Perez Eduardo Arroyo

Вселенная погибнет от холода. Больцман. Термодинамика и энтропия.

Eduardo Arroyo Perez

Наука. Величайшие теории: выпуск 21: Вселенная погибнет от холода. Больцман. Термодинамика и энтропия.

Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2015. — 160 с.

Еженедельное издание

Людвиг Больцман — одна из главных фигур в современной физике. Развив активную деятельность в Вене конца XIX века, он произвел революцию в изучении материи, включив в него вероятность, и всеми силами отстаивал существование атомов в то время, когда многие философы и даже влиятельные ученые отрицали его. Несмотря на то что обновленное ученым понятие энтропии и основывающееся на нем начало термодинамики заложили основы квантовой и релятивистской революции в последующем веке, категоричные взгляды Больцмана не всегда встречали поддержку коллег, и это непонимание, возможно, было причиной его трагического самоубийства.

ISSN 2409-0069

Иллюстрации предоставлены:

Age Fotostock: 83,92; Album: 110,137b; Archivo RBA: 2lad, 25,28,31,55,70,89,105,106,113ai, 113Ы, 113bd, 137ai; Getty Images: 21Ы, 21bd, 145; Metropolitan Museum, Nueva York: 21ai; NASA: 143; Universidad de California: 128; Universidad de Viena; 137ad;Joan Pejoan.

© Eduardo Arroyo Perez, 2012 (текст)

© RBA Collecionables S.A., 2012

© ООО «Де Агостини», 2014-2015

Введение

Если и есть человек, который как никто олицетворяет понятие случая, то это Людвиг Больцман. Его жизнь состояла из непредвиденной череды удач и невезений, и последние привели его к самоубийству в 1906 году. Он обладал широким международным авторитетом не только в научных кругах, но и в обществе (которое почитало его как ученого), и в то же время на него беспощадно нападало немалое число интеллектуальных соперников. Большой вклад Больцмана заключается в его объяснении основ термодинамики — науки о тепле, описанной терминами механики.

Термодинамика, как и Больцман, родилась в эпоху промышленной революции, когда прогресс, ставший возможным благодаря развитию технологий, наделил ученых статусом публичных людей. Неудивительно, что многим из них был предоставлен дворянский титул, как в случае с Уильямом Томсоном, первым бароном Кельвином, или с Бенджамином Томпсоном, известным как граф Румфорд. Больцман отклонил подобную честь, аргументируя свой отказ тем, что эта фамилия служила его родителям и послужит его детям. В данном жесте можно разглядеть характер человека, который не делал различий между социальными рангами и которому никогда не было уютно среди роскоши в высшем обществе.

Однако случай сыграл ключевую роль не только в жизни Больцмана, но и в его работе. Австрийский исследователь был одним из первых, кто применил теорию вероятностей к изучению физики, что вызвало столкновение с другими членами научного сообщества. В этом смысле Больцмана можно считать предтечей квантовой механики, теории, которая возникла спустя некоторое время после его смерти и произвела революцию в естественной науке и философии XX века, когда вероятность заняла центральную позицию в физике. Больцману было комфортно трудиться в этой сфере знаний: вдохновленный его работой Макс Планк создал то, что расценивается как первая статья новой теории.

Работа Больцмана так повлияла на современный мир, что нашла свое отражение даже в массовой культуре. Ученый рассматривал энтропию как меру беспорядка, и этот факт присутствует в любой программе популяризации науки. Понятие энтропии, введенное Рудольфом Клаузиусом, сначала было связано с представлением о «полезной работе»: предполагалось, что энтропия системы (например, двигателя) повышается, когда количество полезной работы, которую система способна произвести, снижается. Клаузиус также доказал, что эта мера будет увеличиваться в замкнутой системе, где нет обмена материей и энергией с внешней средой. Больцман полностью перевернул понятие энтропии, прибегнув к тому, что тогда еще было яблоком раздора — к атомной теории, согласно которой мир состоит из атомов, маленьких неделимых частиц, придающих материи ее свойства. Понятие вероятности тесно связано с этой теорией: из-за малого размера атомов и их огромного числа единственный способ понять совокупность этих частиц — сделать вывод на основе статистического анализа их поведения. Именно так и поступил Больцман, он решил, что газы образованы движущимися атомами и, воспользовавшись инструментами теории вероятностей, вывел макроскопические свойства тела — температуру и энтропию.

Сложно недооценить влияние Больцмана как на физику своего времени, так и на современную науку. Вся статистическая физика, прямо или опосредованно, основывается на его работе. Несмотря на то что не ему принадлежит сам термин, именно он был основателем этой дисциплины, поскольку открыл методы, которые используются и поныне. В отличие от других непонятых гениев, Больцман обладал большим авторитетом при жизни. Например, его часто приглашали во дворец императора Австро-Венгрии Франца Иосифа, так что можно представить, насколько он был прославлен. Аудитории на его лекциях заполнялись до отказа, где бы ни выступал Больцман, послушать ученого приезжали молодые люди со всего мира. Влияние Больцмана было общепризнано в Англии, он даже получил степень почетного доктора в Оксфордском университете. Также он тесно общался с другими значительными фигурами того времени, такими как Джеймс Клерк Максвелл и Герман фон Гельмгольц. Некоторые его ученики стали нобелевскими лауреатами, среди которых следует отметить шведского ученого Сванте Аррениуса, получившего премию по химии.

По тому, каким Больцман был преподавателем, можно представить, насколько он повлиял на будущее науки. Он всегда следил за последними достижениями в области физики и математики и передавал эту информацию своим ученикам страстно и скрупулезно. Он яро защищал неевклидовы геометрии, развитые Лобачевским, Бойяи и Риманом в первой половине столетия, которые оказались ключевыми для Альберта Эйнштейна в разработке общей теории относительности. Он также успешно трудился над тем, чтобы идеи Максвелла прижились в континентальной Европе.

С другой стороны, Больцман являлся большим поклонником Чарльза Дарвина, до такой степени, что даже называл XIX век «веком Дарвина». Отчасти его почитание объясняется тем фактом, что англичанину удалось сделать широкомасштабные выводы, исследуя столь незначимую область, как разведение голубей. Больцман взял за основу похожую модель, переходя от малого к большому с помощью логических рассуждений. На основе атомной теории и теории вероятностей ему удалось вывести свойства газов; он смог доказать, что таинственная величина под названием «энтропия» есть всего лишь мера молекулярного беспорядка тела, которая увеличивается всегда в связи с тем, что беспорядочные сочетания — это также наиболее вероятные сочетания. Так то, что казалось загадкой, превратилось почти в тавтологию.

Закон о возрастании энтропии, или «второе начало термодинамики», мог применяться не только к двигателям, в связи с которыми он был сформулирован. Вскоре научное сообщество осознало, что закон предсказывает ужасающий сценарий гибели Вселенной, получивший название «тепловой смерти». Энтропия космоса, приводились аргументы, может только возрастать, пока не дойдет до максимума, когда будет невозможно производить какую-либо полезную работу. В это мгновение Вселенная перестанет существовать.

Статистическое объяснение энтропии пролило свет на столь безрадостную картину. Поскольку второе начало — всего лишь статистическая истина, едва наступит состояние тепловой смерти, возникнут флуктуации, которые вызовут увеличение энтропии. Эти флуктуации в целом будут маленькими, но по истечении времени станут достаточно большими для того, чтобы позволить возникнуть другой упорядоченной вселенной. Так наименьшее перейдет в наибольшее, дав некоторую надежду будущему космоса.

Другая область, в которой работа Больцмана произвела революцию, связана с изучением так называемой «стрелы времени», направления от прошлого к будущему. Законы, известные в ту пору, основанные на механике Ньютона, не могли прояснить ситуацию, поскольку давали одинаковые прогнозы независимо от того, движется время назад или вперед. Второе начало термодинамики истолковало это явление так: будущее — область, в которой энтропия увеличивается, процесс идет в одном-единственном направлении, поскольку, как было сказано, это отражает тенденцию системы занимать самые вероятные состояния.

Данное определение допускало возможность, что ось времени относительна: если бы энтропия увеличивалась в форме, обратной тому, как это происходит, то существа, живущие в таком мире, окрестили бы прошлое будущим, и наоборот.

Научная работа Больцмана также привела его в область философии, сначала он вступил в нее с неохотой, а затем с энтузиазмом. Его вклад в философию через несколько десятилетий отразился в работах таких мыслителей XX века, как Карл Поппер или Томас Кун, не говоря уже об очевидном влиянии Больцмана на Венский кружок, ряд участников которого посещали его лекции. Его критика метафизики была разрушительной, хотя австрийский ученый признавал, что философские дилеммы, поставленные этой дисциплиной, достойны траты времени. Он утверждал: ответы на великие вопросы придут в результате анализа небольших разрешимых задач, аргументируя это тем, что тысячи гениальных людей посвящали свою жизнь огромным нерешенным проблемам без особого видимого прогресса. Больцман проповедовал дарвинистское видение науки и знания в целом и даже утверждал, что математическая логика — всего лишь продукт эволюции, и таким образом опять же приблизился к великим достижениям XX века.

Сферой, в которой ему, как ученому и как философу науки, пришлось бороться наиболее усердно, стала защита атомной теории. Несмотря на успех ее методов, в конце XIX века возникло течение под названием «энергетика» (идеологом которого был Эрнст Мах, ярый соперник Больцмана в области философии), утверждающее, что вся физика может быть объяснена с позиции взаимодействия энергии. Энергетики отрицали существование атомов и считали последователей атомной теории старомодными, обвиняли их в том, что те держатся за устаревшие идеи. Больцман как никто страдал от нападок Маха, что сказалось на его депрессивной личности и, согласно многим историкам, подтолкнуло к самоубийству.

Больцман даже не сомневался в существовании атомов. Это не слепая вера, как думали его соперники, а строгая приверженность учению о научном методе: теория с наибольшей объяснительной силой — именно та, которая должна быть принята. Он настаивал, что атомная теория одерживает верх над энергетической гипотезой, которая неспособна объяснить даже движение материальной точки.

Взгляды Больцмана получили подтверждение в начале XX века, когда ряд экспериментов доказал: материя, несомненно, состоит из атомов. К сожалению, победа пришла слишком поздно. В 1906 году Больцман повесился у себя дома на летнем отдыхе в Дуино, в Италии. Хотя причин самоубийства может быть много и, скорее всего, они мало связаны с атомной теорией, но коллективное воображение представило это как акт разочарования ученого, работа всей жизни которого оказалась под угрозой.

Хотя жизнь Больцмана прервалась в тот роковой год, его влияние только начиналось и распространилось на весь XX век. Невозможно представить современную науку без его вклада, помогшего осветить квантовую механику и теорию относительности — две теории, в значительной степени определившие наше видение космоса, на которых основывается практически вся современная технология.

1844 20 февраля в Вене появляется на свет Людвиг Эдуард Больцман. Вскоре семья переезжает в Вельс, затем в Линц.

1859 Умирает его отец.

1883 Сдает вступительный экзамен в Венский университет, его мать переезжает в столицу, чтобы помогать сыну, обучающемуся физике. Умирает его брат Альберт.

1887 Получает должность приват-доцента, за год до этого — степень доктора.

1889 Назначается профессором математической физики в Грацском университете.

1872 Публикует уравнение, носящее его имя, и дает математическое обоснование распределения Максвелла, которое получает название распределения Максвелла — Больцмана. Доказывает, что второе начало термодинамики — следствие из атомной теории и теории вероятностей, что позже станет известно как Н-теорема.

1873 Принимает кафедру математики Венского университета.

1878 Заключает брак с Генриеттой фон Айгентлер и возвращается в Грац; у супругов будет пятеро детей.

1877 Публикует статью о парадоксе обратимости, а также еще одну работу, в которой анализирует связь между энтропией и теорией вероятностей. Выводит формулу 5 - k logW, которую потом выгравируют на его могиле.

1878 Назначается деканом Грацского университета, а через три года ректором.

1884 Публикует вывод закона Стефана — Больцмана. Через год умирает его мать.

1888 Сначала принимает кафедру, которую ему предлагают в Берлинском университете, а затем отказывается от нее. Первые признаки маниакально-депрессивного расстройства.

1889 Умирают его сын Людвиг Хуго и его сестра Хедвиг.

1890 Принимает кафедру теоретической физики в Мюнхенском университете.

1894 Занимает кафедру Йозефа Стефана в Венском университете.

1895 Больцман и Оствальд участвуют в публичных дебатах в Любеке на тему энергетического и атомного течений.

1897 Отвечает на возражения против его статистического подхода ко второму началу термодинамики, опубликованные годом ранее Цермело.

1900 Читает курс теоретической физики в Лейпцигском университете. Через два года возвращается в Вену, а в 1903 году начинает вести курс по философии.

1905 Третья, последняя, поездка в США.

1906 5 сентября кончает жизнь самоубийством, находясь на отдыхе в Дуино, Италия.

ГЛАВА 1

Рождение термодинамики

Паровая машина изменила мир еще до того, как был понят механизм ее работы. В середине XIX века необходимость строить более эффективные машины привела к развитию теории двигателей, которая, в свою очередь, породила новую науку, термодинамику. Вскоре та миновала изначальную цель и превратилась в науку о тепле — единственную способную объяснить, почему время движется от прошлого к будущему.

Людвиг Больцман был ученым, придавшим ей ее нынешнюю выразительность.

Людвиг Эдуард Больцман родился 20 февраля 1844 года в Вене, за четыре года до того, как всю Европу накрыла волна революций. Однако детство будущего ученого прошло в защищенной обстановке, во многом благодаря состоятельности семьи его матери, Катарины Пауэрнфайнд. Фамилию этой семьи до сих пор носит улица в Зальцбурге, где прадед и дед Больцмана были бургомистрами. Его отец, Людвиг Георг Больцман, был сборщиком налогов и в итоге получил должность главного инспектора Имперской налоговой службы в городе Линце. Дед со стороны отца родился в Берлине, затем переехал в Вену и был часовщиком. У Больцмана имелись младший брат и сестра: Альберт (1845-1863) и Хедвиг( 1848-1890). Брат умер еще в молодости от респираторного заболевания, сестра большую часть жизни провела в одном доме с Людвигом, даже после того как тот женился.

Как и другие великие ученые, ребенком Больцман подавал надежды. Он всегда был первым в классе, с ранней юности выказывая большой интерес и способности к физике и математике, но не ограничиваясь ими. Он подробно изучал философию и историю и на всю жизнь сохранил страсть к ботанике и зоологии, а также к музыке. У него часто случались пылкие философские споры с братом, который смеялся над его стремлением давать строгое определение каждому слову. Сам Больцман вспоминал следующую историю. Услышав о Дэвиде Юме (1711-1776), он попросил в библиотеке одну из его книг, но там был только экземпляр на английском языке. «Это неважно,— съязвил брат. — Если все слова хорошо определены, у него не возникнет проблем с пониманием книги». Отец купил словарь, который не только позволил мальчику перевести Юма, но и стал ключевым в его научном развитии, поскольку затем помог понять статьи Джеймса Клерка Максвелла (1831 -1879), его непосредственного интеллектуального предшественника.

Маленький Людвиг провел детство в Вене, Линце и Вельсе (города в Верхней Австрии) из-за работы своего отца. Поначалу он не ходил в школу, и дома его воспитывал наставник. Он также брал уроки фортепиано у уже известного композитора Антона Брукнера (1824-1896). Однако эти уроки резко закончились, когда учитель случайно оставил мокрый пиджак на кровати — мать Больцмана в мгновение ока его уволила. Будущий ученый несмотря ни на что никогда не переставал играть на пианино, и это увлечение доставило ему много удовольствия в жизни. Он сам комментировал свою интерпретацию серенады Шуберта после ужина в доме магната Уильяма Рэндольфа Херста (1863-1951), на который был приглашен в 1905 году в ходе своей последней поездки в США.

МЕНЯЮЩИЙСЯ МИР

В то время как Людвиг наслаждался занятиями музыкой, мир переживал чреду потрясений. В 1848 году в Лондоне был издан «Манифест коммунистической партии», написанный Карлом Марксом (1818-1883) и Фридрихом Энгельсом (1820-1895), в котором они изложили свой взгляд на историю и борьбу рабочего класса. Но это был не единственный социальный фактор, который беспокоил Европу после Реставрации, пришедшей на смену наполеоновским войнам: на всем континенте закипало неприятие абсолютизма, вылившееся в волну народных революций. В Австрии они имели национальный характер и были связаны с попытками некоторых провинций (польских, итальянских и венгерских среди прочих) отколоться от империи. Для революционеров результат был плачевным: Австро-Венгрия воспользовалась отсутствием связи между повстанцами, столкнула их друг с другом и быстро подавила остальных. Однако мятежи вынудили императора Фердинанда I отказаться от престола в пользу эрцгерцога Франца Иосифа, а также повлияли на отставку премьер-министра Меттерниха. В социальном плане это привело к отмене крепостной зависимости крестьян.

Политические встряски шли бок о бок с изменениями в обществе, вызванными промышленной революцией, которая устремилась вперед под влиянием научно-технического прогресса. В индустриальном климате новые технологии радикально изменили социальную структуру: возник новый класс работников, рабочий класс, города стали разрастаться, а деревни приходить в запустение. Заводы пожирали уголь и производили деньги с колоссальной скоростью.

Рос спрос на уголь, а вместе с ним и необходимость в более эффективных машинах. Еще со времен Джеймса Уатта, с конца XVIII века, было известно, что большая часть тепла, выделяемого при горении, теряется, не производя полезной работы. Оценки, сделанные веком позже, зафиксировали норму эффективности в районе всего лишь 3 %. Несмотря на то что было совершено несколько попыток улучшить конструкцию двигателей, требовалась новая дисциплина, которая подвела бы прочные теоретические обоснования под более или менее плодотворные попытки по повышению эффективности.

Новая дисциплина сформировалась в 1860-е годы под названием «термодинамика». Она стала одним из трех столпов изысканий Больцмана, поскольку помогла объяснить поведение макроскопических тел через анализ микроскопических элементов (второй столп — атомная теория, а третий — понятие случая, сыгравшее центральную роль в жизни ученого).

Первое препятствие на пути к повышению эффективности двигателей заключалось в отсутствии прочной теории тепла и его передачи, которая позволила бы делать количественные прогнозы. Эту теорию высказал Антуан Лавуазье (1743-1794), доказав в 1783 году, что учение о флогистоне не имеет экспериментального подтверждения. «Флогистоном» Иоганн Иоахим Бехер (1635-1682) назвал вещество, существованием которого он объяснил явление горения. Немецкий ученый предположил, что флогистон присутствует в телах, подверженных горению, и высвобождается при образовании пламени. В стремлении подтвердить эту ошибочную теорию, в итоге был открыт кислород — пример того, как научный метод позволяет сделать плодотворным даже заблуждение. Больцман очень хорошо знал это и то, как развивалась наука. В 1895 году в связи со смертью своего учителя и друга Йозефа Лошмидта он вспоминал, как тот предложил ему однажды основать «научный журнал, в котором освещались бы только неудавшиеся эксперименты». «Он не осознавал, насколько интересно было бы воспринять всерьез эту шутку» и показать, что некоторые новшества могли возникнуть скорее, узнай научное сообщество о деталях некоторых неудавшихся экспериментов.

Лавуазье отрицал идею флогистона и вместо нее предложил теорию теплорода, которая господствовала в химии в течение следующих семидесяти лет. Она рассматривала тепло как утонченное вещество (имеющее тенденцию перетекать от теплых тел к холодным), теплород. Поскольку количество теплорода постоянно, все тепло, потерянное одним телом, принимается другим. Несмотря на кажущуюся наивность, теория теплорода привела к некоторым успехам, среди которых выделяется корректировка в расчете скорости звука Пьер-Симоном Лапласом (1749-1827), который исправил самого Исаака Ньютона (1642-1727). Следующим шагом были работы Николя Леонара Сади Карно (1796-1832), способствовавшие созданию науки термодинамики.

Роль Больцмана проявилась позже, когда термодинамика из молодой науки перешла в разряд состоявшейся отрасли знания. Его большим достижением было объяснение законов новой науки, которые приводились без доказательства на основе атомной и вероятностной природы материи. Больцман доказал, что термодинамика сводится к сочетанию механики (которая описывает поведение движущихся тел и взаимодействие между ними) и вероятности, и таким образом исполнил мечту любого физика-теоретика: найти самое простое и фундаментальное объяснение изучаемым явлениям.

Антуан Лавуазье и его супруга, Жак-Луи Давид, 1768 год.

Портрет Больцмана, 1872 год.

Аппарат Джоула для измерения соответствия между работой и количеством произведенного ею тепла.

Гравюра 1725 года, иллюстрирующая эксперименты Роберта Бойля с вакуумными насосами.

ИСТОКИ ТЕРМОДИНАМИКИ

Паровые машины использовали водяной пар, чтобы привести в движение поршень; пар производил работу, когда расширялся в результате нагревания из-за горения угля. Чтобы улучшить эту конструкцию, нужно было понять поведение газов. Большой шаг в этом направлении сделали Роберт Бойль (1627-1691) и Роберт Гук (1635-1703), после того как первый сконструировал вакуумный насос. Этот аппарат позволил ученым определить отношение между давлением и объемом газа. Бойль и Гук выяснили, что при расширении газа с поддержанием его температуры давление, оказываемое им на стенки сосуда, уменьшается; точно так же при уменьшении объема давление увеличивается. Это привело их к заключению, что произведение обеих величин постоянно.

Следующее открытие в области газов было сделано Жозефом Луи Гей-Люссаком (1778-1850), который воспользовался новым изобретением (термометром), чтобы осуществить свой эксперимент. При нагревании разных газов он понял, что их объем увеличивается: чем выше температура, тем больше объем. Это привело его к провозглашению знаменитого уравнения, в котором объем прямо пропорционален температуре, а константа пропорциональности различна для каждого газа. Открытие Гей-Люссака оказалось основополагающим для последующего понимания паровых машин (конструкция которых построена на увеличении объема газа при его нагревании) и определило один из результатов, объясненных теорией Больцмана, в которой температура — это мера скорости атомов газа.

Примечательно, что в отличие от прочих ответвлений науки термодинамика возникла во многом на базе технологического прогресса, а не наоборот. Больцман полностью осознавал разницу между теоретической и практической деятельностью. Вспоминая Йозефа Стефана (1835-1893), одного из своих главных учителей, он писал: «Физика стала популярной сегодня из-за многочисленных практических применений.

Несложно представить себе деятельность человека, который с помощью экспериментов открывает новый закон природы или подтверждает или распространяет уже известный. Но кто такой физик-теоретик?» И он сам же отвечал: «тот, кто пытается найти основополагающие причины явлений или, как принято говорить сегодня, должен выражать экспериментальные результаты с унифицированной точки зрения, упорядочивать и описывать их как можно яснее и проще». Особую важность этого вопроса для Больцмана подтверждает тот факт, что он возвращался к нему регулярно.

В то время как физик-экспериментатор ищет новые явления, теоретик пытается понять эти данные во всем их качественном и количественном охвате.

Людвиг Больцман на лекции, прочитанной им ПО СЛУЧАЮ трехсотлетия Грацского университета

Теория теплорода и достижения в понимании газов дали Николя Леонару Сади Карно, военному инженеру времен наполеоновской Франции, идеальную основу для изучения проблемы паровых машин. С его работы и началась термодинамика. Он был сыном Лазара Карно, инженера, математика и активиста Французской революции, и умер от холеры в тридцать шесть лет, из-за чего его имущество было сожжено, чтобы предотвратить распространение эпидемии. Меж тем в числе уничтоженных вещей была большая часть его научных изысканий. Великая работа «Размышления о движущей силе огня» является практически художественным произведением, в ней он не скрывает, что очарован паровой машиной. На первых страницах представлены размышления об изменениях, которые она произвела в обществе, а также прогнозы на будущее.

Карно задавался двумя вопросами.

— Можно ли получить неограниченную работу от топлива?

— Можно ли увеличить продуктивность машины, если заменить пар каким-нибудь другим флюидом?

Карно прибегнул к построению упрощенной теоретической модели. «Машина Карно» и ее цикл операций («цикл Карно») — важная составляющая учебного плана любого физического факультета. Машина, придуманная Карно, имела три части: два источника различных температур (один — низкой, второй — высокой) и механизм, производивший работу, обычно состоявший из цилиндра с поршнем и стержнем. Тепло текло от теплого источника к холодному (которым могла быть сама атмосфера) и по мере этого нагревало газ внутри цилиндра. Газ расширялся из-за тепла и приводил в движение поршень, действующий как некая подвижная пробка. Он передавал импульс стержню, который превращал колебание поршня в круговое движение. В модели Карно тепло могло течь только от теплого источника к холодному, а не к механизму. На рисунке слева представлена схема изобретения Карно, где T_1, и Т_2 — два температурных источника, С — механизм, производящий работу, Q представляет собой тепло, передаваемое теплым источником (T_1) холодному (T_2), a W соответствует работе, произведенной машиной.

Чтобы придать форму своей машине, Карно потребовались все знания того времени: закон Гей-Люссака говорил о том, что газ будет расширяться при нагревании; теория теплорода указала, что тот может течь только от теплого источника к холодному и что, кроме того, тепло не может возникнуть из ничего или попутно потеряться. Понадобились десятилетия на то, чтобы выводы Карно были использованы для усовершенствования двигателей, но они заложили основы термодинамики.

КАРНО, ВТОРОЕ НАЧАЛО И НЕОБРАТИМОСТЬ

Второе начало термодинамики претерпело многочисленные изменения от первоначальной формулировки Карно до формулировки, предложенной Больцманом, намного более утонченной. В понимании Карно оно гласило, что у любого двигателя есть предел, и что существует теоретический предел эффективности, которого в любом случае нельзя достичь. Эта идея привела к понятию необратимости: так или иначе, при сжигании угля для приведения двигателя в действие теряется что-то, что никогда нельзя будет восстановить.

Понятие необратимости напрямую связано с направлением, в котором движется время: различие между прошлым и будущим задано процессами, которые нельзя повернуть вспять.

Например, разбитый стакан нельзя восстановить из осколков. Больцман доказал, что понятие необратимости на самом деле является вероятностным, то есть среди законов Вселенной нет ничего, что мешало бы стакану восстановиться из его осколков. Однако вероятность того, что это случится, чрезвычайно мала, именно поэтому процессов с такими характеристиками никогда не наблюдается. Из-за путаницы в терминах «невозможность» и «невероятность» многие современники неправильно поняли Больцмана и яростно противостояли его предложению.

Николя Лаонар Сади Карно.

Французский инженер выяснил, что существует верхний предел производительности паровой машины, который задан производительностью его машины: любая настоящая машина будет иметь производительность меньшую, чем эта величина (из этого результата будет выведено так называемое «второе начало термодинамики», которому Больцман придал его современную выразительность). Ответ на первый вопрос Карно: количество работы, которую можно получить от источника, ограничено, и его верхний предел задан соответствующей машиной Карно.

Второе открытие Карно заключалось в том, что производительность машины зависит только от двух факторов: температур обоих источников. Чем больше разница, тем больше производительность; при равных температурах производительность равна нулю. И вот ответ на второй его вопрос: замена водяного пара другим материалом не влияет на производительность.

ОТКРЫТИЯ ДЖОУЛЯ И ТОМСОНА

До последнего удара по теплороду оставалось еще 40 лет, и его нанес английский физик Джеймс Прескотт Джоуль (1818- 1889), который не только доказал соответствие между теплом и работой, но и заложил необходимые основы для провозглашения так называемого «закона сохранения энергии». Этот закон настолько важен, что без него нельзя понять науку XX века. Ни работа Больцмана, ни Эйнштейна, ни любого физика после 1870 года не стала бы возможной без открытия Джоуля.

Джоуль не был ни инженером, ни ученым, он владел пивным заводом. Долгое время его работа рассматривалась остальным научным сообществом как любительская и не воспринималась всерьез. Однако материал, находившийся в его распоряжении, позволял ему ставить эксперименты с большей точностью, чем обычно в то время, и благодаря полученным им результатам он и известен нам сегодня.

Интересы Джоуля сосредоточивались на понятии работы, которая тогда определялась как способность поднять груз на определенную высоту. Джоуль изучал различные способы производства работы, включая простые гальванические элементы и топливо из различных веществ. Он быстро заметил, что температура проводника увеличивается, если по нему течет ток, что было сложно объяснить теорией теплорода. Факт, что тот же элемент, который используется для нагревания медной нити, может использоваться также и для создания движения с помощью электрического мотора, привел его к выводу, что тепло и работа — это два аспекта одного и того же явления. Зная, что его предложение встретит явное неприятие со стороны научного сообщества, он решил доказать его со многих позиций. С 1841 по 1850 год Джоуль осуществлял всевозможные измерения соответствия между работой и теплом, пользуясь различными методами. Поскольку он получил практически идентичные результаты, его утверждение, что тепло — это всего лишь другой вид энергии, было сложно оспорить.

Джоуль провел несколько лет, исследуя электрические явления, для чего у него имелся арсенал инструментов. Среди них гальванометр (который измеряет ток), улучшенный им самим. Неудивительно, что первое измерение отношения между теплом и работой он осуществил с помощью электромагнита. Тот погружался в воду и начинал вращение при воздействии другого, внешнего магнита. Вычисляя энергию, необходимую для поддержания вращения электромагнита, Джоуль выяснил, что для увеличения на один градус по Фаренгейту температуры одного фунта воды необходима работа, соответствующая поднятию груза весом 838 фунтов на один фут высоты.

Схема экспериментального устройства Джоуле: груз падает на расстояние z, заставляя вращаться лопасти в воде.

Несмотря на то что он продолжал совершенствовать эти измерения всю свою жизнь (для чего он прибегнул к неоценимой помощи Уильяма Томсона), эксперимент, благодаря которому его помнят, — это четвертый поставленный им эксперимент (см. рисунок). В нем груз, падающий с некоторой высоты (z), использовался для того, чтобы привести в движение маховик с лопастями в цилиндре, заполненном водой. Измерялось увеличение температуры и сравнивалось с работой, осуществленной в данном случае силой тяготения. Полученный здесь результат составил 819 фунтов на фут.

Работа Джоуля стала ключевой для его друга Уильяма Томсона (позже известного как лорд Кельвин), исходившего из предположений Джоуля, чтобы прийти к определению температуры, носящей его имя.

ЛОРД КЕЛЬВИН

Уильям Томсон (1824-1907) проявил свой большой талант еще в детстве.

В десять лет он поступил в университет Глазго, хотя по тем временам это было вполне нормально: университеты стремились привлечь подающих надежды молодых людей в раннем возрасте. Маленький Уильям имел большие способности к математике и физике, во многом благодаря поддержке своего отца Джеймса, который был математиком.

Его одаренность не ограничивалась этим: в двенадцать лет он получил премию за перевод с латинского на английский «Разговоров с богами» Лукиана Самосатского. В четырнадцать лет он уже выполнял работы университетского уровня. Через некоторое время после выпуска стал лауреатом премии Смита, которой Кембриджский университет каждый год награждал самый оригинальный проект по физике и математике. При этом Роберт Лесли Эллис (1817-1859), известный изданием работы Фрэнсиса Бэкона (1561-1626), сказал одному из членов комиссии: «Мы с вами едва ли достойны того, чтобы затачивать ему карандаши».

Томсон работал с обычным инструментом для своего времени, газовым термометром, который никоим образом его не удовлетворял. Аппарат основывался на законе Гей-Люссака, согласно которому объем газа увеличивается пропорционально температуре. Проблема Томсона с газовым термометром заключалась в том, что тот определял температуру в зависимости от свойств используемого вещества. Несмотря на то что в практических целях это было приемлемо, факт отсутствия строгого определения температуры, не зависящего от специфических свойств, оставался камнем преткновения.

В 1848 году Томсон предложил определение, основанное на величине работы, осуществленной теплопередачей и напрямую связанной с циклом Карно. Он определил температурную шкалу как шкалу, в которой половина тепла, переданного от тела температуры Ттелу с более низкой температурой, будет давать ту же величину работы. Если два любых вещества имеют температуру с разницей в один Кельвин и обмениваются единицей тепла, то работа, осуществленная этим теплом, та же, какой бы ни была температура, в которой находятся эти вещества. Температура по Кельвину обозначается буквой К, то есть 100 К — это 100 кельвинов. Градусы Кельвина располагаются так же, как и градусы Цельсия, с единственной разницей — положение нуля. Увеличение градуса Кельвина соответствует увеличению градуса Цельсия.

Одно из следствий принятия шкалы Кельвина — выявление абсолютного нуля температуры: -273,15°С, что соответствует 0 К. Новая температура математически выражалась в виде пропорции между поглощенным и испущенным теплом тела, находящегося между двумя источниками: раз минимальное количество поглощенного тепла равно нулю, минимальная температура также должна быть равна нулю. На сегодняшний день самая низкая когда-либо достигнутая температура равна 5 • 10-10 К выше абсолютного нуля.

СТАТЬЯ КЛАУЗИУСА

Заложить камень новой дисциплины было суждено физику и математику Рудольфу Юлиусу Эммануэлю Клаузиусу (1822-1888). Через десять лет Больцман пересмотрел его результаты в свете атомной теории. Клаузиус родился в Кёслине, в то время город находился на территории Пруссии, а сегодня это часть Польши. В 1850 году он опубликовал принесшую ему славу статью, озаглавленную «О движущей силе теплоты и законах, которые можно отсюда получить для теории теплоты», в ней поправил неточности теории Карно, пользуясь достижениями Джоуля и Томсона, придав законченный вид тогда еще зарождающейся науке термодинамике. Значение этой работы было признанно немедленно, и престижные учебные заведения сразу же предложили ему место.

Для Клаузиуса эксперименты Джоуля безоговорочно доказывали, что работа может быть трансформирована в тепло. Он рассуждал следующим образом: Карно считал, что в его двигателе не может быть потери тепла, поскольку теплород нельзя создать или разрушить. Однако эксперименты Джоуля показали, что тепло можно создать, более того, они показывали точное соответствие между теплом и работой. Если тепло можно создать, то его также можно и разрушить. Следовательно, предпосылка Карно была ложной. И он задался вопросом: откуда происходит энергия, необходимая для того, чтобы машина Карно осуществляла работу? Для него ответ был ясен: часть тепла, которым обмениваются источники, затрачивается на осуществление работы. Так, тепло может быть разрушено и создано из ничего, но оно всегда должно трансформироваться в соответствующую величину работы. Тогда общая энергия должна была быть постоянной. Из этого рассуждения возникло то, что сегодня известно как «первое начало термодинамики»: тепло и работа есть формы передачи энергии. Первый принцип — это провозглашение ранее упомянутого закона сохранения энергии, в том смысле, что поглощенное системой тепло соответствует работе, осуществленной ею, или увеличению внутренней энергии системы, или сочетанию обоих процессов.

В свете толкования Больцмана первое начало легко понять. Больцман считал, что температура — всего лишь мера движения молекул тела: чем больше движение, тем выше температура. То есть когда какое-то вещество нагревается (когда оно обеспечивается теплом), в действительности просто сообщается движение его молекулам, что является именно механической работой, и для понимания этого нужны только столкновения и силы. Соответствие между теплом и работой перестает быть секретом, если учитывать атомную природу материи и механическую природу температуры.

РАЗЛИЧНЫЕ ВЕРСИИ ВТОРОГО ПРИНЦИПА

Последовательные принципы второго начала (или второго принципа) Клаузиуса — пример того, как смутное представление в результате размышлений может превратиться в один из столпов человеческого знания. В1850 году Клаузиус ограничился утверждением, что тепло не течет спонтанно от теплых тел к холодным. Но в 1854 году он ввел понятие «значения соответствия», то есть «пропорции между теплом, снабжающим тело, и его температурой», хотя он не сумел дать объяснения, что именно представляет собой эта величина. Он исправил формулировку в 1856 году, пользуясь языком дифференциального исчисления, выиграв в точности, но еще больше усложнив эту величину. В 1862 году Клаузиус принял атомную гипотезу и выдвинул идею «дисгрегации» как степени, при которой молекулы отделяются друг от друга. Все же пришлось дождаться 1865 года, когда была объявлена окончательная формулировка второго начала. Он окрестил свою таинственную величину «энтропия» — от греческого τροπή (то есть «превращение»), — учитывая, что его произношение очень похоже на слово «энергия», поскольку ученый понимал: обе величины тесно связаны. Формулировка второго принципа в терминах энтропии: в любом процессе энтропия замкнутой системы никогда не уменьшается. Система является замкнутой, если она не обменивается ни материей, ни энергией с окружающей средой.

Рудольф Клаузиус.

Пределы эффективности

Выделяются также формулировки лорда Кельвина и Макса Планка, которые затем были объединены в версию Кельвина — Планка. Кельвин считал, что невозможно получить тепло для осуществления работы от источника так, чтобы не было никакой передачи тепла от теплого источника холодному; то есть работу можно получить только из системы, не находящейся в равновесии. Планк отмечал, что нельзя сконструировать двигатель, который только поднимал бы груз и охлаждал источник тепла. Версия Кельвина — Планка сочетает в себе обе, и в ней утверждается, что нет ни одного процесса, единственным результатом которого было бы поглощение тепла источника и превращение этого тепла в работу, то есть часть переданного тепла обязательно будет затрачена на другие процессы; невозможно сконструировать идеально эффективный двигатель.

Далее в статье Клаузиуса провозглашалось то, что с годами превратилось во второй принцип термодинамики. Его первая формулировка была немного шероховатой и подвергалась постоянным изменениям, пока не обрела окончательный вид в 1865 году. Через год Больцман опубликовал свою вторую статью, посвященную именно этому второму принципу. Клаузиус выяснил, что таинственная величина, которую он назвал «энтропия», казалось, всегда увеличивается в реальном процессе; то есть это не идеализация, как машина Карно. Физический смысл этой величины не был ясен, и понадобился гений Больцмана, для того чтобы объяснить его. Для Клаузиуса величина была связана с теплом, которым обмениваются два тела, и он относил ее к дисгрегации молекул в них.

Объяснение второго начала в терминах механики заняло у Больцмана всю жизнь и сегодня все еще вызывает споры среди самых авторитетных физиков. Вклад австрийского ученого состоит в том, что он связал энтропию с вероятностью. По его определению, энтропия системы пропорциональна вероятности ее состояния: чем больше вероятность, тем больше энтропия. При таком определении второе начало (энтропия постоянно увеличивается) становится почти тавтологией: Вселенная всегда стремится перейти из актуального в наиболее вероятное состояние.

Но термодинамика все еще не была полной: не хватало двух начал, «нулевого», окончательно введенного уже в XX веке, и «третьего», которое было сформулировано Вальтером Нернстом (1864-1941) в 1906 году. Оба начала помогли точно определить понятие температуры и связать ее с понятием энтропии.

Вклад Больцмана основывался на трех столпах, из которых наука термодинамика стала первым. Вторым была атомная теория. Она оказалась чрезвычайно важной не только для последующей работы Больцмана, но и сам Клаузиус воспользовался ею для объяснения различных свойств газов, что стало началом так называемой «кинетической теории газов».

СПОР ОБ АТОМИЗМЕ

Атомная теория набирала силу в течение XIX века, по мере того как химия продвигалась вперед гигантскими шагами. Ввиду развития органической химии стало сложно придерживаться доминирующей тогда «скептической* позиции, согласно которой химические формулы могут быть истолкованы как пропорции между атомами или веществами, при этом вера или отсутствие веры в атомы не имели значения перед лицом эксперимента. Тот факт, что у разных веществ были абсолютно одинаковые формулы, но различные свойства, указывал на безусловные расхождения в молекулярной структуре, в результате существование атомов не вызывало сомнений.

В то время как в химии важность атомизма возрастала, в физике атомы все еще были объектом подозрения. Большинство известных явлений могли быть объяснены без обращения к атомной теории, которая, хотя и позволяла делать некоторые прогнозы (в частности, о поведении газов), проигрывала от отсутствия единой формулировки. Возможно, Клаузиус снова оказался тем, кто подготовил почву для Больцмана, взяв атомную теорию за основу для развития собственной модели газов. Модель Клаузиуса была очень подробной и включала в себя разные режимы движения молекул, в том числе вращения и колебания. Атомы Клаузиуса (а позже и атомы Максвелла и Больцмана) не возникали из метафизической позиции, а были лишь инструментом решения научной проблемы, значимость которой определялась ее прогнозами и результатами экспериментов. Итак, Клаузиус не делал каких-либо окончательных заявлений о природе атомов и ограничивался тем, что считал их частицами малого размера, которые приводят к наблюдаемому поведению в макроскопическом масштабе.

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы понять тот мир, в котором сформировался Больцман. С одной стороны, тогда происходило становление науки термодинамики: открытие закона сохранения энергии, обнаружение соответствия между теплом и работой, выведение второго начала, касающегося энтропии, значение которого было прояснено и пересмотрено самим Больцманом. С другой стороны, шло развитие атомной теории, вылившееся в достижения органической химии и первые попытки построить теорию газов, в которой работа Клаузиуса стала первым опытом в этой области.

Есть еще третий столп, на котором базируется исследование Больцмана: случай. Однако к нему физик пришел не через науку, а на основании личного опыта. У Больцмана было типичное по тем временам детство в обеспеченной семье, с домашним учителем и уроками фортепиано. Несмотря на то что мир вокруг казался охваченным вихрем войн и революций, его жизнь протекала спокойно, в нее не проникала жестокость, царившая снаружи. Все изменилось со смертью его отца, которого унес туберкулез и который был очень близок Больцману. Пятнадцатилетний Людвиг не был готов к подобному удару. Вся смута реального мира внезапно постучала в его дверь. Эмоциональная и материальная стабильность детства мгновенно рухнула. Как сила, которая движет миром и властвует над судьбами людей, явился случай. За смертью отца четырьмя годами позже последовала смерть брата Альберта.

Несчастья отрочества Больцмана осложнялись его склонностью к перепадам настроения, что сегодня мы можем приписать маниакально-депрессивному синдрому. С ранней юности он с удивительной легкостью переходил от эйфории к депрессии, по поводу чего сам шутил, что должен был родиться в ночь с веселого праздника Марди Гра на Пепельную среду. Как бы то ни было, состояния души Больцмана резко колебались, и их было сложно предсказать.

После смерти отца семья переехала из Линца в Вену. Теперь нельзя было рассчитывать на отцовское жалованье, и богатое приданое матери ушло на покрытие расходов по учебе Людвига. И хотя это означало заложить свое будущее, Катарина не сомневалась и поставила всё на блестящий ум своего первенца.

ГЛАВА 2

Тепло атомов

Обучение Больцмана на факультете физики было головокружительным преддверием его последующей карьеры. Первые статьи, опубликованные до получения докторской степени, были полностью посвящены теме, которой он занимался всю оставшуюся жизнь: выведению законов тепла на основе атомной гипотезы. В 1872 году, уже будучи профессором, он получил свой первый великий научный результат, доказав второе начало термодинамики, используя только принципы механики.

Жизнь Больцмана можно рассматривать как хаотический маятник, этот образ применим и к его изменчивым состояниям духа, и к его судьбе, которая могла вести его от огромного профессионального успеха к упадку продолжительностью в несколько месяцев. В 1859-м скончался его отец, а в 1863-м Больцман снова пережил горе в связи со смертью брата. Однако череда несчастий внезапно закончилась в том же году, и началась эпоха счастья, которая длилась больше двух десятилетий. В течение первого, в 1872 году, ученый опубликовал одну из самых важных статей в своей карьере под названием "Новые исследования о тепловом равновесии в молекулах газа", в которой ему удалось наконец-то доказать, что второе начало термодинамики есть неизбежное следствие из атомной теории. До этого он уже опубликовал другие менее крупные, но значимые работы; одну, под названием "Механический смысл второго принципа термодинамики", в 1866 году, и вторую, "Исследования о равновесии энергии между подвижными материальными точками", в 1868 году.

1863 год начался с переезда семьи Больцманов из Линца, где Людвиг ходил в школу, в Вену. Все ради того, чтобы юноша мог изучать физику в престижном университете столицы, где, как выяснилось позже, находился один из самых динамичных в мире центров этой дисциплины.

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ НА УЛИЦЕ ЭРДБЕРГ

В то время дисциплину, которую желал изучать Больцман, преподавали в Институте физики, расположенном на улице Эрдберг. Это было маленькое скромно оборудованное помещение, через которое прошла значительная часть великих австрийских физиков того времени. Центр был основан в 1849 году Кристианом Доплером (1803-1853), ученым, известным описанием эффекта, носящего его имя, который сегодня используется для вычисления скоростей как далеких галактик, так и автомобилей на шоссе. Доплер был директором, пока его не сменил Андреас фон Эттингсгаузен (1796-1893), несколькими годами позже передавший должность Йозефу Стефану (1835-1893), будущему наставнику Больцмана.

Институт на улице Эрдберг был кипучим центром. Физики, которые работали там, компенсировали отсутствие средств энтузиазмом и творчеством, подстегиваемые рьяным желанием понять этот мир. Напыщенность и формальности уступили место хорошему настроению и открытым отношениям; научный поиск считался приоритетным, а все остальное — незначительным. Больцман идеально вписался в эту динамичную атмосферу института благодаря Стефану, который быстро признал талант нового студента и поддержал его развитие. Этап на улице Эрдберг остался в памяти Больцмана как что-то вроде золотого века в сравнении с остальной его жизнью. В своей надгробной речи на похоронах Стефана он говорил о знаменитом центре следующими словами:

"Так, институт, располагавшийся тогда на улице Эрдберг, стал доказательством того, что значительные достижения возможны и в скромных помещениях. Действительно, всю мою жизнь Эрдберг был для меня символом серьезной и находчивой экспериментальной деятельности. Когда мне удалось вдохнуть немного жизни в Институт физики в Граце, я называл его "маленьким Эрдбергом*. Он был не таким уж и маленьким, потому что в два раза превосходил Эрдберг времен Стефана, но мне все еще не удалось насадить там дух Эрдберга".

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА

Эффект Доплера был впервые предложен в 1842 году Кристианом Доплером, который использовал его для объяснения особенного света, испускаемого бинарными звездными системами. Он утверждал, что на частоту волны (света или звука) влияет движение источника относительно приемника. Пример эффекта Доплера — машина "скорой помощи", которая приближается к наблюдателю, а затем удаляется: звук сирены внезапно кажется глуше. Объяснение этого явления проясняется, если посмотреть на прилагаемый рисунок: волны сжимаются перед с источником и становятся более разреженными позади него. Это происходит потому, что, двигаясь вперед, излучатель преследует свои собственные волны и "убегает" от распространяющихся назад. В случае со звуком более сжатые волны соответствуют более высокому звуку; в случае со светом они соответствуют цвету, приближающемуся к синему. Эффект Доплера, примененный к галактикам, привел к открытию расширения Вселенной.

-------------------конец врезки-----------

Фигура, которая передает дух Эрдберга как никто, — это Йозеф Лошмидт (1821 -1895), принятый в институт Стефаном и вскоре ставший большим другом как директора, так и Больцмана. Он был воплощением рассеянного ученого, для которого поиск знания оставался единственной достойной целью. Прочая светская суета, от политики до кулинарии, были лишь развлечениями, которые уводили его в сторону от преследования истины.

В некрологе насмерть Лошмидта Больцман вспоминал, как однажды он пришел к нему и с гордостью продемонстрировал прерыватель Фуко, который ему удалось почистить. Лошмидт внимательно осмотрел его и сказал, что не видит никаких изменений. "Но я же убрал всю грязь!" — возмутился Больцман, и Лошмидт ответил: "Я стараюсь от этого абстрагироваться", что показывает, каким человеком он был.

Оставлять в стороне второстепенное так же важно, как и придерживаться главного.

Йозеф Лошмидт

Лошмидт не только был дорогим другом Больцмана, но и сыграл ключевую роль в укреплении атомной теории. Как выдающийся химик он предложил молекулярные структуры для сотен веществ; некоторые авторы утверждают, что он предсказал циклическую форму бензола до Августа Кекуле (1829- 1896). Лошмидт также сформулировал один из двух парадоксов, с которыми пришлось бороться Больцману, парадокс обратимости сегодня все еще вызывает полемику среди ученых.

Другим человеком, оказавшим большое влияние на Больцмана, был Йозеф Стефан: не только потому что был его наставником в Эрдберге, но и потому что познакомил с работами британских ученых (в частности, Максвелла), которые Больцман затем расширил и получил статистическую формулировку термодинамики. Стефан, значимый физик-теоретик, занимался разнообразными темами, от электромагнетизма до термодинамики; также он был успешным экспериментатором, до такой степени, что изобрел инструмент, диатермометр, в свое время имевший некоторую популярность и использовавшийся для измерения способности газа к теплопередаче. Однако открытие, благодаря которому он известен сегодня,— закон излучения черного тела (излучения, которое испускает абсолютно черное тело); один из столпов, на которые опирался Макс Планк, чтобы дать стартовый сигнал квантовой механике. Закон Стефана был доказан Больцманом благодаря его особому подходу к статистическим проблемам.

О Стефане и Лошмидте (и об особенностях работы Эрдберга в целом) Больцман говорил следующее:

"В чем они полностью совпадали, так это в отсутствии претензий, простоте и скромности. Они никогда не стремились демонстрировать свое духовное превосходство. Хотя я провел с ними много лет, сначала как студент, а затем как ассистент, я никогда не слышал других слов, кроме тех, что говорятся друзьями. Олимпийское спокойствие и утонченный юмор, которые превращали самую ярую дискуссию в забавную игру, произвели на меня такое впечатление, что в какой-то степени стали частью моего образа жизни".

В 1864 году Больцман получил грант. На следующий год он опубликовал свою первую статью, подсказанную Стефаном и Лошмидтом, озаглавленную "Движение электричества в кррвых поверхностях". Однако первая значимая публикация появилась в 1866 году под заголовком "Механический смысл второго принципа термодинамики".

СТАТЬЯ 1866 ГОДА

Первая статья Больцмана считается незначительной работой, но она имеет определенную важность: с одной стороны, в ней обозначена тема, к которой физик обращался снова и снова в 1870-е годы и которой посвящены его весомые публикации, связанные с механической интерпретацией второго начала; с другой стороны, Больцман обращался к кинетической теории газов как к обоснованию того, что было определяющим для всех последующих его работ. Прежде чем говорить о стратегии Больцмана, нужно кратко проанализировать понятия энтропии и кинетической теории.

Вспомним, что второе начало получило свою окончательную формулировку за год до этого, благодаря Клаузиусу, высказавшему мнение, что "энтропия Вселенной стремится к максимуму". Понятие энтропии было не очень понятным, и, действительно, пришлось ждать статьи Больцмана 1877 года, чтобы получить очевидное объяснение этому явлению. До той поры в распоряжении ученых была только последовательность верных догадок и несколько смутных определений. Единственное, что не вызывало сомнений, — это математическое выражение величины, обозначенное как пропорция между теплом и температурой. Было известно, что энтропия постоянна в цикле Карно, то есть в процессе, в котором участвовала идеализированная паровая машина, в которой пар нагревался, приводил в движение поршень и снова охлаждался. Также было известно, что поскольку машина Карно идеальна, ее нельзя сконструировать, и, следовательно, в любом реальном процессе энтропия должна возрастать.

Физический смысл энтропии был неясен, несмотря на то что математическое выражение было хорошо известно. Научное сообщество того времени знало, что это мера полезности энергии системы: чем выше энтропия, тем сложнее получить полезную работу. Клаузиус сначала связал ее с теплом, а затем окрестил "значением соответствия", подразумевая, что это вид соответствия работе в виде тепла. Затем он понял, что это не так, и в итоге предположил, что она связана с диффузией молекул, то есть со степенью их разъединения в газе. Больцман взял эту несколько смутную идею и превратил ее в точное определение.

В основу своей статьи 1866 года Больцман положил кинетическую теорию газов. Ей было уже более ста лет, ведь ее история началась в XVIII веке с Даниила Бернулли (1700— 1782), который разработал свои уравнения, исходя из того, что жидкости есть скопления молекул, находящиеся в постоянном движении. Основываясь на этом тезисе, он сделал вывод, что давление — это эффект столкновения таких молекул со стенками сосуда, в котором они находятся; он также сделал вывод, что температура — это мера энергии частиц. Его теория опередила его эпоху почти на восемьдесят лет и не была принята, поскольку многие термины, необходимые для ее понимания, должным образом развились только в XIX веке.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ЭНТРОПИИ

Для выражения энтропии Клаузиус прибегнул к анализу бесконечно малых. Приращение энтропии при добавлении некой величины ∆Q тепла к системе с температурой Т может быть выражено как

∆S = ∆Q/T.

где ∆ обозначает приращение, S — энтропию, Q — тепло, а Т — температуру. То есть увеличение энтропии пропорционально увеличению тепла и обратно пропорционально температуре системы. Клаузиус выяснил, что если сложить все малые приращения энтропии ΔS во время полного цикла Карно, то общий результат будет равен нулю: система получает столько же энтропии при нагревании, сколько теряет при охлаждении, что можно выразить как

Σцикл∆S = Σцикл∆Q/T = Q.

где символ Σ обозначает сумму. Но двигатель Карно — это идеализированный двигатель, имеющий максимальную эффективность. У реального двигателя будут потери, следовательно, в конце любого процесса окажется, что приращение энтропии положительно, то есть

∆S ≥ 0,

что соответствует второму принципу термодинамики. На языке анализа бесконечно малых, когда приращение энтропии ∆S становится очень маленьким, оно заменяется выражением dS, где буква d — "дифференциал" и обозначает бесконечно малое приращение. Точно так же суммы заменяются интегралами, которые обозначаются символом ∫. Когда интеграл берется для замкнутого цикла, символ заменяется на ∫○, где круг обозначает возвращение к отправной точке. На языке дифференциального исчисления выражение энтропии выглядит следующим образом:

dS = dQ/T.

а тот факт, что ее приращение равно нулю в цикле Карно, выражается так:

∫○dS = ∫○ dQ/T = Q.

Оба выражения равносильны предыдущим в анализе бесконечно малых и именно их использовал Клаузиус, за исключением небольшой вариации dQ для внесения ясности.

Клаузиус был первым именитым ученым, заинтересовавшимся кинетической теорией, которую он использовал для выведения первого начала на основе принципов механики. Он обратился к тому же понятийному аппарату, что и Бернулли: для него газы — это множество молекул, беспорядочно движущихся и сталкивающихся друг с другом и со стенками сосуда (рисунок 1). Тепловая энергия газа может быть определена как кинетическая (связанная с движением) энергия отдельных молекул, что доказывает: тепло и работа — это формы передачи энергии. В своей статье 1866 года Больцман пришел к тому же результату с помощью других инструментов.

Клаузиус ввел понятие длины свободного пробега, представляющее собой среднее расстояние, которое одна молекула газа может пройти, прежде чем столкнуться с другой (рисунок 2). Длина свободного пробега тем меньше, чем больше молекул и чем больше их размер. Так, если человек знает длину свободного пробега некоторого газа, он может составить представление о размере молекул и об их числе. Это открытие оказалось актуальным в конце XIX века, поскольку существование атомов еще не было доказано, а возможность вычислять их свойства давала повод поверить в их реальность.

РИС. 1

РИС . 2

Лошмидт оказался первым ученым, использовавшим понятие длины свободного пробега для вычисления числа и диаметра молекул газа, связав введенную Клаузиусом величину с пропорцией между объемом в газообразном состоянии вещества и объемом этого вещества в сжиженном состоянии. На основе этой идеи он смог установить, что в случае с воздухом один кубический метр содержит примерно 19 квадриллионов молекул, то есть 19 с 24 нулями. Вычисление Лошмидта стало первой оценкой постоянной Авогадро, устанавливающей число молекул в одном моле вещества (моль — химическая единица, макроскопическое представление атомной массы молекулы).

ЧИСЛО АВОГАДРО

Одна из самых важных величин в химии — это число Авогадро, которое, несмотря на название, было вычислено Лошмидтом. Оно обозначается так в память об Амедео Авогадро (1776-1856), впервые предположившем, что объем газа должен быть пропорционален числу содержащихся в нем молекул. Химикам привычно измерять вещества единицей под названием моль. Идея, лежащая в основе понятия моль, заключена в том, что число частиц важнее массы или объема. Так, один моль любого вещества (чистого или составного элемента) имеет ровно то же самое число частиц, что и моль другого вещества, в котором эти частицы могут быть атомами или молекулами. Другая важная величина — это атомная масса. Она определяется как отношение между средней массой атомов некоего элемента и 12-й частью массы углерода-12. Моль вещества определяется как атомная масса в граммах: например, один моль газа водорода (атомная масса 1), молекулы которого состоят из двух атомов, весит два грамма; один моль кислорода (атомная масса 16), молекулы которого также состоят из двух атомов, весит 32 грамма. Так остается постоянной пропорция между массами различных веществ. Следует подчеркнуть, что можно использовать понятие моля без детализации знаний о ядре атомов: нужно только иметь представление о пропорции между количеством веществ, вступающих в реакцию. Если мы знаем, что один моль кислорода весит 32 грамма, и замечаем, что он всегда реагирует с четырьмя граммами водорода, то. имея формулу Н_20, мы можем сделать вывод, что один моль водорода весит два грамма. Несмотря на то что Лошмидт вычислил плотность молекул на кубический метр воздуха, легко применить полученное им число для выяснения числа молекул в одном моле. Это 6,022 · 10^23, и оно известно как постоянная Авогадро.

Теперь мы уже можем понять содержимое статьи Больцмана 1866 года. Работа начиналась с определения температуры газа со средней кинетической энергией молекул. Для этого физик доказал, что в состоянии равновесия (в котором нет теплопередачи между одним веществом и другим, поскольку оба находятся при одинаковой температуре) также нет передачи кинетической энергии между молекулами этого вещества.

Но когда два вещества пребывают в неравновесии, кинетическая энергия молекул стремится переходить от более теплого к более холодному. То есть среднее значение кинетической энергии ведет себя точно так же, как и температура: отождествить их обе кажется самым естественным выводом.

Больцман прибегнул к любопытной гипотезе: он предположил, что движение молекул периодично. То есть при достаточном времени молекула будет менять значения энергии, пока не вернется к значению, которое имелось вначале. Также он добавил: "Если орбиты не замкнутся за конечное время, можно предположить, что это произойдет за бесконечное время". Идею можно интуитивно понять как то, что любая ситуация в итоге повторится, если подождать достаточно времени.

С толкованием температуры в терминах механики первое начало термодинамики было прояснено: как тепло, так и работа взаимозаменяемы, поскольку это просто формы движения. В первом случае — микроскопическое, во втором — макроскопическое. Оставалось обосновать второе начало, а это было намного сложнее, притом что энтропию столь сложно понять интуитивно. Для этого Больцман использовал сугубо математические аргументы, без углубления в физику, что было характерно для его более поздних работ. Ученый ограничился тем, что показал: тепло, понимаемое как поставляемая энергия, разделенное на температуру, полученную его выделением, порождает величину, которая ведет себя в точности как энтропия. В итоге он воспользовался макроскопическими термодинамическими аргументами (не интересуясь молекулярным поведением) для доказательства второго начала.

ПРЕДШЕСТВЕННИК БОЛЬЦМАНА: ДЖЕЙМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ

Кроме Клаузиуса, великим знаменосцем кинетической теории в конце XIX века был Джеймс Клерк Максвелл (1831- 1879). Больцман познакомился с его работой благодаря своему наставнику, Йозефу Стефану, большому поклоннику британца. Первое, что сделал Стефан, познакомившись с Больцманом, — дал ему копию статей Максвелла, одного из величайших физиков XIX века. Его теория электромагнетизма соответствует ньютоновскому исследованию тяготения за 200 лет до этого и предвосхитила первый большой шаг к специальной теории относительности Эйнштейна, возникшей, когда выяснилось, что уравнения Максвелла несовместимы с новыми представлениями о пространстве и времени.

МНОГОГРАННЫЙ ДЖЕЙМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ

Многие считают Джеймса Клерка Максвелла Ньютоном XIX века. Он осуществил ряд открытий, но главным было объединение законов электромагнетизма. Связь между электричеством и магнетизмом была известна с момента знаменитого эксперимента Ханса Кристиана Эрстеда (1777- 1851), который выяснил, что стрелка компаса меняет направление, если находится рядом с электрическим током. Майкл Фарадей (1791-1867) позже взял на себя доказательство того, что колеблющееся магнитное поле создает электрическое поле, и наоборот. В середине XIX века в распоряжении физиков было большое число законов, по одному на каждый небольшой раздел теории: закон Кулона для определения силы взаимодействия между двумя электрическими зарядами, закон Ампера для того же самого с силой тока, закон Фарадея для связи между магнитной и электрической силами. Максвеллу удалось обобщить все знание того времени в собрание из четырех уравнений, кроме того, он предрек новое явление — электромагнитные волны. Вскоре ученый открыл, что сам свет должен быть волной этого типа, и предсказал его скорость, которая была экспериментально подтверждена через несколько лет. Именно измерение скорости света вскрыло проблемы теории Ньютона, которая в конце концов была вынуждена уступить место специальной теории относительности Эйнштейна, исследующей объекты, перемещающиеся на скоростях, близких к скорости света.

Другие открытия

Кроме вклада в электромагнетизм и кинетическую теорию газов, среди достижений Максвелла первая цветная фотография (1861). Он также издал книгу по теории управления, где объяснял, как улучшить производительность паровых машин на основе регулирующих устройств.

Максвелл заложил основы, которые Больцман превратил в законченную теорию. Большим вкладом британского ученого было введение функции распределения; позже Больцман воспользовался ею. Идея этой функции была в том, чтобы задаться вопросом: "Сколько из огромного множества молекул имеет определенный диапазон скоростей?", что было более практично, чем сосредоточиваться на отдельных частицах, число которых было непригодно с математической точки зрения. Функция распределения показывает, как распределяются скорости между молекулами, и может использоваться для вычисления большинства значимых свойств газов.

Для получения приемлемого механического описания флюида Максвеллу нужно было найти подходящую функцию распределения для газа некой температуры и доказать, что это единственно возможная функция. Он преуспел в первом, но не во втором — для этого потребовался вклад Больцмана. Максвелл предположил, что единственная функция распределения, которая верно представляет распределение скоростей, — это "гауссова кривая", названная в честь математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Она имеет форму видоизмененного колокола и представляет собой распределение вероятностей для большого числа произвольных переменных.

Чтобы понять форму распределения Максвелла, нужно сосредоточиться на движении молекул в газе. Очень небольшое их количество стоит на месте, поскольку энергия, имеющаяся в распоряжении и обеспечивающая движение, очень высока. Можно объяснить это также тем, что столкновения происходят очень часто, так что любая частица в состоянии покоя через короткое время выйдет из него. Молекул с чрезвычайно высокой скоростью мало, поскольку имеющейся в распоряжении энергии недостаточно. Тогда следует ожидать, что большинство молекул будут иметь скорость, близкую к средней, и что каждый раз будет все меньше молекул, удаленных от нее. Это происходит на видоизмененном колоколе на рисунке, где показано четыре распределения для постоянной температуры.

Несмотря на то что обоснование Максвелла использования гауссовой функции было неточным, его идеи оказали большое влияние на молодого Больцмана, который прочитал статьи британца через некоторое время после публикации своей статьи в 1866 году. После прочтения Максвелла у него появились новые идеи, и в 1868-м он вновь взялся за дело, пользуясь другим математическим аппаратом.

Различные формы распределении скоростей для четырех благородных газов при постоянной температуре. На графике отражены случаи ксенона, аргона, неона и гелия.

В 1867 году Больцман получил должность приват-доцента, а также степень доктора. Он не писал диссертацию, поскольку это не было необходимо в Венском университете до 1871 года. Достаточно было сдать экзамены по физике, математике и философии. Больцман получил оценку "отлично" по последнему предмету, что контрастирует с "хорошо" Эрнста Маха (1838- 1916), его жесточайшего врага в области философии. Больцман был реалистом (верил в реалистичность внешнего мира), в то время как Мах утверждал, что законы физики должны ограничиваться рассуждениями об ощущениях, которые являются единственным знанием, в котором нет никакого сомнения. Их спор настолько значим, что ведется до сих пор приверженцами многомировой интерпретации квантовой механики (сторона Больцмана) и копенгагенской интерпретации (сторона Маха). Первые утверждают, что математика в теории описывает реальный мир, тогда как вторые верят, что она ограничивается тем, что предсказывает результат экспериментов, при этом реальность описываемого ею мира в некоторой степени незначима. То есть математический аппарат теории — это лишь средство получения экспериментальных прогнозов, а существование реальности, которую он описывает, — вопрос веры, а ей не место в научной деятельности.

ГАУССОВА КРИВАЯ

Гауссова кривая — центральный элемент теории вероятностей. Можно математически доказать, что в среднем множество независимых случайных переменных будет распределяться по этой модели. Ее применение видно на примере экспериментальной физики: когда измеряется некоторая величина, обычно получают несколько результатов, которые колеблются вокруг среднего значения, но, как правило, они неодинаковые из-за того, что называют случайной ошибкой. Слово "ошибка" означает не то, что эксперимент провалился, а что при измерении на него может повлиять большое число неуточненных (поэтому и "случайная") причин. Итак, если взять достаточное число измерений, они будут распределяться в виде гауссовой кривой вокруг среднего значения. Это мощный инструмент статистического анализа данных, поскольку к гауссову распределению очень легко подойти математически, не прибегая к числовым методам, требующим компьютерных вычислений. В целом принято считать, что любые экспериментальные данные, будь то область физики, химии или общественные науки, ведут себя согласно гауссову, или "нормальному", распределению.

СТАТЬЯ 1868 ГОДА — ПРЕДШЕСТВЕННИЦА Н-ТЕОРЕМЫ

В 1868 году Больцман получил право на преподавание, что позволяло ему читать лекции в университете. В том же году он опубликовал новую статью по кинетической теории под названием " Исследования о равновесии энергии между подвижными материальными точками". В ней он исходил из распределения Максвелла и обобщал его применительно к системам, в которых молекулы подвержены действию произвольной силы. Статья 1868 года стала большим шагом вперед в развитии интерпретации термодинамики, основанной на кинетической теории: Больцман привел более мощное обоснование применения гауссова распределения к описанию газа и показал, что оно должно использоваться для чрезвычайно общего множества случаев, а также расширил работу Максвелла и включил в исследование газы, подверженные действию различных сил.

Вторая часть статьи была перспективной, в ней он оставил стратегию 1866 года и принялся за другую, абсолютно отличающуюся, заинтересовавшись глобальным состоянием системы, а не отдельными скоростями молекул. В его новом подходе был использован математический объект, который физики называют "фазовым пространством". Речь идет об абстрактной сущности, в которую включается информация о положениях и импульсах (которые получаются умножением массы на скорость) всех частиц системы. Каждое положение задано тремя числами, или компонентами: по одному для каждой из пространственных осей. То же самое с импульсами, поскольку скорости могут быть направлены в любую сторону. Если газ состоит из N частиц, то точка в фазовом пространстве задана 6N числами, поскольку с каждой молекулой связано три числа для ее положения и три числа для ее импульса, всего шесть. Конфигурацию системы тогда можно уточнить, выбрав точку в фазовом пространстве; ее эволюция рассматривается как траектория, которую она описывает в этом пространстве, двигаясь от одной конфигурации к ближайшей.

Больцман воспользовался этой идеей, чтобы доказать: любой изолированный газ рано или поздно достигает гауссова распределения (в чем потерпел поражение Максвелл), и после его достижения других изменений больше не происходит. Он показал, что если энергия системы постоянна, постоянно и распределение вероятностей, и что при большом числе частиц это распределение окажется распределением Максвелла.

Он не только смог воспроизвести результат своего предшественника, но и предоставил гораздо более строгое и общее обоснование. Кроме того, он наметил контуры своей последующей статьи 1877 года, в которой полностью принял метод рассмотрения газа, положив начало статистической физике.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Действительные числа состоят из суммы множеств рациональных и иррациональных чисел. Первые числа — те, что можно выразить в виде частного между двумя целыми числами; вторые нельзя выразить таким образом. Примеры рациональных чисел — 2,5/7 или 2,35; а π, е или √2 — иррациональные числа. Иррациональные числа в бесконечное число раз изобильнее, чем рациональные. В самом деле между двумя любыми действительными числами существует бесконечное число иррациональных чисел. Чтобы убедиться в этом свойстве, достаточно сосредоточиться на их десятичном выражении. Возьмем два очень близких числа, таких как 1,00000000250 и 1,00000000251. Если добавить произвольный набор нулей и единиц после 5, получается бесконечное число сочетаний (поскольку существует бесконечное число знаков после запятой) чисел, имеющих значение между двумя предыдущими. Какой бы маленькой ни была разница, их всегда будет бесконечное число, поскольку бесконечность минус конечное число остается бесконечностью. При заданном конечном времени невозможно, чтобы молекула прошла через все возможные состояния энергии, если она способна принимать любые действительные значения. Единственное, в чем можно быть уверенными, — траектории будут "плотными", и с математической точки зрения это означает, что они будут проходить произвольно близко к любому числу.

Но в выводе Больцмана наблюдалась одна проблема, и состояла она в использовании того, что позже получило название "эргодической гипотезы". Речь о допущении, что при достаточном времени молекула пройдет через все возможные значения энергии, что необходимо для применения теории вероятностей в строгом виде. Предположим, что некая молекула находится в состоянии покоя в некий момент; каждый раз, когда она будет подвергаться столкновению, ее кинетическая энергия будет изменена и примет новое произвольное значение; если подождать достаточно времени, кажется логичным предположить, что молекула пройдет через все возможные значения энергии.

Однако действительные числа (рациональные и иррациональные) обладают свойствами, о которых Больцман не знал и которые противоречат его гипотезе: между двумя любыми числами существует бесконечное число других действительных чисел. Итак, даже если в нашем распоряжении будет бесконечное время, ничто не гарантирует, что произвольно меняющееся значение повторится, поскольку бесконечность действительных чисел имеет больший порядок. Если вновь обратиться к газу Больцмана, то число возможных состояний энергии бесконечно больше, чем число изменений скоростей, даже если в нашем распоряжении есть бесконечное время.

Больцман сомневался в своем предположении и старался нс использовать его в большинстве работ; в статье 1872 года он нашел изобретательный способ избежать его, благодаря чему на тридцать лет приблизился к квантовой механике.

ПЕРВОЕ ПРЕБЫВАНИЕ В ГРАЦЕ

Удача, которая сопутствовала ему с момента поступления в Венский университет в 1863 году, продолжала улыбаться и после получения права на преподавание. Его слава распространялась с момента публикации статьи 1868 года, кроме того, его поддерживал Стефан. В 1869 году освободилась кафедра математической физики в Грацском университете, очень престижном в ту пору. Кафедру экспериментальной физики тогда занимал Август Теплер (1836-1912), который был знаком с работой Больцмана и высоко ее оценивал. Несмотря на то что имелись два других кандидата на должность, шансы которых сперва были выше, чем у Больцмана, благодаря давлению Стефана и Теплера кафедру в итоге получил он.

В Граце Больцман оправдал надежды. Он сдружился с Теллером, физиком-экспериментатором, энтузиазм которого в науке соответствовал его собственному. Они оба работали в новом здании (Больцман позже называл его "маленьким Эрдбергом") и даже совместно подписывали статьи. Это был один из самых плодотворных периодов Людвига.

Университет был доволен его отдачей и поддержал ученого значительной прибавкой к жалованью и постоянными разрешениями на посещение других исследовательских центров. Больцману они пошли на пользу. В 1871-м он съездил в Гейдельберг, где познакомился с Густавом Кирхгофом (1824-1887) и Робертом Бунзеном (1811-1899); позже он отправился в Берлин, где подружился с Германом фон Гельмгольцем (1821-1894), которого потом долгие годы считал единственным, кто его понимал.

В Гейдельберге он произвел большое впечатление. Математик Лео Кёнигсбергер (1837-1921), один из преподавателей университета, в автобиографии рассказывает, что Больцман, присутствовавший на одном из его семинаров, с удивительной легкостью решил задачу, когда никто другой не мог найти ее решение. Кёнигсбергер поговорил с Больцманом и предложил ему навестить Кирхгофа, который тогда считался одним из главных интеллектуалов Германии, поскольку был убежден, что эти двое хорошо поладят. Больцман не заставил себя упрашивать, запросто предстал перед Кирхгофом и, едва увидев его, выпалил, что обнаружил ошибку в одной из его статей. Немец рассердился, но был вынужден признать, что Больцман прав, и это стало началом многолетней дружбы.

Через год он нанес визит Гельмгольцу в Берлине и нашел в нем того, кто не только был способен понять его математические выкладки, но и исследователя, с кем он мог обсудить их как с равным. Больцман, всегда любивший научные споры, ощутил огромное удовлетворение от этой "находки". Однако Гельмгольц был чрезвычайно холодным и закрытым человеком, с которым Больцман никогда не чувствовал себя абсолютно комфортно, не мог вести себя с ним естественно, считая поведение немцев слишком натянутым. Некоторые биографы объясняют холодностью Гельмгольца отказ Больцмана от кафедры математики в Берлинском университете, что произошло спустя несколько лет. Этот эпизод поверг австрийца в глубокую депрессию, от которой он так и не оправился.

Сравнивая поведение немцев с тем, к чему он привык в Эрдберге, Больцман комментировал: "Я тогда не догадывался, что мне как ученику не следовало выбирать (...) такой тон. Когда в ходе своего последующего визита в Берлин я неосмотрительно воспользовался им в первый же день, одного взгляда Гельмгольца было достаточно, чтобы мне это стало ясно".

КИРХГОФ, БУНЗЕН И СПЕКТРОГРАФИЯ

Густав Кирхгоф был одним из великих ученых того времени и совместно со своим коллегой Бунзеном изобрел спектрографию. Эта технология нацелена на то, чтобы разделить свет, исходящий от какого-то вещества, и определить полосы различных цветов, характерных для каждого элемента. Рождение спектрографии не только позволило определить большое число неизвестных до этого элементов, но и обеспечило базу астрофизике, поскольку стало возможным разложить свет звезд, чтобы выяснить, из каких элементов они состоят. Кирхгоф также известен тем, что обобщил закон Ома, позволяющий вычислить силу тока в цепи, если известны сопротивление и напряжение. Роберт Бунзен (1811-1899), в свою очередь, прославился как изобретатель "горелки Бунзена", часто используемой в лабораториях из-за ее очень горячего пламени.

Спектроскоп, разработанный Кирхгофом совместно с Бунзеном, гравюра 1895 года.

ВЕЛИКАЯ СТАТЬЯ 1872 ГОДА

Поездки в Германию стали очередным стимулом в и без того активной деятельности Больцмана. Он часто посещал вечеринки и вел разгульный образ жизни, что может себе позволить только юноша, у которого все впереди. Не одну бессонную ночь он провел не за научной работой, а распивая пиво в огромных количествах. Больцман жил полной жизнью, возможно, зная, что скоро начнется его самая главная работа. Она обрела форму в 1872 году и имела загадочное название "Новые исследования о тепловом равновесии молекул газов". Больцман наконец-то достиг цели, которая ускользала от него с 1866 года, он доказал второе начало термодинамики на основе принципов механики. Статья принесла ему международную научную славу и ознаменовала рождение статистической физики.

В работе 1872 года содержались два больших новшества: с одной стороны, то, что сегодня называют "уравнением Больцмана", описывающим поведение газа в абсолютно разнообразных ситуациях; с другой стороны, его первое доказательство того, что второе начало есть следствие из атомной теории и вероятности, сегодня это известно как "Н-теорема".

Множественные случайные воздействия порождают нулевую силу.

Статья начиналась с ярой защиты кинетической теории, что сопровождалось ясным изложением ее постулатов. До этого объяснялось, что газ представляет собой огромное множество молекул, движущихся во всех направлениях, охватывая огромный диапазон скоростей, которые обычно очень высоки. Причина того, что человек не падает под ударами молекул, состоит в том, что их воздействие на его тело взаимно уничтожается, порождая нулевую силу. Когда средняя скорость не равна нулю, а направлена в определенную сторону, говорят, что "дует ветер". Однако скорость ветра всегда намного меньше, чем скорость любой отдельной молекулы газа. Больцман объяснял это следующим образом:

"Тот факт, что мы можем [...] наблюдать окончательно определенные законы в теплых телах, обязан тому обстоятельству, что самые случайные события, происходящие в одной и той же пропорции, дают одно и то же среднее значение. [...] Молекулы тела так многочисленны и движение их настолько быстрое, что мы можем воспринимать только их средние значения".

Больцман исходил из классической модели кинетической теории и вновь воспользовался предложенной Максвеллом идеей о функции распределения. Она давала вероятность того, что случайно выбранная молекула будет находиться в определенном диапазоне скоростей. Более детальный анализ понятия функции распределения не только поможет лучше понять статью Больцмана, но и даст представление о том, какими инструментами пользуются физики при подходе к проблеме, которая вначале кажется непригодной. Больцман оперировал двумя упрощающими гипотезами, которые можно обобщить так.

1. Газ однороден в пространстве.

2. Скорости в каждом направлении равновероятны.

Понять мотивацию этих двух гипотез нам поможет объяснение этапов, которые должен преодолеть физик при вычислении функции распределения. Сначала нужно выяснить, от каких переменных она зависит, то есть какие факторы влияют на вероятность того, что молекула будет двигаться с определенной скоростью? Одна возможность — положение внутри газа. Однако если газ однородный (с одинаковой плотностью и давлением везде), то в этом немного смысла. Молекулы в правом нижнем углу будут двигаться в среднем точно так же, как и молекулы в левом верхнем углу. Если бы дело обстояло не так, можно было заметить турбулентности газа, и, следовательно, он бы не был однородным. Это соотносится с первой гипотезой: если газ однороден в пространстве, то функция распределения не зависит от положения.

Так Больцман (и до этого Максвелл) пришел к выводу, что функция распределения может зависеть только от скорости. Однако чтобы выразить скорость частицы, обычно нужно три числа, по одному для каждого направления, что усложняет вычисления. Больцману понадобилась другая упрощающая гипотеза: предположить, что скорости не зависят от направления; то есть что скорость 20 м/с равновероятно направлена влево так же, как и вверх. Отсюда следовало, что функция распределения может зависеть только от величины скорости, а не от ее направления, что обосновывалось второй гипотезой.

Было и третье предположение, которое в научной литературе обычно обозначают как Stofizahlansatz, или "молекулярный хаос", понятие, оказавшееся ключевым в последующей полемике с Лошмидтом о парадоксе обратимости. Здесь скрывается предрассудок об оси времени, который привел к тому, что Больцман получил в результате второе начало.

В модели Больцмана атомы или молекулы двигались по газу, сталкиваясь друг с другом; для простоты он рассматривал столкновения только между двумя атомами и игнорировал (как менее частые) столкновения между тремя или более. Предположение Больцмана состояло в том, что до столкновения скорости атомов не были связаны между собой; то есть они были абсолютно случайными. Иначе дело обстояло после столкновения, поскольку направление, в котором двигалась одна из молекул, зависело от той молекулы, с которой она столкнулась. Это предположение вызывало временною асимметрию в математическом анализе, поскольку при нем можно было разделить прошлое (где не было связи) и будущее, что в свою очередь являлось причиной временно-асимметричного результата, каковым и является второе начало. Тот факт, что в чем-то настолько тривиальном скрывается секрет термодинамической необратимости, иллюстрирует утонченность и сложность идей, на которых держится теоретическая физика.

Скорости случайны до столкновения, но связаны между собой после него. Для большей ясности математика упрощена, как будто речь идет о столкновении водном измерении.

После пояснения всех гипотез можно прокомментировать первый значительный результат статьи, что позднее стало известно как "уравнение Больцмана". В нем было описание эволюции функции распределения на основе различных факторов, которые могли повлиять на нее. Он доказал, что изменение в функции распределения обязано только действию внешних сил, столкновениям между молекулами и диффузией; под последней Больцман понимал статистическую тенденцию находящихся в определенной области частиц распространяться до заполнения всего разрешенного объема.

УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

В самом простом виде уравнение может быть записано так:

В этом случае f представляет собой функцию распределения. Член слева — ее производная относительно времени, она показывает изменение f с его течением; член справа — изменение f, вызванное силами, диффузией и столкновениями. Уравнение Больцмана утверждает, что любое изменение в f должно быть вызвано как минимум одной из этих трех причин. Уравнение, приведенное в статье 1872 года, гораздо сложнее, поскольку Больцман не довольствовался его представлением вне развития, вычислил вклад каждого члена и пришел к интегрально-дифференциальному уравнению, которое вначале было невозможно решить. Он рассмотрел изменение функции распределения, вызванное столкновением двух молекул, которые исходно имели некоторую энергию, а в итоге другую, отличную от нее. Его использование переменных нехарактерно для сегодняшнего дня: для начальной энергии двух молекул он оперировал буквами х и х'; для энергии после столкновения — буквами ξ и выражением х + х' - ξ, поскольку конечная энергия второй частицы равна разности между общей энергией пары до столкновения и энергией, которую получает на выходе первая молекула. Конечное уравнение имело следующий вид:

Изменение времени в функции распределения (левая сторона) задано результатом действия сил, диффузии и столкновений (правая сторона) при сложении всех возможных состояний энергии всех частиц газа.

Воспользовавшись гипотезой молекулярного хаоса, Больцман смог трансформировать уравнение от общего (и поэтому менее полезного) вида к другому, более ясному, где для начала можно было вычислить решение. Полученное им уравнение оказалось очень мощным, и сегодня оно все еще используется для вычисления явлений, характерных для газов вне равновесия. Его также можно использовать в таких дисциплинах, как теория тяготения или электроника.

Больцман не смог или не захотел решить свое уравнение. Однако он воспользовался им для того, чтобы получить ряд результатов, благодаря которым его имя попало в историю науки. Он показал, что распределение Максвелла — решение его уравнения. Это было не то же самое, что привести общее решение, он ограничился констатацией: при вставке распределения Максвелла на место ƒ уравнение выполняется. Затем он доказал, что едва становится возможным описать систему с помощью распределения Максвелла, уже нельзя произвести никакое изменение. "Как только дело дойдет до этого распределения, на него не будут влиять столкновения"; то есть если любой газ каким-либо образом придет к распределению Максвелла, то внутренним столкновениям между молекулами уже не удастся изменить его состояние.

Следующий результат был еще более важным. Используя свое уравнение, он доказал, что если распределение газа не имеет форму Максвелла, с течением времени оно с каждым разом будет все больше приближаться к нему. То есть любой газ в любом состоянии будет стремиться приблизиться к распределению Максвелла и, как только достигнет его, останется в этом состоянии. Так Больцману удалось дать строгое обоснование распределению Максвелла и доказать, что любой газ должен быть описан с его помощью. Так результат, полученный на основе предположения, что газ ведет себя согласно уравнению Максвелла, автоматически оказывается справедливым.

Форма распределения Максвелла, которой воспользовался Больцман, была более общей, чем у его коллеги, и была выведена более строго. Поэтому сегодня оно известно как "распределение Больцмана", хотя иногда имя Максвелла также включается, чтобы подчеркнуть его роль в открытии. Несмотря на значение этого результата, еще более удивительным был метод, которым воспользовался австрийский ученый, чтобы обосновать его, и это привело к окончательному доказательству того, что второе начало происходит из принципов механики. Его результат сегодня известен как Н-теорема.

Больцман исходил из только что предложенного уравнения и сосредоточился на величине, связанной со средним значением функции распределения. Он брал среднее значение ее логарифма, то есть операции, обратной возведению в степень, окрестив это среднее значение "Н" (хотя в оригинальной статье по неизвестной причине назвал ее "Е"), и доказал, что если его уравнение справедливо, то Н должна оставаться одинаковой или уменьшаться для любого физического процесса. Вспомним, что энтропия имеет тенденцию оставаться одинаковой или увеличиваться. Итак, Больцману надо было только поменять знак функции Н, чтобы найти механический эквивалент энтропии, с теми же самыми свойствами, что у ее термодинамического двойника. В своей статье Больцман утверждал:

"Так как Е тесно связано с термодинамической энтропией в конечном состоянии равновесия, наш результат равносилен доказательству того, что энтропия должна всегда расти или оставаться постоянной, и, следовательно, он представляет собой микроскопическое толкование второго начала термодинамики".

Определение энтропии Клаузиуса справедливо только для систем в равновесии и неспособно дать последовательного значения для систем, которые не находятся в нем; принимая во внимание, что Больцман не оговаривал отдельно эти обстоятельства, его определение было справедливо для любой ситуации. То есть Больцману не только удалось вывести формулу энтропии из самых базовых принципов, он еще и распространил ее дальше собственной области применения. Сегодня физическое сообщество располагает определениями энтропии, которые справедливы в квантовых и релятивистских системах.

Большое отличие статьи 1872 года от статей 1860-х годов заключено в открытом использовании вероятности. С самого начала Больцман утверждал, что "проблемы механической теории тепла — на самом деле проблемы вычисления вероятностей". Из-за огромного количества частиц газа единственные данные, которые можно получить экспериментальным способом, — это средние значения. Итак, если нужно понять макроскопическое поведение газа, нужно сосредоточиться на статистическом подходе к молекулам, которые его образуют.

Что любопытно, факт использования вычисления вероятностей, казалось, не вызывает у Больцмана никаких сомнений в справедливости его гипотез. Несмотря на то что в его время теория вероятностей считалась чем-то малодостоверным (этот предрассудок все еще жив в некоторых научных кругах), Больцман утверждал, что результаты, полученные с ее помощью, будут такими же точными, как и результаты, достигнутые в любой другой области физики. Поэтому сложно представить себе, что Больцман тогда осознавал, что у его второго начала могут быть исключения. Очень вероятно, что его напор в отношении непогрешимости начала, которое он подтвердил, стал причиной его проблем в будущем, когда его критики доказали: в некоторых специфических случаях энтропия должна уменьшаться. Больцман в итоге понял ошибку и незаметно изменил свою позицию в статье, опубликованной в 1877 году.

ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА

"Черное тело" — это объект, который не отражает излучения никакого типа, так что все испускаемое им излучение вызвано исключительно его температурой. Сначала его изучал Стюарт Бальфур (1828-1887), а затем Густав Кирхгоф. И хотя абсолютно черных тел не существует, в конце XIX века физикам удалось смоделировать устройства с похожим поведением. Кирхгоф открыл, что излучение, испускаемое черным телом, зависит только от его температуры; он также понял, что обычные тела испускают излучение, соответствующее одной и той же модели. Это помогает определить температуру объекта без использования термометра; именно так можно замерить температуру Солнца или, как было сделано недавно, температуру микроволн, которые пронизывают Вселенную и открытие которых дало толчок теории Большого взрыва.

Спектр излучения черного тела. Пунктирная линия показывает прогнозы теории Максвелла, в то время как сплошные линии соответствуют результатам экспериментальных измерений.

Больцман сыграл важную роль в истории изучения черного тела, подведя теоретическое обоснование под формулу, выведенную Йозефом Стефаном. То, что сегодня известно как закон Стефана — Больцмана, имеет следующее выражение: j = σТ4 где j — мощность, излучаемая на единицу площади, Т — абсолютная температура (в Кельвинах), а σ — константа. В конце XIX века было обнаружено, что электромагнитная теория не может объяснить все экспериментальные результаты, которые показывали, что излучение имеет вершину на определенной длине волны и с тех пор уменьшается, как для больших, так и меньших длин волн. Однако электромагнетизм Максвелла прогнозировал другие результаты, согласно которым излучение должно увеличиваться, по мере того как длина его волны уменьшается. Эта проблема была решена Планком в 1900 году. Воспользовавшись статистикой Больцмана и сделав допущение, что энергия излучения тела может принимать только дискретные значения (эту уловку он также скопировал у Больцмана), он смог вывести закон, в котором точно воспроизводились экспериментальные результаты, а именно:

где I обозначала мощность, испускаемую на единицу площади, а λ — длину волны. В этой формуле впервые появилась h, постоянная Планка, которая определила эру квантовой механики, а также постоянная Больцмана k.

Но есть еще кое-что в статье 1872 года. Речь идет о математической уловке, к которой он прибегнул, чтобы доказать свой результат по-другому, намереваясь придать ему еще большую достоверность. Уловка заключалась в том, чтобы высказать догадку о природе атомов, и 30 лет спустя она обеспечила Планку инструменты для анализа излучения черного тела, и был дан стартовый сигнал квантовой механике.

Ранее упоминались использование эргодической гипотезы (предположения, что молекула проходит через все возможные состояния энергии) и проблемы, которые в связи с этим возникали. В своей статье 1872 года Больцман избежал ее, предположив, что существует только конечное число возможных состояний энергии, что сегодня известно как "дискретизация". Физик ввел допущение, что энергия молекул газа может принимать лишь некоторые значения (кратные некоторому числу), чтобы затем привести к произвольно малому значению, и это делало результат более обобщенным. Итак, для доказательства своего начала, используя энергию вместо скорости, Больцман дискретизировал энергию молекул так, что общая энергия могла быть вычислена в виде суммы. У дискретизации было две задачи: с одной стороны, она упрощала расчеты; с другой стороны, когда все возможные значения энергии стали конечным числом, оказалось ясно, что при достаточном времени молекулы в итоге пройдут через них все.

Распределение Больцмана, примененное к черному телу, точно объясняло результаты Планка, сразу принявшего точку зрения атомизма. Через некоторое время Эйнштейн объяснил фотоэлектрический эффект, создание электрического тока на основе света, испускаемого на металл, пользуясь похожей гипотезой: свет состоит из частиц, энергия которых может принимать не любое значение, а также дискретна. Квантовая механика родилась из статистической физики.

Н-теорема была очень важным результатом, так что на нее обратило пристальное внимание все научное сообщество. Это принесло Больцману не только репутацию, которая росла в течение жизни, но одновременно и шквал критики его вероятностного подхода ко второму началу. Одним из самых мощных критиков оказался его друг Лошмидт, изложивший парадокс обратимости и заставивший Больцмана размышлять о своем доказательстве и о природе времени. Плодом этого размышления стала последняя великая статья 1877 года, в которой содержалась формула, выгравированная на его могиле.

ГЛАВА 3

Вероятность, беспорядок и энтропия

Если 1905 год считается "годом чудес" для Эйнштейна, поскольку именно тогда он опубликовал свои статьи о фотоэлектрическом эффекте и специальной теории относительности, то 1876-1877 годы стали самым экстраординарным периодом в биографии Больцмана: он вступил в брак с любовью всей своей жизни, удивительной Генриеттой фон Айгентлер (она родила ему пятерых детей), и опубликовал статью, в которой заложил основы статистической физики.

Спустя некоторое время после сдачи в печать статьи 1872 года Больцман познакомился с Генриеттой фон Айгентлер, голубоглазой светловолосой девушкой на десять лет младше него. Генриетта училась в педагогическом училище для женщин в Граце и, по легенде, была первой и единственной студенткой в университете, который посещала в надежде стать преподавателем естественных наук. Из других источников следует, что она избрала этот факультет, познакомившись с Людвигом.

В любом случае, Генриетта поступила в университет и изучала математику в течение одного семестра. Далее в Грац хлынула лавина русских студенток из Цюриха, сосланных оттуда по подозрению в анархистской деятельности, и ректор решил проблему довольно предсказуемым образом — запретил женщинам посещать университет. Больцман пришел на помощь Генриетте, и, благодаря его участию, она получила специальное разрешение посещать занятия в течение еще одного семестра, хотя в итоге ей отказали в праве на обучение через несколько дней, после того как истек срок действия разрешения. Она больше не пыталась его получить.

Обучение женщины, которая затем стала его супругой, не было для Людвига проявлением легкомыслия, а как раз наоборот. Сам Больцман в одном из своих писем признавался: "Хотя воздержанность и забота о семье являются основными добродетелями мужа, единственный капитал которого — собственная работа, мне кажется, что не может быть долгой любви, если женщина не проявляет понимания и энтузиазма к его усилиям, если она лишь его служанка, а не подруга, которая борется рядом с ним".

Некоторые биографы свидетельствуют, что их первая встреча произошла на прогулке, на которую Генриетта отправилась с подругами по педагогическому училищу; другие утверждают, что Больцман уже до этого обратил на нее внимание и что в их встрече было мало случайного. Как бы то ни было, родилась взаимная симпатия, и через некоторое время началась переписка.

Их отношения вынужденно развивались в письмах, потому что в том же самом году Больцман получил кафедру математики в Венском университете. Как и во многих других случаях в 1870-е годы, ученому повезло: вначале было три кандидата на эту должность, и двое имели большие шансы, чем он, но под давлением Стефана Больцман стал вторым претендентом на место и в итоге получил кафедру, когда математик Александр Винклер, который был первым, решил отказаться.

О БОЛЬЦМАНЕ КАК ПРЕПОДАВАТЕЛЕ

Может показаться удивительным, что Больцман согласился на должность профессора математики, поскольку его специальностью была физика. На самом деле он всю жизнь шел по тонкой линии, разделяющей физику и математику, сегодня эта область известна как теоретическая физика, и тогда у нее не было так хорошо очерченного поля деятельности. По сути Больцман — один из мыслителей, кто внес вклад в создание образа физика-теоретика и придал ему вес в сегодняшнем понимании. В то время теоретиков часто недооценивали, и они уступали физикам-экспериментаторам, которые считали себя настоящими физиками. Сегодня можно сказать, что ситуация обратная, возможно, благодаря Эйнштейну — воплощению классического физика-теоретика.

Кроме того, была еще одна причина, по которой Больцман счел нужным согласиться принять кафедру математики: его многогранность как преподавателя. В течение жизни он преподавал такое разнообразие предметов, что удивительно, как ему удалось овладеть всеми ими, ведь он даже не пользовался конспектами на лекциях, что дает представление о его интеллектуальной мощи. Так, с 1868 по 1870 год, когда он был приват-доцентом в Вене, он вел курсы механической теории тепла, теории упругости, математической теории акустики и математической теории капиллярности; в Граце — анализ, механическую теорию тепла, дифференциальное и интегральное исчисление, теорию чисел, темы высшего анализа, аналитическую геометрию и теорию функций; в Вене — математику, а затем аналитическую механику, электромагнетизм и термодинамику.

Он был прекрасным преподавателем, а его лекции самыми красивыми и воодушевляющими из всех, на которых я только присутствовала. Он сам излучал такой энтузиазм в отношении предмета, что с каждой лекции мы выходили с ощущением, что перед нами открылся новый мир.

Лиза Мейтнер

Как преподаватель Больцман обладал отличной репутацией. Его лекции были не только захватывающими, но и предельно ясными. Возможно, из-за своего маниакально-депрессивного расстройства он всегда был полон страсти и не мог читать предмет, не вкладывая в него все силы, и стремился передать весь свой энтузиазм, и в большинстве случаев это ему удавалось. Для него физика являлась не только работой, но практически священной миссией, а знания стали для него Граалем. Знаменитый физик Лиза Мейтнер (1878-1968) была его студенткой с 1902 по 1905 год, и она сохранила самые лучшие воспоминания о его лекциях.

ЛИЗА МЕЙТНЕР

Лиза Мейтнер была одной из первых женщин-ученых и второй, получившей докторскую степень в Венском университете. Именно Больцман воодушевил ее продолжать карьеру, поэтому Мейтнер уехала в Берлин и добилась того, чтобы Макс Планк в виде исключения позволил ей присутствовать на своих лекциях в качестве слушателя. Затем она стала ассистенткой Планка, а позже начала работать с химиком Отто Ганом (1879-1968); вместе они открыли множество изотопов. За эти открытия Ган получил Нобелевскую премию по химии в 1944 году, шведская академия проявила сексизм и проигнорировала Мейтнер. Возможно, в качестве компенсации химический элемент номер 109 был назван мейтнерием в ее честь.

Больцман был чрезвычайно организованным преподавателем. Примером этому служило то, как он структурировал свои доски, разделяя их на три части: с одного края он писал краткое содержание предыдущей лекции, так что даже отсутствовавшие на ней студенты могли отслеживать новые объяснения; с другого края размещал второстепенные замечания и вычисления; в центре писал выкладки текущей лекции. Кроме того, его лекции были очень популярны, и не только среди физиков. Знаменитый предприниматель-металлург своего времени, Франц Скаупи, ученик Больцмана с 1902 по 1904 год, вспоминал: "Зал всегда был полон, поскольку не только физики, но и химики, такие как я, ходили на его лекции". Скаупи также рассказывал, что Больцман всегда сдабривал свои речи историями и шутками, иронией и сарказмом, иногда это было даже чересчур. Он без колебаний нападал на своих коллег, например на Маха, что приводило студентов в замешательство. Что касается его самого, то обычно он без стеснения отмечал свои ошибки, дополняя это восклицаниями вроде: "О, что за глупость это была!"

Больцман устанавливал теплые отношения со студентами, не сомневаясь, переступал грань между преподавателем и учениками и приглашал их домой, где они беседовали о физике или просто наслаждались игрой учителя на пианино. Он часто оставлял науку в стороне и рассказывал им о своих чувствах, настолько откровенно, что это даже наводит на мысль о наивности и уязвимости нашего героя. Он интересовался каждым учеником: до самого конца ему было очень тяжело не аттестовывать кого-то. Доказательством его дружеских отношений с учениками может служить переписка со многими из них. Выделяются письма, которыми он обменивался со шведом Сванте Аррениусом (1859-1927), получившим Нобелевскую премию по химии в 1903 году.

БРАК С ГЕНРИЕТТОЙ

В Вене Больцман оправдал возложенные на него ожидания, так же, как в свое время в Граце. Он читал лекции, осуществлял множество экспериментов и опубликовал дюжину статей на разные темы, как теоретических, так и экспериментальных. Параллельно он продолжал регулярно переписываться с Генриеттой, которой в 1875 году предложил выйти за него замуж.

Генриетта была сиротой и происходила из благородной семьи, ее опекуном являлся не кто иной, как мэр Граца, отец композитора Вильгельма Кинцля (1857-1941). Именно в Граце освободилась кафедра экспериментальной и общей физики, которую до этого возглавлял Август Тёплер (1836-1912), занимавшийся тем, что предоставлял Институту физики достаточные средства для проведения самых современных исследований. Однако Теплер не был доволен и решил переехать в Дрезден. Больцман быстро увидел преимущества этой должности. С одной стороны, он мог сосредоточиться на преподавании физики, которая всегда была его призванием. С другой, он унаследовал бы лабораторию Теплера, чтобы проводить масштабные работы. Наконец, и, возможно, это было важнее всего, в Граце жила Генриетта.

Итак, Больцман ринулся представлять свою кандидатуру, но столкнулся с серьезным конкурентом, Эрнстом Махом, который, после того как ему удалось сфотографировать ударные волны, образующиеся при преодолении звукового барьера, снискал себе славу физика-экспериментатора. Причины, по которым Мах стремился получить кафедру, похожи на причины Людвига, совпадения оказались почти невероятными: невеста Маха не просто жила в Граце, как и Генриетта, но так же была сиротой.

Совпадения на этом не заканчивались. У Маха имелся доступ к кругам власти города через Вильгельма Кинцля, сына мэра, с которым они вместе изучали акустику в Праге. Благодаря их дружбе он мог быть в курсе университетских интриг и плести заговоры, чтобы получить эту должность. У Больцмана в том же самом доме был свой шпион, Генриетта, взятая под покровительство этой семьей. Ситуация породила цепочку интриг, информация передавалась из университета в семью Кинцлей, а затем Больцману и Маху, которые уже маневрировали, используя полученное знание. Генриетта дошла до того, что нахваливала будущего мужа среди преподавателей (утверждая, что Мах, может быть, и хороший физик, но Людвиг просто гений) и отправила письмо в министерство с утверждением, что климат Граца лучше отразится на здоровье ее суженого.

Конфликт разрешился отказом Маха, заявившего, что если бы ему самому пришлось решать, он выбрал бы Больцмана. Это может показаться удивительным, поскольку Маха и Больцмана обычно представляют врагами. В действительности у них были теплые отношения, несмотря на философские разногласия.

Генриетта и Людвиг поженились в 1876 году, и Больцман переехал в Грац. Они провели четырнадцать лет в этом городе. Счастье оставило их дом в 1888 году и больше не вернулось.

ВОЗРАЖЕНИЕ ЛОШМИДТА

В 1872 году Больцман опубликовал Н-теорему, достижение чрезвычайной важности, что незамедлительно получило признание современников, хотя и вызвало некоторую полемику, поскольку многие его гипотезы, включающие атомную теорию и теорию вероятностей, не соотносились со взглядами, господствовавшими в ту пору. Однако подавляющее большинство физиков оценили тогда статью Больцмана положительно, на что указывает тот факт, что ему предлагали кафедры в самых престижных университетах, с астрономическим для профессора естественных наук жалованьем.

Первым против его теоремы возразил его друг Лошмидт, опубликовавший статью о тепловом равновесии тел, подверженных гравитационной силе. Возражение Лошмидта, которое сегодня известно как "парадокс обратимости", заключалось в том, что, как он утверждал, невозможно сделать необратимые выводы (такие как второй принцип) из обратимых законов, таких как законы Ньютона.

Обратимость тесно связана с обращением времени. Его можно представить себе как эффект от просмотра ряда событий от будущего к прошлому, как в фильме, прокручиваемом назад. Если при таком просмотре оказывается, что события продолжают подчиняться законам физики, то говорят, что эти законы обратимы. Если, наоборот, их поведение становится несовместимым с этими законами, то они необратимы.

Здесь интересно разобраться, являются ли обратимыми законы Ньютона. Для этого подойдет бытовой пример, к которому эти законы с легкостью применяются: партия в бильярд. Предположим, мы ударяем по белому шару, и он сталкивается с желтым (см. рисунок 1). Законы Ньютона точно предскажут нам, что произойдет, если мы будем знать скорость и исходное положение обоих шаров. Теперь изменим временной порядок удара на обратный, например перемотаем фильм назад. В этом случае у нас будет два бильярдных шара, движущихся один к другому до тех пор, пока они не столкнутся, и тогда один из них (желтый) останется в состоянии покоя, в то время как другой продолжит двигаться на большей скорости (рисунок 2). Вопрос, ответ на который мы хотим получить: является ли это поведение совместимым с теми же самыми законами, которыми мы воспользовались для прогнозирования предыдущих событий?

РИС. 1

РИС. 2

Столкновение двух бильярдных шаров в двух временных направлениях. На рисунке 1 белый шар (более светлый) сталкивается с желтым, который находится в состоянии покоя. На втором рисунке оба шара приближаются друг к другу до столкновения, после чего желтый шар останавливается, а белый удаляется с большей скоростью.

В этом случае ответ утвердительный. Если принять конечные положения и скорости частиц за начальные и изменить порядок на обратный, то законы Ньютона предсказывают последовательность событий, которая является точно такой же, какой получилась бы при пересмотре фильма в обратной перемотке. То есть если посмотреть запись столкновения двух частиц, нельзя узнать, идет ли речь о цепочке событий, развивающихся во времени вперед или назад.

Квантовая механика, наоборот, не обладает свойством временной обратимости. Если перемотать последовательность событий, получится ряд фактов, несовместимых с известными законами Вселенной. Однако это можно исправить, изменив знак зарядов и пространственных осей; в этом случае оказывается, что получающаяся последовательность действительно выполняет законы квантовой механики. Эта расширенная временная симметрия обозначается аббревиатурой СРТ, в которой <charge" — заряд, "parity" — четность (инверсия пространственных осей) и "time" — время. Благодаря симметрии СРТ, результат Лошмидта по-прежнему справедлив в современной физике.

Итак, парадокс Лошмидта основывался на обратимости законов Ньютона. Он утверждал, что невозможно вывести необратимый результат, такой как второе начало, из множества обратимых законов, таких как законы Ньютона. Он рассуждал следующим образом: предположим, что некоторый газ находится в конфигурации с низкой энтропией. Больцман уверяет, что она обязательно должна расти; то есть молекулы газа будут двигаться так, что через секунду общая энтропия будет больше. Это должно происходить с любым газом в любой момент.

Однако есть явный контрпример. Возьмем начальный газ в конфигурации, в которой его энтропия увеличилась, и инвертируем скорость каждой из молекул. Это приведет газ в предыдущее состояние, в котором, как уже сказано, энтропия была меньше. Для каждой эволюции газа, в которой энтропия станет увеличиваться, будет существовать обратная ей эволюция, полученная с помощью инверсии скорости каждой молекулы; следовательно, энтропия не всегда увеличивается, но и иногда будет уменьшаться. Как он сам утверждал в своей статье: "Вся последовательность событий произойдет в обратном порядке, если в определенный момент скорости всех частиц будут инвертированы".

Заметьте, что выпад Лошмидта был направлен не на механический подход к энтропии, а непосредственно на второй принцип: Лошмидт оспаривал не то, что газы образованы движущимися молекулами (в конце концов, он сам подсчитал их число в воздухе), а тот факт, что энтропия всегда должна увеличиваться. Это было вызвано тем, что второе начало выявляло прогноз, который совсем не нравился Лошмидту, — отчасти по научным мотивам, отчасти по личным, — тепловую смерть Вселенной.

Идея тепловой смерти была предложена в 1851 году лордом Кельвином, который основывался на актуальной для своего времени версии второго начала термодинамики. Кельвин ограничился тем, что взял установленное знание о теплопередаче и довел до его крайнего следствия: если энергия Вселенной будет оставаться постоянной, а тепло будет всегда переходить от теплых тел к холодным, обязательно наступит момент, когда вся Вселенная будет находиться при одной и той же температуре. Когда это произойдет, уже не будет теплообмена и, cледовательно, никакого мотива для эволюции. Тогда Вселенная превратится в статический суп, который останется в таком состоянии до конца вечности.

Как Герман фон Гельмгольц, так и Уильям Ренкин (1820— 1872), оба физики, быстро поняли рассуждения лорда Кельвина и ввели понятие "тепловой смерти", которое вскоре было принято большей частью их современников и сегодня все еще считается наиболее вероятным концом нашей Вселенной.

Однако для Лошмидта идея тепловой смерти была неприемлема ни с философской, ни с эмоциональной точек зрения. Так что он начал работать над тем, чтобы, говоря его словами:

"...разрушить ужасающий ореол второго начала, из-за которого появилось [понятие тепловой смерти] как принципа, разрушительного для всех живых существ во Вселенной, и в то же время перейти к утешающему представлению о том, что человечество не зависит от каменного угля или Солнца и сумеет трансформировать тепло в работу и всегда иметь в своем распоряжении неиссякаемый источник тепла, готового к трансформации".

Лошмидту было ясно, что аргумент Больцмана не мог быть основан только на законах Ньютона и должен содержать в себе какое-то дополнительное предположение, которое объясняло бы необратимость. То есть результат Больцмана не мог сводиться к динамике молекул, поскольку она обратима; следовательно, он должен возникать из какого-то другого источника, скрытого в его работе, чего-то настолько утонченного или кажущегося очевидным, что никто не смог бы увидеть это до сего момента. Этим чем-то оказалась гипотеза молекулярного хаоса: предположив, что молекулы взаимодействуют так, что их скорости не связаны, Больцман ввел временно-асимметричное условие, то есть условие, разделявшее прошлое и будущее. До сегодняшнего дня ни одному ученому не удалось опровергнуть аргумент Лошмидта.

ОТВЕТ БОЛЬЦМАНА

Критика Лошмидта, должно быть, произвела впечатление на Больцмана, поскольку в результате возникли две статьи, и обе в 1877 году. В первой он ограничился ответом своему коллеге в дискурсивной форме, даже без уравнений, и сформулировал множество вопросов, которые занимали умы физиков до XXI века. Вторая статья оказалась намного более технической, и в ней он приводил новый вывод из второго принципа, используя абсолютно другой метод и совершая концептуальный скачок, обозначивший рождение статистической физики.

Первая статья начиналась с объяснения, более понятного, если это возможно, против чего возражал Лошмидт. В ней говорилось следующее:

"Так как энтропия уменьшалась бы, если бы система прошла через эту последовательность в обратном порядке, мы видим, что факт увеличения энтропии во всех физических процессах нашего мира нельзя вывести только из природы силы, которая действует между частицами, поскольку это также должно быть следствием начальных условий".

Само то, что Больцман изложил возражение в таком сжатом виде, показывает: он прекрасно понимал аргументы своего друга. Продолжение, должно быть, не очень обрадовало Лошмидта, поскольку в нем утверждалось: "Очевидно, что этот вывод очень соблазнителен и его следует назвать интересным софизмом". Использование слова "софизм" явно оскорбительно и показывает, что Больцман был совсем не доволен нападками своего учителя. В результате его ответа отношения с Лошмидтом оказались испорчены и несколько восстановились, лишь когда сам Больцман попытался вновь навести мосты в 1890-е годы, незадолго до смерти своего наставника.

Критика Лошмидта заставила Больцмана заново рассмотреть некоторые аспекты его статьи 1872 года. Самым примечательным достижением было его впервые сделанное предположение о том, что второе начало термодинамики должно выполняться не всегда, а только в огромном большинстве случаев. Так, он утверждал: "Можно только доказать, что после некоторого интервала бесконечно большое число начальных состояний приведет к однородному состоянию раньше, чем к неоднородному". То есть второе начало предсказывало: намного более вероятно, что система будет эволюционировать в однородное состояние (то есть с большей энтропией), чем то, что она разовьется в менее однородное, но что такое развитие получится не всегда.

Больцман пошел дальше и наметил свою следующую статью, утверждая, что "на основе относительных величин различных распределений состояний можно даже вычислить их вероятности". Этот тезис он развил позже, что обозначило начало статистической физики, где множества молекул берутся в целом и сравниваются не с одним и тем же газом в другие моменты, а с другими возможными конфигурациями этого газа.

Сделав введение в проблему и мастерски сформулировав свой ответ, Больцман перешел в наступление. Для этого он взял идеальный газ (газ, образованный идеальными и абсолютно упругими сферами) в неоднородном состоянии: например, в котором плотность в правой части выше, чем в левой. Он утверждал, что если позволить газу эволюционировать без внешнего воздействия, то молекулы распределятся равномерно по всему сосуду, и разница в плотности исчезнет. Как показано на следующем рисунке, газ со всеми его молекулами, собранными в углу, затем займет весь сосуд, и по-другому быть не может.

Затем Больцман поставил Лошмидта в затруднительное положение, утверждая, что, по словам последнего, если инвертировать скорость молекул в конечном положении, то газ спонтанно вернется в свое неоднородное состояние. Однако Больцман признавал невозможность доказательства того, что сферы должны перемешиваться равномерно. Но он продолжал:

"На самом деле это следствие из теории вероятностей, поскольку любое неравномерное распределение состояний, каким бы маловероятным оно ни было, нельзя считать абсолютно невозможным. (...) Действительно, ясно, что любое отдельное равномерное распределение, которое может возникнуть через некоторый интервал на основе какого-то отдельного начального состояния, настолько же невероятно, как и любое отдельное неравномерное распределение: в лотерее любое отдельное множество из пяти чисел так же невероятно, как и множество 1, 2, 3, 4, 5. Распределение состояний в итоге будет равномерным через некоторое время, только потому, что существует намного больше равномерных распределений, чем неравномерных".

Этот последний абзац сложноват для понимания и, вероятно, требует разъяснения. Сначала Больцман утверждал: любое равномерное распределение так же невероятно, как и равномерное, что может оказаться запутанным; тогда почему же газы стремятся к равномерному распределению? Ключ здесь в слове "отдельное". Если рассматривать все возможные состояния энергии каждой молекулы газа, вероятность того, что газ будет находиться именно в настоящей конфигурации, очень мала, поскольку для этого потребовалось бы, чтобы все и каждая молекулы имели в точности одну и ту же скорость в настоящий момент. Однако когда наблюдатель смотрит на систему с макроскопической точки зрения, он не знает скорости отдельных молекул, он знает только крупномасштабные свойства газа. Любое распределение, которое породит одно и то же в крупном масштабе, будет неразличимо. Больцман настаивает, что существует намного большее число сочетаний, соответствующих макроскопически однородным газам, чем неоднородным. Как показано на рисунке, различные отдельные распределения порождают одни и те же макроскопические свойства.

Итак, второе начало можно рассматривать как утверждение, в котором речь идет в большей степени не о газах самих по себе, а о макроскопической информации, которая у нас о них имеется. Больцман говорил об этом следующим образом:

"Поскольку существует бесконечно больше распределений равномерных состояний, чем неравномерных, эти последние чрезвычайно невероятны и могут считаться невозможными на практике; точно так же можно считать невозможным, что если сначала перемешать кислород с азотом в контейнере, через месяц мы найдем химически чистый кислород в нижней части, а азот — в верхней части, хотя согласно теории вероятностей, это всего лишь невероятно, а не невозможно. [...] Если это сведение второго начала к области вероятностей делает сомнительным его применение ко всей Вселенной, следует иметь в виду, что законы теории вероятностей подтверждаются всеми экспериментами, которые осуществляются в лаборатории".

В конце статьи Больцман признал ценность возражения Лошмидта, хотя, возможно, в форме, которая не понравилась его другу: "Как бы то ни было, теорема Лошмидта представляется мне имеющей максимальную важность, поскольку она показывает, насколько бесконечно связано второе начало с теорией вероятностей, в то время как первое начало независимо от нее".

Последний комментарий в ответе Лошмидту порождал многочисленные дебаты в течение XX века, которые продолжаются и сегодня. Так, в середине статьи Больцман отметил:

"Упомяну здесь одно особенное следствие из теоремы Лошмидта: тот факт, что при представлении состояния мира в бесконечно далеком прошлом мы бы верно предположили, и это очень вероятно, что находимся в состоянии, когда все различия в температуре уже исчезли, то же самое произошло бы, если бы мы предположили состояние Вселенной в далеком будущем".

Этот на ходу брошенный комментарий Больцмана представил, и представляет, многочисленные сложности для физического сообщества относительно оси времени, то есть направления от прошлого к будущему. Несмотря на то что далее мы рассмотрим это более детально, стоит сделать небольшое замечание: Больцман указывал на то, что второе начало должно быть настолько же применимо к прошлому, как и к будущему, поскольку оно ограничивается утверждением, что тела имеют тенденцию занимать более вероятное состояние. Если обратиться к далекому прошлому и задаться вопросом, каково самое вероятное состояние, в котором оно может находиться, очевидный ответ — "состояние высокой энтропии", что означает состояние высокой однородности, тепловую смерть. Действительно, проблема намного больше, чем кажется: вычисление вероятностей указывает на то, что намного более вероятно, что прошлое, которое мы принимаем как должное, есть иллюзия, и что субъект (то есть человек, получающий опыт) — не более чем статистическая флуктуация во Вселенной в состоянии тепловой смерти. На сегодняшний день было представлено несколько решений этого парадокса, и ни одно из них полностью не принято научным сообществом.

ВЕЛИКАЯ СТАТЬЯ 1877 ГОДА: РОЖДЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Критика Лошмидта и его собственные догадки, изложенные в предыдущей статье, привели Больцмана к написанию новой работы "Об отношении между второй основной теоремой механической теории тепла и вычислением вероятности относительно результатов теплового равновесия". Возможно, несмотря на то что он не заявил об этом открыто в ответной работе, представленные возражения вынудили его пересмотреть свое видение второго начала и согласиться, что влияние теории вероятностей на него намного больше, чем он думал вначале. Поэтому нет ничего удивительного в том, что его вторая публикация 1877 года оказалась настоящим трактатом о вероятности, где физические измышления сместились на второй план.

Стратегия, которую он выбрал в этом случае, сильно отличалась от предыдущих и показала новый подход к статистическим проблемам. Больцман не сосредоточился на распределении скоростей заданного газа, а размышлял о вероятности того, что он окажется в определенном состоянии, если известны все возможные состояния. Для этого требовалось составить подробный перечень всех конфигураций изучаемой системы, чтобы затем сравнить их число с целью получения их вероятностей: состояние с наибольшей вероятностью соответствует состоянию, наблюдаемому в макроскопическом масштабе.

Значительным препятствием при подсчете состояний был тот факт, что энергия может принимать любое значение в определенном диапазоне. Это превращало число конфигураций в бесконечность, что делало невозможными какие-либо вычисления. Чтобы преодолеть эту трудность, Больцман воспользовался уловкой, которая уже послужила ему в 1872 году: дискретизацией энергии, или "живой силы", как он назвал ее в работе. Но если в предыдущей статье речь шла только об альтернативном способе доказательства, который он уже получил другими средствами, в этом случае акцент делался на главной части, без которой остальные его расчеты не могли быть осуществлены.

Фотопортрет Людвига Больцмана, сделанный в конце XIX века. К тому времени Больцман уже стал фигурой международного масштаба и состоял профессором на кафедрах самых престижных университетов Европы.

Больцман снова сконцентрировался на функции распределения, хотя в этот раз он игнорировал скорости в пользу энергии. Кроме того, он не использовал ее для вычисления эволюции газа, а сравнивал вероятности различных распределений. Объяснение Больцмана, что такое функция распределения, вполне ясно: "Если мы знаем, сколько молекул обладает живой силой, равной нулю, сколько равной единице, и так далее, то мы можем сказать, что распределение живой силы нам задано". Дидактический стиль его изложения дает нам представление о том, какими доступными для понимания были его лекции. Действительно, вся статья полна объяснений каждого математического перехода, что в значительной степени облегчает восприятие.

О распределении он говорил далее: "Законы, по которым происходит это изменение, уже нередко становились предметом моего исследования". Однако у Больцмана была другая цель: "Сейчас это не входит в мои намерения, но я хочу, независимо от того как развивается распределение состояния, установить его вероятность". Для этого ему нужно было решить, как можно распределить энергию (или живую силу) во множестве частиц.

Больцман концентрировался на скоплении молекул и снова использовал дискретизацию энергии. Он предполагал, что общая энергия системы постоянна (то есть в сосуде, в котором находится газ, нет потерь ни тепла, ни материи) и, следовательно, должна быть распределена между молекулами. Его задачей было изучить, сколько возможных сочетаний доступно при распределении ее между всеми частицами газа и сколько из них дают те же самые макроскопические свойства. Поскольку если бы энергия могла принимать любые значения, то было бы бесконечное число сочетаний, он ввел требование того, чтобы она ограничивалась значениями, кратными некой произвольной величине ε.

Следующим шагом было выяснить, сколько молекул находится на каждом уровне энергии с учетом ограничений для общей энергии. Приведем следующий, очень упрощенный пример. Если общая энергия равна трем и есть всего три молекулы, могут быть следующие ситуации: либо у всех трех молекул одна и та же энергия 1, либо у одной из них энергия 3, а у других 0, либо у одной энергия 1, у другой 2, а у третьей 0. Состояние системы будет задано числом молекул каждой энергии, поскольку с макроскопической точки зрения не важно, какие отдельные молекулы имеют определенную энергию, важно только их число.

Другими словами, сначала надо выяснить, сколько существует возможных конфигураций для заданной энергии; как только они становятся известны, необходимо выяснить, какие из них породят одни и те же макроскопические свойства. Тогда всегда будет получатся, что у системы одно и то же число молекул на каждом энергетическом уровне.

Больцман окрестил каждое возможное индивидуальное состояние "комплексией", сегодня известное как "микросостояние*, поскольку это ненаблюдаемое микроскопическое состояние. Распределения энергии, где имеет значение только число молекул на энергетический уровень, известны как "макросостояние", поскольку они наблюдаемы макроскопически.

Дав определение термину "комплексия", Больцман перешел к определению числа, которое в итоге породило новое выражение для энтропии: "Теперь зададимся вопросом о числе В комплексий, в которых w_0 молекул обладает нулевой живой силой, w1 обладает живой силой 1 и так далее". Итак, В — это число комплексий, которые порождают одно и то же распределение энергии.

Следующий вопрос: каково самое вероятное распределение энергии? Для этого нужно было рассчитать число В для всех распределений и сравнить. Пропорция между В и общим числом комплексий — это вероятность того, что система будет находиться в состоянии с распределением энергий, заданном В. Начиная с этого места статья превращалась в трактат о вероятностях, и в ней полностью игнорировались физические детали.

Выдерживая свой дидактический стиль, он начинал с примера с семью молекулами, который был очень полезен для понимания последующего развития, когда число частиц стремится к бесконечности. Предполагалось, что эти семь молекул ограничены общей энергией 7ε, где ε — снова произвольное значение. Сначала нужно было найти, сколько распределений возможно при заданных ограничениях; простым методом проб и ошибок несложно прийти к выводу, что это число 15. Например, одно возможное состояние — это шесть молекул, не имеющих энергии, и одна с максимально возможной энергией; другое — пять молекул, не имеющих энергии, еще одна с 1ε и последняя с 6ε.

После получения этих распределений следующим шагом было вычислить, сколько комплексий было у каждого возможного состояния, что Больцман обычно называл "перестанавливаемостью", от слова "перестановка", и обозначал как В. Перестановки — это сочетания элементов, которые порождают одну и ту же конфигурацию. Осуществив необходимые расчеты, он заметил, что число перестановок значительно больше в промежуточных распределениях, то есть в тех, где энергия распределена более или менее равномерно (что на самом деле очень похоже на распределение Больцмана) между различными молекулами. Результат показан в следующей таблице.

Номер конфигурации

Энергия каждой молекулы

В

1.

0000007

7

2.

0000016

42

3.

0000025

42

4.

0000034

42

5.

0000115

105

6.

0000123

210

7.

0000133

105

8.

0000223

105

9.

0001114

140

10.

0001123

420

ВЕРОЯТНОСТЬ И ПЕРЕСТАНОВКИ

Вычисление вероятностей в теории Больцмана, по крайней мере для небольшого числа сочетаний, можно понять с помощью элементарной математики. Оно основано на так называемой "факториальной функции", которая обозначается восклицательным знаком и определяется так:

n! = n · (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) · (...) · 1,

где л — любое число. То есть 3! равно 3 · 2 · 1 = 6, а 5! равно 5 · 4 · 3 · 2 х х 1 = 120. Предположим, у нас есть множество из л цветных шаров. Мы хотим узнать число возможных уникальных сочетаний. Начнем с небольшого числа шаров, а затем усложним ситуацию, добавив еще. При трех шарах красного (К), синего (С) и черного (Ч) цветов различные возможные сочетания, полученные методом проб и ошибок, следующие:

КСЧ, КЧС, СКЧ, СЧК, ЧКС, ЧСК.

Эти шесть сочетаний можно получить более элегантным способом. Если рассматривать первое положение, можно выбирать из трех шаров, во втором положении остается два варианта, а в третьем — один. Количество вариантов равно 3-21 = 6. Для случая с n разноцветных шаров этот метод легко расширить. Для первого положения у нас л вариантов, для второго остается (n - 1) и так далее. Конечное выражение следующее:

n · (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) · (...) · 1 = n!,

то есть ранее определенная факториальная функция. Однако это выражение несправедливо, если разные шары обладают одним и тем же цветом. В этом случае многие сочетания окажутся равнозначными, поскольку не будет способа различить одинаковые шары. Для этого нужно разделить все возможные сочетания между шарами одного и того же цвета; то есть сначала берутся все возможные сочетания, если бы шары были различимы, а затем исключаются те, к которым это предположение неприменимо. Если существует nА шаров цвета 1, n_2 цвета 2 и так далее до цвета р, то общее число сочетаний окажется:

р = n!/(n_1! · n_2! · n_3!...nр!).

Это та же самая формула, которая используется для множества молекул, где число частиц равно n, а различные возможные состояния энергии идут от 1 до р. Применяемое рассуждение точно такое же, и именно им воспользовался Больцман в своей статье 1877 года для вычисления числа комплексий, совместимых с некоторым распределением.

11.

0001222

140

12.

0011113

105

13.

0011122

210

14.

0111112

42

15.

1111111

1

Вероятность каждого состояния можно вычислить, разделив число совместимых с ним комплексий на общее число комплексий. Этот относительно простой расчет давал представление о том, что Больцман осуществил позже, хотя и в намного более сложном с математической точки зрения виде. Далее он получил общее выражение для числа перестановок распределения, на этот раз предположив, что число молекул, во-первых, очень велико, а во-вторых, что энергия принимает непрерывные значения. Наконец, он ввел выражение "степень перестанавливаемости", которое определил как логарифм числа перестановок.

Произведя расчеты, Больцман выяснил, что выражение степени перестанавливаемости равно величине H из его предыдущей статьи с измененным знаком; это было важно, поскольку величина Я равна энтропии со знаком минус. Итак, степень перестанавливаемости могла быть использована как мера энтропии системы. Больцман, должно быть, осознавал важность своего результата, поскольку в заключение подчеркивал:

"Хорошо известно, что когда система тел подвергается чисто обратимой трансформации, общая энтропия остается постоянной. Если, наоборот, среди трансформаций, которым подвергается система, есть хоть одна необратимая, энтропия может только увеличиваться [...]. Что касается предыдущего отношения, то же самое справедливо для [...] меры перестанавливаемости для множества тел. Эта мера перестанавливаемости, следовательно, является величиной, которая, находясь в состоянии термодинамического равновесия, совпадает с энтропией [...], но она также имеет значение в необратимых процессах, где она постоянно увеличивается".

ДЖОЗАЙЯ УИЛЛАРД ГИББС

Американский физик Джозайя Уиллард Гиббс внес значительный вклад как в химию, так и в физику и ввел термин "статистическая физика". Это был скромный гений со склонностью к отшельничеству: ббльшую часть жизни он прожил в доме своей сестры и, унаследовав немалое состояние своего отца, на добровольных началах преподавал в Йельском университете. Гиббс провел небольшой период времени в Европе, не упустив возможность посетить лекции Кирхгофа и Гельмгольца среди прочих. Позже, несмотря на то что он почти не выезжал из своего родного города, он вел переписку с другими физиками, особенно с Максвеллом, который был в восторге от его работы. Эйнштейн даже говорил, что Гиббс — "самый блестящий ум в истории Америки".

Больцман не только идентифицировал степень перестанавливаемости с энтропией, но и указывал на то, что его видение последней может быть распространено на любое вещество, одноатомное или многоатомное, жидкое или твердое. Действительно, физик пришел к выводу:

"Возьмем любую систему, которая подвергается произвольной трансформации, при этом конечные и начальные состояния — необязательно состояния равновесия; в этих условиях мера перестанавливаемости множества тел системы будет постоянно расти в ходе процесса и в лучшем случае будет постоянной в обратимых процессах, которые находятся бесконечно близко к термодинамическому равновесию".

ПРИНЦИП БОЛЬЦМАНА

Эйнштейн ввел термин "принцип Больцмана" для обозначения формулы, которая в итоге была выгравирована на могиле австрийца:

S = k logW.

Несмотря на то что Больцман демонстративно не привел ее в своей статье 1877 года, эту формулу легко вывести простым методом группировки различных констант. В ней S представляет энтропию, к — постоянную Больцмана, которая равна 1,38 · 10-23 Дж/К и которой Больцман никогда не пользовался, a W— число микросостояний (микроскопических конфигураций), совместимых с наблюдаемым макросостоянием (макроскопической конфигурацией). W также иногда толкуется как вероятность макросостояния, поскольку она прямо пропорциональна числу микросостояний. Из этого уравнения видно, как энтропия S увеличивается, по мере того как IV тоже увеличивается. Чем больше микросостояний, тем больше беспорядок; чем больше беспорядок, тем больше энтропия. Кроме того, только для одного возможного микросостояния энтропия математически равна нулю.

СОВРЕМЕННОЕ ПОНЯТИЕ ЭНТРОПИИ

Несмотря на то что терминология, используемая в статье 1877 года, сегодня несколько устарела, в тексте уже встречается понятие энтропии в том виде, в каком она понимается сегодня. В работе Больцмана она определяется как две трети меры перестанавливаемости; в современном понимании этот коэффициент в две трети включен в то, что стали называть "постоянной Больцмана", хотя сам ученый никогда этим термином не пользовался.

Поскольку число перестановок и число микросостояний, совместимых с распределением, прямо пропорциональны, сегодня вместо числа перестановок используется это последнее значение. Итак, в формуле энтропии утверждается, что она пропорциональна логарифму числа микроскопических состояний, совместимых с наблюдаемым макроскопическим состоянием.

Современная терминология в статистической физике была разработана Джозайей Уиллардом Гиббсом (1839-1903). Так, распределения энергии Больцмана сегодня называются макросостояниями, в том смысле, что это состояния, наблюдаемые с макроскопической точки зрения, а комплексиям было дано новое название — микросостояния, поскольку они не наблюдаются напрямую. В целом у каждого состояния есть некоторое число связанных с ним микросостояний, в том смысле что они порождают одни и те же наблюдаемые свойства, и их вероятность увеличивается прямо пропорционально их числу.

Формулу Больцмана, S = k logW, современным языком можно описать следующим образом: энтропия прямо пропорциональна логарифму числа микросостояний, совместимых с макросостоянием. Логарифм используется, поскольку, с одной стороны, он упрощает вычисление вероятности (так как большинство перестановок вычисляется на основе произведений), а с другой стороны, подчеркивает то, что энтропия связана с суммой в том смысле, что энтропия двух систем складывается, а не умножается, как это было бы с числом перестановок. Именно эта формула выгравирована на могиле Больцмана, а не та, которую он сам ввел в 1877 году.

Обычно говорят, что энтропия есть мера беспорядка системы. Этого понятия не было в формулировке Клаузиуса, и оно также, похоже, было не совсем применимо к первому определению Больцмана. Подход 1877 года делает возможным объяснение связи между энтропией и беспорядком вполне естественным образом. Первое, на что нужно указать, — это то, что беспорядок — довольно бессистемное понятие. В классическом примере с колодой карт говорят, что они упорядочены, если расположены так, что каждой карте предшествует другая непосредственно меньшего значения, а после нее следует другая непосредственно большего значения. В случае с газом считается, что он находится в упорядоченном состоянии, если у молекул имеется распределение энергии или положений, которое отклонялось бы от ожидаемого, если бы было произвольным, что в данном случае означает распределение Больцмана.

ЭНТРОПИЯ ШЕННОНА

Определение энтропии Больцмана было столь общим, что было использовано в математике и науке о вычислениях. Самое известное применение — так называемая "энтропия Шеннона", названная в честь математика и специалиста по теории коммуникаций Клода Элвуда Шеннона (1916-2001), которая измеряет количество информации, содержащееся в сообщении.

Представим себе сообщение, состоящее из единиц и нулей. Если бы частота единиц и нулей не была произвольной, а в ней имелись бы некоторые тенденции к большему количеству нулей или единиц, наблюдатель, читающий цепочку по порядку, мог бы предсказать, до какой-то степени, следующее значение. Цепочка 1111111111111... довольно предсказуема: крайне вероятно, что следующим символом будет 1. В этом случае чтение этих данных предоставляет нам очень мало информации, поскольку уже известно все необходимое, до того как мы увидим сообщение: их энтропия Шеннона минимальна. И наоборот, энтропия Шеннона максимальна, когда цепочка — произвольный ряд нулей и единиц. В этом случае единственный способ узнать, каков следующий символ, — увидеть его. На практике большинство сообщений (например, на английском или на испанском языке) имеет относительно низкую энтропию Шеннона из-за статистического преобладания некоторых букв. Из-за этого они содержат мало информации, и их легко сжать. На этой идее основываются программы-архиваторы. Связь между энтропией Шеннона и энтропией Больцмана была не очень ясной до середины 1950-х годов. Было высказано предположение, что энтропия Больцмана может быть истолкована как частный случай энтропии Шеннона: когда она максимальна, тело, которое она описывает, находится в самом произвольном состоянии, то есть с очень высокой энтропией Шеннона. Так, энтропию Больцмана можно вычислить как информацию, необходимую для определения состояния каждой из молекул тела, если известны макроскопические детали. Энтропия Шеннона — не единственная интеллектуальная "дочь" энтропии Больцмана: в Linux (операционной системе со свободным кодом, благодаря которой появился Android) термин "энтропия" используется для определения произвольных данных, собираемых системой на основе движения мыши или клавиатуры.

В примере с картами легко увидеть, что большинство порядков соответствует неупорядоченному состоянию: если исходить из упорядоченной колоды и изменить положение десяти карт, то получится колода, отдаленная от предыдущего порядка. Если повторить операцию, выбирая каждый раз десять произвольных карт, колода все больше будет отдаляться от упорядоченного состояния, если только нам сильно не повезет. Это происходит потому, что существует намного большее число беспорядочных конфигураций, чем упорядоченных. Чтобы увидеть это, воспользуемся простой моделью с пятью картами, пронумерованными от 1 до 5.

В этом случае мы можем определить упорядоченное состояние как (1,2,3,4,5), где мы используем скобки и числа, отделенные запятыми, чтобы указать порядок. Теперь посмотрим, сколько всего есть возможных сочетаний. Поскольку в этом случае метод проб и ошибок займет слишком много времени, воспользуемся логико-математическим рассуждением. Первая карта может принимать пять значений: от 1 до 5. Как только мы ее выберем, у второй карты уже сможет быть только четыре значения, поскольку одна из карт будет находиться на первой позиции. Для третьей карты у нас останется только три варианта: для четвертой — два, и последней останется только одна карта. Числом сочетаний тогда будет произведение числа выборов, которые существуют для каждой карты. В этом случае это 5 · 4 · 3 · 2 · 1, что равно 120. Итак, из 120 существующих сочетаний только одно соответствует упорядоченному состоянию.

В случае с целой колодой всего существует 48 карт (или 52, в зависимости от типа колоды). Следуя подобному рассуждению, получается, что общее число сочетаний равно 48 · 47 · 46 х..., пока мы не дойдем до 1. Итоговое число — 1,24 · 10^61, то есть 1 с 61 нулями. Для наглядности, если бы кто-то ежесекундно пробовал другую конфигурацию, тасуя колоду, он получил бы упорядоченную колоду спустя 4 · 10^47 миллиона лет, что соответствует примерно 10^43 возрастам Вселенной. Как можно увидеть на сравнении примера пяти карт с примером с 48, число сочетаний быстро растет с количеством последних. Теперь, если задуматься, что число молекул газа значительно больше числа карт в колоде, то можно представить себе чрезвычайную невероятность того, что энтропия будет уменьшаться при любой ситуации.

Связь между энтропией и беспорядком, таким образом, ясна: более беспорядочные состояния более вероятны и, следовательно, они стремятся к большей энтропии. Отсюда можно сделать вывод, что беспорядок Вселенной стремится к росту. Как показано на следующих диаграммах, выполненных случайно начерченными линиями, беспорядочные конфигурации намного более многочисленны, чем упорядоченные: конфигурация, подобная правой верхней, намного более невероятна, чем беспорядочное сочетание.

Заметьте также, что новое понятие энтропии применимо не только к газам, но и к таким отличным от них системам, как колода карт. Действительно, формула Больцмана может быть распространена на множество систем и породила альтернативные "энтропии", присутствующие в различных областях знания. Среди них выделяется энтропия Шеннона, описывающая содержание информации в сообщении.

ЖИЗНЬ В ГРАЦЕ

О пребывании Больцмана в Граце осталось много историй, которые помогают нарисовать портрет человека, а не только ученого. В 1878 году родился его первый сын, Людвиг Хуго (1878-1889), за ним последовали Генриетта (1880-1945), Артур (1881-1952), Ида (1884-1910) и Эльза (1891-1966), родившаяся уже в Вене. Больцман обожал их. Когда его младшая дочь выразила желание завести обезьянку в качестве домашнего питомца, Генриетта бурно воспротивилась, поскольку не хотела держать животных дома; Больцман решил купить ребенку выводок крольчат и устроил их в своей библиотеке.

В его распоряжении была служебная квартира, отопление и электричество в которой оплачивалось университетом, но Больцман купил ферму рядом с Оберкросибахом, где он поселился с семьей, чтобы дети могли наслаждаться сельской жизнью. В доме был гербарий и коллекция бабочек, что говорит о большой любви ученого к природе; он часто отправлялся с семьей на прогулку и попутно вел беседы о ботанике. У Больцмана также была собака, с которой он ходил на завтрак в ближайшее заведение, и корова, с ней он гулял по деревне и спрашивал своих коллег-зоологов, как лучше ее доить.

За время грацского периода он был удостоен ряда почестей, среди которых выделяется назначение деканом факультета. Его несколько раз приглашали в императорский дворец, но он не получил должного удовольствия: у Больцмана были серьезные проблемы со зрением, которые обострились с возрастом, и из-за этого ему было сложно разглядеть содержимое тарелки. В тех случаях, когда он оказывался при дворе, император Франц Иосиф едва лишь притрагивался к еде, после чего происходила смена блюд у всех участников трапезы, и Больцмана почти никогда не успевал попробовать кушанья.

Среди других увлечений Больцмана присутствовали как полезные, так и не очень. Он любил кататься на коньках и плавать, чему часто отдавался, чтобы восполнить скудность физических упражнений своей молодости, этим он объяснял свои проблемы со здоровьем. Он также любил устраивать праздники, которые длились до поздней ночи. Ему нравилось принимать гостей и развлекать их своей тонкой иронией и беседами на самые разнообразные темы, не только научные: он очень любил музыку и немецкую литературу и даже посвятил свои "Популярные заметки", сборник популярных работ, поэту Фридриху Шиллеру (1759-1805).

Эти четырнадцать лет в Граце были, без сомнения, самыми счастливыми: он вел расслабленный образ жизни и наслаждался общением со своей семьей. Должность декана отнимала у него не очень много времени, поскольку основную часть административной работы он оставлял заместителю. Сам Больцман признался Теплеру, что брак погружает его в лень больше, чем он ожидал. Через несколько лет его преемник на кафедре, Леопольд Пфаундлер (1839-1920) жаловался, что получил в наследство гору неразобранных дел, так что Больцман работал уже не так усердно, как в предыдущие годы.

Несмотря на это, он публиковал другие важные статьи, среди которых выделяется доказательство закона Стефана об излучении черного тела (1884). Хендрик Антон Лоренц (1853— 1928), лауреат Нобелевской премии по физике 1902 года, назвал эту работу "жемчужиной теоретической физики".

Но счастливое время закончилось в 1888 году, через год после того, как Больцмана назначили ректором университета. Небольшое недоразумение, связанное с его назначением профессором в Берлине, вылилось в крайне некомфортную ситуацию для Больцмана, и нервы в итоге не выдержали. На это наложилась смерть его сына Людвига в 1889 году. Больцман погрузился в депрессию, которая прежде сменялась его ставшими притчей во языцех приступами эйфории, но после этой он так и не восстановился, и в итоге она закончилась самоубийством в 1906 году.

ГЛАВА 4

Больцман-полемист

В 1890-е годы Больцман, расположившийся на научном Олимпе, участвовал в многочисленных полемиках с друзьями и соперниками: с Махом он спорил о существовании атомов, а с Цермело — о втором начале термодинамики. В первом случае время показало, что он прав, но второй спор до сих пор остается неразрешенным. Однако постоянные дискуссии в результате истощили Больцмана, обострив депрессию, в которую он погрузился после смерти сына в 1889 году.

В 1887 году у Больцмана завершался счастливый период, отмеченный большими научными успехами 1872 и 1877 годов и сопряженный с различными почестями, среди которых были назначение деканом и приглашения во дворец от лица императора Франца Иосифа. Первым ударом по безмятежному ходу жизни за два года до этого стала смерть матери, с которой после смерти отца он был очень близок. Катарина жила с Людвигом с момента его свадьбы, и несмотря на кое-какие трения с Генриеттой, у нее были очень хорошие отношения с сыном, который всегда был ей благодарен за поддержку в начале учебы.

Второй удар был вызван чем-то, что сначала казалось скорее честью. В 1887 году Больцмана назначили ректором Грацского университета. Это была ответственная должность, предполагавшая более значительные административные обязанности, чем на посту декана, вероятность конфликтов интересов здесь также была выше, эта роль требовала определенной дипломатии. Ни тогда, ни когда-либо еще дипломатия не была сильной стороной Больцмана, душой почти ребенка, неспособного проводить границу между собой и другими, как это умеют делать большинство социально адаптированных взрослых. Мах описал это так: "Больцман беззлобный, но он невероятно наивный и бесцеремонный... он просто не знает, где провести черту. Это относится и к другим важным для него вещам".

Вскоре должность ректора показала, насколько ядовитый это был подарок. В том же году, что и произошло его назначение, пронемецки настроенные студенты принялись произносить речи против императора. В пылу воинственности они опрокинули бюст Франца Иосифа в одном из залов университета. Под давлением правительственных служб Больцман был вынужден принять меры, этот инцидент растянулся на четыре месяца и разрушительно сказался на его нервной системе.

БЕРЛИНСКОЕ ИСКУШЕНИЕ

Эпизод, с которого началась депрессия Больцмана, произошел годом позже. В 1887 году умер Густав Кирхгоф, его друг и коллега. Кафедра, которую тот возглавлял в Берлинском университете, осталась свободной, и ученый совет решил, что Больцман идеально подходит, чтобы занять ее. Ему сразу же выслали предложение, сулившее отличное жалованье и руководство одной из лучших лабораторий Европы. Среди преимуществ должности была работа рядом с переехавшим несколько лет назад из Гейдельберга Гельмгольцем, которым Больцман восхищался.

Он сразу отправился в университет, осмотрел лабораторию и даже выбрал себе кабинет. Однако когда вернулся в Австрию, сомнения усилились. В то время когда европейские конфликты были очень актуальны, особенно между Германией и Австрией, работа в другой стране не вызвала бы одобрения, по крайней мере без предварительного разрешения властей. Больцман задумался, не плохо ли он поступил, и ввиду своей пресловутой бестактности не стал информировать свой университет об этом предложении.

Коллеги, конечно, быстро обо всем узнали, так что его намерение уехать превратилось в секрет полишинеля. Больцмана сразу же забросали контрпредложениями, чтобы попытаться оставить его в Граце. В итоге он пересмотрел свое решение и написал в Берлин, что отказывается от должности из-за плохого зрения, которое к тому времени ухудшилось настолько, что вызывало беспокойство. Однако в Берлине не поняли или не захотели понять его доводы и ответили: пусть Больцман не беспокоится, они будут учитывать его состояние и вести себя соответствующим образом, они ни в коем случае не хотят упустить возможность сотрудничать с ним из-за чего-то подобного.

Ученый оказался в затруднительном положении, поскольку два университета, которым он дал слово, боролись за него. Для столь прямодушного человека, каким был Больцман, ситуация оказалась травмирующим опытом и спровоцировала нервный срыв. В конце концов он направил в Берлин окончательный отказ, приводя следующие доводы:

"Если бы я сейчас начинал свою деятельность в Берлине, это была бы новая область, математическая физика. [...] К настоящему времени я совершенно незнаком со многими обширными и значительными разделами математической физики. Когда я прибыл в Берлин, в пылу энтузиазма мне показалось, что восполнить недостаток соответствующих знаний мне будет гораздо легче, чем это есть на самом деле. (...) Кроме того, моя совесть не позволяет мне начинать работу со столь высокой должности без полноценного опыта в сфере, которую мне вверяют".

Было рассмотрено много мнений, почему он не принял кафедру в Берлине. Некоторые историки утверждают, что отказ был вызван тем, как плохо подходила личности Больцмана чересчур формальная манера общения немцев, что одной фразой выразила супруга Гельмгольца: "Уважаемый профессор, боюсь, вам будет некомфортно здесь, в Берлине".

Также были предположения, что решающим фактором была неуверенность Больцмана. В периоды своей депрессии он мог начать сомневаться во всем, даже в своих способностях в науке. Перед лекциями у него обычно были приступы сценического страха, несмотря на безупречную преподавательскую репутацию. Гипотеза неуверенности объясняет, почему спустя некоторое время после отказа от должности в Берлине в письме он сообщил Гельмгольцу, что изменил свое решение и считает возможным занять кафедру. Однако реакция немца была такой же холодной, как и его общение; позже Больцман объяснял, что не получил эту должность из-за отсутствия энтузиазма со стороны Гельмгольца. В одной из своих "Популярных заметок" он сетовал на этот счет:

"Некоторые коллеги полагали, что не стоило отказываться от берлинского предложения. И, конечно же, дело не в специализации. Каждый [...] может обрести вес и значимость благодаря своей пылкости и открытиям... Маленький механизм, который исправно трудится и на своем месте, способен совершать огромную работу".

В 1889 году его сын Людвиг Хуго умер от аппендицита. Горе способствовало развитию депрессии, к тому же Больцман винил себя в том, что недооценил опасность. В том же году не стало его сестры Хедвиг, которая жила с ними; всего лишь за пять лет он потерял трех членов семьи.

Из-за своих маневров в 1888 году он лишился поддержки в университете, где многие преподаватели расценили его действия как предательство. Атмосфера стала напряженной, и Больцман решил сменить обстановку. Он сообщил коллегам с других факультетов, что собирается покинуть Грац, и в итоге оставил этот австрийский город ради Мюнхена, заняв кафедру, о которой всегда мечтал, кафедру теоретической физики. На приеме, устроенном в его честь, в своей прощальной речи Больцман отметил, какое значение имела для него теория.

ИЗ МЮНХЕНА В ВЕНУ

В Мюнхене Больцман провел относительно спокойные четыре года. Он наслаждался вечеринками с пивом и беседами с будущим нобелевским лауреатом по химии Адольфом фон Байером (1835-1917) и другими коллегами, такими как эксперт по криогенике Карл фон Линде (1842-1934) и астроном Хуго фон Зелигер (1849-1924). Его лекции по теоретической физике имели большой успех, такой, что многие студенты переехали в Мюнхен только ради того, чтобы стать его учениками. Его опыт преподавания экспериментальной физики позволил ему читать предмет исключительным образом с привлечением механических моделей для иллюстрации абстрактных понятий вроде электромагнитной теории.

Но были у Мюнхена и отрицательные стороны. Баварское правительство не выплачивало пенсии университетским преподавателям, в результате конец некоторых из них был крайне печальным. Открывший закон об электрических цепях Георг Симон Ом (1789-1854) умер слепым и в нищете. Больцмана беспокоило здоровье: у него случались серьезные приступы астмы, зрение ухудшалось изо дня в день, до такой степени, что научные статьи ему уже читала Генриетта. Кроме того, он начал тосковать по родине, в чем признался Лошмидту в письме, отправленном незадолго до смерти последнего. В этом письме Больцман пытался восстановить отношения, давшие трещину в результате полемики, которую 15 лет назад они развернули вокруг обратимости.

В 1893 году умер Йозеф Стефан, учитель Больцмана, которого тот очень уважал. Венский университет сразу же связался с Людвигом и предложил вернуться в Австрию. Мюнхенский университет, в свою очередь, сделал ему контрпредложение, повысив жалованье и назначив ассистента; в итоге чаша весов склонилась на сторону Германии, хотя Больцман согласился остаться там всего на один год.

В 1894 году он получил степень почетного доктора Оксфордского университета. Учитывая тот авторитет, которым он пользовался в Англии, нет ничего удивительного в предоставлении ему подобной чести: его слава среди англосаксов контрастировала с ее отсутствием среди французских ученых. В том же самом году Венский университет решился на значительное усилие, чтобы материально заинтересовать Больцмана в принятии должности, для этого пришлось даже закрыть кафедру химии. Так что возвращение Больцмана в Австрию было триумфальным, и это подчеркивает репутацию, которой обладал физик в то время.

Тем не менее Вена оказалась не идиллическим местом, как на то надеялся Больцман. Одна из причин его неудовольствия заключалась в пассивности, безынициативности учеников, у которых не наблюдалось энтузиазма. Больцман жаловался другу Вильгельму Оствальду (1853-1932), с которым у него позже будет горячий спор, что иногда ему кажется, что он учитель средней школы, таково отношение его студентов к науке.

СПОРОВ ЭНЕРГЕТИКЕ

Но главным испытанием в Вене для него было противостояние Эрнсту Маху. Последний получил кафедру философии и истории в 1895 году и с первого момента очень критично высказывался по поводу идей Больцмана. Для понимания природы их столкновений нужно кратко остановиться на философии Маха, одного из самых влиятельных мыслителей: сам Эйнштейн был вдохновлен некоторыми его идеями, разрабатывая теории относительности. Философская позиция Маха была очень близка солипсизму (вере в то, что существует только та реальность, которая воспринимается через собственные ощущения), хотя его взгляды были гораздо более конструктивными и на самом деле совпадают со взглядами значительной части современного научного сообщества.

Согласно Маху, следовало ограничить число недоказуемых допущений, чтобы знание было как можно более воспринимаемым. На беду Больцмана это предполагало существование внешней реальности. Физика, говорил Мах, должна ограничиться исследованиями ощущений, которые являются единственной информацией, к которой человек имеет прямой доступ. Все отсылки к миру, лежащему в ее основе, недоказуемы и -"малоэкономичны", говоря терминами Оккама (принцип экономики Оккама устанавливает равенство условий, самое простое объяснение обычно оказывается правильным).

Так что несложно понять, почему Маха смущали атомы и, следовательно, вся работа Больцмана, который считал их само собой разумеющимися.

НЬЮТОН, МАХ И ЭЙНШТЕЙН

В ньютоновской физике пространство считалось абсолютным. То есть тела представляются движущимися в рамке (пространстве), которая находится в состоянии покоя и относительно которой измеряется все движение. Ньютон ввел понятие "абсолютного пространства", чтобы спасти закон инерции, согласно которому тело перемещается прямолинейно на постоянной скорости при отсутствии внешних сил.

Если бы пространство было относительным, было бы невозможно определить прямолинейное движение, поскольку у двух наблюдателей были бы различные представления об этом.

Так, наблюдателю, который будет стоять на земле, покажется, что поезд движется прямолинейно, но сидящему на карусели так уже не покажется. Единственный способ устранить проблему — это предположить, что наблюдатель на карусели ошибается и существует привилегированный наблюдатель, относительно которого измеряется все остальное движение. В случае с Ньютоном оно определяется по неподвижным звездам. Мах возразил против этой перспективы и сделал это раньше Эйнштейна. Мах утверждал, что инерция — это эффект распределения материи в пространстве. Один из способов понять его слова — представить, что произойдет, если внезапно все галактики подвергнутся ускорению влево. Увидит наблюдатель, парящий в космосе, как галактики движутся относительно него? Или он ничего не заметит, ускорившись вместе с остальной материей? По мнению Маха, правильным является второй ответ. Несмотря на то что специальная теория относительности Эйнштейна не согласовывалась с положениями Маха, поскольку в нее не включалось ускоренное движение, можно рассматривать общую теорию относительности как большой шаг: ускорения и гравитационные поля считаются равносильными, так что любой зритель, вне зависимости от типа движения, наблюдал бы одни и те же законы Вселенной.

Альберт Эйнштейн в 1921 году.

В атомной теории не только утверждалось существование внешнего мира, что отражало рассуждения Маха, но также предполагалось существование другого рода сущностей, еще более эфирных, атомов, которые были полностью оторваны от чувственного опыта. Под влиянием Маха родилась область физики, которая пыталась реализовать на практике принципы его философии. Она была предложена, среди прочих, большим другом Больцмана, Вильгельмом Оствальдом. Новая область получила название "энергетики" и была популярна в конце XIX века, однако потом ее забыли, когда существование атомов оказалось неоспоримо.

ВИЛЬГЕЛЬМ ОСТВАЛЬД

Вильгельм Оствальд считается одним из основоположников физической химии. Он внес значительный вклад в изучение катализа (ускорения химической реакции с помощью дополнительного соединения), химического равновесия и скорости реакции, за что получил Нобелевскую премию по химии в 1909 году. Помимо научной работы Оствальд занимался живописью и создавал собственные краски, также он поддерживал движение за внедрение международного языка, что привело его к изучению эсперанто. Он был сторонником социального дарвинизма, а также евгеники и эвтаназии.

В энергетике постулировалось, что все процессы Вселенной можно описать в виде энергетического взаимообмена. Сохранение энергии было известно уже с тех пор, как в середине XIX века о нем объявил Гельмгольц, и использовалось в качестве отправной точки Оствальдом и Георгом Фердинандом Гельмом (1851-1923) для создания новой теории. Энергетики утверждали, что масса и энергия — величины, которые сохраняются с течением времени, и предполагали, что эту дихотомию также удастся превзойти, так что в итоге останется только энергия. Преодоление различия между массой и энергией приведет, говорили они, к преодолению различия между духом и материей, поскольку оба могут быть поняты на основе одной и той же сущности. Единственное, что нужно было сделать, — это переформулировать всю механику таким образом, чтобы речь шла только об отношениях между энергией.

Эта одержимость энергией может показаться немного странной для того, кто, как Мах, скептически относился собственно к существованию мира. Разве энергия — не более призрачное понятие, чем понятие атома? Однако энергетики говорили, что все, что воспринимает человек, — это на самом деле энергетические взаимообмены: мы смотрим на картину, наши глаза обмениваются энергией с окружающим миром; когда мы говорим, что что-то теплое, наши руки получают информацию о температуре также в виде взаимообмена энергией.

Позицию Маха можно связать с эпистемологической деятельностью, аналогичной для некоторых членов современного научного сообщества, которые утверждают, что наука должна ограничиваться прогнозами о результатах экспериментов и что присутствие или отсутствие в основе реальности не является значимым вопросом. Так, когда человек поражается особенностям квантовой механики и ее кажущимся парадоксам, обычно ему отвечают, что образ, который лежит в основе теории, имеет наименьшее значение: все, что делает квантовая механика,— это предсказывает, что при некотором эксперименте будет получен определенный результат. Объекты теории (электроны, поля, фотоны) — математические уловки для нахождения правильного ответа, и их существование — вопрос веры.

Взгляды Больцмана несущественно отличались от взглядов Маха по этому вопросу. Несмотря на то что обычно его считают реалистом, он не возражал против того, что его атомы — это всего-навсего математическое средство, если только соперник признает, что речь идет о математическом средстве, подходящем для получения правильного ответа. Хотя эта уступка скорее объясняется его последней попыткой выиграть у сторонников Маха, чем его собственными взглядами на атомы.

Конфликт Больцмана с энергетиками заключался в том, что они, по его мнению, не способствовали "правильному" развитию науки: своими предположениями они не могли добиться более глубоких объяснений с меньшим количеством допущений, чем те, что проистекали из атомной гипотезы. Как утверждал он сам, энергетики даже не были способны описать динамику материальной точки, не говоря уже об огромном количестве результатов (в электромагнетизме и термодинамике), которые полностью ускользали от них. Однако их совсем не разочаровывали эти неудачи, скорее наоборот, они без смущения объявляли все остальное научное сообщество (включая Больцмана) устаревшим. Действительно, Мах обычно говорил о Больцмане как о "последнем столпе атомизма".

В конце 1890-х годов положение стало невыносимым для Больцмана, который чувствовал, что назревает битва, в которой он вполне мог понести поражение. Он опасался, что то, что он сам называл "варварством энергетизма" разрушит эффективность работы его жизни и подавит всю атомную теорию на долгое время. Так, в 1895 году Больцман попытался положить конец энергетике, участвуя в дебатах в Любеке, организации которых он сам способствовал. Оствальд представил свои идеи по теме в статье под названием "Преодоление материализма" и столкнулся с яростной атакой со стороны своего друга и коллеги. В этот момент возник жаркий спор между Оствальдом и Гельмом, с одной стороны, и Больцманом и Феликсом Клейном (1849-1925), с другой. Об этой дискуссии потом рассказывал немецкий физик Арнольд Зоммерфельд (1868-1951):

"Защитником энергетики был Гельм; за ним стоял Оствальд, а за ними обоими — философия Эрнста Маха (который не присутствовал). Оппонентом был Больцман, а его секундантом — Феликс Клейн. Битва между Больцманом и Оствальдом напоминала дуэль быка и ловкого тореадора. Однако на этот раз бык победил тореадора, несмотря на всю ловкость последнего. Аргументы Больцмана попали в цель. Мы все, молодые математики, были на стороне Больцмана; для нас было ясно, что невозможно, чтобы с помощью только одного уравнения для энергии можно было вывести уравнения движения или даже материальной точки, не говоря уже о системе с произвольным числом степеней свободы.

В защиту Оствальда я должен привести комментарий из его книги "Великие люди", в которой он называет Больцмана "человеком, чья наука превзошла нас по проницательности и ясности".

Стоит отметить, что Больцман, несмотря на его дискуссии с энергетиками, продолжал поддерживать связь со многими из них. Он дружил с Оствальдом, пригласившим его занять кафедру в Лейпциге, и у него были теплые отношения с Махом. Последний послал ему экземпляр своей последней книги 1905 года, на что Больцман ответил благодарственным письмом. Что касается студентов Венского университета, источники того времени уверяют, что те не были разделены на два лагеря, а почитали обоих учителей одинаково, считая себя одновременно последователями Маха и Больцмана.

СПОР С ЦЕРМЕЛО

Проблема энергетики все еще занимала значительную часть его времени, но в 1896 году в адрес Больцмана поступило намного более серьезное с научной точки зрения возражение; даже сегодня не до конца ясно, кто выиграл спор, хотя в научной практике нет сомнений в том, что это был Больцман. Новым соперником оказался Эрнст Цермело (1871-1953), позже ставший известным своей ролью в развитии теории множеств, в то время работавший ассистентом Планка.

Возражение, которое сформулировал Цермело, сегодня известно как "парадокс рекурсивности" и основывается на самом деле на теореме, провозглашенной Анри Пуанкаре (1854-1912) шестью годами ранее. Однако за открытие этой идеи следует воздать должное Фридриху Ницше (1844-1900), который за десять лет до того пришел к тем же выводам другими средствами. Немецкий философ верил в то, что стали называть "вечным возвращением", в идею, согласно которой Вселенная проходит через одно и то же состояние снова и снова, так что вся история существования точно повторяется бесконечное число раз.

ЭРНСТ ЦЕРМЕЛО

Самый значительный вклад немецкого математика Эрнста Цермело связан с аксиоматизацией теории множеств.

Теория множеств — это область математики, изучающая свойства множеств, и уже первые ее версии содержали парадоксы. Так, она давала противоречивые ответы на вопрос:

"Содержит ли множество всех множеств само себя?" Аксиоматизация состоит в том, чтобы сформулировать ряд утверждений, называемых аксиомами, которые не требуют доказательства.

На их основе можно вывести остальной теоретический корпус. Цермело создал аксиоматическую систему для теории множеств, которая была лишена противоречий. Его система, измененная несколькими годами позже Абрахамом Френкелем (1891-1965), породила систему Цермело — Френкеля, которая используется по сегодняшний день.

Утверждение Ницше не имело мистической природы и базировалось не на призрачных аргументах; он несколько лет изучал физику, чтобы обосновать свой принцип. И пусть его доказательство не обладает математической строгостью, как более позднее доказательство Пуанкаре, в общих чертах оно верно. Некоторые авторы утверждают, что на самом деле оно настолько же справедливо, как и доказательство Пуанкаре, но в распоряжении Ницше не было математических инструментов, необходимых для доказательства гипотезы, хотя не исключено, что это преувеличение. Ницше рассматривал вечное возвращение так:

"Если Вселенную можно расценивать как определенное количество энергии, как определенное число центров энергии, (...J то из этого можно сделать вывод, что Вселенная должна пройти через исчисляемое количество сочетаний [...]. В бесконечности, рано или поздно, все возможные сочетания должны были бы возникнуть; причем бесконечное число раз".

Использование термина "энергия" в анахроническом смысле делает формулировку Ницше сложной, но его аргумент прост: если существует ограниченное число материи (или энергии) во Вселенной и если она конечна в пространстве, тогда число возможных сочетаний материй обязательно конечно. Если время бесконечно, то сочетания обречены на то, чтобы повторяться бесконечное число раз. Подобное объяснение, но с использованием математических терминов, было дано Пуанкаре десять лет спустя. На рисунке показано это же утверждение: дискретная система, такая как множество из девяти квадратов, где один закрашен, имеет конечное число состояний и возвращается к начальному состоянию самое большее после прохождения через все возможные конфигурации.

Возражение Цермело Больцману заключалось в следующем: Больцман утверждает, что может доказать, что величина Н — энтропия с отрицательным значением — всегда уменьшается. Но в теореме Пуанкаре доказывается: при данном достаточном времени любое сочетание атомов снова повторится, и, значит, произойдет возвращение к изначальной энтропии. Следовательно, утверждение Больцмана не может быть верным.

Больцман, истощенный противостоянием энергетикам и слабым здоровьем, ответил довольно едко. Он начал свой ответ словами: "теорема Пуанкаре, на которой основаны комментарии Цермело, явно верна, но ее применение к теории тепла, сделанное Цермело, неверно". Для обоснования своего утверждения он привел следующие аргументы:

"Природа кривой Н (энтропии относительно времени), которую можно вывести из кинетической теории, такова, что если начальное состояние значительно отклоняется от распределения Максвелла, то оно будет стремиться к этому распределению с высокой степенью вероятности и в течение чрезвычайно долгого времени будет отклоняться от него только в невероятно малых количествах. Если подождать достаточно долго, начальное состояние рано или поздно снова возникнет, но время рекурсии столь велико, что нет никакой возможности когда-либо его наблюдать".

Больцман приходил к выводу, что "статья Цермело показывает, насколько неправильно были поняты мои работы; в любом случае, мне она приятна, так как, кажется, это первый признак того, что кто-то в Германии обратил на них внимание". Его ответ был ясен: Цермело прав в том, что начальная конфигурация повторится, но ошибается, думая, что это делает недействительной теорию, которую он развил. Теория Больцмана предсказывала не только эти повторения, но и то, что они будут происходить на таких больших промежутках, что их никогда нельзя будет наблюдать, поэтому на практике никто никогда не будет наблюдать уменьшения энтропии.

В этом основное различие между физиками и математиками. Доказательство Больцмана, имеющее вероятностную природу, не могло быть воспринято математиком адекватно: теоремы, следующие из определенного числа аксиом, не могут быть действительными иногда, они должны быть справедливы для любого случая. По этой причине, несмотря на то что никогда не было найдено четное число, которое нельзя было бы выразить в виде суммы двух простых чисел (знаменитая гипотеза Гольдбаха), математики не считают, что это так. Поэтому доказательство Больцмана, подходящее для физика, не могло быть принято математиком.

Больцман (в центр·) в кругу ученых, среди них Сванте Аррениус (справа от Больцмана), 1897 год.

Герман фон Гельмгольц, физик, уважаемый Больцманом.

Эрнст Мах, физик и философ науки, возглавивший энергетическое течение.

Больцман, вероятно, понимал это, потому что затем привел другой аргумент с более математическим оттенком, но более отдаленный от физической реальности. Он писал: "Если позволить числу молекул стремиться к бесконечности, а времени движения быть очень долгим, то в подавляющем большинстве случаев получится кривая, которая (...) постоянно приближается к оси абсцисс. Теорема Пуанкаре неприменима к этому случаю, как это можно легко заметить".

Больцман утверждал, что теорема Пуанкаре неприменима по той простой причине, что при наличии бесконечного числа молекул число их сочетаний становится бесконечным. Однако у его аргумента была проблема с тем, что, как сегодня известно (и тогда предполагалось с большой долей уверенности), число молекул небесконечно. Далее Больцман делал вывод, что несмотря на то что Цермело прав, утверждая, что движение периодично в математическом смысле, он ошибается, утверждая, что это противоречит его теореме. И добавлял: "Вывод, что нужно изменить механическую точку зрения, неверен. Этот вывод был бы оправдан, если бы сама механическая точка зрения приводила к какому-то выводу, противоречащему опыту".

Ближе к концу статьи Больцман как будто случайно затрагивает очень важный вопрос, ответ на который не получен до сих пор:

"Ответ на вопрос "Почему в настоящем окружающие нас тела находятся в таком невероятном состоянии?" не может быть дан, точно так же нельзя надеяться, что наука ответит на вопрос, почему существуют явления, которые действуют, следуя неким законам".

Больцман завершил статью приложением, в котором вычислил время рекурсии для газа в контейнере, где получался результат, превышающий возраст Вселенной и который он назвал "спасительно высоким".

Но полемика на этом не закончилась. В следующей статье Цермело подчеркивал, что, согласно Больцману, вероятность уменьшения энтропии при заданном начальном состоянии очень высока, что позволяет утверждать: кривая Н (представляющая Я относительно времени) выведена только для максимумов, а это, согласно Цермело, не имеет смысла.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕКУРСИИ

Время, за которое некоторый объем газа вернется к своей начальной конфигурации, относительно просто вычислить. В теореме Пуанкаре утверждалось, что система вернется к своему начальному состоянию максимум после того, как пройдет через все возможные состояния. Значит, для вычисления времени рекурсии нужно было определить количество возможных состояний и время, которое система пребывает в каждом из них; при перемножении этих величин получалось время рекурсии. Но Больцман слегка упростил условия Пуанкаре: вместо того чтобы требовать от системы возвращения точно в исходное состояние, он довольствовался тем, чтобы она вернулась в состояние, кажущееся ему достаточным. Он считал достаточным, если каждая молекула находится в кубе со стороной 10-6 см вокруг начального положения и имеет скорость, близкую на 1 м/с к той, что была у нее в начале. Для определения времени между различными конфигурациями Больцман учитывал число столкновений в секунду: каждый раз, когда две молекулы сталкиваются, система приходит в новое состояние. Зная число молекул, их скорость и свободное пространство, он пришел к выводу, что молекулы сталкиваются 4 · 108 раз в каждую секунду на молекулу, то есть 2 · 10^27 столкновений для всего газа. Тогда время, пройденное между состояниями, равнялось бы

1/(2 · 10^27) = 5 · 10-28 c.

В итоге он получил общее число конфигураций, сложив все возможные сочетания скоростей для всех частиц газа и предположив среднюю скорость в 500 м/с, то есть похожую на скорость, которой обладают молекулы воздуха при нормальных условиях. После умножения времени между конфигурациями на общее число возможных состояний он получил число с триллионами цифр. Больцман дал представление о его величине с помощью такого сравнения: "Допустим, у каждой звезды, видимой с помощью самого лучшего телескопа, имеется столько же планет, сколько и у Солнца, на каждой из них живет столько же людей, сколько и на Земле, и жизнь каждого из этих людей длится триллион лет; тогда общее число секунд, которое они все проживут, будет иметь менее 50 цифр".

В ответе Больцман исходил из комментария своей предыдущей статьи, он предполагал, что рост энтропии можно объяснить на основе начальных условий, где энтропия очень низка, и что речь идет о принципиально ином образе Вселенной, чем тот, что имеется на сегодняшний день (проблемы, происходящие из этой идеи, будут подробно рассмотрены в следующей главе). Больцман начал так: "Второе начало термодинамики может быть доказано на основе механической теории, если предположить, что Вселенная в современном состоянии или по крайней мере та ее часть, что нас окружает, начала эволюционировать на основе невероятного состояния, и она все еще находится в относительно невероятном состоянии".

Больцман наконец-то допустил, что была еще одна, дополнительная гипотеза в его доказательстве второго начала. Так же как в своих первых статьях он утверждал, что доказательство выводится из принципов механики, соединенных с теорией вероятностей, на этот раз он добавил к этим двум предположениям еще одно, очень значимое: Вселенная должна находиться в невероятном состоянии. Это было равносильно тому, чтобы выбрать начальные условия с временным смещением, и, следовательно, вместо того чтобы решать проблему оси времени (почему время идет от прошлого к будущему?), он перенес ее в другую сферу. Если раньше вопрос заключался в том, почему энтропия всегда увеличивается, то сейчас он имел вид: почему состояние Вселенной такое невероятное?

После достаточно долгого времени будут происходить случайные уменьшения энтропии.

Больцман попытался дать ответ на него в следующей работе, в которой предложил чрезвычайно любопытный образ космоса: "Можно представить себе, что Вселенная как нечто целое находится в состоянии теплового равновесия и, следовательно, мертва, но что есть локальные отклонения от равновесия, которые могут возникать в течение относительно короткого времени в несколько эонов.

Для Вселенной как единого целого нет различий между направлениями "вперед" и "назад" во времени, но для миров, где живые существа находятся в относительно невероятных состояниях, направление времени определено растущей энтропией, переходящей от менее вероятных состояний к более вероятным".

В этом абзаце содержатся две идеи, представляющие особый интерес: с одной стороны, идея вселенной как гигантской сущности в состоянии тепловой смерти, где наша Вселенная (всего лишь доля первой) — это только статистическая флуктуация; с учетом современных знаний о протяженности космоса, это утверждение звучит почти как фантазия для эпохи, когда космология находилась в зачатке. С другой стороны, Больцман показывал различие между психологическим и реальным временем и предположил, что первое задано ростом энтропии на неком участке, в то время как законы физики проводят различия между направлениями времени. Позже эта идея появилась у многих авторов, в связи как с познанием, так и с другими явлениями, например каузальностью.

Относительно своей модели Вселенной, предупреждая возможную критику, Больцман утверждал:

"Возражение, что неэкономно [то есть не является самым простым методом] и, следовательно, не имеет смысла представлять такую большую часть Вселенной мертвой для объяснения, почему столь малая ее часть жива, недействительно. Я хорошо помню человека, который отказывался верить в то, что Солнце находится в 20 миллионах миль от Земли, основываясь на том факте, что невозможно представить себе, что так много пространства, заполненного эфиром, и так мало пространства, заполненного жизнью".

Кроме этого раздела, умозрительного и перспективного, оставшуюся часть статьи Больцман посвятил ответу Цермело, хотя делал это столь высокомерно, что заявлял: "Мне абсолютно не понятно, как кто-то может отрицать применимость теории вероятностей, когда другой аргумент доказывает, что могут быть редкие исключения в течение периода в несколько эонов, а теория вероятностей показывает именно это".

Его защита основывалась на апологии теории вероятностей, а также разъяснении того, что она способна и не способна сделать. Больцман приводил в качестве примера пожары: если известно, что из 100000 объектов определенного типа 100 разрушается огнем каждый год, нельзя утверждать, что это произойдет на следующий год. Возможно, что в следующие 10000 лет все объекты сгорят в один день, а также что в течение веков ни один не будет поврежден. Но чтобы подчеркнуть невероятность этой ситуации, он отмечал: "Несмотря ни на что все страховые компании доверяют теории вероятностей".

БОЛЬЦМАН - ФИЛОСОФ

Кроме полемики с Цермело, Лошмидтом и энергетиками, Больцман также участвовал в различных философских дискуссиях. Работа в этой области в 1903 году привела его на кафедру философии в Венском университете, где он сменил самого Маха.

О связи Больцмана с философией можно сказать, что она была по меньшей мере двойственной: в одной из своих речей он говорил, что сначала смотрел на нее с "недоверием" и даже с "ненавистью" и отмечал: "Кстати, мою нелюбовь к философии разделяли почти все естественные ученые эпохи". У него было почти иррациональное отвращение к метафизике, с которой он ассоциировал сперва всю философию: другие философские идеи, к которым у него не было конкретных замечаний, он окрестил "методами". Сегодня их называют "философией науки".

Его низкая оценка философии происходила из его первого опыта в этой дисциплине, который оказался неудовлетворительным. В одной из речей на эту тему он пояснял: "Чтобы исследовать самые глубокие бездны, сначала я прочитал Гегеля; но с каким запутанным и бездумным потоком слов я столкнулся! Моя несчастливая звезда привела меня от Гегеля к Шопенгауэру". О последнем Больцман отзывался как о "дутом философе с пустой головой, невежде, распространяющем глупости", будто бы он "приводит в упадок умы, продавая пустословие". О Канте он заявлял следующее: "Да, даже с Кантом у меня возникла масса сложностей, ввиду такого количества понятий я начал подумывать, не насмехается ли он над читателем". Часть его проблем с Оствальдом происходила именно от того, что Больцман полагал, будто бы последний оставил естественную науку ради философии.

Позиция Больцмана относительно метафизики ясно видна в этом фрагменте его "Популярных заметок":

"Такие важные вопросы, как "откуда мы пришли?" и "куда мы идем?", уже рассматривались величайшими гениями в течение веков; они возвращались к ним снова и снова все более изящно, не знаю, успешно ли, в любом случае без какого-либо значительного или бесспорного прогресса. Прогресс такого рода был достигнут в нашем веке в результате тщательного изучения и сравнительных экспериментов в сфере выращивания голубей и других домашних животных [...]. Конечно, кажется, что все эти области исследования имеют второстепенное значение, но на их основе удалось добиться настоящих успехов, и они определенно создали почву для вторжения на территорию метафизики, обеспечив своей области уникальный прогресс в истории науки".

Несмотря на отвращение Больцмана к философии, особенно к метафизике, его вклад в этой области достоин внимания. Он смотрел на науку как на дарвиновский процесс. Больцман считал, что законы, которые он называл "мыслительными" (то, что сегодня считается "математической логикой"), возникли в результате естественного отбора и не были неизменными характеристиками Вселенной. В этом он солидарен с огромным количеством альтернативных логик, которые начали возникать через семьдесят лет и продолжали появляться в течение XX века. То есть для Больцмана вера в то, что если "А предполагает В", а "В предполагает С", то "А предполагает С", — это требование эволюции, в том смысле что такой ход рассуждений оказывается предпочтительным для вида, который им владеет, но это не значит, что он должен соответствовать действительности.

По моему мнению, спасение философии, возможно, заключается в теории Дарвина.

Людвиг Больцман

Представление искривленного пространства: углы деформируются, а параллельные линии прогибаются.

Дарвиновскую логику можно обнаружить также в другой его одержимости конца жизни, которая открыла дверь теории относительности Эйнштейна в ее двух версиях. Речь идет о поддержке Больцманом неевклидовых геометрий, разработанных в середине XVIII века и доказывающих, что могут существовать геометрические системы, в которых, например, углы треугольника не дают в сумме 180° и параллельные прямые пересекаются. Он говорил: "Предрассудок против неевклидовой геометрии и четырехмерного пространства также исчезает. Большинство людей до сих пор думают, что сумма углов треугольника должна составить 180°, но кто-то уже признал, что это привычные образы, от которых мы должны освободиться".

Это дарвиновское видение можно также найти в отношении Больцмана к прогрессу науки, в чем он опередил философов Карла Поппера (1902-1994) и Томаса Сэмюэла Куна (1922— 1996) на несколько десятилетий. Первый относился к науке как к прогрессу, в котором различные конкурирующие теории отметаются по результатам экспериментов, при этом ключевое понятие — "фальсифицируемость", то есть опровергаемость, возможность доказательства, что теория является ложной. Это видение научного прогресса сочеталось со взглядами Больцмана, для которого окончательная ценность теории состояла в ее практическом успехе, что он применял даже в разговорах об этике, утверждая: 4Если этика грозит упадком общества, которое к ней примкнет, она должна быть отвергнута".

НАУЧНЫЕ РЕВОЛЮЦИИ

Американский мыслитель Томас Кун опубликовал две работы, которые изменили традиционное видение истории науки: "Коперниковская революция" (1957) и -Структура научных революций" (1962). Вторая работа изначально появилась как статья для "Энциклопедии единой науки", имевшей отношение к Венскому кружку, движению, которое возникло после Больцмана, но испытало большое влияние его взглядов. Центральная идея Куна заключалась в том, что наука прогрессирует не только в том, что накапливает открытия, ею также движут прорывы, или, пользуясь его собственным выражением, "смены парадигм". "Парадигмой" называется доминирующая научная теория, в рамках которой любой ученый должен получать образование и проводить изыскания. Главное поле исследований формируют факты, которые теория пока не объяснила. Когда число необъясненных фактов очень велико, ученые начинают разрабатывать альтернативную теорию, которая в итоге побеждает, если имеет большую разъяснительную силу, чем предыдущая, то есть если она оставляет меньше необъяснимых фактов, чем предыдущая парадигма. Пример: отказ от аристотелевской геоцентрической парадигмы ради гелиоцентрических представлений, отстаиваемых Коперником. Однако к концу жизни Кун отдалился от собственных тезисов.

Томас Кун известен своим объяснением научного прогресса как ряда революций, вызванных несостоятельностью действующих теорий в объяснении новой серии фактов. Эту же самую идею можно встретить у Больцмана, который в некрологе по Стефану говорил следующее:

"Со стороны кажется, что к открытым понятиям и основополагающим объяснениям постепенно добавляются другие, и так непрерывно эволюционирует наше знание о природе. Но это представление ошибочно, поскольку теоретическая физика развивается скорее скачками. Нередко десятилетиями и даже веками теория разрабатывается, до тех пор пока не предложит полную картину некоторого класса явлений. Затем появляются новые экспериментальные противоречащие ей факты. Адепты старой теории тщетно пытаются провести параллели с доминирующей теорией, и возникает борьба между сторонниками старой теории и теми, кто предложил новую, пока последняя не станет главенствующей".

ОТЪЕЗД ИЗ ВЕНЫ

Постоянные дебаты, как физические, так и философские (особенно с Махом), в итоге сломили Больцмана, и без того ослабленного болезнями и страдающего от частых приступов депрессии. В 1900 году Оствальд предложил ему кафедру теоретической физики в Лейпциге, и Людвиг, не сомневаясь, ее принял, поскольку на него плохо действовала обстановка в Вене. Побег не дал ожидаемых результатов, и вскоре Больцман совершил первую попытку самоубийства.

До этого он некоторое время провел в психиатрической больнице, пытаясь восстановиться от напряжения, которое у него вызвал переезд. Причины падения духом могут быть разнообразными. Также их усугубило маниакально-депрессивное расстройство ученого. Непрерывная полемика, без сомнения, подкосила его, поскольку продолжилась в Лейпциге и стала настолько жаркой, что Маху пришлось вмешаться, чтобы унять его спор с Оствальдом. С другой стороны, с каждым днем ухудшалось зрение, и он страдал от частых головных болей и приступов астмы. Его состояние духа ни для кого не было секретом. Математик Клейн писал в ту пору: "Больцман болен, то есть он в глубокой депрессии". Генриетта жаловалась в письме своей дочери Иде: "Папе с каждым днем все хуже".

Переезд в Лейпциг оказался предпоследним в его жизни. Он также сказался на его публичном образе, особенно в глазах императора Франца Иосифа, которому не понравилось, что один из лучших ученых дезертировал в Германию. Вернувшись в Вену, Больцман столкнулся с такими трудностями и давлением, которые он уже не был способен вынести.

ГЛАВА 5

Наследие Больцмана

Самоубийство Больцмана стало финальной нотой в симфонии неудач и боли, которые составляли последний этап его жизни. Идеи, которыми пренебрегали в течение его жизни, в итоге были пересмотрены в первые десятилетия XX века. Его наследие сегодня включает в себя большой спектр областей знания (от статистической физики до космологии), в которых некоторые вопросы, оставшиеся открытыми, все еще с рвением обсуждаются в XXI веке.

Пятого сентября 1906 года Больцман повесился в своем летнем доме. Тело обнаружила его младшая дочь Эльза, которой тогда было пятнадцать лет. Она купалась вместе с матерью, в то время когда все это случилось. Больцманы решили провести каникулы в Дуино, в деревеньке под Триестом, известной своими замками на скалистых берегах и вдохновившей немецкого поэта Райнера Марию Рильке (1875-1926) на создание "Дуинских элегий".

Идея провести каникулы в Дуино принадлежала Генриетте. Она уже давно хотела посетить это место и, возможно, подумала, что смена обстановки благоприятно повлияет на подорванное здоровье мужа. Но состояние Больцмана все ухудшалось, что было вызвано как личными, так и профессиональными неудачами и особенно нервной болезнью, неврастенией, которая превращала любой неприятный эпизод в масштабное бедствие.

Предыдущие годы не были легкими для Людвига. Обстановка в Лейпциге оказалась такой же или даже более удушающей, чем в Вене, так что, взяв больничный, он начал искать возможности для переезда в родной город. Мах ушел на пенсию в 1901 году после инфаркта, так что главное препятствие для возвращения Больцмана исчезло. Однако все было не так просто. Начали распространяться слухи о его умственной несостоятельности, и многие коллеги думали, что он более неспособен вести занятия. Сам император недружелюбно отнесся к возвращению своего самого знаменитого ученого и вынудил его в письменной форме пообещать, что, оказавшись в Вене, он больше не покинет Австрию. Кроме того, министерство образования инициировало ряд психиатрических экспертиз, дабы убедиться, что интеллектуальные способности Больцмана в силе и он справится с работой.

Возвращение в Вену состоялось в 1902 году, когда он снова приступил к преподаванию теоретической физики; затем начал читать курс философии, за который до этого отвечал Мах. Его лекции по философии оказались очень популярными, и их так массово посещали, что студенты не вмещались в аудиторию. Сам император Франц Иосиф заинтересовался ими и даже пригласил Больцмана во дворец — честь, к которой ученый уже привык за грацский период.

Несмотря на все это, Больцман не был счастлив. Лекции по философии, сначала успешные, начали утрачивать силу, а затем и слушателей. С другой стороны, оппозиция атомной теории набрала такую мощь, что Больцмана уже считали последним ее адептом. Ощущение изолированности и непонимания нарастало. Кроме того, соперники, воспользовавшись его состоянием, пытались дискредитировать его, как в 1904 году это сделал его бывший друг Оствальд, заявив в ходе яростной атаки, что Больцман "неспособен принять хоть какое-нибудь решение, и это один из самых жалких из ныне живущих", и постарался связать отрицание Больцманом энергетики с его неврастенией.

Зрение окончательно покинуло его. До конца жизни приходилось нанимать ему секретаршу, чтобы та читала научные труды, а Генриетта записывала его статьи. Участились приступы астмы, также он страдал от грудной жабы. Появились носовые полипы, которые причиняли ему нестерпимую боль даже после операции, а хроническая бессонница обеспечивала ему непреходящую усталость. Его бывший ученик Алоис Хёфлер (1853-1922), навестивший его в 1906 году, вспоминал, что сам Больцман признался ему: "Я никогда не думал, что возможен такой конец".

Однако были и счастливые моменты. Больцман совершил три поездки в Америку, о последней он написал небольшую хронику, озаглавленную " Путешествие одного немецкого профессора в Эльдорадо". В ней он приводил много историй, некоторые из них были связаны с наукой, но в основном он описывал культурные различия между Европой и США. В этом дневнике Больцман предстает человеком добродушным, любителем поесть и выпить (особенно второе) и очень чувствительным. Он много писал о запрете на алкоголь в некоторых штатах, из-за этого запрета он попадал в невероятные ситуации, которые, по его мнению, демонстрировали лицемерие, царившее на новом континенте. Это лицемерие Больцман презирал и сам был чужд ему, вполне возможно, именно это сказалось на его трудностях в общении.

Колумб стал символом первооткрывателей. Его "всегда, всегда на запад" олицетворяет настойчивость, его "земля, земля!" — радость успеха, и всё его приключение — убежденность в том, что жизнь — это не главная ценность.

Людвиг Больцман, "Путешествие одного немецкого профессора в Эльдорадо"

Больцман также много внимания уделил еде; похоже, ему не слишком нравилась американская кухня, как это видно из описания банкета в доме Херстов, одной из самых влиятельных семей в стране. У Больцмана была склонность к полноте, над чем обычно посмеивались его студенты, говоря, что пространство искривляется, когда он входит. Эта шутка дает представление о том, насколько хорошо знакомы были его ученики с неевклидовой геометрией, что во многом способствовало пониманию общей теории относительности десять лет спустя. Действительно, связь между массой (Больцмана) и искривлением пространства, за десятилетие до того, как Эйнштейн сформулировал свою теорию, оказалась почти пророческой.

БОЛЬЦМАН В АМЕРИКЕ

"Путешествие одного немецкого профессора в Эльдорадо" — небольшой рассказ, в котором Больцман в приятной шутливой манере описал свои впечатления от посещения Калифорнии в 1905 году. Это была одна из его последних публикаций, и в ней Больцман очень непохож на того человека, который лишил себя жизни в Дуино год спустя. Юмористический настрой автора ощущается с первой же страницы: "В ресторане Северо-Западного вокзала я попробовал вполне пристойную жареную свинину, капусту с картошкой и выпил несколько стаканов пива. Моя память на числа, которая в других областях вполне удовлетворительна, всегда подводит меня, когда я считаю кружки пива". В эпизоде про путешествие в Нью-Йорк на корабле Больцман внезапно предстает сентиментальной личностью: "Как-то я рассмеялся, прочитав, как художник искал конкретный цвет в течение многих дней и ночей; теперь я уже не смеюсь. Я разрыдался, когда созерцал этот цвет в океане; как может простой цвет вызывать слезы!" О своем пребывании в Беркли он приводит много историй, которые помогают понять его самого, а также увидеть США того времени. Так, выделяется его описание госпожи Херст: "Нелегко объяснить европейцу, [кто это]. Это университет Беркли, точнее не сказать. В Европе alma mater — это идеализированная фигура, а в Америке это реальное лицо и, что важнее, у нее есть реальные миллионы долларов, часть которых она ежегодно выделяет на развитие университета". Говоря об основателях Стэнфорда, Больцман без колебаний рассказывает, как те сделали состояние, прибегнув к мошенничеству и политическим интригам, оплаченным налогоплательщиками.

Фиби Алперсон Херст.

Его лекции в Беркли имели относительный успех, хотя многие студенты жаловались на слабый английский знаменитого ученого, отмечая, что язык его "мягко говоря, беден". Его манера проявлять энтузиазм также не снискала больших похвал. Некий анонимный студент так прокомментировал тот эпизод: " У нас в Беркли не оценили манеры Больцмана, эту его смесь маниакального экстаза и претенциозной напыщенности".

В эти годы Больцман также писал статью для "Математической энциклопедии" своего друга Феликса Клейна, который поддержал его в дебатах 1895 года против энергетиков. В начале XX века немецкий математик принялся за реализацию проекта энциклопедии, в которой все математическое знание эпохи было бы изложено так, чтобы стало понятно любому специалисту. Предстояла упорная работа, как писал сам Больцман в "Путешествии одного немецкого профессора в Эльдорадо":

"Выжать все по-настоящему полезное из заумных трудов, отбросить незначительное, охватить все опубликованное и в то же время организовать информацию ясно и просто, чтобы читатели ее поняли, покажется ужасающей задачей для любого, кто изучал математические работы".

Сначала Больцман отказался, что было понятно, ведь его состояние не позволяло ему читать и писать. Клейн убедил друга словами: "Если не сделаешь ты, я поручу это Цермело". Угроза возымела должное действие: в итоге Больцман нанял помощника и продиктовал тому свою статью по кинетической теории.

В 1906 году физическое и психическое нездоровье Больцмана дошло до предела. Помимо всего упомянутого, он страдал от почечной недостаточности и синусита. Постоянные депрессии, которые выливались в сценический ужас перед лекциями, в итоге сделали его неспособным к преподавательской деятельности, от которой он был освобожден в том же году. Мах писал по этому поводу так:

"Больцман объявил о лекциях на летний семестр, но вынужден был отменить их, возможно, из-за своей нервной болезни. В информированных кругах говорят, что Больцман, наверное, никогда больше не вернется к преподавательской деятельности. Говорят, что ему нужен постоянный медицинский присмотр, поскольку он уже пытался покончить с собой".

Итак, его отъезд в Дуино можно рассматривать как последнюю отчаянную попытку восстановить здоровье и душевное равновесие, и этот план с треском провалился и привел к трагической развязке. Возможно, Больцман не видел в себе сил преподавать дальше, и с приближением даты возобновления лекций предпочел смерть унижению от признания собственной слабости. Как бы то ни было, непрерывные физические страдания делали его жизнь невыносимой и не способствовали улучшению его психического состояния. Самоубийство можно объяснить многими причинами, и преследование атомной теории — только одна из них. Его здоровье и склонность к депрессиям оказались главным механизмом.

Смерть Больцмана стала большим разочарованием для многих студентов, надеявшихся попасть на его курс, среди них был Эрвин Шрёдингер (1887-1961), один из родоначальников квантовой механики. На лекции, прочитанной им в 1929 году, идеи Больцмана он назвал своей "первой любовью" и добавил: "Никому больше не удалось настолько захватить меня".

Другим разочарованным студентом был Людвиг Витгенштейн (1889-1951), который потряс общественность своим "Логико-философским трактатом", а затем внес уточнения в свою теорию в "Философских работах". После окончания школы он собирался посещать лекции Больцмана, но в итоге стал изучать инженерное дело в Берлине, поскольку его планы были нарушены смертью австрийского ученого. Должно быть, Витгенштейна привлекала философия Больцмана, поскольку познания в математике в ту пору еще не позволяли юноше оценить его весомый научный вклад в этой области.

Больцман был похоронен в Вене, церемония была простой; на его могиле выгравировали формулу, которую он вывел в работе всей своей жизни, S = k log W. Согласно закону, открытому им, его тело рассеялось во времени, еще немного увеличив энтропию Вселенной.

ФЕЛИКС КЛЕЙН

Великого математика помнят в основном в связи с изобретением так называемой "бутылки Клейна", трехмерной версии ленты Мёбиуса. Бутылка характеризуется тем, что у нее нет ни внутренней, ни внешней частей, а также отсутствуют края. Кроме того, Клейн сделал важный вклад в теорию групп, на которой основывается ббльшая часть современной физики, и установил связи между ней и геометрией. "Математическая энциклопедия", созданием которой занимался Клейн, была крайне важным источником в течение первых десятилетий XX века.

ДЕБАТЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЕЙ БОЛЬЦМАНА В XXI ВЕКЕ

Больцман оставил обширное наследие, и понадобились десятилетия, чтобы полностью понять его. Аспект работы, который породил бесчисленное количество неправильных толкований и путаницы, — это его отношение к оси времени. В физике об оси времени говорят как о направлении, в котором оно идет вперед; то есть от прошлого к будущему. Законы Ньютона симметричны относительно временных инверсий: они делают одни и те же прогнозы для прошлого, как и для настоящего. То же самое справедливо, кроме некоторых тонкостей, для "стандартной модели", то есть современной доминирующей теории, которая пока не была заменена другой, лучшей.

Суть вызова заключается в том, чтобы объяснить временную асимметрию некоторых законов, симметричных относительно времени. То есть если наши законы природы не различаются в прошлом и будущем, почему между ними такая большая разница? Чтобы попытаться ответить на этот вопрос, необходимы догадки Больцмана, а также современные представления о физике частиц, гравитации и космологии.

СТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ

Стандартная модель несет в себе груз современных знаний о физике частиц и включает все известные силы, кроме гравитации.

Основная сущность стандартной модели — это поле, математический объект, который распространяется по пространству и связан с различными силами и частицами. Возбуждения различных полей — это элементарные частицы.

Сегодня в стандартную модель включены три силы: сильное и слабое ядерное взаимодействие и электромагнетизм. Каждая сила передается одной или более частицами, называемыми бозонами: в случае с сильным ядерным взаимодействием эта частица — глюон; в случае со слабым ядерным взаимодействием — это частицы W и Z; а в случае с электромагнетизмом — фотон. Слабое ядерное взаимодействие и электромагнитная сила могут быть рассмотрены как единое целое под названием электрослабое взаимодействие. Кроме бозонов, существуют другие частицы, фермионы, которые представляют собой большое разнообразие: с одной стороны, это кварки, которые в различных сочетаниях порождают протоны и нейтроны, составляющие атомное ядро; с другой — электроны, мюоны и тау-лептоны, частицы со схожими свойствами, но различной массой; и, наконец, существуют нейтрино трех типов (нейтрино электрона, нейтрино мюона и тау-нейтрино). Другая необходимая частица — это бозон Хиггса, которая отвечает за то, что частицы W и Z из слабого взаимодействия имеют массу. Бозон Хиггса был обнаружен в 2012 году в Большом адронном коллайдере.

Три поколения материи (фермионы)

После работы Больцмана и даже раньше, после Клаузиуса, казалось ясным, что временное направление к будущему — это то, при которым увеличивается энтропия, в то время как если рассмотреть факты в обратном порядке, можно увидеть ее уменьшение. С учетом этого соответствия между будущим и большей энтропией и прошлым и меньшей энтропией можно прийти к выводу, что прошлое и будущее на самом деле могут быть определены как те временные области, где энтропия уменьшается и увеличивается, соответственно. Тогда нет смысла задаваться вопросом, почему энтропия уменьшается в прошлом, поскольку прошлое — это, по определению, та область времени, где энтропия уменьшается. На последовательности, показанной на следующем рисунке, можно увидеть, как тесно субъективная мера времени связана с увеличением беспорядка.

Другой способ задать вопрос: во Вселенной должны быть области пространства-времени (пространства и времени, взятых как единое целое), в которых энтропия меньше, и другие, в которых она больше; обозначим первые как "прошлое", а вторые как "будущее". Асимметрия в этом случае будет вопросом терминологии.

Но у этого кажущегося решения есть несколько проблем. Первая: как доказал Больцман, энтропия — не основополагающая величина. То есть второе начало термодинамики, в котором утверждается, что энтропия всегда увеличивается, — это не принцип, справедливый сам по себе, а вторичное следствие из того факта, что материя образована атомами. Статистический подход Больцмана доказывает, что при некоем заданном состоянии оно будет стремиться эволюционировать к большей энтропии, то есть можно сказать, что оно будет стремиться оказаться в наиболее вероятной конфигурации. Но этот аргумент может быть применен как к прошлому, так и к будущему.

Мы подошли ко второму возражению, которое принадлежит австралийскому философу Хью Прайсу, который в настоящее время преподает в Кембриджском университете, возглавляя кафедру Бертрана Рассела. Хью Прайс стал известным, когда исправил самого Стивена Хокинга в статье об оси времени, опубликованной в журнале Nature, которая затем обсуждалась в журнале Scientific American. Прайс высказал предположения, скрытые в научных работах об оси времени, показав то, что он называет "двойным стандартом" физиков, говорящих о времени: поскольку основополагающие законы, управляющие частицами, обладают временной симметрией, любой аргумент, который можно применить к будущему, можно использовать для предсказания ровно того же самого в отношении прошлого. Самый яркий пример — это увеличение энтропии.

В статье 1877 года Больцман приходил к выводу, что энтропия должна всегда увеличиваться, поскольку большая энтропия означает наиболее вероятное состояние. То, что Вселенная всегда стремится находиться в наиболее вероятном состоянии, — это тавтология, из-за чего становится ясно, почему энтропия выше в будущем. Проблема описания Больцмана в том, что он не объясняет, почему энтропия меньше в прошлом. Все его рассуждение можно применить в обоих направлениях времени, с учетом обратимой природы законов Ньютона: это знаменитое возражение Лошмидта, который снова вступает в бой. Итак, кинетическая теория предсказывает, что энтропия должна увеличиваться не только в будущем, но также и в прошлом. В связи с этим объяснение оси времени в терминах энтропии проседает под собственным весом.

Однако кажется, что наблюдения доказывают, что энтропия была меньше в прошлом: яйца стремятся разбиваться, когда падают, а не отскакивать от пола и восстанавливаться. Но это экспериментальные данные, которые на самом деле, похоже, конфликтуют с теорией Больцмана. Единственный способ преодолеть эту трудность — перенести проблему, как он это сделал в статье 1877 года: предположить, что энтропия по какой-то причине была очень низкой в прошлом. Но это все же оставляет два нерешенных вопроса.

—Почему энтропия была такой низкой в прошлом?

—Почему существует такая большая временная асимметрия?

В предыдущей главе уже была показана попытка Больцмана разрешить этот парадокс, которая представляется интересной как из-за глубины изложенных в ней идей, так и ввиду того факта, что она проваливается на последнем этапе. Физик предполагал, что Вселенная состоит из огромной протяженности однородной материи, то есть находится в состоянии высочайшей энтропии, в которой время от времени возникают небольшие статистические флуктуации. При достаточном времени или достаточной протяженности обнаружится область, в которой появится вселенная, подобная той, что мы наблюдаем, в которой будут такие же существа, как мы. Любое живое существо должно обязательно находиться в организованной области, то есть с низкой энтропией: итак, тот факт, что мы живем в упорядоченной области, можно приписать тому, что мы не могли бы существовать больше нигде.

В своем предложении Больцман впервые использовал нечто, что получило название "антропный принцип", который стал популярным инструментом научного объяснения, но также и источником споров. Антропный принцип утверждает, что область Вселенной, которую мы наблюдаем,— это не любая область, а та, что, по определению, должна обладать необходимыми для жизни условиями. Это может использоваться для объяснения многих наблюдаемых характеристик, которые, похоже, сложно разъяснить другим способом.

Например, силы между элементарными частицами, похоже, имеют интенсивность, точно необходимую для образования атомов. Если бы электромагнетизм был немного сильнее, они не были бы стабильными, так что элементы не образовались бы, и не было бы в космосе людей, чтобы восхититься всем этим. Один из способов объяснения такого совпадения — предположить, что законы были запрограммированы на то, чтобы возникла жизнь; другой способ — предположить, что существует неизвестная причина, которая будет открыта, когда мы получим больше информации. Третья возможность — что существуют многочисленные вселенные, каждая со своими законами физики. Антропный принцип говорит, что мы должны находиться в той вселенной, условия которой совместимы с жизнью, по той простой причине, что в остальных вселенных нет разумных существ. Так, кажущаяся загадка объясняется как следствие из самого существования тех существ, которые задают вопрос. Антропный принцип был использован (и, как некоторые считают, дошло до злоупотребления) для объяснения большого числа явлений, которые иначе были бы таинственными. Он также лежит в корне многих попыток разъяснить происхождение оси времени.

Возвращаясь к статье Больцмана, можно увидеть, что тот не знал о проблеме двойных стандартов Прайса, поскольку его рассуждение применимо как к прошлому, так и к будущему. В однородной вселенной будут флуктуации меньшей энтропии, которые затем снова получат энтропию, пока не дойдут до максимума. Эти флуктуации необязательно должны развиваться от прошлого к будущему, они могут возникать в любом временном направлении. Больцман утверждал, что любой наблюдатель, находящийся внутри них, будет идентифицировать свое прошлое как область, где энтропия меньше, и свое будущее — где она больше. Итак, мы имеем локальное определение времени, в котором его восприятие зависит от области пространства, где мы находимся, и от направления изменения энтропии. Но посередине будет большая постоянная протяженность энтропии, отмеченная статистическими флуктуациями, и этот сценарий симметричен относительно прошлого и настоящего.

Карикатура на Больцмана, нарисованная его другом, физиком Карлом Пшибрамом.

Портрет Людвига Больцмана, 1902 год.

Могила Больцмана на кладбище в Вене. Формула, выбитая на ней, — это его Н-теорема, связывающая энтропию системы с числом микросостояний.

ПАРАДОКС БОЛЬЦМАНОВСКИХ МОЗГОВ

Попытка Больцмана, несмотря на то что он двигался в правильном направлении, провалилась. В этом случае теория вероятностей, обеспечившая ему такой успех, обернулась против него. В сценарии Больцмана была Вселенная в состоянии тепловой смерти (то есть однородной неизменной температуры), в которой появлялись флуктуации, и их можно было идентифицировать с наблюдаемой Вселенной. Вероятность того, что они появятся, была крайне низкой, но это уже не было проблемой, рано или поздно они должны были появиться. Поскольку люди могли существовать только в одной из них, было неудивительно, что человечество находится в области вселенной, вероятность которой намного меньше, чем у остальной вселенной. Так, космос можно было рассматривать как большую мертвую протяженность с небольшими (сравнительно) областями, в которых возник организованный порядок.

Проблема этого представления стала очевидной, когда начали сравнивать возможности. Например, можно было задаться вопросом, какова вероятность того, что вместо той Вселенной, которую мы наблюдаем, возник только Млечный Путь. Несмотря на то что вероятность очень мала, она на несколько порядков выше, чем вероятность возникновения всей вселенной. Чтобы увидеть, почему это так, достаточно привести аналогию с письмом.

Представим себе, что проводится эксперимент с обезьянами, которых сажают перед пишущей машинкой. Приматы станут нажимать на клавиши произвольно, производя километры нечитабельных цепочек символов. Однако время от времени будет возникать какое-нибудь узнаваемое слово. Если предположить, что обезьяны нажимают на клавиши абсолютно произвольно и что в их распоряжении только 26 букв латинского алфавита, мы можем вычислить вероятность того, что они напишут определенное слово. Например, чтобы получилось слово "aqua", нужно, чтобы первая буква была "а", у которой одна из 26 возможностей возникнуть; то же самое для следующей буквы, так что у сочетания "aq" будет возможность возникнуть, равная 26 в квадрате. Каждая новая буква разделит вероятность того, что будет получаться это слово, на 26.

Если дать обезьянам достаточно времени, в итоге рано или поздно они напишут "Британскую энциклопедию". Однако вероятность того, что это произойдет, равна 26, возведенным в степень количества символов, которые в ней содержатся. То есть она чрезвычайно далека. Вероятность получить слово "aqua", в сравнении с этим, хотя и очень мала, но невообразимо больше. Поскольку в "Британской энциклопедии" миллионы символов, пропорция между вероятностью того, что возникнет слово "aqua" или указанное произведение, будет числом с миллионами цифр.

Пропорция между вероятностью того, что возникнет галактика или целая вселенная, подобна той, что образуется между словом "aqua" и "Британской энциклопедией": первое невообразимо больше вероятно, чем второе. Итак, если бы живое существо должно было бы находиться в статистической флуктуации внутри вселенной в состоянии тепловой смерти, наиболее вероятно, что это произошло бы в отдельной галактике, а не во вселенной, подобной наблюдаемой.

Однако можно пойти дальше. Вероятность того, что возникнет только Солнечная система, а не Млечный Путь, намного больше, чем вероятность появления всей Вселенной, на самом деле несравнимо больше. Следуя этой линии рассуждений, можно дойти до минимальной совместимой с жизнью сущности, которую стали называть "больцмановским мозгом", хотя это выражение было введено спустя долгое время после его смерти, оно было предложено английским астрофизиком Артуром Эддингтоном (1882-1944) в 1930-е годы.

"Больцмановский мозг" — это разумное существо, возникающее в результате статистической флуктуации вселенной в состоянии тепловой смерти. Поскольку у целого тела намного больше атомов, чем только у мозга, второе намного более вероятно, чем первое, и они оба намного более вероятны, чем вселенная, подобная наблюдаемой. Итак, согласно модели, предложенной Больцманом, наиболее вероятно, что человек — это только мозг, возникнувший из-за статистической флуктуации во вселенной в состоянии тепловой смерти, и что все его воспоминания и ощущения ложны. Обратное почти невозможно.

Конечно же, никто в научном сообществе не верит, что это тот случай, так что тот факт, что некая теория предполагает большое число больцмановских мозгов, рассматривается как аргумент против нее. Проблема в том, что некоторые космологические модели, предложенные на сегодняшний день, дают в результате переизбыток больцмановских мозгов, из-за чего от них придется отказаться, если не будет найдено какое-либо решение в этом плане.

Кроме возражения, представленного выше, было еще одно, из-за которого вселенная Больцмана также не оказалась бы удачной, и это также связано с теорией вероятностей. Оно состоит в том, чтобы задаться вопросом, сколько различных "прошлых" породило бы Вселенную, которую мы наблюдаем сегодня. Когда мы видим разбитый стакан, мы предполагаем, что он упал на пол и что сначала он был целым. Точно так же, когда мы видим свет звезд и галактик, нормально думать, что он действительно исходит от светил, которые находятся далеко от Земли. Человеческий мозг создан таким образом, что предполагает, что воспоминания были вызваны прошлым, которое соотносится с ними, а не что они возникли спонтанно. Однако это необязательно должно быть так. Вера в то, что наиболее очевидное объяснение действующей конфигурации Вселенной в том, что она эволюционировала из состояния меньшей энтропии (более упорядоченного), входит в состав нашего набора инстинктов, но у нее нет причин соотноситься с реальностью.

Итак, если спросить себя, сколько возможных конфигураций порождает наблюдаемую Вселенную, оказывается, что ответ — это огромное число. Среди них большое число — беспорядочные конфигурации с высокой энтропией: так получается, поскольку наиболее энтропические конфигурации также самые вероятные. Прямой способ получить настоящее — это взять будущее состояние и инвертировать все скорости молекул и таким образом вернуться в актуальное состояние. Это совпадает с предложением Лошмидта, которое Больцман сразу понял.

Из всех этих рассуждений можно сделать вывод, что если только не постулировать временную асимметрию с самого начала, теория Больцмана предполагает, что наша Вселенная эволюционировала на основе состояния высокой энтропии. То есть несмотря на то что мы видим свет далеких звезд и галактик, это всего лишь огромное совпадение: статистические флуктуации околоземного пространства создали сценарий, согласно которому кажется, что Вселенная началась с Большого взрыва (Big Bang) и в течение 15000 миллионов лет эволюционировала, чтобы дойти до современного состояния, но на самом деле наблюдается лишь продукт аномалии, происходящей от вселенной с чрезвычайно высокой энтропией, которая по случайности породила наблюдаемый сценарий. Точно так же воспоминания каждого индивида не являются реальными, это всего лишь продукт случайности, спонтанной организации мозга, которая вызывает веру в прошлое, которого никогда не существовало.

От этих выводов может закружиться голова. Человеческий мозг настолько настроен на то, чтобы рассуждать с позиции асимметрии времени, что почти автоматически возвращается к этому образу мысли. Парадоксы, к которым ведет видение "начиная с никакого момента", как его называет Прайс, сложны для понимания и еще более сложны для углубления в них из-за этой перекошенной конфигурации. Поэтому нет ничего удивительного в том, что ученые один за другим (включая Больцмана в некоторых случаях) попали под временной уклон, не осознавая этих асимметрических предположений, которые они благоразумно считали очевидными.

ТЕОРИЯ СТРУН

Теория струн возникла при попытке примирить теорию квантовой механики и общую теорию относительности; квантовая механика и специальная теория относительности уже были объединены в стандартной модели физики частиц. В теории струн частицы больше не считаются точками, а описываются как небольшие струны (отсюда название) очень маленькой длины. Они могут быть замкнутыми, как петля, или открытыми. Использование струн вместо точек, как в стандартной квантовой теории, решает различные математические проблемы, которые приводят к бесконечностям при попытке осуществить вычисление. Теория струн считается жизнеспособным кандидатом для объединения квантовой механики и общей теории относительности, поскольку предсказывает существование частицы, гравитона, обладающей характеристиками, необходимыми для появления гравитационного взаимодействия. В стандартной модели две частицы взаимодействуют в одной точке, как на изображении слева. В теории струн точечные частицы заменяются петлями струн, как показано на изображении справа. Тот факт, что взаимодействие уже происходит не в вершине, а на протяженной площади, решает многие математические проблемы.

Идеальный пример — это состояние молекулярного хаоса, которым воспользовались как Больцман, так и Максвелл в нескольких статьях о кинетической теории: предположение о том, что скорости двух молекул не связаны до столкновения, однако связаны после него, предполагает временной предрассудок, из которого следует асимметрия второго начала. Если бы ученые предположили обратную гипотезу (скорости связаны в прошлом, но не связаны в будущем), они бы получили инвертированное второе начало термодинамики, где энтропия возрастала бы к прошлому, а не к будущему.

Диаграмма эволюции Вселенной, начиная с Большого взрыва. Временная асимметрия видна очень четко. Это изображение, предложенное НАСА, иллюстрирует знания о Вселенной, полученные благодаря спутнику WMAP, который измерил остаточное излучение Большого взрыва с беспрецедентной точностью.

ПРОБЛЕМА ВРЕМЕННОЙ АСИММЕТРИИ СЕГОДНЯ

Сегодня проблема временной асимметрии остается, хотя было осуществлено несколько немного умозрительных попыток решить ее. Теория струн, главный кандидат сегодня на замещение устаревшей стандартной модели, кажется, усугубляет ситуацию, а не улучшает ее.

Спустя некоторое время после смерти Больцмана была предложена теория Большого взрыва, которая утверждала, что Вселенная возникла на этапе большой плотности и температуры и быстро расширилась от того состояния до современных размеров. Идея Больцмана о Вселенной в состоянии тепловой смерти была оставлена в пользу современной космологии, в которой космос рассматривается как динамическая сущность, прошедшая через многие фазы и направляющаяся, согласно последним экспериментальным результатам, также к тепловой смерти из-за ускоренного расширения.

ВСЕЛЕННАЯ ГОЛДА

Вселенная Голда — это космологическая модель, предложенная Томасом Голдом, в которой энтропия начинает уменьшаться, как только Вселенная достигает максимального размера. Преимущество этой модели заключалось в симметричности с точки зрения времени, таким образом исключается необходимость объяснять низкую энтропию в прошлом. Однако не было ясно, какой механизм способен заставить материю вернуться в состояние более низкой энтропии, и поэтому вселенная Голда не входит в состав космологии, принятой сегодня. Как показано на рисунке, для вселенной Голда характерна идеальная временная симметрия.

Однако теория Большого взрыва не решала проблему энтропии. С учетом симметрии лежащих в основе законов, все еще существовала необходимость объяснить, почему на одном временном конце Вселенная находилась в состоянии чрезвычайно низкой вероятности (Большой взрыв), в то время как на другом она была в состоянии очень высокой вероятности. В качестве ответа на эту проблему Томас Голд (1920-2004) предложил модель, в которой Вселенная расширяется от изначального Большого взрыва, пока не доходит до максимального размера, после которого начинает сжиматься, пока не доходит до Большого сжатия (Big Crunch), где вся материя сокращается до одной точки.

РОДЖЕР ПЕНРОУЗ

Работа сэра Роджера Пенроуза, так же как и работа Стивена Хокинга (р. 1942), помогла заложить основы общей теории относительности Эйнштейна, особенно в том, что касается знания о черных дырах и идеи, что Вселенная должна была начаться с состояния, в котором плотность материи становится бесконечной и законы физики перестают действовать. Пенроуз также разработал теорию твисторов, альтернативный способ представления релятивистского пространства-времени, который облегчает многие вычисления. Он также изобрел невозможные геометрические формы, такие как треугольник Пенроуза, который вдохновил художника Маурица Корнелиса Эшера (1898-1972) на создание знаменитых литографий. Кроме физики и математики, Пенроуз совершил значительное вторжение в область философии разума. Пользуясь теоремами математической логики, он утверждает, что человеческий разум невозможно смоделировать с помощью компьютера.

Роджер Пенроуз (р. 1931) предложил другое решение, в котором Вселенная в своем конечном состоянии производит новый Большой взрыв. В его предложении к концу жизни космоса материя настолько разжижена, что ее распределение можно считать однородным, то есть одинаковым во всех положениях и направлениях пространства. Из-за однородности становится возможным изменение масштаба, что означает переоценку размеров, так что огромное расстояние точно соответствует крошечному. Итак, Вселенная в состоянии тепловой смерти максимального размера и энтропии точно соответствует Большому взрыву, где как размер, так и энтропия минимальны. Таким образом, космос будет проходить через множество циклов, в которых расширение порождает следующее расширение, без начала и конца.

Модель Пенроуза повлекла за собой множество неподтвержденных прогнозов, таких как излучение микроволн — электромагнитного излучения, которое пропитывает всю Вселенную. На данный момент его предложение представляется удачной попыткой, но кажется, что оно не вытеснит доминирующую теорию.

РИС. 1

РИС. 2

Другое предположение, призванное исключить проблему временной асимметрии, было высказано Шоном Кэрроллом (р. 1966) в 2004 году вместе с тогда еще аспиранткой Дженнифер Чен. Кэрролл предположил, что Большой взрыв — это всего лишь результат статистической флуктуации Вселенной в состоянии тепловой смерти. Однако вместо того чтобы рассматривать спонтанное создание всей Вселенной, как в модели Больцмана, он сосредоточился на появлении некой особенности, способной породить космос. Из-за того что размер этой особенности намного меньше размера больцмановского мозга, она намного более вероятна, чем последний, так что проблемы больцмановских мозгов не возникало. Загадка о том, почему энтропия так низка в прошлом, также была решена напрямую: несмотря на то что Вселенная, из которой она возникает, имеет очень высокую энтропию, энтропия области, в которой случится следующий Большой взрыв, чрезвычайно мала из-за ее размера. Итак, общая энтропия продолжит увеличиваться (с учетом "материнской" вселенной и "дочерней" вселенной), но, несмотря на это, обитателям "дочерней" вселенной покажется, что начальное состояние будет иметь очень низкую энтропию (см. рисунок 1).

Модель Кэрролла считается сильно умозрительной даже им самим, и нужно будет дождаться новых достижений в космологии и физике частиц, чтобы узнать, верно ли его предположение. Однако все эти попытки показывают, что ящик Пандоры, открытый Больцманом, все еще распахнут и ждет, пока кто-нибудь даст окончательное объяснение временной асимметрии. На данный момент физики продолжают пользоваться понятийным аппаратом Больцмана в его варианте, и он продолжает давать адекватные ответы на все вызовы, которые ему бросают.

БИТВА МЕЖДУ МАХОМ И БОЛЬЦМАНОМ В XX ВЕКЕ

Хотя атомизм казался умирающей теорией в конце XIX века, в то время как энергетика побеждала в академических кругах, начало XX века все изменило. Значительная часть ответственности за этот поворот лежит на Альберте Эйнштейне, который в одной из своих знаменитых статей 1905 года объяснил "броуновское движение" на основе атомной гипотезы.

Броуновское движение было открыто биологом Робертом Броуном (1773-1858), когда тот наблюдал в микроскоп за движением пыльцевых зерен в жидкости. Броун понял, что они следуют произвольной траектории, и нет никакого признака того, что могло бы ими двигать. На рисунке 2 показано броуновское движение частицы, смоделированное с помощью компьютера.

Для Эйнштейна объяснение этого явления было очевидно. Если предположить, что жидкость состоит из молекул, движущихся на большой скорости в произвольных направлениях, казалось ясным, что пыльцевое зерно будет подвергаться непредсказуемым воздействиям, которые будут бросать его в разных направлениях. Тогда тип траектории должен зависеть от частоты воздействий и средней скорости и массы частиц жидкости. Прогнозы Эйнштейна были подтверждены в 1913 году физиком-экспериментатором Жаном-Батистом Перреном (1870-1942), за это открытие он получил Нобелевскую премию по физике в 1926 году.

Последующее развитие квантовой механики нанесло последний удар по энергетике и окончательно закрепило атомные идеи Больцмана. В течение XX века было выяснено, что атомы не только бесспорно существуют, но они также состоят из других, еще более элементарных частиц. Эти новые открытия противоречили первоначальному атомизму Демокрита, но не атомизму Больцмана и Максвелла, ученые ограничивались утверждением, что материя состоит из атомов, но ничего не говорили об их неделимости.

Квантовая механика также послужила тому, чтобы придать более прочные основания вероятностной теории Больцмана. Как было показано в предыдущей главе, он опередил свое время, пользуясь дискретизацией энергии при расчете числа возможных микроскопических состояний для некоего макроскопического состояния. Эта уловка помогла ему посчитать состояния, не сражаясь с бесконечными величинами, а еще избежать эргодической гипотезы, согласно которой частица должна пройти через достаточное время через все возможные значения энергии.

Квантовая механика прояснила, что уловка Больцмана не была уловкой, что речь идет о важном свойстве природы. Энергия атомов дискретна и не может принимать любое значение; то же самое справедливо для электромагнитного излучения черного тела, как выяснил Планк, или для колебаний твердого тела. Эту дискретизацию назвали "квантизацией", словом, которое происходит от названия самой важной теории XX века, наряду с теорией относительности Эйнштейна.

ЭКСПЕРИМЕНТ С ДВОЙНОЙ ЩЕЛЬЮ

Связь между квантовой механикой и вероятностью идеально показана в эксперименте с двойной щелью. Он состоит из источника частиц, обычно электронов, первого экрана с двумя маленькими щелями и второго экрана, о который ударяются электроны после прохода через одну из щелей, как показано на рисунке. Замечено, что если испускать электроны по одному, невозможно предсказать, где произойдет удар; но при накоплении тысяч ударов наблюдаемая модель — такая же, как и та, что выдают две волны, взаимодействующие между собой. Однако вначале электроны не могут взаимодействовать друг с другом, поскольку они испускаются по одному. Но тогда откуда получается модель интерференции? Квантовая механика отвечает, что интерферирует волновая функция электрона, в которой содержится вся информация о вероятности частицы находиться в том или ином состоянии. Только при наблюдении, когда электрон ударяется об экран, эта волновая функция "рушится" и дает определенное значение. То есть в квантовой механике взаимодействия между частицами описаны их волновой функцией, которая является всего лишь выражением вероятности того, что они будут находиться в том или ином состоянии; точнее, это ее квадратный корень. Итак, вероятность оказывается основополагающим понятием теории, поскольку именно она вступает во взаимодействие и интерферирует.

Другим аспектом, оправдывающим методы Больцмана, было использование вероятностей. Это рассматривалось Больцманом как способ работы с огромными множествами частиц, которые по-другому никак нельзя представить математически. С приходом квантовой механики вероятность стала играть главную роль, перейдя из царства больших скоплений атомов в царство отдельных частиц. Было обнаружено, что поведение материи в небольшом масштабе непредсказуемо, точнее говоря, его можно предсказать только в статистическом виде. Кроме того, эта произвольность не связана с отсутствием информации или недостатком используемого оборудования, это характерное свойство материи.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Специальную теорию относительности Эйнштейна можно свести к двум постулатам: во-первых, два наблюдателя, которые движутся друг относительно друга на постоянной и равномерной скорости, будут наблюдать идентичные законы физики, а во-вторых, скорость света постоянна и равна с для любого наблюдателя. Требование, чтобы скорость света была постоянной, обязывает полностью переформулировать традиционное видение пространства и времени. Простой способ убедиться в этом — провести мысленный эксперимент: устанавливаются два параллельных зеркала, и фотон (частица света) "путешествует" между ними обоими, как показано на рисунке 1. Для неподвижно стоящего наблюдателя, если оба зеркала разделены расстоянием d, время t, за которое фотон преодолеет расстояние между ними, равно t = d/c, то есть расстоянию, разделенному на скорость света. Однако теперь предположим, что наблюдатель перемещается относительно зеркал на некоторой скорости v в левую сторону. Тогда он будет наблюдать, что зеркала движутся вправо относительно него, как показано на рисунке 2. Расстояние, пройденное зеркалом за время t', замеренное наблюдателем в движении, равно vt'. Но теперь фотон не проходит расстояние d, он проходит по гипотенузе треугольника со сторонами vt' и d. Это расстояние будет равно:

Воспользовавшись отношением d' = ct' и возведя обе стороны в квадрат, получаем:

(ct)2 = (ct)2 + (vt')2.

Если переписать уравнение и выразить t', в итоге получается формула временного растяжения:

Итак, мы видим, что время, обозреваемое вторым наблюдателем, больше, чем время, обозреваемое первым, несмотря на то что речь идет в точности об одном и том же событии. Подобные рассуждения приводят к выводу, что длины также не остаются постоянными, а изменяются в зависимости от скорости наблюдателя. Эффекты относительности начинают значительно ощущаться при скоростях, близких к скорости света, в то время как их практически не существует в повседневной обстановке.

РИС. 1

РИС . 2

Статистическая физика Больцмана была идеально определена в свете новой теории: для множества молекул в сосуде существует конечное число сочетаний для их значений энергии и положений, заданное ограничениями, которые накладывает квантовая механика. Результат столкновений действительно произволен, так что использование вероятности полностью оправдано. На самом деле введение квантовой механики также решало другие проблемы, такие как эргодическая гипотеза: поскольку существует конечное число возможных значений энергии, становится ясно, что рано или поздно молекула пройдет через них все.

Кажется, что этот сценарий означает полную победу Больцмана над Махом, но во второй половине XX века вскрылись некие неожиданности, из-за которых чаша весов, по крайней мере слегка, наклонилась в сторону последнего.

Изменение пришло из-за попытки "примирить" квантовую механику и специальную теорию относительности Эйнштейна. В последней пространство и время рассматриваются как часть одного и того же корпуса, называемого "пространство-время", в котором происходят все события во Вселенной. Одним из самых вызывающих прогнозов теории Эйнштейна было то, что один и тот же факт мог проявляться по-разному с позиции двух наблюдателей, которые будут двигаться с разной скоростью. Например, человек, который поедет на поезде, измерит длину своего вагона и получит в результате сто метров, в то время как человек, который поедет со скоростью, близкой к скорости света, получит меньший результат. Это логическое противоречие оказалось верным и было подтверждено экспериментально во многих случаях; на самом деле работа спутников GPS во многом построена на нем.

Теория относительности Эйнштейна также знаменита формулой E = mc2, согласно которой масса и энергия соотносятся и могут трансформироваться одна в другую. Это перекликалось с идеями Маха и, казалось, противоречило концепции Больцмана. Тот факт, что два наблюдателя могут получить разные результаты измерения в зависимости от скорости, стал вызовом для недавно зародившейся квантовой механики. Это было связано тем, что сама энергия частицы также зависела от скорости, на которой наблюдатель двигается относительно нее. Из-за соответствия между массой и энергией одна и та же масса частицы, казалось, меняется, когда ее наблюдают с позиции различных скоростей; действительно, если переместиться с достаточно большой скоростью относительно нее, то этой энергии будет достаточно, для того чтобы создать одну или более частиц той же массы. То есть там, где один наблюдатель видит только одну частицу, другой может увидеть тысячи, в зависимости от их относительных скоростей.

Это условие было очень сложно применить к квантовой механике, которая основывалась на так называемом уравнении Шрёдингера, предложенном им самим для описания поведения электронов и атомов, которое относилось только к одной частице. Решение пришло с введением понятия "поле". Поле — это некая абстрактная сущность, которая распространяется по пространству и которая сначала ассоциировалась с неким типом силы. Идея поля была разработана, чтобы преодолеть ньютоновское понятие действия на расстоянии, которое вызывало некоторое философское беспокойство у ученых с момента его появления. Вместо него было высказано предположение, что тело (например, Земля) создает вокруг себя нечто, называемое "гравитационным полем", невидимую сущность, которую можно было наблюдать только по тому действию, которое она производила на другие тела, погруженные в него. Любой объект внутри гравитационного поля Земли чувствует на себе силу притяжения к планете, которая зависит от его расстояния до ее центра.

Другое классическое поле (в том смысле, который имелся до развития квантовой механики) — это электромагнитное поле. Магнит создает магнитное поле вокруг себя, и его действие изменяет ориентацию всех магнитов в нем; точно так же электроны в атоме вращаются вокруг ядра, благодаря действию электрического поля, которое создают его протоны.

Квантовая механика взяла классическое понятие поля и приспособила его к новой реальности, где энергия дискретна, а поведение материи вероятностно. В этом новом свете частицы стали считаться маленькими возбуждениями поля, имеющими некоторые характеристики (такие как масса или заряд), определенными самой квантовой природой поля. Электромагнитное поле, например, порождает фотоны, частицы, которые каким-то образом передают электрическую силу и должны рассматриваться не как фундаментальные сущности, а как выражение лежащего в основе электромагнитного поля, которое проявляется в маленьких возбуждениях, ведущих себя как частицы.

После этого концептуального скачка другие сущности объединились в понятии поля. Сами электроны были описаны как возбуждение другого поля, окрещенного "полем Дирака", поскольку его открыл английский физик Поль Дирак (1902— 1984). Его теория также предсказывала существование другой частицы, которую он назвал "позитрон", поскольку это была копия электрона с противоположным зарядом. Никто не воспринимал это всерьез, пока в 1932 году ее не открыл Карл Андерсон (1905-1991), что дало стартовый сигнал квантовой механике полей, которая сегодня превратилась в большого теоретического монстра под названием "стандартная модель", это наиболее успешная когда-либо существовавшая физическая теория; ее самая недавняя победа — открытие в 2012 году бозона Хиггса, частицы, которая необходима для правильной работы теории и которую до того дня не могли наблюдать.

В сегодняшней картине спор Больцмана — Маха дает ничью: с одной стороны, Мах был прав, утверждая, что любая материя — это энергия, и даже в некотором смысле отрицая существование атомов (по крайней мере в качестве основополагающих конструктов); с другой стороны, Больцман был прав, представляя материю в несколько квантизованном виде, не непрерывной, а дискретной, и рассматривая теорию вероятностей в качестве отправной точки. Можно сказать, что на самом деле в споре победили факты, и природа оказалась намного более утонченной, чем мог предположить какой-либо ученый XIX века.

Но зато становится ясно, что вся физика XX и даже XXI века несет в себе наследие Больцмана: живы его методы и его идеи в сфере термодинамики; живы споры, которым он посвятил себя, и его тонкие догадки о природе времени. Также живы достижения поколения великих физиков и химиков, которых он обучал и чьи имена постепенно появлялись в этой книге. Больцману не удалось преодолеть неврастению, и он сдался, как раз когда мог бы начать наслаждаться своим вкладом; можно сказать, что ему не удалось пережить самого себя. После него остались семья, научное наследие и боль, большая, чем он сумел вынести. После этого полноватого жизнелюба осталось намного больше, чем надгробие с выбитой на нем формулой: осталась научная работа, наводящая на размышление и (почему бы и нет) вызывающая улыбку.

Список рекомендуемой литературы

Atkins, Р., Las cuatro leyes del universo, Barcelona, Espasa, 2008.

Boltzmann, L., Escritos de mecdnica у termodindmica, Madrid, Alianza Editorial, 1986.

Carnot, S., Reflexiones sobre el poder motriz del fuego, Madrid, Alianza Editorial ,1987.

Carroll, S., From eternity to here: the quest for the ultimate theory of time, Nueva York, Dutton, 2009.

Gamow, G., Biografta de la ftsica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Gribbin, J., Historia de la ciencia, 1543-2001, Barcelona, Critica, 2003.

Kuhn, T.S., La estructura de las revoluciones cientificas, Madrid, Fondo de culture economica, 1981.

Penrose, R., Ciclos del tiempo: una extraordinaria nueva vision del universo, Barcelona, Debolsillo, 2011.

Sanchez Guillen, J., L.E. Boltzmann, el cienttfico que se adelanto a su tiempo, el hombre que lo vivio intensamente, Zaragoza, Prensas Universitarias de Zaragoza, 2009.

Schneider, E.D. y Sagan, D., La termodindmica de la vida: ftsica, cosmologia, ecologta у evolucion, Barcelona, Tusquets, 2008.

Указатель

Н-теорема 13, 50, 56, 61, 64, 73

Авогадро число 45

аксиоматизация 110

антропный принцип 135, 136

Аррениус, Сванте 9, 71, 113

атомная теория 8, 9,11, 12, 13, 19, 29, 31-35, 37, 40, 56, 73, 105, 108, 126, 130, 146

Бернулли, Даниил 42, 44

беспорядок 8, 9,65, 90, 91, 94, 133, 140

Бойль, Роберт 21, 22

Больцман Артур 95

Ида 95, 122

Людвиг Хуго 13, 95, 102

Эльза 95, 125

Больцмана принцип 90

распределение 13, 48, 57, 59, 64, 79, 82, 84, 85, 87, 89, 91, 112

уравнение 13, 35, 42, 56, 59-61, 90, 108

больцмановский мозг 138-141, 145

Большое сжатие 144, 145

Большой взрыв 63, 142-145

броуновское движение 147

Бунзен, Роберт 54, 55

Бунзена горелка 55

вечное возвращение 109, 110

временная асимметрия 58, 131, 134, 135, 140-146

Гаусс, Карл Фридрих 48

Гей-Люссак, Жозеф Луи 22, 24, 28

Гельм, Георг Фердинанд 106, 108

Гиббс, Джозайя Уиллард 89

Голд, Томас 143, 144

Голда вселенная 144 Гук, Роберт 22

Дарвин, Чарльз 9, 11, 106, 119, 120

двойной временной стандарт 134, 136

Джоуль, Джеймс Прескотт 21, 26-28, 30

Дирак, Поль 152

Дирака поле 152

дискретизация 64, 82, 84, 147, 148

длина свободного пробега 44

Доплер, Кристиан 38, 39

живая сила 82, 84, 85

закон сохранения энергии 26, 30, 33, 106

значение соответствия 31, 42

Институт физики на улице Эрдберг 38-41

Карно, Николя Леонар Сади 20, 23-26, 29, 30, 32, 42, 43

машина 24, 26, 30, 32, 42

цикл 24, 29, 43

квантизация 148

квантовая механика 8, 12, 40, 49, 53, 63, 64, 74, 107, 130, 142, 147-149, 151-153

Кельвин, лорд 31, 75 (см. также Томсон, Уильям)

кинетическая теория газов 32, 41, 42, 44, 46, 48, 50, 57, 112, 129, 135.141

Кирхгоф, Густав 54, 55, 62, 89, 100

Клаузиус, Рудольф 8, 29-34, 41-44, 46, 61, 91, 133

Клейн, Феликс 108, 122, 129, 131

Клейна бутылка 131

комплексия 85-88, 91

космология 117, 123, 132, 142, 144, 146

Кун, Томас 11, 120, 121

Кэрролл, Шон 146

Лавуазье, Антуан 20, 21

Лошмидт, Йозеф 20, 39, 40, 41, 44, 45, 58, 64, 73-78, 80, 81, 103, 118, 135.141

Лошмидта возражение 40, 72-77, 80, 81, 135 (см. также парадокс обратимости)

макросостояние 84, 90, 91

Максвелл, Джеймс Клерк 9, 18, 46, 47

Максвелла распределение 13, 48, 50, 51, 57, 60, 112 (см. также распределение Больцмана)

Мах, Эрнст 11, 49, 70-72, 97, 99, 104-109, 113, 118, 122, 125, 126, 129, 146, 148, 150, 153

Мейтнер, Лиза 69, 70

микросостояние 84, 90, 91

молекулярный хаос 58, 59, 76, 141

необратимость 25, 58, 76

Ницше, Фридрих 109-111

Ньютон, Исаак 10, 20, 47, 73-76, 105, 131, 134

обратимость 13, 40, 58, 64, 73, 74, 103

обращение времени 73, 131

органическая химия 33, 34

Оствальд, Вильгельм 13, 104, 106, 108, 109, 119, 122, 126

ось времени 10, 58, 81, 116, 131, 134-136

парадокс

обратимости 13, 40, 58, 64, 73

рекурсивности 109

паровая машина 15, 22-25, 42

Пауэрнфайнд, Катарина 17

Пенроуз, Роджер 145-146

перестанавливаемость 86, 88-90

Перрен, Жан-Батист 148

Планк, Макс 8, 31, 40, 63, 64, 70, 109, 148

Поппер, Карл 11, 120

Прайс, Хью 134, 136, 141

пространство

абсолютное 105

фазовое 51

пространство-время 47, 133, 145, 148, 150

рекурсии время 109, 112, 114, 115

случай 7, 8,19, 34, 57

случайная ошибка 50

соответствие между работой и теплом 21, 26, 27, 30, 32, 33, 42

спектрография 55

стандартная модель 131, 132, 142, 153

статистическая физика 8, 51, 56, 64, 65, 77, 78, 91, 123, 148

Стефан, Йозеф 13, 23, 38, 40, 41, 47, 63, 103

Стефана — Больцмана закон 40, 41, 63, 95

температура 8, 22, 26-32, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 62, 63, 75, 80, 107, 138, 142

теория вероятностей 8, 50, 52, 62, 78, 80, 81, 117-118, 138, 153

теория относительности

общая 9, 12, 105, 120, 127, 142, 145

специальная 47, 65, 105, 120, 142, 148, 150

теория струн 141, 142 тепло 7, 15, 19-21, 24, 26, 27, 29-32, 34, 35, 40, 42-46, 61, 69, 75, 76, 81, 84, 112

тепловая смерть 10, 75, 76, 81, 117, 138, 139, 142-145

теплород 20, 26, 30

теплорода теория 20, 23, 24, 26

термодинамика 7, 10, 15, 19, 20, 22, 23, 25, 30, 32, 34, 35, 37, 40, 41, 43, 46, 51, 56, 58, 61, 69, 75, 77, 97, 108, 116, 134, 141, 153

второе начало 10, 13, 25, 35, 37, 46, 56, 58, 61, 75, 77, 97, 116, 134, 141

нулевое начало 32

первое начало 30, 44, 46, 80

третье начало 32

термометр 22, 28, 62

Теплер, Август 53, 71, 96

Томсон, Уильям 7, 26-30

философия 8, 10, 13, 17, 49, 104, 106, 108, 118-120, 126, 130, 145

флогистона теория 20

фон Айгентлер, Генриетта 13, 65, 67

фон Гельмгольц, Герман 9, 54, 76, 89, 100, 101, 106, 113

фотоэлектрический эффект 64, 65

функция

распределения 48, 57-59, 61, 82

факториальная 87

Херст, Уильям Рэндольф 18, 127, 128

Хиггса бозон 132, 153

Цермело, Эрнст 13, 97, 109-112, 114, 115, 117, 118, 129

черного тела излучение 40, 62-64, 96, 148

Шеннона энтропия 92, 94

Шопенгауэр, Артур 118

Шрёдингер, Эрвин 130

Шрёдингера уравнение 152

Эйнштейн, Альберт 9, 26, 47, 64, 65, 69, 89, 90, 104, 105, 120, 127, 137, 145-150

эксперимент с двойной щелью 149

электромагнетизм 40, 47, 63, 69, 108, 132, 136

электромагнитные волны 47

энергетика И, 13, 104-109, 126, 146, 147

энергия 8, 11, 26, 27, 30, 31, 33, 37, 42, 44-46, 48, 50-52, 59, 63, 64, 75, 79, 82, 84-87, 89, 106-108, 110, 111, 147, 148, 150-153

кинетическая 44-46, 52

тепловая 44

энтропия 5, 8-10, 13, 31-33, 41-43, 46, 61, 63, 65, 74, 75, 77, 81, 85, 86, 88-90, 92-94, 111, 112, 114, 116, 117, 130, 133-136, 140, 141, 143-146

математическое выражение 43

эргодическая гипотеза 52, 64, 147, 148

Людвиг Больцман - одна из главных фигур в современной физике. Развив активную деятельность в Вене конца XIX века, он произвел революцию в изучении материи, включив в него вероятность, и всеми силами отстаивал существование атомов в то время, когда многие философы и даже влиятельные ученые отрицали его. Несмотря на то что обновленное ученым понятие энтропии и основывающееся на нем начало термодинамики заложили основы квантовой и релятивистской революции в последующем веке, категоричные взгляды Больцмана не всегда встречали поддержку коллег, и это непонимание, возможно, было причиной его трагического самоубийства.

Content

Perez Eduardo Arroyo Вселенная погибнет от холода. Больцман. Термодинамика и энтропия.

Eduardo Arroyo Perez Наука. Величайшие теории: выпуск 21: Вселенная погибнет от холода. Больцман. Термодинамика и энтропия.

Введение

ГЛАВА 1 Рождение термодинамики

ГЛАВА 2 Тепло атомов

ГЛАВА 3 Вероятность, беспорядок и энтропия

ГЛАВА 4 Больцман-полемист

ГЛАВА 5 Наследие Больцмана

Список рекомендуемой литературы