Стивен Хокинг

На плечах гигантов

© Стивен Хокинг, 2004

© The Book Laboratory Inc. (иллюстрации), 2004

© ООО «Издательство АСТ», 2018

* * *

О приведенных фрагментах

Приведенные в этой книге фрагменты сочинений великих ученых взяты из авторитетных опубликованных переводов, переведены впервые («Гармония мира») или переведены специалистами заново («Принцип относительности»).

Другие важные замечания

Трактат «О вращении небесных сфер» Николая Коперника вышел в свет в 1543 году под заголовком De revolutionibus orbium coelestium.

«Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук» Галилео Галилея выпущены в свет в 1638 году под заголовком Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali в голландском издательском доме Эльзевиров, основанном Лодевейком Эльзевиром.

Мы выбрали Пятую книгу из «Гармонии мира» Иоганна Кеплера. Эту работу Кеплер завершил 27 мая 1618 года, и она вышла в свет под заголовком Harmonices Mundi.

«Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона вышли в свет в 1687 году под заголовком Philosophiae naturalis principia mathematica.

Мы выбрали пять работ Альберта Эйнштейна из сборника «Принцип относительности» Х. Лоренца, А. Вайля, А. Эйнштейна и Г. Минковского, вышедшего в 1922 году под заголовком Das Relativitätsprinzip.

Вселенная по Птолемею. Птолемей, один из самых авторитетных гре-ческих астрономов того времени, предложил геоцентрическую теорию, сохранявшую главенствующее положение в течение 1400 лет. Представления Птолемея о Солнце, планетах и звездах давно признаны ошибочными, однако наше мировосприятие остается птолемеевским. Мы говорим, что Солнце восходит на востоке (хотя по отношению к Земле Солнце неподвижно), по-прежнему наблюдаем вращение небес над головой и ориентируемся на север, юг, запад и восток, словно забывая, что Земля круглая.

Введение

«Я видел дальше других лишь потому, что стоял на плечах гигантов», – писал Исаак Ньютон Роберту Гуку в 1676 году. Хотя Ньютон имел в виду свои открытия в оптике, а не более важный труд по законам всемирного тяготения и движения, этот афоризм очень точно отражает суть научного прогресса, как и развития цивилизации вообще: прогресс – это последовательность достижений, каждое из которых основано на том, что было сделано раньше. Именно такова тема этой интереснейшей книги, где читатель имеет возможность по оригинальным текстам проследить эволюцию нашей картины устройства небес – от революционного заявления Николая Коперника, что Земля вращается вокруг Солнца, до не менее революционного заявления Альберта Эйнштейна, что пространство и время искривлены и искажены массой и энергией. Перед нами – очень увлекательная история, ведь и Коперник, и Эйнштейн коренным образом изменили наши представления о порядке вещей. Мы распрощались со своим привилегированным положением в центре Вселенной, с вечностью и неизменностью, даже с Абсолютным Пространством и Временем, на смену которым пришли резиновые листы.

Неудивительно, что обе теории встретили яростный отпор: в случае теории Коперника это была инквизиция, в случае теории относительности – фашисты. Сегодня мы склонны отмахиваться от более ранних картин мира, которые предлагали Аристотель и Птолемей, где Земля была в центре мироздания, а Солнце вращалось вокруг: они кажутся нам примитивными. Однако презрения эта модель вовсе не заслуживает, и простенькой ее не назовешь. В ней учитывался вывод Аристотеля, что Земля – не плоский диск, а круглый шар, к тому же она достаточно точно выполняла свое основное назначение, то есть позволяла предсказывать видимое положение небесных тел на небосводе для астрологических целей. В сущности, модель Птолемея была ничуть не менее точной, чем еретическое предположение, что Земля и планеты вращаются по круглым орбитам вокруг Солнца, которое выдвинул Коперник в 1543 году.

Галилей посчитал предположение Коперника правдоподобным не потому, что оно лучше соответствовало наблюдаемым позициям планет, а потому, что оно отличалось простотой и элегантностью в противоположность запутанным эпициклам модели Птолемея. В «Математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки» персонажи Галилея – Сальвиати и Сагредо – выдвигают убедительные доводы в пользу Коперника. Однако автор дает возможность третьему персонажу – Симпличио – отстаивать правоту Аристотеля и оставаться при мнении, что Земля покоится, а Солнце вращается вокруг нее.

Геоцентрическая модель окончательно утратила правдоподобие лишь после того, как Кеплер уточнил гелиоцентрическую модель, а Ньютон снабдил ее законами движения. Это был серьезнейший сдвиг в наших представлениях о Вселенной: если мы не в центре, каков тогда смысл нашего существования? Какое дело Господу Богу и законам природы до того, что творится на третьем камешке от Солнца, куда забросил нас Коперник? Современные ученые, что называется, перекоперниковали Коперника – пытаются построить модель Вселенной, где человек (которому пора перестать зазнаваться) не играет вообще никакой роли. Хотя этот подход позволил сформулировать объективные безличные законы, управляющие Вселенной, он так и не сумел объяснить, по крайней мере пока, почему Вселенная устроена именно так, а не иначе, ведь законы физики допускают и другие конфигурации вселенных.

Некоторые ученые утверждают, что это лишь временное затруднение: как только мы выведем теорию всего, она однозначно предскажет и состояние Вселенной, и силу гравитации, и массу и заряд электрона, и так далее. Однако многие особенности Вселенной (например, то, что мы живем на третьем камешке, а не на втором или четвертом) представляются очень уж произвольными и случайными, едва ли их предскажет какая-то всесильная главная формула. Многие, в том числе и я, считают, что появление такой сложной структурированной Вселенной на основании простых законов требует так называемого антропного принципа, который возвращает нам привилегированное центральное положение, на которое мы стеснялись претендовать со времен Коперника. Антропный принцип основан на самоочевидном факте, что мы не стали бы задавать вопросы о природе Вселенной, если бы в ней не было звезд, планет и стабильных химических соединений наряду с остальными предпосылками для зарождения жизни (разумной?) в привычном для нас виде. Если теория всего однозначно опишет состояние Вселенной и ее содержимого, это состояние попадет в крошечное подмножество вариантов, допускающих зарождение жизни, что будет крайне примечательным совпадением.

Однако труды последнего мыслителя из нашего сборника – Альберта Эйнштейна – допускают и другую возможность. Эйнштейн сыграл важную роль в развитии квантовой теории, согласно которой у системы, оказывается, не одна история, как можно было бы подумать, а несколько, более того, у нее есть все возможные истории, но у каждой своя вероятность. Кроме того, Эйнштейн – практически единственный творец общей теории относительности, в рамках которой пространство и время искривлены и наделены динамикой. Это означает, что на них распространяются законы квантовой теории – а следовательно, у самой Вселенной есть все возможные формы и истории. Большинство историй совсем не подходят для развития жизни, однако найдется несколько, в которых соблюдены все условия. И пусть вероятность этих историй очень мала по сравнению с остальными – это неважно: ведь если во Вселенной нет жизни, ее некому наблюдать. Хватает и того, что существует по крайней мере одна история, в которой развивается жизнь, и мы с вами тому свидетельство, хотя, вероятно, эта честь досталась нам не за разумность. Ньютон говорил, что «стоял на плечах гигантов». Однако, как ясно видно из этой книги, наше понимание устройства мироздания не развивается медленно и постепенно, нам недостаточно просто изучать работы предшественников. Иногда – как было с Коперником и Эйнштейном – нам нужно совершить интеллектуальный скачок и коренным образом изменить картину мира. Быть может, Ньютону надо было сказать: «Я прыгнул с плеч гигантов, как с трамплина».

Николай Коперник (1473–1543)

Жизнь и деятельность

Николая Коперника, польского священника и математика, жившего в XVI веке, часто называют отцом современной астрономии. Это почетное звание досталось ему потому, что он первым пришел к выводу, что Солнце и планеты не вращаются вокруг Земли. Разумеется, мысль о том, что Вселенная гелиоцентрична, то есть в ее центре находится Солнце, а не Земля, высказывалась уже давно: об этом говорил еще Аристарх (ум. в 230 г. до н. э.). Однако до Коперника никто не задумывался об этом всерьез. И все же, чтобы понять, насколько огромен вклад Коперника в развитие науки, важно учесть, как оценивали подобное открытие религия и культура того времени.

Еще в IV веке до н. э. греческий мыслитель и философ Аристотель (384–322 до н. э.) описал планетную систему в своей книге «О небе» (De Caelo) и сделал вывод, что поскольку во время затмений тень Земли на Луне всегда круглая, мир не плоский, а шарообразный. Кроме того, Аристотель предположил, что Земля круглая, на основании того, что если наблюдать за удаляющимся кораблем, легко заметить, что его корпус скрывается за горизонтом раньше парусов.

Согласно геоцентрическим представлениям Аристотеля Земля неподвижна, а планеты – Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн, – а также Солнце и Луна движутся вокруг Земли по круглым орбитам. Кроме того, Аристотель считал, что звезды неподвижно закреплены на небесной сфере, и по его масштабам Вселенной получалось, что расположена эта звездная сфера сразу за орбитой Сатурна. Аристотель был уверен, что все движение происходит по идеальным окружностям, и подвел надежную базу под то, что Земля неподвижна. Ведь если бросить камень с вершины высокой башни, он упадет прямо вниз. Он не полетит на запад, как можно было бы ожидать, если бы Земля вращалась с запада на восток (Аристотель не учитывал, что сам камень может участвовать во вращении Земли). В попытке примирить физику с метафизикой Аристотель выдвинул гипотезу «перводвигателя»: он считал, что за наблюдаемым движением звезд на небесной сфере стоит какая-то загадочная сила. Эту модель Вселенной приветствовали и приняли богословы, которые зачастую утверждали, что «перводвигатели» – это ангелы, поэтому представления Аристотеля не теряли актуальности на протяжении столетий. Многие современные исследователи считают, что из-за того, что религиозные власти повсеместно приняли теорию Аристотеля, сильно замедлился научный прогресс: оспорить представления Аристотеля значило пойти против самой церкви.

Геоцентрическая модель Вселенной Птолемея.

Через 500 лет после смерти Аристотеля египтянин по имени Клавдий Птолемей (ок. 100–170 н. э.) предложил модель Вселенной, которая точнее предсказывала движение и поведение небесных сфер. Птолемей, как и Аристотель, считал, что Земля неподвижна. Предметы падают к центру Земли, заключил он, поскольку Земля закреплена в центре Вселенной. В дальнейшем Птолемей разработал систему движения небесных тел по эпициклам (окружностям, центры которых, в свою очередь, движутся по окружностям большего диаметра). Для этого он несколько сместил Землю с центра Вселенной и этот новый центр назвал «эквант»; это воображаемая точка, позволяющая учесть наблюдаемое движение планет. Подобрав размеры окружностей, Птолемей смог точнее предсказывать движение небесных тел. Геоцентрическая система Птолемея не особенно противоречила идеям западного христианства, поскольку оставляла во Вселенной простор за сферой неподвижных звезд, где вполне могли разместиться небеса и преисподняя, поэтому Церковь приняла модель Птолемея и объявила ее истинной.

Картина мира по Птолемею и Аристотелю, претерпев несколько существенных уточнений, главенствовала на протяжении более тысячи лет. Лишь в 1514 году польский священник Николай Коперник возродил гелиоцентрическую модель Вселенной. Коперник предложил применять ее исключительно как модель для вычисления положения планет, поскольку опасался, что Церковь объявит его еретиком, если он объявит, что его гипотеза описывает реальность. Изучение движения планет убедило Коперника, что Земля – всего лишь планета, такая же, как все, а в центре Вселенной находится Солнце. Эта гипотеза и получила название «гелиоцентрическая модель». Революционное открытие Коперника стало одним из величайших переворотов в мировоззрении за всю историю человечества, положило начало современной астрономии и оказало колоссальное влияние на науку, философию и религию в целом. Немолодой священник не спешил разглашать свою теорию, чтобы не навлечь на себя гнев церковников, и поделился своими наблюдениями лишь с несколькими астрономами.

Гелиоцентрическая модель Вселенной Коперника.

Эпохальный труд Коперника De Revolutionibus вышел в свет, когда сам ученый был уже на смертном одре – в 1543 году. Коперник не дожил до того, чтобы своими глазами увидеть, какое смятение вызвала гелиоцентрическая теория.

Коперник родился 19 февраля 1473 года в городе Торуни в Польше, в семье купцов и чиновников городской управы. В семье очень ценили хорошее образование. Его дядя Лукаш Ватценроде, епископ-князь Варминский, дал племяннику лучшее академическое образование, какое только можно было получить в Польше. В 1491 году Коперник поступил в Краковский университет, где четыре года проходил общеобразовательный курс, а затем отправился в Италию изучать медицину и юриспруденцию, как было принято у польской знати той эпохи. Во время обучения в Болонском университете, где он впоследствии занял пост профессора астрономии, Коперник жил в доме Доменико Марии де Наваро, знаменитого математика, и стал его учеником. Наваро скептически относился к Птолемею и считал, что астрономия II века давно устарела. В ноябре 1500 года Коперник наблюдал в Риме лунное затмение. Он сохранил страсть к астрономии, хотя еще несколько лет провел в Италии за изучением медицины.

Получив степень доктора церковного права, Коперник вернулся в Польшу и служил врачом при епископском дворе Гейльсберга (Лидзбарк-Варминьски), где жил его дядя. Услуги Коперника были востребованы среди местной знати и высшего духовенства, однако он почти все время посвящал лечению бедняков. При епископском дворе он занимался также административными делами епархии, а также стал советником дяди. После смерти дяди в 1512 году Коперник переселился во Фромборк и остаток дней посвятил духовным обязанностям каноника. Однако он оставался математиком, медиком и богословом и только теперь приступил к работе над трактатом, прославившим его в веках.

Интерес к астрономии у Коперника пробудился в 1500 году, когда он наблюдал лунное затмение.

В марте 1513 года Коперник приобрел у своего капитула 800 обтесанных камней и бочку извести и приступил к оборудованию обсерватории в башне. Там он наблюдал Солнце, Луну и звезды при помощи всевозможных астрономических инструментов – квадрантов, параллактической линейки, астролябии. На следующий год он написал «Малый комментарий о гипотезах, относящихся к небесным движениям» (De hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus), однако публиковать трактат отказался и лишь тайно показывал его избранным друзьям. «Малый комментарий…» стал первой попыткой вынести на обсуждение астрономическую теорию, согласно которой Земля движется, а Солнце находится в покое. Астрономическая система Аристотеля и Птолемея, главенствовавшая в западной культуре в течение столетий, перестала устраивать Коперника. Он считал, что центр Земли – не центр Вселенной, а всего лишь центр орбиты Луны. Коперник пришел к убеждению, что наблюдаемые пертурбации в наблюдаемом движении планет – это результат вращения самой Земли вокруг своей оси и ее перемещения по орбите. «Мы вращаемся вокруг Солнца, как любая другая планета», – писал он в «Комментарии».

Птолемей с армиллярной сферой. Птолемея часто путали с египетскими фараонами и поэтому изображали с короной на голове.

Предположение, что центр Вселенной – не Земля, а Солнце, высказывал еще Аристарх в III веке до н. э., однако интеллектуалам и богословам больше импонировала геоцентрическая теория, так что всерьез ее никто, пожалуй, не оспаривал. Коперник благоразумно воздержался от обнародования своих воззрений и предпочел продолжать исследования, не привлекая к себе внимания, проводил математические расчеты, строил хитроумные чертежи и следил, чтобы его идеи не распространялись дальше кружка избранных друзей. Когда в 1514 году папа Лев X приказал епископу Фоссомбронскому узнать мнение Коперника о реформе церковного календаря, польский астроном ответил, что имеющихся знаний о движении Солнца и Луны на протяжении года недостаточно, чтобы даже задумываться о реформе. Однако задача, похоже, увлекла Коперника, поскольку впоследствии он написал папе Павлу III – тому самому, который поручил Микеланджело расписать Сикстинскую капеллу, – и рассказал ему о некоторых своих наблюдениях в соответствующей области, которые семьдесят лет спустя легли в основу григорианского календаря.

И все же Коперник боялся осуждения со стороны общества и церкви и долгие годы втайне расширял и дорабатывал свой «Комментарий». Результатом этих трудов стал трактат «О вращениях небесных сфер» (De Revolutionibus Orbium Coelestium), который Коперник завершил в 1530 году, однако воздерживался от публикации в течение 13 лет. Надо отметить, что нежелание обнародовать трактат было вызвано не только риском навлечь на себя проклятие церкви. Коперник во всем стремился к совершенству и считал необходимым постоянно проверять и пересматривать свои наблюдения.

Он по-прежнему выступал с лекциями о принципах планетной теории, в том числе и перед папой Климентом VII, который одобрил его труды. В 1536 году Климент официально потребовал, чтобы Коперник рассказал о своих теориях публично. Однако убедить Коперника выпустить «О вращениях…» в свет сумел лишь двадцатипятилетний Георг Иоахим фон Ретик из Германии, бывший ученик Коперника, который отказался от кафедры математики в Виттенберге ради возможности учиться у него. В 1540 году Ретик помог отредактировать рукопись и представил ее одному издателю-лютеранину в Нюрнберге, положив, в сущности, начало коперниканскому перевороту.

Трактат «О вращениях…» вышел в свет в 1543 году и сразу же подвергся нападкам протестантских богословов, которые сочли, что концепция гелиоцентрической Вселенной противоречит Библии. Они рассудили, что теории Коперника могут привести человека к убеждению, что он всего лишь часть естественного порядка вещей, а вовсе не властелин природы, не центр, вокруг которого организовано все в природе. Из-за противодействия церковников, а возможно, и из-за общего недоверия к идее негеоцентрической Вселенной теорию Коперника за период с 1543 до 1600 года приняло не больше десятка ученых. Тем не менее Коперник не сделал ничего, чтобы преодолеть главную проблему, возникающую в системе, где Земля вращается вокруг своей оси (и по орбите вокруг Солнца): если Земля вертится, непонятно, как на ней удерживаются предметы. Ответ на этот вопрос предложил Джордано Бруно, итальянский ученый, открыто следовавший идеям Коперника, который к тому же предположил, что у пространства нет границ, а Солнечная система, вероятно, лишь одна из множества подобных систем во Вселенной. Кроме того, Бруно разрабатывал некоторые чисто спекулятивные области астрономии, которые Коперник не затронул в трактате «О вращениях…». Итальянский ученый в своих сочинениях и выступлениях утверждал, что во Вселенной бесконечно много планет, населенных разумными существами, и среди них, вероятно, найдутся и те, кто превосходит людей. Подобная дерзость Бруно привлекла внимание инквизиции, он был отдан под суд и признан виновным в ереси. В 1600 году Джордано Бруно сожгли на костре.

Союз Теологии с Астрономией. Церковь требовала, чтобы астрономические теории соответствовали официальным богословским догматам.

Однако в целом труд Коперника не оказал непосредственного влияния на астрономию того времени. В трактате «О вращениях…» Коперник предлагал, строго говоря, не гелиоцентрическую, а гелиостатическую модель. Он считал, что Солнце находится не в самом центре Вселенной, а очень близко от него: иначе невозможно было объяснить наблюдаемые отклонения в движении планет с востока на запад и в их яркости. Он утверждал, что Земля делает один полный оборот вокруг своей оси в сутки и один полный оборот по орбите вокруг Солнца в год. В первой книге из шести Коперник выступил с критикой системы Птолемея, в которой все небесные тела вращаются по орбитам вокруг Земли, и установил правильный гелиоцентрический порядок: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн (в то время были известны лишь эти шесть планет). Во второй книге Коперник при помощи математических расчетов (эпициклов и эквантов) объяснил движение звезд и планет и заключил, что движение Солнца совпадает с движением Земли. В третьей книге дано математическое обоснование прецессии равноденствий, которую Коперник считает следствием вращения Земли вокруг своей оси. Оставшиеся книги «О вращениях…» повествуют в основном о движении планет и Луны.

Коперник первым верно определил положение Венеры и Меркурия и с удивительной точностью установил порядок известных планет и расстояние между ними. Он заметил, что Венера и Меркурий ближе к Солнцу, и обратил внимание на то, что они вращаются в пределах орбиты Земли с большей скоростью.

Коперник с макетом гелиоцентрической модели Вселенной.

До Коперника считалось, что Солнце – тоже планета. Началом коперниканского переворота и стало помещение Солнца приблизительно в центр планетной системы. Поскольку Коперник сместил Землю с центра Вселенной, где она, как предполагалось, удерживала все остальные небесные тела, ему пришлось разбираться с теориями гравитации. Докоперниковские гипотезы о гравитации предполагали существование лишь одного центра тяготения, Земли, однако Коперник предположил, что у каждого небесного тела, вероятно, свои гравитационные качества, и утверждал, что все тяжелые объекты притягиваются к собственному центру. Это наблюдение в конечном итоге привело к формулировке закона всемирного тяготения, однако произошло это не сразу и не напрямую.

К 1543 году Коперника разбил правосторонний паралич, он заметно сдал и физически, и умственно. При всем своем стремлении к совершенству он, очевидно, был вынужден доверить судьбу своей рукописи кому-то другому на последних этапах издания. Коперник поручил заниматься публикацией «О вращениях…» своему ученику Георгу Ретику, но когда Ретик был вынужден покинуть Нюрнберг, рукопись попала в руки лютеранскому богослову Андреасу Осиандеру. Осиандер, рассчитывая умиротворить сторонников геоцентрической теории, без ведома и согласия Коперника внес в текст несколько поправок. Он поместил на титульный лист слово «гипотеза», убрал несколько важных абзацев и добавил собственные сентенции, что значительно ослабило авторитет книги и лишило ее убедительности. Рассказывают, что Коперник на смертном одре во Фромборке получил экземпляр своей книги, не подозревая о поправках Осиандера. Почти на сто лет о его идеях почти забыли, но затем настал XVII век, когда великие мыслители – Галилео Галилей, Иоганн Кеплер и Исаак Ньютон – выдвинули свои теории гелиоцентрической вселенной и, в сущности, развенчали воззрения Аристотеля. О скромном польском священнике, перевернувшем представления человечества о Вселенной, писали многие, но лучше всего об открытиях Коперника сказал, пожалуй, немецкий писатель Иоганн Вольфганг Гёте.

«Ни одно из открытий и мнений не может сравниться по силе воздействия на дух человеческий с учением Коперника. Только мы убедились, что наша планета круглая и самодостаточная, как от нее уже потребовали отказаться от колоссальной чести быть центром Вселенной. Вероятно, от человечества еще никогда не требовали подобной жертвы, ведь одно это допущение обратило в дым, в туман столько всего! Что сталось с Раем, с нашем миром невинности, поэзии и благочестия, со свидетельствами органов чувств, с убеждениями поэтически-религиозной веры? Неудивительно, что современники Коперника не желали от всего этого отказываться и всеми силами сопротивлялись учению, которое пробуждало и требовало от своих сторонников свободы воззрений и величия мысли, каких доселе не знали – да и не мечтали о них».

Иоганн Вольфганг Гёте

Коперниканская модель Вселенной с точки зрения астрологии. Те, кто изучал «небеса», не делали различия между астрономией и астрологией. Эти дисциплины называли «небесными науками».

О вращениях небесных сфер

К читателю. О предположениях, лежащих в основе этой книги[1]

Я не сомневаюсь, что после того как распространилась молва о новизне гипотезы, лежащей в основе этой книги, согласно которой Земля движется, а Солнце остается неподвижным в середине мира, некоторые ученые будут сильно поражены и выскажут мнение, что не следует ниспровергать издавна правильно обоснованные свободные искусства. Однако если они захотят как следует обдумать, то обнаружат, что автор этого произведения не совершил ничего, что заслуживало бы порицания.

Действительно, всякому астроному свойственно на основании тщательных и искусных наблюдений составлять повествование о небесных движениях. Затем, поскольку никакой разум не в состоянии исследовать истинные причины или гипотезы этих движений, астроном должен изобрести и разработать хоть какие-нибудь гипотезы, при помощи которых можно было бы на основании принципов геометрии правильно вычислять эти движения как для будущего, так и для прошедшего времени. И то и другое искусный автор этой книги выполнил в совершенстве. Ведь нет необходимости, чтобы эти гипотезы были верными или даже вероятными, достаточно только одного, чтобы они давали сходящийся с наблюдениями способ расчета, если, конечно, предположить, что не будет настолько несведущих в геометрии и оптике людей, которые находили бы правдоподобной гипотезу об эпицикле Венеры и считали бы его как раз причиной того, что эта планета иногда предшествует Солнцу, иногда же следует за ним, удаляясь на расстояние, равное сорока градусам и даже больше. Ведь кто же не видит, что из этого предположения необходимо следует, что в перигее диаметр светила будет казаться более чем в четыре раза, а тело его более чем в шестнадцать раз большими тех, которые являются в апогее, что, однако, противоречит опыту всех времен[2].

В рассматриваемом учении имеются и другие не менее нелепые вещи, разбирать которые в настоящее время нет никакой надобности. Ведь и так уже достаточно ясно, что наука совсем не знает простых и глубоких причин видимых неравномерных движений. И если она, вымышляя, и придумывает их, а она, конечно, придумывает их в очень большом количестве, то все же она никоим образом не придумает таких, которые могли бы убедить кого-нибудь в том, что именно так дело и обстоит в действительности; она сможет убедить только в том, что эти гипотезы дают правильные основы для расчетов. Поскольку же для объяснения одного и того же движения предоставляются различные гипотезы (как, например, для движения Солнца – эксцентр и эпицикл), то астроном скорее примет ту, которая будет самой легкой для понимания. Философ, вероятно, потребует в большей степени похожую на истину; однако никто из них не сможет ни постичь что-нибудь истинное, ни передать это другим, если это ему не будет сообщено божественным откровением. Поэтому позволим, чтобы наряду со старыми гипотезами стали известны и эти новые, ничуть не более похожие на истинные; в особенности же по той причине, что они одновременно и удивительны и просты и сопровождаются огромным сокровищем ученейших наблюдений. Во всем же, что касается гипотез, пусть никто не ожидает получить от астрономии чего-нибудь истинного, поскольку она не в состоянии дать что-либо подобное; если же он сочтет истинным то, что придумано для другого употребления, то после такой науки окажется более глупым, чем когда приступал. Будь здоров!

Книга первая[3]

Среди многочисленных и разнообразных занятий науками и искусствами, которые питают человеческие умы, я полагаю, в первую очередь нужно отдаваться и наивысшее старание посвящать тем, которые касаются наипрекраснейших и наиболее достойных для познавания предметов. Такими являются науки, которые изучают божественные вращения мира, течения светил, их величины, расстояния, восход и заход, а также причины остальных небесных явлений и, наконец, объясняют всю форму Вселенной. А что может быть прекраснее небесного свода, содержащего все прекрасное! Это говорят и самые имена: Caelum (небо) и Mundus (мир); последнее включает понятие чистоты и украшения, а первое – понятие чеканного (Caelatus).

Многие философы ввиду необычайного совершенства неба называли его видимым богом. Поэтому, если оценивать достоинства наук в зависимости от той материи, которой они занимаются, наиболее выдающейся будет та, которую одни называют астрологией, другие – астрономией, а многие из древних – завершением математики. Сама она, являющаяся, бесспорно, главой благородных наук и наиболее достойным занятием свободного человека, опирается почти на все математические науки. Арифметика, геометрия, оптика, геодезия, механика и все другие имеют к ней отношение.

Свои исследования Вселенной Коперник поначалу вел с помощью астролябий, квадрантов, циркулей и параллактических линеек. Мы продолжаем эти исследования при помощи высокотехнологических устройств, о которых Коперник не смел и мечтать, – например, орбитального космического телескопа, работавшего в ультрафиолетовом диапазоне (International Ultraviolet Explorer, он же «Эксплорер-57»).

И так как цель всех благородных наук – отвлечение человека от пороков и направление его разума к лучшему, то больше всего может сделать астрономия вследствие представляемого ею разуму почти невероятно большого наслаждения. Разве человек, прилепляющийся к тому, что он видит построенным в наилучшем порядке и управляющимся божественным изволением, не будет призываться к лучшему после постоянного, ставшего как бы привычкой созерцания этого и не будет удивляться творцу всего, в ком заключается все счастье и благо? И не напрасно сказал божественный псалмопевец, что он наслаждается творением божьим и восторгается делами рук его! Так неужели при помощи этих средств мы не будем как бы на некоей колеснице приведены к созерцанию высшего блага? А какую пользу и какое украшение доставляет астрономия государству (чтобы не говорить о бесчисленных удобствах для частных людей)! Это великолепно заметил Платон, который в седьмой книге «Законов» высказывает мысль, что к полному обладанию астрономией нужно стремиться по той причине, что при ее помощи распределенные по порядку дней в месяцах и годах сроки празднеств и жертвоприношений делают государство живым и бодрствующим. И если, говорит он, кто-нибудь станет отрицать необходимость для человека восприятия этой одной из наилучших наук, то он будет думать в высшей степени неразумно. Платон считает также, что никак невозможно кому-нибудь сделаться или назваться божественным, если он не имеет необходимых знаний о Солнце, Луне и остальных светилах.

И вместе с тем скорее божественная, чем человеческая, наука, изучающая высочайшие предметы, не лишена трудностей. В области ее основных принципов и предположений, которые греки называют «гипотезами», в особенности многие разногласия мы видели у тех, кто начал заниматься этими гипотезами, вследствие того, что спорящие не опирались на одни и те же рассуждения. Кроме того, течение светил и вращение звезд могут быть определены точным числом и приведены в совершенную ясность только с течением времени и после многих произведенных ранее наблюдений, которыми, если можно так выразиться, это дело из рук в руки передается потомству.

Схематическое изображение Солнечной системы согласно современным представлениям, вполне подтверждающим представления Коперника.

Доказательство того, что Земля круглая, которое представил в XVII веке Петер Апиан.

Действительно, хотя Клавдий Птолемей Александрийский, стоящий впереди других по своему удивительному хитроумию и тщательности, после более чем сорокалетних наблюдений завершил созидание всей этой науки почти до такой степени, что, как кажется, ничего не осталось, чего он не достиг бы, мы все-таки видим, что многое не согласуется с тем, что должно было бы вытекать из его положений; кроме того, открыты некоторые иные движения, ему неизвестные. Поэтому и Плутарх, говоря о тропическом солнечном годе, заметил: «До сих пор движение светил одерживало верх над знаниями математиков». Если я в качестве примера привожу этот самый год, то я полагаю, что всем известно, сколько различных мнений о нем существовало, так что многие даже отчаивались в возможности нахождения точной его величины.

Если позволит Бог, без которого мы ничего не можем, я попытаюсь подробнее исследовать такие же вопросы и относительно других светил, ибо для построения нашей теории мы имеем тем более вспомогательных средств, чем больший промежуток времени прошел от предшествующих нам создателей этой науки, с найденными результатами которых можно будет сравнить те, которые вновь получены также и нами. Кроме того, я должен признаться, что многое я передаю иначе, чем предшествующие авторы, хотя и при их помощи, так как они первые открыли доступ к исследованию этих предметов.

Глава I. О том, что мир сферичен

Прежде всего мы должны заметить, что мир является шарообразным или потому, что эта форма совершеннейшая из всех и не нуждается ни в каких скрепах и вся представляет цельность, или потому, что эта форма среди всех других обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно охватить и сохранить все, или же потому, что такую форму, как мы замечаем, имеют и самостоятельные части мира, именно Солнце, Луна и звезды; или потому, что такой формой стремятся ограничить себя все предметы, как можно видеть у водяных капель и других жидких тел, когда они хотят быть ограничены своей свободной поверхностью. Поэтому никто не усомнится, что такая форма придана и божественным телам.

Глава II. О том, что Земля тоже сферична

Земля тоже является шарообразной, так как она со всех сторон стремится к своему центру. Однако совершенная округлость ее не сразу может быть усмотрена при наличии высоких гор и опускающихся вниз долин, хотя последние очень мало изменяют общую круглоту Земли. Это можно обнаружить следующим образом. Для путешественников, идущих откуда-нибудь к северу, полюс суточного вращения Земли понемногу поднимается вверх, в то время как южный на такую же величину опускается вниз, и в окрестности Медведиц большее количество звезд являются незаходящими, тогда как на юге некоторые уже не восходят.

Так, например, Италия не видит Канопа, который хорошо заметен в Египте, зато Италия видит последнюю звезду Реки Эридана, которой не знает наша страна, страна более сурового климата. Наоборот, при путешествии на юг поднимаются южные звезды, в то время как те, которые у нас высоки, опускаются. Между прочим, изменения высоты полюса везде имеют одно и то же отношение к пройденным на Земле расстояниям, чего не может быть ни на какой другой фигуре, кроме сферической. Отсюда ясно, что Земля тоже заключается между двумя полюсами и вследствие этого сферична. К этому нужно прибавить, что происходящих вечером затмений Солнца и Луны жители востока не замечают, а живущие на западе не видят утренних; что касается затмений между этими пределами, то первые видят их позже, вторые раньше.

Фотография Земли из космоса, на которой видно, каким образом земля с водой составляют единый шар.

Далее, мореплаватели видят, что такой же формой ограничиваются и воды, так как земля, не видимая с палубы, может быть замечена с верхушки мачты. Наоборот, если на верхушке мачты поместить что-нибудь сияющее, то при удалении корабля от земли остающиеся на берегу видят, что оно понемногу опускается, пока, наконец, не скроется, как бы заходя. Известно также, что воды, текучие по своей природе, всегда стремятся к более низким местам, так же как и земля, и от берега стремятся уйти не дальше того, что допускает ее выпуклость. Отсюда следует, что земля лишь настолько выше, насколько она поднимается из океана.

Глава III. О том, каким образом земля с водой составляют единый шар

Таким образом, обтекающий Землю океан, образуя кое-где моря, заполняет более глубокие ее впадины. Отсюда следует, что воды должно быть меньше, чем земли, иначе вода поглотила бы всю землю, поскольку обе они по своей тяжести стремятся к одному и тому же центру; нужно было бы также, чтобы некоторые части Земли оставались непокрытыми на благо живых существ, а также существовало некоторое количество возвышающихся кое-где островов. Да ведь и сам материк и земной круг не что иное, как остров, больший других. И не следует слушать некоторых перипатетиков, которые считают, что вся совокупность воды в десять раз больше земли. Основываясь на том, что при превращении элементов из какой-либо части земли получается десять частей воды, они утверждают, что суша только потому и возвышается, что, обладая большими пещерами, не везде уравновешивается по тяжести и что у нее центр объема и центр тяжести различны. Но они по невежеству в геометрии ошибаются, не зная, что воды не может быть даже и в семь раз больше земли, чтобы хоть какая-нибудь часть ее могла оказаться сушей, если только вся Земля целиком не окажется вне общего центра тяжести и не уступит места водам, более, чем она, тяжелым. Действительно, сферы находятся друг с другом в тройном отношении своих диаметров. Таким образом, если даже при семи частях воды земля будет восьмой, то ее диаметр не может быть больше прямой, проведенной из центра к водной поверхности. Вот сколько не хватает для того, чтобы воды было в десять раз больше!

А что нет никакой разницы между центром объема Земли и центром ее тяжести, можно видеть из того, что выпуклость суши, выступая из океана, не всегда идет, непрерывно возвышаясь; в противном случае она очень сильно задерживала бы морские воды и никак не позволяла бы внутренним морям врываться и образовывать обширные заливы. В свою очередь она не прерывается сейчас же у берега океана, и хотя глубина бездны и увеличивается все время, но при дальнейших плаваниях мореходов появляются то остров, то скала, то какая-нибудь земля. Известно ведь, что между Египетским морем и Аравийским заливом нет и пятнадцати стадий, и это почти в самом центре земного круга. В свою очередь Птолемей в своей «Космографии» продолжает обитаемую землю до половины круга, а тогда оставались еще неизвестными земли, где недавние мореплаватели открыли Китай и другие обширные страны. Это добавило еще приблизительно 60 градусов долготы, так что Земля обитаема уже на большем протяжении долготы, чем остается для океана. Если добавить к ним острова, открытые в наше время владыками Испании и Лузитании, и в особенности Америку, названную так по имени открывшего ее начальника кораблей (а эту Америку по неполной исследованности ее размеров считают Новым Светом), не говоря уже о других многочисленных, ранее неизвестных островах, то не приходится удивляться существованию антиподов или антихтонов. Геометрические расчеты заставляют думать, что сама Америка по своему положению диаметрально противоположна Гангской Индии.

Итак, на основании всего этого, я думаю, очевидно, что земля и вода вместе стремятся к одному и тому же центру тяжести, а если земля и является более тяжелой, то все же нет у нее другого центра объема. Разверстые ее части заполнены водой, и количество воды весьма умеренно по сравнению с землей, хотя по площади вода, может быть, и казалась более обширной. Земля с обтекающими ее водами необходимо должна иметь такую форму, какую указывает ее тень; последняя производит затмение Луны, обладая кривизной правильного круга. Итак, Земля не является плоской, как думали Эмпедокл и Анаксимен, ни тимпанообразной, как считал Левкипп, ни ладьеобразной, как у Гераклита, ни как-нибудь иначе вогнутой, как у Демокрита; точно так же она не цилиндрическая, как у Анаксимандра, и не опускается вглубь бесконечной толщиной, как считал Ксенофан, а абсолютно кругла, как учат философы.

Глава IV. О том, что движение небесных тел вечное, равномерное и круговое или составлено из круговых движений

Затем будем помнить, что движение небесных тел круговое. Действительно, подвижность сферы выражается в том, что она вращается кругом, самым этим действием отображая свою форму в простейшем теле, в котором нельзя найти ни начала, ни конца, ни отличить одной части от другой, когда она движется сама в себе, проходя через одно и то же. Однако вследствие многочисленности сфер[4] существует много различных движений. Самое очевидное из всех – суточное вращение, которое греки называют νυχθήμερον, то есть продолжительность дня и ночи. Полагают, что этим движением перемещается с востока на запад весь мир, за исключением только Земли. Это движение является общей мерой всех движений, так как даже само время мы измеряем преимущественно числом дней. Кроме этого, мы видим и другие, как бы противоположные движения, то есть с запада на восток, а именно Солнца, Луны и пяти планет. Солнце отмеряет год, а Луна – месяцы – лучше всего известные меры времени, и каждая из пяти планет совершает свое круговращение. Однако у них существуют и многообразные различия. Во-первых, упомянутые светила в своем беге по наклонности зодиака не вращаются вокруг тех же полюсов, что в первом движении, затем в своем круговращении они не кажутся движущимися равномерно. Оказывается, что Солнце и Луна движутся то быстрее, то медленнее, а остальные пять планет, как мы видим, движутся иногда и попятным движением, кое-где останавливаясь. И тогда как Солнце всегда идет прямо по своему пути, эти светила блуждают различным образом, отклоняясь то к северу, то к югу, из-за чего они и были названы планетами, то есть блуждающими. К этому нужно прибавить, что иногда они становятся более близкими к Земле и называются находящимися в перигее, а иногда более удаленными; тогда о них говорят, что они в апогее. Тем не менее нужно признать, что их движения являются или круговыми, или составленными из нескольких круговых, так как неравенства этого рода подчиняются определенному закону и правильным возвращениям, чего не могло бы случиться, если бы эти движения не были круговыми.

Действительно, один только круг может возвратить назад прошедшее, как, например, Солнце в движении, составленном из круговых, возвращает нам неравенство дней и ночей и четыре времени года. В этом мы уже должны видеть наличие нескольких движений, так как не может быть, чтобы простое небесное тело неравномерно двигалось одной сферой. Неравномерность должна происходить или вследствие непостоянства движущей силы, безразлично, будет ли последняя привходящей извне, или быть врожденной по природе, или быть следствием изменения тела после полного оборота. Так как и то и другое противно нашему разуму и недостойно предполагать что-нибудь подобное в том, что устроено в наилучшем порядке, то следует согласиться, что равномерные движения этих светил представляются нам неравномерными или в результате того, что полюсы этих кругов различны, или в результате того, что Земля не находится в центре кругов, по которым они вращаются. Для нас, наблюдавших с Земли прохождение этих светил, вследствие неравенства расстояний получается, что более близкое представляется нам большим, чем более удаленное (как доказано в оптике); так из-за различия расстояний от глаза на одинаковых круговых дугах движения в равные промежутки времени будут представляться неодинаковыми.

Так Коперник объяснял кажущееся движение планет с востока на запад.

Поэтому я прежде всего считаю необходимым тщательно исследовать, в каком отношении Земля находится к небу, чтобы мы, исследуя самое вышнее, не забывали более близкого и в таком заблуждении не приписывали небесному того, что свойственно Земле.

Глава V. О том, свойственно ли Земле круговое движение, и о месте Земли

Уже доказано, что Земля тоже имеет форму шара; полагаю, что нужно посмотреть, не вытекает ли из ее формы и движение, а также определить занимаемое ею место во Вселенной; без этого невозможно получить надежную теорию небесных явлений. Большинство авторов согласно с тем, что Земля покоится в середине мира, так что противоположное мнение они считают недопустимым и даже достойным осмеяния. Однако, если мы разберем дело внимательнее, то окажется, что этот вопрос еще не решен окончательно, и поэтому им никак нельзя пренебрегать.

Действительно, всякое представляющееся нам изменение места происходит вследствие движения наблюдаемого предмета или наблюдателя или, наконец, вследствие неодинаковости перемещений того и другого, так как не может быть замечено движение тел, одинаково перемещающихся по отношению к одному и тому же (я подразумеваю движение между наблюдаемым и наблюдателем). А ведь Земля представляет то место, с которого наблюдается упомянутое небесное круговращение и открывается нашему взору.

Таким образом, если мы сообщим Земле какое-нибудь движение, то это движение обнаружится таким же и во всем, что находится вне Земли, но только в противоположную сторону, как бы проходящим мимо; таким прежде всего будет и суточное вращение. Мы видим, что оно увлекает весь мир, за исключением Земли и того, что ее непосредственно окружает. А если допустить, что небо вовсе не имеет такого движения, а вращается с запада на восток Земля, то всякий, кто это серьезно обдумает, найдет, что все видимые восходы и заходы Солнца, Луны и звезд будут происходить точно так же. Так как именно небо все содержит и украшает и является общим вместилищем, то не сразу видно, почему мы должны приписывать движение скорее вмещающему, чем вмещаемому, содержащему, чем содержимому. Такого мнения и держались пифагорейцы Гераклит и Экфант и Никет-сиракузянин у Цицерона, придававшие Земле вращение в середине мира. Они действительно полагали, что звезды заходят вследствие загораживания их Землей и восходят, когда она отступает.

Современники Коперника придерживались противоположных взглядов, символически отраженных на этом рисунке. На нем Атлант держит на плечах всю Вселенную, состоящую исключительно из нашей Солнечной системы.

Когда мы это допустим, то возникнет другое, не менее важное сомнение о месте Земли, хотя почти все принимают и верят, что Земля находится в середине мира. Поэтому если кто-нибудь станет отрицать, что Земля находится в середине мира, или его центре, но все-таки допустит, что ее расстояние от центра не так уже велико, чтобы его можно было сравнивать с расстоянием до сферы неподвижных звезд, но вместе с тем оно будет достаточно большим и заметным по отношению к орбитам Солнца и других светил, и будет считать, что их движение представляется неравномерным вследствие того, что оно определяется другим центром, отличным от центра Земли, то, пожалуй, приводимая им причина неравномерности кажущегося движения не будет нелепой.

Действительно, поскольку планеты наблюдаются и более близкими к Земле, и более удаленными, то это необходимо говорит о том, что центр Земли не есть центр их кругов. Ведь никак не установлено, Земля ли к ним подходит и уходит или они приближаются к ней и удаляются. Неудивительно также, если кто-нибудь кроме упомянутого суточного вращения предположит у Земли и какое-то другое движение.

Космический телескоп «Хаббл» показал, что Коперник был прав, когда говорил о неизмеримости неба по сравнению с величиной Земли.

Мнение, что Земля вращается и даже имеет несколько движений и является одной из планет, как говорят, высказывал пифагореец Филолай, незаурядный математик, ради посещения которого Платон не замедлил отправиться в Италию, как передают описывавшие жизнь Платона. Однако многие считали возможным доказать при помощи геометрических рассуждений, что Земля находится в середине мира, относится к неизмеримости неба, как точка или центр, и будет неподвижной по той причине, что во всеобщем движении центр остается неподвижным, а ближайшее к центру движется всего медленнее.

Глава VI. О неизмеримости неба по сравнению с величиной Земли

А что вся столь большая громада Земли не имеет никакой значащей величины по сравнению с небом, можно понять из того, что «ограничивающие» круги (так переводится греческое слово ὀρίζοντες) делят всю небесную сферу пополам, чего не могло бы быть, если бы величина Земли или расстояние от центра мира были значительными по сравнению с небом. Действительно, круг, делящий сферу пополам, проходит через центр этой сферы и является наибольшим из кругов, которые можно описать.

Пусть круг ABCD будет горизонтом, а Земля, с которой мы наблюдаем, будет точкой E и центром горизонта, который отграничивает видимые светила от невидимых. Будем при помощи помещенного в E диоптра, гороскопия или хоробата наблюдать начало восходящего Рака в точке C; в тот же момент в точке A мы увидим заходящее начало Козерога. Так как точки A, C, E находятся на прямой линии, проходящей через диоптр, то ясно, что эта прямая будет диаметром зодиака, поскольку шесть видимых знаков зодиака отграничивают полуокружность, а центр E будет одновременно и центром горизонта. Когда после поворота на половину окружности начало Козерога будет восходить в B, мы одновременно увидим заход Рака в D; линия BED будет прямой и диаметром зодиака. Но мы видели, что AEC тоже была диаметром этого же круга; в их общем пересечении, очевидно, находится и центр рассматриваемого круга.

Итак, горизонт всегда делит пополам зодиак, являющийся большим кругом сферы. Но в сфере круг, пересекающий какой-нибудь из больших кругов пополам, будет и сам большим кругом. Следовательно, и горизонт будет одним из больших кругов, а центр его, как видно, совпадает с центром зодиака; хотя проведенная через центр Земли линия необходимо будет отличаться от той, которая проведена с ее поверхности, но вследствие неизмеримости неба по сравнению с Землей они становятся похожими на параллельные прямые, которые из-за чрезмерной удаленности конца кажутся одной линией, так как промежуток между ними по отношению к их длине становится неощутимым для чувств, как это доказывается в оптике.

Такие рассуждения достаточно ясно показывают, что небо неизмеримо велико по сравнению с Землей и представляет бесконечно большую величину; по оценке наших чувств Земля по отношению к небу, как точка к телу, а по величине, как конечное к бесконечному. Ничего другого этого рассуждение, очевидно, не доказывает, и, понятно, отсюда не следует, что Земля должна покоиться в середине мира. И гораздо более удивительным было бы, если бы в двадцать четыре часа поворачивалась такая громада мира, а не наименьшая его часть, которой является Земля. Если говорят, что центр неподвижен и все ближайшее к центру движется медленнее, то это не доказывает, что Земля покоится в середине мира; ведь это то же самое, как если бы ты сказал, что небо вращается, а полюсы неподвижны и все ближайшее к ним движется менее всего. Таким именно образом Полярная звезда кажется движущейся значительно медленнее, чем Орел или Большой Пес, потому что она, находясь ближе всего к полюсу, описывает меньший круг; но все они принадлежат одной сфере, подвижность которой, прекращаясь у оси, не допускает одинаковости движений всех ее частей, а полный оборот возвращает их в исходное положение, двигая одинаковое время, но не по равным путям.

Фламандская армиллярная сфера XVII века, отражающая геоцентрическую модель с семью вписанными друг в друга планетными орбитами.

Вот на что, по существу, опирается рассуждение, что Земля, являясь как бы частью небесной сферы и обладая ее природой и движением, мало движется, как находящаяся всего ближе к центру. В таком случае и сама она, представляя собой тело, а не центр, должна будет двигаться в такое же время по подобным окружностям небесного круга, хотя бы и меньшим. Неверность этого ясна как день; действительно, тогда в одном месте всегда был бы полдень, а в другом – всегда полночь и никак не могли бы происходить ежедневные восходы и заходы, так как движение всего мира и его части едино и нераздельно.

Для тел, которые разделило различие их природы, имеет место совершенно иной закон, именно заключающиеся в более короткой окружности вращаются быстрее тех, которые обходят по большему кругу. Так, Сатурн, самая высшая из планет, совершает обращение в тридцать лет, тогда как Луна, без сомнения, ближайшее к Земле светило, завершает свой обход в месяц, и, наконец, сама Земля, как можно думать, делает полный оборот в течение дня и ночи. Таким образом, опять появится тот же самый вопрос относительно суточного вращения.

Кроме того, и местонахождение Земли все же остается искомым, так как из приведенного выше нельзя получить ничего достоверного. Ведь это рассуждение доказывает только, что величина неба по сравнению с Землей не является конечной. До каких пор распространяется эта необъятность, никоим образом не известно. Точно так же будет и обратно – у мельчайших и неделимых телец, которые называются атомами; так как они неощутимы для наших чувств, то, взяв две или какое-нибудь другое их число, мы не можем сразу получить видимое тело, а все же эти частицы можно так умножить, что, наконец, их будет достаточно для слияния в заметное тело. То же можно сказать и о месте Земли: хотя бы она и не находилась в центре мира, но, во всяком случае, само ее расстояние от последнего будет несравненно малым, в особенности по отношению к сфере неподвижных звезд.

Глава VII. Почему древние полагали, что Земля неподвижна в середине мира и является как бы его центром

По этой причине древние философы и другими рассуждениями пытались доказать, что Земля находится в центре мира; в этом они видят важнейшую причину тяжести и легкости. Конечно, элемент земли самый тяжелый, и все весомые тела движутся к ней, стремясь к самой глубокой ее середине.

Поскольку Земля шаровидна и к ней отовсюду движутся по своей природе все тяжелые тела под прямыми углами к ее поверхности, то они, если не были бы задержаны на ее поверхности, ринулись бы прямо к ее центру, так как прямая линия, встречающаяся под прямыми углами с плоскостью горизонта в месте ее касания со сферой, ведет к центру сферы. Из того, что они движутся к центру, по-видимому, следует, что тела в середине находятся в покое. Тем более, следовательно, вся Земля будет находиться в середине и принимать в себя все падающие тела; она в силу своего веса будет оставаться неподвижной.

То же самое они пытаются доказать на основании законов движения и его природы. Аристотель говорит, что единому и простому телу присуще и простое движение; из простых же движений одно прямолинейное, другое круговое, из прямолинейных одно идет вверх, другое вниз. Поэтому всякое простое движение идет или к середине вниз, или от середины вверх, или вокруг середины, и это движение круговое. Только земле и воде, которые считаются тяжелыми, следует двигаться вниз, то есть стремиться к середине; воздух же и огонь, обладающие легкостью, должны двигаться вверх и удаляться от середины. И кажется вполне сообразным приписать этим четырем стихиям прямолинейное движение, а небесным телам предоставить вращаться кругом середины. Так утверждает Аристотель. Следовательно, если бы Земля, говорит Птолемей Александрийский, вращалась хотя бы только суточным движением, то необходимо произошло бы противоположное сказанному. И это движение должно было быть чрезвычайно стремительным, а скорость его – выше всякой меры, так как в двадцать четыре часа нужно было бы описать всю окружность Земли. А то, что охвачено стремительным вращением, очевидно, совсем неспособно к воссоединению; даже соединенные его части рассеются, если только не удерживаются каким-нибудь прочным скреплением, и уже давно Земля, распавшись, разрушила бы самое небо (что уже совсем смехотворно), а живые существа и другие неприкрепленные тяжести и подавно никак не могли бы остаться не сброшенными с нее. Также и отвесно падающие тела не могли бы двигаться по прямой к назначенному им месту, которое уже ускользнет от них при такой быстроте. Точно так же облака и другие тела, висящие в воздухе, мы постоянно видели бы движущимися на запад.

Глава VIII. Опровержение приведенных доводов и их несостоятельность

На основании этих и подобных им причин утверждают, что Земля покоится в середине мира и что, вне сомнения, именно так дело и обстоит. Действительно, если кто-нибудь выскажет мнение, что Земля вращается, то ему придется сказать, что это движение является естественным, а не насильственным. Все то, что происходит согласно природе, производит действия, противоположные тем, которые получаются в результате насилия. Те вещи, которые подвергаются действию силы или напора, необходимо должны распасться и существовать долго не могут. Все то, что делается согласно природе, находится в благополучном состоянии и сохраняется в своем наилучшем составе. Поэтому напрасно боится Птолемей, что Земля и все земное рассеется в результате вращения, происходящего по действию природы; ведь это вращение будет совсем не таким, какое производится искусственно или достижимо человеческим умом. Но почему не предполагать этого в еще большей степени относительно Вселенной, движение которой должно быть во столько раз быстрее, во сколько раз небо больше Земли? Или для того небо сделано необъятным, чтобы несказанной силой движения оно отрывалось от центра, а иначе, будь оно неподвижно, обрушилось бы?

Если бы это было справедливо, то размеры неба непременно увеличились бы до бесконечности. Ибо чем больше оно увлекалось бы вверх напором движения, тем быстрее было бы это движение вследствие постоянного возрастания длины окружности, которую необходимо пройти в 24 часа; в свою очередь от возрастания движения будет возрастать неизмеримость неба. Таким образом, скорость будет увеличивать размеры, а размеры – увеличивать скорость, и то и другое взаимно увеличат друг друга до бесконечности. А вследствие известной физической аксиомы, что бесконечное не может быть ни пройдено, ни каким-либо образом приведено в движение, небо необходимо остановится.

Но говорят, что вне неба нет ни тела, ни места, ни пустоты, нет вообще ничего и поэтому небу некуда выйти. Тогда, конечно, удивительно, если что-нибудь может сдергиваться ничем. Однако если бы небо было безграничным снаружи и только изнутри ограничивалось вогнутым сводом, то это, может быть, еще более удостоверит, что вне неба нет ничего, потому что все обладающее какой бы то ни было величиной будет внутри него; но тогда небо будет оставаться неподвижным. Ибо самое главное, чем стараются обосновать конечность мира, – это и есть движение. Предоставим естествоиспытателям спорить, является ли мир конечным или нет; будем считать твердо установленным, что Земля, заключенная между полюсами, ограничивается шаровидной поверхностью. Но тогда зачем же еще нам сомневаться? Скорее следует допустить, что подвижность Земли вполне естественно соответствует ее форме, чем думать, что движется весь мир, пределы которого неизвестны и непостижимы. И почему нам не считать, что суточное вращение для неба является видимостью, а для Земли действительностью? И все это так и обстоит, как сказал бы Виргилиев Эней: «В море из порта идем, и отходят и земли, и грады». Так при движении корабля в тихую погоду все находящееся вне представляется мореплавателям движущимся, как бы отражая движение корабля, а сами наблюдатели, наоборот, считают себя в покое со всем с ними находящимся. Это же, без сомнения, может происходить и при движении Земли, так что мы думаем, будто вокруг нее вращается вся Вселенная.

В таком случае что же мы скажем относительно облаков и всего остального, что каким-либо образом парит в воздухе или опускается вниз и снова стремится вверх? Да лишь то, что вращается не только Земля с соединенной с ней водной стихией, но также и немалая часть воздуха и все, что каким-либо образом сродно с Землей, или уже ближайший к Земле воздух, пропитанный земной и водной материей, следует тем же самым законам природы, что и Земля, или имеет приобретенное движение, которое сообщается ему прилегающей Землей в постоянном вращении и без всякого сопротивления.

Циркуль времен Коперника.

В свою очередь не меньшее удивление вызовет утверждение, что самая высшая область воздуха следует движению неба, на что указывают внезапно появляющиеся светила, которые у греков называются кометами, или погониями; эти светила, образование которых считают происходящим в этой высшей области, восходят и заходят наподобие остальных светил. Мы можем считать, что эта далеко отстоящая от Земли часть воздуха лишена упомянутого движения Земли. Поэтому нами представляется находящимся в покое ближайший к Земле воздух, а также все то, что в нем находится во взвешенном состоянии, если оно не побуждается ветром или каким-нибудь другим напором в ту или другую сторону, как случится. Ведь разве ветер в воздухе не что иное, как течение в море?

Далее, все тела, опускающиеся и поднимающиеся, мы должны признать необходимо обладающими по отношению к Вселенной двойным движением, а именно составленным из кругового и прямолинейного. Поэтому тела, пригнетаемые своим весом, как в высшей степени земные, без сомнения, следуют, как части, законам той же природы, что и вся совокупность. То же самое происходит и с теми телами, которые силой огня восхищаются вверх. Действительно, этот земной огонь большей частью питается земной материей, и пламенем называют не что иное, как пылающий дым. Но огонь обладает свойством расширять все им охватываемое, и это он производит с такой силой, что когда он вырвется из темницы, ему никаким образом, никакими машинами нельзя воспрепятствовать выполнить свое дело. Расширительное же движение происходит от центра к окружности; поэтому, если что-либо из земных частей зажжено, оно несется от середины кверху.

Итак, если говорят, что у простого тела будет простым и движение (это прежде всего проверяется для кругового движения), то это лишь до тех пор, пока простое тело пребывает в своем природном месте и в целостности. В своем месте, конечно, не может быть другого движения, кроме кругового, когда тело всецело пребывает в себе самом, наподобие покоящегося. Прямолинейное движение бывает у тел, которые уходят из своего природного места, или выталкиваются из него, или каким-либо образом находятся вне его. Ведь ничто не противоречит так всему порядку и форме мира, как то, что какая-нибудь вещь находится вне своего места. Следовательно, прямолинейное движение происходит, только когда не все идет, как следует, а для тел, совершенных по природе, – только когда они отделяются от своего целого и покидают его единство. Кроме того, тела, движущиеся вверх или вниз, не совершают простого единообразного и равномерного движения, даже если отвлечься от кругового. Они не могут умеряться своей легкостью или напором своего веса; и, опускаясь вниз, тела, имея первоначально медленное движение, по мере падения увеличивают скорость. Обратно мы можем наблюдать, как взметнувшийся вверх этот земной огонь (иного ведь мы не видим) сразу же замедляет свое движение, как бы признавая причиной насилие земной материи.

Круговое движение всегда совершается равномерно, ибо оно имеет неубывающую причину. У прямолинейных же движений эта причина поспешно иссякает, так что тела, достигнув своего места, перестают быть тяжелыми или легкими, и это движение прекращается. Таким образом, поскольку круговое движение присуще совокупностям, частям же свойственно и прямолинейное движение, то мы имеем право сказать, что круговое движение может сосуществовать с прямолинейным, как живое существо с болезнью. Конечно, и то, что Аристотель разделяет простое движение на три класса: из центра, к центру и вокруг центра, мы должны считать только рассудочным актом, так же как мы отделяем линию, точку и поверхность, тогда как ни одно из этих понятий не может существовать без другого и никакое из них без тела.

К этому присоединяется то, что состояние неподвижности считается более благородным и божественным, чем состояние изменения и неустойчивости, которое по этой причине более приличествует Земле, чем Вселенной. Добавлю также, что довольно нелепо приписывать движение содержащему и вмещающему, а не содержимому и вмещенному, чем является Земля. Поскольку мы видим, что планеты то приближаются к Земле, то удаляются от нее, то и в этом случае у одного и того же тела будет движение и вокруг центра, в качестве которого хотят считать центр Земли, и также от центра и к нему. Таким образом, движение вокруг центра следует понимать в более общем смысле, и вполне достаточно, если каждое движение будет направляться своим собственным центром.

Итак, из всего этого ты видишь, что подвижность Земли более вероятна, чем ее покой, в особенности если говорить о суточном вращении, как наиболее свойственном Земле. И я полагаю, что этого достаточно для первой части вопроса.

Глава IX. О том, можно ли приписать Земле несколько движений, и о центре мира

Таким образом, поскольку ничто не препятствует подвижности Земли, то я полагаю, что нужно рассмотреть, не может ли она иметь несколько движений, так чтобы ее можно было считать одной из планет. Действительно, что она не является центром для всех вращений, обнаруживается и неравномерным видимым движением планет, и переменностью их расстояний от Земли, что не может быть объяснено в предположении гомоцентрического с Землей круга. Следовательно, поскольку существует несколько центров, не будет легкомысленным подумать также и о центре мира, совпадает ли последний с центром земной тяжести или нет. Что касается меня, то я полагаю, что тяготение есть не что иное, как некоторое природное стремление, сообщенное частям божественным провидением творца Вселенной, чтобы они стремились к целостности и единству, сходясь в форму шара. Вполне вероятно, что это свойство присуще также Солнцу, Луне и остальным блуждающим светилам, чтобы при его действии они продолжали пребывать в своей шарообразной форме, совершая тем не менее различные круговые движения.

Восход Земли на Луне.

Следовательно, если и Земля совершает иные движения, как, например, около центра, то эти движения необходимо должны быть такими же, какие замечаются внешне и у других планет; среди этих движений мы находим годичное обращение. Поэтому если мы переделаем это движение из солнечного в земное и согласимся, что Солнце неподвижно, то восходы и заходы знаков зодиака и неподвижных звезд, когда они становятся то утренними, то вечерними, покажутся нам происходящими совершенно так же. Равным образом, стояния, попятные и прямые движения планет окажутся принадлежащими не им, а происходящими от движения Земли, которое они заимствуют для своих видимых движений. Наконец, само Солнце будем считать занимающим центр мира; во всем этом нас убеждает разумный порядок, в котором следуют друг за другом все светила, и гармония всего мира, если только мы захотим взглянуть на само дело обоими (как говорят) глазами.

Глава X. Доказательство тройного движения Земли

Поскольку так много важных свидетельств планет согласуется с тем, что Земля подвижна, мы изложим теперь в заключение самое ее движение, насколько оно, принятое как гипотеза, объясняет видимые явления. Нужно допустить, что Земля имеет всего три движения: первое, которое, как мы сказали, греки называют νυχθημέρινος, – соответствующее дню и ночи обращение вокруг оси Земли в направлении с запада на восток, в зависимости от чего весь мир представляется движущимся в обратном направлении, описывая экваториальный круг, который некоторые называют равноденственным, подражая терминологии греков, у которых он называется ἰσημερινός.

Второе – это годовое движение центра, который описывает вокруг Солнца зодиакальный круг также с запада на восток, то есть в направлении последовательности знаков; этот круг идет между Венерой и Марсом, которые, как мы сказали, прилегают к нему. Это заставляет само Солнце казаться нам проходящим зодиак подобным же движением так, что если, например, центр Земли проходит через Козерога, то Солнце кажется проходящим через Рака, из Водолея оно кажется находящимся во Льве, и так далее (как мы уже говорили). Надо считать, что к этому кругу, который расположен по средней линии знаков зодиака, и к его плоскости равноденственный круг и ось Земли имеют периодически меняющееся наклонение. Действительно, если бы они были неизменными и только просто следовали движению центра, то не было бы никакого неравенства дней и ночей, но всегда было бы или солнцестояние, или кратчайший день, или равноденствие, или лето, или зима, или какое-нибудь одно и то же одинаковое время года.

Таким образом, отсюда следует третье деклинационное движение тоже с годовым обращением, но против последовательности знаков, то есть противоположно движению центра. Так оба эти почти равные друг другу и противоположные движения вместе делают, что ось Земли и наибольшая из ее параллелей – экваториальный круг – смотрят приблизительно в одну и ту же часть мира, как будто бы они оставались все время неподвижными. Одновременно Солнце представляется движущимся по наклонному зодиакальному кругу совершенно так же, как и центр Земли, и как будто бы последний был центром мира, если только ты вспомнишь, что расстояние между Солнцем и Землей на сфере неподвижных звезд уже ускользает от нашего зрения.

А для доказательства, что все это обстоит именно так (это желательнее показать наглядно, чем рассказывать), опишем круг ABCD, который представляет годовой путь центра Земли на поверхности зодиака, и пусть E будет Солнце, находящееся около его центра. Этот самый круг я рассеку на четыре части, проведя диаметры АЕС и BED. Пусть точку A занимает начало созвездия Рака, B – Весов, C – Козерога, D – Овна. Примем также, что центр Земли сначала находится в а; вокруг него я начерчу земной экватор FGHI, но только не в той же самой плоскости; в ней будет находиться лишь диаметр GAI – общее сечение обоих кругов, а именно экватора и зодиака. Проведем также диаметр FAH под прямым углом к GAI; пусть точка F будет пределом наибольшего отклонения к югу, а H – к северу. В таких предположениях жители Земли будут видеть Солнце в центре E, совершающим свой зимний солнцеворот под знаком Козерога; это будет производить обращенное к Солнцу наибольшее северное отклонение H. Таким образом, наклон экватора к линии AE заставляет ее в суточном вращении описывать параллель зимнего тропика на расстоянии, соответствующем углу наклона EAH.

Пусть теперь центр Земли пойдет в направлении последовательности знаков, а предел F наибольшего отклонения на такой же угол повернется против последовательности знаков, пока оба они в B не опишут по четверти окружности. В течение этого времени вследствие равенства обоих вращений угол EAI будет всегда оставаться равным углу AEB и диаметры FAH и FBH будут все время соответственно параллельны, так же как GAI и GBI и как один экватор параллелен другому. Последние по уже упоминавшейся причине будут представляться на неизмеримости неба одними и теми же. Таким образом, из точки B – начала Весов – точка E будет усматриваться в Овне, и общее сечение упомянутых кругов совпадает с прямой GBIE; суточное вращение уже не сообщит ей никакого отклонения от экватора, но все отклонения будут получаться по сторонам. Вот так, Солнце будет усматриваться в весеннем равноденствии.

Пусть в принятых условиях центр Земли продолжает движение; когда в С он пройдет полуокружность, то Солнце будет усматриваться входящим в созвездие Рака. Тогда южное отклонение F экватора, будучи повернуто к Солнцу, сделает последнее видимым на севере и описывающим летний тропик на расстоянии, соответствующем углу ECF наклона. Затем, когда точка F повернется на третью четверть круга, общее сечение GI снова попадет на линию ED; отсюда Солнце, наблюдаемое в Весах, окажется завершившим осеннее равноденствие. После этого в том же самом движении прямая HF, постепенно поворачиваясь к Солнцу, заставит повториться то, что было в начале, откуда исходило наше движение.

Иначе. Пусть опять на плоскости чертежа прямая AEC будет диаметром и общим сечением с кругом ABC, восставленным перпендикулярно к упомянутой плоскости. На этом круге в точках A и C, то есть под знаками Рака и Козерога, начертим соответственно круговые сечения Земли через полюса; пусть они будут DGFI; пусть ось Земли будет DF, северный полюс – D, южный – F, а диаметр экваториального круга – GI. Когда F обращается к находящемуся в E Солнцу и отклонение экватора будет к северу на угол IAE, вращение вокруг земной оси заставит описать параллельный экватору южный круг с диаметром KL и расстоянием LI, представляющий для Солнца тропик Козерога. Или, чтобы сказать правильнее, это движение вокруг оси по отношению к AC совершается по конической поверхности, имеющей вершину в центре Земли, а в качестве основания – круг, параллельный экватору. В противолежащем знаке C все происходит так же, но в обратную сторону. Таким образом, ясно, как эти два идущих друг другу навстречу движения, а именно движение центра и наклонения, заставляют ось Земли оставаться в одном и том же и всегда одинаковом положении, причем все кажется происходящим, как если бы это были движения Солнца.

Мы говорили, что годовые обращения центра и деклинационное являются почти равными; если бы они были в точности равны, то следовало бы, что точки равноденствий и солнцестояний и вся наклонность зодиака ничуть не изменялись бы по отношению к сфере неподвижных звезд. Однако, хотя разница и очень незначительна, она все же обнаружилась, возрастая с течением времени; действительно, от Птолемея до нашего времени эти точки уже прошли навстречу приблизительно на 21 градус. По этой причине некоторые думали, что сфера неподвижных звезд тоже движется, так что они решили ввести расположенную выше девятую сферу; но так как и она не оказалась достаточной, то в недавнее время некоторые добавили еще десятую, не достигнув, однако, той цели, какую мы надеемся получить при помощи движения Земли, которым пользуемся в качестве основного принципа и гипотезы для объяснения всего прочего.

Галилео Галилей (1564–1642)

Жизнь и деятельность

В 1633 году, спустя девяносто лет после смерти Коперника, итальянского астронома и математика Галилео Галилея вызвали в Рим на суд инквизиции по обвинению в ереси. Обвинение было основано на публикации «Диалога о двух главнейших системах мира – Птолемеевой и Коперниковой» (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo: Tolemaico e Copernicano). В этой книге Галилей, невзирая на эдикт 1616 года, запрещавший ему распространять учение Коперника, уверенно заявлял, что гелиоцентрическая система – это не просто гипотеза, а научная истина. Сомневаться в исходе процесса не приходилось. Галилей признал, что, вероятно, зашел слишком далеко, когда отстаивал систему Коперника, пренебрегая предостережениями католической церкви. Большинство кардиналов из трибунала сочли Галилея «сильно подозреваемым в ереси», поскольку он поддерживал и распространял идею, что Земля движется, а не находится в центре Вселенной, и приговорили к пожизненному заключению.

Кроме того, Галилея заставили подписать письменное признание и публично отказаться от своих воззрений. Он опустился на колени и, положив руку на Библию, прочитал отречение по латыни.

«Я, Галилео Галилей, сын Винченцо Галилея, флорентиец, на семидесятом году моей жизни лично предстоя перед судом, преклонив колена перед вами, высокие и достопочтенные господа кардиналы вселенской христианской республики, имея перед очами святое Евангелие, которого касаюсь собственными руками, клянусь, что всегда веровал, теперь верую и при помощи Божией впредь буду верить во все, что содержит, проповедует и чему учит святая католическая и апостольская церковь.

Но так как от сего святого судилища мне было давно уже сделано законное внушение, дабы я покинул ложное мнение, полагающее Солнце в центре Вселенной и неподвижным, дабы не держался этого мнения, не защищал его, не учил ему каким бы то ни было способом, ни устно, ни письменно, а я между тем сочинил и напечатал книгу, в которой излагаю осужденное учение и привожу в пользу его сильные доводы, хотя и не привожу окончательного заключения; то вследствие сего признан я находящимся под сильным подозрением в ереси, то есть что думаю и верю, будто Солнце есть центр Вселенной и неподвижно, Земля же не центр и движется.

Посему, желая изгнать из мыслей ваших, высокопочтенные господа кардиналы, равно как и из ума всякого истинного христианина, это подозрение, законно против меня возбужденное, от чистого сердца и с непритворной верою отрекаюсь, проклинаю, возненавидев вышеуказанную ересь, заблуждение или секту, не согласную со святою церковью.

Клянусь впредь никогда не говорить и не рассуждать, ни устно, ни письменно, о чем бы то ни было, могущем восстановить против меня такое подозрение; когда же узнаю кого-либо, одержимого ересью или подозреваемого в ней, то о таком обязуюсь донести сему святому судилищу, или же инквизитору, или ординарию ближайшего места. Кроме того, клянусь и обещаю уважать и строго исполнять все наказания и исправления, которые наложило или наложит на меня сие святое судилище.

В случае нарушения мною (да хранит меня Бог) чего-либо из этих слов, свидетельств, клятв и обещаний подвергаюсь всем наказаниям и исправлениям, назначенным святыми канонами и другими общими и частными постановлениями против преступлений сего рода. В этом да поможет мне Господь и святое его Евангелие, которого касаюсь собственными руками.

Я, поименованный Галилео Галилей, отрекся, поклялся и обязался, как сказано выше. В подтверждение прикладываю руку под сиею формулою моего отречения, которое прочел во всеуслышание от слова до слова».

Июня 22 дня 1633 года в монастыре Минервы в Риме

(Пер. И. Григулевича)

Легенда гласит, что Галилей, поднявшись на ноги, пробормотал: «Eppur si muove» («И все-таки она вертится»). Эта фраза будоражила воображение физиков и историков на протяжении столетий, поскольку стала символом сопротивления обскурантизму и благородного следования высшей цели даже в самых трудных обстоятельствах. Надпись «Eppur si muove» обнаружили даже на портрете Галилео 1640 года, написанном масляными красками, однако большинство историков все же считают, что это миф. И тем не менее все это очень в характере Галилея: на словах согласиться с требованиями церкви и отречься от своих взглядов, а затем вернуться к своим научным исследованиям, даже если они основаны на принципах Коперника. Ведь внимание инквизиции к Галилею привлек именно «Диалог о двух главнейших системах мира…», публикация которого была прямым нарушением эдикта церкви от 1616 года, дозволявшего Галилею рассматривать теорию Коперника о движении Земли вокруг Солнца исключительно как гипотезу и не более того. Пусть даже фраза «Eppur si muove» и не стала финалом суда и отречения, но она, несомненно, многое говорит о его жизни и достижениях.

Галилей родился в Пизе 18 февраля 1564 года в семье Винченцо Галилея, музыканта и математика. Когда Галилей был еще мальчиком, семья переехала во Флоренцию, где он получил начальное образование в монастыре. Хотя Галилей с ранних лет выказывал склонность к математике и механике, отец настаивал, что мальчика надо обучить чему-то более практичному, поэтому в 1581 году Галилей поступил в Пизанский университет, чтобы изучать медицину и аристотелевскую философию. Там, в Пизе, и проявился бунтарский дух Галилея. Медицина интересовала его мало, и он страстно отдался изучению математики. Считают, что Галилей открыл изохронизм маятника – независимость периода качания маятника от амплитуды, – наблюдая за колебаниями подвесного светильника в Пизанском кафедральном соборе; в дальнейшем, полвека спустя, Галилей опирался на этот принцип при конструировании астрономических часов.

Галилей убедил отца позволить ему уйти из университета, не получив ученой степени, и вернулся во Флоренцию, чтобы изучать и преподавать математику. К 1586 году Галилей засомневался в аристотелевской физике и философии и решил пересмотреть труды великого математика Архимеда, знаменитого, в частности, тем, что он открыл и усовершенствовал методы интегрирования для вычисления площадей и объемов. Кроме того, Архимед прославился как изобретатель множества машин и механизмов, нашедших применение в военном деле: в числе прочего он создал гигантские катапульты, чтобы забрасывать наступающего противника каменными глыбами, и огромные краны, чтобы топить корабли. В основном Галилея вдохновлял математический гений Архимеда, однако увлекал его и дух изобретательства: он придумал гидростатические весы, измеряющие плотность тела при взвешивании в воде.

В 1589 году Галилей начал преподавать математику в Пизанском университете, где от него требовалось рассказывать студентам о птолемеевской астрономии, согласно которой Солнце и планеты вращаются вокруг Земли. Именно в Пизе в двадцать пять лет Галилей начал глубже разбираться в астрономии и отходить от Птолемея и Аристотеля. Конспекты лекций того периода показывают, что Галилей подходил к движению с Архимедовой точки зрения, в частности, учил, что при падении тела его скорость пропорциональна не весу, как полагал Аристотель, а плотности. Говорят, что в подтверждение своей теории Галилей бросал предметы разного веса, но одной плотности с вершины наклонной Пизанской башни. Кроме того, в Пизе Галилей написал трактат «О движении» (De motu), противоречащий аристотелевским теориям движения. Эта книга сделала Галилея вождем научной реформации.

Вид Флоренции около 1495 года.

После смерти отца в 1592 году Галилей посчитал, что в Пизе ему уже нечего делать. Платили в университете гроши, поэтому Галилей заручился помощью друга семьи Гвидобальдо дель Монте и получил место преподавателя математики в Падуанском университете, в Венецианской республике. Авторитет Галилея стремительно рос. Ученый провел в Падуе восемнадцать лет, преподавал геометрию и астрономию, а также давал частные уроки по космографии, оптике, арифметике и их применению в военно-инженерном деле. В 1593 году он составил сборник трудов по фортификации и механике для своих частных учеников и изобрел водяной насос, для работы которого было достаточно одной лошади.

В 1597 году Галилей изобрел пропорциональный циркуль – большое подспорье для инженеров-механиков и военных. Кроме того, он вступил в переписку с Иоганном Кеплером, прочитав его книгу «Тайна мироздания» (Mysterium cosmographicum). Коперниканские взгляды Кеплера импонировали Галилею, и Кеплер надеялся, что Галилей открыто поддержит гелиоцентрическую модель. Однако научные интересы Галилея лежали в основном в сфере механики, поэтому желания Кеплера не сбылись. Кроме того, примерно тогда у Галилея начался роман с Мариной Гамба, венецианкой, родившей ему сына и двух дочерей. У старшей дочери Виргинии, родившейся в 1600 году, были особенно близкие отношения с отцом; правда, общались они в основном по переписке, поскольку почти всю свою недолгую жизнь Виргиния провела в монастыре, где взяла имя Мария Селеста (Мария Небесная) из уважения к отцовскому интересу к небесной механике.

В первые годы XVII века Галилей экспериментировал с маятником и исследовал связь колебаний маятника с явлением естественного ускорения. Кроме того, он начал разрабатывать математическую модель движения падающих тел, для чего измерял, за какое время катящиеся шары проходят различное расстояние по наклонным плоскостям. В 1604 году в ночном небе над Падуей наблюдали сверхновую, что в очередной раз заставило усомниться в аристотелевской модели неизменности небес. Галилей был одной из самых заметных фигур в этих дебатах, прочитал несколько провокационных лекций, однако публиковать свои теории не спешил. В октябре 1608 года голландец Иоанн Липперсгей запатентовал подзорную трубу, благодаря которой можно было рассматривать далекие объекты. Едва услышав об этом изобретении, Галилей принялся его усовершенствовать. Вскоре он разработал телескоп с девятикратным увеличением – втрое мощнее устройства Липперсгея, – а через год уже предложил телескоп с тридцатикратным увеличением. Когда Галилей в январе 1610 года направил его на небеса, те буквально разверзлись, явив себя человечеству. Луна перестала быть гладким диском – стало видно, что она покрыта горами и кратерами. При помощи телескопа Галилей определил, что Млечный Путь – это огромное пространство, заполненное звездами. Но главное – он увидел четыре луны вокруг Юпитера, и это открытие коренным образом перевернуло представление многих сторонников геоцентрической системы, которые полагали, что все небесные тела вращаются исключительно вокруг Земли. В том же году Галилей опубликовал трактат «Звездный вестник» (Sidereus Nuncius), где объявил о своих открытиях. Это выдвинуло ученого на передний край современной астрономии. Преподавать аристотелевскую теорию он больше не мог, но благодаря своей известности и авторитету получил во Флоренции должность математика и философа при дворе великого герцога Тосканского.

Освободившись от педагогической нагрузки, Галилей посвятил себя наблюдениям с помощью телескопа. Вскоре он пронаблюдал фазы Венеры, что подтвердило теорию Коперника, согласно которой эта планета вращается вокруг Солнца.

Кроме того, Галилей заметил, что Сатурн имеет продолговатую форму, и заключил, что это объясняется вращением вокруг планеты многочисленных лун: мощности телескопа не хватало, чтобы различить кольца Сатурна.

Католическая церковь подтверждала и приветствовала открытия Галилея, однако не соглашалась с их толкованием. В 1613 году Галилей опубликовал «Письма о солнечных пятнах» и в этом сочинении впервые заявил в печати, что отстаивает коперниканскую модель гелиоцентрической Вселенной. Этот труд был встречен крайне неодобрительно, на автора посыпались обвинения, и вскоре на Галилея обратила внимание Святая инквизиция. Когда в 1616 году Галилей опубликовал свою теорию приливов, которая, как он считал, доказывала, что Земля движется, его вызвали в Рим и потребовали объяснений. Совет богословов издал эдикт, что Галилей, выдавая коперниканскую модель за истину, фальсифицирует научные данные. Однако официального обвинения против Галилея выдвинуто не было.

Галилей побывал на аудиенции у папы Павла V и остался в убеждении, что понтифик относится к нему с уважением и что ему можно продолжать читать лекции под покровительством папы. Однако Галилея строго предупредили, что учение Коперника противоречит Писанию, поэтому о нем можно говорить лишь как о гипотезе.

В 1623 году Павел V скончался, и новым папой избрали одного из друзей и сторонников Галилея кардинала Барберини, взявшего имя Урбан VIII, так что Галилей решил, что теперь эдикт 1616 года удастся отменить. Урбан сказал Галилею, что это он в свое время добился исключения из эдикта слова «ересь» и что если Галилей и дальше будет говорить об учении Коперника как о гипотезе, а не истине, то сможет свободно публиковать свои работы. Заручившись этой гарантией, Галилей в течение следующих шести лет работал над «Диалогом о двух главнейших системах мира» – книгой, из-за которой он попал за решетку.

Титульный лист «Диалога о двух главнейших системах мира». Слева направо – три собеседника из произведения Галилея: Сагредо, Симпличио и Сальвиати.

«Диалог о двух главнейших системах мира» написан в виде ученого диспута между сторонником Аристотеля и Птолемея и последователем Коперника, каждый из которых стремится склонить на свою сторону образованного обывателя. Галилей предварил книгу заверениями, что он во всем поддерживает эдикт 1616 года, а поскольку о теориях рассказывают вымышленные персонажи, автор не выступает открыто в поддержку той или иной стороны. Тем не менее читателям было очевидно, что «Диалог» не оставляет камня на камне от аристотелевской картины мира. Сторонник Аристотеля выведен простоватым и наивным, и доводы его откровенно слабы, а противостоит ему умный и напористый последователь Коперника. Книга пользовалась шумным успехом, несмотря на то что ее публикация была встречена бурными протестами. Галилей написал ее не на латыни, а на разговорном итальянском, сделав ее доступной широкому кругу грамотных итальянцев, а не только ученым и церковникам. Противники Галилея – сторонники Птолемеевой астрономии – пришли в ярость от такого пренебрежительного обращения со своими научными воззрениями. Многие читатели сообразили, что Симпличио – сторонник Птолемеевой системы – это карикатура на Симпликия, комментатора Аристотеля, жившего в VI веке. А папа Урбан VIII решил, что Симпличио – это карикатура на него самого. И счел, что Галилей обманул его, ведь тот, обратившись за разрешением писать эту книгу, умолчал о том, что собирается нарушить эдикт 1616 года. Однако Галилей, возможно, и не подозревал, что что-то нарушает, поскольку никаких письменных предостережений не получал.

К марту 1632 года церковь запретила издателю допечатывать тираж, а Галилея вызвали в Рим и потребовали оправданий. Галилей отказался ехать, сославшись на тяжелую болезнь, однако папа настаивал, пригрозив, что иначе прикажет доставить Галилея в кандалах. Спустя одиннадцать месяцев Галилей прибыл в Рим и предстал перед судом. Его вынудили отречься от коперниковской ереси и приговорили к пожизненному заключению. Однако вскоре пожизненное заключение заменили более мягким наказанием – домашним арестом в Сиене под надзором архиепископа Асканио Пикколомини, бывшего ученика Галилея. Пикколомини дозволил Галилею продолжать писать, более того, всячески уговаривал его не бросать работу. Там Галилей принялся за свой последний труд – «Математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки», – где подводил итоги своим достижениям в физике. Однако на следующий год в Риме узнали, какие благоприятные условия создал для Галилея Пикколомини, и приказали ученому перебраться в другой дом, на возвышенности под Флоренцией. Некоторые историки полагают, что именно тогда, при переезде, а не в суде после отречения, Галилей и произнес свое знаменитое «Eppur si muove».

В результате Галилей поселился ближе к своей дочери Виргинии, однако в 1634 году она заболела и вскоре умерла. Эта утрата подкосила Галилея, но он все же смог через некоторое время возобновить работу над «Двумя отраслями науки» и в течение года закончил книгу. Однако Святая конгрегация индекса запрещенных книг – церковная цензура – не дозволила публиковать ее. Пришлось тайно переправить рукопись из Италии в Лейден, в издательский дом Эльзевиров, поскольку в Северной Европе преобладал протестантизм. Там книга и вышла в 1638 году. «Математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки», где сформулированы законы движения падающих тел с ускорением, считают краеугольным камнем современной физики. В этой книге Галилей пересмотрел и уточнил результаты своих прежних опытов по изучению движения, а также принципы механики. Две новые отрасли науки, о которых пишет Галилей, – это изучение сопротивления материалов (раздел техники) и изучение движения (кинематика, раздел математики). В первой половине книги Галилей описал свои опыты с ускорением при движении по наклонной плоскости. Во второй половине обращается к трудной задаче расчета траектории ядра, выпущенного из пушки. Прежде полагали, что сообразно аристотелевским принципам ядро летит по прямой, а затем теряет «движущую силу» и падает прямо на землю. Затем наблюдатели подметили, что на самом деле ядро перед падением описывает кривую, однако никто не понимал, что это за кривая и по каким причинам это происходит, – пока не появился Галилей. Он сделал вывод, что траектория ядра определяется двумя движениями: одно – по вертикали, вызванное земным тяготением, которое тянет ядро вниз, второе – по горизонтали, подчиняющееся принципу инерции.

Галилей показал, что сочетание этих двух независимых движений и определяет путь ядра по кривой, которую можно описать математически. В доказательство он вымазал чернилами бронзовый шар и скатил его по наклонной плоскости на стол, после чего шар свободно докатился до края и упал на пол. Сколько Галилей ни повторял этот опыт, чернильная метка на полу от упавшего шара всегда находилась на некоем расстоянии от края стола. Так Галилей доказал, что шар продолжает двигаться по горизонтали с постоянной скоростью, а земное тяготение увлекает его вниз по вертикали. Он обнаружил, что расстояние увеличивается пропорционально квадрату затраченного времени. Кривая имела строгую математическую форму, которую древние греки называли «парабола».

Галилей наблюдал движение шаров разного веса, скатывавшихся по наклонной плоскости. Измерения показали, что скорость каждого тела прирастала в одном и том же темпе. Кроме того, Галилей показал, что шар, падая в конце концов на пол, описывал эллиптическую траекторию.

Трактат «О двух отраслях науки» оказал такое колоссальное влияние на развитие физики, что историки науки давно считают, что эта книга предвосхитила законы Ньютона. Но к моменту выхода книги в свет Галилей ослеп. Остаток жизни он провел в Арчетри, где и умер 8 января 1642 года. Вклад Галилея в развитие человечества невозможно переоценить. Его заслуги признавал и Альберт Эйнштейн: «Предположения, сделанные исключительно на основании логики, по отношению к реальности совершенно пусты. Поскольку Галилей это видел, а особенно – поскольку он внушил эту мысль научному миру, он и считается отцом современной физики, более того, современной науки как таковой».

Телескоп Галилея, тетрадь с заметками к этой книге, модель Юпитера со спутниками и сама планета Юпитер вдали.

В 1979 году папа Иоанн Павел II заявил, что католическая церковь, вероятно, осудила Галилея ошибочно, и созвал комиссию по пересмотру дела. Четыре года спустя комиссия доложила, что осуждать Галилея не следовало, и церковь опубликовала все материалы процесса. В 1992 году папа признал решение комиссии верным.

Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки

День первый

Участники: Сальвиати, Сагредо и Симпличио.

Сальвиати. Если мы возьмем дерево, то мы можем превратить его в огонь и свет, но мы бессильны сгустить эти огонь и свет и обратить их в дерево; мы наблюдаем как плоды, цветы и тысячи других плотных тел частью превращаются в запах, но мы не видим, как атомы, производящие запах, сгущаются в благоухающие тела. Там, где недостает чувственного наблюдения, его надо дополнить размышлением, которое дает нам возможность не только понять явление разрежения и растворения твердых тел, но и сгущения веществ нетвердых и даже самых тонких.

Приступим же к рассмотрению того, как могут происходить сгущение и разрежение таких тел, которые способны к сгущению и разрежению, не прибегая при этом к помощи предположения пустоты и проницаемости тел. При этом не исключена возможность, что в природе существуют такие вещества, с которыми такие явления не происходят, и поэтому с ними не происходит того, что вы называете затруднительным и невозможным. Итак, синьор Симпличио, я много потрудился над тем, чтобы угодить вам, господам философам, представить, каким образом могут происходить сгущение и разрежение без допущения проницаемости тел или существования пустых пространств – допущений, которые вы отрицаете и отклоняете, тогда как, если бы вы пожелали их признать, вы не нашли бы во мне столь упорного противника. Поэтому или примите эти затруднительные допущения, или согласитесь с моими объяснениями, или найдите более удовлетворительные.

Сагредо. Взаимное проникновение тел я совершенно отрицаю, сходясь в этом с философами-перипатетиками. Что же касается пустоты, мне хотелось бы внимательно рассмотреть как доводы Аристотеля против ее допущения, так и ваши, синьор Сальвиати, с ним несогласные; синьор Симпличио будет добр точно изложить доводы философа, а вы, синьор Сальвиати, свои возражения.

Космический телескоп имени Джеймса Уэбба должен был заменить телескоп имени Хаббла в 2011 году.

Симпличио. Аристотель, насколько я помню, оспаривает мнение некоторых древних философов, которые вводили пустоту как необходимое условие движения, говоря, что последнее невозможно без первой. Оспаривая такое положение, Аристотель доказывает, наоборот, что существование движения (как можно видеть) противоречит допущению пустоты. Его доказательство таково. Он рассматривает два случая: один – движение тел различного веса в одинаковой среде; другой – движение одного и того же тела в различных средах. Относительно первого случая он утверждает, что тела различного веса движутся в одной и той же среде с различными скоростями, которые относятся между собою, как веса тел, так что, например, если одно тело в десять раз тяжелее другого, то и движется оно в десять раз быстрее. Относительно второго случая он принимает, что скорость движения одного и того же тела в различных средах различна и обратно пропорциональна степени густоты или плотности среды; таким образом, если предположить, что степень плотности воды равна десятикратной плотности воздуха, то движение в воздухе должно совершаться в десять раз быстрее, чем в воде. Из этого второго положения он выводит дальнейшее доказательство в следующей форме. Так как разреженность пустоты бесконечно отличается от плотности среды, заполненной хотя бы тончайшим веществом, то движущиеся тела, проходящие определенное расстояние в заполненном пространстве в некоторый промежуток времени, должны были бы передвигаться в пустоте мгновенно; но мгновенное движение невозможно; поэтому вследствие движения невозможна пустота.

Будущее, которое создается у нас на глазах, неизменно подтверждает все труды Галилея. Телескоп «Хаббл» весил больше тонны, зато новый телескоп Уэбба будет состоять из легких шестиугольных зеркал по шесть метров в поперечнике, а по мощности превосходить телескоп «Хаббл» в 10–100 раз.

Предполагают, что Галилей бросал шары различного веса и размера с Пизанской башни, чтобы показать, что все они падают с одинаковой скоростью.

Сальвиати. Аргумент, как видите, приводится ad hominem, т. е. против тех, кто полагал, что пустота необходима для движения. Поэтому, если я сочту аргумент доказательным, но вместе с тем признаю, что в пустоте движение не совершается, то существование пустоты в абсолютном смысле – без отношения к движению – этим не будет опровергнуто. Но рассуждая в духе этих древних и рассматривая, насколько убедительны доводы Аристотеля, следует, как мне кажется, возражать против его положений, отрицая оба. Во-первых, я сильно сомневаюсь, чтобы Аристотель видел на опыте справедливость того, что два камня, из которых один в десять раз тяжелее другого, начавшие одновременно падать с высоты, предположим, ста локтей, двигались со столь различной скоростью, что в то время как более тяжелый достиг бы земли, более легкий прошел бы всего 10 локтей.

Симпличио. Из ваших слов выходит, что вы производили подобные опыты, потому что вы говорите: «Видел более тяжелый», а видеть можно только тогда, когда производишь опыты.

Сагредо. Но я, синьор Симпличио, не производивший никаких опытов, уверяю вас, что пушечное ядро весом в сто, двести и более фунтов не опередит и на одну пядь мушкетной пули весом меньше полфунта при падении на землю с высоты двухсот локтей.

Сальвиати. Да и без дальнейших опытов путем краткого, но убедительного рассуждения мы можем ясно показать неправильность утверждения, будто тела, более тяжелые, движутся быстрее, нежели более легкие, подразумевая тела из одного и того же вещества, т. е. такие, о которых говорит Аристотель. В самом деле, скажите мне, синьор Симпличио, признаете ли вы, что каждому падающему твердому телу присуща от природы определенная скорость, увеличить или уменьшить которую возможно, только применив усилие или противопоставив какое-либо препятствие?

Симпличио. Я не сомневаюсь в том, что одно и то же тело в одной и той же среде имеет постоянную скорость, определенную природой, которая не может увеличиться иначе, как от приложения нового импульса, или уменьшиться иначе, как от замедляющего препятствия.

Сальвиати. Таким образом, если мы имеем два падающих тела, естественные скорости которых различны, и соединим движущееся быстрее с движущимся медленнее, то ясно, что движение тела, падающего быстрее, несколько задержится, а движение другого несколько ускорится. Вы не возражаете против такого положения?

Симпличио. Думаю, что это вполне правильно.

Сальвиати. Но если это так и если вместе с тем верно, что большой камень движется, скажем, со скоростью в восемь градусов, тогда как другой, меньший, – со скоростью в четыре градуса, то, соединяя их вместе, мы должны получить скорость, меньшую восьми градусов; однако два камня, соединенные вместе, составляют тело большее первоначального, которое имело скорость в восемь градусов, следовательно, выходит, что более тяжелое тело движется с меньшей скоростью, чем более легкое; а это противно вашему предположению. Вы видите теперь, как из положения, что более тяжелые тела движутся с большей скоростью, чем легкие, я мог вывести заключение, что более тяжелые тела движутся менее быстро.

Симпличио. Я чувствую себя совершенно сбитым с толку. Мне кажется, что малый камень, присоединенный к большому, увеличивает вес последнего; но, увеличивая вес, он должен если не увеличить скорость, то, во всяком случае, не уменьшить ее.

Сальвиати. Здесь вы совершаете новую ошибку, синьор Симпличио, так как неправильно, что малый камень увеличивает вес большого.

Симпличио. Ну, это уже превосходит мое понимание.

Сальвиати. Нисколько, все будет понятно, как только я избавлю вас от заблуждения, в которое вы впали. Дело в том, что необходимо делать различие между телами, пребывающими в покое и находящимися в движении. Большой камень, взвешиваемый на весах, приобретает больший вес от наложения на него не только другого камня: положенная на него связка пакли увеличивает его вес на шесть-десять унций, которые весит сама пакля. Но если вы заставляете камень свободно падать с некоторой высоты вместе с наложенной на него паклей, то думаете ли вы, что при движении пакля будет давить на камень и тем увеличивать скорость его движения или что она его замедлит, поддерживая камень? Мы чувствуем тяжесть на плечах, когда сопротивляемся движению, к которому стремится давящая тяжесть; но если бы мы опускались с такою же скоростью, с какою перемещается свободно падающий груз, то каким образом тяжесть могла бы давить на нас? Не видите ли вы, что это подобно тому, как если бы мы хотели поразить копьем кого-либо, кто бежит впереди нас с равною или большею скоростью? Выведите из этого заключение, что при свободном и естественном падении малый камень не давит на больший и, следовательно, не увеличивает его веса, как то бывает при покое.

Симпличио. Но если положить больший камень на меньший?

Сальвиати. Он увеличил бы вес меньшего, если бы движение его было более быстрым; но мы уже нашли, что если бы меньший двигался медленнее, то он замедлил бы отчасти движение большего; таким образом, целое двигалось бы медленнее, будучи больше своей части, что противно нашему положению. Выведем из всего этого, что тела большие и малые, имеющие одинаковый удельный вес, движутся с одинаковой скоростью.

Симпличио. Ваше рассуждение, действительно, прекрасно; однако мне все же трудно поверить, что крупинка свинца должна падать с такой же быстротою, как пушечное ядро.

Сальвиати. Скажите лучше – песчинка с такой же быстротой, как мельничный жернов. Я не хотел бы, синьор Симпличио, чтобы вы поступали, как многие другие, отклоняя беседу от главного вопроса, и придирались к выражению, в котором я допустил отклонение от действительности на один волосок, желая скрыть за этой небольшой погрешностью ошибку другого, грубую, как якорный канат. Аристотель говорит: «Железный шар, весом в сто фунтов, падая с высоты ста локтей, упадет на землю, в то время как другой, весом в один фунт, пройдет пространство в один локоть». Я утверждаю, что оба упадут одновременно. Проделав опыт, вы найдете, что больший опередит меньший на два пальца, так что когда больший упадет на землю, то меньший будет от нее на расстоянии толщины двух пальцев. Этими двумя пальцами вы хотите закрыть девяносто девять локтей Аристотеля и, говоря о моей небольшой ошибке, умалчиваете о громадной ошибке другого. Аристотель говорит, что тела различного веса движутся в одной и той же среде (поскольку движение происходит вследствие тяжести) со скоростями, пропорциональными их весу, и приводит в пример тела, на которых можно проследить чистое, абсолютное влияние веса, отбрасывая в сторону все другие соображения как относительно формы, так и относительно других малозначащих моментов, каковые легко подвергаются воздействию среды, изменяющей простое действие одной тяжести; так, мы видим, что золото – вещество, тяжелейшее из всех других, – будучи превращено в тончайшие листки, носится в воздухе; то же делается с ним, когда кусок его обращен в тончайший порошок. Но если вы желаете доказать общее положение, то вам следует показать, что пропорциональность скоростей наблюдается во всех тяжелых телах, так что камень в двадцать фунтов весом падает в десять раз быстрее, чем камень весом в два фунта; а это, как я утверждаю, неверно: падая с высоты пятидесяти-ста локтей, оба они достигнут земли в один и тот же момент.

Телескопы Галилея

Симпличио. Быть может, при падении с большей высоты, хотя бы в тысячу локтей, обнаружилось бы то, чего нельзя заметить при меньших высотах?

Сальвиати. Если вы полагаете, что Аристотель так думал, то вы приписываете ему другую ошибку, да еще и ложь. Так как на земле мы не находим таких вертикальных высот, то ясно, что Аристотель не мог производить с ними опытов; а между тем он хочет убедить нас, что делал опыты, говоря, что можно видеть такое явление.

Симпличио. На самом деле Аристотель пользуется не этим принципом, а другим, с которым, я полагаю, не связано таких затруднений.

Сальвиати. Второе утверждение не менее ложно, нежели первое. Меня удивляет, как вы сами не замечаете его неправильности и не видите, что если бы было правильно, что одно и то же тело в средах различной тонкости или плотности, словом, разной сопротивляемости, например, в воде и в воздухе, движется в воздухе со скоростью большей, нежели в воде, во столько же раз, во сколько плотность воздуха меньше плотности воды, то из этого вытекало бы, что все тела, падающие в воздухе, опускаются ко дну также и в воде, что совершенно ложно, так как существуют многие тела, которые не только не тонут в воде, но даже поднимаются в ней на поверхность.

Астронавт во время высадки на Луну бросил свинцовый шар и перо. На Луне почти вакуум, поэтому оба предмета упали одновременно.

Симпличио. Я не вижу необходимости в вашем заключении и скажу, что Аристотель имел в виду такие тяжелые тела, которые опускаются как в одной, так и другой среде, а не такие, которые в воздухе падают, а в воде поднимаются кверху.

Сальвиати. Вы выдвигаете в защиту этого философа такие аргументы, которыми он, конечно, не воспользовался бы, чтобы не увеличивать своей первоначальной ошибки. Скажите мне, находится ли плотность воды, или, вообще, причина, замедляющая движение в ней, в каком-либо определенном отношении к плотности воздуха, где эта замедляющая причина меньше; если находится, то определите примерно это отношение.

Симпличио. Конечно, находится, и допустим, что это отношение равно десяти; таким образом, скорость твердого тела, опускающегося в том и в другом веществе, будет в воде в десять раз меньше, чем в воздухе.

Сальвиати. Возьмем теперь одно из таких тел, которые падают в воздухе, но не тонут в воде; пусть это будет кусок дерева; предоставляю вам назначить по вашему усмотрению скорость его движения в воздухе.

Симпличио. Предположим, что он падает со скоростью двадцати градусов.

Сальвиати. Прекрасно. Очевидно, что такая скорость будет находиться к другой – меньшей скорости в таком же отношении, какое имеет плотность воды к плотности воздуха, почему меньшая скорость будет равняться двум градусам. Отсюда, рассуждая последовательно, мы должны были бы заключить, согласно правилу Аристотеля, что деревянный шар, который падает в воздухе, в десять раз менее плотном, нежели вода, со скоростью двадцати градусов, должен опускаться в воде со скоростью двух градусов, а не подниматься со дна на поверхность, как то происходит на самом деле. Я не думаю, чтобы вы стали утверждать, будто подниматься в воде и опускаться ко дну со скоростью двух градусов для дерева одно и то же. Но так как кусок дерева в воде не тонет, то вы, надо полагать, допустите вместе со мною, что можно выбрать кусок вещества иного, нежели дерево, который бы опускался в воде со скоростью двух градусов.

Симпличио. Конечно, допускаю, но вещество это должно быть значительно тяжелее дерева.

Сальвиати. Именно такое я и ищу. Но спрашивается, с какой скоростью будет падать в воздухе этот второй кусок, опускающийся в воде со скоростью двух градусов? На этот вопрос вы должны будете ответить (пользуясь правилом Аристотеля), что он будет падать со скоростью двадцати градусов; но ту же скорость в двадцать градусов вы уже приписали куску дерева; следовательно, и этот кусок и другой, значительно более тяжелый, будут двигаться в воздухе с одинаковой скоростью. Каким же образом мог бы согласовать философ этот вывод с другим своим положением, что тела разного веса в одной и той же среде движутся с различными скоростями, пропорциональными их весу? Отвлекаясь теперь от глубоких размышлений, позвольте спросить, каким образом не замечаете вы совершенно очевидных и часто встречающихся явлений, когда из двух тел, движущихся в воде, одно перемещается, например, во сто раз быстрее другого, тогда как при падении в воздухе скорость одного превышает скорость другого едва ли на одну сотую долю? Так, мраморное яйцо опускается в воде во сто раз быстрее куриного яйца; при падении же в воздухе с высоты двадцати локтей оно опережает куриное яйцо едва ли на четыре пальца. Существуют тела, которые в воде опускаются за три часа на глубину десяти локтей, каковое пространство в воздухе они пробегают за один-два удара пульса, тогда как другие (например, свинцовый шарик) падают в воздухе со скоростью приблизительно в два раза большей той, с которой они тонут в воде. Теперь, синьор Симпличио, вы без сомнения, сознаете, что вам нечего более мне возразить. Согласимся же на том, что приведенный ранее аргумент не заключает в себе ничего опровергающего существование пустоты; а если бы он и был убедительным, то им опровергалось бы лишь допущение таких больших пустот, которые ни я, ни древние не представляли себе естественно существующими и которые, возможно, могут быть созданы насильственно, как то, видимо, доказывается опытами, но на этом, однако, было бы слишком долго теперь останавливаться.

Сагредо. Так как синьор Симпличио хранит молчание, то я воспользуюсь моментом, чтобы сказать несколько слов. Вы совершенно ясно доказали, что тяжелые тела различного веса движутся в одной и той же среде не с различными скоростями, пропорциональными их весу, а с одинаковой скоростью; я полагаю, что это относится к телам из одного и того же вещества или, лучше сказать, одинакового удельного веса, но не к телам разного удельного веса (так как я не думаю, чтобы вы утверждали, будто кусок пробки падает с такою же скоростью, как кусок свинца); далее, вы ясно доказали, что неправильно принимать, будто скорость движения одного и того же тела в различных средах изменяется в той же пропорции, как сопротивляемость среды; мне очень хотелось бы знать, какие же отношения наблюдаются в действительности в том и другом случае?

Перехожу теперь к другим вопросам, связанным с маятником, – теме довольно сухой, по мнению многих, особенно же философов, постоянно занимающихся исследованием самых глубоких проблем природы. Я, однако, не хочу пренебречь этой темой, по примеру Аристотеля, который поражает меня более всего именно тем, что нет, кажется, ни одного достойного внимания явления, мимо которого он прошел бы, не коснувшись его. Поэтому, побуждаемый вашею любознательностью, синьоры, я думаю сообщить вам некоторые свои соображения из области музыки. Эта благородная тема была предметом исследования многих, в том числе и самого Аристотеля, и содержит весьма много интересного. Я надеюсь, что заслужу ваше одобрение, если при помощи простых и убедительных опытов объясню вам чудесные явления из области звуков.

Сагредо. Я не только выражу одобрение, но скажу, что этим вы исполните мое особое желание. Обращаясь со всякими музыкальными инструментами и много размышляя о созвучии, я часто поражался и оставался в полном недоумении, почему одно мне нравится и кажется более приятным, нежели другое, а иное, наоборот, не только не нравится, но представляется крайне неприятным. Общеизвестная проблема о двух натянутых, одинаково звучащих струнах, так что, когда звучит одна струна, другая также приходит в колебание и резонирует, для меня также не совсем ясна, равно как и формы созвучий и многое другое.

Сальвиати. Посмотрим, не сможем ли мы извлечь какой-либо пользы из наших маятников для решения и этих вопросов. Что касается первого пункта, а именно, правильно ли, что один и тот же маятник совершает все свои качания – большие, средние и малые – в совершенно одинаковые промежутки времени, то я сошлюсь на данные нашего Академика, который доказал, что тела, спускающиеся по хорде, соответствующей любой дуге, употребляют для этого одинаковый промежуток времени, будь соответствующая дуга в сто восемьдесят градусов (т. е. с диаметр), сто или шестьдесят градусов, два градуса, полградуса или, наконец, четыре минуты величиною, если предположить, что в конечной низшей точке все эти тела достигают горизонтальной плоскости.

Далее, тела, опускающиеся по дугам, соответствующим хордам, наклонным к горизонту и не превышающим четверти круга или девяноста градусов, совершают движение, как показывает опыт, также в равные промежутки времени и притом меньшие, нежели при движении по хордам, – явление тем более удивительное, что можно было бы ожидать как раз противоположного. Если начальная и конечная точки движения одинаковы и прямая линия есть кратчайшее расстояние между ними, то можно было бы думать, что движение, совершающееся по ней, требует наименьшего времени; на самом деле этого нет: наикратчайшее время, а следовательно, и наибыстрейшее движение мы встречаем при движении по дуге, для которой соответствующая прямая является хордою.

Что касается, далее, отношения времени качания тел, подвешенных к нитям различной длины, то промежутки времени относятся друг к другу, как корни квадратные из длин маятников, и, обратно, длины маятников находятся в двойной пропорции времен, т. е. относятся друг к другу, как квадраты времен качания. Таким образом, если мы пожелаем, чтобы один маятник качался в два раза медленнее, чем другой, то необходимо длину его сделать в четыре раза большею; подобным же образом, в то время как один маятник совершает одно качание, другой, нить которого будет в девять раз короче, совершит три качания. Отсюда вытекает, что длины маятников обратно пропорциональны квадратам чисел их качаний, совершаемых в течение определенного промежутка времени.

Сагредо. Итак, если я хорошо понял, я могу тотчас же вычислить длину веревки, укрепленной на любой огромной высоте, хотя бы точка подвеса ее и не была видима, раз только я могу наблюдать движение ее нижнего конца. Для этого мне понадобится лишь привязать к нижнему концу достаточный груз, который будет качаться взад и вперед, и в то время, как кто-либо из моих друзей будет считать эти качания, самому наблюдать и считать одновременно качания другого маятника, длина которого равняется точно одному локтю. Из чисел качания этих двух маятников за один и тот же промежуток времени я и вычислю искомую длину нити. Положим, что в то время, как мой друг насчитал двадцать качаний длинного маятника, я нашел, что мой маятник, длиною в один локоть, совершил их двести сорок; возведя числа двадцать и двести сорок в квадрат, получим 400 и 57 600, из чего заключим, что длинный маятник содержит 57 600 таких частей, которых в меньшем, длиною в один локоть, содержится 400; а разделив 57 600 на 400, получим число 144; таким образом я узнаю, что веревка имеет длину в 144 локтя.

Маятник в движении

Сальвиати. Вы не ошибетесь и на толщину одного пальца, особенно если сосчитаете большое число качаний.

Сагредо. Как часто даете вы мне случай, синьор, удивляться богатству и вместе с тем щедрости природы, делая совершенно новые интересные выводы из простых, известных и, скажу, даже тривиальных вещей, выводы, далекие от того, что может представить воображение. Тысячи раз наблюдал я качание, в особенности церковных паникадил, подвешенных часто на очень длинных цепях и почему-либо совершающих незначительные движения. Однако самое большее, что я вывел из этих наблюдений, это то, что мнение, будто такие движения поддерживаются окружающей средою – в данном случае воздухом, – неосновательно. Мне казалось невозможным, чтобы воздух имел такое правильное движение или чтобы ему нечего было делать, кроме как проводить час за часом в раскачивании с такою размеренностью свешивающихся тяжестей. Но то обстоятельство, что одно и то же тело, свешивающееся с высоты ста локтей, употребляет на прохождение больших и малых дуг при отклонении на девяносто градусов и на один градус одинаковый промежуток времени, ускользало от моего внимания и до сих пор кажется мне невозможным. Теперь я нахожусь в ожидании услышать, каким образом эти простейшие соотношения могут объяснить музыкальные проблемы, и хотя отчасти удовлетворить мою любознательность.

Сальвиати. Прежде всего необходимо установить, что каждый маятник имеет время качания столь строго определенное и ограниченное, что невозможно заставить его двигаться в период иной, нежели свойственный ему от природы. Если возьмем в руки веревку с привязанным к ней грузом и попробуем увеличить или уменьшить число качаний, то найдем, что это напрасный труд. С другой стороны, маятник, находящийся в покое, хотя бы и очень тяжелый, мы можем привести в движение и притом очень заметное простым дуновением, если мы будем приостанавливать дыхание при возвращении маятника и вновь дуть в соответствующий его качанию момент. Если при первом дуновении мы откачнем маятник от отвеса на полдюйма, то вторым дуновением по возвращении маятника назад мы сообщим ему новый толчок и так постепенно увеличим размахи; но дуть необходимо вовремя, а не тогда, когда маятник идет навстречу (в таком случае мы мешали бы, а не помогали бы движению). Многими последовательными толчками мы постепенно сообщим маятнику такой импульс, что нужна будет сила, во много раз большая, нежели дуновение, чтобы его остановить.

Сагредо. Я еще ребенком наблюдал, как один человек подобными многократными вовремя данными толчками заставлял звонить огромный церковный колокол; желая остановить его, четверо и шестеро человек хватались за веревку, но их много раз поднимало кверху, и их совместные усилия были недостаточными, чтобы сразу лишить колокол импульса, сообщенного ему регулярными толчками одного человека.

Сальвиати. Вот пример, который вместе с моей предпосылкой может быть очень подходящим для пояснения удивительных явлений в струнах цитры или струнного кимвала, которые, приходя в движение, заставляют звучать также и другие струны и притом настроенные не только в унисон, но и в октаву и квинту. Струна после удара по ней издает звук, продолжающийся все время, пока длятся ее колебания; эти колебания заставляют дрожать и колебаться прилегающий к ней воздух, сотрясения и колебания которого распространяются на большое пространство и отзываются на всех струнах того же инструмента и других соседних. Каждая струна, настроенная в унисон с первой, будучи склонна совершать колебания в одинаковые с нею промежутки времени, при первом же толчке начинает слегка колебаться; к первому толчку присоединяется второй, третий, двадцатый и т. д., все в соответственные моменты, так что, в конце концов, получается дрожание, подобное дрожанию первой струны; при этом можно ясно видеть расширение ее колебаний до размеров колебания струны, возбуждающей ее движение. Колебания, распространяющиеся по воздуху, затрагивают и приводят в движение не только струны, но и вообще все иные тела, способные колебаться и вибрировать в промежутки времени, одинаковые со звучащей струной. Если мы прикрепим к краю инструмента различные щетинки или другие тела из весьма гибкого вещества, то, ударяя по струнам инструмента, заметим, что некоторые из них будут приходить в движение, когда мы ударяем по струне, совершающей колебания в одинаковое с ними время, другие будут оставаться при этом в покое, первые же не будут колебаться при звуке иных струн.

Гравюра, изображающая маятниковые часы Галилея. Результаты изучения маятников Галилей применил в практических целях для создания полезного устройства.

Если мы будем сильно водить смычком по толстой струне скрипки, приблизив к ней кубок из тонкого гладкого стекла, то, когда звучание струны будет в унисон со звучанием кубка, последний задрожит и явственно зазвучит. Распространение колебаний в среде, окружающей звучащее тело, можно ясно наблюдать, заставив звучать кубок, частью налитый водою, водя концом пальца по его краю: содержащаяся в кубке вода покроется правильными волнами. Это явление наблюдается еще отчетливее, если поставить ножку кубка на дно какого-нибудь достаточно широкого сосуда, наполнив последний водою почти до краев кубка; заставляя трением пальца звучать кубок, мы увидим, как правильные волны побегут с большой быстротой по воде и соберутся на значительном расстоянии от кубка; заставляя звучать указанным способом достаточно большой кубок, почти полный воды, я часто видел, как сперва образовывались с совершенной правильностью волны, а когда иной раз звук стекла внезапно повышался на октаву, в тот же момент каждая из волн распадалась на две – явление, ясно указывающее, что форма октавы является двойной.

Сагредо. Подобное же приходилось не раз наблюдать и мне при занятиях музыкой как для удовольствия, так и для пользы. Я долгое время находился в недоумении по поводу формы созвучий, так как мне казались недостаточными те положения и объяснения, которые обычно даются авторами сочинений о музыке. Они говорят, что диапазон, или октава, стоит в отношении двойном, а диапента, или, как мы говорим, квинта, – в отношении полуторном к основному тону и т. д.; действительно, если натянутая на монохорде струна дает основной тон, то, заставляя звучать половину струны, разделив ее пополам посредством поставленной в середине дощечки, мы получим октаву; если же мы поставим дощечку на одну треть до конца струны и, придержав меньшую часть, заставим звучать часть из двух третей струны, то получим квинту. Поэтому говорят, что в октаве созвучие состоит в отношении двух к одному, а в квинте – в отношении трех к двум. Скажу, что это рассуждение казалось мне недостаточным для того, чтобы утверждать, будто двойное и полуторное отношения являются естественными формами для диапазона и диапенты, и вот по каким основаниям. Мы можем повысить тон струны тремя способами: укорачиванием, вытягиванием или, скажем, большим натяжением и, наконец, утончением. Сохраняя одну и ту же толщину и степень натяжения, мы должны, если хотим получить октаву, разделить ее подпоркою пополам и сперва заставить звучать всю струну, а затем половину ее. Но если, сохраняя ту же толщину и длину, мы захотим получить октаву посредством большего натяжения струны, то недостаточно будет тянуть ее силою вдвое большей; для этого понадобится сила в четыре раза большая, так что если струна была первоначально натянута грузом, например в один фунт, то, чтобы получить октаву, необходимо будет подвесить груз в четыре фунта.

Наконец, чтобы получить октаву, сохраняя ту же длину и степень натяжения, надо взять более тонкую струну, которая составит по толщине четвертую часть первоначальной толстой струны. То, что я говорю здесь об октаве, т. е. о зависимости ее от степени натяжения и от толщины струны и об отношении ее как двух к одному, выводимом из отношения длины струн, одинаково применимо и ко всяким другим музыкальным интервалам.

Если опустить камертон в воду, становится понятно, насколько мощны звуковые колебания.

Поэтому, если отношение, найденное на основании сравнения длины, равно полутора, поскольку для получения квинты мы заставляем звучать сначала всю, а затем две трети струны, то для того чтобы получить такое созвучие посредством большего натяжения или утончения струны, отношение трех к двум следует возвести в квадрат, что дает отношение девяти к четырем; таким образом, если в первом случае первоначальный груз, натягивающий струну, равнялся четырем фунтам, то придется взять новый груз не в шесть, а в девять фунтов; во втором же случае придется подобрать струны так, чтобы толщина одной из них относилась к толщине другой, как девять к четырем. После таких точных опытов мне показалось, что нет никаких оснований для утверждения почтенных философов об октаве, будто она имеет форму отношения одного к двум, а не одного к четырем; равным образом и квинта скорее соответствует отношению четырех к девяти, чем двух к трем. Так как сосчитать колебания струны, которая, давая звук, вибрирует с большою быстротою, совершенно невозможно, то я долго оставался в сомнении, действительно ли верно, что струна, звучащая на октаву выше, делает за то же время в два раза больше колебаний, чем струна, дающая основной более низкий тон, пока опыт с дрожащим и звучащим кубком и постоянными водяными волнами не показал мне, что всякий раз, как звук повышается на октаву, тотчас же рождаются новые меньшие волны, которые с величайшей точностью и правильностью разбивают каждую из прежних волн надвое.

Сальвиати. Это прекрасный опыт, дающий возможность различать одну от другой волны, порождаемые дрожанием звучащего тела; это – те же волны, которые, распространяясь в воздухе, щекочут барабанную перепонку в нашем ухе, и это в нашей душе становится звуком. Так как явление, наблюдаемое с водою, продолжается только до тех пор, пока мы продолжаем водить по кубку пальцем, да и в этот период времени оно непостоянно, ибо волны попеременно и рождаются и расходятся, то, конечно, вы согласитесь, что было бы хорошо, если бы можно было заставить колебания длиться продолжительное время, скажем, месяцы и годы; это дало бы нам возможность их измерять и удобно считать.

Сагредо. Конечно, я бы весьма высоко оценил такое изобретение.

Сальвиати. Изобретение это было делом случая; мне надо было только подметить и оценить должным образом попутное явление, имевшее место в довольно несовершенной обстановке. Я скоблил острым железным долотом пластинку из латуни, чтобы удалить с нее пятна, и при быстром многократном движении долота раз или два услышал ясный и чистый звук; когда я посмотрел на пластинку, то увидел длинные ряды тончайших пылинок, расположенных параллельно и на совершенно одинаковом расстоянии друг от друга. Возобновляя и повторяя соскабливание много и много раз, я заметил, что полосы на пластинке появлялись только в тех случаях, когда повторялся звук; когда же движение долота происходило беззвучно, то не было никакого намека и на рисунок. Я повторял опыт много раз, проводя долотом то с большей, то с меньшей скоростью и получая звук то более высокого, то более низкого тона; я заметил, что при более высоких тонах штрихи получались более сближенными, а при низких – более редкими; в тех случаях, когда в один и тот же раз я проводил долотом сначала с меньшей, а потом, к концу, с большей скоростью и получал звук, постепенно повышающийся в тоне, штрихи получались все более сближенными, но с самой правильной постепенностью и сохраняя постоянную параллельность; кроме того, при соскабливании, порождающем звук, я чувствовал, как дрожало долото, зажатое в моем кулаке, и по руке пробегала как бы дрожь. В общем, в данном случае на примере железа наблюдается то же самое, что происходит, когда мы говорим сначала шепотом, а затем издаем ясный тон, потому что, выпуская дыхание беззвучно, мы не чувствуем в горле и во рту почти никакого движения по сравнению с тем сильным сотрясением, которое испытывает гортань, когда мы говорим полным голосом, особенно при глубоких низких тонах.

Я неоднократно пробовал подобрать на струнах кимвала звуки, соответствующие тем, которые получались указанным образом. Два из наиболее разнящихся по тону звука отличались друг от друга ровно на квинту; когда я измерил штрихи и расстояние между ними в том и другом случае, то я нашел, что пространство, содержавшее сорок пять штрихов в одном случае, имело их только тридцать в другом, что действительно соответствует форме, приписываемой диапенте.

Прежде чем продолжать далее, я хочу обратить внимание ваше на то, что один из трех способов повысить тон, о котором вы говорили, а именно, утончение струны, правильнее относить к изменению веса последней. При одинаковом материале пропорция сохраняется, конечно, одинаковой, так что из двух струн, сделанных из кишок, одна струна должна быть в четыре раза толще другой, чтобы разница в тоне равнялась октаве; также и в случае латунных струн – одна из них должна быть вчетверо толще другой. Но если я хочу получить октаву из струн – одной латунной, а другой жильной, – то нет надобности, чтобы одна была в четыре раза толще другой; необходимо только, чтобы одна была в четыре раза тяжелее другой. Таким образом, что касается толщины, то металлическая струна будет по сравнению с жильной струной, звучащей на октаву выше, не в четыре раза толще последней, а приблизительно во столько же раз тоньше; но вес первой будет в четыре раза больше веса второй. Отсюда же происходит и то, что если мы возьмем два инструмента со струнами совершенно одинаковой длины, толщины и степени натяжения, но в одном случае сделанными из золота, а в другом из латуни, то тон первого будет ниже, чем второго, приблизительно на квинту, так как золото почти в два раза тяжелее латуни.

Отсюда можно видеть, что сопротивление скорости движения оказывает по преимуществу вес тела, а не толщина, обратно тому, чего можно было бы ожидать по первому взгляду; казалось бы естественным, что скорость должна быть умеряема сопротивлением среды в большей степени, если последняя должна уступать движению тела толстого и более легкого, чем тела тонкого и тяжелого; в действительности же в данном случае имеет место как раз обратное.

Но возвращаясь к первому положению, скажу, что ближайшая и непосредственная причина формы музыкальных интервалов лежит не в длине струны и не в толщине или степени натяжения: она заключается в отношении между числами колебаний и ударов воздушных волн, доходящих до барабанной перепонки нашего уха и заставляющих ее дрожать с соответственной скоростью. Установив это, мы можем с большою уверенностью найти основание тому, почему при многих звуках, различных по тону, некоторые созвучия воспринимаются нами с удовольствием, иные нам менее приятны и третьи, наконец, производят крайне неприятное ощущение, т. е. найти основание для более или менее совершенных консонансов и диссонансов. Неприятное впечатление от последних происходит, думается мне, от несогласованности колебаний, производимых двумя различными тонами и беспорядочно поражающих наш слух; особенно резким является диссонанс в том случае, когда числа колебаний несоизмеримы, например, если при двух в унисон настроенных струнах заставить звучать струну и часть, относящуюся ко всей струне, как сторона квадрата к его диагонали, – диссонанс, подобный тритонусу или полудиапенте.

Консонансами, т. е. созвучиями, воспринимаемыми с удовольствием, являются два таких тона, которые производят колебания, ударяющиеся о барабанную перепонку с известною правильностью; здесь, прежде всего, необходимо, чтобы числа колебаний, совершаемых звуками в одинаковый промежуток времени, были соизмеримыми и чтобы, таким образом, хрящ барабанной перепонки не находился в постоянном мучительном состоянии движения двумя различными способами, в зависимости от несогласованных друг с другом ударов.

Таким образом, первым и самым совершенным созвучием является октава: на каждый удар, производимый на ухо звуком более низкого тона, в ней приходятся два удара более высокого тона, так что удары обоих тонов то совпадают, то расходятся, и из общего числа ударов половина является совпадающей; при звуках же струн, настроенных в унисон, совпадают все удары, т. е. звучит как бы одна только струна, и созвучия не получается. Приятно звучащая квинта дает на каждые два колебания низкой струны три колебания струны более высокого тона, откуда следует, что из числа всех колебаний, производимых более высоким тоном, одна треть совпадает с колебаниями более низкого тона, так что между каждою парой совпадающих колебаний помещаются два колебания одиночных; в диатоссероне, или кварте, число таких одиночных промежуточных колебаний равно трем. В секунде, или тоне полутораоктавном, из девяти колебаний высокого тона только одно совпадает с колебаниями низкого тона, все же остальные являются несовпадающими, и от ударов их о барабанную перепонку получается уже впечатление диссонанса.

Конец первого дня

День третий О местном движении

Мы создаем совершенно новую науку о предмете чрезвычайно старом. В природе нет ничего древнее движения, и о нем философы написали томов немало и немалых. Однако я излагаю многие присущие ему и достойные изучения свойства, которые до сих пор не были замечены либо не были доказаны. Некоторые более простые положения нередко приводятся авторами; так, например, говорят, что естественное движение падающего тяжелого тела непрерывно ускоряется. Однако в каком отношении происходит ускорение, до сих пор не было указано; насколько я знаю, никто еще не доказал, что пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собою, как последовательные нечетные числа.

Отделяемая ступень космического корабля падает на Землю, что служит иллюстрацией принципа естественно ускоренного движения.

Было замечено также, что бросаемые тела или снаряды описывают некоторую кривую линию; но того, что линия эта является параболой, никто не указал. Справедливость этих положений, а равно и многих других, не менее достойных изучения, будет мною в дальнейшем доказана; тем открывается путь к весьма обширной и важной науке, элементами которой будут эти наши труды; в ее глубокие тайны проникнут более проницательные умы тех, кто пойдет дальше.

Наш трактат распадается на три части. В первой мы рассматриваем единообразное, или равномерное, движение. Во второй мы описываем естественное ускоренное движение. В третьей речь идет о принужденном движении, или о движении брошенных тел.

О равномерном движении

Прежде всего нам необходимо определить движение равномерное, или единообразное.

Определение

Движением равномерным, или единообразным, я называю такое, при котором расстояния, проходимые движущимся телом в любые равные промежутки времени, равны между собою.

Пояснение

К существовавшему до сего времени определению (которое называло движение равномерным просто при равных расстояниях, проходимых в равные промежутки времени) мы прибавили слово «любые», обозначая тем какие угодно равные промежутки времени, так как возможно, что в некоторые определенные промежутки времени будут пройдены равные расстояния, в то время как в равные же, но меньшие части этих промежутков пройденные расстояния не будут равны. Данное выше определение связано с четырьмя аксиомами.

Аксиома I

Расстояние, проходимое при одном и том же равномерном движении в более продолжительное время, больше, нежели проходимое в менее продолжительное время.

Аксиома II

Время, соответствующее при равномерном движении большему расстоянию, больше, нежели соответствующее меньшему расстоянию.

Аксиома III

При большей скорости движения в равные промежутки времени проходятся большие расстояния, нежели при меньшей.

Аксиома IV

Скорость, при которой за определенное время проходится большее расстояние, больше той, при которой за то же время проходится меньшее расстояние.

О естественно ускоренном движении

Прежде всего необходимо будет подыскать этому естественному явлению соответствующее точное определение и дать последнему объяснение. Хотя, конечно, совершенно допустимо представлять себе любой вид движения и изучать связанные с ним явления (так, например, можно определять основные свойства винтовых линий, или конхоид, представив их себе возникающими в результате некоторых движений, которые в действительности в природе не встречаются, но могут соответствовать предположенным условиям), мы тем не менее решили рассматривать только те явления, которые действительно имеют место в природе при падении тел, и даем определение ускоренного движения, совпадающего со случаем естественно ускоряющегося движения. Такое определение, найденное после долгих размышлений, кажется нам достойным доверия преимущественно на том основании, что результаты опытов, воспринимаемые нашими чувствами, вполне соответствуют выведенным из него свойствам. Наконец, к исследованию естественного ускоренного движения нас непосредственно привело внимательное наблюдение того, что обычно имеет место и совершается в природе, которая стремится применять во всяких своих приспособлениях самые простые и легкие средства: так, я полагаю, например, что никто не станет сомневаться в невозможности осуществить плавание или полет легче или проще, нежели теми способами и средствами, которыми пользуются благодаря своему природному инстинкту рыбы и птицы.

Поэтому когда я замечаю, что камень, выведенный из состояния покоя и падающий со значительной высоты, приобретает все новое и новое приращение скорости, не должен ли я думать, что подобное приращение происходит в самой простой и ясной для всякого форме? Если мы внимательно всмотримся в дело, то найдем, что нет приращения более простого, чем происходящее всегда равномерно. К такому заключению мы легко придем, подумав о сродстве понятий времени и движения. Подобно тому, как равномерность движения мыслилась и определялась нами посредством равенства времени и расстояния (ибо мы называли равномерным такое движение, при котором в равные промежутки времени проходятся и равные расстояния), и приращение скорости мы проще всего можем представить себе, как происходящее в соответствии с такими же равными промежутками времени. Умом своим мы можем признать такое движение единообразным и неизменно равномерно ускоряющимся, так как в любые равные промежутки времени происходят и равные приращения скорости.

Таким образом, если взять совершенно равные промежутки времени от начального мгновения движения тела, вышедшего из состояния покоя и падающего вниз, то скорость, приобретенная в течение первого промежутка, испытав приращение в течение второго, возрастет вдвое; за три промежутка времени величина ее станет тройною, а за четыре – в четыре раза большею против первоначальной. Яснее говоря, если бы тело продолжало движение по истечении первого промежутка времени равномерно с приобретенною скоростью, то оно двигалось бы в два раза медленнее, нежели если бы обладало скоростью, приобретенной после двух промежутков времени.

Таким образом, мы не ошибемся, если поставим увеличение скорости в соответствии с увеличением промежутка времени. Отсюда и вытекает определение движения, которым мы будем пользоваться: равномерно, или единообразно, ускоренным движением называется такое, при котором после выхода из состояния покоя в равные промежутки времени прибавляются и равные моменты скорости.

Сагредо. Так как мой ум вообще не мирится с различными определениями, даваемыми теми или иными авторами, поскольку они все совершенно произвольны, то я могу, никого не задевая, высказать сомнение, действительно ли приведенное определение, установленное совершенно отвлеченно, правильно и соответствует тому ускоренному движению, которое проявляется при естественном падении тяжелых тел. А так как Автор утверждает, по-видимому, что естественное движение падающих тяжелых тел именно таково, как он его определил, то мне хотелось бы, чтобы были устранены некоторые появившиеся у меня сомнения, после чего я с большим вниманием мог бы отнестись ко всем предложениям и сопровождающим их доказательствам.

Сальвиати. Прекрасно; в таком случае вы и синьор Симпличио потрудитесь высказать ваши затруднения. Я предполагаю, что они совпадают с теми, которые явились и у меня, когда я впервые познакомился с настоящим трактатом, и которые частью были разрешены Автором при моей беседе с ним, частью исчезли в результате собственных размышлений.

Сагредо. Если я представлю себе тяжелое падающее тело выходящим из состояния покоя, при котором оно лишено какой-либо скорости, и приходящим в такое движение, при котором скорость его увеличивается пропорционально времени, истекшему с начала движения, так что за восемь ударов пульса оно приобретает восемь градусов скорости, в то время как за четыре удара пульса оно приобретает таких градусов только четыре, за два удара – два, а за один удар – один, то невольно приходит на мысль, не вытекает ли отсюда, что благодаря возможности делить время без конца мы, непрерывно уменьшая предшествующую скорость, придем к любой малой степени скорости или, скажем, любой большей степени медленности, с которой тело должно двигаться по выходе его из состояния бесконечной медленности, т. е. из состояния покоя. Таким образом, если с той степенью скорости, которую тело приобретает за четыре удара пульса и которая в дальнейшем остается постоянной, оно может проходить две мили в час, а с той степенью скорости, которая приобретается после двух ударов пульса, оно может проходить одну милю в час, то надлежит признать, что для промежутков времени, все более и более близких к моменту выхода тела из состояния покоя, мы придем к столь медленному движению, что при сохранении постоянства скорости тело не пройдет мили ни в час, ни в день, ни в год, ни даже в тысячу лет; даже в большее время оно не продвинется и на толщину пальца, – явление, которое весьма трудно себе представить, особенно, когда наши чувства показывают, что тяжелое падающее тело сразу же приобретает большую скорость.

Сальвиати. Это одно из тех затруднений, которые первоначально смущали и меня; однако я скоро его устранил, причем в этом мне помог тот же самый опыт, который зародил в вас сомнение. Вы говорите, что опыт показывает, будто падающее тело сразу получает весьма значительную скорость, как только выходит из состояния покоя; я же утверждаю, основываясь на том же самом опыте, что первоначальное движение падающего тела хотя бы весьма тяжелого, совершается с чрезвычайной медленностью. Положите тяжелое тело на какое-нибудь мягкое вещество так, чтобы оно давило на последнее всей своей тяжестью. Ясно, что это тело, поднятое вверх на локоть или на два, а затем брошенное с указанной высоты на то же вещество, произведет при ударе давление большее, чем в первом случае, когда давил один только вес тела. В этом случае действие будет произведено падающим телом, т. е. совместно его весом и скоростью, приобретенной при падении, и будет тем значительнее, чем с большей высоты наносится удар, т. е. чем больше скорость ударяющего тела. При этом скорость падающего тяжелого тела мы можем без ошибки определить по характеру и силе удара. Теперь скажите мне, синьоры, если груз, падающий на сваю с высоты четырех локтей, вгоняет последнюю в землю приблизительно на четыре дюйма, – при падении с высоты двух локтей он вгоняет ее в землю меньше и, конечно, еще меньше при падении с высоты одного локтя или одной пяди, и когда, наконец, груз падает с высоты не более толщины пальца, то производит ли он на сваю больше действия, чем если бы он был положен без всякого удара? Еще меньшим и совершенно незаметным будет действие груза, поднятого на толщину листка. Так как действие удара находится в зависимости от скорости ударяющего тела, то кто может сомневаться в том, что движение чрезвычайно медленно и скорость минимальна, если действие удара совершенно незаметно? Вы видите теперь, какова сила истины; тот самый опыт, который с первого взгляда порождает одно мнение, при лучшем рассмотрении учит нас противному. Но мне кажется, что, и не прибегая к такому опыту (который, без сомнения, является в высшей степени убедительным), нетрудно установить ту же истину путем простого рассуждения. Предположим, что мы имеем тяжелый камень, поддерживаемый в воздухе в состоянии покоя; лишенный опоры и отпущенный на свободу, он, будучи тяжелее воздуха, начнет падать вниз, причем движение его будет не равномерным, но сперва медленным, а затем постепенно ускоряющимся. А так как скорость может увеличиваться и уменьшаться до бесконечности, то что может заставить меня признать, будто такое тело, выйдя из состояния бесконечной медленности (каковым именно является состояние покоя), сразу приобретает скорость в десять градусов скорее, чем в четыре, или в четыре градуса скорее, чем в два градуса, в один, в полградуса, в одну сотую градуса, словом, скорее, чем любую бесконечно малую скорость? Заметьте, пожалуйста, следующее. Я не думаю, чтобы вы стали возражать мне против того положения, что приобретение степеней скорости падающим камнем может происходить в том же порядке, как уменьшение и потеря степеней скорости, когда тот же камень подброшен снизу вверх до той же высоты какой-либо силой. Но если это так, то я не вижу, как можно сомневаться в том, что при уменьшении и, наконец, полном уничтожении скорости подымающегося вверх камня последний может прийти в состояние покоя ранее, нежели пройдя через все степени медленности.

Симпличио. Но если степени все большей и большей медленности бесчисленны, то они никогда не могут быть все исчерпаны. Таким образом, подымающийся камень никогда не пришел бы в состояние покоя, но пребывал бы в бесконечном, постоянно замедляющемся движении, чего, однако, в действительности никогда не бывает.

Сальвиати. Это случилось бы, синьор Симпличио, если бы тело двигалось с каждою степенью скорости некоторое определенное время; но оно только проходит через эти степени, не задерживаясь более чем на мгновение; а так как в каждом, даже самом малом промежутке времени содержится бесконечное множество мгновений, то их число является достаточным для соответствия бесконечному множеству уменьшающихся степеней скорости.

То, что такое восходящее тело не сохраняет скорости данной степени в течение конечного промежутка времени, ясно из следующего: предположив возможность этого, мы получим, что в первый и последний момент некоторого промежутка времени тело имеет одинаковую скорость, с которой и должно продолжать движение в течение второго промежутка времени; но таким же образом, каким оно перешло от первого промежутка времени ко второму, оно должно будет перейти и от второго к третьему и т. д., продолжая равномерное движение до бесконечности.

Карандашный рисунок Галилея, изображающий фазы Луны. Галилей не просто вел наблюдения, но и тщательно фиксировал все, что видел.

Сагредо. Мне кажется, что это рассуждение дает достаточные основания для ответа на возбуждаемый философами вопрос о причинах ускорения естественного движения тяжелых тел. Рассматривая тело, брошенное вверх, я нахожу, что мощь, сообщенная ему бросающим, постепенно уменьшается и поднимает тело до тех пор, пока она превосходит противодействующую мощь тяжести; но как только они уравновешиваются, тело перестает подниматься и проходит через состояние покоя, при котором первоначально сообщенный импульс вовсе не уничтожается, а только погашен первоначальный излишек его над весом тела, каковой заставлял тело двигаться вверх. Так как уменьшение этого стороннего импульса продолжается, следствием чего является перевес тяжести, то начинается обратное движение, или падение тела, происходящее вначале медленно, вследствие противодействия сообщенной телу мощи, значительная часть которой еще сохраняется в нем; но так как эта последняя постепенно уменьшается и все в большей и большей степени преодолевается тяжестью, то отсюда и возникает постепенное ускорение движения.

Симпличио. Соображения эти весьма интересны, но более остроумны, нежели убедительны. То, что в них содержится, подходит лишь к таким случаям, когда естественному движению предшествует насильственное движение, и значительная доля внешней мощи сохраняется. Но там, где остатка сторонней мощи нет и тело выходит из предшествовавшего состояния покоя, все рассуждение теряет основание.

Сагредо. Полагаю, что вы заблуждаетесь и что проводить различие этих случаев, как вы это делаете, излишне или, лучше сказать, бесполезно. Скажите мне, можно ли сообщить брошенному телу большую или меньшую мощь так, чтобы оно поднялось на сто локтей, а также на двадцать, на четыре или на один?

Симпличио. Не сомневаюсь, что можно.

Сагредо. Так же возможно, что указанная мощь будет превышать сопротивление тяжести столь незначительно, что приподнимает тело вверх всего на один палец. Наконец, мощь бросающего может быть такой, что она сравняется с сопротивлением тяжести, так что тело не поднимется, а будет только поддерживаемо ею. Когда вы держите в руке камень, то что иное делаете вы, как не сообщаете ему столько мощи, заставляющей его двигаться вверх, какова способность его веса тянуть вниз? Не продолжаете ли вы сообщать эту мощь в течение всего того времени, как вы держите камень в руке, и разве она уменьшается за то время, что вы поддерживаете камень? Не все ли равно, в чем заключается эта поддержка, мешающая камню падать, – в вашей ли руке, столе или веревке, к которой привязан камень? Конечно, безразлично. Из этого, синьор Симпличио, сделайте вывод, что, предшествует ли падению камня длительный, кратковременный или мгновенный покой, не имеет никакого значения, так как камень не падает до тех пор, пока мощи, противодействующей его тяжести, достаточно только для того, чтобы удержать его в покое.

Сальвиати. Мне думается, что сейчас неподходящее время для занятий вопросом о причинах ускорения в естественном движении, по поводу которого различными философами было высказано столько различных мнений; одни приписывали его приближению к центру, другие – постепенному частичному уменьшению сопротивляющейся среды, третьи – некоторому воздействию окружающей среды, которая смыкается позади падающего тела и оказывает на него давление, как бы постоянно его подталкивая; все эти предположения и еще многие другие следовало бы рассмотреть, что, однако, принесло бы мало пользы. Сейчас для нашего Автора будет достаточно, если мы рассмотрим, как он исследует и излагает свойства ускоренного движения (какова бы ни была причина ускорения), приняв, что моменты скорости, начиная с перехода к движению от состояния покоя, идут, возрастая в том же простейшем отношении, как и время, т. е. что в равные промежутки времени происходят и равные приращения скорости. Если окажется, что свойства, которые будут доказаны ниже, справедливы и для движения естественно и ускоренно падающих тел, то мы сможем сказать, что данное нами определение охватывает и указанное движение тяжелых тел и что наше положение о нарастании ускорения в соответствии с нарастанием времени, т. е. продолжительностью движения, вполне справедливо.

Акварельная зарисовка Галилея, изображающая фазы Луны.

Сагредо. Насколько я сейчас себе представляю, можно было бы, как мне кажется, дать определению, не изменяя его сущности, следующую более ясную формулировку: равномерно ускоренное движение есть такое, при котором скорость возрастает пропорционально пройденному пути; так, например, степень скорости, приобретенная телом при падении на четыре локтя, будет вдвое больше приобретенной им при падении на два локтя, а эта последняя будет вдвое больше скорости, приобретенной при падении на один локоть. Нельзя, кажется мне, сомневаться в том, что груз, падающий с высоты шести локтей, производит удар с вдвое большим импульсом, чем тот же груз при падении с высоты трех локтей; в три раза большим, чем при падении с высоты двух локтей, и в шесть раз большим, чем при падении с высоты одного локтя.

Сальвиати. Для меня служит большим утешением, что я имею такого сотоварища по заблуждению; к тому же ваше рассуждение кажется столь простым и правдоподобным, что когда я изложил его нашему Автору, то последний сообщил мне, что и сам он одно время разделял это ложное положение. Но наиболее удивительным оказалась в конце концов достаточность лишь четырех простых слов для доказательства не только ошибочности, но и простой невозможности двух утверждений, столь правдоподобных, что среди многих лиц, которым я излагал их, не нашлось никого, кто бы тотчас же не признал их справедливости.

Симпличио. Вероятно, и я оказался бы среди последних. В самом деле, то, что падающий груз приобретает по пути силу, причем скорость его возрастает пропорционально пройденному пути, и что момент ударяющего тела вдвое больше при падении с двойной высоты, – эти положения могут быть приняты без возражений и сомнений.

Сальвиати. А вместе с тем они так же неправильны и невозможны, как если бы утверждать, что движение происходит мгновенно, и вот вам ясное тому доказательство. Если бы скорости были пропорциональны пройденным или имеющим быть пройденными расстояниям, то такие расстояния проходились бы в равные промежутки времени; таким образом, если бы скорость, с которою падающее тело проходит расстояние в четыре локтя, была вдвое больше скорости, с которою оно проходит расстояние в два первых локтя (на том основании, что одно расстояние вдвое больше другого), то промежутки времени для прохождения того и другого расстояния должны были бы быть одинаковыми. Но прохождение одним и тем же телом четырех локтей и двух локтей в один и тот же промежуток времени могло бы иметь место лишь в том случае, если бы движение происходило мгновенно; мы же видим, что падающее тело совершает свое движение во времени и что два локтя оно проходит в меньший срок, нежели четыре локтя. Следовательно, утверждение, что скорости растут пропорционально пройденным путям, ложно.

Неправильность второго положения также легко обнаружить. Так как ударяющее тело предполагается одинаковым, то разница в моменте удара может обусловливаться только разницею в скорости; если, следовательно, ударяющее тело, падая с двойной высоты, ударяет с двойным моментом, то оно должно обладать и двойной скоростью; но при двойной скорости тело проходило бы двойное пространство в то же самое время, мы же видим, что падение с большей высоты требует и большего времени.

Сагредо. Слишком много ясности и слишком много простоты вносите вы в разъяснение темных вещей; в конце концов, доступность положений имеет следствием то, что знание их кажется нам менее ценным, чем признание достоверности противоположных положений. Я думаю, что познания, общедоступные и приобретаемые с такою малою затратою труда, ценятся меньше по сравнению с теми, которые связаны со сложными и необъяснимыми представлениями.

Сальвиати. Для того, кто кратко и ясно доказывает ложность положений, общераспространенных и принимаемых всеми за правильные, прискорбно вместо одобрения выслушивать упреки. Но еще более неприятное и тяжелое чувство испытывает тот, кто, работая в данной области и считая себя в ней равным всякому другому, видит, что заключения, которые считались им истинными, после краткого и простого рассуждения кого-либо другого оказываются ложными. Я бы не назвал этого чувства завистью, которая обычно выражается в ненависти и злобе к тому, кто разъяснил такие заблуждения; это скорее склонность или желание в большей мере поддержать прежние заблуждения, чем допустить признание вновь открытых истин. Подобное желание не раз побуждало людей выступать против таких открытий, истина коих ими самими в глубине души признавалась только для того, чтобы унизить других в глазах многочисленной и малообразованной публики. Я немало слышал от нашего Академика примеров таких общераспространенных ложных и легко опровергаемых учений и даже записал часть их.

Сагредо. Вы не должны скрывать их от нас; вам непременно следует в свое время познакомить нас с ними, хотя бы для этого нам пришлось собраться особо. Теперь же продолжим нить наших рассуждений. Мне кажется, что мы установили следующее определение равномерно ускоренного движения, о коем будем говорить далее: равномерно или единообразно ускоренное движение есть такое, при котором в равные промежутки времени приобретаются и равные моменты скорости.

Сальвиати. Установив это определение, наш Автор выдвигает и принимает только один принцип: степени скорости, приобретаемые одним и тем же телом при движении по наклонным плоскостям, равны между собой, если высоты этих наклонных плоскостей одинаковы.

Конец третьего дня

Космический телескоп «Хаббл». Таким стал в XXI веке телескоп Галилея, благодаря которому ныне возможны наблюдения, подтверждающие теоретические модели, созданные и во времена самого Галилея, и в дальнейшие годы.

Иоганн Кеплер (1571–1630)

Жизнь и деятельность

Если бы историческим личностям присуждали премию за упорство в стремлении к абсолютной точности, то одним из кандидатов наверняка стал бы немецкий астроном Иоганн Кеплер. Кеплер отличался такой дотошностью в измерениях, что даже рассчитал с точностью до минуты, сколько времени провел в материнской утробе: 221 день, 9 часов и 53 минуты (он родился до срока). Поэтому неудивительно, что он до того погрузился в астрономические исследования, что создал самые точные на тот момент астрономические таблицы, а это впоследствии привело к признанию гелиоцентрической модели нашей Солнечной системы.

Кеплер был человеком глубоко религиозным, как и Коперник, чьими трудами он вдохновлялся. Он считал, что упорное изучение законов Вселенной – это исполнение христианского долга: ведь нужно знать, как устроена Вселенная, созданная Господом. Однако, в отличие от Коперника, жизнь Кеплера нельзя назвать спокойной и пресной. Постоянная нужда заставляла Кеплера публиковать астрологические календари и гороскопы, которые, как ни парадоксально, снискали ему некоторую известность, поскольку кое-какие прогнозы оказывались на удивление точными. Кеплеру довелось похоронить нескольких своих детей, а кроме того, унижаться перед судом, когда пришлось защищать свою мать Катарину: ходили слухи, что эта эксцентричная дама промышляет ведовством, и ее едва не сожгли.

У Кеплера была склонность к сложным отношениям с людьми. Самый яркий пример – Тихо Браге, великий астроном, делавший свои наблюдения невооруженным глазом. Тихо Браге посвятил много лет записи и измерениям движения небесных тел, однако ему недоставало математических и аналитических навыков, без которых невозможно понять закономерности небесной механики. Он был человек состоятельный и нанял Кеплера, чтобы тот объяснил некоторые особенности его наблюдений орбиты планеты Марс. Эти особенности уже много лет ставили астрономов в тупик. Кеплер досконально исследовал данные по движению Марса, которые собрал Браге, и понял, что из них следует, что у Марса эллиптическая орбита, и этот успех математически подтвердил коперниканскую модель гелиоцентрической системы. Открыв, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, Кеплер положил начало новой эре в астрономии. Оказывается, движение планет можно предсказать.

Датский астроном Тихо Браге, у которого Кеплер работал.

При всех своих достижениях Кеплер никогда не был особенно богат и знаменит, и ему несколько раз приходилось бежать из стран, где он селился, из-за религиозных войн или гражданских беспорядков. За свою жизнь – а прожил он 59 лет и умер в 1630 году – Кеплер открыл три закона движения планет, о которых до сих пор, в XXI веке, рассказывают школьникам на уроках физики. И именно третий закон Кеплера натолкнул Исаака Ньютона на открытие закона всемирного тяготения, а вовсе не яблоко.

Иоганн Кеплер родился 27 декабря 1571 года в городе Вайль-дер-Штадт в Вюртемберге (теперь это территория Германии). Его отец Генрих Кеплер был, по словам самого Иоганна, «бессовестным, грубым и вздорным воякой», который несколько раз бросал семью, чтобы податься в наемники и подавлять протестантские волнения в Голландии. Считалось, что где-то там, в Нидерландах, Генрих и погиб. Юный Иоганн жил с матерью Катариной в дедовском трактире, где его с ранних лет, несмотря на слабое здоровье, заставляли работать – подавать гостям еду.

У Кеплера была близорукость и к тому же двоилось в глазах, что, как предполагалось, было вызвано осложнениями после оспы, от которой он едва не умер, а кроме того, у него было слабое пищеварение и «скрюченные» пальцы, что сильно ограничивало юношу в выборе профессии, и с точки зрения родных он мог стать только священником.

Свою мать Катарину Кеплер описывал словами «вспыльчивая» и «сварливая», однако он с детства понимал, что причина в отце. Катарину воспитала тетка, которая занималась колдовством и была сожжена на костре. Поэтому для Кеплера не стало неожиданностью, когда подобные обвинения предъявили и самой Катарине. В 1577 году Катарина показала сыну «великую комету», показавшуюся в небесах в тот год, и впоследствии Кеплер говорил, что благодаря матери в его жизни наступил переломный момент. Невзирая на тревоги и мучения в детстве, Кеплер проявлял очевидные таланты и сумел получить стипендию для одаренных мальчиков из небогатых семей, живших в немецкой провинции Швабии. Сначала он ходил в немецкую начальную школу в Леонберге, а затем перешел в латинскую школу, где в совершенстве усвоил латинский научный стиль, характерный для его дальнейших работ. Хилый и не по годам умный Кеплер стал мишенью для травли и побоев, одноклассники считали его всезнайкой, и вскоре он погрузился в религиозные штудии, чтобы отрешиться от своей горькой участи.

В 1587 году Кеплер поступил в Тюбингенский университет, где изучал богословие и философию. Кроме того, он заявил о себе как о прилежном студенте, всерьез интересующемся математикой и астрономией, и отстаивал гелиоцентрическую систему Коперника, вызывавшую в те времена жаркие споры. Юный Кеплер был таким страстным сторонником коперниканской модели Вселенной, что зачастую участвовал в публичных дебатах на эту тему.

В основном Кеплера интересовало богословие, однако он все больше и больше увлекался гелиоцентрической Вселенной с ее мистическим обаянием. Он собирался окончить университет в 1591 году и начать преподавать на богословском факультете, однако его рекомендовали на должность преподавателя математики и астрономии в протестантской школе в австрийском городе Граце, и искушение оказалось непреодолимым. Так в 22 года Кеплер отказался от церковной карьеры в пользу карьеры научной. Однако он никогда не отрекался от веры в Бога как в творца Вселенной.

Тюбингенский университет. Здесь Кеплер получил степень магистра богословия.

В XVII веке астрономия и астрология практически не разделялись. В число обязанностей Кеплера как математика в Граце входило составление астрологического календаря с предсказаниями. В то время это была обычная практика, да и дополнительные деньги, которые платили за эту работу, явно вдохновляли Кеплера, однако он никак не ожидал, что выход в свет его первого календаря вызовет столь бурную реакцию. Он предсказал необычайно холодную зиму, а также нашествие турок, и когда оба прогноза сбылись, Кеплера провозгласили пророком. Несмотря на славу и почет, Кеплер не придавал особого значения своей работе над ежегодными альманахами. Астрологию он называл «слабоумной дочуркой астрономии» и относился с равным пренебрежением и к интересу публики, и к намерениям астрологов. «Если предсказания астрологов вдруг сбываются, – писал он, – это следует приписывать удаче». Тем не менее Кеплер неизменно обращался к астрологии, если оказывался в стесненных обстоятельствах, а такое в его жизни случалось постоянно, и на самом деле не терял надежды выявить у астрологии какую-то научную основу.

Город Грац, где Кеплер после окончания университета преподавал математику в протестантской школе.

Как-то раз Кеплера во время лекции по геометрии в Граце посетило внезапное озарение, направившее его научную страсть в новое русло и перевернувшее всю его жизнь. Он решил, что в его руках ключ к тайнам Вселенной. На доске перед классом он нарисовал равносторонний треугольник, вписанный в круг, и вписал в треугольник еще один круг. Ему пришло в голову, что отношение диаметров кругов равно отношению диаметров орбит Сатурна и Юпитера. Вдохновленный этим озарением, он предположил, что все известные на тот момент шесть планет выстроены вокруг Солнца так, что между ними идеально вписываются геометрические фигуры.

Рисунок Кеплера, изображающий его модель пяти платоновых тел.

Поначалу Кеплер безуспешно проверял свою гипотезу на двумерных плоских фигурах – пятиугольнике, квадрате и треугольнике. Затем он обратился к платоновым телам, которые построил из обычных геометрических фигур. С точки зрения Кеплера, это объясняло, почему планет ровно шесть (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн) с пятью промежутками и почему расстояния между ними не одинаковы. Геометрическая теория орбит планет и расстояний между ними вдохновила Кеплера на создание «Тайны мироздания» (Mysterium Cosmographicum), вышедшей в свет в 1596 году. Работа над трактатом заняла год, и хотя общая схема совпадала с расчетами лишь с известными допущениями, Кеплер, очевидно, был заранее искренне убежден, что в конце концов его теории обязательно подтвердятся:

«Удовольствие от этого открытия было столь сильным, что этого не выразишь словами. Я более не жалею о потраченном времени. Днем и ночью я был поглощен вычислениями, желая проверить, соответствует ли моя гипотеза орбитам Коперника или же радость моя пойдет прахом. Не прошло и нескольких дней, как все сошлось, и я наблюдал, как геометрические тела одно за другим идеально вписываются в пространство между планетами».

Остаток жизни Кеплер посвятил поискам математических доказательств и научных наблюдений, которые оправдали бы его теории. «Тайна мироздания» стала первым научным трудом, однозначно подтверждавшим идеи Коперника, со времен выхода в свет трактата самого Коперника «О вращениях», и Кеплер как богослов и астролог твердо решил выяснить, как и почему Господь создал Вселенную. Гелиоцентрическая модель неизбежно вызывала вопросы религиозного толка, однако Кеплер придерживался той точки зрения, что центральное положение Солнца – это важнейшая черта замысла Божия, поскольку благодаря ему планеты согласованно движутся и сохраняют порядок. В этом смысле Кеплер отошел от гелиостатической системы Коперника, в которой Солнце располагалось «поблизости» от центра, и поместил Солнце непосредственно в центр системы.

Сегодня многогранники Кеплера кажутся сущей ерундой. Но хотя предпосылки «Тайны мироздания» и были ошибочны, выводы Кеплера поражают точностью и определенностью и оказали сильнейшее влияние на формирование современной науки. После выхода книги в свет Кеплер послал экземпляр Галилею, убеждая того «поверить и выступить в защиту», однако итальянский астроном раскритиковал трактат из-за очевидных натяжек. А Тихо Браге, наоборот, проникся к нему живейшим интересом. Труд Кеплера показался ему свежим и увлекательным, и он написал подробную похвальную рецензию на книгу. Как писал впоследствии Кеплер, отклик на «Тайну мироздания» изменил всю его жизнь.

В 1597 году произошло еще одно событие, изменившее жизнь Кеплера: он полюбил Барбару Мюллер, старшую дочь богатого мельника. Они поженились 27 апреля того же года под несчастливой звездой, как отметил впоследствии Кеплер в дневнике. И снова проявился его пророческий дар: отношения в семье не заладились, брак оказался неудачным. Двое старших детей умерли совсем маленькими, и Кеплер впал в отчаяние. Он с головой ушел в работу, чтобы отвлечься от скорби, однако жена не понимала его и не разделяла его устремлений. «Толстая, бестолковая, тупая», – вот как описывал ее Кеплер на страницах дневника. Однако они прожили в браке 14 лет, пока Барбара не умерла от тифа в 1611 году.

В сентябре 1598 года Кеплеру вместе с другими лютеранами было приказано покинуть Грац. Эрцгерцог-католик вознамерился искоренить в Австрии лютеранство. Кеплер побывал у Тихо Браге в замке Бенатки в Праге, после чего состоятельный датский астроном пригласил его к себе, чтобы продолжить исследования. Кеплер побаивался Тихо Браге еще до встречи с ним. «Мое мнение о Тихо таково: он непомерно богат, однако не умеет подобающим образом распоряжаться своими богатствами, как обычно и бывает с богачами, – писал он. – Поэтому кто-то должен отобрать у него накопленное».

Отношениям с женой недоставало простоты, зато Кеплер, едва заключив соглашение о сотрудничестве с аристократом Браге, вполне наверстал упущенное. Поначалу Тихо Браге обращался с молодым Кеплером как с учеником и тщательно формулировал мелкие задания, не давая ему доступа к подробным данным наблюдений. Кеплеру отчаянно хотелось, чтобы к нему относились как к равному, он стремился к независимости, однако Тихо Браге задумал, в сущности, эксплуатировать Кеплера и на основе его исследований построить собственную модель Солнечной системы, некоперниканскую, которую Кеплер не поддержал бы.

Кеплер в молодости.

Кеплер был оскорблен и раздосадован до глубины души. У Тихо Браге накопилась целая сокровищница наблюдательных данных, однако он не располагал математическим аппаратом, который позволил бы в полной мере оценить их. Наконец Тихо Браге поручил Кеплеру исследовать орбиту Марса, особенности которой уже давно сбивали датского астронома с толку, поскольку она сильнее всех других орбит отличалась от идеальной окружности. Возможно, он просто хотел успокоить неугомонного помощника. Поначалу Кеплер решил, что решит задачу за восемь дней, однако жизнь показала, что на этот проект у него ушло целых восемь лет. Хотя работа шла трудно, ее результаты все оправдали: данные натолкнули Кеплера на открытие, что орбита Марса представляет собой идеальный эллипс, и позволили ученому сформулировать первые два «закона движения планет», о которых он написал в 1609 году в трактате «Новая астрономия».

Через полтора года после начала сотрудничества Кеплера с Тихо Браге датский астроном за обедом занемог и через несколько дней умер от инфекции мочевого пузыря. Кеплер занял пост математика при императорском дворе и получил возможность изучать теорию движения планет, освободившись от пристального надзора Тихо Браге. Кеплер понял, что такой случай упускать нельзя, и забрал все драгоценные записи Браге, не дожидаясь, когда на них станут претендовать наследники астронома. «Признаюсь, что когда Тихо умер, – писал впоследствии Кеплер, – я сразу воспользовался отсутствием или недостатком бдительности наследников и захватил все данные наблюдений, а возможно, и похитил их». Итогом этого стали «Рудольфинские таблицы» Кеплера – собрание данных, которые Тихо Браге накопил за тридцать лет наблюдений. В оправдание Кеплера следует упомянуть, что Тихо Браге на смертном одре просил его закончить таблицы, однако то, что получилось у Кеплера, отнюдь не подтверждало гипотезы Тихо Браге, на что тот явно рассчитывал. Вместо этого Кеплер на основании этих данных и вычислений с помощью логарифмов, которые сам и разработал, делал прогнозы положения планет, не совпадающие с предположениями Тихо Браге. Он смог точно предсказать прохождение Венеры и Меркурия по диску Солнца, хотя сам не дожил до этого астрономического события. «Рудольфинские таблицы» Кеплер обнародовал лишь в 1627 году, поскольку полученные данные постоянно уводили его в новых направлениях.

После смерти Браге Кеплер наблюдал сверхновую – так называемую сверхновую Кеплера, – а кроме того, экспериментально проверял различные оптические теории. Физики и историки считают, что труды по оптике Кеплера не так значительны, как достижения в астрономии и математике, однако выход в свет его книги «Диоптрика» в 1611 году произвел настоящий переворот в оптике.

В 1605 году Кеплер объявил об открытии своего первого закона – закона эллипсов: планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Земля, утверждал Кеплер, проходит ближе всего к Солнцу по своей эллиптической орбите в январе, а дальше всего в июле. Второй закон – закон равных площадей – гласит, что отрезок, проведенный от Солнца к планете, заметает за равные промежутки времени равные площади. Оба закона вошли в книгу «Новая астрономия» (Astronomia Nova), вышедшую в 1609 году.

Однако, несмотря на должность придворного математика и авторитет выдающегося ученого, к которому обращался за советами сам Галилей по поводу открытий, сделанных при помощи только что изобретенных телескопов, Кеплер никак не мог обеспечить себе надежный солидный доход. В Праге вспыхнули религиозные волнения, на новой родине стало неспокойно, в 1611 году у Кеплера умерли жена и любимый сын. В виде исключения Кеплеру позволили вернуться в Австрию, в Линц, где в 1613 году он женился на Сусанне Рейтингер, сироте двадцати четырех лет от роду, которая родила ему семерых детей, однако до взрослых лет дожили лишь двое. Примерно тогда же мать Кеплера обвинили в ведьмовстве, и он в разгар семейных трагедий был вынужден защищать ее в суде, иначе ее сожгли бы на костре. Катарина попала в тюрьму, ее пытали, однако сыну удалось добиться оправдания, и ее освободили.

Из-за всего этого Кеплеру не удавалось нормально работать, и период жизни в Линце поначалу был не очень продуктивным. Кеплер в отчаянии бросил работу над таблицами и приступил к «Гармонии мира» – трактату, отражавшему страсть всей его жизни, который Макс Каспар, биограф Кеплера, назвал «величайшей картиной мироздания, сотканной из науки, поэзии, философии, богословия и мистицизма». «Гармонию мира» Кеплер завершил 27 мая 1618 года. Трактат состоит из пяти книг, где автор последовательно применяет теорию гармонии к музыке, астрологии, геометрии и астрономии. Сформулирован здесь и третий закон движения планет – закон, шесть десятилетий спустя вдохновивший Исаака Ньютона: кубы средних расстояний от планет до Солнца пропорциональны квадратам их периодов обращения. Коротко говоря, Кеплер открыл, как движутся планеты, и тем самым проложил путь Ньютону, который открыл, почему они так движутся.

Кеплер был убежден, что выявил логику, которой Бог руководствовался при сотворении мира, и не мог скрыть своего восторга. В V книге «Гармонии мира» он писал:

«Откровенно признаюсь, что похитил золотые сосуды египтян, чтобы вдали от Египта выстроить жертвенник Господу моему. Если вы простите меня, я возликую; если упрекнете, я выдержу. Жребий брошен, и я пишу эту книгу, чтобы ее прочли или сейчас, или в будущем – это неважно. Она может подождать читателя и сто лет, как сам Господь шесть тысяч лет дожидался свидетеля Своего».

В 1618 году началась Тридцатилетняя война, опустошившая земли Австрии и Германии, и в 1626 году Кеплер был вынужден покинуть Линц. Впоследствии он обосновался в городе Саган в Силезии. Там он попытался завершить работу над книгой, к которой возвращался снова и снова на протяжении многих лет, как выяснилось, в ущерб матери во время процесса по обвинению в ведьмовстве. «Сон о Луне» (Somnium seu astronomia lunari), где протагонист узнает, как попасть на Луну, от всезнающего «духа», был приобщен к материалам дела Катарины. У Кеплера ушло немало сил на то, чтобы доказать, что все это чистый вымысел, а «дух» – никакой не дьявол, а просто литературный персонаж. Уникальность книги состоит не только в том, что она далеко опережала свое время по жанру, но и в том, что это был трактат, поддерживающий теорию Коперника.

Этот глобус из Ураниборга был начат в Аугсбурге в 1570 году и завер-шен десять лет спустя.

В 1630 году в возрасте пятидесяти восьми лет Кеплер снова оказался в стесненных обстоятельствах. Он отправился в Регенсбург, где рассчитывал забрать проценты по некоторым ценным бумагам и деньги, которые давал в долг. Однако через несколько дней после прибытия у него начался жар, и 15 ноября он скончался. Хотя Кеплер не стяжал славы Галилея, он оставил труды, оказавшиеся необычайно полезными для профессиональных астрономов, в том числе Ньютона, которые взяли с Кеплера пример в тщательности и точности работы с научными данными. Иоганн Кеплер любил эстетику, гармонию и порядок и открыл, что все это неразрывно связано с его представлениями о Боге. Его автоэпитафия гласит: «Прежде я измерял небеса, а теперь мне предстоит измерять тени земные. Душа моя была с небес, но тень тела моего покоится здесь».

Гармония Вселенной. Структура Вселенной видится как последовательность вписанных друг в друга единиц, составляющих пять платоновых тел. В сферу вписан куб, в куб – сфера, в нее – тетраэдр, в него – сфера, в сферу – октаэдр, в октаэдр – сфера, в сферу – додекаэдр, в него – сфера и в нее – икосаэдр.

Гармония мира

Книга пятая

О совершеннейшей гармонии движений небесных тел, о происхождении эксцентриситетов и полудиаметров и о периодичности, которая ею устанавливается.

Согласно модели самого точного астрономического учения на сегодняшний день и гипотезам не одного лишь Коперника, но и Тихо Браге, каковые гипотезы сегодня приняты в обществе как самые истинные, а гипотеза Птолемея считается устаревшей.

«Священную речь… как настоящий гимн, посвящаю создавшему нас. Я думаю, что истинное благочестие состоит не в том, чтобы воздвигать ему бесчисленные гекатомбы быков, и не в том, чтобы возжигать множество талантов корицы и лавра, но в том, чтобы прежде познать, а затем показать другим, как велики мудрость, могущество и благость создавшего. Если он даровал по возможности каждому существу подходящую ему внешность, если ничто не ускользает от его благодеяний, то я заявляю, что это – доказательство его совершеннейшей благости. Поэтому будем прославлять его как благого. Если он для всего смог найти наиболее совершенное устройство – это верх мудрости. Если он сотворил все, как хотел, это – свидетельство непобедимого могущества».

Гален. «О назначении частей человеческого тела», книга III

(Пер. С. Кондратьева)

Введение

Все то, что я предсказал двадцать два года назад (в особенности о том, что между небесными сферами вписаны пять правильных геометрических тел), все то, в чем я незыблемо убедился сам еще до того, как увидел «Гармонику» Птолемея, все то, что я пообещал друзьям в названии этой пятой книги прежде, чем сам уверился, все то, что, согласно моему публичному заявлению шестнадцать лет назад, необходимо исследовать, все то, ради чего я большую часть жизни посвятил астрономическим наблюдениям, посетил Тихо Браге и поселился в Праге – все то, что, наконец, поскольку всеблагой и всемогущий Господь вдохновил меня и направил и пробудил во мне великое желание, продлил мои годы, сохранил здравый ум и управил все стальное посредством благоволения двух императоров и знати этой провинции Австрии-на-Анисане, после того, как я в достаточной степени избавился от своих астрономических обязанностей, – все это я, повторяю, наконец извлек на свет и обнаружил, что оно еще более истинно, чем я думал, и обнаружил в движениях небесных тел полную природу гармонии в ее должной мере совокупно со всеми ее частями, описанными в книге III, и не в том виде, в каком зародилась она у меня в мыслях (и это также несказанно радует меня), но в совсем ином виде, однако же тоже весьма совершенном и превосходном. А в то время, пока я был погружен в тщательные расчеты движений и не знал еще, что меня ждет, произошло удивительное событие, распалившее во мне желание работать: я прочитал «Гармонику» Птолемея, рукопись которой прислал мне Иоганн Георг Гервард, канцлер Баварии, человек выдающийся, от природы склонный к философии и всяческой учености. Там, к величайшему моему изумлению, ибо такого я никак не мог ожидать, обнаружил я, что почти вся третья книга посвящена тем же размышлениям о небесной гармонии – полторы тысячи лет назад. Однако астрономия тогда, безусловно, была еще далеко не зрелой наукой, и Птолемей своей неудачной попыткой, вероятно, вверг многих в отчаяние, поскольку вошел в число тех, кто, подобно Сципиону и Цицерону, скорее повторял утешительные пифагорейские мечты, нежели способствовал развитию философии. Однако при всем несовершенстве античной философии книга Птолемея в точности, до волоска соответствовала нашим наблюдениям, хотя прошло полторы тысячи лет, и это придало мне решимости взяться за работу. Ведь зачем было задействовать столько людей? Сама природа вещей, чтобы явить себя человечеству, проявлялась в разных толкователях, живших в разные эпохи, и то был перст Божий, если воспользоваться древнееврейским выражением; и здесь в умах двух человек, без остатка посвятивших себя размышлениям о природе, родилось одно и то же представление об устройстве мироздания, хотя они ни в коей мере не руководили друг другом на пути к этому открытию. Но теперь, когда восемь месяцев назад прорезался первый луч, три месяца назад засиял рассвет, а всего несколько дней назад солнце моих чудесных размышлений запылало в полную силу, мне больше ничего не мешает. Я волен отдаться священному безумию, я волен насмехаться над простыми смертными и откровенно признаюсь, что похитил золотые сосуды египтян, чтобы вдали от Египта выстроить жертвенник Господу моему. Если вы простите меня, я возликую; если упрекнете, я выдержу. Жребий брошен, и я пишу эту книгу, чтобы ее прочли или сейчас, или в будущем – это неважно. Она может подождать читателя и сто лет, как сам Господь шесть тысяч лет дожидался свидетеля Своего.

Секстант, которым Тихо Браге пользовался в своей обсерватории Ураниборг.

Прежде чем перейти к обсуждению этих вопросов, я хотел бы обратиться к читателям с тем же увещеванием, какое высказал Тимей, языческий философ, намереваясь говорить о том же, и христиане должны выслушать его с величайшим восхищением – и величайшим стыдом, если не послушаются его.

«Еще бы, Сократ! Все, в ком есть хоть малая толика рассудительности, перед любым неважным или важным начинанием непременно призывают на помощь божество. Но ведь мы приступаем к рассуждениям о Вселенной, намереваясь выяснить, возникла ли она и каким именно образом; значит, нам просто необходимо, если только мы не впали в совершенное помрачение, воззвать к богам и богиням и испросить у них, чтобы речи наши были угодны им, а вместе с тем удовлетворяли бы нас самих. Таким да будет наше воззвание к богам! Но и к самим себе нам следует воззвать, дабы вы наилучшим образом меня понимали, а я возможно более правильным образом развивал свои мысли о предложенном предмете».

(Пер. С. Аверинцева)

О пяти правильных геометрических телах

Во второй книге говорилось, как составлять геометрические тела из правильных плоских фигур; там мы говорили о пяти правильных геометрических телах в числе прочих с точки зрения плоских фигур. Тем не менее там доказано, почему их именно пять, и добавлено, что платоники называли их фигурами мира и с какой стихией в связи с этим сопоставлялось каждое тело. Однако теперь, в преддверии этой книги, я должен снова заговорить об этих фигурах, но теперь уже о них как таковых, а также об их отношении к небесным гармониям; остальное читатель найдет в «Сокращении коперниканской астрономии» (Epitome Astronomiae Copernicanae), том II, книга IV.

Согласно представлениям Кеплера, каждая планета соответствует определенному платоновому телу и его космической геометрии. Марс – это додекаэдр, Венера – икосаэдр, Земля – сфера, Юпитер – тетраэдр, Меркурий – октаэдр, а Сатурн – куб.

Подобным же образом да будет мне позволено здесь кратко изложить порядок пяти геометрических тел в мире, как это было рассказано в «Тайне мироздания»: три из этих тел первичны, а два вторичны. Ибо куб (1) – самый просторный и объемный из них, поскольку он перворожденный и обладает природой целого по самой форме своего рождения. Далее следует тетраэдр (2), который представляет собою словно бы часть рассеченного куба; тем не менее он тоже первичен, поскольку, подобно кубу, обладает пространственным трилинейным углом. В тетраэдр вписан додекаэдр (3), последнее первичное тело, поскольку представляет собой тело, составленное из частей куба и подобных же частей тетраэдра, то есть из неправильных тетраэдров, которыми покрыт вписанный внутрь куб. Далее по подобию следует икосаэдр (4), последнее из вторичных тел, обладающее многолинейным пространственным углом. В самой глубине находится октаэдр (5), подобный кубу: это первое из вторичных тел, которому принадлежит первое место, поскольку оно вписано во все остальные, подобно тому как куб занимает первое место, поскольку описан вокруг всех остальных.

Однако существует и два достойных упоминания, так сказать, брачных союза этих тел из разных классов: мужские тела, куб и додекаэдр, из первичных, женские тела, октаэдр и икосаэдр, и в дополнение к ним один словно бы холостяк либо гермафродит тетраэдр, поскольку он вписан сам в себя, подобно тому как упомянутые женские тела вписаны в мужские, как будто подчинены им, и имеют признаки женского пола в противоположность признакам мужского – то есть углы в противоположность граням. Более того, подобно тому как тетраэдр представляет собой элемент, утробу и словно бы ребро мужского куба, так женский октаэдр представляет собой элемент и составную часть тетраэдра, но по-другому, – и, таким образом, тетраэдр служит посредником в этом брачном союзе.

Главное отличие в этих браках или семьях состоит в следующем: отношение куба рационально. Ибо тетраэдр – это одна треть объема куба, а октаэдр – половина тетраэдра и одна шестая куба; а отношение брачного союза додекаэдра невыразимо (ineffabilis) и притом божественно.

Соседство двух этих слов призывает читателя весьма осторожно обходиться с их смыслом. Ибо слово «невыразимый» не имеет здесь значения «благородный», как было бы в рассуждениях о богословских и божественных материях, а скорее означает «иррациональный», то есть низший по положению. Ведь в геометрии, как сказано в первой книге, много иррационального, что также не имеет никакой связи с божественным. Однако читателю следует вернуться к первой книге, чтобы вспомнить, что такое божественное отношение или божественное сечение. Ведь в иных отношениях, или пропорциях, участвует четыре члена, а в непрерывной пропорции – три; однако божественная пропорция требует единственного соотношения членов вне самой пропорции, а именно – чтобы два меньших члена составляли вместе больший член, как целое. Поэтому сколько в этом брачном союзе с додекаэдром отнимается, так как его пропорция иррациональна, столько же ему и возвращается, так как его иррациональность приближается к божественной. Кроме того, этот брачный союз соответствует объемной звезде, которую можно построить, продолжив пять граней додекаэдра до сведения в одной точке. О построении звезды см. книгу II.

Наконец, следует отметить отношение сфер, описанных вокруг этих тел, к сферам, вписанным в них. В случае тетраэдра это отношение рационально – 100 000: 33 333, или 3: 1; в брачном союзе куба оно иррационально, однако радиус вписанной сферы в квадрате рационален и сам представляет собой квадратный корень одной трети квадрата радиуса (описанной сферы), а именно 100 000: 57 735; в брачном союзе додекаэдра оно очевидно иррационально – 100 000: 79 465; в случае звезды – 100 000: 52 573, половина стороны икосаэдра или половина расстояния между двумя лучами.

2. О родстве между гармоническими отношениями и пятью правильными телами

Подобное родство проявляется разнообразно и многосторонне, однако у него есть четыре степени. Ведь либо родство определяется лишь по внешним признакам тел, либо при построении стороны тела возникают отношения, совпадающие с гармоническими, либо они следуют из уже построенных тел, взятых по отдельности или вместе, либо, наконец, они либо равны, либо приближаются к соотношению сфер, вписанных и описанных вокруг тел.

Пять платоновых тел, на которых, как считал Кеплер, зиждется Вселенная. Все они вписаны в сферу (как показано в отражающем хрустальном шаре).

При родстве первой степени пропорции, где больший член равен трем, родственны треугольным граням тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, а если больший член равен четырем, квадратной грани куба, а если пяти – пятиугольной грани додекаэдра. Подобие грани можно обобщить и на меньший член пропорции, то есть, когда одним из членов непрерывного удвоения служит 3, эта пропорция считается родственной трем вышеупомянутым телам, например, 1:3, 2:3, 4:3, 8:3 и так далее; а если это число 5, эта пропорция однозначно соответствует брачному союзу додекаэдра, например, 2:5, 4:5, 8:5, а также 3:5, 3:10, 6:5, 12:5 и 24:5. Родство становится менее вероятным, если это подобие наблюдается в сумме членов, как, например, в пропорции 2:3 сумма членов равна 5 и словно бы говорит о том, что отношение 2:3 родственно додекаэдру. Подобным же образом можно описать родство на основании внешнего вида пространственного угла: у первичных тел пространственный угол трехлинеен, у октаэдра четырехлинеен, у икосаэдра пятилинеен. Таким образом, если один член пропорции связан с числом 3, отношение будет связано с первичными телами, если с 4, то с октаэдром, и, наконец, если с 5, то с икосаэдром. Однако в женских геометрических телах это родство проявлено сильнее, поскольку характеризующая их фигура, скрытая внутри, следует форме пространственного угла: треугольник в октаэдре, пятиугольник в икосаэдре; поэтому 3:5 относится к икосаэдру и его сечениям по обеим причинам.

Вторую степень родства, по рождению, следует понимать так: во-первых, некоторые гармонические отношения чисел родственны тому или иному брачному союзу или семейству, а именно – идеальные отношения родственны единственному семейству куба, и наоборот, если отношение невозможно точно выразить в числах и нельзя показать численно любым другим способом, кроме длинной последовательности цифр, которая к нему постепенно приближается, то такое отношение называется божественным, если оно совершенно, и оно различными способами управляет брачным союзом додекаэдра. Подобным же образом это отношение отражают следующие консонансы, или гармонии: 1:2 и 2:3, а также 2:3 и 5:8. Ибо самым несовершенным образом это отношение выражено в 1:2, более совершенно – в 5:8, а еще совершеннее – если мы сложим 5 и 8 и получим 13, а затем сделаем 8 числителем, если это соотношение не перестанет быть гармоническим.

Далее, при построении стороны тела следует разделить диаметр сферы, и тогда октаэдр требует бисекции, куб и тетраэдр – трисекции, а брачный союз додекаэдра – деления на пять. Подобным же образом отношения между фигурами распределяются в соответствии с числами, выражающими эти отношения. Однако квадрат диаметра тоже делится, то есть квадрат стороны тела формируется из определенной доли диаметра. А затем квадраты сторон сравниваются с квадратом диаметра, и соотношения получаются следующие: у куба 1:3, у тетраэдра 2:3, у октаэдра 1:2. По этой причине, если сопоставить два отношения, то кубическое и тетраэдрическое даст 1:2, кубическое и октаэдрическое 2:3, октаэдрическое и тетраэдрическое 3:4. Стороны додекаэдрического брачного союза иррациональны.

В-третьих, гармонические отношения во многом свойственны и уже построенным фигурам. Ведь можно сопоставить количество сторон грани с количеством ребер у тела в целом, и тогда получаются следующие отношения: у куба 4:12, то есть 1:3; у тетраэдра 3:6, то есть 1:2; у октаэдра 3:12, то есть 1:4; у додекаэдра 5:30, то есть 1:6; у икосаэдра 3:30, то есть 1:10. Можно также сопоставить количество сторон грани с количеством граней, и тогда куб даст 4:6, то есть 2:3; тетраэдр 3:4; октаэдр 3:6, то есть 1:2; а додекаэдр с его супругой 5:20 или 3:12, то есть 1:4. Можно также сопоставить количество граней с количеством пространственных углов, и тогда кубический брак даст 6:8, то есть 3:4, у тетраэдра отношение равно единице, у додекаэдрического брачного союза 12:20, или 3:5. А можно сравнить число всех сторон с числом пространственных углов, и у куба это отношение равно 8:12, то есть 2:3, у тетраэдра – 4:6, то есть 2:3, у октаэдра 6:12, то есть 1:2, у додекаэдра 20:30, то есть 2:3, а у икосаэдра 12:30, то есть 2:5.

Далее, можно сравнить друг с другом и сами тела, если тетраэдр поместить, то есть геометрически вписать, в куб, а октаэдр – в тетраэдр внутри куба. Тетраэдр составит треть куба, октаэдр – половину тетраэдра и одну шестую куба, точно так же как октаэдр, вписанный в сферу, составит одну шестую куба, описанного вокруг сферы. Отношения остальных тел иррациональны.

Четвертая же разновидность, или степень, родства сильнее связана с темой этой книги: следует найти отношение сфер, вписанных в тела, к сферам, описанным вокруг них, и рассчитать гармонические отношения, которые приблизительно их описывают. Ведь лишь у тетраэдра диаметр вписанной сферы рационален по отношению к описанной сфере, то есть составляет одну треть ее. Но в кубическом брачном союзе отношение (оно там единственно) рационально лишь в квадрате. Ибо диаметр вписанной сферы относится к диаметру описанной как квадратный корень отношения 1:3. А если составить отношения друг с другом, то отношения тетраэдральных сфер составляет квадрат отношения кубических сфер. В додекаэдрическом брачном союзе отношение опять же единственно, однако иррационально и чуть больше 4:5. Поэтому отношение сфер куба и октаэдра характеризуется следующими консонансами: оно 1:2 (чуть больше) и 3:5 (чуть меньше). А отношение додекаэдрических сфер приблизительно описывается консонансами 4:5 и 5:6 (чуть больше) и 3:4 и 5:8 (чуть меньше).

Но если по некоторым причинам 1:2 и 1:3 приписаны кубу, отношение сфер куба к отношению сфер тетраэдра будет таким же, как отношение консонансов 1:2 и 1:3, которые приписывались кубу, к 1:4 и 1:9, которые следует приписать тетраэдру, если пользоваться этой пропорцией. Ведь эти отношения также представляют собой квадраты этих консонансов. А поскольку 1:9 – не гармонический консонанс, его место в тетраэдре занимает ближайшее отношение 1:8. Однако, согласно этой пропорции, додекаэдрическому брачному союзу соответствуют приблизительно 4:5 и 3:4. Ведь подобно тому, как отношение сфер куба приблизительно равно кубу додекаэдрического отношения, кубические консонансы 1:2 и 2:3 примерно равны кубам консонансов 4:5 и 3:4. Ведь 4:5 в кубе равно 64:125, а 1:2 равно 64:128. Так же и 3:4 в кубе равно 27:64, а 1:3 равно 27:81.

3. Краткое изложение астрономических знаний, необходимых для рассуждений о небесных гармониях

В первую очередь моим читателям следует знать, что древние астрономические гипотезы Птолемея в том виде, в каком они изложены в «Новой теории планет» (Theoricae Novae Planetarum) Пурбаха, а также у других авторов кратких пособий, следует исключить из нашей дискуссии и начисто забыть, ибо они не передают ни истинного положения небесных тел в космосе, ни организации их движения.

Модели Птолемея, Коперника и Тихо Браге применительно к благо-приятным и неблагоприятным для здоровья периодам, согласным с положением планет. Раскрашенная гравюра из книги «Чудесный мир» (Mundi mirabilis) Иоганна Зана, математика и изобретателя. 1696 год.

Я не могу поступить иначе, кроме как полностью заменить эти гипотезы одной лишь теорией Коперника и по возможности убедить всех в ее истинности, но поскольку для большинства людей образованных она еще в новинку и они по большей части считают нелепицей, что Земля – это одна из планет, которые движутся среди звезд вокруг неподвижного Солнца, те, кого поражает новизна этого мнения, должны знать, что подобные рассуждения о гармониях возможны и на основании теории Тихо Браге, поскольку этот автор придерживается тех же взглядов, что и Коперник, во всем, что касается положения небесных тел и расчета их движения, и лишь переносит годичное продвижение Земли по Копернику на всю систему планетарных сфер и на Солнце, которое, по мнению обоих авторов, находится в центре этой системы. Ведь и при переносе движений остается верным то, что у Браге в любой момент Земля занимает то же место, какое отводит ей Коперник, если не в царстве неподвижных звезд, огромном и неизмеримом, то по крайней мере в системе планетного мира. Как тот, кто чертит круг на бумаге, заставляет вращаться пишущую ножку циркуля, так и тот, кто закрепил бумагу или доску на вращающемся столе, рисует такой же круг неподвижной ножкой циркуля или пером; подобным же образом и в случае Коперника Земля в своем подлинном движении описывает круг посередине между такими же кругами Марса с наружной стороны и Венеры с внутренней; а в случае Тихо Браге вся планетная система (в пределах которой находятся и остальные круги Марса и Венеры) вращается, словно столешница на оси, а неподвижная Земля – это словно бы перо, рисующее круг на этой столешнице между кругами Марса и Венеры; и из такого движения системы следует, что Земля в ее пределах, хотя и остается неподвижной, описывает точно такой же круг вокруг Солнца на полпути между кругами Марса и Венеры, какой у Коперника она описывает при подлинном движении при покоящейся системе. Поэтому, поскольку рассуждения о гармониях касаются эксцентрического движения планет, каким оно видится с Солнца, легко понять, что если наблюдатель находится на Солнце, которое движется как угодно, с его точки зрения Земля, пусть даже она и покоится (если согласиться с Браге), опишет годичный круг на полпути между упомянутыми планетами и за среднее время. Следовательно, если найдется человек столь недалекий, что ему не удастся уловить закономерности движения Земли среди звезд, он все равно получит удовольствие от превосходного спектакля, который поставили самые что ни на есть божественные силы, если он прибавит все, что слышит о ежедневном продвижении Земли по эксцентрике, к рисунку планет относительно Солнца, – к тому самому рисунку, который предлагает Тихо Браге, с неподвижной Землей.

И тем не менее у последователей самосской философии нет никаких причин из жадности утаивать подобную чарующую картину от подобных людей, поскольку их радость была бы во многом более совершенной, если бы они согласились с гипотезой, что Солнце неподвижно, а Земля движется, ведь тогда зрелище достигло бы высшего совершенства.

Поэтому, во-первых [I], пусть мои читатели знают, что сегодня все астрономы единодушно уверены, что все планеты вращаются вокруг Солнца, за исключением Луны, поскольку у нее одной центром вращения служит Земля: величина лунной сферы или орбиты недостаточно велика, чтобы отразить ее на этой схеме в должном масштабе относительно других. Поэтому к остальным пяти планетам прибавлена шестая, Земля, описывающая шестой круг относительно Солнца либо при своем подлинном движении вокруг покоящегося Солнца, либо при движении всей планетной системы, когда сама она неподвижна.

Система Коперника. Рисунок Томаса Диггса, XVII век.

Расчет подлинной орбиты Марса по относительному положению Земли, который выполнил Кеплер.

Во-вторых [II], точно так же несомненно, что все планеты эксцентричны, то есть расстояние от них до Солнца непостоянно и меняется так, что в одной точке описываемого ими круга они находятся от Солнца дальше всего, а в противоположной точке – ближе всего. На приведенной схеме для каждой отдельной планеты начерчено три круга, ни один из которых не соответствует эксцентрической траектории самой планеты, однако средний круг, то есть, например, ВЕ в случае Марса, равен большему диаметру эксцентрической орбиты. Однако сама орбита, скажем, AD, касается AF, верхней из трех окружностей, в одной точке А, а нижний круг CD – в противоположной точке D. Круг GH, отмеченный пунктиром и проходящий через центр Солнца, показывает траекторию Солнца согласно Тихо Браге. И если Солнце проходит по этой траектории, то абсолютно все точки планетной системы в целом, представленной на схеме, пойдут каждая в своем ритме и по своей траектории. А если одна ее точка (а именно центр Солнца) помещена в одну точку его орбиты, как здесь в самом низу, абсолютно все и каждая точка системы окажутся в нижней части своего круга. Однако из-за недостатка места все три круга Венеры сведены в один, в противоположность моим первоначальным намерениям.

В-третьих [III], пусть читатель вспомнит, что в моей «Тайне мироздания», которую я опубликовал двадцать два года назад, говорится, что мудрейший Создатель взял количество планет на круглых орбитах вокруг Солнца равным числу пяти правильных геометрических тел, о чем Евклид много веков назад написал книгу, названную «Начала», где это выводится из целого ряда теорем. А во второй книге этого труда доказано, что больше правильных тел быть не может, то есть что из правильных многоугольников невозможно собрать больше пяти геометрических тел.

В-четвертых [IV], что касается отношения орбит планет, то отношение между двумя соседними орбитами всегда таково, что легко видеть, что все и каждая из них приближается к единственному отношению сфер одного из пяти правильных тел – а именно сферы описанной к сфере вписанной (в тело). Тем не менее эти величины не в точности равны, как я когда-то осмелился предположить из соображений полного совершенства астрономии. Дело в том, что когда я закончил расчеты интервалов на основании наблюдений Браге, выяснилось вот что: если углы куба касаются внутреннего круга Сатурна, центры его граней приблизительно попадают на средний круг Юпитера, а если углы тетраэдра касаются внутреннего круга Юпитера, центры его граней приблизительно попадают на внешний круг Марса; таким же образом, если углы октаэдра касаются любого круга Венеры (поскольку общий промежуток между ними был очень сильно сокращен), центры граней октаэдра проникают глубоко в пределы внешнего круга Меркурия, однако же не доходят до среднего круга Меркурия; наконец, ближе всех к отношениям додекаэдрических и икосаэдрических сфер (эти отношения равны между собой) оказываются отношения промежутков между кругами Марса и Земли, а также Земли и Венеры, и эти промежутки так же равны, если считать от внутреннего круга Марса до среднего круга Земли, но от среднего круга Земли до среднего круга Венеры. Ибо расстояние среднего круга Земли – это среднее пропорциональное между наименьшим расстоянием Марса и средним расстоянием Венеры. Но эти два отношения между кругами планет все равно больше отношений двух пар сфер в геометрических телах, так что центры граней додекаэдра не касаются внешнего круга Венеры; более того, этот зазор невозможно заполнить полудиаметром лунной сферы, прибавив его сверху к наибольшему расстоянию Земли и вычтя снизу из наименьшего расстояния таковой. Однако я нахожу и другое отношение фигур: а именно, если я возьму наращенный додекаэдр, который называю echinus (поскольку он собирается из двенадцати пятиконечных звезд и тем самым очень близок к пяти правильным телам), так вот, если я его возьму и помещу двенадцать его вершин на внутренний круг Марса, то стороны пятиугольников, лежащих в основаниях отдельных лучей или вершин, коснутся внутреннего круга Венеры. Короче говоря, куб и октаэдр – супруги – несколько выходят за сферы своих планет; додекаэдр и икосаэдр – супруги – не доходят до своих сфер, а тетраэдр в точности касается обоих: в первом случае имеем недостаток размера сфер, во втором – избыток, а в третьем – точное соответствие промежуткам между планетами.

Модель мироздания согласно геометрии правильных геометрических тел из книги Кеплера Harmonices Mundi Libri (Линц, 1619 г.)

Отсюда очевидно, что сами соотношения расстояний от планет до Солнца не были взяты из геометрических тел как таковых. Ведь Творец, создавший всякую геометрию и, по словам Платона, «занимающийся небесной геометрией», не отходит от собственного образа и подобия. И в самом деле, все это можно вывести из того, что расстояние от любой планеты до Солнца меняется за равные промежутки времени, причем так, что у каждой планеты есть два определенных расстояния от Солнца, наибольшее и наименьшее, поэтому между каждыми двумя планетами можно провести сравнение их расстояния от Солнца четырьмя способами: сравнить либо наибольшие, либо наименьшие расстояния от Солнца, либо расстояния между самыми дальними точками орбиты, либо между самыми близкими. Таким образом, парных сравнений между соседними планетами будет двадцать, хотя правильных геометрических тел, напротив, всего пять. Однако это соответствует тому соображению, что если Творца в принципе заботили отношения между сферами, Его наверняка заботило и отношение между меняющимися величинами расстояния каждой планеты в отдельности от Солнца, и между расстояниями от Солнца до различных планет. Задумавшись об этом, мы поймем: если предположить, что в обоих случаях соображения одинаковы и что связаны они одновременно с диаметрами и эксцентриситетами, нам понадобятся новые принципы, помимо пяти правильных геометрических тел.

В-пятых [V], чтобы рассчитать продвижения, между которыми существуют консонансы, напомню читателю, что в «Комментариях о Марсе» я продемонстрировал на основании точных наблюдений Браге, что дневные дуги, равные в пределах одного и того же эксцентрического круга, проходятся с неравной скоростью, однако разные задержки в равных частях эксцентрического круга зависят от отношения расстояния от Солнца – источника движения; и, напротив, если взять равные промежутки времени, а именно один природный день в обоих случаях, соответствующие истинные дневные дуги эксцентрической орбиты относятся друг к другу обратно пропорционально отношению двух расстояний от Солнца. Более того, я одновременно доказал, что орбита планет эллиптична и Солнце, источник движения, находится в одном из фокусов этого эллипса; поэтому, когда планета прошла четверть своего обычного пути из афелия, это в точности равно ее среднему расстоянию от Солнца, посередине между наибольшим расстоянием в афелии и наименьшим в перигелии. Однако из этих двух аксиом следует, что среднее дневное продвижение планеты по эксцентрике – то же самое, что истинная дневная дуга ее эксцентрики в те моменты, когда планета находится на конце четверти эксцентрики, отмеренной от афелия, хотя эта истинная четверть кажется меньше соседнего квадранта. Далее, отсюда следует, что сумма любых двух истинных дневных дуг эксцентрики, одна из которых находится на том же расстоянии от афелия, что другая – от перигелия, равна сумме двух средних дневных дуг. И, следовательно, поскольку отношение длин окружностей равно отношению их диаметров, отношение средней дневной дуги к сумме всех средних и равных дуг в общей окружности равно отношению средней дневной арки к сумме всех истинных эксцентрических дуг, сумма которых та же, но между собой они не равны. Все это следует в первую очередь знать об истинных дневных дугах эксцентрики и об истинном продвижении, и тогда с опорой на эти знания мы поймем, как выглядят движения небесных тел, если предположить, что мы смотрим на них с Солнца.

В-шестых [VI], что касается дуг в том виде, с каким мы их предположительно наблюдали бы с Солнца, то даже астрономам древности было известно, что помимо истинных продвижений, равных между собой, продвижение, происходящее дальше от центра мироздания (то есть в афелии), наблюдателю, находящемуся в этом центре, покажется меньше, а продвижение, происходящее ближе (то есть в перигелии), подобным же образом покажется больше. Поэтому – поскольку к тому же истинные дневные дуги на ближнем расстоянии больше благодаря более быстрому продвижению, а в далеком афелии меньше благодаря медленному продвижению, я показал в «Комментариях о Марсе», что отношение видимых дневных дуг одного эксцентрического круга с большой точностью обратно пропорционально отношению квадратов их расстояний до Солнца. Например, если мы возьмем какую-то планету, которая в один день находится от Солнца на расстоянии 10 частей (каких бы то ни было), а в противоположный день, когда она находится в перигелии, на расстоянии в 9 единиц, тогда, несомненно, ее продвижение в афелии, видимое с Солнца, будет относиться к видимому продвижению в перигелии как 81:100.

Однако это так при следующих условиях: во-первых, эксцентрическая дуга не должна быть длинной, иначе у отдельных ее участков будет слишком разное расстояние до Солнца, то есть расстояния концов дуги от апсид будут заметно различаться, во-вторых, эксцентричность не должна быть слишком большой, ведь чем больше эксцентричность (то есть чем длиннее становится дуга), тем больше сверх всякой меры возрастает угол ее видимого продвижения при приближении к Солнцу, согласно Восьмой теореме Евклидовой «Оптики», точно так же у коротких дуг даже при большом расстоянии нет никакого момента, о чем я упоминал в своей «Оптике», глава 11. Но я делаю эту оговорку еще по одной причине. Дело в том, что эксцентрические дуги вокруг средних аномалий из центра Солнца видны косо. Такой ракурс уменьшает величину видимого продвижения, а дуги возле апсид, напротив, видны наблюдателю, предположительно находящемуся на Солнце, прямо. Поэтому при очень большой эксцентричности эта эксцентричность заметно уменьшает отношение продвижений, и если мы безо всякого уменьшения применим среднее дневное продвижение к среднему расстоянию, то продвижение это будет именно таким, каким покажется на среднем расстоянии, как будет проиллюстрировано ниже на примере Меркурия. Обо всем этом подробнейшим образом рассказано в книге V «Сокращения коперниканской астрономии», однако и здесь об этом следует упомянуть, поскольку они имеют отношения к составным частям небесных консонансов, которые мы разберем каждый по отдельности.

В-седьмых [VII], если кто-то случайно натолкнется на те дневные продвижения, которые видны смотрящему не с Солнца, а с Земли и которым посвящена книга VI «Сокращения коперниканской астрономии», он должен знать, что их причины в настоящем трактате просто не рассматриваются. И не должны, поскольку Земля не служит источником движения планет, и не могут, поскольку с учетом обмана зрения они вырождаются, и небесные тела не просто замедляются или даже останавливаются, но и движутся назад, отчего всем планетам приписывается бесконечное множество отношений одновременно и равным образом. Поэтому, чтобы точно знать, какие отношения как таковые создаются единственными настоящими эксцентрическими орбитами (хотя и они тоже видимые – с точки зрения того, кто смотрит с Солнца, источника движения), нам нужно прежде всего вычесть из этих движений как они есть мнимые случайные ежегодные продвижения, общие у всех пяти планет, безотносительно того, из чего они возникают – из движения самой Земли, согласно Копернику, или из ежегодного движения системы в целом, согласно Тихо Браге, – после чего рассматривать исключительно отобранные движения, свойственные каждой планете.

В-восьмых [VIII], до сих пор мы разбирали лишь различные замедления дуг одной и той же планеты. Теперь следует разобрать сравнение продвижений двух планет. Здесь обратите внимание на определение необходимых терминов. Ближайшими апсидами двух планет условимся называть перигелий верхней и афелий нижней, невзирая на то что они направляются не в одну и ту же область мироздания, а в разные и даже противоположные. Под предельными продвижениями следует понимать самое медленное и самое быстрое за всю орбиту планеты; под сходящимися, или конверсными предельными, продвижениями следует понимать те, что происходят в ближайших апсидах двух планет, то есть в перигелии верхней планеты и афелии нижней, а под расходящимися, или противоположными, – продвижения в противоположных апсидах, то есть в афелии верхней и перигелии нижней. И опять же по этой причине следует дополнить и включить сюда определенную часть моей «Тайны мироздания», которую двадцать два года назад я решил не публиковать, поскольку в ней оставались неясные места. Ибо благодаря наблюдениям Тихо Браге и неустанным долгим трудам мне наконец удалось найти истинные промежутки между сферами: наконец-то, наконец-то вашему неумелому слуге, пусть и поздно, открылось верное отношение периодов сфер, – открылось, и пришло к нему, и было осознано, если вы желаете знать точный момент, 8 марта сего года, одна тысяча шестьсот восемнадцатого; правда, к несчастью, при пересчете оно было сочтено ошибочным и отвергнуто, однако пересмотрено 15 мая со свежими силами, и ему наконец удалось развеять туман в моей голове благодаря прекрасному доказательству, которому я обязан семнадцатилетнему труду над наблюдениями Браге и неустанным размышлениям о том, как связать их в единый консонанс, причем явилось это доказательство мне так, что я решил, что сплю и вижу сон о том, как разъяснить предмет моих исследований и согласовать его со всеми принципами. Однако совершенно точно и несомненно, что отношение между периодами любых двух планет равно отношению средних расстояний в степени 3/2, то есть самих сфер, однако с учетом, что арифметическое среднее диаметров эллиптической орбиты несколько меньше большего диаметра. Так что если взять период, скажем, Земли, составляющий один год, и период Сатурна, составляющий тридцать лет, и извлечь сначала кубический корень из их отношения, а затем квадратный корень из результата, то получишь число, отражающее самое точное отношение расстояния Земли и Сатурна от Солнца[5]. Ибо кубический корень 1 равен 1 и квадратный тоже 1; а кубический корень 30 больше 3, а следовательно, его квадрат больше 9. И среднее расстояние Сатурна от Солнца чуть более чем в девять раз превышает расстояние от Земли до Солнца. Далее, в главе 9, эта теорема будет нужна для доказательства эксцентрик.

Настенная роспись в обсерватории Тихо Браге Ураниборг.

В-девятых [IX], если теперь вы пожелаете той же мерой, так сказать, измерить подлинный путь, который проходит в эфире каждая из этих планет за день, нужно составить два отношения: отношение истинной (невидимой) дневной дуги эксцентрики и отношение средних расстояний каждой из этих планет до Солнца (поскольку это то же самое, что и отношение величины сфер), то есть истинную дневную дугу каждой планеты следует умножить на полудиаметр ее сферы; в результате получатся числа, при помощи которых можно исследовать, состоят ли эти пути в гармонических отношениях.

В-десятых [X], чтобы точно знать, насколько велики будут те или иные дневные пути с точки зрения наблюдателя, расположенного словно бы на Солнце, хотя то же самое можно легко получить из астрономии, но все равно это станет ясно, если умножить отношение путей на обратное отношение не средних, а истинных расстояний, существующих при любом положении на эксцентрике: умножьте путь верхней планеты на расстояние от нижней планеты до Солнца и, наоборот, умножьте путь нижней планеты на расстояние от верхней планеты до Солнца.

Модель Тихо Браге

В-одиннадцатых [XI], теперь точно так же, если даны видимые продвижения в афелии одной планеты и в перигелии другой – или наоборот либо попеременно, – можно вывести отношения расстояний между афелием одной и перигелием другой. Но где нужно сначала узнать среднее продвижение, то есть обратное отношение периодов, из которого выводится отношение сфер согласно [VIII] выше, тогда, если берется среднее пропорциональное между видимым продвижением любой планеты и ее средним продвижением, это среднее пропорциональное относится к полудиаметру сферы (уже известному) как среднее продвижение к расстоянию, или искомому промежутку. Пусть периоды двух планет – 27 и 8. Поэтому отношение среднего дневного продвижения одной и другой равно 8:27. Поэтому полудиаметры их сфер относятся как 9 к 4. Ведь кубический корень 27 равен 3, а 8 – 2, а квадраты этих корней 3 и 2 равны 9 и 4. Теперь пусть видимое продвижение в афелии одной планеты будет 2, а продвижение другой в перигелии будет 33 и 1/3. Среднее пропорциональное между средними продвижениями 8 и 27 и видимыми будет 4 и 30. Следовательно, если среднее пропорциональное 4 дает среднее расстояние до планеты 9, то среднее продвижение 8 дает расстояние в афелии 18, что соответствует видимому продвижению 2; а если другое среднее пропорциональное 30 дает у другой планеты среднее расстояние 4, то его среднее продвижение 27 даст в перигелии расстояние в 3 и 3/5. Поэтому я утверждаю, что расстояние первой планеты в афелии относится к расстоянию второй планеты в перигелии как 18 к 3 и 3/5. Отсюда очевидно, что если будут найдены консонансы между предельными продвижениями двух планет и для обеих установлены периоды, то из этого однозначно следуют и предельные и средние расстояния, а из них – эксцентрики.

В-двенадцатых [XII], из разных предельных продвижений одной и той же планеты возможно также вывести среднее продвижение. Среднее продвижение – это не в точности арифметическое среднее между предельными продвижениями, не в точности геометрическое среднее, но оно на столько же меньше геометрического целого, на сколько геометрическое целое меньше (арифметического) среднего этих двух средних. Пусть предельные продвижения равны 8 и 10, тогда среднее продвижение будет меньше 9, а также меньше квадратного корня из 80 на половину разности между 9 и квадратным корнем из 80. Таким образом, если продвижение в афелии равно 20, а в перигелии 24, среднее продвижение окажется меньше 22 и даже меньше квадратного корня из 480 на половину разницы между этим корнем и 22. В дальнейшем эта теорема будет применена.

В-тринадцатых [XIII], из всего вышеизложенного можно доказать следующую теорему, которая в дальнейшем будет нам крайне необходима: подобно тому как отношение средних продвижений двух планет обратно пропорционально степени 3/2 сфер, отношение двух видимых сходящихся предельных продвижений всегда меньше отношения степеней 3/2 расстояний, соответствующих этим предельным продвижениям; и в каком отношении произведение двух отношений соответствующих расстояний к двум средним расстояниям или к полудиаметрам двух сфер всегда меньше отношения квадратных корней сфер, в таком же отношении отношение двух предельных сходящихся продвижений превосходит отношение соответствующих промежутков, но если бы это составное отношение превзошло отношение квадратных корней сфер, то отношение сходящихся продвижений оказалось бы меньше, чем отношение их расстояний[6].

4. В каких аспектах движений планет Творец выразил гармонические консонансы и как он это сделал

Подобным же образом, если устранить мнимые возвратные продвижения и остановки и отсеять лишь истинные продвижения планет по своим настоящим эксцентрическим орбитам, у планет останутся следующие отличительные свойства: 1) расстояния от Солнца, 2) периоды обращения, 3) дневные эксцентрические дуги, 4) дневные задержки на этих дугах, 5) углы к Солнцу и дневная площадь этих углов, видимая наблюдателю с Солнца. И снова все это, за исключением периодов, меняется в разных участках орбиты, меньше всего в предельных точках, афелии и перигелии, когда планеты отходят от одной предельной точки и движутся к другой, а сильнее всего – на промежуточных участках. Следовательно, когда планета ниже всего и ближе всего к Солнцу и поэтому меньше всего задерживается в одном градусе своей эксцентрики, а, напротив, за один день проходит самую длинную дневную дугу, и с Солнца кажется, что она движется быстрее всего; затем она некоторое время движется одинаково по силе без ощутимых отклонений, пока не минует перигелий, после чего планета постепенно начинает отходить дальше от Солнца по прямой, и в этом самое время дольше задерживается в градусах своего эксцентрического круга, либо, если взять продвижение за один день, то на следующий день планета уходит вперед на меньшее расстояние, и с Солнца кажется, что она движется еще медленнее, пока она не подойдет к высшей апсиде и ее расстояние до Солнца не станет очень большим, ведь тогда она дольше всего задерживается в одном градусе эксцентрики; либо, напротив, за один день она проходит свою самую маленькую дугу, производит гораздо меньше видимого продвижения и проходит наименьшее расстояние по своей общей орбите.

Гармония сфер. Кеплер полагал, что все планеты в нашей Солнечной системе движутся в гармонии, что и отра-жено в этом схематическом изображении Солнечной системы.

«Маринер-10» пролетает мимо Меркурия.

Наконец, все это можно рассматривать и в том виде, каковы они у каждой отдельной планеты в разное время, и в том виде, каковы они у разных планет, а отсюда, если располагать бесконечным временем, все аффекты орбиты одной планеты могут совпасть со всеми остальными аффектами орбиты другой планеты, и тогда их можно сравнить, и если в таком случае все эксцентрики сравнить друг с другом, окажется, что у них одинаковое отношение полудиаметров или средних расстояний, однако истинные длины дуг двух эксцентрик, похожих или обозначенных одним числом (градусов), все же не будут равны в отношении к своим эксцентрикам. Например, один градус в сфере Сатурна приблизительно вдвое длиннее одного градуса в сфере Юпитера. И, напротив, дневные дуги эксцентрики, выраженные в астрономических терминах, не соответствуют отношению истинного пути, который планета проходит сквозь эфир за один день, поскольку единицы большего круга первой планеты отмечают четверть пути, а в меньшем круге второй доля получается меньше.

7. О возможности существования вселенских консонансов всех шести планет наподобие обычного четырехголосного контрапункта

Но вот, Урания, пора запеть громче, ведь я взбираюсь по гармонической гамме небесных движений к высшим пределам, где хранится подлинный прообраз ткани мироздания. Следуйте за мною, о вы, современные музыканты, и рассудите о том, что я говорю, с точки зрения своего искусства, в античности не известного. Природа, как всегда щедрая, после двухтысячелетнего затишья наконец произвела на протяжении последних поколений вас – первое подлинное отражение гармонии Вселенной. Посредством ваших многоголосых созвучий, через ваши уши она нашептывает человеческим умам, любимая дочь Бога-Творца, как живется ей под сенью Его.

(Сочтут ли преступлением, если я попрошу некоторых композиторов нынешнего поколения сложить вместо этой преамбулы красивый мотет? А подобающий текст можно найти в Псалтири либо в других священных книгах. Но увы вам! Участников небесного созвучия может быть не более шести. Ибо Луна поет здесь в одиночестве одноголосые песни, словно пес, прикованный цепью к Земле. Сложите мелодию, а я даю слово на протяжении этой книги обеспечить шесть партий. Того же, кто лучше всех выразит небесную музыку, описанную на этих страницах, Клео увенчает гирляндой, а Урания отдаст ему в супруги Венеру.)

Вселенная как монохорд. Рисунок Роберта Фладда, XVII век. Пред-ставления Кеплера о гармоничной Вселенной разделяли многие.

Фронтиспис книги Practica Musiae Франкино Гафури (Милан, 1496 г.).

Выше было показано, какие гармонические отношения связывают две соседние планеты в их предельных продвижениях. Однако очень редко случается, что две планеты, особенно самые медленные, приходят в свои предельные промежутки в одно и то же время; например, апсиды Сатурна и Юпитера разнесены примерно на 81°. Соответственно, пока расстояние между ними измеряет целый зодиак резкими двадцатилетними скачками[7], проходит восемьсот лет, и при всем при том скачок, завершающий восьмое столетие, не попадает точно в апсиды, и если он приводит гораздо дальше, нужно еще восемьсот лет дожидаться более удачного скачка, и все это нужно повторять столько раз, сколько требует мера отклонения в длине каждого скачка. Более того, у других отдельных пар планет тоже есть такие периоды, хотя и не столь продолжительные. Но тем временем наблюдаются и другие консонансы двух планет, если только движения обеих планет не происходят одновременно в предельных точках, а хотя бы одна из них или обе находятся в промежуточном положении, и эти консонансы существуют словно бы в разном строе. Ибо, поскольку Сатурн движется от G к b и несколько дальше, а Юпитер – от b к d и дальше, поэтому между Юпитером и Сатурном могут существовать следующие консонансы, вдобавок к октаве: большая и малая терция, чистая кварта, причем каждая из терций – в строе, который сохраняет амплитуду другой, а чистая кварта – через амплитуду большего тона. Ведь чистая кварта будет не только от G Сатурна до cc Юпитера, но и от А Сатурна до dd Юпитера и через все промежуточные ноты от G и A Сатурна до cc и dd Юпитера. Однако октава и чистая квинта существуют лишь в точках апсид. Но у Марса промежуток сам по себе больше, и так устроено затем, чтобы он создавал октаву с высшими планетами через какую-то амплитуду строя. Меркурий получил промежуток такой величины, что может создавать почти все консонансы со всеми планетами за один свой период, не превышающий трех месяцев. С другой стороны, Земля и в еще большей степени Венера из-за малой величины своих промежутков создают не все консонансы не только с другими, но и между собой, и их явно мало. Однако если три планеты создают одну гармонию, следует ждать большого числа периодических повторений; тем не менее консонансов много, и создаваться им легче, причем каждый консонанс следует за соседним, и между Марсом, Землей и Меркурием очень часто наблюдаются тройные консонансы. Однако консонансы четырех планет рассеяны на протяжении веков, а пяти планет – на протяжении тысячелетий.

Созвучия всех шести планет приходится дожидаться дольше всего, и я не знаю, возможно ли, что оно возникнет дважды благодаря точному совпадению, или же оно указывает на какой-то миг начала времен, от которого отсчитывается течение каждой эры мироздания. Но если возможно только одно шестерное созвучие или если их несколько, однако одно из них чем-то примечательно, это, несомненно, следует считать знаком сотворения мира.

Гармонический порядок Вселенной на основе числа 9. Musurgia Universalis Афанасия Кирхера (Рим, 1650 г.).

Итак, если возможна лишь одна шестерная гармония или лишь одна чем-то примечательная среди многих, это, несомненно, следует считать знаком сотворения мира. Поэтому мы должны спросить, сколько именно существует форм сложения движений всех шести планет в одну общую гармонию? Выяснить это можно следующим методом: начнем с Земли и Венеры, поскольку эти две планеты не создают больше двух консонансов, причем (что дает понять причину этого) посредством очень мелких усилений своих движений. Поэтому построим два, так сказать, каркаса гармоний, и каждый из этих скелетов определим двумя предельными числами, обозначающими пределы строев, а затем посмотрим, какие из многообразия движений, доступных каждой планете, им соответствуют.

Конец

Исаак Ньютон (1642–1727)

Жизнь и деятельность

5 февраля 1676 года Исаак Ньютон написал своему злейшему врагу Роберту Гуку письмо, где, в частности, говорилось: «Я видел дальше других лишь потому, что стоял на плечах гигантов». Часто считают, что этой фразой Ньютон засвидетельствовал свое почтение к теориям своих предшественников – Коперника, Галилея и Кеплера, – и она вошла в число самых популярных афоризмов за всю историю науки. Ньютон и в самом деле признавал заслуги этих ученых, одних – публично, других – в частной переписке. Однако в этом письме Гуку шла речь об оптических теориях, точнее, о феномене тонких пластин, в исследование которого значительный вклад внесли Гук и Рене Декарт.

Некоторые исследователи толкуют это высказывание как слегка завуалированное оскорбление в адрес Гука, который был сутулым и низкорослым, так что никто не назвал бы его гигантом, особенно Ньютон, человек чрезвычайно язвительный и мстительный. Однако, похоже, Ньютон, несмотря на личную неприязнь, смиренно признал важность исследований Гука и Декарта по оптике и к концу письма переходит на примирительный тон.

Исаака Ньютона считают отцом дифференциального и интегрального исчисления, механики и науки о движении планет, а также теории света и цвета. Но бессмертие он стяжал благодаря формулировке определения гравитации и законов движения и тяготения в своем основополагающем труде «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) – обычно эту книгу называют просто «Начала». В ней Ньютон свел воедино научные достижения Коперника, Галилея, Кеплера и других ученых в динамичную новую симфонию. «Начала», первая книга по теоретической физике, всецело признана самым важным трудом в истории науки и научной основой современной картины мира.

Три книги, составляющие «Начала», Ньютон написал всего за полтора года, причем, что поразительно, в период тяжелых эмоциональных срывов, усугубленных, вероятно, соперничеством с Гуком. Жажда мести у Ньютона была так сильна, что он даже вычеркнул из книги все ссылки на труды Гука, однако, возможно, именно ненависть к собрату-ученому и вдохновила его на создание «Начал».

Ньютон не переносил ни малейшей критики в адрес своих трудов, даже если ее сопровождали и маскировали пространные восхваления, и зачастую впадал от нее в тяжкое уныние на месяцы и годы. Эта черта проявилась еще на заре жизни ученого и поневоле заставляет задуматься, на какие еще вопросы ответил бы Ньютон, если бы не был так одержим личными обидами. Но кое-кто считает, что научные открытия и достижения Ньютона были результатом его одержимости местью и, возможно, не состоялись бы, не будь он таким таким вздорным и заносчивым.

Еще в детстве Исаак Ньютон задавался вопросами, давно ставившими человечество в тупик, и старался найти на них ответы. Это было начало жизни, полной открытий, хотя первые шаги были сопряжены с некоторыми трудностями. Ньютон родился в Англии, в Линкольншире, в промышленном городе Вулстропе, в Рождество 1642 года, в год смерти Галилея. Родился он до срока, мать была уверена, что он долго не проживет, и при рождении, как говорил потом сам ученый, он был так мал, что помещался в пинтовую кружку. Отец Ньютона, мелкий фермер, тоже Исаак, умер за три месяца до рождения сына, и когда Ньютону исполнилось два года, его мать Ханна Эйскоу снова вышла замуж за некоего Варнаву Смита, состоятельного священника из Северного Уитэма.

Очевидно, в молодой семье Смитов не было места для маленького Исаака, и его вверили заботам бабушки Марджери Эйскоу. Призрак материнского предательства в совокупности с тем, что Исаак никогда не знал отца и воспринимал это как личную трагедию, преследовал Ньютона всю жизнь. Отчима он презирал и в дневниковых записях 1662 года, перечисляя свои грехи, вспоминал, что «грозил своим отцу и матери Смитам сжечь их дом и их самих заодно».

Фронтиспис книги итальянского иезуита Джованни Баттиста Риччоли, где после суда над Галилеем развенчивалась теория Коперника. Астрономия взвешивает модели Коперника и Риччоли и обнаруживает, что модель Риччоли лучше. Именно таким было официальное мнение на момент рождения Ньютона.

Детство Ньютона, как и зрелые годы, изобилует эпизодами вражды и мстительных нападок, причем не только на тех, кого Исаак считал врагами, но и на друзей и родных. Одновременно он проявлял своеобразную любознательность, характерную для всех его дальнейших достижений, – интересовался моделями механизмов и архитектурными чертежами. Он мог с утра до вечера собирать часы, мастерить воздушные змеи и миниатюрные мельницы (жернова в них двигали мыши), наблюдать за солнечными часами и делать тщательные зарисовки кораблей и животных. В пять лет его отдали в школу, сначала в Скиллингтоне, потом в Стоуке, но он считался одним из самых слабых учеников, и учителя в своих отчетах называли его «невнимательным» и «ленивым». Несмотря на любознательность и явную страсть к учению, Ньютон не прижился на школьной скамье.

Когда Исааку исполнилось десять, Варнава Смит скончался, и Ханна унаследовала значительное состояние и имение мужа. Исаак с бабушкой стали жить вместе с Ханной и сводным братом и двумя сводными сестрами Ньютона. Поскольку в школе Ньютон не делал особых успехов, Ханна решила, что лучше поручить ему управлять фермой и имением, и забрала его из бесплатной средней школы в Грэнтеме. К вящей досаде Ханны, Исаак занимался хозяйством так же вяло и неумело, как и школьными уроками. Брат Ханны Уильям, священник, решил, что для семьи будет лучше, если растяпа Исаак вернется в школу и закончит образование.

На этот раз Исаак жил у директора бесплатной средней школы Джона Стокса, и в его образовании, похоже, наметился благоприятный поворот. По легенде, как-то раз школьный хулиган ударил юного Исаака по голове, и это парадоксальным образом прояснило у того мысли и пробудило способности к учению. Теперь Ньютон выделялся интеллектуальными способностями и любознательностью и задумался о продолжении образования в университете. Он решил пойти в колледж Святой Троицы в Кембриджском университете, альма-матер своего дяди Уильяма.

Гравюра, иллюстрирующая легенду о том, как Ньютон открыл всемирное тяготение: когда ему на голову упало яблоко.

В колледже Ньютон стал субстипендиатом, то есть учился бесплатно, но за это должен был исполнять различные обязанности, например, разносить еду в столовой и убирать комнаты преподавателей. Однако к 1664 году он получил место преподавателя, что гарантировало доход и освободило его от обязанностей слуги. В 1665 году университет закрылся из-за эпидемии бубонной чумы, и Ньютон уехал в Линкольншир. Дома он провел полтора года, посвятил себя механике и математике и начал заниматься оптикой и гравитацией. Этот annus mirabilis, «чудесный год», как называл его сам Ньютон, стал одним из самых продуктивных и плодотворных периодов в его жизни. Кроме того, именно тогда на голову Ньютону, задремавшему под деревом, по легенде, упало яблоко, разбудив его и вдохновив на формулировку закона всемирного тяготения. Легенда, конечно, не очень правдоподобная, однако сам Ньютон писал, что падающее яблоко «случайно» натолкнуло его на углубленные размышления о гравитации, и полагают, что тогда он занимался и опытами с маятником. «Это был расцвет моих изобретательских способностей, – вспоминал потом Ньютон, – и математика и философия интересовали меня как никогда».

Ньютон проводит опыты с призмой в своей комнате в колледже Святой Троицы.

Вернувшись в Кембридж, Ньютон изучал философию Аристотеля и Декарта, а также открытия Томаса Гоббса и Роберта Бойля. Он увлекся механикой Коперника и астрономией Галилея, а также оптикой Кеплера. Примерно тогда же Ньютон начал ставить опыты с призмами по рефракции и рассеянию света – вероятно, в своей комнате в колледже Святой Троицы или дома, в Вулстропе. Будущее Ньютона определили и некоторые перемены в университете: туда приехал Исаак Барроу, занявший именную должность лукасовского профессора математики. Барроу сразу заметил выдающийся математический талант Ньютона и в 1669 году, отказавшись от кафедры ради изучения богословия, рекомендовал на свое место двадцатисемилетнего Ньютона.

В должности лукасовского профессора Ньютон сначала сосредоточился на изучении оптики. Он решил доказать, что белый свет состоит из смеси различных типов света, каждый из которых при разложении призмой дает свой цвет спектра. Серия остроумных и точных экспериментов, при помощи которых Ньютон доказал, что свет состоит из крошечных частичек, навлек на него гнев ученых вроде Гука, убежденных, что свет распространяется волнами. Гук потребовал, чтобы Ньютон предоставил дальнейшие доказательства своих эксцентрических оптических теорий. В ответ Ньютон поступил как всегда: он повзрослел, но так и не преодолел детских слабостей. Он замкнулся в себе, не упускал случая унизить Гука и отказывался публиковать свою «Оптику» до самой смерти Гука в 1703 году.

С самого начала работы в должности лукасовского профессора Ньютон заметно продвинулся в изучении чистой математики, однако делился своими достижениями лишь с избранными коллегами. Уже в 1666 году он открыл общие методы решения задач о кривизне, которые назвал теорией производных и обратных производных. Это открытие привело к бурной ссоре со сторонниками немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница, который более десяти лет спустя опубликовал свои открытия по дифференциальному и интегральному исчислению. Ньютон и Лейбниц сформулировали примерно одни и те же математические принципы, однако Лейбниц опубликовал свою книгу раньше Ньютона. Сторонники Ньютона утверждали, что Лейбниц несколько лет назад видел записи лукасовского профессора, и разгорелся жаркий спор между двумя лагерями, получивший название «Спор Ньютона и Лейбница о приоритете», завершившийся лишь со смертью Лейбница в 1716 году. Злобные нападки Ньютона, зачастую распространявшиеся на вопросы о Боге и Вселенной, а также обвинения в плагиате довели Лейбница до бесславия и нищеты.

Богиня Артемида с портретом Ньютона.

Большинство историков науки сходятся на том, что на самом деле Ньютон и Лейбниц пришли к одному и тому же открытию независимо и спор не имел смысла. Между тем язвительные нападки на Лейбница скверно сказались на эмоциональном и физическом состоянии самого Ньютона. Вскоре он ввязался в другой спор – на сей раз о теории цвета, – и в 1678 году у него случился тяжелый нервный срыв. На следующий год умерла его мать Ханна, и Ньютон начал замыкаться в себе. Он тайно занялся алхимией, хотя уже в те времена считалось, что это занятие к достижениям не приводит. Этот эпизод из жизни ученого огорчал и смущал многих его биографов. Лишь годы спустя после смерти Ньютона стало ясно, что интерес к химическим опытам имел отношение к его дальнейшим исследованиям по небесной механике и тяготению.

К 1666 году Ньютон уже начал формулировать теории движения, однако еще не нашел правдоподобного объяснения механике кругового движения. Примерно за полвека до этого немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер выдвинул три закона движения планет, которые точно описывали траектории планет вокруг Солнца, однако объяснить, почему они движутся именно так, а не иначе, Кеплер не сумел. Он лишь приблизился к идее тяготения, когда назвал силы, связывающие Солнце и планеты, «магнетическими».

Уильям Блейк. Исаак Ньютон. Цветная гравюра, 1795 г.

Ньютон решил разобраться, почему орбиты планет имеют форму эллипсов. Он применил свой закон центробежной силы к третьему закону Кеплера (закону гармоний) и вывел закон обратных квадратов, который гласит, что сила тяготения между двумя телами обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел. Таким образом Ньютон пришел к мысли об универсальности гравитации: он понял, что падением яблока и вращением Луны управляет одна и та же сила. Затем он решил проверить отношение обратных квадратов на известных данных. Он взял оценку Галилея, согласно которой расстояние от Луны до Земли составляет 60 радиусов Земли, однако его собственная оценка диаметра Земли была настолько неточной, что проверка не принесла удовлетворительных результатов. Как ни странно, интерес к этой задаче заново пробудила переписка со старым противником Гуком в 1679 году. На этот раз Ньютон обратился ко второму закону Кеплера, закону равных площадей, и сумел доказать его при помощи понятия о центробежной силе. Гук тоже пытался объяснить форму орбит планет, и в некоторых его письмах содержались соображения на сей счет, которые особенно заинтересовали Ньютона.

«Начала» Ньютона.

В 1684 году состоялась знаменитая встреча трех членов Королевского общества – Роберта Гука, Эдмонда Галлея и Кристофера Рена, прославленного архитектора, который построил собор Св. Павла. Разгорелась дискуссия об отношении обратных квадратов, управляющем движением планет. В начале семидесятых годов XVII века в лондонских кофейнях и других интеллектуальных центрах велись разговоры о том, что гравитация исходит от Солнца во всех направлениях и слабеет пропорционально квадрату расстояния, то есть при расширении сферы гравитация на ее поверхности уменьшается.

Встреча в 1684 году стала, по сути, моментом зарождения «Начал». Гук заявил, что из закона Кеплера об эллипсах вывел доказательство, что тяготение – это испускаемая сила, однако подробно рассказывать об этом Галлею и Рену отказался, поскольку хотел довести свое открытие до публикации. Галлей в ярости отправился в Кембридж, рассказал Ньютону о притязаниях Гука и поставил следующую задачу: «Какой будет форма орбиты планеты вокруг Солнца, если бы ее притягивала к Солнцу сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния?» Мгновенный ответ Ньютона потряс Галлея: «Это будет эллипс». Затем Ньютон сказал Галлею, что решил эту задачу четыре года назад, но потерял записи доказательства в своем кабинете.

По просьбе Галлея Ньютон потратил три месяца на восстановление и уточнение доказательства. Затем в приливе вдохновения, который продлился полтора года и достигал такой силы, что Ньютон за работой забывал поесть, он развил эти идеи, и полное их изложение заняло три тома. Ньютон решил назвать свой труд Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, тем самым намеренно противопоставив его Principia Philosophiae («Началам философии») Декарта. Три книги «Начал» Ньютона – недостающее звено между законами Кеплера и физическим миром. У Галлея открытия Ньютона вызвали «изумление и радость». С его точки зрения, лукасовский профессор достиг успеха там, где все остальные потерпели неудачу, и он лично профинансировал публикацию объемистого труда как шедевра и дара человечеству.

Галилей показал, что предметы «притягиваются» к центру Земли, а Ньютон сумел доказать, что та же самая сила – всемирное тяготение – влияет и на орбиты планет. Кроме того, он был знаком с работой Галилея о движении ядер и заявил, что орбита Луны вокруг Земли подчиняется тем же принципам. Ньютон показал, что всемирное тяготение объясняет и предсказывает и движение Луны, и приливы и отливы земных морей и океанов. Первая книга «Начал» описывает три закона Ньютона.

1. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.

2. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

3. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе – взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.

Карикатура XVIII века, высмеивающая теорию всемирного тяготения Ньютона.

Вторая книга начинается примерно как дополнение к первой, и Ньютон не собирался включать ее в «Начала». В сущности, это трактат по механике жидкостей, давший Ньютону простор для демонстрации своей математической находчивости. К концу книги Ньютон приходит к выводу, что теория вихрей, которой Декарт объясняет движение планет, несостоятельна, поскольку двигаться в пустом пространстве можно безо всяких вихрей. «Способ, которым эти движения совершаются на самом деле в свободном пространстве, – пишет Ньютон, – можно понять по первой книге, подробнее же он рассматривается в изложении системы мира».

«Система мира» – это подзаголовок третьей книги, где Ньютон применяет законы движения из книги первой к физическому миру и приходит к выводу, что «все тела по соседству с Землею тяготеют к Земле, и притом пропорционально количеству материи каждого из них… На основании этого правила надо утверждать, что все тела тяготеют друг к другу». Таким образом Ньютон показал, что его закон всемирного тяготения объясняет движение и шести известных планет, и лун, и комет, и приливы, и равноденствия. Закон всемирного тяготения гласит, что все материальные тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Одним набором законов Ньютон объединил Землю со всем, что видно в небесах. В первых двух «Правилах умозаключений» из книги третьей Ньютон пишет:

«Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснения явлений… Поэтому, поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы».

Второе правило и объединило, в сущности, небесное и земное. Аристотелевская картина мира предполагала, что небесная и земная механика – это, очевидно, разные явления природы, поэтому к ней второе правило Ньютона было бы неприменимо. Но Ньютон видел мир иначе.

«Начала» вышли в свет в 1687 году и были встречены довольно благожелательно, правда, первый тираж составлял всего около пятисот экземпляров. Однако злейший враг Ньютона Роберт Гук грозил свести на нет всю славу Ньютона. Когда вышла вторая книга, Гук публично заявил, что в основу открытий Ньютона легли научные идеи, позаимствованные из переписки с Гуком в 1679 году. Эти притязания имели под собой некоторые основания и вызвали у Ньютона такое отвращение, что он дал зарок отложить публикацию третьей книги, а может быть, и вовсе не издавать ее. Потом Ньютон все-таки сдался и обнародовал последнюю книгу «Начал», но прежде тщательно вымарал с ее страниц всякие упоминания о Гуке.

Ненависть к Гуку не утихала у Ньютона долгие годы. В 1693 году у него случился очередной нервный срыв, и он прекратил исследования. Он не появлялся в Королевском обществе до самой смерти Гука в 1703 году, после чего был избран его президентом и переизбирался ежегодно до самой своей смерти в 1727 году. Кроме того, Ньютон откладывал публикацию «Оптики» – фундаментального исследования света и самой читаемой своей книги – опять же до смерти Гука.

В восемнадцатый век Ньютон вступил на правительственном посту: он был назначен хранителем Монетного двора, где, опираясь на свои алхимические исследования, нашел способы восстановить пошатнувшуюся денежную систему Англии. В качестве президента Королевского общества Ньютон продолжал неумолимую борьбу с теми, кого считал врагами, – в частности, продолжал бесконечный спор с Лейбницем о приоритете в изобретении дифференциального и интегрального исчисления. В 1705 году королева Анна пожаловала Ньютону рыцарский титул. За время жизни ученого «Начала» успели дважды переиздать.

Умер Исаак Ньютон в марте 1727 года от воспаления легких и подагры. Соперников в сфере науки у него не было – как он и мечтал. Ньютон так и не изведал романтических чувств к женщине (впрочем, некоторые историки высказывали подозрение, что у него, вероятно, были связи с мужчинами, в числе которых называют швейцарского естествоиспытателя Никола Фатио де Дюилье), зато никто не стал бы упрекать его в отсутствии страсти к науке. Поэт Александр Поуп, современник Ньютона, описал наследие великого мыслителя изящным двустишием:

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

(Пер. С. Маршака)

Исаак Ньютон. Гравюра по портрету Готфрида Кнеллера, 1702 год.

При всей склонности к мелочным спорам, при очевидной заносчивости, отличавшей Ньютона всю жизнь, свои достижения на закате дней он оценивал на удивление скромно: «Не знаю, каким меня видит мир, но сам я всегда считал себя просто мальчиком, который играл на берегу и, развлекаясь, искал то гладкий камушек, то хорошенькую ракушку, а великий океан истины так и расстилался передо мной непознанный».

Второй закон Ньютона гласит, что ускорение тела пропорционально воздействующей на него силе. Чем больше масса тела, тем меньше ускорение. Машина с двигателем в 250 лошадиных сил разгоняется быстрее, чем та, мощность которой всего 25 лошадиных сил. Однако машина, весящая вдвое больше, разгоняется вдвое медленнее, чем более легкая и миниатюрная модель.

Математические начала натуральной философии

АКСИОМЫ, ИЛИ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ Закон I

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.

Брошенное тело продолжает удерживать свое движение, поскольку его не замедляет сопротивление воздуха и поскольку сила тяжести не побуждает это тело вниз. Волчок, коего части, вследствие взаимного сцепления, отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестает вращаться (равномерно), поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха. Большие же массы планет и комет, встречая меньшее сопротивление в свободном пространстве, сохраняют свое как поступательное, так и вращательное движение в продолжение гораздо большего времени.

Закон II

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Если какая-нибудь сила производит некоторое количество движения, то двойная сила произведет двойное, тройная – тройное, будут ли они приложены разом все вместе, или же последовательно и постепенно. Это количество движения, которое всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила, если тело уже находилось в движении, при совпадении направлений прилагается к количеству движения тела, бывшему ранее, при противоположности – вычитается, при наклонности – прилагается наклонно и соединяется с бывшим ранее, сообразно величине и направлению каждого из них.

Закон III

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе – взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.

Если что-либо давит на что-нибудь другое или тянет его, то оно само этим последним давится или тянется. Если кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается камнем. Если лошадь тащит камень, привязанный к канату, то и, обратно (если можно так выразиться), она с равным усилием оттягивается к камню, ибо натянутый канат своею упругостью производит одинаковое усилие на лошадь в сторону камня и на камень в сторону лошади, и насколько этот канат препятствует движению лошади вперед, настолько же он побуждает движение вперед камня. Если какое-нибудь тело, ударившись в другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своем собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений, как это будет доказано в поучении.

Следствие I

При силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмма в то же самое время, как его стороны – при раздельных.

Если тело при действии в месте А одной только силы M перенеслось бы в продолжение заданного промежутка времени равномерным движением из А в В и если бы при действии в том же месте одной только силы N оно перенеслось бы из А в С, то при действии обеих сил оно перенесется в то же самое время из А в D по диагонали параллелограмма ABCD.

Так как сила N действует по направлению прямой АС, параллельной ВО, то по второму закону эта сила нисколько не изменит той скорости приближения к прямой BD, которая была произведена первою силою. Следовательно, тело в продолжение данного времени достигнет до линии BD, была ли сила N приложена или нет.

На основании такого же рассуждения, к концу того же промежутка времени тело должно находиться и где-либо на прямой CD, следовательно, оно должно быть в их пересечении D. Переходит же оно из А в D прямолинейно на основании закона I.

Следствие II

Отсюда явствует составление силы, направленной по AD, из каких-либо двух наклоненных друг к другу АВ и BD и, наоборот, разложение любой силы, направленной по AD, на наклонные АВ и BD. Как это сложение, так и разложение беспрестанно подтверждаются в учении о машинах.

Так, пусть к точкам M и N колеса, взятым на радиусах его ОМ и ON в неодинаковом расстоянии от центра, подвешены на нитях грузы А, P и требуется определить усилия, с которыми эти грузы стремятся вращать колесо.

Через центр О проводится прямая KOL, перпендикулярная к нитям и пересекающая их в К и L; центром О и большим из расстояний OL проводится круг, пересекающий MA в D, и строятся прямые: DC перпендикулярно к OD и AC ей параллельно. Так как ничто не изменится от того, будут ли точки К, L, D нитей прикреплены к плоскости колеса или нет, то действие грузов будет одно и то же, подвесить ли их в точках К и L или в точках D и L. Но если полную величину веса груза А представить линией AD, то этот вес разлагается на силы АС и CD, из коих AC, действующая по направлению радиуса OD прямо от центра, не имеет значения для вращения колеса, вторая же сила, действующая перпендикулярно к радиусу OL, имеет такое же значение, как если бы она действовала перпендикулярно радиусу OL, равному OD, т. е. такое же, как вес груза Р, если его взять таким, чтобы он относился к весу А, как длина DC к DA.

Но, по подобию треугольников DAC и KOD и равенству OD и OL, будет DC: DA = OK: OL, следовательно, когда веса А и P обратно пропорциональны плечам OK и OL, составляющим продолжения одно другого, то их действия равносильны, и они будут находиться в равновесии; это и есть известное свойство весов, рычага и ворота. Когда который-нибудь из двух грузов будет больше, нежели в этом отношении, то и усилие к вращению колеса будет соответственно больше.

Пусть груз р, коего вес равен весу груза Р, отчасти подвешен на нити Np, частью же поддерживается наклонною плоскостью G.

Если провести прямые рН и NH соответственно перпендикулярно горизонтальной плоскости и плоскости G, то представив через рН направленную вниз силу, равную весу груза p, можно ее разложить на силы pN и HN.

Если плоскость Q, пересекающая данную плоскость G по горизонтальной прямой, будет взята перпендикулярно направлению нити pN и груз p поддерживался бы лишь этими двумя плоскостями, то он давил бы на эти плоскости с силами pN и HN, соответственно перпендикулярными этим плоскостям, т. е. на плоскость Q силою pN и на плоскость G силою HN. Поэтому, если убрать плоскость Q, чтобы груз натягивал нить, то так как нить, поддерживая груз, теперь заменяет убранную прочь плоскость Q, то она будет натянута с тою самою силою pN, которая раньше давила на плоскость. Следовательно, натяжение этой наклонной нити будет так относиться к натяжению отвесной нити NP, как длина pN к рН. Поэтому, если отношение веса груза p к весу груза А будет равно отношению, составленному из отношения длин рН к pN и обратного отношения кратчайших расстояний от центра колеса до нитей подвеса pN и AM этих грузов, то их действия на колесо будут одинаковы, и они будут взаимно уравновешиваться, что всякий может испытать.

Груз р, надавливающий на вышеуказанные две наклонные плоскости, находится в условиях, подобных тем, как клин, коего грани и были бы эти плоскости; следовательно, можно определить соотношение между силами клина и молота, а именно, давление на грань Q так относится к силе, действующей на клин по направлению прямой рН от веса ли его или от удара молота, как pN относится к рН, к давлению же на вторую грань G – как pN к NН.

Наконец, и сила винта найдется подобным же разложением, ибо он не что иное, как клин, вгоняемый рычагом.

Рисунок Ньютона, изображающий схему первого отражающего телескопа, который он создал в 1668 году.

Применение этого следствия весьма широкое, и благодаря этому широкому применению постоянно обнаруживается справедливость его, ибо от вышесказанного зависит все учение о машинах, разными авторами излагаемое различным образом. Пользуясь этим же следствием, легко выводятся соотношения между усилиями в машинах, составленных из колес, барабанов, воротов, рычагов, блоков, натянутых канатов и других механизмов, и весами грузов, поднимаемых или прямо, или наклонно, а также силы связок, приводящих в движение кости животных.

Следствие III

Количество движения, получаемое из суммы количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою.

Так как по закону III действие и противодействие между собою равны и противоположны, то по закону II они производят равные изменения количеств движения, направленные в противоположные стороны. Таким образом, если движения двух тел направлены в одну сторону, то что приложится к количеству движения тела, идущего впереди, то вычтется из количества движения тела, за ним следующего, и сумма количеств движения обоих тел останется прежняя. Если же тела движутся в противоположные стороны, то вычтется поровну из количеств движения каждого из них, и следовательно, разность количеств движения, направленных в обратные стороны, останется без перемены.

Пусть масса шара А втрое больше массы шара В и скорость его заключает две части таких, коих скорость последующего за ним шара В заключает десять, и движение шаров происходит по той же самой прямой. Количества движения А и В будут относиться, как 6 к 10; положим, что эти количества соответственно равны 6 и 10 частям, так что сумма их равна 16. При встрече тел, если тело А приобретет количество движения, равное 3, 4 или 5 частям, то тело В утратит столько же частей, и следовательно, после отражения тело А пойдет, имея количество движения, равное 9, 10 или 11 частям, тело же В будет иметь или 7, или 6, или 5 частей, так что сумма все время остается равной 16, как и раньше. Если бы тело А приобрело 9, 10, 11 или 12 частей и, следовательно, после встречи шло бы, имея количество движения, равное 15, 16, 17 или 18, то тело В, потеряв столько же, сколько приобретено телом А, или идет вперед с 1 частью после потери 9, или находится в покое при потере 10 частей, или же идет назад, потеряв не только все свое количество движения, но еще (как сказано выше) и одну часть вдобавок, или же при потере 12 частей идет назад с количеством движения, равным 2. Таким образом суммы количеств движения, направленных в ту же сторону, как (15 +1) или (16 + + 0), и разности направленных в противоположные, как (17 – 1) или (18 – 2), составляют постоянно 16, как то было до встречи и отражения. Найдя количества движения, которыми обладают тела после отражения, определим и скорости каждого из них, ибо каждая из этих скоростей так относится к скорости, бывшей до удара, как количества движения соответствующего тела после и до удара. Так, например, для последнего случая тела А, коего количество движения до удара было равно 6 и скорость 2, после же отражения количество движения стало 18, скорость будет 6, как это следует из пропорции 18:6 = 6:2.

Когда тела не сферические или же, двигаясь по разным прямым, соударяются косвенно и требуется найти количества движения их после отражения, то необходимо сперва найти положение плоскости, касающейся обоих тел в точке их встречи, затем количество движения каждого тела разложить на два (по след. II), одно перпендикулярно сказанной плоскости, другое ей параллельно. Количества движения, параллельные плоскости, сохранятся без изменения, ибо взаимодействие тел происходит по прямой, перпендикулярной этой плоскости. Количества же движения перпендикулярные получают равные и противоположные изменения, так что сумма этих количеств движения, когда они направлены в одну сторону, и разность, когда они направлены в стороны обратные, остается тою же самою, какая была до удара. От отражений подобного рода могут происходить и вращательные движения тел около их собственных центров, но таких случаев я в дальнейшем не рассматриваю, и было бы весьма долго излагать все сюда относящееся.

Следствие IV

Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно.

В самом деле, если две точки перемещаются равномерно по прямым линиям и расстояние между ними разделяется в заданном отношении, то и точка раздела или находится в покое, или движется равномерно по прямой. Это будет доказано в лемме XXIII и ее следствии для того случая, когда движение обеих точек происходит в одной плоскости; таким же рассуждением это могло бы быть доказано и для того случая, когда движения совершаются не в одной плоскости. Следовательно, если какие-либо тела движутся равномерно и прямолинейно, то центр тяжести любой пары их или покоится, или движется равномерно по прямой, и кроме того, прямая, соединяющая сказанные прямолинейно перемещающиеся центры тяжести тел, разделяется общим их центром тяжести в постоянном отношении.

Подобным же образом общий центр тяжести этих двух тел и третьего или покоится, или движется равномерно по прямой, ибо и им расстояние между общим центром тяжести пары тел и центром тяжести третьего разделяется в постоянном отношении. Точно так же общий центр тяжести этих трех тел и какого-либо четвертого или покоится, или движется равномерно по прямой, ибо и им расстояние между центром тяжести системы трех тел и центром тяжести четвертого разделяется в постоянном отношении и так далее до бесконечности.

Следовательно, в системе тел, между которыми нет никаких взаимодействий и которые не подвержены никаким внешним силам, так что каждое из этих тел в отдельности движется равномерно по своему прямолинейному пути, общий центр тяжести или покоится, или движется равномерно и прямолинейно.

Далее, так как в системе двух тел, действующих друг на друга, расстояние центра тяжести каждого из них до общего центра тяжести системы обратно пропорционально массам тел, то относительные количества движения, с которыми оба тела или приближаются к этому центру, или от него удаляются, между собою равны. Вследствие этого сказанный центр тяжести системы не претерпит от происходящих в противоположных направлениях равных изменений количеств движения, вызываемых действием тел друг на друга, ни ускорения, ни замедления в своем движении и не изменит своего состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения.

Вселенная по Ньютону. Главные принципы определяются по гравитационным силам, воздействующим на тела различ-ной массы. Принципы устройства модели Солнечной системы применимы к другим планетным системам и даже галактикам.

В системе многих тел центр тяжести любой пары их, действующих друг на друга, не претерпевает от этого взаимодействия никакого изменения своего состояния; общий центр тяжести остальных тел, которых это взаимодействие не касается, тем более не изменит своего состояния. Расстояние центра тяжести этих двух тел до общего центра тяжести всех остальных разделяется центром тяжести всей системы на части, обратно пропорциональные суммам масс взятой пары тел и всех прочих, т. е. в постоянном отношении. Отсюда следует, что так как центр тяжести двух взятых тел сохраняет свое состояние, то и общий центр тяжести всей системы его сохраняет, и следовательно, от действия двух тел друг на друга он не изменяет своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения. Но в системе многих тел все действия между телами состоят или из взаимодействий одного тела на другое, или же они составляются из таких взаимодействий между двумя телами, и следовательно, они не влияют на изменение состояния покоя или движения центра тяжести этой системы.

Так как центр тяжести системы, когда взаимодействий между телами нет, или покоится, или движется равномерно и прямолинейно, то на основании сказанного выше, несмотря на взаимодействие тел, он будет продолжать все время или покоиться, или двигаться равномерно и прямолинейно, если только он не будет выведен из этого состояния силами, действующими извне.

Следовательно, по отношению к центру тяжести системы нескольких тел имеет место тот же самый закон сохранения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения, как и для одного тела. Таким образом поступательное количество движения отдельного ли тела, или системы тел надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их.

Следствие V

Относительные движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо пространстве, одинаковы, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения.

Так как разности движений, направленных в ту же сторону, и суммы направленных в стороны противоположные одинаковы в обоих случаях (как это следует из условий), все же усилия, с которыми тела действуют друг на друга при столкновениях, зависят лишь от этих разностей или сумм, то по закону II последствия столкновений будут равные в обоих случаях, и следовательно, относительные движения останутся в обоих случаях одинаковыми. Это подтверждается обильно опытами. Все движения на корабле совершаются одинаково, находится ли он в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Следствие VI

Если несколько тел, движущихся как бы то ни было друг относительно друга, будут подвержены действию равных ускоряющих сил, направленных по параллельным между собою прямым, то эти тела будут продолжать двигаться друг относительно друга так же, как если бы сказанные силы на них не действовали.

Так как эти силы, действуя на все тела одинаково (соответственно массам движущихся тел) и по направлениям параллельным, будут сообщать всем телам одинаковые скорости (по закону II), то они ни в чем не изменят ни положений, ни движений тел друг относительно друга.

ПОУЧЕНИЕ

До сих пор я излагал начала, принятые математиками и подтверждаемые многочисленными опытами. Пользуясь первыми двумя законами и первыми двумя следствиями, Галилей нашел, что падение тел пропорционально квадрату времени и что движение брошенных тел происходит по параболе; это подтверждается опытом, поскольку такое движение не претерпевает замедления от сопротивления воздуха. При падении тела сила тяжести в отдельные равные между собою весьма малые промежутки времени, действуя одинаково, сообщает этому телу равные количества движения и производит равные скорости, следовательно, за все время движения она сообщает телу полные количества движения и скорости, пропорциональные времени. Пространства, проходимые в пропорциональные времена, будут относиться, как произведения скорости и времени, т. е. как квадраты времени. Телу, подброшенному вверх (вертикально), тяжесть сообщает равномерно количества движения, пропорциональные времени, и уменьшает скорость также пропорционально времени, так что времена подъема до наибольшей высоты пропорциональны той скорости, которая подлежит уничтожению, самые же эти высоты пропорциональны скорости и времени, т. е. пропорциональны квадрату скорости.

Движение тела, брошенного по какой-нибудь прямой (наклонной к горизонту), слагается из движения по этой прямой, происходящего от начального толчка, и из движения, происходящего от силы тяжести. Так, если бы тело А в своем движении только от толчка описало бы в данное время прямолинейный путь АВ, под влиянием же только силы тяжести, падая вниз, – путь АС, то дополнив параллелограмм ABCD, получим в точке D место тела в конце рассматриваемого времени. Кривая AED, описанная телом, есть касающаяся прямой АВ в точке А парабола, ордината коей BD пропорциональна АВ.

От тех же законов и следствий зависят известные свойства времен качаний маятников, которые подтверждаются ежедневным опытом с часами.

Из этих же двух законов и из третьего сэр Кристофер Рен, Джон Валлис, доктор священной теологии, и Христиан Гюйгенс, величайшие геометры нашего времени, вывели законы удара и отражения тел и почти одновременно сообщили их Королевскому обществу, причем их выводы, во всем касающемся этих законов, между собою согласны. По времени обнародования найденного Валлис был первым, затем следовал Рен, затем – Гюйгенс. Справедливость этих законов была подтверждена Вреном перед Королевским обществом опытами с маятниками. Эти опыты были затем признаны знаменитым Мариоттом достойными быть изложенными в его книге, целиком посвященной этому предмету. Однако, чтобы результаты таких опытов в точности совпадали с теорией, необходимо принять во внимание как сопротивление воздуха, так и степень упругости соударяющихся тел.

Пусть шары А и В подвешены на равных и параллельных нитях AC, BD из точек С и D. Опишем из этих точек, как из центров, радиусами ВD и АС полуокружности EAF и GBH. Отклонив тело А до точки R дуги EAF и убрав тело B, пускаем А качаться и замечаем ту точку V, до которой оно дойдет после одного полного размаха; тогда RV представляет уменьшение величины размаха от сопротивления воздуха. Пусть ST есть четвертая часть RV, так расположенная по средине этой дуги, чтобы RS и TV были между собою равны, т. е. чтобы было RS = TV = 3/2 ST, тогда ST представит весьма близко влияние сопротивления воздуха при размахе от S до А. Поместим тело В на его место; если тело А пустить из точки S, то можно без чувствительной погрешности принять, что его скорость при ударе в низшем его положении будет такая же, как если бы оно свободно падало в пустоте из точки T. Эту скорость можно представить хордой ТА, ибо известно, что скорость маятника в низшей точке его дуги пропорциональна хорде дуги его падения. Пусть после отражения тело А достигает до точки S и тело В – до точки k. Убрав тело В, определяем положение такой точки v, из которой если пустить тело А, то после полного размаха оно приходит в r; если тогда взять st = 1/4 и поместить точки s и t так, чтобы было rs = tv, то хорда tA представит ту скорость, которую имеет тело А после отражения, ибо t будет то истинное и исправленное место, до которого могло бы дойти тело А при отсутствии сопротивления воздуха.

Даже с помощью Ньютоновой теории гравитации мы можем понять, что происходит, когда звезда схлопывается под воз-действием собственного гравитационного поля.

В стандартной ситуации сила, которую создает термоядерное горение, и гравитационные силы в звезде уравновешены. С поверхности звезды излучается свет.

Когда силы, создаваемой термоядерным горением, уже недостаточно, гравитация звезды начинает сильнее воздействовать на испускаемый свет.

В конце концов гравитационное поле схлопнувшейся звезды становит-ся таким мощным, что свет уже не может вырваться из него, и возникает так называемая черная дыра.

Все это следует из первоначальных теорий Ньютона, хотя в полной мере было описано лишь спустя много лет после его смерти.

Подобным же образом исправляется и место k и находится та точка l, до которой дошло бы тело В в пустоте. Производя все испытания таким способом, мы как бы производим их в пустоте. Умножив затем массу тела А (если можно так выразиться) на хорду ТА, представляющую его скорость, получим его количество движения в точке А перед самым моментом удара. Затем, умножив на tA, получим его количество движения после отражения. Точно так же надо массу тела В умножить на хорду Вt, чтобы получить его количество движения после отражения. Подобным образом находятся количества движения каждого из двух тел как перед ударом, так и после отражения, и в том случае, когда они одновременно пускаются из разных мест, после чего и можно сравнивать количества движения между собою и выводить последствия удара и отражения.

Телескоп и компас. Германия, XVIII век.

Производя таким образом испытания над маятниками длиною 10 футов и над массами равными и неравными и пуская тела так, чтобы они встречались, пройдя большие промежутки, например 8, 12, 16 футов, я получал с ошибкою, меньшею 3 дюймов, в измерениях, что при прямом ударе между телами изменения их количеств движения были равны и направлены в стороны противоположные, откуда следует, что действие и противодействие между собою равны. Так, например, если тело А ударяло по покоящемуся телу В с количеством движения, равным девяти частям, и, потеряв семь, продолжало движение с двумя, то тело В отскакивало также с количеством движения, равным семи. Когда тела шли друг другу навстречу, например А с количеством движения, равным двенадцати, и В с количеством движения, равным шести, и если после удара А шло в обратную сторону с количеством движения, равным двум, то В шло в обратную сторону с количеством движения, равным восьми, т. е. оба тела, как показывает вычитание, изменяли свое количество движения на четырнадцать частей. В самом деле, если из количества движения А вычесть двенадцать, то останется нуль, по вычете же еще двух получится количество движения, равное двум, направленное в обратную сторону, также по вычете четырнадцати из количества движения тела В, равного шести, остается количество движения, равное восьми, направленное в обратную сторону.

То же самое происходит и при движении тел в одну сторону: пусть, например, тело А идет более быстро и с количеством движения четырнадцать, В – медленнее и с количеством движения, равным пяти; если после удара А продолжает идти с количеством движения пять, то В пойдет с четырнадцатью, получив девять частей от А.

Подобное соотношение имеет место и в остальных случаях: полное количество движения, рассчитываемое взяв сумму количеств движения, когда они направлены в одну сторону, и разность, когда они направлены в стороны противоположные, никогда не изменяется от удара при встрече тел.

Ошибки в один или два дюйма при измерениях следует приписать трудности произвести их достаточно точно. Была также трудность и в том, чтобы пустить оба тела так, чтобы они одновременно приходили в низшее свое положение, а также чтобы заметить места s и k, до которых тела поднимались после встречи. Неравномерное распределение плотности и неравномерность строения тел, происходящие от случайных причин, приводят также к погрешностям.

Чтобы опровергнуть возражение против высказанного выше правила, для доказательства которого эти опыты и производились, будто бы оно предполагает, что тела или абсолютно тверды, или вполне упруги, т. е. такие, каких в природе не встречается, добавлю, что описанные опыты удаются как с телами мягкими, так и с жесткими и совершенно не зависят от степени твердости их. Если это правило прилагать к телам не вполне твердым, то необходимо лишь уменьшать скорость отражения сообразно степени упругости тел.

По теории Врена и Гюйгенса, тела абсолютно твердые отскакивают одно от другого со скоростью, равною скорости встречи. Точнее, это следовало бы сказать о телах вполне упругих. В телах не вполне упругих скорость расхождения должна быть уменьшаема соответственно степени упругости. Эта степень упругости (если только тела при ударе не повреждаются или не претерпевают удлинений как бы от ударов молотом) вполне определенная и (как мне кажется) производит то, что тела расходятся с такою относительною скоростью, которая составляет постоянную долю относительной скорости их встречи. Так, я производил следующие опыты над мячами, плотно смотанными из шерсти и сильно затем обжатыми. Прежде всего, пустив маятники и определив отражение, я определял степень упругости, затем по найденной степени упругости я рассчитывал отражение для других случаев ударов, и оно согласовалось с опытом: мячи всегда отскакивали друг от друга с относительною скоростью, составлявшей от скорости их встречи 5/9 или около того. Почти с такою же скоростью отскакивали стальные шары, пробковые – с несколько меньшей, для стеклянных это отношение было близко к 15/16. Таким образом третий закон по отношению к удару и отражению подтверждается теорией, вполне согласующейся с опытом.

Относительно притяжения дело может быть изложено вкратце следующим образом: между двумя взаимно притягивающимися телами надо вообразить помещенным какое-либо препятствие, мешающее их сближению. Если бы одно из тел А притягивалось бы телом В сильнее, нежели тело В притягивается телом А, то препятствие испытывало бы со стороны тела А большее давление, нежели со стороны тела В, и следовательно, не осталось бы в равновесии. Преобладающее давление вызвало бы движение системы, состоящей из этих двух тел и препятствия, в сторону тела В, и в свободном пространстве эта система, двигаясь ускоренно, ушла бы в бесконечность. Такое заключение нелепо и противоречит первому закону, по которому система должна бы оставаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения. Отсюда следует, что оба тела давят на препятствие с равными силами, а значит, и притягиваются взаимно с таковыми же.

Модель Солнечной системы в стиле ньютоновских времен, однако с добавлением пояса астероидов, который был открыт позднее.

Я производил подобный опыт с магнитом и железом: если их поместить каждый в отдельный сосуд и пустить плавать на спокойной воде так, чтобы сосуды взаимно касались, то ни тот, ни другой не приходят в движение, но вследствие равенства взаимного притяжения сосуды испытывают равные давления и остаются в равновесии.

Подобным образом и притяжение между Землею и отдельными ее частями взаимно. Вообразим, что Земля рассечена какою-либо плоскостью EG на две части EGF и EGJ – притяжения их друг другом будут равны. В самом деле, если отсечь другою плоскостью НК, параллельной EG, от части EGJ часть HKJ, равную EFG, то ясно, что средняя часть EGKH не будет испытывать ни от одной из крайних большего притяжения, нежели от другой, и будет находиться между ними как бы подвешенной, оставаясь в равновесии и покое. Но вся крайняя часть HKJ всем своим весом давит на среднюю EGHK и побуждает ее двигаться в сторону другой крайней EFG, следовательно, сила, с которою сумма частей EGHK и HKJ, т. е. EGJ, стремится к EFG, равна весу (притяжению) части HKJ, т. е. весу части EFG, следовательно, притяжения друг к другу, т. е. веса частей GEF и GEJ друг на друге, между собою равны, что я и имел в виду показать. Если бы эти веса не были между собою равны, то вся Земля, плавающая в свободном эфире, уступила бы большему весу и под его действием ушла бы в бесконечность.

Подобно тому как при ударе и отражении тела, коих скорости обратно пропорциональны массам, равнозначащи, так и при движении механических приборов действующие силы, коих скорости, взятые по направлению самих сил (проекции скорости точки приложения каждой силы на направление этой силы), обратно пропорциональны этим силам, равнозначащи между собою и при стремлении в противоположные стороны взаимно уравновешиваются. Таким образом в стремлении привести в движение коромысло весов равнозначащи грузы, обратно пропорциональные тем направленным прямо вверх или вниз скоростям, кои они получают при качаниях коромысла, т. е. грузы, поднимающиеся или опускающиеся вертикально, равнозначащи, если они обратно пропорциональны расстояниям их точек подвеса от ребра опоры коромысла. Если же эти грузы поднимаются или опускаются по наклонным плоскостям или по иным препятствиям, то они равнозначащи, когда они обратно пропорциональны проекциям подъема или опускания на отвесное направление, т. е. на направление силы тяжести.

Подобно этому в блоке или полиспасте усилие руки, тянущей снасть прямо, удержит прямо или наклонно поднимаемый груз в равновесии, если это усилие будет так относиться к весу груза, как скорость отвесного подъема груза относится к скорости руки, тянущей снасть. В часах и подобных им механизмах, состоящих из сцепленных между собою колес, две силы, взаимно противящиеся, т. е. такие, из коих одна способствует, другая же сопротивляется движению, находятся в равновесии, если эти силы обратно пропорциональны скоростям тех частей колес, к коим они приложены. Сила винта, сжимающего тело, так относится к усилию руки, вращающей рукоятку, как окружная скорость той точки рукоятки, где усилие руки приложено, относится к скорости поступания винта против сжимаемого тела. Силы, с коими клин раздвигает две части раскалываемого дерева, так относятся к силе молота, бьющего по клину, как скорость перемещения клина в направлении действующей от бьющего его молота силы относится к скоростям, с которыми части дерева уступают клину, причем эти скорости надо брать по направлениям, перпендикулярным к щекам клина. Совершенно подобно соотношение между силами и во всякого рода машинах. Действительность и назначение машин в том только и состоит, чтобы, уменьшая скорость, увеличивать силу, и наоборот, ибо во всех подобного рода приборах, в сущности, решается такая задача: заданный груз двигать заданною силою или же заданное сопротивление преодолеть заданным усилием.

В самом деле, если машина будет устроена таким образом, чтобы скорости точек приложения движущей силы и сопротивления были обратно пропорциональны этим силам, то движущая сила уравновесит сопротивление, при бóльшем же отношении скоростей преодолеет его. Если отступление от пропорциональности скоростям будет таково, что будут преодолеваться сопротивления, происходящие от трения соприкасающихся и скользящих друг по другу тел, от сцепления тел непрерывных и разъединяемых и от подъема грузов, то, за выключением всех этих сопротивлений, избыточная сила произведет ускорение, пропорциональное ее величине как в частях машины, так и в сопротивляющемся теле.

Межпланетная траектория космического аппарата «Кассини». Чтобы при запуске космических аппаратов рассчитать их траектории, орбиты и гравитационные маневры, иначе называемые «эффектом рогатки», нужна очень сложная математика. Однако эти расчеты целиком и полностью опираются на теоретические модели Нью-тона, которым уже больше трехсот лет. Сложные расчеты орбит и успешный спуск космического зонда на Титан – яркое свидетельство масштабности научных достижений Ньютона.

Дальнейшее изложение учения о машинах сюда не относится, я хотел лишь показать, сколь далеко простирается и сколь благонадежен третий закон движения. Если действие движущей силы оценивать пропорционально произведению этой силы и скорости и, подобно этому, противодействие сопротивлений оценивать для каждой части в отдельности пропорционально произведению ее скорости и встречаемого ею сопротивления, происходящего от трения, сцепления, веса и ускорения, то во всякой машине действие и противодействие будут постоянно равны, и поскольку действие передается машиною и в конце концов прилагается к сопротивляющемуся телу, то это последнее его значение будет обратно значению противодействия.

Книга третья

Правила умозаключений в физике Правило I

Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснения явлений.

По этому поводу философы утверждают, что природа ничего не делает напрасно, а было бы напрасным совершать многим то, что может быть сделано меньшим. Природа проста и не роскошествует излишними причинами вещей.

Правило II

Поэтому, поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы.

Так, например, дыханию людей и животных, падению камней в Европе и в Африке, свету кухонного очага и Солнца, отражению света на Земле и на планетах.

Правило III

Такие свойства тел, которые не могут быть ни усиляемы, ни ослабляемы и которые оказываются присущими всем телам, над которыми возможно производить испытания, должны быть почитаемы за свойства всех тел вообще.

Свойства тел постигаются не иначе, как испытаниями; следовательно, за общие свойства надо принимать те, которые постоянно при опытах обнаруживаются и которые, как не подлежащие уменьшению, устранены быть не могут. Понятно, что в противность ряду опытов не следует измышлять на авось каких-либо бредней, не следует также уклоняться от сходственности в природе, ибо природа всегда и проста и всегда сама с собой согласна.

Протяженность тел распознается не иначе, как нашими чувствами, тела же не все чувствам доступны, но так как это свойство присуще всем телам, доступным чувствам, то оно и приписывается всем телам вообще. Опыт показывает, что многие тела тверды. Но твердость целого происходит от твердости частей его, поэтому мы по справедливости заключаем, что не только у тех тел, которые нашим чувствам представляются твердыми, но и у всех других неделимые частицы тверды. О том, что все тела непроницаемы, мы заключаем не по отвлеченному рассуждению, а по свидетельству чувств. Все тела, с которыми мы имеем дело, оказываются непроницаемыми, отсюда мы заключаем, что непроницаемость есть общее свойство всех тел вообще. О том, что все тела подвижны и, вследствие некоторых сил (которые мы называем силами инерции), продолжают сохранять свое движение или покой, мы заключаем по этим свойствам тех тел, которые мы видим. Протяженность, твердость, непроницаемость, подвижность и инертность целого происходят от протяженности, твердости, непроницаемости, подвижности и инерции частей, отсюда мы заключаем, что все малейшие частицы всех тел протяженны, тверды, непроницаемы, подвижны и обладают инерцией. Таково основание всей физики. Далее мы знаем по совершающимся явлениям, что делимые, но смежные части тел могут быть разлучены друг от друга, из математики же следует, что в нераздельных частицах могут быть мысленно различаемы еще меньшие части. Однако неизвестно, могут ли эти различные частицы, до сих пор не разделенные, быть разделены и разлучены друг от друга силами природы. Но если бы, хотя бы единственным опытом, было установлено, что некоторая неделимая частица при разломе твердого и крепкого тела подвергается делению, то в силу этого правила мы бы заключили, что не только делимые части разлучаемы, но что и неделимые могут быть делимы до бесконечности и действительно разлучены друг от друга.

Наконец, как опытами, так и астрономическими наблюдениями устанавливается, что все тела по соседству с Землею тяготеют к Земле, и притом пропорционально количеству материи каждого из них; так, Луна тяготеет к Земле пропорционально своей массе, и взаимно наши моря тяготеют к Луне, все планеты тяготеют друг к другу; подобно этому и тяготение комет к Солнцу. На основании этого правила надо утверждать, что все тела тяготеют друг к другу. Всеобщее тяготение подтверждается явлениями даже сильнее, нежели непроницаемость тел, для которой по отношению к телам небесным мы не имеем никакого опыта и никакого наблюдения. Однако я отнюдь не утверждаю, что тяготение существенно для тел. Под врожденною силою я разумею единственно только силу инерции. Она неизменна. Тяжесть при удалении от Земли уменьшается.

Правило IV

В опытной физике предложения, выведенные из совершающихся явлений с помощью наведения, несмотря на возможность противных им предположений, должны быть почитаемы за верные или в точности, или приближенно, пока не обнаружатся такие явления, которыми они еще более уточнятся или же окажутся подверженными исключениям.

Так должно поступать, чтобы доводы наведения не уничтожались предположениями.

О движении узлов луны

Предложение I

Среднее движение Солнца от узла определяется геометрическим средним, пропорциональным между средним движением самого Солнца и тем его средним движением, с которым Солнце быстрее всею отходит от узла в квадратурах.

Пусть T есть место Земли, Nn – линия узлов Луны в какое-либо данное время, КТМ – перпендикуляр к ней, ТА–прямая, вращающаяся вокруг центра с такою угловою скоростью, с какою Солнце и узел расходятся друг от друга, так что угол между неподвижною прямою Nη и вращающеюся ТА всегда равен расстоянию между местом Солнца и узла. Если какую-либо прямую ТК подразделить на части TS и SK, относящиеся одна к другой, как среднее часовое движение Солнца к среднему часовому движению узла в квадратурах, и взять прямую ТН так, чтобы было

ТS: ТН = ТН: ТК,

то эта прямая будет пропорциональна среднему движению Солнца от узла.

Опишем круг NKnM центром T и радиусом ТК, и на осях ТН и TN при том же центре опишем эллипс NHnL; тогда, если провести прямую Тbа, площадь сектора NТa представит сумму движений узла и Солнца за то время, в продолжение которого Солнце отходит от узла на дугу Na. Пусть аА есть весьма малая дуга, описываемая в продолжение заданного весьма малого промежутка времени прямою Тbа при ее равномерном вращении по вышеуказанному закону, тогда площадь сектора ТАа будет пропорциональна сумме скоростей, с которыми переносятся Солнце и узел. Скорость Солнца почти равномерна, так что ее малые неравенства едва ли могут произвести какое-либо изменение в среднем движении узлов. Вторая же часть этой суммы, именно скорость узла по среднему своему значению, увеличивается при удалении от сизигий пропорционально квадрату синуса расстояния узла от Солнца (по след. предл. XXXI), и так как эта средняя скорость наибольшая в квадратурах К, то она находится в том же отношении к скорости Солнца, как SK к ST, или как (ТК^2 – ТН^2): ТН^2, или как КН × МН: ТН^3. Эллипс NBH подразделяет площадь сектора АТа, представляющую сумму этих двух скоростей, на две части АВbа и ТВb, пропорциональные самим скоростям.

В самом деле, продолжим ВТ до пересечения с кругом в точке β и опустим из точки В перпендикуляр BG на большую ось и продолжаем его в обе стороны до пересечения с кругом в точках F и f. Площадь АВbа относится к площади сектора ТВb, как АВ × Вβ к ВТ^2 (ибо произведение АВ × Вβ = ТА^2 – ТВ^2, так как точка T есть середина прямой Аβ); это отношение там, где площадь АВbа – наибольшая, т. е. в К, будет равна отношению КН × × НM: НТ^2.

Но и наибольшая средняя скорость узла находилась в таком же отношении к скорости Солнца, значит, в квадратурах сектор АТа разделяется на части, пропорциональные скоростям. Но так как

KH × HM: HT^2 = FB × Bf: BG^2

и

AB × Bβ = FB × Bf,

то отношение площадки АВbа там, где она наибольшая, к остающейся площади сектора ТВb равно AB × Bβ:BG^2. Но отношение этих площадок, как указано выше, равно AB × Bβ: ВТ^2, поэтому площадка АВbа в месте А относится к ее величине в квадратурах, как BG^2: ВТ^2, т. е. она пропорциональна квадрату синуса расстояния Солнца от узла. Поэтому сумма всех площадок АВbа, т. е. площадь ABN, будет пропорциональна движению узла в то время, в которое Солнце отошло от узла на дугу NA. Остающаяся площадь, т. е. площадь эллиптического сектора NTB, будет пропорциональна среднему движению Солнца за то же время. Так как среднее годовое движение узла есть то его среднее движение, которое происходит за время полного оборота Солнца, то среднее движение узла от Солнца относится к среднему движению самого Солнца, как площадь круга к площади эллипса, т. е. как ТК: ТН, т. е. к средней пропорциональной между ТК и TS, или, что то же, как ТН: TS.

Предложение XXXVI. Задача XVII Найти силу Солнца, движущую море

Сила Солнца ML, возмущающая движение Луны, когда Луна в квадратурах (по предл. XXV), относится к силе тяжести на Земле, как 1 к 638 092,6. Сила же ТМ – LM –2РК вдвое больше, когда Луна в сизигиях.

Эти силы, если опуститься к поверхности Земли, уменьшаются в таком же отношении, как и расстояние до центра, т. е. в отношении 60 ½ к 1, так что первая сила на поверхности Земли относится к силе тяжести, как 1 к 38 604 600. Этою силою море понижается в местах, отстоящих на 90° от Солнца. Второю силою, которая вдвое больше, море поднимается под Солнцем и в области ему противоположной. Сумма этих двух сил относится к силе тяжести, как 1 к 12 868 200. Так как каждая из этих сил производит то же самое движение, понижает ли она воду в областях, отстоящих на 90° от Солнца, или же ее повышает в областях под Солнцем и в областях, ему противоположных, то эта сумма и представит полную силу, возмущающую море. Производимое ею действие будет то же самое, как если бы эта сила целиком прилагалась лишь в областях под Солнцем и в областях, ему противоположных, повышая море, в областях же, отстоящих на 90°, не действовала бы совсем.

Такова сила Солнца, возмущающая море в таком месте, где Солнце находится в зените, и в среднем своем расстоянии от Земли. При других положениях Солнца сила, заставляющая море подниматься, прямо пропорциональна синусу верзусу удвоенной высоты Солнца над горизонтом места и обратно пропорциональна кубу расстояния Солнца до Земли.

Одно из величайших открытий Ньютона лежит в области оптики. Ньютон обнаружил, что если пропустить солнечный свет сквозь при-зму, он разлагается на составляющие его цвета (спектр) – на цвета радуги.

Следствие. Так как центробежная сила частиц Земли, происходящая от суточного вращения Земли, составляющая 1/289 силы тяжести, производит то, что высота воды под экватором превосходит ее высоту при полюсах на 85 472 парижских фута, как показано в предложении XIX, то сила Солнца, о которой идет речь, относящаяся к силе тяжести, как 1 к 12 868 200, т. е. к сказанной центробежной силе, как 1 к 44 527, произведет, что высота воды в областях под Солнцем и в областях противоположных будет превосходить высоту ее в областях, от них отстоящих на 90°, на 1 фут и 11⅓ дюйма парижского, ибо эта величина относится к 85 472, как 1 к 44 527.

Предложение XXXVIII. Задача XIX Найти фигуру Луны

Если бы Луна была телом жидким, наподобие нашего моря, то сила Земли, заставляющая подниматься ближайшие и отдаленнейшие его части, находилась бы к силе Луны, поднимающей наши моря в местах под Луною и противоположных ей, в отношении, равном произведению отношений ускорительной силы тяготения Луны к Земле к ускорительной силе тяготения Земли к Луне и отношения диаметра Луны к диаметру Земли, т. е. как

39,788/1 × 100/365 = 10,81.

А так как наше море повышается силою Луны на 8,6 фута, то жидкость Луны должна бы под действием силы Земли подниматься на 93 фута. Вследствие этой причины фигура Луны стала бы представлять сфероид, которого больший диаметр по продолжении проходил бы через центр Земли и превышал бы перпендикулярные диаметры на 186 футов.

Итак, Луна принимает такую форму и должна бы ею обладать с самого начала.

Quod erat demonstrandum, что и требовалось доказать.

Следствие. Вследствие этого происходит, что с Земли наблюдается всегда одна и та же сторона Луны; в другом положении тело Луны не могло бы и находиться в покое, а постоянно возвращалось бы к этому положению, совершая колебания. Но эти колебания, вследствие малости действующих сил, происходили бы весьма медленно, так что та сторона, которая должна бы быть постоянно обращена к Земле, могла бы быть обращена и к другому фокусу лунной орбиты (по причине, указанной в предл. XVII) без того, чтобы немедленно быть оттянутой и повернутой к Земле.

Конец математических начал

Космический аппарат «Кассини» спускает на парашютах зонд на Титан, один из спутников Сатурна.

Альберт Эйнштейн (1879–1955)

Жизнь и деятельность

Гения не всегда видно сразу. Альберту Эйнштейну предстояло стать величайшим физиком-теоретиком всех времен, но когда он учился в школе в Германии, директор сказал его отцу: «Он нигде не добьется особых успехов». Когда Эйнштейну было за двадцать, он не мог найти приличную преподавательскую работу, хотя и окончил Высшую техническую школу в Цюрихе и получил диплом преподавателя физики и математики. Поэтому Эйнштейн оставил надежду работать в университете и решил искать временную работу в Берне. Отец одного соученика помог ему занять должность эксперта в Швейцарском патентном бюро. Эйнштейн работал по шесть дней в неделю и получал небольшое жалованье. На него он жил, пока готовился получить докторскую степень в Цюрихском университете.

В 1903 году Эйнштейн женился на своей возлюбленной Милеве Марич, сербке по происхождению, и молодые поселились в крошечной квартирке в Берне. Через два года Милева родила сына, которого назвали Ганс Альберт. Период ожидания ребенка и первые месяцы после его рождения были, вероятно, самой счастливой порой в жизни Эйнштейна. Впоследствии соседи вспоминали, как молодой отец гулял с коляской по городским улицам. Время от времени Эйнштейн доставал из коляски блокнот и что-то там записывал. Похоже, в блокнот из детской коляски попадали формулы и уравнения, которые впоследствии вошли в теорию относительности и привели к созданию атомной бомбы.

В годы работы в патентном бюро Эйнштейн почти все свободное время посвящал изучению теоретической физики. Он написал цикл из четырех фундаментальных научных статей, где изложил едва ли не важнейшие идеи за всю долгую историю попыток понять Вселенную. Взгляды на пространство и время уже никогда не будут прежними. Эти труды принесли Эйнштейну Нобелевскую премию по физике и широчайшую известность.

Размышляя над устройством Вселенной, Эйнштейн переживал озарения столь мощные, что их было трудно описать. По словам очевидцев, он говорил: «Я не формулирую эти мысли вербально. Я вообще редко думаю словами. Просто ко мне приходит та или иная мысль, а уже потом, вероятно, я попытаюсь облечь ее в слова».

Впоследствии Эйнштейн перебрался в Соединенные Штаты, где публично отстаивал, в частности, сионизм и ядерное разоружение. Однако страсть к физике не угасала у него всю жизнь. До самой смерти – а Эйнштейн дожил до 1955 года – он работал над единой теорией поля, которая объединила бы феномены гравитации и электромагнетизма в одном наборе уравнений. Авторитет Эйнштейна так огромен, что и сегодня физики ищут единую Теорию Всего. Эйнштейн произвел переворот в научной мысли ХХ века и грядущих эпох.

Альберт Эйнштейн родился в Ульме, в королевстве Вюртемберг (на территории нынешней Германии), 14 марта 1879 года, и вырос в Мюнхене. Он был единственным сыном Германа Эйнштейна и Паулины Кох. Отец и дядя владели небольшой фирмой по торговле электротехникой. Родные считали, что Альберт не очень способный, поскольку он не сразу научился читать и писать (сейчас считают, что у него, возможно, была дислексия). Легенда гласит, что когда Герман спросил у директора школы, где учился его сын, какую профессию Альберту лучше выбрать, тот ответил: «Неважно. Он нигде не добьется особых успехов».

В школе Альберт учился посредственно. Ему претили строгие требования, к тому же он оказался одним из нескольких еврейских детей в католической школе, и ему там было неуютно. В подобном положении аутсайдера он оказывался еще не раз и не два.

Одним из первых увлечений Эйнштейна была наука. Он вспоминал, как однажды, когда ему было лет пять, отец показал ему карманный компас – и как было интересно, что стрелка всегда указывает на север, сколько ни поворачивай корпус. В этот миг, по словам Эйнштейна, он «ощутил, что за всем на свете есть что-то глубоко спрятанное». Другой его страстью была музыка. Лет в шесть Эйнштейн начал учиться играть на скрипке. Далось это не без труда, но через несколько лет он обнаружил, что у музыки есть математическая структура, и скрипка стала его страстью на всю жизнь, хотя энтузиазм далеко обгонял способности.

Когда Эйнштейну было десять, родители отдали его в гимназию Луитпольда, где, как считают историки, у него и выработалось недоверие к властным фигурам. Эта черта очень помогла ему в научной работе. Привычка все воспринимать скептически позволила с легкостью ставить под сомнение многие устоявшиеся научные представления.

В 1895 году Эйнштейн хотел досрочно окончить школу и для этого сдавал вступительные экзамены в Политехническую школу в Цюрихе, где рассчитывал получить степень по электротехнике. Вот что он писал тогда о своих планах и намерениях:

«Если мне повезет и я сдам экзамены, я поеду в Цюрих. Там я пробуду четыре года и буду изучать математику и физику. Я мечтаю стать учителем в этой отрасли естественных наук с упором на теоретическую часть. Этот план возник у меня по следующим причинам. Прежде всего, дело в моей склонности к абстрактному и математическому мышлению и в недостатке воображения и практических навыков».

Эйнштейн провалил экзамены по гуманитарным дисциплинам, и в Политехническую школу его не приняли. Тогда родители определили его в выпускной класс средней школы в швейцарском городе Арау в надежде, что это даст ему второй шанс на поступление в Политехническую школу. Так и получилось, и Эйнштейн окончил это учебное заведение в 1900 году. Тогда же он полюбил Милеву Марич, и в 1901 году, еще до брака, она родила ему первого ребенка – дочь Лизерль. О судьбе Лизерль почти ничего не известно, однако, судя по всему, она либо от рождения страдала каким-то неизлечимым недугом, либо тяжело заболела в младенчестве, после чего ее отдали в приемную семью, и она умерла примерно в два года. Эйнштейн с Милевой поженились в 1903 году.

Год рождения Ганса Альберта – 1905-й – был чудесным годом, annus mirabilis, в биографии ученого. Эйнштейну удавалось сочетать родительские обязанности и работу в патентном бюро от звонка до звонка – и при этом опубликовать четыре фундаментальные научные статьи, и все это без доступа к источникам и ресурсам, который дала бы ему академическая должность.

Весной того года Эйнштейн послал три статьи в немецкое периодическое издание Annalen der Physik («Анналы физики»). Все три статьи вышли одновременно в 17-м номере журнала. Первую свою статью, о кванте света, сам Эйнштейн называл «очень революционной». В ней он исследовал феномен кванта (фундаментальной единицы энергии), который открыл немецкий физик Макс Планк. Эйнштейн нашел объяснение фотоэлектрическому эффекту: на каждый выпущенный электрон высвобождается определенное количество энергии. А согласно представлению о квантах, энергия испускается порциями, которые можно описать только целыми числами. Эта теория заложила основу существенной части квантовой механики. Эйнштейн предположил, что свет следует считать совокупностью независимых частиц энергии, однако, что примечательно, не привел никаких данных наблюдений. Он просто выдвинул гипотезу о существовании «кванта света» из чисто эстетических соображений.

Физики не сразу приняли теорию Эйнштейна. Слишком уж она расходилась с общепринятыми научными идеями того времени и даже с открытиями Планка. И Нобелевскую премию по физике в 1921 году Эйнштейну присудили не за работы по теории относительности, а за его первую статью – «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света».

Во второй статье – «Размер молекул», – которая была его докторской диссертацией, и в третьей – «О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты» – Эйнштейн предложил метод определения размера и движения атомов. Кроме того, он нашел причины броуновского движения – это явление описал английский ботаник Роберт Броун, заметив хаотическое движение пыльцы, взвешенной в жидкости. Эйнштейн утверждал, что это движение вызвано соударениями между атомами и молекулами. В то время само существование атомов еще было предметом научных споров, поэтому значение этих статей невозможно недооценить. Эйнштейн подтвердил атомную теорию строения вещества.

Эйнштейн с первой женой Милевой и сыном Гансом-Альбертом. 1906 год.

В последней статье 1905 года – «К электродинамике движущихся тел» – Эйнштейн очертил теорию, которой в будущем предстояло стать специальной теорией относительности. Эта статья читается скорее как эссе, чем как научное сообщение. Она чисто теоретическая, в ней нет никаких библиографических ссылок и цитат. Этот трактат объемом в 9000 слов Эйнштейн написал всего за пять недель, однако историки науки считают его не менее фундаментальным и революционным, чем «Начала» Ньютона.

Ньютон перевернул наши представления о гравитации, а Эйнштейн – о пространстве и времени, при этом умудрившись еще и опровергнуть ньютоновскую концепцию времени. Ньютон утверждал, что «абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно». А Эйнштейн считал, что скорость света одинакова для всех наблюдателей, независимо от того, с какой скоростью движутся они сами. Кроме того, Эйнштейн утверждал, что и масса тела не неизменна, что она увеличивается при увеличении скорости тела. Впоследствии эксперименты показали, что небольшая вещественная частица, разогнанная до 86 процентов скорости света, обладает массой в два раза больше, чем в покое.

У теории вероятности было и другое следствие: соотношение энергии и массы можно выразить математически, что Эйнштейн и сделал в своей знаменитой формуле E = mc^2. Это выражение – энергия равна массе, умноженной на скорость света в квадрате, – натолкнуло физиков на мысль, что даже крошечные количества вещества потенциально обладают колоссальным количеством энергии. А значит, если полностью преобразовать в энергию хотя бы часть массы нескольких атомов, будет мощнейший взрыв. Таким образом, скромная формула Эйнштейна заставила физиков задуматься, что произойдет, если расщепить атом, после чего они под давлением властей своих государств создали атомную бомбу. В 1909 году Эйнштейн получил место профессора теоретической физики в Цюрихском университете, а через три года сбылись его честолюбивые мечты: он вернулся в Государственную политехническую школу в Цюрихе на постоянную должность профессора. Затем последовали другие престижные и руководящие должности в академической среде. Все это время Эйнштейн продолжал работать над теорией гравитации, а также над общей теорией относительности. Профессиональная карьера шла в гору, однако семейная жизнь и здоровье начали разлаживаться. В 1914 году – в том же году, когда Эйнштейн получил должность профессора в Берлинском университете, – Альберт и Милева начали бракоразводный процесс. Потом Эйнштейн заболел, и ухаживала за ним его двоюродная сестра Эльза, на которой он и женился в 1919 году.

Альберт Эйнштейн и его вторая жена Эльза.

Специальная теория относительности коренным образом изменила понятия времени и массы, а общая теория относительности – наши представления о пространстве. Ньютон писал, что «абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным». Пространство Ньютона – это пространство Евклида, бесконечное и безграничное. Все тела в нем тяготеют друг к другу, однако никак не воздействуют на структуру самого пространства. Напротив, общая теория относительности Эйнштейна гласит, что гравитационная масса тела воздействует не только на все остальные тела, но и на структуру пространства. Если тело достаточно массивно, пространство вокруг него искажается. Свет в такой области пространства искривляется.

В 1919 году сэр Артур Эддингтон решил экспериментально проверить общую теорию относительности. Эддингтон организовал две экспедиции – в Бразилию и в Западную Африку – с целью пронаблюдать, как звездный свет проходит мимо массивного тела – Солнца – во время полного солнечного затмения 29 мая. В обычных условиях сделать такие наблюдения невозможно, поскольку слабый свет далеких звезд при дневном свете незаметен, однако во время затмения его пусть ненадолго, но видно.

В сентябре Эйнштейн получил телеграмму от Хенрика Лоренца – коллеги-физика и близкого друга. Там говорилось: «Эддингтон обнаружил смещение звезд у кромки солнечного диска, предварительные измерения от девяти десятых секунды до значения вдвое больше». Данные Эддингтона вполне соответствовали смещению, предсказанному общей теорией относительности. На фотографиях из Бразилии известные звезды во время затмения находились в небе не там, где обычно по ночам, когда их свет не проходил мимо Солнца. Общую теорию относительности удалось подтвердить, и это навсегда изменило ход научного прогресса. Много лет спустя, когда один студент спросил Эйнштейна, что бы он почувствовал, если бы теорию опровергли, Эйнштейн ответил: «Я от души пожалел бы Господа Бога. Теория верна».

Подтверждение общей теории относительности принесло Эйнштейну всемирную славу. В 1921 году он был избран членом Британского Королевского общества. Почетные степени и награды ожидали его повсюду, куда бы он ни прибыл. В 1927 году Эйнштейн приступил к работе над основами квантовой механики совместно с датским физиком Нильсом Бором, однако не упускал из виду свою мечту – единую теорию поля. Он часто ездил в США и в результате в 1932 году получил место профессора математики и теоретической физики в Институте передовых исследований в Принстоне, в штате Нью-Джерси.

Эйнштейн читает лекцию в Принстоне. 1932 год.

Год спустя он навсегда перебрался в Принстон, поскольку нацистская партия, взявшая верх в Германии, проводила политику против «еврейской науки». Имущество Эйнштейна конфисковали, ученого лишили гражданства Германии и возможности работать в немецких университетах. До той поры Эйнштейн считал себя пацифистом. Однако когда Гитлер превратил Германию в военную машину, опустошавшую Европу, Эйнштейн пришел к мысли, что использование силы против Германии морально оправданно. В 1939 году, в самом начале Второй мировой войны, Эйнштейн понял, что немцы, вероятно, вот-вот сумеют создать атомную бомбу – оружие, ставшее возможным благодаря его же исследованиям, так что он чувствовал себя в ответе за него. Тогда Эйнштейн обратился с письмом к президенту Франклину Д. Рузвельту, предупредил его о такой возможности и посоветовал, чтобы США тоже предприняли ядерные исследования. Это письмо он составил вместе со своим другом и коллегой Лео Силардом, и оно послужило толчком для запуска проекта «Манхэттен», в результате чего и были созданы первые атомные бомбы в мире. В 1944 году Эйнштейн продал рукопись своей статьи 1905 года и вырученные средства – шесть миллионов долларов – передал на нужды союзников.

Представления Эйнштейна об искажении пространственно-временного континуума под воздействием массивных тел.

После войны Эйнштейн продолжил заниматься волнующими его общественно-политическими вопросами. В ноябре 1952 года ему предложили стать президентом Израиля, поскольку он много лет поддерживал сионизм. Эйнштейн учтиво отказался, сославшись на недостаток опыта. В апреле 1955 года, за неделю до смерти, Эйнштейн написал письмо философу Бертрану Расселу, в котором соглашался поставить свою подпись под манифестом, призывающим все страны отказаться от ядерного оружия.

Эйнштейн умер от острой сердечной недостаточности 18 апреля 1955 года. Он всю жизнь стремился разгадать тайны мироздания, опираясь исключительно на разум, а не на чувства. «Истинную теорию видишь не глазами, а разумом», – заметил он однажды.

Из сборника «Принцип относительности»

К ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ

Известно, что если применить электродинамику Максвелла в ее современном виде к движущимся телам, то это приведет к нарушению симметрии. Однако такое нарушение, по всей видимости, для самих явлений нехарактерно. Например, рассмотрим электродинамическое взаимодействие между магнитом и проводником, по которому идет ток. На наблюдаемое явление здесь влияет только относительное движение проводника и магнита. Однако, согласно привычному представлению, два случая, в которых движется либо одно, либо другое тело, должны быть строго обособлены. Действительно, если движется магнит, а проводник покоится, то вокруг магнита возникает электрическое поле. Это электрическое поле обладает некоторым количеством энергии, которое порождает ток в тех местах, где находятся части проводника. Если покоится магнит, а движется проводник, то никакого электрического поля вокруг магнита не возникает. В проводнике в этом случае возникает электродвижущая сила, которой самой по себе не соответствует никакая энергия. Эта электродвижущая сила – в предположении о тождественности относительного движения в обоих рассматриваемых случаях – вызывает электрические токи той же величины и того же направления, что и электрическое поле в первом случае.

Примеры подобного рода, а также неудачные попытки обнаружить движение Земли относительно «светоносной среды» ведут к предположению, что не только в механике, но и в электродинамике никакие свойства явлений не соответствуют понятию абсолютного покоя. Более того, они ведут к предположению, что для всех координатных систем, для которых справедливы уравнения механики, справедливы те же самые электродинамические и оптические законы, как это уже доказано для величин первого порядка. Это предположение (содержание которого далее будет называться «принципом относительности») мы намерены превратить в предпосылку и сделать, кроме того, следующее добавочное допущение, находящееся с первым лишь в кажущемся противоречии. Свет в пустоте всегда распространяется с определенной скоростью V, которая не зависит от состояния движения излучающего тела. Эти две предпосылки достаточны для того, чтобы, положив в основу теорию Максвелла для покоящихся тел, построить простую, свободную от противоречий электродинамику движущихся тел. Введение «светоносного эфира» окажется при этом лишним, потому что в предлагаемой теории не вводится «абсолютно покоящееся пространство», наделенное особыми свойствами. Кроме того, ни одной точке пустого пространства, в котором протекают электромагнитные процессы, не приписывается какой-нибудь вектор скорости.

Как и любая другая электродинамика, развиваемая теория основывается на кинематике твердого тела, так как выводы всякой теории касаются соотношений между твердыми телами (координатными системами), часами и электромагнитными процессами. Недостаточное понимание этого обстоятельства – корень трудностей, преодолевать которые теперь приходится электродинамике движущихся тел.

I. Кинематическая часть

§ 1. Определение одновременности

Пусть имеется координатная система, в которой справедливы уравнения механики Ньютона. С целью отличить эту координатную систему от вводимых позже координатных систем и для уточнения терминологии назовем ее «покоящейся системой».

Если относительно покоящейся системы некоторая материальная точка находится в покое, то положение этой точки относительно такой координатной системы может быть определено методами евклидовой геометрии с помощью твердых масштабов и выражено в декартовых координатах.

Если мы хотим дать описание движения какой-нибудь материальной точки, то мы задаем значения ее координат как функций времени. При этом нужно иметь в виду, что такое математическое описание имеет физический смысл только тогда, когда предварительно установлено, что подразумевается под «временем». Другими словами, необходимо обратить внимание на то, что все наши выводы, в которых как-то задействовано время, всегда являются выводами об одновременных событиях. Если я, например, говорю: «Этот поезд прибывает сюда в 7 часов», – то это означает примерно следующее: «Указание маленькой стрелки моих часов на 7 часов и прибытие поезда суть одновременные события»[8].

Возможно, время нельзя уподобить одной-единственной железнодорожной ветке, которая ведет из точки А в точку В: оно, как и настоящая железная дорога, способно закладывать петли или радикально менять направление.

На первый взгляд может показаться, что все трудности определения «времени» могут быть преодолены, если вместо слова «время» написать «положение маленькой стрелки моих часов». Такое определение, действительно, достаточно в том случае, когда речь идет об определении времени только для того самого места, в котором как раз находятся часы. Однако такого определения уже недостаточно, как только речь пойдет о связи друг с другом во времени ряда событий, протекающих в различных местах. Или, что то же самое, когда речь пойдет об установлении времени для тех событий, которые происходят в местах, удаленных от часов.

Для того чтобы определить время событий, мы могли бы, конечно, удовлетвориться тем, что заставили бы некоторого наблюдателя, находящегося с часами в начале координат, сопоставлять соответствующее положение стрелки часов с каждым световым сигналом, идущим к нему через пустоту и дающим знать о регистрируемом событии. Однако такое сопоставление связано с тем неудобством, известным нам из опыта, что оно не будет независимым от местонахождения наблюдателя, снабженного часами. Мы придем к гораздо более практическому определению путем следующих рассуждений.

Поместим часы в точке А пространства. Тогда наблюдатель, находящийся в А, может устанавливать время событий в малой окрестности А, наблюдая одновременные с этими событиями положения стрелок часов. Если в другой точке В пространства также имеются часы (мы добавим: точно такие же часы, как в точке А), то в малой окрестности В также возможна временная оценка событий находящимся в В наблюдателем. Однако невозможно без дальнейших предположений сравнивать во времени какое-либо событие в А с событием в В, потому что мы определили пока только «А-время» и «В-время», но не общее для А и В «время». Последнее можно установить, вводя определение, что «время», необходимое для прохождения света из А в В, равно «времени», требуемому для прохождения света из В в А. Пусть в момент tA по «А-времени» луч света выходит из А в В, отражается в момент tB по «B-времени» от В к А и возвращается назад в А в момент t’A по «А-времени». Часы в А и В будут идти, согласно определению, синхронно, если

tB – tA = t’A – tB.

Допустим, что данное определение синхронности можно дать однозначным образом и, кроме того, для сколь угодно большого числа точек и что, таким образом, справедливы следующие утверждения:

1) если часы в В идут синхронно с часами в А, то часы в А идут синхронно с часами в В;

2) если часы в А идут синхронно как с часами в В, так и с часами в С, то часы в В и С также идут синхронно относительно друг друга.

Таким образом, пользуясь некоторыми (мысленными) физическими экспериментами, мы установили, что нужно понимать под синхронно идущими, находящимися в различных местах покоящимися часами, и благодаря этому, очевидно, достигли определения понятий: «одновременность» и «время». «Время» события – это одновременное с событием показание покоящихся часов, которые находятся в месте события и которые идут синхронно с некоторыми определенными покоящимися часами, причем с одними и теми же часами при всех определениях времени.

Согласно опыту, будем также считать, что величина есть универсальная постоянная (скорость света в пустоте).

Существенным является то, что мы определили время с помощью покоящихся часов в покоящейся системе. Такое время, принадлежащее к покоящейся системе, будем называть «временем покоящейся системы».

§ 2. Об относительности длин и промежутков времени

Последующие соображения опираются на принцип относительности и на принцип постоянства скорости света. Мы формулируем оба принципа следующим образом.

1. Законы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения состояния относятся.

2. Каждый луч света движется в «покоящейся» системе координат с определенной скоростью V, независимо от того, испускается ли этот луч света покоящимся или движущимся телом.

При этом

причем «промежуток времени» следует понимать в смысле определения в § 1.

Рассмотрим покоящийся твердый стержень, и пусть его длина, измеренная также покоящимся масштабом, есть l. Пусть теперь стержню, ось которого направлена по оси X покоящейся координатной системы, сообщается равномерное и параллельное оси X поступательное движение (со скоростью v) в сторону возрастающих значений х. Поставим теперь вопрос о длине движущегося стержня, которую мы полагаем определенной с помощью следующих двух операций:

а) наблюдатель движется вместе с данным масштабом и с измеряемым стержнем и измеряет длину стержня непосредственно путем прикладывания масштаба так же, как если бы измеряемый стержень, наблюдатель и масштаб находились в покое;

б) наблюдатель устанавливает с помощью расставленных в покоящейся системе синхронных (в смысле § 1) покоящихся часов, в каких точках покоящейся системы расположены начало и конец измеряемого стержня в некоторый определенный момент времени t. Расстояние между этими двумя точками, измеренное использованным выше, но уже покоящимся масштабом, есть длина, которую можно обозначить как «длину стержня».

Согласно принципу относительности, длина, определяемая операцией «а», которую мы будем называть «длиной стержня в движущейся системе», должна равняться длине l покоящегося стержня.

Длину, устанавливаемую операцией «б», которую мы будем называть «длиной (движущегося) стержня в покоящейся системе», мы определим, основываясь на наших двух принципах, и найдем, что она отлична от l.

В обычно применяемой кинематике постулируется, что длины, определенные с помощью двух упомянутых операций, равны друг другу, или, другими словами, что движущееся твердое тело в момент времени t в геометрическом отношении вполне может быть заменено тем же телом, когда оно покоится в определенном положении.

Пусть теперь к обоим концам стержня (А и В) прикрепляются часы, синхронные с часами покоящейся системы. Другими словами, показания этих часов соответствуют «времени покоящейся системы» в тех местах, в которых эти часы как раз находятся; следовательно, эти часы «синхронны в покоящейся системе».

Далее, представим себе, что у каждых часов расположен движущийся вместе с ними наблюдатель, и пусть эти наблюдатели применяют к обоим часам установленный в § 1 критерий синхронности хода двух часов. Пусть в момент времени[9] tA из А выходит луч света, отражается в В в момент времени tB и возвращается назад в А в момент времени t’A. Принимая во внимание принцип постоянства скорости света, находим

где rАВ – длина движущегося стержня, измеренная в покоящейся системе.

Таким образом, наблюдатели, движущиеся вместе со стержнем, придут к выводу, что часы в точках А и В не идут синхронно, в то время как наблюдатели, находящиеся в покоящейся системе, объявили бы эти часы синхронными. Итак, мы видим, что не следует придавать абсолютного значения понятию одновременности. Два события, одновременные при наблюдении из одной координатной системы, уже не воспринимаются как одновременные при рассмотрении из системы, движущейся относительно данной системы.

О ВЛИЯНИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА

В опубликованной четыре года назад работе[10] уже была предпринята попытка ответить на вопрос, влияет ли тяготение на распространение света. Мы снова возвращаемся к этой теме, так как не удовлетворены прежним изложением этого вопроса. Кроме того, мы теперь еще раз убедились в том, что один из наиболее важных выводов указанной работы поддается экспериментальной проверке. Действительно, проходящие вблизи Солнца лучи, согласно излагаемой ниже теории, испытывают под влиянием поля тяготения Солнца отклонение. В результате такого отклонения должно произойти кажущееся увеличение углового расстояния между оказавшейся вблизи Солнца неподвижной звездой и самим Солнцем почти на одну дуговую секунду.

Самая знаменитая формула всех времен и ее легендарная запись, сделанная рукой самого Эйнштейна.

Развитие этих идей привело также к некоторым результатам, относящимся к тяготению. Так как изложение всех рассуждений было бы громоздким в ущерб ясности, то ниже приведем только некоторые элементарные соображения, с помощью которых удобно ориентироваться как в предпосылках, так и в логическом развитии теории. Выведенные в настоящей работе соотношения, даже если теоретическое основание их и соответствует действительности, являются верными только в первом приближении.

§ 1. Гипотеза о физической природе гравитационного поля

Пусть в однородном поле тяжести (ускорение силы тяжести) расположена покоящаяся координатная система К, ориентированная так, что силовые линии поля идут в отрицательном направлении оси z. Пусть в пространстве, свободном от гравитационных полей, находится вторая координатная система К’, которая равномерно ускоренно (с ускорением γ) движется в положительном направлении своей оси z. Для того чтобы не усложнять рассуждения, мы откажемся от теории относительности и рассмотрим обе системы в рамках привычной кинематики, а совершающиеся в них движения – в рамках обычной механики. Тогда материальные точки, которые не подвергаются влиянию со стороны других материальных точек, движутся относительно К, как и относительно К’, в соответствии с уравнениями

Для ускоренной системы отсчета К’ это следует прямо из принципа Галилея. Для покоящейся в однородном гравитационном поле системы отсчета К это следует из того опытного факта, что все тела в таком поле ускоряются равномерно и одинаково сильно. Этот опытный факт об одинаковом ускорении падения всех падающих в гравитационном поле тел является одним из наиболее общих фактов, установленных нами из наблюдений. Несмотря на это, закон этот не нашел еще отражения в основах нашей физической картины мира.

Однако мы придем к удовлетворительной интерпретации этого опытного закона, если допустим, что системы отсчета К и К’ физически в точности равноправны, другими словами, если мы допустим, что систему К равным образом можно рассматривать как систему, находящуюся в пространстве, свободном от поля тяжести, но при этом мы должны рассматривать К как равномерно ускоренную систему. При таком подходе нельзя говорить об абсолютном ускорении координатной системы, так же как нельзя в обычной теории относительности говорить об абсолютной скорости системы[11]. С этой точки зрения одинаковое ускорение всех падающих тел в гравитационном поле очевидно.

Теоретическая модель Эйнштейна показывает, что время и пространство неразделимы. По Ньютону, время никак не зависело от пространства и было подобно железной дороге, уходившей на бесконечность в обе стороны. Однако в понимании Эйнштейна время и пространство связаны неразрывно.

Невозможно искривить пространство, не затронув время. Значит, у времени есть форма. Тем не менее время, похоже, идет лишь в одном направлении.

До тех пор пока мы ограничиваемся чисто механическими явлениями, для которых справедлива механика Ньютона, мы уверены в равноценности систем К и К’. Однако представление наше будет достаточно глубоким только в том случае, если системы К и К’ окажутся равноценными относительно всех физических явлений, т. е. если законы природы по отношению к системе К полностью совпадут с законами природы по отношению к системе К’. Приняв это, мы получаем принцип, имеющий большое эвристическое значение, если он действительно справедлив. Действительно, с помощью теоретического изучения явлений, протекающих относительно равномерно ускоренной координатной системы, можно получить представление о ходе явлений в однородном гравитационном поле. Далее будет прежде всего показано, каким образом с точки зрения обычной теории относительности наша гипотеза приобретает значительную долю вероятности.

§ 2. О тяжести энергии

Теория относительности привела к выводу о росте инертной массы тела с увеличением содержащейся в нем энергии. Так, если приращение энергии есть Е, то приращение инертной массы составляет Е/с^2, где с – скорость света. Однако возникает вопрос: соответствует ли такому приращению инертной массы также приращение тяготеющей массы? Если нет, то тогда тело в одном и том же поле тяжести падало бы с разным ускорением, зависящим от энергии самого тела. Такой удовлетворительный результат теории относительности, согласно которому закон сохранения массы содержится в законе сохранения энергии, оказался бы несправедливым, хотя в этом случае для инертной массы и нужно было бы отбросить закон сохранения массы в его старой формулировке, но для тяготеющей массы он остался бы в силе.

Такой вывод очень маловероятен. С другой стороны, обычная теория относительности не дает ни одного аргумента, из которого можно было бы заключить, что вес тела зависит от содержащейся в нем энергии. Однако мы покажем, что из нашей гипотезы об эквивалентности систем отсчета К и К’ с необходимостью вытекает тяжесть энергии.

Итак, пусть две физические системы тел S_1 и S_2, снабженные измерительными приборами, расположены на оси Z системы отсчета К на расстоянии h друг от друга[12] таким образом, что гравитационный потенциал в том месте, где находится система S_2, на γh больше гравитационного потенциала в месте нахождения S_1. Далее, пусть из S_2 посылается в S_1 определенное количество энергии Е в виде излучения и пусть при этом количество энергии измеряется с помощью приборов, которые, будучи установлены в одном и том же месте систем z и там друг с другом сравнены, оказались бы совершенно одинаковыми.

Заметим, что изначально о процессе переноса энергии излучением ничего сказать нельзя, потому что мы не знаем, как влияет поле тяжести на энергию излучения и на измерительные инструменты в S_1 и S_2. Тем не менее, согласно допущению об эквивалентности систем отсчета К и К’, мы можем на место системы К, находящейся в однородном поле тяжести, поставить свободную от тяготения систему отсчета К’, которая движется равномерно ускоренно в направлении положительных значений z, с осью z которой жестко связаны физические системы S_1 и S_2.

Обсудим процесс переноса энергии излучением из S_2 в S_1, если мы находимся в некоторой системе отсчета К_0, не обладающей ускорением. Будем считать, что в тот момент, когда энергия излучения Е_2 переносится из S_2 в S_1, система К’ обладает относительно системы К_0 нулевой скоростью. Лучи достигнут системы S_1 спустя время h/с (в первом приближении). В этот момент система S_1 обладает относительно К_0 скоростью h/с = v. Таким образом, согласно обычной теории относительности, достигающее S_1 излучение имеет не энергию Е_2, а большую энергию Е_1 которая в первом приближении связана с Е_2 соотношением[13]:

(1)

Согласно сделанному нами предположению, точно такое же соотношение справедливо и в том случае, когда рассматриваемый процесс протекает в системе К – неускоренной, но находящейся в гравитационном поле. В этом случае мы можем заменить γh потенциалом Ф гравитационного поля в точке, где находится S_2, если произвольная постоянная потенциала Ф в точке, где находится S_1, приравнивается нулю. Таким образом, получаем:

(1а)

Последнее есть закон сохранения энергии для рассматриваемого процесса. Энергия Е_1, приходящая в S_1 больше, чем измеренная такими же приборами энергия Е_2, которую отдает система в S_2, на величину потенциальной энергии массы Е_2/с^2 в поле тяжести. Таким образом, для выполнения закона сохранения энергии нужно к энергии Е перед ее испусканием из S_2 прибавить потенциальную энергию, которая соответствует (тяжелой) массе Е/с^2 в поле тяжести. Следовательно, наше допущение об эквивалентности систем отсчета К и К’ устраняет изложенную в начале этого параграфа трудность, чего не могла сделать обычная теория относительности.

Смысл полученного результата становится особенно ясным при рассмотрении следующего кругового процесса.

1. Энергия Е, измеренная в S_2, посылается в форме излучения из S_2 в S_1, где, согласно только что полученному результату, поглощается энергия Е × (1 + γh/с^2), измеренная в S_1.

2. Тело W с массой М падает из S_2 в S_1, и при этом совершается работа Mγh.

3. Энергия Е из системы S_1 переносится на тело W, когда оно находится в S_1. Благодаря этому изменяется тяжелая масса М, и пусть ее новое значение равно М’.

4. Тело W снова поднимается в S_2, и при этом затрачивается работа М’ γh.

5. Энергия Е переносится с тела W на систему S_2.

В результате такого кругового процесса система S_1 приобрела энергию Е (γh/c^2) и системой передана энергия М’γh – Mγh в форме механической работы. Следовательно, по закону сохранения энергии должно выполняться следующее соотношение:

или

М – М’ = Е/c^2. (1б)

Окончательно получаем, что приращение тяжелой массы есть Е/c^2. Другими словами, оно равно тому приращению инертной массы, которое следует из теории относительности.

Еще более естественным образом этот результат вытекает из эквивалентности системы отсчета К и К’. Согласно этой эквивалентности, тяжелая масса, определенная относительно К, в точности равна инертной массе, определенной относительно К’. Таким образом, энергия должна обладать тяжелой массой, равной ее инертной массе. Так, если с помощью пружинных весов в системе отсчета К’ взвесить массу М_0, то эти весы (из-за инертности М_0) покажут кажущийся вес М_0γ. Если сообщить энергию Е массе М_0, то, согласно предположению об инерции энергии, пружинные весы покажут (М_0 + Е/c^2) γ.

Согласно нашему основному предположению, то же самое должно наступить и при проведении опыта в системе отсчета К, т. е. в поле тяготения.

§ 3. Время и скорость света в поле тяжести

Пусть излучение, испускаемое в равномерно ускоренной системе отсчета К’ из S_2 по направлению к S_1, имеет относительно находящихся в S_2 часов частоту v_2. Тогда по прибытии в S_1 это излучение имеет относительно находящихся там точно таких же часов частоту уже не v_2, а большую частоту v_1, которая в первом приближении равна

(2)

Действительно, снова вводя неускоренную систему отсчета К_0, относительно которой система отсчета К’ в момент испускания света имела нулевую скорость, то S_1 будет иметь относительно К_0 в момент прибытия излучения в S_1 скорость γ(h/с), откуда в силу принципа Допплера непосредственно получается соотношение (2).

Учитывая сделанное нами предположение об эквивалентности систем отсчета К и К’, полученное выражение справедливо и для покоящейся координатной системы К, в которой существует однородное поле тяжести, в том случае, когда в этой системе происходит описанный выше перенос энергии излучения.

Окончательно получаем, что луч света, испускаемый в области с определенным потенциалом тяготения из S_2 и имеющий при его испускании частоту v_2, измеренную часами, находящимися в S_2, обладает при его прибытии в S_1 другой частотой v_1, если последняя измеряется с помощью точно таких же часов, находящихся в S_1. Заменим γh через потенциал тяготения Ф, взятый в S_2 по отношению к S_1, потенциал которой принят равным нулю. Далее, что соотношение, полученное нами для однородного гравитационного поля, справедливо также и для полей другого вида.

В таком случае

(2a)

Полученный результат (справедливый, напомним, согласно своему выводу, в первом приближении) прежде всего можно применить следующим образом. Пусть v_0 – частота некоторого элементарного источника света, которая измеряется с помощью часов U, находящихся в том же месте, где и сам источник. Эта частота не зависит от расположения источника света вместе с часами. Теперь представим, что источник и часы размещены, к примеру, на поверхности Солнца (там находится наша система S_2). Часть испущенного света доходит до Земли (S_1), где мы часами U точно такой же конструкции, что и упомянутые выше, измеряем частоту v приходящего света. Следовательно, согласно соотношению (2а), имеем

Здесь Ф – (отрицательная) разность гравитационных потенциалов между поверхностью Солнца и поверхностью Земли.

Согласно нашим представлениям, спектральные линии солнечного света должны немного сместиться по сравнению с соответствующими спектральными линиями земных источников света в красную область спектра, а именно, на относительную величину

Это смещение можно было бы измерить, если бы были точно известны условия, при которых испускается солнечный свет. Но из-за того, что причины другого рода (такие как давление и температура) также влияют на положение центра тяжести спектральных линий, трудно установить, действительно ли существует выведенное выше соотношение, в котором учитывается влияние гравитационного потенциала[14].

Можно ли обратить время вспять? Похоже, в пользу этого предположения есть лишь несколько доводов, а против – вся Вселенная.

При поверхностном рассмотрении может показаться, что соотношения (2) или (2а) не имеют смысла. Может ли быть, чтобы при непрерывном испускании света из S_2 он прибывал S_1 другой частотой, чем свет, вышедший из S_2? Тем не менее, ответ на этот вопрос прост. Дело в том, что мы не можем рассматривать v_2 и v_1 просто как частоты (т. е. как числа периодов в секунду), потому что мы еще не установили времени в системе отсчета К. Величина v_2 обозначает число периодов, отнесенное к единице времени часов U в S_2, a v_1 – число периодов, отнесенное к единице времени точно таких же часов U в S_1. У нас нет никаких оснований допускать, что часы, которые расположены в точках с различными гравитационными потенциалами, должны рассматриваться как одинаково идущие. Наоборот, мы обязательно должны определить время в системе отсчета К таким образом, чтобы число гребней и минимумов волн между S_2 и S_1 не зависело от абсолютного значения времени, потому что рассматриваемый процесс по своей природе стационарен. Если это условие не выполнено, то мы приходим к определению времени, которое будет явно входить в законы природы, что, конечно, неестественно и нецелесообразно.

Таким образом, нельзя сказать, что оба часовых механизма, в S_2 и S_1, показывают правильное «время». Так, если мы определяем время в S_1 часами U, то мы должны измерять время в S_2 часами, которые идут в [1 + (Ф/с^2)] раза медленнее, чем часы U, если их сравнить с часами U в одном и том же месте. Это связано с тем, что измеренная подобными часами частота рассмотренного выше луча света при его отправлении из S_2

в согласии с формулой (2а), равна частоте v_1 того же луча света при его прибытии в S_1.

Отсюда вытекает следствие, представляющее фундаментальное значение для теории. Если скорость света измерять в различных местах ускоренной системы отсчета К’ в отсутствие гравитационного поля, пользуясь одинаково идущими часами U, то всюду будет получаться одно и то же значение. Исходя из нашего основного допущения, то же самое справедливо и для системы К. Однако из этого следует, что в местах с разными гравитационными потенциалами при измерении времени необходимо пользоваться по-разному идущими часами. В том месте, которое обладает гравитационным потенциалом Ф относительно начала координат, нужно при измерении времени применять часы, которые при перенесении их в начало координат шли бы в (1 + + Ф/с^2) раза медленнее, чем те часы, которыми определяется время в начале координат. Если мы обозначим через с_0 скорость света в начале координат, то скорость света с в некотором месте с гравитационным потенциалом Ф будет равна

(3)

Согласно этой теории, принцип постоянства скорости света справедлив не в той формулировке, в какой он кладется в основу обычной теории относительности.

Космический корабль пролетает мимо астронавта справа налево со скоростью 4/5 скорости света. Член экипажа испускает импульс света, который попадает в отражатель и возвращается обратно.

Этот свет видят и астронавт-наблюдатель, и пассажиры корабля. Однако они по-разному оценят, какое расстояние прошел свет после отражения.

По Эйнштейну, скорость света одинакова для всех свободно движущихся наблюдателей, хотя у каждого из них будет ощущение своей, отличной от других, скорости света.

§ 4. Искривление лучей света в гравитационном поле

Из только что доказанного положения – скорость света в поле тяжести является функцией места – нетрудно с помощью принципа Гюйгенса доказать, что лучи света, распространяющиеся поперек поля тяжести, должны искривляться. В самом деле, пусть E – плоскость равной фазы некоторой плоской световой волны в момент времени t, а Р_1 и Р_2 – две точки на ней, расстояние между которыми равно единице. Точки Р_1 и Р_2 лежат в плоскости чертежа, которая выбрана так, что взятая по нормали к ней производная от Ф, а следовательно, и от с, обращается в нуль. Описывая около точек Р_1 и Р_2 окружности радиусами c_1dt и c_2dt и проводя к ним общую касательную, получаем плоскость равной фазы, точнее, ее сечение плоскостью чертежа для момента времени t + + dt, причем с_1 и с_2 представляют собой скорости света соответственно в точках Р_1 и Р_2. Следовательно, угол отклонения луча света на пути cdt составляет

если мы его считаем положительным, когда луч света изгибается в сторону возрастания n’. Таким образом, угол отклонения на единицу пути луча света будет равен

Наконец, для отклонения α, которое луч света испытывает на любом пути s в сторону n’, получаем выражение

(4)

Такой же результат можно было бы получить также путем непосредственного рассмотрения распространения луча света в равномерно ускоренной системе отсчета К’, преобразования результата к системе К и затем обобщения на случай гравитационного поля произвольного вида.

Гравитационное поле массивного тела, например, Солнца, искривляет траекторию света далекой звезды.

Согласно выражению (4), проходящий мимо какого-либо небесного тела луч света испытывает отклонение в сторону убывания гравитационного потенциала, т. е. в сторону небесного тела. Это отклонение есть

где k – гравитационная постоянная, М – масса небесного тела, Δ – расстояние от луча до центра небесного тела.

Стандартная модель жизни и смерти нашей Вселенной. Без теоретических работ Эйнштейна эта модель не была бы возможна с математической точки зрения.

На этой иллюстрации слева направо – триллионные доли секунды после Большого взрыва, когда Вселенная инфляционно расширяется от размеров меньше атома с массой пакетика сахара до диаметра галактики.

Вселенная продолжает расширяться, и  галактики, а  с  ними и  звезды, атомы и частицы расходятся друг от друга все дальше и дальше, и так будет до тех пор, пока Вселенная не станет очень разреженной, пустой и  голой. Вторая модель предполагает, что в  конце концов ускорение прекратится и Вселенная под воздействием гравитационных сил схлопнется в огромную черную дыру – произойдет Большое сжатие.

По этой причине луч света, проходящий мимо Солнца, испытал бы отклонение, равное 4 × 10-6 = 0,83 секунды дуги. Благодаря искривлению луча угловое расстояние звезды от центра диска Солнца окажется увеличенным на эту величину. Так как звезды в соседних с Солнцем областях неба становятся видимыми при полных солнечных затмениях, то это следствие теории можно сравнить с опытом. Так, для планеты Юпитер ожидаемое смещение достигает примерно 0,01 доли указанного значения. Было бы крайне желательным, чтобы астрономы заинтересовались поставленным здесь вопросом даже и в том случае, если бы предыдущие рассуждения казались недостаточно обоснованными или фантастическими. Действительно, независимо от всякой теории, возникает вопрос: можно ли вообще современными средствами установить влияние гравитационных полей на распространение света.

Основы общей теории относительности

А. Принципиальные соображения о постулате относительности

§ 1. Замечания к специальной теории относительности

В основе специальной теории относительности лежит следующий постулат, которому удовлетворяет также и механика Галилея – Ньютона.

Если система координат К выбрана таким образом, что физические законы в ней справедливы в своей простейшей форме, то те же самые законы справедливы и во всякой другой координатной системе К’, которая движется равномерно и прямолинейно относительно К. Будем называть этот постулат «специальным принципом относительности». Словом «специальный» подчеркнем то обстоятельство, что этот принцип ограничивается случаем, когда система К’ совершает относительно системы К равномерное и прямолинейное движение, и что равноценность систем К’ и К не распространяется на случай неравномерного движения системы К’ относительно К.

Итак, специальная теория относительности отличается от классической механики не только постулатом относительности, но и в основном постулатом постоянства скорости света в пустоте, из которого при объединении его со специальным принципом относительности известным образом вытекает относительность одновременности, преобразование Лоренца и связанные с этим преобразованием законы, касающиеся поведения движущихся твердых тел и часов.

Теоретические истории Вселенной.

Плоская мембрана (первая слева ) говорит о необходимости определить границы, и таково было представление о Земле, когда ее считали плоской. Если Вселенная уходит на бесконечность, как седловидная поверхность (вторая справа), опять же возникают сложности с определением граничных условий на бесконечности. Если все истории Вселенной в мнимом времени представляют собой замкнутые пространства, подобные поверхности Земли, необходимость определять граничные условия отпадает сама собой. Выходя за рамки теорий Эйнштейна, мы задумываемся о множественных мирах на многомерных бранах.

Несмотря на то что теория пространства и времени испытала под влиянием специальной теории относительности очень глубокое изменение, один важный пункт остался незатронутым. Согласно специальной теории относительности высказывания геометрии имеют значение законов, касающихся возможных относительных положений (покоящихся) твердых тел, а общие положения кинематики – значение законов, описывающих поведение измерительных приборов и часов. При этом двум выбранным материальным точкам покоящегося (твердого) тела всегда соответствует некоторый отрезок вполне определенной длины, независимо как от положения и ориентации тела, так и от времени. Двум отмеченным показаниям стрелки часов, покоящихся относительно некоторой (допустимой) координатной системы, всегда соответствует интервал времени определенной величины, независимо от места и времени. Далее мы увидим, что общая теория относительности не может придерживаться этого простого физического толкования пространства и времени.

§ 2. Об основаниях, которые подсказывают расширение постулата относительности

Классической механике и в неменьшей степени специальной теории относительности свойственен некоторый теоретико-познавательный недостаток, который, пожалуй, впервые был ясно отмечен Эрнстом Махом. Мы поясним его суть на следующем примере. Пусть два жидких тела одинаковой величины и состава свободно парят в пространстве на таком большом расстоянии друг от друга (и от всех прочих масс), что должны приниматься во внимание только те гравитационные силы, с которыми действуют друг на друга части одного и того же тела. Пусть расстояние между этими телами остается постоянным. Кроме того, будем считать, что не происходит перемещения друг относительно друга частей одного и того же тела. При этом пусть каждая масса, рассматриваемая наблюдателем, покоящимся относительно другой массы, вращается вокруг линии, соединяющей массы с постоянной угловой скоростью (это относительное движение обеих масс всегда возможно установить). Наконец, представим себе, что поверхности обоих тел (S_1 и S_2) измерены с помощью масштабов (покоящихся относительно этих тел). Будем считать, что согласно результатам измерений поверхность S_1 представляет собой сферу, а поверхность S_2 – эллипсоид вращения. Далее возникает вопрос: по какой причине тела S_1 и S_2 ведут себя по-разному? Ответ на этот вопрос может быть признан удовлетворительным с теоретико-познавательной точки зрения только тогда, когда обстоятельство, указанное в качестве причины, является наблюдаемым опытным фактом[15]. Дело в том, что принцип причинности только тогда имеет смысл суждения о явлениях в мире опыта, когда в качестве причин и следствий в конечном итоге оказываются лишь собственно наблюдаемые факты.

Механика Ньютона не дает удовлетворительного ответа на поставленный выше вопрос, а говорит следующее. Законы механики справедливы для пространства R_1, относительно которого тело S_1 находится в покое, но несправедливы для пространства R_2, относительно которого находится в покое тело S_2. Однако вводимое при этом галилеево пространство R_1 (и движение по отношению к этому пространству), по сути, является фиктивной причиной, а вовсе не наблюдаемым фактом. Другими словами, очевидно, что механика Ньютона в рассматриваемом случае удовлетворяет требованию причинности не по существу, но лишь кажущимся образом, возлагая ответственность за наблюдаемое различное поведение тел S_1 и S_2 на фиктивную причину – пространство R_1.

Удовлетворительным ответом на рассматриваемый вопрос может быть только такой: физическая система, состоящая из тел S_1 и S_2, сама по себе не дает возможности указать причину, с помощью которой можно было бы объяснить различное поведение тел S_1 и S_2. Следовательно, причина должна лежать вне этой системы. Из последнего утверждения, в свою очередь, следует вывод, что общие законы движения, которые, в частности, определяют форму тел S_1 и S_2, должны быть таковы, чтобы механические свойства тел S_1 и S_2 в значительной степени обусловливались отдаленными массами, которые мы не включили в рассматриваемую систему. Эти отдаленные массы (и их относительные движения по отношению к рассматриваемым телам) должны тогда рассматриваться как носители принципиально наблюдаемых причин различного поведения рассматриваемых тел S_1 и S_2, и они становятся на место фиктивной причины R_1. Из всех возможных пространств R_1, R_2 и т. д., движущихся любым образом относительно друг друга, ни одному из них не должно изначально отдаваться предпочтение, если только мы хотим устранить указанный теоретико-познавательный недостаток. Законы физики должны быть составлены так, чтобы они были справедливы для произвольно движущихся координатных систем. Таким образом мы приходим к расширению постулата относительности.

Помимо рассмотренного важнейшего теоретико-познавательного аргумента, в пользу расширения теории относительности свидетельствует и еще один хорошо известный физический факт. Пусть К – галилеева координатная система, т. е. такая, относительно которой (по крайней мере, в рассматриваемой четырехмерной области) некоторая масса, достаточно удаленная от других, движется прямолинейно и равномерно. Пусть К’ – вторая координатная система, которая относительно К движется равномерно ускоренно. Тогда достаточно изолированная от других масса совершает относительно К’ ускоренное движение, причем ни ускорение, ни направление этого ускорения не зависят от химического состава и физического состояния этой массы.

Может ли наблюдатель, который находится в состоянии покоя относительно координатной системы К’, из всего вышесказанного заключить, что он находится в «действительно» ускоренной, координатной системе? Ответ на этот вопрос должен быть отрицательным, потому что только что указанное поведение масс, свободно движущихся относительно К’, может быть столь же хорошо объяснено и другим, следующим образом. Координатная система К’ не обладает ускорением, однако в рассматриваемой пространственно-временной области имеется гравитационное поле, которое и вызывает ускоренное движение тел относительно системы К’. Объяснение такого рода становится возможным благодаря тому, что из опыта нам известно о существовании силового поля (а именно: гравитационного поля), обладающего замечательным свойством сообщать всем телам одно и то же ускорение[16]. Механическое поведение тел относительно координатной системы К’ будет таким же, какое обнаруживается на опыте по отношению к системам, которые мы привыкли рассматривать как «покоящиеся» или как «законные»; поэтому и с физической точки зрения естественно считать, что обе системы К’ и К с одинаковым правом могут рассматриваться как «покоящиеся». Другими словами, обе системы равноправны в качестве координатных систем для физического описания процессов.

Теория относительности опирается на постоянство скорости света (300 000 километров в секунду). За год свет проходит около 10 триллионов километров. Это расстояние называется световым годом. Он равен 63  241 астрономической единице (1 а.  е.  – это расстояние от Земли до Солнца). От нас до Плутона 49,3 астрономической единицы, а до ближайшей звезды – Альфа Центавра – 4,3 светового года. До границы нашей галактики Млечный Путь – 50 тысяч световых лет, а до ближайшей галактики Андромеды – 2,3 миллиона световых лет. Большинство звезд, которые видно невооруженным глазом, находятся от нас в пределах 1000 световых лет.

Из указанных соображений становится ясно, что построение общей теории относительности должно одновременно привести и к построению теории тяготения, потому что гравитационное поле можно «создать» простым изменением координатной системы. Кроме того, очевидно, что принцип постоянства скорости света в пустоте должен быть изменен, ибо легко убедиться в том, что траектория луча света относительно системы К’ в общем случае должна быть кривой, если свет относительно системы К распространяется прямолинейно и с определенной постоянной скоростью.

§ 3. Пространственно-временной континуум. Требование общей ковариантности уравнений, выражающих общие законы природы

Так же как и в специальной теории относительности, в классической механике пространственные и временные координаты содержат непосредственный физический смысл. Когда говорят, что точечное событие имеет координату x_1, то это означает следующее. Построенную по правилам евклидовой геометрии при помощи твердых стержней проекцию точечного события на ось X_1 получают, откладывая определенную линейку – единичный масштаб – х_1 раз от начала координат по направлению оси X_1. Когда говорят, что точка имеет координату х_4 = t, то это означает, что по часам (некоторому эталону времени), покоящимся относительно координатной системы, пространственно (практически) совпадающим с точечным событием и выверенным по определенным правилам, прошло х_4 = t периодов, когда наступило точечное событие^10.

Такое понимание пространства и времени всегда представлялось взору физиков, хотя, быть может, большей частью и бессознательно. Это ясно видно из той роли, какую играют эти понятия в физических измерениях. Такое толкование читатель должен был положить также в основу второго рассуждения последнего параграфа для того, чтобы придать ему некоторый смысл. Однако мы покажем теперь, что это толкование нужно отбросить и заменить более общим, чтобы последовательно провести общий постулат относительности, при условии, что специальная теория относительности сохраняется в предельном случае отсутствия гравитационного поля.

Введем в пространстве, свободном от гравитационных полей, галилееву координатную систему К(х, у, z, t) и, кроме того, координатную систему К’(х’, у’, z’, t’), которая равномерно вращается относительно К. Пусть начала координат обеих систем, так же как и их оси Z, все время совпадают друг с другом. Покажем, что вышеприведенные определения, касающиеся физического смысла длин и времен, не пригодны для изучения пространства и времени в системе К’.

Из соображений симметрии очевидно, что окружность в координатной плоскости XY системы К с центром в начале координат может в то же время рассматриваться как окружность в координатной плоскости X’Y’ системы К’. Теперь представим себе, что длина и диаметр этой окружности измерены при помощи единичного масштаба (бесконечно малого по сравнению с радиусом) и затем взято отношение обоих результатов измерения. Если выполнить этот эксперимент с масштабом, покоящимся относительно галилеевой системы К, то в качестве частного получится число π. Результатом измерения, выполненного с масштабом, покоящимся относительно системы К’, будет число большее π. В этом легко убедиться, если судить о процессе измерения из «покоящейся» системы К и принять во внимание, что масштаб, приложенный по касательной к окружности, претерпевает лоренцево сокращение, а радиально приложенный масштаб не изменяется. Поэтому относительно системы К’ геометрия Евклида оказывается несправедливой. Установленное нами ранее представление о координатах, которое предполагает применимость евклидовой геометрии, оказывается непригодным в системе К’. Также невозможным оказывается и введение в К’ удовлетворяющего физическим требованиям времени, которое показывали бы одинаковые часы, покоящиеся относительно К’. Для того чтобы в этом убедиться, представим себе, что в начале координат и где-нибудь на окружности установлено двое одинаковых часов, наблюдаемых из «покоящейся» системы К. Далее, согласно известному выводу специальной теории относительности, наблюдение по часам в системе К дает, что часы, установленные на окружности, идут медленнее часов, которые помещены в начале координат, поскольку первые движутся, а последние нет. Наблюдатель, который находится в общем начале координат и который способен, пользуясь светом, наблюдать часы, находящиеся на окружности, обнаружит, что часы, установленные на окружности, идут медленнее, чем часы, установленные рядом с ним. Поскольку наблюдатель не решится считать скорость света на пройденном светом пути явной функцией времени, то он объяснит свое наблюдение тем, что часы на окружности «действительно» идут медленнее часов, установленных в начале координат. Таким образом, он будет вынужден дать времени такое определение, которое указывало бы, что скорость хода часов зависит от места.

Три модели будущего Вселенной: инфляция, расширение, сжатие.

ВВЕРХУ

Вселенная вверху пережила период внезапного расширения, но затем начала схлопываться, что в конце концов приведет к Большому сжатию в массивную черную дыру.

В СЕРЕДИНЕ

Вселенная, подобная нашей: в ней наблюдается второе расширение с ускорением, которое может продолжаться, пока вселенная не превратится в холодную безжизненную пустоту или, как в предыдущем случае, не образует черную дыру.

ВНИЗУ

Вселенная, которая начинает расширяться на самых первых этапах существования и продолжает этот процесс, так и не создав ни галактик, ни звезд. Оранжевый круг на каждой иллюстрации отмечает момент, когда происходит основное расширение с ускорением.

Итак, мы приходим к следующему выводу: в общей теории относительности пространственные и временные величины не могут быть определены так, чтобы разности пространственных координат могли быть измерены непосредственно единичным масштабом, а разности временных – посредством стандартных часов.

Прежний способ, заключавшийся в определенном построении системы координат в пространственно-временном континууме, оказывается неприменимым. Представляется, что не существует пути, который позволил бы приспособить к четырехмерному миру такие координатные системы, чтобы с помощью их можно было бы ожидать особенно простой формулировки законов природы. Не остается ничего другого, как признать все мыслимые координатные системы принципиально равноправными для описания природы. Последнее равносильно следующему требованию.

Общие законы природы должны быть выражены через уравнения, справедливые во всех координатных системах, т. е. эти уравнения должны быть ковариантными относительно любых подстановок (общековариантными).

Физика, удовлетворяющая этому постулату, удовлетворит и общему постулату относительности, потому что в совокупности всех подстановок найдутся такие, которые соответствуют всем относительным движениям (трехмерных) координатных систем. Тот факт, что это требование общей ковариантности, отнимающее у пространства и времени последний остаток физической предметности, является естественным, видно из следующего соображения. Все наши пространственно-временные констатации всегда сводятся к установлению пространственно-временных совпадений. Так, если события состояли только в движении материальных точек, то в конце концов наблюдались бы только встречи двух или нескольких таких точек. Результаты наших измерений также являются не чем иным, как констатацией подобных встреч между материальными точками наших масштабов с другими материальными точками и соответственно совпадений между часовыми стрелками, точками циферблата и рассматриваемыми точечными событиями, происходящими в том же месте и в то же время.

Кротовые норы соединяют разные области пространства и  времени. Теоретически они опасны тем, что открываются совсем ненадолго, а затем закрываются, отрезав путь назад.

Координатная система вводится только для более простого описания совокупности совпадений. Четыре пространственно-временные переменные х_1, х_2, х_3, х_4 сопоставляются с миром таким образом, чтобы каждому точечному событию соответствовала некоторая система значений переменных х_1, … х_4. Двум совпадающим точечным событиям соответствует одна и та же система значений переменных х_1, … х_4, т. е. совпадение характеризуется равенством координат. Вводя вместо переменных х_1, … х_4 любые четыре функции от х’1, … х’4 как новую координатную систему так, чтобы эти системы значений однозначно соответствовали друг другу, мы получим, что равенство соответствующих координат в новой системе тоже является выражением пространственно-временного совпадения двух точечных событий. Так как все наши физические опытные данные можно в конце концов свести к таким совпадениям, то мы не можем априори отдать предпочтение какой-то выборочной координатной системе перед всеми другими. Таким образом, мы приходим к требованию общей ковариантности.

Парадокс кротовых нор наталкивает на мысль, что если мы вернемся в прошлое, то сумеем изменить его, а следовательно, изменится и будущее. Что будет, если вернуться в  прошлое и  убить собственного деда до того, как он успеет зачать твоего отца или мать?

Вопросы космологии и общая теория относительности

Дифференциальное уравнение Пуассона имеет вид

(1)

В совокупности с уравнением движения материальной точки это уравнение не может полностью заменить теорию дальнодействия Ньютона. К ним необходимо добавить условие того, что потенциал φ в пространственной бесконечности стремится к определенному пределу. Схожим образом обстоит дело и в теории тяготения, которая следует из общего принципа относительности. Здесь также к дифференциальным уравнениям должны быть добавлены граничные условия на пространственной бесконечности, если мы на самом деле рассматриваем мир бесконечно протяженным в пространстве.

В задачах, связанных с планетной системой, выбираются эти граничные условия при допущении, что можно выбрать такую координатную систему, в которой все потенциалы тяготения gμν на пространственной бесконечности становятся постоянными. Но изначально совершенно не очевидно, что при рассмотрении более значительных областей Вселенной можно вводить те же самые граничные условия. Ниже изложим соображения, которые мы получили до настоящего времени по этому принципиально важному вопросу.

§ 1. Теория Ньютона

Граничное условие Ньютона в форме существования постоянного предела для φ в пространственной бесконечности ведет к тому, что плотность материи на бесконечности обращается в нуль. Действительно, пусть во Вселенной существует область, вокруг которой гравитационное поле материи, рассматриваемое в целом, обладает сферической симметрией (центр). Тогда из уравнения Пуассона следует, что средняя плотность ρ с увеличением расстояния r от центра должна стремиться к нулю быстрее, чем 1/r^2, для того чтобы φ на бесконечности стремилось к некоторому пределу[17]. В этом смысле мир по Ньютону конечен, хотя может обладать бесконечно большой общей массой.

Из приведенного рассуждения прежде всего следует, что излучение, испускаемое небесными телами, частично покинет мир Ньютона по радиальному от центра направлению с тем, чтобы бесследно затеряться на бесконечности. Не может ли произойти то же с целым небесным телом? Едва ли можно отрицать этот факт, поскольку из предположения о существовании конечного предела для φ в пространственной бесконечности следует, что обладающее конечной кинетической энергией небесное тело может достичь пространственной бесконечности, преодолев ньютоновские силы притяжения. Согласно статистической механике, такие события должны происходить до тех пор, пока общая энергия звездной системы достаточно велика, чтобы – при переносе ее на одно небесное тело – последнее могло совершить путешествие на бесконечность, откуда оно никогда не сможет вернуться.

Можно было бы попытаться обойти эту своеобразную трудность, допустив, что указанный граничный потенциал имеет на бесконечности очень большое значение. Это было бы приемлемо, если бы изменение потенциала тяготения не определялось самим небесным телом. В действительности мы с неизбежностью приходим к заключению, что наличие значительных разностей потенциалов гравитационного поля противоречит фактам. Наоборот, разности потенциалов должны быть такого малого порядка, чтобы определяемые ими скорости звезд не превосходили фактически наблюдаемых скоростей.

Закон Больцмана распределения молекул газа, примененный к звездам, рассматривающий звездную систему как газ, который находится в стационарном тепловом движении, приводит к тому, что ньютоновская Вселенная вообще не могла бы существовать. Это следует из того, что конечной разности потенциалов между центром и бесконечностью соответствует конечное отношение плотностей. Таким образом, нулевая плотность на бесконечности влечет за собой нулевую плотность в центре.

Эти трудности, по-видимому, нельзя преодолеть, оставаясь в рамках теории Ньютона. Возникает вопрос, нельзя ли преодолеть их путем модификации теории Ньютона. Для этого прежде всего укажем путь, который не следует принимать слишком серьезно, так как он служит только для того, чтобы лучше уяснить последующие рассуждения. Вместо уравнения Пуассона напишем

(2)

где λ представляет собой некоторую универсальную постоянную.

Если ρ_0 есть постоянная плотность распределения массы, то

(3)

есть решение уравнения (2). Оно соответствует случаю равномерного пространственного распределения неподвижных звезд, причем плотность ρ_0 может равняться действительной средней плотности материи в мировом пространстве. Это решение соответствует бесконечно протяженному пространству, в среднем равномерно заполненному материей.

Звезда на стабильной стадии  существования.  Показано, что с ее поверхности исходит свет.

Звезда начинает схлопываться (средняя стадия), ее свет стягивается обратно к поверхности, пока не возникает граница (горизонт событий), за которую свет уже не может вырваться.

Если теперь предположить, что имеются местные неравномерности в распределении материи, не изменяющие среднего значения плотности распределения, то к постоянному значению (3) потенциала φ придется добавить дополнительную величину φ, которая вблизи более плотных масс будет тем более похожа на поле Ньютона, чем меньше αφ по сравнению с 4πΚρ.

Такой мир не имел бы центра по отношению к гравитационному полю, и не было бы надобности допускать, что плотность уменьшается на бесконечности. Наоборот, и средний потенциал, и средняя плотность были бы постоянны вплоть до бесконечности. При этом конфликт, отмеченный между теорией Ньютона и статистической механикой, отсутствовал бы. При постоянной (крайне малой) плотности материя находится в равновесии, не требуя внутренних сил (давления) для поддержания этого равновесия.

§ 2. Граничные условия, требуемые общей теорией относительности

В дальнейшем я предлагаю читателю последовать по пройденному мной самим извилистому и неровному пути, поскольку, как мне кажется, только так будет интересен конечный результат. Я пришел к убеждению, что уравнения гравитационного поля, которых я до сих пор придерживался, нуждаются еще в некоторой модификации, чтобы можно было на базе общей теории относительности избежать тех принципиальных трудностей, которые в предыдущем параграфе были указаны для теории Ньютона. Эта модификация полностью соответствует переходу от уравнения Пуассона (1) к уравнению (2) предыдущего параграфа. Тогда, наконец, получается, что граничные условия на пространственной бесконечности вообще отпадают, поскольку мировой континуум должен в отношении своих пространственных размеров рассматриваться как замкнутый континуум, имеющий конечный пространственный (трехмерный) объем.

Высказанное мной недавно мнение относительно граничных условий на пространственной бесконечности основано на следующих соображениях. В последовательной теории относительности нельзя определять инерцию по отношению к «пространству», но можно определять инерцию масс относительно друг друга. Следовательно, если я удаляю какую-нибудь массу на достаточно большое расстояние от всех других масс Вселенной, то инерция этой массы должна стремиться к нулю. Попытаемся сформулировать это условие математически.

Согласно общей теории относительности, импульс (с обратным знаком) определяется первыми тремя компонентами, а энергия – последней компонентой умноженного на √-g ковариантного тензора

(4)

причем, как всегда,

(5)

В особенно наглядном случае, когда координатную систему можно выбрать так, чтобы гравитационное поле в каждой точке было пространственно изотропно, последняя величина принимает более простой вид

Если одновременно

то в случае малых скоростей из выражения (4) для компонент импульса в первом приближении имеем

и для энергии (в случае покоя)

Из выражений для импульса следует, что играет роль инертной массы. Так как m – константа, связанная с точечной массой и независящая от положения этой массы, то при соблюдении условия, установленного для определителя, это выражение на пространственной бесконечности обращается в нуль только тогда, когда А стремится к нулю, а В стремится к бесконечности.

Рассмотренное поведение метрических коэффициентов gμν представляется нам как бы следствием относительности всякой инерции. Отсюда следует также и тот факт, что потенциальная энергия m√B точки на бесконечности становится бесконечно большой. Точечная масса никогда не может покинуть систему. Более детальное исследование показывает, что то же самое справедливо и для лучей света. Вселенная при таком поведении потенциала гравитационного поля на бесконечности не подвергалась бы опасности стать пустой, на что указывалось при обсуждении ньютоновской теории.

Упрощенные допущения о гравитационном потенциале, которые лежат в основе этих рассуждений, введены только для большей наглядности. Для описания поведения gμν на бесконечности можно найти общую формулировку, которая выразит суть без всяких ограничивающих допущений.

Пользуясь дружеской помощью математика Громмера, я исследовал центрально-симметричное статическое гравитационное поле, которое выражается на бесконечности указанным образом. Из заданного потенциала гравитационного поля gμν на основе уравнений гравитационного поля был вычислен тензор Tμν энергии материи. Однако при этом оказалось, что для звездной системы подобного рода граничные условия никак не могут быть приняты. Недавно это вполне справедливо было отмечено также астрономом де Ситтером. Действительно, контравариантный тензор Tμ энергии весомой материи имеет вид

где ρ означает естественно измеренную плотность материи.

При надлежащем выборе координатной системы скорости звезд очень малы по сравнению со скоростью света. Поэтому ds можно заменить на . Таким образом, все компоненты тензора Tμν очень малы по сравнению с последней его компонентой, T^44. Однако это условие никак нельзя совместить с выбранными граничными условиями. После всего изложенного такой результат не вызывает удивления. Факт незначительности звездных скоростей позволяет заключить, что всюду, где имеются неподвижные звезды, потенциал гравитационного поля (в нашем случае √В) не может быть существенно больше, чем у нас. Последнее следует из статистических соображений так же, как и в теории Ньютона. Во всяком случае, наши вычисления привели меня к убеждению, что подобные условия вырождения для gμν в пространственной бесконечности не могут быть постулированы.

Неудача этой попытки указывает на две возможности: а) требовать, как в случае планетной проблемы, чтобы на пространственной бесконечности gμν при надлежащем выборе системы координат стремились к значениям

или б) не устанавливать для пространственной бесконечности никаких фиксированных граничных условий. В каждом отдельном случае следует особо задавать gμν на пространственной границе рассматриваемой области так же, как мы привыкли это делать до сих пор, задавая начальные условия.

Возможность «б» не соответствует какому-либо решению проблемы. Она означает отказ от ее решения. Правомерность такой точки зрения нельзя отрицать – в настоящее время ее придерживается де Ситтер[18]. Но я должен признаться, что мне трудно было бы пойти на столь большие уступки в этом принципиальном вопросе. С этим я соглашусь только в том случае, если все усилия найти удовлетворительные граничные условия окажутся тщетными.

Возможность «а» неудовлетворительна во многих отношениях. Во-первых, такие граничные условия предполагают определенный выбор системы отсчета, что несовместимо с духом принципа относительности. Во-вторых, эта возможность ведет к отказу от требования относительности инерции. Действительно, инерция материальной точки с естественно измеренной массой m зависит от gμν, но последние лишь очень мало отличаются от постулированных значений на пространственной бесконечности. Благодаря этому, несмотря на то что материя (находящаяся на конечном расстоянии) влияет на инерцию, но все-таки не обусловливает последнюю. Если бы существовала только одна материальная точка, то она, согласно этому представлению, обладала бы почти такой же инерцией, как и в том случае, когда она окружена всеми прочими массами нашего реального мира. Наконец, против этого представления нужно выдвинуть те же статистические возражения, которые выше были указаны для теории Ньютона.

Теория струн, разработанная по большей части уже после смерти Эйнштейна, породила новые модели зарождения Вселенной.

Из всего сказанного выше следует, что мне не удалось установить граничных условий для пространственной бесконечности. Тем не менее существует еще одна возможность, позволяющая обойтись без отказа, упомянутого в «б». Так, если бы можно было рассматривать мир в его пространственной протяженности как замкнутый континуум, то полностью отпала бы необходимость в подобного рода граничных условиях. Из дальнейшего будет видно, что и требование общего принципа относительности, и факт незначительности скоростей звезд совместимы с гипотезой пространственной замкнутости Вселенной. Однако для осуществления этого необходимо некоторое обобщение уравнений гравитационного поля.

§ 3. Пространственно замкнутый мир с равномерно распределенной материей

Согласно общей теории относительности, метрический характер (кривизна) четырехмерного пространственно-временного континуума определяется в каждой точке находящейся в ней материей и состоянием последней. Из-за неравномерности распределения материи метрическая структура этого континуума должна быть крайне запутанной. Однако говоря о структуре пространства в целом, можно представить материю как бы равномерно распределенной по очень большой области пространства, так что ее плотность распределения становится чрезвычайно медленно меняющейся функцией. В данном случае мы поступаем так же, как геодезисты, которые крайне сложную в деталях поверхность Земли приближенно заменяют эллипсоидом.

Наиболее важное из того, что нам дает опыт о распределении материи, заключается в том, что относительные скорости звезд очень малы по сравнению со скоростью света. На этом основании я полагаю, что на начальном этапе в основу наших рассуждений можно положить приближенное допущение: пусть существует координатная система, относительно которой материю можно рассматривать находящейся в течение продолжительного времени в покое. По отношению к этой координатной системе контравариантный тензор материи Tμν, в силу (5), имеет следующий простой вид:

(6)

Скаляр ρ (средней) плотности распределения изначально может быть зависимым от пространственных координат, но, предположив, что мир пространственно замкнут, мы можем сформулировать гипотезу о том, что ρ не зависит от места. Эту гипотезу мы положим в основу дальнейших рассуждений.

Что касается гравитационного поля, то из уравнения движения материальной точки

следует, что материальная точка в статическом гравитационном поле может находиться в покое только тогда, когда g_44 не зависит от места. Так как, кроме того, мы для всех величин предполагаем независимость от временной координаты х_4, то для искомого решения можем потребовать, чтобы для всех xν

g_44 = 1. (7)

Далее, как это обычно делается в статических задачах, примем, что

g_14 = g_24= g_34= 0. (8)

Остается определить те компоненты потенциала гравитационного поля, которые характеризуют чисто пространственно-геометрические свойства нашего континуума (g_11, g_12, …, g_33). Из введенного допущения о равномерности распределения масс, создающих поле, следует, что и кривизна искомого метрического пространства должна быть постоянной. Таким образом, при заданном распределении масс искомый замкнутый континуум (х_1, х_2, х_3 при постоянном х_4) должен быть сферическим пространством.

Такое пространство можно получить, например, если исходить из евклидова пространства (ξ_1, ξ_2, ξ_3, ξ_4) четырех измерений с линейным элементом dσ. В этом случае

(9)

Рассмотрим в этом пространстве гиперповерхность

(10)

где R – постоянная. Точки этой гиперповерхности образуют трехмерный континуум – сферический объем с радиусом кривизны R.

Четырехмерное евклидово пространство, из которого мы исходили, служит только для удобного определения нашей гиперповерхности. Нас интересуют только точки этой поверхности, метрические свойства которой должны совпадать со свойствами физического пространства с равномерным распределением материи. Для описания этого трехмерного континуума воспользуемся координатами ξ_1, ξ_2, ξ_3 (проекции на гиперплоскость ξ_4 = 0), так как, в силу (10), можно ξ_4 выразить через ξ_1, ξ_2, ξ_3. Исключая ξ_4 из (9), получаем следующее выражение для линейного элемента сферического пространства:

где δμν = 1, если μ = ν, и δμν = 0, если μ =/ ν,

.

Выбранные координаты удобны, когда речь идет об исследовании окрестности точки ξ_1 = ξ_2 = ξ_3 = 0.

Итак, теперь у нас есть также и линейный элемент искомого четырехмерного пространственно-временного мира. Очевидно, для потенциалов gμν, у которых оба индекса отличаются от 4, мы должны написать

(12)

Полученное равенство вместе с соотношениями (7) и (8) вполне определяет свойства масштабов, часов и лучей света в рассматриваемом четырехмерном мире.

§ 4. Заключительные замечания

Приведенные выше рассуждения показывают, что теоретически можно построить материю только из гравитационного и электромагнитного полей, не вводя никаких гипотетических дополнительных членов в духе теории Ми. Эта возможность представляется особенно содержательной потому, что она освобождает нас от необходимости введения особой постоянной α для решения космологической проблемы. С другой стороны, присутствует и своеобразная трудность. Так, если применить уравнение (1) к случаю статического сферически симметричного поля, то мы получаем на одно уравнение меньше, чем нужно для определения gμν и Φμν. Таким образом оказывается, что всякое распределение электричества, совместимое со сферической симметрией, может оставаться в равновесии. В настоящий момент проблему построения теории элементарных частиц нельзя решить на основе указанных уравнений поля.

Стивен Хокинг

Стивена Хокинга считают вторым по гениальности физиком-теоретиком после Эйнштейна. Он много сделал для популяризации науки: его книга «Краткая история времени» переведена на 40 языков и разошлась общим тиражом в 10 миллионов экземпляров. Читатели хорошо приняли и другие книги, в том числе написанные в соавторстве с другими учеными.

Хокинг родился в Оксфорде 8 января 1942 года (спустя ровно 300 лет после смерти Галилея). Он изучал физику в Университетском колледже, получил докторскую степень по космологии в Кембридже и с 1979 года занимал пост лукасовского профессора математики. Эту должность создали в 1663 году на средства преподобного Лукаса Генри, члена парламента от Кембриджского университета. Первым лукасовским профессором был Исаак Барроу, а затем, в 1669 году, кафедру занял Исаак Ньютон. Эту должность присуждают тем, кого считают самым выдающимся мыслителем своего времени.

Профессор Хокинг изучал фундаментальные законы, управляющие Вселенной. Совместно с Роджером Пенроузом он показал, что из эйнштейновской общей теории относительности следует, что у времени и пространства было начало – Большой взрыв – и бывает конец – черная дыра. Рассчеты показали, что необходимо объединить ОТО и квантовую механику – еще одно великое научное достижение первой половины ХХ века. В числе следствий подобного объединения было открытие Хокинга: черные дыры не могут быть абсолютно черными, они излучают и впоследствии испаряются. Кроме того, Хокинг сделал вывод, что у Вселенной нет ни края, ни границы в мнимом времени.

Стивен Хокинг – обладатель двенадцати почетных степеней, множества медалей и наград, лауреат многих премий. Он член Королевского общества и Национальной академии наук США. Он сочетает семейную жизнь (у него трое детей и трое внуков) и исследования в области теоретической физики с насыщенной программой путешествий и публичных выступлений.

Сноски

1

Это предисловие первоначально приписывали Копернику, однако теперь считают, что его составил Андреас Осиандер, лютеранский богослов и друг Коперника, надзиравший над изданием De Revolutionibus.

2

По Птолемею, Венера движется по эпициклу, отношение радиуса которого к радиусу эксцентрической окружности, по которой движется сам эпицикл, составляет почти три к четырем. Этим объяснялось изменение видимого размера планеты при изменении расстояния между Венерой и Землей в соотношениях, указанных Осиандером. Более того, было обнаружено, что при любом положении планеты на эпицикле среднее положение Солнца совпадает с прямой, проходящей через точки E, P и A.

Таким образом, с учетом соотношений эпицикла и эксцентрика, Венера с Земли никогда не должна быть видна на угловом расстоянии, существенно превышающем 40° от центра ее эпицикла, то есть от среднего положения Солнца, что и показывают наблюдения.

3

Три вводных абзаца включены в Торунское и Варшавское издания.

4

Здесь имеются в виду как сферы планет (sphaera), так и «орбитальные круги» (orbis), по которым движутся планеты в своих сферах. Коперник употребляет именно слово orbis, то есть говорит в основном не о сфере, а о круге, поскольку, хотя для механического обоснования движения планеты необходима сфера, для математического достаточно круга.

5

Ибо в своем «Комментарии о Марсе» (глава 48, стр. 232), я доказал, что это арифметическое среднее либо равно диаметру круга, равному по длине эллиптической орбите, либо немного меньше.

6

Кеплер всегда считает отношение большего к меньшему, а не предшествующего к последующему, как принято сегодня. Например, у Кеплера 2:3 равно 3:2, а 3:4 больше 7:8. – Прим. Чарльза Глена Уоллеса, переводчика английского издания «Гармонии мира».

7

Имеется в виду, что поскольку Сатурн и Юпитер делают один оборот друг относительно друга каждые двадцать лет, то раз в двадцать лет они находятся на расстоянии 81°, тогда как конечный точки этой дуги в 81° проходят эклиптику скачками и совпадают с апсидами приблизительно раз в восемьсот лет. – Прим. Чарльза Глена Уоллеса.

8

Здесь не будет обсуждаться неточность, содержащаяся в понятии одновременности двух событий, происходящих (приблизительно) в одном и том же месте, которая должна быть преодолена также с помощью некоторой абстракции.

9

Здесь «время» означает «время покоящейся системы» и вместе с тем «положение стрелки движущихся часов, которые находятся в том месте, о котором идет речь».

10

A. Einstein. Jahrbuch fur Radioakt. und Elektronik, 4,1907.

11

Конечно, нельзя любое поле тяжести заменить состоянием движения системы без гравитационного поля, точно так же, как нельзя преобразовать все точки произвольно движущейся среды к покою посредством релятивистского преобразования.

12

Размеры систем S1 и S2 рассматриваются как бесконечно малые по сравнению с h.

13

A. Einstein. Ann. der Phys., 1905, 17, 891. (Статья 1).

14

Джевил [L. F. Jewell. J. de phys., 1897, 6, 84] и особенно Фабри и Буассон [Ch. Fabry, Н. Boisson. Compt. Rend., 1909, 148, 688–690] действительно нашли подобное смещение узких спектральных линий в сторону красного конца спектра, вычисленного выше порядка, но приписали это смещение влиянию давления в поглощающем слое.

15

Удовлетворительный с теоретико-познавательной точки зрения ответ может, конечно, еще оказаться физически неверным в том случае, когда он не согласуется с другими опытными данными.

16

Этвеш экспериментально доказал, что гравитационное поле обладает этим свойством с большой степенью точности.

17

Здесь ρ – средняя плотность материи, определенная для области пространства, большой по сравнению с расстоянием между соседними неподвижными звездами, но малой по сравнению с размерами всей звездной системы.

18

De Sitter. Ak. van Wesensch. te Amsterdam. November 8, 1916.

Content

Стивен Хокинг
На плечах гигантов

О приведенных фрагментах

Введение

Николай Коперник (1473–1543)

Жизнь и деятельность

О вращениях небесных сфер

Галилео Галилей (1564–1642)

Жизнь и деятельность

Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки

О естественно ускоренном движении

Иоганн Кеплер (1571–1630)

Жизнь и деятельность

Гармония мира

Введение

О пяти правильных геометрических телах

Исаак Ньютон (1642–1727)

Жизнь и деятельность

Математические начала натуральной философии

Книга третья

О движении узлов луны

Альберт Эйнштейн (1879–1955)

Жизнь и деятельность

Из сборника «Принцип относительности»

I. Кинематическая часть

Основы общей теории относительности А. Принципиальные соображения о постулате относительности

Вопросы космологии и общая теория относительности

Стивен Хокинг

Сноски