Карл Левитин

Геометрическая рапсодия

Вдохновение нужно в поэзии, как и в геометрии.

Александр Сергеевич Пушкин

Музыка есть радость души, которая вычисляет, сама того не сознавая.

Готфрид Лейбниц

Наука позволяет нам понимать многие сферы материальной и динамической стороны жизни, но великая музыка находит самый близкий путь к глубочайшим истокам духовной жизни человека.

Леопольд Стоковский

Все прекрасное так же трудно, как и редко.

Барух Спиноза

Пусть никому не будет позволено издавать книги поспешно и преждевременно; наоборот, все должны привыкать оформлять и переоформлять свои труды... работать над ними и перерабатывать их так долго, пока каждая изданная книга не будет отвечать нормам гармонии и согласованности… Что быстро возникает, то быстро и погибает; над чем долго и точно трудятся, то переживает века...

Ян Амос Коменский

К числу важнейших открытий, к которым пришел за последнее время человеческий ум, бесспорно принадлежит, по-моему мнению, искусство судить о книгах, не прочитав их.

Георг Кристоф Лихтенберг

Издательство "Знание" Москва 1984

Рецензенты: Яглом И. М., доктор физико-математических наук, профессор; Виленкин Н. Я., доктор физико-математических наук, профессор.

Главный отраслевой редактор В. П. Демьянов

Редактор Н. Ф. Яснопольский

Мл. редактор Н. А. Васильева

Художник М. А. Дорохов

Худож. редактор Т. С. Егорова

Техн. редактор Н. В. Лбова

Корректор В. Е. Калинина

Об авторе

Карл Ефимович Левитин родился в 1936 году. После окончания Московского энергетического института несколько лет работал во Всесоюзном научно-исследовательском институте электромеханики. С 1966 года заведует отделом в журнале "Знание — сила". Он автор семи научно-художественных книг, а также более ста статей, очерков и репортажей, опубликованных в разных изданиях в СССР и за рубежом. Лауреат премии Московского отделения Союза журналистов СССР, Всесоюзного общества "Знание".

Книга "Геометрическая рапсодия", в 1976 году вышедшая первым изданием, была переведена в Народной Республике Болгарии в 1980 году.

Предисловие

Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины — "лед и пламень не столь различны меж собой". Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга. Это относится в конечном счете также к современным абстрактным геометрическим теориям, которые при всей своей возвышенной отвлеченности вырастают из той же геометрической интуиции.

Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Предлагаемая вниманию читателей книга Карла Левитина "Геометрическая рапсодия" представляет собой увлекательный рассказ о геометрии главным образом в этом ее аспекте. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М. К. Эсхера, иллюстрирующие книгу, особенно в той ее части, где они образуют своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту — в чисто геометрических конструкциях и построениях.

Так что же от истинного искусства всегда присутствует в истинной геометрии? Словами выразить это затруднительно. Но вглядитесь внимательно в столь естественно вплетенные в ткань книги работы художника, прочтите в ней о вышедших в последние годы трудах, где так неожиданно и оригинально использованы геометрические идеи. Замысловато и любопытно... Не правда ли?

Так и книга, которую вы держите в руках, — я уверен, что она будет прочитана с интересом и пользой.

Академик А. Д. Александров

Увертюра

Математику ошибочно считают наукой трудной, а иногда даже подозрительной только потому, что она имела несчастье быть неизвестной отцам церкви. Между тем она и важна и полезна.

Роджер Бэкон

Что-то произошло в самом начале семидесятых годов, отчего математика — не изысканно-утонченная и недосягаемо сложная, почтительно называемая "высшей", а самая обычная, безо всяких превосходных степеней алгебра и особенно геометрия — вновь оказалась в центре людских интересов. То там, то тут стали появляться книги, в которых читателю демонстрировались не одни лишь любопытные и занимательные черточки и штрихи, а полный загадочной прелести облик древнейшей науки, ее строгая красота и кристальной ясности логика[1].

Видимо, и я поддался этому искушению, растворенному в воздухе времени, и, отложив другие дела, стал писать цикл статей, для которого придумал название "Геометрическая рапсодия" — не потому даже, что оно красиво звучало, а просто во всех этих построениях и рассуждениях мне постоянно слышалась прозрачная хрустальная музыка, изящная и завершенная, хотя и бесконечная мелодия.

Вышло уже четыре номера журнала, а собранного и продуманного материала оставалось еще на столько же. Он и лег в основу новой серии очерков, получивших общее название "И видны в саду даже формулы...". Серия имела подзаголовок "Фантазия на тему о правильных, почти правильных, полуправильных и вырожденных много- и сверхмногогранниках", поскольку именно эти привычные и экзотические цветы из сада Геометрии грезились мне в то время во сне и наяву.

Так родилась книга, впитавшая в себя и те журнальные публикации и, естественно, много другого материала.

Между тем общественный интерес к простейшей, но вместе с тем и фундаментальнейшей геометрии отнюдь не снижался. Однажды в редакции появился не знакомый никому из нас человек, во внешности которого явно проглядывало нечто "художественное" (как оказалось, Виктор Николаевич Гамаюнов и в самом деле много лет посвятил профессиональным занятиям живописью) и, очевидно, несовместимое с какими-либо точными науками (в действительности же он был кандидатом технических наук). Он принес несколько страниц машинописи и огромное количество фотографий, которые вместе и составили опубликованный вскоре журнальный материал, начинавшийся словами:

"Дорогая редакция!

Человек, который в наше время все еще пытается найти что-то новое в Платоновых телах, выглядит чудаком, особенно если он профессиональный ученый. Но в том, что я оказался именно в этой роли, косвенно повинен ваш журнал.

Три года назад я защитил диссертацию и... продолжал выводить теорему за теоремой. Занятие это привело меня в такой восторг, что я решил создать даже эмблему этого события в моей жизни, некий прекрасный геометрический символ. И вот в минуту особого удовлетворения проделанной работой я взялся за строительство бумажной люстры, которая постоянно висела бы надо мной и озаряла меня светом геометрических идей.

Разумеется, первыми в голову пришли Платоновы тела, и я безо всякого труда раскроил их ножницами и склеил. Куб, тетраэдр октаэдр, додекаэдр и икосаэдр лежали передо мной, но их геометрическая правильность меня не удовлетворила. Я взялся за тела Кеплера-Пуансо. Три из них — большой додекаэдр, большой и малый звездчатый додекаэдры — я умудрился и раскроить и склеить. Но с последним, четвертым — большим звездчатым икосаэдром — ничего не получалось. Вместо него обычный икосаэдр, который я использовал как исходный пункт, как некое ядро, давал самые странные и необычные тела. Я долго бился над этой задачей, и число невиданных геометрических созданий росло на моем столе. Во всех них просматривалась некая система, какая-то скрытая закономерность. Надо было искать ее, а это значило — начинать новое исследование. Но мне было ясно — дело это никому не нужное, да и, пожалуй, бессмысленное: правильные тела исследованы вдоль и поперек целой армией геометров.

Видимо, я так бы и оставил ножницы и клей в покое, если бы как раз в это время не стали приходить номера "Знание — сила", в которых печаталась статья К. Левитина "И видны в саду даже формулы..." (№ 9, 10 и 11 за 1971 год). Я вдруг почувствовал себя не одиноким. Раз кому-то все еще интересны эти знаменитые тела, значит, их еще стоит пробовать исследовать — пусть даже в тысячу первый раз".

Мы с В. Н. Гамаюновым в те годы стали единомышленниками-"многогранцами" и часто встречались то на выставках архитекторов, художников и дизайнеров, использовавших любимые нами геометрические фигуры для своих суперсовременных проектов, то в мастерских, где клеились необычные макеты совсем уже непривычных нашему глазу строений, а то и в киностудии, где по моему сценарию снимался научно-популярный фильм, посвященный все тем же Платоновым телам. Он назывался "Великолепная пятерка" и удостоился нескольких похвал.

Жизнь таким образом постоянно, хотя и по-разному, поддерживала во мне интерес к геометрической тематике. Вестником следующего ее напоминания явился доставленный в редакцию толстый пакет, уклеенный марками авиапочты. В него была вложена книга на английском языке, название которой я перевел так: "Волшебное зеркало М. К. Эсхера". Знакомство с ней показало, что она представляет собой изложение любопытных взглядов на связь науки с искусством, подкрепленных анализом геометрического и физического смысла гравюр голландского художника-графика Эсхера, которые я уже частично использовал для иллюстрирования своих журнальных публикаций по геометрии и первого издания "Геометрической рапсодии".

Книга, показалось мне, достойна не только моего внимания. Так она попала в руки физиков, математиков, искусствоведов. Одним из первых отозвался о ней академик Николай Васильевич Белов, крупнейший советский кристаллограф. Вот что он написал:

"Рисунки голландского художника и графика М. Эсхера заслуженно пользуются мировой известностью. Необычная фантазия художника, его обостренное видение позволили ему создать удивительные работы, необычайно образно и наглядно иллюстрирующие многие глубокие законы окружающего нас мира, ими пользуются математики, кристаллографы, химики и даже философы".

Вслед за этим пришла весточка и из "другого конца" — от представителя наук не точных, а гуманитарных.

"Ознакомившись с книгой Бруно Эрнста "Волшебное зеркало М. К. Эсхера", хочу поддержать предложение о переводе и издании этой книги на русском языке. Не имея возможности судить о том, какой интерес представляет эта книга для людей, занимающихся или интересующихся математикой, скажу лишь о искусствоведческом интересе к тем проблемам, которые выдвигаются в книге. Разумеется, отдаю себе отчет в том, что этот аспект не является главным при оценке книги. Тем не менее он достаточно важен. Особенно если учесть, что в конце XIX-XX веков мы вновь являемся свидетелями органической связи художественного и научного мышления. Эсхер... является живым носителем этой новой тенденции, реализуя в одном лице и научные и художественные интересы. И дело здесь уже не в художественном качестве произведений, а в той перспективе в области познания Вселенной, которые он открывает.

Считаю, что книга будет воспринята с большим интересом и художниками и искусствоведами, которые в последнее время не случайно проявляют большое внимание к проблемам перспективы.

Доктор искусствоведения, профессор, зав. кафедрой, председатель совета отделения искусствоведения МГУ Д. В. Сарабьянов".

Были и другие отзывы, некоторые из них процитированы в "Вариациях" к этой книге.

Естественно, что все это усилило желание поподробнее рассказать читателям о Маурице Корнелисе Эсхере, даже не столько о нем, сколько о его необычном творчестве, раскрыть связь его удивительных гравюр с геометрией и физикой нашего мира.

"Работы Эсхера цитируются и воспроизводятся очень часто как математиками, так и физиками... Книга Бруно Эрнста представляет собой очень хорошее введение в такую неожиданную область занимательной и содержательной науки. Было бы несправедливо оставить нашего читателя без книги об Эсхере" — эти слова профессора Якова Абрамовича Смородинского, известного советского физика и популяризатора науки, поддерживали меня, когда я работал над подготовкой своей книги ко второму изданию.

Эту работу "подтолкнул" и Международный конгресс научного кино в Киеве, на котором я увидел снятую голландцами небольшую ленту об Эсхере и его работах, названную "Приключения восприятия". Видимо, именно тогда родилась у меня мысль создать свой собственный фильм, пусть и воображаемый, но зато на этот раз мультипликационный, где бы геометрическое и философское начала его работ выступили на поверхность. Настроения тех лет нашли свое отражение в этой книге в одной из "Вариаций".

Еще одно обстоятельство, каким бы незначительным оно ни выглядело со стороны, способствовало тому, что геометрическая тема все эти годы прочно сохраняла свое место на моем письменном столе. Однажды я был неожиданно приглашен на математическую олимпиаду школьников, которую проводил Московский областной педагогический институт имени Н. К. Крупской, где меня ждали два приятных сюрприза: участники демонстрировали свои собственные способы вписывания друг в друга всех пяти милых моему сердцу правильных многогранников — платоновых тел, а в качестве призов победителям олимпиады ее организаторы приготовили "Геометрическую рапсодию".

Несколько позже состоялся вечер в московском молодежном музыкальном клубе, который вот уже четверть века раз в неделю собирается, чтобы обсудить нечто, имеющее отношение к музыке. Его бессменный руководитель Григорий Самуилович Фрид, известный советский композитор, предложил мне рассказать столь взыскательной аудитории о музыкальных аспектах творчества Эсхера, и мне пришлось расплачиваться за слово "рапсодия" в названии своей книги. В качестве иллюстрации к моему сообщению прозвучал один из самых удивительных канонов "Музыкального приношения" И. С. Баха, в котором звуки выстраиваются в "невозможный ряд": кажется, что они идут все выше и выше, без конца и начала, как люди на знаменитой эсхеровской гравюре "Поднимаясь и опускаясь". Когда, к немалому своему удивлению, я обнаружил, что даже далекие от интереса к математике члены музыкального клуба с большим сочувствием и вниманием отнеслись к моему выступлению, я отчетливо понял, что пора браться за переиздание "Геометрической рапсодии".

Таинственные причины, побудившие меня в свое время стать "рапсодом" геометрии, действовали, вероятно, одновременно во всем мире. Результатом этого явилось необычно большое число книг, так или иначе касающихся увлекательных проблем этой мудрой науки, которые появились на полках магазинов к концу семидесятых — началу восьмидесятых годов, отставая от времени выхода оригиналов на те несколько лет, что потребовал их перевод. Кроме их авторов, еще трем человекам обязан я чувством сопричастности к интересам и мыслям многих других людей — Ю. А. Данилову, переводчику многих прекрасных книг, а также уже упоминавшемуся Я. А. Смородинскому и доктору физико-математических наук И. М. Яглому — редакторам, авторам предисловий и послесловий к этим работам.

Будучи лишенным возможности перечислить все замечательные книги, имеющие отношение к красоте и изяществу геометрической мысли, которые появились за истекшее десятилетие, я хочу назвать лишь те из них, что в наибольшей мере подогрели мою решимость вернуться к геометрическим увлечениям прошедших дней. Это прежде всего "Симметрия природы и природа симметрии" Ю. А. Урманцева (М., Мысль, 1974), "Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики" Б. В. Бирюкова и В. Н. Тростникова (М., Знание, 1977), "Узоры симметрии" (М., Мир, 1980), затем "Флатланд" Э. Эбботта и "Сферландия" Д. Бюргера (М., Мир, 1976), "Пространственные построения в живописи" Б. В. Раушенбаха (М., Наука, 1980), "Новые встречи с геометрией" Г. Коксетера и С. Грейтцера (М., Наука, 1978), "Симметрия в науке и искусстве" А. В. Шубникова и В. А. Копцика (М., Наука, 1972), "Этюды о симметрии" Е. Вигнера (М., Мир, 1971), "Россыпи головоломок" Ст. Барра (М., Мир, 1978), третье издание "Наглядной геометрии" Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена (М., Наука, 1981) и, наконец, "Модели многогранников" М. Веннинджера (М., Мир, 1974). Но, быть может, в наибольшей мере появлением своим книга эта обязана серии переводов прекрасных книг Мартина Гарднера, бессменного ведущего математического раздела журнала "Сайентифик Америкэн" — "Математические головоломки и развлечения" (М., Мир, 1971), "Математические досуги" (М., Мир, 1972) и "Математические новеллы" (М., Мир, 1973), а также совсем уж поразительной и по форме и по содержанию книге "Гедель, Эсхер, Бах: вечная золотая цепь" Дугласа Хофстадтера, который пришел на смену оставившему все-таки свой журнальный пост Гарднеру (о ней речь тоже пойдет в "Вариациях").

Это перечисление работ, оставивших свой след в предлагаемой вниманию читателя книге, можно было бы без особого труда продолжить и тем самым, пусть и в косвенной форме, выразить благодарность их авторам.

К. Левитин Добринка, 1984 г.

Строгость математическая, которая состоит в том, чтоб ничего, кроме известного и ясно доказанного, за основание не принимать, нечувствительно приучает рассуждать о вещах твердо и основательно.

Степан Яковлевич Румовский

Интродукция

Все, что находится в природе, математически точно и определенно; и если иногда мы сомневаемся в этой точности, то наше невежество ничего не отнимает от этой достоверности; если бы весь мир сомневался в том, что дважды два — четыре, то все-таки у всех сомневающихся дважды два дадут четыре.

Михаил Васильевич Ломоносов

I

"Рапсодия — это вариации на известные темы", — утверждает "Музыкальный словарь".

Темы бывают разные, в том числе вечные. Устройство мира, его геометрия — одна из них.

II

"Большинство людей получают определенное удовольствие от математики, так же как большинство людей могут наслаждаться прекрасной мелодией, но при этом больше людей интересуются все-таки математикой, а не музыкой" — это утверждение принадлежит Готфриду Гарольду Харди, известному современному математику.

III

Никто, конечно, не подсчитывал, сколько людей интересуется математикой, а сколько — музыкой, хотя на интуитивной основе с Харди можно, вероятно, согласиться: ведь математика не только доставляет удовольствие; изучая "пространственные формы и количественные отношения действительного мира" (Ф. Энгельс), она удовлетворяет практические потребности людей. Однако природа удовольствия, которое получают люди, увлекающиеся математикой, и природа удовольствия, доставляемого музыкой, действительно одна и та же. "Живопись — это музыка для глаз", — говорил французский живописец и график Делакруа. "Ни один живописец не может писать, не зная геометрии", — утверждал Альберти, видный итальянский ученый, архитектор и теоретик искусства Раннего Возрождения.

IV

"Понимание математики не приобретается только безболезненно развлекательными способами — как нельзя овладеть музыкальной культурой, читая журнальные статьи, пусть даже превосходно написанные, надо слушать — внимательно и сосредоточенно" — такого мнения держится Рихард Курант, еще один известный современный математик.

V

"Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным", — повторял Блез Паскаль, один из великих ученых прошлого.

VI

Паскаль и Курант не спорят друг с другом — в их словах нет противоречия. Сама математика, особенно часть ее, называемая геометрией, таит в себе массу занимательных историй, которые хочется слушать внимательно и сосредоточенно.

VII

...Вот вы и начали читать книгу, построенную так же, как и эти несколько предваряющих ее фраз... Главы ее — вариации на различные геометрические темы. Каждые две из них, как кольца, "нанизаны" на третью, связывающую воедино идеи, заключенные в "кольцах". Тот же Харди писал: "Узоры математика, так же как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи, так же как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики". Быть может, именно тут и следует искать объяснение поразительной универсальности геометрических законов, которые действуют с равной эффективностью в кристаллах и в живых организмах, в атоме и во Вселенной, в произведениях искусства и в научных построениях.

"Наука и искусство так же тесно связаны между собой, как легкие и сердце", — писал Лев Николаевич Толстой. Ему, великому писателю, вторят прославленные на весь мир ученые.

А. П. Карпинский, геолог: "Связь между научным открытием и творчеством в искусстве — несомненна. И то и другое обусловливается вдумчивым наблюдением и изучением действительности, и они идут рядом к общей благородной цели".

А. Е. Арбузов, химик-органик: "Не могу представить себе химика, не знакомого с высотами поэзии, с картинами мастеров живописи, с хорошей музыкой. Вряд ли он создаст что-либо значительное в своей области".

А. А. Потебня, филолог-славист: "Поэзия... не изредка, от времени к времени, а постоянно служит источником науки, которая в свою очередь питает новое поэтическое творчество".

В. И. Вернадский, геохимик, биогеохимик, радиогеолог: "Ученые, натуралисты в том числе, часто бывали и художниками в широком смысле этого слова".

И. И. Мечников, биолог: "Великими мастерами в искусстве становятся люди ученые, владеющие математикой и измерительными методами, как, например, Альберти, Леонардо да Винчи, Микеланджело".

С. В. Ковалевская, математик: "Мне кажется, что поэт должен только видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других. И это же должен и математик".

П. Л. Капица, физик: "Наука — дело творческое, как искусство, как музыка".

Эти высказывания, касающиеся науки вообще, а математики лишь в частности, особо применимы к геометрии. Ее внутренняя гармония, строгая и законченная красота не только делают геометрию наукой о фундаментальных свойствах объективного, существующего независимо от нас, нашего сознания мира, но и дают каждому из нас возможность пройти несколько шагов по геометрической стезе. "Если бы только удалось преодолеть то недоверие, с которым весьма многие под влиянием случайных школьных впечатлений сторонятся всего, что связано с математикой, то людей, склонных "импровизировать" в области несложных произведений математического искусства, оказалось бы не меньше, чем активных любителей музыки", — пишут Ганс Радемахер и Отто Теплиц в своей книге "Числа и фигуры".

Попытка преодолеть это недоверие и есть основной мотив предлагаемой вашему вниманию геометрической рапсодии.

Предисловие можно назвать громоотводом.

Георг Кристоф Лихтенберг

I. Поцелуй по расчету

Высь, ширь, глубь.

Лишь три координаты.

Мимо них где путь?

Засов закрыт.

Валерий Брюсов

"Мамочка, почему я все время хожу по кругу?" — "отстань, глупышка, а то я приколю к полу и вторую твою ногу!" — так звучит старая детская шутка. Ее, наверное, придумал древний математик, когда был мальчишкой. Повзрослев, он сформулировал ее по-другому: "Окружность — это совокупность точек на плоскости, одинаково удаленных от какой-то одной точки на этой же плоскости". (Взгляните, например, на фрагмент гравюры М. К. Эсхера "Завиток" — вы найдете ее, как и другие работы этого художника, с помощью указателя, помещенного в конце книги. Созданное воображением художника существо использует основное свойство окружности для передвижения.) Подумав немного, древний математик написал еще одну фразу, покороче: "Сфера — это совокупность всех точек, равно удаленных от одной какой-то точки". (Прекрасная иллюстрация на тему "сфера" — еще две гравюры того же автора: "Спирали на сфере" и "Буковый шар".)

С той поры прошло много лет, а новых хороших геометрических шуток не появилось. Создавшееся положение, конечно, беспокоило серьезных ученых, например Исаака Ньютона. Мы бы, вероятно, никогда не узнали об этом, но, по счастью, друг великого математика оксфордский астроном Дэвид Грегори вел дневник. В один из дней 1694 года он подробнейшим образом записал, как они с Ньютоном крупно поспорили: Грегори по обыкновению размышлял вслух на свои небесные темы — в этот раз о том, как звезды различной величины размещаются на небе. И тут вдруг Ньютон перебил его: "Спорим, что тринадцать одинаковых шаров, как их ни расположи, не могут касаться еще одного шара!" Грегори немного подумал и принял спор. Но сколько друзья ни изводили бумаги и слов, ни один из них не убедил другого. И лишь через 180 лет Рейнгольд Хоппе сумел доказать, что великий математик и в этом научном споре оказался прав. Но доказательство Хоппе было таким громоздким, а проблема настолько увлекала ученых, что до самого последнего времени они без устали решали "задачу четырнадцати шаров". Самое простое доказательство придумал англичанин Джон Лич в 1956 году. А в 1962 году в "Трудах Нью-Йоркской Академии наук" появилась большая статья, посвященная все той же задаче.

Но если считать — хотя это было бы большой ошибкой — все эти работы чисто геометрическим юмором, то двум последним шуткам предшествовало несколько более плоских острот. Плоских — в прямом смысле этого слова.

В июне 1936 года читатели журнала "Нейчур" были приятно удивлены. Известнейший английский химик Фредерик Содди, который получил Нобелевскую премию за то, что открыл изотопы, на этот раз порадовал ученый мир поэмой, состоящей из трех стансов. Она называлась (в вольном переводе) "Поцелуй по расчету", и первый ее станс звучал приблизительно так:

Когда к устам прильнут уста,

Быть может голова пуста.

Но если вдруг четыре круга

Решат поцеловать друг друга,

То лишь геометра расчет

Их к поцелую приведет.

Вариантов два, любой не плох:

Все три в одном, один средь трех (1)[2].

Коль три в одном, то изнутри

К гиганту тянутся они. (2).

Но и средь трех он рад вполне:

Три поцелуя — все извне.

В следующем стансе Содди в том же поэтическом ключе сообщает придуманную им формулу: удвоенная сумма квадратов обратных радиусов равна квадрату их суммы.

В этой несложной формуле Содди предусмотрел и тот случай, когда больший круг охватывает три меньших: тогда надо просто брать величину радиуса со знаком "минус". Всякому ясно, что теперь ничего не стоит вычислить радиус четвертого круга, чтобы он смог "поцеловаться" с тремя другими.

Впоследствии выяснилось, что формулу эту знал еще Рене Декарт. Но Содди открыл ее вполне самостоятельно. И кроме того, он не удовлетворился целующимися кругами. В третьей и последней части своего "Поцелуя по расчету" Содди перешел с плоскости в пространство от кругов к сферам. И тут прежде всего обнаружилось, что в целовальном обряде принимают участие не четыре, а пять сфер, а чтобы они могли коснуться друг друга, им надо, говоря презренной прозой, подчиниться требованиям формулы: утроенная сумма квадратов обратных радиусов равна квадрату их суммы.

Любители математических головоломок приуныли: все загадки о соприкасающихся кругах и сферах стали решаться с удручающей легкостью. Ну вот, к примеру, одна из них, просто так, чтобы лишний раз помянуть добром Содди. На столе лежат три арбуза, каждый диаметром в тридцать сантиметров, а под ними — апельсин. Конечно же, все фрукты, выращенные в садах геометрии, имеют идеальную сферическую форму. А потому легкий вопрос: каков диаметр апельсина?

Но Нобелевский комитет не дал Фредерику Содди еще одну премию, быть может, потому, что его формулы никак не помогали решать другие геометрические задачи, которые отняли у мыслящего человечества не одну тысячу человеко-часов. А именно — "упаковочные" головоломки. Формулируя задачу на теперь уже привычном нам языке геометрической эротики, мы поставим вопрос так: каково максимальное число кругов (или сфер), которые могут одновременно поцеловать один (одну) такой (такую) же, целуясь при этом со своими соседями?

На плоскости задача элементарно проста: шесть кругов касаются седьмого, центрального (3). (В качестве таких кругов приятно взять четыре гравюры М. К. Эсхера, которые называются "Пределы на круге".) Но со сферами дело обстоит куда сложнее — недаром Ньютон так и не смог убедить своего друга Грегори, что их может быть не больше тринадцати, включая сюда и "целуемую".

В те годы пинг-понг еще не был в моде, а то бы спорщики могли поставить любопытный эксперимент. Отбросив предрассудок, им надо было взять "чертову дюжину" шариков и сдавить их прозрачной резиновой пленкой. Они могли бы убедиться, что "обычная" дюжина охватывает "чертов" шарик таким образом, что все двенадцать шариков располагаются в вершинах воображаемого икосаэдра (правильного двадцатигранника) и между ними остается небольшой зазор (4). Но достаточен ли этот зазор, чтобы втиснуть еще и четырнадцатый шарик? Вот в чем вопрос. Можно пробовать располагать шары в самых различных комбинациях, но место для еще одного не освобождается. Это, однако, вовсе не доказывает, что такую удачную комбинацию найти невозможно.

Но все-таки — да или нет? Как доказать строго? Хоппе придумал — думайте, если это доставляет удовольствие, и вы.

Быть может, подобные головоломки вам, как и Исааку Ньютону, покажутся трудными, но попытайтесь все-таки совершить над собой некое интеллектуальное насилие. Все это не просто стандартные "вопросы на повторение пройденного". Впереди космическое развитие темы Круга и Сферы, и к нему надо подготовиться.

1

...По счастью, журнал "Нейчур", заложивший основы изучения геометрических поцелуев, известен своей серьезностью. Серьезностью даже в шутках. Напечатав стансы Содди о целующихся кругах и сферах, редакция посчитала, что вопрос освещен недостаточно фундаментально. И спустя полгода, в январском номере 1937 года, опубликовала еще один заключительный станс, принадлежащий перу Форольда Госсета, обитавшего отнюдь не на Парнасе, но в Кембриджском университете. Это было одно из многих стихотворных произведений, присланных в редакцию с единственной целью: обобщить формулу Содди на случай n-мерного пространства, в котором целуются, естественно, n-мерные сферы — гиперсферы.

Чтобы вполне насладиться этим поэтическим шедевром, нам надо справиться с совсем простым делом: представить в себе n-мерную сферу.

2

"Когда нематематик слышит о четырехмерных вещах, его охватывает священный трепет..." — так говорил Альберт Эйнштейн. А Герман фон Гельмгольц считал, что представить себе четвертое измерение — все равно что слепому от рождения вообразить краски. Заметьте, речь идет всего лишь о четвертом измерении. Что же тогда сказать о пятом, шестом, а то и вообще об n-м?

И все-таки рискнем!

Впервые слова "n-мерное пространство" прозвучали в 1854 году в речи Бернгарда Римана при вступлении его на должность преподавателя Геттингенского университета. Она называлась "О гипотезах, образующих основания геометрии" и в самом деле провозглашала совсем новую, неожиданную и уж во всяком случае неевклидовую геометрию, названную впоследствии "римановой". Впрочем, и Евклид, создавая свою геометрию, возможно, размышлял о "мере мира". "Точка — это то, что не имеет частей", — говорил он. Современный математик посчитал бы эти слова пусть примитивным, но довольно точным определением "объекта нулевого измерения". Точка, оставленная карандашом на бумаге, острие булавки или башенного шпиля — вот эти "объекты" в реальной жизни. Сфера нулевого измерения — это и есть точка.

3

Нить, проволока и любая иная линия — это уже одномерные предметы: у них есть длина. Сфера в пространстве одного измерения — это две точки на прямой: центр этой одномерной сферы лежит посередине между ними.

Представители двумерного мира имеют и длину и ширину — это ленты, куски ткани, листы бумаги" Окружность, граница двумерного круга — вот что такое сфера в пространстве двух измерений.

И наконец, кубы, пирамиды, дома, корабли и самолеты так же, как и мы с вами, входят в неисчислимую армию "трехмерцев", обладающих вдобавок к длине и ширине еще и высотой. У них есть объем. Сфера в трехмерном пространстве — это шар, "обычная" сфера.

Но вот что любопытно. Проволоку можно сломать, лист бумаги разрезать, а куб распилить. И при этом получается, что одномерная поверхность, линия, разделяется поверхностью нулевого измерения — точкой. Двумерная плоскость делится надвое одномерной линией, а трехмерный куб — двумерной плоскостью. Иными словами, границей "разлома" тела служит какое-то другое тело, измерение которого на единицу ниже.

Что же тогда служит границей четырехмерной сферры? Поистине прав Эйнштейн: оторопь берет, когда пытаешься все это вообразить!

4

Но не будем отчаиваться и зайдем с другого конца.

Если точку "протащить" по бумаге, то получится линия. Линия, в свою очередь, "заметает" плоскость — получается квадрат. Вытянем квадрат из плоскости — сделаем куб. Это уже третье измерение. Но что же такое надо сделать с кубом, чтобы обратить его в четырехмерное тело? И как его себе представить?

А что мы делаем, чтобы изобразить на плоском листе бумаги трехмерный куб? Мы проецируем его на плоскость. Получаются два квадрата один в другом, соединенные вершинами (5). Так спроецируем же и четырехмерный куб! Мы получим по аналогии два куба, один в другом, и снова вершины попарно соединены. Вот он, посланец четвертого измерения, вернее, не сам он, а его проекция на плоскость (6).

И точно так же, рассуждая по аналогии, мы можем отдаленно представить себе четырехмерную сферу. Если спроецировать глобус на плоскость, то проекции двух его половин наложатся одна на другую, и Нью-Йорк окажется где-то в центре нашей Сибири. Проецируя глобус, мы пропускаем одну его полусферу сквозь другую и соединяем их проекции, круги, только по границе — окружности (как квадраты по вершинам). Проекция гиперсферы — два шара, прошедшие один через другой и соединенные только по внешним поверхностям. Конечно, вообразить все это нелегко, но ничего мистического тут нет.

Еще один гость из иных миров носит имя "четырехмерный симплекс". Симплекс — это простейшая из всех возможных фигур. Добавляя каждый раз всего по одной точке, мы пробегаем по ступеням лестницы размерностей. Одна точка — это нульмерный симплекс. Он живет, как уже говорилось, в нулевом измерении. Две точки определяют отрезок — одномерный симплекс. Измерение — первое" Третья точка превращает линию в треугольник — двумерный симплекс. Еще точка — и вот перед нами пирамида. Это уже простейшее из всех трехмерных тел — трехмерный симплекс. Но вот добавлена пятая точка. Эта необычная конструкция состоит из пяти пирамид. Все вместе они отделяют четырехмерный симплекс от остального четырехмерного пространства точно так же, как шесть граней куба отделяют его от остального трехмерного пространства, а три стороны треугольника ограничивают его на плоскости.

Но что дает нам уверенность, что гиперкуб или "старший" из симплексов не принадлежит к нашему трехмерному миру? Существует один простой тест, основанный на формуле, выведенной еще Леонардом Эйлером[3]. Это удивительная формула. Она — истинно топологическая, потому что имеет дело не с размерами, углами или площадями, а лишь с числом вершин, ребер и сторон, или граней, любой геометрической фигуры. Вот она:

Г+В = Р+2.

То есть число граней (Г) плюс число вершин (В) равно числу ребер (Р) плюс 2. Проверьте правильность этой формулы на какой угодно фигуре — кубе, пирамиде, тетраэдре, икосаэдре, произвольном многограннике, теле самой замысловатой формы. При любых деформациях любой из них формула Эйлера верна.

Но возьмите гиперкуб (6): 24 стороны, 16 вершин, 32 ребра и сверх того 8 трехмерных граней — вот то геометрическое богатство, которым он обладает. Простейшие арифметические действия убедят вас, что гиперкуб пришел к нам в гости из сложнейшего четырехмерного мира, для него несправедлива формула Эйлера.

Итак, знакомство состоялось. Так и хочется задать "четырехмерцам" традиционный вопрос: "Ну как там?" Но гиперкуб молчит всеми своими восьмьюдесятью элементами, симплекс тоже безмолвствует, и нам остается лишь еще раз прибегнуть к испытанному приему — разбежаться перед прыжком: раз надо исследовать свойства четвертого измерения — отступим пока во второе.

"Гораздо легче найти ошибку, нежели истину", — писал великий Гёте. В 1884 году Эдвин Эбботт издал книгу, где справедливость этих слов доказывалась с наглядностью геометрического построения.

Книга его называлась "Флатланд — "Плосколяндия", и хотя она была чисто математической по содержанию, но вызвала много шума в разных кругах общества — автора упрекали даже в женоненавистничестве. И в самом деле, в воображаемой Плосколяндии, стране двух измерений, женщины были простейшей из фигур — прямой линией. Все остальные обитатели представляли собой различные многоугольники: рабочие и солдаты — треугольники, ремесленники — квадраты, джентльмены — пятиугольники, а священники были настолько многоугольными многоугольниками, что больше всего походили на круг. И вот в этот плоский, плоский, плоский мир является существо из третьего измерения — сфера. Квадрат (от его лица ведется рассказ) увидел перед собой священника, который вел себя самым противоестественным образом: он то раздувался, то сжимался. Сколько ни пыталась Сфера объяснить Квадрату, что все эти видимые им круги разного диаметра — это все она одна, когда проходит сквозь Плосколяндию вверх и вниз, он так и не смог вообразить себе трехмерную сферу, пронизывающую его двумерный мир.

Как можно убедить разумное существо, что ты посланец иных миров? Только продемонстрировав ему чудо. Здесь у нас с вами, как и у любого "трехмерца", самые широкие возможности. Ну что нам стоит вынуть плоскатика из его дома (а это просто замкнутая кривая), не разрушая стен? Извлечь содержимое плоского яйца, не протыкая его скорлупы? Произвести трансплантацию сердца любому гражданину Плосколяндии, не вскрывая его грудной клетки? Да просто, наконец, приподнять любой предмет в этой стране над плоскостью и тем самым "выключить" его из жизни и даже из поля зрения? И пусть плоскатики сочиняют свои басни о своих "летающих тарелочках".

Если две Плосколяндии удалены друг от друга на тысячи световых лет, но плоская лента их мира извивается в пространстве так, что одни ее участки оказываются поблизости один от другого, как по гравюре "Оболочка" голландского художника Маурица Корнелиса Эсхера, то мы легко можем перенести плоскатика из одной галактики в другую со скоростью, в тысячи раз превышающей "его" скорость света: ведь мы пронесем его через третье измерение.

Такие сказочные возможности несет в себе увеличение размерности мира всего на единицу. Это значит, что "четырехмерцы" так же всемогущи по отношению к нам, как мы — по отношению к "двумерцам". Скажем, нам не под силу надеть левую перчатку на правую руку или правый ботинок — на левую ногу. Но "четырехмерец" без труда мог бы унести на мгновение и перчатку, и ботинок в свое "лишнее" измерение и вернуть их оттуда симметрично отображенными. Первым до этого додумался в 1827 году Франц Фердинанд Мёбиус, человек, чье имя встретится нам еще не раз. В чем тут фокус — вопрос особый, и мы к нему еще вернемся, а пока подумайте: как бы вы могли помочь "двумерцам" обуться, если бы вдруг все их сапожники стали делать туфли только на одну — левую или правую — ногу?

5

Новое измерение таит в себе такие невероятные возможности, что в сознании людей, не обретших твердого философского материалистического фундамента, не могло не вызвать потусторонних мыслей. В 1879 году вышла книга астронома и физика Иоганна Карла Фридриха Цёльнера "Трансцендентная физика". Он развил стройную "теорию" о том, что все покойники должны встречаться в четвертом измерении, которое Цёльнер представлял себе как некую комбинацию Элизиума и Валгаллы — рая и ада.

Этого немецкого ученого можно заподозрить в чем угодно, только не в желании прослыть остряком — он все писал и делал всерьез, что ярко проявилось в истории с Генри Слейдом. В то время Европа упивалась спиритизмом. Слейд как раз и был одним из кумиров околонаучных гостиных. Сей загадочный американец утверждал, что постоянно держит связь с четвертым измерением и охотно демонстрировал свой любимый фокус: завязывал узел на соединенной в кольцо веревке или ленте.

(Как это может сделать существо "высшего порядка", видимо, вообразить себе не так уж сложно, а технология, примененная Слейдом, подробно рассмотрена в книге Гарри Гаудини "Фокусник среди спиритов" и даже в "Трудах Американского общества психиатров". Вместе с этими двумя разоблачительными работами появилась и одна защитительная, написанная "отцом" Шерлока Холмса Артуром Конан Дойлем. Она называлась "История спиритизма", и Слейд в ней выглядит не шарлатаном, а чудотворцем. Если добавить к этому, что и "Труды", и обе книги появились уже в двадцатых годах нашего века, станет понятным, насколько глубокое и длительное впечатление производили заигрывания Слейда с четвертым измерением.)

Цёльнер решил организовать эксперимент по всем правилам науки. Он предложил Слейду превратить морскую раковину, закрученную левой спиралью, в точно такую же, но только зеркально отображенную с правой спиралью. Кроме того, Цёльнер принес на спиритический сеанс немного виннокаменной кислоты с "правым" пространственным расположением молекул и попросил преобразовать ее в кислоту с "левым" расположением тех же молекул. Разумеется, для человека, который запанибрата с четвертым измерением, сделать все это не сложнее, чем завязать узел на соединенной в кольцо ленте. Но, с точки зрения фокусника, тут есть свои трудности — надо суметь синтезировать новую кислоту или же, что еще сложнее, найти симметричную данной морскую ракушку.

Конечно, ничего у Слейда не получилось. Но Иоганн Карл Фридрих Цёльнер был слишком серьезным ученым (и слишком легковесным философом), чтобы отказаться от своей "теории" потусторонней физики или заподозрить всемирно известного спирита в элементарной подтасовке. Раз узел появлялся, рассуждал, он, значит, есть и контакт с четвертым измерением. А раз есть четвертое измерение, то, значит, там обитают души умерших...

Вообще сама идея четвертого измерения не раз привлекала к себе внимание крайних мистиков, служила пищей для самого дикого суеверия. Любопытно, что происхождение ее связано с Платоном, самым крупным древнегреческим философом-идеалистом, с именем которого нам много раз предстоит встречаться на страницах этой книги, поскольку оно было присвоено целой группе геометрических тел — вполне материальных, не несущих в себе даже тени идеалистического мировоззрения. Так вот именно Платон в своей "Республике" повествует о прикованных у входа в пещеру пленниках, которые могут видеть лишь противоположную стену ее и на ней свои тени и тени предметов, случайно оказывающихся у них за спиной. Эта невыносимая жизнь длится столь долго, что несчастные в конце концов начинают считать тенями самих себя, да и весь мир кажется им миром теней некоего иного внеземного и более совершенного мира — мира идей.

Неоплатоники, черпавшие свои мистические воззрения не только у своего учителя, но и из различных восточных религиозных учений, развили представление о реальном мире как о тени, отбрасываемой миром потусторонним. Есть мнение, что само выражение "четвертое измерение" (quarta dimensio) появилось впервые в сочинении английского мистика, кембриджского неоплатоника Мора в его книге "Энхиридион Метафизикум", изданной в 1671 году.

Представители различного рода религиозных культов усердно заселяли четвертое измерение (вообще говоря, с точки зрения строгой геометрии правильнее было бы такое выражение: пространство, имеющее четыре измерения) душами усопших. Верующим сообщались и многочисленные доказательства того, что дело обстоит именно таким образом. При этом мистики иудаизма приводили цитаты из каббалистических книг "Зохар" и "Сефер Ецира", где повествуется о явлении душ умерших в наш мир и о творимых ими чудесах; мусульманские проповедники ссылались на некоторые суры Корана и хадисов — священных преданий; идеологи христианства находили неотразимые, по их мнению, свидетельства в Евангелии и апокрифах — библейских книгах, не признаваемых священными официальной церковью. К примеру, во "Втором Послании апостола Павла к Коринфянам" речь идет о человеке, который был "взят до третьего небосвода", что толковалось как безусловное и очевидное перемещение его в четвертое измерение. В его же "Послании к Эфесянам" говорится о "ширине, длине, глубине и высоте", другими словами, о всех четырех измерениях "мира духов". А в "Откровении Иоанна" — "Апокалипсисе" — сказано, что лично сам Иоанн был "вознесен в духе" и при этом увидел "город четырех-квадратный". Ясное дело, что перед его очами предстал гиперкуб, притом именно четырехмерный!

Нет, не математики или физики виновны в том, что идея четырехмерного пространства дала пищу для всякого рода чертовщины. Забавно: Клейну пришлось публично объяснять, что сделанное им математическое открытие (смысл которого сводится к тому, что узлы замкнутой кривой в пространстве трех измерений могут быть развязаны в пространстве четырех измерений) никакого отношения к "миру духов" не имеет, хотя Цёльнер и ссылался именно на эти работы Клейна. Позже даже Эйнштейну пришлось отмежевываться от разного рода мистических спекуляций на понятиях о четырехмерном пространстве Минковского, кривизне пространства-времени и других рожденных теорией относительности представлениях.

Громя в "Материализме и эмпириокритицизме" махизм за отрицание объективной реальности, В. И. Ленин тоже не обошел вниманием этот вопрос. По его мнению, австрийский физик Мах, пользуясь методами "...молчаливых заимствований у материализма...", совершенно справедливо защищает в своей "Механике" "тех математиков, которые исследуют вопрос о мыслимых пространствах с n измерениями, защищает от обвинений в том, будто они повинны в "чудовищных" выводах из их исследований". И далее В. И. Ленин, цитируя и ссылаясь на Маха, пишет: "Новейшая математика... поставила очень важный и полезный вопрос о пространстве с п измерениями, как о мыслимом пространстве, но "действительным случаем" (ein wirklicher Fall) остается только пространство с 3-мя измерениями... Поэтому напрасно "многие теологи, испытывающие затруднения насчет того, куда им поместить ад", а также спириты пожелали извлечь для себя пользу из четвертого измерения..."

В. И. Ленин назвал "прекрасным аргументом" следующее утверждение Маха: "Акушера такого еще не было... который бы помог родам при помощи четвертого измерения". Но этот аргумент, говорит В. И. Ленин, прекрасен только "...для тех, кто видит в критерии практики подтверждение объективной истины, объективной реальности нашего чувственного мира. Если наши ощущения дают нам объективно верный образ внешнего мира, существующего независимо от нас, тогда этот довод с ссылкой на акушера, с ссылкой на всю человеческую практику, годится. Но тогда весь махизм, как философское направление, никуда не годится".

Геометрическая идея n-мерности, как видим, имеет длительную и бурную философскую предысторию.

С помощью этой идеи и многие другие науки пытались разрешить свои трудности и неясности. Например, протекание электрического тока до открытия электрона некоторые физики объясняли некими четырехмерными вихрями. Существовали одно время представления и о четырехмерной химии. Английский химик Хинтон утверждал, что в молекуле алкоголя С_5Н_12О все пять атомов углерода находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, что, разумеется, невозможно в нашем трехмерном мире, но зато легко осуществимо в пространстве четырех измерений. На самом же деле, как теперь известно, структурно молекула алкоголя выглядит так:

Но те, кто верил в "четырехмерную химию", упорно считали, что оптическая изомерия, то есть существование соединений одинакового химического состава, но только имеющих кристаллы, зеркально расположенные в пространстве относительно друг друга, свидетельствует о существовании и четвертого измерения тоже. Любопытно и поучительно, что решительный шаг в научном объяснении оптической изомерии был сделан крупным русским химиком А. М. Бутлеровым, который был ревностным сторонником спиритизма. Однако, создавая свою теорию строения химических соединений, он ясно видел, что для того, чтобы двум оптическим изомерам "поменяться местами", то есть превратиться в зеркально отраженные, нет никакой необходимости в четвертом или каком либо ином измерении.

"Тем, кто хорошо знаком с пятым измерением, ничего не стоит раздвинуть помещение до желательных пределов. скажу вам больше, уважаемая госпожа, до черт знает каких пределов!" — самодовольно говорит Коровьев в "Мастере и Маргарите". Неуемная фантазия Булгакова не удовлетворилась даже четвертым измерением — ему понадобилось пятое.

Фантасты тоже не обошли "мир иной" своим вниманием. Первым среди них был, видимо, Герберт Уэллс. Школьный учитель Готфрид Платтнер, герой рассказа Уэллса "История Платтнера", изобрел желтый порошок, который, взорвавшись, забросил изобретателя в четвертое измерение. Через девять дней жизни там Платтнер споткнулся, у него в кармане разбилась бутылка с тем же порошком, и он очутился дома, без потерь и происшествий, если не считать того, что сердце у него переместилось в правую часть грудной клетки, а сам он стал писать левой рукой, да вдобавок зеркально. "Люди как боги" — другое произведение Уэллса, в котором "действует" четвертое измерение. Уэллс лишь открывает список фантастов, которых увлекла эта тема. В этом списке стоят имена многих других знаменитостей этого увлекательного жанра литературы.

Но попробуем остаться на почве реальных фактов Наша мысль рвется в четвертое измерение, а освоили ли мы свое собственное, третье? В полной ли мере познали мы его геометрические свойства и все ли три пространственные координаты — длина, ширина и высота — нам одинаково близки и понятны?

"Геометрия — это интуиция", — определение Гельмгольца не претендует на строгость, но зато оно глубоко по мысли. "Вообразить геометрические отношения интуитивно, — считал он, — это значит выразить те следствия, которые встретятся в мире, где эти отношения имеют силу". Но вот что пишет немецкий философ Ганс Рейхенбах: "Пользуясь нашей геометрической интуицией, мы ограничены своим личным опытом: точками, линиями, площадями, объемом и т. п. Более сложный опыт — это положение точки на прямой или в объеме, пересечение линий в точке, расположение сферы в объеме. Наша интуиция имеет вообразительную функцию, связанную с нашим прошлым чувственным опытом, — например, треугольник, нарисованный на стене, дорожный знак или часть орнамента в виде треугольника. Но вместе с тем у нее есть и нормативная функция, которая не позволяет нам взглянуть на одну и ту же идею с разных сторон".

Вот простейший пример. Дана замкнутая кривая — круг или квадрат. Требуется чисто умозрительно, без карандаша и бумаги, решить: можно ли соединить две точки — одну внутри кривой, другую вне ее, но так, чтобы не пересечь замкнутой кривой.

Представив себе этот элементарный чертежик и немного поразмыслив, мы уверенно утверждаем, что задача невыполнима. Это сработала нормативная функция воображения. Дело в том, что наш "внутренний взор" несет в себе евклидову плоскость — лист бумаги. Конечно же, на листе не соединишь две точки, не перечеркнув кривую, охватывающую одну из них. Но кто говорил нам о типе поверхности, на которой предстоит решать задачу? А если это не плоскость, а, скажем, бублик или автомобильная шина — все получается легко и просто.

Человек слишком привык к двумерному миру. Наша "вообразительная" интуиция тут никогда нас не подводит. Но как только дело доходит до пространственных представлений, она начинает хромать. Высоту дома оценить куда труднее, чем его длину или ширину. А сказать, как далеко находится самолет или облако, неподготовленный человек не может даже приблизительно. Третьей координатой — не то что четвертой! — нам еще овладевать и овладевать.

Причина тут не психологическая, а чисто физиологическая. Все дело в устройстве наших глаз. Когда мы смотрим на удаленный предмет, особые мускулы изгибают хрусталик глаза — естественную линзу, чтобы изменить ее фокусное расстояние и дать нам увидеть предмет отчетливо. Если же мускулы устали, то приходится заводить очки и менять фокусное расстояние искусственно. Наводка на резкость фотокамеры — полная аналогия этому процессу, который в физиологии называется аккомодацией.

И еще в каждом глазе есть группа из шести мускулов, которые поворачивают его таким образом, чтобы направления взгляда правого и левого глаза пересекались в одной точке. Это называется конвергенцией. Так создается бинокулярный эффект — мы видим мир объемным. Стереоскоп, в котором рассматривают "выпуклые" картинки, построен по этому же принципу.

"Третье измерение мы обнаруживаем с помощью аккомодации и конвергенции. восприятие третьего измерения сводится к ощущению усилия, которое мы испытываем при аккомодации каждого глаза, и ощущению усилия, которое возникает в обоих глазах, когда они настраиваются на нужный угол сходимости — то есть при их конвергенции. оба эти ощущения мускульные, они совершенно непохожи на зрительные ощущения, которые позволяют нам воспринимать первое и второе измерения", — это пишет не физиолог, а математик, притом известнейший — Анри Пуанкаре. Впрочем, любой из нас сам мог бы прийти к подобным выводам на основе собственного опыта. Мы видим плоскую картину, улавливаем игру света и тени, краски, взаимное расположение фигур и цветовых пятен на ней — и все это зрительные ощущения. Панорама же требует от наших глаз включить мускульный аппарат аккомодации и конвергенции, и мы мгновенно ощущаем его работу. Но интуиции на мускульные усилия, как и на пространственное расположение фигур, у человека еще не выработалось.

Внимательно всмотритесь в гравюры Маурйца Эсхера "Куб и волшебные ленты", "Выпуклое и вогнутое", "Поднимаясь и опускаясь", "Бельведер" и "Водопад". Вы увидите, какие шутки способны сыграть с нами наше восприятие пространства и объема.

Ленты поистине магические — "протуберанцы" на них вы можете по своему произволу считать знаком и выпуклости, и вогнутости. Стоит изменить точку зрения, и лента на рисунке вдруг на глазах перекрутится. Подобные же шутки позволяют себе и целые архитектурные детали.

6

Улыбающийся юноша на приставной лестнице, стоя у ее подножия, был "внутри" "Бельведера", удивительной конструкции. Теперь, когда он поднялся почти до самого верха, он опять "снаружи" и должен преодолеть еще несколько ступенек, чтобы вновь оказаться "внутри" "Бельведера". Как это могло случиться?

Если вам не удастся разгадать эту геометрическую шараду самому, обратитесь за помощью к человеку, изображенному внизу гравюры сидящим на скамье. Перед ним чертеж — проекция куба на плоскость. Кружочками отмечены точки, где пересекаются проекции граней. Но какая из них впереди, а какая сзади? Если отказаться от единственно возможного на первый взгляд ответа на этот вопрос, то получится кубоид — геометрическая модель "Бельведера", которую Человек-на-скамейке держит в руках.

Еще ярче демонстрирует ущербность нашего восприятия трехмерного пространства бесконечная лестница, по которой одни люди идут вверх, а другие — вниз по одним и тем ступеням! Или же непрерывно бегущая вверх вода в "Водопаде".

Английский ученый профессор Е. Р. Лайтвейт из Королевского колледжа науки и техники пытался научить своих подопечных изобретательству. Он считал, что главное — это развить воображение и прежде всего — пространственное. Надо уметь "видеть" невозможные вещи. Студентам демонстрировали, например, пространственный треугольник, который не может существовать в нашем мире (7). А уже знакомый нам кубоид выдавался за коробку, в которую можно складывать эти геометрические призраки (8). Или же будущим эдисонам показывали совсем уж чудовищный рисунок на него даже смотреть несколько секунд подряд невыносимо для здоровой психики! (9)

7

"Утверждение о том, что человек обладает способностью зрительно воспринимать пространство, на первый взгляд кажется совершенно очевидным, однако более серьезный анализ этого вопроса, не обремененный стереотипными представлениями обыденного сознания, убеждает нас в том, что изучению психических механизмов, лежащих в основе нашей способности зрительно воспринимать пространство, должно предшествовать доказательство наличия такой способности", — пишет в своей книге "Зрительное восприятие пространства" советский исследователь А. Д. Логвиненко. Иными словами, не такой уж это простой вопрос о том, как мы видим пространство. И в самом деле, мы живем в трехмерном мире, а мысль наша между тем издавна привержена к двум измерениям. Когда Зевс решил найти середину мира, он поступил просто: послал двух орлов, летящих с одинаковой скоростью, к дальним концам мира и стал ждать, когда они встретятся на обратном пути. Точка встречи — это и есть середина мира. Плоского двумерного мира, каким он виделся Громовержцу.

Человечество пошло не по пути овладения третьим измерением, а по пути его "приручения": люди старались втиснуть объем в плоскость, изобразить окружающий мир на скале, песке или папирусе.

"В нашем трехмерном мире нет по-настоящему ни двумерных, ни четырехмерных вещей, ничто не абсолютно плоско, даже самое тщательно отполированное зеркало. но будем по привычке называть стену или лист бумаги плоскими. с ранних лет человек рисует на таких "плоскостях", чтобы дать впечатление о пространстве, глубине и объеме — так, словно это самая .простая вещь на свете, но разве это не абсурдно — нарисовать на бумаге несколько линий и сказать: "Это дом"?" — эти слова принадлежат Mayрицу Эсхеру. Взгляните на его гравюру "Балкон" — эту удивительную попытку вырваться в третье измерение. Вот что говорит о ней сам автор: "Будем помнить, что пространственное изображение квартала домов и солнца, сияющего над ним, — это чистая фикция: ведь бумага — не что иное, как плоскость, даже если она покрыта освещенными и затемненными участками. Но в порыве самонасмешки, словно издеваясь над собственной беспомощностью, художник сделал попытку разорвать единство плоской поверхности в центре рисунка. Он нанес по задней стороне его удар такой силы, что явно проступило вздутие. Впрочем, результат все равно равен нулю, потому что бумага так и осталась плоской..."

8

Попытки "разорвать единство плоской поверхности" сделаны и в других гравюрах Эсхера: "Рептилии", "Дорические колонны", "Три сферы. I" и "Дракон". Третье измерение здесь буквально вырастает из второго — взаимосвязь видна со всей графической отчетливостью.

Вся беда в том, что мы сами живем в третьем измерении и поэтому смотрим на него "изнутри", наш объемный мир мы видим как бы плоским. Звучит парадоксально, но поместите лист бумаги с нарисованной на нем Плосколяндией и всеми ее обитателями точно на уровне глаз — и вы на секунду испытаете трагедию плоскатиков, обреченных жить в двух измерениях, но ощущать лишь одно. Ведь чтобы увидеть фигуру — квадрат ли, круг, им надо хоть немного "выскочить" из своей плоскости. Но это невозможно, и именно поэтому весь мир они воспринимают как одну сплошную "женщину" — прямую линию. Остается лишь обойти фигуру со всех сторон и ощупать ее, но только представители "низших классов" в Плосколяндии могут позволить себе, да и то изредка, столь вульгарное поведение. "Лучше плохо видеть, чем хорошо щупать!" — одна из первых заповедей воспитанного человека в этой стране.

В предисловии ко второму изданию своей книги Эдвин Эбботт отверг обвинения в женоненавистничестве, хотя и согласился с критиками, что он обрек плоскатиков на ужасную жизнь. Однако, заявил он, плосколяндцы обладают третьим измерением, но только оно вне их восприятия — ведь их мир одной толщины.

9

Так не обладаем ли и мы в зачаточной форме четвертым измерением, несмотря на то что даже третье, не освоено еще нами полностью?

Вместо ответа на этот вопрос — несколько совсем уж поразительных фактов, связанных с пространствами более чем четырех измерений.

Помните спор Ньютона и Грегори о тринадцати шарах, касающихся четырнадцатого? Сколько таких целующихся гипершаров может быть в четырехмерном пространстве? Оказывается, 24. А в пространствах пяти, шести, семи, восьми измерений соответственно 40, 72, 126 и 240. Последнее число было найдено в конце прошлого века русскими математиками А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым и уже известным нам англичанином Форольдом Госсетом.

Но это не самое удивительное в парадоксах многомерности. Вот еще один и последний. Куб вместит в себя по диагонали квадрат, площадь которого больше площади одной его грани. В четырехмерный куб впишется обычный куб, объем которого больше объема одной гиперповерхности гиперкуба. А в n-мерный куб с ребром в один миллиметр войдет океанский корабль и весь наш трехмерный мир, если только п достигнет нужной величины.

Попытайтесь представить себе эти непредставимые вещи — и вы услышите музыку сфер, о которой, собственно, и шла речь в этой главе.

Математика — это большой город, чьи предместья не перестают разрастаться, в то время как центр периодически перестраивается, следуя каждый раз все более ясному плану и стремясь к все более и более величественному расположению, в то время как... старые кварталы с их лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более прямые, все более широкие и удобные...

Никола Бурбаки

II. Мебиусиана

Геометрия есть познание всего сущего.

Платон

"Униформа, по местам! Маэстро, туш!" — на арене фокусник. Его инструментарий прост до крайности — горизонтальная перекладина на двух стойках, в которую вбито несколько гвоздей, и на каждом из них висит по длинной яркой ленте. Все самое простое и настоящее — любой желающий волен убедиться в этом собственноручно. Маг закуривает сигарету и горящим концом дотрагивается до первой ленты. Пламя бежит вдоль нарисованной посередине ленты дорожки, вызывая восхищение малышей. Но вот огненное кольцо замкнулось — и тут уж крик удивления вырывается у взрослых: вместо ожидавшихся двух тонких лент появляется одна длинная. Прикосновение сигареты к другой ленте — снова взрыв детского восторга и за ним озадаченное молчание взрослых: теперь перед ними две ленты, продетые одна в другую. Еще одна огненная дорожка — и лента делает еще один неожиданный вольт: теперь она завязывается узлом.

Детская радость понятна — им неведомо, что на свете бывают химики и что они придумали калиевую селитру. Но и недоумение родителей тоже идет от незнания — топологии вообще и одной из ее излюбленных игрушек, "листа Мёбиуса", в частности.

А игрушка эта полюбилась математикам, и не им одним. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена все та же лента. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка — своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

В своей работе "Об объеме многогранников" он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Самое же при этом удивительное, пожалуй, то, что сделать ее своими руками не представляет решительно никакого труда: надо лишь взять полоску бумаги и склеить ее концы, предварительно повернув один из них на 180 градусов. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента, Мёбиуса. Чтобы наглядно убедиться, что у вашей самоделки действительно всего одна сторона, попробуйте закрасить перекрученную ленту в два цвета — одним с внешней, а другим — с внутренней стороны. Что бы вы ни придумывали, вам это не удастся. Но зато муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через его край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это видно на гравюре Маурица Эсхера "Лента Мёбиуса. II".

Итак, односторонность. В геометрическом, разумеется, понимании этого слова, потому что в нашем общечеловеческом смысле трудно представить себе более разностороннюю геометрическую фигуру. Теперь, когда вы познакомились с ней, наверное, уже никакая сила не Удержит вас от того, чтобы не клеить все новые и новые ленты, закручивая их то на один, то на два, а то и на три полуоборота, и потом беспощадно разрезать вдоль. И вы будете вознаграждены за свою любознательность — полоска бумаги повторит все фокусы, показанные в Цирке.

Да что цирк! Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мёбиуса — в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же односторонняя поверхность. В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу — триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу "с двух сторон". Ему выдали патент № 1442632. Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое. (Речь идет, разумеется, о так называемой "непрерывной ленте", то есть замкнутой в кольцо, вроде автоматических телефонных часов или милицейских лозунгов о безопасности движения, передаваемых через репродукторы, патрульных машин.) В 1969 года советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мёбиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной. Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство № 259449).

Идея использовать ленту Мёбиуса не оставляла изобретателей и в последующие годы. В 1971 году П. Н. Чесноков из Уральского политехнического института имени С. М. Кирова получил авторское свидетельство на фильтр непрерывного действия для жидкости, "отличающийся тем, что, с целью интенсификации процесса фильтрования и увеличения срока службы фильтрующего материала, лента выполнена в виде Мёбиуса листа". Год спустя И. В. Киселев стал официально автором устройства, про которое в авторском свидетельстве сказано: "Бесконечный шлифовальный ремень, выполненный на гибкой основе с нанесенным на нее абразивным покрытием и склеенный в кольцо с повернутой ветвью, отличающийся тем, что, с целью увеличения стойкости, он имеет в сечении форму многогранника с равными гранями, покрытыми абразивным слоем, а ветвь его повернута на одну грань". Институт электродинамики Академии наук Украинской ССР представил изобретение своих сотрудников Ю. И. Драбовича и И. А. Криштафовича. Оно сформулировано так: "Магнитный сердечник, изготовленный из ферромагнитной ленты с изоляционным покрытием, отличающийся тем, что, с целью улучшения магнитных свойств сердечника путем создания равномерного магнитного поля по его сечению, сердечник намотан в форме ленты Мёбиуса".

Наконец, не были забыты и дети, для которых И. Е. Бурлак изобрел и получил на то в 1979 году соответствующее свидетельство, в котором в тех же строгих правилах заявки описана "игрушечная электрифицированная железная дорога, содержащая полотно железной дороги, модели локомотива и вагонов с поворотными осями колес, отличающаяся тем, что, с целью повышения занимательности, полотно железной дороги представляет собой ленту Мёбиуса, рельсы выполнены из ферромагнитного материала, а модели локомотива и вагонов снабжены магнитными башмаками, закрепленными на поворотных осях колес".

В 1963 году патентное ведомство США зарегистрировало два "практически геометрических" изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу химчистке — он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мёбиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, работая при этом обеими своими сторонами. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации "Сандиа" в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью. О нем, пожалуй, стоит поговорить поподробнее и потому, что такое сопротивление — давнишняя мечта радиотехников и физиков, и потому еще, что тут нам предоставляется возможность увидеть нашу одностороннюю ленту Мёбиуса с несколько иной стороны.

Но сначала склейте еще один лист Мёбиуса и разрежьте его ножницами вдоль не на две, а на три части, то есть не посередине, а отступив от любого из краев на треть ширины ленты. Нечто похожее изобразил Мауриц Эсхер на гравюре "Лента Мёбиуса. I". Вас снова ждет сюрприз: теперь получается еще один лист Мёбиуса — поменьше, да и толщиной всего в треть от первоначального! а в него продета длинная и тонкая лента, дважды перекрученная вдоль своей оси. А теперь сделайте себе из всего этого геометрического изобилия прекрасную игрушку на вечер — другой. Это, как и все предыдущее, просто. Покрасьте "маленького Мёбиуса" в какой-нибудь цвет. И попытайтесь уложить с обеих сторон от него ленту так, чтобы получился лист Мёбиуса тройной толщины.

Рано или поздно вы справитесь с задачей, и наградой вам будет удивительная фигура. Две ее крайние незакрашенные части, хотя они и сделаны из одной длинной ленты, тем не менее нигде не смыкаются друг с другом, а просто лежат вдоль сторон третьей, закрашенной. Но каких сторон? Ведь центральная часть — это односторонняя поверхность! Да и крайние, раз они повторяют ее форму, тоже не что иное, как два листа Мёбиуса, которые обрели самостоятельность, обвившись вокруг своего цветного собрата.

Вот это и есть сопротивление с нулевой реактивностью. Но только изготовляют его — для простоты технологии — немного по-другому: к резиновой ленте с двух сторон приклеивают две тонкие алюминиевые полоски, а к ним припаивают выводы, через которые можно подать электрический ток. Затем всю конструкцию перекручивают на один оборот и соединяют в мёбиусов лист — он, естественно, будет трехслойным. И вот теперь ток, проходя по полоскам, встретит на своем пути лишь так называемое "активное" сопротивление, то есть сопротивление самого материала — алюминия. "Реактивность" проводника с током, имеющего форму листа Мёбиуса, равна нулю.

"То, что я понял, прекрасно, из этого я заключаю, что остальное, чего я не понял, тоже прекрасно", — высказался в свое время Сократ по поводу неясностей у Гераклита. Быть может, эти слова послужат неким утешением для того, кто не сумеет одолеть суть радиотехнического дебюта листа Мёбиуса. Хотя понять ее не так уж невозможно. Есть простой, но в данном случае неприятный для радиотехников факт: каждое тело имеет форму и как-то располагается в пространстве. А потому оно ведет себя либо как маленький конденсатор — обладает собственной электрической емкостью и, значит, оказывает переменному току емкостное сопротивление, либо поступает подобно крохотному дросселю — тогда его сопротивление индуктивное. Оба эти сопротивления, оказываемые телом электрическому току, называют реактивными. И избавиться от них, как и от того, что у него есть какая-то форма, ни одно тело как будто не может.

А теперь вспомним факт, в котором нам только что пришлось убедиться: "трижды толстый мёбиус" можно сделать по-разному — и из трех отдельных частей, и всего из двух: короткой центральной и особым образом уложенной длинной заготовки, которая одна образует обе боковые стороны. Значит, ток в безреактивном сопротивлении дважды проходит по одному и тому же месту в пространстве, но оба раза в противоположных направлениях, пробегая по длинной ленте — алюминиевым полоскам, уложенным "восьмеркой" с двух сторон короткой резиновой полосы, служащей изолятором. Таким образом, реактивность реактивностью же и уничтожается. И потому такое закрученное сопротивление остается чисто активным, даже если изгибать его как угодно или помещать в любое внешнее поле.

Конечно, радиотехники должны быть особенно благодарны Августу Фердинанду Мёбиусу — ведь им приходится иметь дело с миллионами герц, а чем выше частота, тем больше "реактивность" каждого элемента схемы и тем больше помех вносят в ее работу нынешние "нечисто активные" сопротивления. Но, пожалуй, с еще большим энтузиазмом встретят новое изобретение физики, которые занимаются сверхпроводимостью. Как известно, при очень низких температурах, близких к абсолютному нулю, сопротивление электрическому току вдруг пропадает и он может течь неограниченно долго, не требуя никакого притока энергии извне. Да, но речь идет об активном сопротивлении. Реактивное же сопротивление сверхнизкой температурой и всей невероятно сложной техникой, созданной для ее получения, не уничтожается. Зато простейшее геометрическое преобразование обещает физикам скорую и неожиданную помощь. Быть может, мечта о вечном электрическом двигателе, не требующем никакой энергии для своей работы, теперь уже близка к своему осуществлению...

Но до сих пор речь шла всего об одном свойстве листа Мёбиуса — о его односторонности. А ведь у него есть еще и другие подобные свойства. Но какие подобные? Математик назвал бы их топологическими.

Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который — и это далеко не всем известно — почти в то же время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам единожды перекрученную ленту. Наука та молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать — делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло — все ее свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются и при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы — "взрыва" фигуры. Потому иногда топологию называют "геометрией непрерывности". Она известна и под именем "резиновая геометрия", потому то топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик ie лопнул. А то, что при этом прямые линии, например стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

"Сотри случайные черты, и ты увидишь — мир прекрасен", — писал Александр Блок. Тополог всегда готов внять подобному призыву — во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например, непрерывность. Это еще одно топологическое свойство. Если вы сравните схему самолетных маршрутов и географическую карту, о убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан — скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И все-таки что-то общее между географической картой и топологической схемой (а транспортники — бессознательные топологи) есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск — с Владивостоком. И потому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. Взгляните с этой точки зрения на нашего старого знакомца и увидите: на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. И при этом муравью на гравюре Эсхера ни разу не придется переползать через край "ленты". Разрывов нет — непрерывность полная.

Но куда интереснее другое свойство — связность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадается на два отдельных куска. Точно так же любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придется резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он все останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат и ромашка — односвязны, кольцо и оправа от очков — двусвязны, а всяческие решетки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры — многосвязны. Ну а наш лист Мёбиуса? Конечно, двусвязен, ведь фокус в том и состоял, что, будучи разрезан вдоль, он превращался не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Впрочем (и на этом тоже были построены фокусы), если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота — помните ленту, завязавшую саму себя в узел? — связность снова равна двум. А четыре оборота? Да вы, верно, уже догадались, как дальше станут развиваться события.

Связность принято оценивать числом Бетти, названным так в честь известного итальянского математика и физика. Иногда пользуются другой величиной — эйлеровой характеристикой — с той же целью: определить число сквозных, от края и до края, разрезов, которое выдерживает фигура, не распадаясь при этом на части,

"От края и до края..." — эти слова из песни, любимой нами с детства, можно рассматривать не просто как поэтический образ. В них, как мы видим, заложен еще и глубокий топологический смысл. Лист бумаги — модель двусторонней односвязной (число Бетти равно единице) поверхности с одним краем. Его можно смять и бросить в урну, но все равно число краев (и сторон) останется прежним. Но у сферы краев нет. Нет их и у тора, говоря попросту, бублика. Зато нарисованное на бумаге кольцо имеет целых два края. Один край и у мёбиусова листа, как одна у него сторона. И снова — сделайте его из какой угодно эластичной резины и растяните до любых размеров — топологические свойства, этот незыблемый фундамент самого естества геометрической фигуры, останутся неизменными.

10

Не много ли неожиданных и странных свойств? Тогда еще только два, быть может, самых любопытных.

Первое — ориентированность. Конечно, можно было бы подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение "от противного": это то, чего нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нем заключен целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели — несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист, никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в родные пенаты, то с изумлением обнаружат, что превратились в свое собственное зеркальное отображение. Конечно, все это случится только, если они живут в листе, а не на нем.

Впрочем, это удивительное явление можно наблюдать и на действующей модели плоского мира Мёбиуса — для этого надо сделать ленту из любого прозрачного материала.

11

И наконец, то, что носит название "хроматический номер". Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листке бумаги, даже если его склеить в кольцо, еще никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырех. Это и значит, что хроматический номер этих поверхностей — четыре. А на бублике число соседствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер листа Мёбиуса? Он, как это ни поразительно, равен шести.

Конечно же, такое не укладывается в голове. Ну в самом деле, не довольно ли этих мёбиусовских мистификаций? Видите ли, на ленте, склеенной, как положено, размещается всего четыре цвета, а стоит соединить ее концы шиворот-навыворот — и непонятно, как находится место еще для двух цветов! Но клин выбивают клином, одну головоломку — другой. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по воду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересекались. Сделать этого не умудрился никто, но лишь сравнительно недавно математики строго доказали, что задача неразрешима (неразрешима на плоскости, а на торе, то есть бублике, например, все получается просто). А теперь взгляните на рисунок (10). Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые буквы на ее краях, то проблема водоснабжения решается. Разумеется, вы снова получите все тот же лист Мёбиуса. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в дружном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на листе, а внутри него. Иными словами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку.

И напоследок возьмите еще раз в руки лист Мёбиуса — одностороннюю неориентированную поверхность с одним краем, числом Бетти, равным двум, и хроматическим номером, равным шести. Этот листок бумаги открыл математикам мир новых возможностей, а вам доставил несколько приятных минут. Но не спешите с благодарностью прощаться с ним. Он нам еще встретится — в космических далях Вселенной.

...У Фридриха Дюрренматта, в его нашумевшей в свое время пьесе "Физики", трое абсолютно здоровых ученых сознательно изображают из себя сумасшедших. Весь персонал дома умалишенных обращается к ним не иначе как "господин Ньютон", "господин Эйнштейн" и "господин Мёбиус". Разумеется, фантазия драматурга могла поместить в столь экзотические обстоятельства и других каких-либо прославленных ученых — тем более, что Мёбиус не такой уж физик, каким он, видимо, казался Дюрренматту. И все-таки выбор его не выглядит случайным. Вселенная Эйнштейна сменила вселенную Ньютона благодаря тому, что удалось постичь некую глубокую внутреннюю закономерность, свойственную природе. Вселенная Мёбиуса... Нет, конечно, ее не было, нет и, наверное, не будет. Но мёбиусианские идеи касаются настолько интимных свойств нашего мира, что они просто не имеют права как-то не проявить себя в грядущих фундаментальных исследованиях.

Математика есть способ называть разные вещи одним именем.

Анри Пуанкаре

III. Справа, где сердце

Мёбиус: А что вы сами обо мне думаете?

Ньютон: Я полагаю, что вы величайший физик всех времен.

Фридрих Дюрренматт

"Слово — не воробей" — хотя такое определение и называется отрицательным, но с ним не поспоришь. Пришла поpa сдержать данные обещания. Итак, чем же мы сможем помочь несчастным плоскатикам, если их сапожники в целях экономии станут делать обувь только на одну ногу? А мы просто изымем ровно половину этой сверхрентабельной продукции и подвергнем ее еще одной технологической операции: перевернем и вновь положим на землю Плосколяндии. Теперь зеркальный глянец будет уже на зеркально отраженных туфлях, и останется лишь составить пары. Обратите внимание, что "двумерец" точно так же может зеркально преобразовать любую одномерную вещь — вынуть ее для этого из Линеляндии в свою плоскую страну и, перекрутив, вернуть обратно. Идучи по накатанной дорожке аналогий, следует и за жителями четвертого измерения признать неоспоримое право превращать любой предмет нашего мира в его зеркальный двойник.

Идея зеркального преобразования мира давно увлекала ученых и мыслителей. Так, Готфрид Вильгельм Лейбниц много думал о том, что бы случилось, если бы вся наша Вселенная вдруг отразилась в некоем сверхзеркале. В конце концов он пришел к выводу, что ничего в ней не изменилось бы. До недавнего времени — до работ американских физиков Ли и Янга — современным ученым нечего было возразить великому немецкому математику и куда менее великому философу. Иммануил Кант, великий немецкий философ, сыгравший выдающуюся роль в развитии диалектики (чья философия, по определению К. Маркса, при всей ее противоречивости и субъективно-идеалистической направленности была немецкой теорией французской буржуазной революции), и куда менее великий физик (хотя он и преподавал эту науку), тоже очень интересовался зеркальными отражениями. В своем знаменитом труде "Пролегомоны будущей метафизики" он писал: "Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем собственное отражение в зеркале! И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки..." Разумеется, сказал бы на это современный нам ученый, который отвык удивляться подобным пустякам, — ведь они энантиморфны. Если вам встретится это ученое слово, знайте: автор хотел сказать "зеркально симметричные". Любые два энантиморфа различают, называя один "левым", а другой "правым". Ботинки, перчатки, левый и правый винт, даже целые автомобили — обычный "Москвич" и "Москвич" с надписью "Связь", у которого руль сделан справа, чтобы почтальону удобнее было выходить на тротуар за письмами, — все это энантиморфы.

И энантиморфны два листа Мёбиуса, закрученные в разные стороны — ведь, склеивая полоску, вы вольны сделать оборот и по и против часовой стрелки. Но здесь позвольте прервать едва лишь наметившийся разговор о левом и правом в этом мире (пусть пока поработает ваше воображение, разбуженное зеркальными разговорами), чтобы сдержать еще одно обещание.

Лист Мёбиуса, выдумка кабинетных ученых, забавная безделушка, вдохновляющая факиров и изобретателей, увлек и космологов. Одна из моделей нашей Вселенной — это трехмерный лист Мёбиуса. Астронавт, проделавший головокружительный путь вдоль такого космоса, вернется домой зеркально отраженным — с сердцем справа — так же, как Готфрид Платтнер из уэллсовского фантастического рассказа. (И в нашей реальной земной жизни встречаются, хотя и крайне редко, люди, у которых сердце справа. Уж не пришельцы ли, точнее, не ушельцы ли это?) Но способно ли наше бедное воображение справиться с трехмерным мёбиусом?

Оказывается, да. Возьмите трубу, вытяните у нее один край и просуньте этот тонкий конец в специально сделанную для него дырку в толстом конце. Теперь склейте концы (11). А теперь примите поздравления. Вы создали (правда, лишь мысленно) так называемую "бутылку Клейна" (это имя нам уже встречалось — Феликс Клейн, немецкий математик, почти наш современник: он умер в 1925 году). Отчетливо видно, что в эту одностороннюю посуду тем не менее можно налить вино. Вот только вопрос: отчего больше кружится голова — от самой бутылки или от ее содержимого? А если голова у вас еще не кружится, то вот еще один математический факт: в четырехмерном пространстве можно построить такую бутылку Клейна, что она не будет пересекать сама себя (лист Мёбиуса, если делать его ленту все шире и шире, рано или поздно неизбежно "самопересечется", но он, как мы видели, может жить и без этого; бутылка же Клейна в нашем пространстве без самопересечения никак не получается — попробуйте, убедитесь).

Мауриц Эсхер, к сожалению, не нарисовал гравюры, подобной своей "Ленте Мёбиуса. II", посвященной этой удивительной замкнутой односторонней поверхности. Но мы и без его помощи можем пустить муравья ползать по бутылке Клейна и увидим, что, не переползая ни разу через край (края-то ведь и нет!), путешественник побывает и вовне и внутри своего топологического муравейника. Американские небоскребы породили новую профессию — высотные мойщики стекол. Эти бесстрашные люди счищают грязь только с одной стороны — снаружи, а их менее квалифицированные собратья по цеху — только внутри. Представьте себе ужас "комнатного" мойщика, если, двигаясь вдоль стекла, он вдруг окажется над Нью-Йорком на высоте тридцатого этажа! Хорошо, что человеческие муравейники пока еще не используют фантазию топологов. (Впрочем, фантасты и тут проложили дорогу. А. Дейч написал юмореску "Лента Мёбиуса". Ее идея в двух словах: в некоем городе метрополитен развился до такой степени, что топологическая сложность всех его пересекающихся линий перешла некую допустимую границу — и в результате один за другим целые поезда вдруг исчезали из трехмерного пространства, возвращаясь назад лишь через месяц-другой.)

"Природа подобна женщине, которая ... показывая из-под своих нарядов то одну часть своего тела, то другую, подает своим настойчивым поклонникам некоторую надежду узнать ее когда-нибудь всю" — эта смелая аналогия принадлежит Дени Дидро. Ее можно было бы рискнуть продолжить. Пылкий влюбленный, увидев лишь кончик стройной ножки, строит в своем воображении прелестную незнакомку. Ученый по немногим известным ему фактам создает модель изучаемого явления.

Итак, наш знакомец лист Мёбиуса — космическая модель. Какие противоречия существующих теорий разрешает пространственный Мёбиус — замкнутый, безграничный, бесконечный (как вселенная Эйнштейна), но вдобавок односторонний, — это слишком длинный разговор, а обещана лишь краткая встреча в далях Вселенной. Утешением разочарованному читателю-космологу послужит наше намерение разочаровать и читателя-биолога.

Дело в том, что мёбиусианские идеи проникли в микрокосмос и тоже не нашли себе законченного выражения. Еще в 1938 году советский цитолог (то есть ученый, изучающий жизнь клетки) М. С. Навашин задумал с помощью парадокса топологии расправиться с одним из парадоксов генетики. Наследственная информация, как известно, передается с помощью генов. Гены — это участки длинных нитей, хромосом (точнее, не самих хромосом, а хроматид — еще более тонких нитей, которые, соединяясь попарно, и образуют хромосому). Разные виды животных и растений имеют разное число хромосом — у человека их 46, а у ржи, например, всего 14. Но и число и, главное (для тополога!), форма хромосом остаются строго постоянными от поколения к поколению. Но вот у бактерий и у некоторых растений встречаются так называемые кольцевые хромосомы. Мало того, что они, как следует из названия, замкнуты в кольцо в отличие от всех других, которые представляют собой либо просто палочки, либо перекрещенные палочки с общей точкой — центромерой. Мало этого, при размножении кольцевая хромосома изменяет свою форму и превращается либо в кольцо, вдвое более длинное, чем первоначальное, либо в два обычных по величине кольца, но продетых одно в другое. Но это значит...

Вы догадались! Навашин именно это и предположил. И не беда, что потом нашлись другие объяснения нестабильности кольцевых хромосом, — все равно мысль о том, что они свернуты в клетке в виде листа Мёбиуса, в свое время оказалась плодотворной и до сего времени выглядит изящной. И — кто знает? — быть может, она с последующими уточнениями все-таки сумеет еще поработать в генетике. Ведь главное (если не единственное) возражение против гипотезы Навашина состоит в том, что уже после второго деления (а многие клетки делятся беспрерывно, всю жизнь) "тощий мёбиус", как мы прекрасно знаем, не превратится в еще более тощего и длинного. Но что, если хромосома, прежде чем располовиниваться вдоль, разрывается в какой-то точке, перекручивается вдоль на один или два оборота оси, а затем соединяется вновь? С нею все может статься: передавая наследственность, она ведь может и сама унаследовать патологию хромосомы-родительницы. Впрочем, это уже даже не гипотеза, а просто досужий вымысел.

А нам пора вернуться к безусловно доказанным фактам. Здравствуйте еще раз, Левый и Правый Мёбиусы!

А чем, собственно, они отличны друг от друга? Что дает нам право с уверенностью называть один энантиморф "левым", а другой — "правым"? Именно этот вопрос взволновал Иммануила Канта. Ему виделась страшная картина. В совершенно пустом космосе появляется рука. Правая или левая? Сказать невозможно, ибо нет ничего, с чем бы ее можно было сопоставить. Но вот рядом с нею материализуется человек, руки которого обрублены по запястье. Рука, разумеется, подойдет лишь к одному запястью — правому, например. Значит, она и есть правая. Но тогда получается, что рука была правой все время, еще до того, как рядом с ней материализовался воображаемый инвалид? В чем же тогда инвалидность рассуждений Канта?

Бедные, затрепанные нами "двумерцы" помогут и тут. Вырезанную из бумаги фигурку человека мы можем положить на стол рядом с вырезанной из бумаги же рукой и так и по-другому — перевернув "наизнанку". (Как дубовый лист мог бы по-разному упасть на поверхность воды в гравюре Эсхера "Три мира.) И тогда рука подойдет в первый раз к его правому, а во второй — к левому запястью. Значит, она не была ни правой, ни левой — просто человек может явиться в свою двумерную Плосколяндию из нашего трехмерного мира в двух энантиморфных модификациях — либо сам собой, либо в зеркальном отражении. И точно так же любой предмет может быть "вывернут" в пространстве высшей размерности. Это первым понял через восемьдесят лет, после того как Кант высказал свои недоумения, Август Фердинанд Мёбиус! (Однако свой знаменитый уже заранее перекрученный лист, который позволяет, как мы теперь знаем, вывернуть лежащие в нем предметы и без повышения порядка пространства, он описал еще спустя лишь двадцать лет.)

Известный американский популяризатор науки Мартин Гарднер (его работам очень многим обязана эта "Рапсодия") написал книгу, которую наше издательство "Мир" выпустило под заглавием "Этот левый, правый мир". Там есть эпизод, заимствованный из комикса. Пещерный человек радуется своему новому изобретению — барабану. Он ударяет по нему палкой и говорит: "Это левая дробь", а затем берет палку в другую руку и говорит: "Это правая дробь". И на вопрос: "Откуда ты знаешь?" — отвечает, что у него на одной из ладоней есть родинка. Таким образом получается, что все дело только в названии — хочу, назову так, хочу — наоборот. И ничто не изменится. Прав Лейбниц: отрази мир в зеркале — никто и не заметит.

Вроде бы так.

Так? Да вот не так! Иначе Ли и Янгу не быть бы нобелевскими лауреатами, а нам бы не разувериться в симметричности Вселенной.

В 1956 году в Национальное бюро стандартов США обратилась профессор Колумбийского университета Bу Цзяньсюн. Она просила дать ей возможность воспользоваться криогенной установкой, чтобы охладить радиоактивный изотоп кобальта, кобальт-60, до очень низкой температуры, почти до абсолютного нуля. Это было необходимо ей, чтобы свести к минимуму тепловое движение его молекул, а затем, наложив мощное электромагнитное поле, суметь выстроить ядра так, чтобы они были направлены одноименными полюсами в одинаковую сторону. (Ядро вращается вокруг своей оси: если смотреть с одного конца ее, то по часовой стрелке, а с другого — против часовой стрелки. Значит, у него есть верх и низ, северный и южный полюс, или, что то же самое, право и лево.) А дальше профессор Bу всего лишь хотела посмотреть, одинаковое ли число электронов будет вылетать из северного и южного полюсов при распаде.

"Я не верю, что бог окажется левшой, и готов побиться об заклад на весьма большую сумму, что эксперимент даст симметричный результат!" — писал крупнейший физик-теоретик Вольфганг Паули, с нетерпением ожидая, что же получится у By. Паули проиграл свою весьма большую сумму. Но несравненно больше проиграли представления физиков о природе: закон четности нарушился, опыт дал несимметричный результат из южного конца ядра кобальта-60 вылетает намного больше электронов, чем из северного!

Это значит, что мир наш все-таки несимметричен. За такое открытие не грех было присудить Нобелевскую премию. И ее получили в 1957 году Ли Чжэндао и Янг Жэньпин — молодые американские ученые. Они, а не их соотечественница Bу Цзяньсюн, потому что идея эксперимента была предложена именно ими из чисто теоретических и даже скорее математических, нежели физических соображений. Они первые придумали, как заставить природу ответить на вопрос: равноправно ли в ней левое и правое, верх и низ? До них никто не советовал физикам-экспериментаторам тратить время и силы на подобные опыты — все были уверены, что закон сохранения четности незыблем. Иными словами, любое направление в природе равноправно, и если в формуле, включающей в себя все три координаты точки, поменять все знаки координат на обратные, то она останется справедливой. И вот опыт Bу показал, что эта самоочевидность была всего лишь самоубеждением.

И тогда, задним числом, стали вспоминать, что задолго до Ли и Янга ученые покушались на закон сохранения четности.

Знаменитый немецкий математик Герман Вейль — знаменитый своими глубокими и неожиданными идеями — в 1929 году высказал гипотезу о том, что вращающаяся частица может быть в одной из двух зеркально сопряженных форм — обладать левой или правой спиральностью. То есть откуда бы ни смотрел на нее наблюдатель — "с носа" или "со спины", он видит ее вращающейся вдоль линии своего движения либо по правому, либо по левому винту. Вейль отнюдь не был физиком (и тем более физиком-ядерщиком), и у него не было никаких опытных данных для такой необычной гипотезы. Он просто построил изящную математическую теорию. Но в то время никто не отнесся к ней всерьез, потому что она не согласовывалась с законом сохранения четности и требовала от природы асимметричности. Вейль не дожил всего два года до того дня, как закон этот был опровергнут и его теория получила титул пророческой. В самом деле, из нее следовало, что у вращающейся частицы должен быть зеркальный двойник — и его нашли!

В 1957 году почти одновременно физики в разных странах (у нас это был академик Лев Давидович Ландау) предложили так называемую "двухкомпонентную теорию нейтрино", согласно которой должно существовать антинейтрино — частица, во всем ему подобная, но только закрученная вдоль своей траектории в противоположную сторону. Потом оказалось, что существуют разные типы пар нейтрино-антинейтрино, выяснилось немало любопытнейших подробностей, но не об этом сейчас речь. "Связь между математикой, естественными науками и философией нигде так не сильна, как в проблеме пространства", — говорил Герман Вейль. И в самом деле — слова пророка! Всего лишь геометрическое, чисто пространственное отличие превращает частицу микромира в своего антипода. А если уж и микромир так сильно зависит от пространственной конфигурации, то и вся Вселенная в целом — объект изучения геометрии.

Да, но почему и микромир? А потому, что о связи с геометрией макромира — от молекул до галактик и Вселенной — было известно и раньше. Помните ловкого спирита Слейда и незадачливого ученого Цёльнера? Кстати, Энгельс в "Диалектике природы" посвятил ему несколько строк: "...если только верить громогласным заявлениям господ спиритов, — и Германия выставила теперь своего духовидца в лице г-на профессора Цёльнера из Лейпцига.

Как известно, г-н Цёльнер уже много лет интенсивно работает в области "четвертого измерения" пространства, причем он открыл, что многие вещи, невозможные в пространстве трех измерений, оказываются само собою разумеющимися в пространстве четырех измерений. Так, например, в этом последнем пространстве можно вывернуть, как перчатку, замкнутый металлический шар, не проделав в нем дыры; точно так же можно завязать узел на не имеющей с обеих сторон концов или закрепленной на обоих концах нитке; можно также вдеть друг в друга два отдельных замкнутых кольца, не разрывая ни одного из них, и проделать целый ряд других подобных фокусов. Теперь, согласно новейшим торжествующим сообщениям из мира духов, г-н профессор Цёльнер обратился к одному или нескольким медиумам, чтобы с их помощью установить дальнейшие подробности относительно местонахождения четвертого измерения. Успех при этом был поразительный. Спинка стула, на которую он опирался верхней частью руки, в то время как кисть руки ни разу не покидала стола, оказалась после сеанса переплетенной с рукой; на припечатанной с обоих концов к столу нитке появились четыре узла и т. д. ... если предположить, что эти сообщения верно передают результаты опытов г-на Цёльнера, то они безусловно знаменуют начало новой эры как в науке о духах, так и в математике. Духи доказывают существование четвертого измерения, как и четвертое измерение свидетельствует о существовании духов".

Так вот, совсем недаром решительный эксперимент, задуманный Цёльнером, состоял в том, чтобы превратить правую винную кислоту в левую. Кислота эта явилась причиной первого крупного успеха великого французского ученого Луи Пастера: "Я только что сделал гигантское открытие! Я так счастлив, что меня бросает в дрожь, я больше не могу спокойно смотреть на поляриметр!" — с такими словами выскочил он из своей лаборатории, когда убедился, что кристаллы винной кислоты могут быть в двух энантиморфных видах. И если под микроскопом отделить левые кристаллы от правых и составить потом два раствора, то один из них будет вращать плоскость поляризации света влево, а другой — вправо. И при этом даже самый тонкий химический анализ не поможет отличить один раствор от другого.

Такие кристаллы, по-разному поляризующие проходящий через них свет, называют оптическими изомерами. Голландский химик Вант-Гофф в 1874 году объяснил это явление тем, что молекулы оптических изомеров — зеркальные отражения друг друга, как, например, у молочной кислоты, формула которой СН_3СН(ОН)СООН и кристаллы которой тоже относятся к этому не столь уж редкому типу. Однако несмотря на простоту объяснения, оптические изомеры дали новый повод для спекуляций и домыслов о существовании четвертого измерения, поскольку они объявлялись просто-напросто двумя разными проекциями одного и того же вещества, "живущего" в не видимом нами мире, размерность которого на единицу больше нашего, трехмерного.

"Сынок, я так глубоко люблю науку, что сердце мое замирает!" — сказал молодому Пастеру его прославленный учитель Жан Батист Био, повторив опыт с право-левыми кристаллами. Не удивительно, что ассиметричные молекулы на долгие годы увлекли Пастера. Через десять лет он придумал новый способ разделить кристаллы: оказалось, что плесень разрушает молекулы винной кислоты лишь одного из двух возможных типов и оставляет зеркальных двойников нетронутыми. "Асимметричный живой организм, — писал он, — выбирает для питания именно ту форму винной кислоты, которая отвечает его требованиям и, несомненно, соответствует какой-то собственной внутренней асимметрии". Пастер был убежден (и тут он не ошибся), что лишь в живых организмах можно обнаружить вещества, состоящие из асимметричных молекул только одного вида. Эта и была, по его мысли, "...единственная четко установленная демаркационная линия, которую можно в настоящее время провести между химией живой материи и химией неживого". Он верил, что стоит узнать способ, которым природа ввела асимметрию в органические соединения, — и до разгадки тайны жизни останется один шаг.

Так это или нет, но ведь факт, что аминокислоты всех природных белков всегда левые, а могли бы с тем же успехом быть и правыми! В каждой живой клетке на нашей планете правые спирали нуклеиновой кислоты. И снова — выбор из двух возможных зеркальных форм. Нуклеиновые кислоты — носители жизни — тоже родились благодаря право-левой асимметрии: все они "левые", а их спирали всегда "правые". Так ли уж не прав Пастер, утверждая, что тут, в геометрических глубинах строения материи, и запрятан ключ к тайнам жизни?

Не только в спирали всем известной ДНК — на каждом шагу геометрия молекул напоминает нам о себе. Лишь правизна отличает искусственно созданное в лаборатории вещество декстраникотин ("декстра" и значит по-латыни "правый") от левоникотина, который входит в состав любого табака. Но про первый медики не говорят худого слова, а второй чуть ли не враг номер один современного человека (во всяком случае, по раковым болезням курильщики уверенно лидируют). Мы жить не можем без витамина С — сразу же наступает цинга. Но точно такое же вещество — с одной лишь разницей: молекулы его зеркально отражены — не оказывает на человеческий организм вообще никакого влияния. А ведь химически они неразличимы.

Форма, геометрические свойства играют в нашем мире удивительную роль. В нем царит таинственная асимметрия, а вовсе не прозрачная симметрия, и потому идея Вселенной в виде трехмерного листа Мёбиуса имеет кое-какие шансы оказаться жизненной. И не так уж она несовместима с привычным нам образом мироздания. В доказательство последней мысли проделайте простой, но прелюбопытный опыт. Погрузите окружность из мягкой проволоки в мыльный раствор. На нее сразу же натянется круг из пленки. (Это будет, кстати, так называемая минимальная поверхность, то есть поверхность минимальной площади, которая может быть "надета" на данный каркас. Такие поверхности используют в технике, потому что они обладают наибольшей возможной жесткостью.) Начните постепенно его деформировать (для этого заранее припаяйте к проволочной окружности две ручки). И что же? Можно, оказывается, перевести двустороннюю мембрану в односторонний лист Мёбиуса. Поразительное явление! А теперь на секунду перенеситесь мыслью в пространство трех, а то и четырех измерений: что за превращения возможны там? Подумайте. Быть может, вы сумеете почерпнуть для этого вдохновение, рассматривая гравюру Эсхера "Рыбы и чешуйки", полную геометрических "завихрений".

И заодно подумайте еще вот о чем. В каком же мире мы все-таки с вами живем? Сколько в нем измерений? Конечен ли он? Имеет ли границы?

Разумеется, вы вправе создать свою собственную теорию. Но постарайтесь, чтобы факты, известные сегодняшней науке, уложились в нее. А факты эти, например, такие.

Справа, где сердце

Все тела притягиваются друг к другу. С силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Это закон, открытый Ньютоном.

Оставим пока в покое массы. Итак, гравитационное взаимодействие убывает с расстоянием, и зависимость эта квадратичная. Но то же самое происходит и с магнитными, и с электростатическими силами. И свет, и радиация распространяются по этому же закону: интенсивность падает как квадрат расстояния от источника. Так может быть только в трехмерном пространстве. Ведь воздействие передается во все стороны равномерно, по все расширяющимся сферам, площадь которых, как известно, равна 4πR^2. Но если бы пространство было, например, четырехмерным, то вместо квадрата в формулах физики фигурировал бы куб. Мало того, планеты не вращались бы вокруг Солнца по замкнутым траекториям, но двигались бы по спирали, либо приближаясь, либо удаляясь от него. Ясно, что и в том и в другом случае жизнь во Вселенной была бы невозможна.

Теперь, наоборот, оставим в покое расстояние между телами и подумаем об их массе. Если наша Вселенная бесконечна и материя распределена в ней равномерно, то в любой ее точке сила тяготения должна быть бесконечно большой. Но это означает, что ни одна планета не могла бы существовать — этот материальный остров в море пространства был бы растянут силами гравитации. Значит... значит, Вселенная не бесконечна? Но что же тогда за ее краем?

Альберт Эйнштейн нашел выход из этого логического тупика. Вселенная хотя и конечна, но безгранична! С ней как раз все в порядке. Беда в нас самих — в нашей слепой приверженности к геометрии Евклида. Мы уверены, что параллельные линии не пересекаются, что кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая. Но ведь этого никто и никогда не доказал. Мало того, все мы знаем, что это вовсе не так. Чтобы сократить дорогу от Москвы до Владивостока, летчик поведет самолет вовсе не по прямой линии, а по дуге большого круга Земли — так называемой геодезической линии. Если нарисовать на земной поверхности огромный круг, то отношение его диаметра к длине окружности будет меньше я. Все это из-за кривизны нашей планеты, из-за того, что она не плоская. Параллельные линии — дуги большого круга — пересекаются. И узнали мы об этом задолго до космических полетов, людям не пришлось глядеть на свою планету извне, чтобы понять, какой она формы. Так и Эйнштейн, размышляя над известными астрономическими фактами, пришел к мысли, что наша Вселенная искривляется и в математическом смысле эквивалентна четырехмерной сфере.

(Слышно ли космическое звучание темы Круга и Сферы?)

"Достоевский дает мне больше, чем любой мыслитель..." — говорил Эйнштейн. "Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я это сам увижу: увижу и скажу, что сошлись, а все-таки не приму", — говорил Иван Карамазов. И ему же принадлежат слова о "малосильном и маленьком, как атом, человеческом евклидовом уме", об уме, "созданном с понятием лишь о трех измерениях". Да, нам кажется, что луч света пронизывает Вселенную по прямой, но ведь и крот, сколько бы он ни рыл свою нору, будет уверен, что Земля плоская. Массивные тела притягивают к себе все сущее и свет в том числе, раз он состоит из материальных частиц — фотонов. ("Не действуют ли тела на свет на расстоянии и не изгибают ли этим действием его лучей?" — высказывал гениальную догадку Ньютон.) Но если вблизи тел большой массы искривляется абсолютно все, даже свет, то это значит, что I искривляется само пространство. И тут полная аналогия с Плосколяндией, расположенной на поверхности большого шара, которая тоже искривляется в пространстве, но высшем, чем то, что могут осознать плоские "двумерцы".

"Когда слепой жук ползет по поверхности шара, он не замечает, что пройденный им путь изогнут, мне же посчастливилось заметить это" — так объяснил Эйнштейн своему девятилетнему сыну, чем же он, собственно, прославился в науке. Жаль, что он не мог для наглядности показать ему гравюру Эсхера "Спирали на сфере".

Плоские "двумерцы", живущие на сфере, смогли бы обнаружить, что их вселенная искривлена, если бы стали, например, строить заборы вокруг какого-нибудь своего дворца — один за другим, каждый длиннее предыдущего. В один прекрасный момент они бы обнаружили, что на новые заборы идет все меньше материала. Какой-нибудь гениальный плоскатик сообразил бы, что строители перешли на экватор сферы.

Нам, "трехмерцам", пришлось бы строить гигантские сферы вокруг Земли — одну больше другой. Каждому ясно, насколько это сложное предприятие. Но ясно ли каждому, что значило решить ту же задачу "на обороте старого конверта?"

Общая теория относительности — это открытие не физика, не астронома, а математика. Во всяком случае, так считают многие физики и математики. Академик С. Л. Соболев говорил как-то в одном из своих интервью; "В середине XIX века Лобачевский построил свою "воображаемую геометрию", а затем Риман развил его идею и создал математическую теорию пространства, обладающего переменной внутренней кривизной, то есть имеющего различную кривизну в различных точках. Из этих исследований возник великолепный математический аппарат — тензорный анализ. Благодаря ему из трудов Пуанкаре и Эйнштейна родилась теория относительности..."

К этим словам можно только добавить, что теория относительности не родилась бы в голове Эйнштейна, если бы с ранней юности в ней не поселилась неотвязная мысль: как соотносится математика и реальный мир? Пуанкаре считал — никак. То есть каждый волен выбирать себе любую математику, произвольную геометрию — Евклида, Лобачевского, Римана или свою собственную непротиворечивую систему аксиом, из которой логически строго следуют все теоремы. Быть может, именно это заблуждение помешало Анри Пуанкаре открыть теорию относительности, ведь математически он был подкован лучше Альберта Эйнштейна. Сам же Эйнштейн считал, что ученый не волен в выборе геометрии, его математика должна проверяться окружающим миром. "...Геометрия сохраняет характер математической науки, — писал он, — так как вывод ее теорем из аксиом останется по-прежнему чисто логической задачей; но в то же время она становится и физической наукой, так как ее аксиомы содержат утверждения, относящиеся к объектам природы, — утверждения, справедливость которых может быть доказана только опытом".

Физический смысл аксиом геометрии, острый привкус реальности в самых абстрактных математических выкладках — это и привело к созданию величайшей теории нашего века.

"Вселенная, изображаемая теорией относительности эйнштейна, подобна раздувающемуся мыльному пузырю. Она — не его внутренность, а пленка. Поверхность пузыря двумерна, а пузырь вселенной имеет четыре измерения: три пространственных и одно — временное" — так писал некогда видный английский физик Джеймс Джине. Этот современный ученый (он умер в 1946 году) как бы возродил старую идеалистическую идею последователей Платона и Пифагора о том, что все вокруг — это чистая математика, и творец этой математической Вселенной, демиург, сам, стало быть, был математиком. (Тут, правда, следует заметить следующее: демиург Платона Вселенную творил все-таки из чего-то материального, более поздние идеалисты превратили демиурга в бога, который, как известно, стал творить в буквальном смысле из ничего; разница существенная.)

Эйнштейн, однако, тоже был математиком. Его формулы позволяют вычислить радиус этой Вселенной. Поскольку кривизна ее зависит от массы тел, которые ее составляют, то надо знать среднюю плотность материи. Астрономы в течение многих лет изучали одни и те же маленькие участки неба и скрупулезно подсчитывали количество материи в них. Оказалось, что плотность равна приблизительно 10-30г/см^3. Если подставить эту цифру в формулы Эйнштейна, то, во-первых, получится положительная величина кривизны — то есть наша Вселенная замкнута! — а во-вторых, радиус ее равен 35 миллиардам световых лет. Это значит, что хотя Вселенная и конечна, но она огромна — луч света, мчась по Большому Космическому кругу, вернется в ту же точку через 200 миллиардов земных лет! В нашей гигантской гиперсфере хватает места для миллиардов галактик, а в каждой из них — для миллиардов звезд.

Это не единственный парадокс вселенной Эйнштейна. Она не только конечна, но безгранична, она еще и непостоянна.

Свою теорию Альберт Эйнштейн сформулировал в виде десяти очень сложных, так называемых нелинейных дифференциальных уравнений. Однако далеко не все ученые отнеслись к ним как к десяти заповедям, допускающим лишь одно-единственное толкование. Да это и не удивительно — ведь точно решить такие уравнения современная математика не умеет, а приближенных решений может быть много. И вот наш соотечественник " Александр Александрович Фридман в 1922 году предложил такое решение уравнений Эйнштейна, при котором получалось, что галактики не могут находиться на зафиксированных расстояниях одна от другой, они должны с течением времени разлетаться — и чем дальше, тем быстрее.

"Результаты относительно нестационарного мира, содержащиеся в упомянутой работе, представляются мне подозрительными", — написал Эйнштейн по поводу статьи Фридмана в научном журнале. Но очень скоро в печати появились совсем другие его слова: "В предыдущей заметке я подверг критике названную выше работу. Однако моя критика, как я убедился из письма Фридмана... основывалась на ошибке в вычислениях".

А. А. Фридман умер в 1925 году совсем молодым, продолжая считать свое решение игрой ума — лишь одной из теоретически возможных моделей Вселенной. Но уже через четыре года было открыто знаменитое красное смещение: астрономы увидели по спектрам далеких галактик, что они удаляются от нас с огромными скоростями, и действительно, чем дальше, тем быстрее.

Джеймс Джине не напрасно уподобил вселенную Эйнштейна раздувающемуся мыльному пузырю. Она и в самом деле расширяется на наших глазах. Но если плотность материи в ней окажется достаточно большой, то силы всемирного тяготения рано или поздно остановят "беглые" галактики и Вселенная начнет сжиматься. (Взгляните на гравюру Эсхера "Змеи" — последнюю его работу, законченную в 1969 году, незадолго до смерти. Быть может, она навеяна мыслями о сложном устройстве нашего мира, где все связано, где расширение ведет за собой сжатие, а оно — вновь расширение, и мудрые Змии Познания стремятся проникнуть в эти вечно меняющиеся переплетенные Кольца Бытия...)

Вселенная пульсирует, и теоретически — за этим можно следить точно с тем же чувством, с каким герой эбботтовской Плосколяндии наблюдал пронзавшую плоскость его мира трехмерную сферу, думая, что проходящие перед его взором то увеличивающиеся, то уменьшающиеся окружности — это священник, который ведет себя неподобающим образом... Но в Плосколяндии не родился гений, способный проникнуть в геометрию трехмерного мира, увидеть в разбегающихся и сбегающихся кругах следы Большого Космоса.

"Почему именно я создал теорию относительности? когда я задаю себе такой вопрос, мне кажется, что причина в следующем. нормальный взрослый человек вообще не задумывается над проблемой пространства и времени. по его мнению, он уже думал об этой проблеме в детстве. я же развивался интеллектуально так медленно, что пространство и время занимало мои мысли, когда я стал уже взрослым", — рассуждал сам с собой в письме к другу Альберт Эйнштейн. Наверное, и Исаак Ньютон мог бы сказать, что лишь из детского любопытства пытался он сперва решить задачу о целующихся сферах, а потом о вращающихся планетах. Да и Мёбиус, возможно, вспомнил детские игры с ножницами и клеем, когда придумал свою удивительную поверхность. Так или иначе, но их, так же как и других великих ученых, блестящая вереница которых проходит через эту "Рапсодию", роднит особый, неожиданный и глубокий подход к первоосновам жизни и мира. Это и есть математика. Говорят, что летчики и моряки не могут быть счастливы без своих океанов, потому что они дают им ощущение власти над тремя координатами. Но как же властно должна тогда владеть человеком древнейшая из наук, если она позволяет окунуться в пространства любых измерений, младенчески играя, познавать законы Вселенной и атома, и любую сложнейшую мысль изложить легко и изящно, как детскую игру. Чтобы проверить точность маятника, Галилей сравнивал его ход с собственным пульсом. Как же спокойно билось сердце в те времена — даже у великих ученых... Но как же должна тянуть к себе в наше бурное время — даже самого обычного человека — наука, умеющая найти гармонию и смысл в окружающем мире!

Если вы услышите, что кто-то не любит математику, не верьте. Ее нельзя не любить — она и вовне и внутри нас. Ее можно только знать — или не знать.

Прогулка по зоологическому саду — не зоология в учебном смысле слова. Однако, мне кажется, что нужно сначала заинтересоваться животными, а потом уже заниматься их классификацией и анатомией. Сад открыт для всех, в том числе и тех, кто смотрит на животных только для развлечения. Поэтому не беда, если кто-нибудь скажет, что мои картинки — не математика. Кто пересмотрит их с начала до конца, тот, быть может, подметит то общее, что их объединяет. А это и есть математика...

Гуго Штейнгауз

IV. Великолепная пятерка

В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу... И ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии.

Давид Гильберт

"Греки — это не способные школьники или хорошие студенты, но скорее "коллеги из другого колледжа", — писал профессор Джон Инденсор Литлвуд, один из крупнейших современных английских математиков. Поверим ему и не станем с насмешливым превосходством судить Платона за то, что он считал, будто атомы четырех элементов, из которых строится мир (огня, земли, воздуха и воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников — тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра. (На 73-й странице книги пять Платоновых тел сопоставлены с гравюрами Эсхера "Фейерверк", "Итальянский пейзаж. 1923", "Россано, Калабрия", "Второй день творения" и "Другой мир. 1947".) Воздержимся от саркастической улыбки и читая о "пятой сущности", или, по-латыни, "квинтэссенции" алхимиков, хотя их "колледж" чужд нам по духу. Подумаем лучше, почему именно додекаэдр, как показали раскопки в Монте Лоффа под Падуей, был любимой игрушкой этрусских детей 2500 лет назад? И почему он же до наших дней остается излюбленной побрякушкой для взрослых, которые делают из него календарь — по месяцу на каждый из двенадцати его граней (одно из изделий такого рода — брелок для ключей, изготовленный нашим "Автоэкспортом")?

Куб (или гексаэдр) и правильная пирамида (или тетраэдр) тоже верно служили большим и малым людям — и их созидательной тяге к строительству, и их разрушительной страсти азарта. Свидетельство тому — детские кубики и пирамидки, а также вся архитектура конструктивизма. Но почему же не куб и не пирамида, а совсем другой правильный многогранник — икосаэдр — хранится в Египетском зале Британского музея, и удивленный посетитель может узнать, что это — игральная кость династии Птолемеев? И почему октаэдр — "пространственный ромб" — от древних времен до наших дней неизменно служит светильником, хотя "начинка" его прошла путь от скоротечной плошки до почти вечной йодной лампы?

И наконец, главный вопрос: почему Платоновых тел (это математический термин) именно пять? Постарайтесь придумать шестое: выпуклый многогранник, каждая грань которого — один и тот же правильный многоугольник, то есть фигура с равными сторонами и равными углами между ними. Когда попытки ваши кончатся безрезультатно, попробуйте найти способ доказать себе и другим известное любому математику утверждение Евклида: существует только пять правильных выпуклых многогранников. И вне зависимости от успеха этого предприятия вы, вероятно, с большим пониманием, чем прежде, отнесетесь к словам профессора Литлвуда. И вне сомнения, с большим, чем в первый раз, интересом станете рассматривать гравюру Эсхера "Звезды", на которой среди прочих тел легко найти всю нашу "великолепную пятерку".

"Различные ветви геометрии находятся в тесных и часто неожиданных взаимоотношениях друг с другом" — такими словами Давид Гильберт предваряет одну из своих книг. Любой, в том числе и этот, рассказ о геометрии служит подтверждением их правдивости.

Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасные модели многогранников. Когда его друг фра Лука Пачоли издал в 1509 году в Венеции книгу "О божественной пропорции", иллюстрациями к ней послужили пятьдесят девять рисунков, сделанных Леонардо со своих моделей. (Впрочем, Пачоли не остался в долгу: он подсчитал для великого скульптора количество металла, потребного для изготовления статуи всадника, — задача по тем временам нешуточная.)

Что же божественного нашел в простых геометрических фигурах Лука Пачоли — человек, живший спустя два тысячелетия после Платона? Или это отзвук, прошедший через века и народы, приписываемой ему Плутархом крылатой фразы: "Бог всегда действует геометрически"?

Нет, фра Лука — монах Пачоли — мыслил реалистичнее: бог — геометр не всегда, но в некоторых случаях. А именно когда речь идет о "золотом сечении" — о таком делении отрезка на две неравные части, чтобы отношение большей части к меньшей равнялось отношению всего отрезка к большей его части. Завяжите простым узлом узкую полоску бумаги и осторожно распрямите его (12). Вы получите правильный пятиугольник, а его диагонали как раз и делят друг друга "в среднем и крайнем отношении" — так еще по-другому называют "золотое сечение". Пачоли нашел, что есть тринадцать "эффектов" этой "божественной" пропорции — "ради нашего спасения", как утверждал он. Он искал эти "божественные эффекты" в самых совершенных созданиях математики — пяти Платоновых телах, строил их из стеклянных плиток, а затем раздавал "для коллекций разных вельмож". В главе "О двенадцатом, почти сверхъестественном свойстве" речь идет о правильном икосаэдре — платоновом теле, ограниченном двадцатью правильными треугольниками.

Вглядитесь повнимательнее в эту древнейшую игральную кость (13). К каждой вершине сбегаются пять треугольников, свободные стороны которых образуют уже знакомый нам правильный пятиугольник. Если же соединить между собой любые два противоположные ребра икосаэдра, то получится прямоугольник, тоже имеющий прямое отношение к "божественной" пропорции, — его большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон — к большей. И именно икосаэдр связан с математической знаменитостью — проблемой "целующихся сфер", которая возникла в споре Исаака Ньютона с оксфордским астрономом Дэвидом Грегори (4).

Наконец, в самые последние годы это звучное греческое слово вновь замелькало в научных статьях: выяснилось, что структура кристаллического бора — идеальный икосаэдр. И даже вирусы, которые раньше так и назывались "сферическими" — например, вирус полиомиелита, — и то, как удалось обнаружить, имеют форму икосаэдра. Но об этом чуть позже.

"Евклид вовсе и не собирался выпускать систематический учебник геометрии. он задался целью написать сочинение о правильных многогранниках, рассчитанное на начинающих, в силу чего ему пришлось изложить все необходимые сведения" — шутка известного английского естествоиспытателя и геометра д'Арси Томпсона, как и всякая хорошая острота, содержит зерно истины. Ведь согласно Проклу, Евклид считал венцом всех тринадцати книг своих "Начал" предложенные им способы построения пяти Платоновых тел — недаром он поместил их в последнюю, тринадцатую книгу. Строить, в его понимании, значило начертить, пользуясь только циркулем и линейкой.

Но прежде чем браться за правильные пространственные тела, Евклиду пришлось "изложить все необходимые сведения" о правильных плоских фигурах.

В первой книге "Начал" он учит, как строить правильный треугольник, а в четвертой — квадрат, пяти-, шести- и пятнадцатиугольник с равными сторонами и углами при вершине. Но вот правильный семиугольник ни Евклиду" ни его последователям построить не удалось, а пытались многие, потому что семиугольная звезда играла определенную роль в астрологии. Однако только в 1796 году Карл Фридрих Гаусс сумел выяснить, какие именно правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки, а какие — никогда. Ему было тогда всего 19 лет, и он готовился стать филологом. Открытая закономерность произвела на Гаусса такое сильное впечатление, что он не только забыл и думать о филологии, и не только с головой ушел в математику, но и всю жизнь, уже став великим ученым, гордился своим юношеским успехом. И геттингенцы поставили ему памятник, в пьедестале которого правильный 17-угольник. Сограждане великого математика достойно почтили его память. Установленный Гауссом закон связывает между собой две самые могучие ветви математического древа — геометрию и теорию чисел. ("Математика — царица наук, теория чисел — царица математики", — писал Гаусс.) Закон этот гласит: циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник в том и только в том случае, если число его сторон n разлагается на простые множители, каждый из которых является так называемым "простым числом Ферма", и вдобавок множители эти не повторяются. (Единственное исключение — числа, кратные 2. Они могут, конечно, входить в состав множителей n — ведь нетрудно сколь угодно раз удвоить число сторон уже построенного многоугольника.

"Простые числа Ферма" выражаются простой формулой, придуманной Ферма: 22k+1. Вот первые пять таких чисел: 3, 5, 17, 257 и 65 537. Семерка не входит в их число, и потому астрологам придется самим строить свой символ.

В "Математической смеси", переведенной на русский язык книге Литлвуда, есть такая миниатюра:

"Один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: "Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65 537 сторонами". Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением". Это не совсем анекдот: некто О. Гермес действительно потратил десять лет на такой бессмысленный труд. Рукопись его, заключенная в большой ящик, до сих пор хранится в Геттингенском университете — памятником титанической усидчивости.

Счастье, что руководитель остановился на пятом простом числе Ферма. Возьми он шестое (а вычислить его не так уж трудно: 225+1 = 232+1 = 4 294 967 297), бедняга аспирант до конца своих дней не оторвался бы от чертежей. И дело не в гигантской величине числа сторон. Оказалось, что Ферма ошибался: "шестое простое число Ферма" не постое, а составное: оно разлагается на множители.

Доказать это удалось Леонарду Эйлеру.

"Эйлер... не проглядел ничего в современной ему математике, хотя последние 17 лет своей жизни он был совершенно слепым", — писал один известный историк математики. Не проглядел Эйлер и проблемы многогранников. Если бы Евклид и в самом деле хотел написать многотомное сочинение о Платоновых телах, ом все равно не мог бы сделать этого, не зная формулы Эйлера, с которой мы уже встречались. А ведь она даже проще, чем знаменитый "Понст асинорум" — "Мост для ослов", не преодолев который, нельзя, по мнению Евклида, считать себя разумным человеком (перейдите ради самоутверждения через него и вы: докажете, что углы при основании равнобедренного треугольника равны)! "Некоторые из его простейших открытий таковы, — писал про Эйлера Г. С. М. Коксетер, один из крупнейших современных геометров, — что можно представить себе дух Евклида, вопрошающий: "Почему при жизни на Земле я не додумался до этого?" Но когда слышишь именно эту формулу, то досада "почему не я?!" Невольно берет любого.

Послушайте:

"В любом простом выпуклом многограннике число вершин плюс число граней и минус число ребер равно двум".

Проверьте (еще раз):

на тетраэдре, кубе, октаэдре, на любой фигуре, которую способно измыслить ваше воображение, — с прямо- или криволинейными ребрами, с какими угодно гранями (только без "дыр" — это и значит "простой" многогранник).

Убедитесь (окончательно):

формула Эйлера В+Г-Р = 2 справедлива в любом случае.

12

Эта прославленная формула не связана, как мы имели случай увериться, ни с расстояниями, ни с углами, она предельно наглядна. Она буквально видна в прозрачном воздухе геометрического сада. Но эта простота и наглядность — отражение фундаментальных свойств нашего трехмерного пространства. Именно из-за своей фундаментальности формула эта стала основой для двух математических дисциплин — топологии и теории графов.

Заставим же ее поработать и на нас — выясним, наконец, почему Платоновых тел пять, а не три или восемь.

"В геометрию нет царского пути!" — услышал Птолемей I, когда потребовал, чтобы Евклид обучил его своей науке как-нибудь побыстрее. А уж в наше время и вовсе нет иного способа понять некоторые геометрические вещи, кроме пристального размышления над ними. В этом и объяснение и оправдание тех крайне, впрочем, простых формул, к которым нам придется прибегнуть, чтобы ответить на только что поставленный вопрос. "Понимание математики не приобретается только безболезненно развлекательными способами", — писал Рихард Курант, крупный американский ученый, иностранный член нашей Академии наук, эмигрировавший в Америку из Германии, когда там к власти пришел Гитлер.

Правильный многогранник тем и правилен, что каждая грань его правильный р-угольник и в каждой вершине сходится одно и то же число q таких граней. (Математики обозначают это обстоятельство символом Шлефли — {p, q}) Отсюда следует, что число всех ребер, которые составляют "каркас" платонова тела (иными словами, число планок, которые пришлось заготовить Леонардо да Винчи для каждой из своих моделей), можно подсчитать двояким путем. Оно равно произведению числа всех вершин на число сходящихся к каждой из них ребер q, поделенному пополам, — ведь при таком подсчете мы каждое ребро учитываем дважды, по одному разу каждый его конец. Но, с другой стороны, те же ребра можно пересчитать Платонову телу и по-другому, помножив число его граней на число сторон каждой грани р и опять — по той же причине — разделив эту цифру на Два. Если подставить теперь полученные соотношения в формулу Эйлера и несколько поразмыслить над получившимся результатом, то мы как раз и докажем утверждение Евклида: Платоновыми телами могут быть лишь многогранники, символы Шлефли которых — {3,3}; {4,3}; {3, 4}; {5,3} и {3,5}. Итого-пять! Четыре из них Мауриц Эсхер соединил в удивительную конструкцию, внутреннюю часть которой составляет куб с прошедшим сквозь него октаэдром, а наружная "оболочка" — это взаимопроникшие икосаэдр (светлые треугольные грани) и додекаэдр (его грани более темные, пятиугольные). Называется эта конструкция "Стереометрические фигуры". Отсутствующий на ней тетраэдр художник изобразил на гравюре "Двойной планетоид". Там их даже целых два: один прошел сквозь другой, причем первый "цивилизован", а второй остался в первозданном, диком виде.

13

"Только забавляясь и учатся", — считал Анатоль Франс. Известный ирландский ученый сэр Уильям Роуэн Гамильтон в 1859 году занялся математическим бизнесом: выпустил в продажу головоломку, состоящую из деревянного додекаэдра, в каждую из двадцати вершин которого вбит гвоздь с большой шляпкой, чтобы не соскакивала обернутая вокруг него веревка. Под каждым гвоздем стояло название крупного города — Дели, Филадельфия, Брюссель... Надо было продолжить веревочный маршрут, проходящий через все центры цивилизации точно по одному разу.

Очевидно, новый товар не вызвал ажиотажа на рынке, а изготовлять правильный двенадцатигранник не так просто, и потому Гамильтон предложил другой вариант игры — технологически намного упрощенный. Роль додекаэдра, пространственного тела, играло его плоское изображение — так называемый граф, то есть фигура, составленная из вершин, соединенных ребрами. (Все многоугольники, все мозаики, что мы рассматривали и еще только будем рассматривать, — это, несмотря на свой простецкий вид, типичные графы.)

Граф, заменяющий собой многогранник, повторяет его архитектуру — столько же вершин, столько же ребер и граней, тот же способ соединения их друг с другом. (Потому формула Эйлера, справедливая для многогранников, верна также и для графов.) Вот один из способов получить такой граф: надо спроецировать весь многогранник на плоскость одной из его граней, а центр проекции выбрать недалеко от ее середины. Тогда для пяти Платоновых тел получаются графы (см. 73-ю страницу книги). Они называются диаграммой Шлегеля. Таким нам увиделся бы гигантский многогранник, если бы мы удалили одну его грань, забрались в образовавшуюся дыру и стали рассматривать его изнутри. Диаграммы эти очень удобны — они позволяют на листе бумаги производить манипуляции с объемным телом, чем и воспользовался Гамильтон, чтобы упростить свою нерентабельную головоломку.

Математика сохранила память о его поучительной игрушке — до сих пор линия, проходящая по одному разу через все вершины графа, называется гамильтоновой. Но и сейчас никто не может сказать, существует ли для того или иного графа гамильтонова линия или нет. А это весьма обидно, ибо жизнь часто требует ответа на подобный вопрос. Например, знаменитая "задача о странствующем торговце" состоит в том, что он должен посетить несколько городов и как можно скорее вернуться домой. В общем виде эта транспортная проблема не решена. Можно, конечно, перебрать все варианты и выбрать наилучший порядок обхода городов, но если их много, за дело без мощных вычислительных машин лучше не браться. Впрочем, кое-какие задачи подобного типа все-таки решены — например, найдена кратчайшая авиалиния, проходящая по всем главным городам Америки.

"Со времен древнегреческих философов правильные многогранники считались не более, чем игрушкой для математиков, не имеющей никакого практического значения. весьма замечательно, что как раз эти фигуры оказались в центре внимания биологов в их яростных спорах относительно точной формы вирусов", — замечает в своей превосходной книге "Нить жизни" крупнейший специалист в области структуры белка Джон Кендрью — тот самый, который сумел определить пространственную конфигурацию молекулы миоглобина, за что и получил Нобелевскую премию. В этой книге помещена чрезвычайно любопытная фотография вируса, поражающего комара-долгоножку, так называемого иридесцентного вируса Tipula (14). До того, как его сфотографировали под электронным микроскопом, на вирус этот с двух разных сторон направляли атомы металла. Поэтому позади него образовались своего рода "тени". И вот этот метод двойного напыления позволил разглядеть на фотографии, что тени имеют острые Углы! Значит, вирус не может быть совершенно кругам, как считалось ранее. Чтобы установить точную его форму, брали различные многогранники и направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов металла на частицу вируса. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень. Имя его — икосаэдр.

14

Послушайте Джона Кендрью:

"Вы можете спросить: а почему обязательно правильный многогранник? И почему именно икосаэдр? По-видимому, тут все дело в экономии — экономии генетической информации. Вирусная частица должна весь обмен клетки-хозяина перевернуть вверх дном; она должна заставить зараженную клетку синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в вирусной нуклеиновой кислоте. Но количество ее ограничено. Поэтому для кодирования белков собственной оболочки в нуклеиновой кислоте вируса оставлено совсем мало места. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных молекул — строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки вирусной частицы. В результате достигается максимальная экономия генетической информации. Остается добавить, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов".

Так "решают" вирусы сложнейшую (ее называют "изопиранной") задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно — относить их к живой или неживой природе, — эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые "сферические вирусы", в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой икосаэдры, а не сферы, как думали раньше.

Эта внушительная и в то же время удивительно целесообразная конструкция, состоящая из двадцати простейших одинаковых деталей — правильных треугольников — и заключающая внутри себя наибольший возможный объем, вновь наталкивает на мысль об изначальной простоте Природы. Она строит все свое богатство и разнообразие из простейших блоков. Недаром же Джон Кендрью назвал вирусы "живой архитектурой". В свете последних научных достижений платоновский четырехэлементный мир не кажется больше таким уже абсурдным. И вслед за Адельбертом Шамиссо, немецким поэтом и ученым, хочется повторить полушутливые слова: "Во мгле веков перед нашим взором блеснула истина. Она, как теорема Пифагора, до наших дней еще верна".

15

Истина эта, как стало ясно в последнее время, связана с так называемым экстремальным свойством правильных многогранников. То есть с их способностью ограничивать собою объем больший, чем любое другое тело с тем же числом граней. Или же, что то же самое, иметь наименьшую поверхность среди всех тел с тем же объемом и числом сторон. Правильные многогранники в некотором смысле самые "выгодные" фигуры. Природа пользуется этим фактом шире, чем нам думалось.

"На разных этапах развития математики вплоть до настоящего времени геометры возвращались к теории выпуклых многогранников и открывали в ней новые фундаментальные факты", — писал Лазарь Аронович Люстерник, член-корреспондент нашей Академии наук. Один из таких глубоких фактов и есть экстремальное свойство правильных многогранников. Проблема эта уходит корнями в седую древность.

...Финикийская царица Дидона отличалась невероятной прозорливостью — она предугадывала, что Марку Катону Старшему надо будет чем-то заканчивать каждую из своих речей в сенате, и ради этого решила основать Карфаген. Кроме того, Дидона была еще жадной и тщеславной, поэтому ей хотелось, чтобы новый город занимал как можно больше места на земле. Но она же вдобавок обладала хитростью и поразительной геометрической интуицией, и только благодаря этому удался ее честолюбивый замысел. В обмен на ничтожные безделушки Дидона выторговала у вождей племен, населявших север Африки, право владеть "клочком земли, который покроет воловья шкура". Коварная финикийская царица и не думала класть шкуру на землю — нет, она разрезала ее на тонкие ремни, связала их вместе и этой длинной веревкой вознамерилась огородить свое будущее владение. И тут перед ней — впервые за всю человеческую историю — встала задача, которую много веков спустя назовут изопериметрической: какую форму должна иметь замкнутая линия, чтобы площадь, заключенная внутри нее, получилась наибольшей?

Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — круг? Кто знает... Известно лишь, что легендарная царица и на этот раз сумела урвать лишний кусок — она выбрала свой участок на берегу моря, так что вся морская граница досталась ей даром. За этой женщиной придется признать крупный геометрический талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в прошлом веке швейцарским геометром Якобом Штейнером, а ее "карфагенский вариант" — с учетом того, что часть замкнутой кривой представляет собой прямую линию "побережья", — и того позже.

Штейнер доказал — притом сразу пятью разными способами, — что именно круг охватывает самую большую площадь при данной длине замкнутой линии. Вслед за этим удалось выяснить, что следующее слово за правильными многоугольниками: они "выгоднее" любой другой фигуры с тем же числом сторон. Так была окончательно решена задача, которой, кроме легендарной Дидоны, занимались реальные ученые — например, Зенодор и Архимед. Но тут же возникла новая: а какое пространственное тело может ограничить наибольший объем при той же поверхности? Или же какую форму должна иметь наименьшая поверхность, заключающая в себе данный объем? Ответ на оба вопроса почти очевиден: шар. Но что дальше? Кто следующий претендент на решение изопиранной (так она называется) задачи?

Да, правильные многогранники. Они обладают — среди всех прочих фигур с тем же числом граней — экстремальными свойствами. Это предположение тоже принадлежит Штейнеру.

Но правильные многогранники разные: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр составлены из треугольных граней, куб ограничен квадратами, додекаэдр — пятиугольниками. У тетраэдра — всего четыре грани, у куба — шесть, октаэдра — восемь, додекаэдра — двенадцать, а у икосаэдра — все двадцать.

Значит, среди самих Платоновых тел существует конкуренция? Да, и фаворит в ней "многосторонний" икосаэдр. Вот его-то исключительностью среди всех пяти героев нашего рассказа и воспользовались вирусы.

"Живые источники математического творчества неотделимы от интереса к познанию природы и задачам управления природными явлениями", — утверждает академик Андрей Николаевич Колмогоров. "Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир" — так переработал пифагорианскую мудрость, избавив ее от идеалистического звучания, Иоган Вольфганг Гёте. Мысль о том, что в первооснове вещей лежат некие простые математические соотношения, крепко пустила корни на нашей планете и часто являлась в гениальные головы, перелетая через тысячелетия и континенты.

Кристаллы в виде кубов, тетраэдров и октаэдров, вирусы, ныне обретшие икосаэдрическую форму, — все это, очевидно, далеко не последние шаги наглядных математических представлений в глубины нашего мира.

Впрочем, почему только "в глубины"? Почему речь все время идет лишь о свойствах вещества? Зачем забывать о додекаэдре — платоновском символе Вселенной, "пятой сущности" алхимиков?[4] Если справедлив платоновский принцип: "геометрия приближает разум к истине", то он верен не только в микро-, но и в макрокосмосе. Числа все-таки должны править миром — описывать законы движения Вселенной.

"Геометрия древних греков стала краеугольным камнем новой астрономии" — это известное изречение больше всего относится к астрогеометрическим экспериментам Иоганна Кеплера. Открыв основные законы движения планет нашей Солнечной системы, он задался следующим вопросом: а почему они находятся на том или ином расстоянии от Солнца? И тут сказалась приверженность Кеплера к "чистой геометрии". "Если бы небесные движения были произведениями разума, можно было бы с основанием заключить, что орбиты планет — совершенные круги... сам Господь, который был слишком благ, чтобы оставаться праздным, затеял игру в символы, посылая знаки своего подобия в мир. Поэтому и я осмеливаюсь думать, что вся природа и благословенное небо записаны на языке искусства геометрии". Ясно, что человек с такой идеологией должен видеть торжество геометрии во всем, в том числе и во Вселенной. Кеплер пытался найти смысл в расположении планетных орбит, вписывая правильные многоугольники в окружности, а сферы — в кубы, последовательно, одну за другой, все уменьшая их размер. Но никакой аналогии с распределением планет на небесах не возникало.

И вдруг Кеплера осенило. Планет всего шесть и, следовательно, промежутков между ними — пять. Но и Платоновых тел тоже пять — не больше и не меньше. Не может быть, чтобы это совпадение оказалось случайным! И Кеплер стал лихорадочно вставлять один правильный многогранник в другой, по-разному комбинируя их и вписывая в каждый сферу, — математический прообраз планетных орбит. К его радости, эти построения, легшие в основу его книги "Тайна Вселенной" (в других переводах — "Космографическая тайна" и "Тайна мироздания"), обнаружили определенное сходство с небесным порядком, каким он виделся астрономам в те годы. "Несравненное удовольствие, которое я испытал от этого открытия, невозможно выразить словами", — писал он. В книге Иоганна Кеплера есть чертеж (15), из которого видно, каким он представлял себе механизм, ведающий размещением планет. Вокруг Солнца описан самый большой шар, по нему движется Сатурн. Теперь в него надо вписать куб, а в куб этот — снова шар, который определит собой орбиту Юпитера. Если в этот меньший шар вписать тетраэдр, а в него опять шар, то получится орбита Марса. Так, следуя Кеплеру, и надо продолжать вписывать в шары правильные многогранники, а в них — снова шары. Между Марсом и Землей окажется додекаэдр, между Землей и Венерой — икосаэдр, а Венеру и Меркурий разделит октаэдр. Точные значения орбит у Кеплера не получались, но он считал, что есть разница между "мыслимой идеей круга и действительным путем планеты", поскольку "небесные движения — произведения не разума, а природы". Поэтому ему пришлось подправлять свою модель — шары на его чертеже имеют различную толщину. Но все это было бы ничего, если бы не открыли новые планеты, а запас Платоновых тел, разумеется, не пополнился: их как было, так и осталось пять.

"Погоня за идеей — занятие столь же захватывающее, как и погоня за китом", — писал Генри Норрис Рассел. Он не мог, конечно, сбросить со счетов те случаи, когда кит срывается с гарпуна. Построение Кеплера рухнуло, но сами поиски геометрической целесообразности устройства мира не становятся от этого менее привлекательными. В саду геометрии все видно, все наглядно — ветви в нем не спрятаны под листвой недоступных формул и абстрактных идей.

Но они переплетены. Вписывая, по-кеплеровски, правильные многогранники в сферу, мы не только создаем красивое построение, но и вторгаемся в новую область нашей "многогранной" темы. О том, что случается, когда правильный многогранник вписывают в сферу — о сферических мозаиках, о математических мозаиках вообще, которые есть не что иное, как вырожденные многогранники, — речь пойдет дальше. А пока — лишь один взгляд на гравюру М. К. Эсхера "Колючий цветок": его лепестки так же переплетены, как и геометрические проблемы, очередь которых впереди.

Мой дорогой отец!.. Как поживают травы, кустарники и деревья? Коровы, овцы, лошади, собаки и люди?.. Я сделал тетраэдр, додекаэдр и еще два эдра, для которых не знаю правильного названия.

Джеймс Клерк Максвелл

V. Серьезные игры

Симметрия, как бы широко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

Герман Вейль

"Математик, так же как художник или поэт, создает узоры, и если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей". В книге "Апология математики", изданной в Кембридже, эти слова не относятся, конечно, к такой малой частности, как геометрические мозаики. Но, право же, и в этих узорах есть своя идея, не лишенная ни красоты, ни глубины. В сущности, мы живем среди мозаик. Кирпичная кладка домов, паркет в них, стены в ванной комнате — все это они: одни и те же фигуры раз за разом повторяют сами себя — одна к одной, сплошняком. Гравюры Эсхера "Всадники", "Лебеди", "Восемь голов", "Мозаика. II", а также многие другие из его работ тоже представляют собой плоскость, полностью, без "зазоров" покрытую фигурами, которые в то же время не налезают друг на друга. Это и есть то, что геометр назовет мозаикой. А с точки зрения портного или обувщика, математическая мозаика — это выкройка без потерь. Впрочем, мозаичный узор — еще и искусство. Оно достигло наивысшего расцвета семь веков назад в Испании. Правда, мавры не могли заполнять свои плоскости изображениями зверей или птиц, а тем более человека — Коран в ином, правда, смысле, чем Библия, но тоже запрещает "сотворять себе кумира", и потому дивная стенная роспись Альгамбры, дворца арабских султанов в Гренаде, — это мозаика из абстрактных фигур. Но это как раз то, что нас сейчас интересует!

"Математики — вроде французов: когда говоришь с ними, они переводят твои слова на свой язык и сразу получается что-то совсем другое" — в шутке Гёте много смысла. Да, математик вкладывает свою идею в прекрасное искусство мавров. Его даже радует, что в Коране есть запрещение изображать живых тварей. Ближе всего его сердцу узоры, составленные из одинаковых правильных многоугольников, — правильные математические мозаики.

А какие они могут быть? Первое, что приходит в голову, — правильная четырехугольная квадратная мозаика, порождение ограниченности нашей нынешней строительной эстетики, преследующая нас дома и на улице. Какие еще мозаики могут встретиться нам в этом мире? "Треугольная", — скажете вы, и будете правы: равносторонний треугольник заполнит собою всю плоскость. Двуугольных фигур не бывает, и потому следующий претендент на роль мозаичного кирпича...?

"Правильный пятиугольник!" — возможно, скажете вы, и ошибетесь!

Правильные пятиугольники не смогут встретиться в одной вершине, втроем они не сомкнутся вокруг нее, а вчетвером налезут друг на друга. Следующий испытуемый — правильный шестиугольник Тут все в порядке: угол между любыми двумя сторонами равен 120 градусам, значит, три их как раз и образуют 360. Такая мозаика — она называется гексагональной — часто встречается в природе. Это пчелиные соты (16) или, например, поверхность жидкости, подвергнутой высокочастотной вибрации, — такую мозаику можно "остановить" с помощью стробоскопа (17).

Но шестиугольная мозаика — последняя наша удача.

Право, на праведную геометрическую жизнь имеют мозаики только трех типов: {4,4}, {3,6} и {6,3}. Это опять символы Шлефли, и они по-прежнему означают, что в вершине мозаики могут сойтись либо четыре четырехугольника, либо шесть треугольников, либо, наконец, три шестиугольника — и никаких иных правильных многоугольников. Все эти мозаики, переходящие благодаря воображению художника одна в другую, вы увидите на гравюре Эсхера "Метаморфозы. II".

Две последние мозаики очень похожи друг на друга, хотя внешне у них все вроде бы наоборот: вершины одной служат центрами граней другой (18, 19). Символы их {3,6} и {6,3} совсем не случайно симметричны, и не случайно треугольная и гексагональная мозаики называются двойственными. Про квадратную же мозаику {4,4} приходится сказать, что она двойственна сама себе.

"Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики", — пишет в своей прекрасной книге "Симметрия" Герман Вейль. Его высказывание ни в явном, ни в неявном виде не содержит гиперболы: среди декоративных узоров древности, главным образом в египетских орнаментах, дошедших до нас, содержатся все возможные виды симметричного расположения на плоскости любых фигур, а таких видов, оказывается, всего семнадцать. "Вряд ли возможно переоценить глубину геометрического воображения и изобретательность, запечатленные в этих узорах, — продолжает Вейль. — Их построение далеко не тривиально в математическом отношении... 17 видов симметрии, в неявном виде известных еще египетским ремесленникам, исчерпывают все возможные случаи. Довольно странно, что доказательство этого факта было дано лишь в 1924 г. Д. Пойя".

Еще более, пожалуй, странно, что такой крупный специалист, как Герман Вейль, тут ошибается: все эти семнадцать расположений были найдены известным русским ученым Евграфом Степановичем Федоровым и описаны в его работе "Симметрия на плоскости", изданной в Санкт-Петербурге в 1891 году. Впрочем, проблема эта интересовала многих ученых. Шестнадцать из семнадцати групп указал француз Камилл Жордан в "Мемуаре о группах движения" в 1869 году, тринадцать — немец Леонгард Зонке спустя еще пять лет. И, надо сказать, было из-за чего тратить время и бумагу. Речь шла не просто о математических курьезах — создавался подход к пониманию строения кристаллов, "каменных цветов", удивительных созданий Природы.

16

Первое разумное суждение о том, в чем загадка правильной формы кристаллов, было высказано, видимо, Иоганном Кеплером в трактате "О шестиугольном снеге". Оно относится к снежинкам. Почему они всегда шести-лучевые или шестиугольные? — спрашивал он себя. И пришел к гениальному для тех времен выводу: потому, что невидимые капельки водяного пара шарообразны и на холоде приклеиваются друг к другу таким образом, что каждая сцепляется с двенадцатью другими, "подобно зернам граната". Это было в начале XVII века и никто еще не сумел заглянуть внутрь вещества, и даже Ньютон еще не затеял своего спора с Грегори о целующихся сферах.

"Чтобы познать невидимое, смотри внимательно на видимое" — сказано в одной древней книге. сознательно или подсознательно этому принципу следовали все ученые, которым предстояло заложить фундамент новой науки — кристаллографии. Французский минералог Рене Жюст Гаюи однажды случайно уронил кристалл известкового шпата. Подобрав кусочки, он увидел, что они в точности повторяют форму разбившегося кристалла. Заинтригованный, он стал один за другим разбивать кристаллы из своей огромной коллекции и, как писал впоследствии его биограф, "продолжая трудиться на этом поприще, сделался основателем кристаллографии".

Вместе с тем, правда, Гаюи получил и насмешливое прозвище "кристаллокласт" — "разрушитель кристаллов", которое присвоили ему коллеги, предпочитавшие умозрительный подход к проблеме кристаллов слишком уж, на их взгляд, грубому натурному эксперименту. Но прошли долгие десятилетия, прежде чем почти одновременно Е. С. Федоров в России и А. Шенфлис в Германии, независимо друг от друга — один шел геометрическим путем, а другой воспользовался алгебраическим аппаратом теории групп — вывели все возможные в пространстве группы симметрии, которые определяют собой и все разнообразие кристаллических форм в природе. Любопытно, что когда они сверили результаты своих работ, то оказалось, что Федоров насчитал 229 возможных способов сочетания частиц в кристалл, а Шенфлис — 227. Федоров пропустил один способ, замеченный Шенфлисом, но тот зато проглядел целых три, указанных Федоровым. Немедленный обмен письмами позволил исправить недосмотры, и с тех пор в кристаллографии твердо установлено, что федоровских групп ровно 230.

17

"Все мои работы — это игры, серьезные игры", — говорил о себе голландский художник Мауриц Корнелис Эсхер, гравюрами которого иллюстрирована не только эта, но и множество других книг, вышедших в разных странах и так или иначе связанных с наукой. Исследования Федорова и Шенфлиса тоже довольно долго рассматривались как некие математические забавы и развлечения, не имеющие отношения к правде жизни. Еще Рентген не открыл своих знаменитых лучей, Беккерель — радиоактивности, Томсон — электрона и, наконец, Лауэ не обнаружил рассеяния рентгеновских лучей кристаллами. Все эти события должны были произойти для того, чтобы федоровские группы легли в основу точного и математически строгого расчета архитектуры кристаллов.

"Федоровская группа — это лишь канва, по которой природа может вышивать бесконечно разнообразные узоры атомных расположений. Но типов канвы всего 230, и великая заслуга Федорова и Шенфлиса заключается в том, что они установили этот факт и перечислили все возможные случаи. Чтобы в полной мере оценить удивительную проницательность, которую проявили эти ученые при выводе пространственных групп, нужно иметь в виду, что в те времена действительное расположение атомов в кристаллах совершенно не было известно". Цитата взята из книги П. М. Зоркого "Архитектура кристаллов". В ней автор позволил себе любопытное признание: "По-видимому, в последнее время несколько изменились функции научно-популярной литературы. Стремительное увеличение объема научных знаний часто не позволяет ученым и инженерам следить за развитием смежных областей науки, пользуясь специальными статьями и монографиями. Слишком много времени и сил требует основная работа. На помощь приходит научно-популярная литература. Она дает возможность сохранять широту кругозора, а иногда (автор знает об этом по собственному опыту) может пригодиться в основной работе".

Слова эти, написанные в наше время, в конце шестидесятых годов, едва ли вызвали бы возражение и в прежние времена. Евграф Степанович Федоров начал работать над своей первой монографией "Начала учения о фигурах" шестнадцатилетним гимназистом. И еще шестнадцать лет прошло, прежде чем он ее кончил. Причиной тому, видимо, не одна лишь необычная фундаментальность мышления, которая замечалась у будущего академика Петербургской академии наук. Виной тому и популярная литература, которая сбила его с прямого математического пути, заставила заинтересоваться кристаллографией, поступить в Горный институт, закончить его и потерять возможность разграничивать математику и кристаллографию на "основную" и "смежную" науки.

Нечто похожее случилось и с Маурицем Корнелисом Эсхером.

"В наше время, когда искусство и наука живут в различных областях духовной жизни и при этом стремятся разойтись все дальше и дальше друг от друга, столь удивительно вдруг встретить художника, который в своей творческой деятельности занят проблемами, лежащими в основании целых наук и нескольких математических дисциплин. подобное не случалось с тех времен, когда художники открывали законы перспективы и были пионерами в анатомических исследованиях", — пишет во введении к своей книге "Проблемы симметрии в периодических рисунках М. К. Эсхера" профессор Амстердамского университета Каролина Генриетта Мак-Гиллаври. Книга эта, состоящая из более чем сорока работ художника и соответствующего кристаллографического толкования их, служит учебным пособием для студентов.

"Я часто удивлялся своей мании создавать периодические рисунки, — писал сам художник. — Однажды я спросил своего друга, психолога, в чем причина моей увлеченности ими, но его ответ, что меня ведет здесь примитивный инстинкт повторения сделанного, ничего не объяснил".

18

И в самом деле, каким инстинктом объяснить поразительную по плавности перехода от рыбы, плывущей в темных глубинах моря, к птице, летящей в прозрачной высоте, гравюру "Небо и вода. I" или четкую в своем стремлении связать живое с неживым гравюру "Рептилии"? А ведь обе они построены на "повторении сделанного".

"Почему я одинок в этом деле? — продолжает Эсхер. — Отчего никто из моих коллег-художников не интересуется фигурами, которые входят одна в другую? А ведь фигуры эти подчиняются неким вполне объективным законам, которые всякий художник мог бы использовать в своей работе!

Свой первый рисунок такого рода я сделал в 1922 году. Он представлял собой соединение восьми различных человеческих голов[5]. В последующие годы я нарисовал около полутораста картинок такого типа. Я не мог удержаться от удовольствия повторять на бумаге одни и те же формы без зазоров между ними. Рисунки эти поглощали у меня вначале массу времени, потому что я ничего не слышал о кристаллографии и не знал даже, что мои игры основаны на правилах, хорошо изученных учеными.

Много лет спустя я впервые познакомился с кристаллографическими теориями... таким путем установился плодотворный контакт между математиками и мною".

Мозаики Альгамбры пленили воображение молодого художника, путешествовавшего по Испании. Но лишь знакомство с математической стороной кристаллографии, с федоровскими группами в частности, помогло ему осознать истоки собственной увлеченности. И то, что ему и окружающим казалось игрой ума, стало вдруг учебным пособием, более того — предметом изучения и причиной вдохновения математиков. Гравюра "День и ночь" — лишь один из примеров тому. Удивительное дело! Эсхер создал ее в 1938 году, когда еще и в помине не было идеи антисимметрии (хотя высказана она была Хеешем в 1929 году, но в науку вошла лишь после работ академика А. В. Шубникова, появившихся в конце сороковых годов), однако до сих пор нет и не мыслится лучшей иллюстрации этой важной и глубокой идеи современной науки.

"В 1951 году и в последующие годы А. В. Шубников, Н. В. Белов и другие расширили теорию кристаллографических групп, соединив периодическое повторение форм с периодическим повторением цветов. Эта теория полихроматической симметрии добавляет к 17 федоровским группам 46 двухцветных, 6 трехцветных, 6 четырехцветных и 3 шестицветных. Почти наверное русские не знали, что Эсхер, опираясь на одну лишь свою художническую интуицию, безо всякой математики, предвосхитил многие из полученных ими результатов. Например, очарование его знаменитых мотивов со всадниками увеличивается благодаря тому, что фигуры на них либо белые, либо серые — в зависимости от того, скачут ли они слева направо или справа налево"[6], — пишет неоднократно упоминавшийся в этой книге профессор Гарольд Скотт Макдональд Коксетер.

19

"Что такое красота? — спрашивал профессор Александр Александрович Любищев в своей посмертной статье, в которой он, биолог, размышлял о морозных узорах на окнах. — Одно из самых загадочных явлений природы. И как в законах строения и развития природных тел мы имеем разные уровни, так есть они и в прекрасном. И на самом высшем уровне, может быть, находятся абстрактнейшие математические теории и высшие музыкальные творения гениальных композиторов. Не всем дано подняться на эти вершины, но, как в капле воды отражается солнце, так некоторый намек на высшую красоту мы можем постичь, внимательно рассматривая такое скромное явление, как ледяные узоры на стеклах..."

"Видимо, мыслима какая-то новая кристаллография, которую с полным правом, по образцу неевклидовой геометрии, можно назвать "нефедоровской" — такова основная мысль статьи Любищева. "Я думаю, что физики обращали так мало внимания на ледяные узоры не потому, что считали это пустяками (для истинного ученого нет пустяков в природе), — пишет он, — а потому, что еще не наступил момент для нарождения нефедоровской кристаллографии".

Такой момент, видимо, все-таки уже наступил. В классическом труде академика Алексея Васильевича Шубникова "Симметрия и антисимметрия конечных фигур" к геометрическим операциям симметрии — переносу, повороту, зеркальному отражению — присоединена еще и операция "изменение цвета". Понятие черно-белой симметрии, или антисимметрии, столь удачно иллюстрируемое гравюрой Эсхера "День и ночь", оказалось необычайно плодотворным в таких, например, областях, как изучение расположения диполей в магнитных полях. Академик Николай Васильевич Белов со своими сотрудницами Н. Н. Нероновой и Т. С. Смирновой доказал, что существует ровно 1191 двухцветная федоровская группа.

Теория цветной симметрии развивалась и дальше. Одно из условий, выводимых из нее, гласит, что если пренебречь цветами и все темные тона объединить в один черный, а все светлые — в один белый цвет, то мы сразу получим все известные 46 черно-белых, то есть двухцветных, мозаик.

...Пожалуй, разговор о мозаиках, с которого началась эта глава, увел нас слишком далеко. Впрочем, предощущения грядущих открытий в самых фундаментальных областях знания не так уж необычны для науки. Задолго до первых кристаллографических откровений не кто иной, как Исаак Ньютон, писал: "Нельзя ли предположить, что при образовании кристалла частицы не только становились в строй и в ряды, застывая в правильных фигурах, но также посредством некоторой полярной способности повернули свои одинаковые стороны в одинаковом направлении?" Не правда ли, удивительное провидение? Быть может, спустя всего несколько лет мы с таким же чувством будем перечитывать фразу из статьи Любищева: "Развитие биологии убедило ученых, что есть в природе законы, ограничивающие многообразие форм и регулирующие развитие..."

Кристаллографические элементы организованности, характерные для белков, обещают нам наиболее глубоко проникнуть в тайны управляемых белками жизненных процессов.

Николай Васильевич Белов

VI. Мировая гармония

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находила применение в том или ином деле.

Алексей Николаевич Крылов

"Симметрия... охватывает свойства всех физических полей, с которыми имеют дело физик и химик", — считал академик Владимир Иванович Вернадский. Но если уж речь идет о физике и химике, то что говорить о математике?

Правильные геометрические мозаики, истинные образцы симметрии, как мы имели удовольствие убедиться, двойственны в том смысле, что центры составляющих их фигур служат вершинами для других фигур. И точно так же дело обстоит у правильных многогранников, только их в этом случае называют взаимными. Октаэдр, например, взаимен кубу[7] (20, 21), икосаэдр — додекаэдру (22), а вот тетраэдр взаимен сам себе (23), как квадратная мозаика тоже сама себе двойственна (19). Об этом говорит и симметрия символов Шлефли — {4,3} и {3,4} у куба и октаэдра, {3,5} и {5,3} — у икосаэдра и додекаэдра, {3,3} — у тетраэдра и {4,4} — у квадратной мозаики. Именно поэтому родственные мозаики и многогранники изящнейшим образом вписываются друг в друга.

Но вот что настораживает. Два тетраэдра, прошедших один сквозь другой, образуют восьмигранник — вы увидите его в правом верхнем углу гравюры Маурица Эсхера "Звезды"[8]. Эта фигура встретится нам в виде гравюры "Двойной планетоид". Лука Пачоли, первым обнаруживший эту фигуру, назвал ее "продолженным октаэдром", а его великий друг Леонардо да Винчи сделал соответствующий деревянный каркас, перерисовав его затем в их общую книгу "О божественной пропорции". "Octacedron elevatus solidus", то есть "продолженный октаэдр сплошной", — написано там его рукой (24). Иоганн Кеплер переоткрыл эту фигуру сто лет спустя и присвоил ей имя "стелла октангула" — "восьмиугольная звезда". Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл. Но она же перечеркивает все, что было сказано до сих пор! Мы вынуждены признать "стеллу октангулу" правильным многогранником: ведь все ее грани — правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны!

Что же это — шестое платоново тело?! Нет, просто удавшаяся провокация. В определении правильного многогранника сознательно — в расчете на кажущуюся очевидность — не было расшифровано слово "выпуклый". А оно означает дополнительное требование: "и все грани которого лежат по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них". Если же отказаться от такого ограничения, то к Платоновым телам, кроме "продолженного октаэдра", придется добавить еще четыре многогранника (их называют телами Кеплера-Пуансо), каждый из которых будет "почти правильным". Все они получаются "озвездыванием" Платонова тела, то есть продлением его граней до пересечения друг с другом, и потому называются звездчатыми. Куб и тетраэдр не порождают новых фигур — грани их, сколько ни продолжай, не пересекаются. Если же продлить все грани октаэдра до пересечения их друг с другом, то получится та же знакомая нам фигура, что возникает при взаимопроникновении двух тетраэдров — "стелла октангула", которую совсем недаром Лука Пачоли называл "продолженным октаэдром". Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу четыре "почти правильных многогранника. Один из них — малый звездчатый додекаэдр (25), полученный впервые Иоганном Кеплером, вы видите на эсхеровских гравюрах "Силы гравитации" и "Порядок и хаос".

"Я недавно встретил человека, который сказал мне, что не верит даже в существование минус единицы, так как из этого следует существование квадратного корня из нее", — рассказывал Э. Ч. Титчмарш, современный английский историк математики. Подобная же история случилась и с кеплеровским звездчатым додекаэдром.

Открыв этот "колючий" многогранник, Кеплер так и назвал его "еж" и поместил в свою удивительную по фантастичности идей книгу "Мировая гармония", где космогонические и астрономические вопросы решались с помощью соотношений, найденных в музыке и в формах правильных многогранников и многоугольников[9]. Но ученые отказывались считать кеплеровского ежа многогранником.

У этого упрямства была своя логика и своя предыстория. Столетиями математики не признавали за всякого рода звездами права называться многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются. А тут — геометрическое тело, гранями которого служат пятиконечные звезды, да еще вдобавок пересекающиеся! Какой же это многогранник?! Людвиг Шлефли, который был уже настолько свободомыслен — все-таки XIX век! — что не изгонял геометрическое тело из семейства многогранников только за то, что его грани самопересекаются, тем не менее оставался непреклонным, как только речь заходила про малый звездчатый додекаэдр. Довод его был прост и весом: это кеплеровское животное не подчиняется формуле Эйлера! Его колючки образованы двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двенадцатью вершинами, и, следовательно, В+Г-Р вовсе не равняется двойке.

Шлефли был и прав, и не прав. Конечно же, геометрический ежик не настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо только не считать, что он образован двенадцатью пересекающимися звездчатыми гранями, а взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело, составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины[10].

Тогда В+Г-Р = 32+60-90 равно, как и положено, 2. Но зато тогда к этому многограннику неприменимо слово "правильный" — ведь грани его теперь не равносторонние, а всего лишь равнобедренные треугольники.

Красоте малого звездчатого додекаэдра находится на удивление мало места в нашей жизни: он служит разве что светильником, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений и то не додумались сделать трехмерную звезду, а ею как раз и оказался бы этот многогранник.

20

И при том его еще и не надо было бы золотить — во всяком случае для геометров: золотое отношение, "божественная" пропорция связывает любой "брусок" каркаса обычного додекаэдра с тем же "бруском", но продолженным до точки встречи в вершине "колючки" кеплеровского ежа. Но Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Это увидел наш старый знакомый Август Фердинанд Мёбиус, а сам многогранник — он называется "большой додекаэдр" — построил французский геометр Луи Пуансо спустя без малого двести лет после кеплеровских звездчатых фигур. Если эти две удивительно красивые фигуры расположить рядом, то станет видна их "взаимность" (25, 26).

О двух других телах Кеплера-Пуансо (большом звездчатом додекаэдре — 27 и большом икосаэдре — 28) тоже можно было бы сказать немало интересного. Но, может быть, лучше просто полюбоваться на них и подумать: ведь удивительное дело, почему и в этой паре, "увидев" одну фигуру, Кеплер честь открытия второй оставил Пуансо?

А теперь, для отдыха глаз и души, еще раз взгляните на гравюру Маурица Эсхера "Порядок и хаос". Вот что пишет о ней сам художник: "Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей". Мы уже воспользовались одной из них — веревкой, когда говорили о головоломке сэра Уильяма Гамильтона. Тогда же нам понадобился и сам додекаэдр, но только не звездчатый, а обыкновенный — мы позаимствовали его с другой гравюры того же автора — "Рептилии". Посмотрите на нее внимательно, и вам представится случай полюбоваться еще одной мозаикой, составленной на этот раз из одних крокодилов, поверх которой наложена обычная, шестигранная.

21

"В мире нет места для некрасивой математики", — считал Готфрид Харди.

Обложку прекрасной книги Гарольда Скотта Макдональда Коксетера "Введение в геометрию" (ей тоже очень многим обязана эта "Рапсодия") украшает фигура, которую вычертил в 1932 году Джон Флаундере Петри, сын великого египтолога и — что гораздо интереснее — один из очень немногих людей на Земле, кто умел строить в своем воображении четырехмерные тела, подсчитывать в уме число их элементов и отчетливо представлять себе их взаимное расположение. Вычерченная им фигура, о которой идет речь, вполне земная, трехмерная, но и она была получена довольно непросто. Вписанный в сферу правильный икосаэдр спроецировали на эту сферу из ее центра (29). Все его ребра перешли в дуги большого круга, которые разбили сферу на множество сферических треугольников. (Дуги эти на плоскости изображаются эллипсами, в этом и была основная сложность вычерчивания "фигуры Петри".) Таким образом, правильный многогранник породил правильную сферическую мозаику — узор, покрывающий всю сферу, составленный из одинаковых фигур. (Центральные и периферийные треугольники выглядят разными только из-за того, что спроецированный на сферу икосаэдр пришлось спроецировать еще раз — на плоскость страницы этой книги, а при этом нельзя обойтись без искажений.)

22

Но у "фигуры Петри" есть еще одно замечательное свойство. Вглядитесь в нее повнимательнее, она того вполне заслуживает. Можно не только получить сеть сферических треугольников из правильного многогранника, но и, наоборот, этой сетью поймать платоново тело, да не одно, а целых два! Шесть треугольников, окружающих вершину, образуют треугольную грань раздувшегося до сферы икосаэдра, а десять треугольников, объединившихся вокруг вершины в центре, — пятиугольную грань такого же додекаэдра. Другие грани вы теперь увидите без труда. И, повинуясь вашей воле, разбитая на черно-белые треугольники сфера, подобно оборотню зрительных иллюзий, преобразуется то в двенадцати, а то и в двадцатигранник. Ничего удивительного в подобной двойственности нет, стоит лишь, вспомнить, что символ Шлефли у икосаэдра {3,5}, а у додекаэдра — {5,3}. То есть они взаимные многогранники: середины граней одного служат вершинами для другого (22).

23

"Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии" — таково мнение Л. А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики. Не будем же лишать себя удовольствия познакомиться с еще одним — самым многочисленным — отрядом многогранников, имеющих отношение к нашим Платоновым телам. Для этого надо лишь быть последовательным — отказаться еще от одного ограничения.

Почему правильные многоугольники, служащие гранями, так уж обязательно должны быть все на одно лицо? И сразу же обретают право на жизнь полуправильные многогранники, описанные еще Архимедом. Они получаются из Платоновых тел либо "отсечением углов", либо "отсечением ребер". Интересно, что две тысячи лет считалось, что архимедовых тел всего тринадцать, и лишь в 1957 году обнаружилось, что верхнюю часть ромбокубооктаэдра, состоящую из пяти квадратов и четырех правильных треугольников, можно повернуть на 45 градусов. Так появился четырнадцатый полуправильный многогранник, который можно было бы назвать ашкинузеэдром — в честь открывшего его советского математика В. Г. Ашкинузе.

24

Итак, к пяти правильным Платоновым и пяти почти правильным, то есть звездчатым, телам Кеплера-Пуансо надо прибавить еще четырнадцать полуправильных тел Архимеда-Ашкинузе. Но тогда уж, по справедливости, надо включить в этот реестр и "почти полуправильные", то есть звездчатые полуправильные многогранники: например, звездчатый кубооктаэдр, изображенный на гравюре М. К. Эсхера "Кристалл". Тут, однако, есть одна тонкость. Если про правильные — обычные и звездчатые — многогранники Огюстен Коши в 1812 году строго доказал, что их может быть только десять, то касательно полуправильных известно лишь, что 14 обычных дают 51 звездчатый. Но исчерпывается ли этим "полуправильное многообразие" — этого сегодняшние геометры не знают[11].

Впрочем, даже если и удастся доказать, что эти фигуры заполняют собой всю "обойму", то и тогда никто не назовет суммарного числа полуправильных фигур. Ведь в их число входят еще две бесконечные серии, описанные Архимедом в трактате "О многогранниках". Это призмы и антипризмы — фигуры, в основаниях которых лежат любые правильные n-угольники, а боковыми гранями служат либо квадраты, либо равносторонние треугольники. Так, словно потешаясь над нашим вполне естественным стремлением провести полную инвентаризацию всех ее тайн, Природа приготовила для нас целых две геометрические бесконечности.

Но это не единственная из ее геометрических шуток.

"Изо всех двухсот миллиардов мужчин, женщин и детей, которые когда-либо прошли по влажному песку с сотворения мира до собрания британской ассоциации в абердине в 1885 году, сколько найдется таких, которые на вопрос "сжался ли песок под вашей ногой?" ответили бы иначе, чем "да!"?" — вопрошал на лекции в Балтиморе лорд Кельвин. И на самом деле, никто не усомнился бы в правильности такого ответа, пока Осборн Рейнольде не доложил в Абердине о своих наблюдениях и выводах. "Когда нога надавливает на песок, плотный после ушедшего прилива, участок, находящийся вокруг ноги, тотчас же становился сухим, — рассказывал он членам Британской ассоциации ученых. — Надавливание ноги расплющивает, расширяет песок, и чем сильнее оно, тем больше воды выдавливается из этого места в окружающее пространство... Поднимая ногу, мы видим, что песок под ней и вокруг этого места через некоторое время снова становится влажным. Это происходит потому, что песок снова сокращается после удаления надавливающих сил и избыток воды выступает на поверхность".

Итак, песок не сжимается, а, наоборот, расширяется под ногой, а когда мы ее убираем, он вновь "сокращается". Это удивительное явление, обнаруженное физиком, могло бы быть предсказано математиком. Оно связано с проблемой так называемой "плотной упаковки равных сфер". А эта проблема, в свою очередь, тесно связана и с нашими многогранниками, и с нашими мозаиками.

25

На плоскости есть две возможности уложить круги: вписав их в квадратную и в шестиугольную мозаику. Интуиция подсказывает, а расчет подтверждает: второй способ позволяет уложить круги более компактно, как говорят, плотность упаковки тут выше. Можно доказать (это и сделал венгерский математик Ласло Фейеш Тот), что более плотной упаковки придумать невозможно.

Впрочем, открытие это совершено миллионы лет назад. Его коллективный автор — пчелы. (Взгляните еще раз на гравюру М. К. Эсхера "Метаморфозы. II". На ней вы увидите, как квадратная мозаика переходит в гексагональную — шестиугольную. "На этом месте, — пишет сам художник, — возникает ассоциация "шестиугольники — соты", и мысль эта поддерживается личинками, которые начинают шевелиться в каждой ячейке".)

26

Но в пространстве дело обстоит намного сложнее — вопрос о том, упакуются ли сферы, помещенные в трехмерные соты самым плотным образом, остается открытым. (То есть, поскольку центры их окажутся в вершинах куба, не ясно, является ли простая кубическая упаковка самой компактной.) У подножия старых военных памятников лежат обычно пушечные ядра в виде пирамиды — верхнее ядро покоится на четырех других, те, в свою очередь, на девяти ниже расположенных ядрах и т. д. Каждое попавшее внутрь пирамиды ядро касается двенадцати других — четырех в своем слое, четырех внизу и вверху. Это так называемая кубическая плотная упаковка, описанная Кеплером. Если положить пирамиду набок, то получится другой способ упаковки ядер-сфер, но плотность ее та же самая (точное ее значение 0,7408). Есть и еще варианты, но ни один не гарантирует самое компактное расположение.

(В том числе и тот, "икосаэдрический" (4), все из того же спора Ньютона с Грегори.).

Вопрос об упаковках — не праздный и не абстрактный. Он связан со строением вещества, его прочностью, а потому кровно интересует специалистов в разных областях науки.

Джон Десмонд Бернал, который был президентом Всемирного Совета Мира, крупный английский ученый, считал, например, что "текучесть жидкости есть результат ее молекулярной неоднородности".

27

И потому начались эксперименты.

"Земляника растет и под крапивой", — подметил Шекспир. Геометрическая мысль плодоносит и в худших условиях. "Я сдавливал свежий горох в одном и том же котле с силой в 1600, 800 и 400 фунтов, — писал еще в 1727 году Стефан Хейлс в своей "Статистике растений", — при этих опытах горох расплющивался, но его уровень не повышался, так как под действием большого веса масса гороха заполняла промежутки между горошинами, которые превращались в прелестные маленькие додекаэдры". Через двести с лишним лет, в 1939 году, опыт этот повторили два ботаника — Д. Марвин и Э. Мацке. Они заменили горошины свинцовыми пулями и увеличили давление в десять раз. Получились неправильные четырнадцатигранные тела. Грани были по преимуществу пятиугольными, хотя среди них встречались и четырех- и шестиугольные. Далее было обнаружено, что внутренние клетки растительных тканей тоже имеют в среднем четырнадцать граней. Исследовали под микроскопом пену, состоящую из двух тысяч пузырьков. Те шестьсот из них, что расположились в центре, имели в среднем по 13,7 касания с соседями, но чаще всего они превращались в тринадцатигранник, составленный из одного четырехугольника, двух шестиугольников и десяти пятиугольников. В 1959 году Джон Бернал изящнейшим образом показал, что пятиугольная грань действительно имеет преимущество перед другими. Он изготовил из пластилина массу одинаковых шариков, вывалял их в меловой пудре, а затем спрессовал в сплошной ком. У получившихся фигур в среднем было 13,3 грани, в большинстве своем пятиугольных.

28

И спрессованная случайная упаковка равных свинцовых пуль или пластилиновых шариков, и приблизительно однородная ткань, состоящая из растительных клеток, и пена, образованная примерно одинаковыми пузырьками, как бы стремятся приблизиться к трехмерным пространственным сотам, в которых число граней единичной ячейки находится где-то между пятью и шестью. Это "между", то есть дробное число граней, означает, что соты существуют в статистическом смысле: в каких-то ячейках четыре, в каких-то — пять, в каких-то — шесть граней.

Соты, то есть пространство, заполненное многогранниками, позволяют изучать пространственные фигуры, "находясь" между ними и миром плоскости. (Эта идея пришла в голову в 1897 году Форольду Госсету, молодому английскому юристу, который из-за отсутствия клиентов развлекался тем, что подсчитывал правильные фигуры, имеющие вид на жительство в четвертом, пятом, шестом и вообще любом измерении. Оказалось, что в четырехмерном пространстве их шесть, а в пяти — и более мерном живут лишь три правильных выпуклых многогранника — аналоги куба, тетраэдра и октаэдра. Правда, доказал это не Госсет, а Стрингхэм еще в 1880 году[12]. Но мысли Госсета о многомерных сотах математики не оценили, и скромный юрист вернулся к своим законам. Однако когда в журнале "Нейчур" в 1936 году появились стансы Ф. Содди "Поцелуй по расчету", где речь шла о "целующихся" многомерных сферах, Госсет откликнулся: он изложил в стихах часть тех выводов, что почти сорок лет пролежали в его архивах.) Соты помогли найти точную цифру, а именно 0,7797 (ее получил К. Роджерс в 1958 году), выше которой не может быть плотность ни одной упаковки. И в то же время очевидно, что любая меньшая плотность получается как бы сама собой, за счет случайных причин. Об этом и говорит эксперимент Осборна Рейнольдса на морском берегу: путешествуя по мокрому пляжу, мы изменяем упаковку песчинок, делая ее менее плотной, а такие варианты всегда, что называется, "под ногой". Под ударами волн или дождевых капель песчинки располагаются самым плотным из возможных способов. Теперь уже любое воздействие извне, особенно столь грубое, как давление ноги знаменитого ученого, не только не в силах уплотнить песок, но неизбежно разрушает "наиплотнейшеё" расположение песчинок, и потому вода засасывается в поры между ними. Рейнольде, разобравшись в сути явления, не советовал доверять продавцу, который, насыпав зерно в меру, начинает ревностно уминать его, как бы демонстрируя свое бескорыстие. На самом же деле при умелом уминании объем зерна может возрасти процентов на десять, а то и больше.

Еще нагляднее иллюстрирует тот же принцип трюк, проделываемый индийскими факирами. Они, тихонько потряхивая, наполняют кувшин с узким отверстием невареным рисом, а затем несколько раз погружают в него нож — как можно глубже. На десятый-одиннадцатый раз нож вдруг, на удивление всем, не ведающим о наиплотнейших упаковках, застревает, и факир с торжеством держит на нем весь сосуд!

29

Но, пожалуй, наиболее эффектен фокус, который сумели продемонстрировать сотрудники Научно-исследовательского института железобетона И. Г. Людковский и Ю. С. Волков. Колонны и опоры, придуманные ими, намного прочнее, чем любые из до сих пор известных строителям. Они словно сделаны из специальных дорогих сплавов. А на самом деле их конструкция представляет собой длинную спираль, свитую из проволоки, внутри которой насыпаны шары из стекла или каменного литья. Промежутки между шарами заливают бетоном. Как совершенно правильно пишут авторы сверхпрочной колонны в февральском номере журнала "Бетон и железобетон" за 1971 год, "при свободной укладке шары располагаются компактно, по так называемой кубооктаэдоической системе, когда один шар соприкасается с двенадцатью другими. Заполнение объема шарами составляет 74 процента". То есть одно из уже известных нам расположений пушечных ядер с плотностью 0,7408.

Оказывается, ни материал самих шаров (их можно делать из стекла, камня, шлакоситалла), ни исполнение окружающей их спиральной обоймы (Людковский и Волков предлагают заменить прочную проволоку стеклопластиковой арматурой, которая, кстати, устойчива против коррозии), ни, наконец, состав заполняющего промежутки между шарами раствора (марка бетона) не слишком сильно влияют на прочность колонны. Одна лишь геометрия превращает хрупкое стекло в безотказный металл, многотонным нагрузкам противостоит одна лишь сила математической мысли.

"Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. сам евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот", — говорит пчела в "Тысяче и одной ночи". Она права: пчелиная ячейка представляет собой нижнюю половину ромбододекаэдра, одного из полуправильных архимедовых тел, и это решение с точки зрения экономии воска и строительных усилий настолько разумно, что в академических кругах Франции возникла научная дискуссия, итог которой подвел Бернар Фонтенель, заявив, что за пчелами нельзя признать геометрического мышления на уровне Ньютона и Лейбница (хотя они и рассчитывают свои постройки в полном соответствии с открытым этими учеными дифференциальным исчислением и вытекающим из него принципом минимума), но они используют достижения высшей математики, подчиняясь божественному указанию и руководству.

Строители и архитекторы издавна предпочитают геометрические соображения даже самым очевидным и убедительным фактам. Они, например, пренебрегают заветом предков и с охотой строят дома на песке. Более того, если грунт не вызывает у них доверия, они выбрасывают его прочь и привозят на это место песок, который затем утрамбовывают. После объяснений Рейнольдса ясно, что песчинки приходят в состояние наиплотнейшего расположения и грунт приобретает все свойства твердого тела. Именно поэтому до сих пор прочно стоит "твердыня власти роковой" — Петропавловская крепость, первое большое архитектурное сооружение, построенное на песке — и на геометрической идее, заложенной в ее фундамент.

"Есть тонкие, властительные связи", — говорил поэт. Связь между правильными многоугольниками, мозаиками и многогранниками слишком глубока, чтобы не быть явной — они дети одной и той же математической идеи. Как плоскость можно покрыть некоторыми из правильных многоугольников, так и пространство удается заполнить Платоновыми телами. Случай с кубами тривиален. Но взгляните на гравюру Маурица Эсхера "Плоские черви", которой он предпослал такие слова: "Строительный кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда, и это логично, потому что такие кирпичи соединять друг с другом проще всего. Но любой человек, любящий и понимающий красоту правильных тел, может пожалеть, что строители не используют другие формы. Например, тетраэдры, перемежающиеся с октаэдрами, могут складываться один с другим не хуже традиционных кирпичей. Вот дом, построенный из комбинаций этих двух форм. Он не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных поверхностей, ни полов, ни стен, ни потолка — в обычном понимании этих слов. Вот почему он весь внутри заполнен какой-то жидкой средой, в которой плавают существа, напоминающие плоских червей — планарий".

Эти плоские черви вновь возвращают нас к мозаикам — обитателям двумерного мира.

Евклидову плоскость можно покрыть квадратами так, чтобы в каждой вершине их сходилось по четыре, — это и будет мозаика {4,4}. Но стоит нам захотеть объединить квадраты таким образом, чтобы к каждой вершине прилегало лишь три из них, как фигура замкнется в пространстве и мы получим куб {4,3}. Точно так же плоскость удается заполнить правильными треугольниками, собранными по шестеркам в каждой вершине, — мозаика {3,6}. Но если надо, чтобы вершину окружали три, четыре или пять таких треугольников, то мы опять получим замкнутые пространственные тела — уже знакомые нам тетраэдр {3,3}, октаэдр {3,4} и икосаэдр {3,5}.

Размышляя об этих превращениях, мы постигаем простейшие понятия топологии. И вместе с тем становится ясным, насколько общи ее законы, насколько универсален характер изучаемых ею зависимостей.

Первым, кто увидел глубокую общность мозаик и многогранников, был Иоганн Кеплер. Именно он предложил рассматривать плоскость, заполненную прилегающими друг к другу многоугольниками, как выродившийся многогранник и потому смог применить к ним одну и и ту же общую теорию.

Потом эта его мысль была продолжена в обе стороны: жалкая многократно "надломленная" прямая линия стала выродившимся многоугольником, а многогранники превратились всего лишь в трехмерных представителей неких многомерных сверхтел — величественных "политопов", речь о которых впереди.

Что же касается великолепных сферических мозаик, то их положение в известном смысле промежуточное — от плоскости ушли, а к многогранникам не пришли. Но именно поэтому они оказались очень удобным инструментом для исследования пространственных фигур. Кроме того, благодаря своей броской красоте они были изучены давно — первым их описывал известный на Востоке математик Абу-л-Ваф, живший в X веке. И в наши дни сферические мозаики притягивают к себе внимание художественных натур. Например, эсхеровские "Буковый шар", "Ангелы и дьяволы" и "Сфера с человеческими фигурами" — ювелирно вырезанные из дерева пространственные мозаики так хороши, что легко могут стать источником вдохновения и фантазии.

И то и другое нам понадобится, когда речь пойдет о фигурах, живущих в четвертом и более высоких измерениях, — сверхмногогранниках.

Высшее назначение математики — находить порядок в хаосе, который нас окружает.

Норберт Винер

VII. Музыка сфер

Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях...

Пафнутий Львович Чебышев

"Я тут не так давно разработал очень любопытный удар лапой эн в икс направлении", — говорит Дракон в пьесе Евгения Львовича Шварца. Очевидно, и омерзительный "летун-хлопотун" что-то искал в многомерном пространстве — наверное, защиту от неминуемой кары. Швейцарского математика Людвига Шлефли, символами которого мы пользовались, говоря о плоских мозаиках и трехмерных многогранниках, интересовало другое. В своей книге "Теория многократной непрерывности" он поставил такой вопрос: правильных многоугольников на плоскости может быть сколько угодно, правильных же многогранников существует только пять. Но это в пространстве трех измерений, а что будет в четвертом? Шлефли установил, что там имеют вид на жительство шесть правильных гипертел — аналогов пяти платоновых. Эти правильные сверхмногогранники, или политопы, состоят из Платоновых тел, которые называются теперь "ячейками политопа", соединенных между собой так, что каждая грань их принадлежит двум, а каждое ребро — сразу нескольким ячейкам. Если, как принято, обозначить это "нескольким" латинской буквой r, то символ Шлефли для политопа будет выглядеть так: {р, q, r}.

Что он означает, наверное, ясно.

Итак, политоп — крайний член последовательности все усложняющихся геометрических образцов: точка — линия — многоугольник — многогранник — политоп. Само это слово придумал в 1882 году Рейнгольд Хоппе — тот самый немецкий математик, что пусть с опозданием на 180 лет, но сумел рассудить спор Ньютона и Грегори, с рассказа о котором началась эта книга. Но в научный обиход оно вошло уже только в нашем веке благодаря Алисе Стотт, родной сестре Этель Лилиан Войнич, автора романа "Овод". Их отец Джордж Буль, известный математик, создатель целой науки — алгебры логики, сумел передать каждой из пяти дочерей часть своих разносторонних талантов. Алиса, например, обладала прекрасным пространственным воображением — она умела воображать четырехмерные фигуры. Сделанные ею модели политопов и по сию пору можно увидеть в Кембридже.

"Хотя аналогия часто вводит в заблуждение, это наименьшее из того, что вводит нас в заблуждение", — писал Сэмюэл Батлер в книге "Музыка, картины и книги". Модели — это, конечно, лишь грубая аналогия. Но их несомненное достоинство? подкупающая простота. Самую примитивную из самоделок, подобных тем, что делала Алиса Стотт, может без труда изготовить любой из подручных материалов, например из проволоки. Если рядом с тетраэдром, правильной пирамидой, расположить некую точку так, чтобы она находилась ото всех вершин пирамиды на расстоянии, равном ее ребру, то получится первый из наших политопов — правильный симплекс, речь о котором уже шла, когда мы делали первые свои шаги в четырехмерье. Его можно рассматривать пятью разными способами как пирамиду, у которой любая вершина играет роль "верхней", а остальные четыре определяют основание. Его проекция на плоскость представляет собой уже не раз встречавшийся нам правильный пятиугольник с вписанной в него пентаграммой — всем нам знакомой пятиугольной звездой. Видно, что у симплекса пять вершин, десять ребер, десять "обычных" двумерных граней и пять трехмерных сверхграней — четырехгранных пирамид, слагающих его "тело". В вершине политопа, "верхней вершине", встречаются три тетраэдра, то есть три трехгранные ячейки, в вершинах которых сходятся по три треугольника. Потому и символ Шлефли выглядит однообразно: {3,3,3}.

Другой аналог Платоновых тел — снова наш старый зйакомый гиперкуб, или "тессаракт", или "измерительный политоп". Как куб можно получить, перемещая квадрат по третьему измерению, так и сверхкуб образуется от движения обычного куба вдоль четвертого измерения. В его вершине назначают себе рандеву три обычных куба, а потому его символ {4,3,3}.

Что же касается остальных четырех правильных политопов, то их представить себе еще сложнее. И в самом деле, попробуйте вообразить фигуру, в каждой вершине которой встречаются четыре и даже пять тетраэдров — {3,3,4} и {3,3,5} или три додекаэдра — {5,3,3}. Внимательный глаз обнаружит, глядя на символы Шлефли, что первый из этих политопов взаимен гиперкубу, два последних — друг другу, а симплекс, как и слагающие его тетраэдры, обойден по части взаимности: у него тут полное самообслуживание. Впрочем, эти соображения куда меньше помогут вообразить облик политопов, чем фотографии моделей двух из них — правильного 120-ячейника, имеющего символ Шлефли {5,3,3}, и взаимного ему правильного 600-ячейника с символом, естественно, {3,3,5} (30, 31). Модели эти представляют собой трехмерные фоекции четырехмерных тел и вместе с тем — чудо ювелирной точности и геометрической интуиции. На выставке "Столетие прогресса" в Чикаго они постоянно собирали вокруг себя восхищенных посетителей. Сделал их Поль Дончиян, армянин, родившийся в Америке, ?го прадед был придворным золотых дел мастером у турецкого султана, и среди других его многочисленных родственников в разных странах Востока многие тоже мыли умелыми ремесленниками. Сам Поль Дончиян до тридцати лет управлял завещанной отцом ковровой фабрикой, пока вдруг ему не начали сниться сны пророческого характера. Но Дончиян не сделался ни предсказателем, ни мистиком. Он решил изучить четвертое изменение, поскольку именно оттуда, по распространенному среди спиритов убеждению, и вещали духи. Задача была: свести все вопросы к самым простым, которые смог бы понять любой человек, не имеющий, как и он сам, никакого математического образования.

"Как геометр, напрягший все старанья... таков был я" — в последних строфах, подводя итог своему гигантскому труду, Данте Алигьери этим сравнением решил дать читателю почувствовать, как много сил, воображения и знаний потребовала от него "Божественная комедия". Известно — это подметил еще Галилей, а снова вернулся к этому вопросу П. А. Флоренский в книге "Мнимости в геометрии", вышедшей в 1921 году, — что геометрия Дантова ада — неевклидова. Но она все-таки трехмерная!

Чтобы вторгнуться в четвертое измерение наиболее ощутимым образом, Поль Дончиян стал делать модели четырехмерных тел. Точнее, он спаивал из тонких проволочек объемные проекции этих тел в наше, третье измерение. Видом в плане в профиле ему служили чертежи, полученные геометрами, — например, тот, что создал голландский математик Ван Осе (32). И. Дончиян, как опытный строитель, воссоздавал по ним объемные фигуры. Он не стремился покрывать грани каким-либо материалом — ведь тогда ребра стали бы видимыми только для существ из четвертого измерения. Его модели — это "скелеты" фигур, то, что Леонардо да Винчи на своих рисунках к книге Луки Пачоли обозначил латинским словом "вакуус" — пустой, полый.

"Соединяя части фигуры между собой, приходится постоянно сверяться с известными проекциями на плоскость, но в то же время не забывать о здравом смысле, — писал о своей работе сам П. Дончиян. — К счастью, модели обладают тем, что в технике называется "защитой от дурака": если допущена ошибка, то она сразу видна и дальнейшая работа становится невозможной. Зато последняя операция — соединение друг с другом внешних и внутренних секций — таит в себе нечто от того волнения, что испытывают две группы рабочих, пробивающих туннель с двух разных сторон горы, когда они, наконец, встречаются и видят, что рыли точно по одной прямой".

Но минуты восторга были редкими, а работа требовала воображения, необычайного терпения и кропотливого, тонкого труда. Зато и результаты ее были намного более впечатляющими, чем даже фотографии получившихся моделей, — ведь как ни размести камеру, все равно какие-то из многочисленных ребер обязательно перекроют друг друга.

"Но живут, живут в N измерениях вихри волн, циклоны мыслей, те, кем смешны мы с нашим детским зреньем, с нашим шагом по одной черте", — писал Валерий Брюсов в своем известном стихотворении "Мир N измерений". И если сегодня удается несколько "приоткрыть засов", стерегущий наш мир трех координат, наши "высь, ширь и глубь", то заслуга в том не поэтов, а математиков — создателей n-мерной геометрии. Их трудами создано немало ухищрений, с помощью которых случается иной раз проникнуть в многомерность.

"Мы должны создавать бесконечное множество новых миров, законы которых мы сможем постигнуть, хотя нога человека никогда не ступит туда", — писал венгерский математик Ласло Фейеш Тот. Мы должны создавать эти миры хотя бы уже потому, что, как считал Николай Иванович Лобачевский, даже самая абстрактная математика когда-нибудь обязательно найдет себе применение. Политопы, порождения изящнейших построений геометрического ума, воспарившего к высшим измерениям, уже с лихвой отработали затраченные на них усилия человечества. Они исправно трудятся в теории связи и линейном программировании — практичнейших из практичных науках. Отточенный из них математический аппарат, накопленный опыт и интуиция служат, когда надо выбирать наибыстрейший способ соединения двух абонентов или самый короткий маршрут, или наилучшую загрузку оборудования, — и вообще во всех случаях, когда решается задача со многими связанными друг с другом неизвестными, которые можно представить как элементы многомерного политопа.

"Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству", — считал Рихард Курант, известный ученый, ныне покойный, бывший иностранным членом нашей Академии наук. Не одна лишь необычная страсть Поля Дончияна говорит о верности этой мысли, таких свидетельств много. Вот одно из последних. Авторское свидетельство, выданное советским изобретателям В. В. Тишину и В. П. Леонову, называется прозаично — "Строительный элемент". Но, быть может, оно несет революцию в строительное дело. В самом деле, вместо огромного количества (сейчас их около трех тысяч) деталей, из которых сегодня собирают здания, предлагается всего два элемента: плита и рама, которые, по сути, представляют собой одну деталь, только рама — полая, а плита — сплошная. Из них получаются и стены, и крыши, и фундамент, и межэтажные перекрытия. Мало того, здание можно потом разобрать, и все его детали использовать в другой стройке — не обязательно даже дома, а, например, взлетно-посадочной полосе на аэродроме.

30

Но как же будет стоять дом без "коробки" — железобетонного скелета, который глаз привык видеть на новостройке? Идея родилась у Василия Платоновича Леонова, когда он еще был студентом мехмата МГУ и изучал кристаллографию. Кристаллы ведь тоже сами себе служат каркасом и могут притом расти в любую сторону. Конечно, это было лишь "умозрительное рассуждение", вызванное "стремлением к эстетическому совершенству". Прошло много лет, понадобилась огромная "волевая деятельность" и самого Леонова, и его соавтора архитектора В. В. Тишина, и вмешательство нашей прессы, чтобы авторское свидетельство, заявка на которое была послана еще в 1963 году, было наконец выдано. Тому способствовало и то, что за эти семь лет на Западе возникло целое направление в строительстве и архитектуре, названное "Организация пространства". Его творцы — испанские архитекторы А. Карильо и М. Ориоль и американский профессор К. Воксман. Один из основных выводов создателей новой науки полностью совпадает с идеей Леонова и Тишина. А именно: есть лишь один способ заставить здание расти, как кристалл, в любом направлении и при этом строить его из одинаковых деталей. Для этого надо, чтобы детали эти по всему своему периметру имели паз, в который мог бы войти выступ от другой такой же детали. Но ведь это невероятно сложно — окружить деталь одновременно и выступом, и соответствующей ему впадиной... Или же это невероятно просто! Придуманная Леоновым и Тишиным конструкция решает эту проблему. Да, это всего-навсего плита, два слоя которой сдвинуты друг относительно друга по диагонали так, что получается гребень. Соединяя такие элементы друг с другом, можно строить все что угодно, например, фигуру, собранную из рам — полых плит, идущих на оконные и дверные проемы, внутренние перегородки, и вообще во всех случаях, когда стена не должна быть сплошной (33). Конечно, из таких же деталей лучше собирать не абстрактные конструкции, а вполне конкретные здания. Их каркас получается сам по себе, он просто следствие особой геометрии плиты.

31

Монтаж "коробки" благодаря одинаковости всех деталей и их соединений убыстряется в четыре-пять раз, его можно без труда автоматизировать, плиты и рамы Леонова-Тишина легки в изготовлении, их удается многократно использовать при реконструкции зданий, да мало ли еще полновесной прибыли несет людям "волевая деятельность", связанная со "стремлением к эстетическому совершенству". А ведь это только один из множества примеров плодотворного вторжения математической мысли в наиболее, казалось бы, изученные области нашей жизни...

"В голове архимеда было больше воображения, чем в голове гомера", — говорил насмешливый Вольтер. Восхваления, которые можно произнести в адрес всей математики, трижды верны по отношению к геометрии. Ибо она, доступная живому созерцанию, выковывает и архимедов и гомеров.

Правильные многогранники существовали на Земле задолго до появления на ней человека — кубы поваренной соли, тетраэдры сурьмянистого сернокислого натрия, октаэдры хромовых квасцов, икосаэдры бора и додекаэдры радиолярий, микроскопических морских организмов... Но только геометр усмотрел в них порядок и систему задолго до того, как физик проник в тайну строения вещества. Геометрия С ее прозрачной логикой, с четкостью ее построений позволяет увидеть первоосновы вещей.

32

Именно увидеть!

"Радость видеть и понимать есть самый прекрасный дар природы", — говорил Эйнштейн...

"Наглядная геометрия" — так назвали свою замечательную книгу Давид Гильберт и Стефан Кон-Фоссен. И это не метафора, а сложившееся научное понятие.

"В современной математике употребляется термин "наглядная геометрия". Мы относим к ней те геометрические вопросы и теоремы, которые имеют "наглядный" геометрический смысл. Теория выпуклых фигур, и, в частности, выпуклых многогранников, относится к наглядной геометрии. Ее теоремы имеют обычно элементарную формулировку и яркий геометрический смысл, хотя доказательства часто бывают весьма сложными... Вопросами этой теории занимались математики разных эпох, однако содержание этой теории не только не исчерпано, но, наоборот, в последние десятилетия она послужила темой для выдающихся работ советских геометров".

33

Так пишет один из этих геометров — Лазарь Аронович Люстерник в своей в высшей степени интересной книге "Выпуклые фигуры и многогранники". Но не одни лишь чистые геометры отдавали свое время, ум и сердце тем мыслям и образам, что ясно просматриваются сквозь невесомую ткань геометрии.

"Правильных выпуклых многогранников вызывающе мало", — заметил однажды Льюис Кэрролл. Но и этот весьма скромный по численности отрад, великолепная пятерка, сумел глубоко пробиться в самые глубины различных наук. Известный советский геолог профессор Б. Л. Личков, друг и сотрудник академика В. И. Вернадского, написал научный труд "К основам современной теории Земли". Он развил в нем ту точку зрения, весьма популярную среди космологов, что планета наша сформировалась из скопления астероидов. Вначале она отнюдь не напоминала шар — это было некое угловатое образование, несущееся в космосе. Но время и законы физики постепенно превращали Землю в правильные геометрические тела, поскольку именно они обладают особыми геометрическими свойствами, удобными для подобной эволюции. Переходной формой к нынешнему геоиду мог быть, по мнению профессора Личкова, додекаэдр, и части его граней и до сих пор должны сохраниться в теле планеты. По другим соображениям, приведенным в его книге, Земля должна была напоминать октаэдр, и тогда геологам следует, по Личкову, искать именно эти огромные грани.

Другой известный советский ученый, кристаллограф по специальности, профессор И. И. Шафрановский предложил в 1962 году модель Земли в виде двух тетраэдров, соединенных основаниями, а в конце прошлого века Л. Грин и А. Лаппарент уподобляли земной шар тетраэдру в чистом виде. И наконец, снова Платон, его диалог "Федон": "Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из двенадцати кусков кожи".

Один лишь икосаэдр остался не вовлеченным в эти геогеометрические рассуждения, но лишь до недавнего времени. В 1973 году сразу трое ученых — искусствовед Н. В. Гончаров, инженер-электронщик В. А. Макаров и инженер-строитель В. С. Морозов — выдвинули совместную гипотезу, которую они назвали додекаэдро-икосаэдровой.

Они обратили внимание на любопытное совпадение: Мохенджо-Даро, очаг древнейшей индийской культуры, и остров Пасхи, где тоже в отдаленные времена существовала самобытная цивилизация, расположены на концах оси, проходящей через центр Земли. Но несмотря на такую диаметральную географическую противоположность, между ними наблюдается удивительное лингвистическое единство: венгерский ученый Хевеши считает, что среди иероглифов острова Пасхи и Мохенджо-Даро около сотни одинаковых знаков. Вдобавок в знаменитых табличках ронго-ронго упоминается о большом архипелаге, который опустился под воду в районе острова Пасхи, а в Мохенджо-Даро в древности были сильные колебания почвы.

Эти не лишенные интереса (хотя и недостаточно проверенные) факты явились толчком к дальнейшему "обшариванию" планеты в поисках новых знаменательных совпадений. В поле зрения трех молодых исследователей попали египетские пирамиды. Название древней столицы Египта — Мемфиса, где они расположены, переводится как "Середина мира". От Гизы, района пирамид, до Мохенджо-Даро шестнадцать географических градусов, а от Мохенджо-Даро до Северного полюса — ровно вдвое больше. Получается, что пирамиды и в самом деле находятся если не в середине мира, то в центре гигантского равностороннего треугольника.

Следующий шаг на пути авторов додекаэдро-икосаэдровой гипотезы строения Земли был естествен и прост: продолжить стороны гигантского треугольника вдоль земного шара. Мозаика, покрывшая глобус в результате этой работы, состояла ровно из двадцати правильных треугольников. Иными словами, она представляла собою икосаэдр. Соединив середины его граней между собой, Гончаров, Морозов и Макаров получили, естественно, додекаэдр. И тут выяснилось, что вдоль ребер двух замечательных фигур происходят на Земле удивительные явления. Океанические подводные хребты и разломы земной коры расположились строго параллельно ребрам, а часто и просто вдоль них. Впрочем, это обстоятельство мало удивило авторов гипотезы: они были уже знакомы с новым научным направлением, так называемой тектоникой плит. Ее сторонники утверждают, что земная кора состоит из огромных плит, стыки между которыми они называют "швами на бейсбольном мяче планеты". "Земля, если взглянуть на нее сверху..." Откуда мог знать Платон, к каким выводам придет геология через две с половиной тысячи лет после его смерти?

"Лекторы, как известно, делятся на тех, кто говорит "уже Платон и Аристотель...", и тех, кто говорит "еще Платон и Аристотель..." — любит повторять Альберт Макарьевич Молчанов. И ему же, одному из крупнейших в стране специалистов по математическим методам исследования живой природы, директору Вычислительного центра пушкинской группы биологических институтов Академии наук, принадлежит крылатая фраза: "Биосфера многогранна".

Как ни соблазнительно представлять себе земную сферу в виде правильного многогранника, Платонова тела, и какими бы дружескими чувствами к Платону мы ни пылали, истина все-таки дороже. Да, многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль ребер икосаэдро-додекаэдровой сетки. Да, еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер — тут располагаются и очаги древнейших культур и цивилизаций — Перу, Северная Монголия, Таити, Обская культура, Камбоджа-Вьетнам, Ирландия, где есть памятники постарше египетских пирамид; районы максимума солнечной активности; максимумы и минимумы атмосферного давления; гигантские завихрения течений Мирового океана; шотландское озеро Лох-Несс с знаменитой Несси, скорее всего отсутствующей в нем; остров Сахалин, где обычные растения вытягиваются до невероятной длины, — да, все это странным образом попадает в вершины додекаэдра и икосаэдра. Но и эти и многие другие совпадения (среди них особенно поразительно, что "Бермудский дьявольский треугольник" и "море Дьявола" южнее Японии, где загадочным образом пропадают корабли и самолеты, не успев подать сигнал "SOS", — оба эти проклинаемые мореходами и авиаторами района океана лежат точно в центрах пятиугольных граней додекаэдра) еще не дают оснований для того, чтобы считать гипотезу Гончарова-Макарова-Морозова научной теорией. Строгих ее доказательств пока нет, и будут ли они — неизвестно.

"Заблуждения, заключающие в себе некоторую долю правды, самые опасные" — Адам Смит хорошо разбирался не только в политической экономии, но и в жизни вообще. Увы, остроумная геогеометрическая гипотеза открыта для критики почти со всех своих тридцати двух сторон. Но... но ведь и Кеплер пришел к своим законам движения планет не сразу, а пройдя через искусы поисков гармонии и красоты, воплощенных во всех тех же Платоновых телах. Есть что-то неотразимое в этих фигурах для людей определенного склада ума — для тех, чей внутренний взор устремлен к первоосновам мира. "... Я сделал тетраэдр, додекаэдр и еще два эдра, для которых не знаю правильного названия", — писал своему отцу Джеймс Клерк Максвелл, и эти слова знаменуют собой, быть может, рождение в ничем пока не примечательном английском мальчике великого ученого, физика, по складу своего мышления оставшегося геометром. "Джеймс покидает пору своего отрочества с картонными многогранниками в руках", — комментирует этот момент его советский биограф Владимир Петрович Карцев. И с любовью к геометрической строгости и целесообразности в сердце — так и просится добавить.

Это чувство, для которого нет, вероятно, правильного названия, способно овладеть людьми вне зависимости от их возраста, профессии или гражданства.

Химиков еще в начале нашего века увлекла идея создать соединения, в которых молекулы держатся друг за друга без всякой химической связи, исключительно благодаря тому, что они продеты одна сквозь другую как кольца — наподобие той фигуры, что определяет собой структуру этой книги. Для таких антихимических монстров придумали даже название — катенаны (от латинского "катена" — цепь), но лишь в середине шестидесятых годов Г. Шилл и А. Люттрингауз после десятилетней упорной работы и многих тысяч неудачных опытов сумели наконец получить первый катенан. Синтез его состоял из нескольких десятков стадий, и лишь на последней из них разрывалась последняя химическая связь, и кольца оставались соединенными чисто механически. Однако понадобилось еще создать метод доказательства, что все на самом деле обстоит именно таким образом: кольца продеты одно в другое, но химически ничем не связаны. Его предложил Рэмир Григорьевич Костяновский, доктор химических наук. Он придумал, как применить в этом случае масс-спектральный анализ. Все эти сложные и сложнейшие приемы и методы долгим и тернистым путем вели к получению катенана, состоявшего всего из двух сцепленных колец. Но не прошло и десяти лет, как ту же конструкцию химики получили совсем иным путем. Они использовали удивительные свойства нашего старинного знакомого — листа Мёбиуса. Цирковые фокусы, при которых разрезанное кольцо превращается в два сцепленных между собой, заменили собой точнейшую аппаратуру.

Но и тут не конец геометрическому вторжению в жизнь живой и неживой материи. Ведь если полоску бумаги — или длинную молекулу — повернуть перед склеиванием не на один и не на два, а на три оборота, то, разрезав ее, мы получим трилистник — такой, какие изображены на гравюрах Эсхера "Узлы". Особенно интересен левый верхний узел ("Узлы. 1965): про него не просто сказать, что это — односторонняя лента дважды, да еще вдобавок самопересекаясь обегает узел-трилистник или же два независимо существующих листа Мёбиуса?

"Теория узлов, одна из самых старых частей алгебраической топологии, принадлежит к числу тех разделов математики, где ставить "естественные" вопросы гораздо легче, чем отвечать на них. Поэтому, несмотря на то, что ею занимаются многие математики уже почти девяносто лет, полученные в ней результаты довольно скромны и многие основные проблемы все еще ждут своего решения. Особенно парадоксально то, что в теории узлов зачастую проблемы многомерной топологии решаются гораздо легче, чем аналогичные им проблемы в обычном трехмерном пространстве", — написано в предисловии к книге Ричарда Кроуэлла и Ральфа Фокса "Введение в теорию узлов". А сами авторы начинают ее такими словами: "Теория узлов представляет собой часть геометрии, привлекательную тем, что изучаемые в ней объекты можно воспринимать и осмысливать в обычном физическом мире. Она — место стыка таких разных разделов математики, как теория групп, теория матриц, теория чисел, алгебраическая и дифференциальная геометрия (мы называем лишь наиболее важные разделы). Ее истоки лежат в математической теории электричества и элементарной атомной физике, а недавно наметилась возможность ее новых приложений в некоторых областях химии".

Таким образом, узлы — не только предмет исследования для топологов, "деталь" первой необходимости для такелажников и моряков и обязательный "инвентарь" для фокусников-спиритов вроде Генри Слейда. Они еще оказались в фокусе внимания химиков и даже медиков. Сейчас сразу несколько групп исследователей в разных странах работают над тем, чтобы создать искусственным путем заузленные молекулы. В числе прочих, разумеется, проверяется и "мёбиусный" путь. Усилия ученых подогреваются тем недавно открытым фактом, что в клетках, пораженных раком, резко повышено содержание катенановых — "скольцованных" — молекул ДНК. Советским ученым посчастливилось обнаружить заузленную молекулу РНК. Встречаются в живой ткани и иные топологические диковинки. Все это говорит об одном: возможно, многие проблемы медицины и биохимии будут когда-нибудь решены благодаря геометрическому образу мышления, такому, какой был, например, у Джеймса Клерка Максвелла.

Пока же подход этот успешно реализуется в более "практичных" областях. Р. Г. Костяновский полагает, например, что молекулы ряда полимеров могут образовывать переплетающиеся между собой кольца. Эластичность такого вещества перекроет все мыслимые рекорды: оно будет растягиваться во многие тысячи раз и не рваться при этом. А вот один из последних примеров уже осуществленного "практически-геометрического" решения — авторское свидетельство, выданное В. С. Кравченко и В. А. Ткачеву: "Рабочий орган культиватора-плоскореза, включающий стойку, в нижней части которой укреплена стрельчатая лапа, отличающийся тем, что, с целью обеспечения самоочистки стойки от растительных остатков, последняя в нижней своей части изогнута по форме поверхности Мёбиуса".

...Нет, есть все-таки нечто бесконечно привлекательное в геометрии...

"Искусство — это я, наука — это мы", — было сказано Виктором Гюго в то время, когда еще и в помине не было ни многолюдных исследовательских институтов и центров вроде Объединенного института ядерных исследований в Дубне, ни гигантских ускорителей элементарных частиц, сравнимых разве что с промышленными предприятиями, когда коллективный и интернациональный характер научной деятельности был далеко не очевидным. Однако и во времена Гюго с относительно узким кругом геометрических проблем было связано довольно много имен. Вероятно, геометрия как наука изначально обладает свойством, отвечающим за странное на первый взгляд переплетение интересов и склонностей, которое с удивлением отмечает про себя всякий, кто пытается проследить за ростом различных ветвей геометрического дерева. Свойство это в том, что в ней самой все хитро переплетено.

Хоппе, немецкий математик, которому суждено было решить спор между Ньютоном и Грегори о тринадцати шарах, занялся впоследствии многомерными многогранниками. Мёбиус не только придумал свою прославленную топологическую игрушку, но и написал работу "Барицентрическое исчисление", где речь шла о четвертом измерении. А те, кого волнует красота многогранников, не смогут оторваться от еще одной математической забавы — калейдоскопа, составленного из сферических треугольников Мёбиуса, в котором любая точка рождает некий многогранник. Анри Пуанкаре не только подготовил почву для теории относительности Эйнштейна, изменившей наши представления о геометрии мира, но еще например, знаменитейшую "истинно топологическую" формулу Эйлера для вершин, ребер и граней многогранников преобразовал таким образом, что она стала применима для пространств любого числа измерений.

Таких примеров множество. Вся эта небольшая книга, по сути дела, тому иллюстрация. Как и иллюстрации к ней самой, взятые из альбома художника, сумевшего проникнуться геометрическим видением мира. И чтобы сделать расставание приятным, взгляните напоследок на гравюры Эсхера "Волшебное зеркало", "Всадники", "Другой мир", "Кубическое пространство", "Все меньше и меньше. I", "Вавилонская башня" и "Картинная галерея". Вы увидите, как зеркальность мира сочетается с проблемой плоского и пространственного, а мёбиусианские мотивы — с мозаиками, еще раз защемит сердце при мысли о безграничности нашей расширяющейся — или сжимающейся? — Вселенной и, быть может, вдруг станет почти ощутимой идея о ее замкнутости. И тогда в вас проснется на миг никогда не умирающий Вечный Геометр, наивно и мудро взирающий на окружающее его со всех сторон движение сфер, и, прислушиваясь к вавилонскому многоязычию современной науки, вы сумеете уловить Главные Слова.

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль

Финал

Музыка используется как средство вызывать массовые эмоции, и поэтому отсутствие музыкальности считается слегка дискредитирующим свойством; с другой стороны, большинство людей, не боясь общественного осуждения, готовы сколь угодно преувеличивать свою математическую тупость.

Готфрид Гарольд Харди

I

"Дорогая тетя, сообщаю вам, что я намереваюсь жениться... не бойтесь, она не математик", — писал в свое время знаменитый физик Джеймс Клерк Максвелл.

II

"Лекции, которые на самом деле учат, никогда не могут быть популярными; популярные же лекции не могут обеспечить подлинного обучения", — говорил его не менее прославленный соотечественник Майкл Фарадей.

III

Страх перед сухостью, строгостью, неэмоциональностью математики — а эти качества приписывают ей до того, как перевернут хоть одну страницу математической книги, — многих людей лишил радости свободного, ничем не стесненного полета мысли. А человека, который мог бы — нет, не лекциями и речами, а самим фактом своего существования — разрушить этот стойкий антиматематический предрассудок, рядом не оказалось... Что ж, не всем ведь везет, да и не все везенья заслуживают. "...Миссис Сабин после того, как вышла замуж, выучила математику своего мужа, а она, надо полагать, не ради этого выходила замуж", — писал Максвелл своей жене-нематематику спустя год после свадьбы. Он вел борьбу за ее душу — за то, чтобы им повезло.

IV

"Математика — наука точная потому, что она наука тощая", — не отказал себе в парадоксальном высказывании Георг Вильгельм Фридрих Гегель.

V

"Природа говорит языком математики буквы этого языка — круги, треугольники и иные математические фигуры" — это весьма современно звучащая фраза принадлежит Галилео Галилею.

VI

И в самом деле, математический язык — предельно точный, четкий способ рассказать о самых главных, существенных свойствах Природы. Именно потому, что он лишен всяческих излишеств, язык этот может служить скелетом мысли, какой бы сложной или непривычной она ни была.

VII

Хорошо известная фраза Фарадея обычно вырывается из контраста — не приводится ее продолжение: "...И все же лекции могут (вообще говоря) много дать уму". Хотелось бы добавить "и сердцу", ибо мысли о том, как устроен окружающий нас мир, не просто развивают сознание — они делают человека иным во всех сферах его жизни. Фарадей мог позволить себе поворчать по поводу несовершенства методов популяризации науки — сам-то он всю жизнь вел ее пропаганду: например, по собственной инициативе в течение нескольких лет читал две большие серии так называемых рождественских чтений для детей — "О различных силах в природе" и "История свечи". Истинным гениям науки, сделавшим в ней гигантские шаги вперед, было ясно, что порой необходимо потратить силы и время на то, чтобы рассказать людям о случившихся переменах таким образом, который дал бы им возможность понять смысл происходящего в науке.

"Всякий, кто хоть раз пытался популярно изложить какое-либо научное положение, знает, какие огромные трудности стоят на этом пути. Можно преуспеть в доходчивости, уйдя от изложения сущности проблемы и ограничившись лишь смутными намеками на нее и таким образом обмануть читателя, внушив ему иллюзию понимания. Можно, наоборот, квалифицированно и точно изложить проблему, но так, что неподготовленный читатель скоро потеряет мысль автора и лишится возможности следовать за ней дальше.

Если исключить из сегодняшней научно-популярной литературы эти две категории, то останется на удивление мало. Но зато эти немногие работы поистине неоценимы. Они решают важнейшую задачу — дать возможность широким слоям людей в полной мере осознать усилия, прилагаемые учеными, и результаты научных исследований. Ибо никак нельзя мириться с тем, чтобы каждое новое достижение в науке было известно лишь нескольким ученым в этой области, даже если им удастся вполне оценить его, развить и применить в своей работе. Ограничить круг посвященных небольшой группой специалистов — это значит умертвить философский дух народа, а отсюда прямой путь к духовной нищете". Слова эти написаны Альбертом Эйнштейном 10 сентября 1948 года. Они служат предисловием к книге Линкольна Барнетта "Вселенная и доктор Эйнштейн", но могли бы наполнить смыслом любую страницу любой книги, в которой делается попытка просто рассказать о сложных вещах.

...Вот вы и близки к тому, чтобы кончить читать книгу, построенную так же, как и эти несколько заключающих ее фраз.

Чтобы написать иную книгу, даже самому умному человеку приходится прибегать к помощи наемной кареты, то есть посещать всевозможных людей и всевозможные места, бывать в библиотеках, читать рукописи и т. д.

Себастьен-Рок-Никола Шамфор

Вариации

Геометрия и сейчас обладает всеми теми достоинствами, за которые ее ценили педагоги прошлых поколений. На свете есть еще геометрия, которая ждет, чтобы ее познали и оценили... Так давайте же вновь перелистаем Евклида, познакомимся с некоторыми новыми результатами. Быть может, мы вновь сумеем испытать тот же восторг и трепет, как и при первых встречах с геометрией.

Гарольд Коксетер Самуэль Грейтцет

Книга задумана, написана, сдана в издательство, отредактирована, проиллюстрирована, набрана, отпечатана, появилась в магазинах, распродана, и только тут наступает новый момент в жизни ее автора. С мучительной очевидностью предстает перед ним незавершенность его труда. Запоздалые сожаления терзают его душу: как много интересного, забавного, а порой и попросту важного и нужного осталось за бортом. Нет, не сумел он проявить изобретательности, настойчивости и остроумия, чтобы естественным образом вплести все эти маленькие прелестные вещицы в ткань повествования, и тем лишил своего читателя радости лишний раз улыбнуться или задуматься.

Когда книга переиздается, судьба дает автору редчайший шанс исправить прошлые ошибки. И если он им не воспользуется, то после винить уже будет некого.

Но включенные во второе издание этой книги "Вариации" лишь частично возникли как стремление досказать недосказанное. По большей части они навеяны событиями, происшедшими уже после того, как "Геометрическая рапсодия" перекочевала с прилавка книжного магазина на читательскую полку. Таким образом, хотя в них звучат, разумеется, все те же геометрические темы, но они дополнены новыми, современными мотивами.

Поля многих страниц книги, отданных "Вариациям", намеренно сделаны большими: на них автором (и читателем, если он того пожелает) проецируются те зрительные образы, что способны служить достойным аккомпанементом основной мелодии.

Беда с восприятием музыки состоит в том, что людей учат относиться к ней с уважением, в то время как надо учить их любить ее.

Игорь Стравинский

Вариация первая

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Пословица

Нет никакой случайности в том, что одна из лучших в мире книг, посвященных древнейшей из математических наук, названа именно так: "Наглядная геометрия". И Давид Гильберт, и Стефан Кон-Фоссен, ее авторы, да и любой другой, кто хоть раз задумался о том, чем же геометрия отличается от своих математических сестер, не могли не заметить главного: ее прозрачности, ясности, в известном смысле кинематографичности. Поэтому во исполнение данного в "Увертюре" обещания читателю предлагается сценарий небольшого мультипликационного фильма. Крохотные "значки" гравюр на полях едва ли позволят даже при самом развитом воображении увидеть взаимопереходы работ Эсхера, их связь и единство, основанные на единстве геометрии нашего мира, в чем, собственно, и состоит замысел сценария. Но ничто не мешает читателю обратиться к разбросанным по разным страницам книги иллюстрирующим ее гравюрам М. К. Эсхера, воспользовавшись для этой цели все тем же "Указателем", так он сможет увидеть некоторые из "значков" в увеличенном виде и сумеет их внимательно рассмотреть во всех деталях.

Пролог

Одно за другим переплывами идут изображения предметов, в которых запечатлена гармония нашего мира, геометрия, лежащая в его основе, — кристаллы, отражения в воде, капли росы, снежинки, раковины и пр.

Все, чем богат мир, доступно нашему глазу, — слышен голос героя фильма. — А все, что видит глаз, рука наша умеет сохранить на века. но вот вопрос: а умеем ли мы видеть всю красоту и мудрость мира?

Затемнение.

Чередой проходят перед нами фигуры, претерпевающие всевозможные геометрические превращения: от плоского к объемному, от нарисованного к "живому". Фигуры эти складываются в мозаику, заполняют собой пространство[13]. И вот бегут по экрану буквы...

Из-за края экрана появляется лупа в старинной оправе с деревянной ручкой. Рука, держащая лупу, доводит ее до центра экрана, и над увеличительным стеклом склоняется лицо человека, правда нам виден лишь его глаз.

Этот глаз, напряженно всматривающийся в буквы на экране, и рука, крепко держащая лупу, несколько мгновений занимают собою все внимание зрителя. И лишь затем сквозь линзу проступают титры фильма:

Букет из сада геометрии Мультипликационный познавательный фильм

Титры кончаются, и мы видим ту же руку, которая откладывает в сторону лупу и берет зеркальную сферу.

Одновременно рука эта и человек, которому она принадлежит, отражаются в зеркале шара. Человек сидит перед столом в кресле и, вертя шар, говорит — энергично, напористо, продолжая прерванный на полуслове разговор. Во время его монолога мы видим, как отражаются во вращающемся шаре стены комнаты, мебель, окна. Но глаза говорящего — таково свойство зеркальной сферы — все время остаются в центре кадра, словно гипнотизируя нас. И рука его, непомерно большая из-за искаженной перпективы, тоже не выходит из фокуса внимания зрителя.

...Боюсь, что нет. Мир сияет вокруг нас тысячами красок, он готов раскрыть нам тысячи тайн. А мы — слепы. Мы видим лишь малую долю этих сокровищ. Да и чему удивляться, ведь это только говорят: венец творения, венец творения... А давно ли мы перестали бегать на четвереньках?!

Все так же вертится шар, но его зеркальная поверхность тускнеет. Проступают земные материки, синеют океаны. И вся Земля, словно увиденная из космоса, кажется голубым шаром.

Все ближе Земля, и вот уже перед нами одни лишь волны.

Мерцает вода древнего моря. Одиноко стоит на острове голая скала. Лишь удары волн да завывания ветра — жизнь еще не начиналась на этой планете.

Медленно подымаются к поверхности моря огромные рыбы. Пучеглазая голова одной из них высовывается из воды. Опершись на плавники, рыба с удивлением рассматривает скалу и весь остров. Мы видим все это как бы ее глазами.

Гремят грозы, ливни низвергаются на море и сушу. Сотни миллионов лет прессуются в доли секунды — на Земле идет эволюция.

Перед камерой медленно проходит эволюция жизни на Земле. Темные рыбы на фоне светлого моря превращаются в светлых, плывущих в черных глубинах океана, те, незаметно меняя свою форму, преобразуются в темных амфибий, которые также неумолимо переходят в светлых лягушек. Наконец, на жизненной сцене появляются огромные черные птицы, которые уступают место белым голубям. Еще небольшой поворот, и вновь рыбы плывут по морю[14].

Вот они выползают на берег острова. Плавники их становятся лапами, головы вытягиваются. Крокодилообразный зверь смотрит на ту же скалу. Он видит ее нерезкой, искаженной — что-то между "рыбьим" видением и нормальной перспективой.

Множатся земные твари. Скачет огромный кузнечик. Он видит скалу вытянутой, как в "комнате смеха". Проползает гигантский муравей, и когда нам приходится взглянуть на тот же пейзаж его глазами, мы видим еще одно искажение.

Лезут и лезут рыбы на берег острова. Прямо на глазах их плавники превращаются в перепончатые лапы неведомых зверей и, постепенно меняясь, становятся руками нашего общего предка.

Прикрыв глаза рукою от солнца, смотрит на скалу человекообразное существо. Сначала оно не умеет "установить фокус", и знакомая нам картина выглядит нерезкой. Но вот лицо стало собранным, совсем человеческим, и волосатая рука, загораживающая глаза от яркого света, тоже становится обычной рукой. На берегу моря стоит тот самый человек (им может быть и живой актер), чье отражение в зеркальном шаре мы видели в предыдущих кадрах, его глазами мы видим все тот же пейзаж.

Переплывами меняются горные пейзажи. По крутым тропинкам поднимается наш герой и ведет свою беседу столько же с нами, как и с самим собой. Мы видим, как много дано человеческому глазу, как открывается ему красота мира, и тем неожиданнее звучат слова героя фильма:

Если смотреть в масштабе вечности, мы только что вылупились из яйца, — продолжает он свой страстный монолог, — и еще не научились как следует видеть. а уж изобразить увиденное — тем более.

Наш герой появляется на узкой улочке старого города. Доходит до веревки с бельем, перегораживающей улицу, останавливается. А я — строитель, архитектор, зодчий — назовите как хотите, но только научите, как мне нарисовать на бумаге то, что я хочу построить! как, я вас спрашиваю? как мне изобразить объемный трехмерный дом на плоском листе? ну вот, пожалуйста, научите... — говорит он, поднимая с земли кусочек угля и быстро нанося им на развешанной простыне четкие линии, изображающие окружающие его дома.

Я старался, видите — старался изо всех сил сделать эти дома выпуклыми, настоящими. А что вышло?! Как тут строить, когда не видишь ни линии стен, ни пола, ни потолка? — Почти кричит Зодчий и в гневе ударяет по простыне кулаком с задней стороны, чтобы сделать свой чертеж выпуклым. В центре его выпячивается балкон одного из домов. Зодчий, обрадованный, отступает, проводя перед чертежом рукой, словно призывая его сохраниться навеки. И тотчас штрихи эскиза превращаются в законченные линии гравюры. Полощется на ветру простыня с изображенной на ней городской улочкой. И мы вместе с Зодчим видим, что она вновь стала плоской, безо всякого следа выпуклости на месте балкона.

Вот оно, проклятье моей жизни! — восклицает зодчий. — Я должен уметь увидеть на рисунке то, чего там и быть не может: мне надо узнать объемное на плоскости, но ведь мой глаз к этому еще не успел привыкнуть. почувствовать ширь и глубину — и как? — с помощью каких-то цветных пятен, нанесенных на холст! А что еще представляет собой любая картина?

Безнадежно понурив голову, бредет Зодчий по городским улочкам. И все, на что он ни взглянет, стремительно приближается и становится, как бы нарисованным на поверхности стекла — реальная сочная и объемная жизнь превращается в соединение цветных пятен различной яркости, что, в сущности, и представляет собой любая картина.

Зодчий бросает взгляд на двух жуков, катящих шарик, и они сразу же уплощаются на том мысленном холсте, что живет в воображении Зодчего. Но вот он берет жука в руку, ощупывает его пальцами, и на наших глазах скарабей становится объемным. Так же точно рука рассказывает глазу Зодчего о форме стрекозы, которую тот ловит, и цветка, который он срывает. Предметы раскрывают Зодчему свои размеры и формы: пальцы руки, обегая края их, учат глаз видеть мир.

И, словно приветствуя прозревший глаз, наплывают один на другой четкие, рельефные пейзажи. Их чистая, прозрачная красота служит резким контрастом сумрачному лицу Зодчего, который идет навстречу нам по горной дороге.

А я вам все-таки докажу, что глаз наш ничего не видит! — в запальчивости, с фанатическим упорством твердит он. — Вот тут я кое-что построил, собрал кое-какие вещички. Милости прошу, заходите, будьте как дома!

Перед нами два марша лестницы, уходящей вниз. По ним быстро спускается Зодчий. Мы оказываемся в подземелье, где бесчисленные колонны держат полукруглые своды. Стремительно уходит вглубь их Зодчий, камера мчится вслед за ним среди расступающихся колонн. Направо, налево, вновь направо — кажется, колонны кругом. И вдруг — узкий, зеленый коридор, который перегораживают две оригинального вида конструкции. Зодчий раздвигает их, и мы видим, что нижний конец правой колонны и верхний конец левой — это плоская лента, которая лишь притворялась "объемной". На ленте надпись: "В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу. Давид Гильберт".

Зодчий распахивает дверь, которую скрывали колонны, и в лицо нам ударяет солнечный свет. Вдали — замок, черепичная крыша, башенка, квадратный дворик. По окаймляющей его сверху лестнице идут какие-то люди. Камера приближает к нам эту лестницу, построенную по принципу так называемой "фигуры Пенроузов", и то невероятное, что на ней происходит, становится для нас реальностью. Идут и идут люди по ступеням лестницы — все вверх и вверх, без конца. И по тем же ступеням непрерывной чередой движутся вниз другие, и тоже без конца, по замкнутому кругу[15].

Я говорил! — торжествует Зодчий. — вот он, ваш превосходный глаз, он видит то, во что ваш же мозг отказывается верить! Еще хотите? Прошу! — И он театральным жестом протягивает руку в другую сторону.

Камера наезжает на мельницу, но мельницу в высшей степени удивительную. Нескончаемым потоком падает на колесо вода, которая тут же сама поднимается вверх, чтобы вновь вращать мельничные жернова. (Это еще одна модификация той же удивительной фигуры, которая использована в гравюре "Водопад".) Вечный двигатель, химера изобретателей, работает перед нами со всей убедительностью действующей модели. Камера дает нам полюбоваться этой неправдоподобной действительностью со всех сторон, а Зодчий между тем увлекает нас дальше.

А вот самое удивительное! — кричит он, пробегая по дорожке сада между мельницей и замком. Миг, и мы видим его сбегающим с горы к воздушному сооружению, бельведеру, напоминающему беседку. Вначале мы не находим в ней ровным счетом ничего необычного — просто изящное архитектурное сооружение.

Ну неужели не видите? — глумится над нами Зодчий. — Что же это вы? Где же ваш зоркий глаз? Беседка-то с секретом!

И по мановению руки Зодчего все, что внутри бельведера, окрашивается в сине-зеленый цвет. Беседка похожа теперь на аквариум причудливой формы, а ее обитатели — на диковинных жителей воды. И тут мы замечаем, с помощью укрупнения, что три пары колонн окрашены странным образом: до половины в один, "внешний" розовый цвет, а дальше — в другой, "внутренний" сине-зеленый. Получается, что необъяснимым образом колонны до половины — внутри, а до половины — вне бельведера!

Повинуясь молчаливому приказу Зодчего, человек, стоящий внизу приставной лестницы, окрашенный, как и положено "внутреннему" жителю, в сине-зеленый цвет, начинает подниматься. И вот он на наших глазах перекрашивается. Когда же человек этот оказывается рядом с шутом на середине лестницы, он уже весь розоватый. Но вот они вдвоем поднимаются выше и становятся "внутренними" — сине-зелеными.

Мы живем в трехмерном мире, и он диктует нам свои законы, — продолжает Зодчий. — Ничто в этом мире не может быть одновременно спереди и сзади — это знает каждый. А я вот построил именно такую штуку — нечто, живущее в нашем мире, но не подвластное его законам!

Зодчий набрасывает на стене проект бельведера, так называемый "кубоид", и отчетливо прорисовывает этот "вывернутый" куб в руках у человека, сидящего на скамейке рядом с бельведером[16].

Я вывернул ребра обычного куба, и вот вам модель моей беседки. Ни один самый искусный строитель не сможет построить ее в нашем трехмерном мире, и все-таки вы видите ее! Это чудо дарит нам наш глаз именно потому, что он плохо чувствует на картине объем и его легко здесь обмануть. Он знает о пространстве лишь то, что расскажет рука. Это она говорит ему: "то — ближе, это — дальше, там — выпукло, тут — вогнуто". Без руки глаз никогда не узнал бы о том, что есть пространство, объем, он видел бы наш мир плоским, раздавленным...

Зодчий рисует в раздумчивости на полу человечков с большими руками. Вот они образовали плоскую мозаику, вот начинают "высовываться" из плоскости.

Вырваться из плоскости — постоянная мечта художника, — говорит Зодчий, и в тоне его уже нет прежней горячности: он рассуждает и сожалеет, а не спорит и убеждает.

Черные пессимисты и белые оптимисты стали совсем "полнокровными". Идут друг другу навстречу, пожимают руки, замирают так на мгновение — живые, объемные, сумевшие выскочить из плоскости. И, как мираж, начинают таять, отступая при этом назад, в стену, становясь плоской мозаикой. Все новое, необычное, о чем рука еще не успела рассказать глазу, мы видим сначала плоским, — слышим мы голос Зодчего, — это... это как поверхность пруда, — продолжает он, подбирая точные сравнения. Камера отъезжает, и мы сначала видим Зодчего на берегу пруда, а затем — одно лишь зеркало воды.

И рыба в глубине, и верхушки деревьев в высоте — все, как и листья, одинаково покоятся на его ровном зеркале, — заканчивает свое сравнение Зодчий. Камера наезжает на пруд. Мелькают очертания рыб, они переходят в силуэты птиц. Птицы летят, и, следя за самой верхней из них, мы оказываемся в дворике средневекового города[17].

Смотрите! — восклицает Зодчий. — Даже верх и низ в нашем мире порой различить нелегко. Геометрия его непроста. Я, Зодчий, ежечасно творю ее из камня, дерева и своего воображения. И уж кому, как не мне, знать это...

Камера сдвигается вниз, и мы видим внизу точно такой же дворик, для которого то место, где стоит Зодчий, служит крышей... мы видим только то, что

Знаем. Остальное домысливаем, угадываем, пытаемся сравнить с чем-нибудь похожим... В кадре — один и тот же пейзаж: город, река, мельница, но зеркально отраженные, и вдобавок одно изображение — позитив, другое — негатив. Когда глаз свыкается с двумя городами и квадратами полей между ними, эти квадраты, деформируясь, переходят в летящих в разные стороны птиц[18].

Что это — белые птицы на темном фоне или черные — на светлом? — говорит Зодчий, и сам тон его речи изменился, стал лиричным. — Знать этого нельзя, но можно вообразить и птиц, и оба города, и весь мир. И когда я понимаю это, я думаю: пусть глаз наш несовершенен, пусть рука немощна, но зато нам дано нечто большее — дар фантазии.

Круто "пикирует" камера на один из городов. Мы видим Зодчего на ступеньках какой-то лестницы, ведущей вверх[19]. Он поворачивает к нам лицо и говорит, впервые улыбаясь:

Вот потому мы и всемогущи! "Воображение важнее знания", — говорил Эйнштейн. И он прав, тысячу раз прав, — продолжает Зодчий. — Я, песчинка в мироздании, могу строить миры, в которые не ступала нога человека. Их, может, и нет вовсе, а мои руки, мои глаза создали их — вот здесь, в моем саду!

Камера отъезжает, чтобы показать нам, как Зодчий "входит" в удивительную конструкцию, состоящую из трех лестниц, расположенных под прямым углом друг к другу — как координатные оси на любом пространственном чертеже. Три несовместимых мира, в каждом сила тяжести направлена в иную сторону, соединились в этой конструкции. Зодчий преодолевает марш лестницы, а в это время из стены мимо него выходит и движется вверх к потолку Человек-с-мешком-на-спине.

В этом странном мире, который я сам придумал, действуют сразу три силы тяжести. И потому люди в нем могут идти по одной лестнице, по одним и тем же ступеням, но даже не подозревать о существовании друг друга. Ведь, что для одних пол, для других — потолок, а для третьих — стена, — продолжает Зодчий рассказывать нам о своем геометрическом саде.

Камера укрупняет двух человек в верхней части гравюры, которые проходят друг мимо друга, но так, что пол для одного служит стеной для другого.

Новая вселенная, родившаяся в моем воображении, живет перед вами — зримая, реальная не меньше, чем вы или я, — продолжает Зодчий и уходит в полукруглую арку.

И нашу обычную вселенную со всеми ее сложностями я тоже построил здесь, в своем геометрическом саду, — слышим мы голос Зодчего, удаляющегося от нас по дорожке сада. Зодчий доходит до глубокого оврага, почти пропасти, через который переброшены прямоугольные брусья, соединенные между собой такими же балками. Он ступает на этот мост, а камера поднимается в верхнюю точку и постепенно снижается к Зодчему. "Мост" уже успел обрасти брусьями, тянувшимися во все стороны. Вся пропасть заполнена кубическими ячейками, которым нет "числа.

Я часто слышу, что ученые говорят: "наша вселенная безгранична", — слышен голос Зодчего, — и я не спорю, я просто беру карандаш и рисую...

Брусья изгибаются, и весь экран становится как бы ассоциативной иллюстрацией к теме "Искривленная Вселенная, какой рисует ее теория относительности".

Я слышу: "она искривлена", но и это вообразить мне под силу, — продолжает Зодчий.

Брусья распрямляются. Мы выбираемся на поверхность из царства безграничности и видим Зодчего, делающего последние шаги по мосту. Вот он уже и на той стороне оврага, направляется к домику с колоннами.

Вот с замкнутостью нашей вселенной, о которой прожужжали мне уши друзья-физики, мне пришлось потруднее, — говорит он. — Но и тут я справился, кое-что нарисовал, что мне лично многое объяснило. Глаз и рука вновь не подвели меня.

Зодчий приглашает нас в картинную галерею[20] — это она разместилась в этом домике. Мы входим в арку и движемся влево по коридору, где вывешаны и разложены на стендах в виде работ художника уже виденные нами кадры фильма и некоторые, представшие перед нами впервые, которые еще только предстоит увидеть зрителю.

Вот мы видим юношу, рассматривающего картину. Вместе с ним мы следим взглядом за изгибом реки, переходящим в набережную, вот дома на ней, один из них выдвинут на первый план — там в окошке женщина, которая смотрит вниз, на колонны, поддерживающие крышу. И вдруг нам становится ясно, что именно между этими колоннами мы прошли в галерею! Выходит, юноша видит на картине и то место, где она висит, и, значит, самого себя на ней!

Интересный рисуночек, не находите? — комментирует Зодчий наше путешествие по этому замкнутому в самом себе миру. — Посетитель моей галереи сам становится произведением искусства. Смотрите, он видит на картине город и тот дом, где внизу как раз и есть та самая галерея, где он сейчас стоит и любуется моим рисунком! Выходит, он видит на полотне самого себя и сам является частью изображенного — мир моей картины замкнулся! И теперь, когда я слышу, что наша вселенная замкнута, я больше не пугаюсь, а вспоминаю вот эту картину... Картинная галерея очень медленным переплывом переходит в схему, иллюстрирующую идею конструкции этой галереи. Схема сделана в размер гравюры, так что мы видим, как работала мысль художника, какой геометрический заряд удалось вложить ему в свой замысел.

Так же медленно зарисовка переходит снова в эскиз, а тот — в гравюру.

Да, немало я потрудился, чтобы представить себе замкнутость... — говорит в это время Зодчий. — Но зато я теперь убедился, что глаз и рука могут создать и объяснить все на свете, даже бесконечность не пугает их...

Мы в это время прошли коридор галереи в обратном направлении, скользнув взглядом по развешанным в нем гравюрам, но не вышли из нее, а углубились мимо выхода вправо. Перед нами — новый кадр. Камера наезжает и, все убыстряя свое движение, движется "внутрь" мозаики, состоящей из одних рептилий. Как волны, разбегаются кольца рептилий: они, все уменьшаясь, уводят нас в бесконечность.

Движение наше столь стремительно, что все сливается в мелькании темных и светлых кругов[21].

Затемнение.

Эпилог

По темному небу, усеянному точками звезд, движется лунная тележка. Проплывают с обеих сторон "космически-геометрические" тела. Плавными переплывами каждая из них переходит последовательно во все более схематичный рисунок, медленно "тая" на экране.

Как миражи, возникают удивительная мельница и бельведер, которые мы видели в геометрическом саду. Соответствующие эскизы, возникая на мгновение, проясняют нам их "кунштюк".

Но вот перед космической путешественницей возникает препятствие — три круглые колонны какого-то неизвестного сооружения, верх его не помещается на экране. Тележка стремится пройти между двумя из них, но упирается во что-то твердое — в фонограмме скрежет и треск. Откатывается назад, и мы видим верхнюю часть так называемой "Невозможной арки" — самого, быть может, удивительного геометрического монстра. Тележка пытается пробраться между двумя прямоугольными колоннами, но тщетно. Крупно камера показывает телеглаз, анализирующий обстановку. Тележка, ведомая им, поднимается вверх и облетает "невозможную арку". И в этом далеком, сложном мире, где геометрия столь отлична от нашей, глаз сумел найти верное решение.

Среди звезд, как след от улетающей вдаль тележки, появляется полупрозрачная лента. По переплетению ее колец, изображающих собой головы девушки и юноши, перекатываются зеркальные сферы, подчеркивая глубину космоса.

Камера наезжает на глаз юноши.

На месте зрачка появляется всем знакомое лицо Эйнштейна.

"Радость видеть и понимать — самый прекрасный дар природы" — это его слова.

Медленно исчезает лицо ученого.

Титр:

"Конец".

Две последние буквы мерцают, меняются местами.

Надпись:

"Конца познанью нет!"

Воображение — это великий дар, так много содействовавший развитию человечества.

Карл Маркс

Вариация вторая

Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика, вместе взятые, и по крайней мере столь же обширной, как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться.

Е. Т. Белл

Все три книги, о которых пойдет речь, пока не переведены на русский язык. Почему же они стали предметом нашего внимания? Это читатели поймут, надеюсь, из рассказа о них. Предваряя его, можно лишь сказать, что эти книги тоже о геометрии и красоте мира, описываемой этой наукой. А если более конкретно, то о связи между геометрией и искусством, между геометрией и нашим зрительным восприятием, то есть нашим зрением.

* * * Бруно Эрнст. Волшебное зеркало М. К. Эсхера. Рэндом хауз, Нью-Йорк, 1976, 112с. Bruno Ernst. THE MAGIC MIRROR OF M. С ESCHER. Random House. New York, 1976, 112 p.

"Книга Б. Эрнста — научная биография одного из наиболее интересных графиков XX века, голландца М. Эсхера. В последние годы творчество этого художника возбудило большой интерес со стороны математиков и физиков. В его графике оказались заложенными глубокие принципы симметрии, которые были известны лишь кристаллографам. Оказалось, что многие работы Эсхера могут быть проанализированы математическими методами. Так в свое время были проанализированы и изданы паркеты Эсхера, обсуждавшиеся на всемирном съезде кристаллографов.

Симметрии Эсхера оказались более богатыми, чем симметрия кристаллов. В ряде работ, описанных в книге Эрнста, реализовались симметрии плоскости Пуанкаре, модели релятивистского пространства скоростей. Переплетение искусства графики и математической теории симметрии в той форме, в которой оно представлено Эсхером, явление уникальное, но еще малоизвестное нашему читателю.

Симметрия не единственная отличительная черта графики Эсхера. Вторая, не менее важная черта, — это глубокие по своим математическим и физиологическим корням исследования принципов перспективы. Трехмерное отображение двумерного чертежа в мозгу человека оказывается очень сложным и далеко не до конца понятым процессом.

Автор, хорошо зная Эсхера, сообщает читателю . очень много сведений о ходе мыслей художника и предоставляет большое собрание тщательно отобранных примеров, каждый из которых может служить предметом обсуждения и дает богатый материал для размышлений о разных вопросах, пограничных с теорией симметрии и физиологией зрения. Книгу поэтому можно сравнить, с одной стороны, с знаменитой работой Р. Грегори "Разумный глаз", в которой парадоксы зрения нашли свое место, а с другой стороны, она примыкает к книгам по занимательной науке, отражая неожиданным образом дух науки XX века.

Доктор физико-математических наук, профессор Я. А. Смородинский".

Книга и в самом деле неожиданна и необычна.

Прежде всего, несколько слов об ее авторе. Бруно Эрнст — это псевдоним Ханса де Рийка, преподавателя математики и физики в Амерсфорте, небольшом городке провинции Утрехт. Он родился в 1926 году в Роттердаме и 26 лет своей жизни провел в монастыре, но потом отказался от монашеского сана, женился и самым активным образом занялся физико-математическим образованием подрастающего поколения. Он много лет подряд руководил изданием журналов, родственных нашему "Кванту", — сначала журналом "Пифагор", потом — "Архимед". Его перу принадлежит более сотни книг и статей, посвященных астрономии, фотографии, истории письменности и каллиграфии и даже графологии (хотя, разумеется, он не был специалистом ни в одной из этих областей, но лишь талантливым популяризатором полученных учеными результатов). Он много сделал для создания первой в Голландии общественной астрономической обсерватории, которая теперь превратилась в некое подобие научно-исследовательского института. Ханс де Рийк награжден Серебряной Гвоздикой, высшим отличием, которое ежегодно вручается не более чем трем людям лично принцем Бернардом в знак особых заслуг в развитии культуры страны.

"Неважно, известны ли вам уже изумительные работы М. К. Эсхера или же вы хотите познакомиться с ними впервые — эта книга написана для вас", — гласит надпись на суперобложке. Несмотря на ярко выраженное рекламное звучание, слова эти абсолютно верны. Трудно представить себе читателя, который останется равнодушным, хотя бы просто перелистывая ее страницы, где гравюры соседствуют с геометрическими чертежами, объясняющими их математический смысл или же послужившими источником вдохновения для художника, где стенные росписи, марки и даже банкноты, созданные Эсхером, перемежаются с бесчисленными эскизами и заготовками, благодаря которым становится ясно, каким путем шла его мысль. Ханс де Рийк каждый воскресный день приезжал в Баарн к Маурицу Эсхеру. Они подолгу разговаривали и вместе, не торопясь, работали над книгой, в которой творчество художника было бы не только понято, но и объяснено. Эсхер не дожил до ее выхода в свет, однако успел прочитать рукопись и сделать немало замечаний, которые, естественно, были учтены автором. Таким образом "Волшебное зеркало М. К. Эсхера" весьма авторитетно рассказывает об истинных мотивах творчества художника. К концу своих дней Эсхер общался всего с несколькими людьми, среди них Ханс де Рийк был, пожалуй, самым близким ему по духу. (Еще один парадокс в жизни художника-парадоксалиста: убежденный атеист, Эсхер находил много общего между своей философией и взглядами глубоко верующего бывшего монаха. В то же время де Рийк, проведший большую часть своей сознательной жизни за монастырскими стенами, не раз поражался поистине аскетическому образу жизни художника, который во всем довольствовался самым малым и был совершенно безразличным к богатству, признанию и почестям.) Недаром после смерти Эсхера именно к нему перешли многие вещи покойного, особенно ему дорогие, в том числе старинный шкаф, на двери которого сохранился монтаж фотографий, очевидно, дорогих для Эсхера: его жены, их сыновей, Эйнштейна, Анны Франк — и кристаллов, совершенных творений природы, которые он так любил.

Вообще же, хотя математическое начало, несомненно, весьма сильно в гравюрах Эсхера (именно поэтому художественные критики долго не признавали его), они все-таки изображают не мир формул, а красоту мира.

"Чарльз Сноу отметил поистине странный факт, что искусство XX века так мало усвоило достижения науки XX века. Это наблюдение дало ему еще одно доказательство того, что наша цивилизация распалась на две различных культуры, — пишет в одной из журнальных рецензий на только что вышедший альбом М. К. Эсхера известный коллекционер эсхеровских гравюр Корнелиус Ван Шаак Рузвельт, который в 1973 году передал свою самую полную в мире коллекцию в дар Вашингтонской Национальной галерее искусств, создавшей центр по изучению творчества художников XX века. — Так же, как ранее Леонардо да Винчи, Эсхер своим особым способом пытается уменьшить этот разрыв, и в этом, вероятно, главная причина его популярности не только среди молодых, но также и среди вполне уже зрелых ученых и инженеров. И когда критик с раздражением заявляет, что он ни во что не ставит Эсхера, ему можно напомнить подпись под одной забавной карикатурой: "Они все идут туда! Надо бы и мне поторопиться, поскольку я их лидер".

"Книга Б. Эрнста об известном голландском графике М. К. Эсхере представляет большой интерес не только для математиков и физиков, но и для широкого читателя. Автор книги, будучи сам математиком, очень ясно и убедительно комментирует и разъясняет для неспециалистов иногда довольно сложный смысл и задачи той или иной гравюры Эсхера. Творчество этого художника действительно необычно и требует таких дополнительных толкований, в отличие от обычных произведений графиков-пейзажистов или жанристов, не ставящих перед собой никаких других, сверх общепринятых, изобразительных задач.

Эсхер стоит особняком среди своих западноевропейских собратий. Его творчество глубоко отлично по своему существу от произведений сюрреалистов, с которыми, казалось бы, оно имеет некоторое внешнее сходство. Однако интеллектуальный склад гравюр Эсхера коренным образом противоположен алогичным творениям сюрреалистов. Эсхера всегда раздражало полное отсутствие логики и связи с реальностью в их произведениях, принципиальная неразрешимость их так называемых "загадок". У Эсхера, если загадки зрителю и ставятся, то только для того, чтобы продемонстрировать логические методы их разрешения. Он как бы призывает нас восхититься сложностью путей построения действительной жизни, так как показывает не только конечный результат, но и те законы, при помощи которых он достигнут. Отсюда бесконечная тщательность и детальность его гравюр, их глубокая продуманность. Работы Эсхера носят характер исследований, он делает гравюры, чтобы сообщить о своих открытиях, о своих решениях тех или иных интеллектуальных проблем, связанных с изображением трехмерного пространства на двумерной плоскости. Он критически изучает законы классической перспективы и экспериментирует с неевклидовой геометрией Лобачевского. Эсхер занимается изучением структуры пространства как в реальных пейзажах, так и в математических фигурах, например кристаллах, а также структурой плоскостей, главным образом при сложных орнаментальных построениях, и, наконец, отношениями между пространством и плоскостью в изобразительном искусстве. Любопытны его гравюры, изображающие на плоскости листа и при этом очень убедительно — невозможные в реальном пространстве архитектурные сооружения и другие виды оптических иллюзий. Гораздо более "странными" кажутся как раз его безукоризненные и совершенно точные с научной точки зрения фиксации отражений комнаты и его самого на сферических выпуклых и вогнутых поверхностях.

Очень скромный в личной жизни, никогда не гонявшийся за легким успехом и популярностью, Эсхер тем не менее стал широко известен уже в 1950-х годах, а в 1965-м французский художник Альбер Флокон восторженно писал о его "удивительных открытиях, когда оказывается, что такие, казалось бы, незыблемые понятия, как верх и низ, близкое и далекое, правое и левое, могут меняться местами. Он показывает совершенно новые отношения между точками, поверхностями и пространством, между причиной и следствием, возникающими в его гравюрах, хотя и странными, но, по-видимому, вполне возможными, мирами". При этом Эсхер всегда старается использовать вполне реальные и конкретные мотивы — птиц, рыб, пресмыкающихся или людей.

На большой ретроспективной выставке Эсхера, устроенной к его семидесятилетию в 1968 году, посещаемость не уступала выставке Рембрандта. Его гравюры часто служили иллюстрациями для научно-популярных статей и трудов по математике, физике, кристаллографии. Имя его часто встречалось в научно-популярных изданиях и у нас в СССР.

"Эсхера никогда не покидало чувство восхищения перед бесконечной способностью жизни творить красоту", — пишет Бруно Эрнст. Виртуозное владение графическими техниками (в том числе гравюрой на дереве, литографией, меццотинто, линогравюрой) позволило ему создавать не только головоломные листы сложнейших орнаментальных замыслов, но одновременно творить такие красивые вещи, как, например, линогравюра "Рябь на воде", где отражения деревьев перебиваются расходящимися от начинающегося дождя кругами. Хороши и ранние пейзажи, особенно ночные, итальянских городков и скалистых гор. Математический аспект все же доминирует у Эсхера, что, впрочем, не умаляет его профессиональных достоинств.

Доктор искусствоведения Е. Некрасова".

Да, это так — математический аспект доминирует в работах Эсхера. "Волшебное зеркало..." рассказывает об этом убедительно и наглядно. Отчетливо просматривается путь мысли художника, если взглянуть на серию эскизов к гравюре "Картинная галерея". Точно так же становится ясной и внутренняя суть эсхеровской работы "Рыбы и чешуйки", стоит лишь внимательно изучить приводимые Бруно Эрнстом чертежи.

Но вот придет ли на ум самостоятельно, без подсказки автора, что математическая структура "Картинной галереи" представляет собой зеркальное отражение той "сетки", на которой построены "Рыбы и чешуйки"? И так ли уж очевидно, что "Дом из лестниц" построен с помощью чисто геометрического преобразования вертикальных и горизонтальных линий на поверхности цилиндра, как показано на рисунках? И логарифмические спирали, организующие гравюру "Путь жизни. II", тоже едва ли сами по себе стали видны неискушенному взгляду, если бы математик не програнил их своим все на свете обнажающим пером.

Но всего, пожалуй, "математичнее" серьезные игры художника с бесконечностью и с ее интерпретацией в различных геометрических построениях.

"Творчество знаменитого голландского "математического графика" Маурица Корнелиса Эсхера пользуется во всем мире широкой известностью у любителей искусства и,, вероятно, еще в большей степени у любителей науки; за последние десятилетия этот интерес захватил и нашу страну. (Автор настоящих строк также откликнулся в свое время на интерес к Эсхеру, коснувшись его творчества в статье "Симметрия и искусство орнамента", помещенной в сборнике "Ритм, пространство и время в литературе и искусстве", Л., Наука, 1974; однако в этой довольно специальной и общей статье Эсхеру возможно было уделить лишь минимум внимания.) Связь творчества Эсхера с наукой — с математикой, физикой, кристаллографией — является совершенно бесспорной; ее охотно подчеркивал и сам художник, выпустивший, например, специально рассчитанный на кристаллографов альбом своих рисунков, призванный проиллюстрировать все плоские кристаллографические группы: в качестве наименования отдельных иллюстраций из этого альбома он указал принятые в кристаллографии обозначения групп симметрии этих рисунков. Характерна также тесная связь М. К. Эсхера с одним из крупнейших современных геометров, канадцем Гарольдом Скоттом Макдональдом Коксетером. Книги Коксетера, в том числе и переведенные на русский язык, иллюстрировались гравюрами Эсхера, а Коксетер написал статью, сопровождающую один из последних (и из самых лучших) альбомов Эсхера. С другой стороны, некоторые из эффектных "неевклидовых" гравюр Эсхера развивают, как неоднократно указывал сам художник, темы, заимствованные из "чисто геометрических" иллюстраций к научным сочинениям Коксетера.

...Последняя глава книги посвящена прямой реализации "неевклидовых" идей у Эсхера, к слову сказать возникших в его художественном творчестве в разных вариантах еще до его прямого знакомства с гиперболической геометрией Лобачевского. Дело в том, что в соответствии с известными идеями Ф. Клейна различные "геометрии" различаются характеризующими их группами симметрии, так что различие, скажем, между классической геометрией Евклида и гиперболической геометрией Лобачевского связано не с разными свойствами параллельных — второстепенные и мало существенные свойства! — а исключительно с разным строением групп симметрии пространства или плоскости. Возможно, что до знакомства с сочинениями Коксетера Эсхер и не был знаком с этими подходами к геометрии, но с его обостренным вниманием к симметрии он, разумеется, не мог пройти в своем творчестве мимо попыток модификации "евклидовой симметрии", что и приводило его к разным типам "неевклидовых" пространств. При этом если в "модели Клейна" и в "модели Пуанкаре" неевклидовой геометрии Лобачевского роль "абсолюта", то есть множества "бесконечно удаленных точек", играет окружность или, реже, прямая, то в конструкциях Эсхера "точки схода" ("бесконечно удаленные точки") могли заполнять границу квадрата или вовсе быть изолированными; последние варианты эсхеровских построений отвечали системам симметрии, характеризующим, скажем, логарифмическую спираль Я. Бернулли или так называемую спираль Корню, играющую столь значительную роль в волновой оптике. Наконец, последняя часть последней главы книги Бруно Эрнста посвящена "змеиной теме" у Эсхера[22], в которой несколько неожиданным образом сливаются сразу две глубокие математические идеи: учение об узлах, занимающее столь заметное место в топологии, и та же тема о реализации "бесконечно удаленных точек" плоскости.

Доктор физико-математических наук, профессор И. М. Яглом".

В книге приводится иллюстрация из работы Г. С. М. Коксетера, в которой Эсхер сразу же увидел новые возможности для своего художнического способа "игры" с бесконечностью. Так в 1958 году появилась гравюра "Предел на круге. I". Сам художник был недоволен ею. "В этой работе, поскольку она явилась первой попыткой, видны все недостатки. Не только форма рыб, развившаяся из некой прямолинейной абстракции в какое-то вымершее существо, но также и их расположение друг напротив друга оставляют желать лучшего. Можно проследить три различных ряда рыб, уменьшающихся в размерах по направлению осей, вдоль которых расположены их тела, но ряды эти состоят из белых рыб, соприкасающихся головами, и черных, смыкающихся хвостами. Таким образом нет непрерывности, нет "транспортного потока", нет единства цвета в каждом из рядов".

За этой гравюрой последовала другая, менее известная, "Предел на круге. II". По поводу ее Эсхер в разговоре с де Рийком говорил в своей обычной манере, когда шутку невозможно отличить от вполне серьезных слов: "На самом деле этот вариант надо бы написать на внутренней поверхности полусферы. Я предложил его папе Павлу, чтобы он распорядился украсить таким образом внутреннюю часть купола собора святого Петра. Представьте себе бесконечное число крестов, висящих у вас над головой! Но папе идея не понравилась".

Автор "Волшебного зеркала М. К. Эсхера" раскрывает "технологию" создания многих удивительных гравюр художника, воспроизводя в своей книге многочисленные эскизы, чертежи, а порой и специально сделанные макеты и фотографии. Вот как, например, рассказывает он о замысле гравюры "Три сферы. I" и его исполнении:

"Верхняя часть гравюры состоит из большого числа эллипсов, или, если хотите, большого числа маленьких прямоугольничков, расположенных по эллиптическим кривым. Но практически невозможно избавиться от ощущения, что мы видим перед собой сферу. Эсхер, однако, стремится внушить нам, что никаких сфер на его гравюре вовсе нет, что она абсолютно плоская. Поэтому он сгибает верхнюю часть гравюры и перерисовывает получившуюся фигуру под так называемой сферой. И все-таки мы вновь не в силах отказаться от трехмерной интерпретации изображенного: теперь мы видим полусферу с "крышкой" наверху! Хорошо же, говорит Эсхер, теперь я рисую верхнюю фигуру еще раз уже совершенно плоской, лежащей внизу гравюры. И что же? Даже тут мы отказываемся признать, что она плоская, и видим овальный надутый шар, а отнюдь не плоскую поверхность с нарисованными на ней кривыми линиями. Фотография иллюстрирует то, что сделано Эсхером".

Эта фотография, помещенная на обложку книги, иллюстрирует собой и тезис, неоднократно выдвигавшийся самим художником: "Рисовать — значит обманывать". Смысл, который он вкладывал в эти слова, состоит в том, что всякое изображение заставляет человека принимать воображаемое за реальность.

И в заключение, чтобы не оставить без ответа естественный вопрос о том, какой смысл вложил Бруно Эрнст в название своей книги, цитата из нее, относящаяся к гравюре художника, подарившей книге — имя, а ее автору — вдохновение:

"Эсхер в самом прямом смысле слова вызывает в сознании некие образы. Он держит перед собой волшебное зеркало, чары которого неотразимы. Здесь Эсхер несравненный, уникальный мастер. Гравюра "Волшебное зеркало" иллюстрирует это свойство его таланта особенно рельефно. С точки зрения чисто художественной, она, возможно, и не является удачной. Она предстает перед нами в виде запутанного клубка идей и образов. Конечно, на ней что-то происходит, но это "что-то" совершенно непонятно. Очевидно, гравюра содержит в себе некий рассказ о каких-то событиях, но начало и конец его скрыты от взора.

Все начинается на ней в самом неприметном месте. На краю зеркала, ближайшем к зрителю, прямо под наклонной перекладиной, мы видим кончик маленького крылышка вместе с его отражением. По мере того как взгляд наш скользит вдоль зеркала, оба они вырастают во вполне законченную крылатую собаку и ее зеркальный образ. Коль скоро мы позволили уверить себя, что в принципе возможна жизнь кончиков крыльев независимо от самих крыльев какого-то живого существа, мы должны согласиться и с тем, что вся ситуация в целом не лишена правдоподобия. Когда настоящая собака движется от зеркала вправо, ее отражение уходит влево и выглядит при этом настолько реальным, что у нас не вызывает ровно никакого удивления тот факт, что отражение это движется за зеркалом, совершенно не обращая внимания на его раму. Теперь уже крылатые гончие смещаются и вправо и влево, дважды удваиваясь на своем пути, и наконец встречаются друг с другом как две армии. Однако прежде чем наступит конфронтация, они вдруг теряют свои пространственные свойства и превращаются в плоский узор на мозаичном полу. Если внимательно всмотреться, то видно, что черные собаки превращаются в белых в тот миг, когда они проходят сквозь зеркало, при этом как раз заполняются светлые промежутки между черными собаками. Эти белые промежутки затем исчезают, и скоро от собак не остается никаких следов. Впрочем, они ведь никогда и не существовали, поскольку крылатые собаки не рождаются в зеркалах! И тем не менее загадка остается загадкой: перед зеркалом расположена сфера, а в зеркале видна часть ее отражения, отклоненная на некоторый угол. За зеркалом же мы вновь видим сферу — вполне реальный объект в самой середине нереального зазеркального мира.

Кто этот человек, кто обладает волшебным зеркалом? Почему он создает гравюры вроде той, что сейчас перед нами, явным образом, не обращая никакого внимания на вопросы эстетики?.."

* * * Дорис Шатшнейдер и Уоллес Уолкер. М. К. Эсхер. Калейдоциклы. Балантайн букс, Нью-Йорк, 1977, 48 стр. и альбом с 17 цветными развертками различных калейдоциклов. Doris Schatschneider and Wallace Walker M. K. Escher. Kaleidocycles. Ballantine Books. New York, 1977, 48 p.

И книга, и альбом, который составляет с ней одно законченное целое, построены, в сущности, на одной счастливой находке.

Но сначала несколько слов об истории, про которую в книге ничего не сказано. В ведущем американском научно-популярном журнале "Сайентифик Америкэн" (который с начала 1983 года переводится на русский язык издательством "Мир") была напечатана статья Марианны Теубер, специалистки по истории искусства, "Источники неоднозначности в гравюрах М. К. Эсхера". Вокруг нее неожиданно разгорелась полемика.

Смысл статьи сводился к тому, что Эсхер будто бы творил под сильным воздействием работ психологов, особенно тех из них, кто принадлежал к так называемой школе гештальтпсихологии, считавших, что человек мыслит лишь образами, воспринимая мир сразу всем своим существом, во всяком случае — всем своим мозгом. Марианна Теубер с не совсем понятной для ученого категоричностью утверждала, что Эсхер был знаком с работой Курта Коффки "Принципы гештальтпсихологии", что ему известны были труды Эдгара Рубина и других психологов. Тон статьи выбран таким, будто речь идет не о гипотезе, нуждающейся в проверке, а о безусловных фактах.

В редакцию "Сайентифик Америкэн" пришло письмо от сына художника Джорджа Эсхера, по профессии геолога, в котором он самым решительным образом возражает Марианне Теубер. Работы гештальтпсихологов не оказали практически никакого влияния на его отца просто потому, что он их никогда не читал. Это доказывается, в частности, тем, что М. К. Эсхер вел очень подробные записи, касающиеся всех его занятий, и там отмечались все источники, из которых он черпал свое вдохновение, однако ни слова в этих многолетних и тщательно составленных бумагах не сказано о трудах хотя бы одного из психологов. Образ человека, возникающий по прочтении статьи Теубер, ничем не напомнил Джорджу Эсхеру его отца — ищущего, трудолюбивого, фанатически увлеченного своим делом художника, который никогда не искал готовых схем для своих гравюр в научных и технических журналах.

Что же касается его постоянного интереса к проблеме "фигура-фон", которой действительно много занимались гештальтпсихологи, а также почти болезненного стремления заполнять плоскость листа различными фигурами, вплотную, без зазоров примыкающими друг к другу, что само по себе тоже имеет некоторое касательство к обсуждавшимся гештальтпсихологами вопросам, то в одном из писем Джордж Эсхер рассказывает о любопытном эпизоде. Однажды его отец, будучи уже известным художником, ехал в трамвае, и вдруг солидная дама окликнула его: "Маук Эсхер?" Это было его школьным именем, и, естественно, начались воспоминания двух уже немолодых одноклассников. И первое, чем поинтересовалась дама, было — не изменилась ли его детская привычка тщательно подбирать кусочки сыра и колбасы, прежде чем положить их на хлеб, чтобы бутерброд получился с безукоризненным "покрытием"? Оказалось, что хотя бы в этом отношении Маук совершенно не изменился.

Вот эту самую "безнадежную манию", как сам Эсхер называл свое пристрастие к сочинению всякого рода мозаик, и использовали авторы книги-альбома. Они поместили эти бесчисленные плоды его воображения и мастерства на грани своего рода пространственных колец — калейдоциклов, создав тем самым удивительные по красоте и необычности геометрические построения — "развитие работ Эсхера в третьем измерении", как сами они называют свое изобретение.

Калейдоцикл — кольцо, собранное из соединенных друг с другом вдоль своих ребер тетраэдров. Оно способно к самым неожиданным превращениям, когда звенья этого кольца, вращаясь, проходят через его центр. И совсем уж редкостный эффект возникает, когда грани тетраэдров несут на себе одну из эсхеровских мозаик, о чем свидетельствует множество моделей, которые может построить своими руками всякий, у кого есть книга-альбом "М. К. Эсхер. Калейдоциклы".

Разумеется, авторы ее никак не могли пройти мимо героев этой книги — Платоновых тел. "Великолепная пятерка" волновала и Эсхера. В числе самоделок, предлагаемых читателю, додекаэдр, построенный художником, вращая который в любом направлении, мы постоянно видим чередование морских звезд и ракушек. Есть там и куб, и икосаэдр, и октаэдр и некоторые из полуправильных многоугольников, каждый из которых украшен мозаикой. Но самое, быть может, сильное впечатление производит фотография наиболее совершенного из всех геометрических тел — сферы, по поверхности которой знаменитый японский резчик по слоновой кости Масаточи разместил мозаику из рыб. Идея создать этот шедевр принадлежала Корнелиусу Рузвельту, который коллекционирует не только работы Эсхера, но и японские нецке — миниатюрные изделия из кости или камня.

Читатель книги-альбома познакомится и со многими важными понятиями кристаллографической симметрии, и с проблемой раскраски карт, и с другими любопытными вещами. Но все это будет полезным приложением к долгим часам наслаждения, когда он, с ножницами и клеем в руках, готовит поразительные в своем разнообразии и изяществе калейдоциклы.

Дуглас Р. Хофстадтер. Гедель, Эсхер, Бах: Нескончаемая золотая цепь. Бейсик букс, Нью-Йорк, 1979,777 с. Douglas R. Hofstadter. Godel, Escher, Bach: An eternal golden braid. Basic Books, Inc., Publishers, New York, 1979, 777 p.

Из трех попавших в поле нашего внимания книг, раскрывающих возможности искусства в выражении геометрических идей, эта самая объемная и, пожалуй, самая глубокая и интересная.

Дуглас Хофстадтер, молодой инженер-компьютерщик, получивший весьма разностороннее, в том числе языковое и музыкальное, образование, подметил еще одну "тонкую, властительную связь" — между знаменитой теоремой Курта Геделя, музыкой Иоганна Себастьяна Баха и гравюрами Маурица Корнелиса Эсхера. Символом этой связи служит вырезанная и сфотографированная им самим фигура.

Что касается связи между музыкой Баха и творениями Эсхера, то она, видимо, лежит в глубинах их творчества. И хотя можно строить лишь предположения о том, что сказал бы Бах по поводу работ Эсхера, если бы они ему были показаны, с достоверностью известно, что любимым композитором Эсхера был именно Бах. "Он любил музыку, — вспоминает многолетний друг и финансовый советчик Эсхера Ян Вермеулен. — Если где-либо случался концерт Баха, мы часто отправлялись туда вдвоем с ним. К Баху у него было особое влечение. Он анализировал математическую сторону его композиций так же скрупулезно, как изучал форму птицы или оптические свойства призмы. Гравюры Эсхера вдохновили голландского композитора Юриана Андриссена написать произведение, которое сам Эсхер весьма ценил".

Эсхер, однако, не просто любил музыку. Как в литературе его вкусы определились довольно рано и оставались неизменными (он любил Достоевского, особенно "Преступление и наказание" и "Идиота", а "Война и мир" Л. Н. Толстого была книгой, с которой он не расставался до последнего часа), так и в музыке он принимал лишь ту ее часть, что не слишком справедливо называется иногда "серьезной". Его неприятие суперсовременных ритмов было столь велико, что Эсхер в самой решительной и даже резкой форме отказал Мику Джэггеру, одному из популярнейших певцов невероятно популярной группы "Роллинг стоунз" и в то же время горячему почитателю таланта Эсхера, в разрешении поместить одну из своих гравюр (а именно гравюру "Вербум", о которой Нобелевский лауреат Мелвин Кельвин писал: "В ней в художественной форме представлены те проблемы, о которых я думал — сущность эволюции и жизни на земле") на конверте с новой долгоиграющей пластинкой. Впрочем, другие поп-группы оказались менее щепетильными и широко использовали различные работы Эсхера для рекламы своих дисков, эксплуатируя любовь молодежи к его загадочным и в то же время прекрасным гравюрам и при этом не спрашивая согласия художника.

Дуглас Хофстадтер выбрал лишь одно из произведений Баха — "Музыкальное приношение", а из него всего один из десяти канонов, который он называет "Бесконечно Поднимающимся Каноном" (вместо простого и скромного баховского "Canon per Tonos"). Канон этот "устроен", таким необычайным образом, что слушателю представляется, будто мелодия поднимается все выше и выше, уходит в бесконечность, и вдруг, когда пройдено шесть витков этой уходящей в небо спирали, оказывается, что канон звучит точно так же, как и вначале (у Баха, правда, на октаву выше, но в книге предлагается способ исправить это "упущение" великого композитора).

Для явлений подобного рода Хофстадтер придумал специальный термин "странные петли". Феномен "странной петли" состоит в том, что, поднимаясь вверх (или опускаясь вниз) по уровням некой иерархической системы, мы неожиданно обнаруживаем себя на том же месте, откуда начали свой путь. "Странные петли" существуют в "спутанных иерархиях" (это снова термин, придуманный автором книги) — например, в науковедении, поскольку тут наука изучает свои собственные закономерности, или же в созданных правительственными органами институтах, занятых изучением деятельности правительства, или же в попытках человеческого мозга познать свою собственную структуру.

И здесь естественным и логичным путем перекидывается мостик к гравюрам Эсхера и его видению мира:

"На мой взгляд, самым прекрасным и мощным зрительным выражением идеи "странной петли" является творчество голландского графика М. К. Эсхера, который жил с 1902 по 1972 год. Его работы стимулируют деятельность интеллекта в большей степени, чем любые другие из когда-либо созданных художниками. Многие из его гравюр основаны на парадоксах, иллюзиях или неоднозначности. Математики были первыми среди почитателей его таланта, и это понятно, поскольку гравюры его часто несут в себе понятия математического толка — например, симметрии... Но в его работах всегда присутствует нечто большее, чем, скажем, просто симметрия. Они представляют собой скрытую идею, реализованную в художественной форме. Среди других идея "странной петли" — одна из самых частых в его творчестве. Взгляните, к примеру, на гравюру "Водопад" и сравните ее шестизвенную бесконечно падающую петлю с шестизвенной бесконечно восходящей петлей "Canon per Tonos". Совпадение знаменательное. По сути дела, Бах и Эсхер исполняют одну и ту же тему в двух разных "ключах" — музыкальном и графическом.

Эсхер реализовал идею "странной петли" несколькими различными способами, их можно выстроить по степени "затянутости" петли. В гравюре "Поднимаясь и опускаясь", на которой изображены монахи, навечно обреченные тащиться по нескончаемым ступеням, дана самая свободная из петель, поскольку здесь требуется совершить большое число шагов, прежде чем будет достигнута начальная точка пути. Петля "Водопада" более узкая, так как она, как уже отмечалось, состоит всего из шести звеньев-шагов... Затягивая петлю дальше, мы получаем знаменитую работу "Рисующие руки", на которой каждая рука рисует другую — это петля из двух звеньев. И, наконец, самая узкая из возможных петель реализована в гравюре "Картинная галерея", которая представляет собой картину, включающую в себя себя самою...

Неразрывно с понятием "странной петли" понятие бесконечности, ибо что еще представляет собой петля, как не бесконечный процесс, изображенный в конечном виде? Идея бесконечности играет большую роль во многих работах Эсхера. Вариации одной и той же темы часто включены одна в другую, образуя таким путем изобразительную аналогию канонам Баха. К примеру, это легко можно увидеть на знаменитой гравюре "Метаморфозы". Она в известной мере напоминает "Бесконечно Поднимающийся Канон": путешествуя по ней все дальше и дальше, оказываешься вдруг в самом начале".

Дуглас Хофстадтер не просто подмечает аналогию, но и использует ее для разрешения некоторых парадоксов познания. Он, в частности, приводит в своей книге диаграмму, схематически иллюстрирующую "спутанность" иерархий в системе "Рисующие руки". Тут нет обычных легкоразличимых уровней "рисующая" и "рисуемая" рука. Парадокс разрешается благодаря тому, что находится следующий, невидимый уровень, находящийся в ином по отношению к гравюре измерении: это сам Мауриц Корнелис Эсхер, ее создатель, который является "рисующим" по отношению к правой и левой руке, да и всей гравюре в целом. Ситуацию можно еще дополнительно "эсхеризировать", как предлагает автор книги: стоит лишь сфотографировать руку человека, рисующего гравюру "Рисующие руки".

Разговор о парадоксах подвел нас вплотную к смыслу аналогии между трудами Геделя, логика, и Эсхера, художника. Однако этот путь увел бы нас слишком далеко от нашей геометрической темы, хотя правда, пройдя его, мы сумели бы вновь вернуться к начальной точке, совершив еще одну "странную петлю". Поэтому, сознательно игнорируя серьезный разговор о теореме Геделя, позволим себе лишь высказать предположение, что и параллель "Гедель-Эсхер" тоже вполне обоснована некими глубинными структурами сознания и того и другого.

Ведь в чем суть геделевской "теоремы о неполноте"? Она утверждает, что система не может понять свое собственное устройство, если не поднимется на следующий уровень (это одно из возможных толкований). В чем здесь главное? В парадоксе. Сродни знаменитому высказыванию критянина Эпименида "Все критяне лжецы", про которое нельзя сказать, истинно оно или ложно. Так вот именно парадоксами столь богата жизнь самого Эсхера, а не только его гравюры. В самом деле, в школе он не успевал по математике, оставался даже на второй год — и именно математики находят в его гравюрах глубокий смысл и источник вдохновения. До сорока лет он беспрерывно путешествовал, а потом практически не покидал своего дома в Баарне до самой смерти. Он рисовал левой рукой, а писал — правой. Всю жизнь был убежденным атеистом и не раз позволял себе антиклерикальные высказывания (даже знаменитая гравюра "Поднимаясь и опускаясь" таит в себе плохо скрытое издевательство, поскольку "монашеский труд" по-голландски означает пустую, бессмысленную работу), но ближайшим другом его был бывший "брат Эрик" — монах-расстрига Ханс де Рийк. Можно ли удивляться, что такого человека тянуло к парадоксам и в искусстве? А если так, то незачем искать иных причин, почему творчество его оказалось сродни глубоким и парадоксальным идеям Геделя — идеям истинно философского звучания.

...И здесь, заключая рассказ о книге "Гедель, Эсхер, Бах: нескончаемая золотая цепь", хочется сказать несколько слов о связи между математикой и философией, потому что, быть может, именно этих рассуждений не хватает книге Хофстадтера, обнаружившего не лежащую на поверхности близость образов, созданных средствами музыки и графики, математическим идеям.

Математика и философия многие века шли рука об руку, более того они были, в сущности, нерасторжимы: философы считали себя математиками, математики рассуждали как философы. Но и разойдясь, они не утратили "взаимности": философы по-прежнему находили в математических абстракциях опору для своих выводов, а математики, как и раньше, нередко по самым разным поводам обращались к философии. В наше время связь эта приобрела особое значение. "Неожиданная, на первый взгляд, не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру многих сбила с толку. Отдельные теоретики... стали задаваться вопросом: а не был ли прав Платон в своем объективном идеализме? В самом деле: разрабатывается некий математический аппарат, а затем оказывается, что физическая реальность подчиняется его выводам и законам", — пишет в последнем августовском номере газеты "Правда" за 1984 год член-корреспондент АН СССР Ю. А. Жданов.

"Не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру" сбивала с толку не единожды и в прошлом, и не только философов платоновского плана, но и многих выдающихся и даже великих математиков — кстати, высказывания некоторых из них рассыпаны по страницам этой книги.

Легендарная надпись на вратах Академии, основанной Платоном почти две с половиной тысячи лет назад, гласила: "Негеометр да не войдет!". Казалось бы, какое право было у Платона на такие слова: что существенного сам он сделал для геометрии?

Но дело вовсе не в том, что Платон дал геометрии, а в том, что геометрия дала Платону, чем была она для его учения, послужившего основой философской системы объективного идеализма. Чтобы воочию увидеть зарождение и обоснование темы, отраженной в надвратной надписи, стоит лишь прочитать платоновский диалог "Менон". Ключевая сцена его — "доказательство" того, что знание возникает в нас в результате не научения, а припоминания. Из этого следует центральный пункт платонизма: существует мир идей, находясь в котором до своего воплощения, душа приобрела свои знания. К этому основному выводу своего диалога Платон подводит с помощью геометрического доказательства. Он демонстрирует, что знания о геометрических фигурах не приобретаются, а имеются в человеке в готовом виде, и их нужно только умело извлечь.

Таким образом, первоначальной платоновской идеей была математическая идея. Поэтому нет резона удивляться надвратной надписи. Не знающий геометрии не поймет, что такое геометрическая идея, а значит, для него останется пустым звуком и понятие идеи вообще.

Обычные нематематические понятия — это как бы тени, отголоски реальных предметов, воспринимаемые нашими органами чувств. Идея сосны в нашем сознании гораздо бледнее, расплывчатее, призрачнее, чем живой образ сосны, которую мы непосредственно созерцаем. Поэтому если ограничиваться только такими идеями, то каждому ясно, что они "привязаны" к вещам, зависят от них и, не будь вещей, не было бы соответствующих идей.

Но возьмем понятие треугольника. Математический треугольник в некотором смысле обладает более четкими свойствами, чем любой конкретный треугольник, сделанный из дерева, металла и т. д. Скажем, сумма углов математического треугольника всегда точно равна 180 градусам, чего нельзя сказать про вещественный треугольник, даже про тот, который мы с помощью карандаша и линейки сверхаккуратно нарисуем на бумаге. И в первую очередь потому, что мы не в состоянии с идеальной точностью измерить углы такого треугольника — этого нам не позволит ни сам объект измерения, ни приборы и способы измерений, имеющиеся в нашем распоряжении, отсюда и можно сделать умозрительный вывод об изначальной незаданности геометрических величин и фигур, то есть прийти к выводу о "примате" математического треугольника над материальными, которые лишь стремятся достигнуть свойств первого, но из-за сопротивления материи не могут сделать этого.

Платон обладал свойственной всем великим мыслителям жаждой цельности и последовательности, а поэтому, признав "самостоятельность жизни" математических идей, он распространил это признание на все идеи вообще.

Идеалистическую традицию в философии В. И. Ленин называл "линией Платона". Как видно из цитированных слов Ю. А. Жданова, ее существованию в наше время способствуют в какой-то мере и те из математиков, кто проявляет определенную растерянность в понимании и сущности математических объектов. Им можно было бы напомнить хорошо известное высказывание Ф. Энгельса: "Понятие числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творческого разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие . счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития... Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действенного мира, стало быть весьма реальный материал...".

Конечно, математика времен Платона и современная математика отличаются друг от друга, но только в том смысле, что они — ступени, одна ниже, другая выше, одного и того же процесса познания действительности путем все большего отвлечения от конкретного содержания реальных объектов. Но как бы ни меняла свой лик эта древнейшая из наук, на какую бы высоту абстрагирования она ни поднималась, своими корнями она всегда была связана с познающей и преобразующей деятельностью Человека. И в этом видится мне смысл слов, которыми Дуглас Хофстадтер заканчивает свою книгу: "...Вот почему в моей книге идеи, касающиеся работ Геделя, Эсхера и Баха, выстроены в единую линию и соединены в нескончаемую золотую цепы".

...И такой же нескончаемой золотой цепью предстает перед нами старая мудрая наука Геометрия...

Мечтатели, сибиллы и пророки,

Дорогами, запретными для мысли,

Проникли — вне сознания — далеко,

Туда, где светят царственные числа.

Валерий Брюсов

Примечания

1

Более того, даже весьма далекую от проблем науки книгу рассказов, изданную в 1982 году, Сергей Сартаков, секретарь правления Союза писателей СССР, назвал "Лист Мёбиуса". Причем идея односторонней поверхности играет в ней довольно заметную роль и изложена вполне точно.

2

Здесь, а также далее, в скобках стоят номера рисунков, гравюр, фотографий и чертежей, которые, если взглянуть на них, порой могут доставить несколько секунд удовольствия, не говоря уже о том, что они имеют прямое отношение к тексту.

3

До Эйлера эту формулу знали Декарт и Лейбниц.

4

"В запасе осталось еще пятое многогранное построение, — пишет Платон в "Тимее", — его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал и украшал ее".

5

Гравюра "Восемь голов". См. "Указатель гравюр Маурица Корнелиса Эсхера, иллюстрирующих книгу".

6

Мотив со всадниками — гравюру, так и названную "Всадники", вы найдете в этой книге, пользуясь все тем же "Указателем", помещенным в конце ее.

7

"Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней, а центры граней куба соответствуют вершинам октаэдра", — писал Кеплер. Это видно и на гравюре Эсхера "Кристалл".

8

На этой же гравюре внимательный глаз различит и все правильные многогранники. В частности, нижний хамелеон держится nej редкими лапами за октаэдр и тетраэдр, а хвостом обвил другой октаэдр. Верхняя же тварь, наоборот, обвила хвостом ребро тетраэдра, а лапами вцепилась в два октаэдра.

9

Полное название этой книги, вышедшей в 1619 году, — "О гармонии мирл пять книг". Разными авторами оно переводится как "Гармония мира" и как "О гармонии мира".

10

На каждой из двенадцати пятиугольных граней "обычного" Додекаэдра возводится по пирамиде, следовательно, всего граней становится 5*12 = 60. Каждая пирамида добавит додекаэдру по пять ребер — всего их станет 30+(5*12) = 90. И, наконец, любая пирамида увенчана вершиной, поэтому к двадцати вершинам додекаэдра добавится еще двенадцать, итого 32. Все это хорошо видно на гравюре "Силы гравитации".

11

Множество звездчатых тел получил советский исследователь В. Н. Гамаюнов. Фигуры эти, обладающие своеобразной красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов" созданных В. А. Сомовым и А. М. Бреславцем.

12

Это если считать по дате опубликования работы. Но Людвиг Шлефли получил то же доказательство раньше. Его рукопись долго пролежала в университетах Лейпцига и Берна и была опубликована лишь а 1901 году, через шесть лет после смерти автора.

13

Здесь читателю книги, чтобы стать "зрителем" фильма, надо найти гравюру "Метаморфозы. II".

14

Гравюра "Вербум". См. "Указатель".

15

Гравюра "Поднимаясь и опускаясь".

16

Эта фигура уже использовалась в этой книге. См. рис. 8 на с. 32.

17

Гравюра "Вверху и внизу". — Прим. режиссера.

18

Гравюра "День и ночь", занимающая весь экран. — Прим. оператора.

19

Я всегда улыбаюсь, когда рассматриваю гравюру "Относительность". — Прим. сценариста.

20

"Картинная галерея" — именно так называется гравюра Эсхера.

21

Здесь камера движется "внутрь" гравюры. "Все меньше и меньше. 1"

22

Имеется в виду последняя из созданных художником гравюр, названная им "Змеи", и эскизы к ней. — К. П.

Content

Карл Левитин
Геометрическая рапсодия

Об авторе

Предисловие

Увертюра

Интродукция

I. Поцелуй по расчету

II. Мебиусиана

III. Справа, где сердце

IV. Великолепная пятерка

V. Серьезные игры

VI. Мировая гармония

VII. Музыка сфер

Финал

Вариации

Вариация первая

Вариация вторая

Примечания