RIO

Text.p65

Îãëàâëåíèå

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ

Ïðåäèñëîâèå .......................................................................................... 6

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ

è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ...................................................................... 11

1.1. Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè ................................................................... 11

1.2. Ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.

Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ................................. 18

1.3. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ................................... 29

1.4. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .............................................................................. 44

1.5. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.

Ôîðìóëà Áàéåñà ................................................................................... 53

1.6. Çàäà÷à êàâàëåðà äå Ìåðå ............................................................. 62

Ãëàâà 2. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðíîãî àíàëèçà ............................... 64

2.1. Âûáîðêè ñ âîçâðàùåíèåì è áåç âîçâðàùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè è êîìáèíàöèè ................................................................ 65

2.2. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ è áèíîì Íüþòîíà ..................................... 68

2.3. Ôîðìóëà Áåðíóëëè ........................................................................ 70

2.4. Òåîðåìû Ìóàâðà  Ëàïëàñà ....................................................... 75

Ãëàâà 3. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå............................................... 79

3.1. Îïðåäåëåíèå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ................................ 79

3.2. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà. Ðàñïðåäåëåíèå

âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî è âûáîðî÷íîãî îòíîøåíèÿ ......................... 85

3.3. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç .......................................................................... 94

1

Îãëàâëåíèå

3.4. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

äëÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà .............. 106

Ãëàâà 4. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè ................................................... 113

4.1. Íåñìåùåííîñòü, ñîñòîÿòåëüíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü îöåíîê ..................................................................................................113

4.2. Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîãðåøíîñòüþ, ðèñêîì

è ðàçìåðîì âûáîðêè. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ............................119

Ãëàâà 5. χ2-ðàñïðåäåëåíèå ............................................................... 127

5.1. Îïðåäåëåíèå χ2-ðàñïðåäåëåíèÿ ............................................ 127

5.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ñîîòâåòñòâèè íàáëþäåíèé ïðåäïîëàãàåìîìó ðàñïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû .......................................................................... 130

5.3. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ è ãèïîòåç îá îäíîðîäíîñòè .............................................................. 138

Ãëàâà 6. t-ðàñïðåäåëåíèå ................................................................. 144

6.1. Îïðåäåëåíèå t-ðàñïðåäåëåíèÿ ................................................... 144

6.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ñðåäíåì çíà÷åíèè íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ íåèçâåñòíîé äèñïåðñèåé ......................................................................................... 149

6.3. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ðàâåíñòâå ñðåäíèõ çíà÷åíèé äâóõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .................... 154

Ãëàâà 7. F-ðàñïðåäåëåíèå ................................................................ 159

7.1. Îïðåäåëåíèå F-ðàñïðåäåëåíèÿ ................................................. 159

7.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé äâóõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ............................ 162

7.3. Ýëåìåíòû äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà .......................................... 164

Ãëàâà 8. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà .................................................. 169

8.1. Îïðåäåëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà .................................... 169

8.2. Ïóàññîíîâñêèé ïîòîê ñîáûòèé ................................................. 172

2

Îãëàâëåíèå

8.3. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è âðåìÿ ìåæäó ïîÿâëåíèåì äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñîáûòèé

â ïóàññîíîâñêîì ïîòîêå ................................................................... 177

8.4. Àíàëèç ïðîñòåéøåé ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ......... 179

8.5. Ñâÿçü ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ñ èñïûòàíèÿìè Áåðíóëëè è ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ..................................................... 184

8.6. Îöåíêà ïàðàìåòðà ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ................. 188

Ãëàâà 9. Ïðîñòàÿ ðåãðåññèÿ ............................................................ 191

9.1. Êîððåëÿöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ .............................................. 192

9.2. Ïðîñòàÿ ðåãðåññèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ ................................. 196

9.3. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè ïðîñòîé ðåãðåññèè ................................ 201

Ãëàâà 10. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ ............................................ 207

10.1. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ .................. 208

10.2. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè îòäåëüíûõ ôàêòîðîâ è çíà÷èìîñòè ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè â öåëîì .......................... 210

10.3. Àëãåáðàè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ

òèïà ñäâèãîâ è ðàçíîñòåé. Ôèêòèâíûå ïåðåìåííûå ........................ 217

Ãëàâà 11. Ðàíãîâûå êîððåëÿöèè .................................................... 221

11.1. Ñðàâíåíèå äâóõ ïåðåñòàíîâîê ................................................. 221

11.2. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè ðàíãîâîé êîððåëÿöèè .......................... 224

Ïðèëîæåíèÿ ...................................................................................... 229

Òàáëèöà äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ....................................... 229

Òàáëèöà äëÿ χ2- ðàñïðåäåëåíèÿ ......................................................... 231

Òàáëèöà äëÿ t-ðàñïðåäåëåíèÿ ............................................................ 233

Òàáëèöû äëÿ F-ðàñïðåäåëåíèÿ .......................................................... 235

Áèáëèîãðàôè÷åñêàÿ ñïðàâêà ......................................................... 242

Ëèòåðàòóðà ........................................................................................ 247

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü .................................................................... 250

3

Îãëàâëåíèå

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé îòíîñèòñÿ ê òåì ðàçäåëàì ìàòåìàòèêè, êî-

òîðûå íàõîäÿò ñàìîå øèðîêîå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå. Îäíà èç îáëà-

ñòåé, ãäå èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè,  ýòî ñòàòèñòè÷åñêèå èñ-

ñëåäîâàíèÿ.

Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü èíôîðìàöèè ïîñòóïàåò ê íàì â âèäå ÷èñåë.

Ñîáðàòü äàííûå è ïðåäñòàâèòü èõ â ôîðìå òàáëèö, ãðàôèêîâ, äèàã-

ðàìì èëè êîìïüþòåðíûõ ôàéëîâ î÷åíü âàæíî. Ðèñóíêè è îòäåëüíûå

íàèáîëåå çíà÷èìûå ÷èñëà äàþò îòâåòû íà áîëüøèíñòâî âîïðîñîâ. Íî ìíîãîå èç òîãî, ÷òî ñîäåðæèòñÿ â ÷èñëîâîé èíôîðìàöèè, îñòàåòñÿ ñêðû-

òûì è ìîæåò áûòü âûÿâëåíî òîëüêî ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ ìàòåìàòè-

÷åñêîé ñòàòèñòèêè.

Äëÿ ÷åãî ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå? Êàê èç-

âëå÷ü èç íèõ íóæíóþ íàì èíôîðìàöèþ?

Ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îïèñàíèÿ

è àíàëèçà ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû, ïîñòðîåíèÿ ïðîãíîçîâ è âûðàáîò-

êè ðåøåíèé. Åùå îäíî íàïðàâëåíèå  ýòî îöåíêà âîçìîæíîñòåé âû-

áîðà (îöåíêà îïöèîíîâ) íà ôèíàíñîâûõ ðûíêàõ.

Ãîâîðÿ î ïîñòðîåíèè ïðîãíîçîâ, ìû, â ïåðâóþ î÷åðåäü, èìååì â âèäó êîëè÷åñòâåííûå, à íå êà÷åñòâåííûå ïðîãíîçû. Êà÷åñòâåííûå ïðî-

ãíîçû  ýòî îòâåòû íà âîïðîñû, ïðîèçîéäåò ëèáî íåò òî èëè äðóãîå

ñîáûòèå, èëè êàêîé èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ îñóùåñòâèòñÿ. Êîëè÷å-

ñòâåííûå ïðîãíîçû  ýòî ïðåäñêàçàíèÿ êàêèõ-òî ÷èñëîâûõ õàðàêòå-

ðèñòèê äëÿ îïðåäåëåííûõ áóäóùèõ ìîìåíòîâ èëè îòðåçêîâ âðåìåíè.

Àíàëèç ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ïðîãíîçà è â òî æå âðåìÿ ïðåäñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ. Â ýòîé êíèãå

ðå÷ü, â îñíîâíîì, ïîéäåò èìåííî î òðàäèöèîííûõ ìåòîäàõ ñòàòèñòè-

÷åñêîãî àíàëèçà. Ìåòîäû èñïîëüçîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè äëÿ âûðàáîòêè ðåøåíèé î÷åíü ðàçíîîáðàçíû. Îäíàêî íàèáîëåå èíòå-

ðåñíûå è âàæíûå ïîäõîäû ïî ñâîåé ñëîæíîñòè âûõîäÿò çà ïðåäåëû 4

Ïðåäèñëîâèå

ýòîé êíèãè è ïîòîìó â íåé íå îòðàæåíû. Íåêîòîðûå ïðèìåðû èñïîëü-

çîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ äëÿ âûðàáîòêè ðåøåíèé ïðèâåäåíû â ïàðàãðàôå 3.4.

Ìíîãèå èäåè âûñøåé ìàòåìàòèêè ïðèìåíÿþòñÿ ïðè ðàáîòå ñ

÷èñëîâîé ýêîíîìè÷åñêîé èíôîðìàöèåé. Îíè ïðåâðàòèëèñü â èíñòðó-

ìåíòû, ñ êîòîðûìè ïîëåçíî óìåòü îáðàùàòüñÿ ëþáîìó ýêîíîìèñòó.

Íèêòî íå ñïîðèò ñ òåì, ÷òî â æèçíè ýòè èíñòðóìåíòû íóæíû áèðæå-

âîìó àíàëèòèêó áîëüøå, ÷åì äèðåêòîðó ìàãàçèíà, ñïåöèàëèñòó ïî îï-

öèîíàì è ôüþ÷åðñàì  áîëüøå, ÷åì íàëîãîâîìó èíñïåêòîðó. Îäíàêî ïðàêòè÷åñêè âñåì ýêîíîìèñòàì ïðèõîäèòñÿ ïîñòîÿííî èìåòü äåëî ñ

÷èñëîâîé èíôîðìàöèåé, è ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî ìîæåò è ÷åãî íå ìî-

æåò äàòü ìàòåìàòèêà ïðè ðàáîòå ñî ñòàòèñòè÷åñêèìè äàííûìè, áåçóñ-

ëîâíî, ïîëåçíî. Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå êîìïüþòåðîâ îáåñïå÷èëî âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ïðîãðàìì, â êîòîðûõ ðåàëèçîâàíû ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. È êîíå÷íî, òîëüêî îïûò ðàáîòû ìîæåò íàó÷èòü, êàêîé èç ìåòîäîâ è êîãäà ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü.

Ïðèìåíåíèå èíñòðóìåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ïîäðà-

çóìåâàåò, ÷òî â ðàñïîðÿæåíèè ìàñòåðà åñòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé ÷èñ-

ëîâîé ìàòåðèàë, ò.å. íàáîð äàííûõ, âûðàæàþùèõ îäíó èëè íåñêîëüêî õàðàêòåðèñòèê ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ ìîìåíòîâ èëè îòðåçêîâ âðåìåíè. Ýòî äåñÿòêè, ñîòíè, à èíîãäà è çíà-

÷èòåëüíî áîëüøèå ìàññèâû ÷èñåë.

Èíñòðóìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè äîñòàòî÷íî ñèëüíî îò-

ëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà è ïî íàçíà÷åíèþ, è ïî ïðèíöèïàì äåéñòâèÿ.

Öåëü äàííîé êíèãè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàññêàçàòü, íà ÷åì îñíîâàíû ýòè èíñòðóìåíòû, è ïðèâåñòè íåêîòîðûå ïðèìåðû èõ èñïîëüçîâàíèÿ.

Ïî ïðåäàíèþ, îäèí êîðîëü ïîïðîñèë ñâîåãî ïðèäâîðíîãî ìóäðå-

öà îáó÷èòü åãî ìàòåìàòèêå.

 ß ÷óâñòâóþ, ÷òî çíàíèå ìàòåìàòèêè ìîæåò ïðèíåñòè ìíå

ïîëüçó,  ñêàçàë êîðîëü.  Íî òîëüêî ó ìåíÿ ñëèøêîì ìàëî ñâîáîä-

íîãî âðåìåíè, è ìíå õîòåëîñü áû óçíàòü âñå, ÷òî íóæíî, êàê-íèáóäü ïîáûñòðåå.

 Âàøå âåëè÷åñòâî,  îòâåòèë ìóäðåö,  ê ñîæàëåíèþ, â ìà-

òåìàòèêå íå ñóùåñòâóåò êîðîëåâñêèõ ïóòåé.

5

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ôðàçà î òîì, ÷òî â ìàòåìàòèêå íå ñóùåñòâóåò êîðîëåâñêèõ ïó-

òåé, ñòàëà êðûëàòîé. Ìàòåìàòèêó íåëüçÿ âûó÷èòü íè çà äâà ÷àñà, íè çà äâàäöàòü ÷àñîâ.

Ñòóäåíòû-ýêîíîìèñòû èíîãäà èñïûòûâàþò òàêîå æå æåëàíèå, êàê òîò êîðîëü:

 Íàñ îêðóæàåò ìàññà ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè, è ìû ÷óâ-

ñòâóåì, ÷òî ìàòåìàòèêà ìîæåò ïîìî÷ü íàì êàê-òî ðàçîáðàòüñÿ âî âñåõ ýòèõ ÷èñëàõ è íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ íèìè. Ïîæàëóéñòà, èçëîæèòå òîëüêî ñàìóþ ñóòü, íå íàäî ëèøíèõ äåòàëåé.

Íî èìåííî ðàçáèðàÿñü â äåòàëÿõ, ÷åëîâåê ïðèîáðåòàåò ìàòåìà-

òè÷åñêóþ êóëüòóðó, è èìåííî ýòà êóëüòóðà, à íå õðàíÿùèéñÿ â ïàìÿòè íàáîð ôîðìóëèðîâîê, äîëæíà ñòàòü îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì îáó÷åíèÿ.

Áåç íåå èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ áóäåò ôîðìàëü-

íûì è ìàëîýôôåêòèâíûì.

Áîëüøèíñòâî ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ ïðè ðàáî-

òå ñ ÷èñëîâîé ýêîíîìè÷åñêîé èíôîðìàöèåé, îòíîñèòñÿ ê ìàòåìàòè-

÷åñêîé òåîðèè, íàçûâàåìîé òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Ýòà òåîðèÿ âîç-

íèêëà â XVII â. â ðàáîòàõ ôðàíöóçñêèõ ìàòåìàòèêîâ Á. Ïàñêàëÿ è Ï. Ôåðìà. Ìíîãèå âàæíûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû â XVIII è XIX ââ.

Â ÷èñëî îñíîâàòåëåé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé âõîäÿò ß. Áåðíóëëè, Ï. Ëàïëàñ, Ê. Ãàóññ, Ï.Ë. ×åáûøåâ. Íî òîëüêî â XX â. òåîðèÿ âåðîÿò-

íîñòåé áûëà ïðåâðàùåíà â áåçóïðå÷íî ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåî-

ðèþ ñîâåòñêèì ìàòåìàòèêîì À.Í. Êîëìîãîðîâûì, êîòîðûé ïðèìåíèë èäåè ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà À. Ëåáåãà, îòíîñÿùèåñÿ ê òåîðèè èí-

òåãðèðîâàíèÿ, äëÿ îáîñíîâàíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïîñëå ïîÿâëå-

íèÿ ðàáîò À.Í. Êîëìîãîðîâà ñòàëî ÿñíî, ÷òî èñïîëüçîâàâøèåñÿ ðàíåå

â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íà ïîëóèíòóèòèâíîì óðîâíå ïîíÿòèÿ (è èìå-

þùèå ñâîè íàçâàíèÿ) ÿâëÿþòñÿ îáùåïðèíÿòûìè â ìàòåìàòèêå. Ïî-

ýòîìó ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå äóáëèðîâàíèå òåðìèíîâ, èñïîëüçóåìûõ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è âî âñåé îñòàëüíîé ìàòåìàòèêå (îá ýòîì ìû áóäåì ãîâîðèòü â ãëàâå 1). Â íàñòîÿùåå âðåìÿ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü ñòàðûå òðàäèöèîííûå òåðìèíû, óäîáíûå äëÿ

ïðèëîæåíèé, íî íàïîëíåííûå ñòðîãèì ìàòåìàòè÷åñêèì ñîäåðæàíè-

åì. Ê ñîæàëåíèþ, êîíñòðóêöèè À.Í. Êîëìîãîðîâà äîñòàòî÷íî ñëîæ-

íû. Ñòóäåíòû-ìàòåìàòèêè èçó÷àþò èõ îáû÷íî íå ðàíüøå òðåòüåãî êóð-

6

Ïðåäèñëîâèå

ñà. Â ýòîì ó÷åáíèêå, ïðåäíàçíà÷åííîì äëÿ ýêîíîìèñòîâ, îíè áóäóò èçëîæåíû êîðîòêî è â î÷åíü óïðîùåííîì âèäå.

Ïîä ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêîé, ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêîâ, ïîíèìàåòñÿ ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðè ðàáîòå ñî ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèåé. Ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè-

÷åñêîé ñòàòèñòèêå åñòü ìíîãî õîðîøèõ ó÷åáíèêîâ êàê äëÿ ñòóäåíòîâ-

ìàòåìàòèêîâ, òàê è äëÿ ñòóäåíòîâ-íåìàòåìàòèêîâ (ñì. ñïèñîê ëèòåðà-

òóðû â êîíöå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ). Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå çàäó-

ìûâàëîñü êàê àçáóêà. Îíî äîëæíî áûòü íàïèñàíî ïðîñòî è ïîíÿòíî, â óùåðá îáùíîñòè è ïîëíîòå, ãîâîðÿ óñëîâíî, êðóïíûìè áóêâàìè ñ êàðòèíêàìè, ãäå ýòî òîëüêî âîçìîæíî. Íî â òî æå âðåìÿ îíî äîëæíî äàâàòü ôóíäàìåíò äëÿ ïîñëåäóþùåé ðàáîòû.

Îñíîâàì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ ïîíè-

ìàíèÿ ó÷åáíîãî êóðñà, ïîñâÿùåíà ãëàâà 1. Íàèáîëåå âàæíûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íà êîòîðîì ñòðîèòñÿ âñå äàëü-

íåéøåå èçëîæåíèå. Â ãëàâå 2 ðàçáèðàþòñÿ íåêîòîðûå çàäà÷è êîìáèíà-

òîðèêè, ïîìîãàþùèå ïîíÿòü, îòêóäà âîçíèêàåò çàêîí íîðìàëüíîãî ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé  êðàåóãîëüíûé êàìåíü ìàòåìàòè÷åñêîé ñòà-

òèñòèêè. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé çàíèìàåò îòíîñèòåëüíî íåáîëüøóþ

÷àñòü ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ  îñíîâíàÿ åãî ÷àñòü ïîñâÿùåíà ñòàòèñòè-

÷åñêèì ìåòîäàì. Ïîýòîìó îòáîð ìàòåðèàëà, îòíîñÿùåãîñÿ ê òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, áûë ïðîèçâåäåí î÷åíü æåñòêî. Êàê è â ëþáûõ äðóãèõ ðàçäåëàõ òåîðåòè÷åñêîé ìàòåìàòèêè, íåïîñðåäñòâåííî âûõîäÿùèõ íà ïðèëîæåíèÿ, îäíè ïîíÿòèÿ è òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èñïîëüçó-

þòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ íåïîñðåäñòâåííî, à äðóãèå íóæíû äëÿ òîãî, ÷òî-

áû äîêàçàòü èñïîëüçóåìûå òåîðåìû. Ïðè îòáîðå ìàòåðèàëà íàìè áûë ñäåëàí âûáîð â ïîëüçó ïîíÿòèé è òåîðåì ïåðâîãî âèäà. Ìû ñòðåìè-

ëèñü ê òîìó, ÷òîáû, çàòðàòèâ ìèíèìàëüíîå âðåìÿ, ÷èòàòåëü óñâîèë îñíîâíûå ïðèíöèïû ïðèìåíåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ðàáîòû ñî ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèåé. Ñëàáîé ñòîðîíîé òàêîãî ñïîñîáà èçëî-

æåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìíîãèå âàæíûå òåîðåìû ïðèâåäåíû áåç äîêà-

çàòåëüñòâ. (Î òîì, ãäå ìîæíî íàéòè äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ òåîðåì, ñêà-

çàíî â áèáëèîãðàôè÷åñêîé ñïðàâêå.)

Ãëàâû 3 è 4 ïîñâÿùåíû îïðåäåëåíèþ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåí-

íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ðàçëè÷íûì ïðèëîæåíèÿì íîðìàëüíîãî ðàñ-

7

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ïðåäåëåíèÿ. Â äàëüíåéøåì ââîäÿòñÿ äðóãèå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ

âåðîÿòíîñòåé è ñðàçó æå äàþòñÿ ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèÿ: χ2-ðàñïðå-

äåëåíèå (ãëàâà 5), t-ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà (ãëàâà 6), F-ðàñïðåäå-

ëåíèå Ôèøåðà (ãëàâà 7), ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà (ãëàâà 8). Âñå ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ãëàâû 9, 10 è 11 ïîñâÿùåíû äðóãîìó âàæíîìó ðàçäåëó ìàòåìàòè-

÷åñêîé ñòàòèñòèêè  ðåãðåññèè è êîððåëÿöèè. Äàííûé ìàòåìàòè÷åñ-

êèé àïïàðàò íåîáõîäèì äëÿ èññëåäîâàíèÿ âçàèìíîãî âëèÿíèÿ è âçà-

èìíîé çàâèñèìîñòè äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ è íàáîðîâ íàáëþäåíèé.

Èçëîæåíèå âåäåòñÿ ñîâñåì ïðîñòî â íà÷àëå êíèãè è ïîñòåïåííî óñëîæíÿåòñÿ â ïîñëåäóþùåì. Íà÷èíàÿ ñ ïàðàãðàôà 1.3 ïðåäïîëàãàåòñÿ,

÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ îñíîâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Â ãëàâå 10

èñïîëüçóþòñÿ îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè.

Èçìåíåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì èçäàíèåì íîñÿò, â îñíîâíîì, ðåäàêöèîííûé õàðàêòåð. Çàìåíåíû íåêîòîðûå ïðèìåðû. Íåñêîëüêî ðàñøèðåíû ïàðàãðàôû, ïîñâÿùåííûå óñëîâíûì âåðîÿòíîñòÿì, ïðî-

âåðêå ãèïîòåç è äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëàì.

Â îñíîâó ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïîëîæåíû ëåêöèè, êîòîðûå àâòîð

÷èòàë ñòóäåíòàì Ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà  Âûñøåé øêîëû ýêîíîìèêè â òå÷åíèå ðÿäà ëåò. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äàííàÿ êíèãà îñòàåòñÿ âñå æå ó÷åáíûì ïîñîáèåì, ðÿä âàæíûõ ðàçäåëîâ êóðñà â êíèãå íå ïðåäñòàâëåí. Àâòîð áëàãîäàðèò êîëëåêòèâ ÃÓ ÂØÝ çà ïîìîùü â îðãàíèçàöèè êóðñà è âñåõ êîëëåã, âûñêàçàâøèõ àâòîðó ñâîè êîíñòðóêòèâíûå è äîáðîæåëàòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Îòäåëüíî àâòîð âû-

ðàæàåò áëàãîäàðíîñòü Ý.Á. Åðøîâó çà áîëüøîå ÷èñëî ïîëåçíûõ çàìå-

÷àíèé, ñäåëàííûõ ïðè ïîäãîòîâêå åùå ïåðâîãî èçäàíèÿ êíèãè.

8

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 1

ã ë à â à

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ

È ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ

Â ýòîé ãëàâå ââîäèòñÿ ïîñòîÿííî èñïîëüçóåìîå â äàëüíåéøåì ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îïðåäåëÿþòñÿ òàêæå äðóãèå ïîíÿòèÿ: ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü, óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, îæèäàåìîå çíà÷åíèå

(îæèäàíèå) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

1.1

Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè

Ñòðîãîñòü â ìàòåìàòèêå ÿâëÿåòñÿ íåïðåìåííûì óñëîâèåì. Âñå

èñïîëüçóåìûå ïîíÿòèÿ îïðåäåëÿþòñÿ, âñå óòâåðæäåíèÿ, çà èñêëþ÷å-

íèåì àêñèîì, äîêàçûâàþòñÿ. Â êàæäîì îïðåäåëåíèè íîâûå ïîíÿòèÿ

îïèðàþòñÿ íà ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå ðàíüøå. Íî åñëè òàê, òî êàê æå

áûòü ñ ñàìûìè ïåðâûìè îïðåäåëåíèÿìè? ×åðåç ÷òî îïðåäåëÿþòñÿ ââî-

äèìûå â íèõ ïîíÿòèÿ? Îòâåò íà ýòè âîïðîñû ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí.

Â ìàòåìàòèêå åñòü íåîïðåäåëèìûå ïîíÿòèÿ. Òàêèìè ïîíÿòèÿìè ÿâëÿ-

þòñÿ ìíîæåñòâî è ôóíêöèÿ.

Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îáñóæäåíèþ òîãî, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî è

÷òî òàêîå ôóíêöèÿ, ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðîëü ýòèõ ïîíÿòèé íå îãðàíè÷è-

9

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà âàåòñÿ òåì, ÷òî ÷åðåç íèõ îïðåäåëÿþòñÿ âñå îñòàëüíûå ïîíÿòèÿ ìàòå-

ìàòèêè. Åùå áîëåå âàæíî òî, ÷òî ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðåìà 

ýòî åñòü íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå î ìíîæåñòâàõ è (èëè) ôóíêöèÿõ.

Ìíîæåñòâî  ýòî ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ, îáëàäàþùèõ íåêîòîðûì ñâîéñòâîì.

ßñíî, ÷òî ýòî íå îïðåäåëåíèå, à ïîÿñíåíèå. Ñëîâî ñîâîêóï-

íîñòü íè÷åì íå ëó÷øå ñëîâà ìíîæåñòâî. Ïðèìåðàìè ìíîæåñòâ ìî-

ãóò áûòü:

ìíîæåñòâî ëþäåé, æèâóùèõ â äîìå;

ìíîæåñòâî ÿáëîê, ëåæàùèõ â êîðçèíå;

ìíîæåñòâî òî÷åê íà ïëîñêîñòè.

Äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå îáîçíà-

÷åíèÿ:N  ìíîæåñòâî öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ò.å. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6 è ò.ä.;

R  ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîå âõîäÿò âñå ýëå-

ìåíòû ìíîæåñòâà N, à òàêæå îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, äðîáíûå ÷èñëà è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà, íàïðèìåð, òàêèå, êàê 2 , π è å.

Ââåäåì íåñêîëüêî ñèìâîëîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ìíîæåñòâàì, íåîá-

õîäèìûõ íàì äëÿ äàëüíåéøåãî.

x ∈ A

(ýëåìåíò õ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À).

Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî À ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Â, åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà À ÿâëÿåòñÿ Ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà Â. Â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî À  ïîäìíîæåñòâî Â.

À ⊂ Â

(ìíîæåñòâî À ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Â; ñì. ðèñ. 1.1).

Â ÷àñòíîñòè, À ⊂ À. Ïîäìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîãî ýëå-

ìåíòà õ, îáîçíà÷àåòñÿ {õ}. Åñëè õ ∈ À, òî {x} ⊂ À. Ôèãóðíûå ñêîáêè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû íàãëÿäíî ïîêàçàòü, èç êàêèõ ýëåìåíòîâ ñîñòîèò ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð,

N = {1, 2, 3, ...}.

10

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðèñ. 1.1. Ïîäìíîæåñòâî À ìíîæåñòâà Â

Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî Ñ íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è Â, åñëè ìíîæåñòâî Ñ ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòî-

ðûå ïðèíàäëåæàò è ìíîæåñòâó À, è ìíîæåñòâó Â.

Ñ = A ∩ Â

(Ñ  ïåðåñå÷åíèå À è Â; ñì. ðèñ. 1.2).

Ðèñ. 1.2. Ìíîæåñòâî Ñ  ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ À è Â

11

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî Ñ íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ À è Â, åñëè ìíîæåñòâî Ñ ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòî-

ðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ À èëè Â.

Ñ = A ∪ Â

(Ñ  îáúåäèíåíèå À è Â; ñì. ðèñ. 1.3).

Ðèñ. 1.3. Ìíîæåñòâî Ñ  îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ À è Â

Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè îíî ñîäåðæèò êîíå÷íîå

÷èñëî ýëåìåíòîâ, è áåñêîíå÷íûì â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå. Íàïðè-

ìåð, ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 0, íî ìåíüøèõ 10, êîíå÷íî (îíî ñîäåðæèò 9 ýëåìåíòîâ), à ìíîæåñòâà N è R áåñêîíå÷íû.

Ïðèìåð 1.1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [0,1] ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë õ ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

0 ≤ x ≤ 1.

Ìíîæåñòâî [0,1] áåñêîíå÷íî (õîòÿ è îãðàíè÷åíî).

Ïðè a ≤ b ìíîæåñòâî òî÷åê õ ∈ R òàêèõ, ÷òî

a ≤ x ≤ b,

íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì. Ïðè à < b ìíîæåñòâî òî÷åê õ ∈ R òàêèõ, ÷òî à < õ < b,

íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì.

12

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Äî ñèõ ïîð ìû ñ÷èòàëè, ÷òî ìíîæåñòâî  ýòî ñîâîêóïíîñòü íåêî-

òîðûõ ýëåìåíòîâ. Òåïåðü ïîíÿòèå ìíîæåñòâà íóæíî ðàñøèðèòü. Â êîð-

çèíå ñ ÿáëîêàìè ìîæåò ëåæàòü îäíî ÿáëîêî, äâà, òðè è ò.ä. Íî ìîæåò íå ëåæàòü íè îäíîãî. Òàê æå ìîæíî ðàññìîòðåòü ñîâîêóïíîñòü, â êî-

òîðîé íåò ýëåìåíòîâ. Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåí-

òà, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì

∅.

Ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì (íî íå ýëåìåíòîì!) ëþáîãî ìíîæåñòâà.

Ïîÿñíèì íà ïðèìåðå, ïî÷åìó ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿ-

åòñÿ ïîëåçíûì è äàæå íåîáõîäèìûì. Ïóñòü ìíîæåñòâî À ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ

a , a , a .

1

2

3

Òîãäà ó ìíîæåñòâà À åñòü âîñåìü ïîäìíîæåñòâ:

∅, {a }, {a }, {a }, {a , a }, {a , a }, {a , a }{a , a , a }.

1

2

3

1

2

1

3

2

3

1

2

3

(Â ÷èñëî ïîäìíîæåñòâ âêëþ÷àþòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî è ñàìî ìíî-

æåñòâî A.) Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ïîäìíîæåñòâ {a , a } è {a , a }: 1

2

1

3

{a , a } ∩ {a , a } = {a }.

1

2

1

3

1

À ÷òî òàêîå ïåðåñå÷åíèå, íàïðèìåð, {a , a } è {a }? Åñëè áû ìû 1

2

3

íå ââåëè ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà, òî äîëæíû áûëè áû ïðèçíàòü,

÷òî â äàííîì ñëó÷àå îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ íå îïðåäåëåíà, ÷òî î÷åíü íåóäîáíî. Íî òåïåðü îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ íå âûçûâàåò çàò-

ðóäíåíèé:

{a , a } ∩ {a } = ∅.

1

2

3

Òåïåðü ìîæíî ïåðåéòè ê îáñóæäåíèþ òîãî, ÷òî òàêîå ôóíêöèÿ.

Ôóíêöèÿ  ýòî îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîìó ýëåìåíòó îäíîãî ìíîæåñòâà ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé ýëåìåíò äðóãîãî ìíîæåñòâà.

ßñíî, ÷òî ýòî îïÿòü íå îïðåäåëåíèå, à ïîÿñíåíèå. Ñëîâî îòî-

áðàæåíèå íè÷åì íå ëó÷øå ñëîâà ôóíêöèÿ. Çàïèñü f : A → B

13

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó ìíî-

æåñòâà À íåêîòîðûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â, è ÷èòàåòñÿ òàê: ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå À è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå Â

èëè òàê: f äåéñòâóåò èç À â Â. Íà ðèñ. 1.4 è 1.5 ïîêàçàíû äâå ôóíê-

öèè; ïðè ýòîì êàæäîå èç ìíîæåñòâ À è Â ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ.

Ðèñ. 1.4. Ïðèìåð âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè Ôóíêöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.4, íàçûâàåòñÿ âçàèìíî-îäíî-

çíà÷íîé: êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå

ñâîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â, è êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â ñîîòâåò-

ñòâóåò íåêîòîðîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À. Ôóíêöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.5, âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé íå ÿâëÿåòñÿ.

Ðèñ. 1.5. Ïðèìåð íå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè 14

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðèñ. 1.6. Ïðèìåð îòîáðàæåíèÿ, íå ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé Îòîáðàæåíèå, ïîêàçàííîå íà ðèñ. 1.6, íå ÿâëÿåòñÿ; ôóíêöèåé ñðàçó ïî äâóì ïðè÷èíàì. Âî-ïåðâûõ, îäíîìó èç ýëåìåíòîâ ìíîæå-

ñòâà À ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå äâà ýëåìåíòà ìíîæåñòâà Â, è, âî-

âòîðûõ, äðóãîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À âîîáùå íè÷åãî íå ïîñòàâëå-

íî â ñîîòâåòñòâèå.

Åñëè ôóíêöèÿ f äåéñòâóåò èç À â Â, f : A → B, è ýëåìåíò õ ïðè-

íàäëåæèò ìíîæåñòâó À, õ ∈ À, òî ïîñòàâëåííûé â ñîîòâåòñòâèå õ ýëå-

ìåíò ìíîæåñòâà Â îáîçíà÷àåòñÿ f (õ). Òàêèì îáðàçîì, f (x) ∈ Â.

Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî ïàð (õ, f (õ)), ãäå õ ∈ À, íàçûâàåòñÿ

ãðàôèêîì ôóíêöèè f.

Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà ÷åðåç f (õ) îáîçíà÷àåòñÿ ñàìà ôóíêöèÿ f, à íå ýëåìåíò ìíîæåñòâà çíà÷åíèé. Êàê ïðàâèëî, ýòî íå ïðèâîäèò ê íå-

äîðàçóìåíèÿì, íî, âñòðåòèâ òàêîå âûðàæåíèå, íåîáõîäèìî ïîíÿòü, ÷òî èìååòñÿ â âèäó.

Ïðèìåð 1.2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

f : R → [1, 1],

äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó f (x) = sin x. Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè (òî÷íåå, ÷àñòü ãðàôèêà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 1.7.

Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè  ýòî ìíîæåñòâî, à íå ôóíêöèÿ. Íå ñëåäóåò ïóòàòü ôóíêöèþ ñ åå ãðàôèêîì.

15

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðèñ. 1.7. Ãðàôèê ôóíêöèè f(x) = sin x

Åñëè ôóíêöèÿ f : A → R è ôóíêöèÿ g : A → R, òî ìîæíî îïðåäå-

ëèòü ôóíêöèþ, ÿâëÿþùóþñÿ ñóììîé ýòèõ äâóõ ôóíêöèé è îáîçíà÷àå-

ìóþ ( f + g)

( f + g) : A → R,

êîòîðàÿ êàæäîìó õ ∈ À ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî f (x) + g(x). Àíà-

ëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü è ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé. Åñëè ñ ∈ R, òî ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ôóíêöèè cf è ( f + ñ). Ôóíêöèè, ïðèíèìàþ-

ùèå çíà÷åíèÿ â R, ìû áóäåì íàçûâàòü ÷èñëîâûìè ôóíêöèÿìè.

1.2

Ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé

è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Íåçàâèñèìîñòü

ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

Â ïðåäèñëîâèè ìû ãîâîðèëè, ÷òî òîëüêî â XX â. òåîðèÿ âåðîÿòíî-

ñòåé áûëà ïðåâðàùåíà â áåçóïðå÷íî ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ, è îêàçàëîñü, ÷òî âñå èñïîëüçóåìûå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîíÿòèÿ àíà-

ëîãè÷íû ïîíÿòèÿì èç äðóãèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Ê ýòîìó âðåìåíè â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëîæèëàñü ñâîÿ òåðìèíîëîãèÿ, êîòîðàÿ îñòàëàñü îáùåïðèíÿòîé, õîòÿ ìîæíî áûëî áû çàìåíèòü ñóùåñòâóþùèå òåðìèíû èõ îáùåìàòåìàòè÷åñêèìè àíàëîãàìè. Íî â ýòîì ñëó÷àå ÿçûê òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñòàë áû ìåíåå ïîíÿòåí â ïðèëîæåíèÿõ. Ñîîòâåòñòâèå ìåæ-

äó îñíîâíûìè òåðìèíàìè ïðèâåäåíî â ñëåäóþùåé òàáëèöå.

16

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Îáùåìàòåìàòè÷åñêèé òåðìèí

Òåðìèí òåîðèè âåðîÿòíîñòåé

Ìíîæåñòâî

Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ

ñîáûòèé

Ýëåìåíò

Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå

Ïîäìíîæåñòâî

Ñîáûòèå

Äëèíà, ïëîùàäü, îáúåì

Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ

ïîäìíîæåñòâà

×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

Ïðèâåäåííîå ñîîòâåòñòâèå íóæíî ïîíèìàòü ñëåäóþùèì îáðà-

çîì. Òåðìèíîì ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ìû áóäåì îáî-

çíà÷àòü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå. Ýëåìåíòû è ïîäìíîæåñòâà ýòîãî ìíîæåñòâà áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî ýëå-

ìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè è ñîáûòèÿìè.

Åñëè ïîäìíîæåñòâà ïëîñêîñòè èëè ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ ëè-

íèÿìè, ôèãóðàìè èëè òåëàìè, òî äëÿ íèõ îïðåäåëåíû äëèíû, ïëîùà-

äè èëè îáúåìû. Àíàëîãè÷íî êàæäîìó ñîáûòèþ (ò.å. ïîäìíîæåñòâó ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî, íàçûâàåìîå åãî âåðîÿòíîñòüþ. Ýòî ÷èñëî òàê æå, êàê äëèíà, ïëîùàäü èëè îáúåì ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì, è åñëè ðàçäåëèòü íåêîòîðîå

ñîáûòèå íà äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñîáûòèÿ, òî âåðîÿòíîñòü èñõîäíî-

ãî ñîáûòèÿ áóäåò ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷åííûõ ÷àñòåé.

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà  ýòî ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîñòðàí-

ñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå R.

Ç à ì å ÷ à í è å. Òî, ÷òî íàçâàíèå ñòîëü âàæíîãî îáúåêòà ñîñòîèò èç äâóõ ñëîâ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à íå èç îäíîãî ñëîâà, î÷åíü íåõîðî-

øî. Íî íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ýòî íàçâàíèå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì.

Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (ìíîæåñòâî) ïðèíÿòî îáî-

çíà÷àòü ãðå÷åñêîé áóêâîé Ω (îìåãà). Ñàìè ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ (ýëå-

ìåíòû ìíîæåñòâà) îáîçíà÷àþòñÿ òîæå áóêâàìè îìåãà, íî íå ïðî-

ïèñíûìè, à ñòðî÷íûìè:

ω , ω , ... .

1

2

17

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ñîáûòèÿ îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè À, Â, ... . Òî åñòü ω ∈ Ω, A ⊂ Ω.

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ÷àùå âñåãî îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè X, Y, ... . Ïî-

ñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà  ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ

íà ìíîæåñòâå Ω, âåðíà çàïèñü

X : Ω → R.

Ìíîæåñòâî Ω ìîæåò áûòü êàê êîíå÷íûì (ò.å. ñîäåðæàòü êîíå÷-

íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ), òàê è áåñêîíå÷íûì. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìíîæå-

ñòâî Ω ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ìû ïîñòðîèì òåîðèþ ñîâåðøåííî ñòðîãî; äëÿ ñëó÷àÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω íåîáõîäè-

ìî èñïîëüçîâàòü çíà÷èòåëüíî áîëåå ñëîæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñò-

ðóêöèè, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ íåêîòîðûìè ïîÿñíåíèÿìè è íå áó-

äåì ïðèâîäèòü âñå íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ.

Èòàê, ïóñòü ìíîæåñòâî Ω êîíå÷íî è ñîäåðæèò N ýëåìåíòîâ: Ω = {ω , ω , ..., ω }.

1

2

N

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíî N ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë p , p , ..., p ,

1

2

N

êàæäîå èç êîòîðûõ íå áîëüøå 1. Ïóñòü, êðîìå òîãî,

∑N ip =1.

i 1

=

(Â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîë Σ, êîòîðûé îáîçíà÷àåò ñóììó, â äàííîì ñëó÷àå, N ÷èñåë.) Èç ïåðå÷èñëåííûõ óñ-

ëîâèé ñëåäóåò, ÷òî åñëè N > 1, òî

0 < p < 1, i = 1, ..., N.

i

×èñëî p íàçîâåì âåðîÿòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ω . Åñëè i

i

ñîáûòèå A ⊂ Ω, òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À îïðåäåëèì, êàê P( )

A =

p ,

∑ i

ω ∈

i

A

ãäå ñóììèðóþòñÿ âåðîÿòíîñòè òîëüêî òåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω ,i êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïîäìíîæåñòâà À. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ

ÿñíî, ÷òî

P(Ω) = 1.

18

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ïóñòîìó ìíîæåñòâó ïðèïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü 0: P(∅) = 0.

Äëÿ ëþáîãî äðóãîãî ñîáûòèÿ À

0 < Ð(À) < 1.

Ñëåäóåò ïðèçíàòü, ÷òî â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé Ω àíàëîãèÿ ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè ñîáûòèé è äëèíàìè, ïëîùàäÿìè, îáúåìàìè ïîäìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêîé. Íî íàì íåîáõîäèìî áóäåò ðàññìàòðèâàòü è áåñêîíå÷íûå ïðîñòðàíñòâà ýëå-

ìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, è òîãäà äàííàÿ àíàëîãèÿ áóäåò î÷åíü ïîëåçíà.

Ïðèìåð 1.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû äâà ðàçà áðîñàëè ìîíåòó è êàæäûé ðàç ìîã âûïàñòü ëèáî ãåðá, ëèáî ðåøåòêà. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå 4 èñõîäà: ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ, PP.

Êàæäûé èç èñõîäîâ íàçîâåì ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì: Ω = {ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ, ÐÐ}.

Åñëè ìîíåòà äîáðîêà÷åñòâåííàÿ, òî âåðîÿòíîñòè âñåõ èñõîäîâ ðàâíû: 1

p = p = p = p =

1

2

3

4

.

4

Ïóñòü ñîáûòèå À çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî õîòÿ áû îäèí ðàç âûïàë ãåðá, ò.å.

À = {ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ}.

Òîãäà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À

1

1

1

3

P( )

A = ∑ p = + + = .

i

ω ∈

4

4

4

4

i

A

Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ñëåäóåò,

÷òî åñëè A ∩ B = ∅, òî

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Òî æå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñîáûòèé. Åñëè ñîáûòèÿ A , A , ..., 1

2

A ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî

k

P(A ∪ A ∪ ∪ A =

1

2

...

) ∑k

k

P( iA ).

i 1

=

Äàííîå óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé.

19

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Îñíîâîïîëàãàþùóþ ðîëü â äàëüíåéøåì áóäåò èãðàòü ñëåäóþùåå

îïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ À è Â íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Îòìåòèì, èç îïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ñëåäóåò, ÷òî ñîáûòèå, ÿâëÿþùååñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì, è ëþáîå äðóãîå ñîáûòèå

íåçàâèñèìû. Äàííîå îïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü îáîáùåíî íà ëþáîå ÷èñëî ñîáûòèé.

Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ A , A , ..., A íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, 1

2

k

åñëè

 k

 k

P∩ iA  = ∏ P( 1

A ).

i 1

=

i 1

=





Çäåñü ìû ââåëè ñðàçó äâà íîâûõ îáîçíà÷åíèÿ:

k

∩  ïåðåñå÷åíèå k ìíîæåñòâ (ò.å. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ i 1

=

è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ïåðå÷èñ-

ëåííûõ ìíîæåñòâ);

k

∏  ïðîèçâåäåíèå k ÷èñåë.

i 1

=

Ç à ì å ÷ à í è å 1. Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå äðóãîå îïðåäåëåíèå íåçàâè-

ñèìîñòè k ñîáûòèé, êîãäà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïðè ëþáîì m < k ëþáûå m ñîáûòèé èç A , A , ..., A áûëè íåçàâèñèìûìè. Òî îïðåäåëåíèå íåçàâèñè-

1

2

k

ìîñòè k ñîáûòèé, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ íàìè, ÿâëÿåòñÿ áîëåå øèðîêèì.

Ç à ì å ÷ à í è å 2. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé äëÿ áåñêîíå÷íîãî ìíî-

æåñòâà Ω îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.

Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð, èç ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñ-

òè íåñêîëüêèõ ñîáûòèé íå ñëåäóåò èõ íåçàâèñèìîñòü.

Ïðèìåð 1.4. Ïóñòü Ω ñîñòîèò èç 4 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è âåðîÿò-

1

íîñòü êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà . Ïóñòü 4

20

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé A = {ω , ω }, A = {ω , ω }, A = {ω , ω }

1

1

2

2

1

3

3

1

4

Ðèñ. 1.8. Òðè ñîáûòèÿ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íåçàâèñèìû, à âñå âìåñòå îíè íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè

(ñì. ðèñ. 1.8). Òîãäà

1

P(A = P A = P A =

1 )

( 2)

( 3) 2

è

1

P( A ∩ A ) = P( A ∩ A ) = P( A ∩ A ) = P({ω }) =

,

1

2

1

3

2

3

1

4

ò.å. ïîïàðíî ìåæäó ñîáîé ëþáûå äâà èç ýòèõ ñîáûòèé íåçàâèñèìû. Íî 1

1

P( A ∩ A ∩ A ) = P({ω }) =

≠ = P( A ) P( A ) P( A ).

1

2

3

1

1

2

3

4

8

Òî åñòü ñîáûòèÿ A , A , A íå íåçàâèñèìû.

1

2

3

Â äàëüíåéøåì íàì, â îñíîâíîì, áóäåò íóæíî íå ñàìî îïðåäåëå-

íèå íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé, à ïîñòðîåííîå íà íåì îïðåäåëåíèå íåçà-

âèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 21

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà X : Ω → R

ïðèíèìàåò k ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé x , x , ..., x è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 1

2

k

Y : Ω → R

ïðèíèìàåò l ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé y , y , ..., y . Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî Ω

1

2

l

êîíå÷íî è ñîäåðæèò âñåãî N ýëåìåíòîâ, òî

k ≤ N, l ≤ N.

Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âå-

i

ëè÷èíà Õ ðàâíà x . Òàêèì îáðàçîì,

i

k

Ω =

A .

7 i

i 1

=

Îáîçíà÷èì ÷åðåç B ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âå-

j

ëè÷èíà Y ðàâíà y ,j

l

Ω =

B .

7 j

j 1

=

Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íåçàâèñèìû, åñëè ïðè ëþáûõ i è j (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ l) íåçàâèñèìû ñîáûòèÿ A è B .

i

j

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è íåçàâèñèìîñòü ñëó-

÷àéíûõ âåëè÷èí  ýòî ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Èñïîëüçîâàíèå â èõ íàçâàíè-

ÿõ îäíîãî è òîãî æå ñëîâà íå ïîìîãàåò óñâîåíèþ ïðåäìåòà, íî ÿâëÿåò-

ñÿ îáùåïðèíÿòûì.

Ïîñêîëüêó î íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè îäíîãî è òîãî æå

ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, î íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿ-

ìè, îïðåäåëåííûìè íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω.

Ïðèìåð 1.5. Äîïóñòèì, ÷òî ìíîæåñòâî Ω ñîñòîèò èç kl òî÷åê, ëåæà-

ùèõ íà ïëîñêîñòè â ïðÿìîóãîëüíèêå 1 ≤ x ≤ k, 1 ≤ y ≤ l è èìåþùèõ öåëûå

êîîðäèíàòû (íà ðèñ. 1.9 èçîáðàæåíî ìíîæåñòâî Ω ïðè k = 7, l = 4). Áóäåì 22

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé 1

ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êàæäîé òî÷êå, ðàâíà

. Îïðå-

kl

äåëèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X, êàê àáñöèññó òî÷êè, à ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Y 

êàê îðäèíàòó òî÷êè.

Ðèñ. 1.9. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ñîñòîÿùåå èç 28 òî÷åê Ðèñ. 1.10. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ðàçáèòîå

íà ïîäìíîæåñòâà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ

23

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Íà ðèñ. 1.10 èçîáðàæåíà ðàçáèâêà ìíîæåñòâà Ω íà ïîäìíîæåñòâà A , íà i

êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X, à íà ðèñ. 1.11 èçîáðàæå-

íà ðàçáèâêà ìíîæåñòâà Ω, íà ïîäìíîæåñòâà Â , íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòî-

j

ÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y.

Ðèñ. 1.11. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ðàçáèòîå

íà ïîäìíîæåñòâà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y

Òîãäà ïðè ëþáîì i

1

P(

=

i

A ) k

è ïðè ëþáîì j

1

P( B ) = .

j

l

Íî ìíîæåñòâî A ∩ B ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè. Ïîýòîìó i

j

1

1

1

P( A ∩ B ) =

= × = P( A ) P( B ).

i

j

i

j

kl

k

l

Òî åñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íåçàâèñèìû.

Ðàçîáðàííûé ïðèìåð ìîæíî îáîáùèòü, çàäàâ ñëó÷àéíóþ âåëè-

÷èíó X êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò àáñöèññû, à ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó 24

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Y  êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò îðäèíàòû. Ïðè ýòîì ñëó÷àéíûå âå-

ëè÷èíû Õ è Y ïî-ïðåæíåìó áóäóò íåçàâèñèìûìè, òàê êàê ìíîæåñòâà A è Â áóäóò ñòðîèòüñÿ àíàëîãè÷íî.

i

j×òîáû äàòü ïðèìåð íå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äîïóñ-

òèì, ÷òî â ïðèìåðå 1.5 Õ ïî-ïðåæíåìó ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî îò àáñöèññû òî÷êè, à Y ïðèíèìàåò âî âñåõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà Ω ðàçëè÷-

íûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà ïðè ëþáîì j ìíîæåñòâî B ñîñòîèò èç îäíîé òî÷-

j

êè. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, åñëè B  ýòî ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ëåâóþ 1

íèæíþþ òî÷êó íà ðèñ. 1.9, òî

A ∩ B = B

1

1

1

è

P(A ∩ B ) > P(A )P(B ).

1

1

1

1

Ïðèìåð 1.6. Äâå ñòóäåíòêè, Àíÿ è Áåòòè, õîòÿò âî âðåìÿ 10-ìèíóòíîãî ïåðåðûâà ìåæäó çàíÿòèÿìè ïîçâîíèòü ïî òåëåôîíó ñâîèì çíàêîìûì. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Àíè, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y  äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíî-

ñòè ðàçãîâîðà Áåòòè. È òà, è äðóãàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò öåëûå çíà÷å-

íèÿ îò 0 äî 10. Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìûìè?

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà Àíÿ è Áåòòè ìîãóò èñïîëüçîâàòü òîëü-

êî îäèí òåëåôîí. Òîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìû-

ìè. Äåéñòâèòåëüíî,

P(X = 6) > 0, P(Y = 6) > 0,

íî

P((X = 6) ∩ (Y = 6)) = 0.

Ïîñëåäíÿÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0, ïîñêîëüêó âî âðåìÿ 10-ìèíóòíîãî ïåðåðû-

âà ñ îäíîãî è òîãî æå òåëåôîíà íå ìîãóò áûòü ñäåëàíû äâà çâîíêà ïðîäîëæè-

òåëüíîñòüþ 6 ìèíóò êàæäûé. À åñëè íàì óäàëîñü íàéòè õîòÿ áû îäíó ïàðó

÷èñåë x è y òàêóþ, ÷òî ñîáûòèÿ X = x è Y = y íå íåçàâèñèìû, òî íå íåçàâèñè-

ìû è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y. Ñîáûòèÿ X = 6 è Y = 6 íå íåçàâèñèìû, ïîñêîëüêó

P((X = 6) ∩ (Y = 6)) ≠ P(X = 6) P(Y = 6).

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà Àíÿ è Áåòòè ìîãóò çâîíèòü ñ äâóõ ðàç-

íûõ òåëåôîíîâ. Òîãäà ïðèâåäåííûå âîçðàæåíèÿ ïðîòèâ òîãî, ÷òîáû ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìûìè, îòïàäàþò.

25

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Àâòîðó íåèçâåñòíû ðåàëüíûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ

êîòîðûõ áûëî áû íóæíî ìîäåëèðîâàòü ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàçãîâîðà ñòóäåíòîê ïî òåëåôîíó â ïåðåðûâå ìåæäó çàíÿòèÿìè ïðè ïîìîùè ñëó-

÷àéíûõ âåëè÷èí. Äàííûé ïðèìåð, êàê è ìíîãèå äðóãèå ïðèìåðû, ïðè-

âåäåííûå â ýòîé êíèãå, íîñèò ó÷åáíûé èëè ïîëóó÷åáíûé õàðàêòåð.

Íî ñóùåñòâóþò âàæíûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ òå

èëè èíûå ÷èñëîâûå ïîêàçàòåëè ìîäåëèðóþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíà-

ìè. Íàïðèìåð, ýòî çàäà÷è ðàñ÷åòà áåçàðáèòðàæíîé öåíû ôèíàíñîâîãî èíñòðóìåíòà è îïðåäåëåíèÿ ñòðàòåãèè õåäæèðîâàíèÿ. Çäåñü ñëó÷àéíû-

ìè âåëè÷èíàìè ìîäåëèðóþòñÿ öåíû îñíîâíûõ àêòèâîâ, ïðîöåíòíûå

ñòàâêè, çíà÷åíèÿ îáìåííûõ êóðñîâ. Äðóãîé ïðèìåð  ýòî ìàêðîýêîíî-

ìè÷åñêèå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ èçó÷åíèåì ðîñòà âàëîâîãî âíóòðåííåãî ïðîäóêòà è âûÿâëåíèåì âëèÿíèÿ îòäåëüíûõ ôàêòîðîâ íà åãî èçìåíå-

íèå. Íî ñëîæíîñòü èñïîëüçóåìîãî äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ àïïàðàòà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íå ïîçâîëÿåò ñîåäèíèòü èçëîæåíèå íà÷àë äàííîãî ðàçäåëà ìàòåìàòèêè ñ ðàññìîòðåíèåì ñåðüåçíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷.

Ïðèâåäåì äðóãîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïðè÷åì íå òîëüêî äëÿ äâóõ, íî è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X , X , ..., X , 1

2

k

X : Ω → R, i = 1, 2, ..., k.

i

Ðàññìîòðèì íàáîð ÷èñåë a , i = 1, 2, ..., k (äîïóñêàåòñÿ, ÷òîáû a ïðè i

i

íåêîòîðûõ i ïðèíèìàëî çíà÷åíèå ∞) è íàáîð ÷èñåë b , i = 1, 2, ..., k i

(äîïóñêàåòñÿ, ÷òîáû b ïðè íåêîòîðûõ i ïðèíèìàëî çíà÷åíèå ∞) òàêèå, i

÷òî ïðè ëþáîì i, 1 ≤ i ≤ k,

∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞.

i

i

Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ A ⊂ Ω, i = 1, 2, ..., k, ãäå A ñîñòîèò èç òåõ è i

i

òîëüêî òåõ ω ∈ Ω, äëÿ êîòîðûõ

a ≤ X (ω) ≤ b .

i

i

i

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X , X , ..., X íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè 1

2

k

äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ a , a , ..., a è b , b , ..., b , óäîâëåòâîðÿþùèõ 1

2

k

1

2

k

ïðèâåäåííûì âûøå óñëîâèÿì, ñîáûòèÿ A , A , ..., A íåçàâèñèìû.

1

2

k

26

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ç à ì å ÷ à í è å. Ïåðâîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè, äàííîå äëÿ

äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, ìîæíî îáîáùèòü äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X , X , ..., X . Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ êî-

1

2

k

íå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ïåðâîå è âòîðîå îïðå-

äåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ýêâèâàëåíòíû. Íî (ýòî áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî) äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé Ω äîïóñòèìî èñïîëüçîâàòü òîëüêî âòîðîå îïðåäåëå-

íèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X ,1

X , ..., X ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì. ×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü åãî, 2

k

ìîæíî ïîðåêîìåíäîâàòü ÷èòàòåëþ îáîáùèòü ïðèìåð 1.6 äëÿ òðåõ ñòó-

äåíòîê è ðàññìîòðåòü ðàçëè÷íûå âàðèàíòû, ïðè êîòîðûõ ñëó÷àéíûå

âåëè÷èíû X , X , X ìîãóò áûòü íåçàâèñèìûìè, è ïðè êîòîðûõ îíè íå

1

2

3

ìîãóò áûòü íåçàâèñèìûìè.

1.3

Îæèäàåìîå çíà÷åíèå

è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìíîæåñòâî Ω êîíå÷íî è ñîäåðæèò N ýëåìåíòîâ:

Ω = {ω , ω , ..., ω }.

1

2

N

Íàïîìíèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ω ìû îáî-

i

çíà÷àåì p , ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ  ýòî ôóíêöèÿ

i

X : Ω → R.

Îïðåäåëåíèå. Îæèäàåìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ

íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî

N

E( X ) =

X (

∑ ω ) p .

i

i

i 1

=

27

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ïðèìåð 1.7. Â ðàçíûå äíè ñòóäåíò çàòðà÷èâàåò ðàçíîå âðåìÿ íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà. Ïóñòü Ω  ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç N äíåé, êàæäîìó ýëåìåíòàð-

íîìó ñîáûòèþ, ò.å. êàæäîìó äíþ ïðèïèøåì âåðîÿòíîñòü 1

p =

, 1

i = ,

2,

...,

N .

i

N

Ïóñòü Õ  ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ îçíà÷àåò âðåìÿ, çàòðà÷åí-

íîå ñòóäåíòîì íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà â êàæäûé èç äíåé. Òîãäà ñðåäíåå

âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå ñòóäåíòîì íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà, 1 N

E( X ) =

X (

∑ ω ). i

N i 1

=

Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íû íàçûâàþò åå ñðåäíèì çíà÷åíèåì, èëè îæèäàíèåì, èëè ìàòåìàòè-

÷åñêèì îæèäàíèåì.

Îïðåäåëåíèå. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ

îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

(X − E X )2

( ) ,

êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ D(X). Äðóãèìè ñëîâàìè,

N

D( X ) = ∑( X (ω ) − E( X ) p i

)2 . i

i 1

=

Äèñïåðñèÿ õàðàêòåðèçóåò ðàçáðîñ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ò.å. íà-

ñêîëüêî ñèëüíî â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà Ω ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îòëè÷àåòñÿ îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àé-

íàÿ âåëè÷èíà ïîñòîÿííà, åå äèñïåðñèÿ ðàâíà íóëþ. Âî âñåõ äðóãèõ ñëó÷àÿõ (íàïîìíèì, ÷òî ðå÷ü èäåò î êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω) äèñïåð-

ñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëîæèòåëüíà. ×àñòî âìåñòî äèñïåðñèè óäîá-

íî ðàññìàòðèâàòü äðóãóþ ìåðó ðàçáðîñà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Îïðåäåëåíèå. Ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íû íàçûâàþò êâàäðàòíûé êîðåíü èç åå äèñïåðñèè: σ = D( X )

X

(σ  ãðå÷åñêàÿ áóêâà ñèãìà).

28

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå 1.7 ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå èçìåðÿ-

åòñÿ â ìèíóòàõ, êàê è ñðåäíåå çíà÷åíèå, à äèñïåðñèÿ  â ìèíóòàõ â êâàäðàòå, ÷òî ìåíåå óäîáíî.

Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà  ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, òî, êàê ãîâîðèëîñü â ïàðàãðàôå 1.1, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñóììû è ïðîèçâå-

äåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óìíîæàòü èõ íà êîíñòàíòû è ïðèáàâëÿòü êîíñòàíòû (êîíñòàíòó òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé).

Íàïðèìåð, çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X + Y) â òî÷êå ω îïðåäå-

i

ëÿåòñÿ êàê

X(ω ) + Y(ω ).

i

i

Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω.

Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé âèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîé ñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû Õ è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà c ∈ R ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå

ðàâåíñòâà:

Å(ñÕ) = ñÅ(Õ),

Å(Õ + ñ) = Å(Õ) + ñ,

D(cX) = c2D(X),

D(X + c) = D(X),

σ = cσ ,

σ = σ .

cX

X

X + c

X

Îïðåäåëåíèå. Êîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y íàçûâàåò-

ñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî

Cov ( X , Y ) = E ((

(

X − E X ))( Y − E( Y ))).

Â ÷àñòíîñòè, Cov(X, X) =D(X).

To, ÷òî â ôîðìóëå äëÿ Cov (X, Y) òðèæäû èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Å, íå äîëæíî âûçûâàòü çàòðóäíåíèé.

( X − E( X ))( Y − E( Y)) åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëåííàÿ íà òîì æå ñàìîì ïðîñòðàí-

ñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ÷òî è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y.

Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí Õ è Y ïîëîæèòåëüíû, òî êîððåëÿöèåé Õ è Y íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå

÷èñëî:

29

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Cov( X , )

Y

Cor( X , )

Y =

.

σ σ

X

Y

Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà âåëè÷èíó Cor(X, Y) íàçûâàþò êîýôôèöè-

åíòîì êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y.

Ò å î ð å ì à 1.1. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñóììû, ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ñóììå îæèäàåìûõ çíà÷åíèé

Å(Õ + Y) = Å(Õ) + E(Y).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.

N

E( X + Y ) = ∑( X (ω ) + Y (

p =

i

ù i)) i

i 1

=

N

N

=

X (

∑ ω ) p + Y(

∑ ω ) p = E( X)+ E( Y).

i

i

i

i

i 1

=

i 1

=



Çäåñü è äàëåå ñèìâîëîì  ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êîíåö äîêàçà-

òåëüñòâà.

Ò å î ð å ì à 1.2. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ îæèäàåìûõ çíà÷åíèé E(XY) = E(X)E(Y).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü êàê è ïðè îïðåäåëåíèè äâóõ íåçàâè-

ñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå

õ íà ìíîæåñòâå A , çíà÷åíèå õ  íà ìíîæåñòâå À , ..., çíà÷åíèå x 

1

1

2

2

k

íà ìíîæåñòâå À ; ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ó íà k

1

ìíîæåñòâå Â , çíà÷åíèå ó  íà ìíîæåñòâå B , ..., çíà÷åíèå ó  íà 1

2

2

l

ìíîæåñòâå Â . Òîãäà íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî

l

k

l

E( X ) =

x P( A ), E( Y )

∑

= y P( B ),

∑

i

i

j

j

i 1

=

j 1

=

è

k

l

k

l

E( X Y ) =

x y P( A

∑∑

∩ B ) =

x y P( A ) P( B )

∑∑

=

i

j

i

j

i

j

i

j

i 1

= j 1

=

i 1

= j 1

=

30

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé k

l

=

x P( A )

∑

×

y P( B ).

∑

i

i

j

j

i 1

=

j 1

=

Ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåçàâèñèìîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y, èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òîÐ(À ∩ Â) = Ð(À)P(Â).

i

j

i

j



Ò å î ð å ì à 1.3. Äèñïåðñèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí ðàâíà ñóììå äèñïåðñèé

D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì

µ = E(X), µ = E(Y).

X

Y

(µ  ãðå÷åñêàÿ áóêâà ìþ). Ïîëüçóÿñü òåìè æå îáîçíà÷åíèÿìè, ÷òî è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.2, èìååì

k

l

D( X + Y ) = ∑∑( x + y − µ − µ

P A ∩ B

=

i

j

X

Y )2

( i j)

i 1

= j 1

=

k

l

= ∑∑( x −µ ) P( A ∩ B ) k l

+

y

∑∑ −µ P A ∩ B +

i

X

i

j

( j Y )2

2

( i j)

i 1

= j 1

=

i 1

= j 1

=

k

l

+ 2∑∑( x −µ y −µ P A ∩ B

i

X )(

j

Y )

( i j).

i 1

= j 1

=

Ïîñêîëüêó ïåðâàÿ ñóììà â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ðàâíà k

∑( x −µ P A = D X

i

X )2

( i )

( )

i 1

=

è âòîðàÿ ñóììà ðàâíà

l

∑( y −µ P B = D Y

j

Y )2

( j) ( ),

j 1

=

ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî çàïèñàòü òàê:

D(X + Y ) = D(X ) + D(Y ) + 2Cov(X, Y ).

31

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Çàìåòèì, ÷òî äî ñèõ ïîð ìû íå ïîëüçîâàëèñü íåçàâèñèìîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y. Ñ ó÷åòîì íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí Õ è Y

k

l

Cov( X , Y ) =

( x

∑ −µ ) P( A)× ( y

∑ −µ ) P( B ) =

i

X

i

j

Y

j

i 1

=

j 1

=

k

l



 



=

x P( A )

∑

− µ

y P( B )



 ∑

− µ  = 0.

i

i

X

j

j

Y

 i 1=

 j 1

 =





Ò å î ð å ì à 1.4. Êîâàðèàöèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí ðàâíà 0.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ýòîé òåîðåìû ñîäåðæèòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå

òåîðåìû 1.3.

Èç òåîðåìû 1.4 ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y

íåçàâèñèìû è σ > 0, σ > 0, òî

X

Y

Ñîr(X, Y ) = 0.

Ò å î ð å ì à 1.5. Äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y òàêèõ, ÷òî σ > 0, σ > 0

X

Y

1 ≤ Cor(X, Y ) ≤ 1.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.3 áûëî óñ-

òàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X* è Y*

D(X* + Y*) = D(X*) + D(Y*) + 2Cov(X*, Y*).

Ïîëîæèì

X − E( X )

Y − E( Y )

X * =

, Y * =

.

σ

σ

X

Y

Òîãäà ñ ó÷åòîì òåîðåì 1.1 è 1.3 E(X*) = 0, E(Y*) = 0, D(X*) = 1, D(Y*) = 1 è Cov(X*, Y*) = Cor(X, Y ).

Èç óñëîâèÿ (ïîñêîëüêó äèñïåðñèÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåî-

òðèöàòåëüíà)

D(X* + Y*) ≥ 0

32

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷àåì

2 + 2Cor(X, Y ) ≥ 0,

èëè

Cor(X, Y ) ≥ 1.

Àíàëîãè÷íî èç óñëîâèÿ

D(X*  Y*) ≥ 0

ïîëó÷àåì

Cor(X, Y ) ≥ 1.



Ò å î ð å ì à 1.6. Äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y òàêèõ, ÷òî σ > 0, σ > 0, ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû: X

Y

1) äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë à u b, à ≠ 0

X = aY + b;

2) Ñîr (X, Y) ðàâíà 1 èëè 1.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü Õ* è Y* îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.5. Òîãäà, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (1), X − E( X )

aY + b − aE( Y ) − b a Y − E( Y )

a

X * =

=

=

= Y*,

σ

a σ

a

σ

a

X

Y

Y

ò.å.

X* = Y* ïðè a > 0

è

X* = Y* ïðè a < 0.

Ïîýòîìó ïðè à > 0

0 = D(X*  Y*) = D(X*) + D(Y*)  2Cov(X*, Y*) = 2(1  Cor(X, Y )), îòêóäà

Cor(X, Y ) = 1.

Àíàëîãè÷íî ïðè à < 0

Cor(X, Y ) = 1.

Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî èç óñëîâèÿ (1) ñëåäóåò óñëîâèå

(2). Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ (2) ñëåäóåò óñëîâèå (1). Èç ïðèâåäåííûõ âûêëàäîê ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå

33

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Cor(X, Y ) = 1

âëå÷åò óñëîâèå

D(X*  Y*) = 0,

à óñëîâèå

Cor(X, Y ) = 1

âëå÷åò óñëîâèå

D(X* + Y*) = 0.

Èç ðàâåíñòâà íóëþ äèñïåðñèè ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 

ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ (íàïîìíèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé êî-

íå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω). Ïîýòîìó â ïåðâîì ñëó÷àå

X*  Y* = c,

à âî âòîðîì ñëó÷àå

X* + Y* = c,

ãäå ñ  íåêîòîðîå ÷èñëî. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ïåðâîãî ñëó÷àÿ

σ

 σ



X

X

X =

Y +  −

E( Y ) + σ c + E( X ) X



σ

 σ

Y

Y



è äëÿ âòîðîãî ñëó÷àÿ

σ

 σ



X

X

X = −

Y +

E( Y )



+ σ c + E( X ) .

X



σ

 σ

Y

Y





Ñóùåñòâóåò ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí òàê æå, êàê è ñëó÷àé êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω. Ýòî ñëó÷àé Ω = N. (Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåç N ìû îáîçíà÷àåì ìíîæåñòâî N

öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, N = {1, 2, 3...}.) Âìåñòî ñóìì ∑ íàäî i 1

=

∞

ðàññìàòðèâàòü ñóììû ∑ è íàêëàäûâàòü óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå

i 1

=

ñõîäèìîñòü ðÿäîâ, ÷òî âûçûâàåò òðóäíîñòè ëèøü òåõíè÷åñêîãî õàðàê-

òåðà. Ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòîò ñëó÷àé âïëîòü äî ãëàâû 8, ãäå

34

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé îí îêàæåòñÿ íåîáõîäèì äëÿ èçó÷åíèÿ îäíîãî âàæíîãî êëàññà ñëó÷àé-

íûõ âåëè÷èí.

Áîëåå èíòåðåñíûì ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé (õîòÿ è íåäîñòàòî÷íûì äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ ñèòóàöèé) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà Ω = [0, 1]. Îòðåçîê [0, 1]  ýòî òîæå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Íî çäåñü îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåëüçÿ â êà-

÷åñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí áðàòü ëþáûå ôóíêöèè Õ : [0, 1] → R,

à â êà÷åñòâå ñîáûòèé  ëþáûå ïîäìíîæåñòâà À ⊂ [0, 1].

Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ (åå êîíñòðóêöèÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíà)

Õ : [0, 1] → R,

îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì. Äëÿ ëþáîãî îòðåçêà [à, b] ⊂ [0, 1], ãäå à < b, è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñ ∈ R ñóùåñòâóåò òî÷êà z ∈ [à, b] òàêàÿ, ÷òî X(z) = ñ.

Òî åñòü ýòà ôóíêöèÿ íà ëþáîì ñêîëü óãîäíî ìàëîì îòðåçêå ïðèíèìàåò ëþáûå çíà÷åíèÿ. Êîíå÷íî, ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé. Èñ-

ïîëüçîâàíèå ïîäîáíûõ ôóíêöèé â êà÷åñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè-

âåëî áû ê íåïðåîäîëèìûì òðóäíîñòÿì, íàïðèìåð îêàçàëîñü áû, ÷òî äëÿ ñîáûòèé

{ω ∈ [0, 1] : X(ω) ≤ c},

ãäå ñ  íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü âåðî-

ÿòíîñòü. Íî â òî æå âðåìÿ ÷ðåçìåðíîå ñóæåíèå êëàññà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ïðèâîäèò ê íåâîçìîæíîñòè ïîñòðîèòü ñîäåðæàòåëüíóþ òåîðèþ.

Åùå îäíà íåïðèÿòíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Åñëè ñîáû-

òèå ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì, ïðèíàäëåæàùèì [0, 1] (à òàêèå ñîáûòèÿ ðàñ-

ñìàòðèâàòü ìîæíî), òî â êà÷åñòâå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ íàèáîëåå åñ-

òåñòâåííî âçÿòü äëèíó îòðåçêà. Òîãäà âåðîÿòíîñòü îòäåëüíîé òî÷êè ðàâíà íóëþ. Íî â òàêîì ñëó÷àå, êàêèì äîëæåí áûòü àíàëîã òåîðåìû î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé, âåäü îáúåäèíåíèå âñåõ òî÷åê ñîâïàäàåò ñ [0, 1]

è èìååò âåðîÿòíîñòü 1?

Â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω â êà÷åñòâå ñîáûòèé è ñëó-

÷àéíûõ âåëè÷èí ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîäìíîæåñòâà è

÷èñëîâûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì.

35

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ôîðìóëèðîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèé äîñòàòî÷íî ñëîæíû, è ìû ïðèâîäèòü èõ íå áóäåì. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî ïðè Ω = [0, 1]

1) â ÷èñëî ñîáûòèé âõîäÿò ëþáûå îòðåçêè, ïðèíàäëåæàùèå [0, 1], è îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà òàêèõ îòðåçêîâ; 2) â ÷èñëî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âõîäÿò âñå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè Õ : [0, 1] → R

è âñå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå ôóíêöèè.

Ñíà÷àëà îïðåäåëèì îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé. Ïóñòü îòðåçîê [0, 1]

ðàçáèò íà N îòðåçêîâ äëèíîé p , p , ..., p , íå èìåþùèõ ïîïàðíî îá-

1

2

N

ùèõ òî÷åê, êðîìå êîíöîâ. Òàêèì îáðàçîì,

N

p

∑ =1.

i

i 1

=

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó

Õ : Ω → R,

êîòîðàÿ ïîñòîÿííà âíóòðè êàæäîãî èç ýòèõ îòðåçêîâ è íåïðåðûâíà ñïðàâà (ñì. ðèñ. 1.12).

Ðèñ. 1.12. Ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,

ÿâëÿþùåéñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé

36

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îáîçíà-

÷èì õ , x , ..., x . Îæèäàåìîå çíà÷åíèå äàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 1

2

N

îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå

N

E(X ) = ∑ ix ip.

i 1

=

Çàìåòèì, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå î÷åíü ïîõîæå íà îïðåäåëåíèå îæè-

äàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.

Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç ω ñåðåäèíó i-ãî îòðåçêà, à âåðîÿòíîñòüþ ýëå-

i

ìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ñ÷èòàòü äëèíó äàííîãî îòðåçêà, òî îïðåäåëåíèå

áóäåò ñîâïàäàòü â òî÷íîñòè.

Îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ÿâëÿ-

þùåéñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé íà [0, 1], ìîæíî çàïèñàòü è â äðóãîì âèäå:

1

E( X ) = X ( )

ω d .

ω

∫0

Äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèè çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà è ñóììû ñîâïà-

äàþò. Íî ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà îæèäàåìîå çíà÷åíèå ìîæíî îïðåäå-

ëèòü íå òîëüêî äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèè Õ(ω), íî è äëÿ ôóíê-

öèé áîëåå îáùåãî âèäà, íàïðèìåð, êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ (ñì. ðèñ. 1.13).

Ïîñêîëüêó äëèíà îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíà 1, òî òàê îïðåäåëåí-

íîå îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X  ýòî â íåêîòîðîì ñìûñëå ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè X íà îòðåçêå [0, 1].

Ðèñ. 1.13. Ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ÿâëÿþùåéñÿ

êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé

37

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Åñëè îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïðåäåëåíî, òî äèñïåðñèÿ, êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïî òåì æå ôîðìó-

ëàì, ÷òî è â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.

Â êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà áåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé Ω âîçüìåì åäèíè÷íûé êâàäðàò (ñì. ðèñ. 1.14).

Ðèñ. 1.14. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ÿâëÿþùååñÿ åäèíè÷íûì êâàäðàòîì, è ñîáûòèå À ⊂ Ω

" "!

Ðèñ. 1.15. Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ À è Â â ñëó÷àå, êîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì êâàäðàòîì 38

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè ñî ñòîðîíà-

ìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À 

ýòî ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà.

Íà ðèñ. 1.15 èçîáðàæåíû íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ À è Â. Äåéñòâè-

òåëüíî, ïëîùàäü ìíîæåñòâà À ðàâíà à ´ 1 = a; ïëîùàäü ìíîæåñòâà Â

ðàâíà 1 ´ b = b; ïëîùàäü ìíîæåñòâà A ∩ B ðàâíà a ´ b, ò.å. óñëîâèå

íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé

Ð(À ∩ Â) = Ð(À) Ð(Â)

âûïîëíåíî.

Ðàññìàòðèâàÿ åäèíè÷íûé êâàäðàò Ω = [0, 1]2, ãäå

[0, 1]2 = {(x , x ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1}, 1

2

1

2

â êà÷åñòâå ñîáûòèé ìû äî ñèõ ïîð áðàëè òîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêè ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Íî ìîæíî â êà÷åñòâå ñî-

áûòèé ðàññìàòðèâàòü ëþáûå ïîäìíîæåñòâà åäèíè÷íîãî êâàäðàòà, äëÿ

êîòîðûõ îïðåäåëåíà ïëîùàäü, è ïðèíèìàòü ýòó ïëîùàäü çà âåðîÿò-

íîñòü ñîáûòèÿ. Òîãäà ñîáûòèÿìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, êðóãè, òðåóãîëü-

íèêè, ïàðàëëåëîãðàììû. Áîëåå òîãî, ê ñîáûòèÿì âîçìîæíî îòíåñòè è íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ ïëîùàäü (â îáû÷íîì ñìûñëå) íå

îïðåäåëåíà. Ïðèìåðîì òàêîãî ìíîæåñòâà ìîæåò áûòü

∞

Ñ = ∪ K ,

m

m 1

=

ãäå K  êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå  1

1 

,

ðàäèóñà

1

(ðà-

m





 2 m 2 m 

3 m( m + 1)

äèóñû âûáðàíû òàê, ÷òîáû êðóãè íå ïåðåñåêàëèñü). Âåðîÿòíîñòüþ ñî-

áûòèÿ C ÿâëÿåòñÿ ñóììà ðÿäà, m-é ÷ëåí êîòîðîãî  ýòî ïëîùàäü êðó-

ãà K .

mÅñëè ìíîæåñòâà A è B ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿìè, òî ñîáûòèåì ÿâëÿåò-

ñÿ è îáúåäèíåíèå ýòèõ ìíîæåñòâ, ïðè÷åì äëÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíå-

íèÿ èìååò ìåñòî âûðàæåíèå

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)  P(A ∩ B).

Ïóñòü òåïåðü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω  ýòî åäè-

íè÷íûé êóá

39

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà

[0, 1]3 = {(x , x , x ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1}.

1

2

3

1

2

3

Åñëè â êà÷åñòâå ñîáûòèÿ ðàññìîòðåòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ω, ÿâëÿþùååñÿ ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàëëåëåïèïåäîì ñî ñòîðîíàìè, ïàðàë-

ëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò,

A = {(x , x , x ) : a ≤ x ≤ b , a ≤ x ≤ b , a ≤ x ≤ b }, 1

2

3

1

1

1

2

2

2

3

3

3

òî çà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ìîæíî ïðèíÿòü îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëå-

ïèïåäà

3

P( )

A =

( b

∏ − a ).

i

i

i 1

=

Â êà÷åñòâå ñîáûòèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è äðóãèå ïîäìíîæåñòâà åäè-

íè÷íîãî êóáà, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåí îáúåì, íàïðèìåð øàðû, òåòðà-

ýäðû, íåïðÿìîóãîëüíûå ïàðàëëåëåïèïåäû, è ïðèíèìàòü ýòîò îáúåì çà âåðîÿòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáûòèÿ. Ê ñîáûòèÿì âîçìîæíî îòíå-

ñòè è íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ îáúåì (â îáû÷íîì ñìûñëå) íå îïðåäåëåí, íàïðèìåð ìíîæåñòâà òîãî æå âèäà, ÷òî è ðàññìîòðåí-

íîå âûøå ìíîæåñòâî C, òîëüêî ìíîæåñòâà K òåïåðü íå êðóãè, à øàðû.

m

Àíàëîãè÷íî ïðè ëþáîì n ∈ N â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé ìîæíî ðàññìîòðåòü Ω = [0, 1]n, ãäå

[0, 1]n = {(x , x , ..., x ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, ..., 0 ≤ x ≤ 1}.

1

2

n

1

2

n

Òàêîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûì åäèíè÷íûì êóáîì. Äàí-

íîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω äîñòàòî÷íî äëÿ òåõ ñòàòè-

ñòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â ýòîé êíèãå. Â êà-

÷åñòâå ñîáûòèé ìîãóò áûòü âçÿòû, â ÷àñòíîñòè, n-ìåðíûå ïàðàëëåëå-

ïèïåäû ñî ñòîðîíàìè ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò, A = {(x , x , ..., x ) : a ≤ x ≤ b , a ≤ x ≤ b , a ≤ x ≤ b }.

1

2

n

1

1

1

2

2

2

n

n

n

Çà âåðîÿòíîñòü P(A) òàêîãî ñîáûòèÿ ïðèíèìàåòñÿ n-ìåðíûé îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà

n

P( )

A =

( b

∏ − a ).

i

i

i 1

=

Íî òàêèìè ïàðàëëåëåïèïåäàìè, êàê ýòî âèäíî èç äâóìåðíîãî è òðåõìåðíîãî ñëó÷àåâ, íå èñ÷åðïûâàåòñÿ íàáîð âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíî-

æåñòâà Ω = [0, 1]n, êîòîðûå âîçìîæíî îòíåñòè ê ñîáûòèÿì.

40

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé

×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ

X : [0, 1]n → R

íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ R ìíîæåñòâî A ⊂ [0, 1]n, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ω ∈ [0, 1]n, äëÿ êîòîðûõ X(ω) ≤ x,

ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ íà [0, 1]n ôóíêöèÿ X ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. (Çäåñü íåîáõîäèìî, ÷òîáû

÷èòàòåëü âåðíóëñÿ ê ñëó÷àþ n = 1, íàðèñîâàë ãðàôèê íåêîòîðîé ôóíê-

öèè X è ïîñìîòðåë, êàêèìè ïðè ðàçëè÷íûõ x ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿ

A = {ω ∈ [0, 1] : X(ω) ≤ x}.

Â äàëüíåéøåì òàêèå ñîáûòèÿ ÷àñòî áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ñîêðàùåííî X ≤ x).Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X : [0, 1] → R

îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îïðåäåëÿëîñü, êàê èíòåã-

ðàë îò ýòîé ôóíêöèè ïî îòðåçêó [0, 1]. Àíàëîãè÷íî ïðè n = 2 îæèäàå-

ìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ äâîéíîé èíòåãðàë îò ôóíêöèè X(ω) ïî åäèíè÷íîìó êâàäðàòó [0, 1]2, ïðè n = 3  òðîé-

íîé èíòåãðàë ïî åäèíè÷íîìó êóáó [0, 1]3. Ïðè ïðîèçâîëüíîì n îæèäà-

åìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ n-êðàòíûé èíòåã-

ðàë îò ôóíêöèè X(ω) ïî n-ìåðíîìó åäèíè÷íîìó êóáó [0, 1]n.

Íî åñëè äëÿ êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω

ëþáàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X : Ω → R

èìååò îæèäàåìîå çíà÷åíèå, òî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåí-

òàðíûõ ñîáûòèé Ω ñóùåñòâóþò ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ó êîòîðûõ íåò îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ.

Åñëè âñå îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ ñóùåñòâóþò, òî òåîðåìû 1.11.6

îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó÷àå, êîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàð-

íûõ ñîáûòèé Ω áåñêîíå÷íî. Îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è ôîðìóëû Å(ñÕ) = ñÅ(Õ), Å(Õ + ñ) = Å(Õ) + ñ,

à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äëÿ äèñïåðñèé è ñòàíäàðòíûõ îò-

êëîíåíèé, ïðèâåäåííûå â íà÷àëå ïàðàãðàôà.

41

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 1.4

Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

è ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

Ïóñòü Ω  ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

X : Ω → R

è õ ∈ R. ×åðåç À îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ω ∈ Ω òàêèõ, ÷òî X(ω) ≤ x.

Ïîëîæèì

F(x) = P(A).

Ôóíêöèÿ

F : R → [0, 1]

íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X.

Ç à ì å ÷ à í è å. Ïðàâèëüíåå (íî áîëåå ãðîìîçäêî) áûëî áû îáî-

çíà÷èòü ýòó ôóíêöèþ íå F(x), à F (x), ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü åå ñâÿçü ñî X

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X.

ßñíî, ÷òî F  íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè õ < õ , 1

2

òî äëÿ ìíîæåñòâ

À = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x }

1

1

è

À = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x }

2

2

èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå À ⊂ À . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Ð(À ) ≤ Ð(À ) 1

2

1

2

è, çíà÷èò,

F(x ) ≤ F(x ).

1

2

Ïîñìîòðèì, êàê óñòðîåíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω, Ω = {ω , ω , ..., ω },

1

2

N

è âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàâíû

p , p , ..., p .

1

2

N

42

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ïóñòü X(ω ) = x , i = 1, 2, ..., N, ïðè÷åì

i

i

x < x < ... < x .

1

2

N

Òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1.16; çíà÷åíèå ôóíêöèè F ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ , âîçðàñòàåò íà p .

i

i

Ðèñ. 1.16. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω

Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà Ω  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, F ÿâëÿåòñÿ íåóáû-

âàþùåé ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé. Ïîëåçíî ñðàâíèòü ðèñ. 1.16 ñ ðèñ. 1.12.

Íà ðèñ. 1.12 îñü õ ðàñïîëîæåíà âåðòèêàëüíî, à íà ðèñ. 1.16  ãîðè-

çîíòàëüíî. Ïî âåðòèêàëüíîé îñè íà ðèñ. 1.16 îòêëàäûâàåòñÿ ñóììà äëèí îòðåçêîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1.12, íà êîòîðûõ X(ω) ≤ õ.

Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åñëè äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëåí-

íûå íà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ Ω, èìåþò îäèíàêîâûå ôóíêöèè ðàñïðå-

äåëåíèÿ, òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñîâïàäàþò. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåð-

æèò âñþ èíôîðìàöèþ î çíà÷åíèÿõ, ïðèíèìàåìûõ ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íîé, è î âåðîÿòíîñòÿõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáûòèé.

Åñëè ìíîæåñòâî Ω áåñêîíå÷íî, òî ôóíêöèÿ F(x) ìîæåò áûòü êàê íåïðåðûâíîé (è äàæå äèôôåðåíöèðóåìîé), òàê è ðàçðûâíîé. Â ëþ-

áîì ñëó÷àå îíà îñòàåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé (ñì. ðèñ.1.17).

43

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðèñ. 1.17. Äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé áåñêîíå÷íî) Ïðèìåð 1.8. Òðè ñòóäåíòà, Àíòîí, Áîðèñ è Âàëåðèé, ïî-ðàçíîìó èñïîëüçî-

âàëè 5-ìèíóòíûé ïåðåðûâ ìåæäó çàíÿòèÿìè. Àíòîí ïîçâîíèë ïî òåëåôîíó. Áîðèñ ïîäîøåë ê ïðåïîäàâàòåëþ è ïîïðîñèë åùå ðàç îáúÿñíèòü íåïîíÿòûé èì ìàòåðè-

àë. Âàëåðèé ðåøèë ïîïèòü ÷àþ â áóôåòå. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èñïîëüçó-

åòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Àíòîíà ïî òåëåôîíó, ñëó-

÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y  äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Áîðèñà ñ ïðåïîäàâàòåëåì, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Z  äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âðåìåíè, êîòî-

ðîå Âàëåðèé ïðîâåë â áóôåòå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X, Y è Z

ïðèíèìàþò ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ îò 0 ìèíóò äî 5 ìèíóò.

Ìîæíî ïðèíÿòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé îò-

äåëüíûõ ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X, Y è Z. Äëÿ ñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû X

P(X ≤ 0) = 0; P(X ≤ 1) = 0,2; P(X ≤ 2) = 0,4; P(X ≤ 3) = 0,6; P(X ≤ 4) = 0,8; P(X ≤ 5) = 1.

Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y

P(Y ≤ 0) = 0; P(Y ≤ 1) = 0,5; P(Y ≤ 2) = 0,8; P(Y ≤ 3) = 0,9; P(Y ≤ 4) = 0,95; P(Y ≤ 5) = 1.

Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z

P(Z ≤ 0) = 0; P(Z ≤ 1) = 0; P(Z ≤ 2) = 0,1; P(Z ≤ 3) = 0,2; P(Z ≤ 4) = 0,5; P(Z ≤ 5) = 1.

44

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y è Z òîãäà ìî-

ãóò èìåòü âèä, ïðèâåäåííûé íà ðèñ.1.18.

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåðæèò â ñåáå çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü èíôîð-

ìàöèè î ïîâåäåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íî, çíàÿ îòäåëüíî ôóíêöèè ðàñïðå-

äåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, íåëüçÿ îòâåòèòü, íàïðèìåð, íà âîïðîñ, áó-

äóò ëè ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìûìè.

Åñëè ôóíêöèÿ F â êàæäîé òî÷êå x ∈ R èìååò ïðîèçâîäíóþ F′(x) = f (x),

ãäå f  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Ïðè ëþáîì õ ∈ R

f (x) ≥ 0,

ïîñêîëüêó F (x) ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé. Ïî ôîðìóëå Íüþ-

òîíà  Ëåéáíèöà ïîëó÷àåì

b

F(b) − F(a) = f (x)dx

∫a

 âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À, ñîñòîÿùåãî èç òåõ ýëåìåíòîâ ω ∈ Ω, äëÿ

êîòîðûõ

à ≤ Õ(ω) ≤ b.

Èç ñîîòíîøåíèé

lim F ( x) = 0,

lim F ( x) = 1

x→− ∞

x→∞

ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè f (õ)

∞

f ( x) dx = 1

∫−∞

è

x

F ( x) =

f ( y) dy.

∫−∞

Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè, òî, êîíå÷íî, ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷-

íîì ìíîæåñòâå Ω, êàê ìû óñòàíîâèëè âûøå, ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿí-

íîé è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé íà âñåé ïðÿìîé.

45

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà à) Ãðàôèê ôóíêöèè FX

á) Ãðàôèê ôóíêöèè FY

â) Ãðàôèê ôóíêöèè FZ

Ðèñ. 1.18. Ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y è Z

46

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ò å î ð å ì à 1.7. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîò-

íîñòè f, òî îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ âûðàæàåòñÿ

ñëåäóþùåé ôîðìóëîé

∞

E( X ) =

u f ( u) d .

u

∫−∞

Â êîíöå ïàðàãðàôà 1.3 ìû îïðåäåëèëè îæèäàåìîå çíà÷åíèå äëÿ

êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

X : [0, 1] → R,

êàê

1

E( X ) = X ( )

ω d .

ω

∫0

Êàê óæå ãîâîðèëîñü â ïàðàãðàôå 1.3, îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷å-

íèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáùåãî âèäà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì äàí-

íîãî îïðåäåëåíèÿ.

Òåîðåìó 1.7 ìû ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà: ýòî îäèí èç òðóäíûõ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Â äàëüíåéøåì, îïåðèðóÿ îæèäàå-

ìûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ëèáî âûðàæåíèåì äëÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èç òåîðåìû 1.7 (åñëè ñëó÷àé-

íàÿ âåëè÷èíà èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè), ëèáî íåïîñðåäñòâåííî îï-

ðåäåëåíèåì îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ (åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäå-

ëåíà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω). Äðóãèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìû ðàñ-

ñìàòðèâàòü íå áóäåì (çà èñêëþ÷åíèåì ãëàâû 8, ãäå ðàññìàòðèâàåòñÿ

ñëó÷àé, êîãäà Ω = N, íî ýòîò ñëó÷àé, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, àíàëîãè-

÷åí ñëó÷àþ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ Ω).

Ò å î ð å ì à 1.8. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîò-

íîñòè f, òî äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:

∞

D X = ∫ ( u − E X )2

(

)

(

)

f ( u) d .

u

−∞

Òåîðåìà 1.8 (êîòîðóþ ìû òàêæå íå áóäåì äîêàçûâàòü) è òåîðåìà 1.7 ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îäíîé òåîðåìû îá îæèäàåìîì çíà÷å-

47

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà íèè ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (íàïîìíèì, ÷òî D(X) = Å((Õ 

 Å(Õ))2)). Ìû îãðàíè÷èëèñü èçëîæåíèåì ýòèõ äâóõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, ïîñêîëüêó îáùèé ðåçóëüòàò â äàëüíåéøåì â ýòîé êíèãå íå ïîíàäîáèòñÿ.

Ç à ì å ÷ à í è å. ×òîáû áûòü ñòðîãèìè, â ôîðìóëèðîâêàõ òåîðåì 1.7 è 1.8 ñëåäîâàëî ïîòðåáîâàòü ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåã-

ðàëîâ. Åñëè èíòåãðàë, ó÷àñòâóþùèé â îïðåäåëåíèè îæèäàåìîãî çíà-

÷åíèÿ èëè äèñïåðñèè ðàñõîäèòñÿ, òî íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå ôóíêöèè ïëîòíîñòè, êîíå÷íîãî îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èëè êîíå÷íîé äèñïåðñèè ó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåò. Ìû íå ñòàëè óïîìèíàòü îá ýòîì òðåáîâà-

íèè ðàíüøå, ÷òîáû íå óòÿæåëÿòü ôîðìóëèðîâêè òåîðåì. Â äàëüíåé-

øåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, èíòåãðàëû áóäåì ñ÷èòàòü ñõî-

äÿùèìèñÿ.

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà

∞

f ( x) dx,

∫−∞

âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà

∞

x f ( x) dx.

∫−∞

Ïóñòü, íàïðèìåð,

 0 ïðè x <1

f (x) 

=  1 ïðè x≥



1.

2

 x

Òîãäà

∞

∞ 1

f ( x) dx =

dx = 1,

∫

∫ 2 x

−∞

1

íî

∞

∞ 1

x f ( x) dx =

dx = .

∞

∫

∫ x

−∞

1

48

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð ôóíêöèè ïëîòíîñòè âàæåí äëÿ íàñ åùå

â îäíîì îòíîøåíèè. Ôóíêöèÿ

x

F ( x) =

f ( y) dy

∫−∞

íå äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x = 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìàëüíî ìû íå èìåëè äàæå ïðàâà íàçûâàòü f ôóíêöèåé ïëîòíîñòè. Íî ýòî âîçðà-

æåíèå ëåãêî îáõîäèòñÿ, åñëè â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè ïëîòíîñòè ïî-

òðåáîâàòü, ÷òîáû f áûëà íå íåïðåðûâíà, à êóñî÷íî-íåïðåðûâíà, à ðà-

âåíñòâî

F (

′ x) = f ( x)

áûëî ñïðàâåäëèâî äëÿ òåõ òî÷åê x ∈ R, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ f íåïðå-

ðûâíà.

Ïðè òàêîì îáîáùåíèè ïîíÿòèÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîõðàíÿþò-

ñÿ âñå åå ñâîéñòâà (ðàçóìååòñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì íåïðåðûâíîñòè) è âñå

ïðèâåäåííûå âûøå ñîîòíîøåíèÿ. Â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ýòî áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè ïëîòíîñòè áåç ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê.

Ç à ì å ÷ à í è å. Íà èíòóèòèâíîì óðîâíå ïîíÿòü òåîðåìó 1.7 äîñ-

òàòî÷íî ëåãêî. Âûáåðåì ÷èñëà a è a òàê, ÷òî 0

k

∞

ak

x f ( x) dx ≈

x f ( x) d .

x

∫

∫

−∞

a 0

Â äàííîì ñëó÷àå ñèìâîë ≈ íå èìååò ñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ñìûñëà è îçíà÷àåò ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî. Ðàçîáüåì îòðåçîê [a , a ]

0

k

íà k ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè a , ..., a ;

1

k1

a < a < a < ... < a < a .

0

1

2

k 1

k

×åðåç A îáîçíà÷èì ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå èç òåõ ω ∈ Ω, äëÿ êîòîðûõ i

a ≤ X(ω) < a ;

i1

i

i = 1, 2, ..., k. Òîãäà

49

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà i

a

P( A ) =

f ( x) d .

x

∫

i

i

a −1

Ïîëîæèì

+

i

a 1

i

a

=

i

x

−

.

2

Òîãäà

ak

i

a

i

a

k

k

k

x f ( x) dx =

x f ( x) dx

∫

∑

≈ x

f ( x) dx

∫

∑

=

x P( A ),

∫

∑

i

i

i

i 1

=

i 1

=

i 1

a

=

0

ai−1

ai−1

÷òî àíàëîãè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû X, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñî-

áûòèé Ω.

Èç òåîðåì 1.7 è 1.8 ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èìåþò îäèíàêîâûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî îíè èìåþò îäèíàêîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è îäèíàêîâûå äèñïåðñèè. Âûøå

ìû óñòàíîâèëè òàêîé æå ðåçóëüòàò äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ. Ýòîò ðåçóëüòàò îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ìîãóò èìåòü îäèíàêîâûå îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ è îäèíàêîâûå äèñïåð-

ñèè, íî ñîâåðøåííî ðàçíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Èíîãäà âìåñòî ñëîâ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò çàäàííóþ ôóíê-

öèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìå-

åò çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå èëè çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé.

Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè f (õ).

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü 0 < ð < 1. Òî÷êà x íàçûâàåòñÿ êâàíòèëüþ p

ïîðÿäêà ð ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, åñëè

x p

f ( y) dy = .

p

∫−∞

Ïîíÿòèå êâàíòèëè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò øèðîêî èñïîëüçî-

âàòüñÿ â äàëüíåéøåì ïðè ïðîâåðêå ðàçëè÷íûõ ãèïîòåç. Êâàíòèëü ïî-

ðÿäêà 0,5 íàçûâàåòñÿ ìåäèàíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ.

50

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà x íàçûâàåòñÿ ìîäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 0

X, åñëè â òî÷êå x ôóíêöèÿ f (õ) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì.

0

Íà ðèñ. 1.19 ïîêàçàíû ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íû, êâàíòèëü ïîðÿäêà ð è ìîäà. Çäåñü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò îäíó ìîäó; â ïðèíöèïå ìîä ìîæåò áûòü è áîëüøå. Îäíàêî ÷àùå èñïîëüçó-

þòñÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ îäíîé ìîäîé.

Ðèñ. 1.19. Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: x  ìîäà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû;

0

x  êâàíòèëü ïîðÿäêà ð;

p

ð  ïëîùàäü ôèãóðû, ëåæàùåé ñëåâà îò ïðÿìîé x = x ;p (1  p)  ïëîùàäü ôèãóðû, ëåæàùåé ñïðàâà îò ïðÿìîé x = xp 1.5

Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè.

Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà Áàéåñà

Ïóñòü ñîáûòèÿ À è Í ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ïðè÷åì Ð(Í) > 0.

Îïðåäåëåíèå. ×èñëî

51

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà P(A ∩ H)

P(A H ) = P(H)

íàçûâàåòñÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè Í (ïðè ãèïîòåçå Í).

Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî îïðåäåëåíèå äëÿ òðåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.

1) Åñëè À ∩ Í = ∅ (ðèñ. 1.20), òî

Ð(À | H) = 0.

Ðèñ. 1.20. Íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ À è Í

2) Åñëè H ⊂ A (ñì. ðèñ. 1.21), òî

À ∩ Í = Í

è

Ð(À | H) = 1.

Ñëó÷àè (1) è (2) ÿâëÿþòñÿ êðàéíèìè. Â ñëó÷àå (1), åñëè ïðî-

èçîøëî ñîáûòèå Í, òî ñîáûòèå À ïðîèçîéòè íå ìîæåò íèêàê, è âåðî-

ÿòíîñòü A ïðè óñëîâèè H ðàâíà 0. Â ñëó÷àå (2), åñëè ïðîèçîøëî ñîáû-

òèå Í, òî çàâåäîìî ïðîèçîøëî è À, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü À ïðè óñëî-

âèè Í ðàâíà 1. Âîîáùå æå

0 ≤ Ð(À | H) ≤ 1,

ïîñêîëüêó À ∩ Í ⊂ H. Óïîòðåáëÿÿ ñëîâîñî÷åòàíèå ïðîèçîøëî ñîáû-

òèå, ìû ãîâîðèì íà ïîâñåäíåâíîì ÿçûêå, ïîìîãàþùåì ïîíÿòü, îòêó-

52

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äà âçÿëîñü îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè, à íå íà ÿçûêå ñòðîãîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.

Ðèñ. 1.21. Ñîáûòèå À ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñîáûòèÿ Í

3) Åñëè ñîáûòèÿ À è Í íåçàâèñèìû, òî

P(À ∩ Í) = Ð(À) × Ð(H)

è

Ð(À | H) = Ð(À).

Ïðèìåð 1.9. Îäèíàêîâû ëè îòâåòû íà ñëåäóþùèå âîïðîñû.

1. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ?

2. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ, ïðè óñëî-

âèè, ÷òî îí ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé?

Ïî-âèäèìîìó, âî âòîðîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü âûøå. Â äàííîì ñëó÷àå ñî-

áûòèå À ñîñòîèò â òîì, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ, à ñîáûòèå Í ñîñòî-

èò â òîì, ÷òî òîâàð ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé (ñì. ðèñ. 1.22).

Â ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.22, ñîáûòèå À ∩ Í (òîâàð ïðîäàåò-

ñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé è áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ) ïî÷òè ÷òî ñîâïàäàåò ñ ñîáûòèåì Í, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü

P(A∩ H )

P(A H ) = P(H)

áëèçêà ê 1. Â òî æå âðåìÿ âåðîÿòíîñòü Ð(À) çíà÷èòåëüíî ìåíüøå 1.

53

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Ðèñ. 1.22. Ñîáûòèÿ À è Í, îáëàäàþùèå òåì ñâîéñòâîì,

÷òî âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè Í áëèçêà ê 1

Ïóñòü ñîáûòèÿ H , H , ..., H ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è 1

2

k

k

H = Ω

7 i

i 1

=

(ñì. ðèñ. 1.23, ãäå k = 4). Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A ⊂ Ω ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

k

A = (A ∩ H

7

i ).

i 1

=

Ïîñêîëüêó ñîáûòèÿ À ∩ Í ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ïî òåîðåìå

i

î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé

k

P( )

A = ∑ P(A∩ Hi).

i 1

=

Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî

Ð(À ∩ Í ) = Ð(À | Í ) Ð(Í ),

i

i

i

ïîëó÷àåì

k

P( )

A = ∑P(A Hi)P(Hi).

i 1

=

Äàííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.

Ýòà ôîðìóëà îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ïîëåçíîé â ðÿäå ñëó÷àåâ.

54

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Ðèñ. 1.23. Ðàçáèâêà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω íà ïîïàðíî íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ H , H , H , H

1

2

3

4

Ïðèìåð 1.10. Ïðè áðîñàíèè ìîíåòû ñ âåðîÿòíîñòüþ ð âûïàäàåò ãåðá è ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 1  ð âûïàäàåò ðåøåòêà. Èãðîê, èìåþùèé ò ðóá., ïðè êàæäîì áðîñêå ëèáî âûèãðûâàåò 1 ðóá., åñëè âûïàäàåò ãåðá, ëèáî ïðîèãðû-

âàåò 1 ðóá., åñëè âûïàäàåò ðåøåòêà. Öåëü èãðîêà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óâåëè-

÷èòü ñâîé êàïèòàë äî Ì ðóá. Èãðà ïðåêðàùàåòñÿ ëèáî êîãäà êàïèòàë èãðîêà ñî-

ñòàâèò Ì ðóá. (èãðîê âûèãðàë), ëèáî êîãäà êàïèòàë èãðîêà ñîñòàâèò 0 ðóá. (èã-

ðîê ïðîèãðàë). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èãðîê ïðîèãðàåò?

Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

π (k)  âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èìåÿ k ðóá., èãðîê ïðîèãðàåò (ãðå÷åñêàÿ

áóêâà ïè);

Í  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðè ïåðâîì áðîñêå âûïàë ãåðá; 1

Í  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðè ïåðâîì áðîñêå âûïàëà ðåøåòêà; 2

À  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî èãðîê ïðîèãðàë.

Òîãäà

Ð(À | Í ) = π (ò + 1), Ð(À | Í ) = π (m  1) 1

2

è ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè

π (m) = π (m + 1) p + π (m  1)q.

Çàìåòèì, ÷òî

π (0) = 1, π (M) = 0.

55

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 1

Åñëè ìîíåòà äîáðîêà÷åñòâåííàÿ, ò.å. p = q = , òî çàäà÷à äîïóñêàåò 2

òî÷íîå ðåøåíèå. Â ýòîì ñëó÷àå π  ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò ò, òàê êàê òî÷êà (ò, π (ò)) ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà ñ êîíöàìè â òî÷êàõ (ò  1, π (ò  1)) è (ò + 1, π (m + 1)). Äåéñòâèòåëüíî,

1

1

m = (m −1) + (m +1)

2

2

è

1

1

π( m) = π( m −1) + π( m +1) .

2

2

Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ôóíêöèè π íà êîíöàõ îòðåçêà [0, Ì] èçâåñòíû, íàõîäèì m

π( m) = 1−

.

M

Âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà íàéäåíà. Åñòåñòâåííî, ÷òî îíà òåì áîëüøå, ÷åì ìåíüøå îòíîøåíèå ò ê Ì. Êàê ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà íàéäåííàÿ âåðîÿò-

íîñòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàèáîëåå âûãîäíîãî ðóáåæà M? Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âå-

ëè÷èíà Õ îçíà÷àåò âûèãðûø èãðîêà. Òîãäà íà ïîäìíîæåñòâå À ñëó÷àéíàÿ âå-

ëè÷èíà X ïðèíèìàåò çíà÷åíèå (ò), à íà îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà ýëå-

ìåíòàðíûõ ñîáûòèé  çíà÷åíèå (Ì  ò). Îæèäàåìîå çíà÷åíèå âûèãðûøà ( ) (

) 1 m 

= −

−

+ ( − ) m

E X

m

M m

=





0.



M 

M

Òî åñòü ïðè äîáðîêà÷åñòâåííîé ìîíåòå âûáîð ðóáåæà Ì íå âëèÿåò íà îæèäà-

åìîå çíà÷åíèå âûèãðûøà.

Ïóñòü òåïåðü ð íå îáÿçàòåëüíî ðàâíî q. Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé

 (

π m −1) q − (

π m) + (

π m +1) p = 0, 0 < m < M

 (0

π ) =1, (

π M ) = 0

ìîæåò áûòü ðåøåíà ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà.

Â ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíû ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïðîèãðûøà π (m) ïðè M = 10, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíîìó êàïèòàëó â ò ðóá-

ëåé (0 ≤ ò ≤ 10) è âåðîÿòíîñòÿì âûïàäåíèÿ ãåðáà ð, ðàâíûì 0,6; 0,55; 0,52; 0,5; 0,48; 0,45; 0,4. Âñå âåðîÿòíîñòè ïðèâåäåíû ñ òî÷íîñòüþ äî äâóõ äåñÿ-

òè÷íûõ çíàêîâ.

56

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé m 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

p

0,60 1,00 0,66 0,43 0,28 0,18 0,12 0,07 0,04 0,02 0,01 0,00

0,55 1,00 0,79 0,62 0,48 0,36 0,27 0,19 0,13 0,08 0,03 0,00

0,52 1,00 0,86 0,73 0,61 0,50 0,40 0,31 0,22 0,14 0,07 0,00

0,50 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00

0,48 1,00 0,93 0,86 0,78 0,69 0,60 0,50 0,39 0,27 0,14 0,00

0,45 1,00 0,97 0,92 0,87 0,81 0,73 0,64 0,52 0,38 0,21 0,00

0,40 1,00 0,99 0,98 0,96 0,93 0,88 0,82 0,72 0,57 0,34 0,00

Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ð = 0,5 ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ñîâïàäàþò ñ ðåçóëüòà-

òàìè, ïîëó÷åííûìè èç òî÷íîé ôîðìóëû

m

π( m) = 1−

.

M

Èíòåðåñíî, ÷òî óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãåðáà âñåãî ñ ð =

= 0,52 äî ð = 0,48 óâåëè÷èâàåò âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà ïðè m = 9 ïðèìåðíî â äâà ðàçà, à óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãåðáà ñ ð = 0,6 äî ð = 0,4 

ïðèìåðíî â òðèäöàòü ðàç. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ð = 0,6 è ð = 0,55 âåðîÿò-

íîñòü ïðîèãðûøà ìåíüøå 0,5 äàæå ïðè ò = 2 è ò = 3 ñîîòâåòñòâåííî.

Çàêîí÷èâ ñ ïðèìåðîì 1.10, ñíîâà âåðíåìñÿ ê ôîðìóëàì P(A ∩ Hi )

P(A H =

i )

,

P(Hi)

ãäå ñîáûòèÿ H , H , ..., Í ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è ïðè îáúåäèíå-

1

2

k

íèè äàþò âñå ìíîæåñòâî Ω. Çàìåòèì, ÷òî åñëè Ð(À) > 0, òî P(A ∩ Hi )

P(H

=

i

)

A

.

P( )

A

Òàê êàê P(À ∩ Í ) = Ð(À | Í )P(H ), ïîëó÷àåì i

i

i

P(A Hi )P(Hi )

P(H

=

i

)

A

.

P( )

A

Âûðàæàÿ P(A) ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì 57

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà P(A Hi )P(Hi )

P(H

=

i

)

A

.

k

∑P(A H j)P(H j)

j 1

=

Äàííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Áàéåñà.

Ïðèìåð 1.11. Â íà÷àëå ãîäà àíàëèòèê ðåêîìåíäîâàë íåêîòîðûå àêöèè äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ. Ïî ðåçóëüòàòàì ãîäà îïðåäåëèëîñü, ÷òî äëÿ 40% îò îá-

ùåãî ÷èñëà àêöèé äîõîäíîñòü îêàçàëàñü âûøå, ÷åì ñðåäíÿÿ ïî ðûíêó, à äëÿ

60% îò îáùåãî ÷èñëà àêöèé äîõîäíîñòü îêàçàëàñü íèæå, ÷åì ñðåäíÿÿ ïî ðûíêó.

Óñëîâèìñÿ íàçûâàòü ïåðâûå àêöèè àêöèÿìè ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ, à âòî-

ðûå àêöèè  àêöèÿìè ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ. 20% èç ÷èñëà àêöèé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ áûëè ðåêîìåíäîâàíû àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ è 5% èç

÷èñëà àêöèé ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ áûëè ðåêîìåíäîâàíû àíàëèòèêîì äëÿ ïðè-

îáðåòåíèÿ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî àêöèÿ, ðåêîìåíäîâàííàÿ àíàëèòèêîì äëÿ

ïðèîáðåòåíèÿ, îêàçàëàñü àêöèåé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ?

Ïóñòü

À  ìíîæåñòâî àêöèé, ðåêîìåíäîâàííûõ àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ; H  ìíîæåñòâî àêöèé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ;

1

H  ìíîæåñòâî àêöèé ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ.

2

Òîãäà

P(H ) = 0,4

P(H ) = 0,6,

1

2

P(A | H ) = 0,2

P(A | H ) = 0,05.

1

2

Ïîýòîìó

P( A H ) P( H ) 0, 2 × 0, 4

8

1

1

P( H

)

A =

=

=

.

1

P( A H ) P( H ) + P( A H ) P( H ) 0, 2 × 0, 4 + 0,5 × 0, 6

11

1

1

2

2

Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

X : Ω → R

ïðèíèìàåò k ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé x , x , ..., x . Îáîçíà÷èì ÷åðåç A 1

2

k

i

ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ðàâíà x ;i k

Ω =

A .

7 i

i 1

=

Èç îïðåäåëåíèÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå-

òðóäíî óâèäåòü, ÷òî

58

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé k

E( X ) =

x P( A ).

∑ i i

i 1

=

Ïóñòü H ⊂ Ω è P(H) > 0.

Îïðåäåëåíèå. Óñëîâíûì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè çàäàííîì H íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî

k

E(X H ) = ∑ ixP( iA H).

i 1

=

Ïðèìåð 1.12. Äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ìîæåò áûòü ëèáî 5%, ëèáî 20%. Äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ìîæåò áûòü ëèáî 0%, ëèáî 10%. Ñîâìåñò-

íîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äîõîäíîñòåé äâóõ àêòèâîâ ïðèâåäåíî â ñëåäóþùåé òàáëèöå.

5%

20%

0%

0,1

0,3

10%

0,4

0,2

Êàêîâà îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ïðè óñëîâèè, ÷òî äîõîä-

íîñòü âòîðîãî àêòèâà ðàâíà 0%?

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ.

À  äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ðàâíà 5%;

1

À  äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ðàâíà 20%;

2

H  äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ðàâíà 0%.

Òîãäà, ïîñêîëüêó P(H) = P(A ∩ H) + P(A ∩ H) = 0,1 + 0,3 = 0,4, èìååì 1

2

P( ∩

1

A

H ) 0,1

P(

=

=

=

1

A H )

0,25,

P(H )

0,4

P(

∩

2

A

H ) 0,3

P(

=

=

=

2

A H )

0,75

P(H )

0,4

è

E(X | H) = 5 × 0,25 + 20 × 0,75 = 13,75%.

Â òî æå âðåìÿ

E(X) = 5 × 0,5 + 20 × 0,5 = 7,5%.

59

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà 1.6

Çàäà÷à êàâàëåðà äå Ìåðå

Ýòà çàäà÷à çàñëóæèâàåò ïîäðîáíîãî èçëîæåíèÿ ïî äâóì ïðè÷èíàì.

Âî-ïåðâûõ, îíà âîøëà â èñòîðèþ ìàòåìàòèêè, êàê îäíà èç ïåðâûõ çàäà÷

òåîðèè âåðîÿòíîñòåé1. Âî-âòîðûõ, îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ïðè-

ìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñîâñåì íåî÷åâèäíîé ïðè-

êëàäíîé çàäà÷è, õîòÿ è îòíîñÿùåéñÿ ê îáëàñòè àçàðòíûõ èãð.

Êàâàëåð äå Ìåðå íå áûë ìàòåìàòèêîì. Îí áûë çàÿäëûì èãðîêîì.

Åãî ëþáèìàÿ èãðà (íàçîâåì åå èãðîé ¹ 1) ñîñòîÿëà â ñëåäóþùåì.

Êàâàëåð äå Ìåðå è åãî ïàðòíåð áðîñàþò êîñòü 4 ðàçà. Åñëè õîòÿ áû îäèí ðàç âûïàäàåò øåñòåðêà, âûèãðûâàåò êàâàëåð äå Ìåðå. Åñëè íåò  åãî ïàðòíåð. Êàâàëåð äå Ìåðå íå ìîã îáúÿñíèòü â ÷åì äåëî, íî çíàë, ÷òî ýòà èãðà (õîòÿ è íå î÷åíü çàìåòíî) èäåò íà ïîëüçó åãî êîøåëüêó. Îäíà-

êî ñî âðåìåíåì è äðóãèå èãðîêè çàìåòèëè, ÷òî ýòà èãðà èäåò íà ïîëüçó êîøåëüêó êàâàëåðà äå Ìåðå áîëüøå, ÷åì èõ ñîáñòâåííûì, ïîýòîìó íàõîäèëîñü âñå ìåíüøå æåëàþùèõ èãðàòü ñ íèì.

Òîãäà êàâàëåð äå Ìåðå ïðèäóìàë èãðó ¹ 2. Äâå êîñòè áðîñàþòñÿ

24 ðàçà, è åñëè õîòü ðàç âûïàäàþò äâå øåñòåðêè  ïîáåæäàåò êàâàëåð äå Ìåðå, åñëè íåò  åãî ïàðòíåð. Óâåëè÷èâ ÷èñëî áðîñêîâ â øåñòü ðàç, êàâàëåð äå Ìåðå ñ÷èòàë, ÷òî îí ïðîñòî èãðàåò â èãðó ¹ 1 øåñòü ðàç ïîäðÿä. Îäíàêî ñèòóàöèÿ ñ êîøåëüêàìè èçìåíèëàñü íà ïðîòèâî-

ïîëîæíóþ.

Ðàññòðîåííûé êàâàëåð äå Ìåðå îáðàòèëñÿ ê ìàòåìàòèêó Ïàñêà-

ëþ çà ðàçúÿñíåíèÿìè. Ïàñêàëü ðåøèë ýòó çàäà÷ó è îáúÿñíèë, ïî÷åìó âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà â ïåðâîé èãðå áîëüøå 1/2, à âåðîÿòíîñòü âû-

èãðûøà âî âòîðîé èãðå ìåíüøå 1/2, îáåññìåðòèâ òåì ñàìûì èìÿ äå

Ìåðå è ñäåëàâ âàæíûé øàã â ðàçâèòèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.

Èãðà ¹ 1. Ìíîæåñòâî Ω ñîñòîèò èç 64 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé: (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), ...., (1, 1, 1, 6), 1 Ñì.: Íèêèôîðîâñêèé Â.À, Ôðåéìàí Ë.Ñ. Ðîæäåíèå íîâîé ìàòåìàòèêè. Ì.: Íàóêà, 1976. Ñ. 116117.

60

Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (1, 1, 2, 1), ..., (6, 6, 6, 5), (6, 6, 6, 6), ãäå äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ðå-

çóëüòàò ïåðâîãî áðîñêà, íà âòîðîì  âòîðîãî, íà òðåòüåì  òðåòüåãî, íà ÷åòâåðòîì  ÷åòâåðòîãî. Ïðè ýòîì ñîáûòèå À (êàâàëåð äå Ìåðå

ïðîèãðàë) ñîäåðæèò 54 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, òàê êàê íåáëàãîïðèÿò-

íûõ èñõîäîâ ïðè êàæäîì áðîñêå ìîæåò áûòü ïÿòü. Ïîýòîìó 4

5

625

1

P( )

A =

=

≈ 0,491< .

4

6

1296

2

Èãðà ¹ 2. Èñõîäÿ èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé, ÷òî è â èãðå ¹ 1, â ýòîì ñëó÷àå

24

35

P( )

A 



=   .

 36 

×òîáû ñðàâíèòü ýòî ÷èñëî ñ 1/2, ñëåäóåò ïåðåéòè ê ëîãàðèôìàì. Îò-

âåò ñëåäóåò èç öåïî÷êè íåðàâåíñòâ

24

 36 

36

ln

= 24ln

< 0,68 <





ln 2,

 35 

35

ïîýòîìó

24

 36  <





2

 35 

è

1

P( )

A > .

2

à èìåííî Ð(À) ≈ 0,509.

Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ ïðè÷èíà íåóäà÷ êàâàëåðà äå Ìåðå.

61

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà Øâåäîâ, À. Ñ.

Ø 34

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà [Òåêñò] : ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ / À. Ñ. Øâåäîâ; Ãîñ. óí-ò  Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè.  2-å èçä., ïåðåðàá. è äîï.  Ì.: Èçä. äîì ÃÓ ÂØÝ, 2005.  254, [I, II] ñ.  (Ó÷åáíèêè Âûñøåé øêîëû ýêîíîìèêè). 

Ëèòåðàò.: ñ. 247249.  Ïðåäì. óêàç.: ñ. 250253.  3000 ýêç. 

ISBN 5-7598-0214-3 (â ïåð.).

Êíèãà ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíûì ïîñîáèåì ïî êóðñó Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ

ñòàòèñòèêà. Èçëîæåíèå âåäåòñÿ â äîñòóïíîé ôîðìå, ïðè ýòîì ïîíÿòèÿ ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü,

ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èñïîëüçóþòñÿ â òîì æå ñìûñëå, ÷òî è â íàó÷íûõ òðóäàõ ïî ìàòåìàòèêå.

Â ïîñîáèå âêëþ÷åíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðèìåðîâ, ïîçâîëÿþùèõ ïîíÿòü ïðèíöèïû ïðèìåíå-

íèÿ ìíîãèõ ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè äëÿ ðåøåíèÿ ýêîíîìè-

÷åñêèõ è äðóãèõ çàäà÷.

Äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ñïåöèàëüíîñòåé Ýêîíîìèêà è Ìåíåäæìåíò, äðóãèõ ýêîíî-

ìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, à òàêæå äëÿ èíòåðåñóþùèõñÿ âîçìîæíîñòÿìè ïðèìåíåíèÿ òåîðèè âå-

ðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè â óñëîâèÿõ ðûíî÷íîé ýêîíîìèêè.

ÓÄÊ 519.2(075)

ÁÁÊ 22.17

Ó÷åáíîå èçäàíèå

Øâåäîâ Àëåêñåé Ñåðãååâè÷

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé

è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà

Ðåäàêòîð Å.À. Ðÿçàíöåâà

Õóäîæåñòâåííûé ðåäàêòîð À.Ì. Ïàâëîâ

Êîððåêòîð Å.Å. Àíäðååâà

Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà è ãðàôèêà Í.Å. Ïóçàíîâà ËÐ ¹ 020832 îò 15 îêòÿáðÿ 1993 ã. ïðîäëåíà äî 14 îêòÿáðÿ 2003 ã.

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 15.11.2004. Ôîðìàò 60×88 1/ . Áóìàãà îôñåòíàÿ.

16

Ãàðíèòóðà Times New Roman. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Òèðàæ 3000 ýêç. Óñë. ïå÷. ë. 15,46.

Ó÷.-èçä. ë. 7,57. Çàêàç ¹ . Èçä. ¹ 254

ÃÓ ÂØÝ. 125319, Ìîñêâà, Êî÷íîâñêèé ïðîåçä, 3

Òåë.: (095) 134-16-41; 134-08-77

Ôàêñ: (095) 134-08-31

62

Content

RIO Text.p65