Джозеф Мазур

Игра случая. Математика и мифология совпадения

Переводчик Максим Исаков

Научный редактор Илья Щуров, канд. физ. – мат. наук

Редактор Антон Никольский

Руководитель проекта И. Серёгина

Корректоры М. Миловидова, М. Савина

Компьютерная верстка А. Фоминов

Дизайнер обложки Ю. Буга

© Joseph Mazur, 2016

Публикуется с разрешения издательства BASIC BOOKS, an imprint of PERSEUS BOOKS LLC. (США) при содействии Агентства Александра Корженевского (Россия)

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2017

Все права защищены. Произведение предназначено исключительно для частного использования. Никакая часть электронного экземпляра данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для публичного или коллективного использования без письменного разрешения владельца авторских прав. За нарушение авторских прав законодательством предусмотрена выплата компенсации правообладателя в размере до 5 млн. рублей (ст. 49 ЗОАП), а также уголовная ответственность в виде лишения свободы на срок до 6 лет (ст. 146 УК РФ).

* * *

Посвящаю Катрине и Тамине, дочерям, которые меня вдохновляют

Предисловие

Мой дядя Герман как-то раз уместил годовой курс метафизики в одно короткое предложение: Все что случается, случается потому, что в мире все имеет обыкновение просто случаться. Такие наставления он мне давал, когда я был в довольно нежном возрасте, тогда как другие мои дяди, его младшие братья, учили меня читать программу скачек в надежде пробудить интерес к традиционному семейному времяпрепровождению – азартным играм. Мне тогда было всего 10 лет, и я никак не мог взять в толк, что имел в виду дядя Герман. Много лет эта фраза держалась у меня в голове, проигрывалась снова и снова, и вот, когда я повзрослел, наконец появились ростки понимания. Когда я был ребенком, то всегда задавался вопросом: почему одни вещи случаются, а другие нет? Как большинство детей, ответы я получал в результате постоянного круговорота «если бы»...

Джека, младшего брата Германа, нокаутировали во время боксерского матча в школе, и всю оставшуюся жизнь он страдал от головных болей и некоего душевного расстройства, которое сочли достаточно серьезным для того, чтобы поместить его в психиатрическую больницу. Раз в неделю он посещал сеансы шоковой терапии в Грейстоун-парке – месте, которое когда-то официально называлось Лечебницей для умалишенных штата Нью-Джерси. Шокирует уже само название этого лечения – электроконвульсивная терапия. Полжизни пришлось Джеку выносить жесточайшие страдания, причиняемые мощными разрядами, проходящими через металлические пластины, которые стискивали его голову. Можно только догадываться о том, какой жуткой, ни с чем не сравнимой пыткой были эти сеансы; он говорил, что это было хуже, чем «если бы тебя беспрестанно жалил миллион шершней». Каждый такой разряд длился не дольше наносекунды, но от одного воспоминания о них Джека трясло.

За исключением того, что его рябые щеки покрывала совершенно седая щетина, я в нем ничего странного не замечал. Джек превосходно шутил, его улыбка была теплой и искренней, а истории о невероятных приключениях, которые он рассказывал, выглядели так, будто происходили на самом деле.

Ну и я в свои 10 лет часто размышлял о том, каким образом все так сложилось и, если нокаут в самом деле был причиной болезни Джека, то, если можно было бы повернуть время вспять, смог бы мой любимый дядя жить нормальной жизнью? Что если бы он в тот день заболел и не пошел в школу? Что если бы заболел его противник или… если бы Джек первый отправил того парня в нокаут? В определенный момент совпали два события. Конечно, так всегда бывает. Но нокаут был результатом прямого удара в голову именно в тот момент, когда Джек слишком низко опустил руки и не смог защититься. Слишком низко, слишком медленно.

В детстве я часто мечтал о том, как можно было бы исправить неприятные моменты, но самый острый из них произошел незадолго до моего 13-го дня рождения. Я ехал из школы домой на велосипеде (у меня был красный трехскоростной Raleigh) по ровному бетонному тротуару, как вдруг об спицы переднего колеса ударился камень и рикошетом отскочил в дверь припаркованной рядом машины. Я затормозил и повернулся посмотреть, кто его кинул. И тут мир вдруг стал красным. Я все еще видел. Я был ошеломлен и еще не до конца понял, что именно произошло. Несмотря на хлещущую из разодранного века кровь, я видел, как мальчишка, который стоял на другой стороне дороги, готовится метнуть следующий камень. Он, видимо, не сообразил, что попал мне в глаз. Я завопил и рухнул на тротуар, еще не вполне осознавая, что же произошло. Следующее, что я помню: я приподнимаюсь на больничной кровати, левый глаз у меня перевязан, и мне говорят, что я, возможно, видеть этим глазом больше не буду. Эти «если бы» были такими сильными, что не утихали во мне много лет. Когда я решил поделиться своими переживаниями с матерью, она утешила меня: хорошо, что камень не попал выше, – тогда бы я стал дурачком.

«Я правда мог бы из-за этого стать дурачком?» – спросил я, как будто моя мать разбиралась в неврологии.

«Конечно!» – ответила она. И я принял это как медицинский факт.

Но слова матери все равно не остановили моих бесплодных раздумий. Если бы траектория полета камня отклонилась всего на один градус? Если бы я не остановился? Если бы тот первый камень не попал в спицы? Прошло несколько лет, прежде чем я осознал: злополучные совпадения – это боевые шрамы жизни. Они как морщины на лице старика: это таблица рекордов, свидетельствующих об активной жизни; как старые башмаки, прошедшие сто дорог. Жизнь – это бесконечная череда совпадений и случайностей, иногда удачных, иногда неудачных, иногда неловких, а иногда и приятных. Нам никогда не узнать, какие радости и печали ждали нас на дорогах, по которым мы не прошли. Решения, принимаемые на развилках и перекрестках переплетенных друг с другом случайностей и совпадений, определяют наши судьбы. Из того, что жизнь нам подбрасывает, нам надо получить максимум радостей и минимизировать неудачи.

Из совпадений получаются отличные истории. Мы видим в них удивительные события, изумляемся их диковинности и игнорируем все разумные объяснения, несмотря на то что многие первосортные совпадения математически предсказуемы. Начните рассказывать историю о совпадении во время вечеринки, и вас непременно будут внимательно слушать. Почему? Потому что в этой таинственной галактике такие истории доказывают глубокое значение связей между людьми, повествуют о смысле жизни и подкрепляют наши притязания на неповторимость.

В этой книге собраны поразительные случаи и фантасмагорические истории, которые напоминают нам о том, насколько на самом деле огромен и в то же время мал наш мир. В книге вы найдете математические методы для оценки вероятности каждой из этих историй; в ней также рассматривается природа частотности совпадений с тем, чтобы объяснить, почему у нас возникает обманчивое удивление, когда они случаются. Также представлен обзор развития математических средств для исследования случайности, что, в свою очередь, приводит нас к пониманию совпадения как следствия того, что мы живем в огромном мире с большим числом случайных переменных.

Существует две классические задачи, которые дают нам математически правильные способы измерения совпадений. Одна из них – контринтуитивная загадка: задача о дне рождения, в которой говорится о том, что в любой группе из 23 человек шансы на то, что у двух людей в этой группе совпадут дни рождения, выше чем 1 к 1. Вторая – задача об обезьянах, в которой спрашивается: сможет ли обезьяна (если дать ей сколь угодно долгое время), случайным образом нажимающая на кнопки клавиатуры компьютера, написать первую строку из сонета Шекспира? Две эти задачи, вместе с законом больших чисел, теорией скрытых переменных и законом действительно больших чисел, дают разумное объяснение тому, отчего совпадения происходят намного чаще, чем мы могли бы ожидать. Закон действительно больших чисел – это философская поговорка, а также главная тема этой книги. Вкратце он гласит: если существует сколь угодно малая вероятность наступления некоторого события, то рано или поздно оно обязательно произойдет. Это не теорема, которую можно доказать. Все-таки я использовал выражение «рано или поздно», которое само по себе довольно двусмысленно. Но оно дает нам понимание того, насколько заурядной вещью является совпадение.

В книге четыре раздела. В разделе 1 представлена небольшая группа историй о совпадениях; мы рассмотрим их умозрительно перед тем, как попытаемся осмыслить частотность случайных событий. Каждая история представляет собой целый класс историй, имеющих схожие аналитические свойства. В разделе 2 приведены все математические знания, которые могут потребоваться читателю для того, чтобы понять главную тему книги. В разделе 3 мы вернемся к 10 типичным историям из раздела 1, проанализируем их частотность и выясним, что абсолютная случайность как математическая теория – это не то же самое, что абсолютная случайность в реальном физическом мире. Раздел 4 дает нам увлекательную возможность рассмотреть совпадения, которые не поддаются анализу, как то: странные и трагические истории о применении результатов экспертизы ДНК в судебной практике, случайные научные открытия, сделки неконтролируемых биржевых маклеров, чудеса экстрасенсорного восприятия и сюжеты из художественной литературы или фольклора. Каждая глава в разделе 4 более-менее независима от других.

Добравшись до конца этой книги, вы будете смотреть на мистику совпадений через призму научных представлений о том, как они происходят и как оберегают свои тайны. Книга не только покажет с неожиданной стороны частотность совпадений, чтобы объяснить их природу, но и изменит наш взгляд на них. Большинство обыденных событий и обстоятельств не возникают сами по себе – они связаны со множеством других событий и обстоятельств, которых мы не замечаем. Любое отдельное событие – это результат многих других событий, а также сложных процессов, которые выше нашего понимания. Потому, пусть я и использую математику, чтобы объяснить, как происходят отдельные совпадения, я также принимаю – а иногда и высказываюсь в их пользу – некоторые идеи о провидении, когда рациональные объяснения выглядят неубедительно, и соглашаюсь с тем, что приятно верить в некий высший план, который мы не можем объяснить.

Хотя я разрушаю представления о том, что совпадения редки, я никоим образом не намерен отрицать таинственность и очарование, присущие хорошим историям. Если я вдруг развею ауру чьего-либо опыта, связанного с совпадением, то лишь для того, чтобы оценить это совпадение с точки зрения математика. У меня нет желания ломать ростки отличных историй. Вы вправе со мной не соглашаться в отношении судьбы и случайности, может, даже убедите меня в том, что никто не знает о Вселенной достаточно, чтобы уверенно утверждать: совпадения не предопределены неким таинственным планом с глубоким смыслом. Я мог бы согласиться даже с тем, что случайности по определению не имеют разумного объяснения. Но математика реальна и понятна. Совпадения происходят намного чаще, чем мы думаем, в основном потому, что наш мир больше, чем мы воображаем: 7 млрд человек ежесекундно принимают решения, приводящие к невообразимо громадному числу независимых результатов. Это дает нам причинно-следственный универсум, который невообразимо велик и сложен; место, где маловероятные события происходят просто потому, что существует так много вариантов, и так много нас, чтобы эти варианты узнать. События совпадают по чистой случайности, без очевидной причины, хотя «очевидность» – одно из тех коварных слов, точное значение которых трудно определить.

У каждого из нас есть свои истории про совпадения. Мою историю можно лишь с натяжкой назвать совпадением – просто она для меня очень важна. То, что я познакомился со своей женой в День моратория в 1969 г., в стотысячной толпе на Бостон Коммон, изумительно, потому что это стало судьбоносным моментом в моей жизни. Такие случаи заставляют нас задуматься о том, как же складываются события: что если бы по дороге на Бостон Коммон я остановился завязать шнурки, а в это время две сотни демонстрантов прошли бы дальше; что если бы я вышел на Коммон на 10 м севернее? Но действительно ли это совпадение, а не просто случай, который объясняют задним числом?

На данный момент в этом предисловии я уже употребил слово совпадение 24 раза в качестве приемлемого синонима для «случайного события» или, если точнее, сближение персонажей или предметов во времени и пространстве. До сих пор я полагал его значение самоочевидным, но, чтобы быть точными, давайте дадим более формальное определение.

Совпадение (сущ., ед. ч.) – неожиданное стечение событий или обстоятельств или наличие значения в их отношении друг к другу, когда между ними нет очевидной причинно-следственной связи{1}.

Каким-то образом в разговорном языке использование этого слова смещается в сторону интерпретации, игнорирующей неожиданность как обязательное условие, а также то, что причина должна быть неочевидной. В этой работе мы будем придерживаться утверждения о том, что любое совпадение должно содержать в себе элемент неожиданности, и если вообще существует какая-либо причина, то она не должна быть очевидной.

Неожиданность совпадения тесно связана с неочевидностью его причины. Когда мы говорим причина неочевидна, мы просто имеем в виду, что причина неизвестна широкой публике. У совпадений всегда есть причины. Так что возникает вопрос об относительности: не известна кому? Для наших целей мы предположим, что под широкой публикой следует понимать человека, который переживает опыт, связанный с совпадением, а также любого, кому рассказывают историю о нем.

Случайность, с другой стороны, имеет схожий смысл, но без оговорок о неожиданности или очевидной причине.

Случайность (сущ., ед. ч.) – ненамеренно полученная выгода или результат действия; необычайно крупное везение или неудача{2}.

А серендипность ограничивается положительными событиями:

Серендипность (сущ.) – удачное или выгодное наступление и развитие событий случайным образом.

Почти все истории рассказываются как последовательность событий – встреч персонажей и предметов, – происходящих в определенное время. Эдип убил человека по дороге в Фивы и в результате цепочки событий переспал с собственной матерью. Какова в данном случае очевидная причина? Это цепочка, где у каждого звена есть очевидная причина. Следует отметить, что любое совпадение – это цепочка событий, где каждое звено выражает связь причины и следствия даже в реальном, невымышленном мире.

Нил Форсит, писатель и почетный профессор Лозаннского университета, называет цепочки совпадений «наслаждение неожиданным»{3}. Он говорит о вымышленных совпадениях у Диккенса, но это наслаждение неожиданным имеет место также и в реальном, невымышленном мире. Оно исходит из глубокой потребности и искреннего желания разобраться в незнакомом и странном, потребности, которая некогда была жизненно необходима для понимания человеком неизведанного и защиты от него.

Причины большинства наиболее удивительных совпадений могут лежать слишком глубоко для того, чтобы мы когда-либо смогли их выявить. Проще поверить в их неожиданность, чем в то, что необычайное просто случается; нам самим так спокойнее и проще. Так или иначе, они нас забавляют.

Сумма 1³ + 5³ + 3³ оказывается равной 153. Это совпадение? Причина неочевидна. Возможно, что причины вовсе нет. Или рассмотрим совершенно случайную последовательность из 60 цифр:

458391843333834534555555555555

185803245032174022234935499238

У нас может вызвать подозрение длинный ряд пятерок в середине, но математика говорит нам, что удивляться нечему. Она даже предсказывает нам, что такая последовательность одинаковых цифр будет появляться куда чаще, чем мы могли бы вообразить.

Совпадения вездесущи. Все дело в том, замечают ли их. Перед тем как написать это предисловие, я пылесосил и подошел слишком близко к своему 2262-страничному словарю. Как всегда, чтобы защитить его толстый переплет, я держал его открытым где-то чуть подальше середины. Внезапно труба пылесоса всосала целую страницу. Пытаясь себя утешить, я подумал: «Понадобится ли мне когда-нибудь страница 2072? Маловероятно». Прошло меньше часа, и мне понадобилось найти точную формулировку понятия серендипность. Вы можете догадаться, на какой она была странице. Когда пишешь книгу о совпадениях, исключительно обостряется внимательность.

Раздел 1

Истории

Совпадение

Оно кажется былью,

Пусть чудной и редкой,

Но космической пылью,

Пред такою соседкой

Мы себе показаться должны.

Удивляясь, мы шепчем:

«Случайность».

Вроде верим, но ищем ответ:

«А все-таки, что если нет?»

Дж. М. (пер. М.И.)

Жизнь наполнена ожиданиями, суетой и маленькими радостями, и только удивительные встречи и фантасмагорические истории позволяют нам с блаженством ощутить, что мы действительно живем. Рассмотрим в общих чертах несколько примеров того, насколько наш мир одновременно и велик, и мал и как мы пришли к тому, чтобы проводить различие между случайностью и совпадением. Мы вернемся к этим историям в разделе 3, когда у нас будут определенные средства к тому, чтобы осветить их скрытые количественные элементы.

Глава 1

Исключительные моменты

Помните, как вы, не спеша прогуливаясь по чужому городу, скажем, Парижу или Мумбаи, вдруг столкнулись со старым другом, которого давно уже не видели? Этот старый друг… как он оказался в этом месте одновременно с вами? Или помните тот момент, когда вы загадали желание и оно сбылось именно так, как вы хотели? Или те тяжелые испытания, которые вам как-то пришлось пережить на отдыхе, потому что все так неудачно совпало? Или тот раз, когда вы так удивились, познакомившись с человеком, у которого день рождения в один день с вами? В эти моменты случалось нечто такое, что у вас появлялось чувство синхронии, которое сжимало Вселенную; красноречивая метаморфоза, увеличивавшая вашу роль в Космосе. Вы чувствовали, что весь человеческий мир вращается вокруг небольшой группы людей, может быть, именно вокруг вас.

У вас бывало так: поднимаешь трубку телефона, чтобы позвонить кому-то, с кем уже год не созванивались, и слышишь человека, еще не набрав номер?[1] Со мной такое случилось в 1969 г. Если задуматься, то такое событие скорее вероятно, чем невероятно. В конце концов, оно не случалось целый год – 365 дней. Добавьте к этому число дней в предыдущем году – еще один год, когда оно не случалось. И к полученному добавьте число дней, прошедших с того дня до сегодняшнего. И оно не повторилось. Мы сейчас говорим о значительном отрезке времени, когда совпадения не случалось.

Представьте себе такую историю. Вы сидите в кафе в Айос-Николаос на острове Крит, как вдруг слышите знакомый смех за столиком в соседнем кафе. Вы оборачиваетесь, чтобы посмотреть на этого человека, этого мужчину. И не можете поверить, что это ваш собственный брат. Но это же он – вне всякого сомнения, ваш брат. Он поворачивается к вам и выглядит таким же удивленным. Со мной такое случилось в 1968 г. Он не знал, что я не в Нью-Йорке, я – что он не в Бостоне.

Или представьте следующее. Вы листаете старые книги в магазине далеко от дома и замечаете одну, знакомую с детства. Открываете ее и видите свою подпись. Это «Моби Дик» с вашим именем на форзаце и вашими же отметками на полях. Эта книга была у вас в колледже. Такая история произошла с моим другом, когда он просматривал полки в букинистическом магазине в Дубьюке, в штате Айова, городе, где он никогда раньше не был{4}.

В 1976 г. мы с женой и двумя детьми путешествовали по Шотландии, и в один из снежных дней наш автомобиль Vauxhall сломался посреди небольшого городка Пенникук. Механик в единственном на весь город автосервисе сказал, что проблема в генераторе и ждать замены придется три дня. Мы отправились в ближайший паб в надежде провести там ночь. Трактирщик оказался человеком немногословным, но, когда мы сказали, что прибыли из Америки, он оживился и с гордостью объявил: «На следующей неделе к нам приедет музыкант из Америки. Вы наверняка ее знаете. Имени я не помню, но внизу есть плакат». Он подвел нас к большому плакату, сообщавшему о стоуви-вечеринке{5} и концерте Маргарет Макартур.

«Маргарет Макартур! – одновременно воскликнули мы с женой. – Она наша соседка. Мы отлично ее знаем!»

Трактирщик кивнул и на полном серьезе пробормотал: «Так я и думал».

Америка в самом деле очень маленькая страна.

Бывают моменты, когда мы поражаемся величественности совпадений. Они – центры естественной сети, которая нас связывает, потому что, особенно в наш век цифрового одиночества, мы хотим встроиться в большой и грозный мир, сохранив чувство собственного достоинства, свою индивидуальность, цель существования и ощущение того, что хотя бы часть нашей жизни предрешена судьбой. Подавленным холодной бескрайностью Вселенной, вечно расширяющейся в бесконечных пространстве и времени, нам приятно осознавать, что мы связаны сильнее, чем думаем, или что Вселенная подстраивается под нас.

Каждая история о совпадении порождает вопрос: есть ли во Вселенной нечто, вызвавшее возмущение в пространстве и времени, которое запустило совпадение и скрыло его причину? Некоторые ставят под сомнение метафизические связи. Некоторые говорят, что в этой Вселенной существуют единство; энергия, которую мы не можем познать; сила, которая изменяет модели нашего поведения; что присутствует некий неведомый для нас смысл.

Причинность – это западный способ толковать значение событий. Причинность в западной философии XIX в. рассматривалась с точки зрения строгой классической физики, которая гласит: законы природы управляют движением и взаимодействием всех наблюдаемых объектов. Если переменные, описывающие текущее состояние, точно известны, то будущее совершенно предсказуемо. Другими словами, любое предсказание будущего связано с тем, что нам известно о прошлом и настоящем. Однако в начале XX в., когда появилась квантовая механика, западная философия радикально меняет точку зрения: движением наблюдаемых объектов управляют ненаблюдаемые явления квантового мира, регулируемые простыми чудесными правилами. Одно из таких правил утверждает, что нет непроходимых дорог. Любая частица необязательно следует только по одному пути, но по любому из возможных путей с вероятностью, которую определяет этот путь. Предсказуемость с точки зрения квантовой механики ограничивается вероятностями нахождения объекта в определенной точке каждого из путей и в определенном состоянии. Другими словами, тщательное исследование прошлого даст нам лишь неопределенную вероятность предсказать будущее.

Конечно, всегда есть вопрос: чем вызвано то, что человек выбрал определенный путь? Мы не говорим о механическом движении объекта. Почему вы, дорогой читатель, решили дочитать книгу до этого места? У вас есть свобода воли, которая практически никак не связана с классической физикой, перемещением наблюдаемых объектов или «новой физикой». Совпадения, описанные в этой книге, относятся к принимаемым людьми решениям, выбираемым и не выбираемым ими путям. Человеческие решения – это вопрос свободы воли, где ни теория относительности, ни квантовая механика не работают, хотя всегда существуют сильные внешние воздействия. Мы выбираем путь. Кто-то еще выбирает путь. И тут – бац! Пути пересекаются, и очевидной причины у нас нет. Проблема с очевидностью состоит в том, что для нее необходим наблюдаемый объект, следующий по наблюдаемой траектории. Так что, если только между отдельными индивидуумами нет телепатической связи, свобода воли превыше любых квантовых воздействий.

Существует, однако, еще и восточный подход. У китайцев, например, есть дао, в котором противоположности уравновешивают друг друга и формируют целое, полную картину. Где ничто – также часть целого. Кусок камня может стать скульптурой, в зависимости от того, какая часть камня останется, а какая будет отсечена. На самом деле это другая ментальность. И все же даосизм, безусловно, отличается от любой теологии, которая смотрит на мир так, как если бы все в нем – от клеток организмов до субатомных частиц минералов – предопределено с момента творения и законы причинности могут быть нарушены, если на то будет Божья воля. Даос полагает, что совпадения – часть гармоничного мира, а потому все события находятся в одинаковых отношениях друг с другом, выше какой-либо причинности или схожести. Другими словами, случайностей не бывает. Но тот же самый даос также полагает, что существует скрытая рациональность. Почтенная книга «Дао де цзин», которой уже около 2500 лет, говорит:

Небесная сеть необычайно велика и всеобъемлюща;

Редки ее ячейки, но из нее ничто не ускользает{6}.

Как все части целого работают в гармонии, дополняя друг друга, так же и все события в мире находятся в одном смысловом отношении к целому, которое отвечает за центральный «смысловой» контроль.

Уолт Уитмен также говорит о том, что у нас есть некая связь с Единым и что существуют нравственная цель и замысел, которому все мы вынуждены неосознанно подчиняться. Вот что он пишет:

В цели Космоса и всей животворящей атмосферы, минерального, растительного и животного миров – во всем физическом росте и развитии человека, во всей истории политических, религиозных, военных и прочих противостояний – есть нравственная цель, видимый или невидимый замысел, несомненно лежащий в основе всего… Это и есть Единое и идея Единого вместе с сопутствующей ей идеей вечности и, наконец, души – легкой, бессмертной, вечно плывущей в пространстве, посещающей все пределы, как идущие по морю корабли{7}.

Глава 2

Девушка с Петровки и другие несложные совпадения

Какое отношение имели друг к другу многие люди, которые, стоя на противоположных краях разделяющей их бездонной пропасти, все-таки столкнулись самым любопытным образом на бесчисленных путях жизни?

Чарльз Диккенс. Холодный дом{8}

Выход из дома сулит вам огромное множество встреч и событий. Вероятность наступления каждого из этих событий может быть мала, но когда мы собираем их вместе и спрашиваем: «Какова возможность того, что по крайней мере одно из них произойдет?» – вероятность увеличивается. Здесь мы представим лишь десять историй из множества подобных, по существу, десять специфических классов. Их анализ будет приведен в разделе 3.

История 1. Девушка с Петровки

Класс: потерянный предмет, отыскание которого маловероятно, случайно найден тем, кто его специально ищет.

Одна из знаменитых историй о совпадениях касается актера Энтони Хопкинса. После того как он прошел пробы на роль Кости в киноверсии романа «Девушка с Петровки», Хопкинс некоторое время искал роман в книжных магазинах в районе станции Лестер-сквер в Лондоне. Поиски оказались безуспешными, и он уже собирался возвращаться домой, но тут заметил книгу, лежавшую на лавочке на станции метро. Это был не просто экземпляр «Девушки с Петровки», а именно тот экземпляр, который потерял автор, Джордж Файфер.

Это в самом деле удивительная история. Я вынужден признать, что она настолько чужда любой разумной теории частотности совпадений, что остается только поздравить эту историю с тем, что она счастливо избегает объяснения. Но на самом деле и она не избежит анализа. Джордж Файфер сам рассказал мне подлинную историю. Он использовал американскую версию «Девушки с Петровки», чтобы отметить слова, которые нужно было перевести для публикации его книги в Великобритании. Он отправил свой перевод британскому издателю и проверил оригинал-макет. Как-то раз в Гайд-парке он встретил друга и подарил ему копию с пометками. Будучи под впечатлением от встречи, друг положил книгу на крышу своей машины, а позже, опаздывая на встречу с девушкой, уехал в спешке. Встретив Файфера на съемочной площадке, Хопкинс сказал ему, что книгу он нашел на станции метро. Я написал Хопкинсу, чтобы узнать его версию событий. Как следовало ожидать, он не ответил.

История 2. Джек Фрост и другие истории

Класс: неожиданно найденная личная вещь, которую специально никто не искал.

Похожая история произошла с Энн Парриш. Согласно исходной версии (история сильно отличается от множества версий, гуляющих по Сети), находясь в Париже в 1929 г., солнечным воскресным утром после посещения мессы в Нотр-Дам и птичьего рынка Энн вместе с мужем, промышленником Чарльзом Альбертом Корлиссом, отправились пообедать в Les Deux Magots. Оставив Чарльза допивать вино, она прошлась по букинистическим лавкам вдоль Сены. Рыться в развалах книг на длинных столах для нее было обычным делом. В тот день она нашла книгу Хелен Вуд «Джек Фрост и другие истории». Немного поторговавшись с продавцом и уплатив один франк, она поспешила к мужу, который все еще сидел над бокалом вина, и вручила книгу ему со словами, что в детстве очень ее любила. Он медленно полистал страницы. Некоторое время молчал, потом вернул ей книгу, открыв форзац, где «нескладными детскими каракулями было написано: «Энн Парриш, Норд-Вебер стрит, 209 Колорадо Спрингс, Колорадо»{9}. Это была именно та книга – из детства{10}.

История 3. Кресло-качалка

Класс: ситуация, требующая довольно точного сочетания времени и места, а также случайных встреч предметов.

Совпадение должно быть чем-то бо́льшим, нежели просто историей, которой удалось нас удивить или скрыть свою причину. Вот что произошло со мной несколько лет назад. Моя жена была беременна, и ее тетка сказала, что ей понадобится удобное кресло-качалка, чтобы кормить новорожденного. Она прислала чек на сумму, достаточную для покупки нового кресла. У моего брата имелось отличное кресло-качалка, а мы с женой нашли точно такое же в мебельном магазине в Кембридже. Оно было необычайно широкое, в шекеровском стиле, с тонкими черными рейками в высокой спинке. Но кресла не было в наличии, и мы попросили, когда оно появится, доставить его по адресу моего брата в Кембридже. Мы могли бы забрать его от брата и отвезти домой в Вермонт в следующий приезд. Через несколько недель к брату и его жене пришли гости. Один из гостей сел на их кресло-качалку, и кресло под ним развалилось на кусочки. Смутившись, мой брат учтиво сказал гостю, чтобы тот не беспокоился. И в этот самый момент в дверь позвонили – это доставили наше новое кресло. Можно лишь гадать о том, как удивились гости, когда брат воспользовался прекрасной возможностью успокоить их такими словами: «О, все в порядке, мы как раз заказали новое».

История 4. Золотой скарабей

Класс: связанные со сновидением совпадения с довольно широким временны́м и пространственным диапазоном.

Молодая пациентка поведала швейцарскому психиатру Карлу Юнгу свой сон о золотом скарабее. У нас есть версия Юнга: «Когда она рассказывала мне свой сон, я сидел спиной к закрытому окну. Вдруг я услышал позади себя шум вроде легкого постукивания. Я обернулся и увидел, как летающее снаружи насекомое бьется об оконное стекло. Я открыл окно и поймал создание на лету, как только оно залетело в комнату. Оно представляло собой самый близкий аналог скарабея, который только можно найти в наших широтах. То был скарабеидный жук»{11}. Юнг пишет далее: «Нам часто снятся люди, от которых мы с ближайшей почтой получаем письмо. В нескольких случаях мне удалось точно установить, что в момент сновидения письмо уже лежало в почтовом отделении адресата»{12}.

История 5. Франческо и Мануэла

Класс: случайные встречи людей в определенное время и в определенном месте.

Мы с женой ехали в микроавтобусе по горному серпантину на ла-Коста-Смеральда, восточном побережье Сардинии, высоко над изумрудными водами Тирренского моря. У нас захватывало дух, когда водитель-итальянец, активно жестикулируя, указывал на исторические достопримечательности, крутя при этом головой туда-сюда, пытаясь одновременно и следить за опасными поворотами, и смотреть на пассажиров на заднем сиденье. В то время мы брали уроки в Studitalia – школе итальянского языка в Ольбии, живописном портовом городке на северо-восточном побережье Сардинии. Были выходные. И как всегда по выходным, школа предлагала ученикам экскурсию, посвященную культуре и красотам Сардинии. Водителем был Франческо Маррас, директор школы.

Ученик, сидящий на переднем пассажирском сиденье, спросил у него, когда и как была создана школа.

«Ну, – начал он и ненадолго задумался, а наш автобус за пару секунд до следующего поворота качнулся на другую сторону дороги – когда школа открылась три года назад, в 2010 г., у нас был только один ученик». В типичной для итальянцев манере, правой рукой он жестами добавлял истории убедительности, а левой небрежно держал руль.

Так мы узнали, что в день открытия школы Франческо явился в фойе Hotel de Plam, где должен был встретиться с первой ученицей, Мануэлой из Мадрида, чтобы провести для нее обзорную экскурсию, куда входила прогулка на катере до великолепной Исола Таволара – огромной скалы в 5 км от берега. Поскольку Франческо и Мануэла приехали рано, а катер запаздывал, они зашли в кафе. Там они просидели час, болтая по-итальянски. Мануэла рассказывала о своем доме в Испании, о работе, о бойфренде и своих интересах. Франческо говорил о школе. Скоро Франческо стало любопытно, зачем Мануэла хочет изучать итальянский, которым и так уже прекрасно владеет{13}. Когда он наконец решился спросить об уровне, на котором она хотела бы заниматься итальянским, стало ясно, что произошло недоразумение.

«Учить итальянский? Зачем мне учить итальянский?» – спросила она.

Замешательство длилось еще несколько минут, пока Франческо не понял, что это другая Мануэла, которую должен был встретить в фойе отеля некто по имени Франческо.

Они вернулись в отель, где встретили другого Франческо, проводящего с другой Мануэлой собеседование для приема на работу, о которой та не знала, не гадала.

Почему эта история нас удивляет? Потому что это была история с реальными людьми, с конкретными местом и временем, с именами и с колоритным героем, который, похоже, говорит правду. Если рассуждать логически, нас не дурят. Мы знаем, что при большом числе возможных исходов такие встречи случаются не так уж и редко.

История 6. Таксист-альбинос

Класс: случайные встречи людей при широком временно́м и пространственном диапазоне.

Такие истории и им подобные встречаются намного чаще, чем мы думаем. Мы нередко их слышим, а многие из нас их пережили. Буквально на днях я познакомился с женщиной, которая рассказала замечательную историю. Как-то раз в Чикаго она села в такси, а за рулем сидел мужчина с альбинизмом. Через три года она села в такси к тому же водителю в Майами. «Ну, и каковы шансы, что такое могло случиться?» – спросила она меня. Да, это прекрасная история, но давайте ее разберем. Такси часто бывают в определенном районе. Эта женщина – руководитель частной инвестиционной компании, а такие люди часто ездят на такси в крупных городах. Таксисты, у которых нет альбинизма, не так приметны, поэтому часто ездящий на такси человек вполне может поймать такси и не обратить внимания на то, что уже встречался с водителем, если, конечно, у водителя нет альбинизма. И все же я соглашусь: есть какое-то очарование в этой истории, поскольку Майами и Чикаго разделяют почти 2000 км.

История 7. Сливовый пудинг

Класс: ассоциации со знакомыми предметами.

А вот еще одна история, в которой звонок в дверь возвещает об удивительном и нежданном госте. Эту историю вместе с рядом других я нашел в книге «Неизвестное» астронома Камиля Николя Фламмариона, жившего в начале XX в.{14} Этот случай – одно из так называемых двойных совпадений, когда сначала возникает некоторое удивление, а потом вдруг происходит что-то новое, превращая событие в тройное совпадение.

Фламмарион пишет, что эту историю рассказал Эмиль Дешан, прославленный поэт XIX в. Дешан был мальчиком, обучавшимся в школе-интернате в Орлеане (Франция), когда он познакомился с английским émigré[2], носившим довольно необычное для англичанина имя – месье де Форжибю. Как-то они обедали за одним столиком, и месье де Форжибю посоветовал молодому человеку попробовать почти не известное во Франции блюдо – сливовый пудинг.

В течение 10 лет Дешан больше не слышал об этом блюде и уже забыл о том, как открыл для себя сливовый пудинг, в котором, как ни странно, слив не было. И вот, когда он проходил мимо ресторана на бульваре Пвасоньер, в меню которого был указан странный пудинг, Дешан вспомнил о месье де Форжибю. Он заказал кусочек, но дамы за прилавком ему сказали, что некий джентльмен заказал весь пудинг. Одна из женщин повернулась к мужчине в форме полковника, который обедал за одним из столиков.

«Месье де Форжибю, – крикнула она, – не будете ли вы столь любезны поделиться своим сливовым пудингом с этим джентльменом?»

Дешан не узнал месье де Форжибю.

«Конечно, – ответил месье де Форжибю. – Для меня будет величайшим удовольствием поделиться частью пудинга с этим джентльменом».

Непохоже было, что он узнал Дешана.

Собственно, это и должно было бы быть совпадением, однако наберитесь терпения. Прошло еще несколько лет. Дешан ни разу не вспоминал про сливовый пудинг. И вот однажды его пригласили на ужин к одной даме, которая сообщила, что будет подано необычное блюдо: настоящий английский сливовый пудинг.

«Я полагаю, месье де Форжибю тоже там будет», – пошутил он.

Наступил вечер. Десяти гостям, сидящим за столом, подавали великолепный сливовый пудинг, а Дешан в это время рассказывал историю о месье де Форжибю и сливовом пудинге. Как только Дешан закончил рассказ, все услышали, что в дверь позвонили и объявили о том, что пришел месье де Форжибю.

Мы с вами подумали бы, что все это было спланировано. Дешан тоже так подумал. Возможно, хозяйка воспользовалась маленькой шуткой Дешана, чтобы соорудить собственную шутку. Но нет! Все куда интереснее. К тому моменту месье де Форжибю был стариком и ходил, опираясь на тросточку. Он медленно шел вокруг стола и, казалось, искал кого-то конкретного. Когда он подошел ближе, Дешан узнал месье де Форжибю. Это точно был он.

«У меня волосы встали дыбом, – рассказывал Дешан позже. – Дон Жуан в моцартовском chef d'oeuvre[3] был, наверное, так же напуган своим каменным гостем».

Но Дешан был не тем, кого искал вновь прибывший; выяснилось, что месье де Форжибю (тот самый) также был приглашен на ужин, но не на этот ужин. Он ошибся адресом и позвонил не в ту дверь. Это было тройное совпадение, которое должно быть настолько редким, что вы могли бы подумать: шансы, что подобное произойдет хоть раз в жизни, необыкновенно близки к нулю. Однако это произошло, если мы можем верить месье Фламмариону{15}.

«Три раза в жизни я ел сливовый пудинг, – размышлял Дешан о пережитых странностях, – и три раза я виделся с месье де Форжибю! В четвертый раз я, наверное, буду способен на что угодно… или ни на что не способен!»

Фламмарион, уважаемый астроном, именем которого названы лунные и марсианские кратеры и астероиды, коллекционировал совпадения. Поскольку об этом его увлечении было всем известно, люди присылали ему свои истории. Он собрал сотни таких историй. Некоторые из них просто поразительные! Многие истории ему присылали анонимно из разных концов света, так что верить в их правдивость очень трудно, хотя он и говорит о том, что в некоторых случаях было много свидетелей, за искренность других он ручается лично, а у каких-то из этих историй есть «все признаки достоверности».

История 8. Унесенная ветром рукопись

Класс: совпадения, обусловленные природными причинами.

Самые замечательные совпадения – те, что произошли с самим Фламмарионом. Одна захватывающая история наводит на мысль о том, что существуют некие чудесные силы, которые присматривают за нами, возможно, судьба, или неизвестные силы, действующие независимо от сил природных. Он работал над своим 800-страничным популярным трактатом об атмосфере{16}, который должен был стать его главным трудом. В конце XIX в. он был широко известен как наиболее подробный и доступный. Как раз в тот момент, когда Фламмарион был занят написанием 3-й главы 4-го раздела, главы о силе ветра, произошел необычайный случай. Был облачный день середины лета. Фламмарион сидел у себя в кабинете. Одно окно, выходящее на восток, из которого открывался вид на каштаны на авеню де ль'Обсерватуар, было открыто. Другое окно, с великолепным видом на Парижскую обсерваторию, выходило на юго-восток, а третье – южное – на улицу Кассини. Он только что написал: «Les vents de nos climats, qui nous paraissent si capricieux et si variables, vont nous laisser apercevoir derrière eux les règles auxquelles ils obéissent» («Ветры в наших краях, которые нам кажутся столь своенравными и переменчивыми, позволят увидеть скрытые от нас до поры правила, которым они подчиняются»){17}. Внезапно порыв юго-западного ветра распахнул окно, выходящее на обсерваторию, подхватил листы рукописи – всю главу целиком – со стола Фламмариона и унес их на улицу. Некоторые опустились среди деревьев, другие полетели в сторону обсерватории. Хуже того, хлынул проливной дождь. Это было первым совпадением в тот день.

Фламмарион понял, что идти на поиски пропавших страниц было бесполезно. Он записал: «Спускаться вниз и искать мои страницы было бы напрасной тратой времени, но мне так жаль было их потерять»{18}. То, что произошло потом, было поистине удивительно. Прошло несколько дней, и работник из компании Hachette, издательства, с которым работал Фламмарион, находившегося в километре от его дома, принес ему все пропавшие листы.

История 9. Сны Эйба Линкольна

Класс: сны, которые сбываются.

Авраам Линкольн пересказал свой пророческий сон жене Мэри Тодд однажды за ужином, незадолго до того, как его убили{19}.

«Около десяти дней назад я отошел ко сну очень поздно. Я ожидал важных донесений с фронта. Я быстро задремал, так как очень утомился. Скоро пришло сновидение». Далее Линкольн рассказывает о том, что во сне он встал с постели и спустился по лестнице. Он на самом деле мог это сделать{20}. Спустился по лестнице – предположительно, в Белом доме – и услышал рыдания плакальщиков. Переходя из одной комнаты в другую, он искал плачущих, но, хотя комнаты были освещены, никого не находил. Однако звуки были повсюду, как если бы плакальщики незримо присутствовали в каждой комнате. Хоть этот сон и был тревожным, он сомневался насчет его значения. Когда он вошел в Восточный зал, то нашел там тело в похоронных одеждах, лежащее на катафалке, и нескольких солдат, стоящих в карауле. Повсюду стояли плакальщики и рыдали. Лицо покойника было прикрыто. «Кто умер в Белом доме?» – спросил он одного из солдат. «Президент, – ответил солдат. – Его убил террорист!»

Тут толпа завыла так громко, что Линкольн пробудился ото сна. Он говорил, что в ту ночь больше не заснул, а сон этот посещал его еще не раз.

– Это ужасно! – сказала Мэри. – Лучше бы ты мне этого не рассказывал. Хорошо, что я не верю снам, иначе не было бы мне покоя с этого момента.

– Это просто сон, Мэри, – сказал Линкольн мрачным тоном и с печалью на лице. – Давай не станем более о нем говорить и постараемся забыть.

У него были и другие сны, предвещающие практически каждое событие на войне. Ему неоднократно являлись знамения победы Союза: одно – в ночь перед победой при Энтитеме, другое – за несколько дней до Геттисберга. Были и другие: перед Самтером, Булл-Раном и Уилмингтоном. Одно знамение случилось 13 апреля 1865 г., в ночь перед тем, как он был убит в театре Форда. Оно было очень ярким. Днем 14 апреля генерал Грант сообщил кабинету, что ожидает капитуляции генерала Джонстона. Линкольн звучным и уверенным голосом произнес: «Скоро мы все узнаем, и новости будут очень важные». Когда Грант спросил, почему он так думает, Линкольн ответил: «Прошлой ночью у меня был сон; и с самого начала этой войны тот же сон я видел каждый раз перед событиями национального значения. Он предвещает, что очень скоро произойдет некое важное событие».

Похоже, все сны, о которых он говорил, были пророческими. Джонстон сдался генералу Шерману 26 апреля. Война наконец закончилась. А человека, который видел эти сны, уже не было среди живых. Через три дня после убийства Линкольна Гидеон Уэллс, министр ВМС, присутствовавший на последнем правительственном заседании Линкольна, записал в своем дневнике такие слова{21}:

Великие события в самом деле произошли, ведь через несколько часов добродетельный и великодушный, а равно и подлинно великий человек, который рассказал о своем сне, навсегда окончил свой земной путь.

Последнее заседание правительства Линкольна было созвано в 11:00 в Страстную пятницу 14 апреля. Фредерик Сьюард, помощник государственного секретаря, присутствовал на том совещании. Он написал о нем в Leslie's Weekly, иллюстрированной газете (иллюстрации выполнялись с помощью ксилографии и дагерротипии):

«Когда в разговоре коснулись темы сна, мистер Линкольн отметил, что необычный сон, который он видел прошлой ночью, приходил к нему уже несколько раз: неясное ощущение того, что он плывет – уплывает через какое-то огромное и неясное пространство к неизвестному берегу. Сам по себе сон не был столь странен, насколько странным было совпадение: каждый раз, когда сон повторялся, происходили важные события или же несчастья, о которых он упомянул».

Комментарии слушателей были заурядными. Один полагал, что это были лишь совпадения. Другой, смеясь, заметил: «Во всяком случае, сейчас это не может быть предсказанием ни победы, ни поражения, ведь война окончена».

Третий предположил: «Быть может, каждый из этих случаев и говорил о возможных великих переменах или бедствиях, но смутное ощущение неопределенности затуманивало сонное видение».

«Возможно, – сказал мистер Линкольн задумчиво. – Возможно, это все объясняет»{22}.

История 10. Джоан Гинтер

Класс: удача или невезение в азартных играх.

Что мы можем думать об удачливости женщины, которая четыре раза выигрывает в лотерею?

14 июля 1993 г. Джоан Гинтер зашла в Stop N Shop в Бишопе, штат Техас, купила несколько билетов моментальной Техасской лотереи и выиграла $5,4 млн. Она тут же оказалась в местных новостях.

Та же женщина через несколько лет зашла в мини-маркет, купила несколько билетов моментальной лотереи Holiday Millionaire и выиграла $2 млн. На сей раз – Техасские новости.

Прошло еще два года. Она купила несколько билетов Millions and Millions в супермаркете Times на трассе 77 в Бишопе – и снова выиграла! Еще $3 млн! Теперь уже Национальные новости.

Прошло еще два года. Она зашла в тот же самый супермаркет Times, купила билеты Extreme Payout на сумму $50 и выиграла еще $10 млн. Теперь о ней говорят в международных новостях! «Кто же этот счастливчик, выигравший в лотерею четыре раза?» – спрашивает Джон Уэтенхол, ведущий «Мировых новостей» на ABC.

Шансы того, что подобное могло случиться с конкретным человеком, составляют 1 к 18 септиллионам, т. е. маловероятно, чтобы это произошло с одним человеком раз за квадриллион лет.

Некоторые полагают, что Джоан Гинтер, пенсионерка, бывшая преподавательница математики из Стэнфорда, обладатель ученой степени, перехитрила систему, как-то сжульничала или, возможно, разгадала алгоритм лотереи, который определяет, куда привозят выигрышные билеты. Другим казалось, что она выиграла, воспользовавшись открытыми числами как подсказкой. Но многие жители Бишопа, маленького фермерского городка с 3300 жителей, считают, что это была «милость Божья для Джоан».

Такие многократные выигрыши исключительны, но не для специалистов по статистике, которые знают, что редкие события происходят по чистой случайности. Четыре раза выиграть в лотерею – это редкость, если событие приходится на одного человека, но вполне заурядный случай, если учитывать все население. На самом деле у выигрыша Гинтер и ей подобных весьма неплохие шансы, если учитывать все население США – почти 320 млн человек. Ее выигрыши кажутся изумительными только потому, что мы рассматриваем их как произошедшие с одним конкретным человеком – Джоан Гинтер.

Принимая во внимание, что только в США существует 26 крупных легальных лотерей, продажи билетов составляют около $70 млн в год, а большинство покупателей играют часто, придется признать: выиграть четыре раза подряд – это событие, которое не только должно происходить время от времени, а должно происходить довольно часто{23}.

Глава 3

Значимые совпадения

Есть связи, которые нельзя объяснить простой концентрацией вероятностей в пространстве и времени. Связь таких «совпадений» настолько значительна, что шансы случайного наступления у всех этих событий исключительно малы.

Мы можем задаться вопросом об их причине, начав искать смысл. Причина и смысл – две разные вещи. Причина события – это главное условие его наступления. Существуют причины, которые невозможно определить – они либо скрыты от нас, либо являются слишком неясными. Причина может иметь несколько слоев понимания. Дерево падает, если в его основании сделать достаточно большой пропил. На одном уровне пропил может служить причиной его падения; на другом причиной может быть неустойчивость дерева после того, как пропил был сделан; и все же причина может быть и в том, что ствол дерева сгнил настолько, что оно все равно упадет, даже если его никто не подпиливал. Смысл, однако, есть нечто иное.

Рассмотрим следующую ситуацию. В то время как вы читаете это предложение, солнце освещает комнату, в которой вы находитесь. Верно? Для некоторых читателей это утверждение будет верным. Разумно будет предположить, что кто-то читает эту книгу солнечным утром, возможно, воскресным утром. Если бы я написал: «В то время как вы читаете это предложение утром в воскресенье, лежа на своем диване в комнате с тремя окнами, которые находятся позади вас и которые надо помыть…» – то я, вероятно, исключил бы большое число читателей. Те из вас, кто читает по пути с работы домой в поезде, скажем, № 2, следующем до Флэтбуш-авеню в Бруклине, Нью-Йорк, в этот момент поймут, что я обращаюсь не к ним, хотя, так уж совпало, именно это я и сделал только что.

Если это действительно воскресное утро и вы действительно лежите на диване в комнате с тремя немытыми окнами, вы увидите потрясающее совпадение. Вероятно, вы подумаете, что вы единственный, кто читает в данный момент эти строки. Но на самом деле я просто предположил, что кто-то будет читать эту книгу в воскресный день и доберется до этих строк.

Я не называл имя читателя. Я мог написать: «Ларри Смит! В то время как вы читаете это предложение, солнце освещает комнату, в которой вы находитесь». Шансы на то, что некий Ларри Смит прочтет эти строки в солнечный день, были бы невелики, но отличны от нуля.

Но это не то, что мы имеем в виду под совпадением. Причина должна будет содержать мое предположение о том, что у книги есть (я могу лишь надеяться на это) достаточное число читателей для того, чтобы такое стечение обстоятельств могло иметь место. Будет ли это совпадением? Нет! Причина очевидна, кроме того, особого смысла нет. Я специально построил предложение так, чтобы увеличить вероятность. В сущности, я намеренно сфабриковал образ возможного читателя в наиболее вероятной обстановке. Я выбрал большой город и место, где читают многие. Причина – я сам.

Конечно, у моего подстроенного совпадения есть некий смысл, как у любого события, но смысл совсем не серьезный, не такой, что берет за душу, меняет химический состав крови и настраивает на рабочий лад, вызывает определенные эмоции, сужающие или, наоборот, расширяющие кровеносные сосуды в мозге. Чтобы совпадение имело значимый смысл, оно должно передавать некое эмоциональное состояние, возможно, относящееся к определенному архетипу, укладывающемуся в наш личный опыт. Коллективные знания и опыт формируют наши ожидания – предвкушения, из которых, в свою очередь, формируется неожиданность, а это важнейший элемент любого совпадения. Предложенное мной стечение обстоятельств, если когда-нибудь и произойдет, не поразит наше сознание несомненным архетипическим сходством. Это вымысел, который относится лишь к нескольким читателям, выхваченным из небольшого ряда надуманных вероятностей. Смысл совпадения не сводится к простой семантике повествования. У любой истории есть лингвистическое значение, а также (у одних больше, у других меньше) скрытый смысл; однако, когда мы говорим, что совпадение что-то означает, мы ожидаем, что связанная с ним история включает подсознательные отсылки к нашим глубинным воспоминаниям.

Я предлагаю следующий пример значимого стечения обстоятельств без очевидной причины. Ну, может и не совсем без очевидной. Решать вам. В ночь на 19 октября 2006 г. у моей жены умерла мать. За неделю до этого, когда моя теща объявила о том, что готова воссоединиться со своим мужем, жена сказала: «Дай мне знак». 20 октября после сильного дождя на небе появилась исключительно четкая, совершенно замечательная двойная радуга, и через несколько мгновений две радуги соединились в одну. Было ли это совпадением? Его бы не произошло, если бы моя жена не выглянула в окно как раз в тот момент, когда можно было заметить это событие. Радуга – явление недолговечное, а четкая радуга – исключительно недолговечное. Была ли ее причина очевидной? Ну да. С научной точки зрения радуга вызывается дифракцией солнечных лучей в крошечных дождевых каплях в атмосфере; однако научное объяснение – это не причина времени ее появления, равно как и не причина того, что ее заметили. Радуга вполне могла бы быть обещанным знаком. Но каким образом совпало время ее появления и то, что ее заметили? Что бы это ни было, оно не очевидно, по крайней мере в том значении неочевидности, которое мы определили в предисловии. Это пример явного смысла без очевидной причины. Момент был, несомненно, трогательный – у нас мурашки по спине побежали. На несколько секунд эта радуга и связанное с ней архетипическое сходство придали смысл определенному стечению обстоятельств.

Если обратиться к 10 типичным совпадениям из главы 2, мы обнаружим, что смысл есть у всех, но лишь два-три из них значительно выделяются. История 7 «Сливовый пудинг» относится к классу, в котором акцент сделан на ассоциациях со знакомыми предметами. Ее смысл раскрывается постепенно, по мере того как зерно восприятия отдельной встречи прорастает и созревает в подсознании. Это история с отсылками и ассоциациями, история о полузабытых встречах и ситуациях, история о дремлющих до поры воспоминаниях и пробуждающемся осознании нового смысла старых событий. История 9 «Сны Эйба Линкольна» представляет класс пророческих сновидений. Сон Линкольна о собственном убийстве был подсознательным зловещим сигналом, соединенным с осознаваемыми предостережениями. Он явился знамением вероятного события, возможности безумного поведения со стороны кого-то, несогласного с решением, принятым в ходе войны. У любого президента наверняка есть страх перед покушением на его жизнь. Хотя страхи Линкольна могли стать причиной сновидения, значение имеет именно то, что он о нем рассказал, поскольку дает широкой публике коллективное понимание того, что у лидеров тоже есть естественные страхи.

Можно утверждать, что история 8 «Унесенная ветром рукопись» также имеет существенный смысл. Примем во внимание ее исходную причину – связь между рукописью об атмосфере и тем, что ее унес ветер. Без этой причины никакой истории бы не было. Но для нас гораздо интереснее то, что рукопись нашлась, а не то, как связана ее тема и причина первоначального исчезновения рукописи.

Книга Артура Кёстлера «История с жабой-повитухой» знакомит нас с еще одним собирателем совпадений – австрийским биологом Паулем Каммерером{24}. Каммерер выдвинул теорию о том, что существуют побочные законы природы, которые действуют параллельно и независимо от известных нам законов физической причинности. Он назвал их законы серийности – неизвестные силы, перемещающиеся в пространстве и времени в виде волн, пики которых заставляют нас замечать совпадения, как значимые, так и бессмысленные. Его история трагична. Незадолго до самоубийства в сентябре 1926 г. прославленного ученого обвинили в том, что он фальсифицировал свои эксперименты. В этой совершенно возмутительной истории хватает зацепок, указывающих на то, что кто-то саботировал его эксперименты или же чей-то жестокий розыгрыш пошел наперекосяк. Имеются доводы в пользу каждой из версий. Но для нас в истории важно упоминание Каммерером серийности. «Серийность, – писал он, – повсеместно встречается в жизни, природе и Космосе. Это пуповина, которая связывает мысль, чувство, науки и искусство с лоном Вселенной, которая дала всем им жизнь… Таким образом, мы приходим к видению мира как мозаики или космического калейдоскопа, которые, несмотря на постоянные перетасовки и перестановки, также следят за тем, чтобы соединять подобное с подобным»{25}.

Его книга Das Gesetz der Serie{26} посвящена довольно безумным идеям, но Карл Юнг, Вольфганг Паули и Альберт Эйнштейн находили их интересными – по крайней мере так говорит Кёстлер. Это странная книга, если рассматривать ее с точки зрения современного читателя, который кое-что знает о науке. В ней содержится ровно 100 тривиальных сочетаний событий во времени и пространстве; они используются в качестве примеров теории о том, что совпадения происходят группировками и сериями. Это странная идея, но не такая уж дурацкая, как может показаться на первый взгляд, и вполне заслуживает внимания. Видите ли, совпадения Каммерера разделены на категории: совпадения, связанные с неожиданным появлением предметов в четкой последовательности приблизительно в одно и то же время, в одном и том же месте; числа; пары имен не связанных друг с другом людей; случайные встречи знакомых; сны, связанные с событиями реальной жизни; схожесть последовательно материализующихся слов. Он пытался проследить, как одинаковые или схожие события происходят в одно и то же время без видимых причин, чтобы увидеть математическую закономерность и построить научную теорию. Он собирал эмпирические данные в попытке понять, не действуют ли за ширмой пространства и времени некие неизвестные законы и принципы, которые могли бы объяснить серийность – частотность и скопление – совпадающих событий.

Говорили, что Каммерер сидел на скамейках в нескольких парках Вены, записывая все, что там происходило и могло относиться к совпадениям: скажем, два человека с одинаковыми портфелями, одинаковыми шляпами или же неожиданная встреча. Такие вот тривиальные вещи. Кроме того, он делал записи о количестве людей в парке в разное время дня: сколько из них женщин, у скольких были портфели, у скольких – зонты. Словом, собирал данные. Затем методично втиснул полученные данные в количественные доказательства и сделал вывод, что совпадения окружают нас постоянно, но мы их по большей части игнорируем, так как просто не ожидаем, что они произойдут. Видим мы их, только если обращаем на них внимание. А обращаем внимание тогда, когда о них говорят или когда они для нас что-то значат. Это напоминает мне знаменитый эксперимент Кристофера Шабри и Дэниела Саймонса с невидимой гориллой, который демонстрирует, как не удается воспринять видимый, но неожиданный объект, когда внимание сосредоточено на конкретной задаче. В этом эксперименте участников просили посмотреть минутное видео, в котором люди играли в баскетбол. На игроках одной команды были черные футболки, на игроках другой – белые. Испытуемых просили сосчитать про себя число передач, выполненных игроками в белых футболках, игнорируя передачи, выполненные игроками в черных футболках. В середине видео студентка в ростовом костюме гориллы проходила через площадку, останавливалась прямо перед камерой, била себя в грудь и уходила. После просмотра видеозаписи испытуемых спрашивали, не заметили ли они что-то необычное. Около половины испытуемых не заметили гориллу! Гориллу, которая вышла точно в центр площадки! Гориллы не было в задании; соответственно, возник недостаток внимания, и горилла стала невидимой.

Отчасти об этом и говорит Каммерер. Если мы намеренно ищем совпадения, то находим их повсюду. Не только из-за нашего утверждения о том, что при наличии достаточного времени и большой совокупности событий самые удивительные вещи происходят по чистой случайности{27}.

Я люблю хорошие истории и потому не имею желания нарушать трепет, вызываемый удивительными событиями. Но я также математик, и моя профессиональная обязанность – говорить правду. Скептики останутся скептиками, но интересные и удивительные истории все же будут рассказывать. Есть одна такая история, связанная с романом Нормана Мейлера «Варварский берег» – сюрреалистической политической аллегории о шести людях, живущих в одном доме на съемных квартирах, каждый из которых олицетворяет определенные политические взгляды, существовавшие в то время в Америке. Главный герой – Майкл Лавитт – американский марксист-сталинист. Книга вышла в 1951 г., в начале эпохи маккартизма. Агент ЦРУ прочел ее и арестовал Рудольфа Ивановича Абеля – советского разведчика, жившего этажом выше Мейлера. Мейлер понятия не имел, что над ним проживает один из его персонажей. Такие истории всегда будут, как бы ни развенчивали совпадение, отчасти потому, что у него есть смысл – подсознательное беспокойство горожанина, живущего среди незнакомцев. Том Биссел в своей новой книге «Волшебные часы» рассказывает о том, что «Моби Дик», когда он вышел в 1851 г., считался провалом. Успех и звание великого американского романа пришли только в 1916 г., когда авторитетный критик Карл ван Дорен случайно наткнулся на редкую пыльную книгу в букинистическом магазине и написал хвалебный очерк, в котором назвал «Моби Дик» «одним из величайших морских романов во всей мировой литературе». Более поздняя история касается романа Миши Берлински «Поле». Роман лежал под спудом пяти лет, пока Стивен Кинг не отыскал его в книжном магазине и не написал изумительный обзор в Entertainment Weekly. До этого продажи романа были мизерные, зато теперь он попал в список бестселлеров The New York Times. Это была случайная встреча книги и Стивена Кинга, который невзначай зашел в магазин. Смысл этих историй для нас заключается в архетипе надежды на успех.

Синхронистичность

В начале XX в. Карл Юнг выдвинул идею синхронистичности[4] как модели магии и суеверий, окружающих странную согласованность событий. Он видел совпадения не как непредсказуемые яркие явления, которые могли быть как-то связаны. Напротив, он рассматривал их как совокупности событий, которые существенно связаны по смыслу, но не имеют причинно-следственных связей друг с другом. Он написал книгу о синхроничных событиях, в которой утверждал, что жизнь есть сочетание не случайных событий, но направленных проявлений природного порядка психических феноменов, связанных с коллективным бессознательным. Иными словами, его синхронистичность – это сочетание времени, пространства и сознания, где имеет место нечто, отличное от случайности. В качестве примера Юнг говорит, что человек может заметить, что номера билета в театр и автобусного билета, которые он купил в один день, одинаковы. Совпадение заключается в том, что эту одинаковость заметили.

Сперва человек «случайно» обратил внимание на номер, что само по себе уже довольно необычно. Чем вызвано то, что он обратил внимание на номер? Юнг говорит о том, что может существовать некое «предвидение приближающейся серии событий»{28}.

Такие события, утверждает он, в любой мыслимой форме, происходят часто, но после первого минутного удивления о них быстро забывают. Юнг сказал бы, что в момент, когда человек замечает критическое событие, имеет место некий архетипический феномен. Необычайные связи еще теснее увязываются с пространством архетипов и вследствие этого усиливают взаимодействие между подсознанием и сознанием. Я согласен с Юнгом в том, что чудо совпадения заключается в связи между предвидением и восприятием.

Есть замечательная переписка между Юнгом и Вольфгангом Паули (по поводу юнговской теории «акаузального порядка»){29}.

Паули был физиком. А для физика у событий обычно имеются причины. Я говорю «обычно», потому что теория относительности и квантовая теория странным образом связаны, хотя, похоже, никаких оснований для этого нет. Это оттого, что частицы уровня атомов ведут себя не так, как более крупные, следующие привычным причинно-следственным законам. Поведение этих сверхмалых частиц (если мы вправе называть это «поведением») известно лишь с точки зрения статистической достоверности и прогнозирования, а не как твердая связь между причиной и следствием. В приведенном Юнгом примере, когда человек покупает билет в театр и номер билета совпадают с номером билета на автобус, который был куплен по пути в театр, мы имеем дело с очевидным сопряжением двух событий, у которого вряд ли есть познаваемая причина. На самом деле в наше время таких сопряжений полно. Просто мы их не замечаем. Время от времени мы становимся более внимательны к ним. Юнг дает пример сопряжения слова и понятия «рыба»:

1 апреля 1949 г. я записал следующее: «Сегодня пятница. На обед у нас рыба». Кто-то упомянул об обычае делать из окружающих «апрельскую рыбу» [апрельского дурака]. В то же самое утро я занес в свой блокнот запись, которая гласила: «Est homo totus medius piscis ab imo»[5]. Днем одна из моих бывших пациенток, которую я не видел уже несколько месяцев, показала мне несколько чрезвычайно впечатляющих картин с изображениями рыб, которые она написала за то время, что мы не виделись. Вечером мне показали кусок гобелена с изображенными на нем рыбоподобными чудищами. Утром 2 апреля другая пациентка, с которой я не виделся уже несколько лет, рассказала мне сон, в котором она стояла на берегу озера и увидела большую рыбу, которая подплыла прямо к ней и выбросилась из воды к ее ногам. В это время я занимался изучением символа рыбы в истории. Только одно из упомянутых мною здесь лиц знало об этом{30}.

Юнг утверждал, что ряд связанных с рыбами событий произвел на него достаточно сильное впечатление, в основном потому, что совершенно невероятным образом все эти происшествия имели место в один день. Это было то, что он имел в виду под смысловым совпадением, определяемым им как акаузальная связь, которая вполне естественна. Конечно, следует помнить, что во времена Юнга для многих людей во всем мире, особенно для католиков, которым не разрешено употреблять в пищу мясо теплокровных животных по пятницам (вероятно, потому, что Иисус умер в пятницу), было вполне обычным делом связывать пятницу с рыбой. Таким образом, одна каузальная связь есть. А 1 апреля, учитывая, что День дурака тогда назывался Днем рыбы, для Юнга было естественно думать о рыбе. Кроме того, Юнг признался, что уже несколько месяцев занимался архетипическим символом рыбы до событий 1 апреля. Что также способствовало тому, чтобы заметить любое упоминание о рыбах, поскольку они в самом деле являются архетипическими символами. Так что эта юнговская «рыбная» связь вполне может быть каузальной. С другой стороны, события могут соотноситься – если пользоваться терминологией Юнга – как смысловые перекрестные связи.

Юнг намеревался построить теорию разума, подобную теории пространства-времени; теорию, которой не требуется каузальная связь; теорию, в которой случай определял бы связь между двумя событиями. Как Эйнштейн сложил время с пространством, чтобы получить глубокое понятие относительности, так же и Юнг предложил дополнить каузальность, добавив непричинную связь{31}. Некоторые паттерны, утверждал он, связаны не механически, образуя «беспричинный порядок»… его паттерны являются смысловыми и повторяются и сознанием, и материей{32}.

Для Юнга это была психическая энергия, как если бы существовало некое энергетическое поле коллективного бессознательного смысловых переживаний в границах разума; не нервная электрохимическая энергия, кружащаяся по разуму, а скорее некий энергетический поток архетипов подсознания, который связывают смысловые переживания. Может ли существовать такая энергия, энергия смысла без причины, энергия синхронистичных психических событий, вызывающая некие архетипические связи?{33}

Позиция Юнга относительно смысловых совпадений убедительна. Он полагал, что смысловые совпадения создают мощные скрытые движения в психике человека и что последующие синхронистичные события сознательного взаимосвязаны с бессознательным. Совпадения связывают нас хитросплетениями жизни, раскрывают чувство собственного «я» и придают смысл нашему существованию. Совпадение, подобное двойной радуге, которую считают посланием умерших, придает смысл представлению о том, что все мы навсегда связаны с близкими нам людьми архетипическим сходством – самой радугой как символом дороги на небеса. В момент, когда мы сталкиваемся с совпадением, мы видим связь с большим миром. Даже простая связь дает нам почувствовать себя частью Галактики, а может быть, даже чем-то более значительным. Большую часть времени мы идем по жизни, не замечая таких связей, как если бы их невидимая сеть вовсе не существовала. Мы едва ли осознаем, что множество таких связей всегда находится буквально в двух шагах от нас. Мы редко видим синхронистичные связи прямо у себя под носом и удивляемся, когда их замечаем, но в том-то и прелесть{34}. Однако реакция на неожиданность в историях из жизни зависит от того, как именно они рассказаны. Отдельные подробности могут сделать историю совпадений более удивительной и значимой, когда ее рассказывают как предсказание будущих событий, а не как нечто, произошедшее только что. Личная история обязана быть более удивительной и значимой для рассказчика, нежели для слушателя. Как мне кажется, история про таксиста-альбиноса была не такой уж удивительной и, конечно, в ней нет того смысла, что есть в моей истории о том, как я столкнулся с братом в кафе в заливе Мирабелло на Крите, услышав его знакомый смех. Истории из предыдущей главы поразительны, однако они неизбежны в долгосрочной перспективе.

За последние несколько лет я слышал много историй о совпадениях, которые в первый момент кажутся совершенно изумительными. Некоторые из них о том, что кто-то обознался. Некоторые о том, как кто-то оказался в определенном месте в подходящее (или неподходящее) время. Сюда входят, в частности, случайные встречи и происшествия с предметами. Другие – о выигрышах (или проигрышах) в играх, которые зависят от случайных событий. А некоторые касаются телепатии и ясновидения. Большинство из них можно объяснить в той или иной мере с помощью простого математического вычисления вероятности, которая, как правило, выше, чем можно было бы ожидать. Истории эти кажутся удивительными, только если рассматривать их вне правильного понимания статистики, недооценивая (или переоценивая) то, насколько велика Земля и ее население. Почему у всех нас найдется так много историй, которые укладываются в одну из категорий в предыдущей главе? Можно без труда дать ответ, если немного разобраться в теории вероятностей и в том, как она работает не с точки зрения здравого смысла, а с точки зрения науки.

Раздел 2

Математика

Коллизии

Будь наш мир велик иль мал,

В нем есть чудесные явления.

И утверждать я бы не стал,

Что стоит ждать их наступления

В одну из тысячи ночей

На убывающей луне,

Или раз в три миллиона дней,

Когда Сатурн к утру ясней

И дивные случаются мгновения.

Но уверяю вас: они придут!

Пусть их шаги малы,

Они не устают.

Дж. М. (пер. М. И.).

Здесь мы предложим читателю некоторые математические инструменты для исследования историй о совпадениях: закон больших чисел, закон действительно больших чисел, задачу о дне рождения, основы теории вероятностей и теории распределения чисел. Этот раздел охватывает математику, которая будет полезна для понимания основной идеи книги, а именно: если есть сколь угодно малая вероятность наступления некоторого события, когда-нибудь оно обязательно произойдет. Эти математические средства будут использованы для того, чтобы проанализировать истории, представленные в разделе 1; мы также вернемся к этим средствам в разделе 3.

Глава 4

Каковы шансы?

Я обнаруживал «совпадения», настолько многозначительно связанные, что вероятность их «случайности» выражалась бы астрономической цифрой.

Карл Густав Юнг{35}

Совершенно невероятные истории о совпадениях неизменно заканчиваются вопросом: «Ну и каковы шансы, что нечто подобное может произойти?» Обычно вопрос является риторическим, поскольку на него в буквальном смысле сложно ответить. И хотя есть фундаментальные статистические методы и проверенные экспериментальные модели для изучения редких совпадений, у математиков все еще нет общей теории для данного предмета. Проблема заключается в самом определении слова. Все-таки «совпадение» предполагает событие без очевидной причины, включая случайности и чудеса. Что бы мы делали без веры в чудеса? Возможно, измерение вероятности совпадения – это оксюморон. Как мы можем узнать вероятность события, не имеющего видимой причины? Кто-то может утверждать, что выпадение двух шестерок на паре игральных костей не имеет видимой причины, за исключением сотни не поддающихся оценке переменных, которые определяют их движение, но тем не менее мы в состоянии оценить шансы против такого исхода как 35 к 1[6]. У нас имеются точные и столь необходимые для страховых компаний данные о шансе дожить до возраста x лет. Так что же мешает нам измерить вероятность чуда или того, что сбудется сон, в котором мы встретили таинственного незнакомца посреди переполненной людьми комнаты? Нам не всегда необходимо знать причину события для того, чтобы разобраться с измерением его вероятности. Мы не знали, почему курение вызывает рак, когда выяснили это с помощью оценки статистической вероятности возникновения болезни. Это произошло после Второй мировой войны, когда женщины, которые до войны не курили, пошли работать на заводы и в учреждения – и начали курить. Тут же подскочила заболеваемость раком, – и бинго! – мы предположили наличие корреляции и сложили два и два. Проблема со многими совпадениями заключается в гигантском числе переменных, которых мы можем не знать или быть не в состоянии вывести из статистической выборки. Совпадения непросто оценить с помощью методов количественного анализа; однако есть качественные основания для предположения о том, что они происходят чаще, чем мы ожидаем. Даже физики избегают количественных прогнозов, предпочитая качественные.

Размышляя о совпадениях, мы имеем в виду правдоподобие. Попробуйте рассказать историю о совпадении, и кто-нибудь непременно спросит: «Ну и каковы шансы того, что такое могло произойти?» Ответ почти всегда сводится к словосочетанию «довольно незначительные». Объяснить нам, что значит «довольно незначительные», или по крайней мере заставить задуматься – задача специалистов по теории вероятностей. Меру правдоподобности события в числовом выражении математики называют вероятностью. Она всегда находится в пределах от 0 до 1, где 0 означает невозможность, а 1 – абсолютную достоверность. Существует несколько способов ее измерения. Один – рассмотреть относительную частотность большой выборки. В принципе, вероятность события – это отношение двух чисел, каждое из которых можно определить, повторяя испытание и вычисляя долю случаев, когда событие произошло. По мере увеличения числа испытаний частота наступления события приближается к вероятности этого события. Второй способ измерения – посчитать логические возможности: брошенная правильная игральная кость может приземлиться только на одну из шести сторон. Нам нет необходимости бросать кости, чтобы узнать, что вероятность выбросить четное число составляет 1/2, или 50 %.

Если два события связаны таким образом, что оба не могут произойти одновременно ввиду некоего логического ограничения (например, невозможность вытянуть одновременно красную даму и даму пик при условии, что тянут только одну карту, из стандартной колоды в 52 карты), тогда вероятность наступления одного либо другого события – это сумма вероятностей каждого из событий. Другими словами, вероятность вытянуть красную даму или даму пик составляет 1/26 + 1/52 = 3/52.

Общий смысл следующий: предположим, что X обозначает исход испытания, а P (X) – вероятность наступления события. Тогда вероятность того, что событие не наступит, будет 1 – P (X). Например, если вы подбрасывали монетку, то P (орел) будет равняться 1/2, как и P (решка). Если бросают пару игральных костей, то P (4) = 1/12, а P (не 4) = 11/12[7]. Если X и Y – возможные взаимоисключающие исходы, то вероятность наступления события X и Y равна 0 и вероятность наступления X или Y равна P (X) + P (Y).

В качестве примера из жизни возьмем следующие события: первое – случайно встретиться с лучшим другом на Бора-Бора утром в следующий вторник; второе – случайно встретить двоюродного брата или сестру после полудня в тот же самый день в Рейкьявике. Первое имеет влияние на второе. Если вы не располагаете личным истребителем F-15, вы не можете случайно встретиться с лучшим другом на Бора-Бора и случайно встретиться с двоюродным братом или сестрой в Рейкьявике. Естественно, допущение обеих возможностей дает лучшие шансы. В случае с картами: можно вытянуть красную даму или (черную) даму пик. Если, с другой стороны, мы имеем ситуацию, где одно событие совершенно не зависит от другого, тогда вероятность того, что наступят оба, – это произведение вероятностей каждого из событий. Вероятность вытянуть красную даму, а затем, вернув ее в колоду, вытянуть даму пик будет 1/26 × 1/52 = 1/1352.

Действительно, требование о том, чтобы наступили два заданных события, дает меньшие шансы. С другой стороны, вероятность вытянуть из колоды обе карты, не возвращая в колоду первую карту, немного осложняет задачу. Нам потребуется найти вероятность того, что одно событие наступит после другого: условная вероятность. Случай со сдачей двух карт из одной колоды поучителен. Если допустить, что сданную карту не возвращают в колоду, то вероятность вытянуть красную даму, а затем – даму пик составит 1/26 × 1/51 = 1/1326. В момент сдачи второй карты в колоде не будет одной красной дамы или попросту одной карты. Таким образом, вероятность вытянуть даму пик на второй сдаче будет вероятностью вытянуть ее из колоды в 51 карту. Не возвращая карту в колоду, мы тем самым увеличиваем вероятность сдачи дамы пик. В данном случае важно то, что мы имеем дело с произведением двух чисел, оба из которых меньше единицы, а это означает, что полученная вероятность будет меньше вероятности каждого из событий. Для ясности отметим: мы условились, что дама пик была вытянута после красной дамы. Если бы условием была сдача любой из карт – дама пик вытянута первой по счету или второй, вероятность была бы больше. Мы рассматривали бы две вероятности: вероятность сдачи дамы пик, а затем красной дамы и вероятность сдачи красной дамы, а затем дамы пик.

Разница между шансом и вероятностью

Мы видим различие между понятиями «шанс» и «вероятность». Когда мы говорим, что шанс – это m: n, мы имеем в виду, что ожидаем, что событие не наступает в m случаях из n, когда оно наступает. Стандартная запись выглядит как m: n, что на словах означает «отношение m к n». Если шанс – это m: n, то вероятность будет отношением n/m+n, т. е. шанс 4 к 1, если перевести в вероятность, будет 1/5. Для вычисления шансов наступления события p вычислим отношение (1 – p)/p и сократим его до m/n. Тогда шанс того, что событие наступит, составит m к n. В случае с p = 1/5 отношение превращается в (1 – (1/5))/(1/5) = 4/1, таким образом шанс составляет 4:1[8].

Понятие шанса взято из азартных игр. С его помощью легче вычислять выигрыш; если выигравшая ставка в $1 оплачивается как m к 1, то выигрыш составит $m, т. е. сумма включает также и величину первоначальной ставки. Равные шансы или равная ставка означают, что шансы 1 из 1. В этой книге мы постараемся ограничиться случаями, где m = 1. Понять, насколько вероятно или невероятно событие, проще, когда мы знаем, что на одно удачное испытание приходится m неудачных. В определенных случаях мы будем использовать выражение «шансы 1 из m», подразумевая, что на m испытаний будет приходиться одно удачное. Так, например, «шансы вытянуть туза пик из колоды в 52 карты составляют 1 из 52», что можно выразить и как «шанс вытянуть туза пик из колоды в 52 карты составляет 51 к 1».

Вероятностный мысленный эксперимент

Выберем два любых маловероятных события. Примем в качестве первого – черная кошка перейдет вам путь в следующую среду. В качестве второго – вы когда-нибудь получите заказное письмо от юридической конторы, в котором будет сказано, что ваш двоюродный дедушка, о котором вы никогда не слышали, скончался и оставил вам миллион долларов. Предположим, что первое событие имеет вероятность 0,000001, учитывая численность черных кошек, шатающихся по улицам в вашем районе. Предположим, что вероятность второго – 0,000001, учитывая, что у ваших родителей не слишком много дядьев, о которых вы не знаете. (Эти числа я выбрал исключительно умозрительно.) Вероятность наступления обоих событий необычайно мала – всего 0,000000000001. Эта вероятность меньше, чем вероятность того, что наступит хотя бы одно из событий, и выше, чем вероятность того, что оба события произойдут одновременно. Несомненно, что вероятность наступления одного или другого события выше.

Теперь рассмотрим десять отдельных редких событий:

а) Черная кошка переходит вам путь в среду.

б) Двоюродный дедушка, о котором вы никогда не слышали, умирает и оставляет вам в наследство миллион долларов.

в) Кольцо, которое вы потеряли 20 лет назад, появляется на гаражной распродаже на вашей улице.

г) Сон, в котором мы встретили таинственного незнакомца посреди переполненной людьми комнаты, сбывается.

д) Вы играете в лотерею Texas Lotto и дважды выигрываете.

е) Вы случайно встречаете собственного брата на Бора-Бора.

ж) Находясь за границей, вы находите экземпляр книги Марка Твена «Таинственный незнакомец» с вашей подписью на титульном листе.

з) Вы получаете новый паспорт, номер которого совпадает с номером вашего социального страхования.

и) Вы находите экземпляр книги Марка Твена «Таинственный незнакомец», который был у вас во время учебы в школе, на скамье в парке (да, событие очень похоже на события «ж»).

к) Вы берете такси в Чикаго и узнаете в водителе человека, который подвозил вас в Нью-Йорке в прошлом году.

Я выбрал эти события произвольно. Некоторые из них являются совпадениями, некоторые – просто отдельные события. Они могли бы быть совершенно самостоятельными событиями, если бы не пресловутая бабочка над Тихим океаном, которая, как видно, влияет на все на свете: от погоды в Париже до результатов скачек «Кентукки Дерби», чем постоянно вызывает непредвиденные волнения. Почему кошка появилась в определенный момент? Таинственный незнакомец мог оказаться тем парнем, которому кошка принесла ваше давно потерянное кольцо.

Вероятность некоторых из этих событий и им подобных узнать чрезвычайно сложно даже приблизительно. Для простоты предположим, что вероятность каждого из событий составляет 0,000001, т. е. меньше, чем вероятность получить с раздачи флеш-рояль при игре в покер. Особых причин для того, чтобы брать именно это число, нет, кроме простого факта – такое событие не невозможно, но слишком уж рассчитывать на него не стоит. Может показаться, что вероятность наступления одного из двух событий в списке составит 2 × 0,000001 = 0,000002, потому что вероятности складываются, когда необходимо вычислить вероятность наступления одного из двух событий. Тогда можно наивно предположить, что, рассматривая только два события из предложенных, мы тем самым удваиваем вероятность. Но мы должны быть внимательны. Расчет игнорирует возможность того, что оба события (например, «ж» и «и» из списка) могут произойти одновременно. Нам необходимо вычесть вероятность такого исхода из суммы двух вероятностей. Если события независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей, то есть 0,000001 × 0,000001 = 0,00000000001, относительно небольшое число. Тогда действительная вероятность составит 0,00000199999 – немного меньше, чем ожидалось. Это подводит нас к любопытному вопросу. Ответ на него может заставить по-другому посмотреть на мир совпадений. В мире всевозможных необычайно удивительных событий должны быть тысячи – если не миллионы или миллиарды – событий, которые могут произойти с вами в течение одного года. Давайте предположим, что вероятность каждого из миллиона таких событий будет, скажем, 0,000001. Тогда вопрос в следующем: что произойдет, если мы объединим все эти события и попробуем найти вероятность того, что хотя бы одно из них произойдет в течение года? Нет реального способа определить, насколько независимыми друг от друга будут события числом в миллион. Мы не можем предполагать, что ни у одной из возможных пар событий нет прямой связи. Мы не можем не принимать в расчет возможность того, что одно событие может быть причиной другого или влиять на него или что отдельное событие может зависеть от другого. Например, если вы один раз выиграли в лотерею и потратите часть выигрыша на повторные попытки, это окажет влияние на второй выигрыш, он будет зависеть от первого. Также мы не можем просто сложить вероятности, чтобы получить вероятность того, что произойдет одно событие из миллиона. Это привело бы нас к абсурдным расчетам, из которых следует, что вероятность одного события составит 1 000 000 × 0,000001 = 1, т. е. событие будет достоверным! (Мы бы складывали 0,000001 миллион раз.) Чтобы такие расчеты сработали, события должны быть изолированными, т. е. не иметь ничего общего. Если они имеют что-то общее, то любая серьезная оценка вероятностей становилась бы делом непомерно сложным, если не невозможным. К примеру, нам пришлось бы исключить вероятность того, что черная кошка, которая может пересечь вам путь в следующую среду, также найдет ваше давно потерянное кольцо в водосточной трубе и принесет его таинственному незнакомцу, который попытается продать его на гаражной распродаже. Но даже при выполнении всех этих требований нам все же придется учитывать огромное число пересекающихся возможностей, которые могли бы снизить те или иные шансы. С другой стороны, если бы все из миллиона событий были взаимоисключающими, то математика говорила бы нам, что мы можем быть уверены – одно из них произойдет. Конечно! Любой активный человек может встретиться с миллионом возможных событий. Просто выйдя из дома, человек встречает необозримое число возможностей.

Событие «д» – единственное в нашем списке имеет довольно точно определяемую вероятность, но даже оно зависит от личности победителя. Чтобы выиграть дважды, нужно сначала выиграть в первый раз. Это значит, в первый раз выбрать шесть правильных чисел. Вероятность того, что это произойдет один раз, близка к 0,000000038 – в самом деле, достаточно малое число{36}. Иначе говоря, ваши шансы на выигрыш составляли бы 25 827 164 к 1.

Как это рассчитано? Есть 54 варианта выбора числа. Когда выбрано первое число, оно исключается, т. е. остается 53 возможных варианта для второго числа. Подобным образом для третьего есть 52 варианта, для четвертого – 51, для пятого – 50, для шестого – 49. Поэтому существует 54 × 53 × 52 × 51 × 50 = 18 595 558 800 различных способов выбрать шесть чисел, каждое от 1 до 54. Есть 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 различных способов расположения шести чисел. Поскольку порядок, в котором выбраны числа, значения не имеет, мы делим на 720 и получаем 25 827 165 – число различных возможных вариантов, только один из которых верен.

Вероятность выиграть во второй раз остается такой же; числа в лотерее не обладают способностью к запоминанию, равно как и вероятность. Вероятность, однако, зависит от того, как мы о ней думаем. Если вы забываете о том факте, что выиграли в первый раз, то вероятность не меняется. Ваши шансы составляют 25 827 164 к 1, а вероятность – 0,000000038. Вероятность выиграть во второй раз составляет 0,000000038 × 0,000000038 = 0,000000000000001444, что выглядит очень, очень маловероятно. Мы знаем, что ранее выигравшие числа из следующих лотерей не исключаются и никак на последние не влияют. Однако сам факт выигрыша странным образом такое влияние оказывает, а основано оно на личности победителя. Как преступники возвращаются на место преступления, так победители продолжают играть в лотерею. И делают это, имея полные карманы денег, покупая куда больше билетов, чем раньше. Таким образом, наши расчеты не учитывают всех прочих попыток сыграть в лотерею. Человек мог сыграть 100 раз, прежде чем случился второй выигрыш. В главе 7 (а именно в табл. 7.1) мы найдем шансы на выигрыш в лотерею 4 раза за 4 попытки, что является куда более сложным делом.

Глава 5

Дар Бернулли

Возможен ли математический закон, который откроет нам будущее? После того как пара игральных костей брошена, они «забывают» о том, где и как легли. Если кости «честные» и брошены без жульничества, нельзя заранее сказать, каков будет результат, и все же мы можем быть вполне уверены, что, если бросать кости достаточно долго, 7 будет появляться намного чаще, чем любое другое число. Дело в геометрии игральных костей и простых арифметических правилах: существует больше пар чисел от 1 до 6, в сумме дающих 7, чем любых других пар, которые можно получить в результате броска двух игральных костей.

Математика вероятности – относительно новая область знания. Она зародилась примерно в XVI в. До начала XVI в. математика не занималась неопределенными проблемами. Натурфилософы и математики больше интересовались познанием серьезных вещей, которые для одних могли быть абстрактными понятиями теории чисел и геометрии, для других – более практичными и полезными делами: например, геодезия или другие строительные технологии (в частности, строительство соборов). Само математическое понятие случайного было впервые описано в «Книге об азартных играх» (Liber de Ludo Aleae) Джероламо Кардано – сборнике работ, содержащих основы понимания природы случайности и того, что мы сейчас называем вероятностью; книга была написана около 1563 г.{37} Но «Книга об азартных играх» оставалась неизданной еще сто лет.

Джероламо Кардано был миланским врачом, математиком и игроком. Наибольшую известность ему принесла его книга «Великое искусство» (Ars Magna), опубликованная в 1545 г. В ней изложено все, что было известно на тот момент о теории алгебраических уравнений. «Книга об азартных играх» – это 15 страниц бессвязных математических и философских заметок. Кардано не собирался ее публиковать. Но в книге мы находим полезные инструменты для изучения частотности совпадений. Она считается краеугольным камнем теории вероятности, расчетных величин, средних величин, таблиц распределения, свойств сложения вероятностей и различных способов вычисления k успешных испытаний из N – общего числа испытаний. В ней даже содержалось предположение о существовании математического закона, который позже станет известен как слабый закон больших чисел. В общих чертах закон говорит о том, что разность между наблюдаемой вероятностью (которая совершенно не известна до момента наступления событий) и математически вычисленным средним значением p может оказаться сколь угодно малой при условии, что число испытаний N достаточно велико.

В строгом выражении он выглядит как загадочная скороговорка: вероятность P, что средний коэффициент успешности испытаний отличается от p, сколь угодно близка к нулю, при условии что N может быть сколь угодно большим для выполнения данного условия. В современной записи, где ε представляет любое выбранное малое число, сходится к 1 по мере того, как растет N.{38} Для тех читателей, которые подскочили, увидев этот набор символов, позвольте пояснить. Мы используем запись, разработанную для того, чтобы говорить о вероятности события, описанного в квадратных скобках. Например, P [на следующее 4 июля Центральный парк накроет ураган] обозначает вероятность того, что ураган накроет Центральный парк на следующее 4 июля. Таким образом, обозначает вероятность того, что разность между отношением k/N и p, взятая по модулю, будет меньше, чем любое выбранное малое число ε.

Это принцип, которому следуют средние величины в долгосрочной перспективе. Уместно спросить: как могут случайные события (без какой-либо памяти о каждом отдельном исходе) иметь среднее значение, настолько близкое к математически рассчитанной величине? К сожалению, этот замечательный истинный закон даже сегодня часто путают с тем, что некоторые называют законом средних чисел, который и не закон вовсе, а скорее, нелепое предположение, утверждающее, что если достаточно долго бросать монетку, то половина бросков придется на орла, а половина – на решку. Если только мы не примем «достаточно долго» за «неограниченно долго», то утверждение не так уж истинно.

Да, слабый закон больших чисел – действительно поразительная вещь. Но еще более удивительно то, что его можно доказать математически! Он показывает, что случайные события – события с широким диапазоном возможных исходов и без какой-либо памяти о каждом отдельном исходе – могут иметь эмпирическое среднее значение, близкое к математически рассчитанной величине. Математика может рассказать нам об определенных феноменах реального мира – строении мостов и плотин, которые подчиняются математическим законам. Летящий самолет и разбитое окно также следуют математическим законам. Стекло разбивается при определенных резонансных частотах; аэродинамический профиль крыла поднимает самолет, когда давление над крылом меньше давления под ним. Но, когда речь заходит о случайности, связи кажутся куда более загадочными. Игральные кости? Как можем мы знать, какая комбинация выпадет при следующем броске?

Кардано оставил после себя способ сделать это. До его «Книги об азартных играх» случай – счастливый или нет – был в руках Тихеи, Фортуны или других божеств, которые влияли на исход случайных событий в пользу того или иного исхода. Даже у греков, достигших удивительных высот во многих областях математики, не было математической теории азартных игр. Они просто бросали кости, полагая, что удача, случай или некое божество решали их судьбу. О, конечно же, они знали, что некоторые числа выпадали чаще других. Несомненно, знали, что 7 выпадает чаще любого другого числа. Все, что им нужно было сделать, – это сосчитать число вариантов выбросить 7 и сравнить с числом вариантов других комбинаций. Но, насколько мы можем судить, у них не было понятия о прогнозной вероятности.

Небольшая рукопись Кардано содержала первые крупицы знаний и ключи к науке о случайном. Мы узнали, что наблюдаемые факты помогают определить, что может случиться. Согласно Анри Пуанкаре, именно тогда мир узнал, что удача одного человека равна удаче любого другого и даже удаче богов.

Мы должны помнить о том, что во времена Кардано еще не существовало простого научного понятия случайности. Например, математики не задумывались о том, почему одни числа выпадают чаще других. Галилей разрешил эту загадку через полвека после смерти Кардано, когда написал небольшой трактат об игре в кости, хотя маловероятно, что Галилей знал о «Книге об азартных играх» Кардано. Он перечислил все комбинации и обнаружил, что для трех игральных костей существует 27 различных способов получить в сумме 10 или 11, но только 25 способов получить 9 или 12.{39}

Конечно, опытным игрокам это и так известно. У них есть фундаментальное понимание игры, основанное на народной мудрости, накопленной веками практики и наблюдений. У них также есть интуитивное знание шансов выпадения комбинаций; так, для 3 игральных костей, как они хорошо знают, 10 и 11 встречаются гораздо чаще, чем любое другое число. Но существует разница между интуицией и математическим объяснением. С уверенностью, которую дает математика, можно практически рассчитывать на успех. Для тех, кто знает, как вычислить математический шанс, решения уже не выглядят столь рискованными. В конечном итоге это уже практически достоверность, несмотря на отдельные уколы неопределенности, вызываемые случайностями и совпадениями.

Две шестерки и рождение вероятности

Центральные понятия математической вероятности можно отследить уже в 1654 г. Зима в Париже была необыкновенно холодной. Даже Сена замерзла. Сообщалось, что парижане катались по реке на коньках, а на перекрестках горели костры, рядом с которыми священники раздавали беднякам хлеб. Экономика была задушена 30 годами религиозных войн в Европе, опустошившими французскую казну. Государство было вынуждено повысить налоги на рабочий класс, но бесчестные сборщики налогов мало что доносили до казны. На троне восседал Людовик XIV, а знать, освобожденная от налогообложения, накапливала ужасающе непомерные богатства. Не случайно праздные богачи открыто предавались азарту в игровых залах по всему Парижу{40}. Как не случайно и то, что нарождающаяся математическая теория вероятностей появилась именно тогда, в ту самую зиму 1654 г.

Несмотря на то что азартные игры известны с начала времен или по крайней мере с тех пор, когда троглодиты стали катать кости по полу своих пещер, к середине XVII в. они стали основным видом развлечений во Франции. Серьезной математической теории случайного не существовало, кроме грубых попыток, которые мы находим в ошибочных математических работах и книге Фра Лука Пачоли «Сумма» (Summa), опубликованной в 1494 г., – учебнике, в основном посвященном алгебре. К 1654 г. рукопись Кардано «Книга об азартных играх» вышла в свет с некоторыми подсказками по поводу того, сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы иметь шансы на комбинацию из двух шестерок выше, чем один к одному{41}.

Философ-математик Блез Паскаль прочел экземпляр «Книги об азартных играх» в поисках этого числа, но не поверил в приведенное решение. Он заболел и пролежал в постели весну и лето, ведя переписку со своим другом, юристом и математиком Пьером Ферма{42}. Вместе они пришли к выводу, что шансы выбросить две шестерки немного меньше, чем 1 к 1, при 24 попытках и немного больше при 25.

Паскаль знал, что «глаза змеи» (две единицы) и «товарные вагоны» (две шестерки) появляются очень редко, поскольку шанс их выбросить – 1 к 36, тогда как шанс выбросить семерку – 1 к 6 (рис. 5.1). Он понял, что проще будет вычислить шанс не выбросить две шестерки, т. е. 1 – 1/36 или 35/36. Он также понял, что каждый бросок не зависит от предыдущего и что вероятность двух независимых событий – это произведение вероятностей каждого из событий, а тогда вероятность не выбросить две шестерки за n бросков – (35/36)n. Он вычислил, что (35/36)24 равняется 0,509, а (35/36)25 равняется 0,494, и пришел к выводу, что шанс получить две шестерки за 24 броска немного ниже, чем 1 к 1, и немного выше, чем 1 к 1, за 25 бросков{43}.

Основы учения о вероятности пришли из задачи об игральных костях и ей подобных. Внешний слой вероятностного или стохастического мира можно проиллюстрировать одной картинкой. Давайте поразмыслим о мире следующим образом: если на событие влияет некая причина, то шансы, что эта причина придаст направление возможному будущему событию, выше, чем один к одному. Если на событие не влияет никакая причина, то возможное будущее развитие события может пойти в том или ином направлении без предрасположенности к какому-либо конкретному исходу. Есть ли причина, нет ли ее – шансы выше, чем один к одному, оставляют открытой дверь для случайности или совпадения. На рис. 5.2 мы показываем это с помощью так называемой доски Гальтона в качестве модели.

Доска Гальтона моделирует события, определяемые объективной случайностью. На набор стержней бросают шарик таким образом, что шарик ударяется точно о середину верхней части стержня, при этом шансы, что шарик отскочит влево или вправо – точно 1 к 1. Если шарик отскакивает вправо, то он опускается на стержень, находящийся ниже, и либо снова ударяется точно о середину верхней его части, либо отклоняется в одну или другую сторону. В теории шарик может удариться точно о середину верхней части стержня. На практике, однако, этого никогда не происходит. Почему? Сначала мы должны задуматься: что значит «верхняя часть стержня»? Значит ли это верхнюю молекулу стали (если предположить, что стержни сделаны из стали)? Но ее не существует. Тогда на практике есть причины того, что шарик отклоняется в одну или другую сторону. Возможно, это малейший поток воздуха, через который должен пройти шарик, или малейшие колебания, проходящие через опоры стержней, или мельчайшая частичка пыли, оказавшаяся в месте соударения шарика и стержня. На практике есть сотни переменных, определяющих, в какую сторону отскочит шарик после столкновения со стержнем. Кроме того, следует учитывать микроскопические вмятины и упругость соударения.

Сэр Фрэнсис Гальтон, английский генетик, живший в XIX в., построил такую доску со штырями, расположенными в шахматном порядке – как точки на грани игральных костей с числом 5. Гальтон хотел показать, что физические явления движутся с попутным ветром случайности. В идеальной доске Гальтона, т. е. в такой, где шарик всегда попадает ровно в центр верхней части стержней, шарик отклоняется вправо или влево так, как если бы для выбора направления кто-то подбрасывал монетку. В реальности же бабочка, взмахнувшая крыльями над Тихим океаном, или корова, пукнувшая на кукурузном поле в Айдахо, могут определять этот выбор. Перед каждым соударением результат предыдущего – это забытое прошлое; шарик уже не помнит предыдущего исхода, а потому ведет себя так, как если бы ударился о первый стержень. И все же совокупный результат, похоже, учитывает историю всех предыдущих.

Давайте рассмотрим это с точки зрения математики. Предположим, что шарик ударяется о четыре ряда стержней на пути вниз. Шанс того, что шарик пойдет после каждого удара вправо или влево, – 1 к 1, в результате чего шарики формируют под стержнями кривую в форме колокола. Подсчет числа вариантов падения шариков это доказывает. Предположим, что ход снижения брошенного шарика записывается буквами L и R, означающими отскок влево и вправо соответственно. Тогда у нас будут следующие возможные исходы:

Вариантов с разными буквами больше, чем только с одной буквой, и, поскольку шансы того, что шарик пойдет влево или вправо, равны, есть тенденция к тому, что шарики будут чаще падать в сторону центра под верхним стержнем. Причина в том, что в результате серий, скажем 12 выборов L и R (как показано на рис. 5.3), существует больше серий с шестью L и шестью R, чем любого другого числа L и R.

В результате каждого столкновения со стержнями считаем падение шарика влево как –1, а вправо – как +1. После столкновения с 12 рядами стержней шарик оказывается в одной из 12 ячеек в нижней части доски.

Так, например, шарик в крайней левой ячейке на рис. 5.3 получает совокупное значение –12. Конечное положение каждого шарика представляет отдельное совокупное значение. Шарики демонстрируют тенденцию к тому, чтобы отклоняться в центр. Однако, хотя достаточно много шариков падают в два центральных слота, большее их число оказывается в остальных слотах.

На рис. 5.3 набор шариков представляет конечное совокупное значение 140 испытаний: 31 шарик упал в пять слотов слева, 55 – в пять слотов справа и 54 – в два средних слота. Верно, что конечное положение каждого отдельного шарика ничего не говорит об истории его путешествия. Почти 60 % шариков упали вне двух центральных слотов. В общем, шарик, упавший на несколько рядов вниз и находящийся слева, может закончить свой путь справа, но так же верно и то, что, чем дальше он отклоняется влево, тем меньше у него шансов вернуться вправо.

Сегодня теория вероятностей развивается в двух направлениях: эмпирическом и абстрактном. Например, эмпирическим подходом будет использовать большие выборки, чтобы оценить вероятность, тогда как абстрактным подходом – задействовать научный принцип, чтобы зафиксировать вероятность через известные факты, такие как аргумент симметрии или физическая теория. Нам известна вероятность того, что идеальные игральные кости выпадут на 1 в силу кубической геометрии самих костей. Но вероятность выпадения 1 на обычных игральных костях может быть найдена посредством большого числа испытаний и записи числа испытаний, когда выпадает 1; эта вероятность может оказаться немного больше или меньше 1/6 – все-таки это реальные несовершенные кости.

Многое зависит от самой кости. Кости, которые входят в наборы для настольных игр, выполнены довольно грубо. Ятзи – игра в кости, появившаяся в 1950-е гг. В игре используется 5 кубиков. Если при броске все 5 костей дают одно и то же число, такая комбинация называется ятзи. Шансы выбросить ятзи – 1295 к 1.{44} Вы могли бы решить: чтобы выбросить такую комбинацию, потребуется 1296 попыток. Но если достаточно большое число людей по всему миру уделят игре хотя бы немного времени, то такая комбинация может запросто выпасть с первой попытки. Именно так думал Брэди Харан, когда попросил сотни подписчиков своего сайта попробовать выбросить ятзи и записать бросок на видео. Как вы могли догадаться, некоторые выбросили ятзи после нескольких первых попыток, а многим это удалось после нескольких сотен бросков{45}.

В XVIII в., чтобы найти вероятность события, вы бы просто посчитали отдельные случаи: вы взяли бы отношение числа желаемых исходов к числу всех возможных случаев. «Честные» кости могут выпасть одной из возможных сторон, поэтому вероятность p того, что кость выпадает конкретной стороной, – 1/6. Но Бернулли задал вопрос иначе. Он хотел его расширить, чтобы включить проблемы, касающиеся болезней и погоды, с надеждой охватить другие научные вопросы{46}.

Теорема Бернулли

Математиков часто приводит в восхищение величие и красота абстрактного принципа. Их увлекает красота, возникающая, когда теорию можно изящно применить к природному миру. Швейцарский математик Якоб Бернулли торжествовал, когда ему удалось доказать слабый закон больших чисел после знакомства с «Книгой об азартных играх» Кардано. Этот закон поистине удивителен, ведь он говорит нам, что, пусть природа и непредсказуема и содержит неизмеримое число компонентов и переменных, у нас все же имеются поразительно искусные способы измерить ее тайны{47}. Он дает нам удивительную возможность разобраться с неопределенностью.

Когда Якоб Бернулли умер в 1705 г., он оставил кипы неоконченных и неопубликованных рукописей своему племяннику Николаю Бернулли. В течение следующих восьми лет Николай разбирался в бумагах своего дяди и наконец опубликовал «Искусство предположений» (Ars Conjectandi) – революционную работу, за которой и сейчас признается новаторство в области описания важнейших понятий теории относительности. В посмертно опубликованной книге в 1713 г. применен уникальный подход, реализованный в виде примера, где говорится об урне, наполненной черными и белыми жетонами, а нам необходимо найти соотношение черных и белых, даже если мы не знаем, что в урне содержится 3000 белых жетонов и 2000 черных. Надо понимать, что существует математическая вероятность, представленная в виде отношения числа белых жетонов к числу черных жетонов. Но числа эти нам неизвестны. Как в таком случае узнать математическую вероятность? Вот план Бернулли: вы вслепую выбираете один жетон, записываете его цвет, кладете его обратно и трясете урну. Если вы повторите это действие, вслепую выбирая жетоны один за другим достаточно долгое время, то по мере увеличения числа попыток становитесь все ближе в этой таинственной математической вероятности. Предположим, например, что после 200 слепых выборок вы записали: 120 белых и 80 черных. Тогда отношение числа белых к черным составит 3 к 2. Далее, вы можете предположить, что вероятность выбрать белый – 120/200, или 3/5.

«Искусство предположений» Бернулли дает нам слабый закон больших чисел. Если подбросить правильную монету N раз в надежде, что орел выпадет k раз, теорема говорит о вероятности того, насколько близко будет отношение k/N к 1/2, математической вероятности того, что орел выпадет за одну попытку. Некоторые игроки, выдавая желаемое за действительное, полагают, будто это означает, что для больших значений N исходы событий приблизятся к вероятностям этих исходов. Таким образом, если опять использовать бросание монеты в качестве примера, заблуждающийся игрок полагает, что, поскольку p = 1/2, общее число исходов орел сойдется к общему числу исходов решка в долгосрочной перспективе. Теорема говорит только о том, что существует возможность сходимости общего результата к достоверности в долгосрочной перспективе. Нет никаких гарантий того, что это произойдет в любом из отдельных случаев. В качестве примера давайте предположим, что у нас есть игра, состоящая из N повторяющихся событий, таких как бросание монеты N раз, и мы считаем число раз, когда выпадает орел. Математическая вероятность того, что правильная монета выпадает орлом, – 1/2. Что мы увидим, подбрасывая монету в реальной жизни? Будет ли коэффициент успешности испытаний близок к 1/2, скажем, настолько близок, что будет в пределах 1/10 000? На самом деле ответа мы дать не можем, но мы можем выразиться иначе и спросить: будет ли вероятность того, что разность k/N и 1/2 меньше, чем 1/10 000, когда-нибудь больше, чем, скажем, 0,999. Теорема Бернулли говорит, что да, такое случится, если N продолжит увеличиваться со временем. Но она не исключает полностью случаев, когда разность между k/N и 1/2 больше, чем 1/10 000, даже для больших значений N. На деле, даже если коэффициент успешности испытаний k/N приближается к 1/2, нет гарантии, что он продолжит это делать. Кроме того, оказывается, что немного усиленная версия теоремы Бернулли говорит нам: хотя коэффициент успешности испытаний k/N, очевидно, сходится к 1/2, реальные значения успешности демонстрируют склонность ко все более своенравному поведению. Рассмотрим следующее удивительное утверждение: вероятность расхождения реального числа успешных испытаний с ожидаемым числом k/2 успешных испытаний (т. е. выпадения орлов) становится все больше и больше по мере увеличения числа испытаний[9]. Хотя это утверждение и противоречит нашей интуиции, но оно верно{48}. Однако оно также говорит, что в долгосрочной перспективе разность между действительным средним, которое мы получаем эмпирически после испытаний (и совершенно нам не известное до момента завершения этих испытаний), и математически вычисленным средним может быть сколь угодно малой при условии, что число испытаний N достаточно велико. Это означает, что случайные эмпирические события (не имеющие совершенно никакой памяти о каждом из исходов) имеют среднее, близкое к математически вычисленному числу!

Бернулли был так доволен своей теоремой, что предполагал ее применение к наиболее важным событиям всего сущего. В своем «Искусстве предположений» он написал:

Этот замечательный результат показывает нам, что, если бы наблюдение всех событий продолжилось вечно (и вероятность обратилась бы в совершенную достоверность), тогда мы бы наблюдали, как все явления случаются с постоянными коэффициентами и неизменной цикличностью. Таким образом, даже за наиболее случайными и удачными нам надо будет признать определенную квазинеобходимость и, так сказать, фатальность. Я не знаю, захотел бы Платон включить этот результат в догмат о всеобщем возвращении вещей в их предыдущие положения [апокастасис], в котором он предсказывал, что по прошествии бесчисленного множества веков все вернется в свое исходное положение{49}.

В теории теорема Бернулли должна была стать интеллектуальной бомбой, чудом математической оценки неопределенности. Она сулила предсказание будущего. Здесь мы впервые встречаем математический закон, который дал нам замечательный и простой способ понять, как ведет себя случайность в реальном мире; теорему, которую Бернулли с гордостью называл строгой, оригинальной и такой блистательной, что она придала значимость всем разделам его работы. Но Бернулли был разочарован некоторыми из своих экспериментов, которые относились к задачам, связанным с болезнями и погодой. Он честолюбиво задал для себя предельно высокий критерий достоверности даже по сегодняшним стандартам{50}.

Бернулли дал нам огромные возможности для оценки неопределенного поведения природы, а также азартных игр – метод расчета математического ожидания без какой-либо априорной информации. «В самом деле, если заменить урну, к примеру, на воздух или человеческое тело, содержащие в себе возбудителя [fomitem] различных изменений в погоде или болезней, как урна содержит жетоны, мы сможем ровно таким же образом определить посредством наблюдения, насколько проще может произойти то или иное событие в этих объектах»{51}.

Когда Эйнштейн остроумно заметил: «Бог не играет в кости с Вселенной», – он говорил о возникшей тогда квантовой механике, которая не могла достоверно предсказывать исходы рассматриваемых ею явлений{52}. Фортуна никогда не согласится с тем, что результат броска игральных костей на самом деле неслучаен, как лотерейная комиссия никогда не признает, что шарики для пинг-понга с выигрышными номерами выпадают неслучайно. Никто еще не предложил машину, дающую совершенно случайные числа. «Брошенные кости, – пишет физик Роберт Оэртер, – по сути своей не случайны; исход только кажется случайным из-за нашего невежества относительно маленьких деталей, скрытых переменных (например, угла пуска или трения), которые определяют исход броска»{53}. У большинства феноменов в нашей Вселенной (в особенности тех, которыми движут атомные силы) слишком много этих скрытых переменных, чтобы математика могла предсказывать исходы. Мы, как правило, не осведомлены о подробностях таких чудес. И все же у нас есть этот удивительный дар, который был тайной вплоть до XVII в., – дар, дающий ключ к пониманию случайности, а также средства к предсказанию будущего: знание о том, что большинство явлений неквантового механического мира подчиняются слабому закону больших чисел, пусть каждое явление в отдельности и не обладает памятью о собственном прошлом. Играет Бог в кости или нет – долгосрочные тенденции ожиданий предсказуемы и почти всегда достоверны{54}.

Доказательство Бернулли опирается на число возможных комбинаций предметов, и их расчет не имеет ничего общего со случайными поворотами фортуны. Эдит Дадли Силла, известная переводчица «Искусства предположений», говорит, что Бернулли объяснял связь посредством теологии. Она писала: «Он уверяет, что в сознании или воле Бога есть четкие и определенные ситуации, известные Богу вечно, и со временем проявляющие себя в опыте или наблюдении». Говоря о «вечности», она имеет в виду то, что Бернулли игнорировал фактор времени в расчетах коэффициентов успешности случайных событий. Силла указывает на следующий довод Бернулли: «Нет существенной разницы между тем, чтобы выбросить желаемым образом одну игральную кость в течение некоторого времени, и тем, чтобы бросить сразу такое число игральных костей, которое равнялось бы числу сделанных бросков одной кости»{55}.

Математическое ожидание

Ожидание, измеряемое математическим ожиданием (мы дадим определение ниже), – это упряжь, которой взнузданы тайны неопределенности. Вместе со стандартным отклонением, которое измеряет объем того, что выпадает из ожидания, оно дает нам возможность рассмотреть стохастический (случайный) мир. Две эти величины – математическое ожидание и стандартное отклонение – колеса и винтики статистики частотного распределения, показывающей насколько приближаются данные к некоему центральному значению. Чудесным образом с помощью этих величин и простой алгебры у нас есть если не прямое управление, то по крайней мере теоретическое измерение феноменологической вероятности посредством слабого закона больших чисел. В физическом мире каждый бросок игральных костей и каждое падение шарика для пинг-понга определяется большим количеством изменчивых сил и обстоятельств, которые едва ли возможно измерить (скорость, траектория, воздушные потоки, гироскопический эффект, момент инерции, столкновения и т. д.), все же определимые в идеальном мире математики.

В 1657 г. голландский математик и астроном Христиан Гюйгенс опубликовал работу «О расчетах в азартных играх» (De Ratiociniis in Aleae Ludo), которая еще полвека оставалась главным учебником по теории вероятностей{56}. Это первая из напечатанных работ, указывающая на отличие между числом успешных исходов и возможным числом успешных исходов{57}:

Хотя исходы игр, которые определяются исключительно жребием, неопределенны, меру того, насколько человек ближе к выигрышу, чем к проигрышу, всегда можно установить. Таким образом, если человек ручается выбросить шестерку с первой попытки, нам на самом деле неизвестно, сможет ли он это сделать, но то, насколько более вероятен для него проигрыш, чем выигрыш, – вещь, вполне определенная и поддающаяся вычислению{58}.

Гюйгенс дает пример азартной игры, где для участия необходимо платить. Человек прячет три монеты в одной руке, семь – в другой; вы выбираете руку и забираете спрятанные в ней монеты. Чтобы продолжать игру, вы должны платить. Но вот в чем вопрос: сколько вам следует платить за игру? Первое утверждение Гюйгенса дает нам ответ: «Если я могу ожидать либо события a, либо b и любое может выпасть мне с одинаковой легкостью, то можно сказать, что мое ожидание будет равняться (a + b)/2». Ответ – 5, иначе говоря, ожидаемая выгода (сумма, которую вы ожидаете получить взамен), или среднее 3 и 7. Совсем не очевидно, что Гюйгенс понимал, какую поразительную силу будет иметь эта идея для будущего анализа рисков, азартных игр и собственно науки. Но он точно понимал, что ядро теории вероятностей – это просто математическое ожидание. Для математика середины XVII в. было бы совершенно преждевременно узнать истину: что все случайные процессы в природе, включая аннуитет, страхование, метеорологию и медицину, а также азартные игры, можно в той или иной мере предсказывать с помощью вычисления математического ожидания. Вообще математическое ожидание можно вычислить, умножив вероятность на размер выплаты. В большинстве случаев это средневзвешенное значение всех возможных величин, которые могут возникать; в качестве весов берутся вероятности. Это сумма всех возможных значений, после того как каждое значение умножено на вероятность его возникновения. В этом есть смысл; в конце концов вы ожидали бы получить 50 центов с доллара, если бы бросали монетку и ставили бы каждый раз по доллару на орла.

Например, возьмем лотерею Texas Lotto. В табл. 5.1 показаны результаты совпадения 3, 4, 5 и 6 чисел. Чтобы получить математическое ожидание от игры, перемножим вероятность и размер выплаты по каждому возможному совпадению и сложим все возможные совпадения.

Если мы предположим, что джекпот равняется, скажем, $2 млн, тогда математическое ожидание составляет 0,000000038 ($2 000 000) + 0,00001115 ($2000) + 0,000654878 ($50) + 0,013157894 ($3) = $0,171517582. Другими словами, реальная стоимость каждого играющего билета – всего 17 центов.

На том раннем этапе истории теории вероятностей люди использовали математическое ожидание как меру риска, не зная, что оно окажется самым естественным показателем центра распределения – склонности данных группироваться вокруг некоего центрального значения, как показано на рис. 5.3.

Глава 6

Длинная серия орлов

Согласно данным Всемирной организации здравоохранения, доля рождения мальчиков к общей рождаемости по всему миру составляет 0,515.{60} Если рассмотреть данные по конкретным регионам или странам, то шансы далеки от равных. В Мексике доля новорожденных мальчиков очень низкая, тогда как в США и Канаде их доля выше 0,5{61}. Однако для всего населения Земли – а оно уже больше 7 млрд – шансы рождения мальчиков по отношению к девочкам почти равны. Причина проста: у человеческого сперматозоида равное число X и Y хромосом, и у каждой из них равные шансы в момент зачатия. Это бросок правильной монеты.

После того как мы подбросили правильную монету 7 млрд раз, мы можем ожидать, что в половине из бросков выпадет орел. Но можем ли мы ожидать серию из миллиона орлов последовательно? Машина для бросания монеты показывает нам, что, несмотря на случайность траектории движения монеты, ее можно заставить выпадать орлом в 100 % случаев.

Вероятность падения правильной монеты орлом вверх – 1/2. Благодаря математике мы знаем, что по мере увеличения числа бросков монеты отношение орлов к решкам постепенно приближается к 1. Эвристическая оценка нарушает смысл последнего предложения, превращая его в утверждение того, что длинная серия решек неким образом окажется сбалансирована серией орлов. Легко стать жертвой ошибочного впечатления, что если одна из сторон очень долго не выпадала, то шансы ее появления увеличиваются с каждым ходом, хотя мы знаем, что теоретически каждый раз, когда брошена монета, шансы за и против каждого из исходов совершенно одинаковы – монета может с равным успехом выпасть «орлом» или решкой. Дело в том, что люди путают исходы событий и частотность.

Длинные серии орлов могут иметь место. Я наблюдал очень длинные серии орлов. На интуитивном уровне нам может казаться странным, что происходит нечто подобное. Предположим, что вы бросаете монету 10 раз и орел выпадает 7 раз. Пропорция орлов к решкам тогда составит 7 к 3. Бытовые представления подсказывают нам, что в ходе следующих десяти бросков решка должна выпасть больше шести раз, чтобы сбалансировать превысившее ожидания число ранее выпавших орлов. Но у монеты нет памяти о том, что с ней произошло ранее, есть только история результатов, записанная наблюдателем. Ничто не мешает монетке выпасть орлом в ходе следующих 500 бросков, однако, если это произойдет, мы сильно удивимся.

На рис. 6.1 представлен сгенерированный компьютером совокупный результат 500 бросков монеты (+1 для каждого орла, – 1 для каждой решки). Горизонтальная линия обозначает 0. Орел и решка перехватывают лидерство друг у друга. Это как гонка двух лошадей с равными шансами. Этого вполне можно ожидать. Суждение, основанное на бытовых представлениях, говорит в пользу того, что график должен был бы прыгать около нулевой линии. Однако чаще всего такие графики подолгу остаются с одной стороны от нуля.

Абсолютная случайность как теория и та же абсолютная случайность в реальном, физическом мире – не одно и то же. Пронумерованные шарики для пинг-понга, которые кружатся в акриловой сфере, а потом вылетают по специальной трубке, движутся вовсе не случайным образом, но для стороннего наблюдателя они определенно выдают случайные числа. Бросок монеты, который определяет, кто начинает матч в американском футболе, весьма далек от того, чтобы быть случайным. На самом деле результат броска монеты – вопрос элементарной физики. Уже созданы машины, которые могут бросать монету сколь угодно долго – тысячу раз, миллион – и всегда выпадает орел.

Недавние эксперименты показывают, что монеты, даже правильные монеты, склонны выпадать той же стороной, с которой начинается бросок, а исход броска зависит от угла между нормалью к плоскости монеты и вектора углового момента. Другими словами, полет монеты определяется начальными условиями. Диаконис, Холмс и Монтгомери построили машину, которая подбрасывает монеты посредством пружинно-храпового механизма{62}. С этой машиной любая монета, движение которой начинается из положения «орел», всегда (в 100 % случаев) выпадает орлом вверх. Так что результат броска монеты определяется физикой, а не случайностью. Рука того, кто бросает, и множество переменных внешней среды вызывают разнообразные исходы, которые кажутся случайными.

Но мы можем обмануться иллюзией того, что монета крутится, в то время как на самом деле она просто прецессирует в воздухе, как медленно вращающийся гироскоп. Ориентация монеты в полете определяется вектором ее углового момента, который может быть всегда направлен вверх. Итак, монета, которая начинает движение из положения «орел», может всегда выпадать орлом, поскольку следует определенной траектории, хотя кажется, что орел и решка крутятся.

Когда речь идет о бросании монеты в реальных условиях, а исходы событий определяются малейшим воздействием от землетрясений, происходящих в тысяче километров от нас, или надоедливой бабочкой-смутьянкой над Тихим океаном, все иначе. Но иначе не значит объяснимо или постижимо. Падение монеты очень даже может быть случайным, но наше человеческое представление о случайности часто не в ладах с нашим же предчувствием относительно случайных исходов. Поскольку у монеты нет памяти о предыдущих исходах, нам не следовало бы удивляться, если она выпадет решкой 100 раз подряд, но мы все же удивляемся.

На рис. 6.2 мы увидим странную историю. Исходы вполне следуют ожиданиям вплоть до 45-го броска, когда решка вдруг перехватывает инициативу примерно на 105 следующих бросков! Затем идет достаточно долгий период, когда лидирует орел, и совокупное значение опять приближается к 0. Но около 286 броска решка опять надолго вырывается вперед. Не то чтобы события не согласовывались с нашими интуитивными ожиданиями. Действительное отношение орлов к решкам наверняка приблизится к 1 в ходе значительно более долгого времени, но в краткосрочной перспективе этого не происходит. За 500 бросков решка выпала только на 12 раз больше, чем орел. Это достаточно мало, но последовательности орлов и решек могут расходиться значительно сильнее в совокупных результатах. Например, рассмотрим следующее испытание, показанное на рис. 6.3.

Орел полностью контролирует ситуацию. Совокупный исход показывает, что орел ведет настолько уверенно на протяжении всей серии бросков, что кажется, будто решка никогда уже не вырвется вперед.

Результаты компьютерной модели 1 млн бросков разобраны в табл. 6.1. Отношение k/N, где k – число успешных исходов, а N – число испытаний, называют эмпирической частотой успешности испытаний. В правой колонке в табл. 6.1 приведены абсолютные значения разности между эмпирической частотой успешности испытаний и 1/2 – математически предсказанной частотой успешности испытаний.

Слабый закон больших чисел не исключает, что какие-то маловероятные события будут происходить часто на раннем этапе игры или на более поздних. На самом деле, даже если коэффициент успешности приближается к математически предсказанному, нет гарантии, что он таким и останется. Чуть более сильный математический результат говорит нам, что, хотя коэффициент успешности может сходиться к теоретически вычисленному, действительные значения коэффициента склонны к довольно странному поведению по мере увеличения числа испытаний. Контринтуитивно, но это так.

Слабый закон больших чисел, примененный к любому событию, вероятность которого равна p, говорит нам, что вероятность приближается к 1 по мере увеличения N. Возьмем ԑ = 0,0001 (выбрано произвольно) с p = 1/2 для ситуации с бросанием монеты и спросим, насколько возможно, что  Обратите внимание (табл. 6.1), что имеет резкие перепады при низких значениях N. Но они, очевидно, есть также и при высоких значениях. От 100 000 до 200 000 оно увеличивается. Даже с 800 000 до 900 000 оно увеличивается, пока не падает на миллионе. Создается обманчивое впечатление, что разность между орлом и решкой приближается к нулю. Но ничего не говорится о волатильности этого приближения при увеличении числа испытаний. Как мы видим, волатильность увеличивается по мере увеличения числа бросков монеты.

Итак, что же здесь происходит? Похоже, что у более высокого N есть некоторая свобода от закона больших чисел, поскольку в масштабах больших чисел больше места для незаметных ошибок.

Для 5000 бросков были 2561 орел и 2439 решек с разностью 122. Это дает ошибку в 2,4 %, что не так уж плохо. Но, если не знать распределение этих орлов, может случиться так, что 122 орла были выброшены последовательно. Придерживаясь этой точки зрения, представьте, что 758 решек выброшены последовательно за 67 500 бросков или 694 орла выброшены последовательно за 82 500 бросков. Другими словами, нет математического закона, который исключает возможность последовательного выпадения огромного числа орлов при большом N.

Глава 7

Треугольник Паскаля

В физическом мире не существует совершенной симметрии, искусственных машин с бесконечно малым допуском или идеальных моделей. Это мир множества скрытых переменных, явления которого слишком трудно охватить точной мерой. Иными словами, подлинные случайности действительно происходят, и мы часто обращаемся к вероятностным картинам событий, чтобы понять сложный феномен случайности.

Что если бы у вас обнаружили миелодиспластический синдром – редкую форму рака, при котором костный мозг не вырабатывает достаточно красных кровяных телец? Вы столкнулись бы с дилеммой: согласиться на трансплантацию костного мозга с 70 % вероятностью успеха или не делать ничего и с 70 % вероятностью умереть в течение следующих 10 лет. Конечно, у трансплантации имеются свои риски. Помимо необходимости химиотерапии и риска инфекции будет еще 30 % вероятность смерти в течение следующих 6 месяцев.

Брайан Зикмунд-Фишер, который преподает теорию рисков и теорию вероятностей в Медицинской школе Мичиганского университета, столкнулся с такой дилеммой в 1998 г. Ему диагностировали миелодиспластический синдром и сказали, что без лечения он проживет всего 10 лет, а с лечением у него будет 70 %-ная вероятность жить нормальной жизнью{63}. Он сделал ставку на трансплантацию. Смысл в том, что шансы ничего не говорят об отдельном человеке. Вероятность в 70 % получена посредством сбора статистических данных о сотнях (возможно, тысячах) людей, которые столкнулись с той же дилеммой, – государственная, нелокальная статистика. Статистические группировки описывают тенденции и возможности, а не отдельные случаи, когда можно выиграть или проиграть.

Возьмем некое событие, которое вы могли бы счесть редким. Его математические шансы могут быть один к миллиону, но, вероятно, такие цифры связаны с тем, что событие оценивается как локальный феномен. В качестве примера можно взять белку, которую ударило молнией в тот момент, когда она пересекала дорогу. Когда мы говорим на этом знакомом языке шансов, то часто выражаемся фигурально, без какого-либо последовательного метода определения терминов. Итак, «один на миллион» обычно применяется к событию, которое, как мы думаем, происходит в довольно широких пределах Соединенных Штатов. Но США – большая страна. Это нетрудно увидеть, пролетев над маленькими домиками, маленькими деревьями и обширными зелеными полями. Мы не думаем ни о том, сколько там внизу белок, ни о том, сколько из них пересекают дорогу в отдельный момент времени. Ученые оценивают численность белок в США в 1,12 млрд, что в 3 раза больше населения страны. И белки постоянно пересекают дороги.

Учитывая 1,12 млрд белок, 6,5 млн км дорог и 9,5 млн км^2 площади США, вполне возможно, что каждую минуту 300 белок пересекают дороги{64}. Во время грозы это число может быть даже больше. В среднем в Соединенных Штатах случается 110 000 гроз в год. Летом гроз гораздо больше, чем зимой, что делает возможность поражения белки ударом молнии летом действительно очень большой.

Каждое явление в природе вызывается большим числом неопределенных возможностей. Когда бросают игральную кость, то результат сильно зависит от ее начального положения в руке бросающего и значительно слабее – от звуковых волн, создаваемых голосами присутствующих в комнате. Это лишь два внешних фактора, направляющих кость к положению, в котором она остановится.

То, как она ударяется об стол, точность ее балансировки, ее движение по руке, упругость соударения со столом – все это повлияет на то, какая из сторон будет направлена вверх, когда кость остановится.

Рассмотрим игру, в которой возможен только выигрыш или проигрыш, а вничью сыграть невозможно. Пусть X обозначает исход испытания, а P (X) – вероятность наступления этого исхода. Если бы вы, например, бросали монету, P (орел) равнялось бы 1/2, как и P (решка). В колесе для американской рулетки 38 ячеек, включая 0 и 00: 18 красных; 18 черных; 0 и 00 – зеленые. Если вы ставите на красное, P (красное) равняется 18/38 или, если упростить, 9/19, а P (не красное) равняется 10/19. Если бы вы бросали игральную кость, надеясь выбросить «очко» (1), то P (1) равняется 1/6.

Выберите любую подобную игру и спросите себя: какова вероятность выиграть 0, 1, 2, 3 или 4 раза? Вполне уместный вопрос, поскольку реальные азартные игры предполагают совокупные последовательности выигрышей или проигрышей. Вспомним о Джоан Гинтер, о том, как она 4 раза выиграла в лотерею. Вам также могут быть интересны шансы сыграть лучше, чем если бы вы остались при своих, или по крайней мере шансы не проиграть больше 2 из 4 ставок.

Обозначим последовательностями из букв W и L серии выигрышей или проигрышей. Четырехкратный проигрыш будет обозначен через LLLL, а четырехкратный выигрыш – через WWWW. Есть лишь один способ выиграть все 4 раза и только один – не выиграть ни разу. А если выиграть 1 раз из 4? Есть 4 способа выиграть 1 раз из 4, а именно: WLLL, LWLL, LLWL и LLLW. И, конечно, способов проиграть только 1 раз из 4 также 4. Как насчет 2 выигрышей за 4 тура? Двухкратный выигрыш будет представлен 6 вариантами: WWLL, WLWL, WLLW, LWWL, LWLW и LLWW. При независимых событиях, где исход первого события не имеет памяти о других (например, туры при игре в рулетку или игра в орлянку), вероятности одного или другого из 2 событий – это произведение вероятностей каждого из них. Исходя из того, о чем мы говорили в главе 4, если A и B – это возможные исходы, вероятность наступления и A, и B – это произведение P (A) P (B), а вероятность наступления A или B – P (A) + P (B) – P (A) × P (B).

Теперь давайте возьмем случай с 2 выигрышами. Чтобы упростить запись, примем, что p означает P (W), а q – P (L). Вероятность 1 отдельного выигрыша – p, и, поскольку выигрыш и проигрыш в разных турах – события независимые (т. е. каждый тур не зависит от предыдущего), мы видим, что вероятность 2 выигрышей в 4 турах – это p²q²[10]. Так происходит потому, что вам необходимо 2 раза выиграть и 2 раза проиграть, а когда логической связкой является «и», вероятности перемножают. Но, как мы выяснили, это может произойти 6 различными способами: WWLL, WLWL, WLLW, LWWL, LWLW и LLWW.

Поскольку логической связкой является «или», вероятность наступления любого из этих событий будет: ppqq + pqpq + pqqp + qppq + qpqp + qqpp, или просто 6p²q².

Рассмотрим четыре разные игры. В первой игре мы играем в рулетку и ставим на красное. Во второй мы подбрасываем монетку и ставим на выпадение орла. В третьей мы подбрасываем две игральные кости и выигрываем, если в сумме выпало 7, а во всех остальных случаях проигрываем. Наконец, в последней игре мы покупаем билет Texas Lotto и рассматриваем как выигрыш только джекпот. В таблице 7.1 приведены вероятности выиграть в каждой из этих игр (первый столбец). Мы также можем сыграть несколько раз. Допустим, мы играем четыре раза – тогда можем выиграть ноль, один, два, три или четыре раза. Вероятности соответствующих событий также приведены в таблице 7.1.

В теории и для рулетки, и для орлянки в соответствии с табл. 7.1 наиболее вероятен выигрыш в 2 турах из 4. Мы могли бы составить таблицу вероятностей для 100 туров рулетки и орлянки, однако это было бы ужасно долгим и непрактичным занятием. Вместо этого позвольте сказать только то, что в 100 турах орлянки игрок, ставящий на орла, с наибольшей вероятностью выиграет 50 раз, а в 100 турах рулетки, делая ставку на «красное», игрок с наибольшей вероятностью выиграет (как будет показано) только 37 раз{65}. Священный Грааль игрока – знать, какие именно 37 раз.

Отметим симметричность, присущую рулетке и орлянке, асимметричность костей и предельную асимметричность лотерей. Как насчет строки для рулетки в табл. 7.1? На гистограмме, изображающей число туров, когда выпадает «красное», против вероятности наступления этого количества туров, где выигрывает «красное» (см. рис. 7.1A), около числа 2 есть некоторая асимметрия, а центр притяжения (геометрическая точка равновесия), видимо, немного меньше 2. Когда число туров увеличивается до 8, отклонение становится еще более явным (см. рис. 7.1B){66}.

Увеличение числа туров в рулетке приводит к сглаживанию графика. Для 100 туров у нас будет 101 прямоугольник с основанием в одно деление{67}.

На рис. 7.2 изображено то, что называется частотным распределением. Высота прямоугольника над каждым из чисел означает то, как часто ожидается наступление отдельных событий. Столбцы распределяются по горизонтальной оси таким образом, что общая сумма их площадей равняется 1. Другими словами, площадь графика составляет 100 % всех возможных событий. Большая часть распределения частот концентрируется между 32 и 62, самый высокий столбец – 47. Меньше 32 и больше 62 вероятности настолько малы, что на графике их не видно. Например, P (31) = 0,00034, а P (63) = 0,0006. Весьма маловероятно, что «красное» выпадет 20 или 80 раз, однако, как все совпадения, не исключено.

В случае орлянки, где p равняется q, симметрия идеальна. Но p не обязательно равняется q. Мы обнаруживаем все более выраженную асимметрию по мере того, как увеличивается разрыв между p и q. В табл. 7.1 мы видим идеальную симметрию в 5-й колонке слева и почти никакой симметрии в 7-й колонке. И все же все вычисления основываются на 3-й колонке и производятся с помощью так называемого треугольника Паскаля – ключе к хранилищу инструментов теории вероятностей.

Треугольник Паскаля – это числа, расположенные в виде треугольника следующим образом:

Каждое число на рис. 7.3 – это сумма двух чисел, расположенных точно над ним в линии сверху: например, 3-е число (10) в 5-й линии сверху – это сумма 4 и 6 на 4-й линии. Сперва отметим симметричность, а затем обратим внимание на то, что числа те же, что мы видели, когда раскладывали по степеням сумму двух переменных p и q. Мы находим те же числа, когда раскладывали по степеням (p + q) n. Например, при n = 2 (p + q)² = (p + q) (p + q) = p (p + q) + q (p + q) = p² + pq + qp + q² = p² + 2p¹q¹ + q².

Если мы возведем в степень n = 1, 2, 3, 4, 5, 6…, получим следующую матрицу в форме треугольника:

Для любого n константы в разложении двучленов (p + q)n – это как раз числа из треугольника Паскаля.

История этого треугольника начинается задолго до Блеза Паскаля{68}. Он в 1527 г. появился в работах китайского алгебраиста XIII в. Чу Шикей, позже – на титульном листе «Учебника по арифметике» Петера Апиана (который можно увидеть на картине «Послы» [1533 г.] работы Ганса Гольбейна-младшего), больше чем за век до того, как Паскаль исследовал треугольник, названный его именем{69}. В современном Иране треугольник известен как треугольник Хайяма, в честь известного персидского поэта и математика Омара Хайяма, который использовал треугольник в XII в., чтобы создать метод нахождения корней n-х степеней. В современном Китае он называется треугольником Ян Хуэя, в честь другого математика, который описал его в XIII в. В Италии это треугольник Тарталья, в честь математика Никколо Тарталья, жившего за век до Паскаля. Однако Паскаль, собрав уже известные наработки о треугольнике, использовал их в теории вероятностей{70}.

Распределение вероятностей

На рис. 7.2 показана вероятность выигрыша при ставке на «красное» в 100 турах рулетки. Мы уже видели, какую форму принимает график, когда рассматривали примеры вычислений в табл. 7.1 и коэффициенты, получаемые в результате разложения двучленов (p + q)n. Распределение столбцов на графике справедливо называют биномиальным распределением. Слово «биномиальное» происходит от конструкции, основанной на двух мономах p и q. По мере увеличения n график выравнивается и принимает форму колокола. Чем больше n, тем плавнее кривая.

Выберем некоторое большое значение n. Мы изменим гистограмму, сохранив без изменений ее площадь, а следовательно, и вероятность. Поскольку основание каждого столбца[11] имеет ширину в одно деление, распределение вероятностей представлено в виде площадей прямоугольников, а также их высотами. Некоторые разумные изменения – сдвиг, сжатие и растяжение – дают нам новый график, который сохраняет всю полезную информацию оригинала{71}. Конечно, теперь, в измененном графике, вертикальная ось уже не обозначает вероятность. Вероятность заключена в площадях прямоугольников, а эти площади не изменялись, потому что мы растянули график по вертикали и сжали по горизонтали в одной пропорции[12].

Чего мы достигли? Вот оно – чудо, вдохновенная идея. Кривую (гистограмма биномиального распределения, показанная на рис. 7.2), которая изображает вероятность выигрыша при ставке на «красное» в 100 турах рулетки, можно близко аппроксимировать к одной определенной математической кривой. Тут важно понимать, что одна эта кривая описывает великое множество природных феноменов, являющихся результатами случайностей. Поразительно, но эта кривая моделирует события рулетки, хотя и не имеет очевидной связи с шариками, падающими в красные ячейки колеса рулетки. Еще более удивительно, что та же кривая моделирует также и орлянку. Всего одна кривая описывает вероятности столь различных явлений. Чтобы получить информацию о вероятности конкретного явления, нам нужно ввести некоторые данные в модель. Мы должны предоставить два числа – среднее (среднее значение) и стандартное отклонение (мера разброса от среднего){72}. Два этих числа дают информацию для модели, скажем, о рулетке, а именно: вероятность наступления события p (шарик падает в красную ячейку) – 9/19. Как только у нас есть эти конкретные p и N (число сыгранных туров рулетки), мы можем вычислить стандартное отклонение для нашей конкретной игры – ставки на «красное» в рулетке{73}. Это мера того, насколько велик разброс исходов от среднего, или стандартное отклонение от среднего, чаще называемое просто стандартным отклонением{74}.

Итак, каждая кривая биномиального распределения трансформируется с помощью математического трюка (посредством сдвигов и масштабирования) в особую могущественную кривую нормального распределения, график которой изображен на рис. 7.4{75}.

Числа в основании кривой на рис. 7.4 – это стандартные отклонения от среднего. Мы объединили испытания в группы по стандартному отклонению. Отдельные вероятности исходов событий теперь не видны. Переменная X под кривой на рис. 7.4 показывает отклонение числа эмпирических успешных исходов от наиболее вероятного их числа. Иными словами, X, переменная горизонтальной оси, измеряется в стандартных отклонениях. Высота кривой – это уже не вероятность, поскольку мы ее масштабировали и сжали, сохранив площадь под кривой. Но в обмен на это масштабирование и сжатие мы получаем некоторые ценные сведения. Первое: около 68 % площади под кривой лежат на одном стандартном отклонении от среднего и около 95 % площади – на двух стандартных отклонениях от среднего. Второе: одно стандартное отклонение отмечено точками перегиба, т. е. точками на кривой, где кривая меняет форму с вогнутой на выпуклую.

Хотя одно стандартное отклонение для исхода «красное» в 100 турах рулетки – это не то же самое, что стандартное отклонение для орла в 100 бросках монеты, чудесным образом кривая и в том и в другом случае одинакова. Но толкование значения этих кривых будет различным. Хотя кривая на рис. 7.4 может быть одинаковой для распределения в различных азартных играх, разметку на осях нужно рассматривать в соответствии с конкретными расчетами среднего и стандартного отклонения. Эти данные будут зависеть от числа туров и вероятностей положительных исходов для конкретных игр.

Когда мы исследуем частотное распределение, то склонны смотреть в основном на отклонение от наиболее вероятного значения. Но то, что происходит далеко за пределами наиболее вероятных значений, может иметь невероятно сильное воздействие на общий накопленный результат. Мы обращаем мало внимания на эту внешнюю область, потому что в основном думаем о центре распределения и явлениях, которые наиболее вероятны, а не о том, что могло бы произойти в самых маловероятных случаях.

Принимаем ли мы в расчет маловероятные ситуации самых плохих сценариев? Или говорим, что они настолько редки, что их следует просто отбросить? Это и есть совпадения или случайности природы, реальные физические явления, движущиеся с попутным ветром вероятности. По мере увеличения числа бросков «правильной» монеты общее число орлов может значительно превысить общее число решек (или наоборот). Например, ситуация, когда вы бросаете монету 100 раз и каждый раз выпадает орел, маловероятна, но возможна, несмотря на то что шансы выбросить орла при каждом подбрасывании 1 к 1. Все же будем немного более сдержанны и рассмотрим случай, где из 100 бросков мы имеем исходы в 41 орел и 59 решек, или вероятности 0,41 и 0,59 соответственно[13]. Похоже, что разница велика, но из 100 бросков разница между орлом и решкой на самом деле всего лишь 18. Однако, если вы бросите монету 500 раз (как мы сделали в главе 6) и найдете, что вероятности стали значительно ближе к 1/2, скажем, где пропорция орлов в общем числе бросков равняется 0,45, а решек – 0,55, итого у нас будет 225 орлов и 275 решек, разность составит 50.

Иными словами, разность может продолжать увеличиваться, даже если коэффициенты приближаются к 1/2. Добавим к этому понимание, что для распределения результатов нет прогноза, мы находим его по мере того, как увеличивается число бросков, и то же самое происходит с вероятностью возникновения все большего и большего числа непрерывных серий орлов. Мы могли бросить монету 100 раз, сделать паузу, бросить еще 100 раз, снова сделать паузу и продолжить дальше подобным образом. Каждый раз мы могли бы начинать вести счет заново. Тогда каким же образом выходит, что разность между решками и орлами может быть 50 за 500 бросков, но, возможно, 10 за 100 бросков? Когда случится разница в 50? Может ли она случиться на последних 100 бросках подряд? Конечно, это тоже будет совпадением, но у каждой возможности есть небольшой шанс!

В теории в рулетку играют шариком идеально сферической формы, который крутится и ударяется о безупречно сбалансированное колесо с идеально ровными ячейками в совершенно неподвижной комнате в мире, который мы никогда не видели и который никогда не существовал. Реальные ставки делают в физическом мире, где шарики и колеса производятся с предельно жесткими допусками, но эти шарики и колеса изготавливают машины, созданные человеком. Магическая связь между идеальным и физическим настолько замысловата, что наше непонимание ослепляет нас.

Идеальный мир и физический мир

В физическом мире мы могли бы исследовать подлинные колеса для рулетки на предмет их недостатков, составив таблицу наблюдений, которую можно изобразить как график распределения частот. Такой график будет совершенно не похож на график нашей идеальной модели, но если колеса действительно были «правильные» и если бы мы рассмотрели достаточное число туров, то график эмпирических результатов должен быть похож (по крайней мере по форме) на график на рис. 7.4. Если мы выполним n испытаний в эксперименте, у нас будет n эмпирических результатов O_1, O_2, O_3…., On с соответствующими вероятностями p_1, p_2, p_3,…, pn, дающими эмпирическое распределение вероятностей. Например, как мы отметили ранее в случае с игрой в кости, исходом может быть выпадение одной из шести сторон, вероятность каждой из которых – 1/6. В честной игре экспериментальная версия распределения должна быть близка к теоретическому распределению, но мы, конечно, признаем, что непременно будут некоторые расхождения, поскольку мир неидеален.

В данном контексте идеальный значит математический. Понимание реальных шансов исходит из сравнения данных, полученных в ходе наблюдений, с расчетами, ожидаемыми в идеальном мире. Игроки могут знать, что шансы не в их пользу, и все же надеяться на то, что физический мир отклонится от математических ожиданий в пользу их ставки. Корни такого поведения кроются к могущественной идее о том, что кто-то должен выиграть. Они будут сильно рисковать, не обращая внимания на математические ожидания фортуны.

Проанализировав опубликованные записи, сделанные в ходе 4 недель в июле и августе 1892 г. в казино в Монте-Карло, английский математик Карл Пирсон обнаружил, что механизм, который был настолько точен и выверен, насколько это вообще возможно для рулеточного стола, все же не вполне следовал законам вероятности{76}. Если допустить математическую точность, то шарик с одинаковой вероятностью падает в любую из 37 ячеек колеса.

Если исключить ячейку 0, то математическая вероятность попадания шарика в красную или белую ячейку будет одинаковой{77}. Это означает, что для большого числа физических (реальных) туров шарик должен попадать в красные ячейки в 50 % случаев.

Однако, проведя 2 недели за изучением 4274 туров рулетки в Монте-Карло, Пирсон обнаружил, что их стандартные отклонения от наиболее вероятного значения были почти в 10 раз больше ожидаемых. Шансы против того, что подобное могло случиться с правильной рулеткой, – 10 трлн к одному! Пирсон пишет: «Если бы рулетку в Монте-Карло крутили с геологического начала времен на этой Земле, то нам не стоило бы ожидать даже одного подобного исхода, какие случились в ходе пары недель игры, если учитывать, что игра действительно основана на случайности»{78}.

В результате какого-то чудесного совпадения Пирсону попалось настолько маловероятное явление, что оно могло произойти только раз за всю историю мира. Следует ли тогда ставить под сомнение правильность рулеточного колеса? Его студент провел собственный эксперимент в течение 2 недель и обнаружил результаты менее невероятные, но все же такие, что их следовало бы ожидать раз в 5000 лет, если играть в рулетку круглые сутки. Другой исследователь наблюдал 7976 туров в течение 2 недель в Монте-Карло и вычислил шансы против правильного колеса – 263 000 к 1. Другие эксперименты обнаружили такие же совпадения. Проведенное в 1893 г. наблюдение 30 575 туров рулетки показало шансы 50 млн к 1. Согласно Пирсону, «…если судить по публикуемым сведениям, которые, по-видимому, не отвергаются Обществом[14], и если законы вероятности действительно работают, то с точки зрения точной науки самым изумительным чудом XIX в. является рулетка Монте-Карло…»{79}

Расхождение теории с практикой было настолько невероятным, что Пирсон написал: «Шансы тысяча миллионов к одному против такого отклонения…»{80} Его наблюдения отличались от математически ожидаемых с перевесом 1000 млн к 1! Выдающийся математик Уоррен Уивер написал о случае в 1950-х гг., когда на рулетке в Монте-Карло выпали четные числа 28 раз подряд в прямой последовательности. Шансы такого исхода – 268 435 456 к 1. Учитывая число туров рулетки, играемых каждый день в Монте-Карло, подобное событие может произойти только раз в 500 лет{81}. Эксперт по играм Джон Скарн описал случай, произошедший 9 июля 1959 г. в отеле El San Juan в Пуэрто-Рико, когда рулеточный шарик выпал на десятку 6 раз подряд. Шансы этого события – 133 448 704 к 1{82}.

Если ожидается, что игра честная и то, что мы наблюдаем, – крайне маловероятно, то, может быть, игра не такая уж честная; однако мы также знаем, благодаря слабому закону больших чисел, что крайне редкие события вполне могут произойти по крайней мере один раз, если число испытаний достаточно велико.

Помните знаменитое совпадение в «Касабланке»? Оно тоже настолько маловероятно, что могло бы произойти только раз за всю историю мира. В фильме Рик Блейн, владелец ночного клуба «У Рика», пытается спасти Яна – жениха молодой болгарской девушки – от проигрыша: Ян поставил все свои деньги против документов на выезд из страны. Молодая, хорошенькая и наивная Аннина спрашивает Рика о честности капитана полиции Луи Рено, который обещал сделать для нее документы на выезд за определенные услуги с ее стороны.

Давайте вспомним следующую сцену в игровом зале в клубе Рика. Ян сидит за рулеточным столом. У него осталось только три фишки. Входит Рик и становится позади Яна.

Крупье (Яну): «Желаете сделать еще ставку, сэр?»

Ян: «Нет, нет, думаю, нет».

Рик (Яну): «Вы ставили сегодня на 22? (Смотрит на крупье.) Я сказал: 22».

(Ян смотрит на Рика, потом на фишки у себя в руке. Помедлив, он кладет фишки на 22. Рик и крупье обмениваются взглядами. Крутится колесо. Карл наблюдает.)

Крупье: «Vingt-deux, noir, vingt-deux»[15]. (Он передвигает стопку фишек на 22.)

Рик: «Поставьте еще раз».

(Ян снова смотрит с недоумением, но оставляет фишки на месте. Колесо крутится. Останавливается.) Крупье: Vingt-deux, noir. (Он снова двигает стопку фишек в направлении Яна.)

Рик (Яну): «Обналичьте их и больше сюда не приходите».

(Ян встает и идет к крупье.)

Посетитель (Карлу): «Скажите, а Вы уверены, что это честное заведение?»

Карл (оживленно, с умильным еврейским акцентом): «Честное? Честнее не бывает!»

Шанс того, что шарик упадет в ячейку 22 два раза подряд, – 1369 к 1, что совсем не выглядит для нас подозрительным, учитывая, что мы смотрим фильм. Это вымысел. Разумеется. В реальной жизни при честной игре, учитывая указанные шансы, не стоило бы удивляться, увидев, как 22 выпадет два раза подряд. Но ставку сделал Рик, и она сыграла именно тогда, когда он ее сделал. А это делает шансы против события куда больше, чем 1369 к 1.

Еще до появления этой замечательной вымышленной сцены был известен другой художественный сюжет – синьор Эммануэль Равелли (Чико) и Профессор (Арпо), играющие в карты в фильме «Воры и охотники». Равелли и Профессор (вечные подельники) сдают карты, чтобы определить партнеров для игры в бридж. Равелли берет карту и говорит, что у него туз пик. Профессор берет карту, показывает ее Равелли, тот восклицает: «У меня туз пик, у него туз пик. Ха, ха! Вот это-то и называется совпадением!»

Глава 8

Задача об обезьянах

Мы очень часто обманываемся по поводу того, насколько велик наш мир. Он больше, чем мы думаем; он меньше, чем мы думаем. 100 лет назад мы не отходили от своих городов и деревень. Мои прадеды и прабабки, жившие в Польше, точно не отходили слишком далеко от своего штетла. Сегодня в результате нашей международной мобильности мы повсюду натыкаемся на друзей и знакомых и не удивляемся этому. Мы не вполне осознаем, насколько огромен мир, когда можем добраться из Нью-Йорка до Гонконга за 15 часов. Если я спрошу: «Каково число людей (во всем мире), совершивших самоубийство за то время, которое заняло у вас чтение книги до настоящего абзаца?» – вы вполне можете ответить: «Ноль». Но, чтобы дать вам понять, насколько в действительности велик мир, позвольте заметить, что, по данным Всемирной организации здравоохранения, в среднем раз в 40 секунд где-то в мире происходит успешное самоубийство. Это в среднем 2160 человек каждый день! Уровень в разных странах разный. В Индии, где самоубийство считается преступлением, уровень почти в 2 раза выше среднемирового.

По определению совпадения – это события, которые происходят без очевидной причины. Очевидной для кого? Это не значит, что причины нет вовсе. Миром в основном движут причины и следствия. Я говорю «в основном», потому что существуют акаузальные феномены в физике, психологии и религии. Но слово «очевидная» говорит нам: в тот момент, когда мы узнаем причину феномена-совпадения, его статус уменьшается до простого пространственно-временного явления. Это должно означать, что совпадения имеют отношение к людям, с которыми они случаются. Это также означает, что есть неочевидная причина, ожидающая, когда ее обнаружат. Если причины нет вовсе, то событие происходит случайно.

Шанс получить туза пик из обычной, хорошо перемешанной колоды в 52 карты – 51 к 1 против события, это значит, что есть 51 шанс не вытянуть нужную карту и 1 шанс ее вытянуть. Возможность вытянуть туза любой масти – 12 к 1 против события. Проще говоря, это значит, что, сдав 13 карт, вы имеете достаточно хорошие шансы получить туза. Что произойдет в действительности – дело случая.

Предположим, вы вытянули туза пик, вложили его обратно в колоду, а потом снова его вытянули. Шансы вытянуть ту же карту все еще 51 к 1, хотя шансы сделать это два раза подряд были 2703 к 1. Иными словами, чтобы снова вытянуть туза пик, необходимы были два события, шанс каждого из которых – 51 к 1, поэтому вероятность вытянуть эту карту дважды составляет (1/52) (1/52) = 1/2704, а следовательно, шанс вытянуть туза пик дважды – 2703 к 1. Это может показаться парадоксальным, поскольку сдача второй карты ничуть не сложнее первой.

Даже при таких плохих шансах вытянуть туза пик второй раз все-таки можно. Мы по опыту знаем, что это происходит достаточно часто. Вы вполне можете поставить доллар на то, что вытянете туза пик два раза подряд, но все, что у вас есть, ставить не надо. Разумно было бы поставить доллар на то, что вы вытянете туза пик дважды, но с выплатой не меньше, чем 2703 к 1. Таким образом, если у вас есть несколько тысяч долларов, можно сыграть несколько тысяч раз и выйти, оставшись при своих… ха-ха… с довольно значительным шансом выиграть хотя бы раз.

Конечно, маловероятно, что получится вытянуть туза пик в 3-й или в 4-й раз. Вероятность сдать его 4 раза составляет (1/52) (1/52) (1/52) (1/52) = 1/7 311 616, т. е. шансы против события будут 7 311 615 к 1. Маловероятно, но возможно. Но в этот раз не стоит ставить даже доллар. В самом деле, можно его вытянуть 50 раз подряд, или 100 раз, или вообще любое число раз.

Если вы 4 раза подряд вытянули туза пик, то у вас могут появиться сомнения по поводу колоды. Но случай – странная вещь. Никакие законы случайности не препятствуют тому, чтобы этот туз пик появился 4 раза подряд. С равной вероятностью можно бросать ноты на бумагу, ожидая, что они сложатся в сонату Бетховена. Вы не станете утверждать, что можете писать музыку так же хорошо, как Бетховен, просто «подбрасывая» ноты в воздух. Но если заниматься этим достаточно часто, то когда-нибудь наверняка получится сносная соната.

Теперь давайте предположим, что вы играете в покер еще с 10 игроками. Шанс получить флеш-рояль, скажем, на «крести»: A♣ K♣ Q♣ J♣ 10♣ – составляет 2 598 959 к 1. Почему? Потому что есть 52 отдельных варианта получить первую карту, 51 отдельный вариант получить следующую, 50 вариантов получить третью, 49 вариантов получить четвертую и, наконец, 48 вариантов получить пятую. Иными словами, у нас 52 × 51 × 50 × 49 × 48 отдельных вариантов получить все пять карт. Но это число слишком велико. Оно предполагает, что комбинация была сдана в особом порядке, но в каком именно? Это не имеет значения. Вы могли получить туз 1-, 2-, 3-, 4-м или последним. Если установить, когда был сдан туз, то остается 4 варианта для короля, 3 для дамы, 2 для валета и 1 для десятки. Тогда, чтобы рассчитать число вариантов сдачи комбинации, мы должны разделить (52 × 51 × 50 × 49 × 48) на (5 × 4 × 3 × 2 × 1) и получить 2 598 960. Это означает, что существует 2 598 959 шансов НЕ получить комбинацию A♣ K♣ Q♣ J♣ 10♣ и только один – получить ее. Но шанс получить ничего не стоящую комбинацию тот же. Все согласятся, что комбинация 3♠ 6♥ 8♣ J♦ Q♠ – никчемная.

Шансы получить эту никчемную комбинацию также 2 598 959 к 1. Посмотрим на это с другой стороны: шанс, что вы получите A♣ K♣ Q♣ J♣ 10♣, гораздо меньше, чем шанс, что эту комбинацию получит любой из игроков.

Задача о дне рождения

Есть по крайней мере две математические модели, которые дают нам надлежащие способы оценки совпадений. Одна из них – задача о дне рождения, которая гласит: в любой группе из 23 человек шансы на то, что у 2 людей в этой группе совпадут дни рождения, выше, чем 1 к 1. Вторая – задача об обезьянах, в которой спрашивается: сможет ли обезьяна (если дать ей сколь угодно долгое время), случайным образом нажимающая на кнопки на клавиатуре компьютера, написать первую строку из сонета Шекспира?

Задача о дне рождения широко растиражирована в Сети и в популярных книгах по математике, а также является одним из наиболее исследованных курьезов, поэтому может показаться, что задача чрезмерно утрирована. Однако она также является моделью для осмысления совпадений – возможно, лучшей из имеющихся. Быть может, ее следует считать задачей о совпадении; в конце концов нас интересует возможность того, что в большой группе пространственно-временных событий одновременно произойдут два события A и B. Мы можем спросить: насколько большой должна быть группа событий, чтобы шансы совпадения A и B были выше, чем 1 к 1? Задача также достаточно хорошо поддается обобщению для того, чтобы дать нам возможность понять, как законы вероятности соотносятся с интуицией. В стандартном виде задача формулируется таким образом: в группе из N случайно выбранных людей насколько велико должно быть N, чтобы шансы на то, что у 2 людей в этой группе совпадают дни рождения (число и месяц), были выше, чем 1 к 1? Ответ: N = 23, удивительно малое число.

Найти N несложно. Пусть p (N) обозначает вероятность того, что у N человек дни рождения не совпадают. Сначала предположим, что N = 2. Тогда p (2) = 365/365 × 364/365, потому что любой из двоих людей может быть рожден в любой из 365 дней, исключая при этом один день для другого человека. Эта p (2) очень-очень близка к 1. Что неудивительно. Далее: предположим, что N = 3. По той же причине, что и в случае с N = 2, день рождения третьего человека не может совпадать с днями рождения двух других, т. е. p (3) = 365/365 × 364/365 × 363/365. Произведение легко сосчитать на калькуляторе. Продолжая таким образом, мы видим, что p (N) сокращается по мере того, как N увеличивается. В определенный момент мы дойдем до N = 23 и произведем следующие расчеты:

p (23) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 = (1/365)²³ × (365 × 364 × 363 ×… × 343) = 0,4927

Таблица 8.1 и рис. 8.1 показывают, что p (23) (вероятность того, что у двух людей в группе из 23 человек совпадают дни рождения) равняется 0,4927. Переведем отрицание в утверждение и найдем вероятность того, что у 2 людей в группе из 23 человек совпадают дни рождения, равной 0,5073 – шанс выше, чем 1 к 1.

Даже при такой аккуратной формулировке в задаче есть допущения, которые могут исказить решение. Меньшим из допущений было не принимать в расчет високосные годы. Гораздо большим допущением было игнорирование того факта, что дни рождения не распределяются по календарю в случайном порядке, как нам может казаться. Мы знаем, что дни рождения склонны образовывать скопления по причинам, связанным с праздниками, природными катаклизмами, временами года и другими непостижимыми диспропорциями.

Есть несколько любопытных моментов. Чтобы иметь шансы выше, чем 1 к 1, что у 3 человек совпадают дни рождения, можно подумать, что потребуется еще примерно 23 человека. Верное число – 88. Для 4 совпадающих дней рождения это число становится уже 187{83}. Таблицы 8.2 и рис. 8.2 показывают, как растут числа, где k представляет число совпадающих дней рождения{84}.

Стандартная задача о дне рождения была предложена Рихардом Мизесом, урожденным галичанином, который в 1933 г. предусмотрительно покинул Берлин и занял пост в Стамбульском университете, где проделал отличную работу в области механики жидких сред, аэродинамики и теории вероятностей. В 1939 г. он приехал в США, где занял должность в Гарварде{85}.

Задача эта многогранна. С одной стороны, это задача комбинаторики. Мы даже можем рассматривать ее как сугубо гипотетическую задачу об игральных костях: вы бросаете игральную кость с 365 сторонами 23 раза и находите вероятность того, что она дважды выпадет одной стороной. (Это гипотетический мысленный эксперимент, потому что реальной «правильной» игральной кости с 365 гранями не существует.) С другой стороны, можно пронумеровать все дни в году и перемешать, получив случайный набор чисел. Можно напечатать числа от 1 до 365 на пластиковых фишках, поместить во вращающийся барабан и выбирать по одной фишке N раз, не возвращая их назад в барабан. А потом спросим: какова вероятность p (N) того, что это число будет получено после N отборов{86}?

Если мы слегка изменим задачу и рассмотрим ситуацию, когда люди встречаются, скажем, на национальной конференции, то у скольких из них могут совпасть последние 4 цифры в номере социального страхования? Задача похожа на описанную выше. Единственным отличием будет то, что число 365 меняется на 9999, учитывая предположение о том, что ни у кого нет номера, заканчивающегося на 0000. С учетом этого предположения существует шанс выше, чем 1 к 1, что на конференции со 118 участниками у 2 из них совпадут последние 4 цифры номера социального страхования{87}.

Эти последние 4 цифры не имеют никакой закономерности и практически независимы от даты рождения владельца.

Непосредственно перед тем, как я начал писать эту книгу, Агнесс, соавтор онлайн-журнала для женщин, как-то узнала о том, что я работаю над книгой о совпадениях. «Уважаемый профессор Мазур, я прошу прощения, мой вопрос может показаться странным, – пишет она мне на электронную почту. – Насколько вероятно встретить человека (встретить лично, не в результате поиска через Интернет), у которого та же дата рождения, что и у вас (день, месяц и год)? Со мной это произошло дважды, по иронии судьбы в знаменательные моменты моей жизни».

До этого момента я никогда не задумывался над этим сложным вопросом. Однако по зрелом размышлении я быстро пришел к заключению, что его анализ дает нам математический аппарат практически для любого совпадения. Агнес спрашивает не о вероятности того, что у любых двух человек в группе совпадают дни рождения; напротив, она спрашивает о вероятности того, что у нее самой совпадает дата рождения с кем-то из группы, а на этот вопрос ответить куда сложнее. Для того чтобы выделить вопрос Агнесс, назовем его задачей о дате рождения.

Как найти ответ? Мы говорим уже не о 365 днях, а о тысячах дней. Каковы переменные? Вопрос Агнесс касается не дат рождения любых двух людей, а ее даты рождения, которая совпадает с датой рождения кого-либо из ее знакомых. И вот что в очередной раз усложняет задачу: дело не в том, что у нее и кого-то из ее знакомых совпадает дата рождения; дело в том, что она случайно встречается с кем-то из тех, кто родился ровно в тот же день, что и она, и узнает, что их даты рождения совпадают.

Если бы Агнесс интересовалась вычислением вероятности того, что у кого-то из ее знакомых та же дата рождения, то здесь было бы удивительно легко дать ответ. Пусть ее день рождения приходится, скажем, на 1 июля. Ее точная дата рождения для решения задачи не важна. Необходимо лишь выбрать конкретную дату или, другими словами, сформулировать задачу таким образом, чтобы в ней спрашивалось: какова вероятность того, что у кого-либо из присутствующих в зале день рождения приходится на конкретную дату? Шанс того, что один из знакомых родился, скажем, 1 июля, составляет 364/365. Вероятность того, что N ее знакомых не родились 1 июля, составляет (364/365)N. Тогда, чтобы вычислить, когда существует шанс выше, чем 1 к 1, что у N ее знакомых день рождения не в тот же день, что у нее, решим уравнение (364/365)N = 1/2 и получим N. Сделав это, находим N = 252,65.{88} Таким образом, у Агнесс будет шанс выше, чем 1 к 1, встретить человека, у которого день рождения в один день с ней, если на одной с ней конференции 253 участника. Но это все еще задача о дне рождения, а не о дате рождения. Задача Агнесс шире. Совпадение, произошедшее с Агнесс, касается даты и года ее рождения. Для простоты предположим, что возраст большинства людей, которых она встречает, находится в пределах 10 лет от ее возраста; другими словами, ±3650 дней. Чтобы иметь шанс встретить одного человека, с которым у нее совпадает дата рождения, выше, чем 1 к 1, ей потребуется не менее 5105 новых знакомых{89}. Кажется, что это довольно много встреч. Будучи активной работающей женщиной, она наверняка познакомится с 5105 новыми людьми за 5 лет – меньше одного человека в день. Но чисто теоретически давайте уменьшим ее шансы. Если нам нужно, чтобы у нее был, скажем, 10 %-ный шанс, число встреч уменьшается до 770. Тогда вопрос будет в следующем: сколько новых знакомств она заведет, скажем, за 5 лет? Кроме того, Агнесс необходимо познакомиться с 770 людьми и каким-то образом узнать о том, что у нее и у нового знакомого совпадают даты рождения.

Предположим, что она знакомится с N > 770 отдельных людей за 5 лет и в некоем подмножестве этого N случайных встреч в разговоре касаются темы дня рождения. Проблема решения всей задачи не в том, что только у одного из 770 может быть та же дата рождения, а в том, что она неумышленно узнала об этом в ходе разговора, когда речь случайно зашла о днях рождения. Каковы шансы этого? Сложность в том, чтобы оценить, насколько часто она заводит разговор о днях рождения. Положим, что в среднем за период в 10 лет в одном из 100 разговоров она касается темы дня рождения. Тогда мы должны умножить число новых знакомых на 100. Другими словами, чтобы иметь 10 %-ный шанс узнать, что один из ее знакомых родился в тот же день, что и она, ей потребовалось бы 77 000 новых встреч. Чтобы иметь шанс встретить такого человека выше 1 к 1, потребуется 510 500 встреч. Но Агнесс утверждает, что с ней это случилось дважды! Кроме того, это были не просто рабочие встречи, а скорее, торжественные мероприятия. Первой была акушерка, принимавшая у нее роды, т. е. она, следуя заведенному порядку, должна была спросить у Агнесс дату рождения. Вторая встреча произошла дюжиной лет позже, когда она ехала на лимузине встречать родителей из нью-йоркского аэропорта. По ходу разговора она сказала водителю, что родители приехали на ее пятидесятилетие. «Если это поспособствует решению, – написала она позже, – они оба были специалистами в тех областях, с которыми я ранее никогда не сталкивалась, и они не обязательно были частью (предположительно большой) группы лиц, которые могли бы быть близки мне по возрасту».

Потому при любых расчетах мы должны согласиться, что две ее встречи были делом поистине удивительным.

Что применимо к дням рождения, применимо и к дням смерти. Реальный случай: три президента – Джон Адамс, Томас Джефферсон и Джеймс Монро – умерли 4 июля. Хм… Джон Адамс и Томас Джефферсон умерли в одном и том же году – в 1826 г. Жутковато. Однако в их времена день 4 июля был особой вехой. Известно, что смерть можно приблизить или отдалить на несколько часов или дней волей человека к жизни или смерти. Так что возможно, что президенты молодой республики просто пытались продержаться до 4 июля, особенно Адамс и Джефферсон, которые дожили до 50-й годовщины подписания Декларации независимости. Потому в этой случайности есть элемент причинности. Никакого совпадения.

Мартышкин труд

Задача об обезьянах возникла, как вопрос статистической механики в теории вероятностей; впервые она была сформулирована в статье Эмиля Бореля «Статистическая механика и необратимость» (Mécanique Statistique et Irréversibilité), опубликованной в 1913 г. Это теорема, которая утверждает, что обезьяна, случайным образом нажимающая на клавиши, напечатает полное собрание сочинений Шекспира, при условии что у нее будет достаточно времени. Конечно, «достаточно времени» может означать бесконечно долгое время. Английский физик сэр Артур Эддингтон был более великодушен в отношении случайности, когда его пригласили дать гиффордовскую лекцию в Эдинбургском университете в 1927 г.: «Если я дам своим пальцам вольно блуждать по клавишам печатной машинки, то «может» случиться так, что из этого моего опуса выйдет вразумительное предложение. Если бы армия обезьян безостановочно стучала по клавишам печатных машинок, то они могли бы написать все книги, хранящиеся в Британском музее»{90}.

Давайте пока не будем усложнять задачу. Давайте не будем ожидать библиотеки Британского музея, или полного собрания сочинений, или даже единственного сонета, а только одну строку «shall I compare thee to a summer's day?». Если обезьяна нажмет на клавиши s-h-a-l-l-I-c-o-m-p-a-r-e-t-h-e-e-t-o-a-s-u-m-m-e-r-s-d-a-y именно в таком порядке, мы наверняка сочтем это грандиозным совпадением. Какова вероятность такого события? В самом деле, весьма небольшая! У обезьяны шанс 25 к 1 напечатать первую букву в слове shall, если допустить, что клавиатура ограничена только строчными буквами английского алфавита. А поскольку каждое нажатие на клавишу относительно независимо от других{91}, число возможных вариантов того, что обезьяна напечатает первые 5 букв, равняется 26 × 26 × 26 × 26 × 26 = 11 881 376, или шанс 11 881 375 к 1. Но это шанс выполнить задачу с первой попытки. Бедному животному надо дать больше, чем только один шанс. Много больше. Рассмотрим вероятность невыполнения задачи с первой попытки. Она составит 1 – (1/26)5 ≈ 0,99999991583, т. е. близка к достоверности. После N попыток вероятность того, что она не нажмет клавиши в нужном порядке, составит (1 – (1/26)5)N.

При N = 8 235 542 у нее будет шанс выше, чем 1 к 1, напечатать первое слово из шекспировского сонета. Рис. 8.3{92} показывает, как вероятность не напечатать слово shall приближается к нулю после примерно 50 млн попыток.

Попробуйте приложить это к парольной защите. Значит, компьютерная программа, которая подбирает буквы случайным образом, может легко взломать пароль, состоящий из 5 символов. В наши дни даже относительно слабый центральный процессор может перебрать 50 млн попыток меньше чем за 10 сек. Но если вы добавите всего один символ, то для того, чтобы иметь шанс подбора выше, чем 1 к 1, потребуется уже не менее 214 124 096 попыток. С каждым дополнительным символом (включая комбинации букв, чисел и символов или изменение регистра) сложность растет экспоненциально (см. рис. 8.4).

Вероятность случайного подбора первых 6 цифр π с числовой клавиатуры – 0,000001, или шанс один на миллион. Существует шанс выше, чем 1 к 1, что одна из тысячи обезьян нажмет первые 6 цифр π, если каждой из обезьян дать 1000 попыток. Возможно, π – не такое уж особенное число. Конечно, мы берем только первые 6 цифр π. Возьмем первые 100 цифр π. Даже если каждая песчинка на Земле и каждая звезда во Вселенной станут случайным образом подбирать цифры до конца времен, вероятность написания π до сотого знака практически не сдвинется с нуля. В 1913 г. Эмиль Борель предложил нам представить миллион обезьян, случайным образом стучащих по клавишам печатной машинки по 10 часов в день{93}.

Les contremaîtres illettrés rassembleraient les feuilles noircies et les relieraient en volumes. Et au bout d'un an, ces volumes se trouveraient renfermer la copie exacte des livres de toute nature et de toutes langues conservés dans les plus riches bibliothèques du monde.

(Неграмотные мастера собирают почерневшие листы и соединяют их в тома. По прошествии одного года эти тома будут содержать точные копии книг по какой угодно теме на всех языках, хранящихся в богатейших библиотеках мира.)

Сэр Джеймс Джинс написал в своей книге «Загадочная Вселенная»{94}:

Кажется, Хаксли сказал, что шесть обезьян, которых усадили бездумно тренькать по печатным машинкам миллионы миллионов лет, должны со временем написать все книги из Британского музея. Если бы мы рассмотрели последнюю страницу, напечатанную конкретной обезьяной, и обнаружили, что ей удалось в этом слепом тренькании набрать сонет Шекспира, мы бы справедливо сочли это событие выдающимся совпадением, но если бы мы пролистали все миллионы страниц, которые обезьяны извели за бессчетные миллионы лет, то могли бы быть уверены, что где-то среди них найдется еще один шекспировский сонет – плод слепой игры случая. Точно так же миллионы миллионов звезд, слепо скитающихся сквозь пространство миллионы миллионов лет, обязательно встретятся со всяческими случайностями и обязательно произведут некоторое конечное число планетарных систем через определенное время. И все же это число должно быть очень малым в сравнении с общим числом звезд на небе.

Задача об обезьянах была симулирована с помощью виртуальных обезьян. 4 августа 2004 г. компьютеры работали в качестве виртуальных обезьян, жмущих на клавиши в течение 42 162 500 000 миллиарда миллиардов обезьяно-лет, прежде чем смогли напечатать «VALENTINE. Cease toIdor: eFLP0FRjWK78aXzVOwm) – `;8.t»{95}. Изумительно, но первые 19 символов этой тарабарщины в точности воспроизводят первые 19 символов первой строки пьесы Шекспира «Два веронца»:

Valentine: Cease to persuade, my loving Proteus:

Я долго раздумывал над девятью заглавными буквами подряд, пока не сообразил, что на какое-то время оказался «случайно» зажат Caps Lock. Согласен, 42 квинтиллиона – это мегагромадное число, но то, что на набор этих 19 символов в определенном порядке ушло так много времени, не значит, что это не могло произойти много раньше. Надо признать: если бы такое удалось с первой попытки, то это было бы невообразимой причудой судьбы, но не чем-то невозможным. Неожиданное может происходить, и оно происходит. Возьмем совпадение ДНК. Есть ли в мире два не состоящих в родстве индивида, имеющих полностью совпадающие ДНК? Вероятность этого невообразимо мала, но все же отлична от нуля. На самом деле шансы всего лишь 1 на миллиард.

Раздел 3

Расчеты

Встречи

Бывают такие встречи,

У каждого в жизни случаются.

Бывает, нами замечен

Беспроигрышный вариант.

В нем замысел есть разумный:

Мы стоим здесь, там – они,

Есть цель.

И есть мир, большой и шумный,

Вселенная без границ

С семью миллиардами лиц.

Дж. М. (пер. М. И.)

Здесь будет проведен анализ историй из раздела 1, которые представляют собой достаточно определенные устойчивые категории:

История 1: история Энтони Хопкинса (класс: неожиданно найденная искомая вещь)

История 2: история Энн Парриш (класс: забытые предметы из прошлого, нечаянно найденные в отдаленных местах)

История 3: история о кресле-качалке (класс: идеальная синхронизация и случайные встречи предметов)

История 4: золотой скарабей (класс: совпадения, связанные со сновидениями, при довольно широком временнóм и пространственном лаге)

История 5: история Франческо и Мануэлы (класс: маловероятные встречи людей в точно определенный момент)

История 6: история о таксисте (класс: случайные встречи людей при широком временнóм и пространственном лаге)

История 7: история о сливовом пудинге (класс: повторяющиеся встречи и ассоциации с редкими предметами)

История 8: унесенная ветром рукопись (класс: совпадения, обусловленные природными причинами)

История 9: сон Эйба Линкольна (класс: вещие сны)

История 10: Джоан Гинтер и ее выигрыши в лотерею (класс: исключительное везение или невезение в азартных играх)

Глава 9

Громадный мир

Мы знаем, что наш мир велик, но не осознаем, насколько он в действительности громаден. Когда моей дочери Кэтрин было 8 лет, мы иногда играли в одну игру, целью которой было дать ей представление о том, насколько велика Земля, и о порядке цифр. Однажды она чихнула, и я предложил ей угадать, сколько человек во всем мире тоже чихнули в этот момент. Она предположила: всего 200, что не так плохо для восьмилетки. К ее изумлению, я назвал число в несколько десятков тысяч – сильно заниженная оценка, вероятно, на несколько порядков, учитывая, что численность населения планеты превышает 7 млрд. В наше время значительно более трудным будет вопрос о считывании штрихкодов – те самые звуки «бип-бип», которые всегда слышны на кассах супермаркетов. Попробуйте назвать приблизительное число этих сигналов, прозвучавших за то время, пока вы читали данное предложение. Полагаю, вы его сильно недооценили. Число считываний штрихкодов по всему миру превышает 5 млрд в день. Это означает, что за время, пока вы читаете это предложение, было куплено около 100 000 товаров, и сюда не входят онлайн-покупки. В общем, это может нам помочь хотя бы в общих чертах представить размеры нашего мира. Но даже число считываемых каждую секунду штрихкодов мало в сравнении с явлениями молекулярного уровня.

В реальном мире атомов и молекул нет абсолютной уверенности. Таким образом, нам нужен способ определения недостоверных, но вероятных событий. Конечно, мы можем без тени сомнения принять утверждение о том, что Земля совершит очередной оборот и завтра взойдет солнце, но большинство ожидаемых феноменов принимаются нами в силу коллективного человеческого опыта. Теоретическая модель идеальной пары игральных костей может предсказывать поведение реальных костей, которые бросает человек. Кости – это несовершенные белые кубы с округлыми краями, разумеется, изготовленные таким образом, чтобы расположенные на гранях черные точки не влияли на осевую симметрию. Производители должны учитывать, что шесть небольших выемок – черных точек – могут влиять на движение куба, склоняя его к одной из граней{96}. Кости, предназначенные для казино, изготавливаются при очень строгих допусках. Их ожидаемое среднее значение значительно ближе к 3,5, чем у обычных костей для настольных игр.

Закон больших чисел – важнейшая зацепка, связывающая математическую теорию с физическими феноменами. Он в ответе за многие чудеса нашей замечательной Вселенной, а также за то, как природа создает материальный и энергетический хаос в инертном и однородном. Он даже наводит нас на мысль о том, что масштабные события во Вселенной являются результатами неимоверно долгой игры в кости или в орлянку.

Легко поверить, что события сходятся в пространстве и времени не по воле слепого случая, но в силу некоего предназначения. Так ли это? Возьмем ситуацию с чернилами, растворяющимися в воде. Одна-единственная капля чернил на бутылку воды равномерно изменит цвет всей воды в бутылке. Чернила равномерно расходятся по всей бутылке из-за предназначения или цвет равномерно изменяется только из-за случайности? Предположим, что цвет – синий. Сначала вы увидите, как капля синих чернил соскальзывает с пипетки. Если капля не вызовет всплеска при контакте с водой, вы увидите синюю сферу, красиво меняющую формы по мере того, как она опускается на дно бутылки. Потом она превратится в тороид. Этот тороид растянется и станет квадратным тороидом со сферами на краях. Сферы разделятся и образуют четыре тороида. Эти четыре тороида повторят процесс и образуют 16 тороидов. Морфоз и деление будут продолжаться, пока сферы не ударятся либо о стенки бутылки, либо о ее дно. Физика прекрасно предсказывает все это, учитывая все силы, действующие на сферы и тороиды. Иными словами, у цветных чернил предсказуемая судьба, движимая и направляемая физикой процесса (а именно поверхностным натяжением краски, отношением давления/выталкивающей силы между двумя средами, векторами выталкивающей силы, направленными вверх, и скоростью молекул) и математикой фигур. Но, когда эти фигуры встречаются со стенками, в игру вступает нечто новое. Поверхностное натяжение нарушено, молекулярные связи разорваны, симметрия сломана, и внесен элемент случайности. В этот момент между двумя жидкостями появляется вихревое движение, которое делает вероятность возвращения к какой-либо симметрии бесконечно малой. Рассеивание молекул жидкости идет, по-видимому, в случайных направлениях.

Что происходит, если капля создает небольшой всплеск? В этом случае вы увидите, как сфера медленно опускается вниз и рассеивается на великолепные фигуры, похожие на перистые облака при легком ветре. Через несколько минут в зависимости от глубины вода станет равномерно синей – чернила растворятся вообще без какой-либо формы{97}. Хотя существует до смешного малый шанс, что капля вернется к своей исходной форме, он настолько близок к нулю, что этой вероятностью мы можем легко пренебречь. Никто никогда не сообщал о том, что наблюдал подобное. Вероятность такого невероятного события измеряется числом столь малым, что количество нулей после запятой будет больше, чем число песчинок на Земле. Но это не значит, что такое не может произойти. Это явление позволяет указать направление течения времени. В прошлом была капля, а в настоящем – равномерно синяя вода.

Что в действительности произошло в бутылке, чтобы вода из прозрачной стала синей? Если мы рассмотрим вопрос на молекулярном уровне, то поймем, что каждая молекула чернил не просто бесцельно блуждает среди молекул воды. Есть связи, удерживающие молекулы вместе, но, в каком бы направлении ни двинулись молекулы, их движение упорядоченно и только кажется случайным.

Что произойдет, если молекулярные связи слабее? Чтобы дать ответ, мы изменим ход эксперимента. Вместо чернил используем кофе очень тонкого помола. С левого края прямоугольного блюда с холодной водой насыплем кофе очень тонкого помола. Рисунок 9.1 – это схема того, что произойдет на уровне, близком к микроскопическому. Точками показаны скопления частиц кофе, уменьшающиеся слева направо. Подождите несколько секунд и посмотрите, что произойдет. Концентрация постепенно изменяется слева направо, от большей к меньшей, пока не становится равномерной по всему блюду.

Можно подумать, что некая сила движет частицы в направлении от более насыщенной области к менее насыщенной. Но такой силы не существует. Частицам все равно куда двигаться. Каждая из частиц в этой системе независима от остальных. Каждая из частиц колеблется от столкновения с молекулами воды, в результате чего отскакивает в совершенно непредсказуемом направлении. Путь каждой частицы определяется случайным образом, по крайней мере не менее случайным, чем любое событие в реальной жизни. Чтобы понять, что же происходит, поместим воображаемую линию поперек емкости, разделив стороны с высокой и низкой плотностью частиц, и спросим: насколько вероятно, что частица на воображаемой линии двинется вправо? Ответ таков: она с равной вероятностью может двинуться и вправо, и влево. Больше частиц двинутся слева направо, чем справа налево, просто потому, что с левой стороны воображаемой стенки их больше, чем с правой. Иными словами, рассеивание до состояния равномерности происходит лишь оттого, что вероятности движения молекул в любом из направлений равны. То же самое происходит на доске Гальтона (см. рис. 5.3).

Второй закон термодинамики говорит о том, что в ту же самую игру можно сыграть с газами. Возьмем две емкости, в одной – газ под некоторым давлением, вторая будет пустой. Соединим две емкости трубкой, по которой газ может свободно перемещаться. Газ начнет быстро распространяться, пока давление в обеих емкостях не уравняется. Уравнивание давления – это один из примеров всеобщей тенденции частиц распространяться по как можно большему числу направлений. Вот что удивительно: молекулы газа будут случайным образом соударяться, как пузырьки в кипящем чайнике, таким образом, что каждая из них на некоторое время возвратится в емкость, в которой находилась изначально. Анри Пуанкаре продемонстрировал это в общей теореме о динамических системах.

Представьте, что произойдет, если вы поместите большое число блох на середину шахматной доски? Блохи очень быстро начнут прыгать во всех направлениях, пока не заполнят всю доску. Как и тонко молотый кофе в блюде с холодной водой, блохи просто прыгают туда-сюда без какого-либо заранее заданного направления. Ни одна блоха не пытается занять как можно больше пространства, поскольку, даже если у нее будет много пространства, она снова прыгает в случайном направлении. Блохи распространяются по доске в результате случайных прыжков. Вернутся ли они когда-нибудь на те клетки, с которых стартовали, если будут продолжать прыгать? Вероятно, нет. Однако рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Представьте две емкости. В одной, обозначенной литерой A, находится сотня мячей, на каждом из которых нанесены числа от 1 до 100. В другой, обозначенной литерой B, нет ничего. Также представьте ведро с фишками, пронумерованными от 1 до 100. Выберем наудачу фишку и прочтем ее номер – N. Возьмем мяч с номером N из емкости A и поместим его в емкость B. Вернем фишку на место и повторим процесс. Каждый раз, когда выбрана фишка с номером N, мы перемещаем мяч с номером N из той емкости, в которой он в этот момент находится, в другую. Можете предположить, что произойдет? Да, число мячей в емкости A будет экспоненциально[16] уменьшаться до тех пор, пока в обеих емкостях не окажется примерно равное число мячей. Но по мере того как число мячей в емкости A уменьшается, так же уменьшается и вероятность выбора фишки с номером мяча из емкости A. На самом деле скорость такого уменьшения пропорциональна числу мячей в емкости A. Теперь я повторю вопрос: можете предположить, что произойдет в долгосрочной перспективе? Может показаться контринтуитивным, даже удивительным, но все мячи с абсолютной достоверностью со временем вернутся в емкость A, хотя это и займет неимоверно много времени. Общая теорема динамических систем Пуанкаре это предсказывает{98}. Она свидетельствует – на что указывали и Платон, и Бернулли – о существовании апокатастасиса: «…что по прошествии бесчисленного множества веков все вернется к своему изначальному состоянию»{99}. Ныне покойный сэр Джеймс Джинс, прославленный физик, получивший рыцарский титул за вклад в астрономию и популяризацию физики, любил заметить, что любой, кто еще дышит сегодня, вдыхает молекулы, которые составили последние вздохи умирающего Юлия Цезаря.

Такие примеры уместны, поскольку мы имеем дело с большим числом объектов. Когда числа чрезвычайно велики, как число молекул в капле чернил или число людей, населяющих огромные просторы этой планеты, мы имеем более высокие шансы усреднить случайный элемент и выяснить, что может произойти с отдельным индивидом в толпе.

Очень многие сложные природные явления легко объясняются с помощью вероятностных моделей вроде подкидывания монетки или многократного выбора случайных чисел. И из этого огромного набора произвольных чисел случайность создает постоянно развивающийся динамический мир, мир, в котором цветные чернила растворяются в воде без какой-либо конечной цели, где газ отдает часть давления вакууму, чтобы следовать законам термодинамики, где блохи бесцельно прыгают по доске, но все же заполняют всю ее поверхность, и где ДНК неверно воспроизводит саму себя без какого-либо плана, создавая таким образом уникальных людей.

Скрытые переменные

Скрытые переменные внушают нам ложную мысль о том, что причины либо нет, либо ее слишком сложно найти. Громадные размеры мира также играют определенную роль, как и все невидимые струны, соединяющие его части. Мы мыслим в локальных терминах, не рассматривая множество взаимодействий между составными частями нашего мира – от субатомных частиц до галактик.

Иногда кажется, что у двух абсолютно независимых переменных появляется статистическая связь через третью переменную. Когда такое происходит, мы обнаруживаем иллюзорную корреляцию, вызванную тем, как мы видим данные или как эти данные организованы. Если бы мы простодушно собрали данные об оценках и о длине волос учеников в математическом классе, возможно, мы обнаружили бы корреляцию между длиной волос и оценками. У длинноволосых, скорее всего, будут хорошие оценки. Если мы не посмотрим на третью переменную, то можем заключить из этой корреляции, что ученикам, чтобы получать хорошие оценки, следует отрастить волосы. Мы не настолько наивны, чтобы не замечать третью переменную – скажем, возраст или пол. Длина волос как показатель может искажаться среди более старших учеников или среди женщин, у которых волосы были длиннее, чем у мужчин{100}. Другим примером будет корреляция между доходами во взрослой жизни и отметками в колледже. Мы можем сделать ошибочный вывод, что доход во взрослой жизни зависит от оценок, которые человек получал в школе, тогда как в действительности скрытой переменной был объем работы, который ученик был готов усердно выполнять{101}.

Скрытые переменные встречаются в корреляциях, статистических данных повсеместно. Если не замечать эти скрытые переменные, то придется верить во всевозможный вздор: например, в то, что для хорошей успеваемости в колледже ученику следует начать курить, потому что «у курильщиков оценки в колледже лучше, чем у некурящих». Или возьмем более серьезный пример. До последнего времени на Новых Гебридах – группе островов на юге Тихого океана – было распространено убеждение, что вши полезны для здоровья. В течение веков старейшины случайно замечали, что у здоровых местных жителей были вши, а у больных их не было. Они пришли к выводу, что вши положительно влияли на здоровье. В условиях более тщательного и контролируемого исследования было замечено, что вши были почти у всех туземцев большую часть времени. Вши также могли вызывать лихорадку, что, в свою очередь, вызывало гибель вшей. Путаница возникала из-за того, что у нездоровых людей случалась лихорадка и поэтому у них не было вшей. «Вот где причина и следствие искажены до неузнаваемости, перевернуты и перемешаны», – написал Даррелл Хафф в своей книге «Как лгать при помощи статистики»{102}, которой сейчас уже больше 60 лет, но она все еще остается бестселлером. В СМИ полно всевозможных странных сюжетов, пытающихся нас в чем-то убедить, основанных только на данных опросов: использование пестицидов в сельском хозяйстве вызывает аутизм; линии электропередач вызывают опухоли мозга; чай из корня васаби – миорелаксант; 9 из 10 докторов считают, что употребление каши на завтрак способствует оздоровлению; дети с длинными руками лучше строят логические рассуждения, чем их сверстники с более короткими руками; и прогулки в сосновом лесу раз в неделю снижают уровень гормона стресса кортизола, артериальное давление и частоту сердечных сокращений. Женщинам следует принимать эстроген, чтобы уменьшить шанс сердечного приступа. Эстрогенная терапия увеличивает шанс сердечного приступа у женщин, уже переживших сердечный приступ. Эстрогенная терапия может защитить женщин от остеопороза и, возможно, рака толстого кишечника, но также может увеличить шанс сердечных заболеваний, инсульта, тромбоза, рака груди и слабоумия{103}.

Известен классический случай ошибки сэра Рональда Элмера Фишера. Для многих биологов и статистиков Фишер – отец современной статистики и теории планирования экспериментов. Он родился в 1890 г. в пригороде Лондона, а умер в 1962 г. в Аделаиде, Австралия, от рака прямой кишки. Ричард Докинз назвал Фишера величайшим биологом со времен Дарвина.

Фишер был человеком огромного обаяния и доброты, пытливым мыслителем с широким кругом интересов, человеком, страстно приверженным научным исследованиям, первоклассным собеседником, но он также время от времени демонстрировал суровый нрав в отношении любого, кого уличал в совершении ошибок, создании условий для их возникновения или же распространении ошибочных сведений. Его работы были сложны для понимания, равно как и его лекции: «Фишер был слишком сложен для среднего студента; его классы быстро разваливались, оставались только два-три студента, которые могли выдерживать его темп, и становились преданными адептами»{104}.

В начале своей карьеры статистика Фишер работал на экспериментальной сельскохозяйственной станции, ставшей впоследствии всемирно известной благодаря разработке теории планирования экспериментов. Он разработал то, что сегодня называется дисперсионным анализом, установил принцип рандомизации и развил идею о важности воспроизводимости{105}. Он разработал эксперименты для проверки совпадений с помощью количественных методов, куда входили, например, сопоставление карт из обычной колоды в 52 карты, системное исследование экстрасенсорного восприятия{106}. Это практический метод, предполагающий использование системы оценки, основанной на перестановках в колоде, следующих нормальному распределению.

Сложно поверить, что такой гений биологии, как Фишер, мог поощрять работы в области евгеники, ошибочные суждения, популярные до 1930-х гг., согласно которым, если правительства не будут поддерживать рост рождаемости в семьях с «благоприятными» генетическими чертами и препятствовать такому росту в семьях с «неблагоприятными» чертами, полученный генетический фонд приведет к упадку цивилизации.

В августе 1958 г. Фишер написал в журнале Nature: «Любопытная связь между привычкой к курению и раком легких в умах некоторых из нас не вызывает простого умозаключения о том, что продукты горения, достигающие поверхности бронхов, вызывают, пусть и через определенный продолжительный период времени, развитие рака. Если, например, можно было бы предположить, что курение сигарет – причина этого заболевания, то можно было бы также предположить, причем ровно на тех же основаниях, что вдыхание сигаретного дыма является действием, обладающим значительным профилактическим эффектом против возникновения болезни, поскольку практика вдыхания среди пациентов с раком легких встречается реже, чем у пациентов с другими видами рака»{107}. Фишер рассматривал доводы, связывающие рак легких с курением, как неподтвержденные предположения{108}:

Вопрос довольно сложный, и я упоминал, что на ранней стадии логическое разграничение проходило между: A вызывает B, B вызывает A, что-то еще вызывает оба из них. Тогда возможно, что рак легких – точнее, предраковое состояние, которое должно существовать, и, собственно, известно, что оно существует в течение нескольких лет у тех лиц, у кого позже будет диагностирован явный рак легких – является одной из причин курения? Не думаю, что это можно исключить. Не думаю, что мы знаем достаточно, чтобы сказать, что это и есть причина{109}.

Работа Фишера ошибочна. Учитывая его крутой нрав в отношении любого, кто, по его мнению, допустил ошибку в анализе данных или их оценке, можно только догадываться, в какую ярость его мог привести кто-то, допустивший ту же ошибку, что и он, преждевременно сделав выводы, не изучив предварительно все доступные данные. Он не осознавал собственный конфликт личного и профессионального: он был курильщиком на службе у табачной компании.

К сожалению, результаты многих медицинских исследований, которые слишком быстро оказываются в СМИ, рождают спекуляции по поводу причин и профилактики тех или иных недугов. Нам рекомендуют есть больше рыбы и меньше ненасыщенных жиров, а также не жить рядом с электромагнитными полями. Такие медицинские рекомендации могут приводить к иным опасностям. Когда-то нам говорили, что для снижения вероятности сердечных заболеваний надо принимать витамины C и E, а также бета-каротин в качестве антиоксидантов. Для предотвращения рака прямой кишки надо есть больше клетчатки. Когда-то нам говорили, что надо употреблять меньше грубой пищи, а потом, несколько десятилетий спустя, что нужно употреблять больше грубой пищи. Масштабные исследования по данным наблюдений не смогли подтвердить эти теории. Нельзя сказать, что одно событие является причиной другого просто потому, что клиническое исследование с десятками сотен испытуемых в общей и контрольной группах подтверждает гипотезу. Все, что оно может, так это сказать, что гипотеза, возможно, верна. В лучшем случае дать косвенное свидетельство того, что одно событие вызывает другое. Не будучи совершенно уверенными в причине, мы очень мало знаем о том, как давать конкретные рекомендации. На самом деле, если причина неверна, то рекомендации могут принести больше вреда, чем пользы{110}.

Не то чтобы клинические исследования вообще ничего нам не дают. Они говорят многое. Например, мы точно знаем, что курение сигарет имеет некую связь с раком легких и сердечно-сосудистыми заболеваниями, хотя нам и неизвестны точные причины. Курение – это одна из сопутствующих причин. Мы знаем это потому, что, когда после Второй мировой войны американки массово пошли работать на заводы и предприятия и начали курить, был отмечен случайный скачок заболеваемости раком. У нас есть свидетельства того, что американская диета и образ жизни как-то связаны с раком груди, основанные на данных наблюдения над японками и американками, а потом – над двумя поколениями американок японского происхождения, у которых уровень заболеваемости раком груди оказался таким же, как у коренных американок. Проблема причины и следствия не так проста. Часто существуют обстоятельства, искажающие наше восприятие и заставляющие думать, что одно является причиной другого: когда A вызывает B опосредованно, так как A на самом деле вызывает C, что, в свою очередь, вызывает B.

Проблема с клиническими испытаниями в том, что выбор испытуемых не настолько случаен, насколько должен бы быть. Меня никто никогда не просил стать испытуемым в клиническом испытании. Итак, мы должны спросить: кто эти испытуемые? Это люди, у которых есть мотивация для того, чтобы быть добровольцами. Многим платят, а платят из источников, которые могут быть связаны с интересами тех, кто эти источники финансирует. Следовательно, испытуемые приходят из особой, а не из случайной группы. Люди, участвующие в клинических испытаниях, скорее, будут придерживаться выгодных для себя рекомендаций. Они, скорее всего, довольно стройные и имеют меньше опасных для здоровья факторов. Мы можем статистически урегулировать эффект социально-экономического статуса, но это не всегда работает должным образом{111}. Кроме того, результаты таких исследований временные – пройдет 10 или 20 лет, прежде чем будет проведено новое исследование, которое поставит под сомнение предыдущее. Другими словами, избежать искажений при проведении клинических исследований очень сложно.

С другой стороны, если общественность прислушивается к медицинским рекомендациям – результатам клинических исследований, мы кое-что узнаем. Если бы мы ошибались, называя курение причиной рака легких и сердечно-сосудистых заболеваний, мы не должны были бы увидеть резкого уменьшения уровней заболеваемости раком легких и сердечно-сосудистыми заболеваниями, которые увидели за последние пять десятилетий, в ходе которых доля курящего населения в США сократилась на 57 %.

История говорит нам: то, во что мы верим сейчас, может оказаться неправдоподобным век спустя. В мире есть нечто большее, чем то, что мы видим, что можем измерить, что, как мы думаем, нам известно. Наши научные представления – сиюминутная достоверность. Сэмюэль Арбесман в своей книге «Полураспад фактов» пишет: «Мы собираем научное знание, как часовой механизм, в результате чего в ходе наших поисков лучшего понимания мира постоянно ниспровергаются факты»{112}. Убеждения, какими бы сильными они ни были сегодня, – не истина в последней инстанции. Они являются просто рабочими гипотезами. В оригинальном рецепте Вселенной есть щепотка случайности, а доступные нам средства наблюдения ограничены; потому мы не можем знать всего.

Да, мы ограничены. Явления природы зависят от такого числа переменных, что точное измерение, как правило, невозможно; а это означает пренебрежение принципом неопределенности. Если простое явление, например бросок монеты, зависит от бессчетных необнаруживаемых событий в умеренно хаотическом мире случайно сталкивающихся электронов, то только попробуйте представить мириады событий, отвечающих за такой сложный феномен, как рак. Но открыть причину рака – это не то же самое, что выдвинуть довольно удачное предположение о возможных «подозреваемых». Некоторые ученые относили рост заболеваемости раком легких после Второй мировой войны на счет производственных факторов и новых промышленных товаров. Среди «подозреваемых» был асфальт ввиду быстрого роста дорожного строительства в Америке и Европе. Однако к концу 1950 г. так много исследований связывали курение с раком легких, что стало ясно: курение – значительный фактор. Задача статистики – не найти причины, а скорее, определить «круг подозреваемых». Многие естественные отношения нельзя объяснить законами или измерить в ходе наблюдений, но можно связать со статистическими показателями.

Еще в V в. до н. э. Гиппократ писал о порошке, сделанном из экстракта хинного дерева, облегчавшем головные боли и жар. Это был аспирин. Немецкая фармацевтическая компания Bayer производит его в форме таблеток с XIX в. Но никто не знал, почему он действует, до 1971 г., когда британский фармаколог Джон Роберт Вейн продемонстрировал, что аспирин подавляет выработку определенных молекулярных соединений, регулирующих сокращение и релаксацию мышечных тканей. Морфин использовался в качестве обезболивающего с XVI в., но до 2003 г. никто не знал, что он естественным образом вырабатывается в организме человека. Стоит подумать о некоторых традициях, которым мы следуем, даже не зная почему. Задолго до того, как стало известно о существовании бактерий, люди мыли руки перед едой. Сегодня мы, возможно, моемся слишком часто, даже используем антибактериальное мыло, которое убивает и полезные бактерии. Но откуда нам знать, какие бактерии для нас полезны?

Наука любит прямые связи между причинами и следствиями, но не обязывает нас знать о существовании таких связей. Ученые могут допускать корреляцию между двумя сложными феноменами. Настоящая проблема в том, что люди склонны видеть связь там, где ее нет, а также игнорировать имеющиеся связи, которые слишком сложны для того, чтобы можно было их прогнозировать. Мы видим в совпадениях события, таинственным образом предусмотренные неким глубокомысленным замыслом. Может, и так, а может, и нет. В этом сложном мире взаимосвязанных феноменов некоторые связи сцеплены столь искусными и длинными цепочками опосредованных взаимоотношений, что мы даже представить не можем влияние одного на другое.

Глава 10

К вопросу об историях из главы 2

Совпадения – это выдающиеся события, которые возбуждают у нас интерес к вероятности. Никто не сомневается, что они чрезвычайно редки, но насколько редкой должно быть событие, чтобы сжать мир во времени и пространстве? Следующие истории в самом деле редкие, однако вполне могут происходить.

История 1. История Энтони Хопкинса

История Хопкинса может быть обычным примером синхронии. Просто подумайте, во скольких местах побывала «Девушка с Петровки»? Подумайте, сколько людей могли подобрать эту книгу до того, как Хопкинс ее увидел? Подумайте, почему Хопкинс нашел книгу именно с таким названием, именно этот экземпляр, принадлежавший Джорджу Файферу? А теперь рассмотрите возможность того, что Хопкинс сидел рядом с книгой, но не заметил ее (схожая версия истории – возможно, лучшая версия): произошло бы ровно то же самое, но Хопкинс бы об этом ничего не узнал, как и мы с вами. Одна из причин того, что история настолько захватывающая, заключается в том, что она касается определенного человека, более того, знаменитой личности. История по любым меркам эффектна, в основном потому, что мы знаем человека, с которым она произошла. Но на самом ли деле история Хопкинса – настолько выдающееся совпадение? У нас есть такое ощущение, но откуда оно берется? Событие, может быть, и выдающееся, но есть ли у нас информация, которой можно подкрепить такое утверждение? Нет никаких конкретных цифр, чтобы оценить вероятность.

Да, история может быть синхронией. Но, чтобы пояснить разницу между синхронией и математическим правдоподобием, давайте рассмотрим кое-какие цифры: число книг, которые забывают на железнодорожных вокзалах, число книжных магазинов в центре Лондона и число людей, ежедневно приезжающих в центр в поисках определенной книги. История произошла в 1976 г. Это важно, поскольку тогда не было ни Интернета, ни Amazon, которые теперь так облегчают поиск книг. Раньше самым простым вариантом было позвонить в каждый из магазинов, сэкономив таким образом кучу времени на том, чтобы посещать их.

Чтобы проанализировать историю Хопкинса, надо принять во внимание, насколько огромен Лондон. В момент написания этой книги, в эру интернета, в Лондоне насчитывается 111 отдельных маленьких книжных магазинов. Чтобы удержаться на плаву, каждый из этих магазинов должен привлечь не менее 10 покупателей в день. По самым скромным подсчетам, все эти магазины вместе продают по меньшей мере 1000 книг в день. Более реалистичная оценка – около 3000. Одни приходят посмотреть, другие разыскивают конкретную книгу, которую намерены купить, а некоторые просто хотят спрятаться от дождя или убить время. Предположим, что каждый день только 100 покупателей заходят, чтобы купить конкретную книгу X.

Маловероятно, что кто-то из этих 100 человек найдет нужную книгу, сидя на скамейке в метро. Но давайте воспользуемся случаем и подумаем, сколько людей случайно оставляют книги в общественных местах, сколько просто бросают уже прочитанные книги в поездах и на станциях.

Если книга X обладает достаточной популярностью в момент своего первого релиза, за первый месяц будет продано не менее 1000 экземпляров. Какова дальнейшая судьба этих экземпляров? Одни окажутся непрочитанными и останутся у кого-то дома на книжной полке. Другие будут проданы в букинистические магазины, а некоторые окажутся забытыми в общественных местах.

Я предполагаю, что продажи «Девушки с Петровки» составили более 10 000 экземпляров. Это дает возможность с помощью закона больших чисел показать, что у события Хопкинса был шанс от небольшого до вполне разумного, по крайней мере если исходить из того, что событие должно было произойти с любым человеком. Как так? Пусть 10 книг были оставлены в общественных местах в Лондоне: на скамейках в парке, в кафе, в залах ожидания, в вестибюлях гостиниц и т. д. – вполне разумное предположение. Пусть N – число людей, приезжающих в Лондон в поисках одной из этих книг. Эти N человек, скорее всего, обратят внимание на книги, оставленные кем-то в общественных местах. Тогда вопрос будет звучать так: какова вероятность p того, что такой человек увидит книгу, которую ищет? Как получить p? К сожалению, в отличие от игральных костей или колоды карт, этот сценарий не очень хорошо подходит для вычисления p. Узнать точное значение p практически невозможно.

Однако существует одна возможность. Мы могли бы создать компьютерную модель, которая симулирует передвижения людей относительно предмета их поисков. Задача будет непростой из-за множества скрытых переменных, которые связывают мысли реальных людей и происходящие с ними события. Но такая модель дала бы нам численную аппроксимацию математической вероятности p – числа, которое пока что скрыто от нашего понимания. Способ попроще – создать умозрительную картину, которая основывается на нашем интуитивном понимании того, как ведут себя люди, когда блуждают по городским улицам в поисках чего-либо. Да, такой вариант способствует субъективному искажению картины, но также заставляет нас глубже рассмотреть проблему.

Оставим саму историю, касающуюся Энтони Хопкинса и Джорджа Файфера, и попробуем разобраться, насколько вероятно, что некто, приехав в центр Лондона в поисках определенной книги, находит ее в каком-либо публичном месте. Эта задача намного проще. Если мы находим эту вероятность и она оказывается очень малой, то мы знаем, что реальная история, касающаяся Хопкинса и Файфера, еще менее вероятна. Тогда мы сделаем то, что часто делают математики: найдем «оценку сверху»[17] для интересующих нас чисел – в данном случае вероятность того, что ищущий книгу благополучно ее найдет. Мы сделаем еще кое-что, часто проделываемое математиками: упростим задачу, чтобы уточнить ее суть, и выясним, что действительная задача, которой предстоит заняться позже, значительно более сложна.

Лондон – большой город с 60 000 улиц, более чем 3000 маленьких парков и скверов, 8 большими королевскими парками, 111 книжными магазинами и 276 станциями метрополитена, разбросанными по всему городу. Однако если мы на несколько мгновений вернемся к истории Хопкинса, то сможем ограничить область до вполне реалистичных цифр. Хопкинс сказал, что нашел книгу на станции метро недалеко от Гайд-парка. Файфер подтвердил, что отдал книгу другу, который потерял ее в районе Гайд-парка. Ближайшая к Гайд-парку станция метро – «Марбл Арч», от которой полчаса пешком практически по прямой через Вигмор-стрит до окрестностей Британского музея, а в этом районе Лондона в то время было больше всего книжных магазинов. Имеет смысл ограничить зону поиска, скажем, радиусом 3 км от Британского музея. В этом районе приблизительно тысяча улиц. Но многие из них очень короткие, книжных магазинов на них немного, к тому же мало кто пойдет искать книгу вдали от главных улиц. Кроме того, брошенные книги можно с большей вероятностью найти в более проходных местах, таких как станции метро, и местах досуга, например в парках.

Суть истории не в Энтони Хопкинсе, а в «Девушке с Петровки» – кто-то находит определенную книгу в определенный день в чрезвычайно неожиданном месте.

Потому представим, что N человек ходят от одного книжного магазина к другому в безнадежных поисках книг, за которыми они приехали. Ограничим зону их скитаний радиусом 3 км от Британского музея. Затем предположим, что 10 книг были оставлены в общественных местах в этом районе. Найдет ли случайно кто-либо из этих N человек именно ту книгу, за которой приехал, среди 10 брошенных книг? Скорее всего, нет, если N – малое число. Это очень грубый мысленный эксперимент, но не настолько грубый, как вы могли подумать, поскольку люди, ищущие книги в Лондоне, не выбирают совершенно случайные маршруты. Они, скорее, заметят брошенную книгу в необычном месте. Далее пусть N будет большим числом. Мы ожидаем, что за день k ≤ 10 брошенных книг будут замечены, а следовательно, мы можем аппроксимировать коэффициент успешности k/N. Другими словами, у нас будет k успешных испытаний на N попыток. Далее слабый закон больших чисел говорит, что коэффициент успешности испытаний – это вполне годная аппроксимация p при условии, что N достаточно велико. Тогда вопрос будет звучать так: какое N достаточно велико? Определенно, N = 10 000 даст нам достаточно хороший шанс, что k будет больше нуля. Никто не ждет, что в определенный день 10 000 человек станут бродить по улицам Лондона в поисках книг, даже при том, что население Большого Лондона составляет 8,6 млн человек. Однако если мы расширим временно́е ограничение до одного года и допустим, что по 100 человек ведут поиски каждый день, многие из них – не по одному разу, тогда N = 36 500. За два года N = 73 000. Если принять такое, более либеральное значение N, то шансы, что кто-то из этих 73 000 найдет книгу, которую ищет, будут недалеки от шансов один к одному. Но конечно, почему только 2 года? Почему не 10? И почему только Лондон? Мы можем взять все Соединенные Штаты с 22 500 книжными магазинами или даже весь мир. Замечательный закон больших чисел учит нас, что не стоит недооценивать размеры мира.

Это творческая модель, она всей истории не расскажет. Скрытые переменные повсюду. Люди, ищущие определенные книги, могут запросто находиться поблизости от предмета своих поисков, но так и не заметить этого. Кроме того, мы видим, что N должно быть громадным, куда больше, чем 73 000, чтобы кто-то из этих N человек подобрал именно ту книгу, которую искал. Так что вероятность такого события куда меньше, чем любое отношение k/N, какое мы можем вообразить.

Но слабый закон больших чисел говорит нам, что разница между p и k/N будет сколь угодно мала при условии, что N достаточно велико. Мы можем интуитивно догадаться, что при N = 73 000 (2 года поисков) k составит по меньшей мере 1, а затем мы смело предположим, что N достаточно велико, чтобы допустить, что P [|k/N – p| < 0,001] > 0,5. А это значит: существует шанс выше, чем 1 к 1, что вероятность того, что один человек найдет именно ту книгу, которую ищет, будет близка к 0,000014, а это дает нам шансы 71 427 к 1, т. е. очень близко к шансам получить стрит-флеш при игре в покер!

Все это означает, что верхний предел реальной вероятности не так уж безумно низок. Вероятность реальной истории, а именно того, что она произойдет с конкретным человеком, куда меньше. Иными словами, пусть у нас и нет определенной числовой вероятности того, что исходная история необычайно редка, есть, однако, понимание того, что подобные истории не столь исключительны.

Большой вопрос не в том, что Хопкинс нашел экземпляр «Девушки с Петровки», а в том, что это был экземпляр Файфера! Вот это действительно совпадение с непостижимо малым значением p. Только вот… Только вот Файфер сказал, что потерял свой экземпляр недалеко от того места, где он был впоследствии найден.

История 2. История Энн Парриш

История Энн Парриш иная. Парриш просто смотрела, она не искала какую-то конкретную книгу, не говоря уж о ее собственной. Проанализировав историю Хопкинса, мы видим, что история Парриш менее редкая.

Если ничего не знать о жизни Энн Парриш, ее история кажется поразительной. Великолепная история без очевидной причины. Александр Вулкотт, литературный критик, работавший в то время в New Yorker, описал эту историю еще при жизни г-жи Парриш. Вот что он пишет:

Когда мы застаем жизнь в самый момент сложения стиха, наша необузданная радость является, по-видимому, мерой того, насколько мы в действительности боимся тайн ее неизведанных морей. Во всяком случае, я знаю, что когда впервые услышал эту историю, то носил ее с собой как талисман и склонен верить: когда не кто иной, как Энн Парриш, перешла улицу и направилась к книжным рядам, где-то в бескрайнем космосе усмехнулась звезда – усмехнулась и подпрыгнула на своей орбите{113}.

Но давайте соберем мозаику. Ее мать, имя которой также Энн, но называли ее Ани, изучала живопись в Пенсильванской академии изящных искусств в 1860 г.; тогда же там обучалась Мэри Кэссэт. Во время учебы в Пенсильванской академии Ани и Мэри стали близкими подругами. Мэри стала известной импрессионисткой и переехала в Париж, где училась и работала, а также подружилась с Эдгаром Дега и Камилем Писсарро. Тогда возможно ли, что Ани передала книгу своей хорошей подруге Мэри, а та забрала ее с собой в Париж? Мэри умерла в 1926 г. Ее имущество, вероятно, было распродано, как и библиотека, и американская книга Энн Парриш, «вероятно», оказалась на прилавке одного из парижских книжных киосков где-то между 1926 и 1929 гг., до того как Энн Парриш ее нашла.

Давайте еще об этом поразмыслим. На месте американца, приехавшего в Париж в 1929 г., вы, вполне вероятно, в какой-то момент посетили бы оба магазина «Шекспир и компания», а также книжные киоски на Сене. Это были известные места, где покупали и продавали бывшие в употреблении нераритетные книги на английском. Если вы в основном пишете для детей, то, вполне вероятно, будете рассматривать полки с детскими книгами особенно тщательно. На самом деле большинство моих знакомых писателей любят при любой возможности порыться на книжных полках, в особенности на тех, где стоят книги в их жанре. Тогда вот вполне вероятная цепочка событий, соединяющих «Джек Фрост и другие истории» в книжном киоске у Сены и молодую девушку, любимой книгой которой был «Джек Фрост и другие истории».

Но постойте. Тут важную роль играет синхронизация, как и со всеми хорошими совпадениями. Энн надо было оказаться в Париже в то время, когда книга появилась в киоске у Сены. Если бы она приехала раньше или если бы кто-то другой купил книгу, она бы упустила такую возможность. Может быть, книгу купил бы другой американец, привез бы ее в Америку, предоставив тем самым Энн еще один шанс. Но это было бы совсем другое, менее удивительное совпадение, а история о путешествии книги в Париж и обратно осталась бы безвестной. Здесь у синхронизации были широкие границы, что увеличило вероятность.

Присвоить шансам численное выражение будет сложно. Но давайте выдвинем некоторые разумные предположения. Сначала предположим, насколько вероятна была поездка Энн в Париж летом 1929 г. Я бы дал этой вероятности умеренное значение, близкое к 0,1. Энн была замужем за богатым промышленником. Париж в 1929 г. был одним из самых популярных европейских туристических направлений среди богатых американцев наряду с морскими путешествиями по греческим островам. Какова вероятность того, что она посетила бы книжные киоски, пока была в Париже? Я бы сказал, что вероятность этого 0,3. Сложнее всего установить вероятность того, что книга была бы в нужном месте. А вот здесь поможет сопутствующая история – связь между матерью Энн и Мэри Кэссэт, смерть Мэри и несколько мест в Париже, имеющих дело с бывшими в употреблении книгами. Я предположу, что вероятность будет примерно 0,01. Тогда вероятность подобной истории составит p = 0,1 × 0,3 × 0,01 = 0,0003, т. е. шансы в пользу события – 3331 к 1. Маловероятно, но все же лучше, чем шансы приехать в город с целью найти определенную книгу и подобрать ее на скамье в общественном месте. Да, есть много неучтенных скрытых переменных, усложняющих наши расчеты, но они не изменили бы значение вероятности больше чем на 1/10 000, а следовательно, шансы Энн Парриш все же немного выше, чем получить каре при игре в покер.

История 3. История о кресле-качалке

У истории Энн Парриш было преимущество синхронизации с широкими границами. «Джек Фрост и другие истории» могла пролежать в киоске среди других книг на английском несколько месяцев до приезда Энн, и кто знает, сколько еще пролежала бы, реши Энн приехать в Париж позже.

История о кресле-качалке – это такой тип историй, которые могут происходить только при точной синхронизации. Подробности истории, уже описанные в главе 2, следующие. У моего брата, проживающего в Кембридже, Массачусетс, в гостиной стояло кресло-качалка. Моя жена заказала такое же кресло в магазине в Кембридже. Кресла не было в наличии, поэтому его должны были доставить брату домой позже, через несколько недель. В доме у брата были гости, и кто-то из них уселся в кресло. Через несколько секунд после того, как кресло развалилось на кусочки прямо под гостем, в дверь позвонили. Это доставили новое кресло.

Как со многими из таких историй, трудно дать шансам численную оценку. Но мы можем по крайней мере разобраться с порядком цифр.

История вполне могла быть случаем синхронии. Но рассмотрим переменные: заказанное кресло было точной копией того, что принадлежало моему брату. Этот факт вносит вклад в историю, но не в совпадение. Моя жена видела кресло в гостиной у брата и захотела купить точно такое же. Ей наверняка сказали, где его можно купить. Первой важной переменной было то, что кресла в наличии не оказалось. Если бы оно было, то не было бы этой замечательной истории.

Второй переменной стал приход гостей. То, что один из гостей был в этот момент у брата в гостиной, – вполне правдоподобно. Это был друг, который часто заходил в гости, так что мы можем оценить шансы его пребывания в конкретном месте выше чем 9 к 1, а следовательно, и вероятность p_1, где 0,1 < p_1 ≤ 1. Есть, конечно, еще шанс того, что он сел бы именно в кресло-качалку.

Это легко подсчитать. Насколько я помню, в комнате было 2 дивана, на которых могли разместиться 6 человек, и 6 кресел, одно из которых – черное кресло-качалка. Если выбор места был случайным и если никто еще не успел сесть, то шансы гостя выбрать кресло-качалку будут p_2, где 0,1 < p_2 ≤ 0,01.

Но люди не выбирают случайным образом, куда им сесть, особенно если один из вариантов – кресло-качалка. Иными словами, не зная ничего о человеке, оценить шансы сложно. Чисто теоретически, однако, давайте договоримся, что 0,1 < p_2 ≤ 0,01.

Сложно установить точный момент, когда развалилось кресло – иначе говоря, вероятность того, что кресло сломалось бы ровно в тот момент, когда в него сел гость. Мы можем только предположить, что кресло вот-вот должно было сломаться. Мы позволяем себе такую вольность, понимая, что все же должны дать нашей оценке некоторую свободу маневра.

Время доставки установить проще. Если кресла в наличии не было, а доставка ожидалась в течение следующих 2 недель, нам следовало бы ожидать ее в течение второй недели в рабочее время. В неделе 3360 минут рабочего времени. Мы можем разложить события до той секунды, когда, как рассказывается в истории, в дверь позвонили, но, чтобы избежать лишних деталей, давайте остановимся на минутах. Комизм ситуации от этого ничуть не пострадает. Итак, вероятность p_3 того, что в дверь позвонили бы в тот самый момент, когда гость сел в кресло и оно сломалось, составляет 1/3360, или примерно 0,0003. Следовательно, мы можем заключить, что вероятность p = p_1 × p_2 × p_3 того, что история произойдет с конкретной группой людей, будет между 0,0000003 и 0,0003. Как ни удивительно, но эта история потрясающе маловероятна. Шансы между 3 333 332 к 1 и 3332 к 1. На нижнем пределе шансы хуже, чем шанс выиграть в лотерею хотя бы по одному из четырех билетов. На верхнем пределе шансы лучше, чем шанс получить каре при игре в покер.

История 4. Золотой скарабей

Скарабеи (или пластинчатоусые) – это название одного из семейств жуков. Их отличают крупное тельце, металлический окрас и булавовидные усики. Июньский хрущ и японский хрущик – одни из самых распространенных в США видов. У Карла Юнга была пациентка, которой приснился сон о золотом скарабее. Юнг сидел спиной к закрытому окну, слушал рассказ пациентки о ее сне и вдруг уловил, как что-то легонько постукивает по стеклу. Он повернулся и увидел насекомое, бьющееся снаружи о стекло, как будто пытаясь привлечь его внимание. Он открыл окно и поймал насекомое на лету. Это, несомненно, был скарабей. Юнг использовал это совпадение как эталонный пример того, что он называл синхронией, т. е. одновременностью двух событий, происходящих в одно время и в одном месте таким образом, что это нельзя объяснить простой случайностью.

Если сон о золотом скарабее – пример синхронии, то мы не можем знать вероятность такого события. Он входит в иную категорию, нежели история о кресле-качалке, но, как и она, решающим образом зависит от синхронности событий. Если бы скарабей стукнулся в окно получасом позже, история была бы иной. Синхрония вполне может существовать во Вселенной, но в этой истории наверняка замешана случайность. Исходя из этого, нам следует иметь в виду, что сон молодой женщины привносит в задачу скрытую переменную – коллективное бессознательное, что нельзя игнорировать.

Июньский хрущ часто встречается в июне. Возможно, он стучался в окно молодой женщины, когда она спала. Если она услышала это во время сна, то звук мог повлиять на ее сновидение. Часто наши мечты – соединение бессознательных и сознательных переживаний, на которые иногда влияют реальные звуки или свет. Человек может спать во время реальной грозы и одновременно видеть сон о том, как сам попал в грозу. Тогда вопрос для нас будет в следующем: каковы шансы того, что скарабей стучался в ее окно, когда она спала? И каковы шансы того, что скарабей мог стучаться в окно Юнга в тот самый момент, когда женщина рассказывала о своем сне?

Юнг не упоминает о том, в какое время года произошла эта встреча. Может быть, в июне. Судя по моим встречам со скарабеями, я бы сказал, что ответ на первый вопрос – примерно 29 к 1. В мое окно июньский хрущ стучится не менее одного раза в год и почти всегда – в июне. Ответ на второй вопрос дать сложнее. Шансы того, что скарабей мог постучаться в окно Юнга, также 29 к 1, но тут мы не принимаем в расчет точную синхронность двух других событий: периодичность, с которой женщина видит этот сон, и встреча Юнга со скарабеем у его собственного окна. И это загадка, для которой следует сделать определенные предположения. Привлекаемые светом, июньские хрущи обычно стучатся в окна по ночам. Тот факт, что сон был достаточно важен, чтобы рассказать о нем во время сеанса у Юнга, свидетельствует о том, что это был редкий сон, возможно, прерванный стучащимся в окно скарабеем. Если мы займем умеренную позицию и скажем, что женщина могла видеть этот конкретный сон в любую из июньских ночей, то вероятность того, что это произошло в ту же ночь, что и «визит» скарабея, составит 1/30 × 1/30 ≈ 0,001, или шансы 998 к 1.

Предположим, что пациентка ходила на прием к Юнгу раз в неделю и проводила у него по одному часу. Также предположим, что у Юнга было в среднем по 6 пациентов в день, исключая выходные. Это 132 часовых приема в июне. Сон о скарабее обсуждался только на одном из этих сеансов в течение, допустим, десятиминутного интервала. Таких интервалов в июне 792. Это означает, что в течение июня шанс появления скарабея у окна в момент, когда пациентка рассказывала о своем сне, составляет 791 к 1, или вероятность 1/792. Следовательно, вероятность самой истории составит 1/30 × 1/30 × 1/792 ≈ 0,0000014, т. е. меньше, чем флеш-рояль!

История 5. История Франческо и Мануэлы

Совпадение, связанное с Франческо и Мануэлой, – это не сама история, а скорее, тот факт, что автор данной книги оказался там, где произошла история, и услышал ее от одного из непосредственных участников. Будем считать, что конкретные имена, Франческо и Мануэла, значения не имеют. История могла произойти с любыми людьми: скажем, Биллом и Джоан или Фредом и Фредерикой. История могла произойти в любой точке мира. Необязательно даже, чтобы участниками ее были двое мужчин и две женщины. Если смоделировать историю, то окажется, что, абстрактно выражаясь, она о двух парах людей с двумя парами имен, которые встречаются впервые в одной определенной точке мира. Тогда история превращается в подсчет пар имен. Сколько в этом мире имен и сколько из их пар в какой-то момент встретятся в течение, скажем, года? Нам трудно даже предположить. В одной только Ольбии 58 000 жителей, а в момент написания этой книги среди них было 2834 человека по имени Франческо и 276 – с именем Мануэла. Одно известно наверняка: число пар людей с совпадающими именами во всем мире не просто велико, оно огромно! Подобные истории о том, как кто-то обознался, не так уж необычны. Интересно то, что две пары людей проводят друг с другом достаточно много времени, не подозревая, что встретились не с тем человеком. Согласен, такая рассеянность значительно уменьшает числа в наших расчетах. Наложенные нами ограничения снижают числа по крайней мере до сотен.

Есть кое-какие нежесткие методы, которые могут привести нас к достаточно правдоподобным предположениям по поводу шансов. Если в Ольбии проживают 2834 Франческо, то мы должны задаться вопросом: сколько женщин по имени Мануэла приезжают в Ольбию из Мадрида в каждый отдельно взятый день? Сколько из них останавливаются в Hotel de Plam, где начинается наша история?{114} Сколько выходят в вестибюль Hotel de Plam, чтобы встретиться с кем-то, кого раньше никогда не видели? Мы можем измерить вероятность того, что завтра утром два человека по имени Мануэла будут ждать в вестибюле того самого отеля, где произойдет встреча с двумя людьми по имени Франческо, которых ни одна из них раньше не видела. Мы могли бы это сделать, проводя в вестибюле каждое утро, спрашивая у людей, как их зовут, и собирая сведения о том, не планируют ли они встретиться с кем-либо, кого раньше никогда не видели. Тогда за 10 дней мы могли бы взять среднесуточное число людей по имени Мануэла, которые сидят в вестибюле, и разделить его на общее среднесуточное число людей, просто сидящих в вестибюле. Это число может равняться нулю. Но если мы изменим число дней на 365, число людей с большей вероятностью окажется больше нуля. Конечно, это трудоемкий и дорогой способ измерения вероятности.

Есть и другой способ. Начнем со среднего числа приезжающих в Ольбию каждый день. Сардиния – остров, поэтому туда можно добраться либо по морю, либо по воздуху. Возьмем воздушный путь. До сентября 2013 г. туда был один беспосадочный перелет на Iberia Airlines. Но сразу после того, как мы с женой уехали, на Ольбию налетел шторм, который оставил половину города в руинах. Прямой перелет отменили и так никогда и не возобновили. Найдя число прямых рейсов из Мадрида (10) и среднее число пассажиров Airbus 320-й и 340-й серий, которыми осуществлялись эти рейсы (200), мы узнаем, что в среднем 2000 человек приезжают в Ольбию из Мадрида. А поскольку Ольбия, как правило, конечный пункт назначения, почти все прибывающие не садятся в этот день на другой самолет. Конечно, есть некоторые сезонные флуктуации. Согласно выборке из мадридского телефонного справочника, 1,3 % населения Мадрида составляют люди по имени Мануэла. Тогда мы допустим поспешное, но осторожное предположение о том, что только четверть пассажиров, прибывающих этими десятью самолетами, летящими из Мадрида (500), были жителями Мадрида и пригородов. Из этого следует, что Ольбия ежедневно принимает 6,5 приезжих по имени Мануэла. Возможно, некоторые из них затем садятся на поезд или автобус и едут в другой город. Итак, давайте сделаем скромное предположение, что у нас остается 3 приезжих. Далее можно выдвинуть множество аргументов по поводу того, где приезжие могли бы остановиться и какие люди выбрали бы тот или иной отель. В моих расчетах я ограничиваю среднее число людей по имени Мануэла, останавливающихся в Hotel de Plam, значением 0,17. Поскольку мы говорим о средних значениях, мы также могли бы предположить, что выбор того или иного отеля подвержен группировке – некоторые отели делают специальные предложения в определенные дни и в определенное время года. Одна Мануэла могла прибыть в Ольбию накануне вечером. Другая, возможно, только что приехала. Учитывая эти группировки и время прибытия, шансы того, что две Мануэлы выбрали именно тот отель, который порекомендовал соответствующий Франческо, составят 35 к 1, а это равняется шансам выбросить «товарные вагоны» (две шестерки) на паре игральных костей. Стоит ли удивляться, обнаружив двух женщин по имени Мануэла в Hotel de Plam? Предоставляю вам возможность ответить на этот вопрос. Реальная проблема этого совпадения – каким образом случилось так, что связи между парами Франческо – Мануэла оставались перепутанными столь долгое время, пока один из четырех участников не начал что-то подозревать? На это мне ответить нечего, разве что сказать, что у незнакомых людей обычно бывают неловкие вступительные разговоры, которые в первый момент не сосредоточены на действительной причине их встречи.

Было ли это выдающимся совпадением? Такие события происходят гораздо чаще, чем нам кажется, потому что стоящие за ними числа больше, чем мы можем представить. Наше исследование учитывало только два имени: Франческо и Мануэла. История удивляет нас не из-за этих конкретных имен, а скорее потому, что я услышал ее от самого Франческо.

Схема истории такова: некто по имени X встречается с кем-то по имени Y в вестибюле отеля H. Другой человек по имени X должен встретиться с другим человеком по имени Y в вестибюле отеля H. Пока что это просто вариация на тему знаменитой задачи о дне рождения, с которой мы уже сталкивались в главе 8. Однако здесь она развивается дальше. Каждого из людей принимают за другого в течение часа. Теперь возникает куда больше вариантов. Просто проверим, что происходит, если X и Y обозначают 4 других имени, скажем, X = Марко, Андреа, Франческо или Люка (4 наиболее распространенных мужских имени в Италии). Аналогично пусть Y = Мария, Лаура, Марта или Паула (4 наиболее распространенных женских имени в Испании). И конечно, поскольку встреча была деловая, ни X, ни Y не будут непременно именами, соответствующими определенному полу. Теперь мы видим, что их шансы на подобную встречу значительно возросли. Таким образом у нас появляется 16 вариантов: Марко могли встретиться с Мариями, или с Лаурами, или с Мартами, или с Паулами. То же самое – с Андреа, Франческо и Люкой. В конечном итоге у нас вероятность в 16 раз больше, что кто-то обознается в вестибюле отеля H{115}. Почему бы не взять 100 наиболее популярных имен в Италии и 100 наиболее популярных имен в Испании? Если принять число пар имен за n, мы можем предположить, что результат увеличивается, как квадрат n. Это означало бы, что с сотней пар имен шансы умножаются на 1000. Однако по мере уменьшения популярности имен в списке уменьшается и число людей, их носящих. Если мы ограничим наш анализ до, скажем, n ≤ 25, то можем смело утверждать, что результат растет примерно, как квадрат n. Это степень 625. Но не все так просто. В Италии 51 733 отелей от трех звезд и выше. И если мы включим в расчеты вестибюли всех отелей во всем мире, то наше число станет настолько большим, что с двумя парами людей будут происходить точно такие же события в вестибюле некоего отеля примерно каждый час!

«Минуточку! – скажете вы, как часто делает моя жена. – Франческо рассказал историю тебе. Есть разница между вероятностью события, связанного с тем, что кого-то приняли за другого человека, подобного тому, что произошло с Франческо и Мануэлой, и условной встречей двух неидентифицируемых людей где-то в любой точке мира. Совпадение не только в том, что событие произошло, но и в том, что тебе о нем рассказали». Да, согласен. Однако учитывая приведенный выше анализ, оно должно происходить в некой точке мира несколько раз в день. Не удивительно ли то, что я услышал эту историю только один раз за всю свою жизнь? Почему я вообще должен ей удивляться, раз она такая неизбежная?

Каждую из приведенных в этой книге историй о совпадениях можно проанализировать, взглянув на цифры. Сложность заключается в том, чтобы отыскать множество скрытых переменных. Числа могут поначалу не казаться большими, как было в случае со встречей Франческо и Мануэлы, однако путем тщательного изучения всех возможных взаимодействующих комбинаций событий эти малые на первый взгляд числа вырастают до относительно больших – достаточно больших, чтобы нечто, кажущееся невозможным, превратилось в нечто неизбежное.

История 6. История о таксисте

Женщина тормозит такси в Чикаго. Через три года она останавливает такси в Майами и обнаруживает, что водитель тот же самый, что ранее подвозил ее в Чикаго. Чтобы объяснить этот случай, нам нужно сначала рассмотреть, как часто она пользуется такси. Эта женщина – руководитель частной инвестиционной компании, а такие люди нередко ездят на такси в разных крупных городах. Таксисты, у которых нет альбинизма, не так приметны; поэтому часто ездящий на такси человек вполне может и не обратить внимания на то, что уже встречался с водителем, если, конечно, у водителя нет альбинизма. Тогда возможно, что она дважды ездила с другим водителем в двух других городах, но не знала об этом.

Рассмотрим вероятность того, что она останавливает такси в Чикаго и Майами с разницей в три года и водитель тот же – назовем его A – безотносительно того, есть ли у этого человека альбинизм. Вероятность остановить A в Чикаго – 1, поскольку такси пока что не беспилотные. Сначала рассмотрим вероятность того, что водитель такси переезжает из Чикаго в Майами. Сегодня в Чикаго 15 327 водителей такси, около 5000 – в Майами. Статистика численности переезжающих из Чикаго в Майами недоступна, так что все, что мы можем, – это воспользоваться данными об убывающих. У нас есть данные, согласно которым 95 000 из всего населения Чикаго в 2 722 389 человек переехали в другие штаты в 2014 г. – это 1 из 29 за год. Если эта пропорция верна для 15 327 водителей такси в Чикаго, то мы смело можем допустить, что 529 водителей переехали в другие штаты в течение трех лет. Чикаго – третий по величине город в стране, а Майами – 44-й. Сложно предположить, куда они направились, однако в рейтинге компании U-Haul Майами занимает лишь 40-е место среди наиболее популярных городов США для переезда. Иными словами, мы можем предположить, что очень немногие чикагские таксисты переехали в Майами: вероятно, больше 20, но меньше 40. Это делает шансы нашей женщины остановить A больше, чем 20/15 327 = 0,013, и меньше, чем 40/15 327 = 0,026. Шансы в пределах от 75 к 1 и 36 к 1. Неплохо!

Теперь вернемся к водителю с альбинизмом. Поскольку мы не принимаем в расчет тот момент, заметит ли женщина конкретного водителя в двух случаях, отстоящих друг от друга на три года, шансы будут те же. Как с прочими совпадениями, фокус в том, чтобы мы обратили на него внимание.

История 7: История о сливовом пудинге

Историю о сливовом пудинге в том виде, в котором она была рассказана французским поэтом XIX в. Эмилем Дешаном, нельзя привести к каким-либо обоснованным числам. Она находится в ряду наиболее выдающихся из известных историй о совпадениях отчасти из-за большого временного промежутка между связанными с ним событиями. С одной стороны, такой промежуток времени увеличивает шансы, с другой – украшает саму историю. Ключевое обстоятельство следующее: молодой Дешан впервые встретил месье де Форжибю, когда попробовал сливовый пудинг – блюдо, о котором во Франции в то время практически никто не знал.

Десятью годами позже, уже забыв о сливовом пудинге, Дешан проходит мимо ресторана, в меню которого значится этот десерт. Он заходит в ресторан, чтобы заказать себе порцию, но узнает от официантки за стойкой, что это невозможно, так как мужчина в форме полковника заказал для себя весь пудинг. Она указывает на месье де Форжибю. Снова проходит несколько лет, в ходе которых Дешан не видит пудинга и даже не вспоминает о нем. Однажды его пригласили на ужин. Подают сливовый пудинг, и Дешан рассказывает хозяйке и ее гостям историю о месье де Форжибю и сливовом пудинге, называя ее чудесным совпадением. Как только он заканчивает рассказ, раздается звонок в дверь и сообщают, что пришел месье де Форжибю. Тот самый месье де Форжибю был приглашен на ужин в дом по соседству, но ошибся адресом и позвонил не в ту дверь.

Эта история относится к категории, близкой к случайным встречам, но тут мы говорим о 4 переменных, сходящихся в пространстве и времени таким образом, что происходит такое их смешение, что разобраться в них было бы практически невозможно, не прибегая к диким предположениям. Годы, разделяющие события, делают задачу почти нерешаемой. Почти, однако давайте попробуем разложить историю на числа. Вероятность встретить месье де Форжибю сидящим над тарелкой с чем-то вроде сливового пудинга в первый раз равна 1. Конкретный человек и сливовый пудинг реальной значимости не имеют. В центре истории мог быть другой человек и что-то другое. Найти шансы второй встречи, произошедшей 10 годами позже, сложнее. Дешан мог пройти мимо ресторана, не заметив, что в меню был сливовый пудинг. Но это было маловероятно, поскольку именно сливовый пудинг являлся для него особенной вещью, а не какой-нибудь mousse au chocolat. Иными словами, очень, очень вероятно, что он бы заметил, и чуть менее вероятно, что зашел бы взять себе порцию. Совпадение – то, что месье де Форжибю там оказался.

Рассмотрим это следующим образом. Во времена Дешана, в середине XIX в., Париж был небольшим городом: не по населению, а скорее, по местам основного скопления людей. В отдельных кварталах отдельные люди бывали чаще, чем в других. Если бы месье де Форжибю проходил мимо ресторана, то он тоже заметил бы вывеску и, весьма вероятно, зашел бы внутрь и заказал порцию сливового пудинга. Такое действие очень схоже с тем, чтобы обратить внимание на водителя с альбинизмом. Вы чаще что-то замечаете, когда оно необычно и когда пробуждает воспоминания о прошлом. Еще один момент, который следует иметь в виду: вполне возможно, что месье де Форжибю обедал в том ресторане каждый день, как возможно и то, что Дешан зашел туда впервые. Иными словами, если рассматривать это первое совпадение, то это была случайная встреча двух людей, объединенных общим интересом в пределах сравнительно небольшой географической области. Вот следующее совпадение ставит нас перед чем-то чрезвычайно необычным и крайне сложным для исследования: месье де Форжибю по ошибке позвонил в дверь квартиры, где ужинал Дешан и был подан сливовый пудинг.

Однако это совпадение произошло через много лет после встречи в ресторане. Нам следует учитывать все те годы, когда месье де Форжибю не звонил по ошибке в дверь к кому-то, у кого были гости, в том числе Дешан, безотносительно того, подавали ли в этот раз сливовый пудинг или нет.

История 8. Унесенная ветром рукопись

Эту историю рассказал французский астроном Николя Камиль Фламмарион, живший в конце XIX в. Он работал над популярным трактатом об атмосфере в 800 страниц. Когда он писал главу о силе ветра, внезапный сильный порыв распахнул окно, поднял со стола всю главу и унес листы на улицу, прямо под хлещущий ливень. Вторичное совпадение произошло несколькими днями позже, когда портье, служивший у его издателя и работавший в километре от квартиры Фламмариона, случайно нашел пропавшие страницы и принес их ему.

Может показаться удивительным, что ветер мог унести все бумаги так далеко от дома номер 32 по авеню де ль'Обсерватуар до Librairie Hachette – офиса издателя Фламмариона на бульваре Сен-Жермен, 79. Но в истории есть еще кое-что, дающее нам некоторый каузальный фон. Не столь заметная часть истории: утром того дня, когда случился инцидент с ветром, тот самый портье заходил к Фламмариону и принес корректуру в гранках{116}. Этот человек жил недалеко от Фламмариона и пошел позавтракать сразу после доставки корректурных оттисков. По пути обратно в офис издателя он заметил валявшиеся на земле вымокшие листы и – обратив внимание на то, что они были исписаны почерком Фламмариона – подумал, что случайно их обронил. Он вернулся в свой офис и несколько дней никому ничего не рассказывал, вероятно, потому, что листам нужно было высохнуть. В данном случае причина в том, что человек, нашедший страницы, уже был близко связан с человеком, который их потерял.

Буря, налетевшая в тот момент, когда Фламмарион писал о силе ветра, не так уж удивительна. Написать главу книги – дело не нескольких минут. Он, возможно, писал ее несколько дней или недель. Открытые окна в летние дни имеют обыкновение позволять любому пролетающему мимо ветерку стащить чьи-то бумаги. Иными словами, главное событие – это совпавшие друг с другом потерянные страницы и портье. Портье жил в том же районе, ему был знаком почерк Фламмариона, он работал в издательстве (а следовательно, поинтересовался бы, что представляли собой бумаги) и время от времени посещал квартиру Фламмариона. Все это говорит о том, что существовали довольно неплохие шансы, что бумаги будут найдены и возвращены. Но эти шансы слегка умерены более высокой вероятностью того, что кто-то другой нашел бы бумаги – кто-то, не знавший почерка Фламмариона, или дворник, который положил бы их в контейнер вместе с остальным мусором.

История 9. Сон Эйба Линкольна

Линкольн рассказал о своем сне, в котором услышал плакальщиков и вышел из своей спальни, чтобы выяснить, откуда раздавались их рыдания. Скорбящие были невидимы, а звуки были повсюду. Когда он вошел в Восточный зал, то увидел труп на катафалке, окруженном почетным караулом и группой скорбящих. Ему сказали, что президент убит.

У Линкольна было много пророческих сновидений. Когда началась война, он видел тот же самый сон перед каждым важным для страны событием. Были ли они совпадениями или просто понятными переживаниями, связанными с неопределенностью, всплывающими через бессознательное, особенно в состоянии сна?

Сон Линкольна о собственном убийстве мог быть просто осознанием неопределенности его положения. До этого ни одного из президентов США не убивали, но это не значит, что он не думал о такой опасности, особенно во время войны. Как большинство снов, вещие также встроены в механизм сновидения; мы все равно «думаем», пока спим, или «думаем», что спим.

История 10. Джоан Гинтер и ее выигрыши в лотерею

Джоан Гинтер 4 раза выиграла в лотерею. Она выиграла $5,4 млн в первый раз, $2 млн – во второй, $3 млн – в третий раз и $10 млн – в четвертый. Ее выигрыши растянулись на период в 18 лет начиная с 1993 г. Я признаю, что шансы подобного сочетания событий ничтожны, но не равны нулю. Технически ее история – не совпадение. У совпадений нет очевидных причин. У истории Гинтер есть очевидная причина: она выбрала выигрышные номера, покупая билеты оптом. Мы могли бы подумать, что ее 4 выигрыша в лотерею были колоссальной удачей. Что ж, мы были бы правы. Такие многократные выигрыши в самом деле редки. Но имеются скрытые факторы.

Во-первых, первый выигрыш принес ей легкие деньги, которые она использовала, чтобы играть снова и снова, каждый раз используя убытки от игры для покрытия части долга по налогам. Умно, но то же самое делают 80 % тех, кто взял джекпот: играют снова и снова, надеясь на следующую волну. В психологии теории игр такую волну называют подкреплением благоприятной истории{117}. А когда вы выиграли джекпот, вы ведь не покупаете один-два билета; вы покупаете их сотнями, даже тысячами. Но как выбирают выигрышные числа?

Мне сообщали, что шансы выбрать 4 выигрышных числа составляют 18 септиллионов к 1, а это настолько маловероятно, что может произойти с одним человеком только раз в квадриллион лет{118}. (Смотри описание хода вычислений в главе 7.) Может быть, и так, но, не зная, сколько раз Гинтер проиграла (а у нас нет возможности это узнать), нельзя выяснить действительные шансы. Некоторые части истории отсутствуют. У нее действительно есть докторская степень по математике, полученная в Стэнфорде, так что, возможно, для определения выигрышных номеров при покупке билетов оптом она использовала некий алгоритм.

Давайте рассмотрим лотерею Texas Lotto. Игроки покупают один билет за $1 и отмечают 6 чисел от 1 до 54. Лотерея публикует шансы на выигрыш в таком виде, как показано в табл. 10.1. Предположим, что Гинтер купила один билет за $1 и выбрала 6 выигрышных чисел. При джекпоте $2 млн ожидаемый выигрыш составляет всего 9 центов с доллара. Можно выиграть три других приза, не составляющих джекпот, так что мы должны прибавить ожидаемое значение 7 центов (полный выигрыш, исключая джекпот) к ожидаемому значению джекпота, изменив таким образом ожидаемое значение выигрыша любого из призов на 16 центов. На каждый сыгранный доллар игрок выбрасывает 84 цента.

Кроме того, существуют налоги и вероятность разделить выигрыш с кем-то из игроков, поэтому ожидаемое значение сокращается примерно до 12 центов. Пул игроков увеличивается с размером джекпота, поэтому вероятность, что джекпот придется разделить между несколькими игроками, также растет.

Да, выиграть в лотерею 4 раза – колоссальная удача. Вероятность даже одного выигрыша поразительно мала. Четыре выигрыша Гинтер – событие с настолько малой вероятностью, что после запятой понадобится поставить 32 нуля, прежде чем начнут появляться числа, от нуля отличные. Но только потому, что мы называем конкретного человека в качестве четырехкратного победителя – Джоан Гинтер. Конечно, у нее столько же шансов выиграть любое число раз, пусть даже один раз, сколько имеется их у любого другого при условии, что она покупает только один билет за раз. Но шансы того, что кто-то выиграет джекпот, достаточно высоки, учитывая, что в год продается до 1 млрд билетов Texas Lotto. Все-таки кто-то выигрывает, хотя может пройти несколько розыгрышей, прежде чем появится победитель. В 2014 г. около 31 818 182 человек в США потратили $70 млрд на покупку лотерейных билетов. Если каждый год покупается 70 млрд билетов и если числа выбраны случайно (они не абсолютно случайные, как мы отметили в главе 6), тогда в течение года кто-то точно должен выиграть, и есть неплохие шансы того, что кто-то выиграет в течение месяца.

Нам понятно, как может выиграть один человек, но как насчет того, что один и тот же человек выигрывает 4 раза? У выигрыша Гинтер и ему подобных весьма неплохие шансы, если учитывать все население США: почти 320 млн человек. Ее выигрыши кажутся изумительными только потому, что мы их рассматриваем как произошедшие с одним конкретным человеком – Джоан Гинтер.

Давайте вычислим вероятность того, что человек, любой человек, не обязательно Гинтер, выиграет в лотерею дважды в течение пяти лет. Вы можете найти результаты довольно удивительными. В Северной Америке 26 отдельных больших легальных лотерей со 104 розыгрышами в год и общим числом в 13 250 розыгрышей за период в пять лет. В среднем 1/6 от общего числа розыгрышей заканчиваются розыгрышем джекпота, поэтому число выигрышей – 2253.

Теперь выдвинем безумное предположение о том, что эти события не зависят друг от друга. Оно безумное, поскольку мы предполагаем, что каждый победитель каждого выигрышного тиража продолжает играть на большие суммы и использует ту же стратегию, что и раньше, чтобы повлиять на следующий выигрыш. Мы также предполагаем – только для того, чтобы можно было провести исследование, – что каждый игрок использует ту же стратегию, что и любой другой. Иными словами, мы усредняем стратегии по всем выигравшим джекпот. Иначе задача становится слишком сложной для анализа.

Пусть x – вероятность того, что некий человек постоянно играет в лотерею в течение пяти лет и дважды выигрывает[18]. Примем за p вероятность выиграть джекпот в одном тираже лотереи из таблицы 10.1. Сначала вычислим (1 – x) вероятность того, что выигравшие в первый раз не выиграют во второй раз в течение пяти лет. Пусть y = 1 – x. Среднее число выигрывающих джекпот на один разыгранный джекпот составляет 1,7, поэтому с каждым выигрышным тиражом число новых игроков, выигравших джекпот, увеличивается на 1,7. Это означает, что на первый из 2253 выигрышей придется 1,7 победителя. На второй из 2253 выигрышей будет 1,7 × 2 победителя… и на последний из 2253 выигрышей будет 1,7 × 2253 победителя. Иными словами, вероятность того, что первый победитель не выиграет во второй раз в ходе 2, 3,… и последнего из 2253 выигрышей, составляет (1 – p)1,7, (1 – p)1,7×2, (1 – p)1,7×3, … (1 – p)1,7×2253 соответственно. Поскольку мы предполагаем, что каждый выигрыш не зависит от других, y – вероятность того, что ни один из выигравших один раз не выиграет во второй раз – это произведение (1 – p)1,7 (1 – p)1,7×2 (1 – p)1,7×3… (1 – p)(1,7×(2253 – 1)).

Следовательно, y = (1 – p)1,7(1 + 2 + 3+… + 2253) = (1 – p)4312693 ≈ 0,85. Иными словами, x – то есть вероятность того, что кто-то выиграет джекпот дважды за пять лет, – примерно равен 0,15. Для периода в десять лет эта вероятность равна 0,48, и для 13 лет (время между первым и вторым выигрышем Джоан Гинтер) она составит 0,67.

Мы можем провести схожие вычисления для всего мира и периода в 1 год. В мире 166 лотерей. У многих лотерей вне США только 1 розыгрыш в неделю. Таким образом, общее число тиражей, составленное из еженедельных розыгрышей по всему миру, а также розыгрышей в США 2 раза в неделю за 2 года составит 9984. Число выигравших джекпот за 1 год (учитывая шкалу, согласно которой в США число розыгрышей на джекпот составляет в среднем 5 к 1 и отношение розыгрышей к джекпотам в остальном мире в 3 к 1) в силу вышесказанного – 2496. Используя тот же метод, мы вычисляем y = (1 – p)1,7×(1+2+…+2495) = (1 – p)5 293 392 ≈ 0,82. Следовательно, x = 0,18.

За 2 года вероятность того, что 1 человек выиграет дважды, составит 0,55, а за четыре года – 0,96 – число настолько близкое к 1, что шанс того, что кто-то выиграет джекпот дважды в течение четырех лет, – это практически достоверность.

Выигрыши Джоан Гинтер растянулись на период в 18 лет. При таком временно́м диапазоне вероятность того, что один человек выиграет джекпот 4 раза где-либо в мире, предельно близка к 1.

Раздел 4

Головоломки

Такие вот фразы

Иным историям законы – не указ,

Нам кажется случайностью рассказ,

В котором миллион противоречий

Уравновешен поворотами сюжета;

Попробуй удивленье выразить числом –

Оно над математикой смеется,

Как миллион безумных обезьян,

По клавишам и день и ночь стучащих,

Условных, а быть может, настоящих,

Что неустанно будут опыт повторять,

Сиксилиарды неудач переживать,

Без замысла или намерения

Создать произведение

Такое предложенье смогут написать.

Дж. М. (пер. М. И.)

Есть совпадения, которые совершенно не поддаются анализу. Неважно, что вы о них думаете, – они, похоже, приходят к нам через интуицию. Эти совпадения не вписываются ни в одну из наших 10 категорий, приведенных в pазделе 3. В первом из пяти очерков мы исследуем совпадения, связанные с пробами ДНК, взятыми с места преступления, и неправильное восприятие присяжными заседателями того, насколько мала может быть в действительности вероятность ошибки при рассмотрении таких улик. Во втором представлена история случайного открытия Вильгельмом Конрадом Рентгеном одноименного излучения, сделанного в ходе экспериментов с электрическим током в стеклянном сосуде под вакуумом. Третий рассказывает нам историю о биржевом маклере, Жероме Кервьеле, который поставил €10 млн, заранее не располагая данными о 2 случайностях, на одной из которых он заработал миллионы евро, а на другой потерял гораздо больше. Четвертый очерк посвящен сверхъестественным силам экстрасенсорного восприятия и вопросу о том, попадают ли они в одну из категорий совпадений. Пятый очерк сравнивает запланированные совпадения в литературе и народных преданиях с непредсказуемыми совпадениями в реальной жизни.

Глава 11

Доказательство

Лучше и правильнее оправдать тысячу виновных, чем предать смерти одного невиновного{119}.

Маймонид

Люди любят истории о совпадениях и думают, что они редки. Когда некоторые из них становятся присяжными в делах, которые могут закончиться смертным приговором, они полагают, что совпадение, способное привести к судебной ошибке, – вещь крайне маловероятная. Все-таки присяжные, как правило, желают увидеть неопровержимые результаты судебной экспертизы, прежде чем выносить обвинительный приговор, и это хорошо. Любопытно, что, с другой стороны, они слишком уж часто готовы вынести обвинительный приговор, имея столь же серьезные доказательства невиновности. Общественность ошибочно предполагает, что пробы ДНК – это совершенное доказательство вины или невиновности, по крайней мере если они не нарушены каким-либо загрязнением. Однако совпадения, связанные с доказательствами, приводящими к неправомерным обвинениям, намного более вероятны, чем мы могли бы ожидать.

Аргументы в пользу проб ДНК сильны, особенно для простого люда с весьма поверхностным пониманием того, как работают эти пробы. Люди, не разбирающиеся в том, как устроена ДНК, – легкая добыча для хитроумных юристов, способных ловко манипулировать их доверием, поскольку ДНК может рассматриваться и как доказательство вины, и как доказательство невиновности в случае неаккуратного расследования серьезных преступлений. Вопрос о том, что составляет доказательство, основанное на пробах ДНК, – что с его помощью можно доказать, а что нельзя, – слишком сложен, чтобы дать однозначный ответ. Тем не менее нам надо поднять вопрос о доказательстве, чтобы рассмотреть ситуации, в которых на основании совпадения были приняты решения о виновности или невиновности. Многие обвинительные решения могут быть подвержены ошибкам в процессе построения доказательства – как косвенным, случайным, так и существенным.

До тестов ДНК стандартными инструментами были определение группы крови, серология и дактилоскопия. Эти традиционные методы судебной экспертизы дают очень неточные данные в сравнении с данными проб ДНК. Примерно у 40 % американцев I положительная группа крови, а совпадающие отпечатки пальцев во многих уголовных делах не являются убедительным доказательством. Барри Шек, один из основателей Innocence Project[19] и один из юристов в команде адвокатов О. Дж. Симпсона[20], сказал, что идентификация по ДНК – это «золотой стандарт определения невиновности и волшебный черный ящик, из которого неожиданно появляется истина»{120}.

Генотипоскопия сейчас играет важную роль в оправдании неправомерно осужденных. И все же и защита, и обвинение могут использовать результаты тестов ДНК в свою пользу, пытаясь либо убедить присяжных в неопровержимой научной достоверности проведенного анализа, либо подвергнуть критике процессы сбора и хранения проб. В деле О. Дж. Симпсона у обвинения были существенные данные генотипоскопии; но защите удалось убедить присяжных, что доказательства были сфабрикованы.

Генотипоскопия не является непогрешимой. Могут иметь место непреднамеренные ошибки и умышленные манипуляции. Несовершенство аппаратуры, случайные влияния внешней среды и человеческий фактор – все это может привести к ошибочным результатам лабораторного анализа.

11 мая 2006 г. независимый следователь изучил сотни уголовных дел, которые сначала были исследованы Криминалистической лабораторией и Имущественным управлением Департамента полиции Хьюстона. В порядках проведения 7 криминалистических экспертиз, включая серологию, генотипоскопию и трассеологию, были найдены значительные нарушения, допущенные в ходе уголовных разбирательств начиная с 1980 г. При рассмотрении 135 экспертиз ДНК 33 (32 %) были признаны содержащими значительные нарушения с подозрением на умышленную подмену данных{121}.

Совпадение профиля ДНК с образцами, найденными на месте преступления, не является надежным доказательством вины или невиновности. Возьмем дело Яры Гамбисарио – один из многих известных примеров. В ноябре 2010 г. 13-летняя Яра не вернулась домой в Брембате-ди-Сопра, маленькую деревеньку на севере Италии. Тело было найдено 3 месяцами позже в другой деревне, в 10 км от ее дома. В течение 2 лет расследование несколько раз заходило в тупик, пока наконец не появилась одна зацепка. Нашлась проба ДНК, не идеально совпадающая, но все же поразительно схожая с той, что была взята с одежды Яры. Проба принадлежала мужчине, находившемуся в момент преступления в Южной Америке. Связанные с его поиском розыскные мероприятия в конечном итоге привели к двум почтовым маркам, которые лизнул некий мужчина, умерший в 1999 г. «Это было совершенно безумное совпадение», – сказала репортерам старший следователь, перед тем как отказаться от своей единственной перспективной версии. «Связи не было, – сказала она. – Такое нельзя было придумать. Все дело – сплошное безумие»{122}. У истории было много поворотов, но в конце концов преступление раскрыли. Человеку, который был в Южной Америке, повезло, что у него было такое железное алиби. Мертвому повезло, что он был уже мертв.

Члены коллегии присяжных должны понимать или по крайней мере им должны объяснить судьи: анализ ДНК – это предельно сложный и запутанный процесс, который запросто может выдать ложноположительный или ложноотрицательный результат. Какая-то часть информации неизбежно будет интерпретирована и обработана как релевантная и подтверждающая вину, хотя на деле является косвенной. Любые скрытые детали анализа могут затеряться, если не будут должным образом интерпретированы. Точно так же всегда существует возможность того, что некая часть информации будет интерпретирована как оправдательная, хотя на деле подтверждает вину.

С одной стороны, анализ ДНК требует наличия незагрязненного биологического материала с места преступления: кровь, сперма, корни волос, слюна или пот. ДНК из внешней среды – растения, насекомые, бактерии или другие люди – часто загрязняют образцы. Еще одна проблема – это наше понимание уникальности профиля ДНК. Вот в чем вопрос: насколько уникален генетический профиль? Возможно ли, что два человека (не являющиеся однояйцевыми близнецами) случайно имеют идентичный профиль ДНК? Совершенен ли анализ ДНК? Может ли он быть ошибочно положительным или ошибочно отрицательным? Даже в самом чистом виде все же есть шанс – хоть и предельно малый шанс, – что данные анализа ДНК двух разных людей (не близнецов) окажутся идентичными. Согласны ли мы пойти на риск и казнить невиновного, когда обвинение и доказательство вины построено исключительно на основе результатов экспертизы ДНК?

Что касается ошибочно положительных заключений, которые зависят от частных обстоятельств, шанс их возникновения в общем оценивается в пределах от 100 к 1 до 1000 к 1{123}. Ошибки могут возникать в результате обработки проб. Неверный расчет шансов возникновения ложноположительных результатов может привести к осуждению невиновных, особенно когда решение выносится только на основе экспертизы ДНК. Лаборатории редко, но регулярно неверно интерпретируют результаты тестов. Они допускают ошибки, потому что существует возможность случайного совпадения. К сожалению, присяжным редко предоставляются статистические данные о том, насколько часты ошибочно положительные заключения. Но все же и шанс случайного соответствия (когда у двух людей действительно совпадают профили ДНК), и шанс ошибочно положительного заключения необходимо учитывать для справедливой оценки данных экспертизы ДНК{124}.

Иногда в дело вмешивается псевдонаука. Многие полагают, что образец волос – то же самое, что образец ДНК. Это не так. Образец ДНК может быть получен только из корня волоса. В большинстве случаев образец волос оценивается на основе субъективного микроскопического исследования и сравнения, что на самом деле является липовым доказательством. Не существует надежного научного метода для определения принадлежности волоса тому или иному человеку, если отсутствует корень{125}. Тем не менее много десятилетий суды полагались на заключения так называемой экспертизы образцов волос при рассмотрении уголовных дел.

Возьмем дело, где обвиняемыми выступали трое чернокожих мужчин: Дональд Гейтс, Кирк Одом и Сантей Триббл. Обвинение было основано на данных микроскопического исследования и сравнения волос, но результаты экспертизы ДНК ей противоречили. В 1990 г. обвинитель, преувеличив статистическую надежность сравнения образцов волос, убедил коллегию в виновности Триббла. Его приговорили к тюремному заключению на срок от 20 лет до пожизненного. Он провел в тюрьме 20 лет, а потом был оправдан, и все из-за волоса, найденного на лыжной маске{126}. Совпадение? Какое совпадение? Наука пока не располагает убедительной статистической моделью частотного распределения характеристик волос в генеральной совокупности{127}. Тогда откуда берутся данные научной экспертизы? Как может признанный эксперт заявлять о соответствии проб в отсутствие ДНК, если не существует научных методов определения принадлежности образцов волос тому или иному индивиду? И все же мы часто слышим, как эксперты говорят присяжным, что такое возможно: «По моему мнению, на основании моего опыта лабораторных исследований, коих я выполнил не менее 16 000, эти волосы принадлежали умершему»{128}. У каждого может быть свое мнение. Но мнение эксперта в зале суда часто принимают за доказательство. Это не просто чистейший вздор; это безответственность, учитывая, что результатом может стать осуждение невиновного. Никто не в состоянии представить достоверную статистическую вероятность того, что результаты микроскопического исследования образца волос могут позволить безошибочно определить их источник. Тем не менее за последние два десятилетия 26 из 28 экспертов-криминалистов ФБР, давая показания в суде, подчеркивали, что соответствие проб волос является достоверным доказательством. В деле мистера Триббла один из экспертов заявил о соответствии «всех микроскопических характеристик». В своем заключительном слове обвинитель втолковывал присяжным сфабрикованную и недостоверную статистику: был только «один шанс на миллион», что волос мог принадлежать кому-либо, кроме мистера Триббла{129}.

К несчастью, реальные судебные разбирательства отличаются от тех, что можно увидеть по телевизору или в фильмах, где судебные экспертизы, похоже, всегда безупречны. К еще большему несчастью, реальные коллегии присяжных обычно верят тому, что говорят им судьи; в то, что слышат и чего не слышат. Прокуроры рассказывают им – один именно так и поступил без каких-либо возражений со стороны судьи, – что «прелесть экспертизы ДНК состоит в том, что она обеспечивает стопроцентную достоверность»{130}. Ни одна криминалистическая экспертиза не дает 100 %-ной достоверности, и все-таки люди не могут избавиться от заблуждения о том, что ДНК дает точные и определенные ответы. На самом деле результаты анализа ДНК зависят от правильности экспертизы и группы наследственных признаков, связываемых с подозреваемым. Но суды принимают результаты судебной экспертизы за «железобетонную» науку, не вполне понимая имеющиеся у нее ограничения{131}.

В ходе рассмотрения одного дела судмедэксперт Управления полиции Хьюстона, находясь под присягой, высказал следующее недостоверное утверждение: «У двух человек не будет одинаковой ДНК, только если они не однояйцевые близнецы»{132}. Любой, кто достаточно осведомлен о том, как сверяются профили ДНК в криминалистической лаборатории, должен понимать, что такое утверждение далеко от истины. С соблюдением должной правовой процедуры присяжные должны были быть оповещены о том, что всегда существует небольшая доля населения, у которой можно ожидать соответствия профилей ДНК. Малая вероятность такого соответствия не исключает совпадений. В большинстве дел, где рассматриваются результаты экспертизы ДНК, присяжным обычно предоставляют статистические данные о случайных соответствиях. Присяжным, как правило, сообщают о вероятности того, что не являющийся родственником случайный индивид может иметь профиль ДНК, совпадающий с профилем подзащитного. Но эти числа не имеют смысла для присяжного, который полагает, что шансы 1, скажем, к 500 000 – это абсолютная достоверность.

Геном человека

Давайте вкратце вспомним кое-что о геноме человека – генетической информации, закодированной в парах хромосом, находящихся в ядре каждой клетки человеческого тела. Хромосома – это набор молекул ДНК в ядре клетки. У человека 23 пары хромосом (22 пары плюс две половые хромосомы), т. е. 23 хромосомы из набора матери и 23 – из набора отца. Как только мы поймем, что наследование генетической информации – вопрос куда более сложный, чем текст, приведенный далее на нескольких страницах, то сможем составить для себя достаточно точную картину того, как можно установить личность человека по его или ее ДНК.

ДНК – это сокращение от названия химического соединения дезоксирибонуклеиновая кислота, которое находится в живых клетках. Структура ДНК представлена в виде винтовой лестницы, двойной винтовой спирали (рис. 11.1).

Ступени составлены из основанных на азоте соединений, называемых нуклеотидами, или основаниями: аденин, гуанин, тимин и цитозин, для простоты обозначаемые буквами A, G, T и C. Две спиралевидные нити, состоящие из соединенных молекул сахара и фосфата, формируют боковые поверхности лестницы. Каждая ступень – соединение нуклеотидов от каждой из этих двух нитей. Сочетание букв определяет генотип человека или его генетический профиль.

Чтобы описать последовательность ДНК, мы сначала рассматриваем короткие тандемные повторы (КТП), являющиеся повторами комбинаций четырех нуклеотидов A, T, G и C. Существует 4 × 4 × 4 × 4 = 256 возможных комбинаций такой последовательности. Рассмотрим организацию любых четырех последовательностей букв A, T, G и C, учитывая, что буквы могут повторяться. Тогда мы получим AAAA, или AGTC, или любую другую из 254 комбинаций. У одного человека может быть хромосома с короткими тандемными повторами, которые выглядели бы как AGTT, AGTT, AGTT, а у другого человека могла бы быть хромосома с повторами, которые выглядели бы как AGTT, AGTT, AGTT, AGTT. И все же у этого другого человека могло бы быть 6 повторов или 12. Обратите внимание, что у первого человека было всего 3 повтора, тогда как у второго – 4. Это создает намного большую изменчивость в генетической матрице индивида. И если мы добавим сюда тот факт, что человек наследует одну последовательность каждой хромосомы от своей матери, а другую – от отца, вероятность того, что у двух человек среди всего мирового населения (исключая однояйцевых близнецов) будет одинаковая ДНК, близка к нулю, но все же нулю не равна. Чтобы представить, насколько мала и насколько длинна молекула двойной спирали ДНК в одной-единственной клетке, представьте: она заключена в ядре клетки, диаметр которой меньше, чем одна пятидесятитысячная сантиметра, а если ее полностью развернуть, ее длина составит 2 м. Это невообразимо плотная упаковка.

Чтобы понять всю сложность модели, задумайтесь: в каждой из 23 пар хромосом приблизительно 3 млрд последовательностей из 4 нуклеотидов, каждый из которых получен от матери и отца{133}. Без сомнения, это большое число. Проблема в том, что мы не знаем, какие из 3 млрд позиций в последовательности могут отличаться.

Чтобы сличить профили ДНК двух человек со 100 %-ным соответствием, мы должны были бы сравнить приблизительно 3 млрд пар нуклеотидов, а это нерациональный и очень дорогой процесс. Мы этого и не делаем. Вместо этого мы сравниваем очень небольшую часть, чтобы найти сходство. Если в этой малой доле есть соответствие, мы оцениваем, насколько вероятно то, что соответствие является результатом совпадения. Вопрос, который стоит перед нами, заключается в следующем: насколько мала должна быть эта «небольшая часть», чтобы мы могли уверенно сказать, что соответствие возникло не в результате совпадения?

У судмедэкспертов принято говорить о вероятности случайного соответствия, основанного всего на 13 различных КТП. Таким образом, они утверждают, что могут опознать человека по 13 различным КТП, распределенным по всему геному человека. Иными словами, они считают, что в случайной выборке из 13 КТП на 23 человеческих хромосомах обнаружатся несоответствия. Почему всего 13? Такое решение принято на основании двух соображений: практичности и цены, его объясняют тем, что число КТП на каждой из 13 позиций должно очень сильно отличаться в любой группе людей. Например, на хромосоме 3 один человек мог унаследовать 5 повторов от матери, а другой мог унаследовать 3 повтора от матери и 6 от отца. Во всей популяции некоторые повторы будут очень редкими, а другие – довольно распространенными. Требуется всего одно отличие, чтобы исключить, что ДНК подозреваемого совпадает с образцом, найденным на месте преступления. В одной хромосоме КТП могут и не быть настолько уж редкими. Довольно низкой частотой в популяции может быть, скажем, 0,1. Но умножьте это на частоты КТП в 13 выбранных хромосомах, и вы обнаружите вероятность соответствия порядка 1 миллиона миллиардов. Но список подозреваемых в совершении преступления – это значительно меньшая группа, чем население всего мира. Поэтому судмедэксперты уверены: нет фактически никаких шансов, что у двух человек будет одинаковый набор копий. Шанс того, что у двух человек имеются одинаковые пары по всем 13 КТП, не равен нулю, но ограниченный группой подозреваемых в преступлении шанс этот так необычайно близок к нулю, что можно допустить, что это фактически ноль.

Другими словами, если профиль ДНК с места преступления и профиль подозреваемого совпадают, то доказательства указывают на вину подозреваемого. С другой стороны, если профили не соответствуют, то доказательства указывают на невиновность подозреваемого. Так работают генотипоскопия и судебная экспертиза. На что бы ни указывали доказательства, следствие должно учитывать, что случайности, совпадения, человеческий фактор и неизвестные скрытые переменные обычно усложняют простую картину, особенно такую, которая составлена на основе единственного измерения.

Бегунья из Центрального парка

Всякий обвинительный вердикт, вынесенный в отношении невиновного, – шрам на теле правосудия, но дело об изнасиловании бегуньи в Центральном парке, т. е. дело Патриции Мейли, где в определенное время совпали маршруты движения двух многочисленных групп латиноамериканских и темнокожих подростков, – это даже не шрам, а тяжелое увечье. Соответствия ДНК установлено не было, и все же подростки были осуждены, так как признались, что были на месте преступления. Они провели в тюрьме от 6 до 13 лет, пока настоящий насильник не сознался. Прокурор может использовать экспертизу ДНК, чтобы добиться обвинительного приговора, но, когда данные экспертизы ДНК противоречат обвинению или используются в целях пересмотра приговора, тот же самый прокурор может начать доказывать, как некоторые и делают, что «экспертиза ДНК сама по себе не всегда является панацеей, как некоторым иногда кажется»{134}.

Прокуратура высказала свою точку зрения. 19 апреля 1989 г. многочисленная группа лиц мужского пола неслась по Центральному парку, напрашиваясь на неприятности, и натолкнулась на молодую бегунью. Их называли «волчьей стаей», говорили, что они «бесчинствовали» весь вечер. Сообщалось, что хулиганы избили Патрицию Мейли до состояния комы, затащили ее в овраг, совершили над ней насильственные действия сексуального характера и бросили умирать. История произвела в прессе эффект разорвавшейся бомбы, потому что все обвиняемые были черными, а бегуньей была 28-летняя сотрудница финансового отдела Salomon Brothers с блестящими карьерными перспективами. Патриция, или Триша, как она теперь себя называет, получила травму головного мозга, которая лишила ее воспоминаний о нападении. Получилась сенсационная и раздутая история, подстегнувшая продажи газет, привлекающая и удерживающая телезрителей, отличная такая история о расовых противоречиях. «Только заикнитесь о Бегунье из Центрального парка практически с любым взрослым человеком в Нью-Йорке, – пишет Триша в своих мемуарах, – или с любым из миллионов жителей страны, и они снова будут переживать потрясение от того, что с ней произошло, даже 14 лет спустя».

Маршрут пробежек Триши время от времени менялся. Иногда она бегала в плохо освещенных места к северу от 84-й улицы. Друзья уговаривали ее не бегать в темное время суток одной, так что в начале пробежки она двинулась по северному маршруту, пока еще был ранний вечер. В этот раз она попала в Центральный парк по 84-й улице и повернула на север к пересечению со 102-й улицей, после чего подверглась жестокому нападению и изнасилованию. Память она потеряла, не было ни очевидцев, ни улик, способных указать на подозреваемых, – только данные о вероятном местонахождении людей в определенный момент.

История чудовищная, и нет необходимости приводить здесь ее детали. Какое-то время Триша боролась за жизнь; затем, когда ее состояние стабилизировалось, оказалось, что у нее необратимые повреждения мозга, полученные в результате ужасных травм. Она перенесла сильнейший отек головного мозга, врачи отделения интенсивной хирургии Metropolitan Hospital в Восточном Гарлеме прогнозировали нарушения «умственной, физической и эмоциональной сферы»{135}. Никто полностью не оправляется от изнасилования, особенно совершенного с такой жестокостью. Но физически Триша восстановилась. Ее жизнь приняла иное направление, нежели инвестиционно-банковская деятельность.

Побои и изнасилование повесили на группу из пяти чернокожих и латиноамериканских подростков. Следователи и прокуратура вынудили их подписать документы, содержащие изобличающие их показания, которые были приняты судом. Мальчишки просто ничего не знали о своих гражданских правах. Вышло так, что они случайно проходили мимо того места, где находилась Триша, в момент изнасилования. Таким образом, они были осуждены в 1990 г., хотя образцы ДНК, взятые с белья Триши, не соответствовали ни одному из образцов, взятых у обвиняемых.

В 2002 г. прокурор округа Манхэттен Роберт Моргентау исследовал дело на предмет возможных злоупотреблений. Данные экспертизы ДНК показывали, что Тришу изнасиловал и избил Матиас Рейес, осужденный насильник, отбывающий наказание от 33 лет до пожизненного, который признался, что действовал в одиночку. Его нельзя было обвинить за это преступление, потому что срок исковой давности истек. Эти пятеро подростков были в парке, случайно оказавшись около места преступления и не зная об этом. Несколько лет спустя, после того как их оправдали, мужчины признались, что были в парке и совершили несколько не связанных с делом разбойных нападений, грабежей и избиений. В этот вечер по улицам рыскало несколько банд, иногда объединяясь, иногда разделяясь. Они признались, что сбили с ног мужчину и затащили в кусты, где стали обливать его пивом. Признались в 8 нападениях в парке.

Жизнь Триши в тот вечер неожиданно распалась на «до» и «после». Вторая часть жизни приняла совсем другое направление. Salomon Brothers больше не было, а Триша стала другим человеком. «Я вышла на пробежку, – пишет она в своих воспоминаниях, – и жизнь моя прервалась. Никто не подходит так близко к смерти, в чем-то не изменившись, и я научилась принимать перемены: и положительные, и отрицательные». В 2004 г. она написала:

Я не понимаю, почему все так вышло. В прошедшие годы, к сожалению, произошло бессчетное число избиений и изнасилований (только за ту неделю, когда на меня напали, сообщалось, что в городе произошло еще 28 изнасилований), и все же о моем случае помнят, тогда как остальные забыты всеми, кроме самих жертв, их семей и друзей. Возможно, потому, что это нападение показало, на какую гнусную безнравственность способны люди – полагали, что нападение было совершено группой подростков в возрасте от 14 до 16 с одной лишь целью «позабавиться», – и люди содрогнулись, понимая, что среди представителей нашего высокоразвитого вида существует такая жестокость{136}.

Есть серьезная потребность в том, чтобы широкая общественность, из которой и набирают присяжных, была информирована о том, что такое ДНК и какие случайности происходят даже в самых обстоятельных полицейских расследованиях. ДНК невиновного человека, чихнувшего за много километров от места преступления, может попасть туда на поезде или самолете, или просто на случайном листе, который подхватил и понес ветер. Даже рыба может попасть в недавно вырытый пруд с помощью икринок, прилипающих к перепонкам водоплавающей птицы. Общественность должна понимать, что такое близкие соответствия, и разбираться в методике: как на коротких участках цепочек ДНК могут случайно совпадать повторы, причем без очевидной физиологической функции, и как делаются выводы из случайных совпадений отдельных признаков волос, отпечатков подошв, пальцев, характеристик голоса и, да, ошибочных показаний очевидцев.

Совершенное понимание последовательностей четырех нуклеотидов, составляющих ДНК, не настолько важно, но знание о том, что пробы легко могут оказаться подвержены загрязнению и что пары нуклеотидов, редкие в одних популяциях, встречаются чаще в других, может иметь огромное значение для судьбы подозреваемого.

Истинность доказательства (вины или невиновности) может находиться под влиянием скрытых от нас совпадений, а общественности никогда не следует выносить какие-либо суждения о виновности или невиновности, основывая их только на экспертизе ДНК и показаниях очевидцев. На это можно надеяться, если создать у общественности понимание всей сложности вопроса, тогда СМИ и присяжные будут понимать, что доказательства, рассматриваемые в ходе уголовного процесса, независимо от того, насколько научно их объяснение, не всегда столь истинны, как это изображают в зале суда.

Пятеро обвиненных в преступлении подростков дали признательные показания, когда их арестовали.

Зачем, спросите вы, невиновному признаваться в преступлении, которого он не совершал? Существует серьезное заблуждение насчет точности судебного процесса, поддерживаемое образами американского уголовного правосудия, созданными телевидением и кино. Прежде всего мы должны понимать, что в американских тюрьмах находятся 2,2 млн человек, и более 2 млн из них – потому что согласились на сделку с правосудием, чтобы избежать риска рассмотрения дела судом присяжных, который может потребовать максимально сурового наказания. Для резонансных преступлений, таких как изнасилование или убийство, ставкой может быть пожизненное заключение или смерть. Иными словами, обвиняемый, признаваясь в преступлении, которого не совершал, делает это на основе оценки рисков, затрат и возможных выгод. Это один из естественных вариантов самозащиты, вызванный давлением со стороны несовершенной системы органов уголовной юстиции. Несовершенной, потому что сделка с обвинением почти всегда подтверждает вину и преимущество всегда оказывается на стороне обвинения. Можно подумать, что немногие из несправедливо обвиненных пойдут на это, но проект «Невиновность» сообщает, что 10 % обвиняемых идут на сделку с обвинением и признаются в преступлениях, которых не совершали, и что примерно в 30 % дел, где обвиняемых оправдывают по результатам экспертизы ДНК, они ранее подписывали признательные показания. Многие из обвиняемых находятся в заключении, на них оказывается давление, они юридически неграмотны, не понимают, что именно подписывают, почти всегда считают, что избегают более сурового наказания. Пятеро обвиняемых из Центрального парка были детьми, которыми манипулировали, на них воздействовали лживыми посулами о том, что они «пойдут домой», как только признают свою вину.

Признание в виде сделки со следствием дает небогатому человеку с ограниченными средствами и другими жизненными проблемами возможность получить менее суровый приговор. По мнению Джеда Рэкоффа, районного судьи по судебному округу Южный Нью-Йорк: «У каждого адвоката по уголовным делам… бывали случаи, когда клиент сначала говорит адвокату, что невиновен, а потом, когда ознакомится с предварительными материалами государственного обвинителя, заявляет, что виновен… Но иногда ситуация прямо противоположная, и клиент уже лжет своему адвокату, говоря, что виновен, хотя на самом деле это не так, потому что вдруг решил взять вину на себя… Однако [американцы] редко рассматривают возможность того, что ответчик может быть совершенно невиновен, но его вынуждают признаться в менее тяжком преступлении, потому что последствия проигрыша при рассмотрении дела судом могут оказаться слишком серьезны, чтобы так рисковать»{137}.

Оправдание невиновного

В Соединенных Штатах самая высокая численность заключенных, составляющая немногим менее четверти всех заключенных в мире{138}. Большинство из них отбывают сроки за ненасильственные преступления. Во время написания этой работы приблизительно 2,3 млн человек в США находятся в федеральных и государственных тюрьмах, более 840 000 из них (почти 37 %) – афроамериканцы. Это означает рост в 546 % с 1970 г. и неустойчивый рост более чем на 50 % только за прошлые 6 лет!{139} Иными словами, 1 из 100 взрослых американцев сидит за решеткой, у 1 ребенка из 28 один из родителей в тюрьме, и все это обходится государству в шокирующую сумму – $260 млрд в год{140}. Бесчеловечное безумие, которое впустую расходует человеческий потенциал! Некоторые полагают, что такое массовое лишение свободы – это причина резкого спада уровня преступности. (Начиная с пика, достигнутого в 1991 г., уровень преступлений против личности снизился на 51 %, преступлений против собственности – на 57 %.) Но то, что звучит логично, не всегда достоверно. Причины не столь очевидны. Совпадение или случайность, но мы знаем, что существуют сотни скрытых переменных, которыми может объясняться такой существенный спад преступности. Недавнее крупномасштабное, строгое и сложное практическое исследование Центра юстиции Бреннана, в котором были использованы наиболее современные данные, пришло к выводу, что «при нынешних объемах применения тюремного заключения их наращивание почти не оказывает влияния на сокращение преступности»{141}. Содержание исследования в 140 страниц впечатляет: в него входит математический метод, характеризующий влияние каждой переменной в сравнении с остальными. Но что отлично работает при установлении корреляции, не сильно помогает в поиске причины.

Конечно, мы знаем, что причины есть, но мы не можем знать их наверняка. Иными словами, мы не можем с уверенностью утверждать, что более широкое применение тюремного заключения ведет к сокращению преступности. Тюремное заключение вносит большой вклад в распад семьи, в нанесение невинным детям психологических травм, а также в то, что без длительной реабилитации бывшему зеку будет сложно стать полноценным членом общества. Что мы можем сказать наверняка: США – мировой лидер по документально подтвержденной численности заключенных на душу населения, следом идут Россия и Руанда. У США самая высокая численность заключенных в пропорции ко всему населению, чем у любой из демократических стран, и четверть от общемировой численности заключенных. В 2014 г. 515 из 1409 оправдательных заключений были вынесены в отношении приговоренных к смертной казни. С 1976 г. в США было 1386 казней и всего 144 оправдательных вердикта по приговорам к высшей мере{142}. Это означает, что с 1976 г. одного из 10 человек не должны были сажать в камеру смертников.

Верховный Суд США выражает моральное оправдание смертной казни с оговоркой, что смертная казнь допустима в развитом обществе, если существуют процессуальные гарантии, которые снижают риск казни невиновных{143}. Ключевое слово в последнем предложении – снижают. Но риск казнить невиновного невозможно устранить полностью. Тогда, если мы примем максиму Маймонида, приведенную в качестве эпиграфа к настоящей главе, станет очевидно, что смертная казнь должна быть упразднена. Судья Джон Пол Стивенс пришел именно к такому выводу в 2008 г., когда сказал, что применение смертной казни не может быть «приемлемо в цивилизованном обществе»{144}. Независимо от того, какие приводятся доводы, проблема не сводится к логически обоснованной цепочке убедительных научных аргументов. Всегда будут ложноположительные и ложноотрицательные выводы; всегда будут невиновные, приговоренные к смерти, и виновные, которых освободили. Переменных в природе и в поведении людей слишком много, и они слишком сложны, чтобы можно было увязать друг с другом решения, которые, возможно, основывались на фактах, а может быть, и нет. Вероятно, ни одна правовая система не в состоянии устранить риск наказания невиновных. В августе 2014 г. в США было 3070 заключенных, приговоренных к смертной казни{145}. По данным одного из недавних исследований, около 123 из них могли быть невинно осужденными{146}.

Я согласен с максимой Маймонида. И я разделяю мнение Джона Пола Стивенса, что риск казнить невиновного вряд ли можно будет когда-либо устранить. И все же я пойду дальше и с уверенностью скажу, что в обозримом будущем будет невозможно устранить такой риск. Почему? Потому что мы имеем дело с миллиардами переменных, которые зависят от сопутствующих обстоятельств, смешанных с человеческой природой, основанной, в свою очередь, на необыкновенно сложных электрохимических процессах, происходящих в «густом супе» из нейронов, работающих в среде с миллиардом переменных.

Исследование проекта «Невиновность», проведенное в 2009 г., обнаружило, что из 239 дел, закончившихся оправдательным приговором по результатам экспертизы ДНК, в 179 случаях обвинение было основано на ошибочных показаниях очевидцев{147}. К 2013 г. число таких оправдательных приговоров возросло до 250{148}. В 114 случаях истинный виновник (установленный впоследствии с помощью той же экспертизы ДНК) совершал другие насильственные преступления, в то время как несправедливо осужденный человек отбывал заключение в тюрьме{149}. На момент написания данной работы за последние 50 лет в Соединенных Штатах было вынесено 1587 оправдательных вердиктов в отношении ранее осужденных{150}. Практически каждый день мы узнаем о новом подобном случае. Мы узнаем о людях, обвинения против которых основаны на показаниях других задержанных, иногда в комнатах полицейского расследования, иногда в гостиничных номерах. Узнаем, что их удерживают в заключении до тех пор, пока они не соглашаются дать показания. Что представителям обвинения рекомендуется ничего не записывать, когда их свидетели делают не относящиеся к делу заявления, чтобы избежать возможного появления оправдательных доказательств{151}. Что полиция допускает ошибки, а прокуратура – правонарушения. Мы узнаем о доказательствах, явно указывающих на невиновность подозреваемого, которые не передают стороне защиты. Узнаем о признаниях, написанных от руки полицейскими в ходе допроса подозреваемых без присутствия адвоката. Об обвинениях, не подкрепленных никакими вещественными доказательствами, связанными с преступлениями. И еще спрашиваем, указывает ли Конституция на то, что у нас есть моральное право разрешать смертную казнь. Маймонид знал о проблеме еще в Средние века. Его моральный принцип: «Лучше и правильнее оправдать тысячу виновных, чем предать смерти одного невиновного», – так же актуален, как и тогда{152}.

Глава 12

Открытие

Dans les champs de l'observation le hasard ne favorise que les esprits prepares. (В области наблюдений удача благоволит только подготовленному уму.)

Луи Пастер{153}

Великие изобретения и открытия нередко сопровождаются удивленным возгласом «Ага!». Но иногда «Ага!» вызвано тем, что все пошло не так, как планировалось, или у события нет очевидной причины: взаимодействие в лаборатории с неким ингредиентом, который был частью другого эксперимента, или инструментом, который как раз вовремя придумали, или же эксперимент просто не получился.

Веками химики работали с молекулярными связями задолго до того, как стало известно, как и почему эти связи работают. До XX в. они ничего не знали об обобществленных электронах, потому что вообще не знали об электронах. И все же они могли осуществлять великолепные химические опыты, зная, как атомы и молекулы взаимодействуют и преобразуются, создавая новые соединения. Они смогли проанализировать реакции молекул, их трансформации под воздействием тепла и света и даже изготовить сложные соединения, куда входили полимеры и сплавы металлов, не понимая решающей роли электронов в создании необходимых для этого связей. Они понимали, что газы всегда вступают в реакцию друг с другом в кратных отношениях. И все это без знания о роли электронов в химических реакциях и связях.

Это были научные открытия необычных людей, которым по непостижимой случайности повезло столкнуться с совпадениями и распознать в них ключи к ответам на сложные вопросы. Они показывают нам, что незапланированные события могут быть так же полезны для новых открытий, как и отработка целенаправленных гипотез. Что случайности, происходящие во время научных наблюдений, могут формировать наш образ мышления и изменять мир к лучшему. Таких историй много, в том числе история о том, как случайно полученные Уильямом Перкинсом красители помогли развитию иммунологии и химиотерапии; открытие пенициллина Александром Флемингом, Говардом Флори и Эрнстом Чейном: в не слишком чистой лаборатории Флеминга культура стафилококка оказалась загрязнена плесенью, которая окружила и уничтожила стафилококки. Примем во внимание также историю Алана Тьюринга, Ральфа Тестера и других криптоаналитиков времен Второй мировой войны из Блетчли-парка, взломавших считавшуюся невзламываемой систему шифрования «Энигма», что сыграло значительную роль в том, какая из сторон впоследствии выиграет войну. Все они были очень одаренными людьми, но лишь благодаря нескольким ошибкам, допущенными немецкими шифровальщиками, английские криптографы смогли разобраться в логике немецких шифровальных машин. Полученные сведения не только помогли союзникам победить в войне, но и способствовали изобретению первых в мире компьютеров.

В 1869 г. Дмитрий Менделеев увидел сон, в котором расположил элементы в таблице согласно их атомным весам{154}. Проснувшись на следующее утро, он записал таблицу. Это было время, когда национальные метеорологические агентства начинали собирать данные о температуре, осадках и других достойных доверия климатических параметрах. В те годы умы химиков занимали уже не атомы. Научные основы химии были заложены почти за 100 лет до создания таблицы, когда Антуан Лавуазье открыл значение кислорода для горения и сформулировал закон сохранения массы. Однако в 1869 г., когда Менделеев впервые опубликовал свою периодическую таблицу, химики в своих экспериментах все еще работали вслепую, ничего не зная о внутреннем устройстве атома. Это были простые времена; железные дороги связали между собой города по всей Западной Европе и в России, хотя добраться из одной страны в другую все же было непросто. Санкт-Петербург, город белых ночей, где жил и преподавал Менделеев, был городом высокой моды, состоятельных аристократов и захватывающих развлечений; городом перенаселенным, нездоровым, со скверной водой, многие жители недоедали; плохи были дела с санитарией, быстро распространялись и подолгу не унимались болезни{155}. В том же году швейцарский медик Фридрих Мишер выделил ДНК из гноя, взятого с использованных бинтов. Мишер, также работая вслепую, так и не узнал, что это была молекула наследственности, кодирующая генетические инструкции, тем не менее его открытие привело к осознанию того, что ДНК – носитель наследственности.

Примерно в это же время многие физики экспериментировали с трубками Крукса – стеклянными трубками под вакуумом с электродами на каждом из концов. Целью экспериментов было понять причину свечения внутри трубок. Сейчас мы знаем, что происходит, когда на трубку Крукса, содержащую разреженные газы, подается высокое напряжение: небольшое число заряженных молекул газа (положительные ионы) в поисках электронов возбуждаются и сталкиваются с другими молекулами газа, выбивая некоторое число электронов, что создает еще больше положительных ионов. Положительные ионы устремляются к отрицательному электроду. Когда они сталкиваются с поверхностью металла электрода, они выбивают большое число электронов. Привлеченные положительным электродом, они движутся по трубке, создавая светящийся пучок электронов – катодный луч. Более чем за 30 лет опытов ученые экспериментировали с различными газами, без какого-то глубокого понимания того, что же на самом деле происходит. Они ничего не знали об отрицательно заряженных частицах, тех самых электронах в атомах газа. Как ничего не знали и о причине свечения. Новую информацию получали в результате случайностей или совпадений, которых не понимали. Одно стекло давало красное свечение, другое – зеленое. Фундаментального понимания причин этого практически не было. Например, они не знали, что в вакууме множество электронов, обладающих очень малой массой, движутся к положительному электроду благодаря электрическому полю. Чем ближе оказываются эти электроны к положительному электроду, тем сильнее становится притяжение. Сейчас нам известно, что эти электроны, направляющиеся к положительному электроду, набирают скорость, относительно близкую к скорости света. Некоторые из них пролетают мимо электрода и сталкиваются с атомами стекла трубки, на мгновение выбивая из них электроны на более высокие энергетические уровни, после чего те снова возвращаются на исходные уровни. При этом излучаются элементарные световые частицы (фотоны), поэтому стекло и светится зеленовато-желтым светом.

Рентгенолюминесценция, т. е. излучение света под воздействием электромагнитного излучения, немного сложнее. Вильгельм Конрад Рентген открыл рентгеновское излучение случайно, когда экспериментировал с электрическим током в стеклянном сосуде под вакуумом. Экран, покрытый цианоплатинитом бария (флуоресцентный материал), по воле случая оказался в его лаборатории и предназначался для другого эксперимента. Если бы этого экрана там не было, кто знает, сколько людей прожили бы значительно меньше, потому что рентгеновские лучи и способы их практического применения открыли бы позже. Рентген не смотрел на экран, который находился на некотором расстоянии от него. Не ожидая, что это будет иметь какое-либо отношение к эксперименту, он краем глаза что-то заметил на экране. Происходило нечто, не зависящее, по-видимому, от его эксперимента. Это была случайность, но случайность с множеством последствий.

Давайте пройдемся по лаборатории Рентгена в Вюрцбургском университете в том виде, в каком она была 8 ноября 1895 г.{156} Большое окно выходит на узкий Норвежский бульвар, где стоят почти облетевшие клены. Столы красного дерева разной высоты выстроились под светлым окном. На столах в беспорядке навалены инструменты, образцы металлов и катушки проволоки, какие-то двигатели и разнообразная химическая посуда. На стене рядом с полкой, с которой свешиваются провода различной длины, располагаются часы с маятником. На одном из столов сложены стеклянные трубки. Потолок венчает электрический светильник с лампой накаливания, его низко висящий провод соединен с розеткой, расположенной около настенных часов. Остальная часть комнаты практически пуста. Занавески на окнах отсутствуют. Лишь яркое естественное освещение отличает эту комнату от любой другой химической лаборатории XIX в.

Человек, находящийся в лаборатории, – сам Рентген. Ему пятьдесят. У него густые черные волосы. В его окладистой черной бороде видна седина. С начала 1895 г. он экспериментирует с электричеством, раз за разом прогоняя заряды через стеклянные трубки. 8 ноября он экспериментировал с катодными лучами, которые создавали видимое свечение в стеклянных сосудах. Лучи не видны в отсутствие вакуума, поэтому у ученого возникает естественный вопрос: может ли часть невидимых лучей покинуть стеклянный сосуд?{157} В попытке блокировать перемещение лучей или зафиксировать мгновение, когда они выходят за пределы сосуда, он накрывает сосуд картонным кожухом и затемняет комнату. Висящий на противоположной стене экран начинает светиться, а Рентген, изменяя глубину вакуума и силу тока в стеклянной трубке, управляет его свечением. Экран продолжает слабо светиться. Эксперимент за экспериментом – результат тот же. Даже если отодвинуть экран подальше или полностью затемнить лабораторию, результат не меняется. Ученый накрывает стеклянный сосуд более толстым кожухом, но и это не меняет дела. Колеблющийся свет на экране не может быть результатом чего-либо иного, кроме катодных лучей, производимых электрическим током в стеклянном сосуде. Это означает, что лучи, проходя через кожух и пролетая по воздуху, ударяются об экран и вызывают свечение. Это был новый, неизвестный тип излучения, неизвестные лучи.

Поскольку символ x с того момента, когда его ввел Декарт, использовали для обозначения неизвестного в математике, Рентген решил назвать новое излучение X-лучи. Джеймс Клерк Максвелл и Майкл Фарадей ранее предсказывали существование невидимых электромагнитных волн, способных перемещаться в пространстве на некоторое расстояние. За 3 года до открытия Рентгеном X-лучей Генрих Герц проводил эксперименты, в которых продемонстрировал, что катодные лучи способны проникать через тонкую металлическую фольгу. В то же время Герман фон Гельмгольц разрабатывал математические уравнения, описывающие X-лучи, выдвигая гипотезу о том, что такие лучи действительно могут существовать и перемещаться со скоростью света.

Представьте себе удивление Рентгена, когда он попытался остановить лучи, поместив руку между сосудом и экраном, и увидел на экране кости своей руки! Он рассматривал на экране собственное тело. Из биографии, написанной спустя долгое время после смерти ученого, мы узнаем, что у него не было намерения помещать часть своего тела между сосудом и экраном{158}. Это произошло случайно. Весьма вероятно, он был первым, кто проделал подобный эксперимент. Затем он пробовал остановить лучи с помощью других материальных объектов: дерева, металла, бумаги, резины, книг, ткани, платины и всяческих предметов, которые приносил из дома. Через одни предметы лучи проходили беспрепятственно; другие их останавливали. На снимке деревянной катушки с проволокой видна была только проволока, а сама катушка выглядела как бледная тень. В ходе следующего эксперимента Рентген проверял проницаемость алюминиевых пластин толщиной 0,0299 мм, прибавляя к стопке по одному листу. Он не смог найти различий в проницаемости между 1 и 31 пластиной, малые расстояния от покрытого цианоплатинитом бария экрана также не оказывали заметного влияния на результат. Рентгеновские лучи могли беспрепятственно проходить через живую ткань, но не через кости и некоторые металлы (свинец, например). Они проходили через дерево, но не через монеты. Вскоре Рентгена посетила блестящая идея заменить экран на фотографическую пластину. Он направил рентгеновские лучи через закрытую деревянную коробку, внутри которой была монета, и получил четкую фотографию одной лишь монеты, как будто коробки там не было вовсе. Далее он сфотографировал руку своей жены Берты. На снимке были видны кости пальцев и кольцо, которое она носила. Фотография получила широкую известность после того, как ее напечатала венская газета{159}. Это была, вероятно, первая фотография внутреннего строения живой руки. Для одних это был любопытный феномен, для других – шутка. Днями, неделями и месяцами работали печатные станки, тиражируя истории про новую фотографию. Журнал Life опубликовал карикатуру, высмеивающую новый тип фотографии, где творческая фантазия дошла до крайности.

Вот сатирическое стихотворение из выпуска Life{160} того времени:

Она вся так тонка, так мил ее скелет,

Нежнейшие фосфаты и твердый карбонат

Катодные лучи пред нашим взглядом обнажат.

В палитре герц, ампер и ом –

От нас не скрыты милой девы позвонки,

Покровы сняты, косточки крепки.

Барбара Голдсмит пишет в своей книге «Одержимый гений»: «Едва X-лучи пронеслись по миру, как стали целью бесчисленных карикатур: мужья, шпионящие за женами через закрытые двери; рентгеновские театральные бинокли, показывающие под одеждой обнаженные тела… Некая фирма в Лондоне даже продавала рентгенонепроницаемые костюмы»{161}.

У всех великих научных открытий есть свои праотцы. Мало кто попадает в цель с первого выстрела. Многим приходится снова и снова повторять попытки, а некоторые достигают успеха из-за случайности, которая вдруг взяла, да и приключилась. Они, эти случайности, действительно случайны, тем не менее в большинстве случаев им предшествовали некие четкие ориентиры, продиктованные гипотезой или продуманной теорией. Вот почему нет причин предполагать, что открытие Рентгена не произошло бы, не окажись в его лаборатории цианоплатинитового экрана. Другие физики также изучали свойства катодных лучей, и можно с уверенностью сказать, что исследования в этой области в конце XIX в. были в высшей степени актуальны. Английский физик Уильям Крукс (в честь которого названы стеклянные вакуумные трубки) открыл катодные лучи, сумев получить пучок излучения, исходящий от катода, невольно создав научный ажиотаж вокруг их исследования. Используя вогнутые катоды, чтобы сфокусировать лучи, Крукс сумел собрать достаточно энергии для получения слабого рентгеновского излучения, хотя большая часть энергии была потеряна за счет выделения тепла. Ему показалось странным, что несколько неэкспонированных фотографических пластин, лежавших рядом, оказались засвеченными. Не придав этому особого значения, он вернул пластины производителю, заявив, что те были бракованными{162}. В 1888 г. Филипп Ленард использовал катодные лучи в экспериментах с ультрафиолетовым излучением. Если бы в его трубке имелся достаточно разреженный вакуум и высокое напряжение, он бы получил поток рентгеновских лучей, который бы вызвал сильное свечение даже за пределами кварцевой трубки. Но вакуум был недостаточно глубоким, а напряжение – недостаточно высоким. Поэтому он не обнаружил рентгеновского излучения: оно было слишком слабым.

Майкл Фарадей принимал во внимание флуоресценцию, когда в 1838 г. начал работать с электрическими разрядами, пропускаемыми через вакуумные стеклянные трубки. Впоследствии молодые немецкие физики экспериментировали с вакуумными стеклянными трубками всех видов и форм. Они проверяли неон, аргон и даже пары ртути под высоким напряжением. Немецкий физик Генрих Гейсслер в 1857 г. начал помещать металлические электроды в стеклянные цилиндры с выкачанным воздухом, чтобы продемонстрировать свечение. Тем не менее все эти прозорливые ученые, работавшие в хорошо оснащенных университетских лабораториях, подобных лаборатории Рентгена, не обнаружили слабого мерцающего свечения на небольшом удалении от трубки, т. е. рентгеновских лучей – электромагнитного излучения с такой малой длиной волны, которое могло бы произвести свечение вне стеклянной трубки.

Нам никогда не узнать, насколько близки мы были к тому, что рентгеновские лучи открыли бы много позже, и можно только предположить (потому что данные слишком искажены, чтобы можно было на них опираться), что за прошедшие с момента открытия Рентгена 12 десятилетий «X-лучи спасли больше жизней, чем загубили пули»{163}. Не случись открытия в то время, вполне возможно, что еще как минимум 10 лет не открыли бы строение атома, а отсутствие этих знаний отсрочило бы другие великие открытия, которые происходили по цепочке и привели к громадным переменам во всем мире, в результате чего мир не стал бы таким, каким мы его знаем сегодня. О самом открытии Рентгена рассказывали (и пересказывали) многие. Рентген дал несколько интервью. Один из наиболее авторитетных отчетов принадлежит Х. Дж. У. Дэму, научному журналисту из McClure's Magazine{164}. Это весьма занимательный материал, в нем множество деталей и описаний как самого Рентгена, так и его лаборатории и эксперимента:

– Ну, профессор, – сказал я, – Расскажете мне историю вашего открытия.

– Нет никакой истории, – сказал он. – Меня долгое время занимала проблема катодных лучей в вакуумной трубке, изложенная в работах Герца и Ленарда. Я с величайшим интересом ознакомился с результатами их трудов, а заодно и с некоторыми другими экспериментами, и решил, что, как только у меня появится время, проведу собственные исследования. Я нашел время для этих исследований в конце октября прошлого года. Я проработал несколько дней и внезапно обнаружил кое-что новое.

– Какой был день?

– Восьмое ноября.

– И в чем заключалось открытие?

– Я работал с лампой Крукса, накрытой кожухом из черного картона. Рядом на верстаке лежал кусок цианоплатинитовой бумаги. Я пропускал ток через трубку, как вдруг заметил на бумаге необычную черную линию.

– И что?

– Подобный эффект обычно производит, говоря простыми словами, прохождение света. От трубки свет исходить не мог, потому что кожух, которым она была накрыта, был непроницаем для любого известного излучения, даже для света электрической дуги.

– Что же вы подумали?

– Я не думал. Я исследовал. Я предположил, что эффект может быть вызван самой трубкой, поскольку его свойства указывали на то, что больше ему исходить неоткуда. Я проверил свое предположение. Через несколько минут сомнений у меня уже не оставалось. Лучи исходили из трубки и производили эффект люминесценции на бумаге. Я успешно проверил предположение на больших промежутках, увеличив расстояние до двух метров. Это было похоже на какой-то новый тип невидимого света. Было очевидно, что это нечто новое, ранее не зарегистрированное.

– Что это было, свет?

– Нет.

– Электричество?

– Лучи не напоминали ни одну из известных ранее форм.

– Что же тогда?

– Понятия не имею.

Так первооткрыватель X-лучей совершенно спокойно рассуждает о собственном невежестве в отношении новой сущности, как и любой другой из писавших об этом феномене до настоящего времени».

Другие источники упоминают также бумагу, покрытую цианоплатинитом бария, которая по чистой случайности оказалась на столе в некотором удалении от трубки, т. е. указывают на случайность открытия. В поздних сообщениях упоминается экран, покрытый цианоплатинитом бария, потому что Рентген якобы считал, что такой экран более эффективен, чем другие флуоресцентные покрытия{165}. В своем докладе для Вюрцбургского физико-медицинского общества в 1896 г. он рассказал о том, как впервые наблюдал флюоресценцию цианоплатинитобариевой бумаги, как обнаружил, что флюоресценция появлялась только тогда, когда через накрытую кожухом трубку Крукса проходил заряд, и о том, что то же самое явление происходило даже в том случае, когда покрытую люминофором бумагу помещали на большем расстоянии{166}. Тогда же Рентген заявил: «Я случайно обнаружил, что лучи проникают через черный картон. Затем я использовал дерево, бумагу, книги, по-прежнему полагая, что стал жертвой какого-то заблуждения. Наконец использовал фотографию, и эксперимент был успешно завершен»{167}. 22 декабря 1895 г. фотографии наподобие приведенной на рис. 12.1 газеты распространили по всему миру.

Вскоре после этого идея была применена в медицине, что позволило врачам заглянуть внутрь человеческого тела, чтобы рассмотреть опухоли, абсцессы, полости, строение костей и т. д., чего нельзя было проделать обычными средствами. Неясно, вполне ли Рентген осознавал, насколько значимым окажется его метод для медицинской диагностики внутренних заболеваний.

Он намеревался возобновить исходные эксперименты, связанные с использованием экрана, но его настолько захватили новые опыты с X-лучами, что к этим экспериментам он так и не вернулся.

Подходил к концу XIX в., а ученые все еще почти ничего не знали о внутреннем строении атома. Давно было открыто электричество. Они знали, как его вырабатывать. К 1880 г. лампы накаливания того или иного типа освещали улицы Лондона, Парижа, Москвы, многих городов в Соединенных Штатах. Ученые даже знали, что сила и энергия заполняют все пространство. А Фарадей и Максвелл разработали теорию электромагнитной волны. Однако электроны были открыты только в 1897 г., что разрушило древние представления об атоме как мельчайшей частице материи. То, как именно электрические токи проходили по проводам из одной точки в другую, все еще было загадкой. Успешное развитие химии перед лицом подобной загадки удивительно, учитывая, что химия еще за 100 лет до того была вполне оформившейся наукой. Но хотя теоретически существование катодных и рентгеновских лучей также было доказано, никто в то время их не продемонстрировал в реальном эксперименте. Глагол «продемонстрировал» в последнем предложении употреблен так, что это необязательно означает видимость посредством некоего инструмента (например, микроскопа). У науки есть множество примеров научных феноменов, которые невозможно зафиксировать с помощью каких-либо инструментов. А в то время никто не знал, как именно светящиеся потоки электричества проходили от одного электрода в трубке Крукса к другому.

Эксперименты Дж. Дж. Томсона в 1897 г. с катодными лучами показали, что лучи сами по себе не были атомами, текущими от одного электрода к другому; напротив, они были материальными компонентами атомов. Атомы уже не воспринимались как просто цельные шарики. Существование протонов и электронов предсказывали и ранее, поскольку, хоть их и нельзя было увидеть, можно было измерить их воздействие на некоторые приборы. В интервью в 1934 г. Томсон задал риторический вопрос: «Может ли что-либо показаться нам с первого взгляда более невозможным, чем тело, которое столь мало, что его масса – это незначительная доля массы атома водорода, который, в свою очередь, настолько мал, что скопление этих атомов, равное числом населению всего мира, слишком мало, чтобы его можно было обнаружить любыми из известных науке средств?»{168} За несколько следующих десятилетий наука прошла большой путь: если в начале этих десятилетий ученые ничего не знали об атоме и не догадывались о существовании электронов и протонов, теперь они владеют знаниями о некоторых из наиболее глубоких тайн Вселенной и внутреннем устройстве атома. К 1939 г. открыли деление ядра, хотя даже сегодня вопрос об основных кирпичиках атомного ядра остается загадкой; эти частицы, названные странными словами «верхний кварк» и «нижний кварк», представляют собой пульсирующую массу еще меньших частиц, связанных сильным взаимодействием.

В популярной истории науки есть много примеров случайных открытий: открытие противомалярийного препарата хинин южноамериканскими индейцами, страдавшими от малярии и утолившими жажду водой рядом с хинным деревом; инсулин был открыт, когда исследователи обратили внимание на мух, привлеченных мочой собаки, у которой была удалена поджелудочная железа; а также истории о том, как Декарт изобрел свою систему координат, лежа в кровати и наблюдая за мухой. Существует много историй об открытиях в области химии, которые на самом деле являются скорее технологическими изобретениями, чем фундаментальными научными открытиями. О них стоило бы упомянуть, но здесь мы их не приводим по простой причине, емко выраженной Луи Пастером: «Le hazard ne favorise que les esprits préparés» (Удача благоприятствует тому, кто к ней готов){169}. Кроме того, многие из этих историй рассказывают вне контекста подлинных записей ученого. Преувеличения легко находят место в этих историях благодаря желанию рассказчика что-то приукрасить. Это естественный фон для отличнейшей истории. До получения результатов чаще всего выполняется важная первичная работа. Копните историю открытия чуть глубже, и вы почти всегда обнаружите, что первооткрыватель стоял на плечах гигантов. Даже та известная строчка Исаака Ньютона «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов» не была первоисточником. Ньютон действительно написал эти слова в письме Роберту Гуку в 1676 г.{170} Однако ее автором был французский неоплатонист XII в. философ Бернар Шартрский, который говорил про свое поколение, что «мы подобны [ничтожным] карликам, усевшимся на плечах великанов». Бернар отметил, что мы видим больше и дальше, чем наши предшественники, не потому, что обладаем более острым зрением или выше их ростом, но потому, что «нас подняли и несут на высоте своего громадного роста»{171}. Разумеется, есть и такие, кто, даже стоя на плечах гигантов, видит недалеко, а есть и те, кому гиганты не требуются, потому что они стоят на плечах множества обычных людей, посвятивших себя определенной цели. Я предпочитаю определение понятия гигантов, данное Стивеном Вайнбергом. В своем великолепном сборнике очерков о современной физике и научной политике «Виды на озеро» он пишет: «Мы понимаем, что наши важнейшие научные предшественники не были пророками, чьи работы надо изучать, как непогрешимые учебники, – они были просто великими людьми, которые подготовили почву для лучшего понимания, ныне достигнутого нами»{172}.

Плесень вполне могла оказаться в чашке Петри в лаборатории Александра Флеминга, однако тот факт, что она вообще там была, наводит на подозрения, что существовала некая связанная с ней цель. Плесень не на куске хлеба выросла, как утверждают некоторые народные источники. Она появилась в чашке Петри! Поставленные цели направляют научные открытия. Как и в случае с обезьянами, пытающимися написать строчку из Шекспира, цели, выбранные наугад, почти никогда не обеспечивают результат.

Глава 13

Риск

Во вселенной взаимоисключающих исходов удача редко обходится без риска потерпеть поражение. Рынок ценных бумаг – это игра вроде покера: вы вычисляете вероятности того, что получите хорошую комбинацию, взвешиваете риск такую комбинацию не получить и рассчитываете, что может произойти в том случае, если вы потеряете банк, а также выявляете шансы, что ваша комбинация окажется успешнее, чем те, которые вы намерены побить. На финансовом рынке все устроено точно так же. Вы сравниваете объем риска, на который готовы пойти, с возможным доходом. Покупаете и продаете фонды сообразно оценкам и суждениям, оцениваете их прошлую и текущую доходность, конкурентоспособность. Затем сводите баланс. В итоге, что бы ни происходило, ваши инвестиции, как ни крути, – все равно риск. Здесь больше, чем где-либо, принимают желаемое за действительное.

Можно подумать, что знатоки финансового планирования, аналитики хедж-фондов, использующие количественный анализ, чтобы проложить себе путь через рынки быков и медведей, знают, как выиграть в этой гонке. Они очень ловко играют в финансовые игры, но дело опять сводится к тому, что они выдают желаемое за действительное. Они делают деньги, гоняясь за волатильностью рынков, движимой мелкими инвесторами, которые покупают и проигрывают. Может быть, так и должно быть. Но, когда финансовые организации покупают и продают в крупных объемах, их сделки могут инициировать мощные резонансные волны, способные обрушить всю мировую экономику.

Рынок в наше время практически глобален: погодные изменения в Тихоокеанском регионе могут повлиять на зерновые биржи в Чикаго; засуха на американском Среднем Западе может повлиять на продажи сельскохозяйственного оборудования в Канаде; наводнения в Миссисипи могут опустошить запасы товарной древесины в Бразилии. Сезонные пожары также пример средоточия риска. Достаточно усилий одного человека, склонного к опасному поведению и не обращающего внимания на вырисовывающиеся грозные последствия, чтобы сотрясти финансовый мир.

Взять хотя бы историю французской международной банковской и финансовой компании Société Générale, которой уже 150 лет. Если бы американское правительство не оказало финансовой поддержки страховому гиганту AIG, застраховавшему Société Générale, компания, вероятно, не пережила бы свой 144-й год.

В период между январем 2005 г. и июлем 2008 г. французский трейдер в возрасте 31 года совершил самую большую финансовую махинацию в истории. Жером Кервьель обошелся Société Générale в €4,9 млрд чистого убытка, торгуя на понижение и продав акции Европейской страховой компании на €10 млн в надежде, что их курс упадет. Это была поразительно удачная ставка. Не было ни малейших намеков на то, что цена упадет, но по счастливой для Кервьеля случайности рухнул лондонский FTSE. Кервьель не мог знать заранее, что исламские террористы-смертники устроят взрывы на борту трех поездов Лондонского метрополитена и одного автобуса в час пик, убив 52 человека и ранив 700. Он получил прибыль в размере €0,5 млн. Этот выигрыш способствовал формированию «благоприятной истории подкрепления»{173}. Кервьель сказал полицейским: «Хочется продолжать; это как снежный ком»{174}. Итак, его рискованное поведение усугубилось тайными покупками на сотни миллионов евро. Удивительно, но они также дали существенную прибыль.

У Кервьеля все было в порядке. Чтобы не привлекать внимания, он должен был скрывать свои операции и торговать «в черную». Разумно полагая, что мировые рынки сильно пострадали бы от падения субстандартного ипотечного кредитования, он начал играть на понижение, вкладывая миллионы. Прошло совсем немного времени, и он вложился уже на миллиарды. Ставить на то, что падение субстандартной ипотеки потянет рынки еще ниже, было рискованно. Именно это и произошло. К концу 2007 г. операции Кервьеля принесли ему колоссальную сумму €1,5 млрд.

А потом он допустил роковую ошибку. К началу 2008 г. Кервель начал ставить на фьючерсы, а его риски выросли до €50 млрд. Он полагал, что рынок достиг дна и, как в любом из рыночных циклов, случавшихся на его памяти, что ремиссия неизбежна.

И тут все пошло не так. Фондовые рынки падали, делая фьючерсы Кервьеля чрезвычайно рисковыми без возможности хеджирования, чтобы такие риски покрыть. Рисковые активы на €50 млрд могли обанкротить Société Générale.

В потрясении от убытков банк был вынужден распродать фьючерсы. Как распродать активы на €50 млрд, чтобы никто не заметил? Такая крупная продажа может вызвать панику. А этого допустить невозможно (в Англии после 9/11 обычный клиент банка не может переводить больше £5000 за раз на другой счет за пределами Великобритании). Хотя банку и пришлось понести огромные убытки, которые были значительно меньше, нежели €50 млрд, подлинные объемы рисковых активов раскрыты не были. Банк распродал активы на скромную сумму €6,4 млрд, что стало «самым большим единовременным операционным убытком для одной компании в истории банковского дела»{175}.

Ясно, что взрывы в лондонском метро сыграли главную роль в цепи событий, которые привели к убыткам Société Générale. Но Кервьель не мог заранее знать, что сорвет такой куш, продав акции «Европейской страховой компании» на сумму €10 млн. Взрывы стали совпадением, которое не было априори связано с планами Кервьеля. Это сделало его богачом. Продолжительное падение акций его разорило. Если бы рынок действительно достиг дна, когда он начал торговать фьючерсами, все могло бы быть иначе. Ему самому – и банку, возможно – сошла бы с рук несанкционированная торговля от лица банка, и никто бы не узнал о его огромных рисках. Специалисты по управлению рисками игнорировали подозрительные операции Кервьеля, или ему просто неслыханно повезло, что они упустили из виду несколько миллиардов евро? «Лично мне трудно поверить, – говорит Эльет Жеман, профессор финансовой математики из Лондонского университета в интервью The New York Times, – что системы управления рисками и аудиторы ни на одном из уровней этого не заметили»{176}. Однако в конечном итоге все сводится к алчности. Где деньги – там и алчность.

Но что такое миллиард евро? У Джозефа Мирачи в его известной карикатуре, напечатанной в New Yorker в 1975 г., изображающей двух генералов, которые, по-видимому, обсуждают военный бюджет, мы читаем: «Пустим миллиард на то, миллиард на это. И все сойдется». Возьмем Ника Лисона, трейдера-мошенника, развалившего в 1995 г. Barings Bank – старейший инвестиционный банк Англии, – торговавшего фьючерсами и потерявшего £850 млн ($1,3 млрд). Его неконтролируемые и несанкционированные спекуляции могли бы пойти очень хорошо, если бы не землетрясение в Кобе. Лисон сделал крупную ставку, но проиграл из-за рокового совпадения. Он играл вслепую с краткосрочными фьючерсами на Сингапурской и Токийской фондовых биржах, делая ставку на стабильность японского фондового рынка. Однако как-то утром (17 января) случилось землетрясение в Кобе, отправив азиатские рынки в штопор. Пытаясь отбить потери, Лисон совершил серию все более и более рисковых вложений, ставя на то, что индекс Nikkei восстановится. Этого не произошло. Как часто случается с игроками, пытающимися вернуть потерянное, он увязал все глубже и глубже{177}.

В XX в. рискованные операции на Уолл-стрит не имели глобального эффекта. В этом веке экономическая глобализация все поменяла; почти все банки вплетены в прочную паутину сделок, что делает их восприимчивыми к поведению какого-либо одного банка. За три дня, в ходе которых Société Générale отчаянно гасил фьючерсы Кервьеля, прочие трейдеры зарабатывали, играя на понижение при падающем рынке. Когда мировые рынки падают, кое-кто на этом зарабатывает. Деньги не исчезают. Залоговые активы банков могут даже увеличиться за счет проводимой правительством докапитализации{178}.

Случайности дестабилизированного рынка

Реакция рынка на стихийные бедствия, такие как цунами и землетрясения, а также на террористические атаки, войны и эпидемию Эбола не случайна. Существуют очевидные причины, связанные с обстоятельствами сокращения рынков: нарушение поставок запасных частей и материалов, ослабление покупательской способности и нервозность на рынке – вот лишь некоторые из них. Но большинство природных катастроф не предсказаны наукой, а те, которые могут быть предсказаны, происходят настолько молниеносно, что застают участников рынка врасплох. Землетрясения – это не совпадение. У них есть определенная причина. Но время, когда они происходят, почти всегда случайно. Вот что написано в одном из наиболее авторитетных на данный момент учебников по сейсмологии{179}:

[У нас] нет возможности предсказывать землетрясения на временны́х отрезках короче 100 лет, и мы обладаем только зачаточными методами оценки опасности землетрясения… Лучшим ответом, вероятно, будет проявить смирение перед лицом непредсказуемости природы; определить, что в настоящее время мы знаем и чего не знаем; использовать статистические методы, чтобы оценить, что именно и насколько уверенно можно утверждать на основе имеющихся данных, а также разрабатывать новые приемы и методы, чтобы получать более надежные результаты.

То же самое говорит математик Флорин Диаку в своей замечательной книге «Мегакатастрофы»{181}:

Как и многие другие науки, сейсмология использует математические модели, чтобы изучать землетрясения и развиваться. Разлом, начинающийся во время землетрясения, включает несколько физических процессов, которые приводят к распространению различных волн через земную кору. Поскольку о большинстве таких процессов можно только догадываться, наши модели устроены значительно проще, чем физическая реальность.

Удивительные по своему размаху цунами вполне предсказуемы во временных рамках до нескольких часов, но только в том случае, если они сформировались далеко в открытом океане. У спецслужб бывает предварительная информация об угрозе террористических атак, хоть и не всегда. Террористы и их командиры знают о месте и времени нападения, но успешные акции происходят в таких местах и в такой момент, которых никто не ожидает.

Мы обратим внимание на несколько непрогнозируемых, однако возможных катастроф. Вероятно – и даже наверняка, – будут и другие, которые мы сейчас даже представить не можем. Как любая азартная игра, они держат нас в том же напряжении, в каком мы пребывали 100 000 лет назад, когда еще сидели в пещере, остро переживали любые изменения погоды и ждали возможности отправиться на охоту, не представляя, каков будет ее результат, уготованный для нас землей и небом. Для нас это тоже было временем рынка, абсолютного рынка, временем самых серьезных ставок, полным неизвестных обстоятельств, не имевших очевидных причин, тем не менее у нас были воля и азарт к тому, чтобы просто жить и выживать.

Совпадения, как правило, случаются внезапно и кажутся нам чрезвычайно редкими событиями, хотя их необходимо принимать в расчет при оценке рисков именно потому, что некоторое время они не происходили. Любое следствие предсказуемо, потому что имеются две конкурирующие математические модели. Одна нам говорит, что существует тенденция к тому, что исходы событий группируются вокруг математически прогнозируемого среднего, а другая – это принцип вероятности, который гласит: удивительные вещи действительно могут происходить при условии, что выборка достаточно велика. На первый взгляд, мы рассматриваем исходы большинства событий, сосредоточив внимание и вычисления на небольшом числе вариантов. Подобная установка игнорирует неожиданные катастрофические события, потому что вероятность их наступления кажется необыкновенно низкой. В реальности эти вероятности оказываются гораздо выше, чем мы думаем.

Это объясняет, почему эмпирическая частота успешности испытаний имеет склонность приближаться к математически вычисленным вероятностям в долгосрочной перспективе. Однако по ходу дела непредвиденные совпадения природных явлений могут создать краткосрочную волатильность исходов событий. Как ни странно, краткосрочная уязвимость может настолько отклонить кривую исходов испытаний в долгосрочной перспективе, что этого будет достаточно, чтобы помешать математическому прогнозированию.

В большинстве азартных игр шансы вполне поддаются строгому математическому вычислению. Их вероятностные модели основаны на структуре игр, а не на внешних связях с непостижимыми природными феноменами. Лучшие игровые стратегии не принимают во внимание поддающийся количественному выражению риск непредвиденных совпадений. Финансовые рынки, с другой стороны, являются не вполне структурированными азартными играми.

Трейдеры часто игнорируют возможность того, что редкое незначительное событие способно вызвать глобальную катастрофу. Они играют на рынке, полагая, что рынком движет некое рациональное правило, тогда как в действительности он не более предсказуем, чем прогноз на бросок монеты, полученный с помощью закона больших чисел. Трейдеру полагается знакомиться с новостями, анализировать фьючерсы, оценивать обязательства и ошибки лидеров и связи с другими компаниями, оценивать историю активов. Немногие трейдеры исследуют глобальные последствия катастрофических вариантов событий.

Нынешние коммерческие рынки связаны между собой настолько плотно, что провал одного рискового бизнеса часто приводит к провалу других связанных с ним бизнесов. Мы уже не можем рассматривать выборки так, будто они не зависят друг от друга, как могли бы сделать в случае с бросанием монеты или игрой в рулетку.

Чтобы вызвать у потребителей дрожь, не требуется исключительно мощная волатильность рынка. Когда рынок внезапно разворачивается из-за обеспокоенности, вполне вероятно, неким неприятным событием, таким как близкий крах одного из наиболее уважаемых в мире банков, можно вылететь с трассы. Дневные флуктуации стоимости одной компании могут повлиять на ряд других. Как может один гандикапер знать, что случится в мире, где ежедневно происходит множество политических, социальных и экономических событий? Ураганы проходят над морскими буровыми платформами, работники автомобильной промышленности устраивают забастовки, чтобы сохранить свои льготы, присяжные удовлетворяют крупные групповые иски против фармацевтических фирм, замерзают апельсиновые рощи, генеральных директоров обвиняют – или небезосновательно подозревают – в мошенничестве, вирус Эбола наводит панику среди авиапассажиров и т. д. Кто может с точностью утверждать, являются ли эти события случайными совпадениями? Редкие крутые виражи Доу Джонса, страшащегося любого крупного события (например, краха гигантского банка), могут настолько переполошить рынок, что он оказывается выбитым из своего относительного равновесия. Когда стоимость одной-единственной крупной компании постоянно скачет, это вызывает резонанс. Любое происшествие из длинного ряда непредвиденных событий с неожиданными исходами, на первый взгляд, вызванное непрогнозируемыми совпадениями, может отбросить рынок в том или ином направлении.

Как нам учесть в расчетах неожиданные исходы, вызванные непрогнозируемыми совпадениями? Иногда имеется ряд признаков, которые мы способны распознать, как это случилось в Хайчэне в 1975 г., когда китайские эксперты заметили предвестники, идентифицировали предварительные сейсмические толчки, правильно истолковали поведение животных в прилежащих сельских районах и верно спрогнозировали время следующего толчка. Но это была случайность. То, что жителей удалось предупредить о землетрясении, было удачным совпадением. Прогнозы еще четырех землетрясений в Китае также сработали. Но и они также были случайными. В 1994 г. один из моих студентов утверждал, что он прогнозировал Нортриджское землетрясение в районе долины Сан-Фернандо, Лос-Анджелес, за 48 часов до того, как оно произошло. У этого студента прямо посреди дома стояла вольера с птицами, и он утверждал, что фазаны пытались ему что-то сообщить. Он и его соседи покинули район. Дом был разрушен. Большинство других предсказаний, сделанных с тех пор, были ложными, а крупные землетрясения случались неожиданно. Вот два примера. Первый пример: Ново-Мадридское землетрясение было предсказано неверно, оно должно было произойти 3 декабря 1990 г. Второй пример: поверхностное землетрясение магнитудой 6,0, поразившее Италию к северу от Болоньи в мае 2012 г., было полнейшей неожиданностью. При всем развитии науки о земле за последние 100 лет мы не можем предсказывать землетрясения надежно и точно. Мы знаем, где они произойдут, но не знаем когда. Было сделано несколько потрясающих прогнозов, которые спасли тысячи жизней, но они все равно были случайными.

Чарльз Рихтер написал в Вестнике Сейсмологического общества Америки (в 1977 г.) следующее: «Я всегда испытывал некоторый ужас перед предсказаниями и предсказателями. Журналисты и простые обыватели бросаются на любые предположения, как свиньи к полному корыту… [Предсказание] дает раздолье для любителей, чудаков и откровенных жуликов, ищущих славы».

Мы не можем предвосхитить всех пагубных совпадений, но все же с предупреждениями или без них способны оценить риск наихудшего из того, что может произойти.

Глава 14

Экстрасенсорные способности

Как электрохимические сигналы одного сознания влияют на сигналы другого?

В книге «Почему люди верят в странные вещи» Майкл Шермер рассказывает о том, как посетил организацию, которая называется Ассоциация исследования и просвещения (АИП) в Вирджиния-Бич, Вирджиния. Эта организация является школой и хранилищем работ Эдгара Кейси, известного ясновидящего XX в., школой, где с 1931 г. обучают экстрасенсорным способностям. Во время посещения лекции по экстрасенсорному восприятию (ЭСВ) и экстрасенсорным способностям Шермер добровольно вызвался принять участие в занятии в качестве получателя экстрасенсорных сообщений. Преподаватель объяснил своим студентам, что некоторые люди рождаются с экстрасенсорными способностями, другим же просто нужна практика{182}. После того как раздали оценочный лист, на котором нужно было записать результаты полученных сообщений, Шермер и другие 34 ученика должны были сосредоточиться на лбу отправителя сообщений. Всего было организовано два испытания с передачей 25 сообщений в каждом из них. Сообщения представляли собой один из следующих пяти символов: Во время первой серии испытаний Шермер честно пытался получать и записывать сообщения, тогда как во время второй просто отмечал все сообщения символом  Таким образом он набрал 7 баллов в первой серии и 3 – во второй.

Согласно АИП, результат более 7 означает, что получатель обладает ЭСВ. Во-первых, чтобы эксперимент не был таким абсурдным, нужен был шестой – пустой символ, для человека, который вообще не получил сообщения. Во-вторых, после введения пустого символа мы сможем провести эксперимент, который позволит понять, каковы шансы получения одинаковых пар из 6 символов: нанесем на два кубика изображения шести символов. Каждый раз, когда посылается сообщение, исследователь будет бросать кубики и отмечать, когда на обоих выпадает один и тот же символ.

Вероятность того, что на обоих кубиках выпадает один и тот же символ, – 1/6, так как существует 36 возможных исходов и только 6 возможных дублей. Что произойдет, если каждый из 34 исследователей бросает кубики 25 раз? И как часто в группе из 34 получателей мы можем ожидать, что дубли выпадут 7 раз? А-а, тут мы начинаем замечать колоколообразную кривую, а значит, существует довольно неплохой шанс, что кто-то из исследователей выберет верный символ 7 раз. Другими словами, если бы вас попросили наугад выбрать один из передаваемых символов, у вас был бы неплохой шанс дать от 3 до 7 правильных ответов из 25 попыток. Получается, что у любого человека есть шанс выше, чем 1 к 1, дать более 5 правильных ответов.

Может показаться, что передачу всего 5 символов нельзя признать сколько-нибудь серьезной коммуникацией. Все-таки почти любое предложение в этой главе гораздо сложнее сигналов, которые могут быть представлены всего 5 произвольными символами. Но, рассуждая подобным образом, мы упустим из виду главное: если ЭСВ действительно работает с этими 5 символами, тогда это должно рассматриваться как коммуникация. Слышать ноты соль и ми, взятые на фортепиано с уровнем громкости в 10 дБ, – это не то же самое, что слышать вступление к Пятой симфонии Бетховена, состоящее из этих же двух нот, тем не менее это также представляет собой акт прослушивания. Кроме того, первый успешный телефонный разговор Александра Грэхэма Белла являлся не чем иным, как простейшим посланием из 9 слов, которые он громко прокричал в трубку: «Мистер Ватсон, зайдите сюда, я хочу вас видеть». Это случилось 10 марта 1876 г. Скрипучая фраза была едва различима в трубке Томаса Ватсона. И кто бы поверил тогда, что голос можно передавать в электронной форме; кто бы поверил, что у нас будут личные беспроводные телефоны, которые смогут передавать голос из любой точки мира в любую другую точку мира? Вот почему нам следует быть осторожными с тем, во что мы верим и во что не верим. Возможно, телепатическая передача пяти символов – всего лишь индикатор знания, к которому нам еще только предстоит прийти. Такова старая проблема: сложившиеся предрассудки о природе вещей. Элизабет Гилберт подняла эту проблему в своем романе «Происхождение всех вещей», где она повествует: «Уоллес писал, что первый человек, который увидел летучую рыбу, вероятно, подумал, что является свидетелем чуда, а того, кто первым ее описал, без сомнения, назвали лжецом»{183}. Уоллес в романе – это британский натуралист Альфред Рассел Уоллес, а описанный в романе случай является аллюзией на случай реальный, произошедший с британским морским офицером, который вернулся в Англию и утверждал, что видел на Барбадосе летающих рыб. В реальной жизни Уоллес открыл Rhacophorus nigropalmatus – летающую лягушку, которую обнаружил в тропических лесах Малайзии{184}.

Экстрасенсорное восприятие, включающее телепатию и ясновидение, является одной из теорий о действии на расстоянии, которые касаются передачи и «чтения» мыслей посредством необычных способов восприятия. Интуиция была бы разумным объяснением в данной ситуации, но еще одним объяснением может быть получение информации по каналам, которые находятся на периферии современного научного знания. Для некоторых истинно верующих эти каналы соединяют настоящее и прошлое, прошлое и ушедших. Несмотря на почти вековое повторение отрицательных результатов статистических экспериментов по доказательству существования способностей к ЭСВ у человека, парапсихологи по-прежнему убеждены в их существовании{185}.

Многие известные экстрасенсы имеют доступ к СМИ. У Кенни Кингстона, «звездного медиума», было свое ток-шоу на радио, он также был постоянным гостем Мерва Гриффина и программы Entertainment Tonight. Кингстон продвигал свою телефонную спиритическую горячую линию с помощью рекламного сюжета, где утверждал, что связан с такими звездами, как Джон Уэйн, герцог и герцогиня Виндзорские и Мэрилин Монро. Он заработал миллионы на своих спиритических сеансах, каждый стоимостью $400 с покойными, среди которых были Эррол Флинн и Орсон Уэллс; их можно было «встретить» в Musso & Frank Grill, голливудском ресторане, который Флинн частенько посещал при жизни. Не пытайтесь поймать меня на слове – я не утверждаю, что Кингстон был мошенником: может, да, а может, и нет. Разве не было бы здорово, если бы медиумы могли проводить спиритические сеансы и говорить с умершими или предсказывать будущее?

Когда-то, не так уж давно, люди глотали магниты, чтобы привлечь к себе любовь. А почему бы и нет? Поскольку магниты обладают удивительной силой дальнодействия, вовсе не сложно понять, почему люди верили в то, что души могут притягиваться непостижимой магнетической силой. Мы же со свойственным нам высокомерием и непониманием старинных учений считаем все это вздором. Однако с начала XIX в. нам известно, что электрический ток генерирует магнитные поля, и наоборот. Таким образом, нам следовало бы думать, что психическая деятельность, которая в целом является электрохимической активностью, порождает магнитные поля внутри и вне головы человека. Сегодня же столь стремительное развитие исследований в области нейрологии и появление все более совершенных инструментов нейровизуализации открывает нам то, на что мы бы искоса посмотрели всего десять лет назад. Теперь у нас есть данные снимков магнитоэнцефалографии, доказывающие, что эмоции действительно способны порождать магнитные поля вне головы. И хотя эти поля довольно слабы, существует вероятность того, что вместе с мозговыми импульсами они передают сигналы, которые комбинируются с радиоволнами и распространяются далеко от своего источника. Я не сомневаюсь, что это возможно. Вполне вероятно, что человек способен передавать некий сигнал любви за пределы своего мозга. Как сигналы мобильного телефона, эти сигналы могут перемещаться на большое расстояние. Проблема заключается в нашей интерпретации передаваемых сигналов. Можно ли их расшифровать, чтобы сообщить некую информацию другому человеку? Чтобы действительно передать другому такую эмоцию, как любовь, подобные сигналы должны быть декодированы для получателя в виде значения не просто «люблю», а «я люблю тебя». Подумайте, насколько сложно узнать о любви другого человека. Если бы можно было передать любовь в виде простого телепатического сигнала, всякий любовный роман стал бы жутким занудством.

Телепатия – способность передавать информацию с помощью аномального процесса передачи энергии, необъяснимого с точки зрения известных физических или биологических механизмов. Такого рода информация может быть о прошлом, настоящем, будущем или о контактах с умершими. Передаваться могут эмоциональные кинестетические ощущения посредством измененных состояний или же через доступ к коллективному бессознательному опыту вида с целью получения некоего знания{186}.

Бразилия – страна, где 90 % населения верит в жизнь после смерти и возможность общения живых с умершими. Существует реальная история о Жуане Роса, криминальном авторитете из небольшого городка Убераба, недалеко от Сан-Пауло, и его любовнице Ленире де Оливейра. Хотя Роса встречался с другими женщинами, он не мог позволить ей встречаться с другими мужчинами. Охваченный ревностью, Роса преследовал Оливейра и ее любовника. У них вышла ссора, в результате Роса был убит. Оливейра и ее новый бойфренд были обвинены в убийстве. Убитая горем и все еще исполненная любви к Роса, Оливейра обратилась к медиуму, который передал ей письмо из загробного мира. На суде адвокат защиты сообщил суду: «В письме, полученном при помощи медиума, умерший признает свою вину. Он говорит, что ревность стала причиной его смерти. Письмо содержит подробности, которые могли знать только его близкие».

Письма от умерших, записанные медиумами, принимаются бразильской судебной системой в качестве свидетельских показаний. В бразильской спиритической традиции деньги никогда не переходят из рук в руки. Медиумы выполняют работу только на основании своей непоколебимой веры. В обществе, где так тверда вера в жизнь после смерти, присяжные с готовностью принимают к рассмотрению письма из загробного мира. Разумеется, Оливейра и ее бойфренд были оправданы{187}.

Сторонники существования ЭСВ приводят ряд классических случаев. Известен эксперимент, описанный Эптоном Синклером в его книге «Ментальное радио». Синклер полагал, что его вторая жена, Мэри Крейг Кимброу, обладала экстрасенсорными способностями. Чтобы проверить это, он попросил Мэри повторить 290 рисунков, которые он нарисовал. Удивительно, но она сделала 65 точных копий, 155 совпали частично, и только 70 были неверными{188}. Но в том-то и дело! Надо считать отношение числа неудачных исходов к успешным.

Еще один известный эксперимент датирован 1937 г. Два человека, писатель Харольд Шерман и исследователь Губерт Уилкинс, передавали с помощью телепатии ментальные образы и мысли, предварительно зарисовывая или записывая их в дневниках. Сеансы телепатии продолжались в течение 161 дня, пока Шерман был в Нью Йорке, а Уилкинс – в арктической экспедиции{189}. 21 февраля 1938 г. они написали, что холодная погода не позволила им поработать, что они видели, как кто-то ободрал кожу на пальце, что пили алкоголь и курили сигары с друзьями и что у обоих разболелись зубы{190}. Действительно, записи в их дневниках на 75 % совпадали{191}.

В начале XX в. было немало почтенных людей, которые поддерживали ЭСВ, верили в экстрасенсорные способности и возможность связываться с умершими. Мы упомянули Синклера и Уоллеса, однако представьте себе мощь влияния таких выдающихся людей, как Уильям Джеймс, Анри Бергсон, сэр Артур Конан Дойль, Олдос Хаксли, Жюль Ромен, Герберт Уэллс, Гилберт Марри, Артур Кестлер и даже в некоторой степени Зигмунд Фрейд. Эти прославленные психологи, философы и писатели сумели многих склонить на свою сторону. Они не были жуликами, напротив, людьми искренними, серьезно воспринимавшими свои труды в свете научных знаний начала XX в., тем не менее у них начисто отсутствовало то, что мы называем опорой на общепринятые нормы проведения эксперимента.

До 1930-х гг. университеты и научные журналы воспринимали истории о паранормальных явлениях всерьез. Университет Дьюка добился принятия на работу психолога Уильяма Макдугалла из Оксфорда и Гарварда, чтобы тот возглавил лабораторию, где будут выполняться эксперименты по поиску экстрасенсорных способностей. По крайней мере два научных журнала публиковали статьи в поддержку ясновидения у животных, существования кошки-телепата и кобылы, которая могла писать телепатические сообщения, касаясь носом кубиков с цифрами и буквами{192}.

Супруги Джозеф и Луиза Райн описали эксперимент с лошадью в Вестнике аномальной и социальной психологии: «Не было обнаружено ничего такого, что не согласовывалось бы с явлением [телепатии], и ни одна из предложенных гипотез не выглядит убедительной, принимая во внимание результаты»{193}. Возможно, вдохновленные лекциями Артура Конана Дойля о телепатии Райны опирались на высказывание Шерлока Холмса из повести «Знак четырех»: «Отбросьте все, что не могло иметь места, и останется один-единственный факт, который и есть истина». В самом деле, все действительно сводится к тому, чтобы отбросить все невозможное. Сложность в том, чтобы узнать, когда действительно не осталось факторов, которые можно исключить.

Это напоминает мне нелепое утверждение в пьесе Дэвида Оберна «Доказательство», очень популярной несколько лет назад, в которой Хол, математик, рассматривая доказательство некой теоремы, говорит, что он не видит никаких ошибок в доказательстве, поэтому считает ее верной. С логической точки зрения это равносильно утверждению, что, если теорема не верна, он смог бы найти какую-либо ошибку. Чеширский Кот Льюиса Кэрролла ухмыльнулся бы и согласился. Ведь именно он сказал, что собаки не бешеные, а раз он не собака, значит он ненормальный. Такая логика сойдет только для страны чудес.

В сердце ЭСВ лежит то, что парапсихологи называют феноменом пси. Пси – это 23-я буква греческого алфавита, хотя, по-видимому, такое название было введено из-за фонематического сходства с первым слогом в слове психика, чтобы ассоциировать новое слово с ментальными взаимодействиями, которые нельзя объяснить известными физическими принципами. Философ и ученый Чарльз Данбар Броуд, живший в XX в., утверждал, что существование пси-явлений идет вразрез с научными законами на фундаментальных уровнях пространства, времени и причинной связи. В его статье, опубликованной в 1949 г. в журнале Philosophy, изложено 9 пунктов, по которым пси вступает в противоречие со здравым смыслом и физическими законами в том виде, в котором они нам известны{194}. Сторонники пси соглашаются с тем, что такие явления абсолютно несовместимы с современной физикой, и все же принимают такой парадоксальный конфликт. Райн утверждал: «Ничто за всю историю человеческой мысли – ни гелиоцентризм, ни эволюция, ни теория относительности – не было более революционным или настолько радикально противоречащим современной науке, чем результаты исследований прекогнитивного пси»{195}.

В 1937 г. Рональд Эйлмер Фишер написал книгу о планировании научного эксперимента со строгими числовыми показателями, призванными отличить случайности от результатов, которые могли бы привести к достоверным прогнозам{196}. Его целью отнюдь не было опровергнуть существование ЭСВ. Напротив, с помощью элементарных терминов он хотел научить тому, как принимать или отвергать совпадения, используя первичные данные.

Фишер привел вымышленную историю, в которой некая дама во время английского чаепития хвасталась способностью определять по вкусу чая, было ли молоко добавлено туда до или после того, как в чашку налили чай. Без сомнения, подобное заявление подразумевало наличие очень тонкого вкуса. Эта вымышленная история привела Фишера к разработке возможного эксперимента. В реальном мире мы вполне могли бы поймать женщину на слове, однако в разумной математической модели мы были бы склонны к большей гибкости и предположили бы, что чаще всего она действительно может определить, когда молоко наливали до чая, а когда после. Фишер понял, что даже те события, которые происходят чаще всего, могут происходить по чисто случайному стечению обстоятельств. Он действительно намеревался написать работу о планировании экспериментов и проблеме субъективной ошибки, однако кроме этого он стремился исследовать связь между идеальной математикой и неидеальными экспериментами в реальном мире.

Эксперимент включал в себя 8 чашек чая: в 4 молоко добавляли до чая, в 4 – после. Безусловно, если бы женщина оказалась права в отношении всех 8 чашек, это убедило бы экспериментаторов в том, что она действительно обладала заявленными способностями. Но что если она ошибется с одной чашкой? Будет ли это противоречить ее словам? И что будет, если она ошибется с двумя?

Можно использовать математику, чтобы определить результат. Даме при всем энтузиазме следует оставить себе право на ошибку. (Разве не было бы чудесно, если бы мы все могли себе это позволить время от времени?) Все-таки ее вкусовые сосочки могли измениться после нескольких первых глотков, как и молекулы молока. Учитывая, что различие между чаем, в который молоко добавили до того, как налили чай, и молоком, в которое добавили чай, довольно тонкое, было бы справедливо смягчить жесткое утверждение и позволить себе несколько ошибок{197}.

Современная статистика возникла в конце XIX в. Ее исходным условием является распределение случайных величин среди ряда вариантов. Дама, которая заявляет, что может точно определить, было ли молоко добавлено в чашку до чая или после, отличается от ясновидящего, уверяющего, что он или она может предсказать пол еще не родившегося ребенка. Истинность их утверждений сводится к различию между случайными догадками и истинным ясновидением. В конце концов пол ребенка во чреве матери определяется наугад, как и догадки в случае с чаем. Так, дама, которая уверяет нас, что может провести указанное различие с чаем, использует свои вкусовые рецепторы вкупе с уверенностью в способности чувствовать разницу во вкусе чая.

В совпадениях мы видим события, таинственным образом предопределенные неким разумным замыслом. Мы также подозреваем наличие взаимосвязи между двумя сложными феноменами. Настоящая проблема заключается в том, что по природе своей мы склонны видеть связь там, где ее нет.

Таковы вероятность и статистика. Мы ошибаемся, и статистика в некоторой степени допускает «гибкость истины». Статистические методы очень тонкие. Согласно Фишеру, статистическое подкрепление теории является свидетельством в пользу предполагаемой истины. Он пишет{198}:

Рассматривая вопрос о целесообразности того или иного эксперимента, всегда необходимо прогнозировать все его возможные результаты, а также недвусмысленно определить, как следует интерпретировать каждый из них. Далее мы должны знать, какие аргументы смогут подкрепить данную интерпретацию.

Если некое психическое явление, например экстрасенсорное, получило бы статистическое подтверждение, оно вполне могло бы претендовать на рациональное исследование. Но единственные пока статистические подтверждения существования пси известны нам благодаря выводам, которые в значительной степени зависят от ошибок при расчетах, намеков на сенсорные ощущения и случайных условий. До тех пор пока мы не увидим достоверного статистического подтверждения, пси следует относить к миру магии, где ученые спокойно относятся к совпадениям и прочим приемлемым для мага средствам. Несмотря на то что маги устраивают для своей аудитории поразительные представления, которые, кажется, нарушают известные законы физики – поднимают в воздух тела, прокалывают их острыми саблями или угадывают, какая карта находится в середине колоды, – мы знаем, что это трюки, обман зрения, отвлечение внимания и расчет на доверчивость аудитории.

Нас не просят ставить под сомнение то, каким именно образом информация телепатически передается от одного мозга другому. Если науке дадут слово, она задаст вопросы, каким образом электрохимическая деятельность мозга превращается в сигналы первичных данных, способные перемещаться сквозь пространство, и как эти сигналы преобразуются обратно в электрохимические реакции в нейронах. Американский специалист по популяционной генетике Джордж Прайс, когда описывал, как с помощью феномена пси можно передавать информацию об определенной карте, спрятанной в колоде, насмешливо высказался следующим образом: «Нет другого правдоподобного объяснения этим вещам, кроме существования особых разумных агентов: духов или призраков – кому как нравится их называть. Правильная карта выбирается духом. Дух внедряет информацию в мозг в подходящей электрохимической форме. Данная способность исчезает, когда духу надоедает работать с определенным человеком. Коротко говоря, парапсихология, хоть и маскирующаяся с помощью кое-каких атрибутов науки, все еще изобилует атрибутами магии»{199}.

Всякий раз, когда нас призывают не подвергать сомнению истинность происходящего, нас просят уверовать в магию, чудо или сверхъестественное. Помимо веселых фокусов, демонстрируемых магами, слово магия означает то, что совпадения происходят с помощью сверхъестественных сил и воздействий, которые опровергают известные законы природы. Человек на сцене превращает шарф в белого кролика. Трюки Гудини бросали вызов законам физики, однако он с презрением относился к идее ЭСВ{200}.

Обыденность действия на расстоянии

В XVI в. люди старались сформулировать универсальные законы, используя физическую максиму Аристотеля, который утверждал, что у всего во Вселенной имеется естественное место, в которое оно, будучи перемещенным, стремится вернуться. До открытия Исааком Ньютоном закона всемирного тяготения судьба человека была неким образом связана с движением небесных светил. От Ньютона мы узнали, что яблоки падают в силу тех же причин, что притягивают планеты друг к другу. Судьба человека и движение звезд уже не были связаны. Когда родился Ньютон, в первом издании Библии короля Якова утверждалось: «Восходит солнце, и заходит солнце, и спешит к месту своему, где оно восходит. Идет ветер к югу и переходит к северу, кружится, кружится на ходу своем, и возвращается ветер на круги свои. Все реки текут в море, но море не переполняется: к тому месту, откуда реки текут, они возвращаются, чтобы опять течь»{201}.

В «Потерянном рае» Джона Мильтона Бог отправляет архангела Рафаила с небес в Рай, чтобы предостеречь Адама и разоблачить Сатану. Рафаила угощают за столом «приятными напитками», вкуснейшими фруктами и яствами Рая, поданными Евой, тогда как Адам задает вопросы о мире, его происхождении и движении планет. Рафаил объясняет{202}:

…Как письмена Господни – пред тобой

Открыто небо, чтобы ты читал,

Дивясь деяньям Божьим; времена

Учился годовые различать,

Часы и годы, месяцы и дни…

Для этого познанья все равно:

Земля вращается иль небосвод,…

…Исчислят звезды, создавать начнут

Модели умозрительных небес…

…Согласовав с движением светил;

Сплетеньем концентрических кругов

И эксцентрических – расчертят сферу

И, циклов, эпициклов навертев,

Орбиты уместят внутри орбит.

(пер. А. Штейнберга)

Мильтон закончил работу над «Потерянным раем» незадолго до того, как в 1665 г. Лондон поразила «черная смерть», когда Ньютон уехал из Кембриджа и нашел пристанище в доме своего детства в селении Вулсторп, где открыл, помимо прочего, закон всемирного тяготения, описал взаимодействие силы притяжения и инерционного движения, которое и удерживает планеты на орбитах и вызывает падение яблока.

Однако к концу XVIII в. гравитацию начали воспринимать как притяжение материальных систем: два объекта притягиваются, потому что находятся на определенном расстоянии друг от друга и содержат определенное количество материи. Притяжение возникает в силу их «величины». Ньютон рассматривал силу гравитации как явление, зависящее от их отношений с другими телами. Любое тело само по себе не имеет силы тяжести, однако, когда к нему приближается другое тело, оно воздействует с некоторой силой на первое, а то, в свою очередь, также оказывает определенное воздействие на второе.

Господствующая научная точка зрения гласила, что все во Вселенной обусловлено законом, но, в отличие от движения планет, основные законы биологии зависят от гораздо большего числа переменных, и сложно дать исчерпывающее объяснение. Яблоко может падать с дерева и следовать простым законам механики Ньютона, однако яблоко само по себе – это чрезвычайно сложный набор молекул, которые удерживаются вместе огромным количеством внутренних атомных связей.

Мы живем в веке, в котором действие на расстоянии – обычное дело. Прошлый век видел развитие радио и телевидения, где звук и изображение чудесным образом перемещались через практически пустое пространство на тысячи километров верхом на радиоволнах. Мы привыкли к сотовым телефонам и Wi-Fi и не задаемся вопросом о том, как или откуда информация берется и куда уходит. Мы уже не подвергаем сомнению новые формы действия на расстоянии, которые передают изображение и звук из Пекина в Нью-Йорк в мгновение ока. Чтобы представить, как все это работает, рассмотрим, как один человек слышит голос другого.

Есть замечательная модель работы органов слуха, которую мне однажды показал математик сэр Кристофер Зиман. Туго натяните веревку поперек большой комнаты (см. рис. 14.1). С одной стороны натянутой веревки привяжите несколько небольших нитей разной длины. К концу каждой привяжите груз в несколько десятков граммов. На другом конце натянутой веревки привяжите идентичные грузы в произвольном порядке. Когда вся система придет в состояние покоя, аккуратно потяните любой из грузов и отпустите. Что произойдет? Помимо небольшого колебания всей системы лишь два груза будут двигаться сколько-нибудь значительным образом: два груза, висящие на нитях одинаковой длины. Почему? Потому что частота колебания задействованного груза сообщает свою частоту натянутой веревке таким образом, что резонировать будет любой из грузов с соответствующей частотой колебания.

В этом небольшом эксперименте нет почти ничего нового. Настройщики пианино используют этот принцип для настройки клавиш смежных октав. Обертоны любой из нот создаются резонирующими частотами вибрации фортепианных струн.

Человеческое ухо работает точно так же. Российская исполнительница, меццо-сопрано Ольга Бородина исполняет арию ламенто Дидоны из оперы «Дидона и Эней»: «Мне в землю лечь…» – она испускает из своей гортани ноты, которые вызывают волновые колебания воздуха, находящегося непосредственно перед ее ртом. Эти волны перемещаются в пространстве и достигают уха человека, сидящего в зале. Внутри улитки уха человека есть реснички, частично погруженные в жидкость и двигающиеся в резонанс со звуковыми волнами, распространяющимися по воздуху. Движущиеся реснички вызывают перемещение жидкости, которое преобразуется в электрические сигналы, которые, в свою очередь, возбуждают слуховой нерв.

В древности люди, должно быть, размышляли о том, как один человек может слышать голос другого притом, что их разделяет пространство без очевидной механической связи. Когда я был ребенком, моим любимым героем комиксов был Дик Трейси; я с некоторым скептицизмом изумлялся тому, где же мой герой раздобыл наручные часы-видеотелефон. В наши дни часы Дика Трейси – вчерашний день: подумаешь, видеотелефон. Мы даже не задумываемся над тем, как сигналы от наших мобильных телефонов перемещаются в пространстве или как электронная почта попадает из одной точки планеты в другую за пару секунд.

Мистер Вонка из книги Роальда Даля «Чарли и шоколадная фабрика» не был слишком обеспокоен феноменом, когда показывал Майку Тиви свое чудесное изобретение:

– Так вот! – сказал он. – Когда я впервые увидел, как работает обыкновенный телевизор, мне в голову пришла потрясающая мысль. Если можно передать по воздуху на большие расстояния картинку, предварительно разбив ее на миллионы мельчайших частиц, а затем снова собрав в единое целое на телеэкране, то почему нельзя проделать то же самое с настоящей шоколадкой: разбить шоколадку на множество кусочков, передать эти кусочки по воздуху, а потом вновь собрать их в целую плитку?{203}

Возможно, мистер Вонка значительно опередил весь мир в области понимания действия на расстоянии, а может быть, в понимании теории всего.

Совпадение без причины

Действие на расстоянии – это ключевое положение экстрасенсорного восприятия. Я не удивлюсь, если окажется, что люди действительно обладают некими способами восприятия помимо привычных пяти. Некоторые люди чрезвычайно чувствительны к атмосферному давлению, а некоторые обладают особой чувствительностью к социальным сигналам. Возможно, у некоторых людей относительно сильна чувствительность к радиоволнам. Я бы в этом не сомневался. Но от такого рода чувствительности до способности закодировать сообщение и затем передать его неким волшебным образом из одного сознания в другое – долгий путь.

Предположу, что, если мы не доведем планету до такого состояния, что уничтожим сами себя, наше время когда-нибудь будут называть детством человечества. Предполагать иное было бы самодовольно и неблагоразумно. Нам также следует предполагать, что в отношении того, что нам известно о физике и о природе, мы также находимся в начале пути. У нас много теорий для самых разных вещей, но пройдет много времени – может быть, тысячелетия, а может, такое время никогда не настанет, – прежде чем мы увидим границы теории всего. Однако общая картина научных открытий предстает перед нами во все более высоком разрешении.

Глава 15

«Сэр Гавейн и Зеленый Рыцарь»

В реальной жизни любая случайность с чрезвычайно низкой вероятностью может казаться событием, которое случается раз в жизни, и все же люди действительно выигрывают в лотерею два, три или даже четыре раза за свою жизнь. В народных преданиях, легендах и художественной литературе гораздо более невероятные события с куда меньшей вероятностью происходят довольно часто. Такие истории часто противоречат здравому смыслу, потому что рассказчик всегда готов нас удивить и заставить поверить в невероятное.

Случайности и совпадения нередко размывают границы между реальностью и вымыслом. В случае с преданиями, легендами и художественной литературой мы склонны верить в невероятное, с тем чтобы войти в мир, которому не принадлежим, мир воображаемый, где мы становимся бесплотными свидетелями событий, рассказывающих нам нечто о нас самих. Подобно большинству вымышленных ситуаций, наши истории с включенными в них совпадениями и случайностями показывают нам, что мы по большому счету из себя представляем как представители архетипов.

«Некогда один человек потерял бриллиантовую запонку в бескрайних просторах синего моря, – написал Владимир Набоков в своем романе "Смех в темноте". – И вот проходит 20 лет, и в тот же самый день – предположим, в пятницу – он ест большую рыбу, но, увы, никакого бриллианта в ней не обнаруживает. Вот какие совпадения мне нравятся»{204}. Этот отрывок как нельзя лучше характеризует восхитительное остроумие Набокова. Это небольшой отрывок, и все же, когда читаешь его, то ловишь себя на мысли, что невольно ожидаешь чего-то, что в итоге не происходит. Набоков подводит нас к некоему ожиданию, поражает неожиданностью и заканчивает словами: «Вот какие совпадения мне нравятся». Это вымысел! В вымышленной истории может произойти все что угодно.

Этот отрывок говорит нам о том, что представляет собой совпадение на самом деле. Совпадение – это в первую очередь неожиданность. Только в данном случае неожиданность заключается в отсутствии неожиданности. Неожиданность – фундаментальный структурный элемент повествования, а совпадения, по определению, всегда характеризуются именно неожиданностью. Антропологи утверждают, что с тех пор, как люди овладели языком в достаточной степени, чтобы можно было рассказывать истории, они рассказывали истории. Представители каждой культуры на земле рассказывали истории своим детям. В этих историях могло присутствовать зерно истины, порожденное реальностью, однако оживляет их именно глубина фантазии. Рассказы о легендарных героях особенно часто используют совпадения для описания встреч персонажей.

Много лет назад, когда я учился в Париже, я неделю прожил в отеле Albe на пересечении двух очень узких улочек: рю де ла Ушетт и рю де ла Арп. Сейчас Albe – четырехзвездочный отель, но в ту пору это было убогое местечко со сломанным лифтом, способным вместить не более одного человека, миниатюрными комнатками, продавленными матрацами и чуть теплой водой в ванной на этаже. Такие условия были в самый раз для студента, у которого практически не было ни денег, ни друзей. Всего в нескольких метрах на той же улице располагался Théâtre de la Huchette – небольшой театр, где ставили пьесу Эжена Ионеско «Лысая певица» (La Cantatrice Chauve). Я прошел чуть дальше по улице и заглянул в книжный магазин «Шекспир и компания», где обнаружил издание пьесы на английском. Я читал ее и ходил на постановки, уплачивая по одному франку, и таким образом учил французский, которым пока еще владел на довольно примитивном уровне.

Согласно моим подсчетам, в пьесе присутствует 13 мнимых совпадений. Элизабет Мартин и Дональд Мартин ужинают. Они вроде бы не знают друг друга, но полагают, что прежде где-то встречались. Дональд спрашивает, не могли ли они случайно встретиться в Манчестере. Он уехал из Манчестера всего пятью неделями ранее на утреннем поезде в 8.30. То же самое проделала Элизабет.

Этот диалог продолжается серией фантасмагорических совпадений, которых у Мартинов набирается все больше. В итоге Мартины выясняют, что оба живут на одном этаже, в одной квартире и даже ночуют в одной спальне. Они и спят в одной постели. Элизабет потрясена! Она говорит, что, возможно, что они встречались прошлой ночью в постели Дональда, хотя она этого не помнит. Дональд, в свою очередь, ей говорит, что у него есть светловолосая дочь двух лет по имени Элис, которая живет с ним. Она хорошенькая; один глаз у нее белый, а другой – красный. На это Элизабет с удивлением отвечает, что это потрясающее совпадение, поскольку у нее тоже есть прехорошенькая двухлетняя дочь по имени Элис, у которой один глаз белый, а другой – красный{205}. Очевидно, что это театр абсурда, и совпадения совершенно абсурдны, и что не имеется каких-либо клинических признаков слабоумия.

Совпадение в художественной литературе – не то же самое, что совпадение в реальной жизни. В литературе всему причиной автор. Иногда как в плохих, так и в хороших романах совпадения происходят без прямого умысла автора – случайная встреча просто вливается в сюжет. Умышленные или нет, они вызывают когнитивные эффекты, которые могут в ином случае приводить к различным вариантам толкования истории{206}.

Легенды

Бессмертная поэма «Сэр Гавейн и Зеленый Рыцарь» дошла до нас в виде старинной пергаментной рукописи конца XIV в., которая теперь хранится в Британской библиотеке. Это рыцарский роман, искусно составленная сказка, история о преданности и чести, темная история о потустороннем мире и истинном чуде. Сам автор справедливо подчеркивает, что это «приключение, равного которому не было и нет даже в дивных анналах Артуровых лет»{207}. Оно повествует о цепочке обстоятельств и по крайней мере одном совершенно поразительном совпадении.

Повествование берет начало в канун Нового года. Это уже само по себе совпадение, так как Зеленый Рыцарь, как и сам год, по-видимому, скоро должен умереть и вновь вернуться к жизни. Празднование продолжается в течение 15 дней и ночей. Но именно в канун Нового года этот удивительный человек, «самый большой человек на свете», Зеленый Рыцарь с зеленым боевым топором на зеленой лошади, прибыл прямо на празднество ко двору короля Артура:

И лишь звуки музыки замолкли в зале,

Принесли, как положено, по первому блюду –

За дверями зацокали звонкие копыта,

И рыцарь огромный верхом явился:

Въехал в зал, весь воистину невероятный

От необъятной шеи до крепкого зада,

Самый большой человек на свете,

Вправду выглядел он великаном,

Полугигантом, я думаю, был он –

Краше всех, кто когда-либо сидел на коне.

Дюжие плечи, длинные ноги,

Но талия тонкая – был этот рыцарь

И ладно скроен, и крепко сшит,

и ей-же-ей –

В зале все были изумлены,

Ведь не бывает таких людей:

Все на нем, даже штаны –

Зеленой зелени зеленей!{208}

(пер. В. П. Бетаки)

Дерзко бросив вызов рыцарям Круглого стола, Зеленый Рыцарь спросил, кто осмелится единственным ударом его собственного зеленого топора отсечь ему голову. Затем прозвучало предостережение: кто бы ни преуспел, будет обязан явиться в Зеленую часовню (в трех днях пути от двора) в следующий канун Нового года, где победитель также должен быть обезглавлен. Поистине странная и темная история!

В случае если вы не знакомы с этой историей, я не стану раскрывать ее неожиданное окончание. Сэр Гавейн, рыцарь Круглого стола, обезглавливает Зеленого Рыцаря одним ударом громадного топора. Неужто вы сомневались, что у него получится? Голова Зеленого Рыцаря падает на пол и откатывается, оставляя за собой капли крови. Но, несмотря на то что кровь струится из раны, тело рыцаря спокойно поднимает голову за волосы, подбирает свое окровавленное оружие и садится верхом на свою огромною лошадь; голова отверзает уста и напоминает Гавейну о втором испытании:

Ну, смотри, сэр Гавейн, будь готов через год

Отыскать меня честно, как ты тут поклялся

В присутствии короля и рыцарей славных.

Отправишься ты к Зеленой часовне,

Чтоб удар за удар получить, как условлено.

Заслужил ты право в новогоднее утро

Долг достойно с меня получить{209}.

(пер. В. П. Бетаки)

И вот за несколько дней до следующего Рождества сэр Гавейн отправляется на поиски Зеленой часовни. На этом месте мы подбираемся к магии повествования. Вы наверняка подумали, что у Гавейна было достаточно времени, чтобы узнать больше об этой Зеленой часовне или по крайней мере о ее месторасположении. Но нет, он садится на своего коня Гринголета и направляется в Уэльс, не имея ни малейшего понятия о том, где эта Зеленая часовня расположена. Он расспрашивает всех, кого встречает в пути, однако никто не знает ответа:

Вдруг повезет – встретится человек,

Спрашивает сразу его сэр Гавейн,

Не слыхал ли он о Зеленом Рыцаре,

Нет ли поблизости Зеленой часовни?

Но никто и вопроса его не понял,

Никакого зеленого человека никто не знал.

То падая ухом, то вновь ободрясь,

По горам и лесам он скакал,

И впадал в отчаянье не раз,

Пока ту часовню искал{210}.

(пер. В. П. Бетаки)

И тут происходит совпадение. В канун Рождества случилось так, что сэр Гавейн заблудился в лесу. Он молится Пресвятой Деве, чтобы та показала ему путь к убежищу, и волшебным образом (хотя поэт Гавейн мог бы сказать «по Божьей воле») натыкается на большой замок. Некий лорд «громадного роста» и леди, живущие в замке, учтиво приветствуют его и устраивают со всеми удобствами. Красота леди, как отмечает Гавейн, превосходит красоту Гиневры. Каждый раз на рассвете трех дней перед Новым годом лорд уезжает, чтобы поохотиться, возвращаясь на закате. В течение двух дней по утрам ослепительная в своей красоте леди пробирается к постели Гавейна и произносит соблазнительные речи. Гавейн непоколебим и дарует ей всего лишь один поцелуй в первый день и два во второй – и ничего более. Ну и человек! Парню на следующее утро должны отрубить голову. Кто среди нас сумел бы остаться столь безупречен?

Утром в канун Нового года леди настаивает, чтобы Гавейн принял в подарок тяжелый перстень. Но он знает, что принятие такого подарка означало бы обязательство стать ее рыцарем, предать себя и забыть о своем рыцарском долге. Он не принимает подарок. Она предлагает ему еще один дар – ее пояс зеленого шелка с золотым кружевом. И в тот момент, когда он собирается отвергнуть и его, она произносит: «Кому посчастливилось получить поясок, / Может быть уверен, что никогда / Ни один смертный не снимет с него / Сей талисман ни силой, ни хитростью; / Нельзя владельца его убить, / Если плотно прилегает он к пояснице». Как же ему не принять такой шелк?

В этой истории есть еще много любопытного, но в конце оказывается, что все испытания рыцаря были частью игры. В итоге мы обнаруживаем, что хозяин замка и есть Зеленый Рыцарь. Топор занесен над головой рыцаря и дважды опущен. Когда топор поднимается и опускается в третий раз, он задевает шею Гавейна, едва лишь ее поцарапав.

Какой вывод мы делаем из всего этого? Зеленая часовня всего лишь в 3 км от замка. Гавейн же, вероятно, проехал приблизительно 58 км до замка{211}. Почему 58 км? Поэма упоминает, что Гавейн был на пути в Северный Уэльс. Легендарный Камелот мог быть где угодно в Британии. Однако известный ученый и знаток эпохи Артура Уильям Рэймонд Джонстон Баррон утверждает, что в этой поэме Гавейн начинает свое путешествие из Чешира на границе со Стаффордширом. В таком случае мои Google Maps указывают, что кратчайшее расстояние до замка составит около 58 км. Какая удача, что он, не зная, куда ему идти, начинает свой путь из Камелота, но вместо того, чтобы отправиться в Северный Уэльс, случайно оказывается в 3 км от своей цели.

Это потрясающее совпадение. Только представьте, что пытаетесь сделать то же самое. Но это выдуманное совпадение, которым часто пользуются писатели, чтобы развить сюжет, когда обстоятельства тех или иных событий очевидно грешат против логики. Это почти типично для легенд, если не сказать, необходимо. Поэт, кто бы он ни был, вынужден был заставить Гавейна потеряться в бескрайних лесах и случайно (или по Божьей воле) набрести на большой замок. Если бы он знал путь, то знал бы и о замке. А если бы он знал о замке, то, возможно, знал бы и лорда. Достоинство истории в том и заключается, что Гавейн не обладает этой информацией. Простите меня, если я только что рассказал вам, чем все заканчивается. Это повествование очень древнее, и это западная история. Восточные истории играются по другим правилам. Восточный фольклор полон историй о совпадениях, которые воспринимаются как волшебство. Это истории об индийских гуру, тибетских монахах и других мудрых правителях, известных мировой литературной традиции.

У западного фольклора есть аналогии, но часто с религиозным подтекстом; в них волшебство рассматривается как чудо. Граница между фольклором и религией в западной культуре размыта, религиозные истории создавались, чтобы продемонстрировать могущество Божьей воли. Это истории об иудео-христианских мудрецах, греческих оракулах и пророках основных религий. Греческие оракулы, например, рассказывают истории о совпадениях; они известны нам из заслуживающих доверия исторических сочинений и греческих преданий. Сочинения Плутарха, Ксенофонта и Диодора, повествующие о предсказаниях, воспринимаются как вполне достоверные. Интересно, что почти все записанные предсказания случайно оказывались верными, если трактовать их в пользу предсказателя. Конечно, как у любого успешного предсказателя, эти пророчества были сформулированы весьма неопределенно, чтобы убедить верующих в том, что оракул действительно обладает некой силой.

Фольклор – психологическое отражение потребности человека обращать внимание на окружающий мир, на то, что является знакомым, а что – нет. Это восходит к одной из примитивных потребностей, которые помогали нашим первобытным предкам выживать в суровых диких условиях. Распознать и выделить совпадение – значит предупредить племя о том, что произойти может что угодно. Это украшает легенду, ставит нас перед событиями, где случается и хорошее, и плохое, а также добавляет ощущение подлинного риска и неизвестности в приключения фольклорных героев.

Предания об исцелении просачиваются через воображаемую границу, разделяющую вымысел и реальную жизнь. Физические недуги – слепота, хромота или горбатость – в вымышленных историях волшебным образом излечиваются, чтобы продемонстрировать силу богов или чародеев, а также власть и полномочия тех, кто рассматривает себя в качестве посредника, доносящего до людей божественные повеления. Наука, логика и здравый смысл отступают перед роком, который можно объяснить только с помощью последовательности совпадений. Предания заставляют нас обращать повышенное внимание на вероятность таких совпадений. Рассмотрим китайское поверье о Красных нитях судьбы: у всякого новорожденного на щиколотке привязана невидимая (для людей) красная нить, другой конец которой располагается на щиколотке того, кто предназначен стать супругом этого человека. Этими узами управляет особое божество; нити могут растягиваться или сокращаться, но никогда не рвутся. Такова восточная версия предопределенной судьбы: вам необходимо пройти через длинную последовательность совпадений, чтобы найти того, кто предназначен вам в супруги. Когда-то в представлении о Красной нити судьбы была доля правды. Раньше люди редко удалялись от селения, где проживали, у них были прочные связи друг с другом, не прерывавшиеся, как правило, на протяжении всей жизни. Нить была своего рода метафорой для уговора между родителями. Тогда совпадения не играли столь значительную роль для метафоры, в которых она нуждается сейчас, когда нити судьбы так длинны и перепутаны.

«Три принца из Серендипа» часто упоминают в качестве примера серендипности. В действительности, само определение современного слова серендипность происходит от названия этой сказки. Впервые опубликованная в Венеции, она была переведена с персидского и урду на итальянский в 1557 г. Сказка заимствована из поэмы «Восемь райских садов», автор – Амир Хосров (aka Хусров) из Дели, написанной в начале XIV в. Сама история, однако, может быть даже еще более древней и, вероятно, основана на жизни Бахрама V, царя Персии, правившего в V в. Нам история известна от 4-го графа Оксфорда, человека по имени Хорас Уолпол, который был антикваром и известным писателем своего времени. Согласно Ричарду Бойлу, эксперту по британскому колониальному периоду Шри-Ланки (в те времена называвшейся Цейлоном) и составителю Оксфордского словаря английского языка, именно Уолпол утверждал, что столкнулся «с дурацкой сказкой, называвшейся „Три принца из Серендипа“»{212}. Эта история была известна в Европе с конца XII в. Есть много версий этой истории: так называемые поэмы-загадки «Король и три брата», «Наследство для трех сыновей», «Проницательный бедуин читает следы на песке», «Три брата и судья», «Царь Соломон и три брата», «Царь Соломон и три золотых шара»{213}. Это история о трех братьях, странствующих по сельской местности, случайно сталкивающихся с загадками, которые разгадывают с удивительной проницательностью. Как мы узнаем из истории, происходящее с братьями – скорее совпадения, нежели случайности. Опять же, согласно Бойлу, в письме Горацию Манну, датированном 28 января 1754 г., Уолпол писал: «[Братья] постоянно совершали открытия случайно или в силу проницательности относительно вещей, которых намеренно не искали»{214}. С тех пор Оксфордский словарь английского языка содержит статью с толкованием существительного серендипность:

Удачное или выгодное наступление и развитие событий случайным образом: «a fortunate stroke of serendipity».

Три принца могли быть сыновьями Бахрама V или Джафара. А Серендип (или, как иногда записывают, Сарендип) – это древнее название Шри-Ланки{215}.

История начинается так{216}:

В древности далеко на Востоке лежала страна Серендип, и был там великий и могущественный царь по имени Джафар. У него было три сына, которых он очень любил. Он был хорошим отцом и заботился об их воспитании; решил царь, что должен одарить их не только великой властью, но и всяческими прочими добродетелями, столь необходимыми царевичам{217}.

Джафар изгоняет сыновей из царства Серендип, чтобы они набрались житейской мудрости, добавив ее к своей книжной учености. Они приходят в царство великого и могущественного Берама, переживают множество приключений и совершают много открытий посредством наблюдений и умозаключений. Первое происшествие – встреча с погонщиком верблюдов, который останавливает их на дороге и спрашивает, не видели ли они его пропавшего верблюда. (В Европе история говорит о муле; в Индии – о слоне.) Они его не видели. Но, демонстрируя недюжинный ум, задают погонщику три вопроса. Был ли верблюд слеп на один глаз? Не потерял ли один зуб? Хромал ли он на одну ногу? Да, у верблюда были все эти недуги. Тогда царевичи говорят погонщику, что видели такого верблюда на дороге. Погонщик тут же бросается в погоню за верблюдом. Когда его поиски оказываются безуспешными, он вновь встречает царевичей, которые говорят ему, что верблюд был нагружен маслом с одной стороны и медом – с другой, а верхом на нем сидела беременная женщина. В этот момент погонщик начинает подозревать, что царевичи украли его верблюда. Это нелепая история, которая требует от нас, чтобы мы догадались, почему у погонщика возникли такие подозрения. Мы можем лишь предположить, что, поскольку царевичи так много знали о верблюде, должно быть, видели его, а поскольку найти его не удается, наверняка это они его украли.

Погонщик заставляет царевичей предстать перед судьей. Они утверждают, что в самом деле никогда не видели верблюда. Когда судья спрашивает, откуда им столько известно о верблюде, они признаются, что заметили некоторые знаки, на основе которых сделали выводы, которые случайно совпали с фактами. В итоге верблюда нашли, а царевичей просят разъяснить, как им удалось догадаться о необычных особенностях верблюда.

Объяснения их довольно нелепы. Верблюд был слеп на один глаз, потому что трава слева от дороги подъедена, а справа – нет. У верблюда недостает одного зуба, потому что в каждом из мест, где он щипал траву, остался маленький пучок длинной травы. Верблюд был нагружен маслом с одной стороны и медом с другой, потому что на одной стороне дороги было множество мух, а на другой – множество пчел. Следы на дороге говорили о том, что верблюд подволакивал одну ногу. А как насчет беременной женщины? Царевичи утверждают, что, проходя в том месте, где видели следы женских ног, они испытывали плотские желания. Плотские желания? Все доводы – чепуха. Смысл в том, что царевичи с самого начала шли по дороге и наблюдали явления, которые обрели смысл только после того, как они повстречали погонщика верблюдов. Другими словами, они случайно замечали обстоятельства, смысла которых предвидеть не могли. Они не занимались поисками пропавшего верблюда до того, как узнали о нем от погонщика{218}.

Перед вами пример серендипности, но также и пример совпадения, благодаря которому получилась диковинная, интересная сказка. Чем вызваны столь проницательные наблюдения, сделанные задолго до встречи с погонщиком верблюдов? Возможно, дело в том, что они были невероятно наблюдательны и непроизвольно замечали все, что было вокруг (трава, мухи, муравьи и следы на дороге), поскольку ожидали, что вся эта информация пригодится впоследствии. Но есть другой вариант: они просто сделали дикое предположение, которое подкреплялось наблюдательностью. Может быть сколь угодно много причин того, что трава с той стороны дороги, которую облюбовали мухи, была подъедена клочками. Тот факт, что у сбежавшего от погонщика верблюда были все описанные царевичами особенности, выглядит вполне вероятным совпадением, подкрепленным определенной сметливостью и наблюдательностью, а также способностью хорошо запоминать произвольные обстоятельства.

Смысл вымышленных совпадений

Джон Пир и Хозе Анхель Гарсия дают следующее определение совпадения в своей книге Theorizing Narrativity{219}:

«Совпадение» в равной степени связано с событиями, а именно, с непредвиденными и (по-видимому) необъяснимыми и все же очевидно значимыми пересечениями двух явлений, иногда даже двух причинно-следственных цепочек или последовательностей событий и явлений, ранее введенных в мир повествования, но не имеющих причинно-следственной связи с друг другом.

Это определение допускает существование причинных цепочек, а наличие прямых причинных связей не обязательно. Однако неожиданная цепь событий, где причины в отдельных участках цепи теряются, усиливает эффект неожиданности, благодаря чему любое возникающее совпадение кажется реальным. Определение также явно требует, чтобы вымышленные совпадения имели смысл, что, как правило, и происходит.

Вымышленные персонажи часто пересекаются в пространстве и времени без очевидной причины при обстоятельствах, которые необходимы, чтобы сюжет истории имел смысл. Между персонажами обязательно должна присутствовать некая связь еще до того, как они случайно пересекутся. Такие давние отношения не обязательно являются личной встречей. Это может быть давнее увлечение, кровное родство, вражда или просто наличие общих знакомых. Такая случайная «встреча» мало что значила бы, если бы не обретала смысл в виду важности каждого из персонажей для сюжета. Любые параллели между более ранними отношениями и личной встречей должны выглядеть несвязанными, без каких-либо намеков на причинность, поскольку в противном случае повествование теряет желаемый эффект переживания странного и незнакомого, а также предполагаемого удовольствия узнавания, связанного с попыткой осмыслить значение только что происшедшего совпадения. Отсроченное понимание – одна из возможных тактик. Подозреваю, что, когда писатели намеренно используют такую тактику, они надеются вызвать эмоциональный отклик, который расставит по своим местам личности отдельных персонажей в общем сюжете.

Я также предполагаю, что иногда писатели неосознанно включают в произведения мелкие подробности, события, символические метафоры или сцены, которые в итоге обретают больший смысл, чем предполагал сам автор. Можно утверждать, что дело в нескольких подсознательных аспектах жизни автора. Также можно утверждать, что в реальной жизни мы все связаны через 6 рукопожатий, так что в итоге все неким образом связаны со всеми, чему у нас нет разумного объяснения. У Фрейда было что сказать по этому поводу так же, как и у Юнга. Существует много примеров. Некоторые детали невольно пробрались в мои собственные работы. Это случайности или слова, вырвавшиеся из подсознания? Можно было бы утверждать, что такие подсознательные включения не являются неожиданной согласованностью событий, не имеющей очевидных причинных связей; однако с таким же успехом можно утверждать, что слова попадают на страницу в силу совместно действующих подсознательных и сознательных элементов.

В литературе у сознательно включенных автором обстоятельств есть временной лаг. Откройте «Преступление и наказание» Достоевского и доберитесь до того момента, когда Раскольников убивает старуху ударом топора. Какую роль играет топор в дальнейшем повествовании? Почему Достоевский решил, что старуха должна быть убита топором, а не застрелена из пистолета или забита до смерти кочергой? Психика читателя дала бы иной отклик, если бы использовалось другое оружие. У топора есть коннотации, очень отличающиеся от избиения до смерти. Он оставляет читателей с противоречивыми эмоциями и конфликтующими ментальными образами: смерть жутко кровавая и смерть гуманно быстрая. Другими словами, психическое впечатление от преступления было бы совсем иным, если бы пожилую даму убили иным способом. Возможно, выбор Достоевского явился совпадением, случайно произошедшим, когда он писал эту сцену. Мы могли бы задать тот же вопрос относительно Зеленого Рыцаря. Зачем брать тяжелый зеленый топор, когда хватило бы и острого меча?

Современный пример – «Лунный дворец» Пола Остера – книга, богатая на случайности и фантасмогорические совпадения, которые происходят с рассказчиком, Марко Стэнли Фоггом. Совпадения эти настолько невероятны, что сам Марко в них с трудом верит. Марко прожил несколько недель без гроша в кармане, голодал, спал в кустах в Центральном парке Нью-Йорка, и вот друг находит Марко, когда тот практически при смерти. Окрепнув, Марко отвечает на объявление о работе, опубликованное в каталоге, вывешенном в офисе студенческой службы занятости Колумбийского университета. Работа предполагает проживание со старым, слепым, сварливым инвалидом по имени Томас Эффинг. Проходит несколько месяцев, Томас начинает планировать собственный некролог и просит, чтобы Марко его записал. В 1916 г. Томас звался Джулианом Барбером, и именно тогда начинается история некролога: в те времена Джулиан решил, что должен сбежать от своей психически нездоровой жены.

Джулиан едет в отдаленный район Юты. Он натыкается на пещеру отшельника, заполненную припасами, удобной мебелью, а также находит несколько заряженных ружей. Он обнаруживает отшельника мертвым с огнестрельными ранениями и замечает, что отшельник выглядел точно так же, как он сам. Тогда он хоронит отшельника и планирует новую жизнь с новой личностью. Зиму он проводит в пещере. Весной к нему заявляется посетитель, Джордж Криворот, индеец, который думает, что Джулиан – это его друг-отшельник. Джордж говорит Джулиану, что троица братьев Грэшемов, банда грабителей, устраивающих налеты на поезда, направляются к пещере, их укрытию. Джулиан подозревает, что эти бандиты убили отшельника. Банда возвращается, Джулиан всех их перестрелял и сбежал с $20 000, которые они награбили. Затем он возвращается к цивилизации под своим новым именем Томас Эффинг, узнает, что его жена родила сына, прежде чем он уехал в Юту. Сын Соломон Барбер вырос и стал преподавателем истории Америки в небольшом колледже на Среднем Западе. Мы узнаем, что Соломон всегда считал, что его отец погиб в результате несчастного случая где-то в Юте. Мы также узнаем, что Соломона уволили с работы после скандала, связанного с тем, что он имел связь с одной из своих студенток. Молодая студентка исчезает и 12 лет спустя погибает под колесами автобуса. После смерти Томаса Марко пишет Соломону, чтобы сказать ему, что его отец умер и оставил ему огромную сумму денег. Соломон встречается с Марко в Нью-Йорке и говорит Марко, что в 1940-х гг. у него была студентка из Чикаго по имени Эмили Фогг.

– Одно совпадение за другим, – пробормотал [Марко]. – Мир просто переполнен совпадениями.

…

– Она была красивая и умная, ваша мама. Очень хорошо ее помню{220}.

В реальной жизни можно усомниться в вероятности таких совпадений. Но это вымышленная история, и нет надежной формулы, которая дала бы нам вероятность того, что история Марко станет центром такого колоссального совпадения. Однако существует несколько исследовательских методов, с помощью которых можно сузить игровое поле. У вымысла есть преимущества, которых нет у реальной жизни: тщательно выстроенный сюжет и стратегически выбранное место действия. Чтобы сработало самое удивительное совпадение в «Храме Луны», местом действия должен быть очень большой город. Тут вариантов не слишком много. И если выбор пал на Нью-Йорк, также выбран и Колумбийский университет. Поле существенно сужается – до одного района Нью-Йорка: области площадью в пару километров с центром на 116-й улице и Бродвее, однако все еще остается открытым большое число посторонних факторов и возможностей.

В реальной жизни вопрос звучал бы так: сколько в Нью-Йорке молодых людей, которые никогда не видели своего отца и случайно вступили с ним в контакт в результате некой случайной встречи, скажем, в прошлом году? Если бы могли попросить всех молодых людей, проживающих в Нью-Йорке, поднять руку, то, вероятно, увидели бы не менее дюжины рук. У них, возможно, не нашлось бы материалов на великие мемуары, но из их совпадений вполне могли бы получиться увлекательные истории. Они рассказали бы нам, что встретили своих отцов в результате какого-то дикого совпадения. Это огромный город со множеством людей, множеством случайных знакомств и множеством возможностей для синхронии. Нью-Йорк дает такую сеть случайных встреч, которые настолько связывают между собой прошлое, настоящее и будущее, что мы сможем разобраться в них только тогда, когда осознаем, насколько огромно его население, и измерим мириады комбинаций, связывающих одного человека с другим.

Подозреваю, что, спроси мы у известных писателей о том, на чем они основывали свой выбор, конструируя то или иное событие, они бы ответили, что некоторые из сцен были выстроены так, а не иначе, по простому стечению обстоятельств. Но тут есть феномен, который психологи называют эффектом прайминга, который говорит нам о том, что на наши действия и эмоции более всего влияют переживания, связанные с недавними событиями. Например, если бы вас попросили заполнить пробелы в слове S_ _ P, то вы, вполне вероятно, написали бы SOAP, если вы только что вымыли руки; весьма вероятно, что вы написали бы SOUP, если только что сели ужинать. Тогда, может быть, наше восприятие отчасти определяется совпадениями между словами, которые мы читаем, и нашими наиболее свежими переживаниями. Именно так и устроена наша жизнь. Наши мысли и действия, видимо, инициируются цепочками переживаний, однако у провидения имеется странная привычка время от времени вмешиваться, устраивать все по-своему и нарушать равновесие.

Эпилог

Мы склонны полагать, что мир и велик, и одновременно мал. С одной стороны, он не больше, чем наш район, наш круг друзей, знакомых и, возможно, наши нечастые путешествия. С другой стороны, он в самом деле такой огромный, каким кажется из окна самолета, пролетающего над центром Англии или бескрайними лесами Мэна. Наши интуитивные впечатления от случайностей и совпадений бывают противоречивы. Мы натыкаемся на своих друзей где-нибудь на просторах огромного мира, будто мир – это маленький городишко; мы – семейство участников мировой лотереи – выигрываем много раз подряд, потому что наш маленький мир в действительности огромен.

Мир умопомрачительно велик. Люди в нем собраны в тесные группы не только в городах, но и в пространстве-времени их связей. И конечно же, события, кажущиеся маловероятными, происходят только потому, что так велико число доступных эмпирических испытаний. Совпадают ли события только в силу случайности? Или же мы используем случайность как оправдание того, что нам неизвестно? Когда мы ищем причину, то можем не сразу ее заметить. Но в ходе дальнейшего исследования и деконструкции она становится очевидной.

Помимо работ Перси Диакониса и Фредерика Мостеллера исследований в области закономерностей совпадения, где используются серьезные математические методы, не так много. Их теории демонстрируют, что многие события, которые мы оцениваем как удивительные, в действительности являются заурядными явлениями, часто случающимися на небольших отрезках времени в больших совокупностях. Существует большое число возможных событий, которые могут произойти в любой момент, но также есть и большое число возможных событий, способных случиться одновременно. Дэвид Хэнд, математик из Имперского колледжа Лондона, предлагает несколько иное, хотя и комплементарное видение совпадения. Его принцип невероятности, набор взаимосвязанных законов вероятности, каждый из которых подтверждает остальные, объясняет, почему исключительно маловероятные события обязательно должны происходить. Принцип по большей части качественный, нежели количественный, в нем нет действительного числового выражения невероятности. Скорее, эти законы статистико-описательные и дают основания доверять представлению, что маловероятные вещи должны происходить чаще, чем нам кажется. Например, в наборе есть то, что Хэнд называет законом неизбежности, который гласит: «Если составить полный список всех возможных исходов, один из них должен наступить»{221}.

Есть еще одно потрясающее совпадение, которое стоит упомянуть, чтобы показать читателю, что делает совпадение совпадением. 66 млн лет назад в Землю где-то в районе полуострова Юкатан на высокой скорости врезалась комета, пробив кратер шириной 180 км.{222} Благодаря миссиям NASA мы достаточно знаем о составе комет, чтобы понимать, что это была именно комета, а не астероид (как думали ранее). Среди палеонтологов, геологов и астрономов ведутся споры о том, что вызвало глобальное изменение климата, которое уничтожило динозавров. Одна теория состоит в том, что взрыв кометы убил почти всех ящероподобных существ, которых мы называем динозаврами, вместе с 70 % всех существовавших тогда растений и животных. Организмы, подвергшиеся мощному воздействию инфракрасного излучения, погибли бы практически мгновенно. Для уцелевших видов условия жизни помимо затрудненного фотосинтеза для растений на протяжении следующих 60 млн лет должны были бы стать очень скверными – бесконечно долгая «ядерная зима».

Кометы отличаются от астероидов. У них иной химический состав, но для нашей истории важнее то, что, в отличие от астероидов, кометы движутся по орбитам. Они могут идти по своей замкнутой траектории миллионы лет и ни во что не врезаться. Но, когда комета оказывается достаточно близко к телу большой массы, гравитация немного нарушает ее орбиту. На то, чтобы опять вернуться к этому телу и пройти еще ближе, может уйти миллион лет. Задумываясь об этом выдающемся событии, имевшем место 66 млн лет назад, попробуйте представить, что могло бы случиться, если бы орбита этой кометы прошла бы в тысяче километров от земли. Тысяча километров в астрономических масштабах – ничто, однако это очень много в том случае, когда массивные тела сближаются. На следующем орбитальном цикле масса кометы стала бы меньше, поэтому и к Земле она притягивалась бы слабее. Совпадение орбит в ответе как за массовое уничтожение множества видов, так и за благополучное зарождение нашего вида. Все случилось именно таким образом всего лишь из-за совпадения нескольких минут и нескольких метров. И вот в результате этого невероятного совпадения появляемся мы. Было ли это совпадением, случайностью или божественным вмешательством – решать вам.

Благодарности

Прежде всего благодарю свою жену Дженнифер Мазур. Она меня безоговорочно поддерживала с самого начала, даже когда беспокоилась, что книга может развеять ореол загадочности и волшебства, присущий хорошим историям. Дженнифер – моя опора, поддержка и первый редактор, человек, который всегда меня честно и жестко критикует, а потом дает конструктивные рекомендации.

Идея написать эту книгу принадлежит не мне. Она появилась во время застольных бесед на стажировке для стипендиатов Фонда Больяско. По какой-то неизвестной причине у нас систематически заходили разговоры о совпадениях, которые касались личных историй, народных преданий, художественных произведений и хроник случайных научных открытий. Каждый вечер я размышлял о том, можно ли математически объяснить удивительную частоту совпадений. Каждое утро я приходил на завтрак, думая о том, что вот сейчас-то я им все и объясню. К вечеру мои теории обыкновенно оказывались растерзанными в клочья и их можно было заменить лишь более содержательными доказательствами. Тем не менее мои товарищи по Больяско не переставали поддерживать идею написать книгу о совпадениях. Таким образом, вдохновением к написанию книги я обязан, во-первых, Фонду Больяско, а во-вторых, счастливой случайности наших бесед с другими дивно вдохновенными стипендиатами: Анной-Марией Бэйрон, Дэвидом Хейнманом, Сандрой Хейнман, Полом Кейном, Тиной Кейн, Лилианой Менендез, Алистаром Миннисом, Флоренс Миннис, Хеленой Симоно, Льюисом Спратланом и Мелиндой Спратлан. Их вклад в мое увлечение этой темой гораздо больше, чем им самим кажется.

Отдельная благодарность моим внимательным корректорам: Джеффри Бауэру, Мишель Бауэр, Деборе Клейтон, Льюису Коуэну, Сорине Эфтим, Деборе Ферхолт, Нэнси Хайнеманн, Тому Джефферису, Питеру Мередиту, Сэму Норшилду, Тодду Смиту, Джорджу Шпиро и Тиму Тоберу. Каждый из них, прямо ли, косвенно ли, внес свой вклад в окончательный вариант рукописи.

Джордж Файфер, автор «Девушки с Петровки», поделился наиболее надежными из доступных мне сведений об известном совпадении с Энтони Хопкинсом. Я несколько раз писал самому Энтони Хопкинсу и его агенту, однако ответа не получил. Франческо Маррас, директор школы итальянского языка Studitalia, предоставил мне полный отчет из первых рук о том, как обознались Франческо и Мануэла. Агнес Круп подбросила мне сложную задачу: вычислить вероятность того, что два человека, познакомившихся случайно, выяснят, что у них совпадают дата и год рождения. Лиза Паолоцци рассказала о двух своих встречах с таксистом-альбиносом.

Особую признательность хотелось бы выразить моим редакторам: Ти Джею Келлехеру и Бену Платту. Их педантичность, конструктивная критика и разумная редактура привели к изменению структуры книги, что значительно прояснило ее главную идею. Также благодарю Кун До, ответственного редактора в Basic Books, за быстрые и понятные ответы на все мои вопросы и моего агента Эндрю Стюарта, разглядевшего потенциал этого проекта в моем очень кратком описании.

Сноски

1

Речь идет о выглядящем теперь анахронизмом проводном телефоне. – Прим. пер.

2

Эмигрант. – Прим. ред.

3

Шедевр. – Прим. ред.

4

Или синхронии – зависит от русского источника. – Прим. пер.

5

Человек целостный есть рыба, извлеченная из глубины (лат.). – Прим. ред.

6

То есть вероятность наступления исхода равна 1/36 – Прим. науч. ред.

7

Каждая кость может выпасть одной из шести сторон, и, значит, всего есть 6 × 6 = 36 элементарных исходов. Из них событию «в сумме выпало 4 очка» соответствуют исходы 1-3, 2-2 и 3-1 – всего таких 3. Следовательно, вероятность равна 3/36 = 1/12. – Прим. науч. ред.

8

Здесь описываются «шансы против события». Часто шансы определяются прямо противоположным образом: как p/(1 – p). В этом случае «шансы 1 к 4» означали бы вероятность 1/5. Однако в этой книге принято другое соглашение. – Прим. науч. ред.

9

Действительно, если подбрасывать монетку дважды, то в среднем мы должны получать одного орла. Вероятность того, что мы получим ровно одного орла, равна 1/2: всего есть 4 элементарных исхода (орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка), из них нам подходят два (орел-решка, решка-орел). Представим теперь, что мы подбрасываем монетку 1000 раз. Вероятность того, что мы получим ровно 500 орлов, довольно маленькая – гораздо меньше, чем 1/2, – потому что мы легко можем получить 505 орлов или 498 или какое-нибудь другое число, близкое к 500. – Прим. науч. ред.

10

Здесь имеется в виду «вероятность двух выигрышей и двух проигрышей в некотором фиксированном порядке». – Прим. науч. ред.

11

Имеется в виду, на исходной диаграмме, до модификаций. – Прим. науч. ред.

12

Здесь имеется в виду следующее. На рис. 7.2 построена гистограмма для числа выигрышей в рулетку при 100 играх. На горизонтальной оси отмечены отрезки, соответствующие числам от 0 до 100. Над каждым из отрезков построен прямоугольник, высота которого равна вероятности получить соответствующее число выигрышей. Поскольку горизонтальные отрезки единичные, высота каждого отрезка численно совпадает с его площадью. Если теперь задать вопрос, например, «какова вероятность, что число выигрышей будет от 42 до 47», то для получения ответа нужно будет сложить все высоты прямоугольников, построенных над отрезками от 42 до 47. Визуально проще при этом думать не о сложении высот, а о сложении площадей этих прямоугольников: эта сумма будет равна просто площади под частью всей фигуры, расположенной над отрезком [42, 47]. Таким образом вероятность получает простую геометрическую интерпретацию в виде площади. Если теперь модифицировать диаграмму, сжав ее по горизонтали в несколько раз и растянув по вертикали в такое же число раз (это будет соответствовать выбору других единиц измерения для горизонтальной оси, на которой мы откладываем значения нашей случайной величины), то высоты прямоугольников изменятся и больше не будут обозначать вероятности. В то же время, если рассмотреть часть фигуры, лежащую над каким-то отрезком, то в результате модификации она перейдет в другую фигуру той же площади. Эта площадь по-прежнему будет вероятностью того, что случайная величина попадет на (новый) отрезок. – Прим. науч. ред.

13

Имеются в виду «эмпирические вероятности», то есть частоты выпадения в конкретной серии подбрасываний. – Прим. науч. ред.

14

Имеется в виду Общество морских купален и сообщество иностранцев в Монако, де-факто являющееся правительством Монако. – Прим. пер.

15

«22 черный 22» (фр.) – Прим. ред.

16

Закон, описывающий число мячей в зависимости от времени, может быть выражен формулой A×exp(–Ct), где exp – экспонента. Поэтому говорят, что уменьшение происходит «экспоненциально». – Прим. науч. ред.

17

Пусть нас интересует число x и мы не можем его найти явно, но зато можем показать, что x < 0,001. Тогда число 0,001 называется «оценкой сверху» для x. – Прим. науч. ред.

18

Мы будем считать, что каждый постоянно играющий будет покупать билеты всех лотерей. – Прим. науч. ред.

19

Проект «Невиновность» – общественная организация, миссия которой «бороться с ложными обвинениями, основанными на результатах экспертизы ДНК, и реформировать систему правосудия, с тем чтобы не допустить несправедливости в будущем». – Прим. пер.

20

Дело Симпсона – громкое судебное разбирательство середины 1990-х. О. Дж. Симпсон – знаменитый американский футболист и актер – был оправдан присяжными после обвинения в убийстве своей бывшей жены и ее приятеля. – Прим. ред.

Комментарии

1

Похожее определение было впервые предложено Томасом Варджишем в его работе The Providential Aesthetic in Victorian Fiction (Charlottesville: University of Virginia Press, 1985), 7.

2

Webster's Third New International Dictionary of the English Language Unabridged, ed. Philip Babcock Grove (Springfield, MA: G. & C. Merriam Company, 1961).

3

Neil Forsyth, Wonderful Chains: Dickens and Coincidence, Modern Philology 83, no 2, (November 1985): 151–165.

4

Роберт Фиала преподавал изобразительное искусство в Институте Пратта; мой друг по колледжу и прекрасный художник. Он скоропостижно скончался в 2009 г.

5

В то время в Шотландии стоуви означало, что в пабе будут подавать бесплатные закуски (обычно просто жареный картофель) с тем, чтобы обойти требование закона, предписывающего закрывать пабы в полночь. (Рестораны могли работать и после полуночи.).

6

Lao-tzu, Tao Te Ching, chapter 73, trans. William Scott Wilson (Boston: Shambhala Publications, 2010), 39.

7

Walt Whitman, Democratic Vistas, ed. Ed Folsom (Ames, IA: University of Iowa Press, 2010), 67–68.

8

Charles Dickens, Bleak House (London: Wordsworth Classics, 1993), 189.

9

Alexander Woollcott, While Rome Burns (New York: Viking Press, 1934), 21–23.

10

Когда я читал историю в изложении Вулкотта, мне пришла мысль, что Чарльз Альберт Корлисс мог просто разыграть Энн – он сделал подпись сам, пока Энн отвернулась, чтобы посмотреть на башни собора Парижской Богоматери. Вулкотт пишет: «На какой-то момент повисла тишина, пока взгляд ее скользил по реке и густой зелени на островах, по башням в отдалении. Тишина эта была внезапно нарушена, когда он сказал, с напряжением в голосе, что все-таки склонен был думать, что ей в молодости была знакома эта книга».

11

C. G. Jung, Synchronicity: An Acausal Connecting Principle (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1960), 22.

12

Там же. С. 28.

13

Здесь закрадывается подозрение, что время беседы преувеличено. Прошел действительно час? Или всего четверть часа? Это типичное приукрашивание историй о совпадениях, которые я исследовал.

14

Nicolas Camille Flammarion, L'Inconnu: The Unknown (New York: Harper & Row, 1900), 194.

15

Nicolas Camille Flammarion, L'Inconnu: The Unknown (New York: Harper & Row, 1900), 194.

16

Работа сама по себе очень впечатляет, в ней много прекрасных фламмарионовских гравюр, многие из них – цветные. См. https://archive.org/details/linconnuunknown00flam.

17

Nicolas Camille Flammarion, L'Atmosphère: Météorologie Populaire (Paris: Hachette, 1888), 510.

18

Flammarion, L'Inconnu, 192.

19

Ward Hill Lamon, Recollections of Abraham Lincoln 1847–1865 (Cambridge, MA: The University Press, 1911), 116–120.

20

Моя дочь, когда была маленькой, ходила во сне, так что я могу подтвердить: лунатики выглядят пугающе.

21

Gideon Welles and Edgar Thaddeus Welles, Diary of Gideon Welles, vol. 2 (Boston: Houghton Mifflin, 1911), 283.

22

Frederick W. Seward, «Recollections of Lincoln's Last Hours,» Leslie's Weekly, 1909, 10.

23

Расчеты здесь довольно сложные. Шанс того, что один человек дважды выиграет в лотерею, были вычислены Стивеном Сэмуэлсом и Джорджем Макгейбом из Университета Пердью. Они утверждают, что шансы того, что некий человек в Соединенных Штатах дважды выиграет в лотерею в течение 7 лет, выше, чем 1 к 1. Шанс того, что такой победитель найдется в течение 4 месяцев, – 1 к 30. Я привожу здесь эти результаты, однако самих вычислений я не видел. Основной источник – это, видимо, Persi Diaconis and Frederick Mosteller's paper Method for Studying Coincidences, Journal of the American Statistical Association 84, no. 408 (December 1989): Applications & Case Studies, 853–861.

24

Arthur Koestler, The Case of the Midwife Toad (New York: Vintage, 1971), 13.

25

Перевод этой цитаты см.: Martin Plimmer and Brian King, Beyond Coincidence: Amazing Stories of Coincidence and the Mystery Behind Them (New York: St. Martin's Press, 2006), 52–53.

26

Paul Kammerer, Das Gesetz der Serie (Berlin: Deutsche Verlag-Anstalt, 1919), 93.

27

Там же.

28

C. G. Jung, Synchronicity: An Acausal Connecting Principle (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1960), 105.

29

C. A. Meier, ed., David Roscoe, trans., Atom and Archetype: The Pauli/Jung Letters, 1932–1958 (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2001), xxxviii.

30

Jung, Synchronicity, 10.

31

C. R. Card, The Archetypal View of C. G. Jung and Wolfgang Pauli, Psychological Perspectives 24 (Spring – Summer 1991):19–33, and 25 (Fall – Winter 1991): 52–69.

32

David Peat, Synchronicity: The Bridge Between Matter and Mind (New York: Bantam 1987), 17–18.

33

Aniela Jaffé, Memories, Dreams, Reflections (New York: Vintage Books, 1965.

34

Joseph Cambray, Synchronicity: Nature and Psyche in an Interconnected Universe (College Station, TX: Texas A&M University Press, 2009), 12.

35

Carl Gustav Jung, Jung on Synchronicity and the Paranormal, (London: Routledge, 2009) 8.

36

Я выбрал это число, потому что такова вероятность выигрыша в лотерею в моем родном штате Вермонте.

37

Эти работы оставались неопубликованными почти сто лет. См.: Øystein Ore: Cardano, the Gambling Scholar (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1953, or New York: Dover, 1965. Следует отметить, что книга Оре впервые осветила вклад Кардано в математическую теорию вероятностей. См.: Ernest Nagel's review of Cardano, the Gambling Scholar in Scientific American, June 1953.

38

На словах это значит: вероятность P того, что разность между эмпирической вероятностью k/N и математической вероятностью p меньше, чем некоторое малое определенное число ε приближается к 1 по мере увеличения N.

39

G. Galileo (c. 1620), Sopra la scoperte die dadi (On a Discovery Concerning Dice), trans. E. H. Thorne, excerpted in Games, Gods, and Gambling: The Origins and History of Probability and Statistical Ideas from the Earliest Times to the Newtonian Era by F. N. David (New York: Hafner, 1962), 192–195.

40

Joseph Mazur, What's Luck Got to Do with It?: The History, Mathematics, and Psychology of the Gambler's Illusion (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2010), 27.

41

Впервые опубликовано в 1663 г.

42

Оригинальные письма были отредактированы и опубликованы: Oeuvres de Fermat, ed. by Tannery and Henry, vol. 2 (Paris: Gauthier-Villars: 1894), 288–314. Перевод писем на английский, см.: David Eugene Smith, A Source Book in Mathematics (New York: Dover, 1959), 424.

43

Паскаль понимал, что легче вычислить шанс того, что не выпадут две шестерки. Иными словами, 35/36. Он также понимал, что вероятности наступления двух независимых событий – это произведение вероятностей каждого события в отдельности, а следовательно, вероятность не выбросить две шестерки за n бросков составит (35/36)n. Он вычислил, что (35/36)24 равняется 0,509, а (35/36)25 равняется 0,494, и заключил, что шансы выбросить две шестерки за 24 броска немного ниже, чем 1 к 1, а за 25 бросков – немного выше, чем 1 к 1.

44

1 – (35/36)24 < 1/2, но 1 – (35/36)25 > 1/2.

45

Так происходит потому, что вероятность того, что первая кость выпадет любым из 6 чисел, составляет 1. Скажем, она выпадает на 2. Теперь другие четыре кости должны выпасть на 2. Это составит вероятность (1/6)4, или 1 к 1296.

46

См. видео на канале Numberfile: www.youtube.com/watch?v=dXGhzY2p2ug.

47

Stephen M. Stigler, The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900 (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1986), 64–65.

48

С момента публикации в 1713 г. теорема Бернулли прошла через ряд усовершенствований.

49

Доказательство см.: Warren Weaver, Lady Luck: The Theory of Probability (Garden City, NY: Doubleday, 1963), 232–233.

50

Jacob Bernoulli, The Art of Conjecturing, trans. Edith Dudley Sylla (Baltimore: Johns Hopkins, 2006), 339.

51

Stigler, The History of Statistics, 77.

52

Bernoulli, The Art of Conjecturing, 329.

53

John Albert Wheeler, Biographical Memoirs, vol. 51 (Washington, DC: National Academies Press, 1980), 110. Цитата – парафраз оригинала «Бог не играет в кости» – встречается в письмах Эйнштейна Максу Борну; см.: A. Einstein, Albert Einstein und Max Born, Briefwechsel, 1916–1955, Kommentiert von Max Born (Munich: Mymphenburg, 1969), 129–130.

54

Robert Oerter, The Theory of Almost Everything (New York: Pi Press, 2006), 84.

55

Mazur, What's Luck Got to Do with It? 129–130.

56

Bernoulli, The Art of Conjecturing, 101.

57

Был еще один большой трактат о теории вероятностей. В 1708 г. французский математик Пьер Ремон де Монмор опубликовал «Опыт анализа азартных игр» (Essai d'analyse sur les jeux de hazard).

58

Работа Кардано «Книга об азартных играх» (Liber de Ludo Aleae) была написана в 1500-х гг., а опубликована в 1663 г., тогда как работа Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» (De Ratiociniis in Ludo Aleae) была опубликована в 1657 г. Однако средневековая поэма «De Vetula», которую приписывают Ришару де Фурнивалю, содержала краткое описание того, какие комбинации могут выпадать при бросании трех костей, без какого-либо упоминания математического ожидания.

60

В целом 3 % данных отсутствовали.

61

Victor Grech, Charles Savona-Ventura, and P. Vassallo-Agius, Unexplained Differences in Sex Ratios at Birth in Europe and North America, British Medical Journal 324. no. 7344 (April 27, 2002).

62

Persi Diaconis, Susan Holmes, and Richard Montgomery, Dynamical Bias in the Coin Toss, SIAM Review 49, no. 2 (2000): 211–235.

63

Robert Siegel and Andrea Hsu, What the Odds Fail to Capture When a Health Crisis Hits, NPR All Things Considered, July 21, 2014.

64

Протяженность дорог, согласно данным Министерства транспорта США и Федерального управления шоссейных дорог; площадь суши, согласно данным Управления лесов Министерства сельского хозяйства США.

65

Может показаться странным, что в 100 турах рулетки при ставке на красное вероятен выигрыш в 47 турах, а не в 50, но это происходит оттого, что p < q, поэтому максимальная вероятность отклоняется от средней.

66

Mazur. What's Luck Got to Do with It? 104.

67

Однако, чтобы уместить его на странице, график нужно сжать по горизонтальной оси, чтобы он выглядел, как график на рис. 7.4.

68

Мне говорили, что есть и более ранние упоминания о треугольнике, начиная с индийского математика XII в. Халаюдха, который написал комментарий к «Чанда Шастра» (трактат на санскрите, посвященный исследованию стихотворных размеров), где он отмечал, что диагонали треугольника складываются в определенные числа, которые позже назовут числами Фибоначчи. Я не встречал достоверных подтверждений тому, что подобный треугольник упоминается так рано, хотя это вполне возможно. Если это так, то там наверняка не приводится формула построения, а просто дается список достаточно большого числа рядов, чтобы им можно было пользоваться.

69

Петер Апиан был немецким гуманистом, математиком и астрономом. См.: D. E. Smith, History of Mathematics (New York: Dover, 1958), 508.

70

Mazur, What's Luck Got to Do with It? 239.

71

Сначала мы сдвигаем весь график так, чтобы высшая точка располагалась на 0. Очевидно, что площадь остается прежней, никакая информация не теряется, за исключением того, что теперь мы интерпретируем смысл графика как распределение вероятностей пошагового увеличения или уменьшения красного против черного. Еще одно изменение нашего рисунка – мы сжимаем кривую в 5 раз по горизонтали и растягиваем во столько же раз по вертикали. Коэффициент 5 получен в результате вычисления √Npq, где N – это число туров, p – вероятность того, что выпадет красное, а q – вероятность того, что красное не выпадет. Точное число – 4,99307. Я округлил его до 5 для удобства использования.

72

Сначала надо переместить кривую так, чтобы ее среднее значение стало менее 50, затем нам необходимо вычислить скаляр (коэффициент масштабирования), на который мы будем сжимать кривую по горизонтали и растягивать по вертикали. Перемещение было нужно потому, что мы знали, что всего в игре было 100 туров.

73

Скаляр – это  где N – число туров, p – вероятность успешного испытания, а q – вероятность неудачи (q = 1 – p). Другими словами, скаляр для нашей конкретной игры (ставка на красное на рулетке):

или приблизительно 5.

74

В общем, можно представить проделанные нами масштабирование и преобразования просто как трансформацию переменных x и y в новые переменные X и Y. Положим, X = x – a, сдвигая график как целое на a единиц вправо. Пусть X = x/b, что соответствует растяжению по горизонтали в b раз. Также положим Y = cy, чтобы отмасштабировать график по вертикали в c раз. В итоге получаем новый график: Y vs. X. Для биномиального распределения частот, где p достаточно близко к q, мы преобразуем x в X, приняв его за

75

Кривая, описываемая графиком

называется кривой нормального распределения и на самом деле упоминается еще у Муавра и Лапласа. Получается из нормального распределения

при μ = 0, σ² = 1 (μ – это среднее, σ – стандартное отклонение).

76

Karl Pearson, The Chances of Death and Other Studies in Evolution (London: Edward Arnold, 1897), 45.

77

Мы говорим о рулетке в Монако. Американская рулетка отличается от европейской тем, что в ней помимо зеро добавлен еще слот – двойное зеро. Однако аналогия с орлянкой очень схожая – двойное зеро считается и как черное, и как красное.

78

Pearson, The Chances of Death and Other Studies in Evolution, 55.

79

Там же. С. 61.

80

Там же. С. 55.

81

Warren Weaver, Lady Luck, The Theory of Probability (Garden City, NY: Doubleday, 1963), 282.

82

John Scarne, Scarne's Complete Guide to Gambling (New York: Simon & Schuster, 1961), 24.

83

E. H. McKinney, «Generalized Birthday Problem,» American Mathematical Monthly 73, (1966): 385–387.

84

Перси Диаконис дал примерное соответствие. Данные Брюса Левина указывают на эту кривую при N ≈ 47(k – 1,5)3/2.

85

Richard von Mises, Ueber Aufteilungsund Besetzungs– Wahrscheinlichkeiten, Review of Faculty of Science. University of Istanbul 4 (1939), 145–163.

86

Какова вероятность p (N) того, что одно и тоже число не будет выбрано дважды за N попыток? Ответ:

Чтобы вычислить его, мы возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения и получим

Поскольку ln (1 + x) ≈ x, мы можем приблизить k-слагаемое в правой части числом – k/365. Тогда правая часть будет приблизительно равна

что, в свою очередь, будет близко к при большом значении N. Итак, мы знаем, что

Решаем для N, получаем В случае если p = 1/2, получаем N ≈ 22,49.

87

88

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения и получим

89

Необходимо решить уравнение

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения и найдем

90

Sir Arthur Eddington, The Nature of the Physical World, (New York: Macmillan Company, 1927), 72.

91

Нажатия клавиш независимы; однако некоторые нажатия более вероятны, чем другие, учитывая их положение на клавиатуре.

92

График P = (1 – (1/26)5)N.

93

Émile Borel, Mécanique Statistique et Irréversibilité, Journal of Physics series 5e, vol. 3 (1913): 189–196.

94

Sir James Jeans. The Mysterious Universe (New York: Macmillan, 1930), 4.

95

Darren Wershler-Henry, The Iron Whim: A Fragmented History of Typewriting (Ithaca, NY: Cornell University Press, 2007), 192.

96

Для настольных игр обычно используются кости в форме куба, точки на гранях которого выполнены в виде углублений. Все углубления, как правило, одинаковые, поэтому сторона с шестью углублениями будет легче, чем сторона с одним. Такие кости называют «нечестными», поскольку имеют тенденцию выпадать тяжелой стороной вниз. Чтобы изготовить «честные» кости, масса материала, изъятого с одной грани, должна совпадать с массами, изъятыми со всех прочих. Краска, используемая для нанесения точек, также должна наноситься с учетом распределения масс и баланса.

97

Будет возникать однородность по горизонтали. Перепад давлений вызывает постоянное изменение по вертикали, поэтому, чтобы заметить вертикальную однородность, требуется больше времени. Попробуйте провести опыт с относительно неглубокой бутылкой, чтобы создать более заметную однородность.

98

См.: Mark Kac, «Probability,» Scientific American, September 1964.

99

Jacob Bernoulli, The Art of Conjecturing, trans. Edith Dudley Sylla (Baltimore: Johns Hopkins, 2006), 339.

100

William Paul Vogt and Robert Burke Johnson, Dictionary of Statistics & Methodology: A Nontechnical Guide for the Social Sciences, 4th ed. (Thousand Oaks, CA: SAGE Publications, 2011), 374.

101

Vogt and Johnson, Dictionary of Statistics & Methodology, 217.

102

Darrell Huff, How to Lie with Statistics (New York: Norton, 1993), 100–101.

103

Gary Taubes, «Do We Really Know What Makes Us Healthy?» New York Times, September 16, 2007.

104

J. H. Bennett, ed., Statistical Inference and Analysis: Selected Correspondence of R. A. Fisher (Oxford: Oxford University Press, 1989).

105

Paul D. Stolley, When Genius Errs: R. A. Fisher and the Lung Cancer Controversy, American Journal of Epidemiology 133, no. 5 (1991).

106

R. A. Fisher, Collected Papers, vol. 1, ed. J. H. Bennett (Adelaide, Australia: Coudrey Offset Press, 1974), 557–561.

107

Ronald A. Fisher (letters to Nature), Cancer and Smoking, Nature 182, August 30, 1958.

108

Stolley, When Genius Errs.

109

Sir Ronald Fisher, Cigarettes, Cancer, and Statistics, Centennial Review 2 (1958): 151–166.

110

Marcia Angell and Jerome Kassirer, Clinical Research – What Should the Public Believe? New England Journal of Medicine 331 (1994), 189–190.

111

Taubes, Do We Really Know What Makes Us Healthy?

112

Samuel Arbesman, The Half-Life of Facts: Why Everything We Know Has an Expiration Date (New York: Current, 2012), 7.

113

Alexander Woollcott, While Rome Burns (New York: Viking Press, 1934), 23.

114

Франческо – третье по популярности имя в Италии после Марко и Андреа. Мануэла не входит в перечень 100 наиболее популярных имен в Испании.

115

На самом деле 16 – умеренный коэффициент, учитывая, что имена Мария, Лаура, Марта и Паула встречаются значительно чаще, чем Мануэла.

116

Из написанного Фламмарионом об этой истории неясно, были ли принесенные гранки из книги, над которой он работал, или некой иной книги, которую он уже закончил.

117

Joseph Mazur, What's Luck Got to Do with It?: The History, Mathematics, and Psychology of the Gambler's Illusion (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2010), 177–178.

118

Согласно Натаниелу Ричу. См.: Nathanial Rich, The Luckiest Woman on Earth, Harper's Magazine, August 2011. Цифры у Рича расходятся с его собственными вычислениями в миллион раз. На самом деле шансы свыше 2 нониллионов к 1. (Нониллион – это 1 с 30 нулями.)

119

Warren Goldstein, Defending the Human Spirit: Jewish Law's Vision for a Moral Society (Jerusalem, Israel: Feldheim, 2006), 269.

120

J. Boyer, «DNA on Trial,» New Yorker, January 17, 2000.

121

Michael R. Bromwich, head of investigating team, HPD Crime Lab Independent Investigation Report, May 11, 2006). См.: http://www.hpdlabinvestigation.org, дата обращения: 22 августа 2014 г.

122

Tobias Jones, The Murder That Has Obsessed Italy, The Guardian, January 8, 2015.

123

William C. Thompson, Franco Taroni, and Colin G. G. Aitken, How the Probability of a False Positive Affects the Value of DNA evidence, Journal of Forensic Science 48, no 1 (January 2003, 47–54).

124

Там же. С. 47.

125

National Academy of Sciences (NAS) report, «Strengthening Forensic Science in the United States: A Path Forward» (2009).

126

Spencer S. Hsu, D. C. Judge Exonerates Santae Tribble in 1978 Murder, Cites Hair Evidence DNA Test Rejected, Washington Post, December 14, 2012.

127

NAS, Strengthening Forensic Science, 160.

128

Norman L. Reimer, https://www.nacdl.org/champion.aspx?id=29488.

129

Видео Innocence Project по делу Сантея Триббла см.: http://www.innocenceproject.org/cases-false-imprisonment/santae-tribble.

130

Brandon L. Garrett, Convicting the Innocent: Where Criminal Prosecutions Go Wrong (Cambridge, MA: Harvard University Press, 2011), 101.

131

NAS Report, 86.

132

Garrett, Convicting the Innocent, 101.

133

Набор, полученный от матери, и набор, полученный от отца, содержат разные версии одних и тех же генов; размер генома обычно определяется числом оснований в одном из наборов генов.

134

Цитата принадлежит человеку, вообще не имевшему отношения к делу, – это Анита Альварес, прокурор штата Иллинойс по округу Кук.

135

Trisha Meili, I Am the Central Park Jogger: A Story of Hope and Possibility (New York: Scribner, 2004), 108.

136

Там же. С. 6–7.

137

Jed S. Rakoff, Why Innocent People Plead Guilty, New York Review of Books 61, no. 18, November 20, 2014, 16–18.

138

National Research Council Report, The Growth of Incarceration in the United States (2014).

139

Heather West, William Sabol, and Sarah Greenman, "Prisoners in 2009, US Department of Justice, Bureau of Justice Statistics, 2009, rev. October 27, 2011; Lauren E. Glaze and Erinn J. Herberman, Correctional Populations in the United States, 2012, US Department of Justice, Bureau of Justice Statistics (2013), см.: http://www.bjs.gov/content/pub/pdf/cpus12.pdf; Todd D. Minton, «Jail Inmates at Midyear 2012 – Statistical Tables,» US Department of Justice, Bureau of Justice Statistics 1 (2013), см.: http://www.bjs.gov/content/pub/pdf/jim12st.pdf.

140

Итоговая сумма расходов по федеральной системе уголовной юстиции и системам штатов в 2010 г. составила $260 533 129 000. Сюда входят расходы юридические услуги ($56,1 млрд), расходы на полицейскую защиту ($124,2 млрд) и расходы на исправительную систему ($80,24 млрд).

141

Oliver Roeder, Lauren-Brooke Eisen, and Julia Bowling, What Caused the Crime Decline? Brennan Center for Justice at NYU School of Law, research report, 2015).

142

NAACP Legal Defense Fund, Death Row USA, January 1, 2014.

143

R. J. Maiman and R. J. Steamer, American Constitutional Law: Introduction and Case Studies (St. Louis, MO: McGraw-Hill, 1992), 35.

144

Cass R. Sunstein, The Reforming Father, New York Review of Books, vol. 51, no. 10, June 5, 2014, 8.

145

Источники: US Department of Justice, Bureau of Justice Statistics, «Capital Punishment» for the years 1968–2012; NAACP Legal Defense and Educational Fund, Inc. «Death Row USA» for the years 2013 and 2014.

146

Sunstein, The Reforming Father, 10.

147

Innocence Project report, Reevaluating Lineups: Why Witnesses Make Mistakes and How to Reduce the Chance of a Misidentification (2009), 17.

148

Garrett, Convicting the Innocent, 5.

149

Innocence Project, Reevaluating Lineups, 5.

150

Государственный реестр оправдательных решений; юридический факультет Мичиганского университета; Центр по изучению ошибочных приговоров при юридическом факультете Северо-Западного университета; см.: http://www.law.umich.edu/special/exoneration/Pages/browse.aspx.

151

Это предположительно имело место с Чарльзом Хайнсом, бруклинским окружным прокурором, которого обвиняли в применении подобных методов во время слушания о реабилитации Джаббара Коллинза, который провел 16 лет в заключении за убийство, которого не совершал. Размер компенсации, установленный Нью-Йорком, составил $10 млн. См.: Stephanie Clifford, «Exonerated Man Reaches $10 Million Deal with New York City,» New York Times, August 19, 2014.

152

Goldstein, Defending the Human Spirit, 269.

153

Pasteur Vallery-Radot, ed., Oeuvres de Pasteur, vol. 7 (Paris, France: Masson and Co., 1939), 131.

154

Gerard Nierenberg, The Art of Creative Thinking (New York: Simon & Schuster, 1986), 201.

155

Bruce W. Lincoln, Sunlight at Midnight: St. Petersburg and the Rise of Modern Russia (Boulder, CO: Basic Books, 2002), 150–151.

156

Victor E. Pullin and W. J. Wiltshire, X-rays: Past and Present (London: E. Benn Ltd., 1927).

157

Рентген думал, что X-лучи невидимы. В действительности они могут создавать серо-голубое свечение. См.: K. D. Steidley, The Radiation Phosphene, Vision Research 30 (1990): 1139–1143.

158

W. R. Nitske, The Life of Wilhelm Conrad Röntgen, Discoverer of the X Ray (Tucson: University of Arizona Press, 1971).

159

Barbara Goldsmith, Obsessive Genius: The Inner World of Marie Curie (New York: W. W. Norton, 2005), 64.

160

Lawrence K. Russel, Poem, Life, 27, March 12, 1896.

161

Goldsmith, Obsessive Genius, 65.

162

Howard H. Seliger, Wilhelm Conrad Röntgen and the Glimmer of Light, Physics Today, November 1995, 25–31.

163

Fifty Years of X-Rays, Nature, 156, November 3, 1945, 531.

164

H. J. W. Dam, The New Marvel in Photography, McClure's Magazine 6, no 5, April, 1896. Журнал McClure's закрылся в 1929 г. К счастью, у Gutenberg Project есть практически полный электронный архив McClure's.

165

J. McKenzie Davidson, "The New Photography,The Lancet 74, I (March 21, 1896): 795, 875.

166

Nature 53 (January 23, 1896): 274.

167

Otto Glasser, Wilhelm Conrad Röntgen and the Early History of the Röntgen Rays (San Francisco: Norman Publishing, 1993), 47–51.

168

«Атомная физика» (Atomic Physics), фильм J. Arthur Rank Organization, 1948.

169

Из лекции Луи Пастера при вступлении в должность преподавателя и декана факультета естественных наук Лилльского университета, Дуэ, Франция, 7 декабря 1854 г. См.: Houston Peterson, ed., A Treasury of the World's Great Speeches (New York: Simon and Schuster, 1954), 473.

170

Isaac Newton, The Correspondence of Isaac Newton. Vol. 1. 1661–1675, ed., H. W. Turnbull (Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1959), 416.

171

John of Salisbury, The Metalogicon: A Twelfth Century Defense of the Verbal and Logical Arts of the Trivium, trans. Daniel McGarry (Baltimore: Paul Dry Books, 2009), 167.

172

Steven Weinberg, Lake Views: This World and the Universe (Cambridge, MA: Belknap Press, 2009), 187.

173

Причины, приводимые Б. Ф. Скиннером в пользу решения игрока продолжать играть.

174

James B. Stewart, The Omen, New Yorker, October 20, 2008, 58.

175

Там же, с. 63.

176

Nelson D. Schwartz, A Spiral of Losses by a 'Plain Vanilla' Trader, New York Times (January 25, 2008).

177

Nick Leeson, Rogue Trader (New York: Time Warner, 1997).

178

Russell Baker, A Fateful Election, New York Review of Books, November 6, 2008, 4.

179

Seth Stein and Michael Wysession, An Introduction to Seismology, Earthquakes, and Earth Structure (Hoboken, NJ: Wiley-Blackwell, 2002), 5–6.

181

Charles Richter, Acceptance of the Medal of the Seismological Society of America, Bulletin of the Seismological Society of America 67 (1977): 1.

182

Michael Shermer, Why People Believe Weird Things (New York: Henry Holt, 1997), 6).

183

Elizabeth Gilbert, The Signature of All Things (New York: Viking, 2013), 483.

184

В действительности лягушку обнаружил китайский рабочий, который и принес ее Уоллесу.

185

Luis A. Cordón, Popular Psychology: An Encyclopedia (Westport, CT: Greenwood, 2005), 182.

186

D. J. Bern and C. Honorton, «Does Psi Exist? Replicable Evidence for an Anomalous Process of Information Transfer,» Psycho-logical Bulletin 115 (1994): 4–8.

187

Lourdes Garcia-Navarro, Letter from Beyond the Grave: A Tale of Love, Murder and Brazilian Law, National Public Radio News, Weekend Edition, August 9, 2014.

188

Martin Gardner, Fads and Fallacies in the Name of Science (New York: Dover, 1957), 299–307.

189

Stanton Arthur Coblentz, Light Beyond: The Wonderworld of Parapsychology (Vancouver: Cornwall, 1981): 109–110.

190

Sir Hubert Wilkens and Harold Sherman, Thoughts Through Space: A Remarkable Adventure in the Realm of the Mind (New York: Hampton Roads, 2004), 26–27.

191

Eric Lord, Science, Mind and Paranormal Experience (Raleigh, NC: Lulu, 2009), 210–211.

192

Gardner, Fads and Fallacies, 351.

193

J. B. Rhine and L. E. Rhine, An Investigation of a 'Mind Reading' Horse, Journal of Abnormal and Social Psychology 23, no. 4 (1929): 449.

194

C. D. Broad, The Relevance of Psychical Research to Philosophy, Philosophy 24, no. 91 (1949): 291–309.

195

Joseph Banks Rhine, The New World of the Mind (London: Faber and Faber, 1953), 80.

196

Ronald Aylmer Fisher, Design of Experiments (London: Oliver and Boyd, 1937), однако, проще найти по: Ronald Aylmer Fisher, Statistical Methods, Experimental Design, and Scientific Inference (Oxford: Oxford University Press, 1990), 11–18.

197

Работа Фишера на самом деле была посвящена планированию эксперимента и проблеме субъективной ошибки, но здесь мы ее приводим для того, чтобы пояснить связь между математикой и экспериментом.

198

Fisher, Statistical Methods, 12.

199

George R. Price, Science and the Supernatural, Science, new series, 122, no. 3165 (August 26, 1955): 359–367.

200

H. Houdini, A Magician Among the Spirits (New York: Harper, 1924), 138.

201

Екклезиаст 1:5–7

202

Milton, The Portable Milton, ed. Douglas Bush (New York: Viking, 1961), 416–417.

203

Roald Dahl, Charlie and the Chocolate Factory (New York: Bantam, 1973), 137.

204

Vladimir Nabokov, Laughter in the Dark (New York: New Directions, 2006.

205

Eugene Ionesco, The Bald Soprano and Other Plays (New York: Grove Press, 1958), 18.

206

Hilary P. Dannenberg, Coincidence and Counterfactuality: Plotting Time and Space in Narrative Fiction (Lincoln, NE: University of Nebraska Press, 2008), 90.

207

Мой слабый перевод строки из конца второй строфы «Сэр Гавейн и Зеленый Рыцарь». (В русском тексте приведен литературный перевод. – Прим. пер.)

208

«Сэр Гавейн и Зеленый Рыцарь»: два варианта русского перевода: [http://coollib.com/b/247354/read] и [http://royallib.com/read/neizvesten_avtor/ser_gaveyn_i_zelyoniy_ritsar.html#0]. Мы приводим второй (В. Бетаки). – Прим. пер.

209

Там же.

210

Там же.

211

Sir Gawain and the Green Knight, ed. William Raymond Johnson (Manchester, UK: Manchester University Press, 2004), 25.

212

Richard Boyle, The Three Princes of Serendip, Sunday [London] Times, July 30 and August 6, 2000.

213

Dov Noy, Dan Ben-Amos, Ellen Frankel, Folktales of the Jews, Vol. 1, Tales from the Sephardic Dispersion (Philadelphia, PA: The Jewish Publication Society, 2006), 318–319.

214

Письмо было адресовано Горацию Манну, но не американскому реформатору в сфере образования, а британскому баронету и посланнику Двора во Флоренции.

215

Robert K. Merton and Elinor Barber, The Travels and Adventures of Serendipity: A Study in Sociological Semantics and the Sociology of Science (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003), 3–4.

216

Boyle, The Three Princes of Serendip.

217

The Travels and Adventures of Three Princes of Sarendip (London: William Chetword, 1722).

218

Другие варианты истории см.: Idries Shah, World Tales: The Extraordinary Coincidence of Stories Told in All Times, in All Places (London: Octagon, 1991), 336–339; Mrs. Howard Kingscote and Pandit Natesa Sastri, Tales of the Sun or Folklore of Southern India (Whitefish, MT: Kessinger Publishing, 2010 [originally published by W. H. Allen, 1890]), 140.

219

John Pier, and José Angel Garcia Landa, eds., Theorizing Narrativity (Berlin: Walter de Gruyter, 2007), 181.

220

Paul Auster, Moon Palace (New York: Viking, 1989), 236–237.

221

David Hand, The Improbability Principle: Why Coincidences, Miracles, and Rare Events Happen Every Day (New York: Farrar Straus and Giroux, 2014), 76). Fluke и The Improbability Principle – две очень разные книги, которые рассматривают совпадения с разных, но взаимодополняющих точек зрения.

222

В 1980 г. физик Луис Альварес и его сын, геолог Вальтер Альварес, обнаружили высокое содержание иридия в пластах, относящихся к Меловому периоду. Теория (довольно противоречивая теория), существовавшая с 1980-х по 2013 г., заключалась в том, что в Землю врезался астероид. В 2013 г. Мукул Шарма и Джейсон Мур с кафедры наук о земле в Дартмуте выступили с докладом на 44-й конференции по вопросам Земли и Луны, где выдвинули теорию о том, что это был не астероид, а комета.

Content

Джозеф Мазур
Игра случая. Математика и мифология совпадения

Предисловие

Раздел 1 Истории

Совпадение

Глава 1 Исключительные моменты

Глава 2 Девушка с Петровки и другие несложные совпадения

История 1. Девушка с Петровки

История 2. Джек Фрост и другие истории

История 3. Кресло-качалка

История 4. Золотой скарабей

История 5. Франческо и Мануэла

История 6. Таксист-альбинос

История 7. Сливовый пудинг

История 8. Унесенная ветром рукопись

История 9. Сны Эйба Линкольна

История 10. Джоан Гинтер

Глава 3 Значимые совпадения

Синхронистичность

Раздел 2 Математика

Коллизии

Глава 4 Каковы шансы?

Разница между шансом и вероятностью

Вероятностный мысленный эксперимент

Глава 5 Дар Бернулли

Две шестерки и рождение вероятности

Теорема Бернулли

Математическое ожидание

Глава 6 Длинная серия орлов

Глава 7 Треугольник Паскаля

Распределение вероятностей

Идеальный мир и физический мир

Глава 8 Задача об обезьянах

Задача о дне рождения

Мартышкин труд

Раздел 3 Расчеты

Встречи

Глава 9 Громадный мир

Скрытые переменные

Глава 10 К вопросу об историях из главы 2

История 1. История Энтони Хопкинса

История 2. История Энн Парриш

История 3. История о кресле-качалке

История 4. Золотой скарабей

История 5. История Франческо и Мануэлы

История 6. История о таксисте

История 7: История о сливовом пудинге

История 8. Унесенная ветром рукопись

История 9. Сон Эйба Линкольна

История 10. Джоан Гинтер и ее выигрыши в лотерею

Раздел 4 Головоломки

Такие вот фразы

Глава 11 Доказательство

Геном человека

Бегунья из Центрального парка

Оправдание невиновного

Глава 12 Открытие

Глава 13 Риск

Случайности дестабилизированного рынка

Глава 14 Экстрасенсорные способности

Обыденность действия на расстоянии

Совпадение без причины

Глава 15 «Сэр Гавейн и Зеленый Рыцарь»

Легенды

Смысл вымышленных совпадений

Эпилог

Благодарности

Сноски