Альберт Виолант-и-Хольц

«Мир математики»

№ 9

«Загадка Ферма.

Трехвековой вызов математике»

Одно из величайших удовольствий в математике — делиться ею с другими, и неважно, кто вы: преподаватель, писатель или же просто рассказываете о математике в кругу друзей… С давних пор мои любимые слушатели — это моя семья. Именно ей я обязан многими и многими часами счастья. Я благодарен моим родителям Эухенио и Урсуле, моим братьям и сестрам Деборе, Даниэлю, Иоланде, Алехандро, Соне, Патрисии, Веронике, Клаудии, Кристине, Сильвии и Эухении, моей жене Марии Изабель и моим детям Лауре Элизабет и Эулалии Элисенде.

Эту книгу я посвящаю

Хоакиму Наварро и Монтсеррат Марсет — моим источникам вдохновения.

Гризельде Паскуаль и Пилар Байер — моим источникам знаний.

Моей семье — моему источнику жизни.

Предисловие

Когда мы объясняем кому-то теорему Ферма, то в ответ обычно слышим: «Ничего особенного». Формулировка этой теоремы столь проста, что сложно удержаться от искушения взять лист бумаги и проверить несколько чисел, позабыв на мгновение, что речь идет об одной из сложнейших математических задач всех времен. Одним из многих наивных, кто попался в эту ловушку, был британец Эндрю Уайлс. Ему не было и десяти лет, когда он увлекся этой теоремой и той историей, что ее окружает. Молодой человек бесстрашно приступил к доказательству теоремы, зная лишь немногим больше курса математики начальной школы, и, разумеется, ему пришлось отступить. Но, в отличие от многих, Уайлс, который впоследствии стал выдающимся математиком, упорно пытался снова и снова доказать теорему, посвятив ей всю свою жизнь. История этого гениального математика, одержимого доказательством единственной грандиозной задачи, — часть прекрасного и многогранного полотна, на котором изображена история теоремы Ферма. Рассказом об Эндрю Уайлсе начинается и заканчивается эта книга.

В первой главе мы перенесемся в 1993 год, когда Уайлс удивил весь мир, объявив, что ему удалось доказать знаменитую теорему. Самая известная и самая трудная математическая задача всех времен в конце концов была решена, и это удивительное достижение попало на первые полосы всех мировых газет. Увы, спустя некоторое время эксперты обнаружили ошибки в доказательстве. Однако казалось, что эти ошибки можно быстро исправить. Шли месяцы, а Уайлс, к которому было приковано внимание всего математического мира, по-прежнему хранил молчание.

Быть может, это был всего лишь заманчивый мираж? Неужели знаменитая теорема снова, как и на протяжении последних трех столетий, оказалась неприступной?

Во второй главе мы ненадолго оставим Уайлса, вернемся больше чем на 3000 лет назад и расскажем о математике в Древней Индии и Шумерии. Последняя теорема Ферма тесно связана со знаменитой ключевой теоремой геометрии — теоремой Пифагора. Ее открытие обычно приписывают греческому математику Пифагору, но в действительности она была известна в Азии и на Ближнем Востоке за много веков до него.

Третья глава — краткая биография нашего главного героя, Пьера де Ферма. Он был адвокатом по профессии и математиком по призванию. В его время научных журналов не существовало, открытия совершались одиночками, и о них становилось известно из переписки, например, таких выдающихся ученых, как сам Ферма, Блез Паскаль, Рене Декарт и братья Бернулли. Обрисовав столь увлекательную картину, в четвертой главе мы поговорим о том, как «Арифметика» Диофанта навела Ферма на мысль о его великой теореме, а также о попытках доказать ее на протяжении трех последующих веков, пока Уайлс не предложил окончательное доказательство. Наша история изобилует известными именами: мы упомянем Гаусса, «принца математиков»; Софи Жермен — женщину, которая выдавала себя за мужчину; мы расскажем о Леонарде Эйлере и Эваристе Галуа, об Эрнсте Куммере, о японских математиках Ютаке Танияме и Горо Симуре.

В пятой и последней главе подробно рассказывается о сольном восхождении Уайлса на этот математический Эверест, которое стало кульминацией тысячелетней истории математики.

Без знаний математики невозможно получить от нее истинное удовольствие. Только приложив умственные и волевые усилия, можно в полной мере осознать всю ее красоту. И тогда пейзаж, который открывается перед нами, сравним с красивейшей сонатой, с торжеством природы, с высшим из наслаждений. Мечта автора — чтобы по прочтении этой книги читатель открыл для себя новые уголки математики неземной красоты и в полной мере насладился ими. Понять какие-то темы будет совсем нетрудно, другие — чуть сложнее. Автор ставил перед собой цель изложить материал доступным образом, оставив наиболее затруднительные моменты для дополнительного изучения. Автор ставил задачу рассказать эту историю так, чтобы читатель заново пережил 380 с лишним лет, которые понадобились для окончательного доказательства великой теоремы Ферма.

Глава 1

Луч света в математическом замке

В 1997 году в научно-популярной программе NOVA Эндрю Уайлса спросили, как бы он описал семь лет настойчивых, граничащих с одержимостью поисков, которые завершились доказательством последней теоремы Ферма — самой знаменитой теоремы всех времен. Уайлс ответил:

«Вы входите в большой дом, и вас окружает тьма. Темно. Кромешная тьма. Вы то и дело натыкаетесь на мебель, но постепенно узнаёте, где что стоит. Наконец месяцев через шесть или около того вы нащупываете выключатель, и внезапно становится светло. Вы отчетливо видите, где вы. Затем вы переходите в следующую комнату и проводите там шесть месяцев во мраке»[1].

Этот «мрак», о котором говорит британский математик, не смогли преодолеть множество математиков в течение трех с половиной столетий. Теорема, сформулированная в 1630-е годы (точное время неизвестно) французом Пьером де Ферма (1601–1663), звучит так:

«Для любого натурального числа n > 2 уравнение

хn + уn = zn

не имеет натуральных решений х, у и z».

Об этой теореме стало широко известно лишь тогда, когда сын Ферма, Саму эль, обнаружил ее на полях латинского издания «Арифметики» Диофанта. Это не столь удивительно, как может показаться, потому что Ферма посвящал большую часть времени профессиональной деятельности — адвокатуре и занимался наукой лишь в часы отдыха.

Помимо формулировки самой теоремы (которая несколько отличается от упомянутой выше), рядом приводилась фраза, которая стала одной из самых известных в истории математики: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Многие хотели бы оказаться рядом с Ферма, чтобы предложить ему в тот момент чистый лист бумаги! Несмотря на все усилия Самуэля Ферма, ему не удалось найти в рукописях отца ничего, что как-то касалось бы предполагаемого доказательства, и потомкам пришлось довольствоваться лишь доказательством для n = 4, которое опубликовал сам Ферма. «Поистине чудесное доказательство» гениального французского математика оказалось утерянным навсегда.

Страница 85 «Арифметики» Диофанта в переводе Баше де Мезириака. На этой странице описывается задача 8 книги II. Читатель может оценить ширину полей, на которых не поместилось «чудесное доказательство» Ферма.

В этот момент трудно удержаться от избитой фразы: «Порой жизнь оказывается удивительнее фантастики».

Если бы Ферма знал, сколько миллионов часов потратят исследователи, сколько сотен тысяч страниц в научных журналах будет посвящено попыткам найти то самое доказательство! Если бы он знал, что спустя более чем 300 лет его простая теорема все еще будет оставаться недоказанной, самой удивительной и самой комментируемой! И что теорема, для которой «поля книги оказались слишком узки», своей элегантностью привлечет внимание бесчисленного множества математиков, но никому не откроет своей тайны. Такие выдающиеся умы, как Карл Фридрих Гаусс, Леонард Эйлер, Адриен Мари Лежандр, Эрнст Куммер и многие другие, приступали к решению с определенной уверенностью в своих силах, но им удавалось найти доказательства только для частных случаев, n = 3, 5 или 7. Кроме этого, становилось известно все больше случаев этой теоремы, открывались неизмеримые глубины теории чисел, и в первые десятилетия прошлого века казалось, что следует отказаться от всяких попыток и перевести теорему в разряд исторических казусов. Несмотря на всю ее сложность, а может, именно по этой причине великая теорема Ферма вышла за рамки узких разделов математики.

Как бы то ни было, те немногие, кого все еще продолжала волновать многовековая загадка Ферма, продолжали распутывать сложные взаимосвязи, которые, казалось, все множились и множились, и столь желанное доказательство оставалось далеким и неясным. Все они в попытках покорения этого своеобразного математического Эвереста не раз отправляли в корзину исписанные страницы, содержавшие очередную серьезную ошибку.

Все они задавались этим пугающим вопросом: «Может, мы имеем дело с одной из теорем математики, этого „божественного безумия человеческого духа“, как говорил Альфред Уайтхед, которые выходят за рамки человеческого понимания?» Математики Барри Мазур, Кен Рибет, Герхард Фрай и Герд Фалтингс отказывались в это верить. Среди обитателей таинственного замка, хранящего загадку французского адвоката и его утерянное «чудесное доказательство», залы которого скрывала тьма, был Эндрю Уайлс, едва ли известный кому-то, кроме узких специалистов. Человек, чья природная скромность и робость только усилились летом 1986 года, когда он по собственной воле стал затворником. По словам его немногочисленных родственников, сделать это его побудила очень важная задача, о которой, однако же, им было ничего не известно.

Портрет Пьера де Ферма кисти Франсуа де Пуайи на обложке книги «Разные математические сочинения», составленной сыном знаменитого математика в 1679 году.

Понедельник, вторник…

В июне 1993 года на кафедре чистой математики Кембриджского университета, которую возглавлял австралиец Джон Коутс, прошла международная конференция по теории Ивасавы — подразделу теории чисел, в котором изучаются эллиптические кривые. Этот пугающий термин играет важную роль в нашем повествовании. Среди выступавших был бывший студент Коутса, который в свое время работал с ним над доказательством частного случая гипотезы Свиннертон-Дайера. Эта гипотеза широко известна благодаря тому, что в 2000 году Институт Клэя назначил за ее доказательство премию в один миллион долларов. Хотя нашего бывшего студента можно было назвать затворником, он был великолепным математиком и вскоре после получения степени доктора оставил Кембридж и перешел в престижный Принстонский университет в США. Несмотря на тесные отношения, которые неизбежно возникают между учеником и учителем, что особенно справедливо для такого пристанища индивидуалистов и одиночек, как Кембридж, Коутс давно, лет семь назад, потерял этого студента из вида. Казалось, тот словно провалился сквозь землю. На самом деле (Коутсу наверняка это было неизвестно) за семь лет до этого американский математик Кен Рибет доказал так называемую эпсилон-гипотезу, сформулированную французом Жан-Пьером Серром и основанную на гениальной догадке немецкого математика Герхарда Фрая. Рибет доказал, что легендарная последняя теорема Ферма удивительным образом связана с гипотезой Таниямы — Симуры, сформулированной в 1950-е годы, в которой шла речь об определенных свойствах эллиптических кривых.

Коутс был приятно удивлен, что после стольких лет забвения его ученик, о котором мы говорим (а это был не кто иной, как Эндрю Уайлс), принял приглашение на конференцию. Коутс удивился еще больше, когда в ответ на вопрос, сколько времени тому понадобится на выступление, Уайлс, который отличался робостью и нелюбовью к публичным выступлениям, попросил выделить для него целых три часа. Заинтригованный Коутс спросил, какая же тема заслуживает трехчасового выступления, на что Уайлс ответил ему точно так же, как и другим своим коллегам: «Приходите, и вы сами всё увидите».

В названии доклада «Модулярные формы, эллиптические кривые и представления Галуа» перечислялись, несомненно, известные термины, но Уайлс не говорил ничего о том, как они связаны между собой, как будто бы ему был известен какой-то секрет. Подобная сдержанность была достаточно необычной даже в среде профессиональных математиков, в целом отличающихся замкнутостью, которые общались лишь с коллегами, когда им был нужен какой-то совет.

В понедельник Уайлс, вооруженный многочисленными заметками, вошел в конференц-зал. Под удивленными взглядами двух десятков присутствующих этот высокий и худощавый человек, которому едва исполнилось сорок, за пробивающуюся лысину получивший прозвище «яйцеголовый», столь типичное для ученых, во время доклада перечислил результаты своих работ, представлявшие огромный научный интерес. Слухи распространились незамедлительно, и на следующем выступлении, запланированном на вторник, в зале не осталось ни одного пустого места.

Когда он закончил второй доклад и направился к выходу, присутствующие проводили его уважительным молчанием, а затем бросились обсуждать то, что они только что услышали. Было очевидно, что Уайлс не просто хотел перечислить полученные им результаты, хотя они, бесспорно, имели огромную ценность. Его доклады как будто подводили к какому-то выводу. Это было невероятно сложное и любопытным образом выстроенное доказательство… но доказательство чего? Кен Рибет, также присутствовавший в зале, не испытывал никаких сомнений по этому поводу. «Доклад Уайлса имеет кульминацию, единственную финальную цель»[2], — сказал он позднее.

…и среда

23 июня 1993 года проход в зал, где Уайлс должен был прочитать свой третий и последний доклад, оказался забит небольшой толпой. Некоторые из присутствующих принесли с собой фотоаппараты, и им не терпелось сделать множество снимков этого худощавого математика, который излучал какое-то сверхъестественное спокойствие. Когда в зале установилась тишина, Уайлс начал третью часть доклада, который должен был стать одним из важнейших за всю историю математики. Выкладки на доске сменяли друг друга, и напряжение все возрастало. Наконец Уайлс записал последние несколько строк, которые были выражены в терминах современной математики, но означали то же самое, что написал один французский математик на полях книги более трехсот лет назад. «И это доказывает великую теорему Ферма, — сказал Уайлс. — Думаю, мне следует на этом остановиться».

И царство математики, где долгое время царила тьма, озарилось светом, и древний призрак был изгнан из него.

Фотография математика Эндрю Уайлса, сделанная во время конференции 23 июня 1993 года, когда он привел доказательство последней теоремы Ферма.

Математик на первой полосе

О достижении Уайлса с таким энтузиазмом начал говорить весь математический мир, что и неспециалисты не смогли обойти вниманием это событие. Газета «Нью-Иорк Таймс» 24 июня вышла с таким заголовком: «Наконец-то можно крикнуть „Эврика!“ Вековая тайна математики раскрыта»[3], и большинство крупных газет по всему миру уделили этой новости такое же внимание. Об удивительной истории Ферма и его последней теореме были написаны передовицы газет и снято множество телепрограмм. Робкому и застенчивому Уайлсу пришлось привыкнуть к статусу скромной знаменитости. «Семь лет решение этой задачи вызывало во мне удивительные чувства, — вспоминал он в 1997 году. — И наконец мне удалось решить ее». Однако на этом цитата не заканчивается: «И только потом стало известно, что не все было так гладко».

Легкий путь к славе и профессиональному признанию спустя несколько месяцев после триумфального выступления в Кембридже превратился в ночной кошмар. Старый призрак не собирался так легко сдаваться. Но чтобы понять, что именно последовало за восторгами июня 1993 года, и оценить по достоинству путь, проделанный Уайлсом, — этот мучительный путь через пустыню, который он хотел пройти до конца, — нужно взглянуть в самую суть задачи и, насколько это возможно, осознать всю ее широту и сложность. Для этого нужно совершить увлекательное путешествие во времени, своеобразную одиссею от момента зарождения математики за 2000 лет до Рождества Христова и до современной алгебры и теории чисел. По возвращении на Итаку, удовлетворив свое любопытство и утолив жажду приключений, мы поблагодарим Ферма и его великую теорему за пройденный нами путь, на котором мы увидим наивысшее воплощение человеческого интеллекта и любознательности.

Глава 2

Все началось в Шумерии

Кто сказал, что история математики не так уж важна? Именно история математики хранит истоки человеческой мысли, рассказывает, как развивались идеи и где найти ключи к пониманию будущего. Это основное средство изучения математики и к тому же еще одна возможность насладиться ее красотой. История загадки Ферма уходит корнями на много тысяч лет назад, в Шумерию и Древнюю Индию. Ее истоки хранит знаменитая теорема Пифагора, которая гласит, что если х и у — катеты прямоугольного треугольника, a z — его гипотенуза, то х^2 + у^2 = z^2.

Пифагор, несомненно, один из самых знаменитых математиков, а теорема Пифагора — одна из известнейших теорем. Тем удивительнее, что за несколько веков до его рождения эта теорема уже была известна. Настало время переименовать ее, но в честь кого ее следует назвать?

История, которую мы расскажем, начинается в 1800 году до н. э. близ Ларсы — крупного города шумеров, расположенного на юге современного Ирака. Тщательно размяв кусок глины, писец раскатывает его, чтобы получилась табличка. Он собирается написать на ней таблицу чисел, которая сохранится на много тысяч лет.

Табличка Плимптон 322

Примерно в 1922 году нью-йоркский издатель Джордж Артур Плимптон приобрел эту табличку у Эдгара Джеймса Бэнкса, торговца археологическими находками. Табличка находилась в неплохом состоянии, но справа посередине виднелась крупная трещина, а символы в верхнем левом углу было нельзя прочитать. И, что было еще интереснее, все указывало на то, что исходная табличка имела больший размер, поскольку левый край был неправильной формы, как будто обломан. Быть может, табличку повредили при раскопках? До нас дошла глиняная табличка размерами 13 x 9 x 2 см. Согласно Бэнксу, табличка была найдена в городе Сенкере (современное название Ларсы). Позднее исследователи сравнили стиль написания символов на этой и других табличках того времени и подтвердили, что Бэнкс не ошибся. Табличка датируется 1822–1784 годами до н. э. Иными словами, она была написана за несколько лет до захвата Ларсы войсками Хаммурапи в 1762 году до н. э. Плимптон умер в 1936 году и завещал эту табличку вместе со всей своей коллекцией Колумбийскому университету, где она хранится и поныне под номером 322. С тех пор эта табличка известна под названием Плимптон 322.

Табличка Плимптон 322.

Вавилонская шестидесятеричная система счисления

В чем же загадка этой таблички? На ней в четыре столбца нанесены числа, записанные в системе счисления, которая отличается от нашей и имеет основание 60. Считается, что эта система, называемая шестидесятеричной, появилась в культуре шумеров в третьем тысячелетии до нашей эры и позднее была заимствована вавилонянами. Мы используем ее и сейчас при измерении времени, углов и географических координат. Десятичная и шестидесятеричная системы уживаются рядом: час делится на 60 минут, минута — на 60 секунд, но секунды делятся на десятые, сотые и тысячные доли уже в десятичной системе счисления. Несмотря на свое удобство, десятичная система не смогла полностью заменить шестидесятеричную, которую придумали наши предки шумеры. Окружность по-прежнему делится на 360 градусов, как и тысячи лет назад. Звездные часы послужили моделью для наручных часов, и даже современные цифровые часы по-прежнему имитируют движение стрелки по окружности, разделенной на 60 частей. Десятичная система используется уже много лет и даже веков, но сутки по-прежнему делятся на 24 часа.

Почему же шумеры использовали шестидесятеричную систему счисления? Число 60 не перестает удивлять нас своими замечательными свойствами. Одно из самых заметных его свойств — это большое количество делителей. Оно без остатка делится на двенадцать чисел: 1, 2, 3, 4, 3, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Ни одно из чисел, меньших 60, не имеет столько делителей. Это свойство особенно удобно при работе с дробями, так как вычисления заметно упрощаются. В то время не существовало вычислительных машин, и все, что могло упростить вычисления, было как нельзя кстати.

Многие математики считают, что удивительных свойств числа 60 достаточно, чтобы понять, почему же древние шумеры использовали шести десятеричную систему счисления.

Число 60 также тесно связано с простыми числами. Начнем с того, что оно находится между двумя простыми числами-близнецами (59 и 61) и является суммой двух простых чисел-близнецов (29 + 31). Его также можно представить в виде суммы четырех последовательных простых чисел (11 + 13 + 17 + 19).

Возможно, удивительнее всего то, что 60 — наименьшее число, которое можно получить в виде суммы двух простых чисел шестью разными способами. Это показано в таблице ниже.

Уже в IV веке Теон Александрийский предположил, что число 60 было выбрано как основание системы счисления потому, что это наименьшее число, которое делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Развивая эту мысль, математик Дж. Г. ван дер Галиен показал, что если n — целое положительное число, делители которого, меньшие √n, являются последовательными числами, то n либо простое, либо удвоенное простое число, либо одно из чисел 1, 8, 12, 24, 60. Значит, 60 — наибольшее составное число, первые делители которого, не превышающие √n, являются последовательными.

* * *

СВЕРХСОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Натуральные числа, имеющие больше делителей, чем любое предшествующее им натуральное число, называются сверхсоставными. Найти первые сверхсоставные числа очень просто, что показано в таблице. Однако до сих пор не найдена формула, позволяющая найти все подобные числа.

* * *

От десятичной системы мер к шестидесятеричной системе счисления

Однако этот и другие ответы не удовлетворяют некоторых исследователей. Существуют археологические находки, подтверждающие, что около 3500 года до н. э. шумеры использовали десятичную систему мер, и точно неизвестно, как и почему они перешли к шестидесятеричной системе счисления. В связи с этим важно отметить различие между системой счисления и системой мер. Система счисления используется для подсчета, сложения, вычитания и других арифметических действий. Система мер используется для измерения длин, площадей, объемов, углов, весов и даже времени. Хотя обе системы, как правило, совпадают, это не обязательно должно быть именно так. Мы сами используем десятичную систему счисления, которая сосуществует с шестидесятеричной системой измерения времени.

Австрийский исследователь Отто Нойгебауэр в начале XX века предположил, что в культуре шумеров после десятичной системы мер использовалась шестидесятеричная, свидетельств чему не сохранилось. Возможно также, что обе системы использовались одновременно. Нойгебауэр выдвинул версию, что исходная десятичная система мер была заменена системой с основанием 60, чтобы делить меры и веса на три части. Нам достоверно известно, что в системе мер и весов, которую использовали шумеры, в качестве основных дробей использовались 1/3 и 2/3. Однако это не объясняет, почему шестидесятеричная система не использовалась с самого начала.

Объединение народов, смешение систем

Другие исследователи, в частности, Г. Кевич, предполагают, что шумерская цивилизация могла возникнуть после объединения двух народов, один из которых использовал систему счисления по основанию 12, другой — систему по основанию 5. Хотя система счисления по основанию 5 была распространена не так широко, как десятичная, они могут иметь одинаковое происхождение, связанное с подсчетом на пальцах: в пятеричной системе использовались пальцы одной руки, в десятичной — пальцы обеих рук. Следуя этой теории, при слиянии народов система по основанию 60 возникла естественным образом, в ходе торговли.

Однако у этой теории есть два важных недостатка. Несмотря на то что имеются доказательства использования десятичной системы на этой территории, нет никаких археологических находок, которые подтверждали бы использование системы по основанию 5. Чтобы устранить этот недостаток, можно предложить альтернативную теорию. Допустим, что незадолго до 3500 года до н. э. одна народность использовала двенадцатеричную систему мер и объединилась с другой шумерской народностью, которая в то время применяла десятичную систему. Логично предположить, что постепенно была установлена общая система, чтобы упростить расчеты. Идеальной системой была бы та, основание которой было бы наименьшим общим кратным 10 и 12, чтобы можно было легко пересчитывать числа из одной системы в другую. Таким числом является 60.

Однако здесь становится очевиден второй недостаток нашей теории, так как не существует доказательств, что какая-либо народность использовала систему счисления по основанию 12. Дав волю воображению, мы можем предположить, что 12 — число полнолуний в солнечном году, и до сегодняшнего дня многие единицы измерения связаны с числом 12: например, в британской системе мер фут состоял из 12 дюймов, шиллинг был равен 12 пенсам, а 1 фунт — 12 унциям. Более того, в Европе до сих пор продают яйца дюжинами! Двенадцать дюжин составляют так называемый гросс (эта мера счета применялась при счете мелких галантерейных предметов), и это доказывает, что здесь используется система счисления по основанию 12. Кроме того, 12 является сверхсоставным числом. Но для подтверждения наших теорий нужны археологические находки, которые до сих пор не обнаружены.

Астрономические теории и градусы

Год приблизительно равен 360 дням, окружность делится на 360 градусов. Совпадение? Шумеры тщательно наблюдали за небосводом. Каждую ночь они следили за движением звезд на небе и знали, что в году примерно 365 дней. Следовательно, описывая круг вокруг Солнца, за день Земля проходила одну триста шестьдесят пятую часть окружности. Возможно, для упрощения вычислений было решено поделить окружность на 360 градусов. С точки зрения арифметики преимущества были очевидны, но также имелись и очень интересные геометрические свойства. Если вписать окружность в шестиугольник, его сторона будет равна радиусу окружности. Благодаря этому соотношению можно легко нарисовать шестиугольник или разделить окружность на шесть равных частей с помощью циркуля. А 60 равно одной шестой части от 360. Благодаря всем этим совпадениям, безусловно, было легче изображать небесный свод и движение небесных тел, а также описывать их в численном виде. Шумеры, несомненно, были знатоками астрономии.

Другое любопытное совпадение заключается в том, что Солнце проходит за день расстояние, приблизительно равно 720 его диаметрам (видимый диаметр Солнца равен 2 минутам дуги). Так как день у шумеров состоял из 12 часов, то мы опять с легкостью получим 60. Это означает, что шумеры знали способ измерения видимого диаметра Солнца, но опять-таки не обнаружено никаких археологических находок, которые бы это подтверждали. Также существует гипотеза, что каждые 60 лет совмещаются сферы Юпитера и Сатурна. Вне всяких сомнений, у множества астрономических явлений периодичность выражается числом 60, его делителями или кратными ему числами. И это неспроста!

* * *

БАКИБОЛЫ

В геометрии число 60 занимает особое место. В 1985 году Роберт Кёрл-младший, Гарольд Крото и Ричард Смолли открыли бакминстерфуллерены (также известные как бакиболы) диаметром около нанометра. Это открытие было удостоено Нобелевской премии по химии 1996 года. Эти молекулы состоят из 60 атомов углерода (С^ в химической нотации), которые расположены симметрично и образуют пяти- и шестиугольники. У бакминстерфуллеренов есть замечательные свойства, в частности, сверхпроводимость. Бакиболы обладают сверхпроводимостью при наивысшей температуре среди всех органических соединений и применяются в нанотрубках. Они получили свое имя за схожесть с сооружениями американского архитектора Ричарда Бакминстера Фуллера. Открытие этого соединения взволновало научное сообщество, так как вместе с графитом и алмазом это третья известная форма чистого углерода.

* * *

Способы счета

Исследователи Джон О’Коннор и Эдмунд Фредерик Робертсон считали, что происхождение шестидесятеричной системы должно быть связано со способом счета, который применяли шумеры. Они предположили, что, подобно тому как пальцы рук могут использоваться при счете в десятичной системе, а пальцы рук и ног — при счете в двадцатеричной системе, должен был быть некий способ счета на пальцах, который положил начало шестидесятеричной системе счисления. Если указывать большим пальцем правой руки на каждую из трех фаланг других пальцев правой руки, можно легко сосчитать до 12. Для больших чисел нужно поднимать палец левой, свободной, руки после каждого обхода фаланг правой руки и так досчитать до 60 (12·5 = 60). Такой способ счета также объясняет, почему для подсчета часов использовалось число 12.

Язык и письменность

Американец Мартин А. Пауэлл-младший предложил новую теорию. Он считал, что шестидесятеричная система счисления возникла как результат взаимодействия языка и письменности. Его гипотеза основана на том, что в основном диалекте шумерского языка часто используются формы слова «двадцать», а в другом диалекте — формы слова «три». Шестидесятеричная система счисления сформировалась при объединении двух диалектов. В пользу этой теории мог бы послужить тот факт, что слово «шестьдесят» («нис») на языке шумеров звучало наподобие «три раза по 20», но это не так. Истинное происхождение этого слова в шумерском языке неизвестно.

Уже несколько веков исследователи пытаются найти истоки шестидесятеричной системы шумеров, но в конечном итоге ни одна из теорий не находит подтверждения в археологических находках. Возможно, будущие открытия помогут нам приподнять завесу тайны над этой загадкой.

Два символа для подсчета всего на свете

Можно было бы предположить, что в вавилонской шестидесятеричной системе счисления использовалось 60 различных символов, подобно тому как в нашей десятичной системе используются 10 разных цифр. Однако это не так. Для записи любого числа вавилоняне использовали всего два символа. В их системе счисления гениально сочетались позиционная и аддитивная системы.

Система счисления называется позиционной, когда значение каждой цифры зависит от места, где она расположена. Например, используемая нами десятичная система является позиционной, так как цифра 2, расположенная на первом месте, считая справа, обозначает две единицы, но если поместить эту цифру на второе место справа, то она будет обозначать уже два десятка.

Система счисления называется аддитивной, когда значение каждого символа не зависит от места, которое он занимает в записи числа. Значение числа получается путем сложения значений отдельных символов.

Аддитивная система счисления

Счет от 1 до 9 в вавилонской системе был очень прост: вавилоняне рисовали одну палочку, две палочки и так далее. Здесь их система имеет признаки аддитивной. Хотя обычно палочки рисовались на определенных местах, все они имели одинаковое значение. Каждая палочка означала единицу. Так как цифры записывались палочками на глиняных табличках, то вертикальные палочки имели клиновидную форму. Они соединялись между собой и располагались симметрично, как показано на рисунке.

Для числа 10 вавилоняне использовали другой символ: повернутый раскрытый клин. Таким образом десятки и единицы накапливались до 59. Следовательно, система по-прежнему обладала свойствами аддитивности: одни символы всегда означали 1, другие — 10.

Знаки вавилонской шестидесятеричной системы счисления.

Позиционная система счисления

Начиная с числа 60 вавилонская система является позиционной. Чтобы представить число 60, во втором разряде, считая справа, рисовали палочку. Поэтому вавилонская система счисления и называется шестидесятеричной: палочка во втором разряде означает 60. Таким способом можно легко сосчитать до 3 600. Например, 72 записывается так: . Считая справа, два вертикальных клина означают 1, горизонтальный — 10, другой вертикальный клинышек — 60. Получим 60 + 10 + 2 = 72.

Трудности начинаются, когда мы хотим записать число 62: на первом месте записываются две вертикальные палочки, на втором месте — еще один вертикальный клин. Нужно записать палочки очень аккуратно, чтобы не перепутать 62 () и 3 (). Более того, если мы нарисуем всего одну палочку, как определить, что она означает: 1 или 60? Иногда это невозможно. В то время не существовало нуля, поэтому при чтении такой клинописи легко ошибиться. Но если числа записаны не в тексте, а в виде таблицы, то намного проще определить, какое место занимает каждый символ. Но и в этом случае нужно быть внимательным и предполагать, что писец не совершал ошибок.

Рассмотрим на примере, как можно перевести из шестидесятеричной системы в десятичную следующее число:

Сначала прочитаем шестидесятеричное число и запишем его в десятичной нотации по разрядам. Получим 20–11-1-23.

Затем вычислим десятичное значение этого числа. Справа записаны 23 единицы, 1 во втором разряде означает 60, 11 в третьем разряде нужно взять шестьдесят раз по шестьдесят (иными словами, умножить на 60^2) и, наконец, 20 в четвертом разряде нужно умножить на шестьдесят, умноженное на шестьдесят, умноженное на шестьдесят (то есть на 60^3). Так мы получим десятичное число:

20·60^3  + 11·60^2 + 1·60 + 23 = 4 359 683.

Десятичные числа

Подобно тому как в шестидесятеричной системе не использовался нуль, в ней также не существовало и десятичной запятой (разделителя). Поэтому понять, где должна находиться запятая, можно было только из контекста. В качестве примера переведем шестидесятеричное число  в десятичную систему, предполагая, что исходное число меньше единицы. Сначала, как и в первом примере, прочитаем шестидесятеричное число и запишем его в десятичной нотации по разрядам. Мы получим 10—2—11 (обратите внимание, что в исходном числе 10 и 2 разделены между собой).

Затем вычислим десятичное значение этого числа. В левом разряде находится 10, равное десяти шестидесятым частям единицы (то есть 10/60). 2 в следующем разряде означает одну шестидесятую от шестидесятой части единицы (то есть 2/60^2).

Ив третьем разряде нужно умножить на одну шестидесятую одной шестидесятой от одной шестидесятой части единицы (то есть 11/603). Получим десятичное число:

10/60 + 2/60^2 + 11/60^3 = 0,167273…

Перевод таблички Плимптон 322 в десятичную систему счисления

Исследователи шли тем же путем, когда пытались разгадать значение чисел на табличке Плимптон 322. Сначала они пронумеровали столбцы и тщательно перевели все цифры в арабскую нотацию.

Таблица чисел с исходной таблички в системе по основанию 60, записанных в арабской нотации.

Для всех табличек в этой главе курсивом (в левом верхнем углу) выделены трудночитаемые числа, жирным шрифтом — предположительно ошибочные значения. Ниже приведены эти же числа, переведенные в десятичную систему по методу, описанному выше.

Числа с таблички, переведенные в десятичную систему.

По-видимому, эти числа не имеют особого смысла. Это может быть просто набор цифр. Заметим, однако, что в четвертом столбце, то есть в первом столбце справа, содержатся последовательные числа от 1 до 15, как будто бы что-то было пронумеровано. С другой стороны, можно сказать, что в первом столбце содержится последовательность шестидесятеричных чисел от 0 до 1, строго упорядоченных по убыванию. Некоторые из них более сложные и содержат больше цифр, например, число в десятой строке. Другие намного проще, как, например, число в 11-й строке. Но все же кажется невероятным, что между этими числами существует какая-то связь.

И здесь нужно обратить внимание на второй и третий столбцы, так как числа в третьем столбце всегда больше чисел из второго, и при делении мы также получим строго упорядоченную по убыванию последовательность чисел между 0 и 1. Таким образом, мы можем добавить в таблицу столбец V. Значения в нем будут рассчитываться по следующей формуле:

столбец V = столбец II / столбец III.

Кроме того, можно легко показать, что если возвести каждое число во втором и третьем столбце в квадрат и вычесть одно из другого, то результат всегда будет квадратом целого числа. Таким образом, мы можем добавить в таблицу столбец VI. Значения в нем будут рассчитываться по следующей формуле:

столбец VI = √(столбец III^2 — столбец II^2).

Объединив все полученные числа в одну таблицу, мы сможем исправить некоторые ошибки в исходных числах. Например, все указывает на то, что во второй строке есть ошибка, так как число в столбце V не вписывается в убывающую последовательность чисел, а в столбце VI не получается целое число. Единственный способ исправить эти ошибки — записать в третьем столбце 4825 вместо 11 521.

Теперь числа согласуются между собой.

Расширенная таблица с исправленными ошибками (исправленные значения отмечены звездочками).

Но еще удивительнее значения чисел в первом столбце. Потребовалось немало воображения, чтобы догадаться, что при делении чисел из второго столбца на числа из шестого и возведении результата в квадрат получаются числа из первого столбца с точностью до последнего десятичного знака. Поразительно! Теперь мы можем исправить все ошибки в исходных числах.

Но откуда взялись все эти числа? Очевидно, что они записаны на табличке не случайно. В течение десятилетий исследователи предлагали различные объяснения. В первом приближении может показаться, что здесь перечислены пифагоровы тройки (в столбцах II, III и VI), то есть целые числа, удовлетворяющие соотношению из теоремы Пифагора. Числа в столбце II соответствуют длинам меньших катетов, числа в столбце III — длинам гипотенуз, числа в столбце VI — длинам больших катетов. Это подтверждает и надпись на аккадском языке над столбцами II и III. Возможно, столбец VI был записан на утерянной части таблички.

Но кому понадобилось выбрать столь сложные пифагоровы тройки? Существует множество значительно более простых троек, например, (3, 4, 5), (6, 8, 10) или (3, 12, 13). Все они соответствуют сторонам прямоугольных треугольников, но не приводятся в таблице. Хотя эта табличка могла быть не единственной, было бы логично предположить, что среди первых пятнадцати строк появятся некоторые из простейших пифагоровых троек.

Гипотеза Отто Нойгебауэра

Все это заставило математика Отто Нойгебауэра предположить, что числа в столбцах II и III на самом деле являются результатами вычислений над более простыми числами. Примерно в 1931 году Нойгебауэр предположил, что создателю таблички были известны формулы для определения пифагоровых троек на основе этих чисел. Для этого он выбрал два натуральных взаимно простых числа р и q, p > q. Затем он рассчитал следующие значения:

а = р^2 — q^2 (столбец II),

b = 2pq (столбец VI),

с = р^2 + q^2 (столбец III).

Нетрудно видеть, что

а^2 + Ь^2 = (р^2 — q^2)2 + (2pq)2 = р^4 — 2p^2q^2 + q^4 + 4р^2q^2 = р^4 + 2p^2q^2 + р^4 = (р^2 + q^2)2 = с^2.

Следовательно, эти три числа образуют пифагорову тройку.

Руководствуясь этой гипотезой, Нойгебауэр начал дополнять табличку новыми столбцами, которые предположительно находились в левой, утерянной ее части.

Выбор значений p и q согласно гипотезе Отто Нойгебауэра (исправленные значения отмечены звездочками).

Казалось бы, все сходится. Кроме одиннадцатой строчки! Почему все числа в таблице не могут подчиняться общей закономерности? Почему закономерность нарушена именно в этой строке? Потому что она обладает крайне любопытным свойством. Числа, образующие пифагорову тройку (45, 60, 75) имеют общие делители: все они делятся на 15. Выполнив деление, получим тройку (3, 4, 5), которой соответствуют значения р = 2, q = 1.

Но это не помогло найти разгадку. Множество вопросов оставалось без ответа. Почему были выбраны именно эти значения р и q, а не какие-то другие? И что означают числа из первого столбца?

Объяснение Роберта Крейтона Бака

Математик Роберт Крейтон Бак в 1980 году объяснил значения чисел на основе тригонометрии. Для этого он изобразил все прямоугольные треугольники, описанные в табличке: за длины меньших катетов он принял числа из столбца II, за длины больших катетов — числа из предполагаемого столбца VI, за длины гипотенуз — числа из столбца III. Затем он вычислил угол между большим катетом и гипотенузой и заметил удивительный факт: в первом треугольнике длина катетов была почти одинаковой, поэтому угол между большим катетом и гипотенузой был чуть меньше 45°. Затем углы строго уменьшались с каждым шагом приблизительно на один градус.

В столбцах II, III и VI записаны длины сторон прямоугольных треугольников, в столбце I — результат вышеприведенной операции.

Величины углов в пятнадцати прямоугольных треугольниках, длины сторон которых записаны в столбцах II, III и VI.

С учетом всего этого Бак осмелился предположить, что в столбце I находятся квадраты тангенсов полученных углов. Следовательно, табличка Плимптон 322 доказывает, что тригонометрические функции были известны уже тогда. Однако эту гипотезу сложно подтвердить, так как нам неизвестны другие документы той эпохи, где для решения задач использовались бы тригонометрические функции. Часто совсем непросто определить уровень знаний разных культур на основе известных нам источников! Одни исследователи всегда будут склонны к преувеличению, другие — к преуменьшению.

Однако существование табличек — неоспоримый факт. Все значения р и q разлагаются на произведения простых делителей: 2, 3 и 5. Следовательно, значения, обратные р и q, при записи в шестидесятеричной системе счисления всегда будут иметь конечное число знаков. Может, по этой причине составитель таблички выбрал именно эти р и q, а не какие-то другие?

Интерпретация Элеанор Робсон

В феврале 2002 года Элеанор Робсон из Великобритании удивила научное сообщество, представив новую интерпретацию таблички. Быть может, вовсе не столь очевидно, что на табличке Плимптон 322 записаны пифагоровы тройки. Согласно Элеанор Робсон, автором таблички мог быть учитель математики, который использовал ее как справочник при решении определенных уравнений второй степени. Свою гипотезу она подкрепила содержанием другой таблички, YBC 6967, созданной примерно в то же время.

В ней подробно описывается способ решения уравнений вида х — 1/x = с. Он состоит в подсчете последовательности промежуточных значений, которые помогают найти решение:

a_1 = с/2, а_2 = а_1^2,а_3 = 1 + а_2,а_4 = а_31/2.

Зная эти числа, мы легко вычислим

x = а_4 + a_1,1/x = a_4 — a_1

Согласно Робсон, в табличке Плимптон 322 использовалась та же схема: а_3 записаны в первом столбце, a_1 = (х — 1/х)/2 во втором, а_4 = (х + 1/х)/2 — в третьем. По этой гипотезе значения х и 1/х могли находиться на утерянной части таблички.

Таким образом, на табличке было записано 15 упражнений, которые учитель давал ученикам. Табличка содержала все промежуточные значения, чтобы не нужно было каждый раз повторять вычисления. Это настоящий учебник, очень похожий на современные.

Теорема Пифагора в Шумерии

Однако исследования Робсон возвращают нас к исходному вопросу. Если табличка Плимптон 322 не является убедительным доказательством того, что теорема Пифагора была известна уже шумерам, то когда же эта теорема впервые упоминается в исторических источниках? В любом случае нужно подождать, пока не будут найдены новые таблички, которые помогут частично ответить на вопросы. Но также достоверно известно, что теорема Пифагора в том или ином виде упоминалась в обширной истории Месопотамии, и этому существуют документальные подтверждения.

К вавилонскому периоду относится задача, которая не оставляет относительно этого никаких сомнений. В задаче говорится: «Стебель тростника имеет длину 0,30. Сверху опущено 0,06, каково расстояние до низа?» В десятичной системе длина тростника равна 0,5, а расстояние от верха стены до конца стебля равно 0,1. Изобразим условие задачи на рисунке. Заметим, что стебель тростника, стена и пол образуют прямоугольный треугольник. Стебель длиной 0,5 — это гипотенуза АС, стена АВ и пол ВС — два катета.

Прямоугольный треугольник из шумерской задачи о тростнике.

Далее в этом же документе приводится решение. Арабскими цифрами оно записывается так:

Возведи в квадрат 0,5, получишь 0,25.

Вычти 0,1 из 0,5, получишь 0,4.

Возведи в квадрат 0,4, получишь 0,16.

Вычти 0,16 из 0,25, получишь 0,09.

Квадрат какого числа равен 0,09?

0,3.

Нижний конец стебля отстоит от стены на 0,3.

Если говорить вкратце, то для нахождения катета длина гипотенузы и длина катета возводятся в квадрат, после чего находится квадратный корень из разности этих квадратов. Именно так формулируется теорема Пифагора.

Нет никаких сомнений, что автору был известен метод решения этой задачи в общем виде, вне зависимости от длины стебля и расстояния, на которое он отстоит от стены. Кроме этого, автор верно подобрал числа, чтобы задачу было легко решить в шестидесятеричной системе счисления, так как все числа в задаче можно представить как произведение 2, 3 и 5 в различных степенях.

И чтобы окончательно развеять сомнения, добавим, что в источниках вавилонского периода многократно встречается задача о вычислении квадратного корня. Документально подтверждено, что вавилоняне умели вычислять квадратный корень из 2 с удивительной точностью.

Все это доказывает, что в культуре Месопотамии было известно, сколь важную роль играло вычисление квадратных корней в решении задач. Помимо прочего, им также было известно, что некоторые квадратные корни имеют точные значения, а другие имеют бесконечное множество знаков, и их значение можно вычислить только приближенно. Вавилонские математики терпеливо вычисляли значения этих корней со все большей точностью.

Существование письменных источников показывает, как важно передать полученные знания потомкам, чтобы новые поколения мудрецов смогли уточнить, пересмотреть и дополнить полученные ранее результаты. Подобно тому как астрономы оставляли свидетельства о своих наблюдениях, математики увековечивали свои открытия. Но сделать это было непросто. Для этого требовался богатый язык, объединявший числа, формы, рассуждения, вычисления и так далее, чтобы передавать знания из поколения в поколение.

Слово — индийской математике

Индийский математик Джордж Гевергезе Джозеф в своей книге «Павлиний хохолок» блестяще рассказывает о том, какой вклад внесли индийские математики в развитие этой науки, сыграв главную роль в открытии теоремы Пифагора. Долина Инда была плодородной во многих смыслах. Ее земли давали обильный урожай, и уже в 3000 году до н. э. появилось множество поселений, из которые постепенно формировались города. Мохенджо-Даро, Хараппа, Таксила и Лахор — следы пышных цивилизаций, которые процветали в этом регионе. Скотоводство и выращивание пшеницы, ячменя, хлопка и кунжута обеспечивало жителей этих поселений всем необходимым для жизни. Уже тогда они понимали, что нужно разделять земли и грамотно распоряжаться урожаем, делая запасы в периоды изобилия, чтобы справиться с будущими неурожаями и прокормить растущее население. Черчение, измерение, счет, взвешивание — основные геометрические и арифметические задачи были прекрасно известны жителям долины.

Культура Хараппа

К сожалению, хараппскую письменность не удалось расшифровать, поэтому мы можем полагаться лишь на археологические находки. Благодаря им известно, что в Хараппской цивилизации существовала система мер и весов. Были найдены грузила одинаковой формы и веса, которые не менялись на протяжении более пятисот лет.

Раскопки в Лотхале позволили определить эталонные веса, которые использовались в системе измерений, сочетавшей в себе пятеричную и десятичную системы. Взяв за основу гирю весом примерно 27,384 грамма и обозначив ее вес за единицу, исследователи определили, что использовались веса, равные 0,1; 0,2; 0,3; 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100; 200 и 500 единиц. Также были найдены различные инструменты для измерения длины. Единица длины равнялась примерно 33,5 миллиметра.

Здания были построены по единым нормам и обладали структурным совершенством. В культуре Хараппа также была высоко развита геометрия. В этой местности недоставало камня, поэтому использовалась обожженная глина. В печах изготовлялись многие тысячи кирпичей. Кирпич в отличие от глины, высушенной на солнце, не разрушался во время дождей и во время разлива рек, благодаря которым земля в той местности была столь плодородной. Здания из этих кирпичей устояли под натиском времени. Качество кирпичей было так высоко, что в XIX веке инженер Уильям Брайтон использовал кирпичи, найденные на раскопках в руинах Хараппы, вместо щебня при постройке железной дороги длиной в 150 километров, соединившей Мултан и Лахор. Хотя были обнаружены кирпичи пятнадцати разных размеров, для всех соблюдалось соотношение сторон 4:2:1, которое считается оптимальным даже в наши дни. Арифметика и геометрия, числа и формы составляли часть Хараппской культуры, искусства, науки и техники.

Ведическая культура

Около 1500 года до н. э. кочевники с севера завоевали Хараппскую цивилизацию, ассимилировав некоторые ее обычаи. Этот народ, арии, говорил на индоевропейском языке — санскрите. Именно на этом языке написаны древнейшие памятники письменности. На нем говорили о философии, астрономии, математике, грамматике, религии — обо всем, что было необходимо потом записать. На санскрите записывали гимны и речи, обряды и церемонии, формулы и заклинания, а также очень точные правила фонетики (чтобы правильно говорить), грамматики (чтобы правильно писать), стихосложения (чтобы научиться писать стихи), астрономии (чтобы определять подходящее время для жертвоприношений, вычислять положение Солнца и Луны в разных накшатрах — аналогах зодиакальных созвездий) и математики (чтобы определять форму и площадь алтарей, веди, и расположение агни — источников священного огня, чтобы жертвоприношения возымели силу). Здесь снова появляются письменные упоминания о теореме Пифагора — возможно, за несколько веков до рождения самого Пифагора.

Шульба-сутры и алтари

Важнейшими математическими источниками ведической культуры являются шульба-сутры. Сутры — это особый жанр письма, максимально кратко выражающий суть высказывания, которое нужно передать. Для них были определены точные грамматические правила, подобные математическим законам. В шульба-сутрах в поэтической форме описываются алтари для жертвоприношений. Алтари квадратной и круглой формы, которые было легко соорудить, подходили для домашних ритуалов. Для публичных обрядов требовались более сложные алтари, состоящие из прямоугольников, треугольников, трапеций и других геометрических фигур. Один из этих алтарей имеет форму сокола, который готовится взлететь. Считалось, что если принести жертву на этом алтаре, то душа молящегося вознесется соколом прямо на небеса.

Ведический алтарь в форме сокола. Буквы обозначают разные типы кирпичей, используемых при постройке

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Одной из важнейших характеристик алтаря была его площадь. Чтобы рассчитать ее, требовались формулы, с помощью которых можно было бы преобразовать одну геометрическую фигуру в другую той же площади. Подобные формулы содержатся в шульба-сутрах. В шульба-сутре Бодхайяны, датированной 800–600 годами до н. э., содержится формулировка теоремы Пифагора, методы вычисления квадратного корня из 2 (с точностью до пятого знака после запятой), а также описан ряд геометрических построений. Среди них — различные решения задачи о квадратуре круга (приближенные) и о построении многоугольников, чья площадь равна сумме или разности площадей двух других многоугольников. Для верного выполнения ритуалов тщательное соблюдение форм и размеров алтарей было столь же важно, как и безошибочное произношение мантр. Позднее Апастамба написал шульба-сутры на те же темы, что и Бодхайяна, но более подробные. Катьяяна создал шульба-сутры, немного дополнявшие предыдущие. Оба эти автора писали в более древнем стиле по сравнению с тем, что описал грамматик Панини в IV веке до н. э.

Бодхайяна точно изложил теорему Пифагора: «Веревка (шульба), натянутая по диагонали квадрата, образует фигуру вдвое большей площади, чем исходный квадрат». Катьяяна приводит более общий случай: «Веревка [натянутая вдоль диагонали и по длине равная] диагонали прямоугольника образует фигуру той же площади, что и образованная горизонтальной и вертикальной сторонами».

Теорема Пифагора в изложении Водхайяны. Площадь квадрата, построенного на диагонали, вдвое больше площади исходного квадрата.

Теорема Пифагора в изложении Катьяяны.

Эти знания позволяли строить ведические алтари с исключительной точностью. В качестве примера можно привести так называемый алтарь смасана, на котором богам подносился одурманивающий напиток сома. Чтобы жертвоприношения возымели нужный эффект, размеры основания алтаря должны были точно соблюдаться.

В шульба-сутре Апастамбы приводились точные указания по постройке этого алтаря. Джордж Гевергезе Джозеф изложил эти указания в современной нотации так:

Используя веревку, отметьте ХY длиной ровно 36 пад.

Отметьте на этой линии точки Р, Q и R такие, что ХР, XR и XQ равны 5, 28 и 35 пад соответственно.

Проведите перпендикуляры в точках X и Y.

Зная, что треугольники АРХ, DPX, BRY и CRY прямоугольные, а их стороны выражены целыми числами, определите положение точек А, В, С и D. Иными словами, длина AXD должна составлять 24 пады, длина ВYС — 30 пад. Если построение верно, отрезки АС и BD должны пересекать ХY в одной точке О.

АХ = XD = 12 пад

BY = YC = 15 пад

ХР = 5 пад

PR = 23 пады

RQ = 7 пад

QY = 1 пада

ХY = 36 пад

Размеры алтаря смасана

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Получим следующие пифагоровы тройки:

ΔАРХ и ΔDPX имеют стороны 5, 12, 13.

ΔАОХ и ΔDOX имеют стороны 12, 16, 20.

ΔAQX и ΔDQX имеют стороны 12, 35, 37.

ΔBRY и ΔCRY имеют стороны 8, 15, 17.

ΔBOY и ΔCOY имеют стороны 15, 20, 25.

ΔВХУ и ΔСХУ имеют стороны 15, 36, 39.

Так как стороны этих треугольников выражены целыми числами, их можно было отмерить с удивительной точностью. Если этого было недостаточно, сама конструкция содержала множество дополнительных пифагоровых троек, которые помогали еще больше повысить точность. Так пифагоровы тройки оказались на службе технологий. Это удивительно и красиво. Конечно, было известно множество других троек, которые также использовались при сооружении разных алтарей.

Поэтому очевидно, что ведической цивилизации была прекрасно известна теорема Пифагора. Она обычно использовалась в задачах вида «объединить два равных или неравных квадрата и получить третий квадрат». С ее помощью можно было построить алтарь, по площади равный двум другим. Решение задачи такого типа приведено в шульба-сутрах. В современной нотации оно выглядит так:

Пусть нужно объединить два квадрата — ABCD и PQRS.

Пусть DX = SR.

Следовательно, площадь квадрата со стороной АХ будет равна сумме площадей квадратов ABCD и PQRS.

На рисунке ясно видно построение, описанное в тексте. В нем явно используется теорема Пифагора: AD^2 + SR^2 = АХ^2

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Вне всяких сомнений, еще в незапамятные времена люди чувствовали красоту арифметики и геометрии. С самого начала им стало понятно, что все фигуры делятся на криволинейные и прямолинейные. Прямоугольные треугольники быстро заняли привилегированное место среди прочих фигур. Два прямоугольных треугольника можно получить, если разделить прямоугольник пополам его диагональю. Привилегированное место в арифметике заняли натуральные числа, которые использовались при счете. В какой-то момент стало понятно, что можно строить прямоугольные треугольники, длины всех сторон которых выражены целыми числами. Открытие равенства суммы квадратов катетов и квадрата гипотенузы было особенным.

Было найдено удивительное и замечательное свойство удивительной и замечательной фигуры, красота, свойственная прямоугольным треугольникам, о которой стоило рассказать потомкам. Пифагор во время одного из своих путешествий в Египет или Месопотамию узнал об этом свойстве и восхитился им, как восхищаемся этим свойством и мы. Он также привел доказательство этого свойства. Быть может, его доказательство было первым, а может быть, и нет. В любом случае Пифагор прочувствовал красоту чисел и фигур и подтвердил, что мир строится по математическим законам. До сих пор неизвестно, кто именно открыл эту теорему и когда.

Наиболее вероятно, что не существует ни какой-то конкретной даты, ни конкретного имени. Возможно, эта теорема была несколько раз открыта повторно в разных культурах. Как бы то ни было, она служит воплощением математической красоты. Наверное, называть эту теорему именем Пифагора будет лучше всего.

Глава 3

Ферма, городской адвокат

Я не давал обета быть математиком, но всякий раз, когда выдается свободная минута, я наслаждаюсь занятиями математикой…

Франсуа Виет

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. В современной записи это выглядит так: х^2 + у^2 = z^2. Как мы уже показали в прошлой главе, еще в древности были известны целые числа, которые являются решениями этого уравнения. Позднее такие числа стали называть пифагоровыми тройками. Используя эти решения, можно с легкостью построить прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражены целыми числами. Со временем были открыты формулы для вычисления пифагоровых троек, и оказалось, что их бесконечно много.

Ферма пришло в голову заменить показатель степени, 2, другими числами: 3, 4, 3… Это не столь существенное изменение. Может показаться, что до этого мог додуматься любой. Однако с того момента, когда была открыта теорема Пифагора, до того, как Ферма внес в нее эти изменения, прошли тысячи лет. Удивительно, но, несмотря на все усилия, он никак не мог найти ни одного целого решения ни для одного из показателей степени. Невероятно. Лишь спустя много часов, потраченных на поиски, он понял, что таких решений не существует и что это можно доказать.

Он сформулировал свою знаменитую теорему и удалился на покой, не записав найденное им доказательство, оставив эту задачу потомкам. Кем был Ферма? Как он додумался до этого? Какое доказательство он нашел? Почему он не записал его?

Жизнь Ферма окутана завесой тайны. Он жил уединенной жизнью и общался с друзьями только по переписке, и только из писем нам известно о его достижениях. Он был страстным любителем математики и совершил множество удивительных открытий. Он развлекался тем, что предлагал современникам задачи, утверждая, что сам он решил их, однако же редко публиковал свои решения. О нем говорят разное, но тем не менее о нем известно куда меньше, чем хотелось бы.

Памятник Пьеру де Ферма, воздвигнутый в 1898 году Шарлем Барро. В настоящее время памятник находится в Зале знаменитостей Тулузской ратуши.

(фотография: Николя Гэрин, GFDL)

Дата рождения, семья, образование

Вот первая из загадок Ферма: никому доподлинно не известно, когда он родился. Принято считать датой и местом его рождения 17 августа 1601 года, город Бомонде-Ломань в департаменте Тарн и Гаронна на юге Франции. Эту дату предложил в 1844 году Луи Топьяк, предполагая, что Ферма был сыном Доминика Ферма, буржуа и второго консула Бомона, и Клер де Лонг, дочери дворянина Клемента де Лонга. Однако в его свидетельстве о смерти, которое хранится в семейных архивах, указано, что Ферма умер в городе Кастр 12 января 1665 года. Надпись на его надгробии, которое находится в церкви августинцев в Тулузе, гласит, что Ферма умер в возрасте 57 лет. Если верить этой надписи, то получается, что Ферма родился примерно в 1608 году.

Еще одну версию предложил аббат Дюгро в 1980 году. По его мнению, Ферма был сыном Доминика Ферма и Франсуазы Казенев, дочери купца, жившего в окрестностях Бомона. Это предположение основано на том, что в 1603 году Доминик Ферма был женат на Франсуазе, а в 1607 году — уже на Клер де Лонг.

В 2002 году Пьер Герен снова занялся этим вопросом и тщательно изучил генеалогическое древо Ферма в поисках убедительного ответа. Он получил другую дату. Таким образом, окончательный ответ на этот вопрос до сих пор не найден. Ферма мог быть сыном Клер де Лонг, происходившей из благородной французской семьи, а предполагаемой датой его рождения может являться 1605 или, что более вероятно, 1606 год. Но и это противоречит надписи на его надгробии.

По всей видимости, у Ферма был брат и две сестры. В детстве его образованием занимались монахи-францисканцы из аббатства Грансельв. О первых годах его жизни известно очень немногое. Однако в течение всей жизни Ферма был очень привязан к родным местам и не соблазнился блеском Парижа.

Нам также неизвестно, какое образование получил Ферма. Вне всяких сомнений, он был очень эрудирован: переводил классические труды, в совершенстве владел латынью и древнегреческим, а его обширные знания математики бесспорны. Но где он обучался математике? Быть может, в университете? А может, с ним занимался один из друзей семьи? О его образовании и карьере известно далеко не все, но кое-что можно узнать из его писем. В юности он поступил в Тулузский университет, чтобы завершить начатое обучение. Он хотел изучать право, и его семья поддерживала его: в то время эта профессия была очень престижной и открывала многие двери, но предполагала очень хорошее образование.

Математические круги

Впоследствии Ферма переехал в Бордо. Часть биографов считают, что там он работал адвокатом и познакомился с Жаном Бограном, который принадлежал к местному математическому обществу. По всей видимости, это произошло в августе 1626 года. В начале XVII века в научном сообществе стала понятна польза от обмена идеями. Именно тогда начали формироваться сообщества математиков, которые непрерывно обменивались результатами своих работ. Их участники предлагали друг другу задачи, находили решения, объясняли новые методы, делились идеями. Бордо был одним из центров, где бурлила научная жизнь, где находили поддержку талант и творчество. Вне всяких сомнений, эта среда привлекла молодого Ферма.

Богран в кругу друзей всегда гордился тем, что именно он открыл Ферма и во многом благодаря его усилиям работы Ферма стали столь известны. Богран позднее стал членом высших политических кругов Парижа, а также приобрел известность благодаря способностям к математике. Говорят, что он учился у самого Франсуа Виета. В Париже он был завсегдатаем математического кружка, который возглавлял Марен Мерсенн, и постоянно делился с ним своими находками и открытиями Ферма.

Сообщить какую-то идею Мерсенну означало сообщить ее всему математическому сообществу того времени. Богран также совершил путешествие в Италию, куда его пригласил французский посол Бельевр. Там он посетил Кавальери в Болонье, Кастелли в Риме и Галилея в Арчетри близ Флоренции. После возвращения в Париж он поддерживал переписку с ними. Разумеется, он рассказал им о своем друге Ферма — иначе и быть не могло.

Портрет Галилео Галилея кисти Юстуса Сустерманса, 1636 год. Галилей познакомился с работами Ферма через их общего друга Жана Бограна.

* * *

ФРАНСУА ВИЕТ

Франсуа Виет родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт. По профессии он был адвокатом, как и Ферма, но его подлинной страстью была математика. Став учителем юной девушки по имени Каталина де Партенеи, он начал изучать астрономию, которая была особенно интересна его ученице. Когда Виет поступил на службу к французскому королю Генриху IV, он расшифровал переписку агентов испанского короля Филиппа II, взломав шифр, состоящий более чем из 500 символов. Математики при дворе короля Испании считали, что расшифровать его было невозможно. Когда об этом стало известно в Испании, Филипп II отправил письмо Папе Римскому Пию V, обвинив Генриха IV в использовании черной магии. Говорят, что степень сосредоточенности Виета была такова, что он часто проводил за работой по три дня подряд без сна и еды. Один из известнейших исторических случаев о нем рассказал Таллеман де Рео:

«Во времена Генриха IV некий голландец по имени Адрианус Романус, сведущий в математике, пусть и в меньшей степени, чем считал он сам, написал книгу, в которой сформулировал задачу для всех европейских математиков, перечислив их поименно. В своем списке Романус не упомянул ни одного из французов. Некоторое время спустя посол Голландии встретился с королем Франции в Фонтенбло. Король с удовольствием рассказал послу о разных достопримечательностях, упомянув, какие выдающиеся представители всех профессий жили в его королевстве. "Но, сир, — сказал посол, — в вашем королевстве нет ни одного математика, ведь Адрианус Романус не упоминает ни одного француза в своем списке". "Напротив, — ответил король, — у нас есть выдающийся ученый муж. Скажите, пусть пошлют за господином Виетом". Виет явился в Фонтенбло. Посол велел разыскать книгу Адриануса Романуса, чтобы показать Виету задачу из этой книги. Виет, расположившись у одного из окон галереи, где они находились, быстро написал два решения. Ночью он отправил послу еще несколько решений, добавив, что может привести столько решений, сколько тому заблагорассудится, поскольку их было бесконечное множество». Задача Адриануса Романуса заключалась в решении уравнения 45-й степени, в котором Виет незамедлительно узнал одно из тригонометрических соотношений. Он привел 22 положительных решения этой задачи — все, которые были допустимы в математике того времени. В 1595 году Виет опубликовал ответ Адрианусу Романусу и, чтобы оценить знания оппонента, предложил тому задачу Аполлония: «Найти окружность, касающуюся трех данных окружностей». Решение этой задачи было известно Виету.

* * *

В Бордо Ферма познакомился с д’Эспанье, Филоном, Праде. В беседах с ними он расширил кругозор и узнал о многих ученых. Этьен д’Эспанье, член парламента Бордо, познакомил Ферма с работами Виета и с обозначениями, которые тот использовал. Отец д’Эспанье был первым председателем парламента Бордо и другом Виета. Нужно помнить, что в те времена знания передавались в основном среди знакомых и друзей.

В Бордо были изданы первые работы Ферма. Именно там зародились многие его идеи, в частности идея переиздания книги Аполлония «Плоские места», Apollonii Pergaei libri dúo de loas planis restituti. Там же он открыл метод нахождения максимумов и минимумов, описанный в работе Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum, а также провел некоторые исследования, посвященные магическим квадратам.

Административная и политическая карьера

Из Бордо Ферма переехал в Орлеан, где закончил изучать право, после чего перебрался в Тулузу, где началась его блестящая карьера. 14 мая 1631 года он получил должность советника парламента Тулузы и члена палаты по рассмотрению прошений, где обсуждались общественные проблемы. 30 декабря 1634 года он стал членом следственной палаты, а в 1638 году занял пост советника в суде. В августе 1648 года он получил должность советника палаты эдиктов, а в 1654 году впервые выступил в Верховной палате. Карьера Ферма строилась по всем правилам, и в итоге он занял очень ответственный пост. Он получил право сменить имя и называться Пьером де Ферма.

* * *

СЕМЬЯ ФЕРМА

1 июня 1631 года, спустя полтора месяца после того, как Ферма впервые получил должность советника, он женился на двоюродной сестре матери Луизе де Лонг. У них было пятеро детей: Клемент-Самуэль, который был членом суда, как и сам Ферма, и который частично опубликовал работы отца; Жан, который стал архидьяконом Фемарена; Клэр, чей внук Жан Гейяр занял пост советника вслед за Жаном Франсуа, сыном Самуэля Ферма; Катерина и Луиза, которые посвятили жизнь религии.

* * *

Возможно, столь бурным продвижением по службе он был обязан эпидемии, которая разразилась в той местности около 1650 года и унесла много жизней. Из-за этого освободилось множество государственных должностей, где определяющую роль играл опыт, поэтому данные посты занимали люди определенного возраста. Посреди этого беспорядка в 1653 году поступило ошибочное сообщение о смерти самого Ферма, которому также не удалось избежать недуга. Затем, разумеется, он опроверг это известие.

Разные источники расходятся во мнениях о том, как Ферма относился к службе. С одной стороны, в 1664 году адвокат Пьер Сапорта писал: «О нашем судье, который занимал эту должность большую часть жизни, я скажу, что он отличается удивительной честностью и компетентностью в делах. Он приобрел качества большого судьи, а также знания о многих других вещах, далеких от его профессии». Следует отметить, что Сапорта был другом Ферма и посвятил ему свой перевод на французский язык труда Торричелли о движении воды, опубликованный в том же 1664 году. С другой стороны, в 1663 году Жан Батист Кольбер утверждал: «Парламент Тулузы: Ферма, очень эрудированный человек, везде поддерживает отношения с умнейшими, но не слишком заинтересован в службе. Не особенно хорош как судья». Это цитата из секретного донесения Кольбера, который в то время был министром финансов короля Людовика XIV, о судьях и государственных чиновниках. Людовик XIV обычно был к ним весьма строг. Учитывая, что Ферма не входил в круг близких друзей первого министра Гаспара де Фьюбе, неудивительно, что в этом донесении он не удостоился хвалебных слов.

Портрет Жана Батиста Кольбера кисти Клода Лефевра, 1666 год. Министр финансов при короле Людовике XIV не слишком лестно отзывался о работе Ферма в суде.

Как бы то ни было, Ферма добросовестно исполнял свои обязанности и, по мере возможностей, старался избегать интриг. Служба была непростой, поскольку в то время Франция периодически испытывала серьезные потрясения: во-первых, между католиками и гугенотами сохранялись напряженные отношения, во-вторых, не прекращалась борьба за власть. То была эпоха кардинала Ришельё и кардинала Мазарини, время мушкетеров. Было нетрудно сегодня принимать одну сторону, а завтра впасть в немилость у другой. Сложнее было удерживаться посередине между противоборствующими сторонами. Именно этим принципом и руководствовался Ферма. Он не стремился к власти и, возможно, по этой причине избегал Парижа, селясь в небольших городах. Он всегда оставался поблизости от родных мест, а в течение девяти лет (в 1638, 1644 и 1643, 1648 и 1649, 1633 и 1656, 1663 и 1664 годах) он занимал пост судьи в небольшом городе Кастр лишь в нескольких километрах от его родного города Бомон-де-Ломань.

С другой стороны, Ферма не особенно поддерживал отношения с тогдашней буржуазией. Должность обязывала его сохранять разумную дистанцию от всех, кто в будущем мог обратиться в суд, чтобы уладить дела. В некотором смысле одиночество было свойственно его работе. В то время как другие представители его профессии в свободное время писали труды о суде и судьях, он занимался математикой.

Кардинал Ришельё на осаде Ла-Рошели. Картина кисти Анри Мотте, 1881 год. Осада этой крепости гугенотов произошла в 1628 году, и это лишь один из многочисленных примеров, показывающих, в сколь неспокойное время жил Ферма.

«Король среди любителей» и Пьер де Каркави

Ферма постоянно жаловался на недостаток времени. В июне 1640 года он писал своему другу Мерсенну: «Чувствую себя под давлением множества занятий, которые не оставляют времени для этого…» и позднее, в марте 1641 года: «Судебные тяжбы, которыми сейчас целиком забита моя голова, не позволяют мне спокойно прочитать труды, которые вы сделали честь прислать мне». Но и тогда, всякий раз, когда выпадала возможность, он находил время для математики и делился этой страстью с коллегами по профессии и другими математиками. Ферма — яркий пример того, как можно сочетать профессию и увлечение на высочайшем уровне. В этом смысле он был не одинок. Многие его коллеги также были видными математиками и совершили заметные открытия. Ферма выделяется из общего ряда благодаря числу и масштабу своих достижений, за что он был удостоен титула «король среди любителей». Американский автор Джулиан Кулидж не включил его в знаменитый перечень математиков-любителей, посчитав, что его следует рассматривать в профессиональной категории.

В Тулузе Ферма познакомился с Пьером де Каркави, который занимал пост советника парламента Тулузы в 1632–1636 годах и был большим любителем математики. Их дружба сыграла основополагающую роль в научной карьере Ферма. Хотя Каркави не получил университетского образования и не добился заметных успехов в математике, заслуживает упоминания его переписка со многими учеными той эпохи, которая показывает, насколько разносторонними были его знания. В течение всей жизни Каркави переписывался с Ферма, Гюйгенсом, Паскалем, Декартом, Мерсенном, Галилеем, Торричелли и многими другими.

Нужно учитывать, что многие открытия того времени никогда не публиковались и о них можно было узнать лишь из переписки, которую вели их авторы. В развитии математики большую роль сыграли те, кому принадлежали новые открытия, но не менее важны и те, кто посвящал свое время их распространению. В этих письмах не только сообщались какие-то новые результаты, но также вносились комментарии и предлагались новые идеи, которые впоследствии учитывались в других трудах.

Сколь волнующим, должно быть, было то время, когда каждое полученное письмо могло содержать море новых идей и побуждать работать дальше. Письма могли идти до получателя несколько недель, часто терялись в пути. Тогда течение времени было другим, а часы не имели ничего общего с современными точными электронными часами. В 1636 году Каркави получил должность советника в Совете Парижа и переехал в столицу. Ферма по-прежнему поддерживал с ним переписку и отправлял ему свои работы. Оказавшись в Париже, Каркави познакомился с Мерсенном — ключевой фигурой в истории математики.

Портрет Декарта кисти Франса Хальса, 1649 год. Он был одним из крупнейших философов XVII века и всегда интересовался математикой. Декарт вел обширную переписку со многими математиками своего времени.

Марен Мерсенн

Марен Мерсенн родился в 1388 году в скромной семье. В 16 лет он записался в Ла-Флеш — иезуитскую школу, где давали образование детям из любых семей, вне зависимости от их достатка. В этой школе также учился Декарт, с которым Мерсенн впоследствии поддерживал тесные отношения. Затем он перебрался в Париж и поступил в Коллеж де Франс, чтобы изучать философию, и в Сорбонну, чтобы постигать богословие. Он завершил обучение в 1611 году. Решив не изменять монашеской жизни, в июле 1611 года он записался во францисканский орден минимов и годом позже получил сан священника. Монахи этого ордена отличались аскетизмом, безукоризненным образованием и добродетелью. Первые работы Мерсенна посвящены богословию, но с течением времени в нем рос интерес к науке. Он был твердо убежден, что математика лежит в основе всех наук и что обмен идеями является залогом прогресса в науке вообще и в математике в частности. Ученые того времени жили в уединении, и многие их открытия становились известны лишь спустя годы после их смерти либо вовсе оставались в забвении. Мерсенн понял, что можно добиться большего, если действовать сообща. Примерно в 1623 году он начал формировать группу ученых, которые периодически собирались в его парижской обители. На этих встречах они говорили о науке и обменивались полученными результатами, открытиями, новыми способами вычислений. Этот кружок дал начало Французской академии наук.

Мерсенн не ограничивался этими встречами и вел обширную переписку со многими учеными со всего мира, создав таким образом настоящее международное научное сообщество. Ему были известны все современные научные достижения. Говорили, что, если он узнавал о каком-то открытии, о нем тут же узнавал весь мир, так как Мерсенн немедленно сообщал о нем всем, кто работал над этой темой и кому могло быть это интересно. Перечень тех, с кем он поддерживал переписку, огромен. В него входят Исаак Бекман, Бернар Френикль де Бесси, Чарльз Кавендиш, Флорианус Крузиус, Жерар Дезарг, Рене Декарт, Пьер Ферма, Галилео Галилей, Пьер Гассенди, Ян Баптиста ван Гельмонт, Томас Гоббс, Христиан и Константин Гюйгенсы, Клод Мидорж, Этьен и Блез Паскали, Никола-Клод Фабри де Пейреск, Джон Пелл, Жан Рей, Андре Риве, Жиль Роберваль, Мартин Руар, Самуэль Сачиери и Эванджелиста Торричелли. После его смерти в 1648 году в его келье были найдены письма от 78 разных корреспондентов.

Математик и богослов Марен Мерсенн.

Помимо этого, Мерсенн много путешествовал, налаживая контакты с растущими научными сообществами и наиболее видными учеными. В 1629–1630 годах он был в Нидерландах, в 1644 году — в Провансе и в Италии, где познакомился с Торричелли, в 1646 году — в Бордо, где позднее была основана Королевская академия наук. Его научные интересы охватывали самые разные области физики и математики, и его интерес служил путеводной нитью для заметной части научного сообщества той эпохи. Мерсенн работал над решением задач оптики, музыки, теории тепла, механики, гидростатики, анализа, алгебры, теории чисел и множества других наук.

Он моментально делился соображениями с другими учеными, которые расширяли и дополняли полученные им результаты. Таким образом, Мерсенн никогда не работал в одиночку. Для своих коллег он был исключительным собеседником, с которым можно было делиться идеями и дополнять его работы.

В 1627 году Мерсенн публикует книгу «Универсальная гармония». В предисловии к этой книге он отдает дань уважения математическому гению Ферма. Помимо прочих вопросов, в этой книге показывается, что частота вибрации струны пропорциональна квадратному корню из силы натяжения и обратно пропорциональна длине струны, ее диаметру и квадратному корню из ее массы при условии, что все прочие переменные остаются неизменными, когда меняется значение одной из этих величин.

Страница из книги Мерсенна «Универсальная гармония». В предисловии к этой книге автор отдает дань уважения математическому гению Ферма.

Когда Мерсенн познакомился с Христиа- ном Гюйгенсом, он поделился с ним этими результатами. Плодом их сотрудничества стала позднее опубликованная Гюйгенсом книга «Теория музыки». В 1646 году Гюйгенс попытался переехать в Париж, чтобы быть ближе к своему учителю, но ему удалось сделать это лишь спустя несколько лет после смерти Мерсенна.

Мерсенн также интересовался идеями Галилео Галилея и сыграл огромную роль в распространении его работ по всей Европе. 21 февраля 1632 года во Флоренции была напечатана книга «Диалог о двух главнейших системах мира» (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo) — одна из фундаментальных работ Галилея, в которой он защищал гелиоцентрическую теорию Коперника.

Это, вне всяких сомнений, всколыхнуло верхушку католической церкви того времени, и в 1633 году Галилей предстал перед судом и был осужден Святой палатой Римской католической церкви. В результате книга была запрещена, но к тому времени ее копии уже разошлись по всей Европе и с книгой успели ознакомиться многие ученые. Среди них был Мерсенн, который был заинтригован теорией свободного падения тел, изложенной Галилеем в этой книге. Мерсенн решил самостоятельно провести серию экспериментов. В 1634 году он публикует полученные результаты, которые подтвердили соотношение между ускорением падения и квадратом времени. Он также пытался найти ответ на вопрос, является ли изменение скорости при свободном падении непрерывным, как считал Галилей, либо непостоянным, как утверждал Декарт.

Портрет голландского ученого Христиана Гюйгенса.

Фронтиспис книги Гэлилея Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo.

Переписка с Ферма

Когда Пьер де Каркави в 1636 году переехал в Париж и объяснил Мерсенну идеи Ферма, касавшиеся теории Галилея о свободном падении тел, Мерсенн немедленно заинтересовался мнением Ферма и написал ему письмо. Ферма подробно ответил ему на заданные вопросы 26 апреля того же года. Кроме этого, он сообщил Мерсенну о своей работе о спиралях, написанной по результатам изучения траектории тел при свободном падении, где применялись методы, описанные Архимедом в труде «О спиралях». Ферма также рассказал о работе над восстановлением книги «Плоские места» Аполлония. Вот что он пишет:

«Я также обнаружил множество способов анализа для разных задач, как численных, так и геометрических, для решения которых анализа Виета оказалось недостаточно. Я могу поделиться своими результатами, когда вы пожелаете, и сделаю это без тени тщеславия, от которого я свободен и далек более любого другого человека во всем мире».

Воссозданный образ Архимеда кисти Доменико Фетти, 1620 год. Ферма тщательно изучил труды этого древнегреческого ученого.

Кроме того, Ферма воспользовался моментом, чтобы рассказать Мерсенну о двух задачах о нахождении максимумов, и попросил его показать задачи парижским математикам. Первое же письмо дало Мерсенну понять, кто перед ним.

С одной стороны, это яркий пример эпистолярных отношений, существовавших в научном сообществе того времени, так как письма были одним из основных средств обмена идеями. С другой стороны, Ферма избегает любых проявлений нескромности. Он служит науке, а не стремится завоевать авторитет. В письме видна его тяга к новым задачам, которые помогали ему оценить проницательность современников. Его задачи были вдвойне интересны благодаря тому, что Ферма знал ответы на них. Если кому-то удавалось решить их, то возникали сомнения по поводу авторства решения, но если найти ответ долго никому не удавалось, то ценность найденного в итоге решения многократно возрастала — вместе со славой его автора. Разумеется, Мерсенн с радостью передавал задачи Ферма своим коллегам.

Задача о циклоиде

В 1632 году в Париж прибыл Жиль Роберваль, чтобы заняться преподаванием в Коллеж де Франс. Мерсенн моментально оценил его выдающийся талант и предложил ему решить несколько задач, на которые сам Мерсенн не смог найти ответа. Среди них была и задача о циклоиде. Так началась совместная работа над решением этой задачи. В 1599 году Галилей определил циклоиду как геометрическое место точек, которое описывает точка окружности при качении этой окружности вдоль некой прямой.

Мерсенн был очарован красотой циклоиды и решил заняться ее изучением. Его интересовали некоторые ее свойства: длина дуги, описываемая площадь и так далее. Чтобы определить площадь под аркой циклоиды, Галилей сконструировал металлическую модель и поместил ее на весы. Так ему удалось найти приближенное значение с высокой точностью, но этого ему показалось мало. Он хотел получить точный ответ.

Математические методы не ограничены несовершенством модели или неточностью весов. Только с их помощью можно достичь истинного совершенства.

* * *

ЗАДАЧА О ТАУТОХРОНЕ И БРАХИСТОХРОНЕ

Допустим, что мы хотим попасть из точки А в точку В наиболее быстрым способом, при этом исключительно под действием силы тяготения. Либо, что аналогично, нужно найти форму кривой, вдоль которой мы будем скатываться, чтобы как можно быстрее попасть из точки А в точку В. Эта кривая получила название брахистохроны (от греческого брахистос — кратчайший и хронос — время). Интуиция подсказывает, что быстрейшим путем из точки А в точку В будет кратчайший путь между ними, то есть прямая. Однако это не так. Кривой скорейшего спуска будет перевернутая арка циклоиды, проходящая через точку А и имеющая минимум в точке В.

В 1696 году Иоганн Бернулли нашел решение этой задачи и предложил ее другим ученым того времени. Независимо друг от друга ее решили Лейбниц, Ньютон, Якоб Бернулли и Лопиталь. В 1659 году Гюйгенс обнаружил, что при свободном падении вдоль арки циклоиды предмет окажется у ее основания в одно и то же время вне зависимости от высоты, с которой началось падение. Следовательно, циклоида также является решением задачи о таутохроне (от греческого тауго — равный и хронос — время).

При свободном падении как из точки А, так и из точки А' предмет достигнет точки В за одно и то же время.

* * *

Мерсенн посвятил изучению циклоиды много лет. Он опубликовал результаты в различных трудах: «Известные вопросы Книги Бытия» (1623), «Синопсис математики» (1626) и «Вопросы теологии, физики, морали и математики» (1634). Как и всегда, в письмах он сообщал полученные результаты и вопросы, на которые ему удалось найти ответы. Торричелли, Ферма, Декарт, Роберваль верно вычислили, что площадь под аркой циклоиды равна утроенной площади порождающего круга циклоиды. Роберваль и Рен определили, что длина арки в восемь раз превышает ее радиус. Какие красивые ответы на столь простые вопросы! И сколько вычислений потребовалось, чтобы найти эти несложные на вид ответы!

Благодаря новой организации работы, предложенной Мерсенном, к решению интересных задач приглашались все талантливые ученые. Найденные решения были не плодами труда одиночек-затворников, а, напротив, результатом взаимодействия и обмена идеями. История науки знает множество примеров, когда формулы и теории получали имя своих первооткрывателей. Но в этой новой среде достижения часто были результатом коллективного труда. Кто мог представить, что эта красивая кривая, которую впервые описал Галилей как движение точки окружности при качении вдоль прямой, спустя много лет окажется решением задачи о брахистохроне и таутохроне, и что Жерар Дезарг предложит придать зубцам часовых механизмов именно форму циклоиды!

Понте ди Меццо в Пизе, спроектированный учениками Галилея. Его арки имеют форму циклоиды. Мост был разрушен в 1944 году.

Метод максимумов и минимумов

Роберваль и Мерсенн заинтересовались результатами Ферма относительно максимумов и минимумов. Задачи, которые предлагал Ферма (равно как и ответы на них), были не случайны — при их решении использовались методы, неизвестные другим математикам той эпохи. Они поняли, что Ферма значительно опередил современников в решении задач о максимумах и минимумах, и попросили его объяснить методы, которые он использовал. Ответ не заставил себя долго ждать. Ферма отправил Мерсенну и Робервалю три текста («Методы нахождения максимумов и минимумов и построения касательных к кривым», «О плоских и телесных местах» и труд Аполлония «Плоские места» в двух книгах), чтобы их оценили парижские математики. Так Ферма стал известен как математик первой величины.

В своем «Методе максимумов и минимумов» Ферма отметил, что в точке максимума функции прямая, параллельная оси абсцисс, касается графика этой функции только в одной точке. Он также отметил, что в точках, очень близких к точке максимума, прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график этой функции в двух близких точках справа и слева от точки максимума.

Следовательно, значение функции в точке экстремума f(а) и значение, очень близкое к нему, f(а + е), где е — очень малая величина, практически одинаковы, следовательно, согласно Ферма, их можно «приравнять». В результате получим уравнение, исключив из которого величину е (так как она очень мала) мы сможем рассчитать а.

Рассмотрим пример. Пусть дана функция f(х) = х^2. Ее график представлен на рисунке ниже.

Пусть нужно вычислить минимум этой функции, f(а) = а^2. Для этого рассмотрим значение, очень близкое к нему: f(а + е) = (а + е)2 = а^2 + 2ае + е^2. «Приравняем» их, то есть поставим между этими выражениями знак равенства: а^2 = а^2  + 2ае + е^2. На следующем шаге решим полученное уравнение. Вычтя а^2  из обеих частей равенства, получим 2ае + е^2 = 0, откуда, сократив на е, получим 2а + е = 0.

Наконец, будем считать е столь близким к 0, что им можно пренебречь. Имеем 2а = 0, следовательно, а = 0 — это корректная точка минимума данной функции.

Как можно видеть, после «приравнивания» мы получили уравнение, равносильное равенству нулю производной этой функции. Но в те времена не было известно ни о вычислении производных, ни о нахождении пределов функций. Поэтому не удивительно, что некоторые математики признавали этот метод лишь с оговорками. Но в этом случае Ферма проявил потрясающую интуицию. Он выглядел фокусником, который умело манипулирует алгебраическими выражениями и в итоге непостижимым образом получает желаемый результат.

Разносторонние интересы

Восстановление утерянных трудов Аполлония было частью амбициозного проекта, начатого Виетом и Марино Гетальди, к которым позднее присоединились Виллеброрд Снелл и сам Ферма, высоко ценивший Аполлония. Кроме этого, Ферма был великолепным знатоком античных языков, а благодаря знаниям математики с удивительной легкостью справился бы со сложной задачей перевести труды античных авторов с латыни и греческого. Поэтому неудивительно, что переводчики, работавшие со сложными научными текстами, обращались к нему за советом.

В Тулузе Ферма познакомился с Шарлем де Моншалем, специалистом по древнегреческому языку и большим библиофилом, чья коллекция рукописей впоследствии составила часть Королевской библиотеки. Ферма получил доступ к этому удивительному собранию. Моншаль продемонстрировал ему Les harmoniques — книгу о музыке, написанную византийским автором XIV века. Ферма прочитал ее и сделал несколько пометок на полях в своем стиле: когда он читал, то давал простор воображению, у него возникало множество идей, и он записывал их, чтобы вернуться к ним позже.

В Кастре он познакомился с Пьером Сапорта, который в 1664 году написал «Трактат об измерении текущей воды» (Traité sur la mesure des eaux courantes) — перевод на французский язык книги бенедиктинского священника Бенедетто Кастелли.

Он также перевел на французский одну из работ Торричелли на ту же тему. Кроме того, Сапорта решил включить в свой перевод описание инструмента для измерения плотности жидкостей, которое написал Ферма. Этот инструмент впервые описал Синезий, епископ из Кирены, современник Гипатии Александрийской. Тот же Кастелли указал, что до Ферма многие безуспешно пытались понять принцип действия этого устройства. Сапорта ценил эрудицию Ферма и посвятил ему свою книгу, осыпав похвалами: «Страницы этой тетради, которые остались пустыми, натолкнули меня на мысль наполнить их результатами, которые недавно сообщил мне несравненный господин Ферма, в высшей степени любезно отнесшийся ко мне во время нашей беседы». В этой же книге он пишет: «Все мудрецы, сведущие в литературе, оказывают нам помощь при толковании сложных пассажей, которые мы находим в книгах.

Я могу привести множество превосходных наблюдений, сделанных вами о Синезии, Фронтине, Афинее и о многих других авторах, а также те разъяснения, которые вы дали для изречений, оставшихся не понятыми Скалигером, Казобоном, Петавиусом и Сомме. Наконец, кажется, сеньор, что вы родились, чтобы править царством слов и быть высшим законодателем для всех мудрецов».

Эрудицию Ферма признавали многие из тех, кто его знал. Подлинный энциклопедист, не знавший границ между науками и языками, он интересовался всеми областями знаний. Ферма был готов выслушать любого и высказать свое мнение. Многие обращались к нему с просьбами о сотрудничестве.

Ферма делал заметки на полях прочитанных книг, отмечая свои наблюдения и мысли. По сути, работы Ферма стали известны только благодаря пометкам на полях книг из его личной библиотеки. В их числе «Смиряюсь пред Богом, или умирающим Христом» (Cede Deo seu Christus moriens) — поэма из ста стихов, написанная гекзаметром на латыни, которую он посвятил Гезу де Бальзаку. Поэма была зачитана в Академии Кастра в 1656 году.

Ферма глубоко уважал классиков и восхищался ими, но в то же время неустанно привносил новые идеи, «которые не записаны в книгах», ни древних, ни современных. Он восторгался трудами Фрэнсиса Бэкона и был полон энтузиазма основать новую науку. Как универсальный ученый, Ферма приветствовал объединение всех наук и разделял точку зрения Мерсенна: общение и обмен идеями, безусловно, способствуют прогрессу науки.

Например, в 1657 году он написал Кюро де ла Шамбру, говоря о рефракции: «Если бы вы могли позволить мне немного объединить мою геометрию с вашей физикой, то вместе мы бы создали новую общую работу».

Портрет Фрэнсиса Бэкона. Ферма очень высоко ценил этого английского философа, сторонника научного метода.

Кроме этого, Ферма наслаждался красотой математики. Он знал, что за доказательствами и теоремами сокрыта красота и философия знания. Он делился своими результатами и предлагал новые задачи подобно энтузиасту, который стремится заразить друзей своим увлечением. 25 декабря 1640 года он пишет Мерсенну: «Как только мне напишет г-н Френикль, я отправлю ему несколько гипотез, которые он, я надеюсь, оценит. Заявляю со всей скромностью, что они намного красивее, чем всё, о чем мы говорили до этого». Позднее, 2 августа 1641 года, Френикль пишет Ферма: «Методы, приведенные вами… поистине великолепны, и вы обладаете даром излагать ваши правила, что придает им определенную красоту, благодаря которой они ценятся еще выше».

Любопытный стиль работы

Многие историки задаются вопросом: почему Ферма делал столько пометок, но почти не писал книг? Почему он не объяснял свои идеи и открытия? Но если мы лучше узнаем Ферма, то поймем, что он просто работал подобным образом. Он не был профессиональным математиком. Ему нравилось размышлять о математике, физике, литературе, философии, музыке и делать пометки. Он будто бы вступал в разговор с книгой и по мере возможности излагал свое мнение на узких полях. Это были словно мысли вслух. Но подробные и полные доказательства для всех возможных случаев он оставлял другим, возможно, более компетентным, или тем, у кого было больше времени. Написание книги потребовало бы сил, которых у него не было.

Он посвящал свой досуг размышлениям и подробному рассмотрению новых вопросов. Его интересы были столь обширны, что он не мог позволить себе задержаться и написать книгу с введением, объяснениями и подробными доказательствами. Как только вопрос становился ему ясен, он делал пометку и переходил к следующей теме.

Может показаться, что Ферма был поверхностным, хватался за разные темы, никак не связанные друг с другом, и не имел какой-то одной цели. Он не стремился заложить фундамент новой математики, как это сделал Виет в книге «Введение в аналитическое искусство», стараясь дать ответы на все вопросы, или как Декарт в книге «Геометрия», который попытался объяснить все природные явления. Но он был абсолютно уверен, что его методы помогали двигать науку вперед и полностью менять ее. Он давал другим новые средства для решения задач, ответы на которые не могли быть даны прежними способами.

Стиль работы Ферма, безусловно, составляет часть легенды о нем. Он решал задачи оригинально и творчески, но иногда в его решениях непросто разобраться, либо же он не приводил всех деталей, которые интересовали его современников. Его образ мышления лучше всего можно понять из его писем. В них он свободно говорит о науке без необходимости следовать формальному, книжному стилю. Кроме этого, письма были идеальным способом обмениваться новыми задачами. Если это требовалось, Ферма несколько углублялся в детали, но обычно он приводил лишь некоторые штрихи, словно указывая направление, в котором следует двигаться читателю, чтобы прийти к верному ответу. Так он показывал, что ему самому было известно решение, но он не собирается так просто рассказывать его. Его нежелание объяснять методы решения было частью игры, и ее кульминацией стала его последняя, великая теорема.

Фронтиспис одной из книг Франсуа Виета, у которого многому учился Ферма, хотя оба математика работали совершенно по-разному и черпали вдохновение из разных источников.

Но, несмотря на все свои достоинства, подобная переписка все же не была лишена недостатков. Иногда что-то понималось неверно, и на то, чтобы подкорректировать неточность, уходили годы, а иногда подобные ошибки и вовсе не удавалось исправить. Порой возникали споры о том, кому же принадлежит авторство решения: тому, кто первым рассказал о нем, или тому, кто первым записал его. Иногда одни и те же идеи возникали одновременно у нескольких ученых, и каждый приписывал авторство себе. Случалось, что несколько человек находили решение независимо друг от друга, а затем спорили, кому же принадлежит первенство. Не говоря уже о том, что некоторым доставляли удовольствие подобные разбирательства или что порой недопонимание имело катастрофические последствия для одной из сторон. Разумеется, Ферма всячески старался избегать этого, но тем не менее оказывался впутанным в подобные конфликты вопреки своей воле.

Письмо, написанное Ферма.

Полемика с Декартом

В начале 1637 года при содействии Мерсенна Рене Декарт обратился к королю Франции с просьбой опубликовать книгу «Рассуждение о методе» и три эссе. Богран в то время занимал ответственный пост секретаря канцлера и мог повлиять на решение вопроса. Канцлер Пьер Сегье получил на рассмотрение копию первого очерка Декарта «Диоптрика». Богран без разрешения автора и без ведома Мерсенна отправил копию очерка своему другу Ферма, попросив того высказать свое мнение.

Мерсенн узнал об этом и написал Ферма, попросив сохранять осмотрительность и сообщить свое мнение только ему и никому больше. 22 сентября 1637 года Ферма пишет Мерсенну: «Вы спрашиваете мое мнение о труде о диоптрии сеньора Декарта. Мое впечатление о его предложениях таково: хотя выводы, к которым он приходит, когда говорит о форме линз, изящны, было бы желательно, чтобы основы, на которых строятся его выводы, были доказаны лучше, так как сейчас этого не сделано. Но боюсь, что в его работе истина отсутствует в той же мере, что и доказательство». В этом же письме Ферма объясняет свое мнение. В «Диоптрике» предлагается модель света, объясняющая закон преломления. Но эта модель основана на предпосылках, которые показались Ферма не совсем обоснованными. Ферма заметил противоречие между тем, что свет распространяется мгновенно, и тем, что скорость света зависит от среды, где он распространяется. Ему также было неясно, почему свет быстрее распространяется в более плотной среде.

Мерсенн передал Декарту мнение Ферма, и, как вы можете себе представить, оно совершенно не понравилось Декарту. Так, в октябре 1637 года он отвечает Мерсенну: «Ошибка, которую нашел сеньор Ферма в моем доказательстве (о преломлении света), является надуманной и свидетельствует о том, что он ознакомился с моим трудом лишь мимоходом».

Обложка знаменитого «Рассуждения о методе» Декарта, куда вошел очерк о природе света, вызвавший споры с Ферма.

Но Ферма интересовала не полемика, а поиск истины. В письме к Мерсенну в декабре 1637 года он предлагает новую модель преломления света. В этом же послании он пишет: «…Я продолжаю этот небольшой диспут не ради зависти или жажды соперничества, но желаю лишь того, чтобы воссияла истина. Это, разумеется, доставит удовольствие сеньору Декарту, столь известному благодаря своим заслугам, которым я выражаю здесь свое почтение».

Но спор уже начался. Декарт воспринял мнение Ферма как вызов своим идеям и себе лично. «Рассуждение о методе» и три эссе составляли фундамент его философии и основу его мысли. Поэтому он решил подготовиться к сражению по всем правилам. 18 января 1638 года он пишет Мерсенну: «Если этого автора удивляет отсутствие некоторых правил в моей геометрии, я имею куда больше причин удивиться тому, что он пожелал начать бой, не приготовив оружия. Ноя хочу дать ему время снова взобраться на коня и подобрать наилучшее оружие для этого сражения».

Когда Ферма отправил на рассмотрение парижских математиков свой труд «Методы нахождения максимумов и минимумов и построения касательных к кривым», Декарт нашел возможность отыграться и объявил рассуждения Ферма сомнительными. Роберваль и Этьен Паскаль встали на его защиту, а Мидорж и Дезарг приняли сторону Декарта. В апреле 1638 года Роберваль пишет: «Когда сеньор Декарт всецело поймет метод максимумов и минимумов и построения касательных к кривым сеньора Ферма, то оставит сомнения в том, почему этот метод нашел своих сторонников, и оценит по достоинству этот превосходный метод, достойный своего автора». Любопытную роль в этой истории сыграл Мерсенн, так как вся переписка велась через него. Декарт, равно как и Ферма, отправлял письма Мерсенну, подразумевая, что он объяснит их содержание противоположной стороне. В итоге Дезарг признал правоту Ферма, и Декарту пришлось принять очевидное: «Увидев последний метод, примененный для нахождения касательных к кривым, я не могу ответить иначе как признав, что он очень хорош и что если бы он был объяснен в такой форме с самого начала, то я абсолютно не стал бы противоречить».

Страсти постепенно улеглись. 29 июня 1638 года Декарт пишет Мерсенну: «Я вижу, что вы оказали любезность сообщить мне о письмах Ферма в мой адрес, прежде всего относящихся к тому, что он сказал, что его чрезвычайно огорчили слова моей первой статьи. Я смиренно прошу у него прощения за высказанные упреки».

Наконец, в октябре 1638 года Декарт впервые пишет самому Ферма в знак примирения: «Должен признаться, что я никогда не встречал никого, кто производил бы впечатление человека, столь сведущего в геометрии, как вы… Несмотря на это, подобно тому как наш взгляд более пристально задерживается на малейших изъянах бриллианта, чем на крупных огрехах простого камня, так и я посчитал нужным более пристально рассмотреть ваши слова по сравнению со словами любого другого человека, которого я ценил бы не столь высоко».

Но инцидент этим не исчерпался. Декарт видел в Ферма гения и соперника, поэтому побаивался его и старался подорвать его авторитет при любой возможности. Как-то раз, проанализировав работу Ферма об определении касательной к циклоиде (работа не содержала ошибок), Декарт написал Мерсенну, что в труд Ферма вкрались ошибки и Ферма не соответствует званию математика и мыслителя. Декарт занимал заметное положение в научном сообществе того времени, и это, несомненно, повлияло на то, что у многих ученых сложилось ошибочное представление о Ферма.

Но гений Ферма не переставал сверкать. Он первым заложил основы алгебраической геометрии, опередив Декарта с его «Геометрией». Вместе с Паскалем он создал теорию вероятностей. Достигнутые им результаты в алгебре и методы доказательства, которые он использовал, дали начало современной теории чисел. Его вклад в математику этим не ограничивается — мы привели лишь несколько примеров. Наконец, Ферма как математик несомненно превзошел Декарта. Ферма всячески старался сгладить трения и остроумно заметил, комментируя ошибку в «Геометрии», что так ценит гений Декарта, что, несмотря на все имеющиеся ошибки, эта работа достойнее других, в которых нет ни единой неточности.

Теория преломления света

История имела продолжение, когда речь зашла о теории преломления света. После смерти Декарта один из учеников предложил опубликовать все его письма. Он обратился за помощью к Ферма, попросив у того все письма, полученные от Декарта. Это побудило Ферма пересмотреть свою работу о преломлении света. Он остался недоволен своими же рассуждениями и решил заняться этой темой повторно. Именно тогда он сформулировал принцип, согласно которому свет распространяется по траектории, для которой время движения минимально. Этот принцип теперь известен как принцип Ферма. Он был включен в труд «Анализ и синтез преломления лучей», опубликованный примерно в 1660 году. С помощью этого принципа стало возможным дать математическое объяснение закону Снелла. И опять мы видим, с каким упорством Ферма подходил к решению задач. Он возвращался к ним снова и снова, всякий раз совершая новые открытия. Такого же упорства он ждал и от своих современников при решении задач, которые предлагал им.

* * *

ЗАКОН СНЕЛЛА

Если погрузить палочку в воду, то кажется, будто она сломана пополам и что угол наклона в воде и в воздухе отличается. Это оптическое явление, называемое преломлением, происходит из-за того, что скорость света меняется в зависимости от плотности среды, в которой он распространяется. Плотность воздуха меньше, чем воды, и скорость света в воздухе выше, чем в воде, так как в воздухе свет встречает меньше «препятствий» на своем пути.

Виллеброрд Снелл открыл формулу, известную как закон Снелла, которая связывает скорости света в двух средах и углы преломления:

sin θ_1/V_1 = sin θ_2/V_2

Принцип Ферма дает математическое объяснение этому явлению. Согласно этому принципу, свет распространяется по траектории, для которой время движения минимально. Допустим, что, как показано на рисунке, птица хочет попасть из точки А (конец палочки, расположенный над водой) в точку В (конец палочки, погруженный в воду).

Предположим, что птица летит в воздухе со скоростью v_1 а под водой плывет со скоростью v_2. Ферма доказал, что кратчайшим путем из точки А в точку В является не прямая, а линия, повторяющая изгиб палочки. Значит, птица должна следовать вдоль палочки, чтобы как можно скорее попасть в точку В.

Глава 4

Происхождение последней теоремы

Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Пьер де Ферма

В один прекрасный день в руки Ферма попала копия «Арифметики» Диофанта. Во время чтения его мысли витали среди прекрасных математических пейзажей, и в голову ему приходили очередные запутанные задачи, которые он впоследствии предложит математическому сообществу. Среди этих задач была его знаменитая последняя теорема. Из всех его задач доказательство этой теоремы заняло больше всего времени. Ферма записал теорему на полях страницы с задачей 8 из книги II, о чем мы подробнее поговорим чуть позже.

Корни этой загадки Ферма уходят в александрийскую эпоху. С одной стороны находились «Начала» Евклида, датируемые II веком до н. э., с другой стороны — уже упомянутая «Арифметика» Диофанта, написанная пять или шесть веков спустя. На этих двух книгах основывались практически все математические исследования в Средиземноморье и на Востоке на протяжении примерно полутора тысяч лет.

«Начала» Евклида

«Начала» Евклида включают три книги по арифметике (книги VII, VIII и IX). В них впервые упоминается общая теория делимости. Речь идет о наибольших общих делителях и алгоритме их вычисления. Этот алгоритм известен как алгоритм Евклида. Также приводится определение простых чисел и показывается, что их бесконечно много. Помимо этого, говорится о взаимно простых числах и совершенных числах, то есть числах, равных сумме всех своих делителей.

Совершенные числа

История совершенных чисел заслуживает отдельной главы. Поиски совершенных чисел в некотором смысле можно сравнить с поисками знаков π. Несколько из них были известны с самого начала, а остальные находились по мере развития математики. Не обходилось и без ошибок, но со временем их исправляли. Сегодня, в эпоху компьютеров, при всех знаниях, что нам известны, все совершенные числа до сих пор не найдены. Более того, неизвестно даже, является множество совершенных чисел конечным или бесконечным.

Обложка первого английского издания «Начал» Евклида, датируемого 1570 годом.

* * *

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ

В «Началах» Евклида приводится общая формула для нахождения пифагоровых троек, то есть натуральных чисел, которые являются решениями уравнения а^2 + Ь^2 = с^2. Для этого выбираются произвольные натуральные числа m и n, причем m > n. Затем рассчитывается

а = m^2 — n^2; b = 2mn; с = m^2 + n^2.

Полученные числа а, Ь, с удовлетворяют соотношению

а^2 + Ь^2 = (m^2 — n^2)2 + (2mn)2 = m^4 — 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)2 = с^2,

следовательно, они образуют пифагорову тройку. Если мы выберем m и n так, чтобы они были взаимно простыми и только одно из них было четным, то по этой же формуле можно получить все примитивные пифагоровы тройки, то есть те, в которых а, b и с являются взаимно простыми. Отсюда следует, что существует бесконечное количество примитивных пифагоровых троек.

Для каждой тройки можно построить прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут выражены целыми числами. Ферма доказал, что площадь таких треугольников никогда не может быть равна квадрату числа.

* * *

Слово «совершенные» больше связано с эстетикой, чем с математикой. Эти числа красивы не из-за каллиграфического написания, не потому, что их сложно найти и не из-за витиеватости определения. Вместо этого они обладают одним очень простым свойством.

Возьмем в качестве примера число 6. Его делители, то есть числа, на которые оно делится без остатка, — это 1, 2, 3 и 6. Удивительно, но 1 + 2 + 3 = 6, то есть сумма всех делителей, меньших 6, дает в сумме 6. Следующее совершенное число — 28. Его делители равны 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Нетрудно видеть, что 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Следующее совершенное число — 496. Его делители таковы: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 и 496, и нетрудно показать, что 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. Следующее совершенное число — 8128, так как 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128. Эти четыре совершенных числа были известны еще в Античности. Евклид упоминает их в своей книге «Начала» и в теореме 36 книги IX приводит общую формулу для этих чисел.

Появление совершенных чисел

Примерно в 100 году философ Никомах Герасский, представитель неопифагореизма, написал «Введение в арифметику», где приводилась классификация всех чисел. Числа делились на избыточные (сумма делителей которых больше самого числа), недостаточные (сумма делителей которых меньше самого числа) и совершенные (сумма делителей которых равна самому числу). В этой книге объясняется формула Евклида для нахождения совершенных чисел, «которая охватывает все совершенные числа и не включает ни одного, которое таковым не является. Совершенные числа находятся так. Сначала нужно записать в ряд некоторое количество степеней двойки, начиная с единицы и заканчивая любым выбранным вами числом: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096. Для каждого нового члена нужно найти сумму этого ряда. Если результат не является составным числом, его нужно умножить на последнее число, добавленное в ряд. Результат умножения всегда будет совершенным числом. Если же сумма не является простым числом, нужно прибавить к ней следующий член ряда и посмотреть, является ли новая сумма составным числом. Если результат — составное число, нужно продолжать складывать члены ряда. Если же результат является простым числом, его нужно умножить на последний член ряда, результат будет совершенным числом, и так до бесконечности. Это легко проверить на конкретных примерах:

1 + 2 = 3 является простым, следовательно,

(1 + 2)·2 = 3·2 = 6 — совершенное число.

1 + 2 + 4 = 7 является простым, следовательно,

(1 + 2 + 4)·4 = 7·4 = 28 — совершенное число.

1 + 2 + 4 + 8 = 13 не является простым, поэтому мы пропускаем его.

Далее

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 является простым, следовательно,

(1 + 2 + 4 + 8 + 16)·16 = 31·16 = 496 — совершенное число.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 не является простым, поэтому мы пропускаем его.

Наконец, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 — простое, следовательно,

(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64)·64 = 127·64 = 8128 — совершенное число.

С помощью этой формулы действительно можно найти первые четыре совершенных числа. Существует и другая, более простая формула для нахождения совершенных чисел. Нетрудно видеть, что если мы складываем степени двойки, начиная с нулевой и не пропуская ни одной, то результатом будет следующая степень двойки минус один, иными словами,

1 + 2 = 3 = 4–1 = 2^2 — 1;

1 + 2 + 4 = 7 = 8–1 = 2^3 — 1;

1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 — 1 = 2^4  — 1.

И так далее. Таким образом, мы можем преобразовать формулу Евклида и записать ее в современной математической нотации:

6 = (2^2 — 1)·2

28 = (2^3 — 1)·2^2

496 = (2^5 — 1)·2^4

8128 = (2^7 — 1)·2^6.

И всякий раз, когда 2n — 1 простое число, (2n — 1)·2n-1 будет совершенным числом.

Предположения о совершенных числах

Математики Античности, которым были известны первые четыре совершенных числа, выдвигали самые разнообразные предположения. Например, можно заметить, что значение n для первых четырех простых чисел является членом последовательности простых чисел 2, 3, 3, 7. Возникает соблазн предположить, что следующим совершенным числом будет (2^11 — 1)·2^10, но это не так, потому что 2^11 — 1 = 2047 = 23·89. Это число не является простым, следовательно, n = 11 не соответствует совершенному числу.

Также было обнаружено, что первое совершенное число имеет одну цифру, второе — две, третье — три и так далее. Следовательно, считалось, что пятое совершенное число будет иметь пять цифр. Но это не так, потому что пятым совершенным числом является (2^13 — 1)· 2^12  = 8191·4096 = 33 350 336, которое имеет восемь цифр.

Древние также заметили, что последние цифры совершенных чисел чередуются: 6, 8, 6, 8, 6. Следовательно, шестое совершенное число должно заканчиваться на 8. Но и это предположение не подтвердилось, так как шестое совершенное число равно (2^17 — 1)·2^16 = 131 071·65 536 = 8 589 869 056 и заканчивается на 6.

Но не все предположения древних оказывались ошибочными. Они предполагали, что все совершенные числа будут четными и что с помощью данной формулы можно будет найти их все. Это очень легко предположить, но крайне сложно доказать. Лишь в XVIII веке Леонард Эйлер привел первое доказательство того, что подобным образом можно получить все четные совершенные числа. Следовательно, было доказано, что все совершенные числа оканчиваются на 6 или на 8, но эти цифры не чередуются. Но до сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа. Было лишь доказано, что если и существует нечетное совершенное число, то оно должно быть больше 10^300. Однако это не доказывает, что нечетных совершенных чисел не существует, ведь что значат несколько триллионов по сравнению с необозримым бесконечным рядом натуральных чисел?

Портрет Леонарда Эйлера кисти Эмануэля Хандманна. Этот математик XVIII века совершил важные открытия, касающиеся совершенных и простых чисел.

Также была выдвинута гипотеза, что совершенных чисел бесконечно много, но пока это не удалось доказать. Постоянно объявляют о том, что открыто новое простое число Мерсенна. Каждому такому числу соответствует совершенное число. В настоящее время сотни добровольцев участвуют в проекте GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), цель которого — поиск простых чисел Мерсенна. Участники проекта загружают на свои компьютеры программу, написанную Джорджем Вольтманом.

Результат коллективных усилий был объявлен 23 августа 2008 года — было найдено самое большое на тот момент простое число Мерсенна, 243112609  — 1. Ему соответствует самое большое из известных совершенных чисел, 243112608·(243112609 — 1), содержащее 25956376 цифр! 12 июня 2009 года было найдено еще одно простое число Мерсенна, на этот раз несколько меньшее: 242643801 — 1. Ему соответствовало сорок шестое совершенное число, равное 242643800·(242643801 — 1), состоящее из 25674128 цифр! И хотя они встречаются все реже, и каждое следующее намного больше предыдущего, никто не знает, действительно ли их на самом деле бесконечное множество. Участники проекта GIMPS продолжают поиски.

* * *

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА И ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОТКРЫТИЯ

В 1650 году Ферма представил математическому сообществу одну из самых знаменитых задач в истории: нужно было показать, что все числа вида  являются простыми. Все указывало на то, что предположение Ферма было верным. Для n = 0 получим F_0 = 3 — простое число. Для n = 1 получим F_1 = 5 — тоже простое число. F_2 = 17, F_3 = 257 и F_4 = 65 537 — все это простые числа. Лишь в 1732 году Эйлер показал, что F_5 = 4294967297 = 641·6700417, следовательно, оно не является простым. Затем пришлось дождаться 1880 года, когда Ландри разложил на множители F_6 = 274177·67280421310721 настоящий подвиг для эпохи, когда все вычисления производились вручную. В 1975 году Моррисон и Бриллхарт сделали еще один шаг вперед, разложив на множители F_7 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217·5704689200685129054721, на этот раз уже с помощью компьютера. До сегодняшнего дня не найдено больше ни одного простого числа Ферма, но также не доказано, что других таких чисел не существует. Однако разложить подобные числа на простые множители — задача, достойная титанов. Зачем нам знать, являются простыми числа подобного вида или нет? Один из ответов дал Гаусс, доказав, что правильный многоугольник можно вписать в окружность с помощью циркуля и линейки только тогда, когда разложение числа его сторон на простые множители содержит только двойки и разные простые числа Ферма.

Например, с помощью циркуля и линейки в окружность можно вписать треугольник (3 стороны), квадрат (4 = 2^2 стороны), пятиугольник (5 сторон), шестиугольник (6 = 2·3 сторон), восьмиугольник (8 = 2^3 сторон) и десятиугольник (10 = 2·5 сторон), но не семиугольник (7 не является простым числом Ферма) и не девятиугольник (9 = З^2 равно произведению равных простых чисел Ферма). Хотя для этих случаев существуют приближенные построения, точное построение невозможно.

Портрет Карла Фридриха Гэусса.

* * *

АРАБСКАЯ ЗАДАЧА О ЖЕМЧУЖИНАХ

Мальба Тахан (этот псевдоним носил Жулио Сезар де Мелло и Соуза) в своей книге «Человек, который считал», изданной в 1949 году, предлагает очень красивую задачу. «Некий раджа оставил дочерям некоторое число жемчужин и повелел разделить их так: старшей дочери полагалась одна жемчужина и одна седьмая часть оставшихся, второй — две жемчужины и седьмая часть оставшихся, третьей — три жемчужины и одна седьмая часть оставшихся, и так далее для всех остальных дочерей. Младшие дочери обратились к судье, заявив, что этот способ совершенно несправедлив по отношению к ним. Судья славился умением решать задачи и быстро ответил, что просительницы ошибаются и что распределение, предложенное раджой, совершенно справедливо и честно. Судья был прав. После того как были поделены все жемчужины, оказалось, что каждой из дочерей досталось одинаковое число жемчужин. Сколько же было жемчужин и сколько дочерей было у раджи?»

Решение очень простое: жемчужин было 36, дочерей — 6. Первой дочери досталась одна жемчужина и одна седьмая от оставшихся 35, то есть 5. Получается, всего ей полагалось 6 жемчужин, осталось 30. Второй дочери досталось 2 жемчужины и седьмая часть от 28 оставшихся, то есть 4. Она получила 6 жемчужин, осталось 24. Третьей досталось 3 жемчужины и одна седьмая от 21 оставшейся, то есть еще 3, осталось 18. Четвертой досталось 4 из этих 18 и еще седьмая часть от 14, то есть 2. Следовательно, на ее долю также пришлось 6 жемчужин. Пятой дочери досталось 5 из оставшихся двенадцати и одна седьмая от 7 жемчужин, то есть 1, а всего 6. Младшей дочери достались 6 оставшихся жемчужин. Здесь красота задачи сочетается с красотой ее решения. Наследство в 36 драгоценных жемчужин досталось 6 прекрасным девушкам, 6 — совершенное число, а 36 — квадрат совершенного числа.

Графическое представление арабской задачи о жемчужинах

(источник: Мальба Тахан. Человек, который считал).

* * *

«Арифметика» Диофанта

О жизни Диофанта практически ничего не известно. В точности неизвестны даже годы его жизни. Однако до нас дошли несколько дат. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла, давая определение фигурных чисел, следовательно, его труд был написан позднее 150 года до н. э. С другой стороны, Теон Александрийский, отец Гипатии, приводит в своих трудах одно из определений Диофанта, откуда следует, что «Арифметика» было написана до 350 года н. э. Следовательно, мы можем лишь утверждать, что даты рождения и смерти Диофанта находятся в границах этого периода длиной в 500 лет.

Точнее определить годы жизни Диофанта помогает письмо византийского автора XI века Михаила Пселла. В переводе с греческого письмо звучит так: «Диофант управлялся с ней (египетской арифметикой. — Примеч. автора) более умело, но образованный Анатолий объединил важнейшие части доктрины Диофанта, которую тот изложил разрозненно и сжато, и посвятил свой труд Диофанту». Пол Таннери опубликовал это письмо в одном из своих исследований и предположил, что Пселл ссылается на комментарий о Диофанте, источник которого был утерян. Возможно, он был написан Гипатией. Упоминаемый в письме Анатолий был епископом Лаодикеи, писателем и знатоком математики и жил в III веке н. э. Следовательно, можно предполагать, что Диофант написал «Арифметику» примерно в 250 году н. э. Однако не все исследователи согласны с этим переводом, поэтому предложенную дату нельзя считать окончательной.

Обложка книги «Арифметика» Диофанта, напечатанной в Базеле в 1575 году.

Как и в случае с Ферма, точный возраст Диофанта можно определить по его эпитафии. Она содержится в «Греческой антологии», составленной Метродором примерно в 500 году и. э. Одна задача из этого собрания посвящена автору «Арифметики»:

«Прах  Диофанта  гробница  покоит;  дивись  ей  —  и  камень

Мудрым  искусством  его  скажет  усопшего  век.

Волей  богов  шестую  часть  жизни  он  прожил  ребенком.

И  половину  шестой  встретил  с  пушком  на  щеках.

Только  минула  седьмая,  с  подругой  он  обручился.

С  нею  пять  лет  проведя,  сына  дождался  мудрец;

Только  полжизни  отцовской  возлюбленный  сын  его  прожил.

Отнят  он  был  у  отца  ранней  могилой  своей.

Дважды  два  года  родитель  оплакивал  тяжкое  горе,

Тут  и  увидел  предел  жизни  печальной  своей».

(Перевод С.П. Боброва)

Если мы обозначим возраст Диофанта за х, то его детство длилось х/6 лет, он женился по прошествии х/7 лет, его борода росла х/12 лет. Его сын родился 5 лет спустя и прожил х/2 лет. Отец умер 4 года спустя после смерти сына. Получим:

х = х/6 + х/7 + х/12 + 5 + х/2 + 4.

Умножив обе части равенства на 84, получим:

84х = 84· х/6 + 84·х/7 + 84·х/12 + 84·5 + 84·х/2 + 84·4.

Упростим равенство:

84х = 14х + 12х + 7х + 420 + 42х + 336.

Перенеся все члены с х в одну часть, получим:

84х — 14х — 12х — 7х — 42х = 420 + 336.

Отсюда 9х = 776, следовательно, х = 156/9 = 84. Таким образом, Диофант женился в 26 лет, сын родился, когда ему было 38 лет. Сын прожил 42 года — в два раза меньше, чем отец. Однако нам неизвестно, является эта задача полностью вымышленной или же, напротив, она основана на реальных событиях жизни математика.

* * *

КНИГИ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА

«Арифметика» Диофанта состоит из 13 книг на греческом языке, из которых до нас дошли шесть. Кроме этого, в 1972 году обнаружилась арабская рукопись, включающая еще четыре книги, по содержанию не совпадающие с книгами, дошедшими до нас на греческом. В них описывается ряд задач по нахождению рациональных решений алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Шесть книг на греческом содержат 189 задач. Они распределяются так:

Книга I: приведены 25 задач для уравнений первой степени и 14 — для второй степени.

Книга II состоит из 35 задач. Задача под номером 8, несомненно, самая известная из всех, так как именно она навела Ферма на мысль о его теореме.

Книга III содержит 21 задачу. Наиболее известной является 19-я, в которой впервые применяется геометрический метод решения.

Книга IV содержит 40 задач, в большинстве из них речь идет о кубах чисел.

Книга V содержит 30 задач. В 28 из них идет речь об уравнениях второй и третьей степени. Последняя, 30-я задача — это задача о смесях.

Книга VI содержит 24 задачи. Они посвящены поиску прямоугольных треугольников с рациональными сторонами.

Обложка одного из изданий «Арифметики» Диофанта, опубликованного в 1670 году сыном Ферма уже после смерти отца. В это издание были включены комментарии, сделанные знаменитым математиком.

* * *

Важность «Арифметики»

Важность работы Диофанта сложно переоценить. Предложенные им задачи бросают вызов гениальности и творчеству и воспевают красоту математики. Хотя Диофант не применял сложные алгебраические обозначения, он ввел в употребление некоторые символы. Так, он обозначал сокращениями неизвестную и степени неизвестной. Это позволило упростить запись уравнений. Он также использовал сокращение, обозначавшее равенство. Поэтому его работа стала важным шагом в переходе от словесной к символьной алгебре.

Также очевидно, что Диофант уделял больше внимания частным, а не общим случаям. Очевидно, переход к общим случаям был слишком большим шагом вперед. Однако некоторые из методов Диофанта можно легко распространить на более общие случаи. Тем не менее, ему явно не хватало средств алгебраической нотации, чтобы записать более общие методы. Например, Диофант мог обозначать только одну неизвестную, и всякий раз, когда в решении появлялись различные неизвестные, он называл их «первая неизвестная», «вторая неизвестная», «третья неизвестная» и так далее. У него в распоряжении также не было символа для обозначения произвольного числа n, поэтому выражение (6n + 1)/(n^2 + n) требовалось записывать словами:

«Число, умноженное на шесть и увеличенное на один, которое делится на сумму его квадрата и этого же числа». Нетрудно видеть, что записывать сложные выражения в подобном виде было непросто. Лишь Виет сделал решающий шаг к современной алгебраической нотации.

* * *

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НОТАЦИЯ ВИЕТА

Сегодняшнюю математику нельзя представить без символьной нотации. Но она формировалась в течение многих тысяч лет. Буквенные обозначения в своих доказательствах использовали уже Диофант и Евклид, но окончательный переход к алгебраической нотации осуществил Виет. В своей книге In artem analyticem isagoge («Введение в аналитическое искусство»), написанной в 1591 году, Виет уделил особое внимание алгебраическим методам и привел их систематическое изложение. Его метод контрастировал с синтетическим методом, который использовали греки для доказательства теорем. Он применил новый подход к тому, что было известно на тот момент, и стремился, чтобы ни одна математическая задача не осталась нерешенной. Тот же Виет без тени сомнения утверждал, что благодаря алгебре будет возможно решить все задачи. Развитие математической нотации можно оценить на следующем примере. Здесь записан один и тот же многочлен в нотации Диофанта, нотации Виета и современным способом.

Способ записи Диофанта:

Способ записи Виета: CC — CQ + QQ — C + Q — N + 1

Современная нотация: х^6 — х^5 + х^4 — х^3  + х^2 — х + 1.

* * *

Распространение заветов Диофанта

Европейские математики начали открывать для себя наследие Диофанта усилиями немецкого математика и астронома Иоганна Мюллера, также известного как Региомонтан. Около 1463 года он обнаружил копию «Арифметики» в Венеции и обратил внимание, что «никто до сей поры не перевел с греческого на латынь тринадцать книг Диофанта, в которых сокрыт истинный цвет математики». Примерно в 1570 году Рафаэль Бомбелли перевел часть «Арифметики», но его труд так и не был опубликован. Тем не менее он использовал многие задачи Диофанта в своей книге под названием «Алгебра». В 1575 году Вильгельм Гольцман, известный также под именем Ксиландр, опубликовал в Базеле книгу «Сочинения Диофанта Александрийского в шести книгах» (Diophanti Alexandrini Rerum libri sex) — первый перевод книги Диофанта на латынь. В 1621 году Баше де Мезириак сделал еще один шаг, опубликовав в Париже новый перевод под следующим названием: «"Арифметика" Диофанта Александрийского в шести книгах и одна книга о многоугольных числах, переведенные с латыни и греческого, с иллюстрациями» (Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex, et de Numeris multangulis liber unus. Nunc primun graece et latini editi atque absolutissimis commentariis illustrati). Это издание содержит исходный текст на греческом, его перевод на латынь, а также ряд примечаний и комментариев.

Портрет Йоганна Мюллера, который в XV веке обнаружил копию труда Диофанта.

* * *

ГИПАТИЯ АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ

Жизнь Гипатии окутана легендами. О точной дате ее рождения ведутся споры. Год смерти известен точно — 415 год, но историки расходятся во мнениях относительно того, сколько лет было Гипатии на момент смерти. Ее отец, Теон, был известным ученым и преподавателем математики в Александрии. Он воспитал в Гипатии любовь к наукам. Он также рассказал ей о мировых религиях и обучил физическим упражнениям, чтобы сохранять тело сильным и здоровым. Гипатия очень быстро стала превосходным оратором, и многие приезжали из других городов, чтобы обучиться у нее ораторскому искусству. Среди ее учеников были язычники и христиане. Они принадлежали к аристократии, некоторые занимали очень высокие посты. Философ Дамаский писал, что «достигнув высочайшего мастерства в искусстве обучения, она также была справедливой и мудрой и всю свою жизнь оставалась невинной».

Гипатия изучала астрономию, астрологию и математику. Синезий в письмах упоминает, что Гипатия, будучи его ученицей, усовершенствовала астролябию и изобрела гидрометр. Она также была редактором и автором комментариев для множества книг по математике, среди которых отметим «Конические сечения» Аполлония и «Арифметику» Диофанта. Благодаря ее усилиям эти книги стали доступнее читателям и сохранились на протяжении многих веков. В 415 году Гипатия была убита во время столкновений между последователями епископа Кирилла и префекта Ореста, ее бывшего ученика.

На этом фрагменте картины Рафаэля «Афинская школа» на переднем плане изображен Пифагор, а чуть дальше — Гапатия Александрийская в белой тунике.

* * *

Перевод Баше дал огромный толчок развитию теории чисел. Тот же Баше решил диофантовы уравнения первой степени вида ах + by = cz. Позднее Альбер Жиро идеально точно выделил целые числа, представимые в виде суммы двух квадратов. Наконец, Ферма изобрел новый общий метод доказательства, так называемый метод бесконечного спуска, и применил его для доказательства своей теоремы при n = 4.

До выхода перевода Баше теория чисел не вызывала интереса математиков. Считалось, что задачи теории чисел — не более чем математические курьезы, любопытные, но носящие частный характер. Объектами всеобщего внимания в то время были геометрия и анализ. Но после публикации трудов Ферма теория чисел быстро привлекла к себе интерес наиболее выдающихся математиков: Виета, Декарта, Гаусса, Эйлера, Якоби, Лагранжа, Лежандра, Дирихле, Дедекинда, Кронекера и многих других. Это лишь часть обширного перечня ученых, которые занимались исследованиями теории чисел — «королевы математики», как считал Гаусс.

Портрет математика XVIII века Жозефа Луи Лагранжа, который изучал различные задачи, поставленные Ферма.

* * *

РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Диофантовы уравнения имеют целые коэффициенты и целые решения. Сначала удалось решить диофантовы уравнения первой степени, что позволило найти решения многих практических задач. Рассмотрим один наглядный пример. Допустим, что наш сосед отправился за покупками и хочет купить растительного масла на целый год вперед. Вернувшись из магазина, он сказал, что нашел два сорта масла — один по 3,24 евро за литр, другой по 4,50 евро за литр — и что всего он потратил 43,20 евро. В ответ мы говорим, что И бутылок будет явно недостаточно на весь год.

Как мы узнали, сколько бутылок купил сосед, если мы даже не открывали пакеты, которые он принес из магазина? Обозначим за х число бутылок стоимостью 3,24 евро, за у — число бутылок по 4,50 евро. Выразим потраченную сумму с помощью уравнения и получим 3,24х + 4,50у = 43,20. Это уравнение имеет дробные коэффициенты, но если умножить обе части на 100, получим уравнение с целыми коэффициентами: 324х + 450у = 4320. Следовательно, нужно найти такие х и у, для которых это равенство было бы верным. Они должны быть целыми, так как число бутылок каждого сорта обязательно целое. Необходимое и достаточное условие наличия целых корней уравнения с целыми коэффициентами таково: наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных должен быть делителем свободного члена. Наибольший общий делитель 324 и 450 равен 18. 4320 нацело делится на это число. Поделив обе части уравнения на 18, получим 18х + 25у = 240. Теперь мы можем составить таблицу решений для этого уравнения. Для этого будем присваивать х целые значения, начиная с 0, и находить соответствующие значения у, которые удовлетворяют уравнению, то есть такие, что у = (240 — 18х)/25.

Из этой таблицы видно, что единственными целыми положительными решениями являются х = 5, у = 6, следовательно, всего наш сосед купил 11 бутылок растительного масла. Со временем методы решения уравнений подобного типа совершенствовались и были реализованы в компьютерных программах и инженерных калькуляторах.

* * *

В 1885 году сэр Томас Хит опубликовал первый перевод «Арифметики» на английский язык. Второе издание этого замечательного перевода увидело свет в 1910 году. В него были включены комментарии Баше, Ферма и других. Многие античные авторы оставляли в книгах свои комментарии. В различные издания и переводы часто включались примечания редактора и переводчика, но при этом не указывалось, что именно является частью исходного текста, а что — комментариями. Возможно, тогда считалось, что настоящий шедевр строится со временем и любой желающий может изучить его и дополнить чем-то новым. Следовательно, с исторической точки зрения очень важно иметь как можно больше изданий одной и той же книги, чтобы видеть, как ее текст изменялся со временем.

Изучив рукописи, которые сохранились до наших дней, Таннери предположил, что все они имеют один общий источник. По-видимому, этим общим источником является издание «Арифметики» с комментариями Гипатии Александрийской. Согласно этой же теории, данный труд включал именно те шесть книг, которые дошли до наших дней. Утерянными оказались те книги, которые не были прокомментированы Гипатией. Если это так, то именно усилиями Гипатии до нас дошла часть наследия Диофанта. Также весьма вероятно, что сама Гипатия существенно дополнила эти книги. В настоящее время исследователи продолжают работу, и окончательный ответ все еще не найден.

Обзор задач из «Арифметики» Диофанта

Один из экземпляров издания с комментариями Баше попал в руки Ферма. Тот прекрасно владел латынью и греческим и мог читать «Арифметику» на двух языках. Кроме того, это издание уже содержало комментарии, словом, служило идеальной отправной точкой для новых комментариев.

Задача 32 из книги II

Эта задача формулируется так:

«Найти три числа, таких что квадрат любого из них, сложенный со следующим числом, дает квадрат».

Можно использовать любые способы решения. Возможно, если нам повезет, мы сможем найти верный ответ. Можно начать, например, с того, что выбрать в качестве первого числа 1. Теперь, по условию, его нужно возвести в квадрат и прибавить к нему следующее из трех чисел, при этом результат должен также являться квадратом. Например, 1^2 + 3 = 4 = 2^2. Итак, мы выбрали 1 и 3. Теперь возведем 3 в квадрат и прибавим к нему некое число так, чтобы результат тоже был квадратом. Например, З^2 + 7 = 16 = 4^2. Имеем 1, 3 и 7. Теперь осталось совершить последний шаг цикла и подтвердить, что 7 в квадрате, сложенное с 1, также дает квадрат: 7^2 + 1 = 50. Увы, но 50 не является квадратом. Следовательно, нужно начинать все сначала и попробовать другие числа. Эта задача подобна головоломке: нужно правильно расставить все элементы по своим местам. Ферма проводил многие часы за решением подобных задач. Они бросали вызов его воображению, и такой же вызов позднее бросил современникам он сам.

Решение задачи 32

Диофанту было известно решение этой задачи, и непохоже, что он нашел его случайно. Скорее всего, ему был известен некий загадочный метод решения. Решение, предложенное Диофантом, таково:

«Обозначим первое число за х, второе примем равным 2х + 1, третье — 2(2х + 1) + 1, то есть 4х + 3, так что два условия задачи выполняются. Последнее условие формулируется так: (4х + 3)2 + х = квадрат = (4х — 4)2. Следовательно, х = 1/51, а тройка искомых чисел такова: 7/57, 71/57, 199/57».

Как получилось, что подобные выкладки приводят к верному ответу? Нет никаких сомнений, что Диофант был выдающимся математиком. Он обозначил первое число за х. Второе число он мог выбрать любым способом, но обозначил его за 2х + 1, потому что знал, что х^2 + 2х + 1 = (х + 1)2, следовательно, выполнялось первое условие. Третье число он также мог выбрать произвольным образом, но выбрал 2(2х + 1) + 1, то есть 4х + 3, поскольку он знал, что (2х + 1)2 + 2(2х + 1) + 1 = (2х + 2)2, следовательно, выполнялось и второе условие. Остается лишь третье условие, а именно: (4х + 3)2 + х = квадрат. Здесь снова проявляется гений Диофанта: он понял, что этот квадрат может быть представлен в виде (4х — 4)2, и в этом случае для решения задачи достаточно найти корни очень простого уравнения.

(4х + 3)2 + х = (4х — 4)2.

Раскрыв скобки, получим:

16х^2 + 24х + 9 + x = 16х^2 — 32х + 16.

Сократив 16х^2, имеем:

24х + 9 + х = —32х + 16.

Перенесем все члены с х в одну часть и получим:

24х + х + 32х = 16 — 9 —> 57х = 7 —> х = 7/37.

Мы нашли первое из искомых чисел. Теперь нетрудно найти второе число, равное 2х + 1 = 71/57, и третье, равное 4х + 3 = 199/57. Наконец, легко показать, что

(7/57)2 + 71/57 = 4096/3249 = (64/57)2 (первое условие);

(71/57)2  + 199/57 = 16384/3249 = (128/57)2 (второе условие);

(199/57)2 + 7/57 = 40000/3249 = (200/57)2 (третье условие).

Особенности задачи

На примере этой задачи мы можем оценить всю красоту стиля Диофанта, которым, должно быть, восторгался и Ферма. Эта задача красива, но явно непрактична. Кому может быть интересно решить ее? Она не нужна, чтобы подсчитать урожай, измерить землю или узнать расположение звезд. Она лишь показывает одно из свойств рациональных чисел. Интерес этой задачи заключен в музыке чисел, в беспрестанных попытках понять их внутреннюю гармонию и ритм. Однако чтобы решить ее, требуется весь математический аппарат и все доступные средства. Так, именно размышления об «Арифметике» навели Виета на мысль о создании основ алгебраической нотации, которая используется и сейчас. Он пытался сделать труд Диофанта понятнее читателю и найти средство для решения все более сложных задач. Ферма, вдохновленный «Арифметикой», сформулировал новые задачи и нашел новые способы доказательства, которые снова вызвали интерес к теории чисел, ставшей со временем одним из самых многообещающих разделов математики. Простые числа, которые в свое время интересовали древних греков, сегодня используются в сложнейших системах шифрования информации и моделирования Вселенной.

С другой стороны, решенная задача имеет чисто арифметический смысл. Если бы задача имела геометрический смысл, то сложение числа, возведенного в квадрат, с другим числом было бы равносильно сложению площади и длины — величин разных порядков. Теорема Пифагора — совершенно иной случай: она гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть площадь двух квадратов, построенных на катетах, равна площади большого квадрата, построенного на гипотенузе. В этом равенстве все величины имеют один порядок. В теореме Ферма все степени также имеют одинаковые показатели: хn + уn = zn. При n = 3 можно представить, что мы складываем объемы кубов и получаем объем третьего, большего куба. Для больших степеней речь будет идти уже о многомерных фигурах в многомерных пространствах.

Параллельные рассуждения

Эта задача также характеризуется тем, что ее решение нетривиально. Его сложно найти случайно. Подобным свойством обладают и многие другие задачи из «Арифметики». Кроме этого, Диофант довольствовался одним частным решением и не стремился решить задачу в общем виде, чтобы найти все возможные решения. Несмотря на это, его результаты открывают возможность провести параллельные рассуждения, с помощью которых можно найти новые решения, не упоминаемые в книге.

Например, если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 4х — 5, то получим другое, полностью корректное решение:

(4х + 3)2 + х = (4х — 5)2 —>

16х^2 + 24х + 9 + х = 16х^2 — 40х + 25 —>

24х + 9 + х = — 40х + 25 —>

24х + х + 40х = 25 — 9 —>

65х = 16 —>

х = 16/65.

Мы получили еще одно решение: 16/65, 97/65, 259/65.

Если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 5х — 3, то получим еще одно корректное решение:

(4х + З)2 + х = (5х — 3)2 —>

16х^2 + 24х + 9 + х = 25х^2 — 30х + 9.

Сократив девятки в обеих частях равенства, получим:

16х^2 + 24х + х = 25х^2 — 30х.

Поделив обе части на х, имеем:

16х + 24 + 1 = 25х 30 —>

24 + 1 + 30 = 25х — 16х —>

55 = 9х —>

х = 55/9.

Мы получили еще одно решение: 55/9, 119/9, 247/9. Теперь нам открываются новые задачи. Например, существуют ли целые решения, которые удовлетворяют этим условиям?

Задача 29 из книги IV

Еще одна, также очень известная задача из «Арифметики» — это задача 29 из книги IV. Она звучит так:

«Найти четыре квадрата, сумма которых, увеличенная на сумму их сторон, будет равна данному числу».

И снова мы видим всю гениальность Диофанта:

«Пусть дано число 12. х^2  + х + 1/4 — квадрат. Следовательно, сумма четырех квадратов + сумма их сторон + 1 = сумма других четырех квадратов = 13. Следовательно, нужно разделить 13 на четыре квадрата, и, если мы вычтем 1/2 из всех его сторон, получим стороны искомых квадратов.

Имеем 13 = 4 + 9 = (64/23 + 36/25) + (144/25 + 81/25), и стороны искомых квадратов равны 11/10, 7/10, 19/10, 13/10. Их квадраты соответственно равны 121/100, 49/100, 361/100, 169/100».

Рассуждения полностью корректны для частного случая n = 12. Эту задачу в современной форме записи можно представить так:

«Найти x_1, х_2, х_3, х_4 такие, что

х_1^2 + х_2^2 + х_3^2 + х_4^2 + х_1 + х_2 + х_3  + х_4 = n,

где n — данное число».

Прибавив 1 к обеим частям равенства, получим

х_1^2 + х_2^2 + х_3^2 + х_4^2 + х_1 + х_2 + х_3  + х_4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = n + 1.

Переупорядочив слагаемые и предположив, что n = 12, имеем

х_1^2 + х_1 + 1/4 + х_2^2 + х_2 + 1/4 + х_3^2 + х_3  + 1/4 + x_4^2 + х_4 + 1/4 = 12 + 1.

Принимая во внимание, что х^2 + х + 1/4 = (х + 1/2)2, можно записать следующее:

(x_1 + 1/2)2 + (х_2+ 1/2)2 + (х_3 + 1/2)2 + (х_4 + 1/2)2  = 13.

Осталось лишь представить 13 в виде суммы четырех квадратов. В данном конкретном случае нетрудно заметить, что 13 является суммой двух квадратов, 4 и 9. Используя теорему Пифагора, нетрудно выразить каждое из этих чисел в виде суммы двух квадратов, как делает сам Диофант в других задачах «Арифметики».

Числа 4, 3, 5 образуют пифагорову тройку: 4^2 + 3^2 = 5^2. Поделив обе части равенства на 5^2, получим (4/5)2 + (3/5)2 = 1. Теперь, если мы умножим обе части равенства на 2^2, получим (8/5)2 + (6/5)2 = 2^2, то есть (64/25) + (36/25) — 4. Если умножить обе части равенства на З^2, получим (12/5)2 + (9/5)2 = З^2, то есть (144/25) + (81/25) = 9 — именно такое разложение и предлагает Диофант. Таким образом, решение найдено:

(х_1 + 1/2) = 8/5,

(x_2 + 1/2) = 6/5,

(x_3 + 1/2) = 12/5,

(x_4 + 1/2) = 9/5.

Вычтем 1/2 из обеих частей каждого равенства и получим ответ, предлагаемый Диофантом. Удивительно, но 13 = 1 + 4 + 4 + 4, то есть представить 13 в виде суммы четырех квадратов можно было намного проще! Подобное разложение дает следующее решение: 1/2, 3/2, 3/2, 3/2.

Загадочное примечание

Баше заметил, что в этой и других задачах «Арифметики» Диофант пользовался тем, что любое число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Он проверил эту закономерность для всех чисел до 325, но ему хотелось найти строгое доказательство. Здесь в дело вступил гений Ферма: «Я первым открыл замечательную теорему, которая гласит: всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трех треугольных чисел; всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трех или четырех квадратных чисел; всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел и так далее до бесконечности для шестиугольников, семиугольников и любых других многоугольников, изменяя формулировку этой удивительной теоремы в соответствии с числом углов».

Он писал: «Доказательство этой теоремы зависит от различных и запутанных свойств чисел, и я не могу привести его здесь. Я решил посвятить этому вопросу отдельный и полный труд и тем самым удивительным образом продвинуть арифметику далеко за пределы, известные еще с древних времен».

Но эта работа так никогда и не увидела свет. Написал ли ее Ферма? Действительно ли ему удалось найти какое-то доказательство? Неизвестно. Это еще одна загадка Ферма. Известно лишь, что этой задачей занимались математики масштаба Лежандра, Лагранжа, Эйлера и Гаусса, и каждому из них удалось внести свой вклад в ее решение.

В 1770 году Жозеф Луи Лагранж доказал случай для квадратов, то есть утверждение, что любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Доказательство этой теоремы для треугольных чисел принадлежит Гауссу, который 10 июля 1796 года записал в дневнике: «**EYRHKA num = Δ + Δ + Δ».

Этот частный случай оказался эквивалентен следующему утверждению: любое число вида 8m + 3 можно представить в виде суммы трех нечетных квадратов. Дирихле, в свою очередь, изучал, сколькими способами можно представить данное число в виде суммы трех треугольных чисел. Наконец, в 1813 году Коши привел полное доказательство. Для полного решения задачи, вкратце записанной на полях книги, понадобилось почти 150 лет.

Портрет математика Огюстена Луи Коши, который завершил доказательство теоремы, сформулированной Ферма на основе задачи 29 книги IV «Арифметики» Диофанта.

Возвращаемся ко второй книге: задача 8

Задача 8 книги II, несомненно, является важнейшей вехой в истории, которая рассказывается в этой книге. Эта задача звучит так:

«Представить квадратное число в виде суммы двух квадратов».

Затем Диофант приводит следующее решение:

«Пусть дано квадратное число 16. Пусть х^2 — один из искомых квадратов. Следовательно, 16 — х^2 также будет квадратом. Возьмем квадрат вида (mx — 4)2, где m — любое целое, 4 — квадратный корень из 16. Возьмем в качестве примера (2х — 4)2 и приравняем это выражение к 16 — х^2. Следовательно, 4х^2 — 16х + 16 = 16 — х^2; 5х^2 = 16х; х = 16/5. Искомыми квадратами являются 256/25 и 144/25».

Здесь использован тот же прием, что и в задаче 32 книги II. Так как значение m может быть произвольным, то задача может иметь бесконечно много решений.

Все эти решения очень легко найти. На полях страницы, где излагается эта задача, Ферма написал комментарий, который вошел в историю:

«Cubum autem in duos cubos, aut quadrate-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».

Что в переводе означает:

«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Другими словами, Ферма утверждал, что уравнение хn  + уn  = zn не имеет рациональных решений при х, у, z, отличных от нуля, и n > 2, и оправдывал отсутствие пояснений тем, что найденное им чудесное доказательство не поместится на полях этой страницы. Это напоминает нам пометку к задаче 29 книги IV. Разумеется, это доказательство никогда не увидело свет.

Этот и другие комментарии Ферма не перестают удивлять нас. С одной стороны, кажется, что Ферма никогда не имел намерений опубликовать их. Поэтому от него не следует ожидать каких-либо подробных доказательств. Они больше похожи на личные заметки, которые были нужны, чтобы затем можно было вспомнить ход рассуждений и заняться углубленным изучением темы. Но, с другой стороны, они написаны так, как будто обращены к читателю. Иначе зачем нужно было объяснять самому себе, что чудесное доказательство не поместится на полях страницы или что он не приводит доказательство, так как позднее надеется опубликовать отдельную большую книгу по этой теме? По-видимому, эти пометки действительно были частью его личного дневника, но в то же время Ферма хотел подготовить издание «Арифметики» со своими комментариями.

Вклад Ферма

Как бы то ни было, комментарий не пропал напрасно. Ферма много раз возвращался к нему и действительно хотел привести в порядок и записать свое «чудесное доказательство». Первое, что понял Ферма: из любого рационального решения можно получить целое решение путем умножения на наименьшее общее кратное знаменателей.

Следовательно, достаточно показать, что уравнение не допускает целых решений. С другой стороны, нетрудно видеть, что достаточно доказать лишь случаи для n = р, где р — простое, и для n = 4. Все остальные случаи будут доказаны автоматически. Если n = рm, то уравнение хn + уn = zn будет иметь вид хmр + уmр = zmp, откуда получим (хm)р + (уm)р = (zm)p. Если для показателя степени р решения отсутствуют, то они также отсутствуют для показателей степени, кратных р. Аналогично понятно, что если решения отсутствуют для n = 4, то их также не будет для показателей степени, кратных 4. Поэтому Ферма сосредоточил внимание на том, чтобы доказать, что его уравнение не имеет целых решений для n = р, где р — простое, и для n = 4.

Страница книги II «Арифметики» Диофанта издания 1670 года. На этой странице приведена задача 8 и комментарий Ферма.

По-видимому, это указывает на то, что ему действительно удалось доказать частные случаи для n = 3 и n = 4. Доказательство для n = 3 не сохранилось, но Ферма ссылается на него в некоторых письмах. Доказательство для n = 4 сохранилось, и его можно назвать поистине мудрым. В нем впервые представлен метод бесконечного спуска: доказывается, что если существуют три значения х, у, z натуральные и отличные от нуля, которые удовлетворяют уравнению х^4 + у^4 = z^4, то можно найти три других, меньших натуральных числа, отличных от нуля, х', у', z', которые также будут удовлетворять этому уравнению. Продолжая подобные рассуждения, мы придем к тому, что всякий раз будем получать всё меньшие и меньшие решения, при этом они будут натуральными и отличными от нуля. Но это приводит к противоречию: натуральные числа не могут быть бесконечно малыми. Следовательно, таких решений не существует.

* * *

ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ФЕРМА ДЛЯ СТЕПЕНИ 3

Хотя уравнение х^3 + у^3 = z^3 не имеет целых решений, отличных от нуля, они «почти» есть, так как некоторые значения х, у, z «почти» удовлетворяют этому уравнению. Нетрудно видеть, что 5^3 + 6^3 = 7^3 — 2 всего на две единицы отличается от равенства, приведенного Ферма. Еще более удивительный случай: 6^3  + 8^3 = 9^3 — 1. Кажется невероятным, что мы подобрались так близко к решению, но тем не менее не существует целых чисел, которые бы удовлетворяли уравнению!

Что произойдет, если мы добавим новый член в уравнение Ферма? Удивительно, но в этом случае оно будет иметь целые решения, отличные от нуля! Так, 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3, 7^3 + 14^3 + 17^3 = 20^3.

В одном из эпизодов сериала «Симпсоны» можно увидеть равенство 1782^12 + 1841^12 = 1922^12.

Неужели Лизе Симпсон удалось решить загадку Ферма? После более тщательного анализа становится понятно, что эти числа «почти» являются решением, так как равенство выполняется с точностью до девятого знака. В другом эпизоде приводится еще более точное решение. В серии «Волшебник с вечнозеленой террасы» упоминается равенство 3987^12 + 4365^12 = 4472^12 — еще одно «почти» решение, левая и правая части которого совпадают с точностью до десятого знака, и, кроме этого, цифры первых разрядов также совпадают. Обнаружить эту неточность с помощью обычного восьмиразрядного калькулятора невозможно.

* * *

Ферма полагал, что найденный им метод бесконечного спуска является общим методом, который можно использовать в доказательствах любых теорем теории чисел, подобно тому как Декарт считал, что все задачи в природе можно решить с помощью аналитической геометрии. Но реальность, как всегда, оказалась шире подобных представлений. Ее многообразие нельзя охватить каким-то одним методом, сколь мощным бы он ни был. Всегда будут находиться исключения, которые будут бросать вызов человеческому разуму, и человеку нужно будет постоянно превосходить самого себя, чтобы достигнуть новых и новых высот. Именно это произошло с последней теоремой Ферма.

С помощью метода бесконечного спуска Ферма нашел доказательство для n = 3, но, возможно, он понял, что доказать теорему аналогичным способом для высших степеней не удастся. Но даже несмотря на это, вклад Ферма остается поразительным — доказав теорему для n = 4, он создал новый математический метод, оказавшийся удивительно многогранным.

Кроме этого, он доказал свою теорему для половины всех возможных показателей, что уже немало. Тем не менее, вопрос о доказательстве теоремы для всех остальных случаев оставался открытым. С тех пор на него пытались ответить самые выдающиеся математики, но безуспешно.

Труды Ферма были опубликованы после его смерти. На рисунке — титульный лист одной из книг Ферма, изданной в XIX веке.

Гений, который не публиковал своих работ

Мы неоднократно упоминали, что Ферма не хотел публиковать свои работы. Но это не совсем так. Уже в 1636 году он отправил Мерсенну изложение своего метода нахождения максимумов и минимумов и попросил показать эту работу парижским математикам. Кроме этого, в своей переписке, которую он вел на протяжении всей жизни, Ферма не просто предлагал новые задачи, но и указывал пути их решения, а в некоторых случаях подробно объяснял свои методы.

В 1654 году Ферма возобновил переписку с парижскими математиками. Блез Паскаль обратился к нему с просьбой прокомментировать его идеи о вероятностях, и Ферма гениальным образом увидел связь между вероятностями и комбинаторикой. В своих письмах Паскаль заложил основы новой математической дисциплины — теории вероятностей, и Ферма воспользовался моментом, чтобы представить некоторые из своих последних результатов.

С одной стороны, Ферма предлагал новые задачи теории чисел Блезу Паскалю, Жилю Робервалю, Джону Валлису, Уильяму Броункеру, Бернару Френиклю де Бесси и многим другим. Среди этих задач были следующие: найти все целые решения уравнения Nx^2 + 1 = у^2, где N не является квадратом; доказать, что уравнение х^2 + 2 = у^3 имеет только одно решение на множестве натуральных чисел; доказать, что

Уильям Броункер был одним из многих математиков, с кем переписывался Ферма.

С другой стороны, Ферма попросил Паскаля и де Каркави, чтобы они помогли ему найти издателя для его книги «Использование корней второй и высших степеней в анализе». С этой целью 9 августа 1654 года он пишет де Каркави: «Если это не оскорбит вас, не могли бы вы (здесь имеются в виду де Каркави и Паскаль. — Примеч. автора) сделать возможной печать (имеется в виду печать его книги. — Примеч. автора), для чего я не возражаю, чтобы вы вносили любые изменения, прояснив некоторые понятия, которые, по вашему мнению, изложены слишком кратко, избавив меня таким образом от этой тягостной задачи, завершить которую мне мешают другие дела. Мне бы хотелось, чтобы в работе не упоминалось мое имя, и я даю вам право приписать авторство этого труда тому, кого вы считаете вашим другом». Де Каркави, в свою очередь, обратился к Гюйгенсу. Но никому из них так и не удалось опубликовать эту книгу Ферма. Шло время, и работам Ферма стало угрожать забвение.

* * *

СЛУЧАЙ ДЛЯ 4К + 1

Примером неполных объяснений, которые встречаются в Relation des nouvelles découvertes en la science des nombres, являются способы доказать, что любое простое число вида 4k + 1 можно представить как сумму двух квадратов. Нужно начать с предположения, что существует простое число вида 4k + 1, которое нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Тогда можно убедиться, что существует простое число, меньшее данного, которое также нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Это ведет к противоречию, так как путем подобных рассуждений мы придем к числу 5 — наименьшему из простых чисел подобного вида, но его можно представить как сумму двух квадратов: 5 = 2^2 + 1^2. Следовательно, исходное утверждение доказано. Но Ферма не объясняет, как совершить переход от большего простого числа к меньшему. Лишь через несколько десятилетий Эйлер восстановил действия, пропущенные в доказательстве Ферма. Это еще один пример того, как Ферма нашел доказательство, но не потрудился записать его.

* * *

Он понимал это и решил исправить ситуацию наилучшим известным ему способом: продолжал писать письма. Он не хотел публиковать книги под своим именем. Ему было важно лишь то, чтобы они увидели свет и тем самым способствовали развитию науки. В 1659 году он просит де Каркави, чтобы тот отправил Гюйгенсу его труд «Рассказ о новых открытиях в науке о числах» (Relation des nouvelles dücouvertes en la science des nombres). В нем Ферма подробнее, чем обычно, объяснял многие свои методы, но все же не столь подробно, как этого хотелось бы его коллегам.

Ферма умер, так и не найдя издателя, который бы опубликовал его работы. Хотя некоторые из них стали частично известны из его писем, а также публикаций его современников, можно утверждать, что большинство его трудов было бы утеряно навсегда, если бы не сын Ферма, Самуэль, который разделял увлечение отца математикой. В 1670 году Самуэль Ферма опубликовал «Арифметику» Диофанта в переводе Баше с комментариями отца.

Методы, предложенные Ферма, не переставали удивлять его современников. Он внес вклад в создание бесчисленного множества новых теорий, которые зародились именно в ту плодотворную эпоху. Для нахождения максимума и минимума он использовал выражение, подобное производной, и приравнивал его к нулю. Он применил алгебраические методы для решения геометрических задач до Декарта, что позволяет считать его отцом аналитической геометрии. Он занимался решением задач из теории вероятностей и комбинаторики, что дает возможность назвать его, наряду с Паскалем, создателем этих разделов математики. Кроме того, Ферма считается основателем современной теории чисел, в которую он внес огромный вклад и где его ум сверкал по-настоящему. Он также занимался оптикой и механикой. Подобно царю Мидасу, который превращал в золото все, к чему прикасался, Ферма добивался заметных результатов во всех темах, над которыми работал. И всего этого он достиг, работая адвокатом! Если бы он сформулировал уравнение справедливости, то смог бы найти и его решение.

Глава 5

Ингредиенты вкусного блюда

Нет задачи, которая устояла бы под натиском разума.

Вольтер

В 1666 году, спустя несколько лет после смерти ее вдохновителя, Мерсенна, была основана Парижская академия наук. Жан Батист Кольбер, тогдашний министр финансов Франции, выделил значительные средства для этого престижного ныне учреждения. Постепенно в академию стали приглашать ведущих ученых со всего мира, и среди них были многие из тех, с кем переписывался Мерсенн. По сути, именно эта группа ученых дала толчок сему амбициозному проекту и воплотила его в жизнь.

Гран-при Ферма

В 1721 году Парижская академия наук учредила ряд премий, чтобы стимулировать развитие науки в определенных важных областях. Комитет, который выбирал задачи, состоял из общепризнанных экспертов мировой величины. Среди лауреатов этой премии были Колин Маклорен за работы по изучению падения тел (1724 год), Пьер Бугер и Шарль Этьенн Луи Камю за работы о корабельных мачтах (1727 год), Леонард Эйлер за изучение природы огня (1738 год), Шарль Огюстен де Кулон за исследования в теории трения (1781 год), Симеон Дени Пуассон за работы по электричеству и Жан Огюстен Френель за исследования дифракции (1812 год).

В то время задачи, которые оставил миру Ферма, отчаянно пытались решить многие математики, с переменным успехом постепенно доказывавшие сформулированные им утверждения. Теорема, которой посвящена эта книга, упорно сопротивлялась всем попыткам решения, за что получила название последней теоремы Ферма. Академия, с целью простимулировать исследования по этой теме, в 1816 году учредила премию тому, кто приведет доказательство последней теоремы Ферма. Многие ученые работали над этой проблемой и убеждали коллег заняться тем же.

Первые двести лет

Генрих Вильгельм Маттеус Ольберс был врачом и астрономом и проводил многие часы за наблюдениями звездного неба. В 1802 году, за год до Джузеппе Пьяцци, он обнаружил карликовую планету Цереру в том самом месте, где предсказал Гаусс, но затем потерял ее из вида. В 1807 году Ольберс открыл второй астероид и уступил Гауссу право назвать его. Гаусс предложил имя Веста в честь римской богини домашнего очага. Веста — самый яркий из всего пояса астероидов. Иногда его можно наблюдать с Земли невооруженным глазом наравне со звездами шестой величины.

Визит короля Людовика XIV в Парижскую академию наук в 1671 году. Гравюра Себастьяна Леклерка из книги «Мемуары по естественной истории животных».

Несколько миллиардов лет назад Веста потеряла 1 % массы вследствие удара, и множество осколков упали на Землю в виде метеоритов. Ольберс также размышлял над вопросом, почему ночное небо такое темное, несмотря на то что его освещает бесконечное множество звезд, от света которых должно быть светло как днем. Этот парадокс позднее получил название парадокса Ольберса. Когда он узнал о премии Парижской академии, то обратился к своему другу Карлу Фридриху Гауссу и предложил тому стать соискателем этой премии.

Немецкий астроном и врач Генрих Ольберс. Литография Рудольфа Зурландта.

21 марта 1816 года Гаусс ответил: «Признаюсь, что теорема Ферма сама по себе не представляет для меня большого интереса, так как я с легкостью могу сформулировать множество подобных теорем, которые нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть». Несмотря на это, Гаусс тоже работал над решением, что следует из его личных записей, где приведены доказательства для n = 3 и n = 5. Неизвестно, пытался ли Гаусс доказать теорему до того, как Ольберс предложил ему заняться этой темой. Быть может, осознав трудность задачи, он предпочел отклонить приглашение и продолжить работу в одиночку, надеясь получить какой-то значимый результат, достойный публикации. Возможно, он действительно не уделил особого внимания этой задаче и предпочел обратиться к более интересным темам.

Несмотря на слова Гаусса, теорема не давала покоя великим математикам того времени, и они усердно занимались поисками доказательства. Теперь на кону стояла не только премия академии, но также известность и слава. Наступил срок подачи заявок, но доказательство не удалось найти никому! Неудивительно, что в академии совершенно не ожидали такого результата. До учреждения этой премии столь крупный ученый, как Эйлер, пытался найти доказательство, но ему удалось это сделать только для n = 3 примерно в 1760 году. Как уже говорилось в предыдущей главе, возможно, доказательство для этого случая нашел еще Ферма с помощью своего метода бесконечного спуска. Но теперь математическое сообщество могло бы спать спокойно, зная, что доказательство строго оформил и записал Эйлер. Было очевидно, что куб нельзя представить в виде суммы двух кубов, но что можно сказать о бесконечном множестве всех остальных степеней?

Привлекательность теоремы в научном сообществе неуклонно росла. Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (1805–1859) и француз Адриен Мари Лежандр (1752–1833) в 1825 году независимо друг от друга нашли доказательство для n = 5. В 1832 году Дирихле сделал еще один шаг и доказал теорему Ферма для n = 14. В 1839 году француз Габриель Ламе (1795–1870) вошел в историю, доказав теорему для n = 7. Восемь лет спустя он объявил, что ему удалось найти доказательство в общем виде, но он ошибался. Доказать теорему Ферма для нескольких частных случаев удавалось многим математикам. Учитывая, что простых показателей степени бесконечно много, получается, что доказательство теоремы должно было занять бесконечно много времени?

Портрет немецкого математика Иоганна Петера Густава Лежёна-Дирихле.

Неожиданное действующее лицо

Надежда на то, что несколько случаев можно объединить в рамках одного доказательства, появилась благодаря усилиям француженки Софи Жермен (1776–1831) — возможно, величайшей женщины-математика всех времен. В 1823 году она доказала, что если р и 2р + 1 — два простых числа, больших 2, то хр + ур  = zp не имеет примитивных решений (то есть взаимно простых), в которых xyz не делилось бы на р. Согласно правилам академии, женщины не могли подавать свои работы лично, поэтому результаты Софи Жермен были переданы научному сообществу Лежандром и его коллегой Огюстеном Луи Коши.

Как уже говорилось в предыдущей главе, если бы теорему удалось доказать для всех показателей степени, являющихся простыми числами, то она была бы доказана для всех натуральных. Аналогично нетрудно видеть, что если целые решения х, у, z имеют общий множитель, то, поделив обе части на этот множитель, мы снова получим целое решение. Следовательно, доказательство теоремы для примитивных решений является ее общим доказательством для всех случаев. Начиная с работ Жермен стали различать два случая на множестве решений. Первый случай — ни х, ни у, ни z не делятся на р. Второй случай — либо х, либо у, либо z делится на р. Как говорил Лежандр, «одним росчерком пера» доказательство Жермен превращалось в доказательство теоремы Ферма для первого случая, то есть для огромного множества чисел. Для тех чисел, которых не хватало, чтобы доказать теорему для всех чисел меньше 100, доказательство привел сам Лежандр.

Письмо Софи Жермен математику Жозефу Луи Лагранжу. Благодаря этой французской женщине-математику в доказательстве последней теоремы Ферма был сделан большой шаг вперед.

* * *

РЕШЕНИЕ СОФИ

Софи Жермен родилась в Париже в 1776 году. Она была дочерью преуспевающего торговца шелком. В семье регулярно обсуждали политику и философию. В 13 лет Софи прочитала знаменитую историю о смерти Архимеда от рук римского солдата. Впечатленная девочка тоже решила стать математиком. В разгар французской революции родители держали ее взаперти почти восемь лет, чтобы защитить ее. Девушка воспользовалась случаем и начала изучать математику в родительской библиотеке. Софи днем и ночью украдкой читала книги Ньютона и Эйлера.

Решение Софи посвятить жизнь науке было совершенно неслыханным по тем временам. Но Софи твердо стояла на своем, и родным оставалось только смириться с ее выбором. В недавно основанную в Париже Политехническую школу, где преподавали ученые уровня Лагранжа, женщины не допускались. В 18 лет Софи выдала себя за бывшего ученика этой школы и друга ее семьи Антуана Огюста Леблана, чтобы обзавестись конспектами лекций. Под этим же псевдонимом она представила Лагранжу несколько своих работ. Потрясенный, он назначил ей встречу. Софи не оставалось другого выхода, кроме как раскрыть свое лицо, и Лагранж, очень удивившись, предложил ей заниматься у него, что, в свою очередь, позволило ей участвовать в научных собраниях.

Под тем же псевдонимом Жермен поддерживала переписку с Гауссом. Узнав настоящее имя Жермен, в 1806 году Гаусс пишет ей: «Вкус к абстрактным наукам и, прежде всего, к загадкам чисел сам по себе редок. <…> Но когда женщина из-за своего пола и наших предрассудков встречается со значительно более трудными препятствиями, чем мужчина… и преодолевает эти барьеры и проникает в тайны мироздания, она, несомненно, проявляет благородную смелость, исключительный талант и высшую гениальность». В 1811 году Жермен стала единственной участницей конкурса, который проводила академия наук с целью найти математические основы колебаний тонких пластинок. Ей отказывали дважды, и в 1816 году она наконец выиграла премию и стала первой женщиной, получившей право посещать заседания академии (не считая жен членов академии). В 1830 году Гёттингенский университет присуждает ей почетную степень, но через год Жермен умирает, так и не успев получить ее.

Софи Жермен.

* * *

Он показал, что если р — простое число, такое, что либо 4р + 1, либо 8р + 1, либо 10р + 1, либо 14р + 1, либо 16р + 1 — простое, то первый случай теоремы Ферма доказан для данного показателя степени р. Лишь в 1977 году Тержанян доказал первый случай для всех четных показателей степени 2р, где р — простое.

Если, например, мы рассмотрим показатель степени р = 5, то заметим, что 2р + 1 = 11 — также простое число. Следовательно, согласно результатам Жермен, первый случай теоремы Ферма для этого значения доказан. Напротив, для р = 7 получим 2р + 1 = 15, которое не является простым. Если руководствоваться только результатами Жермен, то для этого значения р теорема не доказана. Однако 4р + 1 = 29 — простое, следовательно, если учитывать результаты Лежандра, первый случай теоремы Ферма доказан.

Доказательство Ламе

1 марта 1847 Габриель Ламе сделал грандиозное заявление в Парижской академии наук. Он нашел долгожданное доказательство теоремы Ферма для всех случаев! Этот французский ученый представил научному сообществу рассуждения, которые привели к такому результату. Рассуждения были просты и основывались на результатах, ранее полученных другими математиками. Он рассматривал поле комплексных чисел, где квадратный корень из минус единицы, √-1 существует и обозначается буквой i. На этом множестве х^2 + у^2 превращается в произведение двух комплексных чисел (х + yi)(x — yi), таким образом, происходит переход от сложения к умножению. Теорема о прямоугольном треугольнике вместо традиционного вида

х^2 + у^2 = z^2

записывается так:

(х + yi)(x — yi) = z^2.

Последнее уравнение можно решить на множестве комплексных чисел в виде х + yi, где х, у — целые (это подмножество комплексных чисел получило название гауссовых чисел). Здесь х — вещественная часть, у — мнимая часть. Это множество во многом похоже на множество целых чисел: на нем без проблем можно выполнять операции сложения, вычитания и умножения. Также на нем можно определить делимость и простые числа. Кроме того, на нем справедлива основная теорема арифметики: любое число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей. Интересным следствием этой теоремы является следующий факт: если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом, то каждое из этих двух чисел также обязательно является квадратом. Согласно этим рассуждениям поиск пифагоровой тройки равносилен нахождению примитивных решений х, у, z уравнения х^2 + у^2 = z^2, то есть такого решения, где х, у, z не имеют общих делителей.

В подобном решении гауссовы числа х + yi, х — yi также не должны иметь общих делителей. Таким образом, необходимо найти два взаимно простых гауссовых числа, таких, что их произведение является квадратом.

В итоге если мы имеем примитивное решение для уравнения х^2 + у^2 = z^2, то получим произведение двух взаимно простых гауссовых чисел, которое является квадратом. Следовательно, каждое из этих чисел также должно являться квадратом. Имеем:

х + yi = (а + bi)2 = а^2 + 2аbi + (bi)2 = а^2 — Ь^2 + 2аbi.

Приравняв вещественные и мнимые части по отдельности, получим:

х = а^2 — Ь^2,

у = 2аЬ.

Эта формула упоминается уже в «Началах» Евклида и служит для нахождения пифагоровых троек. Ламе в своем доказательстве использовал аналогичные рассуждения. Уравнение Ферма хр + ур = zp с помощью комплексных чисел преобразуется в произведение. В этом случае множители должны содержать корни р-й степени из единицы. На множестве комплексных чисел аналогично тому, как 1 имеет два квадратных корня, +1 и —1, существует также р корней р-й степени, которые обозначаются 1, ζ, ζ^2, ζ^3, …, ζр-1. Используя эти корни, мы можем записать следующее:

хр + уp = (x + у)(x + ζу)(х + ζ^2у)(х + ζ^3у)…(х + ζр-1y) = zр.

Следовательно, первый шаг, на котором сумма преобразуется в произведение, выполним.

На следующем шаге мы рассмотрим числа вида

а_0 + а_1ζ + ζ^2а_2 + ζ^3а_3 + … + ζp-1ар-1

Говорят, что эти числа принадлежат круговому полю. Их можно легко складывать, вычитать и перемножать. Также можно говорить о делимости и простых числах. Казалось, что рассуждения совершенно корректны.

Ламе привел для этого случая те же рассуждения, что и для гауссовых чисел, и, таким образом, доказал теорему! Блестящий математик Жозеф Лиувилль, который внимательно слушал выступление Ламе, попросил слова и задал вопрос. Доказано ли, что разложение на множители на круговом поле единственно? Если это не так, то доказательство оказывается ошибочным. Ламе признал, что это не доказано, но был уверен, что сможет быстро заполнить пробелы в своем доказательстве. Тем не менее сделать это так и не удалось.

Идеальные решения

Несколько месяцев спустя немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер пишет письмо Лиувиллю. В нем он объясняет, что, к несчастью для Ламе, единственность разложения на множители на круговом поле в общем случае не подтверждается. Например, оно не выполняется для р = 23. Однако Куммер продолжал: «Теорему возможно доказать, введя новый тип комплексных чисел, которые я назвал идеальными комплексными числами». Идеальные числа, представленные Куммером, позволили обеспечить единственность разложения на множители и продолжить поиски доказательства.

Чтобы проиллюстрировать мысль Куммера, приведем два примера. Сначала рассмотрим следующее множество четных целых чисел:

2Z = {…, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10…}.

На этом множестве можно свободно выполнять операции сложения, вычитания и умножения. На нем число 10 нельзя разложить на произведение двух четных чисел, следовательно, оно является «простым». «Простыми» также будут являться 2 и 50. Напротив, 100 можно разложить на произведение «простых» множителей двумя разными способами:

100 = 10·10 = 2·50.

Следовательно, на множестве простых чисел единственность разложения на множители не выполняется. Чтобы обеспечить это свойство, можно ввести «идеальное» число, 5, которое не принадлежит множеству четных чисел. Используя это число, мы сможем разложить на множители 10 и 50, и они перестанут быть «простыми»:

100 = 10·10 = 5·2·5·2,

100 = 2·50 = 2·2·5·5.

Оба разложения совпадают.

Во втором примере, который предложил Рихард Дедекинд в 1870 году, рассматривается множество чисел следующего вида:

На этом множестве числа 2, 3, (1 + √(5i)), (1 — √(5i)) являются простыми. Число 6 не является простым, и его можно разложить на простые множители двумя различными способами:

6 = 2·3 = (1 + √(5i))(1 — √(5i)).

Следовательно, единственность разложения на множители на этом множестве не обеспечивается. Мы сможем это обеспечить, если введем идеальные числа √2,(1 + √(5i))/√2, (1 — √(5i))/√2:

И вновь оба разложения совпадают.

Куммер интенсивно изучал это новое круговое поле и дополнял его все новыми идеальными числами. Ему удалось доказать, что для частного случая простых чисел, так называемых регулярных простых чисел, выполняются все рассуждения доказательства, значит, и последняя теорема Ферма доказана. Далее он занялся изучением регулярных простых чисел и доказал, что существует всего три нерегулярных простых числа, меньших 100: это 37, 59 и 67. Он также рассмотрел и эти случаи, доказав таким образом теорему для всех показателей степени, меньших 100.

Члены академии наук воодушевились этими успехами и решили закрыть тему: в 1850 году была снова предложена премия тому, кто окончательно докажет последнюю теорему Ферма в общем виде. Членами жюри были Огюстен Луи Коши, Жозеф Лиувилль, Габриель Ламе, Жозеф Луи Франсуа Бертран и Мишель Шаль. Прошли все сроки, и закончились все возможные отсрочки, и наконец Коши написал: «Секретариату было представлено одиннадцать записок. Но ни одна не содержит решения задачи. Тем не менее жюри отмечает, что работа под номером 2 содержит новое решение для частного случая, для которого привел доказательство сам Ферма, то есть для показателя степени, равного 4. Следовательно, несмотря на все усилия, вопрос не сдвинулся с точки, до которой дошел г-н Куммер. Тем не менее математическое сообщество с радостью встречает усилия геометров по решению этой задачи, особенно усилия господина Куммера.

Жюри считает, что академия примет достойное и уместное решение, если оставит в стороне вопрос о соревновательности и присудит медаль господину Куммеру за его потрясающие исследования целых комплексных чисел и комплексных чисел, образованных корнями единицы».

Таким образом, в 1857 году премия была присуждена Куммеру, который даже не участвовал в конкурсе! Так члены академии выразили ему глубокую признательность за его труд. Он внес масштабный вклад в науку, разработав многие идеи и концепции и создав новые обширные разделы математики: регулярные простые числа, теорию идеалов, круговые поля, классы идеалов кругового поля и многие другие.

Последняя теорема Ферма способствовала продвижению математики далеко вперед, но по-прежнему оставалась неприступной. После двухсот лет поисков баланс сил был таков. Первый случай был доказан для многих показателей степени, удовлетворявших условиям Жермен и Лежандра. Кроме этого, общий случай был доказан для четырех показателей степени n: 3, 4, 5 и 7. Но оставалось еще очень много недоказанных случаев. Последняя теорема, несмотря на все свое очарование, стала костью в горле для многих математиков.

Портрет немецкого математика Эрнста Эдуарда Куммера.

* * *

* * *

Вопрос рода

В 1908 году немецкий предприниматель и математик Пауль Вольфскель учредил приз в 100 000 немецких марок (что эквивалентно миллиону евро в наши дни) тому, кто сможет доказать теорему Ферма. Был установлен крайний срок подачи заявок, не подлежащий продлению, — 13 сентября 2007 года. Возможно, Вольфскель считал, что ста лет будет достаточно для доказательства теоремы, которой исследователи уже посвятили столько времени.

Очень многие математики прилагали огромные усилия, чтобы дополнить список показателей степени, для которых доказана теорема Ферма, как первый, так и общий случай. Иногда этого удавалось достичь за счет усовершенствования уже известных критериев или способов вычислений, в других случаях исследования велись в совершенно новых направлениях. В 1909 году Виферих доказал, что если существует решение для первого случая теоремы Ферма, то 2p-1 — 1 должно быть кратно р^2. Фактически на тот момент не было известно ни одного простого числа, которое бы удовлетворяло этому условию. Лишь в 1913 году Мейснер нашел р = 1903, а в 1922 году Бигер обнаружил р = 3511. В 1910 году Мириманов дополнил результаты Вифериха и доказал, что если существует решение первого случая теоремы Ферма, то 3p-1 — 1 также должно быть кратно р^2. Это позволило доказать теорему для р = 1903 и р = 3511. В 1971 году Бриллхарт, Тонашия и Вайнбергер с помощью компьютера проанализировали все простые числа до 3·10^9 и не обнаружили ни одного другого числа, которое бы удовлетворяло условию Вифериха. Следовательно, они доказали теорему Ферма для всех показателей, не превышающих это значение. С годами число изученных простых чисел росло, и примерно к 1990 году первый случай теоремы Ферма был доказан для всех показателей, меньших 2327·10^19.

* * *

ПЬЕРУ ФЕРМА ЗА ТО, ЧТО ОН СПАС МНЕ ЖИЗНЬ

Существует несколько гипотез относительно того, чем руководствовался Вольфскель, когда учредил свою премию. Он был молод, страдал рассеянным склерозом, и ему пришлось оставить медицину в пользу более спокойного занятия — математики. Некоторые источники утверждают, что он думал о самоубийстве из-за несчастной любви, но, прочитав подробное исследование о теореме Ферма, понял, что красота математики превыше красоты любой женщины. Поэтому Ферма в буквальном смысле спас ему жизнь. Другие источники приводят более прозаичный довод: учредив премию, Вольфскель уменьшил сумму наследства, которое полагалось бы его ветреной жене.

Немецкий математик Пауль Вольфскель.

* * *

Если говорить об общем случае, то работы Куммера дополнил Вандайвер. В 1929 году он сформулировал ряд критериев, которым должны соответствовать нерегулярные простые числа, чтобы удовлетворять последней теореме Ферма. В 1954 году тот же Вандайвер уже с помощью компьютеров проверил все показатели степени р < 2521. Двадцать лет спустя этот список был расширен вплоть до р < 4000000. Но посреди этой бесконечной гонки за более точными критериями и вычислениями математическое сообщество получило приятный сюрприз.

В 1922 году англичанин Луис Морделл (1888–1972) сформулировал гипотезу, гласящую, что для любой алгебраической кривой рода, превышающего 1, множество рациональных точек является конечным. Род алгебраической кривой стал своеобразной мерой ее сложности. Кривые нулевого рода — наиболее простые, с ростом рода возрастает также сложность точек кривой. В 1983 году немецкий математик Герд Фалтингс (р. 1954) получил Филдсовскую премию за доказательство этой гипотезы, дав новый толчок доказательству теоремы Ферма. Для показателя степени n = 2 кривая х^2 + у^2 = z^2 является кривой нулевого рода, и ее решение является бесконечным множеством пифагоровых троек. Но для n > 2 род кривой хn + уn = zn превышает 1. Отсюда следует, что если уравнение теоремы Ферма имеет решения, то их число будет конечным. Математическое сообщество было убеждено, что Морделл и Фальтингс открыли путь к окончательному доказательству теоремы, которое вот-вот будет найдено. Но это было не так.

Связующее звено между двумя мирами

В конце 1980-х годов специалистам был известен ряд гипотез, в случае доказательства которых теорема Ферма также была бы доказана по меньшей мере для некоторых показателей степени. Среди этих гипотез — аbс-гипотеза, гипотеза Шпиро, гипотеза Войты, гипотеза Богомолова — Мияоки — Яу и другие. К удивлению многих, этот закрытый клуб должен был пополниться новым членом — гипотезой Таниямы — Симуры.

Гипотеза Таниямы — Симуры была сформулирована в 50-е и уточнена в 70-е годы XX века. В ней устанавливалось удивительное и неожиданное соотношение между двумя семействами математических объектов, на первый взгляд никак не схожих между собой: эллиптическими кривыми (тесно связанными с кубическими уравнениями, подобными тем, что изучал в свое время Диофант) и модулярными формами, разработанными французским математиком Анри Пуанкаре в конце XIX века. Эта гипотеза была плодом усилий двух японских математиков, Горо Симуры (р. 1930) и Ютаки Таниямы (1927–1958). Молодые ученые познакомились и впоследствии вместе работали в Токио, в опустошенной послевоенной Японии. Прекрасная история их сотрудничества, увы, была омрачена трагическим финалом.

* * *

АВС-ГИПОТЕЗА

Эту гипотезу сформулировали в 1985 году Джозеф Эстерле и Дэвид Массер. В упрощенном виде она звучит так: если а, Ь, с — взаимно простые числа, такие, что а + b = с, и d — произведение различных простых множителей а, b и с, то d будет лишь немногим меньше с.

* * *

Первый мир: эллиптические кривые

Приближенное значение длины кривой можно найти, соединив прямыми конечное множество точек этой кривой, как показано на рисунке:

По мере уменьшения отрезков сумма их длин все больше приближается к длине кривой. Этот процесс известен под названием полигонального приближения кривой. Для некоторых кривых существует значение L — максимально возможный предел полигонального приближения. В этом случае говорят, что кривая имеет длину дуги L. В ходе изучения длин дуг кривых были открыты так называемые эллиптические функции, а затем эллиптические кривые.

Немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897) доказал, что любая эллиптическая кривая определяется кубической кривой вида

у^2 = х^3 + ах^2 + Ьх + с,

где a, b, с — вещественные числа. Для с = 0 и различных значений а и b эллиптические кривые обладают особым свойством, которое продемонстрировано на следующей странице.

Эллиптические кривые для с = 0 и различных значений а и Ь.

Важной задачей теории чисел, которую пытался решить еще Диофант, является поиск целых решений для уравнений подобного типа. Например, кубическое уравнение

у^2 = x^3 — 2

также можно записать в виде

x^3 — у^2 = 2.

Целое положительное решение этого уравнения равносильно тому, что натуральное число или числа находятся ровно «посередине» куба и квадрата любых других натуральных чисел. Первым из математиков на этот вопрос ответил не кто иной, как Пьер де Ферма, который доказал, что 26 — единственное число, которое удовлетворяет указанному условию, то есть х^3 = 27 и у^2 = 25, следовательно, единственными целыми положительными решениями этого уравнения будут у = 5 и х = 3. Чтобы продолжить эту удивительную цепочку, связывающую главных героев нашей истории, добавим, что одним из современных математических инструментов, используемых при изучении эллиптических кривых, является теория Ивасавы — тема докторской диссертации Эндрю Уайлса. Последний неспроста говорил: «В некотором смысле все мои рассуждения следуют пути, проложенному Ферма».

Немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс, внесший важный вклад в теорию эллиптических кривых. Картина Конрада Фера.

Найти решения эллиптического уравнения в большинстве случаев практически невозможно, поэтому математики изучают их на «ограниченных» пространствах чисел, которые называются модулями. Чтобы понять, о чем идет речь, вспомним о том, как мы представляем часы в сутках. Если, например, речь идет о событии, которое произошло спустя 30 часов после полуночи, то очевидно, что это событие произошло в 6 утра (следующего дня). В уме мы подсчитали 24 целых часа (сутки), перешли к следующим суткам, а затем прибавили разницу, 30–24 = 6, чтобы точно определить час, когда произошло событие. На языке математики говорят, что часы в сутках описываются арифметикой по модулю 24 (по числу часов в сутках), и в этой арифметике, как мы уже увидели, выполняется равенство 30  6. Если вместо 30 часов мы будем говорить о 38, то событие произойдет в 14 часов, следовательно, в арифметике по модулю 24 верно равенство 38  14 (и, аналогично, 24  0). Вне зависимости от того, сколько часов прошло с определенного момента, 36 или 36000, значение часа всегда будет лежать в интервале от 0 до 23. В подобной арифметике определены привычные операции сложения, вычитания, умножения и деления и результатом любой такой операции опять-таки будет одно из 24 чисел, расположенных на интервале от 0 до 23.

* * *

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И КРИПТОГРАФИЯ

Существуют математические операции, для которых очень сложно произвести обратные операции, например, поиск простых множителей для очень больших целых чисел. В алгоритме RSA, одном из основных алгоритмов современной криптографии, это действие используется для создания ключей, которые практически невозможно взломать. Другая операция, которая считается «необратимой», — нахождение дискретного логарифма для эллиптической кривой. В 2009 году правительство США начало применять определенные алгоритмы шифрования, в которых используется это свойство, для передачи сверхсекретной информации.

* * *

Вернемся к эллиптическим уравнениям. Какие решения может иметь одно из таких уравнений, например, по модулю 2? Их может быть не более 4, а именно:

х = 0, у = 0,

х = 0, у = 1,

х = 1, у = 0,

х = 1, у = 1.

С помощью такого мощного инструмента, как модулярная арифметика, можно говорить не только об «абсолютных» решениях кубических уравнений, которые сложно обнаружить, но и о числе решений по каждому модулю. Так, любое эллиптическое уравнение определяется бесконечным E-рядом, где значением каждого элемента E_1, Е_2, Е_3… является число решений этого уравнения по модулю 1, 2, 3 и так далее. Для уравнения, имеющего два решения по модулю 2, например (0; 0) и (1; 0), член этого ряда Е_2 = 2.

Второй мир: модулярные функции

Модулярные формы в значительной степени являются творением Анри Пуанкаре, одного из самых выдающихся ученых всех времен, просветителя и философа науки. Так, некоторые его работы по математической физике непосредственно предшествовали теории относительности Эйнштейна. Пуанкаре был последним математиком, который обладал глубокими знаниями во всех разделах математики своего времени.

Сейчас это невозможно, так как современная математика охватывает слишком большое количество областей. Пуанкаре, который уже в юном возрасте стал известным математиком, обладал, подобно Эйлеру и Гауссу, фотографической и великолепной пространственной памятью. Возможно, это объясняет его успехи в созданной им дисциплине, топологии, которая изучает пространственные свойства объектов, остающиеся неизменными при определенных преобразованиях. Топология — царство, где правит симметрия, и очень немногие математические объекты обладают столь обширной симметрией, как модулярные формы.

Французская марка, посвященная Жюлю Анри Пуанкаре.

* * *

ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ

Хотя ни одной из теорем не удалось стать такой же известной, как великая теорема Ферма, в математике существует несколько гипотез, доказательство каждой из которых становится настоящим историческим событием. Среди них — гипотеза Гольдбаха и «первая среди равных» гипотеза Римана, которые относятся к теории чисел, а также задача о равенстве классов Р и NP — ключевая задача вычислений. В топологии такой важной задачей является так называемая гипотеза Пуанкаре. К удивлению многих, в 2002–2003 годах российский математик Григорий Перельман опубликовал схему доказательства этой гипотезы, которое затем было дополнено другими учеными и в 2006 году было официально признано верным. Перельман, блестящий и в такой же степени экстравагантный математик, отказался от присужденной ему в том же году Филдсовской премии и, ссылаясь на то, что научный мир погряз в нечестности, спустя некоторое время полностью оставил математику. Как и для остальных задач, включенных Институтом Клэя в 1999 году в список семи задач тысячелетия, доказательство гипотезы Пуанкаре было оценено в один миллион долларов. В 2010 году Перельман отказался от этого вознаграждения.

Филдсовская медаль, от которой отказался Перельман, была присуждена ему за доказательство гипотезы Пуанкаре.

* * *

Получить какое-то визуальное представление модулярной формы невозможно. Достаточно сказать, что она находится в четырехмерном пространстве, которое подчиняется законам геометрии, мало похожим на привычные нам. В повседневной жизни нам известно, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной, о чем писал еще Евклид. Однако начиная с XIX века известно, что это утверждение не является необходимым и продиктовано лишь соображениями удобства. Можно определить альтернативную геометрию, в которой параллельных прямых не существует вовсе либо, напротив, через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В последнем случае речь идет о так называемой гиперболической геометрии, в которой плоскость, представленная в двух измерениях, принимает следующие формы:

Параллельные линии в гиперболической геометрии.

В своеобразном мире гиперболической геометрии, где обитают модулярные формы, они обладают удивительными свойствами симметрии, подобно редчайшим цветам. Для определения модулярных форм математики используют так называемые бесконечные М-ряды, каждому из элементов которых соответствует число, означающее количество «ингредиента» 1, 2, 3, … модулярной формы.

Связующее звено: гипотеза Таниямы — Симуры

В середине 1950-х годов Япония все еще пыталась оправиться от последствий Второй мировой войны. Экономика страны понемногу восстанавливалась, но жизнь по-прежнему была непростой. От недостатка средств пострадали и университеты. Оплачиваемых должностей научных сотрудников было немного, и за них разворачивалась жесткая конкуренция. Если сфера интересов исследователя была слабо связана с практикой, то ситуация становилась еще сложнее. Трудности, которые предстояло преодолеть тем, кто хотел заниматься чистой математикой, могли охладить пыл даже самых настойчивых кандидатов.

Этих трудностей не испугался молодой Ютака Танияма, восьмой ребенок в семье провинциального врача. Из-за враждебности окружающих и проблем со здоровьем ему пришлось в юном возрасте переехать в столицу без средств к существованию, чтобы поступить в университет и продолжить занятия математикой. В 1954 году он подружился с выдающимся коллегой, Горо Симурой, который был на год старше. Друзья часто встречались в дешевых кафе, чтобы обсудить вопросы теории чисел — наиболее привлекательной области для них обоих. Сложно было подобрать более разных по характеру людей: Танияма был очень рассеян, работал урывками, по ночам, и настолько не интересовался чем-либо помимо математики, что его считали эксцентричным. Симура вставал очень рано и начинал работать на рассвете, был организованным и педантичным. В отличие от своего друга, который постоянно носил один и тот же серый костюм и никогда не завязывал шнурков, Симура следил за внешним видом и свободно общался с другими коллегами.

Друзей объединял интерес к последним открытиям на международной математической арене, и в 1955 году они решили организовать симпозиум по теории чисел и пригласить авторитетных математиков со всего мира. Из 36 задач, представленных вниманию участников симпозиума, четыре предложил Танияма. В них очень смутно описывалась связь между модулярными формами, которые на тот момент не привлекали большого внимания специалистов, и диофантовыми уравнениями. Танияма заметил, что члены E-ряда для некоторых эллиптических уравнений точно соответствуют членам М-ряда для определенных модулярных форм, но не мог объяснить фундаментальных причин этого любопытного совпадения.

На симпозиуме обсуждались эти и другие вопросы. По некоторым источникам, блестящий французский математик Андре Вейль в неформальной беседе с Таниямой подсказал ему, что он обнаружил глубокую общую взаимосвязь между модулярными формами и эллиптическими уравнениями. Позднее было показано, что в действительности все было не совсем так. Однако ошибочная трактовка событий настолько укоренилась, что гипотезу Таниямы — Симуры стали называть гипотезой Симуры — Вейля или Таниямы — Симуры — Вейля. Эту ошибку лишь много лет спустя устранил американский математик Серж Ланг, который восстановил истинное положение вещей.

Как бы то ни было, первое предположение Таниямы, высказанное в очень расплывчатой форме, не вызвало большого интереса. Единственным, кто изначально считал эту догадку очень важной, был верный друг Таниямы Симура. Много лет друзья вместе работали над этой гипотезой, стремясь точнее сформулировать ее.

В 1957 году Симуру пригласили работать в Принстон. Он считал, что там сможет обменяться опытом с уважаемыми специалистами и продолжить работу над темой, но трагические события помешали реализации этого амбициозного проекта. 17 ноября того же года Танияма решил покончить с собой. В предсмертной записке он написал: «До вчерашнего дня у меня не было цели покончить с собой. <…> Причину моего самоубийства я не могу и сам понять, но это не результат какого-то конкретного события, нет никаких особенных причин. Единственное, что я точно знаю, — я потерял веру в будущее. <…> Во всяком случае, я не могу отрицать, что это будет предательством с моей стороны, но прошу простить меня за это последнее осознанное действие, которое я совершаю в своей жизни». Ему было 35 лет.

Его кончина не поколебала решимости Симуры, который хотел завершить общее дело в память о своем гениальном друге. В течение многих лет Симура уточнял гипотезу, которая в упрощенном виде гласит, что все эллиптические кривые являются модулярными. Со временем эта гипотеза стала известна под названием гипотезы Таниямы — Симуры. Как сказал американский математик Барри Мазур (о нем мы поговорим немного позже), это была «удивительная гипотеза… но в тот момент ее проигнорировали, так как она слишком опередила свое время. Когда она была представлена, никто не решился доказать ее, столь противоречивой она была. Она объединяет два мира: мир эллиптических кривых и мир модулярных форм. Эти разделы математики были очень подробно изучены, но по отдельности. И вдруг появилась гипотеза Таниямы — Симуры, которая навела на мысль о существовании связующего звена между этими двумя мирами. Математики любят наводить мосты…»

Танияма не дожил до того дня, когда его гениальная догадка оформилась в один из красивейших результатов современной математики. Теперь имена Таниямы и его друга Симуры занимают почетное место в истории математики, и, что более удивительно, их работа заложила фундамент для доказательства самой знаменитой теоремы в теории чисел и математике в целом.

Эпсилон-гипотеза

В глазах математического сообщества гипотеза Таниямы — Симуры и последняя теорема Ферма не имели ничего общего, разве что обе они являлись гипотезами. Но, как мы уже заметили, поиск соотношения между на первый взгляд совершенно разными понятиями, никак не связанными между собой, — одна из главных задач математики. В данном конкретном случае неожиданные параллели обнаружил немецкий математик Герхард Фрай, который занимался теорией чисел. Его привлекала взаимосвязь между этой областью и алгебраической геометрией, и блестящим примером этому служила гипотеза Таниямы — Симуры. В 1978 году он ознакомился с работами американского математика Барри Мазура и был очень впечатлен ими. В них устанавливалась связь между такими понятиями, как модулярность и эллиптические кривые, и Фрай стал работать над тем, чтобы сделать эту взаимосвязь более явной (исходная статья Мазура по этой теме называлась «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна», и среди наиболее увлеченных ее читателей были Кен Рибет и Эндрю Уайлс). Фрай начал вынашивать удивительную идею, которую постарался окончательно оформить за те несколько недель, пока был в Гарварде, где преподавал Мазур. Наконец, в 1984 году на нескольких математических конференциях, прошедших в районе Обервольфах в Германии, Фрай сформулировал гипотезу, которая открыла новый, революционный путь к доказательству последней теоремы Ферма.

Его гипотеза звучала так: пусть дано произвольное решение уравнения этой теоремы, например, аp + bр = ср. Тогда существует эллиптическая кривая вида у^2 = х(х — аp)(х + bp), где а, b и с — целые, положительные и взаимно простые, а р — простое число, большее 2. Эта кривая принадлежит к особой группе эллиптических кривых, названных позднее кривыми Фрая и обладающих очень интересной особенностью: они не являются модулярными. Но гипотеза Таниямы — Симуры утверждала, что все эллиптические кривые являются модулярными. Отсюда следует, что если гипотеза Таниямы — Симуры верна, то «отклонений», подобных кривым Фрая, то есть кривых, которые одновременно являются эллиптическими и немодулярными, не существует. Если же гипотеза Фрая была верна, учитывая, что все возможные решения уравнения теоремы Ферма представляли собой кривую Фрая, то гипотеза Таниямы — Симуры о несуществовании таких кривых означала бы, что уравнение теоремы не имеет решений, следовательно… теорема Ферма доказана! Как мы увидим чуть позже, эта неожиданная связь между гипотезами стала для Уайлса точкой опоры, на которой основывалось его доказательство.

Хотя идеи Фрая были очень привлекательными, было ясно, что его гипотеза все еще недостаточно конкретна, чтобы другие математики могли заняться ее доказательством. Для окончательного оформления предположения немецкого математика в виде гипотезы, требовались «математические мускулы». Говоря о «математических мускулах» в контексте математики последних 75 лет, невозможно обойти вниманием французского математика Жан-Пьера Серра (р. 1926). Он — один из всего двух математиков (второй — американец Джон Григгс Томпсон), которые были удостоены двух престижнейших премий по математике: Филдсовская премия была вручена Серру в 1954-м, а Абелевская — в 2003 году. Серр — самый молодой из лауреатов Филдсовской премии: он получил ее в возрасте 27 лет. Его достижение равносильно получению двух Нобелевских премий.

Французский математик Жан-Пьер Серр на церемонии вручения Абелевской премии 3 июня 2003 года

(фотография предоставлена Институтом Абеля)

Серр, который в 1955 году участвовал в семинаре, проводимом Таниямой и Симурой, заинтересовался гипотезой Фрая и написал письмо своему коллеге и соотечественнику Жан-Франсуа Местру. Позднее он оформил это письмо в виде статьи. В этой статье он использовал формулировки, несколько отличающиеся от тех, которыми пользовался Фрай (заполнив пробелы с помощью так называемых модулярных представлений Галуа), и предположение Фрая официально стало считаться гипотезой. Если эта гипотеза, получившая название эпсилон-гипотезы, была верна, то между гипотезой Таниямы — Симуры и великой теоремой Ферма устанавливалась следующая взаимосвязь: если первая была верной, то вторая — ложной, и наоборот.

* * *

РУКА, КАЧАЮЩАЯ КОЛЫБЕЛЬ

Американец Барри Мазур (р. 1937) — одна из наиболее выдающихся фигур в теории чисел последних лет. Во многом благодаря его статье «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна» на модулярность снова обратили внимание молодые математики, в частности, Фрай, Рибет и Уайлс. Мазур называл теорию чисел разделом математики, где «без всяких усилий появляется бесчисленное множество задач. Они, как цветы, приятно пахнут, но их шипы больно колют любого, кто пытается прикоснуться к ним».

ГЕРХАРД ФРАЙ, МАТЕМАТИК И КРИПТОАНАЛИТИК

Фрай родился в 1944 году в немецком округе Тюбинген. Он поступил в местный университет, где занимался физикой и математикой. Его специализацией была теория чисел. Среди его наиболее важных достижений, помимо эпсилон-гипотезы, — метод, известный как спуск Вейля, используемый для решения эллиптических кривых на конечных полях. Открытие этого метода положило конец одному из перспективных направлений криптографии.

* * *

От гипотезы к теореме

Привлекательность эпсилон-гипотезы была такова, что попытки доказать ее предпринимали все специалисты по теории чисел. Среди них был блестящий молодой математик из США Кеннет Рибет, еще в 1985 году получивший должность профессора в Калифорнийском университете в Беркли. Рибет учился у Мазура в Гарварде, где защитил докторскую диссертацию. Он, как и его учитель, был очарован тем, что между теорией чисел и алгебраической геометрией существует удивительная связь, которую в свое время открыл Куммер, и что эта связь может повлиять на способ доказательства теоремы Ферма. Рибет занялся доказательством эпсилон-гипотезы и наконец увидел свет в конце туннеля. Предоставим ему слово:

«Я был абсолютно поражен. Я вернулся домой, спотыкаясь, будто витая в облаках. Я сел и снова проверил все доказательство и увидел, что оно было верно, действительно верно. Я посетил конференцию (Международный конгресс математиков, который проводился в университете Беркли, Сан-Франциско, в 1986 году. — Примеч. автора), рассказал об этом немногим, и вскоре об этом узнали почти все. Ко мне подходили и спрашивали: „Вы правда доказали эпсилон-гипотезу?“ Я помедлил около минуты и вдруг сказал: „Да. Я доказал ее“».

Это простое, искреннее признание помогает понять, что может происходить в голове у математика, когда он находит посреди океана неведения крупицу истины, подлинной истины, ведь математик как никто другой стремится к истине в самом точном и абсолютном смысле этого слова. Сам Рибет позднее вспоминал, что когда был докторантом, то говорил о великой теореме Ферма, перефразируя Гаусса: «Это одна из тех задач, о которых нельзя сказать ничего полезного». В то время Рибет не подозревал, какую роль в ее доказательстве сыграет его работа всего через несколько лет. Эпсилон-гипотеза ушла в прошлое — на смену ей пришла теорема Рибета. Теперь к доказательству последней теоремы Ферма могли приступить математики последнего поколения.

И что теперь?

Все стало окончательно ясно: тот, кто докажет гипотезу Таниямы — Симуры, докажет последнюю теорему Ферма. Легко сказать, но трудно, очень и очень трудно сделать. В конце концов, с момента симпозиума, на котором Танияма представил первоначальный вариант гипотезы, прошло почти 40 лет, и до сих пор никто ни на шаг не смог приблизиться к ее доказательству. Подавляющее большинство специалистов по теории чисел считали, что эта гипотеза будет доказана лишь спустя много десятилетий. Вспомним слова Мазура: «Удивительная гипотеза… но в тот момент ее проигнорировали, так как она слишком опередила свое время». Значительные трудности представлял тот факт, что и модульных форм, и эллиптических кривых (связь между этими математическими объектами устанавливала гипотеза) бесконечно много. Тот, кто рискнул бы взяться за громадный труд по доказательству гипотезы Таниямы — Симуры, должен был бы решить не только основную задачу, но и множество более мелких, но столь же трудных. Малейшая ошибка могла свести на нет результаты многолетнего труда. Если сравнить теорему Ферма с математическим Эверестом, то можно сказать, что Танияма, Симура, Мазур, Фрай, Серр и Рибет нашли новый путь к вершине, ранее незаметный, но на этом пути беспрестанно бушевал сильнейший ветер.

Глава 6

Доказательство

хn + уn = zn не имеет решений.

Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но у меня нет времени записать его — скоро приедет поезд.

Граффити на одной из станций нью-йоркского метро, 1988 год

Был летний вечер 1986 года. Эндрю Уайлс пил чай со льдом в гостях у друга. В разговоре собеседник обронил, что Рибет доказал эпсилон-гипотезу. Это вызвало в обычно сдержанном Уайлсе настоящую бурю эмоций. «В тот момент я понял, что моя жизнь изменилась. Если это было действительно так, то для доказательства теоремы Ферма нужно было всего лишь доказать гипотезу Таниямы — Симуры. В этот же самый миг я понял, над чем мне нужно работать», — вспоминал он позже.

Уайлс оставил все остальные проекты и всецело посвятил себя решению этой задачи, практически полностью отгородившись от всего мира на семь лет. Как признавался он сам много лет спустя, у него было важное преимущество: никто не имел ни малейшего представления, как подступиться к задаче. Однако у этого преимущества была и обратная сторона: «Очень скоро я понял, что не могу распространяться о своей работе в разговорах с коллегами, даже мимоходом упоминать о ней — это привлекло бы повышенный интерес. Кроме этого, невозможно сосредоточиться на одной теме в течение многих лет, находясь под таким давлением». Но Уайлс подозревал, что на пути к славе ему будет мешать не только недостаток времени, но и повышенный интерес специалистов со всего мира.

Мальчик, который хотел доказать теорему Ферма

Об Эндрю Уайлсе известен забавный случай: он узнал о великой теореме Ферма в 10 лет из научно-популярной книги по математике. Образ затерянного доказательства напомнил мальчику о темных пещерах и таинственных кладах, зарытых в далеких южных странах. Уайлс решил доказать теорему, используя знания из школьного курса арифметики. Эта история как никакая другая доказывает, насколько притягательной делает теорему Ферма простота ее формулировки, понятной даже ребенку. Юному Уайлсу, разумеется, пришлось оставить попытки найти доказательство, но теореме Ферма было суждено сопровождать его всю жизнь.

* * *

ОПАСНОСТЬ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

Как уже говорилось в предыдущей главе, к 90-м годам XX века теорема была доказана для всех показателей степени вплоть до 4 000 000. Если теорема Ферма верна для таких больших степеней, почему математики так стремились доказать ее для всех возможных показателей? Ведь практически невозможно, чтобы внезапно, словно с неба, появился непостижимо большой показатель степени, для которого теорема Ферма будет ложной. Не слишком ли щепетильным было математическое сообщество? Оставив в стороне вопросы психологии, скажем, что в случае с гипотезой, согласно которой бесконечное множество чисел обладает определенным свойством, никакая выборка «экспериментальных» данных, сколь велика бы она ни была, не может являться доказательством. Математика строится на доказательствах, то есть на непогрешимых истинах, и благодаря этому является столь мощным инструментом науки. И кроме того, история математики знает примеры, когда, вопреки изначальным предположениям, гипотезы оказывались ложными.

Например, Эйлер предположил, что следующее уравнение не имеет решений:

x^4 + у^4 + z^4 = w^4.

Компьютеры буквально дымились от непрерывных вычислений, но в течение многих десятилетий опровергнуть гипотезу Эйлера не удавалось. Был велик соблазн предположить, что гипотеза Эйлера верна для всех случаев, но в 1988 году Ноам Элкис потряс все научное сообщество, найдя контрпример:

2 682 440^4 + 15 365 639^4  + 187 960^4  = 20 615 673^4.

Более того, Элкис не остановился на этом: он не просто нашел решение, но и доказал, что их бесконечно много. Конечно, он пользовался компьютером, но сам по себе компьютер не способен найти решение.

* * *

Эндрю Джон Уайлс родился в 1953 году в Кембридже, но изучал математику в Оксфордском университете, где его отец, Морис Фрэнк Уайлс, преподавал богословие. Однако докторскую диссертацию Уайлс защитил уже в Кембридже под руководством австралийца Джона Коутса. Докторская диссертация Уайлса была посвящена арифметике эллиптических кривых с комплексным умножением методами так называемой теории Ивасавы. В начале 1980-х Уайлс получил должность профессора в Принстонском университете в США и стал одним из редакторов престижного журнала «Анналы математики». Казалось, что Уайлс забыл о давнем увлечении теоремой Ферма. Но позднее он признался: «Я не забыл о ней. Я помнил о ней всегда, но понимал, что единственные возможные методы доказательства насчитывали свыше ста лет, и было непохоже, чтобы с их помощью можно было проникнуть в суть задачи. Коутс, мой учитель, познакомил меня с теорией Ивасавы, над которой работал он сам». То, что эта теория в итоге стала ключом к доказательству последней теоремы Ферма, — одно из многочисленных удивительных совпадений, которыми изобилует эта история. Как бы то ни было, в 1986 году Рибет доказал эпсилон-гипотезу, и Уайлс немедленно вернулся к давно интересовавшей его теореме.

Подсчет бесконечностей

В течение следующих семи лет Уайлс как одержимый работал над доказательством. Первые два года он посвятил исключительно обзору задачи и рассмотрению всех возможных подходов, стремясь найти метод, который мог бы сработать. По этому поводу англичанин Джон Идензор Литлвуд как-то сказал, что математик должен чувствовать задачу, «словно язык у себя во рту». Основным местом развития событий стал чердак в доме Уайлса в окрестностях Принстона. Уайлс отключил телефон и, не слишком хорошо знакомый с компьютерами, покрывал тысячи и тысячи страниц всевозможными формулами, рисунками, схемами и графиками. Работа продвигалась очень медленно: иногда он пробовал применить уже известный метод, чтобы перейти от одного шага доказательства к другому, в других случаях он слегка изменял известные методы, наконец, в некоторых случаях просто требовалось изобретать нечто совершенно новое. Поначалу Уайлс держал тему своей работы в строжайшем секрете.

Сперва он оценил возможность «подсчитать» все эллиптические функции (напомним, что их бесконечно много), с одной стороны, и модулярные эллиптические функции (которых также бесконечно много) — с другой, и показать, что вычисления в обоих случаях эквивалентны. Этот способ оказался неэффективным, но по ходу работы Уайлс получил важный результат, который помог упростить задачу: вместо доказательства гипотезы Таниямы — Симуры для всех эллиптических кривых нужно было доказать эту гипотезу только для их подмножества, так называемых полустабильных кривых.

На этом этапе Уайлс в поисках вдохновения обратился к теории Галуа, названной в честь ее создателя — безвременно ушедшего из жизни французского математика Эвариста Галуа (1811–1832). Галуа, подлинно трагическая фигура в истории математики, высказал гениальную догадку о перестановках возможных решений (корней) многочлена, которая позднее была развита Огюстеном Луи Коши и Артуром Кэли. Например, многочлен второй степени

х^2 — 4х + 1 = 0

имеет корни х_1 = 2 + √3 и х_2 = 2 — √3.

Оба корня удовлетворяют следующим уравнениям:

x_1 + x_2 = 4

x_1x_2 = 1

Оба уравнения будут по-прежнему верны, если мы поменяем местами х_1 и х_2

x_2 + x_1 = 4

x_2x_1 = 1

Галуа подробно изучил функции, инвариантные по отношению к перестановке корней, и определил так называемую группу Галуа для уравнений. Например, группа Галуа для многочлена х^2 — 4х + 1 = 0 состоит из двух перестановок: неизменной (в результате которой корни остаются «на своих местах») и транспозиции (показанной в примере).

Эндрю Уайлс в 2000 году.

(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)

Свойства групп Галуа — очень мощный инструмент, который позволяет охарактеризовать чрезвычайно сложные структуры. Уайлс использовал их, чтобы преодолеть первое препятствие на пути к доказательству. В частности, он определил эллиптические уравнения в терминах представлений Галуа и доказал, что их можно ассоциировать с некоторыми характерными элементами модулярных форм. Таким образом, Уайлс переформулировал задачу о подсчете, использовав более «податливые» понятия. Этот первый, но очень важный шаг сам по себе уже заслуживал признания со стороны математического сообщества. Но это был всего лишь первый шаг, а Уайлс потратил на него два года непрерывного труда.

Уайлс работал в полном одиночестве, откуда же он брал силы, чтобы не отступаться от задачи? По его словам, «когда ты полностью сосредоточен, лучший способ расслабиться — это поговорить с детьми. Им не интересна теорема Ферма, по крайней мере, в столь нежном возрасте. Они хотят слушать только сказки». Остается лишь добавить, что Уайлсу повезло: его дети не проявили такого интереса к теореме Ферма, как он сам, когда был ребенком.

* * *

ПОРОЧНЫЙ ГЕНИЙ

Эварист Галуа был молодым человеком с горячим сердцем, который не раздумывая встал на сторону республиканцев в смутные времена Луи-Филиппа I, последнего короля Франции. Он также был одним из величайших гениев за всю историю математики. Его пылкий и непокорный характер, тяготы и лишения, свойственные научной работе, и проваленные вступительные экзамены в Политехническую школу привели к тому, что его труды были почти не известны современникам. Отдушину от неудач в науке Галуа нашел в политическом радикализме. Из-за своих политических взглядов он получил вызов на дуэль от офицера артиллерии, который симпатизировал монархистам.

Галуа знал, что плохо умел обращаться с оружием, поэтому в последнюю ночь перед дуэлью он лихорадочно пишет письмо, где кратко излагает итоги своих исследований, и отправляет его своему другу, блестящему математику Огюсту Шевалье. На следующее утро Галуа был смертельно ранен в живот и скончался через несколько часов. В своем последнем письме он изложил основы теории, которая позднее получила его имя и стала одним из основных разделов современной алгебры. Ему был всего 21 год.

Портрет Эвариста Галуа в возрасте 15 лет сделан с натуры его одноклассником.

* * *

Новый метод подсчета, придуманный Уайлсом, также содержал интересные аналогии с темой его докторской диссертации — теорией Ивасавы. Наступил 1988 год, и Уайлс чувствовал, что другие математики уже дышат ему в затылок. Можно представить, как он побледнел, когда 8 марта прочитал на первых страницах газет, что последнюю теорему Ферма доказал японец по имени Иоичи Мияока. Хотя подробности доказательства не публиковались, некоторые специалисты во всеуслышание заявили, что общая схема представленного доказательства верна. Однако спустя несколько месяцев стало ясно, что доказательство содержало серьезную ошибку. В замке по-прежнему было темно. Призрак Ферма вновь улыбнулся, и Уайлс — вместе с ним.

* * *

МИЯОКА ДОКАЗАЛ ПОСЛЕДНЮЮ ТЕОРЕМУ ФЕРМА

Ошибочное доказательство последней теоремы Ферма, предложенное Мияокой, базировалось на так называемой философии параллелизма. В рамках этой философии, основанной на общих принципах, которые сформулировал в 1970-е годы канадский математик Роберт Ленглендс в так называемой программе Ленглендса, задачи теории чисел предлагалось решать с использованием методов алгебраической геометрии. Именно таким образом немецкому математику Герду Фалтингсу удалось доказать гипотезу Морделла. Тот же Фалтингс был одним из экспертов, которые занимались проверкой доказательства, и именно он обнаружил ошибку в рассуждениях японского математика. Несмотря на отчаянные усилия Мияоки, исправить ошибку так и не удалось.

Роберт Ленглендс на 61-й годовщине математика Пьера Делиня в Принстоне, которая отмечалась в 2006 году.

(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)

* * *

Флах, Кац и свет в конце туннеля

Однако, к разочарованию Уайлса, теория Ивасавы оказалась не столь полезной, как он рассчитывал. В его словах ясно читается разочарование:

«Я искренне верил, что иду по верному пути, но это не означало, что я мог бы достичь цели. Возможно, что нужные методы были бы… найдены в ближайшие сто лет. Поэтому, даже если бы я был на правильном пути, могло случиться так, что я жил не в том веке».

После пяти лет затворничества Уайлс решил немного развеяться и восстановить связь с бывшими коллегами, среди которых был и его руководитель, Джон Коутс. Он похвально отзывался о работе одного из своих учеников, Матиаса Флаха, — тот, используя результаты российского математика Виктора Колывагина, разработал мощный инструмент, который мог применяться для укрощения неподдающихся эллиптических уравнений. По словам Уайлса, казалось, что этот инструмент был «создан специально». Требовалось лишь расширить частичные результаты Колывагина — Флаха, чтобы охватить все случаи теоремы Ферма, и Уайлс принялся за дело с новой силой. После нескольких месяцев упорного труда, казалось, новая тактика начала приносить желаемые плоды, но Уайлса не покидали сомнения. Сложное доказательство основывалось на недавно созданном методе, о способах применения которого все еще велись споры. Пришло время посвятить других в секрет Уайлса и организовать небольшой заговор.

Помощником и осведомителем Уайлс выбрал своего сокурсника, эксперта в той области алгебры, которую использовали Флах и Колывагин. Ник Кац так вспоминает о моменте, когда Уайлс раскрыл ему суть проекта, над которым работал последние шесть лет: «Был январь 1993 года. Эндрю пришел ко мне во время вечернего чая и попросил зайти в его кабинет, чтобы обсудить один вопрос. Я не имел никакого представления, о чем могла пойти речь. Я зашел в его кабинет и закрыл за собой дверь. Он сказал, что близок к тому, чтобы доказать гипотезу Таниямы — Симуры. Я был изумлен. Это было что-то невероятное».

Уайлс выбрал Каца не только за его знания, но и потому, что был уверен: Кац сохранит все в тайне. И он не ошибся. Нужно было организовать совместную работу так, чтобы вместе обсуждать доказательство и рассматривать уравнения, но при этом не вызвать подозрений у коллег. Уайлс и Кац нашли остроумный выход. Первый объявил, что будет вести новый курс в докторантуре под названием «Вычисления на эллиптических кривых». Как и все подобные курсы, его могли посещать студенты и преподаватели. Программой курса было не что иное, как поэтапное изложение доказательства Уайлса. Кац записался на этот курс и мог спокойно проверять различные этапы доказательства, не вызывая никаких подозрений. Немногие докторанты, которые записались на курс, быстро перестали ходить на занятия: материал оказался для них слишком сложен. «На этом уровне, если вы не знаете, какова цель вычислений, то проследить за ними невозможно. Более того, следить за сложными выкладками трудно даже в том случае, когда вам известно, куда они ведут. Через несколько недель я остался единственным слушателем», — вспоминает Кац.

* * *

ОЗАРЕНИЯ

Во время работы над теорией Ивасавы применительно к доказательству теоремы Ферма Уайлс любил гулять у озера неподалеку от университета, чтобы расслабиться и, как говорил он сам, «дать подсознанию поработать». Уверенность в том, что подсознание всегда работает над решением задачи, присуща всем творческим личностям, и в особенности математикам. Французский математик Анри Пуанкаре живо описывает подобное озарение в тот миг, когда он понял, что фуксовы функции (позднее они получили название автоморфных) связаны с геометрией Лобачевского: «Тогда я уехал из Кана… чтобы записаться на геологическую экскурсию. События, произошедшие в пути, заставили меня забыть о моей работе по математике. <…> Мы переезжали с места на место на омнибусе. И ровно в тот момент, когда я поставил ногу на ступеньку, ко мне неожиданно пришла мысль, никак не связанная с тем, о чем я думал до этого. <…> По возвращении в Кан я спокойно проверил мою догадку».

* * *

Сотрудничество оказалось плодотворным, и, кроме того, Кац не мог найти в доказательстве Уайлса ни единой ошибки. Для пущей уверенности Уайлс посвятил в заговор еще одного человека — Питера Сарнака, своего коллегу по Принстонскому университету. «Думаю, что я вот-вот докажу последнюю теорему Ферма», — признался Уайлс потрясенному Сарнаку. «В ту ночь я не смог сомкнуть глаз», — признается последний.

Однако нужно было преодолеть еще одно, последнее препятствие. Некоторые эллиптические кривые по-прежнему не поддавались. Именно тогда на горизонте снова возникла фигура Барри Мазура: именно его статья навела Уайлса на мысль изменить один из рассматриваемых параметров. Уайлс вспоминает:

«Я уточнял детали доказательства, время летело незаметно, и в тот день я даже забыл поесть. Настало время пить чай, я спустился с чердака, и Нада (жена Уайлса. — Примеч. автора) удивилась, почему я спустился так поздно… и я сказал, что, по-моему, доказал последнюю теорему Ферма. Я был уверен, что решение было у меня в руках. Джон Коутс, мой руководитель в Кембридже, через несколько дней собирался провести конференцию. Мне показалось, что именно эта конференция как нельзя лучше подойдет, чтобы представить мое доказательство. Это был мой старый дом, именно там я защитил докторскую».

Конференция в Кембридже должна была состояться через несколько дней, с 21 по 23 июня, и Уайлс неутомимо приводил в порядок результаты последних семи лет работы. Окончательный вариант рукописи насчитывал 200 страниц и был закончен как раз тогда, когда нужно было садиться на самолет и лететь в Великобританию.

Обложка видеокассеты с фильмом о последней теореме Ферма. Фильм был снят в июле 1993 года. В него вошли интервью с различными математиками, в частности, Эндрю Уайлсом и Кеном Рибетом.

Утреннее письмо

Англичанин Джон Хортон Конвей в 1993 году был ярчайшей звездой на кафедре математики Принстонского университета. Он был признанным экспертом в геометрии, теории групп и теории игр. Кроме того, он изобрел один из первых и самых популярных клеточных автоматов — игру «Жизнь». 23 июня Конвей, не изменявший привычке рано вставать, первым открыл двери кафедры. Несколько недель назад один из его коллег, Эндрю Уайлс, отправился на конференцию в Кембридж, и в течение уже нескольких дней до Конвея, активного члена международного математического сообщества, доносились самые разные слухи. Говорили, что Уайлс достиг выдающегося, удивительного результата, однако подробности были неизвестны. С первыми лучами утренней зари, осветившими горы бумаг и книг, которыми был заполнен его кабинет, Конвей включил компьютер, чтобы прочитать почту, пришедшую прошлой ночью. Одним из последних загрузилось письмо, написанное в 5 часов 53 минуты. Его тема звучала просто: «Уайлс доказал великую теорему Ферма».

«Эндрю, я все равно не понимаю»

Уайлс вернулся в Принстон в пятницу. Он чувствовал себя эмоционально опустошенным. «Почти семь лет я только и делал, что работал над этой задачей, — признался Уайлс. — И вскоре все отошло на второй план. Я забыл, каково это — вставать утром и думать о чем-то другом». На Уайлса обрушился шквал поздравлений. Некоторые благодарили его за то, что смогли при жизни увидеть доказательство теоремы Ферма. Резонанс был столь велик, что (небывалый случай!) американский журнал People включил Уайлса в список 25 самых интригующих людей года.

Достижение Уайлса еще было темой репортажей и телепередач, а научный мир уже приступил к неблагодарному, но необходимому занятию: доказательство должен был проверить комитет экспертов. Это было необходимо, чтобы подтвердить его правильность. Для такого сложного доказательства, окончательный вариант которого занимал почти 200 страниц, проверка могла занять несколько месяцев. Хотя в ходе подобных проверок не раз выявлялись грубые ошибки (например, как было за пять лет до этого с доказательством Мияоки), почти все считали, что это лишь простая формальность, учитывая, насколько тщательно Уайлс проверил свое доказательство. Никто также не думал, что доказательство будет полностью безошибочным: как правило, эксперты находят мелкие неточности, которые в большинстве случаев не влияют на ход решения и которые можно легко исправить.

Уайлс решил опубликовать доказательство в научном журнале «Математические открытия» (Inventiones Mathematicae), редактором которого был не кто иной, как Барри Мазур. Мазур поручил проверку группе экспертов, среди которых были Герд Фалтингс и Ник Кац. Последний весь июль и август строчку за строчкой проверял доказательство Уайлса, в частности, его третью главу объемом в 70 страниц. Каждый день проверка проходила по одному и тому же принципу: если Кац сомневался в каком-то этапе доказательства, он отправлял сообщение Уайлсу, который всегда с удовольствием отвечал. За исключением одного случая.

Кац проверил примерно две трети главы, когда не смог понять очередной этап доказательства. Он требовал применения сложного математического инструмента — системы Эйлера, которая была взята из работ Колывагина — Флаха. И Кац, и Уайлс проверили эту, одну из самых запутанных, частей доказательства во время придуманного ими курса.

На этот раз вместо письма по электронной почте Кац отправил свои вопросы по факсу. Уайлс ответил с привычной быстротой, Кац остался неудовлетворен ответом и повторил вопрос, добавив невинную фразу: «Эндрю, я все равно не понимаю». Они опять обменялись факсами, и снова безуспешно. В сентябре Уайлсу не осталось другого выбора, кроме как признать, что в доказательстве что-то не так.

Сначала Уайлс пробовал справиться с проблемой, внося различные поправки в систему Колывагина — Флаха. Он снова уединился в своей комнате на чердаке и стал работать в полном одиночестве.

Несмотря на все усилия, ему не удавалось исправить ошибку в рассуждениях, которая мешала получить необходимую систему Эйлера. Давление усиливалось. Кац вспоминает: «В октябре о существовании ошибки знали я сам, Илюзи (Люк Илюзи, французский математик, к которому Кац обратился за помощью в июле. — Примеч. автора), те, кто проверял остальные главы, и сам Эндрю. <…> Я действовал так же, как поступил бы любой эксперт: сохранял полную конфиденциальность». Хотя все ожидали, что проверка может занять несколько месяцев, в разгар осени 1993 года математическое сообщество заподозрило наличие серьезной ошибки и начало проявлять нетерпение. Электронные почтовые ящики кафедры дымились от писем со всевозможными предположениями. (Саймон Сингх цитирует одно из писем, которое лучше всего демонстрирует настроения специалистов. Письмо датировано 18 ноября, его автор — Джозеф Липман из Университета Пердью. «Циркулирует множество слухов об одном или нескольких пробелах в доказательстве Уайлса. Но что означает пробел — небольшую трещину, расщелину, расселину, ущелье или бездну?»). В целом после феноменального выступления на июньской конференции никто, кроме экспертов, занимавшихся проверкой доказательства, не имел возможности увидеть его официальную версию. Давление, оказываемое на Уайлса, росло, и журналисты начали задавать вопросы тем, кто был близок к нему или что-то знал о его доказательстве.

Математик Ник Кац, который первым начал сотрудничать с Уайлсом в поисках доказательства, а позднее вошел в комитет по оценке его работы.

(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси).

* * *

СЛИШКОМ БОЛЬШОЙ КОВЕР

В телепрограмме 2000 года, посвященной Эндрю Уайлсу и доказательству теоремы Ферма, Питер Сарнак так описывает его усилия, направленные на то, чтобы исправить ошибку: «Всякий раз, когда ему удавалось исправить какую-то часть своих вычислений, какая-нибудь другая трудность возникала в другой части доказательства. Дело обстояло так, будто Уайлс пытается расстелить в комнате ковер, который больше комнаты: стоило Эндрю добиться, чтобы расстелить ковер ровно в одном углу, как в другом углу тотчас же возникали складки. Но расстелить ковер так, чтобы он лег без складок по всей комнате, Уайлсу никак не удавалось».

* * *

В конце ноября решение все еще не было найдено, и 4 декабря Уайлс разместил в новостной группе Sci.math такое сообщение:

«В связи с появлением домыслов, касающихся моей работы над гипотезой Таниямы — Симуры и теоремой Ферма, я предлагаю вашему вниманию краткое изложение текущей ситуации. В ходе проверки возник ряд проблем, большинство из которых были устранены, за исключением одной… Я уверен, что мне удастся в ближайшее время восполнить пробел, используя те идеи, которые были изложены в моих кембриджских докладах. Большой объем работы, который еще предстоит проделать над рукописью, не позволяет мне издать ее в черновом виде. Я подробно расскажу о своей работе в курсе лекций, который я проведу в Принстоне начиная с февраля.

Эндрю Уайлс».

Все, кто был вовлечен в работу, и особенно сам Уайлс, попали в очень неловкую ситуацию. Позднее Уайлс сказал:

«Первые семь лет, когда я работал над задачей, я наслаждался каждой минутой. Несмотря на все трудности и многочисленные препятствия, которые в свое время казались мне непреодолимыми, я продолжал бой. Но публичная работа над исправлением доказательства не доставляла мне ни малейшего удовольствия. Мне пришлось заниматься математикой на виду у всего мира, что совершенно не в моем вкусе. Надеюсь, что подобное никогда не повторится».

По совету Сарнака, Уайлс попросил помощи у своего бывшего ученика Ричарда Тейлора, блестящего молодого математика. Оба засучив рукава принялись за работу, но, несмотря на все усилия, почти весь 1994 год им никак не удавалось изменить метод Колывагина — Флаха в соответствии с доказательством.

Озарение

Осенью того же года Уайлс, отчаявшийся, подавленный, исчерпавший силы до предела, поднял белый флаг. Он был не в силах восстановить доказательство. Исключительно из профессиональной гордости он вернулся на три года назад и стал проверять метод Колывагина — Флаха с самого начала, чтобы по меньшей мере определить, почему столь многообещающее направление в итоге привело его в тупик. Уайлс сел за тот же самый стол, который был свидетелем его славы, а затем — череды неудач.

Утро понедельника, 19 сентября, Уайлс навсегда запомнил в мельчайших подробностях:

«Я пытался найти ошибку, как вдруг внезапно, совершенно неожиданно на меня снизошло озарение. Я понял, что хотя метод Колывагина — Флаха не работал на полную мощность, в нем было все, что необходимо для возможности применения теории Ивасавы, на которую я первоначально опирался. Это был самый… самый важный момент за всю мою математическую карьеру. Решение было неописуемо прекрасно, просто и элегантно».

Двадцать минут Уайлс с недоверием смотрел на исписанные листы, и его глаза наполнялись слезами.

«Остаток дня я ходил по кафедре. Потом я вернулся в кабинет, чтобы убедиться, что я не ошибся. И я действительно не ошибся. Мне стало ясно, что от метода Колывагина — Флаха я могу взять все необходимое для того, чтобы сделать эффективным мой первоначальный подход трехлетней давности. Так из руин и пепла метода Колывагина — Флаха возникло правильное решение задачи. Прошла ночь, и я снова начал проверять решение. В 11 утра я убедился, что все в порядке. Я вернулся домой и сказал жене: "Я нашел его. Думаю, что мне удалось найти его". И это было так неожиданно… Думаю, она решила, будто я говорю о детской игрушке, и спросила: "Что ты нашел?" И я ответил: "Я исправил доказательство. Мне это удалось"».

Нада отмечала день рождения 3 октября, и супруг преподнес ей удивительный подарок, пусть и на несколько дней раньше. Следующие несколько дней Тейлор и Уайлс подробно проверяли новое, исправленное доказательство, и не нашли ни единой ошибки. Меньше месяца спустя были опубликованы две рукописи. Авторство одной из них, достаточно объемной, с названием «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма», принадлежало Эндрю Уайлсу. Другая, более короткая, называлась «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» и принадлежала перу Уайлса и Ричарда Тейлора. В первой содержалось доказательство гипотезы Таниямы — Симуры для полустабильных эллиптических кривых. Один из важнейших этапов доказательства был основан на материале второй рукописи. Обе рукописи были подробно прокомментированы и представлены к публикации в научном журнале «Анналы математики». Эксперты не обнаружили ошибок, и рукописи были опубликованы в майском номере журнала за 1995 год.

Медаль, которая никогда не была выдана

Математики всего мира могли вздохнуть с облегчением. Удивительное достижение Уайлса, в успех которого уже почти перестали верить, было удостоено всех возможных научных наград: премии Вольфа, одной из наиболее престижных и крупных премий в математике, в 1995 году; премии Шока в том же году; медали Лондонского королевского общества и премии Островского в 1996 году; премии Коула в области теории чисел в 1997 году (ранее этой премии были удостоены Горо Симура, Барри Мазур и Карл Рубин) и, разумеется, премии Ферма, учрежденной в 1989 году, чтобы поощрять исследования в тех областях, где работал сам Ферма. В 1998 году он получил премию Файзала, в 1999-м— награду Математического института Клэя.

Первая страница работы Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма», опубликованной в журнале «Анналы математики».

Не будем забывать и о премии Вольфскеля, которая значительно обесценилась из-за гиперинфляции 1930-х годов в Германии, но тем не менее составила внушительные 30 000 фунтов.

Однако в коллекции наград, полученных Уайлсом, недостает одной, но очень важной: Филдсовской медали. Эта премия, которая вручается раз в четыре года, была учреждена в 1936 году канадским математиком Джоном Чарльзом Филдсом и присуждается на заседании Конгресса, проводимого под эгидой Международного математического союза. Размер премии относительно скромен, около 10000 евро, но эта премия вне всяких сомнений является самой престижной в математике. Филдс хотел поддержать молодых математиков, поэтому ограничил возраст лауреатов 40 годами. Многие полагают, что пик творческой активности приходится на третье десятилетие жизни, поэтому считают Филдсовскую премию справедливой наградой, присуждаемой за выдающийся вклад в математику. К сожалению, к моменту церемонии 1994 года Уайлсу уже исполнился 41 год. Однако Международный конгресс математиков не мог остаться в стороне. Было принято решение впервые в истории премии присвоить Уайлсу почетный титул и вручить ему серебряную табличку в знак признания его выдающихся заслуг.

Эпилог. Есть ли жизнь после Ферма?

В знаменитом докладе на конференции в 1900 году, посвященном положению дел в математике начала XX века, немецкий математик Давид Гильберт писал: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия?» Говоря о теореме Ферма, он добавил: «Проблема доказательства этой неразрешимости являет собой яркий пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная задача. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь… является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций».

Гильберт прочел свой доклад за много лет до того, как появились работы Морделла, Таниямы — Симуры и Фрая. Разумеется, он не мог даже представить, каким образом Уайлсу удастся найти доказательство. Кто мог предположить, что эти работы помогут совершить небывалый прорыв в математике? Танияма и Симура установили удивительную связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами. Кто знает, между какими разделами математики, которые сейчас кажутся совершенно независимыми, в будущем будет найдена неожиданная взаимосвязь?

Тем не менее, не отрицая всю важность доказательства последней теоремы Ферма, стоит отметить, что оно намного важнее как своеобразный катализатор будущих исследований. В течение многих веков задача Ферма возвышалась, словно неприступная цитадель, и копья математиков разбивались о ее стены. Уверенность Уайлса в том, что он практически в одиночку сможет решить задачу такого масштаба, несомненно, вдохновит других посвятить себя решению других открытых задач, которые сейчас представляются нерешаемыми.

Что говорит по этому поводу сам Уайлс? Из-за его природной скромности не стоит ожидать от него каких-то громких фраз. Однако эту книгу можно закончить только его словами, которые он произнес, когда было окончательно утверждено его второе доказательство и сбылась мечта всей его жизни:

«Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача, но если в зрелом возрасте вам представляется возможность заниматься чем-то таким, что значит для вас так много, то это занятие служит для вас наградой более высокой, чем что-либо еще. Доказав великую теорему Ферма, я не мог не ощутить потери, но в то же время меня охватило чувство бескрайней свободы. На протяжении восьми лет я был настолько поглощен ее доказательством, что не мог думать ни о чем другом. Я думал о теореме Ферма все время — с утра до ночи. Для размышлений об одном и том же — срок очень долгий. Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрел покой».

Приложение

Фигурные числа

Фигурное число — это число, которое может быть представлено в виде точек, расположенных в форме правильного многоугольника. Эти числа долгое время служили объектом пристального внимания математиков. Греки приписывали им магические свойства, связанные с их особой формой, а Диофант посвятил им отдельный труд.

Треугольное число можно представить в виде равностороннего треугольника:

Получим последовательность 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,105…

Общая формула приведена справа от иллюстрации.

Квадратные числа можно представить в форме квадратов:

Получим последовательность 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225… Общая формула — n^2.

Пятиугольные числа можно представить в виде пятиугольников:

Получим последовательность 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330… Общая формула приведена на рисунке.

Аналогично можно получить шестиугольные, семиугольные числа и так далее.

Ферма первым понял, что любое натуральное число можно представить как сумму максимум трех треугольных, четырех квадратных, пяти пятиугольных чисел и так далее. Данные, представленные в следующей таблице, позволяют убедиться, что это соотношение выполняется для треугольных и пятиугольных чисел.

Библиография

ACZEL, A.D., Elúltimo teorema de Fermat, México, Fondo de Cultura Económica, 2004.

GHEVERGHESE, G.J., La cresta del pavo real: las matemáticas у sus raíces no europeas, Madrid, Pirámide, 1996.

MAHONEY, M.S., The mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (La actividad matemática de Pierre de Fermat, 1601–1665), Princeton University Press, 1994.

RlBENBOIM, P., Fermat* s Last Theorem for Amateurs (Elúltimo teorema de Fermat para aficionados)t Nueva York, Springer Verlag, 1999.

SlNGH, S., El enigma de Fermat у Barcelona, Planeta, 1998.

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 9

Альберт Виолант-и-Хольц

Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия

Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей по данному адресу не принимаются.

Генеральный директор: Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Старший редактор: Дарья Клинг

Финансовый директор: Наталия Василенко

Коммерческий директор: Александр Якутов

Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук

Менеджер по продукту: Яна Чухиль

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей лнннн в России:

8-800-200-02-01

Телефон горячей линии для читателей Москвы:

8-495-660-02-02

Адрес для писем читателей: Россия, 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245, «Де Агостини», «Мир математики»

Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).

Распространение:

ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»

УКРАИНА

Издатель и учредитель:

ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина

Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119

Генеральный директор: Екатерина Клименко

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:

0-800-500-8-40

Адрес для писем читателей:

Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Мир математики»

Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»

БЕЛАРУСЬ

Импортер и дистрибьютор в РБ:

ООО «Росчерк», 220037, г. Минск, ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,

тел./факс: +375 17 331 94 27

Телефон «горячей линии» в РБ:

+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)

Адрес для писем читателей:

Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Мир математики»

КАЗАХСТАН

Распространение: ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»

Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.

Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:

Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2

35010 Trebaseleghe (PD) Italy

Подписано в печать: 05.10.2013

Дата поступления в продажу на территории России: 18.03.2014

Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».

Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.

Усл. печ. л. 6,48.

Тираж: 200 000 экз.

© Albert Violant i Holz, 2010 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2012

© ООО «Де Агостини», 2014

ISBN 978-5-9774-0682-6

ISBN 978-5-9774-0625-3 (т. 9)

Примечания

1

Цитаты из Уайлса на протяжении всей книги, если не указано иное, взяты из упомянутой программы («Доказательство», NOVA, 28 октября 1997 года, служба Public Broadcasting System, PBS).

2

Вольный перевод цитаты из книги Амира Акселя «Последняя теорема Ферма». Эта глава во многом основана на этой книге о теореме Ферма и ее доказательстве, которая уже успела стать классической.

3

Оригинальное название: At Last, Shout of «Eureka!» in Age-Old Math Mystery.

Content

Альберт Виолант-и-Хольц
«Мир математики»
№ 9
«Загадка Ферма.
Трехвековой вызов математике»

Предисловие

Глава 1 Луч света в математическом замке

Глава 2 Все началось в Шумерии

Глава 3 Ферма, городской адвокат

Глава 4 Происхождение последней теоремы

Глава 5 Ингредиенты вкусного блюда

Глава 6 Доказательство

Приложение Фигурные числа

Библиография

Примечания