Франсиско Мартин Касальдеррей

«Мир математики»

№ 16

«Обман чувств.

Наука о перспективе»

Предисловие

История математики и история науки в целом долгое время шли параллельным курсом. Научные и технические открытия, совершенные на каждом этапе истории человечества, были бы невозможны без предшествовавших им открытий в математике.

Физика, астрономия, а в последнее время также экономика, общественные науки и все связанные с информацией дисциплины основаны на математике, используют математические модели или применяют математику в качестве вспомогательного инструмента.

Это понятно всем. Однако взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. Математика является частью ядра человеческой культуры, рядом с ней находится творчество, а в самом центре — язык, необходимый, чтобы выражать мысли и говорить о культуре. Вокруг этого ядра подобно электронам атома вращаются все остальные отрасли человеческого знания. Подобная близость объясняет, почему взаимосвязь между математикой и искусством намного глубже и обширнее, чем может показаться. Математика и творчество как направления человеческой деятельности развивались параллельно.

В этой книге мы расскажем о том, как именно они развивались. К примеру, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения ознаменовало переворот в живописи и переход от средневековых концепций к чему-то совершенно новому. В эпоху Возрождения профессии художника, архитектора и математика смешались: многие художники были математиками, многие математики — художниками, и эта взаимосвязь обогатила и математику, и искусство.

Понятия времени, пространства и меры волновали людей начиная с древних времен. Эти понятия рассматривались в философии, равно как и в математике и живописи. В данной книге мы рассмотрим эти три понятия с точки зрения математики на примере некоторых произведений великих художников.

В то же время искусству не чуждо математическое мышление. Особая методология математики и восприятие реальности с математической точки зрения способны помочь в изучении произведений искусства, понимании их ценности; в целом они способствуют иному взгляду на результаты творчества художников.

Мы посмотрим на некоторые картины и шедевры архитектуры «математическим взглядом» и попробуем понять замысел их создателей. Не будем уделять внимание исключительно формальным аспектам языка искусства, геометрии композиции или структуре повествования. Напротив, мы рассмотрим произведения с чисто художественной, исторической, повествовательной и других точек зрения, что поможет нам лучше понять искусство и насладиться им в полной мере.

Глава 1

Изобретение перспективы

Демонстрация Брунеллески

— Я Ванни из мастерской господина Филиппо. Мне было поручено сообщить твоему господину, что сегодня в полдень его будут ждать у Сан-Джованни.

— Проходи и поговори с ним. Он у себя в кабинете, там, с другой стороны двора, куда падает свет.

Ванни еле слышно постучал в дверь, услышав «войдите», медленно повернул ручку и открыл негромко скрипнувшую дверь. Он остался стоять на пороге, держа в руках шляпу, которую только что снял в знак уважения, и глядя в пол.

Донателло оторвался от бумаг и, осмотрев его с ног до головы, спросил:

— Чего тебе, юноша?

— Меня зовут Ванни, я работаю в доме господина Филиппо из рода Брунеллески. Он послал меня сообщить вам, чтобы вы пришли в полдень к дверям Сан-Джованни.

— Известно ли тебе, почему твой хозяин хочет, чтобы я пришел туда?

— Этого я не знаю, но могу сказать, что я также должен зайти в дом господина Лука делла Роббиа, а перед тем, как зайти сюда, я передал это же поручение господину Лоренцо Гиберти. Мне было велено зайти еще в одну мастерскую, прежде чем вернуться к моему господину.

— Хорошо, передай ему, что я приду.

Это приглашение Филиппо Брунеллески было несколько странным. Оно было странным не потому, что был выбран неурочный час: напротив, встреча должна была состояться незадолго до обеда, когда мастерские закрывались и все работники вместе с хозяином мастерской воздавали молитву Ангелу Господню и садились обедать. Странным было место, куда следовало прийти: Брунеллески приглашал не к себе домой, а в общественное место, к воротам баптистерия на площадь перед недостроенным кафедральным собором, который возводился, казалось, целую вечность. Такими темпами строительство должно было завершиться через много веков.

Флоренция была наполовину недостроенным городом. Фасады бесчисленных церквей в большинстве своем были выполнены из необработанного кирпича и обветшали от времени. Семьи, обогатившиеся в последние годы благодаря торговле и сделкам с банками, — Пацци, Медичи, Строцци, Ручеллаи и другие — хотели построить свои дворцы, более пышные, чем у соседей, чтобы показать не только свое богатство, но и политическое влияние.

Должно было произойти нечто особенное, чтобы Филиппо, старейший и, по мнению Донателло, мудрейший из всех художников той эпохи, созвал их всех в этом месте.

Донателло вышел из дома и неторопливо направился к назначенному месту встречи. Когда он пришел на площадь, зазвонили все колокола Флоренции. Наступил полдень. Было прохладное утро одного из последних дней зимы 1416 года.

Воздух был чист и прозрачен. Подойдя поближе, он увидел Филиппо Брунеллески, рядом с которым, как и всегда в последнее время, стоял его юный подмастерье. Ему было всего 15 лет, и он еще не работал в мастерской, но уже успел подружиться с маэстро и завоевать уважение всех остальных художников своего круга. Этим высоким молодым человеком несколько неряшливой наружности был Томмазо ди сер Джованни ди Гвиди, которого все называли Мазаччо. Рядом с маэстро стоял Ванни, державший в руках деревянную шкатулку. Это был тот самый юноша, который передал Донателло приглашение. Улыбавшийся Филиппо был одет в платье из голубоватой шерстяной ткани, оберегавшее от зимних холодов; на голове у него была блестящая красная шляпа, которая больше походила на кусок материи, замотанный вокруг головы и спадавший на спину. Подобный головной убор был вполне привычным, но Донателло считал его несколько старомодным. Рядом с юным Мазаччо Филиппо казался невысоким.

Мастера обменялись приветствиями и замерли в ожидании, глядя на маэстро.

Брунеллески начал говорить медленно и осторожно, как человек, который привык учить других и объяснять непонятное. Он делал паузы, чтобы слушатели могли обдумать его слова, и смотрел по сторонам, желая убедиться, что его внимательно слушают и понимают.

— Я собрал вас, чтобы продемонстрировать то, над чем я работал в последние месяцы. Вам известно, что уже несколько лет я ищу способ писать картины так, чтобы зрителю казалось, будто он видит реальность глазами художника. Использовав знания геометрии и другие знания математики, я открыл метод, позволяющий художнику представить на холсте то, что он видит, столь совершенно, что зритель, который затем посмотрит на картину, не сможет отличить настоящее от нарисованного, если художник умело и изящно использует цвет и тени.

Доказательство тому, что этого и в самом деле можно достичь, следуя моим указаниям, находится в этой шкатулке, которую я приказал принести сюда. Я приведу неоспоримое доказательство того, что мой метод в самом деле работает.

Все инстинктивно повернулись туда, куда указал Филиппо, в сторону шкатулки, которую держал в руках Ванни. Филиппо оставался невозмутимым и ждал, пока зрители не спросят его, что же находится в загадочной шкатулке.

Рабочие со стройки флорентийского собора открыли главные ворота, которые находились напротив баптистерия рядом с лестницей, где слушатели собрались вокруг Брунеллески.

Наконец Брунеллески подошел к шкатулке и приказал открыть ее. Он извлек оттуда небольшую квадратную доску со стороной примерно в половину локтя. На ней была изображена картина, на которой был нарисован флорентийский баптистерий Сан-Джованни, перед которым они находились. На картине было все, что видел художник, стоящий у ворот в центре собора Санта-Мария-дель-Фьоре, войдя внутрь на три локтя от его порога. Картина была выполнена столь искусно и прилежно, а цвет белого и черного мрамора был подобран столь удачно, что ни один миниатюрист не сделал бы этого лучше. На переднем плане был изображен баптистерий и часть площади, видимая с указанной точки. Верхняя часть картины, где изображалось небо, была выполнена из полированного серебра так, что в ней отражалось настоящее небо и облака, движимые ветром.

Баптистерий Сан-Джованни. Фотография сделана из ворот собора Санта-Мария-дель-Фьоре примерно с той же точки, которую выбрал Брунеллески для своего доказательства.

(источник: FMC)

Брунеллески поднял картину, чтобы все могли рассмотреть ее, и спросил, что необычного находят на ней зрители, собравшиеся вокруг него. Все хранили молчание.

Его нарушил Мазаччо, который сказал:

— Маэстро, нет сомнений, что картина выполнена очень тщательно и поистине прекрасна, но, если вы позволите, я скажу, что заметил совершенную вами ошибку, которая ни в коей мере не умаляет достоинств картины. Я заметил, что на вашем рисунке колонна Святого Зиновия расположена в противоположной стороне, не там, где она находится в действительности, как все мы можем заметить. Это же можно сказать и о монастырской столовой, которая изображена на картине с другой стороны. Возможно, при переносе эскиза на картину вы не обратили внимания, что поменяли стороны местами.

Брунеллески молча улыбался, слушая Томмазо; он ждал этих слов и не перебивал юного художника, который заливался краской, обнаружив ошибку в работе мастера.

Наконец Филиппо сказал:

— Именно этого ответа я и ожидал. В самом деле, на картине я изобразил слева то, что должно находиться справа, а справа — то, что должно быть слева, как если бы площадь отражалась в зеркале. Однако я сделал это не по ошибке, а намеренно, как часть моего доказательства, которое я выполню вместе с вами, друзья.

Обратите внимание на это отверстие, проделанное в доске. С той стороны, где нарисована картина, оно небольшое, подобно зерну чечевицы; с другой стороны оно расширяется подобно дамской соломенной шляпе, пока не становится размером с дукат. Я проделал его, чтобы вы могли взглянуть сквозь него. Художнику следует предполагать, что на его картину будут смотреть из точки, расположенной точно в том же месте, где стоял сам художник, когда рисовал картину.

Брунеллески проводит доказательство, которое теперь носит его имя.

(источник: FMC)

Повернувшись, он сказал:

— Подойди ты, Донато, возьми доску в правую руку, повернув картину задней стороной к себе. Встань сюда, на середину порога, и сделай два шага внутрь Санта-Мария-дель-Фьоре. Посмотри на баптистерий сквозь отверстие и скажи, что ты видишь.

— Я вижу баптистерий, маэстро. Что же еще я мог увидеть? — ответил он.

Брунеллески улыбнулся и сказал:

— Теперь возьми в левую руку это зеркало, вытяни руку насколько можешь и направь зеркало так, чтобы оно закрывало баптистерий. Теперь перемещай его из стороны в сторону. Скажи нам, что ты видишь?

Потрясенный, тот некоторое время не мог вымолвить ни слова. Казалось, что зеркала не было. Когда Донателло передвигал зеркало, держа его в левой руке, как сказал Филиппо, часть баптистерия, которую скрывало зеркало, заменяла часть картины, отражавшаяся в зеркале. Граница зеркала будто бы растворялась, и совмещенные реальное изображение и отражение в зеркале казались единым целым. Он едва мог найти слова, чтобы описать увиденное, и его друзья немедленно захотели сами взглянуть в зеркало. Доска и зеркало переходили из рук в руки, и непрестанно раздавались комментарии. Юный Мазаччо, когда настала его очередь, взглянув в зеркало, сказал:

— Теперь, маэстро, я понимаю, почему вы изобразили собор, поменяв стороны местами. Когда ваша картина отражается в зеркале, все встает на свои места. Отверстие указывает точку, из которой нужно смотреть. Я заметил еще кое-что: когда я вытягиваю руку, в которой держу зеркало, расстояние между глазом и зеркалом, если измерить его маленькими локтями, которыми измеряется собор на картине, будет равно расстоянию от того места, где мы находимся, до настоящего собора. Брунеллески просиял.

— Именно в этом, — воскликнул, почти вскричал он, — и состоит основа моих рассуждений. Как вы можете видеть, картину невозможно отличить от того, что видят ваши глаза. Я обнаружил, любезные друзья, простой метод изобразить всё, что видит глаз, с точно такими пропорциями и размерами, чтобы при взгляде на картину вы видели точно то же самое, что видел художник. И должен сказать вам, что этот метод подчиняется законам математики.

Последняя фраза заставила собравшихся удивиться и восхититься.

— Теперь всякий, кто захочет посвятить себя искусству живописи, должен будет изучить Евклида, а затем, используя полученные знания, обучиться прекрасной науке перспективы. Всякий, кто хочет стать настоящим художником, должен, кроме того, быть увлеченным читателем, изучить труды древних мудрецов и подобно любому другому образованному человеку создать новое на основе того, что он изучил.

Воссозданная нами сцена представляет собой один из ключевых моментов в истории искусства, равно как и в истории математики. В этот момент искусство и математика стали единым целым. В этой книге мы покажем, что подобные моменты происходили не раз.

Филиппо Брунеллески создал perspectiva artificialis, или математическую перспективу, в противоположность perspectiva naturalis и оптике, которые изучал Евклид. Однако никаких рукописей Брунеллески, где бы излагалась его теория, не сохранилось. Несколько лет спустя Леон Баттиста Альберти, представитель семейства богатых торговцев и банкиров, высланных из Флоренции в 1401 году по политическим причинам, вернулся в родной город и присоединился к гуманистическим кругам столицы флорентийской республики. Он подружился с выдающимися художниками того времени: Донателло, Гиберти, Лукой делла Роббиа и в особенности с Брунеллески. В 1435 году Альберти написал трактат «О живописи», посвященный Брунеллески, в котором впервые описывались правила математической перспективы.

* * *

БРУНЕЛЛЕСКИ. РАССУЖДЕНИЯ, ПОДТВЕРЖДЕННЫЕ ПРАКТИКОЙ

Флорентийский архитектор, скульптор, художник и математик Филиппо Брунеллески (1377–1446) известен прежде всего как автор большого купола собора Санта-Мария-дель-Фьоре во Флоренции. Скорее всего, он обучался грамоте и азам математики в одной из школ абака, существовавших во Флоренции в XIV–XV веках. Его отец был нотариусом и хотел, чтобы Филиппо, второй из его трех сыновей, стал чиновником. Для получения нужного для этого образования он отдал сына в школу абака.

Увидев творческие способности юноши, отец в конце концов изменил свое решение и разрешил ему учиться на ювелира. Несколько лет спустя уже как мастер-ювелир Брунеллески вступил в цех Арте делла Сета, куда входили ткачи, ювелиры, граверы, золотых и бронзовых дел мастера. По заказу этого цеха он впоследствии выполнил один из самых важных проектов в своей карьере — строительство Воспитательного дома. Джорджо Вазари в своих знаменитых «Жизнеописаниях» пишет:

«Когда Паоло даль Поццо Тосканелли [известный космограф, сын физика Доменико Тосканелли; считается, что именно у него возникла идея о путешествии в Индию через Атлантический океан, которое впоследствии совершил Колумб] завершил обучение, он собрал друзей на праздничный ужин в саду. Он также пригласил Филиппо, который, услышав разговор об искусстве математики, завязал беседу с тем, кто учился геометрии у господина Паоло. Хотя Филиппо не посещал занятий, многие часто думали иначе, столь точно он рассуждал обо всем, используя знания, полученные на практике».

Он интересовался математикой и геометрией и сформулировал первые математические правила перспективы. Среди его последователей был Мазаччо.

Брунеллески был художником, скульптором и архитектором. В 1420 году он вместе с Лоренцо Гиберти выиграл конкурс на право построить купол собора Санта-Мария-дель-Фьоре. В итоге единоличным автором проекта и ответственным за его исполнение стал Брунеллески. Работы были завершены в 1434 году.

Помимо Воспитательного дома и купола Санта-Мария-дель-Фьоре по его проекту уже после его смерти, был построен Палаццо Питти.

Филиппо Брунеллески создал современный образ архитектора в глазах профессиональных кругов и широкой публики. Архитектор перестал быть простым ремесленником, ответственным за «механическую» часть постройки и ее техническую реализацию, какими были его предшественники, и стал играть основную роль в создании проекта. Архитектура стала свободным искусством, основанным на математике, геометрии, а также знаниях искусства и истории.

Филиппо Брунеллески. Портрет кисти Мазаччо. Капелла Бранкаччи, Флоренция.

(источник: FMC)

* * *

Интуитивная перспектива

Далеко не всегда считалось, что на картине должна изображаться реальность точно так, как мы ее видим. Напротив, во многих случаях символьный или повествовательный язык был важнее реалистичного изображения. Художник в первую очередь хотел создать шедевр и лишь во вторую выполнить некую конкретную функцию: рассказать историю, укрепить веру, объяснить какое-то понятие или отдать дань уважения кому-либо. Лишь в последнем случае художественная достоверность была в известном смысле необходимой, но необходимой лишь относительно, поскольку важнейшей целью было подчеркнуть достоинства, в особенности нравственные, того, кто изображался на портрете. Для этого художник мог допускать некоторые вольности, приукрашивая внешность героя или по меньшей мере скрывая недостатки.

Начиная с Джотто ди Бондоне эти представления стали изменяться. Тогда же начали зарождаться современные представления о живописи. Художник, рассказывающий историю, должен был сделать ее правдоподобной, а создаваемые им портреты должны были обладать физическим сходством с оригиналом. Символы состояли на службе у художника, а не наоборот. Они использовались преимущественно при изображении святых: на портрете святого Иосифа, где по очевидным причинам нельзя было достичь физического сходства, художник изображал его с цветущим посохом, чтобы зритель мог узнать святого. Однако при изображении, например, Данте Алигьери, подробное описание внешности которого было известно, расхождение портрета с описанием не допускалось.

С древних времен было известно, что удаленные предметы на картине должны быть меньше, чем предметы, расположенные вблизи. Художники всегда подчинялись этому правилу, стараясь всего лишь изобразить видимое глазом в упрощенном виде. Примеры перспективных изображений, выполненных в такой технике интуитивной перспективы, можно найти, например, на фресках Помпеи. Считалось, что уменьшение размеров было как-то связано с углом зрительной линии, который уменьшался по мере отдаления предмета.

Угол зрения α, под которым человек виден с определенного расстояния d, уменьшается и становится равным α' при увеличении расстояния дo d',oт наблюдателя до этого человека.

(источник: FMC)

Также было интуитивно понятно, что при изображении помещений параллельные линии пола должны были сходиться в одной точке, равно как и линии потолка. Однако считалось, что эти бесконечно удаленные точки отличались и располагались на одной вертикальной прямой.

Помещение, изображенное по законам интуитивной перспективы с двумя разными точками схода.

(источник: FMC)

На фресках Джотто в базилике Сан-Франческо в Ассизи можно увидеть, как реализуется эта интуитивная перспектива.

Примером может служить фреска «Проповедь перед папой Гонорием III», на которой изображены три арки. Папа, сидящий на возвышении, занимает центральное место. Ступеньки, ведущие к возвышению, расположены неверно по отношению к стенам свода, внутри которого происходит действие. Непросто понять, где расположены некоторые из героев картины — перед колоннами или же за ними. Тем не менее картина выглядит гармоничной, передано ощущение глубины и объема. Линии пола и потолка сходятся в разных точках, расположенных на одной вертикальной линии.

Джотто ди Бондоне. «Проповедь перед папой Гэнорием III».

Что же такое перспектива?

Следует прояснить, что мы будем понимать под словом «перспектива» в рамках этой книги. Эрвин Панофский, один из наиболее выдающихся исследователей в этой области, в своей книге «Перспектива как символическая форма» дает такое определение: «…Перспектива в полном смысле слова есть способность представить отдельные объекты «в сокращении», так что вся картина словно бы превращается в окно, через которое мы смотрим в пространство, а материальная поверхность картины понимается как изобразительная поверхность, на которую проецируется видимое сквозь нее и заключающее в себе все единичные предметы общее пространство».

Как мы уже говорили, первой книгой, в которой описывались математические законы перспективы, стала работа разностороннего гуманиста Леона Баттисты Альберти «О живописи», написанная на латыни и переведенная им же на тосканское наречие. Свой труд Альберти посвятил Филиппо Брунеллески.

* * *

ПРОЛОГ ТРАКТАТА «О ЖИВОПИСИ» АЛЬБЕРТИ

Я часто дивился, да и сокрушался, видя, как столь отменные и божественные искусства и науки, которые, судя по их произведениям и по свидетельствам историков, изобиловали у доблестнейших древних наших предков, ныне пришли в такой упадок и как бы вовсе утрачены. <…> Посему, от многих слыша, что так оно и есть на самом деле, я и решил, что сама природа, мастерица всех вещей, состарившись и одряхлев, не производит больше на свет ни гигантов, ни людей таких дарований, каких она в чудесном изобилии порождала в свою, я бы сказал, юношескую и более славную пору.

Однако после того, как из долгого изгнания, в котором мы, Альберти, успели состариться, я вернулся сюда в эту нашу, превыше всех прекраснейшую родину, я убедился на примере многих, но в первую голову на тебе, Филиппо [Брунеллески], и на нашем любезнейшем друге скульпторе Донато [Донателло], а также на других, как-то на Ненчо [Гиберти], на Луке [делла Роббиа] и на Мазаччо, что они по дарованию своему ни в одном похвальном деле не уступают кому бы то ни было из древних и прославленных мастеров этих искусств. Так я понял, что в нашей власти достигнуть всяческой похвалы в какой бы то ни было доблести при помощи собственного нашего рвения и умения, а не только по милости природы и времен. Признаюсь тебе: если древним, имевшим в изобилии у кого учиться и кому подражать, было не так трудно подняться до познания этих высших искусств, которые даются нам ныне с такими усилиями, то имена наши заслуживают тем большего признания, что мы без всяких наставников и без всяких образцов создаем искусства и науки неслыханные и невиданные. Где такой черствый и завистливый человек, который не похвалил бы зодчего Пиппо [Брунеллески], имея перед глазами столь великое сооружение, вздымающееся к небесам, настолько обширное, что оно осеняет собою все тосканские народы, и воздвигнутое без всякой помощи подмостей или громоздких лесов, — искуснейшее изобретение, которое поистине, если только я правильно сужу, столь же невероятно в наше время, сколь, быть может, оно было неведомо и недоступно древним?

Однако мне предстоит в другом месте поговорить о твоих заслугах, и о доблести нашего Донато, и всех тех, кто мне дорог своим нравом. Ты же упорствуй, продолжая изобретать изо дня в день те вещи, благодаря которым твое удивительное дарование заслужит тебе вечную славу и имя, а если когда-либо тебя посетит досуг, мне любо будет, что ты снова просмотришь это мое сочиненьице о живописи, которое я написал на тосканском языке, посвятив его тебе. Ты увидишь три книги, и в первой, чисто математической, из глубинных корней природы возникает это прелестное и благороднейшее искусство. Вторая книга вкладывает это искусство в руки художника, различая его области и все доказывая. Третья учит художника, каким он должен быть и каким путем он может достигнуть совершенного искусства и познания всей живописи.

* * *

Основные понятия перспективы

В основе математического представления о перспективе лежит воображаемая пирамида. Ее вершина находится там же, где располагается глаз художника, который считается единственным и неподвижным. Основанием пирамиды служит видимый контур изображаемого предмета. Изображением в перспективе будет пересечение этой пирамиды с плоскостью изображения. Допустим, что мы хотим изобразить на картинной плоскости π прямоугольник ABCD, расположенный на полу, так, как его видит наблюдатель, стоящий в точке Р. При этом глаз наблюдателя расположен на высоте р и на расстоянии d от картины, то есть в точке О. Для этого нам нужно построить пирамиду OABCD, которая пересечет картинную плоскость π в точках ABCD'. Трапеция ABC'D' будет перспективным изображением прямоугольника ABCD.

Основные понятия перспективы.

(источник: FMC)

Перспективным изображением является проекция с центром в точке О на часть бесконечной плоскости π, ограниченной краями картины. Картинная плоскость π в нашем случае перпендикулярна плоскости основания, или горизонтальной плоскости проекций (хотя это необязательно). Линия, получаемая пересечением этих плоскостей, называется основанием картины. Глаз наблюдателя, или точка зрения О, находится на высоте р над плоскостью основания и на расстоянии d от картинной плоскости π. Из точки О на картинную плоскость опускается перпендикуляр, концом которого будет точка О' — проекция точки О, называемая центром перспективы. Линия, параллельная основанию картины и проходящая через точку О', находящаяся на картинной плоскости, называется линией горизонта.

Изображением любой произвольной точки D на картинной плоскости будет точка D' — точка пересечения плоскости π и линии, проведенной из точки зрения О в точку D.

Перспектива по Альберти

Метод Леона Баттисты Альберти не слишком отличался от метода Брунеллески. Альберти изложил (довольно туманно) свой метод в трактате «О живописи»: «Сначала там, где я должен сделать рисунок, я черчу четырехугольник с прямыми углами такого размера, какого мне захочется, и принимаю его за открытое окно, откуда я разглядываю то, что на нем будет написано, и здесь же я определяю рост человека, нужный мне для моей картины, и делю рост этого человека на три части, каждую из которых я для себя принимаю пропорциональной той мере, которая называется локтем».

Флорентийский локоть (braccio) — традиционная мера длины, равная 58,4 см. Таким образом, для Альберти средний рост человека равнялся 175 см.

«Этими локтями я делю нижнюю лежащую линию четырехугольника на столько частей, сколько он их вмещает. Затем внутри этого четырехугольника, там, где мне вздумается, я устанавливаю точку, которая занимала бы то место, куда ударяет центральный луч, и поэтому я называю эту точку центральной. Хорошо будет поместить эту точку над нижней лежащей линией четырехугольника не выше роста того человека, которого мне предстоит написать, ибо таким образом как зритель, так и видимые написанные вещи кажутся находящимися на одном уровне. Итак, поместив центральную точку, как я сказал, я провожу из нее прямые линии к каждому делению на лежащей внизу линии четырехугольника. Эти проведенные линии показывают мне, каким образом изменяется каждое поперечное протяжение, как бы уходя в бесконечность».

Четырехугольник Альберти.

(источник: FMC)

Схема, которую описывает Альберти, выглядит так, как показано на следующем рисунке.

Схема перспективы по Альберти.

(источник: FMC)

Картинная плоскость π', на которой расположено «окно», не совпадает с плоскостью π, а параллельна ей. Поэтому предметы на картине по размеру не совпадают с реальными, а изображены в определенном масштабе. Масштаб художник выбирает тогда, когда определяет, какой размер будет иметь изображение человека на картине. Когда воображаемая пирамида с вершиной в точке зрения О и основанием ABCD пересекает картинную плоскость, образуется трапеция A'B'C'D'. Проекцией точки О на картинную плоскость будет точка О', так называемый центр перспективы. Для изображения поперечных линий в перспективе Альберти предлагает следующий метод:

«Я беру маленькую площадь, провожу на ней прямую линию и делю ее на части, подобные тем, на которые разделена лежащая нижняя линия четырехугольника. Затем наверху я ставлю точку, на той же высоте от этой линии, на которой я помещал в четырехугольнике центральную точку над его нижней линией, и из этой точки я провожу линии к каждому делению, обозначенному на первой линии. Затем я произвольно устанавливаю расстояние глаза от картины и провожу, как говорят математики, перпендикулярную линию, пересекающую любую встречную линию. <…> Эта перпендикулярная линия при пересечении с другими линиями дает мне, таким образом, последовательность всех поперечных протяжений. И таким образом у меня в картине оказываются обозначенными все параллели, то есть квадратные локти пола».

Построения, описанные Альберти, можно представить на следующем рисунке:

Вспомогательный рисунок для метода Альберти.

(источник: FMC)

Проведем отрезок A'D' и разделим его на столько же частей, что и основание четырехугольника. Выберем точку Р, куда мы хотим поместить наблюдателя, и обозначим точку О на перпендикуляре, опущенном в точку Р. Расстояние ОР равно расстоянию между центром перспективы и основанием четырехугольника. Точки пересечения линии А'Н и лучей зрения, соединяющих точку О с отметками на отрезке A'D', определят, где будут проходить поперечные линии:

Чтобы изобразить квадраты, на которые разделен пол, достаточно перенести эти точки на картину, как показано на рисунке выше. Альберти в качестве доказательства правильности своего метода предлагает провести диагональ одного из квадратов и убедиться, что ее продолжение совпадет с диагоналями соседних квадратов.

* * *

АЛЬБЕРТИ. РАЗНОСТОРОННИЙ ГУМАНИСТ

Возможно, Леон Баттиста Альберти (1404–1472) вместе с Леонардо да Винчи является одним из ярчайших разносторонних художников Возрождения. Он был архитектором, математиком, гуманистом и поэтом, а также занимался криптографией, лингвистикой, философией, музыкой и археологией. Он принадлежал к богатому семейству флорентийских торговцев и банкиров, нашедших убежище в Генуе. Он учился в Венеции, затем в Падуе, после чего перешел в Болонский университет, где начал изучать право. Там же он обучился музыке, живописи, скульптуре, математике, философии и греческому языку. Он был очень плодовитым писателем и создал множество работ как на латыни, так и на тосканском языке, ярым защитником которого он являлся. Он был другом Донателло и Брунеллески, которому посвятил свою книгу «О живописи». Во Флоренции он работал архитектором и преимущественно выполнял заказы торговца и гуманиста Ручеллаи, который, помимо прочего, в 1446 году повелел ему завершить работы над фасадом церкви Санта-Мария-Новелла, прекращенные в 1365 году, когда были построены аркады первого уровня. Альберти также спроектировал палаццо Ручеллаи и часовню Гроба Господня флорентийской церкви Святого Панкратия. В 1450 году он спроектировал храм Малатесты в Римини, а также церковь Сан-Себастьяно в Мантуе.

Альберти — автор нескольких важных трактатов. Он считал, что архитектор выполняет скорее математическую функцию: он создает, придает пропорции. Работу прораба выполняют его ученики, которые решают задачи на месте, архитектор же — тот, кто изобретает. Помимо трактата «О живописи», созданного во Флоренции в 1436 году, в 1452 году в Риме он написал «Десять книг о зодчестве» — трактат об архитектуре, сформировавший основы зодчества эпохи Возрождения. Чтобы объяснить, почему мы считаем что-то красивым, Альберти вводит в этой книге термин concinnitas, который мы переведем как «точная пропорция», то есть отсутствие излишков и недостатков.

Леон Баттиста Альберти. Портрет кисти Мазаччо. Капелла Бранкаччи, Флоренция.

(источник: FMC)

* * *

Метод перспективы Пьеро делла Франческа

Пьеро делла Франческа использовал метод Альберти в своей книге «О перспективе в живописи», упростив его. Вместо вспомогательного рисунка, как советует Альберти, он объединяет построение продольных и поперечных линий на одном рисунке, как показано ниже:

Схема перспективы по Пьеро делла Франческа.

(источник: FMC)

Этот метод, несомненно, упростил работу художника, однако по сути ничем не отличался от метода Альберти, теоретические основы которого, в свою очередь, сформулировал Брунеллески. Пьеро делла Франческа изображает в перспективе квадрат ABCD, сторона АВ которого совпадает с нижней границей картины. Он обозначает точку зрения О', в которой сходятся стороны квадрата, перпендикулярные картинной плоскости. Далее он определяет на картинной плоскости поперечную прямую C'D', параллельную АВ. Вид спереди и вид сбоку накладываются. Так, линия АН является не только стороной картины, но также изображением самой картины в профиль. Точка О обозначает глаз наблюдателя, который находится на расстоянии d от картинной плоскости АН. Он проводит линию из точки О в точку В, и пересечение этой линии с прямой АН определяет положение поперечной линии C'D' относительно АВ.

Кроме того, он указывает способы представления различных плоских фигур в перспективе. Для этого он вписывает эти фигуры в квадрат и использует так называемый метод точек схода. Попробуем вкратце объяснить этот метод.

Диагонали квадратов, на которые разделен пол, сходятся в так называемой точке схода — точке Q.

(источник: FMC)

Все горизонтальные линии, параллельные между собой, вне зависимости от их положения в пространстве сходятся в перспективе в одной точке на линии горизонта. Если эти линии образуют с картинной плоскостью угол в 45°, как, например, диагонали квадратов, на которые разделен пол, изображенных на предыдущем рисунке, то точка схода этих линий будет находиться на определенном расстоянии от центра перспективы О'. Это расстояние будет равно расстоянию d от наблюдателя до картинной плоскости. Эта точка Q называется точкой схода. Очевидно, что на линии горизонта будут расположены две точки схода: одна справа от центра перспективы, другая слева.

Этот метод Пьеро делла Франческа описал в своей книге «О перспективе в живописи» так, как показано ниже:

Метод точек схода, описанный Пьеро делла Франческа.

(источник: FMC)

Допустим, нужно представить в перспективе квадрат со стороной АВ, зная, на какой высоте от АВ находится точка зрения О', и расстояние d от нее до картинной плоскости. Для этого нужно провести через точку О', прямую, параллельную АВ, и продолжить ее до точки О, расположенной на расстоянии d от точки О'. Из точки О проведем линию в точку В, которая пересечет отрезок АО' в точке D'. И наконец, проведем через D' прямую, параллельную АВ, которая пересечет ВО' в точке С. ABC'D' будет перспективным изображением ABCD.

Дюрер и метод диагоналей

Пьеро делла Франческа также описал метод для определения положения любой точки квадрата в перспективе. Этот метод, который известен под названием метода диагоналей, впоследствии изложил Альбрехт Дюрер в своей книге «Руководство к измерению циркулем и линейкой». Процитируем фрагмент этой книги Дюрера:

«Когда ты хочешь представить на плоскости, видимой в перспективе, данную точку квадрата, проследуй так: начерти квадрат ABCD так, чтобы АВ была верхней горизонтальной его стороной. Нарисуй квадрат в перспективе, ABGF, лежащий на нем. Пусть О будет точкой взгляда на твой рисунок. Выбери любую точку Е квадрата. Далее проведи диагональ АС этого квадрата.

Нарисуй ту же диагональ BF в квадрате, изображенном в перспективе. Затем проведи из точки Е параллельную к стороне квадрата и продли ее до горизонтали АВ. Обозначь эту точку Н. Проведи из этой точки Н прямую линию в точку взгляда О, которая пересечет квадрат, изображенный в перспективе.

Она пересечет горизональ FG в некоторой точке. Обозначь эту точку М. Затем проведи в квадрате прямую, параллельную АВ, через точку Е до диагонали АС. Обозначь эту точку J. Проведи теперь через J параллельную стороне квадрата до АВ и обозначь эту точку К. В квадрате, изображенном в перспективе, проведи через К прямую до точки О, которая пересечет диагональ FB в точке L. И наконец, проведи из точки L горизонталь, параллельную АВ, до линии НМ. Обозначь эту точку N. Это и будет искомая точка в квадрате, изображенном в перспективе, что можно видеть на рисунке, который я изобразил ниже».

Метод диагонали, описанный Дюрером, для изображения точки в перспективе.

(источник: FMC)

Устройства Дюрера для рисования в перспективе

В двух изданиях «Руководства к измерению циркулем и линейкой» Дюрер описал механические устройства, упрощающие рисование в перспективе. В первом издании от 1525 года упоминаются два приспособления. Они изображены на гравюрах «Портретист» и «Художник, рисующий лютню». В издании от 1538 года, отпечатанном после смерти художника, упоминаются еще два устройства, изображенные на гравюрах «Художник, рисующий кувшин» и «Техника рисования в ракурсе». Некоторые из них уже были известны таким художникам, как Донато Браманте или Альберти. Устройство, изображенное на гравюре «Художник, рисующий лютню», возможно, было изобретено самим Дюрером, который привел инструкции по его постройке.

На гравюре «Художник, рисующий лютню» изображено одно из устройств Дюрера для рисования в перспективе.

Принцип действия этого устройства таков: на поверхности стола размещалась метка, которая играла роль окна в методе Альберти. Единственную створку этого окна можно было поворачивать в сторону. Художник располагался перед открытым окном. За ним на стене была укреплена петля, через которую проходил шнур. Этой петлей отмечалась точка зрения, или глаз наблюдателя в терминологии Пьеро делла Франческа. На висящем конце шнура крепился груз. Другой конец шнура привязывался к подобию указки или большого гвоздя, которое держал в руках помощник.

Шнур натягивался под действием груза, закрепленного на другом конце. Шнур, поддерживаемый помощником, проходил через окно. Помощник обозначал указкой различные точки на предмете, который хотел изобразить (в данном случае лютню), следуя указаниям художника. На раме закреплялись две нити: одна в середине верхней стороны, другая в середине одной из боковых сторон. Художник пересекал эти нити в точке, в которой шнур проходил через окно, и крепил их воском на противоположной стороне рамы. Убрав шнур, поддерживаемый помощником, художник закрывал створку окна и отмечал на бумаге точку пересечения нитей. Таким образом он получал контур изображаемого предмета, составленный из множества точек. Затем эти точки соединялись, и получалось изображение в перспективе.

* * *

ДЮРЕР. БЕССМЕРТНЫЙ ВЗГЛЯД

Немецкий гравер, художник и писатель Альбрехт Дюрер (1471–1528) был одним из ярчайших представителей немецкого Возрождения. Он родился в Нюрнберге. В семье было 18 детей, из которых выжило только трое. Его первым учителем стал отец, ювелир венгерского происхождения. В 14 лет Дюрер поступил на должность подмастерья в мастерскую художника и гравера Михаэля Вольгемута, где проработал четыре года. Он много путешествовал и объехал всю центральную Европу в поисках работы, не прекращая учиться. В 1494 году, вернувшись в Нюрнберг, он женился и открыл собственную мастерскую. Затем он совершил путешествие в Италию, где познакомился с новым стилем, формировавшимся в то время.

Несмотря на то что его обучили в духе поздней готики и фламандского стиля, во время пребывания в Италии он впитал основы стиля итальянского Возрождения. Возможно, именно там в нем пробудился интерес к геометрии и математике.

Вернувшись в Нюрнберг, Дюрер начал систематически заниматься математикой в местном кружке под руководством Виллибальда Пиркгеймера. Он вернулся в Италию в 1505–1507 годах, на этот раз не столько для того, чтобы продолжить обучение, сколько для того, чтобы заявить о себе как о художнике. Вернувшись в родной город, он, помимо других работ, создал «Мученичество десяти тысяч христиан», где применил методы работы с цветом, изученные в Венеции.

В 1512 году он был назван придворным художником императора Максимилиана I и Карла V и получил пожизненную пенсию. Последние годы жизни он посвятил написанию теоретической работы «Четыре книги о пропорциях», опубликованной в 1525 году.

Дюрер умер 6 апреля 1528 года. Его друг Пиркгеймер написал в эпитафии: «То, что было смертным в Альбрехте Дюрере, покоится под этим холмом».

Альбрехт Дюрер. Автопортрет. Музей Прадо, Мадрид.

* * *

Этот метод был очень трудоемким и излишне механическим, однако с его помощью художник мог наглядно увидеть пересечение различных линий воображаемой пирамиды с картинной плоскостью, которой соответствовали окно и лист бумаги. Точка зрения располагалась не в глазу наблюдателя, а в точке позади него, куда художник затем вешал петлю.

Ниже вы можете видеть гравюры Дюрера, на которых изображены его устройства для рисования в перспективе.

Вверху — «Техника рисования в ракурсе», внизу — «Художник, рисующий кувшин». Обе гравюры включены в издание книги Альбрехта Дюрера «Руководство к измерению циркулем и линейкой» 1538 года.

* * *

ВОСПИТАТЕЛЬНЫЙ ДОМ ВО ФЛОРЕНЦИИ, ИЛИ МОДУЛЬНАЯ АРХИТЕКТУРА

Филиппо Брунеллески можно считать изобретателем модульной архитектуры. В ее основе находятся модули, которые накладываются друг на друга. Фасад Воспитательного дома во Флоренции был выполнен по заказу Арте делла Сета — одного из важнейших профессиональных союзов Флоренции, который покровительствовал этому приюту. Решения Брунеллески позволили снизить стоимость постройки. Он выбрал дешевые материалы, в частности pietra serena — серый камень, из которого были выполнены колонны и нервюры, а также белый гипс. Тем самым ему удалось достичь двухцветного равновесия, ставшего одной из характерных особенностей архитектуры позднего флорентийского Возрождения. Брунеллески впервые использовал такой прием при строительстве этого здания. Для снижения затрат ему пришлось привлекать дешевую рабочую силу и, как следствие, максимально упростить задачи по измерению размеров. Расстояние m между колоннами, равное 10 флорентийским локтям, было основной мерой, которая использовалась во всех модулях, представлявших собой куб со стороной m. На эти кубы помещались полусферы диаметром m√2, рассеченные плоскостями граней кубов. Ширина арок равнялась m, высота — m/2, а элегантные парусные своды возвышались над полом на высоту m(1 + (√2/2)).

Воспитательный дом во Флоренции было поручено построить Филиппо Брунеллески в 1419 году. Это здание представляет собой первый пример модульной архитектуры, основанной на использовании правильных геометрических фигур. На рисунке справа изображена структура модулей.

(источник: FMC)

Фасад Воспитательного дома. Основной модуль повторяется девять раз, создавая ритм и гармонию.

(источник: FMC)

* * *

Революция Мазаччо. «Троица»

Мазаччо, следуя пути Джотто в искусстве и используя метод Брунеллески, первым смог добиться глубины и реалистичности изображения. Его работы, созданные в период возврата к классическому искусству и обновления скульптуры, возглавляемого Донателло, отличаются динамичностью. В его картинах повседневная жизнь флорентийцев («история», как ее называл Альберти) тесно связана с божественным.

Прекрасным примером этих изменений в искусстве являются фрески капеллы Бранкаччи, над которыми он начал работу совместно с Мазолино да Паникале, впоследствии завершенные Филиппино Липпи. На стенах капеллы мы видим смешение стилей и постепенный переход от позднего средневековья Мазолино к возрождению Мазаччо и позднее к сочетанию этих направлений. В этом же стиле работал и Липпи.

В этом же духе Мазаччо задумал «Троицу» (заказчик неизвестен) — фреску огромных размеров на левой стене флорентийской церкви Санта-Мария-Новелла. Работы длились с 1426 по 1428 год.

Возможно, эта фреска стала для него последней, так как он скоропостижно скончался летом 1428 года во время путешествия в Рим в возрасте 27 лет, всего шесть из которых он активно занимался творчеством. Именно в «Троице» влияние метода перспективы Брунеллески прослеживается наиболее четко. Картина, изображенная на стене великолепной капеллы, нарисована так, что кажется зрителю абсолютно реальной.

Мазаччо. «Троица» (1426–1428).

В капелле, изображенной на картине, также прослеживается влияние архитектурного стиля Брунеллески, однако Мазаччо раскрасил арку в розовый цвет, отказавшись от традиционного для Брунеллески серого камня. По бокам этой арки, поддерживаемой двумя ионическими колоннами, расположены два коринфских пилястра с капителями такого же розового цвета. Капелла завершается бочарным сводом, украшенным квадратными кессонами.

Точка схода линий, изображенных в перспективе, расположена удивительно низко. Напомним, что она должна располагаться на уровне глаз зрителя, который входит в церковь и смотрит на картину. При ином расположении точки схода не возникает ощущения, что изображенная на картине капелла реальна. Также в перспективе изображены Дева Мария и Святой Иоанн, на которых, как и на купол, зритель смотрит снизу вверх. Они стоят параллельно колоннам и пилястрам, обрамляя центр композиции, где изображен Христос, распятый на кресте.

В верхней части композиции выделяется центральная ось симметрии, совпадающая с вертикальной линией креста. На ней располагается точка схода. Эта ось симметрии также делит пополам фигуру Бога Отца, протягивающего руки к креcту, и Святого Духа, изображенного в виде голубя, парящего между Христом и Богом Отцом. По обе стороны от этой оси симметрично относительно нее попарно расположены четыре фигуры: Дева Мария и Святой Иоанн — на переднем плане, поодаль — два коленопреклоненных донатора.

Композиция представляет собой равносторонний треугольник, символизирующий святую троицу. Не углубляясь в вопросы, связанные с геометрией композиции, заострим внимание лишь на некоторых из них, например на треугольнике, в основании которого изображены донаторы, а в вершине — голова Бога Отца. Другой треугольник образуют гвозди, которыми руки и ноги Христа прибиты к кресту. Еще один треугольник образуют глаза Марии, Христа и Святого Иоанна.

Более важным в нашем понимании является чередование синего и красного цветов, нарушающее доминирующую осевую симметрию, что придает картине динамичность и акцентирует внимание на глубине, умело переданной перспективным изображением архитектурных элементов.

Точка схода при изображении в перспективе расположена очень низко.

Некоторые примеры использования равносторонних треугольников при построении композиции.

Чередование синего и красного цветов в композиции.

Так, ярко-красный цвет туники и головного убора донатора слева внизу визуально соединяется с более нежным красным цветом одеяния Святого Иоанна справа; далее, вновь слева, — с цветом туники, накинутой на плечо Бога Отца, и, наконец, справа — с одним из красных кессонов, изображенных на потолке купола, которые чередуются с кессонами синего цвета в шахматном порядке. Таким образом передается восходящее движение, траектория которого сближается с осью симметрии.

Синий цвет симметрично чередуется с красным: воображаемая линия соединяет тунику донатора, одеяние Девы Марии, накидку на плече Бога Отца и заканчивается на кессоне синего цвета, симметричном предыдущему относительно центральной оси.

Осевая симметрия разбивается «смещением» чередующихся цветов, которые поднимаются вверх вдоль центральной оси симметрии.

Симметрия также нарушается в нижней части композиции, где изображен скелет, отделенный панелью алтаря. Надпись над ним гласит: Lo fu gia quel che voi sete: e quel chi son voi ancor sarete («Я был тем же, что и вы, но и вы станете тем же, чем стал я»).

Этот скелет и горсть земли под крестом отсылают к библейской традиции, по которой углями страстей Христовых были угли от дерева, выросшего на могиле Авеля.

Мы рассказали о первой оси симметрии, которая подчеркивает композицию и акцентирует ее силу. Другая ось, перпендикулярная ей, на которой расположены коленопреклоненные донаторы, определяется пересечением плоскости алтаря с картинной плоскостью. Третья ось, перпендикулярная первым двум, несомненно, является главным лучом зрения наблюдателя, глаза которого расположены на той же высоте, что и точка схода.

Плоскости, перпендикулярные последней оси, четко отделяют друг от друга три плана картины. На ближнем плане, снаружи арки, преклонили колени донаторы.

Далее изображены три библейских персонажа: Святой Иоанн, Дева Мария и Христос, которые располагаются на одну ступень выше. Далее, в глубине картины, вблизи оси симметрии и чуть выше, растворяясь в фоне, изображены голубь и Бог Отец, протягивающий руки к кресту, стоящий на возвышении красного цвета.

Если мы будем трактовать эти оси как декартовы оси координат, то есть перенесемся из XV века, когда жил Мазаччо, в XVII, во времена Декарта, и обозначим за у ось, расположенную в глубине картины, то каждая из трех описанных нами плоскостей будет задаваться уравнением вида у = kj, где j = 1, 2 и 3. Так, плоскость, на которой находятся донаторы, будет задаваться уравнением у = k_1, плоскость креста — у = k_2; плоскость, на которой изображен Бог Отец, — у = k_3

Каждой плоскости соответствуют разные моменты времени. Можно установить, что k_1 соответствует 1428 год (см. иллюстрацию слева), когда Мазаччо завершил работу и когда жили донаторы, оплатившие ее. Плоскость k_2 соответствует 33 году (очевидно, после Рождества Христова), когда, по Библии, был распят Христос (см. центральную иллюстрацию). Значение k_3  определяющее положение плоскости, на которой изображен Бог Отец, с точки зрения богословия корректнее принять равным  (см. иллюстрацию справа).

Рассечение пространства картины «Троица» Мазаччо плоскостями, параллельными картинной плоскости и перпендикулярными временной оси. Слева — плоскость, датируемая 1428 годом; в центре — плоскость, датируемая 33 годом; справа — бесконечно удаленная плоскость.

Однако мы перечислили не все временные плоскости. Существует и четвертая, задаваемая уравнением у = k_0, которая на первый взгляд остается незамеченной.

Как следует из уравнения этой плоскости, она параллельна предыдущим и картинной плоскости и, как следствие, перпендикулярна временной оси. На ней располагается зритель, пришедший посмотреть на «Троицу» в церковь Санта-Мария-Новелла во Флоренции. Мы находимся ниже остальных героев картины, то есть в соответствии с нашим положением: ниже богов и знати. Уравнение этой плоскости в соответствии с вышеизложенным будет выглядеть как у = 2014 (где 2014 — год, в котором мы смотрим на картину).

Однако когда мы смотрим на «Троицу» Мазаччо, изображенную на страницах этой книги, то находимся в некотором роде на другой плоскости, также виртуальной, которую можно в метафорическом смысле считать симметричной плоскости, на которой изображен Святой Дух, относительно картинной плоскости. Мы как читатели находимся в некоторой неопределенной точке, координата которой стремится к . Мазаччо гениальным образом предвидел это: он включил нас в картину не просто как зрителей, но как персонажей, которые наблюдают за ней и занимают определенное место в композиции.

* * *

МАЗАЧЧО, ТЕРРИБИЛИТА И ПЕРСПЕКТИВА

Художник эпохи кватроченто Томмазо ди сер Джованни ди Гвиди, которого все называли Мазаччо (1401–1428), прожил недолгую жизнь, но сыграл решающую роль в истории искусства. Считается, что он первым применил в живописи законы перспективы, открытые Брунеллески. Мазаччо родился в Ареццо и в пять лет остался сиротой. Начав обучаться живописи в родном городе, в котором он создал свои первые работы, он переехал во Флоренцию, где подружился с Донателло и Брунеллески, а также с представителями гуманистической среды города.

Первая работа, приписываемая Мазаччо, — триптих из церкви Святого Ювеналия, датируемый 23 апреля 1422 года. Вскоре Мазаччо совместно с Мазолино начал работу над фресками капеллы Бранкаччи церкви Санта Мария дель Кармине. В 1426–1428 годах он создал фреску «Троица» в церкви Санта-Мария-Новелла. В 1428 году он переехал в Рим по приглашению кардинала Бранда Кастильоне, который поручил ему украсить церковь Сан Клементе, бросив работу в капелле Бранкаччи, которую 70 лет спустя завершил Филиппино Липпи. В Риме он работал над полиптихом для церкви Санта-Мария-Маджоре, из которого до нас дошла картина «Святой Иероним и Иоанн Креститель», находящаяся в настоящее время в Лондонской национальной галерее. Мазаччо умер в Риме осенью 1428 года.

Работы Мазаччо выделяются тем, что в них используется научный подход к перспективе. В рамках этого подхода понятию пространства придается новое значение. Математическая перспектива вкупе с экспрессивностью персонажей и особой работой со светом входит в число важнейших элементов художественного языка эпохи Возрождения.

Автопортрет Мазаччо в капелле Бранкаччи, Флоренция.

(фотография: FMC)

* * *

Широкое распространение перспективы

После того как были разработаны математические методы изображения в перспективе, их вскоре начали использовать многие художники. Идеи Альберти, изложенные в книге «О живописи», распространились по всей Италии. Даже авторитетные художники без колебаний изменяли своему стилю и начинали применять новую технику. Для этого они изучали математические методы, необходимые для использования perspectiva artificialis.

В этом смысле интересно сравнить две картины Фра Анджелико (1390–1455), одна из которых была создана до того, как распространился новый стиль, а вторая — спустя некоторое время, когда техники перспективы уже применялись повсеместно.

Кортонский триптих Фра Анджелико (1436–1437), хранящийся в музее Диочезано (Кортона, Италия).

Речь идет, во-первых, о кортонском триптихе, созданном с 1436 по 1437 год. В нем можно увидеть попытки использования перспективы, но тем не менее эта работа принадлежит к готической традиции. Ее характерными признаками являются позолоченный фон, по сути, плоское изображение, строгие, неподвижные герои картины. Трехмерность слегка проявляется в изображении пола, где по обеим сторонам алтаря расположены святые, а также в центральной панели, на изображении балдахина и ступеней клироса, на которых сидит Дева Мария. В этой картине использована интуитивная перспектива. Точки схода линий верхней части и линий пьедестала не совпадают. Трехмерность пространства еще не выражена, персонажи не отделены от плоского и однородного позолоченного фона. Очевидно, что на момент создания этой работы Фра Анджелико еще не были известны методы, изложенные в трактате Альберти.

Несколько лет спустя, в 1450 году, Фра Анджелико, вероятно, по заказу Медичи создает украшения алтаря для францисканского монастыря Боско аи Фрати в Муджелло близ Флоренции. Тема картины та же — Богоматерь со святыми (sacra conversazione), однако она написана в совершенно ином стиле. Сразу же бросается в глаза использование математических законов перспективы Альберти. Картина обладает глубиной. Персонажи в пространстве картины общаются между собой. Фон не плоский — на нем заметен рельеф, тени, объем. Композиция изменилась: она уже не распадается на отдельные элементы, а является гармоничной и передает диалог. Благодаря реалистичности картины зритель в некотором роде становится ближе к месту действия и персонажам, так как они уже не выглядят далекими и лишенными эмоций.

Фра Анджелико. Алтарь францисканского монастыря Боско аи Фрати (ок. 1450). Муджелло, Италия.

Перспектива Альберти имела абсолютный успех. За несколько лет представления о живописи полностью изменились. Идеи Альберти основывались на математических законах (сам он заявлял, что художник должен изучать геометрию), и представление о профессии художника совершенно изменилось: он перестал быть наемным ремесленником и стал гуманистом. Итальянская знать эпохи Возрождения зазывала к себе художников и ученых, причем не только для выполнения работ на заказ, но и для участия в дворцовых приемах и даже для консультаций по политическим вопросам. Художник перестал быть простым ремесленником, умеющим рисовать, и стал образованным человеком, знающим философию и умеющим высказать свое мнение о ней, знакомым с трудами Евклида, который выражал свои идеи и видение окружающего мира посредством своего искусства.

* * *

ВРЕМЕННАЯ ОСЬ

В этой главе мы рассказали о нескольких исторических личностях, благодаря которым искусство и математика оказались неразрывно связанными. Все они жили в один и тот же период времени, что показано на графике.

История, рассказанная нами в начале этой главы, могла произойти примерно в 1416 году. Брунеллески на тот момент было 39 лет, Гиберти — 38, Донателло — 30, юному Мазаччо — 15. Альберти, которому было всего 12, в то время со своей семьей находился в изгнании.

Глава 2

Математики-художники и художники-математики

Школы абака

В XII веке в Европе начали создаваться университеты, которые были предназначены для узкого круга культурной элиты. Для обучения ремесленников, мастерство которых непрерывно росло, и работников торговли, переживавшей период расцвета, в последние годы Средних веков также появились так называемые школы абака, которые можно считать первыми учреждениями профессионального образования. Учащиеся школ абака получали необходимые знания для того, чтобы заниматься торговлей и ремеслами.

В последние годы Средневековья особое внимание стало уделяться знаниям и способам их передачи, произошел возврат к древнегреческой культуре и науке, созданной в золотой век человеческой цивилизации. Ученые того времени стремились всеми силами обновить математику. Они говорили о ее «восстановлении» и «реставрации». Их целью, к которой они упорно двигались, было возрождение математики, позднее ставшее первой приметой возрождения науки, которое пришлось на вторую половину XV века. Этот этап стал переходным от ограниченной средневековой математики, обогатившейся с возвратом к древнегреческому наследию и благодаря вкладу арабских ученых, к новой, современной науке, первым представителем которой стал Галилей в XVII веке.

Любопытно, что труды древних греков попали в Европу по суше — благодаря переводу книг арабских ученых, выполненных в Толедской школе переводчиков, и по морю — благодаря торговле морских республик Италии с народами Северной Африки.

Бурный экономический рост Венеции, Амальфи, Пизы и Генуи, вызванный обширной морской торговлей и крестовыми походами, превратил Италию в естественный мост между Северной Африкой и Ближним Востоком с одной стороны и севером Европы с другой. Итальянские торговцы стали посредниками между восточными купцами, поставлявшими ценные товары — шелк, специи и драгоценные камни, — и купцами севера, которые преимущественно торговали шерстью и тканями тонкой работы. Развитие итальянской торговли привело к созданию новых финансовых инструментов, в частности векселей, и к зарождению первых банковских институтов. Отдельные коммерсанты становились главами крупных торговых компаний, и им требовались работники, умеющие читать, писать и способные быстро и точно производить вычисления.

В XV веке Европа восстанавливалась от эпидемии чумы, получившей название «черная смерть», пришедшей из Китая и опустошившей континент в 1348–1350 годах. Эпидемия быстро распространилась по всему миру, уничтожив десять процентов населения Земли. Боккаччо в предисловии к «Декамерону» указывает, что во Флоренции от чумы погибло более ста тысяч человек. Эпидемия имела парадоксальные последствия: условия жизни выживших улучшились, так как заработки выросли, а цены на продовольствие снизились, чего до 1348 года не случалось.

На ход европейской истории оказали влияние три важных события, произошедших в XV веке, имевших особое значение для западной культуры. Этими событиями были (в хронологическом порядке) изобретение книгопечатания примерно в 1447 году, падение Константинополя в 1453 году и открытие Америки Христофором Колумбом в 1492 году.

Trattato d'arismetricha (ок. 1460) Бенедетто да Фиренце, один из важнейших трудов по вычислениям с помощью абака.

В этом же веке произошло слияние искусства и математики, которое выразилось в постановке новых задач и в смене самого образа мысли. Это слияние стало одной из характерных черт Возрождения. Такие художники, как Пьеро делла Франческа и Альбрехт Дюрер, в своих картинах и книгах демонстрировали интерес к математике и впоследствии опубликовали трактаты по этой дисциплине.

Появление книгопечатания подвижными литерами, изобретенного Гутенбергом, произвело революцию в распространении продуктов культуры. С 1447 года, когда в Европе была отпечатана первая книга, и до конца столетия свет увидело более 6000 книг — так называемых инкунабул. Лишь немногие из них были посвящены математике и другим наукам. Большинство немногочисленных книг по математике представляли собой переводы трудов арабских ученых на латынь, так как арабские трактаты по арифметике и алгебре использовались ремесленниками в новых экономических условиях и были проще, чем работы классических греческих авторов. Эти немногие труды, которые сохранялись на протяжении веков усилиями переписчиков, подготовили почву для развития математики в Европе. Лишь в начале XVI века начал расти интерес к переводам классических трактатов по математике и было издано множество подобных работ.

Развитие гуманизма и увлеченность древнегреческой наукой и искусством привели к тому, что центр внимания постепенно сместился от арабской математики к древнегреческой. Геометрия постепенно начала восстанавливать свое основное место в математике. Средневековые и гуманистические представления о науке сосуществовали в течение длительного времени. Результатом этого сосуществования стало развитие алгебры в Италии XVI века.

Школы абака возникли на севере Италии в XIII веке и работали вплоть до XVI столетия. Глядя на их название, возможно, произошедшее от названия первой книги, написанной для подобных школ, «Книги абака» Фибоначчи, можно подумать, что в них изучались способы вычислений с помощью этого устройства для счета. Однако это совершенно не так. В этих школах учили производить вычисления без помощи абака. Тому служили индоарабские цифры и арабские алгоритмы вычислений, а все расчеты производились с помощью пера и бумаги, напоминавших современные. В школах абака также изучалось применение этих вычислений в торговле. Как следствие, в этом контексте слово «абак» понималось как синоним слов «вычисление» и «арифметическое действие». Название «Книги абака» Фибоначчи следует понимать как «Книга вычислений».

* * *

ТИПОГРАФИКА В МАТЕМАТИКЕ

С изобретением книгопечатания подвижными литерами возникла необходимость в новой типографике. Некоторые шрифты, в частности разработанные Клодом Гарамоном (1490–1561), благодаря своей красоте и элегантности сохранились до наших дней.

Создание хорошего шрифта требовало знаний эстетики, пропорций и геометрии. Поэтому неудивительно, что разработкой шрифтов для обозначения математических символов занимались и художники, и математики.

Приведем в качестве примера два варианта написания буквы М, первой буквы слова «математика», созданные в период перехода от кватроченто к чинквеченто. Первый вариант предложил математик Лука Пачоли, второй — художник Альбрехт Дюрер.

Буква «М» Луки Пачоли, созданная в 1509 году.

Буква «М» Альбрехта Дюрера, созданная в 1525 году.

* * *

«Книга абака» послужила основой для множества руководств и учебников по арифметике, написанных в популярном стиле. Это были так называемые трактаты абака, издававшиеся в течение всего XIV века вплоть до начала XVI столетия.

Эти книги предназначались для преподавателей школ абака. Для них была характерна практическая направленность, так как задачи в них объединялись в классы и приводились методы их решения без изучения общих теорий. Они были написаны на тосканском языке, что упрощало чтение. Сохранилось около 300 подобных текстов, как рукописных, так и печатных, написанных в XIV–XVI веках. Некоторые из них за свою обширность могут считаться настоящими справочными руководствами.

Хотя основной задачей школ абака было обучение будущих работников торговли, в них также учились ремесленники, архитекторы, художники, картографы — все, кому требовалось базовое математическое образование. Дети начинали обучение в возрасте восьми лет. В течение некоторого времени они посещали школу, где учились читать и писать. Двумя годами позже они переходили в школу абака. Обучение там также длилось два года. Эти школы иногда назывались botteghe d’abaco — «мастерские абака», что подчеркивало их схожесть с мастерскими ремесленников, где обучались подмастерья. Ученики в некотором роде были похожи на подмастерьев и называли преподавателей «мастер» — точно так же подмастерья называли своих хозяев. Позднее те, кто хотел заниматься торговлей или ремеслами, нанимались в качестве подмастерьев в торговые дома и мастерские.

Изучение учебников, которые использовались в школах абака, показывает, что хорошему мастеру абака требовалось достаточно широкое образование: помимо практической и торговой арифметики он должен был знать теорию арифметики, теорию чисел, алгебру, теоретическую и практическую геометрию.

Занятия, которые вели мастера абака, можно разделить на три уровня. На начальном уровне ученики изучали, как читать и записывать числа в индоарабской системе счисления, способы счета на пальцах, алгоритмы вычислений, действия с дробями, правило пропорции, денежные системы, системы мер и весов, а также некоторые понятия практической геометрии. На этом уровне обучались ремесленники и работники художественных мастерских. На втором уровне изучалась арифметика в торговле и бухгалтерия. Ученики, прошедшие обучение на этом уровне, обладали необходимыми знаниями для работы в крупных торговых компаниях. Третий уровень предназначался для тех, кто увлекался математикой и хотел со временем стать мастером абака. На этом уровне изучалось решение уравнений и некоторых задач из теории чисел. Также рассматривались отдельные сложные задачи из сферы торговли.

Заключительной книгой в цикле трудов абака была Summa de arithmetica geometría proportioni et proportionalita («Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности») Луки Пачоли, первое издание которой было опубликовано в Венеции в 1494 году.

* * *

ЛУКА ПАЧОЛИ И «СУММА АРИФМЕТИКИ»

Монах-францисканец Лука Пачоли был одним из наиболее любопытных представителей итальянского Возрождения и одним из самых известных математиков той эпохи. Он родился в 1445 году в Борго-Сан-Сеполькро — там же, где и Пьеро делла Франческа. Возможно, последний в некотором роде был его учителем математики. Кроме того, Пачоли дружил с Леонардо да Винчи, с которым жил в одном доме несколько лет, и с Леоном Баттистой Альберти, у которого они оба жили в Риме.

Его важнейшей работой является «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности», завершенная в 1494 году и отпечатанная в Венеции под его непосредственным наблюдением. Книга была посвящена герцогу Урбинскому Гвидобальдо да Монтефельтро.

«Сумма арифметики», написанная на итальянском языке, представляла собой энциклопедию объемом свыше 600 страниц, содержавшую все алгебраические знания прошлых веков. Этот труд стал обязательным к изучению для алгебраистов XVI века, которые с его помощью смогли совершить новые открытия. Все они упоминают Пачоли в своих трудах: Джероламо Кардано (1501–1576) в своей «Практике арифметики» почтительно отзывается о нем, несмотря на то что уделяет целую главу исправлению многочисленных ошибок в работе Пачоли. Рафаэль Бомбелли (1526–1572) в предисловии к своей «Алгебре» утверждает, что после Фибоначчи Пачоли «первым пролил свет на эту науку».

Лука Пачоли умер в родном городе около 1517 года.

Фронтиспис «Суммы арифметики» Луки Пачоли.

* * *

Ниже представлен фрагмент «Суммы арифметики» Пачоли, где он восторженно отзывается о книге «О перспективе в живописи»:

Отрывок «Суммы арифметики» Пачоли, законченной в 1494 году, где он упоминает труд Пьеро делла Франческа.

«Еl su/blime pictore (ali di nostri anchor vivente) maestro Piero de li Franceschi, nostro conterra/neo del borgo San Sepolcro, hane in questi di composto degno Hbro de ditta prospectiva. Nel/qual altamente de la pictura parla, ponendo sempre al suo dir ancora el modo e la figura/del fare. El quale tutto habiamo lecto e discorso, el qual lui feci vulgare, e poi el famoso ora/tore, poeta, e rethorico, greco e latino (suo assiduo consotio, e similmente conterráneo) mae/stro Matteo lo recco alengua latina ornatissimamente de verbo ad verbum, con exquisiti/vocabuli».

(«Благородный художник (живущий в наши дни) мастер Пьеро делла Франческа, наш соотечественник из Борго-Сан-Сеполькро, недавно составил достойную книгу о перспективе, в которой со знанием говорит о живописи, и, по его словам, подтвержденным рисунками, обладает методом ее совершения. Эту книгу, которую он написал простонародным языком, мы прочли и изучили.

Затем знаменитый оратор, поэт и риторик, знаток греческого и латинского (его непременный сотоварищ и соотечественник) мастер Маттео дословно перевел ее на латинский язык элегантнейшим образом с превосходными изречениями».)

Как указано в тексте, книга «О перспективе в живописи» Пьеро делла Франче ска была переведена на латынь его другом, мастером Маттео.

Математические труды Пьеро делла Франческа

Пьеро делла Франческа был не только великим художником, но и автором нескольких книг по математике: уже упомянутой «О перспективе в живописи», «Трактата об абаке» и книги по геометрии, озаглавленной «Книга о пяти правильных телах».

«Трактат об абаке», как признается в предисловии сам автор, был написан не для использования в школах абака, а по просьбе друзей, возможно живописцев, как и он сам. В остальном структура книги схожа с остальными трактатами об абаке с единственным, но очень важным отличием: геометрии уделено намного больше внимания, чем обычно. Ей посвящены 48 из 127 страниц книги. В области арифметики «Трактат об абаке» может служить примером других подобных трудов того времени. Рассмотрим в качестве примера, как объясняется правило пропорции.

«Семь локтей ткани стоят девять лир. Сколько стоит пять локтей ткани?»

Лира — монета того времени, название которой происходило от латинской меры веса libra. Флорентийская лира равнялась 20 сольдо, равных 12 денаро каждое, подобно английскому фунту стерлингов, который вплоть до реформы 1971 года равнялся 20 шиллингам, каждый из которых был равен 12 пенни. Решение задачи таково:

Разворот «Книги о пяти правильных телах» Пьеро делла Франческа.

«Нужно сделать так: умножь число, которое хочешь узнать, на то, сколько стоят семь локтей ткани, то есть 9 лир, то есть 5 на 9, что дает 45. Раздели затем результат на 7; получишь 6 лир и 3 лиры в остатке. Переведи их в сольдо и получишь 60. Раздели их на 7 и в результате получишь 8 сольдо и 4 в остатке. Переведи их в денаро, что дает 48, снова раздели на 7. Результат равняется 6 денаро и 6/7. Получишь, что 5 локтей ткани этой цены будут стоить 6 лир, 8 сольдо, 6 денаро и 6/7».

В «Книге о пяти правильных телах» приведено множество геометрических задач, заимствованных из «Трактата об абаке», которые в некоторых случаях изложены более подробно. Этот труд состоит из четырех томов. В первом, который носит вводный характер, рассматриваются плоские многоугольники, во втором и третьем — пять Платоновых тел (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) и вписанные фигуры. В четвертом и последнем томе изучаются другие многогранники, среди которых рассматриваются шесть из тринадцати архимедовых тел, или полуправильных многогранников. Всего в книге 140 задач, в 59 из которых речь идет о правильных многогранниках. Несмотря на то что задачи в книге разделены на классы, она во многом носит новаторский характер и имеет четко организованную структуру. В ней также рассматривается одна из классических тем древнегреческой геометрии — правильные многогранники, о которых писал Евклид в «Началах» и Архимед в трудах «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах».

В книге представлены задачи такого типа:

«Возьмем сферическое тело диаметром 7. Хочу поместить в него фигуру с четырьмя треугольными равносторонними гранями так, чтобы каждая вершина касалась окружности [sic]. Чему равны ребра фигуры?»

В качестве приближенного значения π использовалась дробь 22/7. Сохранился единственный экземпляр этой книги, который находится в Ватиканской библиотеке. Это был единственный труд Пьеро делла Франческа, отпечатанный в эпоху Возрождения. Изначально он представлял собой приложение к книге Луки Пачоли «О божественной пропорции», опубликованной в Венеции в 1509 году, которая подстегнула интерес к математическому и теоретическому изучению пространственных геометрических фигур.

Изучение математики для художников перестало быть чем-то носящим чисто практический характер и стало обязательным на пути к вершинам знания.

Объем купольного свода галереи

В «Книге о пяти правильных телах» Пьеро делла Франческа рассматривает любопытную задачу, в которой нужно определить объем общей части двух цилиндров равного диаметра, пересекающихся перпендикулярно друг другу.

Два перпендикулярных цилиндра равного диаметра в разрезе.

(источник: FMC)

Он пытался определить объем следующей фигуры.

Удвоенный купольный свод.

(источник: FMC)

Пьеро делла Франческа подтвердил, что объем этого тела равен 2/3·d^3, где d — диаметр цилиндров. Более того, он посчитал необходимым объяснить, почему объем вычисляется именно по этой формуле. Подобный подход не применялся в других книгах того времени. В доказательстве использовались две следующих фигуры.

На первой иллюстрации изображен квадрат со вписанной в него окружностью, в которую вписан треугольник АВС, где ВС — диаметр окружности. На второй иллюстрации изображен прямоугольник той же высоты, что и квадрат на первом рисунке, и ширины, равной диагонали этого квадрата. В этот прямоугольник вписан эллипс, в него, в свою очередь, — треугольник KLM, где LM — большая ось эллипса. Далее Пьеро делла Франческа установил следующее соотношение:

Затем он перешел к следующим объемным фигурам.

Удвоенный купольный свод и вписанная в него пирамида.

(источник: FMC)

Сфера, вписанная в удвоенный купольный свод, и конус, вписанный в сферу.

(источник: FMC)

Далее без дополнительных объяснений он приводит следующее соотношение, полученное тем же способом, что и в случае с плоскими фигурами:

После этого он выражает объем удвоенного свода V:

Это равносильно

Иными словами,

А так как

Пьеро делла Франческа нашел верное решение, что можно доказать с помощью интегрального исчисления.

Вычисление объема удвоенного свода с помощью интегралов.

(источник: FMC)

Если мы рассечем фигуру плоскостью р, параллельной ее экватору, и обозначим за х расстояние от этой плоскости до центра фигуры, по теореме Пифагора получим

y = √(r^2 — x^2)

Следовательно, площадь сечения фигуры плоскостью р, которое представляет собой квадрат со стороной 2у (выделен серым цветом), равна

А(х) = 4(r^2  — х^2).

Объем фигуры будет равен

Задачу о нахождении объема общей части двух перпендикулярных цилиндров равного диаметра рассматривал Архимед в своем «Методе». Однако этот труд, утерянный во времена Античности, был обнаружен лишь в 1906 году на палимпсесте — древней рукописи с текстами религиозных песнопений, где сохранились следы более раннего текста, принадлежавшего Архимеду. Нет никаких доказательств тому, что этот труд Архимеда был известен во времена Пьеро делла Франческа, поэтому неизвестно, на какие источники он опирался в своих вычислениях.

Поэтому Пьеро делла Франческа можно считать математиком первой величины, обладавшим великолепным пространственным и геометрическим мышлением. Его идеи в области математики и искусства, выраженные в его книгах, и видение пространства и фигур, которое мы можем наблюдать на его картинах, отразили дух той удивительной эпохи конца кватроченто, когда искусство и математика шествовали рука об руку.

Многогранники как отдельный жанр искусства

В эпоху Возрождения произошло слияние трех течений, что упростило изучение многогранников. С одной стороны, с возвратом интереса к Античности стало уделяться особое внимание этим геометрическим фигурам, которые рассматривал еще Евклид в «Началах» с математической точки зрения, а Платон в своих диалогах — с космологической точки зрения. С другой стороны, с распространением математической перспективы впервые стало возможным «увидеть» эти фигуры на рисунках, и они стали изучаться более подробно.

Так, в городе Урбино жили и работали два автора, которые уделяли этому вопросу наибольшее внимание, — Пьеро делла Франческа и Лука Пачоли. Исследование многогранников, изложенное Пьеро делла Франческа в его «Трактате об абаке», и приведенные им примеры Пачоли использовал в «Сумме арифметики».

Позднее мы снова обнаружим совпадения в «Книге о пяти правильных телах» Пьеро делла Франческа и «О божественной пропорции» Пачоли, которые, по мнению Вазари, представляли собой плагиат со стороны Пачоли, несмотря на то что Пьеро делла Франческа в своей книге придерживался строго математического подхода, а Пачоли — мистико-теологического. Пьеро делла Франческа пытается если не доказать, то объяснять приведенные им утверждения и обосновывать их с теоретической точки зрения, а Пачоли оправдывает отсутствие доказательств в своей книге тем, что «ясно выраженное не требует доказательств».

Несмотря на различные подходы этих авторов и возможный плагиат, обе книги объединяет великолепное качество иллюстраций. Всё в работе Пьеро делла Франческа указывает на то, что их выполнил он сам, а поистине великолепные иллюстрации в труде «О божественной пропорции» сделал Леонардо да Винчи. Одна из них хранится в Национальной библиотеке Испании в Мадриде.

Изображение додекаэдра, выполненное Леонардо да Винчи для рукописи «О божественной пропорции» Луки Пачоли.

Вверху — изображение ромбокубоктаэдра, выполненное на основе рисунков Леонардо да Винчи, приведенное в печатном издании книги «О божественной пропорции» Луки Пачоли (Венеция, 1509). Внизу — деревянная мозаика Фра Джованни да Верона (ок. 1457–1525) для ризницы церкви Санта-Мария-ин-Органо в Вероне.

Позднее, как мы уже указывали, книга «О божественной пропорции» была напечатана (1509). Это издание содержит гравюры, выполненные на основе рисунков Леонардо. Пачоли включил «Книгу о пяти правильных телах» в качестве приложения к этому изданию. В итоге многогранники стали входить в моду среди итальянской знати эпохи Возрождения. Дворяне собирали коллекции многогранников, которые изготавливались в столярных мастерских под присмотром умелых математиков (порой и самого Пачоли).

В инкрустации по дереву также сочеталось искусство перспективы и мода на использование многогранников. Так, стены домов и двери деревянных шкафов часто украшались мозаиками с изображением многогранников, в которых использовался так называемый тромплей, обман зрения: создавалось впечатление, что дверцы шкафов полуоткрыты, а внутри них лежат разные предметы, книги и геометрические фигуры.

В инкрустациях, выполненных Фра Джованни да Верона для ризницы церкви Санта-Мария-ин-Органо в Вероне, очевидно прослеживается влияние рисунков Леонардо из книги «О божественной пропорции». Нет никаких сомнений, что Фра Джованни был знаком с текстом Пачоли.

* * *

СВЯЗЬ МНОГОГРАННИКОВ И ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Лука Пачоли назвал свою книгу «О божественной пропорции», иными словами «О золотом сечении». Но какова связь между многогранниками и золотым сечением? Продемонстрируем ее на трех иллюстрациях.

Построение прямоугольника золотого сечения.

На первом рисунке показано построение прямоугольника золотого сечения. Нужно построить квадрат ABPQ и провести дугу окружности с центром в точке М, середине стороны ВР, и радиусом, равным длине отрезка MQ. Эта дуга пересечет продолжение стороны ВР в точке С. Полученный прямоугольник ABCD является прямоугольником золотого сечения, то есть отношение его сторон равно золотому сечению:

Кроме того, прямоугольники ABCD и CDQP подобны, поэтому:

Золотое сечение в правильном пятиугольнике.

При построении правильных пяти- и десятиугольника также используется золотое сечение. Соотношения многих сторон и отрезков в пятиугольнике описываются числом Ф (так называемым золотым числом). Рассмотрим некоторые из них:

Как следствие, в додекаэдре, который образован двенадцатью пятиугольниками, золотое сечение также встречается очень часто.

Золотое сечение также используется в икосаэдре и многих других многогранниках. Если мы соединим два противоположных ребра икосаэдра, получим прямоугольник золотого сечения. Если мы попарно сгруппируем 12 вершин икосаэдра, то получим фигуру, изображенную на рисунке ниже. В ней можно увидеть три прямоугольника, лежащих в плоскостях, попарно перпендикулярных друг другу.

Так как додекаэдр является двойственным икосаэдру, он также обладает этим свойством. Единственное отличие заключается в том, что вместо противолежащих ребер в этом случае нужно соединить центры граней.

Три прямоугольника золотого сечения, вписанные в икосаэдр.

(источник: FMC)

* * *

В эту эпоху в работах художников помимо правильных и полуправильных, или архимедовых, многогранников начинают появляться другие геометрические фигуры — конусы, призмы и ограненные сферы. В некотором смысле они предвосхитили понятие предела, которое появилось лишь несколько столетий спустя. Ограненные сферы, которые встречаются в книге «О божественной пропорции» и в инкрустациях Фра Джованни да Верона, можно вписать в идеальную сферу, которая, в свою очередь, будет описывать все ограненные сферы одного радиуса.

Один из многогранников, так называемый мазоччо, который часто встречается в работах Паоло Уччелло, стал своеобразным символом перспективы. Изначально это был флорентийский головной убор XV века, который надевался поверх отреза легкой ткани, обмотанного вокруг головы. По форме он напоминал тор — геометрическое тело в форме бублика.

Джованни да Верона. Инкрустация по дереву с изображением мазоччо (конец XV века).

Тор можно представить несколькими способами. Проще всего рассматривать его как поверхность вращения окружности, центр которой перемещается вдоль другой, большей окружности, перпендикулярной первой. Его также можно представить как вытянутый цилиндр из пластичного материала, основания которого склеены. Если мы разобьем поверхность тора на грани, чтобы построить его модель, например из картона, то получим примерно такое изображение:

Ограненный мазоччо.

(источник: FMC)

* * *

МНОГОГРАННИК, НАПОЛНЕННЫЙ ВОДОЙ

Лука Пачоли поддерживал дружеские отношения со многими художниками, и те часто изображали его на своих картинах. Выше приведен портрет кисти Якопо де Барбари, на котором изображен Пачоли, читающий лекцию по математике. Ученик предположительно Гвидобальдо да Монтефельтро, будущий герцог Урбинский. На столе перед Пачоли лежат «Начала» Евклида. Он читает лекцию по геометрии и, судя по изображению на доске, рассказывает о pons asinorum — «мосте ослов». Так раньше называлась теорема из «Начал», согласно которой углы, противоположные равным сторонам равнобедренного треугольника, равны. Некоторые исследователи считают, что название pons asinorum произошло из-за того, что построенные фигуры по форме напоминали мост. Более правдоподобной выглядит версия, согласно которой это название означало, что теорема была непреодолимой для несведущих учеников и все дальнейшее содержание «Начал» было им непонятно. Книга, изображенная справа, — это «Сумма арифметики». На ней находится додекаэдр, а вверху изображен многогранник со стеклянными гранями, наполовину наполненный водой, подвешенный к потолку на золотой цепочке. В нем отражается окно, сквозь которое слева направо падает луч света. Этот многогранник — ромбокубоктаэдр, имеющий 18 квадратных и 8 треугольных граней.

Портрет Луки Пачоли кисти Якопо де Барбари. Национальный музей и галерея Каподимонте, Неаполь.

Многогранник Пачоли.

* * *

Для построения этой фигуры малая окружность была разделена на восемь частей, большая — на 24 части. Мазоччо, таким образом, представлял собой фигуру, состоящую из 24 «долек», каждая из которых является наклонной призмой. Основаниями этих призм являются правильные восьмиугольники, равные между собой.

На второй мозаике, приведенной выше, на нижней полке шкафа можно заметить подобный мазоччо. Однако, как мы покажем далее, в то время эта фигура изображалась не только на мозаиках. Так, ее можно увидеть в так называемой «Зеленой аркаде» флорентийской церкви Санта-Мария-Новелла. Ее люнету Уччелло украсил фреской «Всемирный потоп». В хаотичной композиции, где, как кажется, ни один персонаж не связан с остальными и где доминирует глубокая центральная перспектива, можно увидеть два мазоччо. Один из них надет на шею одного из персонажей, который с дубиной в руке сражается с другим у нижней ступени лестницы. Второй мазоччо на голове девушки, сидящей спиной к зрителю, голова которой повернута в профиль. Неизвестно, какое значение придавал Уччелло этим мазоччо. Возможно, он не наделял их никаким особым смыслом.

В серии из трех картин Уччелло «Битва при Сан-Романо», которые хранятся в галерее Уфицци во Флоренции, в Лондонской национальной галерее и в парижском Лувре, также можно увидеть несколько мазоччо.

Фреска «Всемирный потоп» Паоло Уччелло, изображенная на стене «Зеленой аркады» флорентийской церкви Санта-Мария-Новелла.

(фотография: FMC)

* * *

О, КАК ПРЕКРАСНА ЭТА ПЕРСПЕКТИВА!

Флорентийский художник Паоло Уччелло (настоящее имя Паоло ди Доно, 1397–1475) в своем творчестве достиг вершин использования перспективы. Он вместе с Донателло работал подмастерьем в школе Гиберти, когда тот создал северные ворота флорентийского баптистерия. В 1416 году он переехал в Венецию, чтобы начать работу над реставрацией мозаики на фасаде собора Святого Марка, разрушенной при пожаре, и мраморной мозаики пола. В 1430 году, вернувшись во Флоренцию, он увидел фрески Мазаччо в капелле Бранкаччи и был столь очарован умелым использованием перспективы, что подробно изучил ее и сделал характерной чертой своего стиля.

В 1436 году ему было поручено изобразить на стене церкви Санта-Мария-дель-Фьоре фреску, которая должна была стать своеобразным надгробным памятником военачальнику Джону Хоквуду. Применив правила перспективы, Уччелло изобразил Хоквуда верхом на коне. В 1440-е годы он создал фрески для «Зеленой аркады» флорентийской церкви Санта-Мария-Новелла, которые в настоящее время находятся не в лучшем состоянии. Однако лучше всего его страсть к перспективе отражают три большие картины серии «Битва при Сан-Романо», где художник мастерски изобразил батальную сцену на фоне. В одной из этих картин упавшие на землю копья напоминают оси абсцисс и ординат декартовой системы координат, которую Декарт описал в своей «Геометрии» лишь 200 лет спустя. Перспектива стала настоящей навязчивой идеей Уччелло. Вазари писал:

«Донателло, который был его близким другом, часто говорил ему: «Паоло, твоя перспектива заставляет тебя оставить истинное в погоне за неточным». Он говорил так потому, что Паоло каждый день показывал ему мазоччо, изображенные в перспективе, и архитектурные украшения в виде пирамид, выполненные с величайшим старанием».

В 1452 году, когда Уччелло было уже больше 54 лет, он женился на Томмазе Малифици, которая родила ему двоих детей, Донато и Антонию. Дети Уччелло также посвятили свою жизнь живописи. Вазари не без доли злого умысла в своих «Жизнеописаниях» пишет, что Уччелло проводил ночи напролет за письменным столом, изучая перспективу, а когда жена звала его спать, он отвечал: «О, как прекрасна эта перспектива!»

Портрет Паоло Уччелло.

(фотография: FMC)

* * *

Увеличенные изображения мазоччо на картине из серии «Битва при Сан-Романо», хранящейся в Галерее Уффици.

В завершение этого раздела скажем несколько слов об особенном многограннике Кеплера, который называется звездчатым многогранником. Это большой звездчатый додекаэдр, образованный двенадцатью пятиконечными звездами. В каждой вершине этого многогранника сходится пять звезд. Кеплер рассмотрел его лишь в 1619 году в книге «Гармония мира», однако Уччелло изобразил эту фигуру на полу собора Святого Марка в Венеции намного раньше, в конце периода кватроченто.

Мозаика Паоло Уччелло на полу собора Святого Марка в Венеции, на которой изображен большой звездчатый додекаэдр.

(источник: АМА)

От перспективы к виртуальной реальности

В последней трети кватроченто техника перспективы использовалась во всех флорентийских художественных мастерских и распространилась по всей Италии. Однако почти с самого начала возник парадокс: перспектива, созданная для достоверного изображения «реальности», стала применяться совершенно иначе — для реалистичного изображения чего-то несуществующего. Можно сказать, что так появилась виртуальная реальность.

В «Атлантическом кодексе» Леонардо да Винчи продемонстрировал свою проницательность и в этом вопросе. Речь идет о следующей иллюстрации.

На ней в схематичном виде изображен тор. В действительности этот тор закручивается вокруг другого; более того, эти два тора параллельно друг другу закручиваются вокруг третьего. Это четко видно на реконструированном изображении этой фигуры.

Реконструкция мазоччо, или тора, из «Атлантического кодекса» Леонардо да Винчи.

(источник: FMC)

Это изображение сопровождается подписями вверху и внизу рисунка. Леонардо был левшой и писал задом наперед, так что его тексты можно было прочитать только в зеркальном отражении. Чтобы прочитать их, необязательно нужно зеркало — можно воспользоваться компьютерным графическим редактором и применить осевую симметрию относительно вертикальной оси изображения. Именно это мы и сделали:

Подпись над рисунком гласит:

«соrро nato della prospettiva di Leonardo Vinci discepolo di la sperientia».

(«Тело, полученное перспективой Леонардо да Винчи, изученной на опыте».)

Подпись под рисунком звучит так:

«si a fatto questo соrро senza esemplo d’alcun соrро, mа solamente con semplici linje».

(«Это тело было выполнено без какого-либо образца, но только с помощью простых линий».)

Леонардо с самого начала было известно то, о чем другие узнали намного позже. Перспектива, изобретенная для изображения реальности, стала использоваться для создания виртуальных реальностей, новых фигур, выполненных «без какого-либо образца, но только с помощью простых линий» — нереальных фигур, существование которых стало возможным только благодаря живописи.

* * *

ДВА РИСУНКА ИЗ ГАЛЕРЕИ УФФИЦИ

В Кабинете рисунков и эстампов Галереи Уффици выставлены два рисунка, на которых изображены мазоччо. Эти рисунки приписываются Паоло Уччелло и Пьеро делла Франческа, но их подлинные авторы неизвестны. На одном изображен мазоччо, на внешних гранях которого находятся пирамиды. На другом, так называемом «Бокале Уффици», можно различить три мазоччо, на большем из которых также находятся пирамиды. Это позволяет предположить, что оба рисунка принадлежат одному автору. Паоло Уччелло приписывается рисунок мазоччо, представленный внизу.

Бокал Уффици.

Мазоччо из Галереи Уффици.

Мазоччо работы Паоло Уччелло.

* * *

Математические игры Альберти

Еще одним художником, который занимался математикой и написал несколько книг по этой теме, был Леон Баттиста Альберти. Помимо трактата «О живописи» ему также принадлежит книга «Математические забавы», в которой, вопреки названию, рассматривается решение некоторых геометрических задач, возникающих при измерениях, например при определении ширины реки, глубины колодца или топографической съемке.

Альберти выполнил топографическую съемку Рима, однако составленная им карта не сохранилась. Результаты своей работы он изложил в книге, озаглавленной Descriptio Urbis Romae («Описание города Рима»), опубликованной в 1433 году незадолго до выхода трактата «О живописи». Эта книга начинается следующей фразой:

«С возможной тщательностью, при помощи придуманных мною математических приборов изучил я в том виде, в каком они нам известны сейчас, направления и очертания городских стен Рима, реки [Тибра] и дорог, равно как положение и размещение храмов, общественных зданий, ворот и трофеев, границы холмов и, наконец, площадь, занимаемую жилыми зданиями. Теперь всякий, не нуждаясь ни в каком особом даровании, удобно и легко сможет все вычертить в том масштабе, в каком ему заблагорассудится. К этому [описанию] склонили меня просвещенные друзья, и желание их я и счел нужным исполнить».

Рукопись «Описания города Рима» Альберти. XV век.

* * *

КАРТА РИМА ПЬЕТРО ДЕЛЬ МАССАЙО

Карта Альберти, которая предположительно была выполнена на основе результатов топографической съемки, приведенных в «Описании города Рима», не сохранилась. Тем не менее несколько лет спустя, в 1464 году, Пьетро дель Массайо опубликовал во Флоренции издание «Географии» Птолемея, в которое включил прекрасный план Рима, представленный на этой странице, который был выполнен по методу Альберти.

Можно заметить, что за исключением собора Святого Петра в Ватикане, изображенного внизу справа, и отдельных церквей Массайо прежде всего интересовали древние памятники: акведуки, Колизей, Пантеон, колонны Траяна и Марка Аврелия. Основной недостаток карты заключается в том, что из нее неясно, какую цель ставил перед собой автор — составить карту древнего Рима или же Рима середины кватроченто. Однако, несмотря на примитивность технических приспособлений, использованных при создании этой карты по методу Альберти, она является относительно точной, в чем легко убедиться, сравнив ее с любой современной картой.

* * *

Несколькими годами позже, примерно в 1450 году, Борсо д’Эсте, герцог Феррара, попросил его написать книгу, в которой бы излагались математические методы, использованные в «Описании города Рима». Так появилась книга «Математические забавы». Приведем фрагмент этой книги, в котором объясняется, как следует составлять схему определенного места. Для этого при помощи описываемого им инструмента следует произвести топографические измерения с трех различных точек и, используя подобие треугольников, построить карту местности.

Далее приводится перевод фрагмента этой книги со средневекового итальянского языка с максимально возможным соблюдением стиля Альберти:

«К сказанному мне хотелось бы прибавить описание одного инструмента, который весьма пригоден (как вы сами поймете) для подобных целей, в особенности для того, кто изготовляет баллисты и другие подобные военные машины. Однако я его применяю для целей гораздо более приятных: для топографического изучения местности или для съемки планов, как я это делал тогда, когда чертил план Рима. Итак, заодно я вам расскажу и об этом способе.

Вы определите расположение и охват территории с ее дорогами и домами таким образом. Сделайте на доске круг шириною не менее локтя [флорентийский локоть равнялся 58,4 см] и поделите весь этот круг на любое количество равных частей; чем больше их будет, тем лучше, потому что тогда они будут четки и ясны. Я обычно делю на 12 частей, проводя диаметры внутри круга; затем всю окружность изнутри я делю на 48 частей и эти 48 частей называю градусами. В свою очередь каждый из этих градусов я делю на 4 части и называю их минутами, а против каждого градуса проставляю соответствующую ему цифру, как на этом рисунке.

Гониометр Альберти. Иллюстрация из книги «Математические забавы».

Когда вы пожелаете вычертить свой план, вы поставите этот прибор на ровном месте, притом высоком, откуда вы можете окинуть взглядом много пунктов на той территории, план которой вы хотите начертить, вроде колоколен, башен и тому подобного. Затем вы возьмете веревку со свинцовой гирькой и отойдете от прибора на два локтя, поочередно визируя бросающиеся в глаза предметы так, чтобы линия вашего зрения, направляясь к башне, в которую вы целитесь взглядом, проходила одновременно через свинцовый отвес и через центр круга. Цифры, которые линия вашего зрения пересечет на окружности круга, направляясь к визируемой вами точке, запишите себе для памяти на бумаге.

Например, представьте себе, что вы находитесь со своим прибором на башне замка и визируете верхние ворота; предположим, что линия вашего зрения проходит около 20-го градуса, там, где обозначено деление в две минуты. Вы записываете на своем листке: верхние ворота — 20 градусов 2 минуты, и не двигая прибора, двигаетесь сами, визируя углы. Быть может, ваша визирная линия пройдет там, где на приборе обозначено 32 градуса и 0 минут. Тогда вы запишете: углы — 32. Так вы будете продолжать и дальше, не сдвигая прибора. Кончив это, перейдите в другое подобное место, видное с первого, и поставьте ваш прибор, расположив его так, чтобы под той линией, по которой вы первоначально визировали это место, оказалась именно та цифра, через которую эта линия проходила раньше. Иначе говоря, если бы от первой башни сюда плыл корабль, то при неизменном ветре он видел бы перед собою обозначение 20 градусов и 2 минуты, 32 градуса и тому подобное. Здесь вы поступаете так же, как в замке: обратите внимание на [цифры] внутри [окружности] и запишите их на другом листке.

Засим вы перейдете в третье место и там поступите так же, все замечая и все записывая. Здесь я помещаю для вас рисунок, поясняющий сказанное.

После этого вы поступите так. Возьмите вашу доску, на которой вы хотите вычертить план, и поставьте точку там, где вам покажется удобным, сообразуясь с общим расположением чертежа, и пусть это будет положение одного из тех мест, откуда вы наблюдали предметы. Например, пусть будет это замок. Напишите над этой точкой: замок. В этой точке прикрепите маленькую бумажную модель прибора шириною в полпяди, разделенную так же, как и самый прибор, с которым вы производили наблюдения, и расположите центр этой модели в точности над указанной точкой. Отсюда проведите все ваши линии на основании записей вашего памятного листка. Сходным образом поставьте, где вам заблагорассудится, вторую точку на только что проведенной вами линии, соответствующую второму из тех мест, откуда вы производили наблюдения, и на эту вторую точку наложите вторую бумажную модель, повернув ее так, чтобы указанной линии соответствовала та цифра, которая в вашем памятном листке стоит против слова «замок». Иными словами, чтобы обе модели лежали на линии, соответствующей им обеим, и чтобы все линии выходили отсюда в направлении тех цифр, которые обозначены на вашем листке.

И там, где линия вашей первой модели, соответствующая, например, Санто Доменико, пересекается с линией вашей второй модели, также соответствующей Санто Доменико, там поставьте точку и надпишите сверху: Санто Доменико. Также поступите и в отношении всех остальных. Если случится, что эти две линии пересекаются так, что угол оказывается не вполне ясным, поставьте модель в третьей точке, откуда вы производили наблюдения, и расположите ее подобно первым двум, чтобы линии их соответствовали друг другу, и благодаря этому все вам станет ясным. Подобные вещи нелегко выразить словами, но самый предмет нетруден и доставляет большое удовольствие, позволяя осуществить многое, как вы сами сможете убедиться.

Таким путем мне удалось отыскать древний акведук, который выходил наружу только некоторыми своими отдушинами, а ходы его были скрыты внутри горы. Таким путем, как вы понимаете, можно записать ходы и извивы любого лабиринта и пути в любой пустыне без погрешностей и ошибок.

Таким же способом вы можете измерить далекие расстояния. И если вы желаете измерить, каково расстояние между Торре дель Уччелино и замком, вы должны поступить следующим образом.

Поставьте ваш прибор так, как мы сказали, и заметьте цифру, под которой видна названная башня; затем визируйте какое-нибудь другое место, находящееся на известном расстоянии от вас; предположим, что вы находитесь на одном конце коридора в замке. Сделайте пометку на другом конце и визируйте ее, замечая градусы и минуты. Затем поставьте названный прибор на другой конец коридора, вами визированный, и расположите его так, как мы сказали, а именно чтобы прямая линия коридора соответствовала одной и той же цифре; отсюда визируйте названную башню и отметьте цифры на приборе. Сделав это, в зале или каком-либо другом помещении выберите площадку и пространство, на котором, как если бы вы хотели чертить план, обозначьте ваши точки и проведите линии при помощи вышеназванного прибора, отметив точки их пересечения, как показано на рисунке.

Я утверждаю, что столько раз, сколько расстояние между двумя названными точками содержится в любой из линий, выходящих из этих точек и пересекающихся друг с другом, столько раз промежуток между концами коридора содержится в расстоянии от любой из этих двух точек до Уччелино.

На рисунке вы увидите числовые обозначения, и для примера мы скажем, что от одной точки до другой — 35 унций [унция = 1/12 фута], а от пересечения обеих линий до одной из этих точек — 385 унций. Так как 35 содержится в 385 одиннадцать раз, то окажется, что в расстоянии между коридором и Торре дель Уччелино одиннадцать раз содержится промежуток, который вы брали в коридоре. Этот способ измерения будет вам служить на небольших расстояниях, а при расстояниях больших требуется прибор более крупный».

«Вилка», «огненная линия» и «овальная линия» Дюрера

Среди множества геометрических чертежей, приведенных Дюрером в «Правилах измерения линий, плоскостей и целых тел при помощи циркуля и угольника», присутствует чертеж конических сечений. Книга Дюрера начинается следующими словами:

«Проницательнейший из всех мужей, Евклид, заложил основания геометрии. Тому, кому они хорошо известны, не потребуется ничего из приведенного далее, что я пишу лишь для юношей и тех, кто должным образом не обучен».

Художники, согласно Дюреру и другим живописцам той эпохи, должны были в равной степени изучать технику рисунка и геометрию и одинаково свободно обращаться как с кисточкой, так и с циркулем и линейкой. Дюрер считал, что художник должен уметь «измерять», поэтому назвал свою книгу «Правила измерения».

Дюрер изучил математику и перспективу во время путешествий в Италию. Вернувшись в родной Нюрнберг, в библиотеках своих друзей он познакомился с классическими и современными математическими трудами, которые в то время только начинали печататься, и книгопечатание было одной из самых процветающих отраслей города.

Он изучил «Начала» Евклида, а также труды Пьеро делла Франческа и Леона Баттисты Альберти. В «Правилах измерения» Дюрер пытается предложить геометрические методы и описать их понятным для художников и ремесленников образом. Он не уделял особого внимания ни доказательствам, ни чистой теории. Он рассмотрел линейную перспективу, правильные многоугольники, многогранники и Платоновы тела, для которых привел точный и удобный алгоритм построения. Он также изучил использование геометрии в типографике, инженерном деле и архитектуре.

Чтобы дать читателю представление о его стиле и строгой и четкой манере изложения, приведем фрагмент его книги, где он описывает метод построения эллипса.

«Математики древности указывали, что существует три способа выполнить сечение конуса. Все три различны между собой и не представляют по своей форме круг как основание конуса. <…> Каждое из трех сечений являет собой особую линию, построение которой я объясню. Первое из этих сечений, которое пересекает конус наклонно, не рассекая его основания, знатоки называют эллипсом. <…> Второе сечение проводится параллельно стороне ab конуса или другой [иными словами, его образующей], и знатоки зовут его параболой. Третье сечение есть вертикальная линия, параллельная линии, соединяющей центр основания конуса с вершиной, и знатоки зовут это сечение гиперболой. Мне неизвестно, имеют ли эти линии названия на немецком языке, но я присвою им названия, чтобы их можно было различить. Эллипс я буду называть овальной линией, так как его контур по форме почти равен яйцу. Параболу я буду называть огненной линией, поскольку зеркало такой формы разжигает огонь. Наконец, гиперболу я назову линией в форме вилки.

Если я хочу провести овальную линию, или эллипс, я начну рисовать конус, обозначив на нем желаемое сечение. Схему этого я изображу ниже. Далее я буду действовать следующим образом.

Иллюстрация из книги Дюрера.

Пусть a — вершина конуса, bd — диаметр его основания. Из а вниз я проведу вертикальную линию. Верхний конец сечения я обозначу f, нижний — g. Далее я разделю это сечение fg одиннадцатью точками на 12 частей и пронумерую их, начиная с конца f. Под этим конусом я изобразил этот рисунок. Обозначу а центр, a bcde — его окружность, как показано на моем рисунке. Из всех делений проведем линии к основанию, которые будут соответствовать точкам и серединам, пронумерованным нами как 1, 2, 3 и так далее. Обозначу теми же буквами и цифрами точки пересечения этих линий с окружностью основания.

Выполнив это, я возьму циркуль и поставлю одну из его ножек на сечение конуса, на вертикальную линию ае и высоту деления 1. Другую ножку я расположу на той же высоте относительно [образующей] ad. Перемещу этот раствор циркуля к основанию и, поместив одну из его ножек в центр а, другую — на чертеж линии 1, буду прочерчивать дугу в направлении к d, пока мне снова не встретится линия 1. [Далее эти действия повторяются для каждой линии с номера 2 по номер 11].

Затем использую основание в качестве примера и проведу линию эллипса следующим образом.

Проведу по вертикали линию, равную сечению fg, сохранив на ней 11 точек, которые разделяют ее на 12 частей. Проведу И параллельных горизонтальных линий, каждая из них будет проходить по одному из делений предыдущих. Далее на сегменте 1 основания возьму меру между двумя точками, в которых его пересекает дуга, проведенная мной с помощью циркуля, и перемещу ее на рисунок сечения fg, отложив ее на линии 1 с двух сторон. Проделаю это же самое с остальными пронумерованными отрезками. Сделав это, я проведу овальную линию, или эллипс, соединив точки так, как я показал здесь».

Построение «овальной линии» — прекрасный пример практического и одновременно очень точного стиля изложения «Правил измерения» Дюрера. На этом мы закончим главу, посвященную книгам по математике, написанным художниками Возрождения.

Глава 3

Время, пространство и свет

«Декамерон» Джованни Боккаччо — одно из важнейших произведений европейской литературы XIV века, которое, возможно, оказало наибольшее влияние на последующее развитие итальянской и европейской литературы.

В «Декамероне» описываются 10 дней (отсюда название), которые группа молодых людей, семь девушек и трое юношей, проводит вдали от города, скрываясь от эпидемии чумы, свирепствовавшей в то время во Флоренции. Они рассказывают друг другу разные юмористические и буколическо-эротические истории, поэтому это произведение часто подвергалось цензуре.

«История Настаджио дельи Онести» — одна из 100 новелл, составляющих произведение. Настаджио — буржуа из города Равенна, который получает большое наследство после смерти отца и дяди. Спустя некоторое время он влюбляется в девушку, дочь Паоло Траверсари. Пытаясь понравиться ей, Настаджио начинает сорить деньгами, организуя приемы и праздники в ее честь. Она не отвечает ему взаимностью и, более того, находит развлечение в том, что отвергает его. Отчаявшийся Настаджио думает о самоубийстве, о том, чтобы сменить любовь на ненависть, и о том, чтобы забыть девушку, но так и не может решить, как ему следует поступить. Увидев, что Настаджио измучен и у него заканчиваются деньги, его друзья и родные пытаются убедить его покинуть Равенну, чтобы забыть о безответной любви. Им удается убедить Настаджио, и тот переезжает в соседний город Классе.

Как-то весной, в пятницу, совершая прогулку в приятной местности у берега моря, посреди соснового леса, когда солнце клонилось к закату, Настаджио увидел юную и прекрасную обнаженную девушку, которая с криком и плачем пыталась скрыться от двух собак. На ее коже виднелись следы от укусов, сочившиеся кровью. За собаками следовал всадник в кирасе и со шпагой в руке, угрожая убить девушку.

Настаджио попытался защитить девушку, но всадник приблизился к нему и, представившись Гвидо дельи Анастаджи, рассказал ему историю. Несколько лет назад он безумно любил женщину, которую теперь преследует. Она не отвечала ему взаимностью, и в итоге он покончил с собой. Когда позднее она умерла, они были обречены вечно продолжать эту погоню. «Поэтому, — сказал ему всадник, — я лишь покоряюсь этому невыносимому проклятию. Каждую пятницу в этом лесу я со своими собаками должен преследовать эту девушку, пока не убью ее, а затем увижу, как она воскреснет вновь». Проклятие длится столько лет, сколько месяцев страдал всадник. Настаджио, покорившись божественной воле, решил не вмешиваться и понаблюдать, как всадник приближается к девушке, убивает ее своей шпагой и скармливает ее труп собакам. Затем, словно по волшебству, она воскресла, и всё началось сначала. Собаки и всадник продолжили свою вечную погоню, постепенно скрывшись из вида.

Поразмыслив, Настаджио решил воспользоваться тем, что только что увидел. Он организовал званый обед в этом лесу, запланировав его, разумеется, на следующую пятницу. Он пригласил родных и друзей, а также свою возлюбленную и ее родителей. Как и было задумано, после обеда, к ужасу всех присутствовавших, повторилась та же сцена, которую видел Настаджио в прошлую пятницу. Когда всадник, на которого обрушились обвинения гостей, вновь рассказал о проклятии, наложенном на него и его возлюбленную, юная Траверсари, увидев, что эта история похожа на ее собственную, и вспомнив, что всегда отвергала любовь Настаджио, опасаясь, что на нее будет наложено такое же проклятие, решила сменить гнев на милость и обручиться с Настаджио. Свадьба прошла в следующее воскресенье.

После этого все девушки Равенны стали благосклоннее относиться к своим возлюбленным. В истории, однако, не говорится, были ли Настаджио и его возлюбленная счастливы в браке.

Таков сюжет одной из новелл «Декамерона» Бокаччо. Обратите внимание, что эта история имеет две сюжетные линии: в одной рассказывается о Настаджио и его возлюбленной из семейства Траверсари, в другой — о Гвидо дельи Анастаджи и его любимой, которой было суждено каждую пятницу быть убитой и воскресать снова.

Как вы увидели, обе сюжетные линии в новелле Бокаччо тесно переплетены. Однако есть и третья история, связанная с этими двумя. В 1483 году Лоренцо Медичи организовал брак между членами двух богатых семей Флоренции — Джаноццо Пуччи и Лукрецией Бини. Неизвестно, почему юная Лукреция согласилась выйти замуж за Джаноццо, поскольку, как вы увидите чуть позже, ей не слишком нравился ее супруг. Очевидно, что свадьба была важным шагом в образовании экономического союза двух семейств, который также обеспечил Медичи политическую стабильность в неспокойной Флоренции конца XV столетия. Лоренцо Медичи решил сделать новобрачным подарок и обратился в мастерскую Сандро Боттичелли.

Он заказал четыре картины, которые, если судить по форме и размерам, должны были служить для украшения сундука или свадебного ложа, которое Лоренцо Медичи преподнес в подарок новобрачным. Сейчас три картины из этой серии хранятся в мадридском музее Прадо, четвертая и последняя — во Флоренции, в частной коллекции Палаццо Пуччи. Темой всех четырех картин является история Настаджио дельи Онести.

Время в работах Боттичелли

Сандро Боттичелли требовалось решить задачу: на картине можно было передать только один определенный момент времени. Говоря современным языком, картина была подобна моментальному фотоснимку. Максимум, что можно было сделать, — создать серию картин подобно фрескам Джотто о жизни Франциска Ассизского, которые сопровождались назидательным рассказом проповедника. Традиция использовать рисунки при устном пересказе историй пришла в Испанию в XVI веке и сохранилась вплоть до XIX столетия.

Эти серии картин можно сравнить уже не с моментальным снимком, а с фоторепортажем. Однако Боттичелли на его картинах требовалось «живописать время».

Первая картина «Новеллы о Настаджио дельи Онести». На переднем плане изображена девушка, которую преследует всадник с собаками. Настаджио наблюдает за сценой. Музей Прадо, Мадрид.

Он должен был изобразить на четырех картинах то, что мы сегодня легко смогли бы передать на видео.

Боттичелли требовалось с помощью весьма ограниченных средств рассказать историю Настаджио, создав подобие кинофильма. Для этого он использовал несколько простых приемов. Простейший из них — всегда изображать Настаджио в одной и той же одежде. Даже если бы он был изображен на одной картине несколько раз, мы смогли бы узнать его и отличить от других персонажей. Этот прием заставляет нас думать, что Настаджио никогда не переодевался, подобно королеве Изабелле I Кастильской, жившей в то же время, что и Боттичелли, которая, по легенде, никогда не меняла платья. В самом деле, он изображен в одной одежде и на прогулке в лесу, и на обеде неделей позже, и на свадьбе в следующее воскресенье.

Последовательность событий на четырех картинах «Новеллы о Настаджио дельи Онести».

(источник: FMC)

Так, действие первой картины происходит в лесу на берегу моря. Настаджио стоит у шатра и беседует с друзьями (1). Вскоре после этого, охваченный воспоминаниями о возлюбленной, с опущенной головой он гуляет в лесу (2), одетый в красные чулки и дублет, из-под которого виднеется белая рубашка. Поверх дублета надета короткая блуза синего цвета, перетянутая позолоченным поясом. Его наряд дополняют элегантные подвернутые сверху сафьяновые сапоги цвета натуральной кожи, окрашенные охрой внутри, и черная шляпа, украшенная белым пером и длинной лентой того же цвета, висящая на этой ленте за спиной. На всех четырех картинах Настаджио в одном и том же наряде, за исключением шляпы, которая изображена только на первых двух картинах.

Мозаика Паоло Уччелло на полу собора Святого Марка в Венеции, на которой изображен большой звездчатый додекаэдр.

(источник: АМА)

Переход к использованию перспективы на примере двух работ Фра Анджелико. Вверху Кортонский триптих (1436–1437). Музей Диочезано, Кортона, Италия. Внизу алтарь францисканского монастыря Боско аи Фрати (ок. 1450). Муджелло, Италия.

Альбрехт Дюрер. Автопортрет (1518). Музей Прадо, Мадрид.

Сандро Боттичелли. «Новелла о Настаджио дельи Онести», сцена первая (1483). Живопись по дереву. Музей Прадо, Мадрид.

Сандро Боттичелли. «Новелла о Настаджио дельи Онести», сцена вторая (1483). Живопись по дереву. Музей Прадо, Мадрид.

Сандро Боттичелли. «Новелла о Настаджио дельи Онести», сцена третья (1483). Живопись по дереву. Музей Прадо, Мадрид.

Сандро Боттичелли. «Новелла о Настаджио дельи Онести», сцена четвертая (1483). Живопись по дереву. Частная коллекция, Флоренция.

Додекаэдр Леонардо да Винчи для книги Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1497). Национальная библиотека Испании, Мадрид.

Пьеро делла Франческа. «Алтарь Монтефельтро» (1472). Гэлерея Брера, Милан.

Паоло Уччелло. «Битва при Сан-Романо» (он. 1450). Дерево, темпера. Галерея Уффицци, Флоренция.

Паоло Уччелло. «Всемирный потоп» (1447–1448). Фреска. Зеленая Аркада церкви Санта-Мария-Новелла, Флоренция.

Доменикос Теотокопулос (Эль Греко). «Крещение Христа» (он. 1598). Изначально картина была частью украшения алтаря коллегии доньи Марии де Арагон. В настоящее время хранится в музее Прадо, Мадрид.

Диего Веласкес. «Пабло де Вальядолид» (1633). Музей Прадо, Мадрид.

Франсиско де Сурбаран. «Оборона Кадиса против англичан» (1634). Холст, масло. Музей Прадо, Мадрид.

Анаморфическое преобразование картины «Оборона Кадиса против англичан» Франсиско де Сурбарана. Именно так картину видел зритель, когда она располагалась в Зале королей, где находилась изначально (источник: FMC).

Ганс Гольбейн (младший). «Послы» (1533). Холст, масло. Лондонская национальная галерея.

Мазаччо. Фрагмент фрески капеллы Бранкаччи (1427). Церковь Санта Мария дель Кармине, Флоренция. Слева направо: Массолино, Мазаччо, Альберти и Брунеллески (источник: FMC).

Леон Баттиста Альберти. Фасад церкви Санта-Мария-Новелла (1456). Флоренция.

(рисунок: АМА; фотография: FMC)

Следуя взглядом слева направо по первой картине, мы вновь видим Настаджио. Перед ним — девушка, которую преследуют собаки, за ними — всадник с угрожающим выражением лица (3). Настаджио пытается отогнать собак поднятой с земли палкой. Более яркий фон и относительно темный передний план придают открытому пространству глубину, что было бы непросто сделать с помощью одних только приемов перспективы. Сцена перемежается деревьями, что также отражает рельефность и глубину.

На второй картине Настаджио изображен всего один раз (4). Испуганный Настаджио видит, как всадник, убив женщину, извлекает из ее тела внутренности через разрез, сделанный шпагой (5), и бросает их собакам, которые пожирают их в правой части картины (6). На этой картине несколько раз изображены девушка и всадник. На переднем плане всадник спустился с лошади и наклонился над трупом. На заднем плане всадник на лошади преследует обнаженную девушку по лесу (7). Эта сцена практически идентична той, что изображена на переднем плане первой картины. Здесь она изображена на фоне — это подсказывает, что ее действие происходит позднее. Всадник скачет слева направо — это служит указанием на то, что действие повторяется.

На второй картине всадник извлекает внутренности из тела убитой им женщины и бросает их собакам. Насмерть перепуганный Настаджио наблюдает за сценой. Музей Прадо, Мадрид.

Прошла неделя (8), и Настаджио присоединился к гостям за обеденным столом в лесу. Над столом в центре картины изображен герб Медичи, под ним — высокопоставленные сановники, среди которых, возможно, изображен сам Лоренцо Медичи. Слева, под гербом Бини, изображены женщины из семьи Лукреции. Семья и друзья Настаджио расположились справа, под гербом Пуччи. Обед прерывает девушка, преследуемая собаками, и всадник, размахивающий мечом (9). Стол, за которым сидят дамы, опрокидывается, кушанья падают на землю. Настаджио, театрально расположившись в центре, призывает всех успокоиться (10) и рассказывает присутствующим историю этой девушки и всадника. Юная Лукреция сожалеет, что не отвечала Настаджио взаимностью, и соглашается выйти за него замуж. Тот обсуждает будущую свадьбу с матерью девушки на заднем плане в правой части картины (11).

На третьей картине девушка, собаки и всадник прерывают званый обед. Музей Прадо, Мадрид.

По прошествии двух дней (12) проходит свадьба, о которой Боккаччо ничего не упоминает в своем «Декамероне». Под гербами семейств Бини, Медичи и Пуччи, внутри строения, которое больше напоминает декорацию, мы видим слуг с подносами, которые симметрично выстроились в два ряда в левой и правой частях картины.

Почти полную центральную симметрию персонажей (женщины расположены слева, мужчины — справа), подчеркнутую архитектурными деталями, нарушает Настаджио, который сидит перед своей возлюбленной, не сводящей с него глаз (13).

Четвертая и последняя картина «Новеллы о Настаджио дельи Онести» хранится в частной коллекции во Флоренции. На картине изображен ужин по случаю свадьбы Настаджио и Лукреции.

Эти 13 эпизодов, изображенные на четырех картинах Боттичелли, передают историю Настаджио дельи Онести подобно тому, как ее рассказывает Боккаччо. Однако, следуя указаниям Лоренцо Медичи, Боттичелли включил в эту историю свадьбу Джаноццо Пуччи и Лукреции Бини. Ему удалось передать мимолетное течение времени воображаемой линией, зигзагом проходящей сквозь все четыре картины.

* * *

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОВЕСТВОВАНИЯ НА ГРАФИКЕ

Изобразить время — четвертое измерение — непросто. Повествование — это попытка описать ситуацию, передав ее развитие во времени. Повествование обладает важнейшим преимуществом, особенно если ведется в устной форме, так как для того, чтобы рассказать историю, также требуется определенное время. Таким образом, говоря на языке математики, между временем истории и временем повествования устанавливается практически функциональная зависимость. Время истории движется от ее начала к концу, события в рассказе сменяют друг друга. Время повествования начинается, когда рассказчик произносит: «Жили-были…», и заканчивается, когда он говорит: «Вот и сказке конец, а кто слушал — молодец».

Однако время истории и время повествования не всегда точно соответствуют друг другу. График 1 соответствует традиционному повествованию: история, которая на самом деле длилась к единиц времени, рассказывается за более короткий временной промежуток (а, Ь).

Время истории и время повествования совпадают лишь в редких случаях. Эта ситуация представлена на графике 2. Именно так происходит в пьесе Шекспира «Буря»: история, равно как и ее театральное представление, длится шесть часов. Другой пример — роман испанского писателя Мигеля Делибеса «Пять часов с Марио». Роман представляет собой монолог вдовы, произносимый над телом умершего мужа. Роман читается также примерно пять часов. Однако эти примеры — исключения из правил. В фильмах время передается множеством способов: часть истории укорачивается, часть опускается, используются ретроспективные сцены. Мы настолько привыкли к этим средствам кинематографического языка, что практически не замечаем их. Тем не менее часто можно услышать, что какой-либо фильм кажется «медленным», а боевик с погонями и перестрелками имеет «пульсирующий» ритм. Оба прилагательных характеризуют способ передачи времени на экране. График 3 соответствует триллеру: в течение первой половины фильма почти ничего не происходит, затем по мере приближения к развязке ритм ускоряется. На последнем, четвертом графике представлена ретроспективная сцена (флэшбек). Повествование начинается с середины истории, в точке I. Затем в точке m повествование прерывается и происходит возврат к началу истории. Когда повествование вновь приближается к точке I, происходит переход в точку m, в которой оно изначально прервалось.

На этих четырех графиках представлена функциональная зависимость между временем повествования (t) и фактическим временем рассказываемой истории (Т).

(источник: FMC)

* * *

Пространство. «Алтарь Монтефельтро»

18 июня 1472 года войска Лоренцо Медичи, возглавляемые кондотьером Федерико да Монтефельтро, графом Урбинским (двумя годами позже он получил титул герцога) взяли город Вольтерра. В том же году у Федерико да Монтефельтро родился первый сын и будущий наследник Гвидобальдо. 1472 год принес и несчастья: спустя несколько месяцев после родов умерла жена Федерико Баттиста Сфорца. Она была образованной женщиной и правила Урбино в периоды отсутствия мужа, который был кондотьером на службе папы римского, флорентийской знати, короля Неаполя и любого другого, кто платил ему за службу.

В период правления известного мецената Федерико да Монтефельтро Урбино стал одним из важнейших центров искусства. В этом городе работали такие художники, как Пьеро делла Франческа, испанец Педро Беругете и фламандец Юстус ван Гент, а также архитекторы Франческо ди Джорджо и Лучано де Лаурана.

Вероятно, для того чтобы отпраздновать победу в битве при Вольтерре и рождение сына Гвидобальдо, Федерико заказал Пьеро делла Франческа картину «Алтарь Монтефельтро». По замыслу, эта картина должна была висеть над алтарем церкви, возможно, над пределлой, которая обычно украшалась более мелкими картинами, не сохранившимися до наших дней. По-видимому, изначально картина предназначалась для церкви Сан-Донато, где был похоронен Федерико, и позднее была перенесена в церковь Сан-Бернардино, которая задумывалась как мавзолей семейства Монтефельтро. Свое второе название Pala de Вrеrа картина получила по своему нынешнему местонахождению — миланской галерее Брера, куда она была перевезена из Урбино во время наполеоновских реквизиций 1796–1798 годов, возглавляемых французским военным и математиком Гаспаром Монжем.

Алтарь Монтефельтро (1472). Эта картина Пьеро делла Франческа хранится в миланской галерее Брера.

На картине изображено практически полностью симметричное архитектурное пространство в классическом стиле, представленное в центральной конической перспективе. На фоне выделяется апсида церкви, которая на первый взгляд имеет полукруглую форму. Однако при взгляде на арки, изображенные справа и слева, становится понятно, что церковь имеет форму креста с двумя перпендикулярными нефами. Апсида покрыта бочарным сводом, украшенным квадратными кессонами. Свод завершается куполом, представляющим собой четверть сферы, покрытым изнутри гигантской раковиной, с которой свисает яйцо, подвешенное на позолоченной цепи.

Также полукругом располагаются персонажи картины, окружающие Деву Марию. Она сидит на троне, сложив руки, а у нее на коленях безмятежно дремлет младенец Иисус.

Расположение персонажей выделяется на фоне симметричной архитектуры и подчеркивает ее: Дева Мария со сложенными руками смотрит прямо на зрителя, тем самым акцентируется вертикальная ось симметрии картины. Святые расположены двумя группами по трое, ангелы — двумя парами, которые также расположены симметрично относительно центральной оси. Симметрию грубо нарушает коленопреклоненная фигура, изображенная на переднем плане справа. Это Федерико да Монтефельтро, граф Урбинский — противоречивая личность интересной судьбы, жившая в Италии в эпоху кватроченто. Он в блестящих доспехах и, как и на всех остальных портретах, изображен в профиль, так как потерял правый глаз на рыцарском турнире. Асимметричность его расположения подчеркивается тем, что на картине отсутствует его жена Баттиста Сфорца, умершая спустя несколько месяцев после рождения долгожданного первого сына Гвидобальдо. Искусствоведы расходятся во мнениях относительно того, когда была написана картина, однако большинство экспертов указывает период с 1472 (года рождения Гвидобальдо) по 1474 год.

На картине слева направо изображены Иоанн Креститель, святой покровитель Баттисты Сфорца, Святой Иероним и Бернардин Сиенский — францисканский монах, канонизированный в 1450 году. Справа изображены Святой Франциск, показывающий свои стигматы, Петр Веронский, монах доминиканского ордена (на его голове виднеется рана, нанесенная его убийцей), и Иоанн Богослов с Евангелием в руке. Один из святых имеет внешнее сходство с Лукой Пачоли, другом Пьеро делла Франческа. Ангелы, в отличие от святых, изображены намного менее реалистично: возможно, художник не смог найти натурщиков и создал их исключительно силой воображения, изобразив одетыми в дорогие ткани, украшенные драгоценными камнями.

* * *

ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА КАК МАТЕМАТИК

О жизни Пьеро делла Франческа известно немного. Вазари в своих «Жизнеописаниях» так говорит о нем: «Пьеро изучал математику в юности, и хотя с 15 лет он направился путем живописи, он никогда не оставлял изучение этой науки. <…> Пьеро был величайшим исследователем искусства, много изучал перспективу и достиг высочайшего знания Евклида. Он лучше всех остальных геометров понял, как следует чертить тела вращения, и лучшие объяснения этих чертежей вышли из-под его пера».

Пьеро делла Франческа родился в селении Богро-Сан-Сеполькро в Тоскане в 1416 году. Он был родом из сравнительно обеспеченной семьи: его отец дважды избирался членом городского муниципалитета. Скорее всего, подобно детям других коммерсантов, Пьеро посещал школу абака, где обучился основам арифметики, геометрии, алгебры и бухгалтерии. Изучать живопись он, очевидно, начал, будучи подмастерьем в одной из мастерских родного города, пока не превзошел всех в своем окружении. После этого он совершил путешествие во Флоренцию и другие крупные итальянские города той эпохи. Он также побывал в Риме, где поступил на службу к папе римскому Пию II, но созданные им фрески спустя некоторое время, в период правления папы Юлия II, были уничтожены и заменены фресками Рафаэля. Его работы были малоизвестны и до XX века практически не изучались. В 1990-е годы были отреставрированы его удивительные фрески из цикла «Животворящего креста» в базилике Сан-Франческо в Ареццо. Он был другом и учителем Луки Пачоли, который также был родом из Богро-Сан-Сеполькро. Пьеро делла Франческа изобразил его на картине «Алтарь Монтефельтро» в образе святого Петра Веронского. В последние годы жизни, когда его зрение крайне ухудшилось, он написал три книги по математике, дошедшие до наших дней, о которых мы уже упоминали в предыдущих главах, однако Вазари указывает, что он также был автором многих других трудов. Как видите, Пьеро делла Франческа был не только выдающимся художником, но и видным математиком своего времени. Без учета этого нельзя в полной мере понять ни его творчество в целом, ни картину «Алтарь Монтефельтро» в частности.

Предполагаемый автопортрет Пьеро делла Франческа. Фрагмент картины «Воскресение Христа». Музей Борго-Сан-Сеполькро.

* * *

Для картины характерен параллелизм между архитектурой и персонажами. Так, Дева Мария в центре отождествляется со зданием, символически изображающим церковь как общину верующих. Кроме этого, головы святых изображены в соответствии с расположением коринфских колонн с каннелюрами, ангелы — в соответствии с расположением мраморных панелей, которыми украшена апсида. Центральная панель, выполненная из порфира, — единственная, которая расположена фронтально, точно позади Девы Марии.

Наконец, на картине изображена раковина моллюска и яйцо, расположенное над головой Девы Марии. В то время в церквях часто вывешивались страусиные яйца, неизменно привлекавшие внимание посетителей. Некоторые считают страусиное яйцо символом непорочности, другие — символом Церкви.

Рассмотрим пространство, изображенное на картине, ограниченное архитектурными деталями, с точки зрения математики. Используя свойства симметрии, построим чертеж левой половины, после чего зеркально отобразим его вправо. Примерный чертеж изображен на двух рисунках ниже.

Чертеж здания с картины «Алтарь Монтефельтро» и точка схода линий.

(источник: FMC)

Полный чертеж, полученный благодаря использованию симметрии.

(источник: FMC)

Заметим, что здание абсолютно симметрично, за исключением узкой полосы справа, которая отмечена на предыдущей иллюстрации линиями, выходящими за границы картины. В ходе реставрации, выполненной в 1982 году, стало известно, что картина была обрезана со всех сторон, особенно в нижней части. В настоящее время основание картины состоит из восьми горизонтальных досок, однако изначально их было девять. С большой точностью можно предположить, что высота картины составляла примерно 9/8 от современной.

Если мы подробно рассмотрим небольшие элементы арок, которые виднеются над боковыми карнизами, то увидим, что они не могут быть частями больших арок, изображенных по бокам картины. Напротив, это элементы новой арки, параллельной сводам апсиды и картинной плоскости. Эту арку мы изобразили на двух предыдущих иллюстрациях. С боков и в верхней части картина была обрезана намного меньше, возможно, из-за естественных повреждений при переездах. Однако в нижней части она была обрезана на целую доску.

Восстановление исходных размеров. Гипотеза

В настоящее время картина имеет размеры 170 x 250 см. Если мы увеличим высоту на 1/8, то получим размеры 170 x 281 см. При этом части, отрезанные сбоку и сверху, не учитываются. Разумно предположить, что длина или ширина доски, на которой написана картина, изначально выражались целым числом единиц измерения, которые использовались в то время. Как мы уже говорили, основной единицей длины в ту эпоху был флорентийский локоть (braccio), равный 58,36 см.

Выразив размеры картины во флорентийских локтях, мы увидим, что ее ширина практически точно равняется трем локтям (175,08 см). Умножив ширину на золотое число Ф, получим 283,29 см. Это совпадение в достаточной степени подтверждает нашу гипотезу. Исходная картина представляла собой прямоугольник золотого сечения шириной в три флорентийских локтя, который затем был обрезан снизу примерно на одну восьмую высоты, сверху, справа и слева — на несколько сантиметров. С правой части было отрезано чуть больше, как показано на следующей иллюстрации.

Возможные исходные размеры «Алтаря Монтефельтро», представлявшего собой прямоугольник золотого сечения шириной в три флорентийских локтя (175 х 283 см). Согласно этой гипотезе, картина была обрезана на 33 см по высоте и на 5 см — по ширине.

(источник: FMC)

Пространство алтаря на картине Пьеро делла Франческа

Методы математической перспективы, описанные Пьеро делла Франческа в труде «О перспективе в живописи», были с высочайшим мастерством применены при изображении пространства, в котором происходит действие картины «Алтарь Монтефельтро». Попытаемся восстановить процесс, которым следовал художник, и создать модель архитектурного пространства, изображенного на картине.

Восстановить исходное расположение предметов по заданному перспективному изображению можно не всегда, так как для этого требуется владеть определенными приемами и знать исходные размеры предметов, изображенных на картине.

Во-первых, нужно определить местонахождение квадрата, расположенного в плоскости, перпендикулярной плоскости картины, то есть параллельного плоскости основания. Зная его расположение, мы сможем произвести измерения в плоскостях, параллельных плоскости картины, и определить положение точки зрения. Иными словами, мы сможем определить расстояние, на котором должен располагаться зритель, чтобы перспективное изображение на картине выглядело реалистичным. Мы также сможем составить план церкви и определить, где располагаются персонажи.

Постамент Девы Марии имеет форму квадрата

Обратим внимание на платформу, на которой находится трон Девы Марии. Она накрыта ковром, изображенным на рисунке ниже. На этом ковре со звездчатой каймой изображена восьмиконечная звезда, состоящая из двух наложенных друг на друга квадратов, образующих углы в 45°. Если мы посмотрим, каково расстояние до видимых вершин звезды в левой и центральной части картины, то увидим, что расстояние от края каймы до центра обеих сторон одинаково. Зная свойства симметрии, можно предположить, что ковер имеет форму квадрата. Заметим, что кайма ковра свисает с передней части постамента практически полностью, а слева и справа почти половина каймы находится на постаменте. Можно предположить, что постамент имеет форму прямоугольника, однако он является частью пола клироса, поэтому ковер не может свисать с постамента сзади. Поэтому и ковер, и постамент имеют квадратную форму, а часть ковра, которая свисает спереди, должна быть больше той, что свисает по обеим его сторонам. Следовательно, постамент, на котором находится трон Девы Марии, имеет форму квадрата.

Репродукция ковра, на котором стоит трон Девы Марии, изображенный на картине «Алтарь Монтефельтро».

(источник: FMC)

Точка схода расположена на лице Девы Марии

Это легко заметить, продолжив линии, перпендикулярные картинной плоскости, и найдя точку их пересечения. На иллюстрации на странице 89 вы можете видеть, как было определено положение точки схода: мы продолжили линию карниза апсиды и одну из сторон постамента, на котором сидит Дева Мария. На следующем рисунке точка схода обозначена буквой О.

Разделение постамента, на котором сидит Дева Мария, на четыре квадрата.

(источник: FMC)

Ось симметрии картины делит постамент на две равные части

Это очевидно, так как переднее ребро постамента параллельно картинной плоскости, а линия, проходящая через ее середину и через точку схода, то есть ось симметрии картины, является серединным перпендикуляром, проведенным к этому ребру.

Делим постамент на четыре части

Для этого проведем диагональ и прямую, параллельную переднему ребру, через точку пересечения диагонали и оси симметрии. Иными словами, зная, что ABCD — квадрат, проведем диагональ АС, которая пересечет ось симметрии в точке Р; затем, проведя прямую, параллельную АВ, через точку Р, получим MN. Четырехугольники ASPM, BNPS, CQPN и DMPQ являются равными квадратами.

Деление пола на квадраты

Используя эти квадраты, например CQPN, и проведя его диагональ, можно построить квадратную сетку пола. Результат можно видеть на следующей иллюстрации, на которой плоскость клироса разбита на квадраты. За основу был взят квадрат постамента, на котором сидит Дева Мария.

Измерение пространства

Вышеописанный процесс позволяет измерить расстояния в пространстве. Чтобы использовать в качестве меры длины сторону постамента Девы Марии, заметим, что рост Иоанна Крестителя, первого святого слева, равен 3/2 стороны постамента. Если мы примем его рост равным 175 см, то сторона постамента будет равной 116,7 см — примерно два флорентийских локтя.

Элементы картины будут иметь примерно следующие размеры: ширина нефа равна приблизительно 8 локтям; видимую часть церкви можно разделить на несколько участков, длина ближайшего к нам, расположенного между краем исходного полотна картины и границей алтаря, будет равна 6 локтям. Участок, заключенный между линией алтаря и ближайшей к нам линией средокрестия церкви (места пересечения главного и поперечного нефа) — квадрат со стороной 8 локтей, равно как и само средокрестие. Участок, расположенный под сводом, украшенным квадратными кессонами, имеет длину 10 и ширину 8 локтей, глубина апсиды — чуть больше двух локтей. В результате пространство, изображенное на картине, глубже, чем кажется, и обладает не столь внушительной шириной и высотой.

Некоторые измерения принесли неожиданные результаты. Например, ширина нефа равна всего 467 см, расстояние от яйца до головы Девы Марии по горизонтали равно 26 локтям, то есть примерно 15 метрам. Диаметр яйца будет равен 23 см, что соответствует реальным размерам страусиного яйца.

Апсида не имеет форму полуокружности

Как мы уже указывали, апсида насчитывает чуть меньше 2 локтей в глубину и 7 в ширину, поскольку перекрывающая ее арка имеет ширину в половину локтя. Таким образом, апсида имеет форму полуэллипса, оси которого равны 7 и 2,15 локтя. Эллипс этого размера можно вписать в прямоугольник золотого сечения.

Реконструкция апсиды с картины «Алтарь Монтефельтро».

(источник: FMC)

Рост Девы Марии превышает два метра

Мы приняли рост Иоанна Крестителя равным 1,75 м. Он и Дева Мария находятся примерно в одной плоскости, параллельной плоскости картины. Когда человек садится на стул, его рост уменьшается примерно на 20 % (с незначительными изменениями в зависимости от высоты стула). Голова Девы Марии расположена выше, чем головы стоящих рядом с ней святых, и даже с учетом того, что они стоят на полу, который на 15 см ниже постамента Девы Марии, ее рост получается равным 2,08 м.

Дева Мария изображена непропорционально большой по отношению к святым, что на первый взгляд незаметно. При работе над этой картиной Пьеро делла Франческа следовал средневековой традиции, в которой величина персонажей определялась их положением в иерархии. Ангелы, напротив, совсем небольшого роста — чуть больше 1,50 м.

Реконструкция плана помещения

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы восстановить план архитектурного пространства, изображенного на картине «Алтарь Монтефельтро». В соответствии с размерами, приведенными выше, план помещения будет выглядеть приблизительно так, как показано на рисунке. Как мы уже отмечали, размеры здания удивляют: его глубина намного больше, чем кажется, и составляет 20 метров, а ширина сравнима с шириной обычной комнаты, так как не превышает 5 м.

Реконструкция нефа.

(источник: FMC)

Определение точки зрения

Пьеро делла Франческа написал свою книгу «О перспективе в живописи» в тот же период, когда работал над «Алтарем Монтефельтро». Следуя правилам перспективы, которыми он руководствовался при написании картины, получим следующую схему, в которой точка зрения отстоит от картинной плоскости на 5,8 м, то есть на 10 флорентийских локтей.

Определение точки зрения.

(источник: FMC)

Рассмотрев эту схему, мы заметим один из приемов, которым пользовался художник, чтобы «обмануть» зрителя: яйцо, которое, как кажется на первый взгляд, висит над головой Девы Марии, в действительности отстоит от нее на значительное расстояние — около 26 локтей, то есть на 15 метров, так как флорентийский локоть, как мы уже упоминали, равняется 58,36 см.

В наш рисунок, очевидно, не включены элементы, размеры которых мы не можем определить. Например, мы не можем вычислить длину поперечного нефа, так как на картине мы видим лишь края его сводов, для которых мы можем определить только ширину кессонов.

Нам также неизвестна общая длина главного нефа, так как его часть находится за спиной зрителя, смотрящего на картину. Границы области, видимой зрителем, определяют вертикальную плоскость, перпендикулярную главному нефу, которая является картинной плоскостью. Тем не менее, изучив некоторые детали, мы можем увидеть то, что на первый взгляд незаметно.

Когда мы впервые смотрим на картину, нам кажется, что изображенные на ней персонажи находятся в средокрестии, а свет, освещающий их, падает из левой части поперечного нефа. Тем не менее, восстановив план церкви и положение персонажей, мы видим, что это невозможно.

Следовательно, свет должен проникать внутрь как минимум через две различные точки. Одна из них, через которую проходит луч, освещающий апсиду и раковину, действительно расположена в левой части поперечного нефа. Другая, через которую проходит свет, освещающий персонажей картины, не может находиться в левой части поперечного нефа, так как средокрестие находится у них за спиной. Следовательно, эта точка расположена в другом месте, невидимом для нас, позади зрителя, возможно, в окне на левой стене главного нефа. Действительно, на наплечнике доспехов герцога ясно видно это окно, точнее его отражение. Так как наплечник имеет практически цилиндрическую форму, это прямоугольное окно, оканчивающееся полукругом, должно располагаться на левой стене главного нефа и в самом деле может служить источником света, падающего на персонажей картины.

Фрагмент наплечника доспехов герцога Монтефельтро. Можно различить отражения двух окон. Одно из них, ярко освещенное, расположено в левой части нефа, через другое, расположенное справа, проникает неяркий свет. Между этими окнами за спиной зрителя располагается тускло освещенная часть главного нефа.

Кроме этого, если мы внимательно посмотрим на часть доспехов герцога, которые закрывают спину, то увидим отражение другого окна, находящегося в противоположной стене нефа по отношению к первому окну. Оно намного темнее, так как находится против солнца, в правой стене нефа. Между отражениями окон можно увидеть трудноразличимый темный участок, где, вероятно, отражается вход в церковь, расположенный за спиной зрителя.

Освещение, местоположение, дата и время

Тот факт, что свет проходит через окно в левой стене церкви, вызвал сомнения у исследователей. Многие критики, проанализировав, как освещается сцена через два разных окна, о чем мы уже упомянули, утверждают, что эти источники света являются воображаемыми, вымышленными, так как если бы церковь располагалась согласно канону, ее апсида указывала бы на восток, юг находился бы по правую руку наблюдателя. Следовательно, свет никак не мог бы проникнуть в здание слева. Покажем, что оба этих утверждения спорны.

Использовал ли Пьеро делла Франческа какую-то настоящую церковь в качестве прототипа при работе над картиной, точно неизвестно. Однако можно предположить, что освещение художник рисовал в одной из церквей в окрестностях Урбино. Учитывая небольшие размеры здания, его можно назвать не церковью, а скорее капеллой. Будем считать, что капелла находится в городе герцога Монтефельтро. Дворец герцога, расположенный в центре Урбино, имеет координаты 43°43′26″ северной широты и 12°38′13″ восточной долготы.

В церковь, построенную в этой местности согласно канону, свет проникает справа, так что в полдень, во время обедни, лучи солнца проходят сквозь правую часть средокрестия и освещают алтарь. Но так как угол наклона эклиптики относительно плоскости земного экватора равен 23°30′, зимой точка восхода солнца несколько смещена на юго-восток, точка захода — на юго-запад. Летом, напротив, точка восхода смещена на северо-восток, точка захода — на северо-запад. Если мы обратим внимание, как падает луч света, освещающий апсиду (см. рисунок внизу), то увидим, что он освещает яйцо, а на раковину падает тень от левой части арки средокрестия. Кессоны этой арки ярко освещены светом, проходящим сквозь арку практически перпендикулярно им.

Как ясно из следующей иллюстрации, для того чтобы луч солнца мог освещать яйцо и часть апсиды, угол между лучом света и прямой, расположенной в направлении север — юг, должен составлять примерно 70°.

Угол, под которым должен падать луч света, чтобы освещать яйцо, подвешенное к своду апсиды.

(источник: FMC)

Если мы изучим данные о времени захода солнца на широте Урбино, то увидим, что в течение короткого периода последний луч солнца падает под углом, меньшим либо равным 70°. Этот период длится лишь несколько дней до и после летнего солнцестояния, а именно с 17 по 25 июня. Следовательно, в эти дни луч солнца может попадать внутрь церкви, построенной согласно канону, под углом, необходимым, чтобы яйцо было ярко освещено, а на свод апсиды падала тень арки. Кроме того, в каждый из указанных дней луч света падает именно так в течение всего нескольких минут до захода солнца.

Это утверждение можно проверить несколькими способами. Рассмотрим заново проекцию арки на раковину. Наивысшая точка тени находится примерно на правом краю раковины. Если мы измерим расстояние между этой точкой и вершиной арки, то увидим, что это очень малая величина, слегка превышающая четверть радиуса арки, то есть чуть больше одного флорентийского локтя. Не вдаваясь в подробности тригонометрических вычислений, скажем лишь, что этот луч света падает практически горизонтально, подобно лучу заходящего солнца.

Следовательно, можно с большой точностью утверждать: если мы будем придерживаться гипотезы, согласно которой реальная или воображаемая церковь, изображенная на картине Пьеро делла Франческа, находится в Урбино и построена согласно канону, то действие картины происходит в последнюю неделю июня примерно в 7 часов вечера, незадолго до заката солнца.

Можно сделать еще один вывод: чтобы сцена была освещена так, как изобразил на картине художник, длина двух рукавов поперечного нефа должна быть невелика — не больше двух с половиной локтей. Аналогично в западной стене левой части поперечного нефа должно находиться окно, положение которого примерно совпадает с вершиной угла, обозначенного на предыдущем рисунке.

Наконец, судя по тому, что сцену заполняет загадочный тусклый свет, можно предположить, что в апсиде за спинами персонажей картины находится алтарь светлого цвета или покрытый светлой тканью. Свет, отраженный этим алтарем, освещает нижнюю часть лепных украшений в левой части пресвитерия.

Отраженный свет освещает лепные украшения в левой части пресвитерия.

Алтарь Монтефельтро в трех измерениях

В завершение нашего исследования картины «Алтарь Монтефельтро» с математической точки зрения и резюмируя все, о чем говорилось выше, мы представим сцену, изображенную на картине, в трех измерениях. Мы использовали только те данные, которые можно получить на основе анализа картины, и не допускали художественных вольностей.

Размеры макета совпадают с теми, которые мы приводили выше, равно как и размеры персонажей. При построении мы предполагали, что действие происходит в Урбино. Свет и тени, которые видны на различных изображениях, точно совпадают с теми, что можно наблюдать в Урбино 21 июня в 7:15 вечера по местному времени.

Мы не стали продолжать главный неф за картинную плоскость, поэтому на трехмерном изображении отсутствуют упомянутые нами окна, которые отражаются в наплечнике и наспиннике доспехов герцога. Тем не менее источник света, освещающего персонажей нашей трехмерной реконструкции, расположен в том же месте, а свет падает под тем же углом, как мы указали в предыдущих разделах.

Мы представляем вашему вниманию девять ракурсов одной и той же трехмерной модели, освещенной одним и тем же источником света. Первый ракурс напоминает картину Пьеро делла Франческа: изображение обладает центральной симметрией, и кажется, что яйцо висит над головой Девы Марии.

На втором ракурсе с определенного расстояния видна вся трехмерная модель.

На третьем изображении показаны своды церкви с точки зрения наблюдателя, расположенного на высоте карниза в одной из вершин пересечения главного и поперечного нефа, имеющего форму квадрата.

На четвертом изображении показано, как видит сцену наблюдатель, расположенный за яйцом и смотрящий в спины персонажам картины.

На пятом и седьмом изображениях представлен фронтальный ракурс. Можно видеть, на каком расстоянии в действительности находится яйцо от головы Девы Марии.

На шестом изображении представлен ракурс, обратный тому, что можно видеть на картине.

На восьмом изображении точка зрения располагается выше, чем на первом; картина уже не выглядит настолько плоской, и можно лучше оценить глубину главного нефа.

Наконец, на девятом изображении представлена перспектива, обратная той, что показана на исходной картине. Это изображение также симметрично, но точка зрения расположена в центре карниза апсиды. Вновь кажется, что яйцо, изображенное на переднем плане, подвешено точно над головой Девы Марии, но в этот раз оно кажется огромным и словно вписанным в свод, под которым располагаются персонажи.

Мы попытались проанализировать некоторые особенности этой удивительной картины Пьеро делла Франческа. Разумеется, наша математическая точка зрения на эту картину является далеко не единственной. При ее изучении мы почувствовали себя помощниками этого математика и художника, который не упустил из виду ни одной детали при изображении архитектурного пространства, персонажей и освещения.

Кажущиеся неточности и несоответствия служат подсказками для внимательного зрителя и помогают лучше понять картину. Творчество математика Пьеро делла Франческа становится ближе и яснее, если мы знаем его изобразительный язык, видим ключевые элементы его произведений и рассматриваем их с точки зрения математики.

Глава 4

Эль Греко, Сурбаран и Веласкес: взгляд с точки зрения математики

В этой главе мы рассмотрим три произведения трех великих художников XVI–XVII веков. Это Доменикос Теотокопулос, известный как Эль Греко, Франсиско де Сурбаран и Диего Веласкес.

Эль Греко и четвертое измерение

Доменикос Теотокопулос, известный как Эль Греко, создал картину «Крещение Христа» для коллегии доньи Марии де Арагон в Мадриде приблизительно в 1598 году. Эта картина имеет большие размеры (350 х 144 см) и очевидно делится на две части. В нижней части Иоанн Креститель льет на голову Иисуса воду из Иордана; в верхней части Бог Отец, окруженный ангелами, архангелами и херувимами, любуется крещением Христа с небес. Над головой Христа изображена красная мантия как символ жертвы и голубь с распростертыми крыльями, соединяющий верхнюю и нижнюю части картины. После долгих перипетий картина попала в мадридский музей Прадо, где хранится в настоящее время и является частью постоянной коллекции музея.

В 1596 году Эль Греко получил заказ на роспись монастыря и семинарии Энкарнасьон, который в течение двухсот лет своего существования был больше известен по имени своей покровительницы доньи Марии де Кордоба и Арагон, служившей при дворе королевы Анны Австрийской (1549–1580), супруги Филиппа II, и инфанты Изабеллы Клары Евгении (1566–1633), дочери Филиппа II от брака с Елизаветой Валуа. Коллегия располагалась на северо-западе города близ королевской резиденции Реаль Алькасар, неподалеку от современного здания Сената.

Донья Мария де Арагон была покровительницей монастыря, но руководителем работ по его постройке был другой выдающийся деятель — монах Алонсо де Ороско (1500–1591). Этот писатель-мистик был одним из величайших интеллектуалов периода правления Филиппа II. При его беатификации в качестве свидетелей выступали инфанта Изабелла Клара Евгения и писатели Лопе де Вега и Франсиско де Кеведо. Алонсо де Ороско был причислен к лику святых папой Иоанном Павлом II в 2002 году.

Эль Греко. «Крещение Христа» (ок. 1598). Музей Прадо, Мадрид.

Возможно, именно Алонсо де Ороско вдохновил Эль Греко на создание его картин. Работа имела большую важность ввиду особой роли коллегии и ее местоположения, а также из-за объема работ и их стоимости. Эль Греко получил крупную сумму денег за роспись всего алтаря, по всей видимости, включавшую шесть больших картин, а также за работу над опорами для картин, которые не сохранились. Возможно, он также был автором нескольких скульптур и седьмой, меньшей картины, располагавшейся в центре над остальными, которая также не сохранилась.

Монастырь был закрыт в 1809 году указом короля Испании Жозефа Бонапарта. В 1814 году алтарь разобрали, в здании монастыря был размещен зал суда, а изначально прямоугольное здание с апсидой было перестроено и приняло форму прямоугольника, дополненного с меньших сторон полукруглыми помещениями. В течение недолгого времени здание использовалось как церковь, однако алтарь Эль Греко не был возвращен на прежнее место. Его элементы были конфискованы и в итоге стали частью коллекции музея Прадо, за исключением картины под названием «Поклонение пастухов», которая хранится в Национальном музее искусств Румынии в Бухаресте.

ль Греко работал над алтарем с 1596 по 1600 год в своей мастерской в Толедо, законченные произведения поочередно перевозились в здание монастыря. Шесть сохранившихся картин, изображающих распространенные сюжеты христианской иконописи, являются абсолютно передовыми для своего времени. Три картины нижней части алтаря делятся на две части, где изображается земное и божественное (разумеется, земное расположено внизу, божественное — вверху). В трех случаях композиция напоминает песочные часы, а ее центр совпадает с центром картинной плоскости. И в «Благовещении», и в «Крещении Христа» в центре изображен Святой Дух в виде голубя, который с композиционной точки зрения является связующим элементом между человеческим и божественным.

Коллегия доньи Марии де Арагон, Мадрид.

Возможное исходное расположение картин Эль Греко на алтаре Коллегии Марии де Арагон.

О шестиграннике и тессеракте

Чаще других многогранников на школьных досках рисуют шестигранник, или куб. Как правило, на уроках математики его обычно изображают так, как показано на рис. 1 на следующей странице, то есть в виде двух квадратов, соединенных четырьмя линиями, один из которых смещен относительно другого. Это «порождающее» представление куба. Квадрат «порождается» движением отрезка в направлении, перпендикулярном ему, на расстояние, равное длине отрезка. Аналогично можно получить куб движением квадрата в направлении, перпендикулярном ему, на расстояние, равное длине отрезка, «породившего» квадрат. Отрезок можно считать одномерным квадратом, и тогда он будет «порождаться» движением точки на определенное расстояние. Обобщив это представление, можно вести речь о тессеракте, или четырехмерном гиперкубе, который порождается перемещением куба в измерение, перпендикулярное традиционным трем измерениям, на расстояние, равное длине стороны квадрата. Однако представление куба в перспективе Кавалье (см. рис. 1) является далеко не единственным. На рис. 2 приведено изображение куба в центральной конической перспективе. Именно так мы будем видеть куб, если приблизимся к одной из его граней (которая считается прозрачной) достаточно близко. На рис. 3 изображен куб в изометрической перспективе. Три грани, сходящиеся в одной вершине (рис. 4), на этом изображении куба выглядят как ромбы.

Аналогичным образом можно изобразить тессеракт, или гиперкуб. На рис. 5 представлено трехмерное изображение тессеракта в центральной конической перспективе. На рис. 6 приведено его изображение в изометрической проекции. Все грани гиперкуба имеют форму ромбов. Внешняя часть фигуры состоит всего из 12 граней, так как остальные оказываются спрятанными внутри. Таким образом получается ромбододекаэдр. Подобная фигура изображена на рис. 3, где видны всего три из шести граней куба, а остальные три оказываются по другую сторону листа бумаги, на котором они изображены. В случае куба (рис. 4) в одной вершине сходятся три квадратные грани, а в случае тессеракта в одной вершине сходятся четыре куба (рис. 7). Наконец, на рис. 8 предпринята попытка изобразить два перпендикулярных между собой куба, которые имеют общую грань, аналогично тому, как две смежных грани куба перпендикулярны между собой и имеют общее ребро.

Так как страницы этой книги плоские, то вы можете видеть лишь 20-проекции трехмерных проекций четырехмерного куба. Однако это не проблема: если читатель хочет увидеть эти проекции в 3D, ему всего лишь потребуется запастись терпением, скопировать следующие развертки и склеить их. Так он сможет увидеть проекции тессеракта в 3D, которые можно представить на страницах этой книги только в двух измерениях. Склейка разверток также поможет понять «порождающий» процесс перехода в новое измерение.

Развертка трехмерной центральной конической проекции четырехмерного гиперкуба.

(источник: FMC)

Развертка трехмерной изометрической проекции тессеракта.

(источник: FMC)

Читатель может спросить, что общего у кубов и тессерактов с картиной «Крещение Христа» Эль Греко. Далее мы дадим несколько метафорический, но от этого не менее математический ответ на этот вопрос.

Перефразируя «Рукопись, найденную в кармане» Хулио Кортасара (ее название, в свою очередь, является перефразированным названием «Рукописи, найденной в Сарагосе» Яна Потоцкого), ответ мы спрятали в заглавии предыдущего раздела — «Эль Греко и четвертое измерение».

Если мы рассмотрим его картину с точки зрения математики, то увидим, что сцены, изображенные в ее нижней и верхней части, не соответствуют какой-то одной точке зрения — ни в живописи, ни в иконописи, ни в богословии. Небо и земля, изображенные на картине, в некотором роде подобны двум кубам, имеющим общую грань, но перпендикулярным между собой. Эль Греко изображает их в виде отдельных трехмерных реальностей, которые тем не менее соприкасаются между собой. И на этой общей грани, которой соприкасаются воображаемые кубы, находится Святой Дух.

Вселенная в представлении Эль Греко как минимум четырехмерна, и наша трехмерная Вселенная лишь одна из ее граней. Небеса — другая трехмерная реальность, еще одна грань гиперкуба, перпендикулярная нашей трехмерной Вселенной. А небо и земля — смежные гиперграни одного тессеракта, имеющие общую плоскость, на которой обитает третья ипостась Бога — Святой Дух.

«Крещение Христа» Эль Греко. Схема двух перспективных проекций.

Разумеется, непросто поверить, что Доменикос Теотокопулос при работе над картиной мыслил в четырех измерениях. По меньшей мере, бессознательно, возможно, на основе мистических произведений Алонсо де Ороско это виртуальное изображение, которое мы называем четырехмерным, витало в его голове.

Поскольку математики при формировании абстракций как раз переходят от реальности к представляющей ее метафоре, мы можем трактовать эту картину и с мистическо-религиозной, и с геометрико-пластической точки зрения. Так, вытянутые фигуры, характерные для работ Эль Греко, получены в результате проекции подобно тому, как квадратные грани куба в изометрической проекции принимают форму ромбов. Если Эль Греко смог прочувствовать это силой своего воображения, нет никаких сомнений, что в своем воображении он представлял картину словно в ином измерении.

Анаморфоз на картине Сурбарана

Проанализируем картину Франсиско де Сурбарана «Оборона Кадиса против англичан». Это произведение предназначалось для украшения Зала королей дворца Буэн-Ретиро в Мадриде. В этом зале находилось 12 картин, изображавших битвы времен правления Филиппа IV, выполненные выдающимися художниками того времени, среди которых «Сдача Бреды», или «Копья», Веласкеса. Коллекцию дополняли картины его же авторства с изображением десяти подвигов Геркулеса; конные портреты Филиппа III и его жены; портреты Филиппа IV и его жены, а также портрет принца Бальтазара Карлоса.

Короли Испании жили в резиденции Реаль Алькасар в Мадриде, который должен был стать новой столицей, придя на смену Толедо. На месте этой резиденции, уничтоженной пожаром в ночь под рождество 1734 года, сейчас находится королевский дворец. Будучи изначально построен как крепость эмира Кордовы Мухаммада I в IX веке, Реаль Алькасар был перестроен и расширен при Энрике II, а затем при Карле V и Филиппе II, особенно после 1561 года, когда последний решил перенести свою резиденцию в Мадрид. Филипп III продолжил работы по перестройке дворца, однако его преемник Филипп IV хотел иметь в своем распоряжении вторую, более удобную резиденцию, для досуга и развлечений. Так было принято решение возвести новый дворец в восточных окрестностях Мадрида, в местности под названием Прадо, близ садов, расположенных на пологом склоне, который вел от реки Мансанарес в центр города.

Заказчиком выступал Гаспар де Гусман-и-Пиментель, граф Оливарес и герцог Санлукар-ла-Майор, известный как граф-герцог де Оливарес, который выбрал место для строительства рядом с королевскими покоями, которые Филипп II повелел пристроить к монастырю Святого Иеронима. Строительство дворца должно было завершиться в кратчайшие сроки, и граф-герцог взял на себя обязательство закончить проект в 1634 году. Граф Оливарес, фаворит короля, назначил руководителем работ Алонсо Карбонеля.

Здание было составлено из различных архитектурных элементов и представляло собой настоящий дворец. Было запланировано построить два огромных внутренних двора для приемов, размеры одного из которых при строительстве были уменьшены. Из-за спешки и нехватки средств в казне пришлось использовать не самые благородные материалы. Этот недостаток было решено компенсировать пышным убранством залов, дорогой мебелью, прекраснейшими гобеленами и картинами самых знаменитых художников той эпохи.

Граф-герцог завершил работы в заданный срок, однако для украшения дворца ему пришлось закупать картины в спешке. Он заказал все картины испанским художникам, а мебель и другие декоративные элементы заимствовал из дворцов знатных вельмож, которые отнеслись к этому сравнительно благосклонно.

Самым пышным залом дворца Буэн-Ретиро был Зал королей, получивший это название потому, что на его стенах были изображены гербы 24 королевств, которыми правил Филипп IV. Зал королей был тронным залом, в нем король принимал послов и знатных сановников. Его было решено украсить картинами, где изображались победы, одержанные королевскими войсками в знаменитых сражениях в самых далеких странах мира. Зал королей располагался в одном из крыльев дворца, имел прямоугольную форму размером 10х30 м. Лучшим художникам того времени — Веласкесу, Майно, Сурбарану, Хусепе Леонардо, Эухенио Кахесу и другим — было заказано 12 батальных картин, а также несколько работ, которые должны были дополнить убранство зала. Большинство этих картин в настоящее время хранится в музее Прадо.

* * *

ЗАЛ ДЛЯ КОРОЛЯ

Помимо Касон деяь Буэн-Ретиро, который сейчас является частью мадридского музея Прадо, все, что сохранилось от древнего дворца Буэн-Ретиро, — это одно крыло, стена которого выходила в большой внутренний двор. В нем до недавнего времени располагался Военный музей. Это здание также планируется включить в музейный комплекс Прадо. Именно в нем находится Зал королей.

* * *

Битвы, изображенные на этих полотнах, произошли в сравнительно короткий промежуток времени. Хотя победы в них превозносились властями, со временем стало ясно, что с политической точки зрения они не имели большого значения. Пропаганда заслуг короля Филиппа IV и отчасти его фаворита графа-герцога де Оливареса велась по нескольким направлениям. Помимо великолепных картин эти сражения были воспеты лучшими драматургами, и порой спектакли появлялись раньше, чем картины.

Например, 2 июня 1625 года защитники города Бреды, возглавляемые Юстином Нассауским, сдались испанским войскам под командованием Амброзио Спинолы, маркиза де Лос-Бальбасес. В том же году прошла премьера пьесы «Осада Бреды» Педро Кальдерона де ла Барка. Ключевой сценой произведения является сцена передачи ключей от города.

Возможное расположение картин «Сдача Бреды» и «Оборона Кадиса» в Зале королей дворца Буэн-Ретиро.

(источник: FMC)

Юстин:

…Сии ключи от города,

и заверяю, что нет такого страха,

что меня заставил

вам передать бы их,

пусть и под страхом смерти. <…>

Спинола:

Юстин, я принимаю их

и вашей доблести почтенье отдаю,

ведь доблесть побежденного славнее делает

того, кто победил.

Во имя Филиппа Четвертого,

что правит на века

и по числу побед ему нет равных,

я принимаю города ключи.

Несомненно, эта пьеса позднее вдохновила Веласкеса на создание картины «Сдача Бреды».

Изображение битвы

Еще одной картиной, предназначавшейся для украшения Зала королей, была «Оборона Кадиса против англичан» кисти Франсиско де Сурбарана размером 302х323 см, которая хранится в музее Прадо.

Первого ноября 1625 года английская эскадра, насчитывавшая сто кораблей и десять тысяч человек, под командованием сэра Эдварда Сесила, виконта Уимблдонского, атаковала город Кадис. Обороной командовал дон Фернандо Хирони-Понсе де Леон, который был военным советником Филиппа IV и был назначен губернатором Кадиса несмотря на то, что страдал подагрой и был практически парализован. Поэтому Сурбаран изобразил его сидящим и отдающим приказания заместителю, Диего де Руису. В обороне также участвовал Хуан Мануэль Перес де Гусман; Силва, герцог Медина-Сидония, и генерал армии Андалусии, который, возможно, изображен на картине одетым в черное, с крестом ордена святого Иакова, стоящим позади Понсе де Леона.

Франсиско де Сурбаран. «Оборона Кадиса против англичан». Музей Прадо, Мадрид.

Утром 8 ноября испанцы перешли в наступление, и деморализованные англичане под непрекращающимся обстрелом покинули поле сражения. Этот подвиг, как и взятие Бреды, изобразил на театральной сцене драматург Родриго де Эррера в пьесе La fe no ha menester de armas у venida del inglés a Cadiz («Вере не страшно оружие и нападение англичан на Кадис»).

Привлекает внимание историческая точность картин, ставшая возможной благодаря тому, что между изображаемыми событиями и написанием картины прошло всего несколько лет. Король и граф-герцог де Оливарес, несомненно, были знакомы с героями картин, поэтому эти полотна также выступали в качестве групповых портретов. Однако композиция картин выглядит странно: передний план, на котором изображены действующие лица, и задний план, где изображен пейзаж, плохо согласуются между собой. Можно подумать, что на картине изображен эпизод театральной постановки, то есть персонажи показаны на фоне плоской декорации. Кроме того, портреты действующих лиц непропорционально вытянуты.

В настоящее время картина выставлена в музее Прадо, где занимает целую стену небольшого зала и отстоит от пола менее чем на полметра. Создается впечатление, что Сурбаран не владел законами перспективы — именно это утверждают многие критики.

Если взглянуть на картину с точки зрения математики, то станет ясно, что причина этому в неверном расположении картины в музее. Сурбаран деформировал изображение умышленно, чтобы скомпенсировать искажения, возникавшие при взгляде на картину, когда она располагалась в предназначенном для нее месте. Таким образом, при взгляде на картину зритель должен был видеть безупречное изображение.

Математический взгляд на «Оборону Кадиса»

Первая гипотеза, которую мы рассмотрели, заключалась в том, что картина должна висеть выше. Попробуем определить, насколько именно. Если мы поместим прямоугольник на возвышение и будем смотреть в его центр, то нам будет казаться, что он имеет форму равнобедренной трапеции. Величина искажения будет зависеть от высоты h, на которой расположен прямоугольник, и расстояния d между картиной и зрителем. Значение d, соответствующее размерам картины, равняется примерно 4,5 м. Осталось определить величину h, а еще лучше — зависимость длины верхней стороны трапеции и ее высоты от h. Оценить эту зависимость нетрудно, если произвести некоторые тригонометрические расчеты. Расчеты показывают, что картина, скорее всего, располагалась так, что нижний край рамы находился на уровне глаз наблюдателя. Однако, как вы увидите далее, рассуждения можно упростить, применив некоторые законы геометрии. Примем эту гипотезу в качестве исходной и попробуем доказать ее экспериментально.

Проекция главного луча зрения наблюдателя на картину «Оборона Кадиса против англичан».

(источник: FMC)

Перенесемся в Зал королей и посмотрим на картину Сурбарана с расстояния примерно в 4,5 метра. Предположим, что картина расположена на уровне наших глаз, как показано на предыдущем рисунке. Точка схода располагается в центре линии горизонта и обозначена на рисунке. Справа приведем изображение этой сцены в профиль. Для этого перенесем на рисунок справа отрезок АВ, длина которого равна высоте картины, и точку схода С. Зритель смотрит в точку С, следовательно, изображение, которое он видит, располагается в плоскости AD. Эта плоскость перпендикулярна линии, соединяющей точку С и точку зрения. Картина будет казаться наклоненной: верхняя часть будет располагаться дальше от наблюдателя, чем нижняя, поэтому будет казаться более узкой. Кроме того, из-за наклона высота картины будет казаться меньше. Попробуем определить, как изменятся воспринимаемые размеры картины.

Зритель видит картину так, как будто бы она наклонена внутри рамки, обозначенной буквами AEFD. Спроецируем верхнюю точку картины В на эту рамку и получим точку Е. Если зритель посмотрит сначала в точку Е, а затем в точку В, то лучи зрения пересекут плоскость изображения в точках Е' и В' соответственно.

Наконец, луч зрения, направленный в точку С, пересечет плоскость изображения в точке С'. Теперь попытаемся изобразить картину так, как ее будет видеть зритель. Мы определили три точки на плоскости изображения: В', С' и Е'. Перенесем эти точки на картину, чтобы вычислить размеры трапеции, которую будет видеть зритель.

Расположим зрителя справа, перед картиной. Точки В', С' и Е' перейдут в точки В", С" и Е" соответственно. Точка В" определяет высоту, на которой для наблюдателя будет располагаться верхний край картины. Точка С" определяет положение линии горизонта. В центре линии горизонта будут сходиться линии пола, изображенные в перспективе. Наконец, проведя горизонтальную линию через точку Е', получим две точки пересечения с линиями, сходящимися в точке схода. Перенеся эти точки вертикально вверх, получим две точки, которые будут располагаться на горизонтальной линии, проведенной через точку В". Соединив эти две точки с линией основания картины, получим трапецию, в которую будет вписано изображение, видимое зрителем.

Если мы рассмотрим эту трапецию, обозначенную на картине белыми линиями, то нам покажется, что она будто наклонена к нам. Анаморфированное изображение картины будет вписано в трапецию.

Деформированное изображение картины «Оборона Кадиса против англичан», какой ее видит наблюдатель.

(источник: FMC)

Благодаря программам обработки изображения выполнить это преобразование несложно. Получив требуемое изображение с помощью одной из этих программ, мы сможем представить, какой эта картина выглядела в глазах зрителя, проходившего по Залу королей дворца Буэн-Ретиро. Она казалась бы ему примерно такой, как показано на иллюстрации:

Анаморфированное изображение картины «Оборона Кадиса против англичан». Именно так эту картину видели зрители, когда она располагалась на изначально задуманном месте.

Персонажи изменились внешне и не кажутся короткоголовыми и полными, фон обрел глубину и реалистичность. Теперь он действительно похож на реальный пейзаж, а не театральную декорацию. Всё встало на свои места и обрело должные пропорции.

Допускаем, что читатель может отнестись ко всему этому скептически. Действительно ли Сурбаран проводил подобные расчеты, когда создавал картину? Думаем, что на этот вопрос мы вполне можем ответить утвердительно. Похожие расчеты провел либо сам Сурбаран, либо художник, ответственный за украшение Зала королей, либо, возможно, Веласкес. Кто-то из них рассчитал искажения, которые требовалось внести в картину, чтобы она казалась реалистичной при взгляде из центра зала. Картина Сурбарана — не единственный пример анаморфоза в живописи.

В известнейшей картине Веласкеса «Сдача Бреды» использован тот же принцип, пусть и не столь явно.

«Оборона Кадиса» располагалась в конце длинной стены Зала королей, поэтому она несколько уже, чем «Сдача Бреды». Угол наклона боковых сторон трапеции зависит не от ширины картины, а исключительно от ее высоты. Боковые стороны трапеции наклонены под одним углом на обеих картинах, и поскольку «Сдача Бреды» шире, то искажения не столь заметны невооруженным глазом. Наконец, Остин Нассауский и сам Амброзио Спинола в центре картины Веласкеса изображены в поклоне, благодаря чему видимые искажения уменьшаются. Копья испанской армии, удачно использованные в композиции, также уменьшают искажения, однако если мы применим к этой картине то же преобразование, что и к «Обороне Кадиса», то увидим, что изображение станет более реалистичным.

Как отмечалось выше, из всех помещений дворца Буэн-Ретиро сохранился лишь Касон дель Буэн-Ретиро, сады и северное крыло, в котором находится Зал королей.

До недавнего времени в нем располагался Военный музей. Ожидается, что в будущем, когда Зал королей будет отреставрирован и станет частью музея Прадо, он снова будет сверкать, как во времена Филиппа IV, и батальные полотна займут свое прежнее место. Так зрители смогут увидеть то же, что смогли увидеть мы с помощью математических преобразований.

Анаморфоз и другие искажения

По определению, анаморфоз — это конструкция, созданная таким образом, что в результате оптического смещения некая форма, недоступная поначалу для восприятия, складывается в легко прочитываемый образ. Следовательно, анаморфоз — это проекция или перспектива, на которую нужно смотреть с помощью особого устройства, например цилиндрического или конического зеркала, либо с определенной точки. Только в этом случае изображение примет требуемый вид. С помощью компьютера можно исказить изображение так, что, взглянув на него в цилиндрическое зеркало, мы увидим исходное изображение. Используем в качестве примера обложку книги.

Преобразуем изображение так, что оно будет принимать исходный вид в цилиндрическом зеркале диаметром 35 мм под углом зрения в 45°. Результат вы можете видеть на иллюстрации внизу слева. Если мы правильно расположим зеркало, то получим изображение, показанное на рисунке справа.

То, что сегодня легко выполняется с помощью компьютера, ранее производилось путем разбиения картины на квадраты и преобразования каждого квадрата в сектор кольца.

* * *

ИЗВЕСТНЕЙШИЙ АНАМОРФОЗ ВСЕХ ВРЕМЕН

Известнейший пример анаморфоза в живописи — это, несомненно, «пятно», изображенное в нижней части картины «Послы» Ганса Гольбейна Младшего.

Ганс Гольбейн Младший. «Послы» (1533). Лондонская национальная галерея.

Эта картина изобилует символами, связанными с математикой. Персонажами картины являются Жан де Дентвиль (слева), в то время посол Франции в Англии, который выступил заказчиком картины, и Жорж де Сельв, епископ Лавура и друг Дентвиля, разделявший его увлечение математикой. Сельв также был послом в Священной Римской империи, Венеции и Ватикане, поэтому картина известна под названием «Послы». В центральной части картины изображено множество предметов, указывающих на увлечения персонажей. Эти предметы символизируют арифметику, геометрию, музыку и астрономию, составлявшие так называемый квадривиум, и грамматику, диалектику и риторику, из которых состоял так называемый тривиум. Дисциплины, входившие в тривиум и квадривиум, именовались «семь свободных искусств». Однако наибольшее внимание зрителя привлекает пятно на полу. Оно словно висит в воздухе и выбивается из общей картины. Это пятно является примером анаморфоза: достаточно наклониться и посмотреть на картину искоса, и это пятно примет форму человеческого черепа, который изображен в столь странной анаморфической перспективе.

При взгляде под правильным углом «пятно» превращается в человеческий череп.

* * *

Веласкес и абстрактное пространство

Обратим наш математический взгляд на картину «Пабло де Вальядолид», созданную Диего Веласкесом в 1633 году, которая также хранится в музее Прадо. Пабло де Вальядолид (1587–1648) был придворным актером, и на картине Веласкеса он изображен в одной из своих ролей.

Диего Веласкес. «Пабло де Вальядолид» (1633). Музей Прадо, Мадрид.

Великий французский художник Эдуард Мане, посетив Испанию в 1865 году, был очарован совершенством картины и сказал: «Возможно, самым удивительным произведением живописи из когда-либо созданных является «Портрет знаменитого актера времен Филиппа IV» (Пабло де Вальядолид). Фон исчезает. Человека, одетого в черное и полного жизни, окружает воздух».

Любой, кто посмотрит на эту картину математическим взглядом, сначала будет удивлен и озадачен подобно Мане. Где находится Пабло де Вальядолид? В каком пространстве?

Представление о пространстве

Представление о пространстве, которое является одним из важнейших элементов западной культуры, возникло в Древней Греции. Выделить путем наблюдения отдельные предметы и, абстрагировавшись от них, сформулировать «идею» в том смысле, который придавал этому слову Платон, непросто, но этот процесс доступен для понимания. Так, когда ребенок учится говорить, он постепенно узнает всё новые и новые слова. Он получает представление о том, что такое, например, стол, замечая столы разных форм и размеров. Увидев какой-то конкретный стол, например традиционный с четырьмя ножками, вскоре ребенок понимает, что число ножек не имеет значения, ведь существуют столы с одной, тремя, четырьмя и более ножками и вовсе без них, например прикрепленные к стене. Он абстрагируется от формы поверхности стола, которая необязательно представляет собой прямоугольник, — это может быть круг, квадрат или треугольник. Он также понимает, что поверхность стола необязательно должна быть горизонтальной: например, школьная парта — это тоже стол, но его поверхность наклонена, чтобы было удобнее писать.

Говоря математическим языком, дать определение означает выделить из множества всех объектов некое подмножество по некоторому критерию. Используя этот критерий, при взгляде на любой предмет мы сможем определить, принадлежит он этому подмножеству или нет. Поэтому дать определения предметам непросто, и именно поэтому эта задача представляет такой интерес. Для этого достаточно рассмотреть простой вопрос: «Что такое стол?». Первая попытка, скорее всего, окажется неудачной, так у нас не получится дать определение сразу всем возможным столам. Если мы продолжим попытки, то увидим, что нам потребуется определить, какие свойства являются определяющими для стола, а какие нет; какими свойствами обладают все столы, а какими — только некоторые. В попытках дать ответ на этот вопрос мы начинаем рассуждать в терминах математической логики и формулируем абстракцию. И, как мы уже сказали, само понятие определения по своей сути является математическим.

Абстрагирование, в процессе которого мы переходим от конкретных предметов к общим понятиям, сравнительно ясно, однако понимание таких концепций, как «пространство», выглядит совершенно иначе. Здесь речь идет не о предметах, а о том, что их содержит. И действительно, возможно, основной характеристикой пространства является его способность содержать предметы. Следовательно, пространство связано с такими понятиями, как «дом», «храм», и представляет собой хранилище всего осязаемого, воспринимаемого с помощью органов чувств.

Тем не менее понятия, связанные с осязаемым и воспринимаемым напрямую, постигаются с помощью органов чувств, пассивно. Напротив, чтобы понять, что такое пространство, необходимо действовать активно, рационально, то есть математически. Поэтому неудивительно, что понятие пространства возникло одновременно с другими математическими понятиями, вероятно в VI веке до н. э., усилиями пифагорейцев.

Это понятие неразрывно связано с понятием «содержащее», а также, учитывая, что оно было сформулировано представителями математической школы, с понятиями «положение» и «расстояние». Изначально пространство считалось геометрическим пространством. Зенон Элейский спустя столетие вновь поднял вопрос о том, что такое пространство, в своих знаменитых парадоксах. Следующий шаг в этом направлении совершил Платон в диалоге «Тимей», написанном во второй половине IV века до н. э.: «Есть бытие, есть пространство и есть возникновение, и эти три [рода] возникли порознь еще до рождения неба».

Сначала он рассматривает бытие и возникновение:

«Так, ум рождается в нас от наставления, а истинное мнение — от убеждения; первый всегда способен отдать себе во всем правильный отчет, второе — безотчетно; первый не может быть сдвинут с места убеждением, второе подвластно переубеждению; наконец, истинное мнение, как приходится признать, дано любому человеку, ум же есть достояние богов и лишь малой горстки людей. Если все это так, приходится признать, во-первых, что есть тождественная идея, нерожденная и негибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя — ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некоем месте и вновь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением».

Так, «бытие» представляет собой идеи в трактовке Платона, которые являются тождественными, незримыми и никак не ощущаемыми, кроме как силой разума. «Возникновение» есть реальность, ощущаемая чувствами, изменяющаяся, имеющая начало и конец, недолговечная, подобная бытию, но отличающаяся от него. Между ними, по Платону, находится пространство:

«В-третьих, есть еще один род, а именно пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему роду, но само воспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно. Мы видим его как бы в грезах и утверждаем, будто всякому бытию непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует».

В этом определении Платона содержатся все важнейшие особенности нашего определения пространства.

Следовательно, пространство есть нечто, расположенное между бытием и возникновением. К бытию можно прийти лишь с помощью истинного мнения и строгих рассуждений, а к понятию пространства мы приходим лишь посредством «незаконных умозаключений». Пространство, хотя и обладает некоторыми свойствами бытия (оно является неизменным и неразрушимым), содержит в себе все осязаемое, воспринимаемое чувствами, и в этом оно отличается от бытия. Именно пространство порождает все, что существует, так как существует лишь то, что занимает определенное место и положение. Возможно, именно здесь, на полпути между «бытием» и «возникновением», располагается то, что познается с помощью «незаконных умозаключений», которыми Платон считает математические рассуждения, то, «во что поверить почти невозможно».

Первое определение, которое мы даем пространству, — это «нечто, что содержит нас», то есть дом, или «нечто, что содержит богов», то есть храм, поэтому неудивительно, что когда представление о пространстве стало частью культуры и перекочевало в обыденный язык, то архитектура, в особенности греческая, стала первым эстетическим воплощением пространства, первой точкой соприкосновения математической идеи с миром искусства.

Если пространство неизменно, то архитектура есть способ организовать его, провести линии, формирующие его структуру, возвести стены, ограничивающие его и определяющие подпространства, содержащиеся в пространстве, но созданные по его образу и подобию. Таким образом, математики в некотором роде изначально выступали как посредники в процессе виртуализации окружающего нас пространства, используя геометрию, которая в симбиозе с искусством является основой архитектуры.

С живописью все обстоит иначе. Создание картины — это медленный и трудоемкий процесс. Виртуализация реальности, чего-либо осязаемого на поверхности картины представляет трудность совершенно иного рода: мы осязаем пространство в трех измерениях, а поверхность картины является плоской. Необходимо использовать некое преобразование, чтобы пространство, воспринимаемое глазом, совпало с виртуальным пространством, которое видит зритель при взгляде на картину.

Желание правдоподобно изобразить реальность привело к необходимости найти способы ее представления. И хотя первые попытки, предпринятые в этом направлении, можно увидеть на некоторых фресках Помпеи, в полной мере приемы достоверного изображения реальности были открыты лишь в эпоху Возрождения. Как мы уже увидели, связь между живописью и понятием пространства возникла с изобретением перспективы в период кватроченто.

Одновременно с этим в живописи появилось новое понятие пространства: оно перестало содержать исключительно реальные предметы, которые могут быть изображены, и стало включать воображаемые объекты, которые, будучи изображенными на картине, становились «виртуально реальными».

Пространство по Декарту и Ньютону

В XVII веке представления математиков о пространстве начали видоизменяться. Были предприняты попытки дать ему более точное определение на основе идей Платона. Декарт определял пространство так:

«… в воображаемой математической материи, в пространстве, неограниченно простирающемся в длину, ширину и высоту или глубину, делимом на разные части, которые могут иметь различные формы и величины и перемещаться во всех направлениях».

(Декарт, 1637)

Ньютон, в свою очередь, выдвинул идею «абсолютного пространства»:

«Абсолютное пространство по своей природе, без связи с чем-либо внешним, всегда остается неизменным и неподвижным».

(Ньютон, 1687)

Как мы уже говорили, оба эти определения отражают одну и ту же парадигму пространства как содержащего все сущее, однако являются более абстрактными и четкими. Однако пространство по-прежнему было связано с природой и содержало исключительно реальные предметы, то есть те, что можно постичь органами чувств. Тем не менее это уже абстрактное пространство, которое существует независимо от объектов, в нем содержащихся, и может быть проанализировано геометрически.

Пабло де Вальядолид

Картина Веласкеса, которую мы рассмотрим с точки зрения математики, и определение пространства, данное Декартом, были созданы одновременно и по сути схожи. Фон картины Веласкеса очаровывает, поскольку не является реальным, то есть изображает не что-то конкретное, а абстрактное пространство само по себе. Хосе Ортега-и-Гассет, размышляя о фоне этой картины, писал:

«Эти краски не изображают какой-либо объект, реальный или воображаемый, четкий или расплывчатый. На фоне не изображены ни предмет, ни одна из стихий. Это не земля, не вода и не воздух. Автор, нанеся эти краски на холст, хотел исключить из нашего поля зрения любые формы и фигуры, отвлечь наше внимание от всего, кроме фигуры шута. С этой целью он закрасил холст однородно и единообразно, так что ничто не отвлекает и не привлекает внимания, и, кроме того, он использует светло-бурый цвет, созданный в мастерской исключительно с целью воплотить художественный прием: выделить фигуру Пабло, ее объем и материальность <…>».

Три картины, авторы которых вдохновлялись работой Веласкеса «Пабло де Вальядолид». Слева направо: «Рувье в роли Гамлета» Эдуарда Мане (1865–1866), Национальная галерея искусств, Вашингтон: «Франсиско Кабаррюс» Франсиско Гойя (1788), Банк Испании, Мадрид;«Флейтист» Эдуарда Мане (1866), музей Орсе, Париж.

Он добавляет:

«Остановимся ненадолго на том, почему можно считать, что эта картина Веласкеса выполнена в духе реализма. Даже признав на мгновение, что эта характеристика применима к персонажу, она неприменима к картине, поскольку картина — это не только фигура, но и фон, а этот фон не только не реалистичен, но даже не ирреалистичен, а умышленно и очевидно де-реалистичен, так как в нем уничтожено все, что может напоминать реальный предмет».

Пока что мы полностью согласны с комментарием Хосе Ортеги-и-Гассета, изложенным несколько поучительным тоном. Тем не менее придерживаясь математической точки зрения, мы позволим себе не согласиться с его выводом:

«Веласкес хотел создать ничто вокруг Пабло, окружив его чем-то произвольным, воображаемым, что представляет собой плод художественного эксперимента».

Ничто, которое окружает Пабло де Вальядолида, — не что-то «произвольное и воображаемое», а пространство само по себе, изображенное в соответствии с математическими представлениями того времени. Веласкес изобразил его не так, как ему заблагорассудится, а в строгом соответствии с нормами. Это пространство Декарта и Ньютона, гениально изображенное минимумом художественных средств, почти не имеющее цвета и тени, непрерывное, бесконечное, неподвижное, не связанное с чем-либо внешним, на котором выделяется фигура Пабло де Вальядолида.

Если мы рассмотрим эту картину с точки зрения математики, то увидим, что на втором плане изображено то, что раньше можно было лишь представить, но невозможно нарисовать: само пространство. Поэтому «мы видим его как бы в грезах и утверждаем», что Пабло де Вальядолид «обязательно имеет свое место и занимает свое положение в пространстве» и по этой причине «этот человек, одетый в черное, полон жизни».

По другую сторону картины Веласкеса

Приведенный нами обзор представлений о пространстве, начиная с Пифагора и заканчивая Ньютоном, разумеется, неполон. Начиная с XVII века и до наших дней математика и искусство непрерывно развиваются, причем это происходит приблизительно одновременно.

Если на картине «Пабло де Вальядолид» Веласкеса изображено декартово пространство в трактовке Ньютона, то авангардисты первой трети XX века и математики этого периода начали рассматривать новые представления о пространстве как о множестве точек и их взаимосвязей, где под точкой понимается любой объект, а под взаимосвязью — любая связь между этими точками.

Глава 5

Архитектура и геометрия

Числа и фигуры в римском Пантеоне

«В числе всех существующих в Риме храмов нет более знаменитого, чем Пантеон, именуемый ныне Ротондой, и нет более сохранного, ибо мы видим его почти неприкосновенным во всем, что касается самой постройки, но лишенного статуй и прочих украшений. <…> Этот храм был назван Пантеоном, ибо, кроме Юпитера, он был посвящен всем богам; или же (по мнению других) потому, что он имеет форму Вселенной, то есть круглую, ибо высота его от пола до отверстия, откуда поступает свет, равна диаметру его ширины от стены до стены, и как теперь спускаются к полу, так в древности поднимались к нему по нескольким ступеням».

Этими словами начинает свое описание римского Пантеона архитектор Андреа Палладио (1508–1580). Геометрия этого здания поистине уникальна. Первый Пантеон был построен в 25–27 годах до н. э. Марком Випсанием Агриппой, зятем Октавиана Августа, как часть монументального Марсова поля. Марк Випсаний Агриппа, который в то время был третьим консулом, оплатил постройку из своих г средств. Первый Пантеон имел прямоугольную форму с поперечно расположенной целлой. Позади этого здания, которое было повернуто на 180° относительно нынешнего, находилась круглая площадь, огороженная стеной. Первое здание и площадь имели ту же ось симметрии, что и современный Пантеон. Ширина целлы равнялась диаметру ротонды, длина исходного здания равнялась длине колоннады более позднего Пантеона.

Римский Пантеон в разрезе. Иллюстрация из «Четырех книг об архитектуре» Андреа Палладио.

Первый Пантеон был полностью разрушен пожаром 80 года и восстановлен во время правления императора Домициана, правившего с 81 по 96 год. Новый храм, в свою очередь, был разрушен во времена Траяна, правившего в 98—117 годах. До наших дней дошел третий Пантеон, построенный в период правления Адриана (117–138), возможно, на основе проекта, выполненного при Траяне вскоре после разрушения второго Пантеона. Работы затянулись, и торжественное открытие Пантеона состоялось во время пребывания Адриана в Риме в 125–128 годах.

Некоторые считают, что название Пантеон обусловлено изобилием статуй богов внутри здания. Другие, среди которых сам Палладио, полагают, что это название указывает на круглую форму здания, символизирующую небесный свод и семь богов, в честь которых были названы звезды и планеты: Луна, Марс, Меркурий, Юпитер, Венера, Сатурн и Солнце. Им, в свою очередь, соответствовали семь дней недели.

Внешняя часть храма состоит из пронаоса с восемью колоннами, поддерживающими фронтон, пропорции которого отличаются от традиционно применявшихся в греческой архитектуре. Так, в афинском Парфеноне отношение высоты треугольного фронтона к общей высоте здания равно одной четвертой, а в римском Пантеоне это отношение равно одной третьей. Иными словами, фронтон Пантеона выше, чем в греческих храмах.

Фасад римского Пантеона

(источник: FMC).

Пронаос, имеющий прямоугольную форму, соединен с круглой целлой. Три составные части храма снаружи выглядят так, как будто они наложены друг на друга несогласованно, негармонично. Трехэтажная цилиндрическая часть здания с пологим сводом, в которой современный наблюдатель найдет сходство с летающей тарелкой, по сравнению с пронаосом выглядит огромной, несмотря на то что их соединяет часть здания промежуточной высоты. Разделение на три этажа подчеркнуто тремя карнизами на фасаде здания. Положение второго карниза соответствует положению экватора внутреннего купола. Третий уровень, выделяющийся исключительно снаружи, был построен из-за необходимости возвысить стену периметра, сделав ее выше и прочнее, чтобы она могла устоять под огромным весом купола.

Во времена Адриана Пантеон снаружи выглядел совершенно иначе: цилиндрическая часть здания была не видна с огромной площади, по размерам намного превышавшей современную, расположенную перед фасадом здания. Здание было с трех сторон окружено портиком с колоннадой, схожей с колоннадой пронаоса, но меньшей высоты, которая образовывала единое целое с колоннадой на главном фасаде. Зритель, впечатленный монументальностью площади, переходил из открытого пространства прямоугольной формы, окруженного колоннами и ярко освещенного солнцем, во внутреннее, более темное пространство круглой формы, в котором лучи яркого света, поступая через отверстие в куполе, создавали ярко выраженный контраст между светом и тенью. Из открытого пространства зритель переходил в следующее, закрытое, которое, однако, поражало огромными размерами.

Римский Пантеон, вид изнутри. На фотографиях изображен купол с отверстием на вершине.

(источник: FMC)

Создание проекта приписывается Аполлодору Дамасскому (ок. 70—130), который выполнял для Траяна и другие проекты, в частности проект колонны и форума Траяна. Он также совместно с Адрианом работал над некоторыми зданиями виллы Адриана в Тиволи. Аполлодор нелестно отзывался о способностях Адриана, который, до того как стать императором, увлекался архитектурой. Так, он сравнил нарисованный Адрианом купол с тыквой, за что позднее впал в немилость. Ему пришлось покинуть Рим, и он умер в изгнании.

* * *

ЦИЦЕРОН И НЕБЕСНЫЙ СВОД

Цицерон (106-43 гг. до н. э.) в своей книге «О природе богов» (книга II, глава 18) подчеркивает, насколько важной в римской космологии была сфера как идеальная форма и, следовательно, единственно возможная форма Вселенной. Он пишет:

«Ты говоришь, что и конус, и цилиндр, и пирамида тебе кажутся более красивыми, чем шар. <…> Мне самому это не кажется, ибо какая фигура может быть красивее той, которая одна заключает в себе все остальные фигуры, которая не имеет никакой шероховатости, никакой неровности, ни одного угла, о который можно порезаться, никаких надломов, ни одного выступа, ни одной впадины? В сущности только две формы являются превосходнейшими: из объемных — шар (globus), ибо так следует переводить [греческое] офоарос; из плоских — круг, или окружность (по-гречески κυκλος); только этим двум формам присуща та особенность, что все их части совершенно сходны между собой и крайние точки отстоят от центра на одинаковом расстоянии — правильнее этого ничего не может быть. Но если вы этого не видите, то это оттого, что никогда не нюхали ученой пыли. <…> Если бы Эпикур выучил, сколько будет дважды два, он бы, наверное, не говорил этого. Но, как говорит Энний: Пока он решал, что всего лучше, нёбом, Он своих глаз не поднял на свод неба».

Обратите внимание на фразу, обращенную к эпикурейцам («Если вы этого не видите, то это оттого, что никогда не нюхали ученой пыли»). Здесь имеется в виду песок, которым геометры посыпали стол и на нем чертили геометрические фигуры и символы.

МАРГЕРИТ ЮРСЕНАР ОПИСЫВАЕТ ПАНТЕОН В «ВОСПОМИНАНИЯХ АДРИАНА»

«Римская весна никогда еще не была столь ласковой, столь буйной, столь голубой. В тот же день, с более суровой и словно бы приглушенной торжественностью состоялась церемония освящения в самом Пантеоне. Я собственной рукою исправил слишком робкие проекты архитектора Аполлодора.

Использовав греческие мотивы лишь в орнаментальных целях, для придания храму большей пышности, я в самой структуре его вернулся к давним, легендарным временам Рима, к круглым храмам древней Этрурии. Я пожелал, чтобы это святилище Всех Богов воспроизводило форму земного шара и звездной сферы — шара, в котором заключены истоки вечного огня, и вогнутой сферы, которая объемлет все сущее. То была также и форма первобытных хижин, откуда дым древнейших человеческих очагов выходил через проделанную в кровле дыру. Купол, сооруженный из прочной и легкой лавы, которая, казалось, еще продолжала кипеть в восходящем потоке пламени, сообщался с небом через большое отверстие, синее днем и черное ночью. Этот храм, со всех сторон открытый и вместе с тем сокровенный, был задуман как солнечные часы. Время будет вращаться по кругу над этими ларцами, которые так заботливо отполировали греческие мастера; диск дневного света будет висеть над ними, как золотой щит; дождь оставит на каменных плитах лужицы чистой воды; молитва уйдет, точно дым, в пустоту, которую мы заселили богами».

«Воспоминания Адриана». Маргерит Юрсенар.

Французская писательница Маргерит Юрсенар.

* * *

Доминантой внутренней части Пантеона является грандиозный полусферический купол. В его верхней части имеется отверстие диаметром 30 римских футов (8,92 м), которое является единственным источником света. Во время дождя через это отверстие в храм попадает вода, которая льется на квадратные и круглые мозаики пола. В лужах воды на полу отражается внутренняя часть купола, тем самым создается изображение полной сферы.

Внутренняя часть храма имеет простую и гармоничную форму. Она представляет собой сферу, касающуюся цилиндра. Радиус этой сферы равен высоте цилиндра.

Иными словами, если мы войдем в храм, то увидим цилиндр, высота которого равна половине диаметра его основания. Этот цилиндр делится круговыми карнизами на два уровня. Верхний карниз совпадает с линией импоста купола, центр симметрии цилиндра — с центром купола, который имел бы форму идеальной полусферы, если бы не срез в горизонтальной плоскости вблизи вершины свода, где расположено уже упомянутое нами отверстие.

Ширина внутренней части здания — 43,44 м (150 римских футов), радиус сферы — 21,72 м. На нижнем этаже той части храма, что имеет цилиндрическую форму, расположены семь капелл, три из которых имеют форму полукруга, четыре — трапециевидную. Все они имеют две колонны, за исключением главной капеллы, заменяющей апсиду и расположенной напротив входа. Апсида также имеет две колонны, которые, в отличие от остальных капелл, не делят проем на части, а расположены по бокам от него. Кроме того, в несущей стене у входа в храм расположена еще одна, восьмая ниша.

* * *

«КУПОЛ, СПОСОБНЫЙ ПОКРЫТЬ СВОЕЙ ТЕНЬЮ ВСЕ ТОСКАНСКИЕ НАРОДЫ»

Эта хвалебная фраза из трактата «О живописи» Альберти, обращенная к его другу Филиппо Брунеллески, является несколько преувеличенной. Тем не менее купол собора Санта-Мария-дель-Фьоре поистине огромен и достоин восхищения как с архитектурной, так и с эстетической точки зрения. При его постройке не использовались леса — купол изначально представлял собой самоподдерживающуюся конструкцию. Его можно сравнить только с куполом римского Пантеона, но творение Брунеллески намного более легкое и воздушное.

Для художников и гуманистов кватроченто этот купол был доказательством того, что художественные и научные достижения Античности, которыми они так восхищались, пятнадцать столетий спустя стало возможным достичь и превзойти.

Купол собора Санта-Мария-дель-Фьоре, созданный Филиппо Брунеллески.

(источник: FMC)

* * *

Покрытие пола расположено слегка под наклоном, и дождевая вода, проникающая внутрь храма сквозь отверстие в куполе, стекает по сточным каналам, которые находятся под полом. Рисунок пола представляет собой квадратную сетку, в которой перемежаются круги и квадраты меньшего размера. Чередование фигур начинается в центре, где изображен квадрат, в который вписан круг, и продолжается в двух направлениях на плоскости.

Чтобы снизить вес купола, при его постройке использовался известковый раствор и пористый камень туф. Внутренняя часть купола украшена пятью рядами кессонов по 28 в каждом, которые, помимо декоративной функции, служат для уменьшения веса здания. Центральный угол между экватором купола и его верхней параллелью, проходящей по верхнему ряду кессонов, равен 51°. Промежуточные параллели делят дугу, заключенную между экватором и верхней параллелью, на пять равных частей. Иными словами, высота всех кессонов одинакова, а ширина последовательно уменьшается по мере приближения к вершине купола.

Схема внутренней части римского Пантеона.

(источник: FMC)

План римского Пантеона, II век н. э.

(источник: FMC)

Верхние края кессонов направлены к центру сферы, нижние края кессонов на каждом уровне — в сторону воображаемого круга, проведенного на полу. Если мы разделим радиус окружности пола на семь равных частей и проведем шесть окружностей, присвоив им номера от 0 (для наименьшей окружности) до 5 (для наибольшей), нижние края каждого ряда кессонов будут направлены в сторону окружности с соответствующим номером.

Кессоны купола имеют особую форму и видны с поверхности пола без искажений.

(источник: FMC)

Римский Пантеон в разрезе. Указаны точки схода нижних краев кессонов.

При внимательном рассмотрении становится понятно, что при постройке Пантеона широко использовалось число 7 и кратные ему. В храме семь капелл, число кессонов в каждом ряду купола равно 28. Однако кессоны на куполе расположены в пять рядов. Не будем искать мистические объяснения этому, так как чаще всего они являются плодом спекуляций. Укажем лишь, что эти числа, возможно, имеют астрономическое значение. Так, кольца кессонов, соответствующие окружностям, изображенным на полу, могут символизировать орбиты пяти планет. Круг света, падающий через отверстие в куполе в центр круглого пола, символизирует Солнце, Луну — сама Луна, которую можно наблюдать через отверстие в куполе несколько дней в году. 28 кессонов символизируют дни лунного месяца, состоящего из четырех фаз по семь дней в каждой. Однако это всего лишь гипотеза.

Все размеры Пантеона были точно выверены и рассчитаны не только для того, чтобы обеспечить равновесие самого большого купола античного мира, но также и для того, чтобы пробудить чувство гармонии и цельности в каждом, кто заходит внутрь.

* * *

СФЕРА И ЦИЛИНДР. ЦИЦЕРОН И АРХИМЕД

Как мы уже говорили, Марк Туллий Цицерон интересовался геометрией, а также, насколько можно судить, жизнеописаниями геометров. По его словам, в 75 году до н. э. он посетил Сицилию и обнаружил там могилу Архимеда, которую узнал по изображению вписанной в цилиндр сферы на надгробной плите. По легенде, Архимед считал своим величайшим достижением доказательство того, что объем сферы и площадь ее поверхности соответственно равны двум третьим объема и площади поверхности цилиндра, описанного вокруг нее.

Если обозначить радиус сферы за г, то радиус основания описанного цилиндра также будет равен r, высота — 2r. Обозначив за Vs объем сферы, за Vc — объем цилиндра, получим:

Аналогично, обозначив за Ss площадь поверхности сферы, за Sc — общую площадь поверхности цилиндра (площадь боковой поверхности и площадь оснований), получим:

Подставив в эти формулы размеры Пантеона, где радиус сферы равен 21,72 м, получим:

Без учета выступов общая площадь внутренней поверхности Пантеона, включая площадь поверхности пола, в пять раз больше площади пола, примерно равной 1,482 м^2.

* * *

Санта-Мария-Новелла. Гуманистическая архитектура и группы Леонардо

Работы над фасадом церкви Санта-Мария-Новелла во Флоренции были начаты в 1350 году, однако на первом этапе была завершена лишь нижняя его половина. В 1439 году, во время Флорентийского собора, который проходил в этой церкви, было принято решение завершить строительство. Несколько лет спустя эта задача была поручена Леону Баттисте Альберти. Альберти, автор «Десяти книг о зодчестве» и первого трактата о перспективе, спроектировал верхнюю половину фасада, сделав ее модульной, пропорциональной, равновесной, ритмичной, гармоничной и красивой. Пропорция, ритм, равновесие, красота — эти свойства архитектурных работ Альберти обозначал одним латинским словом concinnitas.

Фасад церкви Санта-Мария-Новелла во Флоренции.

(рисунок: АМА; фотография: FMC)

Парус корабля, раздуваемый ветром, — герб семейства Ручеллаи, изображенный на фасаде церкви Санта-Мария-Новелла во Флоренции.

(источник: FMC)

Первый камень современного здания церкви Санта-Мария-Новелла был заложен в день Святого Луки в 1246 году. Ранее на этом месте располагалась небольшая старинная церковь, построенная монахами-францисканцами по прибытии во Флоренцию. Строительные работы продолжались до середины следующего столетия. Церковь была освящена лишь в 1420 году папой Мартином V, резиденция которого располагалась во Флоренции.

На первом этапе работ над фасадом были построены шесть внутренних арок, две боковые двери в готическом стиле и круглые слепые арки, выполненные из белого и зеленого мрамора, имитирующие арки баптистерия Сан-Джованни. Работы были приостановлены, когда не были завершены ни центральный карниз, ни центральный портал.

* * *

«ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ИЗ КНИГИ»

Пол Эрдёш (1913–1996) считал, что существует Книга, в которой Бог записал все самые красивые доказательства математических теорем. Он говорил, что у математиков нет причин верить в Бога, но они должны верить в существование Книги. Доказательства из Книги, как и шедевры архитектуры, обладают тем, что Альберти называл concinnitas, — пропорциональностью, равновесием, красотой.

Понять значение concinnitas нетрудно, если взглянуть на фасад церкви Санта-Мария-Новелла математическим взглядом, и еще проще, если вы вспомните некоторые доказательства, которые, как вам кажется, могут содер- жаться в Книге.

Пол Эрдёш (1992).

* * *

Джованни Ручеллаи, известный купец, обратился к своему архитектору и другу Леону Баттисте Альберти, чтобы тот завершил проект церкви. Альберти решил покрыть фасад белым и зеленым мрамором, изменив внутреннее убранство церкви, вместе с тем обеспечив гармоничность и пропорциональность здания. Внутренняя часть, выполненная в средневековом стиле, осталась почти нетронутой. К ней был добавлен центральный портал в духе римского Пантеона, а также пилястры, выполненные в стиле эпохи Возрождения. Он также спроектировал верхнюю часть здания, отделенную широким фризом, о котором мы поговорим чуть позже. Из-за особого расположения отверстия на фасаде рядом с ним Альберти поместил новый квадратный элемент, смещенный по вертикали и разделенный на три части четырьмя пилястрами. Центральные пилястры были в два раза шире боковых. Разделив архитектурное пространство на равные прямоугольники, архитектор тем самым определил основную единицу длины, которую затем использовал во всем проекте. Альберти увязал уже построенную нижнюю часть здания с новыми архитектурными элементами, установив соотношения между размерами, которые выражались кратными и дробными числами.

Пропорции церкви Санта-Мария-Новелла. Основным элементом композиции является квадрат.

(источник: FMC)

* * *

ПОНЯТИЕ ГРУППЫ

Группа в математике — это множество G, на котором определена операция °. Говорят, что множество G с заданной на нем операцией ° (G, °) является группой, если они обладают следующими свойствами.

1. Операция является внутренней, то есть результатом этой операции с любыми двумя элементами множества будет элемент этого же множества.

2. Операция является ассоциативной. Иными словами, для любой тройки элементов группы результат операции над ними одинаков вне зависимости от того, в каком порядке она будет выполняться.

3. Наличие нейтрального элемента.

Существует единственный элемент

4. Наличие обратного элемента.

Для любого элемента х группы существует элемент x' такой, что

Изометрия — это геометрическое преобразование, оставляющее неизменным расстояния между элементами множества. Иными словами, изометрия — это «жесткое» перемещение, которое не деформирует множество. Примерами изометрии на плоскости являются поворот вокруг точки, параллельный перенос и осевая симметрия (отражение). Изометрией также считается скользящая симметрия — контаминация параллельного переноса и осевой симметрии, ось которой параллельна направлению переноса.

ГРУППЫ ЛЕОНАРДО

Группы Леонардо — это группы движений с конечным числом элементов и точкой, положение которой остается неизменным вне зависимости от применяемого движения. Группы Леонардо содержат только повороты и различные виды отражений (зеркальной симметрии).

Существует два вида групп Леонардо. Первый — циклические группы, состоящие из одного поворота на некоторое число градусов, причем 360° делится на это число без остатка. Примером такой группы является С_3, содержащая поворот g на 120°. Элементами этой группы являются:

С_3  = {Id, g, g^2},

где Id — нейтральный элемент.

Группа С_3 с обозначенной фиксированной точкой, которая является центром вращения.

Ко второму типу относятся так называемые диэдрические группы, образованные поворотом и симметрией, ось которой проходит через центр вращения. Такие группы обозначаются Dn.

Слева — фигура, инвариантная для D_3. Справа обозначены оси симметрии и повороты.

Например, D_3 состоит из поворота g на 120° и симметрии s. Элементами этой группы являются:

D_3 = {Id, g, g2, s, s°g, s°g^2}.

Результат применения к исходной фигуре F движений Id, g и g^2.

Результат применения к исходной фигуре F движений s, g°s и g^2°s.

Группа D_1 образована единственной симметрией.

* * *

Фриз церкви Санта-Мария-Новелла с 15 розами. Каждая имеет различную форму и вписана в квадрат.

(источник: АМА)

Совокупность архитектурных элементов вписана в квадрат, который, в свою очередь, делится на четыре квадрата осью симметрии и верхней границей фриза. Аттик, возведенный над фризом, вписан в квадрат, в четыре раза меньший большого квадрата. Чтобы дополнить композицию и компенсировать разницу высот центрального и боковых нефов, архитектор использовал две треугольные волюты со скругленными краями, в которые вписаны две окружности. Аттик завершается фронтоном, в который вписана окружность с изображением солнца — герб этого района Флоренции. Диаметр центрального отверстия, если считать вместе с окаймлением, в два раза больше диаметра трех окружностей — верхней, расположенной на фронтоне, и двух боковых. В композиции, как можно увидеть невооруженным глазом, доминируют квадраты. Также можно заметить, что несколько раз используется золотое сечение, правда, с меньшей точностью, а также другие соотношения. Например, ширина и высота центрального портала относятся как 2:3.

Некоторые примеры использования золотого сечения.

(источник: FMC)

Использование подобных соотношений (не только золотого сечения) делает проект модульным, что упрощает его реализацию, а также имеет чисто эстетическую функцию, делая гармоничным сочетание различных частей единого целого.

Квадрат, в который вписана волюта, равен 1/16 большого квадрата. Соотношение сторон дверей церкви равно 2:3.

(источник: FMC)

Результат впечатляет: двухцветное здание становится сбалансированным, ритмичным и гармоничным. Заострим внимание на центральном фризе. В нем выделяются 15 квадратов зеленого мрамора, в каждый из которых вписана роза. Если смотреть на здание невооруженным глазом, розы практически незаметны. Сделав снимок телеобъективом, мы сможем восстановить их и подробнее рассмотреть их форму. Они изготовлены из мрамора трех цветов: зеленого, белого и розового.

Рассмотрим, какие группы соответствуют каждой розе фриза. Для этого пронумеруем розы слева направо.

Первой и второй розе соответствует группа D_5, образованная поворотом на 72° и симметрией относительно вертикальной оси.

Первая и вторая роза центрального фриза церкви Санта-Мария-Новелла.

Внешней части третьей розы соответствует группа D_16, центральной части — D_8, но так как внутренняя часть розы содержит четырехугольник, в сумме этой розе соответствует D_4. Привлекает внимание тот факт, что ось симметрии повернута относительно вертикали на 11,5° (следовательно, остальные будут повернуты на 56,5°, 101,5° и 146,5°).

Третья роза.

Четвертой розе соответствует D_8, но так как внутри кольца расположена шестиконечная звезда, то искомой группой будет D_2.

Четвертая роза.

Пятой розе, равно как шестой и седьмой, вновь соответствует D_4.

Пятая роза.

Шестая роза.

Седьмая роза.

Восьмой розе, занимающей центральное положение, очевидно соответствует D_6, на что указывает центральная шестиконечная звезда.

Восьмая роза.

Девятой розе вновь соответствует D_4.

Девятая роза.

Десятая роза — одна из самых интересных. Симметрия центральных элементов, ставящая этой розе в соответствие D_8, нарушается обрамляющими ее тюльпанами. Поэтому эта роза не имеет осей симметрии и ей соответствует C_8.

Десятая роза.

Одиннадцатой розе очевидно соответствует D_6, следующей — D_8.

Одиннадцатая роза.

Двенадцатая роза.

Тринадцатой розе, если не учитывать ее центральное кольцо, соответствует D_8. Однако если мы рассмотрим ее подробнее, то увидим, что внутри этого кольца изображена пятиконечная звезда. Так как числа 5 и 8 являются взаимно простыми, эта роза обладает исключительно центральной симметрией. Следовательно, ей соответствует D_1.

Тринадцатая роза.

Четырнадцатой розе вновь соответствует D_4  — эта группа встречается среди всех пятнадцати роз чаще остальных.

Четырнадцатая роза.

Наконец, в пятнадцатой розе используются различные пятиугольники, однако в ее центре расположен треугольник, поэтому ей вновь будет соответствовать D_1 так как для этой розы характерна единственная симметрия.

Пятнадцатая роза.

В итоге, за исключением десятой розы, которой соответствует циклическая группа С_8, всем остальным соответствуют диэдрические группы: двум розам — D_1 одной — D_2, шести — D_4, двум — D_5, еще двум — D_6, одной — D_8.

Флоренция — город, полный искусства и математики. Неудивительно, что она является одним из самым популярных мест отдыха туристов. Если вы планируете побывать в этом городе на реке Арно, мы советуем не ограничиваться посещением знаменитого моста Понте Веккьо и Пьяццале Микеланджело, с которой виден весь город, и совершить «математическую» прогулку. Зайдите на немноголюдную площадь перед церковью Санта-Мария-Новелла и не спеша полюбуйтесь ее изумительным фасадом.

Библиография

ALBERTI, L.B.,On Painting, New Haven and London: Yale University Press, 1966.

DURERO, A., De la Medida, Madrid, Akal Ediciones, 2000.

FIELD, J.V., The Invention of Infinity. Mathematics and Art in the Renaissance, Oxford, Oxford University Press, 1997.

FRANCESCA, P. D., De prospectiva pingindi, Florencia, Casa Editrice Le Lettere, 2005.

MAETZKE, A.M., Piero della Francesca, Milán, Silvana Editoriale, 1998.

MANETTI, A., Vita di Filippo Brunelleschi, Roma, Salerno Editrice, 1992.

MARTfN CASALDERREY, F., Cardano у Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento italiano, Madrid, Nivola, 2000.

—: Cardano у Tartaglia. La aventura de la ecuación cúbica, Madrid, Nivola, 2009.

—: «Arte con ojos matematicos. Ha vuelto para mirarnos», Valencia, Suma, 57, págs. 85–88, 2008.

—: «Е1 Greco en otra dimensión», Valencia, Suma, 59, pags. 67–72, 2008.

—: «Un Zurbarán anamórfico», Valencia, Suma, 58, págs. 81–86, 2008.

—: «Piero della Francesca у el engano de los ojos. I El espacio», Valencia, Sumat 61, págs. 63–70, 2009.

—: «Piero della Francesca у el engano de los ojos. II La luz»,Valencia, Sumat 62, págs. 63–68, 2009.

—: «Velázquez у el retrato del espacio», Valencia, Suma, 60, págs. 73–78, 2009.

—: «Masaccio у la perspectiva matemática», Valencia, Suma, 63, págs. 83–88, 2010.

—: «Santa Maria Novella. Armonia bicolor»,Valencia, Sumaf 64, 2010.

PANOFSKY, E., La perspectiva сото forma simbolica, Barcelona, Tusquets Editores, 1999.

POGGETTO, P.D., Piero e Urbino, Piero e le Corti rinascimentali, Venecia, Marsilio Editori, 1992.

STIERLIN, H. El Imperio Romano. Desde los etruscos a la caida del Imperio Romano. Singapur, Taschen, 2002.

TOMAN, R., El arte del Renacimiento en Italia. Arquitectura. Escultura. Pintura. Dibujo, Colonia, Konemann, 1999.

VASARI, G., Las vidas de los más excelentes arquitectos, pintores у escultores italianos desde Dimabue a nuestros tiempos, Madrid, Cátedra, 2002.

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 16

Франсиско Мартин Касальдеррей

Обман чувств. Наука о перспективе

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия

Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей по данному адресу не принимаются.

Генеральный директор: Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Выпускающий редактор: Людмила Виноградова

Финансовый директор: Наталия Василенко

Коммерческий директор: Александр Якутов

Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук

Менеджер по продукту: Яна Чухиль

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:

8-800-200-02-01

Телефон горячей линии для читателей Москвы:

8-495-660-02-02

Адрес для писем читателей: Россия, 105066, г. Москва, а/я 13, «Де Агостини», «Мир математики»

Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).

Распространение:

ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»

УКРАИНА

Издатель и учредитель:

ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина

Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119

Генеральный директор: Екатерина Клименко

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:

0-800-500-8-40

Адрес для писем читателей:

Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Мир математики»

Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»

БЕЛАРУСЬ

Импортер и дистрибьютор в РБ:

ООО «Росчерк», 220037, г. Минск, ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,

тел./факс: (+375 17) 331-94-41

Телефон «горячей линии» в РБ:

+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)

Адрес для писем читателей:

Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Мир математики»

КАЗАХСТАН

Распространение:

ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»

Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:

Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2

35010 Trebaseleghe (PD) Italy

Подписано в печать: 25.12.2013

Дата поступления в продажу на территории

России: 06.05.2014

Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».

Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5,5.

Усл. печ. л. 7,128.

Тираж: 200 000 экз.

© Francisco Martin Casalderrey, 2010 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2011

© ООО «Де Агостини», 2014

ISBN 978-5-9774-0682-6

ISBN 978-5-9774-0711-3 (т. 16)

Content

Франсиско Мартин Касальдеррей
«Мир математики»
№ 16
«Обман чувств.
Наука о перспективе»

Предисловие

Глава 1 Изобретение перспективы

Глава 2 Математики-художники и художники-математики

Глава 3 Время, пространство и свет

Глава 4 Эль Греко, Сурбаран и Веласкес: взгляд с точки зрения математики

Глава 5 Архитектура и геометрия

Библиография