Бен Орлин

Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Переводчик Алексей Огнёв

Научный редактор Михаил Гельфанд, канд. физ. — мат. наук

Редактор Вера Копылова

Издатель П. Подкосов

Руководитель проекта А. Шувалова

Корректоры О. Петрова, Е. Сметанникова

Компьютерная верстка А. Фоминов

Арт-директор Ю. Буга

© 2018 by Ben Orlin

© 2018 by Hachette Book Group, Inc

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2020

© Электронное издание. ООО «Альпина Диджитал», 2020

* * *

Просветительский фонд «Эволюция»

основан в 2015 году сообществом российских просветителей.

Цель фонда — популяризация научного мировоззрения, продвижение здравомыслия и гуманистических ценностей, развитие науки и образования.

Одно из направлений работы фонда — поддержка издания научно-популярных книг.

Каждая книга, выпущенная при содействии фонда «Эволюция», тщательно отбирается серьезными учеными. Критерии отбора — научность содержания, увлекательность формы и значимость для общества.

Фонд сопровождает весь процесс создания книги — от выбора до выхода из печати. Поэтому каждое издание библиотеки фонда — праздник для любителей научно-популярной литературы.

Больше о работе просветительского фонда «Эволюция» можно узнать по адресу

www.evolutionfund.ru

* * *

Посвящается Тэрин

Введение

Эта книга посвящена математике. Во всяком случае, таков был изначальный план.

Но сюжет неожиданно вильнул влево. Вскоре я оказался в лабиринте подземных туннелей. Мобильная связь не работала. Когда я вышел на свет, моя книга все еще была о математике, но также и о множестве других вещей. Почему люди покупают лотерейные билеты? Каким образом детская писательница повлияла на исход выборов в Швеции? Каковы отличительные свойства готического романа? Была ли постройка гигантской шарообразной космической станции мудрым шагом со стороны Дарта Вейдера и Галактической Империи?

Это математика для вас. Она соединяет отдаленные уголки жизни, как секретная система труб водопроводчика Марио.

Если вы видите математику иначе, возможно, дело в том, что вы посещали заведение под названием «школа». В таком случае примите мои соболезнования.

Когда я окончил колледж в 2009 году, мне казалось, что я знаю, почему математика не пользуется популярностью: в общем и целом ее дурно преподают. На уроках математики красивое, образное, логическое искусство измельчили в конфетти и велели школьникам собрать оригинал обратно. Невозможная, парализующая задача. Неудивительно, что школьники стонали. Неудивительно, что они терпели поражения. Неудивительно, что взрослые вспоминают о школьных уроках математики с содроганием и чувствуют позывы к рвоте. Решение проблемы казалось мне очевидным: математику необходимо лучше объяснять, да и сами преподаватели должны быть лучше.

Потом я стал учителем. Я был заносчив и неопытен, во мне клокотала гордыня, но первый учебный год преподал мне жестокий урок: пускай я знаю математику, но все еще не знаю, как ее преподавать и что она значит для моих учеников.

Однажды в сентябре у меня спонтанно завязалась неловкая дискуссия с девятиклассниками о том, зачем мы изучаем геометрию. Неужели взрослые пишут двухэтажные доказательства? Неужели инженеры работают без калькуляторов? Неужели при подсчете личных финансов постоянно нужны ромбы? Все традиционные оправдания звучали неубедительно. В конце концов мои девятиклассники пришли к единому мнению: «Мы изучаем математику, чтобы доказать наш ум и трудолюбие вузам и работодателям». Если исходить из этой формулировки, математика сама по себе не имела значения. Решение математических задач превращалось в тяжелую атлетику, накачивание мускулов, бессмысленную демонстрацию интеллектуальной мощи, нудное упражнение ради строчки в резюме. Я был подавлен этим ответом, но школьников он обрадовал, отчего я был подавлен еще больше.

Школьники были правы. Учеба напоминает состязание, игру с нулевой суммой{1}, и математика выполняет функцию механизма сортировки. Но школьники не осознавали высший смысл математики, а я не умел им его показать.

Почему математика лежит в основе всего в жизни? Как ей удается выстраивать связи между разрозненными областями: монеты и гены, игральные кости и акции, книги и бейсбол? Причина в том, что математика — это система мышления, а любая проблема в мире решается мышлением.

Я пишу о математике и образовании с 2013 года — иногда для Slate, The Atlantic и Los Angeles Times, но в основном для моего блога «Математика с дурацкими рисунками». Читатели постоянно спрашивают: почему я плохо рисую? Странный вопрос! Если я угощаю гостей сэндвичами, никто не интересуется, почему я не приготовил сногсшибательную курицу под апельсиновым соусом. То же самое с моим «изобразительным искусством». Я мог бы назвать этот блог «Математика с лучшими рисунками, на которые я способен; честное слово, ребята, я стараюсь», смысл остался бы тем же, но это прозвучало бы слишком патетично.

Мой путь художника начался в тот день, когда я нарисовал на доске собачку, чтобы проиллюстрировать решение задачи, и надо мной расхохотались так, как никогда за всю мою карьеру. Моя бездарность насмешила и шокировала школьников, но в конечном итоге они сочли ее по-своему милой. Часто математика похожа на соревнование с высокими ставками; когда безусловный эксперт в этой науке оказывается совершенно бездарен в чем-то другом, это очеловечивает его, а в дальнейшем, возможно, очеловечит и сам предмет, который он ведет. С тех пор самоуничижение стало ключевым элементом моей педагогики; вы не найдете такого совета ни в одной методичке для учителей, но, вы знаете, это работает.

Чаще всего на своих уроках я терплю поражение. Моим ученикам кажется, что математика — затхлый подвал, где туда-сюда шныряют бессмысленные символы. Дети пожимают плечами, изучают хореографию и вальсируют не в такт.

Но в удачные дни они видят далекий проблеск света и осознают, что математика — это не подвал, а потайной подземный лабиринт, соединяющий все, что они знают, и все остальное, что только есть на свете. Школьники бьются над задачами, фантазируют, проводят параллели, рвутся вперед, и постепенно их настигает неуловимое счастье — понимание истины.

Эта книга — не учебник, поэтому я буду пропускать технические детали. (Любители хардкора могут заглянуть в примечания.) На ее страницах вы обнаружите несколько уравнений, но даже самые кошмарные из них — не более чем украшения. Я хочу сосредоточиться на том, что, на мой взгляд, составляет истинное сердце математики, — на концепциях. Каждый раздел этой книги посвящен тому или иному пейзажу, но все они, как сеть подземных туннелей, объединены одной большой идеей. Как законы геометрии ограничивают наши дизайнерские идеи? Как методы вероятности откупоривают нектар вечности? Как крошечные приращения дают квантовые скачки? Как статистика приводит в порядок безумное расползание реальности?

Эта книга вывела меня в диковинные места. Надеюсь, что это произойдет и с вами.

Бен Орлин, октябрь 2017

I. Думать как математик

По правде говоря, математики не делают ничего особенного. Прихлебывают кофе, хмурясь на грифельную доску. Прихлебывают чай, хмурясь на контрольные учеников. Прихлебывают пиво, хмурясь на доказательство, которое записали год назад и в жизни больше не поймут.

Так протекает их жизнь: разнообразные напитки, нахмуренные брови и размышления, прежде всего размышления.

Видите ли, в математике нет физических объектов: нет необходимости вычислять концентрацию химических веществ, ускорять частицы, сотрясать финансовые рынки. Математики просто думают, вот и все. Когда мы проводим вычисления, мы превращаем одну абстракцию в другую. Когда мы выстраиваем доказательства, мы перекидываем логические мостики между взаимосвязанными идеями. Когда мы пишем алгоритмы или компьютерные программы, мы передоверяем электронному мозгу задачи, с которыми не могут справиться наши собственные водянистые мозги, слишком медленные или слишком перегруженные.

Каждый год, проведенный в компании математики, я изучаю новые стили мышления, новые способы использования первоклассного механизма, спрятанного внутри черепа и годного на все случаи жизни. Как освоить игру, покрутив ее правила? Как сохранить мысли на будущее, записав их крючковатыми греческими буквами? Как учиться на своих ошибках, словно это авторитетные профессора? И как не терять твердость духа, когда дракон хаоса наступает на пятки?

В общем, математика — это работа ума.

А как насчет хваленой пользы математики в повседневной жизни? Откуда на горизонте чистой мысли появляются смартфоны, космические корабли и, не к ночи будет помянута, таргетированная реклама? О, терпение, дружище. Всему свое время. Мы должны начать с того, с чего начинается вся математика, то есть с игры…

Глава 1. Жесткие крестики-нолики

Что такое математика?

Однажды на пикнике в Беркли я увидел группу математиков, которые побросали свои летающие тарелки фрисби и сгрудились, чтобы сыграть — вот уж чего никак не ожидал — в крестики-нолики.

Возможно, вы успели убедиться на собственном опыте, что крестики-нолики смертельно скучны (в медицинском смысле слова). Из-за того, что возможностей для хода ничтожно мало, опытные игроки быстро запоминают оптимальную стратегию. Вот как проходят все мои партии:

Если оба игрока хорошо понимают правила, все партии раз за разом проходят вничью — механически, без простора для творческой мысли.

Но на том пикнике в Беркли математики играли в необычные крестики-нолики. На их игровом поле каждая из девяти клеток делилась еще на девять клеточек[1]:

Когда я присмотрелся, основные правила прояснились:

Но потребовалось чуть больше времени, чтобы понять самое важное правило:

Вы не можете поставить крестик или нолик в клеточке на произвольном мини-поле. Все зависит от предыдущего хода противника. Вы должны играть на том мини-поле, которое соответствует клеточке, где он поставил свой крестик или нолик.

(А от того, где вы поставите свой крестик или нолик, зависит, на каком мини-поле он будет играть дальше.)

Это придает игре стратегический элемент. Вы не можете ставить крестик или нолик где угодно. Вы должны рассчитать, куда ваш ход перенаправит вашего противника и куда его ход перенаправит вас — и так далее, и так далее. (Есть всего одно исключение: если ваш противник перенаправляет вас на поле, которое уже сыграно, поздравляю — вы можете выбрать любое другое.)

В итоге сценарии игры выглядят эксцентрично: игроки легко теряют по два-три крестика или нолика на одной линии. Как будто звезда баскетбола упускает открытую передачу и кидает мяч в толпу. Но в этом безумии есть метод. Игроки думают на несколько ходов вперед, в зависимости от того, что предпринимает противник. Осуществив хитрую атаку на мини-поле, вы остаетесь в дураках на большом поле, и наоборот — это-то и вносит напряжение в процесс игры.

Время от времени я играю в жесткие крестики-нолики с моими учениками[2]; они наслаждаются стратегией, шансом победить учителя и, что самое существенное, отсутствием тригонометрических функций. Но частенько кто-нибудь из них застенчиво спрашивает: «Ну, мне, конечно, нравится игра, но какое отношение она имеет к математике?»[3]

Я знаю, как обычные люди воспринимают мою профессию: унылая тирания жестких правил и формульных процедур, где не больше разнообразия, чем, скажем, в заполнении страхового свидетельства или налоговой декларации. Вот пример задачки, которая ассоциируется с математикой:

Эта задачка, вероятно, сможет занять ваше внимание на пару минут, хотя вскоре вы абстрагируетесь от геометрического смысла. Периметр больше не будет означать длину линии, ограничивающей прямоугольник. Он превратится просто-напросто в удвоенную сумму двух чисел. Как и в обычных крестиках-ноликах, все сведется к примитивным вычислениям, не требующим интеллектуального напряжения. Здесь нет места фантазии, нет вызова вашим способностям.

Но математика не ограничивается бухгалтерскими вычислениями, ее потенциал гораздо шире. Математика может быть дерзкой и увлекательной, успех может зависеть от баланса терпеливости и авантюризма. Попробуем переформулировать рутинную задачу, приведенную выше, в таком духе:

Эта задачка уже по-настоящему захватывающая. Она противопоставляет площадь и периметр. Вы не просто пользуетесь формулой; в процессе решения вам необходимо постичь суть прямоугольника. (Спойлеры — в примечаниях[4].)

Или как насчет такого:

В этом уже есть какая-то перчинка, не правда ли?

За два быстрых шага мы перескочили от сомнамбулически нудной работы к довольно любопытной небольшой головоломке, и у шестиклассников горят глаза, когда я закидываю им эту задачу в качестве дополнительного вопроса на итоговом экзамене. (Ответ — опять-таки в примечаниях[5].)

Творчество требует свободы, но одной свободы недостаточно. Псевдоголоволомка «нарисуйте два прямоугольника» подразумевает не только свободу, но и неизбежность скучных математических вычислений. Головоломка должна быть непредсказуемой, чтобы вызвать настоящий творческий порыв.

Вернемся к жестким крестикам-ноликам. У вас есть всего несколько вариантов каждого хода — вероятно, три или четыре. Их достаточно, чтобы включилось ваше воображение, и не настолько много, чтобы вы захлебнулись в море бессчетных альтернатив. Игра представляет собой гармонию жестких правил и свободы выбора.

И это великолепная иллюстрация того удовольствия, которое доставляет математика: творчество, порожденное непредсказуемостью. Привычные крестики-нолики — это математика с точки зрения большинства людей; жесткие крестики-нолики — это математика, какой она должна быть.

Вы можете найти множество аргументов в пользу того, что все творческие порывы стремятся нарушить четкие правила. По словам физика Ричарда Фейнмана, «творчество — это воображение в надежной смирительной рубашке». Жесткие правила сонета — «Укладывайся в ритм! Соблюдай длину строки! Следи за рифмовкой! Окей… а теперь выражай свою любовь, Вильям ты наш Шекспир!» — не ограничивают, а совершенствуют мастерство. Или возьмем, к примеру, спорт. Футболисты должны достичь определенной цели (забить мяч в ворота), следуя твердым правилам (нельзя дотрагиваться до мяча руками). В процессе игры они изобретают удар «ножницами» (удар через себя в падении) или удар «рыбкой» (удар головой в падении). Пренебрегая правилами, вы теряете изящество. Даже авангардное искусство — экспериментальный фильм, экспрессионистская картина, профессиональный реслинг — обретают силу благодаря тому, что выбор средств самовыражения ограничен.

Математики делают еще один концептуальный шаг. Мы не просто следуем заранее заданным правилам — мы изобретаем их и заигрываем с ними. Мы делаем предположение, выводим его логические следствия — и если они ведут в никуда или, что гораздо хуже, если они наводят скуку, мы ищем новый и более плодотворный путь.

Например, что произойдет, если я усомнюсь в постулате о параллельных прямых?

Евклид изложил этот закон параллельных прямых примерно в 300 году до н. э.; он принял его как должное и назвал фундаментальным предположением («постулатом»). Его преемники сочли это несколько смехотворным. Мы действительно должны принимать на веру данное утверждение? Может быть, его можно доказать? На протяжении двух тысячелетий ученые ковыряли это правило, как волоконце мяса, застрявшее между зубов. В конце концов они поняли: «О да! Это всего лишь предположение». Вы можете предположить иное. В таком случае традиционная геометрия обрушится и уступит место диковинным альтернативным геометриям, где слова «параллельность» и «прямая» имеют совершенно другой смысл.

Новое правило — новая игра.

То же самое работает в случае с жесткими крестиками-ноликами. Вскоре после того, как я стал пропагандировать эту игру, я увидел единственную техническую деталь, на которой все держится. Она сводится к вопросу, которого я уже касался раньше. Как быть в том случае, если мой противник перенаправляет меня на мини-поле, которое уже сыграно?

Сейчас мой ответ совпадает с тем, который я приводил выше. Если мини-поле уже сыграно, вы можете выбрать любое другое.

Но изначально мой ответ был другим. До тех пор, пока на этом мини-поле остаются пустые клетки, вам необходимо идти туда и делать ход, даже если он лишен смысла.

Это кажется мелочью — всего лишь одна нить в гобелене игры. Но посмотрите, как вся ткань распустится, если потянуть за нее.

Я покажу суть старого правила с помощью дебютной стратегии, которую я окрестил (в порыве скромности) «гамбитом Орлина»:

Иными словами, крестики жертвуют центральным мини-полем ради выигрышной позиции на оставшихся восьми. Я полагал, что эта стратегия весьма крута, пока читатели не указали мне на ее глубочайшую глупость. Гамбит Орлина дает небольшое преимущество, но его легко расширить до гарантированно беспроигрышной стратегии[6]. Вы можете пожертвовать не одним мини-полем, а двумя, завоевав при этом по два крестика на одной прямой на оставшихся семи мини-полях.

Я был смущен и переформулировал старое правило — легкая перенастройка, которая вдохнула в жесткие крестики-нолики новую жизнь.

Новое правило — новая игра.

Именно так развивается математика. Мы выбираем правила и начинаем играть. Когда игра нам приедается, мы меняем правила. Мы вводим новые ограничения и смягчаем старые. Каждое нововведение влечет за собой новые головоломки и вызовы.

По большей части математики не бьются над чужими загадками, а изобретают свои собственные, исследуя, какие ограничения приводят к интересным играм, а какие — к наводящим скуку. В конце концов постоянная смена правил и перескоки от одной игры к другой становятся похожи на отдельную грандиозную нескончаемую игру.

Математика — это логическая игра по изобретению логических игр.

Вся история математики снова и снова иллюстрирует этот тезис. Логические головоломки изобретают, решают и изобретают снова. Например, что произойдет, если я подправлю знакомое уравнение и заменю двойку на другое число: 3, или 5, или 797?

С ума сойти! Я превратил элементарное древнее уравнение, имеющее множество решений в целых числах (например, 3, 4 и 5), в самую досадную задачу, с которой когда-либо сталкивалось человечество, — в великую теорему Ферма. Она тревожила умы математиков около 350 лет, но в 1990-е годы гениальный британец{2} заперся на чердаке и вышел примерно десять лет спустя, щурясь на солнечный свет, с доказательством, что уравнение не имеет целочисленных решений, если степени неизвестных больше двух[7].

А что произойдет, если я возьму две переменных, скажем x и y, и построю координатную сетку, чтобы посмотреть, как они зависят друг от друга?

Невероятно! Я изобрел координатную плоскость и совершил революцию в математике, наглядно изобразив алгебраические идеи, и поэтому мне платят кучу денег. Будем знакомы: меня зовут Декарт.

Или припомним, что возведение числа в квадрат всегда дает положительную величину. А что, если мы придумаем особое число, которое при возведении в квадрат дает отрицательную величину? И что тогда?

Вот это да! Мы изобрели мнимые числа, открыв возможности для исследования электромагнетизма и взломав математическую истину под названием «основная теорема алгебры»{3}. Звучит неплохо, можно включить в резюме.

В каждом из этих случаев математики поначалу недооценивали преображающую силу смены правил. Ферма полагал, что его теорема доказывается крайне просто; как выяснилось, он заблуждался, и его сбитые с толку преемники бились над доказательством несколько веков. Идея Декарта о координатной плоскости (которую называют «декартовой системой координат» в его честь) вначале была высказана в приложении к философскому тексту{4}; впоследствии текст забылся, а идея получила свое развитие. Над мнимыми числами издевались и смеялись несколько веков («настолько же неуловимые, насколько бесполезные», сказал великий итальянский математик Кардано[8]), пока их не признали настоящими и полезными. Кстати, само слово «мнимый»{5} по отношению к таким числам изначально имело уничижительный смысл, и придумал это поношение не кто иной, как Декарт.

Легко недооценить новаторские идеи, если они родились не в результате серьезных размышлений, а во время игры. Кто мог предположить, что небольшая перемена в правилах (новая степень, новая визуализация, новое число) превратит фантазию в нечто официально признанное?

Не думаю, что математики на том пикнике думали о таких вещах, когда склонились над игрой в жесткие крестики-нолики. Но в этом и не было необходимости. Осознаём мы это или нет, но логическая игра по изобретению логических игр оказывает влияние на всех нас.

Глава 2. Как математику видят школьники?

Увы, эта глава будет краткой и мрачной. Я прошу прощения. Но я слишком занят, чтобы просить прощения даже за другие вещи, например за мои душеразжижающие уроки математики.

Вы понимаете, что я имею в виду. Для множества школьников заняться математикой означает записать карандашом предписанную последовательность действий. Математические символы ничего не символизируют; они просто пляшут по странице, выполняя бестолковые хореографические упражнения.

Вся эта математика, приятель, —

Побасенки и выдумки абака,

Сплошь синусы да греческие буквы,

Не значащие ровно ничего{6}.

Позвольте принести два кратких извинения. Во-первых, я прошу прощения у своих учеников за то, что я часто заставлял их чувствовать себя как персонаж на этой картинке. Я пытался избежать подобных ситуаций; кроме того, я пытался отвечать на все электронные письма, экономить на мороженом и посещать парикмахерскую чаще, чем раз в четыре месяца. Пожалуйста, простите, ведь я обычный человек и ничто человеческое мне не чуждо.

Во-вторых, я извиняюсь перед математикой за все нанесенные мною раны. В свою защиту могу сказать: госпожа Математика, вы живете в неосязаемой башне количественных концепций, зацементированных абстрактной логикой, поэтому вряд ли я оставил на вашем теле глубокие шрамы. Но я не настолько заносчив, чтобы не попросить прощения.

Вот и все в этой главе. Обещаю: следующая будет гораздо более взрывной, как и любой хороший сиквел.

Глава 3. Как математику видят математики?

Тут все очень просто. Математика похожа на язык.

Курьезный язык, я не спорю. Насыщенный, лаконичный и требующий кропотливого чтения. За то время, пока я успею проглотить пять глав «Сумерек»[9], вы, возможно, так и не перелистнете страницу вашего учебника по математике. Этот язык приспособлен для того, чтобы рассказывать некоторые истории (например, о соотношениях между кривыми и уравнениями), но не в силах поведать другие (например, об отношениях между девушками и вампирами). Поэтому он обладает определенным лексиконом и полон слов, которых нет в другом языке. Например, даже если я переведу формулу на привычный английский, она останется бессмыслицей для тех, кто не знаком с рядами Фурье, так же как «Сумерки» — бессмыслица для тех, в ком не играют подростковые гормоны.

Но все-таки кое в чем математика — обычный язык. Пытаясь добиться понимания, математики используют стратегии[10], знакомые большинству читателей. Они формируют мысленные образы. Они составляют парафразы в своей голове. Они пропускают отвлекающие формальности. Они проводят параллели между тем, что читают, и тем, что уже знают. И, как ни странно, они испытывают эмоции: радуются, веселятся или брезгливо кривятся, когда читают научные тексты.

За одну короткую главу нельзя научить бегло говорить на математическом языке, это не легче, чем научить американца бегло говорить по-русски. Филологи могут часами дискутировать о четверостишии Джерарда Мэнли Хопкинса{7} или о двусмысленной фразе из электронного письма. Математики тоже могут расходиться во мнениях по определенным вопросам. У каждого своя оригинальная точка зрения, сформированная жизненным опытом и личными ассоциациями.

Тем не менее я хочу предложить вашему вниманию несколько вольных переводов, несколько беглых взглядов на стратегию, с помощью которой математики могут читать актуальные математические статьи. Назовем ее Теорией закорючек 101{8}.

Обычно я слышу от школьников вопрос: «Имеет ли значение, что я перемножу сначала: 11 и 13 или 7 и 13?» Ответ («Нет») менее интересен, чем подоплека вопроса: с точки зрения моих студентов, умножение — это действие, операция, которую вы делаете. Один из труднейших уроков, который я преподаю им, состоит в том, что иногда это не так.

Вы не должны воспринимать 7 × 11 × 13 как команду. Вы также можете назвать это число 1002 — 1, или 499 × 2 + 3, или 5005/5, или Джессика, или Число-которое-спасет-планету-Земля, или Старое доброе 1001{9}. Но если 1001 — имя, похожее на имена других друзей из мира чисел, то 7 × 11 × 13 — причудливое и произвольное прозвище. Точнее говоря, это официальное имя из свидетельства о рождении.

7 × 11 × 13 — это результат факторизации (то есть разложения на простые множители), задающий объемную точку зрения.

Некоторые ключевые фоновые знания: сложение скучно. А именно: записывать 1001 как сумму двух чисел — поистине тоскливое занятие. Вы можете представить это число в виде суммы 1000 + 1, или 999 + 2, или 998 + 3, или 997 + 4… и так далее, и так далее, пока вы не впадете в кому от скуки. Это разложение на слагаемые не говорит нам ничего особенного о числе 1001, потому что все числа можно разложить на слагаемые практически одинаковым способом (например, можно записать число 18 в виде суммы 17 + 1, или 16 + 2, или 15 + 3…). Визуально это похоже на деление одной кучи на две. Без обид, но копаться в кучах глупо.

Умножение — вот настоящее веселье. Чтобы не быть чужим на этом празднике жизни, вам стоит применить первое стратегическое правило чтения математических текстов: формирование мысленных образов.

Как показано на рисунке на предыдущей странице, умножение сводится к сеткам и массивам. Число 1001 можно рассматривать в качестве гигантской конструкции из кубиков: 7 в ширину, 11 в длину и 13 в высоту. Но это только начало. Вы можете представить это число как 11 слоев из 91 кубика каждый, а если вы наклоните голову, то увидите 7 слоев по 143 кубика в каждом. Все эти способы разложения числа 1001 становятся очевидны благодаря факторизации. Но почти невозможно разобрать это число без кропотливых вычислений, просто глядя на сочетание цифр.

Факторизация — это ДНК числа. Благодаря факторизации вы можете понять, на что делится данное число, а на что нет. Если математика — это мастер-класс по кулинарии, то произведение 7 × 11 × 13 — это не рецепт блинчика, а сам блинчик.

Для типичных фанатов число π — таинственная руна, символ математической магии. Они размышляют над его иррациональностью, запоминают цепочку из тысячи цифр и отмечают 14 марта День π, сочетая наиболее славное искусство человечества (приготовление сладких пирогов) с наименее славным (пижонство). Для широкой же публики число π — это объект одержимости и благоговейного трепета. Вокруг него сложилось нечто вроде религиозного культа.

А для математиков π — это приблизительно 3.

Что до бесконечной катушки знаков после запятой, которая так пленяет профанов, то математиков это не тревожит. Они знают, что математика — нечто большее, чем точные вычисления. Это быстрая прикидка и ловкое округление. Интуиция помогает оптимизировать и упрощать. Разумное огрубление — еще одно жизненно важное стратегическое правило чтения математических текстов.

Возьмем формулу S = πR^2, которую многие школьники слышат так часто, что фраза «площадь круга» вызывает у них рефлекторное желание закричать: «Пи эр квадрат!» Они как агенты глубокого внедрения с промытыми мозгами. Но что значит эта формула? Почему это так?

Ладно, забудьте о числе 3,14159. Раскрепостите сознание. Просто поглядите на геометрические фигуры: r — это радиус круга, длина отрезка; r^2 — это площадь квадрата (он изображен на чертеже). А теперь вопрос на π долларов: как площадь круга соотносится с площадью этого квадрата?

Очевидно, что площадь круга больше. Но не в четыре раза больше, потому что четыре квадрата покроют не только круг, но и дополнительную часть плоскости. Кроме того, присмотревшись, вы поймете, что площадь круга немного больше, чем площадь трех квадратов.

Это именно то, что утверждает наша формула: площадь круга чуть-чуть больше, чем 3 × r^2.

Если вы хотите установить точное значение числа π (почему 3,14, а не 3,19?), вам придется прибегнуть к доказательству. (Есть несколько великолепных наглядных доказательств, мое любимое заключается в том, чтобы снимать с круга слой за слоем, как будто кожицу с луковицы, и в итоге получить многоугольник[11].) Но математики, что бы они ни доказывали, не всегда исходят из первичных принципов. Как и представители других профессий, от плотников до смотрителей зоопарка, они с радостью используют какой-нибудь инструмент, даже не зная в точности, каким образом он сконструирован, до тех пор, пока у них есть ощущение, что он работает.

«Постройте график исходя из уравнения» — знакомое домашнее задание. Я и сам его задавал. Кроме того, это зародыш порочного мифа: якобы графики являются самоцелью. На самом деле их построение не похоже на решение уравнений или выполнение операций. График — это не конечный пункт, а всегда не более чем средство.

График — это способ визуализировать данные, картинка, которая рассказывает историю. Он представляет собой еще одну могущественную стратегию чтения математических текстов: превратить статику в динамику.

Возьмем уравнение, приведенное выше: y = 1/x^2. Здесь x и y — пара взаимосвязанных чисел. Вот несколько примеров:

Уже просматривается несколько закономерностей. Но чем лучше наши технические приемы, тем больше мы видим, и таблицы — не модный инструмент. Из бесконечных пар x — y, которые подходят нашему уравнению, таблица, как бегущая строка биржевых индексов, может показать всего лишь несколько. Нам нужен инструмент визуализации получше: математический аналог телевизионного экрана.

На сцене появляется график.

Рассматривая x и y как своего рода широту и долготу, мы преобразуем каждую неосязаемую пару чисел в нечто геометрическое — точку. Бесконечное множество точек становится непрерывной кривой линией. И тогда возникает история, рассказ о движении и изменении.

• Когда x уменьшается, стремясь к нулю (1/5,1/60,1/1000…), y раздувается до немыслимых величин (25, 3600, 1 000 000…).

• Если x увеличивается (20, 40, 500…), y скукоживается до микроскопических чисел (1/400,1/16 000,1/250 000…).

• Когда x принимает отрицательные значения (–2, –5, –10), y остается положительным. Он никогда не спускается ниже нуля.

• Ни одна из величин не может быть равна нулю.

Окей, возможно, это не самая сочная сюжетная линия, но такие умственные упражнения показывают разницу между математиком-новичком (он видит парализующий поток бессмысленных символов) и опытным математиком (он видит нечто слаженное и дружелюбное). Графики наполняют безжизненные уравнения ощущением движения.

Есть психологический феномен, известный под неприятным названием чанкинг. Это не просто способ очистить организм после чрезмерного количества пива{10}, но и мощная ментальная техника, необходимая математикам. Очередная стратегия чтения математических текстов.

Чанкинг означает, что мы интерпретируем набор разрозненных, ускользающих деталей как единое целое. Приведенное выше уравнение — хороший пример. Умелый чанкер игнорирует мелочи слева. Там x или y, 5 или 6, плюс или минус? Не знаю, без разницы. Вместо этого вы видите просто два множителя, формирующих скелет уравнения: чанк умножить на чанк равно нулю.

Если вы знакомы с таблицей умножения, вы знаете, что ноль — это своеобразный результат.

6 × 5? Не ноль.

18 × 307? Не ноль.

19,91632 × 4 600 000 000 000? Нет смысла открывать калькулятор на вашем смартфоне: это тоже не ноль.

Ноль — единственное в своем роде число в мире умножения. В отличие от числа, скажем, 6, которое можно разложить на множители различными способами (3 × 2, 1,5 × 4, 1200 × 0,005…), ноль — особая, своенравная величина. На самом деле есть всего один способ получить ноль, перемножая два числа: если одно из них само по себе равно нулю.

Здесь окупается наша стратегия дробления: один из множителей равен нулю. Таким образом, x равен либо 5, либо 7.

Уравнение решено.

Чанкинг прочищает не только наши желудки, но и наши умы. Он делает мир удобоваримым. Чем больше вы узнаете, тем агрессивнее вы чанкаете. Старшеклассник может прочанкать целую строку алгебраических символов и понять, что это формула площади трапеции. Старшекурсник может прочанкать несколько дремучих строчек вычислений и увидеть, что это формула объема твердого тела вращения. Аспирант прочанкает полстраницы грозных греческих букв и сделает вывод, что речь идет о вычислении хаусдорфовой размерности множества. Чем выше ваш уровень, тем больше вы узнаете. Что такое трапеции? Как ведут себя интегралы? Что курил Хаусдорф{11} и где бы нам такое раздобыть?

Но мы не изучаем детали ради деталей. Мы узнаем детали, чтобы позже их проигнорировать и сосредоточиться на более общей картине.

Поменяйте местами два символа. Что произойдет?

Ну, с точки зрения новичка, ничего. Вы поменяли две закорючки, две буквы тарабарского языка. Какая разница? Но, с точки зрения математика, это все равно что поменять местами море и небо, горы и облака, птицу и рыбу (к величайшему ужасу обеих). Поменять местами два символа означает поменять все на свете.

Например, возьмем два выражения и представим, что х равен 10.

А 10^2 — большое число. Это 10 × 10, то есть 100 — приемлемое количество школьников, которым я смогу преподавать в этом году, или расстояние (в милях) до парка с аттракционами, или стоимость (в долларах) для оплаты телевидения. (Но сомнительно, что вы сможете приютить такое количество далматинов.)

Но 2^10 гораздо больше. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024. Стольких школьников можно выучить за десять лет, столько ехать до самого грандиозного парка с аттракционами на свете, столько долларов можно заплатить за самое навороченное телевидение. (Но чрезвычайно сомнительно, что вы сможете приютить такое количество далматинов; вот почему приняты законы о насилии над животными.)

Чем больше мы увеличиваем x, тем больше разрыв между значениями двух функций. На самом деле слово «больше» слишком скромное, это как назвать Большой каньон «трещинкой». Когда х возрастает, разрыв между х^2 и 2x приобретает катастрофический характер.

100^2 — довольно много. 100 × 100 = 10 000.

Но 2^100 — это невообразимо много.

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376, примерно миллиард миллиардов триллионов.

Допустим, мы ведем измерения в фунтах. 10 000 фунтов{12} — это масса грузовика, груженного кирпичами. По правде говоря, это тяжело, но второе число принадлежит к другому классу величин.

Такова масса сотни тысяч планет Земля.

Функции х^2 и 2x не слишком отличаются друг от друга для нетренированного глаза. Но, чем дольше вы изучаете математику и чем более бегло вы говорите на этом языке закорючек, тем более драматичной становится разница. Вскоре она становится нутряной, тактильной; она начинает задевать ваши чувства, и это последний жизненно важный пункт нашей стратегии. Мы должны читать строки математического текста, испытывая весь спектр эмоций — от радости и приязни до страха и трепета.

Рано или поздно неумение отличить функции х^2 и 2x становится таким же абсурдным, как образ грузовика, который тащит за собой сто тысяч планет.

Глава 4. Как естествознание и математика видят друг друга?

1. Больше не близнецы

В девятом классе мы с моим другом Джоном были удивительно похожи: задумчивые, круглолицые, темноволосые мальчишки, молчаливые, как мебель. Учителя путали наши имена; старшеклассники думали, что мы один и тот же человек; в классном журнале мне выставляли его оценки, а ему — мои. Насколько я помню, мы стали друзьями только ради того, чтобы дурачить окружающих.

Со временем мы выросли. Джон сейчас — широкогрудый мужчина ростом 188 см, он выглядит как принц из диснеевского мультфильма. Мой рост 175 см; говорят, что я нечто среднее между Гарри Поттером и Дэниелом Рэдклиффом. Этап нашей дружбы, когда мы были почти что близнецами, давно миновал.

Нечто похожее произошло с математикой и естествознанием.

Раньше, когда естествознание и математика были еще пухлыми младенцами, они не просто напоминали друг друга — между ними нельзя было провести границы. Исаака Ньютона нисколько не тревожило, кем назовут его историки — естественником или математиком. Он был тем и другим одновременно. То же самое можно сказать о его умных старших братьях — Галилее, Кеплере, Копернике. Для них естествознание и математика были взаимосвязаны и неотделимы друг от друга. Их ключевая идея состояла в том, что физический космос следует математическим рецептам. Вещи повинуются уравнениям. Вы не можете изучать одно без другого, точно так же как вы не можете съесть по отдельности ингредиенты пирога, если он уже выпечен.

С тех пор пути естествознания и математики разошлись. Взглянем хотя бы на то, как их преподают: отдельные кабинеты, разные учителя, разные учебники (хотя те и другие одинаково сбивают с толку). Они постройнели, нарастили мускулы и утратили наивность девятиклассников с широко распахнутыми глазами.

Но их до сих пор путают друг с другом. Любой дуралей может видеть, что я не Джон, а Джон не я. Но прохожие на улице затруднятся с ответом, если вы спросите, в чем заключается разница между математикой и естествознанием, особенно с точки зрения дилетанта.

Возможно, простейший способ провести границу между ними — ответить на вопрос, чем различаются математика и естествознание не для дилетанта, а друг для друга.

2. Посмотрим друг на друга

С точки зрения естествознания ответ прост. Оно видит в математике набор инструментов. Если естествознание — гольфист, то математика — кедди, помощник, который подает подходящую клюшку.

Эта точка зрения ставит математику в подчиненное положение. Ох, я ей сочувствую (хоть это мне несвойственно). Естествознание пытается осмыслить реальность, и это чертовски сложно, как вы знаете сами, если когда-нибудь имели дело с реальностью. Вещи рождаются. Вещи умирают. Их ископаемые остатки безумно разрозненны. Вещи демонстрируют качественно различное поведение в квантовом и релятивистском масштабе. Реальность — это кавардак.

Естествознание пытается понять реальность. Оно ставит своей целью предсказывать, классифицировать и объяснять. И в этом стремлении оно воспринимает математику в качестве жизненно важного помощника: Кью, изобретающий полезные гаджеты для очередного приключения Джеймса Бонда.

А теперь развернем камеру на 180° и сменим ракурс. Как математика воспринимает естествознание?

Вы обнаружите, что мы не просто поменяли угол зрения. Мы полностью сменили жанр фильма. Естествознание представляет себя главным героем боевика, а математика видит в себе директора экспериментального арт-проекта.

Причина в том, что на фундаментальном уровне математике нет дела до реальности.

Я не имею в виду странные привычки математиков: бормотать под нос, неделями носить одни и те же брюки, время от времени забывать, как зовут их супругу[12]. Я имею в виду их работу. Несмотря на агрессивную рекламную кампанию о практической пользе математики, она довольно безразлична к физической вселенной.

Математику волнуют не вещи, а идеи.

Математика устанавливает правила, а затем путем тщательных рассуждений прослеживает, что следует из этих правил. Кого волнует, что полученные выводы — о бесконечно длинных конусах и сардельках в 42 измерениях — не имеют отношения к реальности? Важна их абстрактная истинность. Математика живет не в материальной вселенной естествознания, а в концептуальной вселенной логики.

Математики называют такую работу творческой. Они сравнивают ее с искусством.

Естествознание становится их музой. Представьте себе композитора, который слушает щебет птиц и вплетает эту мелодию в свой новый опус. Или художника, которые созерцает кучевые облака, дрейфующие по полуденному небу, и на основе этого образа рисует свой новый пейзаж. Люди искусства не стремятся запечатлеть вещи с фотографической точностью. Реальность для них не более чем благодатный источник вдохновения.

Точно так же видит мир и математика. Реальность — прекрасная отправная точка, но самые поразительные цели лежат далеко за ее пределами.

3. Парадокс математики

Математика видит в себе мечтательную поэтессу. С точки зрения естествознания математика — это поставщик специальных технических инструментов. Здесь мы сталкиваемся с одним из величайших парадоксов человеческого познания: оба взгляда верны, но их с трудом можно примирить друг с другом. Если математика — это не более чем поставщик инструментов, почему эти инструменты настолько поэтичны? И если она поэтесса, почему ее поэзия так неожиданно полезна?

Чтобы понять, что я имею в виду, обратимся к запутанной истории теории узлов[13].

Эта отрасль математики, как и многие другие, была вдохновлена естественно-научной задачей. До открытия атомов некоторые ученые (включая лорда Кельвина) придерживались мнения, что вселенная наполнена субстанцией под названием «эфир», а материя создана из узлов и клубков эфира. Они стремились к тому, чтобы классифицировать все возможные узлы и создать периодическую таблицу клубков.

Вскоре физики утратили интерес к этой идее, поглощенные новой блестящей теорией атомов{13} (ее несправедливое преимущество заключалось в том, что она была верна{14}). Но математики уже попались на крючок. Они обнаружили, что классификация узлов — сладостная и дьявольская задача. Две разновидности одного и того же узла могли выглядеть совершенно по-разному. Абсолютно отличающиеся друг от друга узлы поражали своим сходством. Это было отличной подпиткой для математиков, которые скоро разработали сложную и исчерпывающую теорию узлов, будучи уверены, что их интеллектуальная абстракция не имеет никакого практического применения.

Прошло около ста лет.

И вот из укрытия выползла настоящая змея. Как вы знаете, каждая биологическая клетка содержит информацию в молекуле ДНК, которая фантастически длинна. Если выпрямить ДНК одной клетки вашего организма, она растянется почти на два метра. В 100 000 раз длиннее самой клетки.

ДНК — это длинная струна, упакованная в миниатюрный контейнер. Если вы когда-нибудь клали наушники в карман или вынимали новогоднюю гирлянду из картонной коробки, вы знаете, что их необходимо свернуть в клубок. Как это удается бактерии? Можем ли мы выучиться у бактерии такому трюку? Можем ли обезвредить раковую клетку, расплетая ее ДНК?

Биология была в недоумении. Ей требовалась помощь. «О! — воскликнула математика. — Я знаю одну штуку!»

Вот краткая биография теории узлов{15}. Она родилась из практических нужд. Вскоре она превратилась в нечто абсолютно оторванное от практики, логическую игру для поэтов и философов. А дальше каким-то образом это творение, которое на протяжении многих лет, казалось, не имело никакого отношения к реальной жизни, стало чрезвычайно полезным совершенно не в той области, ради которой оно родилось.

Это не единичный случай. Это обычная схема в истории математики.

Помните странную альтернативную геометрию, о которой шла речь в первой главе? На протяжении веков ученые рассматривали ее как фантазию, поэтическую прихоть. Они не видели соответствия с нашей реальностью, в которой, как предполагалось, действовал постулат Евклида о параллельных прямых.

Но в один прекрасный день на сцене появился молодой клерк из патентного бюро по фамилии Эйнштейн. Он понял, что безумная геометрия — не просто мысленный эксперимент; она определяет структуру космоса. С нашей ограниченной точки зрения, вселенная выглядит евклидовой, а шарообразная Земля — плоской. Но если изменить масштаб и отбросить предрассудки обитателя плоскости, откроется совершенно иная картина: переменчивый ландшафт поразительных изгибов[14].

«Бесполезная» геометрия становится чертовски полезной.

Мой любимый пример касается логики как таковой. Ранние философы вроде Аристотеля разработали логическую символику («если p, то q») как руководство научного мышления. Потом на нее покусились математические теоретики и превратили логику в нечто необычное и абстрактное. Реальность улетучилась. В XX веке люди вроде Бертрана Рассела сочиняли фолианты с латинскими заголовками{16} с целью «доказать», исходя из элементарных предпосылок, что 1 + 1 = 2. Что может быть более бесполезным, более безнадежным?[15]

Одна мама пилила сына-логика: «Солнышко, к чему тебе вся эта абстрактная математика? Почему бы не заняться чем-нибудь полезным?»[16]

Маму звали Этель Тьюринг. Вскоре выяснилось, что ее сын Алан все-таки на что-то годен: он изобрел логическую машину, которую мы теперь называем «компьютер».

Я не могу винить ее за скептицизм. Кто бы мог подумать, что исследование логических систем, которое вел ее сын, определит облик нового столетия? Сколько примеров я ни узнавал, этот исторический цикл перехода полезного в бесполезное и снова в полезное остается для меня чудом и тайной.

Мое любимое описание этого феномена — чеканная фраза физика Юджина Вигнера: «Непостижимая эффективность математики»[17]. В конце концов, бактерии не знают теорию узлов, так почему они следуют ее законам? Пространственно-временной континуум не изучал гиперболическую геометрию, почему тогда ее теоремы выполняются так безупречно?

Я читал философов, которые пытались ответить на эти вопросы, но, на мой взгляд, их тезисы умозрительны и противоречивы, и никто из них не смог умерить мое изумление.

Итак, как лучше понять взаимоотношения между поэтессой, которую мы называем Математика, и искателем приключений, известным как Естествознание? Возможно, мы должны рассматривать их связь как симбиоз двух весьма разных существ. Например, птица, поедающая насекомых, примостилась на спине носорога. У носорога не зудит кожа. Птица удовлетворяет аппетит. И они оба счастливы.

Если вы захотите изобразить математику, нарисуйте изящное существо, оседлавшее серую морщинистую тушу.

Глава 5. Хороший математик против великого математика

Развенчивать мифы невероятно весело. Просто посмотрите на беззаботные взрывы смеха и улыбки до ушей ведущих телешоу «Разрушители легенд»{17}, и вы увидите: это карьера с высокой степенью удовлетворенности от работы.

Гораздо сложнее вносить поправки в мифы. Многие преобладающие в культуре взгляды на математику не то чтобы ошибочны — они просто искажены, неполны или гиперболизированы. Важны ли вычисления? Конечно же, но ими дело не ограничивается. Уделяет ли математика внимание деталям? Да, равно как вязание и паркур. Был ли Карл Гаусс прирожденным гением? Ну да, но красивые доказательства в основном находят не депрессивные немецкие перфекционисты{18}, а обычные люди вроде нас с вами.

Перед тем как завершить этот раздел, я дам еще одно, последнее объяснение того, как думают математики, — шанс провести ревизию и прокомментировать некоторые популярные мифы. Как большинство мифов, они опираются на правду. И, как большинство мифов, они пренебрегают сомнениями и пробуксовкой на пути к осмыслению, которое делает нас людьми — и математиками.

Пару лет назад, когда я жил в Англии, у меня был ученик по имени Кори. Он напоминал мне нежноголосого 12-летнего Бенджамина Франклина: молчаливый, проницательный, длинные рыжие волосы, круглые очки. Я легко мог представить, как он изобретает бифокальные линзы.

Кори вкладывал душу в каждое домашнее задание, находил ясные связи между темами и собирал свои тетрадки с такой тщательностью и терпением, что я всегда опасался, как бы он не опоздал на следующий урок. Неудивительно, что на первой большой контрольной в ноябре Кори расщелкал все задачи.

Вернее, все задачи, на которые у него хватило времени.

Прозвенел звонок, но последняя четверть бланка ответов все еще была пуста. Он набрал чуть больше 70 баллов из 100 и явился ко мне на следующий день с нахмуренным лбом.

— Сэр, — сказал он (поскольку Англия — поразительная страна, где даже к нескладным 29-летним учителям обращаются с большим почтением), — почему время на решение контрольных ограничено?

Я полагаю, что честность — наилучшая политическая линия.

— Не потому, что скорость очень важна. Мы просто хотим удостовериться, что школьники могут справиться с контрольной сами, без посторонней помощи.

— Так почему нельзя работать после звонка?

— Ну, если бы я держал весь класс в заложниках весь день, другие учителя могли бы взбелениться. Они хотят, чтобы вы знали физику и географию, потому что ностальгически привязаны к реальности.

Я осознал, что никогда не видел Кори в таком состоянии: зубы сжаты, глаза потускнели. Всем своим видом он излучал разочарование.

— Я мог решить больше задачек, — сказал он. — У меня просто кончилось время.

— Я знаю, — кивнул я.

Больше нечего было сказать.

Намеренно или нет, школьная математика посылает громкий, четкий сигнал: «Скорость — это всё». Контрольные нужно решать быстро. Чем раньше сдашь контрольную, тем быстрее приступишь к домашней работе. Вы только посмотрите, как заканчиваются уроки — по звонку, как раунд извращенной принудительной викторины по логарифмам. Математика превращается в гонку, успех становится синонимом скорости.

Все это в высшей степени глупо.

Скорость имеет одно баснословное преимущество: она экономит время. Но математика требует глубокого проникновения в суть поставленной задачи, подлинного понимания, элегантного подхода. Вы не достигнете ничего из вышеперечисленного, перемещаясь со скоростью 1000 км/ч. Вы лучше разберетесь в математике, если будете думать тщательно, а не на скорую руку, и вы лучше изучите ботанику, рассматривая каждую травинку, а не скача как одержимый через пшеничное поле.

Кори понимал это. Я уповаю только на то, что учителя наподобие меня[18] не пытались, вопреки нашим лучшим намерениям, переубедить его.

Моя жена, математик-исследователь, однажды указала мне на курьезный паттерн математической жизни.

• Шаг 1. В воздухе повис сложный и захватывающий вопрос, важная гипотеза нуждается в доказательстве. Многие пытаются приручить зверя, но безуспешно.

• Шаг 2. В конце концов кто-нибудь находит длинное и запутанное доказательство, оно чрезвычайно глубокое, но за мыслью сложно уследить.

• Шаг 3. Со временем публикуются новые доказательства, они становятся все короче и проще, пока в конце концов самое первое доказательство не приобретает статус артефакта: неэффективная лампочка Эдисона выходит из употребления, уступая место более современным и изящным инженерным решениям.

Почему эта траектория настолько распространена?

Ну, в первый раз, когда вы находите истину, вы часто бредете колдобистым, извилистым путем. Вам делает честь то терпение, которое вы проявили, чтобы пережить все перипетии. Но требуется еще больше терпения, чтобы продолжить думать дальше. Только тогда вы сумеете отделить необходимые шаги от излишних, пойти напрямик и сократить нудное 120-страничное доказательство до цельного десятистраничного.

В 1920-е годы алгебра, вероятно, была самой скучной из всех отраслей математики[19]. Заниматься алгеброй означало увязнуть в трясине мелочей, угодить в терновый куст громоздких технических формальностей, в дисциплину деталей.

И вот в 1921 году математик по имени Эмми Нётер[20] опубликовала статью под названием «Теория идеалов в кольцевых областях». Забрезжила заря новой эпохи. Позже ее коллега сказал, что это рассвет «абстрактной алгебры как осознанной дисциплины». Нётер не была заинтересована в распутывании конкретных числовых схем. На самом деле она отложила саму идею числá в сторону. Для нее имели значение только симметрия и структура. «Она учила нас думать, пользуясь простыми и, соответственно, общими терминами, — вспоминал впоследствии один из ее коллег. — Поэтому она открыла путь к выявлению алгебраических закономерностей там, где раньше закономерности не были ясны».

Хорошая научная работа прежде всего требует сосредоточения на мельчайших деталях. Великая научная работа требует пренебрежения к деталям.

Для Нётер абстрагирование было не просто интеллектуальной привычкой, а стилем жизни. «Она часто перескакивала на родной немецкий, когда была поглощена какой-нибудь идеей, — рассказывал потом другой ее коллега[21]. — Она любила пешие прогулки. Она приглашала учеников на променад в субботу днем и была настолько поглощена разговорами о математике, что забывала об автомобилях, и ученикам приходилось оберегать ее».

Великих математиков не волнуют тривиальности наподобие пешеходных переходов и интенсивности автомобильного потока. Они смотрят умственным взором на нечто большее.

В 1998 году Сильвия Серфати[22] была поглощена вопросом: как определенные вихри эволюционируют со временем. Она даже написала об этом монографию («Вихри в магнитной модели Гинзбурга — Ландау»), но чувствовала, что зашла в тупик, решая эту головоломку.

«Много хороших исследований, — говорила она позже, — на самом деле начинаются с очень простых вещей, элементарных фактов, краеугольных кирпичиков… Прогресс в математике начинается с понимания системного случая, простейшего примера, в котором вы сталкиваетесь с той или иной задачей. И зачастую достаточно несложных вычислений; просто никому не приходило в голову рассмотреть задачу под таким углом».

Вы можете атаковать замок, ломясь в главные ворота и сражаясь с оборонительными силами лоб в лоб. Или вы можете попытаться лучше понять устройство замка — и, возможно, найти более легкий способ попасть внутрь.

Математик Александр Гротендик предложил другую метафору: представьте, что задача — это вкуснейший фундук, но лакомое ядрышко защищает скорлупа. Как расщелкать ее?

Есть два базовых подхода. Во-первых, взять молоток и бить по ореху, пока он не треснет. Результат достигнут, но этот метод грубый и требует усилий. Во-вторых, вы можете погрузить орех в воду.

По словам Гротендика, «время от времени вы трете орех, чтобы жидкость проникала внутрь, иначе вы потеряете время. Через недели и месяцы скорлупа становится мягче — и в один прекрасный день достаточно будет надавить рукой, чтобы скорлупа треснула, как очень спелое авокадо»[23].

В течение двух десятилетий Серфати урывками продвигалась вперед, потому что вместе с коллегами позволила скорлупе впитывать воду. Наконец в 2015 году она нашла верный путь и ринулась в атаку. Задача была решена за несколько месяцев.

В каждой области математики есть свой cвятой Грааль. Для многих статистиков Граалем было гауссово корреляционное неравенство[24].

«Я знаю людей, которые работали над ним 40 лет, — говорит Дональд Ричардс, специалист в сфере статистики из Пенсильвании. — Что касается меня, то я работал над ним 30 лет». Многие ученые предпринимали мужественные попытки — стостраничные вычисления, изощренные геометрические конструкции, новые гипотезы, основанные на математическом анализе и теории вероятностей, — но никто не добился Грааля. Некоторые усомнились и заподозрили, что этот Грааль — ложь и миф.

И вот в один прекрасный день в 2014 году Ричардс получил электронное письмо от немецкого пенсионера по имени Томас Ройен. В приложении был вордовский файл. Это выглядело странно: практически все математики набирают свои работы с помощью программы LaTeX. И зачем же бывший сотрудник фармацевтической компании обратился к ведущему исследователю в сфере статистики?

Выяснилось, что этот пенсионер доказал гауссово корреляционное неравенство. Он использовал аргументы и формулы, которые знакомы каждому выпускнику университета. Озарение пришло, когда он чистил зубы.

«Когда я увидел доказательство, — говорит Ричардс, — я сразу понял: оно верно». Ричардс чувствовал себя униженным и подавленным из-за того, что упустил такие простые аргументы, но, как бы то ни было, он был в восторге. «Помню, я подумал: какое счастье, что доказательство появилось еще при моей жизни! Честное слово, я был невероятно рад, когда его увидел».

История Ройена подтверждает поговорку моего любимого учителя физики[25]: «Не стреляй из базуки по мухам». Для математиков изысканность заключается в самоограничении.

Ноябрь 2010-го, город Окленд, штат Калифорния. Мне 23 года. На утреннем уроке тригонометрии я на все лады пытаюсь объяснить ученикам формулу Муавра. Безуспешно.

— Ну хорошо, начнем сначала! — восклицаю я. Пот градом катится по моему лицу. — Вы хотите возвести это комплексное число в энную степень, не правда ли? Тогда вы можете прибавить к заданному углу 2πk/n, потому что вы вернетесь в ту же точку. Ясно?

— Нет! — завопил целый класс подростков, закрывая уши. — Прекратите! Вы делаете только хуже!

Ученица по имени Вианни[26] подняла руку.

— Можно я попробую проверить, правильно ли я все понимаю?

— Пожалуйста… — вздохнул я. — Ни в чем себе не отказывай.

— Хорошо… Мы хотим поделить этот угол пополам, верно?

Подростки слегка поутихли.

— Если к углу мы прибавляем 360°, мы просто возвращаемся на исходную позицию, верно? 90° или 450°, по сути дела, одно и то же, мы просто прошли целиком всю тригонометрическую окружность и вернулись в ту же точку.

Подростки выпрямили спины.

— А если мы делим угол пополам, то 360° превращаются в 180°, и мы оказываемся на противоположной стороне тригонометрической окружности.

Класс осветили фотовспышки интеллектуальных озарений, как будто над головами подростков засияли электрические лампочки.

— Поэтому, — подытожила Вианни, — мы получаем два решения. Правильно?

Я на мгновенье задумался. Подростки подались вперед.

— Да, — кивнул я. — Прекрасно сказано.

Аудитория разразилась аплодисментами. Вианни потонула в овациях. Даже я не мог не признать ее превосходство. Я пытался объяснить теорему с обратного конца, охватив все значения n одновременно, а она разобрала один-единственный частный случай, когда n = 2.

Величайшие математики в истории запомнились не только подвигами своей интеллектуальной мощи, но и тем, что проторили новые тропы и показали путь своим последователям. Евклид свел воедино все идеи предшественников и создал незаменимый учебник. Кантор дистиллировал свое новаторское понимание бесконечности до прозрачных и кристально ясных аргументов. Штейн стал наставником для нескольких поколений математиков, которые занимались гармоническим анализом, делясь советами со столь же великими учеными, как и он сам.

Нельзя сказать, что Вианни понимала формулу Муавра лучше, чем я. Просто она смогла ясно выразить свои знания, а мое понимание оставалось запертым в толстокостном черепе, внутри которого ворочался неуклюжий язык.

Математика, который не может объяснить свои идеи, постигнет та же участь, что и меня в тот бесславный ноябрьский день: оказаться на одиноком островке мысли без надежды донести свои идеи до иных берегов. Но если математик сможет поделиться своей истиной с окружающими, благодарная толпа будет чествовать его, словно героя.

Вряд ли вы слышали о Нго Бао Тяу, хотя, возможно, (А) в один прекрасный день от скуки вы решили заучить имена всех обладателей медали Филдса, самой престижной награды для молодых математиков, или (Б) вы из Вьетнама, где Тяу — национальная знаменитость и прославленный герой.

(Кстати, низкий поклон Вьетнаму за такой почет к математикам. Вероятно, в Америке ближе всего к такому статусу Уилл Хантинг, но это даже не самая известная у нас роль Мэтта Деймона.)

Тяу — страстный любитель соревнований. В детстве он стремился стать лучшим из лучших. Какое-то время так оно и было. Он выиграл две золотые медали подряд на Международной математической олимпиаде и стал своего рода Симоной Байлз{19} во вьетнамской математике; учителя гордились им, сверстники завидовали.

Но в студенческие годы он стал погружаться в трясину депрессии, постепенно осознав, что не понимает математику, которую изучает. «Мои профессора думали, что я фантастический студент, — вспоминает он. — Я умел решать все упражнения. Но я ничего не понимал»[27]. Он чувствовал, что все его достижения — мыльный пузырь, хрупкая пленка славы, которая вскоре лопнет и обнажит ужасную пустоту внутри. Затем наступил поворотный момент. Он уже не стремился быть лучшим и стал учиться у тех, кто лучше него.

Он возлагает все свои заслуги к ногам Жерара Ломона, своего научного руководителя в аспирантуре. «У меня был один из лучших научных руководителей в мире, — рассказывает Тяу, сияя от радости. — Каждую неделю я приходил в его кабинет, и каждый раз он прочитывал со мной одну-две страницы».

Они двигались медленно, строка за строкой, уравнение за уравнением, стремясь к полному пониманию. Вскоре Тяу начал работать над программой Ленглендса. Это своего рода трансконтинентальная железная дорога современной математики: масштабная попытка соединить отдаленные дисциплины. Этот проект привлек на свою орбиту поколение амбициозных математиков наподобие Тяу, который решил доказать «фундаментальную лемму» — самую дразнящую гипотезу программы Ленглендса.

Очередная олимпиада? Гонка, где математики пытаются обскакать друг друга и найти доказательство раньше всех? Нет, полагает Тяу. «Мне помогли многие коллеги в моей области, — говорит он. — Они искренне поддерживали меня. Я просил совета, и они говорили мне, чему нужно выучиться. Все были очень открыты. Я не чувствовал никакой конкуренции». С помощью коллег Тяу удалось доказать фундаментальную лемму. Эта работа и принесла ему филдсовскую медаль.

Несмотря на то что Тяу — выдающийся ученый, его история радует своей обыкновенностью.

Те, кто процветают в атмосфере школьных состязаний с четкими рейтингами, простой иерархией и подпиткой поощрениями, должны выстраивать взаимоотношения по-новому, когда попадают в безграничный мир науки. Они входят в него конкурентами и превращаются в соратников.

II. Дизайн

Функциональная геометрия

Из милосердия жизнь преподает нам жестокий урок: если вы одержимы какой-то идеей, это еще не означает, что вы сможете добиться своего.

Например, вы хотите начертить квадрат, у которого диагонали той же длины, что и стороны. Мне жаль вас расстраивать, но с квадратами этот фокус не пройдет.

Или, скажем, вы хотите покрыть пол плиткой в виде правильных пятиугольников. Извините, но ваша затея никогда не увенчается успехом[28]. Между плитками в любом случае останутся зазоры.

Или, скажем, вы чертите равносторонний треугольник и хотите подобрать углы по своему вкусу, например 70°, или 49°, или 120°. Боюсь, что космосу нет до вас никакого дела: углы равностороннего треугольника будут равны 60°, ни градусом больше, ни градусом меньше, иначе ваш треугольник просто перестанет быть равносторонним.

Людские законы гибки, их можно отменять и пересматривать. Алкоголь продают с 21 года в США, с 18 лет в Великобритании, с 16 на Кубе, в Афганистане алкоголь запрещен, а в Камбодже никакие алкогольные ограничения не действуют — пейте, дети, на здоровье. Правительство любой страны может ужесточить или смягчить запрет на продажу алкоголя по своей прихоти (и, разумеется, чем крепче ваш напиток и чем небрежнее законы, тем больше вы склонны к капризам). Законы геометрии устроены иначе[29]. В них нет пространства для маневра: нет президента, который вас помилует, нет присяжных, которые вас оправдают, нет офицера полиции, который сделает предупреждение и отпустит вас на все четыре стороны. Законы математики выполняются без внешнего контроля и нерушимы по самой своей природе.

Тем не менее, как мы уже видели и еще не раз увидим, это не так уж и плохо. Ограничения рождают творческий порыв. Законы о том, что не позволено геометрическим фигурам, идут в одной упаковке с анализами кейсов, выявляющих, что им разрешено. В дизайнерских проектах — в любом масштабе, от полезной бумаги до прочных зданий и космических станций, уничтожающих планеты, — геометрия воодушевляет, даже если ограничивает.

Поэтому забудьте сентиментальную фразу «Все возможно»! Да, это мило, но глубоко противоестественно, как и многие другие вещи, которые мы скармливаем детям. Реальность строже — и удивительнее.

Глава 6. Мы возвели этот город на треугольниках

Хочу познакомить вас со звездой этой главы — треугольником.

Это не привычный для вас протагонист. Высокомерные литературные типажи могут сбросить его со счетов, потому что он слишком плоский. Тем не менее этот нетипичный герой предпримет типичное героическое путешествие: родившись в убогой семье, научится применять внутреннюю силу и в конце концов сослужит службу всему миру в кризисные времена.

Теперь, если ваше сознание настолько зашорено, что вы не можете вместить идею доблестного многоугольника, ни в коем случае не читайте дальше. Наденьте глазную повязку предрассудков. Но, убедительно прошу вас, зажмурьтесь достаточно крепко, ибо лишь глубочайшая тьма сможет укрыть ваше сумеречное сознание от сияющей истины, пронзительного света плоской геометрии. Разве вы забыли? Мы возвели этот город. Мы возвели этот город на треугольниках…

1. Двенадцать узлов на египетской веревке

Добро пожаловать в Древний Египет: процветающее царство, засилье чиновников, строгая вера и локти, согнутые под прямым углом. Оно просуществует несколько тысячелетий и переживет восход и закат империй с властелинами в коронах поскромнее.

Идем, подышим свежим воздухом. На дворе 2570 год до н. э., и Великая пирамида Гизы уже построена наполовину[30]. Три с половиной миллиона тонн кирпичей возвышаются среди пустыни, и на них взгромоздят еще три миллиона тонн. Самые тяжелые блоки весят больше двух слонов. Основание представляет собой квадрат со стороной 230 м (протяженность трех кварталов Нью-Йорка). Когда спустя десять лет пирамида будет закончена и 80 000 рабочих смогут расслабиться и выпить лимонаду, высота пирамиды будет составлять 150 м. Через пять тысячелетий она по-прежнему будет целехонька — самый непоколебимый небоскреб в истории человечества, величайший триумф триангулярной архитектуры.

Но на самом деле все не так.

Не поймите меня превратно: она еще не рухнула (по крайней мере, по моим последним данным). Но это никакая не победа треугольников. Если вы желаете увидеть треугольники в деле, забудьте о Великой пирамиде и прогуляйтесь со мной до пустыря неподалеку. Там мы обнаружим небольшую команду землемеров с канатом, завязанным странной петлей с 12 узлами на равном расстоянии друг от друга[31].

Зачем? Просто понаблюдайте. Сделав несколько шагов, каждый третий землемер берет свой узел (№ 1, № 4 и № 8, если быть точным), и они натягивают канат. Словно по волшебству, он образует прямоугольный треугольник. Четвертый рабочий отмечает прямой угол на песке. Землемеры ослабляют натяжение каната. Эта сценка повторяется снова и снова, пока весь пустырь не будет поделен на идеальные участки равного размера.

Если вы не клевали носом на уроках геометрии (и даже если клевали), эта сценка, возможно, вызовет в памяти теорему Пифагора. Ее формулировка такова: если вы построите по квадрату на сторонах прямоугольного треугольника, сумма площадей двух меньших квадратов будет равна площади большего. Или, говоря современным алгебраическим языком: а^2 + b^2 = с^2.

Реестр таких треугольников бесконечен. Например, длины сторон могут быть равны 5, 12 и 13; или 7, 24 и 25; или 8, 15 и 17; или (мой любимый пример) 20, 99 и 101. Египтяне мудро выбрали простейший случай: треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Вот поэтому узлов именно 12.

Но эта глава не о Пифагоре и «его» теореме (которую и без его помощи знали более древние цивилизации). Она о более простом и фундаментальном свойстве треугольников, замаскированном изяществе, которое мы скоро обнаружим. История треугольника начинается не в пифагорейском храме и не на вершине Великой пирамиды, а здесь, на пустыре. Канат превращается в инструмент землемера. Это первый увиденный нами намек на столь могущественную силу, что по сравнению с ней пирамиды — просто пригоршня пыли.

2. Три стороны, одна сущность

Психологическая фаза в процессе нашего рассказа! Треугольник должен вглядеться в собственную душу и задаться заветным вопросом: «Кто есмь аз?»

— Я фигура, подобная прочим, ничем не отличимая от них, за исключением количества сторон и углов?

Музыка звучит все громче, и треугольник молит космос о знаке, цели, озарении.

— О, из чего, — он вопиет, — на самом деле создан я?

Глас громовой грохочет из глубин.

— Я создан из трех сторон.

Окей, возможно, здесь нет такого откровения, как в моментах самопостижения. Немного похоже на то, как пациент психотерапевта замечает, что лежит на кушетке. Но здесь есть потаенные бездны. Нам откроется новая истина, если мы увидим в треугольнике не просто цельную фигуру, а совокупность трех частей.

Например: для создания треугольника сгодятся не любые три отрезка. Возьмем длины 10, 3 и 2 см. Эти три отрезка образуют этакую недофигуру с зазором — недотреугольник, если вам угодно. Длинный отрезок слишком длинный; короткие слишком коротки. Я окрещу его «Треугольник Ти-рекс», потому что короткие передние лапки не соответствуют массивному туловищу.

Это универсальная истина: самая длинная сторона треугольника должна быть короче, чем сумма двух других.

Это правило совершенно очевидно для мухи, ползущей по периметру треугольника. Ей известно, что путь напрямик (от A до B) всегда будет короче, чем обходной путь (от A до B, минуя C). Таким образом, сумма двух коротких сторон должна быть больше, чем длина третьей стороны.

У этого правила есть компаньон, даже глубже и могущественнее него: «Если три отрезка все-таки образуют треугольник, то один и только один». Поскольку даны три отрезка, импровизации и выдумки здесь неуместны. Есть всего один шаблон.

Например, договоримся, что длины сторон будут равны конкретным величинам (скажем, 5, 6 и 7 cм), разойдемся по отдельным комнатам и сконструируем наши персональные треугольники. Даю гарантию, что мы выйдем оттуда с одинаковыми изделиями.

Поглядите: я кладу мою самую длинную рейку на пол, приставляю и скрепляю две других. Готово! Скосите угол влево, и одна сторона выскользнет; скосите вправо — выскользнет другая. Математики называют такое решение единственным. Даже не предвосхищая ваш метод, я знаю, что вы придете к тому же решению, так как иных решений нет.

Эта истина верна лишь для треугольников. Ни один другой многоугольник на нее не притязает.

Попробуйте проделать то же самое с четырехугольником — кузеном треугольника. Одну рейку я кладу на пол. Следующие две устанавливаю вертикально. И водружаю последнюю рейку сверху, для надежности склеивая концы скотчем. Однако начинает задувать ветерок. Мой квадрат косится. Вся конструкция кренится вправо, как складной стул. Каждую секунду возникает новая фигура, от «квадрата» и «почти квадрата» до «чего-то вроде ромба» и «тощего сверхзаостренного ромба».

Четыре стороны с конкретными длинами не задают единственную фигуру. Наоборот, они задают бесконечное семейство возможных фигур. Любую из них можно превратить в другую, приложив небольшое усилие.

Итак, мы наблюдаем скрытое волшебство треугольника, его секретную идентичность: не просто трехсторонность, а жесткость, которую она за собой влечет.

Вязальщики египетских узлов знали это превосходство. Натягивая канат с 12 узлами, они вызывали из небытия пифагоров треугольник, выколдовывали из каната прямой угол. Вместо этого можете сделать из каната квадрат, но будьте аккуратны: на ваш клич отзовется целое семейство нежелательных фигур. Даже если натянуть канат потуже, углы четырехугольника не удастся удерживать без сбоев. То же самое верно для пятиугольников, шестиугольников, семиугольников и прочих родичей из семейства многоугольников. Никто не в силах сделать то, что может треугольник.

Пирамиды, будучи объемными фигурами, не обладают этим сильным преимуществом{20}. Кубы, конусы, усеченные пирамиды[32] — все они сгодятся для выполнения воли фараона. Шершавому языку камня все равно, какую выговаривать фигуру.

Нет-нет, в мои намерения не входило унижать пирамиды. Да и попробуйте унизить кирпичную махину в девять миллионов тонн. Я восхищен космической точностью этих кирпичей: длины сторон составляют около 20 см, края ориентированы по сторонам света с погрешностью менее 0,1°, углы отличаются от прямого менее чем на 0,01°. Да, египетские котики хорошо знали математику.

Но я должен подчеркнуть, что это триумф землемеров, а не инженеров. Великая пирамида остается, по сути дела, нагромождением блоков. Это круто, если вы хотите воздвигнуть монумент фараонову бессмертию, но использовать такое здание в практических целях, знаете ли, не прикольно. Незатейливые камеры и тесные туннели пирамиды составляют менее 0,1 % ее объема. Вообразите сплошной стальной брусок размером с Эмпайр-стейт-билдинг с одним-единственным щелевидным этажом высотой 60 см, и вы тоже начнете стремиться к более эффективному строительному плану[33].

В последующие века архитекторы будут искать новые поэтические структуры. Они будут строить мосты шире неба и башни выше Вавилонской. И для этого им понадобится фигура необычайной стойкости, обладатель единственного в своем роде непреклонного характера — треугольный, трехсторонний герой.

3. Гибкие стропила обремененного мира

А теперь наша история пересекается с другой — сагой о человеческой архитектуре, охватывающей 10 000 лет. Краткое содержание предыдущих серий:

1. «Снаружи» — плохое место для жизни. Может похолодать, негде хранить ваши вещи, иногда появляются медведи. Поэтому люди изобрели «внутри».

2. Чтобы создать «внутри», сделайте большую полую конструкцию и поселитесь там.

3. Если ваша конструкция уютна и сделана из подходящего материала, то жить внутри будет приятно и она не рухнет вам на голову. Это и называется «архитектура».

Окей, теперь, когда мы вошли в курс дела, я могу представить вам важного вспомогательного персонажа[34] в истории треугольника — балку. Если вы архитектор, стремящийся избежать (А) пирамидальных монолитов и (Б) обваливающихся потолков, то балки, скорее всего, станут важным фактором в процессе создания ваших конструкций.

Полезное действие балки заключается в том, что она превращает вертикальные силы в горизонтальные[35]. Например, представьте себе доску, перекинутую через ров. Когда вы встанете на эту доску, ваш вес потянет ее вниз. Но настоящая опора не внизу — она на концах доски, где та упирается в землю. Сила, приложенная в центре, распределяется вдоль доски.

Есть лишь одна проблема: балки неэффективны.

Архитектура, как и сама жизнь, вся строится на управлении напряжением. В то время как жизнь напрягает нас разнообразно (дедлайны, воспитание детей, разряжающийся телефон и т. д.), строительная конструкция испытывает всего два вида напряжений: растяжение и сжатие. Растяжение удлиняет объект, сжатие — укорачивает. Каждый вид напряжения имеет свои особенности, и разные материалы выдерживают их по-разному. Бетон может выдерживать фантастические степени сжатия, но при растяжении крошится. С другой стороны, стальные тросы могут выдержать невероятное растяжение, но прогибаются при малейшем сжатии.

А теперь представьте, что балка проседает под нагрузкой. Она выгибается в улыбку (или скорее гримасу). Какова природа этой деформации — растяжение или сжатие?

Ответ: и то и другое. Посмотрите на верхнюю часть балки: она становится короче нижней; так бегун на той круговой дорожке, что ближе всего к центру стадиона, преодолевает наименьшее расстояние. Таким образом, ее материал подвергается сжатию. Теперь взгляните вниз; вспомните, что бегун на самой дальней дорожке от центра преодолевает наибольшее расстояние; так и нижняя часть балки становится длиннее верхней части, и, таким образом, ее материал испытывает растяжение.

Все еще не о чем тревожиться: многие материалы, такие как дерево, легко выдерживают и растяжение, и сжатие. Проблема не в том, что на балку действует два вида напряжения; проблема в том, что бóльшая часть балки не испытывает никакого напряжения.

Посмотрите на центральную часть балки. На полпути между сжатием наверху и растяжением внизу средняя часть балки не испытывает абсолютно никакого напряжения. Ее изгиб — беззаботная улыбка пацана, который игнорирует ваш призыв о помощи. Материал средней части балки растрачен впустую, это не лучше, чем бесполезная масса пирамиды. Обычная балка действует вполсилы, как ленивый школьник, который напрягается на 50 %.

Любой учитель знает, какая фраза здесь должна последовать: «Так никуда не годится». В архитектуре каждая унция имеет значение, строите ли вы башню, щекочущую небеса, мост через каньон или захватывающие дух американские горки.

Будьте уверены: архитекторы не дураки{21}. У них есть план.

4. Форма сопротивления

Я сказал, что архитекторы не дураки? Возможно, мне придется взять свои слова обратно, когда вы услышите, как они решили эту проблему. Из-за того, что верхняя и нижняя части балки принимают на себя все напряжение, пока средняя часть паразитирует на их усилиях, блестящее решение, найденное архитекторами, состояло в том, чтобы изготавливать балки без средних частей.

Не стоит восклицать; я все прекрасно понимаю. Балка без средней части представляет собой две отдельные балки, и это так себе решение.

Если только не… вырезать небольшую часть из середины балки. Вы оставляете бóльшую часть материала по краям и тонкий соединительный слой посредине[36]. В результате поперечное сечение балки напоминает латинскую букву I («Ай»); поэтому она называется Ай-балка{22}.

Хорошее начало. Но у нас все еще остается потраченный впустую материал в центре. Поэтому мы запускаем вторую фазу плана архитекторов: просверливаем отверстия в центральной части балки.

Каждое отверстие экономит драгоценные ресурсы, при этом мы почти ничего не теряем в прочности. Чем больше отверстий, тем больше материала мы экономим, и это означает, что лучше всего изрешетить центральную часть балки — оставить как можно меньше материала и сделать как можно больше пустот.

Но погодите. Перед тем как начать волей-неволей просверливать эти отверстия, нам нужно разработать план. Какое распределение отверстий минимизирует расход материала и при этом сохранит прочность и жесткость конструкции? Где бы нам найти простую и упругую форму, не говоря уже о том, чтобы она хорошо подходила для плоской, почти двумерной области в центре Ай-балки?

Есть всего одна фигура, способная ответить на этот вызов. Слабовольный квадрат не подходит: его углы покосятся. Трусливый пятиугольник разрушится под давлением. И забудьте про бесхребетного перебежчика, известного под именем шестиугольник. Лишь супермен среди многоугольников может выдержать напряжение и стоически, непреклонно сохранить свою форму.

Позовите к телефону Треугольник.

Соединяя треугольники в единую конструкцию, вы создаете ферму{23}. В ферменной конструкции каждый элемент подвергается растяжению или сжатию. Фермы позволяют не тратить материал впустую — так охотники до упора разделывают тушу животного.

В Древнем Египте треугольник делал свое дело на пустырях, позволяя землемерам проделывать ловкие фокусы, пока софиты светят на других героев. Затем, спустя тысячелетия, по ту сторону океана, треугольники переместились из-за кулис на авансцену.

5. Мы возвели этот город

В XIX и начале XX века обитатели Северной Америки освоили пустой континент. Поскольку он был довольно бугристым, требовались мосты всех видов, от скромных пешеходных до гигантских железнодорожных. Для этих мостов потребовались ферменные конструкции. А что нужно для ферменных конструкций? Треугольники, естественно.

Ферменная конструкция Пратта[37], разработанная двумя братьями в 1844 году, состоит из рядов прямоугольных треугольников. Она покорила Соединенные Штаты, оставаясь популярной на протяжении десятилетий.

Ферменная конструкция Уоррена, появившаяся в 1848 году, задействовала равносторонние треугольники.

Балтиморские и пенсильванские ферменные конструкции — вариации ферм Пратта со вложенными треугольниками — стали повсеместно использовать при строительстве железнодорожных мостов.

K-ферма комбинирует разные виды треугольников (надеюсь, никому не приходит на ум ку-клукс-клан).

Ферменная конструкция Бейли стала использоваться во время Второй мировой войны. В соответствии с теми или иными военными нуждами унифицированные модульные треугольники могли быть разобраны, погружены на корабли и снова собраны.

Речь идет не только о мостах. Треугольные крыши тоже нуждаются в ферменных конструкциях — стропилах. С их помощью делают скелет высотных зданий. Чего уж там, стандартная велосипедная рама — не что иное, как простейшая ферма из двух треугольников. В современном городе вы перемещаетесь среди треугольников, они вас поддерживают, вы даже ездите на них.

Архитекторы скованы мириадами ограничений: бюджет, строительные нормы, законы физики. Они прибегают к помощи треугольников не из эстетических соображений, как художники или оформители интерьеров, а потому, что в мире геометрии нет других квалифицированных кандидатов. Брак между архитектурой и треугольниками заключен не по любви. В лучшем случае — ради удобства, в худшем — от безысходности. Таким образом, можно ожидать, что конструкции будут получаться ошарашивающими — как последний отчаянный компромисс, как бельмо на глазу.

И все же они прекрасны. Забавный парадокс дизайна: полезность порождает красоту. В эффективности есть элегантность. Приятно смотреть на вещи, которые просто-напросто функционируют.

Думаю, то же удовольствие я получаю от математики. Хороший математический аргумент, как и хорошо сконструированная ферма, просто-напросто функционирует. Уберите один основополагающий постулат, и все придуманное вами рухнет. Здесь есть неоспоримая грация: минимализм, поддерживающие друг друга элементы, абсолютная прочность и ни единой лишней унции.

Я не могу объяснить, почему те или иные вещи кажутся мне прекрасными. (Скажем, поп-рок девяностых.) Но я знаю, что в повествовании о треугольнике есть нечто превосходное. Трехсторонность делает его уникальным; уникальность, в свою очередь, делает его могущественным; могущество же делает его ключевым элементом современной архитектуры. Возможно, есть натяжка в утверждении о том, что треугольник «спасает мир», но, если вам интересно мое мнение, он делает мир лучше. Треугольник позволил миру стать таким, какой он есть.

Глава 7. Иррациональная бумага

По прибытии в Англию[38] я был готов столкнуться с огрехами моего американского воспитания. Вместо научных градусов Цельсия я пользовался архаичными градусами Фаренгейта. Вместо аккуратных километров (состоящих из 1000 метров) я использовал причудливые мили (состоящие из 5280 футов). Вместо чая я заливал в свой топливный бак карамельные коктейли, будучи верен бренду «Старбакс». И я заранее знал, что мне непросто дастся адаптация к традициям цивилизованного мира.

Но был один культурный шок, который я не предвидел: форматы бумаги.

Как все янки, я вырос, используя бумагу формата US Letter: 8,5 дюймов (21^3/5 см) в ширину и 11 дюймов (27^19/20 см) в длину, поэтому иногда этот формат называют броским именем — поистине убийственный брендинг — «восемь с половиной на одиннадцать». Если бы я пораскинул мозгами, то понял бы, что в других странах вместо дюймов ведут измерения в сантиметрах, поэтому формат US Letter им вряд ли подойдет.

Название «восемь с половиной на одиннадцать» представляется мне неуклюжим, но оно меркнет на фоне ужасного словосочетания «двадцать один и три пятых на двадцать семь и девятнадцать двадцатых».

Когда же я увидел листки их формата — известного под еще менее привлекательным названием «A4» — я испытал к ним острое отвращение. Они слишком узкие, как модные джинсы. Я давно привык к свободному крою типа клеш, и все мое существо раздражала эта изящная европейская белиберда. Длина бумаги формата US Letter примерно на 30 % больше ее ширины; очевидно, что в Европе соотношение было иным. И, что столь же очевидно, оно было хуже.

Поэтому я решил присмотреться к размерам бумаги A4. Я предполагал что-то вроде 22,5 см на 28 см или, возможно, 23 см на 30 см.

Мило и аккуратно с точки зрения этих европейцев, помешанных на метрической системе мер, не правда ли?

А вот и нет. Верный ответ: 21 см на 29,7 см.

Какого черта?

Я поделил 29,7 на 21, чтобы выяснить упрощенное соотношение: примерно 1,41. Будучи учителем математики, я сразу же узнал это число: оно (приблизительно) равно иначе говоря, квадратному корню из двух. И если раньше я недоумевал, то теперь мгновенно зарычал и воспылал негодованием.

— иррациональное число: то есть оно не является соотношением двух целых чисел.

Производители бумаги выбрали иррациональную пропорцию, которая — я не стану деликатничать — вообще вне всякого рацио.

Как правило, в жизни мы пользуемся двумя видами чисел: (1) целыми числами, например: «У меня трое детей», «Каждое утро мои дети съедают пять тарелок каши» и «Спектр пятен на одежде моих детей — более 17 цветов»; (2) соотношениями целых чисел, например: «Мы тратим ¼ семейного дохода на конструктор „Лего“», «Дома, где живут дети, в 17½ раз чаще разрисованы фломастером», «Эй, когда успели поседеть ⅔ моих волос?».

(Должен заметить, что десятичные дроби, которыми вы пользуетесь ежедневно, тоже представляют собой замаскированные соотношения целых чисел. Скажем, 0,71 доллара — это просто 71/100 доллара.)

Но некоторые дикие экзотические числа не подпадают ни под одну из этих категорий. В них не просто нет цельности — охотясь за ними, мы попадаем мимо цели: их нельзя записать в виде дроби. (Мой 12-летний ученик Адам, чей интеллект блистательнее моего, назвал их «неудробноваримыми»[39]). Вы не сможете подстрелить эти числа обыкновенной или десятичной дробью. Они будут постоянно ускользать.

Именно таким и оказывается — число, при умножении само на себя дающее 2. Присмотримся к нему.

Нет подходящей десятичной дроби, которая в точности равна и подходящей обыкновенной дроби тоже нет. 7/5? Близко. 141/100? Ближе. 665 857/470 832? Так близко, что ответ уже маячит где-то рядом. Но мы никогда не найдем точного ответа. Никогда в точности не будет

не просто иррациональное число. Наряду с π это одно из самых знаменитых иррациональных чисел в математике. По легенде, пифагорейцы, исповедующие культ разума, были настолько ошеломлены, узнав о невозможности записать в виде дроби, что утопили математика, который сообщил об этом открытии.

Если производители бумаги в Европе стремятся к они никогда не смогут достичь своей цели. Говоря языком, который поймут мои британские коллеги: это чертовски недальновидно, не правда ли?

Несколько дней я пребывал в состоянии обостренного раздражения. Дурацкие листы, притрагиваться гадко, словно к ядовитому плющу или к жвачке, прилепленной под партой. Я мрачно шутил по этому поводу; расчет был в том, что эти колкости очаровательно меланхоличны, но в них была такая доза горечи, что слышавшие их отшатывались.

А потом я осознал, что ошибался.

Конечно, я пришел к этому выводу не самостоятельно. Такого у меня не бывает. Наоборот, кое-кто указал мне на замечательные свойства формата A4.

Он составляет часть команды.

Он ровно в два раза больше A5, вчетверо больше А6 и в восемь раз больше пригожей малышки А7. Кроме того, А4 — это ровно половина А3, четверть А2 и одна восьмая впечатляющего великана А1.

Формат US Letter играет по своим собственным правилам, как и подобает в той индивидуалистической культуре, где его используют. Наш формат, «восемь с половиной на одиннадцать», никак не соотносится с бумагой меньшего и большего размера. Он такой один[40].

Напротив, универсальный формат бумаги построен на глобальных взаимосвязях, как и сам глобальный мир. А4 принадлежит к унифицированной серии форматов: у них различные размеры, но одинаковые пропорции[41].

Вы понимаете, насколько это восхитительно, если постоянно пользуетесь бумагой — скажем, если вы учитель математики. Вы можете разрезать лист пополам и получить два листа формата А5. Или сложить два листа вместе и получить лист формата А3. Бесчувственных и равнодушных людей, которые прожигают жизнь на пляжах, в ночных клубах и французских ресторанах, возможно, это не воодушевит. Но поклонник канцтоваров испытывает трансцендентный трепет. Эта бумага имеет смысл.

Когда я осознал это, то увидел, что промах — вовсе не промах. Это было неизбежно. Единственный способ заставить эту заколдованную матрешечную систему бумаг работать эффективно.

Чтобы понять, почему это так, представим себе следующую сцену.

ЛАБОРАТОРИЯ ПО ИЗГОТОВЛЕНИЮ БУМАГИ. НОЧЬ.

Красавцы Гвен и Свен, бумаговеды, работают над сверхсекретным исследовательским проектом. Его кодовое название — «Бумага для универмага» или, возможно, «Бумага и отвага» — в зависимости от того, что звучит круче с учетом их неуловимого иностранного акцента. Уже поздно. Они измотаны, но преданы делу.

Гвен. Ну хорошо, Свен. Возможно, я не знаю в точности наших национальностей, но я знаю одно: судьба цивилизации зависит от того, способны ли мы создать серию бумажных листов, каждый из которых вдвое меньше предыдущего.

Свен. Ставки предельно высоки. Но… какие размеры будут иметь эти бумажные листы?

Гвен. Есть всего один способ это выяснить.

Решительным движением Гвен складывает лист бумаги пополам и помечает три размера: длинный (длина изначального листа), средний (ширина изначального листа) и короткий (ширина половины листа).

Гвен (продолжая операции с бумагой). Итак, каково соотношение между длинным и средним?

Свен. Это именно то, что мы пытаемся выяснить.

Гвен. Хорошо, каково соотношение между средним и коротким?

Свен. Черт возьми, Гвен! Мы знаем, что соотношение такое же, но мы до сих пор не знаем, чему оно равно.

Проходит мгновение, исполненное романтического напряжения.

Гвен. Окей. Допустим, средняя сторона в r раз длиннее короткой.

Свен. Но чему равно r?

Гвен. Пока не знаю. Все, что я знаю, — оно больше одного, но меньше двух, потому что средняя сторона длиннее, чем короткая, но не вдвое длиннее.

Свен. Ну хорошо. Полагаю, длинная сторона тоже в r раз длиннее средней.

Гвен. Следовательно, если ты хочешь узнать длину длинной стороны, зная длину короткой, ее надо умножить на r (чтобы узнать длину средней) и снова на r. Получается r в квадрате.

Свен (бьет кулаком по столу). Ты двужильный гений, ты великан среди карликов! Гвен, получилось!

Гвен. Неужели?

Свен. Длинная сторона в r2 длиннее короткой. Но погляди: она же в два раза длиннее короткой!

Гвен. Слов нет… ты прав… и это означает…

Свен. Да, r2 равно 2.

Гвен. Поэтому r равно квадратному корню из двух! Это и есть секретное соотношение, которое положит конец всем мучениям и объединит человечество!

Свен (внезапно с другим акцентом). Прекрасно, Гвен. Уступи мне это число.

Гвен. Свен? Зачем ты достал пистолет?

Я заблуждался: создатели формата А4 выбрали соотношение сторон не для того, чтобы насолить лично мне. Они выбрали его и не по сиюминутному капризу, и не в знак упорного противостояния американской гегемонии, и не из садистского удовольствия подобрать иррациональное число.

На самом деле они его в принципе не выбирали.

Они решили создать систему бумажных форматов, каждый из которых вдвое меньше предыдущего. Это довольно крутой и труднодостижимый трюк. Но когда они вступили на этот путь, решение перестало зависеть от их выбора. Есть всего одно число, отвечающее поставленным требованиям, и так уж вышло, что это и есть знаменитое иррациональное число

Теперь я знаю, что всем нам нравится воображать дизайнеров бумаги необузданными фантазерами, ограниченными только пределами своего воображения. Но в действительности все намного интереснее. Дизайнеры движутся в пространстве возможностей, которыми управляют логика и геометрия. Это застывший ландшафт: некоторые числа рациональны, другие нет, и ни один дизайнер ничего не может тут поделать. Вместо этого он должен лавировать среди этих препятствий — или, что даже лучше, превратить их в преимущества, как архитектор, чье здание гармонирует с окружающей средой.

Короче говоря, не буду долго разглагольствовать: я поменял свое мнение о формате А4. Теперь, когда я знаю, почему соотношение сторон стремится к тот факт, что производители бумаги обречены на микроскопическую ошибку, меня больше не тревожит. Честно говоря, формат А4 даже перестал казаться мне неправильным. Теперь меня, наоборот, раздражает бумага формата US Letter, слегка располневшая и старомодная.

Кажется, я завершил переход из одной категории несносных американцев в другую. Из шовиниста и поборника моих своевольных национальных обычаев я стал страстным проповедником зарубежных традиций. Сейчас я даже реже пью карамельные коктейли, хотя уверен, что полностью никогда не откажусь от них, как и от бумаги американского формата.

Глава 8. Квадратно-кубические басни

Простые сказки о математическом масштабировании

У басен много общего с математикой. И те и другие пришли из пыльных, изъеденных молью книг. Их навязывают детям. И они пытаются объяснить мир с помощью радикальных упрощений.

Если вы хотите познакомиться со всей причудливостью и сложностью жизни, оглядитесь вокруг. Поговорите с биологом, или художником-реалистом, или с кем-нибудь, кто собирает документы для уплаты налогов. Баснописцы и математики скорее сродни карикатуристам. Педалируя одни черты и пренебрегая всеми остальными, они помогают объяснить, почему наш мир таков, каков он есть.

Эта глава — небольшое собрание математических басен. Они показывают, как разные области, от кулинарии до биологии и финансирования искусства, подчиняются законам геометрии. В основе этих басен лежит одна основная идея, мораль настолько простая, что даже Эзоп не проговаривал ее вслух: размер имеет значение[42].

Большая статуя — не просто увеличенная версия маленькой статуи. Это совершенно иной объект.

1. Почему шоколадные торты лучше печь в больших формах

Мы с вами любим печь торты. Мы с гордостью месим тесто, чтобы осчастливить человечество шоколадным чудом. Духовка уже нагревается, но когда мы открываем кухонный шкаф, то неожиданно обнаруживаем, что наша форма для выпечки в два раза длиннее и шире, чем указано в рецепте из поваренной книги[43].

Что же нам делать?

Для того чтобы заполнить эту удвоенную форму для выпечки, у нас есть искушение взять в два раза больше ингредиентов. Но на самом деле это полумера. Посмотрите внимательнее, и вы поймете: нам необходимо учетверить количество ингредиентов.

С какой стати? Но ведь у формы два измерения: длина и ширина. Удваивая длину, мы удваиваем площадь формы. Удваивая ширину, мы снова удваиваем площадь. Таким образом, площадь удваивается дважды. Иными словами, умножается на 4.

Так происходит всякий раз, когда вы увеличиваете прямоугольник. Утраиваете стороны? Площадь возрастает в девять раз. Упятеряете стороны? Площадь возрастает в 25 раз. Умножаете стороны на девять тыщмиллионов? Площадь увеличивается в 81 тыщмиллионов тыщмиллионов раз.

Или, говоря точнее: увеличивая стороны в r раз, вы увеличиваете площадь в r2 раз.

Так происходит не только с прямоугольниками. Тот же принцип работает для всех двумерных фигур: трапеций, треугольников, кругов и других емкостей, в которые вы укладываете заветное шоколадное тесто. Когда стороны увеличиваются, площадь увеличивается существенно больше.

Вернемся на кухню. Мы уже смешали вчетверо большее количество ингредиентов, когда на дальней полке обнаруживаются формы, которые мы искали все это время. Мы осыпаем друг друга упреками, но потом смеемся: кому охота пререкаться, когда скоро будет готово шоколадное великолепие?

Теперь перед нами встает выбор: готовить торт в одной большой форме или в четырех поменьше?

Это басня, поэтому мы пренебрегаем деталями. Забудьте о температуре, времени приготовления, теплопередаче и предстоящем мытье посуды. Сосредоточьтесь на одном параметре: размерах форм для выпечки.

Если форма для тортов стала больше, ее периметр (одномерная величина) увеличился. Но ее площадь (двумерная величина) увеличилась еще больше. Это означает, что у четырех форм поменьше общий периметр будет больше, хотя их площадь равна площади большой формы.

У маленьких форм на единицу периметра приходится меньше площади, а у большой формы — больше.

Как я ни пытаюсь, я не могу представить себе людей, которые любят обгорелые боковушки торта. Кто променяет шоколадное чудо на пытку для зубов, хрустящее недоразумение? Мне легче представить, что они предпочитают кости вместо мяса, сухари вместо крекеров, побочные эффекты вместо обезболивающего. Этим людям нет ни объяснения, ни оправдания. Берите большую форму или расходитесь по домам.

2. Почему честолюбивый скульптор разорился

Около 2300 лет назад жители греческого острова Родос отразили нападение Александра Македонского{24}. В порыве самовосхваления они поручили местному скульптору Харесу построить грандиозную триумфальную статую[44]. По легенде, вначале Харес планировал построить 15-метровую бронзовую скульптуру.

— А не сделать ли нам статую побольше? — сказали родосцы. — Знаешь что — удвоим высоту! Сколько это будет стоить?

— В два раза дороже, конечно, — сказал Харес.

— По рукам! — сказали родосцы.

В ходе строительства Харес увидел, что его средства иссякают. Материальные издержки ошеломили его; они намного превышали отпущенный бюджет. Впереди маячило банкротство. Говорят, что Харес расстался с жизнью, чтобы избежать финансового краха, и не увидел, как был завершен его шедевр. Но, возможно, перед тем как умереть, он осознал свою ошибку.

Он постеснялся взвинтить цену.

Для того чтобы понять, почему это так, забудьте все детали. Не обращайте внимания на рынок труда для греческих строителей или оптовые цены на бронзу. Черт возьми, забудьте даже об искусстве: представьте, что Харес просто строит исполинский бронзовый куб. Мы должны сосредоточиться на одном всепоглощающем вопросе: на размерах.

Что происходит, когда вы удваиваете размеры трехмерной геометрической фигуры?

Хорошо, вы удвоили длину; объем вырос в два раза. Вы удвоили ширину, и объем снова вырос в два раза. И вы удвоили высоту, удвоив объем в третий раз. Это тройной дубль, хотя не такой, как у Рассела Уэстбрука{25}: в данном случае тройное удвоение означает умножение на 8.

Результат настолько же ясен, насколько поразителен: объем растет с огромной скоростью.

Утраиваем стороны куба? Объем вырастает в 27 раз. Умножаем стороны на 10? Объем абсурдным образом увеличивается в 1000 раз. И то, что верно для кубов, верно для всех трехмерных геометрических фигур: пирамид, шаров, призм и (к несчастью для Хареса) роскошных статуй бога солнца Гелиоса. В точных терминах: умножьте длины сторон на r, и объем вырастет в r3 раз.

Если бы Харес создавал одномерное произведение искусства (Колоссальную Родосскую Струну), эстетика, возможно, пострадала бы, но его ценовая политика отлично бы сработала: удваивая длину, необходимо взять в два раза больше бронзы. Или, предположим, ему было бы поручено создать двумерную картину (Колоссальный Родосский Портрет). Цена по-прежнему осталась бы заниженной, но все же не настолько: удваивая стороны холста, мы учетверяем его площадь, поэтому требуется в четыре раза больше краски. Увы, Харес имел несчастье работать во всех трех измерениях. Удвоение высоты статуи означало, что понадобится в восемь раз больше бронзы.

Когда длины сторон растут, площадь растет гораздо быстрее, а объем — еще быстрее. Колосс Родосский — одно из чудес древнего мира — обрек своего творца на муки по той простой причине, что был трехмерным[45].

3. Почему не существует великанов?

Кинг-Конг, горилла размером с трехэтажный дом. Поль Баньян{26}, лесоруб, который мог перешагивать озера. Шакил О’Нил, легендарный баскетболист ростом 213 см и весом 147 кг, которому дается все, кроме штрафных бросков. Вы знаете эти истории, и вы прекрасно понимаете, что все это фантазии, легенды, наивные выдумки. Великанов не существует[46].

Почему? Потому что размер имеет значение.

Предположим, мы возьмем в качестве образцового человеческого экземпляра Дуэйна Джонсона{27} и удвоим его размеры. Если мы удвоим его вдоль, поперек и в высоту, общая масса тела Дуэйна вырастет в восемь раз.

Пока все в порядке. Но взгляните на его ноги. Чтобы он не падал, кости должны быть в восемь раз сильнее. Могут ли они выдержать его вес?

Сомневаюсь. Два удвоения были полезны (вдоль и поперек), но одно бесполезно: в высоту. Вы не делаете колонну крепче, удваивая ее высоту, и точно так же нога не становится сильнее, если удлиняется. Дополнительная высота не дает дополнительной прочности, просто увеличивает нагрузку, и кости сломаются под весом гигантского тела.

Ноги Дуэйна не угонятся за предъявленными требованиями: умножение на 4 не соответствует умножению на 8. Если мы будем продолжать увеличивать Дуэйна Джонсона, удваивая, утраивая и учетверяя его размеры, в конце концов он достигнет критической точки. Кости ног согнутся и треснут под сокрушительным весом туловища[47].

Этот процесс называется изометрическим масштабированием: увеличение фигуры при сохранении ее пропорций («изо−» означает «одинаковый»). Никудышный метод для создания больших животных. Вместо него нам нужно аллометрическое масштабирование: увеличение фигуры с изменением пропорций («алло−» означает «другой»).

Если мы увеличим рост животного на 50 %, его ноги справятся с нагрузкой, только если станут на 83 % толще. Вот почему кошки могут выжить со стройными лапами, а слонам нужны ноги-столбы, чтобы не упасть.

Ограничение, наложенное на рост Дуэйна Джонсона, распространяется на всех нас, поэтому великаны живут только в сказочных царствах. Берцовые кости Поля Баньяна трескались бы с каждым шагом через озеро. Мускулы Кинг-Конга никогда не смогли бы вынести его массу: сила мускулов была бы больше в r2 раз, чем у обычной гориллы, а масса — в r3 раз. Он бы так и не сдвинулся с места: гигантская горилла-размазня, страдающая сердечной недостаточностью. А как насчет Шакила О’Нила? Ну, его история настолько неправдоподобна, что, мне кажется, вряд ли кто-нибудь на самом деле в нее верит.

4. Почему муравьи не боятся высоты?

Муравьи вселяют ужас. Они поднимают предметы, в 50 раз превышающие массу их тельца, работают сообща с безукоризненной координацией действий и живут припеваючи во всех уголках нашей планеты.

Эта глобальная армия тяжелоатлетов-телепатов, вооруженных жвалами, превосходит человечество по численности в миллион раз. Фантомы их инопланетных морд мешали бы мне спать спокойно, если бы не один спасительный факт.

Муравьи очень, очень малы.

Пришло время закрепить материал, усвоенный в предыдущих баснях. Когда линейные размеры фигуры растут, площадь ее поверхности растет гораздо быстрее, а объем растет еще быстрее.

Это означает, что у больших тел (например, человеческих) больше объема на единицу площади поверхности. У маленьких тел (например, муравьиных) все наоборот. У наших заклятых врагов большая площадь поверхности на единицу объема.

Каково это — иметь меньше объема на единицу площади поверхности? Прежде всего это означает, что вам никогда не нужно бояться высоты.

Когда вы падаете с большой высоты, две силы играют в перетягивание каната: сила тяжести тянет вас вниз, сопротивление воздуха удерживает. Сила тяжести зависит от массы, поэтому ее величина зависит от вашей плотности и объема. Сопротивление воздуха зависит от площади поверхности вашего тела.

Короче говоря, ваша масса ускоряет падение, а площадь поверхности замедляет. Поэтому кирпичи стремительно падают вниз, а бумажные листы порхают; орлы парят, а пингвины не могут летать[48].

Мы с вами похожи на пингвинов: большая масса, небольшая площадь поверхности. В процессе падения мы разгоняемся до предельной скорости почти 193 км/ч, и соприкосновение с землей довольно неприятно{28}.

Муравьи же похожи на орлов, только бумажных: большая площадь поверхности, небольшая масса. Их предельная скорость равна 6,4 км/ч. Теоретически муравей мог бы спрыгнуть с Эмпайр-стейт-билдинг, приземлиться на все свои шесть ножек на тротуар и пойти по своим делам, напевая «Муравьиный марш».

Итак, если у вас меньше объема на единицу площади поверхности, можно вволю предаваться играм, развлечениям и скайдайвингу без парашюта? Разумеется нет. У муравьев свои горести, и под горестями я имею в виду изнурительную и всецело оправданную водобоязнь.

Весь фокус в поверхностном натяжении. Молекулы воды любят слипаться, и ради этого они готовы бросить вызов силе тяжести, если она крохотная. Поэтому, когда вы вылезаете из ванны, на вашей коже остается небольшой слой воды, толщиной около полумиллиметра, и его удерживает поверхностное натяжение. Для нас это мелочь: пол-литра или около того, меньше 1 % массы тела. Мы вытираемся полотенцем и живем дальше.

Сравните с пыткой, в которую превращается купание мыши. Толщина слоя воды остается такой же, около полумиллиметра, но нагрузка для нашей подруги-грызуньи гораздо больше. Мышь, у которой объем на единицу площади тела меньше, чем у нас, вылезает из ванночки со слоем воды настолько же тяжелым, как она сама.

А для муравья ситуация просто ужасающая. Масса прилипшей воды превышает массу его тельца на несколько порядков; стоит промокнуть — и тебе конец. Поэтому муравьи боятся воды так же сильно, как я боюсь их[49].

5. Почему младенцам нужны одеяльца?

Хотя советы молодым родителям ежеминутно совершенствуются, некоторые принципы остаются неизменными: объятья — это хорошо; черепно-мозговые травмы — это плохо; укутывать вашего малыша — это необходимо. Мы укутываем наших детей со времен палеолита и будем укутывать еще тысячи лет. Я уверен, что выжившие после зомби-апокалипсиса по-прежнему будут укутывать своих искалеченных младенцев.

Младенцам нужны одеяльца, потому что — простите мой технический жаргон — младенцы малы[50].

И снова забудьте про детали: крохотный беззубый ротик, махонькие ерзающие пальчики ног и головку с таким чудесным ароматом. Думайте о ребенке как о любом живом организме: это однородный сгусток химических реакций. Любая телесная активность строится на этих реакциях; в некотором смысле эти реакции и есть живое существо. Поэтому животные так чувствительны к температуре: если становится слишком холодно, реакции замедляются и останавливаются; если слишком жарко, химические вещества разрушаются, выключая ключевые реакции. Вы должны внимательно следить за термостатом.

Тепло создается реакциями в каждой клетке (т. е. важен объем тела). А уходит тепло через кожу (т. е. важна площадь поверхности тела). Так начинается знакомое перетягивание каната: объем против площади поверхности.

Большим животным, у которых больше объема на единицу площади тела, легко согреться. Маленькие животные, у которых меньше объема на единицу поверхности тела, испытывают сложности. Поэтому тонкие части вашего тела наиболее уязвимы для холода: пальцы рук и ног, уши. Также этим объясняется тот факт, что в холодном климате живут только крупные млекопитающие — полярные медведи, тюлени, яки, лоси и снежные люди (хотя ваш преподаватель зоологии может полагать иначе). У мышей с маленьким объемом на единицу площади тела нет шансов выжить в Арктике{29}. Даже на умеренных широтах мыши справляются с потерей тепла, только если съедают пищи хотя бы на четверть собственного веса.

Младенец — не мышь, но совершенно точно и не як. Его крошечное тельце расходует тепло так же интенсивно, как правительство расходует деньги. И для того, чтобы сдержать эту потерю тепла, нет ничего приятней одеяльца.

6. Чем плоха идея о бесконечной вселенной?

Если вы начнете искать сюжеты для квадратно-кубических баек, они обнаружатся повсюду[51]. Геометрия управляет каждым дизайнерским процессом, и никто не может поменять ее правила — ни скульпторы, ни шеф-повара, ни силы естественного отбора.

Ни даже сам космос.

Возможно, моя любимая квадратно-кубическая басня из всех — это парадокс темного ночного неба[52]. Его можно датировать XVI веком. Коперник просто высказал мысль о том, что Земля не является центром всего сущего, это заурядная планета, которая вращается вокруг заурядной звезды. Томас Диггес, который развивал идеи Коперника в Англии, сделал еще один шаг. Он предположил, что Вселенная не должна иметь начала и конца — вневременное облако сияющих звезд, уходящих в бесконечность.

Затем Диггес осознал, что, если это действительно так, ночное небо должно быть сияющим, ослепительно белым.

Чтобы понять, почему это так, нам понадобятся магические солнцезащитные очки. Я назову их «затемнители Диггеса». Эти солнцезащитные очки обладают уникальным свойством: они перекрывают весь свет на определенном расстоянии. Например, настройте их на три метра, и большая часть мира погрузится во тьму. Солнечный свет, лунный свет, сияние уличных фонарей — все это исчезнет, и останутся только источники света на расстоянии не более трех метров от вас — настольная лампа, экран айфона и, возможно, больше ничего.

Перенастроим «затемнители Диггеса» на 100 световых лет. Глядя на ночное небо, мы распрощаемся с Ригелем, Бетельгейзе, Полярной звездой (она же альфа Малой Медведицы) и многими другими знакомыми небесными телами. Останутся звезды, которые находятся в сфере радиусом 100 световых лет. Их около 14 000. Оскудевшие, потускневшие небеса.

Все вместе эти звезды будут иметь суммарную яркость, которую мы можем выразить следующим уравнением:

Суммарная яркость = Количество звезд x Минимальная яркость

Перенастройте ваши «затемнители Диггеса» и удвойте радиус до 200 световых лет. Некоторые звезды появятся снова. Небо станет ярче. Но насколько?

Видимое небо представляет собой трехмерную полусферу над нами. Удваивая ее радиус, мы в восемь раз увеличиваем ее объем. Если предположить (как это сделал Диггес), что звезды распределены равномерно, как деревья в лесу, то получится, что мы увидим в восемь раз больше звезд, чем раньше. Их численность увеличится с 14 000 до более чем 100 000.

Но эти новые звезды находятся дальше от нас, и это означает, что они должны быть более тусклыми. Вопрос опять-таки: насколько?

Каждая звезда на ночном небе похожа на крохотный круг. Чем больше этот кружок, тем больше света поглощают наши глаза. Поскольку речь идет о басне, мы можем пренебречь персональными различиями звезд: их температурой, цветом, ласкающими слух именами наподобие Бетельгейзе и Полярной звезды. Мы предполагаем, вопреки апологетам звездного расизма, что все звезды одинаковы. Единственное, что имеет значение, — расстояние, на котором они находятся от Земли.

Если звезда A находится вдвое дальше от нас, чем звезда B, то диаметр ее кружка на ночном небе должен быть вдвое меньше. Это означает, что его площадь (и, таким образом, яркость) в четыре раза меньше.

Что мы можем сказать о нашем новом увеличенном ночном небе? Количество видимых звезд нужно умножить на 8, их минимальную яркость нужно поделить на 4, а (поправьте меня, если я ошибаюсь) 8, деленное на 4, дает 2. Это означает, что суммарная яркость, исходя из нашего простого уравнения, должна удвоиться.

Если вы удваиваете радиус «затемнителей Диггеса», вы удваиваете видимую яркость ночного неба.

Поскольку количество звезд определяется тремя измерениями, а минимальная яркость — двумя измерениями, небо становится тем ярче, чем больше мы увеличиваем дальность. Утройте радиус до 300 световых лет — изначальная яркость утроится. Умножьте радиус на тысячу — и наше ночное небо станет в тысячу раз ярче.

Вы видите, к чему это ведет? Вернее, вы не видите, потому что вскоре звезды ослепят вас в буквальном смысле слова. Ночное небо станет ярче в миллион, миллиард, триллион, даже гугол{30} раз. Выберите достаточно большой радиус — и звезды затмят дневной свет, пересилят Солнце, небо будет испускать раскаленные миазмы беспредельной температуры. На фоне этого непрерывного излучения непостижимой яркости жалкий астероид, погубивший динозавров, покажется детской игрушкой.

Снимите ваши «затемнители Диггеса» — и небо засветит вас до смерти[53].

Если Вселенная бесконечно велика, почему ночное небо не бесконечно яркое? Этот парадокс оставался неразрешимым в течение нескольких веков. В XVII веке он изводил Иоганна Кеплера, в XVIII веке тревожил Эдмунда Галлея, а в XIX — вдохновил Эдгара Аллана По на поэму в прозе[54], которую он называл своим величайшим произведением. (Литературные критики придерживались иного мнения.)

И только в XX веке парадокс удалось разрешить. Решающий фактор — не размер Вселенной, а ее возраст. Вне зависимости от того, бесконечна или нет наша Вселенная в пространстве, мы знаем наверняка, что она конечна во времени и родилась около 14 млрд лет назад. Таким образом, любые настройки ваших «затемнителей Диггеса», превышающие расстояние в 14 млрд световых лет, бессмысленны{31}. У света более далеких звезд было недостаточно времени, чтобы достичь нас, поэтому, начиная с этого расстояния, от блокировки ничего не изменится.

Эта квадратно-кубическая басня — не просто заумное рассуждение. Это одно из первых подтверждений теории Большого взрыва. На мой взгляд, это апофеоз квадратно-кубического мышления. Обдумывая простейшие свойства нашей Вселенной, — сравнивая двумерное с трехмерным, — мы можем достичь поразительного уровня познания. Иногда необходимо пойти на радикальное упрощение, чтобы увидеть, что на самом деле представляет собой наш мир.

Глава 9. Игра в кости

От 1 до 7 500 000 000 игроков

Спасибо за покупку игры в кости! Это веселое времяпрепровождение любили все, от простолюдина до тирана, на протяжении всей истории цивилизации, от каменного до цифрового века. Не верьте мне на слово. Просто спросите римских императоров[55]:

Это руководство познакомит вас с основными правилами игры. Игра в кости подразумевает и теорию, и практику в равной мере — тренируйте и ум, и кончики пальцев. Давайте играть!

ЦЕЛЬ ИГРЫ:

Увлечь и позабавить человечество с помощью приспособления, которое выдает результаты, не поддающиеся контролю.

Мы начинаем с класса персонажей, известных под названием «люди». Эти существа любят все контролировать, поэтому они изобрели автомобили, оружие, правительства и центральное кондиционирование. Но они одержимы еще и тем, что находится вне их контроля: пробки на дорогах, погода, их дети и успехи известных парней, которые занимаются спортом за деньги.

В глубине сердца люди хотят противостоять судьбе, держать свое бессилие в собственных ладонях. Так возникают игральные кости — карманные частицы судьбы.

В VI тысячелетии до н. э. племена Древней Месопотамии использовали в качестве игральных костей камни и ракушки. Древние греки и римляне предпочитали овечьи бабки. Индейцы — бобровые зубы, скорлупу грецкого ореха, вороньи когти и сливовые косточки. В санскритском эпосе Древней Индии цари кидали пригоршни орехов бибхитаки. Эти природные игральные кости позволяли резаться в азартные игры, предсказывать судьбу, делить добычу и (вне всяких сомнений) были неотъемлемой частью других ритуалов, от священных до повседневных. Как десерты и послеобеденный сон, идея игральных костей была настолько очевидна и красива, что каждая культура приходила к ней независимо от других.

В наши дни лишь горстка ярых консерваторов играет в «Монополию», бросая бобровые зубы. Цивилизация продвинулась от найденных где попало игральных костей к спроектированным.

А теперь начинается настоящая игра в кости.

Правило № 1. Хорошая кость играет честно

Когда вы бросаете игральную кость, вероятность выпадения каждой грани должна быть одинаковой. В противном случае соперники нервничают, становятся подозрительными и перестают приглашать вас на вечеринки, где играют в нарды.

Полезная отправная точка: конгруэнтность. Две геометрические фигуры называют конгруэнтными, если одну можно наложить на другую так, чтобы они совпали. Конгруэнтные геометрические фигуры — неотличимые близнецы, углы и стороны одной равны соответствующим углам и сторонам другой. Таким образом, первая идея проектирования честной игральной кости — убедитесь, что все грани конгруэнтны друг другу.

Звучит отлично… пока не встретишься с курносым дисфеноидом.

Этот полиэдр, многорылый слепыш, развенчивает наши надежды. Все его 12 граней — идентичные друг другу равносторонние треугольники. Но эту игральную кость нельзя назвать честной[56].

В некоторых его вершинах пересекаются четыре треугольника, а в прочих — пять треугольников. Когда вы кидаете на стол этого маленького монстра, некоторые грани выпадают чаще, чем другие. Боюсь, что конгруэнтности граней недостаточно.

Нам нужна симметрия.

Говоря простым языком, симметрия означает неуловимое, ласкающее глаз единообразие.

Ее математический смысл гораздо конкретнее: геометрическое действие, преобразующее объект, но не меняющее его сути. Например, у квадратного стола есть восемь видов симметрии:

Симметрические отображения не меняют форму стола, однако внимательный анализ показывает, что они меняют местами его углы. Например, поворот на 180º меняет местами противоположные углы: № 1 занимает место № 3, и то же самое с № 2 и № 4. Сравните с отражением по диагонали, которое меняет местами углы № 2 и № 4, но оставляет на своих местах углы № 1 и № 3. Симметрические отображения игральной кости работают примерно так же: грани меняются местами, но форма остается неизменной.

Симметрия предлагает верный путь к честной игре. Просто выберите геометрическое тело, достаточно симметричное, чтобы все грани можно было поменять местами.

Например, бипирамида. Возьмите две идентичных пирамиды и приклейте их основания друг к другу. Правильная комбинация поворотов сможет поменять любую треугольную грань на любую другую, и это означает, что все грани геометрически эквивалентны и игральная кость честная.

Другой пример: трапецоэдр. Он выглядит как бипирамида{32} с изящной резьбой по экватору, которая превращает треугольники в четырехугольники, похожие на воздушных змеев.

Вы можете сделать бипирамиду или трапецоэдр с любым количеством граней: 8, 14, 26, 398{33}. Теоретически любая из этих игральных костей обеспечит честную игру, грани будут выпадать с одинаковой вероятностью. Наверное, вы думаете, что мы решили проблему. Игра в кости окончена, да? Не так быстро! Люди гораздо капризнее. Недостаточно, чтобы игральная кость была честной…

Правило № 2. Хорошая игральная кость выглядит прелестно

Мы встретились с номинантами на роль игральной кости, которые (1) легко поддаются определению, (2) дают справедливые результаты и (3) носят потрясающие греческие и латинские именами. Однако эти многообещающие модели — стопроцентные исторические неудачники, провалившиеся кандидаты в президенты мира случайности. Насколько я знаю, ни одна цивилизация, играющая в кости, не пользовалась бипирамидой и есть всего один пример использования трапецоида: теневое сообщество фанатов настольной игры «Подземелья и драконы», где используют десятигранный трапецоид (d10){34}.

Человечество, почему ты так привередливо? Как ты можешь отвергать прекрасные формы и разбрасываться честными игральными костями?

Киньте на стол тощую бипирамиду, и вы увидите, в чем проблема. Она не кувыркается. Уравновешенная двумя заостренными концами, она почти что катится, словно рулон бумажных полотенец, заваливаясь влево-вправо и повышая шансы то одной, то другой группы граней. Ее равновесие после остановки хрупко; один неосторожный вздох — и она перевернется на другую грань. Это не рецепт веселой игры в парчиси, а гарантия семейного скандала со взаимными упреками.

У наилучшей игральной кости симметричны не только грани. Нужно, чтобы все ее компоненты было симметричными. И если вы страстный поклонник многогранников, то вы понимаете, что это значит.

Платоновы тела!

Из всех трехмерных геометрических фигур с прямыми ребрами платоновы тела самые совершенные. Можно поменять местами любые две грани, угла или ребра — симметрия настолько великолепна, что даже закоренелый циник не усомнится в их выдающейся честности.

Есть всего пять платоновых тел, ни больше и ни меньше. И каждый бог этого геометрического пантеона снизошел на землю в образе игральной кости.

1. Тетраэдр — пирамида, состоящая из равносторонних треугольников. За 3000 лет до н. э. обитатели Древней Месопотамии кидали игральные кости в виде тетраэдра во время Царской игры города Ур, предшественницы игры в нарды.

2. Куб — призма с квадратными гранями. Простой, устойчивый, легко изготовляемый, он остается самой популярной формой игральных костей за всю историю человечества. Древнейший экземпляр — куб из обожженной глины, найденный на раскопках в Северном Ираке, — датируют 2750 годом до н. э.

3. Октаэдр — особая бипирамида, грани которой представляют собой равносторонние треугольники. Игральные кости в виде октаэдров были найдены в нескольких египетских гробницах.

4. Додекаэдр — радующий глаз драгоценный камень с 12 гранями в виде правильных пятиугольников. Он помогал прорицать судьбы в XVI веке во Франции. Сегодня астрологи наслаждаются соответствием 12 граней и 12 знаков зодиака.

5. Икосаэдр — многогранник из 20 равносторонних треугольников. Это неотъемлемый элемент игры «Подземелья и драконы», но он гораздо популярнее в гаданиях. Так называемый шар вопросов и ответов представляет собой икосаэдр, плавающий в воде. Встряхните его — и это платоново тело предскажет ваше будущее.

Платоновы тела — козыри игры в кости. Невозможно представить их без небесного хора, поющего на заднем фоне. Однако этот элитный пантеон из пяти элементов слишком малочислен. Они обеспечивают 4, 6, 8, 12 и 20 случайных исходов… но других вариантов нет.

Имеет смысл расширить горизонт. Почему бы не выбрать дизайн, взламывающий парадигму, свежий, инновационный путь, способный обеспечить любое количество равновероятных результатов?

Спойлер: легко сказать, трудно сделать.

Правило № 3. Хорошая игральная кость работает повсеместно

Одна из альтернатив — продолговатая игральная кость. Не тревожьтесь о том, имеют ли все грани равные шансы, и сконструируйте вытянутую призму.

Эти игральные кости работают не потому, что все грани выпадают с равной вероятностью, а потому, что две из них не выпадают никогда. Продолговатая игральная кость играет честно, выглядит красиво и позволяет выбрать любое количество возможных исходов. Так почему они не слишком популярны?[57]

Ну… они слишком далеко катятся.

В то время как платоновы тела отплясывают на столе, словно на танцплощадке, подпрыгивая там и сям, продолговатая игральная кость катится в одном направлении. Вы должны расчистить для нее целую дорожку для боулинга. Каким же самомнением должны обладать игральные кости, чтобы расстилать перед ними ковровую дорожку?[58]

Запишем на грифельной доске еще один математический принцип: непрерывность[59].

Киньте вашу продолговатую игральную кость и ждите, пока она не остановится. (И ждите, и ждите…) Как мы можем видеть, две грани не выпадают никогда. Но представьте укороченную игральную кость, не такую уж и продолговатую. Чем она короче, тем выше вероятность выпасть двум боковым граням. Чем дальше вы укорачиваете вашу игральную кость, тем больше она уподобляется монете, и грани меняются ролями. Монета почти никогда не падает на ребро — выпадает или орел, или решка.

В процессе укорачивания есть критическая точка, когда все грани будут выпадать с равной вероятностью. Это и будет честная игральная кость.

Теоретически вы можете проделать этот фокус с любым многогранником и отыскать геометрические фигуры, которые выглядят чудаковато, но тем не менее обеспечивают справедливую игру. Но где же они? Почему в разделе новинок в магазинах не продаются изящные игральные кости, которые хоть и диковатого вида, но все равно хороши для игры, — фантастический антипод жульнических игральных костей?

Дело в том, что требуется слишком чувствительная настройка. Игральная кость честна на поверхности из твердой древесины? Да, а на граните — нет. Игральная кость определенного размера честна? Да, но при удвоении размера уже нет. Этот бросок костей честен? Да, но другой бросок может быть и не честен, все зависит от силы и скорости вращения. Если вы меняете одно из условий, сколь угодно непредвиденных, вы меняете физические данные. Такие кости вечно будут связаны со слишком специфическими обстоятельствами их появления на свет. Людям нужны компактные выносливые кости, а не капризные примадонны.

Правило № 4. Хорошую кость легко кидать

Допустим, нам нужно случайным образом выбрать одну из 26 букв алфавита. У икосаэдра граней слишком мало. Бипирамида комично покачивается. Продолговатая игральная кость укатывается невесть куда, как беглая фрикаделька. Исключив эти варианты, мы попадаем в тупик. Неужели нет ни одного способа решить простую задачу и выбрать одну букву случайным образом? Разумеется, есть. Просто подбросьте пять монет. Возможны 32 равновероятных варианта. Сопоставьте по букве каждому из 26 первых вариантов, а если выпадут оставшиеся, бросьте монеты снова.

Эта процедура подходит для любого сценария рандомизации. Скажем, мы хотим выбрать произвольное слово из трилогии «Властелин колец». Есть около 450 000 слов на выбор. Подбросьте 19 монет — это даст больше 500 000 равновероятностных вариантов. Поставьте в соответствие каждому слову одну комбинацию. Если выпали незадействованные комбинации, подбросьте монеты снова.

Черт, даже не нужно брать 19 монет. Просто подбросьте одну монету 19 раз.

По этой логике любую игральную кость может заменить одна-единственная монета. Но все-таки сложно себе представить наплыв посетителей в такое казино в Лас-Вегасе, где на столах для игры в крэпс нет ничего, кроме монет, а рулетка основана на подбрасывании цента.

Проблема очевидна: эти системы слишком сложны. Ужасно неудобно записывать последовательность бросков, искать результат в сопоставительной таблице, а время от времени (в случае необходимости) повторять все заново. Вам нужна одна-единственная игральная кость. Без единой лишней грани и без инструкции по применению.

Этот принцип в чем-то отменяет чистую математику. Например, вы можете обеспечить четыре исхода с помощью простого кубика. Просто пометьте две грани значком «бросай снова». Но этот подход раздражает[60]. Лишние грани? Это неэлегантно. Если вы готовите пирог для четырех друзей, вы никогда не станете резать его на шесть частей и выбрасывать две лишних.

Подозреваю, именно поэтому фанаты «Подземелий и драконов» бросают четырехгранную игральную кость. Я воспринимаю это как знак отчаяния, потому что из всех платоновых тел в истории человечества тетраэдр наименее популярен. Опять-таки любому ясно почему: он приземляется гранью вниз, а не гранью вверх. Это кажется неестественным, как будто нужно угадать именно то число, которое вы не загадывали.

На протяжении тысячелетий люди чурались тетраэдра, предпочитая игральные кости с параллельными друг другу гранями, чтобы каждая «нижняя» грань соответствовала одной «верхней». Математикам до этого нет дела. Но музыку заказывают обычные люди.

Правило № 5. Ее сложно держать в узде

Помните высшее предназначение игральных костей? Они позволяют человеческому телу установить контакт с высшими силами: случайностью, кармой, судьбой, волей богов. Благодаря игральным костям существуют мозговые штурмы, азартные игры, гадания и другие глубинные проявления нашей человеческой сущности.

Поэтому, естественно, люди пытаются жульничать[61].

Один путь: манипулировать внешним видом игральной кости. Например, незаметно наращивать ее, чтобы она приобретала форму кирпича. Или создать грани с небольшими выпуклостями (так они будут выпадать реже) или вогнутостями (так они будут выпадать чаще). Можно покрыть некоторые грани упругим материалом или, наоборот, отшлифовать их наждаком, чтобы они выпадали чаще. Эти фокусы старые, как руины. Я говорю в буквальном смысле: жульнические игральные кости с подпиленными углами были обнаружены в Помпеях.

Другой путь: осуществлять манипуляции внутри игральной кости. «Ловушки» — это игральные кости с двумя скрытыми полостями; правильное движение сместит сгусток жидкой ртути из одной полости в другую, меняя степень вероятности выпадения граней. (Если вы не любите ядовитые металлы, используйте воск, который плавится при температуре чуть ниже температуры человеческого тела.) Другая схема: когда были популярны деревянные игральные кости, шулеры выращивали небольшие деревья, надрезали ветви, закладывали мелкие камушки и ждали, пока разрез затянется. Затем они выстругивали игральную кость с этой невидимой добавкой. Эта мошенническая работа требует не только невероятного терпения, но и навыков выдающегося ботаника.

Третий подход: перенумеровать грани[62]. У обычной игральной кости сумма чисел на противоположных гранях равна семи. (Пары 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4.) В игральных костях под названием «чечетка» (taps) некоторые числа продублированы, и на противоположных гранях расположены 6 и 6, 5 и 5, 4 и 4. С любого ракурса ваш противник будет видеть всего три грани, поэтому не заметит подвоха[63].

Хотя подобные мошеннические методы нацелены на игральные кубики, эта форма игральных костей не самая уязвимая. Просто самая популярная. Очевидно, что в крэпс можно выиграть больше денег, чем в «Подземелья и драконы».

Правило № 6. Хорошая кость — наш вечный гость

Суть игры в кости, как и многих других игр, состоит в том, что в ней нет никакой необходимости. Мы живем в XXI веке. Я добираюсь на работу с помощью реактивного ранца и улетаю в отпуск на крылатом автомобиле. Ладно, я пошутил, но зато я ношу в кармане полмира в виде 140-граммового компьютера. Технологии делают всех нас устаревшими, в том числе работяг, которых называют игральными костями. Смотрите: я хочу оторваться от этого текста и смоделировать миллион бросков игрального кубика в Microsoft Excel. Я дам вам знать, сколько времени это займет.

Окей, готово. Потребовалось около 75 секунд. Вот результаты:

Мало того, что компьютерная генерация случайных чисел быстрее и проще, чем кидание пластикового кубика на стол, она еще и подразумевает более высокую степень случайности. Владельцы казино могут выбросить все рулетки и столы для крэпса: их цифровые заменители будут опережать доисторические генераторы случайных чисел семимильными шагами.

Но разве это будет весело?

Игральные кости созданы для того, чтобы трогать их руками. Первый раз, когда я сыграл в «Подземелья и драконы» (на самом деле первый и последний), я увидел кое-что более завораживающее, чем все орки и маги: зоккиэдр, стогранную игральную кость. Представляете? Сто граней! Игральная кость, которая катится полминуты, прежде чем остановиться! Я знал, что две десятигранные игральные кости (одна для десятков, другая для единиц) удобнее для игры и честнее, чем бритый бугорчатый мячик для гольфа Лу Зокки. Но мне было все равно. Я хотел кидать этот стогранник[64].

Древние греки, должно быть, чувствовали тот же соблазн, когда кидали надпяточную овечью кость под названием астрагал. Они нумеровали четыре грани странным образом (1, 3, 4 и 6) и бросали пригоршню костей. Единица называлась «псы»: худшее, что можно себе вообразить. Лучший исход назвался «Афродита» (шестерка или другая грань, смотря кого вы спросите). Астрагалы не были честными; они были лучше. Это были частицы скелета в человеческой руке, предсказывающие судьбу. Когда Юлий Цезарь пересек Рубикон, рубеж между закатом Римской империи и зарей Римской республики, он сказал: «Alea iacta est». Жребий брошен.

Игра в кости, я так подозреваю, никогда не исчезнет. Эти кости вошли в нашу плоть и кровь. Просто следуйте этим шести правилам:

Хорошая кость

играет честно,

выглядит прелестно,

работает повсеместно,

ее легко кидать,

но сложно в узде держать.

Хорошая кость —

наш вечный гость.

Глава 10. Устная история «Звезды смерти»

Воспоминания о самом знаменитом шаре в галактике

Вероятно, величайший конструкторский проект в истории геометрии — «Звезда смерти». Она была чистейшим ужасом, пока ее не разрушил белокурый юноша из пустыни в трагическом финале фильма «Звездные войны»{35}. Она была исключительно красива. Почти идеальный шар, 160 км в поперечнике, оснащенный лазером, испепеляющим планеты. Но даже этот левиафан, спроектированный, чтобы держать в повиновении целую галактику, в свою очередь, повиновался более могущественному властелину — геометрии.

Геометрия не склоняется ни перед кем, даже перед империями зла.

Я собрал команду, ответственную за создание «Звезды смерти», чтобы обсудить геометрию самой спорной конструкции в истории[65]. Они затронули несколько аспектов, связанных с постройкой огромной шарообразной космической станции:

• множественная симметрия;

• поверхность почти перпендикулярна направлению движения;

• гравитационные свойства по сравнению с природными шарообразными объектами;

• ее собственная мощность в зависимости от площади поверхности;

• очень небольшая кривизна малых участков поверхности;

• уникально низкое соотношение поверхности и объема.

Даже эти мощные умы — проектировщики и инженеры, в том числе гранд-моффы, — не могли диктовать геометрии свои условия[66]. Скорее, они должны были подключить свою изобретательность, чтобы работать с учетом наложенных геометрией ограничений. Вот история того, как они справились с поставленной задачей, изложенная их собственными словами.

Учтите: для легкости чтения я вырезал зловещее шипение дыхательной маски.

1. Мы сделаем тебя ужасно симметричной

Гранд-мофф Таркин. Наша цель — запугать галактику величайшим сооружением, которую она когда-либо видела. Наш бюджет — практически неограниченный благодаря непоколебимому подходу Императора к налогообложению. Финансирование — почти в буквальном смысле слова — взлетело до небес. Поэтому прежде всего у нас возник вопрос: «Как должен выглядеть этот объект?»

Имперский геометр. Я получил указание найти простой, элементарный дизайн. Настолько пугающий и впечатляющий, что заставит дроидов рыдать, а охотников за головами — наделать в штаны. Это было трудное задание по сравнению с написанием статей для высокоцитируемых научных журналов.

Гранд-мофф Таркин. Бедняга-геометр потратил месяцы на мозговые штурмы, заполняя блокноты эскизами и конструкторскими идеями… Лорд Вейдер возненавидел их все.

Дарт Вейдер. Шестиугольная призма? Мы что, империя медоносных пчел?

Имперский геометр. Даже в самых глубоких ущельях неверия в собственные силы я был благодарен лорду Вейдеру за обратную связь. Он требовательный управленец, как и многие визионеры. Но я знаю, что все это было в рамках конструктивной критики.

Дарт Вейдер. Кретин.

Имперский геометр. В конце концов мы выявили единственный целевой показатель: симметрию.

Большинство людей небрежно пользуются этим термином, но в математике слово «симметрия» имеет точное определение: то, что можно сделать с фигурой, чтобы она выглядела так же, как раньше.

Например, морда вуки имеет одну-единственную симметрию: ее можно отразить в вертикальном зеркале{36}. Вот и все. Если вы проделаете что-нибудь еще (скажем, повернете ее на 90° или отразите в горизонтальном зеркале), вы измените его морду до неузнаваемости, после чего вуки может попытаться изменить до неузнаваемости вашу физиономию.

Напротив, морда дианоги[67] (болотной обитательницы с щупальцами, которая иногда заводится в мусорных контейнерах) обладает тремя симметриями: два отражения и поворот на 180°{37}.

Гранд-мофф Таркин. Зачем зацикливаться на симметрии? Ну, симметрия — суть красоты.

Посмотрим, скажем, на человеческие лица. Ни одно не симметрично идеально. Одно ухо чуть повыше; один глаз чуть побольше; нос слегка кривоват. Но чем симметричнее лицо, тем красивее оно нам кажется. Странный психологический факт: математика — мерило красоты.

Мы стремились, чтобы «Звезда смерти» сражала наповал, как лицо супермодели.

Имперский геометр. Однажды лорд Вейдер смел мои чертежи со стола и зарычал: «БОЛЬШЕ СИММЕТРИИ!» Мы рассматривали икосаэдр, у которого 120 симметрий. Как я мог добиться большего? Но потом я все-таки нашел решение, и я больше всего горжусь этим моментом моей карьеры — нет, черт возьми, всей моей ЖИЗНИ. Я нашел решение: максимально симметричное геометрическое тело.

Дарт Вейдер. Почему ему сразу не пришло в голову начать с шара? Черепашья скорость немощных мозгов отнимает слишком много времени.

Гранд-мофф Таркин. Головная боль никуда не делась. Нам необходимо было установить набор лазеров, уничтожающих планеты, в северном полушарии «Звезды смерти» и тем самым нарушить симметрию. Нам это сильно попортило кровь.

Имперский геометр. Я по-прежнему убежден: монтировать этот лазер было ошибкой. Я имею в виду, что эффективнее для устрашения — небольшое лазерное шоу или БЕСКОНЕЧНОЕ число симметрий?

2. Развеять аэродинамику по ветру

Гранд-мофф Таркин. Мы сразу же столкнулись с трудностью. Можно сказать, со встречным ветром.

Все бывали внутри «Звездных разрушителей» и помнят эти сверкающие угловатые конструкции. Они были галактическими ножами для стейков, готовыми вспороть любую звезду, как воздушный шарик с гелием. Когда я осознал, что дизайн должен быть не только эстетичным, но и функциональным, это доставило неприятности нашей станции.

Имперский физик. Представьте, что вы летите на аэроплане. Неважно, насколько вы хороший пилот, все равно вас ждет ЧРЕЗВЫЧАЙНО много столкновений. Я имею в виду, разумеется, столкновения с молекулами воздуха.

Наилучший сценарий? Молекулы воздуха скользят ПАРАЛЛЕЛЬНО поверхности вашего самолета. Таким образом, они никак не влияют на ваше движение. Они похожи на поток автомобилей на встречной полосе. Наихудший сценарий: молекулы воздуха двигаются ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО поверхности самолета, под углом 90°. Тогда все молекулы в полной мере влияют на ваше движение. Вот почему вы не станете строить аэроплан с большой, плоской фронтальной поверхностью: он будет похож на человека-сэндвича с рекламными щитами, пробивающегося сквозь толпу.

Поэтому «Звездный разрушитель» имеет клиновидную форму. Когда он летит сквозь атмосферу, молекулы воздуха в основном скользят вдоль его бортов — почти параллельно поверхности. Напротив, «Звезда смерти» стала нашим аэродинамическим ночным кошмаром. Ее огромная поверхность вынуждена сталкиваться с молекулами воздуха под практически идеально прямым углом.

Имперский инженер. Представьте, что ваши друзья запускают бумажные самолетики, но, вместо того чтобы составить им компанию, вы кидаете парту через весь класс. Вы потратите существенно больше энергии, а парта будет лететь не слишком изящно.

Гранд-мофф Таркин. Изначально мы предполагали, что «Звезда смерти» будет непосредственно посещать планеты. Она должна была входить в атмосферу и испепелять континент или пару континентов, пока из динамиков звучит «Имперский марш».

Эта мечта умерла, когда мы выбрали форму шара. Аэродинамика расстроила наши планы, и наша станция вынуждена была оставаться в космическом вакууме. Никакого сопротивления воздуха — но и никакой музыки.

Дарт Вейдер. Мы пошли на жестокую жертву. Но вожди не должны быть малодушны.

3. Слишком большая для провала, слишком маленькая для шара

Гранд-мофф Таркин. Вскоре на нашем пути возникла очередная сложность: наши физики продолжали настаивать на том, что «Звезда смерти» обречена приобрести форму бугристого астероида.

Имперский физик. Бросьте взгляд на галактику. Где вы видите шары? Они большие и тяжелые. Звезды, планеты, несколько крупных спутников. А теперь взгляните на мелкие объекты с меньшей плотностью: астероиды, кометы, облака пыли. Вы обнаружите множество уродливых картофелин.

Совпадение? Не думаю. Это факт гравитации. Я с самого начала говорил им: «Звезда смерти» слишком мала, чтобы стать шаром.

Гранд-мофф Таркин. Вы бы видели гримасу лорда Вейдера.

Дарт Вейдер. Я собирался приступить к самому амбициозному конструкторскому проекту в истории зла, и очкарики в белых халатах сообщили мне, что он СЛИШКОМ МАЛ. Был ли я в гневе? Посудите сами.

Имперский физик. Знаете, я не эксперт в области пропаганды, но с точки зрения физики здесь все кристально ясно. Материя притягивает материю. Чем больше материи, тем сильнее притяжение. Такова суть гравитации.

Бросьте разные ингредиенты в открытый космос, как в смесительную миску, и все частицы начнут притягивать друг друга. Они сконцентрируются вокруг своего рода пространственной точки баланса — центра масс. Постепенно сгустки материи на периферии и выпуклости на поверхности будут стягиваться к этому центру. Рано или поздно воцарится окончательное равновесие, и вся материя образует безупречный шар.

Но это произойдет только в том случае, если у вас будет достаточно материи. В противном случае сила притяжения будет слишком слаба, чтобы сгладить бугры. Поэтому большие планеты становятся шарообразными, а небольшие спутники остаются картофелевидными.

Дарт Вейдер. Я задумался: что, все физики настолько наглые? Может быть, стоит перебить всех ученых прямо сейчас, чтобы избавить себя от дальнейших дискуссий?

Имперский физик. Колдовской размер, которого достаточно, чтобы приобрести форму шара, зависит от материала. Лед приобретает форму шара при диаметре около 400 км, потому что он достаточно пластичный[68]. Камень намного жестче, понадобится больше гравитации, чтобы уломать его, поэтому он не станет шарообразным, пока диаметр не достигнет 600 км. Для такого материала, как имперская сталь, созданного, чтобы противостоять тектоническим силам, диаметр должен быть еще больше. Вероятно, 700 или 750 км.

А «Звезда смерти»? Всего лишь 140 км в поперечнике[69]. Камушек!

Гранд-мофф Таркин. Когда лорд Вейдер начал душить физика хваткой силы, я смог найти компромисс. «Джентльмены, — сказал я, — это ХОРОШАЯ новость! Это означает, что люди, видя наш рукотворный шар, будут подсознательно уверены, что он гораздо больше, чем на самом деле. В итоге мы утроим наш диаметр без дополнительных расходов на постройку!». Кроме того, я заметил, что мы в любом случае контролируем гравитацию, как и подачу кислорода физикам. И в конце концов физик узрел нашу мудрость.

Имперский физик. Лицо лорда Вейдера просветлело. Ну, я думаю, это было заметно. Похоже, его маска улыбалась. В любом случае, ему явно нравилась идея, что шарообразная форма может имитировать и напоминать более крупные небесные тела.

Дарт Вейдер. Я вспомнил жуткого морского гада, который раздувается в шар, чтобы запугать своих врагов. Поэтому в моих личных записях я называл «Звезду смерти» небесным иглобрюхом.

Гранд-мофф Таркин. Я умолял его не говорить «небесный иглобрюх», но вы знаете лорда Вейдера. Если он зациклится на чем-то…

4. Западная Вирджиния, бороздящая космические просторы

Гранд-мофф Таркин. Вы видели съемки внутри «Звезды смерти»? Возникает ощущение, что она кишит штурмовиками. Набита плотно, как подводная лодка.

Ха! На самом деле «Звезда смерти» была самым пустынным, самым безлюдным местом из всех, где мне довелось побывать.

Имперский переписчик населения. Экипаж «Звезды смерти» насчитывал 2,1 млн человек и дроидов[70]. С учетом радиуса 70 км площадь ее поверхности составляла около 62 000 км^2. Если бы весь экипаж находился на поверхности, плотность населения составляла бы 30 единиц экипажа на квадратный километр. Пять футбольных полей на каждого.

Для сопоставления: примерно таковы размеры, численность и плотность населения в Западной Вирджинии{38}. Хотите представить общественную жизнь на «Звезде смерти»? Представьте себе Западную Вирджинию, бороздящую космические просторы.

Штурмовик. Эх, иногда мне становилось так одиноко. Можно было патрулировать сектор целый день и никого не встретить. Даже дроида.

Имперский переписчик. Разумеется, все было гораздо хуже. Далеко не все члены экипажа находились на поверхности! Обитаемые зоны станции простирались на 4 км вглубь: 1000 уровней высотой по 4 м.

Теперь представьте летучую Космическую Западную Вирджинию, где люди живут на разных ярусах в угольных шахтах глубиной 4 км. Плотность населения составила бы один человек на 40 км^2.

Единственная сопоставимая часть суши на Земле? Гренландия.

Штурмовик. А самое главное издевательство? В каждой кабине спало по 60 парней. На одну кабину приходилось три сортира и два душа. Забудьте про испепеление планет; если вы хотите, чтобы людям снились кошмары, просто покажите им утренние очереди в эти туалеты.

Император может позволить себе потратить квадриллионы долларов на космический корабль, и все равно я сплю на шестиярусной койке и отстаиваю в очереди полкилометра, чтобы отлить? Тьфу. Я до сих пор схожу с ума.

5. Невидимая кривизна

Гранд-мофф Таркин. В сущности, «Звезда смерти» создавалась не ради экипажа. Все люди, все машины — активная зона реактора, субсветовой и гиперсветовой двигатели — были просто системой поддержки основного назначения станции — суперлазера.

Имперский геометр. Ах, это еще одна причина, по которой шар был идеальной формой! При заданном объеме он обладает наименьшей плотностью поверхности. Если вы строите корпус для огромного устройства, скажем лазерной пушки, сокрушающей планеты, сферическая форма позволит израсходовать минимум материала.

Имперский инженер. Я знаю, геометр скажет, что сферическая форма сэкономит наши деньги, потому что для куба понадобится на 24 % больше стали. Типичный математик: сплошное теоретизирование, никакой практичности.

Есть причина, по которой мы не имеем обыкновения строить космические корабли в форме сферы: кривизна — это мука мученическая! Вы когда-нибудь пробовали расставить мебель в изогнутой комнате? Желаю удачи с размещением дивана.

Впрочем, «Звезда смерти» была слишком велика, чтобы заметить искривление на таком уровне. Никаких проблем для дизайнеров интерьера. Но с точки зрения строительства кривизна обеспечила мне головную боль на много лет. Нам нужны были стальные балки с кривизной 0 градусов, 0 угловых минут и 3 угловых секунды на метр — меньше чем 1 градус на километр.

Это черт знает что! Кривизна была настолько низкой, что ее нельзя было заметить невооруженным глазом, но в то же время настолько высокой, что отдельные элементы нужно было изготовлять на заказ.

Гранд-мофф Таркин. Изогнутые балки… О, не напоминайте. Один субподрядчик поставлял нам прямые балки целый год — и думал, что мы не заметим. Честно говоря, мы и правда не заметили, пока однажды Император не приблизился на шаттле и не сказал: «Что это за смешная выпуклость?» Мы были отброшены на МЕСЯЦЫ назад. Но, во всяком случае, субподрядчику пришлось страдать гораздо больше, чем нам.

Дарт Вейдер. Эти субподрядчики — сплошные идиоты. Можно надуть обычных клиентов, но не Империю зла.

6. Может быть, мы поработали слишком хорошо

Имперский геометр. Как я уже сказал, шар имеет минимальную площадь поверхности при заданном объеме. Но я признаю, что у этой формы есть свои недостатки.

Гранд-мофф Таркин. Ликвидация мусора стала вечной пыткой.

Имперский мусорщик. Основное решение проблемы мусора в космосе просто: выбросить его за борт. Однако минимальная площадь поверхности означает, что большая часть вашей станции расположена далеко от поверхности. Нам понадобились мусоропроводы длиной в десятки километров. Я начал кампанию по переработке отходов, но экипаж просто выбрасывал все — еду, стальные балки, живых повстанцев, взятых в плен, — в мусорные контейнеры. Я не мог избавиться от чувства, что экология там не была приоритетным направлением.

Имперский инженер. Меня до сих пор преследует проблема отопления. Открытый космос, верно? Там прохладно. Если вы хотите сохранить тепло, шарообразная форма подходит идеально. Минимальная площадь поверхности означает минимальные потери тепла. Однако, по всей видимости, мы поработали СЛИШКОМ хорошо, потому что первичное моделирование показало, что станция имеет тенденцию к перегреву.

Имперский проектировщик. Нам пришлось избавляться от излишков тепла, поэтому я добавил теплоотводные шахты. Ничего особенного. Шириной в несколько метров. Тепло уходит в космос; проблема решена.

Мне и голову не приходило…

Я имею в виду, когда я узнал, что повстанцы уничтожили станцию, добравшись до теплоотводной шахты…[71]

Адвокат имперского проектировщика. Пусть запись покажет: следственная группа обнаружила, что «Звезда смерти» была уничтожена дефектным реактором, которого мой клиент НЕ проектировал. Вкладом моего клиента были теплоотводные шахты. Они успешно справлялись со своей задачей — выпускать тепло за пределы станции.

Дарт Вейдер. Кроме того, они успешно впустили протонную торпеду ВНУТРЬ станции.

Гранд-мофф Таркин. От туманного начала до горького конца «Звезда смерти» была плодом компромиссов. Она была дорогостоящей? Да. Неэффективной? Вне всяких сомнений. Уничтожена шайкой подонков-повстанцев? Сложно отрицать.

И все же… Я никогда ничем так не гордился, как этим огромным, достославным шаром.

Издалека он был похож на Луну с кратером от астероида. Затем вы приближались, и геометрическое совершенство ошарашивало вас: бесчисленные симметрии этого кратера, прямые углы каналов на поверхности, темный опоясывающий рубец на экваторе…

Имперский геометр. «Звезда смерти» осуществила жуткий синтез: настолько грандиозная, каким может быть лишь небесное тело, и настолько идеальная, каким оно не может быть никогда. Она была волнующей, неотразимой, ужасающей. В этом сила геометрии.

Дарт Вейдер. Как это часто бывает, наши критики придумали нам лучший слоган. Когда мой старый заклятый друг Оби-Ван сказал: «Это не Луна!», мы поняли, что теперь у нас есть лозунг для рекламы.

III. Вероятность

«Может быть» в математике

Вы хоть раз в жизни играли в орлянку? Готов поспорить, что да, если вы не настолько обнищали, что у вас нет даже мелочи, или не настолько купаетесь в деньгах, чтобы утруждать себя поиском монет. Также я подозреваю, что, несмотря на шансы 50/50, каждый конкретный исход не был помесью орла и решки. Либо орел, либо решка. Все или ничего.

Такова жизнь: она полна случайных точечных событий. Непредвиденных задержек поездов. Волевых побед. Свободных мест на парковке, магическим образом возникающих из ниоткуда. В нашем мире, где бушуют ураганы, может произойти все что угодно, и судьба никогда не высылает оповещений загодя.

Но если бы вы могли подкинуть монетку триллион раз, вы бы оказались в совершенно другом мире: опрятная вселенная, где все ясно в долгосрочной перспективе. 50 % раз выпадает орел, половина новорожденных — мальчики, события с вероятностью одна миллионная происходят единожды из миллиона случаев (или что-то около того). В этом абстрактном царстве с вечно голубыми небесами нет никаких заскоков и случайных совпадений. Они тонут в совокупности всех возможных исходов, как галька, брошенная в море.

Теория вероятностей наводит мосты между этими двумя мирами. В нашем — диком и запутанном — ни в чем нельзя быть уверенным. В спокойном же, просчитанном мире, которого нам никогда не достичь, все заранее предрешено. Специалист по теории вероятностей — гражданин двух миров одновременно, он пытается рассматривать каждый сенсационный заголовок и низвержение знаменитостей как одну из карт бесконечной колоды, горсть воды из бездонного кувшина. Мы, смертные, никогда не войдем в пределы вечности, но теория вероятностей дарит нам проблеск надежды.

Глава 11. Десять встреч в очереди за лотерейным билетом

Ах, лотерейный билет. Cертификат оптимизма, казначейская облигация Министерства надежды. Зачем держаться за потрепанную однодолларовую купюру с загнутыми уголками, если можно обменять ее на непредсказуемую сумму от нуля до $50 млн?

Если для вас это звучит непривлекательно, что же, вы и все человечество будете просто вынуждены поменять свое мнение.

Должен признаться, я потратил на лотерейные билеты меньше денег за всю жизнь (семь долларов), чем на круассаны за текущий месяц (не спрашивайте сколько). Тем не менее ежегодно в лотерею играют около половины взрослых американцев. Это не та половина, о которой вы, вероятно, подумали. Люди с ежегодным доходом $90 000 играют чаще, чем те, кто зарабатывает меньше $36 000[72]. Те, у кого есть степень бакалавра, играют чаще, чем те, у кого ее нет. Больше всего денег на лотерею расходуют жители моего родного штата Массачусетс: пристанище обеспеченных, суперобразованных либералов, которые тратят на лотерейные билеты за год в среднем по $800 на человека[73]. Играть в лотерею, как и смотреть футбол, судиться с соседями или распевать национальный гимн, — это американский вид досуга, и ему предаются по разным причинам.

Идем, составьте мне компанию в очереди за лотерейным билетом, и мы исследуем многогранную привлекательность инвестиций с шансом на коммерческий успех.

1. Заядлый игрок

Смотрите-ка! Это Заядлый Игрок, который покупает лотерейные билеты по той же причине, по какой я покупаю круассаны: не ради пропитания, а ради удовольствия.

Возьмем для примера популярную в Массачусетсе лотерею «Приз $10 000 наличными»[74]. Гениальное название. Поставьте рядом слово «приз» и число 10 000, и вы никогда не прогадаете, о чем бы там ни шла речь дальше[75]. К тому же иллюстрация на лотерейном билете за один доллар выглядит как фото в ночном рейв-клубе, распечатанное на цветном принтере. На обороте вы найдете следующую сложную таблицу шансов на победу.

Сколько выиграет ваш билет? Ну, пока что мы не в курсе. Может быть, $10 000; может быть, пять долларов; может быть (я имею в виду «скорее всего»), ничего.

Было бы неплохо оценить выигрыш с помощью одного-единственного числа. Представьте, что мы потратили не один жалкий доллар, а миллион долларов. Таким образом, мы сбежали из толчеи на танцполе нашего мира кратковременности в тихий и мирный мир долговременности, где каждый выигрыш случится с известной заранее вероятностью. Когда мы купим миллион билетов, событие с вероятностью одна миллионная, скорее всего, произойдет один раз{39}. Событие с вероятностью 1 к 100 000 произойдет примерно десять раз. Событие с вероятностью 1 к 4 произойдет примерно 250 000 раз (или что-то около того).

Возбужденно раскладывая наши билеты по стопкам, мы ждем, что наш выигрыш распределится примерно следующим образом:

Около 20 % наших билетов оказались выигрышными[76]. Если суммировать все деньги, инвестиции размером в миллион долларов принесли нам около $700 000… и это означает, что $300 000 из нашего кармана перешли прямиком в казну штата Массачусетс.

Иными словами, каждый билет стоимостью один доллар принес нам около 70 центов.

Математики называют это число ожидаемым выигрышем{40} от покупки одного билета. Я понимаю, что это забавный термин, потому что вы не ждете, что каждый билет принесет 70 центов, — точно так же вы не ждете, что в каждой семье родится 1,8 ребенка. Я предпочитаю термин средняя величина в долгосрочной перспективе: вы получите такую сумму за каждый билет, если будете играть в лотерею снова, и снова, и снова, и снова, и снова…

Разумеется, 30 центов — это меньше, чем вы потратили, но, хотя развлечение не бесплатное, Заядлый Игрок готов пойти на риск. Опросите американцев, зачем они играют в лотерею, и половина скажет: не ради денег, а ради удовольствия[77].

Таковы Заядлые Игроки. Поэтому, когда государство запускает новый вид лотереи, общие продажи лотерейных билетов растут[78]. Заядлые Игроки видят в новых лотереях не альтернативные возможности инвестиций (что привело бы, соответственно, к падению продаж билетов старой лотереи), а новые развлечения, что-то вроде свежих фильмов в мультиплексе.

Что именно привлекает Заядлого Игрока? Радость победы, прилив адреналина от непредсказуемости, приятное волнение от наблюдения за развитием событий? Ну, это зависит от аппетитов конкретного Заядлого Игрока.

Я могу сказать наверняка, к чему он не стремится: к финансовой выгоде. В долгосрочной перспективе покупка лотерейного билета почти всегда означает потерю денег, а не прибыль.

2. Образованный дурак

Погодите… Почти всегда? Как это «почти»? Какое правительство настолько тупоумно, что продает лотерейные билеты себе в убыток?

Эти исключения возникают из общего правила, согласно которому лотереи с большим джекпотом подслащивают сделку: если никто не выигрывает джекпот на этой неделе, он пополняет призовой фонд на следующей неделе, и в итоге наибольший выигрыш увеличивается. Если это повторяется несколько раз, ожидаемый выигрыш одного билета начинает превышать его стоимость. Например, в январе 2016 года Национальная лотерея Великобритании предложила лакомый ожидаемый выигрыш более четырех фунтов стерлингов при стоимости билета два фунта[79]. Как ни странно, такие схемы обычно стимулируют более чем достаточно продаж, чтобы оправдать затраты.

В очереди за лотерейным билетом наподобие этого вы встретите очень необычного игрока — лакомство для таких азартных орнитологов, как мы. Видите, как он чистит перышки вон там, высоко в ветвях? Это Образованный Дурак — редкостный олух, который трактует ожидаемый выигрыш, пользуясь плодами образования, как все глупые люди: путает частичную истину и универсальную мудрость.

Ожидаемый выигрыш дистиллирует многогранность покупки лотерейного билета, со всеми возможными призами и вероятностями, до одного обобщающего числа. Это мощный ход. Кроме того, это упрощение.

Возьмем для примера два билета стоимостью один доллар.

Потратьте $10 млн на билеты категории A, и вы получите $9 млн, то есть ожидаемый убыток при покупке каждого билета составляет 10 центов. В то же время $10 млн, потраченных на билеты категории B, принесут вам $11 млн и на сей раз ожидаемая прибыль от каждого билета составляет 10 центов. Таким образом, для тех, кто влюблен в ожидаемый выигрыш, вторая категория билетов кажется настоящим золотом, а первая — кошачьим{41}.

И все же… принесут ли мне $11 млн больше счастья, чем $9 млн? Обе суммы во много раз превышают мой текущий счет в банке. Психологическая разница незначительна. Так зачем же называть одно мошенничеством, а другое отличной сделкой?

Если упростить: представьте, что Билл Гейтс предлагает вам пари. За один доллар вы с шансом 1 к 1 000 000 000 получаете $10 млрд. Посчитав ожидаемый выигрыш, вы пускаете слюни: миллиард, потраченный на лотерейные билеты, обеспечит вам выигрыш $10 млрд. Невозможно удержаться!

Но даже в этом случае, Образованный Дурак, я прошу вас удержаться. Вы не можете позволить себе эту игру. Наскребите впечатляющий миллион долларов, и все равно богатый человек Гейтс с вероятностью 99 % станет на один миллион богаче, а вы на один миллион беднее. Ожидаемый выигрыш — это средняя величина в долгосрочной перспективе, и, отозвавшись на предложение Билла Гейтса, вы исчерпаете свои финансы раньше, чем эта долгосрочная перспектива наступит.

То же самое верно по отношению к большинству лотерей. Возможно, вы окончательно разуверитесь в ожидаемом выигрыше, ознакомившись с такими абстрактными возможностями однодолларового лотерейного билета:

Если вы купите десять билетов, вы, скорее всего, выиграете один доллар. В общем-то, ужасно: 10 центов за каждый билет.

Если вы купите 100 билетов, вы, скорее всего, выиграете $20. (Десять самых маленьких призов и один приз в $10.) Чуть менее ужасно: 20 центов за билет.

Если вы купите 1000 билетов, то, скорее всего, вы выиграете $300. (Сто призов по одному доллару, десять призов по $10 и один приз в $100.) Вы получите по 30 центов с каждого билета.

Продолжаем. Чем больше билетов вы купите, тем больший выигрыш вы можете ожидать. Если вы каким-то образом умудритесь купить миллиард билетов, скорее всего, на каждый билет вы выиграете $1,2. Квадриллион билетов? Еще лучше: $1,5 на билет. Действительно, чем больше у вас билетов, тем больше будет ваша прибыль от каждого билета. Если вы каким-то образом сможете инвестировать гугол долларов, вы получите десять гуголов взамен. Любая желаемая выручка — надо просто накупить достаточное количество билетов. Ожидаемая прибыль от одного билета бесконечна.

Но даже если вы доверяете правительству, затеявшему такую лотерею, вы никогда не сможете позволить себе купить достаточное количество билетов, чтобы увидеть хотя бы отблеск бесконечной прибыли. Идите и потратьте всю свою жизнь на покупку билетов, Образованный Дурак. С ошеломляющей вероятностью вас ждет банкротство.

Мы, люди, — создания кратковременные. Лучше оставим бессмертным среднюю величину в долгосрочной перспективе.

3. Мальчик на побегушках

О, посмотрите-ка, кто только что занял очередь. Это Мальчик на побегушках!

В отличие от большинства стоящих в этой очереди, заработок Мальчика на побегушках гарантирован. Дело в том, что Мальчик на побегушках покупает билеты не для себя: просто отстаивает очередь, тратит некую сумму, покупает билеты и передает заказчику. Компенсация скромная, однако надежная.

Кто заплатит Мальчику на побегушках? Ну, это вопрос к нашему следующему игроку…

4. Крупный Игрок

На первый взгляд этот персонаж ужасно похож на Образованного Дурака: тот же сверкающий взгляд, та же одержимость ожидаемым выигрышем. Но поглядите-ка, что происходит, когда он обнаруживает лотерею, у которой ожидаемый выигрыш положителен{42}. В то время как Образованный Дурак размахивает руками, покупает горемычную горсть билетов и редко выигрывает, Крупный Игрок втайне осуществляет простой и гнусный план. Чтобы преодолеть риск, вам недостаточно купить всего несколько билетов. Вы должны выкупить все.

Как стать Крупным Игроком? Просто проделайте эти четыре шага, столь же элегантные, сколь и полоумные.

Шаг № 1. Найдите лотереи с положительным ожидаемым выигрышем. Они встречаются не так редко, как можно подумать. Исследования показывают, что этому критерию отвечают около 11 % тиражей[80].

Шаг № 2. Остерегайтесь исхода с несколькими победителями. Большие джекпоты привлекают больше игроков, повышая вероятность, что вы разделите главный приз. Это катастрофа, понижающая ожидаемый выигрыш.

Шаг № 3. Следите за небольшими призами. По отдельности эти утешительные призы (например, за угадывание четырех из шести чисел) принесут немного, но их надежность делает их ценной страховкой. Если джекпот будет разделен на несколько частей, маленькие призы уберегут Крупного Игрока от больших потерь[81].

Наконец, шаг № 4. Если лотерея выглядит многообещающе, покупайте все возможные комбинации.

Звучит просто? Но это совсем не просто. Крупный Игрок нуждается в экстраординарных ресурсах: капитал в миллионы долларов, сотни часов, чтобы заполнить квитанции о покупке, десятки Мальчиков на побегушках, чтобы совершить покупки, и торговые точки, готовые продавать билеты оптом. Чтобы оценить этот вызов, посмотрите на драматическую историю государственной лотереи штата Вирджиния в 1992 году[82].

Февральский тираж предлагал идеальное сочетание обстоятельств. Ролловеры довели джекпот до рекордной суммы в $27 млн. С учетом всего семи миллионов возможных комбинаций чисел ожидаемый выигрыш каждого билета стоимостью один доллар составлял около четырех долларов. Еще лучше, что риск расщепления джекпота был обнадеживающе мал: это произошло всего с 6 % предыдущих лотерей в Вирджинии, и на сей раз джекпот распух настолько, что принес бы прибыль, даже расщепившись натрое.

И вот Крупный Игрок бросился в атаку. В игру включился австралийский синдикат из 2500 инвесторов под руководством математика Стефана Менделя. Они висели на телефонах, размещали огромные заказы в головных офисах бакалейных лавок и сетей круглосуточных магазинов. Время работало против них. На печать билетов уходило время. Одной сети бакалейных лавок пришлось вернуть синдикату $600 000 за невыполненные заказы. К началу розыгрыша инвесторы приобрели всего пять миллионов из семи миллионов комбинаций. Таким образом, шанс упустить джекпот был равен примерно 1 к 3.

К счастью, они выиграли, хотя им потребовалось несколько недель, чтобы отыскать выигрышный билет в груде из пяти миллионов билетов. После краткого юридического вальса с комиссаром государственной лотереи (который воскликнул: «Больше этого не повторится!») они забрали свой приз.

Крупные Игроки вроде Менделя наслаждались славными прибыльными днями в 1980-х и начале 1990-х. Но те бурные времена прошли. Каким бы сложным ни был выкуп билетов лотереи Вирджинии, это была пустяковая задачка по логистике по сравнению с пугающей перспективой выкупа билетов лотерей Mega Millions или Powerball (каждая подразумевает более чем 250 миллионов комбинаций). После той истории в Вирджинии в правила лотереи были включены поправки, препятствующие покупке большей части билетов, и, похоже, Крупный Игрок больше никогда не найдет выгодных условий и не вернется в игру.

5. Поведенческий Экономист

Для психологов, экономистов, специалистов по теории вероятностей и других университетских — истов нет ничего более интригующего, чем то, как люди относятся к неопределенности. Как они оценивают опасность и шансы на выигрыш? Почему одних манит риск, а других отпугивает? Однако, занимаясь этими вопросами, исследователи сталкиваются с одной проблемой: жизнь чрезвычайно сложна. Заказать десерт, сменить работу, выйти замуж за привлекательного молодого человека, предлагающего обручальное кольцо, — чтобы сделать выбор в этих ситуациях, нужно кинуть огромную игральную кость с неизвестным числом непохожих граней. Невозможно представить все результаты, проконтролировать все факторы.

Напротив, лотереи просты. Очевидные результаты. Ясные вероятности. Мечта социолога! Как видите, Поведенческий Экономист встал в очередь не для того, чтобы играть, а просто понаблюдать, как вы играете.

Нежные чувства, которые ученые питают к лотереям, уходят в глубь веков. Теория вероятностей возникла в конце XVII века[83]. В ту эпоху зарождалась современная финансовая система, начали распространяться страховые планы и инвестиционные возможности. Но незрелая математика неопределенности не знала, как быть с такими сложными инструментами. Вместо этого математики-любители, которые занимались теорией вероятностей, обратили свой взор на лотереи. Из-за своей простоты они были идеальны для оттачивания научных гипотез.

В наши дни чудесный дуэт Даниэля Канемана и Амоса Тверски обнаружил сильный психологический паттерн, который проявляется при покупке лотерейных билетов. Для того чтобы узнать, в чем он заключается, я познакомлю вас с очередным приятелем в этой очереди…

6. Человек, которому нечего терять

Вот веселый тест в духе поведенческой экономики[84]:

В долгосрочной перспективе выбор не играет роли. Выберите 100 раз вариант B, и (в среднем) 90 раз вы сорвете банк и десять раз останетесь с пустым карманом. В общей сложности $90 000 спустя 100 попыток, то есть в среднем по $900 за одну попытку. Таким образом, ожидаемый выигрыш такой же, как и в варианте A.

И все же, если вы похожи на большинство людей, ваши предпочтения сильны. Вы скорее возьмете гарантированную сумму, чем уцепитесь за шанс получить небольшой бонус, рискуя остаться ни с чем. Такое поведение называют уклонением от риска.

Это зеркальное отражение вопроса № 1. В долгосрочной перспективе средний убыток в обоих случаях равен $900. Но на сей раз большинство людей не привлекают гарантии. Они скорее согласятся заплатить немного больший штраф, если есть шанс обойтись вообще без штрафа. На сей раз они склонны к риску.

Этот выбор — характеристика теории перспектив, моделирующей человеческое поведение[85]. Когда речь идет о прибыли, мы уклоняемся от риска, предпочитая гарантированный профит. Но когда дело касается убытков, мы согласны на риск и готовы сыграть в кости, чтобы избежать плохого исхода.

Важнейший урок теории перспектив: контекст имеет значение. Прибыль или убыток — все зависит от вашей текущей точки отсчета. Возьмем для примера такое противопоставление:

Два варианта сводятся к идентичному выбору: (А) уйти с $1500 или (Б) сыграть в орлянку, чтобы определить, получите ли вы в конечном итоге $1000 или $2000. Но люди дают разные ответы. В первом случае они предпочитают $1500 с гарантией; во втором они предпочитают рискнуть. Дело в том, что точки отсчета в этих двух случаях разные. Когда $2000 «уже ваши», мысль о потере пяти сотен заставляет вас нервничать. Вы готовы пойти на риск, чтобы избежать такой участи.

В трудные моменты жизни мы играем в кости.

Это направление исследований приводит к печальным и поучительным выводам для покупателей лотерейных билетов. Если вы живете в тяжелых финансовых условиях, — если каждый день ощущается как вечная потеря, — тогда вы более склонны к риску потратить деньги на лотерейный билет.

Подумайте о том, как баскетбольная команда, проигрывая в конце матча, начинает фолить. Или хоккейная команда, отставая на одно очко за минуту до конца игры, заменяет вратаря дополнительным нападающим. Или политик, отстающий в рейтинге за две недели до выборов, кидается в атаку, надеясь встряхнуть кампанию. Эти уловки вредят ожидаемому выигрышу. Вероятно, ваши потери только увеличатся. Но, поднимая степень случайности, вы увеличиваете ваши шансы на победу{43}. В моменты отчаянья люди только этого-то и хотят.

Исследователи выяснили, что лотерейные билеты «ради денег» чаще всего покупают бедняки[86]. Для них лотерея — не занятный способ распорядиться своим состоянием, а рискованный путь приумножить его. Да, по статистике вы проиграете. Но, если вы уже проигрываете, это та цена, которую вы, может быть, готовы заплатить.

7. Подросток, которому только что исполнилось 18

Эй, посмотрите-ка на этого розовощекого игрока в лотерею! Переполняет ли вас это зрелище тоской по утраченной юности?

Или оно заставляет вас думать: «Эй, почему государство участвует в этом бизнесе и подсаживает население на такие игры, от которых само же вынуждено ограждать несовершеннолетних?»

Ну, я хочу вас познакомить еще кое с кем…

8. Добросовестный Налогоплательщик

Рад представить нашего нового друга, потенциального гражданина-героя — Добросовестного Налогоплательщика.

Никто не любит, когда у него стреляют деньги, даже если с этой просьбой обращается доброжелательная районная управа. Правительство Штатов пыталось обложить налогами все на свете (зарплату, доходы от розничной торговли, недвижимость, подарки, наследство, сигареты), и ни один налог не принес гражданам особой радости. И вот в 1970-е и 1980-е власти набрели на старый ментальный трюк.

Превратите уплату налогов в игру, и очередь желающих сыграть вытянется во всю улицу.

Предложение «Я буду удерживать по 30 центов с каждого доллара» вызывает ворчание. Откорректируйте его: «Я буду удерживать по 30 центов с каждого доллара, а все излишки отдам одному случайно выбранному гражданину», и вы инициируете нечто феноменальное. Правительство предлагает лотереи не из благожелательности; оно применяет одну из самых эффективных схем выуживания денег. Государственные лотереи обеспечивают прибыль в $30 млрд ежегодно, что составляет более 30 % госбюджета[87].

Если вам кажется, что чем-то попахивает, то, я подозреваю, это лицемерие[88]. Смелый шаг — запретить весь игорный бизнес, а затем открыть ваш собственный, и пусть «однорукие бандиты» бренчат в круглосуточных магазинах. Черт возьми, игра «Ежедневные числа», которую правительство вело в 1980-е, была умышленным плагиатом популярных нелегальных игр[89].

Есть ли этому некое невинное объяснение? Честно говоря, государственные лотереи менее подвержены жульничеству, чем частные. Просто наведите справки у россиян, которые захлебывались в водовороте лохотронов после развала СССР[90]. И все же, если мы просто хотим защитить игроков от эксплуатации, зачем проводить агрессивные рекламные кампании? Зачем выплачивать такие крошечные выигрыши?[91] И зачем печатать аляповатые билеты, напоминающие флаеры клубных тусовок под энергетиками? Объяснение очевидно: лотереи проводят ради прибыли. И точка.

Чтобы парировать атаки наподобие той, которую я сейчас предпринял, государства применяют хитрую уловку: выделяют средства на конкретные популярные цели. «Мы проводим лотерею, чтобы собрать деньги…» прозвучит лучше, если вы добавите «…на стипендии для колледжей» или «…на муниципальные парки», а не «…для себя — чтобы, знаете ли, их потратить». Это традиция с обширным прошлым: лотереи помогали финансировать бельгийские церкви в XV веке, такие университеты, как Гарвардский и Колумбийский, и даже Континентальную армию во время Американской революции[92].

Целевые ассигнования смягчают образ лотереи, помогая привлечь неазартных граждан. Это и есть наши Добросовестные Налогоплательщики — не обязательно склонные к рискованным играм, но горящие желанием пожертвовать свои средства «на добрые дела».

Увы, их околпачивают. Доллары, поступающие от налогов, взаимозаменяемы, и выручка от лотереи, как правило, компенсируется, доллар за долларом[93], урезанием расходов из других источников. Комик Джон Оливер шутит: направлять прибыль от лотереи на определенные цели — все равно что обещать «справлять малую нужду в одном углу бассейна; моча распространяется повсюду, что бы вы ни говорили»[94].

Так почему же целевые ассигнования — и, таким образом, государственные лотереи — продолжают свое существование? Потому что «сыграй-если-захочешь» звучит лучше, чем «заплати-налоги-или-загремишь-в-тюрьму».

9. Мечтатель

А теперь позвольте представить вам полного надежд игрока со звездным блеском в глазах, который занимает в моем сердце такое же важное место, какое лотерея — в его сердце: это Мечтатель.

Для Мечтателя лотерейный билет — это не столько шанс выиграть деньги, сколько возможность пофантазировать о выигрыше[95]. Когда в ваших руках лотерейный билет, вы можете отпустить воображение на волю и грезить о будущем богатстве и славе, шампанском и черной икре, VIP-ложе на стадионе и двухместном автомобиле с превосходным дизайном. Неважно, что джекпот, как правило, делает людей менее счастливыми — данные, собранные психологами, подтверждают этот тренд[96]. Мечтая о джекпоте, вы испытываете несколько блаженных минут за рулем вашего нынешнего унылого автомобиля.

Основное правило фантазии — джекпота должно быть достаточно, чтобы изменить вашу жизнь и переместить вас в следующий социально-экономический слой населения[97]. Вот почему мгновенные лотереи со скромными джекпотами[98] привлекают игроков с низкими доходами. Если вы еженедельно едва наскребаете деньги на питание, то $10 000 будут финансовым чудом. Напротив, представители среднего класса, не испытывающие недостатка в комфорте, предпочитают игры с джекпотом в несколько миллионов — это достаточная сумма, чтобы по-настоящему загореться мечтой.

Если вы ищете возможность вложить капитал, будет безумием зацикливаться на ожидаемом выигрыше, игнорируя его вероятность. Но если вы ищете повод для фантазии, то покупка лотерейного билета приобретает смысл.

Эта склонность к мечтам помогает объяснить экономическую странность той разницы в масштабах лотерей, в силу которой у крупных штатов выходит лучше, чем у маленьких[99]. Представьте упрощенную лотерею: половина всех доходов идет в госбюджет, а другая половина достается тому, кто выиграл джекпот. Если правительство продало миллион билетов ценой в один доллар, то у каждого игрока один шанс из миллиона заработать $500 000. Если правительство сможет продать билеты на $100 млн, шансы снизятся до 1 к 100 000 000, а джекпот раздуется до $500 млн.

Ожидаемый выигрыш не меняется. В каждом случае средний доход от билета равен 50 центам. Но психология Мечтателя заключается в том, что он предпочитает мизерные шансы на грандиозный джекпот.

10. Любитель поскрести

Ах, этот гражданин знает, что к чему. Забудьте призы, выданные наличными, и все эти фигли-мигли с вероятностями. Шанс поскрести четвертушку картонной карточки лучше всякого выигрыша. Государственная лотерея — что-то вроде рекламной акции парфюмерии в глянцевых журналах: «Потрите страницу — и почувствуйте аромат».

Глава 12. Дети монеты{44}

Что меня больше всего впечатляло и озадачивало за мою преподавательскую карьеру, так это человеческая генетика. Я не имею в виду тот неудачный семестр в 2010 году, когда меня вынудили вести биологию у десятиклассников[100]. Нет, я имею в виду самое захватывающее преимущество долговременной работы в школе: знакомство с семьями.

Всякий раз, когда вы преподаете двум родственникам — брату и сестре, кузенам, тете и племяннику одного возраста, вы снова и снова поражаетесь сумбурной природе биологического наследования. Я учил братьев и сестер, похожих друг на друга, словно близнецы, и близнецов, которые были совершенно не похожи друг на друга. Школьные родительские вечера всегда вносят сумятицу в мой разум. От встречи к встрече мое сознание в режиме реального времени смешивает лица матери и отца, сидящих передо мной, и я обнаруживаю, что их ребенок — безупречная работа в «Фотошопе»: его уши и ее глаза, его волосы и ее форма головы. Любые две семьи друг от друга отличаются, но в чем-то все семьи похожи.

Загадки сходства поражают биологов до глубины души[101]. Однако я не биолог, и это могут подтвердить мои ученики. У меня нет секвенатора{45}, нет специальных знаний об интронах и гистонах и (что еще важнее) нет даже никаких догадок на этот счет. Нет, я математик. Все, что у меня есть, — монета, теорема и — в духе «Отважного маленького тостера»{46} — вера в силу выводов из основополагающих принципов.

И, возможно, этого достаточно.

Эта глава затрагивает два, на первый взгляд, не связанных между собой вопроса теории вероятностей. Во-первых, вопрос наследования генов, которому можно посвятить несколько школьных учебников. Во-вторых, вопрос об игре в орлянку, который кажется настолько тривиальным, что едва ли стоит наклоняться, чтобы поднять его с пола.

Можем ли мы соединить эти две области? Может ли однозвучный звон монет выразить всю сложность человеческой расы?

Я намерен ответить «да». И я вполне уверен, что унаследовал эту убежденность от отца.

Окей, начнем с простейшего из двух вопросов: что происходит, когда вы подбрасываете монету?

Ответ: есть два равновероятных исхода, орел или решка. Задача решена!

Хм, вы чувствуете это? Есть особое удовольствие в том, чтобы отвернуться от срочной, трудноразрешимой проблемы реального мира и сосредоточиться на головоломке, до которой никому нет дела. Посмакуйте это чувство. Вот почему некоторые люди становятся математиками.

Ладно, ничего особенного не происходит, если мы подбрасываем одну-единственную монету. Но что произойдет, если мы подбросим пару монет? Вы обнаружите, что равновероятны четыре исхода:

Педант сочтет, что два средних результата отличаются друг от друга: орел и решка не то же самое, что решка и орел. (Представьте, что мы подбрасываем цент и пятицентовик.) Но если вы похожи на большинство игроков в орлянку, то не увидите разницы. Ваш разум сведет оба исхода к одному (один орел, одна решка), и вероятность такого исхода — 50 %.

Продолжим: что произойдет, если мы подбросим три монеты?

В общей сложности восемь исходов. Если вы надеетесь, что орел выпадет трижды, есть всего один вариант: каждая монета должна выполнить свой долг, поэтому вероятность этого исхода равна 1 к 8. Но если вы надеетесь на то, что орел выпадет два раза, а решка — один, то есть три варианта — решкой может упасть либо первая, либо вторая, либо третья монета, поэтому вероятность такого исхода равна 3 к 8.

А что произойдет, если мы подбросим четыре монеты, или пять, или семь, или девяносто?

В данном случае мы исследуем семейство вероятностных моделей, известных под названием биномиальное распределение. Ваше единичное событие с двумя равновероятными исходами (орел или решка, победа или поражение, ноль или единица) происходит несколько раз. Это и есть биномиальность. И тогда, изучая эту ветвь математического генеалогического древа, мы наблюдаем две четких тенденции.

Первая: чем больше монет, тем сильнее расцветает сложность. Добавим одну монету, и количество потенциальных исходов увеличится вдвое, от 2 до 4, до 8, до 16. Подбрасывая десять монет, мы рассчитываем на чуть более чем тысячу различных исходов.

Подбросьте 50 монет, и количество исходов возрастет до 2^50, то есть больше квадриллиона. Эта тенденция агрессивного роста известна под названием комбинаторный взрыв. Линейный рост количества объектов ведет к экспоненциальному росту количества их комбинаций. Горсть монет, при всей своей кажущейся простоте, порождает непостижимое разнообразие.

Вторая тенденция обратная: даже если число вариантов быстро возрастает, доля необычных исходов сильно сокращается. Удостоверьтесь в этом на примере с четырьмя монетами, приведенном выше: есть всего два необычных варианта (все орлы и все решки) против 14 обыкновенных. Чем больше монет мы подбрасываем, тем меньше число необычных вариантов и тем глубже мы увязаем в трясине с практически равным соотношением орлов и решек.

Причина проста. Обычные исходы обычны именно потому, что есть много вариантов получить их. В то же время необычные результаты необычны именно потому, что их редко можно получить[102].

Предположим, мы подбрасываем 46 монет. Есть всего один вариант, когда все они выпадают орлом кверху.

Но допустим, нас интересуют исходы, когда единожды все-таки выпадает решка — возможно, это первая монета, или вторая, или третья, или четвертая, или пятая… и так далее вплоть до сорок шестой. Таким образом, есть 46 вариаций.

Сколько вариантов с двумя решками и 44 орлами? Еще больше. Решкой кверху могут выпасть первая и вторая монеты, или первая и третья, или первая и четвертая… или первая и последняя… или вторая и третья, или вторая и четвертая, или вторая и пятая… вплоть до второй и сорок шестой. В общей сложности есть более чем 1000 вариаций. Еще теплее! Наиболее вероятный исход — 23 орла и 23 решки — подразумевает восемь триллионов различных вариантов.

Я не экстрасенс, но если вы подбросите 46 монет, то я предвижу, что произойдет одно из двух:

1. От 16 до 30 монет выпадут орлом кверху[103].

2. Ваша последовательность будет исторической аномалией, уникальной в опыте всего человечества. Ни один подбрасыватель 46 монет еще не достиг ровно такого результата!

Отчего-то первый результат (серединный) затмевает второй (великолепный и уникальный). Для нас все монеты взаимозаменяемы, поэтому любая примерно сбалансированная последовательность орлов и решек будет казаться нам обычной и забудется, как снежинка во время метели.

Но представьте, что нас интересует структура этой снежинки. Представьте, что каждая последовательность орлов и решек для нас — особый поворот судьбы. Что, если нас тревожит не просто количество, но и конкретная последовательность орлов и решек?

Тогда любая из 70 триллионов возможных комбинаций станет для нас настолько исчезающе маловероятной, настолько вопиюще неожиданной, что ее появление покажется чудом. Она заворожит нас, словно звезда, сорвавшаяся с неба прямо к нам в руки. Эта последовательность 46 орлов и решек будет бесценна, как… ну, новорожденный малыш.

И это подводит нас к сложнейшему из двух вопросов главы: генетике.

Каждая клетка вашего тела содержит 23 пары хромосом. Представьте, что это поваренная книга в 23 томах, инструкция по изготовлению вашего организма, и у вас есть две версии каждого тома: мамина и папина.

Разумеется, у ваших родителей тоже есть по две копии: одна от вашей бабушки, другая от дедушки. Как они решили, какие именно хромосомы передать вам, своей драгоценной горошинке? Предположим, — и здесь я прибегаю к довольно театральному упрощению — они подбросили монету. Орел — вы получаете хромосому от дедушки. Решка — от бабушки.

Ваши родители повторили этот процесс по 23 раза, выбрали 23 тома, и в результате… ну, появились вы.

Исходя из этой модели у каждой семейной пары есть 2^46, или 70 триллионов, различных вариантов распорядиться своими хромосомами. В отличие от игры в орлянку, здесь детали имеют значение. Я унаследовал от матери густые волосы и тягу к чтению, а от отца — его походку и любовь к ясности. Если бы я унаследовал иную смесь их черт, например отцовские кудри и рост матери (или отсутствие того и другого), я бы стал другим человеком — своим собственным братом.

В наследовании генов орел и решка — не то же самое, что решка и орел.

Эта модель предсказывает различные степени сходства между братьями и сестрами, которые мы можем видеть. Одна крайность — всякий раз монета для младшего брата может выпасть так же, как для старшего. Несмотря на разницу в возрасте, такие братья, по сути дела, будут близнецами.

Другая крайность — ни одна монета не выпадает так, как в предыдущем случае. Тогда братья, словно в какой-нибудь жуткой книге Филиппа К. Дика, по отношению друг к другу будут генетическими чужаками, имеющими на биологическом уровне не больше общего, чем их родители{47}.

Разумеется, обе крайности маловероятны. Скорее всего, у братьев будет примерно половина общих хромосом из 46 — возможно, чуть больше, а возможно, чуть меньше. Согласно нашей биномиальной модели, львиная доля вариантов — от 18 до 28 общих хромосом.

Данные примерно по 800 парам братьев и сестер, собранные Блейном Беттингером и опубликованные в его блоге «Генетический генеалог», показывают, что наш грубый прогноз был чертовски хорошим[104]:

Есть одно возражение. Я не упомянул настолько важный фактор, что не буду осуждать биологов, если прямо сейчас они яростно раздирают эту книгу на клочки. Это кроссинговер, или рекомбинация.

Я утверждал, что хромосомы передаются по наследству неповрежденными и нетронутыми. Это ложь, как и многие вещи, которые я говорил на уроках биологии. Прежде чем происходит выбор каждой версии хромосомы, две хромосомы склеиваются, например обмениваются средней третью. Таким образом, данная хромосома может преимущественно быть дедушкиной, но в ней будет несколько рецептов из бабушкиной поваренной книги.

Кроссинговер происходит примерно дважды с каждой хромосомой[105]. Таким образом, для повышения точности нашей модели мы можем утроить количество монет (потому что два кроссинговера расщепляют хромосому на три части).

Как это влияет на потенциальное количество детей, отличающихся друг от друга? Вспомните: линейный рост количества объектов приводит к экспоненциальному росту числа их комбинаций. Поэтому разнообразие потомков увеличится гораздо больше, чем в три раза. Точнее, от 2^46 (около 70 триллионов) до 2^138 (ошеломляющие 350 дуодециллионов{48}).

Короче говоря, я утверждаю, что у новорожденного младенца много общего с горстью рассыпанных центов. Это не означает, что вы должны присвоить вашему ребенку цену $0,46. Наоборот, уронив на пол 46 центов, вы должны восхищаться, словно родился новый человек.

Знакомясь с семьями, вы думаете, что они смешиваются, словно краски: синий и желтый порождают зеленый. Но это не так. Семьи смешиваются, словно колоды карт, элементы тасуются и перетасовываются, их прячут в рукав, а потом снова выкладывают на сукно. Генетика — это комбинаторная игра: чудесные и неуловимые закономерности сходства между братьями и сестрами можно отследить до исходного комбинаторного взрыва. Подбросьте достаточно много монет, и четкие, несомненные результаты (орел или решка) начнут размываться и перепутываться. Зазубренные края графика становятся столь же плавными и текучими, сколь и само человечество. Таким образом, все мы — отпрыски комбинаторики, потомки перетасованной колоды, дети монеты.

Глава 13. Какую роль теория вероятностей играет в вашей профессии?

Сказать, что люди плохо ориентируются в теории вероятностей, будет злобным упрощением. Теория вероятностей — тонкая область современной математики, заминированная парадоксами. Даже элементарная задача может сбить хладнокровного эксперта с толку. Упрекать обыкновенных людей за то, что они не в ладах с теорией вероятностей, — все равно что винить их за то, что они плохо летают, не могут выпить океан или недостаточно огнеупорны.

Нет, гораздо честнее сказать, что люди ориентируются в теории вероятностей чудовищно плохо.

Психологические исследования Даниэля Канемана и Амоса Тверски показывают, что люди постоянно заблуждаются, когда речь идет об оценке неопределенных событий[106]. Вновь и вновь они переоценивают ничтожные вероятности и недооценивают то, что случится почти наверняка.

Ничего особенного, правда? Я хочу сказать, разве теория вероятностей когда-нибудь проявляется в реальном мире? Не похоже, чтобы мы проводили свою жизнь, вцепившись в интеллектуальные инструменты, которые могут внести малейшую стабильность в зловещий вихрь неопределенности, наяву бушующий вокруг нас каждую секунду…

Ну просто на всякий случай: эта глава — удобное руководство, посвященное тому, как различные категории людей думают о неопределенности. Ничто не мешает нам немного повеселиться, даже если это болезненная тема.

Здравствуйте! Вы человек. У вас есть два глаза, нос и другие органы чувств. Вы спите, смеетесь и справляете нужду (не обязательно в таком порядке).

Кроме того, вы живете в мире, где нет ничего определенного.

Возьмем для примера простой факт: сколько планет в нашей Солнечной системе? В наши дни вы говорите: восемь. С 1930-го по 2006-й вы отвечали: девять (учитывая Плутон). В 1850-е вы писали учебники, где перечислялось двенадцать планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Церера, Паллада, Юнона и Веста. (Сейчас вы называете последние четыре «планеты» в этом списке «астероидами».) В 360 году до н. э. вы перечислили бы семь: Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн, Луна и Солнце. (Сейчас последние две вы называете просто луна и солнце.)

Вы продолжаете менять ваше мнение о мире по мере поступления новых данных и появления новых теорий. Как у любого человека, когда доходит до познания, у вас много хороших идей и никаких гарантий. Учителя, ученые, политики, даже ваши органы чувств могут ввести вас в заблуждение, и вы прекрасно это знаете.

Расчет вероятностей — это язык вашей неопределенности. Он позволяет вам сделать количественную оценку того, что вы знаете, в чем вы сомневаетесь, а также того, в чем вы знаете, что сомневаетесь. И помогает выразить эти оттенки уверенности на ясном языке чисел. По крайней мере, такова идея…

Здравствуйте! Вы политический обозреватель. Вы пишете о предстоящих выборах. Вы пишете о прошедших выборах. Изредка вы даже пишете о таких вещах, как политика и госуправление.

Кроме того, вы приходите в замешательство, когда случаются сколько-нибудь маловероятные события.

Так было не всегда. Давным-давно выборы для вас были волшебными мгновениями бесконечных возможностей. Вы преуменьшали наиболее вероятный исход голосования, чтобы усилить напряжение, создавая впечатление, что победу, словно в баскетболе, обеспечивает удачный бросок с середины поля одновременно с сиреной. В ночь после президентских выборов 2004 года, когда Джордж Буш — младший имел преимущество на 100 000 голосов штате Огайо и оставалось подсчитать еще около 100 000 бюллетеней, вы сообщали, что «итоги выборов в этом штате остаются интригой». Когда вероятностные модели сулили Бараку Обаме 90 % шансов на победу, вы говорили, что исход выборов — это игра в орлянку.

И вот в 2016 году ваш мир полетел вверх тормашками, словно апельсиновый пирог с кухонного стола. Дональд Трамп одержал победу над Хиллари Клинтон[107]. Проснувшись на следующий день, вы испытали квантовую сингулярность. С тем же успехом можно предсказать, что сейчас кролик материализуется из воздуха. Но для специалиста в области теории вероятностей Нейта Сильвера и людей, разделяющих его позиции, это было лишь легким сюрпризом с шансом 1 к 3 — как будто бы выпала пятерка или шестерка при игре в кости.

Здравствуйте! Вы — инвестиционный банкир. Вы храните в банках инвестиции. Вы инвестируете в банки. И ваши костюмы стоят дороже, чем мой автомобиль.

Еще в 1970-е годы ваша работа была довольно скучной[108]. Вы устраивали финансовые воронки, вкладывая деньги в акции (то есть части бюджета компаний) или облигации (то есть части долга). Акции были захватывающими; облигации были банальными. Вы сковывали людей по рукам и ногам.

Сейчас ваша работа леденит душу, словно американские горки, не прошедшие проверку службы безопасности. В 1970-е и 1980-е вы начали изобретать сложные финансовые инструменты, которые не понимает до конца никто, и меньше всего — государственные регуляторы. Иногда эти ухищрения приносят вам большие бонусы. Иногда они приводят к коллапсу вашей столетней фирмы, оставляя огромный кратер в экономике, как астероид, убивший динозавров. Захватывающие времена!

Справедливости ради нужно сказать, что распределение капитала — довольно важное занятие при капитализме, которое может принести большую пользу. Вы обижаетесь, что язвительный учитель математики невысоко ставит вашу профессию? Тогда выкроите время и подсчитайте, насколько ваша зарплата выше, чем у этого язвительного учителя математики, и, я подозреваю, ваше настроение улучшится.

Здравствуйте! Вы телеведущая местного выпуска новостей. У вас сногсшибательная прическа, хорошо поставленный голос и длинный список заготовленных шуточек в диалогах со вторым ведущим.

Кроме того, вы одержимы крайне маловероятными событиями.

Вы любите оповещать об ужасающих опасностях. Местных убийствах. Канцерогенах, рассеянных в воздухе. Дефективных игрушках, которые вцепляются в пухлые щечки детишек, словно жуткая тварь из фильма «Чужой». Вы якобы информируете вашу аудиторию. Но не будем притворяться. Вы просто приковываете внимание телезрителей. Если бы вы надеялись повысить осведомленность о среднестатистических опасностях, которые угрожают детям, вы бы предупредили о неумелом обращении с огнестрельным оружием и несчастных случаях в бассейнах. Вместо этого вы рисуете яркие пейзажи, где единственная опасность страшнее похищения — нападение крокодила. Вы знаете, что мы не можем оторвать глаз от таких страшилок, особенно если они приправлены заготовленными шуточками.

Здравствуйте! Вы — метеоролог. Телевизионный прорицатель облаков. Вы убедительно жестикулируете и заканчиваете каждый диалог с ведущим репликой: «А теперь возвращаю микрофон вам».

Кроме того, вы фальсифицируете вероятности, чтобы люди не метали громы и молнии в ваш адрес.

Естественно, вы пытаетесь быть честным. Когда вы говорите, что вероятность выпадения дождя равна 80 %, вы абсолютно правы: дождь идет в 80 % таких дней. Но если дождь менее вероятен, вы раздуваете цифры. Вы боитесь гневных твитов от телезрителей, которые оставят зонты дома, а затем обвинят именно вас в том, что с неба льет как из ведра. Поэтому если вы прогнозируете вероятность дождя 20 %, то это означает, что дождь идет лишь в 10 % случаев. Вы завышаете шансы, чтобы снизить поток гневных электронных писем[109].

Возможно, если бы люди лучше разбирались в теории вероятностей, вы бы говорили правду. Кажется, люди ведут себя так, будто бы «10 %» означает «этого не произойдет». Если бы они восприняли истинное значение («произойдет в одном случае из десяти»), вы смогли бы развязать язык и обнародовать числа, скрытые в глубине вашей души. А пока вы остаетесь торговцем полуправдой.

А теперь возвращаю микрофон вам.

Здравствуйте! Вы — философ. Вы читаете странные книги, пишете еще более странные книги и с удовольствием идете в бар поболтать с раввином и приходским священником.

Кроме того, вы не позволите запугать вас теорией вероятностей.

Оставьте все эти «вероятно» эмпирикам, скажете вы. Вы ищете невероятные идеи. Вы задаете вопросы, которые больше никто не задаст, и обдумываете мысли, которые больше никто не обдумает, — в основном из-за того, что они педантичные, непрактичные и, вероятно, ложные. Но именно это делает вам честь! В лучшем случае вы стоите у истоков новых областей знания. Психология берет начало в философии, от Аристотеля до Уильяма Джеймса. Даже в худшем случае ваше вопрошание, как ничье иное, вдохновляет нас и позволяет по-новому взглянуть на вещи.

Здравствуйте! Вы — агент из фильма «Миссия невыполнима». Вы свисаете на тросе с потолка в запертых банковских хранилищах, карабкаетесь по небоскребам с помощью присосок, а когда вы срываете маску перед замаскированным врагом, под ней скрывается вторая маска.

Кроме того, вы, кажется, не понимаете, что значит «невозможно».

Это не значит «очень редко», или «довольно сложно», или «ух ты, класс, лезвие ножа пролетело в миллиметре от глаза Тома Круза». Это значит «нет ни одной возможности». И все же это происходит. Название вашего фильма настолько же нечестно, насколько назойлива песня в титрах.

В данном случае вы не одиноки. Выдумки грешат неправдоподобием. Одно из моих любимых телешоу — «Пятничные ночные огни», скромное исследование повседневной жизни в техасском городке, изображающее заботы обывателей в человеческом масштабе. Но даже этот образчик правдоподобия показывает, что каждый футбольный матч оканчивается совершенно исключительной драмой: 90-ярдовый тачдаун — мяч чиркает по линии ворот — потенциальный гол — и мяч отскакивает от перекладины. Этого достаточно, чтобы я задумался: проецируем ли мы наши фантазии на телеэкран или телеэкран насаждает эти фантазии в нас изначально?

Здравствуйте! Вы капитан «Сокола тысячелетия» — головорез, авантюрист и грубиян с золотым сердцем. Ваш спутник жизни — космическая собака с патронташем, в два с половиной метра ростом.

Кроме того, вы полностью пренебрегаете теорией вероятностей.

Вы не любитель трезвых размышлений и стратегических расчетов. Вы контрабандист, сокрушитель Империи, сорвиголова и убийца Гридо. Сомнение для вас фатально, колебания чреваты плохими последствиями. В лисьих норах нет места теории вероятностей, а вы всю жизнь провели в лисьих норах. Для вас трудоемкие вероятностные вычисления настолько же нелепы, как позолоченный робот-невротик, приговаривающий «о боже!» и «если позволите сказать, сэр…».

Мне нравится думать, что в каждом из нас есть что-то от вас. Теория вероятностей исправно служит нам в моменты хладнокровной тщательной оценки, но иногда нам нужна уверенность, не подтвержденная строгими расчетами и не основанная на фактах. В моменты, когда требуется действовать, душа, скованная вероятностью, может инстинктивно уклониться от необходимого скачка. В эти моменты нам нужно забыть о цифрах и просто лететь.

Глава 14. Необычная страховка

Схемы покрытия от глубоко странных до странно глубоких

Несмотря на мои сильнейшие старания и слабейшие рисунки, я все-таки повзрослел. Я пью несладкий кофе. Я ношу несмешные галстуки. Дети называют меня «мистер». И, что печальнее всего, я провожу ненулевой процент жизни в размышлениях о страховке: медицина, стоматология, дом, автомобиль… В скором времени я буду страховать свои галстуки от кофейных пятен — говорю без малейшей иронии.

Там, за удушающей завесой взрослой жизни, происходит нечто курьезное. Страховые компании не торгуют товарами. Они оказывают психологические услуги, предлагают купить спокойствие. Они позволяют таким недолговечным людям, как я, приобрести немного стабильности в долгосрочной перспективе вечности.

Итак, давайте в этой главе выплеснем наш кофе обратно в лицо взрослой жизни и потянемся за шоколадным молоком. Посмотрим на страхование свежим взглядом и исследуем математику этой причудливой отрасли, анализируя не ее традиционные услуги, а ряд диковинных и неожиданных схем. За беседой о футболе в колледже и об инопланетянах мы исследуем обещание взаимной выгоды, опасность эксплуатации и медленное перетягивание каната между страховщиком и застрахованным, где выигрыш зависит от имеющихся данных.

Даже в самых мрачных безднах взрослой жизни важно помнить, что страхование потешно и диковинно[110]. Наподобие самого взросления.

Страховка от кораблекрушения

С тех пор как появились корабли, появились и кораблекрушения. В Китае 5000 лет назад купцы торговали товарами, спускаясь вниз по рекам на лодках[111]. Если все шло по плану, то груз прибывал в пункт назначения, и волноваться было не о чем. Но если лодка налетала на пороги и на скалы, выяснялось, что груз ушел на дно реки и вряд ли стоит надеяться, что его оплатят духи вод.

Фортуна предлагала всего две карты: умеренный успех и полная катастрофа. Успех давал повод играть в эту игру, но катастрофа была чревата разорением.

Что должен был делать древнекитайский купец?

Просто перераспределить опасность. Вместо того чтобы нагружать свою лодку своими собственными товарами, купцы рассредоточивали их между лодками, чтобы каждое судно несло смешанный груз. Все вместе они обеспечивали высокую вероятность небольшой выручки вместо малой вероятности большой выручки.

Такого рода перераспределение рисков существовало еще в доисторические времена. Вы видите его в любом сплоченном сообществе, где люди жертвуют чем-нибудь, чтобы помочь соседям, зная, что когда-нибудь сами смогут обратиться к источнику коллективной доброты. Незначительные твердые выплаты помогают устранить экзистенциальный риск.

Сегодня сплоченное сообщество уступило место коммерческим страховым компаниям. Традиционные механизмы принуждения (например, не помогать скрягам) уступили место механизмам, основанным на точных формулах (например, устанавливать ставки на основе факторов риска). История дистиллировала социальное устройство до математического.

Тем не менее страхование сегодня работает по тому же принципу, что и 5000 лет назад. Я нахожу дружественные души, которые сталкиваются с теми же смертельными рисками. Мы частично обмениваемся нашими средствами к существованию. И мы плывем вниз по реке, зная, что теперь нас не погубит ни одно кораблекрушение.

Оплатите страховку — и царь прикроет вам спину

Короткая прогулка на машине времени. Выставите на вашем индикаторе: «Иран, 400 год до н. э., новогодний праздник Навруз»[112].

Мы прибываем во дворец, где царь в сопровождении чиновников и писарей встречает длинную вереницу посетителей. Каждый из них преподносит подарок, и царские счетоводы быстро передают его из рук в руки, оценивая стоимость и внося в списки. Мы становимся свидетелями самого радостного торжества: страхового зачисления.

Если вы пожертвуете вещь дороже 10 000 дариков, ваше имя попадет в особую почетную счетоводную книгу. В трудные времена вы получите 20 000 дариков. Те, чьи подарки дешевле, не заслуживают этих обещаний, но все равно могут получить щедрое возмещение. Например, один бедняк пожертвовал только яблоко, а позже получил взамен яблоко, полное золотых монет.

Если не брать в расчет роскошные фруктовые пиньяты{49}, эта сценка показывает, что концепцию страхования можно сформулировать более цинично. Богатые продают немного стабильности бедным.

Если неприятности происходят с богатыми людьми, они справляются. Если вы царь, миллиардер или внук Сэма Уолтона{50}, то вы оплачиваете больничные счета, приобретаете новый автомобиль — и продолжаете жить дальше. Но когда неприятности происходят с бедными людьми, они оказываются в бедственном положении. Они могут отказаться от лечения, влезть в долги или потерять работу из-за отсутствия денег на дорогу. Богатые после несчастья остаются на плаву; бедные идут по спирали вниз.

Страхование рождается, когда мы выворачиваем логику наизнанку. Бедные, будучи не в силах позволить себе риск, платят богатым, чтобы снизить этот риск за их счет.

Страховка на случай «о нет, все мои сотрудники выиграли в лотерею»

Распространенный сценарий: работники в складчину покупают лотерейные билеты, надеясь уволиться всем коллективом. Они создают товарищество, объединенные мечтой больше никогда не быть вместе. Предположим, они выиграют. Что произойдет с их бедным боссом, когда он проснется однажды утром и узнает о массовом увольнении целого отдела, как будто случилось стихийное бедствие?

Не бойся, покинутый босс. От твоего недуга есть лекарство.

В 1990-е больше тысячи британских компаний инвестировали в Национальную систему непредвиденных обстоятельств лотереи[113]. Если ваш персонал срывает джекпот, страховое возмещение поможет покрыть расходы по рекрутингу, переподготовке кадров, возместить потерю прибыли и затраты на временную рабочую силу.

(Я полагаю, что правительство, которое инициирует эти лотереи, тоже должно продавать страховые планы. Что-то вроде компании «Годзилла-страхование», предлагающей защиту против изрыгания пламени.)

Как вы догадываетесь, ожидаемая прибыль выгодна для страховщика. Однако вас, возможно, удивит маржа[114]. Шансы на то, что один билет выиграет джекпот, составляют 14 000 000 к 1, однако максимальный коэффициент выплат равен 1000 к 1. Если у вас два работника, ожидаемая прибыль от страховки будет невыгодна для вас, даже если каждый из них купит 10 000 билетов.

Разумеется, страховщики не обязаны выплачивать ожидаемую прибыль всем застрахованным. Они должны учитывать свои собственные расходы, не говоря уже о рисках. Страховщик, который рассчитывает на слишком низкую маржу, сразу же обанкротится, если потребуется выплатить деньги непредвиденному числу клиентов.

Но есть ли более выгодные опции для перепуганных боссов? Если вы не можете застраховаться от выигрыша своих сотрудников, присоединяйтесь к ним[115]. Вложить немного денег в общий фонд — это уже своего рода страховой план: небольшая инвестиция, которая оправдает себя в том (и только в том) случае, если они выиграют.

Страховка от многодетных родов

Один ребенок для меня — уже невероятно много, забот полон рот. Два ребенка? В вашем доме словно бы расквартирована детская армия. Три ребенка? Невообразимо — будто бы гугол новорожденных. Поэтому я был ошеломлен, когда узнал, что с вероятностью 1 к 67 у беременной женщины могут родиться несколько детей одновременно. В Великобритании семейные пары, которые разделяют мои тревоги, могут приобрести страховку от многодетных родов[116].

Если у вас родится двойня, страховая компания выплатит вам 5000 фунтов стерлингов.

Аналитик и персональный финансовый консультант Дэвид Куо насмехается над этим планом: «Лучше уж сыграть на скачках». Я понимаю его точку зрения: ожидаемая прибыль довольно паршивая. Минимальный взнос составляет 210 фунтов стерлингов — если будущая мама младше 25 лет и в ее семейной истории не зарегистрированы двойни. Если страховку купит сотня таких матерей, компания соберет 21 000 фунтов стерлингов и (скорее всего) единожды выплатит 5000 фунтов стерлингов. Комфортная маржа! (Я пытаюсь вежливо сказать, что их клиенты платят бешеные деньги.)

Родители, у которых двойня родится с большей вероятностью, приносят еще больше прибыли. 34-летняя беременная женщина, если у нее самой есть сестра или брат-двойняшка, платит за страховку 700 фунтов стерлингов. Коэффициент выплат составляет всего-навсего 7 к 1.

Если вы лечились от бесплодия или делали УЗИ после 11 недели беременности, вы вообще не имеете права на страховку.

На мой взгляд, полезно различать два вида страхования: финансовое и психологическое[117].

Наиболее распространенные формы страхования — здоровья, жизни, автомобиля и т. д. — защищают от финансового краха. Однако психологическое страхование защищает от более умеренных рисков. Возьмем для примера страхование во время путешествий. Вероятно, вы можете себе позволить заплатить за билеты на самолет (черт возьми, вы уже их купили), но никто не в восторге, если отпуск отменяется. Компенсируя финансовые затраты, страхование способно уменьшить трату нервов.

Эта книга — не самоучитель по финансам («Математика с дурацкими советами о капиталовложениях»). Тем не менее я дам один совет: будьте осторожнее с психологической страховкой.

Представьте, что страховщик от многодетных родов предлагает уйму других схем. Вы бы заплатили 200 фунтов стерлингов, чтобы застраховаться от послеродовой депрессии? Или еще большую сумму, опасаясь, что придется воспитывать аутиста? Или ребенка с синдромом Дауна? Или с хроническим заболеванием? Вы чувствуете, что важно обезопасить себя от всех рисков. Но если вы заплатите по 200 фунтов стерлингов за каждую страховку, суммарный взнос в итоге перекроет любую компенсацию от страховой компании. Если вы можете позволить себе страховку, то вы можете позволить себе и те траты, которых опасаетесь.

Более легкомысленный пример: предлагаю застраховать ваши 20-долларовые футболки; цена вопроса — $3 на одну футболку. В надежде защитить гардероб вы страхуете 15 любимых футболок. Когда ваши собаки и/или двойняшки изжуют какую-нибудь из этих футболок, я вышлю вам новую. Однако в том случае, если эта напасть происходит единожды в год, вы платите $45 за услугу стоимостью $20. Почему бы просто не отложить деньги и не покупать новые футболки самостоятельно?

Это основная проблема всех видов психологической страховки. Зачем платить немалые деньги ради того, чтобы компенсировать потенциальный ущерб, с которым вы смогли бы справиться своими силами?

Страховка от похищения инопланетянами

В 1987 году один парень во Флориде по имени Майк Сент-Лоуренс[118] начал продавать страховку от похищения инопланетянами за $19,9547. Компенсация составляла $10 млн, а выплаты по одному доллару в год (пока сумма не будет выплачена полностью или пока застрахованный не покинет наш мир, в зависимости от того, что произойдет раньше). Он также обеспечивал похищенным право на «психологическую помощь» и «защиту от сарказма» («исключительно от сарказма ближайших родственников»). Акция проходила под лозунгом «Телепортируй меня — я застрахован». Заявителям отказывали, если они отвечали утвердительно на вопрос «Вы принимаете это всерьез?» или «Были ли Ваши родители родственниками до того, как поженились?». Сложно было не уловить иронию.

Затем некая британская фирма стала страховать клиентов от похищения инопланетянами безо всяких шуток[119]. Вскоре они продали 37 000 страховых полисов по 100 фунтов стерлингов — и (сюрприз-сюрприз!) не выплатили ни единой компенсации. Чистая прибыль составила около 4 млн фунтов стерлингов. Один из управляющих партнеров говорил: «Я никогда не боялся помочь слабоумным расстаться с их деньгами».

Эта курьезная история указывает на реальную опасность. Психологическая страховка может быстро стать хищнической. Когда мы покупаем страховку от страха как такового, мы позволяем бизнесменам заставить нас бояться.

Страховка от провала на экзамене

В аспирантуре по математике в Калифорнийском университете в Беркли вам придется сдать крайне важный экзамен, известный под названием «Квалификационные испытания». Это монстр, с которым вы сражаетесь в одиночку: три часа устных вопросов от трех профессоров-экспертов. Хотя подготовка к экзамену выматывает, доля тех, кто проходит нижнюю границу, высока (не меньше 90 %), потому что у него нет четкой даты: вы вольны сдавать его тогда, когда чувствуете, что готовы к битве. Эти профессора-эксперты хотели бы пересдачи не больше, чем вы.

Таким образом, провал на «Квалификационных испытаниях» удовлетворяет следующим критериям: (1) он случается редко, (2) он причиняет вам вред, (3) с ним могут столкнуться многие, и (4) он более или менее случаен. Похоже, выполнены все условия, чтобы оформить страховку[120].

Несколько аспирантов обсудили эту идею. Каждый участник вкладывает в общий фонд по пять долларов. Если кто-нибудь завалит экзамен, он забирает всю сумму. Если все получают хорошие оценки, деньги идут на покупку пива, чтобы обмыть эту радость.

Я полагаю, все финансовые схемы, разработанные аспирантами, должны так или иначе увенчиваться распитием пива. Это лучшая психологическая страховка.

Страховка от выплаты приза за попадание в лунку с одного удара[121]

Нет ничего более американского, чем колоритное соревнование. $10 000 за бросок с центральной линии. $30 000 за победу в кости. Миллион долларов за попадание в лунку с одного удара. Когда вы затеваете такие рекламные трюки, есть всего один крохотный риск.

Кто-то может выиграть.

Оказывается, эта область рынка — мечта для страховых компаний. Они зарабатывают на неопределенностях, поэтому платежеспособность зависит от точности расчета: выплаты 50 к 1 при шансах 1 к 100 рентабельны; выплаты 100 к 1 при шансах 1 к 50 ведут к банкротству. Путаница в расчетах при страховании дома, жизни и здоровья может легко привести к промаху страховщика.

А подарки от фирмы? Без проблем!

Например, попадание в лунку с одного удара. Гольфистам-любителям оно удается примерно в одном случае из 12 500. Итак, выплата за приз $10 000 в среднем составляет $0,8 на гольфиста. Взимайте $2,48 за каждого участвующего гольфиста (таким был страховой взнос некой компании во время рекламной акции), и вы получите приличную прибыль. Та же компания обещала приз $1 млн с учетом страхового взноса $300. Прекрасная сделка для обеих сторон: эта благотворительная акция избавляет игроков от риска, а ожидаемая прибыль для страховщика составляет всего $80.

Та же компания страхует за $800 от выплаты приза в $16 000 болельщикам Национальной баскетбольной ассоциации в случае броска с центральной линии. Шансы болельщика на успех не превышают 1 к 50 (исходя из поведения игроков NBA в различных ситуациях игры), но это честная сделка. Или поразмыслите над страхованием компании Harley-Davidson от приза $30 000, который выплачивается клиенту, если он бросает шесть кубиков с буквами так, чтобы получилось слово H-A-R-L-E-Y. Ожидаемый выигрыш одного участника всего 64 цента. Компания требует взнос $1,5. Математика страхования элементарно проста.

Это не означает, что такой вид страховки свободен от рисков. В 2007 году мебельный ретейлер Jordan’s Furniture в Большом Бостоне запустил блестящую промоакцию: купите диван, столь, кровать или матрас с апреля по май, и вам вернут ваши деньги, если «Ред Сокс» выиграют первенство США по бейсболу в октябре[122]. Было продано около 30 000 предметов мебели — в общей сложности, вероятно, за $20 млн.

И вот «Ред Сокс» победили. Их фанаты в магазине Jordan’s Furniture ликовали: они купили страховку.

А сотрудники страховой компании? Они были не в восторге.

Страховка от увядания любви перед свадьбой

Пожалуйста, проведите вместе со мной мысленный эксперимент. Незнакомец протягивает вам монету. Вы подбрасываете ее и не говорите ему результат. Какова вероятность, что выпал орел?

• Случайный прохожий: «Я не знаю… 50 %?»

• Псих, который вручил вам монету и знает, что она неуравновешенная: «70 %!»

• Вы, вполглаза взглянув на монету: «100 %!»

Здесь никто не ошибся. Степень неуверенности зависит от вашего знания ситуации, и все трое дали рациональный, взвешенный ответ на основе той информации, которой располагали. Факт состоит в том, что оценка вероятности в каждом случае требует сноски: «с учетом того, что мне известно».

Эта динамика может стать ночным кошмаром страховых компаний. Что, если они находятся в ситуации случайного прохожего, а их клиент подглядел, какой стороной выпала монета?

Компания Wedsure выплачивает страховку от всевозможных неурядиц на свадьбах: испорченных подвенечных платьев, украденных подарков, неявки фотографов, массового пищевого отравления[123]. Но самый сенсационный вариант страховки, который они предлагают, также и самый проблематичный: «Увядание любви».

Если кто-нибудь знает причину, по которой эти двое не должны стать мужем и женой, говорите сейчас — или навсегда забудьте о страховой выплате.

В 1998 году журналист спросил Роба Нуччио, владельца Wedsure, рассматривает ли компания возможность возмещения расходов, если свадьба отменяется[124] из-за того, что жених или невеста решили пойти на попятный. Он усмехнулся: «Так мы бы открыли слишком легкий путь для мошенничества и сговора. Если вы сомневаетесь, то не женитесь». К 2007 году он поменял свое мнение и начал предлагать возмещение расходов третьим сторонам, которые финансируют свадьбу[125] (не самим брачующимся парам), если по крайней мере за 120 дней становится известно, что свадьба отменяется. Но, по словам Нуччио, возникла проблема: «Мы получали претензии от будущих тещ… они заранее знали, что все ненадежно». Очевидно, что каждая женщина знает сердце своей дочери лучше, чем страховая компания. Они подсматривали, какой стороной выпала монета. Нуччио увеличил временной промежуток до 180 дней, потом до 270 и, наконец, до 365.

Это квинтэссенция проблем страховщиков. Клиент, покупающий страховку, часто знает детали, которых не может знать тот, кто оказывает услугу. У страховщика есть пять возможных решений:

1. Установите маржу выше, чем обычно.

2. Детализируйте заявку клиента, чтобы узнать столько же, сколько знает он.

3. Предложите дешевый вариант с маленьким возмещением ущерба и дорогой вариант с большим возмещением ущерба. Естественно, люди, зная, что подвергаются большому риску, выберут второй вариант.

4. Станьте экспертом, чтобы знать о риске, от которого вы страхуете, больше, чем ваши клиенты[126].

5. Перестаньте продавать страховку от этого риска.

Страхование страховых компаний

Пробелы в знаниях пугают страховщиков, но они просыпаются в холодном поту не по этому поводу. Их подлинный ночной кошмар — одно слово, произносимое полушепотом: зависимость. Вспомните китайских купцов, которые распределяли свои товары по сотне лодок. Что, если кораблекрушения случаются не поочередно? Что, если на протяжении 99 % дней не тонет ни одна лодка, а в 1 % дней разражается такая буря, что все лодки идут на дно? Тогда страховка бесполезна. Это не индивидуальный риск, который можно снизить перераспределением товаров. Мы все покупаем один и тот же злосчастный билет одной и той же жуткой лотереи. Судьбой нельзя торговать по частям. Если мы идем на дно, то вместе.

Это и есть зависимость. Для страховщика это гибель. Например, ураган «Катрина» в одночасье нанес ущерб $41 млрд, что намного превышало страховой фонд размером около $2 млрд. В подобных случаях страховая компания сталкивается с тем же риском, что и люди, которых она страхует. Все яйца остаются в одной корзине.

Решение состоит в том, чтобы выйти на новый масштаб: застраховать саму страховую компанию. Это называется «перестрахование»[127]. Страховые компании из разных регионов создают общий страховой фонд, по сути дела, обмениваясь клиентами. Это позволяет компании из конкретного региона собрать обширный портфель страховых схем.

Если распределить ваши средства к существованию по сотне лодок недостаточно, распределите их по сотне рек.

Страховка игроков студенческой футбольной команды от травм

Пришло время воображаемой ролевой игры: представьте, что вы звезда студенческой футбольной команды. Люди взрослее вас раскрашивают свою голую грудь в цвета вашей команды. Ваши навыки стоят миллионы. Но вы не можете получать зарплату, пока учитесь в колледже, — и каждый миг рискуете получить чудовищную травму. Ваше тело — словно выигрышный лотерейный билет, но вы не можете обналичить джекпот, пока пару раз не провернете его через стиральную машину. Остается уповать на то, что выигрышный набор цифр не сотрется.

Каков твой следующий ход, парень?

Вы можете застраховаться от травмы, которая поставила бы крест на вашей карьере[128], но этого недостаточно. Что, если травма повредит вашей карьере, но все же не положит ей конец? Что, если после травмы вместо первоклассного предложения (контракт на $7 млн) вы получаете предложение на пять уровней ниже (контракт на $1 млн)? Более 80 % вашей зарплаты улетучивается, и дорогостоящий страховой план (взнос $10 000 за каждый миллион долларов возмещения ущерба) не срабатывает.

Именно поэтому футболисты топ-уровня начали приобретать дополнительный страховой план: возмещение потери прибыли[129]. Он стоит недешево; по $4000 взноса за каждый миллион долларов страховой выплаты. Но эта схема оправдывает себя, если предполагаемая прибыль велика. Такие игроки, как корнербэк Ифо Экпре-Олому и тайт-энд Джейк Батт[130], уже купили эту страховку. Несомненно, их примеру последуют и многие другие.

Медицинская страховка

Под занавес я приберег самую странную услугу возмещения ущерба: медицинскую страховку[131]. Что в ней такого уж странного? Во-первых, запутанность. Вычеты, лимиты страховых выплат, выяснение предшествующих состояний здоровья, доплаты, переменные величины страховых взносов… Это еще не нейрохирургия, но финансирование нейрохирургии, возможно, столь же пугающая вещь. И во-вторых, досадный вопрос: может ли страхование здоровья функционировать и дальше по мере роста наших медицинских познаний и умения прогнозировать заболевания?

Вот простая модель здравоохранения. Каждый из нас подбрасывает десять монет. Если все ваши монеты выпадут двуглавыми орлами, то вы превратитесь в десятиглавого мутанта. На лечение потребуется $500 000.

Вероятность заболеть у каждого из нас равна примерно 1 к 1000. Но если мы скинемся по $800, то все будет супер. Тысяча клиентов принесет страховой компании доход $800 000, а страховая выплата составит всего-навсего $500 000. Эти парни получают прибыль, а мы защищены от финансового краха. Все счастливы и расходятся по домам.

Но что, если у нас больше информации? Что, если мы можем подсмотреть, как выпали первые пять монет, прежде чем решить, покупать ли страховку?

В таком случае примерно 970 человек из 1000 видят, что хотя бы одна монета выпала решкой, и вздыхают с облегчением. Мы в безопасности; в страховке нет необходимости. Но оставшиеся 30 человек психуют еще больше. Возможно, один из них подцепил эту жуткую мутагенную болезнь. Они могут рассчитывать на коллективную компенсацию размером $500 000, но, даже если они распределят расходы поровну, их подцепят на нешуточный крючок: каждому придется заплатить тысячи и тысячи долларов. Такая страховка больше не обеспечивает душевного спокойствия; наоборот, она подрывает его.

Когда мы подсмотрели, как выпали монеты, неопределенность уменьшилась, а без неопределенности страховка теряет смысл. Если мы заранее знаем, кто пострадает, — чья лодка пойдет ко дну, чьи работники выиграют в лотерею, кто получит травму, после которой можно расстаться с мечтой попасть в NFL, — то застраховаться больше невозможно. Страховой фонд пополняют только те, кто подвергается риску.

Эта проблема развивается в нашей медицинской системе из года в год. Генетические тесты и уточненная статистика угрожают базовой логике страхования.

Я не вижу ни одного простого решения. Когда страховые тарифы индивидуализируют, одни заплатят несколько пенсов, а взносы для других будут не меньше, чем сами счета за лечение. Но если распределить взносы поровну, то взаимовыгодный проект превращается в коллективную благотворительность: одни клиенты субсидируют других. Такую страховку труднее продать. Это одна из причин, по которым американское здравоохранение остается столь противоречивым.

Будучи учителем, я склонен думать, что любое знание — это дар. Но страховка усложняет эту точку зрения. Наше незнание судьбы может вынудить нас объединиться против нее. Мы построили демократию из нашей неопределенности — и новые знания угрожают этому балансу столь же непоправимо, как наводнение или пожар.

Глава 15. Как обрушить экономику с помощью пары игральных костей

1. Призрачная ярмарка вакансий{51}

В сентябре 2008 года начался последний год моей великой охоты на бесплатную пиццу в угодьях под названием «университет»{52}. Я знал, хотя не вполне верил, что по окончании университета пиццей могут разжиться только наемные работники, и решил посетить ежегодную ярмарку вакансий. Работодатели сооружали свои стенды в университетском спортзале и раздавали сувениры и (во вторую очередь) анкеты для приема на работу.

Но, переступив порог спортзала, я увидел, что он почти пуст: настоящий город-призрак. Инвестиционные банкиры спелись и решили, что сейчас, вероятно, не лучшее время для найма.

Мы знали почему. За месяц до того мировая финансовая система заморозилась, включила «синий экран смерти» и отказывалась перезагружаться. На подмостках Уолл-стрит прогремела финальная сцена шекспировских трагедий: вековые экономические институты, продырявленные мечами, валялись в грязи и хрипели предсмертные монологи. Журналисты сыпали выражениями наподобие «худшая из худших», «рецессия» и «со времен Великой депрессии», зачастую собирая их в цепочку. Даже корочки пиццы имели тревожный вкус.

В этой главе мы добрались до последнего и, возможно, труднейшего урока по теории вероятностей. Многие из тех, кто претендует на звание эксперта в этой области, влюблены в идею независимых событий, предпочитая воображать наш мир как совокупность отдельных фактов. Но если теория вероятностей хочет противостоять неопределенности нашего мира, она вынуждена столкнуться с взаимозависимостью: сюжетными линиями и причинно-следственными связями.

Вот простая иллюстрация: в чем разница между броском двух игральных костей и удвоением числа, выпавшего при броске одной игральной кости?

Ну, в том и другом случае итоговый результат лежит в диапазоне от 2 («глаза змеи») до 12 (пара шестерок).

В случае двух независимых друг от друга кубиков мало вариантов, дающих крайние результаты. (Например, есть только две комбинации, в сумме дающие три.) Серединные результаты можно получить несколькими способами — например, есть шесть комбинаций, дающих в сумме семерку. Таким образом, чем больше вариантов, обеспечивающих данный результат, тем выше вероятность, что выпадет именно он.

Как насчет броска одной-единственной игральной кости и удвоения выпавшего числа? Теперь второй бросок полностью зависит от первого; одно событие замаскировано под два. Таким образом, крайние результаты столь же вероятны, сколь и серединные.

Потрясающая разница. Независимость сглаживает крайности; зависимость усугубляет их.

Мы можем расширить масштаб. Давайте бросим не два кубика, а миллион. Теперь результаты варьируют от 1 000 000 (сплошные единицы) до 6 000 000 (сплошные шестерки).

Что, если каждый кубик выпадает сам по себе, вне зависимости от 999 999 других? Тогда мы оказываемся в стабильном мире долгосрочных тенденций, где великолепные шестерки и огорчительные единицы выпадают с равной вероятностью. Подавляющее число результатов будет лежать ближе к центру диапазона, вдали от двух его краев. С вероятностью 99,9999995 % мы получим результат от 3,49 до 3,51 миллиона. Почти невозможно, чтобы единица выпала в миллионе случаев: вероятность составляет менее чем единицу, деленную на гугол гуголов гуголов гуголов гуголов… (Я бы мог напечатать «гуголов» оставшиеся 700 раз, но вы уловили общую идею.)

Но что, если мы не будем подбрасывать миллион отдельных кубиков? А подбросим один-единственный кубик и умножим результат на миллион, отразив его в галерее зеркал?

Тогда мы останемся в хаотическом мире случайностей. Все последующие броски зависят от первого, здесь нет никакого баланса. Мы получим ровно миллион не когда рак на горе свистнет, а с вероятностью 1/6.

Страхование, диверсификация инвестиционных портфелей и распределение яиц по корзинам — все это основано на одном и том же фундаментальном принципе: преодоление риска путем комбинирования нескольких вариантов.

Покупка одной акции — это игра в лотерею; покупка акций нескольких компаний — это инвестиции.

Но все зависит от независимости событий. Бессмысленно раскладывать яйца по разным корзинам и загружать их в кузов одного пикапа. Мир зависимостей — это мир петель обратной связи и эффекта домино, мир сплошных крайностей. Это мир, где ярмарки вакансий похожи то на карнавалы, то на похороны, почти без промежуточных вариантов, мир, где все банки процветают, пока в один ужасный день не прогорят все вместе.

2. Все имеет свою цену

Блицопрос! Какова основная деятельность банков на Уолл-стрит?[132]

A. Укреплять мировую экономику посредством разумного распределения капитала.

B. Выуживать доллары из карманов пролетариев и покупать на эти кровавые деньги итальянские костюмы.

C. Ценообразование товаров.

Если ваш вариант ответа «A», то вы работаете на Уолл-стрит. (Эй, симпатичный костюм! Итальянский?) Если ваш вариант ответа «B», то для меня большая честь, что вы читаете мою книгу, сенатор Сандерс{53}. И если ваш вариант ответа «C», то вы уже знакомы с ключевой темой этой главы: основная функция финансового сектора — ценообразование. Акции, облигации, фьючерсы, контракты Rainbow Shout(R), стандартные парижские барьерные опционы, одноразовые монокулярные дефолтные свопы… Покупаете ли вы, продаете или гуглите, чтобы узнать, какие из этих терминов я выдумал, — в любом случае вы хотите знать, сколько стоит та или иная вещь. От этого зависит ваше пропитание.

Проблема, естественно, в том, что ценообразование — вещь непростая.

Поговорим про облигации. Это доли займа, обещания, что вы получите деньги обратно. Скажем, некто одалживает деньги, чтобы построить дом, и обещает вернуть $10 000 через пять лет.

Какова цена этой долговой расписки для вас?

Ну, начнем с первой проблемы ценообразования: своевременное определение стоимости. Согласно финансовой логике carpe diem{54}, доллар сегодня стоит больше, чем доллар завтра. Во-первых, есть инфляция (которая постепенно снижает ценность доллара); во-вторых, есть альтернативные издержки (то есть мудро инвестированный доллар будет стоить больше на следующий год). Сделаем приблизительную оценку: завтра доллар будет стоить 1,07 сегодняшнего доллара. Рассчитайте стоимость доллара на несколько лет вперед, и вы обнаружите, что один доллар сегодня эквивалентен 1,40 доллара через пять лет.

Получить $100 000 через пять лет — не настолько гламурно, как кажется. Это все равно что получить сегодня всего $71 000.

Является ли эта сумма истинной ценой облигации? Ну что, закончим наши калькуляции и смоем мерзкий запах Уолл-стрит с наших рук? Нет, увы, мы только начали. Кроме прочего, мы должны учитывать риск: кто наши плательщики и можем ли мы на них рассчитывать? Если речь идет о семье с двумя источниками доходов, идеальной кредитной историей и сверкающими улыбками, то у нас есть все шансы. Но если у нас ненадежный должник (скажем, недавний выпускник университета, питающий пристрастие к пицце и дурацким рисункам), то велика вероятность, что наша облигация обернется пшиком.

Как мы регулируем цену?

Все просто: вычислим ожидаемую прибыль. Если шанс получить деньги назад равен 90 %, облигация стоит 90 % своей изначальной цены.

Мы все еще не закончили. Дефолт устроен не по принципу «или/или», когда должник платит все или ничего. На самом деле в игру вступят судьи и адвокаты, чтобы добиться компромисса, благодаря которому кредиторы могут получить хотя бы некоторую часть долга, в диапазоне от нескольких центов за доллар до почти всей суммы. Как назначить единую цену при таком разнообразии?

Опять-таки рассчитаем ожидаемую прибыль. На основе имеющихся данных мы делаем предположения[133] о том, какую часть суммы можно получить обратно, а затем вычисляем прибыль от покупки миллионов и миллионов таких облигаций. Вместо того чтобы напрягаться, предсказывая неизвестную цену конкретной облигации, мы калькулируем среднюю стоимость всех таких облигаций в долгосрочной перспективе.

Вот и все. Ваша облигация стоит $50 000.

Ценообразование на Уолл-стрит похоже на дыхание: непрерывное, однообразное и необходимое для выживания. Но в течение десятилетий единственными товарами, при оценке которых банки чувствовали себя комфортно, были акции (доли активов компаний) и облигации (доли займа). Это исключало деривативы, которые были не акциями и не облигациями, а их потомками-мутантами, ютившимися на периферии финансовой индустрии, как казино в темном переулке на задворках респектабельного банка.

В 1970-е произошла кардинальная перемена: экономисты стали применять количественный анализ. С помощью математического моделирования кванты{55} помогали узнать цены деривативов, даже с завихрениями в духе книг Доктора Сьюза{56}. Наиболее сложными были CDO — так называемые обеспеченные долговые обязательства (collateralized debt obligations)[134].

Хотя детали могли различаться, общий рецепт был таков:

1. Соберите тысячи ипотечных кредитов (наподобие тех, что мы обсуждали сейчас) в единый пакет.

2. Разделите пакет на слои (под названием «транши») в зависимости от риска невыплат: от низкого до высокого.

3. Когда придут процентные выплаты, в первую очередь расплатитесь с обладателями траншей с низким риском, а в последнюю очередь — с теми, у кого транши с высоким риском.

CDO предлагали богатое меню рисков и выплат, транши на любой вкус. Вы готовы доплатить за безопасную ставку? Специально для вас — вкусный транш с низким риском. Ищете вариант подешевле с высоким риском? Тогда предлагаем пикантный транш с высоким риском, пальчики оближешь. Предпочитаете что-то промежуточное? Ну, просто дайте знать нашим шеф-поварам; уверен, они приготовят блюдо по индивидуальному рецепту.

Инвесторы причмокивали и просили добавки… вплоть до сентября 2008 года, когда официант принес счет.

3. Квартирный вопрос

Флешбэк: в 1936 году сюрреалист Рене Магритт нарисовал серию эскизов под названием «Le Problème de la Maison», где дома изображены в необычной обстановке: они гнездятся в ветвях деревьев, прячутся в морских пещерах, свалены на дно гигантской канавы[135]. На моем любимом рисунке дом стоит прямо посреди пустынной равнины, и он выглядел бы заурядно, если бы не пара гигантских игральных костей по соседству.

Кто знает, что имел в виду Магритт? Однажды он изобразил птицу, хватающую женскую туфлю, и назвал эту картину «Бог не святой». Но я полагаю, что художник бросает вызов нашей идее о том, что дом — эмблема безопасности. Напротив (и в мои намерения не входит вас пугать), дом — это нечто непредсказуемое и ненадежное, некий экзистенциальный риск. Не исключено, что вы вложите в собственный дом крупнейшие в жизни инвестиции, в несколько раз превышающие ваш годовой оклад, и этот долг будет выплачивать целое поколение вашей семьи. Дом — это образ неопределенности, а не стабильности.

Спустя семь десятилетий после визуального каламбура Магритта банкиры с Уолл-стрит столкнулись со своей собственной Problème de la Maison: ценообразование CDO. Проблема состояла в том, чтобы выявить взаимосвязь между различными ипотечными кредитами. Насколько мне известно, мы с вами не зависим друг от друга. Поэтому, если я не выплачу ипотеку, вероятно, вас это никак не коснется. С другой стороны, мы живем внутри единой экономики. У нас не больше шансов укрыться от нешуточной рецессии, чем от свежих поп-шлягеров этого лета. Так что если я не погашу кредит, то, возможно, и вы находитесь в опасности. На языке Уолл-стрит вопрос заключается в том, представляют ли невыплаты кредитов идиосинкратический или системный риск[136].

Дома — это отдельные игральные кости и исходы всех бросков не зависят друг от друга? Или это тысячи отражений одной игральной кости в галерее зеркал?

Представьте себе CDO, обеспеченное долговое обязательство (крошечное, если трезво посмотреть), на основе 1000 ипотечных кредитов, которые мы проанализировали выше. Мы оценили каждый в $50 000, следовательно, весь пакет ипотечных кредитов должен стоить $50 млн.

Если ипотечные кредиты не связаны друг с другом, Уолл-стрит может спать спокойно. Конечно, наши инвестиции могут принести на один миллион долларов меньше, чем мы ожидали, но абсурдно опасаться, что мы потеряем два миллиона долларов, а потеря пяти миллионов долларов просто немыслима (вероятность меньше одной миллиардной). Независимость обеспечивает стабильность, исключая вероятность катастрофических потерь.

Однако если все ипотечные кредиты — это дубли одного броска костей, то банкиры с Уолл-стрит начнут кричать во сне и просыпаться в холодном поту. Опасности, за мгновенье до того немыслимые, уже очень даже мыслимы. В этой сделке есть ужасающая вероятность 1 к 3, что мы потеряем почти половину наших инвестиций, и леденящая кровь вероятность 1 к 10, что мы потеряем все.

Разумеется, ни та ни другая модель не соответствует действительности. Мы не пчелы с коллективным разумом, чьи действия безупречно синхронизированы, и не суровые индивидуалисты, которых не волнует, как дела у их соседей. Нет, истина лежит посередине, грядущие события в жизни всех людей изящно переплетены. Кажется очевидным, что невыплата одного ипотечного кредита повышает вероятность невыплаты другого, но насколько и при каких условиях? Это сложнейшие вопросы, с которыми сталкиваются вероятностные модели.

Решение Уолл-стрит включает пресловутую гауссову копулу[137]. Изначально эту формулу стали применять компании по страхованию жизни: она помогала скорректировать вероятность смерти клиента после кончины его второй половины. Замените «супруг» на «дом», а «смерть» на «невыплату кредита», и вы получите модель вычисления взаимозависимости ипотечных кредитов.

Эта формула фиксирует связь между двумя ипотечными кредитами с помощью одной-единственной величины: коэффициента корреляции в диапазоне от –1 до 1.

Копула — изящная часть математики, простая и элегантная, и это делает ей честь. Но на самом деле глобальная экономика далека от простоты, и в ретроспективе легко увидеть, что упускает копула (и подобные ей методы).

Во-первых, данные. Компьютеры Уолл-стрит жадно проглотили электронные таблицы с ценами на жилье. Но большинство данных из разных городов относилось к одному недавнему периоду, на протяжении которого (так уж вышло) цены на жилье, к радости банкиров, неуклонно росли. Модели откалибровали свои прогнозы, как будто бы они анализировали всю историю цен на жилье в США. На самом деле они стали свидетелями миллиона отражений одного броска игральной кости.

Во-вторых, модель была построена для пар событий (отсюда термин «копула» — «связка» по-латыни). Но дома не выстроены парами. Все вместе они составляют один общенациональный рынок. Одно изменение может одновременно повлиять на каждую ипотеку в стране — именно это произошло, когда взлетающий рынок грохнулся оземь. Глупо тревожиться, что одна костяшка домино повалит соседнюю, когда над всеми ними нависает одна гигантская костища.

Наконец, если вы хорошо затвердили лексикон математической статистики, тревожный звоночек раздается при слове «гауссова». В математике этот термин возникает всякий раз, когда вы рассматриваете большую совокупность независимых событий. Но вся проблема в том, что в данном случае события зависят друг от друга.

По этим трем причинам на Уолл-стрит упустили из виду риск, который заметил Магритт, и это привело к стихийному бедствию, столь же сюрреалистичному, сколь все его фантазии. И мы все еще не обсудили худшее из всего этого. Неправильно оцененные CDO составляли несколько триллионов долларов — достаточно, чтобы нанести ущерб экономике, но недостаточно, чтобы объяснить жесткий нокаут в сентябре 2008 года. Почему экономика как подкошенная рухнула на ринг и выплевывала окровавленные зубы, ошеломленная подлым ударом? Это был провал теории вероятностей в еще большем масштабе.

4. Ставка 60 триллионов долларов — удваиваем или обнуляем?

Если вы освоили предыдущую главу (увеселительное чтение для всей семьи), то знаете, что страхование целесообразно. Я не могу позволить себе потерять родной дом (иначе куда будут приезжать курьеры с пиццей?), поэтому готов платить небольшие ежемесячные взносы ради крупной компенсации в том случае, если мой дом когда-нибудь сгорит. Я избегаю экзистенциального риска, страховая компания получает прибыль. Все в выигрыше.

Но мне приходит в голову странная идея. Что, если вы тоже купите страховку на мой дом?

Вы можете повторить мою сделку. Небольшие регулярные платежи возвратятся сторицей, если разразится катастрофа. Это бесцельное дублирование финансовой структуры страхования. Это просто пари, игра с нулевой суммой. Если мой дом сгорит, вы выиграете; если он будет оставаться в целости и сохранности, выиграет страховая компания. Еще более странная мысль: что, если тысячи людей сядут в этот вагон и купят страховку на мой дом в надежде выиграть, если он сгорит?

Я лишусь покоя, если буду получать анонимные подарки наподобие дешевых петард и боевых гранат. Но в этом сценарии я не единственный, кто будет страдать бессонницей; сотрудники страховой компании затрясутся от страха еще сильнее. Если мой дом сгорит, у них останутся лишь пригоршни пепла, потому что крупную компенсацию придется выплачивать в тысячекратном размере.

Поэтому ни одна страховая компания не заключит таких контрактов. Игра не стоит свеч: возможность легко извлечь прибыль с вероятностью 95 % перестает быть заманчивой, если в оставшихся 5 % случаев вас ожидает полнейший крах.

Жаль, что никто не рассказал об этом банкирам с Уолл-стрит.

Знаком злого рока для Уолл-стрит стала трехбуквенная аббревиатура: CDS, то есть кредитный дефолтный своп (credit default swap)[138]. По сути дела, это страховые полисы CDO. Вы регулярно вносите скромные взносы. Пока проценты по CDO выплачиваются исправно, все остается как есть. Но если платежи по определенному числу ипотечных кредитов перестают поступать, CDS приносит вам кругленькую сумму.

Пока что все разумно. Но угадайте: что Уолл-стрит стала делать дальше? Там стали продавать десятки CDS на каждый базовый CDO. Похоже на продажу десятков страховых полисов на один и тот же дом, но с большим количеством нулей на конце итоговых сумм. К началу 2008 года на кону оказалось в общей сложности $60 трлн — примерно столько же, сколько составляет объем ВВП планеты Земля.

Краткое резюме. CDO подразумевали стабильную модель с миллионом игральных костей; вместо этого сработала непредсказуемость броска одной-единственной игральной кости. Ставки по CDS удваивались до тех пор, пока эта рискованная игра не поставила под удар всю мировую экономику. Возникает естественный вопрос:

Как Уолл-стрит могла свалять такого дурака?[139]

Вы нанимаете величайшие умы из самых модных университетов, покупаете им суперкомпьютеры за миллионы долларов, платите им астрономические зарплаты, заставляете их работать по 90 часов в неделю… а потом заходите в офис и обнаруживаете, что они верещат и втыкают столовые вилки в электророзетки?

Мне бы хотелось списать эти ошибки (взаимозависимость спутали с независимостью) на разовую аберрацию, сиюминутные обстоятельства рынка CDO и CDS. Но если бы мечты можно было застраховать, как дома, то у CDS, возможно, был бы шанс. Горькая истина заключается в том, что эти ошибки лежат в самой сердцевине финансовых рынков.

5. Зола, зола, мы все падем во прах{57}

Рискуя прослыть неолиберальным зазывалой, я выскажу свое мнение: финансовые рынки работают довольно хорошо. Черт возьми, скажу больше того: они на самом деле хорошо работают.

Например, по счастливому стечению обстоятельств на этой планете созревают вкусные фруктовые шары под названием яблоки. Как мы должны распределять их? Если фермеры вырастят больше яблок, чем того желают потребители, то улицы будут завалены грудами гниющих яблок сорта «ред делишес». Если потребители захотят больше яблок, чем выращивают фермеры, то наступит яблочный дефицит, и прохожие сцепятся друг с другом, чтобы ухватить последнее яблочко сорта «макинтош». Но каким-то образом, вопреки всему, нам удается вырастить нужное количество яблок.

В чем тут фокус? Все дело в ценах. Хотя мы думаем, что цены определяют наше рыночное поведение («слишком дорого, поэтому я не буду покупать»), столь же верно и обратное. Каждый индивидуальный выбор оказывает крошечное влияние на ценообразование. Если достаточное количество потребителей откажется совершать покупку, то цена упадет; если достаточное количество производителей откажется от продаж, то цена вырастет. Цена зависит от совокупности всех наших независимых суждений и решений.

И поэтому, подобно другим совокупностям независимых событий, цены имеют тенденцию быть сбалансированными, стабильными и рациональными[140]. Аристотель называл это «мудростью толпы»{58}, Адам Смит — «невидимой рукой рынка»{59}. Я называю это «очередным броском независимых игральных костей, но на сей раз игральные кости — это мы с вами».

Теоретически фокус, который срабатывает с яблоками, должен срабатывать и с обеспеченными долговыми обязательствами. Кто-нибудь будет их переоценивать. Другие будут их недооценивать. Но в конце концов рынок, полный независимых инвесторов, приведет стоимость к стабильному равновесию.

Есть всего одна проблема: слишком часто инвесторы ведут себя не как независимые игральные кости, а скорее как миллион отражений одной игральной кости.

Вспомним, скажем, биржевой крах 1987 года[141]. 19 октября цены резко спикировали вниз, обвалившись более чем на 20 %. Никаких предупреждений не было: ни новостей, встряхнувших рынок, ни громких банкротств, ни официального обращения председателя Совета управляющих Федеральной резервной системы: «Елки-палки, голова идет кругом». Рынки просто рухнули, и все. Только позже посмертное вскрытие выявило своеобразный триггер: многие фирмы на Уолл-стрит полагались на одну и ту же базовую теорию управления инвестиционным портфелем. Многие даже использовали одно и то же программное обеспечение. По мере того как финансовые рынки падали, бизнесмены в унисон продавали одни и те же активы, пуская цены по нисходящей спирали.

Вся цель управления инвестиционным портфелем заключается в обеспечении безопасности посредством разностороннего развития (диверсификации). Но если все осуществляют диверсификацию одинаковым образом, то в итоге рынок не отличается разнообразием.

Если инвесторы руководствуются своими собственными суждениями, то повседневное изменение цен должно следовать нормальному колоколообразному распределению: в какие-то дни немного вверх, в другие дни немного вниз, но почти никаких скачков в ту или другую сторону. Увы, это не соответствует действительности. Рыночные сдвиги с нерегулярными массовыми обвалами скорее следуют степенному распределению. Такую же математическую модель мы используем для прогнозирования землетрясений, террористических атак и других тяжелых повреждений высокочувствительных систем.

Рынок непредсказуем, но это непредсказуемость лавины, а не подбрасывания множества игральных костей.

Накануне финансового кризиса 2008 года многие банки полагались на один и тот же ограниченный набор моделей (таких как гауссова копула). Вместо свежих идей они поголовно руководствовались единой стратегией. Даже рейтинговые агентства (их цель и обязанность — проведение независимого анализа) просто повторяли, как попугаи, то, что говорили банки. Эксперты стали группой поддержки.

Отмотаем пленку назад. Почему в сентябре 2008 года ярмарка вакансий в моем университете проходила в унылом полупустом спортзале? Другими словами, почему развалилась финансовая система?

Ну, это непросто. Как и при большинстве неудач, свою роль сыграла некомпетентность. (Просто поглядите как-нибудь, как я пеку пироги.) Кроме того, свою роль сыграли кривые стимулы, слепой оптимизм, неприкрытая жадность, головокружительная сложность, дисфункция правительства и процентные ставки. (Опять-таки, поглядите, как я пеку пироги.) В этой краткой главе рассказана лишь крупица этого сюжета. Мы сосредоточились на конкретной теме: опасно предполагать, что события независимы друг от друга, когда на самом деле вокруг царит взаимозависимость.

Ипотечные залоги не выплачиваются все вместе. Кредитные дефолтные свопы выплачиваются все вместе. И субъекты рынка все вместе следуют схожим стратегиям ценообразования.

Хотите обрушить экономику одной-единственной парой игральных костей? По правде говоря, это несложно. Всего-навсего убедите себя, что вы подбрасываете миллион пар костей, а затем поставьте свое состояние на исход одного броска.

IV. Статистика

Изящное искусство честной лжи

Однажды медиков попросили пройти опрос[142] и сравнить клиническое исследование с подходом, основанном больше на статистике. Вот слова, которые они использовали для описания этих методов:

«Ой»! — от лица статистиков всего мира.

Я признаю, что в статистическом подходе в целом есть нечто упрощающее: желание укротить дикий, непредсказуемый мир и превратить его в послушные ряды чисел. Вот почему так важно относиться ко всей статистике со скептицизмом и осторожностью. По своей природе она сжимает реальность. Усекает. Упускает. Упрощает.

Естественно, именно в этом источник ее силы.

Почему научные статьи снабжают аннотацией? Зачем нужны заголовки новостных заметок? Зачем нужны трейлеры боевиков, где показаны все самые впечатляющие взрывы и саркастические реплики после них? Потому что упрощение — жизненно важное дело. Ни у кого нет времени день-деньской восхищаться калейдоскопическим блеском реальности. У нас и так есть чем заняться: бегать по делам, просматривать статьи и тупо пялиться на ролики в YouTube. Если я еду в другой город в июле, мне не нужны лирические описания влажного и жаркого воздуха; мне просто нужно знать температуру. Такую статистику нельзя назвать живой, глубокой и конфигуральной (что бы сие ни значило). Она проста, ясна и полезна. Сжимая мир, статистика дает нам шанс понять его.

И это далеко не все. Статистика классифицирует, экстраполирует и прогнозирует, позволяя нам выстраивать эффективные модели реальности. Да, весь этот процесс основан на упрощениях. И да, упрощение — это обман через умалчивание. Но в лучших проявлениях статистика — честная разновидность лжи. Этот процесс взывает к самым благородным атрибутам человеческой мысли, от любознательности до милосердия.

В этом плане статистика не так уж отличается от схематичных человечков. Это дурацкие рисунки, где нет ладоней и носов, и все же по-своему они правдивы.

Глава 16. Почему нельзя доверять статистике?

И зачем ею все-таки пользоваться?

Окей, давайте взглянем непредвзято. Статистика — это ложь. Ей нельзя доверять. Так говорили все умнейшие люди в истории. Или нет?

К чему я клоню? Да, цифры могут лгать. Но и слова тоже — не говоря уже о картинах, жестах, хип-хоп-мюзиклах и электронных рассылках с просьбами о фандрайзинге. Наша система морали обвиняет обманщика, а не средство обмана. На мой взгляд, самые интересные критические высказывания в адрес статистики касаются не подлости статистиков, а самой математики. Мы можем повысить ценность статистики, понимая ее несовершенства, осознавая, какую цель преследует тот или иной статистический анализ — и что он намеренно оставляет за скобками. Может быть, тогда мы сможем стать ответственными гражданами, о которых мечтал Герберт Уэллс[143].

1. Среднее арифметическое

Как вычислить? Сложите все величины, которые у вас есть. Затем разделите эту сумму на количество величин.

Когда использовать? Среднее арифметическое (или среднее значение, как часто говорят) удовлетворяет основной потребности статистики: уловить центральную тенденцию совокупности величин. Каков средний рост игрока баскетбольной команды? Сколько рожков мороженого вы продаете в день? Насколько весь класс справился с контрольной работой? Если вы хотите охарактеризовать совокупность величин одним числом, то разумно в первую очередь начать со среднего арифметического.

Почему нельзя доверять? Среднее арифметическое учитывает лишь два показателя: общую сумму и количество людей, внесших свою лепту.

Если вы когда-нибудь делили пиратский клад, то осознаете опасность: есть много способов делить добычу. Сколько получает каждый? Что мы видим: баланс или перевес в чью-то пользу? Если я умял всю пиццу и ничего вам не оставил, насколько честно говорить, что в среднем мы съели по полпиццы? Вы можете сказать гостям за ужином, что у среднестатистического человека один яичник и одно яичко, но следом, возможно, повиснет неловкая пауза. (Я пробовал; так и произошло.)

Людей волнуют вопросы распределения ресурсов. Вычисляя среднее арифметическое, мы закрываем на них глаза.

Спасительная благодать заключается в том, что эта особенность упрощает вычисления. Скажем, вы сдали экзамены на 87, 88 и 96 баллов. (Да, вы царь горы в этом классе.) Чему равен ваш средний балл? Не перегревайте нейроны сложением и делением; просто перегруппируйте величины. Отнимите шесть баллов от последней оценки; прибавьте три балла к первой и два — ко второй. Теперь ваши оценки равны 90, 90, 90 плюс один дополнительный балл. Поделите этот балл на три, и, не перенапрягая извилины, вычислите свою среднюю оценку: 90⅓.

2. Медиана

Как вычислить? Упорядочите ваши величины по возрастанию и возьмите средний элемент. Ровно половина величин будет меньше, ровно половина — больше{60}.

Когда использовать? Медиана, как и среднее арифметическое, характеризует центральную тенденцию совокупности величин. Разница в ее чувствительности к отклонениям — или скорее нечувствительности.

Возьмем, к примеру, семейный заработок[144]. В США богатая семья может зарабатывать в десятки (даже в сотни) раз больше, чем бедная. Вычисляя среднее арифметическое, мы исходим из того, что каждой семье достается равная доля совокупных доходов, и впадаем в искушение закрыть глаза на разброс величин и оказаться далеко от основного объема значений. В среднем семейный доход в США составляет около $75 000.

Медиана не поддается притяжению крупных величин. Вместо этого она показывает идеальную среднюю точку, доход семьи, которая богаче половины американских семей и беднее другой половины. В США это около $58 000. В отличие от среднего арифметического, это число дает ясную картину среднестатистической семьи.

Почему нельзя доверять? Вычислив медиану, вы знаете, что половина данных больше, а половина меньше. Но насколько далеко отстоят эти точки? На толщину волоса или на длину трансконтинентального полета? Вы видите только один кусок пирога, не понимая, насколько велики или малы другие. Это может ввести в заблуждение.

Когда венчурный капиталист инвестирует в новые фирмы, он исходит из того, что по большей части все они прогорят. Одно попадание в яблочко из десяти компенсирует все мелкие потери. Но медиана не учитывает эту динамику. «Типичный исход отрицательный, — вопит она. — Отменяем миссию!»

В то же время страховая компания тщательно наполняет портфель, зная, что стихийное бедствие с вероятностью 1 к 1000 сведет на нет всю скромную прибыль, накопленную за годы. Но медиана не учитывает потенциальную опасность. «Эй, типичный результат положительный, — подбадривает она. — Полный вперед!»

Вот почему вместе со средним арифметическим часто указывают медиану. Медиана рапортует о типичной величине; среднее арифметическое — обо всей совокупности величин. Они словно два ненадежных свидетеля: по отдельности их рассказы неполны, но, выслушав их вместе, мы можем восстановить более цельную картину.

3. Мода

Как вычислить? Мода — наиболее часто встречающийся элемент, самый стильный, самый популярный во всем наборе данных. Как быть, если все элементы различны? В этом случае вы можете сгруппировать данные по категориям и назвать самую частую из них «модальной категорией».

Когда использовать? Этот метод используют в социологических опросах и анализе нечисловых данных. Если вы хотите узнать любимый цвет людей, вы не сможете «сложить и поделить» их, чтобы вычислить среднее арифметическое. Или, допустим, вы проводите выборы; граждане сойдут с ума, если вы упорядочите голоса от наиболее либеральных к наиболее консервативным и присудите победу кандидату, за которого отдан медианный бюллетень.

Почему нельзя доверять? Медиана не учитывает суммарное значение. Среднее арифметическое не учитывает, как оно распределено. А мода? Ну, она игнорирует и суммарное значение, и то, как оно распределено, и почти все прочее.

Наиболее распространенное не означает показательное. Модальная зарплата в Соединенных Штатах равна нулю — не потому, что большинство американцев безработные и нищие, а потому, что зарплаты наемных работников разбросаны по всему спектру от одного доллара до $100 млн, в то время как все безработные получают одинаково — ноль. Этот статистический показатель никак не характеризует США. Так обстоят дела почти во всех странах, в этом особенность капитализма.

Метод модальной категории лишь частично устраняет проблему. Он дает ошеломляющую власть человеку, который сообщает данные: он может ловко перекроить границы категорий в соответствии со своей повесткой дня. В зависимости от того, какие интервалы я выберу, можно утверждать, что модальная американская семья зарабатывает от $10 000 до $20 000 (если взять интервалы размером 10 000), или от $20 000 до $40 000 (интервалы по $20 000), или от $38 000 до $92 000 (если идти по ступеням налоговой шкалы). Один и тот же набор данных, один и тот же метод. И все же портрет полностью преображается — все зависит от рамки, которую выбрал художник.

4. Перцентиль

Как вычислить? Напоминаю, что медиана находится ровно посередине упорядоченного ряда данных. А перцентиль — это медиана с регулятором. 50-й перцентиль — это сама медиана (половина величин больше, половина меньше). Но вы можете выбрать и другие перцентили. 90-й перцентиль на самой верхотуре: всего лишь 10 % величин больше, а 90 % величин меньше. В свою очередь, 3-й перцентиль почти на дне: 3 % величин меньше, 97 % больше.

Когда использовать? Метод перцентилей удобный и гибкий, он идеально подходит для нашего любимого времяпрепровождения — выстраивания рейтингов. Вот почему стандартные тесты часто дают оценки в перцентилях. Сырые данные не слишком информативны. Например, «я ответил верно на 72 % вопросов». Но сколько среди них головоломных и сколько легких? В то же время «я на 80-м перцентиле» в точности показывает ваш результат. Вы лучше 80 % испытуемых и хуже 20 %.

Почему нельзя доверять? У перцентилей та же ахиллесова пята, что и у медианы. Вы знаете, сколько величин больше или меньше определенного значения, но не знаете насколько. Возьмем, к примеру, финансовый сектор, где перцентили используются для оценки потерь от инвестиций. Вначале вы прикидываете разброс потенциальных результатов, от триумфа до краха, а затем выбираете перцентиль (обычно 5-й) и называете его «стоимость под риском», или VaR (Value at Risk). Он показывает наихудший сценарий. По сути дела, хуже будет ровно 5 % вариантов развития событий. VaR ничего не говорит о том, насколько хуже. Он не учитывает, сколько вы потеряете в 5 % случаев — несколько центов или миллиарды долларов. Возможно, вы будете лучше представлять себе пространство возможностей, если узнаете другие перцентили (например, 3-й, 1-й и 0,1-й), но этот метод по определению не показывает самые крупные и болезненные убытки, поэтому худший сценарий всегда будет оставаться вне зоны видимости.

5. Процентное изменение

Как вычислить? Прежде чем сообщить, насколько изменилась величина, поделите эту разницу на исходное значение.

Когда использовать? Процентное изменение позволяет посмотреть на вещи в перспективе. Оно определяет прибыли и убытки как части целого. Скажем, моя прибыль составила $100. Если вначале у меня было всего $200, то этот золотой дождь обеспечил рост капитала на 50 %, и я прыгаю от счастья и виляю хвостом, как Снупи. Но, если у меня уже было $20 000, рост моего дохода составляет всего лишь 0,5 %; я ограничиваюсь тем, что вскидываю вверх кулак. Перспектива имеет решающее значение, когда вы наблюдаете рост величины с течением времени. Если бы 70 лет назад американцы услышали, что наш ВВП за год вырос на $500 млрд, они испытали бы благоговейный трепет. Если бы они узнали, что рост составил 3 %, они бы не сильно удивились.

Почему нельзя доверять? О, я всецело за взгляд в перспективе. Но процентное изменение, пытаясь обеспечить контекст, может его, наоборот, уничтожить. Когда я жил в Великобритании, вкусный томатный соус по два фунта за банку иногда продавался со скидкой — в два раза дешевле[145]. В эти дни я как будто выигрывал джекпот: 50 % экономии! Я волок домой дюжину банок — можно заправлять равиоли целый месяц. Вскоре меня пригласили на свадьбу в США. За неделю авиабилеты могли подскочить в цене на 5 %. «Ну и ладно, — сказал я, соглашаясь на повышенную цену. — Это ненамного больше».

Вы понимаете проблему: из-за инстинктов у меня оказалось на пенни ума и на фунт глупости. «Огромная» скидка сэкономила мне 12 фунтов, в то время как «незначительный» рост цен на авиабилеты стоил мне 30 фунтов. Деньги есть деньги, будь то счет в овощной лавке на $20 или ипотека в $200 000. Большие процентные скидки на дешевые товары — ерунда на фоне нескольких процентов подорожания дорогих вещей.

6. Диапазон

Как вычислить? Диапазон — это разница между наибольшей и наименьшей величиной.

Когда использовать? Среднее арифметическое, медиана и мода имеют дело с основной тенденцией: они сводят все разнообразие набора данных до одного репрезентативного значения. Диапазон преследует противоположную цель: не замести разногласия под ковер, а вычислить и показать их, чтобы измерить разброс данных. Заслуга диапазона в его простоте. Мы воспринимаем набор данных как спектр от наименьшего к наибольшему и выясняем ширину этого спектра. Это быстрая и грубая оценка разнообразия.

Почему нельзя доверять? Диапазон учитывает только два куска пирога — наименьший и наибольший. Мы упускаем очень много важной информации, а именно размеры всех прочих кусков. Они близки к максимуму? Близки к минимуму? Распределены равномерно? Диапазон не знает и не хочет выяснять. Чем больше набор данных, тем сомнительнее становится смысл диапазона, потому что он игнорирует миллионы промежуточных значений, чтобы узнать о двух наибольших отклонениях. Узнай инопланетянин о двухметровом диапазоне роста взрослых людей (от рекордно низких 60-сантиметровых до рекордно высоких — 274 см), он был бы крайне разочарован, посетив Землю и выяснив, что все мы уныло средние — примерно от 152 до 183 см.

7. Дисперсия (и среднеквадратичное отклонение{61})

Как вычислить? Среднеквадратичное отклонение показывает, грубо говоря, насколько далеко типичная величина из набора данных отстоит от среднего арифметического.

Если вы хотите приготовить дисперсию у себя на кухне, воспользуйтесь следующим рецептом: (1) найдите среднее арифметическое вашего набора данных; (2) вычислите, насколько далеко каждая величина отстоит от среднего арифметического; (3) возведите эти разности в квадрат; (4) найдите среднее арифметическое квадратов разностей. Среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего арифметического и есть дисперсия.

Если вы извлечете квадратный корень из дисперсии, вы получите «среднеквадратичное отклонение»[146]. Это более естественная величина, поскольку дисперсия измеряется в странных единицах. (Что такое «доллар в квадрате»? Никому это не ведомо.)

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение идут вместе рука об руку, поэтому мы обсуждаем их в одном параграфе.

Когда использовать? Как и диапазон, дисперсия и среднеквадратичное отклонение дают численное значение разброса величин в наборе данных, но (говорю со всей беспристрастностью любящего отца) они лучше. Диапазон — быстрая, сделанная на скорую руку оценка разброса; дисперсия — несущая опора статистики. Дисперсия учитывает вклад каждой величины из набора данных и достигает сложности симфонии, в то время как диапазон бренчит на двух струнах.

Логика дисперсии, пускай витиеватая, при ближайшем рассмотрении имеет смысл. Ключевую роль играет отличие от среднего арифметического. Большая дисперсия означает, что данные широко разбросаны; маленькая дисперсия означает, что они тесно жмутся друг к другу.

Почему нельзя доверять? Разумеется, дисперсия учитывает вклад каждой величины из набора данных. Но вы не можете сказать, кто вносит что.

Точнее говоря, одна далеко отстоящая величина может обеспечить взрывной рост дисперсии. Из-за возведения в квадрат одно значительное отклонение от среднего арифметического (например, 12^2 = 144) может внести больший вклад, чем дюжина небольших (например, 3^2 = 9; двенадцать девяток дают всего-навсего 108).

У дисперсии есть еще одна особенность, которая многих ставит в тупик. (Она не плохая, просто парадоксальная.) Студенты склонны называть набор данных с большим разнообразием величин (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6) более «рассредоточенным», чем набор данных с повторяющимися величинами (например, 1, 1, 1, 6, 6, 6). Но дисперсия не заинтересована в «разнообразии»; ее интересует только отклонение от среднего арифметического.

С точки зрения дисперсии разброс второго набора данных (с повторяющимися величинами, отстоящими далеко от среднего арифметического) перевешивает разброс первого набора (где значения не повторяются, но в основном ближе к среднему).

8. Коэффициент корреляции

Как вычислить? Корреляция показывает взаимосвязь между двумя переменными. Например, рост и вес человека. Или цена марки автомобиля и объем продаж. Или бюджет фильма и кассовые сборы.

Шкала идет следующим образом: от максимума на 1 («ого, они всегда идут вместе») к середине на 0 («м-да, никакой взаимосвязи») и, наконец, до минимума на –1 («хм, одно исключает другое»).

Однако это очень поверхностный обзор. Как коэффициент корреляции работает на самом деле, рассказано в примечании[147].

Когда использовать? Жители богатых стран счастливее? Решетки на окнах предотвращают преступления? Распитие красного вина продлевает жизнь или просто растягивает вечеринки? Отвечая на все эти вопросы, мы пытаемся выяснить связь между парой переменных, между предполагаемой причиной и следствием. В идеале вы ставите эксперимент и находите ответ. Ежедневно наливайте ста людям красное вино, а другим ста людям — виноградный сок и посмотрите, кто проживет дольше. Однако такое исследование медленное, дорогое и зачастую неэтичное. Можно только посочувствовать беднягам, приговоренным к сухому закону.

Корреляция позволяет ответить на тот же вопрос косвенным образом. Выберите группу людей, измерьте, сколько вина они пьют, узнайте их возраст и посмотрите, живут ли винопийцы дольше. Разумеется, даже сильная корреляция не означает причинно-следственной связи. Может быть, вино продлевает жизнь. Может быть, длинная жизнь побуждает людей пить алкоголь. Может быть, оба фактора вызваны третьей переменной (например, богатые люди живут дольше и могут позволить себе покупать вино). Узнать невозможно.

Даже с учетом этого недостатка изучение коэффициента корреляции — прекрасное начало исследований. Эта методика дешевая, быстрая и позволяет обрабатывать большие массивы данных. Она не может выявить причины точно, но может предложить интригующие гипотезы.

Почему нельзя доверять? Коэффициент корреляции — одна из самых агрессивных статистических величин. Она перемалывает сотни или тысячи пар переменных в одно число от –1 до 1. Неудивительно, что некоторые вещи остаются за бортом. Проиллюстрируем этот факт математическим парадоксом, известным под названием квартет Энскомба{62}.

Переступим порог Энскомбской Академии чародейства и волшебства, где ученики неделями готовятся к экзаменам по четырем дисциплинам: зельеварение, трансфигурация, заклинания и защита от темных искусств. Мы будем учитывать две переменных: оценку ученика (от 0 до 13) на каждом экзамене и количество часов на подготовку к нему.

Глядя на обзорную статистику, вы можете подумать, что результаты по четырем экзаменам одни и те же:

И все же… ну, просто присмотримся. (Каждая точка обозначает ученика.)

Экзамен по зельеварению соответствует моему стереотипу сдачи экзаменов. Длительная подготовка, скорее всего, повысит ваши результаты, но вовсе не обязательно. Вмешивается случайный шум. Таким образом, корреляция равна 0,816.

В то же время оценки по трансфигурации лежат на почти идеальной прямой: каждый дополнительный час подготовки приносит дополнительные 0,35 балла, за исключением одного выдающегося ребенка, который снижает корреляцию от идеальной единицы до 0,816.

Экзамен по заклинаниям соответствует еще более четкой схеме: чем больше вы готовитесь, тем лучше ваша оценка, но в какой-то момент тенденция меняется. Если вы будете заниматься дольше десяти часов, с каждым часом ваша оценка будет ухудшаться (возможно, из-за сонливости). Как бы то ни было, корреляция может выявить только линейную зависимость, поэтому она не замечает эту параболу и коэффициент корреляции равен 0,816.

Наконец, перед экзаменом по защите от темных искусств все ученики занимались по 8 часов, но получили разные оценки. Зная продолжительность подготовки, вы не можете предсказать оценку. Есть одно исключение: трудоголик-одиночка потратил 19 часов на подготовку и получил высший балл. Одна-единственная точка повышает коэффициент корреляции от 0 до… 0,816.

Оценки по каждому экзамену следуют своей логике, подчиняются уникальной схеме. Но коэффициент корреляции упускает это из виду.

Опять-таки такова природа статистики. Как я люблю говорить:

Статистика — ненадежный свидетель.

Она не лжет, но никогда не говорит всю правду.

Цитируйте меня на здоровье. Или, следуя традиции, придумайте афоризм о статистике самостоятельно и припишите его мне.

Глава 17. Последний отбивающий с рейтингом 40,0%

Взлет и падение бейсбольной статистики

С момента своего возникновения бейсбол был игрой чисел. На данный момент в «Википедии» перечислены 122 разновидности бейсбольной статистики, от DICE до FIP и VORP, и я подозреваю, что это лишь верхушка айсберга. Более того: подберите наугад три буквы — готов поклясться, что кто-нибудь где-нибудь уже скрупулезно ведет статистику под таким кодовым названием.

Эта глава посвящена одной статистической модели — от скромного начала до постепенного упадка. Речь идет о рейтинге «БА» (англ. BA): бостонский акцент. Простите, блатной алкоголь. Ну ладно, хорошо: batting average (процент реализации выходов на биту).

Когда-то этот рейтинг царил безраздельно. В наши дни специалисты по статистике придерживаются мнения, что это китч и пережиток простодушных дней. Настало время пустить его в расход? Или дышащий на ладан ветеран с ноющими суставами еще даст прикурить?

1. Зарницы в таблице

В 1856 году англичанин по имени Генри Чедвик, крикетный репортер The New York Times, случайно впервые в жизни попал на матч по бейсболу[148]. Он был заворожен. «В бейсболе все сверкает!» — воскликнул он, как мог воскликнуть только фанат крикета. Он, словно ленивец, пораженный молниеносностью и блеском черепахи, посвятил свою жизнь этому американскому виду досуга. Он заседал в нормативных комитетах, написал первую книгу об этом виде спорта и был редактором первого бейсбольного ежегодника. Однако титул «отец бейсбола» Чедвик снискал за нечто более фундаментальное — статистику.

Чедвик изобрел таблицу очков для отслеживания ключевых событий игры. Просматривая колонки цифр — очки, хиты, ауты и так далее, можно было практически воочию наблюдать за тем, как проходила игра. Таблицы очков составляли не для долгосрочных прогнозов или подсчетов статистической значимости. Однако они рассказывали историю на языке цифр: в них отражались позор и слава, герои и злодеи. В таблицах кратко описывались погодные условия и подчеркивались ключевые моменты игры, чтобы помочь фанатам оказаться в гуще событий (задолго до радио, экшен-камер или mlb.com). Это был SportsCenter 1870-х годов.

Идея Чедвика с рейтингом BA перекочевала из крикета, где, впрочем, есть только две базы, а очки вы набираете каждый раз, когда перемещаетесь от одной базы к другой. Игроки в крикет продолжают отбивать, пока соперник не сделает им аут, и хороший игрок вполне может заработать для своей команды десятки очков. (Рекорд всех времен и народов — 400 очков[149].) Таким образом, этот процент в крикете высчитывается из очков, набранных на один аут, сделанный соперником. Великий игрок может набрать 50 %, даже 60 %.

В бейсболе подобная формула не работает. Здесь один-единственный хит может завершить ваш выход на биту. Как любой хороший математик, Чедвик начал играть с правилами, перепробовал несколько формул и пришел к той, которая используется сейчас.

Итак, процент реализации выходов на биту состоит из одного незамысловатого математического действия: количество хитов делится на общее количество выходов на биту. Чедвик сказал, что это «единственный подлинный критерий в оценке навыка игры на бите»[150].

Таким образом, в теории BA может принимать значение от 0,0 (игрок ни разу не отбил) до 100,0 (игрок отбивал каждый выход). На практике практически все игроки укладываются в промежуток от 20,0 до 35,0 %. Это не слишком большой диапазон. Короли бейсбола (бьющие 30,0 % и больше) и середняки (бьющие примерно 27,5 %) различаются всего одним лишним хитом на 40 попыток. Невооруженным глазом этого нельзя заметить. Более того, «плохой» отбивающий вполне способен затмить «хорошего» просто по прихоти фортуны.

Так работает статистика. Рейтинг BA похож на ускоренную съемку роста цветка от саженца до пышного цветения. Он выявляет истину, которая в противном случае лежала бы за пределами нашего восприятия. Вместо бури в стакане воды мы видим зарницы в таблице.

Статистика, как и теория вероятностей, наводит мосты между двумя мирами. Первый — сумбурная повседневность, полная блестящих взлетов и болезненных падений. Второй — рай долгосрочной перспективы, плавных усреднений и стабильных тенденций. Теория вероятностей начинает с мира долгосрочных перспектив и предполагает, что именно может произойти в какой-нибудь конкретный день. Статистика все делает наоборот: начинает с повседневного сумбура и стремится рассчитать незримое долговременное развитие на основе доступных данных.

Иными словами, специалист по теории вероятностей берет колоду и описывает, какие комбинации карт могут выпасть. Специалист по статистике смотрит на комбинации карт на столе и пытается сделать вывод о том, как устроена колода.

Бейсбол, возможно, единственный вид спорта, который предоставляет достаточно много карт, чтобы делать убедительные выводы о колоде.

В каждом чемпионате по 162 матча, и каждый игрок получает примерно по 24 000 подач. В европейском футболе, для того чтобы получить такой же объем информации, нужно возвращать мяч в центр поля каждые пять секунд в течение всего чемпионата[151]. Кроме того, отбивающий выходит на биту в одиночку, поэтому можно легко собрать ясные данные о его игре вне зависимости от того, как ведут себя другие игроки, в то время как в других видах спорта в большинстве случаев игра строится на командных взаимосвязях.

В этом великолепие рейтинга BA. Однако каждый вид статистики что-то упускает, и в данном случае за скобками остается один ключевой момент.

2. Старик и устаревшие идеи о бейсболе

В 1952 году журнал Life первым опубликовал новую повесть Эрнеста Хемингуэя «Старик и море»[152]. Было продано пять миллионов экземпляров; автор получил Нобелевскую премию.

2 августа 1954 года Life решил привлечь внимание американцев к другой повестке дня: бейсбольной статистике. Бранч Рики, главный менеджер команды «Питтсбургские пираты», опубликовал статью под названием «Прощайте, кое-какие устаревшие идеи о бейсболе»[153]. Потребовалось десять страниц, чтобы объяснить содержащееся там уравнение:

Сама по себе эта формула была не слишком-то корректной. Знак равенства на самом деле не означал тождество, а минус не означал вычитание. Тем не менее статья содержала проницательную критику некоторых «устаревших идей о бейсболе», прежде всего рейтинга BA. Атака (ее приписали Рики, но на самом деле автором статьи был канадский специалист по статистике Алан Рот) началась с двух букв: BB, то есть «base on balls». Проще говоря, пробежка.

На заре бейсбола в соответствии с правилами игрок находился на бите, пока не сделает хит, не отобьет мяч в поле или не получит страйк-аут. Процесс игры был тягучим, словно холодная патока. Поэтому в 1858 году появилось новое правило: если игрок прозевал смачную подачу, это было равносильно тому, что он пытался отбить и не отбил[154]. Но теперь маятник слишком далеко качнулся в обратную сторону; осторожные питчеры перестали бросать мячи, которые можно было отбить. В 1863 году было введено понятие «бол»: это бросок, который не попадает в страйковую зону, который отбивающий и не попытался отбить. Четыре таких подачи позволяют отбивающему беспрепятственно пройти на первую базу[155].

Пробежки ставили Чедвика в тупик. Эквивалент таких моментов в крикете — показатель «уайд», но он считался за ошибку подающего. Получается, что процент реализации выходов на биту игнорировал пробежки, словно и не существовало выходов на биту, завершившихся пропуском оппонента. Более того, в официальной статистике матчей пробежки стали учитываться лишь в 1910 году[156].

Сегодня самые умелые и терпеливые на бите игроки проходят на первую базу в 18–19 % случаев[157]; бесшабашные имеют только 2–3 %[158]. Поэтому Рики ввел понятие «процент пребывания на базах» (on-base percentage), или ОВР. В рамках этого показателя учитывается все, что приводит игрока на первую базу. Это могут быть и хиты, и пробежки. Иными словами, учитывается все, кроме аутов.

Здесь можно задаться вопросом: какой из статистических показателей позволит лучше предсказать, сколько та или иная команда наберет очков? BA или OBP? Судя по данным за 2017 год, BA довольно хорош: коэффициент корреляции 0,73. Однако OBP прямо-таки превосходен: коэффициент корреляции 0,91.

Кроме того, Рики (вернее, Рот) выявил еще один недостаток BA. Дело в том, что есть четыре варианта хитов, от сингла, после которого игрок достигает первой базы, до хоумрана, где отбивающий пробегает полный круг (четыре базы) и набирает очко. Конечно, баз, как десертов и репостов, чем больше, тем лучше. Однако процент игры на бите не учитывает этой разницы в количестве баз. В связи с этим Рики вводит еще один термин, который обозначает хиты дальше первой базы. Сейчас мы называем его «процент дальних ударов» (slugging percentage), или SLG. Сюда входят все разновидности хитов, которые могут случиться в рамках одного выхода на биту: от 0,00 до 4,00. На практике не было ни одного отбивающего, который закончил бы сезон, имея даже 1,00.

Как и процент игры на бите, процент дальних ударов игнорирует пробежки и стирает существенные различия. В частности, чтобы получить 80,0 % дальних ударов за 15 выходов на биту, вам нужно занять в общей сложности 12 баз (12/15 = 0,8). Есть множество способов проделать это, но не все одинаково выгодны:

Итак, у нас есть процент пребывания на базах (ОВР) и процент дальних ударов (SLG), которые описывают игру с разных точек зрения. Их сумма дает показатель OPS (on-base plus slugging)[159]. Анализ статистики 2017 года показывает, что коэффициент корреляции для OPS просто сногсшибательный: 0,935. Лучше, чем у ОВР и SLG по отдельности.

Когда той самой статье в Life исполнилось 50 лет, газета «Нью-Йорк Янкиз» показала формулу генеральному директору New York Yankees Брайану Кэшману. Он сказал: «Вау! Этот парень опередил свое время на несколько поколений»[160]. Так вскрылась страшная правда: Кэшман никогда слыхом не слыхивал об этой статье в Life. Даже после публикации старый добрый BA царствовал не одно десятилетие, а ОВР и SLG ютились в тени. Диалог о бейсболе в повести «Старик и море»[161], похоже, повлиял на судьбу этого вида спорта сильнее, чем манифест Бранча Рики.

Так что же ожидало бейсбол дальше?

3. Знания сдвигают линию фронта

Для революции в какой бы то ни было области вам нужны две составляющих: знания и необходимость.

Знания в основном приходили от обозревателя Билла Джеймса[162]. В 1977 году, работая охранником в ночную смену, он опубликовал первый «Бейсбольный обзор от Билла Джеймса». Главная ценность этого труда состояла в ответах на инсайдерские вопросы, например: какие питчеры и кэтчеры пропустили наибольшее количество краденых баз? Вначале было продано всего 75 экземпляров, но дальше заработало сарафанное радио. В следующем году Джеймс продал уже 250 экземпляров. Пять лет спустя Джеймс заключил крупную сделку с издателем. В 2006 году журнал Time включил Джеймса (на тот момент он уже получал зарплату от «Ред Сокс») в свой рейтинг 100 самых влиятельных людей на планете.

Проницательный аналитический подход Джеймса вызвал ренессанс статистики в бейсболе. Он назвал это «саберметрика». Одна из основных идей состояла в том, что процент реализации выходов на биту — побочный, грубый показатель, не всегда отражающий фактический результат[163]. Мы не можем судить о качестве блюда, оценив один ингредиент. Если отнестись к дегустации всерьез, лучше попробовать все ингредиенты, а еще лучше — само блюдо.

Идея была не нова, что могут подтвердить сотрудники архива Life. Джеймс стал знаменит еще и по той причине, что изменились экономические условия бейсбола. До начала 1970-х годов в контракте игрока значилась статья, запрещающая ему переходить в другую команду, и даже по истечении контракта ему нельзя было вести переговоры с другими клубами без письменного разрешения прежней команды.

В 1975 году суд отменил эту оговорку, положив начало эре «свободных агентов». Шлюзы открылись и обеспечили взрывной рост зарплат[164].

Еще десять лет назад владельцы команд могли покупать игроков, как продукты в бакалейной лавке. Теперь в игру вступили агенты со своими зарплатными запросами. Казалось бы, финансовое давление должно было подтолкнуть владельцев команд перейти от грубых статистических показателей наподобие BA к более надежным, например ОВР или SLG, но бейсбол — игра неторопливая, как известно всем, кроме Генри Чедвика. Одной команде, «Окленд Атлетикс», потребовалось 20 лет, чтобы прозреть и начать использовать ОВР для оценки игроков.

Пожар занялся в начале 1990-х при генеральном директоре Сэнди Алдерсоне и заполыхал вовсю при его преемнике, Билли Бине. Вскоре «Окленд Атлетикс» добилась неслыханных успехов, с умом используя статистику при покупке игроков. В 2003 году Майкл Льюис, житель района залива Сан-Франциско, написал книгу о Билли Бине. Он назвал ее «Moneyball»{63} и на пути к продаже 67 квадриллионов экземпляров{64} совершил то, что не получилось у Life: распрощался со старыми идеями о бейсболе. Благодаря Льюису ОВР и SLG вышли из тени и стали мейнстримом.

4. Драма ВТОРОГО знака после запятой

«Бейсбол — единственное поприще, где даже три успешных попытки из десяти делают тебя хорошим исполнителем»[165], — сказал как-то раз великий аутфилдер Тэд Уильямс. В 1941 году Уильямс шел к тому, чтобы выбивать в среднем четыре из десяти, став «отбивающим 40,0 % на бите», полубогом и легендой.

Он вышел на последнюю неделю сезона, набрав 40,6 %, и мог стать первым за 11 лет отбивающим с рейтингом 40,0 %. Затем он сорвался. В следующих четырех матчах из 14 выходов на биту он смог реализовать всего лишь три[166]. Его процент упал до 39,955 %. Это число выглядит нарочито, как пример для проверки школьных знаний о десятичных дробях. Разве это не 40,0 %?

На следующий день ведущие газеты ясно дали понять, что округление здесь не прокатит. «Уильямс набрал 39,96 %», — писала The New York Times. «Процент Уильямса упал ниже 40,0 %», — объявила Chicago Tribune. «Уильямс соскользнул до 39,9 %», — сообщила The Philadelphia Inquirer, пренебрегая правилами округления, а The Boston Globe, выходящая в родном городе Уильямса, просто отразила статистику: «Рейтинг на данный момент — 39,96 %».

Как можно противостоять спорту, который так пристрастен ко второму знаку после запятой?

Последние два матча сезона шли подряд 28 сентября. Накануне вечером мучимый бессонницей Уильямс прошагал больше полутора километров по улицам Филадельфии. Перед первым матчем, по словам одного спортивного обозревателя, «он сидел на скамейке и грыз ногти, его исполинские руки ходили ходуном». Позже обозреватель сообщил: «Перед первым выходом на биту он дрожал как банный лист».

Однако 23-летний игрок выстоял. В тот день он выбил шесть из восьми, повысив свой показатель до 40,57 %. (Авторы заголовков перестали занудствовать и округлили до 40,6 %.) Прошло около 80 лет, но с тех пор никто так и не добился рейтинга 40,0 %[167].

В 1856 году Генри Чедвик мельком увидел игру, где спортсмены, все в пыли, ловили мяч голыми руками, и решил, что летний вечер прошел не зря. Англичанин перевел ее на язык чисел. Числа обогатили ее. Спустя полтора века бейсбол стал корпоративным триумфом, зарплаты команд исчисляются сотнями миллионов. Рейтинг BA, придуманный в XIX веке, изо всех сил пытается идти в ногу с игрой XXI века, словно мальчик, который пытается голыми руками осуществить крутой бросок с низкой траекторией.

И все же, несмотря ни на что, рейтинг 40,0 % продолжает завораживать. В апреле и мае, когда сезон только-только начинается и выборка данных так же мала, как почки на деревьях, часто находятся один-два игрока, чей рейтинг балансирует на грани 40,0 %. Вскоре они снова исчезнут. Но около недели по земле разливается дыхание надежды, ощущение, что мифические существа, наподобие драконов или отбивающих с рейтингом 40,0 %, еще не отошли в небытие. Рейтинг OBP 50,0 % или SLG 80,0 % никогда не будет так тревожить сердце. Мы любим рейтинг BA 40,0 % не из-за его предсказательной силы или математической элегантности, а за то, что он несет в себе электрический заряд, рассказывает историю с помощью трех цифр, вернее четырех.

Возможно, ни один отбивающий больше не наберет 40,0 %. В то же время не исключено, что это произойдет в следующем году. Что касается Уильямса, он отмахивается от славы. «Если бы я знал, что рейтинг 40,0 % — такая уж сенсация, — сказал он 50 лет спустя, — я бы набрал его снова»[168].

Глава 18. Варвары у врат науки

Кризис p-значения

Ура! Пришло время забавных научных фактов!

Для начала: знаете ли вы, что с большей вероятностью будете списывать на экзамене, если до этого прочтете пассаж, доказывающий, что свободы воли не существует?

Или что после того, как вы поставите вплотную две точки на бумаге в клеточку, вы почувствуете бóльшую приязнь к родственникам, чем если поставите две точки далеко друг от друга?

Или что определенные «силовые позы» могут подавлять гормоны стресса и повышать уровень тестостерона, и окружающие будут считать вас более уверенным в себе и представительным?

Я не выдумываю. Это подлинные исследования, выполненные настоящими учеными, одетыми в настоящие лабораторные халаты и/или джинсы. Они основаны на теоретических выкладках, подтверждены экспериментами и одобрены независимыми рецензентами. Исследователи руководствовались научной методикой и не прятали в рукаве джокеров.

Тем не менее эти три исследования — и десятки других, например в таких отдаленных друг от друга областях, как маркетинг и медицина, — теперь вызывают вопросы. Они могут быть ошибочными.

В различных науках наступил кризис[169]. Многие ученые десятилетиями выкладывались по полной и обнаружили, что теперь работа всей их жизни висит на волоске. Виною тому не обман, или отсутствие целостности, или чрезмерное количество абзацев, опровергающих свободу воли. Болезнь гнездится глубже, в общих статистических методах, составляющих основу исследовательского процесса. Речь идет о коэффициенте, который сделал современную науку возможной — и теперь угрожает ее стабильности.

1. Под властью призрака

Каждый научный эксперимент ищет ответ на какой-то вопрос. Существуют ли гравитационные волны? Ненавидят ли миллениалы финансовую устойчивость? Может ли этот новый препарат вылечить от антипрививочной паранойи? Вне зависимости от вопроса есть два возможных ответа («да» и «нет») и, учитывая неизбежную ненадежность данных, два возможных исхода («вы правы» и «вы ошиблись»). Таким образом, результаты экспериментов можно поделить на четыре категории:

Ученые хотят добиться истинно положительных результатов. Их называют «открытия»: вам вручают ништяки типа Нобелевских премий, любимый человек готовит вам смузи, ваши изыскания продолжают получать финансирование.

Истинно отрицательные результаты воодушевляют меньше. Вам казалось, что вы уже помыли полы и постирали белье, но вдруг вы осознали, что вам это просто примерещилось. Вы узнали правду, но лучше бы она была другой.

Ложноотрицательные результаты раздражают. Вы искали потерянные ключи в нужном месте, но почему-то они все равно не нашлись. Вы никогда не узнаете, насколько близок был успех.

Ложноположительные результаты самые пугающие. Это фантомы: ложь, которая в один пригожий день может сойти за истину. Они сеют смуту в науке, годами таятся незамеченными в научной литературе и влекут за собой тонны впустую потраченного времени. Наука — это непрерывный поиск истины, поэтому ложноположительных результатов невозможно избежать, но крайне важно свести их к минимуму.

Именно тогда на помощь приходит p-значение. Его цель — выявить фантомы.

В качестве иллюстрации проведем эксперимент: делает ли шоколад людей счастливее? Наугад разделим респондентов на две равные группы. Пусть одни едят шоколадные батончики, а другие хрустящее печенье. Затем мы попросим их оценить, насколько они счастливы, по шкале от 1 (страдание) до 5 (блаженство). Наша гипотеза: едоки шоколада выставят более высокие баллы.

Но есть определенная опасность. Даже если шоколад не влияет на уровень счастья, респонденты из первой группы могут выставить более высокие оценки. Например, взгляните, что произошло, когда я сгенерировал пять случайных наборов данных для одной и той же группы респондентов.

Из-за стечения обстоятельств две теоретически одинаковые группы могут продемонстрировать очень разные результаты. Что, если «шоколадная» группа выставит более высокие оценки по чистой случайности? Как мы отличим подлинное повышение уровня счастья от бессмысленного фантома?

Для того чтобы распознать фантомы, p-значение учитывает три фундаментальных признака:

1. Насколько велико отличие? Незначительное отличие (скажем, 3,3 против 3,2) скорее говорит о случайном совпадении, чем существенная разница (скажем, 4,9 против 1,2).

2. Насколько велик набор данных? Выборка из двух человек не внушает особого доверия. Может быть, я случайно дал шоколадку восторженному любителю жизни, а хрустящее печенье — неблагодарному нигилисту. Но в выборке из 2000 человек, случайным образом разделенной пополам, индивидуальные различия должны стираться. Даже небольшой разрыв (3,08 против 3,01) вряд ли может быть случайным.

3. Дисперсия внутри каждой группы. Если разброс оценок широк и дисперсия высока, разница в результатах двух групп легко могла быть продиктована случайностью. Но если оценки стабильные и дисперсия низкая, то даже небольшая разница, скорее всего, неслучайна.

Вся эта информация сводится к p-значению — одному числу между нулем и единицей, своего рода оценке абсурдности совпадения. Чем меньше это число, тем абсурднее полагать, что результаты получены в силу чистой случайности. Близкое к нулю p-значение говорит о том, что совпадение настолько абсурдно, что, возможно, это никакое и не совпадение.

(Чуть больше технических деталей вы найдете в примечании[170].)

Некоторые p-значения легко интерпретировать. 0,000001 означает, что фантомный результат может получиться случайно в одной из миллиона попыток. Такие совпадения настолько редки, что взаимосвязь почти наверняка есть — в нашем случае шоколад делает людей счастливее.

Между тем p-значение, равное 0,5, означает, что вероятность фантомного результата 1 к 2. Такое происходит… ну, через раз. Подобные результаты повсеместны, словно сорняки. Так что в нашем случае, похоже, шоколад не влияет на уровень счастья.

Между этими ярко выраженными случаями лежит спорная территория. Как насчет p-значения 0,1? А как насчет 0,01? Говорят ли эти числа о том, что мы ловим фантомы или наши результаты достаточно экстремальные и, возможно, это вовсе не фантомы? Чем ниже p-значение, тем лучше; но ниже — это насколько низко?

2. Отладка фильтра фантомов

В 1925 году специалист по статистике по имени Р. А. Фишер опубликовал книгу под названием «Статистические методы для исследователей»{65}. В ней он провел черту на песке: 0,05. Иными словами, будем отфильтровывать 19 из 20 фантомов{66}.

Зачем допускать оставшийся 20-й фантом? Ну, вы можете установить порог ниже 5 %, если вам угодно. Сам Фишер предпочитал 2 % или 1 %. Но этот отсев ложноположительных результатов влечет за собой новый риск: ложноотрицательные. Чем больше фантомов вы изгоняете, тем больше истинных результатов может заодно пойти под нож.

Предположим, вы хотите выяснить, выше ли мужчины ростом, чем женщины. Подсказка: да. Но что, если ваша выборка порождает фантомы? Что, если вы возьмете высоких женщин и низкорослых мужчин и получите среднюю разницу всего один или два дюйма? Тогда строгий порог p-критерия может забраковать результат как фантом, даже если сам по себе он вполне подлинный.

Число 0,05 представляет собой компромисс между заключением в тюрьму ни в чем не повинных и освобождением виновных.

Сам Фишер никогда не имел в виду, что 0,05 — железобетонный критерий. В своей собственной карьере он проявлял замечательную гибкость. Однажды в одной и той же статье он одобрил p-значение 0,089 («есть некоторые основания подозревать, что распределение… не вполне случайно»), но отверг 0,093 («такая взаимосвязь, если она существует, недостаточно сильна, чтобы проявляться значительно»).

На мой взгляд, это осмысленный подход. Глупое постоянство — мелкий бес начинающих статистиков. Если вы скажете мне, что благодаря мятным леденцам после обеда исчезает неприятный запах изо рта (p = 0,04), я буду склонен вам поверить. Если вы скажете, что мятные леденцы лечат остеопороз (p = 0,04), я буду не столь убежден. Я признаю, что 4 % — низкая вероятность. Но, я полагаю, еще менее вероятно, что на протяжении десятилетий наука упускала из виду стойкую связь между здоровьем скелета и «Тик-таком».

Новые данные необходимо сопоставлять с нашими знаниями. Не все 0,04 созданы равными.

Ученые это понимают. Но в области, которая гордится стандартизацией и объективностью, сложно отстаивать нюансы персонифицированных суждений. И в XX веке в гуманитарных науках наподобие психологии и медицины статус границы «5 %» постепенно эволюционировал от «предложения» к «директиве» и «промышленному стандарту». p = 0,0499? Значимо. А p = 0,0501? Извините, попытайте счастья в следующий раз.

Означает ли это, что 5 % принятых результатов получены в силу случайности? Не совсем. На самом деле все наоборот: 5 % фантомов удовлетворяют критерию значимости. Казалось бы, разницы нет, но это не так.

Все гораздо страшнее.

Представьте, что p-значение — страж у врат цитадели науки. Он впускает истинно положительные результаты и отражает атаки варваров, то есть ложноположительных результатов. Мы знаем, что 5 % из них проскользнут внутрь, но в общем и целом это, похоже, неплохо.

Но что, если атакующих варваров в 20 раз больше, чем наших солдат? Тогда 5 % вторженцев — это ровно столько же, сколько всех бойцов на стороне цивилизации.

Хуже того, что, если на каждого верного долгу солдата приходится сотня варваров? Тогда 5 % атакующих подавят всю армию защитников цивилизации. Цитадель заполонят ложноположительные результаты, а истинно положительные будут жаться по углам.

Таким образом, опасность резко возрастает, когда ученые проводят чересчур много исследований, где истинный ответ отрицательный. Пение под фонограмму превращает вас в блондина? Начнется ли кислотный дождь, если вы наденете клоунские башмаки? Проведите миллион мусорных исследований, и 5 % пройдут фильтр. Их будет 50 000. Они захлестнут научные журналы, замелькают в заголовках новостей и сделают ленту «Твиттера» еще менее читабельной, чем обычно.

Если это никого особо не расстраивает, ситуация еще больше ухудшается. Сами того не желая, ученые снабдили варваров абордажными крюками и таранами.

3. Как плодятся фантомы?

В 2006-м психолог по имени Кристина Ольсон начала записывать проявления своеобразной тенденции: дети предпочитают счастливчиков неудачникам[171]. Ольсон и ее коллеги обнаружили такие предпочтения у представителей разных культур в возрасте от трех лет вплоть до вступления во взрослую жизнь[172]. Тезис был справедлив и для тех, кто потерпел мелкие неудачи (например, шлепнулся в грязь), и для тех, кто пострадал от катастроф (например, торнадо). Эффект был стойким и убедительным — истинно положительным.

Затем в 2008 году Ольсон согласилась стать научным руководителем дипломной работы нерадивого 21-летнего студента по имени я[173]. Благодаря ее огромной помощи я придумал скромное дополнительное исследование: будут ли пяти- и восьмилетние дети отдавать больше игрушек счастливчикам, чем неудачникам?

Я опросил 46 детей. Ответ был отрицательным.

Если я и выявил какую-то тенденцию, то она была обратной: мои респонденты, похоже, охотнее делились с несчастными, чем со счастливыми. В отличие от «забавных научных фактов» это казалось очевидным: естественно, вы отдадите игрушку тому, кто ее лишился. Мне нужно было выжать из эксперимента 30 страниц, и я посмотрел на свои данные. Каждый испытуемый ответил мне на восемь вопросов, и я проверил множество условий. В итоге я мог бы разделить результаты на категории несколькими способами.

Здесь, в неброских столбцах чисел, зародилась опасность.

Судя по всему, мой тезис был варваром у ворот. Важное для исходной гипотезы p-значение было значительно выше 0,05[174]. Но, если быть непредвзятым, надо было бы рассмотреть и другие возможные постановки задачи. Что, если я буду рассматривать исключительно пятилетних? Или только восьмилеток? Или только счастливых реципиентов? Или только неудачников? Играет ли значение половая принадлежность? Что, если восьмилетние девочки более отзывчивы по отношению к детям, которым они выставили четверку по шестибалльной шкале приязни, чем пятилетние мальчики?

Что, если, что, если, что, если…

По-разному дробя полученные данные, я мог превратить один эксперимент в двадцать. Уже не играло роли, отсеет ли p-значение моего варвара единожды, дважды или десять раз. Я мог маскировать его так или этак, пока он наконец не прокрадется в цитадель.

Вот так вот и рождается, возможно, величайший методологический кризис нашего юного столетия: хакерский взлом p-значения. Дайте группе правдолюбивых ученых возможность принять участие в гонке за положительными результатами, где победитель получает все, и наблюдайте, как они, наступая на горло собственной песне, ведут себя как 21-летний я, рационализируя хитроумные решения. «Ну, может, я перепроверю цифры…» «Я же знаю, это правильный результат; просто мне нужно исключить резко выделяющиеся данные…» «О, если я проконтролирую седьмую переменную, p-значение снизится до 0,03…» Большинство исследований носит двусмысленный характер из-за путаницы в переменных и использования множественных способов интерпретации данных. Что вы предпочтете: метод, делающий ваши результаты незначимыми, или тот, который даст p-значение ниже 0,05?

Выловить такого рода чепуху несложно. На сайте Spurious Correlations[175] («Подложные взаимосвязи») Тайлер Виген прочесывает тысячи переменных, чтобы найти пары с тесной, но случайной корреляцией. Например, число утонувших в бассейнах с 1999 по 2009 год шокирующим образом соотносится с количеством фильмов, в которых играет Николас Кейдж.

Засорите фильтр, отсеивающий фантомы, и несколько ложноположительных результатов непременно прокрадутся в цитадель.

Я решил убедиться в этом самостоятельно и разбил 90 респондентов на три группы. Каждый испытуемый выпил или воду из-под крана, или бутилированную воду, или их смесь. Затем я измерил четыре переменные: время бега на стометровку, уровень IQ, рост и любовь к песням Бейонсе. Дальше я провел всевозможные сравнения. Кто пробегает стометровку быстрее: те, кто пил воду из-под крана, или те, кто пил бутилированную воду? Кто больший фанат Бейонсе: те, кто пил бутилированную воду, или те, кто пил смесь? И так далее. Это исследование заняло у меня восемь месяцев.

Да нет, конечно. Я заполнил таблицу с помощью генератора случайных чисел и проделал 50 экспериментов за несколько минут.

Все «респонденты» в принципе не отличались друг от друга: одна и та же программа выдавала произвольные наборы чисел. Все отличия были чисто случайными. Тем не менее три группы и четыре переменные дали 18 «значимых» результатов в 50 экспериментах.

Фантомы, которые впустило p-значение, составили не 1/20, а больше трети.

Есть и другие способы взломать p-значение. В 2011 году анонимный опрос психологов показал, что они практикуют «сомнительные исследовательские методы»[176].

Даже самые невинно выглядящие из этих собак могут укусить. Например, сбор дополнительных данных в том случае, если вы не добились желаемого результата с первого раза. Звучит безобидно, правда?

Чтобы оценить силу этого хакерского p-взлома, я смоделировал на компьютере исследование «Кто лучше играет в орлянку?». Проще простого: два «человека» (читай: столбцы чисел) подбрасывают десять монет. Затем мы проверяем, у кого больше решек. Проведя 20 экспериментов, я добился значимого результата один-единственный раз. Вы ожидаете от p-значения именно этого: 20 попыток, один фантом. Сердце бьется ровно.

Затем я пустился во все тяжкие. Подбросьте еще одну монету. И еще одну. И еще одну. Остановите исследование, если p-значение опустится ниже 0,05 (или мы безуспешно подбросим тысячу монет).

Результат преобразился. На сей раз 12 из 20 экспериментов дали значимый результат[177].

Такие фокусы не вполне научны, но это и не бесстыдное мошенничество. Три автора назвали такого рода методы в своей статье «стероидными препаратами научных исследований, которые искусственно повышают эффективность и порождают что-то вроде гонки вооружений, в которой добросовестные исследователи, соблюдающие правила, находятся в невыгодной позиции».

Есть ли способ выровнять игру?

4. Война с фантомами

Кризис, связанный с тиражированием фантомов, оживил старое соперничество между двумя бандами статистиков: частотниками и байесовцами.

Со времен Фишера приверженцы частотной вероятности имели превосходство. Их статистические модели основаны на нейтральности и минимализме. Долой субъективные суждения. Долой тенденциозность. При подсчете p-критерия нам плевать, какую гипотезу мы проверяем — безумную или надежную. Время субъективного анализа наступит позже.

Байесовцы{67} отвергли эту беспристрастность. Почему специалисты по статистике должны притворяться, что не видят различий между правдоподобными и абсурдными гипотезами, как будто все 0,05 созданы равными?

Байесовская альтернатива работает примерно следующим образом. Вы начинаете с предварительной оценки вероятности того, что ваша гипотеза верна. Мятные леденцы устраняют неприятный запах изо рта? Очень даже может быть. Мятные леденцы лечат кости? Крайне маловероятно. Вы формулируете эту оценку на математическом языке с помощью так называемой формулы Байеса. Затем, по итогам эксперимента, статистика поможет обновить предварительное суждение, сопоставляя прежние знания и новые данные.

Байесовцам безразлично, пользуемся ли мы условным фильтром фантомов, чтобы отсеять ложные результаты. Они заботятся о том, позволяют ли новые данные поколебать наши предварительные оценки.

Байесовцы чувствуют, что пробил их час. Они утверждают: режим приверженцев частотной вероятности потерпел крах и пришло время провозгласить новую эру. Поклонники частотной вероятности парируют: предварительные суждения слишком произвольны, чересчур уязвимы, дают широкие возможности для злоупотреблений. Они предлагают свои собственные реформы, например снижение порога p-значения от 0,05 (т. е. 1 из 20) до 0,005 (т. е. 1 из 200)[178].

Пока специалисты по статистике предаются размышлениям, наука не стоит на месте. Исследователи в области психологии начали медленный, сложный процесс борьбы с хакерскими взломами p-значения. Они составили манифест реформ во имя прозрачности: предварительная регистрация исследований; перечисление всех измеренных переменных; регламент, заранее предписывающий, когда прекращать сбор данных и в каких случаях исключать значения, которые резко выделяются на общем фоне. Все это означает: если ложноположительные результаты проскочили фильтр p-значения ниже 0,05, вы можете заглянуть в статью и ознакомиться с результатами 19 предыдущих неудачных попыток. Один эксперт сказал мне, что эти реформы существенно важнее, чем вопросы математической философии.

Между прочим, моя дипломная работа отвечает большинству из этих стандартов. Я перечислил все собранные переменные, не исключал резко выделяющиеся результаты и разъяснил, что анализ носит предварительный характер. Тем не менее, когда я показал эту главу Кристине, она заметила: «Забавно читать в 2018 году диплом десятилетней давности. Сегодня все мои студенты предварительно фиксируют свои гипотезы, размеры выборки и т. д. Насколько же мы выросли и как многому мы научились!»

Все это должно замедлить поток варваров, прорывающихся сквозь ворота. Однако еще остается проблема с теми варварами, что засели внутри цитадели науки. Есть всего один способ выявить их: повторные исследования.

Представьте, что тысяча человек предсказывают, как выпадут десять монет. Скорее всего, одна из догадок окажется верной. Но, прежде чем вы начнете щелкать селфи с новоиспеченным другом-экстрасенсом, нужно повторить эксперимент. Попросите его снова (и, возможно, еще пару раз) предсказать, как выпадут десять монет. Настоящий экстрасенс выдержит это испытание. Тот, кому просто повезло, сядет в лужу.

То же самое относится ко всем положительным результатам. Если вывод верен, повтор эксперимента в принципе должен привести к тому же выводу. Если вывод ложен, он рассеется, как мираж.

Повтор экспериментов — медленная и неблагодарная работа. Она требует времени и денег, но не ведет к сенсационным открытиям. Однако психологи понимают, что поставлено на карту, и начинают изгонять своих демонов. В 2015 году были опубликованы результаты нашумевшего проекта по тщательному повтору экспериментов ста психологических исследований[179]. Новостные заголовки запестрели информацией о том, что выводы 61 из них не подтвердились.

Мне кажется, что эта мрачная новость свидетельствует о прогрессе. Сообщество исследователей трезво вглядывается в зеркало и признает правду, какой бы ужасной она ни была. Теперь социальные психологи надеются, что представители других наук, например медики, последуют их примеру.

Наука никогда не утверждала свою непогрешимость или сверхчеловеческое совершенство. Всегда речь шла о здоровом скептицизме, проверке всех гипотез. В этой борьбе статистика — сильный союзник. Да, она позволяет ученым вырваться на передовую, но также помогает в случае необходимости отступить назад.

Глава 19. Таблицы результатов в пылу сражений

Когда мера не является мерой?

На третьем десятке лет я провел, наверное, около 5000 школьных уроков. Взрослые наблюдали не больше 15 из них. Даже в наше время подотчетности школ классная комната остается непрозрачным, тускло освещенным, малоизученным местом. Я понимаю, почему политики и посторонние отчаянно хотят заглянуть внутрь. И по-моему, будет увлекательно посмотреть их глазами, каким образом они пытались разглядеть внутреннюю работу школы и повлиять на нее.

1. Лучший учитель Америки

В 1982 году Джей Мэтьюс был главой лос-анджелесского отдела газеты The Washington Post[180]. По идее, это означало, что он освещает самые громкие сюжеты на западе Соединенных Штатов.

В действительности он взломал факультативы по матанализу в старших классах школы.

Изо дня в день Мэтьюс не мог удержаться от того, чтобы не наведаться в класс учителя Хайме Эскаланте в западном Лос-Анджелесе. Этот иммигрант из Боливии был буквально природной стихией. Ироничные издевательства, жестокая любовь, испанские хлесткие фразы и неослабевающие надежды Эскаланте помогли студентам средней школы Гарфилда достичь беспрецедентных результатов при сдаче экзамена программы Advanced Placement (AP){68} по матанализу. Его ученики не происходили из богатых и благополучных семей. Мэтьюс опросил 109 учеников и выяснил, что лишь у 35 из них родители окончили среднюю школу. Тем не менее эти подростки успешно сдавали один из самых сложных школьных экзаменов в США. В 1987 году больше четверти всех граждан США родом из Мексики, сдавших AP по матанализу, составляли выпускники школы, где преподавал Эскаланте. К 1988 году Эскаланте стал самым известным учителем страны: его имя упомянул в предвыборных дебатах Джордж Буш — старший; Эдвард Джеймс Олмос сыграл его в фильме «Выстоять и добиться» (и получил «Оскар» за эту роль); Мэтьюс опубликовал о нем книгу «Эскаланте: лучший учитель в Америке».

Мэтьюс усвоил от Эскаланте не только правило дифференцирования частного двух функций, но и еще один ясный принцип. Школьники добиваются успехов, если их стимулировать. Хороший учитель ставит высокую планку. И вот, надеясь ранжировать школы по этой шкале, Мэтьюс прибегнул к помощи статистики. Какие школы — вне зависимости от социально-экономических и демографических факторов — по-настоящему строго испытывают своих учеников? Он решил не учитывать средний балл AP. Он полагал, что статистика, которая определяет как лучшие лишь те школы, где самых сильные ученики учатся по программам AP, игнорирует подавляющую часть обычных школьников. Ситуация, в которой школы пытаются отгородить учеников от интеллектуальных вызовов, казалась Мэтьюсу глубоко неправильной. Он хотел измерить охват программы AP, а не ее эксклюзивность.

Он также не хотел подсчитывать среднее число успешно пройденных экзаменов AP. По его мнению, этот показатель коррелировал с социально-экономическим статусом. Если вы учились по программе AP, вы были лучше подготовлены к колледжу вне зависимости от того, завалили вы экзамен или нет. Опыт оказывается важнее баллов.

В конце концов Мэтьюс выбрал еще более простой показатель: среднее количество экзаменов по программе AP (и других экзаменов, чьи результаты засчитываются при поступлении в колледж), которые в принципе выбирает выпускник данной школы. Он учитывал не баллы, а попытки. Мэтьюс назвал этот рейтинг «Индексом вызовов». Список школ-лидеров был опубликован в журнале Newsweek в 1998, затем в 2000 и в 2003 году (тогда этот сюжет попал на обложку).

С самого начала этот рейтинг вызывал разногласия. «Откровенная насмешка»[181], — сказал один читатель Newsweek. Некий профессор педагогики назвал этот перечень «медвежьей услугой тысячам школ, где учителя, преданные долгу, хлебы железные глодают, обеспечивая достойный уровень образования миллионам молодых людей, которые по многим уважительным причинам никогда не будут учиться по программам AP или IB».

Прошло 20 лет. Этот рейтинг ежегодно публикуется в газете The Washington Post, и Мэтьюс отстаивает свою методику. «Я составляю рейтинг, — пишет он, — с надеждой, что он вызовет споры и побудит размышлять о проблемах, которые затрагивает»[182].

Возможно, я наивная рыбка, но я заглотил эту наживку. Я думаю, что «Индекс вызовов» поднимает глубокие вопросы — они касаются не только педагогических приоритетов, но и перипетий количественной оценки хаотичного, многогранного мира. Какие показатели мы должны использовать — сложные или простые? Как найти компромисс между изощренностью и прозрачностью? И прежде всего: статистика наподобие «Индекса вызовов» пытается измерить мир как он есть или преобразить его?

2. Хоррор-шоу кривых показателей

Люди делятся на две категории: те, кому нравятся грубые дуализмы, и все остальные. И теперь, когда я сбросил с себя маску и вы поняли, что я принадлежу к первой категории, позвольте мне ввести классификацию статистических показателей, которая мне представляется полезной: есть окна и есть табло результатов.

Окно — это число, благодаря которому можно увидеть проблеск реальности. Оно не входит ни в одну систему стимулирования. Оно не помогает снискать аплодисменты и не чревато наказаниями. Это приблизительные, фрагментарные, несовершенные данные, но все же полезные любопытному наблюдателю. Представьте себе психолога, который просит испытуемого оценить уровень своего счастья по шкале от 1 до 10. Это всего лишь грубое упрощение; только впавшая в абсолютную безнадежность человеческая единица поверит, что счастье можно выразить одним числом.

Или представьте, что исследуете уровень здоровья в глобальном масштабе. Невозможно количественно оценить физическое и психическое благополучие каждого гражданина. Вместо этого вы смотрите на сводную статистику: ожидаемая продолжительность жизни, детская бедность, потребление печенья Pop-Tarts на душу населения. Это полезное окно в реальность, хотя оно не позволяет увидеть ее целиком.

Второй вид показателей — это табло результатов. Оно сообщает определенный, окончательный результат. Это не отстраненное наблюдение, а обобщенное суждение, система стимулирования, несущая определенные последствия.

Представьте себе рейтинг баскетбольных команд. Конечно, плохие команды иногда берут верх над хорошими. Но, если вы назовете рейтинг ошибочным показателем качества команды, люди станут смотреть на вас искоса. Вы не для того набираете очки, чтобы доказать качество своей команды; вы повышаете качество команды, чтобы набрать больше очков. Табло результатов — это не грубый показатель, а сам желанный результат.

Или рассмотрим суммарную прибыль от продаж. Чем больше это число, тем лучше сделана работа. И точка.

Одни и те же статистические показатели могут быть или окном, или табло результатов — в зависимости от того, кто смотрит. Будучи учителем, я полагаю, что экзаменационные оценки — это окна. Из них открывается вид на истинное положение вещей, но они никогда не позволят охватить взглядом весь спектр математических навыков (гибкость, изобретательность, пристрастие к «синуциидальным» каламбурам и т. д.). Тем не менее для школьников экзаменационные оценки — это табло результатов. Это не зашумленный сигнал итогового результата в туманной долгосрочной перспективе, а сам итоговый результат.

Многие статистические показатели представляют собой полезные окна, но неэффективные табло результатов. Пример — история с британской службой скорой помощи[183]. В конце 1990-х правительство Великобритании ввело ясный показатель: доля выездов на звонок в скорую помощь менее чем за 8 минут. Цель: 75 %.

Отличное окно. Чудовищное табло результатов.

Во-первых, имела место подтасовка данных. В записях значилось множество выездов за 7 минут 59 секунд; почти ни одного за 8 минут и 1 секунду. А во-вторых, что гораздо хуже, эта разнарядка породила безумные выходки. Некоторые бригады просто-напросто бросали свою карету скорой помощи, пересаживались на велосипеды и успевали доехать в течение 8 минут несмотря на городской транспортный поток. На мой взгляд, оснащенная необходимой аппаратурой машина для перевозки пациентов, которая приезжает через 9 минут, существенно полезнее, чем бригада в белых халатах на велосипедах через 8 минут, но табло результатов со мной не согласно.

Позвольте развить эту тему в серии скетчей, которую я окрестил «Хоррор-шоу кривых показателей»:

КЛИКИ

ВРЕМЯ ОТВЕТОВ НА ВЫЗОВ

ЧТО ТАКОЕ БЕДНОСТЬ?

ШКОЛЬНЫЕ УСПЕХИ

ДИЕТА

ДОХОДЫ ОТ ПРОДАЖ

РЕЙТИНГ УНИВЕРСИТЕТОВ

ПРАКТИКА ПРИЕМА НА РАБОТУ

ШАНС ВЫЖИТЬ

ДОБАВЛЕННАЯ СТОИМОСТЬ УЧИТЕЛЯ[184]

Возвращаясь к Мэтьюсу и Newsweek, я хочу ответить на естественный вопрос: к какой категории относится «Индекс вызовов»?

3. Окно или табло результатов?

В 1998 году в предисловии к первой публикации рейтинга Мэтьюс пишет:

Практически все профессиональные педагоги скажут вам, что составление рейтингов школ контрпродуктивно, ненаучно, оскорбительно и ошибочно. Все возможные критерии оценки будут узкими и искаженными. Я принимаю все эти аргументы. Однако, будучи репортером и отцом, я думаю, что в некоторых обстоятельствах система рейтингов, вне зависимости от того, насколько она ограниченная, может быть полезной[185].

Ключевое слово — «ограниченная». Школам присуща своеобразная сложность, равно как экосистемам или мыльным операм в дневном телеэфире. Если вы используете для оценки такого рода сложных структур один-единственный показатель, у вас есть два основных варианта: (1) составить запутанную формулу, куда входит много переменных; или (2) выбрать одну переменную, простую для восприятия.

По этому поводу, будучи американским неандертальцем, я вспоминаю наш футбол. Один простой способ измерить успех квотербека состоит в том, чтобы посчитать долю завершенных пасов. Сколько раз мяч был пойман после его паса? В большинстве сезонов лидер лиги достигает результата 70 %; средний результат по лиге близок к 60 %.

Подобно многим окнам, этот показатель пребывает на границе между простым и упрощенным. Осторожный 5-ярдовый пас уравнивается с 50-ярдовым, меняющим весь ход игры, раз в обоих случаях мяч пойман. Пас прошел впустую? Немного досадно. Мяч перехвачен? Катастрофа. Но формально оба раза мяч просто не пойман. Тем не менее, хотя вся статистика по этому показателю неполноценна, по крайней мере, эта неполноценность прозрачна. Если вы сообщаете о доле завершенных пасов, вас нельзя винить в распространении ложной рекламы.

На другом конце спектра расположен рейтинг пасующего — ошеломительный Франкенштейн, учитывающий попытки пасов, успешные пасы, ярды, тачдауны и перехваты[186]. Этот показатель может принимать значения от 0 до 158⅓. Он четко коррелирует с победой команды, и никто среди моих знакомых еще не осмеливался утверждать, что понимает, как этот рейтинг вычисляется и каковы его слепые пятна.

Таков компромисс: сложность против прозрачности. Рейтинг пасующего против доли завершенных пасов. Для меня очевидно, что Мэтьюс относится к тем людям, которые любят вычислять своего рода долю завершенных пасов. В предисловии к рейтингу, опубликованному в Newsweek в 2009 году, он пишет:

Одной из сильных сторон рейтинга является узость критерия. Любой может понять простую арифметику школьного «Индекса вызовов» и здраво обсудить ее, в отличие от рейтингов вроде «Лучшие колледжи Америки» в U. S. News & World Report, в которых учитывается так много факторов, что я не в силах их понять[187].

Все это делает его «Индекс вызовов» грубым показателем: лучше, чем ничего, и еще лучше, что все недостатки налицо. Честное окно.

Но когда вы публикуете ваши статистические данные под заголовком «Лучшие школы Америки» в журнале, который читает вся страна, — ну, это чертовски похоже на табло результатов.

«Рейтинг зажил своей собственной жизнью, — писал комитет Государственного совета по исследованиям в 2002 году. — Стало настолько важным попасть в топ-100 учебных заведений, что руководство некоторых конкурентоспособных школ, не включенных в этот перечень, публиковало оправдательные дисклеймеры на своих веб-сайтах»[188].

«Больше всего шумят родители, — сказал один учитель из Милуоки (штат Висконсин). — Ваш статус в сообществе растет, если вы предлагаете больше факультативов AP и имеете шансы попасть в топ-100, который публикует Newsweek»[189].

Одно из свойств плохих табло результатов заключается в том, что ими легко манипулировать. В случае «Индекса вызовов» вы можете принудить школьников посещать факультативы AP. «Поскольку рейтинг учитывает попытки сдать экзамен, а не оценки, — писала Валери Штраус, коллега Мэтьюса из The Washington Post, — школы просто запускают в экзаменационный трубопровод максимально возможное число учеников»[190].

Другая проблема в операции деления. Ради удобства Мэтьюс поставил в знаменатель число выпускников старших классов, а не всех учеников. Если предположить, что все старшеклассники оканчивают школу спустя четыре года после поступления, с математической точки зрения разницы нет. Но при высоком уровне отчислений формула дает извращенный результат. Если три школьника сдают экзамен AP, но затем двух из них отчисляют, то мэтьюсовская математика подразумевает, что оставшийся ученик сдал три экзамена AP.

В общем, вот один из способов рассказать историю «Индекса вызовов». Вначале он был хорошим окном. Учитывая не оценки, а количество экзаменов, он показывал не достаток и привилегированность, а более глубокую характеристику: встречаются ли школьники с интеллектуальными вызовами. Безошибочно? Нет. Ценно? Да.

Затем его влияние выросло. Речь шла уже не об одиноком журналисте, выделяющем школы, где от учеников ждут большего, а об авторитетном новостном журнале, венчающем «лучшие» школы. Это извратило стимулы и породило странные результаты, и хорошее окно превратилось в плохое табло результатов.

Казалось бы, мы добавили последнюю вишенку на торте в этой истории и можем вернуться к просмотру футбольных матчей и/или подготовке к экзаменам AP. Однако тогда мы упустим интереснейший вираж сюжета — и глубинную подоплеку игры, которую затеял Мэтьюс.

4. Племенной примат спущен с привязи

Как правило, потребительские рейтинги помогают совершить определенный выбор: какой автомобиль приобрести, в какой университет поступить, какой фильм посмотреть. Но неясно, имеет ли эта логика отношение к рейтингу всех школ в стране. Неужели я запланирую переезд из Флориды в Монтану вместе со своей семьей, чтобы мой ребенок получил образование в колледже, одобренном в Newsweek? Консультируетесь ли вы со статистическими сводками, выбирая место жительства: Спрингфилд в Иллинойсе или Спрингфилд в Массачусетсе? Для кого именно предназначен «Индекс вызовов»?[191]

Мэтьюс утверждает: все просто. Он составляет рейтинг ради самого рейтинга. «Мы не в силах не сверяться с рейтингами, — говорит он. — Неважно, о чем идет речь: внедорожники, магазины мороженого, футбольные команды, дозаторы удобрений»[192]. В 2017 году он писал: «Все мы племенные приматы, бесконечно завороженные иерархией»[193]. «Индекс вызовов» ставит своей целью использовать эту причудливую особенность психологии приматов, чтобы обратить ее в орудие повышения конкурентоспособности школ.

Критики говорят, что рейтингом легко манипулировать, но Мэтьюс не возражает. На самом деле в этом-то и есть весь смысл: чем больше учеников запишутся на экзамен, тем лучше. Школы, которые побуждают, умасливают и поощряют учеников к этому шагу, не жульничают, они делают своим ученикам добро. Он даже доволен титулом «лучшие» и говорит в интервью The New York Times, что это «в нашем обществе значение этого термина весьма эластично»[194].

В качестве обоснования своей точки зрения Мэтьюс любит цитировать исследование 2002 года, охватившее 300 000 школьников в Техасе[195]. Сосредоточившись на тех, кто набрал низкие баллы на SAT, исследователи обнаружили, что ученики, получившие два балла на экзамене AP (то есть завалили его), позже превзошли своих сверстников, которые вообще не пытались сдать AP. Само усилие — даже без проходного балла — похоже, закладывало основу успеха в колледже[196].

Все это переворачивает повествование с ног на голову. Судя по всему, Мэтьюс полагает, что «Индекс вызовов» — плохое окно, но в то же время такое табло результатов, в котором нуждается нация.

К счастью или к несчастью, влияние рейтинга невозможно отрицать. Мэтьюс постоянно подсчитывает число школ с индексом 1 — одна попытка сдать экзамен AP на одного ученика[197]. В 1998 году их доля по всей стране составляла всего 1 %. В 2017-м она возросла до 12 %. В Вашингтоне (округ Колумбия), средоточии влияния Мэтьюса (в конце концов, он пишет для The Washington Post), их больше 70 %.

Для Мэтьюса «Индекс вызовов» был прицельной атакой на вялый и предвзятый статус-кво: точку зрения, согласно которой школы, где учится много богатых детей, хороши, а школы, где учится много бедных детей, плохи[198]. Он с гордостью перечисляет школы с высоким рейтингом, где учатся дети из малообеспеченных семей. Он отмахивается от возражений: а как же дети из Истсайд Хай Скул в Гейнсвилле, штат Флорида, многие из которых читают хуже своих сверстников, или катастрофическое количество детей, бросающих школу, в Локк Хай в Лос-Анджелесе? В ответ на это Мэтьюс говорит, что эти школы заслуживают признания за свои усилия, а не осуждения за трудности, с которыми они сталкиваются.

Во всех статистических методах закодированы определенные взгляды на мир, который они стремятся измерить. В случае «Индекса вызовов» эти взгляды продиктованы воспоминаниями о Хайме Эскаланте и надеждами на распространение его педагогического подхода в масштабах всей страны. Ваше отношение к методу Мэтьюса в конечном итоге сводится к вашему мнению относительно его взглядов[199].

Глава 20. Измельчители книг

В библиотеке жизни бродит зверь — химера под названием «цифровые гуманитарные науки». У нее тело литературного критика, голова статистика и растрепанная шевелюра Стивена Пинкера{69}. Кое-кто полагает восторженно, что это всполох света в темной пещере. Другие презирают ее, как слюнявую собаку, вонзившую клыки в первое издание «Госпожи Бовари». Чем же занимается это существо? Просто превращает книги в набор данных.

1. Что теоретически может пойти не так?

В прошлом году я прочел замечательную книгу Бена Блатта «Любимое слово Набокова — лиловый»[200], в которой тексты великих прозаиков анализируются с помощью статистических методов. Первая глава («Будьте умеренны») исследует известное клише — совет начинающим писателям: «Избегайте наречий». Стивен Кинг, например, однажды сравнил наречия с сорняками и предупредил: «Дорога в ад вымощена наречиями». Итак, Блатт подсчитал количество наречий, оканчивающихся на — ly{70} (firmly — «непоколебимо», furiously — «яростно» и т. д.), в произведениях различных авторов. Вот что он обнаружил:

Пристрастие к наречиям, свойственное Джейн Остин, чьи романы входят в золотой фонд англоязычной прозы, казалось бы, убедительно опровергает такую точку зрения. Однако затем Блатт указал на забавную закономерность. Если взять весь корпус произведений того или иного автора, реже всего наречия встречаются в их величайших романах.

(Как измерялось «величие», рассказано в примечании[201].)

В каком романе Фрэнсиса Скотта Фицджеральда реже всего встречаются наречия? «Великий Гэтсби». А у Тони Моррисон? «Возлюбленная». Как насчет Чарльза Диккенса? «Повесть о двух городах», на втором месте «Большие надежды». Разумеется, есть исключения (Набоков чаще всего употребляет наречия в «Лолите», а эта его книга снискала, пожалуй, наибольшее признание), но тенденция ясна. Чем реже встречаются наречия, тем яснее и сильнее проза. Высокая частотность наречий свойственна рыхлым текстам второго эшелона.

Мне вспоминается, как однажды в колледже мой сосед по комнате Нилеш с улыбкой заметил: «Знаешь, что мне по душе? Ты очень часто говоришь „теоретически“. Это одно из твоих фирменных словечек».

Я оцепенел. Я задумался. И в тот момент слово «теоретически» исчезло из моего лексикона.

Нилеш оплакивал эту потерю месяцами, а я боролся с чувством вины за то, что предал сразу двух друзей: и слово, и соседа. Я ничего не мог с собой поделать. Призрак в моем мозгу, превращающий смыслы в слова, действует инстинктивно и расцветает в тени. Привлечение внимания к определенному слову отпугнуло призрака. Он пошел на попятную.

Когда я ознакомился со статистикой Блатта, ситуация повторилась. С тех пор я стал параноидально избегать наречий, превратился в неутомимого беглеца, опасаясь, что наречия проникнут в мою прозу, словно пауки залезут в рот, пока я сплю. Я признаю, что это ходульный, неестественный подход к языку, не говоря уже о том, что это наивный подход к статистике: корреляция еще не означает причинно-следственной связи. Но я ничего не могу с собой поделать. Таковы посулы и опасности цифровых гуманитарных наук, таковы они все до мозга костей (кстати, думаем-то мы другим мозгом, головным). Если рассматривать литературу всего лишь как наборы слов, то она, безусловно, содержит огромный массив данных. Но наборы слов — это еще не литература. Статистика устраняет контекст. Ее анализ начинается с уничтожения смысла. Будучи поклонником статистики, я доверяю ей. Будучи любителем книг, я содрогаюсь. Возможен ли компромисс между роскошью литературы и ледяной аналитической силой статистики? Или, как я часто опасаюсь, они прирожденные враги?

2. Да здравствуют статистики, борцы за демократию!

В 2010 году 14 ученых (под руководством Жан-Батиста Мишеля и Эреза Либермана Эйдена) опубликовали статью под названием «Количественный анализ культуры на основе миллионов оцифрованных книг»[202], вошедшую в горячую десятку поисковой выдачи. Всякий раз, прочитывая первую фразу этой статьи, я не могу удержаться от возгласа: «Че-е-е-е-ерт!» Она начинается так: «Мы создали корпус оцифрованных текстов, включающий около 4 % всех когда-либо опубликованных книг».

Че-е-е-е-ерт!

Как и все статистические проекты, это исследование потребовало кардинального упрощения. Первый шаг авторов заключался в том, что они разъяли весь набор данных (пять миллионов книг, около 500 миллиардов слов) на так называемые 1-граммы. Они поясняют этот термин: «`1-грамма` — это набор символов, не прерываемых пробелом: слова („банан“, „скуби-дайвинг“), но, кроме того, числа (3,14 159) и опечатки („чересчурр“)».

Предложения, абзацы, тезисы — все это исчезает. Остаются лишь мельчайшие фрагменты текста.

Дабы исследовать данные глубже, авторы составили перечень 1-грамм, встречающихся с частотой не менее чем один раз на миллиард. Если оценить начало, середину и конец XX столетия, мы увидим, что словарный запас англоязычных авторов растет.

Выяснилось, что реальные слова на 1900 год составили меньше половины 1-грамм (по большей части это оказались числа, опечатки, аббревиатуры и т. д.), в то время как на 2000 год больше двух третей 1-грамм были именно слова. Проведя ручной подсчет в избранных фрагментах корпуса, авторы установили общее количество английских слов на каждый год.

Затем, сопоставив массив 1-грамм с двумя популярными толковыми словарями, они обнаружили, что лексикографы с трудом успевают следить за разрастанием массива слов и держать руку на пульсе. В частности, словари упускают большую часть редких 1-грамм.

В тех текстах, которые читаю я, эти слова, не входящие в словари, почти не встречаются. Причина в том, что эти слова… ну… исключительные. Язык заселен тьмой никому не известных конструктов, встречающихся с частотой один раз на сто миллионов. В целом, по оценке авторов, «52 % всего английского лексикона (большинство слов, встречающихся в англоязычных книгах) состоят из лексической „темной материи“, упущенной в стандартных словарных статьях». Лексикографы просеивают тысячи тонн словесной руды, пропуская драгоценные камни наподобие «slenthem» (яванский металлофон).

Изучение лексикона было всего лишь разминкой для этих исследователей. Авторы продолжили изучать эволюцию грамматики, перепады популярности словоупотребления, признаки цензуры и переменчивые закономерности исторической памяти. Все это изложено лишь на дюжине страниц; в основном в статье представлены результаты отслеживания частотности тщательно выбранных 1-грамм.

У читателей отвисли челюсти. Редакция журнала Science, понимая масштабы происходящего, выложила статью в открытый доступ. «Новое окно в культуру», — провозгласила газета The New York Times[203].

Литературоведы склонны изучать привилегированный канон, тонкий слой элитных авторов, требующих глубокого, сосредоточенного анализа. Морррисон. Джойс. Кот, который улегся на клавиатуру Джойса и набрал «Поминки по Финнегану». Но исследователи выбрали иную модель: обширнейший корпус, в котором внимания заслуживает весь массив книг, от знаменитых до малоизвестных. Статистике удалось свергнуть олигархов и установить демократию.

Теперь нет причин, по которым оба подхода не могут идти рука об руку. Внимательное чтение и статистика. Канон и корпус. Тем не менее такие фразы, как «высокоточное измерение»[204], указывают на конфликт. Может ли смысл литературы быть измерен с высокой точностью? Насколько он в принципе поддается измерению? Или эти новые мощные инструменты уводят нас прочь от неведомых глубин искусства и мы просто забиваем гвозди микроскопом?

3. Эта фраза написана женщиной

Я склонен думать, что проза андрогинна. Мои тексты андрогинны, как морская губка, тексты Вирджинии Вулф — как галактика или божественное откровение. Но сама Вирджиния в книге «Своя комната» высказывает другую точку зрения[205]. К 1800 году, утверждает она, преобладающий литературный стиль стал приютом мужских, а не женских мыслей. В темпе и структуре самой прозы было нечто гендерное.

Эта идея крутилась у меня в голове несколько месяцев, пока я не набрел на онлайн-проект под названием «Под волшебным соусом»[206]. Помимо прочих алгоритмических подвигов, программа может прочесть выдержки из ваших текстов и с помощью таинственного анализа идентифицировать ваш пол.

Я обязан был попробовать.

В интернет-угаре я потратил час на копипаст 25 записей в блоге, написанных с 2013 по 2015 год[207]. В итоге результаты выглядели следующим образом:

Поскольку команда проекта «Под волшебным соусом» сохраняет свою методику в секрете, я попытался разведать, каким образом может работать этот алгоритм. Он строит схему моих предложений? Вынюхивает скрытую патриархальность моих чувств? Проникает в мои мысли (полагаю, на это была способна Вирджиния Вулф), читая в книгах, словно в душах?

Нет. Скорее всего, он просто смотрит на частотность слов.

В статье «Автоматизированная гендерная классификация письменных текстов», опубликованной в 2001 году, три исследователя ухитрились добиться 80 % точности, отличая авторов-мужчин от авторов-женщин, просто за счет подсчета частотности употребления нескольких простых слов[208]. Более поздняя статья, озаглавленная «Пол, жанр и стиль письма в официальных письменных текстах», содержит изложение этого отличия в простых терминах[209]. Во-первых, мужчины используют больше определяющих слов при существительных (определенный и неопределенный артикль, «некоторый», «самый» и т. д.). Во-вторых, женщины используют больше местоимений («мне», «он сам», «наш», «они» и т. д.).

Даже частотность одного-единственного невинного слова «ты» дает ключ к пониманию пола автора:

Точность системы особенно впечатляет, если учесть ее абсолютную простоту. Этот подход игнорирует весь контекст, весь смысл, чтобы сосредоточиться на словесных щепках. Блатт отмечает, что в соответствии с этой методикой фраза «Эта фраза написана женщиной», скорее всего, будет классифицирована как написанная мужчиной. Если вы посмотрите шире и будете учитывать все слова, а не только крошечные вспомогательные, результаты станут стереотипными. Когда компания по сбору данных под названием CrowdFlower обучила алгоритм определять пол пользователей Твиттера, он выдал следующий перечень слов, позволяющих предсказать пол[210]:

В книге «Любимое слово Набокова — лиловый» Бен Блатт приводит свои изыскания по поводу маркеров пола автора в классической литературе:

Похоже, программа «Под волшебным соусом» тоже использует такого рода подсказки. Когда математик Кэти О’Нил опробовала этот алгоритм на текстах мужчин о моде, они определились как женские на 99 %. А тексты женщин о математике оказались якобы на 99 % мужскими. Три текста самой О’Нил оказались мужскими на 99 %, 94 % и 99 %. «Моя выборка мала, — пишет она, — но я готова поспорить: эта модель основана на том стереотипе, что можно определить пол автора по выбранной им теме»[211].

Несмотря на то что эти алгоритмы неточны, у меня по-прежнему холодок бежит по коже. Похоже, маскулинность настолько пронизала мои мысли, что алгоритм может выявить мой пол двумя независимыми путями: определив, насколько часто я использую те или иные местоимения или насколько нежно я привязан к Евклиду.

Я отдаю себе отчет, что в некотором роде все это оправдывает мнение Вирджинии Вулф[212]. Она видела, что мужчины и женщины живут в разных мирах, и верила: борьба за то, чтобы дать голос женщинам, должна начаться на всех уровнях, вплоть до построения фразы. Грубая статистика подтверждает эту точку зрения: женщины пишут иначе, чем мужчины, и выбирают другие темы. И все же я немного удручен. Если тексты Вирджинии Вулф свидетельствуют о ее женственности, то мне нравится думать, что это связано с ее мудростью и чувством юмора, а не с низкой плотностью определителей при существительных. Когда Вирджиния Вулф разграничивает мужскую и женскую прозу, возникает ощущение, что ты обратился к проверенному врачу. Когда то же самое проделывает алгоритм, кажется, что тебя обыскивают в аэропорту.

4. Дом, кирпичи и известь

«Записки федералиста», написанные в 1787 году, помогли задать американскую форму правления. Они полны политической мудрости, изощренной аргументации и неустаревающих афоризмов («зрелище смут и раздоров» — вы оценили?). Это могло бы стать убойной строчкой в резюме, но есть одна загвоздка.

Авторы не подписали свои имена.

Историки смогли установить, что 43 письма написаны Александром Гамильтоном, 14 — Джеймсом Мэдисоном, пять — Джоном Джеем и еще три письма написаны в соавторстве. Однако оставалось тайной, кто авторы еще 12 писем. Гамильтон или Мэдисон? Даже два века спустя головоломка не была разгадана.

Наступили 1960-е годы, и на сцене появились два специалиста по статистике: Фредерик Мостеллер и Дэвид Уоллес[213]. Фред и Дейв осознали всю тонкость проблемы. Предложения, написанные Гамильтоном, состояли в среднем из 34,55 слов; написанные Мэдисоном — в среднем из 34,59 слов. «По некоторым параметрам, — пишут исследователи, — авторы почти что близнецы». И дальше они сделали шаг, который совершают все специалисты по статистике, когда сталкиваются с изощренной проблемой.

Они порезали «Записки федералиста» на мелкие куски[214].

Контекст? Неважен. Смысл? Уничтожен. Пока «Записки» оставались набором текстов отцов-основателей, они были бесполезны. Они должны были стать клочками бумаги, совокупностью тенденций — иными словами, набором данных.

Даже после этого большинство слов оставались бесполезными. Их частотность зависела не от автора, а от темы. Например, «война». «Когда речь шла о вооруженных силах, частота предсказуемым образом была высокой, — пишут Фред и Дэйв. — Когда речь шла о выборах — низкой». Они присвоили таким словам статус «контекстуальные» и предприняли все усилия, чтобы избавиться от них. Они были слишком осмысленными.

Их поиски лишенных смысла слов увенчались успехом, когда они взялись за предлог upon («на основании»), который Мэдисон не употреблял почти никогда, а Гамильтон при каждом удобном случае:

Вооруженные этими данными, Фред и Дейв смогли свести каждого автора к чему-то вроде колоды карт, раздающей те или иные слова с предсказуемой вероятностью. Затем, отследив частотность определенных слов в письмах с неустановленным авторством, они смогли узнать, из какой «колоды» взят каждый текст.

Метод сработал. Их вывод: «Практически наверняка эти 12 писем написаны Мэдисоном».

Полвека спустя эта технология стала стандартной. Она помогла установить авторство древнегреческой прозы, сонетов елизаветинцев и речей Рональда Рейгана. Бен Блатт применил этот алгоритм около 30 000 раз, используя 250 общеупотребительных слов, чтобы определить, кто из двух авторов написал определенную книгу. Он получил 99,4 % верных ответов.

Мой разум знает, что здесь нет подвоха. Но мои чувства бунтуют. Как можно понять книгу, измельчив ее на биты?

В 2011 году команда авторов из Лаборатории литературоведения Стэнфорда совершила ловкий кульбит: они идентифицировали уже не авторов, а жанры[215]. Они использовали два метода: анализ частотности употребления слов и более изощренный анализ на уровне предложений (под названием «Докускоп»). К их удивлению, оба метода позволили точно определять жанры текстов.

Присмотримся к фрагменту абзаца со страницы, которую компьютер счел наиболее «готической» во всем корпусе, включающем 250 романов:

Он шел по шатким плитам через двор, пока не достиг арки; здесь он остановился, ибо ему снова стало страшно. Однако, набравшись храбрости, он пошел дальше, все еще пытаясь следовать за той фигурой, и внезапно оказался в разрушенном зале, вид которого был более диким и пустынным, чем все увиденное им до сих пор. Охваченный непреодолимым ужасом, он направился обратно, но услышал ослабший измученный голос. Сердце замерло при этом звуке, его бросило в дрожь, и он был совершенно не в силах сойти с места. Звук, похожий на предсмертный стон, повторился…

У меня ползут мурашки по спине, и на то есть две причины. Во-первых, вся эта жуткая готика: разрушенные арки и предсмертные стоны. Во-вторых, жутковато, что компьютер распознал готическую атмосферу, даже не обратив внимания на слова «арка», «разрушенный» или «предсмертный стон». Он выделил этот отрывок на основе употребления местоимений, вспомогательных слов и глагольных конструкций.

Я нервничаю. Что такого знает алгоритм, чего не знаю я?

К моему облегчению, авторы высказали предположительный ответ. Нет ни одного элемента, позволяющего определить автора или жанр, ни одной уникальной черты, из которой следуют все остальные. Скорее проза имеет много отличительных черт, от галактической структуры романа до молекулярной структуры слогов. Статистические тенденции и глубокий смысл могут сосуществовать, живя бок о бок в одной и той же последовательности слов.

Большую часть времени я читаю ради архитектуры текста. Сюжет, тема, персонаж. Это высокоуровневая структура: аспекты, которые видны любому прохожему, но непроницаемы для статистики.

Если я присмотрюсь, то увижу кирпичную кладку. Клаузулы, конструкции предложений, оформление абзаца. Это микроуровневая структура, тщательно исследовать которую меня учили школьные учителя английского. Компьютер может научиться делать то же самое.

Есть и скрытая от глаз наноструктура: известь. Местоимения, предлоги, неопределенные артикли. Это строительный раствор, который скрепляет все вместе; он не заметен невооруженным глазом, но идеально подходит для химического статистического анализа.

Я знаю, что это всего лишь метафора, но призрак в моей голове говорит на языке метафор. Я воодушевленно подсчитал частоту употребления наречий в первой главе этой книги («Думать как математик»). Получилось 11 наречий на 1000 слов — почти как у Вирджинии Вулф, что я воспринял как благое знамение. Затем, не в силах удержаться, я убрал несколько наречий, пока их частота не снизилась до 8 на 1000 слов. Это уровень Хемингуэя и Тони Моррисона.

Я жульничал, и это было здорово.

Могут ли новые статистические методы гармонично сочетаться со старыми, более насыщенными, более человечными способами понимания языка? Да, теоретически.

V. На пороге

Сила одного шага

Люди с шагомером неплохо знают, сколько шагов совершают за день: 3000 в ленивый день, 12 000 — в активный день, 40 000, если весь день убегают от неторопливого медведя. (Вероятно, всего четыре или пять, если убегают от достаточно проворного.)

Этот способ подсчета затушевывает всем нам известную истину: не все шаги равноценны.

Математики различают два вида переменных. Непрерывные переменные могут изменяться на сколь угодно малую величину. Я могу выпить литр диетической газировки, или два литра, или любой другой разъедающий зубы объем в этих пределах. Небоскреб может вознестись на 300 м, или на 300,1, или на 300,0298517. Между любыми двумя значениями, вне зависимости от того, насколько близко они расположены друг к другу, всегда можно втиснуть промежуточное.

Напротив, дискретные переменные передвигаются скачками. У вас может быть один брат или двое, но не 1,25. Карандаш в магазине может стоить 50 центов или 51, но не 50,43871 цента[216]. Между соседними значениями дискретной переменной ничего нельзя втиснуть.

Жизнь — это курьезная смесь непрерывных и дискретных величин. Объем мороженого — непрерывная величина (и удовольствие оно приносит непрерывное), и все же оно подается в дискретных рожках. Качество собеседований при приеме на работу меняется непрерывно, и все же на каждое рассмотренное резюме поступает дискретное число предложений о работе (ноль или один). Скорость автомобилей непрерывна; ограничение скорости — конкретный дискретный порог.

Процесс преобразования может развить крошечные приращения до огромных изменений. Небольшое ускорение чревато штрафом за превышение скорости. Не вовремя — на собеседовании — начавшаяся икота может стоить вам работы. Желание заказать просто чуть-чуть больше мороженого вынуждает вас не по своей вине заказать бадью на 18 ложек под названием The BellyBluster.

Вот что происходит в мире, который превращает непрерывное в дискретное. На каждом жизненном пороге есть критический поворотный момент — ничтожно маленький шаг, способный изменить все.

Глава 21. Последняя крупица алмазной пыли

Около 250 лет назад экономист Адам Смит задался детсадовским вопросом: почему алмазы стоят намного дороже воды?[217]

Он сформулировал эту головоломку в ста словах, а затем потратил еще 13 000 слов на разработку теории цен, но так и не нашел решения.

Вообразите себя в шкуре инопланетного пришельца, и, вероятно, вы тоже придете в замешательство. Что за глупая планета — меньше ценит капли животворной H_2O, чем куски ограненного углерода? Неужели полезность и цена никак не связаны? Неужели люди просто неисправимо нелогичны?

Попытки ответить на эти вопросы преобразили экономику. Ученые начали свое путешествие в холистическом духе моральной философии и закончили безжалостной математической строгостью. Но в конце концов они нашли ответ. Хотите знать, почему мы назначаем более высокую цену за блестящие камушки, а не за живительную жидкость, благодаря которой функционируют наши почки?

Все просто. Подумайте о марже.

1. Пришла пора искать маржу, — сказал Леон Вальрас…

Классическая экономика продержалась около века, с 1770-х до 1870-х. На протяжении этого столетия блестящие умы помогли раздвинуть границы человеческого сознания. Но я не стану петь дифирамбы классической экономике — я хочу потешаться над ней. Экономисты-классики намертво вцепились зубами в идею, которая сейчас имеет привкус пыли и ошибки, — трудовую теорию стоимости[218].

Эта теория утверждает, что цена товара определяется трудом, затраченным на его изготовление. Дабы проверить эту предпосылку, давайте совершим путешествие в общество охотников и собирателей.

Охота на оленя занимает шесть часов, сбор корзины ягод — три часа. Согласно трудовой теории стоимости, ценность добычи в обоих случаях будет зависеть от одного-единственного фактора: не от дефицита, вкусовых качеств или текущих прихотей рациона, а от соотношения затраченного труда. Поимка оленя занимает в два раза больше времени, чем сбор корзины ягод, поэтому он будет стоить в два раза дороже.

Конечно, нам нужно больше входных данных, чем труд как таковой. Что, если для охоты на оленя нужны причудливые копья (их изготовление занимает четыре часа), а ягоды мы собираем в обычную корзину (ее можно сплести за час)? Тогда суммируем: в целом олень требует 6 + 4 = 10 часов труда, а корзина ягод 3 + 1 = 4 часа труда, поэтому стоимость оленя в 2,5 раза больше. Подобные поправки могут учитывать все входные данные, даже обучение работников.

Согласно этой теории, всё — это труд и труд — это всё.

Подобный взгляд на экономику предполагает, что сторона предложения устанавливает цену, а сторона спроса определяет количество проданных товаров. Казалось бы, вполне естественная логика. Когда я иду на рынок, чтобы купить оленье мясо и iPad, я не назначаю цены. Это прерогатива продавцов. Я выбираю лишь, совершать покупку или нет.

Привлекательно. Интуитивно ясно. И, по мнению лучших экспертов сегодняшнего дня, абсолютно ошибочно.

В 1870-е экономика пережила всплеск интеллектуального роста. Карасс{71} мыслителей, рассеянных по всей Европе, пришел к выводу, что туманного философствования недостаточно. Они стремились подвести под экономику более прочную основу. Индивидуальная психология. Осторожный эмпиризм. И самое существенное — строгая математика.

Новые экономисты бились над вопросом о дискретных и непрерывных величинах. В реальности я могу купить или один алмаз, или два, промежуточных вариантов нет. Мы совершаем дискретные покупки.

Прискорбно, потому что математике гораздо сложнее оперировать величинами, которые меняются спазматически и скачкообразно, в отличие от тех, которые растут плавно и непрерывно. Тогда, чтобы облегчить себе участь, новые экономисты допустили, что мы можем покупать любое количество того или иного продукта, вплоть до бесконечно малого приращения. Не цельный бриллиант, а крупицу алмазной пыли. Естественно, это упрощение, чрезвычайно полезная ложь.

Такое допущение открыло просторы для нового вида анализа. Экономисты начали размышлять о марже. Вместо вопроса, сколько в среднем стоит корзина с ягодами, встал другой: сколько стоит дополнительная корзина ягод или, еще лучше, какова стоимость одной дополнительной ягоды. Так занялась заря современной экономики. Позднее этот поворотный пункт назвали маржинальной революцией.

Среди лидеров этого движения были Уильям Стэнли Джевонс, Карл Менгер и неожиданный персонаж по имени Леон Вальрас{72}, которого один из комментаторов позже назвал величайшим экономистом всех времен и народов. Прежде чем получить этот титул, он обеспечил себе эклектичное резюме: учился на инженера, работал журналистом, клерком в железнодорожной компании, менеджером в банке, сочинял романтическую прозу. И вот однажды летним вечером 1858 года он отправился с отцом на судьбоносную прогулку. Пожилой папаша Вальрас{73}, должно быть, обладал нешуточным даром убеждения, потому что к ночи Леон преодолел охоту к перемене мест и решил посвятить себя экономике.

Экономисты-классики решали обширные, амбициозные вопросы о природе рынков и общества. Маржиналисты сосредоточили свое внимание на индивидуумах, принимающих мелкие решения по поводу маржи. Вальрас стремился объединить оба уровня анализа, построить широкое видение всей экономики на основе крохотных математических шагов.

2. О фермерах и маффинах мы поведем рассказ

Настало время ролевой игры. Мои поздравления: вам выпала роль фермера.

Но, я боюсь, вы обнаружите, как и все фермеры, что, чем большие площади земли вы возделываете, тем менее плодороден каждый дополнительный акр.

Почва неоднородна. Начав сельскохозяйственную деятельность, на первых порах вы выбираете самые урожайные, плодоносные участки. Поскольку постепенно вы исчерпываете лучшие возможности, каждый новый участок менее плодороден, чем предыдущий. В конце концов остаются только бесплодные каменистые клочки земли.

Эта идея родилась задолго до маржинализма[219]. Один экономист доклассической эпохи провел аналогию с механикой:

Плодородие почвы напоминает пружину, которая сжимается под воздействием дополнительного веса… Достигнув определенной величины… вес, который раньше сжимал пружину на три-четыре сантиметра, теперь едва ли сожмет ее на толщину волоса[220].

Маржиналисты совершили прорыв, перенеся это утверждение с сельского хозяйства на психологию человека. Например, просто поглядите, как я ем кукурузные маффины:

Возможно, все маффины созданы равными, но, когда я поглощаю их, этого не чувствуется. Чем больше я кусаю, тем меньше удовольствия приносит каждый новый укус. Вскоре они перестают насыщать и становятся тошнотворными.

Это относится не только к еде. Тот же принцип верен для всех потребительских товаров: шарфов, шкафов, даже романов Курта Воннегута. Сложно получать такое же дополнительное удовольствие от десятой единицы товара, как и от первой; польза каждого шага зависит от того, сколько шагов вы уже проделали. Сегодня экономисты называют это «законом убывающей предельной полезности», хотя я предпочитаю говорить «причина, по которой я не слишком-то наслаждался „Завтраком для чемпионов“».

Как быстро происходит спад? Ну, все зависит от ситуации. Ведущий маржиналист Уильям Стэнли Джевонс писал:

Функция полезности своя для каждой вещи и… для каждого индивидуума. Вы существенно быстрее пресыщаетесь сухим хлебом, чем вином, одеждой, изящной мебелью, произведениями искусства или, наконец, деньгами. И у каждого человека свои вкусы и потребности; удовлетворяя их, он почти ненасытен[221].

Этот пассаж не только говорит многое об Уильяме Стэнли Джевонсе, но и демонстрирует новую теорию экономического спроса. Люди принимают решения на основе предельной полезности.

Вообразите блистательную экономику всего с двумя видами товаров: маффины и кофе. Каким образом я должен распределить свои расходы? Каждый раз я задаю один и тот же вопрос: что принесет мне больше радости — если я пополню еще на один доллар маффинный или кофейный бюджет? Даже безмозглый любитель маффинов наподобие меня после десяти пирожных подряд наконец предпочтет заказать первую чашку кофе, и даже подсевший на кофе экономист после десятой чашки наконец захочет купить маффин.

Эта логика сводится к простому критерию: в идеальном бюджете последний по счету доллар, потраченный на тот или иной товар, приносит в точности одинаковое благо.

Озарение Вальраса ознаменовало новое, более психологичное основание экономики. Джевонс полагал, что «подлинная экономическая теория может быть достигнута только возвращением к великим истокам человеческой деятельности — ощущениям удовольствия и боли»[222]. Впервые ученые осознали, что экономика подразумевает не только зримый гроссбух с перечнем сделок, но и незримую психологию предпочтений и желаний.

Продвигаясь дальше, маржиналисты рассудили, что продавцы действуют в том же духе, что и потребители. Представьте, что на сей раз вам досталась роль владельца кофейного магазина. Сколько работников вы должны нанять?

Чем больше ваш бизнес идет в гору, тем все менее выгодно нанимать новых сотрудников. В конце концов настанет момент, когда дополнительные доходы от продажи кофе, полученные благодаря приему на работу нового сотрудника, не покроют расходы на его зарплату. Тогда прекратите наем персонала.

Эта логика помогает сбалансировать бюджет кофейного магазина. Бессмысленно закупать дюжину машин по приготовлению эспрессо, если вы не наймете достаточно работников, которые смогут с ними управляться, или вкладывать деньги в рекламу, если у вас недостаточно кофейных зерен, чтобы обслуживать новых клиентов. Каким образом можно гармонично распределить бюджет, учитывая все эти исходные данные? Просто: продолжайте увеличивать траты, пока не достигнете точки, когда очередной израсходованный доллар принесет всего один дополнительный доллар дохода. Если вы потратите меньше, то упустите потенциальную выгоду. Если вы потратите немного больше, прибыль начнет убывать.

В школе я узнал о зеркальной экономической симметрии между потреблением и производством[223]. Потребители покупают товары, чтобы извлечь максимально возможную пользу. Производители покупают ресурсы, чтобы получить максимально возможную прибыль. Каждый из них продолжает покупать, пока предельная полезность от очередной единицы товара не перестанет оправдывать затраты. За эту аккуратную параллельную структуру мы можем поблагодарить (или обвинить, если настроены против капитализма) маржиналистов.

3. Так почему стакан воды дешевле, чем алмаз?

Старая трудовая теория цен наполовину все-таки верна. В конце концов, добывать алмазы из кимберлитовых трубок существенно труднее, чем воду из колодцев. Тем не менее ключевой вопрос остается без ответа: зачем кому-нибудь обменивать огромную сумму денег на крошечное количество углерода?

А вы вообразите себя богачом. (Возможно, вы играли в эту игру раньше.) У вас уже есть вся необходимая вам вода. Ее достаточно, чтобы утолять жажду, принимать душ, поливать петунии и содержать аквапарк на заднем дворе. Потратить еще одну тысячу долларов на воду? Бесполезно.

А что, если купить на эту тысячу долларов алмаз? Оригинально! Блестяще! Как будто первая чашка кофе после одиннадцати маффинов кряду.

То, что верно для одного толстосума, еще более верно для всех толстосумов, вместе взятых. Для первого же доступного в наличии алмаза найдется алчный покупатель, готовый уплатить абсурдную цену (скажем, $100 000). Для второго алмаза — уже не настолько алчный (он готов уплатить лишь $99 500). Когда самые пылкие клиенты рассеются, придется снизить цену. Чем больше алмазов на рынке, тем меньше пользы от очередного алмаза.

На стороне предложения действует параллельный принцип. Если добыча первого алмаза обойдется в $500, то добыча второго — в $502, и так далее: каждый дополнительный алмаз добывать чуть-чуть дороже, чем предыдущий.

По мере роста рынка эти числа приближаются друг к другу. Шаг за шагом стоимость добычи увеличивается. Шаг за шагом польза от покупки падает. В конце концов они сходятся в точке рыночного равновесия, где цена устраивает обе стороны.

Да, первая чашка воды в экономике стоит существенно больше, чем первый драгоценный камушек. Но цены зависят не от первого и даже не от среднего приращения продаж. Они зависят от последнего приращения, последней крупицы алмазной пыли.

Прекрасная теория. Но она вызывает тот же вопрос, что и фактоид, чересчур хороший, чтобы оказаться правдой, или фотомодель с идеальной кожей на журнальной обложке: так ли это на самом деле? Действительно ли производители и потребители размышляют о марже?

Ну… нет. Процитирую Йорама Баумана, обладателя степени PhD, экономиста-стендапера, как он сам себя называет: «Никто не приговаривает в продуктовом магазине: „Я хочу купить апельсин. Я хочу купить еще один апельсин. Я хочу купить еще один апельсин…“»[224].

Маржинализм анализирует мыслительные процессы в человеческом сознании не глубже, чем теория эволюции описывает побуждения первых млекопитающих. Это экономическая абстракция, отсекающая детали реальности, чтобы создать полезную упрощенную схему. Мерой успеха теории является ее предсказательная сила — и в этом плане маржинализм триумфатор. Мы не всегда осознаем это, но с некоторой абстрактной точки зрения все мы созданы госпожой Маржой.

4. Маржинальная революция

Маржинальная революция стала историческим рубежом, точкой невозврата для экономики, которая в этот момент стала математической. Джон Стюарт Милль, последний великий экономист-классик, уже указывал на этот путь. «Правильная математическая аналогия — это уравнение, — писал он. — Спрос и предложение… будут уравнены»[225]. Вернемся к примеру с алмазным рынком. Если спрос превышает предложение, покупатели будут соревноваться, подталкивая цену вверх. Если предложение превышает спрос, продавцы будут соперничать, сбивая цену. «Конкуренция выравнивает цены», — лаконично сформулировал Милль.

Каким бы убедительным ни был анализ Милля, маржиналисты отвергли его из-за недостаточной математичности. «Если экономика в принципе обязана быть настоящей наукой, — писал Джевонс, — она должна не ограничиваться аналогиями, а строить суждения на основе настоящих уравнений». Или, как сказал Вальрас: «Почему мы должны упорно пользоваться повседневным языком, объясняя суть вещей наиболее громоздким и некорректным образом… как это неоднократно делал Джон Стюарт Милль… если то же самое можно сформулировать лаконичнее, точнее и яснее на языке математики?»[226]

Вальрас прогулялся неплохо. Его знаковая работа «Элементы чистой экономики» — математический шедевр. Обширная теория рыночного равновесия построена на четких постулатах. Словно чтобы доказать свою независимость от реальности, он посвящает более 60 страниц анализу наипростейшей экономической ситуации: два человека обмениваются определенным количеством товаров двух видов. Эта работа, беспрецедентно строгая и глубоко абстрактная, позже снискала похвалу как «единственная работа экономиста, которая выдержит сравнение с достижениями теоретической физики»[227]. Вальрас пришел бы в восторг от такого комплимента. После прогулки с отцом в тот вечер он преследовал одну основную цель: поднять экономику на уровень точной науки.

Теперь, когда прошло больше ста лет, это стоит проверить. Как работает математический рычаг для Вальраса и его клана?

К счастью или к несчастью, маржинальная революция приблизила экономику к науке в одном отношении: сделала ее менее доступной. Адам Смит и классицисты обращались к широкой (впрочем, образованной) аудитории. Вальрас обращался к математически подкованным специалистам. В значительной степени его подход победил: в аспирантуру по экономике сегодня предпочитают набирать скорее студентов с академической степенью в области математики и поверхностными знаниями в области экономики, чем студентов с экономическим образованием, но слабой математической подготовкой.

Маржинальная революция может заявить свои права на еще одно научное достояние экономики: обновленный эмпиризм[228]. Современные исследователи сходятся во мнении, что экономические идеи не могут просто апеллировать к интуиции или логике; они должны соответствовать реальным наблюдениям.

Естественно, экономика еще далека от уровня физики. Системы, созданные человеком (например, рынки), не подчиняются строгим математическим законам. В лучшем случае они напоминают такие феномены завихренной сложности, как погода или жидкостная турбулентность — именно те системы, которые математика еще только пытается постичь.

По мере того как маржинализм вытеснял конкурирующие системы мышления, он привнес еще одно изменение: экономика, как и ее собратья в области естественных наук, стала антиисторической[229]. До появления маржинализма идеи расцветали и увядали, циркулируя на протяжении десятилетий. Вы читали мыслителей прошлого, чтобы впитать их целостное видение экономики, усвоить их мировоззрение через их язык. В наши дни экономисты в значительной степени согласны по поводу основополагающих вещей и не хотят читать оригинальные архаичные формулировки тех или иных идей. Будьте добры, дайте им современную оптимизированную версию. Маржиналисты помогли экономистам перестать так сильно печься об исторических мыслителях, включая, по иронии судьбы, самих маржиналистов.

Глава 22. Налоговедение

Иногда достаточно произнести какую-нибудь фразу, и сразу очевидно недоразумение. «Парит, как пингвин». Нет, эти птицы не летают. «Знаменитые бельгийские исторические деятели». Вы меня простите, но самая прославленная уроженка Бельгии — вафля[230]. «Чересчур для десерта». Да ладно, отказу от кексов нет никакого оправдания. Как бы то ни было, мою любимую ошибочную фразу-на-одном-дыхании вы, вероятно, слышали неоднократно:

«Перескочил на новую ступень налоговой шкалы».

Эти шесть слов заключают в себе неподдельный, широко распространенный и абсолютно неоправданный страх: что, если из-за легкой надбавки к зарплате повысится ставка налога? Не кончится ли дело тем, что я останусь без гроша?

В этой главе я объясню элементарную математическую подоплеку подоходного налога, расскажу краткую историю его роли в американской общественной жизни и раскрою, какие персонажи Уолта Диснея были его рьяными апологетами. Но вначале я хочу заверить вас, что налоговые ставки не подскакивают, как мячики для пинг-понга. Зловещий «перескок на следующую ступень налоговой шкалы» — такая же кажимость, как и бельгийские знаменитости.

Наша история начинается в 1861 году[231]. Грядет гражданская война, и федеральное правительство начинает стряпать схемы быстрого обогащения, но все они довольно шаткие. Долгосрочный тариф на иностранные товары перестал приносить средства в достаточном объеме. Налог на розничные покупки чреват потерей избирателей, ибо болезненней всего ударит по кошелькам малоимущих американцев. А налог, нацеленный на чрезмерное богатство (включая недвижимость, инвестиции и сбережения), нарушил бы конституционный запрет на прямые налоги. Что же предпринял Конгресс, сев на мель?

Сделал единственно возможный ход. В августе федеральное правительство ввело временный налог на доходы, обусловленный чрезвычайной ситуацией. Если ваш доход составляет больше $800, вы платите 3 % в казну[232].

Обоснование? Деньги имеют убывающую предельную полезность. Чем больше у вас долларов, тем меньше значит каждый новый доллар. Поэтому облагать налогом тысячный доллар не так жестоко, как первый. Системы на основе этой логики, где повышение доходов ведет к повышению налоговой ставки, называют прогрессивной налоговой шкалой. (Регрессивная налоговая шкала означает, что увеличение доходов приводит к понижению налоговой ставки; плоская означает, что ставка одинакова для всех.)

Вообразите, как наши американские праотцы почесывали свои пышные бороды и не находили себе места: неужели из-за лишнего цента дохода они «перескочат» из разряда халявщиков в разряд налогоплательщиков? В конце концов, доход $799,99 не облагался налогом, а $800,01 уже облагался. Неужто излишек дохода в два цента в самом деле повлечет уплату $24 налога?

По счастью, нет. Как и в наше время, этот налог не распространялся на весь доход — только на маржу, вплоть до последнего заработанного доллара. Будь вы нищим фермером с Аппалачей или Корнелиусом Вандербильтом (Биллом Гейтсом эпохи железных дорог), первые заработанные $800 всецело ваши.

Если вы заработали $801, то заплатите 3 % только от одного дополнительного доллара, то есть всего 0,03 доллара.

Если вы заработали $900, то заплатите 3 % от дополнительных $100, то есть всего три доллара.

И так далее.

Мне нравится такой наглядный образ: правительство раскладывает ваш доход по ведрам. Первое ведро вмещает $800 и помечено «деньги на выживание». Вы не платите налогов, пока оно не будет заполнено доверху.

Второе ведро — это «деньги на досуг». Ваши деньги будут складироваться туда, когда первое ведро переполнится. С этих доходов правительство берет 3 %.

В 1865-м правительство повысило ставки и ввело третье ведро:

Затем война окончилась. Налог на доходы не взимался несколько десятилетий, но в конце столетия снова начался переполох. В 1893 году страну охватила финансовая паника. В 1894-м, чтобы спасти положение, был введен подоходный налог. Затем, в 1895 году, Верховный суд постановил, что — ха-ха, упс — запрет на прямые налоги распространяется и на тебя, любезный налог на доходы. Ты противоречишь Конституции. Вот досада.

Потребовалось еще два десятилетия, чтобы ввести поправку к Конституции и воскресить подоходный налог. И даже тогда он вернулся без фанфар и знамен, предпочитая красться, как тать в ночи. В 1913 году, когда постоянный подоходный налог взимался впервые, его платили лишь 2 % домохозяйств[233]. Предельная налоговая ставка для самых богатых составляла жалкие 7 % и даже не покушалась на доход меньше $500 000 ($11 млн в пересчете на сегодняшние деньги с учетом инфляции):

Ставки шли по восходящей от 1 до 7 % с элегантностью алфавита: аккуратная линейная прогрессия с круглыми пороговыми числами, ласкающими взор.

Но почему они были именно такими? Если честно, их выбрали от фонаря.

«Естественно, мы услышим разнообразные индивидуальные суждения, — писал президент Вудро Вильсон, — по поводу того, какое именно налоговое бремя справедливо возлагать на доходы выше обычного уровня»[234]. Ни одна точная математическая формула не может продиктовать «правильные» налоговые ставки. Налоговое законотворчество — субъективный процесс, полный гипотез, политиканства и оценочных суждений.

Конечно, границы устанавливаются произвольно не только в сфере налогового законодательства. В США вы не имеете права покупать алкоголь за день до того, как вам исполнится 21 год, но на следующий день — на здоровье. Теоретически закон мог бы облегчать вам жизнь постепенно: разрешить покупать пиво после 19 лет, вино после 20 и крепкие напитки после 21 года, но общество выбрало четкую и простую черту, а не трудноосуществимую шкалу.

Авторы закона 1913 года о подоходных налогах пошли другим путем. По-моему, забавно, что они выбрали такие крошечные приращения для такого скромного налога. Налоговых разрядов было семь, как и сейчас, однако в наше время диапазон между самой низкой и самой высокой ставками составляет 27 %, а тогда — всего 6 %. Похоже, правительство не доверяло маржинальному характеру системы и поэтому стремилось избежать больших скачков между ставками. Возможно, они представляли себе следующий график:

Если рассматривать каждую налоговую ставку по отдельности, переход в следующий разряд выглядит резким и дерганым. Поэтому законодатели стремились сгладить систему, сделать ее безопасной и градуированной.

Пустая трата сил, если вам интересно мое мнение. Здравомыслящих налогоплательщиков не интересуют абстрактные свойства налоговой схемы. Их интересует, сколько они платят — как общая сумма, так и маржа, и они хотят гарантий, что повышение дохода на один доллар никогда не изменит уже уплаченного налога. Соответствующий график выглядит так:

На первом графике мы видим резкие скачки, на втором — одну непрерывную линию. Смену налоговых ставок отражает неравномерный уклон — приятный и пологий для низкой налоговой ставки, резкий и крутой для высокой. Этот график лучше отражает то, как действительно воспринимается переход из одного налогового разряда в другой: не рывки (математики сказали бы, точки разрыва), а моменты, когда один наклон уступает место другому (недифференцируемые точки — на языке матанализа).

Очевидно, никто не рассказал об этом Конгрессу, потому что там настолько опасались резких прыжков между налоговыми ставками, что дошли до комичного предела в налоговой схеме 1918 года[235]:

Взглянув на этот кавардак, вначале вы заметите, что налоговые ставки пошли вразнос. Всего за пять лет предельная ставка на доходы богатейших американцев разрослась в 11 раз. Рискну предположить, так происходит, когда ваша страна впутывается в авантюру под названием «война ради того, чтобы прекратить все войны»{74} (впрочем, после вооруженного конфликта налоговая политика все равно уже не будет прежней; с тех пор верхний уровень налоговой ставки никогда не опускался ниже 24 %).

Еще поразительнее, по крайней мере для меня, огромное количество налоговых разрядов, введенное в то время. В США их было больше, чем штатов: 56 против 48.

Все это напоминает мой любимый ученический проект из времен, когда я вел подготовку к матанализу в Калифорнии. Каждый год я просил старшеклассников разработать свою собственную налоговую систему. Один трудолюбивый товарищ по имени Джей Джей решил довести идею «постепенного перехода» до ее естественного завершения, разработав систему, где предельные налоговые ставки изменялись непрерывно, без каких-либо скачков[236].

Представьте, что ваши предельные налоговые ставки начинаются с нуля и достигают 50 % (при доходе свыше миллиона долларов). Вы можете ввести два налоговых разряда:

Или вы можете выбрать подход эпохи Первой мировой войны и ввести 50 налоговых разрядов:

Но зачем себя сдерживать? Введите 1000 разрядов.

Или, того лучше, миллион разрядов.

Черт возьми, в конце концов вы можете просто соединить конечные точки прямой линией.

Последний график — воплощение налоговой системы, где с увеличением дохода на один цент налоговая ставка поднимается на ничтожно малую величину. Нет никаких разрядов; налоговая ставка плавно меняется с каждым новым атомом дохода. Переход есть везде, и поэтому парадоксальным образом его нет нигде.

При такой системе график всего уплаченного налога будет выглядеть примерно так{75}:

Уклон растет постепенно. Здесь нет недифференцируемых точек. График гладкий, как ход немецкого автомобиля, который разгоняется на автобане.

Если посмотреть на историю американского подоходного налога, мы увидим похожее ускорение. За первую половину XX века налог прошел несколько стадий: вначале неконституционное предложение, затем пробный эксперимент, далее — необходимость военного времени и, наконец, основной механизм финансирования правительства. В 1939 году, на заре Второй мировой войны, подоходный налог платили менее четырех миллионов американцев. К 1945 году — уже более 40 млн. Налоговые сборы росли соответствующим образом: от $2,2 млрд в начале войны до $25,1 млрд в конце. Сегодня различные подоходные налоги, федеральные и установленные правительством каждого штата, приносят $4 трлн долларов в год — почти четверть экономики страны.

Когда подоходный налог вырос в 1942 году, правительство поручило Уолту Диснею создать короткометражный фильм, который вдохновит американцев платить налоги. Министр финансов потребовал придумать нового мультипликационного персонажа, но Уолт Дисней настоял на том, чтобы привлечь крупнейшую звезду компании на тот момент. И вот больше 60 млн американцев увидели на киноэкранах патриотический порыв налогоплательщика («Эй, парень! Не бойся Оси́ — налоги внеси!»{76}), в роли которого выступил не кто иной, как Дональд Дак[237].

Должно быть, мультфильм сработал, потому что два года спустя предельная налоговая ставка для самых богатых достигла исторического пика: 94 %. В других странах ее подняли еще выше. В 1960-е подданные Великобритании с наиболее высоким доходом платили налог с предельной ставкой 96 %, что побудило «Битлз» начать свой величайший альбом[238] с песни «Налоговый инспектор» и следующих язвительных строк:

Позволь мне сказать, как оно будет:

Одна двадцатая тебе, девятнадцать — мне[239].

Самая необычная история о высоких предельных налоговых ставках произошла — угадайте где? — в Швеции. Я не буду рассказывать ее сам и предоставлю слово детской писательнице Астрид Линдгрен, которая в 1976 году опубликовала в вечернем таблоиде Expressen сатирический рассказ на основе собственного жизненного опыта[240]. Героиню зовут Помперипосса, она живет в стране Монисмания. Некоторые граждане были возмущены «репрессивными налогами», которые поддерживали на плаву это государство всеобщего благоденствия. Но Помперипосса, несмотря на то что налоговая ставка на ее доходы составляла 83 %, ни на что не жаловалась. Вместо этого она довольствовалась своими 17 % и, «переполненная радостью, продолжала двигаться вприпрыжку по дороге жизни».

Помперипосса (альтер эго автора, Линдгрен) сочиняла книги для детей. С точки зрения правительства, она была «владельцем малого бизнеса» и обязана была выплачивать «социальные отчисления работодателя». Но Помперипосса не понимала последствий, пока на них не указал ее друг:

— Знаешь ли ты, что предельная налоговая ставка на твои доходы в этом году составит 102 %?

— Что за чушь, — сказала Помперипосса. — Не бывает так много процентов.

Ибо она была не особенно знакома с Высшей Математикой.

Эта ситуация породила из ряда вон выходящий сценарий. Помперипосса была вынуждена выплачивать правительству каждый заработанный доллар целиком… плюс добавочные два цента. Как будто бы ожил старый кошмар перескока на новую ступень налоговой шкалы: чем выше заработок, тем хуже финансовое положение. Только вместо прыжка на новый утес, после которого все снова идет по накатанной, Помперипосса шагнула в зазеркалье и оказалась перед бесконечным спуском вниз. Чем больше книг она продавала, тем больше нищала.

— Во всех углах и закоулках пристроились эти жуткие детишки, они заполонили мир… Сколько денег принесет мне их катастрофическая тяга к чтению? — …Огромные жирные чеки нападали на нее, когда она меньше всего этого ожидала.

Из первых $150 000 заработка ей досталось $42 000. Но дальнейший доход не сулил ничего, кроме горя. Дополнительный заработок не просто испарялся; он уносил с собой часть ее сбережений. Заработав очередные $100 000, она целиком отдавала их в казну и уплачивала еще $2000.

В худшем случае, подумала Помперипосса, она заработает $2 млн. Если это случится, она останется с жалкими $5000. Помперипосса не могла в это поверить.

Она сказала себе:

— Милая моя старушка… Есть же десятичные разряды и всякое такое, наверняка ты где-то обсчиталась, тебе должно остаться 50 000.

Она проделала выкладки заново, но результат не изменился ни на йоту… Тогда она поняла, что сочинительство порочно и постыдно, если наказание за эту деятельность столь сурово.

История заканчивается тем, что все сбережения Помперипоссы ушли на выплату налогов, обеспечивающих всеобщее благоденствие. Заключительная фраза: «И она больше никогда-никогда не сочиняла книг».

Цифры в этой истории взяты непосредственно из жизни Линдгрен, и на их фоне самая высокая налоговая ставка в Швеции на сегодняшний день — всего-навсего 67 % — выглядит старомодно, как маслобойка.

«Помперипосса в Монисмании» всколыхнула Швецию, вызвав ожесточенные дебаты, которые помогли противникам социал-демократической партии нанести ей первое поражение на выборах за 40 лет[241]. Линдгрен, долгие годы поддерживающая социал-демократов, продолжала голосовать за них, несмотря на свои обиды.

Однако вернемся в США. Хотя аргументам в споре о подоходном налоге уже сто лет в обед, они такие же кипучие (и желчные), как всегда.

Мои ученики в своих проектах отразили практически все грани этой дискуссии. Некоторые повышали налоговые ставки ради перераспределения доходов или понижали ради экономического роста. Один ученик, в равной степени умный и ершистый, разработал регрессивную налоговую шкалу, где более высокие доходы облагались меньшим налогом[242]. Он утверждал, что бедные нуждаются в «стимуле», чтобы зарабатывать деньги. Возможно, он искренне так полагал, возможно, высмеивал политику республиканцев, возможно, просто троллил меня. (Он получил оценку «отлично».) Другие ученики подыскивали радикальную систему экономической справедливости в духе Робин Гуда, назначая самые высокие налоговые ставки, близкие к 100 %. Несколько учеников ввели налоговые ставки выше 100 %: они жаждали, чтобы сверхбогатые американцы разделили судьбу Помперипоссы. Некоторые и вовсе хотели выйти за рамки подоходного налога, воображая совершенно новый режим. Короче говоря, изобретательность я видел повсюду, а консенсуса не наблюдал нигде. Думаю, это именно то, что называют Америкой.

Глава 23. Штаты бывают разные: пестрые, синие, красные

Мы, американцы, верим в правительство, состоящее из граждан, сформированное гражданами и работающее ради граждан. Поэтому приходится краснеть из-за того, что люди, похоже, никогда не могут ни о чем договориться.

По-моему, достаточно сложно достичь семейного консенсуса даже при выборе пиццы. Тем не менее каким-то образом наша шумная демократия, удерживающая в напряжении целый континент, должна принимать однозначные коллективные решения по гораздо более существенным вопросам. Мы вступаем в войну — или нет. Мы избираем президента, того или иного. Мы заключаем болельщиков баскетбольного клуба «Лейкерс» в тюрьму — или позволяем им безнаказанно расхаживать по улицам. Как же нам удается объединить 300 млн голосов в один национальный хор?

Вообще, это требует некоторой технической работы. Провести перепись населения. Подсчитать голоса. Заполнить таблицы. Выяснить процентные соотношения. Эта вычислительная работа, пусть немного нудная, все же жизненно важна по той причине, что по сути своей представительная демократия — это математическое действо[243].

Простейшая демократическая система носит название «правило абсолютного большинства». Есть один-единственный переломный момент: рубеж проходит на уровне 50 %. Один дополнительный голос в вашу пользу может сделать вас победителем (или наоборот).

Но забудьте слово «просто». Это же Америка! Для выборов нашего президента мы сконструировали умопомрачительный механизм, известный под названием «Коллегия выборщиков» — математическая и политическая аномалия, подразумевающая десятки переломных моментов. Она не только подливает бензина в костер наших бесконечных дискуссий о «красных» и «синих» штатах, но и наделяет наши выборы завораживающими математическими свойствами. В этой главе я хочу проследить изгибы и повороты в истории Коллегии выборщиков:

1. Она начинается со слоя граждан.

2. Она становится слоем математики.

3. Она превратилась в систему, где победитель на уровне штата получает все голоса выборщиков в этом штате.

4. В конце концов она стала весьма похожа на прямое всенародное голосование — но с парой курьезных сюрпризов.

В итоге понимание Коллегии выборщиков сводится к вопросу предельного анализа. Что значит один шаг в марше 300-миллионной толпы под названием «американская демократия»?

1. Демократия как игра в испорченный телефон

Летом 1787 года в Филадельфии 55 щеголей, нахлобучив парики, ежедневно собирались, чтобы отчеканить план новой формы государственного управления. В наши дни мы называем их проект «Конституцией», и она наряду с чизбургером лежит в основе нашего национального характера.

Конституция закрепляет избирательную систему, позволяющую определить, кто станет президентом (в переводе с латыни — «сидящим во главе стола»). Каждые четыре года его избирают особые выборщики — «люди, избранные народом для определенной цели на определенный срок»[244]. Я воспринимаю выборщиков как временный комитет, выбирающий гендиректора компании. Они собираются с одной-единственной целью, выбирают нового лидера нации, а затем расходятся.

Откуда берутся выборщики? Из штатов. Каждый штат выбирает столько же выборщиков, сколько конгрессменов, и может выбирать их любым приглянувшимся методом.

Логика заключалась в том, что местные избиратели знали только местных политиков. Времена тогда царили темные, до пришествия хештегов оставалось больше двух столетий, и разве народ мог судить об ораторском искусстве и модных прическах далеких незнакомцев? Поэтому Коллегия выборщиков процеживала предпочтения избирателей через три сита: во-первых, вы голосуете за местного представителя вашего штата; во-вторых, представители штата избирают выборщиков (или создают систему их избрания); в-третьих, выборщики избирают президента.

Однако к 1832 году все штаты, за исключением Южной Каролины, швырнули своих выборщиков в горнило демократической борьбы и предоставили гражданам решать самостоятельно[245].

Что изменилось?

Пятьдесят пять джентльменов в Филадельфии{77} воображали себе просвещенную демократию совестливых государственных мужей, не обремененных мерзкими дрязгами соперничества под названием «политические партии». Затем они разбрелись и создали нечто чертовски похожее на политические партии.

Не будем лицемерить: эта система имела свои преимущества. Теперь отпала необходимость рассматривать под лупой пятна на совести каждого отдельно взятого кандидата. Можно просто ознакомиться с партийными программами и отдать свой голос за команду, которая пришлась вам по душе. Нет необходимости в посредниках.

И вот страна перешла от выборщиков из плоти и крови к абстрактным голосам выборщиков, слой государственных деятелей сменился слоем математики.

Конечно же, как и во многих составляющих Конституции, в этой системе было закодировано преимущество для рабовладельцев[246]. Как функционировал этот механизм? Вспомните, что каждый штат делегировал столько же выборщиков, сколько конгрессменов, то есть сенаторов (по два от каждого штата) и членов Палаты представителей (их число было прямо пропорционально численности населения и в 1804 году варьировалось от 1 до 22 от того или иного штата).

Сенаторская составляющая этой формулы обеспечивала поддержку малых штатов, уравнивая в правах скромный Род-Айленд (меньше 100 000 жителей в те годы) и огромный Массачусетс (более 400 000 жителей). Но подлинные перипетии сюжета разворачивались в Палате представителей. Пятьдесят пять модников в Филадельфии спорили о том, следует ли при распределении мест в Палате представителей учитывать, сколько рабов проживает в том или ином штате. Если да, то рабовладельческий Юг получит дополнительных представителей; если нет, преимущество останется за Севером.

Они пошли на компромисс и приняли половинчатое решение. Каждый раб считался за 3/5 человека. Позорнейшая дробь в истории юриспруденции.

Коллегия выборщиков перенесла этот выступающий за сохранение рабства компромисс в систему президентских выборов, как вирус, скачанный из приложения к электронному письму. Вот распределение выборщиков в 1800 году и сравнение с гипотетической системой, где рабы не учитывались вовсе[247]:

Возможно, вам кажется, что десять выборщиков — это мало. На самом деле это много. 32 года из первых 36 лет истории нашей страны во главе государства стояли представители рабовладельческой Вирджинии. Единственное исключение составил Джон Адамс из Массачусетса, который не был переизбран в 1800 году… На самом деле он был так близок к победе, что эти десять выборщиков сыграли свою роль.

2. Почему принцип «победитель забирает все» победил и забрал все

В инаугурационной речи после тех горьких выборов 1800 года Томас Джефферсон взял примирительную ноту. Он сказал, что обе партии объединяют общие принципы, общие мечты. «Мы все федералисты, — сказал он. — Мы все республиканцы».

Однако посмотрите на Коллегию выборщиков в наши дни. Вы не увидите страну, которая гармонична, как инь и ян, и мирно хором распевает «Кумбайю». Карта пестрит красно-синим[248]. Калифорния безраздельно принадлежит демократам. Техас — республиканцам. Нет никакого «мы», исключительно «свои» и «чужие», что-то вроде настольной игры на двоих с невероятно высокими ставками.

Как же Коллегия выборщиков оказалась в таком положении?

Вот тут навострит уши математик. Конечно, мы позволим людям голосовать, но как объединить эти голоса и занести в таблицы? Какой математический процесс преобразует индивидуальные предпочтения в окончательный выбор избирателей?

Допустим, вы штат Миннесота. Вам нужно перемолоть три миллиона голосов граждан и получить на выходе десять голосов выборщиков. Как вы поступите?

Один из вариантов: распределить голоса выборщиков пропорционально результатам прямого голосования граждан. Кандидат, набравший 60 %, получает шесть голосов выборщиков[249]. Кандидат, набравший 20 %, получает два голоса. И так далее.

Хотя эта система логична, она не получила развития. На заре демократии отдельные штаты пробовали разные запутанные методы, например в Теннесси граждане избирали делегатов от своего административного округа, которые избирали выборщиков, которые избирали президента, но никто не видел необходимости распределять голоса пропорционально.

Альтернатива: распределять голоса выборщиков по географическому принципу. У вас есть десять выборщиков, почему бы не разбить ваш штат на десять избирательных округов и дать по одному голосу выборщика победителю в каждом округе?

Эта система пережила свой расцвет в 1790-е и начале 1800-х. С тех пор она канула в Лету.

Ее ближайший ныне действующий аналог — распределять голоса выборщиков в соответствии с избирательными округами на выборах в Палату представителей{78}. Затем, поскольку в каждом штате на два выборщика больше, чем делегатов от этого штата в Палате представителей, голоса двух оставшихся выборщиков достаются победителю по штату в целом.

Сегодня эта своеобразная система практикуется всего в двух штатах: Небраска и Мэн. И больше нигде.

Так что, черт возьми, происходит в других 48 штатах? Они следуют радикальной схеме: победитель забирает все. В соответствии с этим подходом победитель прямого голосования в целом по штату получает все голоса выборщиков.

Принцип «победитель забирает все» имеет внятный подтекст: неважно, насколько победитель опередил проигравшего. В 2000 году Джордж Буш одержал победу во Флориде с преимуществом менее чем в 600 голосов. Избираясь на второй срок, он получил преимущество в 400 000 голосов. Но грандиозный отрыв был для него ничем не лучше зазора тоньше волоса. Принцип «победитель забирает все» сводит непрерывное разнообразие возможного распределения голосов к двум дискретным результатам, чего не могли ни предусмотреть, ни предвидеть 55 умников в Филадельфии.

Почему же тогда этот принцип практикуется в 96 % штатов?

Эта проблема напрямую относится к теории игр, математическому выбору стратегии. Для того чтобы понять текущую ситуацию, нам нужно проникнуть в сознание политика уровня штата.

Начнем с Калифорнии. Демократы имеют преимущество в Законодательном собрании штата. И — сюрприз-сюрприз — демократы, как правило, получают больше голосов на президентских выборах. Представьте, что у вас есть два варианта: пропорциональное распределение голосов выборщиков или принцип «победитель забирает все».

Ну, если вы демократ, то этот принцип дает фору вашей партии. Идти каким-либо иным путем означает подарить горстку голосов республиканцам. Зачем вообще раздумывать на эту тему?

В Техасе действует та же логика, только другая цветовая гамма. Этот принцип обеспечивает все голоса выборщиков республиканцам. Зачем же уступать драгоценные голоса сопернику?

Теоретически, если бы голоса выборщиков распределялись пропорционально на основе прямого голосования, ни одна партия не получила бы преимущество. Как будто оба дуэлянта сложили оружие. (Левая верхняя клетка на диаграмме.)

Однако это отнюдь не устойчивое равновесие. Как только противник отбросит свой револьвер, вы тут же можете снова подобрать свой. Если все штаты следуют одному и тому же принципу, мы скоро оказываемся в нижней правой клетке диаграммы, где, разумеется, сегодня пребывают 96 % штатов[250].

По описанию Коллегии выборщиков у вас могло сложиться впечатление, что границы штата имеют значение. Что пользоваться одинаковыми водительскими правами означает состоять в особом родстве{79}. Но законодатели действуют иначе. Выбирая систему «все или ничего», они делают то, что лучше для партии, даже если это означает маргинализацию штата.

Например, вот итоги десяти последних выборов в Техасе:

Действовать по принципу «победитель забирает все» — это все равно что вывесить на границе штата огромный билборд: «Неважно, что думают местные избиратели: здесь всегда побеждают республиканцы!». В соответствии с ним 55 % ничем не хуже 85 %, а 45 % ничем не лучше 15 %. Этот принцип означает, что выборы заканчиваются, не успев начаться, и у обеих партий нет поводов подстраивать свою политику под интересы местных граждан, чтобы завоевать их голоса. Зачем тратить ресурсы, если это ничего не изменит?

С другой стороны, вот как выглядели бы итоги выборов, если распределить голоса выборщиков пропорционально:

Теперь небольшие колебания в прямом голосовании оказывают существенное влияние на распределение голосов выборщиков. Если бы Техас хотел, чтобы его избиратели имели свою долю в игре, он бы должен был распределять голоса выборщиков пропорционально, так что дополнительный голос одного техасца в самом деле повышал бы шансы кандидата на победу. Это дало бы повод предвыборным кампаниям схлестнуться по-настоящему.

Почему так не происходит? Потому что законодатели не стремятся максимально повысить влияние волеизъявления каждого избирателя в своем штате. В первую очередь они не техасцы, или калифорнийцы, или канзасцы, или флоридцы, или вермонтцы.

Все они демократы. Все они республиканцы.

3. Партийные приливы

Результаты голосования Коллегии выборщиков в течение более чем ста лет совпадали с результатами прямого всенародного голосования, однако за последние двадцать лет они дважды друг от друга отличались. В 2000 году демократы победили во всенародном голосовании с отрывом 0,5 %, однако республиканцы имели перевес в пять голосов выборщиков. Там и там различие тоньше листа бумаги. В 2016 году несоразмерность увеличилась: демократы одержали победу во всенародном голосовании с перевесом 2,1 %, но республиканцы получили на 74 голоса выборщиков больше.

Получается, сейчас Коллегия выборщиков склоняется в пользу республиканцев?

Нейт Сильвер, статистический пророк наших дней в Коллегии выборщиков, нашел прекрасный метод для ответа на этот вопрос[251]. Он позволяет нам оценить преимущество в Коллегии выборщиков не только в исключительные годы наподобие 2000-го и 2016-го, но и на любых выборах. Процедура (которую я проиллюстрирую на примере выборов 2012 года) выглядит примерно так:

1. Ранжируйте штаты от «самого красного» до «самого синего». В 2012 году вначале идет Юта (республиканцы победили с отрывом в 48 процентных пунктов), далее Вайоминг, далее Оклахома, далее Айдахо… и так вплоть до Вермонта, Гавайев и, наконец, округа Колумбия (демократы опередили соперников на 84 пункта).

2. Промотайте перечень до середины и найдите «переломный» штат. Именно он позволил преодолеть порог в 270 голосов выборщиков, необходимый для победы. В 2012 году это был штат Колорадо, где демократы имели перевес в 5,4 процентных пункта.

3. Постепенно снижайте долю голосов победителя, пока выборы не сведутся почти к ничьей. На самом деле кандидат от демократов одержал уверенную победу в общенародном голосовании. Но теоретически он мог собрать на 5,4 % меньше голосов по всей стране и все равно победить благодаря одному-единственному избирателю в Колорадо. Поэтому давайте вычтем 5,4 % из его результата в каждом штате, чтобы смоделировать избирательную гонку ноздря в ноздрю.

4. Это новое, отрегулированное народное голосование показывает нам преимущество за счет Коллегии выборщиков.

Иногда партия-победительница наслаждалась преимуществом, в котором не нуждалась (например, в 2008 году). В других случаях ей удавалось преодолеть преимущество противника (например, в 2004 году). Однако самое поразительное — то, как «уровень вод» повышался и понижался на протяжении многих лет.

На последних десяти выборах пять раз преимущество было в пользу республиканцев и пять раз — демократов. В среднем преимущество работало на демократов, но составляло менее 0,1 %. Сильвер отмечает, что «нет почти никакой корреляции между тем, какая партия имеет преимущество за счет Коллегии выборщиков сейчас и какая будет иметь его четыре года спустя. Ситуация скачет туда-сюда в результате относительно тонких изменений в предпочтениях электората»[252].

В этом свете кажется, что результаты президентских выборов в 2000-м и 2016-м были случайными отклонениями. В параллельной вселенной по соседству с нашей республиканцы исходят желчью по поводу того, что Барак Обама дважды победил на выборах, хотя не набрал большинства голосов избирателей, в то время как демократы злорадно торжествуют по поводу своей электоральной неуязвимости.

Что же тогда делать с Коллегией выборщиков?

При всей своей математической сложности она добавляет случайности{80}. Она воспроизводит всенародное голосование, кроме тех случаев, когда (по своеобразным причинам) этого не происходит. Нет никакой возможности предсказать, на стороне какой партии окажется преимущество, пока ноябрь не станет у двора. В таком случае не должны ли мы упразднить эту систему?

Прежде всего я математик. Это означает, что я люблю элегантность и простоту (Коллегия выборщиков ими похвастаться не может), но к тому же еще и извращенные статистические сценарии (а они-то ей свойственны).

Мне нравится проект под названием Соглашение между штатами о всенародном федеральном голосовании, или, если вы предпочитаете сэкономить 21 слог, «план Амара»[253]. Идея, выдвинутая двумя братьями, профессорами юриспруденции, проста. Каждый штат обязывает своих выборщиков голосовать за победителя федерального всенародного голосования — вне зависимости от того, каковы итоги выборов в этом штате. На данный момент соответствующие законодательные акты приняты в десяти штатах и округе Колумбия, что дает в общей сложности 165 голосов выборщиков{81}. Если в игру включится достаточное число штатов, чтобы преодолеть порог в 270 голосов, они получат контроль над Коллегией выборщиков. (До тех пор господствует статус-кво, потому что в законодательных актах оговорено: пока не достигнута критическая масса, выборщики продолжают голосовать по прежней системе.)

Конституция дает каждому штату право распределять голоса выборщиков по своему усмотрению. Если они захотят следовать всенародному голосованию, это их прерогатива. Возможно, это станет очередным решающим шагом, новым удивительным витком причудливой истории Коллегии выборщиков.

Глава 24. Хаос истории

Вы смотрите на название этой главы со справедливым скептицизмом. «История? — переспрашиваете вы. — Что вы знаете об истории, математик?» Я бессвязно бормочу что-то о моржах, налоговом законодательстве и париках в Филадельфии; ваше чувство жалости ко мне растет.

«Историки ищут причинно-следственные связи в муравейнике прошлого, — объясняете вы. — Вашим аккуратным формулам и затейливым количественным моделям не место в этом грязном человеческом царстве».

Я горблюсь и начинаю рисовать какой-то график, но вы шикаете на меня.

«Дуйте домой, математик! — говорите вы. — Уходите, пока не опозорились!»

Увы, я упустил свой шанс избежать позора в тот день, когда нарисовал в своем блоге первого кривого человечка, и поэтому, запинаясь, начинаю рассказывать свою историю.

1. Снежная буря из-за ошибки округления

Зимой 1961 года два сюрприза настигли Западное побережье США более или менее одновременно.

Во-первых, в Вашингтоне, округ Колумбия, накануне инаугурации президента Кеннеди выпало восемь дюймов снега[254]. Тысячи ошеломленных водителей-южан, вероятно истолковав этот снегопад как сигнал наступления Армагеддона, бросили свои машины на проезжей части. Пробки были апокалиптическими. Инженерные войска США смогли расчистить путь для инаугурационного парада только с помощью сотен самосвалов и огнеметов.

Короче говоря, разразился хаос.

Во-вторых, в Массачусетсе, родном штате Кеннеди, исследователь по имени Эдвард Лоренц обнаружил курьезную вещь[255]. С прошлого года он разрабатывал компьютерную модель погоды. Сперва нужно было ввести некие начальные условия. Дальше компьютер прогонял их через множество уравнений. В конце концов он выдавал прогноз погоды. Эти данные можно было использовать в качестве начальных условий для моделирования погоды на следующий день и шаг за шагом повторять процесс, чтобы составить прогноз погоды на месяц вперед, исходя из информации в единственной начальной точке.

Однажды Лоренц захотел воспроизвести уже полученную раньше последовательность прогнозов. Один из его технических помощников заново ввел входные данные, немного округлив их (скажем, 0,506 вместо 0,506127). Крошечные погрешности — меньше, чем могли зафиксировать метеорологические приборы, — должны были отойти на задний план. И все же прогноз погоды на период через несколько недель оказался совершенно иным. Крошечная поправка создала абсолютно новую цепочку событий.

Короче говоря, разразился хаос.

Этот момент ознаменовал рождение нового экспериментального стиля математики — междисциплинарного бунта, который вскоре получил название «теория хаоса». Эта область исследовала различные динамические системы (надвигающиеся бури, турбулентные потоки, демографические перепады) со странным набором общих черт. Они следовали простым и жестким законам. Они были детерминированы, в них не было места случайностям или вероятностям. И все же из-за тонкой взаимозависимости составных частей они не поддавались предсказанию. Эти системы могли раздувать небольшие изменения в огромные каскады, легкая зыбь от бриза вверх по течению превращалась в чудовищную волну, идущую в обратном направлении.

И Лоренц, и американская столица были ошарашены непредсказуемостью погоды. Однако между этими событиями есть гораздо более глубокая связь. Забудьте о хаосе снежной бури и подумайте о том факте, что Джон Фицджеральд Кеннеди вообще стал президентом.

Тремя месяцами ранее он одержал победу над Ричардом Никсоном, и выборы были среди самых близких к ничьей за всю историю США. Во всенародном голосовании он набрал больше всего на 0,17 % и получил преимущество в Коллегии выборщиков благодаря небольшому перевесу в Иллинойсе (9000 голосов) и Техасе (46 000 голосов). Полвека спустя историки все еще спорят: что, если Кеннеди вырвался вперед благодаря подтасовке при подсчете бюллетеней? (Вердикт: может, и нет, но кто знает?) Несложно представить близлежащую параллельную вселенную, где Никсон одержал победу.

Однако чрезвычайно сложно представить, что происходило бы дальше.

Операция в заливе Свиней{82}, Карибский кризис, убийство Кеннеди, президентство Линдона Джонсона, Билль о гражданских правах, «Великое общество»{83}, Вьетнамская война, Уотергейтский скандал, бессмертный хит Билли Джоэла «Не мы первыми открыли огонь»… Все это и многое другое зависело от решений, принятых в Белом доме. Колебание в 0,2 % голосов в ноябре 1960 года могло бы поменять ход мировой истории, как ошибка округления, породившая циклон на северо-западе Атлантики.

С тех пор как я стал достаточно взрослым, чтобы заметить, что мир меняется, я терзаюсь вопросом о том, каким образом осмыслить эти перемены. Цивилизация прочерчивает путь, который априори нельзя познать, предсказать и вообразить. Как мы можем понять систему, в которой один незаметный шаг в силах повлечь за собой грандиозные и несказанные последствия?

2. Две разновидности часового механизма

«Ах, пустоголовый математик, — говорите вы. — Вы дрейфите и паникуете, как вашингтонский водитель во время снежной бури».

Я смотрю на вас, широко раскрыв глаза, как будто персонаж диснеевского мультсериала «Последний электрический рыцарь». Эй, я жажду предсказуемого мира, как и все люди на свете.

«Человеческая история не хаотична, — говорите вы. — В ней можно проследить закономерности. Народы приходят и уходят. Политические системы возникают и исчезают. Тираны восходят на престол, копят подписчиков в инстаграме и в один прекрасный день низвергаются. Все это происходило раньше, и все это произойдет снова».

Я почесываю в затылке, а потом отвечаю историей о маятнике.

На заре XVII века, когда наука впервые обратила свой четырехглазый взор на маятник, она обнаружила механизм более надежный, чем любые существующие на тот момент часы. Маятник подчинялся простому уравнению: измерьте его длину в метрах[256], извлеките квадратный корень, удвойте получившееся число, и вы получите длительность каждого цикла колебаний в секундах. Таким образом, существует связь между длиной и длительностью. Единство пространства и времени. Довольно круто.

Математики называют такие колебания «периодическими», то есть повторяющимися через определенный промежуток времени. Это напоминает однообразные волны или смену приливов и отливов.

Конечно, у маятника есть свои несовершенства (трение, сопротивление воздуха, истирание веревки), но эти бессмысленные фоновые шумы портят его надежность не больше, чем ветерок тревожит гору. К началу XX века лучшие маятниковые часы отставали за год всего на одну секунду. Вот почему и по сей день маятник — прекрасный интеллектуальный символ упорядоченной вселенной.

Но вот резкий поворот сюжета: двойной маятник[257].

Мы просто прикрепляем один маятник к другому, и они все еще подчиняются законам физики, их движение можно описать набором уравнений — так что двойной маятник должен вести себя как его двоюродный брат, верно? И все же посмотрите. Его колебания стали буйными и неравномерными. Он дергается влево, отшатывается вправо, вращается, как ветряная мельница, делает передышку, и дальше всё по новой, но иначе.

Что происходит? Ничего «случайного» в математическом смысле. Ни космических игральных костей, ни квантовых рулеток. Система основана на правилах, ею управляет гравитация. Тогда почему же двойной маятник так юродствует? Почему мы не можем предсказать его движения?

Ну, можно ответить одним словом: дело в чувствительности.

Запустите маятник из одного положения и запишите его траекторию. Затем запустите его из почти такого же положения, с отличием всего на миллиметр, и наблюдайте, как он будет двигаться по совершенно иной траектории. Технически говоря, двойной маятник чувствителен к начальным условиям. Как и в случае с погодой, крохотный сдвиг в начале может привести к существенным переменам в конце. Для того чтобы сделать правильный прогноз, вам нужно измерить его начальное положение с практически бесконечной точностью.

Итак, история напоминает вам обычный маятник или двойной?

История делает рывок вправо; тиран низвергается. Она откачивается влево; начинается война. Она как будто бы делает передышку, и проект стартапа, выношенный в калифорнийском гараже, открывает путь в виртуальный мир, кишащий смайликами. Человеческая цивилизация — это система со множеством взаимосвязей, сверхчувствительная к изменениям, с короткими интервалами стабильности и вспышками дикой активности, детерминированная, но совершенно непредсказуемая.

В математике апериодическая система может повторяться, но непоследовательно. Мы слышали, что те, кто не изучал историю, обречен повторять ее, но, похоже, ситуация еще хуже. Похоже, вне зависимости от того, сколько книг мы прочли и сколько посмотрели документальных фильмов Кена Бёрнса, мы все обречены повторять историю — и все-таки, наперекор себе, быть застигнутыми врасплох, осознавая это повторение только задним числом.

3. Игра под названием «жизнь»

«Ну, будет вам, математик, не переживайте так, — задабриваете вы меня. — Люди не настолько сложны».

Я хмурюсь.

«Не принимайте на свой счет, — говорите вы, — но вы довольно предсказуемы. Экономисты могут смоделировать ваш выбор в области финансов. Психологи могут проанализировать ваши когнитивные стереотипы. Социологи могут описать ваше чувство идентичности и разобрать по косточкам ваш выбор фото в „Тиндере“. Конечно, их коллеги, физики и химики, могут закатывать глаза и засовывать два пальца в рот, но социологи в силах достичь удивительной степени точности. Человеческое поведение поддается нашему познанию, а история — это сумма человеческих поступков. Она тоже должна поддаваться познанию, правда?»

Тогда я хватаюсь за компьютер и показываю вам игру под названием «Жизнь»[258].

Как и для всех забавностей, для нее необходима сетка. Каждый квадрат — назовем его клеткой — может оживать и умирать. Справедливости ради нужно отметить, что слово «игра», возможно, слишком громкое, потому что «Жизнь» развивается пошагово в соответствии с четырьмя автоматическими неизменными правилами:

Вот и все. Для того чтобы начать игру, просто оживите несколько клеток. Затем наблюдайте, как игровая доска шаг за шагом меняется в соответствии с четырьмя правилами. Как будто снежный ком, который нужно просто подтолкнуть, чтобы он покатился вниз по склону. Дополнительных данных не требуется.

В этом мире, даже в большей степени, чем в нашем, получить научную степень психолога чрезвычайно просто. Просто запомните четыре правила, и вы сможете предсказать поведение любой клетки на каждом шаге с безупречной точностью. Хорошая работа, доктор.

И все же долгосрочное будущее этой системы окутано туманом. Скопления клеток взаимодействуют изощренными и труднопредсказуемыми способами. Схема наподобие той, что нарисована вверху, может привести к бесконечному росту; удалите всего одну живую клетку из исходной сетки, и рост иссякнет. Простота в малом масштабе сменяется странным и неожиданным поведением в большом масштабе.

Мне вспоминается ответ Амоса Тверски на вопрос, почему он стал психологом:

Когда мы совершаем важный выбор [в жизни], он практически случаен. Но менее важный выбор, возможно, расскажет нам больше о том, кто мы такие. Наш выбор профессии может зависеть от того, с какими учителями средней школы нам довелось встретиться. Выбор спутника или спутницы жизни может зависеть от того, кто окажется рядом в нужный момент. С другой стороны, незначительные решения очень систематичны. То, что я стал психологом, вероятно, не очень показательно. Однако то, какого рода я психолог, возможно, отражает важные черты моего характера[259].

По мнению Тверски, незначительные решения подчиняются предсказуемым причинам. Но крупномасштабные события — плоды дьявольски сложной системы со множеством взаимосвязей, где каждое движение зависит от контекста.

Я утверждаю, что это верно и для истории человечества. Человек предсказуем; люди непредсказуемы. Их тончайшие взаимоотношения усиливают одни паттерны и ослабляют другие, без каких-либо отчетливых перекличек, по неясным причинам.

Неслучайно, что игра «Жизнь», как и лоренцовская модель погоды, возникла в эпоху компьютеров. По самой своей природе хаос не вмещается в наше сознание. Наш разум слишком склонен сглаживать острые углы, округлять истину до удобного знака после запятой. Нам нужны мозги покрупнее и побыстрее наших собственных, чтобы покорить хаос, выявить его закономерности — или их отсутствие.

4. Не ветвь, а куст

«Хорошо, математик, — вздыхаете вы. — Я вижу, к чему вы клоните: альтернативная история. Гипотеза о том, как могла бы развиваться цивилизация, если бы в прошлом какие-нибудь важные события пошли немного иначе».

Я пожимаю плечами.

«Ну, так бы сразу и сказали! — восклицаете вы с облегчением. — Конечно, иногда в истории встречаются развилки: решающие сражения, выбор ключевого хода, поворотные моменты. Это не делает историю хаотичной. Непредсказуемой — да. Однако она подчиняется причинности и логике. Не нужно думать, что исторический анализ — дело безнадежное».

Теперь уже моя очередь вздохнуть и объяснить: нет, проблема гораздо глубже.

Начнем с бомбы — вернее, с пары бомб. В 1945 году Соединенные Штаты сбросили атомные бомбы на два японских города: Хиросиму (6 августа) и Нагасаки (9 августа). Авторы рассказов в жанре альтернативной истории не могли смириться с этим происшествием. Например, в новелле Кима Стэнли Робинсона «Счастливый удар»[260] бомбардировщик «Энола Гей» 5 августа попал в авиакатастрофу, не сбросил бомбу на Хиросиму, изменив этим весь курс ядерной эры. Как бы то ни было, Робинсон смог рассказать лишь одну историю из триллиона возможных. Что, если бы на первой строчке перечня целей по-прежнему, как до конца июля, была японская столица Киото?[261] Что, если бы 9 августа в городе Кокура была не дождливая, а ясная погода, и бомбу, предназначенную для него, не перенаправили бы в Нагасаки? Что, если бы президент США Гарри Трумэн осознал перед взрывом, что Хиросима — не сугубо военный (как он почему-то полагал), а гражданский объект?[262] Возможностей настолько много, что ни один рассказ не в силах их учесть. Альтернативная история показывает нам отдельные ветви; теория хаоса предупреждает, что они срезаны с раскидистого кустарника.

Несмотря на все усилия, альтернативная история никогда не сможет справиться с подлинной природой хаоса. Коль скоро все моменты времени подспудно осевые, вести линейное повествование уже нельзя. Вот, например, еще один любимый вопрос альтернативной истории: что, если бы рабовладельческая Конфедерация выиграла Гражданскую войну в Америке? Это распространенная тема для домыслов; на сей счет высказался даже Уинстон Черчилль, известный главным образом отнюдь не как фантаст[263]. Поэтому, когда телекомпания HBO объявила, что планирует снять шоу под названием «Конфедерация», писатель Та-Нехизи Коутс — эксперт и по истории афроамериканцев, и по альтернативно-исторической фантастике — красноречиво простонал:

Замысел «Конфедерации» ужасно неоригинален, особенно для якобы авангардной HBO. Поле рассуждений по вопросу «Что, если бы Юг победил?», вероятно, вытоптано больше, чем какая бы то ни было область американской альтернативной истории… [Рассмотрим] все вопросы, которыми пренебрегают. Что, если бы Джон Браун{84} победил? Что, если бы Гаитянская революция распространилась по всей Америке? Что, если бы чернокожие солдаты были завербованы в начале Гражданской войны? Что, если бы коренные американцы остановили наступление белых на Миссисипи?[264]

Альтернативная история, как правило, зацикливается на «великих людях» и «важных битвах» традиционной истории, упуская менее громкие возможности, которые подрывают на корню основы преобладающей культуры. Правила правдоподобия (какие сюжеты мы полагаем достоверными и убедительными) не всегда совпадают с правилами вероятности (какие события на самом деле едва не произошли)[265].

Подлинный хаос — это идея, разрушающая любое повествование, мысль, анархичная, как бомба.

5. Береговая линия познанного мира

«Хорошо, математик, — говорите вы, уже на грани срыва. — Вы утверждаете, что понимание истории — обман. Что исторические тенденции — это апериодические миражи. Что наши попытки выявить причинно-следственные связи обречены, потому что в гипервзаимосвязанной системе наподобие человеческой цивилизации, где микроскопические изменения приводят к макроскопическим эффектам, всё вызывает всё. Что мы никогда-никогда не сможем предсказать, что произойдет в дальнейшем».

«Ну, если вы так ставите вопрос, то я выгляжу полным придурком», — говорю я.

Вы впиваетесь в меня глазами. Да, теперь все ясно.

Возможно, человеческая история — «почти нетранзитивная система», как говорят специалисты по теории хаоса. Она долго выглядит довольно стабильной и вдруг меняет курс. Колониализм уступает место постколониализму. Обожествление монарха уступает место либеральной демократии. Либеральная демократия уступает место анархо-капитализму, где бал правят корпорации. Как-то так. Даже если историки не в силах показать, что нас ждет за новым поворотом, они, по крайней мере, могут охарактеризовать сдвиги, произошедшие в прошлом, и пролить свет на текущее положение дел человеческих[266].

Хаос учит смирению. Он вновь и вновь очерчивает границы нашего познания.

В 1967 году легендарный авантюрист и математик хаоса Бенуа Мандельброт опубликовал короткую сенсационную статью под названием «Какова длина побережья Британии?»[267]. Проблема сложнее, чем кажется на первый взгляд, потому что — как ни странно — длина побережья Британии зависит от того, каким образом его измерять.

Для начала возьмите линейку длиной 10 км, и вы получите определенную длину. Затем увеличьте масштаб и возьмите линейку в 1 км. Участки, которые раньше казались прямыми, при ближайшем рассмотрении оказываются довольно извилистыми. С помощью более точной линейки вы сможете учесть бухты и мысы, которые не принимали во внимание раньше, и общая длина возрастет.

Мы еще не закончили. Возьмите стометровую линейку, и процесс повторится. Становятся видны кривизны и изгибы, которые были незаметны раньше, и вносят в общую длину свой вклад.

Мы можем повторять процесс снова и снова. Чем точнее измерения, тем длиннее становится береговая линия, — теоретически мы можем продолжать до бесконечности.

Мягко говоря, это довольно странно. В большинстве исследований более пристальный взгляд помогает прояснить ответ. Здесь все пугающе наоборот: более пристальный взгляд лишь запутывает дело. Оно никогда не упрощается, никогда не решается.

Эта схема достигает своего предела в случае снежинки Коха — математического объекта, состоящего из нагромождения зубцов на зубцах на зубцах. Хотя на этой странице она занимает мало места, длина ее границы теоретически бесконечна.

В графическом романе «Из ада», где в жанре альтернативной истории рассказано о серии убийств в лондонском районе Уайтчепел в 1888 году, писатель Алан Мур уподобляет изучение истории снежинке Коха. «Всякая новая книга, — говорит он в послесловии, — содержит новые детали, более мелкие зубцы на границе фигуры. Однако она не выходит за пределы очерченного круга: осень 1888 года, Уайтчепел»[268].

По мнению Мура, изучение истории по-своему бездонно[269]. Чем пристальней мы всматриваемся, тем больше видим. Конечный фрагмент пространственно-временного континуума может заключать в себе бесчисленные слои деталей, позволяющих выстраивать причинно-следственные цепочки анализа до бесконечности. Хаос порождает сложности на протяжении всего пути, картина никогда не распадается на пиксели, расследование не заканчивается, дело не упрощается.

Так что же, история хаотична, как игра «Жизнь» — простая в малом масштабе, но непредсказуемая в большом? Или она непредсказуема, как погода, — своевольные каждодневные колебания усредняются в долгосрочной перспективе, и в целом климат довольно стабилен? Или, может быть, она похожа на снежинку Коха — хаос на каждом уровне, сложность в любом масштабе? Эти три метафоры борются в моем сознании, словно три презентации в PowerPoint, спроецированные на один экран[270]. Иногда мне кажется, что я уже на грани понимания, — но вот я заглядываю в ленту новостей, и мир вновь преображается, принимая новый облик, странный и непостижимый.

Благодарности

Элементы этой книги немного похожи на атомы моего тела: они лишь номинально и временно «мои». Они бродили во мне на протяжении многих лет; их источников слишком много, чтобы отследить все или воздать им должное. Лучшее, что я могу сделать, — просто указать на общую экосистему, которая сделала эту книгу возможной.

За стиль этой книги я благодарен всем остроумным и добросердечным сотрудникам Yale Records{85}; прежде всего я снимаю шляпу перед Дэвидом Клампом и Дэвидом Литтом, Михаэлем Гербером и Михаэлем Торнтоном.

Ракурс для этой книги я нашел благодаря моим выдающимся коллегам в школе имени Короля Эдуарда{86}, особенно благодаря вам, Том, Эд, Джеймс, Кэз, Ричард, Ней… Да чего уж там, черт возьми, благодаря вам всем. Учителя — шутливый, въедливый, разносторонний, любознательный и слегка сумасшедший народ, и я горжусь тем, что я к нему принадлежу.

За понимание цели этой книги я благодарен моим ученикам и моим учителям, которые бессчетными (ℵ_1){87} способами сформировали мое представление о математике и мире.

Я заранее приношу извинения за все ошибки, допущенные в этой книге (особенно за все прозеванные благодарности).

За сам факт существования этой книги я благодарю: десятки любезных коллег и друзей, которые высказывали комментарии и советы (см. примечания); Чэнка Дизеля — за то, что он изящно превратил мои каракули в нечто удобочитаемое; Майка Оливо — за то, что просветил меня по поводу вуки; Пола Кеппла — за то, что он собрал прорву никудышных рисунков в единое целое, и оно стало прекрасным; Элизабет Джонсон — за то, что она выступила миротворцем в омерзительном побоище между мною и дефисами и знает, сколько букв «е» должно быть в слове «Че-е-е-е-ерт!»; Бетси Халсебош, Кару Томсон и других сотрудников издательства Dog & Leventhal; Дадо Дервискадика и Стива Троха — за то, что они увидели прообраз этой книги (за целую вечность до того, как его смог увидеть я) и помогли мне дойти до финала; и Бекки Кох — за блестящую редактуру (похоже, эта профессия требует изощреннейших навыков одновременно исполнительного продюсера и воспитателя детей).

Передаю слова любви и благодарности моей семье: Джиму, Дженну, Кэролайн, Ларку, Фариду, Джастину, Диане, Карлу, моему счастливому треугольнику Сорайе, моему картофельному кудеснику Скандеру, Пегги, Полу, Кайе и кланам Орлинов, Хоганов и Уильямсов во всей их полноте. Я храню теплые воспоминания об Алдене, Роз, Полине и, конечно же, Донне.

И наконец: спасибо, Тэрин. Ты выбрала математику, и я рад, что мы отправились в это путешествие вдвоем. Я люблю тебя даже сильнее, чем я тебя троллю.

Примечания редакции

1

Термин теории игр. Выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Простейший пример — игра в орлянку. Строго говоря, уроки математики не являются такой игрой: все ученики могут одновременно получить высший балл и «выиграть» (или наоборот), хотя, конечно, это крайне маловероятно. — Прим. пер.

2

Эндрю Уайлс (род. 1953), профессор Принстонского университета. — Прим. пер.

3

Любой многочлен n-й степени над полем комплексных чисел имеет в нем ровно n корней (с учетом кратности). — Прим. науч. ред.

4

См.: Декарт Р. Рассуждение о методе с приложениями. Диоптрика, метеоры, геометрия. — М.: АН СССР, 1953. — Прим. пер.

5

По-английски это слово звучит еще хуже: imaginary, то есть «воображаемые». — Прим. науч. ред.

6

Пародия на монолог Макбета из одноименной пьесы Шекспира (акт V, сцена 5): «Жизнь — это история, рассказанная идиотом, полная шума и ярости, ничего не значащая». — Прим. пер.

7

Джерард Мэнли Хопкинс (1844–1889) — английский поэт, католический священник. — Прим. пер.

8

Тут пародируется типичное название вводного курса математического анализа в американских университетах: Calculus 101. — Прим. науч. ред.

9

Ср: «Он сказал мне, что в 1886 году придумал оригинальную систему нумерации и что в течение немногих дней перешел за двадцать четыре тысячи. Он ее не записывал, так как то, что он хоть раз подумал, уже не стиралось в памяти. Первым стимулом к этому послужила, если не ошибаюсь, досада, что для выражения „тридцать три песо“ требуются две цифры или три слова вместо одного слова или одной цифры. Этот нелепый принцип он решил применить и к другим числам. Вместо „семь тысяч тринадцать“ он, например, говорил „Максимо Перес“; вместо „семь тысяч четырнадцать“ — „железная дорога“; другие числа обозначались как „Луис Мелиан Лафинур“, „Олимар“, „сера“, „трефи“, „кит“, „газ“, „котел“, „Наполеон“, „Агустин де Ведиа“. Вместо „пятьсот“ он говорил „девять“. Каждое слово имело особый знак, вроде клейма, последние большие числа были очень сложны… Я попытался объяснить ему, что этот набор бессвязных слов как раз нечто совершенно противоположное системе нумерации. Я сказал, что, говоря „365“, мы называем три сотни, шесть десятков, пять единиц — делаем анализ, которого нет в его „числах“, вроде „негр Тимотео“ или „взбучка“. Фунес меня не понимал или не хотел понять» (Хорхе Луис Борхес, «Фунес, чудо памяти». Пер. Е. М. Лысенко). — Прим. науч. ред.

10

«To chunk» означает «разбивать на фрагменты», на жаргоне — «страдать рвотой». К сожалению, пришлось отказаться от игры слов, потому что этот термин уже вошел в русский язык. Простейший пример чанкинга — разделение телефонного номера на несколько частей. — Прим. пер.

11

Феликс Хаусдорф (1868–1942) — один из основоположников современной топологии. — Прим. пер.

12

Примерно 4536 кг. — Прим. науч. ред.

13

Планетарная модель атома, предложенная Эрнестом Резерфордом в 1911 году: электроны вращаются вокруг массивного ядра подобно тому, как планеты вращаются вокруг Солнца. — Прим. пер.

14

Впрочем, вскорости оказалось, что и планетарная модель неверна, и она была заменена квантовой. — Прим. науч. ред.

15

Подробности можно прочесть в книге: Сосинский А. Узлы. Хронология одной математической теории. — М.: МЦНМО, 2005 (http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d63008f4-a780–11dc-945c-d34917fee0be/71_sosinskij_uzli.pdf). — Прим. пер.

16

Трехтомная монография Principia Mathematica выпущена в 1910–1913 годах издательством Кембриджского университета (Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: В 3 т. / Под ред. Г. П. Ярового, Ю. Н. Радаева. — Самара: Самарский университет, 2005–2006). — Прим. пер.

17

MythBusters — научно-популярная телепередача на канале Discovery (2003–2016). — Прим. пер.

18

Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), которого называли королем математиков, погрузился в тяжелую депрессию, когда не смог довести до конца вычисления по теории возмущений орбиты астероида Паллада в начале XIX века. Это состояние усугубила смерть его жены и новорожденного сына. См.: Гиндикин С. Рассказы о физиках и математиках. — М.: МЦНМО, 2001 (https://www.mccme.ru/free-books/gindikin/contes.pdf). — Прим. пер.

19

Симона Байлз (род. 1997) — юная американская гимнастка, олимпийская чемпионка и многократная чемпионка мира. — Прим. пер.

20

Смотря какие пирамиды. Треугольная пирамида (это тетраэдр, если все ребра равны, как у старого молочного пакета) — жесткая фигура, так что дело не в объемности. — Прим. науч. ред.

21

Тед Мосби не в счет. (Тед Мосби — нелепый архитектор, главный персонаж комедийного сериала «Как я встретил вашу маму». — Прим. пер.)

22

В русском языке используется термин «двутавровая балка» (от лат. taurus — бык), потому что она «рогатая» с обеих сторон. — Прим. пер.

23

От лат. firmus — прочный. Сельское хозяйство ни при чем. — Прим. пер.

24

Плиний Старший пишет, что Колосс Родосский был построен после победы над Деметрием I Македонским, внучатым племянником Александра Великого (см. «Естественная история», XXXIV, 41). — Прим. пер.

25

Американский баскетболист. — Прим. пер.

26

Персонаж канадского фольклора. — Прим. пер.

27

Американский рестлер и киноактер ростом около 2 м. — Прим. пер.

28

Сопротивление воздуха зависит не только от площади, но и от скорости, поэтому скорость соприкосновения с землей практически не зависит от высоты, если эта высота достаточно велика. — Прим. науч. ред.

29

Впрочем, в арктической тундре живут лемминги. — Прим. науч. ред.

30

10^100 (единица со ста нулями). — Прим. пер.

31

Возраст Вселенной составляет около 14 млрд лет, однако физики придерживаются мнения, что радиус Вселенной составляет примерно 45 млрд световых лет, так как она ускоренно расширяется. См.: Рубаков В. Вселенная до горячего Большого взрыва // Троицкий вариант — Наука, № 264 от 9 октября 2018. https://trv-science.ru/2018/10/09/vselennaya-do-goryachego-bolshogo-vzryva/. — Прим. пер.

32

Его иногда называют косая бипирамида. — Прим. науч. ред.

33

С любым четным, начиная с 6. Кстати, куб — это частный случай шестигранного трапецоэдра. — Прим. науч. ред.

34

В играх на придумывание сюжетов иногда используют 14-гранный трапецоэдр, чтобы задать день недели. — Прим. науч. ред.

35

Имеется в виду «Эпизод IV: Новая надежда». В VI эпизоде появляется усовершенствованная модель «Звезды смерти». — Прим. пер.

36

Не обращайте внимания на направление взгляда вуки, только на форму морды. — Прим. науч. ред.

37

А тут не обращайте внимание на щупальца, иначе все будет как у вуки. — Прим. науч. ред.

38

Если приравнять дроидов к людям. — Прим. пер.

39

Но примерно с такой же вероятностью не произойдет вовсе — автор пока что находится в той же области торжествующей случайности, из которой он хотел сбежать. — Прим. науч. ред.

40

В данном случае речь идет об азартных играх, поэтому используется термин теории выбора. В других случаях «expected value» принято переводить как «математическое ожидание». — Прим. пер.

41

«Кошачье золото», «золото для дураков» — дешевый минерал пирит, внешне напоминающий золото. — Прим. пер.

42

Точнее, положительна ожидаемая прибыль: это ожидаемый выигрыш минус расходы на приобретение билетов. — Прим. науч. ред.

43

Тут существенно, что, в отличие от денежных игр, где ценность проигрыша или выигрыша для игрока точно равна его размеру, в перечисленных примерах важен сам факт проигрыша или выигрыша: в спорте проигрыш одного или двух очков практически ничего не меняет, а вот разница между проигрышем и ничьей огромна. Так что все приведенные стратегии абсолютно оправданны и с математической точки зрения. — Прим. науч. ред.

44

Children of the Coin. Ср. название популярного фильма ужасов «Children of the Corn» («Дети кукурузы»). — Прим. науч. ред.

45

Прибор для определения последовательности ДНК. — Прим. науч. ред.

46

Американский мультфильм 1987 года. — Прим. пер.

47

Если совсем точно, одна хромосома, Y, у братьев обязательно будет общая, а у сестер — унаследованная от отца Х-хромосома. Но если взять брата и сестру, то при таком раскладе у них действительно не будет общих хромосом. — Прим. науч. ред.

48

Дуодециллион — единица с 39 нулями. — Прим. пер.

49

Игрушка, нашпигованная конфетами. — Прим. пер.

50

Сэмюэль Уолтон (1918–1992) — основатель крупных сетей магазинов оптовой и розничной торговли, богатейший гражданин США в 1985–1988 годах (по версии журнала Forbes). — Прим. пер.

51

Ниже перечислены компании, ставшие жертвами слишком рискованных операций. — Прим. науч. ред.

52

В оригинале имеется в виду популярная американская игра Scavenger hunt («Охота на мусор»). — Прим. пер.

53

Бернард Сандерс — американский политик левых взглядов, выступающий против имущественного неравенства; один из главных участников праймериз Демократической партии в президентских выборах 2016 и 2020 годов. — Прим. пер.

54

«Лови день» (лат.), то есть «живи настоящим». Крылатое выражение из оды Горация. — Прим. пер.

55

Имеются в виду разработчики математических моделей в экономике. См.: Паттерсон С. Кванты. Как волшебники от математики заработали миллиарды и чуть не обрушили фондовый рынок. — М.: МИФ, 2013. — Прим. пер.

56

Доктор Сьюз — псевдоним Теодора Гейсела (1904–1991), популярного детского писателя, автора книг «Кот в шляпе», «Гринч — похититель Рождества», «Хортон слышит ктошку» и т. д. — Прим. пер.

57

Слова фольклорной детской хороводной песенки «Кольцо роз», по легенде, появившейся во время Лондонской великой чумы (1666 год). — Прим. пер.

58

Этот термин изобрел журналист Джеймс Шуровьески. У Аристотеля нет такого словосочетания, хотя есть размышления на эту тему, но речь идет о «власти большинства», а не об охлократии (власти толпы), потому что чернь, по его мнению, легко соблазнить демагогией. См. «Политика», книга третья, VI, 4. — Прим. пер.

59

На самом деле слова «рынок» в этой метафоре у самого Адама Смита не было, хотя он его подразумевал. См. «Исследование о природе и причинах богатства народов», книга IV, глава II. — Прим. пер.

60

Если число элементов четное, чаще всего медианой называют полусумму двух средних элементов упорядоченного по возрастанию ряда. Например, в наборе величин (–5, 3, 4, 6, 100, 222) медиана равна 5. — Прим. пер.

61

Оно же «стандартное отклонение». — Прим. науч. ред.

62

Квартет Энскомба — четыре набора числовых данных, у которых простые статистические свойства идентичны, но их графики существенно отличаются. Назван в честь специалиста по статистике Фрэнсиса Энскомба (1918–2001). — Прим. пер.

63

Льюис М. Moneyball. Как математика изменила самую популярную спортивную лигу в мире. — М.: МИФ, 2014. — Прим. ред.

64

Смелый план! К концу 2016 года было продано 1,7 млн экземпляров. См.: https://www.nytimes.com/2016/12/03/business/media/from-michael-lewis-a-portrait-of-the-men-who-shaped-moneyball.html. — Прим. пер.

65

Gerard E. Dallal, «Why P=0.05?» May 22, 2012, http://www.jerrydallal.com/lhsp/p05.htm. (Фишер Р. А. Статистические методы для исследователей. — М.: Госиздат, 1958. — Прим. науч. ред.)

66

В книге «Дизайн экспериментов» (1935) Фишер рассказывает о том, что идея выбора этой границы пришла ему в голову после чаепития на Ротамстедской экспериментальной сельскохозяйственной станции в 1919 году. Он машинально добавил молоко в чай и вызвал неудовольствие некой леди, которая предпочитала вначале наливать молоко, а потом добавлять чай. Фишер решил провести эксперимент и проверить, можно ли почувствовать разницу на вкус. Какова вероятность угадать ответ по чистой случайности, если продегустировать одну чашку? 0,5. Две чашки? 0,25. Если взять по три чашки каждого типа (в одни сначала наливают молоко, в другие чай), вероятность случайного угадывания будет примерно равна 0,05. Он счел ее все еще недостаточной и предложил использовать минимум по четыре чашки каждого типа. См.: https://en.wikipedia.org/wiki/Lady_tasting_tea. — Прим. пер.

67

Томас Байес (1702–1761) — британский математик, пресвитерианский священник, автор одной из основополагающих теорем в теории вероятностей. — Прим. пер.

68

Программа Advanced Placement в США подразумевает, что школьники старших классов могут посещать углубленные дополнительные занятия по различным дисциплинам, сдать платный экзамен и получить преимущества при поступлении в вуз. — Прим. пер.

69

Стивен Пинкер — психолог, лингвист и популяризатор науки, автор книг «Чистый лист», «Лучшее в нас», «Язык как инстинкт». — Прим. пер.

70

Бен Блатт приводит слова Стивена Кинга об английских наречиях, которые «обычно оканчиваются на суффикс — ly», однако комментирует: от 10 до 30 % всех наречий в различных текстах оканчиваются на — ly, и нежелательными называются те, которые «всегда выбиваются из текста. Чаще всего их можно убрать или же легко передать их значение более красивым описательным глаголом». — Прим. пер.

71

Карасс — термин вымышленной религии из книги Курта Воннегута «Колыбель для кошки»: группа людей, объединенных одной метафизической целью, причем, возможно, не подозревающих о существовании друг друга. — Прим. пер.

72

В подзаголовках и иллюстрациях автор обыгрывает значение фамилии Walrus (морж) и пародирует стихотворение Льюиса Кэрролла «Морж и Плотник» из «Алисы в Зазеркалье». — Прим. пер.

73

Огюст Вальрас (1801–1866) — французский экономист и философ, автор книг «О природе богатства и ценности» и «Теория общественного богатства». — Прим. пер.

74

Так назвал Первую мировую войну Герберт Уэллс. Позже эта фраза ассоциировалась с американским президентом Вудро Вильсоном. — Прим. науч. ред.

75

Не совсем. Это должна быть парабола, которая выходит из нуля строго по горизонтали (т. е. ее угол с горизонтальной осью координат должен был бы составить 0°). — Прим. науч. ред.

76

Подразумевается коалиция, ось Рим — Берлин — Токио. В оригинале: Taxes to break the Axis. — Прим. пер.

77

Филадельфийский конвент (1787 г.) — собрание представителей штатов, в ходе которого была написана Конституция США. — Прим. науч. ред.

78

Выборы в Сенат проходят по всему штату в целом, причем Верхняя палата Конгресса каждые два года «обновляется» всего на треть, поскольку срок полномочий сенаторов — шесть лет. — Прим. пер.

79

Каждый штат выдает свои собственные водительские права, но действуют они на всей территории США. — Прим. пер.

80

Следует отметить, что иногда некоторые выборщики голосовали не так, как предписывает законодательство их штата, в том числе за кандидатов, вовсе не участвовавших в президентской гонке. Худшее, что грозит выборщикам в этом случае, — штраф $1 тыс. В июле 2020 года Верховный суд США единогласно отказался отменить наказание для «недобросовестных выборщиков» (https://edition.cnn.com/2020/07/06/politics/faithless-electors-supreme-court/index.html). — Прим. пер.

81

К июлю 2020 года инициативу поддержали уже 15 штатов и округ Колумбия, что дает 196 голосов выборщиков (https://www.nationalpopularvote.com/state-status). — Прим. пер.

82

Американская военная операция с целью свержения правительства Фиделя Кастро. — Прим. пер.

83

Социальные реформы 1964 года с целью искоренения бедности и расовой сегрегации. — Прим. пер.

84

Джон Браун (1800–1859) — радикальный борец против рабства. Приговорен к смертной казни за попытку мятежа и нападение на государственный арсенал оружия. — Прим. пер.

85

Yale Records — юмористический журнал Йельского университета (выходит с 1872 года). — Прим. пер.

86

Престижная частная школа для мальчиков в Бирмингеме (основана в 1552 году). — Прим. пер.

87

Автор обыгрывает термин теории множеств: несчетное (uncountable) множество — это бесконечное множество, элементы которого, грубо говоря, нельзя занумеровать натуральными числами (например, множество всех действительных или всех мнимых чисел). Мощность счетного множества обозначается символом ℵ_0 (алеф-нуль), далее по возрастающей идут мощности несчетных множеств: ℵ_1 (алеф-один) и т. д. — Прим. пер.

Примечания

1

Происхождение этой игры теряется в тумане. Возможно, впервые ее правила были изложены в журнале Games в конце 1990-х или начале 2000-х (хотя на мой запрос сотрудники редакции ответили, что никогда не слышали об этой игре). В 2009-м версия под названием «Тик-так-ку» (с фишками на деревянной доске) завоевала премию Менсы за лучшую американскую настольную игру. Возможно, эту игру независимо придумывали несколько раз, как некоторые танцы или дифференциальное исчисление.

2

Когда я впервые продемонстрировал эту игру моим ученикам в Оклендской чартерной средней школе (Oakland Charter High School) в 2012 году, они-то и окрестили ее «жесткие крестики-нолики» (Ultimate Tic-Tac-Toe). Мой пост в блоге с таким заголовком вызвал всплеск популярности: статью в «Википедии», несколько научных статей и множество мобильных приложений. Мораль: гордитесь, матадоры! Вы придумали название для этой штуковины.

3

Я благодарен Марку Торнтону, который прочел черновик этой главы и задал в точности тот же самый вопрос. Правки Майка сродни текстам песен Леонарда Коэна или прозе Хемингуэя: я всегда знал, что они хороши, но чем старше я становлюсь, тем больше ценю их.

4

Ключевая идея заключается в том, что у продолговатых прямоугольников непропорционально большой периметр, а у похожих на квадраты — непропорционально большая площадь. Поэтому нужно просто взять продолговатый прямоугольник (например, 10×1) и почти квадратный (например, 3×4).

5

Если в ответе должны быть целые числа, задача становится еще веселее. Вот мой вывод формулы, порождающей целое семейство решений:

Решений бесконечно много, но некоторые все равно остаются вне поля зрения, потому что другие значения d тоже могут давать целочисленные значения c. Например, эта формула не дает моего любимого решения: 1 × 33 и 11 × 6. Мой коллега Тим Кросс, съевший собаку на диофантовых уравнениях, подсказал мне ловкий способ найти все целочисленные решения. Моей профессии свойственна мизантропия, поэтому на сей раз я предлагаю читателю найти этот способ самостоятельно.

6

Эта стратегия слишком сложна, чтобы полностью изложить ее здесь, но она реализована коллегами из Академии Хана: https://www.khanacademy.org/computer-programming/tic-tac-toe/5946909186326528.

7

Я рекомендую прочесть эту историю целиком: Simon Singh, Fermat’s Last Theorem (London: Fourth Estate Limited, 1997). [Сингх C. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.]

8

Цитата из единственного словаря, чтение которого доставляет мне удовольствие: David Wells, The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics. — London: Penguin Books, 1997.]

9

По правде говоря, я скорее уж фанат «Голодных игр».

10

Майкл Першен, удивительный человек и обладатель самого аналитического интеллекта на свете, сформулировал идеи этих «стратегий» раньше, чем они пришли мне в голову. Я благодарю его за помощь при написании этой главы.

11

Посмотрите милый мультфильм на эту тему: https://www.geogebra.org/m/WFbyhq9d.

12

Моя жена математик; мы в браке уже пять лет, но, кажется, она по-прежнему помнит, как меня зовут.

13

Подробнее: Matthey Parker, Things to Make and Do in the Fourth Dimension. — London: Penguin Random House, 2014. [Паркер М. Чем заняться в четвертом измерении? — М.: АСТ, 2020.]

14

Я благодарен Мэтью Фрэнсису и Эндрю Стейси за помощь по этому вопросу. Я хотел написать, что Вселенная «гиперболическая» или «эллиптическая», а не «евклидова», но они сообщили мне, что в действительности она представляет собой труднопостигаемое лоскутное одеяло из этих более простых геометрий.

Стейси написал: «Риманова геометрия обобщает евклидову во многих отношениях; она намного богаче евклидовой, но упускает из виду некоторые аспекты, в первую очередь то, как объекты соотносятся друг с другом в различных областях пространства». Это включает и понятие параллельных прямых.

Фрэнсис добавил интересную историческую деталь: «В XIX веке Уильям Кингдон Клиффорд предложил использовать неевклидову геометрию, чтобы заменить физическое понятие силы, но он просто полагал, что „это было бы прикольно“. Меня не удивило бы, если другие тоже продумывали подобные идеи». Естественно, Эйнштейн тесно сотрудничал с математиками; ни один прорыв не происходит сам по себе.

15

Эта история изложена в графическом романе: Apostolos Doxiadis et al., Logicomix: An Epic Search for Truth (New York: Bloomsbury, 2009). [Доксиадис А., Пападимитриу Х. Логикомикс. Поиск истины. — М.: Карьера Пресс, 2019.]

16

James Gleick, The Information: A History, a Theory, a Flood (New York: Knopf Doubleday, 2011). Блестящая книга. [Глейк Дж. Информация. История. Теория. Поток. — М.: Corpus, 2013.]

17

Eugene Wigner, «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. Richard Courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, May 11, 1959», Communications on Pure and Applied Mathematics 13 (1960): 1–14. Сногсшибательное эссе. [Статья Юджина Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» в переводе В. А. Белоконя и В. А. Угарова была опубликована в журнале «Успехи физических наук» в 1968 году (Т. 94, С. 535–546; https://ufn.ru/ru/articleszf/). — Прим. науч. ред.]

18

Моим учителем в этой главе был Дэвид Кламп, чьи замечания сочетали эрудицию кого-то вроде Карла Сагана с мягкой человечностью кого-то вроде Карла Сагана (похоже, Дэвид и есть Карл Саган).

19

Israel Kleiner, «Emmy Noether and the Advent of Abstract Algebra», A History of Abstract Algebra (Boston: Birkhäuser, 2007), 91–102, https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-8176-4685-1_6#page-2. Я исказил аргумент Клейнера; ключевая идея в том, что в XIX веке удалось добиться больших успехов в геометрии и математическом анализе, но алгебра оставалась в первозданном закостенелом состоянии.

20

Joaquin Navarro, Women in Maths: From Hypatia to Emmy Noether. Everything is Mathematical (Spain: R. B. A. Coleccionables, S. A., 2013) [Наварро Х. Женщины-математики: от Гипатии до Эмми Нётер. Вып. 37. 2014. — (Сер.: Мир математики).]

21

Профессор Грейс Шоуэр Квин. См.: Marlow Anderson, Victor Katz, and Robin Wilson, Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History (Washington, DC: Mathematical Association of America, 2009).

22

См. интервью с Сильвией Серфати: Siobhan Roberts, «In Mathematics, ‘You Cannot Be Lied To’», Quanta Magazine, February 21, 2017, https://www.quantamagazine.org/sylvia-serfaty-on-mathematical-truth-and-frustration-20170221. Я рекомендую статьи Робертса о математике так же горячо, как альбомы R. E. D.

23

Colin McLarty, «The Rising Sea: Grothendieck on Simplicity and Generality», May 24, 2003, http://www.landsburg.com/grothendieck/mclarty1.pdf.

24

Natalie Wolchover, «A Long-Sought Proof, Found and Almost Lost», Quanta Magazine, March 28, 2017, https://www.quantamagazine.org/statistician-proves-gaussian-correlation-inequality-20170328. Это грандиозная статья. Надеюсь, вы простите меня за спойлеры.

25

Фарад Райахи (1939–2011).

26

Тогда как имя Кори было псевдонимом, эту девочку по-настоящему звали Вианни. Я думаю, она заслуживает славы. Я воспроизвожу диалог по памяти, но в общем и целом все так и было.

27

Использованы цитаты из выступления Тяу на пресс-конференции на Гейдельбергском форуме лауреатов в 2016 году. Я от всего сердца благодарю первоклассного человека Уайлдера Грина и команду HLF за возможность побывать на этом форуме.

28

Углы правильного пятиугольника равны 108°. Если начертить три пятиугольника с общей вершиной, останется зазор в 36° до развернутого угла и не останется места для четвертого пятиугольника. Из всех правильных многоугольников можно замостить плоскость только треугольниками (60°), квадратами (90°) и шестиугольниками (120°), поскольку все эти числа — делители 360°.

29

Некоторая гибкость все же имеет место. Я уже приводил в качестве примера постулат Евклида о параллельных прямых; вы можете выбрать другой постулат. Но когда вы возьмете его за основу, все теоремы будут вытекать из него с логической необходимостью.

Почему я низвел столь важное возражение в незаметную сноску? Ну, я полагаю, если вы достаточно дотошны, чтобы усомниться, что мы живем в евклидовом пространстве, то въедливо проинспектируете все сноски.

30

Необходимо отметить основной источник этой главы: Mario Salvadori, Why Buildings Stand Up (New York: W. W. Norton, 1980). Великолепная, внятная книга, без которой эта глава была бы шаткой, как ошибочное доказательство. Кроме того, я благодарен за помощь при написании этой главы Уиллу Уонгу, архитектору мысли и победителю университетских спортивных турниров.

31

Я узнал о египетских вязальщиках узлов из книги: Kitty Ferguson, Pythagoras: His Lives and the Legacy of a Rational Universe (London: Icon Books, 2010).

32

Усеченная пирамида — многогранник с двумя параллельными основаниями и гранями-трапециями. По-английски она называется frustum — это слово стоит знать.

33

«Википедия» указывает размеры трех туннелей (нисходящего, восходящего и горизонтального) и трех камер (Царская палата, Царицына палата, большая галерея). Их суммарный объем составляет около 1340 м^3, т. е. примерно 0,05 % от объема пирамиды 2 600 000 м^3. Я округлил это число до 0,1 %, затем (снова низкий поклон «Википедии») вычислил объем Эмпайр-стейт-билдинг (2 800 000 м^3), и 0,1 % от этого числа составляет 2800 м^3. Разделив объем на площадь одного этажа (около 7400 м^2), вы получите высоту 38 см. Но едва я закончил рукопись книги, в пирамиде была обнаружена потайная камера! Я округлил до двух футов (около 60 см), и мое округление покрывало эту неучтенную ошибку.

34

Каламбур, сознательный на 100 %.

35

Я умыкнул эти сведения из книги Сальвадори (Why Buildings Stand Up) и, вне всяких сомнений, что-нибудь упустил в пересказе.

36

Я снова позаимствовал эту информацию у Сальвадори. Как отмечает Уилл Уонг, в более традиционном представлении на первый план в этом случае выходят нужные нам свойства (распределение напряжение, предотвращение крутящего момента и т. д.), обусловленные тем, что поперечное сечение балки имеет форму буквы I.

37

Мои познания о ферменных конструкциях почерпнуты из величайшего человеческого творения — «Википедии». Подробности на страницах https://en.wikipedia.org/wiki/Truss и https://en.wikipedia.org/wiki/Truss_bridge.

38

Благодарю Кэролайн Гиллоу и Джеймса Батлера (чьи души настолько велики, что разделяющий нас Атлантический океан выглядит просто лужицей) за помощь и поддержку при написании этой главы и за то, что опыт пребывания в Англии был настолько замечательным.

39

В тот же день мой 11-летний ученик Гарри на мою приветственную реплику: «Ну, как ваш синус-косинус?» — откликнулся: «Сикось-накось!» Я же говорил, преподавать — это кайф.

40

Я зашел чересчур далеко, ревностно защищая формат бумаги А4. Возможно, потому-то меня и прозвали «неистовый Орлин». (NB: пожалуйста, никогда не называйте меня «неистовый Орлин».) Я сказал, что формат бумаги 8,5 на 11 дюймов никак не соотносится с другими форматами, но это клевета. Удвоение листа дает формат побольше (11 на 17 дюймов), располовинивание листа дает формат поменьше (5,5 на 8,5 дюймов). В этом смысле наш формат ничем не хуже A4.

Но есть одна загвоздка. В формате 8,5 на 11 дюймов одна сторона длиннее другой в 1,29 раз; в соседних форматах это соотношение составляет 1,55. Короче говоря, они имеют разную форму. Если вы когда-нибудь пытались уменьшить или увеличить масштаб ксерокопии, вы понимаете, какую головную боль вызывает это обстоятельство.

Так чем же уникальна серия форматов A1, А2 и так далее? Своей пропорциональностью. Листы бумаги в этой славной череде представляют собой подобные друг другу прямоугольники, отмасштабированные версии своих собратьев.

Я все это знал, когда работал над главой, но все же слишком далеко зашел в пылу риторики. Я благодарю Джо Суини за эту поправку и приношу свои извинения формату 8,5 на 11 дюймов: конечно, он по-прежнему неполноценен, но все же не настолько плох, как я предполагал.

41

Еще одна отрада в том, что площадь любого листа А1 в точности равна 1 м^2, и лист очередного формата вдвое меньше предыдущего по площади. Таким образом, восемь листов А4 имеют общую площадь в точности 1 м^2 (хотя нет, не в точности… из-за иррациональности).

42

Когда я работал над этой главой, мой коллега и образец для подражания Ричард Бриджес указал мне на прекрасное изложение тех же идей в эссе 90-летней давности. Я многое позаимствовал оттуда: J. B. S. Haldane, «On Being the Right Size», март 1926, https://irl.cs.ucla.edu/papers/right-size.pdf.

43

Я пренебрегаю высотой, потому что при готовке шоколадных тортов вы никогда не заполняете форму тестом доверху.

44

Я узнал эту историю из книги Kitty Ferguson, Pythagoras: His Lives and the Legacy of a Rational Universe (London: Icon Books, 2010). Как и многие басни, она, скорее всего, носит апокрифический характер.

45

Джон Коуэн (я благодарю его за сверку фактов в этой главе и за то, что он никогда не кичится и не подавляет своей эрудированностью) добавил один штрих: «На самом деле Колосс Родосский, как и статуя Свободы, был полым: бронзовые пластины и железные арматурные прутья. Следовательно, при увеличении высоты в n раз цена вырастала всего лишь в n^2 раз». Все равно чересчур для бедняги Хареса.

46

Впервые я узнал об этом в колледже из курса Лори Сантос «Секс, эволюция и человеческая природа». Нет, я, конечно, уже знал, что великанов не существует, но объяснения профессора Сантос (возможно, как я сейчас вижу, вдохновленные Холдейном) помогли сформировать костяк этой главы.

47

Пожалуйста, дозвонитесь до ваших сенаторов и убедите их профинансировать жизненно важные объекты инфраструктуры Дуэйна Джонсона, пока не стало слишком поздно.

48

Математика сопротивления воздуха лежит в основе еще одной короткой басни: «Зачем большим кораблям огромные паруса». Когда вы удваиваете размеры вашего корабля, его площадь (2D) учетверяется, но масса (3D) увеличивается в восемь раз. Вы будете ловить относительно меньше ветра, если не измените пропорции. Поэтому, если корабль в два раза длиннее, его мачты примерно в три раза выше.

49

Джон Коуэн добавляет: «Еще одна особенность муравьев — у них нет кровеносной системы, потому что они настолько малы, что не требуется внутренняя жидкость, чтобы распространять по телу кислород». Для существ, у которых меньше объема на единицу площади, достаточно диффузии.

50

См. www.thechalkface.net/resources/baby_surface_area.pdf. Эта виньетка черпает вдохновение из блога учителя математики под ником The Chalk Face [Лицо, испачканное мелом].

51

Вот еще несколько историй, не уместившихся в этой главе:

1. Почему большие воздушные шары более рентабельны? Потому что цена материала зависит от площади поверхности (2D), а подъемная сила от объема гелия (3D).

2. Почему огромных диноптиц, например индеек, приходится так долго держать в духовке? Потому что количество поглощаемого тепла растет при увеличении площади поверхности (2D), но требуется тем больше тепла, чем больше объем (3D).

3. Почему сухая пшеница совершенно безопасна, а пшеничная мука взрывоопасна? Потому что экзотермические химические реакции происходят на поверхности вещества, и крохотные частицы пыли имеют куда большую суммарную площадь поверхности на единицу объема площади, чем цельные колосья пшеницы.

52

Впервые я узнал о парадоксе Ольберса от Питера ван Доккума, который вел курс, посвященный галактикам и космологии. Если вас восторгает (или раздражает) эклектизм этой главы, то причина только в том, что я получил образование по системе свободных искусств и наук (Liberal Arts).

53

Я уступлю последнее слово Джону Коуэну: «Что, если между нами и звездами есть какие-нибудь Темные Вещи (планеты, пыль и т. д.)? Не станут ли некоторые звезды из-за этого невидимыми, не исчезнет ли парадокс? Нет, потому что звезды, заслоненные Темными Вещами, со временем разогрели бы их до звездной температуры, упразднив всю темноту».

54

E. A. Poe, Eureka: A Prose Poem (New York: G. P. Putnam, 1848). [По Э. Эврика. Поэма в прозе (Опыт о вещественной и духовной Вселенной). Пер. К. А. Бальмонта. — М.: Эксмо,2008.]

55

Исторические факты, приведенные в этой главе, я почерпнул из трех источников. Перечисляю их по убыванию объема позаимствованной информации:

• Deborah J. Bennett, Randomness (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1998).

• «Rollin’ Bones: The History of Dice», Neatorama, August 18, 2014. Из книги Uncle John’s Unsinkable Bathroom Reader, https://www.neatorama.com/2014/08/18/Rollin-Bones-The-History-of-Dice/.

• Martin Gardner, «Dice», in Mathematical Magic Show (Washington, DC: Mathematical Association of America, 1989), 251–62.

56

У курносого дисфеноида есть два кузена: грани этих полиэдров — равносторонние треугольники, но одни грани все равно будут выпадать чаще, чем другие: (1) трижды наращенная треугольная призма (спасибо за подсказку Лоуренсу Рэкхему) и (2) скрученно удлиненная четырехугольная бипирамида (спасибо за подсказку Тиму Кроссу и Питеру Оллису). Если вы предпочитаете четырехугольные грани, есть и (3) псевдодельтоидальный икоситетраэдр (спасибо за подсказку Александру Мюницу).

57

Честно говоря, прецеденты имеются. Древние жители долины реки Инд использовали треугольные продолговатые игральные кости, слепленные из глины. Их современники в Индии использовали прямоугольные параллелепипеды, выточенные из слоновой кости.

58

Возможно, это обстоятельство объясняет, почему все современные продолговатые игральные кости, которые мне довелось увидеть, или (1) крошечные, или (2) перекручены так, чтобы длинные грани оставались эквивалентными, обеспечивая удовлетворительное, сдержанное кувыркание. The Dice Lab (Лаборатория игральных костей), чья работа помогла мне найти вдохновение для этой главы, продает несколько симпатичных экземпляров второго вида.

59

Подробнее этот аргумент изложен здесь: Persi Diaconis and Joseph B. Keller, «Fair Dice», American Mathematical Monthly 96, no. 4 (April 1989): 337–39. http://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/fairdice.pdf.

60

Тем не менее некоторые цивилизации предпочитали этот способ. Древние инуиты кидали игральные кости в виде стульев, учитывая только три грани из шести. Индейцы папаго кидали кости бизонов, учитывая только две из четырех сторон.

61

Гениальные и зловредные подробности здесь: John Scarne, Scarne on Dice, 8th ed. (Chatsworth, CA: Wilshire Book Company, 1992).

62

Похожий метод, далекий от учтивости, но элегантный, использовал гангстер Большой Джул в мюзикле «Парни и куколки». На его игральных костях вообще не было точек. Но не волнуйтесь: Большой Джул прекрасно помнил, сколько точек было на какой грани.

63

Ну… почти. Настоящий знаток может распознать обман, потому что с определенного ракурса будет видно, что разметка граней необычная, как будто ее отразили в зеркале. По этой и другим причинам мошенники никогда не позволяют игральным костям долго оставаться в поле зрения, чтобы не попасться.

64

Ральф Моррисон, знаток всего обычного и необычного, рассказал мне, что Лаборатория игральных костей продает умопомрачительные 120-гранные игральные кости. Подробнее: Siobhan Roberts, «The Dice You Never Knew You Needed», Elements, New Yorker, April 26, 2016, https://www.newyorker.com/tech/annals-of-technology/the-dice-you-never-knew-you-needed.

65

На самом деле я почерпнул многое из книги: Ryder Windham, Chris Reiff, and Chris Trevas, Death Star Owner’s Technical Manual (London: Haynes, 2013). Я написал эту главу отчасти для того, чтобы вызвать улыбку Нейла Шепарда, но не передавайте ему мои слова.

66

Если вы интересуетесь такого рода вещами, я рекомендую: Trent Moore, «Death Star Architect Defends Exhaust Ports in Hilarious Star Wars ‘Open Letter’», SyFy Wire, February 14, 2014, http://www.syfy.com/syfywire/death-star-architect-defends-exhaust-ports-hilarious-star-wars-open-letter%E2%80%99.

67

Благодарю Грегора Назариана, который смягчил мое сердце, как музыкальная тема Джона Уильямса, и помог существенно улучшить эту главу. (Я упоминаю его здесь, потому что он подсказал мне идею с дианогой, а не потому, что его лицо напоминает дианогу.)

68

Информация о ледяных и каменных шарах почерпнута от Меган Вивелл из Национального Космического центра, источник: Jonathan O’Callaghan, «What Is the Minimum Size a Celestial Body Can Become a Sphere?» Space Answers, October 20, 2012, https://www.spaceanswers.com/deep-space/what-is-the-minimum-size-a-celestial-body-can-become-a-sphere/. Плотность имперской стали — моя экстраполяция.

69

Мои расчеты дают результат от 120 до 150 км.

70

Я снова и снова проводил изыскания, пытаясь обнаружить более реалистичные данные, но все источники, похоже, близко сходятся в этом вопросе. Фанаты «Звездных войн» дискутировали по этому вопросу и пришли к оценке от одного до двух миллионов: https://scifi.stackexchange.com/questions/36238/what-is-the-total-number-of-people-killed-on-the-2-death-stars-when-they-explode. Уайндэм и другие дают грубую оценку 1,2 млн человек и 400 000 дроидов. «Википедия» пишет про 1,7 млн человек и 400 000 дроидов. Чтобы доказать устойчивость моей позиции, я взял самую высокую оценку из обнаруженных.

71

Я не уверен, что успешно вплел это повествование в канву событий с учетом нового фильма «Изгой-один». Вне всяких сомнений, вольности, которые я себе позволил, огорчат по-настоящему непреклонных и достойных восхищения блюстителей канона. С другой стороны, я дал этим персонажам доступ к данным переписи в Западной Вирджинии за 2010 год, поэтому, возможно, перераспределение конструкторских заслуг — еще не худшее мое прегрешение. [Вероятно, самая большая вольность — воскрешение гранд-моффа Таркина ради этого интервью. В фильме он погиб вместе со «Звездой смерти». — Прим. пер.]

72

Zac Auter, «About Half of Americans Play State Lotteries», Gallup News, July 22, 2016, http://news.gallup.com/poll/193874/half-americans-play-state-lotteries.aspx. Однако по-прежнему верно, что лотерея — своего рода «регрессивный налог», потому что, если бедный человек тратит ту же сумму денег, что богатый, она составляет больший процент его дохода.

73

DiFiore, «15 States Where People Spend the Most on Lotto Tickets», Credit.com, July 13, 2017, https://www.marketwatch.com/story/the-states-where-people-spend-the-most-on-lotto-tickets-2017-07-24. Хотя статистика меняется из года в год, Массачусетс остается среди лидеров по этому показателю с 1987 года (между прочим, это год моего рождения).

74

Информация с сайта MassLottery.com: https://www.masslottery.com/games/instant/1-dollar/$10k-bonus-cash-142-2017.html.

75

Попробуем. «Приз 10 000 тортилий», «Приз 10 000 рукопожатий», «Приз 10 000 обнимашек с щенками». Да, это беспроигрышный зачин.

76

Примерно половина из них просто вернула вам потраченный доллар, поэтому, возможно, стоит сказать не «выигрышные», а «непроигрышные».

77

Charles Clotfelter and Philip Cook, «On the Economics of State Lotteries», Journal of Economic Perspectives 4, no. 4 (Autumn 1990): 105–19, http://www.walkerd.people.cofc.edu/360/AcademicArticles/ClotfelterCookLottery.pdf.

78

Kent Grote and Victor Matheson, «The Economics of Lotteries: A Survey of the Literature», College of the Holy Cross, Department of Economics Faculty Research Series, Paper No. 11–09, August 2011, http://college.holycross.edu/RePEc/hcx/Grote-Matheson_LiteratureReview.pdf. Пользуясь случаем, я хочу выразить огромную признательность Виктору Мэтисону, за то что он нашел время посмотреть черновик этой главы.

79

Alex Bellos, «There’s Never Been a Better Day to Play the Lottery, Mathematically Speaking», Guardian, January 9, 2016, https://www.theguardian.com/science/2016/jan/09/national-lottery-lotto-drawing-odds-of-winning-maths.

80

Victor Matheson, Kent Grote, «In Search of a Fair Bet in the Lottery», College of the Holy Cross Economics Department Working Papers. Paper 105, 2004, http://crossworks.holycross.edu/econ_working_papers/105/.

81

Например, синдикат Стефана Клинцевича купил 80 % билетов Национальной лотереи Ирландии в 1992 году. Его команда вынуждена была разделить главный приз с другими игроками, но извлекла прибыль благодаря тому, что выиграла большинство второстепенных призов. Клинцевич сказал журналистам, что избегает Национальной лотереи Великобритании, потому что там слишком мало этих второстепенных призов. Источник: Rebecca Fowler, «How to Make a Killing on the Lottery», Independent, January 4, 1996, http://www.independent.co.uk/news/how-to-make-a-killing-on-the-lottery-1322272.html.

82

Впервые я прочел эту историю в одной из самых свежих научно-популярных книг по математике: Jordan Ellenberg, How Not to Be Wrong (New York: Penguin Books, 2014). [Элленберг Дж. Сила математического мышления. — М.: МИФ, 2017.] Затем я проследил, как развивался этот сюжет, по трем восхитительным старым газетным заметкам: (1) «Group Invests $5 Million to Hedge Bets in Lottery», New York Times, February 25, 1992, https://www.nytimes.com/1992/02/25/us/group-invests-5-million-to-hedge-bets-in-lottery.html; (2) «Group’s Lottery Payout is Postponed in Virginia», New York Times, March 7, 1992, http://www.nytimes.com/1992/03/07/us/group-s-lottery-payout-is-postponed-in-virginia.html; (3) John F. Harris, «Australians Luck Out in Va. Lottery», Washington Post, March 10, 1992, https://www.washingtonpost.com/archive/politics/1992/03/10/australians-luck-out-in-va-lottery/cbbfbd0c-0c7d-4faa-bf55-95bd6590dc70/?utm_term=.9d8bd00915e8.

83

Anne L. Murphy, «Lotteries in the 1690s: Investment or Gamble?» University of Leicester, dissertation research, http://uhra.herts.ac.uk/bitstream/handle/2299/6283/905632.pdf?sequence=1. Мне нравятся названия лотерей в Англии XVII столетия, например «Честное предложение» или «Почетное предприятие». С тем же успехом они могли быть названы «Да, мы знаем, что можем околпачить вас, но обещаем этого не делать».

84

Если вы из тех, кто читает примечания, то вы наверняка знаете, о чем речь, но я все же сошлюсь: Daniel Kahneman, Thinking Fast and Slow (New York: Farrar, Straus and Giroux, 2011). [Канеман Д. Думай медленно… Решай быстро. — М.: АСТ, 2014.]

85

Daniel Kahneman, Amos Tversky, «Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk», Econometrica 47, no. 2 (1979): 263, http://www.its.caltech.edu/~camerer/Ec101/ProspectTheory.pdf.

86

Charles T. Clotfelter and Philip J. Cook, «On the Economics of State Lotteries», Journal of Economic Perspectives 4(4), 105–119.

87

Derek Thompson, «Lotteries: America’s $70 Billion Shame», Atlantic, May 11, 2015, https://www.theatlantic.com/business/archive/2015/05/lotteries-americas-70-billion-shame/392870/. Смотрите также: Mona Chalabi, «What Percentage of State Lottery Money Goes to the State?» FiveThirtyEight, November 10, 2014, https://fivethirtyeight.com/features/what-percentage-of-state-lottery-money-goes-to-the-state/.

88

Еще в 1790-х годах французские революционеры считали лотерею злым излишеством монархического государства. Но они не решались отменить ее после захвата власти по той простой причине, что нуждались в деньгах. Как иначе превратить налогофобов в добросовестных налогоплательщиков? Источник: Gerald Willmann, «The History of Lotteries», Department of Economics, Stanford University, August 3, 1999, http://willmann.com/~gerald/history.pdf.

89

Charles T. Clotfelter and Philip J. Cook, «On the Economics of State Lotteries», Journal of Economic Perspectives 4(4), 105–119.

90

Gerald Willmann, «The History of Lotteries».

91

В среднем в призовой фонд «Бинго» уходит 74 цента с каждого доллара. На скачках — 81 цент. В игровых автоматах — 89. В государственных лотереях — 50 центов. Источник: Charles T. Clotfelter and Philip J. Cook, «On the Economics of State Lotteries», Journal of Economic Perspectives 4(4), 105–119.

92

Джеральд Уиллманн.

93

Kent Grote and Victor Matheson, «The Economics of Lotteries».

94

The Lottery: Last Week Tonight with John Oliver (HBO), HBO, опубликовано на YouTube 9 ноября 2014 года, https://www.youtube.com/watch?v=9PK-netuhHA.

95

Почему люди среднего возраста тратят нешуточные суммы на лотерейные билеты? Не берусь утверждать наверняка, но, возможно, потому, что средний возраст — лучшее время для того, чтобы предаваться грезам о выигрыше в лотерею. Молодые люди способны увидеть иные пути попытать счастья. Люди постарше не настолько страстны. Лишь люди средних лет уже достаточно стары, что осознать, что особого волшебства на финансовой почве не предвидится, но еще достаточно молоды, чтоб его возжелать.

96

Полностью дискуссию на основе актуальных данных см.: Bourree Lam, «What Becomes of Lottery Winners?» Atlantic, January 12, 2016, https://www.theatlantic.com/business/archive/2016/01/lottery-winners-research/423543/.

97

Например: Milton Friedman and L. J. Savage, «The Utility Analysis of Choices Involving Risk», Journal of Political Economy 56, no. 4 (August 1948): 279–304, https://www.jstor.org/stable/1826045?seq=1.

98

Kent Grote and Victor Matheson, «The Economics of Lotteries».

99

My example is adapted from Clotfelter and Cook.

100

Типичная сценка в апреле 2010 года:

КИЗА (ее глаза лучатся любопытством). Что именно происходит в эндоплазматическом ретикулуме?

Я. Нет ни единого шанса узнать. Это неразрешимая загадка, за пределами человеческого воображения.

ТИМ (монотонным скучающим голосом). В учебнике написано, что там сворачиваются белки.

Я. Ну разумеется, Тим. Я имел в виду — помимо этого.

101

Статья, гораздо более заумная, чем моя глава, но все еще читабельная: Razib Khan, «Why Siblings Differ Differently», Gene Expression, Discover, February 3, 2011, http://blogs.discovermagazine.com/gnxp/2011/02/why-siblings-differ-differently/#.Wk7hKGinHOi.

102

Та же логика лежит в основе концепции энтропии, тенденции Вселенной к беспорядку.

Вообразите множество кирпичей. Есть крайне мало способов построить из них здание и много тоскливых, однообразных способов свалить их в кучу или разбить на осколки. Со временем случайные изменения накапливаются; есть почти нулевая вероятность, что кирпичи сами собой образуют здание; скорее всего, они всё больше будут рассыпаться. Таким образом, время предпочитает осколки, а не кирпичи.

Точно так же у частиц пищевого красителя есть крайне мало способов собраться всем вместе с одной стороны стакана воды; все молекулы тогда как будто перекувыркнутся через голову. Но у этих частиц есть много-много способов более или менее равномерно распределиться внутри жидкости; каждое распределение будет похоже на уникальную комбинацию орлов и решек. Именно поэтому случайные процессы сумасбродно и неумолимо ведут к увеличению энтропии, равномерному смешению составных частей Вселенной. Космическое предпочтение беспорядка по сути своей комбинаторно.

103

Вероятность этого варианта — около 96 %, поэтому в одном случае из 25 мое пророчество не сбудется. Однако если хотя бы 25 читателей действительно подбросят 46 монет, то аудитория научно-популярных книг по математике еще более упертая, чем я подозревал.

104

Я получил этот график непосредственно от Блейна. См. подробности по ссылке: https://thegeneticgenealogist.com/wp-content/uploads/2016/06/Shared-cM-Project-Version-2-UPDATED-1.pdf.

Ось абсцисс обозначена «сантиморганы» — один из самых запутанных научных терминов (во всяком случае, для меня). Сантиморган — это длина хромосомы, которая с вероятностью 1 % распадется в результате рекомбинации хромосом в любом из данных поколений. У вас очень много общих черт с близкими родственниками и очень мало — с дальними. Таким образом, общие сантиморганы — это показатель генетической близости.

Пока что все ясно. Но из-за того, что кроссинговер происходит с разными вероятностями по всему геному, длина сантиморгана не постоянна. Там, где кроссинговер происходит часто, сантиморганы короткие, а там, где он происходит редко, сантиморганы длинные. Кроме того, различные компании, секвенирующие ДНК, делят человеческий геном на разное число сантиморганов. Кстати, я еще не сказал, что 100 сантиморганов не образуют морган?

Еще одна головоломка: когда я перевел сантиморганы на этом графике в проценты, я обнаружил, что пик распределения расположен не в районе 50 %, а в районе 75 %. Почему? Моя жена Тэрин объяснила: коммерческие секвенаторы ДНК не могут отличить тот случай, когда есть две общие хромосомы, и тот случай, когда общая хромосома всего одна. (Теперь уже могут. — Прим. науч. ред.) По логике игры в орлянку у двух братьев и/или сестер, как правило, около 50 % генома совпадут в одной из двух гомологичных хромосом, около 25 % совпадут в обеих и 25 % не совпадут совсем. Таким образом, 75 % генома совпадают хотя бы один раз, и поэтому пик графика расположен в районе 75 %.

105

Среднее значение около 1,6 (по найденным мною данным). Для женщин это значение больше, чем для мужчин. В любом случае, утроение — это грубая недооценка числа потенциальных геномов, потому что кроссинговер может произойти (теоретически) в любой точке на протяжении всей цепочки ДНК, что подразумевает несметное число дополнительных возможностей. Подробности см.: Ron Milo and Rob Phillips, «What Is the Rate of Recombination?» Cell Biology by the Numbers, http://book.bionumbers.org/what-is-the-rate-of-recombination/.

106

Канеман Д. Думай медленно… Решай быстро. — М.: АСТ, 2013.

107

Подробнее об исходе голосования: см. 99,9997 % контента социальных сетей в те дни.

108

Michael Lewis, Liar’s Poker: Rising Through the Wreckage on Wall Street (New York: W. W. Norton, 1989).

109

Nate Silver, The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail — but Some Don’t (New York: Penguin Books, 2012), 135–37. [Сильвер Н. Сигнал и шум. Почему одни прогнозы сбываются, а другие — нет. — М.: КоЛибри, 2019.]

110

В работе над этой главой мне неимоверно помогла Шичжоу Чен, моя бывшая ученица-десятиклассница, которая сейчас превосходит меня в интеллектуальном плане. Заглавие чернового варианта главы было более дерзким, а вступление менее осознанным; Шичжоу помогла мне сократить текст. «Затейливые и забавные примеры, — написала она, — но не совсем полная картина того, что представляет собой страхование». Туше, Шичжоу.

111

Emmett J. Vaughan, Risk Management (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 1996), 5.

112

Mohammad Sadegh Nazmi Afshar, «Insurance in Ancient Iran», Gardeshgary, Quarterly Magazine 4, no. 12 (Spring 2002): 14–16.

113

«Lottery Insurance», This Is Money, July 17, 1999, http://www.thisismoney.co.uk/money/mortgageshome/article-1580017/Lotteryinsurance.html.

114

Шичжоу сделала хорошее замечание: в подобных нишах рынка страхования конкуренция ниже, а наценка выше, чем на крупных рынках, таких как стоматология или недвижимость.

115

Шичжоу проницательно добавляет: «Владелец малого бизнеса? Тогда да. Большая фирма? Абсолютно незаконно. Бухгалтерский отдел скорее потратит миллион долларов на „страхование“, чем пять долларов на „лотерею“».

116

Laura Harding and Julian Knight, «A Comfort Blanket to Cling to in Case You’re Carrying Twins», Independent, April 12, 2008, http://www.independent.co.uk/money/insurance/a-comfort-blanket-to-cling-to-in-case-youre-carrying-twins-808328.html. Оттуда же цитата Дэвида Куо.

117

См. похожий анализ: «Insurance: A Tax on People Who Are Bad at Math?» Mr. Money Mustache, June 2, 2011, https://www.mrmoneymustache.com/2011/06/02/insurance-a-tax-on-people-who-are-bad-at-math/. Масташ пишет: «Любое страхование — автомобиля, дома, ювелирных украшений, здоровья, жизни — это безумная сфера, управляемая маркетингом, страхом и сомнениями».

118

Проверьте на сайте http://www.ufo2001.com. Мой источник: Vicki Haddock, «Don’t Sweat Alien Threat», San Francisco Examiner, October 18, 1998, http://www.sfgate.com/news/article/Don-t-sweat-alien-threat-3063424.php.

119

Teresa Hunter, «Do You Really Need Alien Insurance?» Telegraph, June 28, 2000, http://www.telegraph.co.uk/finance/4456101/Do-you-really-need-alien-insurance.html.

120

Я сам придумал эти критерии. Шичжоу одолжила мне свои конспекты учебных дисциплин в бакалавриате, и перечень «характеристик страхуемого риска» немного отличался:

1) потенциальная потеря достаточно значительна, чтобы люди хотели заплатить страховой сбор;

2) убыток и его экономическое значение четко определены и неподконтрольны обладателю страхового полиса;

3) страховка выплачивается достаточно умеренному числу клиентов.

121

Две компании такого рода: Insurevents (http://www.insurevents.com/) и National Hole-in-One (http://holeinoneinsurance.co.uk).

122

Scott Mayerowitz, «After Sox Win, Sofas Are Free», ABC News, October 29, 2007, http://abcnews.go.com/Business/PersonalFinance/story?id=3771803&page=1.

123

Ознакомьтесь с их предложениями: http://www.wedsure.com.

124

Haddock, «Don’t Sweat Alien Threat».

125

Amy Sohn, «You’ve Canceled the Wedding, Now the Aftermath», New York Times, May 19, 2016, https://www.nytimes.com/2016/05/22/fashion/weddings/canceled-weddings-what-to-do.html.

126

Ко всему прочему, это поможет расширить ваш бизнес: вы сможете работать своего рода консультантом по рискам. «Специализированная экспертиза — одна из причин, по которой фирмы покупают страховку, — сказала мне Шичжоу. — Когда снимаешь кино, всегда нанимается страховой инспектор, чтобы убедиться, что актеры в безопасности. Иначе в кино было бы больше безумных и бессмысленных взрывов, чем мы наблюдаем сегодня».

127

Olufemi Ayankoya, «The Relevance of Mathematics in Insurance Industry», февраль 2015 г.

128

«Loss-of-Value White Paper: Insurance Programs to Protect Future Earnings», NCAA.org, http://www.ncaa.org/about/resources/insurance/loss-value-white-paper.

129

Andy Staples, «Man Coverage: How Loss-of-Value Policies Work and Why They’re Becoming More Common», SportsIllustrated.com, January 18, 2016, https://www.si.com/college-football/2016/01/18/why-loss-value-insurance-policies-becoming-more-common.

130

Громкое имя, не правда ли? Will Brinson, «2017 NFL Draft: Jake Butt Goes to Broncos, Reportedly Gets $500K Insurance Payday», CBS Sports, April 29, 2017, https://www.cbssports.com/nfl/news/2017-nfl-draft-jake-butt-goes-to-broncos-reportedly-gets-500k-insurance-payday/.

131

Можно перечислить целую полку книг на эту тему. Я рекомендую тексты Сары Клифф, журналистки Vox: https://www.vox.com/authors/sarah-kliff. Шичжоу рекомендует два выпуска документальной радиопередачи «Эта американская жизнь» от 2009 года: «More Is Less» (№ 391) и «Someone Else's Money» (№ 392): http://hw3.thisamericanlife.org/archive/favorites/topical.

132

Несомненно, основной источник этой главы: David Orrell and Paul Wilmott, The Money Formula: Dodgy Finance, Pseudo Science, and How Mathematicians Took Over the Markets (Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2017).

133

Окей, в моем случае скорее «увязываем случайные вероятности». Уолл-стрит использует два более серьезных подхода. Во-первых, опирается на данные за разные периоды. Во-вторых, смотрит на рыночную цену аналогичных облигаций и учитывает ее при подсчете вероятности дефолта. Второй метод может породить жуткие взаимозависимости и петли обратной связи: вместо того чтобы выносить суждение самостоятельно, вы умножаете эхо мнимой мудрости рынка. Завяжите узелок на память: мы еще вернемся к этой теме.

134

Michael Lewis, The Big Short: Inside the Doomsday Machine (New York: W. W. Norton, 2010). [Льюис М. Игра на понижение. Тайные пружины финансовой катастрофы. — М.: Альпина Паблишер, 2019.] Или, если вы предпочитаете не читать, а слушать: «The Giant Pool of Money», This American Life, episode #355, May 9, 2008A. Этот эпизод включает ключевой подкаст Planet Money.

135

Я видел эти эскизы 4 июня 2017 года в прекрасном бельгийском музее Магритта. Советую посетить его, если вы окажетесь в Бельгии и захотите приправить сюрреализмом вашу картошку фри.

136

Это общепринятые финансовые термины, которые мне сообщила Джессика Джефферс. Я должен принести ей благодарность за помощь при работе над этой главой. Я шучу всего на 37 %, когда говорю, что Джесс — моя кандидатура на пост председателя Совета управляющих Федеральной резервной системы США.

137

Еще один важный источник этой главы (в особенности дискуссии о гауссовой копуле): Felix Salmon, «Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street». Wired, February 23, 2009, https://www.wired.com/2009/02/wp-quant/.

138

А также критическая доза сумасшествия (complete damn stupidity).

139

См. другой важный источник этой главы: Keith Hennessey, Douglas Holtz-Eakin and Bill Thomas, «Dissenting Statement», Financial Crisis Inquiry Commission, January 2011, https://fcic-static.law.stanford.edu/cdn_media/fcic-reports/fcic_final_report_hennessey_holtz-eakin_thomas_dissent.pdf.

140

James Surowiecki, The Wisdom of Crowds: Why the Many Are Smarter than the Few and How Collective Wisdom Shapes Business, Economies, Societies, and Nations (New York: Anchor Books, 2004). [Шуровьески Дж. Мудрость толпы. Почему вместе мы умнее, чем поодиночке, и как коллективный разум влияет на бизнес, экономику, общество и государство. — М.: МИФ, 2014.]

141

Оррелл и Уилмотт.

142

Канеман Д. Думай медленно… Решай быстро. — М.: АСТ, 2013.

143

Благодарю Ричарда Бриджеса за (1) его помощь в подготовке этой главы и (2) за его платонизм, прагматизм, талант учителя, блестящий ум и доказательство того, что все эти качества могут уживаться в одном человеке.

144

Все данные из «Википедии». Ради вас, дорогой читатель, я использую самые надежные источники.

145

Loyd Grossman’s. Еще у них есть тикка-масала в банках.

146

Моим студентам всегда кажется странным и слишком запутанным возводить разницы в квадрат, складывать и потом извлекать квадратный корень. Почему бы просто не усреднить разности? То, что получится, называется «среднее абсолютное отклонение». Смысл его примерно тот же, что у среднеквадратичного отклонения, но ему не хватает важных теоретических свойств. Для статистических моделей важно, что легко вычислять дисперсии от сумм и произведений случайных величин.

147

Окей, пристегнитесь! Пора заняться кое-чем буйническим — это мое слово-гибрид от «буйный» и «технический». Для начала постройте диаграмму разброса данных, скажем рост (координата по горизонтали) и вес (по вертикали). Обозначьте каждого человека точкой.

Теперь найдите средний рост и средний вес в этой популяции.

Затем возьмите отдельного человека. Насколько его вес и рост отличаются от средних значений? Если его вес/рост больше средних величин, засчитайте разницу как положительную, если меньше — как отрицательную.

Затем — и это решающий шаг — перемножьте эти два значения. Если человек выше и тяжелее среднего, итог будет положительным. То же самое, если он ниже и легче среднего (потому что минус на минус дает плюс). Но если только одна из величин меньше среднего, результат будет отрицательным (потому что минус на плюс дает минус).

Проделайте эти вычисления для каждой точки, а затем найдите среднее арифметическое всех произведений. Эта величина называется ковариацией (кузина нашей знакомой дисперсии).

Вы почти у финиша! На завершающем этапе поделите это число, чтобы окончательный результат лежал между –1 и 1. (Поделить на что? Ну, подумайте о недостатке ковариации: если рост и вес людей весьма разнообразны, то отклонением от среднего, как правило, будет большее число. Другими словами, ковариация будет больше для неустойчивых величин и меньше для стабильных, вне зависимости от взаимосвязи между ними. Каким образом решить эту проблему? Просто поделите ковариацию на произведение среднеквадратичных отклонений — вы получите корреляцию.)

Уф! Теперь легкий этап: интерпретируем результаты.

Положительная корреляция (например, 0,8) подразумевает, что люди ростом выше среднего, как правило, еще и больше весят. Отрицательная корреляция (например, –0,8) подразумевает обратное: преобладают высокие худые люди или низкорослые толстяки. И наконец, корреляция, близкая к нулю, означает, что никакой значимой взаимосвязи нет. (На самом деле связь может быть, просто более сложная. — Прим. науч. ред.)

148

Цит. по книге: «Henry Chadwick», National Baseball Hall of Fame, http://baseballhall.org/hof/chadwick-henry. «Каждое движение, — сказал он о бейсболе, — стремительно, словно полет морской птицы». Мой друг Бен Миллер по этому поводу задался вопросом: африканской ласточки или европейской? (Цитата из знаменитого комедийного фильма «Монти Пайтон и Священный Грааль»: «Какова скорость полета порожней ласточки? — Какую ласточку вы имеете в виду — африканскую или европейскую?» — Прим. пер.) (Ласточка — не морская птица. — Прим. науч. ред.)

149

Этот рекорд принадлежит отбивающему Брайану Лара из команды West Indies. В 2004 году во время матча с Англией он набрал ровно 400 пробежек без единого аута. Я рад странной статистической перекличке с названием этой главы.

150

Цит. по книге: Michael Lewis, Moneyball: The Art of Winning an Unfair Game (New York: W. W. Norton, 2003), 70. Никто не удивится, если я признаюсь, что эта глава в неоплатном долгу перед книгой «Манибол», и, если вы готовы вытерпеть историю бейсбольной статистики (дело десятое, интересна она вам или нет), вы получите удовольствие от этой книги.

151

Я взял для примера сезон английской Премьер-лиги, состоящий из 38 игр. Каждая игра длится 90 минут, накинем еще по 10 минут добавленного времени и получим в общей сложности 3800 минут. Двенадцать точек сбора данных в минуту (т. е. каждые 5 секунд) дадут 45 600 точек — все равно меньше, чем 48 000 в бейсболе, но довольно близко.

152

Ernest Hemingway, The Old Man and the Sea, Life, September 1, 1952. Над заглавием значилось: «Редакция журнала Life с гордостью представляет вниманию читателей новую великую книгу великого американского писателя, публикуемую впервые и в полном объеме».

153

Branch Rickey, «Goodby to Some Old Baseball Ideas», Life, August 2, 1954. Подзаголовок гласил: «Знаток игры приоткрывает формулу, которая с помощью статистики развенчивает лелеемые мифы и показывает, что побеждает на самом деле».

154

E. Miklich, «Evolution of 19th Century Baseball Rules», 19cBase ball.com, http://www.19cbaseball.com/rules.html.

155

Понадобилось много времени, чтобы решить, сколько болов обеспечивают пробежку. Вначале договорились о трех, потом прошли все числа от девяти до пяти и в конце концов в 1889 году сошлись на четырех. Так и осталось до сих пор.

156

Даже тогда обозреватели не вполне принимали их. Просто послушайте журналиста Фрэнсиса Рихтера: «Цифры [для пробежек] не имеют особой ценности или значения. Они зависят всецело от питчера и неподконтрольны отбивающему, и поэтому не нужно рассматривать этот показатель в связи с его индивидуальной работой, за исключением тех случаев, когда они могут косвенно указывать на его способность „пережидать“ питчера или „работать“ с ним». Bill James, The New Bill James Historical Baseball Abstract (New York: Free Press, 2001), 104.

157

Например, в 2017 году лидером лиги был Джои Вотто. Его результат — 134 пробежки при 707 подходах к бите, т. е. 19 %.

158

В 2017 Алкид Эскобар совершил 15 пробежек при 629 подходах к бите, т. е. 2,4 %. Тим Андерсон «побил» этот антирекорд: 13 пробежек при 606 выходах к бите, т. е. 2,1 %.

159

Будучи учителем математики, я ненавижу это нагромождение статистических показателей, потому что обессилеваю всякий раз, когда кто-нибудь складывает дроби с разными знаменателями. Я всегда хотел, чтобы рассчитали новый вид статистики — «набранные базы делить на выходы к бите», наподобие SLG, за исключением того, что вы учитываете пробежки наравне с синглами. Работая над этой главой, я осознал свою глупость: хотя концепция довольно ясная, этот новый вид статистики будет обладать на практике меньшей предсказательной силой. Судя по данным за 2017 год, коэффициент корреляции для такого показателя составит 0,873. Это меньше, чем у OBP.

160

Alan Schwarz, «Looking Beyond Batting Average», New York Times, August 1, 2004, https://www.nytimes.com/2004/08/01/sports/keeping-score-looking-beyond-batting-average.html.

161

Например: «Вот бы взять с собой в море великого Ди Маджио, — сказал старик. — Говорят, его отец был рыбаком».

162

Scott Gray, The Mind of Bill James: How a Complete Outsider Changed Baseball (New York: Three Rivers Press, 2006). В книге приведено несколько афоризмов Билли Джеймса, в том числе такой: «Всегда кто-то сражается на передовой, а кто-то плетется в арьергарде. Но знания сдвигают саму линию фронта». И еще: «Когда в ходе дискуссии вы приводите точные, неоспоримые факты, дискуссия приобретает совсем иной характер».

163

И все же на протяжении 1970-х годов статистика MLB выстраивала рейтинг атакующих игроков по BA, а не по количеству заработанных очков. «Очевидно, — сострил Джеймс, — что цель нападающего состоит не в том, чтобы повысить свой BA».

164

Michael Haupert, «MLB’s Annual Salary Leaders Since 1874», Outside the Lines (Fall 2012), Society for American Baseball Research, http://sabr.org/research/mlbs-annual-salary-leaders-1874–2012. Я немного жульничаю, не учитывая на этом графике инфляцию; например, зарплата Ди Маджио в 1951 году составляла $90 000, что соответствует $800 000 в 2017 году. В любом случае влияние свободных агентов сложно отрицать.

165

Pete Palmer, The 2006 ESPN Baseball Encyclopedia, (New York: Sterling, 2006), 5.

166

Bill Nowlin, «The Day Ted Williams Became the Last.400 Hitter in Baseball», The National Pastime (2013), Society for American Baseball Research, https://sabr.org/research/day-ted-williams-became-last-400-hitter-baseball.

167

Бен Миллер (джентльмен, героический кулинар и неисправимый фанат «Ред Сокс») заметил, что успех Уильямса выходит далеко за рамки этого числа. В 1941 году «его OBP составлял 55,3 % — рекордное число для одного сезона за 60 лет. OBP Уильямса за всю его карьеру равен 48,2 % — выше нет ни у кого. BA Уильямса за всю карьеру составляет 34,4 %, он на шестом месте среди всех игроков, и в этом списке, лишь начиная с 17 места (Тони Гвин), появляются лидеры по BA, игравшие после 1940 года». Как ни крути, Великолепная Заноза (прозвище Уильямса) знал свое дело.

168

Bill Pennington, «Ted Williams’s. 406 Is More Than a Number», New York Times, September 17, 2011, http://www.nytimes.com/2011/09/18/sports/baseball/tedwilliamss-406-average-is-more-than-a-number.html.

169

Широко цитируемая статья 2011 года показала опасность стандартных статистических методов. Авторы пришли к абсурдному выводу: прослушивание песни «Битлз» «Когда мне будет шестьдесят четыре» делает студентов моложе. Они не просто ощущают себя моложе. Они действительно молодеют — или так говорят статистики. Это дерзкая, блестящая и заслуживающая внимания статья: Joseph Simmons, Leif D. Nelson, and Uri Simonsohn, «False-Positive Psychology: Undisclosed Flexibility in Data Collection and Analysis Allows Presenting Anything as Significant», Psychological Science 22, no. 11 (2011): 1359–66, http://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/0956797611417632.

Из научно-популярных статей я рекомендую: «Daryl Bem Proved ESP Is Real: Which Means Science Is Broken», Slate, May 17, 2017, https://slate.com/health-and-science/2017/06/daryl-bem-proved-esp-is-real-showed-science-is-broken.html.

Кроме того, я чрезвычайно благодарен Кристине Ольсон (наставница единожды — наставница навеки!), Симин Вазир (она откликнулась на мое письмо спустя 17 секунд) и Санджай Шривастава (я цитирую его ближе к концу главы) за их помощь и поддержку при написании этой главы.

170

p-значение — это вероятность получить экстремальный результат в случае, если гипотеза, которую проверяет эксперимент, ложна, т. е. на самом деле все результаты чисто случайны.

Или чуть более подробно:

1. Предположим, что мы подпали под власть фантома и что шоколад на самом деле не делает людей счастливыми.

2. Сделаем распределение всех возможных результатов эксперимента. Большинство результатов будут низкосортными, заурядными и вряд ли введут нас в заблуждение. Но несколько фантомов будут свидетельствовать о том, что шоколад резко повышает ощущение счастья.

3. Посмотрим, каков перцентиль нашего результата в этом распределении.

Низкое значение (например, 0,03, т. е. 97-й перцентиль) говорит о том, что фантомов мало. Всего лишь 3 % ложных результатов будут такими поразительными и обманчивыми. Это крайне низкое значение позволяет предположить, что — возможно — наш результат вовсе не фантомный. Возможно, эффект, который мы исследуем, имеет отношение к действительности.

Строго говоря, такое свидетельство косвенное. 3 % — это не вероятность получить тот или иной фантомный результат. Это вероятность того, что вы случайно получите исход, подтверждающий вашу ложную гипотезу.

171

Kristina Olson et al., «Children’s Biased Evaluations of Lucky Versus Unlucky People and Their Social Groups», Psychological Science 17, no. 10 (2006): 845–46, https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1111/j.1467–9280.2006.01792.x#articleCitationDownloadContainer.

172

Kristina Olson et al., «Judgments of the Lucky Across Development and Culture», Journal of Personality and Social Psychology 94, no. 5 (2008): 757–76.

173

Ben Orlin, «Haves and Have Nots: Do Children Give More to the Lucky Than the Unlucky?» Yale University, senior thesis in psychology, 2009. Научный руководитель — Кристина Ольсон, которая заслуживает благодарности за все достоинства этой работы и не несет ответственности за ее недостатки.

174

Я предположил, что восьмилетние будут восприимчивы к ситуации: отдадут игрушку тем, кому так ужасно не повезло игрушку потерять, но не тем, кого постигла несущественная неудача (например, необходимость играть с нелюбимым одноклассником), в то время как пятилетние будут невосприимчивы к такого рода случаям. p-значение этого эксперимента составило 0,15.

175

Горячо рекомендую: http://www.tylervigen.com/.

176

Leslie John, George Loewenstein, and Drazen Prelec, «Measuring the Prevalence of Questionable Research Practices with Incentives for Truth Telling», Psychological Science 23, no. 5 (2012): 524–32, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.727.5139&rep=rep1&type=pdf.

177

Это не вполне несправедливое сравнение, поскольку даже взломщик p-значения не будет задним числом останавливать исследование при минимальном p-значении. Идея пересчета данных после каждого респондента тоже сомнительна.

178

Вначале я подумал, что это звучит глупо. Что-то вроде: «Наши американские горки предназначены для людей ростом от 120 см, но дети придумали уловку: один встает другому на плечи и надевает длинный плащ. Поэтому давайте поднимем планку до 150 см». Затем я прочитал актуальную статью: Daniel J. Benjamin et al., «Redefine Statistical Significance», PsyArXiv, July 22, 2017, https://psyarxiv.com/mky9j/. Она меня переубедила. Похоже на то, что снижение планки с 0,05 до 0,005 будет лучше соответствовать интуитивным байесовским порогам, и для снижения количества ложноположительных результатов требуется лишь умеренное увеличение размеров выборки. Кроме того, следует подчеркнуть, что подходы байесовцев хитроумнее и существенно сложнее, чем я изобразил в этой главе. Вопрос, каким должно быть предварительное суждение, можно обойти, проведя анализ со всем многообразием первоначальных оценок и построив графики общих тенденций. Как бы то ни было, Санджай Шривастава убедил меня, что на самом деле переход к байесианизму не устранит кризиса отсутствия повторяемости, однако может быть полезен по другим причинам.

179

Open Science Collaboration, «Estimating the Reproducibility of Psychological Science», Science 349, no. 6251 (2015): http://science.sciencemag.org/content/349/6251/aac4716.

180

Jay Mathews, «Jaime Escalante Didn’t Just Stand and Deliver. He Changed U. S. Schools Forever», Washington Post, April 4, 2010, http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2010/04/02/AR2010040201518.html.

181

«Mail Call», Newsweek, June 15, 2003, http://www.newsweek.com/mail-call-137691.

182

Jay Mathews, «Behind the Rankings: How We Build the List», Newsweek, June 7, 2009, http://www.newsweek.com/behind-rankings-how-we-build-list-80725.

183

Tim Harford, Messy: How to Be Creative and Resilient in a Tidy-Minded World (London: Little, Brown, 2016), 171–73.

184

Это не выдумка: Cathy O’Neil, Weapons of Math Destruction: How Big Data Increases Inequality (New York: Broadway Books, 2016), 135–40.

185

Jay Mathews, «The Challenge Index: Why We Rank America’s High Schools», Washington Post, May 18, 2008, http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2008/05/15/AR2008051502741.html.

186

Я смотрю американский футбол с семи лет и никогда не понимал рейтинг пасующего. Сейчас я решил, что настало время попробовать. Потребовалось несколько минут, чтобы распутать формулу, но, когда мне это удалось, я увидел, что в ней нет ничего сложного. Во-первых, она начисляет и отнимает очки (1 за ярд, 20 за завершенный пас, 80 за тачдаун и –100 за перехват). Во-вторых, она позволяет вычислить среднее количество очков за попытку паса. И в-третьих, пышным цветом расцветают бессмысленные операции сложения и умножения. Или в виде уравнения:

Мы могли бы закончить на этом… однако такая формула может дать отрицательные значения (если перехватов было слишком много), и результат не имеет верхнего предела (в то время как фактический максимум равен 158⅓, и его добились больше 60 квотербеков). Дабы исправить этот изъян, необходимо ограничить число возможных очков по каждой переменной, и тогда получится формула из основного текста книги.

Почему рейтинг пасующего кажется таким запутанным? Как и с большинством жутких формул, роль играют два фактора: (1) она сбивает с толку, потому что в нее входят четыре переменных со странными коэффициентами, к тому же результат каждого умножения ограничен сверху и/или снизу; и (2) кроме того, большинство источников объясняет ее бесполезным, абсурдным и туманным образом. Загляните в «Википедию», чтобы понять, что я имею в виду.

187

Mathews, «Behind the Rankings».

188

J. P. Gollub et al., eds., «Uses, Misuses, and Unintended Consequences of AP and IB», Learning and Understanding: Improving Advanced Study of Mathematics and Science in U. S. High Schools, National Research Council (Washington, DC: National Academy Press, 2002), 187, https://www.nap.edu/read/10129/chapter/12#187.

189

Согласно этому опросу, больше 20 % учителей в стране, преподающих в рамках программы AP, полагали, что «Индекс вызовов» оказал «некое влияние» на количество предлагаемых факультативов AP. В городах и пригородах доля учителей, придерживающихся этого мнения, ближе к трети. Между тем всего 17 % считают, что этот рейтинг — «хорошая идея». Steve Farkas and Ann Duffett, «Growing Pains in the Advanced Placement Program: Do Tough TradeOffs Lie Ahead?» Thomas B. Fordham Institute (2009), http://www.edexcellencemedia.net/publications/2009/200904_growingpainsintheadvancedplacementprogram/AP_Report.pdf.

190

Valerie Strauss, «Challenging Jay’s Challenge Index», Washington Post, February 1, 2010, http://voices.washingtonpost.com/answer-sheet/high-school/challenged-by-jays-challenge-i.html.

В 2006 году, согласно «Индексу вызовов», Истсайдская государственная школа в Гейнсвилле (штат Флорида) заняла шестую строчку в рейтинге по всему США. Однако лишь 13 % из почти 600 учеников-афроамериканцев в этой школе обладали навыками чтения на необходимом уровне. В школах, которые заняли 21-е и 38-е место, наблюдались схожие несоответствия. Критики решили: это свидетельствует о том, что неподготовленных студентов загоняют на курсы уровня колледжа, чтобы школу заприметил Newsweek. Источник: Michael Winerip, «Odd Math for ‘Best High Schools’ List», New York Times, May 17, 2006, http://www.nytimes.com/2006/05/17/education/17education.html.

191

John Tierney, «Why High-School Rankings Are Meaningless — and Harmful», Atlantic, May 28, 2013, https://www.theatlantic.com/national/archive/2013/05/why-high-school-rankings-are-meaningless-and-harmful/276122/.

192

Mathews, «Behind the Rankings».

193

Jay Mathews, «I Goofed. But as Usual, a Smart Educator Saved Me», Washington Post, June 25, 2017, https://www.washingtonpost.com/local/education/i-goofed-but-as-usual-a-smart-educator-saved-me/2017/06/25/7c6a05d6-582e-11e7-a204-ad706461fa4f_story.html.

194

Winerip, «Odd Math for ‘Best High Schools’ List».

195

Jay Mathews, «America’s Most Challenging High Schools: A 30-Year Project That Keeps Growing», Washington Post, May 3, 2017, https://www.washingtonpost.com/local/education/jays-americas-most-challenging-high-schools-main-column/2017/05/03/eebf0288-2617-11e7-a1b3-faff0034e2de_story.html.

196

Не все ученые согласны с этим. Книга «AP: критическое рассмотрение программы Advanced Placement», вышедшая в 2010 году, излагает общую точку зрения исследователей: рост числа сдающих AP означает уменьшение эффективности этой программы. Один из редакторов Филипп Сэдлер сказал: «Факультативы AP не дают волшебных преимуществ школьникам, которые, возможно, извлекли бы больше пользы, если бы проходили курс обучения не ради увеличения символического капитала колледжа». Источник: Rebecca R. Hersher, «The Problematic Growth of AP Testing», Harvard Gazette, September 3, 2010, https://news.harvard.edu/gazette/story/2010/09/philip-sadler/.

197

Mathews, «America’s Most Challenging High Schools».

198

Mathews, «The Challenge Index».

199

У меня есть скромное предложение Мэтьюсу: вместо того чтобы подсчитывать количество экзаменов, учесть число учеников, получивших по крайней мере 2 балла. Мой опыт (и техасское исследование, которое любит цитировать Мэтьюс) показывает, что 2 балла на экзамене AP означают проблеск интеллекта, сигнал роста. И я не уверен, что типичный однобалльник хоть что-то извлек из занятий. Требование, чтобы школьники преодолели некоторый барьер, устранит стремление принуждать совершенно неподготовленных детей сдавать экзамен.

200

Ben Blatt, Nabokov’s Favorite Word Is Mauve (New York: Simon & Schuster, 2017). [Блатт Б. Любимое слово Набокова — лиловый. Что может рассказать статистика о наших любимых авторах. — М.: Бомбора, 2019.]

201

Я вычислил «рейтинг величия» на основе данных Goodreads, где читатели проставляют оценку от одной до пяти звездочек. Вначале я подсчитал совокупное количество звездочек, выставленное каждой книге. Для Фолкнера этот показатель составляет от около 1500 («Пилон») до более чем 500 000 («Шум и ярость»). Затем я взял логарифм, который превратил экспоненциальную шкалу в линейную. Корреляция между «величием» и частотностью наречий составляла –0,825. Аналогичный анализ текстов Хемингуэя и Стейнбека дал коэффициенты корреляции –0,325 и –0,433 — существенно, но трудно увидеть на графике. Информацию о частотности наречий я почерпнул у Блатта, а мой метод представляет собой вариацию предложенного им. (Он использовал количество оценок вместо количества звездочек; результат был очень близок к моему.)

202

Jean-Baptiste Michel et al., «Quantitative Analysis of Culture Using Millions of Digitized Books», Science 331, no. 6014 (2011): 176–82, http://science.sciencemag.org/content/early/2010/12/15/science.1199644.

Характерная цитата: «Один человек не в силах прочесть весь корпус целиком. Если вы попытаетесь прочесть хотя бы тексты за 2000 год с разумной скоростью 200 слов в минуту без перерыва на еду и сон, это займет у вас 80 лет. Количество букв больше, чем нуклеотидов в человеческом геноме. Если записать все буквы в строчку, она будет в десять раз длиннее, чем расстояние от Земли до Луны».

203

Patricia Cohen, «In 500 Billion Words, New Window on Culture», The New York Times, December 16, 2010, http://www.nytimes.com/2010/12/17/books/17words.html.

204

Мишель и Эйден пишут (курсив мой): «Чтение небольших подборок тщательно отсортированных работ позволяет ученым сделать убедительные выводы о тенденциях человеческого мышления. Однако такой подход редко позволяет точно измерить глубинные явления».

205

Virginia Woolf, A Room of One’s Own (1929). [Вулф В. Своя комната. — М.: МИФ, 2019.]

206

Попробуйте сами: https://applymagicsauce.com/.

207

На сайте http://mathwithbaddrawings.com/.

208

Moshe Koppel, Shlomo Argamon, and Anat Rachel Shimoni, «Automatically Categorizing Written Texts by Author Gender», Literary and Linguistic Computing 17, no. 4 (2001): 401–12, http://u.cs.biu.ac.il/~koppel/papers/male-female-llc-final.pdf.

209

Shlomo Argamon et al., «Gender, Genre, and Writing Style in Formal Written Texts», Text 23, no. 3 (2003): 321–46, https://www.degruyter.com/view/j/text.1.2003.23.issue-3/text.2003.014/text.2003.014.xml.

210

Justin Tenuto, «Using Machine Learning to Predict Gender», CrowdFlower, November 6, 2015, https://www.crowdflower.com/using-machine-learning-to-predict-gender/.

211

Cathy O’Neil, «Algorithms Can Be Pretty Crude Toward Women», Bloomberg, March 24, 2017, https://www.bloomberg.com/view/articles/2017-03-24/algorithms-can-be-pretty-crude-toward-women.

212

В книге «Своя комната» Вулф пишет: «Тяжестью, поступью, ритмом мужской ум слишком отличается от [женского], чтобы ему удалось перенять от него что-то существенное. <…> Возможно, взявшись за перо, женщина прежде всего обнаружила, что ей не годится существующее построение фразы». Хотя ей нравится этот мужской стиль («быстрый, но не неряшливый, выразительный, но не манерный»), она добавляет: «такие фразы не годились женщине». «Шарлотта Бронте, при всем ее великолепном даре прозаика, спотыкалась и падала с этим неуклюжим оружием. <…> Джейн Остин посмотрела, рассмеялась и придумала свою собственную, идеально естественную, стройную фразу и никогда не отступалась от нее. Поэтому она сказала бесконечно больше, чем Шарлотта Бронте, хотя обладала меньшим талантом».

213

Frederick Mosteller and David Wallace, «Inference in an Authorship Problem», Journal of the American Statistical Association 58, no. 302 (1963): 275–309.

214

В буквальном смысле слова. Блатт пишет: «Они взяли копию каждого эссе и вырезали все слова по отдельности, а затем разложили в алфавитном порядке (вручную). Мостеллер и Уоллес пишут: „…неосторожный выдох поднял вихрь конфетти и сделал нас заклятыми врагами“».

Я был чрезвычайно близок к тому, чтобы назвать эту главу «Вихрь конфетти и заклятый враг».

215

Sarah Allison et al., «Quantitative Formalism: An Experiment», Stanford Literary Lab, pamphlet 1, January 15, 2011, https://litlab.stanford.edu/LiteraryLabPamphlet1.pdf. Я люблю эту статью. По правде говоря, я рекомендую все прочитанные мною статьи Лаборатории литературоведения Стэнфорда. Они похоже на старые мультфильмы студии Pixar: ни одного промаха.

216

Вы можете обойти это правило, если совершаете много транзакций одновременно. Закупка 100 000 карандашей на сумму $50 438,71 означает, что каждый карандаш вы купили за $0,5043871. Финансовые учреждения, осуществляющие огромное количество транзакций в день, часто оперируют крошечными долями цента.

217

На самом деле он не формулировал вопрос напрямую: «Нет ничего полезнее воды, но на нее почти ничего нельзя купить, почти ничего нельзя получить в обмен на нее. Напротив, алмаз почти не имеет никакой потребительной стоимости, но часто в обмен на него можно получить очень большое количество других товаров».

Adam Smith, An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations (1776), book I, chapter IV, paragraph 13, accessed through the online Library of Economics and Liberty: http://www.econlib.org/library/Smith/smWN.html. [Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов. — М.: Эксмо, 2016.]

218

Основной источник этой главы — чудесная книга: Agnar Sandmo, Economics Evolving: A History of Economic Thought (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2011). [Сандмо А. Экономика: история идей. — М.: Издательство Института Гайдара, 2019.]

219

Campbell McConnell, Stanley Brue, Sean Flynn, Economics: Principles, Problems and Policies, 19th ed. (New York: McGraw-Hill Irwin, 2011). [Макконнелл Кэмпбелл Р., Флинн Шон Масаки, Брю Стэнли Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика. — М.: Инфра-М, 2018.] Цитата о плодородной земле: 7.1, Law of Diminishing Returns, http://highered.mheducation.com/sites/0073511447/student_view0/chapter7/origin_of_the_idea.html.

220

Майкл Торнтон отмечает (и я смиренно благодарю его за помощь в работе над главой), что эта аналогия упускает некоторые тонкости. Неоднородная почва может идеально подходить для выращивания нескольких сельскохозяйственных культур, которым требуются разные условия, и фермеры могут применять определенные приемы (например, севооборот), чтобы улучшить качество почвы.

221

William Stanley Jevons, «Brief Account of a General Mathematical Theory of Political Economy», Journal of the Royal Statistical Society, London 29 (June 1866): 282–87, https://socialsciences.mcmaster.ca/econ/ugcm/3ll3/jevons/mathem.txt.

222

Снова Джевонс. Его приятно цитировать. Эта глава доставила мне много радости.

223

Для освежения памяти я обратился к конспектам лекций Майкла Бржезински, доцента факультета экономики Варшавского университета: http://coin.wne.uw.edu.pl/mbrzezinski/teaching/HEeng/Slides/marginalism.pdf.

224

Фраза из видеоролика Mankiw’s Ten Principles of Economics, Translated, который перепахал меня, когда я первый раз увидел его в студенческие годы. Посмотрите сами на сайте: http://standupeconomist.com/.

225

Сандмо А. Экономика: история идей. — М.: Издательство Института Гайдара, 2019.

226

Там же.

227

Цитата из «Википедии». Тсс, никому не говорите.

228

Джевонс воплотил эту схему. Он предсказал, что Британия скоро исчерпает свои запасы угля, и утверждал, что взлеты и падения бизнес-цикла происходят из-за перепадов температуры, вызванных появлением пятен на Солнце. Окей, он ошибался по обоим пунктам, но мы знаем об этом именно благодаря введенным им методам.

Вальрас, напротив, был немного антиэмпириком. Его точка зрения заключалась в том, что вы должны, во-первых, отфильтровать хаотичные детали реальности, чтобы прийти к чистым количественным концепциям. Во-вторых, вы должны оперировать этими математическими абстракциями и рассуждать о них. В-третьих, можно сказать с опозданием, вы вспоминаете о практических применениях. «Мы не должны возвращаться к реальности, — писал Вальрас, — пока не построим научную теорию». По мнению Вальраса, «наука» очень далека от действительности. Если сейчас вы встретите экономиста, который до сих пор так думает, просто действуйте по следующему незамысловатому алгоритму: (1) вскиньте руки; (2) начните рычать; (3) если экономист продолжит наступление, надерите ему уши. Помните: эти экономисты боятся нас настолько же, насколько мы боимся их.

229

Эта мысль напрямую позаимствована из книги Сандмо.

230

Я не шучу. Два знаменитейших бельгийца — вымышленные персонажи: Эркюль Пуаро и Тинтин. Лично я считаю, что это очко в пользу Бельгии. Известные исторические личности не приносят ничего, кроме неприятностей.

231

Я почерпнул исторические сведения о налогообложении в США из книги: W. Elliot Brownlee, Federal Taxation in America: A History, 3rd ed. (Cambridge: Cambridge University Press, 2016).

232

Пороговая сумма ($800) оказалась довольно близка к среднему доходу американских семей ($900, по данным Браунли). Довольно впечатляюще, учитывая, что именно этот дротик правительство метнуло вслепую. Кроме того, я должен отметить, что налогового разряда 0 % на самом деле не существовало; правильнее сказать, что доходы вплоть до $800 были освобождены от налога. Математические выкладки те же самые.

233

W. Elliot Brownlee, Federal Taxation in America: A History, 3rd ed. (Cambridge: Cambridge University Press, 2016).

234

W. Elliot Brownlee, Federal Taxation in America: A History, 3rd ed. (Cambridge: Cambridge University Press, 2016).

235

Данные из «Википедии»: https://en.wikipedia.org/wiki/Revenue_Act_of_1918.

236

Система Джей Джея подразумевала знание математического анализа, так что Джей Джей был незаурядным учеником. В своей системе (в отличие от более простой, которую я иллюстрирую) он переходил от нескольких дискретных скачков ставки к непрерывно меняющемуся верхнему налоговому разряду, чья формула включала натуральный логарифм. Часто быть учителем означает упрощать мир, чтобы ваши ученики могли понять его; здесь, похоже, ситуация была обратной.

237

The New Spirit (Walt Disney Studios, 1942). Посмотрите этот чудесный мультфильм: https://www.youtube.com/watch?v=eMU-KGKK6q8.

238

Да, Revolver лучше всех. Попробуйте только поспорить, фанаты Rubber Soul!

239

Речь идет о предельной налоговой ставке 95 %, поэтому Джордж Харрисон слегка занижал свои доходы.

240

Astrid Lindgren, «Pomperipossa in Monismania», Expressen, March 3, 1976. Мне помог перевод Леннарта Билена: https://lenbilen.com/2012/01/24/pomperipossa-in-monismania/.

241

«Influencing Public Opinion», AstridLindgren.se, accessed September 2017, http://www.astridlindgren.se/en/person/influencing-public-opinion.

242

Конечно, именно так работает текущий налог на заработную плату, предназначенный для финансирования социального обеспечения и медицины. Вы платите 15 % от первых $120 000 и ничего сверх того.

243

После того как я написал эту жизнерадостную строчку, я обнаружил ее язвительного двойника. Горячо любимый мною Хорхе Луис Борхес в минуту несвойственного ему цинизма сказал: «Демократия — это злоупотребление статистикой».

244

«Записки федералиста», № 68 (Александр Гамильтон). Раз уж я начал сыпать именами горячо любимых фигур американской истории, я выражу благодарность Джоффу Кослигу (такому конституционному патриоту, что фоновая музыка в его голове — это «You're a Grande of Flag») за помощь в работе над этой главой. Кроме того, я хочу поблагодарить Джереми Куна и Чжи Чэня за их ценную помощь.

245

Я почерпнул эти сведения, как и 93 % моих знаний о Конституции, от Акила Рида Амара. В частности, из книги Akhil Reed Amar, America’s Constitution: A Biography (New York: Random House, 2005), 148–52. График построен на основе данных из «Википедии». (А откуда бы еще им взяться?)

246

Тезис взят из той же книги: Амар, «Конституция Америки». Автор идет дальше, утверждая, что Коллегия выборщиков не просто благоприятствовала рабовладельческим штатам (что, в общем-то, бесспорно), но была создана отчасти именно для этого. Такая позиция вызвала определенную критику, в том числе статью с энергичным заголовком «Нет! Коллегия выборщиков не имеет отношения к рабству!». Gary L. Gregg II, No! The Electoral College Was Not about Slavery! Law and Liberty, January 3, 2017, http://www.libertylawsite.org/2017/01/03/no-the-electoral-college-was-not-about-slavery/.

Внесу свою лепту: было бы глупо утверждать, что рабство было единственным фактором, который способствовал созданию Коллегии выборщиков. Но, по-моему, этого никто и не утверждает. На с. 155 Амар пишет: «Прямые президентские выборы в 1787 году были обречены по трем основным причинам: информационные барьеры, федерализм и рабство». Между тем идея о том, что рабство не сыграло никакой роли, на мой дилетантский взгляд, абсолютно ошибочна. 19 июля 1787 года Джеймс Мэдисон поднимал этот вопрос: «Прямое волеизъявление народа <…> было сопряжено с одной сложностью. В северных штатах существенно бóльшая доля граждан обладала избирательным правом, чем в южных; и они могли лишиться возможности повлиять на исход выборов из-за негров. Коллегия выборщиков устранила эту сложность…»

25 июля Мэдисон снова затронул эту тему, однако на сей раз он одобрил прямое голосование и не скрывал своих симпатий, сказав: «Будучи гражданином Южных штатов, он был готов принести эту жертву». Вы можете ознакомиться с деталями самостоятельно в «Записках о дебатах в Федеральном собрании»: https://avalon.law.yale.edu/subject_menus/debcont.asp/.

Еще одно доказательство того, что преимущество рабовладельцев было отличительной чертой, а не сбоем системы: в первом инаугурационном послании в 1833 году южанин Эндрю Джексон предложил заменить Коллегию выборщиков прямым всенародным голосованием, но лишь в том случае, если сохранится неравномерность учета голосов. Источник: Akhil Reed Amar, America’s Constitution: A Biography (New York: Random House, 2005).

247

Я взял данные переписи из «Википедии» и перераспределил количество мест в Палате представителей пропорционально числу свободных граждан в каждом штате.

248

Кослиг сообщил мне, что когда-то символика цветов была прямо противоположной: синий означал не демократов, а республиканцев, и наоборот. Схема сменилась в 1990-х и закрепилась в 2000-х. Подробности вы можете прочесть в забавной заметке: Jodi Enda, «When Republicans Were Blue and Democrats Were Red», Smithsonian.com, October 31, 2012, https://www.smithsonianmag.com/history/when-republicans-were-blue-and-democrats-were-red-104176297/.

249

Даже это не так просто, как может показаться. Возьмем в качестве примера выборы 2016 года: демократы набрали 46,44 % голосов — округляем до 50 % (получаем пять голосов выборщиков), а республиканцы 44,92 % — округляем до 40 % (получаем четыре голоса выборщиков). Но это всего девять голосов. Кто получит еще один? Можно отдать его либертарианцам, но их результат (3,84 %) довольно далек от 10 %. Вероятно, логичнее отдать последний голос выборщика партии, которая оказалась ближе к тому, чтобы заработать его статистически — в нашем случае, республиканцам, которым не хватило всего 0,08 %.

250

Как отмечает Кослиг, иная динамика в штатах, которые отдают предпочтение одной партии на президентских выборах и другой — на голосовании в Законодательное собрание штата. В последние годы несколько подобных штатов рассматривали возможность распределять голоса выборщиков таким же способом, как Небраска и Мэн, чтобы правящая партия штата захватила часть голосов выборщиков у соперника.

251

Nate Silver, «Will the Electoral College Doom the Democrats Again?» FiveThirtyEight, November 14, 2016, https://fivethirtyeight.com/features/will-the-electoral-college-doom-the-democrats-again/.

252

Сильвер указывает: «Единственное существенное исключение было в первой половине XX века, когда республиканцы имели устойчивое преимущество в Коллегии выборщиков, потому что демократы теряли огромное количество голосов на Юге… Вопрос состоит в том, наступил ли для демократов период сродни эпохе „Сплоченного Юга“, с поправкой на то, что их избиратели сосредоточены в более урбанизированных прибрежных штатах…»

Сильвер склонен ответить отрицательно. Время покажет, прав ли он.

253

Он разработан профессором Акилом Ридом Амаром (в колледже я записался на его превосходный курс конституционного права) и его братом, профессором Викрамом Амаром.

254

Источник: «Википедия», конечно. Кроме того, я благодарен Дэвиду Клампу и Валуру Гуннарсону за щекочущую мозг обратную связь по этой главе.

255

Эта история, график и, по правде говоря, большая часть математики в этой главе взяты из незаменимой книги: James Gleick, Chaos: Making a New Science (New York: Viking Press, 1987). История о Лоренце на с. 17–18. [Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. — М.: Амфора, 2011.]

256

Хорошо, в XVII веке не было «метров». Это приближение — современный пересчет, и оно справедливо только для довольно малых колебаний. Тем не менее поразительно, что длительность цикла не зависит от угла отклонения: быстрые колебания с большой амплитудой займут примерно столько же времени, сколько более медленные с меньшей амплитудой.

257

Проверьте сами, потрясающий симулятор: https://www.myphysicslab.com/pendulum/double-pendulum-en.html. Серьезно: если вы просматриваете концевые сноски в поисках какого-то неведомого вдохновения, то вот оно.

258

Siobhan Roberts, Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway (New York: Bloomsbury, 2015).

На с. xiv-xv Робертс цитирует музыканта Брайана Ино: «Вся система настолько прозрачна, что не должно быть никаких сюрпризов, но на самом деле их много: сложность и „органичность“ эволюции точечных узоров совершенно не поддается прогнозированию». На с. 160 он цитирует философа Дэниела Деннета: «Я думаю, что „Жизнь“ должна стать пищей для размышления на каждой кухне».

259

Michael Lewis, The Undoing Project: A Friendship That Changed Our Minds (New York: W. W. Norton, 2016), 101.

260

Kim Stanley Robinson, The Lucky Strike (1984). Отличный рассказ. Я прочел его в книге: Harry Turtledove, ed., The Best Alternate History Stories of the 20th Century (New York: Random House, 2002). Кроме того, я не могу не упомянуть мой любимый рассказ в жанре альтернативной истории: Orson Scott Card, Pastwatch: The Redemption of Christopher Columbus (New York: Tor Books, 1996).

261

Сложно поверить, что Трумэн не отдавал себе в этом отчета, но, похоже, это так. Послушайте отличный подкаст: «Nukes», Radiolab, April 7, 2017, http://www.radiolab.org/story/nukes.

262

Mariko Oi, «The Man Who Saved Kyoto from the Atomic Bomb», BBC News, August 9, 2015, http://www.bbc.com/news/world-asia-33755182.

263

В 1931 году Уинстон Черчилль опубликовал эссе «Если бы Ли НЕ выиграл битву при Геттисберге». Он говорит от имени историка, живущего в альтернативном мире, где победила Конфедерация; затем он пишет «альтернативную» версию событий, пытаясь представить, как выглядела бы жизнь в нашем мире. Его выводы представляются мне глупыми и наивными, но все-таки я не никогда не спасал цивилизацию от нацистов, поэтому вы не обязаны ко мне прислушиваться. https://www.winstonchurchill.org/publications/finest-hour-extras/qif-lee-had-not-won-the-battle-of-gettysburgq/.

264

Ta-Nehisi Coates, «The Lost Cause Rides Again», Atlantic, August 4, 2017, https://www.theatlantic.com/entertainment/archive/2017/08/no-confederate/535512/.

265

Отчасти эта дискуссия вдохновлена книгой: Michael Lewis’s The Undoing Project, 299–305.

266

Ключевая идея теории хаоса состоит в том, что многие системы нарастающей сложности описываются простыми правилами. Возможно — и здесь я соскальзываю в область кухонных полуночных разговоров — есть способ сформулировать несколько детерминистских правил, которые лежат в основе (принципов) истории. Мы могли бы разработать игрушечные модели, чтобы понять степень чувствительности истории к начальным условиям и уровень случайности, как это сделал Эдвард Лоренц, построив свою метеорологическую модель.

267

Benoit Mandelbrot, «How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension», Science 156, no. 3775 (1967): 636–38.

268

Alan Moore and Eddie Campbell, From Hell (Marietta, GA: Top Shelf Productions, 1999), appendix II, 23. [Мур А., Кэмпбелл Э. Из ада. — СПб.: XL Media, 2018.]

269

В научно-фантастическом рассказе Урсулы Ле Гуин «Человек из племени людей» главный герой стремится понять обширную историю цивилизации под названием Хайн: «Теперь он знал, что историки не изучают историю. Ни одно человеческое сознание не могло объять историю Хайна: три миллиона лет… бесчисленные короли, империи, изобретения, миллиарды жизней в миллионах стран, монархии, демократии, олигархии, анархии, века хаоса и века порядка, один пантеон богов за другим, бесконечные войны и мирные времена, поразительные открытия и забвения, бессчетные ужасы и триумфы, бесконечное повторение непрестанной новизны. Какой смысл пытаться описать течение реки в конкретный момент времени, и в следующий, и в следующий, и в следующий, и в следующий? Ты надорвешься. Ты скажешь: „Это великая река, и она течет по этой земле, и мы назвали ее Историей“».

О, я люблю этот отрывок.

Ursula Le Guin, Four Ways to Forgiveness (New York: HarperCollins, 1995), 124–25.

270

Я умыкнул этот отличный образ у Валура Гуннарсона.

Content

Бен Орлин
Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Введение

I. Думать как математик

Глава 1. Жесткие крестики-нолики

Глава 2. Как математику видят школьники?

Глава 3. Как математику видят математики?

Глава 4. Как естествознание и математика видят друг друга?

1. Больше не близнецы

2. Посмотрим друг на друга

3. Парадокс математики

Глава 5. Хороший математик против великого математика

II. Дизайн

Глава 6. Мы возвели этот город на треугольниках

1. Двенадцать узлов на египетской веревке

2. Три стороны, одна сущность

3. Гибкие стропила обремененного мира

4. Форма сопротивления

5. Мы возвели этот город

Глава 7. Иррациональная бумага

Глава 8. Квадратно-кубические басни

1. Почему шоколадные торты лучше печь в больших формах

2. Почему честолюбивый скульптор разорился

3. Почему не существует великанов?

4. Почему муравьи не боятся высоты?

5. Почему младенцам нужны одеяльца?

6. Чем плоха идея о бесконечной вселенной?

Глава 9. Игра в кости

Правило № 1. Хорошая кость играет честно

Правило № 2. Хорошая игральная кость выглядит прелестно

Правило № 3. Хорошая игральная кость работает повсеместно

Правило № 4. Хорошую кость легко кидать

Правило № 5. Ее сложно держать в узде

Правило № 6. Хорошая кость — наш вечный гость

Глава 10. Устная история «Звезды смерти»

1. Мы сделаем тебя ужасно симметричной

2. Развеять аэродинамику по ветру

3. Слишком большая для провала, слишком маленькая для шара

4. Западная Вирджиния, бороздящая космические просторы

5. Невидимая кривизна

6. Может быть, мы поработали слишком хорошо

III. Вероятность

Глава 11. Десять встреч в очереди за лотерейным билетом

1. Заядлый игрок

2. Образованный дурак

3. Мальчик на побегушках

4. Крупный Игрок

5. Поведенческий Экономист

6. Человек, которому нечего терять

7. Подросток, которому только что исполнилось 18

8. Добросовестный Налогоплательщик

9. Мечтатель

10. Любитель поскрести

Глава 12. Дети монеты

Глава 13. Какую роль теория вероятностей играет в вашей профессии?

Глава 14. Необычная страховка

Страховка от кораблекрушения

Оплатите страховку — и царь прикроет вам спину

Страховка на случай «о нет, все мои сотрудники выиграли в лотерею»

Страховка от многодетных родов

Страховка от похищения инопланетянами

Страховка от провала на экзамене

Страховка от выплаты приза за попадание в лунку с одного удара

Страховка от увядания любви перед свадьбой

Страхование страховых компаний

Страховка игроков студенческой футбольной команды от травм

Медицинская страховка

Глава 15. Как обрушить экономику с помощью пары игральных костей

1. Призрачная ярмарка вакансий

2. Все имеет свою цену

3. Квартирный вопрос

4. Ставка 60 триллионов долларов — удваиваем или обнуляем?

5. Зола, зола, мы все падем во прах

IV. Статистика

Глава 16. Почему нельзя доверять статистике?

1. Среднее арифметическое

2. Медиана

3. Мода

4. Перцентиль

5. Процентное изменение

6. Диапазон

7. Дисперсия (и среднеквадратичное отклонение)

8. Коэффициент корреляции

Глава 17. Последний отбивающий с рейтингом 40,0%

1. Зарницы в таблице

2. Старик и устаревшие идеи о бейсболе

3. Знания сдвигают линию фронта

4. Драма ВТОРОГО знака после запятой

Глава 18. Варвары у врат науки

1. Под властью призрака

2. Отладка фильтра фантомов

3. Как плодятся фантомы?

4. Война с фантомами

Глава 19. Таблицы результатов в пылу сражений

1. Лучший учитель Америки

2. Хоррор-шоу кривых показателей

3. Окно или табло результатов?

4. Племенной примат спущен с привязи

Глава 20. Измельчители книг

1. Что теоретически может пойти не так?

2. Да здравствуют статистики, борцы за демократию!

3. Эта фраза написана женщиной

4. Дом, кирпичи и известь

V. На пороге

Глава 21. Последняя крупица алмазной пыли

1. Пришла пора искать маржу, — сказал Леон Вальрас…

2. О фермерах и маффинах мы поведем рассказ

3. Так почему стакан воды дешевле, чем алмаз?

4. Маржинальная революция

Глава 22. Налоговедение

Глава 23. Штаты бывают разные: пестрые, синие, красные

1. Демократия как игра в испорченный телефон

2. Почему принцип «победитель забирает все» победил и забрал все

3. Партийные приливы

Глава 24. Хаос истории

1. Снежная буря из-за ошибки округления

2. Две разновидности часового механизма

3. Игра под названием «жизнь»

4. Не ветвь, а куст

5. Береговая линия познанного мира

Благодарности

Примечания редакции

Примечания