Тайсон Нил Деграсс

Стросс Майкл А

Добро пожаловать во Вселенную

Нил Деграсс Тайсон

Майкл Стросс

Джон Ричард Готт

Издательство АСТ

Москва

УДК 524.8

ББК 22.68

Т14

Оригинальное издание:

WELCOME TO THE UNIVERSE:

THE PROBLEM BOOK

by Neil deGrasse Tyson, Michael Strauss, J. Richard Gott Печатается с разрешения издательства Princeton University Press при содействии литературного агентства Synopsis.

Все права защищены. Ни одна часть этой книги не может быть воспроизведена и не может распространяться в любой форме и любыми средствами, электронными или механическими, включая изготовление фотокопий, создание аудиозаписей или хранение в системе обмена данными, без письменного разрешения издательства.

Тайсон, Нил Деграсс.

Т14

Добро пожаловать во Вселенную / Н. Д. Тайсон, М. А. Стросс, Дж. Р. Готт; перевод с английского А. М. Бродоцкой; под ред. канд. физ. — мат. наук А. М. Красильщикова. —

Москва: Издательство АСТ, 2020. — 384 с. — (Удивительная Вселенная).

ISBN 978-5-17-117980-9

Предвестником этой книги был вводный курс астрономии для гуманитариев, прочитанный Нилом

Деграссом Тайсоном, Майклом Строссом и Ричардом Готтом в Принстоне. Здесь рассмотрены более

100 задач, и этого количества, по мнению авторов, как раз должно хватить, чтобы научиться думать как астрофизик.

В игривой манере авторы демонстрируют, что нам доступно более глубокое понимание свойств бесконечно большого и бесконечно малого, более осмысленный диалог с космосом, причем для этого довольно университетских знаний по алгебре. Авторы предлагают решить физические проблемы микроорганизмов на Европе, сталкивающихся черных дыр, расширяющегося космоса и даже двумерной машины времени ТАРДИС. Не стоит терзать себя вопросами о том, достанет ли вам смекалки, потому что авторы уже позаботились об этом: они снабдили каждую задачу подробным объяснением и привели решение для нее. Курс космической науки для новичков, проверенный временем!

УДК 524.8

ББК 22.68

© 2017 by Neil deGrasse Tyson, Michael A.

Strauss, and J. Richard Gott

© Оформление, перевод на русский язык.

ISBN 978-5-17-117980-9

ООО «Издательство АСТ», 2020

Предисловие

Наша книга «Добро пожаловать во Вселенную» основана на вводном обзорном курсе по астрофизике, которые мы с Нилом

Деграссом Тайсоном и Ричардом Готтом вот уже много лет совместно ведем в Принстонском университете. Этот курс предназначен для студентов, чья основная специальность не относится к области точных или естественных наук, но мы все же решили не отказываться от вычислений. Чтобы понять, откуда мы знаем, что Большой взрыв произошел

14 миллиардов лет назад, а щепотка вещества белого карлика весит как пять слонов, вполне достаточно математики на уровне алгебры, которую проходят в старших классах, и представления об основных законах физики.

Наша цель — не просто рассказать студентам о чудесах Вселенной, но и дать инструменты, с помощью которых они поймут, откуда мы все это знаем. Мы хотим научить студентов применять вычисления и физические рассуждения в повседневной жизни и понимать, что лежит в основе самых что ни на есть реальных вопросов, с которыми сталкиваемся все мы как жители планеты.

Формулы математики, физики и, конечно, астрономии дают возможность заметить связи между понятиями, которые прежде, возможно, казались нам совершенно не связанными. Ньютоновский закон всемирного тяготения связывает силу, действующую на падающий карандаш, с массой и радиусом

Земли. Планковский закон излучения дает соотношение между температурой звезды, ее размером и ее светимостью. А знаменитая формула Эйнштейна

E = mc 2 учит нас, что энергия E и масса m тесно связаны и что в фундаментальном смысле это две стороны одного явления под названием «энергия-масса».

5

Предисловие

«Добро пожаловать во Вселенную» не задумывалась как учебник: мы рассчитывали, что вы будете читать ее как любую развлекательную книгу, разве что запасетесь блокнотом, чтобы следить за ходом нашей мысли при некоторых расчетах. Однако этой книгой можно пользоваться и в учебной аудитории, вероятно, в дополнение к более традиционному учебнику. Кроме того, она идеальна для использования в ситуациях, когда студенты смотрят лекционные курсы в видеозаписях, а преподаватель ведет только семинарские занятия, где решают задачи. Поэтому мы и составили этот задачник, чтобы вы, и студент, и преподаватель, могли непосредственно познакомиться с количественными и качественными сторонами предмета. Почти все приведенные задачи применяются и в нашем курсе, и в других курсах того же уровня, которые нам случалось вести. У них разная степень сложности — от совсем простых до трудных — но все они не требуют знаний математики выше школьной алгебры.

Эти задачи — не просто упражнения по применению астрономических формул: их цель — привести к пониманию конкретных астрофизических проблем. Мы надеемся, что в процессе решения этих задач вы не только уверенно овладеете вычислительными приемами из нашей области науки, но также обретете свою «эврику»: ведь вы получите возможность самостоятельно вычислить темп расширения Вселенной на основе данных наблюдений или повторить расчеты астрономов, когда те впервые зарегистрировали нейтрино от сверхновой, находящейся на расстоянии в 150 000 световых лет.

В конце книги мы поместили решения всех задач. Мы настоятельно советуем сначала попытаться самостоятельно решить задачу и лишь затем подглядывать в решение. Однако вы увидите, что в решениях довольно много методических подробностей и зачастую приводятся дополнительные соображения и материал, выходящий за рамки первоначальной задачи. Даже если вы сможете решить задачу самостоятельно, чтение решения, скорее всего, подарит вам новые знания. Разумеется, самый простой и увлекательный способ чтения — читать задачу вместе с решением, чтобы сразу видеть и ответы, и методы решения.

6

Предисловие

Многие задачи вполне можно использовать и в учебной аудитории или как основу для похожих задач, которые учитель или преподаватель вуза составит сам. У нас есть склонность к сериям задач, которые опираются друг на друга, но их вполне можно упростить на усмотрение преподавателя. Основные понятия в этих задачах иногда повторяются. Например, у нас много задач на исследование диапазона плотностей во Вселенной, от предельной плотности черных дыр, определяемой нашим недостаточным пониманием квантовой гравитации (да-да, и это тоже можно рассчитать при помощи школьной алгебры), до крайне низкой плотности Вселенной в целом. Мы просим наших студентов не просто подставлять числа в формулу, но и разъяснять решения задач, заданных на дом, как можно подробнее

(то есть словами), чтобы показать, насколько они понимают контекст и содержание своих рассуждений. Каждый преподаватель должен сам найти баланс между литературой и математикой для своих учеников. Поэтому в книге довольно много заданий, подразумевающих качественный ответ, а есть и такие, где предполагается написать небольшое сочинение по тому или иному вопросу.

Задачник начинается с общих рассуждений и советов по приемам и методам решения задач. Мы предполагаем, что вы знакомы с экспоненциальным представлением чисел, поэтому именно так мы записываем очень большие и очень маленькие числа, которые в нашей области встречаются очень часто. Задачи упорядочены в соответствии со структурой глав «Большого космического путешествия»*, что позволяет читать его параллельно с задачником. В особом разделе после текстов задач мы приводим некоторые полезные величины и формулы, которые пригодятся для решения многих из них (и несколько дополнительных); эти величины следует считать заданными в условиях задач, если нет других указаний. Одна из сквозных тем книги —

мысль о том, что алгебра зачастую проще арифметики, поэтому мы делаем

* Из-во «Питер», 2018 г.

7

Предисловие упор на алгебраические приемы, используемые, чтобы упростить задачу, и лишь в последнюю очередь подставляем числа. Многие задачи требуют ответа с «астрономической точностью» (то есть в грубом приближении), и мы наглядно демонстрируем, что такое «арифметика без калькулятора», способная быстро дать достаточно точный ответ.

Мы благодарим всех, кто принимал участие в составлении задач. Наши коллеги Крис Чиба, Джо Паттерсон, Анатолий Спитковский, Дженни Грин и Дэвид Сперджел использовали многие из этих задач в рамках вводного курса по астрономии в Принстоне и помогли нам скорректировать их. Многие задачи составил Крис Чиба, и мы сделали в них соответствующие пометки.

Полезные замечания и соображения по многим задачам высказали Джереми Гудмен, Дэвид Сперджел, Вера Глусевич и Марианджела Лизанти. Мы сотрудничали с большим количеством младших преподавателей, студентов и выпускников, которые помогли нам уточнить решения и проделали львиную долю работы по проверке домашних и экзаменационных работ. Спасибо нашему чудесному редактору Ингрид Ньерлих за твердую веру в эту книгу и за неоценимую помощь. А главное — спасибо тысячам студентов, выбравшим наш курс в Принстоне: их энергия, любознательность и глубокие вопросы служат для нас неисчерпаемым источником вдохновения.

Майкл А. Стросс

март 2017 года

НЕМНОГО МАТЕМАТИКИ

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ

Курсы математики в школе и вузе приучили вас к мысли, что число —

это абсолютное и точное количество. Так, например, если вас просят разделить 10 на 3, точный ответ равен 3,3333… или 3, 3, где знак ¯

над цифрой 3 означает, что тройки будут тянуться бесконечно.

Однако в физике, а особенно в астрономии, точные числа сплошь и рядом не известны. Мы указываем количество значащих цифр в записи числа, то есть количество цифр, которыми оно записывается в экспоненциальном представлении. Например, у числа 5,2987 10–11 пять значащих цифр, а у числа 4 (= 4 100) только одна значащая цифра. Когда мы записываем число с определенным количеством значащих цифр, мы тем самым утверждаем, что это число нам известно с конкретной точностью. То есть, когда мы записываем число вроде 5,2987 10–11, мы говорим, что уверены, что оно не больше чем 5,2988 10–11 и не меньше чем 5,2986 10–11. Такая погрешность (или точность) сохраняется в ходе всех вычислений с участием этого числа.

Например, предположим, нам известно, что до ближайшей звезды около 4 световых лет, и нас попросили перевести это число в километры.

Мы знаем, что 1 световой год примерно равен 9,46 1012 км, поэтому вычислить это просто:

9

Немного математики

12

9,46×10 км

13

4 световых года = 4 световых года×

= 3,784×10 км.

1 световой год

Ваш калькулятор покажет такое число, но это неправильный ответ.

Дело в том, что число 4 световых года дано вам лишь с одной значащей цифрой. То есть из формулировки задачи мы знаем лишь, что расстояние до ближайшей звезды от 3,5 до 4,5 светового года (то есть от 3,3 1013 км до 4,5 1013 км). Поэтому давать ответ с четырьмя значащими цифрами ошибочно и нецелесообразно: из этого следовало бы, что вы знаете ответ гораздо точнее, чем на самом деле.

Поэтому правильно проводить любые вычисления с участием умножения и деления с ограничением точности ответа до точности заданного числа с наименьшим количеством значащих цифр. В нашем случае значение 4 световых года имеет ровно одну значащую цифру, поэтому и ответ должен содержать одну значащую цифру. Правильный ответ в нашем примере — 4 1013 км.

Обратите внимание, что если бы мы сообщили вам, что расстояние до ближайшей звезды составляет 4,00 световых года, то таким образом вам были бы заданы три значащие цифры, и тогда вы должны были бы дать результат в километрах в виде числа с тремя значащими цифрами.

В ходе астрономических исследований часто оказывается, что те или иные величины известны довольно приблизительно — с одной или двумя значащими цифрами. Это делает расчеты существенно проще, чем в других случаях. Когда производишь арифметические вычисления с одной значащей цифрой (как во многих задачах из этой книги), все и правда упрощается, а вы получаете возможность делать приближения, от которых ваш школьный учитель физики пришел бы в ужас, например, 4/3 1,3 3 10 и так далее.

Вернемся к примеру с 4 световыми годами. Мы уже знаем, что окончательный ответ должен содержать только одну значащую цифру, поэтому имеем право округлить количество километров в световом годе до одной значащей цифры: 1 световой год = 1 1013 км. Теперь вычисления становятся настолько простыми, что мы обойдемся без калькулятора:

10

Немного математики

13

1×10 км

13

4 световых года = 4 световых года×

= 4×10 км.

1 световой год

Вычислить это проще, чем первое выражение, здесь труднее сделать ошибку, и более того, вычисление даст нам ответ с верным числом значащих цифр. В решениях задач из этого сборника мы приведем множество примеров подобных арифметических вычислений без калькулятора. Однако при длинных расчетах иногда полезно сохранить одну дополнительную значащую цифру в процессе вычисления, а округлить только в конце. Приведем простой пример: при вычислении 2,4 4 у вас может возникнуть искушение округлить первый множитель до 2 и получить результат 8. Но на самом деле вычисления дают 9,6, а при округлении получается 10.

На минутку остановимся на том, зачем нужны значащие цифры. На самом деле они выражают неопределенность наших знаний о той или иной величине. Так, предположим, нам задали сложить 8 и 6. Единственная значащая цифра в обоих случаях предполагает погрешность около одного

(приблизительно) в каждом слагаемом. Сумма 8 и 6 равна 14; следует ли нам округлять результат до одной значащей цифры, то есть до 10? В этом случае — нет, поскольку мы знаем, что погрешность суммы приблизительно равна сумме погрешностей двух слагаемых (то есть составляет около двух)*.

Округлить 14 до 10 — значит изменить число на величину гораздо больше, чем погрешность суммы, а следовательно, в этом случае лучше придерживаться двух значащих цифр.

Мы не всегда будем записывать числа в экспоненциальном представлении, но количество значащих цифр обычно будет ясно из контекста. Например, если мы скажем, что температура звезды составляет 10 000 градусов, вы можете предположить, что это число известно с точностью до одной или, вероятно, двух значащих цифр, если прямо не указано иначе.

* Существует математически корректный способ вычисления погрешности суммы, который дает несколько меньшую величину, но это выходит за рамки нашей книги.

11

Немного математики

Практические правила таковы.

• При вычислениях с участием чисел с одной или двумя значащими цифрами можно проводить арифметические расчеты без калькулятора, как показано выше, и давать ответ из одной (иногда двух) значащих цифр.

Именно такими будут большинство расчетов в этой книге.

• Если нужно отследить больше значащих цифр, проще всего выполнить «точные» вычисления на калькуляторе, а округлить до подходящего количества значащих цифр только в самом конце.

В астрономических исследованиях нам часто нужны грубые оценки «по порядку величины», и многие задачи составлены в этом духе. Например, в одной задаче мы спросим вас, поместится ли 1 тонна вещества белого карлика в спичечный коробок, и для подобной задачи четкий ответ на вопрос даст вам одна значащая цифра!

Вышеприведенные правила о значащих цифрах несколько усложняются при вычитании. Нам иногда будут встречаться задачи, где нужно найти разность двух больших чисел:

4000,001 — 4000,000 = 0,001.

В этом примере, если мы округлим числа до того, как производить вычитание, то останемся с ответом «нуль» и в результате упустим суть задачи. В другом примере из раздела «Большого космического путешествия», посвященного теории относительности, нам придется иметь дело с телами, движущимися очень близко к скорости света с, и мы запишем их скорость в виде, скажем, v = 0,999999999999 с. Естественно, у вас возникнет соблазн округлить это число до с, однако, как мы увидим, физически значимая величина (причем именно та величина, которую мы на самом деле измеряем, то есть интересующее нас число) представляет собой разницу между с и реальной скоростью v (то есть 10–12 с в нашем примере), которую мы на самом деле знаем с точностью до одной значащей цифры. В формулировках задач, где возникают подобные вопросы, мы дадим соответствующие подсказки.

12

Немного математики

АЛГЕБРА И АРИФМЕТИКА

Хотя в школе изучают сначала арифметику, а уже потом алгебру, зачастую арифметика труднее алгебры. Когда вы будете решать эти задачи, полезно придерживаться общего правила: сначала как можно сильнее упрощать выражения при помощи алгебраических приемов и лишь потом производить арифметические вычисления. Приведем пример, который встретится в одной из задач. Нужно найти отношение корней четвертой степени из светимостей двух звезд, которые составляют соответственно 3,2 1027 и 2 1026 Дж/с: (3,2×10 Дж/с)1/4

27

(

.

2×10 Дж/с)1/4

26

В этот момент у вас возникнет соблазн достать калькулятор и узнать, что

(3,2 1027 Дж/с)1/4 = 7,52 106 (Дж/с)1/4;

(2 1026 Дж/с)1/4 = 3,76 106 (Дж/с)1/4.

После чего вычислить отношение, все это время не находя себе места от страха, что вы делаете что-то не то со значащими цифрами, и не понимая, что означает странное выражение (Дж/с)1/4. Однако жизнь заметно упростится, если понимать, что отношение степеней — это степень отношения, то есть можно записать выражение в виде

1/4

27

⎛ 3,2×10 Дж/с ⎞

1/4

= 16 = 2.

⎜

26

⎝ 2 10 Дж/с ⎟

×

⎠

Мам, смотри, как я могу без калькулятора! И размерности тоже сократились! Среди наших задач будет очень много таких, которые легко решаются с помощью подобных фокусов.

В задачах часто бывает нужно вычислить отношения пропорциональных величин. Предположим, в задаче говорится о двух звездах с одинаковой температурой поверхности, но радиус звезды А в два раза больше радиуса звезды В и мы просим вас вычислить отношение их светимостей. Из книги

13

Немного математики

«Большое космическое путешествие» вы узнаете, что при фиксированной температуре светимость звезды L пропорциональна квадрату ее радиуса R: 2

L ∝ R ,

где символ ן означает «пропорциональна». То есть это означает, что существует некая постоянная С, такая, что

L = СR 2.

На основании этого найдем отношение двух светимостей: 2

2

2

L

CR

R

⎛ R ⎞

A

A

A

A

=

=

=

.

2

2

L

CR

R

⎜ R ⎟

B

B

B

⎝ B ⎠

Обратите внимание, что постоянная С здесь сокращается, нам не нужно ее знать. Но если обозначить эту постоянную как С, это даст нам возможность не забыть, что значит пропорциональность. Также обратите внимание на уже знакомый прием: мы превращаем отношение квадратов в квадрат отношения.

Нам уже сказали, что R / R = 2, так что вычисления очень просты: отношение

A B

светимостей равно квадрату указанной величины, то есть 4.

Часть I

ЗВЕЗДЫ, ПЛАНЕТЫ, ЖИЗНЬ

1

РАЗМЕР И МАСШТАБЫ ВСЕЛЕННОЙ

1. Экспоненциальное представление чисел. Обзор

Запишите следующие числа в экспоненциальном представлении, соблюдая нужное количество значащих цифр.

1. a Тридцать один миллион семьсот тысяч

1. b (число пи), умноженное на 0,2

1. c Одна четверть

1. d Один нанометр (в метрах)

2. Сколько длится год?

Вычислите число секунд в году с точностью до двух значащих цифр.

3. Насколько быстро распространяется свет?

Скорость света составляет 3,0 108 метров в секунду. Какова скорость света в километрах в год?

4. Угловые секунды в радиане

Вычислите, сколько угловых секунд в радиане, с точностью до одной значащей цифры. С этим числом мы будем сталкиваться в нашем задачнике

17

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь постоянно. Подсказка: вспомните, сколько градусов и сколько радианов в полном круге.

5. Парсек — это далеко?

Парсек — это расстояние, на котором находилась бы звезда, если бы она обладала параллаксом в 1 угловую секунду за счет движения Земли вокруг Солнца. Вычислите, сколько составляет 1 парсек в астрономических единицах (а. е.) и в световых годах. Подсказка: вспомните, что по традиции параллакс определяется как половина угла, на который меняется положение звезды, когда Земля перемещается с одной стороны своей орбиты вокруг

Солнца на другую.

6. Дальше в космос — глубже в прошлое

Скорость света составляет 3,0 105 км/с. Расстояние между Землей и

Солнцем (1 астрономическая единица, а. е.) — 150 миллионов километров.

Все ответы должны содержать правильное количество значащих цифр.

6. a Вы смотрите на свою подругу, которая стоит в 30 футах (10 метрах) от вас. Насколько далеко в прошлом вы ее видите? Ответ выразите в наносекундах. Свет, который доходит от вашей подруги и попадает в ваши глаза, — это обычный дневной свет, который от нее отражается.

6. b Инженеры-электронщики постоянно пытаются повысить скорость компьютерных микросхем. Чтобы компьютер проделывал больше операций в секунду, можно, в частности, просто сократить расстояние между компонентами, чтобы электрические цепи стали короче. Электроны, «текущие» от одного транзистора к другому в вашем компьютере, перемещаются со скоростью, близкой к скорости света. В современных микросхемах эти расстояния поразительно малы: в 2017 году они достигли 10 нанометров (сотая часть микрона). Сколько времени (в секундах) нужно электрону, чтобы «перетечь»

из транзистора в транзистор? Ответ дайте в экспоненциальном представлении.

18

1. Размер и масштабы Вселенной

6. с Насколько глубоко в прошлое мы заглядываем, когда наблюдаем

Туманность Ориона, до которой 1500 световых лет? Ответ выразите в годах.

7. Взгляд на Нептун

Электромагнитное излучение (в том числе радиоволны) распространяется со скоростью света. В 1989 году космический аппарат «Вояджер II»

пролетел мимо планеты Нептун. Нептун движется по приблизительно круглой орбите вокруг Солнца радиусом 30 а. е., а Земля — по круглой орбите радиусом 1 а. е. (конечно же!). Для решения этой задачи с заданной точностью вполне годится приближение, согласно которому орбиты планет — окружности, лежащие в одной плоскости.

7. а Насколько далеко в прошлое мы заглядываем, когда наблюдаем

Нептун в момент его наибольшего удаления от Земли? Ответ выразите в часах и минутах.

7. b Насколько далеко в прошлое мы заглядываем, когда наблюдаем

Нептун в момент наибольшего сближения с Землей? Ответ выразите в часах и минутах.

8. Очень-очень далеко и давным-давно

Эту задачу предложил Крис Чиба.

Поскольку скорость света конечна, когда на что-то смотришь, это всегда означает, что ты видишь это таким, каким оно было в определенный момент в прошлом. В повседневной жизни на Земле это, как правило, учитывать не нужно, однако в астрономии и при конструировании космических кораблей, а также для коммуникации между галактическими цивилизациями это важный фактор. Разберем этот вопрос подробнее.

8. а Земля начала распространять мощные радиосигналы в тридцатые годы ХХ века, и эти сигналы распространяются в пространстве со скоростью света. Рассмотрим радиопередачу, которую передавали в 1936 году. Если су-

19

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь ществуют внеземные цивилизации, которые улавливают радиосигналы, распространяющиеся в глубины Галактики, и эти цивилизации перехватили нашу радиопередачу, на каком расстоянии от Солнечной системы они обнаружили наше присутствие? Ответ выразите в световых годах, округлив до целых чисел.

8. b Радиотелескоп Аресибо в Пуэрто-Рико (один из крупнейших радиотелескопов на Земле) способен не только получать, но и передавать радиосигналы

(как радар-передатчик). Аресибо настолько чувствителен, что если бы точно такой же Аресибо построили на другой планете (назовем ее Зайборг), расположенной на полпути к центру нашей Галактики, и нацелили его в сторону Земли, он принял бы передачу от Аресибо в Пуэрто-Рико. Солнце находится примерно в 25 000 световых лет от центра Млечного Пути. Сколько времени будет идти сигнал от Аресибо в Пуэрто-Рико до Аресибо на Зайборге? Ответ также выразите в годах с точностью до нужного количества значащих цифр.

8. c Предположим, что вам нужно наладить связь с астронавтом на

Луне. До Луны от Земли 384 400 километров. Если вы отправите радиосигнал астронавту на Луне, а он сразу ответит, сколько продлится пауза между отправлением сигнала и получением ответа? Ответ дайте с точностью до двух значащих цифр.

8. d Теперь представьте себе, что вы инженер и работаете с Исследовательским Марсоходом, который бегает по поверхности Марса. Вам нужно послать ему срочное сообщение, чтобы он не свалился в ущелье. Марс вращается вокруг Солнца по приблизительно круглой орбите радиусом 1,5 а. е.

Земля также вращается по круглой орбите в той же плоскости, и радиус этой орбиты, естественно, составляет 1 а. е. (для решения этой задачи с заданной точностью вполне годится приближение, согласно которому орбиты этих планет — окружности, лежащие в одной плоскости). Сколько примерно времени понадобится, чтобы ваше сообщение дошло до марсохода, когда Марс находится в оппозиции (то есть когда Земля находится на одной прямой с Марсом и Солнцем и лежит между ними)? А если Марс и Земля находятся на наибольшем расстоянии друг от друга на орбитах? Ответ выразите в минутах.

20

1. Размер и масштабы Вселенной

9. Космические путешествия

В «Звездном пути» все успевают перелететь с одной звезды на другую за время рекламной паузы.

9. а Астронавты «Аполлона-11» вышли из земной атмосферы со скоростью около 40 000 километров в час (7 миль в секунду) на ракете-носителе

«Сатурн V», самой мощной ракете в истории. Сколько времени занял бы весь путь до Луны при такой скорости?

9. b Если бы можно было развить скорость в 30 раз больше, чем у «Сатурна V», сколько времени занял бы путь до Проксимы Центавра (расстояние около 4 световых лет), ближайшей к Солнцу звезды?

9. с Если бы можно было перемещаться со скоростью еще в 30 раз больше, сколько времени занял бы путь до ближайшей к Млечному Пути галактики Андромеда (расстояние около 2 миллионов световых лет)?

Итак, вы путешествуете со скоростью в 1000 раз большей, чем астронавты с «Аполлона», которые, в свою очередь, развивали скорость в 1000 раз больше, чем «Райт-Флайер», первый аэроплан, на котором полетели братья

Райт в 1903 году. Но если ваши расчеты верны, вы обнаружите, что умрете задолго до прибытия на ближние звезды или в галактику Андромеда.

10. К другим звездам

Эта задача покажет, насколько далеко от нас находятся звезды. От нас до ближайшей звезды — Проксимы Центавра — около 4 световых лет. Это и в самом деле далеко. Самый быстрый на сегодня космический аппарат летит через Солнечную систему примерно с той же скоростью, с какой Земля движется вокруг Солнца.

10. а Вычислите скорость движения Земли вокруг Солнца, если известно, что она за год обходит круг радиусом 1 а. е. = 150 миллионов километров.

Выразите ответ в километрах в секунду.

21

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

10. b Зная, что скорость света составляет 300 000 километров в секунду, вычислите, сколько километров в 4 световых годах.

10. с Вернемся к космическому аппарату, движущемуся со скоростью, которую вы вычислили в части а). Рассчитайте, сколько времени займет у него путь к ближайшим звездам. Ответ выразите в годах.

11. Атмосфера Земли

Кубический метр воздуха на уровне моря содержит приблизительно

3 1025 молекул. В разумном приближении все эти молекулы — это молекулы азота N (то есть два атома азота, соединенные в двухатомную молекулу).

2

Отметим, что компонента воздуха, которая нужна, чтобы дышать, то есть молекулы кислорода (О), составляет лишь около 21 % объема воздуха, и здесь

2 мы пренебрегаем долей О и считаем, что атмосфера целиком состоит из N.

2

2

Каждый атом N обладает массой в 14 раз больше, чем атом водорода (Н).

11. а Вычислите массовую плотность (килограмм на кубический метр) воздуха на Земле. Выполните расчеты без калькулятора, расскажите о ходе своих рассуждений и дайте ответ в экспоненциальном представлении.

11. b Считайте атмосферу сферической оболочкой толщиной 8 километров и радиусом, равным радиусу самой Земли. Вычислите объем земной атмосферы.

11. с На основании вычислений, проделанных в частях а) и b), вычислите общую массу земной атмосферы в килограммах. Масса всех земных океанов составляет 1,4 1021 кг. Сравните массу мирового океана и массу атмосферы, вычислив их отношение.

11. d Сегодня углекислый газ (СО) составляет около 600 миллионных

2 долей (ppm, 10–6) общей массы земной атмосферы. Какова общая масса

СО в атмосфере Земли?

2

2. От дневного и ночного неба к орбитам планет

2

ОТ ДНЕВНОГО И НОЧНОГО НЕБА

К ОРБИТАМ ПЛАНЕТ

12. Движение Солнца, Луны и звезд

Объясните, где и когда на Земле (укажите время суток и/или время года, если нужно) создается каждая из перечисленных ситуаций. Вероятно, в каких-то случаях описанное невозможно. В каждом случае приведите подробное обоснование; если нужно, нарисуйте схемы.

12. а Солнце находится над горизонтом 24 часа подряд.

12. b Наполовину освещенная Луна видна на небе (то есть над горизонтом) одновременно с Солнцем (то есть днем).

12. с Видно, как планета Марс проходит через диск Солнца.

12. d Ни одна из видимых звезд не заходит (то есть не опускается за горизонт).

12. е Полярная звезда находится прямо над головой.

13. Взгляд на Луну

13. а В прошлом году вы как-то раз вышли ночью на улицу и увидели полную Луну на восточном горизонте. Примерно в котором часу это было?

13. b Рядом с этой полной Луной была видна одна из ярких планет —

либо Венера, либо Юпитер. Которая из них?

23

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

13. с Увидят ли когда-нибудь Землю жители обратной стороны Луны

(то есть той стороны, которая сейчас обращена от Земли)? Сколько длятся у них «сутки» (то есть время от восхода до восхода Солнца)? Или они никогда не увидят Солнце?

14. Восходы и закаты

Из-за вращения Земли и звезды, и Солнце, и Луна восходят на востоке и заходят на западе, вращаясь вокруг оси, нацеленной на Северный полюс.

Ответьте на следующие вопросы с подробными объяснениями.

14. а Видит ли наблюдатель на Северном полюсе, как восходят и заходят звезды?

14. b Может ли наблюдатель на Северном полюсе увидеть в пределах одних суток и рассвет, и закат? А в течение одного года? Туристические буклеты об Аляске рекламируют ее как «Землю полуночного Солнца». Что это означает в нашем контексте? Подсказка: неподвижно ли Солнце на не-

босклоне относительно звезд?

14. с Яркая Полярная звезда лежит почти точно на Северном полюсе небесной сферы. То есть, если провести воображаемую линию от Южного к Северному полюсу Земли и продолжить ее в космос, она укажет прямо на эту звезду. Где видит Полярную звезду наблюдатель на Северном полюсе?

Зависит ли ответ от того, который сейчас час или какое время года?

14. d Где расположена Полярная звезда с точки зрения наблюдателя, живущего в Кито, столице Эквадора (то есть на земном экваторе)? Зависит ли ответ от того, который сейчас час или какое время года?

14. е При помощи телескопа самые яркие звезды можно увидеть даже днем. Есть ли такие звезды, которые круглые сутки (в ясную погоду) видны из Принстона (примерно 40° северной широты)? Точнее, есть ли звезды, которые, если смотреть на них из Принстона, никогда не заходят? Если ответ утвердительный, объясните, где эти звезды находятся на небе. По возможности дайте количественный ответ. Вероятно, нужно нарисовать схему.

24

2. От дневного и ночного неба к орбитам планет

15. Небесные объекты

Наблюдать ночное небо поучительно: можно очень многое узнать.

15. а Вы долгие часы прилежно трудились над домашним заданием по астрономии и вот наконец после этого марафона выбрались на улицу, не зная, который час. Вы смотрите в небо и видите высоко в нем красивую полную Луну. Примерно в котором часу это происходит? Ответ поясните.

15. b Небесный объект называют околополярным, если он остается над горизонтом в течение 24 часов, то есть никогда не восходит и не садится. Бывает ли околополярна Луна, если наблюдать ее с экватора? Ответ поясните.

15. с Бывает ли околополярна Луна, если наблюдать ее с Северного полюса? Ответ поясните.

15. d Вы находитесь в средних широтах северного полушария и наблюдаете лунное затмение в полночь. Где была Луна?

• восходила на восточном горизонте,

• заходила на западном горизонте,

• находилась высоко в небе или

• не была видна, поскольку находилась ниже горизонта?

Ответ поясните. Вероятно, нужно нарисовать схему.

16. Аристарх и Луна

Древнегреческий философ Аристарх обнаружил, что, зная угол между

Луной и Солнцем, когда Луна освещена наполовину, можно найти отношение расстояния от Земли до Луны к расстоянию от Земли до Солнца. В этой задаче мы количественно проследим за ходом его мысли.

На рис. 1 к этой задаче буквами E, M и S обозначены Земля, Луна и

Солнце соответственно. Луна показана в первой четверти (то есть с Земли видно ровно половину ее диска), когда Земля, Луна и Солнце образуют прямой угол. Аналогичным образом третья четверть — это точка Ma. Поскольку расстояние до Солнца не бесконечно, точки первой и последней четверти на

25

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь лунной орбите не в точности противоположны друг другу. В частности, есть ненулевой угол между линией от Земли до Луны в первой четверти и линией, перпендикулярной линии от Земли до Солнца (то есть, имеется линия от E

до A, не совпадающая с линией от E до М).

16. а На основе школьной геометрии докажите, что угол ESM равен углу AEM.

A M

E

S

M’

Рис. 1. Рисунок к задаче 16. Масштаб не соблюден. E — это Земля, M и Ma — Луна, S — Солнце. Окружность — орбита Луны. Положение Луны отмечено в первой и последней четверти, с Земли видно, что ее диск освещен наполовину. В этих точках углы EMS и EMaS — прямые.

16. b С помощью малоугловой формулы выразите угол ESM через расстояние EM от Земли до Луны и расстояние ES от Земли до Солнца.

Выразите этот угол и в градусах, и в радианах.

16. с Вы должны были обнаружить, что отклонение угла SEM от 90°

очень мало. Аристарх определил, что этот угол равен 3° (он ошибался). Если считать, что угловые диаметры Луны и Солнца одинаковы, какой вывод сделал Аристарх об отношении физических диаметров Солнца и Луны?

17. Расстояние до Марса

Вы с приятелем решаете измерить расстояние до Марса на основе его параллакса. Сверив часы, вы встаете в двух точках на земной поверхности, находящихся на расстоянии 1000 километров друг от друга. Линия между

26

2. От дневного и ночного неба к орбитам планет вами перпендикулярна линии между Марсом и центром Земли. В один и тот же момент каждый из вас измеряет угловое положение Марса на фоне звезд. Оказывается, результаты отличаются на 2 угловые секунды. Каково расстояние от Земли до Марса в этот момент? Ответ выразите в километрах.

Подсказка: здесь под «параллаксом» понимается явление, согласно которо-

му угол, под которым мы видим далекое тело, зависит от нашего положения.

Это понятие шире обычного термина «параллакс», которым (в узком смысле) обозначают видимое изменение положения звезд, вызванное движением

Земли по орбите вокруг Солнца.

18. Расстояние до Луны

Вы с приятелем решаете измерить расстояние до Луны на основе ее параллакса. Здесь мы говорим не о том параллаксе, который объясняется движением Земли вокруг Солнца, а о том, который наблюдается из двух разных точек на Земле. Сверив часы, вы встаете в двух точках на земной поверхности на расстоянии 200 километров друг от друга. Линия между вами перпендикулярна линии между Луной и центром Земли. В один и тот же момент каждый из вас измеряет угловое положение определенной точки на краю лунного диска на фоне звезд. На сколько будут различаться результаты измерений? Ответ выразите в угловых секундах.

19. Массы и плотности в Солнечной системе

В астрономии наблюдается поистине колоссальный диапазон плотностей различных объектов. В этой задаче мы изучим часть диапазона плотностей.

19. а Масса Солнца больше массы Земли примерно в 3 105 раза, а масса Земли примерно равна 6 1024 килограммов. Наблюдаемый диск

Солнца занимает в небе примерно полградуса. Расстояние от Земли до Солнца равно 1 астрономической единице (а. е.), то есть, примерно 1,5 108 ки-

27

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь лометра. На основании этих данных вычислите радиус Солнца и его плотность в единицах плотности воды (которая составляет 1000 килограммов на кубический метр). Подсказка: все необходимые числа даны в условии.

Постарайтесь при вычислениях обойтись без калькулятора: требуется при-

близительный ответ.

19. b Радиус орбиты Нептуна, самой дальней от Солнца планеты, составляет примерно 30 а. е. Какова средняя плотность Солнечной системы в этом радиусе? То есть, если взять всю массу Солнечной системы и равномерно распределить по сфере радиусом 30 а. е., какой окажется ее плотность?

Массу планет считаем пренебрежимо малой по сравнению с массой Солнца

(см. также часть d).

19. с Считается, что самые далекие кометы происходят из сферического облака (облака Оорта, названного в честь Яна Оорта (1900–1992), который выдвинул гипотезу о существовании этого облака) с центром в

Солнце и радиусом около 1 светового года. Можно считать, что это и есть настоящая внешняя граница Солнечной системы. Вычислите среднюю плотность Солнечной системы в пределах сферы с таким радиусом. Общая масса комет в облаке Оорта, по оценкам, всего в несколько раз больше массы

Земли (то есть, крошечная по сравнению с массой Солнца).

19. d Правомерно ли считать, что массой планет по сравнению с массой

Солнца можно пренебречь? Вычислите отношение общей массы планет к массе Солнца (массы планет даны в таблице 9.1 «Большого космического путешествия») и ответьте на этот вопрос.

3. Законы Ньютона

3

ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

20. Силы, действующие на книгу

20. а Книга лежит на столе на Земле. Покоится ли она? Или движется с постоянной скоростью? Определите все существенные силы, действующие на книгу, и примените второй закон Ньютона, чтобы ответить на вопрос, движется ли книга с ускорением.

20. b Учли ли вы в своих расчетах гравитационное воздействие Солнца?

А что, нужно было?! Теперь еще раз ответьте на вопрос: движется ли книга с постоянной скоростью?

20. с Все во Вселенной, что обладает массой, оказывает гравитационное воздействие. Что больше: сила гравитации Солнца, действующая на книгу, или сила гравитации других планет и Луны вместе взятых? Для определенности рассмотрите случай, когда все планеты и Луна выстроились вдоль воображаемого луча, проходящего из Земли через Солнце.

21. По баллистической траектории

Спутник на низкой околоземной орбите в 400 километрах от поверхности земли (например, Космический телескоп им. Хаббла), проходит полный круг по орбите примерно за 90 минут.

29

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

21. а С какой скоростью движется такой спутник? Выразите результат в километрах в секунду и в километрах в час.

21. b Вычислите массу Земли на основании полученных выше данных в сочетании с ньютоновским законом всемирного тяготения.

22. Как преодолеть земную гравитацию?

На каком расстоянии от Земли на линии, соединяющей Землю и Луну, находится точка, где гравитационное воздействие Луны и Земли равно по величине и противоположно по направлению? Можно ли сказать, что за этой точкой «вырываешься из земной гравитации»?

23. Геосинхронные орбиты

Спутник на геосинхронной орбите (ГЕО) совершает один оборот вокруг

Земли в сутки. Спутник на геостационарной орбите (ГСО) — это спутник на круглой ГЕО в экваториальной плоскости Земли. Следовательно, с точки зрения наблюдателя на поверхности Земли, спутник на ГСО всегда парит в одной и той точке неба. В частности, на ГСО находятся спутники, использующиеся для телевидения: это делается для того, чтобы спутниковые тарелки на Земле можно было делать неподвижными, и им не приходилось бы вращаться, чтобы ловить спутник в небе. Обратите внимание: если вы находитесь в северном полушарии, то все спутниковые тарелки на домах направлены в одну сторону — к экватору (то есть на юг).

На какой высоте над экватором Земли (то есть над земной поверхностью) находится спутник на ГСО? Ответ выразите в километрах и в радиусах Земли.

24. Центростремительное ускорение и кинетическая энергия на орбите Земли

Эту задачу предложил Крис Чиба.

В январе 2007 года Китай провел испытания противоспутникового оружия на низкой околоземной орбите, в ходе которого сбил спутником-

30

3. Законы Ньютона перехватчиком свой собственный старый метеорологический спутник

«Фэнъюнь-1С», вращавшийся на высоте 850 км от земной поверхности.

Предыдущие испытания такого рода провели в 1985 году США на высоте

350 км. В шестидесятые-восьмидесятые годы противоспутниковое оружие испытывал и СССР, но тогда метод был другой: спутник-перехватчик должен был не столкнуться со спутником-целью, а взорваться вблизи него.

24. а Выведите алгебраическое выражение для скорости v объекта, вращающегося по круглой орбите радиусом r вокруг Земли. Формула должна содержать массу Земли M , r, G и численные постоянные. Можете начать

либо с ньютоновской формы третьего закона Кеплера, либо с закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона.

24. b Предположим, что до того, как его сбили, спутник «Фэнъюнь-1С»

находился на круглой орбите. Какова была его скорость? Ответ выразите в километрах в секунду. Каков был период его обращения по орбите? Ответ выразите в минутах. Подсказка: подумайте как следует, что вы примете за радиус орбиты!

24. с Успешные испытания противоспутникового оружия приводят к образованию большого количества орбитального мусора, в том числе «крупного»: так называют обломки размером больше 10 см. В результате китайских испытаний в 2007 году образовалось свыше 1700 крупных обломков, которые теперь отслеживает НАСА. (После американских испытаний в 1985 году осталось примерно такое же количество крупного мусора. Из-за сопротивления разреженной атмосферы низкие околоземные орбиты, на которых вращается мусор, на этих высотах постепенно деградируют, а поскольку американские испытания проводились на значительно меньшей высоте, где атмосфера плотнее, орбиты деградируют гораздо быстрее. Последний большой обломок, оставшийся от испытаний

1985 года, упал на Землю в 2004 году). Предположим, что типичный крупный обломок — это параллелепипед размером 10 см 10 см и толщиной

31

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

2 мм, сделанный из алюминия плотностью 2,7 грамма на кубический сантиметр. Какова масса типичного крупного обломка в килограммах?

24. d Предположим, что после разрушения спутника-цели типичный кусок мусора еще вращается с орбитальной скоростью, которую мы нашли в части b. (Одни куски движутся быстрее других, но это неплохое приближение для средней скорости после перехвата: большая часть мусора остается на орбитах, в целом похожих на орбиту уничтоженного спутника).

Какова кинетическая энергия типичного куска крупного мусора, выраженная в джоулях?

24. е Энергия, высвобождаемая при взрыве килограмма бризантного взрывчатого вещества тринитротолуола (ТНТ), равна 4,2 106 Дж. Представьте себе, что кусок крупного мусора попадет в другой спутник со скоростью, которой вы пользовались в части d. Что будет разрушительнее: столкновение с куском мусора, который вы рассматривали в части d), или взрыв куска ТНТ

той же массы? Чтобы ответить на этот вопрос, вычислите отношение энергии столкновения и энергии взрыва.

25. Центростремительное ускорение Луны и закон всемирного тяготения

В этой задаче мы вспомним, как у Ньютона зародилась идея закона всемирного тяготения (по крайней мере, как он об этом рассказывал на склоне лет), и проследим логику его умозаключений.

25а. Луна вращается вокруг Земли по орбите радиусом 384 000 километров (легкой эллиптичностью орбиты мы здесь пренебрежем). Какова эта величина в радиусах Земли? Луна совершает полный оборот по этой орбите за 27,3 суток (1 месяц). Какова скорость Луны на орбите (в м/с)? Каково центростремительное ускорение Луны на орбите (в м/с2)?

25. b Согласно второму закону Ньютона, сила, необходимая, чтобы придать телу массы m ускорение а, равна ma. Для тела, движущегося по

32

3. Законы Ньютона кругу радиусом r с постоянной скоростью v, это ускорение составляет v 2/ r.

С учетом этого, какова должна быть связь силы и радиуса, чтобы соблюдался и третий закон Кеплера, согласно которому r 3 пропорционален квадрату периода Р? Нам нужно найти пропорциональность между силой и простой функцией радиуса.

25. с Если центростремительное ускорение Луны и в самом деле вызвано гравитацией Земли, то это ускорение должно убывать пропорционально квадрату расстояния от Земли. Используйте расстояние до Луны в радиусах

Земли, чтобы предсказать, каково будет ускорение свободного падения на поверхности Земли (то есть на расстоянии в 1 радиус Земли от центра).

Сравните результат с измеряемым ускорением яблока, падающего с дерева, которое составляет 10 м/с2.

26. Кеплер о Юпитере

При решении этой задачи мы непосредственно проверим третий закон

Кеплера. Мы изучим орбиты четырех спутников, которые обнаружил на орбитах вокруг Юпитера Галилей: Ио, Европы, Ганимеда и Каллисто. Большие полуоси а и периоды обращения этих спутников по орбитам Р приведены в таблице.

Спутник

Большая полуось (км)

Период (сутки)

Ио

4,216 105

1,769

Европа

6,709 105

3,551

Ганимед

1,070 106

7,155

Каллисто

1,883 106

16,69

В этой задаче вы подтвердите, что их соотношение соответствует предсказанию Кеплера: Р 2 = С а 3 (где С — коэффициент пропорциональности).

Для решения придется воспользоваться калькулятором.

33

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

26. а Сначала вычислите С на основании данных о Европе: во-первых, в единицах МКС (время в секундах, расстояния в метрах), а затем в единицах, где время измеряется в годах, а расстояние — в а. е.

26. b Используя значение С, полученное в единицах МКС, подтвердите, что третий закон Кеплера справедлив для Ио, Ганимеда и Каллисто.

26. с Каково значение коэффициента пропорциональности С в единицах, где задействованы годы и а. е., для орбиты Земли вокруг Солнца?

26. d Используя единицы, где задействованы годы и а. е., найдите отношение коэффициента пропорциональности С, который вы нашли в части а) для системы Юпитера, к значению С для орбиты Земли вокруг Солнца. Также найдите отношение масс Солнца и Юпитера. Как связаны эти два отношения? Почему?

27. Нептун и Плутон

Эту задачу предложил Крис Чиба.

Планета Нептун, самая далекая из известных нам крупных планет Солнечной системы, вращается вокруг Солнца по орбите с большой полуосью а = 30,066 а. е. и эксцентриситетом е = 0,01. Плутон, следующее крупное небесное тело в сторону от Солнца (хотя и гораздо меньшее, чем Нептун), вращается по орбите с а = 39,48 а. е. и е = 0,250.

27. а Сколько лет занимает один оборот Нептуна вокруг Солнца? Ответ дайте с точностью до нужного количества значащих цифр с учетом данных из условия задачи.

27. b Сколько лет занимает один оборот Плутона вокруг Солнца?

27. с Вычислите отношение двух периодов обращения по орбите, которые вы узнали из частей а) и b). Вы обнаружите, что оно очень близко к отношению двух маленьких целых чисел; каких именно? Таким образом, эти две планеты ведут себя по отношению друг к другу согласно определенной периодической закономерности, и их взаимное притяжение время от времени усиливается, что удерживает их на этой паре орбит. Перед нами пример

34

3. Законы Ньютона орбитального резонанса. В Солнечной системе есть и другие примеры такого рода — и среди спутников Юпитера, и между спутниками и различными объектами в кольцах Сатурна.

27. d Каков афелий (самое большое расстояние от Солнца) орбиты

Нептуна? Ответ выразите в а. е.

27. е Каковы афелий и перигелий (самое большое и самое маленькое расстояние от Солнца) орбиты Плутона? Всегда ли Плутон находится от Солнца дальше, чем Нептун?

28. Роковые астероиды?

Эту задачу предложил Крис Чиба.

В голливудском фильме «Армагеддон» Брюс Уиллис в последнюю минуту спасает мир, взорвав астероид, направлявшийся прямо к Земле.

Астероиды, грозящие столкновением с Землей, существуют и в реальной жизни; эта задача поможет нам изучить их свойства и найти более практичный способ избежать конца света.

28. а Здесь «угрожающим» будет называться астероид, вращающийся по орбите вокруг Солнца, если его перигелий (наименьшее расстояние от

Солнца) меньше 1 а. е., а афелий — больше 1 а. е., следовательно, он в принципе может столкнуться с Землей. У астероида 2002 CY9 период

2,12 года и эксцентриситет орбиты 0,50. Вычислите большую полуось его орбиты, а также афелий и перигелий в а. е. Угрожающий ли он?

28. b Типичный угрожающий астероид вроде 2002 CY9 движется относительно Земли со скоростью около 30 км/с, поэтому, если он попадет в Землю, это будет страшная катастрофа. Поискам подобных опасных астероидов посвящены несколько специализированных обзоров неба; картирование орбит таких астероидов позволяет нам определить, действительно ли они могут столкнуться с Землей, и дает возможность предотвратить столкновение.

Представьте себе, что вы только что обнаружили астероид, который столк-

35

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь нется с Землей через 20 лет. Ваша задача — сконструировать космический аппарат, который врежется в астероид и изменит его орбиту настолько, что тот разминется с Землей. Вы отправляете массивную ракету по такой траектории, чтобы она попала в астероид и ударила его с силой, которая изменит его скорость на 2 см/с. Насколько изменится положение астероида за 20 лет, прежде чем он приблизится к Земле? Эти вычисления можно проделать очень приблизительно, просто прикинув, какое расстояние даст смещение в 2 см/с за 20 лет. Но достаточно ли этого, чтобы пройти мимо Земли?

29. Комета Галлея и пределы применимости третьего закона

Кеплера

Рассмотрим комету Галлея, которая вращается вокруг Солнца по сильно вытянутой эллиптической орбите с афелием (то есть самой дальней точкой от

Солнца) далеко за орбитой Нептуна. Каждые 76,1 лет она мчится к Солнцу, пересекая по пути орбиты большинства планет. При приближении к Солнцу лед на комете начинает сублимироваться (то есть переходить из твердого состояния сразу в газообразное), отчего комета распыляет вокруг себя газ и пыль, а из ее ядра вырываются струи мусора. Большая полуось орбиты кометы Галлея равна 17,8 а. е.

29. а Покажите, что комета Галлея не вполне подчиняется третьему закону Кеплера! Здесь пригодится калькулятор.

29. b Предложите правдоподобную гипотезу, почему комета Галлея не подчиняется третьему закону Кеплера так же строго, как тела из задачи 26.

Подсказка: можно ли считать, что на комету не действуют никакие силы, кроме притяжения Солнца?

30. Сила действия равна силе противодействия

Попробуем при помощи этой обиходной формулировки третьего закона

Ньютона лучше понять, как движение планет воздействует на Солнце. Са-

36

3. Законы Ньютона мая массивная планета — это Юпитер. У него почти круглая орбита вокруг

Солнца радиусом 5,2 а. е.

30. а Каков период обращения Юпитера по орбите в годах?

30. b С какой скоростью движется Юпитер? Ответ дайте в километрах в секунду.

30. с Масса Юпитера составляет почти точно 1/1000 массы Солнца.

Если пренебречь тяготением других планет (ведь Юпитер — намного массивнее всех остальных планет), третий закон Ньютона скажет нам, что центр масс системы Солнце — Юпитер при движении Юпитера остается неподвижным, следовательно, и Солнце должно двигаться в ответ на движение

Юпитера. Рассчитайте, как сдвигается Солнце в ответ на движение Юпитера по половине его орбиты. Затем вычислите, с какой скоростью оно движется.

31. Аристотель и Коперник

Обрисуйте аристотелевскую картину мира, уделив особое внимание описанию физической природы небесных тел и законов, которые управляют их движением, в сравнении с телами, расположенными на Земле. Поясните, в чем она отличается от современного научного понимания Вселенной, и расскажите о значении открытий Галилео Галилея, Николая Коперника, Иоганна

Кеплера, Исаака Ньютона и Сесилии Пейн-Гапошкиной для опровержения аристотелевской картины мира.

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

4—6

КАК ЗВЕЗДЫ ИЗЛУЧАЮТ ЭНЕРГИЮ

32. Далекие сверхновые

В 1987 году в Большом Магеллановом облаке — небольшой галактике поблизости от Млечного Пути, в 150 000 световых годах от нас, взорвалась сверхновая. На пике яркости, составившем примерно 1/10 от видимой яркости альфы Центавра (Cen, одной из ближайших к нам звезд, до которой около 4 световых лет), она была хорошо видна невооруженным глазом. Во сколько раз пиковая светимость этой сверхновой превосходила светимость

Cen?

33. Солнечные батареи на космических аппаратах

Эту задачу предложил Крис Чиба.

Марсианский разведывательный спутник НАСА (МРС) имеет шесть инструментов для изучения марсианской атмосферы и поверхности, в том числе радар, способный заглядывать в почву, чтобы искать воду под поверхностью планеты. Подробнее об этом см. https://mars.nasa.gov/mro/ (для решения задачи информация с сайта не требуется).

Связь МРС с Землей обеспечивается при помощи параболической антенны диаметром 10 футов и передатчика, который питают солнечные

38

4—6. Как звезды излучают энергию батареи площадью 100 квадратных футов. Современные солнечные батареи имеют коэффициент преобразования 20 % (то есть батарея преобразует в электрическую энергию 20 % попадающего на нее солнечного света; остальные 80 % теряются).

33. а Если известны температура поверхности Солнца (6000 К) и его радиус (7,0 105 км), вычислите — в приближении абсолютно черного тела — его светимость в ваттах (Дж/с).

33. b Марс находится в 1,5 а. е. от Солнца. Вычислите яркость Солнца на расстоянии Марса (то есть поток солнечного излучения на поверхности

Марса) в ваттах на квадратный метр.

33. c Воспользовавшись приближением (имеющим точность примерно

10 %), что 1 метр = 3 фута, вычислите, сколько электрической энергии поступит в распоряжение передатчика на МРС, если предположить, что солнечные батареи МРС направлены на Солнце и имеют коэффициент преобразования

20 %. Ответ выразите в ваттах.

33. d Теперь предположим, что такой же космический аппарат, как

МРС, отправлен (видимо, более мощной ракетой-носителем!) на спутник

Сатурна Титан. Сколько энергии (в ваттах) получит для своего передатчика

МРС на Сатурне? Орбита Сатурна пролегает на расстоянии 9,6 а. е. от

Солнца. Для сравнения, обычная лампа накаливания у вас дома потребляет около 100 ватт электрической мощности. Каково отношение мощности передатчика МРС на Сатурне и мощности стоваттной лампы накаливания?

34. Свети!

Вычислите светимость собственного тела в приближении абсолютно черного тела. Поясните, какие предположения и приближения вы делаете.

Подсказка: Нам нужен приблизительный ответ. Ответ выразите в ваттах

(Дж/с) и сравните с типичной лампой накаливания (100 ватт). Если люди излучают столько энергии, почему мы не видим друг друга в темной комнате?

39

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

35. Крошечные углы

В астрономии часто идет речь об углах на небосводе. Отношение между угловым расстоянием между двумя объектами в небе, физическим расстоянием s между ними и их расстоянием d до нас задается формулой

= s/ d, где угол измеряется в радианах.

35. а Звезда на расстоянии 300 световых лет от Земли движется перпендикулярно лучу зрения со скоростью 300 километров в секунду относительно нас. Сколько нам придется дожидаться, когда она с нашей точки зрения сдвинется на 1 угловую секунду относительно более далеких звезд?

Ответ выразите в годах. Подсказка: 300 километров в секунду — это гораздо больше, чем наша скорость по орбите вокруг Солнца, поэтому последней можно пренебречь.

35. b Мы обнаружили, что эта звезда проходит угловую секунду по небосводу за год с небольшим. Это довольно быстрая звезда. Мировой рекорд видимого движения по небу принадлежит звезде Барнарда, которая за год проходит 10 угловых секунд. До звезды Барнарда от нас 6 световых лет. Какова ее скорость на небесной плоскости (то есть, проекция ее скорости на плоскость, перпендикулярную лучу зрения)? Выразите ответ в километрах в секунду.

36. Подумаем о параллаксе

В этой задаче мы поразмышляем о видимых положениях звезд на небосклоне и о том, как на них влияет орбита Земли, то есть о явлении параллакса.

36. а Рассмотрим звезду на небе на расстоянии 10 парсек (36,2 светового года), которая находится в эклиптике, то есть в той же плоскости, в какой Земля вращается вокруг Солнца. Начертите траекторию, которую описывает в небе эта близкая звезда на фоне более далеких звезд за год, если смотреть с Земли. Объясните ход ваших мыслей, отметьте на схеме размах этой траектории в угловых секундах.

40

4—6. Как звезды излучают энергию

36. b Представьте себе ось, проведенную перпендикулярно плоскости эклиптики; она укажет на полюс эклиптики. Рассмотрим звезду, до которой тоже 10 парсек и которая находится в направлении полюса эклиптики. Нарисуйте траекторию, которую описывает эта звезда за год относительно фоновых звезд, отметьте размах ее траектории на той же схеме.

36. с Теперь представьте себе, что звезда из части а) обладает «свойственным движением», то есть движется в пространстве перпендикулярно плоскости эклиптики. Качественно опишите, как при этом меняется ее наблюдаемое перемещение по небу, которое вы описали в части а).

37. Совсем маленькие углы и далекие звезды

Астрономы обожают измерять совсем маленькие углы. Европейский космический аппарат «Гея» измеряет параллаксы звезд с беспрецедентной точностью.

37. а У самых ярких звезд «Гея» измеряет параллаксы с точностью до 10 угловых микросекунд. Одна угловая микросекунда — это 10–6 угловых секунд. Чтобы представить себе, насколько это крошечный угол, вычислите диаметр предмета в Лос-Анджелесе, если смотреть на него из Нью-Йорка (с расстояния в 4000 км), который противолежит углу в

10 угловых микросекунд. Пренебрежем тем, что из-за кривизны земной поверхности Лос-Анджелес из Нью-Йорка не видно! Ответ выразите в микронах (10–6 метров).

37. b Если погрешность заданного измерения параллакса равна 10 угловых микросекунд, то минимальный параллакс, который может грубо (то есть с точностью 20 %) измерить «Гея», в пять раз больше, то есть составляет

50 угловых микросекунд. Каково расстояние до звезды, чей параллакс равен

50 угловых микросекунд?

41

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

38. Яркость, расстояние и светимость

Эта задача укрепит ваши знания об отношениях между температурой, размером и светимостью звезды, а также между светимостью, расстоянием до звезды и ее яркостью.

38. а Рассмотрим звезду с яркостью 6 10–11 эрг/с/см2. Те из вас, кто знаком со звездными величинами, поймут, что это примерно соответствует

14-й звездной величине, то есть эта звезда гораздо слабее, чем те, что видны невооруженным глазом. Эта звезда — холодная звезда главной последовательности с массой в 1/10 солнечной. Температура ее поверхности 2900

К (вдвое ниже солнечной). Радиус составляет около 1/10 радиуса Солнца

(типичная величина для маломассивных звезд главной последовательности), а излучает она как абсолютно черное тело. Вычислите ее светимость.

(Подсказка: возьмите за эталон светимость Солнца, можете считать, что она равна 4 1033 эрг/ с). Каково расстояние до этой звезды в световых годах?

Каков ее параллакс (в угловых секундах)?

38. b Теперь рассмотрим другую звезду той же яркости, но на сей раз это будет красный гигант с температурой поверхности 4500 К и радиусом

1 а. е. (!) Вы смотрите в направлении, сильно отклоняющемся от плоскости

Млечного Пути, так что межзвездная пыль вам не помеха. Далеко ли эта звезда? Сравните расстояние до нее с параметрами галактики Млечный

Путь и изложите свои соображения.

39. Сравниваем звезды

Рассмотрим две звезды, каждая из которых излучает как абсолютно черное тело. Одна — звезда класса О главной последовательности с температурой поверхности 30 000 К. Вторая — красный гигант с температурой поверхности 3000 К и светимостью в 16 раз больше, чем у звезды класса О.

42

4—6. Как звезды излучают энергию

39. а Учитывая температуру поверхности, определите, какова пиковая длина волны, на которой излучает звезда класса О. Ответ выразите в микронах (1 микрон = 10–6 м).

39. b Каково отношение радиусов красного гиганта и звезды класса О?

39. с Эти две звезды сияют на небе одинаково ярко. Расстояние до звезды класса О 1000 световых лет. Каково расстояние до красного гиганта?

Ответ выразите в световых годах.

40. Жаркие и сияющие

Эта задача связывает светимость, размер и температуру звезд и планет.

40. а Средняя температура поверхности Юпитера — около 200 К, а Солнца — около 6000 К. Радиус Солнца — 700 000 км; радиус Юпитера — примерно 1/10 этой величины. Каково отношение светимости Солнца и Юпитера, если оба светят как абсолютно черного тела? На какой длине волны наблюдается пик испускаемого излучения Юпитера? Ответ выразите в микронах.

40. b Горячий белый карлик имеет диаметр около 14 000 км и температуру поверхности 40 000 К. Каково отношение его светимости к светимости

Солнца? На какой длине волны наблюдается пик излучения, испускаемого белым карликом (в микронах)? Какого он цвета?

40. с Рассмотрим красный гигант с диаметром в 80 раз больше диаметра Солнца, но с температурой поверхности всего в 3000 К. Каково отношение его светимости к светимости Солнца? На какой длине волны наблюдается пик излучения красного гиганта? Какого он цвета?

41. Белый карлик

Рассмотрим горячий белый карлик, имеющий ту же светимость, что и

Солнце. Его видно в средних размеров телескоп, он в 1016 раз менее яркий, чем Солнце. Спектр этой звезды показывает, что температура его поверх-

43

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь ности достигает 60 000 К — очень жарко! В этой задаче полезно опираться на известные нам свойства Солнца и брать их за точку отсчета.

41. а Каково расстояние до белого карлика? Ответ выразите в световых годах.

41. b Каков радиус белого карлика? Выразите ответ в километрах.

Исходите из предположения, что и белый карлик, и Солнце излучают как абсолютно черное тело.

42. На орбите вокруг белого карлика

Эта задача даст вам представление о том, насколько белый карлик массивнее Земли, хотя радиусы у них примерно одинаковые.

42. а Космический шаттл на низкой околоземной орбите (то есть на орбите недалеко от поверхности Земли) совершает полный оборот приблизительно за 90 минут. Теперь рассмотрим корабль на орбите над самой поверхностью белого карлика того же радиуса, что и Земля, но с массой, равной массе Солнца. Каков период его обращения по орбите?

42. b Ощутят ли невесомость астронавты на таком космическом корабле? Ответ объясните.

43. Поглощение света атомами водорода

Задача повышенной сложности.

В спектре звезды зашифровано очень много информации. Здесь вы используете спектр звезды класса F для изучения физики атомов водорода.

43. а На рисунке 2 показан спектр звезды класса F (это настоящие наблюдательные данные!). Практически все линии поглощения, которые вы тут видите (широкие углубления) объясняются водородом. Измерьте центральные длины волн как можно точнее. Длины волн этих линий задаются формулой, которую вы, вероятно, видели в школьном курсе химии: 44

4—6. Как звезды излучают энергию

1

⎛ 1

1

R

⎞

= ⎜ − ⎟,

2

2

λ

⎝ n m ⎠

где R — постоянная величина, а n и m — маленькие целые числа. Найдите как можно больше таких линий (у вас должно получиться не меньше 10).

Для этого, во-первых, найдите значение R, а затем найдите значения n и m для каждой. Для этого упражнения вам очень пригодится калькулятор!

Подсказки: значение n для всех линий, которые вы здесь видите, одинаково, Спектр звезды класса F

ы)

30 диниц

20 е

10350

360

370

380

390

400 тельные

30

20

(относи

10 лны

400

410

420

430

440

450 во лины

30 у д

20

10 диниц е

450

460

470

480

490

500 наии

30 энерг

20

10

Поток

650

660

670

680

690

700

Длина волны (нанометры)

Рисунок 2. Спектр звезды класса F из задачи 43. Спектр разбит на четыре части, чтобы вам было удобнее точно определить положение линий поглощения (углублений в спектре). Данные взяты из Слоановского цифрового обзора (SDSS).

45

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь и это очень маленькое целое число. В спектре есть и так называемая — линия, для которой m = n + 1. Кроме того, есть несколько линий, которые не имеют отношения к водороду, а следовательно, не подчиняются вышеприведен-

ному уравнению. Участок спектра от 500 до 650 нм на рисунке не показан, поскольку в этой области нет достаточно сильных линий поглощения.

43. b На какой длине волны наблюдается пик интенсивности излучения от звезды? Проследите, чтобы это был глобальный пик спектра, не отвлекайтесь на локальные пики между линиями поглощения. По пиковой длине волны вычислите температуру поверхности звезды.

7—8. Жизнь и смерть звезд

7—8

ЖИЗНЬ И СМЕРТЬ ЗВЕЗД

44. Сияющее Солнце

Из этой задачи вы узнаете, с какой скоростью Солнце расходует свое ядерное топливо.

44. а Четыре атома водорода (общая масса = 6,693 10–27 килограммов) в результате термоядерного синтеза дают один атом гелия (масса =

= 6,645 10–27 килограммов). Если 1 грамм водорода в Солнце перегорает в гелий, сколько энергии это дает?

44. b Светимость Солнца составляет 4 1026 джоулей в секунду. Масса

Солнца 2 1030 кг. Три четверти массы Солнца составляет водород. Сделайте приблизительную оценку максимального времени, которое Солнце будет светить с нынешней светимостью в результате перегорания водорода в гелий.

Как эта оценка соотносится с действительной продолжительностью жизни звезд главной последовательности? Объясните выявленные расхождения.

45. Термоядерный синтез и принцип неопределенности Гей-

зенберга

Задача повышенной сложности.

47

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

Эта задача позволит нам изучить физику термоядерных реакций в ядрах звезд, в результате которых протоны сливаются и создают ядра гелия.

В «Большом космическом путешествии» отмечено, что если два протона приближаются друг к другу, сильное взаимодействие преодолевает силу электромагнитного отталкивания между ними и заставляет их сливаться.

Наша цель — вычислить, какой должна быть температура в ядре звезды, чтобы они могли сблизиться на нужное расстояние; при этом мы убедимся, что выяснить, какое именно расстояние считать нужным, не так-то просто.

45. а Первым делом определим соотношение между температурой протонного газа T и расстоянием, на которое могут подойти друг к другу протоны в этом газе. Рассмотрим два протона, которые движутся навстречу друг другу; каждый из них обладает первоначальной кинетической энергией E = 3/2 kT, где k — постоянная Больцмана, которую вы найдете в разделе «Полезные численные величины и формулы». Сила взаимного отталкивания, вызванная тем, что у обоих протонов положительный заряд, заставляет их замедлиться, и они останавливаются, а потом снова разлетаются: в точке наибольшего сближения вся кинетическая энергия преобразуется в электростатическую потенциальную энергию. Формула потенциальной энергии U двух протонов с зарядом e, разделенных расстоянием r, такова:

2 e

U = q ,

r где q 9 109 (Джоуль метр) кулон–2, и это постоянная силы Кулона.

Заряд протона равен е 1/6 10–18 кулона.

Предположим, что сильное взаимодействие одерживает верх, когда два протона непосредственно соприкасаются, то есть при r = 10–15 м. Вычислите отношение первоначальной кинетической энергии к окончательной

48

7—8. Жизнь и смерть звезд потенциальной энергии на этом расстоянии и решите уравнение для температуры, необходимой, чтобы два протона настолько сблизились. Сравните температуру в центре Солнца (15 миллионов К) и поясните, достаточно ли по вашим расчетам жарко в центре Солнца, чтобы произошел синтез из двух протонов?

45. b В части а) вы должны были обнаружить, что температура, необходимая для синтеза двух протонов, значительно выше реальной температуры в ядре Солнца. Однако мы знаем, что термоядерный синтез в Солнце идет, а следовательно, мы чего-то недопонимаем. Это что-то — квантовая механика. Один из принципов квантовой механики гласит, что мы не можем одновременно точно знать и местоположение, и скорость объекта (это называется принципом неопределенности Гейзенберга). В частности, положение протона массы m, который движется со скоростью v, можно вычислить с точностью лишь до h

λ =

,

mv где h 2/3 10–33 джоулей с — так называемая постоянная Планка

(расстояние в этом уравнении называется длиной волны де Бройля для протона). Сначала покажите, что имеет размерность длины. Затем выразите v, а следовательно, и, через температуру на основании формулы, связывающей кинетическую энергию и температуру газа (здесь ограничьтесь только алгеброй, числа подставим потом). Далее, воспроизведите вычисления из части а), подставив длину волны де Бройля в качестве расстояния между двумя протонами, на котором верх одерживает сильное взаимодействие, и решите уравнение для температуры. Ответ дайте в алгебраическом виде через q, e, m, h и k. Наконец, подставьте числа.

Действительно ли полученная температура лучше соответствует реальной температуре в ядре Солнца?

49

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

46. Свойства белых карликов

Задача повышенной сложности.

В этой задаче мы вычислим плотность звезды типа белый карлик непосредственно из ее наблюдаемых свойств.

46. а Белый карлик Сириус B, звезда-компаньон Сириуса А (ярчайшей звезды на ночном небе), обладает параллаксом, вызванным движением

Земли по околосолнечной орбите, в 0,38 угловой секунды. Каково расстояние до него? Ответ выразите в световых годах.

46. b Если бы Сириус B не находился так близко к своему очень яркому компаньону, его было бы видно в мощный бинокль. Его яркость составляет

10–13 от яркости Солнца (конечно, ведь он находится гораздо дальше Солнца!). Вычислите отношение светимости Сириуса B к светимости Солнца.

46. с Температура поверхности Сириуса B d 25 000 К (она определена по его спектру). Предположив, что он излучает как абсолютно черное тело (что так и есть), и вооружившись знаниями о светимости Сириуса B из части b), вычислите радиус Сириуса B. Подсказка: Если вам захочется воспользоваться для решения этой задачи постоянной Стефана — Больцмана, вы получите верный ответ, но сильно перетрудитесь. Лучше опирайтесь на свои знания о ра-

диусе и температуре поверхности Солнца и возьмите эти величины за эталон.

46. d Поскольку Сириус B и Сириус А вращаются по орбитам друг вокруг друга, массу каждой из этих звезд можно определить с помощью закона всемирного тяготения Ньютона. Оказывается, что масса Сириуса B

очень близка к массе Солнца. Какова его средняя плотность? Вас, наверное, позабавит цитата из сэра Артура Эддингтона, одного из величайших астрофизиков своего времени:

Послание от компаньона Сириуса удалось расшифровать, и оно гласило: «Я состою из вещества в 3000 раз плотнее всего, с чем вы имели дело, и тонна

50

7—8. Жизнь и смерть звезд моего вещества — крошечный кусочек, который поместится в спичечный коробок». Что можно ответить на такое послание? Большинство из нас в

1914 году сказали: «Замолчи. Не говори глупостей».

Проверьте сэра Артура, вычислите, какого размера должен быть кусочек вещества белого карлика весом в 1 тонну (1000 килограммов). Каковы габариты кубика из вещества белого карлика такой массы? Поместится ли он в спичечный коробок?

47. Сжатие в белый карлик

При такой чудовищной плотности, как в недрах белого карлика

(2 109 кг/ м3), отдельные атомы не в состоянии удержать при себе электроны, и ядра там стиснуты вместе, а электроны, не связанные ни с какими ядрами, блуждают между ними. Представим себе белый карлик, состоящий исключительно из ядер углерода (масса ядра углерода в 12 раз больше массы ядра водорода); вкладом электронов в массу белого карлика можно пренебречь. Вычислите среднее расстояние между ядрами в белом карлике, результат выразите в ангстремах (1 ангстрем = 10–10 м). Сравните с типичным расстоянием между ядрами в твердом углероде при нормальных условиях, которое составляет ~ 1 ангстрем. Подсказка: здесь нужен приблизительный ответ.

48. Вспышки в ночи

Пульсары — объекты, которые, как видно из наблюдательных данных, мерцают с частотой до 600 раз в секунду. Пульсар — это вращающаяся звезда с яркой точкой возле магнитного полюса, и мы видим эту яркую точку каждый раз, когда звезда совершает полный оборот. Таким образом, период вращения звезды может составлять 1/600 секунды. В этой задаче мы получим представление о физической природе пульсара.

51

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

48. а Может ли пульсар быть белым карликом? Типичный белый карлик массой в 1 массу Солнца имеет радиус, примерно равный радиусу Земли

(6400 км). Какова будет (в метрах в секунду) скорость точки на экваторе такого белого карлика, если он вращается с периодом 1/600 секунды? Запрещена ли такая скорость какими-либо законами физики?

48. b Может ли пульсар быть нейтронной звездой? Типичная нейтронная звезда массой в 2 массы Солнца имеет радиус 10 км. Вычислите скорость точки на экваторе такой нейтронной звезды, если она вращается с периодом

1/600 секунды. Возможна ли такая скорость физически?

48. с Скорость, которую вы получили в части b), довольно высока.

Звезды не разваливаются на части за счет гравитации. Рассмотрим кусок вещества на поверхности нейтронной звезды массой в 2 массы Солнца: гравитационная сила, действующая на него, должна быть достаточно велика, чтобы обеспечить центростремительное ускорение, необходимое для движения тела по кругу. Подсчитаем, достаточно ли гравитации нейтронной звезды, чтобы удержать тело на ее экваторе и не дать ему оторваться от звезды? Если нет, нейтронная звезда разлетится в клочки. Подсказка: сравните ускорение свободного падения на поверхности нейтронной звезды с центростремительным ускорением; какое из них должно быть больше, чтобы нейтронная звезда не развалилась?

49. Жизнь на нейтронной звезде

Сверхвысокая гравитация на поверхности нейтронной звезды создает обстановку, совершенно непостижимую с точки зрения нашего повседневного опыта.

49. а Подумайте, как выглядит жизнь на поверхности нейтронной звезды.

Для определенности рассмотрим нейтронную звезду массой в 2 массы Солнца и радиусом 10 километров. В гравитационном поле с ускорением g энергия, 52

7—8. Жизнь и смерть звезд которую надо затратить на перемещение тела массой m на высоту h, составляет mgh. Вычислите в джоулях энергию, которую пришлось бы затратить на подъем тела массой 1 грамм на высоту 1 сантиметр. Подсказка: для этого нужно сначала вычислить ускорение свободного падения на поверхности изучаемой звезды. Сравните эту энергию с ежедневной калорийностью, потребляемой вашим организмом — энергией, которую вы получаете с пищей (2000 калорий; 1 пищевая калория = 4000 Дж). Сколько дневных рационов вам нужно съесть, чтобы получить энергию, необходимую для подъема такой массы?

49. b Предположим, вы падаете на нейтронную звезду ногами вниз.

Во время падения вы ничего не весите. Однако неприятности у вас начинаются еще до удара о поверхность. Ускорение свободного падения, как вы вычислили в части а), очень велико, однако велика и разница между ускорением свободного падения вашей головы и ног. Вычислите эту разницу перед самым ударом о поверхность в единицах м с–2. Эта разница (так называемая приливная сила) так велика, что ваше тело разорвет в клочки.

Подсказка: лучше всего решать эту задачу, вспомнив, что расстояние ме-

жду вашей головой и ногами много меньше радиуса нейтронной звезды, воспользуйтесь этим, когда будете вычислять разность, о которой спраши-

вается в задаче, и вы заметно упростите себе работу. Сначала проделайте все алгебраические преобразования и только потом подставляйте числа.

Те из вас, кто знаком с математическим анализом, сразу узнают процесс вычисления дифференциала.

50. Расстояние до сверхновой

Одна из самых сложных задач в астрономии — определение расстояния до объектов, которые мы видим на небе. Здесь вы оцените расстояния до знаменитого остатка сверхновой, вспышку которой видели на Земле почти

1000 лет назад.

53

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

50. а Крабовидная туманность, остаток от взрыва сверхновой, имеет приблизительно сферическую форму и расширяется. Она изображена на рис. 8.4 «Большого космического путешествия». Угол, которому противолежит ее диаметр в небе, увеличивается со скоростью 0,23 угловой секунды в год. Спектры светящегося газа этой туманности показывают (на основании эффекта Доплера), что вдоль луча зрения газ тоже расширяется со скоростью

1200 км с–1 относительно центра туманности. На основании этих данных вычислите приблизительное расстояние до Крабовидной туманности в световых годах. Подсказка: исходите из предположения, что взрыв изотропен (то есть одинаков по всем направлениям). То есть скорость расширения вдоль луча зрения равна скорости расширения в плоскости неба. Если скорость расширения относительно центра туманности равна 1200 км/с, задайтесь вопросом, какова эта скорость, если считать от одной стороны остатка сверх-

новой до другой.

50. b Сейчас угловой размер Крабовидной туманности составляет

5 ± 1,5 угловых минут в диаметре (здесь погрешность говорит о том, что туманность не совсем сферична). Предположив, что она и раньше расширялась с постоянной скоростью, приблизительно подсчитайте, в каком году свет от изначального взрыва сверхновой достиг Земли. Обязательно учтите заданную неопределенность углового размера. Сравните результаты с датой, когда сверхновую наблюдали китайцы, — 1054 г. н. э. Соответствуют ли этой дате ваши результаты, полученные с учетом неопределенности наблюдаемого углового размера?

50. с В части а) вам дана скорость газа. Масса расширяющегося газа составляет около 20 масс Солнца. Вычислите кинетическую энергию взрыва, результат выразите в джоулях. Взорвавшаяся звезда была, вероятно, звездой класса О на главной последовательности со светимостью в 103 раза больше солнечной. Вычислите, сколько времени такая звезда должна была

54

7—8. Жизнь и смерть звезд светить, чтобы выработать столько энергии, сколько сейчас присутствует в виде кинетической энергии расширяющегося газа.

51. Сверхновые очень энергичны!

Взрыв сверхновой — это очень мощный взрыв, и при нем за месяц выделяется столько же энергии в форме видимого света, сколько Солнце излучает за 100 миллионов лет.

51. а Вычислите общее количество энергии, излучаемой при взрыве сверхновой в форме видимого света. Ответ выразите в джоулях.

51. b Какова средняя светимость сверхновой? Ответ выразите в светимостях Солнца.

51. с На каком расстоянии сверхновая на ночном небе будет такой же яркой, как полная Луна? Ответ выразите в световых годах. Яркость полной

Луны в 4 105 раз меньше яркости Солнца.

52. Сверхновые очень опасны!

Взрыв близкой сверхновой может стать катастрофой для жизни на

Земле. В предыдущей задаче вы рассматривали сверхновую, до которой так близко, что она может светить ярко, как полная Луна. Это, конечно, было бы прекрасным зрелищем, на вид совершенно безобидным, но, увы, вдобавок к фотонам видимого света сверхновая испускает множество других, значительно более энергичных, фотонов и космических лучей, которые способны повредить земную атмосферу и сделать ее опасной для жизни, даже если до сверхновой будет 100 световых лет (30 парсек).

В Млечном Пути на один кубический парсек приходится примерно одна звезда. Всего в нашей галактике 1011 звезд, и примерно каждые

100 лет взрывается одна сверхновая. Сколько приблизительно времени

55

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь пройдет, прежде чем очередная сверхновая взорвется достаточно близко к Земле (в пределах 30 парсек) и существенно повлияет на атмосферу

Земли? Следует ли из вашего ответа, что за будущее Земли следует всерьез опасаться?

53. Нас прошивают нейтрино

В 1987 году астрономический мир потрясли новости о взрыве сверхновой в Большом Магеллановом облаке, карликовой галактике-компаньоне Млечного Пути, до которой от нас 150 000 световых лет. Это ближайшая к нам сверхновая, из наблюдавшихся за последние 400 лет, и ее удалось изучить подробнейшим образом. Светимость ее была огромна, при взрыве за несколько недель высвободилось столько видимого света, сколько Солнце излучит за 108 лет. В южном полушарии ее было видно невооруженным глазом. Однако теории механизмов, действующих при взрывах сверхновых, показывают, что видимый свет составляет лишь малую долю энергии, излучаемой при взрыве, а основная ее часть излучается в виде нейтрино. Когда сверхновая 1987 года была обнаружена, Джон Бакал из Принстонского Института перспективных исследований и его коллеги проделали приведенные ниже расчеты, задавшись вопросом, можно ли зарегистрировать здесь, на Земле, нейтрино от взрыва этой сверхновой.

53. а Энергия взрыва сверхновой в основном порождается гравитационным коллапсом ядра звезды в момент, когда это ядро становится железным; в результате этого коллапса внутренняя «доменная печь» отключается. Гравитационная потенциальная энергия ядра массы М и радиуса r 2 примерно равна GM , где G — гравитационная постоянная Ньютона. Такая r энергия высвобождается в момент коллапса за одну-две секунды! Ядро звезды обладает массой, равной массе Солнца, а его радиус сравним с ра-

56

7—8. Жизнь и смерть звезд диусом нейтронной звезды — 10 километров. Вычислите общую энергию, испускаемую сверхновой, в джоулях.

53. b Мы упоминали, что энергия, которую вы только что вычислили, испускается в основном в виде нейтрино, видимый свет сверхновой составляет всего около 0,01 % от общей энергии взрыва. Каждое нейтрино несет энергию приблизительно 1,5 10–12 Дж. Вычислите, сколько нейтрино излучается при взрыве сверхновой. (Вычислить это проще простого, зато получится огромное число!)

53. с Ученые создали много разных детекторов нейтрино (чтобы искать нейтрино от другого интересного объекта — нашего Солнца,). Один из самых больших — японская установка «Камиоканде». В 1987 году она состояла из водяного куба со стороной примерно в 10 метров (позже ее расширили).

Вычислите, сколько нейтрино от сверхновой прошло сквозь этот водяной куб.

Подсказка: закон обратных квадратов справедлив для нейтрино точно так же, как и для света. Рассмотрите площадь детектора и помните, что нейтрино распространяются от сверхновой во все стороны и к моменту попадания в детектор «Камиоканде» они распределились по поверхности огромной сферы со сверхновой в центре.

53. d Нейтрино — призрачные частицы, зарегистрировать их очень трудно (но все же возможно). Типичное нейтрино прошивает всю Землю незамеченным, и с ним ничего не происходит. Однако, как выяснилось, примерно 1 из 5 1015 (то есть одно из пяти квадриллионов!) нейтрино, проходящих сквозь детектор «Камиоканде», взаимодействует с водой в детекторе, и благодаря этому его регистрируют. Вычислите, сколько нейтрино зарегистрировали в этом детекторе.

54. Вот это взрыв!

Астрономов уже давно очень интересуют гамма-всплески, которые, как следует из их названия, представляют собой внезапные вспышки высокоэнергичных фотонов, наблюдающиеся на небе в случайных местах. Такие

57

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь всплески — предмет интенсивных исследований, и сейчас считается, что по крайней мере некоторые из них, вероятно, связаны с агонией массивных звезд, коллапсирующих в черные дыры. Гамма-всплески — явление не очень частое, спутник НАСА «Свифт», предназначенный для их регистрации, фиксирует меньше 100 всплесков в год. Однако 19 марта 2008 года стало особым днем для «Свифта»: он зарегистрировал целых пять гамма-всплесков, причем один из них, названный GRB 080319B, оказался мощнейшим за всю историю наблюдений. Более того, на некоторое время этот объект стал абсолютным рекордсменом по светимости во всей наблюдаемой Вселенной. В этой задаче вы вычислите его параметры и поймете, какое это было выдающееся открытие. Вы проделаете те же вычисления, какие сделали профессиональные астрономы со всего мира, когда они узнали об этом всплеске.

54. а Установленный на «Свифте» телескоп ВАТ (Burst Alert Telescope) зарегистрировал от GRB 080319B около 70 000 фотонов в секунду, всплеск длился около 30 секунд. Эффективная чувствительная площадь у ВАТ равна

500 см2, если учесть все коэффициенты восприимчивости. Большинство фотонов этого гамма-всплеска обладало энергией около 100 килоэлектроновольт (кэВ). Для справки: 1 кэВ равен примерно 1,6 10–16 Дж. Вычислите яркость гамма-лучей от GRB 080319B в стандартных единицах МКС (джоуль/

секунда/метр2).

54. b Гамма-всплески часто сопровождаются излучением фотонов видимого света. Видимое излучение от GRB 080319B было достаточно ярким, чтобы этот объект был виден (хоть и с трудом) невооруженным глазом, с яркостью около 1 10–10 Дж/с/м2 (соответствует примерно шестой звездной величине). Вспышка видимого света тоже продлилась около 30 секунд.

Каково отношение яркости гамма-излучения и видимого излучения этого гамма-всплеска?

54. с Когда астрономы измерили спектр видимого света от GRB

080319B, они сумели измерить его красное смещение. В главе 14 «Боль-

58

7—8. Жизнь и смерть звезд шого космического путешествия» рассказано, как это позволяет определить расстояние. Красное смещение GRB 080319B составляет 0,94, что соответствует расстоянию в целых 11 миллиардов световых лет. Просто поразительно, что такой далекий объект был виден невооруженным глазом, пусть и недолго! Вычислите общее количество энергии (в джоулях), излученное этим объектом. Проделайте расчеты отдельно для энергии гамма-излучения и энергии видимого света. Подсказка: помните, что све-

тимость — это энергия в единицу времени в джоулях в секунду. Поэтому вычислите светимость и умножьте ее на продолжительность вспышки. По-

скольку Вселенная расширяется, а красное смещение на таком расстоянии достаточно велико, энергия на фотон, зарегистрированный нами, меньше, чем излучаемая энергия, в (1 + красное смещение) 2 раза. Это спра-

ведливо и для видимого света, и для фотонов гамма-всплеска. Поэтому результаты нужно будет умножить на 2.

54. d Чтобы получить представление, насколько велики числа, полученные в части с), представьте себе, что вся энергия гамма-всплеска была получена в результате преобразования массы в энергию согласно формуле

Эйнштейна E = mc 2. Сколько массы соответствует такому количеству энергии?

Ответ выразите в массах Солнца.

54. е Хотя вы обнаружили, что энергия видимого света меньше энергии гамма-лучей, она сама по себе огромна. Сколько пришлось бы светить

Солнцу с его нынешними темпами излучения, чтобы испустить столько же энергии видимого света, сколько выделилось при этом гамма-всплеске?

Ответ выразите в годах и сравните с возрастом Солнца — 10 миллиардов лет.

55. Бах-барабах!

Двадцать седьмого декабря 2004 года гамма-детекторы на нескольких спутниках зарегистрировали удивительное явление: самый мощный всплеск гамма-излучения за всю историю наблюдений. В течение 0,1 секунды детекторы измерили поток в 1011 фотонов с–1 м–2 в виде гамма-лучей

59

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь с длиной волны 7 10–12 м. Было определено, что это излучение исходит от объекта, находящегося на расстоянии 50 000 световых лет, на другой стороне Млечного Пути.

55. а Вычислите энергию одного фотона гамма-излучения, ответ выразите в джоулях. Опираясь на полученный результат, переведите поток в яркость в единицах джоуль с–1 м–2.

55. b Вычислите светимость этого объекта, зная его яркость и расстояние. Выразите светимость в джоулях в секунду, то есть в ваттах. Зная, что источник сохранял такую светимость лишь 0,1 секунды, вычислите общее количество выработанной энергии (в джоулях) и сосчитайте, сколько времени потребовалось бы Солнцу, чтобы выработать столько же энергии.

55. с Одним из космических аппаратов, зарегистрировавших эту вспышку, был спутник «Свифт» (см. задачу 54). Этот прибор мог бы зарегистрировать и более слабый поток гамма-лучей, всего в 104 фотонов с–1 м–2.

На каком расстоянии мог бы «Свифт» зарегистрировать такой объект? Ответ выразите в световых годах.

56. Компактная звезда

Обычное вещество, с которым вы сталкиваетесь в повседневной жизни, когда имеете дело с твердыми телами, состоит исключительно из атомов.

Диаметр атома — примерно 10–10 метра, и это расстояние между центрами атомов в обычном твердом веществе. Однако атом состоит по большей части из пустоты, а ядро (на которое приходится почти вся масса атома) имеет диаметр 10–15 метра.

В нейтронной звезде вся эта пустота выжата так, что ядра касаются друг друга. То есть расстояние между центрами ядер в нейтронной звезде составляет 10–15 метра. Найдите отношение плотности нейтронной звезды к плотности обычного твердого тела у вас дома. Помните, что плотность тела — это его масса, деленная на объем. Вычисления надо проделать

60

7—8. Жизнь и смерть звезд с точностью до одной значащей цифры (поэтому можно не учитывать истинную геометрическую конфигурацию атомов и ядер). Подсказка: если вам придется в какой-то момент подставлять в уравнения массу атома, вы пошли трудным путем.

57. На орбите вокруг нейтронной звезды

Земля движется по орбите вокруг Солнца со скоростью 30 километров в секунду. Рассмотрим планету на круглой орбите вокруг нейтронной звезды с массой, равной массе Солнца. Радиус орбиты 9 а. е. Вычислите ее скорость в километрах в секунду.

58. Диаграмма Герцшпрунга — Рассела

Диаграмма Герцшпрунга — Рассела (Г — Р) — основной инструмент, при помощи которого астрономы оценивают свойства звезд. Напишите эссе о том, что такое диаграмма Г — Р, нарисуйте ее схематически (не забудьте надписать оси!) и объясните, что положение звезды на диаграмме говорит о ее массе, температуре, радиусе, продолжительности жизни и стадиях эволюции. Ваши объяснения должны точно описывать природу главной последовательности, красных гигантов и белых карликов и эволюционные отношения между этими категориями. Часть сочинения должна быть посвящена термоядерному синтезу и его роли у звезд разного типа.

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

9

ПОЧЕМУ ПЛУТОН — НЕ ПЛАНЕТА

59. Соперница Плутона?

Задача повышенной сложности.

Открытие карликовой планеты Эрида взбудоражило астрономическое сообщество и стало предметом сенсационных заголовков в газетах; Эрида почти с Плутон размером (как мы вскоре увидим) и заставляет задаться интересными вопросами об определении планет как таковых.

Вас назначили главой рабочей группы астрофизиков, которой поручено рассчитать некоторые свойства Эриды. Решая эту задачу, вы проделаете те же фундаментальные исследования и воспользуетесь для изучения свойств этого небесного тела теми же инструментами, что и профессиональные астрономы. Исходите во всех своих рассуждениях из предположения, что Эрида сферична и наблюдается в оппозиции (то есть Земля лежит на прямой линии, соединяющей Солнце и Эриду).

59. а Вам звонит Майк Браун из Калтеха, глава группы, которая открыла

Эриду и другие объекты размером с Плутон в поясе Койпера. «Мне нужна ваша помощь в некоторых важных расчетах, касающихся моей новой планеты, —

говорит он. — Мне нужно выяснить, каково расстояние до нее». По наблю-

62

9. Почему Плутон — не планета дениям, Эрида за 5 часов смещается на фоне звезд на 7,5 угловых секунд, если смотреть с Земли (см. http://web.gps.caltech.edu/~mbrown/planetlila/lila.

gif). Это наблюдение выполняется, когда Эрида находится в оппозиции, то есть напротив Солнца, если смотреть с Земли. Поскольку, как мы увидим, Эрида гораздо дальше от Солнца, чем Земля, она движется вокруг Солнца несколько медленнее Земли, поэтому ее видимое движение на небосводе, в сущности, объясняется только параллаксом, вызванным движением Земли. Сначала вычислите скорость, с которой Земля вращается вокруг Солнца, в километрах в секунду. Затем из этих сведений и малоугловой формулы вычислите расстояние от Земли до Эриды. Результат выразите в а. е. Сравните его с большой полуосью орбиты Плутона (ее величину нужно будет где-то посмотреть).

59. b Теперь мы выясним, насколько велика Эрида, если исходить из ее видимой яркости. Нам придется проделать некоторые расчеты. Свет Эриды складывается из двух компонентов: это отраженный свет Солнца (в основном это видимый свет) и излучение абсолютно черного тела из поглощенного солнечного света (в основном инфракрасное излучение); при дальнейших вычислениях важно помнить, с каким из двух видов света вы имеете дело.

Альбедо Эриды (то есть доля попадающего на Эриду света, которая отражается от ее поверхности) очень высоко, около 96 %. Это наводит на мысль, что она покрыта слоем блестящего льда, и спектроскопия говорит нам, что лед состоит из замерзшего метана (СН).

4

Начнем с уравнения для яркости Эриды, которая зависит от ее расстояния от Солнца d и ее радиуса r. Во-первых, найдите, сколько солнечного света Эрида отражает в единицу времени (то есть определите ее светимость в отраженном свете); ответ выразите через d, r, альбедо А и светимость

Солнца L. Только пока не подставляйте числа!

59. с Мы регистрируем лишь крошечную долю света, отраженного

Эридой. Вычислите по закону обратных квадратов яркость Эриды, воспринимаемую здесь, на Земле. Опять же не спешите подставлять числа, ограничьтесь алгеброй, и ваш ответ опять же должен включать d, r, А и L.

63

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

Подсказка: поскольку Эрида так далека от Солнца, крошечным расстоянием в

1 а. е., отделяющим Землю от Солнца, можно пренебречь. Поэтому исходите из приближения, согласно которому расстояние от Солнца до Эриды и от

Земли до Эриды одинаково.

59. d Так уж и быть, подставляйте числа. Измеренная яркость Эриды равна 2,4 10–16 Дж м–2 с–1. Мы знаем расстояние до Эриды d и ее альбедо А и знаем, где посмотреть светимость Солнца L. Воспользуйтесь этой информацией, чтобы вычислить радиус Эриды r. Подсказка: не путайте единицы! Сравните его с радиусом Плутона (1200 км): вы должны получить сопоставимый результат. Как рассказано в главе 9 «Большого космического путешествия», это привело к спорам об определении понятия планеты: если

Плутон — планета, то и Эрида, конечно, тоже.

59. е Телефон звонит снова: это Кен Сембах, руководитель Балтиморского института космического телескопа. «Мы наблюдали Эриду при помощи телескопа им. Хаббла и обнаружили, что вокруг нее вращается спутник! —

говорит Кен. — Мне сказали, вы специалист по применению третьего закона

Кеплера, нам нужно, чтобы вы вычислили массу Эриды». Спутник назвали

Дисномией; как, наверное, смешат эти названия тех из вас, кто знаком с загадочными героями древнегреческих мифов! Наблюдения с телескопом им. Хаббла показывают, что Дисномия вращается вокруг Эриды по почти круглой орбите с периодом 15,8 земных суток. Большая полуось орбиты противолежит углу в 0,53 угловые секунды, если смотреть с Земли. Вычислите ее размер в километрах и найдите массу Эриды в килограммах. Сравните ее с массой

Плутона (1,3 1022 кг). Что массивнее — Плутон или Эрида?

59. f Следующий на проводе — Алан Штерн, главный в мире специалист по Плутону. «Ходят слухи, что вы определили и массу, и радиус Эриды.

Вы понимаете, насколько это важно? Ведь теперь вы можете вычислить ее плотность, а это покажет, из чего она состоит». Какова эта плотность (в граммах на кубический сантиметр)? Как она соотносится с плотностью водяного льда (1,0 г/см3), Плутона (1,9 г/см3; его массу, по-видимому, составляют

64

9. Почему Плутон — не планета в основном силикатные породы) и Земли (5,5 г/см3; ее массу составляют в основном железо и никель в ядре)? Выскажите свои предположения по поводу состава Эриды.

59. g Телефон уже раскалился. На этот раз вам названивает доктор Лиза

Сторри-Ломбарди, директор научно-исследовательского центра телескопа

«Спитцер», который чувствителен к инфракрасной части спектра. «Я так понимаю, что вы умеете вычислять температуру тел в Солнечной системе, — говорит она. — Можете вычислить ожидаемую равновесную температуру Эриды?»

(Парниковым эффектом надо пренебречь, поскольку Эрида такая холодная, что особой атмосферы у нее, скорее всего, нет). «Мне нужно знать, на какой длине волны наблюдается максимум чернотельного излучения Эриды, —

продолжает доктор Сторри-Ломбарди, — тогда мы поймем, как наладить инструменты «Спитцера», чтобы наблюдать ее». Ответьте на ее вопрос, ответ выразите в микронах. Действительно ли это инфракрасная часть спектра?

59. h А телефон все не унимается. Теперь звонит Чарльз Болден, глава

НАСА: он подумывает послать на Эриду космический зонд. «Я наслышан о ваших фундаментальных расчетах свойств Эриды, — говорит он почтительно. — Мне хотелось бы знать, может ли у Эриды быть азотная атмосфера». Найдите вторую космическую скорость для поверхности Эриды. Сравните ее со скоростью молекулы азота (N) в ее атмосфере с учетом температуры поверхности, которую вы

2 уже нашли. Сможет ли Эрида удержать свой азот или он разлетится?

Телефон наконец умолкает. Вы падаете в кресло, усталые, но довольные, надеясь, что в следующий раз вам позвонят из Стокгольма — из Нобелевского комитета…

60. Еще один соперник Плутона

Эта задача тесно связана с задачей 59, однако это так увлекательно, что стоит решить ее два раза! И числа в обоих случаях взяты отнюдь не с потолка: это настоящие данные наблюдений.

65

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

Объект из пояса Койпера под названием Орк — один из крупнейших известных нам астероидов в Солнечной системе. Вас назначили главой рабочей группы астрофизиков, задача которых — вычислить некоторые свойства

Орка; в процессе вы кое-что узнаете об основных свойствах объектов пояса

Койпера (так называемых транснептуновых объектах, они же ТНО). Решая эту задачу, вы проделаете те же фундаментальные исследования и воспользуетесь для изучения свойств этого небесного тела теми же инструментами, что и профессиональные астрономы. Исходите во всех своих рассуждениях из предположения, что Орк сферичен, вращается вокруг Солнца по круглой орбите и наблюдается в оппозиции (то есть Земля лежит на прямой линии, соединяющей Солнце и Орк).

60. а По данным наблюдений, за час Орк смещается на 3,8 угловых секунд на фоне звезд. Как вам предстоит показать, он движется вокруг Солнца несколько медленнее, чем Земля, поэтому его видимое движение по небу, в сущности, объясняется только параллаксом, вызванным движением Земли.

На основании этих сведений вычислите расстояние от Земли до Орка. Ответ выразите в а. е. Сравните его с длиной большой полуоси орбиты Плутона.

60. b Вычислите период обращения Орка по орбите (в годах) и скорость

(в км/с) его движения вокруг Солнца. Действительно ли он движется значительно медленнее Земли, как мы предположили в части а)?

60. с Теперь вычислите период обращения Нептуна (большая полуось его орбиты равна 30 а. е.) в годах, а затем найдите отношение периодов обращения Орка и Нептуна. Должно получиться отношение, очень близкое к отношению двух маленьких целых чисел; каких именно? В результате каждые несколько оборотов Нептун и Орк оказываются друг относительно друга в одном и том же положении, поэтому вступают в одни и те же гравитационные взаимодействия друг с другом, и эта закономерность со временем укрепляется. Когда раз за разом возникают одни и те же гравитационные взаимодействия в одной и той же позиции, это называется резонанс, а резо-

66

9. Почему Плутон — не планета нанс, о котором идет речь, притягивает к себе много астероидов. Список всех известных на сегодня ТНО можно найти по адресу https://minorplanetcenter.

net/iau/lists/TNOs.html. Проглядите колонку, где указана большая полуось орбиты (она помечена латинской буквой «а»). Дайте обоснованную оценку доли известных ТНО, которые находятся в таком резонансе с Нептуном. Подобные объекты, делящие орбиту с Плутоном, получили общее название «Плутино».

60. d Теперь мы найдем размеры Орка на основании его яркости, наблюдаемой с Земли. Нам придется проделать кое-какие вычисления.

Излучение Орка состоит из двух компонентов: отраженный свет Солнца и чернотельное (тепловое) излучение в результате поглощения солнечного света. При дальнейших вычислениях важно помнить, с каким из двух видов света вы имеете дело. Альбедо Орка составляет 0,23. То есть он отражает всего 23 % попадающего на него света, так что этот объект довольно тускл.

На самом деле многие небесные тела во внешней части Солнечной системы еще тусклее — альбедо у них 10 % и даже меньше. В чем тут дело, ученые пока плохо понимают; это что-то говорит нам о химическом составе поверхностей объектов из пояса Койпера. Любопытно, что сам Плутон — исключение. Коэффициент отражения у него довольно велик (60 %), поскольку его поверхность покрыта слоем метанового и азотного инея.

Начнем с того, что выведем формулу для яркости Орка на основании его расстояния от Солнца d и радиуса r. Сначала найдите количество света, отражаемого поверхностью Орка; ответ выразите через d, r, альбедо А

и светимость Солнца L. Числа пока не подставляйте.

60. e Мы регистрируем лишь крошечную долю света, отраженного от

Орка. Вычислите яркость Орка, наблюдаемую с Земли, по закону обратных квадратов. Не спешите подставлять числа, ограничьтесь алгеброй; ответ опять же должен содержать d, r, А и L. Подсказка: поскольку Орк так далеко от Солнца, крошечным расстоянием в 1 а. е., отделяющим Землю от Солнца, можно пренебречь. Поэтому исходите из приближения, согласно которому расстояние от Солнца до Орка и от Земли до Орка одинаково.

67

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

60. f Наконец-то можно подставить числа.

Наблюдаемая яркость Орка равна 4 10–16 Дж м–2 с–1. Мы знаем расстояние до Орка d и его альбедо А и знаем, где посмотреть светимость

Солнца L. Воспользуйтесь этой информацией, чтобы вычислить радиус

Орка r. Подсказка: не путайте единицы!

61. Воздействие планеты на материнскую звезду

Когда мы изучали орбиты планет вокруг звезды вроде Солнца, то исходили из приближения неподвижности самой звезды. Однако это не совсем так: согласно третьему закону Ньютона планета оказывает гравитационное воздействие на свою звезду, причем это воздействие равно по величине и противоположно по направлению воздействию звезды на планету. Эта задача связана с задачей 30, где также изучается воздействие звезды, движущейся по орбите, на ее материнскую звезду.

Мы хотим найти скорость самой звезды; вскоре мы убедимся, что это способ сделать вывод о существовании планеты. Рассмотрим простейший случай звезды, вокруг которой обращается одна планета.

61. а Одно из следствий третьего закона Ньютона — закон сохранения импульса. Импульс р тела массы m, движущегося со скоростью v, равен их произведению: р = mv. Сумма импульсов планеты и звезды равна нулю, то есть относительно общего центра масс импульс звезды всегда равен по величине и противоположен по направлению импульсу планеты. Начните с формулы для скорости планеты на круглой орбите на расстоянии радиуса r от звезды массы М :

GM

v

∗

=

и выведите алгебраическое выражение

*

r для скорости звезды. Масса планеты равна М .п

61. b При помощи выражения, которое вы только что вывели, вычислите, с какой скоростью движется Солнце под гравитационным воздействием

Юпитера (для этого нужно будет узнать в справочной литературе массу

68

9. Почему Плутон — не планета и радиус орбиты Юпитера); результат выразите в метрах в секунду. Сравните со скоростью самых быстрых спринтеров-людей (вспомните, что мировой рекорд в стометровке — около 10 секунд).

61. с Можем ли мы зарегистрировать планету вроде Юпитера на орбите вокруг далекой звезды? Свет такой планеты совсем слаб, и технологии, позволяющие различить этот свет непосредственно рядом с сиянием несравнимо более яркой звезды, только сейчас начинают приносить некоторые плоды. Однако мы можем зарегистрировать движение, вычисленное в части

b), проанализировав Допплеровский сдвиг в спектре звезды, из-за которого спектр сначала сдвигается в сторону большей длины волны (когда звезда отдаляется от нас), а затем в сторону меньшей (когда она приближается).

Этот эффект очень мал, но измерим, и осцилляции этого сдвига можно наблюдать на протяжении всей орбиты. Мы можем измерить величину эффекта Допплера и период осцилляции для каждой звезды.

Приведем данные по двум звездам, у которых есть признаки наличия планет. Предположим, орбита каждой планеты круглая и перпендикулярна плоскости неба, а материнская звезда в каждом случае обладает тем же радиусом, температурой поверхности и светимостью, что и Солнце. Для каждой звезды определите массу планеты (в массах Юпитера), вызывающей движение, большую полуось ее орбиты (в а. е.) и температуру поверхности.

Вычисляя температуру, можете пренебречь альбедо, ведь мы ничего не знаем ни об атмосфере, ни о свойствах поверхности планет!

Подробно опишите ход ваших рассуждений для одной из планет; приводить детальные расчеты для второй не нужно.

Звезда

Амплитуда (м/с)

Период (земные сутки)

51 Pegasi

56

4,2

HD 156836

464

360

69

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

62. Катастрофические столкновения с астероидами

Эту задачу предложил Крис Чиба

Считается, что на заре истории Земли в период, получивший название «Поздняя тяжелая бомбардировка», на нашу планету упало несколько астероидов, достаточно крупных, чтобы испарились все океаны. С точки зрения жизни на ранней Земле это был скверный поворот. В этой задаче вас просят вычислить, сколько раз юная Земля сталкивалась с астероидами, не настолько крупными, чтобы испарились все океаны, но все же сумевшими испарить верхние 200 метров поверхности океана. Это довольно важно, поскольку верхние 200 метров составляют эпипелагиаль — слой океанской воды, куда проникает солнечный свет и где возможен фотосинтез.

Внезапное закипание и испарение этого слоя могло уничтожить почти все фотосинтезирующие организмы на Земле, что не сулило ничего хорошего всей пищевой цепочке.

62. а Океаны покрывают примерно 3/4 земной поверхности. Какова общая масса воды в верхних 200 метрах земных океанов? Ответ дайте в килограммах. В рамках этой задачи считайте, что средняя температура океанов равна 0 °C. Если первоначальная температура воды составляет 0 °C, чтобы нагреть килограмм воды до кипения на Земле при атмосферном давлении на уровне моря, нужно 2,5 106 джоулей энергии. Сколько энергии в джоулях нужно, чтобы вскипятить верхние 200 метров земных океанов?

62. b Если Земля столкнется с астероидом, кинетическая энергия соударения перейдет в колоссальное количество тепловой энергии, что окажет на Землю катастрофическое воздействие. По оценкам, на испарение океанских вод уйдет 25 % кинетической энергии астероида. Предположим, что астероид относительно Земли движется со скоростью 20 км/с; какой должна быть его масса, чтобы испарить верхние 200 метров океана?

А как насчет испарить весь океан, средняя глубина которого составляет

3,5 километра?

70

9. Почему Плутон — не планета

62. с Астероиды часто бывают каменными, и их плотность составляет около 3,0 г/см3. Каковы объемы V в кубических метрах двух астероидов, массы которых вы нашли в части b)?

62. d Предположите, что эти астероиды имеют сферическую форму.

Каковы их радиусы в километрах? Исследования кратеров Луны показывают, что общее число астероидов с радиусом r и больше, упавших на раннюю Землю, пропорционально r –2. Так, например, общее число астероидов радиусом больше 200 метров — это четверть общего числа астероидов радиусом больше 100 метров. Исследования кратеров Луны показывают, что, вероятно, на раннюю Землю упали три астероида, размеров которых хватало, чтобы испарить мировой океан. Предположим, эти соударения произошли через равные промежутки времени в период между 4,4 миллиарда лет назад и 3,8 миллиарда лет назад (то есть в период Поздней тяжелой бомбардировки). Каков был средний промежуток между падениями астероидов, габаритов которых хватало, чтобы испарить освещаемый

Солнцем слой океанов?

63. Разрушители планет

Задача повышенной сложности

При решении этой задачи мы рассмотрим, насколько близко может находиться спутник к своей планете, прежде чем приливные силы разорвут его в клочки. То есть мы узнаем, на каком расстоянии разница между ускорением части спутника, находящейся между его поверхностью и половиной радиуса, вызванное притяжением планеты, становится больше гравитационного притяжения самого спутника, которое не дает ему распасться.

Рассмотрим планету радиусом R . Вокруг него вращается спутник рап диусом R по орбите радиусом r (это расстояние между центрами планеты c и спутника). Нам нужно найти значение r, в пределах которого собственная гравитация спутника преодолевается приливной силой со стороны планеты.

71

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь

Предположим, спутник и планета обладают одной и той же равномерной плотностью, а планета значительно больше спутника. Расстояние между ними, естественно, больше и планеты, и спутника, то есть r > R >> R .

п c

63. а Рассмотрим два камня: один на поверхности спутника в ближайшей к планете точке, другой в центре спутника. Вычислите разницу в ускорении этих камней, вызванном планетой. Придерживайтесь приближения, согласно которому R << r (то есть R много меньше r). Покажите, что такое c c дифференциальное ускорение стремится растянуть камни в разные стороны.

63. b Теперь вычислите ускорение, вызванное собственной гравитацией спутника, которое удерживает камни вместе.

63. с На основании этих результатов найдите условие, при котором на расстоянии r ускорение приливных сил становится сильнее собственной гравитации. Если спутник подойдет к планете ближе, его разорвут приливные силы со стороны планеты.

63. d Обратите внимание, что ваш результат не зависит ни от, ни от

R . Вы вычислили так называемый предел Роша. Можно проделать вычис-

c ления более тщательно, как сделал сам Эдуар Рош, считая спутник жидким и задавшись вопросом, разделится ли он надвое под воздействием приливного растяжения; тогда можно найти, что r = 2,44 R . Загляните

Роша п в таблицу спутников планет Солнечной системы (хороший источник —

https://solarsystem.nasa.gov/planets/overview/). Находятся ли какие-нибудь спутники на расстоянии меньше предела Роша от своей планеты? Ответ поясните.

10. Поиски жизни в Галактике

10

ПОИСКИ ЖИЗНИ В ГАЛАКТИКЕ

64. Орбиты и температуры планет

Представьте себе звезду с массой в четыре солнечных, радиусом, равным радиусу Солнца, и температурой поверхности 12 000 К. Вокруг звезды по круглым орбитам вращаются две планеты: Зафод с радиусом орбиты 1 а. е.

и Префект с радиусом орбиты 4 а. е. Подсказка: при решении этой задачи опирайтесь на свои знания об орбите Земли вокруг Солнца.

64. а Каков период обращения Префекта? Ответ выразите в годах.

64. b Предположим, на этих планетах нет парникового эффекта, их альбедо равно нулю, а излучают они как абсолютно черные тела. Каково отношение равновесных температур Зафода и Префекта?

64. с Массы Зафода и Префекта равны, но радиус Зафода в два раза меньше, чем у Префекта. Каково отношение их плотностей?

65. Вода на других планетах?

Едва ли не самое важное астрономическое открытие последних десятилетий — это планеты на орбитах вокруг других звезд. Чтобы обнаружить такие планеты, можно, в частности, наблюдать вызванные ими движения ма-

73

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь теринской звезды (см. задачу 61). В этой задаче вы вычислите температуру поверхности шести из нескольких тысяч уже открытых планет. Наблюдения переменного эффекта Доплера у излучения материнской звезды позволяет определить период и эксцентриситет орбиты планеты. Планеты, которые вы будете изучать, их периоды и эксцентриситеты даны в таблице: Название

Период

Эксцентриситет

Примечания планеты

(сутки)

51 Pegasi

4,23

0,01

Первая планета,

обнаруженная вне

Солнечной системы*

HD 209458

3,525

0,11

Регулярно затмевает материнскую звезду

55 Cancri b

14,65

0,02

У этой планеты и двух следующих одна и та же материнская звезда

55 Cancri с

44.28

0,34

55 Cancri d

5,360

0,16

HD 142415

388

0,5

Все эти планеты обнаружены вокруг звезд класса G главной последовательности, то есть звезд, у которых температура поверхности, радиус и масса, в сущности, идентичны солнечным.

65. а Для каждой планеты вычислите большую полуось орбиты, а также самое большое и самое маленькое расстояние до материнской звезды.

65. b Для каждой планеты вычислите равновесную температуру поверхности, а для тех, у которых эксцентриситет больше 10 %, найдите диапазон

* У звезды солнечного типа. — Прим. ред.

74

10. Поиски жизни в Галактике температур поверхности между минимальным и максимальным приближением к материнской звезде. Для простоты исходите из предположения, что на планетах нет парникового эффекта и их альбедо равно нулю, то есть они поглощают весь попадающий на них солнечный свет: ведь об их атмосферах нам практически ничего не известно!

65. с Может ли на поверхности какой-то из этих планет существовать вода в жидком состоянии, если предположить, что атмосферное давление у них на поверхности примерно такое же, как и на Земле? Расскажите, как эксцентриситет орбиты влияет на возможность существования жидкой воды и на жизнь, которая могла бы существовать на этих планетах.

66. Океаны в солнечной системе

Эту задачу предложил Крис Чиба.

Земля — не единственное небесное тело в Солнечной системе, где есть или были океаны!

66. а Средняя глубина земных океанов — 3,5 километра, мировой океан покрывает 3/4 поверхности Земли. Какова масса всех земных океанов в килограммах?

66. b Радиус Марса равен 3400 км, примерно половина земного. Не стихают споры, были ли когда-то на поверхности Марса океаны, которые затем исчезли. Даже если нет, многое свидетельствует, что когда-то по поверхности

Марса текли потоки воды, а планетологи очень интересуются, сколько именно было этой воды. Некоторые ученые предполагают, что воды на Марсе было столько, что, если бы она равномерно распределялась по поверхности планеты, образовался бы океан глубиной в 1 километр. Каково отношение массы гипотетического древнего марсианского океана и массы земных океанов?

66. с Европа — спутник Юпитера, ее радиус 1560 км, то есть она немного меньше нашей Луны. Есть надежные свидетельства того, что всю Европу

75

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь покрывает океан из жидкой воды глубиной 90 километров под слоем льда толщиной 10 километров. Считайте все это слоем жидкой воды толщиной в 100 километров, равномерно распределенным по сфере радиусом 1460 километров. Сравните массу гипотетического океана на Европе с массой земных океанов, взяв отношение этих величин.

67. Может ли в океане на Европе существовать фотосинтези-

рующая жизнь?

Эту задачу предложил Крис Чиба.

Европа — один из четырех Галилеевых спутников Юпитера. Есть все основания считать, что под ее покрытой трещинами ледяной корой прячется океан из жидкой воды. Поэтому вот уже четверть века ученые рассуждают о перспективах найти там жизнь. В задаче предлагается проделать некоторые предварительные расчеты, позволяющие оценить, насколько возможна жизнь на этом небесном теле.

67. a Европа, как и Юпитер, находится от Солнца на расстоянии 5,2 а. е.

Каков поток солнечного света, падающего на Европу (в ваттах на квадратный метр, то есть яркость Солнца)? На Земле, в Антарктиде, на границе льда и морской воды живут микроорганизмы, способные к фотосинтезу при уровне освещенности в 0,1 ватт на квадратный метр. Может ли у подобного организма идти фотосинтез на таком расстоянии от Солнца, на каком находится Европа?

67. b Радиус Европы составляет 1600 километров. Предположим, что в каждый момент времени одна десятимиллионная часть поверхности ее ледяной коры покрыта трещинами, и жидкая вода через эти трещины непосредственно соприкасается с открытым космосом. (На снимках с зондов видно, что поверхность Европы сплошь в трещинах, но подавляющее большинство из них замерзли снова, поэтому вода не в них соприкасается с открытым космосом). Эти трещины играют важнейшую роль: свет, падающий на лед, 76

10. Поиски жизни в Галактике либо поглощается, либо отражается и не доходит до жидкой воды под ним.

Какова общая площадь жидкой воды, соприкасающейся с открытым космосом в каждый момент времени (в квадратных километрах)? Какова общая мощность (в ваттах) солнечного света, достигающего океана на Европе сквозь трещины? Не забудьте, что к Солнцу в каждый момент времени обращена лишь половина Европы.

67. с Земные микроорганизмы используют энергию, получаемую при фотосинтезе, для производства органических молекул (если у них есть источник углерода, обычно в виде CO). Каждый джоуль энергии, попадающий на микро-

2 организм, позволяет синтезировать приблизительно 2 10–10 кг органической углеродной биомассы. Предположим, все до единого фотоны света, достигшего океана на Европе, поглощаются подобными микроорганизмами, а в их распоряжении вдоволь углерода. Сколько биомассы произведут микроорганизмы на

Европе за 1 год? Типичная земная бактерия содержит около 10–15 кг углерода.

Из какого количества микроорганизмов состоит вся эта биомасса?

67. d Известно, что многие микроорганизмы прекрасно живут глубоко под земной поверхностью. Эти экстремофилы питаются энергией внутреннего тепла Земли и обладают исключительно медленным метаболизмом, так что живут, вероятно, по 1000 лет. Можно предположить, что микроорганизмы на Европе обладают примерно таким же метаболизмом и средняя продолжительность их жизни тоже составляет 1000 лет. Предположим, что популяция стабильна: количество новорожденных микроорганизмов равно количеству умерших. Какова в этом случае общая масса микроорганизмов на Европе? Стабильная биомасса Земли составляет около 1 1015 кг. Каково будет в этом случае отношение биомассы Европы к биомассе Земли?

68. О жидкой воде

Жидкая вода необходима для известных нам форм жизни. Как любят говорить в НАСА, наш девиз в поисках инопланетной жизни — «Следуй

77

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь за водой!» Расскажите, где в Солнечной системе обнаружена жидкая вода и при каких условиях она в принципе может существовать. Опишите равновесные температуры небесных тел в Солнечной системе, объясните, какое отношение они имеют к жидкой воде; не забудьте упомянуть о значении парникового эффекта, расскажите, чем и почему отличается этот эффект на Земле, Венере и Марсе. Объем вашего эссе должен составлять тричетыре абзаца.

10. Поиски жизни в Галактике

Часть II

ГАЛАКТИКИ

11—13. Млечный Путь и Вселенная галактик

11—13

МЛЕЧНЫЙ ПУТЬ И ВСЕЛЕННАЯ ГАЛАКТИК

69. Сколько на свете звезд?

В этой задаче мы вычислим количество звезд в наблюдаемой Вселенной.

69. а Галактика Млечный Путь, где мы обитаем, имеет форму колоссального круглого и плоского диска радиусом 50 000 световых лет и толщиной около 1200 световых лет. Типичное расстояние между звездами —

около 4 световых лет. Вычислите приблизительно, сколько звезд в нашей

Галактике. Подсказка: подумайте, какой типичный объем занимает звезда вместе с окружающим ее пустым пространством.

69. b Млечный Путь — всего лишь одна из множества подобных галактик во Вселенной. Типичное расстояние между такими крупными галактиками с большой светимостью как Млечный Путь составляет около 15 миллионов световых лет. Нынешний радиус видимой Вселенной — около 45 миллиардов световых лет. Оцените приблизительно, сколько галактик в видимой

Вселенной. Подсказка: вычисляйте аналогично части а).

69. с На основании ответов на части а) и b) дайте приблизительную оценку общего количества звезд в видимой Вселенной. Ответ дайте в экс-

81

ЧАСТЬ II. Галактики поненциальном представлении, а также, смеха ради, укажите особое название для этого числа. Подсказка: если вы плохо ориентируетесь в на-

званиях очень больших чисел, посмотрите здесь: http://mathworld.wolfram.

com/LargeNumber.html. Особые названия для таких огромных чисел есть не только в английском и русском, но и в других языках, в том числе в японском, китайском и древнем санскрите.

70. Расстояние между звездами

Ближайшая к Солнцу звезда Проксима Центавра находится от нас на расстоянии около 4 световых лет. Диаметр Солнца примерно равен 0,01 а. е.

Вычислите отношение этих чисел, то есть найдите, сколько Солнц нужно выстроить в одну линию, чтобы она протянулась отсюда до Проксимы

Центавра? Теперь представьте себе ту же задачу в другом масштабе: если

Солнце размером с баскетбольный мяч (10 дюймов в диаметре), то на каком расстоянии находится ближайшая звезда? Ответ выразите в километрах.

71. Пустота пространства

Эта задача позволит нам получить представление о том, как пусто во

Вселенной.

71. а До ближайшей от Солнца звезды около 4 световых лет. Это типичное расстояние между звездами в Млечном Пути. Приблизительно предположив, что все звезды имеют ту же массу, что и Солнце, а вся масса

Млечного Пути складывается из массы звезд, вычислите плотность вещества

Млечного Пути. Сравните с плотностью самого совершенного вакуума, который мы можем получить в современных лабораториях: 10–20 г/см3 (то есть вычислите отношение этих величин). Ответ поясните. Подсказка: для реше-

ния этой задачи знать габариты Млечного Пути не нужно.

71. b Теперь вычислите плотность всей Вселенной, исходя из предположения, что все галактики обладают одинаковой массой (1,5 1011 масс

82

11—13. Млечный Путь и Вселенная галактик

Солнца), а типичное расстояние между ними — 15 миллионов световых лет.

Здесь вам следует учесть только звезды, темное вещество не считайте. Результат выразите в граммах на кубический сантиметр. Найдите радиус сферы такой плотности, содержащей один атом водорода (масса = 1,66 10–24 г).

Найдите радиус сферы такой плотности, содержащей массу одного человека

(80 килограмм).

72. Сжимаем Млечный Путь

Представьте себе, что вы сжали все звезды в Млечном Пути воедино, и они соприкасаются. В рамках этой задачи предположим, что в Млечном

Пути 150 миллиардов звезд массой и размерами как Солнце. Какого размера получится шар из звезд? Ответ выразите в а. е. Подсказка: если вы углубитесь в рассуждение о подробностях расположения звезд, учтите, что условия задачи этого не требуют. Нам нужен приблизительный ответ.

73. Рождение звезды

Новые звезды конденсируются из довольно разреженного газа и пыли, заполняющих пространство между звездами (называемое межзвездной средой). Плотность этого газа в разных частях Млечного Пути разная, однако ее типичная величина составляет = 3 10–20 г/см3. Какой объем (в кубических метрах) этого материала должен сконденсироваться, чтобы возникла звезда с массой, равной массе Солнца (2 1030 кг)? Если этот объем — сфера, каков ее радиус? Ответ дайте в световых годах.

74. Массивная черная дыра в центре Млечного Пути

Звезды в центре Млечного Пути (в 8 килопарсеках от Земли) вращаются по орбитам вокруг центрального массивного точечного источника, который не излучает в видимом свете*. Движение этих звезд можно наблюдать не-

* Точнее говоря, такой свет полностью поглощается в плотной газопылевой среде, окружающей центр Галактики.

83

ЧАСТЬ II. Галактики посредственно: мы видим, как меняется их положение с течением времени.

Одна из этих звезд, получившая название S0-102, по данным наблюдений, за период в 11,5 лет совершает оборот по эллиптической орбите, большая полуось которой противолежит углу в 0,1 угловой секунды.

74. а Вычислите размер большой полуоси звезды S0-102 в километрах.

74. b Вычислите массу центрального объекта. Ответ выразите в массах

Солнца.

74. с Вокруг того же объекта вращается и другая звезда под названием

S0-16. Ее эллиптическая орбита очень вытянута и в самой близкой точке проходит всего в 45 а. е. от центрального объекта. Каков нижний предел плотности объекта можно установить из этих данных? Ответ выразите в граммах на кубический сантиметр.

74. d Вблизи от центра Галактики на один кубический парсек приходится около 1000 звезд, гораздо больше, чем в окрестностях Солнца. Если повторить упражнение из части b) с учетом этого и рассмотреть звезду в

100 парсеках от центральной черной дыры, какая масса у вас получится?

Поясните ход вашей мысли.

75. Сверхновые и Галактика

Масса всего газа и звезд в галактике Млечный Путь составляет примерно 1011 масс Солнца.

75. а Приблизительно 2 % массы газа и звезд в Млечном Пути состоит из тяжелых элементов (то есть элементов, стоящих в таблице Менделеева дальше гелия). Эти элементы возникли при взрывах сверхновых, каждый из которых высвобождает в межзвездную среду около 1 солнечной массы тяжелых элементов. Вычислите, сколько сверхновых взорвалось за всю историю

Млечного Пути, чтобы объяснить наблюдаемое количество тяжелых элементов.

75. b Сейчас в Млечном Пути взрывается в среднем одна сверхновая в 100 лет. Если такой темп сохранялся с момента зарождения Вселенной, 84

11—13. Млечный Путь и Вселенная галактик сколько сверхновых взорвалось в нашей галактике? Ответ сравните с оценкой требуемого числа сверхновых, которую вы сделали в части а), и оцените, какой должна была быть частота взрывов сверхновых в прошлом — больше или меньше нынешней.

76. Гало темного вещества

В этой задаче вы найдете распределение темного вещества в нашей галактике Млечный. Не забывайте, что масса Млечного Пути, в отличие от Солнечной системы, не сосредоточена в ее центре. Кривая вращения у Млечного Пути плоская, то есть скорость вращения v (около 200 км/с) постоянна как функция расстояния от центра галактики. Скорость вращения на любом заданном радиусе r объясняется гравитационным притяжением вещества в сфере с центром в центре галактики и с радиусом r; гравитационная сила вещества, расположенного дальше от центра, усредняется практически до нуля. Для решения этой задачи можете предположить, что

Галактика сферична. В частях а) и b) нам нужен ответ в алгебраическом виде.

76. а Напишите алгебраическое выражение для массы Млечного Пути, содержащейся в пределах радиуса r. Подсказка: вспомните, что гравитация сферической массы ведет себя так, словно вся масса сосредоточена в ее центре.

76. b На основании ответа к части а) выведите алгебраическое выражение для средней плотности (масса на единицу объема) галактики в пределах радиуса r.

76. с Вы обнаружите, что чем дальше двигаетесь к внешней границе

Млечного Пути, тем большую массу приходится приписывать Галактике.

Тогда где же граница Млечного Пути? Ответ на этот вопрос известен плохо: как выяснилось, кривая вращения остается плоской на любом расстоянии, на каком удается ее измерить. Однако плоские кривые вращения есть и у

85

ЧАСТЬ II. Галактики других галактик, что наводит на мысль, что и у них есть обширные гало темного вещества. Таким образом, мы предполагаем, что гало темного вещества у галактик распространяются почти до полпути к соседней галактике

(иначе гало перекрывались бы). Тогда давайте посчитаем. Скорость вращения, не зависящая от радиуса, у Млечного Пути составляет 220 километров в секунду. Ближайшая крупная галактика — Андромеда — находится в

2 миллионах световых лет от нас. На основании этих данных и выражения для массы, которое вы вывели в части а), вычислите верхний предел общей массы Млечного Пути. Ответ выразите в массах Солнца. Подсказка: вероятно, стоит применить подход, описанный в главе 12 «Большого космического путешествия», и масштабировать известную вам скорость орбитального движения Земли вокруг Солнца и радиус ее орбиты.

77. На орбите вокруг Галактики

Большое Магелланово облако (БМО) — маленькая и близкая галактика, которая вращается по орбите вокруг Млечного Пути. Она находится на расстоянии 150 000 световых лет от центра Млечного Пути. Ее собственное движение, то есть движение на фоне звезд, составляет, по данным недавних измерений, 1 10–3 угловых секунд в год.

77. а Вычислите скорость движения БМО по орбите в километрах в секунду. Можете предположить, что орбита БМО круглая, а Солнце находится в центре Млечного Пути.

77. b Найдите, за какое время (в годах) БМО совершает один оборот вокруг Млечного Пути. Подсказка: это можно сделать, и не опираясь на ответ к части а).

77. с Вычислите массу Млечного Пути вплоть до радиуса орбиты БМО

с учетом полученных данных; результат выразите в массах Солнца. Подсказка: возьмите за масштаб радиус, на котором Солнце вращается вокруг центра Млечного Пути.

86

11—13. Млечный Путь и Вселенная галактик

78. Как обнаружить темное вещество

Задача повышенной сложности.

В этой задаче вас просят сконструировать детектор темного вещества.

В работе мы будем исходить из предположения, что темное вещество —

представляет собой слабовзаимодействующие массивные частицы (weakly interacting massive particles, то есть WIMPs («слабаки») — ученые и вправду называют их вимпами!). То есть это еще не открытая элементарная частица.

Мы задействуем свои знания об орбите Солнца вокруг Млечного Пути, чтобы оценить, сколько вокруг нас вимпов, и оценим, насколько часто одна из этих частиц будет взаимодействовать с атомами в особом детекторе.

Как мы знаем, Солнце вращается по орбите вокруг центра Млечного

Пути со скоростью около 220 километров в секунду. Считается, что темное вещество не движется по правильной круглой орбите, в отличие от Солнца, а перемещается хаотически, примерно как атомы в газе. Так что мимо нас должен дуть «ветер» из темного вещества со скоростью 220 километров в секунду — подобно тому, как ощутишь ветер, если высунешь голову из машины, мчащейся по шоссе.

Далее, темное вещество потому и темное, что не взаимодействует с обычным веществом. Но, в сущности, все элементарные частицы, о которых мы знаем или существование которых предполагаем, так или иначе вступают во взаимодействия, и многие гипотетические кандидаты в темное вещество должны вступать во взаимодействие, хотя бы слабое (что следует хотя бы из самого названия WIMP). Сила взаимодействия количественно оценивается через сечение, которое обозначают греческой буквой и выражают в единицах площади. Полезно представить себе для наглядности, что частица — это маленькая сфера с площадью сечения, движущаяся в пространстве. Если при движении частица натыкается на протон или нейтрон в ядре какого-нибудь атома, она с ними взаимодействует. Тогда в силу эффекта отдачи ядро изменить свое энергетическое состояние, и мы сможем зарегистрировать и задокументировать наблюдающуюся при этом вспышку

87

ЧАСТЬ II. Галактики света. Чем больше, тем вероятнее, что частица столкнется в детекторе с каким-нибудь атомом.

С учетом всего этого для регистрации частиц темного вещества можно выстроить большие цистерны высокоочищенного прозрачного вещества, которое с большой вероятностью будет взаимодействовать с вимпами. Затем останется только ждать взаимодействия.

В ответах на вопросы этой задачи достаточно грубых приближений с точностью до одной значащей цифры, поскольку мы делаем некоторые предположения для простоты, которые не позволяют нам достигать большей точности.

78. а В задаче 76 вы нашли, что М(< r), масса вещества Млечного Пути, содержащегося в пределах радиуса r, задается формулой

(<) 2 vr

M

r =

.

G

Более того, кривая вращения Млечного Пути плоская, а значит, величина v не зависит от r (кроме нескольких тысяч световых лет в самом центре, глубоко в пределах орбиты Солнца). На основании этих сведений мы рассчитаем плотность вещества в окрестностях Солнца. Начнем с алгебраических преобразований: представим себе тонкую сферическую оболочку радиусом r и толщиной r, центр которой совпадает с центром Млечного Пути. Вычислите массу вещества в пределах этой оболочки, то есть М(<(r + r)) — М(< r), и ее объем. Отношение этих величин даст вам плотность на расстоянии r.

78. b Теперь подставьте числа для положения Солнца в Млечном

Пути. Радиус орбиты Солнца r = 25 000 световых лет, а скорость вращения Млечного Пути v = 220 километров в секунду. Какова плотность этого объема в граммах на кубический сантиметр? Достаточно точности до одной значащей цифры.

78. с Теперь предположим, что половину средней плотности этой оболочки дают звезды и газ, а вторая половина — это темное вещество в форме вимпов. Массы элементарных частиц принято измерять в элек-

88

11—13. Млечный Путь и Вселенная галактик троновольтах (эВ). Электроновольт — это на самом деле мера энергии.

1 электроновольт = 1,6 10–12 эрг; связь между массой и энергией описывается знаменитой формулой Эйнштейна E = mc 2. Во-первых, вычислите с точностью до двух значащих цифр массу протона в электроновольтах.

Во-вторых, предположив, что темное вещество состоит из частиц с массой в 1000 раз больше массы протона, вычислите плотность частиц темного вещества в окрестностях Солнца (число этих частиц на кубический сантиметр).

78. d Здесь вернемся к алгебраическим преобразованиям, а числа подставим потом. Обозначим плотность вимпов, которую вы вычислили в части с), как n. Ветер из вимпов мчится мимо нас со скоростью v. Рассмотрим детектор темного вещества, состоящего из куба вещества со стороной

L и содержащего М килограммов вещества. Вимпы взаимодействуют с составляющими это вещество протонами и нейтронами (их общее название —

нуклоны), каждый массой m. Куб окружен фотоэлектронными умножителями

(ФЭУ), которые регистрируют крошечные вспышки света, возникающие при каждом взаимодействии.

Вычислите количество вимпов, проходящих через детектор за секунду, опираясь на эти данные. Считайте, что одна сторона детектора перпендикулярна направлению ветра вимпов.

78. е Теперь вычислите вероятность, что один вимп при прохождении сквозь детектор вступит во взаимодействие. Вычислите объем, который заметает его сечение при прохождении сквозь куб. Вероятность, что он провзаимодействует с каким-нибудь нуклоном, — произведение этого объема на плотность нуклонов (в штуках на кубический метр).

78. f Докажите, что количество взаимодействий в вашем детекторе на единицу времени — это просто произведение ответов на части d) и е).

Выведите формулу для этой величины на основании n, v, M, m и.

78. g Теперь подставьте числа. Мы воспользуемся параметрами эксперимента Large Underground Xenon (LUX): 370 килограммов жидкого ксенона размещены в подземной лаборатории в Хоумстейк-Майн в Южной

89

ЧАСТЬ II. Галактики

Дакоте. Вы уже вычислили ожидаемую количественную плотность вимпов и их скорость. По оценкам, сечение взаимодействия вимпа с одним нуклоном составляет 10–45 см2 — и это очень маленькое число. Для сравнения, сечение для электрона на 21 порядок больше, чем для вимпа. Однако квантово-механические эффекты взаимодействия между вимпами и нуклонами увеличивают это сечение на множитель А 2, где А = 131 — это атомная масса ксенона. Вычислите количество взаимодействий, которое следует ожидать на детекторах Large Underground Xenon за год.

79. Вращение галактик

Одна из самых красивых галактик на небосводе — галактика Вертушка

(Messier 101). Это спиральная галактика, диск которой мы наблюдаем анфас, за что она и получила свое название. Взгляните на рис. 13.1 «Большого космического путешествия» и обратите внимание, что и маленькая выпуклость в середине, и длинные спиральные «щупальца» пронизаны молодыми голубыми звездами. До этой галактики от нас 30 миллионов световых лет, а ее радиус примерно равен 40 000 световых лет.

79. а Галактика Вертушка, подобно нашему Млечному Пути, вращается вокруг своего центра, и скорость этого вращения на расстоянии 20 000 световых лет от центра составляет 200 км/с. Таким образом, если смотреть на нее достаточно долго, увидишь, как она вращается в небе. Спутник «Гея»

способен измерять положение звезд с точностью до 10 угловых микросекунд. Сколько придется наблюдать, чтобы увидеть в галактике Вертушка смещение звезд на 10 угловых микросекунд, вызванное ее вращением?

Ответ выразите в годах.

79. b Чтобы получить представление, как это мало — 10 угловых микросекунд, вычислите расстояние, на котором такому углу противолежит десятицентовая монетка (диаметр 2 сантиметра). Ответ выразите в километрах и сравните с расстоянием от Земли до Луны.

90

11—13. Млечный Путь и Вселенная галактик

80. Измерение расстояния до вращающейся галактики

Рассмотрим вращающуюся спиральную галактику, диск которой наклонен относительно луча зрения на 45°. Тогда смещение ее звезд, вызванное вращением вокруг центра, складывается из двух компонентов: смещения в плоскости небосвода (которое можно измерить по изменению положения звезд, как в части а) задачи 79), и смещения вдоль луча зрения (которое можно измерить по эффекту Доплера в спектре). Предположим, что измерение эффекта Доплера для группы звезд из этой галактики соответствует скорости 150 км/с, а смещение этих звезд в плоскости небосвода — 10 угловых микросекунд в год. Каково расстояние до этой галактики? Ответ выразите в мегапарсеках.

ЧАСТЬ II. Галактики

14

РАСШИРЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ

81. Постоянная Хаббла

При решении этой задачи вам предстоит оценить темп расширения Вселенной, причем вы будете работать непосредственно с данными наблюдений.

На рис. 3 приведены спектры одной звезды и четырех галактик. Для каждого из них мы указали измеряемую яркость в джоулях на квадратный метр за секунду. Предположим, каждый из этих объектов обладает светимостью, равной светимости Млечного Пути (в 1011 раз больше светимости

Солнца, или 4 1037 Дж/с). Мы воспользуемся этими сведениями, чтобы определить и расстояние до каждой галактики, и ее красное смещение, а из них выведем постоянную Хаббла, которая количественно оценивает темп расширения Вселенной.

81. а Определите расстояние до каждой из четырех галактик, опираясь на закон обратных квадратов, связывающий яркость и светимость.

Ответы выразите в метрах и в мегапарсеках с точностью до двух значащих цифр.

81. b Спектр каждой из этих галактик содержит пару сильных линий поглощения кальция с лабораторной длиной волны = 3935 ангстрем и

0

92

14. Расширение Вселенной

3970 ангстрем соответственно. Из-за расширения Вселенной длины волн этих линий сдвинулись в сторону более длинных волн (то есть произошло красное смещение). Для справки в верхней части рисунка дан спектр звезды, похожей на Солнце, и в ней линии кальция видны с нулевым красным

Звезда

3900

4000

4100

4200

4300

4400

Галактика № 1, 7,6 × 10–14 Дж/м2/с

3900

4000

4100

4200

4300

4400

Галактика № 2, 4,5 × 10–14 Дж/м2/с

3900

4000

4100

4200

4300

4400

Поток на единицу длины волны

Галактика № 3, 2,6 × 10–14 Дж/м2/с

3900

4000

4100

4200

4300

4400

Галактика № 4, 1,4 × 10–14 Дж/м2/с

3900

4000

4100

4200

4300

4400

Длина волны (ангстрем)

Рис. 3. Рисунок к задаче 81. Показаны измеренные спектры звезды и четырех галактик. У всех этих объектов наблюдаются сильные линии поглощения кальция. Для каждой галактики указана наблюдаемая яркость.

93

ЧАСТЬ II. Галактики смещением. Измерьте красное смещение каждой галактики. Это означает, что вам нужно вычислить относительное изменение длины волны линий кальция. Подсказка: здесь главная трудность — верно выявить линии каль-

ция. В каждом случае это близкая пара, для галактики № 2 это выраженные минимумы между 4100 и 4200 ангстрем. Определите красное смещение, измерив обе эти линии в каждой галактике (в каждом случае обе линии должны, естественно, давать одно и то же красное смещение!) В ответе на эту задачу укажите красное смещение с точностью до двух значащих цифр.

Промежуточные вычисления выполняйте без округления: если округлять слишком рано, высок риск ошибиться.

81. с На основе вычисленных красных смещений, для каждой галактики определите скорость удаления в километрах в секунду и, с учетом расстояний, в каждом случае оцените постоянную Хаббла в километрах в секунду на мегапарсек. У вас не получится четыре тождественных результата, поскольку измерения проводились с ненулевой погрешностью (однако они должны быть примерно одинаковыми), поэтому усредните результаты по четырем галактикам и на этом основании дайте окончательный ответ.

82. Что расширяется быстрее — Вселенная или Атлантический океан?

Расширение Вселенной, открытое Хабблом, на самом деле имеет место лишь на физических масштабах крупнее галактик, но для этой задачи предположим, что пропорциональность между расстоянием и скоростью удаления сохраняется и на масштабах, сопоставимых с размерами Земли.

Вычислите, на какое расстояние вырастет за год участок космического пространства размером с Атлантический океан (ширина 6000 км), если темп его расширения будет таким же, как у Вселенной. Сравните полученный результат с наблюдающимся расширением Атлантического океана, вызванным тектоникой плит (совершенно иным физическим механизмом) — в среднем около дюйма в год. Что больше?

94

14. Расширение Вселенной

83. Третье измерение в астрономии

Когда мы смотрим на астрономическое изображение, оно представляется нам двумерным: мы не воспринимаем глубину и не в состоянии сразу увидеть, насколько далеки от нас космические объекты. У астрономов есть три основных метода измерения расстояний до объектов: параллакс, закон обратных квадратов и красное смещение. Опишите в форме эссе каждый из этих методов (при помощи формул, схем или и того и другого, если понадобится), в том числе, укажите типы объектов и диапазон расстояний, для которых он применяется. Расскажите и о трудностях, с которыми связан каждый метод.

84. Будет ли Вселенная расширяться вечно?

Задача повышенной сложности

Мы живем в расширяющейся Вселенной. Однако гравитация содержащегося во Вселенной вещества замедляет это расширение. В этой задаче мы пренебрежем темной энергией и зададимся вопросом, достаточно ли одной гравитации вещества, чтобы в конечном счете остановить расширение и обратить его вспять. Для этого мы рассмотрим гравитационную силу, действующую на галактику на заданном расстоянии от нас, и сравним ее скорость со второй космической скоростью, позволяющей преодолеть эту гравитацию: достаточно ли быстро движется галактика, чтобы вырваться из уз тяготения? Таким образом, мы установим ограничение на среднюю плотность Вселенной (массу на единицу объема). В частях а) и b) вы ограничитесь алгеброй, а числа подставите только в частях с) и d).

84. а Рассмотрим галактику на расстоянии r от Млечного Пути. Расстояние r гораздо больше размера самого Млечного Пути. Относительно

Млечного Пути эта галактика ощущает на себе тяготение всего материала внутри сферы радиуса r с центром во Млечном Пути. Гравитационное воздействие вещества за пределами радиуса r тянет галактику во все стороны

95

ЧАСТЬ II. Галактики и потому не имеет совокупного эффекта. Вычислите на основании и G

массу вещества в пределах этой сферы и определите вторую космическую скорость на таком радиусе.

84. b Вселенная расширяется, поэтому галактика, которую мы изучаем, удаляется от нас со скоростью v = H r, где H — это постоянная Хаббла.

0

0

Галактика будет удаляться от нас вечно, если эта скорость окажется выше второй космической скорости. Из этих соображений определите величину плотности Вселенной, выше которой гравитация так сильна, что галактики, разбегающиеся в стороны, рано или поздно замедлятся, их движение обратится вспять, и они снова сойдутся вместе. Зависит ли ваш результат от конкретной галактики, которую вы выбрали для расчетов?

84. с Пора подставлять числа. Вычислите эту плотность («критическую плотность»), считая постоянную Хаббла равной 67 км/с/мегапарсек. Ответ выразите в килограммах на кубический метр; достаточно одной значащей цифры. Если бы эта плотность обеспечивалась исключительно атомами водорода, сколько атомов водорода приходилось бы в среднем на кубический метр пространства?

84. d Масса всех звезд Млечного Пути примерно в 1011 раз больше массы Солнца. Галактики находятся друг от друга на расстоянии приблизительно

15 миллионов световых лет. Предположив, что масса любой галактики равна массе Млечного Пути, вычислите среднюю плотность Вселенной в килограммах на кубический метр. Сравните это значение с ответом, полученным в части с): больше оно или меньше?

85. Движение Местной группы в пространстве

Задача повышенной сложности

Реликтовое космическое микроволновое излучение, по данным наблюдений, изотропно (то есть одинаково во всех направлениях) — в поразительно высокой степени. Его основное отклонение от совершенной изотропии — дипольная анизотропия (неоднородность) на масштабе всей

96

14. Расширение Вселенной небесной сферы с амплитудой 1,23 10–3. То есть в одном направлении интенсивность этого излучения I выше средней на дополнительную долю в 1,23 10–3. В противоположном направлении интенсивность ниже на ту же величину, а в промежутке плавно меняется. Считается, что это эффект

Допплера, связанный с движением Земли относительно системы отсчета, заданной самим веществом, излучающим реликтовый свет. В этой задаче можно пренебречь разницей в 30 км/с между системами отсчета Солнца и

Земли.

85. а С какой скоростью движется Земля относительно реликтового излучения? Ответ дайте в км/с. Формула эффекта Допплера для интенсивности точно такая же, как и для длины волны.

85. b Мы знаем, что Земля (и Солнце) вращаются по орбите вокруг центра Млечного Пути, а Млечный Путь и галактика Андромеда падают друг на друга. Вектор скорости Солнца относительно центра масс Местной группы галактик равен 300 км/с и направлен примерно противоположно нашему движению относительно реликтового излучения. Таким образом, движение местной группы галактик относительно реликтового излучения — сумма ответа на часть а) и 300 км/с, то есть 660 км/с.

Почему Местная группа движется? На нее влияет гравитация скоплений и сверхскоплений галактик, расположенных поблизости, то есть в пределах около 50 мегапарсек. В частности, примерно наполовину их движение объясняется воздействием ближайшего сверхскопления галактик — сверхскопления Девы, центр которого находится от нас на расстоянии приблизительно

18 мегапарсек. Хотя расстояние между центром сверхскопления Девы и нами с расширением Вселенной, конечно, будет расти, для этих расчетов можете считать его постоянным. Исходя из предположения, что эта сила, которую следует принять постоянной (то есть, не зависящей от времени), действовала на протяжении всего существования Вселенной, а первоначальная относительная скорость между местной группой и сверхскоплением Девы была

97

ЧАСТЬ II. Галактики равна нулю, вычислите массу сверхскопления Девы (на масштабе расстояния до местной группы). Ответ выразите в массах Солнца. Обратите внимание, что здесь вы вычисляете полную гравитационную массу вместе с темным веществом!

85. с Масса, которую вы вычислили в части b), — это избыток по сравнению со средней фоновой массовой плотностью Вселенной, поскольку гравитационное воздействие равномерно распределенного компонента равно нулю. Плотность галактики в этой сфере, по наблюдениям, примерно в 2 раза выше средней. Предположив, что плотность темного вещества тоже выше в 2 раза, рассчитайте среднюю массовую плотность Вселенной. Сравните с критической плотностью. Ответ поясните.

15—16. Ранняя Вселенная и квазары

15—16

РАННЯЯ ВСЕЛЕННАЯ И КВАЗАРЫ

86. Нейтрино в ранней Вселенной

Нейтрино — элементарные частицы, вовлеченные в слабые взаимодействия. Они возникли в огромном количестве в первые секунды после Большого взрыва, и эти первичные нейтрино до сих пор с нами. Однако нейтрино очень редко взаимодействуют с обычным веществом (собственно, поэтому взаимодействие и называется слабым), поэтому зарегистрировать нейтрино — задача не из легких. В этой задаче мы рассмотрим, насколько часто нейтрино встречаются во Вселенной. Нейтрино бывают трех типов (электронное, нейтронное и тау-нейтрино); в дальнейшем мы будем рассматривать их все вместе.

86. а Нейтрино из ранней Вселенной пронизывают пространство с плотностью примерно в 1,5 109 раз больше, чем обычные атомы. Отношение средней массовой плотности обычных атомов во Вселенной к критической плотности (

) составляет около 4 %. Учитывая, что большинство атоатомов мов во Вселенной — это атомы водорода, вычислите плотность нейтрино

(в единицах нейтрино на кубический сантиметр).

86. b Нобелевская премия по физике за 2002 год была присуждена за открытие, что нейтрино обладают массой, причем у разных типов нейтрино

99

ЧАСТЬ II. Галактики масса разная. Точное значение их масс неизвестно, но считается, что она меньше 0,1 электроновольта. Предположив, что средняя масса нейтрино всех трех типов и в самом деле составляет 0,1 электроновольта, вычислите массовую плотность нейтрино во Вселенной, сравните ее с критической плотностью Вселенной (значением, при превышении которого Вселенная в будущем коллапсирует) и поясните ответ. Один электроновольт — это и правда очень маленькая масса, эквивалентная 1,8 10–36 кг.

87. У Вселенной нет центра

Объясните, как получается, что у Вселенной нет центра расширения, хотя она зародилась при Большом взрыве. Достаточно нескольких кратких абзацев.

88. Яркие квазары

Как рассказывается в главе 16 «Большого космического путешествия», квазары очень яркие, типичный квазар обладает светимостью в 1012 раз больше солнечной. Источники энергии квазаров — черные дыры: радиус

Шварцшильда типичной черной дыры квазара составляет 3 108 км. Подсказка: вычисления в этой задаче упростятся, если вы будете отталкиваться от своих знаний о свойствах Солнца, о которых рассказано в разделе «По-

лезные численные величины и формулы».

88. а Какова масса черной дыры с радиусом Шварцшильда 3 108 км?

Ответ выразите в массах Солнца.

88. b Какова температура поверхности сферического абсолютно черного тела с радиусом, равным радиусу Шварцшильда черной дыры из части

а), и светимостью в 1012 раз больше солнечной?

88. с Наблюдаемая яркость звезды класса G на главной последовательности (то есть звезда со свойствами Солнца) на расстоянии в 3000 световых лет и квазара со светимостью в 1012 раз больше солнечной одинакова. Каково расстояние до этого квазара? Ответ выразите в световых годах.

100

15—16. Ранняя Вселенная и квазары

89. Происхождение элементов

Одно из величайших достижений астрофизики ХХ века — объяснение происхождения химических элементов. Опишите это качественно в кратком сочинении. В частности, нужно затронуть следующие вопросы.

• Происхождение элементов в первые минуты после Большого взрыва.

Какие элементы синтезировались в ходе этого процесса?

• Формирование элементов в недрах звезд. Разница между маломассивными и массивными звездами с этой точки зрения.

• Значение железа как химического элемента.

15—16. Ранняя Вселенная и квазары

Часть III

ЭЙНШТЕЙН И ВСЕЛЕННАЯ

17—18. Эйнштейновский путь к специальной теории относительности

17—18

ЭЙНШТЕЙНОВСКИЙ ПУТЬ

К СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

90. Лоренц-фактор

2

В этой задаче мы исследуем природу функции = 1 v y

−. Эта вели-

2 c чина, которую принято называть Лоренц-фактором, — множитель в специальной теории относительности (СТО), показывающий, с какой скоростью стареет астронавт, движущийся со скоростью v. То есть вы проживаете n лет, наблюдая, как астронавт стареет на n у лет. Обратите внимание, что у всегда меньше или равен единице.

Начнем с изучения поведения этой функции при маленьких значениях v, а также при скоростях, близких к скорости света. Для этого нам придется обзавестись кое-каким математическим инструментарием. Если мы определим х = v/ c, то сможем записать Лоренц-фактор как

2 y = 1− x .

90. а Для очень маленьких скоростей v ا с (то есть v много меньше с) мы ожидаем, что у будет очень близок к единице (но все же не равен единице).

Тогда запишем у = 1 —, где ا 1. Наша задача — найти. Решите уравнение

2 y = 1− ε = 1− x ,

105

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная выразив через х. Сначала возведите обе части уравнения в квадрат, а затем учтите, что если очень мало, 2 — это совсем чуть-чуть, и дополнительными слагаемыми, в которые входит 2, можно пренебречь. Заполучив значение, выраженное через х, выразите Лоренц-фактор у через v и с для v ا с.

90. b Теперь возьмем противоположный предел, то есть скорости, очень близкие к скорости света. На этот раз запишем х = v/ c = 1 —, где уже ا 1. Подставьте это выражение в уравнение для Лоренц-фактора; как и в части а), если значение мало, то значение 2 совсем мало и им можно пренебречь. Запишите уравнение для Лоренц-фактора и в этом случае.

90. с Теперь пора подставлять числа. Нарисуйте график Лоренц-фактора как функции скорости, где по оси х отложена скорость от 0 до скорости света, а на оси у величина от 0 до 1. Подставьте в уравнение много значений v и вычислите значение Лоренц-фактора в каждом случае; нанесите эти точки на график. График можете нарисовать и от руки, и на компьютере при помощи специальных приложений.

Теперь изобразите на том же графике две приближенных функции, которые вы вычислили в частях а) и b), и для малых, и для больших скоростей. Для какого диапазона скоростей приближенно годится каждое из этих решений? То есть, в каком диапазоне каждое из приближений дает результат в пределах 10 % от реальной величины?

90. d Каково значение у для v = 100 км/ч (обычная скорость для автотрассы), v = 30 км/с (скорость Земли на орбите вокруг Солнца), v = 0,6 с, v = 0,8 с и v = 0,9999995 с? Применяйте только что выведенные приближенные формулы, поскольку они достаточно точны. Если вы вдруг поймаете себя на округлении и заявлениях, что у = 1 или у = 0, вы округлили слишком сильно! В этой задаче главное — именно отличие ваших результатов от у = 1 (для очень маленьких скоростей) и у = 0 (для очень больших скоростей).

106

17—18. Эйнштейновский путь к специальной теории относительности

91. Высокоскоростные мюоны

Мюон — это частица, очень похожая на электрон, только масса у нее больше. Мюоны, в отличие от электронов, нестабильны, период полураспада у них примерно 2,2 10–6 с, и они распадаются на электрон, мюонное нейтрино и электронное антинейтрино. Очень быстрые мюоны рождаются в верхних слоях земной атмосферы (скажем, в 100 км над поверхностью

Земли), когда высокоэнергичные космические лучи (порожденные далекими сверхновыми) сталкиваются с атомами атмосферы. Эти мюоны мчатся вниз, и их регистрируют на поверхности. Типичный атмосферный мюон движется со скоростью 0,9999995 с, то есть (1–5 10–7) с. Если принять в расчет замедление времени в соответствии со специальной теорией относительности, какое расстояние преодолеет мюон до распада (то есть до истечения периода полураспада)? Теперь проделайте те же вычисления без учета эффектов СТО. Поясните, можно ли считать, что если мы наблюдаем мюоны, возникшие в 100 км от нас, это подтверждает предсказание Эйнштейна, что время в быстродвижущейся системе отсчета замедляется?

92. Высокоэнергичные космические лучи

Формулу кинетической энергии мы знаем: тело массы m, движущееся со скоростью v, имеет кинетическую энергию 1 2 mv . Однако это уравнение

2 неверно при очень высоких скоростях. Правильная версия этой формулы в рамках СТО гласит, что полная энергия тела, сумма его массы-энергии покоя (то есть mc 2) и кинетической энергии, равна mc 2/ у, где Лоренц-фактор

2

= 1 v y

−.

2 c

Одна из самых высокоэнергичных частиц космических лучей за всю историю наблюдений была зарегистрирована в 1991 году и обладала энергией около 3 1020 электроновольт; эта конкретная частица получила название «частица Oh-My-God» — «О Боже мой», что доказывает, что у астрономов

107

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная довольно-таки незатейливое чувство юмора. Вероятно, это был протон, чья масса-энергия покоя (mc 2) составляет около 109 электроновольт. С какой скоростью двигался этот протон? Ответ запишите как долю скорости света.

Эта доля будет очень близка к единице, но не равна ей, поэтому запишите ответ в виде с(1 —), как в задаче 90.b, и укажите значение.

93. А «Титаник» все плывет

Поиграем в релятивистские игры с огромным кораблем «Титаник».

93. а Длина «Титаника» от носа до кормы составляла 882,5 фута. Если бы он проплыл мимо пристани на очень высокой скорости, люди с пристани увидели бы, что он несколько короче 882,5 футов за счет эффектов СТО.

С какой скоростью «Титаник» должен проплыть мимо пристани, чтобы люди на ней решили, будто его длина 882,4 фута? Почему мы не замечаем сокращения расстояний за счет эффектов СТО в повседневной жизни?

93. b Теперь начнем с того, что «Титаник» стоит в порту, и поднимем его на высоту 51,3 км над Нью-Йорком. А потом уроним. Если пренебречь сопротивлением воздуха, когда корабль ударится о Землю, его скорость составит 1 км/с — Джек, я лечу!

Масса «Титаника» была около 45 000 метрических тонн, где 1 метрическая тонна равна 106 граммов. Вычислите энергию взрыва при его падении в килотоннах тринитротолуола (ТНТ). При взрыве одна килотонна ТНТ

высвобождает энергию 4,2 1012 Дж.

93. с Вычислите массу, которая должна аннигилировать, чтобы произвести столь же энергичный взрыв.

94. Стареющий астронавт

Астронавт летит с Земли на альфу Центавра (в 4 световых годах отсюда) со скоростью, равной 80 % скорости света. На сколько старше станет астронавт, когда прибудет на альфу Центавра? Ответ выразите в годах.

108

17—18. Эйнштейновский путь к специальной теории относительности

95. Разлуки и встречи

Вы приходите на встречу выпускников по случаю пятидесятилетия окончания своего колледжа. Там вы встречаете соседа по комнате, который, оказывается, все время после выпуска провел в космическом путешествии на соседнюю звезду и обратно, причем летел с постоянной скоростью. Сосед говорит, как приятно встретиться через сорок лет.

— Нет, это уже пятидесятая встреча! — возражаете вы.

Сосед отвечает:

— Я внимательно следил за временем по часам на корабле, и с нашего выпуска прошло ровно сорок лет.

С какой скоростью летел корабль? Ответ выразите в долях скорости света. На каком расстоянии находится звезда, где побывал ваш сосед

(в световых годах по вашим измерениям)? Два наших студента, кстати, близнецы, как-то даже написали научно-фантастический рассказ с таким сюжетом!

96. Путешествие к другой звезде

У звезды Глизе (Gliese) 581 есть планета, которая вращается вокруг нее в обитаемой зоне (то есть на поверхности планеты, вероятно, может существовать вода в жидком состоянии). Представьте себе, что на этой планете живет высокоразвитая цивилизация, которая отправила на Землю космический корабль, движущийся относительно нас со скоростью 80 %

скорости света. Расстояние между Глизе 581 и Землей (по нашим измерениям) 20 световых лет.

96. а Сколько продлится полет по нашим, земным представлениям?

96. b А сколько времени звездолет проведет в пути по расчетам глизиан?

96. с Каково расстояние между планетой Глизе и Землей по расчетам глизиан, летящих на космическом корабле?

109

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

97. Отстающие часы на Земле

Земля летит вокруг Солнца со скоростью 30 км/с, поэтому часы на Земле идут чуть медленнее, чем часы наблюдателя, сидящего неподвижно на том же расстоянии от Солнца. Через сколько лет разница между показаниями часов достигнет 1 секунды? Ответ дайте с округлением до года.

98. Антивещество!

Два десятитонных грузовика (каждый массой m = 104 килограммов), которые едут в противоположных направлениях, каждый со скоростью

100 км/ч, сталкиваются лоб в лоб. Согласно Ньютону, кинетическая энергия каждого грузовика равна 1 2 mv . Поскольку скорость грузовиков мала по

2 сравнению со скоростью света, формула Ньютона достаточно точна. При столкновении происходит взрыв, энергия которого равна суммарной кинетической энергии двух грузовиков. Теперь представим себе, что десятитонный грузовик, сделанный из обычного вещества, сталкивается с десятитонным грузовиком, сделанным из антивещества, и происходит взрыв, при котором общая масса обоих грузовиков превращается в энергию согласно уравнению Эйнштейна Е = mc 2. Предположим, грузовики из вещества и антивещества сталкиваются на скорости гораздо меньше скорости света, и тогда их кинетическая энергия мала по сравнению со скоростью света, и ей можно пренебречь по сравнению с энергией-массой покоя. Найдите отношение энергии столкновения грузовиков из вещества и антивещества и энергии лобового столкновения двух обычных грузовиков, о которых говорилось в начале задачи. Если на ваших глазах столкнутся грузовики из вещества и антивещества, стоит ли пытаться убежать подальше?

99. Энергия стакана воды

Рассмотрим стакан воды емкостью 8 унций (1/4 килограмма). Если весь водород в этой воде в результате термоядерного синтеза превратится

110

17—18. Эйнштейновский путь к специальной теории относительности в гелий, сколько джоулей энергии это даст? Помните, что при термоядерном синтезе в энергию преобразуется 0,7 % массы-энергии покоя водорода.

Каждый из 107 жителей Нью-Йорка расходует в год примерно 5000 киловатт-часов электроэнергии. Если бы мы могли преобразовать весь водород из воды в гелий, а полученную в результате энергию преобразовать в электричество, сколько таких стаканов понадобилось бы в день, чтобы снабжать Нью-Йорк электричеством? Подсказка: киловатт-час — единица энергии. Ватт — единица мощности, равная 1 джоулю в секунду, а кило-

ватт — это 1000 ватт.

100. Движение сквозь пространство-время

На трехмерной пространственно-временной схеме Солнечной системы, где время отложено по вертикальной оси, мировая линия Солнца выглядит как торчащий вертикально шест. Как выглядит мировая линия Земли? Опишите ее качественно; если захочется, нарисуйте картинку.

101. Можно ли двигаться быстрее света?

Вы сидите в космическом корабле и светите фонариком в переднюю стену. Обдумав такой мысленный эксперимент, объясните, почему постулаты специальной теории относительности не допускают, чтобы космический корабль передвигался со скоростью больше скорости света.

102. Короткие вопросы по специальной теории относительности

На большую часть вопросов мы ждем ответов не длиннее нескольких фраз.

102. а Наблюдатели, движущиеся относительно друг друга, могут придерживаться разных мнений по поводу одновременности далеких событий.

ДА или НЕТ?

111

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

102. b Какова самая знаменитая формула Эйнштейна? Что означают разные слагаемые этой формулы? Каковы некоторые следствия из этого уравнения?

102. с Покажите, как при помощи современной технологии путешествовать в будущее. Объясните, какие эксперименты говорят нам об этом.

Кто попал в будущее дальше всех? На сколько?

102. b Ковбой Боб и ковбой Билл входят на Главную улицу Доджсити с двух концов и устремляются навстречу друг другу к центру города, причем каждый движется со скоростью в половину скорости света, которую измеряет шериф, неподвижно стоящий в центре города. С точки зрения шерифа и Боб, и Билл одновременно выстрелили из лазерных пистолетов друг в друга в тот момент, когда вошли в город с противоположных сторон.

Ковбой Билл утверждает, что первым выстрелил Боб, а ковбой Боб — что первым выстрелил Билл. Может ли быть, что все говорят правду? Для ответа достаточно одной-двух фраз: объясните качественно, какие принципы здесь задействованы.

102. е Астронавт сидит в самой середине своей ракеты и светит лазерными лучами вперед и назад. Он видит, что лучи достигают передней и задней стены одновременно. Если он пролетает мимо вас со скоростью в 60 % скорости света, видите ли вы, что оба лазерных луча попадают в носовую и хвостовую стену ракеты одновременно? Ответ поясните, нарисуйте схему космического корабля, чтобы доказать свои соображения.

19. Общая теория относительности Эйнштейна

19

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЭЙНШТЕЙНА

103. Страна Консервия

На рис. 4 показана карта страны Консервии. Можете срисовать ее, вырезать и собрать в виде консервной банки. Верхнее и нижние донышки банки — круги, а прямоугольник сворачивается и образует цилиндрическую стенку банки. Обитатели страны Консервии — Треугольник и Квадрат, они живут на поверхности банки, подобно флатландцам на плоскости. Если Треугольник хочет прийти к Квадрату в гости, он должен двигаться по траектории, отмеченной прямой линией. Это геодезическая линия: геодезической называется линия, которая не отклоняется ни вправо, ни влево. Маленькая машинка может проехать по этой линии по поверхности банки, не поворачивая руль ни влево, ни вправо.

103. а Нарисуйте еще три геодезические линии от Треугольника к Квадрату и пометьте их 1, 2 и 3. Чтобы понять, как это сделать, полезно вырезать схему и сделать из нее объемную модель консервной банки.

103. b Какая геодезическая линия представляет собой кратчайший путь от Треугольника к Квадрату?

113

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

Рис. 4. Рисунок к задаче 103. Здесь показана развернутая поверхность страны

Консервии, на которой вы можете исследовать природу геодезических линий и поверхностей. Срисуйте чертеж, вырежьте и соберите из него трехмерную модель консервной банки. Верхнее и нижнее донышки банки — круги на чертеже, а прямоугольник сворачивается и образует цилиндрическую стенку банки.

103. с Нарисуйте на своей карте треугольник АВС с тремя прямыми углами. Пометьте три точки А, В и С и покажите, какие геодезические линии соединяют их на карте.

103. d Объясните, почему на поверхности банки возможен прямоугольный треугольник с тремя прямыми углами, который нарушает постулаты евклидовой геометрии, даже несмотря на то, что приведенная на рисунке карта проецируется на плоскость без искажений.

104. Отрицательная масса

Если одновременно уронить мяч массой 1 килограмм и мяч весом 2 килограмма, они упадут на пол и ударятся об него одновременно. А теперь

114

19. Общая теория относительности Эйнштейна представьте себе, что у вас есть мяч с отрицательной массой 1 килограмм.

Что будет, если уронить его — он упадет на пол и ударится об него или «упадет» вверх и ударится о потолок? Ответьте на этот вопрос так, словно вы Ньютон, и так, словно вы Эйнштейн. Что сказал бы Ньютон? Почему?

Что сказал бы Эйнштейн и почему? Изложите ход их мысли; если нужно, примените формулы.

105. Старение на орбите

Задача повышенной сложности

Помимо замедления старения при движении тела с конечной скоростью, о котором мы уже знаем из СТО, есть еще и замедление старения согласно общей теории относительности (ОТО), вызванное гравитацией как таковой.

Чтобы понять, в чем состоит этот эффект, рассмотрим фотон, улетающий с поверхности Земли в бесконечность. Он выбирается из гравитационного колодца Земли и попутно теряет энергию. Его энергия Е связана с его частотой формулой Эйнштейна Е = h, поэтому тоже должна снижаться

(это отдельный вид красного смещения), поэтому наблюдатели на большом расстоянии r видят, что часы на поверхности Земли тикают с более низкой частотой.

Таким образом, астронавт, вращающийся вокруг Земли, стареет не так, как оставшиеся на Земле, по двум причинам: и из-за гравитации, и из-за замедления времени, вызванного движением. В этой задаче вы количественно оцените оба эффекта и сравните их значение.

105. а Вторая космическая скорость, позволяющая преодолеть гравитацию тела массы М, если находишься от него на расстоянии r, задается формулой

2 GM

v

=

.

escape r

115

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

То есть, если двигаться с такой скоростью, обратно на тело не упадешь, а навсегда вырвешься из его гравитационного поля.

Решение эйнштейновских уравнений поля в общей теории относительности, предложенное Карлом Шварцшильдом, показывает, что стационарные неподвижные часы на расстоянии от Земли r > r будут идти с отставанием

на множитель

2

1 2 GM

v

⊕

escape

1−

= 1−

2

2 c r c по сравнению с часами, расположенными далеко от Земли, то есть на r. Обратите внимание, что это выражение похоже на эквивалент формулы старения из СТО. Здесь — это знак Земли, так что r — это радиус

Земли, а М — ее масса. Используйте формулу, приведенную выше, чтобы

вычислить, в каком темпе будут идти стационарные часы на расстоянии r (для r > r ) относительно часов на поверхности Земли. Больше или меньше

единицы получившийся у вас множитель? Если больше единицы, значит, часы на большой высоте r > r идут быстрее, чем на поверхности, а если

меньше единицы, значит, часы на большой высоте идут медленнее, чем на поверхности.

105. b Теперь представим себе астронавта на орбите, радиус которой r > r . Какова орбитальная скорость астронавта как функция r? Поскольку

астронавт движется относительно стационарного объекта на расстоянии r, СТО учит нас, что часы у него идут медленнее. Вычислите отношение темпа хода часов у астронавта с темпом хода часов у неподвижного наблюдателя на расстоянии r.

105. с Теперь на основании ответов на части а) и b) напишите выражение для отношения темпа, в котором идут часы у астронавта на орбите, к темпу стационарных часов на поверхности Земли, как функции радиуса r орбиты, на которой вращается астронавт. Маленькой скоростью часов на

Земле, вызванной вращением Земли, можете пренебречь.

116

19. Общая теория относительности Эйнштейна

105. d Нам нужно овладеть некоторыми полезными математическими фокусами, чтобы упростить выражение из части с). Сначала покажите, что если х ا 1, то

1

1− x ≈ 1− x. Подсказка: извлеките квадратный корень

2 из обеих частей выражения и посмотрите, что получится.

105. е Нам понадобится еще одно простое приближение. Покажите, что если | х| ا 1, то

1 ≈1+ x.

1− x

Подсказка: домножьте обе части на (1 — х).

Кроме того, покажите, что если и | х| ا 1, и | у| ا 1, то

(1− x)(1− y) ≈ 1−(x + y).

105. f Примените приближения из частей d) и е), чтобы вывести окончательный ответ в форме 1 — для темпа часов, вращающихся по орбите вместе с астронавтом, относительно часов на поверхности Земли. Докажите, что ваша величина и в самом деле много меньше единицы.

105. g На основании результата из части f) вычислите радиус r, на котором часы астронавта на орбите идут точно так же, как и стационарные часы на поверхности Земли, результат выразите в радиусах Земли и в километрах.

Если астронавт будет вращаться по орбите меньшего радиуса, как он будет стареть, быстрее или медленнее того, кто остался дома? А тогда быстрее или медленнее оставшихся дома землян стареют астронавты в космическом шаттле (вращающемся по орбите в 300 км над поверхностью Земли)?

106. Короткие вопросы по общей теории относительности

На каждый вопрос мы ждем ответов не длиннее нескольких фраз.

106. а Эйнштейн для истолкования гравитации применял идею искривления пространства-времени. ДА или НЕТ?

117

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

106. b Что такое геодезическая линия?

106. с Расскажите о мысленном эксперименте Эйнштейна, где сравнивалась лаборатория на поверхности Земли и лаборатория на ускоряющейся ракете в межзвездном пространстве, и назовите теорию, к созданию которой его подтолкнул этот эксперимент.

106. d Какие два важных предсказания сделал Эйнштейн в 1915 году, когда создал общую теорию относительности, отличавшуюся от теории всемирного тяготения Ньютона? Какое предсказание точно соответствовало уже имевшимся наблюдениям, а какое потребовало новой экспериментальной проверки? Какой была эта проверка, когда ее провели и каким был результат?

20. Черные дыры

20

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ

107. Черная дыра в центре Млечного Пути

Черные дыры существуют! Ближайшая крупная («сверхмассивная» на жаргоне астрономов) черная дыра находится в центре галактики Млечный

Путь, всего в 25 000 световых лет от нас. Сейчас мы рассчитаем ее свойства.

Обратите внимание на связанную с этой задачу 74.

107. а Вокруг черной дыры вращается звезда; большая полуось ее орбиты составляет 1000 а. е. Орбитальный период составляет 16 лет. Какова масса черной дыры? Ответ выразите в массах Солнца.

107. b От Земли до центра нашей Галактики 8000 парсек, то есть около

25 000 световых лет. Какому углу противолежит большая полуось орбиты звезды (1000 а. е.), если смотреть с Земли? Ответ выразите в угловых секундах.

107. с Каков радиус горизонта событий черной дыры в центре Галактики (радиус Шварцшильда)? Ответ выразите в километрах.

108. Короткие вопросы о черных дырах

108. а Черная дыра при падении в нее вещества увеличивается в массе и в размерах. Может ли масса черной дыры уменьшаться? Ответ поясните.

119

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

108. b Джон Уилер был одним из самых оригинальных физиков нашего времени. Какой известный астрономический термин он ввел в обращение?

Какие идеи для дальнейших исследований он подсказал Яакову Бекенштейну и Ричарду Фейнману?

108. с Черные дыры испускают излучение Хокинга. ДА или НЕТ?

108. d Черные дыры совершенно стабильны и со временем могут лишь наращивать массу. Они будут жить вечно. ДА или НЕТ?

109. Большие черные дыры

В этой задаче мы исследуем радиусы Шварцшильда и приливные силы у черных дыр различных масс. Радиус Шварцшильда черной дыры массы

М задается формулой 2 GM/ c 2.

Рассмотрим маленький объект радиуса r на расстоянии d от другого объекта, гораздо большего размера и массы М. Разница между ускорением свободного падения на линии, разделяющей два объекта, на поверхности и в центре первого объекта под воздействием гравитации второго составит

2

Приливное ускорение

GMr

=

.

3 d

(Это выражение мы вывели в задаче 63 в несколько ином контексте).

Разница в ускорении действует на разрыв объекта, и это называется приливным ускорением. Вычислите радиусы Шварцшильда и приливное ускорение на расстоянии d = 2 R

для объекта радиуса r = 1 м (то

Шварцшильда есть размером примерно с человека) для черных дыр массой 30 масс Солнца

(примерно такой массой обладала каждая из двух черных дыр, столкновение которых недавно удалось зарегистрировать с помощью гравитационных волн), 4 106 масс Солнца (масса черной дыры в центре Млечного Пути) и

109 масс Солнца (масса черных дыр, предположительно питающих квазары с самой большой светимостью).

120

20. Черные дыры

110. Задача автостопщика

Задача повышенной сложности

Полный свод правил [броккийского ультра-крикета] столь массивен и сложен, что первая же попытка собрать их в одной книге потерпела фиаско: сколлапсировав под собственной тяжестью, правила образовали Черную Дыру*.

Такая цитата прямо напрашивается на проверку вычислений. В этой задаче мы ответим на вызов Адамса и определим, так ли уж сложны на самом деле были эти правила.

Тело коллапсирует в черную дыру, если его радиус равен радиусу черной дыры той же массы; при этих условиях вторая космическая скорость с его поверхности равна скорости света, что, в сущности, и есть определение черной дыры. Вышесказанное можно перефразировать: тело данной массы коллапсирует в черную дыру, когда его плотность равна плотности черной дыры той же массы.

110. а Выведите формулу эффективной плотности черной дыры массы М. Считайте объем черной дыры объемом сферы с радиусом, заданным радиусом Шварцшильда. Что происходит с плотностью при росте массы черной дыры — она растет или уменьшается?

110. b Определите плотность бумаги, на которой напечатаны «Правила броккийского ультра-крикета», в килограммах на кубический метр. Обычная бумага обладает поверхностной плотностью 75 граммов на квадратный метр и толщиной 0,1 мм.

110. с Вычислите массу (в массах Солнца) и радиус (в а. е.) черной дыры, с плотностью, равной плотности такой бумаги.

110. d Сколько страниц в «Правилах броккийского ультра-крикета»? Предположим, что его страницы стандартного размера (8,5 дюй-

* Дуглас Адамс, «Жизнь, Вселенная и все остальное» (том 3 серии «Путеводитель по галактике для путешествующих автостопом», 1982), глава 19 (пер. В. Баканова).

121

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная ма 11 дюймов). Для простоты вычислений считайте книгу сферической

(обычное приближение для таких задач). Что было бы, если бы книга была даже длиннее, чем вы только что вычислили? Сколлапсировала бы она в черную дыру?

111. Столкновение черных дыр!

Четырнадцатого сентября 2015 года Лазерно-интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория (ЛИГО, LIGO) уловила сигнал от пары столкнувшихся черных дыр. Сигналом была гравитационная волна, пришедшая на детектор. Коротко говоря, обсерватория ЛИГО использует лазеры, чтобы с большой точностью измерять расстояние между парами зеркал, находящимися в 4 километрах друг от друга; когда приходит гравитационная волна, это расстояние периодически осциллирует с крошечной амплитудой.

111. а Перед самым столкновением черных дыр, отмеченным пиком гравитационного излучения, период осцилляций составлял 0,004 с (что соответствует частоте 250 Гц, то есть немного ниже «до» первой октавы на фортепиано).

Когда две черные дыры собираются слиться, их горизонты событий соприкасаются, и черные дыры вращаются друг вокруг друга по орбитам со скоростями, близкими к скорости света. Вычислите массу черных дыр на основании этих данных. Для простоты предположите, что масса черных дыр одинакова. Ответ выразите в массах Солнца с точностью до одной значащей цифры.

111. b Детальная модель сигнала от гравитационной волны 14 сентября

2015 года показала, что две первоначальные черные дыры обладали массами

36 и 29 масс Солнца (то есть наше предположение, что их массы равны, было вполне правомочным). Они слились и создали одну черную дыру с массой 62 массы Солнца. Разница — 3 массы Солнца — была преобразована в энергию и излучилась в виде гравитационных волн, которые и удалось в конце концов зарегистрировать на Земле. Эта энергия высвободилась примерно за 0,02 с. Вычислите светимость этой вспышки в ваттах.

122

20. Черные дыры

111. с Найдите светимость в видимом свете всех галактик в наблюдаемой Вселенной. Для этого примите общее количество галактик за 1011 и предположите, что в каждой галактике содержится 1011 звезд со светимостью, равной светимости Солнца (см. задачу 69). Каково отношение светимости сливающихся черных дыр и светимости всей наблюдаемой Вселенной?

111. d Несмотря на колоссальность выделившейся энергии, зафиксированный сигнал здесь, на Земле, был совсем крошечным. Измеренная величина называется «растяжение», и это доля, на которую изменилось четырехкилометровое расстояние между зеркалами ЛИГО. Пиковое растяжение составило 10–21. Вычислите, какому изменению расстояния оно соответствовало; ответ выразите в ангстремах. Чтобы почувствовать, насколько это маленькое расстояние, сравните его с радиусом протона —

около 10–5 ангстрем.

112. Добываем энергию из пары черных дыр

В этой задаче мы будем использовать идеи Стивена Хокинга относительно площади поверхности горизонта событий черной дыры, чтобы найти, сколько энергии можно добыть из пары черных дыр. Хокинг показал, что при столкновении двух черных дыр площадь горизонта событий возникшей в результате черной дыры должна быть больше, чем сумма площадей горизонтов событий первоначальных черных дыр.

Возьмем две невращающиеся черные дыры Шварцшильда в состоянии покоя, каждая массой М, на большом расстоянии друг от друга. Уроним их и дадим упасть друг на друга под воздействием взаимной гравитации, пока они не столкнутся и не образуют одну черную дыру. Поскольку первоначальные черные дыры не вращаются, а падают они прямо друг на друга, никакого углового момента в системе нет, и получившаяся в результате черная дыра тоже не будет вращаться.

Когда две черные дыры падают друг на друга и сталкиваются, они создают переменные гравитационные поля, порождающие гравитацион-

123

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная ные волны, которые распространяются со скоростью света. Эта рябь в пространстве-времени уносит энергию из системы. Первоначальные черные дыры не обладали электрическим зарядом, поэтому при падении никакого электромагнитного излучения не будет. Черные дыры испускают только гравитационное излучение.

112. а Площадь горизонта событий черной дыры Шварцшильда —

это просто площадь сферы радиусом, заданным радиусом Шварцшильда.

Вычислите общую начальную площадь А

горизонтов событий двух общ. нач.

черных дыр (в сумме) через Ньютонову гравитационную постоянную G, скорость света с и массу каждой из черных дыр М.

112. b Используйте результат Хокинга, согласно которому общая площадь горизонта событий должна расти, чтобы определить нижний предел массы М

черной дыры, возникшей в результате столкновения.

конечн.

112. с Задействуйте нижний предел массы итоговой черной дыры, полученный в части b), чтобы задать верхний предел массы, которую теряет система. Поскольку масса-энергия сохраняется, а единственная энергия, которую излучает система, это гравитационное излучение, масса, потерянная системой, должна преобразоваться в энергию. Вычислите верхний предел количества энергии, потерянного в виде гравитационного излучения.

112. d Поделите ответ, полученный в части с), на общую первоначальную массу-энергию системы, чтобы определить верхний предел доли массы, которая может преобразоваться в энергию гравитационного излучения в процессе слияния. В реальности столкновения двух невращающихся черных дыр равной массы порождают гравитационное излучение, но ниже предела, который вы только что вычислили.

21. Космические струны, кротовые норы и путешествия во времени

21

КОСМИЧЕСКИЕ СТРУНЫ, КРОТОВЫЕ НОРЫ

И ПУТЕШЕСТВИЯ ВО ВРЕМЕНИ

113. Короткие вопросы о путешествиях во времени

На эти два вопроса мы ждем кратких ответов, максимум несколько фраз.

113. а Стивен Хокинг спрашивал, почему, если путешествие в прошлое возможно, на нас не изливается поток путешественников во времени из будущего. Почему мы не видели толп туристов из будущего на исторических событиях вроде убийства Кеннеди? Ответьте профессору Хокингу.

113. b Опишите машину времени, работающую на космических струнах.

Опишите геометрию пространства вокруг двух космических струн и кратко поясните, почему это дает возможность создать машину времени.

114. Теннис с путешествием во времени

Задача повышенной сложности

Эта задача на тренировку правого полушария вашего мозга. Вам нужно нарисовать пространственно-временную схему рассказа о путешествии во времени, где речь идет о партии в теннис. Эта партия происходит в так на-

125

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная зываемом пространстве-времени «Дня Сурка», названного в честь фильма с Биллом Мюрреем, в котором герой проживает снова и снова один и тот же день. Возьмите лист бумаги обычного формата: это будет пространствовремя, с одним пространственным измерением по горизонтальной оси (слева направо) и временным измерением по вертикальной оси (будущее — в верху листа). Склейте скотчем верхний и нижний край листа, чтобы получился горизонтальный цилиндр. Теперь возьмем цилиндрическую мировую линию, которая обвивает цилиндр, всегда направлена в будущее, но раз за разом попадает в одно и то же время. См. рис. 5.

А вот рассказ, который вы должны проиллюстрировать. Идет партия в теннис. Сетка стационарна, она не движется в пространстве ни вправо, ни влево, однако движется в будущее, так что ее мировая линия будет вертикальной линией. Сетку собирают перед самым началом партии и разберут, как только партия закончится. Поэтому сетку нарисуйте в виде отрезка вертикальной линии, ближе к середине листа и длиной около

10 см. Вы родились где-то в левом нижнем углу листа. Ваша мировая линия продвигается в будущее, и вы смотрите партию в теннис. Затем вы переваливаете через верх цилиндра и по кругу возвращаетесь в прошлое, где снова смотрите партию в теннис. Затем вы берете мяч, который находите на земле. Снова возвращаетесь в прошлое, чтобы превратиться в теннисиста, играющего слева от сетки. Подаете мяч, он перелетает через сетку на другую сторону. Противник возвращает мяч, но тот не перелетает через сетку и падает на землю справа от нее. Поэтому вы выигрываете.

После игры вы проходите мимо мяча и переходите на правую сторону.

Затем вы возвращаетесь во времени и превращаетесь в теннисиста по правую сторону от сетки. Мяч летит к вам через сетку, вы подбегаете к ней и отбиваете мяч. Но мяч не перелетает через сетку и оказывается на земле на правой стороне от сетки. Поэтому вы проигрываете партию.

Затем вы проходите дальше вправо, возвращаетесь во времени и смо-

126

21. Космические струны, кротовые норы и путешествия во времени

Время

Пространство

Рис. 5. Рисунок к задаче 114. Копия рисунка 21.3 к «Большому космическому путешествию».

127

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная трите партию в третий раз, уже как зритель. Потом вы умираете, и ваша мировая линия обрывается.

Поскольку вы путешествуете во времени, вам удается побывать обоими игроками в этой партии и всеми тремя зрителями! Нарисуйте на цилиндре свою мировую линию. Отметьте на ней разные события (я родился, я смотрю партию, я снова смотрю партию, я подбираю мяч, я подаю, я выигрываю, я возвращаюсь, я проигрываю, я смотрю партию в третий раз). Нарисуйте мировую линию мяча. На своей мировой линии и на мировой линии мяча отметьте стрелками направление, в котором вы воспринимаете последовательность событий. Нарисуйте мировую линию сетки. Отметьте направления пространства и времени осями на цилиндре. Объясните, почему мировая линия мяча показывает, что это частица-джинн без начала и конца. Закончив, разрежьте скотч, разверните цилиндр и сдайте свой чертеж. Если вы положите линейку горизонтально поперек листа внизу и начнете медленно двигать ее вверх, вы увидите, что мировая линия пересекает край линейки в разных точках, которые движутся взад-вперед вдоль линейки — получится кино про теннисную партию и зрителей! Вы увидите, как мяч движется через сетку, потом обратно, но останавливается. Если такой схемы у вас не получилось, начните заново; возможно, все получится лишь со второй или третьей попытки.

115. Научная фантастика

Напишите научно-фантастический рассказ, не больше 8 страниц через два интервала, на основании научных понятий, которые вы усвоили, прочитав «Большое космическое путешествие» и решив задачи из этой книги.

Проявите творчество, но не отклоняйтесь от строгих научных принципов.

Оценка будет зависеть от точности применения научных понятий, глубины проникновения науки в сюжет и оригинальности вашей творческой мысли.

Для вдохновения пролистайте великолепную книгу Алана Лайтмана «Сны

128

21. Космические струны, кротовые норы и путешествия во времени

Эйнштейна» (АСТ, 2018) — серию зарисовок, изящно иллюстрирующих различные понятия из научных открытий Эйнштейна. Повеселитесь на славу!

Мы поместили это задание в главу о путешествиях во времени, по-

скольку многие наши студенты делали основой своих сочинений путеше-

ствия во времени. Но вы можете построить свой рассказ и на любом другом астрофизическом явлении.

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

22

КОНТУРЫ ВСЕЛЕННОЙ

И БОЛЬШОЙ ВЗРЫВ

116. Карта Вселенной

Расставьте следующие объекты в порядке возрастания расстояния от центра Земли; начните с ближайшего к Земле объекта.

• Объекты из пояса Койпера

• Космический телескоп имени Хаббла

• Галактика с самым большим из ныне известных красным смещением

• Луна (спутник Земли)

• Звезда Альфа Центавра

• Космический аппарат WMAP

• Фоновое космическое микроволновое излучение

• Великая Слоановская стена (комплекс сверхскоплений галактик)

• Юпитер

• Центр Млечного Пути

• М31, галактика Андромеда

• Звезда Сириус

130

22. Контуры Вселенной и Большой взрыв

117. Гномонические проекции

Поверхность сферы можно нанести на плоскость с использованием гномонической проекции. Для наглядности представьте себе, что вы поместили в центр сферы электрическую лампочку и спроецировали сферу на плоскость.

На поверхности сферы геодезическая линия, соединяющая две точки, то есть самая прямая линия, какую только можно нарисовать на сфере, — это большой круг, связывающий две точки. Если мы рассечем сферу плоскостью, проходящей через центр сферы, пересечением этой плоскости с поверхностью сферы будет большой круг. Так, например, большой круг — это экватор, а также все меридианы долготы.

117. а У гномонической проекции есть одно свойство: большие круги на сфере проецируются в прямые линии на карте. Объясните, почему это так, вспомнив некоторые факты из школьного курса стереометрии.

117. b Можно применить гномоническую проекцию, чтобы создать плоскую карту Земли на листе бумаги. Согласно результатам части а), любые две точки на карте можно соединить прямой, соответствующей большому кругу на шаре, соединяющему эти две точки. Экватор — это прямая линия, как и меридианы постоянной долготы. Гномонические проекции, применяемые таким образом, не могут служить полной картой сферы и годятся только как карта одного полушария максимум (а на практике — немного меньше). Почему?

117. с Мы можем применить гномоническую проекцию для создания плоской карты, показывающей положения звезд на небесной сфере. Если мы хотим создать полную карту небесной сферы, можем заключить сферу в куб, зажечь в ее центре светильник и спроецировать сферу на каждую из шести граней куба. Каждая звезда отбрасывает тень на одну из граней куба. Таким образом мы можем составить карту небесной сферы на поверхности куба.

131

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

Если теперь развернуть куб, получится плоская карта всего неба на шести листах карты, см. рис. 6. На верхнем листе карты (верхняя грань куба) видны северные околополярные звезды. На нижнем листе карты (нижняя грань куба) видны южные околополярные звезды. На четырех листах посередине

(слева направо) видны звезды, которые в северном полушарии появляются на небе осенью, летом, весной и зимой.

Небесный экватор — это прямая, идущая слева направо по середине четырех листов, соответствующих четырем боковым граням куба. При решении задачи полезно сделать ксерокопию этого рисунка, вырезать и сложить в куб. Можете сложить его так, чтобы звезды были внутри куба (как мы их видим), а можете так, чтобы звезды были на внешней стороне.

На первоначальном большом наборе из шести карт звездного неба, то есть на развернутом кубе, найдите и обведите следующие объекты: СЕВЕРНЫЕ ОКОЛОПОЛЯРНЫЕ

ОСЕНЬ

ВЕСНА

ЗИМА

ЛЕТО

ЮЖНЫЕ ОКОЛОПОЛЯРНЫЕ

Рис. 6. Ночное небо в гномонической проекции на куб. Каждый квадрат соответствует одной грани куба.

132

22. Контуры Вселенной и Большой взрыв

• Большая Медведица

• созвездие Кассиопея

• созвездие Лира

• созвездие Лев

• звезда Сириус

• звезда альфа Центавра

Для этого возьмите обычную карту звездного неба — ее легко найти в интернете — и определите, где находятся эти звезды и созвездия.

117. d Начертите на этой схеме пунктиром эклиптику и подпишите ее.

Эклиптика — это огромный круг, который описывает Солнце на фоне звезд в ходе своего годичного движения по небесной сфере. Помните, что плоскость эклиптики наклонена под углом 23,5° к небесному экватору. Солнце пересекает небесный экватор во время весеннего и осеннего равноденствия, то есть посередине листов, соответствующих весне и осени.

117. е Траектория эклиптики на картах звездного неба проходит через зодиакальные созвездия. Подумайте, как они отражаются на гномонической проекции. В евклидовой геометрии через точку, не принадлежащую прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная первой. То есть параллельные прямые (геодезические линии в планиметрии) не пересекаются.

На сфере две большие окружности (геодезические линии в сферической геометрии) пересекаются всегда. И все же гномоническая проекция показывает большие окружности как прямые. Сравните эклиптику, которую вы только что начертили, с небесным экватором, и примирите эти противоречивые на первый взгляд утверждения.

117. f Большая окружность на небесной сфере связывает звезду альфа

Центавра с Северным полюсом мира (где расположена Полярная звезда).

Это, разумеется, и есть геодезическая линия, которая соединяет две точки

(то есть кратчайшее расстояние на небесной сфере между альфой Центавра и Полярной звездой). Нарисуйте эту большую окружность на карте сплошной линией и надпишите.

133

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

117. g Нарисуйте точечной линией на карте кратчайший путь на поверхности куба от альфы Центавра к Полярной звезде. Подпишите эту линию.

То есть, если бы вы были муравьем и ползли по поверхности куба, каким был бы ваш кратчайший путь от альфы Центавра до Полярной звезды?

Совпадает ли он с линией, которую вы начертили в части f)? Если да, то почему? Если нет, то почему?

117. h На небесной сфере можно нарисовать геодезический треугольник (то есть треугольник, три стороны которого лежат на больших окружностях), у которого все три угла будут прямые. Он связывает Южный полюс небесной сферы и две точки на небесном экваторе, находящиеся на расстоянии 90° друг от друга по экватору. Начертите штрих-пунктиром такой треугольник на картах звездного неба и пометьте его вершины — А, В и С.

Теперь возьмем изображение этого треугольника на плоскости: все три его угла прямые, то есть в сумме дают 270°. На плоскости сумма углов треугольника равна 180°. К тому же гномоническая проекция показывает большие окружности как прямые линии. Тогда какой будет сумма углов проекции этого сферического треугольника с тремя прямыми углами — 180°

или больше? Ответ обоснуйте.

118. Доктор Кто во Флатландии

Знаменитый Доктор Кто путешествует при помощи ТАРДИС, которая на вид точь-в-точь как телефонная будка. Открой дверь и войди — внутри окажется просторная комната, по объему куда больше, чем можно заключить по внешним габаритам. Все, кто входит в ТАРДИС, говорят: «Внутри она больше, чем снаружи!» Из этой задачи мы узнаем, как такое могло бы быть, если бы Доктор Кто был флатландец и жил во Флатландии — в пространстве-времени, где только два пространственных измерения.

ТАРДИС в таком случае выглядела бы как на рис. 7: кубическая коробка размером 1 метр на 1 метр на 1 метр без крышки, приклеенная к квадратному отверстию размером 1 метр на 1 метр в плоскости Флат-

134

22. Контуры Вселенной и Большой взрыв ландии. Флатландец, попавший в ТАРДИС, соскользнул бы по одной из четырех сторон коробки на ее дно. Вся конструкция похожа на бесконечную кухонную столешницу со врезанной в нее квадратной кухонной мойкой.

У нее единая двумерная поверхность. Флатландец смотрит на внешнюю часть ТАРДИС и думает, что поскольку это квадрат со стороной 1 метр, его площадь составит 1 квадратный метр. Но на самом деле внутренняя поверхность ТАРДИС имеет площадь 5 квадратных метров: площадь каждой из четырех стенок мойки, а также дна мойки равна 1 квадратному метру.

Внутри больше, чем снаружи!

Рис. 7. Схема к задаче 118. Такой была бы геометрия ТАРДИС

во флатландском варианте «Доктора Кто»: ее площадь внутри значительно больше, чем снаружи.

ТАРДИС возникла благодаря воздействию гравитации на восемь точечных масс: четыре на вершинах верхних углов мойки и четыре на вершинах у ее дна. Массовая плотность во Флатландии измеряется в единицах массы на длину2. Согласно ОТО, такая массовая плотность эквивалентна кривизне, которая измеряется в 1/длина2, поэтому масса во Флатландии не имеет размерности.

Пространство-время в окрестностях точечной массы во Флатландии имеет форму конуса, дефект угла в радианах (то есть отличие угла от

2 радиан или 360°) равен массе. Например, в равнобедренном тетраэдре в каждой вершине сходятся три равносторонние треугольные плоскости с углами 60°, что составляет 180°, а не 360°, чего мы ожидали бы для точки на плоскости, что дает дефект в 360° — 180° = 180°, то есть в радиан. Та-

135

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная ким образом, каждая вершина тетраэдра — это точка с массой. Обратите внимание, что во Флатландии масса может быть не только положительной, но и отрицательной.

118. а Сколько массы (в радианах) содержит каждый угол ТАРДИС?

118. b Какова общая масса ТАРДИС?

118. с Имеет ли смысл ответ на часть b), если учитывать форму пространства вне ТАРДИС?

119. Короткие вопросы о форме Вселенной

На эти вопросы мы ждем ответов в несколько фраз, не больше.

119. а Цель теории Калуцы — Клейна — объединить гравитацию и электромагнетизм в единую теоретическую конструкцию с опорой на четыре пространственных измерения и одно временное. ДА или НЕТ?

119. b Какое предсказание сделали Гамов и его коллеги Герман и

Альфер в 1948 году и подтвердили Пензиас и Уилсон в 1965 году? Почему это было важно?

119. с В 1922 году Александр Фридман предложил три варианта геометрии Вселенной. Опишите их.

119. d Какова сумма углов треугольника в замкнутой Вселенной Фридмана (модель, где нет космологической постоянной), где рано или поздно происходит Большое сжатие — больше, меньше или равна 180°?

119. е Что Эйнштейн считал своей величайшей ошибкой?

23. Инфляция и новейшие исследования в области космологии

23

ИНФЛЯЦИЯ И НОВЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

В ОБЛАСТИ КОСМОЛОГИИ

120. Самый первый миг

В этой задаче мы выясним, насколько далеко в прошлое позволяют заглянуть известные нам законы физики. Как мы уже видели, гравитация объясняет поведение очень больших и очень массивных тел, а микромир описывает квантовая механика. В очень ранней Вселенной плотность была невероятно велика, поэтому очень маленькое могло быть очень массивным, и эффекты ОТО и квантовой механики играли одинаково важную роль. Эта задача поможет нам установить, в какой момент истории Вселенной это было именно так. Физики пока не сумели создать квантовую теорию гравитации, так что этот момент устанавливает предел нашей нынешней способности задавать вопросы о ранней Вселенной.

120. а Для начала повторим квантовую механику. Вы уже знаете уравнение Е = h, которое связывает энергию фотона Е с его частотой, где величина h 2/3 10–26 эрг с — это постоянная Планка. Комптоновская длина волны частицы массы М — это длина волны фотона с такой же энергией, определяемой как Е = Мс 2. На самом деле мы сейчас обращаемся к так называемому

137

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная корпускулярно-волновому дуализму, лежащему в основе квантовой механики: согласно этому принципу, частица обладает еще и свойствами волны. На основании этого выведите формулу комптоновской длины волны для частицы массы М. Подсказка: для этого частоту надо перевести в длину волны.

120. b Итак, комптоновская длина волны отражает квантовую природу частицы, тогда как радиус Шварцшильда — ее гравитационную природу. Приравняйте две эти длины и задайтесь вопросом, какова масса черной дыры, которой в равной степени управляют и гравитация, и квантовая механика? Подставьте числа и выразите массу и в граммах, и в ГэВ (миллиардах электроновольт).

120. с С учетом только что выведенной массы вычислите соответствующее расстояние (т. е. радиус Шварцшильда этой массы) и время (время, за которое свет преодолеет это расстояние). Напишите формулы каждой из этих величин и подставьте числа; расстояние выразите в сантиметрах, а время в секундах. Время, которое вы только что нашли, и есть самый ранний момент, когда нынешние законы физики позволяют нам говорить о природе

Вселенной. До этого доминировали одновременно и квантовая механика, и ОТО, а поскольку нам так и не удалось примирить две эти теории, дальше мы двигаться не можем.

121. Самая неточная оценка за всю историю физики

В задаче 120 вы нашли так называемую планковскую массу и планковскую длину — масштабы, за пределами которых для исследований необходима квантовая теория гравитации. Природа темной энергии пока не известна в принципе, но одна обоснованная оценка гласит, что она как-то связана с природой квантовой гравитацией, а следовательно, должна обладать плотностью, равной планковской плотности.

121. а Вычислите планковскую плотность, если известны планковская масса и планковская длина; выведите алгебраическую формулу и найдите числовое значение.

138

23. Инфляция и новейшие исследования в области космологии

121. b Помогает ли такая оценка плотности правдоподобно объяснить, откуда берется темное вещество? То есть насколько хороша ли эта «обоснованная оценка»? Чтобы определить это, вычислите плотность, которая обеспечивала бы наблюдаемое количество темной энергии. Отношение плотности темной энергии к критической плотности Вселенной, обозначаемое, по

данным измерений приблизительно равно 0,7. Найдите отношение планковской плотности к наблюдаемой плотности темной энергии, ответ поясните.

Если темная энергия и правда обладала бы плотностью, равной планковской, как должна была бы выглядеть история расширения Вселенной? Могли ли сформироваться галактики, звезды, планеты и люди?

122. Не такая уж и ошибка?

Наблюдения далеких сверхновых показывают, что сегодня Вселенная расширяется с ускорением. Если бы Эйнштейн дожил до наших дней и услышал эту новость, почему он сказал бы, что величайшая ошибка в его жизни — не такая уж и ошибка? Почему результаты исследований сверхновых, возможно, порадовали Алана Гута, создателя теории инфляции?

123. Большой взрыв

Теория Большого взрыва дает естественное объяснение целому ряду явлений, наблюдаемых во Вселенной. Напишите сочинение об этих явлениях и о том, как их объясняет Большой взрыв. В частности, обязательно расскажите, что означает красное смещение галактик, обилие водорода и гелия, разные оценки возраста Вселенной и всевозможные параметры космического фонового микроволнового излучения, в том числе его спектр, температура и изотропия.

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

24

НАШЕ БУДУЩЕЕ ВО ВСЕЛЕННОЙ

124. Путь на Марс

Предположим, вы хотите колонизировать Марс. В какой-то момент вам придется отправить на Марс космический корабль с людьми на борту. Самый экономичный способ сделать это — отправить астронавтов по так называемой «гомановской траектории». В рамках этой задачи считайте, что и Земля, и Марс вращаются по круглым компланарным орбитам (это вполне точное приближение). Радиусы орбит Земли и Марса составляют соответственно

1 а. е. и 1,524 а. е. В таком случае гомановская эллиптическая орбита — это простая кеплеровская эллиптическая орбита с минимальным расстоянием от

Солнца, равным 1 а. е., и максимальным, равным 1,524 а. е. На минимальном расстоянии от Солнца гомановская орбита пересекает орбиту Земли, а на максимальном отдалении — орбиту Марса. Тогда можно воспользоваться этой орбитой, чтобы попасть с Земли на Марс. Чтобы попасть на нее, нужно улететь с Земли и придать ракете импульс в направлении орбитального движения Земли. Затем ракета, увеличив скорость по орбите, перейдет на гомановскую эллиптическую орбиту и полетит по ней от Земли, пока не достигнет максимального расстояния от Солнца в 1,524 а. е. Нужно всего-навсего рассчитать полет так, чтобы Марс оказался в этой точке как раз к вашему прибытию! Затем корабль войдет в марсианскую атмосферу и затормозит-

140

24. Наше будущее во Вселенной ся, защищенный тепловым экраном. После этого можно раскрыть большой парашют и еще сильнее затормозиться в атмосфере, и наконец, включить тормозные ракеты, которые еще сильнее замедлят полет и обеспечат мягкую посадку на поверхности. На основании законов Кеплера рассчитайте, сколько времени уйдет у вашей ракеты на путешествие с Земли на Марс. Здесь пригодится калькулятор. Подсказка: большая полуось — это среднее между расстояниями от Солнца до ракеты в самой близкой и самой дальней точке.

125. Путешествия к другим звездам: солнечные паруса

Эта задача позволит нам исследовать футуристический способ межзвездных перелетов.

Солнечный парус для перемещения в пространстве ловит не ветер (его не может быть в космическом вакууме), а давление света как такового. У фотона есть не только энергия, но и импульс, равный его энергии, поделенной на скорость света.

Когда много фотонов попадает на отражающую поверхность, они отражаются и передают поверхности импульс в два раза больше первоначального (вы ведь понимаете, откуда берется множитель 2?). Общая сила воздействия на поверхность, то есть количество импульса, сообщаемое за единицу времени, составляет энергия, полученная поверхностью за единицу времени сила = 2×

.

скорость света

Рассмотрим солнечный парус — огромное зеркало площадью А на расстоянии d от звезды светимостью L. Рассмотрим силу, с которой воздействует на парус давление попадающего на него света звезды.

125. а Ускорение парусу задает сила, которая воздействует на него, деленная на массу паруса. Вычислите ускорение, если парус сделан из материала массовой плотностью и толщиной l и ориентирован перпендикулярно

141

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная направлению на звезду (то есть направлен на звезду). Зависит ли ускорение от размера паруса?

125. b Обратите внимание, что мы предположили, что вся масса заключена в самом парусе. Но, предположительно, мы хотим перемещать и какой-то полезный груз. Предположим, масса этого груза 105 кг. Мы хотим, чтобы этот парус был как можно больше, чтобы максимизировать силу, но не хотим, чтобы это была главная статья расходов в смете на строительство корабля, а поэтому задаем условие, что парус и полезный груз имеют одинаковую массу. Пусть парус будет круглый. Каким должен быть радиус паруса, если он сделан из материала плотностью = 3 г/см3 (сравнимой с плотностью алюминия) и толщиной l = 0,1 мм?

125. с Пусть наш корабль находится в 1 а. е. от Солнца. Каково ускорение полезного груза, обеспеченное только давлением излучения? Предположим, что ускорение постоянно; сколько времени потребуется, чтобы развить скорость 30 километров в секунду? (На самом деле по мере удаления от

Солнца давление излучения, а следовательно, и ускорение, уменьшается.

Если это учитывать, задача сильно усложняется).

126. Принцип Коперника

В главе 24 «Большого космического путешествия» приведены рассуждения, основанные на принципе Коперника и позволяющие делать предсказания о сроках существования в будущем тех или иных вещей и явлений на основании их нынешнего возраста. Для этого следует исходить из предположения, что нынешний момент в их существовании ничем не примечателен.

126. а Вы читаете в газете, что директор некоей фирмы провел на посту уже 39 недель. Если вы больше ничего не знаете, что скажет принцип

Коперника о том, сколько еще этот директор пробудет на своем посту как минимум и как максимум с вероятностью 95 %? Ответы дайте в подходящих единицах: в неделях или в годах.

142

24. Наше будущее во Вселенной

126. b Если бы мы приняли радиосигналы внеземной цивилизации, где говорилось бы, что ей 39 000 лет, принцип Коперника (согласно которому момент, когда мы наблюдаем эту цивилизацию, ничем не примечателен) позволил бы предположить, что с вероятностью 95 % она просуществует еще по меньшей мере _______ лет, но не более ________ лет.

126. с Объясните, почему из принципа Коперника следует, что вы, скорее всего, родились в век, когда население было выше среднего.

127. Коперник в действии

В книге «Большое космическое путешествие» мы в самых разных случаях апеллируем к принципу Коперника (согласно которому мы не центр

Вселенной). Ответьте на вопросы в каждом из приведенных ниже примеров использования принципа Коперника.

127. а Земля — не центр Солнечной системы. Каковы были преимущества модели Коперника в те времена, когда она была выдвинута, над моделью

Птолемея, согласно которой в центре мироздания находится Земля? Какие у нас есть прямые наблюдательные доказательства, что Земля вращается вокруг Солнца, а не наоборот? Были ли у самого Коперника такие прямые доказательства верности его модели?

127. b Солнечная система — не центр Млечного Пути. Почему в начале

ХХ века верили, что Солнечная система находится в центре Млечного Пути?

Что было причиной такого заблуждения? Какие наблюдения доказали, что это неправда?

127. с Галактика Млечный Путь — не центр расширяющейся Вселенной. В каком смысле может показаться, что мы находимся в центре расширения? Как бы вы объяснили скептику, что на самом деле это не так?

127. d Мы часто думаем, что живем в особые времена. Расскажите, как

Готт объясняет, почему, согласно принципу Коперника, предположение, что нынешние времена ничем не примечательны, служит мощным инструментом для точного прогнозирования.

143

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная

128. Короткие вопросы о будущем Вселенной

Для ответа на каждый из этих вопросов достаточно нескольких фраз.

128. а Эйнштейн успешно разработал теорию, объединяющую квантовую механику и общую теорию относительности. ДА или НЕТ?

128. b Из принципа Коперника следует, что программа по запуску человека в космос будет существовать вечно. ДА или НЕТ?

128. с Что произойдет в нашей Вселенной позднее — смерть всех звезд или испарение сверхмассивных черных дыр?

128. d Объясните, почему существует самый короткий измеримый отрезок времени — планковское время (5 10–44 с). Объяснять, почему у него именно такое численное значение, не нужно; достаточно рассказать, по каким физическим причинам существует самый короткий отрезок времени.

128. е Если бы у вас была машина времени, в какое время в прошлом или будущем вы хотели бы попасть? Примечание: на этот вопрос не может быть верных или неверных ответов, если вы укажете год и объясните, почему вам туда хочется!

129. Управляемая панспермия

Землянам грозит гибель от оружия массового поражения, и чтобы спасти их, вы решаете колонизировать галактику Млечный Путь. Для этого можно создать космический аппарат, поместить в него замороженные яйцеклетки и сперматозоиды людей и всех необходимых видов животных, а также полезные бактерии и банк семян и спор растений. Кроме того, в космическом аппарате будут и образовательные материалы для новых жителей дальних планет, и все культурные и научные знания, необходимые на новом месте.

Этот аппарат полетит к далеким планетам, пригодным для обитания, а по прибытии находящиеся на борту роботы запустят развитие эмбрионов животных и людей и посадят растения. Животные и растения вырастут на новой планете, как на Земле, питаясь ее сырьем. За 10 000 лет новые обитатели

144

24. Наше будущее во Вселенной создадут биосферу (если на планете ее не было) и цивилизацию. Затем у них возникнет желание запускать собственные космические аппараты и продолжать исследования Млечного Пути.

129. а Диаметр человеческой яйцеклетки 0,12 мм, она имеет приблизительно сферическую форму. Какова ее масса при плотности 1 г/см3? Во сколько раз это меньше веса взрослого человека? Что проще отправить в далекое космическое путешествие?

129. b Теперь нужно добраться до этих далеких миров. Нам нужно разогнать космический корабль до очень высокой скорости, а потом, при приближении к планете, затормозить. Существует два проекта, предполагающие при помощи ядерных реакций обеспечить скорость космического корабля, скажем, в 1 % скорости света: проект «Орион» и проект «Дедал».

Идея «Дедала» в том, чтобы поджигать заряды из дейтерия и гелия-3 в реакторе при помощи пучков ускоренных электронов, а «Орион» предполагает взрывать водородные бомбы в хвосте корабля. И в том, и в другом случае взрывы подталкивают корабль вперед. Технически это пока невозможно воплотить, но представляется, что оба варианта в принципе осуществимы.

В «Большом космическом путешествии» мы привели оценку, согласно которой в пределах 40 световых лет от Солнца находится около шести планет, пригодных для обитания. Сколько времени уйдет у нашего космического корабля, который движется со скоростью 1 % скорости света, чтобы пролететь 40 световых лет?

129. с В «Большом космическом путешествии» мы привели оценку, согласно которой в Млечном Пути 1,8 миллиарда планет, пригодных для обитания. Если нам удастся основать шесть таких колоний, а через 10 000 лет каждая из них создаст шесть своих колоний, сколько времени понадобится, чтобы колонизировать все пригодные для обитания планеты Млечного Пути?

129. d Физик Энрико Ферми, размышляя об этой проблеме, как известно, спросил: «Где они все?» Если в нашей Галактике много разумных

145

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная цивилизаций, принцип Коперника учит, что мы, люди, вряд ли появились первыми и, следовательно, не самые развитые. Если эти более развитые цивилизации также решили исследовать Млечный Путь, почему к нам до сих пор ни разу не прилетали инопланетяне и не пытались нас колонизировать?

Принцип Коперника дает ответ на этот парадокс. Какой?

129. е Вспомним, как трудно путешествовать между звездами. Пока что ни один человек с Земли не летал дальше Луны. Каково отношение пути в 40 световых лет к расстоянию от Земли до Луны?

129. f Рекорд скорости для полета человека — 25 000 миль в час.

Во сколько раз нам нужно повысить свою скорость, чтобы достичь 1 %

скорости света?

129. g Если бы мы захотели создать межзвездный корабль «Орион»

(один из космических кораблей на ядерной тяге, о которых упоминается в части b), строить его, вероятно, потребовалось бы на низкой околоземной орбите. Проектная масса «Ориона» составляет 400 000 тонн. Наша задача — доставить строительные материалы на низкую околоземную орбиту.

До сих пор самая большая ракета, которую нам удалось построить, —

«Сатурн V». Она способна доставить на околоземную орбиту полезный груз в

120 тонн. Сколько рейсов «Сатурна V» потребуется, чтобы собрать «Орион»?

129. h Сколько времени люди уже путешествуют в космос? Во сколько раз больше должна быть ожидаемая продолжительность космической программы, чтобы совершить колонизацию галактики, расчеты которой вы проводили в части с)?

Время и Солнечная система

Полезные численные величины и формулы

В этом разделе мы приводим как современные точные значения постоянных величин (как правило, с точностью до четырех значащих цифр), так и их приближенные значения, которые пригодятся для грубых оценок с «астрономической точностью», поскольку задачи из этого сборника часто требуют именно таких решений.

ВРЕМЯ И СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА

• 1 солнечный день = 86 400 секунд 1 105 секунд

• 1 звездные сутки = 86 264 секунды

• 1 звездный месяц = 27,32 солнечных суток 2,4 106 секунд

• 1 год = 365,24 солнечных суток 3 107 секунд

• Радиус Земли = 6,371 106 метров

• Радиус Луны = 1,737 106 метров

• Радиус Солнца = 6,957 108 метров 109 радиусов Земли

• Температура поверхности Солнца 5800 градусов Кельвина

• Радиус орбиты Луны вокруг Земли = 384 400 километров 4 108 мет ров

• Светимость Солнца 3,8 1026 Дж/с

147

Полезные численные величины и формулы

ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

• Гравитационная постоянная Ньютона G = 6,674 10–11 м3/(с2 кг) 3

2/3 10–10 м

2 с кг

• Постоянная Планка h = 6,626 10–34 джоулей секунду 2/3 10–33 джоулей секунду

• Скорость света с = 299 792 км/с 3 108 м/с

• Постоянная Стефана — Больцмана 5,67 10–8 Вт24 м K

• Постоянная Больцмана k = 1,380 10–23 Дж/К 1/7 10–22 Дж/К (да, в честь Больцмана много всего названо!)

• Масса протона = 1,6726 10–27 кг

• Масса нейтрона = 1,6749 10–27 кг

• Масса атома водорода = 1,6737 10–27 кг

• Число Авогадро (количество атомов в 1 грамме водорода) = 6,022

1023 (обратите внимание, что обратная к ней величина — это масса атома водорода в граммах)

• Для большинства задач из этой книги массы протона, нейтрона и атома водорода можно считать равными и брать приближенное значение 1/6

10–26 кг, или около 109 электроновольт (1 ГэВ)

• Масса электрона = 9,1094 10–31 кг = 511 килоэлектроновольт (кэВ) ЕДИНИЦЫ

Майкл вспоминает, что его школьный учитель физики твердил ученикам: «Единицы — тоже люди, их надо уважать!» При решении задач из этой книги крайне важно следить за размерностью от начала до конца расчетов. Помните, что единицы можно умножать и делить точно так же, как числа. Нужно следить за физическим смыслом размерности вычислений

(например, если вы хотите найти расстояние, а ответ получился не в единицах

148

Единицы длины, вы наверняка ошиблись). Кроме того, следует соблюдать единообразие размерности, а если единицы разнородны, нужно их конвертировать, чтобы они стали единообразными.

Мы, как правило, пользуемся так называемой системой единиц МКС, основанной на метрах (м), килограммах (кг) и секундах (с), однако астрономы обожают менять единицы как вздумается ради удобства. Многие задачи в нашем сборнике даны в единицах СГС — сантиметры (см), граммы (г) и секунды. Ниже мы укажем общепринятые обозначения различных единиц.

• ангстремы: 1 Å = 10–10 м

• микроны: 1 μm (1 мкм) = 10–6 м

• километры: 1 км = 103 м

• астрономические единицы: 1 а. е = 1,496 1011 м 1,5 108 км

• световые годы: 1 световой год = 9,46 1012 км 1 1016 м 60 000 астрономических единиц

• парсеки: 1 пк 3,26 светового года 200 000 астрономических единиц

• мегапарсеки: 1 Мпк = 106 пк

Массы измеряются в следующих единицах:

• масса Земли: 1 М

5,97 1024 кг

Земли

• масса Юпитера: 1 М

1,9 1027 кг 10–3 массы Солнца

Юпитера

• масса Солнца: 1 М

1,99 1030 кг 333 000 масс Земли. Иногда

Солнца мы пользуемся значком ո (астрономический символ Солнца), и тогда масса

Солнца обозначается 1 М .

ո

• масса Луны равна 7,348 1022 кг.

Плотности измеряются в килограммах на кубический метр или в граммах на кубический сантиметр. Жидкая вода при комнатной температуре и нормальном давлении имеет плотность 1 грамм на кубический сантиметр, что эквивалентно 1000 килограммов на кубический метр.

149

Полезные численные величины и формулы

• В системе МКС энергия измеряется в джоулях (Дж):

2

1 килограмм×метр

1 Дж = 1

.

2 секунда

Эквивалент в СГС

2 грамм×сантиметр

7

1 эрг = 1

= 10− Дж.

2 секунда

Один электроновольт (сокращенно эВ) — единица, которую часто используют при описании процессов, происходящих с атомами, — равен

1,6 10–19 Дж. Часто нам приходится говорить о больших количествах электроновольт, например, о мегаэлектроновольтах (МэВ, 106 эВ) и гигаэлектроновольтах (ГэВ, 109 эВ).

• Светимость L (энергия в единицу времени) измеряется в джоулях в секунду (иногда эту единицу называют ваттами, Вт) либо в светимостях

Солнца: L

= 3,8 1026 ватт.

Солнца

• Яркость измеряется в джоулях в секунду на квадратный метр.

• Частота (например, световой волны) измеряется в герцах (Гц), или циклах в секунду.

МАТЕМАТИКА

• = 3,1415926…; в задачах по астрономии, где ответ нужно дать с точностью до одной значащей цифры, часто вполне можно приближенно принять = 3.

• В круге 360 градусов, или 2 радиан. Градусная мера угла записывается со значком °.

• 1 радиан = 180° = 206 265 угловых секунд 200 000 угловых секунд

π

57,3°.

150

Орбиты и Ньютонова механика

• Малоугловая формула: угол (в радианах), противолежащий телу, приблизительно равен диаметру тела s, деленному на расстояние до тела d:

s

θ =. Эта формула применяется для маленьких углов, когда размер d тела много меньше расстояния до него. Это приближение пригодно для большинства задач в нашем сборнике.

• Длина окружности радиуса r составляет 2 r; площадь круга радиуса r равна r 2.

• Площадь поверхности сферы r составляет 4 r 2; объем шара радиуса r равен 4 3 r

π.

3

ОРБИТЫ И НЬЮТОНОВА МЕХАНИКА

• Второй закон Ньютона связывает полную силу F, действующую на тело массы m, с ускорением а, вызываемым этой силой: F = ma.

• Кинетическая энергия тела массы m, двигающегося со скоростью v, равна 1 2 mv .

2

• Ускорение а, необходимое, чтобы тело двигалось по окружности ра-

2 диуса r с постоянной скоростью v, равно v a =.

r

• Величина гравитационного взаимодействия (силы) между двумя телами массой М и m, расстояние между которыми равно r, составляет GMm/ r 2, где G — гравитационная постоянная Ньютона.

• Потенциальная энергия маленького тела массы m на расстоянии r от центра большого сферического тела массы М равна потенциальная энергия

GMm

= −

,

r где G — гравитационная постоянная Ньютона.

151

Полезные численные величины и формулы

• Третий закон Кеплера гласит, что для орбит вокруг Солнца квадрат периода обращения Р пропорционален кубу большой полуоси орбиты а: Р 2

ן а 3. Если период выражается в годах, а большая полуось в астрономических единицах, коэффициент пропорциональности равен 1. В физических еди-

2 3 ницах ньютоновская форма третьего закона Кеплера выглядит как 2 4π a P =

.

GM

Если в качестве единиц взять годы, астрономические единицы и массу

3

2

Солнца, получится 2 a

P =, то есть в этих единицах постоянная4π = 1.

M

G

• Минимальное и максимальное расстояние планеты от материнской звезды на орбите с большой полуосью а и эксцентриситетом е равны а(1 — е) и а(1 + е) соответственно.

• Скорость тела на круглой орбите радиуса r вокруг тела массы М равна GM / r . Вторая космическая скорость при таком радиусе составляет

2 GM / r. Орбитальная скорость Земли вокруг Солнца (r = 1 а. е., М = 1 масса Солнца) составляет 30 километров в секунду, а вторая космическая скорость с поверхности Земли (r равен радиусу Земли, М равна массе Земли) примерно равна 11 километрам в секунду.

ТЕМПЕРАТУРА, СВЕТ И ЭНЕРГИЯ

• Температуру измеряют в кельвинах; температура в кельвинах — это температура в градусах Цельсия плюс 273,15. Кроме того, температуру измеряют в электроновольтах: средняя кинетическая энергия частицы с температурой Т равна 3/2 kT, где k — постоянная Больцмана. Температура

10 000 кельвин соответствует энергии 0,86 электроновольт.

• Светимость на единицу длины волны на единицу площади поверхности абсолютно черного тела температурой Т задается формулой

I (=

λ T )

2

2 hc

1.

5 hc

λ

λ kt e −1

152

Астрономические формулы и величины

Здесь h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, с — скорость света. Размерность этой величины — джоули в секунду на кубический метр. Для длин волн намного больших, чем длина волны, соответствующая максимуму интенсивности, эта формула упрощается до

() 2 ckT

I

=

λ T

.

4

λ

• Закон Стефана — Больцмана: энергия в единицу времени, излучаемая абсолютно черным телом с площадью поверхности А и температурой Т, равна

АТ 4, где — постоянная Стефана — Больцмана.

• Спектр абсолютно черного тела с температурой Т имеет максимум на длине волны 2,9/ Т мм, если Т измеряется в кельвинах.

• Длина волны и частота фотона связаны отношением = с, где с — скорость света. Энергия фотона равна произведению его частоты и постоянной Планка h.

• У света с длиной волны, испускаемого телом, которое движется

0 к нам или от нас со скоростью v, наблюдается сдвиг длины волны до величины, такой, что (— )/ = ± v/ с (эффект Доплера): плюс — если

0

0 тело удаляется от нас, минус — если оно приближается к нам. Эта формула справедлива только для скоростей много меньших скорости света (нерелятивистский предел).

• Яркость b далекого объекта пропорциональна его светимости L, умноженной на обратный квадрат его расстояния r от нас: L

b =

.

2

4 r

π

АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ И ВЕЛИЧИНЫ

• Равновесная температура планеты с альбедо А без парникового эффекта, находящейся на расстоянии d от звезды с температурой поверхности

Т

и радиусом r равна звезды звезды

153

Полезные численные величины и формулы

1/2

= (

⎛ r

⎞

T

1− A)1/4 звезды

T

⎜

⎟.

планеты звезды ⎝ 2 d ⎠

Для звезды с температурой и радиусом Солнца и планеты с А = 0 на расстоянии d = 1 а. е. от этой звезды это дает температуру около 300 К.

• Параллакс звезды в угловых секундах (полуугол ее смещения по небосводу), вызванный вращением Земли по орбите вокруг Солнца, — величина, обратная расстоянию до звезды в парсеках. В более общем смысле параллакс может относиться к видимому изменению положения любого объекта, вызванного движением наблюдателя.

• Солнце находится на расстоянии 25 000 световых лет от центра Млечного Пути и совершает полный оборот по орбите за 2,5 108 лет. Масса части

Млечного Пути, заключенной внутри орбиты Солнца («солнечного круга») составляет примерно 1011 масс Солнца.

• Закон Хаббла: скорость удаления от нас галактики v равна расстоянию до нее d, умноженному на постоянную Хаббла Н : v = Н d.

0

0

• Постоянная Хаббла Н 67 километров в секунду на мегапарсек.

0

• Возраст Вселенной с момента Большого взрыва примерно равен величине, обратной постоянной Хаббла. Это дает около 14 миллиардов лет.

• Критическая плотность Вселенной равна 3 Н 2/(8 G), или около

0

10–26 кг/м3. Отношение фактической плотности Вселенной к этой критической плотности обозначается символом. В сегодняшней Вселенной

=

вещества

= 0,30 и

= 0,70.

темной энергии

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

• Энергия Е и масса m эквивалентны: Е = mc 2, где с — скорость света.

• Когда протоны соединяются и образуют ядра гелия в процессе термоядерного синтеза, 0,7 % их массы преобразуется в энергию.

154

Теория относительности

• Наблюдатель, двигающийся мимо вас со скоростью v, будет стареть в темпе

2

2

1− v / c лет на каждый прожитый вами (с вашей точки зрения) год; здесь с — скорость света. Расстояния сокращаются на тот же множитель. Радиус Шварцшильда черной дыры массы М равен 2 GM/ c 2. Для

1 массы Солнца это соответствует примерно 3 километрам.

• В специальной теории относительности промежуток между двумя событиями в пространстве-времени составляет ds 2 = dх 2 + dy 2 + dz 2 — c 2 dt 2.

В системе единиц, где с = 1 (например, расстояние измеряется в световых годах, а время в годах), это выражение приобретает вид ds 2 = dх 2 + dy 2 +

+ dz 2 — dt 2.

1/2

• Планковское время равно ⎛ hG ⎞

44

⎜

⎟ ≈ 5×10− с.

5

⎝ 2 c

π ⎠1/2

• Планковская длина равна ⎛ hG ⎞

35

⎜

⎟ ≈ 1,6×10− м.

3

⎝ 2 c

π ⎠

1/2

• Планковская масса равна ⎛ hc ⎞

8

⎜

⎟ ≈ 2,2×10− кг.

⎝ 2 G

π ⎠

• Уравнения для гравитационного поля в общей теории относительности Эйнштейна* выглядят так:

1

R −

= π. В нашем сборнике нет

μν

gμν R 8 T

2

μν

задач, где требовались бы расчеты на основе этих уравнений. Однако отметим, что их левая часть описывает кривизну пространства-времени, а правая — массу, энергию и давление в каждой точке пространства-времени.

* Без учета космологической постоянной — Прим. ред.

Решения

1. Экспоненциальное представление чисел. Обзор

1. a 3,17 107.

1. b 3,14 0,2 = 0,6 до одной значащей цифры.

1. c 0,25 или 2,5 10–1. Можно округлить до одной значащей цифры: 0,3.

1. d 1 10–9 м или 1,0 10–9 м.

2. Сколько длится год?

Получить верный ответ можно, пожалуй, и без калькулятора. В минуте 60 секунд, в часе — 60 минут, отсюда получаем 60 60 = 3600 секунд в часе. В сутках 24 часа; запишем 24 100/4, что дает нам приблизительно (3600/4) 100 = 90 000 секунд в сутки. В году 365,24 суток. 365 9 = 365 10 — 365 3300. Но нам нужно было умножать на 90 000, а не на 9, поэтому ответ надо умножить еще на 104, что даст нам 3,3 107 секунд.

Если мы просто все перемножим, уже при помощи калькулятора, то получим с часа суток

7 секунд

3600

×24

×365,24

= 3,156×10

,

год сутки год год что округляется до 3,2 107, до двух значащих цифр. Вручную у нас получилось почти то же самое!

156

Решения

3. Насколько быстро распространяется свет?

Это задача на перевод из одних единиц в другие. Поскольку скорость света дана нам с точностью до двух значащих цифр, окончательный ответ должен заключать столько же значащих цифр:

8 м

7 с км

12 км с = 3,0×10 ×3,17×10

×

= 9,5×10

,

3 с год 10 м год то есть около 10 триллионов (1013) километров в год. Так что 1013 километров — это и есть 1 световой год.

4. Угловые секунды в радиане

Вспомните, что в полном круге 360 градусов или 2 радиан. Следовательно, в каждом радиане 360° 180

=

градусов. Кроме того, в каждом гра-

2π

π

дусе 3600 угловых секунд. А значит, число угловых секунд в радиане —

число, которым мы будем пользоваться постоянно — составляет

180 градус угл. сек. 18×36

2+2

×3,600

=

×10.

π радиан градус

π

Посмотрим, справимся ли мы с этими вычислениями без калькулятора: 36 1,8 = 36 2 0,9 = 72 (1–0,1) = 72 — 7,2 65.

А при ближайшем рассмотрении 65/ 20. Таким образом, в радиане приблизительно 200 000 угловых секунд. Если мы возьмем калькулятор, то получим точный ответ: 206 264,8 угловых секунд на радиан, однако приблизительного значения вполне достаточно для любых вычислений, с которыми вы столкнетесь в нашем задачнике.

5. Парсек — это далеко?

Рассмотрим рис. 4.1 книги «Большое космическое путешествие».

Возьмем узкий длинный треугольник, основание которого (r) представляет собой радиус земной орбиты вокруг Солнца (1 астрономическая единица, 157

Решения то есть а. е.), угол при вершине которого (), направленный в сторону звезды, составляет 1 угловую секунду, а высота (d) составляет 1 парсек.

Малоугловая формула говорит нам, что = r/ d, или, если решить это уравнение для d (поскольку нас сейчас интересует именно эта величина), d = r/. Эта формула работает, если выражается в радианах, но здесь выражено в угловых секундах. К счастью, мы только что, в задаче 4, вычислили коэффициент перевода угловых секунд в радианы и обратно, и теперь можем подставить числа:

1 а.е.

5

1 парсек =

= 2×10 а.е.

1

1 угл. секунда радиан

×

5

2×10 угл. секунд

Таким образом, число а. е. в парсеке в точности равно числу угловых секунд в радиане, как и должно быть по определению.

Теперь нам нужно вычислить это расстояние в световых годах. Никаких хитрых способов для этого мы не знаем и можем лишь просто перевести все в километры. Из задачи 2 мы знаем, что в году 3,16 107 секунд. Поскольку скорость света равна 3 105 км/с, количество километров в световом годе равно расстоянию, которое свет проходит за 1 год (то есть представляет собой произведение этих двух чисел):

3,16 107 с 3 105 км/с = 1013 км с точностью до одной значащей цифры.

Отлично, теперь давайте вычислим, сколько километров в парсеке. Мы знаем, сколько в парсеке а. е., знаем, сколько километров в а. е., следовательно, их произведение дает нам

1 парсек = 2 105 а. е. 1,5 108 км/а. е. = 3 1013 км.

Сравнив эти два числа, мы находим, что 1 парсек равен примерно

3 световым годам. Если подставить во все формулы более точные числа, получим, что 1 парсек равен 3,26 светового года.

158

Решения

Астрономы сплошь и рядом применяют парсеки и световые года как взаимозаменяемые величины, но все же предпочитают парсеки. Поэтому коэффициент пересчета 3,26 стоит запомнить. Конечно, для приблизительных вычислений достаточно одной значащей цифры (3 световых года в 1 парсеке). Зачастую мы говорим о килопарсеках (кпк; Солнце находится примерно в 8 кпк от центра Млечного Пути), мегапарсеках (Мпк; галактика Андромеда находится примерно в 0,7 Мпк от Млечного Пути) и даже гигапарсеках (Гпк, 109 парсек; это число пригодится при разговоре об очень далеких галактиках).

6. Дальше в космос — глубже в прошлое

6. а Расстояние задано нам с точностью до одной значащей цифры, что позволяет проводить все остальные вычисления с той же точностью до одной значащей цифры. Скорость света составляет 3 108 метров в секунду, поэтому время, за которое свет пройдет 10 метров, вычислить просто: 10 м

8

−

9 нс

≈ 3×10 с×10

= 30 нс.

8

3×10 м/с с

То есть свет проходит 30 футов за 30 наносекунд; скорость света составляет 1 фут в наносекунду (с точностью до одной значащей цифры), и это число полезно запомнить.

6. b Задачу такого типа мы решили только что, и эту будем решать точно так же. Нанометр — это 10–9 метров, значит, 10 нанометров — это

10–8 метров. Нам снова вполне достаточно одной значащей цифры (ведь в условиях задачи нам не дана более точная величина скорости), поэтому мы получаем время

8

10− м

17

3 10−

≈ ×

с,

8

3×10 м/с то есть примерно одна тридцатая часть фемтосекунды.

6. c Скорость света — 1 световой год в год, поэтому мы наблюдаем

Туманность Ориона такой, какой она была 1500 лет назад. Можно, конечно, 159

Решения пойти трудным путем, то есть перевести расстояние в метры и поделить на скорость света в метрах в секунду или в метрах в год, но работать со скоростью света гораздо удобнее, если выражать ее в световых годах в год!

7. Взгляд на Нептун

7. а В этот момент Нептун и Земля находятся по разные стороны от

Солнца на расстоянии 31 а. е. Мы получили расстояние, выраженное с точностью до двух значащих цифр, поэтому будем работать на этом уровне точности. Время, за которое свет пройдет такое расстояние, равно

31 а. е.

8 км

31

3

4 t =

×1,5×10

= ×10 с = 1,55×10 с.

5

3×10 км/с а. е. 2

Обратите внимание, что результат записан с точностью до трех значащих цифр, а это больше, чем от нас требуется. Мы делаем так отчасти для того, чтобы увидеть разницу между этим результатом и ответом, который мы получим в части b). Поэтому, когда мы решим задачу целиком, в конце нужно будет проделать соответствующее округление.

Нам задали выразить результат в часах и минутах. В одном часе 3600 секунд, следовательно, 15 500 секунд — это 4 часа и 1100 секунд, или примерно

4 часа и 20 минут, или приблизительно 4 и 1/3 часа, или 4,3 часа. Можно ли считать, что это ответ с точностью до двух значащих цифр, который от нас требуется? Ответ — да, приблизительно. Две значащие цифры относятся к числу в целом (выраженному в одних единицах, например, в часах), и это требование не относится к «минутной» части числа в целом. Обратите внимание, что если бы мы округлили раньше, у нас получился бы несколько иной результат.

7. b Солнце, Земля и Нептун снова находятся на одной прямой, но теперь Земля оказалась между Солнцем и Нептуном. Таким образом, расстояние от Земли до Нептуна равно 29 а. е. Тогда те же самые вычисления дают ответ 14 500 секунд, то есть почти ровно 4 часа (или 240 минут).

160

Решения

8. Очень-очень далеко и давным-давно

8. а Это несложно, если вспомнить, что скорость света в точности равна

1 световому году в год. В 2017 году этой радиопередаче исполнился 81 год, поэтому световые сигналы прошли 81 световой год. Сфера радиусом 81 световой год с нами в центре содержит десятки тысяч звезд.

8. b Эта задача аналогична предыдущей. На полпути к центру Млечного Пути — это значит на расстоянии 13 000 световых лет с округлением до двух значащих цифр. Следовательно, на преодоление этого расстояния у радиосигналов уйдет 13 000 лет.

Обратите внимание, что мы считаем, что расстояние от Зайборга до

Солнца равно расстоянию от Зайборга до Земли. Дело в том, что расстояние от Земли до Солнца (1 а. е.) по сравнению с расстоянием от Зайборга до

Солнца (больше 10 000 световых лет) совсем крошечное.

8. c Здесь нас интересует время, которое займет путь туда и обратно, то есть время, за которое свет преодолеет 2 384 400 километров: 1

384,400 км×2×

= 2,6 с.

5

3,0×10 км / с

Здесь мы даем ответ с точностью до двух значащих цифр. Когда центр управления полетами в Хьюстоне переговаривался с астронавтами, находившимися на Луне, задержка в 2,6 секунды была очень заметна.

8. d Орбиты Марса и Земли находятся в одной плоскости, и расстояние между планетами меньше всего, когда они в оппозиции (то есть Земля находится на одной прямой с Марсом и Солнцем и между ними). Тогда расстояние между Землей и Марсом равно 1,5–1,0 = 0,5 а. е. Время, необходимое, чтобы свет преодолел это расстояние, равно

8 км

1

1 мин

0,5 а. е.×1,5×10

×

×

= 4 мин,

5 а. е. 3,0×10 км/с 60 с где ответ дан с точностью до одной значащей цифры. Когда Марс находится в конъюнкции, Солнце располагается между ним и Землей, и тогда до

161

Решения

Марса 1 + 1,5 = 2,5 а. е., в пять раз дальше. Такое расстояние свет пройдет за 21 минуту.

Такая значительная задержка — большая проблема в коммуникации между Землей и Марсом. Сейчас поверхность Марса исследуют два марсохода — «Оппортьюнити» и «Кьюриозити», — но из-за этой задержки в коммуникации ими невозможно управлять в реальном времени с Земли. Поэтому они достаточно автономны: раз в день в них загружают подробные указания на ближайшие сутки, а в остальное время марсоходы предоставлены сами себе, поскольку их программное обеспечение достаточно умное и они сами сообразят, что делать, если неожиданно натолкнутся на скалу.

9. Космические путешествия

9. а При постоянной скорости время в пути = расстояние/скорость, так что для d = 4 105 км и v = 4 104 км/ч

5 d

4×10 км t = =

= 10 ч.

4 v 4×10 км/ч

На самом деле путь «Аполлона-11» до Луны занял около 3 дней, а притяжение Земли приводило к тому, что его скорость постепенно снижалась.

9. b Мы знаем, что 1 световой год — это 1013 км, поэтому расстояние до Проксимы Центавра равно d = 4 1013 км. При скорости v = 30 4

104 км/ч получаем

13 d

4×10 км t = =

4 v 30×4×10 км/ч t 3 107 часа.

Теперь поделим это на 24 часа/сутки 365 суток/год 10 000 часов/

год и получим t 3000 лет.

162

Решения

9. с При d = 2 106 1013 км и v = 103 4 104 км/ч (здесь мы воспользовались тем, что с точностью, которая нас устраивает, 30 30 = 1000) получаем:

19 d

2×10 км t = =

3

4 v 10 ×4×10 км/ч

5 1011 часов 5 107 лет.

Скорость света примерно равна 3 105 км/с 3600 с/час 109 км/ч.

Таким образом, скорость, которую мы развили, равна примерно 4 % скорости света.

10. К другим звездам

10. а Прежде всего нам задали вычислить скорость движения Земли вокруг Солнца. Длина окружности — это радиус, умноженный на 2, а радиус нам известен. Это расстояние Земля проходит за 1 год, и это время нам нужно выразить в секундах, что и стоит сделать в первую очередь: 1 год 365 суток/год 24 часа/сутки 3600 секунд/час

Посмотрим, получится ли у нас вычислить все это без калькулятора.

Запишем, что 24 100/4, а 365/4 90, поэтому получается

90 100 3600.

90 3600 320 000, так что окончательный результат составит 3,2 107 секунд. Точный ответ, согласно калькулятору (и с учетом того, что в году

365,2422 суток), равен 3,1557 107 секунд — очень близко! Эту величину мы часто выражаем приближенно как 107 секунд. См. также задачу 2.

Отлично, тогда скорость движения Земли по орбите равна

8 расстояние 2π×1,5×10 км км скрость =

=

= 30.

7 время

π×10 с с

Вдумайтесь: и вы, и все остальные земляне в этот самый миг движутся в пространстве со скоростью 30 километров в секунду!

163

Решения

10. b Теперь нам нужно вычислить, сколько километров в 4 световых годах. Полезно знать эту величину для 1 светового года; потом будет несложно умножить ее на 4. Мы только что проделали работу по вычислению, сколько секунд в году, а расстояние мы получим, умножив это время на скорость света:

107 с 3 105 км/с 1013 км,

где мы приближенно приняли, что 3 = 10. Это уж точно полезное число: 1 световой год равен 10 триллионам километров! Так что 4 световых года —

это просто в 4 раза больше, то есть 4 1013 км.

10. с Понятно, что со скоростью 30 километров в секунду на преодоление расстояния в 4 световых года уйдет очень много времени. Можно проделать арифметические вычисления обычным способом, но давайте попробуем немного схитрить — просто чтобы показать вам очередной фокус. (Немного потрудившись над алгеброй, можно сэкономить очень много сил на арифметике. Помните, что арифметика зачастую труднее алгебры!) Мы хотим вычислить время в пути, зная скорость (30 км/с) и расстояние

(4 световых года). Попробуем поступить вот как:

5 расстояние 4 световых года

⎛ 3 ×10 км/с ×1 год⎞

время =

=

= 4 ×

.

скорость

30 км / с

⎜

30 км / с

⎟

⎝

⎠

Обратите внимание, как мы записали световой год: у нас получились километры в секунду и в числителе, и в знаменателе (и сверху, и снизу), и мы их сокращаем, оставив только годы, которые нам и нужны. Этот фокус избавил нас от усилий, которые потребовались бы, если бы мы вычислили время в секундах и еще раз поделили его на количество секунд в одном годе (хотя, признаться, и это не очень трудно).

Арифметика очень проста; у нас получилось 40 000 лет. Можно взглянуть на все это и с другой стороны: 30 км/с — это 10–4 от скорости света, поэтому на то, чтобы преодолеть с такой скоростью световой год, нужно

10 000 лет, а на 4 световых года нужно 40 000 лет.

164

Решения

11. Атмосфера Земли

11. а Эта плотность равна массе кубического метра воздуха. А эта масса равна числу молекул N, помноженному на массу одной молекулы. Одна

2 молекула состоит из двух атомов N и, таким образом, имеет массу в 28 раз больше массы водорода (массу которого иногда называют атомной единицей массы, или а. е.м.). Тогда

25 молекул

28 а. е.м

27

−

кг плотность воздуха = 3×10

×

×1,6×10

.

3 м молекул а. е.м

Прежде чем браться за калькулятор, задумаемся, что нам дано количество молекул в кубическом метре лишь с точностью до одной значащей цифры, поэтому мы можем проводить вычисления с этой точностью. Вспомним, что 1,6 5/3. Тройки сокращаются, и у нас остается

5 28 10–2 кг/ м3 1,5 кг/ м3.

Точная величина плотности воздуха при комнатной температуре на уровне моря составляет 1,225 кг/ м3. Мы были очень близки!

11. b Требуемый объем — это площадь поверхности Земли, 4 r 2, умноженная на толщину слоя:

объем = 8 км 4 (6400 км)2.

Попытаемся вычислить это без калькулятора, ведь мы помним, что ответ должен быть с точностью только до одной значащей цифры (поскольку толщина слоя дана нам с точностью до одной значащей цифры). С точностью до одной значащей цифры 642 4000, поэтому получаем объем 8 4 3 4 103 104 км3 4 109 км3.

Далее, в задаче не указано, в каких единицах должен быть выражен ответ, однако в части с) этой задачи нам потребуется умножить объем на плотность воздуха, а она выражена в кг/м3. Поэтому полезно будет перевести результат в кубические метры. В одном километре 103 метра, так что

1 кубический километр равен (103)3 = 109 кубическим метрам. Поэтому, чтобы

165

Решения перевести из кубических километров в кубические метры, нам нужно умножить полученный результат на 109, после чего получим объем = 4 1018 м3.

Более точный расчет объема земной атмосферы можно получить, если вычислить объем сферы радиусом 6400 + 8 километров, а затем вычесть из полученной величины объем сферы радиусом 6400 километров. При этом мы получили бы примерно такой же ответ, а сил ушло бы гораздо больше.

11. с С первой частью все понятно: масса объекта (в данном случае земной атмосферы) равна произведению его объема и его плотности, то есть ответов на части а) и b). Только обязательно нужно при подсчетах следить за размерностью!

масса = плотность объем = 1,5 кг/ м3 4 1018 м3 = 6 1018 кг.

Поскольку в 1 тонне 1000 килограммов, получается 6 квадриллионов

(6 1015) тонн — впечатляющее число!

Рассмотрим его отношение к массе мирового океана 1,4 1021 кг и получим

18

6×10 кг

3

≈ 4×10−.

21

1,4×10 кг

Таким образом, масса атмосферы составляет 0,4 % массы океанов.

11. d Масса СО — это масса всей атмосферы, умноженная на долю

2

СО в этой массе:

2 масса СО = 6 1018 кг 600 4 1015 кг

2

6

10 с точностью до одной значащей цифры. Обратите внимание, что 600 миллионных долей превратились в дробь.

12. Движение Солнца, Луны и звезд

12. а На Северном полюсе высота Солнца над горизонтом не меняется в течение суток (см. часть d), таким образом, летом (а на самом деле по 6 ме-

166

Решения сяцев подряд!) Солнце находится над горизонтом 24 часа. Если двинуться к югу, до и после летнего солнцестояния время, в течение которого Солнце находится над горизонтом, постепенно сокращается, пока мы не окажемся на Полярном круге, на широте +66,5°: там Солнце находится над горизонтом в течение 24 часов в день летнего солнцестояния (22 июня), но во все остальные дни года на какое-то время опускается за горизонт. Аналогичным образом на Южном полюсе Солнце светит 6 месяцев подряд — 3 месяца до и после зимнего солнцестояния (21 декабря), — а на широте –66,5° 21 декабря — единственный день, когда Солнце не заходит в течение 24 часов.

12. b Если Луна наполовину освещена Солнцем, значит, Солнце, Земля и Луна образуют прямой угол, то есть с точки зрения наблюдателя на Земле между Солнцем и Луной около 90 градусов. В задаче не указано, какая это фаза Луны, первая четверть или третья четверть, поэтому такое происходит дважды каждый месяц в течение примерно 6 часов (промежуток между восходом Солнца и заходом Луны или между восходом Луны и заходом

Солнца в зависимости от того, какая это четверть, первая или третья). Обратите внимание, что наполовину освещенная Луна хорошо видна днем, она достаточно яркая, чтобы выделяться даже на фоне яркого дневного неба.

12. с Орбита Марса лежит вне орбиты Земли. Значит, с нашей точки зрения Марс никогда не проходит через диск Солнца.

12. d С точки зрения наблюдателя, стоящего на Северном полюсе Земли, Полярная звезда находится прямо над головой, а все остальные звезды вращаются вокруг нее по окружностям, параллельным горизонту, с центром в Полярной звезде. Следовательно, они никогда не заходят. Подобным же образом на Южном полюсе Земли звезды с точки зрения наблюдателя вращаются по окружностям, параллельным горизонту, с центром прямо в зените (поскольку Южный полюс мира не отмечен никакой яркой звездой).

12. е Полярная звезда с очень высокой точностью лежит на линии, продолжающей ось Земли и исходящей из Северного полюса (от истинного

Северного полюса небесной сферы она отстоит меньше чем на 1 градус).

167

Решения

Поэтому на Северном полюсе она видна прямо над головой и за 6 месяцев зимней тьмы на вид не сдвигается с места. Обратите внимание, что из-за наклона земной оси Северный полюс описывает круг на фоне звезд каждые

26 000 лет, так что через несколько тысяч лет Полярная звезда окажется уже не так близко к Северному полюсу небесной сферы.

13. Взгляд на Луну

13. а Мы знаем, что когда Луна полная, Солнце, Земля и Луна выстраиваются практически в одну линию. Значит, если Луна находится на восточном горизонте, то есть только что встала, Солнце находится на западном горизонте, то есть клонится к закату. Значит, сейчас ранний вечер, часов около шести.

13. b Орбита Венеры вокруг Солнца находится внутри орбиты Земли. Таким образом, Венера не может быть слишком далеко от Солнца (максимальное отклонение составляет 47°, что вы можете подсчитать самостоятельно, задействовав чуточку тригонометрии и опираясь на то, что радиус орбиты

Венеры — 0,7 а. е.) Поэтому Венеру невозможно наблюдать в положении, противоположном Солнцу: она не может вставать, когда Солнце садится.

Значит, эта планета — Юпитер.

13. с Луна совершает один оборот вокруг своей оси одновременно с одним оборотом по орбите вокруг Земли (что называется, Луна находится в «приливном захвате»), поэтому она всегда обращена к Земле одной стороной. Таким образом, если вы живете на обратной стороне Луны, Землю вы не увидите. Однако Солнце увидите. Вы совершаете поворот вокруг своей оси раз в месяц, поэтому и Солнце будет восходить примерно раз в месяц, то есть «лунные сутки» составляют приблизительно 30 земных суток.

14. Восходы и закаты

14. а Нет, с точки зрения наблюдателя на Северном полюсе звезды не восходят и не заходят. Он видит, как в течение 24 часов звезды описы-

168

Решения вают на небосводе окружность вокруг Северного полюса небесной сферы.

Северный полюс мира с точки зрения наблюдателя на Северном полюсе

Земли находится прямо над головой, поэтому звезды описывают окружности параллельно горизонту (то есть на постоянной высоте над горизонтом), а следовательно, не садятся.

14. b С точки зрения наблюдателя на Северном полюсе Солнце, как и все остальные звезды, в течение 24 часов движется параллельно горизонту и, следовательно, не восходит и не садится. Однако в течение года Солнце смещается на небосводе относительно фоновых звезд, то есть его высота над горизонтом меняется. В частности, оно один раз восходит (в день весеннего равноденствия, 21 марта), после чего начинается шестимесячный «день», и один раз заходит (в день осеннего равноденствия, 21 сентября), знаменуя начало темной и холодной шестимесячной «ночи». Поскольку Аляска находится близко к Северному полюсу, Солнце в течение 24 часов сохраняет примерно постоянную высоту над горизонтом. Следовательно, в разгар лета там светло даже в полночь.

Существует воображаемая линия на широте +66,5°, так называемый

Полярный круг, к северу от которого в течение года есть такой период, когда

Солнце стоит над горизонтом 24 часа. Даже если находишься чуть южнее этой линии (например, почти на всей территории Аляски), в середине лета

Солнце в полночь уходит за горизонт не очень далеко, поэтому никогда по-настоящему не темнеет. Точно так же обстоят дела на Южном полюсе, но там с точки зрения календарных сезонов все наоборот (и летнее солнцестояние происходит 21 декабря).

14. с Поскольку Полярная звезда лежит на оси вращения Земли (почти точно), а ось вращения выходит из поверхности вертикально, Полярная звезда, если стоять на Северном полюсе, видна прямо над головой. Поскольку направление оси вращения Земли не меняется, Полярная звезда занимает это положение круглый год.

169

Решения

На самом деле Северный полюс небесной сферы движется, просто очень медленно; это называется «прецессия». Из-за воздействия Солнца и Луны направление оси вращения Земли смещается по небу на 1° каждые

175 лет, то есть эта ось описывает на небосклоне полный круг радиусом

23,5° каждые 26 000 лет. Этот эффект достаточно заметен: его можно, пусть и с трудом, увидеть на протяжении одной человеческой жизни даже без телескопов, и о нем знали еще древние греки.

14. d Если находиться на экваторе, ось вращения Земли параллельна поверхности, на которой стоишь, то есть горизонтальна. Поэтому

Полярная звезда видна на севере, прямо на горизонте, а следовательно, видна только тем наблюдателям, которым горизонт ничего не заслоняет.

Не забывайте, что до Полярной звезды много световых лет, поэтому то обстоятельство, что мы сидим на поверхности Земли, а не на ее оси, до которой от экватора 6400 км, влияет на угол наблюдения пренебрежимо мало.

Как и в части с), можно считать, что ось вращения Земли не меняется со временем, поэтому не меняется и положение Полярной звезды.

14. е См. рис. 8. Мы знаем, что положение земной оси не меняется, откуда бы мы ни смотрели на нее — с полюсов, с экватора и даже из

Принстона, а следовательно, если смотреть из любой точки северного полушария Земли, положение Полярной звезды на небе останется прежним (естественно, с точки зрения наблюдателей из южного полушария она всегда невидима, так как находится ниже горизонта). Если смотреть из Принстона (широта +40°), Полярная звезда находится на

40° выше горизонта в направлении точно на север (более того, это один из общепринятых способов определить широту своего местонахождения в Северном полушарии). Как и на Северном полюсе (часть а)), все звезды с точки зрения наблюдателя вращаются по окружностям вокруг

Полярной звезды.

170

Решения

Полярная звезда

Не садится

Восходит и садится

Восходит и садится

Не восходит

Рис. 8. Схема к задаче 14.е. Точками отмечено положение Принстона на земной поверхности в разные моменты в зависимости от вращения Земли вокруг своей оси (вертикальной оси, направленной на Полярную звезду).

Прямые линии — локальные горизонты в каждой точке; нам видны только звезды над горизонтом. Конус наверху — область, где находятся звезды, которые при наблюдении из Принстона никогда не заходят.

На схеме видно, что звезды, находящиеся меньше чем в 40° от Полярной звезды, всегда будут ближе к Полярной звезде, чем горизонт, и поэтому никогда не будут заходить. А звезды, находящиеся более чем в 140° от Полярной, никогда не видны из Принстона; чтобы ими полюбоваться, придется поехать в более низкие широты.

15. Небесные объекты

15. а Если Луна стоит высоко в небе, она уже давно взошла и еще не клонится к закату. В полнолуние Солнце и Луна находятся друг против друга, 171

Решения поэтому полная Луна встает тогда, когда Солнце садится (в 6 вечера) и заходит, когда Солнце восходит (в 6 утра). Если Луна стоит высоко в небе, мы примерно посередине между этими моментами, то есть сейчас около полуночи.

15. b Нет. За 24 часа все небесные тела описывают окружности вокруг

Полярной звезды. На экваторе Полярная звезда находится прямо на горизонте, поэтому все окружности, описанные вокруг нее, неизбежно пересекают горизонт (то есть все небесные объекты восходят и садятся). Если смотреть с экватора, околополярных объектов на небосводе не будет.

15. с Да. Полярная звезда находится прямо над головой, и все объекты описывают круги параллельно горизонту, так что за 24 часа они не восходят и не садятся. Поэтому, если Луна видна, она околополярна.

Обратите внимание, что Луна с Северного полюса видна не всегда.

Она восходит (поднимается над горизонтом) раз в месяц и заходит тоже раз в месяц, поскольку ее орбита наклонена относительно экватора Земли.

15. d Если Луна находится в тени Земли, она находится от Солнца на противоположной стороне неба и, следовательно, полная. Поэтому в полночь она стоит высоко в небе. Лунное затмение длится несколько часов: сначала видна полностью освещенная Луна, потом она начинает заходить в тень Земли, и ее диск постепенно затемняется. Во время полного лунного затмения Луна тускло освещена солнечным светом, преломленным в земной атмосфере, а поэтому она становится красной, как на закате.

16. Аристарх и Луна

16. а Главное в этой задаче — помнить, что углы AES и EMS прямые

(о чем говорится в условии). Прежде всего рассмотрим треугольник, заданный точками M, E и S. Сумма углов треугольника равна 180°:

"EMS + "ESM + "SEM = 180°.

Но поскольку "EMS прямой, то есть равен 90°, это можно упростить до

"ESM + "SEM = 90°.

172

Решения

Теперь рассмотрим угол AES. Из рисунка 1 ясно, что

"AEM + "SEM = "AES.

Однако "AES прямой, поэтому

"AEM + "SEM = 90°.

Из этого равенства и равенства на четыре строчки выше прямо следует, что

"AEM = "ESM,

что и требовалось доказать.

16. b Применим малоугловую формулу к углу "ESM; отрезок EM противолежит углу "ESM на расстоянии ES, поэтому малоугловая формула показывает, что

EM

ESM

∠

=

(в радианах)

ES

Расстояние от Земли до Луны и от Земли до Солнца — 4 105 км и

1,5 108 км соответственно. Следовательно,

5

4×10 км

1

E

∠ SM =

≈

= 0,0025 радиан.

7

15×10 км 400

Чтобы перевести это в градусы, умножим 0,0025 радиан на 180°/ rad 60 и получим 0,16° 10 угловых минут. Таким образом, угол SEM между

Луной в первой четверти и Солнцем отличается от 90° на эту величину, то есть составляет 89,84°.

16. с Малоугловая формула связывает физический диаметр тела s, расстояние до него d и угловой диаметр: s = d. Запишем это выражение для Луны и Солнца в виде отношения; получим s

θ d

Луны

Луны Луны

=

.

s

θ

d

Солнца

Солнца Солнца

173

Решения

Однако угловые диаметры Солнца и Луны одинаковы (поразительное совпадение: именно поэтому при полном солнечном затмении диск Луны закрывает диск Солнца практически идеально), так что две в уравнении сокращаются. Таким образом, отношение угловых размеров равно отношению расстояний. Как мы уже знаем, отношение расстояний до Луны и до

Солнца равно углу AEM, выраженному в радианах.

Аристарх определил, что этот угол равен 3° (заметно больше истинного значения, которое вы вычислили в части b) и узнали, что оно равно 0,16°).

3° — это 1/20 радиана. Поэтому Аристарх заключил, что отношение размеров Солнца и Луны равно 20. Кроме того, Аристарх вычислил, что диаметр

Луны составляет 1/3 диаметра Земли (очень близко к 0,27 по современным оценкам), сравнив тень Земли на Луне во время лунного затмения с краем диска Луны. Из этого он сделал вывод, что диаметр Солнца примерно в

7 раз больше диаметра Земли. Количественная оценка снова ошибочна, на самом деле диаметр Солнца в 109 раз больше диаметра Земли, однако качественное утверждение — Солнце гораздо больше Земли — совершенно справедливо. Подобно тому как маленькая Луна вращается вокруг большой

Земли, Земля вращается вокруг Солнца, заключил Аристарх почти за две тысячи лет до Коперника.

17. Расстояние до Марса

Это вопрос о параллаксе. Рассмотрим длинный и узкий треугольник с вершиной на Марсе, внутренним углом = 2 угловые секунды и основанием s = 1000 километров. Мы хотим определить расстояние d; малоугловая формула говорит нам, что s d =,

α

где нужно выразить в радианах. В радиане 200 000 угловых секунд, так что этот угол составляет 10–5 радиана. Тогда расстояние оказывается равно

174

Решения

1,000 км

8 d =

= 10 км.

5

10−

Это немногим меньше 1 а. е. Заметьте, что расстояние между Марсом и Землей меняется по мере движения этих планет по своим орбитам. Самое близкое расстояние, на которое они подходят друг к другу, составляет около 0,5 а. е. Это происходит, когда Марс находится в оппозиции, то есть когда Земля располагается прямо между Марсом и Солнцем и поэтому при наблюдении с Земли Марс оказывается в противоположной от Солнца точке небесной сферы.

18. Расстояние до Луны

Рассмотрим треугольник, в вершине которого находится Луна, а две длинные стороны идут к вам и вашему приятелю. Луна находится прямо над головой, так что линия между вами с приятелем перпендикулярна высоте этого треугольника. Расстояние до Луны составляет 400 000 километров, поэтому малоугловая формула дает угол в радианах

200 км

θ =

.

400,000 км

Прежде чем все делить и умножать, давайте сразу переведем радианы в угловые секунды, для чего домножим выражение на количество угловых секунд в радиане, которое равно 200 000:

200 угловых секунд 200

θ

=

×200,00

=

угловых секунд = 100.′′

400,000 радиан

2

Результаты измерения различаются на 100 угловых секунд.

Кстати, вам нужно сверить часы, чтобы измерить положение Луны строго одновременно. Луна движется по орбите вокруг Земли, поэтому ее положение на фоне звезд постоянно меняется. Нельзя допускать, чтобы этот эффект снизил точность измерения параллакса!

175

Решения

19. Массы и плотности в Солнечной системе

19. а Согласно малоугловой формуле, угол, противолежащий объекту в небе, выраженный в радианах, составляет размер этого объекта, поделенный на расстояние до нас. Размер объекта — это его диаметр, а нам нужен радиус, поэтому радиус Солнца противолежит углу, равному 0,25°.

Тогда малоугловая формула говорит, что радиус Солнца — это расстояние, умноженное на этот угол (в радианах):

8

1 радиан

R

= d ×θ ≈ 1,5×10 км×0,25°×

=

Солнца

60°

7

2,5×10 км 5

6

5

=

= ×10 км ≈ 6,3×10 км.

40

8

Здесь мы применили приблизительный перевод из радиан в градусы.

Чтобы вычислить плотность Солнца, нужно разделить его массу на его объем. Масса Солнца М

= 3 105 М

, а объем равен объему сферы

Солнца

Земли радиусом R

Тогда его плотность равна

Солнца

5

24

MСолнца

3×10 ×6×10 кг

ρ

=

≈

≈

Солнца

4π 3

R

4× 6,3×10 км×10 м / км

Солнца

(

)3

5

3

3

30

2×10 кг

3 кг

≈

= 2×10

= 2ρ.

24 3

3 воды

4×250×10 м м

Плотность Солнца примерно вдвое больше плотности воды. Примечание: точный ответ ближе к 1,4 плотности воды; самая большая погрешность объясняется слишком вольным приближением при оценке углового размера

Солнца — более точная величина составляет 0,55°.

19. b Масса Солнечной системы состоит в основном из массы Солнца, о чем мы говорим в части d). Чтобы вычислить плотность Солнечной системы, нам нужно найти объем сферы радиусом 30 а. е.

176

Решения

30

MСолнца

2×10 кг

ρ

≈

≈

≈

Солнечной системы

4π 3

R

4× 30×1,5×10 км×10 м / км

Нептуна

(

)3

8

3

3

30

2×10 кг

9

− кг

1

− 2

≈

= 5×10

≈ 5×10 ρ.

36 3

3 воды

4×90×10 м м

19. с Кометы почти не добавляют массы к общей массе Солнечной системы. Поэтому, по аналогии с частью b), мы получаем среднюю плотность облака Оорта, разделив массу Солнца на объем сферы радиусом

1 световой год:

30

30

MСолнца

2 × 10 кг

2 ×10 кг

ρ ≈

≈

≈

=

3

48 3

4π 3

16

⎛

⎞

4 × 10 м

R

10

Оорта

4 × 1 св. год

3

×

⎜

1 св. год⎟

⎝

⎠

19

−

кг

22

5 10

5 10−

= ×

≈ ×

ρ.

3 воды м

Какая низкая плотность!

19. d Самое массивное тело в Солнечной системе после Солнца —

Юпитер, чья масса составляет всего 1/1000 массы Солнца. Сумма масс всех остальных планет составляет меньше 1,5 масс Юпитера (всего 447 масс

Земли, или 0,15 % массы Солнца), поэтому утверждение, что масса планет в Солнечной системе пренебрежимо мала, — это очень хорошее приближение.

20. Силы, действующие на книгу

20. а На первый взгляд кажется, что книга покоится относительно своего окружения. Мало того, она остается в покое, так что ее скорость не меняется, а значит, ее ускорение равно нулю. Второй закон Ньютона гласит, что сумма сил, воздействующих на книгу, равна массе книги, помноженной на ускорение, которое в нашем случае равно нулю. Поэтому сумма всех сил, воздействующих на книгу, равна нулю. Разумеется, на книгу действует сила

177

Решения тяготения Земли, направленная вертикально вниз, а следовательно, должна существовать равная по величине и противоположная по направлению сила, которая ее уравновешивает. С этой силой на книгу действует стол. Книга давит на стол силой своего веса, а стол давит на нее в ответ с той же силой согласно третьему закону Ньютона; тогда силы, действующие на книгу, уравновешиваются, как и должно быть.

Вертикальная сила, с которой действует на книгу стол и которая не дает ей упасть на пол с ускорением, часто называют нормальной или контактной силой. Поскольку стол твердый и прочный, он способен обеспечивать такое воздействие на произвольно большой вес, если, конечно, не сломается

(бесконечно жестких предметов не бывает!).

Но постойте! Взглянем на все это с другой стороны. Нам известно, что книга движется по окружности, поскольку Земля вращается вокруг своей оси.

Можно ли сказать, что книга движется по околоземной орбите? Очевидно, нет: орбитальное движение происходит, когда на тело не действует никаких сил, кроме гравитации. Однако книга все же движется с некоторой скоростью относительно оси вращения Земли, более того, эта скорость переменна

(Земля вращается в постоянном темпе, но направление движения книги все время меняется). Для определенности положим книгу на стол в Кито, столице

Эквадора, на экваторе Земли. Каково ее ускорение? Для равномерного кругового движения со скоростью v по окружности радиуса r ускорение a= v 2/ r.

Найдем v. Книга совершает полный оборот (расстояние 2 r, где r — радиус

Земли) за период Р = 24 часа, то есть примерно за 105 секунд. Скорость v, таким образом, равна 2 r/ Р, и тогда ускорение составляет

2

2

2

6 v

4π r 4π ×6×10 м

2

−

2 a =

=

≈

≈ 2,5×10 м / с

2 r

P

(

.

10 c)2

5

(Обратите внимание на полезное приближение 2 10). Это небольшое ускорение, несколько десятых долей процента от ускорения свободного падения, направленного прямо к Земле, на поверхности Земли (около 10 м/с2).

178

Решения

Итак, суммарное ускорение книги ненулевое, пусть и очень маленькое. Нормальная сила, с которой стол действует на книгу, не полностью уравновешивает силу притяжения Земли, поскольку они в сумме должны составлять массу книги, помноженную на ускорение, которое мы только что вычислили. Для большинства повседневных задач пренебрегать этой крошечной «чистой» силой, которая поддерживает движение книги по кругу, можно и нужно, однако мы проделали все эти выкладки, чтобы подробно объяснить, как применяется второй закон Ньютона.

20. b Раз уж мы приняли во внимание ускорение, объясняющееся движением книги вокруг Земли в результате вращения Земли, следует ли нам задуматься о том, что Земля вместе со столом и лежащей на нем книгой вращается вокруг Солнца? Следует! Ведь это тоже круговое движение, а следовательно, его нельзя считать равномерным. Вычислим его: 2

2

11

4π r 4π ×1,5×10 м

3

−

2 a =

≈

≈ 6×10 м / с,

2

P

(3×10 c)2

7 где мы подставили радиус земной орбиты и период обращения Земли по ней. Это ускорение вызвано гравитационным воздействием Солнца на книгу.

Оно меньше, чем ускорение, вызванное вращением Земли, но всего раза в

4 или около того. Поэтому общее ускорение книги — это векторная сумма двух ускорений, которые мы только что вычислили.

Ускорение книги, вызванное ее вращением вокруг Солнца, невелико, но его было бы достаточно, чтобы удержать книгу на орбите вокруг Солнца, если бы мы могли каким-то волшебным образом убрать Землю и стол, оставив книгу одиноко парить в космическом пространстве.

20. с В этой задаче нам предлагают найти отношение совокупного гравитационного воздействия на книгу всех планет и Луны к гравитационному воздействию Солнца. Мы выстраиваем все планеты вдоль воображаемой линии, которая проходит через Солнце и Землю. Тогда легко вычислить расстояние от каждого из этих небесных тел до Земли. Обратите внимание, 179

Решения что внешние планеты находятся относительно Земли по другую сторону

Солнца, и в порядке увеличения расстояния до Земли у нас получается такая последовательность: Луна, Венера, Меркурий, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун.

Гравитационное воздействие каждого небесного тела на книгу равно

GM

M

планеты книги

F

=

,

планеты

2 r где r — расстояние от книги до соответствующей планеты. Сила, действующая на книгу со стороны Солнца, рассчитывается по той же формуле (естественно, в нее нужно подставить массу Солнца и расстояние до него). Тогда отношение силы, действующей на книгу со стороны Солнца, и силы со стороны любой планеты равно

2

F

M

⎛ 1 а.е.

планеты планеты

⎞

=

.

F

M

⎜ r

⎟

Солнца

Солнца ⎝ планеты ⎠

Здесь r также обозначает расстояние от книги (то есть от Земли: до планет так далеко, что в рамках этих расчетов мы имеем право приближенно считать Землю бесконечно маленькой) до соответствующей планеты.

В таблице ниже мы приводим это отношение для каждой из планет и для

Луны, опираясь на массы планет из таблицы 9.1 «Большого космического путешествия».

Планета r (а. е.)

М

/М

F

/F

планеты

Солнца планеты

Солнца

Луна

0,00252

3,7 10–8

5,9 10–3

Венера

0,28

2,7 10–6

3,4 10–5

Меркурий

0,61

1,7 10–7

4,6 10–7

Марс

2,52

3,3 10–7

5,2 10–8

Юпитер

6,2

1,0 10–3

2,6 10–5

180

Решения

Планета r (а. е.)

М

/М

F

/F

планеты

Солнца планеты

Солнца

Сатурн

11

2,9 10–4

2,4 10–6

Уран

20

4,4 10–5

1,1 10–7

Нептун

31

5,1 10–5

5,3 10–8

Планеты и Луна находятся на одной линии, поэтому их гравитация просто складывается. Мы узнали, что отношение общей силы, которая действует на книгу со стороны этих планет, к силе тяготения Солнца составляет

6,0 10–3, что очень мало (самый большой вклад в эту величину вносит Луна, поскольку она ближе всех). Неудивительно: движением тел в Солнечной системе в основном управляет Солнце.

Таким образом, Луна и планеты привносят совсем немного в силу, действующую на книгу. Подобным же образом силы, с которыми планеты действуют друг на друга, малы по сравнению с силой, с которой действует на каждую из них Солнце. Тем не менее эти силы ненулевые и оказывают измеримое воздействие на орбиты планет. Их нужно учитывать, если хочешь подробно разобраться, как устроены эти орбиты. Именно из-за воздействия дополнительных сил орбиты планет не представляют собой идеальные эллипсы. Сегодня благодаря хитроумным компьютерным программам произведены вычисления, позволяющие уточнить форму орбит в мельчайших деталях.

21. По баллистической траектории

21. а Тут все просто: спутник вращается по окружности радиусом

400 + 6400 = 6800 км вокруг центра Земли. Длина орбиты равна этой величине, умноженной на 2, и это расстояние спутник проходит за 90 минут, то есть 5400 секунд. Таким образом, скорость спутника составляет расстояние 2π×6,800 км км скорость =

=

≈ 8.

время

5,400 с с

181

Решения

(Здесь мы для арифметических расчетов воспользовались калькулятором). Если мы хотим дать ответ в километрах в час, можно просто умножить полученный результат на 3600 секунд в часе, и мы получим км с км

8 ×3,600

≈ 30 000

.

с час час

21. b Для этого проще всего записать, как соотносятся друг с другом орбитальная скорость v, масса центрального гравитирующего объекта М

(в данном случае — Земли) и радиус орбиты r: 2

GM

v =

.

r

Если мы решим это уравнение относительно М (что от нас и требуется), получим

2 v r

M =

.

G

Теперь осталось только подставить числа, внимательно следя за размерностью (переведем все в систему единиц МКС). Получим: (8×10 м/ с)2

3

6

×6,8×10 м

M

=

.

Земли

11

−

3

2

6,67×10 м / кг / с

Обратите внимание, какая странная размерность у G, однако конечный результат мы, как и полагается, получим в килограммах. Если мы примем приближение 6,8/6,67 = 1, получим

M

= 6,4 1024 кг,

Земли что составит около 6 1021 тонн.

22. Как преодолетьиз земную гравитацию?

Обозначим расстояние от Земли до Луны как D, а расстояние от Земли до спутника по этой линии как r. Сначала постараемся как можно дольше

182

Решения обходиться алгебраическими приемами, а числа подставим только в самом конце: алгебра обычно проще арифметики! Мы ищем расстояние r, на котором силы притяжения Земли и Луны уравновешиваются:

GmM

GmM

Земли

Луны

F =

=

,

2 r

(D − r)2 где m — масса спутника. Это можно слегка упростить, если сократить общие множители и немного преобразовать:

2

⎛ D − r ⎞

MЛуны

⎜

⎟ =

.

⎝ r ⎠

MЗемли

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Справа у нас получится квадратный корень отношения масс Луны и Земли. Масса Луны составляет около 1 % массы Земли, квадратный корень из этого отношения равен 0,1.

Тогда получаем

D − r = 0,1 r

D − r = 0,1 r

1,1 r = D

D

r =

≈ 0,9.

D

1,1

Таким образом, примерно на 90 % пути от Земли до Луны (на расстоянии около 340 000 километров от Земли) гравитационное воздействие обоих небесных тел уравновешивается.

Задумайтесь вот над чем: когда извлекаешь квадратный корень, всегда есть два решения — положительное (которым мы и воспользовались) и отрицательное. Каков же физический смысл отрицательного решения?

Давайте остановимся на этом подробнее. Если проделать все вышеописанные вычисления, но добавить минус, получим

183

Решения

— (D — r) = 0,1 r

D

r =

≈ 1,1.

D

0,9

В этом случае космический аппарат находится от Земли дальше, чем

Луна. Существует точка по ту сторону Луны, на которой гравитационное воздействие Земли и Луны равны, но там эти векторы сонаправлены, а не противоположны.

Когда астронавты с «Аполлона» отправились на Луну, много и ошибочно говорилось, что когда они миновали точку, где притяжение Луны сильнее притяжения Земли, они «вырвались из земной гравитации». Это, разумеется, не так: сколько ни удаляйся от Земли, сила ее тяготения GmM

/ r 2 будет

Земли ощущаться всегда.

23. Геосинхронные орбиты

Вот еще одно применение третьего закона Кеплера: у нас есть период

(24 часа) и мы хотим найти радиус орбиты. Однако обратите внимание, что теперь это не орбита вокруг Солнца, поэтому третий закон Кеплера в изначальной форме нам не годится. Нам нужно применить ньютоновскую форму этого закона:

2

3

GM P

a

⊗

=

.

2

4π

В этом расчете следует придерживаться единиц МКС. M = 6,4 1024 кг —

это масса Земли, G = 2/3 10–10 м3 с–2 кг–1 — это постоянная Ньютона, а период — 1 сутки, которые мы примем приближенно равными 90 000 секунд. Тогда

2

10

−

3 2

−

1

−

24

9 2

×10 м с кг ×6×10 кг×8×10 с

3

3 a =

,

40 где мы приняли 2 10. Подсчитав все это, получим а 3 = 8 1022 м3.

184

Решения

Пока что мы обходились без калькулятора. Но как извлечь кубический корень без калькулятора? Вообще-то мы знаем, что 8 1022 = 80 1021, а кубический корень из 1021 равен 107. Кроме того, мы знаем, что 43 = 64, а 53 = 125, так что кубический корень из 80 — это чуточку больше 4. Поэтому с точностью до одной значащей цифры получаем а = 4 107 м = 40 000 км.

И все? Нет: нас просили указать расстояние от поверхности Земли, а полученная величина — это расстояние от центра Земли. Поэтому нам нужно вычесть из 40 000 радиус Земли, равный 6400 км, и останется примерно 34 000 км. А еще нас просили выразить это число в радиусах Земли: если поделить его на 6400 км, получится чуть больше 5 радиусов Земли.

Если мы повторим вычисления с точными значениями массы Земли, G

и (и с калькулятором), то получим расстояние в 35 900 км от поверхности

Земли, или 5,63 радиусов Земли.

Есть и другой способ решения этой задачи. Для этого вспомним, что третий закон Кеплера можно записать в виде а 3 = Р 2/ М,

где а выражается в а. е., Р — в годах, а М — в массах Солнца. Преимущество этой формулы в том, что можно не искать значения G и, однако здесь придется проделать дополнительную работу по переводу всех наших чисел в эти единицы (которые здесь не очень удобны).

Есть и третий способ решения — наш любимый. Мы знаем, что спутники на низких околоземных орбитах имеют период обращения около 90 минут.

Радиус их орбиты — практически равен радиусу Земли, то есть составляет около 6400 километров. Третий закон Кеплера гласит, что для орбит вокруг общего небесного тела а ן Р 2/3, то есть

2/3 а

⎛ 24 часа

ГЕО

⎞

2/3

=

= 16.

6400 км ⎜ 90 минут ⎟

⎝

⎠

185

Решения

Здесь мы вынуждены взять калькулятор:

а = 6,3 6400 км = 40 000 км

ГЕО

с точностью до одной значащей цифры.

24. Центростремительное ускорение и кинетическая энергия на орбите Земли

24. а Решим задачу обоими способами. Мы знаем, что период связан с орбитальной скоростью формулой Р = 2 r/ v. Если подставить это выражение в третий закон Кеплера, получим

2

2

3

4π GM⊕ r r =

.

2 2

4π v

Сократив общий множитель 42 и решив уравнение для v, получим

GM

v

⊕

=

.

r

Теперь пойдем альтернативным путем — начнем с законов Ньютона.

Сила, действующая на спутник массы m, задается законом всемирного тяготения Ньютона: GM m/ r 2 . Она равна произведению массы спутника на

ускорение, а последнее задается обычной формулой для кругового движения v 2/ r. Приравниваем оба выражения и получаем

2 v

GM⊕ m m =

.

2 r r

Сокращаем общий множитель m и еще раз решим уравнение для v; тогда

GM

v

⊕

=

.

r

24. b Мы можем воспользоваться только что выведенной формулой для скорости. Сложность только в одном: как вычислить нужный радиус.

Высота спутника над земной поверхностью равна 850 км, но здесь считает-

186

Решения ся расстояние от центра Земли, до которого еще 6400 км. Так, мы задаем r = (6400 + 850) км 103 м/км = 7 106 м с точностью до одной значащей цифры. Подставим числа и получим

2

10

−

3 2

−

1

−

24

×10 м с кг ×6×10 кг

2

GM⊕

3

1

8 м v =

=

≈

×10

≈ 7000 м / с.

6

2 r

7×10 м

2 с

Спутник двигался со скоростью 7 км/с — очень быстро!

Каков же период его обращения? Можно было бы снова обратиться к третьему закону Кеплера, но есть и более прямой путь проделать эти вычисления, если вспомнить, что период — это расстояние, которое спутник проходит по орбите за один оборот, поделенное на его скорость: 6

2 r

π

2π×7×10 м

P =

=

≈ 6000 с,

3 v

7×10 м / с то есть около 100 минут. Спутник на низкой околоземной орбите совершает один оборот примерно за полтора часа (точное значение зависит от конкретной высоты над поверхностью Земли).

24. с Эта задача проста: масса — это объем, умноженный на плотность.

Надо лишь тщательно следить за размерностью:

1 см г

1 кг

2 m V

10 см 10 см 2 мм

2,7

5 10−

= ρ =

×

×

×

×

×

≈ ×

кг.

3

3

10 мм см 10 г

То есть около 50 граммов, или 2 унций, с точностью до одной значащей цифры (учитывая приблизительно заданные габариты, более точный ответ здесь неуместен).

24. d Кинетическая энергия тела массы m, движущегося со скоростью v, равна

1 2

KE = mv . Массу мы вычислили в части с), а скорость — в части b), 2 так что теперь все просто:

КЕ = 0,5 5 10–2 кг (7 103 м/с)2 106 Дж

187

Решения с точностью до одной значащей цифры. Следующая задача наглядно покажет, что означает такое количество энергии.

24. е В условиях задачи содержится подсказка: нам советуют вычислить отношение энергий. Когда вычисляешь отношение, некоторые величины часто сокращаются, что убережет нас от лишних хлопот с арифметикой.

Кинетическая энергия тела массы m, движущегося со скоростью v, равна

1 2 mv (это энергия столкновения), а взрывная энергия той же массы ТНТ

2равна mp, где p = 4,2 106 джоулей на килограмм — это взрывная энергия на килограмм. Отношение этих величин выглядит вот так: 1 2 mv

2

2

1 v

=

.

mp

2 p

Когда мы подставим в нее числа (взяв v из части b), внимательно следя за размерностью, получим

1

(7×10 м/ с)2

3

7

0,5×5×10

=

≈ 6.

6

2

2

6

2 4,2×10 кг м / с / кг

4,2×10

Во-первых, обратите внимание, что масса сократилась — ответ не зависит от результата части с). Во-вторых, обратите внимание, что мы сделали с единицами: мы подставили определение джоуля, и все единицы сократились (как и должно быть, когда получаешь осмысленное отношение). Наконец, полюбуйтесь ответом: столкновение с куском космического мусора высвобождает примерно в 6 раз больше энергии, чем эквивалентное количество ТНТ! Неудивительно, что проблема космического мусора стоит так остро!

Впрочем, на самом деле все не так плохо, как выходит по нашим расчетам, просто потому, что если находишься на орбите, ты сам движешься со скоростью 7 км/с, а для энергии столкновения важна относительная скорость вас и обломка. Если вы движетесь сонаправленно, столкновение пройдет значительно мягче, чем вы только что рассчитали.

188

Решения

Космический мусор на низкой околоземной орбите — самая настоящая проблема: здесь столько спутников, что опасность столкновений становится весьма реальной. Более того, если в результате столкновения спутник разлетается на множество обломков, они сами превращаются в космический мусор, усугубляя проблему. Достаточно яркой иллюстрацией здесь послужит голливудский фильм «Гравитация», где из-за обломков поврежденного спутника гибнет космический телескоп имени Хаббла.

25. Центростремительное ускорение Луны и закон всемирного тяготения

25. а Расстояние от Земли до Луны можно выразить в радиусах Земли, вычислив отношение расстояние от Земли до Луны 384000 км

=

= 60.

радиус Земли

6400 км

Чтобы вычислить скорость Луны на орбите, мы хотим узнать, какое расстояние она проходит за 1 месяц. Луна проходит окружность длиной

2 r, а скорость — это расстояние (то есть эта длина), поделенная на время

(Р = 27,3 суток). Подставим все в формулу и, внимательно следя за размерностью, получим

8

2 r

π

2π×3,84×10 м

3 м v =

=

= 1,02×10.

P

27,3 дней×86400 с / день с

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом r со скоростью v, равно v 2/ r, следовательно, v

(1020 м/c)2

2

3

− м ускорение =

=

≈ 2,7×10

.

8

2 r

3,84×10 м с

25. b Прежде всего вспомним, что можно выразить период обращения по орбите через ее окружность 2 r и скорость v: 2 r

P

π

=

.

v

189

Решения

Тогда третий закон Кеплера гласит r 3 ן Р 2,

или

2

3

⎛ 2 r r

π ⎞

∝ ⎜

⎟.

⎝ v ⎠

Небольшое преобразование даст

2

1 v ∝.

r

Сила пропорциональна ускорению v 2/ r, то есть

2 v

⎛ 1⎞⎛ 1⎞ 1

F = m ∝ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =.2 r

⎝ r ⎠⎝ r ⎠ r

Таким образом, Ньютон показал, что связь между ускорением и силой в сочетании с третьим законом Кеплера подводит к закону обратных квадратов для силы тяготения.

25. с В части b) мы нашли, что ускорение тел, падающих на Землю, обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли: ускорение на поверхности Земли (расстояние до Луны)2

=

=

ускорение на Луне

(радиус Земли)2

2

⎛ расстояние до Луны ⎞

=

.

⎜ радиус Земли ⎟

⎝

⎠

Однако отношение в скобках мы только что вычислили в части а) и знаем, что оно равно 60. Тогда, если верить Ньютону и именно земное тяготение отвечает и за ускорение Луны, и за ускорение яблока, падающего с дерева, ускорение яблока должно быть в 602 = 3600 раз больше, чем ускорение Луны.

Если умножить ускорение Луны, которое мы вычислили, на 3600, получим ожидаемое ускорение свободного падения на поверхности Земли = 2,7 10–3 м/с2 3600 = 9,75 м/с2.

190

Решения

Точно измеренное значение ускорения свободного падения тел (в том числе яблок) у поверхности Земли составляет 9,8 м/с2. Таким образом, относительные значения ускорения Луны и яблока соответствуют прогнозам Ньютона. Наверное, Ньютон очень обрадовался, когда проделал эти вычисления, поскольку они показали, что и падение яблока, и движение

Луны по орбите можно объяснить одним и тем же законом всемирного тяготения.

26. Кеплер о Юпитере

26. а Орбита Европы вокруг Юпитера (очень близкая к идеальной окружности) имеет радиус 6,709 105 км = 6,709 108 м. Переведем это в а. е., разделив на 1,496 108 км/а. е., и получим 4,485 10–3 а. е.

Период обращения Европы составляет 3,551 земных суток (в сутках

86 400 секунд), или 3,068 105 секунд, или, считая 1 год 3,156 107 секунд, получим 0,00972 года.

А теперь вычислим С при помощи обоих наборов единиц измерения: 2

2

2

P

16

−

с

3 годы

C =

= 3,117×10

= 1047×10

.

3

3

3 a м а. е.

Обратите внимание, что все расчеты мы производим с точностью до четырех значащих цифр.

26. b От нас требуется всего лишь внести в таблицу соответствующие числа для остальных трех спутников. Вот как выглядит таблица с расчетами.

Спутник

Радиус

Период

Период (с)

Р2/ а3 (с2/м3)

орбиты (м)

(сутки)

Ио

4,216 108

1,769

1,528 105

3,116 10–16

Ганимед

1,070 109

7,155

6,182 105

3,120 10–16

Каллисто

1,883 109

16,69

1,442 106

3,114 10–16

191

Решения

То есть все четыре спутника Юпитера дают один и тот же результат, как и говорил Кеплер! (Обратите внимание, что числа на третьей десятичной позиции несколько различаются: это объясняется неточностью исходных данных, хотя мы и придерживались четырех значащих цифр).

26. с В а. е. и годах получается совсем просто! Период вращения Земли вокруг Солнца равен 1 году, а радиус орбиты — 1 а. е., поэтому получаем

С = 12/13 = 1 год2/а. е.3.

26. d Мы можем вычислить отношение коэффициентов С в любой системе единиц, ответ будет один и тот же (как и должно быть: отношение не имеет размерности). Проделаем это в единицах лет и а. е., поскольку арифметика будет очень простой:

3

2

3

CЮпитера 1047

, ×10 лет / а. е.

=

= 1047.

2

3

C

1год / а. е.

Солнца

Можем также вычислить отношение масс Солнца и Юпитера: 30

MСолнца 1,989×10 кг

=

= 1047.

27

M

1,898×10 кг

Юпитера

Одно и то же число! Почему? Потому что это следует из ньютоновской формы третьего закона Кеплера:

2 3

2

4π a

P =

.

GM

Видно, что то, что мы называли коэффициентом С, на самом деле

42/(GM), где М — масса центрального объекта, вокруг которого мы вращаемся по орбите. Разумеется, для спутников Юпитера и для Земли, вращающейся по орбите, центральная масса будет разной. Значение С обратно пропорционально массе этого центрального тела, поэтому отношение коэффициентов С для орбит вокруг Юпитера и Солнца должно быть таким же, как отношение масс Солнца и Юпитера, что мы и обнаружили.

192

Решения

27. Нептун и Плутон

27. а Это простое приложение третьего закона Кеплера для движения по орбите вокруг Солнца: Р (в годах) = а 3/2 (в а. е.) Для а = 30,066 а. е. это даст (да, мы посчитали на калькуляторе) 164,86 лет. Мы дали ответ с точностью до пяти значащих цифр, такой же, с какой нам задали значение большой полуоси.

27. b Те же расчеты для Плутона дают 248,1 год с точностью до четырех значащих цифр.

27. с Отношение периодов обращения по орбите Плутона и Нептуна равно 248,1/164,86 = 1,505 с точностью до четырех значащих цифр. Это достаточно близко (с разницей меньше 0,3 %) к соотношению 3:2. То есть за каждые два оборота Плутона вокруг Солнца Нептун совершает три оборота.

Такие резонансы в Солнечной системе не редкость. Оказывается, многие бреши в кольцах Сатурна вызваны резонансами между разными спутниками

Сатурна, а более сложные резонансы объясняют некоторые поразительно тонкие узоры в его кольцах. См., к примеру, снимки с космического зонда

«Кассини» (https://solarsystem.nasa.gov/missions/cassini/overview/).

27. d Эксцентриситет орбиты очень близок к нулю, поэтому не стоит удивляться, что афелий а(1 + е) = 30,4 а. е. очень близок к длине большой полуоси. Здесь подобрать нужное число значащих цифр — дело довольно сложное. Можно решить, что эксцентриситет известен лишь до одной значащей цифры, поэтому и афелий нужно найти с той же точностью. На самом же деле главное в этих вычислениях — величина 1 + е, а она дана с точностью до трех значащих цифр.

27. е Перигелий равен а(1 — е) = 39,48 (1–0,250) а. е. = 29,61 а. е., а афелий равен а(1 + е) = 49,35 а. е. Перигелий Плутона меньше афелия

Нептуна, поэтому и в самом деле Плутон иногда оказывается несколько ближе к Солнцу, чем Нептун. Он лишь ненамного заходит внутрь орбиты

Нептуна и в последний раз побывал там с 1979 по 1999 год.

193

Решения

28. Роковые астероиды?

28. а Третий закон Кеплера дает нам формулу для большой полуоси: а (а. е.) = Р 2/3 (годы).

Подставим числа и получим с точностью до трех значащих цифр, что а = 1,65 а. е.

Однако орбита у астероида не круглая. Перигелий задается формулой а(1 — е), а афелий — а(1 + е). Поскольку е = 0,5, эти множители соответственно равны 0,5 и 1,5, поэтому мы получаем перигелий 0,83 а. е. и афелий

2,5 а. е. Выходит, что орбита астероида пересекает орбиту Земли, так что да, он угрожающий.

Не все астероиды вращаются в той же самой плоскости, что и Земля. К тому же, чтобы врезаться в Землю, они должны попасть в точку на

1 а. е. строго одновременно с Землей. Поэтому крайне маловероятно, чтобы астероид и в самом деле врезался в Землю, даже такой, как 2002 CY9, чья орбита пересекает 1 а. е. Однако на орбиту астероида может повлиять гравитационное притяжение других тел, в том числе и самой Земли, и из-за этого его орбита со временем слегка изменится (речь идет о десятках лет), и вероятность, что астероид столкнется с Землей, повысится. Рассчитать эти дополнительные возмущения трудно, поэтому астрономы не доверяют даже собственным количественным прогнозам орбит угрожающих астероидов больше чем на сто лет вперед.

28. b Если мы ускорим астероид на 2 см/с, он окажется в той точке, где может столкнуться с Землей через 20 лет, несколько раньше, чем при сохранении первоначальной траектории. Если он окажется там достаточно рано, Земля не успеет дойти до этой точки, поэтому астероид промахнется мимо Земли и ничего не случится. Зададим простой вопрос: какое расстояние даст прибавка скорости v = 2 см/с за время t = 20 лет? Если это расстояние больше радиуса Земли, мы спасены. Давайте вычислим его с точностью до одной значащей цифры:

194

Решения

7

3×10 с 1 км d = vt = 2 см / с×20 лет×

×

≈ 10000 км.

5

1 год

10 см

Радиус Земли равен 6400 км, поэтому, если первоначальная траектория астероида была направлена строго на Землю, то астероид пролетит мимо нас, если мы подпихнем его ракетой. Но он пролетит до ужаса близко, и если бы мы руководили этой миссией, то просили бы изменить его скорость существеннее, чем на 2 см/с.

Если бы мы могли за 20 лет сдвинуть астероид на 10 000 километров относительно его невозмущенной орбиты, это было бы впечатляющее достижение. Если бы нам и в самом деле грозило подобное столкновение, мы проделали бы более сложные расчеты и задались бы вопросом, насколько эллиптическая орбита вокруг Солнца, по которой двигается астероид, изменится из-за соударения с ракетой, однако расчеты, которые вы только что проделали, вполне отражают суть проблемы.

29. Комета Галлея и пределы применимости третьего закона

Кеплера

29. а Третий закон Кеплера гласит, что период такой орбиты вокруг

Солнца составляет 17,83/2 = 75,1 лет. Это близко к наблюдаемому периоду в 76,1 лет, но не тождественно ему. Аналогичным образом, если отталкиваться от периода, третий закон Кеплера даст большую полуось в

75,12/3 = 18,0 а. е. — опять же близко к наблюдаемой величине в 17,8 а. е., но не тождественно ей. Есть и другой способ это вычислить: Р 2 = 5790 лет2, а а 3 = 5640 а. е.3 — и эти числа не равны.

29. b Третий закон Кеплера прямо следует из законов движения и всемирного тяготения Ньютона в предположении, что единственная значимая гравитационная сила — это притяжение Солнца. Но на комету Галлея действуют дополнительные силы двух типов. Когда она приближается к Солнцу, из нее вырываются потоки газа и пыли. Третий закон Ньютона учит нас, 195

Решения что каждое действие вызывает противодействие, поэтому комета в ответ на извержение этих потоков ощущает некоторую силу. Кроме того, орбита кометы Галлея подвергается возмущениям за счет гравитации планет. Хотя возмущающее воздействие планет можно рассчитать достаточно аккуратно, силы реакции, вызванные испусканием газа из ядра кометы, поддаются оценке в гораздо меньшей степени, поэтому подробно рассчитать орбиту кометы Галлея при приближении к Солнцу становится трудно.

30. Сила действия равна силе противодействия

30. а Период орбиты можно рассчитать прямо из третьего закона Кеплера. В частности, мы говорим об орбитах вокруг Солнца, поэтому можем взять закон Кеплера в его простейшей форме:

Р 2 (в годах) = а 3 (в а. е.).

Нам дано, что а = 5,2 а. е.; 5,2 в кубе равно 140 (мы посчитали на калькуляторе), а квадратный корень из этого числа примерно равен 12. Таким образом, период составляет 12 лет.

30. b Юпитер двигается по кругу радиусом 5,2 а. е., и на полный круг у него уходит 12 лет. Вычислить скорость просто:

11

2 r

π

2π×5,2×1,5×10 м v =

≈

= 13000 м / с.

7

P

12 лет×π×10 с / год

Это немногим меньше, чем половина скорости движения Земли вокруг

Солнца. Неудивительно, ведь Юпитер находится дальше от Солнца, поэтому гравитационное воздействие на него слабее, а значит, он медленнее двигается.

Можно решить эту задачу и другим способом. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с = 30 000 м/с. Более того, мы знаем, что скорость равна пройденному расстоянию (2 r), деленному на период Р. Однако Кеплер учит нас, что период пропорционален r 3/2, поэтому скорость пропорциональна r/ r 3/2 = r –1/2. Следовательно, скорость Юпитера на

196

Решения орбите меньше, чем скорость Земли на орбите, с коэффициентом 5,2–1/2 =

= 0,44, то есть равна 13 000 м/с = 13 км/с.

30. с Если центр масс системы Солнце-Юпитер неподвижен, то если

Юпитер проходит определенное расстояние за определенное время, Солнце должно ответить на это противоположным смещением, то есть величины

М

Смещение и М

Смещение должны быть равны

Солнца

Солнца

Юпитера

Юпитера и противонаправленны. В первую очередь нас интересует, на сколько сдвинется Солнце:

MЮпитера смещение

= смещение

×

.

Солнца

Юпитера

MСолнца

За половину орбиты Юпитер сместится на полный диаметр своей орбиты, то есть на 10 а. е. Отношения масс Юпитера и Солнца равно 10–3, о чем сказано в условиях задачи. Тогда смещение Солнца составит 10–3

10 а. е. = 10–2 а. е. = 1,5 106 км. Между прочим, это примерно два радиуса

Солнца. Ничего себе пустяк! На самом деле Солнце смещается по дуге: Юпитер движется на орбите по кругу диаметром 10 а. е., а Солнце — по кругу диаметром 1,5 миллиона километров, то есть 0,01 а. е.

Поскольку смещение обоих небесных тел происходит за одно и то же время, верно также, что М

скорость и М

скорость

Солнца

Солнца

Юпитера

Юпитера равны и противонаправленны. По той же логике, как мы использовали выше, получим, что Солнце движется со скоростью, равной 10–3 скорости Юпитера, то есть около 13 м/с, чуть быстрее самых быстрых людей-спринтеров.

На самом деле астрономы умеют измерять движение звезд даже со скоростью 1 м/с на основании эффекта Доплера и при помощи этого метода делают выводы о существовании планет вокруг других звезд, причем рассуждают в точности как мы при решении этой задачи.

31. Аристотель и Коперник

У аристотелевской картины мира несколько характерных особенностей.

• Земля — центр Вселенной.

197

Решения

• Все земные объекты состоят из четырех стихий — земли, воды, огня и воздуха.

• Стихии естественным образом стремятся на «свое место»: земля и вода — к центру Земли, а воздух и огонь — от центра Земли.

• Материал небес или небесных сфер — пятая стихия, которая на Земле не встречается, то есть квинтэссенция.

• Естественное движение небесных тел — по кругу; небесные сферы вращаются вокруг Земли.

• Небеса вечны и неизменны.

Для наших целей главный аспект аристотелевской картины мира — то, что земное и небесное состоит из разного вещества и подчиняется разным физическим законам.

Пожалуй, главным и величайшим достижением научной революции, примерами которой служат труды Кеплера, Коперника, Ньютона, Галилея и

Пейн-Гапошкиной, стало осознание, что вещество небесных тел и законы, которые управляют их движением, точно такие же, как и на Земле. Рассмотрим труды каждого из этих великих ученых по отдельности.

• Николай Коперник показал, что движения тел в Солнечной системе значительно легче объяснить, если не считать центром Солнечной системы

Землю, а понять, что в ее в центре находится Солнце. Это противоречит одной из аристотелевских идей (что все небесные тела движутся по круглым орбитам вокруг Земли).

• Галилео Галилей первым посмотрел на небо в телескоп. Его открытия полностью подтвердили идеи Коперника и еще сильнее дискредитировали аристотелевское представление об идеальности небесных тел.

• Он увидел на Луне горы, очень похожие на земные.

• Он увидел на Солнце пятна, чем доказал, что оно не безупречно.

198

Решения

• Он увидел, что у Венеры есть фазы, что легко объясняется (и предсказывается!) гелиоцентрической моделью и не предусмотрено геоцентрической моделью.

• Он увидел, что у Юпитера есть четыре спутника, которые вращаются вокруг него по орбитам, а из этого прямо следует, что небесные тела могут вращаться по круглым орбитам не только вокруг Земли, но и вокруг других объектов.

• Иоганн Кеплер вывел три закона движения планет, которые определил эмпирически на основе подробных наблюдений, сделанных Тихо Браге. Эти законы гласят следующиее.

• Планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

• При движении по орбите планета заметает за одно и то же время одну и ту же площадь.

• Квадрат периода обращения планеты по орбите (в годах) равен кубу большой полуоси ее орбиты (в а. е.).

• Исаак Ньютон вывел законы движения и всемирного тяготения, тем самым явно показав, что законы, которые управляют движениями на Земле и в небесах, одинаковы. В частности, он показал, что ускорение, притягивающее яблоко к земле, вызвано той же самой силой тяготения, которая удерживает Луну на околоземной орбите.

• Наконец, Сесилия Пейн-Гапошкина изучала спектры звезд и на основании идей квантовой механики (которые тогда были еще в новинку) сделала выводы о химическом составе звезд. Главное в ее открытиях — то, что звезды состоят из тех же элементов, которые можно найти на Земле, что прямо противоречит основным принципам аристотелевского мировоззрения.

В частности, Солнце и вообще звезды состоят из 74 % водорода и 24 %

гелия (по массе), так что на остальные элементы из таблицы Менделеева остается только 2 %.

199

Решения

32. Далекие сверхновые

Соотношение между яркостью b, светимостью L и расстоянием d выглядит так:

L

b =

.

2

4 d

π

Запишем это выражение для Альфы Центавра и для сверхновой

1987 года и возьмем отношение этих величин:

2 b

L

⎛ d

−

⎞

сверхновой сверхновой сверхновой

=

×⎜

⎟.

b

Lα

d

Сеп

Сеп

⎝ αСеп ⎠

Отношение яркостей равно 1/10, отношение расстояний равно 150 000/4

4 104 с точностью до одной значащей цифры. Выразив отсюда отношение светимостей, получим

L

= (4×10)2 сверхновой

4

1

8

× = 1,6×10.

Lα

10

Сеп

Пик светимости сверхновой превосходил светимость Альфы Центавра в целых 160 миллионов раз!

33. Солнечные батареи на космических аппаратах

33. а Здесь мы прямо применим формулу светимости абсолютно черного тела, согласно которой светимость сферического абсолютно черного тела температуры T и радиусом R равна

L = 4 R 2 T 4.

Здесь = 5,6 10–8 Дж/с/м2/К4 — это постоянная Стефана — Больцмана. Так что задача сводится к подстановке чисел, что мы и проделаем, причем постараемся обойтись без калькулятора:

L = 4 3 (7 108 м)2 5,6 10–8 Дж/с/м2/К4 (6000 К)4

12 50 5,6 1300 1016–8 + 12 Дж/с 4 1026 ватт

200

Решения с точностью до одной значащей цифры. Это очень близко к точному значению 3,8 1026 ватт.

33. b Это упражнение на применение закона обратных квадратов. Яркость задана через светимость, поделенную на 4 d 2, где d = 1,5 а. е — это расстояние от Марса до Солнца:

26

L

4×10 Вт

2 b =

=

= 600 Вт / м.

2

4 d

π

12×(1,5×1,5×10 м)2

11

33. с Вычисленная мощность падает на каждый квадратный метр солнечных батарей. Сначала нам нужно вычислить количество квадратных метров в 100 квадратных футах. Один фут = 1/3 метра, поэтому 1 фут2 = 1/9 метра2.

Тогда 100 квадратных футов = 10 квадратных метров с точностью до одной значащей цифры. Таким образом, совокупная мощность, падающая на солнечные батареи, в 10 раз превышает вычисленную в части b), то есть составляет

6600 ватт. Однако передатчику доступно лишь 20 %, или 1/5, то есть 1300 ватт.

33. d Закон обратных квадратов учит нас, что мощность, доступная такому же космическому аппарату на большем расстоянии, снижается пропорционально обратному квадрату отношения расстояний. То есть, если проделать все вычисления, которые мы уже выполнили в частях b) и с), и подставить вместо расстояния до Марса расстояние до Сатурна, все останется по-прежнему, кроме самого расстояния, и результаты окажутся пропорциональными обратному квадрату расстояния. Тогда получаем, что доступная космическому аппарату мощность составляет

2

⎛ расстояние до Марса мощность на Сатурне мощность на Марсе

⎞

=

×

=

⎜ расстояние доСатурна ⎟

⎝

⎠

2

⎛ 1,5 а. е.

1300 Вт

⎞

=

⎜ 9,6 а.е.⎟.

⎝

⎠

Отношение расстояний примерно равно 1/6,5; его квадрат примерно равен 1/40. Поэтому доступная мощность на расстоянии Сатурна составит

201

Решения около 30 ватт, то есть 1/3 обычной лампы накаливания. Маловато для космического аппарата! Вот почему миссии во внешнюю Солнечную систему обычно рассчитывают на питание от радиоактивного распада изотопа плутония, а не от солнечных батарей.

34. Свети!

Светимость абсолютно черного тела составляет

F = Т 4 A,

где — это постоянная Стефана — Больцмана, а А — площадь поверхности тела. Сначала определим температуру человека. Нам известно, что вода замерзает при 273 К, а температура тела человека выше этой примерно на 37 К. Нам нужна примерная оценка, так что величину Т = 300 К можно считать достаточно близкой. Для оценки площади поверхности будем считать, что человек и в высоту, и в ширину примерно метр. Разумеется, большинство из нас больше метра в высоту и меньше метра в ширину, но нам опять же нужна примерная оценка, а эти величины, несомненно, точны с точностью до коэффициента около 2. Эту величину мы умножим на 2, поскольку у человека есть передняя и задняя сторона, и излучают обе. Тогда

Т = 300 К,

площадь поверхности = 2 м2.

Отсюда светимость = Т 4 площадь поверхности =

= 6 10–8 Вт м–2/К–4 (300 К)4 900 Вт,

что эквивалентно примерно девяти обычным лампочкам.

При температуре поверхности 300 К мы излучаем тепловую энергию в инфракрасном диапазоне спектра. Наши глаза нечувствительны к инфракрасному излучению, поэтому мы остаемся невидимыми в темной комнате.

202

Решения

Так называемые очки ночного видения, преобразующие инфракрасное излучение в видимый свет, позволяют нам видеть чернотельное (тепловое) излучение от живых существ даже в полной темноте.

35. Крошечные углы

35. а Нас спрашивают, за какое время звезда, движущаяся с заданной скоростью, пройдет заданный угол. Если мы сумеем преобразовать угол в расстояние, дело в шляпе: время = расстояние / скорость. Начнем с вычисления расстояния.

Если с нашей точки зрения звезда, находящаяся на расстоянии 300 световых лет, сместилась на 1 угловую секунду, она прошла 1/(2 105) радиан, что согласно малоугловой формуле соответствует физическому расстоянию

13

300 св. лет 10 км / св. год

10 s d

×

= θ × =

= 1,5×10 км.

5

2×10

Здесь мы применили преобразование из километров в световые годы.

Далее, звезда движется со скоростью 300 км/с, а нам надо узнать, за какое время она пройдет это расстояние:

10 расстояние 1,5×10 км

7 время =

=

= 5 ×10 с ≈ 1,5 года.

скорость

300 км / с

Большинство ближайших звезд (то есть звезд, до которых меньше 300 световых лет) лежат в диске Млечного Пути, а следовательно, их орбиты вокруг центра Млечного Пути похожи на орбиту Солнца. Поэтому они движутся относительно нас сравнительно медленно — со скоростью несколько десятков километров в секунду. Напротив, звезды, которые движутся со скоростью целых 300 километров в секунду, принадлежат к гало Млечного

Пути. Их звездные орбиты ориентированы не так упорядоченно, поэтому разница в скорости такой звезды и Солнца может быть довольно велика.

35. b За год звезда пройдет 10 угловых секунд на расстоянии в 6 световых лет, или около 2 парсек (мы рассуждаем с точностью до одной

203

Решения значащей цифры). Мы знаем, что 1 а. е. противолежит 1 угловой секунде на расстоянии 1 парсека, поэтому 10 угловым секундам в 2 парсеках от нас противолежат 20 а. е. То есть звезда за год проходит 20 а. е. Тогда скорость звезды

8 d 20 а. е.×1,5×10 км / а. е.

v = =

= 100 км / с.

7 t

1 год×3×10 с / год

Как все-таки просто вычислять с точностью до одной значащей цифры!

Здесь есть одна тонкость. Видимое движение в небе (которое иногда называют собственным движением) показывает лишь проекцию скорости звезды на плоскость небосвода, перпендикулярную лучу зрения. Движение вдоль луча зрения так измерить невозможно, но оно проявляется в виде эффекта Доплера, который можно измерить, наблюдая спектр излучения звезды. Поэтому сочетание спектральных данных, измерений собственного движения звезды, а также расстояния до нее позволяет сделать выводы о трехмерной траектории ее движения в пространстве.

36. Подумаем о параллаксе

36. а Если звезда находится в плоскости эклиптики, с нашей точки зрения она будет двигаться только взад-вперед по прямой, также расположенной в эклиптике (см. рис. 9а). Определение парсека гласит, что звезда на этом расстоянии проходит угловое смещение в 1 угловую секунду, когда наблюдатель проходит расстояние в 1 а. е. Поскольку орбита Земли позволяет переместиться на максимальное расстояние 2 а. е. (с одной стороны Солнца на другую), звезда на расстоянии 1 парсек пройдет угловое расстояние в

2 угловые секунды за год. Следовательно, звезда на расстоянии 10 парсек от нас пройдет угловое расстояние в 0,2 угловые секунды.

36. b Если звезда лежит на полюсе эклиптики, она будет двигаться на фоне звезд по кругу (рис. 9.b). Диаметр круга также составит 0,2 угловые секунды.

204

Решения

36. с Если у звезды есть собственное движение, то это движение следует просто прибавить к движению, объясняемому параллаксом. Например, если собственное движение звезды перпендикулярно плоскости эклиптики, звезда будет описывать на небосводе синусоиду (см. рис. 9.с).

Орбита Земли

Солнце

Видимое движение

Рис. 9а

Орбита Земли (в проекции)

Солнце

Видимое движение

Рис. 9b

+

=

Собственное движение

Движение, объясняемое параллаксом

Видимое движение

Рис. 9c

Рис. 9. Схема к задаче 36.

37. Совсем маленькие углы и далекие звезды

37. а Рассмотрим длинный узкий треугольник с острым углом, равным 10 угловым микросекундам, и длиной d = 4000 км. Естественно, этот угол надо перевести в радианы. Малоугловая формула гласит, что противолежащая сторона имеет длину

205

Решения

3

3 м

6 микрон

5 s d

4 10 км 10

10

10−

= θ = ×

×

×

×

угловых секунд×

км м

1 радиан

×

= 200 микрон.

5

2×10 угловых секунд

200 микрон — это размер амебы. То есть 10 угловых микросекунд —

это угол, которому противолежит лос-анджелесская амёба, если смотреть на нее из Нью-Йорка.

37. b Малоугловая формула = s/ d говорит, что параллакс обратно пропорционален расстоянию d. Определение парсека гласит, что звезда с параллаксом в 1 угловую секунду находится на расстоянии в 1 парсек. Поэтому расстояние до звезды с параллаксом в 50 угловых микросекунд = 5 10–5 угловых секунд попросту равно

1 парсек = 20 000парсек,

5

5×10−

или 20 килопарсек, что сопоставимо с протяженностью всего Млечного Пути. Вот одна из причин, почему астрономы так любят «Гею»: мы впервые в истории можем измерять расстояния почти до всех звезд

Млечного Пути.

38. Яркость, расстояние и светимость

38. а Для начала посмотрим, что здесь происходит с физической точки зрения. Нам известны радиус звезды R и ее температура Т, и мы знаем формулу, где светимость сферического абсолютно черного тела определяется двумя этими величинами:

L = 4 R 2 T 4.

Так что, как рассчитать светимость, мы знаем. Кроме того, нам известна измеренная яркость b, а закон обратных квадратов связывает светимость и расстояние с яркостью, поэтому мы сможем определить и расстояние.

206

Решения

Для этой задачи вам не нужно знать численное значение (постоянной

Стефана — Больцмана), которая входит в формулу для абсолютно черного тела. Задумаемся об этом, записав формулу для абсолютно черного тела дважды — один раз для звезды (*), второй для Солнца: L = 4 R 2 T 4.

*

*

*

L

= 4 R

2 T

4.

Солнца

Солнца

Солнца

Нам понадобится отношение этих двух формул; как мы сейчас убедимся, это заметно облегчит нам вычисления: 2

4

L

⎛

⎞ ⎛

⎞

∗

R∗

Е∗

=

.

L

⎜ R ⎟ ⎜ T ⎟

Солнца

Солнца

Солнца

⎝

⎠ ⎝

⎠

Как видим, сократилась! Более того, подсчитать отношения радиусов и температур очень просто, поэтому отношение светимостей получается

2

4

L∗

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞

2

−

1

4

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 10 × = 6×10−.

L

⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠

16

Солнца

Эта звезда близка к нижней части главной последовательности; светимость таких звезд значительно меньше, чем у Солнца. В абсолютных величинах она равна

L = 6 10–4 L

= 6 10–4 4 1033 эрг/с = 2,4 1030 эрг/с.

*

Солнца

Каково расстояние d до этой звезды? Закон обратных квадратов гласит

L

b =

,

2

4 d

π

или

1/2

⎛ L

d

⎞

= ⎜

⎟.

⎝ 4 b

π ⎠

Подставим числа:

1/2

30

⎛

2,4×10 эрг / с

⎞

d = ⎜

⎟.

11

−

2

⎝ 4π×6×10 эрг / с / см ⎠

207

Решения

6 4 = 24, 10/ = 3, поэтому арифметика выглядит не так уж и страшно: d = (3 1029–1 + 11 см2)1/2 = (30 1038 см2) 1/2 5 1019 см.

Вспомним, что в световом году около 1018 см, и получим расстояние около 50 световых лет. По звездным меркам это рукой подать.

Кроме того, мы знаем, что в одном парсеке 3,26 световых года, поэтому вычисленное расстояние — это около 15 парсек. Параллакс в угловых секундах — это обратная величина расстоянию в парсеках, поэтому параллакс этой звезды примерно равен 0,06 угловой секунды, или 60 угловым миллисекундам.

38. b Расстояние зависит от светимости и яркости. Какова светимость звезды? Точно такие же рассуждения, как в части а), дадут светимость относительно Солнца:

2

4

4

L

⎛

⎞ ⎛

⎞

∗

R∗

T∗

()2 ⎛ 4500

200

⎞

=

=

×

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎜

⎟ ≈ 14000.

L

R

T

⎝ 5800

Солнца

Солнца

Солнца

⎠

⎝

⎠ ⎝

⎠

Мы уже усвоили, что 1 а. е. примерно в 200 раз больше радиуса

Солнца (и в этом случае все-таки взяли калькулятор). Мы можем вычислить светимость звезды и, следовательно, ее яркость точно так же, как и раньше, но пойдем немного другим путем: проделаем немного больше алгебраической работы, чтобы избежать лишней арифметики. Суть этих приемов — посмотреть на уже проделанную работу и постараться воспользоваться результатами, чтобы по мере возможности не повторять вычислений. Вспомним, что яркость у этих звезд одинаковая. Поэтому мы можем записать формулы, связывающие расстояние, светимость и яркость каждой звезды:

1/2

⎛ L

⎞

звезды 1 d

= ⎜

⎟,

звезды 1

⎝ 4 b

π ⎠

1/2

⎛ L

⎞

звезды 2 d

= ⎜

⎟,

звезды 2

⎝ 4 b

π ⎠

208

Решения где «звезда 1» — это холодная звезда главной последовательности из части а), а «звезда 2» — красный гигант. Их яркость b одинакова. Опять же возьмем отношение двух выражений и получим:

1/2 d

⎛ L

⎞

звезды 2 звезды 2

= ⎜

⎟.

d

⎜ L

⎟

звезды 1 звезды 1

⎝

⎠

Подставим числа, где возьмем светимости пропорционально солнечной, и получим

1/2

4 d

⎛ 1,4×10 ⎞

= ⎜

⎟ ≈ (2×10)1/2 звезды 2

7

≈ 4000.

4 d

⎝ 6×10−

звезды 1

⎠

То есть расстояния до этих двух звезд равной яркости различаются в

4000 раз! До «звезды 1» 50 световых лет, значит, «звезда 2» находится в

4000 раз дальше, то есть в 200 000 световых годах — примерно в 60 килопарсеках. Такая звезда должна находиться во внешнем гало Млечного

Пути. Находить подобные звезды непросто: большинство красных звезд такой яркости на небе — это звезды главной последовательности, а не очень далекие красные гиганты. Хотя параллакс такого далекого красного гиганта невозможно измерить даже при помощи космического аппарата

«Гея», самого чувствительного телескопа, созданного для этой цели (см.

задачу 37), сам по себе факт, что параллакс очень мал, подскажет, что до звезды очень далеко, больше 20 килопарсек. А тогда, если учесть измеримую яркость звезды, мы сделаем вывод, что светимость у звезды огромна, так что это не может быть звезда главной последовательности, а значит, перед нами красный гигант.

39. Сравниваем звезды

39. а Соотношение между пиковой длиной волны и температурой поверхности —

2,9 мм

λ =

.

пика

T

209

Решения

Для температуры 3 104 К это дает 1 10–4 мм с точностью до одной значащей цифры. В одном миллиметре 1000 микрон, поэтому длина волны равна 0,1 микрона. Это 1000 ангстрем, а такие длины волн относятся к ультрафиолетовой части спектра.

39. b Здесь мы понимаем, что светимости этих звезд заданы формулой светимости абсолютно черного тела:

L

= 4 R 2

T 4

,

О-звезды

О-звезды

О-звезды

L

= 4 R 2

T 4

.

красного гиганта красного гиганта красного гиганта

Чтобы подобраться к отношению радиусов звезд, вычислим отношение двух этих выражений. При этом многие величины сократятся, и останется

2

4

L

⎛ R

⎞ ⎛ T

⎞

красного гиганта красного гиганта красного гиганта

= ⎜

⎟ ⎜

⎟.

L

⎜ R

⎟ ⎜ T

⎟

О-звезды

⎝

О-звезды

⎠ ⎝ О-звезды ⎠

Если выразить отсюда отношение радиусов, получим

1/2

2

R

⎛ L

⎞

красного гиганта красного гиганта

⎛ T

⎞

О-звезды

= ⎜

⎟ ⎜

⎟.

R

⎜ L

⎟ ⎜ T

⎟

О-звезды

О-звезды красного гиганта

⎝

⎠ ⎝

⎠

Мы знаем отношение светимостей: оно равно 16. Отношение температур равно 30 000/3000 = 10. Тогда находим

Rкрасногогиганта =(16)1/2 2

×10 = 400.

RО-звезды

39. с Яркость этих двух звезд связана с расстояниями до них (которые мы хотим узнать) и их светимостью (о которой мы кое-что знаем): Lкрасногогиганта b

=

красного гиганта

2

4 d

π красногогиганта

LО-звезды b

=

О-звезды

2

4 d

π

.

О-звезды

210

Решения

Но нам дано, что b

= b

Тогда мы можем приравнять красного гиганта

О-звезды эти два выражения и выразить расстояние до красного гиганта: Lкрасногогиганта

LО-звезды

=

.

2

2

4 d

π

4 d

π

красного гиганта

О-звезды

Немножко алгебры, и получим 1/2

⎛ L

⎞

красного гиганта d

= d

⎜

⎟ = 1000 световых лет× 16 =

красного гиганта

О-звезды ⎜ L

⎟

О-звезды

⎝

⎠

= 4000 световых лет.

40. Жаркие и сияющие

40. а Светимость сферического абсолютно черного тела с температурой поверхности Т и радиусом R пропорциональна R 2 T 4, как гласит закон

Стефана — Больцмана. Тогда отношение светимостей

L

⎛ R

⎞2 ⎛ T

⎞4

Солнца = ⎜ Солнца ⎟ ⎜ Солнца ⎟.

L

R

T

Юпитера

⎝ Юпитера ⎠ ⎝ Юпитера ⎠

Обратите внимание, что сначала мы вычисляем отношение радиусов, а потом возводим его в квадрат. Аналогичным образом мы сначала вычисляем отношение температур, а потом возводим его в четвертую степень. Это существенно упростит арифметику. Подставим числа и получим

4

L

(10)2

Солнца

⎛ 6000 К⎞

=

= 100 × 4

30 = 8 × 7

⎜

⎟

10

L

200 К

Юпитера

⎝

⎠

с точностью до одной значащей цифры. Ух ты, Солнце превосходит Юпитер по светимости почти в 100 миллионов раз!

Закон Вина подсказывает, на какой длине волны наблюдается пик излучения Юпитера:

0,29 см 0,29 см

−

λ =

=

= 1,5×

3

10 см 15 микрон.

пика

=

T

200

211

Решения

Это свет в инфракрасной части спектра.

Наши глаза не воспринимают инфракрасный свет, однако Юпитер прекрасно видно ночью невооруженным взглядом. То, что мы видим, не свет, излучаемый самой планетой, а свет Солнца, отраженный ее поверхностью.

Оказывается, общая светимость отраженного света и светимость чернотельного излучения самого Юпитера примерно сопоставимы.

40. b Эта задача похожа на часть а), и мы будем решать ее так же. Радиус — это половина диаметра, то есть 7000 км. Отношение светимостей равно

L

⎛ Rбелогокарлика ⎞2 ⎛ T ⎞4 ⎛ 7000 км ⎞2 ⎛ 40000 К⎞4 белого карлика =

БК

≈

=

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎜

⎟ ⎜

⎟

L

R

T

700000 км

6000 К

Солнца

⎝

Солнца

⎠ ⎝ Солнца ⎠

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎛ 1 ⎞2

=

4

1

⎜

⎟ (7) ≈

⎝

⎠

.

100

4

Хотя белый карлик гораздо меньше Солнца, его светимость меньше всего в 4 раза из-за значительно более высокой температуры. Пиковая длина волны равна 0,29 см 0,29см

−

λ =

=

= 7,5×

6

10 см 0,075 микрона.

пика

=

T

40000

Это ультрафиолетовая часть спектра. Хотя наши глаза не воспринимают ультрафиолетовый свет, такая звезда испускает и достаточно много видимого света, скорее голубого, чем красного, поэтому выглядит голубой.

40. с Это очень похоже на предыдущие расчеты. Запишем

L

⎛ R

T

красного гиганта ⎞ 2 ⎛ красного гиганта ⎞ 4 красного гиганта = ⎜

⎟ ⎜

⎟.

L

R

T

Солнца

⎝

Солнца

⎠ ⎝

Солнца

⎠

Нам дано, что отношение диаметров (а следовательно, и радиусов) равно 80. Температура поверхности Солнца равна 6000 К, поэтому отношение температур равно 1/2. Тогда получаем

4

Lкрасногогиганта ()2 ⎛ 1

80

⎞

=

×⎜ ⎟.

L

⎝ 2

Солнца

⎠

212

Решения

24 = 16, поэтому

Lкрасногогиганта 8×8×

=

100 = 400,

L

16

Солнца причем мы даже не прикоснулись к калькулятору. По закону Вина пиковая длина волны равна

0,29 см

λ

1 микрон.

пика =

=

3000

Эта длина волны находится в ближней инфракрасной части спектра.

Наши глаза не воспринимают свет с длиной волны 1 микрон, однако не забывайте, что это пик спектра. То есть спектр идет от синих длин волн к красным и инфракрасным. Красные волны дают существенно больше света, чем голубые, поэтому наше зрение воспримет такой объект как красный (вот почему мы называем его красным гигантом!)

41. Белый карлик

41. а Закон обратных квадратов связывает яркость b, светимость L

и расстояние r следующим образом:

= L

b

.

4π 2 r

Мы можем записать это уравнение отдельно для Солнца и отдельно для белого карлика. Если возьмем их отношение, учитывая, что светимости у них равные, получим

⎛ r

⎞2 белого карлика b

=

Солнца

=

⎜

⎟

16

10.

⎝ r b

Солнца

⎠

белого карлика

Извлечем из обеих частей квадратный корень и решим уравнение для r

, что даст белого карлика r

= 108 r

= 108 а. е.

белого карлика

Солнца

213

Решения

В одном световом годе 60 000 а. е., поэтому находим, что r

= 1700 св. лет.

белого карлика

41. b Нам известно, что у белого карлика такая же светимость, как у Солнца. Кроме того, мы знаем, что светимость абсолютно черного тела связана с радиусом и температурой:

L = 4 R 2 T 4.

Если записать такое уравнение для белого карлика и для Солнца и вычислить их отношение, получим

⎛ R

T

белого карлика ⎞ 2

⎛ белогокарлика ⎞4

1=

=

⎜

⎟

⎜

⎟.

⎝ R

T

Солнца

⎠

⎝ Солнца ⎠

Отношение температур нам известно: белый карлик в 10 раз жарче

Солнца.

Извлечем квадратный корень из обеих сторон и решим уравнение для

R

; получим белого карлика

R

= R

10–2 = 7 105 км/100 = 7000 км.

белого карлика

Солнца

Белый карлик примерно того же размера, что и Земля.

42. На орбите вокруг белого карлика

42. а Ньютоновская форма третьего закона Кеплера гласит, что для орбит вокруг тела массы М период обращения Р связан с радиусом орбиты а следующим образом:

3

2 ∝ a

P

.

M

Тогда отношение периода обращения космического челнока и по орбите вокруг белого карлика составит

2

P

⎛ 3 a

⎞ ⎛ 3 белого карлика белого карлика a

⎞

M

= ⎜

⎟

Земли

/

=

⎜

⎟

Земли

,

2

P

M

M

M

Земли

⎝ белогокарлика ⎠ ⎝ Земли ⎠

белого карлика

214

Решения где мы использовали равенство радиусов орбит, поэтому сократили их отношение.

Решив это уравнение для орбиты вокруг белого карлика, получаем

MЗемли

6 × 24

10 кг

−

P

P

90 мин

90 мин

3 10,

белого карлика = Земли

=

=

×

×

6

M

2 × 30

10 кг белого карлика

60 с

−

P

= 90 мин×

×1,7 ×

3

10

9 с,

белого карлика

=

1мин где мы опирались на полезный факт, что 60 1,7 100.

Есть и трудный способ решения этой задачи: применить третий закон

Кеплера, не ссылаясь на пропорциональность, и вычислить нужные величины во всей их красе. Попробуем это сделать — для полноты картины и чтобы показать, что и это можно проделать без калькулятора. Ньютоновская форма третьего закона Кеплера выглядит так:

3

R

P

= 2π

белого карлика.

белого карлика

GMбелогокарлика

Подставив числа и внимательно проследив за размерностью, получим

(6,4×10 м)3

6

P

= 6×

=

белого карлика

⎛ 2

10

−

3 2

−

1

⎜

10 м с кг− ⎞

×

⎟(

30

2×10 кг)

⎝ 3

⎠

240 × 18 3

= ×

10 м

6

,

20 3 −

1,3 ×

2

10 м с

P

6

1,8 с 9 с.

белого карлика =

×

=

Ответ получился тот же, однако арифметика была потруднее (хотя мы все равно обошлись без калькулятора!)

42. b Астронавты в таком космическом корабле, несомненно, ощутят невесомость. Они вращаются по орбите вокруг белого карлика вместе со

215

Решения своим кораблем. И астронавты, и корабль находятся в состоянии свободного падения вокруг белого карлика, причем падают вместе и с одной и той же скоростью (поскольку они падают на белый карлик с той же скоростью, с какой белый карлик закругляется и его поверхность уходит от них). Нет никакой разницы между ускорением космического корабля, астронавтов и всего, что находится в корабле. Поэтому нет никакой результирующей силы, которая подталкивала бы астронавтов к полу или стенам корабля, и они ощущают невесомость.

43. Поглощение водорода

43. а Первым делом нужно найти длины волн линий поглощения. Мы нашли следующие длины волн, соответствующие нижним точкам (то есть центрам) линий поглощения:

370,5 нанометров (нм), 371,0 нм, 372,1 нм, 373,4 нм, 377,0 нм, 379,7 нм, 383,5 нм, 388,8 нм, 393,3 нм, 396,9 нм, 410,1 нм, 434,0 нм, 486,0 нм, 656,3 нм и 687,1 нм.

Линия на 687,1 нм не имеет отношения к водороду; эта линия вызвана водяным паром, содержащимся в земной атмосфере. Теперь нужно обратить внимание на подсказку, что в этом списке есть — линия (для которой m =

= n + 1). Отталкиваясь от заданной формулы для длины волны, вы можете убедиться, что это линия, у которой самая большая длина волны, то есть

656,3 нм, и эта величина (после некоторых алгебраических преобразований) должна быть равна

1 n (n +)2

2

1

λ

.

наибольшая = R (2 n+)1

Подобно тому как самая большая длина волны соответствует m = n + 1

(минимальному из возможных значений m), самая маленькая возможная длина волны соответствует очень большому значению m. И в самом деле, 216

Решения если m бесконечно велика, то

= n2/ R. Мы можем оценить

,

наименьшая наименьшая отметив, что линии поглощения по мере уменьшения длины волны становятся все чаще, и предел, к которому они сгущаются, находится поблизости от

370 нм.

наименьшая

Рассмотрим отношение между этими двумя длинами волн (отметим, что при этом R сокращается, что прекрасно, поскольку мы еще не знаем ее значения). Наблюдаемое отношение равно 1,77. Теоретически отношение равно

λ

n (n +)2

1 / (2 n +)1/ R (n +)2

2

1 наибольшая =

=

.

λ

2 n / R

2 n 1 наименьая

+

Для n = 1 это отношение равно 4/3 = 1,33.

Для n = 2 это отношение равно 9/5 = 1,80.

Для n = 3 это отношение равно 16/7 = 2,29.

Для n = 4 это отношение равно 25/9 = 2,78.

Для n = 5 это отношение равно 36/11 = 3,27.

Наблюдаемое отношение равно 1,77, что близко к значению для n = 2 из этого списка. Теперь мы можем решить уравнение для R, посмотрев на

— линию, для которой n = 2, а m = 3:

36 / 5

−

R =

= 1,097 × 7 1

10 м,

656,3 нм где мы перевели нанометры в метры. Теперь вычислим ожидаемые значения длины волны для разных значений m.

n m

(нм)

(нм)

вычисленная наблюдаемая

2

3

656,3

656,3

2

4

486,2

486,0

2

5

434,1

434,0

2

6

410,2

410,1

217

Решения n m

(нм)

(нм)

вычисленная наблюдаемая

2

7

397,0

396,9

2

8

388,9

388,8

2

9

383,6

383,5

2

10

379,8

379,7

2

11

377,1

377,0

2

12

375,0

374,9

2

13

373,5

373,4

2

14

372,2

372,1

2

15

371,2

371,0

2

16

370,4

370,5

Вычисленные и наблюдаемые длины волн и правда совпадают практически идеально! В теории последовательность можно продолжать до m =, и тогда линии будут ложиться все теснее и теснее, но у этого спектра для такого не хватит разрешения. Этой закономерности не следуют только две линии из нашего списка: 681,7 нм, которая соответствует водяному пару в атмосфере Земли, и 393,3 нм, которая соответствует кальцию в атмосфере звезды (на самом деле здесь есть и вторая линия кальция, почти точно совпадающая с линией водорода m = 7). Обратите внимания, что форма линий кальция отличается от линий водорода, и это один из способов их различать.

Серия водорода n = 2 называется серией Бальмера в честь ученого, который первым ее описал. Есть и другие серии, соответствующие другим значениям n: серия Лаймана (n = 1) лежит в области далекого ультрафиолета, серия Пашена (n = 3) — в ближнем инфракрасном диапазоне и так далее.

43. b Пик спектра находится примерно около 400 нанометров, то есть

4 10–5 см. Пиковая длина волны и температура звезды связаны следующим образом:

218

Решения

0,3 см

T ≈

=

0,3

≈ 7500 К,

−

λ

4 ×

5

10 см пиковая что и в самом деле близко к номинальной температуре звезд класса F.

44. Сияющее Солнце

44. а Чтобы вычислить энергию, которую дает 1 грамм водорода, когда сгорает в ядре Солнца и превращается в гелий, надо сначала вычислить энергию, высвобождаемую при создании одного атома гелия: Е = m c2 — m c2= (6,693 10–27 кг — 6,645 10–27 кг)(3,0 108 м/с)2 =

4H

He

= 4,3 10–12 Дж.

Тогда общее количество энергии, выделяющееся при сгорании 1 грамма водорода в гелий, — это количество энергии, вырабатывающейся на 1 атом, умноженное на общее число атомов гелия (или, что то же самое, общее число атомов водорода, деленное на 4) в 1 грамме. Последняя величина попросту обратна массе атома гелия (в граммах, а не в килограммах), поэтому получаем

1 г

Е

N Е =

1 грамм Н = Не m Е = (6,6 10–24)–1(4,3 10–12 Дж) = 6,4 1011 Дж.

He

44. b Максимальная энергия, которую способно выработать Солнце за всю свою жизнь, пережигая водород, — это масса содержащегося в нем водорода в граммах, умноженная на энергию, высвобождаемую при сгорании

1 грамма водорода:

Е

= 3 М

Е

= 3 (2 1033 г) (6,4 1011 Дж/г) 1045 Дж.

Солнца,Н

4 Солнца 1 грамм Н 4

(Обратите внимание, что мы перевели массу Солнца в граммы).

Теперь мы можем оценить максимальное время, которое Солнце еще просветит с нынешней светимостью, пережигая водород в гелий, следующим образом:

45

E

t = Солнца, Н =

10 Дж

= 2,5× 18

10 с ≈ 7 × 10

10 лет.

L

4 × 26

10 Дж / с

Солнца

219

Решения

Время жизни звезды главной последовательности того же типа, что и

Солнце, составляет всего 1010 лет. Но достаточно горяч, чтобы перегорать в гелий, только водород из ядра Солнца, поэтому, когда жизнь Солнца как звезды главной последовательности завершится, в гелий перегорит лишь около 10 % его водорода.

45. Термоядерный синтез и принцип неопределенности Гей-

зенберга

45. а Нас попросили приравнять первоначальную кинетическую энергию 3 kT (не забывайте, что у нас два протона!) и конечную кинетическую энергию q (e 2/ r), а затем решить полученное уравнение для температуры.

Проделаем это алгебраически:

2

3 = e kT q ,

r

2

= qe

T

,

3 kr а затем подставим числа. За r возьмем диаметр протона, то есть 10–15 м.

2

⎛ 1

18

⎜

10− ⎞

×

1

⎟

9

⎝ 6

⎠

2

−

2

К

T = ×9×10 ×

Дж×м×кулон × кулон ×

,

23

−

15

3

1,4×10 ×10−

Дж×м где мы собрали все единицы размерности в конце выражения. Чтобы проделать арифметические расчеты, вынесем за скобки все степени 10 и получим

1

⎛ 1⎞2

9−36+22+

× ×

1

9 ⎜ ⎟ ×

15

10

К = × 10

10 К = 5× 9

⎝ ⎠

10 К,

3

6

2 или 5 миллиардов кельвинов. Чтобы упростить арифметику, мы приближенно приняли 6 1,4 10.

Пять миллиардов кельвинов — это очень жарко, даже слишком: температура ядра Солнца составляет около 15 миллионов кельвинов, то есть в 300 раз меньше нашей расчетной величины. Так что при прямолинейном

220

Решения подходе может показаться, что для термоядерного синтеза в недрах Солнца попросту недостаточно горячо.

45. b У этой задачи несколько частей. Сначала нас просят проверить размерность выражения для длины волны де Бройля на предмет единиц длины. Вспомним, что 1 Дж = 1 кг м2 /с2, и обнаружим, что величина h/ mv имеет размерность

×

кг × 2

Дж с = м × с = метры,

кг ×м / с с кг ×м чего мы, собственно, и ожидали.

Кинетическая энергия и температура газа связаны отношением

3 kT = 1 2 mv ,

2

2 решив которое для скорости, получим

= 3 kT

v

.

m

Здесь m — это масса несущейся частицы, в нашем случае протона.

Мы подставляем это выражение в выражение для длины волны де Бройля и получаем

λ = h =

h .

mv

3 mkT

Теперь мы готовы повторить вычисления из части а), подставив вышеуказанное выражение для вместо r в нашу формулу для температуры: 2

2

2

= qe = qe 3 mkT = 1 qe mkT

kT

.

3 r

3 h

3 h

Это выражение нам надо решить относительно T. Поделим обе части на kT, извлечем квадратный корень и получим

2 4

= 1 q e m

T

.

2

3 h k

221

Решения

Прекрасно, теперь можно и числа подставить:

2

(

4

1

1

Дж м

9 × 9

10)2

⎛

⎛

18 ⎞

26

× ⎞

−

−

×

4

⎜ ×10 ⎟ × × 10

×кулон ×

⎜

кг

2 ⎟

1

⎝ 6

⎠

6

⎝ кулон ⎠

T =

.

3

⎛

2

2

2

−33 ⎞

1

−22

(Дж×с) ×Дж /К

⎜ ×10 ⎟ × ×

⎝

⎠

10

3

6

Постоянную Больцмана мы взяли в приближенном значении 1/6 10–22, поскольку предвидели некоторые арифметические действия.

Все единицы мы вынесли в конец. Давайте сначала поработаем над ними. Обратите внимание, что все кулоны сокращаются; прекрасно. Теперь обратите внимание, что в числителе джоуль в квадрате, а в знаменателе —

в кубе, так что у нас остается размерность

2 м × кг К.

2

Дж × с

Вспомним, что джоуль — это кг м2/с2, и тогда вся первая часть сокращается, и остаются только К — единицы температуры. Это осмысленно!

Теперь займемся арифметикой. Для этого мы вынесем отдельно все численные множители и отдельно — все степени 10:

⎛ 1⎞5

2

9 × ⎜ ⎟

1

⎝ 6⎠

18−72−26+66+

×

×

22

10

К,

3 ⎛ 2⎞2 1

⎜ ⎟ ×

⎝ 3⎠ 6 а это превращается в

3 × 8 ≈ 1

10 K

× 8

10 K = 5× 6

10 K,

64

20 что в три раза меньше, чем реальная температура в ядре Солнца. На самом деле это число ближе к температуре ядра самого холодного белого карлика класса М (то есть звезды, чей массы едва хватает на термоядерный синтез в ее ядре). Приходим к выводу, что температуры внутри Солнца хватает для слияния протонов.

222

Решения

Эти вычисления первым проделал великий российско-американский физик Георгий Гамов в начале тридцатых годов прошлого века, когда астрономы еще не могли понять, благодаря каким процессам звезды светят.

Процесс слияния двух частиц на расстоянии одной длины волны де Бройля друг от друга называется квантовое туннелирование и упоминается в рассуждениях о природе ранней Вселенной в главе 23 «Большого космического путешествия».

46. Свойства белых карликов

46. а Параллакс звезды в угловых секундах связан с расстоянием до нее в парсеках: расстояние = 1/параллакс. Для заданного параллакса получаем расстояние 2,6 парсек, то есть 8,6 светового года.

46. b Солнце и Сириус В отличаются по яркости, поскольку у них разная светимость и они находятся на разном расстоянии от нас. Нам нужно отношение светимостей. Теперь мы знаем расстояние до Сириуса В, поэтому установим связь между яркостью и светимостью:

b

= L

/4 d 2

,

Сириуса В

Сириуса В

Сириуса В

b

= L

/4 d 2

.

Солнца

Солнца

Солнца

Возьмем отношение этих выражений и выразим из него отношение светимостей:

L

/ L

= b

/ b

(d

/ d

)2.

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Здесь нам известны все нужные величины, так что посмотрим, что у нас получится:

L

/ L

= 10–13 ((2,6 парсека 2 105 а. е./парсек)/1 а. е)2 =

Сириуса В

Солнца

= 10–13 25 1010 = 0,025.

Здесь мы перевели расстояние до Сириуса В в а. е. Светимость Сириуса

В составляет 1/40 светимости Солнца.

223

Решения

46. с Белый карлик подчиняется закону Стефана — Больцмана, поэтому его температура связана с площадью поверхности и светимостью точно так же, как и у Солнца:

L

= T 4

4 R 2

.

Сириуса В

Сириуса В

Сириуса В

L

= T 4

4 R 2

.

Солнца

Солнца

Солнца

Здесь — это постоянная Стефана — Больцмана, значение которой нам знать не обязательно, в чем мы сейчас и убедимся.

Мы хотим узнать радиус Сириуса В. К этому можно подойти, если взять отношение двух выражений:

L

/ L

= (Т

/ Т

)4 (R

/ R

)2,

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца или

R

= R

(L

/ L

)1/2 (Т

/ Т

)–2.

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Сириуса В

Солнца

Все отношения в правой части нам известны: отношение температур равно 25 000 К/5800 К = 4,3, а отношение светимостей — 0,025, поэтому радиус Сириуса В равен

R

= R

(0,0251/2 /18) = 0,009 R

=

Сириуса В

Солнца

Солнца

= 9 10–3 7 105 км 6000 км.

Сириус В размером примерно с Землю.

46. d Мы знаем массу и радиус, поэтому вычислить плотность =

М/ V нетрудно:

M

ρ

= M

/ V

=

Солнца

,

Сириуса В

Сириуса В

Сириуса В

4π 3

R

/ 3

Сириуса В

2 × 30

10 кг

2 × 30

10 кг

9

−

ρ

=

3

2 10 кг м,

Сириуса В

(

) ≈

= ×

×

× ×

3

21 3

6

10 м

4 6 10 м то есть в 2 миллиона раз больше плотности воды (1000 килограмм на кубический метр)! В астрономии нередки крайности, от крайне низкой плотности

224

Решения межзвездного и межгалактического пространства до непостижимо огромной плотности, которую вы только что вычислили. В одной из следующих задач мы будем изучать свойства нейтронных звезд, плотность которых еще больше.

Рассмотрим кубик этого вещества со стороной L и массой 1 тонна

(103 кг). Его объем задается формулой V = М/, поэтому

1/3

3

⎛

10 кг

L

⎞

=

= ×

= ×

⎜

− ⎟

(5 10− м)1/3

7 3

3

8 10− м.

9

3

⎝ 2×10 кг×м ⎠

Таким образом, сторона кубика чуть меньше сантиметра, так что он легко войдет в спичечный коробок.

47. Сжатие в белый карлик

Рассмотрим два ядра углерода, находящихся на расстоянии d друг от друга. Можно считать, что каждое ядро углерода занимает объем кубика со стороной d. Тогда соответствующая плотность равна массе ядра углерода, поделенной на объем этого кубика. Однако плотность белого карлика равномерна: плотность любого маленького куска его вещества равна плотности белого карлика в целом. Так что у нас есть достаточно информации, чтобы вычислить d:

1

26

12

10−

× ×

кг

9

3

6 плотность = 2×10 кг / м =

.

3 d

Найдем отсюда d. Небольшое преобразование даст d 3 = 10–35 м3 = 10 10–36 м3.

Такая запись облегчает задачу извлечения кубического корня. Мы знаем, что 23 = 8, что очень близко к 10, поэтому кубический корень из 10 примерно равен 2, чего, несомненно, достаточно до одной значащей цифры!

А тогда получаем d = 2 10–12 м.

225

Решения

Примерный размер атомов в нормальных условиях (то есть у нас на

Земле) — около 1 ангстрема, то есть около 10–10 м. Ядра атома углерода в белом карлике стиснуты до размеров примерно в 50 раз меньше! Мы знаем, что основную часть объема атома в нормальных условиях занимает пустое пространство; в белом карлике значительная часть этой пустоты вытесняется, и ядра находятся гораздо ближе друг к другу.

48. Вспышки в ночи

48. а Скорость — это расстояние, деленное на время. Точка на экваторе белого карлика совершает полный оборот (2 r) за период Р, поэтому скорость этой точки v = 2 r/ Р. Подставим числа и получим

2 × π × 6,4 × 6 v =

10 м ≈ 2× 10

10 м / с.

1/ 600 с

Скорость света составляет «всего» 3 108 м/с, поэтому объект размерами с белый карлик физически не может вращаться так быстро, ведь тогда его поверхность двигалась бы быстрее света!

48. b Те же вычисления для нейтронной звезды дают

2π r 2 × π × 4 v =

=

10 м ≈ 4× 7

10 м / с.

P

1/ 600 с

Это огромная скорость, но все же меньше скорости света, поэтому с физической точки зрения такое возможно.

48. с Центростремительное ускорение равно

4 10 м / с

2

(×

)2

7

16 × 14 a v r c =

/ =

=

10

2 м / с = 1,6 × 11

2

10 м / с,

4

4

10 м

10 то есть в 16 миллиардов раз больше ускорения свободного падения на поверхности Земли!

Дает ли сила тяжести необходимое ускорение? Ускорение свободного падения на поверхности нейтронной звезды равно

226

Решения

2

−

×

10 3

2

10 м / с кг × 2 × 2 × 30

10 кг

GM

g =

нейтронной звезды = 3

12

2

3 10 м / с.

2 r

(10 м)

= ×

2

4

Ускорение свободного падения больше центростремительного, поэтому его хватит, чтобы удержать вас на поверхности нейтронной звезды. Обратите внимание, что если бы нейтронная звезда вращалась еще в 3–4 раза быстрее, все было бы иначе — даже ее чудовищной гравитации не хватило бы, чтобы удержать вещество, и звезда разлетелась бы на куски. Поэтому астрономы не удивляются, что до сих пор, несмотря на активные поиски, не обнаружено пульсаров, которые вращались бы значительно быстрее, чем

600 оборотов в секунду. Нынешний рекорд принадлежит нейтронной звезде в шаровом скоплении Терзан 5, которая совершает 716 оборотов в секунду.

49. Жизнь на нейтронной звезде

49. а Это сокрушительная гравитация. Сначала нам нужно вычислить ускорение свободного падения на нейтронной звезде:

2

−

×

10 3

2

10 м / с кг × 2 × 2 × 30

10 кг

GM

g =

нейтронной звезды = 3

12

2

3 10 м / с.

2 r

(10 м)

= ×

2

4

Чтобы поднять массу m = 1 грамм на 1 сантиметр, потребуется энергия mgh = 1 г 3 1014 см/с2 1 см = 3 1014 эрг = 3 107 Дж.

Это очень много энергии! Типичный рацион дает нам 2000 калорий 4

103 Дж/кал = 8 106 Дж в день, то есть для того, чтобы накопить достаточно энергии на подъем такой массы, придется есть 4 дня! О том, чтобы поднять собственное тело, например, встать, на нейтронной звезде, естественно, не может быть и речи.

49. b Нам надо вычислить разницу ускорения свободного падения g между двумя точками, одна прямо на поверхности нейтронной звезды, то

227

Решения есть на расстоянии от центра r — в одном радиусе нейтронной звезды), 1 а другая чуть-чуть дальше (на расстоянии r ; разница между r и r — ваш

2

1

2 рост, скажем, 2 метра, — гораздо меньше и r , и r ).

1

2

Тогда

GM GM

⎛ 1 1 ⎞

Δ g =

−

= GM

−

.

2

2

⎜ 2

2 ⎟

r r r r

1

2

⎝ 1

2 ⎠

Здесь М — это масса нейтронной звезды.

Продолжим, следуя общему правилу, что всегда лучше придерживаться алгебры как можно дольше, а числа подставлять лишь в самом конце: 2

1 1 r r r r r r

2 − 2

1

(2 − 1)(2 + 1)

− =

=

.

2

2

2 2

2 2 r r r r r r

1

2

1 2

1 2

Здесь пора прибегнуть к некоторым приближениям. Мы знаем, что r — r = 2 метра, и тут все просто. Но еще мы знаем, что разница между r и

2

1

1 r очень мала по сравнению с обеими величинами, поэтому очень хорошим

2 приближением станет r + r 2 r и аналогично r 2 r 2. Подставив эти при-

2

1

1

2

1 ближенные значения в наше уравнение, получим

1 1 (r r 2 r 2 r r

2 − 1) × 1

(2 − 1)

− ≈

=

.

2

2

4

3 r r r r

1

2

1

1

Так что теперь мы можем записать

2 GM (r − r

2

1)

2 GM r g

Δ

Δ =

=

,

3

3 r r

1

1 где r = (r — r ). В сущности, мы сейчас взяли производную, просто не стали

2

1 это так называть. Вы только что решили задачу из области дифференциального исчисления! Но мы можем поступить еще умнее и вспомнить формулу ускорения как такового:

= GM

g

.

2 r 1

228

Решения

Тогда мы можем переписать разницу в виде

Δ

Δ = 2 r g g,

r

Что полезно, поскольку мы уже вычислили g в части а). Здесь мы ищем разницу в ускорении между ногами и головой. Для роста 2 метра это дает

2 м g = 2

3 1012 м/с2 109 м/с2.

4

10 м

Так что сила натяжения между вашими ногами и головой окажется в

100 миллионов раз сильнее земной гравитации. Вас разорвет в клочки, не успеете вы долететь до поверхности.

Эту задачу можно решить и по-другому, просто вычислив ускорение свободного падения на высоте 10 км и на высоте 10 км + 2 м, и взяв их разность. Это сработает, но только если взять большое количество значащих цифр; если бы требовалось сосчитать разницу ускорений на расстоянии, скажем, 1 мм, ни на одном калькуляторе для этого не хватило бы разрядов.

50. Расстояние до сверхновой

50. а В задаче сказано, что Крабовидная туманность имеет приблизительно сферическую форму и расширяется одинаково во всех направлениях.

В этом случае скорость внешней границы будет одинаковой и составляет

1200 км с–1. Диаметр туманности растет со скоростью 0,23 угловой секунды в год, что соответствует скорости изменения расстояния от центра до края в половину этой величины, то есть в 0,12 угловой секунды в год (поскольку две «стороны» внешней границы расширяются в направлении от центра).

За год внешняя граница смещается на расстояние

1200 км с–1 3 107 (с год–1) = 3,6 1010 км.

Это соответствует 0,12 угловой секунды на расстоянии d от остатка сверхновой, поэтому мы можем воспользоваться малоугловым приближением:

229

Решения

3,6 × 10

1радиан

×

=

10 км

0,12 угловой секунды

.

200000 угловых секунд d

Выразив отсюда d, получим

10

2× 5

10

1св. год d = 3,6 ×10 км×

= 6 × 16

10 км×

= 6000 световых лет.

13

0,12

10 км

50. b Если предположить, что скорость расширения была постоянной на протяжении всего существования сверхновой, туманность расширялась в течение времени, заданного ее нынешним размером, поделенным на скорость расширения (расчеты аналогичны поискам времени, которое требуется, чтобы пройти определенный путь с определенной скоростью). Тогда время, на протяжении которого сверхновая расширялась, составляет

(5±1,5)угловыхминут×60 угловых секунд =1200±300лет.

1/ 4 угловой секунды /год

Мы делаем вывод, что свет от сверхновой дошел до нас от 500 до

1100 года н. э. (то есть 900–1500 лет назад). Наблюдения сверхновой в

1054 году соответствуют второй дате.

Естественно, сверхновая находится на расстоянии в 6000 световых лет, поэтому мы видим то, что было 6000 лет назад. Такова же временная задержка между конкретными событиями в истории сверхновой и поступлением данных о них к нам. Потому мы и говорим, что свет от взрыва сверхновой дошел до нас от 500 до 1100 года н. э. На самом деле сверхновая взорвалась за 6000 лет до этого.

50. с Кинетическая энергия массы m, движущейся со скоростью v, равна 1/2 mv 2, поэтому общее количество энергии составляет

1

1

2 × 30

E = mv = × M

×

10 кг

20

×(1,2×10 м/ с)2

2

6

= 3 × 43

10 Дж,

Солнца

2

2

1 MСолнца где мы перевели все в единицы МКС. Светимость звезды класса О, как нам известно, в 103 раз больше солнечной, то есть составляет примерно

230

Решения

4 1029 Дж/с. Тогда время, которое звезда класса О должна была светить, чтобы выработать столько энергии, равно отношению этих двух чисел: 43

3 ×10 Дж

3

14

1 год время =

= × 10 с ×

= 2,5 миллиона лет.

29

7

4 ×10 Дж / с 4

3 ×10 с

Это сопоставимо с временем жизни звезды класса О на главной последовательности.

51. Сверхновые очень энергичны!

51. а В условиях задачи говорится, что энергия, которую сверхновая испускает (за месяц), равна энергии Солнца за 108 лет. Нам известно, что светимость (то есть энергия, излучаемая в единицу времени) Солнца составляет 4 1026 Дж/с, поэтому полная энергия, которую излучает сверхновая, это ее светимость, умноженная на время:

полная энергия = 4 1026 Дж/с 108 лет 3 107 с/год 1042 Дж.

51. b Мы можем воспользоваться полученной выше полной энергией и поделить ее на время, равное 1 месяцу, однако еще проще сравнить ее с солнечной. Нам дано, что энергия, испускаемая сверхновой за месяц, равна энергии Солнца за 108 лет. Эта энергия равна светимости, помноженной на время, поэтому мы получаем, что

L

1 месяц = L

108 лет.

сверхновой

Солнца

Следовательно, L

= 109 L

, поскольку мы приближенно счисверхновой

Солнца таем, что в году 10 месяцев (этого, безусловно, достаточно с точностью до одной значащей цифры). Ух ты!

51. с Нам известно соотношение между светимостью L, яркостью b и расстоянием d:

= L

b

.

4π 2 d

231

Решения

В задаче спрашивается, каково расстояние до сверхновой, на котором ее яркость равна яркости Луны. Поэтому приравняем вышеуказанную формулу для Луны (светимость которой L = (1/(4 105)) L

), и для сверхновой:

солнца

1

L

L

Солнца

= сверхновой.

4 × 5

10 4π 2 d

4π 2 d

Солнца сверхновой

Здесь d

— это расстояние от нас до Солнца, то есть 1 а. е. Прежде

Солнца чем подставлять числа, давайте еще немного позанимаемся алгеброй: мы увидим, что это сэкономит нам немного сил. Решив это уравнение для нашего неизвестного, то есть расстояния до сверхновой, получим

⎛ 4 ×10 L

⎞1/2

5 d

= 1а. е.× ⎜

сверхновой

.

сверхновой

⎟

⎝

LСолнца

⎠

Но мы уже знаем, что отношение светимостей сверхновой и Солнца равно 109. Тогда d

= 1 а. е. (4 105 109)1/2 = 2 107 а. е.

сверхновой

В одном парсеке 200 000 а. е., так что это соответствует расстоянию в

100 парсек, или около 300 световых лет.

52. Сверхновые очень опасны!

Сфера радиусом 30 парсек имеет объем

4π 3

=

r

V

≈ 4 ×(30 парсек)3 ≈ 5

3

10 парсек.

2

Такой объем содержит примерно 100 000 звезд, что дает долю 10–6 от общего числа звезд Млечного Пути (~ 1011). Если во всем Млечном Пути за

100 лет взрывается 1 сверхновая, нам придется ждать

100 лет = 100миллионов лет,

−6

10 прежде чем очередная сверхновая взорвется настолько близко, что это нам навредит. Этот промежуток довольно мал и позволяет предположить, что за

232

Решения историю эволюции жизни на Земле, которая идет три с лишним миллиарда лет, Земля уже несколько раз подвергалась воздействию взрыва недалекой сверхновой.

Обратите внимание на большую разницу между вышеприведенным промежутком времени и очень короткой продолжительностью жизни звезд, которые превращаются в сверхновые (несколько миллионов лет). Здесь следует учесть, что благодаря всевозможным случайным перемещениям звезд в нашей галактике состав звезд в пределах 30 парсек от Солнца со временем изменится. Мы точно знаем, что сейчас в пределах 30 парсек от

Солнца нет звезд, достаточно массивных, чтобы превратиться в сверхновую.

Однако весьма вероятно, что когда-нибудь к нам приблизится какая-нибудь очень массивная звезда, которая затем превратится в сверхновую.

53. Нас прошивают нейтрино

53. а У нас есть вся нужная информация, чтобы вычислить гравитационную потенциальную энергию.

3

2

−

×

м

10

×

GM

(2×10 кг)2

10

30

2

2

Полная излученная энергия =

= 3 с кг

≈

4 r

10 м

≈ × 46

3 10 Дж.

53. b Если энергия каждого нейтрино 1.5 10–12 Дж, общее число нейтрино, испускаемых звездой, подсчитать просто:

46

1 нейтрино

58

3×10 Дж ×

= 2×10 нейтрино.

3

12

×10− Дж

2

53. с Эти нейтрино, в сущности, были излучены одновременно, а затем перемещались со скоростью света и распределились по поверхности огромной сферы, радиус которой постоянно растет. Так что к моменту прибытия на Землю они распределились по сфере радиусом 150 000 световых лет.

Плотность частиц на этой сфере

233

Решения

58 количество

2×10 нейтрино

=

≈

площадь поверхности 4π(1,5×10 световых лет×10 м/св. год)2

5

16

58

2×10 нейтрино

15

2

≈

= 10 нейтрино / м.

43 2

2×10 м

Выходит, каждый квадратный метр земной поверхности был прошит

1 квадриллионом нейтрино от сверхновой 1987А!

Сторона детектора нейтрино была 10 метров, поэтому он имел площадь

100 квадратных метров. Значит, через него прошло 1017 нейтрино.

53. d Мы знаем, сколько нейтрино прошло сквозь детектор Камиоканде, и знаем, что регистрируется одно нейтрино из 5 1015. Поэтому общее число зарегистрированных нейтрино — это просто

17

1зарегистрированное нейтрино

10 нейтрино ×

= 20 нейтрино.

5 × 15

10 нейтрино

На самом деле Камиоканде зарегистрировал 11 нейтрино от этой сверхновой. Наша очень грубая оценка позволила нам оценить это число с точностью до фактора 2. Регистрация этих нейтрино на Камиоканде до сих пор остается единственным случаем, когда удалось зарегистрировать нейтрино от астрономического объекта дальше Солнца*.

Раньше считалось, что нейтрино, как и фотоны, не обладают массой покоя. То есть, как и фотоны, они перемещаются исключительно со скоростью света. На рубеже веков (по данным того же эксперимента Камиоканде, о котором мы только что говорили) было обнаружено, что они все же обладают очень маленькой массой, хотя ее точное значение пока не известно. Масса нейтрино меньше, чем масса электрона, умноженная на

* В последние годы множество нейтрино внесолнечного происхождения были зарегистрированы с помощью детектора IceCube, расположенного в Антарктиде, см.

https://icecube.wisc.edu/ или https://ru.wikipedia.org/wiki/IceCub. — Прим. ред.

234

Решения

2 10–7. Это открытие (наряду с обнаружением нейтрино от сверхновой) удостоилось Нобелевской премии по физике за 2002 год. Одним из авторов этого открытия был Джон Бакал, о котором мы упоминали, однако премии он так и не получил…

54. Вот это взрыв!

54. a Изучим полученные данные. Мы знаем, в каком темпе фотоны бомбардируют ВАТ. Мы знаем, сколько энергии несет каждый фотон, поэтому можем перевести фотоны в секунду в джоули в секунду. Для этой части задачи неважно, что такая яркость сохранялась в течение 30 секунд. Кроме того, мы знаем размер детектора ВАТ, поэтому можем преобразовать эти числа в яркость (энергия в единицу времени через единицу поверхности*), разделив их на площадь детектора. Тогда яркость задается такой формулой:

фотоны в секунду на детекторе×энергия на фотон яркость =

.

площадь детектора

Подставим числа и получим

4

1

− 6

7×10 фотонов/с×100 кэВ / фотон×1,6×10 Дж / кэВ

яркость =

,

2

0,05 м где мы в знаменателе перевели квадратные сантиметры в квадратные метры.

Мы можем произвести арифметические расчеты без калькулятора, помня, что тут вполне достаточно одной значащей цифры. И в самом деле, с точностью до одной значащей цифры 7 1,6 /5 = 2, поэтому получаем

4+2−16+2 Дж

8

− Дж яркость = 2×10

= 2×10

.

2

2 м с м с

* В научной литературе такая величина называется не «яркостью», а «потоком». — Прим. ред.

235

Решения

54. b Здесь все вычисляется просто — берем отношение ответа, полученного в части а), к данному в условии числу:

8

−

2 яркость гамма-лучей

2×10 Дж / с / м

=

= 200.

10

−

2 яркость видимого света

10 Дж / с / м

Яркость этого объекта просто ошарашивает. В следующей части мы увидим, что до этого объекта больше 11 миллиардов световых лет. Чтобы настолько далекий объект был настолько ярким, чтобы его было видно невооруженным глазом, — это абсолютно беспрецедентный случай в истории астрономии. А его яркость в гамма-лучах еще в 200 раз больше!

54. с Мы знаем яркость b и расстояние d до гамма-всплеска, а нам нужно вычислить светимость (энергия в единицу времени), а потом помножить результат на время t, в течение которого мы наблюдали вспышку

(чтобы получить единицы энергии). Это простое упражнение на применение закона обратных квадратов. Сначала подсчитаем энергию видимого света: энергия = светимость время = 4 d 2 bt (1 + красное смещение).

Здесь расстояние равно 1,1 1010 световых лет. В световом годе приблизительно 1016 метров, поэтому d 1026 метров. Помножим это на продолжительность вспышки, которую мы наблюдали, и получим энергия = 4(1026 метров)2 10–10 Дж/с/м2 30 с 2,

что примерно равно энергия 80 1052—10 + 1 Дж = 8 1044 Дж.

Таким образом, с точностью до одной значащей цифры энергия взрыва составляет 1045 джоулей. Это энергия видимого света. Яркость гамма-излучения, а следовательно, и его энергия, еще в 200 раз больше. То есть энергия, излученная при гамма-всплеске, составляет 2 1047 Дж.

Эти расчеты позволяют дать приблизительную оценку, вероятно, не очень верную: мы, разумеется, видим излучение, направленное непосред-

236

Решения ственно на нас, и предполагаем, что оно изотропно, то есть одинаково по всем направлениям. Это предположение встроено во множитель 4 закона обратных квадратов, который связывает яркость и светимость и которым мы воспользовались. Некоторые модели гамма-всплесков предполагают, что на самом деле они ведут себя как прожектор: излучение испускается только в виде узких конусов. Поэтому мы видим всплеск, только если излучение направлено прямо на нас. Узконаправленное излучение встречается и в других астрофизических ситуациях, поэтому такая идея вовсе не безумна.

Одна популярная модель гамма-всплесков гласит, что они возникают, когда особенно массивная звезда в конце жизни коллапсирует в черную дыру; и в самом деле, случалось, что гамма-всплески наблюдались одновременно со вспышками сверхновых. Но астрофизики-теоретики пока обладают лишь зачаточными представлениями о том, как такой коллапс приводит к выбросу гамма-лучей и действительно ли такой выброс может быть направлен в узкий конус.

54. d Ну что ж, раз E = mc 2, то m = E/ c 2. Учитывая энергию гаммавсплеска, которую мы только вычислили в части с), масса, превращенная в энергию, составила

2 × 47

10 Дж

2 × 47

2

2

10 кг м / c m =

30

(

) ≈

= 2 × 10 кг.

×

2

17 2

2

8

10 м / с

3 10 м / с

Однако 2 1030 кг — это масса Солнца: выходит, нужно преобразовать в чистую энергию целое Солнце! Вот уж взрыв так взрыв! Но опять-таки, если выброс излучения при гамма-всплеске происходит узконаправленно, наша оценка сильно завышена.

54. е Время, за которое Солнце испустит заданное количество энергии, — это просто энергия в джоулях, поделенная на светимость Солнца

(джоуль/секунда).

44

8 ×10 Дж

1 год

2

44−26−7

10 время =

×

= × 10 лет = 7 × 10 лет.

26

7

4 ×10 Дж / с 3 ×10 с 3

237

Решения

Чтобы дать столько энергии, Солнце должно светить 70 миллиардов лет (примерно в 7 раз больше реальной продолжительности его жизни).

И это только энергия видимого света: энергия гамма-излучения будет еще в 200 раз больше!

55. Бах-барабах!

55. а Энергия Е фотона связана с его частотой v соотношением

Е = hv,

где h — постоянная Планка. Частота, в свою очередь, связана с длиной волны соотношением

ν = с ,

λ

где с — скорость света. Поэтому вычислить энергию просто:

−

hc 2 / 3 ×

33

10 Дж × с × 3 × 8

10 м / с 2

−33+8+12

−

E =

=

= × 10

≈ 3 ×

14

10 Дж.

−

λ

7 ×

12

10 м

7

Нам дан поток фотонов в секунду на каждый квадратный метр. Нам нужно перевести это в яркость (энергия в секунду на каждый квадратный метр), а для этого необходимо определить количество энергии на каждый фотон. Но ведь именно это мы только что вычислили! Теперь все сводится к простому умножению:

количество фотонов энергия

11 фотонов яркость =

×

= 10

×

2

2 с×м фотон с×м

14

−

Дж

3

−

Дж

×3×10

= 3×10

.

2 фотон с×м

55. b Мы только что нашли яркость b. Теперь осталось вычислить светимость L. Они связаны законом обратных квадратов: L = 4 d 2 b,

где d — расстояние до объекта. Оно нам дано. Теперь подставим числа и, внимательно проследив, чтобы все световые годы были переведены в метры, получим:

238

Решения

L = 4 (5 104 световых лет 1016 м/световой год)2 3 10–3 Дж.

с × 2 м

Величина в скобках равна 5 1020 метров, что в квадрате даст 25

1040 метров2. Умножим 25 на 4 и получим 100; умножим на 3 и получим множитель 10. Тогда

L = 100 10 1040 10–3 Дж/с = 1040 Дж/с.

Теперь вспомним, что энергия высвободилась всего за 0,1 секунды, так что общая энергия — произведение этих чисел:

E = L t = 1039 Дж.

Сколько времени нужно Солнцу, чтобы выработать столько энергии? Мы знаем светимость Солнца (в джоулях в секунду), то есть скорость, с которой оно излучает энергию, и общее количество энергии 1039 Дж. Отношение общей энергии к скорости излучения даст время. Найдем это отношение, не забыв, что годы нужно перевести в секунды:

39 энергия

10 Дж

1 год

39−26−7−1

5 время =

=

×

= 10 лет = 10 лет,

26

7 скорость 4×10 Дж / с 3×10 с где мы приближенно приняли 3 4 = 10 (что угодно, лишь бы облегчить арифметику!). Таким образом, количество энергии, которое выделилось за

0,1 секунды при этом гамма-всплеске, эквивалентно количеству, которое

Солнце излучает за 100 000 лет.

55. с Поток фотонов связан со скоростью испускания фотонов по тому же закону обратных квадратов, что и яркость и светимость: количество фотонов в секунду поток =

.

2

4 d

π

Можно записать это выражение для двух случаев: наблюдаемого, на расстоянии d = 50 000 световых лет и с потоком f = 1011 фотонов с–1 м–2, 1

1

239

Решения и второго случая, в котором поток равен f =104 фотонов с–1 м–2, а рас-

2 стояние d нужно найти. В этих двух случаях скорость, с которой испускаются

2 фотоны, одинакова (ведь это один и тот же объект!). Тогда скорость испускания фотонов f =

.

1

2

4 d

π 1 скорость испускания фотонов f =

.

2

2

4 d

π 2

Поделим первое выражение на второе:

⎛ d ⎞2 f

2

=

⎜ ⎟

1,

⎝ d f

1 ⎠

2

(обратите внимание, что скорость испускания фотонов сократилась!) или, выражая d ,

2 f d =

1 d

,

2

1 f 2

Теперь подставим числа:

11 d =

× 10

50000 световых лет

≈ 50000 световых лет × 3 × 3

10

2

=

4

10

=

× 8

1,5 10 световых лет.

Значит, спутник «Свифт» может регистрировать подобные всплески в

150 миллионах световых лет от нас (то есть в умеренно далеких галактиках).

Обратите внимание, что мы сначала проделали как можно больше алгебры и лишь затем подставили числа. Как мы уже неоднократно убеждались, это верный путь: если бы мы подставили числа раньше, вычисления страшно запутались бы. Кроме того, мы могли бы исходить непосредственно из закона обратных квадратов, не прибегая к отношениям уравнений; это тоже было бы правильно, но тогда нам пришлось бы переводить значение светимости, полученное в части b), в фотоны, а это, в сущности, лишний труд.

240

Решения

56. Компактная звезда

Плотность — это масса, поделенная на занимаемый ею объем, и мы можем вычислить ее и для одного атома. Масса остается прежней. Первоначальный объем пропорционален кубу расстояния между атомами. Окончательный объем пропорционален кубу расстояния между атомными ядрами в нейтронной звезде, где ядра соприкасаются. Тогда объем уменьшается на множитель

−

⎛ 10 м⎞3

10

=

3

5

10 =

⎜

15

10,

−15 ⎟

()

⎝ 10 м⎠

а плотность увеличивается на тот же множитель. Обычные твердые тела здесь, на Земле, имеют плотности порядка 1 грамма на кубический сантиметр. А значит, нейтронные звезды обладают плотностью в 1015, то есть в

1 квадриллион, граммов на кубический сантиметр!

57. На орбите вокруг нейтронной звезды

Скорость — это расстояние, деленное на время. В этом случае за время возьмем один период обращения, а за расстояние — окружность орбиты. Это орбита вокруг тела той же массы, что и Солнце (неважно, что его плотность в квадриллион раз выше), а значит, здесь применим третий закон Кеплера в его простейшей форме, и период в годах задается радиусом орбиты в степени 3/2, то есть составляет 27 лет. Для Земли нам известно, что

2π×1а. е.

скорость =

= 30 км / с.

1 год

Здесь нам нужно вычислить

2π × 9 а. е.,

27 лет что, очевидно, равно 9/27 = 1/3 скорости Земли вокруг Солнца, то есть

10 км/с.

241

Решения

Можно решить эту задачу и другим способом: скорость v планеты на круглой орбите — это протяженность орбиты (2 а, где а — радиус орбиты), поделенная на период обращения P. Третий закон Кеплера в самой простой форме учит нас, что для орбит вокруг звезды с массой Солнца, в годах и астрономических единицах

2π a 2π a 2π

v =

∝

=

.

3/2

P

a a

То есть скорость обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты.

В этой задаче радиус равен 9 а. е., следовательно, скорость равна 1/3 скорости Земли на орбите вокруг Солнца, то есть 10 км/с.

Обратите внимание, что хотя плотность нейтронной звезды несопоставимо больше плотности Солнца, орбита планеты вокруг нейтронной звезды подчиняется закону Кеплера точно так же, как и орбиты планет в нашей

Солнечной системе.

58. Диаграмма Герцшпрунга — Рассела

Диаграмма Герцшпрунга — Рассела приведена на рис. 7.1 «Большого космического путешествия». На ней по оси у отмечены светимости звезд в зависимости от температуры их поверхности, отмеченной по оси х.

Несколько сбивает с толку, что ось х направлена как бы назад, от горячего к холодному, если смотреть слева направо.

Главная последовательность, на которой находится большинство звезд, видимых на ночном небе, — это полоса звезд, проходящая из верхнего левого угла (горячие и яркие) к нижнему правому (холодные и тусклые). Кроме того, существуют так называемые красные гиганты — они расположены в правом верхнем углу диаграммы, и белые карлики — в левом нижнем.

Звезды излучают как абсолютно черные тела (приблизительно). Это означает, что светимость звезды L связана с ее радиусом R и температурой поверхности T соотношением

242

Решения

L = 4 R 2 T 4,

где — постоянная Стефана — Больцмана. Это объясняет основную тенденцию главной последовательности, где при повышении температуры у звезд существенно увеличивается светимость. Красные гиганты не зря получили такое название: у них высокая светимость, невзирая на низкую температуру, поскольку их радиус значительно больше, чем у звезд главной последовательности. Крупнейшие сверхгиганты обладают радиусами в 5 а. е. и даже больше. Подобным же образом белые карлики значительно меньше, чем звезды главной последовательности (их типичный радиус — несколько тысяч километров), а поэтому светимость у них гораздо меньше, чем у звезд главной последовательности, имеющих ту же температуру поверхности.

Звезды главной последовательности пережигают в своих ядрах водород в гелий. Чем массивнее звезда (на главной последовательности), тем эффективнее она горит и, следовательно, тем больше у нее светимость.

Температура поверхности у таких звезд обычно очень высокая. У массивных звезд больше водорода, то есть больше топлива, которое можно сжигать, однако они сжигают его с таким рвением, что продолжительность жизни у них гораздо меньше, чем у менее массивных звезд. Самые массивные звезды главной последовательности, от 50 до 100 масс Солнца, живут всего несколько миллионов лет. Однако звезды низкой массы, скажем, 1/10 солнечной, доживут до 10 триллионов лет (это гораздо больше, чем нынешний возраст Вселенной: все звезды во Вселенной с такой низкой массой пока находятся на главной последовательности!) Солнце, для сравнения, проживет около 10 миллиардов (1010 лет), а его нынешний возраст —

4,6 миллиарда лет, так что оно дошло до половины своей жизни на главной последовательности.

Когда звезда сжигает весь водород в ядре и превращает его в гелий, водород начинает гореть в оболочке вокруг ядра, а гелий в ядре превращается в углерод и кислород. Далее звезда проходит сложную последовательность этапов и становится существенно крупнее, а светимость ее растет: она

243

Решения превращается в красный гигант. Звезды, чья масса меньше 8 солнечных, в конце концов сбрасывают внешние слои, и остается только горячее плотное ядро, белый карлик, состоящий в основном из углерода и водорода.

Более массивные звезды продолжают синтезировать тяжелые элементы даже после того, как ядро превращается в чистый углерод или кислород, и останавливаются лишь когда ядро становится чистым железом. В этот момент звезда взрывается и превращается в сверхновую, оставив по себе либо нейтронную звезду, либо черную дыру.

59. Соперница Плутона?

59. а Поскольку Эрида находится в оппозиции, траектория Земли перпендикулярна прямой, соединяющей Землю с Эридой. Когда Земля сдвигается по орбите, направление, в котором мы смотрим на Эриду, меняется. Чтобы проделать вычисления, нужно узнать, с какой скоростью Земля движется вокруг Солнца. Для этого достаточно просто вспомнить, что Земля обходит окружность своей орбиты за 1 год, а скорость — это расстояние, поделенное на время:

2π ×1,5 × 8 v ≈

10 км = 30 км/с

3 × 7

10 с с точностью до одной значащей цифры (мы делаем стандартное приближение 3).

На сколько сместится Земля с такой скоростью за 5 часов (18 000 с)?

Округлим до 20 000 секунд и получим ответ l = 600 000 километров. Можем приближенно считать, что это движение по прямой; кривизной орбиты за 5 часов мы вправе пренебречь. Схема параллакса — узкий длинный треугольник с основанием 600 000 километров пути, который прошла Земля, длинной стороной d, равной расстоянию до Эриды, и углом 7,5 угловой секунды в вершине. Мы могли бы прибегнуть к тригонометрическим ухищрениям, чтобы найти все параметры этого треугольника (ведь нас, напомним, интересует d), 244

Решения но гораздо проще применить малоугловую формулу. Если мы измеряем угол в радианах, и он оказывается маленьким, как бывает в астрономии сплошь и рядом, то мы имеем право применять очень простое соотношение между длинной стороной d и основанием l узких длинных треугольников: θ = l .

d

Отлично, мы у цели. В нашем случае мы знаем угол (7,5 угловых секунд) и l (примерно 6 105 км). Мы хотим решить задачу для d = l/.

Переведем угол в радианы и получим

7,5 угловых секунд = 7,5 угловых секунд

5 10–6 радиан/угловая секунда 4 10–5 радиан.

Тогда расстояние до Эриды l 6 × 5 d = =

10 км ≈ 1,5× 10

10 км.

−

θ

4 ×

5

10

В 1 а. е. 1,5 108 км, поэтому расстояние до Эриды равно 100 а. е. (Для этой задачи мы считаем, что расстояние от Солнца до Эриды и от Земли до

Эриды одно и то же — они различаются всего на 1 а. е).

Большая полуось орбиты Плутона равна 40 а. е.; Эрида заметно дальше.

Интересно, что орбита Эриды сильно эллиптична, е = 0,44 (ее эксцентриситет гораздо больше, чем у всех остальных планет Солнечной системы), и сейчас

Эрида очень близка к афелию (самому большому расстоянию от Солнца, 97,7 а. е). Перигелий Эриды (самое маленькое расстояние от Солнца, 37,9 а.е.) на самом деле находится внутри орбиты Плутона, но Эрида попадет туда лишь через 280 лет, поскольку период ее обращения составляет 560 лет.

59. b Яркость Солнца, если смотреть на него с Эриды, задается законом обратных квадратов:

= L

b

.

4π 2 d

245

Решения

Это количество энергии в единицу времени на единицу площади, которое получает Эрида. Сечение Эриды имеет площадь r 2, поэтому общая энергия в единицу времени, попадающая на Эриду, — это произведение яркости и площади:

2 r

L×

.

2

4 d

Но отражается только доля А этого света, остальное поглощается, поэтому окончательный ответ —

2 r

AL×

.

2

4 d

59. с Величина, которую мы вычислили в части b), — это светимость

Эриды (по крайней мере, в отраженном свете). Мы наблюдаем ее на расстоянии d (опять же мы приближенно считаем, что расстояние от Солнца до Эриды и от Земли до Эриды одинаково). Поэтому ее яркость b прямо следует из закона обратных квадратов:

⎛ r ⎞2

2

=

1 r b AL⎜ ⎟ ×

=

⎝ d⎠

AL

.

2

4π 2 d

16π 2 d

Яркость далекого объекта из пояса Койпера убывает как четвертая степень расстояния. Вот почему у астрономов уходит столько времени, чтобы открыть такие далекие объекты: они очень тусклые!

Здесь мы опустили некоторые подробности. В частности, в любой заданный момент освещается только половина поверхности Эриды, поэтому она не излучает отраженный свет изотропно в полную сферу. Чтобы это учесть, нам нужна детальная модель отражения света с поверхности, а это выходит за рамки нашей задачи.

59. d Для этого решим наше уравнение для r: π

= 2

4 b r d

.

AL

246

Решения

Подставим числа. Надо следить за единообразием и применять только единицы МКС; d = 100 а. е. = 1,5 1013 м.

r

(

)

−

2

13

π × 2,4 ×

16

= ×

×

×

10

4 1,5 10 метров.

0,96 × 4 × 26

10

Как это проделать без калькулятора? Можем приближенно считать 0,96 = 1, тогда выражение под квадратным корнем примерно равно

0,6 10–42 = 2,0 10–42, а квадратный корень из него равен примерно

1,4 10–21. Тогда получаем r = 4 2,25 1026 1,4 10–21 метров.

4 2,25 = 9, а 9 1,4 — это примерно 13. Таким образом, мы получаем радиус 13 105 м, или 1300 км. И правда немало, почти столько же, сколько у самого Плутона! На самом деле сегодня считается, что точное значение радиуса Эриды — 1163 км, а Плутона — 1187 км, то есть если и больше, то совсем ненамного.

Эти вычисления зависят от наших знаний альбедо Эриды. Его вычислили на основании измерений как яркости в видимом свете (отраженный свет

Солнца, пропорциональный А), так и инфракрасного излучения (излучение абсолютно черного тела, объясняющееся поглощенным солнечным светом, пропорциональное 1 — А). Из сравнения этих величин мы можем определить и размер (как мы уже сделали), и альбедо.

Открытие Эриды (названной в честь богини ссор и раздоров из греческой мифологии) раскололо астрономическое сообщество по вопросу, считать ли ее планетой и каково вообще определение планеты. Об этом написаны целые тома. Основная проблема в том, что понятие планеты эволюционировало: ведь теперь мы знаем больше и понимаем, что небесные тела, которые в принципе можно было бы назвать планетами, подпадают под самые разные категории.

• Планеты земной группы: относительно маленькие каменистые тела во внутренней части Солнечной системы, в том числе Меркурий, Венера, Земля и Марс.

247

Решения

• Газовые гиганты: гораздо более крупные и более массивные небесные тела во внешней части Солнечной системы, в том числе Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун. Обратите внимание, что Уран и Нептун, значительно менее массивные, чем Юпитер и Сатурн, на самом деле в основном состоят из замерзшей воды, аммиака и метана.

• Астероиды: объекты, находящиеся, в основном, в главном поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Они бывают самых разных размеров.

Самое большое небесное тело в поясе астероидов — Церера с диаметром

945 км, которую часто относят к карликовым планетам.

• Объекты из пояса Койпера: ледяные тела, вращающиеся по орбитам во внешней части Солнечной системы. Плутон и Эрида входят в число самых крупных из них и тоже подпадают под классификацию карликовых планет.

И в этот список еще не входят массивные спутники Земли, Юпитера и

Сатурна (самые крупные из которых значительно больше Плутона) и планеты, открытые у других звезд. Термин «планета» приобрел настолько широкое значение, что уже не поддается единому общему определению, а с открытием

Эриды и ее собратьев поле его значений еще расширилось.

59. е Это простое применение ньютоновой формы третьего закона Кеплера, связывающего период и большую полуось вращающегося по орбите тела с массой объекта, вокруг которого оно вращается: 4π2 3

2 =

a

P

.

GM

Период мы знаем. И могли бы решить это уравнение для массы, если бы знали большую полуось. А нам дан угол, которому противолежит большая полуось на изображениях, полученных на телескопе им. Хаббла. Это очередной повод применить малоугловую формулу. Рассмотрим очень длинный и узкий треугольник, длина которого задается расстоянием от Земли до

Эридды (100 а. е.), а угол при вершине равен 0,53 угловой секунды; нам нужно найти основание треугольника:

248

Решения

1 радиан s = θ d = 0,53 угловые секунды×

×

2 × 5

10 угловых секунд

× × 10

1,5 10 км = 37000 км.

Если вывести массу из третьего закона Кеплера, получим

4π2 3

=

a

M

.

2

GP

Подставим числа и получим

4π ×(3,7×10 м)3

2

7

M =

.

−

−

−

2 / 3 ×10 м с кг ×(15,8 суток ×86400 секунд / сутки)2

10 3 2

1

Здесь мы взяли калькулятор и получили величину 1,6 1022 кг. Примечательный результат: Эрида немного массивнее Плутона!

59. f Плотность вычислить несложно: это просто отношение массы к объему. В сущности, как мы уже выяснили, и масса, и объем Эриды примерно такие же, как и у Плутона, поэтому мы не удивимся, когда получим плотность, также схожую с плотностью Плутона. Но давайте все же подставим в формулу массу и радиус, которые теперь знаем:

M

1,6 × 22

ρ =

=

10 кг

3

V

(1,3 10 м) =1800 кг/м.

4 π ×

3

6

3

Между тем в килограмме 1000 граммов, а в метре 100 сантиметров, поэтому плотность в 1000 килограмм на кубометр можно перевести в граммы на кубический сантиметр следующим образом:

3

1000 г

−

1 кг / м =

3

3

(10 см) =10 г/см.

3

2

Значит, плотность Эриды по нашим расчетам примерно равна 1,8 г/см3.

Чтобы провести по-настоящему тщательное сопоставление с Плутоном, нам пришлось бы считать с точностью до большего количества значимых цифр

249

Решения

(обратите внимание, что нам постоянно приходится возводить разные величины в куб, а это, как правило, увеличивает погрешности, вызванные округлением). На самом деле по сегодняшним данным плотность Эриды составляет 2,5 грамма на кубический сантиметр. Так или иначе, эта плотность чуть выше плотности Плутона (1,9 г/см3) и выше, чем у чистой замерзшей воды. Поэтому мы делаем вывод, что Эрида состоит из смеси породы и льда.

59. g В главе 10 «Большого космического путешествия» выводится формула равновесной температуры планеты, вращающейся вокруг звезды:

⎛ r ⎞1/2

∗

T = T

1− 1/4

A ,

п

∗ ⎜

⎟ (

)

⎝ 2 d ⎠

где T и r — температура поверхности и радиус звезды, d — расстояние,

*

*

а А — альбедо планеты. У Эриды необычайно высокий коэффициент отражения, ее альбедо равно 0,96, она поглощает лишь 4 % падающего на нее света. Так что мы ожидаем, что там очень холодно. Подставим числа для

Солнца и Эриды и получим

1/2

5

⎛

7×10 км

⎞

1/4

T = 6000 K×⎜

⎟ ×0,04.

п

8

2×100 а. е.×1,5×10 км / а. е.

⎝

⎠

И правда прохладно: 10 К с точностью до одной значащей цифры.

На какой длине волны дает пик соответствующее излучение абсолютно черного тела? Ответ подскажет закон Вина:

0,3 см 3000 микрон

λ

=

=

= 300 микрон,

пиковая

T

10 К

что находится глубоко в инфракрасной части спектра, причем такие большие длины волн «Спитцер» уже не может регистрировать. Однако наблюдения космического телескопа «Спитцер» использовались для измерения спектра излучения абсолютно черного тела Эриды, а следовательно, для определения ее температуры и альбедо.

250

Решения

59. h Вопрос в том, хватит ли скорости молекулам, находящимся при такой температуре, чтобы преодолеть гравитацию Эриды. Соберем все, что понадобится. Нам нужно вычислить тепловую скорость молекул азота при температуре, которую мы уже нашли. Кроме того, нам нужно вычислить вторую космическую скорость на поверхности Эриды, которая зависит от ее радиуса r и массы М. Вторая космическая скорость задается формулой

2 GM

v

, где G — гравитационная постоянная Ньютона. Подставим

2к =

r числа:

⎛

1/2

2

−10 3 −2 −1

22

⎞

× 10 м с кг × 1,6 ×

⎜

10 кг

3

⎟

v

2

.

2к =

×

⎜

6

⎟

1,3 ×

⎜

10 м

⎟

⎝

⎠

Разумеется, обойдемся без калькулятора. Поскольку 2 2/3 1,3, 1,3 из знаменателя сократится. Это даст нам v = 1,6 × 6

10 ≈ 1,3 × 3

10

2к метров в секунду.

Теперь нам нужно найти типичную скорость молекулы азота. Кинетическая энергия 1 2 mv при температуре Т равна 3 kT, где k — постоянная

2

2

Больцмана. Тогда = 3 kT

v

Молекула азота состоит из двух атомов азота,

m атомная масса каждого из них 14, поэтому масса этой молекулы в 28 раз больше массы атома водорода. Применим найденную температуру атмосферы и получим скорость

23

3×1,4×10− джоулей / К×10 К

v =

.

26

28×1/ 6×10− кг

Попробуем и здесь обойтись без калькулятора. В числителе

1,4 10 = 14, что сокращается с 28 в знаменателе, и остается множитель 2. 1/6 в знаменателе становится 6 в числителе, а после умножения на

3 превращается примерно в 20, и 2 в знаменателе сокращается. Соберем все степени 10 и получим v 100 метров в секунду.

251

Решения

Следовательно, вторая космическая скорость на поверхности Эриды больше чем в 10 раз превышает типичную тепловую скорость азота, поэтому азот никуда не улетит. Более того, при таких низких температурах он, скорее всего, находится в твердом состоянии, и именно лед на поверхности и объясняет, откуда у Эриды такое высокое альбедо.

История о том, как газ улетает с планеты, несколько сложнее, чем мы здесь обрисовали. Скорость молекул азота, которую мы вычислили, на самом деле лишь средняя, а распределение скоростей в реальности довольно широкое. То есть при средней скорости в 100 метров в секунду какая-то доля молекул азота движется со скоростью 500 метров в секунду и даже больше. Но в этом случае вторая космическая скорость в целых 10 раз больше средней скорости, поэтому улететь с Эриды удастся лишь очень немногим молекулам.

60. Еще один соперник Плутона

60. а Поскольку Земля движется, направление, в котором мы смотрим на Орк, меняется. Чтобы понять, что происходит, нам нужно узнать, на сколько смещается Земля на орбите за это время. Мы уже знаем, что Земля движется по орбите вокруг Солнца со скоростью 30 км/с (можем вычислить это еще разок либо на основании третьего закона Кеплера, либо вспомнив, что Земля совершает полный круг радиусом 1 а. е. за 1 год), поэтому, раз

1 час = 3600 секунд, она проходит расстояние

D = 30 км/с 3600 с = 1,08 105 км.

Обратите внимание, что траектория Земли за этот час очень близка к прямой линии. Схема параллакса — длинный узкий треугольник с основанием 108 000 километров пути, который прошла Земля, длинной стороной r, равной расстоянию до Орка, и углом 3,8 угловой секунды в вершине.

Воспользуемся малоугловой формулой, связывающей угол в радианах, длинную сторону r и короткую d у длинных узких треугольников: 252

Решения

θ = d .

r

Перевод в радианы даст

3,8aa = 3,8aa 5 10–6 радиан/aa = 1,9 10–5 радиан.

Поэтому расстояние r до Орка d 1,08 × 5 r = =

10 км ≈ 6× 9

10 км.

−

θ

1,9 ×

5

10

В одной астрономической единице 1,5 108 км, поэтому расстояние до

Орка равно 40 а. е. (Для этой задачи мы считаем, что расстояние от Солнца до Орка и от Земли до Орка одно и то же — они различаются всего на 1 а. е).

Большая полуось орбиты Плутона тоже равна 40 а. е., поэтому орбита

Орка похожа на орбиту Плутона.

60. b Это задачка на третий закон Кеплера: речь идет об орбите вокруг

Солнца, поэтому воспользуемся простой формулой

2

3

⎛ P ⎞

⎛ a ⎞

=

= 3

40 = 6,4 ×

⎜

⎟

4

⎜

⎟

10

⎝ годы⎠

⎝ а. е.⎠

P =

× 4 =

× 2

6,4 10

2,4 10 лет = 240 лет.

Период обращения то же, что и у Плутона (как же иначе, ведь у них одинаковые большие полуоси!) А скорость? Есть несколько способов ее найти, предлагаем хитрый. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с. Еще мы знаем, что скорость движения по орбите тела массы М на расстоянии r от Солнца равна GM / r, а оба небесных тела, и Земля, и Орк, вращаются вокруг Солнца. Поэтому объект, который находится в 40 раз дальше от Солнца, движется со скоростью в 40 ≈ 6,5 раз медленнее (М в формуле скорости — это масса Солнца, общая для орбит

Земли и Орка). То есть скорость Орка равна 30/6,5 4,5 км/с. Поэтому наше приближение, что он на самом деле неподвижен (относительно Земли), вполне правомерное!

253

Решения

60. с Третий закон Кеплера гласит, что период орбиты Нептуна

P =

3 =

× 4

30

2,7 10 = 160 лет.

Возьмем отношение с периодом обращения Орка: 240/160 = 1,5 = 3/2.

Мы говорим, что Орк находится с Нептуном в резонансе три к двум. На каждые три оборота Нептуна и на каждые два оборота Орка приходится момент, когда два тела оказываются на своих орбитах в одной и той же точке относительно друг друга и испытывают гравитационный рывок (гораздо более массивный Нептун придает Орку больше ускорения, чем Орк — Нептуну).

Механика подобных резонансов сложна: случается, из-за подобных рывков планета смещается с орбиты. В иных случаях, как и в данном, резонанс удерживает небесные тела на орбите. В списке ТНО, на который мы ссылались, на февраль 2017 года содержалось около 1800 объектов, из них целых 390, то есть свыше 20 %, имеют большую полуось между 39 и 41 а. е., и все они участвуют в этом резонансе.

Поэтому вместо того, чтобы считать Плутон бесхарактерной планеткой с самой маленькой массой, лучше величать его царем пояса Койпера, величайшим из Плутино.

60. d Для начала выясним, сколько энергии Орк получает от Солнца в единицу времени. Площадь его сечения R 2. Это площадь тени, которую п отбрасывает Орк, поэтому доля совокупной энергии нашей звезды, которую получает Орк, — это отношение площади сечения к площади поверхности сферы, центр которой — Солнце, а радиус — расстояние от Солнца до Орка: π r

⎛ r ⎞2

2 =

.

2

⎜ ⎟

4π d

⎝ 2 d⎠

Тогда количество света в единицу времени, попадающее на Орк, составляет L(r/2 d 2). Орк отражает долю А этого света, поэтому общее количество отраженного света равно АL(r/2 d 2).

60. е Собственно, в части d) мы вычислили светимость Орка (по крайней мере, в отраженном свете). Мы наблюдаем Орк с расстояния d (вспомним, что

254

Решения нужно исходить из приближения, согласно которому расстояние от Солнца до Орка и от Земли до Орка одинаково). Поэтому яркость b найти просто —

применим закон обратных квадратов:

⎛ r ⎞2

2

=

1 яркость r b AL⎜ ⎟ ×

=

⎝ d⎠

AL

.

2

4π 2 d

16π 4 d

60. f Для этого решим уравнение относительно r: π

= 2

4 b r d

.

AL

Теперь подставим числа. Здесь нужно внимательно следить за соблюдением размерности и пользоваться только единицами МКС, так что d =

= 40 а. е. = 6 1012 метров:

r

(

)

−

2

12

π × 4 ×

16

= × ×

×

10

4 6 10

.

0,23 × 4 × 26

10

Посмотрим, сумеем ли мы обойтись без калькулятора. Величина под квадратным корнем приблизительно равна 13 10–42, квадратный корень из нее — около 3,6 10–21. Тогда r = 4 36 1024 3,6 10–21.

Чтобы вычислить это без калькулятора, вспомним, что 36 = 9 4, тогда

4 36 3,6 = 0,1 92 43 8 64 500.

Итак, мы, наконец, узнали, что r = 500 103 м = 500 км.

Таким образом, диаметр Орка — 1000 километров. Это солидный размер, почти половина диаметра самого Плутона.

Орк получил свое имя в честь этрусского бога подземного мира. Астрономы открыли и спутник, вращающийся вокруг Орка, — Вант (тоже имя из этрусской мифологии), диаметр которого примерно втрое меньше диаметра

Орка.

255

Решения

61. Воздействие планеты на материнскую звезду

61. а Импульсы планеты и звезды равны и противонаправленны, поэтому получаем

M v = M v .

* *

p p

(Строго говоря, здесь должен стоять минус, который просто отражает, что планета и звезда движутся в противоположных направлениях, но нам не нужно сохранять минус в вычислениях для целей, поставленных в этой задаче). Нам задано найти скорость звезды

M p GM∗

=

=

G

v

Mp

,

∗

M

r rM

∗

∗

что достаточно точно, если масса планеты гораздо меньше массы звезды

(на практике это правомерное приближение!).

61. b Теперь подставим числа. Сначала вычислим скорость Юпитера вокруг Солнца:

10

−

3 2

−

1

−

30

GMСолнце

2 / 3×10 м с кг ×2×10 кг v

=

=

=

Юпитер

5 а. е.

3

11

5× ×10 м

2

16

=

×10 (м/ с)2

8

=

9

=

× 4

4 / 3 10 м / с ≈ 13 км / с,

то есть чуть меньше чем половина скорости Земли, вращающейся вокруг

Солнца. Насколько велико смещение Солнца? Раз масса Юпитера очень близка к 1/1000 солнечной, из того, что мы вывели, следует, что Солнце движется со скоростью в 1/1000 скорости Юпитера, то есть 13 м/с. Это больше скорости самых быстроногих бегунов — 10 м/с — но ненамного.

61. с Здесь нам нужно в каждом случае вычислить большую полуось планеты. Нам дано, что масса звезды равна массе Солнца, поэтому мы

256

Решения можем применить третий закон Кеплера в его простейшей форме, если выразим период в годах:

а (а. е.) = Р (годы)2/3.

Для HD 156836 это тривиально — период очень близок к 1 году, поэтому большая полуось равна 1 а. е. Для 51 Pegasi период очень короток —

4,2 суток равно 0,011 года, а если подставить это в третий закон Кеплера, получим большую полуось в 0,05 а. е. Планета вращается очень близко от материнской звезды.

Зная в обоих случаях большую полуось, мы можем применить выражение, выведенное в части а) этой задачи и связывающее скорость звезды с массой планеты. Перепишем его в виде rM∗

M v

.

п = ∗

G

Для каждого случая мы вычислили радиусы орбиты r. И можем сразу написать формулу в массах Юпитера (нас просили дать ответ в массах Юпитера). Тогда, с учетом работы, проделанной в части b), запишем r

M

Юпитер

Солнце

M

= v

.

Юпитер

Солнце

G

Взяв отношение двух уравнений и снова вспомнив, что масса звезды равна солнечной, находим

М

v п

∗

=

r .

M

13 км / с r

Юпитер

Юпитер

Теперь подставим числа в обоих случаях; арифметика проста: 56 м / с

0,05 а. е.

для 51 Pegasi: M =

×

M

≈ 0,4 M

;

п

Юпитер

Юпитер

13 м / с

5 а. е.

464 м / с

1а. е.

для HD 156836: M

M

15 M

.

п =

×

Юпитер ≈

Юпитер

13 м / с

5 а. е.

257

Решения

Тогда планета при 51 Pegasi имеет массу немного меньше половины массы Юпитера, а планета при HD 156836 в 15 раз массивнее Юпитера. Кстати, обратите внимание, как сильно эти планеты отличаются от планет нашей

Солнечной системы. Ближайшая к Солнцу планета, Меркурий, по сравнению с

Юпитером совсем крошечная и находится чуть дальше 0,4 а. е. И уж определенно у нас нет таких сверхмассивных планет — в 15 раз массивнее Юпитера!

Отметим, что вычисленные величины не совсем точны, просто потому, что мы простоты ради приняли в каждом случае массу звезды равной массе

Солнца. А главное, эффект Доплера заметен лишь при движении вдоль луча зрения, направленного на звезду, поэтому зависит от ориентации орбиты относительно плоскости неба. Таким образом, мы видим лишь один компонент движения по орбите, а значит, массы, которые мы вычислили, определяют лишь нижние пределы величины масс этих планет.

Наконец, нам нужно найти температуру поверхности планет. Нам придется предположить, что у них нет ни альбедо, ни парникового эффекта, поэтому формула проста:

R∗

T T

.

п = ∗

2 r

Подставим температуру поверхности Солнца и радиус орбит для обоих случаев и получим

5 для 51 Pegasi:

7×10 км

T = 6000×

≈ 1200 К.

п

8

2×0,05×1,5×10 км

Да, жарко! Для планеты, которая вращается дальше от материнской звезды, HD 156836:

5

7×10 км

T = 6000×

≈ 300 К,

п

8

2×1,5×10 км что очень близко к средней температуре поверхности Земли. Можно заключить, что при такой температуре на второй планете может найтись вода

258

Решения в жидком состоянии. Однако планеты имеют массы, сопоставимые с массой

Юпитера или превышающие ее. Такие массивные планеты состоят, подобно

Солнцу, в основном из водорода и гелия. То есть они газовые, а следовательно, у них нет твердой поверхности, на которой могли бы появиться океаны.

Мы уже упоминали, что метод оценки скорости по эффекту Допплера дает значимые результаты только при движении вдоль луча зрения. Таким образом, расчеты массы верны, только если плоскость орбиты перпендикулярна плотности небосвода. Если орбита наклонена, мы измеряем лишь долю скорости звезды, а массы, которые мы вычисляем, представляют собой нижние границы возможных диапазонов массы. Если на самом деле масса планеты больше 13 масс Юпитера, внутренняя температура у нее будет так высока, что там начнется термоядерный синтез с ядрами дейтерия (но не водорода). Такие объекты классифицируются как особый тип звезд, называемых «коричневыми карликами» и не считающихся планетами.

62. Катастрофические столкновения с астероидами

62. а Масса воды М на глубину h = 200 метров определяется плотностью воды (= 1000 кг/м3), умноженной на объем воды. Объем — это площадь, умноженная на толщину слоя:

3 площадь поверхности Земли h,

4 что дает общую массу

M = π 2

3 R ρ

h ,

где R — радиус Земли, и мы использовали формулу поверхности сферы, 4 R 2. Подставив числа, получим массу

M = 3 (6,4 106 м)2 200 м 1000 кг/м3.

Примем 3 = 10 и 6,42 40 и получим общую массу верхних 200 метров мирового океана М = 8 1019 кг.

259

Решения

Если на каждый килограмм этой массы нужно 2,5 106 Дж, чтобы нагреть от 0 до 100 °C и превратить воду в пар, общая энергия на испарение всей этой воды равна

8 1019 кг 2,5 106 Дж/кг = 2 1026 Дж.

Это очень много! (Примерно столько энергии Солнце излучает за полсекунды).

1

62. b Формула кинетической энергии

2 mv . Нам нужно, чтобы кине-

2 тической энергии астероида, точнее, 1/4 этой энергии, хватило на испарение воды (то есть чтобы эта энергия была равна энергии, которую мы вычислили в части а). Скорость астероида v нам известна, а нас просят найти его массу. Тогда выражение выглядит следующим образом:

1 × 1 2 mv = 2 × 26

10 Дж.

4 2

(Это мы проводим вычисления для верхних 200 метров воды; обо всем мировом океане поговорим в дальнейшем). Решим это уравнение относительно m и получим 8×2× 26 2 2

10 кг м / с m =

18

(10 м/с) =4×10 кг.

2 ×

2

4

Обратите внимание, что мы выразили джоули через килограммы, метры и секунды. Да, величина получилась солидная! А насколько солидная, мы узнаем чуть позже.

Для всех земных океанов числа будут еще больше. Средняя глубина океана на Земле составляет 3,5 километра, то есть примерно 20 раз по 200 метров из расчетов, которые мы только что проделали. Поэтому полная масса океанов окажется в 20 раз больше найденной величины, а следовательно, кинетическая энергия, как и масса, падающего астероида, необходимые, чтобы испарить все океаны, будет в 3500/200 раз больше, то есть 7 1019 кг.

260

Решения

62. с Отношения между массой, плотностью и объемом, как мы уже видели, составляют m = V. Мы знаем и m, и нас просят найти V. Решить это уравнение для V очень просто, но прежде вспомним, что дана нам в неподходящих единицах, и нам нужно перевести ее килограммы на кубические метры: 3

1 кг

⎛ 100 см⎞3

ρ = 3,0 г / см ×

×

=

⎜

⎟

3

3000 кг / м.

1000 г ⎝ м ⎠

Теперь мы готовы вычислять объемы. Для астероида-испарителя эпипелагиальной зоны получаем

18 m

4 10 кг

15 3

V

×

= =

≈ 1×10 м

3

ρ 3000 кг / м с точностью до одной значащей цифры. Что же касается всего мирового океана, мы аналогичным образом получаем m

7 × 19

V = =

10 кг ≈ 2× 16 3

10 м.

ρ

3

3000 кг / м

62. d Мы вычислили объемы астероидов в части с), теперь нам нужно найти их радиусы. Объем сферы равен 4 r 3/3. Мы хотим получить отсюда радиусы. С точностью до одной значащей цифры (а здесь мы считаем именно с такой точностью) = 3, поэтому решение уравнения для радиуса выглядит так:

⎛ V ⎞1/3 r = ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4

Подставим это в уравнения для обоих случаев и получим

⎛ 10 м ⎞1/3

15 3 r = ⎜

⎟ 60 000 метров для астероида, который испарит эпипелаги-

⎝ 4 ⎠

альную зону.

Да, это и правда большой астероид, его радиус — 60 километров.

Аналогичные вычисления для астероида, который испарит все океаны, дают радиус 170 километров — еще больше.

261

Решения

Нам дано, что число астероидов данного радиуса, падающих на Землю, пропорционально обратному квадрату этого радиуса. Поэтому, если за период Поздней тяжелой бомбардировки на землю трижды падали астероиды, испарявшие океаны, то

−

⎛

⎞ 2

60 км

3 ×

=

⎜

⎟

20

⎝ 170 км⎠

астероидов (с точностью до одной значащей цифры) были достаточно велики, чтобы испарить эпипелагиальную зону. То есть может оказаться, что если жизнь на Земле зародилась на ранних этапах ее истории, ее 20 раз уничтожали подчистую!

Если эти катастрофы произошли за период в 600 миллионов лет, то среднее время между ними составляло 600 миллионов лет/20, или около

30 миллионов лет.

63. Разрушители планет

63. а Прежде чем приступить к решению, заметьте, что мы несколько злоупотребляем вторым законом Ньютона. Он гласит, что ускорение тела, помноженное на его массу, равно сумме всех сил, действующих на тело.

Здесь нам нужно ускорение, вызванное каждой силой по отдельности, то есть это каждая отдельная сила, поделенная на соответствующую массу.

Общее ускорение — это сумма отдельных ускорений.

Рассмотрим два камня — один в центре, второй на поверхности спутника; пометим их 1 и 2. Расстояние от каждого из них до центра планеты

(откуда действует эффективная гравитационная сила) равно r и r — R соот-

c ветственно. Второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения говорят, что ускорение каждого из камней, вызванное гравитацией планеты, не зависит от массы камня. Это ускорение задается формулой

GM

a =

п,

1

2 r

262

Решения и

GM

a =

п

,

2

(r − Rm)2 где M , разумеется, масса планеты. Нам эта величина не дана, но мы знаем, п что масса планеты равна M = (4/3) R 3 (масса равна плотности, умноженп п ной на объем), поэтому

GM

4 G R

п

π ρ 3 a =

=

п,

1

2

2 r

3 r

GM

4 G R

п

π ρ 3 a =

п.

2

(r R ) =

− 2 3(r − R )2 c c

В задаче просят найти разницу двух ускорений. Камень на поверхности ближе к планете, поэтому гравитационное воздействие на него сильнее.

Тогда получим

3

3

3 ⎡

⎤

4π ρ

G R

4 G R

4 G R

п

π ρ п

π ρ

Δ a =

1

1 a a

.

2 − 1 =

−

=

п ⎢

− ⎥

3(r − R )2

2

3 r

3

⎢(r − 2 2

R

r c

⎣

c)

⎥⎦

Приведем дроби к общему знаменателю и раскроем скобки в числителе: 2

4 G

π R

ρ r −(2

2

3 r − 2 rR + R

c c п

)

a

Δ =

=

3

(r − R )2 2 r c

3

2

4 G

π R

ρ

2 rR − R

п c c

=

.

3

(r − R )2 2 r c

Перепишем все это в более внятном виде, сократив все, какие удастся, множители r в числителе и знаменателе:

⎛

R c ⎞

rR 2

3 c

−

⎜

⎟

4π ρ

G R

r п

⎝

⎠

Δ a =

.

3

⎛

R c ⎞2

4 r 1−

⎜

⎟

⎝

r ⎠

263

Решения

Вычисления почти закончены, но мы еще не воспользовались тем, что R ا r; раз так, то R / r ا 1, и мы можем пренебречь еще несколькими c c членами выражения:

3

3

4 G

π R

ρ 2 rR

8 G

π R

ρ R

п c п с a

Δ =

=

.

4

3

3 r

3 r

Проделанные умозаключения на самом деле предполагают применение дифференциального исчисления, хотя мы это так и не называем.

Разница в ускорениях объясняется тем, что камень, который ближе к планете, подвергается более сильному притяжению планеты, чем камень, который от нее дальше. Эта разница приводит тому, что камни растягивает в разные стороны друг от друга.

63. b Камни держатся вместе благодаря собственной гравитации спутника. Камень в центре не ощущает этой силы: спутник окружает его со всех сторон симметрично и не тянет в какую-то сторону сильнее остальных. Но камень на поверхности ощущает на себе гравитацию спутника в полной мере.

Эта сила направлена к центру спутника, к находящемуся там камню, и тем самым противодействует растяжению за счет приливной силы, которую мы нашли в части а). Соответствующее ускорение задается также законом всемирного тяготения Ньютона:

3

GM 4 G

π R

ρ

4 G

π R

ρ

c с a

=

=

=

,

собственная гравитация

2

2

R

3 R

3 c c где М — это полная масса спутника.

с

63. с Две силы — приливная сила, с которой действует планета, и собственная гравитация спутника — действуют противоположно. Спутник проиграет в этой борьбе и развалится под действием приливных эффектов в момент, когда приливная сила перевесит собственную гравитацию: 3

8 G

π R

ρ R

4 G

π R

ρ

п c с

>

3

3 r

3

264

Решения

3

2 Rп >1,

3 r или

3

3

2 R > r п

1/3

2 R = 1,26 R > r.

П

П

Спутники, которые вращаются ближе этого расстояния к планете, скорее всего, будут разорваны приливными силами.

63. d У каменных планет не бывает спутников ближе предела Роша, зато у газовых гигантов они встречаются (Метида и Адрастея у Юпитера, Пан, Атлас, Прометей и Пандора — у Сатурна, Корделия, Офелия, Бьянка и

Крессида — у Урана, Наяда, Таласса и Деспина — у Нептуна). Наши расчеты показали, что предел Роша не зависит от плотности, однако мы предполагали, что плотность у спутника и планеты одна и та же. Если плотность спутника выше, чем плотность газового гиганта (низкая), собственная гравитация окажется сильнее, что позволяет некоторым каменным спутникам выживать и ближе предела Роша от газовых планет.

Кольца Сатурна лежат внутри предела Роша планеты и состоят из частиц льда, плотность которых примерно равна плотности Сатурна. Эти частицы не объединились в спутники из-за приливных сил со стороны Сатурна. Однако на орбитах вокруг Сатурна за пределом Роша ледяные спутники все же есть.

64. Орбиты и температуры планет

64. а Это задача на третий закон Кеплера. Однако она отличается от задач о вращении Земли вокруг Солнца, поскольку масса звезды больше солнечной, а большая полуось орбиты Префекта больше земной. Запишем

Ньютонову форму третьего закона Кеплера для этих случаев: 2 3

2

4π aЗемли

P

=

,

Земли

GMСолнца

265

Решения

2 3

4π a

2

Префекта

P

=

.

Префекта

GMзвезды

Берем отношение этих величин. Много всего сразу сокращается: 2

3

⎛ P

⎞ ⎛ a

⎞

Префекта

Префекта

⎛ M

⎞

Солнца

3

2

⎜

⎟ = ⎜

⎟ ⎜

⎟ = 4 / 4 = 4.

P

a

⎜ M

⎟

⎝ Земли ⎠ ⎝ Земли ⎠ ⎝ звезды ⎠

Тогда Р

= 4 Р

, то есть 4 года.

Префекта

Земли

64. b Если мы имеем право игнорировать альбедо и парниковый эффект, формула равновесной температуры выглядит так: Rзвезды

T

= T

,

планеты звезды

2 d где R

— это радиус материнской звезды, а d — расстояние от звезды звезды до планеты. В этой задаче мы сравниваем две планеты, вращающиеся вокруг одной и той же звезды, поэтому Т

и R

везде одинаковые. Значит,

звезды звезды когда мы вычислим отношение, все окажется очень просто: T

d

Зафода

Префекта

=

= 4 = 2.

T

d

Префекта

Зафода

64. с Плотность — это отношение массы к объему: MЗафода

ρ

=

,

Зафода

4 3

R

π Зафода

3 MПрефекта

ρ

=

,

Префекта

4 3

R

π Префекта

3 где мы учли, что обе планеты сферичны, и применили соответствующую формулу объема сферы. Возьмем их отношение и получим

3

ρ

⎛ R

⎞

Зафода

Префекта

3

= ⎜

⎟ = 2 = 8,

ρ

⎜ R

⎟

Префекта

Зафода

⎝

⎠

где мы учли, что массы одинаковы и поэтому сокращаются.

266

Решения

65. Вода на других планетах?

65. а Поскольку материнская звезда во всех случаях похожа на Солнце, масса у всех звезд одинакова. Таким образом, в каждом случае можно применить третий закон Кеплера: если мы переведем период в годы, то сможем воспользоваться упрощенной формой закона Кеплера, которую предложил он сам (большая полуось в а. е. равна периоду в годах в степени 2/3), чтобы вычислить большую полуось в а. е.

Как только мы получим большую полуось а (а эксцентриситет е нам уже дан), найти минимальное и максимальное расстояние до звезды тоже просто — это соответственно а(1 — е) и а(1 + е). В таблице приведены все важные числа (и да, мы взяли калькулятор) в а. е.; период мы во всех случаях перевели из дней в годы.

Название

Период а (а. е.)

Минимальное

Максимальное планеты

(годы)

расстояние расстояние (а. е.)

(а. е.)

51 Pegasi

0,012

0,051

0,051

0,052

HD 209458

0,0097

0,045

0,040

0,050

55 Cancri b

0,040

0,12

0,11

0,12

55 Cancri с

0,12

0,24

0,16

0,33

55 Cancri d

15

6,0

5,0

7,0

HD 142415

1,1

1,04

0,52

1,56

Обратите внимание, что во всех случаях результат приведен с точностью до двух значащих цифр; у планет с очень маленькими эксцентриситетами разница между минимальным и максимальным расстоянием очень мала.

65. b При альбедо, равном нулю, отношения между температурой планеты и температурой ее материнской звезды выражаются формулой

/2

R

1

⎛

⎞

звезды

T

= T

⎜

⎟.

планеты звезды ⎝ 2 d ⎠

267

Решения

Мы можем решить это уравнение для каждой из указанных планет, взяв расстояния, которые мы вычислили, и свойства Солнца (ведь, повторим, в задаче предполагается, что все эти звезды похожи на Солнце). Возьмем калькулятор и составим еще одну таблицу (температура везде дана в кельвинах).

Название

Период

Средняя Т

Т на

Тна планеты

(годы)

минимальном максимальном расстоянии расстоянии

51 Pegasi

0,012

1300

1300

1300

HD 209458

0,0097

1400

1400

1300

55 Cancri b

0,040

850

850

840

55 Cancri с

0,12

580

720

500

55 Cancri d

15

120

130

110

HD 142415

1,1

280

400

230

Обратите внимание, что температуры даны с точностью до двух значащих цифр; больше здесь было бы неуместно, поскольку, во-первых, исходные данные для свойств Солнца даны с такой же точностью и не больше, а во-вторых, поскольку упрощенные предположения касательно альбедо и парникового эффекта приводят к значительным неопределенностям.

65. с Когда эти планеты были только открыты, чтобы ответить на этот вопрос, астрономы во всем мире проделали те же расчеты, что и вы. Среди прочих неожиданностей, следовавших из данных наблюдений, едва ли не самой крупной оказалось то, что эти планеты, в отличие от наших соседок по

Солнечной системе, очень массивны (характерная масса составляет несколько масс Юпитера) и при этом вращаются очень близко к своим материнским звездам. К тому же, как вы только что видели, на этих планетах жарко. Даже при крайне высоком альбедо (что маловероятно) так называемые горячие

268

Решения

Юпитеры 51 Pegasi, HD 209458 или 55 Cancri b и с вряд ли опустятся ниже точки кипения воды. Планета 55 Cancri d находится от материнской звезды в

6 а. е., и там очень холодно, так что вся вода там наверняка в виде льда, даже при экстремальном парниковом эффекте. Разумеется, можно представить себе, что у этой планеты есть спутник, который греется под воздействием приливных сил, наподобие Европы, а тогда на нем может быть жидкая вода. Или, скажем, на дне океанов, как и на Земле, есть геотермальные источники, которые передают тепло из недр планеты, так что лед тает хотя бы локально. Наконец, HD 142415 имеет большую полуось примерно как у

Земли, поэтому равновесная температура на ней допускает существование жидкой воды. Однако эксцентриситет орбиты у нее очень велик, поэтому вода за годичный цикл то промерзает, то вскипает. Поэтому, если на подобной планете и возникла жизнь, она должна выдерживать огромные перепады температуры. А биология земной жизни учит нас, в частности, что жизнь приспосабливается к условиям, которые мы привыкли считать совершенно не подходящими для нее. Так что нельзя утверждать, что живые существа в принципе не могут выжить даже в такой экстремальной обстановке.

Наконец, последняя оговорка. Как уже утверждалось, все эти планеты обладают массой в несколько раз больше Юпитера и, подобно Юпитеру, относятся к газовым гигантам (то есть лишены твердой поверхности, а толстый слой их атмосферы состоит в основном из водорода и гелия). Если мы хотим найти поверхность, похожую на земную, с жидкими океанами, в которых возможна жизнь, стоит, пожалуй, рассмотреть каменные или ледяные спутники таких планет.

Недавно космический аппарат «Кеплер» пронаблюдал явление транзита у многих планет: планета проходит по орбите перед своей звездой, отчего яркость звезды ненадолго падает. Наблюдения такого эффекта позволили

«Кеплеру» открыть тысячи планет, в том числе и таких, у которых размеры и массы сопоставимы с земными. Подобная планета, скорее всего, каменная, а некоторые из них находятся от материнских звезд на расстояниях, 269

Решения где возможно существование воды в жидком состоянии. Мы говорим, что такие планеты находятся в «обитаемой зоне» или в «поясе Златовласки»

(не слишком жарко, не слишком холодно, в самый раз!). Нашли и планету на орбите вокруг Проксимы Центавра (ближайшей к Земле звезды, до которой

4,2 световых года): вывод о ее существовании сделан из колебаний скорости материнской звезды вдоль луча зрения. Масса этой планеты предположительно чуть больше земной. Альбедо и парниковый эффект неизвестны, но не исключено, что они таковы, что равновесная температура на поверхности допускает наличие жидкой воды. Однако эта планета так близка к материнской звезде класса М, что находится у нее в приливном захвате, как Луна у

Земли. Если это так, то она всегда повернута к звезде одним полушарием, отчего солнечная сторона так нагревается, а обратная так холодна, что вода в жидком состоянии не может существовать ни на одной из них*.

66. Океаны в Cолнечной системе

66. а Масса m — это плотность, помноженная на объем V, а плотность воды нам известна. Так что из заданной плотности мы можем вывести объем.

Будем работать с точностью до двух значащих цифр:

3 m = V

ρ = 4 R

π hρ = 3π(6371 км×10 м/км)2

2

3

×

4

3

3

3

21

×3,5×10 м×1,0×10 кг / м = 1,3×10 кг.

Мы воспользовались калькулятором, а потом округлили результат до двух значащих цифр. Но затем мы произвели приблизительный расчет, чтобы проверить, что мы случайно не ввели в калькулятор что-то не то.

Вышеприведенное число можно очень приблизительно записать как

3 3 6,42 3 1018 кг.

* Теоретически жидкая вода на такой планете может существовать в очень узком поясе около экватора — Прим. ред.

270

Решения

Мы знаем, что 6,42 40, а 3 3 10, поэтому получим

3 40 10 1018 кг = 1200 1018 кг = 1,2 1021 кг.

Подобная грубая арифметика дала нам очень похожий ответ, не то чтобы идеальный, если нам и в самом деле нужна точность до двух значащих цифр, однако проделывать приблизительные вычисления для проверки никогда не лишнее. Даже если вы делаете точные вычисления на калькуляторе, и полученные результаты сильно разнятся от ручной оценки, вполне может оказаться, что ошиблись вы именно в точных вычислениях.

66. b Можно было бы вычислить массу океанов, а затем взять отношение найденной величины к массе, которую мы вычислили раньше. Но давайте подойдем к задаче с другой стороны — из педагогических соображений (и еще потому, что арифметика будет проще). Понимая, что глубина гипотетического марсианского океана известна плохо, мы спокойно можем работать с точностью до одной значащей цифры.

Наш метод заключается в том, чтобы сначала проделать все возможные алгебраические преобразования, а только потом подставить цифры: 2

2 mокеананаМарсе 4 r

π

h ρ

⎛ r

⎞ h

Марса Марса

4 Марса

Марса

=

= ⎜

⎟

.

2 m

3 r

π

h

ρ 3 r h океана на Земле

Земли Земли

⎝ Земли ⎠ Земли

Обратите внимание: выражение для земных океанов учитывает, что они покрывают лишь 3/4 земной поверхности. Далее, отношение радиусов примерно равно 1/2, а отношение глубин океанов — около 1/3, поэтому отношение масс марсианских и земных океанов составит примерно 4/3

(1/2)2 1/3 1/9, или 0,1. Здесь калькулятор нам не нужен, как и дополнительная точность: учитывая неопределенность наших познаний о глубине марсианского океана, мы все равно не сможем дать более точный ответ.

Однако вывод производит сильное впечатление: вероятно, когда-то на Марсе

271

Решения было всего в 10 раз меньше воды, чем теперь на Земле (то есть 10 % нашего мирового океана), а это очень много воды!

Куда же подевалась вся вода? Возможно, какая-то часть впиталась в богатые водой минеральные соединения под поверхностью или осталась в виде огромных подземных водяных либо ледяных слоев. Сегодня жидкая вода на поверхности Марса долго сохраниться не может: его атмосфера так разрежена, что любая влага мгновенно испарится.

66. с Отношение масс двух океанов — это отношение их объемов (ведь плотность у них одинакова). Объем — это площадь поверхности, умноженная на глубину (для Земли — еще и умноженная на 3/4):

2

2 mокеананаЕвропе ⎛ r

⎞ h

Европы

Европы

⎛ 1460 ⎞ 4 100

= ⎜

⎟

= ⎜

⎟ × ×

≈ 2.

m r

3

⎝ 6371⎠ 3 3,5 океана на Земле

⎝ Земли ⎠ hЗемли

4

Здесь мы снова имеем право вычислять с точностью до одной значащей цифры, поскольку глубину океана на Европе мы знаем лишь с этой точностью.

На Европе вдвое больше воды, чем на Земле.

Есть гипотеза, что тепло, сохраняющее воду в жидком состоянии, испускает сама Европа. Двигаясь по эллиптической орбите, этот спутник подвергается мощному воздействию переменных приливных сил со стороны

Юпитера, и это постоянное стягивание и растягивание вызывает внутреннее трение, порождающее тепло. Поскольку на Европе такой внушительный запас воды и есть источник тепла, предполагают, что там могла развиться жизнь — возможно, под толстым слоем льда, покрывающего это небесное тело, кто-то плавает. Астрономы ждут не дождутся, когда можно будет отправить на Европу космический зонд и посмотреть, что там, однако пробурить десятки километров льда и добраться до жидкой воды будет, мягко говоря, непростой задачей.

272

Решения

67. Может ли в океане на Европе существовать фотосинтези-

рующая жизнь?

67. а Поток солнечного света составляет

26

L

4×10 ватт

2 b =

=

≈ 50 ватт / м.

2

4 d

π

12×(5,2×1,5×10 м)2

11

Это гораздо больше минимума, необходимого для фотосинтеза, поэтому да, подобные организмы вполне могут фотосинтезировать на таком расстоянии от Солнца, как Европа.

67. b Общая площадь жидкой воды, соприкасающейся с внешним пространством, составляет 10–7 от общей площади поверхности Европы

4 R 2, то есть площадь = 10–7 4 (1600 км)2 3 км2.

В квадратном километре 106 квадратных метров, поэтому общая мощность, доступная гипотетическим микроорганизмам, — произведение площади и потока солнечного света, который мы вычислили в части а), поделенное на два, поскольку в каждый момент времени Европа освещена лишь наполовину:

мощность = 1 3 106 м2 50 ватт/ м2 = 8 107 ватт.

2

67. с Один год — это 3 107 секунд; вспомним, что 1 ватт — это 1 джоуль в секунду, и тогда полная энергия, полученная через трещины на

Европе за год, составит

8 107 Дж/с 3 107 с = 2,4 1015 Дж.

Общая углеродная биомасса, созданная за такое время, — это только что полученный результат, помноженный на количество биомассы на джоуль: 2,4 1015 Дж 2 10–10 кг/Дж = 5 105 кг.

Ничего себе — 500 тонн! Немало! А если на один микроорганизм приходится 10–15 кг, получается 5 1020 организмов — внушительное число!

273

Решения

67. d Тут все просто: если у нас за год создается 500 000 кг биомассы, за 1000 лет получится в 1000 раз больше, то есть 5 108 кг. Это по-прежнему сущие крохи по сравнению с биомассой на Земле (отношение составит

8

5×10 кг

7

= 5×10−), однако понятно, что это достаточно большое число, 15

10 кг чтобы всерьез приняться за поиски жизни. Считается, что ледяная кора

Европы имеет толщину 10 км, поэтому взять пробу жидкой воды под ней —

задача не из легких, но мы видели, что во льду бывают трещины, поэтому полагают, что иногда жидкая вода выходит на поверхность. Именно туда и стоит послать космический зонд, чтобы поискать признаки жизни.

68. О жидкой воде

Вода сохраняется в жидком состоянии при определенном диапазоне температур; при нормальном давлении на уровне моря этот диапазон составляет 0–100 °C (273–373 К).

Есть верные признаки, что на поверхности Марса когда-то было много жидкой воды, в частности (но не только!)

• русла и дельты рек (пересохшие),

• найденные марсоходами минеральные отложения, которые наверняка возникли из осадков в воде,

• ледники, видимые на поверхности, и

• борозды, выточенные, как считается, водой.

Таким образом, когда-то на Марсе, вероятно, было достаточно тепло, чтобы могла существовать жидкая вода (благодаря атмосфере, создававшей парниковый эффект). Сейчас на Марсе не может быть неподвижной воды: там одновременно и слишком холодно (поэтому вода замерзла бы), и слишком низкое атмосферное давление (поэтому вода вскипела бы). Однако жидкая вода, вероятно, существует под поверхностью планеты.

274

Решения

Европа, спутник Юпитера, как полагают ученые, покрыта жидким океаном глубиной 90 километров, скрывающемся под толстым слоем льда, и этот океан подогревается как приливными силами со стороны Юпитера, так и радиоактивным распадом в ядре самого спутника; трещины на поверхности льда наводят на мысль, что льдины плавают по воде. На

Энцеладе, спутнике Сатурна, обнаружены водяные гейзеры. В Солнечной системе есть и тела, где, как мы знаем, сухо — в том числе Меркурий, Венера и Луна (однако есть надежные, хотя и косвенные свидетельства наличия водяного льда в глубоких лунных кратерах, куда не проникает солнечный свет). Зато кометы состоят в основном из водяного льда, и есть гипотеза, что большая часть воды на Земле попала к нам с кометами, тем более что вода на ранней Земле, вероятно, полностью испарялась из-за столкновений с астероидами.

Планеты, в том числе и Землю, греет Солнце. Температура планеты определяется равновесием между поглощенным солнечным светом и чернотельным (тепловым) излучением, которое испускает планета. Планеты поглощают не весь падающий на них свет, доля отраженного света называется альбедо и обозначается А. Подобным же образом атмосфера удерживает часть инфракрасного излучения, исходящего от Земли (парниковый эффект), и температура поднимается несколько выше, чем без атмосферы. Формула равновесной температуры на планете с альбедо А

на расстоянии d от звезды с температурой поверхности Т и радиусом R

выглядит так:

T

= T (1− A)1 R

4

.

планеты

2 d

Если пренебречь парниковым эффектом, температура на Земле получается гораздо ниже точки замерзания воды. Но если включить в расчеты и альбедо Земли, и парниковый эффект, получится температура 300 К, что очень близко к верному значению. Недра Земли горячие, однако непосред-

275

Решения ственно из недр за счет геотермальных эффектов поверхность получает мало тепла.

Жидкая вода сохранялась на поверхности Земли миллиарды лет, несмотря на то, что в прошлом светимость Солнца была меньше, и это наводит на мысль, что в прошлом парниковый эффект был сильнее, чем теперь.

Главные парниковые газы на Земле — водяной пар, углекислый газ и метан. На Земле идет сложный геохимический цикл углерода с отрицательной обратной связью, который регулирует температуру. Механизм таков: СО 2 растворяется в дожде в атмосфере Земли либо непосредственно в океанах, затем он принимает твердую форму карбоната кальция (СаСО) в резуль-

3 тате биологических (животные, создающие себе раковины) и абиотических процессов. Кальций вымывается из горных пород дождем, обогащенным углекислым газом. Твердый материал осаждается на океанское дно и в конце концов попадает в мантию Земли в результате тектоники плит. Затем он высвобождается при вулканической активности и возвращает СО в атмосферу

2

Земли. Этот цикл действует в масштабах нескольких сотен миллионов лет.

Если на Земле по каким-то причинам становится теплее, выпадает больше дождей, и больше СО вымывается из атмосферы, что уменьшает парнико-

2 вый эффект и понижает температуру. На Марсе тектоника плит прекратилась, поэтому обратная связь прервалась, и в результате парникового эффекта почти нет, и поверхность остыла. Напротив, на Венере вода если и была, то теперь диссоциировала, то есть разложилась на составляющие атомы под воздействием ультрафиолетового излучения Солнца (озон в земной атмосфере блокирует это ультрафиолетовое излучение, не допуская диссоциации воды). На Венере вторая космическая скорость меньше тепловой скорости водорода, а следовательно, возникший в результате диссоциации водород навсегда потерян для планеты. Поэтому в венерианской атмосфере нет воды и отсутствует механизм захвата СО из атмосферы; атмосфера насыщена

2

СО. Таким образом, парниковый эффект на Венере очень силен, и на ее

2 поверхности стоит чудовищная жара.

276

Решения

69. Сколько на свете звезд?

69. а Нам даны параметры Млечного Пути и типичное расстояние между звездами. Один из способов решения задачи — задаться вопросом, сколько звезд поместится в общий объем Млечного Пути. Здесь нужно отталкиваться от того, какой объем занимает одна звезда плюс окружающее пространство. Как это оценить? Если расстояние между звездами равно

4 световым годам, можно представить себе, что каждая звезда находится в центре куба со стороной 4 световых года (чтобы убедиться, что тогда расстояние между звездами и в самом деле будет 4 световых года, нарисуйте картинку). Тогда на каждый куб объемом (4 световых года)3 придется

1 звезда. Объем Млечного Пути — это толщина диска, помноженная на его площадь, то есть R 2 l, где R = 50 000 световых лет (радиус диска), а l —

1200 световых лет (его толщина). Тогда количество звезд, которое можно вместить в этот объем, — это объем Млечного Пути, поделенный на объем, занимаемый каждой звездой:

2 количество звезд

R

π

=

l

≈

(4 св. года)3

3×(5×10 св. лет)2

4

3

×1,2×10 св. года

11

≈

≈ 1,5×10.

(4 св. года)3

Таким образом, в Млечном Пути примерно 150 миллиардов звезд. Это всего в 2 раза меньше, чем современная оценка — около 300 миллиардов звезд.

Обратите внимание, что все расстояния выражены в световых годах, поэтому единицы в числителе и знаменателе (и там, и там световые годы в кубе) сократились. Если бы это было не так, нам пришлось бы преобразовывать разные единицы, чтобы привести к единообразию.

69. b Эта задача практически аналогична части а). Теперь нам нужно упаковать галактики во Вселенной в целом. Следуя точно тем же рассуждениям, что и в части а), представим себе, что каждая галактика занимает

277

Решения объем куба со стороной r = 15 миллионов световых лет. Складываем все это в сферу радиуса R = 45 миллиардов световых лет: 4 3

3

R

π

3

9

3

⎛ R ⎞

⎛ 45×10 св. лет ⎞

количество галактик =

≈ 4⎜ ⎟ = 4×⎜

⎟ =

3

6 r

⎝ r ⎠

15×10 св. лет

⎝

⎠

= ×(

)3

11

4 3000 ≈ 1×10.

Это с хорошим приближением дает около 100 миллиардов галактик в видимой Вселенной — такое же приблизительное число, что и количество звезд в галактике Млечный Путь. Обратите внимание, как правильно мы поступили, когда сначала проделали все алгебраические преобразования и лишь потом подставили числа. В частности, жизнь стала заметно легче, когда мы записали

(R/ r)3 вместо R 3/ r 3. Разумеется, эти выражения эквивалентны, однако мозгу гораздо проще обработать первое, когда подставляешь числа.

Если Вселенной около 14 миллиардов лет, почему мы указываем ее протяженность как 45 миллиардов световых лет, а не 14 миллиардов? Свет от самых далеких галактик и в самом деле путешествовал к нам 14 миллиардов лет, но за это время Вселенная продолжала расширяться, и теперь расстояние до этих галактик выросло.

Стоит заметить, что наши расчеты основаны на количестве крупных галактик с большой светимостью. На самом деле распределение количества галактик от их светимости тянется на много порядков, до очень тусклых галактик, и галактик с низкой светимостью значительно больше, чем галактик с высокой светимостью вроде Млечного Пути. По последним оценкам, с учетом галактик с низкой светимостью, полное число галактик в наблюдаемой Вселенной составляет около 2 триллионов. Но большинство звезд во Вселенной находятся в больших галактиках вроде нашей.

69. с Общее количество звезд в наблюдаемой Вселенной — это просто произведение общего количества галактик на количество звезд в одной галактике:

278

Решения количество звезд во Вселенной = 1 1011 галактик

1,5 1011 звезд в галактике = 1,5 1022 звезд.

15 секстиллионов — это не шутки!

На английском, как и на русском, очень большие числа называются однотипно, с окончанием на «-иллион» — миллион, триллион, квадриллион — и когда мы слышим такое слово, то воспринимаем его просто как «очень много». Однако нельзя забывать, как сильно различаются эти числа: хотя миллион по сравнению с триллионом — сущие крохи, в популярной прессе их нередко путают. Избежать путаницы помогает экспоненциальное представление чисел.

70. Расстояние между звездами

Нас просят найти отношение 4 световых лет к 0,01 а. е. Для этого переведем оба расстояния в километры:

13

4 св. года 4×10 км

7

=

≈ 3×10.

6

0,01а. е. 1,4×10 км

30 миллионов раз! Да, в космосе и правда пусто.

Поэтому, если мы уменьшим Солнце до размеров баскетбольного мяча, то ближайшая звезда окажется от нас на расстоянии 10 дюймов 3 107 =

= 3 108 дюйма. В одном метре около 40 дюймов, поэтому 40 000 дюймов —

это километр, значит, до ближайших звезд будет

8

3×10 дюйма ≈7000 км.

4

4×10 дюйма/км

Это примерно равно расстоянию от Нью-Йорка до бразильского города

Сан-Паулу.

71. Пустота пространства

71. а Плотность — это масса, поделенная на объем. В рамках этой задачи мы возьмем общее количество звезд в Млечном Пути и, прибли-

279

Решения зительно зная его габариты (см., например, задачу 69), сможем вычислить объем нашей галактики. Если мы поделим количество звезд, умноженное на массу каждой звезды, на объем, то получим плотность. Но точно так же можно проделать эти вычисления для любой типичной области Млечного

Пути. В частности, рассмотрим одну звезду и объем, который она занимает.

Если расстояние между звездами около 4 световых лет, можно представить себе, что каждая звезда находится в центре куба со стороной 4 световых года. Тогда плотность равна массе одной звезды, поделенной на объем этого куба:

33 масса

2 ×10 г

ρ =

=

=

объем (4 св. года×10 км/св. год×10 см/км)3

13

5

2

21

−

3

2

− 3

3

=

× 10 г / см ≈ 3 × 10 г / см.

64

Для сравнения, плотность воды составляет 1 грамм на кубический сантиметр. Плотность, которую мы только что вычислили, в 300 раз меньше, чем самый совершенный лабораторный вакуум. Да, в космосе совсем пусто!

Однако в следующей части мы убедимся, что галактика Млечный Путь по сравнению со Вселенной в целом очень плотная.

71. b В части а) мы смогли вычислить плотность целой галактики, поделив массу одной звезды на занимаемый ею объем (куб со стороной

4 световых года). Здесь мы применим тот же подход: средняя плотность

Вселенной — это масса одной галактики, поделенная на занимаемый ею объем*, то есть на куб со стороной 15 миллионов световых лет: 11 звезд

33

ρ = 1,5×10

×2×10 г на звезду×

галактика

1 галактика

×

.

(1,5×10 св. лет×10 км/св. год×10 см/км)3

7

13

5

* Который снова понимается как половина типичного расстояния между галактиками — Прим. ред.

280

Решения

Тут придется потрудиться. В знаменателе 1,53 3 с точностью до одной значащей цифры, в числителе 1,5 2 = 3. Эти члены сокращаются, остаются только степени 10:

1011 + 33 — 3 (7 + 13 + 5) г/см3 = 10–31 г/см3.

Это и в самом деле очень мало, в 300 миллионов раз меньше, чем и без того немыслимо низкая плотность отдельной галактики, которую мы недавно вычислили. Иначе говоря, галактики относительно Вселенной в целом сверхплотные — их плотность в 300 миллионов больше, чем в среднем по Вселенной!

В этих вычислениях мы не стали учитывать темное вещество в галактиках. Включение темного вещества увеличивает массу Млечного Пути примерно до триллиона солнечных масс, но и эта оценка не учитывает темное вещество, ассоциированное с маломассивными галактиками. Самая точная на сегодняшний день оценка полной плотности Вселенной, включающая темное вещество и темную энергию, примерно в 100 раз больше нашего результата, то есть около 10–29 г/см3.

Получить интуитивное представление о том, как мала эта плотность, можно, если вычислить радиус шара такой плотности, который содержит массу, равную массе одного атома водорода, и радиус шара той же плотности, содержащей массу одного человека.

Шар плотности с радиусом r имеет массу (4/3) r 3. Мы должны решить это уравнение относительно r в двух случаях: найти объем, содержащий массу одного атома водорода, и объем, содержащий массу человека.

Давайте посчитаем, приближенно приняв = 3. Сначала найдем массу атома: 4 r 3 10–31 г/см3 = 1 10–23 г.

6

Обратите внимание, как мы переписали массу атома: вероятно, вы узнали число Авогадро.

3

1

2

− 3+31

3

6

3 r = ×10 см ≈ 4×10 см.

24

281

Решения

Можем ли мы извлечь кубический корень без калькулятора? Да, если нам достаточно ответа с точностью до одной значащей цифры. Кубический корень из 4 — это где-то между 1,5 и 2, давайте округлим до 2. А кубический корень из 106 — это просто 100. Таким образом, диаметр шара равен около

200 см, то есть 2 м. Большой объем для одного атома!

Теперь посчитаем то же самое для массы 80 килограммов, или 8 104 граммов. Формула та же:

4 r 3 10–31 г/см3 = 8 104 г,

r 3 = 2 1035 см3.

Перепишем это как 200 1033 см3. Кубический корень из 200 — около

6, поэтому окончательный ответ r = 6 1011 см.

Помните, что в километре 105 см, поэтому радиус шара с плотностью, которую мы вычислили, и массой, равной массе человека, равен 6 106 км —

примерно в пять раз больше диаметра Солнца!

72. Сжимаем Млечный Путь

Получить приблизительный ответ можно следующим образом. Представим себе, что каждая звезда размером с Солнце и ее радиус r

=

звезды

= 700 000 км. Это грубое приближение, поскольку звезды с меньшей массой, а следовательно, и радиусом распространены во Вселенной несколько больше, чем звезды с параметрами Солнца, но пока пренебрежем этими подробностями. Мы помещаем все звезды в шар плотностью, равной плотности одной звезды. Плотность — это масса, деленная на объем, поэтому запишем:

плотность одной звезды = плотность шара из звезд,

масса одной звезды масса шара из звезд

=

,

объем одной звезды объем шара из звезд

282

Решения

11

M

1,5×10 M

звезды звезды

=

.

4 3

4 3 r

π

r

π

звезды шара

3

3

Решим это уравнение для радиуса шара звезд и получим r = r

(1,5 1011)1/3.

шара звезды

Мы можем сделать это приближенно даже без калькулятора, если запишем 1,5 1011 = 150 109. Мы понимаем, что 150 — это немного больше

125, то есть 53, поэтому с правомерным приближением получим r = 700 000 км 5 103 = 3,5 109 км.

шара

В одной астрономической единице 1,5 108 км, так что получается около 23 а. е. То есть, если бы мы сжали все звезды в Млечном Пути в шар, в котором звезды лишь соприкасаются, этот шар не дошел бы даже до орбиты Нептуна вокруг Солнца. Это в очередной раз напоминает нам, как огромно межзвездное пространство по сравнению с размерами самих звезд.

Обратите внимание, что мы пренебрегли промежутками, которые образуются, когда складываешь сферы. Погрешность, вызванная этим допущением, меньше, чем неопределенность, вызванная различиями в размерах звезд и приближениями при подсчете их общего числа во Вселенной.

В этой задаче есть и еще одна тонкость. Радиус черной дыры данной массы (радиус Шварцшильда) пропорционален ее массе. Радиус Шварцшильда для Солнца примерно равен трем километрам, поэтому радиус

Шварцшильда для 1,5 1011 солнечных масс равен

11

1 а. е.

3 км×1,5×10 ×

= 3000 а. е.

8

1,5×10 км

То есть такой шар из звезд меньше радиуса Шварцшильда для черной дыры соответствующей массы. А из этого следует, что если мы каким-то образом умудримся собрать вместе подобную группу звезд, она мгновенно коллапсирует в черную дыру. Правда, круто?

283

Решения

73. Рождение звезды

Нам нужно узнать, какой объем межзвездного пространства вмещает массу газа и пыли, сопоставимую с массой звезды. Масса объема V — это произведение этого объема и плотности, поэтому можем записать

ρ =;

M

V M

V =.

ρ

И масса (1 масса Солнца), и плотность нам известны, поэтому мы можем вычислить

30

2×10 кг

2

50 3

V =

= ×10 м.

20

−

3

3×10 кг / м

3

Чтобы понять, какой это огромный объем, определим радиус сферы соответствующего объема:

4 3 2

50 3 r

π = ×10 м

3

3 то есть

1/3

51

10 r ⎛

⎞

= ⎜

⎟ м,

⎝ 60 ⎠

где мы приближенно приняли 2 = 6 и переписали дробь так, чтобы арифметическая задача стала для нас простой. В частности, обратите внимание, что кубический корень из 1051 = 1017. Более того, 60 близко к 64 = 43.

Поэтому извлечь корень будет несложно:

17

10

16 r ≈

метра = 2,5×10 метров.

4

Помните, что в одном световом годе около 1016 метров, так что это 2–3 световых года. Звезда вроде Солнца сформировалась из газа, который когда-то был распределен по объему в несколько световых лет в поперечнике.

На самом деле звезды, как правило, формируются не из газа со средней плотностью межзвездной среды, а из относительно плотных молекулярных

284

Решения облаков, которые так названы, поскольку газ в них в основном имеет молекулярную форму (самые распространенные в таких облаках молекулы — Н, 2

СО и Н О).

2

74. Массивная черная дыра в центре Млечного Пути

74. а Здесь нужно просто применить малоугловую формулу. Нам надо найти длину отрезка s, который противолежит углу = 0,1 угловой секунды на расстоянии d от центра Млечного Пути (то есть 8 килопарсек). Малоугловая формула гласит, что эта длина равна s = d = 8000 парсек 0,1 угловой секунды.

Здесь вам, вероятно, стало интересно, когда пора переводить угловые секунды в радианы. Но помните, что по определению парсека малоугловая формула работает для в угловых секундах, d в парсеках и s в а. е. Поэтому, если мы выполним арифметические расчеты как есть, то получим ответ в а. е.

Тогда ответ гласит, что большая полуось равна 800 а. е. или, поскольку одна а. е. равна 1,5 108 км, получаем 1,2 1011 км.

74. b Вспомним формулу, связывающую скорость на орбите v, радиус r и массу центрального объекта М:

2

GM

v =

.

r

Однако в данном случае у нас есть период обращения по орбите; перепишем уравнение, учтя, что v = 2 r/ P: 2

⎛ 2 r

π ⎞

GM

⎜

⎟ =

.

⎝ P ⎠

r

Решим уравнение относительно М и получим:

2 3

4π r

M =

.

2

P G

285

Решения

Мы только что вывели ньютоновскую форму третьего закона Кеплера.

Теперь, как обычно, можно было бы подставить в нее все числа и перевести все в соответствующие единицы. Но есть и более простой способ: вспомним, что мы можем записать в точности то же самое уравнение для орбиты Земли вокруг Солнца (где Р = 1 год, а r = 1 а. е.). Если теперь взять отношение двух уравнений, многое сократится, единицы станут проще, и мы выведем куда более простую формулу:

3

2

MвцентреМП ⎛ 800 а. е. ⎞ ⎛ 1 год ⎞

=

×

.

M

⎜ 1а.е. ⎟ ⎜ 11,5 лет ⎟

Солнца

⎝

⎠ ⎝

⎠

Поглядим, что получается. 8003 5 108, а 11,52 130, тогда

8

MвцентреМП 5×10

6

=

≈ 4×10.

M

130

Солнца

Обратите внимание, что мы автоматически получили результат в желаемых единицах, то есть в массах Солнца. Мы обнаружили, что центральная масса, вокруг которой вращается звезда, имеет массу в 4 миллиона раз больше солнечной. Ничего себе!

74. с Плотность — это масса, деленная на объем. Предположим, что объект сферичен, тогда его максимально возможный объем — это объем сферы радиусом 45 а. е. А массу мы только что вычислили в части b). Тогда минимально возможная плотность (то есть ее нижний предел) — это отношение массы к максимально возможному объему. Посчитаем. Никаких хитростей, которые позволили бы нам сэкономить время, здесь нет, мы хотим получить результат в граммах на кубический сантиметр, поэтому придется преобразовывать единицы:

6

33

M

4×10 M

×4×10 г / M

Солнца олн

С ца

ρ =

=

.

V

4 π(45а.е.×1,5×10 см/а.е.)3

13

3

286

Решения

Мы, как обычно, приближенно принимаем 3. Поскольку 1,53 4 и еще мы запишем 45 100/2, многие числа сократятся, и мы получим

8 106 + 33–45 г/см3 10–5 г/см3.

Не то чтобы эта плотность была ужасно высокой, но любая обычная группа звезд указанной общей массы, упакованная в такой маленький объем, светила бы немыслимо ярко и была бы легко видна в наши телескопы.

Единственное объяснение существования настолько большой и при этом невидимой массы в таком маленьком объеме — черная дыра.

74. d Звезда на орбите радиусом 100 парсек подвергается гравитационному притяжению всего вещества в сфере внутри этой орбиты. Это вещество включает и черную дыры, и все звезды в этой сфере. Массу черной дыры мы вычислили. Но второй компонент — это около 1000 звезд на кубический парсек в объеме сферы радиусом 100 парсек, поэтому всего получается

1000 звезд/парсек3 4/3 (100 парсек)3 4 103 + 6 = 4 109 звезд.

Или, если предположить, что масса каждой звезды примерно равна солнечной, 4 миллиарда масс Солнца. Масса черной дыры составляет всего 1/1000 этой величины, в сущности, ей можно пренебречь. Цель этого упражнения — дать понять, что если мы хотим измерить массу черной дыры, нужно рассматривать движение объектов поблизости от нее, где эта масса доминирует, а на расстоянии в 100 парсек уже доминирует масса звезд внутри этого радиуса.

Черная дыра в центре Млечного Пути вовсе не уникальна. На самом деле подобные черные дыры находятся в центрах практически всех крупных галактик. Черная дыра в центре Млечного Пути достаточно близка, чтобы можно было измерить орбиты отдельных звезд и сделать выводы о ее массе. У других галактик мы можем наблюдать только суммарный света от множества звезд и опираться на эффект Доплера, чтобы вычислить их среднюю скорость. Однако вывод тот же: в центрах этих галактик тоже находятся черные дыры.

287

Решения

75. Сверхновые и Галактика

75. а Два процента массы Галактики — это 2 109 масс Солнца. Если каждая сверхновая дает 1 солнечную массу тяжелых элементов, речь идет о 2 109 сверхновых.

75. b Если частота взрывов сверхновых была постоянной, то следует ожидать, что за 1,4 1010 лет, прошедших после Большого взрыва, взорвалось

1,4 108 лет сверхновых. На самом деле их было раз в десять больше, поэтому темп появления сверхновых в прошлом был заметно выше. Более того, мы пришли к тому же выводу для большинства галактик в ближайшей к нам области

Вселенной. Учитывая, что сверхновая — это взрыв массивной, а следовательно, относительно недавно образовавшейся звезды, мы можем предсказать, что раньше скорость звездообразования в галактиках была значительно выше.

К счастью, мы имеем возможность наблюдать это непосредственно: поскольку скорость света конечна, мы видим далекие галактики такими, какими они были в прошлом, и темп формирования звезд в этих галактиках и в самом деле в среднем гораздо выше, чем в галактиках, находящихся поблизости.

76. Гало темного вещества

76. а Рассмотрим звезду массой m и радиусом r, которая вращается по круглой орбите со скоростью v. Ускорение, которое обеспечивает это движение по кругу, равно а = v 2/ r. Это ускорение вызывает определенная сила — гравитационное притяжение вещества, находящегося в пределах радиуса r. Вещество действует так, словно оно все находится в центре, то есть на расстоянии r.

Обозначим массу вещества в пределах радиуса r за М(< r) и получим

2 v

GM (< r ) m

F = ma = m =

.

2 r r

Нас просят найти массу Млечного Пути в пределах r, поэтому, решив это уравнение относительно М(< r), получим

(<) 2 vr

M

r =

.

G

288

Решения

Обратите внимание, что результат не зависит от массы звезды m, с которой мы начали. Это часто бывает в задачах на гравитацию: ускорение всех тел в конкретной точке гравитационного поля одинаково. Кроме того, обратите внимание, что при плоской кривой вращения (какую мы наблюдаем у Млечного Пути) масса растет пропорционально радиусу. Это следствие из того, что Млечный Путь окружен массивным гало темного вещества, и чем дальше от центра, тем сильнее ощущается гравитация постоянно увеличивающейся массы. В дальнейшем мы увидим, что из этого следует.

76. b Средняя плотность в пределах радиуса r — это масса, деленная на объем. Рассмотрим сферу радиуса r; воспользовавшись массой, найденной в части а), получаем

M (< r)

2

2 v r / G

3 плотность v

=

=

=

.

3

2 объем

4 r

π / 3 4 G

π r

Следовательно, хотя масса при удалении от центра растет, объем растет быстрее, и плотность на самом деле падает. Плотность темного вещества при удалении от центра Млечного Пути снижается.

76. с Есть два способа найти массу. Можно просто воспользоваться формулой для М(< r) в том виде, в каком мы вывели ее в части а), задав в качестве верхнего предела радиуса половину расстояния между галактиками, то есть 1 миллион световых лет:

(×

)

16

2

5

6

10 м

2,2 10 м / с ×10 св. лет×

2 v r

1 св. год галактики галактики

M

<

=

галактики

G

2

10

−

3 2

−

1

×10 м с кг−

3

3

10+6+16+10

42

= 5× ×10 кг = 7×10 кг.

2

Знак < (меньше) в этой формуле означает, что это верхний предел, который получается если предположить, что компонента гало Млечного Пути, состоящая из темного вещества, и в самом деле простирается на миллион световых лет.

289

Решения

Одна масса Солнца равна 2 1030 кг, поэтому окончательный ответ выглядит так: масса равна 3,5 1012 масс Солнца, то есть 3,5 триллиона масс Солнца. Почти вся эта масса — темное вещество.

Второй способ вычислить нужную величину — взять за масштаб Солнечную систему: Земля вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с на расстоянии 1 а. е. Можно применить ту же формулу, чтобы вывести массу

Солнца:

2 v r

Земли Земли

M

=

.

Солнца

G

Взяв отношение этого выражения к формуле для Млечного Пути в целом, получим

2

2

6

16

M

⎛ v

⎞ r

⎛ 220 ⎞ 10 св. лет×10 м / св. год галактики галактики галактики

<

=

⎜

⎟

⎜

⎟

11

M

v r

⎝ 30 ⎠

1,5×10 м

Солнца

⎝ Земли ⎠ Земли

2

7

11

=

×10.

1,5

Таким образом, М

= 3 1012 М

Наш ответ несколько отлигалактики

Солнца чается от предыдущего только из-за погрешностей при округлении.

На самом деле это значение — несколько завышенная оценка подлинной массы Млечного Пути: предположение, что гало темного вещества доходит до полпути к галактике Андромеда, ошибочно. Есть и другой способ оценить массу Млечного Пути, если учесть, что Млечный Путь, галактика Андромеда и множество галактик-спутников меньшего размера вращаются под воздействием взаимного гравитационного влияния. Измерив их движение, можно сделать вывод, что общая масса Млечного Пути — около 1 1012 масс Солнца, то есть в три раза меньше. Тогда мы имеем право заключить, что гало темного вещества вокруг нашей Галактики простирается примерно на 1/3 рассмотренного радиуса в миллион световых лет, то есть примерно на 300 000 световых лет.

290

Решения

77. На орбите вокруг Галактики

77. а Нам дана угловая скорость (1 10–3 угловых секунд в год), а надо вычислить линейную скорость, учитывая, что БМО находится на расстоянии

1,5 105 световых лет от нас. Эта задача на перевод единиц и применение малоугловой формулы.

3

− угловых секунд

1 радиан

5

1×10

×

×1,15×10 св. лет×

5 год

2×10 угловых секунд

13

10 км

9

×

= 7,5×10 км / год.

1 св. год

Переведем в километры в секунду и получим

9

1 год

7,5×10 км / год×

= 250 км / с.

7

3×10 с

Таким образом, БМО вращается вокруг Млечного Пути со скоростью, сопоставимой с орбитальной скоростью Солнца (220 километров в секунду), хотя находится гораздо дальше. Как описано в «Большом космическом путешествии», Млечный Путь (и большинство спиральных галактик) обладают плоскими кривыми вращения, при которых скорость вращения мало зависит от расстояния от центра, что отражает существование массивного гало темного вещества. Это показывает, что гало Млечного Пути простирается по меньшей мере на 150 000 световых лет.

77. b Легкий способ это сделать — вспомнить, что орбита делится на 360° = 360 3600 угловых секунд. Тогда на обход полного круга нужно

360×3600 угловых секунд

9

= 1,3×10 лет.

3

1×10− угловых секунд / год

Есть и другой способ: вычислить длину окружности и поделить на скорость. Это потребует гораздо больше усилий, но даст верный ответ.

Обратите внимание, что этот период обращения гораздо продолжительнее времени, за которое Солнце совершает полный оборот вокруг Млечного

291

Решения

Пути (250 миллионов лет). БМО движется по орбите примерно с такой же скоростью, но расстояние, которое ему нужно пройти, чтобы сделать круг, значительно больше.

77. с Самый простой способ — взять за масштаб эквивалентный результат для 25 000 световых лет, радиуса орбиты Солнца. Радиус орбиты БМО в шесть раз больше, а период обращения — в пять раз длиннее.

Масштаб для массы задается третьим законом Кеплера а 3/ Р 2, что дает нам множитель 63/52 = 8. Таким образом, масса Галактики на масштабе до БМО

в восемь раз больше, чем в пределах орбиты Солнца, то есть, 8 1011 М

.

Солнца

Обратите внимание, что эту задачу можно решить и с применением

Ньютоновой формы третьего закона Кеплера, но это потребует гораздо больше усилий.

Возникает искушение подойти к ней и с другой стороны — предположить, что плотность Млечного Пути постоянна, а тогда масса пропорциональна объему. Но это неверное предположение: плотность Млечного Пути с расстоянием от центра резко падает (см. задачу 76.b).

78. Как обнаружить темное вещество

78. а Как вычислить массу сферической оболочки, мы знаем: ((

))

() 2 v (r r )

2 v r v 2

+ Δ

r

M

r r

M

r

Δ

< + Δ −

< =

−

=

.

G

G

G

Объем оболочки равен площади ее поверхности, 4 r 2, умноженной на толщину r. Таким образом, плотность — это масса, деленная на объем: 2

2 v r

Δ

1 v

ρ =

=

.

2

2

G 4 r

π r

Δ

4 r

π G

Толщина оболочки при вычислениях сократилась.

78. b Подставим числа, последовательно переведя все в единицы МКС: v

(220 км/с×10 м/км)2

3

2

ρ =

=

.

2

4 r

π G 4π(25000св. лет×10 м/св. год)2

16

2

10

−

3

2

× ×10 м / с кг

3

292

Решения

Приближенно примем = 3, а 22 = 25; есть еще множитель 4 2 в знаменателе, который мы примем равным 10. Это все упрощает, и, собрав степени 10, мы получаем

= 10–21 кг/м3.

Нас просят выразить это в граммах на кубический сантиметр. В одном килограмме 1000 граммов. А в одном метре 100 сантиметров, так что в одном кубическом метре 106 кубических сантиметров. Получаем плотность

10–24 г/см3. Поразительно низкая плотность!

78. с Масса протона в граммах с очень хорошим приближением равна

1/6 10–23 грамма. Эйнштейн учит нас, что это эквивалентно энергии mc 2, или

1

E = ×10− г×(3×10 см / с)2

23

10

3

3

= ×10− эрг.

6

2

Перевод в электроновольты означает, что эту величину надо поделить на 1,6 10–12 = 1/6 10–11 эВ/эрг, что даст нам

8

E = 9×10 eV,

или 0,9 ГэВ (где гигаэлектроновольт ГэВ равен 109 эВ). Если мы воспользуемся калькулятором, то с точностью до второй значащей цифры получим

0,94 ГэВ или 940 МэВ. В физике принято выражать массы (строго говоря, массы-энергии) элементарных частиц в электроновольтах. Например, электрон имеет массу 511 кэВ (511 тысяч электроновольт), а масса недавно открытого бозона Хиггса составляет 125 ГэВ.

Плотность частиц темного вещества — это их массовая плотность (которую мы уже вычислили, когда приняли в расчет множитель 1/2, долю темного вещества), поделенная на массу каждой частицы. Массовая плотность у нас в граммах, поэтому будем и дальше работать в граммах. Частица с массой в 1000 раз больше массы протона имеет массу 1/6 10–20 грамма. Поэтому плотность равна

24

−

3

ρ

0,5×10 г / см

4

−

3 n = =

= 3×10 частиц / см.

m 1

20

×10− г / частица

6

293

Решения

Мы погружены в это море частиц темного вещества. Но с обычным веществом они взаимодействуют редко, поэтому зарегистрировать их трудно!

78. d За время t ветер из вимпов пролетает расстояние vt. Тогда рассмотрим ветер, дующий на сторону куба площадью L 2; этот ветер проходит куб насквозь. За время t он заметет объем vt L 2, а поскольку плотность вимпов нам известна (n), общее количество вимпов, проходящих сквозь сторону куба, — произведение этих двух множителей: vtL 2 n. Мы ищем количество за единицу времени, поэтому просто поделим на время и получим результат vL 2 n. Только проверьте, чтобы у этого выражения была нужная размерность: число вимпов за единицу времени.

78. е Рассмотрим длинный узкий круглый цилиндр с площадью основания и высотой L (это объем, который заметает сечение частицы, пролетевшей сквозь детектор). Этот объем равен L. Далее, плотность нуклонов в детекторе — это массовая плотность нуклонов, поделенная на массу каждого из них. Массовая плотность — это масса детектора М, поделенная на объем L 3, поэтому плотность нуклонов равна М/(L 3 m). Тогда вероятность, что вимп провзаимодействует с одним из нуклонов — это произведение двух величин: М/ (L 2 m).

78. f Взаимодействие происходит, когда сечение вимпа заметает объем, включающий в себя нуклон из детектора. Мы только что рассчитали вероятность взаимодействия на один вимп, проходящий сквозь детектор, и это число, помноженное на темп, в котором вимпы проходят сквозь детектор, и есть общее количество взаимодействий. Произведение этих величин равно

2

Mσ nv M

vL n

σ

×

=

.

2

L m m

Обратите внимание, что габарит детектора L сократился. Вам остается проверить, что полученный темп имеет размерность 1/время, как и полагается, ведь это количество взаимодействий на единицу времени.

294

Решения

78. g У нас есть все нужные числа. Скорость v = 220 км/с, и это вращательная скорость Млечного Пути; m = масса протона = 1,6 10–24 г. Величину n мы вычислили в части с). Подставим все это и получим

4

−

3

−

7

2

4

− 5

2

5 nv M

σ

3×10 см ×2,2×10 см / с×131 ×10 см ×4×10 г

=

.

m

1

23

×10− г

6

Приближенно примем 3 2,2 4 6 = 150, 1312 1,7 104, а 150

1,7 250. Тогда мы оценим темп взаимодействий как

250 10–4 + 7 +4—45 +5 + 23 взаимодействий/с = 2,5 10–8 взаимодействий/с.

В году примерно 3 107 с, поэтому мы предсказываем лишь около одного взаимодействия в год. Ученые ставят перед собой непростые задачи.

Из нашей оценки следует, что описанный детектор чувствителен к частицам с сечением не меньше заданного, по крайней мере, при такой массе. Если темное вещество состоит из вимпов несколько меньшей массы, мы бы, скорее всего, уже открыли их на Большом адронном коллайдере, самом мощном ускорителе частиц на Земле. Детекторы частиц следующего поколения, в которых будет значительно больше жидкого ксенона, повысят шансы обнаружить частицы темного вещества, если это и в самом деле вимпы. Поиск продолжается.

79. Вращение галактик

79. а Нам надо узнать, сколько времени нужно объекту, движущемуся по небу со скоростью 200 км/с на расстоянии 30 миллионов световых лет, чтобы сместиться на 10 угловых микросекунд. Найдем, какое физическое расстояние соответствует 10 угловым микросекундам. Расстояние в 30 миллионов световых лет примерно равно 10 миллионам парсек, поэтому 1 угловая секунда на таком расстоянии соответствует 10 миллионам а. е., а 10 угловых микросекунд (10–5 угловых секунд) соответствуют 100 а. е., то есть

1,5 1010 км. При скорости 200 км/с такой путь занимает

295

Решения

10

1,5×10 км

7

≈ 8×10 с,

200 км / с то есть около 3 лет. Измерение для одной звезды за все время существования

«Геи» (лет шесть) даст результат на грани регистрирующей способности, но в этой галактике много звезд, которые можно отслеживать, и сочетание результатов всех этих измерений позволит неопровержимо зарегистрировать вращение.

Отметим, что эта задача вдохновлена знаменитыми (или, лучше сказать, печально знаменитыми) измерениями собственного движения (то есть видимого смещения в плоскости небосвода) звезд Вертушки, которые проделал голландский астроном Адриан ван Маанен. Примерно в 1915 году он сообщил, что зарегистрировал ненулевое собственное движение звезд в галактике Вертушка. Вспомним, что собственное движение (угол в единицу времени) — это физическая скорость на плоскости небосвода, деленная на расстояние, и раз ван Маанену удалось измерить собственное движение, из этого следовало, что расстояние до Вертушки не так уж и велико, а значит, Вертушка никак не могла быть далекой «островной Вселенной», как утверждали некоторые астрономы. Эти результаты стали сильным доводом против гипотезы островной Вселенной в легендарных Великих Дебатах между Кертисом и Шепли в 1920 году. Впоследствии оказалось, что измерения ван Маанена были попросту ошибочны, а гипотеза островной Вселенной — верна.

79. b Это простая задача на применение малоугловой формулы = s/ d.

Угол здесь равен 10–5 угловых секунд (мы сейчас переведем его в радианы), s = 2 см — это физический размер объекта, противолежащего углу, а нас просят найти расстояние d:

s

2 см

10 d = =

= 10 см =

θ

5

−

1 радиан

10 угловых секунд×

5

2×10 угловых секунд

= 400 000 км.

296

Решения

Это расстояние очень близко к расстоянию от Земли до Луны. То есть

10 угловых микросекунд — это угол, которому противолежит десятицентовая монетка на Луне, если смотреть на нее с Земли.

80. Измерение расстояния до вращающейся галактики

Угол 45° означает, что смещение в плоскости неба (измеряемое по собственному движению) и смещение вдоль луча зрения равны. То есть эти движения описывает маленький равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами в 1/-2 гипотенузы. (Заметьте, что поскольку спиральные галактики от природы круглые, если смотреть на них анфас, их наклон можно измерить непосредственно по наблюдаемой форме проекции на плоскость неба. В частности, если диск такой галактики наклонен на

45°, ее форма на небе будет эллиптической с малой осью, составляющей

1/-2 большой оси).

Тогда физическая скорость, измеренная по эффекту Доплера

(150 км/с) и скорость собственного движения равны. Последняя составляет 10 угловых микросекунд в год на расстоянии d, и вспомнив, что 1 угловая секунда соответствует 1 парсеку на расстоянии 1 а. е., эта скорость составляет

5

− угловых секунд

1 год

1а. е.

v = 10

× d ×

×

×

7 год

3×10 с 1угловая секунда×1 парсек

8

1,5×10 км

5

−

d км

×

= 5×10

.

1 а. е.

парсек с

И эта скорость равна 150 км/с, что позволяет нам найти d (вспомним, что эта величина у нас выражается в парсеках):

150

5 d =

парсек = 30×10 парсек = 3 мегапарсека.

5

5×10−

Спутник «Гея» рассчитывает провести подобные измерения для ряда ближайших галактик.

297

Решения

81. Постоянная Хаббла

81. а Соотношение между светимостью, расстоянием и яркостью задано законом обратных квадратов:

светимость яркость =

.

2

4π×расстояние

Нам дана светимость каждой галактики (она одинакова у всех четырех и равна 4 1037 Дж/с) и яркость в единицах Дж/м2/с. Найдем расстояние: 1/2

⎛ светимость яркость

⎞

=

.

⎜⎝ 4 яркость⎟

π×

⎠

Обратите внимание, что результаты вы получаете в метрах, что нам, собственно, и нужно. В каждом случае можно просто поделить ответ на

3,1 1022 м/Мпк и получить расстояние в мегапарсеках. Когда мы проделаем это для всех четырех галактик, получим

Галактика 1: расстояние = 6,5 1024 м = 210 Мпк,

Галактика 2: расстояние = 8,4 1024 м = 270 Мпк,

Галактика 3: расстояние = 1,1 1025 м = 360 Мпк,

Галактика 4: расстояние = 1,5 1025 м = 490 Мпк.

81. b Составим таблицу, в которой сведем измеренные длины волн для каждой из двух линий в каждой галактике, соответствующее красное смещение для каждой из линий и среднее красное смещение. Красное смешение задается формулой z = (—)/, где = 3935 ангстрем и 3970 ангстрем

0

0

0 для этих двух линий.

Галактика первой второй

Красное

Красное

Среднее линии линии смещение смещение красное

(анг-

(анг-

первой второй смещение стрем)

стрем)

линии линии

1

4100

4135

0,042

0,041

0,042

298

Решения

Галактика первой второй

Красное

Красное

Среднее линии линии смещение смещение красное

(анг-

(анг-

первой второй смещение стрем)

стрем)

линии линии

2

4145

4185

0,053

0,054

0,053

3

4215

4255

0,071

0,072

0,071

4

4318

4360

0,097

0,098

0,098

81. с Красное смещение равно скорости удаления, поделенной на скорость света. Поэтому мы можем вычислить скорость удаления как красное смещение, умноженное на скорость света. Мы будем работать со скоростями в единицах километров в секунду, поскольку хотим получить окончательный результат для постоянной Хаббла в километрах в секунду на мегапарсек.

Постоянная Хаббла задается отношением скорости каждого объекта к расстоянию до него. Поэтому составим еще одну таблицу.

Галактика

Красное

Скорость

Расстояние

H = V/ D (км/с/

0 смеще-

(км/с)

(мегапар-

мегапарсек)

ние секи)

1

0,042

12 600

210

60

2

0,053

15 900

270

59

3

0,071

21 300

360

59

4

0,098

29 400

490

59

Четыре галактики дают похожие значения для постоянной Хаббла —

около 60 км/с/мегапарсек. Не тождественно современному значению в

67 км/с/мегапарсек, но близко.

Эти расчеты на вид довольно очевидны; почему же точное значение постоянной Хаббла вызывает столько споров? Дело в том, что абсолютные светимости галактик трудно измерять. В условиях задачи дано, что све-

299

Решения тимость всех галактик одинакова и равна светимости Млечного Пути. Это верно лишь приблизительно; в этой задаче величины немного подогнаны так, чтобы получилось похожее значение H .0

82. Что расширяется быстрее — Вселенная или Атлантический океан?

Применим расширение Вселенной к Атлантическому океану. Как сказано в условиях задачи, в применении закона Хаббла здесь есть доля лукавства, но все равно это позволяет почувствовать, как быстро происходит расширение. Скорость, с которой удаляется от нас точка на расстоянии 6000 км, согласно закону Хаббла, составляет v = H d.

0

Чтобы двинуться дальше, необходимо помнить, что постоянная Хаббла должна выражаться в удобных единицах. В «Большом космическом путешествии» мы показали, что обратная величина постоянной Хаббла — возраст

Вселенной, 14 миллиардов лет 5 1017 с. Тогда H обратна этой величине, 0 то есть равна 2 10–18 /с. Подставим это значение в формулу и получим v = H d = 2 10–18 с–1 6000 км 106 мм/км = 1,2 10–8 мм/с.

0

За год расстояние, пройденное с такой скоростью, составляет эту величину, умноженную на количество секунд в году, то есть на 3 107 с, и получается расстояние в 4 10–1 мм, или 400 микрон. Тектоника плит дает нам расширение в гораздо более высоком темпе — на 1 дюйм

(около 25 мм) в год. То есть Атлантический океан расширяется быстрее

Вселенной в 25 мм / 0,4 мм 60 раз. Значит, возраст Атлантического океана (со времен, когда две Америки откололись от Африки и Европы) примерно в 60 раз меньше возраста Вселенной. Поделив 14 миллиардов на 60, получим примерно 200 миллионов лет, а раскол континентов, как полагают, произошел 170–200 миллионов лет назад. Так что наша оценка вполне точна!

300

Решения

83. Третье измерение в астрономии

Параллакс описывает видимое изменение положения звезд при изменении точки наблюдения. В частности, мы применяем его, когда наша точка зрения меняется из-за вращения Земли вокруг Солнца в течение года.

Изменение угла в видимом положении звезды обратно пропорционально расстоянию до звезды, более того, расстояние в парсеках — обратная величина параллакса в угловых секундах. Параллакс даже самых близких звезд немного меньше 1 угловой секунды. Измерить параллакс звезд, находящихся от нас больше чем в нескольких сотнях световых лет, при помощи земных телескопов трудно, однако спутник «Гея», который запустило Европейское

Космическое агентство, сможет измерить параллаксы звезд в большей части галактики Млечный Путь.

Закон обратных квадратов связывает яркость и светимость звезды и расстояние до нее формулой

L

b =

.

2

4 d

π

Тогда, если вы можете измерить яркость и знаете светимость, вы автоматически получаете расстояние. Однако в астрономии не всегда так уж просто узнать собственную светимость изучаемого объекта! Объекты, собственная светимость которых известна или может быть выведена из свойств объекта, называются стандартными свечами. Представление о температуре поверхности звезд можно получить, измеряя их спектры или цвета, а если знать соотношения между температурой и светимостью у звезд главной последовательности, можно определить и светимость.

Однако не всегда очевидно, что та или иная звезда принадлежит к главной последовательности. Можно также опираться на наблюдения цефеид —

переменных звезд, чья светимость периодически меняется и известна в зависимости от фазы периода. Это, разумеется, трудно для очень далеких, а следовательно, тусклых звезд. Кроме того, стандартными свечами считаются сверхновые типа Ia. Находящаяся на луче зрения космическая

301

Решения пыль может сделать объект тусклее, отчего применить закон обратных квадратов становится непросто.

Эдвин Хаббл открыл прямую пропорциональность между расстоянием r и наблюдаемой скоростью v удаления галактик: v = H r. Скорость удале-

0 ния определяется красным смещением, измеряемым по данным спектра.

Это годится для галактик, но не подходит для объектов в нашей галактике

Млечный Путь. Разумеется, чтобы применять эту формулу, нужно знать точное значение постоянной Хаббла H , а вокруг этого значения долго не

0 смолкали споры. Сейчас астрономы в целом уверены, что величина постоянной Хаббла находится в интервале 66–74 км/с/Мпк, хотя по вопросу о точном ее значении согласия так и нет. Красное смещение измеряется как сдвиг в спектрах галактик, в частности, наблюдается сдвиг конкретных особенностей спектра, например, пары линий, соответствующих поглощению кальция, от лабораторных длин волн.

При очень высоком красном смещении простая форма закона Хаббла перестает действовать, и для связи красного смещения и расстояния нужна особая космологическая модель (принимающая в расчет историю расширения Вселенной). На самом деле нужно точно определять, что имеется в виду под расстоянием в расширяющейся Вселенной, а это непросто, поскольку расстояние до далекой галактики продолжает расти, пока свет от нее доходит до нас.

84. Будет ли Вселенная расширяться вечно?

84. а Рассмотрим сферу радиусом r и плотностью. Она имеет объем

(4/3) r 3 и массу М = (4/3) r 3. Вторая космическая скорость, позволяющая преодолеть притяжение массы М на расстоянии r, задается формулой

2 GM :

r

3

2

8 Gr

π ρ

8 Gr v

π ρ

=

=

.

2К

3 r

3

302

Решения

84. b Нам нужно сравнить скорость рассматриваемой галактики H r со

0 второй космической скоростью, вычисленной в части а). Если вторая космическая скорость больше фактической, галактика не улетит, а в конечном итоге остановится и упадет обратно. То есть нам нужно задаться вопросом, при каких условиях верно

2

8 Gr

H r

π ρ

=

.

0

3

Посмотрим, какие условия это налагает на плотность. Возведем обе части уравнения в квадрат:

2

2 2

8 Gr

H r

π ρ

=

.

0

3

В обеих частях есть общий множитель r 2, можем его сократить. Решим это уравнение для плотности и получим

2

3 H 0

ρ >

.

8 G

π

Это примечательный результат. Ответ не зависит ни от массы, ни от расстояния до изучаемой галактики, поэтому должен быть справедливым для всех галактик, а следовательно, это утверждение касается Вселенной в целом.

То есть если плотность Вселенной больше заданного этой формулой значения (так называемой критической плотности), гравитации хватит, чтобы остановить расширение и вызвать коллапс, что приведет к Большому сжатию. Если же плотность равна или меньше критической, каждая галактика движется со второй космической скоростью или еще быстрее, и Вселенная будет расширяться вечно.

Стоит отметить, что эти вычисления не принимают в расчет темную энергию. Темная энергия противодействует гравитации и способна предотвратить коллапс Вселенной, даже если плотность превышает критическую.

303

Решения

Самые точные измерения показывают, что средняя плотность Вселенной составляет около 30 % критического значения. Так что даже без темной энергии Вселенная обречена на вечное расширение.

84. с Прежде всего найдем H :0

1

−

1

−

1000 м 1 Мпк

1

− 8

1

H 67 км с Мпк

2 10 с−

=

×

×

≈ ×

.

0

22

1 км 3×10 м

Это просто величина, обратная 14 миллиардам лет, выраженным в секундах.

Сократим 3 и и получим критическую плотность

H

−

−

0

(2×10 c)2

2

18

1

4×3

36

− +10

3

−

2

− 7

3

ρ ≈

≈

=

×10 кг м = 8×10 кг м−.

крит

8 G

2

10

−

3 2

−

1

−

16

8× ×10 м с кг

3

Вспомним, что масса атома водорода равна 1,6 10–27 кг. Значит, такая плотность соответствует примерно 5 атомам водорода на кубический метр пространства. Хотя такая плотность кажется крошечной, но если бы Вселенная была плотнее, ее собственная гравитация смогла бы противодействовать расширению и когда-нибудь в будущем вызвала бы коллапс.

84. d Нам даны масса каждой галактики и расстояние между ними.

Будем считать, что каждая галактика занимает куб со стороной r = 15 миллионов световых лет. Зная объем этого куба и содержащуюся в нем массу, мы делаем вывод, что плотность равна

11

30

1 галактика

10 M

×2×10 кг / M

Солнца

Солнца

=

=

(1,5×10 св. лет)3 (

7

16

7

1,5×10 св. лет×10 м / св. год)

41

2×10 кг

29

−

3

=

≈ 7×10 кг / м.

69 3

3×10 м

Согласно этим расчетам, плотность Вселенной составляет меньше 1 %

от критической плотности: Вселенная будет расширяться вечно.

304

Решения

На самом деле в этой оценке мы пренебрегли наличием у галактик обширных гало темного вещества, то есть сильно недооценили их массу.

Самая точная на сегодня оценка массы Вселенной с учетом и обычного, и темного вещества дает около 30 % критической плотности. Остальные 70 %

составляет темная энергия, и общая плотность массы-энергии во Вселенной очень близка к критической. Это соответствует предсказаниям модели, утверждающей, что Вселенная прошла через период инфляции в первую крошечную долю секунды после Большого взрыва.

85. Движение Местной группы в пространстве

85. а Формула Доплера дает нам все, что нужно знать: v

I

Δ

3

=

= 1,23×10−,

c

I

где v — скорость Земли, а I — интенсивность реликтового излучения. Тогда скорость 1,23 10–3 с = 360 км/с.

85. b Сначала прибавим к 300 км/с долю, полученную в части а), и получим общую скорость 660 км/с, половину которой дает воздействие сверхскопления Девы. Гравитационное ускорение, вызванное массой М на расстоянии R от нас, равно GM/ R 2. За время t это ускорение дает скорость

GMt v =

.

2

R

В нашем случае нужно найти М, поэтому получаем

2 vR

M =

.

Gt

Здесь у нас не получится применить никаких хитрых фокусов с масштабом, поэтому просто посчитаем: v — это половина от 660 км/с, то есть 330 км/с, R = 18 мегапарсек, а t = 14 миллиардов лет 4 1017 с — возраст Вселенной. Тогда

3,3×10 см / с×(18×3×10)2

7

24

M =

.

8

−

3

2

17

6,6×10 см / г / с ×4×10 с

305

Решения

По случайному совпадению 3,3/6,6 = 1/2, это просто. Кроме того, 182

300, а 32 = 10, поэтому наше выражение выглядит так: 7

48

10 × 300 × 10 × 10

3

49

M =

г = × 10 г.

8

− +17

8 × 10

8

Переведем в массы Солнца и получим

М = 2 1015 М

.

Солнца

85. с Если бы этот объем пространства обладал средней плотностью, он имел бы массу в половину того, что мы только что вычислили в части b): 1015 М

, или 2 1048 г. Эта масса содержится в сфере радиусом 18 Мпк, Солнца то есть объемом

4

V = π(18×3×10 см)3

24

.

3

18 3 = 54, что при возведении в куб дает около 1,6 105. Тогда объем сводится к V = 6,4 1077 см3, что дает плотность

48

M

2 ×10 г

1

29

−

3

ρ =

=

≈ × 10 г / см.

77

3

V

6,4 × 10 см

3

Критическая плотность Вселенной равна примерно 10–26 кг/м3, то есть

10–29 г/см3. Поэтому плотность Вселенной, которую мы вычислили, близка к критической, но несколько ниже. Их отношение равно

ρ

1

Ω

=

≈.

вещества

ρ

3 крит

Вычисления, которые мы только что проделали, с поправкой на учет расширения Вселенной стали одним из главных методов, которыми воспользовались астрономы в восьмидесятые годы прошлого века, чтобы оценить массу сверхскопления Девы вместе с темным веществом, а из нее вывести общую плотность Вселенной. Мы получили значение

1/3, что вещества соответствует принятому на сегодня значению 30 %. Когда эти расчеты были проделаны в первый раз, многие отнеслись к ним скептически: ученые были

306

Решения убеждены, что значение должно быть равно 1, что соответствовало вещества бы плоской Вселенной, а потому предположили, что в допущения, сделанные в ходе вычислений, вкралась ошибка. На самом деле правы были и те, и другие: вывод, что значительно меньше 1, был правильным,

вещества а открытие темной энергии в конце 1990-х годов привело к заключению, что Вселенная и в самом деле плоская.

86. Нейтрино в ранней Вселенной

86. а Начать стоит с вычисления плотности атомов водорода во Вселенной. Нам дано, что она составляет 4 % критической плотности, то есть 4 % от

10–26 кг/м3, что дает плотность 4 10–28 кг/м3. Масса каждого атома водорода 1,6 10–27 кг, поэтому, поделив эту величину на массовую плотность, мы получим плотность в штуках на кубометр. У нас получится 0,25 атома на кубический метр — один атом водорода на каждые 4 кубических метра пространства.

Нам дано, что нейтрино обладают плотностью в 1,5 109 раз больше, то есть примерно 4 108 нейтрино/м3 (что соответствует 400 нейтрино на кубический сантиметр). Нейтрино почти ни с чем не взаимодействуют, поэтому пронизывают ваше тело насквозь, пока вы читаете эти строки!

86. b Подсказку для решения этой задачи дают соображения размерности:

масса нейтрино на единицу объема =

= количество нейтрино на единицу объема масса одного нейтрино.

Подставим числа и получим массовую плотность:

8

4×10 нейтрино 0,1электроновольт массовая плотность =

×

×

3 м

1нейтрино

36

1,8×10− кг

29

−

3

×

= 7×10 кг / м.

1электровольт

307

Решения

Это в 100 с лишним раз меньше критической плотности Вселенной.

Нейтрино обладают такой низкой массой, что несмотря на их большую (относительно) плотность, они вносят пренебрежимо малый вклад в плотность

Вселенной.

Когда в конце семидесятых — начале восьмидесятых годов ХХ века стало понятно, что Вселенную пронизывает темное вещество, ученые проделали расчеты процессов в ранней Вселенной, показавшие, что нейтрино должно быть очень много, и сделали вывод, что темное вещество состоит из нейтрино. Тогда ограничения на массу нейтрино были достаточно слабы, чтобы такое предположение казалось правдоподобным. Однако когда верхний предел массы нейтрино снизился, только что проделанные нами вычисления погасили надежды на то, что нейтрино достаточно массивны, чтобы составлять темное вещество.

87. У Вселенной нет центра

Насколько нам известно, у Вселенной нет краев. Раз измеряемая массовая плотность Вселенной ниже критического значения, наши космологические модели учат нас, что Вселенная имеет бесконечную протяженность, а следовательно, у нее нет краев, нет границ. Поскольку у нее нет границ, невозможно определить, где у нее центр. Даже если бы массовая плотность была выше критической, Вселенная была бы «замкнутой», аналогично поверхности сферы, то есть у нее опять же не было бы краев, а следовательно, и центра. Спектры галактик во Вселенной показывают красное смещение, а значит, галактики удаляются от нас. Поэтому кажется, будто мы находимся в центре расширения. Но на самом деле, как рассказано в «Большом космическом путешествии», закон Хаббла, связывающий красное смещение и расстояние, гласит, что мы пришли бы к тому же выводу, находясь в любой другой галактике. Уникального центра расширения не существует. Напротив, можно считать центром расширения любую точку, поскольку любая точка родилась при Большом взрыве из бесконечной плотности.

308

Решения

Таким образом, неверно считать, что Большой взрыв произошел в конкретном месте, после чего Вселенная расширялась в пустое пространство.

Если Вселенная сейчас имеет бесконечную протяженность, так было и при

Большом взрыве: расширяется само пространство.

88. Яркие квазары

88. а Мы знаем, что радиус Шварцшильда для 1 массы Солнца равен

3 километрам. Кроме того, мы знаем, что радиус Шварцшильда прямо пропорционален массе. Поэтому черная дыра с радиусом Шварцшильда в 108 раз больше, чем у Солнца, обладает и массой в 108 раз больше, то есть ее масса равна 108 масс Солнца.

88. b Соотношение между светимостью, радиусом и температурой поверхности абсолютно черного тела задается формулой

2 4

L ∝ R T .

Нам нужна температура, давайте ее найдем:

1/4

1/2

T L

R−

∝

×

.

Запишем это соотношение для абсолютно черного тела, о котором говорится в условии, и для Солнца, и найдем их отношение: 1/2

1/2

5

T

3

⎛ 7 ×10 км⎞

3

⎛ 1

10

10

⎞

=

×

=

×

⎜

⎟

⎜

⎟ = 1000 / 20 = 50.

8

6000 K

⎝ 3 ×10 км⎠

⎝ 400⎠

Таким образом, температура поверхности абсолютно черного тела равна

50 6000 К = 3 105 К. На самом деле светимость квазара обеспечивается не абсолютно черным телом с радиусом, равным радиусу Шварцшильда, а аккреционным диском из раскаленного газа. Трение в этом диске заставляет газ двигаться по спирали внутрь и падать в черную дыру. Внутренний край аккреционного диска имеет радиус в несколько раз больше шварцшильдовского радиуса центральной черной дыры.

309

Решения

88. с Закон обратных квадратов связывает расстояние d, светимость

L и яркость b:

L

b =

.

2

4 d

π

Нас интересует расстояние, поэтому найдем его:

1/2

⎛ L

d

⎞

∝ ⎜ ⎟.

⎝ b⎠

Запишем это уравнение и для звезды класса G, и для квазара, и возьмем их отношение, зная, что их яркости равны:

1/2 d

⎛ L

⎞

= ⎜

⎟ = (10)1/2 квазара квазара

12

6

= 10.

d

⎝ L

звезды класса G

звезды класса G ⎠

Отсюда d

= 106 3000 световых лет = 3 109 световых лет.

квазара

Расстояние до этого квазара — три миллиарда световых лет: подлинно космологическая дистанция.

89. Происхождение элементов

В ранней Вселенной было так жарко, что могли существовать только протоны (то есть ядра водорода), электроны, фотоны, нейтроны, нейтрино

(и, предположительно, частицы, составляющие темное вещество). В первые три минуты после Большого взрыва нейтроны соединялись с протонами и создавали атомы гелия (примерно 25 % по массе), а также небольшие количества ядер дейтерия и трития. Расчеты количества гелия и дейтерия, возникшего при Большом взрыве, прекрасно соответствуют данным наблюдений и служат одним из нескольких надежных экспериментальных доказательств гипотезы, что в начале Вселенной был горячий Большой взрыв. Однако более тяжелых элементов в то время не возникало.

Звезды главной последовательности в своих недрах сжигают водород и превращают его в гелий. Когда водород в ядре кончается, звезда перестает

310

Решения быть звездой главной последовательности; она начинает схлопываться под воздействием гравитации и превращает у себя в ядре водород в углерод и кислород, становясь красным гигантом. У звезд, масса которых меньше восьми солнечных, на этом все кончается, а у более массивных звезд происходит цепь ядерных реакций, в ходе которых сгорают по очереди все новые поколения топлива, и так синтезируется кремний, неон и многие другие элементы. Структура звезды становится похожей на луковицу, и в каждом слое сгорает свой элемент. Стадии становятся все короче и короче, поскольку количество энергии, которое можно добыть из каждого элемента, все меньше и меньше. Когда ядро становится чисто железным, звезда уже не может поддерживать достаточное давление, чтобы противостоять гравитации. Дело в том, что железо — элемент, из которого невозможно получить энергию путем термоядерного синтеза, оно самое стабильное из атомных ядер. Звезда схлопывается и взрывается, образуя сверхновую, высвобождается огромное количество энергии и в процессе взрыва создаются все остальные элементы из таблицы Менделеева. В результате взрыва сверхновой эти элементы попадают в межзвездное пространство, а затем входят в состав следующего поколения звезд и в состав планет.

Создание элементов тяжелее железа может происходить и другим путем, например, при взрыве сверхновых типа Ia, возникающих, когда белый карлик превышает предел Чандрасекара в 1,4 массы Солнца. Белый карлик может стать таким массивным, в частности, в результате аккреции вещества со звезды-компаньона. Кроме того, иногда два белых карлика сталкиваются под гравитационным воздействием третьей звезды в системе. Еще один механизм создания элементов тяжелее железа — столкновения пар нейтронных звезд.

Во всех этих случаях происходит взрыв, который возвращает в межзвездную среду вещество, которое иначе находилось бы в ядре звезды, и в результате это вещество может участвовать в создании следующих поколений звезд и в создании планет.

311

Решения

90. Лоренц-фактор

90. а Если v ا с, то v / с ا1, а у близко к единице. Тогда запишем

2 y = 1− x = 1−,ε

где х = v / с. Возведем обе части в квадрат и получим y = − x = (−ε)2

2

2

1

1

.

Раскроем скобки в правой части:

2

2

1− x = 1− 2ε + ε.

Как указано в условии задачи, если значение очень мало, 2 — это совсем чуть-чуть, и им можно пренебречь. Тогда получаем

— х 2 = –2,

или

1 2

ε = x .

2

Или, если подставить наше выражение х = v / с, 2

1⎛ v ⎞

ε = ⎜ ⎟.

2 ⎝ c⎠

Тогда, поскольку v / с ا1, мы можем записать

2

2

⎛ v ⎞

1

1 ⎜ ⎟ 1 ⎛ v y

⎞

=

−

≈ −

c

2 ⎜ c ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

с очень хорошим приближением.

Кстати, это пример общего правила, которое можно продемонстрировать при помощи ряда Тейлора, который изучают в математическом анализе, формула которого

(1+) n x ≈ 1+ nx,

для случая, когда абсолютное значение (модуль) х, то есть | х|, намного меньше 1.

312

Решения

90. b Обратите внимание, что v 2/ c 2 = (1 —)2 = 1–2 с хорошей точностью, поскольку мы пренебрегли совсем маленьким слагаемым 2. Тогда

2

1 v

1 1 2

2

2⎛⎜1 v y

⎞

=

−

≈

− − α =

α

− ⎟.

2

(

)

c

⎝

c⎠

Есть и другой способ проделать те же вычисления. Мы можем отметить, что выражение под корнем — это разность квадратов, а следовательно, раскладывается на множители как

2

1 v

⎛⎜1 v⎞ ⎛⎟⎜1 v y

⎞

=

−

=

−

+ ⎟.

2 c

⎝

c⎠ ⎝

c⎠

Тогда с очень хорошей точностью 1 + v / с = 2 (ведь мы берем предел v, стремящейся к с), и выражение просто превращается в 2(1− v / c), как выше.

1.0

0.8

0.6 y

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 v /c

Рис. 10 Рисунок к решению задачи 90. Сплошная линия — точная формула лоренцевского сокращения как функция доли скорости света v / с. Точечная и пунктирная линии — приближения, выведенные в частях b) и а) для высокого v / с и низкого v / с соответственно.

313

Решения

90. с График показан на рис. 10, где показана и точная формула Лоренцевского сокращения, и два приближения, которые мы только что вывели.

Точность приближений производит сильное впечатление. Общая форма кривой — дуга окружности, тянущаяся от единицы на малых скоростях к нулю на скорости света. Точность лучше 10 % получается для скоростей меньше 0,76 с по приближенной формуле, которую мы вывели в части а), и для скоростей больше 0,65 с по приближенной формуле, которую мы вывели в части b).

90. d Нам нужно вычислить Лоренц-фактор для различных значений v. Для очень маленьких значений скорости мы воспользуемся приближением из части а), а для очень больших скоростей — приближением из части b) — для того и нужны приближения! Для v = 0,6 с и 0,8 с мы проделаем вычисления полностью, а также покажем результаты двух приближений —

и убедимся, что они прекрасно работают!

• v = 100 км/ч. Сначала переведем в метры в секунду; в километре 1000 метров, в часе — 3600 секунд, поэтому получается примерно 30 метров в секунду, или 10–7 с с точностью до одной значащей цифры. Тогда согласно приближению, которое мы вывели в части а), получим

2

1 v

15 y 1

1 5 10−

≈ −

= − ×

= 0.999999999999995.

2

2 c

Это множитель, на который время замедляется для водителя, мчащегося по скоростной автотрассе; он так близок к единице, что разница практически не заметна. Кроме того, отметим, что большинство калькуляторов считают недостаточно точно: отчасти поэтому так нужны приближенные формулы, которые мы только что вывели.

Здесь стоит подумать о количестве значащих цифр. Вы вправе сказать, что поскольку скорость здесь дана с точностью до одной значащей цифры, нужно указать у с той же точностью (то есть 1). Но самое интересное в у — его отличие от 1 (это отличительная черта специальной теории относительности), 314

Решения и в этом смысле следует указать с точностью до одной значащей цифры не у, а 1 — у.

2

• v = 30 км/с, или 10–4 с:

1⎛ v ⎞

1

8 y = 1− ⎜ ⎟ = 1− ×10− = 1−0,000000005 =

2 ⎝ c⎠

2

= 0,999999995.

• v = 0,6 с:

2 y = 1− 0,6 = 1− 0,36 = 0,64 = 0,8. Приближение для малых v дает нам

1 y = − (2)

1

1

0,6 = 1− × 0,36 = 0,82; очень близко! При-

2

2 ближение для больших v дает y = 2(1−0,6) = 0,8 ≈ 0,9; не так уж и похоже на верный ответ.

• v = 0,8 с: y = (−)2

1 0,8 = 1− 0,64 = 0,36 = 0,6. Приближение для малых v дает нам

1 y = − (2)

1

1

0.8 = 1− × 0,64 = 0,68 — многовато.

2

2

Зато приближение для больших v дает y = 2(1−0,8) = 0,4 ≈ 0,63 —

весьма неплохо!

• v = 0,9999995 с: y

(

)

7

−

6

2 1 0,9999995

2 5 10

10−

=

−

=

× ×

=

=

3

10−

=

.

Последний результат заслуживает пояснения. Если двигаться со скоростью, достаточно близкой к скорости света, время может замедляться в

1000 раз. В следующей задаче исследуется физическая ситуация, в которой возможны такие огромные скорости.

91. Высокоскоростные мюоны

Рассмотрим задачу 90.d, где мы вычислили лоренцевское сокращение для такого значения скорости: оно равно 10–3. То есть время для мюона идет в 1000 раз медленнее, чем для нас. Тогда с нашей точки зрения срок жизни мюона будет в 1000 раз больше, то есть 2,2 10–3 с (срок жизни, деленный на лоренцевское сокращение). Какой путь преодолеет мюон с околосветовой скоростью? Свет проходит 1 фут в наносекунду, а срок жизни мюона

315

Решения

2,2 миллиона наносекунд, так что мюон пролетит 2,2 миллиона футов, или около 700 километров.

Если бы не эффекты СТО, срок жизни мюона составил бы обычные

2,2 микросекунды, поэтому частица успела бы преодолеть всего 1/1000 этого расстояния, то есть около 700 метров.

Таким образом, регистрация мюонов, преодолевающих 100 километров, служит прямым доказательством справедливости СТО: если бы Эйнштейн ошибался, мюоны, рожденные космическими лучами в верхних слоях атмосферы, не могли бы попасть на поверхность Земли.

92. Высокоэнергичные космические лучи

Учитывая выражение для полной энергии частицы, значение у в данном случае будет отношением энергии, соответствующей массе покоя протона, к полной энергии:

2 mc = y.

2 mc / y

Подставим числа и получим

9

10 эВ

12 y

3 10−

=

≈ ×

.

20

3×10 эВ

Это же совсем мало! Однако вычисления, проделанные при решении задачи 90.b, показали, что значение у равно 2(1− v / c), поэтому мы можем найти v:

⎛ v ⎞

12

2⎜1− ⎟ = 3×10−

⎝

c ⎠

⎛ v ⎞

23

2⎜1− ⎟ = 10−

⎝

c ⎠

v

24

1 5 10−

= − ×

c v c(

24

1 5 10−

=

− ×

).

316

Решения

Решить эту задачу можно и другим способом, в сущности, изменив лишь место, где мы делаем приближение. Запишем

2

1 ⎛ v ⎞

−⎜ ⎟ = y.

⎝ c ⎠

Решение для v дает

2

⎛ v ⎞

2

1−⎜ ⎟ = y ,

⎝ c ⎠

2 v = c 1− y .

Значение у очень мало, следовательно, у 2 совсем крошечный. Можно прибегнуть к тому же приближению, что и в задаче 90.а, и записать уравнение в виде

⎛

1 2 v c⎜1 y ⎞

=

−

⎟.

⎝

2 ⎠

(Внимательно следите за аккуратностью алгебраических преобразований на последнем этапе!) Подставив числа, получим, что у 2 10–23, и тогда скорость равна v c(

24

1 5 10−

=

− ×

),

как мы и получили раньше.

То есть частица двигалась почти со скоростью света — но не совсем. На таких высоких скоростях можно измерить только одну величину — энергию частицы, которая позволяет оценить у. Поскольку скорость такой частицы очень близка к скорости света, мы не можем измерить разницу между ее скоростью и скоростью света, засекая, сколько времени у частицы уходит на преодоление определенного расстояния.

Эйнштейн научил нас, что никакое тело не может развить скорость выше, чем скорость света в вакууме, и в самом деле, никакой массивный объект

(то есть тело, имеющее ненулевую массу покоя) не способен двигаться со скоростью света, поскольку при скорости света у = 0, а энергия частицы mc 2/ у

317

Решения стала бы бесконечной. Однако фотоны перемещаются со скоростью света.

Как же так? Дело в том, что у них нет массы покоя, то есть, если остановить фотон, он перестает существовать и высвобождает свою энергию. Фотон способен перемещаться только со скоростью света.

Как же зарегистрировать частицу космических лучей наподобие частицы

«О Боже мой», обладающую такой поразительно высокой энергией? Когда такая частица попадает в верхние слои атмосферы, она сталкивается с атомами, и ее кинетическая энергия (по Е = mc 2) конвертируется в колоссальное количество всевозможных новых частиц. Эти новые частицы также обладают большим количеством кинетической энергии и, сталкиваясь с атомами, порождают другие частицы. Вскоре первоначальная космическая частица создает целый каскад, ливень из частиц, которые попадают на поверхность

Земли, рассеиваясь по большой площади (много квадратных километров).

Астрономы сконструировали не один десяток массивов из датчиков, расставленных по большой площади, чтобы регистрировать попадающие на Землю частицы подобных ливней, рождаемых космическими лучами.

93. А «Титаник» все плывет

93. а Сокращение длины в связи с эффектами СТО у объекта длиной l, перемещающегося со скоростью v, равно

2

2 l 1− v / c , где с — скорость света. В задаче спрашивается, какой будет скорость корабля v, чтобы его длина сократилась с 882,5 до 882,4 футов. Мы могли бы просто ввести все числа в калькулятор и найти v, но попробуем обойтись без калькулятора: 2

882,4 = 882,5 1 v

−.

2 c

Нам известно, что поскольку это сокращение очень мало, скорость окажется ощутимо меньше скорости света, то есть v 2/ c 2 ا 1. При таких условиях

2

2 v

1

1−

= 1 v

−

2

2 c

2 c

318

Решения с очень хорошей точностью. Проверьте сами: возьмите квадратный корень из обеих частей, и вы увидите, что если v 2/ c 2 мало, величина v 4/ c 4 просто крошечная! (Подробности см. в задаче 90). Применив это приближение, можем записать

2

882,4 882,5⎛⎜1 v ⎞

=

−

⎟.

2

⎝

2 c ⎠

Вычтем из обеих частей 882,4, и после некоторых преобразований уравнение приобретет вид

2

0,1 v

=

,

2

882,5 2 c

2

4

2×10−

v

=.

2 c

Взяв квадратный корень из обеих частей, получим v = 1,4 10–2 с = 1,4 10–2 3 105 км/с 4500 км/с.

Таким образом, «Титанику» пришлось бы мчаться относительно нас со скоростью 4500 километров в секунду, чтобы добиться сокращения длины на 1 дюйм! Вот почему мы не замечаем этого эффекта, ведь для того, чтобы получить даже такое крошечное сокращение, требуются скорости на порядок выше, чем те, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни.

93. b Чтобы вычислить энергию взрыва в результате удара «Титаника»

о землю при падении с высоты 51,3 км, предположим сначала, что кинетическая энергия «Титаника» в момент удара полностью перейдет в энергию «взрыва». Тогда энергия взрыва равна

2

1

E

E

mv

(

)

3

2

3

⎛

10 м

0,5 45 000 т 10 кг / т ⎜1 км / с

⎞

=

=

=

×

×

×

⎟ =

взрыва кинетическая

2

⎝

км ⎠

13

= 2,25×10 Дж.

319

Решения

Мы знаем, что 1 килотонна тринитротолуола (ТНТ) при взрыве дает энергию 4,2 1012 Дж. Тогда энергия взрыва «Титаника» в килотоннах ТНТ равна

13

2,25 10 Дж

E

×

=

≈ 5 килотонн ТНТ.

взрыва

12

4,2×10 Дж / кт

93. с Если применить уравнение Эйнштейна Е = mc 2, получим, что количество массы, которое должно аннигилировать, чтобы дать взрыв с такой энергией, равно

13

Eвзрыва 2,25×10 Дж

4 m =

=

= 2,5×10− кг = 0,25 г.

2 c

(3×10 м/ с)2

8

Это примерно масса маленького жучка.

94. Стареющий астронавт

С нашей точки зрения время составит расстояние/скорость = 4 св. года /0,8 с = 5 лет.

Но часы астронавта идут медленнее на множитель

2

2

1− v / c = 0,6.

Таким образом, астронавт стал старше на 3 года.

Можно решить эту задачу и другим способом: с точки зрения астронавта дистанция в 4 световых года сократилась на Лоренц-фактор 0,6, тогда он придет к выводу, что две звезды, расстояние между которыми он преодолел со скоростью в 0,8 скорости света, разделяет всего 0,6 4 = 2,4 световых года, и на преодоление этого расстояния со скоростью в 0,8 скорости света у астронавта уйдет

2,4 св. года = 3года.

0,8 с

95. Разлуки и встречи

Ваш сосед путешествовал с околосветовой скоростью, которая привела к тому, что его часы шли медленнее на множитель 40 лет/50 лет = 4/5.

Этот множитель и есть Лоренц-фактор из СТО

2

2

1− v / c . Найдем v:

320

Решения

2

1 v

−

= 4 / 5

2 c

2

1 v

− = 16 / 25

2 c

2 v = 9/25

2 cv =3/5.

c

Таким образом, он перемещался со скоростью 60 % скорости света, т. е. 180 000 км/с.

В нашей системе отсчета он провел в пути 50 лет и путешествовал со скоростью 60 % скорости света, поэтому преодолел 30 световых лет. Он слетал туда и обратно, поэтому до звезды 15 световых лет.

96. Путешествие к другой звезде

96. а С нашей точки зрения, на то, чтобы пройти путь в 20 световых лет со скоростью 80 % скорости света, нужно

20 св. лет

= 25 лет.

4 / 5×1св. год /год

96. b С точки зрения глизиан, их время сокращается на Лоренц-фактор

2 v

2

1−

= 1− 0,8 = 0,36 = 0,6.

2 c

Поэтому время, которое, как они думают, заняло путешествие, составляет

25 лет 0,6 = 15 лет.

96. с Расстояние между своей планетой и Землей глизиане тоже видят сокращенным на тот же множитель 0,6, поэтому у них получится

20 световых лет 0,6 = 12 световых лет.

321

Решения

Либо с их точки зрения расстояние между их планетой и Землей промчится мимо со скоростью 0,8 с, что даст расстояние

15 лет 0,8 1 световой год/год = 12 световых лет.

97. Отстающие часы на Земле

Формула Лоренца предполагает, что время нужно умножать на

2

2

1− v / c . В нашем случае скорость равна 30 км/с, что гораздо меньше скорости света. В задаче 90 мы видели, что для малых скоростей Лоренц-

2 фактор в хорошем приближении выглядит как 1

1 v

−

То есть для времени

2

2 c t разница между часами составит

2

2

2 v

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤

1

⎢1 ⎜1 v t ⎛ v t t t

⎞

−

−

≈

− −

⎟⎥ = ⎜ ⎟.

2

2 c

⎣ ⎝

2 c ⎠⎦ 2 ⎝ c ⎠

Нам хочется выяснить, для какого значения t разница станет равной

1 секунде? Наша скорость v = 30 км/с — это 10–4 скорости света, поэтому получаем t (−

×

)2

4

10

= 1 c,

2

8

1 год t = 2×10 c×

≈ 6 лет.

7

3×10 с

98. Антивещество!

Во-первых, антивещество обладает точно такой же массой, что и обычное вещество, у него нет «отрицательной массы», что бы это ни означало.

Поэтому оно подвержено гравитации и эквивалентно энергии по обычному закону Е = mc 2. Антивеществом оно считается только в том смысле, в каком это слово применено в условиях задачи: антивещество при контакте с обычным веществом полностью аннигилирует. Опасное соседство…

Начнем с алгебраического решения задачи, а числа подставим в самом конце. У нас два грузовика, каждый массой m, и каждый движется со ско-

322

Решения ростью v. Кинетическая энергия каждого равна 1/2 mv 2, поэтому совокупная энергия двух грузовиков равна mv 2.

Далее, грузовики из вещества и антивещества обладают энергией mc 2 каждый (та же m, что и выше!), поэтому их совокупная энергия равна 2 mc 2, и все это количество высвободится при взрыве. Ничего себе! В задаче спрашивается, каково отношение энергий. Это просто:

2

2

2 отношение mc

2⎛ c ⎞

=

= ⎜ ⎟.

2 mv

⎝ v ⎠

Обратите внимание, что масса здесь сокращается. Хорошо; теперь подставим числа:

2

5

⎛

3×10 км / с отношение = 2

⎞ = 2×(3000×3600)2

14

≈ 2×10.

⎜ 100 км/ч 1 час/3600 с ⎟

×

⎝

⎠

(На последнем этапе мы приближенно приняли 3 3,6 10). То есть столкновение грузовиков из вещества и антивещества даст в 200 триллионов раз больше энергии, чем лобовое столкновение двух обычных грузовиков, мчащихся по автотрассе. Так что, если у вас возникнут подозрения, что подобная катастрофа может произойти, лучше уносить ноги! К счастью, антивещества поблизости от нас не так уж много (если бы оно было, оно бы сразу аннигилировало при взаимодействии с обычным веществом и уничтожало бы его). На самом деле вопрос, почему при Большом взрыве не появилось равного количества вещества и антивещества, — настоящая космическая загадка. Впрочем, это хорошо, ведь если бы их было создано поровну, все вещество аннигилировало бы, оставив по себе Вселенную, полную огромного количества энергии (в форме фотонов) и вообще без материальных объектов.

Скучное было бы место!

Обратите внимание, что нам не нужно знать массы грузовиков, чтобы вычислить это отношение. Но для полноты картины посчитаем, сколько энергии выделяется при столкновении такого количества вещества и антивещества: 2 mc 2 = 2 104 кг (3 108 м/с)2 2 1021 Дж. Отметьте, что

323

Решения

Солнце производит в 200 000 раз больше энергии ежесекундно. То есть

Солнце каждую секунду превращает в чистую энергию около 4 миллионов тонн вещества (в процессе термоядерного синтеза, а не аннигиляции вещества и антивещества).

99. Энергия стакана воды

Химическая формула воды — Н О, ее атомный вес равен 2 (2 атома

2 водорода) плюс 16 (атом кислорода). Таким образом, доля водорода в массе воды равна 2/18 1/10. То есть в стакане воды емкостью 8 унций содержится около 1/40 килограмма водорода, то есть 0,025 кг.

Кроме того, нам известно, что при термоядерном синтезе в энергию превращается 0,7 % массы водорода. Тогда масса этого стакана воды при преобразовании в энергию даст примерно 0,025 кг 0,007 2 10–4 кг.

Переведем это в энергию по формуле Е = mc 2: Е = 2 10–4 кг (3 108 м/с)2 2 1013 Дж.

Солидное число! Сравним его с энергопотреблением Нью-Йорка. Умножим население города на энергопотребление на одного человека и получим общее энергопотребление 5 1010 киловатт-часов в год. Киловатт — это

1000 ватт, то есть 1000 джоулей в секунду, поэтому киловатт-час — это

1 киловатт-час = 1000 Дж/с час 3600 с/час = 3,6 106 Дж.

Поэтому общее энергопотребление Нью-Йорка в год составляет

5 1010 киловатт-час/ год 3,6 106 джоулей/ киловатт-час

2 1017 Дж/год.

Однако это темп энергопотребления в год. А нам нужно узнать расход энергии за день, поэтому мы делим полученную величину на 365 дней и получаем ежедневный расход энергии всеми жителями Манхэттена 5 1014 джоулей. Если один стакан воды дает 2 1013 Дж, для обеспечения Манхэттена электричеством хватит всего 25 стаканов воды в день. При таком

324

Решения расходе воды нам хватит надолго! Поэтому, если удастся придумать, как создать у нас на Земле такие же условия, как в ядре Солнца, и заставить водород вступать в реакцию термоядерного синтеза, у нас появится неисчерпаемый источник энергии.

100. Движение сквозь пространство-время

Земля движется в пространстве-времени по спирали. Пространственную часть составляет окружность (точнее, очень близкий к ней эллипс), но поскольку Земля движется вперед и во времени, этот круг растягивается в спираль. Поскольку скорость света много больше скорости Земли вокруг

Солнца (30 км/с, или 10–4 скорости света), эта спираль сильно растянута: Земля движется во времени значительно быстрее, чем в пространстве. Для наглядности см. рис. 18.1 «Большого космического путешествия».

101. Можно ли двигаться быстрее света?

Рассмотрим космический корабль, движущийся со скоростью больше скорости света; сейчас мы покажем, что это противоречит постулатам СТО.

Солнечный луч движется со скоростью света по второму постулату. Передняя стена космического корабля движется быстрее и имеет фору, поэтому луч света никогда не достигнет ее. Уже одно это заставит вас заподозрить, что здесь что-то не так, и заключить, что, должно быть, превысили скорость света, что нарушает первый постулат, согласно которому не существует экспериментов, которые доказали бы, что вы двигаетесь.

102. Короткие вопросы по специальной теории относительности

102. а ДА. Одновременность в СТО — понятие относительное и зависит от системы отсчета наблюдателя.

102. b Это формула Е = mc 2. Три ее множителя — энергия E, масса m и скорость света с. Из уравнения следует, что энергия и масса эквивалентны и их можно преобразовывать друг в друга. Процесс преобра-

325

Решения зования идет, например, в атомных бомбах и в термоядерных реакциях в центрах звезд.

102. с Естественно, все мы путешествуем в будущее со скоростью

1 секунда в секунду! Здесь нас интересуют обстоятельства, при которых кому-то удастся попасть в будущее быстрее остальных. Если двигаться со скоростью, близкой к скорости света, часы замедлятся по сравнению с часами неподвижного наблюдателя. Поэтому мы окажемся в будущем быстрее, чем неподвижный наблюдатель. Это мы знаем и по данным экспериментов: и по наблюдениям мюонов в атмосфере, и по показаниям высокоточных атомных часов на борту скоростных самолетов. На сегодняшний день, дальше всех в будущее попал российский космонавт Геннадий Падалка, который опередил остальную Землю на 1/44 секунды.

102. d Да, оба ковбоя говорят правду. Наблюдатели, движущиеся с разными скоростями, по-разному оценивают порядок событий, в частности, их одновременность.

102. е Ответ — нет. На правильной пространственно-временной схеме будут показаны мировые линии астронавта, носа корабля и хвоста корабля с точки зрения неподвижного наблюдателя, а также мировые линии двух фотонов. См. рис. 18.2 «Большого космического путешествия».

103. Страна Консервия

103. а Решение задачи показано на рис. 11. На нем начерчены три геодезические линии. Соединить треугольник и квадрат можно и другими геодезическими линиями, помимо указанных на рисунке: они обвиваются вокруг банки несколько раз.

103. b Кратчайшая геодезическая линия — та, что проходит через верхнее донышко банки (на рис. 11 помечена цифрой 1).

103. с Треугольник АВС показан на рисунке; на такой поверхности можно начертить много треугольников с тремя прямыми углами, но все будут пересекать грань между стенкой и донышком банки вверху или внизу.

326

Решения

103. d На гранях между стенкой и донышками банки кривизна бесконечна: у нас неевклидова геометрия! Хотя искривление ограничено бесконечно малой областью, но если ее пересечь, получатся интересные отклонения от евклидовых предсказаний, например, треугольник с тремя прямыми углами.

В целом законы евклидовой геометрии справедливы только для плоского пространства. В этом случае пространство локально плоское почти везде, но если пересечь области, где оно не плоское, и возникают отклонения от законов Евклида. Углы треугольника, нарисованного целиком на стенке банки или на донышках, в сумме составят 180°, поскольку треугольник целиком разместится в локально плоской области.

1

3

3

2

2

A

B

C

2

Рис. 11. Решения к различным частям задачи 103.

327

Решения

104. Отрицательная масса

И Эйнштейн, и Ньютон сказали бы, что мяч упадет на пол. Ньютон сказал бы: пусть масса мяча равна m. На нее воздействует сила тяготения Земли

(массы М и радиуса r) величиной GMm/ r 2. Если приравнять это к массе, умноженной на ускорение мяча, получим а = GM/ r 2, то есть ускорение не зависит от массы m, даже если она отрицательная. Ускорение направлено вниз, поэтому мяч упадет вниз.

Эйнштейн сказал бы: тела в гравитационном поле следуют по геодезическим линиям независимо от массы. Иначе говоря, однородное гравитационное поле эквивалентно системе отсчета, движущейся с ускорением: пол поднимается навстречу мячу, независимо от его массы.

Здесь стоит перейти обратно на ньютоновский язык. Обратите внимание, что масса выходит на сцену в двух разных ипостасях: есть инерционная масса, та, что участвует в отношениях между силой и ускорением F = ma, а есть гравитационная, из закона всемирного тяготения. Принцип эквивалентности, который сформулировал Эйнштейн, потому и работает, что эти две массы одинаковы и потому сокращаются в формуле ускорения. Изначально совсем не очевидно, что эти две формы массы одинаковы, и ученые придумали очень хитроумные эксперименты (погуглите «эксперимент Этвёша»), которые подтвердили, что инерционная и гравитационная масса — это и в самом деле одно и то же в пределах нашей нынешней способности их измерить.

Насколько нам известно, мячей отрицательной массы, подобным описанной в этой задаче, во Вселенной не существует, тем не менее, и ньютонова теория всемирного тяготения, и общая теория относительности обеспечивают нас лексиконом, позволяющим о них говорить. А вот антивещество — это реальное физическое явление, оно рождается и участвует во всевозможных столкновениях, изучаемых физикой частиц. Это то самое антивещество, которое при контакте с обычным веществом вызывает аннигиляцию обоих и превращение их совокупной mc 2 в энергию. Масса антивещества положительна. Эксперименты Этвёша проделывали и с частицами антивещества, 328

Решения и было показано, что принцип эквивалентности справедлив и для них: антивещество в гравитационном поле падает точно так же, как и обычное вещество.

105. Старение на орбите

105. а Нам дан темп, в котором идут часы на расстоянии r относительно часов на бесконечном расстоянии. Нужно сравнить темп часов на расстоянии r относительно часов на расстоянии радиуса Земли (то есть на поверхности

Земли). Можно подойти к этой задаче, сравнив темп обоих часов относительно бесконечно удаленных. То есть часы на поверхности Земли идут в темпе на множитель

1 2 GM

1

⊕

− 2 с r⊕

медленнее, чем бесконечно удаленные часы, а часы на расстоянии r идут медленнее на множитель

1 2 GM

1

⊕

−

.

2 с r

Обратите внимание, что оба выражения меньше единицы, но поскольку r > r , стационарные часы на расстоянии r идут быстрее, чем на поверхности

Земли. Более того, относительный темп двух часов — это просто отношение этих двух выражений:

1 2 GM

1

⊕

− 2 с r .

1 2 GM

1

⊕

− 2 с r

Это выражение больше 1.

105. b Скорость астронавта на круглой орбите — величина, с которой вы уже сталкивались в предыдущих задачах. Круговое движение со скоростью v и на расстоянии радиуса r порождает ускорение v 2/ r, вызванное, 329

Решения как мы знаем, гравитацией. Тогда, если масса астронавта равна m, второй закон Ньютона гласит, что

F = ma

2

GM⊕ m v

= m .

2 r r

Найдем отсюда v:

GM

v

⊕

=

.

r

Множитель замедления времени, объясняющийся эффектами СТО, —

это уже знакомое нам выражение

2

2

1− v / c , что в нашем случае дает

GM

1

⊕

−

.

2 rc

Опять же обратите внимание, как это похоже на приведенное выше выражение для замедления времени, вызванного гравитацией. Это все тот же темп, в котором идут часы на орбите радиусом r относительно неподвижных часов на том же расстоянии r.

105. с В части а) мы вычислили отношение темпов стационарных часов на радиусах r и r (объясняющееся эффектами ОТО), а в части b) мы вычислили

отношение темпов часов на орбите радиусом r и неподвижных часов на том же расстоянии r. Тогда отношение темпов часов на орбите радиусом r и неподвижных часов на поверхности — это просто произведение двух результатов: 1 2 GM

1

⊕

− 2 c

⎛

1 GM

r

⎞

× ⎜1

⊕

− ×

⎟.

2

1 2 GM

⎝

⎠

1

⊕

c r

− 2 c r⊕

Это сложное выражение, и без некоторых приближений его не упростишь. Этим мы и займемся в следующей части.

330

Решения

105. d Послушаемся подсказки. Возведем обе части уравнения в квадрат:

1

1− x ≈ 1− x.

2

Тогда мы обнаружим, что

1

1 2

1− x ≈ 1− 2× x + x .

2

4

Если х очень мал, 1 2 x — это совсем чуть-чуть, и мы можем пренебречь

4 этой величиной; тогда правая часть превращается в 1 — х, что, очевидно, равно левой части. Если квадраты двух частей выражения равны, значит, изначальное выражение истинно. Обратите внимание, что эти вычисления похожи на решение задачи 90.

105. е Сделаем первое из этих приближений. Согласно подсказке, запишем

1 ≈1+ x.

1− x

И проделаем алгебраические преобразования, чтобы получить результат, в истинности которого мы уверены. Если нам это удастся, можно не сомневаться, что и первоначальный результат был верен. Умножим обе части на 1 — х и получим

1 (1 + х)(1 — х) = 1 — х 2.

Но мы знаем, что х ا 1, поэтому х 2 — это очень мало, и относительно 1 им можно пренебречь. Тогда вышеприведенное выражение дает нам очевидно истинное утверждение 1 1. Это доказывает истинность первого утверждения.

Второе утверждение доказывается подобным же образом: (1 — х)(1 — у) = 1 — (х + у) + ху.

331

Решения

Но если и х, и у много меньше единицы, их произведение опять же очень мало, и им можно пренебречь. Тогда

(1 — х)(1 — у) 1 — (х + у), что и требовалось доказать.

105. f Теперь упростим выражение, которое мы вывели в части с), при помощи разных хитрых приемов, которыми мы запаслись в частях d) и е).

В конце концов мы покажем, что приближения, согласно которым те или иные члены выражения оказывались гораздо меньше 1, верны. Сделаем все по частям и начнем с вычислений из части а). Запишем

1 2 GM

1

⊕

− 2 c

⎛

1 2 GM ⎞ ⎛

⎞

⊕

1 2 GM

r

≈ ⎜1−

⎟× 1

⊕

+

,

2

⎜

2

1 2 GM

⎟

1

⊕

⎝

c r ⎠

c r

−

⎝

⊕

⎠

2 c r⊕

используя первое выражение из части е). Затем воспользуемся вторым выражением, выведенным в части е), и получим

⎡ GM ⎛

⎞⎤

⊕

2 2

1−

−

.

⎢ 2 c ⎜ r r ⎟⎥

⎣

⎝

⊕ ⎠⎦

Это выражение мы умножаем на выражение из части b) и снова задействуем второе выражение из части d), чтобы упростить его до

⎡ GM ⎛

⎞⎤

⊕

3 2

1−

−

.

⎢ 2 c ⎜ r r ⎟⎥

⎣

⎝

⊕ ⎠⎦

Почти готово! При помощи приемов, усвоенных в части d), мы теперь умеем упрощать выражения вида — (1 — х), где х очень мал. Теперь наше выражение принимает вид

⎡ GM ⎛

⎞⎤

⊕

3 2

1−

−

.

⎢ 2

2 c ⎜ r r ⎟⎥

⎣

⎝

⊕ ⎠⎦

332

Решения

Это и есть окончательный ответ.

Однако нам нужно оправдать применение всевозможных приближений.

Мы имели дело с разными выражениями вида (1 — х), и в каждом случае х имел вид GM / rc 2. Самый маленький радиус r в рамках этой задачи (а следо-

вательно, r, при котором значение GM / rc 2 максимально), это r = r . Поэтому

подставим числа при r = r и увидим, что получится: 2

10

−

3 2

−

1

−

24

×10 м с кг ×6×10 кг

GM⊕ 3

=

,

2 r⊕ c

6,4×10 м×(3×10 м / с)2

6

8 где мы последовательно перевели все в единицы МКС. Чтобы упростить это выражение, приближенно примем радиус Земли равным 6 106 м и запишем

32 10. Тогда много всего сократится, и мы получим окончательный ответ

7 10–10. Обратите внимание, что величина эта безразмерна. Это и в самом деле число много, много меньше 1!

105. g Здесь нам нужно найти радиус, на котором выведенное в части

f) выражение равно 1. Очевидно, это происходит, когда величина в скобках равна нулю:

3 2

− = 0,

r r⊕

или r = 1,5 r .

Зная радиус Земли — 6400 км — получаем, что искомое расстояние равно 9600 км от центра Земли или 3200 км от ее поверхности. Выражение из части f) меньше 1 на меньших расстояниях, поэтому астронавты в космических шаттлах стареют медленнее (хотя и совсем немного медленнее) оставшихся дома землян.

Все эти вычисления мы проводили относительно людей на поверхности Земли. Разумеется, сама Земля (и космический корабль на ее орбите) 333

Решения вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с. Чтобы найти замедление времени на этой орбите, скажем, относительно неподвижного наблюдателя вдали от Солнца, потребуются отдельные вычисления.

106. Короткие вопросы по общей теории относительности

106. а ДА. Это основы общей теории относительности, которая обходится без идеи всемирного тяготения как силы в ньютоновском смысле.

В ОТО масса-энергия заставляет пространство-время искривляться, а тела следуют по геодезическим линиям (аналогам прямых) в искривленном пространстве-времени.

106. b Геодезическая линия — это путь, который избирает в пространстве-времени тело в отсутствие воздействующих на него сил (помимо гравитации). Или, что то же самое, это самый прямой путь между двумя точками в искривленном пространстве-времени.

106. с Новаторская идея Эйнштейна состояла в том, что однородное гравитационное поле невозможно отличить от ускоренной системы отсчета, поэтому их можно считать эквивалентными. Эйнштейн назвал это Принципом эквивалентности (и считал самой удачной идеей в своей жизни), и это подвело его к созданию общей теории относительности.

106. d Первое — прецессия перигея Меркурия. ОТО предсказала прецессию в точности с той же амплитудой, какую давали наблюдения.

Второе — отклонение света далеких звезд за счет гравитации Солнца.

В 1919 году это удалось пронаблюдать во время полного солнечного затмения, и результаты наблюдений опять же полностью соответствовали предсказаниям ОТО. Современные проверки этих предсказаний включают наблюдения гравитационных линз, в которых свет далекой галактики или квазара разделяется на несколько изображений под воздействием гравитации галактики, расположенной ближе к нам, а также долгожданную регистрацию гравитационных волн от слияния пары черных дыр.

334

Решения

107. Черная дыра в центре Млечного Пути

107. а Ньютонова форма третьего закона Кеплера гласит, что ее масса в солнечных массах равна

3

(

a

M солнечные массы)

(а.е.)

=

.

2

P (годы)

Подставим числа и получим

9

10

6

M =

= 4×10 M

.

Солнца

250

107. b Вспомним, что 1 а. е. противолежит 1 угловой секунде на расстоянии в 1 парсек. Тогда искомый угол в угловых секундах равен

1000 а. е./8000 парсек = 1/8 угловой секунды, или 0,125aa. Есть и более трудный способ: перевести а. е. и парсеки (световые годы) в километры, взять отношение, а результат перевести из радианов в угловые секунды.

Задача облегчится, если вспомнить, что 1 парсек = 200 000 а. е., а в одном радиане 200 000 угловых секунд.

107. с Радиус черной дыры пропорционален ее массе. Черная дыра массой в одну солнечную имеет радиус 3 километра, поэтому черная дыра массой 4 106 М

имеет радиус 3 4 106 км = 1,2 107 км.

Солнца

108. Короткие вопросы о черных дырах

108. а Ответ — ДА, за счет излучения Хокинга: когда виртуальная пара частиц на горизонте событий разделяется, одна частица падает в черную дыру, а другая излучается. Излучение Хокинга очень слабо и еще не получило экспериментального подтверждения. Очень массивные черные дыры с массами более миллиарда солнечных масс, обнаруженные в центрах галактик, испарятся за счет этого излучения более чем за 2 1094 лет.

108. b Уилер ввел в обращение термин «черная дыра». Это он натолкнул Бекенштейна на идею энтропии черных дыр, что привело к концепции

335

Решения излучающей черной дыры, а вместе с Фейнманом Уилер исследовал идею о том, что позитрон — это электрон, идущий в обратном направлении во времени (то есть что все позитроны и электроны во Вселенной — это одни и те же частицы).

108. с ДА. Массивные черные дыры (вроде тех, которые возникают при коллапсе звезд, или сверхмассивных черных дыр в центрах галактик) испускают излучение Хокинга, просто очень медленно — так медленно, что это излучение еще не удалось зарегистрировать экспериментально.

Излучение Хокинга уносит энергию, а следовательно, массу, значит, срок жизни изолированной черной дыры ограничен.

108. d НЕТ. Черные дыры испускают излучение Хокинга, а следовательно, распадаются (просто очень медленно). Хотя предсказание этого излучения прямо следует из наших представлений о квантовой механике и общей теории относительности, пронаблюдать его еще не удалось. Две сливающиеся черные дыры также испускают энергию (а следовательно, массу) в виде гравитационного излучения. Это впервые пронаблюдали в

2015 году, когда при слиянии двух черных дыр на гравитационное излучение ушло три массы Солнца.

109. Большие черные дыры

Обратите внимание, что радиус Шварцшильда черной дыры прямо пропорционален ее массе, поэтому, если мы проведем вычисления для черной дыры стандартной массы, скажем, 1 массы Солнца, затем будет легко масштабировать этот результат для черных дыр любой другой массы.

Для 1 массы Солнца

2 GM

R

=

чд,

Шварцшильда

2 c

2

10

−

3 2

−

1

−

30

2× ×10 м с кг ×2×10 кг

3

1

4

R

=

≈ ×10 м.

Шварцшильда

(

−

×

)2

8

1

3

3 10 м с

336

Решения или около 3 км. А раз радиус Шварцшильда пропорционален массе, поэтому можно просто умножить этот результат на количество солнечных масс у каждой черной дыры.

Что же касается приливного ускорения, то на d = RШварцшильда

6

2 GM r

2 GM r чд чд приливное ускорение c r

=

=

=

=

3

3

2

2 d

⎛

2 GM ⎞

32 G Mчд чд

⎜2×

2 c ⎟

⎝

⎠

2

6 с r

⎛ M

⎞

Солнца

=

⎜

⎟.

2

2

32 G M

⎜ М ⎟

Солнца чд

⎝

⎠

На последнем этапе мы представили искомую величину в единицах массы Солнца. Подставив числа, получим

(3×10 мс−)6

2

8

1

×1м

⎛ M

⎞

Солнца приливное ускорение =

⎜

⎟.

2

2

⎜

⎞

М ⎟

⎛

10

−

3 2

−

1

32 ⎜ 10 м с кг− ⎟ (

30

2 10 кг)2 чд

⎝

⎠

× ×

× ×

⎝ 3

⎠

2

⎛ M

−

⎞

9 чд

2 приливное ускорение = 1,3×10 ⎜

⎟ м с−.

⎜ М

⎟

⎝ Солнца ⎠

Осталось только подставить массы (в массах Солнца) различных объектов, которые мы должны рассмотреть. Получим следующее.

Масса

Радиус

Приливное ускорение

30 М

90 км

1,4 106 м/с2

Солнца

4 106 М

1,2 107 км

8 10–5 м/с2

Солнца

109 М

3 109 км

1,3 10–9 м/с2

Солнца

Очень интересно отметить, что черные дыры с массой несколько больше солнечной вызывают мощные приливные силы, способные за секунду разнести на куски объект в пределах нескольких шварцшильдовских радиусов.

337

Решения

Сравните приливное ускорение, которое мы вычислили, с ускорением свободного падения у нас на Земле (10 м/с2): вас разорвет больше 100 000 g!

Другая крайность — черная дыра с массой в 109 М

в центре квазара,

Солнца которая обладает радиусом Шварцшильда в 3 миллиарда километров, или

20 а. е., но приливные силы у нее ничтожно малы. В сущности, если бы мы упали в черную дыру массой 109 М

, мы бы прекрасно чувствовали

Солнца себя и после пересечения Шварцшильдовского радиуса (только выбраться не могли бы!) Но вскоре после перехода горизонта событий на радиусе

Шварцшильда приливные силы стали бы расти и расти и разорвали бы нас на части еще до того, как мы исчезли бы в центральной сингулярности.

110. Задача автостопщика

110. а Шварцшильдовский радиус черной дыры массы М равен

2 GM

R

=

.

Шварцшильда

2 c

Объем сферы такого радиуса находим по знакомой формуле

(4/3) R 3

Плотность — это масса, деленная на объем, поэтому

Шварцшильда

6

M

3 плотность c

=

=

.

3

3

2

4 ⎛ 2 GM ⎞

32 G

π M

π⎜ 2

3 c ⎟

⎝

⎠

Какое обескураживающее выражение! Чем массивнее черная дыра, тем меньше становится плотность. То есть существует такая масса, при которой черная дыра обладает плотностью бумаги, что, собственно, мы и хотели выяснить. Если собрать достаточно бумаги, чтобы получилась такая масса, она коллапсирует и образует черную дыру.

Стоит подчеркнуть, что настоящее вещество, из которого состоит сингулярность в центре черной дыры, гораздо меньше, чем ее радиус Шварцшильда, и обладает значительно большей плотностью. Это вещество, насколько мы понимаем, сжато в точку размером порядка планковской длины.

338

Решения

110. b Плотность — это масса на единицу объема. Если мы вычислим объем квадратного метра бумаги (массу мы знаем — 75 граммов), то сможем вычислить его плотность. Объем листа бумаги — это площадь, умноженная на толщину. Толщина равна 0,1 мм, или 10–4 м, поэтому объем квадратного метра бумаги равен 1 метр2 10–4 метров = 10–4 метров3. Тогда плотность бумаги равна

2

7,5×10− кг

2

3

ρ =

= 7,5×10 кг / м.

4

−

3

10 м

Это почти как плотность воды (немного меньше: не забывайте, что бумагу делают из дерева, а дерево плавает в воде!)

110. с Здесь мы приравниваем выражение для плотности, которое нашли в части а), и плотность, которую вычислили в части b), и решаем это уравнение относительно массы. Начнем с алгебры:

6

3 с

ρ =

,

3

2

32 G

π M

6

3 c

M =

.

3

32 G

π ρ

Теперь подставим числа. Вот будет веселье, если мы сделаем все без калькулятора!

3(3×10 м / с)6

8

38

M =

≈ 3×10 кг.

32π(2 / 3×10− м с− кг−)3

10 3 2

1

2

3

×7,5×10 кг / м

Здесь мы приняли все приближения, как обычно: = 3, 32 = 10 и так далее. Надо выразить это в солнечных массах, поэтому поделим результат на 2 1030 кг (то есть на 1 массу Солнца) и получим 1,5 108 М

, что

Солнца и будет окончательным ответом. Черная дыра массой в 150 миллионов раз больше массы Солнца обладает плотностью листка бумаги!

Да нет же, это все просто научная фантастика! Ну что ж, «Путеводитель по галактике для путешествующих автостопом» и в самом деле научная

339

Решения фантастика, но существуют ли подобные невероятно массивные черные дыры? Безусловно, да: ядра массивных галактик, в том числе нашего Млечного Пути, и в самом деле содержат колоссальные черные дыры. Одна из самых массивных черных дыр, известных нам на сегодня, находится в ядре галактики Мессье 87 (M 87); ее масса, по оценкам, составляет 3 миллиарда солнечных.

Нам осталось найти Шварцшильдовский радиус такой черной дыры.

Можем подставить числа в формулу для радиуса Шварцшильда и считать себе на здоровье, но мы предпочитаем более простой подход. Нам известно, что радиус Шварцшильда пропорционален массе черной дыры, и кроме того, нам известно, что шварцшильдовский радиус черной дыры массой в 1 массу

Солнца равен 3 километрам. Поэтому черная дыра массой 150 миллионов масс Солнца имеет радиус в 150 миллионов раз больше, или 4,5 108 км.

Нас просят выразить это в а. е.; 1 а. е. равна 1,5 108 км, значит, радиус

Шварцшильда такой черной дыры равен 3 а. е.

110. d Общая масса черной дыры нам известна. Если мы сможем вычислить массу одного листа бумаги, отношение этих величин даст нам общее число страниц. Вычислим массу одного листа бумаги. Нам известно, что квадратный метр бумаги имеет массу 75 граммов. Сколько квадратных метров в книжном листе обычного формата? Один дюйм — это 2,5 сантиметра = 2,5 10–2 метра. Тогда 8,5 11 дюймов2 100 дюймов2 6 10–2 м2.

Следовательно,

масса листа бумаги = 7,5 10–2 кг/м2 6 10–2 м2 5 10–3 кг.

То есть лист бумаги весит примерно 5 граммов. Поделим на это массу, которую мы вычислили:

38 масса книги с правилами

3×10 кг количество страниц =

=

=

3 масса одной страницы

5×10− кг / стр.

40

= 6×10 страниц.

340

Решения

Строго говоря, если правила напечатаны на обеих сторонах листа, надо умножить полученный результат на два. Да, и правда длинный список правил!

Наконец, отметим, что чем массивнее дыра, тем ниже ее плотность, как мы убедились в части а), а следовательно, вышеприведенная масса и число страниц «Правил броккийского ультра-крикета» — это лишь нижние пределы. То есть, если бы книга правил была еще больше, чем мы вычислили, она все равно коллапсировала бы в черную дыру.

Спасибо Александро Строссу, сыну Майкла, знающему «Путеводитель по галактике» практически наизусть, за то, что он нашел для нас цитату про броккийский ультра-крикет.

111. Столкновение черных дыр!

Орбита каждой из черных дыр — это круг с радиусом, равным радиусу

Шварцшильда R

, а следовательно, с окружностью в 2 раз больше.

Шварцшильда

Ее период — это расстояние, поделенное на скорость света: 2π× RШварцшильда период = 0,004 с =

.

c

Скорость света равна 300 000 км/с, и мы, применив обычное приближение = 3, упрощаем выражение до

R

= 200 км.

Шварцшильда

Нам известно, что массе Солнца соответствует радиус Шварцшильда около 3 километров, а у нас получилось число примерно в 60 раз больше.

Значит, каждая из черных дыр обладает массой в 60 солнечных. На самом деле, более точные расчеты с применением формул общей теории относительности показывают, что мы ошиблись в два раза: каждая из двух черных дыр имеет массу около 30 солнечных.

341

Решения

111. b Светимость — это энергия (3 массы солнца, помноженные на с 2), поделенная на время (0,02 с):

3 2 10 кг (3 10 м / с)2

30

8

49

L

× ×

× ×

=

≈ 3×10 Вт.

0,02 с

Обратите внимание, что, поскольку мы последовательно применяли единицы МКС, ответ с неизбежностью получается в ваттах.

111. с Вычислить очень просто: 1011 светимостей Солнца на галактику, 1011 галактик, что дает общую светимость в 1022 светимостей Солнца. Умножим на светимость Солнца (около 4 1026 ватт) и получим общую светимость

4 1048 ватт, в 10 раз меньше, чем значение, найденное в части b). То есть за 1/50 секунды столкнувшиеся черные дыры выдали светимость примерно в 10 раз больше, чем все звезды во всех галактиках всей наблюдаемой

Вселенной. Потрясающе!

111. d Растяжение — это отношение изменения расстояния к самому расстоянию (4 км), а тогда изменение расстояния — это растяжение, умноженное на 4 километра. Вспомним, что в метре у нас 1010 ангстрем, в 1 километре 1000 метров, и тогда изменение расстояния составит 4 10–21 + 10 +3 ангстрем = 4 10–8 ангстрем. Это примерно 4 10–3 от радиуса протона. Просто удивительно, что мы способны зарегистрировать такой крошечный сигнал!

И еще удивительнее, что мы можем интерпретировать его как столкновение пары черных дыр, которое на краткий миг засияло ярче, чем вся остальная наблюдаемая Вселенная!

112. Добываем энергию из пары черных дыр

112. а Каждая невращающаяся черная дыра имеет сферический горизонт событий с радиусом Шварцшильда

2 GM

R

=

, поэтому площадь

Шварцшильда

2 c его поверхности составит

2

2

⎛ 2

4

4

GM

A

r

⎞

= π

= π⎜

⎟.

Шварцшильда

2

⎝ c ⎠

342

Решения

Первоначально таких черных дыр было две, поэтому общая первоначальная площадь их горизонтов событий вдвое больше: 2

⎛ 2

2

32

GM

A

A

⎞

=

= π⎜

⎟.

общ. нач.

2

⎝ c ⎠

112. b Площадь горизонта событий черной дыры, возникшей в результате столкновения, должна быть больше общего первоначального значения

А

, которое мы нашли в части а):

общ. нач.

2

2

⎛ 2

4

32

GM

A

r

⎞

= π

> π⎜

⎟.

конечн.

Шварцшильда, конечн.

2

⎝ c ⎠

Однако радиус Шварцшильда итоговой черной дыры связан с ее массой обычной формулой:

2

2

⎛ 2 GM

⎞

конечн.

4 ⎜

⎟

32 ⎛ GM ⎞

π

> π⎜

⎟.

2

2

⎝

c

⎠

⎝ c ⎠

Сократим общие множители с обеих сторон, и у нас получится

M 2

> 2 M 2,

конечн.

то есть

M

> 2 M.

конечн.

112. с Первоначальная масса составляла 2 М, итоговая масса должна быть больше 2 M, тогда потерянная масса должна быть меньше разницы между двумя этими величинами, то есть (2− 2) M. Если масса потеряна в виде гравитационного излучения, верхний предел энергии, унесенной гравитационными волнами, равен этой величине, умноженной на с 2, то есть (−) 2

2

2 Mc .

112. d Изначально две черные дыры находятся на огромном расстоянии друг от друга, поэтому начальной гравитационной энергией можно пренебречь. Тогда общая масса-энергия системы первоначально составляла просто Е = 2 Мc 2, а доля, высвободившаяся в виде гравитационных волн, меньше

(2− 2) 2

Mc

(2−1,41421.)

=

= 0,29289.

2

2 Mc

2

343

Решения

То есть в гравитационные волны при столкновении двух черных дыр преобразуется меньше 29,3 % их первоначальной массы-энергии. На практике это количество значительно меньше, что зависит от подробностей столкновения. Как мы знаем из задачи 111, эксперимент LIGO позволил зарегистрировать гравитационные волны, возникшие при столкновении черной дыры массой 20 солнечных с черной дырой массой 36 солнечных, в результате чего образовалась черная дыра массой 62 солнечных. То есть в энергию в форме гравитационных волн перешло «всего» 3 массы Солнца — около

5 % изначальной массы.

113. Короткие вопросы о путешествиях во времени

113. а По современным представлениям, машина времени не может вернуть человека в прошлое до того момента, когда она была построена.

Пока не создано ни одной машины времени, поэтому туристы из будущего пока не могут посещать ни наше настоящее, ни историческое прошлое.

113. b Нужны две космические струны, проходящие друг мимо друга со скоростью, близкой к скорости света; если заложить петлю вокруг них, когда они приблизятся друг к другу, можно вернуться в момент до начала своего движения. Пространство вокруг каждой из этих струн имеет форму конуса или пиццы, что значит, что можно найти обходной путь, позволяющий обогнать луч света.

114. Теннис во времени

Решение показано на рис. 12. Обратите внимание, что мяч ведет себя как частица-джинн, его мировая линия замкнута в круг, у нее нет ни конца, ни начала.

115. Научная фантастика

К этому заданию, разумеется, нет верного ответа, но у нас разработана система оценок.

344

Решения

Я беру мяч

Мяч

Я умираю

Я проигрываю

Я побеждаю

Мяч

МИРОВАЯ

ЛИНИЯ:

Я снова

Я смотрю

Я смотрю смотрю в третий партию раз

Я отбиваю

Мяч

Время

Я подаю

Пространство

Сетка

Я родился

Мяч

Рис. 12. Решение задачи 114.

Если научная сторона истории более или менее точна, а сюжет интересный, ставится оценка А (5).

Если сюжет не очень получился, а с научной стороны налицо ошибки, либо наука не служит основой сюжета, ставится оценка В (4).

345

Решения

Если очевидно, что студент не приложил никаких усилий, чтобы написать сочинение, ставится оценка С (3).

Если рассказ получился отличный и так и хочется показать его всем друзьям, надо ставить А+ (5+).

116. Карта Вселенной

Правильный порядок таков:

• Космический телескоп имени Хаббла

• Луна (спутник Земли)

• Космический аппарат WMAP

• Юпитер

• Объекты из пояса Койпера

• Звезда Альфа Центавра

• Звезда Сириус

• Центр Млечного Пути

• М 31, галактика Андромеда

• Великая Слоановская стена (комплекс сверхскоплений галактик)

• Галактика с самым большим из ныне известных красным смещением

• Фоновое космическое микроволновое излучение

117. Гномонические проекции

117. а Центр большой окружности — это центр сферы; в сущности, это одно из определяющих свойств большой окружности. Тогда рассмотрим плоскость, в которой лежит большая окружность: она включает в себя центр окружности. Гномоническая проекция большой окружности — это тень большой окружности на плоскости, отбрасываемая светильником, находящимся в центре сферы. Таким образом, это пересечение плоскости, в которой лежит большая окружность и центр сферы, с плоскостью проекции. Как вы знаете из школьного курса геометрии, пересечение двух плоскостей — это прямая.

346

Решения

Неверно говорить, что геодезическая линия («самая прямая линия между двумя точками») в одной проекции должна быть тождественной геодезической линии в любой другой. Рассмотрим, к примеру, линию между Нью-Йорком и Токио: большая окружность проецируется на кривую в проекции Меркатора (стандартная прямоугольная проекция, при помощи которой построены все карты мира, висящие в школьных классах).

Кстати, красивое слово «гномонический» произошло от старинного слова «гномон» — названия детали солнечных часов, которая отбрасывает тень, поскольку гномоническая проекция во многом похожа на проекцию тени кончика гномона на плоский циферблат солнечных часов. Слово «гномон»

происходит от древнегреческого корня «знание».

Полярная

Кассиопея звезда

Большая Медведица

Лира

Лев

C

B

Сириус

Альфа Центавра

A

Млечный Путь

Эклиптика

Геодезическая линия Связывают на кубе альфу Центавра

Геодезическая линия и Полярную звезду на сфере

Рис. 13. Ответы на различные части задачи 117.

347

Решения

117. b Рассмотрим плоскость перед сферой. Одно полушарие сферы находится ближе всего к плоскости; очевидно, что свет с этого полушария проецируется на эту плоскость. Свет, проходящий сквозь противоположное полушарие, проецируется в противоположную сторону и никогда не попадает на рассматриваемую плоскость. Большая окружность, служащая границей между двумя полушариями, строго говоря, проецируется на плоскость на бесконечном расстоянии (вот почему у нас получается проекция не целого полушария, а чуточку меньше).

117. с Ответ на этот и следующие вопросы см. на рис. 13.

117. d Эклиптика показана на рис. 13. Эклиптика — это большая окружность, то есть она проецируется в прямую линию на каждой из двух плоскостей проекции. Но на границах между плоскостями в ней происходит излом.

117. е Здесь сложность в том, что и эклиптика, и небесный экватор —

большие окружности, а следовательно, пересекаются (в двух точках). Однако на карте они дают две прямые линии в гномонической проекции, которые на некоторых квадратах параллельны. Что происходит? Ответ прост: прямые линии при переходе с грани на грань перестают быть прямыми. Каждая грань — это отдельная гномоническая проекция, а как мы уже видели, когда чертили эклиптику, прямые линии, в которые проецируется большая окружность, не обязательно остаются прямыми на ребрах куба. Поэтому законы евклидовой геометрии соблюдаются только в пределах одной грани.

Обратите внимание, что небесный экватор — это особый случай, поскольку это линия симметрии, относительно которой мы расположили плоскости гномонической проекции, поэтому он остается прямой линией на всем своем протяжении.

Обратите внимание: то, что в гномонической проекции эклиптика и небесный экватор должны быть параллельны, вовсе не очевидно. Таким образом, получается, что они находятся на двух плоскостях проекции (листах карты), что следует из особого расположения листов карты. Более глубокий

348

Решения парадокс (который опять же разрешается вышеприведенными утверждениями) состоит в том, что две большие окружности на сфере всегда пересекаются дважды, а две прямые линии в евклидовом пространстве пересекаются либо ни одного, либо один раз.

117. f Ответ показан на рис. 13. Это линия долготы (большая окружность), ведущая от Альфы Центавра к Северному полюсу. Линии долготы расходятся от Южного полюса на южной околополярной части карты. Начните от Альфы Центавра и проведите через нее линию, которая идет от Южного полюса (в центре карты), пока не упретесь в край южной околополярной части карты. Потом эта линия долготы превратится в прямую вертикальную линию на летней части карты. Затем она перейдет на северную околополярную часть карты и дойдет прямо до Северного полюса небесной сферы в центре этой части карты.

117. g Нет, это не то же самое, что большая окружность из части f). Дело в том, что геометрия на сфере отличается от геометрии на проекционном кубе. См. рис. 13. Это прямая линия на развертке карт звездного неба.

117. h Эти углы случайно остались прямыми и на этой гномонической проекции (хотя в целом гномоническая проекция не сохраняет углы). Поэтому сумма углов и в самом деле составит 270°. Однако при проекции на куб у нас не получится непрерывный треугольник. Как мы видели в части

е), когда пересекаешь границу между разными плоскостями проекции, происходят удивительные вещи. В этом случае, когда разворачиваешь куб, чтобы получить развертку с рисунка 13, в треугольнике образуется разрыв — вот почему его углы не подчиняются обычным евклидовым правилам.

118. Доктор Кто во Флатландии

118. а Здесь нам нужно изучить вершины двух видов: у верхних углов мойки и у нижних. У основания мойки мы видим три плоскости под углом в

90°, которые сходятся в одной точке, что составляет 3/2, а это дает дефект

349

Решения в /2 — положительное значение. У верхнего края мойки у нас получается

270° (= 3/2) на плоскости и 2 90° = для каждой из двух боковых стенок раковины, что в сумме дает угол 5/2. Нам дано, что масса равна 2 радиан минус это суммарное значение 5/2 радиан, то есть, — /2. Таким образом, эти вершины требуют отрицательной массы.

118. b. У нас четыре положительные массы по + /2 и четыре отрицательные массы по — /2. Если сложить, получится нулевая масса!

118. с Общая масса ТАРДИС равна нулю, поэтому пространство-время вне ТАРДИС не искривляется, а напоминает плоскость. Никакой центральной массы нет, так что внешнее пространство выглядит как бесконечная плоскость, что мы и видим.

119. Короткие вопросы о форме Вселенной

119. а ДА. Однако теория Калуцы — Клейна в своей первоначальной формулировке оказалась эквивалентной ОТО и электромагнетизму, поэтому не давала никаких новых предсказаний. Невозможно провести эксперимент, который отличил бы ее от ОТО и электромагнетизма.

119. b Этим предсказанием было существование фонового космического микроволнового излучения, а это важно, поскольку его предсказывает модель Большого взрыва. Более того, модель Большого взрыва делает целый ряд предсказаний, касающихся природы фонового космического микроволнового излучения, и все они прекрасно совпадают с данными наблюдений:

• его температура;

• его спектр с невероятной точностью совпадает со спектром абсолютно черного тела;

• оно изотропно;

• распределение мощности флуктуаций (крошечных отклонений от полной изотропии) как функции масштаба имеет определенную форму, в точности предсказанную теориями Большого взрыва и инфляции.

350

Решения

119. с Вот они.

• Открытая Вселенная: плотность меньше критической. Она будет расширяться вечно и обладает геометрией с отрицательной кривизной.

• Плоская Вселенная: плотность равна критической. Она будет расширяться вечно, но скорость расширения будет асимптотически приближаться к нулю. Такая Вселенная обладает плоской геометрией.

• Замкнутая Вселенная: плотность выше критической. Когда-нибудь она коллапсирует. У нее геометрия с положительной кривизной.

119. d Сумма больше 180°. Это криволинейная геометрия, пространственная часть которой представляет собой трехмерный аналог двумерной поверхности сферы. Углы треугольника, как и на поверхности сферы, в сумме дают больше 180°. В открытой Вселенной Фридмана (чей двумерный аналог имеет седловидную форму) углы треугольника в сумме дают меньше 180°.

В отсутствие космологической постоянной массовая плотность открытой модели Фридмана меньше критической, а массовая плотность закрытой модели больше критической. Если плотность равна критической, геометрия остается евклидовой, то есть сумма углов треугольника, как вас учили в школе, равна 180°.

119. е Введение космологической постоянной в уравнения поля ОТО, согласно личному сообщению, о котором рассказывает Георгий Гамов*.

Эйнштейн ввел в уравнения эту постоянную, поскольку иначе из них следовало, что Вселенная либо расширяется, либо сжимается. Если бы он не усомнился в истинности первоначальных уравнений, то предсказал бы, что так и есть. Прошло больше десяти лет, и Эдвин Хаббл открыл, что Вселенная расширяется.

* На самом деле величайшей ошибкой в своей жизни Эйнштейн называл письмо

Рузвельту с настоятельным предложением запустить в США ядерную программу. —

Прим. переводчика.

351

Решения

120. Самый первый миг

120. а Длина волны фотона связана с его частотой соотношением

= с. Но нам также известно, что h = Е = Мс 2. Тогда комптоновская длина волны равна c ch ch h

λ

= =

=

=

.

Комптона

2 v

E

Mc

Mc

120. b Приравняем формулы комптоновской длины волны и радиуса

Шварцшильда:

h

2 GM

=

.

2

Mc c

Преобразования дают

2

2

= 2 hc hc

GM c → M =

.

2 G

Выведенная величина называется планковской массой. Первым эту формулу вывел Макс Планк после того, как примерно в 1900 году нашел постоянную, получившую его имя, при помощи «анализа размерностей».

Идеи ОТО и черных дыр еще даже не зародились в воображении Эйнштейна, до работ Комптона тоже оставалось более десяти лет, поэтому Планк применил другой подход. Он знал, что его постоянная, которую он придумал, чтобы понять природу излучения абсолютно черного тела, — это одна из фундаментальных физических постоянных, наряду со скоростью света и гравитационной постоянной Ньютона. Он понимал, что можно сочетать их таким образом, чтобы получить величину с размерностью массы, и задался вопросом, каков физический смысл этой величины.

Следует упомянуть, что существует несколько разных подходов к определению планковской массы, и самая распространенная включает множитель под квадратным корнем, что дает hc

M

=

Планка

.

2 G

π

352

Решения

Отлично, теперь давайте подставим числа в единицах системы СГС

(сантиметр-грамм-секунда):

2

26

−

2

10

×10 г см / с×3×10 см / с

3

M

=

.

Планка

2

7

−

3

2

2× ×10 см / с / г

3

Величина 2/3 сокращается (то, что и у h, и у G десятичная часть близка к 2/3, — простое совпадение), и остается

26

− +10+7 2

10

−

5

M

1,5 10 г

15 10 г 4 10−

=

×

=

×

≈ ×

г

Планка или около 40 микрограммов. Не слишком впечатляющее число, но в физике частиц это верхний предел массы для элементарной частицы. Чуть больше — и частица сколлапсирует и превратится в черную дыру.

Чтобы перевести это в ГэВ, вспомним, что масса-энергия покоя протона составляет около одного ГэВ, поэтому число ГэВ в планковской массе примерно равно количеству масс протона в планковской массе: 5

M

−

Планка

4×10 г

19

≈

≈ 2×10 ГэВ.

M

1

23 протона

×10− г / ГэВ

6

Это и в самом деле много энергии: энергия, до которой ускоряет частицы

Большой адронный коллайдер, составляет всего лишь несколько тысяч ГэВ.

Даже частица «О Боже мой» из задачи 92 и та обладала энергией «всего»

3 1011 ГэВ.

120. с Планковскую длину выводим из формулы для радиуса Шварцшильда:

2

2 GMПланка

4 G hc

2

Планковская длина hG

=

=

=

.

2

4

3 c c 2 G

c

Планковское время — время, за которое свет преодолеет это расстояние, то есть эта величина, поделенная на с:

353

Решения планковская длина

2 планковское время hG

=

=

.

5 c c

(Стандартные определения планковской длины и планковского времени несколько отличаются от этих формул, как и в случае планковской массы: планковская длина = hG , а планковское время = hG .) Можно под-

3

2 c

π

5

2 c

π

ставить числа прямо в эти формулы, но лучше применить иной подход —

вспомнить, что мы знаем о шварцшильдовском радиусе одной массы Солнца. Радиус Шварцшильда пропорционален массе и для Солнца равен 3 км =

3 105 см, так что для планковской массы 4 10–5 г радиус Шварцшильда равен

5

−

5

4×10 г

5−5−33

3

− 3 планковская длина = 3×10 см×

= 6×10 см = 6×10 см.

33

2×10 г

Это невероятно маленькое расстояние. Вот как можно представить его себе наглядно. Рассмотрим размер атома водорода — около 1 ангстрема, то есть 10–8 см. Планковская длина меньше более чем на 24 порядка величины.

Таким образом, планковская длина относится к атому, как атом к

10–8 см 1,6 1024 = 1,6 1016 см 1000 а. е.

Таким образом, наши нынешние представления о законах физики не позволяют нам рассуждать о пространственных масштабах меньше планковской длины. Высказываются предположения, что если бы нам удалось как-то увеличить пространство, чтобы увидеть подобные масштабы, мы бы обнаружили «пену» с огромной кривизной (почитайте статью о «квантовой пене» в Википедии).

Планковское время — это время, за которое свет проходит это расстояние, то есть планковская длина, поделенная на скорость света, или 2 10–43 секунды. Это минимальное время, прошедшее от Большого взрыва, после которого мы можем делать какие-то выводы о происходящем. Кроме того, 354

Решения это самый короткий промежуток, который можно измерить с какими бы то ни было часами, о чем говорится в начале главы 24 «Большого космического путешествия».

121. Самая неточная оценка за всю историю физики

121. а Сначала найдем алгебраическое выражение. В задаче 120 мы вывели формулы планковской массы и планковской длины. Из этого мы очевидным образом выводим плотность:

MПланка

ρ

=

.

Планка

3

LПланка

(Мы вычисляем с точностью до порядка величины, поэтому множителями вроде 4/3 пренебрегаем). Однако L

задается формулой Шварц-

Планка шильда:

2 GMПланка

L

=

,

Планка

2 c а тогда

6

6

6

5

M

c

Планка с с 2 G

c

ρ

=

=

=

=

.

Планка

3

3

3

2

3

2

8 G M

8 G M

8 G hc 4 G h

Планка

Планка

Можно было бы подставить числа прямо на этом этапе, но мы проведем расчеты на основании численных значений планковской массы и планковской длины, которые мы нашли в задаче 120:

5

4×10− г

4 г

92 г

ρ

=

≈

= 2×10

.

Планка

(

−

×

)3

9

− 4

3

3

33

200×10 см см

6 10 см

Какая огромная плотность! Гораздо больше всех других плотностей, с которыми мы сталкивались в астрономии.

121. b Критическая плотность Вселенной — около 10–26 кг/м3 или 10–29 г/см3. Тогда плотность темной энергии составляет 70 % от этой

355

Решения критической плотности, или около 7 10–30 г/см3. Найдем отношение этой плотности к тому, что мы вычислили в части а):

92

2×10

121

≈ 3×10.

30

7×10−

Ух ты. Эта величина прославилась как самое неточное приближение в истории физики. То есть предполагаешь, что темная энергия каким-то образом связана с физикой, связанной с объединением квантовой механики с ОТО, на этом основании примерно прикидываешь, какой должна быть плотность этой энергии. И получаешь ответ с ошибкой на 121 порядок!

И правда, на диво неточные расчеты!

Ясно, что здесь таится какой-то подвох. Один из множества способов выразить наше недоумение по поводу темной энергии — это вопрос, почему ее плотность так мала. Учитывая, что ее плотность настолько меньше своего «естественного значения» (то есть планковской плотности, которую мы только что вычислили) не просто так, а по какой-то причине, следующий вопрос — почему это значение не равно нулю? Это просто способ сказать, что на самом деле мы вообще не понимаем, что такое темная энергия.

Если бы темная энергия действительно имела планковское значение, Вселенная вошла бы в фазу ускорения через 10–43 секунд после Большого взрыва. Оказывается, в этом пределе масштаб со временем растет экспоненциально. Тогда плотность обычного вещества быстро упала бы до крошечной величины, и в несколько секунд в наблюдаемой Вселенной осталось бы меньше одного атома. В такой Вселенной не могло бы образоваться никаких структур.

Конечно, инфляция, которая, как полагают, произошла на заре истории нашей Вселенной, — тоже форма экспоненциального расширения. Однако в отличие от только что описанного сценария инфляция происходит при плотности значительно ниже планковской. Более того, она происходит не вечно, 356

Решения а заканчивается после крошечной доли секунды, а ее энергия выбрасывается в виде элементарных частиц, отчего начинается следующая фаза развития

Вселенной — Большой взрыв и расширение при высоких температурах.

122. Не такая уж и ошибка?

Величайшей ошибкой Эйнштейна было привнести в уравнения космологическую постоянную, чтобы обеспечить статичность Вселенной. Без нее уравнения поля ОТО предсказывали, что Вселенная либо расширяется, либо коллапсирует. Если бы Эйнштейн больше верил в свои уравнения, он предсказал бы, что Вселенная не статична, более чем за десять лет до Хаббла, который в 1929 году открыл, что Вселенная расширяется. Более того, введение космологической постоянной, которая противодействовала бы склонности вещества во Вселенной притягиваться, приводит к неустойчивому равновесию: стоит чуть-чуть нарушить хрупкий баланс между космологической постоянной и собственной гравитацией Вселенной, и это приведет либо к коллапсу, либо к бесконечному расширению.

Сегодня мы используем космологическую постоянную не для того, чтобы сделать Вселенную статичной, а для того, чтобы объяснить ее наблюдаемое расширение. Эйнштейн был бы доволен, поскольку идея космологической постоянной и в самом деле оказалась полезной и объясняет наблюдаемое поведение Вселенной. Теория инфляции Алана Гута также предполагает, что в некоторый период расширение Вселенной шло с ускорением (только расширение было гораздо быстрее того, что мы наблюдаем сейчас). Поэтому он, наверное, обрадовался, когда узнал, что и в самом деле существуют физические эффекты, которые сейчас заставляют Вселенную ускоряться, так же она ускорялась, по его мнению, на заре своего существования.

123. Большой взрыв

У галактик наблюдается красное смещение; их спектры систематически смещаются в красную сторону, что мы считаем свидетельством расширения

357

Решения пространства между нами и этими галактиками. Это расширение единообразно, что следует из закона Хаббла — пропорциональности красного смещения и расстояния. На основании единообразного расширения мы можем найти момент, приблизительно заданный величиной, обратной постоянной

Хаббла Н , когда все галактики еще были слеплены вместе. Этот момент

0 мы называем Большим взрывом, временем, когда температура и плотность были крайне высоки. Предполагаемый возраст Вселенной на основании этих данных составляет около 14 миллиардов лет, что значительно больше возраста Солнечной системы (измеренного с помощью радиоизотопного метода) и больше возраста старейших звезд (по данным измерений, например, диаграмм Герцшпрунга — Рассела шаровых скоплений).

Большой взрыв естественным образом объясняет относительное содержание водорода и гелия, которые возникли в первые минуты после Большого взрыва, когда Вселенная расширялась и остывала. В частности, теория предсказывает, что водород должен составлять около 75 % всех атомов во Вселенной по массе, а гелий — около 25 %. Более тяжелые элементы в то время не возникали, они создаются в недрах звезд. По наблюдениям, даже на очень больших масштабах (десятки миллионов парсек) свойства

Вселенной не меняются, что соответствует теории Большого взрыва.

Первоначальная раскаленная Вселенная ярко светилась и ее спектр соответствовал излучению абсолютно черного тела. Остатки этого излучения мы наблюдаем в виде фонового космического микроволнового излучения, света, который доходит до нас с тех самых пор, когда Вселенная достаточно остыла (примерно до 3000 К), чтобы образовались нейтральные атомы водорода. Большой взрыв не только предсказывает существование фонового космического микроволнового излучения (которое было открыто в 1965 году, и это открытие удостоилось Нобелевской премии), Большой взрыв точно предсказывает:

• температуру фонового космического микроволнового излучения;

• то, что фоновое космическое микроволновое излучение однородно, изотропно и поступает со всех сторон;

358

Решения

• то, что спектр фонового космического микроволнового излучения точно определяется формулой Планка для абсолютно черного тела;

• то, что флуктуации фонового космического микроволнового излучения имеют «спектр мощности» (спектр амплитуд флуктуаций как функции масштаба, на котором они измеряются) прекрасно соответствуют предсказаниям модели, включая количество обычного вещества, темного вещества и темной энергии, наблюдаемое во Вселенной.

124. Путь на Марс

Нарисуйте эллиптическую орбиту вокруг Солнца и проведите линию вдоль большой оси, которая проходит через Солнце, находящееся в одном из фокусов. Эта линия пересекает эллипс в двух точках — перигелии

(ближайшей точке орбиты), который здесь соответствует 1 а. е., и афелии

(самой далекой точке орбиты), который здесь соответствует 1,524 а. е. Тогда большая ось — это сумма этих чисел, то есть 2,524 а. е., а большая полуось орбиты — половина от этой величины, то есть 1,262 а. е.

Нам задано найти время, которое займет путь по орбите от перигелия

(Земля) до афелия (Марс). Большая ось, соединяющая эти две точки, делит эллипс на две половины равной площади. Согласно второму закону Кеплера, за равное время заметаются равные площади, то есть время, необходимое, чтобы преодолеть путь от перигелия до афелия, составит ровно половину времени на полный оборот.

Однако третий закон Кеплера учит нас, как вычислить этот период, если знать большую полуось. Речь идет об орбите вокруг Солнца, поэтому простая форма третьего закона Кеплера гласит:

(период в годах)2 = (большая полуось в а. е.)3.

Подставим 1,262 а. е. в правую часть, возьмем калькулятор и найдем период Р: Р = 1,418 года. Половина от этой величины составит 0,709 года, или примерно 8,5 месяцев.

359

Решения

Обратите внимание, что именно такая орбита описана в книге «Марсианин» Энди Вейра. До того, как ракета «Арес-3» с Марком Уотни и остальной командой на борту полетела на Марс, по гомановской орбите с Земли на

Марс было запущено несколько грузовых кораблей со всем необходимым для участников миссии.

125. Путешествия к другим звездам: солнечные паруса

125. а Яркость Солнца b, наблюдаемая на позиции солнечного паруса задается законом обратных квадратов

L

b =

,

2

4 d

π

где L — светимость Солнца, а d — расстояние до него. Яркость — это количество энергии, попадающее в единицу времени на единицу площади паруса.

Энергия, попадающая на парус в единицу времени, это яркость, умноженная на площадь поверхности паруса А, а значит, сила, воздействующая на парус, согласно приведенной формуле, равна

2

Сила bA

LA

=

=

,

2 c

2 d

π c где с — скорость света. Чтобы найти ускорение а, надо поделить эту силу на массу паруса m:

LA

a =

.

2

2 d

π mc

Площадь паруса сократилась! То есть ускорение не зависит от площади.

125. b Нам нужно, чтобы масса паруса была равна полезному грузу, то есть 105 кг, или 108 г. Как мы только что определили, масса паруса — это площадь его поверхности А, умноженная на толщину l и на его плотность.

Найдем из этого уравнения площадь и получим

8 m

10 г

9

2

A = =

≈ 3×10 см.

2

−

3 lp 10 см×3 г / см

360

Решения

Отметим, что мы последовательно работаем в сантиметрах и граммах.

Нам дано, что парус круглый, а следовательно, его площадь равна А = r 2.

Найдем отсюда радиус и получим

9

2

A

3 10 см

4 r

×

=

=

≈ 3×10 см.

π

π

Чтобы справиться с арифметикой, примем 3, а

9

8

4

10 = 10 × 10 ≈ 10 ×3. Тогда радиус паруса получится около 300 метров, то есть в поперечнике он будет около 2000 футов. Это примерно в два раза больше диаметра пуэрто-риканского радиотелескопа «Аресибо».

125. с Подставим числа в формулу для ускорения, которую мы получили в части а):

L

a =

.

2

4 d

π lcp

Мы поделили выражение на дополнительный делитель 2, поскольку в части b) удвоили массу груза. Подставим числа для светимости Солнца

L (мы последовательно применяем единицы МКС), расстояния до Солнца

(1 а. е.) и толщины паруса и получим

26

3,8×10 Дж / с a =

.

4π(1,15×10 м)2

11

4

−

8

3

×10 м×3×10 м / с×3000 кг / м

Сначала разберемся с размерностью. Размерность джоуля —

(кг м2)/с2, поэтому единицы будут такими:

2

3

2

3 кг×м / с кг×м / с м

=

=,

2

3

2 м ×м×м / с×кг / м кг×м / с с то есть мы получили именно размерность ускорения. Отлично! Теперь можно подставить числа. Поскольку мы хотим обойтись без калькулятора, то пусть у нас 3,8 = 4 и эти множители сократятся, (1,5)2 2 и аналогичным образом

361

Решения

3 10. Подставим все это в формулу и найдем численное значение ускорения:

26−22+4−1−8−3

4

10 м 10− м

5

−

2 a =

=

= 1,7×10 м / с.

2

2

6 с

6 с

Это очень маленькое ускорение. Сколько времени уйдет, чтобы такими темпами набрать скорость 30 км/с = 30 000 м/с? Для этого нужно всего-навсего поделить скорость на ускорение — и получится около 2 109 секунд или примерно 70 лет. Не самый продуктивный способ разогнать космический корабль! Причем делать солнечный парус большего размера бессмысленно: как мы убедились, ускорение не зависит от его площади. Хуже того, при удалении от Солнца интенсивность солнечного света снижается, и ускорение становится еще меньше.

Сейчас ищут другой способ использовать давление излучения для ускорения солнечного паруса — при помощи мощных лазеров, направленных на сверхлегкий корабль. Тогда на парус будет попадать не изотропный солнечный свет, а концентрированное излучение лазера. Этот проект называется

Breakthrough Starshot — почитайте о нем в интернете!

126. Принцип Коперника

126. а Поскольку нам больше ничего не известно, мы узнали об этом директоре в случайный момент полной истории его директорства. С уверенностью 95 % можно утверждать, что нынешний момент не попадает ни в первые, ни в последние 2,5 % (1/40) пребывания директора в должности. Тогда с уверенностью 95 % можно утверждать, что минимальный срок, который директор еще пробудет на посту, составляет 1/39 срока, на протяжении которого он находится в должности, то есть 1 неделю, а максимальный в 39 раз больше нынешнего, то есть приблизительно 1500 недель или около 30 лет.

126. b Это упражнение на умножение и деление на 39. Тогда цивилизация просуществует еще не меньше 1000 лет, но не больше, чем 39

39 000 1,5 106 лет (на уровне достоверности 95 %).

362

Решения

126. с Если вы случайный человек, выбранный из всего человечества наугад (а эта случайность лежит в основе принципа Коперника), скорее всего, вы родились в момент наивысшей концентрации человечества, ведь там-то и были все люди! Так что вы, скорее всего, родились в век, когда концентрация людей была высока (то есть в век, когда население было выше среднего).

127. Коперник в действии

127. а Модель Коперника концептуально гораздо проще геоцентрических представлений. Она естественным образом объясняет и ретроградное движение планет, и увеличение времени обращения по орбитам по мере удаления планет от Солнца. Прямые доказательства, что Земля вращается вокруг Солнца, таковы.

• Наблюдения параллакса звезд. Земля вращается вокруг Солнца, поэтому наша точка зрения на положение звезд постоянно меняется. О параллаксе задумывались еще древние греки, но он очень мал, и пронаблюдать его удалось лишь в XIX веке.

• Наблюдения фаз Венеры. У Венеры есть такие же фазы, как и у Луны, поскольку ее поверхность, освещенная Солнцем, находится под разным углом к нашему лучу зрения. Этот эффект, который сумел пронаблюдать в простой телескоп даже Галилей, естественно следует из модели Коперника и не объясняется моделью Птолемея.

• Параллели с системой спутников Юпитера, в которой вокруг крупного небесного тела (планеты Юпитер) вращается много маленьких тел (его спутники). Само по себе это ничего не доказывает, но когда Галилей открыл спутники Юпитера, это дало прямую параллель с орбитами планет вокруг

Солнца.

• Открытие более 3000 планет на орбитах вокруг других звезд, что опять же дает параллели с нашей планетной системой с Солнцем в центре.

363

Решения

• Наблюдения аберраций звезд: положение звезд в течение года систематически меняется, поскольку меняется направление нашего движения вокруг Солнца. Это систематический сдвиг в 20 угловых секунд, не зависящий ни от расстояния до звезды, ни от эффекта параллакса.

• Наблюдения допплеровского смещения в спектрах звезд, которое систематически меняется в течение года по мере продвижения Земли по орбите вокруг Солнца. Это объясняется постоянными изменениями скорости относительного движения Земли и звезд.

Все эти открытия были сделаны после смерти Коперника, поэтому он не располагал прямыми доказательствами верности своей модели.

127. b Первые попытки построить модель распределения звезд в

Млечном Пути, которые предпринял Якобус Каптейн и другие ученые, показали, что Солнце находится в его центре. Однако ученые не знали о влиянии межзвездной пыли, которая мешает нам увидеть центр галактики.

Шаровые скопления распределены таким образом, что в центре находимся не мы, а центр галактики, а многие шаровые скопления лежат выше или ниже плоскости диска Млечного Пути, где в основном сосредоточена пыль.

Поэтому увидеть их распределение ничего не мешает. Первым составил карту распределения шаровых скоплений Харлоу Шепли, который показал, что их распределение приблизительно сферично, а его центр находится примерно в 25 000 световых лет от Солнца. Само Солнце находится в спиральном рукаве Галактики.

127. с Мы наблюдаем явление красного смещения, которое показывает, что почти все галактики удаляются от нас, поэтому может сложиться впечатление, будто мы находимся в центре расширения Вселенной. Однако при равномерном расширении каждая точка удаляется от всех остальных точек, поэтому обитатели любой галактики могут сделать вывод, что их галактика лежит в центре Вселенной. На самом деле, насколько нам из-

364

Решения вестно, у расширяющейся Вселенной нет границ, она бесконечна, поэтому невозможно определить, где ее центр. Разумеется, мы не знаем достоверно, что Вселенная бесконечна: это огромная (на самом деле, бесконечная) экстраполяция, которую мы делаем на основе изучения конечного участка

Вселенной, наблюдаемого нами непосредственно.

127. d Принцип Коперника предполагает, что настоящий момент выбран случайно на протяжении всего существования того или иного интересующего нас процесса (существования нашего биологического вида, Берлинской стены и даже бродвейского спектакля). Это позволяет нам наложить статистические ограничения на то, сколько еще продлится этот процесс, формулируемые обычно в виде «на уровне достоверности 95 %». Разумеется, бывают случаи, когда настоящий момент явно не случаен, например, такая логика не дает возможности сделать вывод о долговечности брака в день свадьбы, ведь вас пригласили посмотреть на этот семейный союз в особое время — в день его создания.

128. Короткие вопросы о будущем Вселенной

128. а НЕТ. Единая теория, которая примирила бы ОТО с квантовой механикой, по-прежнему нам недоступна. Невежество в этом вопросе — одна из причин, почему мы не можем сказать, что происходит в черной дыре или что было до Большого взрыва.

Стоит упомянуть, что квантовая механика и специальная теория относительности прекрасно согласуются; первыми этого добились Поль Дирак и другие ученые в конце двадцатых — начале тридцатых годов прошлого века, а затем, уже в сороковые годы, Ричард Фейнман и его коллеги разработали полную теорию квантовой электродинамики.

128. b. НЕТ. Принцип Коперника гласит, что если выбрать случайный момент за весь период существования чего бы то ни было, можно на основании законов вероятности предсказать его долговечность. Программе по запуску

365

Решения человека в космос около 56 лет. Ее ожидаемая долговечность (на уровне

95 %) не превысит этой величины, умноженной на 39, если в настоящем моменте нет ничего особенного.

128. с Испарение сверхмассивных черных дыр. Даже самые легкие звезды сгорят примерно через 100 триллионов (1014) лет. Сверхмассивные черные дыры, обнаруженные в центрах галактик, в конце концов распадутся из-за излучения Хокинга, но на их полное испарение уйдет больше 1094 лет.

128. d Быстрее всего из всех мыслимых часов тикают световые часы, в которых луч света (самая быстрая вещь на свете) отражается туда-сюда на предельно коротком расстоянии. Чем короче это расстояние, тем быстрее тикают световые часы и тем короче длина волны светового луча, которая может поместиться в такие часы. Чем короче длина волны фотона, тем выше его энергия. Энергия эквивалентна массе согласно E = mc 2. Таким образом, чем короче такие часы, тем больше масса, связанная с этим фотоном. Когда размер часов становится меньше радиуса Шварцшильда для такой массы, часы коллапсируют в черную дыру, то есть такие часы не могут существовать. Поэтому и существует минимальный размер часов, а следовательно, и минимальный темп их тиканья, а значит — минимальное время, которое они могут измерить.

129. Управляемая панспермия

129. а Масса — это объем, умноженный на плотность: 4

M

r

4 (0.006 см)3

3

3

6

1 г / см 10−

= π ρ ≈ ×

×

≈

г.

3

Человек весит, скажем, килограммов 80, то есть в 8 1010 раз больше.

Естественно, отправить в космос яйцеклетку проще, чем человека! Более того, у нас уже есть технология, позволяющая заморозить и оживить яйцеклетку, 366

Решения а человек в дальнем космическом путешествии нуждается в полной системе жизнеобеспечения.

129. b Тут все просто: при скорости в 1 % от скорости света на преодоление 1 светового года нужно 100 лет, так что на 40 световых лет уйдет 4000 лет. По сравнению с этим, временем на ускорение в начале и торможение в конце путешествия можно пренебречь.

129. с Поскольку на путешествие уйдет 4000 лет, а на создание технологически развитой цивилизации 10 000 лет, каждый шаг колонизации

Галактики занимает 14 000 лет. Галактика Млечный Путь имеет в поперечнике 100 000 световых лет, мы находимся в 25 000 световых лет от ее центра.

Так что нам нужно преодолеть расстояние максимум в 75 000 световых лет.

Если колонизация пойдет успешно, некоторые ракеты всегда будут двигаться в сторону края Галактики; 75 000 световых лет /40 световых лет на каждый этап даст примерно 2000 этапов колонизации. Если каждый этап занимает 14 000 лет, космические корабли достигнут самых удаленных уголков

Млечного Пути через 28 миллионов лет. Окажутся ли они при этом на всех пригодных для обитания планетах? Ответ — да: если каждая цивилизация разошлет по шесть миссий, общее количество миссий составит 62000, гораздо больше, чем общее число обитаемых планет. То есть к тому времени, когда корабли достигнут краев Млечного Пути, они, скорее всего, побывают на всех обитаемых планетах, а на некоторых и по несколько раз.

Обратите внимание, что 28 миллионов лет — это значительно меньше возраста Млечного Пути. Это даже меньше, чем время, прошедшее после вымирания динозавров 65 миллионов лет назад. Но по сравнению с эволюционным путем Homo sapiens это очень много. Наши далекие потомки, которые колонизируют внешние границы Млечного Пути через 28 миллионов лет, вероятно, внешне будут совсем на нас не похожи.

129. d Ответ, как рассказано в «Большом космическом путешествии»

(глава 24), прост и страшен. Согласно принципу Коперника, место, где мы

367

Решения находимся, скорее всего, ничем особенно не отличается от всех других мест, где могут быть разумные наблюдатели. Если вышеописанный сценарий, согласно которому разумный вид, как правило, в конце концов отправляется колонизировать галактику, правдив, почти все разумные наблюдатели —

космические колонисты. А поскольку мы живем на родной планете своего вида, это делает нас необычными, то есть у нас особое положение. Либо наше положение не особое и большинство разумных видов остается на своих родных планетах. То есть колонизация космоса в масштабах целой галактики — явление редкое.

Энрико Ферми участвовал в разработке ядерного вооружения. Несомненно, он отдавал себе отчет, что ядерная энергия не только способна обеспечить межзвездные перелеты и колонизацию, но и повышает вероятность, что цивилизация уничтожит сама себя, не успев покинуть родную планету.

А следовательно, если нас до сих пор не колонизировали инопланетяне, это может быть признаком, что цивилизации склонны уничтожать сами себя до того, как достигнут стадии космической колонизации.

129. е До Луны около 400 000 километров. В одном световом годе около 1013 километров, поэтому отношение этих величин равно

13

40 св. лет×10 км / св. год

9

= 10.

5

4×10 км

Ближайшие экзопланеты, пригодные для обитания, находятся от нас в миллиард дальше Луны.

129. f Один процент скорости света — это 3000 километров в секунду.

В часе 3600 секунд, в миле 1,6 километра. Поэтому отношение скоростей равно

3000 км / с

≈ 250.

25 000 миль / ч×1,6 км / с×1 час / 3600 с

Нам придется создать космический корабль, способный развивать скорость в 250 раз больше, чем позволяют нынешние транспортные технологии.

368

Решения

129. g «Сатурну V» потребуется около 400 000/120 3 000 рейсов, чтобы доставить на орбиту строительные материалы для «Ориона». Для сравнения, «Сатурн V» запускали всего 13 раз.

129. h В 2017 году программе по запуску человека в космос исполнилось 56 лет. Мы подсчитали, что колонизация нашей галактики займет

28 миллионов лет — в 500 000 раз больше!

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Немного математики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ЧАСТЬ I. ЗВЕЗДЫ, ПЛАНЕТЫ, ЖИЗНЬ

1. Размер и масштабы Вселенной. . . . . . . . . . . . . . 17

1. Экспоненциальное представление чисел. Обзор. . . . . . . . . 17

Записываем числа в экспоненциальном представлении

1. a Тридцать один миллион семьсот тысяч. . . . . . . . . . . . 17

2. Сколько длится год?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Вычисляем, сколько секунд в году

3. Насколько быстро распространяется свет?. . . . . . . . . . . . 17

Вычисляем, сколько километров в световом годе

4. Угловые секунды в радиане. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Вычисляем, сколько угловых секунд содержится в радиане: это число пригодится нам при расчетах с помощью малоугловой формулы

5. Парсек — это далеко?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Переводим парсеки в световые годы и астрономические единицы

6. Дальше в космос — глубже в прошлое. . . . . . . . . . . . . 18

Изучаем соотношения между расстоянием и временем при путешествиях со скоростью света

7. Взгляд на Нептун. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Время, необходимое свету, чтобы попасть с Земли на планету Нептун, зависит от взаимного расположения Земли и Нептуна на их орбитах

370

Содержание

8. Очень-очень далеко и давным-давно. . . . . . . . . . . . . 19

При коммуникации с космическим кораблем, находящимся в любой точке Солнечной системы или в любой точке галактики Млечный Путь, неизбежны задержки

9. Космические путешествия. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Вычисляем, сколько времени потребуется, чтобы преодолеть то или иное расстояние с той или иной скоростью

10. К другим звездам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Вычисляем, сколько времени потребуется, чтобы добраться до ближайших звезд

11. Атмосфера Земли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Вычисляем массу воздуха в земной атмосфере и сравниваем ее с массой океанов

2. От дневного и ночного неба к орбитам планет. . . . . . . . 23

12. Движение Солнца, Луны и звезд. . . . . . . . . . . . . . . 23

Изучаем, где и когда можно наблюдать различные небесные тела

13. Взгляд на Луну. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Выясняем, сколько всего можно узнать, если просто понаблюдать за Луной

14. Восходы и закаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Вопросы о том, когда восходят и заходят различные небесные тела

15. Небесные объекты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Еще несколько вопросов о том, что можно узнать, если наблюдать за небесными объектами

16. Аристарх и Луна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Определяем отношений расстояния до Луны и Солнца при помощи школьной геометрии

17. Расстояние до Марса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Применяем параллакс, чтобы определить, далеко ли до Марса

371

Содержание

18. Расстояние до Луны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Применяем параллакс, чтобы определить, далеко ли до Луны

19. Массы и плотности в Солнечной системе. . . . . . . . . . . . 27

Вычисляем плотность Солнца и плотность Солнечной системы

3. Законы Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

20. Силы, действующие на книгу. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Применяем законы Ньютона, чтобы понять, какие силы действуют на книгу, лежащую на столе

21. По баллистической траектории. . . . . . . . . . . . . . . . 29

Вычисляем скорость спутника на низкой околоземной орбите

22. Как преодолеть земную гравитацию?. . . . . . . . . . . . . 30

Вычисляем расстояние, на котором притяжение

Луны и Земли одинаково

23. Геосинхронные орбиты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Вычисляем радиус околоземной орбиты, синхронизированной с вращением Земли

24. Центростремительное ускорение и кинетическая энергия на орбите Земли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Вычисляем, какой ущерб нанесет столкновение с космическим мусором

25. Центростремительное ускорение Луны и закон всемирного тяготения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Сравниваем ускорение Луны на ее орбите и ускорение яблока, падающего на поверхность Земли

26. Кеплер о Юпитере. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Применяем законы Кеплера к орбитам спутников Юпитера

27. Нептун и Плутон. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Вычисляем отношение орбит Нептуна и Плутона

28. Роковые астероиды?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Как отразить астероид, чей курс грозит столкновением с Землей

372

Содержание

29. Комета Галлея и пределы применимости третьего закона Кеплера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Применяем третий закон Кеплера к орбите кометы Галлея

30. Сила действия равна силе противодействия. . . . . . . . . . 36

Движение Солнца, вызванное притяжением Юпитера

31. Аристотель и Коперник. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Небесная механика в древнем и современном представлении

4–6. Как звезды излучают энергию. . . . . . . . . . . . . . 38

32. Далекие сверхновые. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Применяем закон обратных квадратов, чтобы связать яркость и светимость

33. Солнечные батареи на космических аппаратах. . . . . . . . . . 38

Вычисляем, сколько энергии могут дать солнечные батареи, установленные на космическом аппарате

34. Свети!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Вычисляем, сколько чернотельного излучения испускают наши тела

35. Крошечные углы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Выясняем, как движение в пространстве отражается на положении на небосводе

36. Подумаем о параллаксе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Как близкие звезды движутся по небосводу относительно далеких звезд из-за вращения Земли вокруг Солнца

37. Совсем маленькие углы и далекие звезды. . . . . . . . . . . 41

Как «Гея» измеряет параллаксы далеких звезд

38. Яркость, расстояние и светимость. . . . . . . . . . . . . . . 42

Изучаем соотношение яркости и светимости различных звезд

39. Сравниваем звезды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Соотносим светимость, радиус, температуру поверхности звезды и расстояние до нее

373

Содержание

40. Жаркие и сияющие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Изучаем соотношения между характеристиками звезд,

излучающих как абсолютно черные тела

41. Белый карлик. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Вычисляем расстояние до белого карлика и его размеры

42. На орбите вокруг белого карлика. . . . . . . . . . . . . . . 44

Применяем третий закон Кеплера, чтобы рассчитать орбиту вокруг белого карлика

43. Поглощение света атомами водорода. . . . . . . . . . . . . 44

Изучаем спектр звезды класса F, чтобы оценить энергетические уровни атома водорода. Задача повышенной сложности

7–8. Жизнь и смерть звезд. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

44. Сияющее Солнце. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Вычисляем, с какой скоростью в ядре Солнца из водорода синтезируется гелий

45. Термоядерный синтез и принцип неопределенности Гейзенберга. . 47

При помощи квантовой механики определяем, при каких условиях в ядре звезды может идти термоядерный синтез. Задача повышенной сложности

46. Свойства белых карликов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

На основе прямых наблюдений белого карлика определяем его радиус и плотность. Задача повышенной сложности

47. Сжатие в белый карлик. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Определяем, на каком расстоянии друг от друга располагаются ядра атомов в недрах белого карлика

48. Вспышки в ночи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Определяем, хватит ли гравитации пульсара, чтобы не дать ему распасться при быстром вращении

49. Жизнь на нейтронной звезде. . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Вычисляем, как действует сверхсильная гравитация нейтронной звезды

374

Содержание

50. Расстояние до сверхновой. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Наблюдаем, как расширяется остаток сверхновой, чтобы определить расстояние до нее

51. Сверхновые очень энергичны!. . . . . . . . . . . . . . . . 55

Что можно сказать о светимости сверхновой

52. Сверхновые очень опасны!. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Что будет, если сверхновая взорвется на расстоянии нескольких сотен световых лет от Земли?

53. Нас прошивают нейтрино. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Вычисляем поток нейтрино, испускаемых при взрыве сверхновой, и определяем уровень их регистрации

54. Вот это взрыв!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Вычисляем энергию, выделяющуюся при гамма-всплеске

55. Бах-барабах!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Вычисляем параметры одного из самых мощных гамма-всплесков за всю историю наблюдений

56. Компактная звезда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Вычисляем расстояние между нуклидами в нейтронной звезде

57. На орбите вокруг нейтронной звезды. . . . . . . . . . . . . 61

Применяем третий закон Кеплера, чтобы рассчитать орбиту вокруг нейтронной звезды

58. Диаграмма Герцшпрунга — Рассела. . . . . . . . . . . . . 61

Сочинение о соотношении между температурой поверхности и светимостью звезд

9. Почему Плутон — не планета. . . . . . . . . . . . . . . 62

59. Соперница Плутона?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Определяем свойства крупного объекта из пояса Койпера, расположенного на периферии Солнечной системы, непосредственно на основе наблюдений. Задача повышенной сложности

375

Содержание

60. Еще один соперник Плутона. . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Исследуем свойства другого крупного небесного тела на периферии

Солнечной системы

61. Воздействие планеты на материнскую звезду. . . . . . . . . . 68

Используем наблюдения за движением звезды под гравитационным воздействием планеты, находящейся на ее орбите, чтобы рассчитать свойства самой планеты

62. Катастрофические столкновения с астероидами. . . . . . . . . 70

Как падение астероида на юную Землю могло привести к испарению океанов

63. Разрушители планет. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Рассчитываем приливное воздействие планеты на ее спутник.

Задача повышенной сложности

10. Поиски жизни в Галактике. . . . . . . . . . . . . . . . 73

64. Орбиты и температуры планет. . . . . . . . . . . . . . . . 73

Вычисляем орбиты и равновесные температуры планет,

вращающихся вокруг своих звезд

65. Вода на других планетах?. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Определяем, существует ли на поверхности планет, вращающихся вокруг своих звезд, вода в жидком состоянии

66. Океаны в Солнечной системе. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Исследуем свойства океанов на Земле, Марсе и Европе

67. Может ли в океане на Европе существовать фотосинтезирующая жизнь?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Определяем, насколько солнечный свет, попадающий на Европу, может поддерживать жизнь на ней

68. О жидкой воде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Условия, при которых может существовать жидкая вода, необходимая для известных нам форм жизни

376

Содержание

ЧАСТЬ II. ГАЛАКТИКИ

11–13. Млечный Путь и Вселенная галактик. . . . . . . . . . 81

69. Сколько на свете звезд?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Вычисляем количество звезд в наблюдаемой Вселенной

70. Расстояние между звездами. . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Общий взгляд на расстояние между звездами

71. Пустота пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Рассчитываем плотность Млечного Пути и Вселенной в целом

72. Сжимаем Млечный Путь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Что будет, еcли сжать все звезды Млечного Пути в один огромный шар?

73. Рождение звезды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Сколько нужно собрать межзвездного газа, чтобы сделать звезду?

74. Массивная черная дыра в центре Млечного Пути. . . . . . . . 83

Вычисляем массу черной дыры в центре нашей Галактики непосредственно по данным наблюдений

75. Сверхновые и Галактика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Сколько нужно сверхновых, чтобы создать тяжелые элементы в Млечном Пути?

76. Гало темного вещества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Вычисляем массу Млечного Пути по его наблюдаемому вращению

77. На орбите вокруг Галактики. . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Орбита Большого Магелланова облака вокруг Млечного Пути: что она говорит о массе нашей Галактики?

78. Как обнаружить темное вещество. . . . . . . . . . . . . . . 87

Вычисляем, сколько вокруг нас частиц темного вещества, и узнаем, как планируется их зарегистрировать. Задача повышенной сложности

79. Вращение галактик. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Определяем, можно ли увидеть вращение галактики на небосводе

377

Содержание

80. Измерение расстояния до вращающейся галактики. . . . . . . 91

Измеряем расстояние до галактики по видимому движению ее звезд на небосводе и по их движению вдоль луча зрения

14. Расширение Вселенной. . . . . . . . . . . . . . . . . 92

81. Постоянная Хаббла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Определяем темп расширения Вселенной на основании измеряемых свойств галактик

82. Что расширяется быстрее — Вселенная или Атлантический океан?. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Ответ вас удивит

83. Третье измерение в астрономии. . . . . . . . . . . . . . . 95

Как мы измеряем расстояния во Вселенной

84. Будет ли Вселенная расширяться вечно?. . . . . . . . . . . . 95

Соотношение между плотностью Вселенной и ее дальнейшей судьбой.

Задача повышенной сложности

85. Движение Местной группы в пространстве. . . . . . . . . . . 96

Вычисляем силу притяжения Местной группы галактик к сверхскоплению Девы. Задача повышенной сложности

15–16. Ранняя Вселенная и квазары. . . . . . . . . . . . . 99

86. Нейтрино в ранней Вселенной. . . . . . . . . . . . . . . . 99

Вычисляем, какое количество нейтрино родилось вскоре после

Большого взрыва

87. У Вселенной нет центра. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Краткое объяснение, почему у расширяющейся Вселенной нет центра

88. Яркие квазары. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Вычисляем свойства квазаров и сверхмассивных черных дыр, которые питают их энергией

89. Происхождение элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Как во Вселенной возникают различные химические элементы

378

Содержание

ЧАСТЬ III. ЭЙНШТЕЙН И ВСЕЛЕННАЯ

17–18. Эйнштейновский путь к специальной теории относительности. . . . . . . . . . . 105

90. Лоренц-фактор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Изучаем определяемые специальной теорией относительности соотношения между расстояниями в различных системах отсчета

91. Высокоскоростные мюоны. . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Роль специальной теории относительности в наших представлениях о рождении и регистрации мюонов, возникающих в верхних слоях атмосферы

92. Высокоэнергичные космические лучи. . . . . . . . . . . . . 107

Вычисляем релятивистские эффекты для одной из самых высокоэнергичных из когда-либо зарегистрированных частиц

93. А «Титаник» все плывет. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Играем в релятивистские игры с гигантским судном «Титаник»

94. Стареющий астронавт. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Разбираемся, в чем состоят релятивистские эффекты при движении астронавта с околосветовой скоростью

95. Разлуки и встречи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Как может различаться восприятие времени у двух друзей

96. Путешествие к другой звезде. . . . . . . . . . . . . . . . 109

Вычисляем, насколько медленнее идет время для космонавта, путешествующего с околосветовой скоростью

97. Отстающие часы на Земле. . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Вычисляем разницу между часами на орбите вокруг Солнца и неподвижными часами

98. Антивещество!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Нужно ли уносить ноги, если столкнутся два грузовика —

с веществом и с антивеществом?

379

Содержание

99. Энергия стакана воды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Вычисляем, сколько энергии можно получить при ядерном синтезе из водорода, содержащегося в стакане воды

100. Движение сквозь пространство-время. . . . . . . . . . . . 111

Прокладываем в пространстве-времени мировую линию Земли, движущейся по орбите вокруг Солнца

101. Можно ли двигаться быстрее света?. . . . . . . . . . . . . 111

Почему постулаты специальной теории относительности не разрешают двигаться со скоростью больше скорости света

102. Короткие вопросы по специальной теории относительности. . . 111

Короткие вопросы, на которые можно ответить несколькими фразами

19. Общая теория относительности Эйнштейна. . . . . . . . 113

103. Страна Консервия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Изучаем природу геодезических линий на знакомой двумерной поверхности

104. Отрицательная масса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Если уронить мяч отрицательной массы, упадет ли он?

105. Старение на орбите. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Изучаем, что произойдет с вашими часами на орбите согласно общей и специальной теории относительности. Задача повышенной сложности

106. Короткие вопросы по общей теории относительности. . . . . . 117

Короткие вопросы, на которые можно ответить несколькими фразами

20. Черные дыры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

107. Черная дыра в центре Млечного Пути. . . . . . . . . . . . 119

Определяем параметры сверхмассивной черной дыры в центре нашей Галактики

108. Короткие вопросы о черных дырах. . . . . . . . . . . . . 119

Короткие вопросы, на которые можно ответить несколькими фразами

380

Содержание

109. Большие черные дыры. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Изучаем свойства самых больших черных дыр во Вселенной

110. Задача автостопщика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Книга «Автостопом по галактике» наводит на задачу о черных дырах.

Задача повышенной сложности

111. Столкновение черных дыр!. . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Измерения гравитационных волн от пары сливающихся черных дыр позволяют определить их параметры

112. Добываем энергию из пары черных дыр. . . . . . . . . . . 123

На основании идей Стивена Хокинга определяем, сколько энергии выделяется при столкновении черных дыр

21. Космические струны, кротовые норы и путешествия во времени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

113. Короткие вопросы о путешествиях во времени. . . . . . . . . 125

Короткие вопросы, на которые можно ответить несколькими фразами

114. Теннис с путешествием во времени. . . . . . . . . . . . . 125

Как сыграть с самим собой в теннис при помощи путешествий во времени. Задача повышенной сложности

115. Научная фантастика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Пишем научно-фантастический рассказ с использованием астрофизических понятий. Задача — сделать его как можно реалистичнее с научной точки зрения

22. Контуры Вселенной и Большой взрыв. . . . . . . . . . 130

116. Карта Вселенной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Расставляем различные астрономические объекты в порядке увеличения расстояния от Земли

117. Гномонические проекции. . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Изучаем геометрию необычной карты ночного неба, выстроенной на плоском листе бумаги

381

Содержание

118. Доктор Кто во Флатландии. . . . . . . . . . . . . . . . 134

Изучаем понятия общей теории относительности, чтобы понять устройство ТАРДИС Доктора Кто.

119. Короткие вопросы о форме Вселенной. . . . . . . . . . . . 136

Короткие вопросы, на которые можно ответить несколькими фразами

23. Инфляция и новейшие исследования в области космологии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

120. Самый первый миг. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Определяем его на основании общей теории относительности и квантовой механики

121. Самая неточная оценка за всю историю физики. . . . . . . . 138

Позволяет ли планковская плотность сделать разумную оценку плотности темной энергии? Подсказка: нет.

122. Не такая уж и ошибка?. . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Поговорим о связи между стремлением Эйнштейна к стационарной

Вселенной и ускоренным расширением, которое мы наблюдаем сегодня.

123. Большой взрыв. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Эмпирические данные, показывающие, что Вселенная началась с Большого взрыва

24. Наше будущее во Вселенной. . . . . . . . . . . . . . . 140

124. Путь на Марс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Рассчитываем самую эффективную траекторию с Земли до Марса

125. Путешествия к другим звездам: солнечные паруса. . . . . . . 141

Используем давление солнечного света, чтобы двигать космический корабль во время путешествия к другим звездам

126. Принцип Коперника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Применяем принцип Коперника к понятию времени

127. Коперник в действии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Принцип Коперника и наше понимание структуры Вселенной и нашего места в ней

382

Содержание

128. Короткие вопросы о будущем Вселенной. . . . . . . . . . . 144

Короткие вопросы, на которые можно ответить несколькими фразами

129. Управляемая панспермия. . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Исследуем, как человечество может колонизировать Млечный Путь при помощи беспилотных зондов

Полезные численные величины и формулы. . . . . . . . . . . . 147

Решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Серия «Удивительная Вселенная»

Нил Деграсс Тайсон

Майкл А. Стросс

Ричард Дж. Готт

ДОБРО ПОЖАЛОВАТЬ ВО ВСЕЛЕННУЮ

Перевод с английского Анастасии Бродоцкой

Научный редактор к. ф.-м. н. Александр Красильщиков

Заведующая редакцией Юлия Данник

Ответственный редактор Ольга Лазуткина

Оформление обложки Ольга Жукова

Технический редактор Олег Лёвкин

Компьютерная верстка Андрей Григорьев

Корректор Елена Савинова

Общероссийский классификатор продукции

ОК-034-2014 (КПЕС 2008); 58.11.1 — книги и брошюры

Подписано в печать 03.04.2020

Формат 60х90 1/. Усл. печ. л. 24

16

Печать офсетная, бумага офсетная. Гарнитура «HeliosCondLight»

Изготовитель: ООО «Издательство АСТ»

Изготовлено в 2020 году в Российской Федерации

Тираж экз. Заказ №

ООО «Издательство АСТ»

129085, РФ, г. Москва, Звездный бульвар, дом 21, стр. 1, комната 705, пом. I Адрес нашего сайта: www.ast.ru

E-mail: ogiz@ast.ru

«Баспа Аста» деген ООО

129085, г. МKскеу, жMлдызды гNлзар, д. 21, 1 OMрылым, 705 бPлме

БіздіR электрондыO мекенжайымыз: www.ast.ru; E-mail: ogiz@ast.ru SазаOстан Республикасында дистрибьютор жKне Pнім бойынша арыз-талаптарды OабылдаушыныR Pкілі

«РДЦ-Алматы» ЖШС, Алматы O., Домбровский кPш., 3«а», литер Б, офис 1.

Тел.: 8(727) 2 51 59 89,90,91,92, факс: 8 (727) 251 58 12 вн. 107; E-mail: RDC-Almaty@eksmo.kz

[німніR жарамдылыO мерзімі шектелмеген; [ндірген мемлекет: Ресей Сертификация Oарастырылма\ан

12+

Content

Тайсон Нил Деграсс и др Добро пожаловать во Вселенную