Брюков Владимир Георгиевич

Как предсказать курс доллара. Расчеты в Excel для снижения риска проигрыша

Предисловие

Многочисленные рекламные ролики, статьи или буклеты, рассказывая инвесторам о баснословных доходах, которые можно заработать, торгуя валютой на ФОРЕКСЕ, далеко не всегда сообщают им о возникающих при этом рисках. Однако вполне очевидно, что трейдер, который пытается заработать на колебаниях курсов валют без соблюдения правил риск-менеджмента, во многом похож на азартного игрока со стопроцентной вероятностью обреченного на полное разорение.

Поэтому всякий, кто хочет быть успешным в трейдерских сделках, должен сначала научиться: во-первых, диагностировать характер наблюдаемого на рынке тренда (повышательный, понижательный или боковой), на котором он собирается заработать; во-вторых, рассчитывать ожидаемые доходы и риски; и в-третьих использовать эти расчеты непосредственно в своей биржевой торговле…

В 2011 году издательство КНОРУС и Центр Исследований Платежных Систем и Расчетов опубликовали первою мою книгу, посвященную валютному прогнозированию – см. Брюков В. Г. «Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews». С тех пор прошло шесть лет и, судя по многочисленным откликам, мой первый труд на эту тему оказался востребованным, причем, не только трейдерами, но и студентами, пенсионерами и даже домохозяйками, решившими подзаработать на биржевом рынке.

За это время от моих читателей поступили многочисленные просьбы разъяснить тот или иной вопрос по прогнозированию курсов валют. Этим мне приходится заниматься и сегодня, несмотря на нехватку времени. Кроме того, меня уже неоднократно просили написать еще одну книгу на эту тему, но сделать ее более доступной для массового читателя. Дело в том, что далеко не все, например, мои читатели умеют работать в программе EViews, а другие не слишком дружны с математическими формулами. К тому же не у всех есть много времени, которое они могут выделить изучению этой проблемы.

С учетом этих пожеланий все расчеты в этой небольшой компактной книге выполняются только в Excel, то есть в программе, которая есть практически у каждого пользователя компьютера. Все формулы здесь сведены к минимуму, то есть появляются в тексте только в том случае, когда без них нельзя обойтись при проведении необходимых расчетов.

Во всех остальных случаях вместо формул читателю дается: во-первых, максимально популярно изложенное определение используемых статистических понятий, а во-вторых, безформульный алгоритм действий в Excel, который им необходим для расчетов.

Для лучшего усвоения и закрепления пройденного материала в конце каждой главы даются задания, а глава 5 полностью посвящена повторению пройденного по всем четырем главам.

С целью экономии времени я постарался сделать эту небольшую книгу максимально краткой, изложив только тот материал, который действительно требуется для трейдерской торговли. Несмотря на краткость изложения, в этой книге освещены новые важные для трейдеров темы, которых нет в моей первой книге.

Для тех, кто не читал «Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews», хочу заметить, что в ней сделан акцент на детальном изложении методики составления точечных и интервальных прогнозов по курсам валют. В новой книге эта методика будет изложена кратко и более популярным языком, но в объеме достаточном для полноценного прогнозирования курса валют и с учетом моих последних наработок.

С 2009 по 2015 год я ежемесячно публиковал прогнозы на портале http://bankir.ru (пользуясь случаем, хочу выразить свою благодарность его руководству за столь длительное и, надеюсь, взаимовыгодное сотрудничество). Эта работа оказалась для меня неплохим стимулом для улучшения методики прогнозирования, которую я регулярно тестирую в режиме онлайн, внося в нее при необходимости поправки. В результате сегодня у меня появилось много новых наработок по прогнозированию, которыми я хочу поделиться с трейдерским сообществом.

В новой книге изложены и другие очень важные для валютной торговли темы, которых нет в моей первой книге. Во-первых, в ней дана методика выявления в Excel графическим способом повышательного, понижательного и бокового тренда в динамике курсов валют. Во-вторых, изложена методика выявления методом наименьших квадратов (с помощью уравнения регрессии) повышательного, понижательного и бокового тренда в динамике курсов валют. В-третьих, достаточно подробно освещены вопросы риск-менеджмента. Особый акцент сделан на ключевой проблеме любого трейдера: какой оптимальной долей своего счета он должен торговать, чтобы свести к минимуму риск банкротства? При этом используется ставшая уже классической методика определения оптимальной торговой доли счета f Ральфа Винса, чей блестящий труд «Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров», опубликованный на русском языке в 2007 году издательством Альпина Паблишер, я всем советую обязательно прочитать.

В заключение хочу сказать об одном важном условии, без которого работа с этой книгой не будет продуктивной ‑ наличия у читателя желания овладеть приемами диагностирования тренда, прогнозирования курса валют и риск-менеджмента, необходимыми для биржевой торговли. Без этого полноценно овладеть представленной информацией будет довольно сложно. Причем, для начинающих пользователей программы Excel, а также для тех. кто не знаком с азами статистики, обязательно последовательное изучение всего материала с решением всех заданий.

Надеюсь, что эта книга поможет Вам стать разумным трейдером, который не просто так ‑ по наитию свыше или, следуя советам финансового гороскопа! ‑ рискует своими средствами, а сначала делает необходимые расчеты, взвешивает возникающие во время торгов риски, а уже потом принимает решение о начале торгов. И тогда к Вам обязательно придет успех!

С теми моими читателями, кому для лучшего усвоения материала книги потребуются дополнительные консультации, разъяснения или помощь в решении заданий, автор готов пообщаться по скайпу. Узнать об условиях получения консультаций по книге, а также записаться на консультацию можно по следующему адресу электронной почты: bryukov@bk.ru

Владимир Георгиевич Брюков, независимый аналитик

Об авторе

Брюкoв Владимир Георгиевич, независимый финансовый аналитик, с 2003 года занимается банковской журналистикой.

С 2005 года особое место в его публикациях занимают статистические методы анализа валютных и финансовых рынков. Теме валютного прогнозирования, в первую очередь, прогнозу по курсу доллара США, посвящены многие его статьи, опубликованные в журналах «Валютный спекулянт», «Инвестиционный банкинг» и в ряде других изданий. В этих публикациях обобщаются результаты проведенного автором исследования валютного рынка, предлагаются оптимальные методы прогнозирования по курсам валют с учетом последних достижения современной статистической науки. В 2011 году издательство КНОРУС и Центр Исследований Платежных Систем и Расчетов опубликовали первою его книгу, посвященную валютному прогнозированию – см. Брюков В. Г. «Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews».

С 2009 по 2015 год В. Г. Брюков ежемесячно публиковал прогнозы на портале Банкир.Ру прогнозы по курсам пятнадцати ведущих мировых валют на будущий месяц. Насколько точными при этом были прогнозы, наши читатели могут убедиться сами, посетив на этом сайте рубрику «Валютный рынок». Сотрудничество с этим известным и авторитетным порталом, а также большой интерес, проявленный читателями к книге «Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews», стали для автора важным стимулом, способствовавшим написанию новой книге по валютному прогнозированию.

Глава 1. Как в Excel графическим способом найти тренд

1.1. Строим график валютного курса

Как известно, самая популярная у англоязычных и не только у англоязычных трейдеров пословица: «trend is your friend», что в буквальном переводе означает «тренд – твой друг». Хотя, если исходить из сути этой пословицы, ее лучше перевести немного иначе: «надежный тренд – твой верный дивиденд». Правда, если бы динамика курсов валют определялась бы только трендом, то все бы трейдеры очень быстро стали бы фордами и ротшильдами.

На самом деле, в динамике курса любой валюты можно выделить два важнейших компонента. Во-первых, тренд, направление движения которого можно точно рассчитать с помощью формулы, то есть выяснить, является ли он повышательным, понижательным, либо боковым. Во-вторых, случайные колебания, направление движения которых нельзя рассчитать с помощью формулы, но зато можно определить (с желательным для трейдера уровнем надежности) величину размаха их отклонений от тренда (вверх и вниз) за определенный период торговли на рынке.

Поэтому прогнозировать курс валюты, торгуемой на рынке, следует в три этапа. Во-первых, нужно по найденной формуле тренда рассчитать точечный прогноз по данной валюте. Во-вторых, с учетом наблюдаемого (за определенный период времени) размаха случайных колебаний курса валюты определить ‑ с оптимальным для трейдера уровнем надежности ‑ величину верхнего и нижнего интервалов его отклонений от точечного прогноза. В-третьих, с учетом верхнего и нижнего интервалов отклонений курса валюты от точечного прогноза, составить его интервальный прогноз.

Иначе говоря, процесс прогнозирования курса валюты, по сути, означает вычисление на основе прошлых рыночных данных верхней и нижней границы диапазона его колебаний на дату прогноза. Впрочем, главу 1 мы целиком посвятим проблеме выявления в динамике курса валюты тренда, а к интервальным прогнозам для определения вероятного диапазона тренда и стоп-лоссов и тейк-профитов перейдем позднее ‑ в главах 3 и 4. Но сначала научимся самым простым графическим способом распознавать в Excel тренд курса валюты на основе ее прошлых данных.

С этой целью построим график ежедневных колебаний курса доллара к рублю за период с 30 июня 1992 года до 30 ноября 2014 года. Но прежде нужно загрузить и обработать первичные данные. При этом нужно действовать следующим образом – см. алгоритм №1.

Алгоритм № 1 «Поиск данных, их загрузка и первичная обработка в Microsoft Excel»

Шаг 1. Загрузите данные по ежедневному курсу доллара к рублю ‑ за период с 1 июля 1992 года до 1 декабря 2014 года ‑ на сайте Банка России в разделе «Динамика официального курса заданной валюты». Эти данные представляют собой официальный курс доллара к рублю, который Банк России устанавливает на следующий день исходя из рыночных котировок по итогам утренних торгов на Московской бирже. Шаг 2. Поскольку Банк России объявляет курсы валют на следующий день по итогам торгов сегодня (как правило, до 15 часов московского времени), то в результате возникает необходимость сдвинуть дату итогов котировки валют на день назад.

В этом случае официальные курсы валют будут хронологически отнесены ко дню торгов, по итогам которых они установлены. Следовательно, установленные ЦБ РФ официальные валютные курсы будут лучше коррелировать с фактическими итогами биржевых торгов. Таким образом после сдвига на один день загруженные нами исторические данные по курсу доллара к рублю у нас будут относиться к периоду с 30 июня 1992 года до 30 ноября 2014 года.

Шаг 3. После того как мы скопируем рыночную статистику в файл Excel, данные по курсу доллара к рублю с 30 июня 1992 года по 31 декабря 1997 года необходимо разделить на 1000. Дело в том, что Банк России дает курс рубля за этот период в неденоминированном виде, в то время как после деноминации с 1 января 1998 года у российской валюты исчезли три нуля.

Если эту корректировку не сделать, то данные по курсу доллара к неденоминированному рублю будут несопоставимы с последующими данными. То есть с теми, которые даются Банком России, начиная с 1 января 1998 года, после деноминации рубля. В результате этих преобразований в Excel получится таблица 1.1. (здесь и далее для экономии места мы приводим только начальную и конечную часть исторических данных по курсу доллара, обозначив их пропуск многоточием …).

Таблица 1.1 Курс доллара США к рублю с 30 июня 1992 года до 30 ноября 2014 года

Источник: скорректированные автором данные Банка России

После загрузки и первичной обработки рыночных данных построим график ежедневных колебаний курса доллара к рублю за период с 30 июня 1992 года до 30 ноября 2014 года. Ниже дан алгоритм построения графика.

Алгоритм 2 «Построение графика в Microsoft Excel»

Шаг 1. Выделяем с помощью мышки сразу два столбца ‑ с обозначениями дат дней торговли и с ежедневными данными по курсу доллара к рублю за период с 30 июня 1992 года до 30 ноября 2014 года. Причем, эти столбцы нужно разместить так, как это сделано в таблице 1.1.

Шаг 2. Выбираем в панели инструментов кнопку Вставка (в Excel 2007 года), либо кнопку Мастер диаграмм (в Excel 1997-2003 года), в которой щелкаем левой кнопкой мышки опцию График и в результате получаем следующий график «Курса доллара к рублю» за период с 30 июня 1992 года до 30 ноября 2014 года ‑ см. рис.1.1.

Источник: Банк России

Рис.1.1

Шаг 3. Легенда на этом графике автоматически размещена программой сбоку, но если это нас не устраивает, то нужно сделать следующее. Чтобы добиться лучшего обзора графика щелкаем по диаграмме правой кнопкой мышки и в появившемся диалоговом окне (см. рис.1.2) выбираем опцию ФОРМАТ ЛЕГЕНДЫ, в результате чего появляется окно ФОРМАТ ЛЕГЕНДЫ.

Рис.1.2

В этом окне под надписью ПОЛОЖЕНИЕ ЛЕГЕНДЫ выбираем опцию СНИЗУ (см. рис. 1.3).

Рис.1.3

В результате всех этих действий получаем график «Курса доллара к рублю» за период с 30 июня 1992 года до 30 ноября 2014 года с легендой, размещенной снизу, что улучшает обзор графика ‑ см. рис.1.4.

Источник: Банк России

Рис.1.4

1.2. Ищем на рынке текущий тренд

После того как мы построили график ежедневных колебаний курса доллара к рублю по скорректированным данным за период с 30 июня 1992 года по 30 ноября 2014 года перед нами стоит задача выявить тренд. Естественно, если мы, предположим, планируем начать торговать 1 декабря 2014 года, то нас интересует динамика текущего тренда, который наблюдается на рынке перед началом этих торгов.

Но для этого нужно определить на основе имеющихся прошлых данных: во-первых, дату начала этого тренда, во-вторых, формулу для расчета этого тренда, в-третьих, уровень его устойчивости, в-четвертых, диапазон отклонений колебаний курса валюты от этого тренда. Первые три из этих задач (за исключением проверки статистической значимости, как в целом уравнения для расчета тренда, так и его отдельных членов) будут решены графическим способом в главе 1. А вот решением четвертой задачи, а также расчетом формулы тренда с проверкой статистической значимости, как в целом уравнения тренда, так и его отдельных членов, мы займемся в главах 2 и 3 с помощью метода наименьших квадратов.

Если посмотреть на динамику курса доллара к рублю, представленную на рис. 1.4, то на основе графика нетрудно сделать вывод, что в последнее время на рынке явно наблюдается повышательный тренд. Правда, для того чтобы точнее определить дату начала этого тренда необходимо изменить масштаб графика (так как он имеет слишком крупный масштаб для решения этой задачи), приблизив его к последним рыночным значениям (как по курсу доллара – на оси Y, так и по дням торговли – на оси X). С этой целью установим на оси Y – минимальное значение на уровне 30 рублей, а на оси X – 1 января 2014 года. О том, как это можно сделать в Excel, изложено в алгоритме № 3.

Алгоритм № 3 «Оптимизация масштаба графика в Excel с учетом анализируемых данных»

Шаг 1. Для того чтобы изменить масштаб в уже полученном графике (см. рис. 1.4), надо щелкнуть правой кнопкой мышки по оси Y ‑ «Курс доллара к рублю», в результате чего в Excel появится диалоговое окно ФОРМАТ ОСИ.

Шаг 2. После этого в появившемся окне нужно ‑ ниже названия ПАРАМЕТРЫ ОСИ и левее варианта МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ‑ выбрать опцию ФИКСИРОВАННОЕ, в которой установить число 30. См. заполнение диалогового окна ФОРМАТ ОСИ на рис. 1.5.

Рис.1.5

Шаг 3. На графике (см. рис. 1.4) нужно щелкнуть правой кнопкой мышки по оси X, на которой обозначены дни торговли.

Шаг 4. После того как в Excel появится диалоговое окно ФОРМАТ ОСИ, нужно в этом окне ‑ ниже названия ПАРАМЕТРЫ ОСИ и левее варианта МИНИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ‑ выбрать опцию ФИКСИРОВАННОЕ, в которой установить новую начальную дату – 01.01.2014. См. заполнение диалогового окна ФОРМАТ ОСИ на рис. 1.6.

Рис.1.6

Шаг 5. В результате этих действий у нас изменился масштаб графика колебаний курса доллара к рублю. В связи с тем, что эти изменения приблизили масштаб к значениям курса доллара к рублю за 2014 год, по этому графику стало удобнее найти начало текущего тренда. См. график в новом масштабе на рис. 1.7.

Источник: Банк России

Рис.1.7

Шаг 6. Щелкнув в Excel правой кнопкой мышки по оси Y ‑ «Курс доллара к рублю», в появившемся диалоговом окне выберем опцию ДОБАВИТЬ ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ЛИНИИ СЕТКИ. В результате у нас появилась диаграмма в новом масштабе с промежуточными делениями для значений курса доллара – см. рис. 1.8.

Источник: Банк России

Рис.1.8

Шаг 7. Благодаря появившимся на рис. 1.8 промежуточным делениям легко прийти к выводу, что масштаб графика можно еще больше приблизить к конечным данным, если на оси Y ‑ «Курс доллара к рублю» ‑ вместо 30 рублей (выше этого ранее установленного минимума наблюдается два промежуточных деления, каждое из которых равно 1 рублю) установить минимальное значение на уровне 32 рублей. Сделаем это, используя рекомендации, изложенные в 1-2 шагах данного алгоритма. В результате график приобрел следующий вид – см. рис. 1.9.

Источник: Банк России

Рис. 1.9

Если изобразить на графике любой ряд данных, упорядоченных во времени, то нередко можно заметить, что он имеет тенденцию к постепенному росту или снижению, которую можно описать с помощью формулы линейного тренда. Так, что теперь перед нами стоит задача ‑ построить по графику колебаний курса доллара к рублю линейный тренд.

Но сначала дадим ему определение: линейный тренд ‑ это построенная по определенной формуле прямая линия, показывающая равномерный (то есть с постоянной скоростью) рост или снижение исследуемого показателя (в данном случае курса валюты) в зависимости от времени (даты, порядкового номера года, квартала, месяца, дня и т.д.).

Формула линейного тренда: Y=AX+С

где X – порядковые номера года, квартала, месяца, дня и т.д.;

Y – курс валюты в рублях или иных денежных единицах;

С – исходный уровень (его еще называют константой или свободным членом) или точка пересечения оси Y на графике (в некоторых случаях С может быть равно 0 и тогда можно сказать, что это линейный тренд с нулевым исходным урровнем);

A – коэфициент среднего изменения курса валюты в зависимости от роста порядковые номера года, квартала, месяца, дня и т.д.;

В данном случае у нас показана линейная зависимость роста курса доллара к рублю от величины порядкового номера торгового дня. Графический способ построения линейного тренда изложен в алгоритме № 4.

Алгоритм № 4 «Построение графическим способом линейного тренда в Excel»

Шаг 1. Для построения линейного тренда в Excel в зависимости от номера торгового дня необходимо выделить мышкой только один столбец ‑ столбец с ежедневными данными за период с 1 января до 30 ноября 2014 года. В этом случае Excel автоматически пронумерует все торговые дни в порядке их чередования (начиная 9.01.2014 г. =1 и до 28.11.2014 г.=224).

Шаг 2. Выбираем в панели инструментов кнопку Вставка (в Excel 2007 года), либо кнопку Мастер диаграмм (в Excel 1997-2003 года), в которой щелкаем левой кнопкой мышки опцию График.

Шаг 3. Установим в полученном графике на тех же уровнях установленные ранее (см. алгоритм № 3 «Оптимизация масштаба графика в Excel с учетом анализируемых данных») минимальные значения на оси X и Y, а также добавим на оси Y промежуточные деления. В результате получаем следующий график «Курса доллара к рублю за период с 1 января по 30 ноября 2014 года ‑ см. рис.1.10.

Источник: Банк России

Рис.1.10

Шаг 4. Надо щелкнуть правой кнопкой мышки по графику колебаний курса доллара и в появившемся диалоговом окне выбрать опцию ДОБАВИТЬ ЛИНИЮ ТРЕНДА.

Шаг 5. В появившемся после этого диалоговом окне ФОРМАТ ЛИНИИ ТРЕНДА нужно ниже названия ПАРАМЕТРЫ ЛИНИИ ТРЕНДА выбрать опцию ЛИНЕЙНАЯ. Кроме того, в самом низу диалогового окна надо выбрать дополнительные опции ПОКАЗЫВАТЬ УРАВНЕНИЕ НА ДИАГРАММЕ и ПОМЕСТИТЬ НА ДИАГРАММУ ВЕЛИЧИНУ ДОСТОВЕРНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ (R^2). (Для тех, кто не знает, знак ^ означает возведение в степень). Образец заполнения окна ФОРМАТ ЛИНИИ ТРЕНДА ‑ см. рис. 1.11.

Рис. 1.11

Шаг 6. В результате у нас появится следующий график с линейным трендом ‑ см. рис. 1.12. Формула тренда Y = 0,0394X + 32,509 означает, что при увеличении порядкового номера торгового дня X на одну единицу величина курса доллара в период с 9.01.2014 г. по 30.11. 2014 г. в среднем вырастала на 3,94 копейки при исходном уровне (то есть перед началом торгов 9.01.2014 г.), равном 32,509 рублей.

Шаг 7. При этом величина достоверности аппроксимации R2, показанная на этом графике, в статистической литературе называется коэффициентом детерминации. В данном случае на графике на рис. 1.12 указана величина достоверности аппроксимации R2=0,5381. А это означает, что этот линейный тренд объясняет лишь 53,81 % всей динамики курса доллара к рублю, то есть в данном случае это довольно низкий уровень коэффициента детерминации.

Источник: Банк России

Рис. 1.12

Величина коэффициента детерминации R2 является одним из важнейших критериев при оценке качества уравнения регрессии. Так, при выборе из нескольких уравнений регрессии предпочтение (при прочих равных условиях) отдается тому, у которого коэффициент детерминации R2 ближе к 1. И это вполне понятно: чем выше коэффициент детерминации у данного уравнения регрессии, тем выше у него уровень аппроксимации и соответственно ниже доля необъясненной динамики зависимой переменной.

Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем теснее связь между переменными, включенными в уравнение регрессии. В общем же случае, коэффициент детерминации не может быть выше 1 или 100%, но тогда можно будет сделать вывод, что в динамике линейного тренда нет случайной компоненты, чего в колебаниях курсов валют никогда не бывает. В этом случае говорят, что между переменными существует функциональная связь. Для целей прогнозирования, на наш взгляд, желательно использовать линейный тренд с коэффициентом детерминации не ниже R2=0,80, а лучше, когда он выше.

В связи с тем, что на рис. 1.12 у нас получился линейный тренд с низким коэффициентом детерминации, перед нами стоит задача – построить более устойчивый тренд с коэффициентом детерминации R2=0,80 и выше. Как это сделать ‑ см. алгоритм № 5.

Алгоритм № 5 «Поиск и построение графическим способом линейного тренда с высоким коэффициентом детерминации»

Шаг 1. На рис. 1.12 нетрудно увидеть, что в левой своей части график курса доллара к рублю сначала растет, а затем в средней своей части снижается. В то время как для линейного тренда характерен, либо постоянный рост, либо постоянное снижение. Поэтому можно предположить, что текущий (перед торгами 1 декабря 2014 года) тренд должен начинаться с локального минимума, расположенного в середине графика.

Шаг 2. Чтобы найти в середине графика локальный минимум нужно подсчитать, насколько промежуточных делений он выше минимального значения курса доллара = 32 рублей, установленного на оси Y. На рис. 1.12 хорошо видно, что локальный минимум в середине графика находится выше 32 рублей в диапазоне одного-двух промежуточных делений, Следовательно, локальный минимум в середине графика нужно искать в диапазоне 33-34 рублей.

Шаг 3. Теперь попробуем точно определить торговый день, по итогам торгов которого в середине графика наблюдался локальный минимум. С этой целью установим на оси Y минимальные и максимальные значения по курсу доллара, соответственно, на уровне 33,00 и 34,00. Причем, действовать в этом случае нужно так же, как и при выполнении 1-2 шагов алгоритма № 3 «Оптимизация масштаба графика в Excel с учетом анализируемых данных». Плюс при заполнении диалогового окна ФОРМАТ ОСИ (см. рис. 1.5.) нужно также установить еще и максимальное значение. В результате график колебаний курса доллара к рублю приобретет следующий вид – см. рис. 1.13.

Источник: Банк России

Рис. 1.13.

Шаг 4. Щелкнем левой кнопкой мышки по самой низкой точки, расположенной в середине графика (см. рис. 1.13), а затем, наведем на эту точку курсор. В результате под стрелкой курсора высветится надпись «Ряд «Курс доллара к рублю за период с 1 января по 30 ноя…»Точка 116 Значение 33,6306» ‑ см. рис. 1.14. Из этой надписи нетрудно сделать вывод, что в середине графика именно торговый день №116, по итогам торгов которого курс доллара равнялся 33,6306 рублям, является точкой локального минимума. Поэтому этот день возьмем в качестве начального пункта нового тренда, который, как мы ожидаем, будет иметь более высокий коэффициент детерминации.

Рис. 1.14.

Шаг 5. Для того чтобы определить дату торгового дня с №116 достаточно построить таблицу по курсу доллара к рублю с параллельными датами и порядковыми номерами торговых дней – см. таблица 1.2. Из этой таблицы легко сделать вывод, локальный минимум, зафиксированный по итогам торгового дня с №116, приходится на 27 июня 2014 года (этот день в таблице выделен жирным шрифтом), то есть именно эта дата станет исходным пунктом для нового тренда.

Таблица 1.2. Курс доллара к рублю с 1 января по 30 ноября 2014 года с параллельными датами и порядковыми номерами торговых дней.

Источник: скорректированные автором данные Банка России

Шаг 6. Для того чтобы построить новый, хотя и более короткий тренд, но с высоким коэффициентом детерминации необходимо выделить мышкой столбец с ежедневными данными за период с 27 июня по 28 ноября 2014 года. Столбец с датами при этом не выделяем.

Шаг 7. Воспользуемся шагами 1-3 алгоритма № 4 «Построение графическим способом линейного тренда в Excel» для построения графика курса доллара к рублю за период с 27 июня по 28 ноября 2014 года. При этом на оси Y установим минимальное значение по курсу доллара на уровне 33 рублей – см. 1-2 шаги алгоритма № 3 «Оптимизация масштаба графика в Excel с учетом анализируемых данных». В результате у нас получился следующий график ‑ см. рис. 1.15.

Источник: Банк России

Рис. 1.15.

Шаг 8. Для построения линейного тренда в Excel по графику курса доллара к рублю за период с 27 июня по 28 ноября 2014 года в зависимости от номера торгового дня (начиная 27.06.2014 г. =1 и до 28.11.2014. г.=109) нужно воспользоваться 4-5 шагами алгоритма № 4 «Построение графическим способом линейного тренда в Excel». В результате у нас появится следующий график с линейным трендом ‑ см. рис. 1.16.

Источник: Банк России

Рис. 1.16.

Судя по рис. 1.16, у этого тренда величина достоверности аппроксимации R2 =0,8933. Таким образом данный линейный тренд объясняет 89,33 % всех колебаний курса доллара к рублю, то есть это достаточно высокий уровень коэффициента детерминации. Следовательно, мы справились с задачей – найти линейный тренд, который лучше подходит для прогнозирования в биржевой торговле. Как я уже говорил, для целей прогнозирования, на наш взгляд, желательно использовать линейный тренд с коэффициентом детерминации не ниже R2=0,80.

Формула этого тренда Y = 0,1231X + 32,101 означает, что при увеличении номера торгового дня X на одну единицу (то есть с каждым последующим торговым днем) величина курса доллара Y в период с 27.06.2014 г. по 28.11. 2014 г. в среднем вырастала на 12,31 копейки при исходном уровне (то есть перед началом торгов 27.06.2014 г.), равном 32,101 рублей.

Таким образом в главе 1 мы научились в Excel:

Строить график с данными по курсу валюты.

Оптимизации масштаба графика курса валюты с учетом значений анализируемых данных.

Построению графическим способом линейного тренда.

Поиску и построению графическим способом линейного тренда с высоким коэффициентом детерминации.

1.3. Работа над закреплением пройденного материала

С учетом полученной в этой главе информации предлагаю читателю проверить свои знания, решив следующие два задания. При этом нужно исходить, что выявление линейного тренда нам потребуется для участия в торгах 1 декабря 2014 года.

Задание 1.1

Шаг 1. Теперь нам нужны исходные данные по паре ‑ евро/рубль за период с 1 июля 1992 года по 1 декабря 2014 года. При этом с 1 июля 1992 года и до конца 1998 года будем использовать вместо евро его предшественницу ‑ ЭКЮ, которую в еврозоне в начале 1999 года обменяли к новой единой европейской валюте исходя из соотношения 1 евро=1 ЭКЮ. Данные по курсу евро и ЭКЮ нужно скачать на сайте Банка России в разделе «Динамика официального курса заданной валюты».

Шаг 2. Проведите первичную обработку данных для дальнейшей с ними работы, как мы ранее это делали по курсу доллара к рублю. То есть нужно сдвинуть дату итогов котировки валютной пары на один день назад. Кроме того, данные по курсу евро (а точнее говоря по курсу ЭКЮ) к рублю с 30 июня 1992 года по 31 декабря 1997 года необходимо разделить на 1000. Поскольку Банк России дает курс рубля за этот период в неденоминированном виде.

Шаг 3. Постройте график с данными по курсу евро к рублю.

Шаг 4. Проведите оптимизацию масштаба графика курсу евро к рублю с учетом значений анализируемых данных перед началом торгов 1 декабря 2014 года.

Шаг 5. Постройте графическим способом линейный тренд по курсу евро к рублю.

Шаг 6. Найдите и постройте графическим способом линейный тренд с высоким коэффициентом детерминации по курсу евро к рублю.

Задание 1.2

Шаг 1. Для выполнения этого задания нам нужны данные по паре ‑ евро/доллар за период с 1 июля 1992 года по 1 декабря 2014 года. Как мы уже говорили, с 1 июля 1992 года по конец 1998 года вместо евро нами будут использоваться данные по курсу ЭКЮ, исходя из соотношения 1 евро=1 ЭКЮ.

Шаг 2. На сайте Банка России нет данных по паре евро/доллар. Поэтому для того, чтобы получить курс евро к доллару необходимо взять за весь период данные по курсу евро к рублю (с 1 июля 1992 и до конца 1998 года нужно взять данные по курсу ЭКЮ к рублю) и по курсу доллара к рублю, а затем поделить первые на вторые. Например, на 29 ноября 2014 года курс евро к доллару находим таким образом: (EUR/RUB)/(USD/RUB)=EUR/USD=61,4108/49,3220= 1,2451 долл.

Аналогичные вычисления в Excel делаем по всем датам, относящимся к периоду с 1 июля 1992 года по 1 декабря 2014 года.

Шаг 3. Проведите первичную обработку данных для дальнейшей работы с ними. Правда, при этом потребуется только сдвинуть дату итогов котировки валютной пары на один день назад. А вот делить на 1000 полученные данные не нужно, поскольку в результате деления курса евро к рублю и курса доллара к рублю эффект деноминации российской валюты в полученных данных исчезает.

Шаг 4. Постройте график с данными по курсу евро к доллару.

Шаг 5. Проведите оптимизацию масштаба графика курсу евро к доллару с учетом значений анализируемых данных перед началом торгов 1 декабря 2014 года.

Шаг 6. Постройте графическим способом линейный тренд по курсу евро к доллару.

Шаг 7. Найдите и постройте графическим способом линейный тренд с высоким коэффициентом детерминации по курсу евро к доллару .

Глава 2. Как в Excel решить однофакторное уравнение регрессии для линейного тренда

2.1. Решаем уравнение регрессии

В первой главе мы научились графическим способом находить линейный тренд с высоким коэффициентом детерминации R2, величина которого говорит об уровне его устойчивости. Впрочем, надо иметь в виду: даже при самом высоком коэффициенте R2 тренд в силу различных причин может в любую минуту смениться. И к этому нужно быть всегда готовым – об этом мы поговорим в главе 4.

А в главе 2 остановимся на расчете формулы и других параметров линейного тренда с помощью однофакторного уравнения регрессии. Для справки замечу, что в теории вероятностей и математической статистике регрессия (лат. regressio – обратное движение, отход) представляет собой зависимость среднего значения какой-либо переменной Y от другой независимой переменной X или нескольких независимых переменных.

В отличие от чисто функциональной зависимости, когда каждому значению независимой переменной X соответствует одно определённое значение зависимой (результативной) величины Y, при регрессионной связи одному и тому же значению независимой X могут соответствовать – из-за воздействия случайной компоненты ‑ различные значения зависимой (результативной) переменной Y.

В качестве метода аппроксимации (подгонки) в уравнении регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК), минимизирующий сумму квадратов отклонений курса валюты Y от его предсказываемых значений Yрасчет, рассчитанных по определенной формуле. Причем, используя в главе 1 графический способ поиска линейного тренда, мы также применяли МНК, но без вывода данных, которые программа Excel в этом случае не дает. В связи с этим графический способ не позволяет пользователю программы оценить статистическую значимость, как в целом уравнения регрессии, так и отдельных его членов.

По сравнению с графическим способом, преимуществом которого является его наглядность, решение уравнения регрессии в Excel позволяет не только найти уравнение тренда, но и с помощью тестов проверить не только его статистическую значимость в общем виде, но и отдельных включенных в уравнение переменных.

Как мы уже говорили, динамика курса валюты представляет собой упорядоченный во времени ряд, имеющий не только тренд, но и случайную компоненту. Поэтому в качестве метода оценки параметров тренда, как правило, используют уравнение регрессии. При этом задачей регрессионного анализа является определение математической формулы, которая аппроксимирует (подгоняет) динамику зависимой (результативной) переменной Y (курс доллара к рублю или другой валюты) от соответствующего изменения независимой переменной X (порядкового номера года, квартала, месяца, торгового дня и т.д.). При этом методом этой «подгонки» является метод наименьших квадратов.

Посмотрим, как можно найти линейную форму зависимости переменной Y от независимой переменной X, которую можно найти, решив однофакторное линейное уравнение регрессии.

Алгоритм № 6. «Как решить уравнение регрессии в Excel»

Шаг 1. В файле Excel в ячейках $A$1:$C$110 размещается таблица. Во-первых, с данными по курсу доллара к рублю (в ячейках $ C$1:$C$110) за период 27.07.2014 г. по 28.11.2014 г. В этот период, как мы выяснили в главе 1, наблюдался тренд с высоким коэффициентом детерминации. Во-вторых, с датами торгов (в ячейках $A$1:$A$110) и порядковыми номерами торговых дней (в ячейках $B$1:$B$110), начиная с 27 июня 2014 года = 1 – см. таблицу 2.1. Причем, даты торгов представлены в таблице 2.1 только для справки, чтобы мы могли их соотнести с порядковыми номерами торговых дней.

Таблица 2.1 Исходные данные по курсу доллара к рублю и порядковыми номерами торговых дней

Источник: расчеты автора и данные Банка России

Шаг 2. Сначала в Microsoft Excel 2007 года в верхней панели инструментов выбирается опция Данные (в Microsoft Excel 1997-2003 года нужно выбрать опцию Сервис), потом в появившемся диалоговом окне Анализ данных ‑ опцию Регрессия. После этого появляется новое диалоговое окно ‑ Регрессия (См. ‑ рис. 2.1), в котором в графе Входной интервал y выделяем с помощью мышки столбец данных «Курс доллара к рублю» (ячейки $C$1:$C$110).

Здесь же в графе Входной интервал Х» выделяем столбец данных «Порядковый номер торгового дня» (ячейки $B$1:$B$110). Таким образом курс доллара к рублю используется в этом уравнении регрессии как зависимая переменная y, а порядковые номера торговых дней ‑ как независимая переменная Х.

Шаг 3. Если бы мы хотели получить уравнение регрессии без свободного члена (то есть приравняли бы его нулю), который в формуле линейного тренда: Y=AX+С обозначен символом С и обозначает в уравнении исходный уровень тренда или точку его пересечения с осью Y на графике, то тогда нам следовало бы выбрать еще и опцию КОНСТАНТА-НОЛЬ. В этом случае начальной точкой пересечения графика линейного тренда с осью Y будет ноль. Однако необходимость в использовании этой опции обычно возникает в том случае, когда после решения уравнения регрессии со свободным членом выясняется, что исходный уровень тренда С является статистически незначимым.

Замечу также, что при решении уравнения регрессии количество наблюдений всегда должно быть в 6-7 раз больше числа включенных в него независимых переменных. В данном случае у нас в уравнении регрессии независимая переменная X только одна. Следовательно, как минимум нужны данные по торгам за 6-7 торговых дней, но по факту у нас учтены данные по 109 наблюдениям, то есть это требование в этом случае с избытком «перевыполнено».

Шаг 4. Далее выбираем опцию Остатки, поскольку она нам нужна, чтобы в выходных данных содержалась информация об отклонении расчетных (вычисленных по уравнению регрессии) значений курса доллара Yрасчет от его фактического курса y. При этом остаток для каждого наблюдения (торгового дня) находится путем вычитания из фактического курса доллара его расчетного значения на этот торговый день.

Шаг 5. Опцию МЕТКИ применяют для того, чтобы переменные, включенные в уравнение регрессии, в выводе итогов были обозначены в виде заголовков соответствующих столбцов.

Шаг 6. По умолчанию оценка в Excel параметров уравнения регрессии делается с 95% уровнем надежности. Но в случае необходимости в опции Уровень надежности можно поставить цифру 99, что означает задание для программы оценить коэффициенты регрессии с 99% уровнем надежности. В результате в выводе итогов мы получим данные, характеризующие как в целом уравнение регрессии, так и верхние и нижние интервальные оценки коэффициентов данного уравнения с 95% и 99 % уровнями надежности. При 95% уровне надежности существует риск, что в 5 % случаях оценки коэффициентов уравнения регрессии могут оказаться неточными, а при 99% уровне надежности этот риск равен 1%.

Шаг 7. Вывод итогов. На заключительном этапе выбираем в параметрах вывода (окно РЕГРЕСССИЯ) опцию выходной интервал, в которой указываем соответствующую ячейку Excel ($H$1), далее щелкаем по надписи ОК и получаем ВЫВОД ИТОГОВ (см. рис 2.1, где можно увидеть все заданные нами параметры уравнения регрессии). В случае необходимости вывод итогов можно получить на отдельном листе (см. опцию НОВЫЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ) или в новой книге Excel (см. опцию НОВАЯ РАБОЧАЯ КНИГА).

В окончательном виде заполненное нами диалоговое окно РЕГРЕСССИЯ приобретет следующий вид – см. рис. 2.1. После чего щелкаем левой кнопкой мышкой по надписи ОК в этом окне и получаем вывод данных.

Рис. 2.1

2.2. Вывод итогов и оценка параметров уравнения регрессии

Результаты решения уравнения регрессии, которые в программе Excel даются в виде единой таблицы под заголовком ВЫВОД ИТОГОВ, у нас представлены в виде четырех блоков (см. таблицы 2.2,2.3, 2.4 и 2.5). Так, в таблице 2.2 сгенерированы результаты по регрессионной статистике; в таблице 2.3 дается дисперсионный анализ; в таблице 2.4 оценивается статистическая значимость коэффициентов регрессии; а в таблице 2.5 даются найденные по данному уравнению регрессии расчетные значения курса доллара yрасчет и остатки.

Будем знакомиться с этими таблицами по раздельности, но при этом, чтобы не потонуть в потоке информации будем обращать внимание только на наиболее важные для прогнозирования параметры вывода данных (выделены жирным шрифтом). Более подробно о параметрах вывода данных по итогам решения уравнения регрессии можно прочитать в моей книге ‑ «Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews», ‑ стр. 22-40.

В таблице 2.2. следует обратить внимание на параметры R-квадрат и Нормированного R-квадрата. R-квадрат или R2, о котором мы уже говорили в главе 1, называется коэффициентом детерминации. Как мы уже знаем, что он дается на диаграмме в случае построения тренда графическом способе. Нормированный R-квадрат в статистической литературе иногда называют еще и скорректированным коэффициентом детерминации.

Параметры, представленные в таблице 2.2, оценивают уровень аппроксимации фактических данных, полученный с помощью данного уравнения регрессии. Так, здесь R2=0,8933, а это означает, что линейный тренд объясняет 89,33 % всей динамики курса доллара к рублю, то есть в данном случае мы получили довольно высокий уровень коэффициента детерминации.

Можно также сказать несколько иначе: в данном уравнении тренда изменения независимой переменной «Порядковый номер торгового дня» на 89,33 % объясняет динамику зависимой переменной «Курс доллара к рублю». Кстати, при графическом способе решения уравнения тренда – по тем же рыночным данным и за тот же период времени – величина коэффициента детерминации R2 также оказалась равна 0,8933 – см. рис. 1.20.

Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем теснее связь между переменными, включенными в уравнение регрессии. Как я уже говорил, для целей торговли, нужно использовать линейный тренд с коэффициентом детерминации не ниже R2=0,80.

Когда максимальное значение коэффициента детерминации равно 1, то в этом случае можно сказать, что динамика зависимой переменной на 100% объясняется изменением независимой переменной. В этом случае также говорят, что между переменными существует функциональная связь. Это будет означать, что в динамике тренда нет случайной компоненты, но, вполне очевидно, что на практике этого в колебаниях курсов валют никогда не бывает.

Нормированный R2 имеет смысл использовать, когда нам придется сравнивать уравнения регрессии с различным количеством включенных в него независимых переменных. Дело в том, что при добавлении в уравнении регрессии независимых переменных величина коэффициента детерминации R2 соответственно растет. Поэтому для того чтобы сделать сравнения коэффициентов детерминации между уравнениями регрессии с разным числом факторов сопоставимыми, используется нормированный (скорректированный) R2, величина которого корректируется в сторону уменьшения при добавлении в уравнение дополнительных факторов. При прочих равных условиях предпочтение будем отдавать тому уравнению, в котором нормированный R2 будет выше.

Еще один параметр в таблице 2.2. Наблюдения=109 говорит о том, что в данное уравнение регрессии получено на основе данных по итогам торгов за 109 торговых дней.

Таблица 2.2. Регрессионная статистика

Источник: расчеты автора

В таблице 2.3 дается дисперсионный анализ (от лат. dispersio, что в переводе означает разброс, рассеяние), суть которого заключается в изучении влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую результативную переменную. В данном случае дается анализ изменения результативного признака «Курс доллара к рублю» под воздействием включенной в уравнение регрессии одной независимой переменной – «Порядковый номер торгового дня». Здесь в столбце значимость F дается уровень статистической значимости в целом уравнения регрессии.

Следует иметь в виду, что чем ближе значимость F к нулю, тем более обоснованным будет наш вывод о статистической значимости в целом всего уравнения регрессии. Причем, если значимость F меньше 0,01, то можно говорить о статистической значимости уравнения регрессии с 1% значимостью (или 99% уровнем надежности). Если значимость F больше 0,01, но меньше 0,05, то тогда говорят о статистической значимости уравнения регрессии с 5% значимостью (или 95% уровнем надежности).

Таблица 2.3. Дисперсионный анализ

Источник: расчеты автора

Правда, значимость F-критерия в данном случае дается Excel в экспоненциальном виде, который может быть непонятен для некоторых неискушенных в математике читателей. Для тех, кто хочет разобраться, хочу заметить, что число в экспоненциальном виде легко преобразовать в обычную цифру. Например, 1,60E+04=1*10^4=16000, а 1,60E-04 = 1*(1/10^4)=0,00016. При этом E+04 в данном случае означает умножение 1,60 на 104, а E-04 означает умножение 1,60 на 10-4 или (что одно и то же) умножение 1,60 на 1/104.

Тот, кто не хочет ломать голову над числом в экспоненциальном виде, может эту проблему решить, преобразовав формат данной ячейки с экспоненциального в числовой. С этой целью наведем курсор мышки на эту ячейку, и, щелкнув ее правой кнопкой, в появившемся диалоговом окне выберем опцию ФОРМАТ ЯЧЕЕК. После этого появится диалоговое окно ФОРМАТ ЯЧЕЕК, в котором нужно выбрать опцию ЧИСЛОВОЙ – см. рис. 2.2. В результате нам удастся выяснить, что значимость F=0,00. Следовательно, в данном случае значимость F меньше 0,01, то есть можно сделать вывод, об 1% статистической значимости этого уравнения регрессии с (или 99% уровнем надежности). Хочу обратить внимание читателей, что для большей надежности для целей прогнозирования лучше использовать уравнения регрессии со значимостью F меньше 0,01.

Рис. 2.2

В таблице 2.4 представлены коэффициенты уравнения регрессии и оценки их статистической значимости. При этом в разделе Коэффициенты цифра 32,10052 слева от Y-ПЕРЕСЕЧЕНИЕ в формуле линейного тренда: Y=AX+С обозначает исходный уровень (его также называют свободный член или константа), то есть дает числовое значение буквы С. А вот коэффициент 0,123085 слева от независимой переменной «Порядковый номер торгового дня» дает числовое значение буквы A в формуле линейного тренда.

Следовательно, в результате решения в Excel уравнения регрессии нами получена следующая формула для расчета линейного тренда (числовые значения после запятой округлены до четырех знаков):

Y = 0,1231X + 32,1005

Где: Y‑ курс доллара к рублю по итогам торгового дня, а X – порядковый номер торгового дня.

Интерпретация данного уравнения регрессии следующая: с каждым торговым днем (увеличением номера торгового дня X на одну единицу) величина курса доллара Y за период с 27 июня по 28 ноября 2014 года в среднем вырастала на 12,31 копейки при исходном уровне, то есть расчетном значении курса доллара к рублю перед началом торгов 27 июня 2014 года, равном 31,1005 рублей.

Заметим, что такую же формулу мы получили и графическим способом – см. рис. 1.16, поскольку при графической аппроксимации колебаний независимой переменной трендом также используется МНК.

Особое внимание следует обратить на столбец Р-ЗНАЧЕНИЕ, в котором сгенерированы уровни значимости, соответствующие вычисленным в предыдущем столбце значениям t-статистики. Причем, если Р-значение меньше 0,01, то можно говорить о статистической значимости соответствующего члена уравнения регрессии с 1% значимостью (или 99% уровнем надежности). Если Р-значение больше 0,01, но меньше 0,05, то тогда говорят о статистической значимости соответствующего члена уравнения регрессии с 5% значимостью (или 95% уровнем надежности). Для большей надежности лучше для целей прогнозирования использовать члены уравнения регрессии с Р-значением меньше 0,01.

В таблице 2.3 оба Р-значения даются Excel в экспоненциальной форме, но мы уже знаем, как их можно преобразовать в числовой формат. В результате выясним, что оба Р-значения равны 0,00. Отсюда легко сделать вывод, что коэффициенты A и С в формуле линейного тренда имеют 1% статистическую значимостью (или 99% уровень надежности).

В таблице 2.3 нужно также обратить внимание на столбцы Нижние 95% и 99% и Верхние 95% и 99%, которые показывают соответственно нижние и верхние интервалы значений коэффициентов при 95% и 99 % уровнях надежности, заданных пользователем Excel. Причем, если при переходе того или иного коэффициента от столбца Нижние к столбцу Верхние происходит смена знака от минуса к плюсу или наоборот, данный коэффициент считают статистически незначимым для данного уровня надежности. Вполне очевидно, что в практических расчетах столь неоднозначно изменяющийся коэффициент уравнения, который может быть как положительным, так и отрицательным, либо даже равен 0, нельзя использовать.

Таблица 2.4. Коэффициенты уравнения регрессии и оценки их статистической значимости

Источник: расчеты автора

Как мы уже говорили ранее, уравнение регрессии в отличие от обычных уравнений, оценивающих функциональную, т. е. жестко детерминированную связь между переменными, дает прогноз зависимой (результативной) переменной с учетом воздействия случайного фактора, поэтому фактические значения результативного признака практически всегда отличаются от его расчетных (теоретических) значений. Далее покажем, как находится для каждого наблюдения (торгового дня) величина случайной компоненты, то есть остатка.

В таблице 2.5 даются найденные по данному уравнению регрессии расчетные значения курса доллара yрасчет (см. раздел Предсказанное Курс доллара к рублю и остатки (см. раздел Остатки). Расчетный курс доллара к рублю вычисляется для торгового дня №1 по уже найденной нами формуле:

Y расчет = 0,1231X + 32,1005=0,1231*1+ 32,1005=32,2236

Таким образом для наблюдения 1, то есть для торгового дня с порядковым №1 (27 июня 2014 года) расчетный курс доллара к рублю оказался равен 32,2236 рублям.

При этом остаток для каждого наблюдения (торгового дня) находится путем вычитания из фактического курса доллара его расчетного значения на этот торговый день. Так, фактический курс доллара для торгового дня № 1 равен 33,6306 рублей. Тогда остаток для этого наблюдения равен:

Остаток для наблюдения 1 = 33,6306-32,2236=1,4070 рублей.

Таблица 2.5. Вывод остатка

Источник: расчеты автора

Теперь нам нужно оценить относительную точность уравнения регрессии с учетом величины полученных остатков. С этой целью построим таблицу 2.6, в которую возьмем данные из таблицы 2.5. Плюс правее раздела «Наблюдение» добавим в новую таблицу раздел «Фактический курс доллара к рублю». Кроме того, для последующих расчетов в таблицу 2.6 добавим правее раздела «Остатки» еще разделы «Остатки по модулю» и «Средняя ошибка аппроксимации, в %».

«Остатки по модулю» в Excel легко найти с помощью функции ABS. Сделать это можно двумя способами.

Первый способ. В пустой ячейке (ячейка D2), расположенной в первом ряду под заголовком столбца «Остатки по модулю» (ячейка C2), нужно напечатать английскими буквами = ABS. Сразу всплывет подсказка этой функции, которую нужно щелкнуть левой кнопкой мышки, а затем навести курсор на ячейку с остатком для наблюдения 1 и закрыть скобку этой функции. Таким образом получим следующий результат: ABS(1,4070)= 1,4070, то есть «Остаток по модулю» для наблюдения 1 равен 1,4070.

Второй способ. Нужно навести курсор на ту же пустую ячейку (ячейка D2). Потом надо щелкнуть левой кнопкой мышки иконку ФОРМУЛЫ, расположенную вверху рабочего листа Excel, а затем щелкнуть появившуюся иконку Fx. После этого на экране возникнет диалоговое окно МАСТЕР ФУНКЦИЙ, в котором внизу надписи ВЫБЕРИТЕ ФУНКЦИЮ: остается только выбрать функцию ABS ‑ см. рис. 2.3.

Рис.2.3

В результате появится окно АРГУМЕНТЫ ФУНКЦИИ ABS – см. рис. 2.4. Сразу после этого надо навести курсор мышки на ячейку с численным значением остатка для наблюдения 1 (ячейка D2), равное 1,4070. Это нам, как и при первом способе работы с функцией, позволит получить тот же результат ABS(1,4070)= 1,4070.

Рис. 2.4

Далее, перемещая курсор мышки вниз по столбцу «Остатки по модулю» (ячейки D2:D110), найдем с помощью функции ABS остатки по модулю для всех остальных 109 наблюдений – см. таблицу 2.6. Прежде чем тянуть курсор мышки вниз, нужно сначала его навести на правый угол ячейки C35 и при этом убедиться, что он приобрел форму черного крестика.

Для тех, кто не силен в математике, скажу, что функция ABS, меняя знак у отрицательных остатков, у положительных остатков его не меняет. Например, отрицательный «Остаток по модулю» для наблюдения 105 становится положительным: ABS(-0,2392)= 0,2392. Если же суммировать все остатки, не беря их по модулю, то сумма их отрицательных и положительных значений будет взаимно погашаться и будет равна нулю для уравнений регрессии со свободным членом, а без свободного члена – близка к нулю. Все это не позволяет найти среднюю ошибку аппроксимации без преобразования остатков по модулю.

Чтобы найти среднюю ошибку аппроксимации (в %) для каждого наблюдения надо относящийся к нему «Остаток по модулю» поделить на «Фактический курс доллара к рублю», а полученный результат умножить на 100. Так, для наблюдения 1, «Средняя ошибка аппроксимации»= 1,4070/33,6306*100=4,2%.

После того как мы найдем для всех наблюдений средние ошибки аппроксимации, их нужно сложить. В результате получим итоговую сумму = 311,1– см. таблицу 2.6. Потом эту сумму нужно поделить на общее количество наблюдений, то есть в данном случае на 109.

В результате выясним, что средняя ошибка аппроксимации равна 2,9%. Для справки замечу, что в статистической литературе рекомендуется делать прогнозы по статистическим моделям лишь в том случае, если средняя ошибка аппроксимации у них не превышает 7%-10%.

Таблица 2.6. Оценка средней ошибки аппроксимации, в %

Источник: расчеты автора и данные Банка России

2.3. Тестируем автокорреляцию в остатках

Однако прежде чем использовать данное уравнение регрессии для прогнозирования курса доллара к рублю нужно посмотреть – нет ли автокорреляции в остатках. Автокорреляция в остатках – это наличие статистической связи между значениями полученных остатков со сдвигом (лагом или отставанием), например, в один день (или любой другой отрезок времени). При наличии автокорреляции каждый последующий остаток зависит от предшествующего.

Например, при наличии автокорреляции со сдвигом (лагом) в один период времени (в данном случае в один торговый день) величина остатка наблюдения 1 влияет на величину остатка наблюдения 2, а величина последнего ‑ на величину остатка в наблюдении 3 … И так далее.

Выявить автокорреляцию в остатках можно: либо с помощью критерия Дарбина-Уотсона (см. подробности – стр. 436-442, в Эконометрика: Учебник/И.И.Елисеевой, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; Под. ред. И.И.Елисеевой. ‑ 2-е изд., перераб. и доп. – М.; Финансы и статистика, 2006), либо построив точечный график остатков с определенным лагом (отставанием).

Критерия Дарбина-Уотсона нельзя применять для моделей авторегрессии, то есть для уравнений, в которых результативная переменная зависит от своей лаговой переменной. Кроме того графический способ выявления автокорреляции в остатках, на наш взгляд, более проще, поэтому остановимся на последнем. Поскольку мы планируем делать прогнозы с прогнозируемым горизонтом в один день (при большем горизонте точность их снижается), то, следовательно, нам нужно посмотреть – нет ли автокорреляции в остатках с лагом в один торговый день. С этой целью мы построим таблицу 2.7, в которой будет 108, а не 109 наблюдений, так как одно наблюдение мы потеряли после создания лаговой переменной.

Таблица 2.7. Тестирование на автокорреляцию в остатках однофакторного уравнения регрессии

Источник: расчеты автора

На основе данных этой таблицы и используя алгоритм № 2 «Построение графика в Microsoft Excel» можно построить график зависимости «Остатков» от «Остатков с лагом в один торговый день». Правда, в шаге 2 алгоритма № 2 после выбора в панели инструментов кнопки Вставка (в Excel 2007 года), либо кнопки Мастер диаграмм (в Excel 1997-2003 года), нужно щелкнуть левой кнопкой мышки не опцию График (подходит к анализу зависимости результативной переменной от независимой переменной ‑ время), а опцию ТОЧЕЧНЫЙ (подходит к анализу зависимости результативной переменной от независимой переменной, не обозначающей время).

В результате получим следующий график зависимости «Остатков» от «Остатков с лагом в один торговый день»‑ см. рис.2.5. Судя по тому, что точки на графике растут слева направо, можно сделать вывод о наличии положительной автокорреляции в остатках.

Рис. 2.5

В том случае, когда точки на графике снижаются слева направо, можно сделать вывод о наличии отрицательной автокорреляции в остатках – см. рис. 2.6.. Бывают и другие формы автокорреляционной зависимости, но на них мы не будем останавливаться.

Рис. 2.6

Если же на графике остатков налицо круговой разброс точек в хаотичном порядке, то тогда можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции или ее близости к нулю – см. рис. 2.7.

Рис. 2.7

Используя алгоритм № 6 «Как решить уравнение регрессии в Excel» можно решить уравнение регрессии с этими двумя переменными. При этом выяснится, что свободный член (исходный уровень) в этом уравнении регрессии окажется статистически незначимым.

Поэтому мы решим его без свободного члена, а затем, воспользовавшись алгоритмом № 4 «Построение графическим способом линейного тренда в Excel», получим следующий график с построенным по нему трендом ‑ см. рис.2.8. Исходя из полученного уравнения регрессии Y = 0,9398X, можно сделать вывод, что рост «Остатков с лагом в один день» на 1 рубль приводил к увеличению «Остатков» в среднем на 93,98 коп. При этом коэффициент детерминации R² = 0,8261 говорит о том, что динамика «Остатков» на 82,61% объясняется колебаниями «Остатков с лагом в один день».

Рис. 2.8

Таким образом в главе 2 мы научились решать однофакторное уравнение регрессии, а также тестировать его статистическую значимость и значимость каждого из его членов. Вместе с тем в остатках, полученных после однофакторного уравнения регрессии, выявлена автокорреляция, что не дает нам возможность использовать его в прогнозах для биржевой торговли. О том, как можно устранить автокорреляцию, речь пойдет в главе 3.

Таким образом в главе 2 мы научились в Excel:

1. Решать однофакторное уравнение регрессии для определения тренда в динамике курса валюты.

2. Проверять с помощью тестов статистическую значимость уравнения регрессии в общем виде, а также отдельных включенных в него переменных.

3. Находить среднюю ошибку аппроксимации по остаткам уравнения регрессии.

4. Проверять графическим способом автокорреляцию в остатках, что позволяет оценить адекватность соответствующего уравнения регрессии.

2.4. Работа над закреплением пройденного материала

С учетом этого полученной в этой главе информации предлагаю читателю проверить свои знания, решив следующие два задания.

Задание 2.1

Шаг 1. Решите однофакторное уравнение регрессии по данным по курсу евро к рублю, которые Вы уже загрузили, решая задание 1.1.

Шаг 2. Проверьте в целом статистическую значимость уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к рублю, а также отдельных включенных в него переменных.

Шаг 3. Дайте интерпретацию полученному уравнению регрессии.

Шаг 4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации по остаткам уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к рублю.

Шаг 5. Проверьте графическим способом автокорреляцию в остатках уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к доллару. Оцените с учетом автокорреляции адекватность полученного уравнения регрессии.

Задание 2.2

Шаг 1. Решите однофакторное уравнение регрессии по данным по курсу евро к доллару, которые Вы уже загрузили, решая задание 1.2.

Шаг 2. Проверьте в целом статистическую значимость уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к доллару, а также отдельных включенных в него переменных.

Шаг 3. Дайте интерпретацию полученному уравнению регрессии.

Шаг 4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации по остаткам уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к доллару.

Шаг 5. Проверьте графическим способом автокорреляцию в остатках уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к доллару. Оцените с учетом автокорреляции адекватность полученного уравнения регрессии.

Глава 3. Как устранить автокорреляцию в остатках и решить двухфакторное уравнение регрессии

3.1. Решаем двухфакторное уравнение регрессии

В главе 2 мы выяснили, что в однофакторном (с одной независимой переменной «Порядковый номер торгового дня») уравнении регрессии присутствует автокорреляция в остатках, ухудшающая качество прогноза по курсу доллара. В связи с этим возникает задача ее устранить.

С этой целью включим в уравнение регрессии новую переменную – «Остатки с лагом (отставанием) в один день». Их мы нашли по однофакторному уравнению регрессии, решением которого занимались в главе 2.

Таким образом, вставив вторую переменную в новое уравнение регрессии, попробуем избавиться от автокорреляции в остатках и повысить точность прогноза. В результате получим двухфакторное уравнение линейного тренда:

Y=AXt+BXo+C

Где Y – результативная (зависимая) переменная «Курс доллара к рублю»; C – свободный член уравнения (константа) или исходный уровень тренда; A и B – коэффициенты при независмых переменных; независимые переменные Xt – «Порядковый номер торгового дня» и Xo‑ «Остатки с лагом в один день» (получены после решения однофакторного уравнения регрессии).

На рабочем листе Excel включенные в уравнение регрессии переменные будут размещены следующим образом – см. таблицу 3.1. При этом «Остатки с лагом в один день» для наблюдения 1, то есть для 27 июня 2014 года, приравняем к нулю, поскольку на начало торгов в этот день у нас об их величине нет информации. В то время как остаток по итогам торгов 27 июня 2014 года, полученный после решения однофакторного уравнения, будем использовать для прогнозирования расчетного курса доллара к рублю для наблюдения 2, то есть на 30 июня 2014 года. В свою очередь остаток, полученный по итогам торгов 30 июня 2014 года, будем использовать для прогнозирования расчетного курса доллара к рублю для наблюдения 3, то есть на 1 июля 2014 года. Иначе говоря, остатки, полученные для каждого торгового дня после решения однофакторного уравнения, будем использовать в двухфакторном уравнении, где у нас появится новая переменная ‑ «Остатки с лагом в один день».

Таблица 3.1. Данные по курсу доллара к рублю, нумерации торговых дней и остаткам с лагом в один день

Источник: расчеты автора и данные Банка России

Воспользуемся алгоритмом № 5. «Как решить уравнение регрессии в Excel» из главы 2, чтобы решить новое уравнение регрессии. Алгоритм действий будет аналогичным за исключением того, что в это уравнение регрессии будут включены две независимые переменные, о которых мы уже говорили – Xt и Xo, а также зависимая от них результативная переменная Y.

Однако прежде чем приступить к решению двухфакторного уравнения регрессии приведем краткий алгоритм оценки адекватности уравнения регрессии на основе вывода итогов, оценки средней ошибки аппроксимации и выявления автокорреляции в остатках. Этим мы уже занимались в главе 2, но в данном случае этот алгоритм представляет собой краткое резюме для проверки адекватности уравнений регрессии. Им читателю будет удобно пользоваться при оценке адекватности решенных им уравнений регрессии.

Алгоритм № 6 «Оценка адекватности уравнения регрессии».

Шаг 1. Принятие решения о статистической значимости уравнения регрессии.

1.1. Чем ближе R-квадрат или нормированный R-квадрат (если сравниваются уравнения регрессии с различным количеством включенных в него независимых переменных) к 1, тем лучше, что дает отличный критерий для выбора одного из нескольких уравнений регрессии.

1.2. Значимость F должна быть меньше 0,05 – при 5% уровне статистической значимости или 95% уровне надежности; должна быть меньше 0,01 ‑ при 1% уровне статистической значимости или 99% уровне надежности.

Шаг 2. Принятие решения о статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии .

2.1. P-Значение должно быть меньше 0,05 – при 5% уровне статистической значимости или 95% уровне надежности; P-Значение должно быть меньше 0,01 ‑ при 1% уровне статистической значимости или 99% уровне надежности.

2.2. Коэффициенты регрессии и свободного члена при переходе от столбца Нижние и к столбцу Верхние (при заданном уровне надежности) не должны менять свой знак. Если смена знака происходит, то коэффициенты данного уравнения регрессии считаются статистически незначимыми.

Шаг 3. Принятие решения о возможности прогнозирования по данной статистической модели.

3.1. Средняя ошибка аппроксимации не должна быть выше 7-10%.

Шаг 4. Проверка автокорреляции в остатках.

4.1. Проверка графическим способом остатков, полученных после решения уравнения регрессии, на наличие в них автокорреляции. В случае обнаружения автокорреляции в остатках это уравнение регрессии не годится для прогнозирования. Для устранения автокорреляции в остатках существует ряд способов. Но мы для ее устранения будем решать двухфакторное уравнение регрессии, включив в него новую переменную ‑ «Остатки с лагом в один день».

Используем алгоритм № 6 «Оценка адекватности уравнения регрессии» для анализа информации, полученной после вывода итогов по двухфакторному уравнению регрессии. Судя по таблице 3.2, R2 в данном случае оказался равен 0,9808, Иначе говоря, это уравнение регрессии объясняет 98,08% всех колебаний зависимой (результативной) переменной «Курс доллара к рублю». При этом нормированный R2 равен 0,9805, то есть больше нормированного R2=0,8923, полученного после решения однофакторного уравнения. Следовательно, по этому критерию двухфакторному уравнению, безусловно, нужно отдать предпочтение.

Таблица 3.2. Регрессионная статистика

Источник: расчеты автора

В таблице 3.3 нас интересует Значимость F, которое первоначально Excel дает в экспоненциальном виде. Но с помощью опции ФОРМАТ ЯЧЕЕК мы преобразовали его в числовой вид и убедились, что Значимость F =0,00. Следовательно, в данном случае значимость F меньше 0,01, то есть можно сделать вывод, об 1% статистической значимости полученного нами двухфакторного уравнения регрессии (или 99% уровнем надежности).

Таблица 3.3. Дисперсионный анализ

Источник: расчеты автора

В таблице 3.4 надо обратить внимание на P-Значения коэффициентов уравнения регрессии, которые первоначально Excel дает в экспоненциальном виде. Но с помощью опции ФОРМАТ ЯЧЕЕК мы преобразовали их в числовой вид. При этом все три P-Значения равны 0,00. Следовательно, в данном случае P-Значения меньше 0,01, то есть можно сделать вывод, об 1% статистической значимости всех коэффициентов полученного нами двухфакторного уравнения регрессии (или 99% уровнем надежности). При этом все коэффициенты данного уравнения регрессии при переходе от столбца Нижние и к столбцу Верхние (при заданном уровне надежности) не меняют свой знак. Заметим, что столбцы Нижние и Верхние дают нижнюю и верхнюю границу интервальной оценки величины коэффициента регрессии. И если у них будут разные знаки, то прогнозировать по такому уравнению регрессии будет невозможно, поскольку мы будем получать противоречивые оценки.

Используя коэффициенты из таблицы 3.4, двухфакторное уравнение регрессии в общем (буквенном) виде: Y=AXt+BXo+C легко преобразовать в числовой вид (с округлением после запятой на четыре знака):

Y=0,1249Xt+0,9426Xo+32,0329

Интерпретация этого уравнения регрессии следующая: 1. За период с 27 июня по 28 ноября 2014 года с каждым торговым днем (увеличением номера торгового дня Xt на одну единицу) курс доллара Y в среднем вырастал на 12,49 копейки; 2. Рост величины остатка с лагом в один день Xo на 1 рубль за этот же период приводил к росту курса доллара Y в среднем на 94,26 копейки; 3. При исходном уровне, то есть расчетным значением курса доллара к рублю перед началом торгов 27 июня 2014 года, равном 32,0329 рублей.

Таблица 3.4. Коэффициенты уравнения регрессии

Источник: расчеты автора

В таблице 3.5 даются найденные по двухфакторному уравнению регрессии расчетные значения курса доллара yрасчет (см. раздел Предсказанное Курс доллара к рублю и остатки (см. раздел Остатки). Расчетный курс доллара к рублю вычисляется для торгового дня № 1 по уже найденному нами двухфакторному уравнению регрессии:

Y расчет =0,1249Xt+0,9426Xo+32,0329=0,1249*1+0,9426*0+32,0329=32,1578

Таким образом для наблюдения 1, то есть для торгового дня с порядковым № 1 (27 июня 2014 года), расчетный курс доллара к рублю оказался равен 32,1578 рублям. При этом остаток для каждого наблюдения (торгового дня) находится путем вычитания из фактического курса доллара его расчетного значения на этот торговый день. Так, фактический курс доллара для торгового дня № 1 равен 33,6306 рублей. Тогда остаток для этого наблюдения равен:

Остаток для наблюдения 1 равен 33,6306-32,1578=1,4728 рублей.

Остатки, полученные после решения двухфакторного уравнения регрессии, представлены в таблице 3.5.

Таблица 3.5. Вывод остатка

Источник: расчеты автора

Теперь оценим относительную точность двухфакторного уравнения регрессии с учетом величины полученных остатков, как это мы уже делали в главе 2, заполняя таблицу 2.6 по итогам решения однофакторного уравнения регрессии. Напомню, что «Остатки по модулю» можно получить, используя функцию ABS. В результате получим таблицу 3.6.

Как мы это уже делали в предыдущей главе, чтобы найти среднюю ошибку аппроксимации (в %) для каждого наблюдения, надо его «Остаток по модулю» поделить на «Фактический курс доллара к рублю», а полученный результат умножить на 100. Так, для наблюдения 1, «Средняя ошибка аппроксимации»= 1,4728/33,6306*100=4,8%.

После того как мы найдем для всех наблюдений средние ошибки аппроксимации, их нужно сложить. В результате получим итоговую сумму = 90,2– см. таблицу 3.6. Потом эту сумму нужно поделить на общее количество наблюдений, то есть в данном случае на 109. В результате выяснится, что средняя ошибка аппроксимации для двухфакторного уравнения регрессии равна 0,8%. В то время как средняя ошибка аппроксимации у однофакторного уравнения была равна 2,9%, то есть существенно больше.

Таблица 3.6. Оценка средней ошибки аппроксимации, в %

Источник: расчеты автора и данные Банка России

Теперь посмотрим, есть ли автокорреляция в остатках, полученных после решения двухфакторного уравнения регрессии. Поскольку мы планируем делать прогнозы с прогнозируемым горизонтом в один день, то нам нужно посмотреть – нет ли автокорреляции в остатках с лагом в один торговый день. С этой целью построим таблицу 3.7. При этом будем действовать так же, как при заполнении таблицы 2.7.

Таблица 3.7. Тестирование на автокорреляцию в остатках двухфакторного уравнения регрессии

Источник: расчеты автора

На основе данных этой таблицы и используя алгоритм № 2 «Построение графика в Microsoft Excel» можно построить график зависимости «Остатков» от «Остатков с лагом в один торговый день». Правда, в шаге 2 этого алгоритма нужно щелкнуть левой кнопкой мышки не опцию График (подходит к анализу зависимости результативной переменной от независимой переменной – время, порядковый номер месяца, торгового дня и т.д.), а опцию ТОЧЕЧНЫЙ (подходит к анализу зависимости результативной переменной от независимой переменной, не обозначающей время).

В результате получим следующий график зависимости «Остатков» от «Остатков с лагом в один торговый день»‑ см. рис.3.1. Судя по тому, что точки на графике разбросаны по кругу в хаотичном порядке, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции в остатках. Построенный на основе графика данных тренд также говорит о низкой величине R2=0,0005, то есть он объясняет лишь 0,05% всей динамики результативной (зависимой) переменной.

Рис. 3.1

Используя уже апробированный в главах 2 и 3 алгоритм действий № 5 «Как решить уравнение регрессии в Excel», можно решить уравнение регрессии с этими двумя переменными – результативной переменной «Остатки, Y» и независимой переменной «Остатки с лагом в один торговый день, X». В результате выяснится, что как само уравнение регрессии, так и его члены, оказались статистически незначимыми, что подтверждает наш вывод об отсутствии автокорреляции в остатках двухфакторного уравнения регрессии, сделанный на основе графика на рис. 3.1.

3.2. Сравнение двухфакторного и однофакторного уравнений регрессии

После того как мы, согласно алгоритму № 6, провели оценку адекватности однофакторного и двухфакторного уравнений регрессии, посмотрим, какие преимущества имеет каждая из них. С этой целью построим таблицу 3.8.

Судя по этой таблице, единственным и не решающим преимуществом однофакторного уравнения регрессии является его более простая формула. В то время как тремя важными плюсами двухфакторного уравнения регрессии являются: во-первых, более низкая средняя ошибка аппроксимации, во-вторых, более высокий нормированный коэффициент детерминации R2, в-третьих, отсутствие автокорреляции в остатках. Поэтому для прогнозирования курса доллара к рублю по выявленному нами тренду нужно использовать двухфакторное уравнение регрессии.

Таблица 3.8. Сравнение однофакторной и двухфакторной уравнений регрессии

Источник: расчеты автора

Поскольку нам удалось построить – на основе двухфакторного уравнения ‑ вполне адекватную статистическую модель для расчета линейного тренда, теперь займемся составлением прогнозов. Для целей биржевой торговли лучше делать прогноз с горизонтом только в один период времени, что обеспечит его большую точность с учетом имеющейся в момент прогнозирования рыночной информации.

Если бы у нас статистическая модель была построена на данных по итогам ежемесячной, еженедельной, почасовой или 5-минутной торговли, то тогда можно было бы сделать прогноз на конец следующего месяца, недели, часа или пятиминутки и.д. В данном случае, поскольку наша модель построена на основе данных по ежедневным торгам мы будем делать прогноз на следующий день торгов – см. алгоритм № 7. При этом предположим, что данный прогноз делается после завершения торгов в пятницу 28 ноября 2014 года на ближайший после выходных торговый день – на понедельник 1 декабря 2014 года.

3.3. Прогнозы на день торгов

Алгоритм № 7 «Составление прогноза по тренду на день торгов»

Шаг 1. Рассчитаем по формуле двухфакторного уравнения регрессии точечный прогноз на 1 декабря 2014 года. С этой целью вставим в двухфакторное уравнение Y=0,1249Xt+0,9426Xo+32,0329 значения независимых переменных на этот торговый день. Заметим, что порядковый номер этого дня =110, а остаток с лагом в один день, полученный после решения однофакторного уравнения, равен для этого дня 3,8052 рублям. В результате наши расчеты приобретут следующий вид:

Y=0,1249*110+0,9426*3,8052 +32,0329 =13,7404+3,5869+32,0329 = 49,3602

Шаг 2. Следовательно, наш точечный прогноз на конец торгов 1 декабря 2014 года равен 49,3602 рублям, а фактический курс по итогам торгов 28 ноября 2014 года составил 49,3220. Таким образом, прогнозируемый на следующий торговый день рост курса доллара к рублю у нас получился равным 0,0382 рублям. С учетом этого небольшого прогнозируемого роста, а также наблюдаемого на рынке достаточно устойчивого повышательного тренда (об этом говорит высокий коэффициент детерминации R2 =0,9808), трейдер может принять решение ‑ занять на прогнозируемый день длинную позицию.

Шаг 3. Точечный прогноз на следующий день можно дополнить интервальным прогнозом для ожидаемого диапазона тренда. С этой целью нужно воспользоваться функциями МИН и МАКС, которые на основе остатков, полученных после решения двухфакторного уравнения регрессии (см. раздел «Остатки» в таблице 3.5) найдут среди них минимальное и максимальное значения.

Работать с МИН и МАКС в Excel можно также как с функцией ABS, но есть пара важных отличий. Во-первых, они набираются русскими буквами, а во-вторых, вместо одной ячейки внутри скобок МИН( ) и МАКС() помещаются все ячейки, относящиеся к разделу «Остатки» в таблице 3.5. В результате мы выясним, что самый большой отрицательный остаток равен -1,9725, а самый большой положительный ‑ 2,5587.

Шаг 4. Прибавив эти значения к точечному прогнозу 49,3602 рублей, получим, что ожидаемый по итогам торгов на 1 декабря 2014 года диапазон тренда будет находиться в пределах от 47,3877 рублей до 51,9189 рублей, то есть в рамках нижней и верхней границ интервального прогноза.

Шаг 5. Наряду с расчетом ожидаемого диапазона тренда на 1 декабря 2014 года, то есть на прогнозируемый торговый день, не входящий в базу данных, на которых построена наша статистическая модель, его можно рассчитать и для прошлых данных, начиная с 27 июня и до 28 ноября 2014 года. При этом в качестве точечных прогнозов надо в таблице 3.5. взять расчетные значения, представленные в разделе «Предсказанное Курс доллара к рублю». Прибавив к каждому из этих значений минимальный остаток =-1,9725 и максимальный остаток = 2,5587, получим ожидаемый диапазон тренда для всех данных по курсу доллара к рублю, включенных в нашу статистическую модель – см. таблицу 3.9.

Таблица 3.9. Ожидаемый диапазон тренда по курсу доллара к рублю за период с 27 июня по 1 декабря 2014 года

Источник: расчеты автора и данные Банка России

В таблице 3.9 ожидаемый диапазон тренда по курсу доллара к рублю показан с пропусками в целях экономии места. А вот график на рис. 3.2 построен по всем данным, в том числе и для интервального прогноза на 1 декабря 2014 года. В том случае, когда фактический курс доллара по итогам торгов в какой-то день выйдет за нижнюю границу этого диапазона, то этот факт свидетельствует: во-первых, о росте на рынке волатильности; а во-вторых, об увеличении риска смены повышательного тренда на понижательный.

Вывод о смене тренда можно делать с большей уверенностью, если тенденция к падению доллара совпадет с ростом мировых цен на нефть, что обычно благотворно сказывается на укреплении курса рубля. Поэтому желательно на основе последних данных по ценам на нефть марки Brent построить тренд, который на рынке нефти ‑ при устойчивом повышательном тренде по курсу доллара ‑ должен быть понижательным.

Как правило, хотя далеко не всегда, при смене повышательного тренда по американской валюте происходит смена тренда и на рынке нефти. Таким образом последнее событие может стать дополнительным аргументом в пользу вывода о смене тренда по курсу доллара к рублю. Российская валюта также часто дорожает к доллару и другим валютам на новостях о повышении ключевой ставки Банком России, росте отечественных золотовалютных резервов или российского фондового рынка и т.д.

Если же фактический курс доллара по итогам торгов выйдет за верхнюю границу ожидаемого диапазона повышательного тренда, то тогда: во-первых, можно говорить о повышении волатильности на рынке; а во-вторых, о росте силы повышательного тренда. Вывод о росте силы тренды можно делать с большей уверенностью, если это событие совпадет со снижением мировых цен на нефть, что обычно способствует росту курса доллара. Американская валюта также часто дорожает на хороших новостях об экономике США, слухах о возможном повышении ФРС ставки рефинансировании и т.д.

Источник: расчеты автора и данные Банка России

Рис. 3.2

В данном случае, решив двухфакторное уравнение регрессии, нам удалось установить, что на рынке наблюдается повышательный тренд. Но, как известно, на рынке регулярно фиксируются как повышательные, так и понижательные и боковые тренды. В связи с этим возникает вопрос – как по двухфакторному уравнению регрессии их можно отличить?

Для повышательного тренда в уравнении Y=AXt+BXo+C коэффициент A должен быть положительным. Иначе говоря, рыночные данные за определенный отрезок времени должны свидетельствовать о наличии достаточно устойчивой зависимости (с коэффициентом детерминации R2 = 0,80 и выше ) между временем Xt (это может быть год, месяц, неделя, день, час и т.д.) и ростом курса валюты Y.

В то время как для понижательного тренда это уравнение приобретает следующий вид: Y=-AXt+BXo+C, то есть коэффициент A должен быть отрицательным. В этом случае рыночные данные за определенный отрезок времени должны свидетельствовать о наличии достаточно устойчивой зависимости (с коэффициентом детерминации R2 = 0,80 и выше ) между временем Xt (это может быть год, месяц, неделя, день, час и т.д.) и снижением курса валюты Y.

В свою очередь уравнение для бокового тренда будет следующим: Y=BXo+C. Следовательно, коэффициент A и обозначающая время независимая переменная Xt у этого тренда не будут статистически значимыми. То есть рыночные данные за определенный отрезок времени отрезок времени не будут показывать достаточно устойчивой зависимости (с коэффициентом детерминации R2 = 0,80 и выше ) между временем Xt (это может быть год, месяц, неделя, день, час и т.д.) и динамикой курса валюты Y. Таким образом для бокового тренда характерно калебание вокруг исходного уровня C. При этом переменная Xo характеризует динамику бокового тренда в ответ на отклонение курса валюты от исходного уровня C.

Таким образом в главе 3 мы научились в Excel:

1. Решать двухфакторное уравнение регрессии для определения тренда в динамике курса валюты.

2. Сравнивать в целом статистическую значимость двухфакторного и однофакторного уравнения регрессии, а также отдельных включенных в него переменных.

3. Находить для двухфакторного уравнения регрессии среднюю ошибку аппроксимации по остаткам.

4. Тестировать графическим способом для двухфакторного уравнения регрессии автокорреляцию в остатках, что позволяет оценить адекватность соответствующего уравнения регрессии.

5. Составлять точечный и интервальный прогноз по тренду на день торгов, а также делать интервальный прогноз по диапазону тренда.

3.4. Работа над закреплением пройденного материала

С учетом этого полученной в этой главе информации предлагаю читателю проверить свои знания, решив следующие два задания.

Задание 3.1

Шаг 1.Решите двухфакторное уравнение регрессии по данным по курсу евро к рублю, которые Вы уже загрузили, решая задание 1.1 и работали с ними, решая задания в предыдущих главах.

Шаг 2. Проверьте в целом статистическую значимость двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к рублю, а также отдельных включенных в него переменных.

Шаг 3. Дайте интерпретацию полученному уравнению регрессии.

Шаг 4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации по остаткам двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к рублю.

Шаг 5. Проверьте графическим способом автокорреляцию в остатках двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к рублю, что позволяет оценить адекватность соответствующего уравнения регрессии. Сравните однофакторное и двухфакторное уравнения регрессии, решенные по данным по курсу евро к рублю.

Шаг 6. Составьте по двухфакторному уравнению регрессии, решенному по данным по курсу евро к рублю, точечный и интервальный прогноз по тренду на 1 декабря 2014 года, то есть на день торгов, а также рассчитайте интервальный прогноз по диапазону тренда.

Задание 3.2

Шаг 1. Решите двухфакторное уравнение регрессии по данным по курсу евро к доллару, которые Вы уже загрузили, решая задание 1.2. и работали с ними, решая задания в предыдущих главах.

Шаг 2. Проверьте в целом статистическую значимость двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к доллару, а также отдельных включенных в него переменных.

Шаг 3. Дайте интерпретацию полученному уравнению регрессии.

Шаг 4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации по остаткам двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к доллару.

Шаг 5. Проверьте графическим способом автокорреляцию в остатках двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу евро к доллару, что позволяет оценить адекватность соответствующего уравнения регрессии. Сравните однофакторное и двухфакторное уравнения регрессии, решенные по данным по курсу евро к доллару.

Шаг 6. Составьте по двухфакторному уравнению регрессии, решенному по данным по курсу евро к доллару, точечный и интервальный прогноз по тренду на 1 декабря 2014 года, то есть на день торгов, а также рассчитайте интервальный прогноз по диапазону тренда.

Глава 4. Расчеты, необходимые для снижения потерь при биржевой торговле валютой

4.1.Тейк-профиты и стоп-лоссы

Итак, решив в предыдущей главе двухфакторное уравнение регрессии и рассчитав точечный прогноз на 1 декабря 2014 года, мы вышли в этот день на рынок и заняли длинную позицию. Поскольку по итогам 1 декабря 2014 года курс доллара фактически вырос до 51,8068 рублей, то можно сказать, что наш прогноз оправдался. Однако любой трейдер знает, что ситуация на рынке могла сложиться совершенно иначе и вместо солидного выигрыша в размере 2,4848 рублей, полученных на каждый купленный, а затем проданный в конце дня доллар, мы вполне могли бы иметь и проигрыш.

В случае проигрыша нужно постараться правильно диагностировать его причину: вызвано ли это случайными колебаниями в курсе доллара, либо это означает смену повышательного тренда ‑ на понижательный или боковой? В первом случае, продолжение игры на повышение в большей части последующих торговых периодов принесет трейдеру прибыль, а во втором случае чревата большими убытками.

Вполне очевидно, что наличие в динамике курсов валют случайной компоненты делает биржевую торговлю делом весьма рискованным, даже если торговать с учетом наблюдаемого на рынке тренда. Поэтому трейдеры устанавливают лимиты на возможные потери по занятой позиции, если их прогноз по росту, например, доллара к рублю в ходе текущих торгов не оправдался. С этой целью трейдеры устанавливают «стоп лоссы» (stop loss), то есть дают поручение брокеру закрыть позицию при падении курса валюты до определенного уровня.

В свою очередь, когда курс валюты повышается до определенного уровня, трейдеры устанавливают лимиты на дальнейший ее рост, поскольку опасаются, что положительная динамика может смениться отрицательной, что приведет к убыткам. С этой целью трейдеры устанавливают лимиты на прибыль ‑ «тэйк профиты» (take profit), то есть дают поручение брокеру закрыть позицию при повышении курса валюты до определенного уровня.

Обычно трейдеры устанавливают лимиты на потери и на доходы, исходя из своего субъективного представления о возможном падении и росте торгуемого актива. В данном случае автор этих строк хочет предложить систему расчета стоп-лоссов и тейк-профитов на основе статистической оценки вероятности их срабатывания при пересечении курсом валюты заданного нижнего или верхнего уровня. Поскольку эта оценка делается на основе статистического анализа рыночных данных, поэтому она носит объективный характер и учитывает поток прибылей и убытков, генерируемых рынком за исследуемый период времени.

Алгоритм № 8. Расчет стоп-лоссов и тейк-профитов.

Шаг 1. Во-первых, надо взять данные по курсу доллара к рублю за период с 1 января 1999 года по 30 ноября 2014 года. Более ранние данные не имеет смысл использовать, поскольку волатильность на рынке была на порядок выше, что приведет к установлению неоправданно высоких для текущих торгов уровней стоп-лоссов и тейк-профитов. Достаточно сказать, что с 30 июня 1992 года по 1 января 1999 года доллар вырос в 164,9 раза к рублю, то есть поднимался со средней скоростью 0,488% в торговый день. В то время как с 1 января 1999 года по 30 ноября 2014 года доллар подорожал к рублю в 2,39 раза, то есть укреплялся со средней скоростью 0,022 % в торговый день.

Шаг 2. Во-вторых, надо найти индексы роста (или снижения, если он ниже 1) по каждому торговому дню, разделив курс доллара по итогам текущего торгового дня на его курс в предыдущий торговый день. Например, по итогам торгов 28 ноября 2014 года индекс роста (снижения) у нас будет равен 49,3220 рублей/47,6629 рублей =1,0348. Иначе говоря, за этот торговый день доллар вырос к рублю на: 1,0348*100-100 = 3,48%.

Шаг 3. Полученные по всем торговым дням (за период с 1 января 1999 года по 30 ноября 2014 года) индексы роста (снижения) курса доллара необходимо проранжировать по мере роста их величины. С этой целью вверху рабочего листа Excel щелкнем левой кнопкой мышки опцию ДАННЫЕ и обведем курсором размещенные в четырех столбцах данные (Дата; Наблюдения; Курс доллара к рублю; Индекс роста (снижения))– см. рис. 4.1.

Рис. 4.1

Шаг. 4. Щелкнем левой кнопкой мышки вверху рабочего листа Excel функции СОРТИРОВКА, после чего появится диалоговое окно СОРТИРОВКА. В этом окне после опции СОРТИРОВАТЬ ПО выбрать столбец «Индекс роста (снижения), а после опции ПОРЯДОК выбрать вариант ПО ВОЗРАСТАНИЮ – см. рис. 4.2.

Рис. 4.2

В результате получим таблицу 4.1, в которой торговые дни размещены по мере увеличения индекс роста (снижения) курса доллара к рублю.

Таблица 4.1. Рейтинг торговых дней по мере увеличения индекса роста (снижения) курса доллара

Источник: данные Банка России и расчеты автора

Шаг. 5. Для того чтобы найти величину стоп-лоссов и тейк-профитов с желательной для трейдера вероятностью их срабатывания необходимо воспользоваться в Excel функцией ПЕРСЕНТИЛЬ. Для тех читателей, кто не знает, скажу, что перцентилем (или процентилем) в математической статистике называется такое число, которое заданная случайная величина не превышает его с фиксированной вероятностью. Поскольку индексы роста (снижения) во много зависят от воздействия случайной компоненты, то мы можем, например, поставить перед собой задачу: установить такой уровень стоп-лосса и тейк-профита, чтобы вероятность их срабатывания не превысила 1,0%.

Шаг 6. Для того чтобы вызвать функцию ПЕРСЕНТИЛЬ, ее как и c МАКС и МИН можно: либо набрать русскими буквами; либо щелкая левой кнопкой мышки иконку ФОРМУЛЫ, расположенную вверху рабочего листа Excel, а затем иконку Fx. После этого появится диалоговое окно АРГУМЕНТЫ ФУНКЦИИ ПЕРСЕНТИЛЬ, которое надо заполнить следующим образом – см. рис. 4.3 и 4.4.

Рис. 4.3

Рис. 4.4

Шаг 7. Опция МАССИВ на рис 4.3. и 4.4. заполнена ячейками со значениями Индекса роста (снижения) курса доллара для каждого торгового дня. Опция К на рис. 4.3 установлена на 0,005, что означает 0,5% нижний персентиль, значение которого равно 0,98183 или -1,817%. Таким будет уровень стоп-лосса при вероятности его срабатывания не выше 1,0%. На рис. 4.4 опция К установлена на 0,995, что означает 99,5% верхний персентиль, значение которого равно1,02564 или 2,564%. Таким будет уровень тейк-профита при вероятности его срабатывания не выше 1,0%. Если от 99,5% отнять 0,5% , то получим 1,0% вероятность срабатывания тейк-профита и стоп-лосса. Следовательно, вероятность того, что сработает либо тейк-профит (в случае роста курса валюты), либо стоп-лосс (в случае снижения курса валюты) в совокупности равна 1%.

Шаг 8. Для остальных вероятностей, например, для 20% вероятности срабатывания тейк-профита и стоп-лосса опции К рассчитываются следующим образом. Во-первых, делим 20% на два (поскольку у нас будет верхний и нижний персентиль), а затем делим полученную цифру на 100 (переводим проценты в индексы) и получаем число 0,1. Таким образом опция К для нижнего персентиля у нас будет равна 0,1. А опция К для верхнего персентиля будет равна =1-0,1=0,9.

Шаг 9. Воспользуемся функцией ПЕРСЕНТИЛЬ, чтобы найти тейк-профиты и стоп-лоссы с 1%, 2%, 55, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70% и 80% вероятностью их срабатывания. Опции К будем рассчитывать так, как указано в шаге 8 этого алгоритма. В результате получим таблицу 4.2.

Таблица 4.2. Стоп-лоссы и тейк-профиты с различной вероятностью их срабатывания

Источник: расчеты автора

Шаг 10. Воспользуемся данными таблицы 4.2. для того, чтобы установить тейк-профиты и стоп-лоссы для торгов на 1 декабря 2014 года с 1%, 2%, 55, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70% и 80% вероятностью их срабатывания. Делается это довольно просто.

Как известно, по итогам торгов 28 ноября 2014 года (то есть в последний торговый день перед новыми торгами) курс доллара был равен 49,3220. Поэтому, умножая последнюю цифру на индексы для стоп-лоссов и тейк-профитов из таблицы 4.2, найдем на 1 декабря 2014 года величину стоп-лоссов и тейк-профитов (с различной вероятности срабатывания) в пересчете на курсовую стоимость доллара.

В результате получим таблицу 4.3, из которой следует, что если трейдер, например, ставит задачу установить вероятность срабатывания тейк-профитов и стоп-лоссов на уровне 20,0%, то в этом случае стоп-лосс должен быть равен 49,0935 руб., а тейк-профит ‑ 49,5686 руб. Заметим, что в случае занятия трейдером короткой позиции стоп-лосс становится тейк-профитом, а тейк-профит ‑ стоп-лоссом.

Есть еще два важных момент, который следует иметь в виду, устанавливая тейк-профиты и стоп-лоссы. Во-первых, чем с большей вероятностью срабатывания мы их ставим, тем меньше у нас возможность заработать на растущем рынке или потерять на падающем, то есть тем меньше мы фактически торгуем.

Во-вторых, вероятность срабатывания тейк-профитов и стоп-лоссов у нас рассчитана за период с 1 января 1999 года по 30 ноября 2014 года, однако смена волатильности курсов валют на рынке, как известно, во времени носит кластерный характер. В результате при кратковременном росте волатильности рассчитанная нами 1% вероятность срабатывания тейк-профитов и стоп-лоссов может быть на этой конкретной неделе, например, фактически равна 10%.

Поэтому, ставя тейк-профиты и стоп-лоссы, следует учитывать динамику курса валюты за последнее время. Например, если в последние дни тейк-профиты и стоп-лоссы срабатывали чаще с 5-10% вероятностью, то, скорее всего, они и в прогнозируемый день будут тяготеть к этому уровню (если на рынке не произойдет резкой смены уровня волатильности).

Таблица 4.3. Стоп-лоссы и тейк-профиты на 1 декабря 2014 года в пересчете на курсовую стоимость доллара с различной вероятностью их срабатывания

Источник: расчеты автора

4.2. Какой долей счета торговать

Несмотря на то, что стоп-лоссы и тейк-профиты предназначены для защиты счета трейдера от потерь, на рынке довольно часто происходят проскальзывания (slippage), то есть закрытие ордера по более низкому (или более высокому) курсу валюты, чем изначально в нем было указано. Риск проскальзывания особенно велик в момент очень высокой рыночной волатильности. Но иногда это происходит по вине не совсем добросовестного брокера, либо из-за используемого трейдером компьютерного оборудования.

В случае потери ликвидности на рынке при выходе важных экономических или других новостей спреды иногда могут настолько сильно расширяться, что на рынке возникает разрыв цен (gap), в результате чего курс валют может переместиться вверх или вниз дискретно, без заключения сделок по промежуточным ценам. Разрыв в ценах также нередко возникает в момент открытия рынка в ночь с воскресенья на понедельник, если важные для рынка события произошли в выходные.

Допустим, трейдер решил выйти на рынок 1 декабря 2014 года, заняв длинную позицию. Поскольку по итогам 1 декабря 2014 года курс доллара фактически вырос до 51,8068 рублей, то можно сказать, что наш прогноз оправдался. Однако любой трейдер знает, что ситуация на рынке могла сложиться совершенно иначе и вместо солидного выигрыша в размере 2,4848 рублей, полученных на каждый купленный, а затем проданный в конце дня доллар, мы вполне могли бы иметь и проигрыш.

Поэтому прежде чем трейдер начинает торговать, он должен был еще 30 ноября 2014 года решить для себя три очень важные задачи. Во-первых, определиться – стоит ли открывать длинную или короткую позицию. Во-вторых, установить уровень стоп-лоссов и тейк-профитов с установкой работающей у некоторых брокеров функции «ограничения проскальзывания». В-третьих, решить какую долю денег, имеющихся у него на счете, трейдер должен потратить на покупку (или продажу, если им занята короткая позиция) валюты, чтобы, в конечном счете, не разориться.

Если трейдер, выходя на рынок, каждый раз рискует всеми имеющимися у него на счету средствами, то вопрос его полного банкротства является лишь вопросом времени. Заметим, что в биржевой торговле вероятность удачно закрыть позицию, чаще всего, колеблется в диапазоне 50,0%-55,0% и лишь очень хорошему трейдеру при удачном стечении обстоятельств на рынке удается повысить ее до 60,0%.

Исходя из вышесказанного, нетрудно сделать следующее выводы: во-первых, нельзя торговать всеми выделенными на торговлю средствами; а во-вторых, чем чаще мы торгуем на рынке, тем больше у нас вероятность проигрыша (как впрочем, и выигрыша, такова парадоксальная природа рынка), а потому нужно уметь хеджироваться от проигрыша. Впрочем, сами по себе эти выводы содержат не столько ответы, сколько ставят перед трейдером новые вопросы.

Известный автор Ральф Винс, написавший книгу «Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров», опубликованную в 2007 году издательством Альпина Паблишер, вывел формулу по поиску оптимальной доли счета f, которой нужно торговать, что получить максимальную прибыль.

Попробуем использовать формулу Ральфа Винса, которую он вывел на основе заинтересовавшей его формулы Джона Келли, предназначенной, преимущественно для азартных игр, а не для финансовых рынков:

Рост первоначального счета трейдера =ПРОИЗВЕД(1+f*(-Выигрыш (Проигрыш) по сделке i/Наибольший проигрыш))

Где: f – оптимальная торговая доля счета, используемого трейдером для торговли;

ПРОИЗВЕД() – функция в Excel, которая перемножает все числа, введенные в скобки как аргументы, и возвращает их произведение. Например, если в ячейках A1 и A5 содержатся числа, то формула =ПРОИЗВЕД(A1;A5) возвращает произведение этих чисел.

Выигрыш (Проигрыш) по сделке i – доходность по конкретным сделкам.

Наибольший проигрыш – максимальные потери по торговой сделке за анализируемый период.

Поскольку в данном случае мы торгуем с учетом наблюдаемого на рынке тренда, поэтому целесообразно найти оптимальную долю счета f по совокупности сделок за период с 27 июня по 30 ноября 2014 года, когда на рынке наблюдался повышательный тренд. Но у этого подхода есть один серьезный недостаток, обусловленный тем, что он не учитывает возможное ухудшение ситуации на рынке, например, кратковременные резкие падения курса доллара.

Поэтому совокупность сделок, относящуюся к периоду текущего повышательного тренда, нужно дополнить другими сделками, наблюдавшимися в торговые дни с максимальным проигрышем. Их мы возьмем за период с 1 января 1999 года по 30 ноября 2014 года. При этом нас интересует: во-первых, наибольший проигрыш за один торговый день; во-вторых, накопленный в течение нескольких дней подряд наибольший проигрыш.

С этой целью смоделируем временной ряд, на основе которого будем искать оптимальную долю счета f, используемую трейдером для торговли. С этой целью в начале этого смоделированного временного ряда поставим: во-первых, торговый день с наибольшим проигрышем, а во-вторых, торговые дни с накопленными в течение нескольких дней подряд наибольшими проигрышами. Иначе говоря, мы тем самым сымитируем возможные последствия для нашего счета потенциального обвала рынка в самом начале предстоящих торгов.

Наибольший проигрыш за период с 1 января 1999 года по 30 ноября 2014 года легко найти с помощью экселевской функции МИН, аргументами которой будут данные, помещенные в разделе «Индекс роста (снижения)» таблицы 4.1. При этом выяснится, что наибольший индекс проигрыша равен 0,9585 или -4,15% и относится к 10 ноября 2014 года.

А вот для того чтобы найти накопленный наибольший проигрыш, полученный в течение нескольких торговых дней, необходимо сделать следующее. Во-первых, поделить курс доллара, полученный по итогам текущих торгов, на курс долларов с лагом в два, три, четыре, пять, шесть и т.д. торговых дней. Например, индекс роста (снижения) курса доллара на 10 января 1999 года с лагом в два торговых дня будет равен:

Курс доллара торгового дня №3/курс доллара торгового дня №1 = 22,400/22,400 =1,08475

Во-вторых, полученные в результате индексы роста (снижения) курса доллара с помощью функции СОРТИРОВКА отсортировать для каждого лага по их возрастанию. В результате получим таблицу 4.4, из которой следует, что по длинной позиции по доллару, наибольший накопленный проигрыш, равный 0,93018 или -6,98%, за период с 1 января 1999 года по 30 ноября 12014 года был получен с лагом в три дня.

Таблица 4.4. Наиболее убыточные торговые дни с лагом в 2,3,4,5,6 торговых дней

Источник: расчеты автора

Следовательно, для определения оптимальной доли счета f совокупность сделок, относящихся к периоду текущего повышательного тренда, дополним наибольшими убытками, полученными с лагом в одни, два и три торговых дня. Наибольшие убытки, полученные с более длинным лагом (в четыре, пять и т.д. дней), учитывать не будем, поскольку по совокупной величине потерь они ниже проигрышей, полученных для периода с лагом в три дня.

В таблице 4.5 курс доллара для каждого из дней с наибольшим проигрышем с лагом в 1, 2 и 3 дня дан в самом начале торгов и найден путем умножения курса доллара = 49,3220 руб. (по итогам торгов за 28 ноября 2014 года) на их индексы, соответственно, на 0,95854, 0,94536 и 0,93018. Поскольку мы ищем оптимальную долю счета f для торгов на 1 декабря 2014 года, поэтому в качестве множителя используется ближайший к этому дню курс доллара для того, чтобы рассчитать курс доллара для дней с наибольшим проигрышем. Иначе говоря, если вы планируете выйти на рынок, например, 7 июня 2017 года, то тогда для поиска оптимальной доли счета f для торгов нужно использовать в качестве множителя курс доллара = 56,6747 руб., объявленный Центробанком по итогам торгов 6 июня 2017 года.

Раздел «Изменение, в руб.» в таблице 4.5 заполняется путем вычитания курсов доллара в предыдущие дни от последующих.

Поскольку мы решили торговать микролотом в размере 1000 долларов, то, следовательно, суммы доходов и потерь в разделе «Доходы (потери) на микролот, в руб.» получены путем умножения соответствующих цифр из раздела «Изменение, в руб.» на 1000 и вычитания стоимости спреда в размере 200 пунктов за стандартный лот =100000 долларов.

Заметим, что те, кто собирается торговать минилотом или стандартным лотом, должны внести в расчеты соответствующие поправки. И еще один важный момент, когда мы говорим «курс доллара к рублю» или, что то же самое, пишем USD/RUB, то имеем в виду, что доллар, стоящий слева в обозначении валютной пары, это базовая валюта, а рубль – котируемая. Иначе говоря, базовая валюта – это та валюта в валютной паре, цена одной единицы которой всегда меряется в единицах другой котируемой валюты. Все наши дальнейшие расчеты, в том числе подсчет доходности, делаются в котируемой валюте.

Таблица 4.5. Предварительные данные для поиска оптимальной торговой доли счета f

Источник: расчеты автора и данные Банка России

Цифры в разделе таблица 4.5 «Рост первоначального счета трейдера» рассчитаны по формуле:

1+f*(-Выигрыш (Проигрыш) по сделкеi/Наибольший проигрыш).

После того как мы полностью заполним раздел «Рост первоначального счета трейдера» все цифры из этого раздела необходимо перемножить, исходя из уже упомянутой ранее формулы:

Рост первоначального счета трейдера =ПРОИЗВЕД(1+f*(-Выигрыш (Проигрыш) по сделкеi/Наибольший проигрыш))

При этом оптимальная торговая доля счета f ищется путем подстановки в эту формулу ее значений в диапазоне от 0,01 до 1. Поиск прекращается, когда при данном значении доли счета f рост первоначального счета трейдера достигает максимального значения. Используя Excel, эту задачу можно довольно быстро решить.

В результате подстановки f получим следующую таблицу 4.6, из которой следует, что рост первоначального счета трейдера достигает максимума при f =0,47, после чего начинает снижаться – см. график в виде параболы на рис. 4.5. Следовательно, при таком потоке доходов и потерь (см. таблицу 4.5) трейдер получит максимальную доходность только при f=0,47. Причем, эту долю не имеет смысла увеличивать, так как возрастающий при этом риск себя не оправдывает.

Таблица 4.6. Поиск оптимальной торговой доли счета f

Источник: расчеты автора

Рис. 4.5

После того как мы выяснили, что оптимальная доля счета f равна 0,47, а наибольший проигрыш равен -2064,7 рублям (см. таблицу 4.5.), то поделив -2064,7 рублей на -0,47 (минус поставлен, чтобы получилось положительное число) получим результат 4392,95 рублей. Следовательно, каждый торгуемый нами микролот нужно ставить на 4392,95 рублей, имеющихся у нас на счете.

Допустим, что первоначальный счет у трейдера будет равен 100 тыс. рублям. Следовательно, поделив 100 тыс. рублей на 4392,95 рублей получим, что нам нужно торговать 22,8 микролотами. Поскольку у нас нет возможности торговать таким дробным числом округлим его в сторону уменьшения до 22 микролотов. Нужно всегда округлять в стороны уменьшения, поскольку избыточное число микролотов чревато большим риском, в то время как их уменьшение несколько снижает потенциальную доходность. Поэтому округляя дробное число лотов в сторону уменьшения, мы из двух зол выбираем меньшее.

Теперь протестируем, каких результатов нам удалось бы достичь, если бы мы заняли длинную позицию на рынке с 27 июня по 30 ноября 2014 года, согласно только что сделанным нашим расчетам, исходя из которых оптимальная доля нашего счета f = 0,47. То есть, если бы мы в начале этого периода купили бы 22 микролота долларов США, имея на каждый микролот по 4392,95 руб. на своем счету.

Для того, чтобы повысить надежность этого тестирования добавим к обычному временному ряду три первых торговых дня, которые, согласно историческим данным, у нас генерировали наибольшие проигрыши с лагом в 1, 2 и 3 дня. Их мы поставили в самом начале этого частично смоделированного временного ряда, поскольку именно значительные проигрыши в самом начале торгов лишают трейдера дальнейшей возможности выходить на рынок. После трех искусственно добавленных во временной ряд наиболее проигрышных дней (с лагом в 1, 2 и 3 торговых дня), мы затем использовали для тестирования обычную динамику курса доллара с 27 июня по 30 ноября 2014 года, когда на рынке наблюдался повышательный тренд. В результате у нас получился следующий график изменения счета трейдера ‑ см. рис. 4.7.

Рис. 4.6

Подробнее результаты торгов – см. таблицу 4.7. В результате за весь период счет трейдера вырос с первоначальных 100 тыс. рублей до 319,137 тыс. рублей или в 3,191 раза.

При этом надо иметь в виду, что после каждого торгового дня нужно вновь рассчитывать оптимальную торговую долю счета f, а заодно и вычислять новое оптимальное количество микролотов (минилотов или стандартных лотов – для тех, кто торгует более крупным объемом валюты). Правда, менять число торгуемых микролотов необязательно сразу, а с таким расчетом, чтобы слишком частая смена позиции не привела к неоправданным потерям.

Таблица 4.7. Результаты торгов с оптимальным числом микролотов

Источник: расчеты автора

Следует также добавить, что в том случае, если трейдер планирует занять в торговый день короткую торговую позицию, то в начале смоделированного временного ряда, на основе которого будем искать оптимальную долю счета f, нужно поставить. Во-первых, торговый день с наибольшим выигрышем (для короткой позиции это будет проигрыш). Во-вторых, торговые дни с накопленными в течение нескольких дней подряд наибольшими выигрышами (для короткой позиции это будут проигрыши). Таким образом мы смоделируем возможные последствия для нашего счета потенциального роста рынка в самом начале наших предстоящих торгов, в то время как мы ошибочно заняли короткую позицию. Ну а все остальные расчеты для тех случаев, когда мы делаем ставку на понижательный тренд, делается аналогичным образом, как и для длинной позиции.

Таким образом в главе 4 мы научились в Excel:

1. Рассчитывать стоп-лоссы и тейк-профиты с определенной вероятностью их срабатывания.

2. Находить в динамике курса валют наибольший проигрыш за один торговый день и, накопленный наибольший проигрыш, полученный в течение нескольких торговых дней.

3. Искать по имеющимся рыночным данным оптимальную торговую долю счета f. 4. Находить оптимальное число торгуемых микролотов (минилотов и стандартных лотов) с учетом суммы средств, имеющихся на первоначальном счете трейдера.

4. Оценивать по прошлым рыночным данным ожидаемые результаты торгов с оптимальным числом микролотов (минилотов и стандартных лотов).

4.3. Работа над закреплением пройденного материала

С учетом этого полученной в этой главе информации предлагаю читателю проверить свои знания, решив следующие два задания.

Задание 4.1

Шаг 1. Рассчитайте, по данным по курсу евро к рублю стоп-лоссы и тейк-профиты на 1 декабря 2014 года в пересчете на курсовую стоимость евро к рублю с 1%, 2%, 55, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70% и 80% вероятностью их срабатывания. По данным за какой период стоит в данном случае рассчитывать стоп-лоссы и тейк-профиты? Напомню, что эти данные Вы загрузили, решая задание 1.1, и уже работали с ними в предыдущих главах.

Шаг 2. Найдите в динамике по курсу евро к рублю наибольший проигрыш за один торговый день и накопленный наибольший проигрыш, полученный в течение нескольких торговых дней.

Шаг 3. Определите по имеющимся рыночным данным по курсу евро к рублю оптимальную торговую долю счета f. При этом предположим, что спред по этой паре для стандартного лота равен 200 пунктам.

Шаг 4. Найдите для торговли по курсу евро к рублю оптимальное число торгуемых микролотов с учетом 100 тыс. рублей, имеющихся на первоначальном счете трейдера.

Шаг 5. Оцените по прошлым рыночным данным по курсу евро к рублю ожидаемые результаты торгов с оптимальным числом микролотов.

Задание 4.2

Шаг 1. Рассчитайте, по данным по курсу евро к доллару стоп-лоссы и тейк-профиты на 1 декабря 2014 года в пересчете на курсовую стоимость евро к доллару с 1%, 2%, 55, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70% и 80% вероятностью их срабатывания. По данным за какой период стоит в данном случае рассчитывать стоп-лоссы и тейк-профиты. Напомню, что эти данные Вы загрузили, решая задание 1.2, и уже работали с ними в предыдущих главах.

Шаг 2. Найдите в динамике по курсу евро к доллару наибольший проигрыш за один торговый день и накопленный наибольший проигрыш, полученный в течение нескольких торговых дней.

Шаг 3. Определите по имеющимся рыночным данным по курсу евро к доллару оптимальную торговую долю счета f. При этом предположим, что спред по этой паре для стандартного лота равен 2 пунктам.

Шаг 4. Найдите для торговли по курсу евро к доллару оптимальное число торгуемых микролотов с учетом 10000 долларов, имеющихся на первоначальном счете трейдера.

Шаг 5. Оцените по прошлым рыночным данным по курсу евро к доллару ожидаемые результаты торгов с оптимальным числом микролотов.

Глава 5. Задания на повторение всего пройденного материала

С учетом информации, полученной в главах 1-4, предлагаю читателю проверить свои знания, решив в этой главе задания по всему пройденному материалу.

Задания 5.А

Задание 5А.1

Шаг 1. Для выполнения этого задания нам нужны данные по паре британский фунт/доллар США за период с 1 июля 1992 года по 1 декабря 2014 года.

Шаг 2. Данных по этой валютной паре нет на сайте Банка России. Поэтому на сайте ЦБ РФ нужно скачать за этот период данные по курсу британского фунта к рублю и по курсу доллара США к рублю и поделить первые на вторые. Формула расчета будет следующая: (GBP/RUB)/(USD/RUB)=GBP/USD.

Шаг 3. Проведите первичную обработку данных для дальнейшей работы с ними, как мы это уже делали ранее. В данном случае потребуется только сдвинуть дату итогов котировки валютной пары на один день назад.

Шаг 4. Постройте график с данными по курсу фунта к доллару.

Шаг 5. Проведите оптимизацию масштаба графика по курсу фунта к доллару с учетом значений анализируемых данных перед началом торгов 1 декабря 2014 года, в которых Вы собираетесь участвовавть.

Шаг 6. Постройте графическим способом линейный тренд по курсу фунта к доллару.

Шаг 7. Найдите и постройте графическим способом линейный тренд с высоким коэффициентом детерминации по курсу фунта к доллару.

Задание 5А.2

Шаг 1. Решите однофакторное уравнение регрессии по данным по курсу фунта к доллару.

Шаг 2. Проверьте в целом статистическую значимость уравнения регрессии, решенного по данным по курсу фунта к доллару, а также отдельных включенных в него переменных.

Шаг 3. Дайте интерпретацию полученному уравнению регрессии.

Шаг 4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации по остаткам уравнения регрессии, решенного по данным по курсу фунта к доллару.

Шаг 5. Проверьте графическим способом автокорреляцию в остатках уравнения регрессии, решенного по данным по курсу фунта к доллару. Оцените с учетом автокорреляции адекватность полученного уравнения регрессии.

Задание 5А.3

Шаг 1. Решите двухфакторное уравнение регрессии по данным по курсу фунту к доллару.

Шаг 2. Проверьте в целом статистическую значимость двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу фунту к доллару, а также отдельных включенных в него переменных.

Шаг 3. Дайте интерпретацию полученному уравнению регрессии.

Шаг 4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации по остаткам двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу фунту к доллару.

Шаг 5. Проверьте графическим способом автокорреляцию в остатках двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу фунту к доллару, что позволяет оценить адекватность соответствующего уравнения регрессии. Сравните однофакторное и двухфакторное уравнения регрессии, решенные по данным по курсу фунту к доллару.

Шаг 6. Составьте по двухфакторному уравнению регрессии, решенному по данным по курсу фунту к доллару, точечный и интервальный прогноз по тренду на 1 декабря 2014 года, то есть на день планируемого Вами участия в торгах, а также рассчитайте интервальный прогноз по диапазону тренда.

Задание 5А.4

Шаг 1. Рассчитайте стоп-лоссы и тейк-профиты на 1 декабря 2014 года в пересчете на курсовую стоимость фунту к доллару с 1%, 2%, 55, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70% и 80% вероятностью их срабатывания. По данным за какой период стоит в данном случае рассчитывать стоп-лоссы и тейк-профиты.

Шаг 2. Найдите в динамике по курсу фунту к доллару наибольший проигрыш за один торговый день и накопленный наибольший проигрыш, полученный в течение нескольких торговых дней.

Шаг 3. Определите по имеющимся рыночным данным по курсу фунту к доллару оптимальную торговую долю счета f. При этом предположим, что спред по этой паре для стандартного лота равен 4 пунктам.

Шаг 4. Найдите для торговли по курсу фунту к доллару оптимальное число торгуемых микролотов с учетом 10000 американских долларов, имеющихся на первоначальном счете трейдера.

Шаг 5. Оцените по прошлым рыночным данным по курсу фунту к доллару ожидаемые результаты торгов с оптимальным числом микролотов.

***

Задания 5.Б

Задание 5Б.1

Шаг 1. Для выполнения этого задания нам нужны данные по паре австралийский доллар/доллар США за период с 1 июля 1992 года по 1 декабря 2014 года.

Шаг 2. Данных по этой валютной паре нет на сайте Банка России. Поэтому для того чтобы получить курс австралийского доллара к доллару США на сайте ЦБ РФ нужно скачать за этот период данные по курсу австралийского доллара к рублю и по курсу доллара США к рублю и поделить первые на вторые. Формула расчета будет следующая: (AUD/RUB)/(USD/RUB)=AUD/USD.

Шаг 3. Проведите первичную обработку данных для дальнейшей с ними работы, как мы это уже делали ранее. При этом потребуется только сдвинуть дату итогов котировки валютной пары на день назад.

Шаг 4. Постройте график с данными по курсу австралийского доллара к доллару США.

Шаг 5. Проведите оптимизацию масштаба графика курсу австралийского доллара к доллару США с учетом значений анализируемых данных перед началом торгов 1 декабря 2014 года, в которых Вы собираетесь участвовавть.

Шаг 6. Постройте графическим способом линейный тренд по курсу австралийского доллара к доллару США.

Шаг 7. Найдите и постройте графическим способом линейный тренд с высоким коэффициентом детерминации по курсу австралийского доллара к доллару США.

Задание 5Б.2

Шаг 1. Решите однофакторное уравнение регрессии по данным по курсу австралийского доллара к доллару США.

Шаг 2. Проверьте в целом статистическую значимость уравнения регрессии, решенного по данным по курсу австралийского доллара к доллару США, а также отдельных включенных в него переменных.

Шаг 3. Дайте интерпретацию полученному уравнению регрессии.

Шаг 4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации по остаткам уравнения регрессии, решенного по данным по курсу австралийского доллара к доллару США.

Шаг 5. Проверьте графическим способом автокорреляцию в остатках уравнения регрессии, решенного по данным по курсу австралийского доллара к доллару США. Оцените с учетом автокорреляции адекватность полученного уравнения регрессии.

Задание 5Б.3

Шаг 1. Решите двухфакторное уравнение регрессии по данным по курсу австралийского доллара к доллару США.

Шаг 2. Проверьте в целом статистическую значимость двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу австралийского доллара к доллару США, а также отдельных включенных в него переменных.

Шаг 3. Дайте интерпретацию полученному уравнению регрессии.

Шаг 4. Найдите среднюю ошибку аппроксимации по остаткам двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу австралийского доллара к доллару США.

Шаг 5. Проверьте графическим способом автокорреляцию в остатках двухфакторного уравнения регрессии, решенного по данным по курсу австралийского доллара к доллару США, что позволяет оценить адекватность соответствующего уравнения регрессии. Сравните однофакторное и двухфакторное уравнения регрессии, решенные по данным по курсу австралийского доллара к доллару США.

Шаг 6. Составьте по двухфакторному уравнению регрессии, решенному по данным по курсу австралийского доллара к доллару США, точечный и интервальный прогноз по тренду на 1 декабря 2014 года, то есть на день планируемого Вами участия в торгах, а также рассчитайте интервальный прогноз по диапазону тренда.

Задание 5Б.4

Шаг 1. Рассчитайте стоп-лоссы и тейк-профиты на 1 декабря 2014 года в пересчете на курсовую стоимость австралийского доллара к доллару США с 1%, 2%, 55, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70% и 80% вероятностью их срабатывания. По данным за какой период стоит в данном случае рассчитывать стоп-лоссы и тейк-профиты.

Шаг 2. Найдите в динамике по курсу австралийского доллара к доллару США наибольший проигрыш за один торговый день и накопленный наибольший проигрыш, полученный в течение нескольких торговых дней.

Шаг 3. Определите по имеющимся рыночным данным по курсу австралийского доллара к доллару США оптимальную торговую долю счета f. При этом предположим, что спред по этой паре для стандартного лота равен 4 пунктам.

Шаг 4. Найдите для торговли по курсу австралийского доллара к доллару США оптимальное число торгуемых микролотов с учетом 10000 американских долларов, имеющихся на первоначальном счете трейдера.

Шаг 5. Оцените по прошлым рыночным данным по курсу австралийского доллара к доллару США ожидаемые результаты торгов с оптимальным числом микролотов.

***

С теми моими читателями, кому для лучшего усвоения материала книги потребуются дополнительные консультации, разъяснения или помощь в решении заданий, автор готов пообщаться по скайпу. Узнать об условиях получения консультаций по книге, а также записаться на консультацию можно по следующему адресу электронной почты: bryukov@bk.ru

Владимир Георгиевич Брюков, независимый аналитик

Использованная литература

Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. Пер. под ред. Ю.К. Беляева. Издательство «Мир», М., 1976

Брюков В. Г.«Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews». ‑ М.: КНОРУС; ЦИПСиР, 2011.

И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. Общая теория статистики: Учебник/Под ред. чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. ‑ М.: Финансы и статистика, 1995

Н. Дрейпер, Г. Смит Прикладной регрессионный анализ/Изд. втор. пер. ‑ М.: Финансы и статистика, 1986.

Н.И. Макарова, В.Я. Трофимец «Статистика в Excel»: Учеб. пособие. – М.: изд. Финансы и статистика, 2003

Ральф Винс. «Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров» ‑ М.: Альпина Паблишер, 2007.

Турунцева М.Ю. Анализ временных рядов / МИЭФ ГУ-ВШЭ. – М., 2003.

Четыркин Е. М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. – М., Финансы и статистика, 1982.

Эконометрика: Учебник /И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. ‑ 2-е изд., пер. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006.

© Брюков Владимир Георгиевич, Иваново, 2017 г.

Все вопросы по поводу содержания книги можно задать автору по электронной почте: bryukov@bk.ru

Content

Брюков Владимир Георгиевич Как предсказать курс доллара. Расчеты в Excel для снижения риска проигрыша

Предисловие

Об авторе

Глава 1. Как в Excel графическим способом найти тренд

1.1. Строим график валютного курса

1.2. Ищем на рынке текущий тренд

1.3. Работа над закреплением пройденного материала

Глава 2. Как в Excel решить однофакторное уравнение регрессии для линейного тренда

2.1. Решаем уравнение регрессии

2.2. Вывод итогов и оценка параметров уравнения регрессии

2.3. Тестируем автокорреляцию в остатках

2.4. Работа над закреплением пройденного материала

Глава 3. Как устранить автокорреляцию в остатках и решить двухфакторное уравнение регрессии

3.1. Решаем двухфакторное уравнение регрессии

3.2. Сравнение двухфакторного и однофакторного уравнений регрессии

3.3. Прогнозы на день торгов

3.4. Работа над закреплением пройденного материала

Глава 4. Расчеты, необходимые для снижения потерь при биржевой торговле валютой

4.1.Тейк-профиты и стоп-лоссы

4.2. Какой долей счета торговать

4.3. Работа над закреплением пройденного материала

Глава 5. Задания на повторение всего пройденного материала

Задания 5.А

Задания 5.Б

Использованная литература