлого века метод дал хорошие результаты и вдохновил ученых на разработку решеточного метода Больцмана, основанного на похожих принципах.

Как видите, вновь развитие математики приводит к прогрессу и других областей науки.

Жизнь как самоорганизующаяся система

Клеточные автоматы, такие как игра «Жизнь», доказывают, что большая сложность может опираться на очень простой базис, и даже заставляют думать, что жизнь могла возникнуть спонтанно посреди неодушевленной материи.

Все популярнее становится версия, что жизнь зародилась как автокаталитическая система. Катализатор — это вещество, которое используется для ускорения или облегчения протекания химической реакции: например, диоксид марганца используется для разложения перекиси водорода на воду и кислород, а без него эту реакцию осуществить намного сложнее.

Следовательно, автокаталитическая система — это группа молекул, которые катализируют производство самих себя и которые способны превращаться друг в друга. Автокаталитические системы характеризуются регулярным поведением, которое довольно сложно объяснить прямым действием законов Больцмана.

Возьмем, например, химические часы. Сегодня известно несколько пригодных для этого реакций, и все они имеют нечто общее: в часах используется раствор нескольких веществ, два из которых могут превращаться друг в друга с помощью третьего компонента. При реакции Белоусова — Жаботинского превращение веществ сопровождается окрашиванием раствора в разные цвета, так что реакцию можно наблюдать невооруженным глазом.

При определенных концентрациях раствора происходит удивительное явление: одно из веществ реагирует с катализаторами, превращаясь в другое вещество и изменяя цвет раствора; через некоторое время полученное вещество также вступает в реакцию, превращаясь в первое и еще раз изменяя цвет, при этом циклы имеют одинаковую длительность. Так и появились часы с химическими компонентами, или химические часы.

Другое свойство автокаталитических систем состоит в их способности к самовоспроизведению. Конечно, это касается не каждой отдельной молекулы, а именно их совокупности. Этим же признаком обладают и все живые существа: ни одна молекула в их телах не способна к самовоспроизведению сама по себе, но различного рода совместная работа позволяет в итоге восстановить целостность системы.

Американский биолог Стюарт Алан Кауффман (1939), изучавший автокаталитические системы, выяснил, что их свойства связаны с эволюцией. На основе чисто математического подхода, не учитывая химических свойств системы, он обнаружил, что системы можно разделить на части, которые взаимодействуют между собой и могут эволюционировать, создавая между частями все более сложные отношения с растущим количеством элементов. Ученый ничего не говорит о природе этих частей, и его анализ применим не только к химическим веществам, но и к любому набору систем, взаимодействующих подобным образом. Так, Кауффман утверждает, что примером автокаталитической системы является бактериальная флора нашего кишечника.

Видение жизни как самоорганизующейся системы совпадает с идеей о том, что живые существа являются диссипативными системами. Живое существо — это структура, которая поддерживает свою энтропию постоянной, создавая энтропию вокруг себя, что означает, что такое существо должно потреблять энергию и как можно эффективнее рассеивать ее. Живые существа представляют собой систему в метастабильном состоянии: несмотря на то что они находятся вне равновесия, они способны поддерживать это состояние, пока система не сталкивается со слишком большими нарушениями, и в этом случае живое существо переходит в состояние стабильного равновесия, то есть смерти. Исследования Кауффмана подчеркнули возрастающую сложность автокаталитических процессов, которую можно объяснить тем фактом, что диссипативные системы стремятся к внутреннему упорядочению, выводя хаос за пределы системы.

Самоорганизующиеся системы могут включать как живые существа, так и инертные части. Пример этого — поведение колонии муравьев или термитов. Как объясняет Пригожин в своей книге «Порядок из хаоса», термиты при строительстве термитника ведут себя так же, как молекулы в химической диссипативной системе.

Он пишет:

«Первая стадия строительной активности (закладка основания), как показал Грассе, является результатом внешне беспорядочного поведения термитов. На этой стадии они приносят и беспорядочно разбрасывают комочки земли, но каждый комочек пропитывают гормоном, привлекающим других термитов.

[…] Начальной «флуктуацией» является несколько большая концентрация комочков земли, которая рано или поздно возникнет в какой-то точке области обитания термитов. Возросшая плотность термитов в окрестности этой точки, привлеченных несколько большей концентрацией гормона, приводит к нарастанию флуктуации. Поскольку число термитов в окрестности точки увеличивается, постольку вероятность сбрасывания ими комочков земли в этой окрестности возрастает, что, в свою очередь, приводит к увеличению концентрации гормона-аттрактанта. Так воздвигаются «опоры».

Как видно, описание соответствует развитию динамической системы, которая переходит от гомогенного состояния в негомогенное, в котором исходные нестабильности приобретают все большее значение и в конце концов полностью определяют развитие системы. Имеется и другой случай спонтанного нарушения симметрии: начальная территория одинакова везде, но в результате деятельности термитов случайно выбираются те ее части, которые скрывают начальную симметрию состояния.

Другой пример самоорганизующейся системы представляют собой коллективные амебы, одноклеточные животные, образующие сложные структуры при недостатке пищи. Амебы ведут себя как автономные существа, пока им хватает пищи, но как только наблюдается ее недостаток, одна из амеб начинает выделять определенное вещество, запускающее цепную реакцию: остальные амебы движутся к ней, образуя конгломерат, который начинает развиваться. Пригожин пишет:

«Сформировавшаяся колония мигрирует до тех пор, пока не обнаружит участок среды с условиями, пригодными для образования плодового тела. Тогда масса клеток начинает дифференцироваться, образуя стебель, несущий на конце мириады спор».

Другие примеры самоорганизующихся систем

Самоорганизующиеся системы не только существуют в природе, но и являются важной частью наших технологических достижений. Один из примеров — нейронные сети, которые используются сегодня в различных сферах, от распознавания голоса до обнаружения лиц на фотографиях.

Нейронная сеть — это компьютерная программа, имитирующая структуру мозга. Она состоит из различных слоев нейронов, которые получают и передают импульсы. Поведение нейронов основано на реальном поведении нейронов мозга, хотя и в упрощенном виде.

Нейронные сети не программируются в привычном смысле этого слова, а обучаются. Алгоритмы глубинного обучения обеспечивают, что каждый из нейронов берет на себя обработку входящей информации, усваивая ее примерно таким же образом, как это происходит в человеческом мозге.

В нашем мозге нейроны связаны друг с другом, образуя слои. Каждый нейрон имеет несколько входных каналов и только один исходящий. Уровень электрического импульса, поступающего со всех входных каналов, определяет, активируется ли нейрон и передаст ли он сигнал. Способность мозга к обработке информации заключается в регулировании силы связей между нейронами и декодировании сигналов, поступающих из внешнего мира.

Нейронные сети работают так же: у каждого нейрона есть несколько входов и один выход; от интенсивности входящего сигнала зависит, активируется ли нейрон. Каждый слой нейронов представляет собой различный когнитивный аспект: так, в нейронных сетях для обработки изображений первый слой используется для обнаружения базовых форм, второй — для более сложных форм, и так далее, пока очередь не дойдет до таких понятий, как «собака» или «мама».

Преимущество обучаемых нейронных сетей состоит в том, что для процесса глубинного обучения не требуется вмешательство человека — достаточно поступающих данных. Компьютер «Уотсон» компании IBM, например, был запрограммирован на поиск в интернете информации, которая позволила ему выиграть в программе “Jeopardy!” и понимать своих людей-собеседников, но этот поиск производился без вмешательства человека. Нейронная сеть с подходящими параметрами может научиться узнавать элементы на основе набора картинок, и человек при этом не должен будет сообщать ей: «Это камень». Недавно Google добился того, чтобы такая нейронная сеть научилась обнаруживать на фотографиях котов. Другое достижение нейронных сетей — программа, способная распознавать капчу — искаженные изображения, которые используются в интернете для проверки, является ли пользователь человеком.

Нейронные сети — самоорганизующаяся система: на основе случайной начальной конфигурации, следуя простым правилам, они способны программировать себя для осуществления таких сложных задач, как распознавание голоса. Этот тип систем — первый шаг к тому, что можно назвать искусственным интеллектом.

Способность простых систем к самоорганизации была использована и в робототехнике: роботы с невысокими возможностями обработки информации научились вести себя подобно упомянутым выше живым существам. Как и термиты, роботы с ограниченными техническими возможностями, взаимодействуя друг с другом, стали способны решать довольно сложные задачи. Этот вид распределенного интеллекта можно рассматривать как очередной пример сложного поведения системы, опирающейся на простые правила.

Несмотря на то что люди — существа с высоким интеллектом, их поведению в совокупности также характерны черты самоорганизующейся системы. Общество в целом ведет себя словно одна из таких систем: несмотря на то что отдельные люди живут и умирают, структуры, в которых это происходит, также ведут себя подобно диссипативной системе — город потребляет энергию и производит энтропию, подобно жидкости, в которой формируются ячейки Бенара. Социальная и экономическая жизнь также могут быть рассмотрены как динамическая система, которая начинается с некоторого гомогенного состояния и в итоге принимает конечную форму, заданную исходными условиями. Социоантрополог Эдмунд Лич (1910–1989) создал математическую модель политических изменений племен качинов в Бирме в статье 1954 года «Политические системы Северной Бирмы: исследование социальной структуры качинов».

Другой пример самоорганизации в наши дни — интернет, который представляет собой безмасштабную сеть. Такая сеть имеет структуру, в которой серия узлов, называемых хабами, обладает большим количеством связей, ведущих к субхабам, и так далее. Безмасштабные сети характеризуются толерантностью к ошибкам: даже если часть сети перестанет работать, совокупность в целом довольно устойчива и не испытает проблем в функционировании.

Существует несколько теорий безмасштабных сетей. Одна из них, предложенная Альбертом-Ласло Барабаси (1967), предполагает, что в основе такой сети лежит механизм предпочтительного присоединения, в котором число связей узла стимулирует появление новых связей. В некоторой степени это похоже на такую ситуацию: богатому человеку намного легче заработать денег, чем бедному. Структура безмасштабных сетей — это продукт самоорганизации, при которой новые узлы, подобно домашнему роутеру, необходимому для соединения с интернетом, подключаются к другим узлам, формируя устойчивую структуру.

Другие диссипативные системы: лазер

Еще одно технологическое применение диссипативных систем — это лазер, устройство, которое использует квантовые свойства атомов для передачи света с определенной длиной волны. Главное свойство лазерного света — в когерентности: его волны распространяются синхронно, отставая одна от другой на определенную величину, и разность фаз остается постоянной.

В атоме электроны располагаются вокруг ядра. Благодаря некоторым законам квантовой механики, они не могут обладать любой энергией, их уровни энергии квантованы и могут иметь лишь определенные значения. Когда электрон находится на орбите с низким уровнем энергии, его можно возбудить с помощью тепла или электромагнитного поля, и тогда частица поднимется на уровень выше. Таким же образом его можно опустить на уровень ниже, при этом избыток энергии будет трансформирован в свет.

Идея работы лазера заключается в том, чтобы заставить электроны производить свет с определенной частотой с помощью электромагнитных колебаний. Так можно добиться не только потока света необходимой частоты, но и когерентности излучения.

Лазеры — пример диссипативной и самоорганизующейся системы: атомы организуются спонтанно и рассеивают энергию, поступающую к ним в виде света. Свет, излучаемый лазером, имеет очень низкую энтропию — именно в силу своей когерентности.

Лазерная технология крайне важна для нашего информационного общества: на ней основаны все оптические системы хранения информации, такие как CD, DVD и Blueray.

Газ как модель Вселенной

В этой книге мы с вами увидели, что изучение такой частной проблемы, как свойства вещества в газообразном состоянии, может привести к появлению самых разных идей, имеющих большое значение для множества областей знания, от информатики до социологии. Как это часто бывает в науке, изучение конкретной проблемы ведет к появлению инструментов, которые затем находят свое применение далеко за рамками исходной дисциплины.

Это как нельзя лучше подтверждает силу математики. В отличие от естественных наук, математика не ограничена действительностью, поэтому может изменяться и расширяться безгранично, создавая новые, все более мощные инструменты. Никто не мог и представить, к чему может привести математический анализ довольно заурядного явления. А на самом деле в математике газа речь идет обо всей Вселенной.

Библиография

BARNSLEY, M.F., Fractals Everywhere, Nueva York, Dover Publications, 2013.

CARNOT, S., Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego, traduccion у notas de Javier Odon Ordonez, Madrid, Alianza Editorial, 1987.

CASS, D. у Shell, K., «Introduction to Hamiltonian Dynamics in Economics», Journal of Economic Theory, Filadelfia, Elsevier, 1976.

CERCIGNANI, C., Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms, Oxford, Oxford University Press, 1998.

GOLDSTEIN, H., Poole, Ch. у SAFKO, J., Classical Mechanics, San Francisco, Addison Wesley, 2002.

GRUNWALD, P. у VlTANYI, P., Shannon Information and Kolmogorov Complexity, publicado en arXivrcs/0410002 [cs.IT], 2004.

HORDIJK, W., STEEL, M. у KAUFFMAN, S., The Structure of Autocatalytic Sets: Evolvability, Enablement and Emergence, publicado en arXiv:1205.0584 [q-bio. MN], 2012.

McQUARRIE, D.A., Statistical Mechanics, South Orange, Nueva Jersey, University Science Books, 2000.

PRIGOGINE, I., El nacimiento del tiempo, Barcelona, Tusquets, 1991.: (jTan solo una ilusion? Una exploracion del caos al orden, Barcelona, Tusquets, 1983.

SCHNEIDER, E.D. у Sagan, D., La termodinamica de la vida: fisica, cosmologia, ecologia у evolucion, traduccion de Ambrosio Garcia Leal, Barcelona, Tusquets, 2008.

SYMON, K.R., Mechanics, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1971.

WOLFRAM, S., A New Kind of Science, Champaign, Illinois, Wolfram Media, 2002.

ZEMANSKY, M.W., Heat and Thermodynamics, Nueva Y)rk, McGraw-Hill, 1981.

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 42

Эдуардо Арройо

Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия

Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей поданному адресу не принимаются.

Генеральный директор: Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Выпускающий редактор: Людмила Виноградова

Финансовый директор: Полина Быстрова

Коммерческий директор: Александр Якутов

Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук

Менеджер по продукту: Яна Чухиль

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:

8-800-200-02-01

Телефон горячей линии для читателей Москвы:

8-495-660-02-02

Адрес для писем читателей:

Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30, «Де Агостини», «Мир математики»

Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).

Распространение: ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»

УКРАИНА

Издатель и учредитель:

ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина

Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119

Генеральный директор: Екатерина Клименко

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:

0-800-500-8-40

Адрес для писем читателей:

Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Мир математики»

Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»

БЕЛАРУСЬ

Импортер и дистрибьютор в РБ:

ООО «Росчерк», 220037, г. Минск, ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,

тел./факс: (+375 17) 331-94-41

Телефон «горячей линии» в РБ:

+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)

Адрес для писем читателей:

Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Мир математики»

КАЗАХСТАН

Распространение:

ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»

Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:

Grafica Veneta S.p A Via Malcanton 2

35010 Trebaseleghe (PD) Italy

Подписано в печать: 17.09.2014

Дата поступления в продажу на территории России: 04.11.2014

Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».

Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 4,5.

Усл. печ. л. 5,832.

Тираж: 28 600 экз.

© Eduardo Arroyo Perez, 2014 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2014

© ООО «Де Агостини», 2014

ISBN 978-5-9774-0682-6

ISBN 978-5-9774-0772-4 (т. 42)

Content

Эдуардо Арройо
«Мир математики»
№ 42
«Путешествие от частицы до Вселенной.
Математика газовой динамики»

Предисловие

Глава 1 Ленивая частица

Глава 2 Размышляя об N-ном количестве измерений

Глава 3 Как предсказать непредсказуемое

Глава 4 Информация и хаос

Глава 5 Порядок из хаоса

Библиография