Число, пришедшее с холода.

Когда математика становится приключением

Предисловие

Нет в мире ничего холоднее чисел.

Высказывая это утверждение, люди, как правило, под словом «холодный» имеют в виду нечто обезличенное и бесчувственное. Действительно, когда в пылу жаркого спора одна из сторон выкладывает «цифры на стол», то противная сторона немедленно умолкает. С числами не поспоришь. В их облике таится нечто окончательное. То, что запечатлено числом, не может быть ни отвергнуто, ни оспорено.

В то время как Гераклит рассматривал осуществление перемен в мире как результат воздействия согревающего пламени, в огне которого и происходит возникновение нового, Парменид из Элеи, вооружившись железной логикой, возражал на это следующее: в мире невозможно ни возникновение, ни исчезновение, ибо как может нечто возникнуть из ничего? Как может вдруг исчезнуть то, что существует? Изменение, по Пармениду, — это всего лишь иллюзия. Утверждение Парменида сулит устойчивость и надежность. Ноль всегда останется нулем, единица — единицей, и ноль всегда будет отличаться от единицы.

Недаром Платон, на которого оказала влияние Элейская школа, требует от всех учащихся своей Академии, от всех, кого он обещал сделать будущими властителями мира, царями философов, от всех своих последователей безупречного знания математики.

Только тот, кто знает решающие, сокровенные числа, тот, кто умеет ими манипулировать, обладает правом на последнее, решающее слово. То слово, которое идет «в счет» в глазах всех остальных. Это слово могущественного властителя. И это холодное, безличное слово.

Однако Парменид ошибается.

Именно об этой ошибке и рассказано в этой книге. Из великого множества историй о якобы безмерной власти чисел отобраны лишь немногие. Предпочтение было отдано не исторически проверенным во всех подробностях историям — se non è vero, è ben trovato {1}, — а только тем, в которых проводится идея о том, что числа не просто оказались у людей под рукой. Числа были изобретены для того, чтобы упорядочить мир и сделать его обозримым. Числа — наши слуги, а отнюдь не господа. Числа — не фундамент бытия, ибо его никак нельзя назвать «холодным». Числа, однако, являются удобными обозначениями, облегчающими понимание мира.

Рассказы о числах, о математике как выдающемся достижении человеческой культуры, представление их широкой публике являются целью существующего уже десять лет проекта math.space, штаб-квартира которого находится в Музейном квартале Вены, а деятельность финансируется министерствами образования, науки, технологии и финансов Австрии. Сотни мероприятий этого проекта были организованы моей супругой Бьянкой. В ходе этих мероприятий всем желающим были наглядно продемонстрированы многообразные черты числового математического мира. Многое, если не все, о чем вы прочтете в этой книге, было намечено в рамках math.space, иногда весьма эскизно. В связи с этим я хочу от всего сердца поблагодарить мою жену за то, что она все эти годы неустанно помогала мне, неизменно подставляя свое плечо в самые трудные моменты. Наша дочь Лаура своими неожиданными вопросами научила меня тому, что даже самое глубокое знание имеет неопровержимое и одновременно простое объяснение, а наш сын Александр внимательно прочитал рукопись и обратил мое внимание на некоторые досадные ошибки. Он очень помог мне советами и конструктивной критикой.

Я приношу мою искреннюю сердечную благодарность также издательскому дому Hanser, а в особенности господину Кристиану Коту за его непоколебимую веру в мои писательские способности, за чудесное сотрудничество, за великолепное оформление книги, которое, как я надеюсь, уменьшит страх читателей перед холодными числами, ибо я уверен, что истории, в которые им предстоит погрузиться, заставят их забыть о морозе и холоде.

Только ноль делает числа большими

Тайна четвёртого года

Тутанхамона лишил жизни укус комара. Комар заразил его — великого фараона, властителя Египта — малярией, болезнью, сопровождающейся высокой лихорадкой, от которой может умереть человек с ослабленным здоровьем. Тутанхамон же был очень слаб. С самого рождения у него были больные кости, и передвигаться он мог только на костылях. С детства же у Тутанхамона был сильно искривлен позвоночник. Возбудитель малярии шутя справился с хрупким молодым человеком, ставшим фараоном в девятилетнем возрасте и царствовавшим на протяжении всего лишь десяти лет.

Когда в 1922 г. английский археолог Говард Картер и его коллеги обнаружили гробницу несчастного фараона, они были изрядно воодушевлены и обрадованы: в отличие от гробниц многих других фараонов, эта оказалась практически нетронутой. Сокровища других гробниц были тысячи лет назад присвоены грабителями могил. Грабители хотели обчистить и гробницу Тутанхамона — украсть оттуда все золото и драгоценные украшения, — но что-то помешало их намерениям. Они побросали награбленное и в спешке бежали от гробницы. Таким образом, Картер открыл практически нетронутым внутреннее убранство захоронения. В свете факелов и фонарей во тьме склепа сверкнуло золото, ожидавшее своего открытия 3244 года — столько лет к тому времени прошло после смерти фараона.

Что побуждало египтян воздавать такие немыслимые почести своему повелителю, который на деле был лишь чахлым смертным? Это почитание продолжилось и после его преждевременной кончины — последнее пристанище фараона было обставлено с невиданной роскошью и убрано сокровищами и богатыми загробными дарами. Почему? Большинство египтян никогда в жизни не видели своего фараона. Эти египтяне до изнеможения работали в полях и мастерских на берегах Нила, великой реки, которая течет к Средиземному морю, рассекая надвое великую пустыню, давая возможность людям жить среди негостеприимных и бесплодных песков. Нил дарит людям необходимую им воду и, сверх того, регулярно разливается, затапливая и орошая долину. Во время этих разливов Нил приносит из своих верховьев на далеком юге плодородный ил, который осаждается на землю и остается на ней, когда воды реки отступают. Этот ил настолько плодороден, что позволяет снимать с полей богатейший урожай. Для крестьян и ремесленников фараон был далеким, неведомым, но могущественным существом. Люди слышали чудесные рассказы об этом таинственном царе, который — если верить слухам — и сам был сыном богов, пришедшим с неба, чтобы властвовать над Египтом. Простому народу внушали мысль о всемогуществе властителя. Именно он приказывал Нилу разливаться и отступать.

Собственно, даже немногие придворные, удостоенные чести видеть лицо фараона, встречались с ним лишь в определенные священные дни. Облаченный в позолоченные, украшенные драгоценностями одежды, скрывавшие болезненное изуродованное тело, держа в руке, как скипетр, анх — увенчанный кольцом крест, он торжественно возглашал с трона: да наступят снова дни, когда Нил выйдет из берегов, оплодотворит иссохшую землю и дарует нам пищу и жизнь. Вероятно, существовала лишь немногочисленная горстка избранных, прекрасно осведомленных об истинном состоянии хрупкого здоровья фараона. Но это знание ни при каких обстоятельствах не должно было выходить за пределы узкого круга ближайших советников — только им было дозволено знать, что фараон отнюдь не могучий отпрыск богов, а обычный, тяжело больной смертный. Если бы подданные узнали правду, то вера египтян в своего владыку немедленно пошатнулась бы, а это угрожало распадом всему великому царству. Советники фараона были убеждены в том, что должен существовать некто, управляющий и руководящий всеми работами подданных, человек, который должен повелевать, когда сеять, а когда жать. Этим человеком был фараон, сын своего отца и наследник всех своих предков, которые тоже были фараонами, независимо от того, насколько жалкое зрелище они могли собою представлять.

Тутанхамон сам не мог знать, когда именно в этом году благодетельный Нил выйдет из берегов, чтобы принести в долину плодородный ил. Эти сведения сообщали фараону его советники. Собственно, они-то и были истинными властителями страны, скрывавшимися за облаченным в роскошные одежды фараоном. Так советники поддерживали тысячелетнюю традицию — и делали это не только из почтения к царствующему дому, но и по собственному желанию: такая позиция позволяла им избегать множества обременительных обязанностей, которые должен был исполнять фараон: принимать царей и послов чужеземных стран, при необходимости выступать во главе армии в далекий поход и вести войну, а во время великих празднеств и торжеств присутствовать на церемониях и по многу часов стоять в тяжелой и неудобной одежде, сохраняя на лице мину показного величия. Советники же вели приятную, не обремененную лишними хлопотами жизнь в тени славного и великого фараона.

Они могли позволить себе такую спокойную жизнь, ибо знали, как рассчитывать сроки плодоносных разливов Нила. Советники ночами регулярно наблюдали звезды, освещавшие египетскую пустыню, и установили, что каждый раз, когда одна особенно яркая звезда появляется на небе непосредственно перед восходом солнца — звезда Сириус из созвездия Большого Пса, — начинается разлив Нила. Этот период называли собачьими днями, и в латинском переводе это наименование сохранилось до наших дней{2}. Но самое главное, что египетские жрецы и советники фараона умели делать то, чего не умел, кроме них, никто в Египте.

Они умели считать.

И не до восьми или двенадцати — это умели делать и крестьяне, — а до ста и дальше — до двухсот и трехсот. На такое в те времена были способны очень немногие. Дело в том, что в Древнем Египте почти никто не умел писать, а такие большие числа, как 365 или 1460, можно усвоить только в том случае, если можешь их записать.

Фактически именно эти два важнейших числа помогали ближайшим советникам фараона сохранять свою власть и могущество.

Значение числа 365 лежит на поверхности: египетские жрецы и ученые писцы знали, что от одного восхождения Сириуса до следующего проходит почти точно 365 дней. Именно это и считали продолжительностью египетского года. Советники фараона вели тщательные наблюдения звездного неба в течение многих десятилетий и сумели раскрыть еще более значимую тайну: восхождение Сириуса постепенно, год от года запаздывало, и каждые четыре года запаздывало ровно на один день. Сообщая народу о продолжительности года, они тем не менее удержали при себе знание о запаздывании восходов Сириуса. Для того чтобы сделать год более обозримым для неграмотного народа, жрецы разделили год на двенадцать месяцев, а каждый месяц — на три декады, то есть три промежутка по десять дней. Следовательно, продолжительность каждого месяца составляла тридцать дней. То есть двенадцать месяцев по тридцать дней составили период длительностью 360 дней. По окончании двенадцати месяцев жрецы добавляли к ним пять дополнительных праздничных дней. Так им удалось сделать продолжительность года равной 365 дням[1] {3}.

Тем не менее жрецы сохранили в тайне истинное знание о том, когда именно каждый раз восходит Сириус. Каждый четвертый год дата восхода изменялась, и каждый раз народу заново объявляли, когда Сириус возвестит о начале разлива Нила. Это каждый раз было загадкой для крестьян, но не для жрецов и писцов. Они знали: по прошествии четырех лет восход Сириуса произойдет на день позже. Когда минует десять раз по четыре года, то есть через сорок лет, восход отодвинется на декаду. Когда пройдет 30 раз по четыре года, то есть через сто двадцать лет, — на месяц. А когда минует четыре раза по 365 лет, то есть через 1460 лет, большой цикл Сириуса подойдет к концу, дата восхода повторится и цикл начнется сначала. Этот цикл был назван жрецами циклом богини Сопдет. Каждые четыре года этого цикла один день торжественно отмечался как новый день восхода Сириуса. Однако никто, кроме жрецов и ученых писцов, даже не догадывался о цикле с такой невероятной длительностью, как 1460 лет.

Писцы и жрецы очень хотели, чтобы так продолжалось всегда. Умеющие считать и знавшие числа вельможи, жрецы и писцы держали народ в полной уверенности, что фараон каждый раз заново получает от богов сведения о дате начала разлива Нила. Когда же в 237 г. до н. э., спустя три поколения после того, как Александр Македонский со своей греческой армией завоевал Египет, был основан город, названный в его честь Александрией, а в нем была учреждена знаменитая библиотека, и в Египте стало много людей, умеющих читать и писать, и фараон Птолемей III, сам будучи образованным греком, решил своим указом добавить еще один день к каждому четвертому году, египетское жречество энергично запротестовало. После смерти Птолемея его указ был сразу же отменен. При соблюдении нового календаря получилось бы, что Нил каждый год разливался бы в одни и те же дни года и подданным стали бы не нужны предсказания фараона, а значит, жрецы и писцы утратили бы все свое влияние.

Большие числа обеспечивают большое могущество.

Могущественные числа дракона Тиамат

В Египте сведущие в числах жрецы наблюдали Сириус, а астрономы Междуречья, пустынной области, по которой протекают две животворящие реки Евфрат и Тигр, следили за движениями двух самых ярких тел небосвода — Солнца и Луны. Оба светила восходят на востоке, на юге достигают наивысшего положения на небосклоне, а затем исчезают за горизонтом в западном направлении. Сегодня мы знаем, что это кажущееся движение видится нам благодаря тому, что Земля вращается вокруг своей оси в направлении с запада на восток. Вследствие этого весь небесный свод за двадцать четыре часа совершает кажущееся движение по замкнутому кругу в направлении с востока на запад.

Помимо этого, Солнце и Луна находятся на небосклоне не в одних и тех же фиксированных местах, а движутся по небесной сфере вдоль расположенных очень близко друг к другу окружностей, которые проходят через двенадцать созвездий: Овен, Телец, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог, Водолей и Рыбы. Окружность на небесной сфере, вдоль которой движется Солнце в течение года, называется эклиптикой. Слово это происходит от греческого слова ἐκλείπειν — «исчезать». Мы скоро увидим, почему так назвали эту окружность. Для того чтобы пройти по эклиптике, Солнцу требуется ровно 365 дней и еще четверть суток. Когда древневавилонский астроном определял положение Солнца на небосводе, а затем ровно через двенадцать часов направлял инструмент на то же место небосклона, он видел то созвездие, которое в тот момент противостояло Солнцу на эклиптике.

Гелиоцентрическая картина мира учит, что не Солнце движется по эклиптике, а Земля в течение года огибает по ней Солнце. Земля по ходу этого движения занимает разные положения на своей орбите, и благодаря этому мы видим, как Солнце, перемещаясь по эклиптике, попадает в разные знаки зодиака.

Луна, напротив, действительно обращается вокруг Земли, и путь Луны по небосклону представляет собой замкнутую окружность, которую ночное светило проходит за очень короткий срок — 27 суток и приблизительно восемь часов, то есть за так называемый сидерический (звездный) месяц. Так как за это время Солнце тоже перемещается на какое-то расстояние по эклиптике, то по истечении сидерического месяца Луна освещается Солнцем под несколько иным углом, нежели в начале месяца. Таким образом, для того чтобы занять относительно Солнца прежнее положение, Луне требуется немного больше времени. Это время соответствует так называемому синодическому месяцу, который длится почти точно 29 суток и двенадцать часов. По истечении синодического месяца Луна вступает в ту же фазу, в которой она была в начале синодического месяца. Месяцы, которыми астрономы пользовались для членения времени, определялись согласно этим лунным фазам: продолжительность месяца поочередно составляла 29 и 30 дней. Жители Междуречья чествовали своих богов в полнолуние, когда совершались паломничества в храмы. Люди предпочитали не пускаться в трудный путь под палящими лучами солнца, а совершали паломничества по ночам. Для того чтобы не сбиться с дороги, нужен был свет луны, и поэтому паломничества совершались в полнолуние. Круг еврейских праздников тоже ориентирован на полнолуния: Песах, когда отмечают освобождение из египетского рабства, празднуют в полнолуние первого весеннего месяца ниссана. Христианская Пасха, увязанная с иудейским Песахом, празднуется в первое воскресенье после него{4}.

Окружность, по которой Луна пересекает небесный свод, тоже пролегает через двенадцать созвездий зодиака. Однако траектория движения Луны не вполне, а лишь приблизительно соответствует эклиптике. Если бы орбита Луны в точности совпадала с эклиптикой, то в каждое новолуние происходило бы солнечное затмение, потому что Луна, невидимая с Земли сторона которой освещается в это время Солнцем, оказалась бы непосредственно перед Солнцем и заслонила бы собой дневное светило. При каждом же полнолунии мы наблюдали бы лунное затмение, потому что в эти моменты Земля находилась бы как раз между Солнцем и Луной и тень нашей планеты закрыла бы ночное светило. Однако орбита Луны наклонена к плоскости эклиптики на угол около пяти градусов, и поэтому при новолунии редко случаются солнечные затмения, а при полнолунии — лунные.

Все это было хорошо известно вавилонским ученым, но неведомо простому народу.

Астрономы с большой точностью вычисляли траекторию движения Луны с вершин своих зиккуратов, ступенчатых храмовых башен, возвышавшихся не только над знойным городским маревом, но и над скоплениями простонародья. Одна половина пути Луны пролегает над эклиптикой, а вторая половина — под ней. В двух диаметрально противоположных точках небесной сферы орбита Луны пересекает эклиптику. Эти две точки на ней называют лунными узлами. Вавилонские ученые называли одну точку «головой дракона», а вторую — «хвостом дракона».

Дело в том, объясняли ученые вавилоняне изумленным слушателям, что на небе проживает таинственный дракон Тиамат. Там, куда смотрит его голова, начинается путь Луны над эклиптикой. Там же, где на противоположной стороне небесной сферы находится хвост дракона, путь Луны снова пересекает эклиптику, и Луна ныряет под нее. Иногда, в моменты, известные только богам, дракон заглатывает солнце или же сдавливает его своим хвостом.

Рис. 1. Для находящегося на Земле наблюдателя Солнце в течение года описывает по небесной сфере пролегающую через созвездия зодиака окружность, называемую эклиптикой. Видимая орбита Луны наклонена к плоскости эклиптики приблизительно на пять градусов. Луна проходит свою орбиту за один (сидерический) месяц. Воображаемые точки пересечения орбиты Луны с эклиптикой называют лунными узлами, находящимися в точках небосклона, которые древневавилонские астрономы называли головой и хвостом дракона. Затмения происходят только тогда, когда Солнце и Луна находятся на прямой, соединяющей голову и хвост дракона. Если Солнце и Луна при этом оказываются по разные стороны от Земли, то наблюдают лунное затмение, если же по одну сторону, то солнечное

Напуганные слушатели спрашивали ученых:

— Что произойдет, если дракон захватит пастью солнце или сдавит его своим хвостом?

— Солнце исчезнет, и нам будет угрожать тьма, — отвечали ученые жрецы.

— Когда это произойдет?

— Мы должны вопросить богов, может быть, они соблаговолят дать нам ответ. Если же вы принесете приятную богам жертву, то они принудят дракона отпустить солнце, чтобы оно продолжало светить нам.

Однако, вместо того чтобы вопрошать богов, ученые с невероятной тщательностью и точностью наблюдали за движениями Луны и Солнца, со всей доступной им точностью измеряя время, необходимое Луне, чтобы дойти от головы дракона к его хвосту, а затем обратно — от хвоста к голове. Полное время прохождения Луны туда и обратно немного короче сидерического месяца. Ученые могли предъявить длинный список этих временных промежутков. Эти списки подсказывали жрецам, что можно сообщить народу о божественной воле. Затмение могло произойти только тогда, когда Луна находится в одном из лунных узлов. При этом Луна должна находиться либо в фазе полнолуния, либо новолуния. Кроме того, промежуток между двумя полнолуниями был хорошо известен вавилонским астрономам как синодический месяц. Обладая такими знаниями, вавилонские астрономы были в состоянии предсказывать солнечные затмения. Такое затмение может произойти только тогда, когда новая Луна находится либо в голове, либо в хвосте дракона. Иногда ждать затмения приходилось очень долго. От одного полного солнечного затмения до другого в какой-то одной точке поверхности Земли проходит в среднем около ста сорока лет. Такая редкость придает солнечным затмениям невероятное очарование, а кроме того, на древних людей, не понимавших причин затмений, они наводили суеверный ужас.

4 июля 587 г. до н. э. на небе висела полная Луна, и вместе со многими другими людьми греческий философ Фалес Милетский ночью наблюдал лунное затмение. Каким-то образом Фалесу удалось выведать у вавилонских астрономов числовую тайну дракона Тиамат. Через двадцать три с половиной месяца, поведали вавилоняне Фалесу, наступит новолуние, после того как Луна двадцать пять раз пройдет через голову дракона и двадцать пять раз через хвост дракона и вместе с Солнцем окажется напротив узла, что приведет к полному солнечному затмению. Тогда Фалесу оставалось выполнить лишь дополнительные расчеты: 23 с половиной синодических месяца — это 693 дня, на тридцать семь дней меньше чем два года. Следовательно, солнечное затмение должно было произойти за 37 дней до 4 июля 585 г. до н. э., или за тридцать три дня до 30 июня, или 28 мая того же года.

Теперь представьте себе картину: вавилонский жрец выходит к народу и говорит:

— Завтра дракон Тиамат раскроет свою ужасную пасть и поглотит солнце, окружив его чернотой. Померкнет небо, и наступит сумрак. Все вокруг потемнеет. Но мы усердно молились богам, и они уговорят дракона освободить и вернуть солнце. Возносите же хвалы богам и приносите им щедрые жертвы!

На следующий день жители Вавилона были встревожены настолько, что побросали свои привычные занятия и, забыв покой, жадно смотрели в небо. Действительно, в какой-то момент солнце померкло, как и предсказывал жрец, а через несколько минут светило вырвалось из мрачной тени. Своим точным предсказанием жрец обеспечил безбедную жизнь себе, своим детям, внукам и правнукам. Отныне ни один вавилонянин не посмеет оспаривать авторитет жреца.

В действительности же за этим предсказанием не стояло ничего иного, кроме умения оперировать большими числами.

Согласно легенде, Фалес заблаговременно предсказал солнечное затмение 28 мая 585 г. до н. э. Однако в отличие от жрецов Вавилона Фалес не стал апеллировать к суеверию толпы, а объявил о том, что своим знанием он обязан умению работать с большими числами. За магической историей о драконе Тиамат стояли холодные, бесстрастные числа. Мало того, большие числа, недоступные большей части безграмотного населения.

Число и письмо

Умение оперировать числами было в древние времена вратами, ведущими к богатой и беззаботной жизни. Важный шаг в этом направлении сделали древнеегипетские землемеры. Они умели оперировать с числами, большими дюжины и доходившими до нескольких сотен. Нужно было уметь считать в таких пределах для того, чтобы нарезать крестьянам участки полей определенной длины и ширины. Кроме того, счета в этих пределах хватало для того, чтобы подсчитывать число мешков зерна, поставленных крестьянами. Считали также число запряженных быками телег, доставлявших урожай в житницы. Однако высших ступеней богатства и влияния достигал тот чиновник или писец Древнего Египта, который умел оперировать числами, превосходившими несколько сотен или даже тысячу. Такой чиновник мог рассчитывать на место при дворе верховного владыки — фараона.

Счисление у египтян, а также у представителей других ранних высоких культур — вавилонян, майя, китайцев — заканчивалось, как правило, числами порядка пары тысяч. В те времена чиновники и торговцы в своих повседневных делах — в отличие от чиновников и торговцев современности — не задумывались о миллионных суммах. Когда же возникала необходимость иметь дело с бешеными — в полном смысле этого слова — деньгами, счетоводы соединяли определенные множества в новые единицы. Мы поступаем точно так же и сегодня, когда считаем дюжинами, выражаем большие расстояния в километрах, а не в метрах, а большие массы измеряем не граммами, а тоннами.

Цифры, использовавшиеся для записи чисел в древних культурах, не предназначались для представления чисел, превышающих пару тысяч. Лишь в довольно редких случаях люди изобретали символы для по-настоящему больших чисел, но считали их настолько громадными, что лишь дивились им, не предпринимая попыток разумно ими оперировать. Такие величины считали просто числами, поражающими воображение и превосходящими всякие человеческие представления. Полагали, что операции с такими числами доступны только божествам.

Сегодня эти древние цифры известны лишь специалистам по истории древних восточных культур и по истории Античности. Лишь очень немногие знают, что древние греки для представления чисел пользовались буквами своего алфавита. Первая буква А, альфа, соответствовала единице, вторая буква В, бета, двойке, третья буква Г, гамма, тройке, и так далее до буквы I, йота, которая соответствовала числу 10. Затем греки считали десятки, используя следующие буквы — К, каппу, Λ, лямбду, М, мю, — которые соответствовали 20, 30, 40. Сочетание ΛВ обозначало число 32, а записывая КГ, имели в виду 23. Оставшиеся буквы алфавита обозначали сотни: Р, ро, служила символом 100, Σ, сигма, обозначала 200, Т, тау, — 300, и так далее. Имея в алфавите 24 буквы и еще три дополнительных знака (буквы еще более древнего греческого алфавита), древние греки могли записывать все числа, необходимые им в повседневной жизни.

Всем известно, как записывали числа древние римляне. Мы и сегодня, например гуляя с детьми по городу, показываем им написанные римскими цифрами на памятниках даты и расшифровываем их. Римские цифры тоже имеют своим источником буквы — естественно, латинского алфавита. Правда, язык древнеримских чисел более понятен и логичен, чем язык чисел греческих. I — это не просто буква, это одна черта, обозначающая единицу. Согласно такой символике следующие числа — 2, 3 и 4 — обозначались таким образом: II, III и IIII. V — это тоже не просто буква, которая, между прочим, в Древнем Риме обозначала, кроме того, и звук U, а символ, обозначающий кисть руки с пятью пальцами. Из двух таких «кистей», одной перевернутой и второй — направленной вверх, то есть из двух букв V, составили символ числа 10 — X.

В Средние века на наших европейских просторах все числа всегда записывали римскими цифрами. Если один горожанин занимал у другого некую сумму денег, то заимодавец вырезал на дощечке число одолженных гульденов. Такую дощечку называли биркой. Бывало, что заимодавец обманывал должника, меняя запись на бирке. Например, должник клялся, что занимал всего пять гульденов, а заимодавец показывал судье бирку, на которой красовался X. На деле он просто продолжал линии цифры V вниз, в результате получалось новое, большее, число. В некоторых местностях Германии до сих пор бытует поговорка — «выдать U за X».

Римское обозначение сотни — C, это первая буква латинского слова centum , обозначающего «сто». Если же отделить верхнюю часть буквы С и оставить только ее нижнюю часть, то есть нижнюю половину, то получится знак, напоминающий латинскую букву L, которой стали обозначать половину ста — пятьдесят. Римская цифра M обозначает тысячу, ибо M — это первая буква латинского слова mille — «тысяча». Однако в ранний период римской истории римляне обозначали звук «м» греческой буквой Ф (фи). Для записи этой буквы римляне ставили букву C, непосредственно за ней I, а затем зеркальное отражение C, то есть Ͻ. Если объединить все эти символы, то получится СIϽ, то есть стилизованное М. Если разрубить этот символ пополам вертикальной чертой, то получится символ IϽ, напоминающий букву D. Поэтому число пятьсот римляне обозначали буквой D.

Впрочем, эти римские цифры общеизвестны. Но как римляне считали числа, большие 4999, которое записывалось весьма замысловато, а именно: MMMMDCCCCLXXXXVIIII? (Более короткая, упрощенная запись этого числа, в которой вместо IIII записывали IV, вместо VIIII–IX, вместо XXXX–XL, вместо LXXXX–XC, вместо CCCC–CD, вместо DCCCC–CM, а все число 4999 выглядело как MMMMCMXCIX — тоже достаточно громоздко, — прижилась позднее.) Каким образом мог римский министр финансов записывать суммы в десятки и сотни тысяч сестерциев?

Одно из решений заключалось в многократном написании цифры C в том виде, в каком она применялась для обозначения 500 и 1000: число 500 обозначали символом IϽ, а символами IϽϽ и IϽϽϽ — пять тысяч и пятьдесят тысяч соответственно. Если число 1000 обозначается символом CIϽ, то 10 000 и 100 000 — символами CCIϽϽ и CCCIϽϽϽ соответственно.

Несмотря на все эти хитрости, писать большие числа римскими цифрами было сложно и утомительно. Еще труднее было производить вычисления и оперировать такими числами. Худо-бедно можно было справиться со сложением и вычитанием, так как римляне располагали счетным устройством — абаком (счетной доской), — которое неплохо подходило для действий с числами, представленными римскими цифрами. Умножение же чисел, записанных римскими цифрами, — задача отнюдь не из легких. Как, например, узнать, каков результат умножения LVII, то есть 57, на LXXV, то есть на 75?[2] Деление же было в таких ситуациях настоящим искусством. Методам деления чисел, записанных римскими цифрами, обучали в лучших университетах средневековой Европы.

Даже представители высших сословий, которые в Средние века учились читать и писать, в большинстве своем умели только складывать и вычитать. Умножение и деление было им недоступно. В те времена, однако, существовала гильдия избранных ученых, так называемых «коссистов», занимавших в городах штатные должности вычислителей. За определенную плату они делали расчеты для городских властей, ремесленников и купцов. Чаще всего речь шла об умножении и делении. «Che cosa? — спрашивала в те времена, допустим, Филиппина Вельзер своего вычислителя. — Каков результат?» Она называла вычислителей коссистами (от слова cosa ) и щедро вознаграждала их за «косу», то есть за «результат».

Просвещение началось с математики

Около 1550 г. один из самых талантливых вычислителей, живших к северу от Альп, уроженец Штаффельштайна близ Бамберга по имени Адам Ризе, изрядно попортил доходный бизнес своих коллег по цеху. Дело в том, что Ризе опубликовал книгу — написанную по-немецки, чтобы ее могли прочитать все горожанки и горожане, — в которой он описал способы вычислений, включая умножение и деление.

В первой главе, озаглавленной Numerirn («Числа»), Адам Ризе объясняет, что для расчетов следует использовать не громоздкую запись чисел римскими цифрами, а более простую и удобную запись. Ризе с великим тщанием объясняет читателям суть арабских цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, обозначающих первые девять натуральных чисел. Далее Ризе поясняет, что для записи больших чисел необходима еще и десятая цифра — ноль, и посвящает своих читательниц и читателей в тайну десятичной системы счисления: значение каждой цифры в записи числа зависит от позиции цифры. Например, в числе 4205 пять стоит в позиции единиц, ноль — в позиции десятков, 2 — в позиции сотен, а 4 — в позиции тысяч. На этом же примере Ризе объясняет, как велика в записи роль нуля, ибо 4205 — это совсем иное число, нежели 425, или 4250, или, допустим, 42050.

В следующих главах, озаглавленных Addiren («Сложение»), Subtrahirn («Вычитание»), Multiplicirn («Умножение») и Dividirn («Деление»), автор объясняет, как выполнять арифметические действия с числами, записанными арабскими цифрами. Методы, предложенные Адамом Ризе, в точности совпадают с теми, которым и сегодня учат в школах наших детей. Мало того, Ризе не просто дает своим читателям общее представление о методах счета, он учит выполнять арифметические действия на великом множестве примеров, чтобы люди смогли в совершенстве овладеть этими методами.

Заключительная глава называлась Regula Detri («Тройное (золотое) правило»). В последней главе Ризе объясняет «это тройное правило» (Dreisatz ), или, как его называют в Австрии и Южной Германии, «правило окончательного расчета» (Schlussrechnung ). Это правило является фундаментом всех важных в хозяйстве и торговле вычислений и расчетов.

Задача всегда формулируется тремя предложениями — двумя утверждениями и одним вопросом: «Пятеро каменщиков возводят за пять дней стену длиной пять метров. Теперь десять каменщиков работают десять дней. Какова длина возведенной ими стены?» «6 локтей ткани стоят 42 крейцера. За ткань был уплачен 91 крейцер. Сколько ткани было куплено?» Таких примеров в книге приведено великое множество, и в каждом случае Ризе терпеливо объясняет ход правильного решения.

Книга Адама Ризе пользовалась оглушительным успехом. Только при его жизни она выдержала больше ста изданий. После выхода в свет книги Адама Ризе коссисты потеряли свое значение, ибо никто больше не нуждался в их услугах — все стали считать самостоятельно.

С точки зрения истории развития человеческого духа и познания достижение Ризе невозможно переоценить. Впервые люди перестали зависеть от алчных ученых, втайне выполнявших важные, но недоступные простым людям расчеты. Теперь никаких тайн больше не существовало. Никто теперь не нуждался в мастерах счета — все умели считать сами, так же как читать и писать. Адам Ризе освободил представительниц и представителей третьего сословия от зависимости. После тьмы Средневековья забрезжила эпоха Просвещения .

Когда время от времени слышишь провокационный вопрос о том, зачем надо преподавать в школе математику, ответ — в духе рассказанной истории — напрашивается сам собой: затем, что математика стала первым и самым успешным достижением просвещения.

Однако Адам Ризе был не первым, кто попытался внедрить в Европе арабскую нумерацию. Задолго до него, в начале XIII в., итальянский математик Фибоначчи написал «Книгу абака» (Liber Abaci), в которой первым (если не считать арабских математиков) объяснил суть и значение арабских цифр и позиционной системы счисления. Правда, коммерческого успеха книга Фибоначчи не имела. Ее практически никто не стал читать. Возможно, все дело было в малом тираже, так как книгопечатание к тому моменту еще не было изобретено. Кроме того, книга была написана на латинском языке, который к тому времени был уже основательно забыт жителями Италии.

За несколько столетий до Фибоначчи французский священник Герберт Орильякский, обучаясь в университетах Севильи и Кордовы, столкнулся с арабскими цифрами. В 999 г. Герберт Орильякский был избран папой под именем Сильвестр II. Правда, его святейшество, изучив новую нумерацию, так и не понял ее значимости: вероятно, это было связано со своеобразием цифры 0.

В самом деле, ноль — весьма загадочное число. Но в представлении чисел важно одно его свойство — с помощью нуля можно без труда записывать сколь угодно большие числа: 1 000 000 — это один миллион, 1 000 000 000 — один миллиард, 1 000 000 000 000 — один триллион, и так далее. Записывать большие числа с помощью ряда нулей довольно хлопотно и утомительно, и поэтому такие числа записывают с помощью степеней. Например, 10^6 — это миллион, 10^9 — миллиард и так далее.

Не стоит также упускать из вида, что в англоязычных странах большие числа называют совсем по-другому. Хотя 10^6 там, как и в Германии, называют миллионом, но 10^9 — это уже биллион, а 10^12 — триллион. То, что «биллион» надо переводить как «миллиард», а «триллион» как «биллион»{5}, может даже для высокообразованных людей стать иногда источником прискорбных ошибок и недоразумений. Для людей, профессионально оперирующих астрономическими числами, однако, эти наименования — будь то немецкие миллионы, миллиарды, биллионы, биллиарды и триллионы или английские миллионы, биллионы, триллионы, квадриллионы и квинтиллионы — не играют большой роли. Специалисты говорят, например, «десять в одиннадцатой степени», когда имеют дело с числом 10^11, то есть с сотней миллиардов, числом, которое можно записать единицей с одиннадцатью нулями. При таком подходе недоразумения не возникают никогда.

Разумеется, представить себе сумму в сто миллиардов евро так, как мы представляем себе десять или сто евро, абсолютно невозможно. Конечно, мы с полным основанием называем состоятельным человека, который обладает несколькими миллионами евро. Состоятельным является и миллиардер, хотя его можно назвать и невероятно богатым. Однако для него деньги — это нечто иное, нежели для миллионера. Чем больше денег, тем более абстрактными они становятся. Ни один человек, обладающий миллиардом евро, не строит, как Скрудж Макдак, хранилище для золотых монет. Очевидно, что гигантские суммы денег — это совершенно иная валюта, нежели суммы обозримые. Так было уже пятьсот лет назад, во времена Фуггеров, которые предоставляли императору огромные суммы для осуществления его замыслов. Как банкиры Фуггеры осознавали свою ответственность за благополучие всего государства — в отличие от богатых прожигателей жизни и игроков, которые существовали и тогда. В сравнении с Фуггерами их состояния были микроскопически малы и к тому же непрерывно таяли.

Магараджа и большое число

Знаменательно, что самая известная история, в которой главную роль играет громадное число, родилась в Индии, в стране, где были изобретены ноль и позиционная система счисления. Это история о рисовых зернах и шахматной доске. У этой истории множество вариантов. В сказочном изложении она выглядит так.

Давным-давно, в незапамятные времена, один молодой магараджа правил огромной процветающей страной. Однажды магараджа влюбился в прекрасную принцессу. Они поженились. Перед счастливой парой открывалось безбрежное и чудесное будущее. Магараджа мудро управлял своей страной; крестьяне собирали богатейшие урожаи риса, а все подданные магараджи жили в достатке и довольстве. Но судьба оказалась жестокой к магарадже и его магарани. Она тяжело заболела, ни один врач не смог помочь ей, и через несколько дней она умерла. В стране воцарился глубокий траур, но больше других горевал овдовевший магараджа. Скорбь его была безмерна, и ничто не могло ее облегчить. В своем горе магараджа забыл обо всем, забыл о своей стране, забыл о своем долге заботиться о благе подданных. Страна стала приходить в упадок, урожаи риса становились все скуднее и скуднее, подданные зарабатывали все меньше денег и впадали в бедность. Обнищание населения приняло катастрофические масштабы. Придворные чувствовали себя абсолютно беспомощными, не зная, что сделать для того, чтобы остановить беду. Так продолжалось до тех пор, пока кто-то из придворных не вспомнил об одном старом мудреце, жившем в тесной келье где-то в горах. Было известно, что этот старик-мудрец почитался лучшим в мире советчиком. Откладывать было нельзя, и придворные решили во что бы то ни стало призвать мудреца во дворец с тем, чтобы он освободил владыку от печали и отвлек его от скорби по умершей супруге.

Мудрец вошел в покои магараджи, неся с собой квадратную доску, на которую были нанесены чередующиеся белые и черные квадраты. Этих квадратов было 64, по восемь квадратов в восьми рядах. Мудрец сел за стол напротив магараджи, который смотрел на него сквозь пелену слез, поставил между собой и магараджей доску и принялся расставлять на ней диковинные деревянные фигурки. В предпоследнем ряду на своем крае доски он расставил в ряд восемь крестьян (пешки), а затем, в ближнем к себе внешнем ряду, поставил по краям две башни (ладьи), рядом с ними, с обеих сторон, двух прыгунов (коней), рядом с которыми — тоже с обеих сторон — поставил двух бегунов (слонов). Остался промежуток в два квадрата. На эти квадраты мудрец поставил царя (короля), олицетворявшего магараджу, и царицу (ферзя), олицетворявшую магарани. Фигуры, которые мудрец расставил на своей стороне доски, были черными. Покончив с расстановкой, он принялся расставлять такие же, но белые фигуры на стороне магараджи. Делая это, мудрец вполголоса, словно сам себе, объяснял свои действия. Магараджа выглядел совершенно безучастным, но мудрец отлично понимал, что властитель не пропустил ни одного его слова. Расставляя фигуры, мудрец объяснял, как они ходят. Башни, например, только в горизонтальном и вертикальном направлениях, бегуны — только по диагонали, царь может ходить в любом направлении, но только на одну клетку, но вот царица… — в этот момент магараджа немного оживился и прислушался — царица могущественная фигура, она может ходить и по горизонтали, и по вертикали, и по диагонали, причем на любое расстояние. Попутно мудрец объяснил, как ходят крестьяне и прыгуны, как фигуры сбивают друг друга, а также рассказал, что такое «шах» и «мат».

— Может быть, нам стоит сыграть пробную партию? — негромко спросил мудрец, и магараджа, видя старания мудреца, не смог отказать ему в этой пустяковой просьбе. Он кивнул и сделал первый ход. После исчерпывающих объяснений мудреца магарадже даже удалось выиграть первую свою партию.

— Теперь я требую реванша, — сказал мудрец, снова расставив на доске фигуры.

Вторую партию магараджа проиграл.

— На этот раз реванша требую я, — объявил магараджа, и мудрец принял вызов, но попросил перенести партию на следующий день, так как магарадже надо было заняться неотложными государственными делами.

Мудрецу и в самом деле удалось отвлечь магараджу от его скорби. Правление его снова стало мудрым и успешным. Жизнь людей стала с каждым днем улучшаться, житницы снова стали наполняться рисом. Каждое утро магараджа и мудрец играли по две партии, и через некоторое время магараджа стал весьма искусным шахматистом. После игры магараджа уходил заниматься делами управления, а мудрец занимался медитацией.

Так продолжалось много недель и месяцев — до тех пор, пока мудрец не сказал магарадже, что считает выполненной свою миссию в его стране и хочет вернуться в свое горное убежище.

— Но я не могу отпустить тебя без награды, — возразил магараджа, — подумай, какой награды ты хочешь, и ты получишь ее, как бы велика она ни была. Ты избавил меня от печали и скорби, и никакая награда за это не может быть слишком большой.

— Я могу попросить самую большую, неизмеримую награду? — уточнил мудрец. Магараджа энергично кивнул, и мудрец положил на первую клетку шахматной доски рисовое зернышко. — На следующую клетку пусть положат два зернышка, а потом на каждую следующую клетку пусть укладывают вдвое больше зерен, чем на предыдущих. Я заберу весь рис, который покроет шахматную доску.

— Ты требуешь такой малости? — возмутился магараджа, но быстро успокоился, решив, что мудрец был бедняком, никогда не видел богатства и поэтому даже миска риса для него — целое состояние. Позвали слугу с ложкой рисовых зернышек, и он начал укладывать их, начиная с левого верхнего угла, по оговоренным правилам, то есть на каждую следующую клетку он клал вдвое больше зерен, чем было на предыдущей. Таким способом слуга заполнил первый ряд из восьми клеток:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

После того как слуга заполнил восемь клеток первого ряда, уложив на последнюю клетку 128 зерен (а всего он насчитал 255 зерен), ложка опустела. Поэтому на первую клетку второго ряда пришлась целая ложка рисовых зерен. Каждой следующей клетке соответствовало вдвое большее количество риса. Для восьми клеток второго ряда получилось следующее количество ложек:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

Сто двадцать восемь ложек — это горшок риса. Теперь рис в зал стали носить уже несколько слуг. Для шести клеток третьего ряда вышло

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

горшков риса. Только теперь до магараджи дошло, что мудрец запросил очень много риса, ибо 128 горшков риса соответствовали одному тяжелому, 50-килограммовому мешку. Теперь потребные количества риса приходилось отмерять именно такой мерой. Для восьми клеток четвертого ряда вышло

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128

полновесных стокилограммовых мешков риса. Последней восьмой клетке соответствовало количество риса, которого хватило бы на полную загрузку каравана из дюжины запряженных быками телег.

Урожай риса в стране магараджи был в тот год просто феноменально велик, и он надеялся, что ему хватит риса, чтобы расплатиться с мудрецом. Однако прикинув, сколько риса потребуется для того, чтобы заполнить клетки пятого ряда, магараджа сдался. В его государстве просто не хватило бы для этого риса.

Мудрец знал это — во всяком случае, приблизительно. Для того чтобы оценить, сколько рисовых зерен потребуется для заполнения всех клеток шахматной доски, мудрец воспользовался свойствами цифры ноль. На первой клетке находилось одно зернышко, а затем с каждой клеткой число зерен удваивалось. Число зерен на следующих десяти клетках распределилось так:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

Таким образом, на одиннадцатой клетке оказалось 1024 зернышка. Будем щедрыми, и округлим это число с недостатком до 1000 зернышек. Тогда для следующих десяти клеток мы получим следующий ряд чисел:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,

каждое из которых надо умножить на тысячу. Если мы, проявив неслыханную щедрость, снова округлим последнее число до 1000, то на двадцать первой клетке окажется больше 1000 × 1000 = 1 000 000 = 106 зерен. То же самое будет происходить и дальше: еще через десять клеток, на тридцать первой из них, уже окажется больше 1000 × 106 = 109 зерен; на сорок первой клетке получится больше 1000 × 109 = 1012 зерен; на пятьдесят первой клетке будет уже 1000 × 1012 = 1015 зерен, а на шестьдесят первой клетке мы получим больше 1000 × 1015 = 1018 зерен. Это уже больше одного квинтиллиона рисовых зерен. На шестьдесят второй, шестьдесят третьей и шестьдесят четвертой клетках будет, соответственно, больше двух, четырех и восьми квинтиллионов рисовых зерен.

Таким образом, на всей шахматной доске окажется больше 16 квинтиллионов зерен. Для любящих точность[3] скажу, что сумма всех этих чисел на шахматной доске равна 18 446 744 073 709 551 615!

Чем же закончилась эта история о мудреце и магарадже? Этого мы не знаем. Возможно, что потрясенный магараджа, поняв, что не сумеет все же набрать и больше 16 квинтиллионов зерен риса, сказал мудрецу:

— Ты не сможешь спрятать столько зерна в своем убежище в горах и даже перевезти его туда, даже если я дам тебе всех своих слуг!

— Ты прав, это немыслимо, — ответствовал мудрец. — Из этого риса получилась бы огромная пирамида, наподобие пирамид в Гизе, в далеком Египте. Но моя пирамида получилась бы несравненно выше — не 140 метров, как пирамида Хеопса, а почти пять километров. Пирамида из риса могла бы вместить 40 тысяч пирамид Хеопса.

После этого в зале повисло долгое молчание, а потом мудрец обратился к властителю:

— Для меня, о великий магараджа, большой наградой стала возможность не только научить тебя игре в шахматы, но и показать, какая мощь кроется за большими числами, и я вполне удовольствуюсь такой наградой.

С этими словами мудрец поклонился и покинул зал, дворец и страну магараджи.

Самые большие числа в природе

От малых чисел к большим

Никто точно не знает, как появились числа в первобытные, доисторические времена. Но можно с полной уверенностью утверждать, что первыми открытыми человеком числами стали не один и не два. Люди не могли считать единицами и двойками. Два одинаковых предмета человек воспринимал как пару. Для того чтобы сосчитать эти предметы, человеку не надо было тыкать в них пальцами со словами: «Один, два». Вероятно, «три» было первым и поначалу единственным числом. Первобытный человек видит пару предметов и еще один присоединенный к ней предмет. Таким образом, «три» — это «пара плюс один». Судя по всему, человеку, стоявшему лишь на пороге мышления, стоило большого труда умственно постичь суть этой операции. Три было для него очень много; недаром во французском языке родственны между собой слова très , обозначающее «очень», и trois , обозначающее «три». Четвертый предмет превосходил воображение человека каменного века. Такое количество уже обозначали словом «много». С такой точки зрения можно думать, что три в те незапамятные времена было не только первым, но и самым большим числом. Первобытный человек считал так: «одна пара и еще один: три». Потом он считал, как в известной песенке: «Один, два, три». По ритмике эта фраза, наверное, напоминала спортивную команду: «На старт, внимание, марш!» С выражением «один, два, три» наряду с древним словом «три» родились числа один и два.

Однако самое позднее в неолите, когда человек обзавелся домашними животными, он был уже вынужден считать за пределами тройки. Тот, кто не умел считать, рисковал не заметить убыль овечьей отары или пропустить приплод. У таких ротозеев прятавшиеся в соседнем лесу воры могли невозбранно воровать скот до тех пор, пока у несчастного не оставалось всего три овцы. Это была уже настоящая экономическая катастрофа, и, чтобы ее избежать — и просто выжить, — надо было уметь считать.

Люди, по крайней мере пастухи, должны были уметь сравнить число овец в стаде с числом промежутков между пальцами кистей. Такому пастуху можно было доверить стадо численностью до восьми голов. Новым открытием стало то обстоятельство, что, как выяснилось, считать можно и дальше восьми. Новое число после восьми так и назвали{6}. То же самое мы видим и в латинском языке: novem и novum . Во французском языке словом neuf обозначают и «новый» и «девять». С тех пор первобытные люди начали считать не промежутки между пальцами, а кончики пальцев. Самым большим числом стало число 10.

Но дело на этом не закончилось. Для счета стали применять и другие части тела, помимо пальцев рук. Похоже, что в некоторых племенах наряду с пальцами рук стали использовать при счете и пальцы ног, и таким образом люди добрались до числа 20. Отзвуки такого счета мы находим во французском языке: обозначение числа 80, quatre-vingt , буквально означает «четыре-двадцать», то есть четыре свертка по двадцать предметов. Число 99 во французском языке обозначают так: quatre-vingt-dix-neuf, то есть буквально «четыре-двадцать-десять-девять».

Состоятельные люди считали даже за пределами сотни:

Кто из вас, имея сто овец и потеряв одну из них, не оставит девяноста девяти в пустыне и не пойдет за пропавшею, пока не найдет ее?

А найдя, возьмет ее на плечи свои с радостью и, придя домой, созовет друзей и соседей и скажет им: порадуйтесь со мною, я нашел мою пропавшую овцу{7}.

Рассказывая эту притчу, Иисус, вероятно, представлял себе весьма сведущего в счете пастуха, ибо, глядя на стадо, трудно решить, сто в нем овец или только девяносто девять. Но Иисус, конечно, говорил не о точном числе овец. История потеряла бы свою остроту, если бы Иисус, допустим, сказал, что у кого-то было 42 овцы и одна из них потерялась. Число 42 — почему же Он выбрал именно его? — отвлекло бы слушателей от смысла, который намеревался поведать им даровитый автор притч. Число же 100 было синонимом понятия «очень много».

Однако намного больше ста раз должен прощать человек своего ближнего:

Тогда Петр приступил к Нему и сказал: Господи! сколько раз прощать брату моему, согрешающему против меня? до семи ли раз?

Иисус говорит ему: не говорю тебе: до семи раз, но до седмижды семидесяти раз{8}.

Спаситель наверняка отлично знал, что Петру было трудно умножить семь на семьдесят. Но допустим, что Петру это удалось. Любой человек может легко представить себе семь актов прощения, и, простив брата семь раз, он мог бы с чувством выполненного долга решить, что теперь с прощением покончено. Но только умалишенный будет носить с собой список из семижды семидесяти актов прощения и ставить галочку после каждого до тех пор, пока не кончится список из четырехсот девяноста прощений.

Библия изобилует большими числами, которые во времена, когда писались ее книги, скорее всего, едва умещались в воображении читателей и слушателей:

Иаред жил сто шестьдесят два года и родил Еноха.

По рождении Еноха Иаред жил восемьсот лет и родил сынов и дочерей.

Всех же дней Иареда было девятьсот шестьдесят два года; и он умер.

Енох жил шестьдесят пять лет и родил Мафусала.

И ходил Енох пред Богом, по рождении Мафусала, триста лет, и родил сынов и дочерей.

Всех же дней Еноха было триста шестьдесят пять лет.

И ходил Енох пред Богом; и не стало его, потому что Бог взял его.

Мафусал жил сто восемьдесят семь лет и родил Ламеха.

По рождении Ламеха Мафусал жил семьсот восемьдесят два года и родил сынов и дочерей.

Всех же дней Мафусала было девятьсот шестьдесят девять лет; и он умер{9}.

Енох жил на Земле 365 лет. Число 365 здесь, несомненно, связано с числом дней в году по египетскому календарю. Автор библейского отрывка хотел этим сказать, что Енох был «человеком всех времен года», и всю свою жизнь — от весны молодости до зимы старости — был угоден Богу. Среди всех праотцев от Адама до Ноя Енох был единственным, о котором не сказано, что он умер, а сказано, что «Бог взял его». Библейский возраст пресловутого Мафусаила, которого Мартин Бубер и Франц Розенцвейг называют Метушелахом, от рождения до смерти составил 969 лет, а продолжительность жизни его деда Иареда была всего на семь лет меньше, что, вообще говоря, превосходит границы всякого воображения.

Измерение Земли

Как только люди перешли к оседлому образу жизни, они очень быстро выучились основам геометрии. Людям хотелось знать, насколько велики участки земли, которые они обрабатывали: земледелец видит перед собой участок земли; для того чтобы его измерить, он сравнивает его длину и ширину с некой мерой длины, например с маховой саженью, которая представляет собой расстояние между кончиками пальцев обеих рук при их разведении в стороны. Если его прямоугольная грядка имеет в ширину одну сажень, а в длину — семь, то земледелец понимает, что он так же богат, как и его сосед, у которого есть квадратная грядка четыре на четыре сажени. Периметр обеих грядок составляет 16 саженей, и оба крестьянина думают, что их грядки одинаковы. Поначалу древний земледелец не понимает, что его сосед при этом снимает со своей грядки вдвое больший урожай. По прошествии некоторого времени человек начинает понимать, что дело не в периметре, а в площади грядок, и находит разрешение загадки: на его узкой прямоугольной грядке умещается семь квадратов со стороной в одну сажень, а на грядке соседа можно уложить аж шестнадцать таких квадратов, то есть результат умножения четырех на четыре.

То, что было важно для крестьян с их грядками и полями, было еще важнее для властителей и царей, желавших знать, насколько были велики принадлежавшие им земли. В походах царей сопровождали землемеры (по-гречески геометры), которые после выигранных битв измеряли площадь покоренных стран.

Всего за несколько лет Александр Македонский завоевал множество земель и создал крупнейшую по тем временам мировую империю площадью 6,2 миллиона квадратных километров. Эта империя простиралась от Македонии до Индии и от Каспийского моря до верхнего течения Нила. При императоре Траяне Римская империя имела бо́льшую площадь, составлявшую 8,3 миллиона квадратных километров, и это тоже было достижение Античности. Для сравнения можно сказать, что Европейский союз, хотя он простирается от Скандинавии до Средиземного моря и от Атлантики до Черного моря, имеет меньшую площадь — всего каких-то 5 миллионов квадратных километров. Не важно, насколько большими владениями обладали прежние властители, — всех их интересовал вопрос о том, какая доля всего мира находится под их господством.

Спустя одно поколение после Александра Македонского Эратосфену, смотрителю Александрийской библиотеки, удалось измерить величину земного шара. В полдень 21 июня каждого года, когда Солнце находится в своей высшей точке на небосводе, Александрийский обелиск отбрасывает на землю самую короткую тень. Эратосфен точно измерил длину тени и на основании полученных данных установил, что по отношению к столпу солнечные лучи падают на землю под углом 7 градусов и 12 минут, или, выражаясь современным языком, 7,2 градуса. Помимо того, Эратосфен вспомнил, что в тот же день, 21 июня, в Сиене, в 800 километрах к югу от Александрии, Солнце находится в зените. Солнечные лучи в Сиене падают на Землю отвесно, и Солнце отражается в воде глубокого сиенского колодца. Эратосфен заключил, что тень от Александрийского обелиска возникает в результате кривизны земной поверхности. То, что Земля — шар, было известно каждому образованному греку еще со времен Аристотеля. Длина дуги большой окружности, соответствующей 7,2 градуса, равна 800 километрам. Полный угол, то есть 360 градусов, можно получить, если умножить 7,2 градуса на число 50. Именно таким способом Эратосфен узнал длину большой окружности. Умножив 800 километров на 50, он получил число 40 тысяч километров, соответствующее длине окружности Земли.

При всей своей простоте расчет все же представляется несколько эфемерным.

Первый вопрос: откуда мог Эратосфен знать, что солнечные лучи в Александрии и Сиене идут параллельно друг другу? Они не могут быть строго параллельными, потому что Солнце находится не на бесконечном расстоянии от Земли. Но даже во времена Эратосфена ученые были убеждены в том, что это расстояние огромно — настолько огромно, что его лучи можно было без колебаний считать параллельными.

Второй вопрос: действительно ли Сиена находится точно на юге от Александрии? Ответ отрицательный. Сиена находится на несколько градусов восточнее Александрии. Следовательно, Эратосфен на деле получил несколько большую величину, чем 40 тысяч километров, но ошибка составила не больше 1–2 процентов.

Третий вопрос: каким образом Эратосфен мог вычислить длину окружности Земли в километрах? Естественно, Эратосфен этого сделать не мог, так как ему была неизвестна такая единица длины, как километр. В своих расчетах Эратосфен пользовался стадиями. Действительно, надо честно признать, никто в современном мире не знает точно, в каком соотношении находятся современный километр и античный стадий. Но зато мы доподлинно знаем, что Эратосфен умножил на 50 расстояние от Александрии до Сиены, а это самое главное в его расчетах.

Глядя на современную карту, любой человек может быстро удостовериться в том, что Сиена, на месте которой находится современный Асуан, находится не точно на северном тропике. В полдень 21 июня Солнце там не находится в зените. Но и здесь ошибка так мала, что она не могла повлиять на принципиальную верность расчетов Эратосфена, и ею в данном случае тоже можно пренебречь.

Рис. 2. Принцип измерения размеров Земли, использованный Эратосфеном: 21 июня каждого года, в полдень, Солнце освещает воду сиенского колодца. Если солнечный луч продолжить в глубь Земли, то он пройдет через ее центр. Луч света в Александрии, расположенной севернее Сиены, если его продолжить кверху, в направлении неба, упирается не в зенит, так как вертикально стоящий столп отбрасывает на землю тень под углом 7,2 градуса. Эти 7,2 градуса соответствуют длине дуги, соединяющей Александрию с Сиеной. Длина этой дуги равна 800 километрам. Это расстояние составляет ровно одну пятидесятую часть окружности Земли

Если известна длина экватора, охватывающего земной шар, то с помощью выведенной Архимедом формулы можно вычислить площадь поверхности Земли. К тому времени эта формула была уже известна. Архимед не только был современником Эратосфена; они были знакомы лично. Результат вычисления: площадь поверхности Земли равна приблизительно 510 миллионам квадратных километров. Не более одного процента из них приходится на современный Европейский союз, но и империя Александра Македонского, и Римская империя не дотягивали даже до двух процентов!

Разумеется, этот результат неприятно удивил владык и царей и после Эратосфена нашлись другие геометры, попытавшиеся заново измерить величину Земли. Уже тогда процветал феномен, хорошо известный и нам, современным людям: как только представляется политическая возможность, множество приспособленцев и лизоблюдов из числа интеллектуалов и специалистов начинают смотреть в рот властителям, стараясь по губам читать их сокровенные желания. Словно по мановению волшебной палочки, Земля внезапно уменьшилась в размерах. Ко времени императора Траяна окружность Земли по экватору составляла уже всего 27 тысяч километров — согласно расчетам авторитетных геометров того времени. Таким образом, площадь поверхности Земли, которая по расчетам Эратосфена составляла 510 миллионов квадратных километров, съежилась до 230 миллионов квадратных километров. Мировые империи стали больше соответствовать такому названию.

Еще Христофор Колумб мог исходить из допущения о том, что окружность Земли по экватору составляет всего 27 тысяч километров. Следовательно, континент Европы и Азии, согласно таким данным, составлял большую часть суши Северного полушария. Расстояние от Лиссабона до китайского города Гуаньчжоу, согласно сообщениям путешественника XIII в. Марко Поло, составляло около 11 тысяч километров. При таком допущении Колумб мог рискнуть и попытаться западным морским путем через Атлантику достичь Китая или Индии. Советники португальского короля отговаривали от финансирования этого предприятия — они доверяли старым расчетам Эратосфена. Испанский королевский двор после долгих и мучительных переговоров поддержал Колумба, и 3 августа 1492 г. он смог выйти в море. До конца своей жизни Колумб был убежден в том, что 12 октября 1492 г. он открыл «другую сторону» Индии.

Фальсифицированные измерения, таким образом, сделали возможным открытие Америки.

Астрономически большие числа

Окружность длиной 40 тысяч километров уже трудно представить себе наглядно[4], и воображение совершенно нам отказывает, если мы оставим Землю и обратимся к расстояниям космического масштаба. Вскоре после того, как Эратосфен совершил свой научный подвиг, астроном Гиппарх измерил расстояние от Земли до Луны. Это измерение было основано на оценке следующих наблюдений: во время лунного затмения тень Земли покрывает диск луны. Край тени Земли на диске имеет форму окружности — кстати говоря, именно этот факт послужил для Аристотеля доказательством шарообразной формы Земли, ибо только шар во всех своих проекциях отбрасывает на предметы круглую тень. Если во время лунного затмения взять монету достоинством 1 евро и начать рассматривать ее на расстоянии вытянутой руки (то есть на расстоянии приблизительно 75 сантиметров), очертания края монеты точно совпадут по размеру с краем земной тени на диске Луны. Длина окружности монеты равна приблизительно 75 миллиметрам, а монета удалена от глаза на расстояние, превышающее длину окружности в десять раз, то есть из этого можно заключить, что Луна удалена от Земли на расстояние, приблизительно в десять раз превышающее окружность Земли, что соответствует 400 тысячам километров. В сравнении с точно вычисленным средним расстоянием Луны от Земли, равным 384 тысячам километров, это не такой уж плохой результат. Сам Гиппарх впоследствии придумал более совершенный способ[5], с помощью которого определил расстояние от Земли до Луны с ошибкой всего в несколько процентов.

Рис. 3. Тень Земли так покрывает диск полной Луны, что размер округлого края тени соответствует размеру монеты достоинством 1 евро, удаленной на расстояние 75 см от глаза. Отсюда можно грубо оценить расстояние от Земли до Луны

Зная расстояние от Земли до Луны, можно — по крайней мере, так думал живший до Эратосфена астроном Аристарх — определить и расстояние от Земли до Солнца. Когда на дневном небосводе видна ровно половина Луны, достаточно, по мысли Аристарха, измерить угол между зрительным лучом, направленным на Солнце, и зрительным лучом, направленным на Луну. Дело в том, что на Луне угол между лучами зрения, направленными на Солнце и на Землю, является прямым. Зная угол треугольника, образованный двумя сторонами, в концах которых находятся Луна — Земля и Земля — Солнце соответственно, можно определить форму треугольника. Если же известна одна сторона этого прямоугольного треугольника — в нашем случае это сторона, соответствующая расстоянию от Луны до Земли, — то можно легко вычислить длины двух других сторон.

Рис. 4. Принцип измерения расстояния от Земли до Солнца по Аристарху: когда Луна освещена в точности наполовину, направление зрительного луча от Земли до Луны составляет прямой угол с направлением зрительного луча, направленного от Луны к Солнцу. Если теперь измерить угол между лучом, соединяющим Землю и Луну, и лучом, соединяющим Землю и Солнце, то можно получить углы прямоугольного треугольника. Исходя из известной длины одной стороны этого треугольника и его углов, можно посчитать, во сколько раз расстояние от Земли до Солнца превышает расстояние от Земли до Луны. Правда, измеренный угол между направлениями от Земли до Луны и от Земли до Солнца настолько близок к прямому, что Аристарх не смог получить достоверные данные

Теоретически метод Аристарха безупречен. Но при попытке его практического применения он оказывается невыполнимым. Угол между направлением зрительной оси от Земли до Луны и направлением зрительной оси от Земли до Солнца очень мало отличается от прямого. Аристарх не мог измерить эту разницу с помощью доступных ему методов измерения углов. Направления лучей от Солнца до Луны и от глаза до Солнца оказывались практически параллельными. Таким образом, ясно, что Солнце находится от Земли на расстоянии, многократно превышающем расстояние от Земли до Луны. Аристарх считал, что в девятнадцать раз. Однако он сильно ошибся. Солнце располагается от Земли дальше, чем Луна, приблизительно в 400 раз.

Это расстояние приблизительно равно 150 миллионам километров. Произнести число 150 миллионов легко, но едва ли нам удастся вообразить себе такое расстояние наглядно. Достаточно ли сказать, что надо обогнуть Землю 3750 раз, чтобы преодолеть это немыслимо огромное расстояние? Или вспомнить о том, что свету, который каждую секунду преодолевает 300 тысяч километров, требуется около восьми минут для того, чтобы преодолеть расстояние от Солнца до Земли? Все это соответствует действительности, но превосходит силу нашего воображения.

Но с удаления от Земли до Солнца астрономические расстояния только начинаются. Самые близкие к нам звезды расположены от нас в 250 тысяч раз дальше, чем Солнце. Это приблизительно 40 триллионов километров. Свет в течение одного года преодолевает расстояние, равное девяти с половиной триллионам километров, и именно это расстояние для краткости очень мило называют «световым годом». Это необходимое сокращение, ибо, например, Млечный Путь, этот звездный остров, составленный из миллиардов звезд, одной из которых является наше Солнце, имеет диаметр около ста тысяч световых лет. Этот звездный остров называется галактикой. Ближайшая следующая галактика — туманность Андромеды. Она удалена от нас на расстояние около двух миллионов световых лет, но в ясную звездную ночь ее можно различить на небосводе невооруженным глазом в виде расплывчатой светящейся точки. В привычных единицах измерения это расстояние соответствует более чем 18 квинтиллионам километров — числу, напоминающему число зернышек риса из рассказа о мудреце и магарадже.

Но и это всего лишь начало рассказа космологов о величине мирового пространства. В нем таких галактик, таких звездных островов, как Млечный Путь или туманность Андромеды, насчитывается больше 100 миллиардов. С помощью мощнейших наземных телескопов и телескопов, установленных на искусственных спутниках Земли, астрономы наблюдают немыслимые бездны мироздания. Теоретически с помощью этих устройств можно проникнуть взором на расстояние почти 50 миллиардов световых лет, а дальше начинается «горизонт событий Вселенной», за который, если верить общей теории относительности Эйнштейна, мы не можем заглянуть даже с помощью самой совершенной аппаратуры. Если выразить 50 миллиардов световых лет в километрах, то получается число 450 секстиллионов километров.

Опять-таки произнести это легко, но наглядно представить невозможно.

Самое большое число во Вселенной

Огромные расстояния космоса побудили Архимеда к тому, чтобы вычислить самое большое число, существующее на Земле. Архимед придерживался того мнения, что, несмотря на некоторый смысл, все же было бы бесполезно говорить о числах, больших, чем число самых мелких частиц, которые могут уместиться во всей Вселенной.

По мнению Архимеда, самая мелкая из всех частиц — песчинка. Вероятно, что все же в виду имелась пылинка, потому что Архимед исходил из мысли о том, что в маковом зернышке может поместиться не больше десяти тысяч песчинок. Если положить рядом 25 маковых зернышек, то получится ширина пальца. Для верности Архимед несколько уменьшил размер макового зернышка и сделал его таким, что сорок зернышек, положенных в ряд, составят отрезок длиной один сантиметр. Представим себе маковое зернышко в виде куба с длиной ребра четверть миллиметра. Значит, объем этого кубика будет равен 0,016 кубического миллиметра. Архимед сделал его еще меньше, приравняв к 0,01 кубического миллиметра. Это зернышко может вместить десять тысяч песчинок. Таким образом, песчинка, которая, по Архимеду, является самой мелкой частицей во Вселенной, имеет крошечный объем, равный 0,000001 кубического миллиметра. Другими словами, в одном кубическом миллиметре может уместиться миллион песчинок.

Итак, наибольшее число во Вселенной — это песчаное число, то есть число песчинок, способных уместиться во Вселенной.

Размер Вселенной Архимед, надо сказать, оценил весьма щедро — и, как мы уже знаем, ошибочно — ибо в своих расчетах опирался на данные Аристарха о расстоянии от Земли до Солнца. По мнению Аристарха, Солнце удалено от Земли на расстояние, в 19 раз превышающее расстояние от Земли до Луны. Таким образом, по Аристарху, расстояние от Земли до Солнца равно произведению расстояния до Луны — 400 тысяч километров — на двадцать, что в результате дает восемь миллионов километров. Архимед предположил, что Вселенная заведомо уместится в куб, ребро которого в миллион раз больше расстояния от Земли до Солнца. То есть длина ребра равна восьми триллионам километров. Еще больше куб с ребром длиной десять триллионов километров. Из этого числа и исходил Архимед. Объем такого куба равен одному секстиллиарду кубических километров, или 1039 кубических километров, или единице с тридцатью девятью нулями.

В одном кубическом миллиметре умещается миллион, или 106, песчинок. Поскольку в одном кубическом метре содержится один миллиард кубических миллиметров, или 109, а в кубическом километре — один миллиард, или 109, кубических метров, то песчаное число Архимеда равно 106 × 109 × 109 × 1039. Это число равно 1063, или, иными словами, одному дециллиарду.

На самом деле Архимеда интересовало не само точное песчаное число. Своими вычислениями он хотел достичь двоякой цели.

Первое: способ написания греками чисел, при котором буквы алфавита служили одновременно символами чисел, мешал обозначению огромных чисел. Архимед поставил себе задачу обозначить дециллиард, для чего создал собственную систему счисления. Он ввел единицу «мириада», от греческого слова μυρίος, обозначающего нечто бесчисленное. В системе счисления Архимеда это число соответствовало десяти тысячам. Возводя мириаду в разные степени, Архимед смог без использования нуля, существование которого, как ни странно, было ему неизвестно, обозначать — по крайней мере, словесно — любое сколь угодно большое число.

Второе: дециллиард, по мнению Архимеда, было самым большим числом во Вселенной. Оперировать бо́льшими числами невозможно. Однако в математике, как был убежден Архимед, существуют и намного бо́льшие числа. Сам Архимед в одном из сочинений о песчаном числе упоминает громадное число 1080 000 000 000 000 000, то есть число, выраженное единицей с восемьюдесятью квадриллионами нулей, — но даже и это немыслимое и невообразимое число является, с точки зрения математика, малым . Ибо, с математической точки зрения, малым является любое число. Начиная с единицы, до любого числа можно перечислить лишь конечное число чисел, но за достигнутым числом находится бесконечное множество следующих чисел, которые еще предстоит перечислить.

Было бы интересно и занимательно выполнить оценку, подобную той, какую выполнил Архимед; при этом мы не станем прибегать к песчинкам и не станем пользоваться заниженным Аристархом размером Солнечной системы, а будем пользоваться наименьшими и наибольшими длинами, известными современной физике. Если скомбинировать гравитационную постоянную, являющуюся со времен Ньютона и Эйнштейна мерой силы тяжести, скорость света, являющуюся со времен Максвелла и Эйнштейна мерой всех электродинамических процессов, и квант действия, который со времен Планка и Бора является точкой отсчета квантовой теории, то мы получим так называемую планковскую длину (естественную единицу длины), которая равна 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 016 162 метра. Обычно это число записывают в краткой форме: 1,6162 × 10–35 метра, ибо первая, отличная от нуля цифра, единица, стоит на тридцать пятом месте после запятой. Теперь мы подсчитаем, сколько «кубиков» с «ребром», равным 10–35 метра, может уместиться во Вселенной, горизонт событий которой удален от нас на расстояние 50 миллиардов световых лет. То есть мы можем принять, что Вселенная представляет собой «куб» с «ребром», равным 100 миллиардам световых лет. Так как 100 миллиардов световых лет чуть меньше расстояния в километрах, выраженного произведением 100 миллиардов на 10 триллионов, то есть 1011 × 1013 × 10³ метров, то его можно принять за 1011 + 13 + 3 = 1027 метров. Объем такого куба равен 1027 × 3, то есть 1081 кубическим метрам. «Кубик Планка» с «ребром», равным 10–35 метра, имеет объем 10–35 × 3, то есть 10–105 кубических метра. Таким образом, во Вселенной умещается не больше 1081 + 105, или 10186 «кубиков Планка», или один унтригинтиллион. За единицей следуют 186 нулей. Это, если угодно, современное «песчаное число».

Можно поиграть в такую же — воображаемую — игру со временем. Существует не только планковская длина, но и планковское время, наименьшая имеющая физический смысл единица измерения времени, равная приблизительно 5 × 10–44 секунды. Насколько мы знаем, Вселенная возникла 13,8 миллиарда лет назад, что в секундах соответствует величине около 5 × 1017 секунд. Таким образом, вся история Вселенной умещается во временной промежуток, равный 1017 + 44, или 1061, планковским мгновениям, или, в словесной форме, десяти дециллионам таких мгновений. Удивительно, но это число составляет лишь одну сотую часть песчаного числа Архимеда.

Как только человек начинает считать большими числами, он немедленно теряет скромность…

Надо учиться оценивать, а не считать

Но вернемся, однако, в обыденный мир. Конечно, с нашей повседневной жизнью астрономические величины не имеют ничего общего, но размышления о том, как Архимед и современные ему эпигоны работали с приблизительными оценками, представляют интерес и помимо забавных историй о дециллионах и унтригинтиллионах. Умные головы всегда выделялись тем, что хорошо умели прикидывать порядок величин. Волшебником таких оценок был родившийся в Риме и умерший в 1954 г. в Чикаго физик-теоретик Энрико Ферми. На его примере можно научиться тому, что искусство применения математики заключается не в том, чтобы производить безошибочные расчеты, а скорее в том, чтобы минимизировать неизбежные ошибки, держать их, так сказать, в узде.

«Сколько в Чикаго настройщиков пианино?» — спросил однажды Ферми обескураженного таким вопросом студента. Естественно, студент не имел об этом ни малейшего понятия. Однако Ферми знал, как можно приблизительно оценить их число: в Чикаго проживают четыре миллиона человек. В одном домохозяйстве проживают в среднем четыре человека, а в каждом пятом домохозяйстве есть пианино. То есть в городе насчитывается двести тысяч этих музыкальных инструментов. Если каждое пианино надо настраивать один раз в четыре года, то ежегодно надо настраивать пятьдесят тысяч инструментов. Если настройщик за один день может настроить четыре пианино, то за 250 рабочих дней он настроит 1000 пианино в течение одного года. Значит, в Чикаго приблизительно 50 настройщиков пианино.

Всемирно известный венский физик-теоретик Вальтер Тирринг в совершенстве владеет искусством подобных оценок. Когда он был школьником, ему сказали, что теория Альфреда Вегенера, согласно которой континенты перемещаются по поверхности Земли, как льдины по воде, — это сущий вздор. Мальчик ответил, что представил себе картину землетрясения, во время которого земля смещается на ширину ладони. Если такое землетрясение случается один раз в год, то, значит, земная кора сдвигается в год на 10 сантиметров. За 100 миллионов лет она сдвинется, таким образом, на миллиард сантиметров, или на десять тысяч километров, то есть на расстояние, разделяющее Европу и Америку. Учителя посоветовали юному Тиррингу оставить фантазии и игры с числами. Сегодня теория дрейфа материков стала общепринятой и превратилась в научную догму.

Самое очаровательное в этих расчетах заключается в том, что, хотя они и не точны, они тем не менее позволяют хорошо оценить порядок величин, причем при отсутствии подробной информации — только на основании разумных аргументов. Самое прекрасное — это то, что такие расчеты можно легко и непринужденно делать без всяких технических вспомогательных средств. Сколько весит вода в плавательном бассейне, сколько мусора выбрасывает одна семья в течение года, из скольких клеток состоит человеческое тело — на все эти более или менее осмысленные вопросы можно получить ответ, пользуясь методом оценок, предложенным Ферми.

Или вот еще вопрос: в каком отношении находится численность пенсионеров к численности работающих? Даже не поднимая данные статистических ведомств, можно оценить порядок ужасающе высокой доли пенсионеров в обществе. Здесь опять-таки достаточно метода Ферми. Эта оценка является настолько точной, что она сама по себе говорит о необходимости принятия политических решений в этой деликатной области.

Посчитала ли канцлер Меркель, как подобает дипломированному физику, по методу Ферми, смогут ли не выбрасывающие в атмосферу углекислый газ источники энергии компенсировать отказ от атомных электростанций, — об этом немецкие СМИ, которые обычно знают все, так и не сообщили.

Безошибочные расчеты вообще имеют лишь косвенное отношение к математике. Безошибочно считать может и компьютер. Математическая точность подразумевает умение оценивать как результат, так и возможную ошибку. «Ничто столь наглядно не указывает на непонимание математики, — утверждал Гаусс, — как преувеличенное внимание к точности численных расчётов».

Величайший математик

Мученик математики

Мы знаем о жизни Архимеда очень мало. Доподлинно известно, что в 212 г. до н. э., когда Архимед был уже стариком, его убил какой-то римский солдат. В тот год Сиракузы, где жил Архимед, были в ходе Второй Пунической войны захвачены Римом. Однако то, что в тот момент Архимеду было 75 лет, — всего лишь предположение. Также красивой легендой является рассказ о том, что убийца обнаружил ученого сидящим в атриуме дома и размышляющим над геометрическими фигурами, начерченными на песке. Солдат по неосторожности наступил на чертеж. Архимед будто бы прикрикнул на римлянина: «Не топчи мои круги!» Взбешенный этим замечанием солдат тотчас схватился за меч. В более трогательном варианте рассказывают, что Архимед, чтобы успеть закончить доказательство, просил солдата подождать, но жестокий варвар все равно сразу его убил.

Собственно, солдат нарушил недвусмысленный приказ своего командующего, римского полководца Марцелла, который желал захватить Архимеда живым. Греческий ученый построил для защиты Сиракуз невероятно эффективные боевые машины, которые долго удерживали вдали от берегов пытавшиеся прорваться к пристаням города римские суда. Рассказывают, что вдоль берега были расставлены огромные краны, выставившие свои стрелы далеко в море и с помощью хитроумных систем блоков способные поднимать очень большие грузы. Когда римские корабли приблизились к городу, стрелы кранов протянулись в их сторону. Со стрел были спущены на прочных тросах огромные крюки. Крюки зацеплялись на носовые части судов, а затем, по команде Архимеда, греческие воины начинали вращать лебедки, поднимая вражеские корабли над водой. Римские солдаты, в полном вооружении, скатывались на корму и падали в море. Рим потерпел жестокое поражение.

Во время второй попытки на римлян с городских стен полетели огромные камни. Архимед, воспользовавшись открытым им законом рычага, сконструировал гигантские катапульты. Громадные куски скал взмывали над городскими стенами и, перелетев через них, падали в море, поднимая волны, переворачивавшие приближавшиеся римские суда.

Есть исторически не подтвержденная легенда о том, что Архимед смог победить римский флот с помощью искусно расположенных зеркал. Однако этот рассказ нельзя считать полным вымыслом, ибо геометрические основания такого оборонительного маневра были хорошо известны великому греку: Архимед вполне мог предложить так установить зеркала относительно друг друга, чтобы их отражающие поверхности образовали параболу. Эта геометрическая кривая обладает замечательным свойством — параллельные лучи света, падающие на внутреннюю поверхность параболы, отразившись от нее, собираются в фокусе, так называемой точке зажигания. В таком возможном сценарии Архимед велел прикрыть зеркала и ждать, когда римская армада окажется в рассчитанном им месте фокуса параболы. Когда корабль оказывался на этом месте, Архимед приказывал поднять покрывала с зеркал, и лучи, отраженные от зеркал, фокусировались на корабле. Сухие, пропитанные пылью паруса разогревались сконцентрированными солнечными лучами и моментально вспыхивали. Суеверные римляне приписали это, как им казалось, страшное чудо гневу богов и спешно ретировались.

Марцелл смог взять Сиракузы лишь с суши, прибегнув к военной хитрости: после победы над римским флотом сиракузцы предались празднествам и до глубокой ночи отмечали свой триумф. Однако подкупленные римлянами стражники открыли ворота и впустили врага в город. Взять его не составляло труда, ибо защитники, опьяненные вином, мирно спали в своих домах. Марцелл отдал приказ живым привести к нему инженера Архимеда с тем, чтобы Рим мог воспользоваться его талантами в конструировании боевых машин для завоевания мирового господства.

Я уже рассказал, что сделать это не удалось. Возможно, что Архимед, движимый патриотическими чувствами, отказался следовать за солдатом. И вместе с тем вполне возможно, что он действительно был настолько поглощен решением математической задачи, что требование солдата спешить к Марцеллу показалось ему досадным и докучливым. Охваченный яростью от такого дерзкого неповиновения, римлянин выхватил меч и нанес Архимеду смертельный удар. Он просто не мог понять, почему старик не желал выполнить его приказ из-за каких-то непонятных фигур на песке.

Гениальная идея

Второе допущение более правдоподобно и больше соответствует образу Архимеда. Сиракузцы называли его «мечтателем». Если он начинал заниматься какой-то проблемой, то его было практически невозможно от нее отвлечь. Он забывал даже о столь дорогой сердцу греков гигиене и чистоте. Греческие граждане любили ходить в бани, где принимали ванны, а рабы часами массировали их тела и умащали маслами и благовониями, а сами они предавались беседам на политические и торговые темы или просто болтали о пустяках. Но не таков был Архимед, особенно если его ум был занят решением какой-либо математической головоломки. Даже сопровождая своих друзей в баню, Архимед, прежде чем лечь в ванну, захватывал пальцами горсть золы, а потом писал на плитках стены математические символы и чертил геометрические фигуры. На все остальное он просто не обращал внимания.

Этот образ заставляет вспомнить известную историю о том, как был открыт закон о выталкивающей силе, действующей на погруженное в воду тело. Рассказывают, что, открыв эту закономерность, Архимед, забыв одеться, выпрыгнул из ванны и поспешил домой, крича: «Эврика! Нашел!» Открытие закона помогло ему решить задачу, предложенную тираном Сиракуз Гиероном II, который, между прочим, приходился родственником Архимеду. Гиерон попросил Архимеда выяснить, сделана ли заказанная у золотых дел мастера корона из чистого золота, или в ней есть примеси неблагородных металлов. Ученый целыми днями мучительно ломал голову над задачей. Архимеду запретили царапать корону или расплавить ее кусочек, чтобы такими радикальными способами выяснить ее состав. Нет, корона должна была остаться неприкосновенной, но при этом следовало установить, не фальшивая ли она.

Ответ на этот вопрос Архимед смог дать с помощью закона о выталкивающей силе воды, действующей на погруженное в нее тело. Он открыл этот закон благодаря наивному детскому удивлению, заметив, что, погружаясь в теплую ванну, испытывает необычайную легкость. Решение было найдено быстро: мое тело при погружении в воду вызывает повышение ее уровня. Другими словами, погруженный в воду объем вытесняет вверх такой же объем воды. Вес вытесненной мною воды в точности равен той силе, которая делает меня легче, ибо это я, погрузившись в воду, поднял ее уровень. Другими словами, в воде я не так тяжел, как на весах. Из моего веса на весах надо вычесть вес того объема воды, которую мое тело вытеснило вверх при моем погружении в ванну.

Можно легко представить себе, что Архимед после того, как эта мысль пришла ему в голову, несколько мгновений лежал в ванне, словно пораженный молнией. Интуитивно он сразу понял, что этот закон вытеснения даст ему в руки ключ к решению задачи о короне. Внезапно эта догадка превратилась в твердое знание. Он выпрыгнул из ванны и, подгоняемый своим открытием словно демоном, совершенно голый бросился домой. Поспешно, но с врожденной тщательностью он провел дома следующий эксперимент: на одну чашу рычажных весов положил корону, а на другую — столько чистейшего золота, чтобы уравновесить тяжесть короны. Рычаги весов установились точно горизонтально, а чаши оказались на одном уровне. Позади взвешенной короны и позади взвешенного золота Архимед поставил по одному большому горшку, наполненному водой. Потом он осторожно поднял весы и поднес чаши к горловинам горшков, а затем погрузил оба веса в воду, аккуратно поставив весы на пол. Коромысло весов покачалось, а потом остановилось, причем плечи коромысла уже не находились на одном уровне. Чаша с короной оказалась выше, чем чаша с чистым золотом.

Таким образом, стало ясно, что в короне содержался, помимо золота, какой-то неблагородный, более легкий металл. Теперь Архимед был в этом уверен. Дело в том, что добавление неблагородного металла с меньшей плотностью придало короне больший объем по сравнению с объемом чистого золота. При погружении в воду сила, вытесняющая корону, была поэтому больше силы, вытесняющей золото, потому что корона вытеснила больший объем воды, чем золото.

Больше, чем сам физический закон, открытый и тотчас примененный на практике Архимедом, впечатляет в этой истории то, что она позволяет нам почувствовать, как гении приходят к своим открытиям. Внешние обстоятельства очевидны: замысловатая задача, поставленная Гиероном; отвлечение от проблемы при погружении в ванну, в которой Архимед забыл и о задаче, и о короне; во время отдыха, праздного лежания в ванне, в голове Архимеда созрела идея, приведшая Архимеда к открытию закона вытеснения воды; а затем этот закон стал ключом к решению поставленной Гиероном задачи.

Если бы во времена Архимеда существовали современные диагностические приборы, позволяющие регистрировать физиологические процессы в головном мозге, и если бы такой аппарат можно было надеть Архимеду на голову, когда он лежал в ванне, и записать электрическую активность нейронов, то мы получили бы запись нейронной бури. Это оказалось бы истинным золотым дном для нейрофизиологов, которые смогли бы проследить образование сетевых связей между самыми разными отделами головного мозга.

Однако какими бы ценными ни были такие исследования и какую бы пользу ни принесли они в будущем в деле лечения поражений мозга и душевных расстройств, всплеск гениальности будет всегда скрыт, несмотря на применение самой совершенной техники. Это можно сравнить, например, с исследованием концертного рояля, на котором пианист играет бетховенскую сонату. С помощью тончайших сенсоров можно зарегистрировать амплитуды колебания каждой отдельной струны, измерить силу ударов по ним молоточков, записать резонанс дивных звуков. Если ввести в компьютерный анализатор соответствующую программу, то прибор сможет определить, в какую эпоху было написано исполняемое произведение. Такие исследования, несомненно, были бы очень полезны для оценки качества каждого данного инструмента и его настройки. Но все эти данные не имеют ничего общего с тем, что мы, слушатели, испытываем во время прослушивания произведения — трепет или банальную скуку, ибо музыка таится не в инструменте, откуда она, по видимости, льется.

Она также пребывает не в мозге или в руках пианиста и не в ушах или мозгах тех, кто эту музыку слушает, и уж меньше всего в колебаниях воздуха, распространяющихся от инструмента по концертному залу. Все это необходимо для звучания, но музыка не в нем. Для примера приведем простую в исполнении, но прекрасную прелюдию до мажор из «Хорошо темперированного клавира» Иоганна Себастьяна Баха. Музыка не в нотах, которые, словно отпечатки пальцев, остались на бумаге после того, как Бах записал эту музыкальную идею. Было бы смехотворным абсурдом пытаться зафиксировать эту прелюдию где-то и когда-то в пространстве и времени. Бах и сам превосходно осознавал абстрактную сущность своего произведения. В «Хорошо темперированном клавире» он даже отказался от обычных предписаний исполнять его на клавесине или на органе. В принципе, любой инструмент — это лишь слабая подпорка для музыки, ее костыль, «мучительно несущий бренную оболочку»{10}, немного перефразируя слова Гёте.

То же самое касается и математических идей. Естественно, математическая идея связана с определенной нейронной активностью, распределенной по мозгу, и вообще идея становится возможной, если анатомическое строение мозга и его физиологическое состояние позволяют человеку думать, мыслить. Несмотря на это, математическую идею невозможно зафиксировать в каком-то определенном месте времени и пространства; она может стать полностью независимой от человека, которому она пришла в голову.

Тем более становится понятным, почему Архимед ни минуты не медлил после того, как его озарила мысль о том, как можно применить закон вытеснения в решении задачи о короне Гиерона. Дело в том, что, когда Архимед пришел к решению, оно так отчетливо и наглядно предстало перед его внутренним взором, что он тотчас испугался: почему до сих пор эта идея никому не пришла в голову — ведь эта идея, как удачно говорят, просто витала в воздухе. В этот момент честолюбивым Архимедом овладел страх. Он испугался, что кто-то может его опередить и отнять пальму первенства. Этот страх едва ли был обоснован в меркантильных Сиракузах, населенных по преимуществу купцами и крестьянами, не интересовавшимися наукой вообще, а уж тем более математикой. Но кто может знать! Архимед, как все честолюбивые математики мира до него и после него, был убежден в том, что слава ученого состоит в том, чтобы стать первым, кто явит миру существование решения какой-то важной проблемы.

Гёттингенский математик Ганс Грауэрт однажды сказал о своей профессии: «Математика — не естественная и не гуманитарная наука. Математики — люди искусства: они создают духовное». Разумеется, «духовное», о котором ведет речь Грауэрт, не зависит от личности, которая его «творит». На самом деле личности, занимающиеся математикой, напоминают — даже когда они вторгаются в область неведомого — воспроизводящих, а не творящих художников. Даже Гаусс, величайший математик Нового времени, который снабжал свои глубочайшие прозрения такими звучными названиями, как theorema egregium (замечательная теорема), theorema elegantissimum (изящнейшая теорема), theorema aureum (золотая теорема), был скорее открывателем, а не творцом. Во всяком случае, они, эти открытия, так и выглядят в представлении Гаусса. Ситуация несколько иная, чем с шедеврами художников-творцов: произведение искусства неотделимо связано с личностью его автора. Иоганн Себастьян Бах самостоятельно принял решение построить гармонию «Хорошо темперированного клавира» именно так, как он ее построил, и никак иначе. Теперь же мы слушаем эти пьесы в исполнении Розалин Тюрек, Фридриха Гульды или Тиля Фельнера, и каждая из этих творческих личностей открывает в музыке каждый раз что-то новое, неожиданное и делится с нами своими открытиями. Достижения этих интерпретаторов можно сравнить с деяниями математиков, если говорить о математике как об искусстве.

В любом случае в большом искусстве граница между «творением» и «толкованием» зыбка и расплывчата. Подумать только: Толстой, убив в конце своего романа Анну Каренину, горько плакал, так близко к сердцу принял он смерть героини, которая была лишь плодом его собственного воображения. Моцарт сочинял свои произведения так, словно они возникали перед его мысленным взором, как законченные пьесы, и ему оставалось только переписать в тетрадь ноты. Микеланджело сразу разглядел в мраморной глыбе, принесенной в мастерскую рабочими, прячущегося в ней Давида, которого оставалось только освободить из каменного плена.

В математическом знании есть, правда, одна особенность: к личности, первой нашедшей это знание, приходит слава первооткрывателя. Этой славы жаждут все математики, даже в тех случаях, когда их открытия не сотрясают основы мироздания. Я и сам в юности испытал нечто подобное, когда представил пришедшую мне в голову идею своему учителю, Эдмунду Главке, одному из ведущих австрийских математиков. То, что я ему рассказал и записал на доске, было на самом деле новым, но не особенно значимым открытием. Тем не менее Главке понравились мои идеи, однако после того, как я изобразил на доске все свои выкладки, он велел мне их стереть, потому что после нашего ухода в аудиторию мог кто-нибудь войти и украсть мою оригинальную идею…

Быть вторым — не считается

О том, насколько ожесточенным бывает спор из-за приоритета, можно судить по спору, потрясшему в свое время математический мир. Речь шла о том, кого следует называть первооткрывателем «исчисления», как в старину называли математический анализ бесконечно малых величин. Речь, между прочим, шла о поистине великом открытии.

«Исчисление» позволило вычислять скорость неравномерного криволинейного движения. С помощью «исчисления» можно выяснять, как ведут себя так называемые динамические системы — в астрономии планетные системы, в технике — механические или электрические колебания, в метеорологии потоки воздушных масс в атмосфере, в экономике — биржевые курсы валют. «Исчисление» дает возможность вычислять площадь поверхностей, ограниченных кривыми линиями, объемы фигур, ограниченных криволинейными поверхностями. На все эти вопросы дает ответ анализ бесконечно малых величин.

Так кто же открыл «исчисление»?

В Англии XVIII в. ответ был ясен: сэр Исаак Ньютон, величайший сын Британии. Единственный, кого Гаусс, говоря о математиках, называл «clarissimus» (славнейший). В 1666 г., когда в Англии свирепствовала чума, Кембриджский университет был закрыт, и двадцатитрехлетний Ньютон вернулся в свою родную деревню Вулсторп. В течение года, что он пробыл там, Ньютон разработал «исчисление». После этого, как рассказывает величайший почитатель Ньютона, французский философ Вольтер, Ньютону на голову упало с дерева яблоко, из-за чего он посмотрел наверх, увидел Луну, и это зрелище навело его на мысль о том, что движение падающего яблока, Луны и планет подчиняется одному-единственному математическому закону. Теперь можно было с помощью «исчисления» выразить этот закон формулой.

Но Ньютон медлил с публикацией своего открытия. Он панически боялся критики со стороны своих кембриджских коллег, особенно со стороны Роберта Гука, низкорослого, тщеславного, настроенного против Ньютона ученого, которого он (Ньютон) ненавидел всей душой. Многие годы записи Ньютона пролежали в запертом ящике его письменного стола. Только близким друзьям он смутно намекал на то, что у него в руках находится математический ключ к пониманию движения небесных тел, и с помощью этого ключа можно будет показать, что допущение его врага Гука о том, что планеты с Солнцем связывают силы, подобные силе натянутой пружины, является ошибочным и порождает множество заблуждений.

Даже в «Математических началах натуральной философии», в книге, которую Ньютон решился опубликовать только после многолетних уговоров своего почитателя, астронома, геофизика и картографа Эдмунда Галлея, Ньютон изложил суть «исчисления» лишь в самом необходимом объеме. Публикация состоялась лишь после того, как в уравнения Ньютона были подставлены новые результаты измерения расстояния от Земли до Луны и было подтверждено совпадение расчетных результатов с данными астрономических наблюдений.

Ньютон так до конца и не осознал, почему «исчисление» так хорошо работает. «Исчисление» представляло собой рафинированный и изящный способ вычисления скоростей, площадей и объемов, но неисследованными остались основания, на которых покоилось само «исчисление».

Однако Ньютон мог быть доволен уже тем, что общество — не только коллеги по университету, но и все мировое научное сообщество того времени, и даже интересующиеся естественными науками любители — признало его книгу о началах натуральной философии вехой, открывающей новую эру. Ньютон был посвящен в рыцари, получил дворянский титул, стал президентом Королевского общества — самого уважаемого научного общества в мире. Как только Ньютон достиг всех этих высот, он позаботился о том, чтобы были уничтожены все портреты ненавистного коллеги Роберта Гука, до которых Ньютон смог дотянуться. Когда Ньютона однажды спросили, как ему удалось открыть математику движения планетных систем и практически заново создать механику, он ответил: «Если я и видел дальше других, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов». Это звучит скромно; Ньютон утверждал, что только благодаря своим предшественникам он смог заглянуть так далеко. На самом деле в этом ответе можно было увидеть намек на Гука, который отличался очень малым ростом.

И все же презрению, каковое Ньютон испытывал к Гуку, было далеко до всепроникающей ненависти, которую Ньютон питал к Готфриду Вильгельму Лейбницу, величайшему ученому континентальной Европы. Лейбниц не был лично знаком с Ньютоном и лишь в молодости обменялся с ним несколькими короткими письмами. Отчего же Ньютон так его ненавидел? Лейбниц опубликовал в журнале Acta eruditorum несколько статей, в которых представил основы «исчисления», той математической теории, открывателем которой Ньютон считал себя. Возможно, думал подозрительный Ньютон, этот немец извлек свои знания об «исчислении» из писем Ньютона, то есть фактически украл у него открытие. Самое же досадное заключалось, с точки зрения Ньютона, в том, что статьи в Acta eruditorum появились намного раньше публикации книги о началах натуральной философии. На континенте в научных кругах господствовало мнение о том, что — не умаляя заслуги Ньютона в физике — первооткрывателем «исчисления» был Лейбниц.

То, что последователи Ньютона при каждом удобном случае подчеркивали, что он был первым, не могло удовлетворить честолюбивого ученого. В этом вопросе была сильно задета его честь. Он хотел, чтобы раз и навсегда было документально подтверждено, что ему, и только ему, сэру Исааку Ньютону, принадлежит заслуга открытия «исчисления». Делить эту славу со вторым соискателем казалось ему делом немыслимым, ибо этот второй, то есть Лейбниц, был не первооткрывателем, а коварным и хитрым плагиатором. По настоянию Ньютона в Королевском обществе была создана комиссия, которая должна была провести расследование и установить, кто первым изобрел «исчисление». Ходили слухи, что Ньютон, как президент Королевского общества, распоряжался членами комиссии, как марионетками, и убедил их в справедливости своей точки зрения. Окончательный вывод, сделанный якобы беспристрастной и независимой комиссией, был от первого до последнего слова продиктован самим Ньютоном. Карл Джерасси, выдающийся американский химик с австрийскими корнями, став впоследствии драматургом, очень эффектно описал этот грязный балаган в пьесе «Исчисление».

Теперь, триста лет спустя, исходя из известной переписки Ньютона и Лейбница и других исторических обстоятельств, мы можем утверждать, что открыть «исчисление» удалось обоим ученым приблизительно в одно и то же время. В любом случае ни один из них не заимствовал идеи другого. Между тем французские историки науки не упускают случая то и дело напоминать о достижениях ученого юриста и математика-любителя Пьера де Ферма, который задолго до Ньютона и Лейбница высказывал догадки об основах «исчисления». Но Ферма делился своими прозорливыми идеями только в письмах своим самым близким друзьям. Лишь несколько десятилетий спустя швейцарский математик Эйлер сообщил широкой математической общественности о новаторских идеях Ферма.

В XVII в. идея «исчисления» просто носилась в воздухе. Абсолютно независимо от Ферма, Ньютона и Лейбница японский математик Секи Такакацу разработал способы расчетов, чудесным образом совпадавшие с открытым в Европе «исчислением».

Однако в действительности уже Архимед в III в. до н. э. продвинулся к идее «исчисления». Да, он даже лучше Ньютона или Лейбница понял, как можно точно обосновать новый математический метод. На простом примере расчета, с которым Архимед познакомился, вероятно, во время путешествия в далекую Александрию Египетскую, мы можем понять разницу между не отягощенными основаниями расчетами горячих смельчаков Ньютона и Лейбница и глубокомысленными и содержательными рассуждениями Архимеда.

Египетские дроби

Наряду с Междуречьем Египет был страной, где возникла одна из первых в истории человечества высокая культура. Подобно многим другим народам на заре времен, египтяне верили во множество богов, определявших судьбы людей и мира. Пантеон египтян был безмерно велик и сложен: согласно одной из многих традиций, Атум был богом солнца, Шу — богом воздуха, Тефнут — богиней влаги, Геб — богом земли, Нут — богиней неба, а божества Исида, Осирис, Сет, Нефтида были правнуками Атума. Гор, сын Исиды и Осириса, являлся наиболее почитаемым из всех египетских богов. Фараон считался воплощением Гора на Земле. Глазами Гора были солнце и луна, причем луну называли уджатом — святым оком Гора.

Сказание гласит, что Сет, брат Осириса, во время борьбы за трон Осириса, вырвал этот глаз у Гора. Тот, мудрый бог луны, покровитель наук и письменности, увидел бесчисленное множество частей, больших и малых, этого глаза, и попытался их воссоединить.

Самый большой фрагмент глаза Гора составлял его половину, второй — четверть уджата. Соединив эти части, Тот исцелил глаз на три четверти. Следующий фрагмент составлял одну восьмую святого ока Гора. Тот добавил и ее к глазу и таким образом восстановил глаз на семь восьмых. Следующая по величине была одна шестнадцатая часть уджата. Тот присоединил ее к восстановленной части, так что исцеленными оказались уже пятнадцать шестнадцатых глаза Гора. Теперь настала очередь одной тридцать второй части. Тот присоединил и ее, получив в результате глаз, восстановленный на тридцать одну тридцать вторых. Следующей частью стал фрагмент, в точности равный одной шестьдесят четвертой доле уджата. Тот присоединил его и получил глаз, восстановленный на шестьдесят три шестьдесят четвертых.

В этой своеобразной истории египтяне открыли дроби

Слово «дробь» оказалось в этом контексте как нельзя более подходящим, ибо речь шла о раздробленном глазе Гора.

Мы не знаем, слышал ли Архимед историю о разбитом глазе и бывал ли он вообще в Египте. Однако, если ему удалось услышать эту чудесную историю, он, вероятно, задал себе вопрос: что будет, если бог Тот не остановится на шестом фрагменте, а продолжит исцеление глаза дальше? Каждый следующий фрагмент был вдвое меньше предыдущего; глаз разбился на бесконечное число осколков. Удалось бы Тоту воссоздать глаз целиком?

Конечно нет, несомненно ответил бы Архимед, ибо, какое терпение ни проявил бы Тот, присоединяя все новые и новые осколки, всегда оставались бы и другие, бесчисленные осколки, которые следовало бы вставить. Но Архимед понимал и другое: чем прилежнее работал бы Тот, тем лучше становилась бы его работа, ибо чего бы не хватало, когда бы он, после тяжких трудов, завершил бы наконец свою работу? Не хватало бы той малой части глаза, которая была бы равна наименьшей доле, которую бы Тот вставил последней. Дефект с каждой новой вставленной частью становился вдвое меньше и со временем стал бы пренебрежимо малым. Если бы Тот вставил первые 64 осколка, то остался бы дефект, в точности равный

то есть дефект был бы меньше одной восемнадцатиквинтиллионной части целого глаза. Как при этом не вспомнить историю о магарадже, мудреце и шахматной доске, на 64 клетки которой надо было уложить рисовые зернышки — на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую?

Таким образом, мы имеем полное право вложить в уста Архимеда следующий ответ: чем больше терпения проявит Тот в исцелении глаза Гора, тем лучше будет результат его работы; останется лишь очень малый дефект, который сам Гор будет воспринимать как крошечное «слепое пятно», и его Тот, если захочет, сможет сделать еще меньше.

Как в отношении Архимеда, так и Ньютона или Лейбница, мы не знаем, слышали ли они историю о разбитом глазе бога Гора. Но мы можем совершенно точно сказать, что оба открывателя «исчисления» дали бы, в отличие от Архимеда, куда более непринужденный ответ на вопрос о том, удалось бы Тоту довести свою работу до конца и полностью восстановить святое око Гора.

Конечно да, ответили бы и Ньютон, и Лейбниц, ибо они вполне могли себе представить, что Тот — а богам часто удается то, что кажется немыслимым для людей, — мог работать над восстановлением глаза Гора бесконечно долгое время и поэтому вставить в глазницу не шесть первых фрагментов, а бесконечно большое их множество, и тогда он получил бы целый глаз без единого дефекта. В виде формулы это можно записать так:

Чудовищное количество следующих дробей скромно представлено в этой формуле многоточием (…) после последнего знака плюс. Эти точки, по Ньютону и Лейбницу, символизировали бесконечноемножество дробей, каждая из которых была вдвое меньше предыдущей и вдвое больше следующей, и все эти дроби надо было сложить друг с другом. Никто, однако, не сможет осуществить сложение бесконечного множества слагаемых. Это невозможно сделать ни в голове, ни на бумаге карандашом, ни на бухгалтерских счётах, ни даже с помощью самого современного компьютера.

Открывателям «исчисления» все это было, без сомнения, понятно, но они полагали, что, если мы, слабые, несовершенные люди, можем сложить лишь конечное число слагаемых, то всемогущий Бог — для Ньютона и Лейбница это был не один из египетских богов, а христианский Бог — в неизреченной мудрости своей может сделать это без проблем. Втайне они были очень горды тем, что с помощью «исчисления» им, по меткому выражению Эйнштейна, удалось «заглянуть в карты старика», проникнуть в тайны Всемогущего с помощью обхождения с бесконечностями.

Как действовали открыватели «исчисления»? Они говорят, что мы хотим вычислить бесконечную сумму

Здесь надо сложить бесконечное множество слагаемых. Первое слагаемое равно ½, а каждое следующее слагаемое вдвое меньше предыдущего. Уберем из суммы первое слагаемое, а именно ½, и у нас останется

Совершенно очевидно, что это ровно половина от предыдущей суммы. Эта половина ровно на одну вторую меньше предыдущей суммы. Следовательно, предыдущая сумма равна в точности единице, ибо если из единицы вычесть одну вторую, то останется одна вторая, а это ровно половина единицы.

Тот, кто читает это в первый раз, будет вначале несколько обескуражен, потому что этот аргумент выглядит как шулерский трюк. Однако если прочитать все это медленно и несколько раз, то можно проникнуться ходом мыслей и убедиться в безупречной, впечатляющей логике этой последовательности рассуждений.

Кого эта логика точно бы не впечатлила, так это Архимеда. Его толкование было более убедительным: с одной стороны, каждая конечная сумма фрагментов уджата меньше единицы. С другой стороны, каждое число, меньшее единицы, будет превзойдено конечной суммой долей уджата, если Тот добавит достаточное количество новых фрагментов. Таким образом, сумма долей уджата приближается к числу 1 с любой произвольной степенью точности. Большего об этой сумме сказать нельзя.

То, что Архимед прав в своем скепсисе, показывает следующий пример другой бесконечной суммы, а именно:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

Если мы примем сторону открывателей «исчисления», то аналогичный ход мыслей выглядит так: мы хотим вычислить бесконечную сумму, утверждают Ньютон и Лейбниц. Для этого надо сложить бесконечное число слагаемых. Первое слагаемое равно единице, а каждое следующее слагаемое вдвое больше предыдущего. Уберем первое слагаемое, и у нас останется

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …

Совершенно очевидно, что здесь мы имеем двойную величину предыдущей суммы. И эта двойная величина на единицу меньше предыдущей суммы. Следовательно, она равна –1, ибо если из –1 вычесть 1, то останется –2, то есть величина, вдвое большая чем –1.

Этот аргумент слово в слово повторяет вышеприведенный аргумент. Тот, кто убедился в правильности предыдущих рассуждений, должен признать и корректность этих. Однако аргументация изобретателей «исчисления» приводит к поистине парадоксальному выводу:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = –1.

Этот результат очевидно нелеп! Действительно, в своей попытке убедить себя и других в том, что можно рассчитывать бесконечные суммы, изобретатели «исчисления» слишком много о себе вообразили[6]. Они, конечно, математические гении, но математическими богами они не были.

Быки бога солнца

Все же это горький жребий — быть греческим богом, особенно в одном из образов, нарисованных Гесиодом или Гомером в их фантастических повествованиях. Боги греков (и просвещенные греки времен Платона, естественно, это знали) были воплощением мерзости: прежде всего, неугомонный женолюб отец богов Зевс; преследующая его ревнивица Гера; рожденная из морской пены Афродита, кружившая головы как богам, так и простым смертным; рожденная из головы Зевса, вечно девственная и злобная Афина; мрачный бог подземного мира Аид и заключенная в его царстве теней, пребывающая в полном отчаянии Персефона. Все эти и множество других богов и полубогов суть плоды необузданной фантазии. Все они — не более чем выдумка. Выражаясь современным языком, Гомер и Гесиод на глазах просвещенных греков изобрели то, что сегодня называют мыльными операми: на Олимпе, на горе, где обитают боги, разыгрываются бесконечные интриги, трагедии и комедии, которым — как и в обычных мыльных операх — нет конца. Разница между людьми и богами, как мы слышим от находчивых поэтов, заключается лишь в том, что одни смертны, а другие — бессмертны.

Несмотря на это, Илиада и Одиссея, оба величайших произведения Гомера, стали источником вдохновения всех образованных греков. Дело в том, что за фасадом историй о любви, ненависти и измене скрывались глубокие истины, не говоря уже о красоте языка, великолепии напевных стихов и поэтическом воображении. Архимед, естественно, хорошо знал Одиссею и использовал один из ее очаровательных эпизодов для составления несравненной математической загадки.

После того как Одиссей и его спутники смогли миновать ужасы Сциллы и Харибды, приблизились они к хранимому Гелиосом, богом солнца, острову Сицилия, названному в поэме Тринакрией, будущей родине самого Архимеда. Сам Одиссей хотел проплыть мимо, но спутники уговорили его сделать остановку на райском острове, чтобы отдохнуть на нем несколько дней. Одиссей предупредил своих товарищей, чтобы они не ловили пасшихся на острове быков и коров, ибо то были священные животные, посвященные богу солнца Гелиосу. Однако, когда привезенные с собой запасы продовольствия подошли к концу, а погода не позволяла продолжить плавание, голодные спутники Одиссея пренебрегли его предостережением. Они поймали одну из коров и зарезали ее, чтобы прокормиться. Ничего хорошего из этого не вышло. Гелиос потребовал у верховного бога Зевса удовлетворения за святотатство. Едва Одиссей и его спутники покинули Сицилию, как на море разразился ужасный шторм. Зевс метнул в корабль молнию, и все члены команды, за исключением Одиссея, который не прикасался к мясу коровы Гелиоса и сумел привязать себя к мачте, пошли ко дну.

Архимед задал вопрос своему ученому другу: сколько, собственно говоря, коров и быков паслось тогда на благословенных лугах Сицилии?

В 1773 г. Готхольд Эфраим Лессинг, бывший тогда библиотекарем герцога Брауншвейгского в Вольфенбюттеле, нашел в рукописном отделе библиотеки копию письма, написанного Архимедом его другу и знакомому, александрийскому ученому Эратосфену. В письме содержалась записанная 44 двустишиями математическая загадка. В этом стихотворении Архимед задал все тот же вопрос: сколько скота было у бога Гелиоса на берегах Сицилии?

В качестве исходной информации Архимед сообщил Эратосфену соотношение между численностью белых, чёрных, рыжих и пёстрых животных, тщательно разделённых на коров и быков[7]. Задача состояла из двух частей. Первая часть в сравнении со второй была довольно простой. Архимед мог предполагать, что его коллега Эратосфен вполне дорос до первой части задания. Для решения этой части задачи надо было владеть только четырьмя основными арифметическими действиями — но владеть безупречно, ибо вычисления были достаточно сложными. В случае, если Эратосфену удалось бы решить первую часть задачи, он бы узнал, что численность стада крупного рогатого скота Гелиоса была кратна 50 389 082 головам. Насколько велика общая численность, после решения первой части задачи оставалось неясным. При тех затруднениях, какие испытывали древние греки с названиями чисел, охватить такое большое число, как 50 389 082, было почти неразрешимой задачей. Вероятно, Архимед втайне радовался, представляя себе, как вымотается Эратосфен, решая первую часть присланной ему задачи.

Однако вторая часть еще более запутанна, чем первая. Если задания Архимеда были переведены верно, во второй части требуется для подсчета целочисленного кратного 50 389 082 вычислить еще два дополнительных числа. Из них и вытекает результат — насколько велико целочисленное кратное числа, полученного в первой части задачи. Оба этих дополнительных числа, по Архимеду, находятся в сложном соотношении друг с другом, и в этом соотношении большую роль играет невероятно гигантское число 410 286 423 278 424[8]. Искусство Архимеда в задании условий задачи состояло в том, что он вышеназванное число порядка 410 триллионов не упомянул ни единым слогом, а лишь облек его в словесное поэтическое описание.

Вызывает восхищение уже одно то обстоятельство, что Архимед использовал неуклюжую греческую систему счисления и сумел при этом вычислить такое число, как 410 286 423 278 424. Но еще более удивительно то, что он — и это совершенно очевидно — знал, что вторая часть задачи, в принципе, имеет решение. В принципе — ибо никто не смог бы вычислить конечный результат, не прибегая к нашим современным вспомогательным техническим средствам. Слишком велики полученные результаты, слишком трудоемки соответствующие ручные вычисления. И сам Архимед не стал тратить силы на них. Для него было достаточно знания о том, что решение существует. Еще лучше Архимед осознавал непреложный факт: решая вторую часть задачи, Эратосфен неминуемо должен будет признать свое ужасное поражение. Но он, Архимед, был единственным, кто наверняка знал, что решение существует. Никто не сможет превзойти его в знании математики, даже следующий за ним по пятам Эратосфен.

Только в 1965 г. Хью Вильямс, Гас Герман и Боб Царнке с помощью лучших на то время вычислительных машин IBM 7040 и IBM 1620, затратив на вычисления почти восемь часов, смогли рассчитать численность стада Гелиоса, разгадать загадку Архимеда и получить результат, воистину достойный бога. У Гелиоса было больше 7,76 × 10^206545 голов крупного рогатого скота — это число, начинающееся с 776 и состоящее из 206 546 разрядов!

В сравнении с этим числом число атомов во Вселенной можно считать ничтожно малым. И такого гениального человека одним взмахом меча убил какой-то жалкий варвар. «O quam cito transit gloria mundi!» — «О, как скоро проходит мирская слава!» — по праву сетует Фома Кемпийский, великий нидерландский мистик позднего Средневековья.

Самые большие числа математики

Числа — одно за другим

Один, два, три и так далее. Так образуются числа, причем все числа. Счет начинают с единицы и прибавляют к каждому полученному последнему числу еще единицу. Так переходят от единицы к двум, от двух к трем и так далее.

За этим «и так далее» прячется бездонная пропасть.

У ряда чисел нет конца. К каждому числу можно прибавить единицу, а значит, последнего числа просто не существует.

Когда маленькие дети учатся считать, они очень гордятся своими достижениями — например, сначала они учатся считать до десяти, а потом перешагивают этот рубеж и доходят в счете аж до двадцати. Как только ребенок достигает числа 21, ему приходится выучить названия последовательности числительных, выражающих десятки. Многие дети начинают монотонно, на собственный мотив, напевать счет от единицы до ста включительно. Поняв, что на сотне числа не заканчиваются, дети с воодушевлением начинают считать дальше, и только усталость (их самих или их родителей) может положить этому счету конец.

Но что будет, если кому-то удастся преодолеть эту усталость?

В 1965 г. польский художник Роман Опалка — ему было в то время 34 года — занялся проектом счета, сделав его своей профессией, и этот проект, в полном смысле слова, стоил ему жизни. Остальные 46 лет своего земного бытия Опалка посвятил решению им же самим поставленной задачи — считать. На полотнах размером 196 см в высоту и 135 см в ширину он начал записывать титановыми белилами самой тонкой из доступных ему кистей последовательность чисел, начиная с единицы, заполняя строчками полотна в направлении слева сверху вправо и вниз. Размер шрифта не превышал двух миллиметров. За два месяца после написания единицы, дойдя до числа 35 327, Опалка заполнил одно темное полотно. Сразу же он начал заполнять второе полотно. Сотни этих холстов, названные Опалкой «деталями» незавершенного произведения «Опалка 1965: 1 — ∞», он исписал со средней скоростью четыреста чисел в день. Начиная новую доску, Опалка прежде основательно ее грунтовал. Первые «детали» имели черно-серую грунтовку. В 1972 г., добравшись до одного миллиона, Опалка стал понемногу менять цвет грунтовки от каждого предыдущего холста к следующему, добавляя по капле цинковых белил. Таким образом, «детали» от холста к холсту становились все светлее и светлее. Из черно-серых они сначала превратились в темно-серые, потом в просто серые, светло-серые, матово-белые, а затем просто в белые — фон стал таким же белым, как и текст.

В конце концов Опалка, которому в то время уже перевалило далеко за семьдесят, мог читать написанные им числа только влажными, в процессе нанесения. Когда краска высыхала, на «детали» надо было смотреть под определенным углом, чтобы различить нанесенные титановыми белилами числа на фоне белил цинковых. На каждой использованной им кисти Опалка гравировал первое число, нанесенное этой кистью, а также последнее. После нанесения числа на холст Опалка переводил дыхание, в этот момент окунал кисть в краску и наносил следующее число.

Надписывая число, Опалка вслух произносил его, записывая на магнитофон. Километры пленки свидетельствуют о монотонности этой работы. Польский язык хорошо подходит для этого, потому что состав числа произносится слева направо, а не как в немецком, справа налево, когда пишут «сорок два», а произносят «два и сорок». В конце каждого рабочего дня Опалка фотографировался на фоне «детали» — всегда в белой рубашке, всегда с торжественным и значительным выражением лица, всегда при одном и том же освещении. Взгляд Опалки на этих фотографиях разительно напоминает взгляд Дюрера на его «Автопортрете в одежде, отделанной мехом» — мы видим ту же серьезность, то же благородство, ту же меланхолию и гордость.

Эта гордость помогла Опалке ответить на упрек в том, что он стал рабом своей концепции: «Так говорят те, кто превратились в рабов своего бытия». Сам он думал по-другому. «Рисуя числа, я как будто совершаю прогулку, — объяснял он в 2008 г. историку искусств Петеру Лодермайеру. — Появляется шанс на свободу задавать интересные вопросы. Нет, конечно, в процессе работы у меня не всегда возникают философские вопросы. Но время от времени такой момент наступает, когда я могу задавать философские вопросы, потому что смог воплотить свою программу. Никогда еще у человека не было столько времени на ответы. Все дело в программе, в пути и в процессе нанесения чисел. Никогда еще ни один человек не был так свободен. Возможно, только фараоны: у них в руках была власть, у них были пирамиды. В известном смысле это тоже пирамида — то, что я рисую. Это свобода, которую, пожалуй, никогда не мог создать для себя ни один философ. Философу надо постоянно производить что-то интеллектуальное. Мне же это было не нужно».

Счет — это не искусство. Художник Роман Опалка придерживался такого же мнения — хотя он смог с выгодой продавать свои «детали» именно как живописные произведения. На аукционе «Кристи» три его «детали» были проданы за 1 285 366 долларов. Опалка видит в своих «деталях» нечто большее, нежели искусство, он видит в них документы своей жизни: «Смысл моей жизни заключается в отсутствии смысла, в нанесении рядов логических символов без определенной цели на пути к самому себе».

Когда Опалка приблизился к числу 4 000 000, он пригласил в свою студию в южнофранцузском городке Базерак телевизионную съемочную группу, которая сняла его за монашескими трудами. Надо сказать, что Опалку очаровывали не круглые числа, а те, которые состояли из одинаковых цифр. В особенный трепет его приводили те числа, у которых разрядность числа совпадала с цифрой, составлявшей данное число. Например, после единицы это были числа 22, 333, 4444. Эти числа уместились на первой «детали». За 4444 следовало число 55555, но оно появилось лишь на одной из более поздних «деталей». Прежде чем Опалка добрался до числа 666666, прошло много лет. Как ни странно, но Опалка надеялся до смерти успеть написать число 7777777. Было ясно, что число 88888888 написать он при жизни не успеет. Если бы он начал писать числа раньше, то, вероятно, успел бы написать число 7777777. Опалке было горько сознавать, что первые тридцать четыре года его жизни были потрачены без всякого смысла, и эта мысль в самом начале проекта вызвала болезнь, из-за которой художник даже оказался в больнице. Петер Лодермайер спросил художника: «Когда же вы приступили к работе над своим проектом — когда нарисовали единицу или в тот момент в Варшаве, когда ждали в кафе свою жену? И когда вам в голову пришла идея проекта?» — и Опалка ответил: «Честно говоря, любовь началась тогда, в кафе, но осуществилась она лишь через семь месяцев. Осуществлением любви стала единица. Я рассказывал об этом уже в Амстердаме: я мог бы умереть в тот момент, когда меня охватили истинные эмоции, потому что я уже тогда знал все, что начиналось лишь как довольно смутная концепция. Я знал, я чувствовал, что это станет делом всей моей жизни. Когда пишешь такое малое число, как единица, испытываешь эмоцию, которую просто невозможно себе представить. Через пару недель у меня начались проблемы с сердцем, потому что напряжение от работы было страшно велико. Дело не в том, что работа была невероятно хороша, а в той жертве, которую я должен был приносить работе всю оставшуюся жизнь. В этом и заключалась вся проблема. Я целый месяц пролежал в больнице с аритмией, и это было страшно, я испытывал неподдельный страх. Через месяц я вернулся домой и продолжил работу, и продолжаю ее до сего дня. Искусство нуждается в разуме, но его не обязательно должно быть больше, чем эмоций, телесного напряжения и духовных исканий. Об этом очень верно сказал Леонардо да Винчи: “L’arte e una cosa mentale!” — “Искусство — порождение ума!” Это фантастично. В этой фразе заключен целый мир».

Роман Опалка умер 6 августа 2011 г. До смерти он успел исписать числами 233 «детали». Всего чисел было больше пяти с половиной миллионов.

Квадраты и кубы чисел

Считать можно быстрее, если называть только четные числа 2, 4, 6, 8, 10, … и пропускать нечетные. Человечеству потребовалось долгое время на то, чтобы научиться считать парами. Другие связки чисел — тройки, четверки и так далее — пока не использовались. Это предположение подтверждается лингвистическими данными. Когда мы говорим о числах, которые без остатка делятся на два, мы называем их «четными», но у нас нет такого же наименования для чисел, которые без остатка делятся на три, и в то время как число, которое при делении на два дает остаток, равный единице, мы называем «нечетным», у нас нет особого наименования для чисел, которые при делении на три давали бы остаток, равный единице или двум.

Если счет двойками даже маленькие дети усваивают с быстротой молнии, то им с намного большим трудом дается счет числами, которые делятся на три, четыре и большие числа. Однако для того, чтобы усвоить малую таблицу умножения, они должны наизусть выучить «последовательность троек» 3, 6, 9, 12, 15, …, «последовательность» четверок 4, 8, 12, 16, 20, … и все другие последовательности вплоть до «последовательности девяток» 9, 18, 27, 36, 45, …. Только добравшись до «последовательности десяток» 10, 20, 30, 40, 50, …, мы испытываем чувство облегчения, ибо счет десятками так же прост, как и счет единицами.

При счете связками равной величины, когда, например, считают дюжинами или — в настоящее время эта мера счета практически вышла из употребления — копа́ми, связками по 60 единиц, при одинаковых затратах времени достигают больших величин, чем при счете единицами. Конечно, такой способ счета неприменим, когда речь идет о числах иных порядков.

Использование счета связками или пакетами чисел тем не менее научило людей древних высоких культур такому арифметическому действию, как умножение, а также геометрическому образу того, что, собственно, оно означает. Если, например, взять пакет из шести элементов, шестерку, и поставить в ряд шесть жирных точек, а потом расположить семь таких рядов, которые можно назвать строчками, друг над другом, то мы получим наглядное представление числа 42 в виде «прямоугольного числа», результата умножения 7 × 6. Глуп тот, кто будет считать точки этого прямоугольника ряд за рядом, пока не дойдет до числа 42. Такой счет совершенно не нужен, потому что умножение сразу дает искомый результат 7 × 6.

Используя умножение, люди стали получать числа, большие тех, которые получали простым счетом. Правда, это касалось не всех чисел, например, нет такого простого числа, которое можно было бы получить умножением двух меньших чисел. К этому вопросу мы вернемся позже. Однако, когда, например, Платон требует, чтобы в его идеальном городе жили 5040 граждан, ему не надо было пересчитывать их поодиночке. Достаточно было построить прямоугольник. В ряд надо поставить 60 граждан, а затем построить колонну из 84 таких рядов. Итого, умножив 60 на 84, получим 5040 человек.

Платон поступил бы не так умно, если бы построил всех граждан в две шеренги. Тогда ему пришлось бы считать до 2520. Таким образом, чем ближе прямоугольник по форме к квадрату, тем эффектнее замещает изящное умножение тупой счет.

Если точки, символизирующие какое-либо число, можно расположить в виде квадрата, то такое число называют квадратом какого-то другого числа. Первые квадраты выглядят так:

1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16, 5 × 5 = 25…

Последовательность квадратов 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … растет быстро. Примечательно то, что последовательность разностей последующих и предыдущих квадратов, начиная с трех, состоит из последовательности нечетных чисел.

4 — 1 = 3, 9 — 4 = 5, 16 — 9 = 7, 25 — 16 = 9, 36 — 25 = 11…

Если умножить не два, а три числа, то получается связка связок, например, при умножении 3 × 4 × 5. 4 × 5 есть прямоугольное число, составленное из четырех написанных друг над другом строчек, каждая из которых состоит из пяти точек. Число же 3 × 4 × 5 соответствует трем таким прямоугольникам, уложенным друг на друга. Такая фигура соответствует прямоугольному параллелепипеду, состоящему из 60 точек. Древние счетоводы наверняка были поражены тем фактом, что такое сравнительно большое число, как 60, можно получить всего из трех цифр. Самое большое число, которое можно получить, перемножив три однозначных числа, — это 9 × 9 × 9 = 729. В сравнении с 9 это число просто чудовищно велико.

Вообще, когда речь идет о тройном произведении какого-то числа, то есть о результате его умножения на само себя, то говорят о кубе этого числа. Геометрический образ такого числа действительно куб. Первые числа из ряда кубов выглядят так:

1 × 1 × 1 = 1, 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27,

4 × 4 × 4 = 64, 5 × 5 × 5 = 125…

Как мы видим, в последовательности кубов числа возрастают намного быстрее, чем в последовательности квадратов тех же чисел, а именно: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, …. Двухсотый куб, то есть 200 × 200 × 200, равен 8 миллионам. Это больше чем число 7 777 777, которого надеялся достичь Роман Опалка после десятилетий тяжкого труда.

На первый взгляд число 200 × 200 × 200 кажется не слишком большим: любой человек может без особого напряжения сил представить себе 200 точек, нанесенных в один ряд. Едва ли вид двухсот таких строчек, уложенных одна на другую, сильно поразит наше воображение. И что гигантского в кубе, составленном из двухсот таких квадратов? Но вспомним: Роман Опалка поставил перед собой задачу, образно говоря, потрогать каждую точку такого куба, проставив ее номер на холсте. Однако за сорок шесть лет изматывающего монотонного труда ему не удалось потрогать все точки куба. Опалка умер, остановившись посреди него.

Мы понимаем, как могут одурачить нас кубы чисел, когда, например, слышим, что Солнце почти в сто десять раз больше Земли. Это «в сто десять раз» хорошо укладывается у нас в голове, если мы имеем в виду радиусы Солнца и Земли. Радиус Солнца составляет приблизительно 700 тысяч километров, а радиус Земли — 6400 километров. Действительно, 110 × 6400 = 704 000. Однако, если сравнить объемы:

110 × 110 × 110 = 1 331 000,

то оказывается, что объем Солнца превосходит объем Земли более чем в 1,3 миллиона раз. Более того, в сравнении надо ориентироваться на сравнение объемов, а не радиусов.

Рис. 5. На графике изображенный справа дом по высоте в два раза больше дома, изображенного слева. Однако объем правого дома в восемь раз больше объема левого

Никто не станет утверждать, будто в обыденной жизни его все эти заблуждения с кубиками никогда не коснутся. Простой пример убеждает в обратном: вы читаете в новостях, что за последние десять лет число частных домов в вашем регионе удвоилось. В редакции газеты решили для наглядности сопроводить сообщение графиком. На горизонтальной оси отмечены временные пункты, соответствующие времени десять лет назад и сегодняшнему дню. Над пунктом десятилетней давности отложен вертикальный отрезок, соответствующий тогдашнему числу частных домов, а над пунктом, соответствующим нашему времени, отложен вертикальный отрезок, верхний конец которого удален от горизонтальной оси в два раза дальше, чем конец предыдущего. Эта точка соответствует числу построенных к настоящему времени частных домов. Пока все вроде правильно. Обе точки соединены прямой линией, что уже представляется несколько рискованным, ибо никто не знает, действительно ли число частных домов все это время росло равномерно. Но такой график кажется главному редактору слишком абстрактным. «Мы должны сделать его более понятным, — воодушевляет он художника, — и нарисуем на графике два дома! Один маленький, он будет слева под точкой, соответствующей тому, что было десять лет назад, а справа нарисуем большой дом, и он должен быть в два раза выше первого». Сказано — сделано. Такой график наверняка привлечет жадное внимание читателей, которые будут удивлены темпами роста строительства частных домов. Дело в том, что почти никто из читателей не обратит внимание на направление прямой линии или на сопроводительные числа, но зато почти все сразу увидят оба дома. И будут обмануты, ибо больший, увеличенный как раздутый пузырь дом действительно выше первого вдвое, но площадь его фасада больше уже в четыре раза, а уж объем больше в восемь раз…

Mundus vult decipi — мир любит обманываться.

Степени и проценты

Платон считал, что в идеальном городе должно быть 5040 граждан. Никто не знает, почему их должно быть именно столько. Одна из причин может заключаться в том, что число 5040 является произведением первых семи натуральных чисел: 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040. Вторая причина может заключаться в том, что произведение чисел от 7 до 10 — Пифагор, между прочим, называл число десять «числом совершенства» — в точности равно 5040. То есть 7 × 8 × 9 × 10 = 5040.

В любом случае древние греки умели перемножать сомножители числом более двух. Если же эти сомножители представляют собой одно и то же число, то говорят о степени этого числа. Рассмотрим, например, число 7. Вот его степени, не считая самого числа 7:

7 × 7 = 49, 7 × 7 × 7 = 343, 7 × 7 × 7 × 7 = 2401,

7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 16 807…

Очевидно, что величины степеней числа, большего единицы, растут очень быстро. Кроме того, с первого взгляда очень трудно определить, сколько раз было умножено какое-либо число само на себя после того, как число умножений переваливает за четыре. Поэтому математики приняли изобретенный еще в XIV в. английским кардиналом, богословом и философом Томасом Брадвардином способ написания: справа над числом пишут индекс, показатель степени, каковой сообщает нам, сколько раз умножается число само на себя. То есть мы можем записать:

7^1 = 7, 7² = 49, 7³ = 343, 7^4 = 2401, 7^5 = 16 807…

С числом 10 мы использовали такую форму записи уже много раз: миллион, число, представляющее собой единицу с шестью нулями, выглядит при записи в виде степени числа 10 как 10^6, то есть шесть перемноженных чисел 10.

Но вот степени единицы — вещи довольно скучные и однообразные, любая степень единицы равна в точности единице. Если же к единице прибавить небольшую ее долю, то картина меняется. Степени такого числа сначала увеличиваются весьма незначительно, но затем значения степеней резко взмывают ввысь.

Знание этой особенности может уберечь от финансовой катастрофы.

Об этом рассказывает печальная, но, слава богу, вымышленная история, действие которой происходит в Тоскане во времена Возрождения. Некий крестьянин по имени Симпличио хочет приобрести близ Сиены участок земли и для этой цели занимает в банке «Монте ди Пьета» сто флоринов. Каждая из этой сотни чудесных монет содержит три с половиной грамма чистейшего золота; сто флоринов — это нешуточное состояние.

— Мы с радостью одолжим тебе эти деньги, — деликатно сообщает банковский служащий, глядя, как Симпличио укладывает монеты в мешок, — но все же подумай: каждый год твой долг будет увеличиваться на десять процентов.

— Что значит «десять процентов»? — интересуется Симпличио, и служащий пускается в объяснения:

— Если ты берешь у нас сто флоринов, то сейчас ты должен нам только эти деньги. Ты можешь отдать их нам обратно. Если же нам придется ждать год, прежде чем ты вернешь нам долг, то мы захотим получить не только те сто флоринов, что дали тебе сегодня, но и десять процентов суммы. Десять процентов — это буквально означает «десять из ста», то есть десять сотых твоего долга. Это десятая часть тех денег, которые ты берешь у нас сегодня.

— Но я не хочу платить больше, чем беру, — возмущается Симпличио.

— Мне очень жаль, но в таком случае я не смогу дать тебе деньги, — сокрушенно говорит банковский служащий и протягивает руку к мешку с деньгами. — Но спроси у кого хочешь в Сиене, и ты узнаешь, что ни один заимодавец не дает деньги в долг просто так. Все хотят иметь свой процент. Большинство берет пятнадцать процентов, но есть и такие наглые ростовщики, что берут и двадцать. Ты сам подумай: если ты купишь землю и засеешь ее, то через год ты наверняка будешь богаче, чем сейчас, и сможешь легко отдать долг вместе с процентами.

Симпличио соглашается. Он берет деньги, ставит крестик под долговой распиской, где сказано о десяти процентах, покупает землю и надеется на скорое обогащение.

Но скоро сказка сказывается, да нескоро дело делается. Сиену поражает засуха, неурожай повторяется из года в год целых семь лет. Почти всем, даже самым богатым крестьянам едва хватает средств, чтобы просто сводить концы с концами. Ни о каких накоплениях не может быть и речи. Не слишком тучными оказываются и следующие семь лет. Каждый месяц Симпличио туже затягивает пояс, чтобы отложить на уплату долга один-два флорина. Симпличио понимает, что рано или поздно долг придется возвращать.

Через четырнадцать лет Симпличио наконец набирает требуемую сумму. Крестьянин посчитал, что за каждый год он должен уплатить сверх ста флоринов еще десять. Он сложил сто сорок флоринов и сто, получил 240 флоринов и решил, что сможет рассчитаться с банком.

В банке Симпличио отвели к молодому, надменному служащему, на стол которого Симпличио выложил свои 240 флоринов. Нахальный банкир положил перед собой расписку Симпличио и бумажку с какими-то расчетами, с недовольной миной пересчитал принесенные деньги и сказал ледяным тоном:

— Этого очень мало.

— Почему мало? — искренне удивился Симпличио. — Я занял у вас сто флоринов и каждый год прибавлял по десять флоринов. За четырнадцать лет получилось сто сорок флоринов, которые я и принес вместе с прежней сотней.

— Ваш долг составляет 380 флоринов. Я возьму сейчас двести сорок флоринов, но вы останетесь нам должны еще сто сорок. Между прочим, за эти сто сорок флоринов вы будете впредь выплачивать по 12 процентов в год…

Симпличио не стал выслушивать эту фразу до конца. В бешенстве он выскакивает из банка, бежит по улицам Сиены, пока не оказывается в кабаке, где собираются недовольные режимом новески{11} — разбойники, периодически наводящие страх на бюргеров Сиены. Во время очередного восстания Симпличио оказывается в первых рядах с обнаженной саблей. Дальше следы его теряются.

Судьба бедного Симпличио была решена уже в тот момент, когда он решил, что при расчете процентов их величины складываются. Это самая страшная ошибка, которую совершают при начислении процентов, и совершил ее не только выдуманный нами Симпличио — ее совершают очень многие и в наши дни. На самом деле при расчете процентов надо не складывать, а умножать.

Симпличио подсчитал, сколько флоринов составят десять процентов от долга, а потом каждый год откладывал по десять флоринов в течение четырнадцати лет, считая по 10 процентов от первоначальной суммы. Счетоводы «Монте ди Пьета» считали несколько по-иному: ставка в десять процентов означает, что в течение года одолженный капитал увеличивается на коэффициент 1 + 10 % = 1 + 10/100, то есть первоначальную сумму надо умножить на величину 1,1. В первый год расчет банка не отличается от расчета, произведенного Симпличио. По истечении одного года он должен вернуть банку

100 × (1 + 10/100) = 100 × 1,1 = 110 = 100 + 10

флоринов. Далее Симпличио думает, что через два года он должен вернуть банку 100 + 20, то есть 120 флоринов. Банк, однако, отсчитывает увеличение выплаты от 110 флоринов, умножая на этот раз уже эту сумму на 1,1 и получая долг, равный 121 флорину. Разница между 120 и 121 флорином кажется совершенно безобидной — но через семь лет становится ясно, что долг стал уже достаточно тягостным для Симпличио. Сам крестьянин думает, что по истечении семи лет он должен вернуть банку 100 + 7 × 10, то есть 170 флоринов. Банк же семь раз увеличивает долг на 10 процентов, то есть семь раз умножает исходную сумму в сто флоринов на 1,1. Это в результате дает:

100 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 = 100 × 1,1^7 = 100 × 1,9487171,

или, округляя, 195 флоринов.

Именно такой расчет лежал на столе молодого банковского служащего: он рассчитал величину 1,1, возведенную в четырнадцатую степень — 1,1^14, — и получил число, приблизительно равное 3,7975. Если умножить это число на сто флоринов, одолженных Симпличио у банка, то округленно мы и получим 380 флоринов, которые банковский служащий и потребовал у простодушного крестьянина.

Почему же служащий банка не растолковал Симпличио то, как он подсчитал сумму 380 флоринов? Это объясняется само собой: Симпличио — неграмотный крестьянин XV в. Он умел с грехом пополам складывать числа, но об умножении не имел ни малейшего понятия и именно поэтому попал в беду.

Важнейшие расчёты и большие деньги

Если число 1,1^7 = 1,9487171 щедро округлить, то мы получим число, почти равное 2. Это означает, что при процентной ставке 10 процентов за семь лет первоначальный долг почти удвоится. Но что будет при иной процентной ставке? Допустим, что некий банк дает деньги под два процента годовых. Для того чтобы подсчитать, за сколько лет первоначальный долг удвоится, нам понадобится лишь степенной ряд, начиная с числа 1 + 2 % = 1 + 2/100 = 1 + 0,02. Сначала величины членов ряда увеличиваются медленно: при округлении каждый раз до двух знаков после запятой

1,02² = 1,04, 1,02³ = 1,06, 1,02^4 = 1,08, 1,02^5 = 1,10.

Этот расчет показывает, что через пять лет при двух процентах годовых первоначальный долг увеличится на 10 процентов. То есть на столько, на сколько при десяти процентах годовых первоначальный долг увеличивается за один год. Поэтому при процентной ставке два процента до удвоения первоначального долга проходит в пять раз больше времени, чем до удвоения первоначального долга при годовой ставке в десять процентов. Другими словами, при ставке два процента долг удвоится через — семь на пять — тридцать пять лет. Возьмем карманный калькулятор, посчитаем точно и убедимся, что 1,02^35 = 1,999889552…, то есть практически двум. То, что касается долгов, точно так же касается и капитала, который кладут на банковский счет под определенный процент.

Оба приведённых примера позволяют вывести эмпирическое правило, которое считается одним из важнейших правил, подаренных математикой человечеству: если положить в банк капитал под определённый процент, то, для того чтобы узнать, через сколько лет капитал удвоится, достаточно разделить число 70 на величину годовой процентной ставки. Сделав это, можно будет точно узнать, когда именно это произойдёт[9].

Все дело в удвоении, ибо, как уже было сказано, вычисление процентов опирается на умножение.

Вот пример. Допустим, что святой Иосиф, муж Марии, по случаю рождения Христа кладет на счет маленького Иисуса в Вифлеемский банк 1 евро под 3,5 процента годовых. По прошествии 70: 3,5 = 20 лет вклад удвоился, и один евро превратился в два. Когда пройдет двести лет, вклад удвоится десять раз. Так как 2^10 = 1024, можно сказать, что вклад увеличился тысячекратно, то есть один евро практически превратился в тысячу. Таким образом, через 200 лет к одному евро стало можно приписать три нуля. Сегодня же, более чем 2000 лет спустя, к одному евро надо приписать десять раз по три нуля. Наследники Иисуса могли бы сегодня получить в Вифлеемском банке 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 евро, то есть один нониллион евро.

Эта нелегкая задачка благополучно разрешилась не только потому, что у Иисуса не было наследников.

Дело облегчается в еще большей степени, хотя не совсем, и тем, что Вифлеемский банк не продержался бы 2000 лет. Однако есть и примеры удивительного долголетия этих учреждений. Сиенский банк «Монте ди Пьета», о котором мы упомянули в нашей истории, существует по сей день. Этот банк был основан в 1492 г., а в 1624-м был переименован в «Монте деи паски ди Сиена». Это старейший из всех ныне существующих банков в мире.

В большей мере эта задачка разрешается благодаря тому, что в ту эпоху, во время рождения Христа, не было евро, а платежи осуществляли в сестерциях, то есть в валюте, которой сегодня не существует. Тех денег, которые сменяли сестерций на протяжении истории до наших дней, а именно талеров, флоринов, гульденов, сегодня тоже нет. Их уничтожили войны и кризисы, инфляции и денежные реформы.

Когда числа становятся невообразимыми, с ними перестает справляться даже экономика.

Числовой монстр Дональда Кнута

С изобретением степеней математика получила в свое распоряжение очень мощный инструмент обозначения чисел, которые немыслимо получать с помощью умножения, не говоря уже о сложении. Дело в том, что степень тоже можно возвести в степень, получив так называемую степенную башню, например

54³

Для начала надо заметить, что существует два способа прочтения этой степенной башни. При первом из них сначала возводят пять в четвертую степень и получают 625, а затем это число возводят в третью степень, то есть 625³ = 244 140 625. В этом случае результат представляют как

(5^4)³ = 625³ = 244 140 625.

Другой способ представления этого числа заключается в том, что сначала вычисляют выражение 4³, равное 64, а затем возводят в 64-ю степень число 5, то есть вычисляют величину степени 5^64. Это число, начинающееся с цифр 5421… и содержащее 45 разрядов. В этом случае со степенной башней поступают так:

5(4³) =

= 542 101 086 242 752 217 003 726 400 434 970 855 712 890 625.

Если степенную башню пишут без скобок, то имеют в виду второе из упомянутых выше прочтений. Другими словами, со степенями «работают» справа налево и сверху вниз. Так договорились делать не только потому, что такое прочтение при вычислении приводит к большему результату, а прежде всего потому, что первое прочтение, вообще говоря, не требует написания степеней в виде башни. В самом деле, например, выражение

(5^4)³ = 5^4 × 5^4 × 5^4 = 54 + 4 + 4 = 54 × 3

в точности соответствует старому школьному правилу: для того чтобы возвести в степень число, выраженное степенью, надо перемножить показатели степени.

Самое большое число, которое можно записать всего тремя цифрами, выглядит так:

Это степенная башня, состоящая из трех девяток. Это число начинается с 4281… и содержит 369 693 100 разрядов.

Профессор информатики Стэнфордского университета Дональд Кнут заменил придуманный Брадвардином способ записи степеней новой символикой, которая лучше подходит для программирования, выполняемого обычным текстом. Например, степень 3² Кнут предложил записывать так: 3↑2. Вертикальная стрелка словно заменяет команду считать следующее число показателем степени. Таким же способом, как открыл Кнут, можно сокращенно записывать и степенные башни. Например, символами 3↑↑2 записывают степенную башню, состоящую из двух чисел 3. Это означает 3↑↑2 = 3↑3 = 3³ = 27. Здесь пока не заметно ничего особенного, но хитрость таится в самой записи двух вертикальных стрелок! Ибо 3↑↑3 — это уже степенная башня, состоящая из трех троек, то есть

3↑↑3 = 3↑3↑3 = 33³ = 3^27 = 7 625 597 484 987,

а 3↑↑4 — это степенная башня, состоящая из четырех троек, то есть

Этот числовой великан начинается с 1258… и содержит 3 638 334 640 025 разрядов, то есть он больше числа, записанного в виде степенной башни из трех девяток, которая с помощью метода Кнута записывается так: 9↑↑3.

Мало того, Кнут расширил свое обозначение еще на один шаг. Если он помещал между двумя числами три вертикальные стрелки, то число, стоящее справа от тройной стрелки, говорило, сколько раз надо было записать число, стоящее слева, и поставить между ними двойные стрелки. В этом случае с записью Кнута работают, как со степенной башней — то есть справа налево. Например, запись 3↑↑↑2 есть сокращенная запись 3↑↑3. Это число мы с грехом пополам еще можем себе представить — 7 625 597 484 987. Но, например,

3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑7625597484987.

Здесь речь идет о степенной башне, в которой над основанием 3 надо написать косо друг над другом 7 625 597 484 986 троек. Работать с такой степенью надо начинать с ее верхнего шпиля.

Число 3↑↑↑3 так велико, что нет ни малейшего шанса даже приблизительно определить число его разрядов, и невозможно сказать, с каких цифр оно начинается[10].

Таинственные числа

4 294 967 297

Число, вынесенное в подзаголовок, несколько больше четырех с четвертью миллиардов. Даже находясь под впечатлением числовых монстров Кнута, мы понимаем, что это довольно значительное число. Особенно сильно оно впечатляет, если представить его в виде денежных купюр. В мире не так уж много людей, чье личное состояние превосходит четыре миллиарда евро. Напротив, министры финансов ежедневно оперируют подобными суммами. При этом они чаще говорят о «приблизительно 4,3 миллиарда», щедро, с избытком, округляя эту величину на какие-то жалкие пять миллионов. Правда, чиновники Министерства финансов являются, не в пример своим начальникам, куда более педантичными. В 1920-х гг.

4,3 миллиарда марок, наоборот, считались смехотворно малой суммой. В ноябре 1923 г. в Германии на 10 миллиардов марок можно было купить разве что почтовую марку. Купюрами достоинством в миллионы марок в ту холодную осень буквально растапливали печки. 297 марок в конце приведенной выше суммы не стоил, наверное, даже во́лос. 16 ноября 1923 г. за сумму, в тысячу раз большую, чем 4,2 миллиарда марок, то есть за 4,2 триллиона марок, можно было купить целый доллар.

Представим себе расстояние 4 294 967 297 метров. Это очень большое расстояние, оно в сто раз превышает окружность Земли по экватору. Служащие авиакомпаний, часто летающие на самолетах деловые люди, да и многие простые смертные давно преодолели это расстояние. Луна находится от Земли на расстоянии, составляющем менее одной десятой этого отрезка.

Напротив, размер атома измеряют в ангстремах, единицах, составляющих одну стомиллионную долю сантиметра. Если взять 4 294 967 297 атомов размером 1 ангстрем и расположить их в ряд, то мы получим цепь длиной менее полуметра.

4 294 967 297 секунд. Звучит устрашающе. Но тем не менее назвать этот период времени чрезвычайно долгим нельзя. Всего это составит 136 лет и немного больше 37 дней, то есть время смены четырех поколений.

Отрезок времени 4 294 967 297 лет по длительности превышает предыдущий период более чем в тридцать миллионов раз. Это действительно период времени гигантской продолжительности. Четыре миллиарда лет назад только что затвердела кора Земли и возник Мировой океан. Вся наша Вселенная существует всего в три раза дольше.

4 294 967 297 тонн представляются невероятным, просто исполинским весом, и это в самом деле так, но в сравнении с массой Земли, превосходящей данную массу более чем в триллион раз, названный вес можно считать пренебрежимо малым.

Представим себе гордого обладателя 4 294 967 297 атомов золота и прикинем, сколько у него этого благородного металла. Окажется, что лишь смехотворных 0,000 000 000 0014 грамма. Такое количество невозможно взвесить на лабораторных весах, настолько оно мало.

Таким образом, число 4 294 967 297 можно считать большим или маленьким в зависимости от того, в каких единицах это число измеряют.

Но что, если мы не станем связывать это число ни с какими единицами, если отвлечемся от экономики, космического пространства, времени, материи, если мы посмотрим на число 4 294 967 297 просто как на число, и ни на что больше? Не откроем ли мы в нем что-нибудь особенное? Если отвлечься от приближенного значения 4,3 миллиарда, то мы сразу убедимся в том, что это число нечетное, то есть оно не делится на два. Тот, кто еще немного помнит школьный курс математики, знает, как установить, делится ли какое-либо число на три. Число делится на три, если сумма его цифр делится на три[11]. Сумма цифр числа 4 294 967 297 равна

4 + 2 + 9 + 4 + 9 + 6 + 7 + 2 + 9 + 7 = 59.

59 не делится на три, а это значит, что число 4 294 967 297 не делится на три. Поскольку число это не имеет в разряде единиц ни нуля, ни пятерки, оно также не делится на пять.

Может быть, 4 294 967 297 является простым числом?

Числа, отличные от единицы, которые нельзя представить в виде произведения, то есть не являющиеся истинно прямоугольными числами, называют простыми. В отличие от простых так называемые «составные» числа являются числами истинно прямоугольными. Это означает, что такие числа можно представить в виде произведения двух чисел, из которых оба больше единицы. Геометрическая иллюстрация: можно изобразить прямоугольную решетку, число точек которой в точности равно составному числу. Действительно, если умножить число точек в строке на число точек в столбце, то получится все составное число целиком. Поскольку Пифагор и его ученики — заметим, кстати, что среди них были и женщины — имели пристрастие изображать числа в виде рисунков из точек, постольку понятие простого числа, вероятно, возникло в то же время, когда была изобретена математика, то есть в VI в. до н. э.

Эдмунд Главка любил называть простые числа «неприступными числами», уподобляя их химическим элементам.

Понятие химического элемента возникло, когда после многовековых попыток алхимиков получить золото из неблагородных веществ начала свой победный путь научная химия. Первым великим противником алхимии был ирландский естествоиспытатель Роберт Бойль. В 1661 г. он опубликовал книгу под заглавием «Химик-скептик», в которой разделался с шарлатанами своего времени и высмеял потуги алхимиков изготовить золото из подручных материалов. После проведения множества опытов Бойль обнаружил, из чего состоит «вещество творения» — по образному выражению физика Хайнца Хабера. Бойль утверждал, что природа создала несколько элементарных веществ. Их существование фундаментально, и их невозможно создать искусственно.

Эти первородные вещества Бойль назвал элементами. По его мнению, была обречена на провал любая попытка получить золото из свинца или ртути. Золото — элемент и, таким образом, не может быть расщеплено или создано заново.

Другие вещества, например вода или киноварь, являются не элементами, а химическими соединениями. Если приложить к воде электрическое напряжение, то она расщепится на водород и кислород. Если нагреть киноварь в пламени, то она распадется на ртуть и серу.

То, что относится в природе к веществам, относится в математике к числам. Все числа тоже состоят из первородных «строительных камней». Однако в математике надо различать, можно ли создавать новые числа с помощью простейшего арифметического действия — сложения, или с помощью несколько более сложного действия — умножения.

Возникновение чисел в результате сложения представляется весьма простым. Начинают с первого числа — единицы. Поочередно прибавляя к ней по единице, можно получить все числа — 1, 2, 3, 4… Таким образом, есть только один «элемент», из которого получаются все числа, и этот элемент — единица.

Возникновение чисел в результате умножения — процесс несколько более запутанный и сложный, но зато и более интересный. Мы снова будем исходить из единицы как из первого числа. Однако, умножая единицу саму на себя сколь угодно большое число раз, мы не получим ничего, кроме единицы.

Первым настоящим «элементом» чисел — с точки зрения умножения — является число 2. Из него возникает целый ряд чисел: 2 × 2 = 2² = 4, 2 × 2 × 2 = 2³ = 8, 2 × 2 × 2 × 2 = 2^4 = 16 и т. д. Но получить таким образом все числа невозможно. Наименьшее число, отсутствующее в этом списке, — это 3. Поэтому за еще один «элемент» числового царства была принята и тройка — наряду с двойкой. Такие «элементы», как 2 и 3, в математике называют простыми числами (на латыни они называются также первичными). Действительно, начиная с простых чисел, из них путем умножения получают все остальные числа.

С помощью чисел 2 и 3 в результате умножения получают числа 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 = 9, 2 × 2 × 3 = 12 и т. д. Как мы видим, так снова получаются не все числа. В этом списке отсутствуют 5 и 7. Они тоже являются простыми.

Величайшее озарение снизошло на двух греческих ученых — Евклида из Александрии и Эратосфена из Кирены. Оба принадлежали к поколению, родившемуся после Александра Македонского, и оба работали в Александрийской библиотеке.

Евклид выяснил, что из бесконечного списка простых чисел можно получить все числа как произведения простых чисел из списка. Если же произведения составлять из конечного списка простых чисел, то получить все числа путем вычисления таких произведений не удастся никогда. Евклид обосновывал свое утверждение так: он вычисляет произведение всех простых чисел из списка и добавляет к результату единицу. Выполнив эту операцию, он получает число, которое невозможно разделить ни на одно простое число из списка. Следовательно, это число не является результатом произведения простых чисел первоначально заданного конечного списка.

Растолкуем рассуждения Евклида на конкретном примере: допустим, некто утверждает, что все простые числа исчерпываются списком из 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Других простых чисел якобы не существует. Тогда, возражает Евклид, число 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1, равное 30 031, можно было бы представить как произведение простых чисел из этого конечного списка. Но очевидно, что это неверно. Число 30 031 не делится ни на одно простое число из нашего списка, при любом делителе мы получим остаток, равный единице. Поскольку же число 30 031 не может быть записано как произведение простых чисел из списка 2, 3, 5, 7, 11, 13, постольку простых чисел должно быть больше, чем их есть в списке. Помимо того, заметим, что в список не входят простые числа 59 и 509, а именно их перемножение дает в результате 30 031, то есть 59 × 509 = 30 031.

Эратосфену удалось создать таблицу простых чисел в промежутке между 2 и 100. Вот этот список:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

При взгляде на него возникает впечатление, что в последовательности простых чисел нет никакой закономерности. В их последовательности мы не наблюдаем никакой регулярности. Эратосфен также понимал, как можно усовершенствовать и расширить систематизацию простых чисел, для чего вычислил все простые числа в промежутке между 1 и 1000. Однако аргумент Евклида гласит, что никакой конечный список не может содержать все без исключения простые числа. То есть ни один конечный список простых чисел не является исчерпывающим.

Спорадическое появление простых чисел в ряду следующих друг за другом натуральных чисел вызывает удивление: между следующими друг за другом простыми числами 19 609 и 19 661 мы видим довольно большой промежуток. Напротив, разность между числами 19 697 и 19 699 равна всего лишь двум. Представляется, что не существует простого закона, определяющего порядок следования простых чисел.

В частности, мы пока не знаем, является ли простым число 4 294 967 297…

В поисках простых чисел

Во Франции времен кардинала Ришелье, когда знатные люди и богатые буржуа имели достаточно досуга для бесполезных, на первый взгляд, занятий, некоторые из них по-любительски — в лучшем смысле этого слова — занимались проблемой простых чисел. К числу таких людей принадлежали работавший на монетном дворе чиновник Министерства финансов Бернар Френикль де Бесси, образованный монах ордена «минимов» Марен Мерсенн и адвокат и парламентский советник Пьер де Ферма. Все они главным образом пытались отыскать формулу, согласно которой можно было бы получать простые числа.

Один из обманчивых рецептов, разработанный ими, гласил: для того чтобы получить простое число, надо взять число, сложить его с его квадратом и с числом 41. На первый взгляд такой принцип выглядит многообещающе. Действительно, если взять единицу, прибавить к ней квадрат единицы, то есть 1, а затем 41, то получится 43 — простое число. Если взять 2, то его квадрат равен 4. При сложении обоих чисел с 41 получится простое число 47. Взяв 3, мы получим 53, также простое число. Далее, если взять 4 и 5, то получатся тоже простые числа — 61 и 71 соответственно. Этот ряд не кончается долго. Например, возьмем число 10, возведем его в квадрат, сложим 100 и 10 и прибавим 41. Мы опять получим простое число — 151. Если взять число 36, прибавить 36² = 1296, а затем еще число 41, то получится простое число 1373. По этой формуле числа от 1 до 39 бесперебойно дают простые числа. Но потом система дает сбой. Прибавим к числу 40 его квадрат, 40² = 40 × 40, и в результате получим число, равное произведению 40 × 41. Если же к этому числу прибавить число 41, то получится число 41 × 41 = 41². Это число не может быть простым. (Это просто прекрасно, что для обоснования этого утверждения не надо ничего вычислять. Однако, разумеется, с тем же успехом можно указать на то, что сложение числа 40 с его квадратом 40² = 1600 дает в результате 1640, после увеличения которого на 41 мы получим число 1681. Можно легко удостовериться в том, что 1681 = 41² = 41 × 41, то есть не является простым числом. Но доказательство, позволяющее избежать вычислений, выглядит все-таки более изящно.)

Марен Мерсенн нашел еще один рецепт. Он вычитал из степеней 2, то есть из чисел

2² = 4, 2³ = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64, 2^7 = 128,

2^8 = 256, 2^9 = 512…

единицу и установил, что только в тех случаях, когда показатель степени является простым числом, результат вычитания из степени единицы является простым числом. Действительно, имеем:

2² — 1 = 3, 2³ — 1 = 7, 2^5 — 1 = 31, 2^7 — 1 = 127,

то есть простые числа. Вычитание единицы из представленной составным числом степени числа 2 ни в коем случае не может дать в результате простое число, как это видно из следующих примеров[12]:

2^4 — 1 = 15 = (2² — 1) × (1 + 2^2) = 3 × 5,

2^6 — 1 = 63 = (2³ — 1) × (1 + 2³) = 7 × 9,

2^8 — 1 = 255 = (2^4 — 1) × (1 + 2^4) = 15 × 17,

2^9 — 1 = 511 = (2³ — 1) × (1 + 2³ + 2^6) = 7 × 73.

Мерсенн, однако, сам выяснил, что его рецепт действует не всегда, а точнее, весьма редко. Собственно, даже если показатель степени двойки выражен простым числом, разность между степенью и единицей не обязательно является простым числом. Хотя правило Мерсенна работает для показателей степени 2, 3, 5 и 7, сбой происходит уже при показателе, равном 11, ибо 2^11–1 = 2047, то есть произведению 23 и 89.

Тем не менее это не окончательный сбой. Мерсенн доказал, что иногда его формула работает и при показателях степени, больших 11. Действительно, он установил, что числа

2^13 — 1 = 8191, 2^17 –1 = 131 071 и 2^19 — 1 = 524 287

являются простыми. Мерсенн утверждал, что то же самое верно и для показателей степени 31, 67, 127 и 257, но неверно для простых чисел, находящихся в промежутках между ними. Здесь Мерсенн немного ошибся. Число 2^67 — 1 не является простым, но зато таковым является число 2^61 — 1, как и числа 2^89 — 1 и 2^107 — 1, а вот число 2^257 — 1 простым не является. Показатели степени меньше 500, при которых разность степени двойки и единицы дает простое число, следующие:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127.

Наибольшая из этих разностей, состоящая из 39 разрядов, а именно

2^127 — 1 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727,

на самом деле является простым числом, что было лишь в 1876 г. доказано французским школьным учителем Эдуардом Люка. Это самое большое простое число, вычисленное вручную.

Однако уже в 1950 г. для вычисления простых чисел по формуле Мерсенна были использованы электронно-вычислительные машины, и было обнаружено свыше тридцати разностей степеней двойки и единицы, представлявших собой огромные простые числа, и среди них одно, состоящее из дюжины миллионов разрядов.

Пьер де Ферма решил превзойти Мерсенна, с которым состоял в дружеской переписке. Он разработал другую формулу, построенную на следующих рассуждениях: очевидно, что 3 — сумма единицы и двойки — является простым числом, точнее, первым нечетным простым числом. Прибавив 2 к 3, мы получим еще одно простое число 3 + 2 = 5. Ферма перемножил оба числа и прибавил 2. Получилось число 3 × 5 + 2 = 17, а оно тоже является простым. Следующим шагом стало перемножение трех предыдущих простых чисел — получивших в честь первооткрывателя наименование «чисел Ферма» — и прибавление к произведению 2. Теперь Ферма получил действительно довольно большое простое число, а именно

3 × 5 × 17 + 2 = 257.

Ферма и сам был очарован открытым им рецептом. Он прибавил к произведению первых четырех чисел Ферма двойку и получил пятое число Ферма,

3 × 5 × 17 × 257 + 2 = 65 537,

а затем потратил массу усилий на доказательство того, что оно — простое. И оно на самом деле оказалось таковым. После этого Ферма уверовал в универсальность своей формулы. Воодушевленный успехом, он в 1640 г. писал Френиклю де Бесси:

«Но здесь заключено нечто такое, что больше всего меня поражает: я почти полностью убеждён, что числа[13]

1 + 2 = 3, 1 × 3 + 2 = 5, 1 × 3 × 5 + 2 = 17, 1 × 3 × 5 × 17 + 2 = 257, 1 × 3 × 5 × 17 × 257 + 2 = 65537, 1 × 3 × 5 × 17 × 257 × 65 537 + 2 = 4 294 967 297

и следующее, состоящее из двадцати цифр число

1 × 3 × 5 × 17 × 257 × 65 537 × 4 294 967 297 + 2 = 18 446 744 073 709 551 617 и т. д.,

все являются простыми. У меня нет строгих доказательств этому, но я смог исключить большое число возможных делителей, и мое убеждение зиждется на ясном понимании того, что едва ли я избрал ошибочный путь».

Мы видим здесь число 4 294 967 297, вынесенное в начало настоящей главы. Это шестое число Ферма. Даже сегодня для человека, вооруженного лишь карандашом и бумагой, остается практически непосильной задача определить, является это число простым или нет.

Легко перемножить между собой два больших числа. Но выяснить, на какие сомножители можно разложить большое число, — задача весьма и весьма утомительная. В 1732 г., почти через сто лет после письма Ферма, добросовестный швейцарский математик Леонард Эйлер выяснил, что убеждение Ферма оказалось ошибочным — число 4 294 967 297 — шестое число Ферма — делится на 641[14].

Этот маленький ляпсус никоим образом не умаляет выдающийся талант Ферма к поиску таинственных числовых законов. Между тем были исследованы числа, следующие за числами 4 294 967 297 и 18 446 744 073 709 551 617, и пока среди них простые числа не найдены. Числа Ферма увеличиваются взрывообразно, и поэтому задача поиска среди них простых чисел не из легких.

Долгое время простыми числами просто ради удовольствия занимались увлеченные фанатики чисел, люди не от мира сего, ибо никто не понимал, на что могут сгодиться простые числа. Они просто существовали в царстве чисел, редкие, как золотые самородки в аляскинских реках, но совершенно бесполезные.

В 1970-х гг. совершенно неожиданно выяснилось, что это далеко не так. Простые числа, и прежде всего большие простые числа, оказались неслыханно ценными, более ценными, нежели золото и драгоценные камни. Простые числа могут принести большую власть. Для того чтобы понять это, нам придется погрузиться в сумрачный мир шпионажа.

Число, пришедшее с холода{12}

Мы сейчас переместимся во времена холодной войны, когда, с точки зрения спецслужб, мир еще находился в полном «порядке». Британцы и американцы были на Западе, русские — на Востоке, а между ними был — казалось, навечно — воздвигнут железный занавес. Этот занавес делил мир пополам, и это деление казалось незыблемым.

То была эпоха героя ранних романов Джона ле Карре Джорджа Смайли, превосходно воплощенного в сериалах Би-би-си «Шпион, выйди вон» (1979) и «Команда Смайли» (1982) сэром Алеком Гиннессом, а в блестящей экранизации первой из этих книг — актером Гэри Олдменом.

Когда-то, в конце 1930-х и в 1940-х гг., британская Интеллидженс — лучшее название не пришло в голову основателям секретной службы, которую они сами позже называли не иначе, как «Цирком», — с Джорджем Смайли, своим лучшим агентом, несомненно сражалась на стороне добра — против Гитлера, а потом, когда после его разгрома Советский Союз из союзника превратился в противника, — против Сталина. Но теперь, в 1970-х, в глазах Смайли некогда героическая борьба превратилась в циничную игру. Морально окрашенные притязания, позволявшие агентам держаться на плаву, все больше и больше выхолащивались. «Надо, — говорили руководители Цирка, — делать поганые вещи ради того, чтобы наши граждане могли спокойно спать в своих постелях». Но Смайли понимал, что они лгали самим себе, чтобы подавить чувство вины, возникавшее всякий раз, когда очередного завербованного агента, предавшего противника, разоблачали и ставили к стенке. Разрываемый на части болезненными уколами совести, с одной стороны, и непоколебимой верностью — с другой, он на протяжении двух недель после увольнения предавался сладостным мечтам о том, как выйдет на покой и посвятит себя любимому занятию — изучению литературы о немецком барокко. Однако через два дня из министерства позвонили и любезно попросили его явиться в Цирк и снова, в который раз, постоять за честь Англии и отправиться на холод, в столицу вражеской страны.

Оттуда, а именно из столицы тогдашней Чехословакии (мы выберем этот город для нашей вымышленной истории, в которой главную роль будут играть простые числа), он просит Цирк о помощи. Посланный агент должен через железный занавес пробиться к Смайли, снабженный псевдонимом и фальшивыми документами, Смайли, однако, хочет встретиться не с любым агентом, а с определенным, с номером 007, и ни с кем другим. Почитатели Джона ле Карре знают, что агента 007 надо представлять себе отнюдь не в облике Джеймса Бонда. Чаще всего такой агент — человек с неприметной внешностью, ставший за годы тренировок и службы «в поле» законченным циником: крепким, закаленным и — как всегда ожидают от человека сомнительного происхождения — надежным и исполнительным.

Но как удалось Смайли сообщить своему начальству в Лондоне, что оно должно прислать к нему агента номер 7? Сообщить эту цифру по радио или написать в письме он не мог — это было бы чистым безумием. Смайли прекрасно знал: его радиопереговоры прослушиваются, а письма перехватываются. Если восточные шпионы услышат или прочтут число 7, то агент будет раскрыт еще до того, как успеет подойти к железному занавесу.

Еще большим безумием было бы назвать не номер агента, а его имя — по радио или в письме. В картотеке восточного противника зарегистрированы имена и клички всех известных ему британских агентов, из которых агент 007 был самым известным.

По этой причине Смайли должен был каким-то образом зашифровать имя нужного ему агента так, чтобы надежно замаскировать его.

С самого начала человеческой истории, с тех времен, когда были изобретены письмена и числа, с тех пор, как между людьми начались вражда, соперничество и войны, умные головы озаботились шифрованием сообщений, чтобы враги не смогли их расшифровать и прочесть. Во всяком случае, враги гарантированно не должны были прочесть сообщение за то время, пока оно было важным.

Очень древний, имеющий тысячелетнюю историю метод шифрования, применявшийся, видимо, уже в библейские времена, это атбаш. Это причудливое название составлено из букв еврейского алфавита. Первая буква алфавита א (алеф), можно считать, что это буква А, и последняя буква ת (тав) составляют первый слог. Вторая буква ב (бет), или, можно сказать, Б, и предпоследняя буква еврейского алфавита ש (шин), которая произносится как «ш», составляют второй слог (буква «а», вставленная в слог «баш», служит лишь для удобства произношения). Метод шифрования становится ясным из самого названия. Например, в секретном сообщении заменяют первую букву алфавита последней, вторую предпоследней и так далее. Возникает последовательность букв, обозначающая какую-то неведомую абракадабру, глядя на которую трудно — во всяком случае, сразу — понять, что именно здесь написано.

Юлий Цезарь охотно пользовался этим методом шифрования при составлении секретных посланий. Например, мы хотим использовать латинский алфавит с его 23 буквами (I и J обозначались одной буквой I, так же как звуки U и V обозначались одной буквой V, а буква W вообще появилась только в Средние века для обозначения удвоенного V) для расшифровки по методу атбаш следующего тайного послания:

ZNTZ PZXEZ TFE.

Для этого нам надо всего лишь дважды записать последовательность букв латинского алфавита: сначала слева направо, а потом справа налево, — поместив вторую строчку строго под первой:

Из этой таблицы становится ясно, что каждую букву Z надо заменить буквой A, каждую букву T — буквой E, букву P — буквой I, букву X — буквой C, букву E — буквой T, а букву F — буквой S. Заменив буквы по этой схеме, мы прочтем послание Цезаря:

ALEA IACTA EST,

что в переводе означает «Жребий брошен». Это очень известная латинская цитата. Эти слова Цезарь якобы произнес при переходе реки Рубикон. Перейти Рубикон с войском означало начало гражданской войны. После перехода Рубикона пути назад для Цезаря уже не было.

Можно, однако, довольно скоро догадаться, что метод шифрования по методу атбаш слишком прост. На роль надежной системы кодирования атбаш не годится. Если секретная служба располагает методами дешифровки, то она в мгновение ока «расколет» донесение, зашифрованное этим методом.

То, что Джордж Смайли шифровал имя агента не с помощью системы атбаш, даже не обсуждается. Однако и другие, похожие методы, например, заменять каждую букву непосредственно следующей за ней (Цезарь, кстати, применял и такую систему шифрования), не представляли никакой загадки для бывалых восточных шпионов. Смайли должен был использовать более изощренную систему.

Смайли знал, как надо поступить, и потребовал от лондонской штаб-квартиры Цирка прислать ему вспомогательное средство для кодирования. В ответ он получил из Лондона два числа: модуль 221 и степень 11.

Как куют и раскрывают тайны

Сразу возникает закономерный вопрос: как смог Цирк прислать Смайли «модуль 221» и «степень 11» и при этом сделать так, чтобы об этом не пронюхали восточные шпионы? Ответ прост: ни Цирку, ни Смайли не надо было тратить силы на то, чтобы удержать в тайне оба этих числа. Их мог знать кто угодно. Не только Смайли, но и Карла, его заклятый противник, который, сидя в далекой России, дергал за ниточки, управлявшие всей работой советских спецслужб. Карла тоже знает, что делает Смайли для того, чтобы надежно зашифровать номер агента с помощью модуля 221 и степени 11.

Смайли же начинает вычислять.

Вычисления Смайли на первый взгляд кажутся весьма своеобразными, ибо в результатах у него может появиться 221 число — столько диктует ему модуль, а именно числа:

0, 1, 2, 3, 4, …, 216, 217, 218, 219, 220.

Из каждого большего числа он вычитает 221 столько раз, сколько нужно для того, чтобы получить какое-либо число из этого списка. Так, 221 он заменяет на 0, 222 — на 1, 223 — на 2, 224 — на 3 и так далее. Из числа 1000 Смайли должен вычесть число 221 четыре раза, то есть наибольшее целое число раз, сколько 221 содержится в 1000. Произведя вычитание 1000 — 4 × 221 = 1000 — 884, Смайли получает 116. Вместо всех этих вычислений Смайли пишет 1000 ≡ 116. Вместо двух горизонтальных черт обычного знака равенства = Смайли пишет знак ≡ из трех горизонтальных черт. Гаусс, изобретатель этого символа, говорил в таких случаях, что 1000 и 116 конгруэнтны по модулю 221.

Можно представить себе числа в виде точек, расположенных на окружности. 221 точка, обозначаемые числами от 0 до 220, расположены на равных расстояниях друг от друга на окружности. Эти точки образуют вершины правильного многоугольника с 221 углом. Смайли считает и вычисляет так, словно идет вдоль этих точек на окружности.

Смайли зашифровывает число 7 агента 007 следующим способом: умножает число семь само на себя одиннадцать раз — то есть столько, сколько требует присланный ему из Цирка показатель степени, — а потом выясняет, какому из 221 числа его системы конгруэнтна одиннадцатая степень числа 7. Это число Смайли сообщает по радио в Лондон. Число 7^11 очень велико. Если его записать обычным способом, то оно выглядит так:

7^11 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 1 977 326 743.

Модуль 221 содержится в этом числе 8 947 179 раз. Если вычесть произведение 8 947 179 на модуль 221 из числового монстра 7^11, то остаток будет равен 184. Это число Смайли и должен отправить начальству в Лондон, ибо оно кодирует зашифрованное число 7.

Единственная проблема заключается в том, что карманный калькулятор Смайли не может вместить число 1 977 326 743. На дисплее калькулятора умещается только восемь разрядов. На попытки разместить на дисплее большее число калькулятор отвечает словом «ошибка». Смайли счел слишком утомительным считать вручную, не говоря о том, что это было еще и слишком опасно. При расчетах он не мог, просто не имел права допустить ошибку. Однако Смайли весьма изящно вышел из этого затруднительного положения.

Он не стал прямо вычислять чудовищное число 7^11, но лишь для начала только степени 7^1 = 7, 7² = 7 × 7, 7 4 = 7² × 7^2 и 7^8 = 7 4 × 7 4. Первые два произведения он мог легко вычислить в уме: 7^1 = 7 и 7² = 49. Для выполнения следующих вычислений он берет в руки калькулятор, получает 7 4 = 49 × 49 = 2401 и сокращает этот результат, пользуясь своей числовой системой: модуль 221 содержится в числе 2401 10 раз, и вычитание 2401 — 221 × 10 = 2401 — 2210 дает в результате 191. Поэтому Смайли пишет 7 4 ≡ 191. Для вычисления 7^8 = 7 4 × 7 4 Смайли использует остаток 191: умножение этого числа само на себя дает в результате 36 481. Модуль 221 содержится в этом числе 165 раз. Вычитая 165 × 221 = 36 465 из 36 481, Смайли получает 16 и пишет 7^8 ≡ 16. В результате он получает следующий список:

7^1 ≡ 7, 7^2 ≡ 49, 7^4 ≡ 191, 7^8 ≡ 16.

Для того чтобы вычислить величину 7^11, Смайли должен еще подсчитать произведение 7^8 × 7² × 7^1, потому что сумма 8 + 2 + 1 дает в результате показатель степени 11. Для подсчетов Смайли использует полученные им остатки и получает в результате 16 × 49 × 7, то есть 5488. Модуль 221 целиком содержится в этом числе 24 раза. При вычитании 5488 — 24 × 221 Смайли получает результат 184, то есть то же число, что и выше: 7^11 ≡ 184. Смайли радирует в Лондон: «Было бы неплохо выпить чаю со 184».

Ни один из советских шпионов ни за что не догадается, что за числом 184 прячется скромная семерка. Это может узнать только лондонский Цирк. Тоби Эстерхази, тот самый человек, который в Цирке отвечает за декодирование зашифрованных депеш, лезет в свой сейф и достает оттуда документ с грифом «Совершенно секретно», в котором записана относящаяся к модулю 221 и степени 11 «секретная экспонента». Эту экспоненту (показатель степени) знает только Цирк и носится с ней как курица с яйцом. Эта экспонента известна лишь самому узкому кругу посвященных. Относящаяся к модулю 221 и показателю степени 11 экспонента равна 35.

Чтобы расшифровать донесение Смайли, Тоби Эстерхази поступает приблизительно так же, как Джордж Смайли. Он записывает присланное ему кодовое число 184 и умножает его само на себя 35 раз, то есть делает именно то, чего требует от него секретная экспонента из бронированного сейфа. Однако 184^35 — это чудовищно громадное число с 80 разрядами. Для бедного Эстерхази это непосильная задача. Но так же, как Смайли, Тоби Эстерхази знает, как помочь этому горю. Он вычисляет значения последовательности степеней числа 184 — 184^1, 184², 184^4, 184^8, 184^16, 184^32, причем все результаты Тоби немедленно сокращает на модуль 221. Ряд чисел приобретает следующий вид. Первым идет число 184^1 = 184. Затем следует 184 × 184, то есть число 33 856. В этом числе модуль 221 содержится 153 раза. Тоби Эстерхази считает:

33 856 — 153 × 221 = 33 856 — 33 813 = 43

и приходит к результату 184² ≡ 43. Теперь для следующей степени Тоби имеет: 184^4 = 184² × 184². Для вычисления этого произведения Тоби умножает остаток 43, соответствующий 184², на то же число, то есть на 43. 43 × 43 = 1849. Модуль 221 содержится в этом числе 8 раз. Тоби считает дальше и приходит к результату 184^4 ≡ 81. Тоби переходит к следующей степени: 184^8 = 184^4 × 184^4. Это число Эстерхази определяет с помощью перемножения само на себя числа, равного остатку, соответствующему числу 184^4, то есть 81. 81 × 81 = 6561. Модуль 221 содержится в этом числе 29 раз. Тоби считает:

6561 — 29 × 221 = 6561 — 6409 = 152

и приходит к результату 184^8 ≡ 152. Переходим к следующей степени: 184^16 = 184^8 × 184^8. Ее Тоби вычисляет с помощью соответствующего числу 184^8 остатка 152, который Тоби умножает на то же число. 152 × 152 = 23 104. Модуль 221 содержится в этом числе 104 раза. Тоби считает

23 104 — 104 × 221 = 23 104 — 22 984 = 120

и приходит, следовательно, к результату 184^16 ≡ 120. Теперь настала очередь степени 184^32 = 184^16 × 184^16. Перемножение числа, равного остатку, соответствующему числу 184^16, то есть 120 с самим этим числом дает в результате 120 × 120 = 14 400. Модуль 221 содержится в этом числе 65 раз. С помощью следующего расчета

14 400 — 65 × 221 = 14 400 — 14 365 = 35

Тоби находит, что 184^32 ≡ 35.

Теперь Тоби уже почти у цели, ибо для того, чтобы вычислить 184^35, ему надо вычислить произведение 184^32 × 184² × 184^1, ибо сумма 32 + 2 + 1 в точности равна 35, то есть величине секретной экспоненты. Тоби Эстерхази пользуется соответствующими остатками и получает 35 × 43 × 184, или 276 920. В этом числе модуль 221 содержится 1253 раза, и вычитание дает:

276 920 — 1253 × 221 = 276 920 — 276 913 = 7.

Таким образом, Тоби Эстерхази получает число, которое, собственно говоря, и прислал Джордж Смайли, так как 184^35 ≡ 7.

Смайли хотел попить чаю по ту сторону железного занавеса с агентом 007.

Тоби тщательно пересчитывает результат еще раз, потом еще, ибо даже крошечная ошибка может оказаться смертельной. Однако почему этот метод подсчета с секретной экспонентой 35 работает таким волшебным способом, почему из присланного числа 184 в результате расшифровки получилось число 7, то есть стало ясно желание Смайли встретиться с агентом 007, Тоби Эстерхази не понимает[15]. Он просто делает то, что ему поручено. Делает ради славы Англии, ради Билла Хейдона, своего непосредственного начальника, которому Тоби безусловно предан. И кроме того, ради своего честолюбия — ибо если у него сейчас все получится, то он войдет в лифт, нажмет заветную кнопку и вознесется на самый верхний этаж Цирка, где как небожитель обитает сам Билл Хейдон.

Теперь нам ясно, как работают кудесники-шифровальщики. Правда, открытым остается еще один вопрос.

Большие простые числа

Что, однако, можем мы теперь спросить, помешает русским агентам посчитать результат так же, как считал его Тоби? Ведь они же знают, не хуже Цирка, модуль 221 и экспоненту 11, а также отправленное Джорджем Смайли кодовое число 184. Что мешает им вычислить остаток от деления числа 184^35 на 221?

Дело в том, что они не знают секретную экспоненту 35.

Но не могут ли они, зная модуль 221 и показатель степени 11, вычислить секретную экспоненту 35? Ведь каким-то образом это удалось сделать яйцеголовым из Цирка, которые затем заперли в сейф бумажку с этим заветным числом.

Надо сказать, что вообще-то это возможно. И нет никакой тайны в том, как именно получили число 35. Во всяком случае, ее нет, если знать, что 221 есть результат перемножения двух простых чисел 13 и 17: 13 × 17 = 221. Все остальное очень просто. Далее следуют такому «рецепту»: из обоих простых чисел вычитают по единице и получают соответственно числа 12 и 16, а затем перемножают их: 12 × 16 = 192. Это число 192 является «секретным модулем».

Затем составляют таблицу из увеличенных на единицу произведений последовательности натуральных чисел на секретный модуль 192, или, другими словами, следующие числа:

1 × 192 + 1 = 192 + 1 = 193,

2 × 192 + 1 = 384 + 1 = 385,

3 × 192 + 1 = 576 + 1 = 577,

4 × 192 + 1 = 768 + 1 = 769,

5 × 192 + 1 = 960 + 1 = 961

…

Какое-то из полученных чисел 193, 385, 577, 769, 961, … делится на показатель степени 11. В нашем примере уже второе из этих чисел кратно 11 — действительно, 385: 11 = 35. Так мы находим секретную экспоненту 35.

Однако если это так просто, то к чему все эти хлопоты? На самом деле все так просто, потому что в нашей вымышленной истории за модуль было принято небольшое число 221, которое можно без особых усилий представить в виде произведения двух простых чисел. Если бы Цирк предложил в качестве модуля большое число, то вся простота мгновенно бы улетучилась.

Здесь надо, конечно, признать, что вся история о Смайли и его требовании прислать агента 007 до предела упрощена, и вообще в реальности ничего подобного быть просто не могло. Хотя бы по той причине, что описанный мною способ шифрования был изобретен только в 1977 г. в Массачусетском технологическом институте[16]. К этому времени Джордж Смайли уже давно был на долгожданном покое и, как писал Джон ле Карре, «поселился в Стипл-Астоне и жил так, как вышедший на пенсию старый чудак-отшельник, удивлявший обывателей своей милой привычкой бродить по улицам, вслух разговаривая с самим собой».

Тем не менее описанный здесь метод шифрования действительно существует, и был он предложен специалистами по информатике Рональдом Ривестом, Ади Шамиром и Леонардом Адлеманом и назван по первым буквам их фамилий «RSA-методом». Для шифрования берут два простых числа — в нашем примере 13 и 17 — и перемножают их между собой. Таким способом получают модуль. У нас он получился равным 13 × 17 = 221. Потом берут произвольное число — в нашем случае 11 — и называют его степенью. (Выбор степени не вполне произволен, но в данном случае это несущественная деталь.) После этого число, которое хотят сохранить в тайне, кодируют, возводя его в степень, а остаток от деления полученного числа на модуль сообщают партнеру. В нашей истории Смайли хотел сообщить число 7. Для этого он вычислил значение степени 7^11, разделил его на 221, а остаток от деления, то есть число 184, сообщил своему начальству. Дешифровка осуществляется так: из выбранных простых чисел вычитают по единице, а затем перемножают между собой. Мы назвали это произведение секретным модулем. В нашем случае он равен числу 12 × 16 = 192. Так как в нашей истории 2 × 192 + 1 = 35 × 11, секретная экспонента равна 35. Степень зашифрованного числа с показателем, равным секретной экспоненте, дает в результате, если проанализировать остаток от деления на модуль, исходное число, отправленное агентом. В нашем случае Тоби Эстерхази разделил 184^35 на 221 и получил 7, то есть номер того агента, с которым хотел встретиться Смайли.

На деле для шифрования чисел по методу RSA, в отличие от нашей вымышленной истории, используют произведения простых чисел, неизмеримо больших, нежели 13 и 17. Используют огромные простые числа с тремястами или четырьмястами разрядами. Естественно, что произведения этих чисел дают в результате гигантские модули из семисот-восьмисот разрядов. Расчеты с такими числами можно выполнять только с помощью компьютеров, но умножение машины выполняют молниеносно. По методу RSA модуль вычисляют за считаные секунды.

Секретной службе абсолютно безразлично, знает ли противник (да хоть и весь мир) величину модуля, потому что вычислить два простых числа, произведение которых составляет число, состоящее из 700 разрядов, очень и очень непросто. До сих пор не существует алгоритмов, позволяющих сделать это быстро. Даже при использовании самых совершенных компьютеров, обладающих невероятным быстродействием, на решение этой задачи могут уйти месяцы. Однако для дешифровки знание этих простых чисел безусловно необходимо, ибо, только используя их, можно вычислить секретный модуль и секретную экспоненту. Без этого вычислить секретную экспоненту невозможно даже теоретически.

Конечно, если модуль известен на протяжении нескольких недель, не говоря уже о месяцах, то пользоваться им для шифрования рискованно. Возможно, противнику уже удалось вычислить оба простых числа, произведение которых равно модулю. Поэтому все секретные службы время от времени меняют модули и экспоненты, использующиеся для кодирования. Эти изменения не слишком трудоемки. В конце концов, существует бесконечное множество простых чисел. Количество 400-значных простых чисел превышает 10^397. Это число начинается с единицы и заканчивается 397 нулями[17].

Методом RSA пользуются не только секретные службы.

Когда человек набирает на клавиатуре банкомата код своей банковской карты, этот номер передается в банк по открытой телефонной линии. Однако ни один посторонний человек не может подсмотреть код, потому что в банкомате он автоматически шифруется и только в зашифрованном виде передается в банк. Во всех операциях по выдаче наличных метод RSA бесчисленное множество раз используется в банкоматах по всему миру.

Если человек делает через интернет какой-либо заказ и оплачивает его кредитной картой, то номер этой карты должен быть передан по адресу проведения расчетов. Очень опасна сама возможность того, что этот номер может стать известным посторонним людям, которые затем могут считать все остальные данные кредитной карты. По этой причине фирмы одним нажатием клавиши шифруют номер карты, а затем дешифруют его — только после того, как зашифрованный номер приходит по нужному адресу. Таким образом, метод RSA обеспечивает безопасность электронной торговли.

Но не будем закрывать глаза на очевидное: смысл и цель создания метода RSA состоит в облегчении работы спецслужб — сокрытия и обмана, дезинформации и мошенничества.

Иллюзия и реальность

Это снова возвращает нас к нашей вымышленной истории: к Джорджу Смайли, находящемуся по ту сторону железного занавеса, к агенту 007, с которым так хотел встретиться Смайли, к Тоби Эстерхази из службы дешифровки и к Биллу Хейдону, небожителю с верхнего этажа Цирка. История приобретает трагический оттенок, когда выясняется, что Билл Хейдон — двойной агент. За десять лет до описанных событий он был завербован Карлой и обязался шпионить в пользу Советского Союза. Брутальность холодной войны разрушила все иллюзии Хейдона относительно того, что он воюет за правое дело; по его мнению, Британская империя развалилась, а британские разведчики превратились в ручных пуделей американского ЦРУ. Такое положение глубоко ненавистно надменному джентльмену Биллу Хейдону. С конца 1950-х гг. он становится «спящим» агентом, ожидающим времени, которое Карла сочтет подходящим. Подходящим для передачи Карле секретных сведений.

Естественно, в зашифрованном виде.

Еще до того, как Тоби Эстерхази успел сесть за стол в своей комнате, Карла уже знал тайную экспоненту 35. Билл Хейдон информировал Карлу о всех мало-мальски важных событиях в лондонской штаб-квартире, где Цирк воображал себя в полной безопасности. Собственно, Карле была известна даже марка авторучки, которой Тоби выполнял свои кропотливые расчеты.

Все хитрости и затраты, составление модуля 221 и степени 11, вычисление секретного модуля 192 и секретной экспоненты 35 яйцеголовыми «ботанами» Цирка, кодирование числа 7 числом 184, которое стоило Джорджу Смайли бессонной ночи в скромном чехословацком отеле, дешифровка 184 в число 7, добросовестно дважды вычисленное Тоби Эстерхази, охрана сейфа, в котором хранился клочок бумаги с секретной экспонентой 35, все эти усилия, ухищрения и работа — все пошло прахом и было в один момент обесценено. Бессовестный изменник Хейдон одним махом уничтожил результаты этих нечеловеческих усилий.

Собственно, агента 007 можно было считать мертвецом уже в тот момент, когда он только собирался в путь на Восток.

Мы недаром снабдили нашу незатейливую вымышленную историю таким прискорбным концом. Если бы тот безвестный ученик Пифагора, придумавший понятие простого числа, знал, что его увлекательный поиск тайн чисел будет использован в грязных шпионских делах, то он бы отказался от своих исследований, движимый тошнотой и отвращением, и был бы не так уж и неправ.

Железного занавеса уже нет. Теперь совершенно не важно, кто тогда выиграл — Смайли или Карла. Кого теперь волнует, насколько смог подорвать могущество Цирка тайный крот Билл Хейдон? Кто воздаст должное честолюбию и преданности Тоби Эстерхази? Кто придет с цветами на могилу агента 007?

Чего стоит теперь вся хитроумная работа искусных «ботанов» шифровального отдела Цирка? Ничего.

Естественно, грязные игры спецслужб с их трюками и обманами продолжаются и сегодня, ибо власть имущие и сегодня воображают, что со всех сторон окружены врагами, желающими выведать их тайны — тайны, позволяющие им обладать неслыханным влиянием. Тайны, которые передают доверенным лицам только по секретным каналам, не зная при этом, насколько можно полагаться на этих самых доверенных лиц.

Абсолютно надёжные методы

Задолго до изобретения метода RSA, в начале ХХ в., инженер Гилберт Сэндфорд Вернам изобрел способ шифрования, который генерал-майор американской армии Джозеф Освальд Моборн довел до совершенства и окрестил «одноразовым блокнотом» (one-time-pad, OTP). Дело в том, что изначально для шифрования использовались блокноты, из которых после каждого составления шифровки вырывали страницу и тут же уничтожали ее. То есть ее использовали только один раз, отсюда и слово «одноразовый» в названии.

Метод OTP в сравнении с методом RSA обладает многими недостатками, главный из которых заключается в том, что как отправитель, так и получатель шифрованного послания знают, как его зашифровать и расшифровать. Имея в своем распоряжении метод RSA, озабоченный благополучием своих агентов Цирк едва ли разрешил бы Джорджу Смайли воспользоваться методом OTP для того, чтобы пригласить на встречу агента 007. Дело в том, что всегда существовала опасность того, что Смайли, находившийся на территории противника, мог в любой момент попасть в руки агентов Карлы. В худшем случае они могли — если бы понадобилось, то и пытками — принудить его к разглашению метода шифрования. Используя метод RSA, Смайли знал только метод шифрования, но не расшифровки. Расшифровать донесение он не мог, ибо не знал секретную экспоненту 35. Карла же знает, что ни одному зарубежному агенту британской разведки неизвестна эта секретная экспонента. Поэтому, с точки зрения Карлы, не имеет никакого смысла выслеживать и захватывать Смайли, зажимать ему пальцы в тисках и выпытывать сведения о методах дешифровки. Шпион все равно не мог ничего сказать, так как не знал секретную экспоненту. Эта экспонента хранилась за семью печатями в сейфе Цирка в Лондоне. Начальники британской разведки были уверены в надежности сейфа, так как не подозревали о предательстве Билла Хейдона.

Преимущество метода OTP перед методом RSA заключается в том, что шифрование первым методом является более надежным и трудно раскалываемым, нежели шифрование методом RSA. Второе преимущество заключается в том, что метод OTP в сравнении с методом RSA — если не считать некоторых довольно существенных деталей — намного проще по своей структуре. Поэтому этот метод шифрования до сих пор применяется на практике. Секретные службы недоверчивы и подозрительны: можно предположить, что, когда надо передать на самом деле горячую информацию, Смайли и его коллеги с большей охотой прибегают к методу OTP, нежели к методу RSA, несмотря на риск попадания метода расшифровки в руки противника.

Основная идея метода OTP основана на следующих фактах: каждое сообщение состоит из последовательности букв. Рассмотрим, например, двадцать шесть букв латинского алфавита, из которых мы составляем слова немецкого языка. Некоторые слова, например ОН (ER) или ДА (JA), короткие и состоят всего из двух букв, другие слова длинные и могут состоять из 24 и даже 28 букв. Для того чтобы наглядно показать принцип, мы простоты ради будем говорить только о словах, состоящих из десяти букв. Сколько в нашем языке слов, состоящих из десяти букв? Даже если проявить неслыханную щедрость, мы едва ли насчитаем больше полумиллиона таких слов. Сколько комбинаций по десять можно составить из 26 букв латинского алфавита? Их можно довольно легко подсчитать. Набор из десяти букв начинается с последовательности AAAAAAAAAA, дальше следует AAAAAAAAAB, AAAAAAAAAC, AAAAAAAAAD и так далее. Где-то в середине этого множества окажется слово МАТЕМАТИКА (MATHEMATIK), а окончится он набором ZZZZZZZZZZ. На последнем, десятом месте набора из десяти букв есть двадцать шесть возможностей поставить какую-либо из букв алфавита. На предпоследнем месте таких возможностей тоже двадцать шесть, и так далее, до тех пор, пока мы не доберемся до первого места, до первой буквы. На этом месте тоже существует двадцать шесть возможностей. Всего получается

26^10 = 1 411 167 095 653 376,

то есть больше одного квадриллиона комбинаций по 10 из 26 букв алфавита. В сравнении с этой величиной полмиллиона осмысленных слов немецкого языка, состоящих из десяти букв, таких, например, как MATHEMATIK, представляются крошечной долей всех возможных комбинаций.

Кроме того, чем длиннее осмысленное сообщение, тем в большей степени попадает оно в белый шум всех мыслимых буквенных комбинаций равной длины.

Составлять ли сообщение из букв алфавита или из цифр — это лишь вопрос соглашения. Так как «герои» данной книги — числа и цифры, давайте будем представлять следующие послания в виде комбинаций цифр. Итак, мы принимаем, что Джордж Смайли, тайный агент, действующий в холоде за железным занавесом, хочет направить в Цирк донесение 0 0 7 0 0 7 0 0 7. Это донесение надо зашифровать.

Смайли снимает с правой ноги ботинок, поднимает стельку над подошвой и извлекает из тайника сложенный листок бумаги, который он кладет перед собой на стол и аккуратно расправляет. На листке бумаги записана такая последовательность цифр:

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8…

Ниже этой строки Смайли цифру за цифрой вписывает свое донесение:

Теперь Смайли складывает написанные друг под другом цифры, но не обычным способом, а «по модулю десять». Делается это так: записывается лишь число единиц полученной суммы; если сумма превышает десять, то единицу просто отбрасывают. Например, результат сложения 9 и 5 записывают в виде 4, то есть число единиц суммы 14. Под конец лист бумаги выглядит так:

Нижняя последовательность, укороченная до длины послания, то есть

1 4 8 5 9 9 6 5 0,

и есть зашифрованное донесение. Его Смайли по радио передает в Цирк, после чего сжигает листок бумаги, так как никогда больше не будет использовать его для шифрования донесений[18]. В подкладку его пальто зашит еще один лист бумаги с другой последовательностью цифр.

Тоби Эстерхази в лондонской штаб-квартире Цирка уже сидит у радиоприемника и ждет донесения Смайли. У него есть лист бумаги с такой последовательностью цифр:

9 6 9 5 1 8 4 5 7 5 2 1 3 1 7 8 7 2 6 4 8 4 6 7 7 2 7 8 3 1 5 0 8 2 2…

Почему именно такая последовательность? Если мы запишем под этой последовательностью цифр ту, которую Смайли хранил в подошве своего ботинка, то сразу угадаем ответ:

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8…

9 6 9 5 1 8 4 5 7 5 2 1 3 1 7 8 7 2 6 4 8 4 6 7 7 2 7 8 3 1 5 0 8 2 2…

Каждая цифра нижней последовательности при сложении с соответствующей верхней цифрой по модулю десять дает в результате ноль. Если последовательность из подошвы ботинка Смайли — это та последовательность, которую он применил для шифрования, то последовательность цифр из письменного стола Тоби Эстерхази — это та последовательность, с помощью которой Эстерхази намерен расшифровать донесение, присланное Смайли. Для этого Тоби старательно записывает присланный Смайли шифр под последовательностью своих цифр.

и складывает опять-таки по модулю десять нижних цифр с верхними, как это делал Смайли за железным занавесом:

Очевидно, что если нижнюю последовательность цифр сократить до длины донесения Смайли, то мы получим его в расшифрованном виде — 0 0 7 0 0 7 0 0 7.

Случайность — залог надежности

Альфа и омега успешного шифрования по способу одноразового блокнота заключается в том, что в последовательности цифр

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8…,

записанной на клочке бумаги, спрятанной в подошве ботинка Смайли, нет никакой закономерности. Цифры следуют друг за другом совершенно случайным образом. Эта последовательность эквивалентна шуму, который мы слышим из динамика радиоприемника, когда он не настроен на волну определенной радиостанции. Осмысленное донесение Смайли начальству Цирка теряется в этом белом шуме только благодаря тому, что из значимого числа — а значимое число и есть донесение — путем сложения по модулю десять осмысленного числа с числовой последовательностью, записанной на листке Джорджа Смайли, получается лишенная какой-либо закономерности цифровая последовательность.

Очевидно поэтому, что агенты Карлы едва ли смогут что-то сделать с перехваченным сообщением

1 4 8 5 9 9 6 5 0,

ибо как они смогут даже приступить к дешифровке? Цифры следуют друг за другом в таком же случайном порядке, как и цифры из листка, извлеченного из подошвы ботинка. Естественно, Карла может приказать своим подчиненным написать над этой последовательностью все возможные последовательности чисел, а затем сложить цифры друг с другом по модулю десять — в надежде, что в каком-нибудь результате проступит какая-то закономерная последовательность, которая и позволит расшифровать послание Смайли. Но затея эта абсолютно безнадежна и бесперспективна, ибо даже если бы все граждане Советского Союза, надрываясь из последних сил, стали бы выполнять этот безумный приказ Карлы, то и они не смогли бы перебрать все возможные варианты, ибо число возможных последовательностей практически бесконечно.

Но даже если бы удалось выявить какую-то закономерность, то и это ничего не дало бы Карле.

Вообразим, что один из подчиненных Карлы, обреченный на безнадежную расшифровку послания Смайли, внезапно вскакивает с места и бежит в кабинет Карлы, чтобы показать ему результат — 3 3 3 3 3 3 3 3 3, полученный из зашифрованного сообщения. Оказалось, что существует случайная последовательность цифр, при использовании которой донесение 3 3 3 3 3 3 3 3 3 кодируется в перехваченную последовательность. Однако, когда шифровальщик врывается в скудно обставленный и насквозь прокуренный кабинет Карлы, он видит там дюжину своих коллег, которые тоже хотят показать Карле полученные ими результаты. У каждого из шифровальщиков на руках последовательность, которая с равной вероятностью может быть закодированным донесением Смайли. Однако у Карлы нет исходной точки, опираясь на которую он мог бы решить, какой из результатов верен. Можно смело заключать пари, что среди полученных результатов верного-то как раз и нет.

Если известна последовательность цифр, в которой они располагаются случайным образом, то это знание позволяет закодировать донесение по методу одноразового блокнота шифром, который абсолютно невозможно «расколоть». Во всяком случае, если донесение было одно. Если же надо зашифровать несколько донесений, то для каждого из них надо составлять новую последовательность цифр, в которой они появляются друг за другом в абсолютно случайном порядке.

Но как получают такие последовательности цифр? Можно подумать, что нет ничего проще: садишься за клавиатуру компьютера и хаотично нажимаешь цифровые клавиши. Но такая методика ненадежна, и полагаться на нее нельзя. Нельзя, даже если на клавиши будут нажимать индейцы племени хопи, которые представляют совершенно чуждую нам культуру, не знают наших цифр и будут совершенно наугад нажимать на клавиши с непонятными символами. Эта методика будет ненадежна и в том случае, если стереть с клавиш символы цифр, убрать экран монитора и человек действительно вслепую будет ударять по клавишам. Не будет такой метод надежным, даже если за клавиатуру посадить не человека, а животное. Собственно, не важно, как конкретно будет исполнено это действо, — если нажимать на клавиши достаточно долго, то в последовательности чисел (или иных символов) неизбежно появится закономерность. Закономерность же — это злейший враг случайности.

На ум сразу приходит мысль — позаимствовать какой-нибудь случайный процесс у природы. Например, можно воспользоваться небольшими колебаниями напряжения, которые неизбежно возникают в электрических цепях. Или, например, распадом радиоактивных веществ, ибо квантовая теория учит, что такой распад непредсказуем и в принципе является случайным процессом.

Таким образом, квантовая механика сулит по меньшей мере теоретическую возможность кодирования, которое невозможно расшифровать. Однако, как говорил Гёте: «Теории — это обыкновенно результаты чрезмерной поспешности нетерпеливого рассудка, который хотел бы избавиться от явлений и подсовывает поэтому на их место образы, понятия, часто даже одни слова»{13}. Рожденные в головах блестящие теории сильно отличаются от их воплощения на неподатливом материале.

Математика более надежна, нежели природа.

Нормальные числа

Если разделить на карманном калькуляторе 22 на 7, то на восьмиразрядном дисплее появится следующий результат:

22 ÷ 7 = 3,1428571.

Если воспользоваться более мощным прибором с 16-разрядным дисплеем, то получится:

22 ÷ 7 = 3,142857142857143.

Это наводит на предположение о том, что цифровая последовательность после числа 3 и запятой, а именно

1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7…

представляет собой бесконечную последовательность. Следовательно, математики уже путем простого арифметического действия, деления, могут производить бесконечные цифровые последовательности. Правда, данная последовательность не годится для шифрования по методу одноразового блокнота. В этой последовательности с первого взгляда прослеживается закономерность, уничтожающая всякую случайность.

Вероятно, предположит проницательный читатель, все дело в том, что для деления были взяты слишком малые числа, — и будет прав. Если, например, разделить 355 на 113, то, проявив терпение, можно получить следующее число:

355 ÷ 113 = 3,141 592 920 353 982 300 884 955 752 212 389 380 530 973 451 327 433 628 318 584 070 796 460 176 991 150 442 477 876 106 194 690 265 486 725 663 716 814 159 292 035 398…

Эта последовательность выглядит абсолютно случайной, но только на первый взгляд. Если присмотреться внимательно, то можно заметить, что в последней строке, начиная со 112-го места после запятой, снова появляется последовательность 14 159 292 035 398…, которая уже стоит сразу после запятой. При делении возникновение таких периодичностей неизбежно[19]. Делить придется на огромные, специально приспособленные для десятичной системы числа[20], для получения периодов длинных настолько, чтобы на практике они не возникали. Однако отыскание подходящих делителей и выполнение самого деления являются очень трудоемкими, если надо получить действительно длинные периоды.

Фактически существует весьма простой математический метод, с помощью которого можно получать лишенные периодичности последовательности цифр после запятой. Например, извлечение квадратного корня. Рассмотрим для примера число 10. Будем искать число, которое при возведении в квадрат дало бы в результате 10, но мы его не найдем. 3² = 3 × 3 = 9, то есть тройка — слишком малое число, а 4² = 4 × 4 = 16, то есть четверка — слишком большое. Перспективными представляются два десятичных числа с одним знаком после запятой — 3,1 и 3,2, ибо 3,1² = 3,1 × 3,1 = 9,61, а 3,2² = 3,2 × 3,2 = 10,24. Но в первом случае мы снова получаем небольшой недостаток, а во втором — небольшой избыток. Попробуем поступить по-другому. Можно представить, что калькулятор выдаст значение такого числа, если мы зададим действие: извлечь квадратный корень из числа 10. Восьмиразрядный калькулятор выдаст на дисплее следующий результат: 3,1622777. Но, оказывается, и это не окончательный результат. Если взять для вычислений мощный компьютер, то в результате извлечения квадратного корня из числа 10 мы получим следующее:

3,162 277 660 168 379 331 998 893 544 432 718 533 719 555 139

325 216 826 857 504 852 792 594 438 639 238 221 344 248 108 379 300 295 187 347 284 152 840 055 148 548 856…

Эта последовательность цифр после запятой производит впечатление полнейшего хаоса.

Годится ли эта последовательность для использования в кодировании по методу одноразового блокнота? Едва ли можно советовать этот метод для шифрования, ибо дешифровщики тоже знают, как извлекать квадратные корни. Они ставят себя на место людей, зашифровавших перехваченное донесение, и задают себе вопрос: к какому методу прибегнул противник для получения случайной цифровой последовательности? В простейшем случае это извлечение квадратного корня из числа, не являющегося точным квадратом. Дешифровщики испытают несколько чисел и очень скоро расколют шифровку.

Собственно говоря, ту последовательность цифр, которую мы использовали в нашем примере с шифровкой Смайли,

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8…,

тоже нельзя использовать для кодирования донесения, и не потому, что цифры не расположены абсолютно хаотично — как раз эта последовательность является совершенно хаотичной. Дело, однако, в том, что эта последовательность очень хорошо знакома всем любителям чисел. Речь идет о первых цифрах после запятой всем известного числа π.

Архимед — впрочем, кто еще мог это сделать, как не величайший математик всех времен и народов? — был первым, кому удалось изобрести способ со сколь угодной точностью рассчитывать соотношение длины окружности и ее диаметра. Сам Архимед не называл это соотношение π. Это обозначение ввел в математику много веков спустя валлийский математик Уильям Джонс, произведя его от греческого слова περιφέρεια — периферия, кайма, край. Ввиду чрезвычайной трудоемкости расчетов Архимед удовольствовался тем, что поместил результат между значениями 3 + 10/71 (что соответствует современной записи 3,1408…) и 3 + 1/7 (что соответствует современной записи 3,1428…). Только около 1600 г., больше чем за тридцать лет работы, Лудольфу ван Цейлену удалось ценой тяжких усилий рассчитать следующую величину числа π:

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…

Именно результатом ван Цейлена мы воспользовались для числа из нашего примера с шифровкой Смайли. Правда, использование этой последовательности было для Смайли и Цирка неслыханно рискованным, ибо число π является одним из самых известных чисел в мире. С помощью электронно-вычислительных машин и специальных программ, которые считают намного быстрее, чем Архимед, число π было рассчитано с точностью до нескольких триллионов знаков после запятой. Величина π представляет собой одно из чисел, какие французский математик Эмиль Борель за неимением, видимо, более подходящего слова назвал в 1909 г. нормальными. Если рассмотреть достаточно длинный отрезок десятичного представления числа π, скажем один миллион следующих друг за другом разрядов, то выяснится, что каждая из десяти цифр встретится в этом отрезке приблизительно сто тысяч раз. Каждая из ста пар цифр (от 00 до 99) встретится в этом отрезке приблизительно десять тысяч раз, а каждое из тысячи сочетаний из трех цифр встретится в выбранном отрезке около тысячи раз.

В «Математикуме» Альбрехта Бейтельспахера в Гисене, в Технораме в Винтертуре и на других подобных выставках любителям с помощью интересных экспонатов наглядно демонстрируют, что такое математика. Так вот, на этих выставках можно видеть компьютерную клавиатуру и монитор. С помощью этой аппаратуры любой желающий может напечатать на экране число, месяц и год своего рождения. На экране в ту же секунду отображается тот отрезок десятичного представления числа π, куда включена последовательность чисел, составляющих дату рождения. Считается, что в нормальном числе произвольная последовательность из восьми цифр встречается приблизительно десять раз на отрезке длиной в миллиард цифр.

Все сказанное с явной очевидностью указывает на то, что число π является нормальным числом, но ни в коем случае этого не доказывает. Нормальным, с гарантией, является число, изобретенное британским экономистом Дэвидом Гоуэном Чамперноуном и представляющее собой бесконечную непериодическую десятичную дробь

0,123 456 789 101 112 131 415 161 718 192 021 222 324 252 627 28…,

в которой последовательность цифр выписывается по тому же принципу, по которому писал на холсте свои числа Роман Опалка: за однозначными числами, записанными после запятой, следуют все прочие натуральные числа — 10, 11, 12, 13, 14 и так далее. На первый взгляд это вообще незаметно, потому что цифры записываются тройками, но если начать читать цифровую последовательность вслух, то принцип построения сразу становится очевидным. Кстати, стоит отметить, что этот принцип Чамперноун предложил в 1933 г., когда был юным студентом Кембриджа.

Но и это число слишком широко известно, и его нельзя применять для шифрования по методу одноразового блокнота.

Творческое смешение

Теперь мы снова обратимся к цифровым последовательностям, которые возникают в результате деления. Оказалось, что при делении на очень большие числа иногда приходится очень долго ждать того момента, когда в последовательности цифр вдруг начинает проступать повторяемость и периодическая закономерность. Так как не всегда легко отыскать подходящий большой делитель, да и само деление бывает достаточно трудоемким, мы решили отказаться от идеи создавать таким способом случайные цифровые последовательности.

Но целиком и полностью ее отбрасывать все же не стоит. С помощью деления мы как будто бы перепутываем цифры. Впрочем, оставим на время деление и сосредоточимся на перемешивании.

Тоби Эстерхази, незаметный сотрудник Цирка, разложил перед собой десять игральных карт с числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для того чтобы составить для умников Цирка случайные последовательности цифр, Тоби должен основательно перетасовать карты. Потом он извлекает из колоды одну карту, записывает цифру, возвращает карту в колоду, снова тасует ее, а затем извлекает следующую карту и записывает следующую цифру; Тоби продолжает эту игру до тех пор, пока не запишет последовательность из двенадцати цифр — например

7 5 2 5 8 4 0 4 9 6 1 3.

Таким способом Тоби создал одну из 10^12, то есть из одного триллиона, возможных комбинаций по 12 цифр, и большая часть этих комбинаций представляется совершенно случайной.

Эстерхази мог бы получить ту же, но периодически повторяющуюся последовательность цифр, если бы поделил число 6917 на число 9191. В результате он бы получил:

6917 ÷ 9191 = 0,752 584 049 613 752 584 049 613 752 584 049 613…

Заметим, кстати, что деление числа 752 584 049 613 на число 999 999 999 999 дает тот же самый результат, что определяется свойствами делителя.

Однако этого недостаточно для использования в методе одноразового блокнота, ибо созданная Тоби Эстерхази последовательность цифр периодически повторяется, то есть обладает явной, видимой закономерностью и упорядоченностью.

Естественно, однако, что важный Эстерхази не сам выполняет перемешивание цифр. У него в подчинении двадцать человек, которые ежечасно, ежедневно и ежемесячно снова и снова складывают карты в колоды, тасуют их, вытаскивают по одной карте, записывают цифру, укладывают карту в колоду, снова тасуют, снова вытаскивают и записывают следующую цифру, потом снова укладывают карту в колоду и снова тасуют, и так каждый божий день в течение восьмичасовой смены. Сам Тоби в это время разыгрывает из себя Оскара Уайльда и предается праздности. Он лишь собирает полученные в конце рабочего дня двадцать списков, составляет их в произвольном порядке и укладывает в сейф, добавляя к спискам предыдущих дней.

Если каждый подчиненный каждую минуту добавляет к списку одну цифру и работает без перерыва восемь часов, то за один рабочий день он составит список из 480 разрядов, а Тоби к концу дня составит список цифр, представляющий собой число из 9600 разрядов. Этот список Тоби укладывает в сейф. Через два месяца Тоби является к Шефу, главному начальнику конторы, настоящего имени которого не знает ни один сотрудник Цирка, и кладет ему на стол случайную последовательность, состоящую из почти двухсот тысяч цифр. «Для наших яйцеголовых из шифровального отдела это слишком мало, — вздыхает Шеф. — Нам нужны более длинные случайные последовательности».

«Тогда мне нужно в десять раз больше сотрудников, — парирует Тоби, — и тогда я смогу за то же время составлять в десять раз большие последовательности».

«В десять раз больше — это тоже мало, — возражает Шеф, кисло усмехнувшись, — а кроме того, последовательности нужны нам быстро. И вообще нам следует занять сотрудников чем-то более осмысленным. Игра с тасованием карточных колод вышла из моды. Мы здесь, на верхнем этаже, обсудили этот вопрос, и сегодня я доведу до твоего сведения наше решение. Яйцеголовые создали компьютерную программу, которая будет выполнять ту работу, какую делали, Тоби, твои пудели»

«Но, Шеф, — обиженно восклицает Тоби, — откуда вы можете знать, что компьютер действительно может составлять случайные цифровые последовательности?! Каким образом машина тасует цифры?»

«Эти частности меня не интересуют! — рычит в ответ Шеф. — Яйцеголовые уверили меня в том, что статистические исследования говорят, что они поработали на совесть. Правда, один раз последовательность повторилась, но период составил в длину 10^200 знаков. Это намного больше, чем нам требуется. Впрочем, сейчас мне пришла в голову одна мысль: теперь, когда у нас есть компьютерная система, мы больше не нуждаемся в твоих услугах. Будет намного лучше, если ты удалишься на покой и будешь вести мирную частную жизнь. Можешь завести лавчонку, где будешь впаривать доверчивым американцам фальшивые скульптуры Дега».

Естественно, эта сцена целиком и полностью вымышлена. Но на самом деле существуют компьютеры и программы для осуществления эффективных методов перемешивания и перетасовки цифр. Эти методы позволяют без особых затрат, с молниеносной быстротой и без вмешательства человека создавать случайные цифровые последовательности достаточной длины для шифрования донесений по методу одноразового блокнота. Не беда, что перетасовка цифр в машине устроена так, что последовательность цифр периодически повторяется, потому что длина этих периодов очень велика — Шеф восторгался длиной в 10^200 цифр.

Однако впечатляющая последовательность, которую Шеф получил из компьютера, соответствует делению огромного числа с 10^200 разрядами на гигантское число 999 99 … 99, состоящее из 10^200девяток, и последующей записи всех цифр после запятой[21].

В делении прячутся почти все тайны мира.

Мышление числами

Провал Кена Дженнингса и Брэда Раттера

Американцы Кен Дженнингс и Брэд Раттер считаются лучшими участниками викторин, устраиваемых на телевидении. В 2004 г. Кен Дженнингс 74 раза подряд победил в самой популярной игре такого рода «Jeopardy!»{14}. Однако после этого он проиграл Брэду Раттеру, который сумел набрать больше очков. Выиграть в шоу «Jeopardy!» могут люди, обладающие недюжинными познаниями в разных областях и быстрой реакцией, но в первую очередь им необходимо обладать незаурядной фантазией, чтобы комбинировать между собой самые неожиданные понятия. Задания «Jeopardy!» проверяют не только знание фактов, они весьма хитроумны и изысканны. Только очень сообразительные люди могут мгновенно дать ответ на такой, например, вопрос: «Что это — наше вежливое признание схожести другого человека с нами?»

Правильный ответ: «Восхищение».

В трех играх, трансляции которых шли с 14 по 16 февраля 2011 г., против зубров этого шоу — Кена Дженнингса и Брэда Раттера — выступил никому не известный Уотсон. Он выиграл шоу с разгромным счетом, получив 77 147 очков, в сравнении с 24 000 очками у Дженнингса и 21 600 очками у Раттера. Свой выигрыш — один миллион долларов — Уотсон пожертвовал на общественные нужды. Дженнингс и Раттер объявили, что сделают то же с половинами своих выигрышей — 300 и 200 тысячами долларов соответственно. Кто же этот человеколюбивый мыслитель Уотсон, сумевший положить на лопатки лучших игроков Америки? Во время передачи его никто не видел. Место между Дженнингсом и Раттером занимал какой-то голубоватый призрак, а сам Уотсон был спрятан в подсобном помещении, так как был слишком велик и едва бы поместился на стуле. Уотсон — не человек, он — машина.

Числовая машина.

Вероятно, это словосочетание непривычно для вашего уха. Однако такое название в данном случае подходит больше, чем привычное слово «компьютер» или его точный перевод «вычислительная машина» (на латыни computare означает «считать»). Машина Уотсон, однако, претендует на нечто большее, чем простой счет. Она дерзко притворяется, что умеет думать. Правда, то, что делают «мозговые извилины» Уотсона, сконструированные в компании IBM, — это всего лишь манипуляции с числами, и больше ничего.

Во французском языке нет слова «компьютер», несмотря на то что слово computer было, в другом значении, известно еще в старофранцузском. Во франкоязычных странах, говоря о вычислительных машинах, употребляют слово ordinateur. Это понятие фигурирует в словарях XIX в., и обозначает оно человека, умеющего mettre en ordre, то есть «наводить порядок». Собственно, это не самое плохое определение. Если подумать о том, что составление распечаток и каталогов, по сути, состоит в приписывании их элементам чисел, с которыми и производят действия по упорядочению и сортировке, то мы можем смело переводить слово ordinateur, в случае, когда оно обозначает машину, словосочетанием «числовая машина».

Все получилось как всегда: числовая машина Уотсон с ее фальшивыми знаниями, пользуясь скоростью и интеллектуальной подвижностью, легко переиграла умнейших и находчивых людей. Это был триумф представителя «искусственного интеллекта». Первопроходцы теории информации Джон Маккарти, Марвин Мински, Клод Шеннон, Аллен Ньюэлл и Герберт Саймон в 1956 г. впервые сформулировали на конференции в Дартмутском колледже следующий тезис: «Мышление является не чем иным, как обработкой информации. Обработка информации является не чем иным, как манипулированием символами. Манипулирование символами является не чем иным, как воспроизводимыми действиями с числами». При желании такие действия можно назвать «вычислением». То есть мышление может не зависеть от того, кто его осуществляет — человек или нет: «Intelligence is mind implemented by any patternable kind of matter». Так утверждают отцы теории информации. В вольном переводе это означает: «Любая поддающаяся упорядочению материя может быть носителем процессов мышления». Лучше всего такой тип материи, из которой можно без особых усилий создавать строительные элементы любой структурной сложности, соответствует электрическим цепям с их элементами — сопротивлениями, конденсаторами, катушками, диодами и транзисторами.

Входящий в эту группу социолог Герберт Саймон еще в 1957 г. предсказал, что не пройдет и десяти лет, как компьютер станет чемпионом мира по шахматам и к тому же откроет и докажет какую-нибудь важную математическую теорему. Саймон промахнулся, но ненамного. В 1997 г. сконструированной IBM системе Deep Blue удалось нанести поражение чемпиону мира по шахматам Гарри Каспарову в матче из шести партий.

Вот еще более смелое пророчество Марвина Мински: в 1970 г. он утверждал, что в течение ближайших трех-четырех лет — в этом он, во всяком случае, ошибся — машины, обладающие интеллектом среднего человека, смогут читать Шекспира и ремонтировать автомобили. Еще более дерзкие мечтания обуревали Ханса Моравека, специалиста по робототехнике из Университета Карнеги — Меллон: с Марвином Мински он разделял убеждение в том, что с созданием «искусственного интеллекта» будет осуществлена вековая мечта человечества — оно сможет преодолеть смерть. В книге «Дети разума. Будущее машинного и человеческого интеллекта» (Mind children. The Future of Robot and Human Intelligence) он представил сценарий эволюции «постбиологической» жизни: робот сможет перенести хранящиеся в мозгу человека знания в числовую машину, и биологический мозг станет ненужным и излишним, и с этого начнется постгуманистическая эра, когда знания, накопленные человеком, будут сохраняться практически вечно. Числовая машина Уотсон, как может показаться на первый взгляд, доказала, выиграв шоу «Jeopardy!», что мы находимся в двух шагах от воплощения утопии — или лучше говорить о сценарии фильма ужасов? — Мински и Моравека. Во всяком случае, Дженнингс и Раттер, два человека из плоти и крови, в интеллектуальном поединке с Уотсоном потерпели сокрушительное поражение.

Однако на самом деле блистательное выступление Уотсона было всего лишь иллюзией и обманом. Это лучше других сразу бы понял не кто иной, как Блез Паскаль, создатель первой работающей счетной машины, и мы начнем свой рассказ именно с Паскаля.

«Паскалина», опередившая свое время суммирующая машина Паскаля

Когда-то было невероятно трудно производить элементарные расчеты, при которых приходилось складывать длинные колонки чисел, и эти затруднения побудили Блеза Паскаля сделать блистательное изобретение, которое по достоинству не оценили ни его современники, ни их дети, ни даже дети этих детей. Только через триста лет это изобретение ознаменовало новую эру в истории человечества.

Отец Блеза Паскаля Этьен был уважаемым высокопоставленным чиновником финансового ведомства при кардинале Ришелье, Людовике XIII и молодом Людовике XIV, правивших Францией на протяжении почти всего XVII в. Во Франции того времени крестьяне, ремесленники и рабочие должны были трудиться в поте лица, чтобы состоятельные буржуа, лица духовного звания и дворянство ни в чем не нуждались, чтобы богачи могли прожигать жизнь в приятном ничегонеделанье. Но государство, которым в конечном счете был король, нуждалось в деньгах. Государство, где и как могло, выжимало последние гроши из населения. От налогов были свободны только священники и аристократы.

Этьен Паскаль изо всех сил старался справедливо взимать налоги с тех, кто был обязан их платить, и дотошно проверял верность сумм, которые предоставляли ему подчиненные. Такая проверка требовала бесконечных утомительных расчетов — сложения и вычитания больших чисел.

Сын Этьена Паскаля Блез с самого детства выказал себя математическим вундеркиндом. Образованный отец сам учил сына языкам и другим необходимым для того времени наукам. Так же как сто лет спустя Моцарту, которого тоже обучал его отец, Блезу Паскалю несказанно повезло — ему не пришлось ходить в школу. Однако добросовестный Этьен решил отложить обучение мальчика математике до возраста, когда Блез, по мнению отца, созреет до этой науки. И Паскаль-старший не ошибся, так как, когда пришло время, гениальный ребенок сам овладел математикой. Уже к четырнадцати годам, как свидетельствует его одаренная старшая сестра Жаклин, он усвоил все геометрические теоремы Евклида. Да, Блез овладел знаниями, совершенно новыми и неслыханными, и многие из них до сих пор носят его имя.

С ранней юности Блез Паскаль страдал сильными головными болями, и однажды он признался, что только занятия математикой отвлекали его от этих мучений. Одно только это признание изобличает в Блезе необыкновенного человека, ибо для нормальных смертных именно математика часто служит источником головной боли. Но это — как, я надеюсь, подтвердят читательницы и читатели этой книги — всего лишь злонамеренно распространяемая клевета.

Напротив, скучные расчеты едва ли могут избавить кого-нибудь, даже Блеза Паскаля, от головной боли или, тем более, привести в восхищение. Слишком уж тягостны сухие расчеты. Сын задался целью освободить отца от тяжкой повинности, каковую тот исполнял изо дня в день, и нагрузить расчетами машину. Свой план Блез воплотил в жизнь в девятнадцатилетнем возрасте: он изобрел первую в мире счетную машину и сам ее изготовил. Машину он скромно назвал «паскалиной».

«Паскалина» не была устройством для счета. Таких было великое множество уже в античные времена. Знаменитый абак — слово происходит от греческого слова ἄβαξ (доска) — самое известное из них. Абак состоял из рамки с шариками, которые римляне называли calculi (маленькие камешки), нанизанными на штыри. Эти шарики перемещали по желобкам, канавкам и бороздкам. Другим примером счетного устройства является счетная линейка, которая действительно представляет собой градуированную линейку, на которой после соответствующего обучения можно производить достаточно сложные операции — умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней. Надо упомянуть также логарифмическую линейку Непера, названную в честь Джона Непера. Эта линейка сильно облегчает действия умножения и деления. Но все это — устройства, приборы, аппараты, а не машины. Работа с аппаратом требует умелого обращения специально обученного человека. При работе с машиной персонал не должен понимать, что делает машина. Она считает как будто «сама», буквально «автоматически». Слово это происходит от греческого слова αὐτόματον — «автоматон», обозначающего самодвижущийся предмет. Например, в Илиаде так назывались самостоятельно открывавшиеся двери на Олимпе.

Фактически «паскалина» является счетным автоматом. При взгляде на эту машину мы видим латунный кожух размером с кирпич, на плоской верхней поверхности которого находятся пять (на более поздних версиях машины их было больше) прорезей. В каждой прорези видна цифра от 0 до 9, а вместе эти цифры составляют пятизначное число[22]. Под каждой прорезью располагается колесико с десятью спицами. Вокруг каждого колесика выгравированы цифры от 0 до 9 таким образом, что спицы колесика направлены в промежутки между следующими друг за другом цифрами. Колесико можно вращать по часовой стрелке с помощью штифта, вставленного в какой-либо из промежутков. Маленькое стопорное приспособление, вмонтированное в поверхность устройства, позволяет, как в старинных телефонах с наборным диском, ограничивать поворот колесика.

Если во всех прорезях видна цифра 0, то «паскалина» показывает число 00000 и находится в исходном положении. Теперь можно выполнить действие сложения, например 16 + 45. Сначала вводят число 16. Штифт вставляют в предпоследнее слева колесико в промежуток перед 1 и поворачивают колесико до упора. Появляется число 00010. После этого штифт вставляют в последнее колесико в промежуток перед цифрой 6 и поворачивают колесико до упора. В прорезях появляется число 00016. Точно так же вводят число 45. Вставляют штифт в предпоследнее колесико слева в промежуток перед цифрой 4 и поворачивают колесико до упора. В прорезях получают число 00056. Потом штифт вставляют в последнее колесико в промежуток перед цифрой 5 и поворачивают колесико до упора. В процессе поворота видно, как меняются числа в прорезях — 00056, 00057, 00058, 00059. Потом, словно по мановению волшебной палочки, появляется число 00060 и, наконец, нужный результат — 00061.

Внутренний механизм «паскалины», преобразовывавший движение колесиков в соответствующее вращение валиков, достаточно прост. На валик нанесены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифра, находящаяся в данный момент наверху, видна в соответствующую прорезь. Вращение колесика передается на валик и тоже приводит его во вращение. При этом мы видим, как в прорези сменяются цифры. Пока все просто и понятно. Однако Паскалю в своей машине удалось осуществить одну вещь, которую называют механическим переносом. С помощью искусного рычажного механизма в тот момент, когда на колесике цифра 9 сменяется цифрой 0, соседний слева валик автоматически проворачивается на одну единицу. Таким образом, гвоздем машины Паскаля является то, что при прибавлении единицы происходит переход от 00009 к 00010, от 00099 к 00100, от 00999 к 01000, от 09999 к 10000 и от 99999 к 00000, так как за неимением шестого разряда в числе 100 000 отображаются только нули[23].

Два обстоятельства помешали изобретению Паскаля завоевать коммерческий успех.

Первое, и самое важное, препятствие заключалось в социальной ситуации в эпоху Паскаля. Его машина была просто слишком дорогой. Все ведомства вполне обходились услугами подневольных счетоводов, которые выполняли эту работу за смехотворную плату. Только после того, как люди стали получать более справедливую плату за свой труд, применение счетных машин стало себя окупать. Именно поэтому на своем изобретении разбогател не Паскаль в XVII в., а лишь в XX в. основатель компании IBM Томас Дж. Уотсон, именем которого была названа машина, одержавшая блистательную победу в шоу «Jeopardy!».

Еще одним, тоже серьезным, но в принципе устранимым препятствием, была ненадежность машины. Иногда она допускала ошибки. В важных расчетах результаты надо было проверять, а это требовало времени. Отец Блеза настолько хорошо поднаторел в ручных расчетах, что использование машины отняло бы у него больше времени, чем расчеты с помощью карандаша и бумаги. Но начало было положено.

За двадцать лет до изобретения и изготовления «паскалины» немецкий астроном Вильгельм Шиккард набросал эскиз похожего счетного механизма. О воплощении в реальный механизм грубых чертежей ходят лишь слухи: говорят, что одну машину сделали для Иоганна Кеплера, но она погибла во время пожара, и от нее сохранились лишь неумелые рисунки. Собственно, если даже Шиккарду и удалось изготовить шестереночный механизм, то он из-за технического несовершенства ломался при переходе к числам следующего разряда, например при переходе от 09999 к 10000. Как бы то ни было, честь изобретения и изготовления первой счетной машины принадлежит, без сомнения, Блезу Паскалю. Эта идея оказалась не только гениальной, но и плодотворной, так как подобные автоматы до сих пор выпускаются большими сериями.

Но счетной машине Паскаля пришлось пройти долгий путь в несколько столетий, чтобы стать наконец числовой машиной.

Лейбницевы числа и программа Лавлейс

Счетная машина, которая функционировала абсолютно так же, как машина, созданная Паскалем, была спроектирована почти тридцать лет спустя немецким ученым-универсалом Готфридом Вильгельмом Лейбницем. В отличие от «паскалин», многие из которых сохранились до наших дней, оригинальная модель, созданная Лейбницем, до нашего времени не дошла, но сохранились копии, которые доказывают, что машина была работоспособна.

Однако вклад Лейбница в создание вычислительных машин не ограничивается изобретением копии машины Паскаля. Вклад Лейбница намного более весом, он заключается в разработке новой теоретической концепции счета: в машине Паскаля механический перенос осуществляется на соседнем левом валике, когда на правом от него валике происходит переход от цифры 9 к цифре 0. Переход же от 0 к 1 в принципе ничем не отличается от перехода от 1 к 2 или от 2 к 3. И в дальнейшем переходы происходят столь же монотонно, вплоть до перехода от 8 к 9. Только после этого при переходе от 9 к 0 снова включается механизм переноса.

Собственно, как подумалось Лейбницу, нельзя ли сократить этот механизм на два процесса: первый процесс — переход от цифры ноль, который мы теперь будем для краткости обозначать 0, к цифре единица, которую мы теперь обозначим символом 1: при перемещении движется только тот валик, который показывает смещение с 0 на 1. Второй процесс — это переход от цифры 1 назад, к цифре 0, при осуществлении которого левый валик будет двигаться вместе с правым. Либо, в ходе этого перемещения, валик перемещается из положения 0 в положение 1 и больше ничего не происходит, либо он перемещается из положения 1 в положение 0 и при этом происходит дальнейшее перемещение следующего левого валика. Следуя мысли Лейбница, можно утверждать, что на каждом отдельном валике нанесены не десять цифр, а всего две — 0 и 1; другие цифры этой концепции неведомы. С тех пор изобретенные Лейбницем цифры 1 и 0 называют двоичными, а основанная на них система счисления тоже называется двоичной, или бинарной. За это упрощение, однако, приходится недешево платить: машина, работающая на основе двоичного счисления, должна иметь огромное число сопряженных друг с другом валиков, потому что с помощью пяти валиков можно обозначать только очень маленькие числа. В машине с пятью валиками числа от 0 до 8 записываются так: 00000, 00001, 00010, 00011, 00100, 00101, 00110, 00111, 01000. Эти действия можно продолжить дальше, но уже на числе 31, которое в Лейбницевой системе счисления запишется как 11111, мы будем вынуждены остановиться. При попытке отобразить следующее число мы получим снова 00000, так как валика для шестой единицы в «паскалине» нет.

Не чуждый мистического мышления, глубоко верующий Лейбниц видел в двоичной цифре 1 символ Бога, а в двоичной цифре 0 — символ пустоты, ничто. Людям, убежденным в истинности христианского вероучения, двоичная запись числа семь — 111 — указывала, что триединый Бог создал мир за семь дней…

Однако Лейбниц, изобретая двоичное счисление, имел в виду еще одно толкование: истинномувысказыванию можно приписать двоичную цифру 1, а ложному — двоичную цифру 0. Логики сегодня несколько высокопарно говорят, что каждое высказывание или каждое суждение обладает каким-либо двоичным числом как «мерой истинности». Вместе с тем уже Лейбниц понимал, что действия с двоичными числами являются не просто арифметическими, но и логическими операциями. Двоичное счисление есть отражение мышления. «Мышление — это расчет». Лейбниц был глубоко в этом убежден. Может быть, считал Лейбниц, эту мысль удастся использовать в юриспруденции: судья с помощью значений истинности «рассчитывает» правдивость утверждений обвиняемого, истца, свидетелей и на основании этих расчетов выносит честное и непредвзятое решение. Если довести эту мысль до логического конца, то можно будет заключить, что вместо судьи вынесение приговоров можно поручить числовой машине.

Все это можно найти у Лейбница только в виде туманных намеков; решить эту проблему должны были, по его мысли, инженеры будущего. Только в 1830 г. английский математик и философ Чарльз Бэббидж решил, что сможет создать такую универсальную числовую машину, которая позволила бы перейти от простых вычислений к логическим операциям. Для начала он задумал сделать так называемую разностную машину, которую можно было бы использовать в качестве вспомогательного средства в трудных, но необходимых расчетах, связанных с навигацией судов. Однако очень скоро он понял, что с помощью машин можно возделать куда более обширное поле числовых манипуляций. Все, что можно выполнить шаг за шагом согласно твердо установленной схеме, можно выполнить с помощью машины, механически. Воодушевившись этой идеей, Бэббидж задался целью строительства «analytical engine», аналитической машины. Эта машина должна была приводиться в действие передовым для того времени паровым двигателем. Однако при жизни Бэббиджа такая машина так и не была построена. Так же как Лейбниц, Бэббидж был просто перегружен самыми разнообразными проектами: с жаром принимаясь за какой-либо очередной проект, он уже не мог уделять должного внимания другим. Бэббидж изучал политическую экономию, и его работы о раннем капитализме послужили ценным источником для Карла Маркса. Занимался Бэббидж и статистикой, заложив научные основы практического страхования жизни. Независимо от Германа фон Гельмгольца он изобрел «глазное зеркало», так называемый «офтальмоскоп», а также «скотоотбрасыватель» — путеочиститель, крепящийся к передней части локомотива. По различной ширине годовых колец деревьев он первым научился судить о климате прошлого. Бэббидж сумел расшифровать тексты, закодированные по методике ученого XVI в. Блеза де Виженера. И это лишь небольшая часть того, чем в своей жизни занимался Чарльз Бэббидж.

Воплощение в металле «analytical engine» провалилось не только из-за разносторонности интересов Бэббиджа, но в первую очередь из-за отсутствия в то время прецизионной механики, что не позволило изготовлять детали спроектированной машины с необходимой точностью. Эта попытка провалилась, кроме того, и потому, что Бэббидж слишком часто вносил изменения в конструкцию, и британский парламент решил прекратить финансирование этого проекта. Однако этот проект не удался главным образом из-за того, что вторая движущая сила, которая создала для аналитической машины первую «программу» — то есть первую инструкцию, которую машина могла выполнить автоматически, без вмешательства человека, — утратила интерес к проекту, точнее, была вынуждена его утратить. Речь идет о сотруднице Бэббиджа Огасте Аде Кинг, графине Лавлейс, урожденной Огасте Аде Байрон.

С самого рождения судьба не баловала эту женщину. Она была дочерью знаменитого романтического поэта лорда Байрона. Однако всего через несколько дней после рождения Ады отец отверг ее мать и потом до конца своих дней уклонялся от встреч со своей законной дочерью. Оскорбленная мать никогда не упоминала имени Байрона в присутствии дочери, никогда не вспоминала о нем и не показывала дочери его портреты. Роль заботливой матери эта женщина играла, правда, только для окружающих, а на деле передоверила воспитание Ады бабушке.

Так же как когда-то Паскаль, Ада Байрон с раннего детства страдала тяжелыми приступами головной боли, и так же, как Паскаль, получила домашнее образование, при этом обучавший ее математик Огастес де Морган заметил выдающийся талант Ады в этой науке. Так же как Паскаль, Ада, ставшая к тому времени женой Уильяма Кинга, будущего графа Лавлейса, попыталась с пользой реализовать свое математическое дарование: она хотела, в сотрудничестве с Бэббиджем, создать реально работающую аналитическую машину. Однако, в отличие от Паскаля, мечты Ады Лавлейс так и остались теоретическими, так как ей не довелось увидеть машину Бэббиджа воплощенной в металле. Утешением Аде Лавлейс послужило искреннее восхищение Майкла Фарадея, видевшего первую в мире компьютерную программу, вышедшую из-под пера этой необыкновенной женщины. Жизнь ее была искалечена тяжелым душевным конфликтом, возникшим из-за несчастливого брака и романов, которые общество того времени считало скандальными и недопустимыми для женщины. Но и этого было мало — Ада Лавлейс решила изобрести алгоритм, позволяющий выигрывать пари, и потеряла на этом несколько тысяч фунтов. Так же как Паскаль, Ада умерла очень рано — Паскаль не дожил до сорока лет, а Огаста Ада Байрон Лавлейс — до тридцати семи.

Электрическое рождение числовой машины

Невозможно переоценить восхищение, которое испытал Майкл Фарадей в отношении Ады Лавлейс. Дело в том, что именно новаторские работы Фарадея — лишь десятилетия спустя — легли в основу безупречно работающих числовых машин, что именно Фарадей в результате своих бесчисленных экспериментов понял и осознал тесную связь электричества и магнетизма. Он установил, что, хотя электрическое напряжение можно создать самыми разнообразными способами, в каждом конкретном случае речь идет об одном и том же явлении, пронизывающем всю природу. Фарадей, рожденный в простой семье, не получил никакого образования, и только чтение учебников, с которыми он работал как умелый переплетчик, пробудило в нем интерес к электричеству. Фарадей сумел развить свою концепцию единства природы, не написав при этом ни единой математической формулы. Только Джеймс Клерк Максвелл, на которого произвели глубокое впечатление эксперименты Фарадея, поставил перед собой задачу облечь его открытия в математические одежды. Максвеллу удалось вывести четыре уравнения, в которых он связал воедино все проявления электричества и магнетизма. Невозможно охватить единым взором все множество явлений, основанных на электромагнетизме. Далек от полноты даже такой длинный список: электромотор, электрогенератор, мобильный телефон, рентгеновские лучи, транзистор, радио, телевидение, компас, лампа накаливания, высоковольтные линии электропередачи, электрическая батарея, фотоэкспонометр, микрофон, цифровой фотоаппарат, свет звезд, полярное сияние, телевизионный экран, метрополитен, кварцевые часы, электроэнцефалограф и компьютерный томограф.

Только проведя несколько часов, не говоря уже о днях, без электричества, мы начинаем болезненно осознавать, как сильно зависит современная цивилизация от знаний Фарадея, которые Максвелл снабдил математическими доспехами.

Тем любопытнее в свете этих мыслей становится рассказ о том, как британский министр финансов посетил Фарадея в его лаборатории. Министр озаботился деньгами — по нынешним меркам, очень небольшими, — потраченными из налоговых поступлений на эксперименты Фарадея. «What is this good for?» («Зачем все это нужно?») — спросил министр, состроив серьезную мину и обведя взглядом катушки и конденсаторы. «What are babies good for?» («Зачем нужны дети?») — с гордостью за свою работу парировал Фарадей.

Приложения электродинамики настолько же многочисленны, насколько многочисленны имена изобретателей этих приложений. Следующий список, состоящий из имен Манфреда фон Арденне, Александера Грейама Белла, Анри Клотье, Рея Долби, Томаса Алвы Эдисона, Джона Амброза Флеминга, Генриха Гейслера, Генриха Герца, Герберта Юджина Айвса, Джеймса Прескотта Джоуля, Иоганна Крафогля, Роберта фон Либена, Гульельмо Маркони, Георга Ноймана, Кеннета Олсена, Вальдемара Петерсена, Георга Германа Квинке, Иоганна Филиппа Рейса, Вернера фон Сименса, Николы Теслы, Рихарда Ульбрихта, Ханса Фогта, Чарльза Уитстона, Кларенса Мелвина Зенера, включает фамилии, начинающиеся на все буквы алфавита, кроме X и Y, и этот список отнюдь не претендует хотя бы на подобие полноты. Из всех этих физиков и инженеров особую роль в создании вычислительных машин сыграли три человека, а именно Уолтер Браттейн, Джон Бардин и Уильям Шокли, ибо они изобрели устройство, которое заменило разработанную Эдисоном в качестве эксперимента еще в конце XIX в. электронную лампу. Эти трое изобрели транзистор.

Для наших целей достаточно знать, что транзистор изготовлен из так называемых полупроводников. В момент своего изобретения, в 1950 г., транзистор представлял собой цилиндр размером около сантиметра. Из этого цилиндра торчали три провода. Сегодня транзисторы микроскопически малы, но принцип их действия остался прежним. Три провода носят следующие обозначения Б (база), К (коллектор) и Э (эмиттер). Мы сейчас не будем обсуждать подробности работы транзистора и удовлетворимся достаточно грубым упрощением: когда к проводу Б приложено напряжение, через транзистор беспрепятственно течет ток от провода К к проводу Э. Когда же, наоборот, к проводу Б напряжение не приложено, транзистор перестает пропускать ток в направлении от К к Э.

Рис. 6. Принцип работы инвертора (логического вентиля «HE»). Символом U обозначено напряжение. Когда к p приложено напряжение, то есть когда p = 1, заряженная база Б обеспечивает протекание тока от коллектора К к эмиттеру Э и в землю. У q напряжение отсутствует: q = 0. Если у pнапряжение отсутствует, то есть при p = 0, транзистор не пропускает ток, и напряжение q становится равным единице

Теперь мы понимаем, как можно заниматься логикой с помощью электродинамики. Рассмотрим простейший случай. Допустим, что к проводнику, конец которого мы обозначим буквой q, приложено так называемое рабочее напряжение. Происходит только это, и насчет конца q можно сказать лишь то, что к нему относительно земли (потенциал которой считают равным нулю) приложено некоторое напряжение. Поэтому данный факт обозначают тем, что приписывают q значение единица, то есть q = 1. Если, однако, соединить участок проводника вблизи q со вторым проводником, тоже заземленным, то через соединение и второй проводник в землю потечет ток благодаря источнику напряжения, и напряжение на конце q станет равным 0. Теперь в игру вступает транзистор: он подключен к схеме так, что часть проводника от узлового соединения до транзистора есть К, а часть проводника от транзистора до земли есть Э. Теперь все зависит от того, имеется ли напряжение на базе Б, которое мы обозначим буквой p. Если напряжение есть, то мы пишем p = 1, если же его нет, то мы пишем p = 0. Если p = 1, транзистор пропускает ток от К к Э, а на конце q напряжение отсутствует, то есть q = 0. Когда же, наоборот, p = 0, транзистор заперт, ток через него прекращается, а на конце qвозникает напряжение, то есть q = 1.

Данный электротехнический элемент символизирует логическое отрицание: q означает «не-p». Если эти элементы включить параллельно или последовательно, то можно получить все логические операции. Например, можно составить отношение «ни p, ни q» (логический вентиль «ИЛИ-НЕ»). На конце проводника r будет напряжение только тогда, когда нет напряжения ни на проводнике, символизирующем высказывание p, ни на проводнике, символизирующем высказывание q. Другими словами, только при p = 0 и при q = 0 будет r = 1, то есть это значение r соответствует положению «ни p, ни q». То есть r соответствует ситуации, когда высказывания p и q являются одновременно ложными. Если же, напротив, p = 1 и q = 0, или p = 0 и q = 1, или даже p = 1 и q = 1, то r = 0, ибо «ни p, ни q» является ложным высказыванием, если одно из них, либо p, либо q, является истинным[24].

Рис. 7. Принцип работы вентиля «ИЛИ-НЕ». Только при p = 0 и при q = 0 будет r = 1, ибо только в этом случае оба транзистора не проводят в землю ток при приложении напряжения U. Во всех остальных случаях ток проводится и r = 0

Пара таких подключений — и на устройстве можно выполнять вычисления такие же, как на машине Паскаля[25]. Если же таких каскадов будет большое множество и они будут соответствующим образом подключены друг к другу, то мы получим настоящую, современную вычислительную машину. Если вычисления производятся по программе, состоящей из однозначно определенных действий с символами, то машине вполне по силам ее выполнить.

Скептицизм Гелернтера и тест Тьюринга

Уотсон, победивший Кена Дженнингса и Брэда Раттера в игре «Jeopardy!», как раз и был такой числовой машиной. В ней хранились данные, закодированные в виде исполински длинных последовательностей цифр 0 и 1. Эта цифровая последовательность, преобразованная в совокупность имеющегося напряжения для обозначения 1 и отсутствия напряжения для обозначения 0, и есть сомнительный источник «знания» Уотсона. Технологический шедевр заключается в том, что это устройство создает иллюзию умения машины думать.

Редакторы новостного журнала Spiegel были настолько очарованы Уотсоном, что решили расспросить о нем какого-нибудь выдающегося специалиста по вычислительным машинам. Их выбор пал на Дэвида Гелернтера, создавшего в 1983 г. вместе со своим коллегой Николасом Карьеро язык программирования LINDA, который хорошо подходил для параллельно работающих вычислительных машин. Суть беседы репортеров Spiegel с Гелернтером заключалась в следующем диалоге:

Spiegel. Господин Гелернтер, мы хотим отгадать одно понятие. Американский журналист Амброуз Бирс описал его так: «Преходящее безумие, излечивающееся браком». Вы знаете, что он имел в виду?

Дэвид Гелернтер. Даже не догадываюсь.

Spiegel. Это любовь.

Дэвид Гелернтер. О, любовь!

Spiegel. Да, этот вопрос был задан на шоу «Jeopardy!». Суперкомпьютер Уотсон без проблем дал правильный ответ. Это может означать, что Уотсон знает, что такое любовь?

Дэвид Гелернтер. Он не имеет о любви ни малейшего представления. Исследования в области искусственного интеллекта пока ни разу не касались человеческих чувств. Проблема заключается в том, что мы мыслим не только рассудком. Мы мыслим духом, который к тому же обладает телом. Такое чувство, как любовь, намного превосходит мыслительные способности Уотсона.

Spiegel. Что же в человеческом мозге такого особенного, что не позволяет создать машину по его образу и подобию?

Дэвид Гелернтер. Мозг коренным образом отличается от компьютера. Компьютер — это чисто электронный механизм, состоящий из полупроводников и прочего электрического хлама. Я верю, что можно создать машину, способную к творчеству, вероятно, можно даже сделать машину, способную галлюцинировать. Но такая машина нисколько не будет похожа на нас. Это будет лишь обманчивый фасад. Можно, если пофантазировать, представить себе, что модель «Уотсон-2050» выиграет поэтический конкурс. Возможно, он напишет чудесный сонет, который я найду прекрасным и трогательным и который в веках обессмертит имя его создателя. Но будет ли это означать, что Уотсон напишет сонет, движимый какой-то оригинальной, самостоятельной идеей? Естественно, нет. В доме никого нет. В нем никто не живет.

Скепсис Дэвида Гелернтера немного напоминает прозрение Блеза Паскаля относительно того, что мы мыслим не только за счет законов формальной логики, но прежде всего сердцем: «Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît pas» — «У сердца есть основания, неведомые рассудку».

Тем не менее Мински и Моравек искренне полагали, что в достаточно сложно сконструированной числовой машине можно найти нечто, напоминающее истинное мышление. Правы они или нет? Для того чтобы ответить на этот вопрос, британский математик и логик Алан Тьюринг в 1950 г. предложил провести тест. В ходе этого теста, названного в честь Тьюринга, испытатель с помощью компьютерной клавиатуры и монитора, не имея никакого зрительного и слухового контакта с собеседниками (их двое), ведет с ними разговор. Один собеседник — человек, второй — машина. Оба собеседника стараются убедить испытателя, задающего им вопросы, в том, что они являются мыслящими существами. Если после интенсивного обмена репликами испытатель не сможет отличить человека от машины, то она считается выдержавшей тест Тьюринга.

В 1966 г. один из первопроходцев компьютерных технологий, Джозеф Вейценбаум из Массачусетского технологического института, разработал программу ЭЛИЗА (ELIZA), названную так в честь героини пьесы Шоу «Пигмалион». Эта программа должна была продемонстрировать возможность общения человека и машины на естественном человеческом языке. ЭЛИЗА работает по следующему принципу: она способна преобразовывать высказывания собеседника-человека в вопросительную форму, имитируя разумную реакцию. Программа в каком-то смысле механически имитирует работу психотерапевта. Если, например, пациент говорит: «У меня проблемы с автомобилем», то ЭЛИЗА отвечает: «Почему у вас проблемы с автомобилем?» Если пациентка жалуется: «У меня проблема с отцом», то ЭЛИЗА просит: «Расскажите мне о вашей семье». В последнем случае программа анализирует слово «отец», связывает его со словом «семья» и реагирует «разумной» репликой.

Вейценбаум разработал ЭЛИЗУ как психотерапевта, потому что только психотерапевту позволено выказывать свое полное незнание о мире, не теряя доверия собеседника. Вейценбаум поясняет это следующим примером. Если человек произносит фразу «Я катался на лодке», а числовая машина просит его рассказать о лодках, то человек в данном случае не подумает, что его собеседник на самом деле ничего не знает о лодках.

Испытуемые, общавшиеся с ЭЛИЗОЙ, следовательно, вели себя так, словно имели дело с собеседником-человеком. Очевидно, для испытуемых было не слишком важно, кто находился на другом конце провода — человек или машина. Главным было то, что ответы и вопросы казались человеческими. Мало того, испытуемые по большей части были убеждены, что общаются с человеком. Даже когда испытуемых ставили перед фактом и говорили, что они имели дело с числовой машиной, действовавшей по простым правилам, переводя утвердительные фразы в вопросительные и не пользуясь при этом ни «интеллектом», ни «рассудком», ни «сочувствием», некоторые испытуемые отказывались в это поверить. Некоторые даже восклицали: «Значит, машина понимает меня лучше, чем мой психиатр!»

Сам Вейценбаум был потрясен реакцией людей на его программу. Еще больше потрясло его то обстоятельство, что многие практикующие психиатры всерьез поверили в то, что удалось создать программу автоматизированной психотерапии. Не в последнюю очередь благодаря этим реакциям Вейценбаум превратился в конце концов в непримиримого и неистового критика нерефлексирующей технологии «искусственного интеллекта».

Но самое потрясающее состоит в том, что числовая машина смогла изменить образ человека. Коварство теста Тьюринга заключается в том, что вопрос о том, может ли числовая машина мыслить по-человечески — а это в известном смысле и было целью создателя теста, — может быть поставлен и по-другому: Выдерживает ли человек тест Тьюринга? Безупречно ли функционирует интеллект человека — или людей, не отвечающих требованиям, предъявляемым машинам, то есть людей, способных, как говаривал Паскаль, к raison du cœur, «мышлению сердцем», необходимо «отправлять на свалку»? Это не преувеличение, такие умопомрачительные мысли высказывали вслух творцы и пророки искусственного интеллекта Марвин Мински и Ханс Моравек. «Если нам повезет, то роботы будут держать нас при себе как домашних животных», — утверждал, например, Мински.

И он нисколько не шутил.

Претензия на всеведение

Гигант из Гёттингена

Что такое математика?

Ответить на этот вопрос не так легко, как может показаться на первый взгляд. Легче ответить на вопрос о том, что такое биология: это наука, которая изучает все формы жизни с помощью наблюдения и эксперимента. Математика — это тоже наука. Но на чем зиждется ее метод и каков здесь предмет изучения?

Что касается метода, то здесь все как будто ясно. Математика опирается на логику. Или на мышление. Некоторые утверждают, будто это одно и то же. Как бы то ни было, любое математическое высказывание должно подчиняться безупречной логике. Если в цепь рассуждений доказательства формулы вкрадывается ошибка или возникает пробел, который невозможно обосновать, то такое доказательство теряет свою ценность и, собственно, перестает быть доказательством. Даже если его представляет корифей от математики. Даже если эта формула оказалась верной в практическом применении.

На примере из истории оснований математики можно наилучшим образом понять, почему до сих пор среди математиков нет единства в отношении того, насколько можно полагаться на логику, занимаясь математикой, и можно ли считать, что логика охватывает мышление. История эта заставляет думать, что до конца дней так и останется неясным, чего на самом деле может достичь математика.

История состоит из двух частей — двух последних глав этой книги. В первой части речь пойдет о самом значительном из говоривших по-немецки математиков начала ХХ в. Давиде Гильберте, о его девизе, на котором, собственно, и держится вся история. Во второй ее части мы узнаем, какая судьба ожидала тех, кто разделял воззрения Гильберта, и тех, кто был не готов следовать его заветам.

В начале ХХ в. у математического мира было две столицы — Гёттинген в Германии и Париж во Франции.

В то время самым выдающимся гёттингенским математиком был Давид Гильберт. Он не только сам достиг вершин во всех областях математики, но и собрал вокруг себя великое множество одаренных молодых людей со всего света, которых смог буквально соблазнить математикой: русского Сергея Бернштейна, учившегося в Париже, американку Энн Босуорт, приехавшую в Гёттинген после окончания Чикагского университета, итальянца Уго Наполеоне Джузеппе Броджи, который позднее работал в Университете Буэнос-Айреса, австрийца Пауля Георга Функа, учившегося в Чехословакии, пережившего тяжелые годы Третьего рейха и работавшего потом в Венском техническом университете, русскую Надежду Гернет, позднее умершую в осажденном нацистами голодном Ленинграде, нынешнем Санкт-Петербурге, румына Александру Миллера, основавшего затем в Яссах румынскую математическую школу, поляка Гуго Штейнгауза, который основал в Лемберге (позднее Львов) польскую математическую школу, названную по месту основания Львовской, японца Тэйдзи Такаги, вернувшегося в Токио и своими трудами открывшего свою родину современной математике. Я упомянул далеко не всех учеников Давида Гильберта.

Но в первую очередь в этой связи надо упомянуть Эмми Нётер. Собственно, она не была ученицей Гильберта, диссертацию защитила в Эрлангене, под руководством Пауля Гордана, в университете, где ее отец, Макс Нётер, преподавал математику. Руководитель Эмми Пауль Гордан был математиком старой школы — он не признавал никаких абстрактных идей, считая, что на первом месте должны стоять безупречные вычисления. Когда он узнал, что в его области, в так называемой теории инвариантов, Гильберт вывел результаты, полученные им самим в ходе трудоемких и даже мучительных вычислений, одним росчерком абстрактного пера, не прибегая ни к каким расчетам, он с горечью воскликнул: «Это не математика, это теология!» Напротив, Эмми Нётер восприняла новое мышление Гильберта как руководство к действию и решительно встала на его сторону. Гильберт и его друг и наставник Феликс Клейн попытались пригласить Эмми в свой университет и предоставить ей место исследователя. Эмми действительно приняла приглашение и приехала в Гёттинген. Консервативно настроенные профессора, однако, встретили ее в штыки — презрением и отторжением. Из-за этого отношения Эмми едва не отказалась от университетской карьеры. В течение года она могла читать лекции только от имени Гильберта. Когда некоторые профессора стали активно протестовать против присутствия Эмми Нётер в университете — им нечего было предъявить ей, они просто не хотели нарушения мужской монополии на науку, — Гильберт возмутился: «Господа, наш факультет — это не купальня!»

Один из глубочайших математических мыслителей ХХ в. Герман Вейль писал в некрологе памяти своего учителя о том, как Гильберт сделал из него математика (здесь приводится перевод с английского; в 1933 г. Вейль, движимый отвращением к Гитлеру, навсегда покинул Германию): «До сих пор звучит у меня в ушах сладкий голос соблазнителя; Гильберт был соблазнителем, и всех, кто встречался с ним, неудержимо влекло к математике. Тем, кому нужны примеры, могу рассказать мою собственную историю. Восемнадцатилетним юношей я приехал из деревни в Гёттинген. Этот университет я выбрал только потому, что директор моей школы приходился двоюродным братом Гильберту и снабдил меня рекомендательным письмом. Совершенно бездумно, я наивно и дерзко записался на курс, который читал Гильберт, — понятие числа и квадратура круга. Большая часть того, что я там услышал, оказалась недоступной моему пониманию. Но я чувствовал, что передо мной в этих лекциях открывается дверь в новый, неведомый мир. Недолго побыв у ног Гильберта, я воодушевился и принял решение прочесть и проштудировать все, что написал этот человек. По окончании первого курса я поехал домой с “Отчётом о числах”{15} под мышкой, и на летних каникулах углубился в чтение — не имея никакого предварительного представления ни о теории чисел, ни о теории Галуа. То были самые счастливые месяцы моей жизни, воспоминания о них настолько утешительны, что их не смогли поколебать ни сомнения, ни разочарования, неизбежно происходящие в нашей жизни».

Никакого «ignorabimus»

Если уверенный в себе Гильберт и был в чем-то твердо убежден, так это в безграничном могуществе своей науки. В 1930 г., незадолго до ухода в отставку с поста профессора Гёттингенского университета, он выступил по радио, которое было тогда сравнительно новым видом массовой коммуникации. Можно живо себе представить, как этот убеленный сединами и почитаемый своими коллегами господин тайный советник садится перед микрофоном и ему объясняют, что тысячи людей прильнули к приемникам, чтобы услышать его голос. Отчетливо произнося слово за словом со своим неистребимым восточнопрусским акцентом, Гильберт сказал: «Математика — это инструмент, являющийся посредником между теорией и практикой, между мышлением и наблюдением. Она строит связующие мосты, и мосты эти становятся все надежнее. Отсюда вытекает, что вся наша современная культура, поскольку она зиждется на духовном проникновении в природу и на ее приручении, находит свои основания в математике».

Еще Галилей говорил: «Только тот может понять природу, кто понимает ее язык и символы, коими она говорит с нами. Этот язык — математика, а ее символы — математические фигуры».

Канту принадлежит следующее высказывание: «Я утверждаю, что о каждой отдельно взятой естественной науке можно сказать, что она наука лишь в той мере, в какой опирается на математику».

Приведя еще несколько цитат, подтверждающих значение математики[26], Гильберт закончил свое радиообращение следующими словами:

«Мы не должны доверять тем, кто сегодня с глубокомысленной философической миной, серьезным тоном пророчит гибель культуры и впадает в ересь вечного невежества. Для нас не существует никакого “ignorabimus”, и я твердо придерживаюсь того мнения, что его не существует и для естественных наук. Пусть нашим лозунгом будет не “ignorabimus”, а нечто совершенно иное:

Мы должны знать, и мы будем знать».

Нам, современным людям, трудно в полной мере понять значение последних слов. О ком говорит Гильберт, намекая на пророков гибели культуры, впадающих в ересь «ignorabimus»?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам придется заглянуть в далекий 1872 г. и послушать речь выдающегося физиолога Генриха Дюбуа-Реймона, которой он поверг в удивление и ужас тогдашний научный мир. Дюбуа-Реймон был решительным поборником дарвинизма, он безоговорочно придерживался того мнения, что естественные науки — это «абсолютно культурный феномен», единственное достойное устремление человечества. В противоположность естественным наукам все остальные культурные ценности, как то: политика, искусство и религия, не имеют в конечном счете никакого значения. Но даже Дюбуа-Реймон, возвеличивший естественные науки и считавший их историю единственной подлинной историей человечества, на заседании Общества немецких естествоиспытателей и врачей в Лейпциге утверждал, что существуют «границы познания природы». Никогда, говорил Дюбуа-Реймон, человек не познает до конца, что такое материя и сила, никогда не удастся локализовать ощущение в бессознательных нервах, никогда не сможем мы обосновать происхождение мышления и языка и никогда не поймем, откуда берется свободная, направленная ко благу воля. «Ignoramus et ignorabimus, — объявил он с трибуны своим коллегам. — Не знаем и знать не будем».

На протяжении десятилетий после произнесения этой речи «ignorabimus» действовало на Давида Гильберта и многих других ученых как красная тряпка на быка. Уже в начале своего выступления по радио Гильберт отчетливо обозначил свое отношение к скептицизму Дюбуа-Реймона: тот, кто руководствуется математикой, клялся Гильберт, тот в конечном счете поборет всякое «ignorabimus». Со времен Галилея наука о природе продолжает свое победоносное шествие. До Исаака Ньютона люди верили, что звезды движутся по небу, гонимые взмахами ангельских крыльев, и это был чудесный поэтический образ. Математическая физика Ньютона не оставила от него камня на камне. Движения всех небесных тел, по Ньютону, подчиняются уравнениям. Если бы во всей Вселенной было только два небесных тела, решение этих уравнений привело бы к открытию законов, выведенных современником Галилея Иоганном Кеплером на основании астрономических наблюдений. Во Вселенной обретается бесчисленное множество небесных тел, и, даже применяя самые современные компьютеры, люди, естественно, не в состоянии выдать для них всех точные решения уравнений Ньютона. Но астрономы все равно убеждены, что именно математика, и ничто другое, лежит в основе всех явлений мироздания.

Пьер-Симон Лаплас перенес эти рассуждения на движение всех атомов во Вселенной. Согласно Лапласу, все в нашем мире — от взмаха крыльев насекомого и извержения Везувия до взрыва сверхновой звезды — определяется уравнениями. Не существует ничего, где в конечном счете математика не определяла бы правила игры. Даже после того, как теория относительности и квантовая теория внесли исправления в уравнения Ньютона, в принципе это высказывание осталось безусловно верным. В квантовой теории физическая система — будь то атом, молекула ДНК, кот в ящике, облако и все что угодно еще, описывается таинственной греческой буквой ψ, пси. Эта буква содержит всю информацию относительно системы. Пси не подчиняется ничему и никому, кроме математики, ибо повинуется только одному математическому уравнению, названному в честь Эрвина Шредингера[27].

Следовательно, математика действительно проникает во все на свете явления. И сама она, по твердому и непоколебимому убеждению математического гения Гильберта, противоречит утверждению Дюбуа-Реймона. Гильберт очень страстно сформулировал свое кредо: «В наших душах звучит вечный призыв: здесь есть проблема. Ищи ее решение! Ты найдешь его путем чистого размышления, ибо в математике не существует “ignoramus et ignorabimus”».

Гильберт изгоняет геометрическое восприятие

Еще до 1900 г. Гильберт показал изумленному научному миру, как именно удается математике стать повелительницей реальности.

Книга по геометрии, которую Евклид написал в III в. до н. э., во времена Гильберта все еще оставалась учебником для высшей школы, и до конца XIX столетия все ученые были убеждены в том, что, говоря о «точках», «отрезках», «окружностях», «треугольниках» или «квадратах», они имеют в виду нечто раз и навсегда устоявшееся и установленное. Есть и инструмент, с помощью которого можно конструировать и строить эти предметы, а именно циркуль и линейка. Если в плоскости чертежа находятся две удаленные друг от друга точки, то надо приложить к ним линейку и провести прямую, которой будут принадлежать обе точки. Ясно также, как надо установить циркуль в одну из точек, раскрыть его так, чтобы его вторая ножка достигла второй точки, а затем провести окружность, центр которой расположен в первой точке, а сама окружность проходит через вторую точку.

Но как, имея данную окружность, построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого была бы равна площади этого круга? Это знаменитый вопрос о «квадратуре круга», который в наше время воспринимают как метафору.

Гильберт «разрешает» квадратуру круга, при этом рассматривая проблему с двух точек зрения, и прежде всего — с точки зрения вспомогательных средств, имеющихся в нашем распоряжении. Здесь Гильберт мог опереться на работу своего бывшего учителя, профессора Кенигсбергского университета, перебравшегося позднее, в 1893 г., в Мюнхен, Фердинанда фон Линдемана, который раз и навсегда доказал: никогда не удастся с помощью циркуля и линейки разрешить проблему квадратуры круга.

Тем не менее утверждение фон Линдемана, несмотря на негативное выражение, ни в коей мере не противоречит лозунгу Гильберта о том, что математика не приемлет «ignorabimus». Это утверждение сообщает нам некоторое знание, а именно знание о том, что невозможно ни в коем случае. Так же невозможно, как, допустим, назвать 5 четным числом.

Кроме того, Гильберт рассматривает квадратуру круга с точки зрения объектов «круг» и «квадрат» как таковых. При таком подходе можно говорить о том, что для каждого круга существует квадрат равной ему площади. Еще в 1685 г. польский математик Адам Коханский изобрел изящное построение с помощью циркуля и линейки; Коханскому удалось построить на круге почти равный ему по площади квадрат. Толщина карандашной линии, шероховатость бумаги и несовершенство человеческого органа зрения не позволяли заметить разницу в площадях, настолько приблизился Коханский своим построением к идеалу. Приблизился почти вплотную. Пусть даже ему и не удалось в точности воспроизвести такой квадрат, все же в мыслях он существует.

Это была решающая идея, запавшая в душу Гильберта: геометрические объекты присутствуют не в своей чувственно воспринимаемой форме — они становятся для нас явными только потому, что мы можем их себе помыслить. Чувственно воспринимаемое изображение на листе бумаги есть лишь наглядное отражение этого мысленного образа. Так же думал когда-то Платон: не построенный на бумаге, а созданный в мыслях треугольник является по-настоящему «истинным», ибо только воображаемый умом треугольник может соответствовать своему идеалу.

Именно поэтому две не являющиеся параллельными прямые пересекаются даже в том случае, если точку пересечения не удается изобразить ввиду малости листа бумаги, на которую нанесены прямые. Мы в любом случае можем точно указать место точки их пересечения — только потому, что она существует в наших мыслях. Но что будет с параллельными прямыми? Можно ли говорить и в этом случае о точке пересечения? Очевидно, нет, потому что, если бы даже она и существовала, то находилась бы в бесконечности. Но допустимо ли представлять себе, что точка пересечения параллельных прямых находится в бесконечности? Как вообще помыслить себе бесконечность?

Размышления и вопросы такого рода заставили Гильберта систематически упорядочить законы геометрического мышления. Для этого он поступил приблизительно так же, как Евклид более чем за две тысячи лет до него: во главу угла своей геометрии Гильберт уложил «аксиомы», утверждения, которые надо принять безоговорочно для того, чтобы корректно заниматься геометрией. Первая из двадцати аксиом гласит: «Две не совпадающие между собой точки всегда определяют прямую», на которой они лежат. За первой следует вторая аксиома: «Любые две не совпадающие между собой точки прямой определяют эту прямую». В качестве третьей аксиомы Гильберт формулирует следующее утверждение: «На одной прямой всегда существуют по крайней мере две точки; на одной плоскости всегда существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой».

Каждую аксиому Гильберт иллюстрирует грубым эскизом, наглядно сообщающим содержание аксиомы, — некоторые из этих эскизов и утверждений настолько банальны, что вызывают искреннее удивление: зачем вообще упоминать о таких очевидных вещах? Ответ самого Гильберта гласит: нельзя соблазняться чувственным впечатлением! В геометрии, какой представлял ее себе Гильберт, явное, чувственное впечатление играет второстепенную, поясняющую, но ни в коем случае не определяющую роль. Утверждения геометрии можно считать доказанными только в тех случаях, когда доказательство опирается на двадцать упомянутых аксиом. Все остальное не считается доказательством.

«Но вы все же описываете точки, прямые и плоскости таковыми, какие они есть; почему они не имеют никакой ценности в ваших глазах?» — может спросить Гильберта скептически настроенный читатель.

«Это прекрасно, — ответил бы Гильберт, — что вы воспринимаете точки, прямые и плоскости именно так, как я их описываю в аксиомах. Но я не требую ни от кого, кто занимается геометрией, правильного “восприятия” того, о чем идет речь, когда говорят о точке, прямой или плоскости. Все эти представления можно выражать как угодно, словами самого экзотического языка[28]. Другими словами, меня вообще не интересует сущность точек, линий и плоскостей — меня интересует, чтобы все, что называют точкой, прямой или плоскостью, подчинялось моим аксиомам. Этого вполне достаточно».

Составляя список из двадцати аксиом, Гильберт хотел достичь и достиг двоякой цели.

Во-первых, ему удалось доказать, что эта система аксиом обладает полнотой. Под этим словом имеется в виду, что все истинные утверждения геометрии можно вывести из двадцати аксиом Гильберта. Фактически в геометрии отсутствует «ignorabimus»: то, что можно познать, соответствует тому, что можно вывести из аксиом.

Во-вторых, Гильберту удалось доказать, что эта система аксиом непротиворечива. Действительно, для системы аксиом стало бы катастрофой, если бы какие-либо два утверждения, выведенные из этих аксиом, противоречили бы друг другу. Тогда 5 превратилось бы в четное число, а вся система рухнула бы как карточный домик.

Гильберт достиг обеих целей, так как смог доказать: его система геометрических аксиом полна и непротиворечива, потому что полон и непротиворечив счет с помощью чисел с бесконечным десятичным представлением.

Но мог ли Гильберт быть уверенным в том, что счет с помощью чисел с бесконечным десятичным представлением является полным и непротиворечивым? Дело в том, что в данном случае речь идет не об обычном счете.

Числа с бесконечным десятичным представлением

Бесполезно дискутировать с человеком, который сомневается в том, что шестью семь равно сорок два. Счет с помощью чисел 1, 2, 3, … обладает, говоря словами Германа Вейля, «характером ясного, достаточного в самом себе убеждения, порожденного абсолютно прозрачной очевидностью». Никто не испытывает ни малейшего сомнения в твердо установленных действиях с целыми числами, каковые можно складывать, вычитать и умножать. Решение о том, какое из двух чисел больше, всегда является однозначным. Деление подчиняется железным и абсолютно непоколебимым правилам.

Ничто не подкрепляет эту убежденность лучше того доверия, с каким мы полагаемся в расчетах на электронные машины. Никогда в истории человечества не считали столько, сколько считают сейчас — причем не люди, а машины. Люди утрачивают навыки простейшего устного и письменного счета, слепо положившись на электронные машины и компьютеры. Это классический пример добровольного подчинения, которое может стать опасным, если одновременно будет утрачен контроль за машинным программированием.

Довольно причудливый пример доказывает, насколько сильно мы убеждены в надежности вычислений целых чисел. В одной из предыдущих глав мы говорили о величине числа π, являющегося величиной отношения длины окружности к ее диаметру с точностью до тридцать пятого знака после запятой.

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…

На заре XVII в. мастер счета Лудольф ван Цейлен потратил более 30 лет на то, чтобы получить этот результат. Сегодня с помощью электронно-вычислительной машины можно в миллисекунды получить значение числа π с точностью до десяти тысяч знаков после запятой. Правда, этот расчет выполняется не по трудным формулам, которыми пользовался еще Лудольф, а согласно весьма эффективному методу расчета, предложенному Карлом Фридрихом Гауссом, одним из самых значительных математиков Нового времени. Каким бы методом вычисления мы ни воспользовались, в итоге все кончается сложением, вычитанием, умножением целых чисел и сравнением величин двух целых чисел. В противном случае мы не могли бы программировать электронные устройства.

В последние десятилетия появился новый вид спорта — определение числа π с точностью до как можно большего числа знаков после запятой. В 2009 г. Дайсуке Такахаши с помощью высокопроизводительного компьютера Цукубского университета поставил рекорд — вычислил π с точностью до 2,6 триллиона знаков после запятой. Однако уже в 2010 г. этот рекорд был побит парижским специалистом по вычислительной технике Фабрисом Белларом: Беллар использовал формулу Давида Чудновского и на своем персональном компьютере за 131 день вычислил число π с точностью до 2 699 999 999 000 (почти 2,7 триллиона) знаков после запятой. Естественно, он не стал распечатывать это число. Если на одной странице в среднем помещается 5000 цифр, то данное значение числа заняло бы полмиллиона томов по тысяче страниц каждый — то есть потребовало бы гигантской библиотеки.

В том же году японец Шигеру Кондо потратил 90 дней на то, чтобы на личном компьютере, используя программу своего американского коллеги Александра Йи, вычислить значение числа π с точностью до пяти триллионов знаков после запятой. Но два друга не успокоились на этом, и уже к октябрю 2011 г., заставив машину работать 371 день, получили заветное значение с точностью до 10 триллионов знаков. Эта гонка может продолжаться без предела, ибо бесконечно много знаков до сих пор ждут, когда их вычислят… Само собой разумеется, что на самом деле столь точное значение числа π никому не нужно. В практических расчетах достаточно найденного еще Архимедом значения с точностью двух знаков после запятой: 3,14…

Польза от этих вычислений состоит в том, что они позволяют испытать эффективность примененного компьютера. Для вычисления с точностью до миллиардов знаков после запятой используют независимые друг от друга программы, а затем сравнивают полученные в результате последовательности цифр. Если какие-то значения не совпадают, то, значит, в конструкции компьютера, в его «железе», есть какой-то дефект, потому что сами формулы расчетов безошибочны, ибо арифметика целых чисел никогда не вводит в заблуждение.

Величину π любят называть бесконечным десятичным числом, и не потому, что оно на самом деле бесконечно — нет, оно меньше числа 3,142. Бесконечным его называют потому, что десятичное представление числа π нигде не обрывается. Кроме того, речь в данном случае идет об «иррациональном», бесконечном десятичном числе, потому что в его представлении невозможно обнаружить периодичность.

Фактически нам лишь кажется, что π — число. Строго говоря, это не так. Дело в том, что с помощью целых чисел невозможно вычислить точное значение этого удивительного числа. Если, например, мы имеем круг диаметром 1 метр, то его площадь будет равна точно π квадратным метрам. Для того чтобы вычислить сторону равновеликого квадрата, надо извлечь квадратный корень из числа π. Но как практически рассчитать эту «квадратуру круга»?

Вычислить квадратный корень из положительного целого числа очень просто. Для этого надо ввести число в калькулятор, выбрать «извлечение квадратного корня» и нажать клавишу или кнопку мыши. Результат тотчас высвечивается на дисплее. (Обычно это десятичное число с бесконечным числом знаков после запятой; правда, как правило, выдается результат с точностью до двух знаков.)

Однако вычислить квадратный корень из числа π, напротив, невозможно, ибо, прежде чем нажать клавишу извлечения квадратного корня, надо набрать все десятичные знаки числа π. Но это невозможно. Бесконечные числа не поддаются действиям такими методами.

Естественно, на практике человек наберет в поле исходного числа значение 3,142 и нажмет кнопку вычисления квадратного корня. Возможно, человек этот сравнит результат с результатами, полученными при вычислении квадратного корня из чисел 3,1416 и 3,14159, и если значения необходимых для вычисления знаков остаются стабильными, то этого вполне достаточно для практики. Однако математик, требующий точности, должен признать, что ни один из этих результатов не является истинным значением квадратного корня из π, так как невозможно ввести в компьютер его точное значение.

Эта проблема немного напоминает приближенное построение Коханского. Положение фон Линдемана с непреложной надежностью утверждает, что невозможно разрешить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки. Площадь квадрата Адама Коханского очень близко подходит к площади идеального квадрата, но никогда ее не достигает.

Однако точно так же, как «существует» идеальный квадрат, площадь которого совпадает с площадью данного круга, — а именно в нашем мышлении, — «существует» и точный квадратный корень из числа π — тоже в нашем мышлении. На точность компьютерного результата, напротив, полагаться не стоит.

Давид Гильберт был убежден в следующем: так же как мы полагаемся на арифметику целых чисел, мы имеем право допустить, что и вычисление чисел с бесконечным десятичным представлением может быть точным и надежным.

Гильберт разделял это убеждение с Ньютоном и Лейбницем, первооткрывателями «исчисления», которое, как они полагали, можно использовать для операций с числами с бесконечным десятичным представлением, как и для расчетов с целыми числами. Гильберт разделял это убеждение и с теми многочисленными математиками, которые развивали и усовершенствовали «исчисление» Ньютона и Лейбница для разнообразных приложений.

Но Гильберт понимал, что одного лишь убеждения недостаточно. Действительно, существуют своеобразные феномены, когда с бесконечными числами начинают обходиться как с абсолютно безобидным понятием. Но потом, когда в игру вступает бесконечное, логика отказывает.

Гостиница парадоксов

С чем мы должны считаться, когда бесконечное уживается в мышлении рядом с конечным? Лучше всего для этого оценить диапазон этих понятий на образном примере: представим себе обычную гостиницу, то есть гостиницу с конечным числом номеров. (Для простоты мы примем, что гостиницы, о которых мы будем здесь говорить, предоставляют постояльцам только одноместные номера.) В одной гостинице с конечным числом номеров их можно перечислить в последовательности от 1 до, скажем, 313. После этого номера заканчиваются. В гостинице 313 номеров и ни одного больше. Если в гостинице проживают 313 постояльцев, то она заполнена до отказа. Если в такую гостиницу приходит человек и просит предоставить ему номер для ночлега, администратор не сможет этого сделать, и у того человека нет никаких шансов получить номер.

Совершенно по-другому обстоят дела в «гостинице Гильберта», располагающей бесчисленным количеством номеров. В этой гостинице тоже можно считать номера начиная с 1, но… число номеров в «гостинице Гильберта» никогда не заканчивается. К каждой комнате вдоль бесконечно длинного коридора этой гостиницы примыкает следующая комната. Применив перспективу, которой так виртуозно владели художники Возрождения, мы получим изображение ряда дверей, исчезающих в точке схода перспективы. Изображения дверей будут становиться все меньше и меньше — сначала они станут неразличимы невооруженным глазом, затем неразличимы при взгляде через лупу, а затем и под микроскопом. Но при этом мы знаем: этот ряд не кончается никогда. Может быть, именно перспектива, заставляющая видеть, как уходящие в туманную даль два параллельных рельса железнодорожного пути сходятся в одну точку, породила у некоторых людей иллюзию, что бесконечное можно охватить разумом.

Но, как бы то ни было, «гостиница Гильберта» никогда никому не отказывает, ибо, если все номера в этой гостинице заняты, но к администратору подходит новый гость, его желание будет исполнено — он получит место для ночлега. Администратор распорядится, чтобы каждый постоялец поменял свою комнату на комнату с номером, большим на единицу. Таким образом, постоялец из первого номера переедет во второй, постоялец второго — в третий и так далее. Каждый постоялец гостиницы легко найдет свой новый номер, так как его номер будет всего на единицу больше, чем у старого. Первый же номер освободится для нового постояльца.

Но это лишь начало парадоксов «гостиницы Гильберта». Теперь представим себе, что номера заняты, а перед подъездом гостиницы остановился автобус с бесконечным множеством новых гостей. Вся эта бесчисленная толпа стоит у стойки гостиницы и с нетерпением ждет ключей от вожделенного номера. Но как быть, если все номера уже заняты? Администратор, однако, находит решение: каждый живущий в гостинице постоялец переезжает в комнату, номер которой в два раза больше номера комнаты, в которой он проживает. Таким образом, постоялец из первого номера переезжает во второй номер, постоялец из второго номера — в четвертый, из третьего номера — в шестой и так далее. Каждый постоялец легко находит новую комнату, потому что для того, чтобы ее найти, надо всего лишь умножить на два номер старой комнаты. Таким образом, все постояльцы, уже бывшие в гостинице, переселяются в четные номера, а новоприбывшие занимают бесчисленное множество нечетных номеров.

Но дальше дела идут еще чуднее. Теперь мы допустим, что к гостинице неожиданно подъезжает бесчисленное множество автобусов, останавливающихся на исполинской парковке. В каждом автобусе — ряд за рядом — сидят бесчисленные пассажиры. Всех этих людей, число которых — «бесконечность, помноженная на бесконечность», надо разместить в гостинице, каждого в отдельный номер. И это невзирая на то, что «гостиница Гильберта» забита до отказа. Однако администратор, несомненно, обладает недюжинным математическим талантом и находит удачное решение и в этот раз. Живущих в отеле гостей просят покинуть номера с вещами и собраться в гостиничном ресторане. Пассажиров первого автобуса администратор направляет в комнаты с номерами 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, то есть последовательность номеров представляет собой последовательность степеней числа 2. Пассажиров второго автобуса расселяют по комнатам с номерами 9, 27, 81, 243, …, то есть в комнаты, последовательность номеров которых является последовательностью степеней числа 3. Пассажиров третьего автобуса расселяют в комнаты, номера которых представляют собой последовательность степеней числа 5, то есть номера 5, 25, 125, 625, …. Теперь система становится понятной: пассажиров каждого следующего автобуса расселяют в номера, последовательность которых является последовательностью степеней каждого следующего простого числа. Так как последовательность простых чисел бесконечна, то администратор без проблем размещает в гостинице всех без исключения новоприбывших на бесконечном числе автобусов. При этом такое же бесчисленное множество комнат остается свободными, например комнаты с номерами 1, 6, 10, 12, 14, 15, ….

То есть свободными остались первый номер и все комнаты, номера которых делятся не только на какое-то единственное простое число. В эти свободные номера можно теперь переселить покинувших свои номера после прибытия новичков постояльцев, ожидающих в гостиничном ресторане.

Однако усложним картину и превратим «гостиницу Гильберта» в «отель Гильберта с почасовой оплатой». Представим себе, что ровно в полночь, то есть в ноль часов, к пустому отелю подъезжает автобус с бесчисленным количеством пассажиров. Первый из них входит в отель и получает комнату под номером 1, но ровно через один час он покидает комнату, выходит из отеля и возвращается в автобус. В этот момент, то есть через один час, в отель входят следующие два пассажира и, поскольку первый гость уже покинул отель, получают комнаты под номерами 1 и 2. Они, однако, остаются в отеле ровно полчаса, после чего возвращаются в автобус, а им на смену в отель входят четыре пассажира. Этих четверых селят в комнатах с номерами 1, 2, 3, 4, но в этих комнатах они задерживаются всего на четверть часа. Через один час сорок пять минут после прибытия автобуса эти постояльцы пулей вылетают из отеля, возвращаются в автобус, а им на смену уже бегут восемь следующих пассажиров. Как мы видим, эти непрерывные входы и выходы становятся каждый раз все более захватывающими: каждый временной интервал, в течение которого гости пребывают в номерах, становится вдвое короче временного интервала, в течение которого в номерах пребывала предыдущая «смена», причем навстречу каждой выходящей «смене» спешит другая, численность которой вдвое больше. Что, однако, произойдет ровно в два часа ночи, в тот момент времени, когда временные интервалы станут невероятно сжатыми? Будет ли к этому моменту отель заполнен до отказа, ибо в каждый данный момент в отель входят в два раза больше людей, чем выходят из него? Или, наоборот, отель в этот момент будет пуст, ибо все побывавшие в нем пассажиры автобуса уже покинули отель?

Или — здесь, возможно, и зарыта собака — эта ситуация становится настолько неправдоподобно гротескной, что такой вопрос просто лишается всякого смысла? Не взрывает ли этот пример все глубокомысленные разговоры о природе бесконечного?

Бесконечная игра в вопросы и ответы

Надо описать еще один парадокс. Для большей наглядности и облегчения понимания мы начнем с отнюдь не парадоксальной ситуации. Руководитель туристического бюро приходит к директору «отеля Гильберта» и извещает о том, что вечером к ее отелю подъедет автобус с тремя туристами, господами А, Б и В.

Каждый из них может решить остаться на ночлег в «отеле Гильберта», но может захотеть поехать в другое место. Директор оказалась весьма добросовестной дамой и пытается войти в положение каждого из своих гостей, а для этого она должна знать все возможные исходы решений потенциальных гостей. Во-первых, все туристы могут захотеть поехать в другое место, и тогда никто из них не останется ночевать в отеле. Во-вторых, есть и такая возможность: например, турист А решит остаться в отеле, а двое других изъявят желание ехать дальше. В-третьих и в-четвертых соответственно, либо турист Б, либо турист В захотят сойти и остаться в «отеле Гильберта», а два его спутника поедут дальше. В-пятых, в-шестых или в-седьмых соответственно, А решит ехать дальше, а Б и В захотят остаться, или Б захочет ехать дальше, а А и В решат остаться, или В захочет ехать дальше, а А и Б решат остаться. И наконец, есть и восьмой вариант, когда все три туриста решат остановиться в «отеле Гильберта». Добросовестная директор отеля аккуратно записывает все восемь возможностей в блокнот. Теперь она подготовилась к прибытию туристического автобуса, так как у нее есть план действий на любой из восьми возможных случаев.

Пока все просто и понятно. Представим себе, однако, что руководитель туристического бюро приезжает к директору «отеля Гильберта» и оповещает ее о скором прибытии автобуса с бесконечным множеством пассажиров. Каждый из них может изъявить желание остаться в отеле или, наоборот, решит, что поедет на том же автобусе искать ночлег в другом месте. Директор отеля — а мы помним, что она очень добросовестна, — уходит в свой кабинет, чтобы выписать все возможные варианты в свой блокнот с бесконечным множеством страниц. После долгого отсутствия она возвращается к руководителю туристического агентства и говорит ему, что эта задача ей не по силам, как будет она не по силам любому нормальному человеку. «В этом нет ничего трудного», — говорит директору руководитель агентства и берет у нее из рук блокнот с бесконечным числом страниц. Он старательно исписывает все страницы блокнота, поднимает голову и лучезарно улыбается директору: «Думаю, что мне удалось выписать все возможные комбинации остающихся и уезжающих туристов». — «Этого не может быть», — отвечает директор, решительно тряхнув головой. «Почему нет?» — спрашивает руководитель агентства, озадаченно вертя в руках бесконечное множество покрытых каракулями страниц.

Теперь уже директор берет со стола лист бумаги и спрашивает собеседника: «Что делает ваш первый турист на первой странице?»

«Он остается ночевать в отеле», — слышит она в ответ. Однако сама она пишет на первой странице, что первый турист изъявляет желание ехать в другой отель, и спрашивает: «Что делает второй турист со второй страницы?»

«Он едет дальше», — отвечает руководитель агентства. Тогда директор пишет на второй странице, что второй турист остается в ее отеле, и задает следующий вопрос: «Что делает ваш третий турист с третьей страницы?»

Эта игра в вопросы и ответы продолжается до бесконечности. Каждый раз она спрашивает, как ведет себя турист под номером х со страницы под номером х — причем х символизирует какое-то число из бесконечной последовательности 1, 2, 3, …, а затем записывает на своей странице, что данный турист поведет себя по-другому, то есть абсолютно противоположным образом, нежели соответствующий турист из списка руководителя агентства.

В конце концов директор говорит: «Листка, заполненного так, как у меня, в вашем блокноте определенно нет. Не совпадают наши записи на первой странице, потому что первый турист у меня ведет себя не так, как первый турист у вас. Не могут совпасть записи и на вторых страницах, потому что второй турист у меня ведет себя не так, как второй турист у вас. Какую бы страницу, под каким бы номером мы ни взяли, записи в них не совпадут, потому что на страницах моего блокнота туристы ведут себя не так, как туристы соответствующих страниц вашего блокнота».

Несколько минут она молча смотрит на собеседника. После короткого замешательства к руководителю агентства возвращается дар речи: «Ну хорошо, тогда я возьму ваши страницы и включу их в свой каталог, и тогда мы получим все возможные варианты».

«Вы что, не понимаете, что это абсолютно бессмысленно? — начиная выказывать легкое нетерпение, говорит директор отеля. — Если вы включите мои страницы в свой список и снова придете с ним ко мне, то я начну такую же игру в вопросы и ответы и смогу еще раз создать страницы, которых, со всей определенностью, нет в вашем списке. Не может существовать никакого списка всех мыслимых комбинаций отдельных решений каждого из бесконечного множества туристов».

Этот парадокс восходит к немецкому математику Георгу Кантору, открывшему его в 1873 г. В этом парадоксе он обнаружил поистине удивительное свойство бесконечного: иногда бесконечное множество может быть «счетным». Под этим термином имеют в виду, что такое множество можно упорядочить как последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, …. Например, это бесконечное множество комнат в отеле Гильберта, каждая из которых даже помечена соответствующим номером на двери. Или это бесконечное множество туристов в огромных автобусах. Или это бесконечное множество автобусов на исполинской парковке «отеля Гильберта». Каждый элемент бесконечного счетного множества будет когда-нибудь обязательно назван в процессе перечисления. Рассказанная выше история показывает, однако, что бесконечное множество может оказаться и «несчетным». То есть невозможно так упорядочить несчетное множество, чтобы каждый его элемент соответствовал бы какому-то натуральному числу и был бы когда-нибудь назван при перечислении. Выходящее за все мыслимые пределы число возможностей для бесконечного множества туристов в каждом отдельном случае решить, остаться ли в «отеле Гильберта» или проследовать дальше, как раз и представляет собой пример такого хаотичного, несчетного бесконечного множества.

Разницу между счетным и несчетным множеством лучше всего пояснить двумя примерами. Счетное множество соответствует очереди на автобусной остановке в Лондоне. Англичане славятся своим умением дисциплинированно выстраиваться в очереди — в затылок друг другу. Надо теперь лишь вообразить, что на остановке — если угодно, можно назвать ее «остановкой Гильберта» — выстроилось бесконечное множество людей. Но и в этом случае среди них есть первый, второй, третий и так далее. Каждому из этих людей соответствует некоторое число — его личный номер. Каждый человек знает, что, когда в автобус войдут люди с меньшими номерами, настанет его очередь.

Несчетному же множеству соответствует давка в гардеробе Венского музыкального общества после окончания концерта филармонического оркестра: все любители музыки — а в «гардеробе Гильберта» их бесконечное множество — без всякого порядка лезут к гардеробщицам, чтобы получить пальто. В вестибюле царит немыслимый кавардак. Бедная гардеробщица абсолютно беспомощна. В этой толчее ей ни за что не удастся установить хоть какой-то порядок в выдаче верхней одежды. Всегда найдутся любители музыки, чувствующие себя оттесненными и потерявшие всякую надежду получить пальто.

Программа Гильберта

Какими бы странными и причудливыми ни казались нам сценарии «отеля Гильберта», «остановки Гильберта» и «гардероба Гильберта», они были очень важны для самого Гильберта, стремившегося внести ясность в эти сценарии, ибо в них отражен его метод вычислений, связанных с числами с бесконечным десятичным представлением. Вспомним, что величиной

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…

надо овладеть во всей ее полноте и цельности. Самым демоническим в этом представлении числа π являются три точки … после первых 35 цифр после запятой. Как нам понимать эти точки? Самый правдоподобный ответ заключается в том, что π имеет не 35 знаков после запятой; этих знаков после запятой в данном числе бесконечное множество. Выше приведены 35 первых знаков. Все остальные — а их бесконечно много! — представлены коротким символом многоточия ….

«Но тогда позволительно задать вопрос, — скажет скептик в ответ на вышеприведенные рассуждения, — встречается ли, например, цифра ноль, которая в последовательности первых тридцати пяти цифр после запятой встречается всего один раз, бесчисленное множество раз в бесконечной записи числа π».

«Совершенно верно, — ответил бы на это Гильберт, — и в тех десятичных представлениях числа π, которые были до сих пор вычислены, цифра ноль встречается с той же частотой, что и все остальные цифры: в последовательности из 100 знаков после запятой цифра ноль встречается десять раз, в последовательности из тысячи знаков — сто раз, в последовательности из десяти тысяч знаков — тысячу раз и так далее».

«Пока число π вычислено до конечного числа знаков после запятой, — вставляет свое слово скептик. — Для остальных знаков — а их бесчисленное множество, то есть намного больше, чем вычисленных, — вы этого не знаете».

«Признаю, что вы правы. Для всего бесконечного множества знаков после запятой у меня в настоящий момент нет ответа. Но я тем не менее убежден, что либо верным является утверждение о том, что в десятичном представлении числа π цифра ноль встречается бесконечное число раз, либо верно утверждение о том, что число ноль встречается в этом представлении конечное число раз».

«И какое же из этих двух утверждений верно?»

«Определенно, что одно из них. — Настойчивость скептика начинает действовать Гильберту на нервы. — Но поверьте мне: передо мной стоит намного более важная задача, нежели углубляться в нерешаемую в принципе задачу о количестве цифры ноль в десятичном представлении числа π».

«То есть для вас речь идет о том, возможно ли в принципе ответить на этот вопрос?»

«Совершенно верно. Любой допустимый вопрос — а ваш вопрос, несмотря на то что он совершенно неинтересен, является допустимым — должен иметь ответ, ибо в математике нет места понятию “ignorabimus”».

«Но откуда вы черпаете свою убежденность? Как вы можете ее обосновать?»

Этот диалог скептика с Гильбертом вымышлен. Однако последний заданный скептиком вопрос побудил Гильберта наметить программу, оформленную в виде доклада, озаглавленного «О бесконечном», с которым он 4 июня 1925 г. выступил на съезде математиков в Мюнстере. Цель программы заключалась в том, чтобы «заменить работу с бесконечными величинами конечными процессами, позволяющими достичь тех же результатов, то есть пользоваться таким же ходом доказательств и такими же методами вывода формул и теорем». Что это значит?

Гильберт видит три способа поставить вопрос о том, сколько нулей содержится в десятичном представлении числа

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88….

Возможно наивное предложение, которое вполне мог бы сделать администратор из «отеля Гильберта»: представить себе прохождение всей бесконечной последовательности знаков числа π после запятой и при этом считать все появляющиеся по ходу просмотра цифры ноль. Таким способом можно сразу получить ответ.

Это, однако, чистое безумие и вздор. Никто не может просмотреть бесконечную последовательность цифр, как, скажем, полицейский просматривает картотеку преступников в папке-регистраторе. Он может это сделать, потому что, хвала Всевышнему, в мире существует лишь конечное число преступников, но вот последовательность знаков числа π после запятой не кончается никогда. Уже Гаусс в письме, отправленном 12 июля 1837 г. своему другу Генриху Христиану Шумахеру, протестует «против использования бесконечных величин как чего-то законченного и полного, ибо в математике это недопустимо». Гильберт примыкает к этому протесту Гаусса, когда пишет, что математическая литература «переполнена несуразностями и бессмыслицами, которые по большей части обязаны своим возникновением бесконечному».

Второе предложение осторожно-сдержанное. Разумеется, что вопрос о том, встречается ли ноль в десятичном представлении числа π бесконечное или конечное число раз, имеет право на существование. Мыслимо, однако, что мы никогда не получим ответа на этот вопрос, но печалиться по этому поводу едва ли стоит, потому что хотя вопрос и допустим, но он далек от насущных проблем и малоинтересен.

Гильберт не желает примиряться с этой отговоркой. Для него принципиально не существует никакого «ignorabimus». Его не существует и для несущественных вопросов[29]. Встречается ли в десятичном представлении числа π ноль конечное или бесконечное число раз, должно быть тем не менее — в этом Гильберт твердо убежден — установлено принципиально: «Он, однако, ведет себя так, или он ведет себя не так (притом что я, возможно, не в состоянии это решить)!»[30]

И наконец, лучший, третий путь, который Гильберт и формулирует в своей программе. Здесь он снова упоминает письмо Гаусса Шумахеру, где написано: «Бесконечное — это всего лишь façon de parler», то есть оборот речи. Точно так же, как Гильберт незадолго до 1900 г. истолковал геометрию как игру такими пустыми выражениями, как «точка», «прямая», «плоскость», — сведя при этом правила игры в двадцать аксиом — и смог представить геометрию в виде полной и непротиворечивой теории, он поступил и с числами с бесконечным десятичным представлением, к которым тоже можно приложить этот принцип.

Вычислительные операции с числами с бесконечным десятичным представлением в глазах Гильберта тоже выглядят как игра в шахматы на доске с бесконечным числом клеток и фигур. Так же как в шахматах существуют фигуры, которые передвигаются по определенным заданным правилам, в математике существуют числа, которыми оперируют по определенным правилам. Так же как в шахматах всегда можно наверняка сказать, поставлен ли королю соперника мат или нет, ожидается, что и в математике можно всегда с уверенностью, руководствуясь определенными принципами, определить, верна какая-либо формула или нет.

В этой шахматной игре математики слово «бесконечный» является не чем иным, как фигурой. И так же, как шахматный король не владеет королевством, не правит народом и не творит историю, а является всего лишь точеным куском дерева в руке игрока, бесконечное, согласно правилам игры Гильберта, является лишь пустым понятием, которому не соответствует ни нечто действительно великое, ни просто большое. «Бесконечное» — это всего лишь слово, с которым обходятся в соответствии с предписанными правилами. Следует, таким образом, показать, чего позволяет достичь отточенная строгой системой правил математическая «шахматная игра», в которой «бесконечное» — это такая же фигура, как, например, король в обычных шахматах, — и нужно просто следовать законам конечной арифметики, то есть вычислительным операциям с хорошо известными конечными числами. С одной стороны, все встречающиеся в этой математике формулы могут быть либо истинными, либо ложными, а с другой стороны, могут оказаться парадоксальными, но не противоречивыми, то есть не ведущими в логический тупик.

Сотрудники Гильберта, и среди них Пауль Бернайс, Вильгельм Аккерман, Жак Эрбран и Джон фон Нейман, сразу и со всей серьезностью отнеслись к программе своего наставника. В связи с этим стоит сказать пару слов о каждом из этих людей.

Пауль Бернайс родился в Лондоне и впоследствии стал жителем Цюриха. В молодости он учился в Париже, Берлине, а затем в Гёттингене. В Гёттингене (с небольшим перерывом на поездки в Цюрих) Бернайс преподавал до 1933 г. Изгнанный из Германии как еврей, он уехал в Швейцарию, где до конца жизни проработал в Высшей технической школе Цюриха. Вместе с Джоном фон Нейманом он разработал изящную систему правил, состоящую из аксиом, рассматривающих как числа, так и «бесконечное» как «фигуры» математической «игры». Надо было всего лишь доказать, что эта система аксиом полна и непротиворечива.

Вильгельм Аккерман был одним из самых верных учеников Гильберта, которому, несмотря на все его усилия работать с программой своего учителя, путь в университет так и остался закрытым. Он выбрал для себя профессию преподавателя гимназии и почти до самой смерти безупречно исполнял эту обязанность. Ходили упорные слухи о том, что Гильберт не пустил Аккермана в университет из-за женитьбы. «О, это же просто великолепно! — будто бы воскликнул Гильберт[31], когда узнал о свадьбе Аккермана. — Для меня это хорошая новость. Ибо если этот человек настолько безумен, что женился и даже завел ребенка, то теперь я свободен от всяких обязательств перед ним».

Жак Эрбран в 1925 г. блестяще окончил Высшую нормальную школу в Париже, а затем учился в Гёттингене у Джона фон Неймана и Эмми Нётер. Он был знаком с программой Гильберта, внес в ее разработку многообещающий вклад, но, к несчастью, погиб во время восхождения в Альпах в возрасте двадцати трех лет.

Джон фон Нейман появился на свет в 1903 г. в тогда еще императорско-королевском Будапеште. Звали его тогда Нейман Янош, и он был отпрыском преуспевающего банкирского семейства. С детства он поражал всех своими разносторонними дарованиями: говорил на дюжине языков, на некоторых из них быстрее носителей. В Будапеште и Цюрихе он проявил блестящие дарования в химии и математике; для квантовой физики он создал логически законченную систему аксиом, как в свое время Гильберт для геометрии; человечество обязано Джону фон Нейману изобретением «архитектуры», лежащей в основании вычислительной техники; совместно с Оскаром Моргенштерном разработал математическую теорию игр, а на склоне лет консультировал стратегов из внешнеполитического и военного ведомств Америки. С его пылким характером, невероятными познаниями, потрясающим мышлением и безусловной порядочностью, Джон фон Нейман считался и был на самом деле мастером на все руки в науке. Кому, как не ему, можно было доверить скорейшее воплощение в жизнь программы Гильберта.

Действительно, уже в первые годы выполнения программы Гильберта были получены обнадеживающие частные результаты. Казалось, Гильбертово воинство почти достигло его цели — опровергнуть «ignorabimus» Дюбуа-Реймона от математики.

Сам Гильберт, однако, уже не имел в виду изобретателя лозунга «ignorabimus», когда в 1925 г. провозглашал свою программу, ибо к тому времени Дюбуа-Реймона уже тридцать лет как не было в живых. К этому шагу Гильберта побудил вполне живой и очень активный противник: Герман Вейль, критик, поставивший под сомнение возможность вычислений с числами с бесконечным десятичным представлением, вычислений, возможность которых провозгласил Гильберт в своей программе. Было горько сознавать, что противником оказался лучший его ученик.

Всемогущество вместо всеведения

Математик от интуиции

Человеком, равным по гениальности Гильберту, но совершенно иным по сути, был великий французский математик начала ХХ в. Анри Пуанкаре, старший двоюродный брат будущего президента Франции Раймона Пуанкаре. В начале ХХ в. венгерский психолог Лайош Секели исследовал вопрос о том, как именно гении овладевают своими познаниями. Когда Секели спросил Пуанкаре, при каких обстоятельствах он сделал одно из своих величайших открытий, он получил поразительный ответ: «Когда входил в трамвай».

В другом месте Пуанкаре высказался более обстоятельно: «Пятнадцать дней я безуспешно бился в попытках доказать, что не могут существовать функции, которые я позднее назвал фуксовыми функциями. В ту пору я был очень невежественным; каждый день я садился за письменный стол и проводил за ним около двух часов, перебирая множество разнообразных комбинаций, но безрезультатно. Однажды вечером я вопреки обыкновению выпил чашку черного кофе, и очень долго не мог заснуть. Идеи начали роиться в моей голове и суматошно сталкивались друг с другом до тех пор, пока я не упорядочил их попарно, создав, так сказать, стабильные комбинации. К утру у меня в голове оформилась идея о существовании целого класса фуксовых функций, и мне оставалось лишь записать ее. На запись у меня ушло всего пара часов».

Это воспоминание чем-то сродни рассказу химика Августа Кекуле, который следующим образом описывает, как он во время поездки в омнибусе пришел к мысли о природе химических связей между атомами. «Я погрузился в грезы. Перед моим взором, словно бабочки, порхали атомы. Я всегда видел их как маленьких существ в непрестанном движении, но мне никогда не удавалось уловить узор их движения. В тот день мне, однако, удалось увидеть, как множество раз два мелких атома соединялись в парочки; как более крупные атомы охватывали эти мелкие двойки; еще более крупные ухватывали по три мелких атома, а самые крупные — по четыре, и как все это кружится в вибрирующем хороводе. Я видел, как крупные атомы соединяются в цепи, а мелкие лишь тянутся за ними, прицепившись к концам цепей… “Клэпхем-роуд!” — крикнул кондуктор, и я пробудился от своих грез».

В противоположность Гильберту Пуанкаре мало интересовался воспитанием как можно большего числа учеников, с которыми он мог бы делить свои прозрения. Пуанкаре вел куда более замкнутый образ жизни. В базе данных «Математическая генеалогия», в которой собраны сведения обо всех математиках, написавших докторские диссертации, мы читаем, что у Давида Гильберта было семьдесят пять диссертантов, а у Анри Пуанкаре — только пять.

Также, в противоположность Гильберту, Пуанкаре не был убежден в том, что математику следует понимать как формально-логическую игру с аксиомами. В математическом мышлении Пуанкаре отдавал преимущество не логике, а интуиции, прозрению, незамутненному взгляду в сущность проблем.

Самодостаточная непоколебимая достоверность, отражающая математическую суть вещей, была самым главным в глазах Пуанкаре. Логика служила лишь для того, чтобы доказать другим, что его озарение было верным и несомненным.

Мы хорошо знакомы с числами и счетом, производимым с их помощью. Для нас нет ничего более очевидного, чем тот факт, что шестью семь равно сорока двум. Мы также на сто процентов уверены в том, что существует бесконечное множество чисел 1, 2, 3, 4, 5,…. Во всяком случае, в том смысле, что в этом ряду не существует последнего числа. К каждому числу, сколь велико бы оно ни было, мы можем, по крайней мере мысленно, добавить еще единицу и получить число еще большее. Большего из бесконечного мы извлечь не можем — даже с помощью формально-логических аксиом.

Воспользуемся десятичным числом

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 …

для того, чтобы показать разницу между понятиями Гильберта, с одной стороны, и понятиями Пуанкаре — с другой. Что означают три точки после невероятно длинной последовательности цифр? Ответ Гильберта был бы таким: «Это десятичное представление числа π. После целочисленной части 3 следует бесконечное множество десятичных разрядов. Я выписал первые тридцать пять цифр, а за ними следует бесконечная последовательность остальных цифр. Естественно, мне не удастся их записать. Но мои аксиомы позволяют мне помыслить, что они даны и существуют. Я мыслю это следующим образом: с помощью моих аксиом можно принципиально решить о каждом утверждении относительно десятичных разрядов числа π, является оно верным или нет».

Пуанкаре был бы куда более осторожным:

«Это десятичное представление числа π. За целочисленной частью 3 следуют 35 десятичных разрядов. Но ими десятичная запись этого числа не исчерпывается. Существуют способы вычисления 350, 3500 и вообще сколь угодно большого числа знаков числа π после запятой. Сколь угодно большое, но всегда конечное! Представление о том, что якобы существуют аксиомы, с помощью которых можно было бы разделить все утверждения относительно десятичных разрядов числа π на истинные и ложные, диаметрально противоречит самой сущности бесконечного».

Гильберт умер в 1943 г., а Пуанкаре скончался в возрасте 58 лет незадолго до начала Первой мировой войны. Это в значительной мере привело к тому, что в Париже в 1920-х гг. математика не пережила того расцвета, какой она пережила в Гёттингене. Кроме того, война скосила множество молодых математических талантов, а немногие молодые французские интеллектуалы, решившие посвятить себя математике, чувствовали себя брошенными на произвол судьбы. Старые университетские профессора были лишены порыва и страсти Пуанкаре; они преподавали математику по солидным, но давно устаревшим учебникам середины XIX в.[32]

Наука, построенная на песке

Итак, именно поэтому не в Париже, а в Цюрихе и Амстердаме нашлись два математика мирового уровня, которые развили наследие Анри Пуанкаре. В Амстердаме это был Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр, который уже в написанной в 1907 г. докторской диссертации «Об основах математики»{16} и в вышедшей в следующем году работе «Ненадежность логических принципов»{17} в весьма самоуверенном тоне подверг сомнению пользу математики, опирающейся исключительно на формальные аксиомы. В Цюрихе это был Герман Вейль, опубликовавший в 1908 г. книгу, где уже в предисловии можно было прочесть следующее: «В этой работе речь идет не о “непоколебимой скале”, на которой зиждется здание математического анализа, не о формализме, обставленном деревянными бутафорскими декорациями и призванном убедить читателей, а прежде всего самих себя в том, что это и есть фундамент. В этой работе я отстаиваю скорее мнение о том, что это здание, в существенной своей части, построено на песке».

«Анализ», исчисление чисел с бесконечным десятичным представлением, которому слепо доверяли Ньютон, Лейбниц и бесчисленное воинство математиков, естествоиспытателей и инженеров, выглядит, считал Вейль, как носящийся по морю без руля и ветрил корабль, который, как следует опасаться, может в любую минуту дать течь. Однако тринадцать лет спустя все стало еще серьезнее.

В начале 1920-х гг., когда только что закончилась Первая мировая война, оставившая в городах и человеческих душах страшные разрушения, когда на повестке дня стояли восстания, мятежи, экономические кризисы и гиперинфляция, Герман Вейль в пощаженной войной Швейцарии написал превосходную статью в блистательном стиле, озаглавленную «О новом кризисе основ математики»{18}. В статье он решительно порвал со своим учителем и встал на сторону Пуанкаре.

В математике, полагал Вейль, господствовала «внутренняя неустойчивость основ». Читая статью, читатель во многих местах с удивлением убеждался в том, что Вейль, хотя и писал об основах математики, заимствовал формулировки из сфер экономики и политики тогдашней, сотрясаемой кризисами, эпохи. Когда Вейль, например, говорит о «половине или трех четвертях правды в попытках самообмана, с которыми так часто приходится сталкиваться в политическом и экономическом мышлении», то он явно целится в сторонников неограниченных вычислительных действий с бесконечными величинами. Или, когда он, упоминая их возвышенные формальные теории, утверждает, что «в их свете математика предстает в виде бумажной экономики», несомненно, имея в виду обесцененные бумажные деньги, которыми в то время люди в буквальном смысле топили печи, чтобы согреться. Также когда он один видит в предложениях своего голландского коллеги Брауэра путь к выходу из кризиса основ, о чем весьма патетически пишет (в научной статье и в серьезном математическом журнале): «Брауэр — это революция!»

Антитезой традиции, считал Вейль, стала математика Брауэра. В этой новой математике невозможно обходиться с числами с бесконечным десятичным представлением как с простыми «конечными» числами — даже в том случае, если их рассматривают как «фигуры» в аксиоматических математических «шахматах». Бесконечное — это скорее предельное понятие, которое постоянно ускользает от хватки мышления. Поэтому, как считали Вейль и Брауэр, многие математические теоремы, основанные на наивном взгляде на бесконечное, должны быть отброшены. Точно так же беспочвенными и бессмысленными спекуляциями являются истории о «гостинице Гильберта», за исключением последней из них, где вводятся такие аспекты бесконечного, как «счетные» и «несчетные» множества. Это прозрение Кантора было высоко оценено Брауэром и Вейлем, хотя они понимали его совершенно не так, как сам Георг Кантор.

Уже в 1908 г. Вейль писал, говоря о построенной на песке математике: «Я полагаю возможной замену шатких подпорок надежным фундаментом; однако на этом фундаменте будет зиждиться не все, что сегодня считают неоспоримым и достоверным; от всего остального я отрекаюсь, ибо не вижу никакой другой возможности».

Гильберт пришел в неописуемую ярость[33]. В статье по поводу «Нового обоснования математики» он вначале проявлял некоторую сдержанность: «Уважаемые и заслуженные математики, Вейль и Брауэр, ищут решения проблемы (имеется в виду обоснование математики в целом. – Авт.) на ложном, по моему мнению, пути». Однако уже через две страницы читатель чувствует прорывающийся наружу гнев: Вейль и Брауэр, писал Гильберт, «пытаются обосновать математику таким образом, чтобы выбросить за борт все, что представляется им неудобным, и установить в математической науке диктатуру запретов». После этого следуют гневные слова: «Мы разнесем вдребезги и изувечим нашу науку и столкнемся с опасностью утраты всех наших драгоценных сокровищ, если последуем за подобными реформаторами». В адрес же своего любимого ученика Вейля он отчеканил: «Нет, Брауэр — это не революция, как полагает Вейль, это всего лишь попытка осуществить путч старыми и негодными средствами».

Нет, Гильберт имел в виду не давно умершего Дюбуа-Реймона, а обоих «путчистов», Брауэра и Вейля, когда объявил о создании своей программы. Брауэр остался равнодушным к программе Гильберта. Даже когда полной и непротиворечивой системой математических аксиом Гильберта был создан надежный фундамент, учитывавший реальность бесконечного, к которой интуитивно приблизился Брауэр, для него осталась ничего не значащей игра слепыми понятиями. Напротив, Герман Вейль, движимый, возможно, уважением к своему учителю, сомневался и занял выжидательную позицию. Он сознавал, что в приложениях математики к естественно-научным и инженерным дисциплинам принципиальное различие между обычными числами и числами с бесконечным десятичным представлением не играет никакой роли, и представители этих дисциплин не понимают даже сути развернувшейся в математике борьбы[34]. Несомненно, Вейль разглядел интеллектуальный вызов в представленной Давидом Гильбертом программе, неслыханную и увлекательную задачу. Успех этой программы, вероятно, заставил бы его усомниться в правильности своей позиции в отношении взглядов Пуанкаре и Брауэра.

Однако история пошла другим путем.

Величайший логик ХХ столетия

После Гёттингена, Парижа, Амстердама и Цюриха мы переместимся на новую сцену. Остановимся в Вене, мучительно расстававшейся после Первой мировой войны с блеском имперской столицы. В ее университете, в котором самые блестящие математики и воодушевленные «Логико-философским трактатом» Людвига Витгенштейна мыслители объединились в Венский кружок, в конце 1920-х учился отпрыск богатого брюннского семейства Курт Гёдель.

Вначале Гёдель хотел посвятить себя физике. В детстве, однако, он переболел ревматизмом, и с тех пор стал панически бояться болезни и неминуемой смерти, тем более когда познакомился с Филиппом Фуртвенглером, своим преподавателем математики, прикованным к инвалидному креслу. Короче, Гёдель решил стать математиком. Вероятно, с задней мыслью о том, что математика — это специальность, которая гарантирует больному — а Фуртвенглер, в отличие от Гёделя, был нездоров — долгую жизнь. Всему, что делал в жизни Курт Гёдель, он давал логическое обоснование, что, конечно, может показаться несколько странным.

Для Гёделя вершиной каждой недели была встреча Венского кружка, который по четвергам собирался в маленькой аудитории на первом этаже большого институтского корпуса на Штрудльгофгассе. Математик Ханс Хан пригласил в кружок одаренного студента, ввел в общество доцентов и профессоров, душой которого был философ Мориц Шлик. Несмотря на то что Людвиг Витгенштейн никогда не принадлежал к Венскому кружку и даже находился к нему в умеренной оппозиции, его тезисы в начале деятельности кружка составляли главный стержень дискуссий. Потом главной темой стало логическое обоснование точных наук. В глазах членов кружка программа, предложенная Гильбертом, была путеводной нитью для всех остальных дисциплин. Все члены кружка были убеждены в том, что программа очень скоро будет выполнена в математике, и после этого ее соответствующие варианты надо будет в течение следующих десяти лет перенести в физику, биологию, а также психологию, социологию и конечно же в теорию познания.

Гёдель принимал участие во многих заседаниях кружка, но никогда не высказывался. Не зафиксировано ни одного его выступления, ибо, несмотря на поразительную способность к логическому анализу, он не верил в «преодоление метафизики посредством логического анализа языка», как сформулировал задачу кружка один из самых выдающихся его представителей Рудольф Карнап. Однако в своей докторской диссертации Гёдель не стал стесняться, и ее содержание уничтожило цель, которой Гильберт пытался достичь своей программой.

С помощью разработанного им самим гениального метода[35], основанного исключительно на арифметических операциях с числами и обладавшего такой же достоверностью, как тот факт, что шестью семь равно сорока двум, Гёдель смог доказать следующую теорему: в любой логически непротиворечивой системе, содержащей арифметику чисел, существуют утверждения, относительно которых принципиально невозможно решить, являются они истинными или ложными.

При этом важно, чтобы доказательство или опровержение всех утверждений системы могли проводиться только теми средствами, какими располагает эта система.

Коротко говоря, Гёдель указал на то, что в формальной математике Гильберта всегда прячется «ignoramus et ignorabimus».

Но и это был не самый сокрушительный удар. Гёдель, помимо того, смог доказать следующее: только «извне», то есть с позиции, находящейся вне формальной системы, можно доказать, что эта система непротиворечива, ибо утверждение «формальная система является логически непротиворечивой» — это такое утверждение, относительно которого — находясь внутри системы — принципиально невозможно сказать, истинное оно или ложное.

Метафорически эти идеи Гёделя представил учившийся у Гильберта французский математик Андре Вейль, брат философа и мистика Симоны Вейль: «Бог существует, потому что математика непротиворечива, а дьявол существует, потому что мы не в состоянии этого доказать».

Мало того, сенсационно выглядело и то, как прозрение Гёделя стало достоянием математического сообщества: с 5 по 7 сентября 1930 г. в Кёнигсберге, городе, где родились Кант и Гильберт, состоялся шестой съезд немецких физиков и математиков, в котором приняли участие и выступили Рудольф Карнап как представитель Венского кружка, Аренд Гейтинг, ученик Брауэра, и Джон фон Нейман как представитель программы Давида Гильберта. Было предпринято много усилий для того, чтобы привлечь к участию в съезде представителей молодого поколения математиков. Этого хотели все, главным образом потому, что хотелось избежать ожидавшегося спора между приверженцами Брауэра и присутствовавшим на съезде Гильбертом. Молодые представители обеих школ, выступая, говорили обтекаемо и уклончиво. Принял участие в съезде и Гёдель, который изложил тезисы своей диссертации[36], чем снискал благосклонное одобрение участников. В конце заседания Гёдель попросил слова и объявил о своем последнем открытии, каковое будет опубликовано в его докторской диссертации: формальные системы, основанные на арифметических операциях с числами, необходимо являются неполными.

На тех, кто понимал, о чем идет речь, это заявление произвело эффект разорвавшейся бомбы. Сам Гильберт в этой дискуссии участия не принимал, потому что как раз в это время ехал в студию выступать с обращением, в котором он и сформулировал свое кредо: «Мы должны знать, и мы будем знать!» Однако Бернайс и фон Нейман прекрасно осознали важность заявления Гёделя: программа Гильберта в том виде, в каком она представлялась своему создателю, была безнадежно обречена. Лозунг «Мы должны знать, и мы будем знать!» оказался попросту несостоятельным. Несколько месяцев они не смели оповестить Гильберта о случившемся, боясь расстроить учителя и наставника.

До конца своих дней Гильберт отказывался признать важность теоремы Гёделя о неполноте.

Принстонские призраки

Сам Гёдель находил свое открытие чрезвычайно воодушевляющим. Он был твердо убежден в том, что математика, даже та, что позволяет выполнять расчеты с числами с бесконечным десятичным представлением, является непротиворечивой. С такой точки зрения программа Гильберта — это не более чем ненужное упражнение на усидчивость. Математика ничего не потеряет оттого, что признает это упражнение невыполнимым.

Выигрыш, наоборот, очень велик, ибо если существует высказывание, о котором можно утверждать, что внутри логической системы, в какой оно было сформулировано, оно не может быть ни доказано, ни опровергнуто, то это высказывание можно считать возможной новой аксиомой. Это означает, что можно словно декретом объявить это высказывание имеющим силу, а значит, обогащающим существовавшую систему ровно на это высказывание. Обогащенная на данное высказывание система остается непротиворечивой. Можно, однако, точно так же распорядиться, что верным является отрицание данного высказывания. Тогда мы получим из существовавшей системы новую расширенную, но другую систему, которая точно так же является непротиворечивой[37].

Таким образом, не возникает никаких затруднений относительно высказываний, о которых точно известно, что внутри логической системы, в которой они сформулированы, их невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Их существует множество — и в каждой обогащенной системе ровно столько, сколько было и раньше, то есть бесконечное множество.

По этой причине, полагал Гёдель, существует безмерное число самых разнообразных возможностей играть с математикой. Если не считать арифметического ядра, которое обладает законной силой во всех вариациях, то можно утверждать, что в одних математических играх законны высказывания, каковые являются ложными в других играх, и наоборот. Однако каждое из прочтений математики, если опираются исключительно на него, является непротиворечивым. При этом существует полная свобода выбора того или иного варианта. Об этом догадывался уже Кантор, сказавший однажды: «Сущность математики заключается в ее свободе».

Именно свобода порождает ощущение всемогущества.

Всемогущества, которое угнетало Гёделя, ибо он был убежден в том, что все, что не противоречиво, на самом деле существует, то есть буквально имеется в наличии. Не абстрактно, а конкретно, в осязаемой реальности. Он был убежден в том, что существует неизмеримое множество непротиворечивых в себе «миров»; что есть «мультивселенная», несоизмеримо более многообразная, чем та, которую описывает в высшей степени спекулятивная космология. Каждым таким миром управляет какая-то одна из бесконечного множества непротиворечивых математических систем. Поскольку Гёдель знал обо всех этих мирах, они уживались в его сознании. Каждый из этих миров существует, когда человек перемещается в него, но тотчас исчезает, когда человек его покидает. Это миры-призраки.

Гёдель, величайший логик ХХ столетия, всерьез верил в привидения.

Такой же причудливой была и его жизнь. Его вечно преследовал страх — он боялся, что его больное сердце может в любую минуту остановиться, еда может нанести ему непоправимый вред, а нервная система может просто отказать. Врачам, с их абсолютно нелогичными диагнозами, вообще нельзя доверять. Какая бы жара ни стояла, он всегда очень тепло одевался, потому что угроза простуды всегда, словно дамоклов меч, нависала над его головой. Ко всему этому присоединились психоз и депрессия. Первый нервный срыв случился у Гёделя после того, как в главном здании университета был убит любимый Гёделем профессор Мориц Шлик. Гёдель сделал вывод: нигде нельзя быть уверенным в незыблемости собственного бытия.

Но мы можем лишь удивляться той дальновидности, с какой Гёдель выбрал себе будущую жену. Родители его были в ужасе. Гёдель влюбился в Адель Поркерт, гардеробщицу из скандального ночного клуба. Мало того что она была на семь лет старше его, она еще была и разведена. Только после смерти отца Гёдель смог убедить потрясенную мать и жениться на Адель. Но как же он был прав в своем выборе: Адель много раз спасала своего «Куртси» от разных опасностей. Когда после аншлюса какие-то сопливые штурмовики начали оскорблять Гёделя как еврея, Адель с помощью зонта обратила их в паническое бегство. Ей и ее мужу стало ясно: оставаться в Вене было нельзя. Гёдель не был евреем, он был немцем, признанным годным к военной службе. Призыв в вермахт означал бы верную смерть для этого щуплого и нескладного маленького человека. Адель смогла уберечь своего Курта от этой напасти, когда было получено письмо с приглашением на работу в Институт перспективных исследований в Принстоне от уже работавшего там Джона фон Неймана. Из-за войны попасть в Америку через Атлантический океан было невозможно, и Адель уговорила мужа поехать через Советский Союз по Транссибирской магистрали до Дальнего Востока, оттуда в Японию, а из Японии через Тихий океан на пароходе в Калифорнию, откуда лежал неблизкий путь через всю Америку до Принстона. Когда супруги наконец прибыли на Восточное побережье Штатов, у Гёделя снова разыгралась ипохондрия. Ему все время казалось, что его хотят отравить. Жене приходилось готовить все блюда у него на глазах, а потом пробовать пищу, прежде чем дать ее Курту.

Адель Гёдель так и не смогла войти в интеллектуальный круг Принстона, и он стал для нее кошмаром. Только забота о муже придавала жизни Адель какой-то смысл. Муж, однако, отгородился почти от всех своих коллег. В своей комнатке, куда никто не имел права входить, Гёдель исследовал математические миры и отвечал на приходившие ему письма. При этом он никогда не отсылал ответы, а просто складывал их в стопку на письменном столе. Эти ответы существовали, они были реальны — и этого было достаточно.

Из всех ученых Принстона Гёдель смог близко сойтись только с Альбертом Эйнштейном; да, они подружились, и эта дружба продолжалась до смерти Эйнштейна в 1955 г. Доподлинно неизвестно, о чем они говорили во время своих совместных прогулок. Определенно Эйнштейна радовало то, что он нашел в Гёделе человека, который верил в существование окружающего мира, независимого от наблюдающего субъекта, такого мира, который мыслим во множестве вариаций и, может быть, поэтому воплощен во всех этих многообразиях. И в то же время у Эйнштейна, как предполагал физик Джон Арчибальд Уилер, появилась возможность удержать своего друга Гёделя от занятий квантовой теорией. В ней — и это до самой смерти страшно раздражало Эйнштейна — прятались противоречия, бывшие для Гёделя, как считал Эйнштейн, достаточным основанием держаться от нее подальше. Можно живо представить себе следующую сцену: до наивности заботливая Адель Гёдель завертывает своего чудаковатого мужа в несколько слоев одежды и ведет к двери со словами: «Куртси, сейчас ты пойдешь прямо, никуда не сворачивая, до перекрестка. Альберт уже ждет тебя там».

Понимание того, что, основываясь на общей теории относительности, нельзя исключить путешествия во времени не только в прошлое, но и в будущее, стало плодом долгих бесед Эйнштейна и Гёделя. Для такого странного логика это был еще один довод в пользу того, что Аристотель и Лейбниц до сих пор так же реально «существуют», как «существует» в далекой Европе прекрасная Вена. Аристотель и Лейбниц «здесь». Они здесь в виде призраков.

После смерти Эйнштейна Гёдель стал вести себя еще более странно. Оскар Моргенштерн, которому было позволено время от времени навещать Гёделя, рассказывал, что однажды он обыскал весь дом, но не смог найти хозяина. Только спустившись в подвал, он нашел там завернутого в несколько пальто дрожавшего Гёделя, который грелся у отопительного котла. Он был уверен, что по дому носятся тени мертвецов.

Можно рассказать много еще более странных историй про Гёделя, который умер от истощения 14 января 1978 г., так как из страха быть отравленным отказывался принимать любую пищу. Даниэль Кельман, который до этого превосходно изобразил Карла Фридриха Гаусса в романе «Измеряя мир», нарисовал Гёделя и его миры в великолепной драме «Принстонские призраки». Она до глубины души тронет тех, кто хочет больше узнать о Гёделе.

Нет, однако, ничего удивительного в том, что другие математики Института перспективных исследований долгое время воздерживались от присвоения Гёделю профессорского звания. Дело было не в том, что они не ценили его труды, — наоборот, ценили, и больше других переехавший в 1933 г. из Гёттингена в Принстон Герман Вейль. Их просто смущали чудачества Гёделя. «Достаточно того, — говорил эмигрировавший из Германии в знак протеста против национал-социализма специалист по теории чисел Карл Людвиг Зигель, — что в Принстоне уже есть один чудак, профессор математики. Двоих институт не выдержит». Под «одним чудаком» Зигель подразумевал самого себя.

Обнаружение бесконечности

Позволительно предположить, что бредовые идеи Гёделя были обусловлены блужданиями в мирах, в существование которых он верил, потому что был убежден в их непротиворечивости. Но на самом деле таких миров не существует. Нет ни одного мира, в котором имеет место бесконечное, как логически мыслимое понятие, пусть даже обманчиво ограниченное аксиомами.

Всемогущество формальной и обставленной произвольными аксиомами математики — это всего лишь безграничная власть над фантасмагориями.

Столкнувшись с альтернативой — заниматься математикой в духе Пуанкаре и уживаться с действительностью, в которой всегда остаются открытыми многие вопросы, как значительные, так и не очень, или заниматься ею как основанной на пустых аксиомах игрой, создающей иллюзию всемогущества, подавляющее большинство представителей математической гильдии выбрало второй путь, путь мятежа против действительности. Ибо, как сформулировал это кредо Гильберт, «никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Естественно, не сможет, если учесть, что этот рай — замок привидений, по которому носятся призраки.

В следующем смысле, это в высшей степени своеобразный и единственный в своем роде выбор: представьте себе, что нам удалось установить радиоконтакт с внеземными разумными существами, живущими в глубинах космоса на далеких планетных системах. Очевидно, что общение между «нами» и «ими» может осуществляться лишь по математическим законам, ибо они, и только они, одинаковы во всей Вселенной. По поводу этого допущения существует пари[38]. Если инопланетяне добились в познании математики таких же успехов, как мы, то несомненно, что их взгляд на бесконечное соответствует интуитивным представлениям Пуанкаре, а не логическим абстракциям Гильберта.

При верном взгляде на бесконечное мы приходим к следующему: тот, кто мыслит математику в духе Пуанкаре, тот, кто отдает интуиции, прозрению, незамутненному взгляду на сущность вещей предпочтение перед логикой, должен исходить из того, что нигде в мире не существует бесконечного. Ни в гостиницах, ни в автобусах, ни на остановках, ни в гардеробе.

Нет бесконечного и на просторах космоса, ибо нас окружает конечный горизонт событий, и в то, что находится за ним, невозможно проникнуть с помощью любых сигналов. То, что находится по ту сторону горизонта событий, скрыто от нас навсегда, и бессмысленно резонерствовать по поводу существования какого-то мира за пределами этого горизонта. Нет бесконечного и в мельчайших величинах, ибо квантовая физика не признает идею о членении линии на бесконечное число точек. Собственно, и компьютер не знает ничего бесконечного, и даже интернет. Любая компьютерная процедура предусматривает конечное число шагов, после чего программа обрывается. Даже в том случае, если программа замыкается в петлю, когда-нибудь отключится ток, и программа все равно перестанет работать. Прибор обладает лишь ограниченным набором полей чисел. Экран ограничен конечным числом пикселей, то есть имеет конечное разрешение. Только в мышлении, только в воображении существует бесконечное. Причем существует не как нечто наличное, а как идея бесконечной, никогда не кончающейся возможности.

Иногда в сновидениях люди пытаются достать какой-либо маленький предмет, но рука всегда оказывается для этого слишком короткой. Мы напрягаемся, наклоняемся все ниже, но нам все равно не удается схватить вожделенный предмет; все глубже становится стремление, все более отчаянными усилия, все ближе и ближе предмет… И так продолжается до пробуждения. Специалисты утверждают, что длительность сновидений не превышает двух секунд, но для спящего человека они кажутся нескончаемыми.

На фреске Микеланджело «Сотворение мира» в Сикстинской капелле хорошо видно это неудовлетворенное стремление, это вечное желание дотянуться друг до друга, бесконечное томление, переданное расстоянием, разделяющим указательный палец правой руки всемогущего Творца и указательный палец левой руки Адама. Казалось бы, одно крошечное движение, и человек достигнет заветной цели, но… Но мысль Микеланджело заключается в том, что мы будем бесконечно долго ждать спасительного для человека движения по эту сторону бытия.

В моменты счастья люди страстно желают, чтобы оно никогда, никогда не заканчивалось. В такие моменты пробуждается надежда, что подаренная нам любовь продлится вечно. И, несмотря на то что отрезвление неизбежно, как «аминь» в молитве, это детское стремление к нескончаемому счастью не покидает нас. «Weh spricht: Vergeh! — немного плаксиво декламирует Ницше. — Doch alle Lust will Ewigkeit, will tiefe, tiefe Ewigkeit»{19}.

Это хорошо показано в некоторых рассказах Кафки, а особенно трогательно в «Императорском послании», которое повествует о том, как гонец распростертого на смертном одре императора спешит с посланием умирающего к «тебе единственному, ничтожнейшему из подданных, неверной тени, убегающей в дальнюю даль от сиятельных лучей его императорского солнца»{20}. Сначала гонец должен преодолеть дворцы, лестницы и дворы — бесчисленное множество следующих друг за другом дворцов, лестниц и дворов императорской резиденции. Но они суть отражение счетного бесконечного множества, ибо Кафка дает нам остро почувствовать, что, как ни пытается гонец преодолеть эти нескончаемые ряды, никогда не сможет он преодолеть их все. Но даже если б «вырвался он из последних ворот — однако никогда, никогда этому не бывать, — перед ним все еще была бы столица, середина мира, до поднебесья воздетая насыпь. И не пробиться туда никому, а тем паче какому-то гонцу мертвеца», — слышим мы рассказ Кафки и представляем себе огромный хаотичный город, подобный несчетной бесконечности.

«А ты все сидишь у окошка своего, предаваясь воображению, в то время как наступает вечер», — заканчивает Кафка свой рассказ об императорском послании. Означает ли это, что с бесконечным мы можем столкнуться хотя бы в сновидениях, чувствах и догадках?

Но как быть с нашими рассуждениями, с возможностями нашего разума? Здесь требуется математика. Числа 1, 2, 3, … — это ступеньки лестницы, ведущей в бесконечность, и одновременно строительные блоки мышления. Только с помощью нашего мышления карабкаемся мы вверх по этой лестнице. Но само бесконечное — это не число. Это тыл чисел, их основание, без которого немыслимы и сами числа. Поэтому лучший ответ на вопрос о том, что такое математика, дает Герман Вейль:

«Математика — это наука о бесконечном».

Примечания

1

«Если это не правда, то хорошо придумано» (ит .). Фраза Джордано Бруно из сочинения «О героическом энтузиазме» (De gli eroici furori). — Примеч. перев .

2

Мы называем свободные дни отдыха каникулами (от лат. caniculus – «песик, собачка»). — Примеч. перев.

3

Здесь и далее цифры в квадратных скобках отсылают к примечаниям автора в конце книги.

4

В различных христианских церквях используются различные методики расчета даты Пасхи. – Примеч. ред.

5

В отличие от России и США, в Австрии и Германии употребляется система наименования чисел не с короткой, а с длинной шкалой. – Примеч. ред.

6

«Девять» по-немецки – neun. Это слово похоже на слово neu — «новый» и, вероятно, родственно ему. – Примеч. перев.

7

Лк. 15: 4-6.

8

Мф. 18: 21, 22.

9

Быт. 5: 18-27.

10

«Erdenrest, zu tragen peinlich…» (нем.) «Фауст», часть 2, акт 5, сцена «Горные ущелья, лес, скалы, пустыня». В поэтическом переводе Б. Пастернака фраза звучит так: «Останки несть в руках / Для нас мученье…» – Примеч. ред.

11

Новески — торговая элита средневековой Сиены. – Примеч. ред.

12

Обыгрывается название детективного романа Джона ле Карре «Шпион, пришедший с холода» (англ. «The Spy Who Came in from the Cold», 1963). Восходит к английскому выражению come in from the cold — «прийти с холода», то есть оказаться в новом для себя обществе или положении. – Примеч. ред.

13

Goethe. Naturwissenschaftliche Schriften. Цит. по: Свасьян К. А. Гёте. М.: Мысль, 1989.

14

Аналог этой викторины в России — шоу «Своя игра». – Примеч. ред.

15

«Zahlbericht», 1897.

16

«Over de grondslagen der wiskunde» (нидерл.).

17

«De onbetrouwbaarheid der logische principes» (нидерл.).

18

«Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik» (нем.).

19

Боль говорит: «Прейди!» Но всякая радость жаждет вечности, Жаждет глубокой, глубокой вечности!

(«Так говорил Заратустра», пер. с нем. В. Рынкевича.)

20

Цитируется по переводу Ю. Архипова.

Комментарии

1

Такое же предложение относительно членения года сделали депутаты Национального конвента Франции после революции 1789 г.: с 22 ноября 1792 г. было решено ввести во Франции новый календарь. Год разделили на двенадцать месяцев, каждый из которых состоял из трех декад по десять дней. В конце года, приуроченном к началу осени (после сбора урожая), к нему добавляли пять, а один раз в четыре года — шесть дней, носивших прекрасные поэтические названия: Jour de la Vertu (День добродетели), Jour de Génie (День таланта), Jour de Travail (День труда), Jour de l’Opinion (День мнений), Jour de Récompenses (День наград), и шестым дополнительным днем каждые четыре года становился Jour de la Révolution (День революции). Названия месяцев отличались неменьшей красотой и поэтичностью и, кроме того, отражали особенности времен года, к которым они относились. Осенние месяцы – Vendémiaire (вандемьер) напоминал о сборе винограда; Brumaire(брюмер) от французского слова brume — туман; Frimaire (фример) от французского слова frimas — изморозь; зимние месяцы – Nivôse (нивоз), то есть снежный; Pluviôse (плювиоз), то есть дождливый; Ventôse (вантоз), то есть ветреный; весенние месяцы – Germinal (жерминаль), название происходит от латинского слова germen, росток; Floréal (флореаль), название происходит от латинского слова flos,цветок; Prairial (прериаль), название происходит от латинского слова pratum, луг; летние месяцы – Messidor (мессидор), название происходит от латинского слова messis, жатва; Thermidor (термидор), происходит от греческого слова θέρμη, жар; и Fructidor (фрюктидор), название происходит от латинского слова fructus, плод. Несмотря на такие красивые названия, календарь в народе не прижился. Помимо всего прочего, выходным считался каждый десятый день, а не каждый седьмой, как в еврейском или христианском календаре. В 1806 г. Франция по декрету Наполеона официально вернулась к христианскому календарю.

2

Мы до сих пор точно не знаем, как римские мастера счета выполняли подобные вычисления. Ученые сходятся, однако, в том, что римляне применяли прием, известный уже египетским ученым. Мы покажем, как действовал этот прием, на примере умножения обоих чисел: LVII и LXXV. Для начала напишем эти числа рядом:

После этого под первым числом выписывают его половину, под половиной — ее половину, потом еще половину, и так до тех пор, пока не доходят до единицы, то есть до числа I. Если же делить пополам приходится нечетное число, то берут половину четного числа, на единицу меньшую делимого.

Подробно покажем этот процесс на примере LVII: сначала напишем это число более детально XXXXX V II, потом еще подробнее XXXX VVV II и, наконец, представим его в следующем виде: XXXX VV IIIIIII. Теперь мы легко можем разделить число пополам: XX V III. Собственно, делить надо было семь единиц, но мы разделили надвое лишь шесть единиц, а седьмую просто отбросили. Поэтому таблица будет выглядеть так:

Для того чтобы вычислить половину XXVIII, запишем это число как XX IIIIIIII. Деля надвое обе части, получаем X IIII. Теперь наша таблица приобретает следующий вид:

Поскольку XIIII можно представить в виде VV IIII, постольку половину этого числа можно записать в виде V II. Остальные половинки рассчитываются очень быстро. Вместо IIIIIII пополам делят на единицу меньшее четное число IIIIII, и получают III, а вместо III делят пополам на единицу меньшее четное число II. Теперь вся таблица выглядит так:

Теперь запишем под правым числом LXXV его удвоенное значение, затем удвоенное значение удвоенного значения и так далее. Итак, удвоим первое число LXXV. Получится следующая запись: LL XXXX VV, или C XXXX X, или, упрощая, CL. Удвоив CL, мы получим CC LL, или, упрощая запись, CCC. Теперь, после внесения данных первых двух удвоений в таблицу, она приобретает следующий вид:

Теперь для того, чтобы выполнить столько же удвоений, сколько было делений пополам, надо выполнить еще три удвоения: из CCC получается CCCCCC, что можно упрощенно записать так: DC. Из DC при удвоении получается DD CC, что можно упрощенно записать так: MCC, а из MCC при удвоении получается MMCCCC:

Теперь можно считать, что главная часть умножения выполнена. Осталось сделать два шага для получения окончательного результата. Согласно таинственным воззрениям древнеегипетских ученых, нечетные числа считались «добрыми», а четные — «злыми». Если в левом столбце обнаруживается четное, то есть «злое» число, то всю строчку вычеркивают, чтобы в левом столбце остались только «добрые» нечетные числа:

«Злыми» числами считаются XXVIII (то есть 28) и XIIII (то есть 14), а все остальные числа левого столбца нечетные, то есть «добрые». На последнем шаге складывают все оставшиеся незачеркнутыми числа правого столбца, то есть находящиеся в «добрых» строчках. После упорядочивания символов мы получаем следующий результат:

После первого упрощения получаем MMM DD CC L XX V, что при окончательном упрощении дает MMMMCCLXXV. Пользуясь современной десятичной системой, мы записываем это число как 4275, и это действительно произведение двух чисел 57 и 75.

3

Иногда люди думают, что математика отличается от прочих наук тем, что в ней все результаты можно вычислять с достоверной точностью. Однако это ни в коем случае не верно. Часто бывает достаточно знать приближенное значение результата для того, чтобы верно его оценить. Во всяком случае, достаточно сильно впечатляет, что приведенное в тексте простое рассуждение позволяет оценить порядок величины числа рисовых зерен на шахматной доске, не прибегая к утомительным многочасовым вычислениям и сложной компьютерной технике.

Тот, кто все же хочет знать точный результат, должен принять во внимание следующее соображение: каждый раз, когда мы заменяем число 1024 числом 1000 = 10³, то есть удобным для вычислений приближением, мы допускаем ошибку, составляющую 2,4 процента от точной величины. Эту ошибку в ущерб числу рисовых зерен мы совершаем на 11, 21, 31, 41, 51 и 61-м поле, то есть в шести пунктах шахматной доски. Таким образом, разница между грубо прикинутым количеством риса и точным числом рисовых зерен, которые надо высыпать на доску, составляет 6 × 2,4 = 14,4 %, то есть это величина относительной разницы между 16 квинтиллионами зерен и точным числом. 15 процентов от шестнадцати составляет 2,4, то есть 15 процентов от 16 квинтиллионов составляют 2,4 квинтиллиона, которые и надо прибавить к этому количеству, и в результате мы получим те же 18,4 квинтиллиона зерен.

Вооружившись высокопроизводительной вычислительной машиной, можно сложить 64 числа, каждое из которых получается в результате удвоения предыдущего числа, начиная с единицы. Результат в точности равен:

18 446 744 073 709 551 615,

то есть 18 квинтиллионам 446 квадриллионам 744 триллионам 73 миллиардам 709 миллионам 551 тысяче 615 рисовым зернам. Надо заметить, что существует более простой способ получения такого же точного результата: сумма всех предыдущих чисел равна удвоенному значению последнего числа минус единица. Вот, например, сумма зерен в первом ряду шахматной доски:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 2 × 128 — 1 = 256 — 1 = 255.

Это значит, что для того, чтобы получить сумму всех зерен на шахматной доске, надо возвести два в 64 степень, и из полученного результата

18 446 744 073 709 551 616

вычесть единицу.

4

Насколько легко люди поддаются заблуждениям, показывает следующий пример: допустим, что Земля — это идеальный шар, окружность которого по экватору равна в точности 40 тысячам километров. Допустим, что этот шар по экватору туго обтянут шнуром. После этого шнур немного ослабляют, увеличив его длину на 10 сантиметров. Насколько удалится шнур от поверхности Земли, если удлинение распределить равномерно по всей длине шнура? Сможем ли мы просунуть под шнур хотя бы песчинку, имеющую в диаметре одну сотую миллиметра? Поразительный ответ гласит, что мы сможем просунуть под шнур не только крошечную песчинку, но даже довольно толстый палец диаметром более 1 сантиметра, причем сразу в нескольких местах приподнятого над поверхностью Земли шнура.

5

Гиппарх учел, что тень Земли имеет не цилиндрическую, но коническую форму. Угол раствора этого конуса, который определяет уменьшение диаметра тени при удалении от источника света, Гиппарх смог вывести из величины солнечного диска. Умелое применение тригонометрических закономерностей, хорошо известных греческим математикам того времени, позволило Гиппарху измерить и рассчитать расстояние от Луны до Земли с относительной погрешностью всего в один процент.

6

Аргумент, выдвинутый изобретателями «исчисления», можно попытаться защитить следующим образом: с одной стороны, «бесконечное» обладает тем свойством, что если из «бесконечного» вычесть единицу, то оно все равно останется «бесконечным», а с другой стороны, удвоенное «бесконечное» является опять-таки «бесконечным». Отсюда можно утверждать, что сумма

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

может быть «бесконечной», и это вполне осмысленный результат. Тем не менее эта апология стоит на весьма шатком основании.

Во-первых, вычислять «бесконечное» не так просто, как вычислять конечные числа. Что, например, получится, если из «бесконечного» вычесть «бесконечное»? Любой человек, не задумываясь, ответит: ноль. Если, однако, второе «бесконечное» уменьшено на единицу по сравнению с первым «бесконечным», то разность должна быть равна единице, ибо второй «бесконечности» приписано на одну единицу меньше, чем первой. Кто-то может сказать, что если «бесконечное» вычесть из удвоенного «бесконечного», то получится снова «бесконечное», ибо из удвоенного «бесконечного» вычитают «бесконечное» одинарное. Короче, противоречие на противоречии.

Во-вторых, даже получение суммы частей уджата могло бы дать в результате бесконечность, ибо если поверить изобретателям «исчисления», то «бесконечное» обладает тем свойством, что, с одной стороны, «бесконечное», уменьшенное на одну вторую, остается «бесконечным» и что половина «бесконечного» опять-таки равняется бесконечности. С другой стороны, почему, собственно, на примере этой бесконечной суммы мы убеждены, что правильный ответ заключается в том, что сумма равна 1, а не бесконечности?

7

Приводим загадку Архимеда, отправленную им Эратосфену:

Сколько у солнца быков, найди для меня, чужестранец. (Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.) Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных Их в четырех стадах много когда-то паслось. Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым, Темной морской воды стада другого был цвет, Рыжим третье было, последнее пестрым. И в каждом Стаде была самцов множеством тяжкая мощь, Все же, храня соразмерность такую, представь, чужестранец, Белых число быков в точности было равно Темных быков половине и трети и полностью рыжим; Темных число быков четверти было равно Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим; Пестрой же шерсти быков так созерцай число: Части шестой и седьмой от стада быков серебристых, Также и рыжим всем ты их число поравняй. В тех же стадах коров было столько: число белошерстных В точности было равно темного стада всего Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе; Темных число же коров части четвертой опять Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь И туда же быков в общее стадо причтешь. Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были Рыжего стада частям пятой и с нею шестой. Рыжих коров же считалось количество равным полтрети Белого стада всего с частию взятой седьмой. Сколько у солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь, Нам раздельно назвав тучных быков число, Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было, Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя, Все же к мудрецам причислен не будешь. Учти же, пожалуй, Свойства такие еще солнца быков числа. Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь Так, чтобы тесно стали они бы в ширь и в длину Мерой равной, тогда на обширных полях сицилийских Плотным квадратом они площадь большую займут. Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо, Лесенкой станут они, счет с единицы начав, Так что фигуру они треугольную нам образуют; Цвета иного быков нам нет нужды добавлять, Если ты найдешь, чужестранец, умом пораскинув, И сможешь назвать каждого стада число, То уходи, возгордившись победой, и будет считаться, Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.

Для любителей изысков приводим также юмористический перевод этого гекзаметра на немецкий язык, выполненный математиком Венского технологического института Александром Мельманом:

Hast du, Freund, den richt’gen Riecher, So berechne, wieviel Viecher — Lass uns nur von Rindern reden, Hornbewehrte Quadrupeden — Einst gehörten, hü und hott, Helios — dem Sonnengott, Auf Siziliens grüner Erde.     Milchweiß war die erste Herde, Schwarz die zweite, zappenduster, Braun die dritte, Fleckenmuster Schmückte Rinderkuh und Stier In der Herde Nummer vier.     Zahl die Stiere ganz in Weiß, Die erhält man nur mit Fleiß Aus der reinen Braunstier-Zahl Plus der Hälfte und nochmal Plus ein Drittel aller schwarzen Stiere, deren Zahl — ihr Parzen! — Glich der Stierzahl aller Braunen (Schon vernehm’ ich. Freund, Dein Raunen) Nebst dem viert- und fünften Teil Der gefleckten Stier’, derweil Die (der Zahl nach) sich summierten Aus der Braunen, wohlsortierten, Nebst dem Sechst- und Siebentel Weißer Stiere, die zur Stell’.     Doch vergiss bei aller Müh’ Nicht des Sonnengottes Küh’. Statt die Zähn’ sich auszubeißen Beim Bestimmen all der weißen, Addier’ als Sonderfall Von der schwarzen Herdenzahl Nur ein Drittel und ein Viertel Und dann schnalle fest den Gürtel. Auch der schwarzen Kühe Nummer, Lässt sich finden ohne Kummer. Teil die Fleckviezahl durch Vier Und durch Funf und dann addier’! Elf durch dreißig der brünetten Rinder in Trinakriens Stätten Ist die Zahl der Küh’ mit Fleck. Rätselhaft bleibt noch der Zweck, Denn die Zahl der Braunviehdamen (Nichts zur Sache tun die Namen) Dividiert durch die der Rinder, Die so weiß, wie ihre Kinder, Sie ergibt ganz informell Ein Sechstel und sein Siebentel. Nennst du mir — getrennt nach Gender Und nach Farben der Gewänder (?) — All die Zahlen auf der Wiese, Bist fürwahr ein PISA-Riese! Zur Elite erster Klasse Ich dich erst gehören lasse, Wenn du lösest schnell wie‘ Pfeil Auch des Rätsels zweiten Teil. Wenn man sie zusammenführe Die Gesamtzahl aller Stiere, Die pechschwarz und weiß wie Schnee, So erhielt’ man ein Karree. Schichtet man der Stiere Rest Reihenweis’, wobei man lässt Jeweils in der nächsten Reih’ Gleich viel Hörner minus zwei, So benötigt man als Spitze Einen Stier nur (ohne Vize) Und die Rindviehformation Bildet glatt ein Dreieck schon.

(A. Mehlmann. Mathematische Seitensprünge: Ein unbeschwerter Ausflug in das Wunderland zwischen Mathematik und Literatur. Viehweg, 2007.)

В первой части ставится задача. Надо найти число рогатых тварей, именуемых в миру быками, которые пасутся на зеленых лугах Сицилии. Дальше говорится о том, что есть белые быки (их число мы обозначим w) и белые коровы (их число мы обозначим W), черные быки (их число мы обозначим s) и черные коровы (их число мы обозначим S), рыжие быки (их число мы обозначим b) и рыжие коровы (их число мы обозначим B), а также пестрые быки (их число мы обозначим g) и пестрые коровы (их число мы обозначим G). В третьей части фигурируют только быки. Здесь Архимед представляет следующие уравнения:

w = b + (½ + ⅓) s

s = b + (¼ + ⅕) g

g = b + (⅙ + 1/7) w

В четвертой части словесно формулируются еще четыре уравнения, с помощью которых можно вычислить число коров:

W = (⅓ + ¼) (s + S)

S = (¼ + ⅕) (g + G)

G = (⅕ + ⅙) (b + B)

B = (⅙ + 1/7) (w + W)

(В переводе Александра Мельмана сумма одной пятой и одной шестой описана как «одиннадцать тридцатых».)

В пятой части Архимед сообщает, что эти семь уравнений с восемью неизвестными, так называемые «диофантовы уравнения», имеющие целочисленные решения, являются лишь первой частью задания. В стихотворении Мельмана говорится, что тот, кто решит эти уравнения, может считать себя сдавшим ЕГЭ, но на принадлежность к математической элите такой человек претендовать не может.

В заключительной части Архимед говорит, что сумма s и w является квадратом: черных и белых быков можно выстроить в строй с равным количеством шеренг и колонн. Далее Архимед строит остальных быков, число которых равно b + g, в шеренги так, чтобы в каждой следующей шеренге было на одного быка меньше, чем в предыдущей, и таким образом в, так сказать, верхней строке окажется всего один бык. Выражаясь математически: b + g является числом треугольника. Поскольку числа треугольника представляют в виде ½ × (n² + n), а квадратные числа в форме m², постольку можно понять, что вторая часть задачи Архимеда представляет собой «диофантово уравнение» второй степени.

8

«Сложные взаимоотношения» обоих чисел восходят к одной древней проблеме, известной уже Пифагору. Пифагор предположил, что все в этом мире можно описать с помощью дробей, в которых числитель и знаменатель являются целыми числами (знаменатель, равный нулю, не рассматривается). Но уже геометрия показала ошибочность этого утверждения.

Если, например, построить на диагонали квадрата другой квадрат, для которого диагональ первого является стороной, то очевидно, что второй квадрат по площади в два раза превосходит первый. Допустим, что сторона первого квадрата равна х единиц длины — в данном случае не важно, что мы примем за такую единицу — метры, миллиметры или поперечный размер атома. После этого рассчитаем площадь первого квадрата в соответствующих единицах площади — квадратных метрах, миллиметрах или иных единицах. Для этого число единиц длины, составляющих сторону квадрата, надо умножить само на себя. Эту величину устно называют «икс-квадрат» и записывают так х². Если, например, х = 12, то х² = 144. Если у = 17, то у² = 289. Совершенно случайно 289 почти в точности равно удвоенному числу 144, то есть 288. Другими словами, у квадрата со стороной 12 см длина диагонали чуть-чуть меньше 17 см. То есть отношение диагонали квадрата к длине его стороны равно приблизительно 17/12. Однако греки задались вопросом: можно ли вообще выразить это отношение дробью вида x/y?

Будь это так, то у квадрата со стороной х единиц длины должна быть диагональ длиной у единиц. Площадь у² построенного на диагонали квадрата должна быть вдвое больше площади х² исходного квадрата. Это можно выразить формулой у² = 2х².

Говорят, что великому греческому философу Аристотелю принадлежит обоснование того факта, что не существует таких целых чисел х и у, для которых было бы справедливо равенство у² = 2х².

Допустим, однако, что такие числа существуют. Сначала Аристотель рассматривает случай, когда у — нечетное число. Тогда и у², будучи нечетным числом, при умножении само на себя дает в результате нечетное число. В таком случае невозможно равенство у² = 2х², потому что 2х², очевидно, делится на 2, то есть является четным числом.

Следовательно, у необходимо является четным числом, и у², то есть число у, умноженное само на себя, должно делиться на 4.

Но тогда, заключил Аристотель, х не может быть нечетным числом, ибо если оно является нечетным, то х², то есть число х, умноженное само на себя, является нечетным, и число 2х² делится на 2, но ни в коем случае не делится на 4, но оно должно делиться на 4, если верна формула у² = 2х².

На основании этих рассуждений Аристотель делает следующий вывод: если существуют числа х и у, для которых справедлива формула у² = 2х², то ни одно из этих чисел не может быть нечетным. Оба числа х и у должны быть четными.

Сторона квадрата, из которого мы исходили, должна, следовательно, иметь протяженность, равную четному количеству выбранных единиц длины, так же как четное количество единиц длины должно составлять протяженность его диагонали. Но, рассуждает дальше Аристотель, мы можем с равным успехом исходить из квадрата, у которого сторона и диагональ в два раза меньше, чем у квадрата исходного. Но и у этого квадрата длины сторон и диагонали должны выражаться четными числами единиц длины. Этот следующий квадрат мы снова можем уменьшить в отношении 1:2. Однако и в этом, меньшем квадрате длины сторон и диагонали опять-таки выражаются четными числами единиц длины.

Это последовательное деление сторон и диагоналей квадратов можно продолжать до бесконечности. Но как бы малы ни были стороны и диагонали квадратов, они все равно выражаются четными числами единиц длины, и поэтому и сторону и диагональ можно снова делить пополам.

Но это в конце концов приводит к абсурду, ибо стороны и диагонали квадратов содержат целочисленные значения единиц длины, и их невозможно произвольно делать сколь угодно малыми.

Поэтому, делает вывод Аристотель, вообще не существует целых чисел х и у, для которых справедливо равенство у² = 2х². (В наше время, возможно, кто-то стал бы протестовать, потому что при х = 0 и при у = 0 равенство становится справедливым. Но греки, при всем их уме, не считали ноль числом, а оперировали только положительными целыми числами 1, 2, 3, 4, 5…) Именно поэтому отношение длины диагонали к длине стороны квадрата не может быть дробью.

Есть, однако, одержимые математикой люди, которые не могут удовлетвориться полученными результатами. Эти люди постоянно задают вопросы и пытаются найти более всеобъемлющие решения.

Так и в нашем случае. Если уж нет чисел х и у, для которых справедливо равенство у² = 2х², то, может быть, существуют числа х и у, которые соответствуют справедливому равенству у² = 2х² + 1. При таком малом добавлении, как «+1», все меняется пренебрежимо мало, но зато камня не остается на камне от аргументации Аристотеля. Действительно, оказывается, что в приведенном выше примере с числами х = 12 и у = 17 это уравнение верно, как верно оно и для многих других чисел. Более того, удалось доказать, что у этого уравнения бесчисленное множество решений.

Пьер де Ферма, французский ученый-любитель, с которым мы познакомились как с соавтором «исчисления», вскользь упомянул о нем в частном письме. Ферма также утверждал, что множитель 2 перед х² в формуле у² = 2х² + 1 можно заменить любым другим целым числом, если оно само не является квадратом. Так, на самом деле существует бесконечное множество значений х и у, при которых справедливо равенство у² = 3х² + 1, и бесконечное множество значений х и у, удовлетворяющих равенству у² = 5х² + 1, и так далее. Иногда приходится долго искать значения неизвестных в данном равенстве. Например, в уравнении у² = 991х² + 1 первыми наименьшими значениями х и у, удовлетворяющими ему, являются гигантские числа:

х = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767

и

у = 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.

Откуда Ферма черпал свою убежденность, мы не знаем. Только через сто лет дотошный швейцарский математик Леонард Эйлер доказал, что Ферма был прав.

Архимед, однако, на много сотен лет раньше знал то, во что верил Пьер де Ферма и сумел доказать Леонард Эйлер. Дело в том, что вторая часть загадки о быках Гелиоса сводится к нахождению двух чисел х и у, удовлетворяющих уравнению

у²= 410 286 423 278 424х² 1.

Как мы видим, речь идет об уравнении того же типа, что и у² = 2х² + 1, у² = 5х² + 1 или у² = 991х² + 1. Единственное отличие — очень большой множитель перед х².

9

Для знатоков: значение 70 возникает потому, что 70 сотых, то есть 0,7, с вполне достаточной точностью соответствует натуральному логарифму числа 2.

10

Однако это лишь начало того, как математика может продуцировать большие числа.

Пример сказочно большого числа, перед которым бледнеет даже число 3↑↑↑3, мы получим, если воспользуемся методом, придуманным британским математиком Рубеном Луисом Гудстейном в 1944 г. Однако для того, чтобы проследить за его рассуждениями, мы начнем рассказ издалека.

Сначала мы разберемся, что значит представление числа «по основанию». При этом основанием мы назовем любое число, отличное от единицы. Рассмотрим, например, наименьшее из возможных оснований — число 2, и число 42. Мы делим это число на основание, то есть в нашем случае 42:2, получаем частное 21 и остаток 0 и записываем результат следующим образом:

42 = 21 × 2 + 0.

Теперь разделим частное на основание, в нашем примере, 21:2, и получаем частное 10 и остаток 1, то есть:

21 = 10 × 2 + 1.

Эту игру мы продолжим до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. То есть последовательность результатов деления

42 = 21 × 2 + 0

21 = 10 × 2 + 1

10 = 5 × 2 + 0

5 = 2 × 2 + 1

2 = 1 × 2 + 0

1 = 0 × 2 + 1.

Теперь выписываем всю последовательность результатов:

42 = 21 × 2 + 0 =

= (10 × 2 + 1) × 2 + 0 = 10 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (5 × 2 + 0) × 2² + 1 × 2 + 0 = 5 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (2 × 2 + 1) × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 = 2 × 2^4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (1 × 2 + 0) × 2^4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

=1 × 2^5 + 0 × 2^4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0.

Итак, результатом

42 = 1 × 2^5 + 0 × 2^4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0

число 42 представлено по основанию 2. Назовем полученные перед степенями двойки множители 1, 0, 1, 0, 1, а также приписанный в конце 0 (это множитель при нулевой степени 2 или 2^0 — которая равна единице, ибо нулевая степень любого числа считается равной единице) «цифрами» числа 42 по основанию 2. Выписанное выше представление 42 по основанию 2 можно в сокращенном виде записать так (1 0 1 0 1 0)2, или, подробнее:

42 = 1 × 2^5 + 0 × 2^4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 = (1 0 1 0 1 0)2.

Число 42 можно представить и по основанию 5. В этом случае процесс деления выглядит так:

42 = 8 × 5 + 2

8 = 1 × 5 + 3

1 = 0 × 5 + 1.

Теперь можно объединить эти результаты, представив их так:

42 = 8 × 5 + 2 = (1 × 5 + 3) × 5 + 2 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2,

получив в итоге

42 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2 = (1 3 2)5.

Еще проще представить 42 по основанию 7. Здесь достаточно двух делений

42 = 6 × 7 + 0

6 = 0 × 7 + 6,

откуда непосредственно вытекает представление

42 = 6 × 7 + 0 = (6 0)7.

Так же просто представить 42 по основанию 10. Для этого тоже нужны всего два деления:

42 = 4 × 10 + 2

4 = 0 × 10 + 4,

откуда следует представление 42 = 4 × 10 + 2 = (4 2)10.

Представление числа по основанию 10 известно нам со времен Адама Ризе: это обычная запись числа в десятичной системе.

Нам, однако, для последующего изложения важны различные основания, ибо только так мы поймем, что имел в виду Гудстейн, говоря о «раздувании» чисел: при раздувании числа 42 от основания 5 к основанию 6 в представлении

42 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2

заменяют все числа 5 числом 5 + 1 = 6 и рассчитывают полученное таким образом число:

1 × 6² + 3 × 6 + 2 = 36 + 18 + 2 = 56.

При раздувании от основания 5 до основания 6 из числа 42 получают большее число, а именно 56. Точно так же можно раздуть число 42 от основания 7 до основания 8: исходя из равенства 42 = 6 × 7 + 0, образуют, заменяя 7 выражением 7 + 1 = 8, выражение 6 × 8 + 0 = 48. Здесь из числа 42 получается число 48. При раздувании числа 42 от основания 10 к основанию 11 заменяют 10 числом 10 + 1 = 11 и записывают: 4 × 11 + 2. Это дает раздутое число 46. Однако, раздувая число 42 от основания 2 к основанию 3, мы должны учесть одно дополнительное требование, установленное Гудстейном: по основанию 2 число 42 выглядит так:

42 = 1 × 2^5 + 0 × 2^4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0.

Здесь мы видим показатели степени, которые точно так же можно представить по основанию 2, а именно:

5 = 1 × 2² + 0 × 2 + 1, 4 = 1 × 2² + 0 × 2 + 0, 3 = 1 × 2 + 1 и 2 = 1 × 2 + 0.

Эти представления показателей степеней вводят в вышеприведенную формулу так, чтобы в полученном представлении числа 42 нигде, включая и показатели степени, не встречались числа, бо́льшие 2:

42 = 1 × 2 1 × 22 + 0 × 2 + 1 + 0 × 2 1 × 22 + 0 × 2 +0 + 1 × 2 1 × 2 + 1 + 0 × 2 1 × 2 +0 + 1 × 2 + 0.

Для упрощения мы можем в этом представлении числа 42, которое мы обозначим 2(42), опустить все слагаемые с множителем 0. Таким образом, получаем:

2 (42) = 1 × 2 1 × 22 + 1 + 1 × 2 1 × 2 + 1 + 1 × 2.

Теперь Гудстейн раздувает число 42 от основания 2 к основанию 3, для чего он везде, где встречается число 2, заменяет его на 2 + 1 = 3. Таким способом он получает:

1 × 3 1 × 33 + 1 + 1 × 3 1 × 3 + 1+ 1 × 3 = 3 33+ 1+ 3 3 + 1+ 3 =3^28+ 3 4+ 3 = = 22 876 792 455 045

В таком раздувании действительно что-то есть.

Теперь будет полезным ввести для раздувания соответствующие обозначения. Мы записываем тот факт, что число a представляется по основанию b, следующим образом: b(a), и включаем в это представление все показатели степени, а также показатели показателей, чтобы в этом представлении нигде не встречались числа, большие b. Затем в этом представлении все числа b заменяют числом, большим, чем b на единицу, то есть на b + 1; в этом случае число a раздувается от основания b к основанию b + 1. Результат, полученный в этом случае Гудстейном, мы обозначим b + 1Ωb(a). Имеем 6Ω_5(42) = 56, 8Ω_7(42) = 48, 11Ω_10(42) = 46 и 3Ω_2(42) = 22 876 792 455 045.

Оказывается, что раздувание числа имеет место только в том случае, если основание b не превышает число a, подлежащее раздуванию. Так, например, представление 42 по основанию 43 есть не что иное, как само число 42, и замена 43 на 44 дает тот же результат. То есть 44Ω_43(42) = 42. Естественно, 100Ω_99(42) = 42, и вообще для каждого основания b, большего 42, будет справедливо равенство b+1Ωb(42) = 42. Если, однако, основание b намного меньше числа a, то величина b+1Ωb(a) буквально взрывается.

Теперь мы подошли к главному, к тому, ради чего Гудстейн изобрел понятие раздувания числа. Гудстейн исходил из некоторого числа a_1. Сначала он представляет число a_1 по основанию 2, то есть образует 2(a_1), а затем раздувает это число от основания 2 к основанию 3, то есть вычисляет 3Ω_2(a_1). Из полученного таким способом числа он вычитает единицу и называет результат a_2. То есть a_2 = 3Ω_2(a_1) — 1. Это число Гудстейн представляет по основанию 3 и раздувает его от основания 3 к основанию 4, то есть вычисляет 4Ω_3(a_2). Следующее число a_3 этой последовательности он получает, вычитая из этого результата единицу, то есть a_3 = 4Ω_3(a_2) — 1. Теперь Гудстейн представляет число a_3по основанию 4, раздувает его от основания 4 к основанию 5, то есть образует число 5Ω_4(a_3) и для того, чтобы получить число a_4, вычитает из результата единицу: a_4 = 5Ω_4(a_3) — 1. Дальше он продолжает в том же духе. Вот члены этой последовательности:

a_1, a_2 = 3Ω_2(a_1) — 1, a_3= 4Ω_3(a_2) — 1, a_4 = 5Ω_4(a_3) — 1, a_5 = 6Ω_5(a_4) — 1….,

или, в общем виде, an = n + 1Ωn(an — 1) — 1.

Рассмотрим для примера последовательность Гудстейна при a_1 = 3: имеем 2(3) = 1 × 2 + 1, и значит, 3Ω_2(3) = 1 × 3 + 1 = 4, следовательно, a_2 = 3Ω_2(3) — 1 = 4 — 1 = 3. Теперь 3(3) = 1 × 3 и 4Ω_3(3) = 1 × 4 = 4, а a_3 = 4Ω_3(3) — 1 = 4 — 1 = 3. Так как следующее число 4(3) = 3, то здесь раздувание ничего не меняет: 5Ω_4(3) = 3, откуда a_4 = 3 — 1 = 2. 6Ω_5(2) равно 2, и значит, a_5 = 2 — 1 = 1, а 7Ω_6(1) = 1 и a_6 = 1 — 1 = 0. С этого места все члены последовательности Гудстейна равны нулю.

Если начать последовательность с числа a_1 = 4, то все происходит более энергично: действительно, 2(4) = 1 × 2², то есть 3Ω_2(4) = 1 × 3³ = 27, следовательно, a_2 = 3Ω_2(4) — 1 = 27 — 1 = 26. Далее, 3(26) = 2 × 3² + 2 × 3 + 2, а значит, 4Ω_3(26) = 2 × 4² + 2 × 4 + + 2 = 42, и, следовательно, a_3 = 4Ω_3(26) — 1 = 42 — 1 = 41. Следующие члены последовательности выглядят так: a_4 = 60, a_5 = 83, a_6 = 109, a_7 = 139. Очевидно, что члены последовательности растут. Действительно, придется долго ждать, прежде чем этот рост прекратится. После этого величина членов последовательности долгое время остается постоянной, а затем, по мере увеличения основания по сравнению с величиной членов последовательности, начнет постепенно уменьшаться. Лишь после члена последовательности с номером 3 × 2402 653 211 (это число с более чем 121 миллионом разрядов) все следующие члены обращаются в ноль.

Если рассмотреть последовательность Гудстейна с начальным числом a_1 и если в этой последовательности после члена с номером n все остальные обращаются в ноль, (так что справедливо an = 1 и an + 1 = 0)то мы обозначим этот номер n выражением n = Θ (a_1). При таких обозначениях имеем: Θ(1) = 1, Θ(2) = 3, Θ(3) = 5 и Θ(4) = 3 × 2402 653 211.

Последовательность Гудстейна с головокружительной скоростью растет, например, при a_1 = 19. (Число 19 хорошо подходит для понимания сути процесса, так как следующие два члена последовательности можно записать в виде степенной башни.) Второй член последовательности вычисляется исходя из:

a_1 = 2(19) = 2^22 + 2 + 1

и, таким образом,

3Ω_2(19) = 3^33+ 3 + 1, a_2 = 3^33+ 3

Это уже весьма большое число, а именно a_2 = 7 625 597 484 990. Третий член последовательности, a_3, вычисляют так:

4Ω_3 (3^33+ 3) = 4^44+ 4, a_3 = 4^44+ 3.

Этот член последовательности является числом, которое начинается с 13… и имеет 155 разрядов. Четвертый член последовательности является результатом следующих вычислений:

5Ω_4 (4^44 + 3) = 5^55 + 3, a_4 = 5^55+ 2.

Это число начинается с 18… и имеет 2185 разрядов. Пятый член последовательности получают так:

6Ω_5 (5^55+ 2) = 6^66+ 2, a_5 = 6^66+ 1.

Это число начинается с 26… и имеет 36 306 разрядов. И наконец, следующие вычисления дают шестой член последовательности согласно уравнениям:

7Ω_6 (6^66+ 1) = 7^77+ 1, a_6 = 7^77.

Это число начинается с 38… и имеет 659 974 разряда. Последовательность Гудстейна, начинающаяся с a_1 = 19, приводит просто к немыслимо большим, неизмеримым числам.

Однако сам Гудстейн утверждает, что и эта последовательность рано или поздно закончится нулем. Это совершенно необъяснимо, но и сам Гудстейн не имеет ни малейшего представления о том, как долго придется ждать этих нулей. Он просто утверждает, что когда-нибудь это все же произойдет. Ясно одно — надо пройти гигантское число членов последовательности, число, превосходящее всякое воображение и всякие возможности его представления, чтобы когда-нибудь, при n = Θ(19), обнаружить, что an + 1 = 0. Более того, Гудстейн утверждает, что созданная им последовательность чисел

a 1, a 2 = 3Ω_2 (a 1) — 1, a 3 =4Ω_3 (a 2) — 1, a 4 =5Ω_4 (a 3) — 1, a 5 =6Ω_5 (a 4) — 1….

всегда должна заканчиваться нулем, независимо от того, с какого числа a_1 начата эта последовательность. Это ошеломляющее, поистине невероятное высказывание. Мы не можем утверждать это даже для числа a_1 = 19. Но закономерность справедлива, говорит нам Гудстейн, даже для такого чудовищно большого числа, как a_1 = 3↑↑↑3. И это вопреки тому факту, что нам никогда не удастся назвать число 2(3↑↑↑3), а уж следующий член последовательности a_2 = 3Ω_2(3↑↑↑3) — 1 сокрыт и в вовсе непроглядном мраке.

В какой-то момент, уверен Гудстейн, когда основания для каждого последующего члена увеличивают на единицу, мы получим гигантские значения членов последовательности. Для того чтобы обосновать это, Гудстейн, однако, должен дать точное математическое определение бесконечному, к которому стремятся лопающиеся от своей величины члены последовательности Гудстейна. Мы подробнее поговорим об этом в последней главе. Соответствует ли эта математическая модель существу самого понятия бесконечного — вопрос открытый, и, вероятно, он всегда останется открытым.

Если принять примененную Гудстейном математическую модель бесконечности всерьез, то фактически он прав. Существуют не только числа Θ(1), Θ(2), Θ(3) и Θ(4), существует также и число Θ(19). Собственно, должно существовать и число Θ(3↑↑↑3) — поистине головокружительное число.

11

Все дело в том, что при делении 10, 100, 1000, … на три в остатке всегда остается 1. Если, например, разделить на три число 4281, то при делении на три числа 4000 получится остаток 4 × 1 = 4, при делении на три числа 200 образуется остаток 2 × 1 = 2, при делении 80 на три остаток составит 8 × 1 = 8, а при делении единицы на три остаток будет равен 1 × 1 = 1. Поэтому остаток от деления числа 4281 на 3 будет равен 4 + 2 + 8 + 1 = 15, а это число делится на три без остатка, и поэтому остаток от деления числа 4281 на три равен нулю.

12

То, что Мерсенн показал на этом примере, справедливо всегда: если рассмотреть число, представленное двумя множителями a и b, то есть a × b, причем оба числа a и b больше единицы, то справедливо будет следующее равенство

2 a × b — 1 = (2a — 1) × (1 + 2a+22a +… + 2 (b — 1) × a),

правая часть которого является составным числом.

13

Чтобы воздать должное истине, надо сказать, что Ферма записывал эти числа в виде степенных башен. То есть эти числа принимают одновременно следующую форму:

2^20 + 1 = 2 + 1 = 3, 2 21 + 1 = 4 + 1 = 5, 2^22 + 1 = 16 + 1 = 17,

2^23 + 1 = 256 + 1=257.

и так далее.

14

В принципе, можно было последовательно делить число 4 294 967 297 на простые числа из достаточно длинной и полной таблицы простых чисел с тем, чтобы проверить, не делится ли данное число на какое-либо из простых чисел без остатка. Однако этот способ, не говоря уже о массе потраченного времени, невероятно примитивен. Наверняка Эйлер пошел другим путем. Вероятно, он нашел, что 641 = 5^4 + 2^4 и одновременно 641 = 5 × 2^7 + 1. В силу справедливости первой формулы 641 делит без остатка число (5^4 + 2^4) × 2^28, а в силу справедливости второй формулы 641 делит без остатка число 5^4 × 2^28 — 1, потому что его можно разложить следующим образом:

5^4 × 228 – 1 = (5 × 2^7 + 1) × (5³ × 221 – 5² × 2^14 + 5 × 27 – 1).

Следовательно, если число 641 является делителем чисел (5^4 + 2^4) × 2^28 и 5^4 × 2^28 — 1, то оно является и делителем их разности, то есть числа

(5^4 + 2^4) × 2^28 — (5^4 × 228 – 1) = 2^4 × 2^28 + 1 = 2^32 + 1 = 4 294 967 297.

15

Нам, однако, хотелось бы понять, почему вообще работает такой своеобразный способ шифрования и дешифровки? Для того чтобы ответить на этот вопрос, надо в довольно далекое прошлое и оглянуться на Пьера де Ферма, отличавшегося неслыханным остроумием правоведа эпохи барокко, посвящавшего все свое свободное время изучению чисел.

Можно представить себе, что Ферма был одержим вычислениями. С маниакальным упорством он искал и находил тайны чисел. Он, например, обнаружил, что пятые степени всех цифр заканчиваются той же цифрой, стоящей в разряде единиц: число 0^5 = 0 оканчивается на ноль, число 1^5 = 1 оканчивается на единицу, число 2^5 = 32 оканчивается на два, число 3^5 = 243 оканчивается на три, число 4^5 = 1024 оканчивается на четыре, число 5^5 = 3125 оканчивается на пять, число 6^5 = 7776 оканчивается на шесть, число 7^5 = 16 807 оканчивается на семь, число 8^5 = 32 768 оканчивается на восемь, а 9^5 = 59 049 оканчивается на девять. А как обстоят дела с третьими степенями? В данном случае такой закономерности нет. Например, 2³ = 8, это число не оканчивается двойкой. Но Ферма находит, что 2³ — 2, то есть 8 — 2 = 6 без остатка делится на показатель степени три. Собственно, это то же самое, что было установлено им выше, а именно что пятая степень любой цифры минус эта цифра делится на пять. Ферма продолжает считать дальше: 3³ — 3 = 27 — 3 = 24, и это число на самом деле делится на три. Точно так же Ферма устанавливает, что 4³ — 4 = 64 — 4 = 60, и это число тоже делится на три, что 5³ — 5, то есть 125 — 5 = 120, и это число тоже делится на три, что 6³ — 6, то есть 216 — 6 = 210, и это число делится на три, что 7³ — 7, то есть 343 — 7 = 336, делится на три, что 8³ — 8, то есть 512 — 8 = 504, делится на три, что, далее, 9³ — 9, то есть 729 — 9 = 720, делится на три, что даже 10³ — 10, то есть 1000 — 10 = 990, делится на три и что 11³ — 11, то есть 1331 — 11 = 1320, тоже без остатка делится на три.

Это не может быть случайностью! Или все-таки может? Что, если исследовать четвертые степени чисел? Ну, например, 3^4 = 81. Однако 3^4 — 3, то есть 81 — 3 = 78, и это число не делится на четыре. Посмотрим, как обстоят дела с седьмыми степенями? В примере 2^7 = 128 этот феномен снова всплывает во всей своей красе: 2^7 — 2, то есть 128 — 2 = 126, и это число делится на семь. При 3^7 = 2187 это правило тоже действует, ибо 3^7 — 3, то есть 2187 — 3 = 2184, делится на семь.

Ферма не смог подтвердить этот феномен при показателе степени 4, однако закономерность имела место при показателях 5, 3 или 7. Числа 3, 5 и 7, подумал Ферма, простые. 4 таким числом не является. Может быть, дело именно в этом?

Эта мысль уже не отпускает Ферма. Если обозначить простое число символом p, то, возможно, для каждого числа a разность ap — a делится без остатка на простое число p.

Изысканное рассуждение, развитое современником и другом Ферма по переписке Блезом Паскалем, утвердило Ферма в его дальнейших предположениях.

Что произойдет, спросил себя Ферма, если брать не p-ю степень числа a, то есть число ap, а вычислить p-ю степень следующего числа, то есть (a + 1)p? Это число можно представить в виде следующего выражения:

(a + 1)p = (a + 1) (a + 1) (a + 1) … (a + 1).

Или, другими словами, необходимо перемножить p чисел (a + 1). Такое вычисление может показаться страшно утомительным — особенно если p является очень большим простым числом. Однако из этого вычисления можно кое-что установить.

Давайте, например, рассмотрим его для простого числа p = 5. В результате перемножения получаем:

(a + 1)5 = (a + 1) (a + 1) (a + 1) (a + 1) (a + 1) = a^5 + 1 + 5a^4 + 10a³ + 10a² + 5a.

Как мы приходим к такому результату? С первым слагаемым a^5 все ясно: все пять первых слагаемых a в скобках перемножаются между собой. Также все ясно со вторым слагаемым: все пять вторых слагаемых 1 в скобках тоже были перемножены между собой. Третье слагаемое 5a^4получается так: из выражений в скобках берут четыре первых слагаемых a, одно второе слагаемое 1 и перемножают их между собой. Получается ровно пять возможностей выбора, откуда возникает множитель 5 перед степенью a^4. Точно так же можно объяснить, откуда берется последнее слагаемое 5a. Четвертое слагаемое 10a³ получается так: из скобок выбирают три первых слагаемых a и два вторых слагаемых 1 и перемножают их. Сколько возможностей такого выбора? Для одного второго слагаемого 1 таких возможностей ровно пять, а для другого второго слагаемого 1 только четыре, ибо одно из чисел 1 уже было выбрано в качестве первого слагаемого 1. Всего это означает 5 × 4 = 20 возможных выборов. Впрочем, надо обратить внимание на то, что каждые два выбора из них дают одинаковые результаты, ибо для обоих выбранных чисел 1 совершенно безразлично, какое из них было «первым», а какое «вторым» из выбранных слагаемых. Число возможных перестановок двух выбранных чисел равно 1 × 2 = 2. На это число 2 надо разделить число 20, откуда получается множитель 10 перед степенью a³. И наконец, пятое слагаемое 10a² получается следующим образом: из скобок выбирают два первых слагаемых a и три вторых слагаемых 1 и перемножают их всеми возможными способами. Сколько существует возможностей выбора? Для первого из двух слагаемых 1 таких возможностей, очевидно, пять, для следующего второго слагаемого 1 остается только четыре, а у третьего и последнего второго слагаемого 1 таких возможностей всего три. Это означает, что возможных вариантов перемножения будет 5 × 4 × 3 = 60. Надо, однако, учесть, что для каждого выбора в каждых шести выборах результат перемножения будет одним и тем же, ибо не важно, какое именно из трех чисел 1 было «первым», «вторым» или «третьим» выбрано вторым слагаемым 1. Число возможных перестановок из трех выбранных чисел равно 1 × 2 × 3 = 6. Надо разделить 60 на это число, и мы получим множитель 10 перед степенью a².

Надо при этом заметить, что все множители 5, 10, 10 и 5 делятся на пять. Это связано с тем, что пять — простое число.

Теперь запишем в общем виде, как вычисляют выражения вида

(a + 1)p = (a + 1) (a + 1) (a + 1)… (a + 1).

Для начала надо перемножить между собой все слагаемые a. Это дает в результате ap. Вторым шагом является перемножение между собой всех слагаемых 1. Это дает в результате 1p = 1. То есть:

(a + 1)p = (a + 1) (a + 1) (a + 1)… (a + 1) = ap + 1 + …

То, что здесь стыдливо обозначено точками …, — это все остальное, что получается от перемножения друг на друга всех слагаемых. В ходе такого перемножения будут получаться степени ap — 1, ap — 2, ap — 3, и вопрос заключается в том, насколько часто будет встречаться каждая из этих степеней. Например, степень ap — 1 получается оттого, что p — 1 первых слагаемых a перемножают с одним из всех вторых слагаемых 1. Всего возможностей для такого перемножения существует ровно p. Таким образом, степень a p — 1 появится на месте точек в виде pap — 1. Или степень ap — 2 появляется в результате того, что p — 2 первых слагаемых a перемножаются с двумя вторыми слагаемыми. Сколько раз эта степень встретится в результатах перемножения? Для одного из обоих вторых слагаемых 1 существует p возможностей выбора, а для другого второго слагаемого таких возможностей остается уже p — 1. Всего таких возможностей, следовательно, будет p × (p — 1). Однако это выражение надо разделить на произведение 1 × 2, потому что совершенно несущественно, какое из двух слагаемых 1 было выбрано первым, а какое — вторым. Таким образом, степень ap — 2встречается среди слагаемых, замененных точками,

раз. В общем виде можно представить, что степень ap — n возникает в результате того, что p — nпервых слагаемых a перемножают в точности с n вторых слагаемых 1. Сколько раз встретится в окончательном результате перемножения степень ap — n? Для первого из n вторых слагаемых существует ровно p возможных выборов, для второго слагаемого 1 существует только p – 1 возможных выборов, и так далее, вплоть до n-го слагаемого 1, для которого число возможных выборов равно p — n + 1. В результате число возможных выборов становится равно p × (p — 1) × … × (p – n + 1). Это число, однако, надо разделить на произведение 1 × 2 × 3 × … × n, ибо какое из n слагаемых 1 будет выбрано в качестве первого, второго, …, n-го, представляется несущественным. Таким образом, степень ap — n встретится на месте точек

раз.

Множители перед степенями a выглядят дробями только по видимости; на самом деле это целые числа. Другими словами, знаменатель записанной дроби наверняка является делителем числителя. Тем не менее простое число p, записанное первым, не делится на знаменатель, так как именно в этом и заключается суть простого числа. Поэтому множители, стоящие перед степенями a, начиная с ap — 1и заканчивая a = a^1, являются не только целыми числами, но и числами, кратными простому числу p.

Обобщая, получаем:

(a + 1)p = ap + 1 + …,

причем все числа, скрытые за обозначением …, делятся на простое число p.

Допустим, утверждает далее Ферма, что мы уже знаем, что ap — a без остатка делится на p. Тогда, согласно уравнению

(a + 1)p –(a + 1) = ap + 1 + … — (a + 1) = ap + 1 + … – a — 1 = ap — a + …

и вследствие того факта, что все числа, скрытые за многоточием, делятся на p, разность (a + 1)p — (a + 1) тоже делится на p.

Тем самым Ферма наглядно показал то, что хотел доказать, ибо 1p — 1, очевидно, делится на p. Проведенное выше рассуждение показывает, что отсюда и 2p — 2 тоже делится на p. Точно такое же рассуждение доказывает, что и 3p — 3 тоже делится на p. Точно такое же рассуждение, проведенное еще раз, доказывает, что и 4p — 4 делится на p. Так можно от каждого числа a, о котором известно, что ap — a делится на p, перейти к следующему числу a + 1 и уже относительно его установить, что (a + 1)p — (a + 1) делится без остатка на p.

Доказанный здесь факт называют теоремой Ферма. Это не «большая теорема Ферма», о которой рассказывает Саймон Сингх в своей чудесной книжке «Великая теорема Ферма», а так называемая «малая теорема». Правда, эта теорема вовсе не «малая», скорее она очень даже значительная. Кстати сказать, Ферма ни словом не обмолвился, как он пришел к этой теореме. Только столетие спустя Леонард Эйлер смог доказать, почему эта теорема верна. Если известно, что ap — a = a(ap — 1 — 1) делится на простое число p и если само число a на p не делится, то отсюда следует, что при делении ap — 1 на p необходимо получается остаток, равный единице, потому что если a не делится на p, то ap — 1 — 1 должно делиться на p. Это утверждение иногда тоже называют «малой теоремой Ферма».

Например, при делении двенадцатой степени любого, не делящегося на 13 числа получается остаток, равный единице. Или при делении шестнадцатой степени любого, не делящегося на 17 числа получается остаток, равный единице.

Здесь довольно неожиданно снова подходим к методу шифрования Джорджа Смайли: дело в том, что малая теорема Ферма гласит: для каждого, не делящегося на 13 числа a, в частности для a = 7 при делении числа a^12 на 13 получится остаток, равный единице. Малая теорема Ферма гласит также, что — в случае, если a не делится на 17, — шестнадцатая степень числа a^12, то есть число (a^12)16 = a12 × 16 = a^192 делится на число 17 с остатком, равным единице. На 13 это же число тоже делится с остатком, равным единице. То есть при делении степени a^192 на модуль 13 × 17 = 221 мы с гарантией получим остаток, равный единице. Запишем это в виде формулы: a^192 ≡ 1.

Число 192, которое мы получили в результате следующего вычисления: (13 — 1) × (17 — 1) = 12 × 16, столь же секретно, как и извлеченный Тоби Эстерхази из сейфа секретный коэффициент 35. Назовем 192 «секретным модулем».

Умники из Цирка определили, с помощью секретного модуля 192, для степени 11 секретную экспоненту 35. Это число, 35, появляется в силу того, что для него справедливо равенство 35 × 11 = 1 + 2 × 192. Смайли отправил в Цирк из-за железного занавеса радиограмму с числом 184. Это был остаток, который при a = 7 получается от деления a^11 на число 221. В общем виде назовем остаток, который получается при делении a^11 на 221, кодированным, или зашифрованным, числом c. В нашем случае c = 184. Тоби Эстерхази вычисляет остаток от деления c^35 на 221, то есть числа (a^11)35на 221. Тем самым он декодирует зашифрованное послание c, превращая его в исходное сообщение a. Почему?

Потому что в (a^11)35 число a умножается само на себя 11 × 35 раз, что, в силу того что 35 × 11 = 1 + 2 × 192, означает, что число a суммарно 2 × 192 раз, а затем еще один раз умножается само на себя. Если 192 раза перемножить число a само на себя, после его деления на 221 получится остаток 1. Если то же самое сделать 2 × 192 раз, то получится тот же остаток 1, потому что 1 × 1 = 1. Если же этот остаток еще раз умножить на a, то в итоге получится остаток a × 1. Другими словами, остаток от деления c^35 на модуль 221 равен a × 1, то есть a. Поэтому Тоби, после вычисления остатка от деления 184^35 на 221, узнает о желании Смайли встретиться с агентом номер 7.

16

Фактически уже за три года до этого британский математик Клиффорд Кристофер Кокс пришел к этой идее. В США, однако, о ней никто не знал, потому что британская секретная служба скрывала ее не только от Советского Союза, но и от Соединенных Штатов.

17

Это следует из так называемой теоремы о распределении простых чисел, о существовании которой догадывался еще Гаусс: количество простых чисел в ряду до какого-то большого числа x равно приблизительно частному от деления этого числа x на его натуральный логарифм. В свою очередь, этот натуральный логарифм приблизительно равен числу разрядов x, умноженному на 2,3.

18

Решающим здесь является то, что Смайли после отправки шифрованной радиограммы, безусловно, должен был уничтожить листок, извлеченный из подошвы ботинка. Предположим, что Смайли совершил бы смертный грех и отправил бы другое сообщение, скажем 0 0 3 0 0 3 0 0 3, закодировав его с помощью той же последовательности, что и при отправке предыдущего сообщения. Кодируется это сообщение тем, что Смайли складывает обе строки

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 …

0 0 3 0 0 3 0 0 3

и получает следующую строку:

1 4 4 5 9 5 6 5 6 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8…

То есть отрезок отправленного сообщения будет выглядеть так:

1 4 4 5 9 5 6 5 6.

Смайли, однако, должен понимать, что Карла перехватит оба отправленных им шифрованных сообщения, и его люди напишут их одно под другим:

1 4 8 5 9 9 6 5 0

1 4 4 5 9 5 6 5 6.

Если теперь люди Карлы вычтут нижнее сообщение из верхнего по модулю десять, то получат

0 0 4 0 0 4 0 0 4,

то есть увидят явную систему, очевидный «узор». Обнаружение системы — это залог к успешной дешифровке вражеского кода. При многократном применении одного листка шифр становится очень ненадежным. Поэтому использовать листки блокнота можно только один раз, и блокнот называется «одноразовым».

19

Ситуация, при которой цифры бесконечно появляются друг за другом, известна уже школьникам начальных классов с момента, когда они начинают изучать деление. Это действие редко выполняется так же гладко, как при делении 42: 6 = 7. В большинстве случаев при делении получают остаток. Например, при делении 42 на 15 получают частное 2, потому что дважды пятнадцать целиком содержится в 42, но при этом получается остаток 12. Он получается, потому что дважды 15 не равно в точности 42, но лишь 30, и разница между 30 и 42 как раз и равна 12. Поэтому записывают:

Однако деление остатка 12 на 15 невыполнимо, так как 15 ни одного раза не содержится в 12. Адам Ризе, научивший нас позиционной записи, смог выполнить деление дальше, воспользовавшись числом 0. Он добавил к 12 число 0, то есть умножил остаток 12 на 10, и смог таким образом довести деление до конца, разделив число 120 без остатка на 15. В двух строках это действие выглядит так:

Результат он записывает в виде десятичного числа 2,8. Дети в школе учатся записывать обе эти строки так: сначала записывают деление 42 на 15 как

То есть аккуратно записывают остаток 12 под делимым 42. Затем к 12 «подвешивают» 0, а к частному 2 пририсовывают запятую:

и делают следующий шаг: делят 120 на 15, получают число 8, которое записывают после запятой, а под числом 120 подписывают остаток 0:

При делении 42 на 13 начало выглядит похоже:

Однако в этом случае получается еще один остаток. В этом случае Адам Ризе предписывает нам снова приписать 0 к остатку и продолжить деление:

Снова получается остаток. Следовательно, надо продолжать процедуру дальше:

Конца этому процессу не видно. Но, во всяком случае, снова появился первый остаток — 3, значит, вся предыдущая процедура будет снова и снова повторяться до бесконечности. В результате мы получим «бесконечную десятичную дробь»

42: 13 = 3,230769230769230769230769230769230769230769…,

в которой последовательность цифр 230769 представляет собой так называемый период.

Ясно, что при делении целых чисел всегда получаются периодические бесконечные дроби, если деление не обрывают раньше, так как в каком-то месте должен получиться остаток, который уже получался в предыдущих делениях; существует лишь конечное число возможных остатков, а именно их число равно делителю.

20

Для знатоков предмета: число 10 должно быть так называемым «первообразным» корнем такого делителя. Другими словами: если обозначить делитель буквой m и делить ряд степеней 10, то лишь при делении числа 10m — 1 на число m получается остаток 1. Например, число 10 является первообразным корнем делителей 7 или 113, но не является первообразным корнем делителя 3 (уже 10: 3 дает остаток 1) или делителя 13 (13 × 76923 = = 999 999, то есть уже при делении 10^6 на 13 получается остаток 1).

21

Если повезет, то может случиться так, что намного меньшее число, выступающее в роли делителя, приведет к этой чрезвычайно длинной и, как представляется, случайной последовательности — в лучшем случае числа, состоящего «только» из пары сотен разрядов. Конечно, это намного меньше числа, состоящего из 10^200 девяток, то есть из 10^200 разрядов. Однако 10 должно быть первообразным корнем этого приблизительно двухсотзначного делителя.

22

Прорези могут быть прикрыты расположенной снизу длинной линейкой: если линейку сдвигают вверх, под ней обнаруживаются пять прорезей, и в них нанесены цифры. При этом все устроено так, что сумма цифр в парах прорезей — верхней и нижней — равна девяти. Если сверху прочитывается число 31 415, которое прикрывается сдвинутой кверху линейкой, то в открывшихся прорезях видны цифры 68 584. Мы назовем это число «сопряженным» с числом 31 415.

23

На валиках с нанесенными цифрами, которые видны в прорезях, Паскаль поместил в двух строчках по 10 цифр от нуля до девяти. В верхней строчке в следующем порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — так, чтобы при вращении соответствующего колесика по часовой стрелке значения цифр возрастали; в нижней строчке цифры последовательности расположены в противоположном порядке: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Эти цифры нижней строчки становятся видны только в том случае, когда уже упомянутую прикрывающую линейку сдвигают кверху. Если, например, в верхней строке прочитывается первое число 31 415, то в нижней появляется второе число 68 584, сопряженное с первым. Смысл этого устройства состоит в том, чтобы его можно было использовать для выполнения не только сложения, но и вычитания. Собственно, вычитание становится возможным при вращении колесика против часовой стрелки, но такое вращение ломало рычажный механизм переноса. Поэтому Паскаль установил в машине стопор, предотвращавший обратный поворот колесика. Например, вычитание 61 — 45 Паскаль с помощью своей машины выполнял, следуя своим изящным соображениям относительно сложения, так: рассчитывается число, сопряженное с 61. Для этого его вычитают из 99 999 и получают 99 999 — 61 = 99 938. Если прибавить к этому число 45, то получится

99 999 — 61 + 45 = 99 999 — (61 — 45).

Это и есть сопряженное число разности 61 — 45, которую мы хотим найти. Фактически получается сумма 99 938 + 45, то есть число 99 983, а сопряженное с ним число есть 00016, то есть искомая разность. Исходя из этого Паскаль вычисляет ее, то есть 61 — 45, следующим способом: на «паскалине» он устанавливает число 00061, но устанавливает в нижних прорезях. В верхних прорезях появляется сопряженное ему число 99 938, но этот результат Паскаля не интересует, и он выполняет сложение, прибавляя 45 при открытых нижних прорезях, где видит искомое число 00016.

24

Элемент, соответствующий логическому высказыванию «не-p», сокращенно обозначаемом ¬pназывается инвертором (вентилем «НЕ»). Элемент, соответствующий логическому высказыванию «ни p, ни q», сокращенно обозначаемому p↓q, называется вентилем «ИЛИ-НЕ».

При последовательном соединении вентиля «ИЛИ-НЕ» и инвертора получается вентиль «ИЛИ», соответствующий логическому высказыванию «или p, или q, или и p, и q», сокращенно обозначаемому p ∨ q. Только когда p = 0 и q = 0, p ∨ q = 0. Во всех других случаях p ∨ q = 1, ибо в этом случае по крайней мере одно из высказываний p или q является истинным, что отвечает выражению «или».

Два параллельно подключенных инвертора и один последовательно соединенный вентиль «ИЛИ-НЕ» дают вместе вентиль «И». Это соединение соответствует логическому высказыванию «p и q», сокращенно обозначаемому p ∧ q. Только если p = 1 и q = 1, p ∧ q = 1. Во всех остальных случаях p ∧ q = 0, ибо в таких случаях по крайней мере одно из высказываний p или q является ложным, а значит, ложным является и высказывание «p и q».

25

Представим себе три входа, обозначенные p, q и r, подключенные к семи параллельным вентилям «И».

Перед левыми тремя из семи вентилей «И» в разных комбинациях в два из трех входов включены инверторы. Перед правыми тремя из семи вентилей «И» в разных комбинациях в один из трех входов также включены инверторы. Только к среднему из семи вентилей «И» все три входа p, q и rподключены непосредственно. Выход среднего вентиля «И», разветвляясь, идет на вход двух вентилей «ИЛИ». На левый вентиль «ИЛИ» идут также выходы из трех левых вентилей «И», а на правый вентиль «ИЛИ» идут выходы из трех правых вентилей «И». Выход из левого вентиля «ИЛИ» мы обозначим символом s, а выход из правого вентиля «ИЛИ» мы обозначим символом t.

Такую схему называют полным сумматором, ибо, какие бы значения ни принимались на входах p, q и r, 0 или 1, значения s и t всегда будут таковы, что s + 2t (что в двоичной системе Лейбница соответствует s + 10t) будет равно сумме p + q + r, где s символизирует разряд единиц этой суммы, а tсоответствует переходу во второй разряд (что в двоичной системе Лейбница соответствует разряду десятков).

26

Ниже приводится высказывание из программного выступления Гильберта по радио вплоть до заключения:

«Действительно, мы овладеем какой-либо естественно-научной теорией не раньше, чем сможем вычленить ее математическое ядро и полностью снять с него покров. Без математики совершенно невозможны современные астрономия и физика, которые находят свои теоретические решения именно в математике. Эти, а также другие ее приложения обеспечили математике высокую репутацию, которой она пользуется в обществе.

Несмотря на это, математики единодушно отвергают стремление считать приложения мерилом достоинств математики.

Гаусс говорит о колдовском очаровании, каковое сделало теорию чисел любимой наукой первых в истории математиков, не говоря уже о ее неисчерпаемом богатстве, в отношении которого эта часть математики возвышается над всеми остальными ее сферами.

Кронекер сравнивает специалистов по теории чисел с лотофагами, которые, отведав этой пищи, не могли уже от нее отказаться.

Великий математик Пуанкаре резко критикует Толстого, заявившего, что требование «науки ради науки» глупо и абсурдно. Достижения промышленности, например, никогда не увидели бы свет, если бы существовали одни только практики и если бы не было незаинтересованных чудаков.

Величие человеческого духа, сказал однажды выдающийся кенигсбергский математик Якоби, вот единственная цель всей науки».

27

Изначально Шредингер вывел уравнение для ψ с учетом специальной теории относительности Альберта Эйнштейна. Однако из-за того, что некоторые возможные решения показались Шредингеру слишком курьезными, он сформулировал уравнение, не оглядываясь на теорию относительности. С помощью этого упрощенного уравнения, названного по имени автора уравнением Шредингера, эксперты по квантовой механике смогли очень точно описать свойства атомов и молекул, ибо в этом контексте специальная теория относительности не играет практически никакой роли. Коллега Шредингера Поль Дирак воспользовался его идеей и переписал уравнение для ψ с учетом положений специальной теории относительности. Для тех решений, которые Шредингер отбросил как слишком экстравагантные, Дирак нашел вполне осмысленные физические интерпретации. Так, из уравнения Дирака вытекает, что для каждой элементарной частицы должна существовать противоположно заряженная античастица. Последующие эксперименты блестяще подтвердили теоретическое предсказание Дирака. Уравнение на ψ, учитывающее положения общей теории относительности Эйнштейна, правда, пока не выведено.

28

Согласно одной забавной легенде, один скептик как-то пожаловался Гильберту, что из его геометрии совершенно невозможно понять, что имеется в виду под словами «точки», «прямые» и «плоскости». В аксиомах эти понятия выглядят абсолютно пустыми словами, лишенными всякого наглядного смысла. «Совершенно верно, — будто бы ответил Гильберт коллеге, — о существе понятий в формальной математике речь не идет». Можно, по Гильберту, в его системе аксиом заменить слова «точки, прямые и плоскости» словами «столы, стулья и пивные кружки».

29

Вопрос о том, конечным или бесконечным является число нулей в десятичном представлении числа π, является отнюдь не праздным. Представим себе следующую конструкцию множества: первому нулю, найденному в десятичном представлении π, приписывают число 1 множества. Как только обнаруживается второй ноль, к образованному множеству добавляют ½. После нахождения третьего нуля в десятичном представлении числа π к множеству добавляют ⅓. Вообще говоря, в множество добавляют 1/n, когда находят n нулей в десятичном представлении числа π. Вопрос о том, конечным или бесконечным является число нулей в десятичном представлении числа π, равнозначен, таким образом, вопросу о том, состоит ли наше множество из конечного или бесконечного числа элементов.

Этот вопрос имеет непосредственное отношение к аксиомам исчисления чисел с бесконечным десятичным представлением. Полученное нами множество состоит из положительных дробей и должно, согласно одной основополагающей аксиоме, обладать так называемой точной нижней границей, или нижней гранью. Под нижней гранью имеют в виду число x с бесконечным десятичным представлением, обладающее следующими двумя свойствами: с одной стороны, любая дробь множества не меньше чем x, а с другой стороны, для каждого y, большего, чем x, существует принадлежащая множеству дробь, меньшая чем y.

Однако чему равна нижняя грань x?

Если число нулей в десятичном представлении числа π конечно, то x = 1/m той положительной дроби, где m есть число нулей в десятичном представлении числа π.

Если же в десятичном представлении числа π содержится бесконечное число нулей, то x = 0.

Если мы не можем допустить существования «ignorabimus», то Гильберт должен смочь решить, является x положительным числом или нет. Таким образом, пустяковый и незначительный, на первый взгляд, вопрос привел к трудным проблемам, потрясшим основы мышления.

30

Этим словом Герман Вейль в своей статье «О новом кризисе основ математики» (Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik) наилучшим образом выразил сущность точки зрения Гильберта.

31

Так пишет Анита Элерс в своей прекрасной книге «Боже мой! Физики и математики в анекдотах» (Liebes Hertz! Physiker und Mathematiker in Anekdoten).

32

Анри Картан и Андре Вейль, два молодых французских математика, которые вместе учились, а в начале 1930-х гг. преподавали в Страсбургском университете, организовали 10 декабря 1934 г. по случаю своего регулярного участия в Парижских математических семинарах встречу со своими молодыми коллегами в кафе «Капулад» на бульваре Сен-Мишель. Вся группа решила противопоставить устаревшим университетским учебникам новые, современные сочинения. Вероятно, на всех произвел должное впечатление стиль преподавания Давида Гильберта и Эмми Нётер, лекции которых слушали некоторые из молодых друзей.

Всем присутствующим представлялось важным, чтобы этот новый со всех точек зрения учебник представил всю математику от самых ее оснований. В их глазах математика была большой игрой, своего рода многомерными шахматами, каковыми математика рисовалась Давиду Гильберту в его программе.

Эти молодые математики, собравшиеся в кафе «Капулад», были на самом деле бывалыми знатоками математической игры. Они умело играли в нее, еще учась в Высшей нормальной школе, самом элитном учебном заведении Франции. Однажды Рауль Юссон, один из собравшихся, в шутку переоделся бородатым профессором, взобрался на кафедру и принялся «читать лекцию», громоздя при этом одну ошибку на другую. В задачу слушателей входило разоблачение этих ошибок. Все нашли это развлечение очень остроумным. Больше всего слушателям тогда понравилась бредовая формулировка, которую самозваный профессор назвал «теоремой Бурбаки». Собственно, каждую свою вымышленную теорему Рауль Юссон называл каким-нибудь громким именем фиктивного математика. На самом деле он использовал для этого имена генералов французской армии. Теорему Бурбаки он, например, назвал по имени сражавшегося во время Франко-прусской войны 1870–1871 гг. генерала Шарля Дени Бурбаки. В память о своих тогдашних студенческих выходках теперешние юные профессора, сидевшие в кафе «Капулад», решили спрятаться за псевдонимом Бурбаки: вымышленный математик Никола Бурбаки должен был как автор украсить титул нового учебника. Позже они утверждали, что этот Никола Бурбаки был членом Академии наук Нанкаго. Собственно, Нанкаго был реальным городом не в большей степени, чем математик Бурбаки — реальным человеком. Это был неологизм, сфабрикованный из названий Нанси и Чикаго, названий двух университетских городов, где работали некоторые члены группы, скрывавшейся за псевдонимом Бурбаки.

Поначалу Бурбаки был уверен (мы не станем портить игру и притворимся, что такой математик действительно жил на свете), что напишет новый учебник за три года. Однако задача оказалась более трудоемкой, чем выглядела первоначально. Только в 1939 г. увидели свет первые тома монументального труда, озаглавленного «Начала математики» (Éléments de mathématique). В течение нескольких десятилетий продолжали выходить следующие тома «Начал математики». Эта работа так и не была окончена. Она официально скончалась, потому что ни один из членов группы был уже не в состоянии сохранять цельность и последовательность изложения. «Бурбаки — это динозавр, у которого слишком велико расстояние от головы до хвоста», — цинично заметил по этому поводу Пьер Картье, бывший членом группы Бурбаки с 1955 по 1983 г. В неизвестно кем составленном гротескном некрологе было объявлено, что Никола Бурбаки мирно скончался в Нанкаго 11 ноября 1968 г. и что погребение состоится 23 ноября в 15 часов, на «Кладбище случайных переменных».

Своим названием «Начала математики» Никола Бурбаки напоминают «Начала», первую в истории человечества книгу по математике, написанную греческим ученым Евклидом. Попутно заметим, что некоторые историки науки утверждают, что на самом деле не существовало никакого Евклида и что под этим именем скрывался коллектив ученых античной Александрии.

33

Сразу после окончания Первой мировой войны, еще до того, как Вейль написал свою пристрастную, направленную против позиции Гильберта статью, произошло одно событие, которое, при иных обстоятельствах, могло бы изменить лицо математики ХХ столетия. Дело в том, что, несмотря на расхождения во взглядах на бесконечное, Гильберт очень высоко ценил своего голландского коллегу Брауэра за его математические труды, считая его глубоким мыслителем и выдающимся ученым. Если бы они, прежде чем исступленно вгрызться в свои позиции, смогли лично встретиться и побеседовать, то, возможно, не только Вейль, но и его учитель Давид Гильберт убедился бы в правоте Брауэра. Такая возможность была, когда Брауэр, во время летних каникул, будучи в Швейцарии, посетил Вейля и воодушевил его своими воззрениями на бесконечное. Гильберт был в гостях у Вейля всего за пару дней до этого, и Брауэр послал ему открытку, в которой глубоко сожалел о том, что им не удалось встретиться лично…

34

Научный спор между Брауэром и Гильбертом начал перерастать в личную ссору, и оба математика, независимо друг от друга, обратились к Альберту Эйнштейну с просьбой выступить третейским судьей в конфликте. Эйнштейн отклонил предложение на том основании, что ему тяжело разбираться в основаниях математики, а о самом конфликте отозвался как о «войне мышей и лягушек».

35

Попытка проанализировать здесь методы Гёделя завела бы нас слишком далеко. О них подробно пишет Герман Вейль в своей переработанной книге «Философия математики и естествознания» (Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft). Достаточно будет сказать, что основная мысль Гёделя заключается в том, чтобы закодировать высказывания о формальной системе так, чтобы они превратились в арифметические высказывания и тем самым автоматически включились бы в систему. Примечательно, что такое кодирование выполняется с помощью простых чисел. Таким образом, простые числа играют выдающуюся роль и в изобретенном Гёделем «шифровании», которое сегодня называют «гёделизацией».

36

Темой диссертации Гёделя является полнота логического исчисления. Чистая логика, которая еще не включает в себя арифметику чисел, является полной и непротиворечивой системой. Этим утверждением Гёдель внес свой вклад в развитие программы Гильберта. Тем удивительнее смотрится на этом фоне теорема Гёделя о неполноте.

37

Яркий пример — теорема Гудстейна, с которой мы познакомились в примечании 10. В 1982 г. два британских математика Лоренс Кирби и Джеффри Брюс Парис доказали, что существует непротиворечивая математика, в которой теорема Гудстейна верна, но существует и другая непротиворечивая математика, в которой эта теорема неверна.

38

Подобное пари заключил в 1918 г. Герман Вейль со своим коллегой Дьердем Пойа в присутствии двенадцати свидетелей-математиков: Вейль утверждал, что следующие двадцать лет подавляющее большинство математиков будут заниматься своей наукой в духе, предначертанном Пуанкаре, Брауэром и им самим, а слепые аксиоматические правила игры будут отброшены, ибо они столь же бессмысленны — согласно сформулированному Вейлем и Пойа пари, — как натурфилософия Гегеля. Когда двадцать лет спустя вся компания собралась в прежнем составе, рассудить, кто выиграл спор, всем, включая и самого Германа Вейля, было ясно, что выиграл Пойа. Практически все математики занимались своей наукой так, словно были всеведущими и всемогущими властителями царства бесконечного, а если на горизонте появлялась угроза, то они прятались в мнимо безопасной гавани правил игры с аксиомами. Джон фон Нейман следующим образом описывает это положение вещей в статье «Математик» (The Mathematician), помещенной в вышедшем в 1947 г. под редакцией Р. Хейвуда сборнике «Труды разума» (The Works of Mind): «Лишь очень немногие математики оказались готовы к тому, чтобы принять новые требовательные масштабы (фон Нейман имел в виду строгую интуиционистскую математику Брауэра и Вейля) и применить их в собственной работе. Очень многие, однако, признавали, что, на первый взгляд, Вейль и Брауэр были правы. Сами же они (математики) продолжали следовать старым, “простым” методам, вероятно, в надежде, что когда-нибудь кто-нибудь найдет ответ на интуиционистскую критику и апостериори их труд будет оправдан в глазах потомков».

«В настоящее же время, — пишет далее фон Нейман в той же статье, — спор об “основах” далеко не окончен, но представляется весьма маловероятным, что, если не считать незначительного меньшинства, математики откажутся от классической системы».

Дальше фон Нейман без обиняков, прямо и откровенно пишет: «Все это происходило при моей жизни, и я знаю, как унизительно легко менялись на фоне этих событий мои взгляды на абсолютную математическую истину. Я менял их трижды!»

Волей-неволей Вейлю пришлось признать, что заключенное с Пойа двадцать лет назад пари он проиграл. Пойа, однако, великодушно разрешил Вейлю не публиковать сообщение об этой ошибке. Только один человек из всех присутствующих, от которых зависел исход пари, не проголосовал за Пойа. Этим человеком был Курт Гёдель.

Content

Число, пришедшее с холода.
Когда математика становится приключением

Предисловие

Только ноль делает числа большими

Тайна четвёртого года

Могущественные числа дракона Тиамат

Число и письмо

Просвещение началось с математики

Магараджа и большое число

Самые большие числа в природе

От малых чисел к большим

Измерение Земли

Астрономически большие числа

Самое большое число во Вселенной

Надо учиться оценивать, а не считать

Величайший математик

Мученик математики

Гениальная идея

Быть вторым — не считается

Египетские дроби

Быки бога солнца

Самые большие числа математики

Числа — одно за другим

Квадраты и кубы чисел

Степени и проценты

Важнейшие расчёты и большие деньги

Числовой монстр Дональда Кнута

Таинственные числа

4 294 967 297

В поисках простых чисел

Число, пришедшее с холода

Как куют и раскрывают тайны

Большие простые числа

Иллюзия и реальность

Абсолютно надёжные методы

Случайность — залог надежности

Нормальные числа

Творческое смешение

Мышление числами

Провал Кена Дженнингса и Брэда Раттера

«Паскалина», опередившая свое время суммирующая машина Паскаля

Лейбницевы числа и программа Лавлейс

Электрическое рождение числовой машины

Скептицизм Гелернтера и тест Тьюринга

Претензия на всеведение

Гигант из Гёттингена

Никакого «ignorabimus»

Гильберт изгоняет геометрическое восприятие

Числа с бесконечным десятичным представлением

Гостиница парадоксов

Бесконечная игра в вопросы и ответы

Программа Гильберта

Всемогущество вместо всеведения

Математик от интуиции

Наука, построенная на песке

Величайший логик ХХ столетия

Принстонские призраки

Обнаружение бесконечности

Примечания

Комментарии