Маркус дю Сотой

Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Посвящается всем учителям математики, но в особенности мистеру Бейлсону, который показал мне мой первый математический шорткат

Marcus du Sautoy

THINKING BETTER

The Art of the Shortcut

Научный редактор А.В. Галактионов, к. ф.-м. н.

© Marcus du Sautoy, 2021

© Прокофьев Д. А., перевод на русский язык, 2022

© Издание на русском языке. ООО «Издательская Группа «Азбука-Аттикус», 2022

КоЛибри®

* * *

Упоительное путешествие по множеству разнообразных ситуаций, в которых математическое мышление – и в особенности поиск рациональных шорткатов – проливает свет на самые глубокие математические истины. Более того, оказывается, что эти шорткаты могут быть невероятно полезны и для всех нас!

Дэвид Шварц, автор биографии Энрико Ферми

Дю Сотой – талантливый и неутомимый популяризатор математики, обладающий обширными познаниями… Это сборник «величайших хитов» среди математических идей, о которых он рассказывает в своем фирменном стиле, доступно и энергично.

Тим Харфорд, The Financial Times

Маркус дю Сотой искусно проводит читателя сквозь сложные математические рассуждения и постоянно подчеркивает важность решения задач. Любящий математику читатель найдет в этой книге обильную пищу для размышлений.

Publishers Weekly

Эта книга о шорткатах не пользуется шорткатами. Она полна заставляющих задуматься примеров из разных областей, от математики до социологии.

Мелисса Франклин, профессор кафедры физики им. Маллинкродта, Гарвардский университет

Отправление

У вас есть выбор. Есть очевидный маршрут, долгий и утомительный, на котором ничего красивого по пути не увидишь. Путешествие по нему займет массу времени и оставит вас совершенно без сил, но рано или поздно вы все-таки доберетесь до места назначения. Но есть и другая дорога. Найти, где она ответвляется от основного пути, совсем не просто – причем кажется, что она уводит вас прочь от цели, а не приближает к ней. Но затем вы замечаете указатель с надписью «шорткат»[1]. Он обещает быстрый переход по пересеченной местности, который позволит вам добраться до цели за меньшее время и с минимальными затратами усилий. Возможно, по пути даже встретятся захватывающие виды. Однако, чтобы не сбиться с этого пути, вам придется все время быть настороже. Выбор за вами. Эта книга направляет вас по второму пути. Это ваш шорткат к лучшему мышлению, которое понадобится вам, чтобы пройти по этому нестандартному маршруту и попасть именно туда, куда вам хочется.

Именно шорткаты заманили меня в математику. Будучи довольно ленивым подростком, я всегда старался добраться до цели самым рациональным путем. Не то чтобы я пытался жульничать. Мне просто хотелось получать результат, затрачивая как можно меньше сил. Поэтому, когда мой учитель математики рассказал мне, двенадцатилетнему, что в том предмете, который мы изучаем в школе, больше всего ценятся именно такие шорткаты, это меня чрезвычайно заинтересовало. Все началось с простой истории о девятилетнем мальчике по имени Карл Фридрих Гаусс. Рассказ учителя перенес нас в 1786 год, в класс этого мальчика в школе расположенного недалеко от Ганновера города Брауншвейга, в котором рос юный Гаусс. Город был невелик, и в местной школе был всего один учитель, герр Бюттнер, которому нужно было каким-то образом учить сотню городских детей в одной-единственной классной комнате.

Мой собственный учитель, довольно угрюмый шотландец мистер Бейлсон, был сторонником строгой дисциплины, но по сравнению с герром Бюттнером даже он казался добряком. Учитель Гаусса прохаживался между рядами парт, размахивая хлыстом, которым он и поддерживал дисциплину в непослушном классе. Сама классная комната, которую я впоследствии посетил, совершая своего рода математическое паломничество, была мрачным помещением с низким потолком, плохим освещением и неровным полом. Мне она показалась похожей на средневековую тюрьму, и режим Бюттнера, по-видимому, вполне гармонировал с ее обстановкой.

Так вот, рассказывают, что однажды на уроке арифметики Бюттнер решил задать своим ученикам какую-нибудь трудоемкую задачу, которая надолго заняла бы их, чтобы сам он смог немного вздремнуть. «Класс… я хочу, чтобы вы сложили на своих досках все числа от 1 до 100, – сказал Бюттнер. – Когда закончите, сдайте доски мне».

Не успел учитель закончить это предложение, как Гаусс уже вскочил на ноги и положил ему на стол свою аспидную доску, объявив по-нижненемецки: «Ligget se» – «Готово». Бюттнер взглянул на мальчика, пораженный его дерзостью. Его рука уже было сжала хлыст, но он все же решил подождать, пока остальные ученики тоже сдадут свои работы, а уж потом заняться воспитанием юного Гаусса. В конце концов весь класс закончил решать задачу, и на столе Бюттнера образовалась гора аспидных досок, покрытых записанными мелом вычислениями. Учитель начал проверять работы, начав с доски, лежавшей на самом верху. Ответы большинства были неверными: где-нибудь в процессе вычислений ученики допускали те или иные арифметические ошибки.

В конце концов Бюттнер добрался и до доски Гаусса. Он заранее готовился распечь юного выскочку, но, взяв его доску, увидел на ней правильный ответ – 5050. Никаких вычислений на доске не было. Бюттнер был поражен. Как мальчику удалось так быстро найти ответ?

Утверждается, что не по годам развитый ученик обнаружил шорткат, который позволил ему не заниматься трудоемкими и объемными арифметическими расчетами. Он понял, что при сложении чисел по парам:

1 + 100

2 + 99

3 + 98

…

каждая такая сумма оказывается равной 101. А общее число пар – 50. Следовательно, решение задачи сводится к

50 × 101 = 5050.

Я помню, как взбудоражила меня эта история. Идея Гаусса, которая помогла ему найти шорткат, избавляющий от ужасно нудной и трудоемкой работы, была для меня настоящим откровением.

Хотя в этом рассказе о школьных годах Гаусса, вероятно, больше легенды, чем правды, он тем не менее изящно описывает одно важное обстоятельство: суть математики – не в громоздких вычислениях, как кажется столь многим, а в стратегическом мышлении[2].

– Это, дорогие мои ученики, и есть математика, – провозгласил мой учитель. – Искусство шортката!

«Ага! – подумал я, двенадцатилетний. – А ну-ка поподробнее!»

Дальше, больше, быстрее

Люди все время пользуются шорткатами. Ничего другого нам не остается. Нам нужно принимать решения за короткое время. Нам нужно решать сложные задачи, используя ограниченные умственные способности. Одной из первых стратегий, которые мы разработали для преодоления сложных препятствий, была идея эвристики – процесса, в котором мы упрощаем задачи, игнорируя, сознательно или бессознательно, часть информации, поступающей в мозг.

Проблема заключается в том, что эвристические методы, к которым прибегают люди, по большей части приводят к неверным суждениям и предвзятым решениям и, как правило, не подходят к тем целям, для которых их применяют. Зная что-либо из собственного опыта, мы склонны экстраполировать это знание на любые другие задачи, сравнивая их с тем, что нам уже известно. Мы судим о глобальном, опираясь на свое знание локального. Пока наш мир не слишком далеко выходил за пределы небольшого участка саванны, на котором мы жили, в этом не было ничего страшного. Но по мере расширения области нашего обитания эти эвристические методы перестали давать нам правильное понимание того, как устроены вещи, выходящие за пределы наших локальных знаний. Начиная с этого момента мы стали разрабатывать все более действенные шорткаты. Эти приспособления и образуют то, что мы называем сегодня математикой.

Чтобы обнаружить удобный шорткат, нужно подняться над тем ландшафтом, который собираешься пересечь. Когда находишься внутри ландшафта, часто приходится ориентироваться лишь по тому, что видишь вокруг себя. Хотя направление каждого следующего шага кажется правильным, получающийся в результате маршрут может вести к цели длинным окольным путем, а то и вовсе уводить совершенно в другую сторону. Поэтому люди разработали лучшие методы мышления – способность абстрагироваться от мелких подробностей решаемой задачи и понимать, что где-то может существовать неожиданный путь, который приведет к цели эффективнее и быстрее.

Именно так поступил с задачей, которую задал классу учитель, Гаусс. Пока другие ученики корпели, складывая числа, прибавляя каждый раз по одному следующему числу, Гаусс обозрел задачу целиком и придумал, как можно с выгодой для себя использовать начало и конец процесса ее решения.

В математике чрезвычайно важна способность применять мышление высокого уровня, позволяющее увидеть структуру там, где на первый взгляд видны лишь случайные извивающиеся тропки. Подняться над ландшафтом и оглядеть его с большой высоты, чтобы понять истинное положение вещей. Создание такой карты задачи и приводит к возникновению шорткатов. А когда мы получили способность видеть мысленным взором структуры, с которыми мы не встречались в физическом мире, эта способность к абстрактному мышлению стала залогом поразительных достижений человеческой цивилизации на протяжении многих веков.

Путь к лучшему мышлению начался 5000 лет назад на берегах Нила и Евфрата. Люди хотели найти более совершенные способы строительства городов-государств близ этих рек. Сколько каменных блоков потребуется для возведения пирамиды? Какого размера участок земли нужно отвести под злаки, чтобы прокормить город? Какие изменения высоты воды в реке говорят о приближающемся наводнении? В этих зарождающихся обществах возвышались те, у кого были средства, позволяющие находить шорткаты к решению таких задач. Успехи математики в качестве шортката к быстрому развитию первых цивилизаций превратили эту дисциплину в мощное орудие тех, кто желал добиться большего, причем как можно быстрее.

Новые математические открытия снова и снова приводили к радикальным изменениям цивилизации. Взрывное развитие математики в эпоху Возрождения и после нее, давшее нам, в частности, математический анализ, открыло перед учеными поразительные шорткаты к рациональным инженерным решениям. Сегодня математика лежит в основе всех алгоритмов, которые работают в наших компьютерах, помогая нам не заблудиться в цифровых джунглях, – в буквальном смысле прокладывая шорткаты к нашим целям, от веб-сайтов, лучше всего соответствующих тому, что мы ищем в интернете, до лучших партнеров для путешествия длиной в жизнь.

Однако интересно отметить, что первым научился использовать возможности математики для выработки лучших способов преодоления препятствий вовсе не человек. Задолго до нашего появления природа уже оперировала математическими шорткатами к решению задач. Многие из законов физики основаны на том принципе, что природа всегда находит кратчайшие пути. Свет распространяется по траектории, обеспечивающей самое быстрое достижение цели, даже если для этого ей приходится изгибаться вокруг крупных объектов – например, Солнца. Мыльная пленка образует формы, требующие наименьших затрат энергии: мыльные пузыри получаются сферическими, потому что эта симметричная форма имеет наименьшую площадь поверхности[3] и, следовательно, наиболее выгодна энергетически. Пчелы строят шестиугольные соты, потому что на постройку шестиугольника, охватывающего заданную площадь, уходит меньше всего воска. Наши тела нашли способ ходьбы, позволяющий переместиться из пункта А в пункт Б с наименьшими энергетическими затратами.

Природа ленива, как и человек, и стремится находить низкоэнергетические решения. Как писал живший в XVIII веке математик Пьер Луи де Мопертюи, «природа экономна во всех своих действиях». Она чрезвычайно хорошо умеет вынюхивать шорткаты. У каждого такого решения неизменно есть математическое объяснение. И шорткаты, найденные человеком, часто материализуются в результате наших исследований решений, которые нашла природа.

Предстоящее путешествие

В этой книге я хочу поделиться с вами тем арсеналом шорткатов, который математики, подобные Карлу Фридриху Гауссу, разрабатывали на протяжении многих столетий. В каждой главе речь пойдет о том или ином шорткате особого, отличного от других вида. Но все они предназначены для одного: превратить вас из того, кто корпит над решением задачи, в того, кто может сдать свою аспидную доску с ответом раньше всех остальных.

Нашим спутником в этом путешествии я выбрал Гаусса. С его успеха на уроке началась карьера, которая, на мой взгляд, сделала его достойным звания принца шорткатов. Более того, множество революционных открытий, которые он совершил в течение своей жизни, связаны и с многими из разных шорткатов, о которых я буду говорить в этой книге.

Я надеюсь, что изложенные здесь истории о шорткатах, накопленных математиками за долгие годы, составят инструментарий, который пригодится всем тем, кто захочет сэкономить время, уходящее на одно занятие, чтобы можно было уделить больше времени чему-то другому, более интересному. Очень часто эти шорткаты оказываются применимы и к задачам, на первый взгляд не имеющим ничего общего с математикой. Однако математика – это образ мышления, позволяющий разбираться в сложном мире и находить пути с одного берега на другой.

Поэтому математика вполне заслуженно занимает центральное место в образовательной программе. Не потому, что всем и каждому абсолютно необходимо решать квадратные уравнения. По правде говоря, кому они нужны! Важный навык, используемый в решении такой задачи, – это понимание могущества алгебры и алгоритмов.

Я начну это путешествие к лучшему мышлению с одного из самых важных шорткатов, разработанных математиками, – паттернов[4]. Паттерн часто бывает лучшим из всех шорткатов. Увидев паттерн, можно найти шорткат, позволяющий экстраполировать данные в будущее. Такая способность выявлять фундаментальные правила образует основу математического моделирования.

Роль шортката очень часто состоит в понимании основополагающего принципа, объединяющего кажущиеся несвязанными друг с другом задачи. Прелесть шортката Гаусса в том, что даже если учитель решит усложнить задание и предложит сложить числа до тысячи или до миллиона, шорткат по-прежнему будет работать. Последовательное сложение чисел будет занимать все больше времени, но на прием Гаусса это никак не повлияет: чтобы сложить числа от единицы до миллиона, нужно просто по-прежнему разбить их на пары и получить 500 000 пар, сумма членов каждой из которых равна 1 000 001. Перемножим эти два числа, и – бинго! – ответ готов. Представьте себе туннель, образующий короткий путь сквозь гору: если даже гора каким-то образом станет выше, на дороге это никак не отразится.

Способность создавать и изменять язык тоже оказывается очень эффективным шорткатом. Алгебра помогает нам распознавать фундаментальные принципы, лежащие в основе широкого спектра совершенно не похожих друг на друга задач. Язык координат позволяет выразить геометрию в числах и часто выявляет шорткаты, которых не видно на геометрических чертежах. Создание языка может быть поразительным средством понимания. Я помню, как боролся с необычайно сложной системой, описание которой требовало огромного множества условий. Откровением стал для меня совет научного руководителя: «Дайте ей название». Это позволило мне создать шорткат для размышлений.

Каждый раз, когда я заговариваю об идее шортката, мои собеседники неизменно считают, что речь идет о каком-то жульничестве. Что я пытаюсь срезать какие-то углы. Поэтому очень важно с самого начала научиться отличать шорткаты от срезания углов. Я ищу более рациональный путь к правильному решению. Меня не интересуют всякие некачественные приблизительные ответы. Я хочу добиться полного понимания, но избежать ненужной тяжелой работы.

При этом некоторые шорткаты сводятся к приближениям, достаточно точным для решения насущных задач. В некотором смысле сам язык – это тоже шорткат. Например, слово «стул» – шорткат к целой группе разного рода вещей, на которых можно сидеть. Но придумывать по отдельному слову для каждого конкретного стула было бы нерационально. Язык – это очень хитрое низкоразмерное представление окружающего нас мира, которое позволяет нам эффективно общаться друг с другом и облегчает наше существование в многогранном мире. Не будь у нас шорткатов – слов, каждое из которых обозначает множество предметов, – мы тонули бы в шуме.

Дальше я покажу, что и в математике для обнаружения шортката часто бывает важно отбрасывать информацию. Скажем, топология – это геометрия без размеров. Если вы находитесь в лондонском метро, карта, показывающая, как соединяются между собой разные станции, будет для вас полезнее, чем карта, точно отражающая их географическое расположение. Очень полезными шорткатами бывают и диаграммы. Опять же, лучшие из них отбрасывают все то, что не имеет прямого отношения к решаемой задаче. Но, как я покажу на примерах, грань между хорошим шорткатом и опасностью скатиться к срезанию углов часто бывает очень тонкой.

Одним из величайших средств для поиска шорткатов, изобретенных человечеством, является математический анализ[5]. Многие инженеры используют этот элемент математической магии для нахождения оптимальных решений инженерных задач. Теория вероятностей и статистика – это шорткаты к получению большого количества информации об огромных наборах данных. Математика часто помогает найти самый рациональный путь через сложные геометрические построения или запутанные сети. Когда я влюбился в математику, одним из самых потрясающих откровений для меня стала ее способность находить шорткаты даже к пониманию бесконечного. Шорткаты, соединяющие противоположные концы бесконечного маршрута.

Каждая глава этой книги начинается не с эпиграфа, а с головоломки. Эти головоломки часто можно решить разными способами – проделав долгую и нудную работу или с помощью шортката, если у вас получится его найти. Для каждой из них существует решение, использующее шорткаты, о которых говорится в соответствующей главе. С этими задачами имеет смысл повозиться, прежде чем читать о шорткатах: часто бывает так, что чем больше времени и сил вы потратите на получение окончательного результата, тем лучше вы сможете оценить по достоинству шорткат, когда вам наконец о нем расскажут.

В ходе моих собственных исследований я обнаружил также, что шорткаты бывают разными. Поэтому для путешествия, в которое вы собираетесь отправиться, существует несколько разных маршрутов, и важно найти такой шорткат, который позволит вам быстрее добраться до цели. Есть шорткаты, уже существующие в ландшафте и только и ждущие, чтобы ими воспользовались. Вам, возможно, понадобится лишь указатель, который направит вас в нужную сторону, или карта, которая покажет вам маршрут. Но бывают и такие шорткаты, которые появляются только после того, как вы их проложите, проделав тяжелую работу: на прокладку таких туннелей уходят многие годы, но, когда они уже прокопаны, все остальные могут продвигаться по ним вслед за вами. Некоторые шорткаты и вовсе уводят за пределы того пространства, в котором вы находитесь, – это кротовые норы, ведущие с одного края Вселенной на другой. В таких случаях появляется дополнительное измерение, показывающее, что два предмета находятся значительно ближе друг к другу, чем вам казалось, – если только вы сумеете выйти за границы привычного мира. Одни шорткаты ускоряют работу, другие уменьшают расстояние, которое нужно пройти, или количество сил, которые необходимо затратить. В каком-нибудь аспекте получается экономия, оправдывающая время, затраченное на поиски шортката.

Но, кроме этого, я понял, что бывают и случаи, когда шорткат оказывается нецелесообразным. Может быть, вы не хотите спешить. Может быть, процесс важнее результата. Может быть, вы хотите потратить побольше энергии, чтобы сбросить вес. Почему мы гуляем целыми днями на природе, если можно вернуться домой коротким путем, лишив себя этого удовольствия? Зачем мы читаем романы, если можно просмотреть их краткое содержание в Википедии? Но даже в этих случаях полезно знать, что есть шорткат, которым можно воспользоваться, – даже если вы решите этого не делать.

В какой-то степени шорткат касается наших отношений с временем. На что вы хотите потратить свое время? Иногда бывает важно уделить время на получение неких ощущений, и в шорткате, лишающем нас этого процесса, нет большого смысла. Нельзя прослушать музыкальное произведение в сокращенном виде. Но в других ситуациях жизнь бывает слишком коротка, чтобы тратить время на достижение цели. Кинофильм может уместить в полутора часах целую жизнь. Вам ни к чему видеть все до единого действия персонажа, за которым вы следите. Перелет на другой конец света – это шорткат по сравнению с пешим переходом в ту же точку; он позволяет вам быстрее начать отпуск. Если бы полет можно было сократить еще сильнее, большинство пошло бы и на это. Но бывают случаи, в которых мы хотим добираться до места назначения медленно. Паломничество не терпит шорткатов. Я никогда не смотрю трейлеры к фильмам – они слишком сокращают фильмы. И тем не менее возможность выбора все равно ценна.

В литературе шорткаты неизменно ведут к беде. Красная Шапочка так и не встретилась бы с волком, если бы шла по тропинке, а не пыталась найти шорткат через лес. В «Путешествии пилигрима в небесную страну» Джона Буньяна те, кто выбирает шорткат в обход гор Затруднения, сбиваются с дороги и гибнут. Во «Властелине колец» Пиппин предостерегает, что «коротким путем всегда получается дольше», хотя Фродо и возражает, что остановки в трактирах задерживают еще сильнее[6]. После катастрофической попытки воспользоваться шорткатом по пути в парк развлечений Гомер Симпсон клянется «больше никогда не вспоминать об этом коротком пути»[7]. Об опасностях, которые неизбежно таят в себе шорткаты, хорошо сказано в фильме 2000 года «Дорожное приключение»: «Конечно, тут трудно, это же короткий путь. Если бы было легко, это был бы “просто путь”». Цель этой книги – освободить идею шортката от оков этих литературных клише. Шорткат – это путь не к беде, а к свободе.

Человек и машина

Одним из факторов, породивших во мне желание написать эту книгу во славу шорткатов, было постоянно усиливающееся ощущение, что род человеческий вот-вот уступит место новому виду, которому незачем беспокоиться о шорткатах.

Мы живем сейчас в мире, в котором компьютеры за один день способны выполнить больше расчетов, чем я за всю жизнь. Компьютеры могут проанализировать всю мировую литературу за время, которое уйдет у меня на чтение одного романа. Они способны проанализировать огромное множество вариантов шахматной партии, а я могу удержать в голове всего несколько ходов. Компьютеры могут исследовать контуры и пути, покрывающие Землю, быстрее, чем я дойду до соседнего магазина.

Смог бы сегодняшний компьютер придумать шорткат Гаусса? Зачем ему это, если он может сложить числа от 1 до 100 за мельчайшую долю мгновения ока?

Может ли род человеческий надеяться не отстать от своих кремниевых соседей с их необычайным быстродействием и почти бесконечной памятью? В фильме «Она» 2013 года компьютер заявляет своему хозяину-человеку, что скорость взаимодействия с людьми настолько низка, что он предпочитает проводить время с другими операционными системами, которые могут сравниться с ним быстротой мысли. Люди выглядят с точки зрения компьютеров приблизительно так же, как с нашей точки зрения могут выглядеть медленно растущие и разрушающиеся горы.

Но, возможно, у рода человеческого все же есть нечто дающее ему преимущество. Ограничения нашего мозга, не позволяющие нам одновременно выполнять миллионы вычислений, физические недостатки нашего тела по сравнению с силой механических роботов – все это заставляет человека задумываться о том, нет ли какого-нибудь способа обойти все те шаги, которые кажутся компьютерам и роботам элементарными.

Оказавшись перед неприступной с виду горой, человек пытается найти шорткат. Нельзя ли не взбираться на вершину, а как-нибудь обойти ее? И часто бывает так, что именно такой шорткат приводит к поистине новаторскому способу решения задачи. Пока компьютер упорно трудится, напрягая свои цифровые мышцы, человек незаметно пробирается к финишу, найдя хитроумные шорткаты, избавляющие его от изнурительного труда.

Внимание, лодыри! Я считаю, что от наступления машин нас спасет именно лень. Человеческая лень – свойство, чрезвычайно важное для изобретения новых, более удобных способов работы. Мне часто приходится смотреть на какую-нибудь задачу и думать: это получается слишком сложным; дайте-ка я прервусь и придумаю какой-нибудь шорткат. Мы знаем, что́ скажет в такой ситуации компьютер: «Ну что же, раз у меня есть вот эти инструменты, можно начинать долбить задачу». Но именно потому, что он не устает и не ленится, он, возможно, упускает из виду то, к чему приводит нас наша лень. Поскольку мы не способны решать задачи напрямую, мы вынуждены придумывать хитроумные способы их решения.

Есть много историй об инновациях и изобретениях, появившихся из лени и стремления избежать тяжелой работы. Научные открытия часто делались праздными умами. Говорят, что мысль о кольцевидном строении бензола пришла немецкому химику Августу Кекуле, когда он заснул и увидел во сне змею, заглатывающую собственный хвост. Великий индийский математик Сриниваса Рамануджан часто рассказывал, что ему является во сне покровительствующая его семье богиня Намагири, пишущая математические формулы. Он писал: «Я весь обратился во внимание. Рука выписала несколько эллиптических интегралов. Они врезались мне в память. Как только я проснулся, я записал их на бумаге». Новое изобретение часто появляется у человека, которому лень делать что-либо обычным образом. Джек Уэлч, председатель и генеральный директор компании General Electric, отводил по часу каждый день на «время глядения в окно».

Лень не означает ничегонеделания. Это очень важно. Поиск шорткатов часто требует напряженной работы. В этом есть некий парадокс. Как ни странно, хотя желание найти шорткат может быть порождено стремлением уклониться от работы, его поиски часто приводят к периодам напряженных, энергичных, глубоких размышлений, что помогает избежать не только монотонной работы, но и скуки, которую наводит безделье. Грань между бездельем и скукой тонка, и это обстоятельство часто бывает катализатором поисков шорткатов, которые, в свою очередь, могут потребовать большого труда. Как писал Оскар Уайльд, «ничегонеделанье – самое трудное в мире занятие, самое трудное и самое духовное»[8].

Ничегонеделание часто бывает предвестником великих интеллектуальных свершений. В 2012 году в журнале «Перспективы психологической науки» (Perspectives on Psychological Science) была опубликована статья «Отдых не есть праздность» (Rest Is Not Idleness), из которой явствовало, насколько важен для когнитивных способностей пассивный режим нейронной обработки информации. Этот режим часто подавляется, когда наше внимание слишком фокусируется на внешнем мире. Недавно распространившаяся методика осознанности рекомендует очищение разума от назойливых мыслей в качестве пути к просветлению. Это часто означает отдавать предпочтение не работе, а игре. Но игра может способствовать развитию творческого начала и возникновению новых идей лучше, чем монотонный, механистический мир работы. В этом одна из причин того, что в офисах стартапов и математических факультетов бывает не меньше бильярдных столов и настольных игр, чем компьютеров и столов письменных.

То неодобрение, с которым общество относится к лени, может быть одним из способов контроля и ограничения возможностей тех, кто предпочитает не соответствовать общепринятым нормам. Подлинная причина подозрительности, с которой относятся к лентяю, состоит в том, что его лень – признак человека, не желающего играть по правилам. В шорткате, который позволил Карлу Фридриху Гауссу уклониться от тяжелой работы, его учитель увидел угрозу своему авторитету.

Однако лени не всегда чурались. Сэмюэл Джонсон весьма красноречиво выступал в защиту лени: «Бездельник… не только избегает трудов, часто бывающих бесплодными, но и добивается порой большего, чем те, кто презирает все легкодостижимое»[9]. Как признавала в автобиографии Агата Кристи, «…открытие впрямую происходит от праздности, а может быть, и от лени. Избавиться от неприятностей»[10]. Утверждается, что Бейб Рут, один из рекордсменов по числу хоум-ранов за всю историю бейсбола, стремился выбивать мяч за пределы стадиона, потому что терпеть не мог бегать между базами[11].

Добровольная работа

Я не хочу сказать, что любая работа – зло. Очень многим та работа, которой они занимаются, приносит огромную пользу. Работа определяет их личность. Она дает им цель. Но важно качество работы. Обычно речь идет не о монотонной, бездумной работе. Аристотель различал два разных вида работы – праксис (πρᾶξις), то есть деятельность ради самой деятельности, и пойезис (ποίησις), то есть деятельность, направленную на получение некой пользы[12]. Мы с удовольствием ищем шорткаты в деятельности второго рода, но в их применении, когда удовольствие приносит сама работа ради работы, по-видимому, нет большого смысла. Как кажется, работа по большей части подпадает под вторую категорию. Однако идеал, к которому мы стремимся, – это, несомненно, деятельность первого рода. Именно к ней должен вести шорткат. Цель шортката – не избавление от работы, а возможность прийти к работе осмысленной.

Новые политические движения к полностью автоматизированному коммунизму в условиях всеобщей роскоши ставят своей целью, чтобы развитие искусственного интеллекта и робототехники привело к передаче всей неквалифицированной работы от человека машинам, что даст нам время заниматься той деятельностью, которая кажется нам осмысленной. Работа станет предметом роскоши. К списку технологий, ведущих нас к будущему, в котором работа будет выполняться ради удовольствия, а не ради достижения практических целей, следует добавить и развитие действенных шорткатов. Карл Маркс видел в этом – устранении различий между досугом и трудом – одну из целей перехода к коммунизму. «На высшей фазе коммунистического общества… – писал он, – …труд перестанет быть средством для жизни, а станет сам первой потребностью жизни»[13]. Проложенные нами шорткаты обещают увести нас от того, что Маркс называл «царством необходимости», и привести в «царство свободы»[14].

Но бывают ли такие ситуации, в которых без тяжелого труда не обойтись? Как может лентяй научиться играть на музыкальном инструменте? Написать роман? Подняться на Эверест? Даже и здесь я покажу, что сочетание часов работы за столом или обучения с правильно подобранным шорткатом может максимизировать ценность затраченного вами времени. В книге приводятся мои разговоры с другими специалистами, позволяющие понять, бывают ли в их профессиях шорткаты и нельзя ли обойтись без пресловутых десяти тысяч часов, необходимых, по словам журналиста Малкольма Гладуэлла, для достижения высочайшего профессионального уровня.

Мне было интересно узнать, используют ли специалисты в других областях шорткаты, созвучные тем, которые я научился применять в своей профессии – математике. И бывают ли шорткаты других, неизвестных мне типов, которые могли бы навести меня на новые способы мышления о моей собственной работе. Но помимо этого меня увлекают задачи, в решении которых шорткаты невозможны. Что именно не позволяет прокладывать шорткаты в некоторых областях деятельности человека? Снова и снова ограничивающим фактором оказывается человеческий организм. Чтобы изменить наше тело, обучить его или заставить делать нечто новое, очень часто требуются время и повторение, и никаких шорткатов, ускоряющих такие физические преобразования, не существует. Во всех главах нашего путешествия по различным шорткатам, открытым математиками, есть остановки (которые я называю пит-стопами), посвященные шорткатам – или их отсутствию – в других областях человеческой деятельности.

Успех, которого добился на уроке Гаусс, сложивший при помощи своего хитроумного шортката все числа от 1 до 100, усилил в нем желание заниматься развитием своих математических талантов. Его учителю герру Бюттнеру было не по силам взращивать юного математика, но у Бюттнера был помощник, семнадцатилетний Иоганн Мартин Бартельс, бывший столь же страстным любителем математики[15]. Хотя его работой было чинить перья для учеников и помогать им учиться писать, Бартельс с удовольствием снабжал юного Гаусса трудами по математике. Вдвоем они исследовали мир математики, восхищаясь теми шорткатами, которые открывали для них алгебра и матанализ.

Вскоре Бартельс понял, что для испытания талантов Гаусса необходимы более трудные задачи. Ему удалось выхлопотать для Гаусса аудиенцию у герцога Брауншвейгского. Юный Гаусс произвел на герцога настолько сильное впечатление, что тот согласился взять его под свое покровительство и оплатить его обучение в местном колледже, а затем и в Университете Геттингена. Именно там Гаусс начал познавать некоторые из величайших шорткатов, проложенных математиками на протяжении столетий и ставших отправной точкой для его собственных потрясающих математических достижений.

Эта книга – мой выборочный путеводитель по двухтысячелетней истории улучшенного мышления. Освоение хитроумных туннелей или скрытых проходов математического ландшафта заняло у меня несколько десятилетий, а на их создание у математиков, работавших на протяжении всей истории человечества, ушли целые тысячелетия. Но в этой книге я постарался выделить самую суть этих ухищренных стратегий решения сложных задач, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. Она – ваш шорткат к искусству шортката.

1

Шорткаты паттернов

У вас в доме есть лестничный пролет с 10 ступеньками. Вы можете идти по лестнице, шагая на каждую ступеньку или через одну. Например, чтобы подняться до верха, вы можете сделать 10 одинарных шагов или 5 двойных. Также можно сочетать одинарные шаги с двойными. Сколько существует возможных комбинаций шагов, позволяющих подняться на самый верх? Эту задачу можно решить «в лоб» – попытаться найти все комбинации, поднимаясь и спускаясь по лестнице. Но как решил бы ее юный Гаусс?

Хотите узнать шорткат к увеличению зарплаты на 15 процентов при выполнении той же самой работы? Или, может быть, шорткат к превращению небольшой инвестиции в крупный капитал? А как насчет шортката к пониманию вероятного поведения курса каких-нибудь акций в ближайшие месяцы? Не кажется ли вам, что вы снова и снова изобретаете колесо[16] и в то же время ощущаете, что между всеми этими колесами, которые вы создаете, есть какая-то связь? Не хотите ли получить шорткат, который поможет вам улучшить «вашу ужасную память»?

Я перейду прямо к делу и расскажу вам об одном из самых эффективных шорткатов, открытых человеком. Это умение замечать паттерны. Способность человеческого разума различать в окружающем нас хаосе паттерны подарила нашему виду в высшей степени замечательный шорткат: возможность знать будущее еще до того, как оно станет настоящим. Если вы можете увидеть в данных, описывающих прошлое и настоящее, некий паттерн, то, продлив его еще дальше, вы получаете возможность предсказать будущее. Не дожидаясь его наступления. На мой взгляд, могущество паттернов составляет самую суть и самый действенный шорткат математики.

Паттерны позволяют нам увидеть, что числа изменяются по одним и тем же правилам, даже если сами числа различны. Выявив правило, лежащее в основе паттерна, я могу не повторять одну и ту же работу каждый раз, как мне встретится новый набор данных. За меня работает паттерн.

В экономике полно данных, следующих паттернам, которые, если только их правильно распознать, могут привести нас к будущему процветанию. Хотя, как я объясню ниже, некоторые паттерны бывают обманчивы – мир увидел это на примере финансового краха 2008 года. Паттерны в численности зараженных вирусом позволяют нам отследить траекторию распространения пандемии и вмешаться, прежде чем она станет слишком смертоносной. Космические паттерны помогают нам понимать наше прошлое и будущее. Из чисел, описывающих, как звезды удаляются от нас, мы вывели паттерн, который говорит нам, что наша Вселенная началась с Большого взрыва, а в будущем закончится холодным состоянием, которое называют тепловой смертью.

Именно эта способность выискивать паттерны в астрономических данных и позволила начинавшему карьеру юному Гауссу завоевать на мировой сцене славу мастера шортката.

Паттерны планетарные

В день нового, 1801 года в Солнечной системе была обнаружена восьмая планета, орбита которой проходила где-то между Марсом и Юпитером. Ее нарекли Церерой, и в ее открытии все видели великое предзнаменование будущего науки в только что начавшемся XIX веке.

Однако всего через несколько недель восторг сменился отчаянием: маленькая планета (бывшая на самом деле всего лишь астероидом), приблизившись к Солнцу, исчезла из виду, потерялась среди множества звезд. Астрономы понятия не имели, куда она делась.

Тогда прошел слух, что некий 24-летний юноша из Брауншвейга заявил, будто знает, где искать пропавшую планету. Он сказал астрономам, куда им нужно направить свои телескопы, – и как будто по волшебству, Церера действительно оказалась там. Этим молодым человеком был не кто иной, как мой герой, Карл Фридрих Гаусс.

После первых школьных достижений в девятилетнем возрасте Гаусс продолжил совершать интереснейшие математические открытия, в том числе изобрел способ построения правильного семнадцатиугольника при помощи только линейки и циркуля. Эта задача оставалась нерешенной в течение 2000 лет, с тех самых пор, как древние греки начали придумывать хитроумные способы построения геометрических фигур. Гаусс был так горд этим свершением, что начал вести математический дневник, в который заносил в последующие годы свои поразительные открытия в области чисел и геометрии. Но особенно его заинтересовали данные новой планеты. Можно ли найти в величинах, измеренных до исчезновения Цереры за Солнцем, логику, которая объяснила бы, где ее искать? В конце концов он разгадал и этот секрет.

Разумеется, в его великом астрономическом свершении не было никакого волшебства. Одна лишь математика. Астрономы открыли Цереру по случайности. Применив средства математического анализа, Гаусс выявил паттерн, скрывавшийся за числами, которые описывали положение этого астероида, и узнал, где он должен оказаться в будущем. Конечно, паттерны динамики космических тел замечали и до него. Астрономы использовали этот шорткат к ориентации в ночном небе для составления предсказаний и планирования будущего с тех самых пор, как род человеческий понял, что между будущим и прошлым существует связь.

Благодаря паттерну смены времен года крестьяне могли планировать сев. Каждое время года соответствовало особому расположению звезд. Паттерны поведения – миграции и спаривания – животных позволяли древнему человеку охотиться в наиболее удобные для этого моменты, когда можно получить максимальную добычу с минимальной затратой сил. Способность предсказывать затмения делала предсказателя важным членом племени. Хорошо известно, что в 1503 году, когда суда Христофора Колумба сели на мель на Ямайке, он спас свой экипаж, попавший в плен к местным жителям, воспользовавшись своими знаниями о надвигавшемся лунном затмении. Туземцев так поразила его способность предсказывать исчезновение Луны, что они согласились отпустить пленников на свободу.

Назовите следующее число

Суть поиска паттернов идеально выражают задачи, которые вам, вероятно, приходилось решать в школе: вам дают последовательность чисел и просят определить следующее число в этой последовательности. Я очень любил такие задачи, которые наш учитель выписывал мелом на доске. Чем больше времени уходило у меня на поиски паттерна, тем более ценным казался найденный в конце концов шорткат. Этот урок я усвоил довольно рано. Обнаружение самых лучших шорткатов часто занимает много времени. Оно требует усилий. Но стоит найти такой шорткат, и он становится частью вашего инструментария познания мира и вы можете использовать его снова и снова.

Вот несколько заданий, которые помогут активировать ваши нейроны, занимающиеся поиском шорткатов, основанных на паттернах. Каким будет следующее число в этой последовательности?

1, 3, 6, 10, 15, 21 …

Не слишком сложная задача. Вы, вероятно, заметили, что на каждом шаге всего лишь прибавляется следующее по порядку число. Следующее число равно 21 + 7, то есть 28. Эти числа называются треугольными, потому что они соответствуют количеству камешков, которые нужны для построения треугольника: на каждом шаге к треугольнику добавляется еще один ряд камешков. Но существует ли шорткат, позволяющий найти сотое число, не перебирая все предыдущие 99? Собственно говоря, это именно та задача, которую пришлось решить Гауссу, когда учитель задал ему сложить все числа от 1 до 100. Гаусс нашел хитроумный шорткат и вычислил ответ, складывая числа попарно. В более общем случае, если вам нужно найти n-е треугольное число, прием Гаусса выражается следующей формулой:

1/2 × n × (n + 1).

Эти треугольные числа продолжали интересовать Гаусса с тех самых пор, как он впервые познакомился с ними на уроке герра Бюттнера. Более того, одна из записей в его математическом дневнике от 10 июля 1796 года состоит из греческого восклицания «Эврика!», за которым следует формула:

num = Δ + Δ + Δ.

Гаусс открыл следующий весьма замечательный факт: любое число может быть записано в виде суммы не более трех треугольных чисел. Например, 1796 = 10 + 561 + 1225. Наблюдения такого рода могут порождать очень полезные шорткаты: вместо того чтобы доказывать, что некоторое утверждение справедливо для всех чисел, может быть достаточно доказать его для треугольных чисел, а затем использовать открытое Гауссом правило, что любое число есть сумма трех треугольных чисел.

Вот еще одна задача. Назовите следующее число в последовательности:

1, 2, 4, 8, 16 …

Тоже ничего сложного. Следующее число – 32. На каждом шаге члены этой последовательности удваиваются. Эта зависимость, которую называют экспоненциальным ростом, управляет ростом многих величин; поэтому важно понимать, как работают такого рода паттерны. К примеру, поначалу последовательность выглядит вполне невинно. Именно так, видимо, считал индийский царь, согласившийся заплатить создателю шахмат ту цену, которую тот просил за свою игру. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно рисовое зерно, а затем удваивать число рисинок на каждой следующей клетке. Первый ряд клеток выглядел вполне безобидно. На нем оказалось всего лишь 1 + 2 + + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 зерен риса. Этого едва хватило бы и на одно суши.

Но слуги царя добавляли на доску все больше и больше риса, и вскоре их запасы иссякли. Чтобы заполнить половину клеток, понадобилось около 280 000 килограммов риса. И это была легкая половина доски. Сколько же зерен риса царь должен был отдать изобретателю? Этот вопрос похож на одну из задач, которые мог задавать своим бедным ученикам герр Бюттнер. Есть трудный способ решить ее: нужно сложить все 64 разных числа. Кто же захочет заниматься такой тяжелой работой? И как подошел бы к такому заданию Гаусс?

Для этого вычисления существует очень красивый шорткат, но на первый взгляд может показаться, что он только усложняет задачу. Вначале часто кажется, что шорткат ведет не к цели, а в прямо противоположном направлении. Прежде всего я дам суммарному числу зерен риса имя: я назову его Х. Это одно из самых популярных имен в математике; как я покажу в главе 3, оно и само по себе является могущественным шорткатом из арсенала математика.

Для начала я удвою то число, которое пытаюсь вычислить:

2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2^62 + 2^63).

Казалось бы, это только осложняет мне жизнь. Но посмотрите, что я сделаю дальше. Раскроем скобки:

= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 2^63 + 2^64.

Теперь применим одну хитрость. Я собираюсь вычесть из этого выражения Х. На первый взгляд кажется, что тогда мы вернемся туда же, откуда начали: 2Х – Х = Х. Какой в этом толк? Чудо происходит тогда, когда я заменяю 2Х и Х на суммы, которые я выписал выше:

2X – X = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 2^63 + 2^64) – (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2 62 + 2^63).

Почти все слагаемые взаимно уничтожаются! Не уничтожаются только 2^64 из первой части и 1 из второй. Таким образом, у нас остается только следующее выражение:

X = 2X – X = 2^64 – 1.

Вместо множества вычислений нужно выполнить всего одно – и мы узнаем, чему равно число зерен риса, которые нужно было собрать царю, чтобы заплатить изобретателю шахмат:

18 446 744 073 709 551 615.

Оно превышает количество риса, выращенного на всей нашей планете за последнее тысячелетие. Мораль здесь та, что иногда для избавления от тяжелой работы можно заняться другой тяжелой работой, после которой задачу оказывается гораздо легче проанализировать.

Как выяснил на собственном горьком опыте царь, удвоение только сначала выглядит невинно, а потом очень быстро взлетает ввысь. Таково могущество экспоненциального роста. Этот эффект ощущают на себе те, кто занимает деньги, чтобы покрыть долги. На первый взгляд предложение компании, дающей 1000 фунтов под 5 процентов в месяц кажется спасительным. Месяц спустя вы оказываетесь должны ей всего 1050 фунтов. Но проблема заключается в том, что через каждый следующий месяц сумма долга умножается еще на 1,05. Через два года долг составляет уже 3225 фунтов. К пятому году он возрастает до 18 679 фунтов. Такая система очень выгодна кредитору, но не должнику.

Тот факт, что многие не понимают этого паттерна экспоненциального роста, означает, что он вполне может быть шорткатом к разорению. Компании, выдающие «кредиты до зарплаты», успешно пользуются такой неспособностью понять, к чему приведет в будущем этот паттерн, навязывая беззащитным клиентам договоры, выглядящие на первый взгляд весьма привлекательно. Чтобы не разориться и не оказаться в беспомощном положении, без какой бы то ни было возможности вернуться в безопасное состояние, важно вовремя понять, насколько опасно удвоение и куда оно может нас завести.

Все мы познали ужасающую скорость экспоненциального роста – с дорого обошедшимся нам запозданием – на примере пандемии коронавируса 2020 года. Число инфицированных удваивалось в среднем каждые три дня, и это привело к перегрузке системы здравоохранения.

В то же время могущество экспоненциальной зависимости также помогает объяснить, почему на Земле (вероятно) нет вампиров. Чтобы выжить, вампиру нужно питаться человеческой кровью не реже раза в месяц. Проблема заключается в том, что тот, чьей кровью питается вампир, тоже становится вампиром. Поэтому в следующем месяце вампиров, ищущих человеческой крови, становится в два раза больше.

Численность населения мира оценивается приблизительно в 6,7 миллиарда человек. Численность вампиров каждый месяц удваивается. Сокрушительная сила удвоения такова, что всего за 33 месяца один-единственный вампир превратит в вампиров все население мира.

На случай же, если вы все-таки встретитесь с вампиром, вот вам полезный прием из арсенала математика, позволяющий защититься от кровососущего чудовища. Помимо классических средств – чеснока, зеркал, распятий – есть один довольно необычный способ избавиться от Князя Тьмы: нужно рассыпать вокруг его гроба маковое семя. Оказывается, вампиры страдают арифмоманией – патологическим стремлением считать. Теоретически Дракула не должен успеть закончить подсчет маковых семян, рассыпанных вокруг его ложа, пока взошедшее солнце не загонит его обратно в гроб.

Арифмомания – тяжелое заболевание. Этим расстройством страдал изобретатель Никола Тесла, исследованиям которого в области электричества мы обязаны переменным током. Он был одержим числами, делящимися на три: требовал, чтобы у него каждый день было ровно 18 чистых полотенец, и считал свои шаги, чтобы их число непременно делилось на три. Возможно, самое известное из художественных описаний арифмомании – это образ Графа фон Знака из «Улицы Сезам», вампира, который помог многим поколениям телезрителей сделать первые шаги по пути математики[17].

Паттерны городские

Вот чуть более трудная последовательность чисел. Сможете ли вы найти паттерн в ней?

179, 430, 1033, 2478, 5949 …

Здесь нужно разделить каждое число на предыдущее. Коэффициент получается равным 2,4. Это по-прежнему экспоненциальный рост, но интересно не это, а то, что́ на самом деле выражают эти числа.

Это количество патентов, выданных в городах с населением 250 000, 500 000, 1 миллион, 2 миллиона и 4 миллиона человек. Оказывается, что при удвоении населения города число патентов не просто удваивается, как можно было бы предположить. Чем крупнее город, тем более творческим он кажется. По-видимому, удвоение численности населения добавляет к творческому потенциалу лишние 40 процентов! И такой паттерн роста проявляется не только в патентах.

Несмотря на огромные культурные различия между Лондоном, Рио-де-Жанейро и Гуанчжоу, существует математический паттерн, связывающий все города от Бразилии до Китая. Мы привыкли описывать их, опираясь на особенности их географического положения и истории, подчеркивая индивидуальные отличия каждого места – Нью-Йорка или Токио. Но это всего лишь детали, интересные случайности, мало что объясняющие. Если же взглянуть на город глазами математика, начинают проявляться универсальные черты, не зависящие от политических и географических границ. Эта математическая точка зрения позволяет понять, чем именно привлекают нас города… и доказывает, что чем больше, тем лучше.

Математика показывает, что рост каждого из ресурсов города можно описать одним-единственным волшебным числом, характерным для этого ресурса. При каждом удвоении численности населения города его социальные и экономические параметры тоже увеличиваются, но не просто вдвое, а чуть больше. Замечательно, что для многих ресурсов это «чуть больше» составляет около 15 процентов. Например, если сравнить город с населением 1 миллион человек с городом с населением 2 миллиона, то окажется, что ресторанов, концертных залов, библиотек, школ в более крупном городе больше не в два раза: их количество больше удвоенного на 15 процентов.

Это правило масштабирования затрагивает даже зарплаты. Если взять двух работников, выполняющих в точности одну и ту же работу, но в городах разных размеров, то зарплата работника, живущего в городе с населением 2 миллиона, в среднем будет на 15 процентов выше, чем у работника из города, в котором всего 1 миллион жителей. Если удвоить численность населения еще раз, до 4 миллионов человек, зарплата увеличится еще на 15 процентов. Чем крупнее город, тем больше вы получаете, хотя работа остается той же самой.

Выявление таких паттернов может стать ключевым фактором, позволяющим компании извлечь максимальную прибыль из капиталовложений. Города бывают самых разных форм и размеров. Понимание того, что форма не важна, а размер имеет значение, дает компании возможность вкладывать средства гораздо более рационально, просто переехав в город в два раза большего размера.

Этот странный всеобщий принцип масштабирования был открыт не экономистами или социологами, а физиком-теоретиком, использовавшим те же математические методы анализа, которые обычно применяют в исследованиях фундаментальных законов, лежащих в основе Вселенной. Джеффри Уэст, родившийся в Великобритании, изучал физику в Кембридже, а затем работал в Стэнфорде, занимаясь исследованиями свойств элементарных частиц. Но к открытиям в области роста городов его подтолкнул переход на должность президента Института Санта-Фе. Этот институт специализируется на программах, позволяющих взаимодействовать и обсуждать идеи специалистам, работающим в разных дисциплинах. Шорткат к разрешению загадок в одной области очень часто бывает ответвлением, которое проходит через какую-нибудь другую область, на первый взгляд совершенно не связанную с первой.

Именно та смесь математики, физики и биологии, которая бурлила в Институте Санта-Фе, заставила Уэста задуматься над следующим вопросом: существуют ли у городов, разбросанных по всему миру, универсальные характеристики, подобные универсальным свойствам электронов или фотонов, не зависящим от того, в какой точке Вселенной они находятся?

Нетрудно поверить, что математика лежит в основе фундаментальных законов мироздания, что при помощи математики можно объяснить гравитацию или электричество. И вместе с тем город кажется непостижимой массой людей, у каждого из которых свои мотивации, свои желания, свои повседневные дела. Но, когда мы пытались разобраться в окружающем нас мире, мы выяснили, что математика – это код, управляющий не только нашим миром и всем, что в нем содержится, но и нами самими. Даже силы, управляющие суматошным существованием миллионов индивидуумов, тоже подчиняются неким паттернам.

Уэст и его сотрудники собрали данные по тысячам городов всего мира. Они учитывали все, от суммарной длины электрических кабелей во Франкфурте до числа людей с высшим образованием в городе Бойсе, штат Айдахо. Они регистрировали статистические данные по автозаправочным станциям, личным доходам, вспышкам гриппа, убийствам, кофейням и даже скорости передвижения пешеходов. Однако не всю эту информацию можно было найти в Сети. Когда Уэст пытался расшифровать объемистый справочник по провинциальным городам Китая, ему приходилось разбирать надписи на севернокитайском языке. Когда накопленные числа стали анализировать, начал проявляться скрытый код. Если численность населения одного города была вдвое больше, чем у другого, в каких бы точках мира эти города ни находились, в соотношении социальных и экономических факторов обнаруживалось одно и то же волшебное число – дополнительные 15 процентов[18].

Сейчас в городах живет более 50 процентов мирового населения. Та добавка к экспоненциальному росту, которую дает коэффициент масштабирования Уэста, вполне может быть ключевым элементом привлекательности городов. По-видимому, когда большое количество людей оказывается вместе, получаемые результаты становятся больше, чем изначальные вложения. Вероятно, поэтому люди и переезжают в большие города. Когда человек перебирается в город вдвое большего размера, он внезапно начинает получать на 15 процентов больше – во всех областях.

Тот же закон масштабирования затрагивает и инфраструктуру, но в обратном направлении. Оказывается, при удвоении размера города не требуется вдвое больше материалов: действует экономия на инфраструктуре. Стоимость медного провода, асфальта, канализационных труб на душу населения уменьшается на 15 процентов. Это означает, что вопреки распространенному мнению и ваш личный «углеродный след» оказывается тем меньше, чем крупнее город, в котором вы живете.

К сожалению, этот математический принцип определяет масштабирование не только положительных аспектов. Преступность, заболеваемость и плотность дорожного движения возрастают с тем же коэффициентом. Если, к примеру, вам известен уровень заболеваемости СПИДом в городе с 5-миллионным населением, то для оценки этого же показателя для города, в котором живут 10 миллионов человек, первую цифру нужно не просто удвоить, а еще и добавить к результату 15 процентов. Все те же волшебные 15 процентов.

Есть ли объяснение такому универсальному масштабированию самых разных городов? Существует ли что-то вроде ньютоновского закона всемирного тяготения, применимого ко всему на свете – от яблок до планет и черных дыр?

Чтобы понять, почему город определяется не физическими размерами, а численностью населения, важнее всего осознать, что город состоит не из зданий и улиц, а из людей, которые в нем живут. Город – это сцена, на которой разыгрывается история цивилизации, и разыгрывают ее не актеры, а акторы. Города ценны постольку, поскольку они выполняют функцию сетей, обеспечивающих возможность взаимодействия между людьми.

Значит, модель города должна отражать не его географическое положение, будь то на острове или посреди пустыни, а сетевую структуру взаимодействий его жителей. По-видимому, свойство универсальной масштабируемости, открытое Уэстом, определяется именно качеством сети, возникающей из взаимодействий горожан. Таково могущество математики. Она позволяет увидеть простые структуры, находящиеся в самом сердце нашей сложной среды.

Если взять предельный случай – когда по мере роста города каждый житель контактирует со всеми остальными, – можно увидеть, почему крупный город порождает сверхлинейный рост. Если численность его населения равна N, максимальным числом связей между ними будет количество разных рукопожатий, которые могут совершить эти N жителей. Выстроим их в ряд и пронумеруем от 1 до N. Горожанин номер 1 проходит вдоль ряда, пожимая всем руки, – всего N – 1 рукопожатий. После него вдоль ряда проходит горожанин номер 2. Он уже пожал руку горожанину № 1, так что он прибавляет к сумме N – 2 рукопожатий. Так продолжается и дальше, и на долю каждого следующего горожанина приходится на одно рукопожатие меньше. Общее число рукопожатий равно сумме чисел от 1 до N – 1. Давно не виделись! Это то самое вычисление, которое задали Гауссу. Его шорткат дал формулу для вычисления этого числа:

1/2 × (N – 1) × N.

Что происходит с количеством связей при удвоении N? Число рукопожатий не удваивается, а увеличивается в 2 в квадрате – то есть 4 – раза. Число рукопожатий пропорционально квадрату числа жителей города.

Этот пример прекрасно показывает, почему математика может избавить нас от необходимости снова и снова изобретать колесо. Хотя я задал совершенно другой вопрос, касавшийся связей в сети, оказалось, что для анализа роста этого числа у меня уже есть инструменты, полученные из анализа треугольных чисел. Действующие лица могут то и дело меняться, но сценарий остается тем же. Стоит понять этот сценарий, и в вашем распоряжении оказывается шорткат к пониманию поведения любых персонажей пьесы. В данном случае число связей между горожанами растет с увеличением их количества квадратично.

Разумеется, каждый житель города никак не может быть знаком со всеми остальными. Более консервативной гипотезой будет предположение о том, что горожане знакомы с жителями своего района. Но эта величина масштабируется линейно; общие размеры не имеют существенного значения.

Судя по всему, связи между жителями городов находятся где-то между этими двумя предельными случаями. Горожанин поддерживает все свои местные связи плюс несколько более дальних связей в других частях города. По-видимому, именно такие дальние связи и приводят к тому, что при удвоении численности населения количество связей увеличивается на лишние 15 процентов. Как я объясню в последующих разделах этой книги, сети такого типа возникают во многих разных сценариях, и это обстоятельство оказывается чрезвычайно удобным для прокладки шорткатов.

Паттерны обманчивые

Хотя паттерны обладают невероятной силой, использовать их следует с осторожностью. Вы можете отправиться по такому пути, считая, что, вероятно, знаете, куда вы идете. Но иногда этот путь может завернуть в странном и неожиданном направлении. Возьмем ту последовательность, которую я предлагал вам решить раньше:

1, 2, 4, 8, 16 …

Что, если я скажу вам, что следующее число в этой последовательности – не 32, а 31?

Если взять круг, отмечать на его окружности точки и соединять все эти точки прямыми линиями, каково будет максимальное число областей, на которые можно разделить этот круг? Если точка всего одна, никаких линий не будет и область получится тоже всего одна. Если добавить еще одну точку, две точки можно соединить линией, которая разделит круг на две области. Добавим третью точку. Проведя все возможные линии, соединяющие эти точки, получим треугольную фигуру, окруженную тремя секторами круга: всего четыре области.

Рис. 1.1. Первые пять чисел деления круга

Если продолжить действовать таким же образом, кажется, что проявляется паттерн. Вот данные по числу областей, получающихся при добавлении очередных точек на окружности:

1, 2, 4, 8, 16 …

В этот момент разумно предположить, что добавление очередной точки удваивает число областей. Проблема заключается в том, что этот паттерн нарушается, как только я добавляю шестую точку. Как ни старайся, число областей, на которые линии разбивают круг, оказывается равным 31. А вовсе не 32!

Рис. 1.2. Шестое число деления круга

Для числа областей существует формула, но она чуть сложнее, чем простое удвоение. Если на окружности есть N точек, максимальное число областей, которые можно получить, соединяя эти точки, равно

1/24 (N^4 – 6N^3 + 23N^2 – 18N + 24).

Мораль тут следующая: важно знать, что именно описывают ваши данные, а не полагаться на одни лишь числа. Обработка данных может быть делом опасным, если она не сочетается с глубоким пониманием того, откуда взялись эти данные.

Вот еще одно предостережение относительно шорткатов такого рода. Каким должно быть следующее число в этой последовательности?

2, 8, 16, 24, 32 …

В ней много степеней двух. Но что там делает число 24? В общем, если вы сумели заключить, что следующее число этой последовательности – 47, я советую вам в ближайшую же субботу купить лотерейный билет. Это выигрышные номера тиража британской Национальной лотереи, разыгранного 26 сентября 2007 года. Мы настолько пристрастились к поиску паттернов, что часто видим их там, где никакого паттерна ожидать нельзя. Лотерейные билеты выпадают случайным образом. Без паттернов. Без тайных формул. Шорткатов к миллионным состояниям не бывает. Однако в главе 8 я объясню, что даже случайные вещи следуют неким паттернам, которые можно рассматривать в качестве потенциальных шорткатов. Если речь идет о случайностях, шорткатом будет рассмотрение долгосрочной перспективы.

Концепцию паттерна можно использовать в качестве шортката к пониманию того, действительно ли какое-либо явление случайно, и этот метод имеет отношение к легкости запоминания числовых последовательностей.

Шорткат к хорошей памяти

Поскольку в интернете каждую секунду появляется огромное количество данных, компании ищут более рациональные способы их хранения. Выявление паттернов в данных облегчает их сжатие, благодаря которому для их хранения требуется меньше места. Именно эта идея лежит в основе технологий, подобных форматам JPEG или MP3.

Возьмем изображение, составленное только из черных и белых пикселей. В любом таком изображении где-нибудь может быть большой участок, состоящий из сплошных белых пикселей. Можно не описывать по отдельности каждый белый пиксель, используя для сохранения изображения такое же количество памяти, которое требуется для всех его данных, а прибегнуть к шорткату. Тогда нужно записать информацию о местоположении границы области белых пикселей и просто добавить указание закрасить эту область белым. Как правило, программный код, который я могу написать для такого закрашивания, займет гораздо меньше места, чем записи о каждом белом пикселе этой области.

Любые паттерны такого рода, которые можно обнаружить в пикселях, пригодны для написания кода, благодаря которому для записи изображения потребуется намного меньше памяти, чем для сохранения данных каждого пикселя по отдельности. Возьмем, к примеру, шахматную доску. В ее изображении есть чрезвычайно явный паттерн, позволяющий нам написать программу, просто повторяющую комбинацию из черной и белой клеток 32 раза. Эта программа не будет больше даже для доски огромного размера.

Я полагаю, что такие паттерны лежат и в основе того способа, которым человек запоминает данные. Должен признаться, что у меня очень плохая память. Я думаю, это было одной из причин, по которым меня привлекла математика. Математика всегда была моим оружием против ужасной памяти на имена, даты и случайные сведения, в которых я не могу найти логики. На уроках истории я понятия не имел, в каком году умерла королева Елизавета I; если мне говорили, что это случилось в 1603 году, я забывал эту дату уже через десять минут. На французском мне было трудно запомнить все формы неправильного глагола aller[19]. На химии я постоянно забывал, что именно горит фиолетовым пламенем – калий или натрий. Но, когда речь шла о математике, я мог восстановить любую информацию, опираясь на паттерны и логику, которые я находил в этой дисциплине.

Я подозреваю, что это один из способов, которые мы используем для запоминания. Память опирается на способность нашего мозга выявлять паттерны и структуры, что помогает сохранять сжатую программу, на основе которой можно восстанавливать воспоминания. Вот вам маленькая задачка. Посмотрите на заштрихованные клетки в показанной ниже таблице размером 6 × 6. Затем закройте книгу. Можете ли вы воспроизвести эту таблицу по памяти? Тут важно не пытаться запомнить каждую из 36 клеток изображения по отдельности, а найти паттерн, который поможет вам восстановить все изображение.

Рис. 1.3. Можете ли вы запомнить расположение заштрихованных клеток?

Хотя доля заштрихованных клеток на этом изображении приблизительно та же, что и доля черных клеток на шахматной доске размером 6 × 6, из-за отсутствия явного паттерна запомнить их расположение гораздо труднее. Чтобы получить это изображение, я подбрасывал монету и заштриховывал те клетки, для которых она выпадала орлом. С математической точки зрения вероятность получения рисунка, аналогичного шахматной доске, с регулярным чередованием орлов и решек, равна вероятности случайного расположения заштрихованных клеток. Однако рисунок шахматной доски намного легче запомнить.

Если вам удается выявить в изображении паттерн, вы можете записать инструкцию воспроизведения этого изображения. В математике такую инструкцию называют алгоритмом. Оценка размеров алгоритма, необходимого для запоминания изображения, дает довольно точную меру случайности этого изображения. Рисунок шахматной доски обладает высокой упорядоченностью. Алгоритм его воспроизведения занимает мало места. Для изображения, созданного путем подбрасывания монеты, вероятно, потребуется алгоритм не меньший, чем запись содержания каждой из 36 клеток таблицы по отдельности.

Можно заметить, что из фотографии, изображающей сцену с очевидным сюжетом, получается файл формата JPEG гораздо меньшего размера, чем исходное изображение, а картинка, состоящая из случайных пикселей, не становится меньше, если попытаться сжать ее алгоритмом JPEG: в ней нет паттернов, помогающих сжатию.

Кто бы и что бы, будь то человек или машина, ни запоминал что-либо, они прибегают к математической стороне своего разума. Запоминание требует обнаружения в данных, которые мы пытаемся сохранить, паттернов, связей, ассоциаций и логики. Паттерны – это шорткат к хорошей памяти.

Со ступеньки на ступеньку

Вернемся к вопросу, который я задал в начале этой главы. Сколько существует способов подняться на пролет из 10 ступенек, если использовать комбинации шагов на одну ступеньку (одинарных) и на две ступеньки (двойных)? К решению этой задачи можно подойти несколькими разными путями. Один из них – просто начать выписывать в случайном порядке разные варианты. При таком несистематическом подходе некоторые возможности наверняка будут пропущены, а чтобы записать их все, понадобится много времени. Нет ли стратегии получше?

Чуть более систематическим будет следующий подход. Начнем с одних лишь одинарных шагов. С ними решение только одно: 1111111111. Затем добавим к одинарным шагам один двойной. Тогда нужно сделать в общей сложности девять шагов – восемь одинарных и один двойной, причем каким по счету будет двойной шаг, можно выбирать. Этот двойной шаг можно сделать в девяти разных местах.

Эта стратегия кажется перспективной. На следующем этапе можно рассмотреть комбинации с двумя двойными шагами, перемешанными с шестью одинарными. В этом варианте подъем совершается за восемь шагов. Но придется вычислить, сколько существует вариантов выбора, то есть какой из восьми шагов будет двойным. Один двойной шаг можно сделать в восьми разных местах, а второй – в семи оставшихся после первого. Создается впечатление, что число возможных вариантов – 8 × 7. Но тут нужно действовать осторожно, потому что на самом деле мы учли одни и те же варианты дважды. Можно назначить первый двойной шаг на положение № 1, а второй – на положение № 2, а можно сделать наоборот. Результат от этого не изменится. Поэтому суммарное число возможных вариантов равно (8 × 7)/2 = 28. Собственно говоря, у этого числа есть особое математическое название. Оно называется числом сочетаний из 8 по 2 и обозначается следующим образом[20]:

В более общем случае число вариантов выбора двух чисел из N + 1 чисел вычисляется по формуле 1/2 N(N + 1) – той же самой формуле, которую Гаусс использовал для треугольных чисел. Снова то же самое колесо, которое мы уже изобрели! Задачу о выборе двух чисел из N + 1 действительно можно свести к задаче вычисления треугольных чисел. В главе 3 я покажу, каким прекрасным шорткатом к решению одной задачи часто может быть ее преобразование в другую.

Эти инструменты для вычисления количества вариантов выбора, называемые биномиальными коэффициентами, были и в числе тех формул, которые Гаусс и помощник его учителя Бартельс вместе разбирали в своих книгах по алгебре.

Но чтобы решить нашу головоломку, на следующем этапе нужно вычислить, какими способами можно выбрать три места для трех двойных шагов по лестнице из семи возможных. Хотя этот метод кажется разумным и систематическим, нам нужно будет придумывать все новые формулы для включения в подъем по лестнице все большего числа двойных шагов. Эта работа начинает казаться трудоемкой и медленной – совсем не такой, каким должен быть шорткат.

Поэтому я опишу более удобный способ, основанный на том, о чем я рассказывал в этой главе. Очень действенной стратегией для решения таких головоломок мне кажется следующая: нужно рассмотреть малое количество ступенек и выяснить, есть ли в получающихся для них числах какой-нибудь паттерн.

Вот все варианты для лестниц из 1, 2, 3, 4 и 5 ступенек, которые можно быстро перебрать вручную:

1 ступенька: 1.

2 ступеньки: 11 или 2.

3 ступеньки: 111 или 12 или 21.

4 ступеньки: 1111 или 112 или 121 или 211 или 22.

5 ступенек: 11111 или 1112 или 1121 или 1211 или 2111 или 122 или 212 или 221.

Последовательность количества вариантов выглядит так: 1, 2, 3, 5, 8… Возможно, вы уже заметили паттерн. Следующее число получается сложением двух предыдущих. Возможно, вы даже знаете, как называются эти числа. Это же числа Фибоначчи! Они названы в честь математика XII века, открывшего, что эти числа – ключ к процессам роста природных объектов. Цветочных лепестков, сосновых шишек, ракушек, популяций кроликов. Все эти числа, по-видимому, следуют одному и тому же паттерну.

Фибоначчи открыл, что процессы роста в природе следуют одному простому алгоритму. Правило сложения двух предыдущих чисел – это шорткат природы к созданию сложных структур, например ракушек, шишек или цветков. Каждый организм использует две последние созданные им вещи в качестве ингредиентов для следующего шага.

Рис. 1.4. Построение спирали при помощи чисел Фибоначчи

Использование паттернов в развитии структур – ключевой шорткат природы. Взять, например, тот способ, которым природа создает вирус. Вирусы обладают чрезвычайно симметричной структурой. Связано это с тем, что алгоритм создания симметричной структуры прост. Если вирус имеет форму симметричного кубика, то ДНК, которая воспроизводит эту молекулу, нужно создать лишь несколько экземпляров одного и того же белка, образующего грани кубика, а затем вся структура вируса может быть построена по тому же правилу. Никакие особые инструкции для разных граней не требуются. Паттерн позволяет строить вирус быстро и рационально, что и делает его таким смертельно опасным.

Но можем ли мы быть уверены, исходя из столь малого количества данных, что секрет подъема по лестнице действительно скрыт в числах Фибоначчи?

На самом деле правило точно объясняет, как вычислить количество вариантов для следующего этапа, лестницы из 6 ступенек. Нужно взять все возможные варианты для четырех ступенек и прибавить в конце по двойному шагу. Или взять все возможные варианты для пяти и прибавить к ним по шагу одинарному. Это дает все возможности для шести ступенек. Получается сочетание двух предыдущих чисел последовательности.

Чтобы получить ответ на исходную головоломку, нужно вычислить десятый член последовательности.

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

Существует 89 разных вариантов. Этот паттерн – шорткат к вычислению количества возможных способов подъема до вершины лестницы. И этот же паттерн позволяет решить эту задачу, даже если ступенек будет 100 или 1000.

Хотя эти числа названы в честь Фибоначчи, первым их открыл не он. Это были индийские музыканты, игравшие на табла[21]. Они издавна состязались друг с другом, щеголяя разными ритмами, которые им удавалось извлекать из своих барабанов. По мере исследования разных типов ритмов, которые получались из долгих и кратких тактов, они и пришли к числам Фибоначчи.

Если долгий такт в два раза длиннее краткого такта, то количество ритмов, которые может составить из них музыкант, играющий на табла, будет таким же, что и количество вариантов подъема по лестнице. Каждый одинарный шаг соответствует краткому такту, а каждый двойной шаг – долгому. Значит, число возможных ритмов определяется правилом Фибоначчи. Более того, это же правило дает музыканту алгоритм построения новых ритмов из уже существующих более коротких.

В том обстоятельстве, что один и тот же паттерн объясняет столь разнородные явления, есть нечто потрясающее. Фибоначчи полагал, что это закон роста в природе. С точки зрения индийских музыкантов, игравших на табла, этот паттерн порождает ритмы. Он же позволяет получить число вариантов подъема по лестнице одинарными и двойными шагами. Есть даже некоторые финансовые аналитики, считающие, что эти числа можно использовать для предсказания момента, в который падающий курс акций достигнет нижней точки и снова начнет расти. Этот финансовый паттерн не вполне бесспорен и уж точно не универсален, но некоторым инвесторам удается применять его для принятия правильных решений. Столь действенным делает шорткат способность выявить фундаментальную структуру, скрытую за самыми разными фасадами. Один и тот же паттерн может дать решения множеству кажущихся совершенно разными задач. Когда приступаешь к решению новой задачи, часто бывает полезно проверить, не сводится ли она к старой задаче, решение которой вы уже нашли.

Связи между шорткатами

Я не могу противостоять искушению прибавить к этой истории небольшой эпилог, в котором пожинаются плоды проделанной ранее тяжелой работы. Моя исходная стратегия вычисления количества способов подъема на вершину лестницы привела меня к вопросу о способах выбора 3 предметов из 7. На самом деле математики уже нашли хитроумный метод, укорачивающий путь к вычислению этих вариантов. Он называется треугольником Паскаля (хотя, как и в случае Фибоначчи, оказывается, что первым его открыл вовсе не Паскаль: это заслуга древних китайцев).

Рис. 1.5. Треугольник Паскаля

Треугольник этот строится по правилу, похожему на правило Фибоначчи, но в этом случае каждый элемент нижележащего ряда вычисляется как сумма двух элементов, расположенных над ним. Используя это правило, построить треугольник легко, но замечательнее всего то, что он содержит все те интересные числа, которые я искал. Предположим, я заведую пиццерией и хочу похвастаться количеством разных пицц, которые у меня можно заказать. Если мне нужно узнать число вариантов выбора 3 начинок из 7 возможных, я беру (3 + 1) – е число в (7 + 1) – м ряду треугольника: 35. Этот шорткат показывает мне, что я могу приготовить 35 разных пицц. В общем случае выбора m предметов из n нужно найти (m + 1) – е число в (n + 1) – м ряду[22]. Но, поскольку именно эти числа давали одно из решений нашей задачи с лестницей, значит, в треугольнике Паскаля есть и числа Фибоначчи. Они получаются при сложении чисел по диагоналям треугольника.

Рис. 1.6. Числа Фибоначчи, треугольные числа и степени двух в треугольнике Паскаля

Связи такого рода – одна из тех вещей, которые я особенно люблю в математике. Кто бы мог подумать, что в треугольнике Паскаля прячутся числа Фибоначчи? Однако, рассмотрев нашу головоломку двумя разными способами, я нашел тайный туннель, шорткат, соединяющий эти, казалось бы, совершенно разные уголки математического мира! А кроме того, оказывается, что в треугольнике спрятаны еще и треугольные числа и степени двойки. Треугольные числа находятся на одной из диагоналей треугольника, а степени двух получаются суммированием всех чисел каждого ряда. В математике полно таких странных туннелей, открывающих перед нами шорткаты, которые мы можем использовать для превращения одних объектов в другие.

Обнаружение паттернов в данных нужно не только для решения занятных задачек о способах подъема по лестницам и тому подобном. Оно является ключевым элементом предсказания развития Вселенной, и Гаусс убедился в этом, когда предсказал траекторию движения Цереры. Это жизненно важный фактор понимания изменений климата. Оно играет центральную роль в помощи компаниям, пытающимся разобраться в неопределенностях будущего. Возможно, оно даже может дать нам некоторые представления о ходе истории человечества. В наше невероятно богатое данными время в интернете каждый день производится один эксабайт (10^18 байт) данных. Это огромное количество чисел, требующих анализа. Но, если заметить в них паттерн, можно найти шорткат к ориентации в этом колоссальном цифровом мире.

Шорткаты на основе паттернов сводятся к выявлению правил или алгоритмов, лежащих в основе производства данных, в которых вы хотите разобраться. Шорткаты этого типа продолжают работать, даже когда масштабы задачи, казалось бы, неконтролируемо увеличиваются. Лестница может становиться все длиннее и длиннее, но шорткат по-прежнему приводит к ответу.

Однако паттерны касаются не только чисел. Во многих областях жизни есть паттерны, которые мы можем использовать для переноса понимания из одной дисциплины в другую. Например, понимание паттернов музыки – важнейшая часть обучения игре на музыкальных инструментах. Всемирно известная виолончелистка Натали Клейн считает, что паттерны музыкальных произведений помогают ей предсказывать направление, в котором может развиваться та или иная пьеса, еще до того, как она дочитает нотную запись.

В дальнейшем у меня будет возможность поговорить о шорткатах в психотерапии со Сьюзи Орбах. Оказывается, она использует множество паттернов человеческого поведения. Она может опираться на паттерны, о которых узнала в процессе работы с предыдущими пациентами, в помощи новым обращающимся к ней пациентам. Но люди – существа несколько более беспорядочные и своеобразные, чем числа, так что с этими паттернами, о которых расскажет Орбах, следует обращаться с осторожностью. Лучше всего паттерны работают, когда мир выражается в числах, что все чаще и чаще происходит в нашем цифровом мире. Наши цифровые отпечатки все в большей степени преобразуют наше человеческое поведение в числа. Стоит найти в этих числах паттерн, и перед вами открывается шорткат к возможности предсказания будущих действий человека.

Шорткат к шорткатам

Обнаружение паттернов – это поразительный шорткат к пониманию будущего. Если вы обнаружите паттерн в биржевых курсах, это может дать вам преимущество, когда вы займетесь инвестициями. Где бы вы ни сталкивались с числами, ищите в данных скрытые паттерны. Но паттерны бывают не только в числах. Они есть и у людей. Если вы заметите паттерн в ударах своего противника по игре в теннис, вы будете готовы к его следующему обводящему удару. Если вы поймете паттерны в пищевых привычках посетителей своего ресторана, вы сможете кормить их, не производя чрезмерного количества отходов и не создавая запасов невостребованной еды. Выискивание паттернов было основополагающим шорткатом человечества с тех самых пор, как мы начали делать первые шаги из своей саванны.

Пит-стоп: Музыка

Несколько лет тому назад я решил научиться играть на виолончели. Но это дело оказалось более долгим, чем я надеялся, так что я активно ищу хитрые шорткаты, которые могли бы мне помочь. Если математика – наука паттернов, то музыка – это искусство паттернов. Не может ли все дело быть в успешном использовании этих паттернов?

Виолончель – не первый инструмент, на котором я учился играть. В том же году, когда мистер Бейлсон рассказал нам историю о юном Гауссе, учитель музыки нашей общеобразовательной школы спросил, кто из нашего класса хочет научиться играть на каком-нибудь музыкальном инструменте. Руки подняли три человека. В конце урока учитель отвел нас в кладовку при кабинете музыки. В ней не было практически ничего, кроме трех труб, составленных в стопку. Поэтому все трое стали играть на трубе.

Я не жалею об этом выборе. Труба – чудесный, многосторонний инструмент. Я набил руку, играя в духовом оркестре нашего городка, играл в окружном оркестре и даже немного пробовал свои силы в джазе. Но, тихо сидя в оркестре и считая про себя такты в ожидании следующего вступления труб, я смотрел на сидевших на авансцене виолончелистов, которые, как мне казалось, играли все время. Должен признаться, мне было немного завидно.

Теперь, уже взрослым, я решил потратить те небольшие деньги, которые завещала мне крестная, на покупку виолончели. На остатки от этой суммы я собирался брать уроки. Но меня несколько беспокоило, удастся ли мне научиться играть на новом инструменте во взрослом возрасте. В детстве меня не волновало, что на обучение музыке уходит много времени. Я учился в школе, впереди были еще многие годы учебы. Но, когда мы взрослеем, лет впереди остается меньше, и мы становимся гораздо более нетерпеливыми. Я хотел играть на виолончели прямо сейчас, а не через семь лет. Есть ли какой-нибудь шорткат к игре на музыкальном инструменте?

Книга «Гении и аутсайдеры»[23] (2008) Малкольма Гладуэлла популяризировала теорию, гласящую, что достижение мастерства в любой области требует по меньшей мере 10 000 часов упражнений. Там было высказано спорное заявление, что этого может быть достаточно для достижения международного признания в своей области, хотя исследователи, на результатах которых оно было основано, заявили, что их результаты истолковали неверно. Но неужели не существует никакого шортката, который позволил бы мне выступать с исполнением виолончельных сюит Баха, не тратя 10 000 часов на упражнения? Если заниматься по часу в день, эти упражнения заняли бы 27 лет!

Я решил обратиться к одной из своих любимых виолончелисток всех времен, Натали Клейн. Клейн впервые привлекла внимание мировой публики в 1994 году, когда стала одной из самых молодых победителей престижного конкурса «Молодой музыкант года», проводимого телерадиокомпанией Би-би-си; там она исполняла концерт для виолончели Элгара. Каков же был ее путь к всемирной славе?

Натали начала играть на виолончели в шесть лет, но всерьез стала заниматься этим инструментом на несколько лет позже. «К четырнадцати или пятнадцати, – рассказала она мне, – я старалась заниматься от четырех до пяти часов в день. Некоторые работают гораздо больше. Есть дети, которые в шестнадцать лет упражняются часов по восемь в день. Есть коллеги, скажем, из России или дальневосточных стран, где работать в таком режиме с жесткой дисциплиной начинают гораздо раньше, чем у нас на Западе».

Этот уровень дисциплины, объяснила Клейн, был нужен для закрепления двигательной памяти и точности, которых требует владение инструментом: «Несомненно, есть минимальное число часов, которое нужно потратить, когда учишься играть на инструменте, по три-четыре часа в день в подростковом возрасте. Это необходимо, потому что иначе физически невозможно добиться нужной механики движений». Взять, например, Яшу Хейфеца. Хейфец был одним из величайших скрипачей в истории. Известно, что бо́льшую часть своей жизни он каждое утро упражнялся, играя гаммы – в общей сложности несколько тысяч часов одних лишь гамм.

В этом отношении виолончелисты подобны спортсменам. Невозможно пробежать марафон или победить в спринтерском забеге на 100 метров без многочасовых тренировок. Эта настройка тела и разума, дающая возможность быстро играть музыкальные фразы, требует самого обычного повторения. Я знаю по собственному опыту, что некоторые пьесы я могу научиться играть, только повторяя фразы снова и снова, чтобы тело почти что знало, что́ ему делать, без участия мозга.

Но Клейн настойчиво подчеркивала, что одного лишь упорного труда мало. «Важно, что именно ты повторяешь, – говорит она. – 10 000 часов упражнений – дело хорошее, но это обязательно должны быть 10 000 часов того, что нужно. Их нельзя просто отработать. Как я говорю своим ученикам, в эти 10 000 часов должны быть вовлечены разум, тело и душа».

Может показаться, что упорные упражнения – вовсе не шорткат, но это не так. Как часто мы тратим время впустую, потому что делаем что-то неправильно или не стараемся прилагать максимум усилий или просто не понимаем, зачем мы тратим на то, чем занимаемся, столько времени?

Когда речь заходит о действенных упражнениях, часто говорят о так называемом потоке. Поток – это термин, который венгерский психолог Михай Чиксентмихайи ввел в 1990 году для описания психологического состояния, в котором мы полностью погружены в то, чем занимаемся. Он писал: «…лучшие моменты нашей жизни… приходят к нам не в состоянии расслабленности или пассивного созерцания… наилучшие моменты обычно случаются, когда тело и разум напряжены до предела в стремлении добиться чего-то трудного и ценного»[24]. Поток существует на стыке высочайшего мастерства и чрезвычайной трудности. Если вам не хватает мастерства, а вы пытаетесь сделать нечто слишком трудное, вы впадаете в состояние тревоги. Если некое дело оказывается слишком легким для вашего уровня мастерства, вам, вероятно, становится скучно. Но, если у вас есть и мастерство, и задача соответствующего уровня трудности, вы можете достичь состояния потока или «оказаться в зоне». Всем нам хотелось бы достичь этого состояния; многие пишут инструкции по методам попадания в поток, рекомендуя медитации, специальное потоковое звуковое сопровождение, пищевые добавки, психические триггеры потока, кофеин…

Но Клейн относится к таким средствам быстрого достижения результатов скептически. «К потоку не бывает шорткатов, – говорит она. – Чтобы нарушать правила, их сначала нужно выучить, и ощущение освобождения, которое приводит в поток, приходит именно тогда, когда эти правила нарушаешь. В состояние вдохновения приводит дисциплина».

Хотя шорткатов, позволяющих избежать физического обучения музыканта, и не существует, я все же думаю, что исполнители тратят столько времени на упражнения, занимаясь гаммами или арпеджио, именно потому, что это создает шорткаты, которые выручают их во время выступлений. Если вы видите в партитуре последовательность нот, соответствующую гамме или арпеджио, вам незачем читать каждую ноту. Вместо этого вы можете прибегнуть к шорткату, на изучение которого вы уже потратили множество часов.

Шорткатов к освоению навыков тонкой моторики, необходимых для высококлассного музыканта, не существует, но, возможно, есть шорткаты для разучивания новых пьес. Клейн посоветовала мне работы музыковеда Генриха Шенкера. На самом деле я уже встречался с трудами Шенкера раньше, хотя и в другом контексте. Специалисты по информатике использовали его идеи в попытках запрограммировать искусственный интеллект (ИИ) на сочинение правдоподобных музыкальных произведений. Цель анализа по Шенкеру состоит в выявлении фундаментальной структуры, лежащей в основе музыки, так называемого урзаца, чем-то похожего на паттерны, лежащие в основе числовых последовательностей. Системы ИИ, генерирующие музыку, пытаются обратить этот процесс – начать с урзаца и нарастить на нем музыкальную «плоть». Но Клейн считает, что такой анализ дает ей более рациональный способ освоения музыкальных пьес, которые она разучивает.

«Он упрощает, упрощает и упрощает, пока не получит самую простую формулу, позволяющую понять произведение, – говорит она. – Это можно назвать шорткатом к пониманию структуры музыкальной пьесы. Речь идет о макро-, а не о микропредставлении».

Оказывается, паттерны входят в набор инструментов музыканта, когда он разбирается в сложностях музыкального произведения. Я спросил, не может ли это быть полезным шорткатом к заучиванию музыкальных сочинений? Выявление основополагающей структуры последовательности чисел дает мне шорткат, избавляющий от необходимости заучивать информацию механическим повторением. Сама Клейн запоминает концерты, снова и снова репетируя их исполнение, пока очередная пьеса не закрепляется в ее двигательной памяти. Но для других музыкантов паттерны могут играть важную роль. Клейн сказала мне: «У меня есть друг, Вадим Холоденко. Он своего рода гений. Я видела, как он днем прочитывает пьесу, которую до этого слышал раз или два, а тем же вечером исполняет ее на концерте, и делает это лучше, чем большинство других музыкантов, которые работали над ней три месяца. Он видит крупные формы и абсолютно уверен, что у него все получится, и тогда оставшиеся пробелы заполняются. Он, несомненно, видит макрокартину и верит в макро больше, чем в микро, это уж точно».

Мой преподаватель виолончели научил меня еще одному интересному шорткату для разучивания новых произведений. Часто бывает так, что один и тот же пассаж можно сыграть на виолончели несколькими способами, потому что одну и ту же ноту можно сыграть на разных струнах. Первый и самый очевидный способ сыграть какую-нибудь ноту часто оказывается нерациональным, и в результате рука играющего прыгает по всему инструменту. Но, если мыслить более стратегически, можно найти альтернативные способы исполнения пассажей, при которых вам не нужно все время передвигать руку то вверх, то вниз. Разработка способа исполнения произведения может быть своего рода головоломкой: как лучше всего расположить пальцы на струнах, чтобы сыграть пьесу с наименьшими затратами сил?

Клейн тоже так считает: «Иногда я играю очень изобретательно. Мне кажется, меня никто этому не учил, но мне самой показалось, что было бы очень полезно научиться побольше работать большим пальцем. Это мне очень помогло. Есть еще несколько виолончелистов, которые делают так же, начиная с великого виолончелиста Даниила Шафрана. Я думала, что это мое изобретение, но на самом деле это не так. Все сводится к решению задач. Чем острее задача, тем более творческим может быть ее решение».

Однако, несмотря на все эти полезные способы работать с музыкой, в сущности, по мнению Клейн, в том, чем она занимается, не бывает шорткатов: «Для того, кто хочет стать профессиональным виолончелистом, особенно заниматься сольными выступлениями, получить известность, ощущать, что твою работу внимательно изучают, – ничего такого нет. Никаких шорткатов. И именно это мне и нравится. Как известно, Пабло Казальс упражнялся всю жизнь, и когда ему было девяносто пять, его спросили: “Маэстро, почему вы все еще продолжаете упражняться?” – и он ответил: “Потому что мне кажется, что у меня наконец начинает что-то получаться. Я совершенствуюсь”. По-моему, именно это побуждает продолжать работать. Нужно много тяжелого труда, и легче не становится. Чтобы работать всю жизнь, нужно увлекаться своим делом. Невозможно достичь самой высокой вершины».

Именно поэтому многих специалистов не слишком беспокоят шорткаты. Клейн сказала мне: «Идея шортката кажется привлекательной в краткосрочной перспективе, но не в долгосрочной. Я думаю, если бы было много шорткатов, задачи не казались бы нам такими же интересными».

Я признаю, что между стремлением достичь цели и легкостью, с которой это можно сделать, есть некое противоречие. Если задача оказывается слишком легкой, ее решение не приносит удовлетворения. И все же я не хочу заниматься бездумной, монотонной работой. Самое большое удовольствие я получаю именно от тех шорткатов, которые открываются после того, как я некоторое время топчусь на месте, не зная, удастся ли мне вообще добраться до цели. Выбросы адреналина в те моменты, когда становится виден хитроумный путь к решению, – это моя страсть, которая разгоралась по мере совершенствования моего математического мастерства. Но в том, что касается виолончели, я понимаю: хотя некоторые паттерны могут быть полезны, никаких шорткатов, избавляющих от тяжелой работы, тут не существует.

2

Шорткаты вычислительные

Вы – бакалейщик и хотите взвешивать товары от 1 до 40 килограммов на простейших равноплечных весах. Каково минимальное число гирь, необходимых для этого, и какого они должны быть номинала?

Удобный шорткат для выражения какой-нибудь идеи бывает мощным средством ускорения мысли. Тот способ, которым я могу выразить концепцию миллиона при помощи всего лишь семи символов – 1000000, – кажется мне само собой разумеющимся. Но в этих семи символах скрыта целая история поразительно интересных шорткатов, помогающих рационально разбираться в числах и вычислять. В течение всей истории человечества – и даже сейчас, если речь идет о коммерции, строительстве или банковском деле, – те, кому удавалось вычислить ответ быстрее и рациональнее, чем конкурентам, получали преимущество. В этой главе я хочу рассказать о некоторых хитроумных способах, которые мы изобрели для работы с числами и вычислений. Интересно отметить, что эти шорткаты могут быть действенными стратегиями даже там, где речь идет вовсе не о числах.

Многие думают, что раз я работаю в области фундаментальной математики, я, наверное, занимаюсь делением в столбик, вычисляя множество знаков после запятой. Неужели мое рабочее место еще не занял электронный калькулятор? Такое ошибочное представление, что математики – это такие сверхвычислители, встречается часто. Но это вовсе не значит, что в моей работе нет вычислений. Многие изощренные математические темы начинались с задач, требовавших изобретения хитроумных арифметических методов, – как это было с шорткатом, который нашел в школе Карл Фридрих Гаусс. Существует богатая история шорткатов, которые открыли люди, пытавшиеся считать более рационально. Даже калькуляторы, которыми мы пользуемся сегодня, были запрограммированы с учетом некоторых из наиболее удачных шорткатов, придуманных на протяжении многих лет математиками.

Мы привыкли считать компьютеры всемогущими устройствами, способными сделать что угодно. Но возможности компьютеров тоже небезграничны. Взять хотя бы задачу о сложении чисел до 100, которую решал Гаусс. Разумеется, компьютер справится с ней без всякого труда. Однако бывают числа, слишком большие даже для компьютера. Если попросить его сложить все числа, меньшие такого числа, он зависнет. В целом компьютерам по-прежнему нужны люди, придумывающие шорткаты, которые, будучи вставлены в компьютерные программы, позволяют машинам делать больше и быстрее. В этой главе я расскажу о довольно поразительном применении одной на первый взгляд заумной математической идеи – мнимых чисел, – открывшем очень важный шорткат, который позволяет компьютерам решать множество самых разных задач, в том числе сажать самолеты достаточно быстро, чтобы они не сталкивались в воздухе.

Шорткат к счету

Уже то, как именно мы записываем числа, может определить, будут ли вычисления простыми или окажутся сложной и трудной работой, в которой легко ошибиться. Момент, когда мы поняли, что удобное символическое обозначение сложных идей – это шорткат к эффективному мышлению, был важным моментом развития человечества. Судя по историческим данным, каждая цивилизация осознавала, что письменность вообще и записывание устной речи в частности дает мощное средство для сохранения, передачи и использования новых идей. И каждый раз при возникновении новой системы письменности какого-либо языка, как правило, появлялись и новые хитроумные способы записи концепции чисел. Но те цивилизации, которые создавали более удобные системы записи чисел, получали в свое распоряжение шорткаты к более быстрым и рациональным методам вычислений и работы с данными.

Одним из самых первых шорткатов, открытых математиками, было удобство позиционной системы счисления. Когда вы считаете что-нибудь, будь то овцы или дни, в первую очередь вам может прийти в голову идея пометить каждую овцу или каждый день особым символом. По-видимому, именно так и считали первые люди. Имеются кости с зарубками, сделанными 40 000 лет назад, которые считают примером первых попыток счета.

Уже это достижение было важным. Оно отмечает начало зарождения абстрактной концепции чисел. Археологи не знают, что именно подсчитывали при помощи этих зарубок, но у людей уже было понимание, что у их количества и количества овец или дней, что бы они там ни считали, есть нечто общее. Проблема состоит в том, что отличить 17 от 18 в записи, сделанной зарубками на кости, может быть довольно непросто. Нужно заново пересчитать все зарубки. В какой-то момент почти в каждой культуре возникает светлая идея создания некой сокращенной, более удобной для чтения записи всех этих зарубок.

Несколько лет назад, когда я жил в Гватемале, меня заинтриговали странные последовательности точек и тире, встречавшиеся на тамошних банкнотах. Я спросил нашу соседку, не закодированы ли в местных деньгах надписи какой-то странной азбукой Морзе. Она объяснила, что это действительно код, но закодирован на каждой банкноте ее номинал. Точки и тире были сокращенным представлением способа записи чисел, существовавшим в культуре майя. Майя понимали, что человеческому мозгу трудно определять количество зарубок, когда их больше четырех. Поэтому они не ставили на странице все больше и больше точек, а, дойдя до пяти, проводили через четыре точки линию – как делают заключенные, считающие дни до выхода на свободу. Таким образом линия стала условным обозначением числа пять.

Но что делать, если нужно сосчитать еще большее количество? Древние египтяне разработали весьма впечатляющую систему иероглифов, обозначающих разные степени десяти. Число десять обозначалось изображением пут для скота (приспособления, ограничивающего движения животного), сто – веревочной петлей, тысяча – цветком кувшинки, десять тысяч – согнутым пальцем, сто тысяч – лягушкой и, наконец, миллион – коленопреклоненным человеком с воздетыми к небу руками; у него был такой вид, будто он только что выиграл в лотерею.

Это была хорошо продуманная система. Чтобы обозначить миллион, египетский писец мог не наносить на кость миллион зарубок, а просто нарисовать на папирусе фигурку коленопреклоненного человека. Такое умение легко записывать большие числа было одним из факторов, позволивших Египту превратиться в могущественную цивилизацию, способную успешно собирать налоги со своего населения и строить крупные города.

Но и в египетской системе было нечто весьма нерациональное. Если писец хотел записать число 9 999 999, он должен был использовать 63 символа. А если к этой сумме добавлялась еще одна единица, нужно было изобретать новый символ, обозначающий 10 000 000. Заметим теперь, что в нашей современной системе счисления для записи такого большого числа, как 9 999 999, мы используем всего семь символов, а при помощи всего десяти разных символов (0, 1, 2, … 9) можно записать сколь угодно большое число. Все дело в позиционной системе счисления, поразительном шорткате, независимо найденном на разных этапах истории человечества тремя разными культурами.

Первой этот шорткат нашла цивилизация, соперничавшая с египетской, – вавилоняне. Интересно отметить, что в основе системы счисления их культуры лежали не степени десяти, как у египтян или в нашей нынешней системе. Они работали со степенями шестидесяти. У них были свои обозначения для всех чисел до 59, и только после этого, как они считали, требовалась перегруппировка. Числа от 1 до 59 они записывали с помощью всего двух символов: символа , обозначавшего 1, и символа , обозначавшего 10. Но это означало, что для записи числа 59 требовался набор из целых четырнадцати символов.

На первый взгляд такая система кажется далеко не рациональной. Но в выборе числа 60 скрывается шорткат совсем другого рода. Все дело в делимости этого числа. Число 60 можно представить в виде произведения стольких разных делителей – как 2 × 30, как 3 × 20, как 4 × 15, как 5 × 12 или как 6 × 10, – что у торговцев, которые брали на вооружение эту систему, было множество возможностей по-разному делить свои товары. Именно из-за высокой делимости числа 60 мы до сих пор используем его для отсчета времени. Час из шестидесяти минут и минута из шестидесяти секунд происходят из древнего Вавилона.

Однако по-настоящему революционным изобретением вавилонян была система представления чисел, больших 59. Можно было поступить как египтяне – то есть начать создавать новые символы. Но у вавилонян появилась другая идея: что значение символа может изменяться в зависимости от его положения относительно других символов. В нашей нынешней системе в числе 111 повторяется три раза один и тот же символ, и прелесть этого обозначения состоит в том, что, если читать это число справа налево, первый символ 1 обозначает единицу, второй – десяток, а третий – сотню. Каждый раз, когда мы добавляем слева еще один символ, его значение увеличивается в десять раз.

Однако система счисления вавилонян была не десятичной, а шестидесятеричной. Поэтому при каждом смещении на шаг влево значение увеличивалось на число, кратное 60. Например, число 111 в вавилонской системе было бы равно 1 × 60^2 + 1 × 60 + 1 = 3661. Этот шорткат был исключительно полезным. При помощи всего двух символов,  и , можно было выразить сколь угодно большое число. Но не любое число. Для этого нужен был еще один символ. Что делать, если нужно было записать число 3601? Требовалось показать, что в разряде шестидесяти ничего нет. Нужен был символ для пустого места. В вавилонской клинописи отсутствие какой-либо степени 60 обозначалось двумя маленькими насечками: .

Этот шорткат к записи больших чисел открыли и майя. У них уже был символ для обозначения числа 5. Линия. Три линии могли обозначать 15. Три линии и четыре точки – 19. Но затем майя решили, что записи становятся слишком громоздкими. Поэтому символы, стоящие у них в следующих позициях, стали обозначать степени двадцати. Так, число 111 в системе счисления майя обозначает 1 × 20^2 + 1 × 20 + 1 = 421. Вскоре и они поняли, что в некоторых местах требуется символ, обозначающий пустое место, и выбрали для этого изображение ракушки.

Майя были великими астрономами и регистрировали огромные промежутки времени. Рациональная система счисления, основанная на положении символов, позволила им оперировать астрономически большими числами, не создавая огромных списков символов.

Однако в обеих системах, и у вавилонян, и у майя, не хватало одного элемента – символа, обозначающего ничто. Этот революционный шаг сделала третья культура, изобретшая позиционную систему счисления, – индийцы.

Цифры, которые служат нам сегодня, мы часто называем арабскими, но это название ошибочно. Во всяком случае, оно не рассказывает всей их истории. Арабы, привезшие эту систему в Европу, научились ей у индийских писцов. На самом деле цифры следовало бы называть индо-арабскими. Индийская система счисления использует символы от 1 до 9, причем при каждом шаге влево значение цифры увеличивается в 10 раз. В этой системе есть и символ, обозначающий ничто. Ноль.

Когда европейцев познакомили с этой идеей, они ее не поняли. Зачем нужен символ, если нечего считать? Но для индийцев ничто, пустота – важная философская концепция, и они были готовы дать ей название и исчисление.

В Европе все еще использовали римские цифры, а вычисления производили на абаках. Но работа с абаком требует особых умений и навыков. Поэтому простым людям вычисления были недоступны. Вычисления позволяли власть имущим сохранять власть. От расчетов на абаке не остается записей. Есть только результат. Такой системой было удобно злоупотреблять.

Поэтому правящие круги пытались остановить распространение системы счисления, завезенной с Востока. Она дала бы простому человеку доступ к вычислениям и возможность записывать эти вычисления. Внедрение этого шортката к работе с числами было, вероятно, не менее важно, чем изобретение печатного станка. Оно открыло математику народу.

Черная магия математики

Сегодня наш шорткат к вычислениям – это компьютеры и калькуляторы. Но те, кому сейчас за пятьдесят, помнят, как их учили работать еще с одним шорткатом, помогавшим выполнять сложные арифметические вычисления: это были таблицы логарифмов. На протяжении целых столетий они были основным шорткатом для любого торговца, штурмана, банкира или инженера. Этот инструмент давал им преимущество перед любым конкурентом, пытавшимся выполнять расчеты «в лоб».

Могущество логарифмов поставил нам на службу шотландский математик Джон Непер. Мне очень хотелось бы познакомиться с Непером – не только потому, что он придумал этот удобный шорткат к вычислениям, но и потому, что он, судя по всему, был человеком безумно необычным. Непер, родившийся в 1550 году, увлекался теологией и оккультизмом. Он разгуливал по своему имению в сопровождении черного паука, которого держал в маленькой клетке. Соседи считали, что он якшается с дьяволом. Когда он пригрозил одному из них, что переловит его голубей, клевавших его зерно, сосед решил, что Непер блефует, так как поймать птиц невозможно. На следующее же утро он был поражен, увидев, как Непер ходит по полю, собирая неподвижно сидящих там голубей в мешок. Неужели их заколдовали? Как выяснилось, голуби просто опьянели, наклевавшись гороха, который Непер вымочил в бренди.

Непер активно эксплуатировал веру местных жителей в его колдовские способности. Когда ему нужно было выяснить, кто из его слуг ворует, он сказал им, что вора назовет его черный петух. Каждый из слуг по очереди должен был войти в комнату и прикоснуться к петуху. Непер утверждал, что при прикосновении преступника петух закричит. Когда все слуги побывали в комнате с петухом, Непер велел им показать руки. У всех кроме одного на руках была сажа. Непер вымазал ею петуха, зная, что только вор побоится прикоснуться к птице.

Помимо теологических изысканий Непера увлекала и математика. Но его интерес к числам был всего лишь хобби, и он сетовал на то, что все его богословские занятия не оставляют достаточно времени для выполнения вычислений. Затем, однако, он разработал хитроумную стратегию, позволяющую обойти те долгие вычисления, через которые он пытался продираться.

Вот что он писал в книге, посвященной этому шорткату:

Видя, что ничто, о любезные исследователи математики, не мешает математическим занятиям, а также не досаждает и не стесняет вычислителей более, нежели операции умножения, деления и извлечения квадратов и кубов больших чисел, кои не только отнимают непомерное время, но и бывают по большей части подвержены многим коварным ошибкам, начал я рассуждать в уме своем о том, какими надежными и удобными средствами смог бы я устранить такие затруднения.

В результате Непер открыл способ, превращающий трудную задачу перемножения двух больших чисел в гораздо более простую операцию сложения. Какую из следующих операций вы выполнили бы вручную быстрее:

379 472 × 565 331

или

5,579179 + 5,752303?

Секрет этого волшебного превращения заключается в логарифмической функции. Функция подобна маленькой математической машине, которая берет одно число, а затем преобразует его в соответствии с внутренними правилами этой функции и выдает на выходе другое. Логарифмическая функция берет число и выводит то число, в степень которого нужно возвести 10, чтобы получить исходное[25]. Например, если ввести в логарифмическую функцию число 100, на выходе получим 2, потому что при возведении 10 в степень 2 получается 100. Если ввести в логарифмическую функцию миллион, на выходе получится 6, потому что миллион – это 10 в 6-й степени.

Использовать логарифмическую функцию становится несколько сложнее, когда в нее вводишь числа, отличные от явных степеней 10. Например, чтобы получить число 379 472, нужно возвести 10 в степень 5,579179. Чтобы получить число 565 331, 10 возводят в степень 5,752303. Таким образом, как и в случае многих других шорткатов, для использования этого нужно проделать большую предварительную работу. Непер потратил много часов на подготовку таблиц, в которых можно найти логарифмы разных чисел, но, когда эти таблицы были готовы, шорткат заработал в полную силу.

Потому что, если у вас есть два числа, выраженные в виде степеней 10, например, 10a и 10b, перемножить их очень просто. Их произведение равно 10a+b. То есть можно не заниматься тяжелой работой по перемножению 379 472 × 565 331, а сложить логарифмы этих чисел – 5,579179 + 5,752303 = = 11,331482 – а затем найти значение 1011,331482 в таблицах, которые подготовил Непер.

Идея применения вычислительных таблиц для ускорения арифметических операций была не нова. Кажется даже, что некоторые из клинописных табличек древних вавилонян применялись именно для этого. В них для перемножения больших чисел была задействована другая формула. Если взять два больших числа A и B, то алгебраическое соотношение

A × B = 1/4 × {(A + B)2 – (A – B)2}

заменяет умножение вычитанием двух квадратов. Хотя такие алгебраические обозначения появились только в IX веке, вавилоняне понимали связь между квадратами и произведениями, которая позволяла им пользоваться шорткатом к вычислению произведения A и B. Вместо вычисления квадратов их можно было просто найти в одной из таблиц квадратов, предварительно рассчитанных писцами.

Непер описал найденный им шорткат в книге под названием «Описание чудодейственной таблицы логарифмов» (Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614). Читателям этой книги те идеи, которые она распространяла, и впрямь казались настоящим чудом. Оксфордский математик Генри Бригс, бывший первым профессором престижной кафедры геометрии, учрежденной Генри Савилем в Новом колледже, в котором профессорствую и я, был настолько поражен могуществом логарифмов Непера, что предпринял четырехдневное путешествие к Неперу в Шотландию. Он писал: «Я никогда не видел книги, которая доставила бы мне большее удовольствие или большее удивление».

На протяжении многих столетий эти таблицы давали естествоиспытателям и математикам шорткаты к сложным вычислениям. 200 лет спустя великий французский математик и астроном Пьер-Симон Лаплас заявил, что логарифмы «сокращают тяжелые труды, удваивая жизнь астронома и избавляя его от ошибок и отвращения, неотделимых от долгих вычислений».

В этой фразе Лаплас выражает важнейшее качество хорошего шортката: он освобождает разум, позволяя прилагать свои силы к более интересным предприятиям. Но истинную свободу от рутины вычислений ученые обрели лишь с появлением вычислительных машин.

Механические калькуляторы

Одним из первых могущество машин в качестве шортката к вычислениям осознал великий математик XVII века Готфрид Лейбниц: «Недостойно превосходных мужей тратить часы на рабский труд вычислений, который без опаски можно было бы поручить любому другому, если бы использовались машины».

Идея машины, которую Лейбниц в конце концов построил, возникла у него при знакомстве с шагомером. «Когда я увидел прибор, с помощью которого можно подсчитывать шаги, не думая об этом, мне немедленно пришло в голову, что и все арифметические операции могут быть выполнены посредством подобного рода устройства».

Шагомер был основан на чрезвычайно простой идее: когда шестерня с десятью зубьями проходит полный оборот, она поворачивает на одно деление другую, соединенную с ней шестерню, которая отсчитывает десятки шагов. Позиционная система счисления на основе шестеренок. Вычислительная машина Лейбница, которую он назвал «пошаговым арифмометром», умела складывать, умножать и даже делить. Но физическое воплощение его идей оказалось делом трудным. «Если бы только мастер мог исполнить прибор так же, как я задумал его модель», – писал он.

Он привез деревянный прототип своей машины в Лондон, чтобы показать его членам Королевского общества[26]. Роберт Гук, уже прославившийся своей придирчивостью, был совершенно не в восторге. Разобрав машину на части, он заявил, что мог бы создать гораздо более простое и рациональное устройство. Лейбница это не остановило; в конце концов он сумел нанять искусного часовщика, который и построил машину, способную открыть вычислительный шорткат, обещанный Лейбницем.

У Лейбница была и идея еще более грандиозная. Он хотел механизировать не только арифметику, но и все мышление вообще. Он хотел свести философские рассуждения к математическому языку, который можно было бы внедрить в машину. Ему представлялось время, когда два философа, не согласные по поводу какой-нибудь идеи, смогут просто обратиться к машине, которая разберется в их разногласиях и установит, кто из них прав.

Когда я был в Ганновере, в котором жил Лейбниц, мне посчастливилось увидеть одну из его машин. Это великолепная вещь, и нам очень повезло, что она у нас есть. В течение нескольких лет оригинал машины валялся на чердаке в Геттингене – университетском городе, в котором учился и работал Гаусс. Машину вновь обнаружили только в 1879 году, когда рабочие, пытавшиеся починить протекавшую крышу здания, наткнулись на нее в углу чердака.

Машина Лейбница положила начало процессу, который впоследствии привел нас к нынешним калькуляторам и компьютерам. Но это не означает, что возможности компьютеров безграничны. В наше время мы склонны считать, что компьютеры настолько хорошо умеют выполнять быстрые вычисления, что могут сделать практически что угодно. В 1984 году журнал Time утверждал: «Стоит ввести в компьютер правильную программу, и он сделает все, что вам захочется». Но у компьютеров есть ограничения. Даже им иногда требуется программист-человек, способный придумать хитроумный шорткат, чтобы избежать вычислений, выполнение которых на компьютере займет все время существования Вселенной.

Один из самых интересных шорткатов, которые используют компьютеры, связан с применением чисел нового типа, которые, казалось бы, не имеют ничего общего с миром практических вычислений, – мнимых чисел.

Сквозь математическое зеркало

Можете ли вы решить уравнение x^2 = 4? Вам, вероятно, не составит труда найти решение x = 2, потому что при возведении 2 в квадрат получается 4. Если немного подумать, вы можете найти и второе решение, потому что x = –2 тоже подходит. Дело в том, что квадрат отрицательного числа – это число положительное. Поэтому –2 в квадрате тоже равно 4.

Это очень простое уравнение. Но что, если я попрошу вас решить вот это:

x^2 – 5x + 6 = 0?

Вероятно, при виде этого уравнения у многих читателей пробежали по спине мурашки, потому что это одно из квадратных уравнений – уравнений, содержащих х в квадрате, – решать которые учат в школе. Собственно говоря, общую алгоритмическую процедуру, позволяющую получить решение, придумали еще древние вавилоняне. Хотя у них еще не было алгебраического языка для выражения математических идей, в современных обозначениях для поиска корней обобщенного квадратного уравнения

ax^2 + bx + c = 0

применяется следующая формула:

Значит, в случае уравнения x^2 – 5x + 6 = 0 нужно подставить в формулу a = 1, b = –5 и c = 6, и мы получим решения x = 2 или x = 3.

Могущество математики по части создания шорткатов для тяжелой работы начало проявляться еще в вавилонскую эпоху. До открытия этой формулы каждое квадратное уравнение приходилось решать вручную. Каждый раз писцы заново изобретали колесо, не сознавая, что снова и снова делают одно и то же, хотя и с разными числами. Но в какой-то момент нашелся писец, который понял, что существует общая алгоритмическая процедура, работающая, к каким бы числам она ни применялась.

В этот момент и началась математика. Это искусство распознавания паттернов, лежащих в основе бесконечного количества таких уравнений. Паттерн показывает, что требуется не потенциально бесконечная работа, а, по сути дела, всего одна операция. Выучивший алгоритм или формулу решения уравнения получает в свое распоряжение шорткат к решению бесконечно многих разных уравнений. Рождение математики в вавилонскую эпоху показывает, почему математику и в самом деле можно назвать искусством шортката.

Но позволяет ли этот шорткат решить все квадратные уравнения?

Как насчет решения уравнения x^2 = –4? На протяжении многих столетий считалось, что у этого уравнения нет решений. Числа, которые мы используем для подсчета предметов, обладают тем свойством, что их возведение в квадрат всегда дает число положительное. Вавилонский алгоритм – или вавилонская формула – не помогает решить это уравнение, потому что для этого требовалось бы понять, что такое квадратный корень из –4.

Но в середине XVI века произошло одно довольно странное событие. В 1551 году итальянский математик Рафаэль Бомбелли работал над проектом осушения болот в долине Кьяна, относившейся тогда к Папской области. Все шло хорошо, пока работы внезапно не пришлось приостановить. Поскольку Бомбелли было нечем заняться, он решил написать книгу по алгебре. Его увлекли новые интересные формулы для решения уравнений, о которых он прочитал в книге другого итальянского математика, Джироламо Кардано.

Вавилоняне придумали формулу для решения квадратных уравнений. Но как быть с уравнениями кубическими, например, x^3 – 15x – 4 = 0? Несколькими десятилетиями раньше многие математики заявляли, что нашли формулы для их решения. В то время математики не публиковали статьи в научных журналах, а сходились друг с другом в математических поединках – публичных диспутах. Я так и вижу эту великолепную картину: как субботним утром на городской площади собираются шумные фанаты местного математика, чтобы поддержать его в очередной схватке ученых. Формула одного из математиков явно превосходила своими достоинствами все то, что предлагали остальные. Этого единоборца от математики звали Никколо Фонтана, но более известно было его прозвище – Тарталья[27]. Ему, понятно, не хотелось раскрывать секрет своего успеха, но в конце концов Кардано уговорил его поделиться формулой при условии, что Кардано не будет ее разглашать.

Кардано держался несколько лет, но в конце концов не смог удержаться от искушения. Он напечатал формулу Тартальи во всей ее славе в своей знаменитой книге Ars Magna[28], вышедшей в свет в 1545 году. Когда Бомбелли прочитал книгу Кардано и применил пресловутую формулу к уравнению x^3 – 15x – 4 = 0, произошло нечто довольно странное. В некоторый момент формула требовала извлечения квадратного корня из –121. Бомбелли мог извлечь квадратный корень из 121. В этом не было ничего сложного – он равен 11. Но что такое квадратный корень из –121?

У математиков и раньше возникала эта странная потребность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, но обычно, дойдя до этого места, они отступали. Кардано столкнулся с той же проблемой и бросил вычисления. Считалось, что таких чисел не бывает. Но Бомбелли оказался не робкого десятка. Он продолжил работу с формулой, приведенной в книге Кардано, просто оставив в ней это странное несуществующее, мнимое число. Затем числа как бы по волшебству взаимно сократились, и он получил решение: x = 4. И действительно, когда он подставил это решение в исходное уравнение, оно оказалось верным.

Чтобы добраться до пункта назначения – решения x = 4, – Бомбелли пришлось пересечь мир мнимых чисел. Он как бы прошел сквозь некое волшебное зеркало и обнаружил за ним новую страну, путь через которую вел к другому порталу, позволявшему вернуться в мир нормальных чисел и добраться до желанной цели. Но пути к решению, не проходившего через этот воображаемый мир, не существовало. Бомбелли начал подозревать, что речь идет не просто об искусственном приеме; что, может быть, такие числа, находящиеся по ту сторону зеркала, все же действительно существуют. Просто математикам нужно достаточно смелости, чтобы допустить их в мир чисел.

Работа, которую опубликовал Бомбелли, привела к открытию мнимых чисел. Первое из таких чисел, квадратный корень из –1, в конце концов получило особое обозначение – i. Буква i обозначает слово imaginaire – воображаемый, мнимый; это пренебрежительное название ввел несколько лет спустя французский философ и математик Рене Декарт, не питавший к этим странным неуловимым числам никаких теплых чувств.

И все же Бомбелли открыл их могущество. В его книге был приведен полный анализ способов обращения с мнимыми числами. При решении таких кубических уравнений те, кто был готов пройти сквозь зеркало в мир мнимых чисел, мог воспользоваться шорткатом к ответу. В конце концов математики начали называть такие числа компле́ксными, в отличие от чисел вещественных, известных всем нам с самого детства[29].

Настойчивость Бомбелли произвела большое впечатление на Лейбница, назвавшего его выдающимся мастером аналитического искусства: «Итак, некий инженер, Бомбелли, находит практическое применение комплексным числам – возможно, потому что они позволили ему добиться полезных результатов, – в то время как Кардано считал квадратные корни из отрицательных чисел бесполезными. Бомбелли первым дал описание каких бы то ни было комплексных чисел… Его изложение законов вычисления комплексных чисел отличается замечательной доскональностью».

На протяжении целых столетий математики продолжали относиться к этим числам чрезвычайно подозрительно. Если вам нужен квадратный корень из 2, это число, хотя его представление в виде десятичной дроби и бесконечно, можно найти на линейке. Оно расположено где-то между 1,4 и 1,5. Но где находится квадратный корень из –1? На линейке его не увидишь. В конце концов способ, позволяющий увидеть комплексные числа, придумал мой герой – Карл Фридрих Гаусс.

До Гаусса числа, которые использовали математики, изображали отметками на горизонтальной прямой: отрицательные числа отсчитывались влево, положительные – вправо. Гаусс принял гениальное решение пойти в новом направлении. Новые числа стали отсчитываться по вертикали. В представлении Гаусса числа стали не одно-, а двумерными. Его новая карта чисел оказалась чрезвычайно продуктивной. Ее геометрия отражала алгебраический характер поведения этих чисел. Как я объясню в главе 5, хороший чертеж бывает поразительно действенным шорткатом к объяснению сложных идей.

Гаусс изобрел это графическое представление комплексных чисел в процессе поисков доказательства одного поразительного их свойства. Если взять любое уравнение, каким бы сложным оно ни было, состоящее из разных степеней х, не только кубов, для нахождения его корней всегда можно использовать мнимые числа. Изобретать новые числа не было нужды. Мнимые числа уже были средством, достаточно сильным для решения всех уравнений. Это великое открытие Гаусса называется сейчас основной теоремой алгебры[30].

Карта Гаусса стала фантастически полезным шорткатом к ориентации в этом странном новом мире мнимых чисел. Как ни странно, Гаусс хранил свое двумерное визуальное представление в тайне. Позднее его заново независимо открыли два математика-любителя: сначала датчанин Каспар Вессель, а еще позднее – швейцарец Жан Арган. Сегодня эту карту называют диаграммой Аргана[31]. Слава редко достается по заслугам.

Впоследствии французский математик Поль Пенлеве писал в книге «Анализ научных работ до 1900 года» (Analyse des Travaux Scientifiques Jusqu’en 1900):

Естественное развитие этой работы вскоре привело к тому, что геометры стали учитывать в своих исследованиях наряду с вещественными и мнимые величины. Выяснилось, что самый легкий и короткий путь между двумя истинами вещественной области весьма часто пролегает через область мнимую.

Пенлеве был не только математиком, но и премьер-министром Франции. Его первое пребывание в этой должности продлилось всего девять недель, но за это время ему пришлось разбираться с последствиями революции в России и вступления США в Первую мировую войну, а также заниматься подавлением мятежа во французской армии[32].

Хотя комплексные числа прямо не используются в моей работе, я часто прибегаю к их философским основам. Такого рода шорткаты в чем-то похожи на кротовые норы, позволяющие попасть из одного конца Вселенной в другой, которые так любят создавать писатели-фантасты. В любой ситуации имеет смысл проверить, не спрятано ли где-нибудь зеркало, сквозь которое можно добраться до цели.

В моих математических исследованиях я пытаюсь понять все симметрии, какие только можно построить. Но, как ни странно, тот путь к решению этой задачи, который я нашел, предполагает создание нового объекта, называемого дзета-функцией, который происходит совершенно из другой области математики. Тем не менее это позволило мне взглянуть на мои собственные исследования с новой точки зрения, которой у меня не могло бы быть, если бы я не выходил за пределы мира симметрии. Как я объясню на нашей следующей технической остановке, на которой мы познакомимся с предпринимателем Брентом Хоберманом, пришествие интернета привело к появлению фантастического зеркала, прохождение через которое позволяет обойтись без посредников в самых разнообразных коммерческих сделках.

Иногда кротовую нору, помогающую найти путь к решению, можно обнаружить, просто сменив ландшафт, по которому мы движемся. Когда я захожу в тупик при работе над какой-нибудь математической задачей, я часто слушаю музыку или упражняюсь на виолончели – это помогает моему разуму отвлечься. А когда я возвращаюсь к письменному столу, часто оказывается, что мой взгляд на задачу странным образом изменился. Слушание музыки, перемещение совершенно в другую среду, может быть подобно получению доступа в мир мнимых чисел, в котором, как писал Пенлеве, обнаруживаешь более короткий путь к цели. Вполне имеет смысл поэкспериментировать с имеющимися альтернативными маршрутами – они могут помочь добраться до тайной дверцы, ведущей к новому образу мыслей.

Сегодня мир мнимых чисел является ключом к пониманию целого ряда концепций, которые было бы почти невозможно понять без этого шортката сквозь зеркало. В квантовой физике – физике предельно малого – можно как следует разобраться, только если она выражена в этих мнимых числах. Управлять переменными токами, используемыми в электронике, легче всего, если они описываются при помощи квадратного корня из –1. Еще один яркий пример шортката, который открывают эти числа, можно найти внутри компьютеров, которые помогают сажать самолеты в аэропортах всего мира.

Борт BA 107… посадку разрешаю

Несколько лет назад мне посчастливилось попасть на диспетчерскую вышку одного из крупных аэропортов Великобритании. Экраны, по которым плясали миниатюрные значки самолетов, создавали ощущение какой-то безумной компьютерной игры. Но я быстро осознал, что в руках операторов находятся жизни многих тысяч людей. Во время посещения диспетчерского пункта мне велели соблюдать полную тишину. Но, когда мне все же удалось поговорить с одним из диспетчеров, отработавшим смену, я был крайне изумлен, узнав, что система, применяемая для посадки самолетов, использует для ускорения вычислений в рамках радарного слежения за прилетающими воздушными судами мнимые числа.

Тот факт, что радиоволны отражаются от металлических объектов, открыл немецкий физик Генрих Герц. Он сделал это открытие в ходе своих опытов, которые проводил в 1877 году, чтобы доказать существование электромагнитных волн. Его имя увековечено в названии единицы измерения частоты вибрации волн.

Но практические возможности, которые давало это открытие, осознал один из соотечественников Герца. Кристиан Хюльсмайер получил в Германии и Британии патенты на электромагнитное устройство[33], которое, по его мнению, могло помочь кораблю обнаруживать наличие других судов в условиях плохой видимости – например, в тумане. Утверждается, что стремление создать такой прибор возникло у него после того, как он увидел мать, скорбевшую о смерти сына, который погиб при столкновении двух морских судов.

Он продемонстрировал свое изобретение в опыте, поставленном на мосту через Рейн 18 мая 1904 года. Прибор обнаруживал присутствие корабля, спускавшегося по реке, как только тот оказывался в радиусе трех километров. Однако это изобретение опередило свое время, в частности потому, что оно не производило математических вычислений, позволяющих определить, на каком расстоянии находится другое судно и в каком направлении оно движется. В течение еще нескольких лет эта идея интересовала только писателей-фантастов вроде Жюля Верна. Для ее практического воплощения потребовались десятилетия и мировая война.

Вопрос о том, кто именно изобрел радар, название которого получилось из сокращения английских слов radio detection and ranging (радиообнаружение и измерение дальности), остается нерешенным. Разработка таких систем в разных странах в преддверии войны велась в условиях строжайшей тайны, потому что любая страна, успешно внедрившая эту идею, получила бы преимущество в области обнаружения вражеских самолетов. Однако не вызывает сомнений, что одним из первопроходцев этой технологии был шотландский физик Роберт Уотсон-Уотт. Его попросили прокомментировать слухи о «лучах смерти», якобы созданных в Германии на основе радиоволн. Он быстро показал абсурдность этой идеи, но она побудила его заняться исследованием реальных возможностей радиоволновых технологий. Он продемонстрировал, что совместное использование расчетов и радиосигналов позволяет отслеживать перемещение приближающихся самолетов, и это привело к созданию системы радиолокационных станций для обнаружения самолетов, подлетающих к Лондону со стороны Северного моря. Принято считать, что именно радарная сеть Уотсона-Уотта дала Королевским ВВС решающее преимущество в Битве за Британию.

При отслеживании подлетающего самолета, будь то на войне или в мирное время, важна скорость. Шорткат к вычислению местоположения самолета по отражающимся от него радиоволнам может иметь жизненно важное значение. Основные вычисления, необходимые для решения этой задачи, относятся к области тригонометрии (об этом шорткате я расскажу в главе 4). Форму передаваемых и регистрируемых после отражения волновых импульсов описывают при помощи тригонометрических функций – синусов и косинусов. Необходимые для этого вычисления оказываются сложными и занимают чрезвычайно много времени. Но тут на помощь приходят мнимые числа.

Великий швейцарский математик XVIII века Леонард Эйлер обнаружил, что подстановка мнимых чисел в показательную функцию – простую функцию возведения числа в степень х, например, 2х – дает довольно любопытные результаты. Получается сочетание волновых функций, очень похожих на те волны, которые впоследствии стали использовать в радарах. Эта связь – ключ к уравнению, которое многие математики считают самым красивым в истории. Дело в том, что один из случаев этой связи между волнами и показательными функциями дает уравнение, связывающее пять важнейших чисел в истории математики – 0, 1, i (квадратный корень из –1), π = 3,14159… и е = 2,71828… (возможно, самое знаменитое число в математике, не считая π; мы поговорим о нем подробнее в главе 7):

eiπ + 1 = 0

Стоит возвести е в степень, равную произведению i и π, и прибавить к результату 1, как все члены этого выражения волшебным (или математическим) образом сокращаются, и в ответе получается 0. И это одно из любопытных проявлений той связи между показательными и волновыми функциями, которую создают мнимые числа.

Поэтому математики поняли, что можно не заниматься сложными вычислениями волновых функций, а упростить и ускорить расчеты, объединив все их элементы при помощи мнимых чисел. Благодаря использованию этих странных чисел вычисления свелись к расчетам показательных функций, которые можно было выполнить быстро и рационально. Даже сегодня авиадиспетчеры, в распоряжении которых имеется необычайная мощь современных компьютеров, используют для обнаружения самолетов и их сопровождения при посадке в аэропортах всего мира тот же самый шорткат через мнимые числа. Не будь его, самолеты падали бы на землю еще до завершения вычислений их местоположения.

Этот пример наглядно иллюстрирует утверждение Поля Пенлеве о том, что «самый легкий и короткий путь между двумя истинами вещественной области весьма часто пролегает через область мнимую».

Двоичное, и не только

Один из других шорткатов, которые участвуют в рационализации компьютерных вычислений, – это применение чрезвычайно экономичной системы записи чисел. Как мы уже видели, десять символов десятичной системы счисления – не единственный вариант представления чисел. Для выражения чисел можно выбрать степени любого числа, не только десяти, как в десятичной системе. Вавилоняне использовали символы для записи чисел от 0 до 59 и работали с системой счисления на основе 60. У майя были символы для чисел от 0 до 19, а в созданной ими системе счисления использовались степени двадцати. Выбор числа 10 в качестве основы для наших чисел сводится всего лишь к капризу анатомии, снабдившей нас десятью пальцами на руках.

Но с анатомией человека могла быть связана и вавилонская система. На каждом из наших пальцев (кроме большого) по три сустава. Поэтому большим пальцем правой руки можно указывать на ее же суставы, соответствующие числам от 1 до 12. Каждый раз, отсчитав 12 суставов, можно отмечать очередную дюжину на левой руке, а затем заново начинать отсчет до 12 на правой. Поскольку на левой руке 5 пальцев, так можно отсчитать до 5 наборов по 12 суставов, то есть дойти до 60!

Скажем, для обозначения числа 29 нужно поднять два пальца на левой руке и указать большим пальцем правой на пятый сустав (средний сустав среднего пальца).

Но компьютеры могут использовать всего один палец. По сути дела, они работают по принципу выключателя – либо включенного, либо выключенного. Им нужна система на основе всего двух символов – 0 для выключенного состояния и 1 для включенного. Но даже используя только эти два символа, компьютер может выразить любое число. Положения цифр в этой позиционной системе, так называемой двоичной системе счисления, означают не степени десяти, а степени двух. Так, число 11011 соответствует числу

1 × 2^4 + 1 × 2^3 + 0 × 2^2 + 1 × 2 + 1 = 27.

Поскольку мы научились преобразовывать в цифровой формат разговоры, изображения, музыку и книги, можно сказать, что этот шорткат превратил весь окружающий нас мир в строчки нулей и единиц.

Идея двоичного представления также дает ключ к решению головоломки, с которой начинается эта глава. С каким минимальным количеством гирь бакалейщик сможет взвешивать от 1 до 40 кг? Фокус тут заключается в переходе не в двоичную, но в троичную систему, основанную на степенях числа 3. У весов есть три возможных состояния: гиря в правой чаше (+1), гиря в левой чаше (–1) или отсутствие гирь. Рассуждая в такой троичной системе счисления, можно показать, что для измерения любого веса от 1 до 40 кг бакалейщику нужны всего четыре гири: 1 кг, 3 кг, 9 кг и 27 кг.

Например, чтобы взвесить 16-килограммовый мешок, нужно положить его на одну чашу весов вместе с гирями весом 3 и 9 кг. Весы будут точно уравновешены, когда на вторую чашу положат гири весом 1 и 27 кг. Для представления чисел используются не цифры 0, 1 и 2, а символы –1, 0 и 1. Тогда число 16 записывается в виде 1(–1)(–1)1 то есть 1 минус 3 минус 9 плюс 27, что дает 27 – 9 – 3 + 1 = 16.

Идет ли речь о числах или какой-нибудь другой сложной идее, выбор наилучших обозначений для выражения этой концепции может быть шорткатом, позволяющим прийти к решению. Бакалейщик, мыслящий в троичной системе, может купить всего четыре гири, которых ему хватит на все случаи жизни. Его конкурент, не понимающий этого шортката, будет тратить лишние средства на покупку ненужных гирь.

Шорткат к шорткатам

Создание удобных сокращенных обозначений сложных концепций было важнейшим шорткатом в течение всей истории человечества, и не только в области записи чисел. Если вы ведете конспекты на лекциях или совещаниях, вы, вероятно, уже начали создавать сокращенные обозначения для многократно упоминаемых основных идей. Но нельзя ли найти еще более удобный способ обозначения этих идей, который облегчил бы работу с ними? Бывает так, что в одном виде данные кажутся маловразумительными, но как только мы изменяем способ их записи, они наводят на новое понимание. Графики в логарифмическом масштабе часто говорят о данных больше, чем исходные числа; именно поэтому, например, силу землетрясений измеряют по логарифмической шкале Рихтера. Не стоит забывать и о зеркалах: они, как это было в случае мнимых чисел, могут вывести нас за пределы мира, в котором мы заключены, и открыть шорткат к цели, пролегающий через мир альтернативный.

Пит-стоп: Стартап

«Я говорил своим директорам по маркетингу: можно будет считать, что вы добились настоящего успеха, если вас арестуют. Никому из них не удалось этого сделать».

Об этом рассказал мне во время недавней встречи Брент Хоберман, основатель бизнес-инкубатора Founders Factory[34]. Хоберман (которого, надо сказать, тоже пока что не арестовывали) считает, что именно деятельность на грани закона была причиной успеха самого знаменитого из его предприятий, компании lastminute.com[35], которую он основал в 1998 году вместе с Мартой Лейн Фокс. Нарушение правил игры – часть того, что Хоберман считает «предпринимательским мышлением», и его шорткат к успешным коммерческим предприятиям.

В офисах Founders Factory царит замечательно непринужденная атмосфера. Стены покрыты досками с безумными каракулями, довольно сильно напоминающими доски, которые можно увидеть на математических факультетах всего мира. Благодаря открытой планировке помещения сотрудники разных стартапов все время взаимодействуют друг с другом, обмениваясь идеями. Для стимуляции умственной деятельности есть еда, напитки и игры. Но шорткатом к успеху предприятий, вызревающих на «фабрике» Хобермана, он считает именно нарушение правил игры.

«История знает множество предпринимателей, которые нарушали правила и лишь потом просили прощения, – говорит Хоберман. – Так было с Uber, так было с Airbnb. Обе эти компании нарушали законы. Почему люди не имеют права сдавать свое собственное жилье? А потом общество смотрит и говорит: а ведь действительно, почему? В этом и был их шорткат».

Нарушение законов – это стратегия, оказавшаяся полезной и многим математикам. Законы математики гласили: если число возвести в квадрат, результат должен быть положительным. Но Рафаэлю Бомбелли хватило наглости взяться за число, квадрат которого равен –1. Отступив от правил игры, можно получить доступ к целой массе интересной новой математики. Древнегреческий математик Евклид утверждал, что сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Но, как мы увидим в дальнейшем, другие математики придумали геометрии, в которых треугольники нарушают закон Евклида. Главное в нарушении закона – чтобы выгода от этого нарушения стоила самого нарушения.

Брент Хоберман объяснял мне: «Речь идет почти что о новом определении сути предмета. Правила могут быть устаревшими. Правила могут устанавливаться слишком медленно. Иногда некоторые переопределяют собственные нравственные ориентиры, говоря, что связанная с этим опасность оправданна, потому что результат приносит пользу обществу».

Ключевым элементом успеха lastminute.com было объединение нераспроданных услуг авиакомпаний, компаний проката автомобилей и гостиниц в комплексные пакеты для продажи по ценам более низким, чем при покупке тех же услуг по отдельности. Идея такой модели впервые пришла в голову Хоберману в студенчестве, когда он пытался увезти свою подругу на выходные в какое-нибудь интересное место. Он звонил в гостиницы в последнюю минуту и спрашивал, сколько незанятых номеров у них осталось на ближайшую ночь. Если ему говорили, что их осталось пять или шесть, он понимал, что гостиница вряд ли сумеет сдать их все, и предлагал снять один из них с 70-процентной скидкой. «В одном случае из трех этот фокус удавался».

Ему стало интересно, почему так же не поступают все. «У них был слишком британский характер. Британцы так не поступают», – шутит он. Он вспоминает, как та выгода, которую он извлек из таких операций студентом, навела его на мысль об организации подобной же деятельности в промышленных масштабах. Так и родилась компания lastminute.com. Но поиск нераспроданных услуг в промышленных масштабах требовал действий, граничащих с незаконными. Как признает сам Хоберман, деятельность lastminute.com формально нарушала закон о злоупотреблениях компьютерной информацией (Computer Misuse of Information Act), то есть могла составлять уголовное преступление.

Однако именно деятельность на грани законности или за этой гранью была тем шорткатом, который многие стартапы использовали ради получения преимуществ перед конкурентами. У компании Facebook[36] был знаменитый лозунг Move fast and break things («Двигаться быстро, ломая все вокруг»), а ее генеральный директор Марк Цукерберг как-то сказал: «Если ты ничего не ломаешь, значит, ты движешься недостаточно быстро». Ричард Брэнсон утверждает, что к успеху в бизнесе его привело случившееся в молодости, в 1970-е годы, столкновение с законом; правда, в случае Брэнсона он должен был уплатить 60 000 фунтов штрафа за то, что уклонялся от налогов, когда только начинал торговать грампластинками[37]. Этот штраф побудил Брэнсона обратиться к гораздо более систематическим способам зарабатывания денег. «Стимулы бывают самых разных форм и размеров, – писал он, – но стремление не попасть в тюрьму было самым действенным стимулом, какой у меня когда-либо возникал».

Но, когда стартапы пытаются вносить возмущение в жестко регулируемые отрасли – например, здравоохранение, – двигаться быстро и ломать все вокруг становится труднее. Медицинские учреждения по вполне понятным причинам работают по строгим правилам. Чтобы внушить им доверие к новой идее, необходимо соблюдать эти правила. Этический принцип «не навреди» оказывается важнее, чем стремление к новшествам. Путь к успеху не должен пролегать через причинение вреда пациентам.

Одной из других причин успеха Хобермана было то, что он воспользовался поразительным шорткатом, который в то время, в начале бума доткомов, открывал интернет. Снова и снова появлялась возможность исключить посредников. В случае lastminute.com посредниками были агентства путешествий. Сходный шорткат применило и другое предприятие Хобермана, сайт made.com. Его идеей было предоставить потребителю возможность покупать авторскую мебель, не платя за нее по завышенным ценам. Нину Ли, основавшему это предприятие вместе с Хоберманом, понравился диван, стоивший 3000 фунтов. Однако он случайно узнал, что директором фабрики, выпускавшей эти диваны, стал один из его школьных друзей. Производство дивана обходилось в 250 фунтов. Отсюда и родилась идея связать потребителя напрямую с производителем, исключив дорогостоящих посредников. Как говорит Нин, «в мебельной промышленности распространено высокомерное мнение, что модного, качественно сделанного дивана достоин только тот потребитель, который может выложить за него 3000 фунтов. Но так быть не должно». Интернет позволил компании проложить шорткат в обход цепочки сбыта.

В том, что касается создания компаний, подобных lastminute.com и made.com, Хоберман называет еще один важный шорткат: «Невежество. Я никогда в жизни не взялся бы за lastminute.com, если бы знал, как это будет трудно. Много знать вредно. Невежество помогает мыслить по-другому».

Философия Хобермана напомнила мне о персонаже одной из моих любимых опер. В цикле «Кольцо нибелунгов» Вагнера юному Зигфриду, не ведающему страха, удается убить дракона Фафнира и завладеть кольцом, которое тот охранял. В конце концов он узнает, что такое страх, – когда впервые в жизни встречается с женщиной!

Мне кажется, что незнание страха – одна из главных причин, по которым молодежь добивается порой таких успехов в решении великих нерешенных задач математики. Многие из нас приучаются настолько бояться математических чудовищ – например, гипотезы Римана, одной из величайших нерешенных задач в области простых чисел, – что даже попытки взяться за решение такой трудной задачи кажутся нам безумием. Если многие поколения математиков потерпели неудачу, что могу сделать я? И дракон остается неубитым. Здесь требуется некоторое невежество в сочетании с некоторой самонадеянностью – способность не пугаться истории задачи и верить в собственные силы: в конце концов, почему человеком, который разрешит эту великую загадку, не могу стать именно я?

Хоберман также считает, что еще одним фактором, не позволяющим добиться успеха, может быть перфекционизм. Такова была философия компании Amazon: не нужно строить сверкающий дворец и с гордостью демонстрировать его потребителю; достаточно построить основу замка, и пусть потребитель обживется в ней и скажет, что еще нужно доделать. Если продукт вашей компании готов к выпуску на 70 процентов, выпускайте его и исправляйте недочеты по ходу дела. Если ждать, пока он будет готов на 99 процентов, выпускать его будет слишком поздно. У этого мировоззрения есть свои ограничения. Например, когда другие компании стали использовать платформу Facebook, сбои в ее работе начали обходиться слишком дорого. Если платформа оказывается ненадежной, компании могут отказаться от ее услуг. В 2014 году Цукерберг провозгласил новый принцип: «Двигаться быстро с устойчивой инфраструктурой». «Это, может быть, звучит не так захватывающе, как “Двигаться быстро, ломая все вокруг”, – сказал Цукерберг с ухмылкой. – Но именно так мы теперь работаем».

В математике перфекционизм считается необходимым. Большинство математиков считает, что даже доказательство, законченное на 99 процентов, не имеет смысла публиковать, потому что именно последний 1 процент может оказаться гибельным. Но, возможно, мы, математики, уж слишком одержимы перфекционизмом. Может быть, стоит делиться не доведенными до совершенства идеями, а не держать их в тайне. Исааку Ньютону, а также до некоторой степени Карлу Фридриху Гауссу случалось тормозить прогресс, когда они не решались рассказывать о своих не окончательно разработанных и потенциально еретических идеях.

Изменение этических норм научно-исследовательского сообщества является главной целью организации Chan Zuckerberg Initiative (CZI), которую создали основатель Facebook и его жена доктор Присцилла Чан. Основная задача CZI – совершенствование связей между разными исследовательскими группами, что, по мнению основателей этой организации, позволит решить некоторые медицинские задачи, работа над которыми тормозится сейчас нежеланием делиться информацией о еще не завершенных исследованиях.

Хотя Брент Хоберман стал крупным инвестором в новые стартапы, он по-прежнему считает, что перфекционизм опасен, потому что не позволяет узнать, какие компании имеет смысл поддерживать.

«Как мне кажется, еще один шорткат – это интуиция, – говорит он. – Когда мы инвестируем в компании, мы используем шорткаты. Решения могут приниматься после пяти- или десятиминутного совещания. Компания Иоганнеса Река из GetYourGuide стоит сейчас больше миллиарда. Я познакомился с ним и уже через десять минут сказал своим коллегам: “Вам нужно встретиться с ним сегодня же вечером”. Потому что в нем есть нечто особенное. Так же было с alan.eu, успешной компанией медицинского страхования во Франции. Я сразу понял, что ее основатель – гений. Больше мне ничего и не нужно. Многие из моих лучших друзей, которых я пытался привлечь к работе с этой компанией, слишком долго раздумывали».

Из нашего разговора было ясно, что Хоберман – сторонник любых шорткатов, которые могут привести его к очередному успеху.

«На мой взгляд, шорткаты прекрасны; я ругаю своих детей, когда они не придумывают шорткаты, – говорит он. – Часто можно видеть, как люди стоят в очередях. Скажем, есть три очереди, и все встают в первую. Если перейти в третью, всего на три метра дальше, это сэкономит вам минут десять. Но никто этого не делает. Никто не думает. Как понять, нужно ли дожидаться своей очереди, или можно перейти в другую, или вообще начать еще одну? Вся жизнь состоит из решений такого рода, и в ней всегда надо пытаться найти шорткат».

3

Шорткаты языковые

Одна из песен, которые я больше всего люблю петь на зимних праздниках, – это «Двенадцать дней Рождества». «В первый день Рождества мне шлет моя любовь… куропатку на грушевом дереве». В каждый следующий день подарки предыдущих дней повторяются с добавлением следующих:

1-й день: 1 куропатка

2-й день: 1 куропатка + 2 голубки

3-й день: 1 куропатка + 2 голубки + 3 курочки

…и так далее.

Сколько же всего подарков пошлет мне моя любовь к двенадцатому дню Рождества?

Один из самых действенных шорткатов, которые я открыл, занимаясь математикой, – это подбор правильных слов для разговора о задаче. Суть дела очень часто бывает замаскирована словами, не позволяющими увидеть, о чем на самом деле идет речь. Когда находишь другой способ сформулировать задачу, выражаешь головоломку по-другому, решение внезапно становится гораздо более ясным. Иногда перевод в другие слова помогает увидеть скрывающиеся за числами странные корреляции в статистике продаж какой-нибудь компании. Значительная часть нашей жизни – игра, но преобразование этой игры в другую, в которую вы умеете выигрывать, может дать вам сильнейшее преимущество. Одним из самых волнующих открытий в то время, когда я учился математике, было открытие того, как словарь, переводящий с языка геометрии на язык чисел, способен открыть шорткат в гиперпространство – многомерную вселенную, исследованию которой и посвящена с тех пор моя профессиональная деятельность в математике.

В науке и вне ее есть все больше концепций, которых, как нам кажется, даже не существует, если мы не найдем правильные способы их описания. Один из таких примеров дает концепция эмерджентных явлений – что свойства целого порождаются его составляющими частями. Например, трудно понять, что вода мокрая, если рассматривать отдельные молекулы H_2O. Хотя наука, по-видимому, предполагает, что все что угодно можно свести к поведению таких фундаментальных частиц и уравнениям, определяющим их поведение, этот язык совершенно не подходит для описания явлений. Миграцию стаи птиц невозможно выразить уравнениями, описывающими движение атомов, из которых эти птицы состоят. Макроэкономические явления редко становятся понятны, если использовать только язык микроэкономики. Нельзя понять, как рост учетных ставок влияет на инфляцию, на языке отдельных товаров, хотя причиной макроэкономических явлений и являются микроэкономические изменения. Даже наши концепции свободы воли и сознания невозможно полноценно выразить в терминах нейронов и синапсов.

Переход на другой язык в описании эмоционального состояния человека может радикально изменить его чувства. Вместо слов «я тоскую», которые, как кажется, помещают вас в жесткую формулу, привязывающую вас к грусти, можно сказать «у меня тоска», и внезапно появляется возможность, что тоска вас покинет. Американскому психологу XIX века Уильяму Джеймсу приписывают такие слова: «Величайшее открытие моего поколения состоит в том, что человек может изменить свою жизнь, изменив свой умственный настрой». Но могущественное воздействие языка затрагивает не только личность. Язык играет важнейшую роль в социальном построении реальности. Общество может порождать объекты, называя их. Концепция национального государства основывается на словах в той же мере, что и на географическом положении или человеческом сообществе.

Иногда смена языка приводит к тому, что идеи, трудно поддающиеся выражению на одном языке, вполне могут быть высказаны на другом. Тот факт, что в немецком языке у существительных есть род, позволяет создавать игру слов, невозможную в английском. Поэт Генрих Гейне написал стихотворение о любви покрытой снегом сосны к опаленной зноем пальме Востока. По-немецки сосна (Fichtenbaum) мужского рода, а пальма – женского, но в английском переводе этот нюанс теряется[38]. Иногда что-то теряется и при переводе в обратную сторону. По-английски можно сказать his car and her car (его машина и ее машина), но во французском переводе системы Google Translate начинается путаница – sa voiture et sa voiture, – потому что во французском важнее оказывается род машины, а не ее владельцев. В русском языке есть по особому названию для всех видов снега и дождя, какие только можно вообразить. В некоторых языках всего пять слов для обозначения цветов, а в английском их множество. Я уже говорил, насколько важно для меня понятие паттерна (pattern); однако, когда я пытаюсь перевести это слово на французский, оказывается, что в этом языке нет слова, у которого были бы все те многочисленные смысловые грани, которые есть у английского.

Роль различий между языками чрезвычайно интересовала и моего героя, Карла Фридриха Гаусса. В школе он поражал учителей успехами в латыни и молниеносным пониманием классических литературных трудов. Более того, когда Гаусс начинал учиться на деньги, которые выделил герцог Брауншвейгский, он чуть было не выбрал вместо курса математики курс классической филологии.

Маршрут, по которому пролегал мой собственный путь к математической профессии, был довольно похожим. В детстве я хотел стать разведчиком и считал, что знание языков будет важным навыком, который позволит мне общаться с коллегами – агентами разведки – во всем мире. Я записывался на уроки по всем языкам, которые преподавали в моей общеобразовательной школе, – французскому, немецкому, латыни. Я даже начал изучать русский, благо по Би-би-си передавали уроки русского. Но, в отличие от Гаусса, освоение этих языков давалось мне нелегко. Я не мог продраться сквозь неправильные глаголы и причудливое правописание. Мечты о карьере разведчика казались все менее реалистичными, и это приводило меня в совершеннейшее отчаяние.

Только когда мой учитель мистер Бейлсон дал мне почитать книгу под названием «Язык математики»[39], я начал понимать, что математика – тоже язык. Я думаю, он не только видел, что я жажду найти язык без неправильных глаголов, в котором все правильно и логично, но и понимал, что меня не сможет не увлечь способность этого языка описывать окружающий меня мир. Из этой книги я узнал, что математические уравнения могут рассказывать историю движения планет в ночном небе, что симметрия может объяснить форму пузырьков, пчелиных сот или цветков, что числа позволяют понять гармонию музыки. Для описания Вселенной нужно было учить не русский, не немецкий, не английский, а математику. А еще я узнал из «Языка математики», что математика – это не один язык, а множество языков и прекрасное средство создания словарей, переводящих с одного языка на другой для создания новых языковых шорткатов.

История математики помнит множество великолепных моментов такого рода.

Математическая грамматика

Объяснение многих из паттернов, которые я показывал вам до этого момента, опирается на поразительный математический шорткат – алгебру. Секрет алгебры заключается в том, что она позволяет перейти от частного к общему. Это означает, что при рассмотрении каждого конкретного случая не требуется прокладывать новый путь. Можно не рассматривать по отдельности каждое число, а взять букву х и объявить, что она обозначает любое число.

Позвольте показать вам маленький фокус: задумайте число. Удвойте его. Прибавьте 14. Разделите результат на 2. Вычтите число, которое вы задумали с самого начала. Я гарантирую, что теперь у вас получилось число 7. Мы использовали этот фокус в начале пьесы «Исчезающее число», авторов которой я консультировал. Пьеса рассказывала о сотрудничестве индийского математика Сринивасы Рамануджана с кембриджским математиком Г. Г. Харди. Меня всегда поражало, в какое изумление этот фокус каждый вечер приводил публику – как будто мы волшебным образом читали мысли зрителей. На самом деле тут, разумеется, работает не волшебство, а математика. Ключ к пониманию того, каким именно математическим трюком вас обманули, заключается в идее алгебры.

Алгебра – это грамматика, лежащая в основе поведения чисел. Она чем-то похожа на программный код: алгебра работает независимо от того, какие числа вы вводите в программу.

Алгебру разработал руководитель багдадского Дома мудрости Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Дом мудрости, основанный в 810 году, был главным интеллектуальным центром своего времени и привлекал со всего мира ученых, изучавших астрономию, медицину, химию, зоологию, географию, алхимию, астрологию и математику. Исламские ученые собрали и перевели множество античных текстов, чем, по сути дела, сохранили их для потомства. Без них мы, возможно, ничего не знали бы о древних культурах Греции, Египта, Вавилона и Индии. Однако ученые, работавшие в Доме мудрости, не удовольствовались одними лишь переводами математических трудов, написанных другими. Они хотели создавать свою собственную математику. Именно это стремление к новым знаниям и привело к созданию языка алгебры.

Вы, вероятно, можете находить алгебраические паттерны и самостоятельно, даже не осознавая, что занимаетесь алгеброй. В детстве, запоминая таблицу умножения, я начал замечать некоторые любопытные паттерны, скрывающиеся за этими расчетами. Например, спросите себя, сколько будет 5 × 5. А потом посмотрите на 6 × 4. Есть ли между этими ответами какая-нибудь связь? Теперь возьмите 6 × 6 и 5 × 7. А потом 7 × 7 и 6 × 8. Надеюсь, вы уже заметили, что второй ответ каждый раз меньше первого на единицу.

Выявление таких паттернов помогало мне превращать скучное заучивание таблицы умножения в нечто чуть более интересное. Эти паттерны открыли мне шорткат в обход зубрежки, часто требуемой в школе. Но действует ли этот паттерн всегда? Если я возведу в квадрат произвольное число, будет ли результат всегда на единицу больше произведения чисел, стоящих по обе стороны от исходного?

Я попытался описать этот паттерн словами, но в IX веке в Ираке был создан новый математический язык – язык алгебры, – позволяющий выразить ее более ясно. Пусть х – произвольное число. Тогда результат возведения х в квадрат будет на 1 больше, чем произведение (х – 1) на (х + 1). Или, если написать алгебраическую формулу,

x^2 = (x – 1)(x + 1) + 1.

Такой алгебраический язык также позволил математикам показать, почему этот паттерн остается справедливым, какое бы число вы ни выбрали. Если раскрыть скобки в выражении (х – 1)(х + 1), получится х^2 – х + х – 1 = х^2 – 1. Прибавим к этому 1 и получим просто х^2.

Этот же подход – использование x вместо произвольного числа – позволяет понять и тот простой фокус, в котором вы получили число 7. Нужно всего лишь перевести операции на язык алгебры.

Задумайте число: x.

Удвойте его: 2 x.

Прибавьте 14: 2 x + 14.

Разделите на 2: x + 7.

Вычтите исходно задуманное число: x + 7 – x = 7.

И у вас действительно получается число 7.

Суть в том, что это работает всегда, какое бы число вы ни задумали, – даже если вы решили схитрить и задумали мнимое число! Вот еще один фокус, которому научил меня мой друг, математический фокусник Артур Бенджамин. Ключ к пониманию механизма этого фокуса дает алгебра. Бросьте две игральные кости. Перемножьте два выпавших числа. Перемножьте числа, оказавшиеся на нижних гранях костей. Затем умножьте верхнее число первой кости на нижнее число второй. А потом нижнее число первой кости на верхнее число второй. Наконец, сложите все четыре полученных числа. Результат всегда будет равен 49. Бенджамин использует здесь то удобное обстоятельство, что числа на противоположных гранях игральной кости всегда дают в сумме 7. В сочетании с небольшими алгебраическими выкладками из этого следует, что ответ всегда равен 49, то есть 7 в квадрате.

x × y + (7 – x) × (7 – y) + x × (7 – y) + y × (7 – x) = 7 × 7 = 49

Но алгебра пригодилась не только для фокусов. Она положила начало огромной волне новых открытий. Теперь в распоряжении математиков были не только слова, но и понимание грамматики, позволявшей им соединять эти слова. Алгебра дала нам язык, пригодный для описания устройства Вселенной.

Вот что говорил о могуществе алгебры Лейбниц: «Этот метод избавляет от труда разум и воображение, которые мы прежде всего должны экономить. Он позволяет нам рассуждать ценой небольших усилий, используя буквы вместо сущностей для облегчения бремени, которое ложится на воображение».

Свет в темном лабиринте

Одним из первых осознал значение этого языка для расшифровки тайн природы итальянский ученый XVI века Галилео Галилей. Именно ему принадлежит следующее знаменитое изречение: «Философия написана в той величественной Книге (я имею в виду Вселенную), которая всегда открыта нашему взору, но читать ее может лишь тот, кто сначала освоит язык и научится понимать знаки, которыми она начертана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых нельзя понять ни единого из стоящих в ней слов и остается лишь блуждать в темном лабиринте»[40].

Одной из историй Вселенной, которую он хотел прочитать, было понимание того, как предметы падают на землю. Есть ли какое-нибудь правило, определяющее падение той или иной вещи на землю или продолжение ее полета в воздухе? Сбор данных о предметах, падающих с высокого здания, был делом сложным, так как предметы обычно падают слишком быстро. Галилей придумал удобный способ замедлить этот эксперимент, чтобы успеть собрать нужные данные. Можно было не бросать предметы, а изучать, как шар скатывается по наклонной плоскости. Этот процесс был достаточно медленным и позволял ему отмечать положение катящегося шара каждую секунду.

Наклонная плоскость должна была быть достаточно гладкой, чтобы трение не замедляло движения шара. Галилей хотел получить максимальное приближение к условиям падения того же шара. Когда он изготовил такую гладкую поверхность и начал записывать расстояния, на которые шар перемещался за каждую секунду, он обнаружил очень простой паттерн. Если за первую секунду шар сместился на 1 единицу расстояния, за следующую он проходил уже 3 единицы. За секунду после этого – 5 единиц. С каждой следующей секундой шар набирал все большую скорость и перемещался на все большее расстояние, но длины участков, которые он проходил, попросту соответствовали последовательности нечетных чисел.

Когда Галилей подсчитал суммарное расстояние, пройденное за некоторое время, ему открылась и тайна падения предметов на землю.

Суммарное расстояние, пройденное за 1 секунду, – 1 единица.

Суммарное расстояние, пройденное за 2 секунды, – 1 + 3 = 4 единицы.

Суммарное расстояние, пройденное за 3 секунды, – 1 + 3 + 5 = 9 единиц.

Суммарное расстояние, пройденное за 4 секунды, – 1 + 3 + 5 + 7 = 16 единиц.

Вы уже заметили паттерн? Суммарное расстояние всегда равно полному квадрату. Но какое отношение нечетные числа имеют к числам квадратным? Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем перевести числа на язык геометрии.

Рис. 3.1. Связь квадратных и нечетных чисел

Выкладывая очередное нечетное число по краям предыдущего квадрата, я получаю все бо́льшие и бо́льшие квадраты. Связь между квадратами и нечетными числами внезапно становится очевидной. Это – переход от арифметического рассмотрения к геометрическому – очень полезный шорткат.

Теперь Галилей смог составить формулу суммарного расстояния, которое проходит шар, падающий на землю: расстояние, пройденное через t секунд, пропорционально квадрату t. Так был открыт основополагающий квадратичный закон гравитации. В конечном итоге открытие этого уравнения дало нам возможность вычислять, где приземлится ядро, выпущенное из пушки, и предсказывать траектории планет, обращающихся вокруг Солнца.

В энный день Рождества

Тот же прием, что мы применили для демонстрации связи между нечетными числами и полными квадратами хитрым геометрическим способом, можно использовать и в качестве шортката к решению головоломки этой главы. Чтобы узнать, сколько подарков я получу от своей любви на Рождество, можно пойти длинным путем, последовательно складывая голубок и курочек. Но есть и шорткат – перевести задачу из арифметики в геометрию. Начнем с того, как геометрический подход помогает узнать число подарков, которые я получаю каждый день. Ежедневное количество подарков попросту соответствует треугольным числам, с которыми мы познакомились в главе о паттернах. Я уже рассказывал, как Гаусс разобрался с этими числами, разбив их по парам.

Но есть и другой шорткат, избавляющий от тяжелой работы: взглянуть на задачу с геометрической точки зрения. Разложим подарки треугольником, вершиной которого будет куропатка. Подсчитывать подарки, образующие треугольник, может быть непросто. А что, если составить два треугольника вместе? Тогда получится прямоугольник. Но предметы, образующие прямоугольник, подсчитать легко: нужно всего лишь умножить основание на высоту. А площадь треугольника будет половиной этого результата.

Такой геометрический шорткат к решению – это, по сути дела, тот же прием образования пар чисел, который использовал Гаусс, но слегка замаскированный. Но геометрическая точка зрения позволяет мне создать простую формулу для вычисления любого члена этой последовательности. Если мне нужно n-е треугольное число, я составляю вместе два треугольника и получаю прямоугольник размерами n × (n + 1). Теперь просто делим на 2 и находим число подарков в треугольнике: 1/2  × n × (n + 1).

Каково же суммарное количество подарков, которые я получаю по прошествии каждого дня? Вот как выглядит эта растущая сумма начиная с первого дня:

1, 4, 10, 20, 35, 56 …

Каждое следующее число получается прибавлением очередного треугольного числа. Скажем, чтобы найти седьмое, нужно прибавить к предыдущему числу седьмое треугольное число. Поскольку седьмое треугольное число – 28, седьмой член нашей последовательности равен 56 + 28 = 84. Но нет ли еще более удобного шортката, чтобы добраться до двенадцатого члена, общего числа подарков за все рождественские праздники, без последовательного сложения треугольных чисел?

Здесь нужно еще раз перейти от чисел к геометрии. Представим себе, что все подарки приходят в коробках одинакового размера. Тогда можно составлять из полученных коробок не треугольник, а пирамиду с треугольным основанием. На ее вершине будет одна коробка, в которой находится одна куропатка на грушевом дереве. На один ярус ниже коробок уже три: одна с куропаткой и две с голубками. Каждый день приходят все новые подарки, и я добавляю их к низу пирамиды. Дает ли такой переход от чисел к геометрическим фигурам возможность понять, сколько всего коробок в пирамиде?

Как это ни удивительно, дает. Если из двух треугольников можно сложить прямоугольник, из шести пирамид одного и того же размера можно образовать прямоугольный штабель коробок. (Чтобы это получилось, вам придется слегка сдвинуть подарки, сложенные в каждую из пирамид.) Если в пирамиде n ярусов, то размеры такой прямоугольной конструкции будут n × (n + 1) × (n + 2). Но она составлена из шести пирамид. Значит, формула количества подарков в каждой отдельной пирамиде будет такой:

1/6  × n × (n + 1) × (n + 2).

Сколько же всего подарков я получу от своей любви к двенадцатому дню Рождества? Подставим в формулу n = 12 и получим 1/6  × 12 × 13 × 14 = 364. То есть по подарку на каждый день года, не считая одного![41]

Рис. 3.2. Шесть пирамид составляют прямоугольный параллелепипед

Словарь Декарта

Меня всегда приводило в восторг то, как на картинке может проявиться нечто такое, чего не было видно за цифрами. Но нужно соблюдать осторожность. Иногда глаза обманывают нас. Взять, например, следующую картинку.

Рис. 3.3. При перестановке элементов фигуры в ней появляется лишняя клетка

Казалось бы, я просто поменял составляющие части квадрата местами так, чтобы из них получился аккуратный прямоугольник. Но погодите. Площадь квадрата равна 64 клеткам, а площадь прямоугольника – 65. Откуда же взялся этот довесок? На этой картинке трудно увидеть, что диагональ, пересекающая вторую фигуру, – не вполне прямая линия. Края составных частей не совсем прилегают друг к другу, что и приводит к появлению лишней клетки. Декарт, как известно, говорил: «Чувственное восприятие есть чувственный обман». С тех пор, как я увидел эту картинку, я, по-моему, никогда больше не мог полностью верить собственным глазам. Меня устраивают только строгие доказательства связей или паттернов на языке алгебры. Что, если с нечетными числами, которые я выкладывал по краям квадратов, тоже происходит нечто подобное этому хитрому фокусу?

Для разоблачения таких визуальных фокусов бывает полезно применить тот же шорткат в обратном направлении – превратить геометрические фигуры в числа. Декарт был одним из математиков, предложивших идею словаря для переводов между языком чисел и языком геометрии. Этот словарь был одним из величайших лингвистических изобретений, которые наряду с алгеброй позволяют находить шорткаты к пониманию Вселенной.

Собственно говоря, все мы хорошо знакомы с этим словарем: мы используем его, когда видим карту или навигатор GPS. Сетка, накладываемая на город или страну, позволяет мне идентифицировать любую точку на местности: два числа указывают, где эта точка расположена на сетке. Система GPS использует координатную сетку, горизонтальной осью которой служит экватор, а вертикальной – меридиан, проходящий через Гринвич.

Например, если я хочу посетить дом, в котором родился Декарт, находящийся в городе Декарт (названном так не по удивительному совпадению, а уже после его смерти[42]), попасть туда мне помогут его координаты: широта 46,9726497 и долгота 0,7000201. Любое положение на планете можно выразить при помощи двух таких чисел. Геометрия планеты переведена на язык чисел.

Декарт изложил эту плодотворную идею – применения координат для описания геометрии – в книге «Геометрия» (1637). При помощи этих чисел, называющихся теперь в честь человека, предложившего такой перевод, декартовыми (картезианскими) координатами, можно определить геометрическое положение не только на поверхности планеты, но и на любом изображении. Словарь Декарта открыл возможность перевода между геометрией и алгеброй.

Могущество этого перевода становится особенно ясным, когда нужно описать движение некоего объекта в пространстве. Бросьте мяч – и я смогу описать высоту мяча над землей в момент, когда он находится на заданном расстоянии от бросившего его. Связь между этими двумя величинами выражается математическим уравнением. Пусть х – расстояние, которое мяч пролетел по горизонтали. Пусть v – скорость мяча в вертикальном направлении в момент броска, а u – его горизонтальная скорость. Если обозначить высоту мяча над землей буквой y, то эти ингредиенты дадут формулу для определения этой высоты:

Буква g обозначает величину, которую называют ускорением свободного падения. Она определяет, насколько сильно мяч притягивается к данной планете под действием силы тяжести.

Как бы сильно или высоко вы ни бросили мяч, уравнение остается тем же самым. Нужно только изменить значения u и v, играющие роль регуляторов настройки, которые можно подкрутить, чтобы изменить форму траектории. Понимание этой закономерности, которая определяет, как летят по воздуху любые мячи, позволяет предсказать, где мяч упадет на землю. Ее формула – это квадратное уравнение относительно х. Если вы футболист и хотите узнать, где вам нужно встать, чтобы принять летящий мяч на голову и отправить его в ворота противника, вам нужно решить это уравнение относительно х. Как я рассказывал в предыдущей главе, древние вавилоняне нашли алгоритм для решения этой задачи еще четыре тысячи лет назад.

Но такие квадратные уравнения описывают не только траектории мячей. Если посмотреть на изменения цен на товары с колебаниями спроса и предложения, их зачастую можно описать уравнениями такого же типа. Когда уравнения описывают числа, появляется возможность научиться находить точку экономического равновесия, в которой товар оценивается при равенстве предложения и спроса. Компания, не умеющая использовать язык уравнений для представления своих данных, будет, как сказал Галилей, блуждать в темном лабиринте, пока ее конкуренты будут загребать прибыли.

Если у вас есть набор данных, полезно попытаться найти уравнение, описывающее связь между ними. Его обнаружение открывает поразительный шорткат к предсказанию того, что может случиться в будущем.

Такие паттерны бывают необычайно универсальными. В случае брошенного мяча не важно, кто именно бросил мяч, как его бросили или где его бросили. Даже если заменить один мяч на другой, общий вид уравнения останется неизменным.

Но при подгонке уравнений к данным необходима осторожность. Если взять данные о численности населения Соединенных Штатов за последнее столетие, они довольно хорошо описываются квадратным уравнением, подобным тому, с помощью которого мы описывали траекторию мяча. Однако, если использовать более сложное уравнение, в котором степень х доходит до х^10, соответствие данным получается и вовсе точным. Казалось бы, это говорит о том, что более сложная формула должна дать более точные предсказания. Единственный недостаток состоит в том, что на середину октября 2028 года это уравнение предсказывает падение численности населения Соединенных Штатов до нуля. Или же уравнение знает нечто такое, чего не знаем мы.

Эта история служит предостережением тем, кто считает, что для научных исследований достаточно одного лишь использования больших данных. В данных действительно могут проявляться паттерны, но, чтобы понять, почему эти паттерны должны быть основаны на тех или иных уравнениях, мы по-прежнему должны сочетать данные с аналитическим мышлением. Сделанное Галилеем открытие квадратичного закона гравитации было впоследствии объяснено благодаря теоретическому анализу Ньютона, показавшему, почему в данном случае правильно использовать именно квадратные уравнения.

Шорткат в гиперпространство

Идея превращения геометрии в числа не только позволяет лучше ориентироваться в трехмерном пространстве. Она еще и открывает перед нами порталы в миры, которые мы никогда не увидим своими глазами. Одним из самых захватывающих моментов моего математического путешествия по искусству шортката было открытие возможности изучать многомерные пространства. Тот день, когда я впервые прочитал о том, как этот язык позволяет построить куб в четырех измерениях, до сих пор запечатлен в моей памяти.

Это объясняло, как космический корабль может переместиться с одного конца Вселенной на другой по шорткату через четвертое измерение. Это давало ответ на вопрос, как Вселенная может быть конечной, но не иметь границ. Это даже позволяло распутывать узлы, которые невозможно развязать в трех измерениях.

Но этот словарь позволяет не только путешествовать в пространстве. Благодаря отображению данных в многомерные миры проявляются скрытые структуры. Когда вы строите по данным график, вы видите двумерную тень объекта, который следовало бы изображать в многомерном пространстве. Такой шорткат вполне может прояснить нюансы, скрытые этими двумерными тенями. Итак, пристегните ремни: мы отправляемся в путешествие по гиперпространству!

Чтобы попасть в четвертое измерение, нужно начать со второго. Предположим, я хочу описать квадрат в терминах картезианского словаря координат: я могу сказать, что квадрат – это фигура с четырьмя вершинами, расположенными в точках (0,0), (1,0), (0,1) и (1,1). Очевидно, для определения любого положения в плоском двумерном мире нужны всего две координаты, но, если я захочу учесть еще и высоту над уровнем моря, можно добавить третью координату. Третья координата также понадобится, если я захочу описать при помощи координат трехмерный куб. Восемь вершин куба можно описать точками (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) и, наконец, крайней точкой с координатами (1,1,1).

Рис. 3.4. Построение гиперкуба при помощи координат

В одной колонке словаря Декарта содержатся фигуры и геометрические свойства, а в другой – числа и координаты. Проблема заключается в том, что при попытке выйти за пределы трехмерных тел визуальное восприятие отказывает, потому что физического четвертого измерения не существует. Но у словаря Декарта есть одно великолепное свойство, которое осознал великий немецкий математик XIX века Бернхард Риман, учившийся у Гаусса в Геттингене: вторая сторона словаря продолжает действовать даже и в этом случае.

Чтобы описать четырехмерный объект, нужно всего лишь добавить четвертую координату, указывающую величину смещения в этом новом направлении. Хотя я не могу построить четырехмерный куб физически, тем не менее я могу точно описать его при помощи чисел. У него 16 вершин начиная с точки (0,0,0,0), за которой идут вершины в точках (1,0,0,0), (0,1,0,0) и так далее, вплоть до самой удаленной от первой вершины в точке (1,1,1,1). Числа образуют код, описывающий фигуру. При помощи этого кода я могу исследовать эту фигуру, причем мне даже не нужно видеть ее физически.

Этим дело не кончается. Можно перейти к пяти, шести и даже большему числу измерений и построить гиперкубы и в этих мирах. Например, у N-мерного гиперкуба должно быть 2N вершин. От каждой из этих вершин отходят N ребер, каждое из которых мы учитываем дважды. Следовательно, N-мерный куб имеет N × 2N –1 ребер.

Когда я попробовал на зуб четырехмерный куб, это разожгло во мне аппетит к открытию других фигур в этой необычной многомерной вселенной. Построение в ней новых симметричных объектов стало моей страстью. Например, если вы когда-нибудь бывали в великолепном дворце Альгамбра в Гранаде, вас (я надеюсь) привели в восторг те чудесные игры в симметрию, в которые играли на его стенах художники. Но можно ли понять эти симметрии? Мой шорткат к пониманию с первого взгляда того, что кажется очень наглядным, – это превращение симметрии в язык.

Создание нового языка для понимания симметрии, известного под названием «теория групп», относится к началу XIX века. Этот язык был порождением ума одного выдающегося молодого человека – французского революционера Эвариста Галуа. К несчастью, его жизнь оборвалась до того, как он сумел в полной мере реализовать потенциальные возможности своего открытия. В двадцатилетнем возрасте он был застрелен на дуэли, поводом для которой были любовь и политика.

Хотя две разные стены в Альгамбре украшены очень разными узорами, математика симметрии позволяет установить, что симметрии этих двух стен одинаковы. Такова сила нового языка, который создал Галуа.

Симметрию можно определить как те действия, производимые над объектом, после которых он выглядит так же, как и до них. Галуа понял, что важная характеристика симметрии заключается во взаимодействии между отдельными симметриями. Что, если дать симметриям названия? Тогда можно найти своего рода грамматику, на которой основаны все они. Эта грамматика стала шорткатом к пониманию мира симметрий. Изображения исчезли, а на их месте возникла особая алгебра, выражающая, как симметрии взаимодействуют друг с другом.

При помощи теории групп к концу XIX века математики сумели доказать, что существует всего 17 разных типов симметрии орнаментов, которые возможно изобразить на стенах Альгамбры или где бы то ни было еще. Мои собственные исследования продолжают эти изыскания, выводя их в гиперпространство. Я пытаюсь понять, сколькими разными способами можно украсить Альгамбру орнаментами в многомерном пространстве. Речь идет о здании, построенном не из камня, а из языка.

Эти сюрреалистические формы можно увидеть и в нашем обыденном трехмерном мире. Большая арка Дефанс в пригороде Парижа, которую построил датский архитектор Йохан Отто фон Спрекельсен, на самом деле представляет собой трехмерную проекцию четырехмерного куба, или куба, заключенного в кубе. На картине Сальвадора Дали «Распятие, или Гиперкубическое тело» Христос изображен распятым на трехмерной развертке четырехмерного гиперкуба.

Есть даже компьютерная игра, которая должна позволить игрокам получить опыт существования в четырехмерном пространстве. Ее придумал разработчик компьютерных игр Марк тен Бош, который работает над созданием этой гиперигры уже более десятилетия. Игрок, перед которым на экране оказалась стена, не позволяющая ему пройти дальше в трехмерном мире, может включить четвертое измерение и, переместившись в новом направлении, найти параллельный мир, в котором есть шорткат за эту стену. Судя по всему, игра должна получиться потрясающей, и я с нетерпением жду ее выпуска. Однако я подозреваю, что ее разработка так сильно затянулась отчасти из-за того, насколько разработчику с трехмерным разумом трудно создавать и объединять все эти четырехмерные миры.

Победа в играх

Я вообще очень люблю игры, и не только безумные четырехмерные. Мне нравится коллекционировать новые игры в поездках по всему миру. Но меня не перестает поражать тот факт, что игры из разных уголков света, хотя они и выглядят совершенно не похоже друг на друга, часто бывают, по сути дела, одной и той же игрой в разных нарядах. Это навело меня на мысль, что во многие игры гораздо проще играть, если удастся превратить их в другие, непохожие с виду, игры.

Многие из задач, которые нам приходится решать в жизни, – это, по сути дела, замаскированные игры. Потенциальное сотрудничество между двумя конкурирующими компаниями часто оказывается примером игры под названием «дилемма заключенного». В соперничестве трех сторон может скрываться игра камень-ножницы-бумага. Если вы видели фильм «Игры разума», вы, возможно, помните тот момент, когда один из создателей теории игр, Джон Нэш, которого играет Рассел Кроу, превращает в игру попытку познакомиться в баре с красивой женщиной. Но у игр есть правила, которые очень хорошо умеет описывать математика. Один из величайших шорткатов к победе в игре, открытых математикой, – это превращение игры в нечто совершенно иное, при котором победная стратегия становится гораздо более ясной.

Один из моих любимых примеров такого рода связан с игрой под названием «15». Каждый из участников игры по очереди выбирает числа от 1 до 9, стремясь получить три числа, дающие в сумме 15. Нужно, чтобы пятнадцати была равна именно сумма трех чисел. Например, 1 + 9 + 5. Выбрать 6 + 9 нельзя. Играть в эту игру довольно сложно, потому что нужно не только держать в голове разные способы получить 15 из имеющихся у вас чисел, но и стараться не дать сопернику получить 15 раньше вас. Чтобы почувствовать, как трудно бывает учесть все возможные варианты, имеет смысл сыграть пробную партию с другом.

Шорткат для этой игры заключается в преобразовании ее в другую игру, играть в которую гораздо легче, – в крестики-нолики. Только играть нужно на магическом квадрате.

Магический квадрат замечателен тем, что сумма чисел в любой его строке, любом столбце и любой диагонали равна 15. Если вы играете в крестики-нолики на таком квадрате, вы на самом деле играете в 15. Но держать в голове геометрию игры в крестики-нолики гораздо легче, чем арифметические возможности получения суммы чисел, равной 15.

На следующей странице показана еще одна игра, играть в которую становится легко, если взглянуть на нее с правильной точки зрения. На чертеже показана карта городов, соединенных дорогами. Все дороги представляют собой прямые линии, и на каждой из них может быть 2, 3 или 4 города.

Рис. 3.5. Сеть дорог

Участники игры по очереди «забирают себе» дороги. Выигрывает тот, кто первым скопит три дороги, проходящие через один и тот же город. Чтобы понять, какие стратегии возможны в этой игре, в нее тоже полезно сыграть пробную партию. Но на самом деле это опять замаскированные крестики-нолики. Если обозначить дороги цифрами, как показано на рис. 3.6, окажется, что вы снова играете в крестики-нолики на магическом квадрате.

Рис. 3.6. Сеть дорог, помеченных цифрами магического квадрата

Еще одна классическая игра, стратегия которой становится очевидной, если перевести ее на другой язык, – это игра ним. Есть три кучки бобов. Каждый из участников, дождавшись своего хода, забирает из одной из кучек любое количество бобов. Побеждает тот, кто забирает последний боб. Количество бобов в кучках в начале игры может быть любым.

Предположим, например, что у нас есть три кучки, в которых 4, 5 и 6 бобов. Существует ли стратегия, помогающая победить в этой игре? Хитрость заключается в том, что количество бобов в каждой кучке нужно перевести в двоичную систему счисления. Как вы помните из предыдущей главы, в двоичной системе числа основаны на степенях 2, а не на степенях 10, как в десятичной. Так, 100 в двоичной системе обозначает число 4, потому что в позиции, соответствующей 2^2, стоит единица. Соответственно, 5 = 2^2 + 1, то есть 101, а 6 = 2^2 + 2, то есть 110. Кроме того, есть одно странное правило сложения таких чисел, которое поможет вам понять, выигрышно ли ваше положение в игре. Нужно складывать цифры, стоящие в соответствующих столбцах, но с учетом правила, согласно которому 1 + 1 = 0. Итак,

Выигрышная стратегия требует забрать из одной кучки такое количество бобов, чтобы эта сумма стала равна 000. Оказывается, это всегда возможно. Например, если я заберу 3 боба из кучки, в которой их 5, в ней останутся 2 боба. В двоичной системе 2 – это 010. Сосчитаем сумму еще раз и получим 000:

Самое замечательное в этом то, что любой ход, который сделает после этого ваш противник, изменит сумму так, что в ней появятся какие-нибудь единицы. А если в сумме есть единицы, значит, партия еще не выиграна. Но ваша стратегия позволяет каждый раз возвращать сумму к числу 000. В какой-то момент это приведет к тому, что вы действительно заберете со стола все бобы и победите в этой партии.

Язык двоичных чисел преобразует эту игру в нечто такое, в чем вы всегда можете победить, каким бы ни было количество бобов или кучек. Если только вы выучите двоичные числа. Если в начале игры сумма уже представляет собой последовательность нулей, непременно уступите первый ход противнику. В ином случае делайте первый ход сами, причем так, чтобы он сводил сумму к нулям.

Оказывается, стратегия использования языка двоичных чисел для понимания состояния игры помогает разобраться в массе других сходных игр. Попробуйте сыграть в игру черепахи. Пусть у нас есть ряд черепах, лежащих случайным образом – некоторые лежат на животе, а некоторые перевернуты на спину. (Если у вас дома нет достаточного количества черепах, можно взять монеты. Орлы соответствуют черепахам, лежащим на животе, а решки – черепахам, лежащим на спине.) Каждый из участников игры, когда до него доходит очередь, может перевернуть какую-нибудь черепаху на спину (или монету так, чтобы она лежала не орлом, а решкой вверх). Кроме того, он может, если захочет, перевернуть одну черепаху (или монету), лежащую левее той, которую он перевернул на спину. Вторая черепаха или монета может быть в любом состоянии, на животе или на спине (орлом или решкой). Вот, например, ряд из n = 13 монет:

Р О Р Р О Р Р Р О О Р О Р

Один из возможных ходов в этом положении – перевернуть монету, лежащую в 9-й позиции, чтобы она лежала не орлом, а решкой, и монету, лежащую в 4-й позиции, чтобы она лежала не решкой, а орлом.

Побеждает тот, кто перевернет с живота на спину последнюю черепаху (или из орлов в решки последнюю монету). На первый взгляд кажется, что эта игра не имеет ничего общего с игрой ним, но на самом деле это та же самая игра, только замаскированная.

Число черепах, еще лежащих на животе, соответствует числу кучек, а положение каждой такой черепахи, считая слева, – количеству предметов в соответствующей кучке. В случае показанного на иллюстрации расклада из 13 монет получается 5 кучек, в которых лежат 2, 5, 9, 10 и 12 бобов. Перевернуть черепаху в 9-й позиции на спину (или решкой кверху) и перевернуть черепаху в 4-й позиции на живот – это все равно что забрать 5 бобов из кучки с 9 бобами. Теперь использование языка двоичных чисел, который обеспечивает победу в игре ним, порождает стратегию переворачивания черепах в игре, на первый взгляд не имеющей с той ничего общего.

Хотя вам, возможно, никогда не придется играть в переворачивание черепах, философскую основу победы в этой игре стоит запомнить. Когда вы сталкиваетесь с какой-либо задачей, нельзя ли преобразовать ее в нечто такое, во что вы уже умеете играть? Не существует ли словаря, переводящего эту задачу на язык, делающий решение более очевидным? Когда перед вами возникает стена, в том языке, который вы используете, может не быть способов ее преодолеть. Но, стоит перейти в другой мир, сменив этот язык на другой, там может открыться шорткат, который позволит вам пробраться за стену.

Шорткат к шорткатам

Если задача кажется неподатливой, попытайтесь найти словарь, помогающий перевести ее на другой язык, который яснее покажет решение. Если ваша вновь разгоревшаяся страсть к домашнему мастерству не дает тех результатов, на которые вы рассчитывали, возможно, вам нужно сменить чертежи на числа и посмотреть, не покажут ли измерения, почему детали не желают правильно соединяться. Если бизнес-план, набитый таблицами с числами, не отражает всех достоинств вашего проекта, посмотрите, не станет ли ваша идея понятнее из иллюстраций или графиков. Не найдется ли какого-нибудь алгебраического приема, который сэкономит вам многие часы, уходящие на ввод финансовых данных компании в очередные таблицы? Не окажется ли ваша борьба с конкурентами замаскированной игрой, победная стратегия которой вам уже известна? Вот к чему призывает эта глава: ищите подходящий язык, который поможет вам думать лучше.

Пит-стоп: Память

Хотя я успешно овладел языком математики, меня всегда приводило в отчаяние то, что я не смог освоить более непредсказуемые языки, например французский или русский, которые я пытался выучить, когда мечтал стать разведчиком. Хотя Гаусс тоже отрекся от увлечения языками, чтобы заняться математической карьерой, впоследствии он еще возвращался к изучению новых языков – например, санскрита или русского. К шестидесяти четырем годам он, прозанимавшись русским два года, выучил этот язык настолько хорошо, что смог читать Пушкина в оригинале.

Вдохновившись примером Гаусса, я решил заново попытаться выучить русский. Одна из проблем, с которыми я сталкиваюсь, заключается в том, что мне попросту трудно запоминать новые, незнакомые слова. Мой шорткат к запоминанию – выявление паттернов. Но что делать, если паттернов нет? Я хотел узнать, не бывает ли альтернативных шорткатов, которые используют другие. С этим вопросом лучше всего было обратиться к Эду Куку, гроссмейстеру памяти и основателю новой системы изучения языков Memrise.

Чтобы получить звание гроссмейстера памяти, нужно суметь запомнить за один час 1000-значное число. В течение следующего часа вам дается задача запомнить порядок карт в десяти колодах. Наконец, вам дают две минуты на запоминание еще одной колоды. По правде говоря, пытаться приобрести такую способность кажется делом довольно бессмысленным, но я понял, что для человека, способного на это, запоминание списка русских слов должно быть сущим пустяком.

Учитывая, что цифры 1000-значного числа выбираются случайно, моя стратегия поиска паттернов тут, вероятно, не пригодилась бы. Какой же шорткат использовал Кук, чтобы запомнить тысячу случайно выбранных цифр? Оказывается, он применяет метод так называемого дворца памяти.

«Шорткат сводится к подбору тому, что трудно запомнить, некой замены, которую запомнить легче, – говорит Кук. – Мы помним то, что ощущаем, видим, осязаем, то, что вызывает какие-нибудь эмоции. Это и требуется: преобразование в нечто такое, что задействует первичное сознание.

Чтобы запомнить 1000-значное число, я расставляю по порядку множество картинок, и каждая картинка соответствует какому-нибудь числу. Например, если я пытаюсь вспомнить число вроде 7831809720, его обычно очень трудно запомнить, потому что это просто числа, они звучат приблизительно одинаково, и никакого отдельного смысла в них нет. Но в моем воображении 78 – это тот парень, который травил меня в школе и подвешивал меня за ногу над лестничным пролетом, а на мне были спортивные трусы – очень памятный момент. Гораздо лучше запоминается, чем число 78».

Каждое двузначное число превращается в какого-нибудь персонажа. На личном языке Кука число 31 – это Клаудия Шиффер «в том достопамятном желтом платье из рекламы “ситроена”». Добавление дополнительного цвета важно. «Чем ярче и необычнее образ, тем лучше он запоминается». Число 80 – это один из друзей, у которого очень забавное лицо. 97 – крикетист Эндрю Флинтофф. 20 – отец Кука.

«Я составил этот словарь чисел, когда мне было лет восемнадцать, так что он стал окаменелым отпечатком моего подросткового воображения, моих настроений, красивых людей, о которых я читал в журналах, моих родных, моих лучших друзей», – говорит он.

Хотя Кук прав, что большинству людей все числа кажутся на одно лицо, математик, проводящий все больше и больше времени в путешествиях по миру чисел, начинает познавать индивидуальные черты каждого из них. Каждое обретает свой характер. Про великого индийского математика Рамануджана говорили, что он знает каждое число как личного друга. Однажды, когда он был болен, работавший вместе с ним Харди навестил его в больнице и, не зная, каким разговором развлечь коллегу-математика, вспомнил, что приехал на такси с довольно скучным номером – 1729. Рамануджан немедленно ответил: «Вовсе нет, Харди. Это очень интересный номер. Это наименьшее число, которое можно выразить в виде суммы двух кубов двумя разными способами». 1729 = 12^3 + 1^3 = 9^3 + 10^3. Однако у большинства нет таких тесных эмоциональных отношений с числами. Вероятно, запомнить Клаудию Шиффер в желтом все же легче, чем сумму кубов.

Но каким образом эти персонажи помогают Куку запомнить 1000 цифр? Главный прием – расположить персонажей в пространстве. «Чтобы составлять очень, очень длинные цепочки информации о чем-нибудь, нужен остов, на который можно спроецировать такие образы, причем оказывается, что у нас поразительно сильная пространственная память. Млекопитающие развили невероятную способность ориентироваться в невероятном множестве разных мест и запоминать их. Мы очень хорошо умеем это делать, даже если нам самим так не кажется. Мы можем запомнить конфигурацию запутанного здания, всего лишь походив по нему несколько минут. И эта сильная способность может служить шорткатом к использованию образов, представляющих в нашей памяти числа. Это называется созданием дворца памяти».

Дворец памяти – это не просто повествование, но повествование, перемещающееся в пространстве. Последнее обстоятельство особенно важно. «Преимущество дворца памяти перед простой историей состоит в том, что истории менее устойчивы к разрывам цепочки. Кроме того, сочинение истории требует дополнительной работы: вам нужно создавать логичный сюжет, а не просто проходить по чисто пространственным структурам; это требует от воображения несколько большего приложения сил».

Несколько лет назад я видел, как Кук строит такой дворец. Мы оба участвовали в «Марафоне памяти» в галерее Серпентайн, проходившем на выходных мероприятии, посвященном исследованию концепции памяти. Я помню, как он устроил для публики поразительную экскурсию по территории галереи и вокруг нее, используя все, что он там видел, для создания дворца памяти, который помог присутствующим запомнить всех президентов Соединенных Штатов. Имя каждого президента было переведено в какой-нибудь чрезвычайно яркий образ. Например, президент Джон Адамс превратился в изображение Адама и Евы, пытающихся устоять на крышке унитаза (слово john – жаргонное название туалета). Затем все эти образы были привязаны к определенным местам в парке. Чтобы вспомнить имена президентов, нужно было только восстановить в памяти эту прогулку – наш мозг, по-видимому, очень хорошо умеет это делать, – а затем обратиться к абсурдным образам, привязанным к разным ее точкам, и они напоминали нужные имена.

Использование пространственной памяти кажется поразительным шорткатом к запоминанию очень длинных последовательностей, будь то числа, президенты или любые другие объекты, которые вы пытаетесь сохранить в памяти. Это на удивление полезный прием, потому что трудность механического запоминания, по-видимому, возрастает экспоненциально. Первые 10 вещей запомнить легко, следующие 10 труднее, а если их больше 100 – почти невозможно. Но, как объяснил мне Кук, «совершенно поразительное свойство пространственного запоминания состоит в том, что его трудность, по-видимому, растет линейно. Я могу запомнить колоду карт приблизительно за минуту – может быть, за две, если захочу проверить, правильно ли я запомнил. Так вот, масштабирование получается линейным: за час я смогу запомнить 30 колод».

Когда я заметил, что способность запоминать расположение карт в колоде – это, возможно, не то искусство, которым захотят овладеть мои читатели, Кук постарался подчеркнуть, что дело совсем не в картах. Эта тактика работает, что бы вы ни пытались запомнить. Он объяснил, что использует в точности ту же самую стратегию, когда читает лекции, не опираясь на свои записи. Нужно преобразовать доклад в прогулку по какому-нибудь знакомому месту – например, по вашему же собственному дому – и расположить в каждой комнате те вещи, о которых вы собираетесь рассказать. По ходу выступления вам будет гораздо легче вспоминать подготовленный доклад, последовательно проходя по дворцу памяти, который вы построили у себя в уме: «Когда отправляешься в путешествие по дворцу памяти, место действия постоянно меняется. Из-за этого опасность смешения разных воспоминаний становится меньше, потому что каждое следующее воспоминание вызывается в новой обстановке».

На технике перевода двузначных чисел в визуальные образы основан и поразительный вычислительный фокус, который умеет показывать мой друг-фокусник Артур Бенджамин. Он научился перемножать в уме шестизначные числа. Один из приемов, которые он использует, – алгебраическое разбиение шестизначных чисел на части, которые можно перемножить по отдельности. Но для того, чтобы продолжать вычисления, ему нужно сохранить эти числа в памяти, чтобы впоследствии вспомнить и использовать их.

Бенджамин обнаружил, что, когда он пытался просто запомнить число, это мешало ему вычислять. Казалось, что численная память занимает то же место, что и вычисления. Поэтому он придумал специальный код, переводящий числа в слова. Оказалось, что запоминание слов происходит в другой, не затрагиваемой вычислениями, части мозга, и впоследствии слова можно вспоминать и снова переводить в числа по мере надобности.

Я беседовал с Эдом Куком в период карантина, введенного в Великобритании в связи с эпидемией COVID-19, и Кук вспомнил, что начал свой путь к званию магистра памяти в другой медицинской изоляции – когда подростком оказался на три месяца в больнице, где ему было нечем заняться. «Отчасти мной двигало удовольствие от доведения дела до логического конца. Студентом я показывал фокусы в барах, запоминая длинные числа и карточные колоды на спор на бутылку шампанского. А еще я начал хвастаться соседям, что я, наверное, один из самых быстрых запоминальщиков карт в мире. А они говорили: “Да ну тебя, Эд! Поди-ка докажи” – и это привело меня к этим чемпионатам памяти».

Дворцы памяти, возможно, помогают запоминать последовательности цифр или читать лекции без конспекта, но как насчет моей мечты выучить русский язык? Эту ли методику использует компания Memrise, созданная Куком программа изучения иностранных языков? Найду ли я наконец секретный шорткат к освоению нового языка?

«Повторение и проверка, – говорит Кук. – Повторяя выученное, мы доказываем своему мозгу, что эта информация достойна запоминания. Важные вещи обычно повторяются. Проверка важна, потому что воспоминания – это движения разума, и эти движения становятся тем увереннее, чем больше мы упражняемся в них».

Честно говоря, это не очень-то похоже на шорткат. Но у Кука есть и другие советы: «Третий компонент – мнемоника. Скажем, у меня есть сложное русское слово “остановка”. Как уложить его в голове? Я могу попытаться соотнести его с известными мне словами моего родного языка так, чтобы они связывали его в единое целое. Если мы хотим закрепить какое-то понятие в уме, его нужно вплести в уже существующую сеть ассоциаций. Например, “оста-“ похоже на “Остин” (Austin), название английской автомобилестроительной компании. Они выпустили достаточно машин – enough cars – что дает мне “-новка”, но я поеду на автобусе, и это напоминает, что значение этого слова – автобусная остановка».

Этот прием кажется более перспективным. Очевидно, необходимость повторения и проверки не позволит мне выучить русский за час. Но мнемоника действительно может оказаться шорткатом к запоминанию русских слов, которые до сих пор не задерживались у меня в памяти. Кроме того, Кук дал еще один, последний, совет по части изучения языков, который он получил от своей бабушки: «Лучше всего изучать язык в романе с иностранкой. Там у вас будут и увлечение, и мотивация, и внимание, и сосредоточенность, помогающие учиться очень быстро».

4

Шорткаты геометрические

Десять человек находятся в Эдинбурге, а еще пять – в Лондоне. Расстояние между этими городами – 400 миль. Где им нужно встретиться, чтобы суммарное расстояние, которое они проедут, было наименьшим?

В большей части этой книги я называю шорткатами абстрактные мысленные способы сокращения путешествия к цели. Но в этой главе я хочу поговорить о некоторых реальных, физических шорткатах. Если вы хотите попасть из точки А в точку Б физического ландшафта, понимание его основополагающей геометрии может помочь вам в прокладке маршрутов, которые приведут вас к цели быстрее, даже если на первый взгляд кажется, что они ведут совершенно в другом направлении.

Даже если вы не планируете реального путешествия, задачи, которые вам приходится решать, иногда можно перевести в нечто геометрическое и найти в их геометрическом представлении туннель или обход, означающий в обратном переводе шорткат к решению исходной задачи. Например, как я расскажу далее, цифровые компании наподобие Facebook и Google использовали то, как большие группы людей могут совместно находить шорткаты на местности, и эта философия легла в основу шорткатов в цифровом мире, по которому мы ежедневно разгуливаем.

Картография физических шорткатов увлекала на старости лет и Гаусса. Хотя в юности он полюбил математику, играя с числами, ему доставляло удовольствие и решение геометрических задач. Но речь шла не только об абстрактных окружностях и треугольниках Евклида. Как это ни удивительно для человека, страстно любившего абстрактные идеи математики, в возрасте сорока с лишним лет Гаусс взялся по поручению правительства Ганноверского королевства за чрезвычайно практическую работу по проведению геодезической съемки его территории. Впоследствии Гаусс заявил[43], что «все измерения мира не стоят одной теоремы, действительно приближающей науку к вечным истинам». В работе, которой занимался, не было точности и красоты теории чисел, увлекавшей его в школе; в ней было множество беспорядочных и неточных измерений с массой ошибок, вызванных неисправностью приборов или небрежностью исполнителей. По общему мнению, получившаяся в результате карта Ганновера не отличалась особой достоверностью.

Но то время, которое он потратил на съемку Ганноверского королевства, сделало возможным революционное открытие новых типов геометрии.

Из пункта А в пункт Б

Как известно, в 1492 году Христофор Колумб вышел в море, чтобы найти шорткат в Индию. Традиционные торговые пути предполагали долгую и опасную дорогу по суше, что ограничивало количество товаров, которые можно было перевезти за одно путешествие. Торговцы стремились найти морские пути. Некоторые считали, что можно проложить маршрут вокруг Африки, хотя другие полагали, что Индийский океан со всех сторон окружен сушей и недостижим этим путем[44]. Даже если такой кружной маршрут был возможен, многие думали, что он будет слишком долгим. Колумб верил, что, плывя на запад, сможет подойти к Индии и Китаю с другой стороны и тем самым открыть более удобный маршрут для ввоза пряностей и шелков, которые Европа покупала на Востоке.

Он произвел необходимые расчеты. Он считал, что для перехода от Канарских островов до Ост-Индии необходимо пройти всего 68 градусов долготы в западном направлении. Это, полагал он, соответствует расстоянию чуть больше 3000 морских миль. Путь, несомненно, получался коротким, если учесть, что длина морского пути из Лондона до Аравийского моря вокруг Африки составляет 11 300 морских миль. К несчастью, Колумб допустил в своих вычислениях несколько чрезвычайно серьезных ошибок, в результате чего сильно недооценил расстояние, которое нужно было пройти, если двигаться на запад.

Длину окружности Земли оценивали еще в древности. В 240 году до нашей эры греческий математик Эратосфен рассчитал, что она составляет приблизительно 250 000 стадиев. А какой длины стадий? Тут мы сталкиваемся с одной из трудностей вычисления расстояний. Какую единицу длины считать стандартной? Во времена Эратосфена такой единицей был стадий, равный длине легкоатлетического стадиона. Беда в том, что греческие стадионы были длиной по 185 метров, а в Египте, где жил и работал Эратосфен, они были короче – по 157,5 метра. Если истолковать эту неопределенность в пользу Эратосфена и взять египетскую длину стадия, получается, что его измерение отличается от современной оценки длины окружности планеты, составляющей 40 075 километров, всего на 2 процента.

Но Колумб предпочел более свежую оценку, которую получил средневековый персидский географ Абу-ль-Аббас Ахмад ибн Мухаммад аль-Фергани, известный на Западе под именем Альфарганус[45]. Колумб считал, что миля, которую Альфарганус использовал в своих вычислениях, – это римская миля, равная 4856 футам. На самом же деле арабская миля у Альфаргануса была гораздо длиннее – 7091 фут[46]!

По счастью для Колумба, на полпути к цели он не оказался посреди открытого океана, где у него кончилась бы провизия и другие припасы, а наткнулся на маленький остров Багамского архипелага, которому он дал название Сан-Сальвадор. Даже после этого он в течение некоторого времени не осознавал своей ошибки и называл обитателей острова индейцами, предполагая, что действительно добрался до Ост-Индии.

Настоящим шорткатом на восток в конце концов стал путь, физически проложенный человеком. Еще Наполеон обдумывал во время египетского похода идею прокладки канала между Средиземным и Красным морями[47]. Но из-за очередных ошибочных вычислений в то время считалось, что уровень Красного моря на целых десять метров выше Средиземного. Чтобы избежать затопления соседних средиземноморских стран, нужно было построить сложную систему шлюзов. В конце концов этот проект оказался не по карману французскому государству.

Когда было установлено, что уровень морей на самом деле одинаков, идея строительства канала стала снова набирать силу. Шорткат был наконец открыт 17 ноября 1869 года. Хотя Суэцкий канал находился под управлением Франции, пройти по нему первым удалось британскому кораблю. В ночь перед официальным открытием капитан паровой шхуны «Ньюпорт» Королевского военно-морского флота под покровом темноты провел свое судно сквозь флотилию, дожидавшуюся разрешения войти в канал, и ухитрился встать первым в очереди. Утром, когда все собрались отпраздновать открытие канала, оказалось, что «Ньюпорт» уже идет к Красному морю. Чтобы позволить пройти остальным судам, пришлось пропустить британцев первыми. Хотя капитан «Ньюпорта» получил официальный выговор от командования флота, неофициально Адмиралтейство поздравило его с успешно проведенной рекламной акцией[48].

Суэцкий канал сократил расстояние от Лондона до Аравийского моря на 8900 километров, уменьшив длительность путешествия на 43 процента. О важности этого шортката можно судить по тому, сколько раз за него сражались. Самый известный из таких случаев произошел в 1956 году, когда президент Египта Гамаль Абдель Насер захватил канал, находившийся тогда под управлением Великобритании, чем вызвал Суэцкий кризис. Сегодня через канал проходят 7,5 процента мировых морских перевозок, что приносит Администрации Суэцкого канала, принадлежащей египетскому государству, 5 миллиардов долларов в год.

Не менее важный шорткат, избавивший суда от необходимости огибать мыс Горн на южной оконечности Южной Америки, был открыт в 1954 году. На Панамском канале, соединяющем Атлантический океан с Тихим, действительно есть несколько шлюзов, через которые судам приходится проходить. Но это связано не с разными уровнями моря по разные стороны от канала, а с тем, что делать его достаточно глубоким оказалось слишком дорого. Вместо этого суда, проходящие через Панаму, пересекают искусственное озеро.

Вокруг света

Учитывая, что первое кругосветное путешествие состоялось только в начале XVI века[49], как Эратосфену еще в 240 году до нашей эры удалось так точно измерить длину окружности планеты? Он, понятное дело, не мог обернуть планету рулеткой. Вместо этого он измерил сравнительно небольшое расстояние на земной поверхности, а затем использовал один хитроумный математический шорткат, позволивший обмерить всю Землю.

Эратосфен был библиотекарем великой Александрийской библиотеки и внес поразительный вклад в несколько областей науки, от математики до астрономии, географии и музыки. Но несмотря на его революционные труды, современники не слишком ценили его таланты и наградили его прозвищем «Бета», намекавшим на его второстепенное положение среди мыслителей.

Одним из его замечательных изобретений был систематический метод составления списка простых чисел. Эратосфен предложил следующий алгоритм нахождения простых чисел в списке всех чисел от 1 до 100: возьмем число 2 и вычеркнем все следующие числа, делящиеся на 2. Для этого нужно просто перемещаться по таблице с шагом в две единицы, вычеркивая все числа, на которые попадаешь. Затем перейдем к следующему невычеркнутому числу. Это, разумеется, число 3. Теперь вычеркнем все числа, делящиеся на 3, проходя по таблице с шагом в три единицы и систематически вычеркивая все числа, на которые мы попадаем. Тут-то алгоритм и начинает работать в полную силу. Следующее число, еще не вычеркнутое из списка, – это 5. Повторим ту же операцию, которую мы производили с предыдущими числами: пройдем по таблице с шагом в пять единиц, вычеркивая все попадающиеся числа.

В этом и состоит принцип действия алгоритма: нужно каждый раз переходить к следующему еще остающемуся в списке числу и вычеркивать все числа, делящиеся на него, проходя по таблице с шагом, соответствующим этому числу. Если применять этот метод систематически, то после вычеркивания чисел, делящихся на 7, остается таблица простых чисел, меньших 100.

Это чрезвычайно удобный алгоритм. Он открывает шорткат, избавляющий от лишних размышлений. Он идеально подходит для реализации в компьютерной программе. Беда в том, что он очень быстро превращается в медленный метод поиска простых чисел. Этот шорткат избавляет от размышлений, потому что использующий его составляет список, действуя как машина. Но в этой книге я хочу воспеть не такие шорткаты. Мне нужна рациональная стратегия поиска простых чисел.

Однако Эратосфену я бы поставил высшую оценку за вычисление окружности Земли, потому что оно было поистине гениальным. Он слыхал, что в городе Сиене есть колодец, над которым один день в году Солнце бывает точно в зените. В полдень дня летнего солнцестояния Солнце светит прямо в этот колодец, не отбрасывая теней на его стенки. Сегодня город Сиене называется Асуан, а находится он неподалеку от тропика Рака – параллели, расположенной на широте 23,4 градуса, которая отмечает самые северные точки, в которых Солнце может быть прямо над головой.

Эратосфен понял, что может использовать эту информацию о положении Солнца и поставить именно в такой день опыт, позволяющий вычислить длину окружности Земли. Хотя ему не пришлось оборачивать всю планету мерной лентой, ходить при проведении опыта пришлось немало. В день летнего солнцестояния он установил в Александрии, находившейся, как он считал, строго на север от Сиене, столб. На самом деле долготы этих городов различаются на 2 градуса, но меня восхищает не точность результата, а сама идея опыта.

В тот день, когда в Сиене Солнце стояло прямо над головой и в тамошнем колодце не было тени, столб, установленный в Александрии, тень отбрасывал. Измерив длину тени и высоту столба, Эратосфен мог построить треугольник с таким же соотношением длин сторон и измерить его угол. Величина этого угла показывала, какая часть окружности Земли отделяет Александрию от Сиене. Измеренный им угол оказался равен 7,2 градуса, то есть 1/50 части полной окружности. Оставалось лишь узнать физическое расстояние между Александрией и Сиене.

Сам Эратосфен не пошел его измерять: он воспользовался услугами профессионального землемера, так называемого бематиста, который должен пройти от одного города до другого по прямой линии. Любое отклонение внесло бы искажения в расчеты. Результат был выражен в более крупных единицах – стадиях. Оказалось, что Александрия находится в 5000 стадиев к северу от Сиене. Если это расстояние составляло 1/50 полного пути вокруг света, значит, длина окружности Земли была равна 250 000 стадиев. Сегодня мы не знаем в точности, сколько шагов землемера, нанятого Эратосфеном, приходилось на один стадий, но, как я уже говорил, это измерение было поразительно качественным. С помощью простых геометрических построений Эратосфен создал шорткат, избавивший его от необходимости отправлять кого-нибудь в пешее путешествие вокруг всей планеты.

С этим опытом тесно связано и само слово «геометрия», потому что по-гречески оно означает «измерение Земли». Оно образовано от слов γῆ (ге) – земля и μέτρον (метрон) – измерение.

Тригонометрия – шорткат к небесам

Древние греки применяли свою математику не только для измерения Земли. Они поняли, что ее можно использовать и для измерения небес. И важнейшим инструментом в этом деле были не телескопы или хитроумные рулетки, а математические средства тригонометрии.

Следы применения этих средств можно найти уже в вычислениях Эратосфена. Тригонометрия – это наука о треугольниках, объясняющая связи между углами треугольников и длинами их сторон. Этот раздел математики открыл перед математиками Античности необычайный шорткат, позволявший измерять космос, не покидая уютной поверхности Земли.

Например, еще в III веке до нашей эры Аристарх Самосский применил тригонометрию для вычисления отношения расстояния от Земли до Солнца к расстоянию от Земли до Луны. Для этого ему нужно было всего лишь измерить угол, образованный Луной, Землей и Солнцем, – тремя вершинами треугольника, – в день, когда Луна освещена ровно наполовину[50]. При этом угол, образованный Землей, Луной и Солнцем, составляет ровно 90 градусов (см. рис. 4.1). Затем, построив треугольник с измеренным углом, Аристарх мог рассчитать отношение расстояний от Земли до Луны и от Земли до Солнца, потому что оно равно отношению сторон меньшего треугольника, который он начертил. Хитрая идея состояла в том, что размеры треугольника значения не имеют: отношение всегда остается тем же самым. Это отношение называется косинусом угла, который измерял Аристарх.

Чтобы вычислить не отношение расстояний, а само расстояние, нужно измерить угол и длину одной из сторон треугольника. Хитроумный способ определения расстояний от Земли до Луны и Солнца открыл Гиппарх, которого традиционно называют первооснователем тригонометрии. Он воспользовался несколькими солнечными и лунными затмениями, в частности солнечным затмением, наблюдавшимся 14 марта 190 года до нашей эры.

Рис. 4.1. Измерение расстояний в Солнечной системе при помощи треугольников

Как и Эратосфен, Гиппарх использовал две разные точки на поверхности Земли. На Геллеспонте[51] затмение было полным, а в Александрии – лишь частичным: там Луна закрывала только четыре пятых Солнца. Благодаря этому Гиппарх, подобно Эратосфену, получил расстояние, которое он мог измерить на Земле. Сочетание расстояния между двумя точками с измеренными углами, под которыми было видно затмение, позволило ему вычислить расстояние от Земли до Луны тригонометрическими методами.

Этот тригонометрический шорткат давал поразительные возможности. Он побудил Гиппарха начать подготовку первого в истории примера тригонометрических таблиц. В них можно было взять какой-нибудь угол и найти отношение длин сторон прямоугольного треугольника, содержащего такой угол. Даже здесь математики открыли шорткаты, избавляющие их от необходимости строить множество треугольников и измерять длины сторон и величины углов каждого из них.

Возьмем, например, равносторонний треугольник: все его стороны одинаковы, а все углы равны 60 градусам. Проведем из одной из его вершин линию, делящую угол при этой вершине на два угла по 30 градусов и образующую с основанием угол 90 градусов. Косинус угла 60 градусов – это отношение длин сторон, образующих этот угол во вновь построенном прямоугольном треугольнике. Легко видеть, что он равен 1/2, потому что длина катета этого нового треугольника равна половине длины стороны исходного равностороннего треугольника.

Рис. 4.2. Косинус 60°

Но математики открыли и изящную формулу, связывающую косинусы углов одного треугольника с косинусами углов треугольника, содержащего угол, вдвое меньший. Это дает нам возможность вычислять и другие величины.

cos^2 x = 1/2 + 1/2 cos (2 x)

При помощи этих шорткатов можно составить таблицы косинусов множества разных углов. Именно эти таблицы стали самым действенным измерительным средством для исследования ночного неба. Они же сыграли ключевую роль в прокладывании шорткатов к измерениям на Земле. Их наверняка использовал при проведении геодезических съемок Ганновера и Гаусс. Землемеры до сих пор пользуются этим математическим шорткатом к измерениям.

Например, если вы хотите узнать высоту дерева, измерять ее от корней до вершины складным метром будет делом довольно трудным. Вместо этого геодезист отходит от дерева на некоторое расстояние и измеряет, под каким углом проходит прямая, соединяющая почву с вершиной дерева. Произведя гораздо более простое измерение расстояния между геодезистом и основанием дерева и найдя в таблицах тангенс нужного угла (величину, выражающую отношение длин двух коротких сторон треугольника[52], в данном случае – высоты дерева и расстояния от его основания до геодезиста), геодезист может найти высоту дерева, не залезая ни на какую лестницу.

Красивую демонстрацию способностей тригонометрии по части создания шорткатов дает история измерения метра. Можно подумать, что измерение метра – дело довольно странное, поскольку метр и есть единица измерения. Но история эта начинается с определения того, что такое, собственно говоря, метр.

Измерение метра

С тех самых пор, когда первые древние цивилизации начали строить города, нам понадобились единицы измерения, помогающие вести строительство согласованно. Первые варианты таких единиц появились еще у древних египтян, которые ориентировались на части тела. Локтем называлось расстояние от локтя до кончика среднего пальца. Такая же привязка к частям тела ясно видна в единицах измерения, бытовавших до введения метрической системы. Фут, разумеется, соответствовал длине ступни[53]. Дюйм во многих европейских языках называется тем же словом, что и большой палец[54]. Ярд тесно связан с длиной человеческого шага. Интересно отметить, что единицу под названием «род», которую использовали для измерения земли в саксонские времена, определяли следующим образом: это суммарная длина левых ступней первых 16 человек, вышедших из церкви воскресным утром. Однако размеры и формы тела людей настолько разнятся, что и результаты таких измерений должны получаться чрезвычайно непостоянными.

Король Генрих I попытался решить эту проблему, распорядившись сделать эталоном для стандартизации этих единиц измерения королевское тело. Он постановил, что ярдом следует считать расстояние от кончика носа короля до кончика большого пальца его вытянутой руки. Но и у этого решения, разумеется, были свои недостатки, так как длина ярда могла изменяться каждый раз, когда на престол вступал новый монарх.

Вожди Французской революции полагали, что следует ввести эгалитарную систему измерений, доступную всем. Галилей доказал, что период колебаний маятника зависит от его длины, а не от веса или размаха колебаний. Сначала предложили считать метром длину маятника, колеблющегося с периодом две секунды. Однако выяснилось, что период колебаний зависит еще и от силы тяжести, которая бывает разной в разных точках мира.

Тогда решили определить метр как одну десятимиллионную часть расстояния от полюса до экватора. Хотя в принципе измерить это расстояние мог кто угодно, вскоре стало ясно, что на практике такое определение неудобно. Измерить расстояние от полюса до экватора и привезти в Париж точный метр поручили двум ученым, Пьеру Мешену и Жану-Батисту Деламбру. Но, как понял еще Эратосфен, для этого было вовсе не обязательно измерять все расстояние. Двое ученых решили измерить расстояние между Дюнкерком и Барселоной – городами, находящимися приблизительно на одной и той же долготе. Затем они собирались вывести из результатов этих измерений расстояние от полюса до экватора – так же, как сделал Эратосфен.

Деламбр начал свой путь с севера, из Дюнкерка, а Мешен, которому был поручен южный участок, – из Барселоны. Они договорились встретиться посередине, в южнофранцузском городе Родезе[55]. Но как они вычисляли расстояния? Прежде всего им нужна была стандартная мера длины, которую оба использовали бы в своих измерениях. Но даже при наличии такой меры они не могли перекладывать такую линейку на всем пути от Дюнкерка до Барселоны.

Тут-то и пригодились возможности тригонометрии и треугольников. Деламбр поднялся на колокольню одной из церквей Дюнкерка и нашел на некотором расстоянии две другие возвышенные точки, которые могли служить двумя другими вершинами треугольника. Ему пришлось измерить расстояние от колокольни до одной из этих точек. Этой тяжелой работы было не избежать. Но после этого, используя измеренные величины двух углов треугольника, он мог вычислить длины двух других его сторон. Для измерения углов ему послужил прибор, который назывался повторительным кругом Борда. Он состоял из двух телескопов, установленных на общей оси, и шкалы для измерения угла между ними. Деламбр направил телескопы на две возвышенные точки, которые он видел с вершины колокольни, и просто записал величину угла между телескопами.

Переместившись в другую вершину треугольника, он измерил второй угол. Затем в игру вступила тригонометрия, позволившая ему найти длины двух недостающих сторон. Но по-настоящему хитроумный шаг был сделан после этого. Одна из этих сторон, длину которой Деламбр теперь знал, стала стороной нового треугольника, который он построил, выбрав следующую возвышенную точку, видную из двух точек, которые он выбрал с колокольни церкви в Дюнкерке. Длину одной из сторон этого нового треугольника он уже знал. Следовательно, чтобы вычислить еще неизвестные длины сторон нового треугольника, ему нужно было только измерить два угла при помощи повторительного круга Борда.

Рис. 4.3. Тригонометрия позволяет вычислить расстояние от C до A и B по известному расстоянию между точками A и B и углам a и b

Это был великолепный шорткат. Ученым, последовательно строившим треугольники на всем пути от Дюнкерка до Барселоны, нужно было измерить лишь одну-единственную сторону одного-единственного треугольника: после этого оставалось измерять только углы при вершинах. Триангуляция открывает поразительный шорткат к геодезическим съемкам. Можно измерять углы, удобно устроившись на возвышенностях, образующих вершины треугольников. Не нужно измерять расстояние шагами или мерными рейками.

Но и в подъеме на возвышенности и наблюдениях в телескопы были свои опасности. Время было не самым подходящим для проведения геодезических съемок с телескопами и прочими непонятными приборами. Вокруг бушевала революция. В ходе измерений, которые оба ученых проводили по всей Франции, поднимаясь на башни и залезая на деревья, на них неоднократно нападали местные жители, принимавшие их за шпионов. В Бель-Ассизе, к северу от Парижа[56], Деламбра арестовали по подозрению в шпионаже. Зачем еще ему понадобилось бы забираться на башни с такими странными приспособлениями? Он попытался объяснить, что занимается измерением размеров Земли по заданию Академии наук, но его перебил пьяный ополченец: «Нет больше никакой кадемии. Теперь все равны. Ну-ка пошли с нами». В конце концов, семь лет спустя, Деламбр и Мешен триумфально вернулись в Париж со своим метром.

Был отлит платиновый стержень, длина которого соответствовала результатам их расчетов, и начиная с 1799 года эталон метра хранился во французских архивах. Но и он в некотором смысле обладал тем же недостатком, что и ярд Генриха I. Хотя его определение было универсальным, ученым по-прежнему было проще съездить во Францию и снять с этого метра копию, которую затем можно было использовать для измерений, чем самостоятельно изменять расстояние от полюса до экватора.

От Лондона до Эдинбурга

Когда Деламбр и Мешен договаривались о месте встречи, было логично выбрать точку на полпути от Дюнкерка до Барселоны. Но как быть с 15 персонажами нашей головоломки, приведенной в начале этой главы? Где должны встретиться эти 15 человек, если пятеро из них находятся в Лондоне, а остальные десять – в Эдинбурге, и они хотят, чтобы суммарное расстояние, которое они проедут, было наименьшим? Как ни странно, им следует встретиться в Эдинбурге. На первый взгляд может показаться, что, раз соотношение численности этих групп равно 2 к 1, то и встретиться им следует в точке, соответствующей двум третям пути из Лондона в Эдинбург. Но каждая миля, которую шотландцы проезжают от Эдинбурга, прибавляет к общей сумме лишние 10 миль, а англичанам экономит всего 5.

В более общем случае, если эти 15 человек распределены случайным образом по всей линии Лондон – Эдинбург, шорткатом для всех них будет поехать в точку, в которой находится средний человек, восьмой, считая от Лондона (или от Эдинбурга). Исходя из того же принципа, отступление от восьмого человека на каждую милю дает одной группе экономию в 7 миль и добавляет другой лишние 7 миль пути (так что эти изменения взаимно сокращаются), но восьмой человек добавляет к общей сумме одну лишнюю милю.

Представим себе еще более общий случай: пусть 15 человек разбросаны по всему Нью-Йорку – городу, в котором авеню и улицы образуют прямоугольную сетку. Место встречи следует выбрать на авеню или улице, на которой находится восьмой человек, если считать с востока на запад. Но можно выбрать и ту улицу, на которой находится восьмой человек, считая с юга на север. Заметим, что в общем случае это будут два разных человека.

Такого рода анализ важен, когда пытаешься найти оптимальное место для коммутатора сетевых кабелей, если нужно минимизировать длину проводов. Но есть и другая, довольно любопытная стратегия поиска шорткатов в физических и цифровых пространствах, которую использовали на протяжении всей истории человечества и продолжают использовать и в мире нынешних технологий.

Народная тропа

Путешественники XV века искали геометрические шорткаты, которые позволили бы им рационально добираться до другого конца света. В повседневной жизни мы часто ищем удобные шорткаты, быстрее приводящие к цели. В ближайшем к моему дому лондонском парке планировщики проложили целую сеть асфальтированных дорожек, позволяющих местным жителям проходить от одного края парка до другого. Вероятно, на бумаге их конфигурация казалась совершенно прекрасной, но на практике оказалось, что это не так. В дополнение к асфальтированным дорожкам появились сухие грунтовые тропинки, пересекающие газоны в тех местах, где людям показалось, что так можно пройти из одного конца парка в другой гораздо быстрее.

Градостроителям часто нравятся асфальтированные дорожки, пересекающиеся под прямыми углами. Однако для удобства пешеходов гораздо удобнее бывают диагонали, позволяющие среза́ть прямые углы. Люди предпочитают перемещаться из точки А в точку Б по гипотенузе. Я снова и снова замечаю тропинки с примятой травой, образовавшиеся там, где пешеходы прокладывают шорткаты к местам своего назначения.

Интересный пример диагонального шортката, срезающего прямые углы, можно найти на Манхэттене. Конфигурация его улиц и авеню, идущих параллельно и перпендикулярно друг другу, – явный признак человеческого планирования. Но есть одна улица, которая, как ни странно, пересекает эту сетку по диагонали: это Бродвей. Он проходит прямо через прямые углы Манхэттена от левой верхней до правой нижней оконечности острова. Оказывается, на самом деле эта улица – древний шорткат, использовавшийся туземными путешественниками еще до появления названия «Манхэттен» и европейских поселенцев. Бродвей возник на месте Уиквесгикской[57] тропы, бывшей, как принято считать, кратчайшим в то время путем между поселениями индейцев, проходившим в обход болот и холмов. Когда на Манхэттене появились европейские поселенцы, они сохранили этот шорткат через весь остров. Тропа, утоптанная ногами путешественников, следовавших из одного конца острова в другой, стала теперь асфальтированной дорогой для автомобилей и пешеходов города.

Такие шорткаты, созданные общественностью, называют протоптанными или народными тропами. Кое-кто зовет их коровьими тропами или слоновьими путями[58], потому что они часто образуются при перегоне скота. Создатель «Питера Пэна» Дж. М. Барри утверждал, что такие тропы образуются сами по себе, потому что никогда невозможно увидеть, как кто-нибудь их прокладывает. Никто не принимает сознательного решения примять траву, чтобы расчистить путь. Они, как считал Барри, возникают постепенно, как бы создавая сами себя.

Некоторые из таких народных троп бывают довольно любопытными, поскольку они, как кажется, делают путь длиннее, чем следовало бы. Они совершенно не похожи на шорткаты. Но если приглядеться, можно понять, что такие тропы огибают какие-нибудь препятствия. Часто бывает неясно, о каком именно препятствии идет речь. Но при более глубоком изучении местной культуры с большой вероятностью оказывается, что дело в каком-нибудь предрассудке. Например, многие стараются не проходить под приставными лестницами, считая, что это приносит неудачу. Такие люди предпочтут обойти вокруг лестницы. Приставные лестницы редко остаются на одном месте настолько долго, чтобы вокруг них возникали постоянные народные тропы, но в России существует аналогичный предрассудок в отношении парных столбов, опирающихся друг на друга. Старые уличные фонари в России часто бывают установлены именно на таких столбах, и нередко можно увидеть постоянные народные тропы, проложенные так, чтобы не проходить между столбами.

Некоторые градостроители поняли, что такие тропы можно использовать в качестве шортката. Планировщики, которым приходит в голову эта светлая мысль, не проектируют заранее асфальтированные дорожки, по которым, как оказывается впоследствии, никто не ходит, а дают местным жителям протоптать тропинки, по которым удобнее всего добираться туда, куда они ходят, и лишь затем асфальтируют дорожки, возникшие таким естественным образом.

Дорожки к новым зданиям Университета штата Мичиган, возведенным в 2011 году, проложили по следам ходивших в эти здания студентов. На снимке с воздуха эти дорожки выглядят как безумно запутанный клубок вермишели с множеством переплетающихся нитей. Заранее такое не спроектировал бы ни один планировщик. Но благодаря тому, что планировщики прислушались к словам – или присмотрелись к следам – студентов, получилась сеть дорожек, удобная для всех студентов, старающихся не опоздать на лекции в разных концах кампуса.

Подобную же стратегию применил в проекте кампуса Иллинойского технологического института в Чикаго архитектор Рем Колхас.

Еще для понимания того, как пешеходы и водители осваивают город, бывает полезен выпавший снег. После того как горожане притопчут бо́льшую часть снега, оставшиеся сугробы покажут городским властям, какие части дорог и парков не задействованы для перемещений по городу. Это даст градостроителям возможность придать этим участкам новые функции – например, соорудить на дороге островок безопасности или поставить в парке произведение городской скульптуры.

Такого рода шорткаты снова и снова встречаются в области коммерции: общественности дают возможность наработать материал, из которого затем можно извлечь некую выгоду. Сбор и использование наших цифровых данных компаниями вроде Facebook, Amazon и Google – это в некотором роде пример того, как такие компании отслеживают народные тропы, которые мы протаптываем, а затем используют эти популярные шорткаты в собственных интересах.

Например, идея хештега не была внедрена в Twitter волевым решением. В компании заметили, что пользователи применяют этот значок для классификации своих сообщений. По-видимому, создателем хештега был пользователь Крис Мессина, первым предложивший его в августе 2007 года. Ему хотелось, чтобы был шорткат, позволяющий находить других пользователей, которых интересуют те темы, о которых он пишет. Хештег оказался удобным способом «подслушивать» интересные обмены сообщениями. Когда оказалось, что вслед за Мессиной по этой тропе ходит все больше и больше людей, компания Twitter по достоинству оценила этот шорткат, проложенный пользователями, и в 2009 году он стал официальным элементом Twitter – так сказать, заасфальтированной дорожкой.

Геодезические

Если вы развернете карту мира, чтобы начертить на ней кратчайший, по вашему мнению, маршрут перелета между Мадагаскаром и Лас-Вегасом, вашим первым побуждением, возможно, будет провести прямую линию, соединяющую эти две точки на карте. Именно такой, казалось бы, должна быть народная тропа, вдоль которой летают самолеты (или птицы). Но этот маршрут не учитывает кривизны Земли. Настоящая народная тропа, самый короткий маршрут, проложенный по поверхности сферы, проходит над Великобританией и Гренландией, вдалеке от исходной прямой, проведенной на плоской карте.

Рис. 4.4. Самый быстрый маршрут от Мадагаскара до Лас-Вегаса проходит через Великобританию

Кратчайший путь между двумя точками на поверхности сферы – так называемая геодезическая (или геодезическая линия) – проходит вдоль так называемого большого круга. Большой круг подобен меридиану, проходящему через два полюса. Собственно говоря, если взять меридиан и сдвинуть его так, чтобы он проходил через две точки, которые вы пытаетесь соединить, это и будет проходящий через них большой круг.

Если начать изучать следствия из особенностей таких шорткатов по поверхности глобуса, обнаруживаются некоторые весьма любопытные обстоятельства. Возьмем, например, три точки – Северный полюс, город Кито в Эквадоре и город Найроби в Кении. Последние два города расположены довольно близко к экватору. Кратчайшие пути между этими тремя точками образуют на поверхности Земли треугольник. В классической евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180 градусам. Но если рассмотреть сумму углов этого треугольника, окажется, что она гораздо больше 180 градусов. Действительно, каждый из углов с вершинами в Кито и Найроби составляет почти 90 градусов, потому что меридианы, идущие от полюса, пересекают экватор под углом 90 градусов. Угол с вершиной на Северном полюсе образован меридианами, проходящими через эти города, и составляет 115 градусов. Следовательно, сумма углов получившегося треугольника равна 90 + 90 + 115 = 295 градусов.

Существуют и геометрии, в которых суммы углов треугольников меньше 180 градусов. Например, на поверхности геометрического тела, которое называют псевдосферой, похожем на конус с искривленными боками, кратчайшие пути между точками тоже образуют необычные треугольники, суммы углов которых меньше 180 градусов. Это тело обладает так называемой отрицательной кривизной, а сферы, подобные земному шару, – кривизной положительной. В плоской геометрии, действующей, в частности, на карте, с которой я начал этот разговор, кривизна равна нулю.

Рис. 4.5. Сумма углов треугольника на поверхности сферы оказывается больше 180 градусов

Рис. 4.6. Сумма углов треугольника на поверхности псевдосферы оказывается меньше 180 градусов

Открытие искривленных геометрий было одним из самых интересных достижений математики начала XIX века. Однако это открытие породило своего рода склоку между тремя математиками, каждый из которых утверждал, что первооткрывателем этих геометрий был именно он. Впервые идею таких новых геометрий одновременно обнародовали в 1830-х годах русский математик Николай Иванович Лобачевский и венгр Янош Бойяи. Открытие Бойяи произвело сильное впечатление на его отца[59], который не замедлил похвастаться этим достижением своему близкому другу, Карлу Фридриху Гауссу. Однако ответ Гаусса на письмо Бойяи-отца был довольно язвительным:

Если бы я начал с заявления, что не могу похвалить эту работу, Вас это, несомненно, на некоторое время озадачило бы. Но я не могу сказать ничего другого. Похвала ей означала бы для меня похвалу самому себе. По сути дела, все содержание работы – тот путь, по которому пошел Ваш сын, те результаты, к которым этот путь привел его, – все это почти полностью совпадает с моими размышлениями, отчасти занимавшими мой разум на протяжении последних тридцати или тридцати пяти лет.

Оказывается, Гаусс открыл эти искривленные геометрии со странными шорткатами по поверхностям много лет назад, когда проводил геодезические съемки Ганновера. Для этого ему пришлось заниматься триангуляцией территории королевства подобно тому, как это делали Мешен и Деламбр, когда определяли длину метра. Хотя сперва эта работа казалась великому математику нудной и монотонной, она послужила катализатором для глубоких теоретических размышлений. Гаусс задумался, не может ли быть искривленной не только поверхность Земли, но и сама геометрия пространства. Он решил использовать некоторые из своих измерений треугольников, чтобы проверить, не могут ли световые лучи, направленные между вершинами трех холмов вокруг его дома в Геттингене, образовать треугольник, сумма углов которого будет отличаться от 180 градусов.

Свет обожает шорткаты. Он всегда находит кратчайшую линию между двумя точками. Поэтому, если бы сумма углов оказалась не равной 180 градусам, это означало бы, что свет распространяется в пространстве по криволинейной траектории. Гаусс надеялся доказать, что трехмерное пространство на самом деле искривлено, как двумерная поверхность Земли. Когда он не обнаружил никаких расхождений, он забросил эти идеи, потому что эти новые искривленные геометрии противоречили его убеждению, что цель математики – описывать Вселенную, которую мы наблюдаем вокруг себя. С тех немногих друзей, с которыми он обсуждал свои исследования, он взял обет молчания.

Теперь мы знаем, что Гаусс работал на слишком малом масштабе, не позволявшем обнаружить кривизну пространства. Возрождение интереса к проверке идей Гаусса вызвала новая теория гравитации и геометрии пространства-времени Альберта Эйнштейна.

Эйнштейн открыл, что расстояние между двумя объектами в пространстве может изменяться в зависимости от того, кто наблюдает эти объекты. При перемещении со скоростью, близкой к скорости света, расстояния сжимаются. От состояния наблюдателя зависит и время. Последовательность событий может изменяться в зависимости от того, как движется наблюдатель. Великим открытием Эйнштейна было осознание того факта, что время и пространство следует рассматривать как части единого целого в рамках четырехмерной геометрии с тремя пространственными и одним временным измерением. Измерение расстояний в этой новой пространственно-временной геометрии приводит к искривленным формам.

Идеи Эйнштейна позволили определить гравитацию не как силу, которой считал ее Ньютон, а как искривление геометрии пространства-времени. Объекты, обладающие большой массой, изгибают ткань пространства. Можно представить себе, что гравитация – не сила, притягивающая объекты друг к другу, а нечто иное. Гравитация – это шорткаты, которыми объекты пользуются для перемещения в этой геометрии. Свободное падение объекта – это всего лишь кратчайший путь перемещения из одной точки в другую, который объект находит в этой геометрии.

Поэтому планеты, обращающиеся вокруг Солнца, следует считать не объектами, которые притягивает сила, подобная прикрепленной к ним веревке, а просто шарами, скатывающимися по поверхности в этой четырехмерной пространственно-временной геометрии. Эта идея казалась безумной, но Эйнштейн нашел средство проверить ее на практике. Свет, как и планеты, должен находить кратчайший путь через пространство. Если свету нужно пройти вблизи массивного объекта, согласно этой теории кратчайшим путем будет обходная траектория, искривляющаяся вокруг такого объекта.

Британский астроном Артур Эддингтон понял, что эту идею можно проверить, использовав солнечное затмение, которое должно было случиться на Земле в 1919 году. Теория предсказывала, что свет от удаленных звезд должен искривляться гравитационным воздействием Солнца. Затмение было нужно Эддингтону, чтобы исчезло сияние Солнца, не позволяющее увидеть звезды. Тот факт, что свет действительно кажется огибающим объекты с большой массой, подтвердил, что кратчайшие пути – это линии не прямые, а искривленные, как и предсказывала теория Эйнштейна.

Изгибание и искривление пространства также может создавать шорткаты через Вселенную, позволяющие обойти некоторые из препятствий, существование которых предполагает теория относительности Эйнштейна. Он выяснил, что во Вселенной существует предельная скорость – скорость света в вакууме. Ничто не может двигаться быстрее. Это создает трудности для желающих переместиться с одного края галактики на другой. Такое путешествие займет много времени. Это крупная проблема, с которой сталкиваются многие писатели-фантасты: как доставить персонажей из одного места в другое, не тратя на путешествие долгие годы? Решением часто бывает использование кротовой норы, специального решения уравнений поля теории Эйнштейна, которое предполагает теоретическую возможность существования шорткатов между разными областями пространственно-временной геометрии. Кротовая нора несколько похожа на туннель, пробитый сквозь гору, но соединяет две точки в разных концах Вселенной, обычное путешествие между которыми заняло бы миллионы лет.

Рис. 4.7. Из точки А в точку B можно попасть длинным путем через всю Вселенную или коротким путем через кротовую нору

Таким образом, идея Гаусса о том, что свет, распространяющийся между вершинами холмов в Геттингене, использует искривленные короткие пути, была правильной. Дело было лишь в том, что увидеть этот эффект позволяют наблюдения на гораздо большем масштабе, не Ганновера, а нашей Галактики. К чести Эйнштейна, он всегда признавал, что именно математики XIX века создали геометрию, позволившую ему разработать теорию относительности: «Значение К. Ф. Гаусса для развития современной физической теории и в особенности для создания математического основания теории относительности огромно», – писал он. И еще: «Более того… я без колебаний признаю, что до некоторой степени сходное наслаждение можно получить, погрузившись в рассмотрение вопросов геометрии».

Шорткат к шорткатам

Если вы собираетесь поехать из пункта А в пункт Б, часто имеет смысл помнить, как находит самый быстрый маршрут свет: иногда бывает выгодно двигаться в обход, потому что эта дорога оказывается более быстрой, хоть и более длинной. Иногда бывает непросто измерить что-либо в доме, потому что не везде удается развернуть рулетку. Но, наверное, можно измерить углы? Синусы и косинусы всегда были предназначены открывать поразительно удобные шорткаты к измерению не только ночного неба или поверхности Земли, но всего того, что на первый взгляд может показаться недоступным. Стратегию градостроителей – предоставлять жителям самим находить шорткаты – можно использовать не только для переходов из одного конца парка в другой. Когда вы следуете за общественностью к оптимальному решению какой-либо задачи, это может стать шорткатом, который избавит вас от необходимости выполнять всю соответствующую работу самостоятельно.

Пит-стоп: Путешествия

Я очень люблю гулять. Неспешная ходьба позволяет воспринимать пейзажи и природу так, как это редко удается делать в нашей суматошной жизни. Цель прогулки – не перемещение из пункта А в пункт Б. Зачастую речь идет о перемещении из пункта А в пункт А с получением удовольствия от длинного кружного пути, заканчивающегося там же, где он начинался. Когда мой сын был маленьким, это занятие казалось ему бессмысленным. Однажды мы вышли в однодневный пеший поход по сельской местности. Через пару километров сын внезапно заметил тропу, отходившую от нашего пути и пересекавшую поле. В ее конце он увидел наш дом. «Пап, я нашел шорткат! Смотри, нам надо пойти по этой тропинке, и она приведет прямо к дому!»

Но для меня пешие прогулки – это еще и своего рода шорткат. Мне кажется, что три мили в час[60] – идеальная скорость для размышлений. Жан-Жак Руссо писал в «Исповеди»: «Ходьба таит в себе нечто такое, что оживляет и заостряет мои мысли; я почти совсем не могу думать, сидя на месте; нужно, чтобы тело мое находилось в движении, чтобы пришел в движение и ум»[61]. Прогулки – мой шорткат к математическим озарениям, необходимая кружная дорога, по которой мне нужно пройти, чтобы позволить моему подсознанию изучить задачу с новой стороны.

Роберт Макфарлейн говорит о связи между ходьбой и мышлением в книге «Старые пути» (The Old Ways: A Journey on Foot, 2012). Он описывает, как Людвиг Витгенштейн, гуляя по сельской местности в Норвегии, сделал важный шаг в своей работе. «Мне кажется, что я родил внутри себя новые мысли», – пишет философ. Но наиболее показательно, как отмечает Макфарлейн, то слово, которым Витгенштейн называет эти мысли. Витгенштейн использует слово Denkbewegungen, в буквальном переводе – «движения мысли». Макфарлейн описывает их как «идеи, вызванные к жизни перемещением по пути (Weg)».

Макфарлейн любит путешествия, прогулки на природе, походы, поездки. Его книги – великолепная хвалебная речь пешим путешествиям. Поэтому мне очень хотелось поговорить с ним о том, как он относится к идее шорткатов. Не упускаем ли мы чего-нибудь из виду, если всегда стремимся найти шорткат?

«Я могу подняться на вершину Каирн-Горм в моих любимых горах на северо-востоке Шотландии на фуникулере и почувствовать, что это кратчайший путь до вершины, но она не принесет мне почти никакого удовлетворения или удовольствия, – говорит он. – Но, если я доберусь до той же вершины после двухдневного пешего восхождения, она будет одним из самых поразительных мест, в каких я когда-либо бывал».

Макфарлейн рассказал мне о шотландском альпинисте и мистике У. Х. Мюррее, в чьих сочинениях отразились те сильные ощущения, которые испытываешь, находясь в таких местах: «Когда дух человека испытывает угнетение или облегчение, его сердце естественным образом стремится вверх». Мюррей писал эти слова на туалетной бумаге, которую он копил, находясь в заключении – в лагере для военнопленных во время Второй мировой войны[62]. Хотя его тело не имело возможности путешествовать, его разум странствовал по Шотландскому высокогорью. Другим героем Макфарлейна стала модернистская писательница и поэтесса Нэн Шеперд.

«В сороковых годах Нэн Шеперд писала в конце “Живой горы”[63], что эти, как она их называет вслед за Вулф и Вордсвортом и другими, моменты бытия возникают, только когда “мы бродим так, с обостренными чувствами, час за часом, пока наша плоть не станет прозрачной”. Это потрясающая фраза, – говорит Макфарлейн. – Эти холмы никуда не спешат – так, по-моему, она говорит. Поэтому шорткаты – это абсолютная антитеза к этому способу достичь прозрения».

Однако Макфарлейн напомнил мне, что многие из троп, по которым мы сегодня гуляем ради собственного удовольствия, впервые были проложены в неолитические времена именно в качестве шорткатов. Жизнь в скудных условиях вынуждала людей соизмерять затраты энергии, имеющиеся ресурсы и так далее. Когда они находили короткую дорогу, то вряд ли пренебрегали ею – независимо от того, открывались ли на ней такие же возможности для созерцания, как и на длинной, или нет.

Но не всегда. Как отмечает Макфарлейн, иногда неолитические культуры тратили огромное количество ресурсов на проекты, не сводящиеся к пользе для выживания. В качестве иллюстрации к этому тезису он рассказал мне прекрасную историю о рубилах, которые добывали в долине Литл-Лэнгдейл в камберлендском Озерном крае. Она показывает, что не все неолитические тропы служили рациональными шорткатами: «На нижних уровнях этой долины были прекрасные скальные выходы подходящей для рубил породы, которые вполне можно было бы использовать для изготовления инструментов – стоило только захотеть. Но они явно предпочитали забираться на гораздо более высокие и труднодоступные площадки на утесе Гиммер-Крэг».

Мне стало любопытно, почему люди шли в труднодоступные места за той же самой породой, которую можно было добыть гораздо легче.

«У мест есть особая аура, которая остается в предмете после того, как его забирают из такого места, – сказал он. – Так что и в доисторические времена люди выбирали не только короткие, но и длинные пути не без причины».

Затем Макфарлейн отплатил мне той же монетой. Есть ли в математике примеры необычайно плодотворных длинных путей?

Я думаю, одним из таких примеров можно считать гипотезы. Гипотеза подобна горной вершине. Я не хочу подсматривать ответ в конце задачника – это все равно что подниматься на Каирн-Горм на фуникулере. Удовольствие от достижения вершины определяют те дни, даже годы, которые я трачу на восхождение. Правда, ради этого мне вовсе не хочется плестись по скучному пейзажу. Некоторые прогулки по ощущениям неотличимы от тяжелой работы.

В математике существует странное, тонкое противостояние между излишней легкостью, делающей работу скучной, и такой сложностью, которая не позволяет понять, что вообще происходит. В книге «Приключение, тайна, любовная история» (Adventure, Mystery, and Romance: Formula Stories as Art and Popular Culture, 1977) Джон Кавелти описывает аналогичное противостояние в литературе, но его слова применимы и к математике: «Если мы стремимся к порядку и безопасности, то в итоге обязательно получим скуку и однообразие. Отказавшись от порядка во имя перемен и новизны, столкнемся с опасностью и неизвестностью… Историю культуры можно интерпретировать как динамичный конфликт между… стремлением к порядку и желанием избежать скуку»[64].

Иногда часть удовольствия приносит сам тот факт, что к вершине приходится идти длинной дорогой. В течение 350 лет целые поколения математиков пытались доказать Великую теорему Ферма, путешествуя в странные эзотерические миры, пока путь к цели наконец не был найден. Но эти окольные пути и долгие дороги внесли свой вклад в удовольствие от доказательства. Нам пришлось открыть интереснейшие новые математические земли, которые могли бы остаться нетронутыми, если бы мы не были вынуждены огибать непроходимые математические трясины, обнаружившиеся на нашем пути.

Интересно задуматься вот о чем: была бы ценность, которую мы приписываем теореме Ферма, меньше, если бы ее доказательство было коротким и очевидным? Ауру великих недоказанных гипотез – например, гипотезы Римана, – порождают трудность их решения и количество труда, который необходимо вложить в него. Мы уподобляем великие гипотезы восхождению на Эверест. Если бы вершина не была такой труднодоступной, мы, возможно, не так высоко оценивали бы достижения тех, кому удается получить решение.

Я попытался объяснить Макфарлейну, что, как мне кажется, я ценю в математике не столько медленное продвижение по пустошам, сколько моменты, когда передо мной встает гора, через которую я должен найти путь, и то необычайное возбуждение, которое возникает, когда удается найти расщелину, туннель, шорткат, ведущий на другую сторону.

«Я смотрю на те жесты, которыми вы описываете то, что вам приходится делать, и мне кажется, что вы похожи на скалолаза, – сказал он. – Вы выглядите не как пешеход, а как скалолаз, и я говорю о спортивном скалолазании, которое кое в чем отличается от альпинизма, а альпинизм, в свою очередь, отличается от пешей ходьбы по холмам».

Получает ли сам Макфарлейн удовольствие от трудностей скалолазания?

«В течение нескольких лет я был очень неумелым, но очень увлеченным скалолазом, – сказал он. – У скалолазов есть такое понятие – трудный участок восхождения. В каждом хорошем восхождении есть преодоление трудного участка. Судя по всему, это очень похоже на тот процесс работы над задачей, который вы описываете. Есть так называемые задачи по боулдерингу[65]. Начинаешь с чего-нибудь легкого и повторяешь снова и снова, потом доходишь до трудного участка и падаешь. Скала не дается; прыжок никак не получается именно таким, как нужно. А когда наконец удается это сделать – те немногие разы, когда у меня получалось, – это состояние абсолютного восторга. Это тоже решение задач».

Мне действительно знакомо ощущение отчаяния, сменяющегося восторгом, которое может внушить преодоление сложного математического маршрута. Перед самой нашей встречей я смотрел документальный фильм «Фри-соло»[66] (Free Solo, 2018) о поразительном восхождении Алекса Хоннольда на скалу Эль-Капитан в Йосемитском национальном парке без страховки. На его маршруте около восьми трудных участков – это настоящая гипотеза Римана от скалолазания. Самый тяжелый из них называют просто «проблемным валуном» – это сложная последовательность перемещений по расположенным далеко друг от друга зацепкам для рук, некоторые из которых не толще карандаша. Проход по этой почти вертикальной стенке требует причудливых движений, похожих на приемы карате. Сорваться в этом месте – верная смерть. Здесь не удастся несколько раз падать и начинать заново. Я заметил одну из особенностей этого восхождения: кратчайший путь к вершине явно не совпадает с прямой линией. На маршруте, по которому двигался Хоннольд, ему часто приходилось терять высоту, удаляясь от конечной цели, чтобы найти проходимый путь к вершине. Геодезические в скалолазании несомненно бывают линиями очень странной формы, извивающимися и изгибающимися по горному склону.

Меня заинтересовало, как именно выбирают маршрут, по которому поднимаются к вершине горы? Самый быстрый? Самый живописный? Самый трудный? На вершину Эвереста есть 18 маршрутов, имеющих собственные названия, и по нескольким из них еще никто не поднимался. В подавляющем большинстве восходители используют два маршрута – через Южное седло и через Северное седло. При попытке восхождения через Северное седло погиб Джордж Мэллори. Он говорил о «красивом маршруте». Красивый маршрут может быть не самым трудным – это маршрут, славящийся красотой. Интересно отметить, что и математики говорят о красивых доказательствах. Какие именно качества делают маршрут красивым? Как формулирует Макфарлейн, «красоту, как правило, порождает своего рода последовательность движения или самого маршрута. Когда не обязательно идти траверсом влево, а потом подниматься по следующему гребню или что-нибудь в этом роде. Также играет роль качество скалы – чтобы она не крошилась, была прочной. По сути дела, речь идет о том, насколько изящно выглядит план маршрута, если его начертить в воздухе, когда о нем рассказываешь. Но есть еще и опасности. И в красивом маршруте есть все это. Но есть и самый трудный маршрут, “тигриная тропа”. А еще есть так называемая diretissima, самый прямой маршрут». Этот термин пошел от итальянского альпиниста Эмилио Комичи, который говорил: «Я хотел бы однажды проложить такой маршрут, чтобы упавшая с вершины капля воды стекала по моему маршруту». Речь идет о так называемой линии спада, идеальной траектории спуска по склону, по которой стекала бы вода, если бы ей ничто не мешало.

Эта идея была ключевым элементом некоторых шорткатов, которыми пользовался Макфарлейн, чтобы быстро спуститься с горы в опасных погодных условиях или при приближении ночи: «Когда нужно спуститься с горы побыстрее, потому что портится погода, или в особенности когда есть опасность застрять наверху на ночь, начинаешь искать линию спада, потому что теоретически она должна быть кратчайшим путем вниз, туда, где, вероятно, безопаснее и есть какое-нибудь укрытие».

Но нельзя забывать и об опасностях линии спада: «Линия спада может вести через трещину, а туда лучше не попадать. Я помню множество случаев, когда мне нужно было быстро спускаться, и я сопоставлял преимущества линии спада с другими соображениями безопасности. Иногда это приводило меня к правильным решениям, а иногда – к неправильным. Шорткаты чудесны, но в то же время опасны».

Я спросил, были ли у него особенные случаи, когда его выручали шорткаты.

«Одной из лучших линий спада, которыми я пользовался, был спуск на небольшой лавине, – сказал он. – Мы спускались с одной горы в Шотландии, становилось поздно, и мы вышли на крутой снежный склон, через который мы не смогли бы пройти, если бы там не было снега. Но снег как бы выровнял рельеф и устранил некоторые из препятствий, и он был мягкий, как сахарный песок. Было понятно, что лавина не будет очень большой и разрушительной».

Должен признаться, что эта идея все равно показалась мне пугающей. Обычно лавины – это не то, с чем хочется встретиться в горах.

«Мы видели, что она перенесет нас более или менее безопасным образом футов на 200 ниже[67]. Так что мы просто легли на склон головой вперед и поехали. В результате мы оказались на 200 футов ниже исходной точки, мокрые, но в целости и сохранности. Это была очень удачная оценка рисков. Один из самых головокружительных шорткатов в моей практике».

5

Шорткаты диаграмм

Какая песня, прозвучавшая в фильме Квентина Тарантино «Бешеные псы», представлена на следующей диаграмме?

Рис. 5.1. «Угадай мелодию» по Венну

Говорят, один рисунок стоит тысячи слов. Если это так, может быть, это действительно самый совершенный шорткат? Во всяком случае так, видимо, считал Леонардо да Винчи: «Сон и голод одолеют поэта прежде, чем он сумеет описать словами то, что художник способен изобразить за мгновение». Письменность – изобретение сравнительно недавнее, но способность интерпретировать смысл визуального изображения развивалась у человека с тех самых пор, как появился наш биологический вид. Например, Twitter показал, что на сообщения, содержащие изображения и видеозаписи, пользователи реагируют в три раза чаще, чем на чисто текстовые. Это, возможно, объясняет, почему более визуально-ориентированные социальные сети, Instagram[68] и ему подобные, все чаще становятся основной платформой для компаний, старающихся быстро и эффективно продавать контент. Хорошо продуманное изображение может быть замечательным шорткатом к выражению ваших мыслей гораздо более действенным образом, чем любые слова, которые вы используете.

В математике тоже случается, что рисунок может выразить идею, которую не способны передать формулы. Многие века математики считали квадратный корень из –1 странной ересью. Общепризнанными мнимые числа стали только благодаря чертежу Гаусса, изображающего их на двумерной карте. Но политическая сила изображений, представляющих числа, по-настоящему проявилась лишь незадолго до смерти Гаусса, наступившей в 1855 году.

Диаграмма-роза

Когда Флоренс Найтингейл в ноябре 1854 года прибыла в госпиталь в турецком городе Скутари[69], то, что она там обнаружила, привело ее в ужас. Госпиталь должен был обеспечивать лечение британских военных, раненных в Крымской войне, которая шла уже год. Под его зданием образовалась клоака, ассенизационное оборудование не работало, условия были в высшей степени антисанитарными. Переполненный госпиталь утопал в грязи.

Найтингейл сразу же взялась за улучшение его состояния: она организовала прачечную, наладила поставки материалов и питательной еды. Но это не помогло. Несмотря на все ее усилия, смертность продолжала расти. Найтингейл и другие медсестры, в том числе Мэри Сикол, старательно ухаживали за больными и ранеными, но одного ухода было мало. Затем, через несколько месяцев этой безнадежной битвы, в госпитале появились еще два человека – специалист по лечению холеры доктор Джон Сазерленд и инженер по санитарной технике Роберт Роулинсон. Произведя некоторые исследования, они выявили основную проблему: дело было в водопроводной и канализационной системе. Она была забита трупами животных, и человеческие испражнения протекали из уборных в водяные цистерны. Роулинсон и Сазерленд прочистили всю систему, и ситуация начала заметно изменяться к лучшему.

В результате учреждения Санитарной комиссии, в которой они работали, состояние военных госпиталей быстро улучшалось. Всего за месяц смертность от инфекционных заболеваний сократилась вдвое. За год она упала на 98 процентов: если в январе 1855 года от этих болезней умерли более 2500 человек, то в январе 1856-го – всего 42.

По окончании войны Найтингейл обдумала все то, с чем она столкнулась за предыдущие полтора года. Она понимала, что на войне неизбежна гибель людей в сражениях. Но ей казалось неприемлемым, что гораздо большее число смертей случается из-за болезней. Эти смерти приводили ее в отчаяние: умерли в общей сложности 18 000 человек, многих из которых можно было спасти. Она видела своей задачей добиться долговременного улучшения условий в военных госпиталях, чтобы такого рода трагедия больше никогда не повторилась. Но она знала, что убедить власти в острой необходимости радикальных реформ будет непросто.

Найтингейл сумела добиться аудиенции у королевы Виктории и ее советников. Она постаралась внушить им, что необходимо расследование причин смерти такого количества солдат в госпиталях. Королева и правительство не горели желанием и дальше ворошить случившееся на войне, но к этому времени Найтингейл уже была слишком знаменита. В результате правительство поручило ей составить секретный доклад и представить его на рассмотрение вновь созданной королевской комиссии. Найтингейл хотела принести пользу, но что́ ей следовало написать в докладе? И, что еще важнее, как она могла выразить все те ужасы и трагедии, свидетельницей которых она была в Скутари?

Найтингейл боялась, что правительство не обратит внимания на ее цифры, и понимала, что самые важные факты, обосновывавшие ее призыв к действию, должны бросаться в глаза. Поэтому она создала диаграмму, которую сегодня называют «диаграммой-розой»[70], выделяющую фактическую сторону этих цифр.

Рис. 5.2. Диаграмма-роза Флоренс Найтингейл

Диаграмма состояла из двух роз. Правая представляла данные по смертности военнослужащих за каждый месяц кампании 1854–1855 годов, разбитые по причинам смерти. Левая диаграмма меньшего размера показывала те же данные по кампании 1855–1856 годов. Центральная часть, закрашенная красным (на нашей иллюстрации – темно-серым), соответствовала смерти от ран, черным была обозначена смерть от других причин, например обморожений или несчастных случаев. Но огромные синие (здесь – светло-серые) лепестки розы, отходящие от ее центра, обозначали ужасающе огромную смертность от инфекционных заболеваний – дизентерии, тифа и тому подобных.

Найтингейл не приводит цифр по смертности, но синие участки диаграммы все равно производят ошеломительное впечатление. В течение зимы 1854 года они устойчиво растут вплоть до января 1855-го, когда за один месяц умерли более 2500 человек. Однако вторая роза показывает, что такое положение вещей не было неизбежным. Гораздо меньшая синяя область второй диаграммы позволяет увидеть, что улучшение санитарного состояния госпиталей стало залогом резкого падения смертности от инфекционных заболеваний.

Именно эта диаграмма, а не текст доклада, заставила британские власти признать, что практика армейского здравоохранения беспричинно убивает тысячи солдат. Визуальная наглядность была убедительной как с рациональной, так и с эмоциональной точек зрения и запустила процесс реформ, навсегда изменивших сферу здравоохранения.

Нужно, чтобы диаграмма сперва привлекала взгляд, а уж потом задействовала мозг. Найтингейл писала, что диаграмма должна «передавать через глаза то, что нам не удается внедрить в разум публики через ее защищенные от слов уши». Изображение открывает шорткат к мысли, скрытой в числах.

Недавно Иэн Липкин, профессор эпидемиологии Колумбийского университета, рассказал мне более современную историю о том, как визуальным средствам удалось убедить правительства в существовании опасностей для здоровья. Липкин много лет консультировал государственные организации по вопросам борьбы с пандемиями. Но по его словам, его первые попытки объяснить правительству США потенциальные последствия пандемии были встречены гробовым молчанием. Его подробнейший доклад на семистах страницах, вероятно, так никто и не прочитал. Тогда он подготовил более сжатый вариант. То же молчание. В конце концов он понял, что нужно использовать другие средства коммуникации. Вместо того чтобы писать доклад, он снял фильм-катастрофу «Заражение» (2011). Сила визуальных образов гибели от вируса столь огромного количества людей, увиденных в этом фильме с участием Мэтта Деймона и Гвинет Пэлтроу, побудила правительство США перейти к действиям – в точности так же, как это произошло с диаграммой-розой Флоренс Найтингейл в Викторианскую эпоху.

Диаграмма-роза Найтингейл показывает, насколько действенный шорткат к пониманию сложных проблем открывает их наглядное представление. Ее диаграмма была не первой в своем роде. На самом деле она, вероятно, позаимствовала кое-какие идеи из работ Уильяма Плейфэра. В его книге под названием «Коммерческий и политический атлас» (The Commercial and Political Atlas), опубликованной в 1786 году, было 44 графика. На большинстве из них были построены зависимости какой-либо величины от времени в привычном формате координат x и y. Но один график несколько отличался от прочих. Это был один из самых первых вариантов столбчатой диаграммы, в которой объемы шотландского экспорта и импорта были изображены не в виде кривой, а в виде столбцов, соответствующих численным значениям. Возможно, Найтингейл видела диаграммы такого рода и думала о них.

Плейфэр считал, что в нашем мозге развилась способность расшифровывать некоторые сообщения гораздо точнее, когда они представлены в виде изображения: «Из всех органов чувств глаз дает самое живое и самое точное представление обо всем, что может ему быть представлено; там же, где нужно осознать пропорции разных величин, превосходство глаза несметно».

Сегодня, в наше чрезвычайно визуальное время, нас то и дело осыпают графическими представлениями чисел. Диаграммы, которые расшифровывают тайны, скрытые в данных, составляют могущественный инструмент политики и коммерции. Но, если хорошая диаграмма может открыть шорткат к пониманию, плохая точно так же способна привести к совершенно неверным выводам.

Некоторые новостные организации печально известны склонностью к недобросовестному использованию диаграмм для передачи политических сообщений. Посмотрите на столбчатую диаграмму, приведенную внизу. Ее использовали, чтобы проиллюстрировать якобы гибельные последствия отмены налоговых льгот, установленных президентом США Джорджем У. Бушем, для налоговой системы. Разница кажется огромной. Пока не заметишь, что вертикальная ось начинается не с 0, а с 34 %. Если построить ось начиная от 0, разница становится гораздо меньше.

Рис. 5.3. Два разных взгляда на эффект налоговых льгот

А вот еще один классический пример недобросовестного использования столбчатых диаграмм:

Рис. 5.4. Обманчивая диаграмма объема продаж компаний

Этот график должен продемонстрировать превосходство компании C над компаниями B и А. Но для представления данных важна только высота столбца. Однако из-за пропорционального увеличения ширины столбцов достижения компании оказываются сильнейшим образом преувеличенными. Хотя объем продаж компании C в пять раз больше, чем у компании А, столбец компании А занимает в 25 раз меньше места, чем столбец компании С.

Можно сказать, что у диаграммы-розы Флоренс Найтингейл были некоторые упущенные возможности. Найтингейл построила ее так, чтобы площадь розы соответствовала числам. Однако, поскольку площадь лепестков растет во всех направлениях, впечатление от их величины оказалось ослабленным. Выбери она не розу, а столбчатую диаграмму, высота столбцов, соответствующих синим участкам, выделялась бы на фоне остальных еще ярче.

Картография

Вероятно, идеальный пример шортката через диаграмму – это карта. Это не копия территории, которую она изображает. Начнем с того, что весь смысл картографии состоит в уменьшенном изображении местности. Но даже с учетом этого многие характеристики приходится отбрасывать. Но, если составить качественную карту, которая включает в себя избранные существенные элементы и отбрасывает все ненужное, получается великолепный шорткат к ориентированию.

Мне всегда нравилась история из последней книги Льюиса Кэрролла – «Сильвия и Бруно. Окончание истории» (Sylvie and Bruno Concluded, 1893). Речь там идет о стране, в которой не понимали, насколько важно отбрасывать информацию при составлении карт. Местные жители гордились точностью своих карт:

– Мы создали такую карту нашей страны, масштаб которой равняется миля на милю!

– И часто вы ею пользуетесь? – спросил я.

– Ее еще ни разу не расстилали. Крестьяне были недовольны. Они сказали, что, если такую карту расстелить на всю страну, она скроет солнечный свет! Так что пока мы используем саму страну как ее карту, и смело могу вас заверить, действует она преотлично[71].

В этом шутливом диалоге Кэрролл показывает, что при создании карт приходится выбирать, чего именно в них включать не следует.

Некоторые из самых первых карт, созданных людьми, были картами не Земли, а неба. В пещере Ласко на юго-западе Франции есть изображение Плеяд – звезд, которые часто использовались в качестве знака начала нового годового цикла. Одна из первых карт Земли – это глиняная табличка, созданная каким-то вавилонским писцом, возможно, еще за 2500 лет до нашей эры. На ней изображена речная долина между двумя холмами. Холмы обозначены полукружьями, реки – линиями, города – кружками. Кроме того, на карте указано, как ее следует ориентировать.

Вавилоняне же первыми предприняли попытку создать карту всего мира; это было за 600 лет до нашей эры. Эта карта – изображение скорее символическое, чем буквальное. На ней представлена округлая суша, окруженная водой, что соответствовало представлению вавилонян о конфигурации мира.

Но, когда было установлено, что Земля имеет форму не плоскую, а сферическую, создание двумерных карт сферической поверхности стало для картографов интересной, но трудной задачей. Принято считать, что хитроумное решение этой задачи нашел фламандский картограф XVI века Герард Меркатор.

Поскольку дело было в эпоху морских экспедиций, исследовавших нашу планету, главной целью Меркатора было создать карту, которая поможет мореплавателям попадать из одной точки планеты в другую. Главным навигационным прибором был компас. Самым простым способом добраться из точки А в точку Б было выбрать такое постоянное направление по компасу, чтобы корабль, следующий в этом направлении, приходил в нужную точку.

Такие линии наклонены под постоянным углом к меридианам, проходящим с севера на юг. Они называются локсодромами[72]; если такую линию начертить на глобусе, можно увидеть, что она образует спираль, сходящуюся к Северному полюсу[73].

Это не самый короткий путь из А в Б, но тем, кого больше беспокоит опасность сбиться с курса, такой путь подходит лучше всего.

Карта Меркатора обладает тем чудесным свойством, что эти криволинейные маршруты превращаются на ней в прямые линии. Если вам нужно найти правильный угол для курса из точки А в точку Б, достаточно провести прямую между этими двумя точками на карте Меркатора, и угол, под которым она будет наклонена к меридианам, идущим на север, будет тем углом, курс на который вам нужно держать при переходе через океан.

Рис. 5.5. Локсодрома идет под постоянным углом к меридианам

Такая проекция сферы на прямоугольник называется конформным отображением, потому что она сохраняет углы. Добиться этого можно следующим образом. Представим себе, что Земля – это воздушный шарик, вся поверхность которого покрыта невысохшими чернилами. Обернем вокруг Земли цилиндр так, чтобы он прикасался к экватору. Теперь начнем надувать Землю так, чтобы по мере раздувания шарика ее поверхность постепенно приходила в соприкосновение с цилиндром, а чернила отпечатывали на нем карту.

Развернем цилиндр – и у нас получится карта. Таким способом невозможно изобразить на карте полюса, так что на верхнем крае карты оказывается параллель, близкая к полюсу[74]. Такая карта все сильнее растягивает параллели по мере продвижения на север или на юг от экватора. Для тех, кто был в море, она была великолепным инструментом, к чему, видимо, и стремился Меркатор, ибо он дал своей карте следующее название: «Новое и более полное описание земного шара, должным образом приспособленное для использования в навигации» (Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata, 1569).

Хотя на этой карте сохраняются углы между линиями, проведенными на глобусе, этого не происходит с площадями и расстояниями. И это обстоятельство имело очень важные политические последствия. Карта была настолько полезна, что в течение столетий она оставалась общепризнанным представлением о том, как выглядит наша планета. Но на ней чрезвычайно сильно преувеличено место, которое занимают страны, удаленные от экватора, – к примеру, Нидерланды и Великобритания. Например, если начертить круг на экваторе и другой круг такого же размера в Гренландии, в проекции Меркатора площадь второго круга увеличится в десять раз. Скажем, Африка на карте имеет те же размеры, что и Гренландия, хотя на самом деле она в 14 раз больше по площади.

Карта Меркатора противоречила политическим соображениям постколониальной эпохи, и вместо нее ЮНЕСКО приняло в качестве официальной альтернативную проекцию, которая называется проекцией Галла – Петерса. Эту карту широко используют в британских школах, но в школах Соединенных Штатов – в Бостонском школьном округе – она заменила карту Меркатора лишь в 2017 году. Многие другие американские школьные округа так и не последовали этому примеру. Многим гражданам Соединенных Штатов кажется, что уменьшение размеров США не согласуется с тем местом, которое их страна занимает на мировой арене.

По правде говоря, в любой карте неизбежны компромиссы. Собственно говоря, это обстоятельство открыл Гаусс, когда исследовал природу кривизны разных геометрий. Он назвал свое открытие «Theorema Egregium», то есть «Замечательной теоремой»: в ней он доказал, что плоской картой невозможно обернуть сферический глобус без искажения расстояний. На любой карте планеты приходится жертвовать чем-нибудь. Карта Галла – Петерса точно отражает площади, но не формы стран. Длина Африки получается вдвое большей ее ширины, тогда как на самом деле форма этого континента ближе к квадратной.

Разумеется, на большинстве карт Северное полушарие всегда находится вверху, а Южное – внизу. Но сферы симметричны, так что нет никаких причин, по которым карта не может быть ориентирована наоборот. Выбор ориентации опять-таки отражает то обстоятельство, что карты составляли обитатели Северного полушария.

Австралиец Стюарт Макартур решил противопоставить такому перевесу севера свою собственную карту, в которой Южное полушарие находится наверху. Тех, кто видит ее в первый раз, эта карта приводит в сильное замешательство. Кажется, что в ней что-то не так. Но это всего лишь показывает, насколько мы привыкли видеть планету с точки зрения Меркатора.

Самое главное в карте – то, чего мы хотим добиться с ее помощью. Нужен шорткат для навигации? Шорткат к пониманию размеров территории? Чаще всего на картах стараются точно воспроизвести какие-нибудь геометрические параметры. Например, размеры на карте могут соответствовать размерам на планете. Или же могут совпадать углы между линиями. Но бывает и так, что карта отбрасывает все эти полезные вещи и сохраняет лишь информацию, самую важную для перемещения из пункта А в пункт Б.

Одна из карт, которые я люблю больше всего и использую ежедневно, – это схема лондонского метро. Физическая карта, на которой показано географическое расположение станций и линий метро, не очень-то помогает перемещаться по городу. Вместо этого легендарная схема Гарри Бека, опубликованная в 1933 году, показывает, как связаны элементы этой сети, игнорируя физические расстояния. Эта карта была настолько революционной, что поначалу компания, управлявшая метрополитеном, ее отвергла. Проблема, однако, состояла в том, что компания несла убытки, так как лондонцы не пользовались ее системой. Когда попытались выяснить, почему это происходит, оказалось, что пассажиры просто не могли разобраться в сети. Карты, разработанные компанией, пытались воспроизводить географию города, но в результате получалась невразумительная, запутанная мешанина линий, в которой было трудно что-либо понять.

Бек осознал эту проблему и решил, что от географической точности следует отказаться. Он переместил линии, выпрямил их, подвел их к пересадочным станциям под ясными углами, отодвинул станции друг от друга. Возможно, Беку помог опыт работы в области электроники, потому что схема метро получилась больше похожей на электронную схему, чем на железнодорожную карту.

Поняв, что необходима более удобная карта, позволяющая пассажирам ориентироваться в сети линий метро, компания в конце концов решила принять проект Бека. Три четверти миллиона экземпляров его схемы были отпечатаны и розданы пассажирам. Схема завоевала всемирную славу. По ее мотивам создавали произведения искусства: в отделе современного искусства Британской галереи Тейт висит картина Саймона Паттерсона, на которой воспроизведена схема метро, но названия станций заменены на имена инженеров, философов, путешественников, планет, журналистов, футболистов, музыкантов, киноактеров, святых, итальянских художников, синологов (китаеведов), юмористов и «Людовиков» (французских королей). Дж. К. Роулинг даже придала форму этой схемы шраму на левом колене профессора Дамбльдора, намекая на то обстоятельство, что самые лучшие идеи, которые она использовала в книгах о Гарри Поттере, приходили ей в голову в поездах.

Преимущество схемы лондонского метро заключается в том, что она – не географическая карта; она сосредоточена на более важной задаче – показать, как добраться из точки А в точку Б. То, что участок между станциями Ковент-Гарден и Лейстер-сквер имеет на схеме такую же длину, как участок между Кингс-Кросс и Каледониан-роуд[75], не означает, что соответствующие расстояния одинаковы. Пассажиру гораздо важнее понимать, что эти станции соединены линией метро, чем знать, на каком расстоянии друг от друга они находятся.

Это пример нового мировоззрения, появившегося в середине XIX века. Точные расстояния между объектами могут не иметь значения; главным фактором, определяющим форму, часто бывают связи между этими объектами. Одним из первых исследователей, которые начали задумываться о том, что свойства поверхностей могут зависеть не столько от физической геометрии, сколько от связей между точками, расположенными на них, был Гаусс. Хотя он так и не опубликовал свои идеи, они послужили отправной точкой для работ Иоганна Бенедикта Листинга, впервые назвавшего в 1847 году этот новый способ видения мира топологией. В главе 9 мы увидим, что топологические карты могут быть чрезвычайно удобным шорткатом к ориентированию в самых разных сетях, не только в лондонском метро.

Но диаграммы не обязательно ограничиваются иллюстрированием физических связей между разными точками Лондона. Очень эффективно используются карты, на которых отмечают не станции метро, а идеи. Их называют картами мыслей[76], а их назначение – выявить интересные связи между разными идеями, которые мы исследуем. Карты мыслей уже много лет служат незаменимой подмогой студентам, зубрящим перед экзаменами, потому что они помогают превращать темы, которые кажутся слишком сложными для выражения словами, в связные повествования. В известном смысле они опираются на принцип дворца памяти, о котором рассказывал Эд Кук. Карта мыслей может преобразовать винегрет из идей в воображаемый маршрут, по которому можно путешествовать по страницам.

Однако у этих диаграмм долгая история. Студентом в Кембридже Ньютон рисовал в записных книжках загогулины, складывающиеся в своего рода карту мыслей, которой он иллюстрировал свои идеи о возможных связях между разными философскими вопросами. Суть в том, что такие карты нарушают более или менее линейную манеру, в которой идеи обычно бывают представлены в учебниках, имитируя более многомерные процессы, которые использует для обработки идей наш разум.

Отображение великого и малого

Как говорил Леонардо, визуальный мир способен описать то, что навсегда останется недоступным для мира письменного. Одно-единственное изображение может выразить основополагающую структуру, которую скрывает сложность слов или уравнений. Но диаграмма – это не просто физическое представление того, что мы видим глазом. Могущество диаграмм заключается в их способности кристаллизовать новые способы видения мира. Как показывает шуточная идея Кэрролла о безмасштабной карте, для этого часто требуется отбросить часть информации, сосредоточиться лишь на самом главном. В других случаях научные идеи переводятся на язык визуальных образов, создающий новую карту, в которой главную роль играют геометрические построения, помогающие нам разобраться в том научном вопросе, о котором идет речь.

Силу хорошего изображения, несомненно, сознавал польский математик и астроном Николай Коперник. Изложение гелиоцентрической теории Коперника занимает в его великом труде, трактате «О вращении небесных сфер» (De revolutionibus orbium coelestium), опубликованном незадолго до его смерти в 1543 году, 405 страниц текста, чисел и формул. Однако лучше всего его революционную идею – что центром Солнечной системы является не Земля, а Солнце – выражает простое изображение, схема, которую Коперник начертил в самом начале этой книги.

Рис. 5.6. Схема Солнечной системы, в центре которой находится Солнце, из книги Коперника

В его иллюстрации присутствуют некоторые из важнейших элементов лучших диаграмм. Не предполагается, что концентрические окружности точно описывают орбиты планет. Коперник знал, что форма орбит отличается от окружности. Не предполагается, что одинаковые расстояния между окружностями показывают, насколько планеты удалены от Солнца или друг от друга. Этот чертеж всего лишь выражает простую, но потрясающую мысль о том, что мы находимся не в центре всего. Он преобразил наши взгляды на то место, которое мы занимаем во Вселенной.

Сегодня космологи используют диаграммы для изображения всей Вселенной и всех 13,8 миллиарда лет ее истории, для представления строения массивных черных дыр, для понимания сложных аспектов нашего четырехмерного пространства-времени. Присущая диаграммам способность открывать шорткаты к огромности Вселенной – это, пожалуй, единственный способ, которым мы можем осознать свое место на масштабе, кажущемся на первый взгляд невозможно большим.

Но диаграммы могут служить и увеличительным стеклом, позволяющим увидеть нечто чрезвычайно малое. Зайдите в любую химическую лабораторию, и вы увидите написанные на досках буквы, соединенные одинарными, двойными, а иногда и тройными линиями, изображающими связи между атомами, которые обозначают эти буквы. Эти диаграммы рассказывают химикам, как группируются атомы, образующие мир молекул.

Рис. 5.7. Молекулярные диаграммы[77]

В центре схемы метана находится буква C; от C отходят четыре линии, каждая из которых заканчивается буквой H, и все это вместе изображает молекулу CH_4: 1 атом углерода и 4 атома водорода. Бесцветный горючий газ этилен (C_2H_4) имеет несколько другую структуру: две C соединены двойной линией, а четыре H связаны с ними. При помощи этих диаграмм можно понять, как эти молекулы реагируют и изменяются. Двойные связи чаще встречаются в молекулах, более химически активных, чем молекулы с одиночными связями. В химии мы настолько привыкли работать с такими схемами, что легко забываем, что они открывают поразительный шорткат к удивительным реакциям, происходящим на таком масштабе, который трудно разглядеть даже в микроскоп. Но эти же схемы могут приводить и к открытию новых структур, таящихся в молекулярном мире.

Как иллюстрирует молекула метана, углерод предпочитает, чтобы от него отходили четыре линии. У водорода бывает только одна линия[78]. Поэтому устройство молекулы бензола, впервые открытой в 1825 году Майклом Фарадеем и, как оказалось, состоящей из 6 атомов углерода и 6 атомов водорода, было своего рода загадкой. Если попытаться построить схему ее строения, числа попросту не сходятся. Кажется, что шести жадным атомам углерода, у каждого из которых по четыре «руки», просто не может хватить всего шести одноруких атомов водорода. В конце концов эту тайну раскрыл немецкий химик Август Кекуле, работавший в Лондоне[79].

«Одним ясным летним вечером я возвращался домой по пустынным городским улицам последним омнибусом, сидя, как обычно, на открытой площадке, – писал он. – Я впал в дрему, и перед моими глазами вдруг принялись скакать атомы… Меня пробудил выкрик кондуктора: “Клапем-роуд!”; но часть той ночи я провел, восстанавливая на бумаге хотя бы наброски форм, явившихся мне во сне».

Но строение бензола все еще оставалось неуловимым. Кекуле проработал много ночей, пытаясь разобраться в этих схемах, пока тайна наконец не открылась ему в другом сне. «Я развернул кресло к огню и задремал, – писал он. – Снова перед моими глазами заплясали атомы… их длинные цепочки иногда становились плотнее, свиваясь и изгибаясь змеиными движениями. Но посмотрите! Что это? Одна из змей ухватила свой собственный хвост, и эта фигура, как бы насмехаясь, кружилась перед моим взором. Я проснулся как от раската грома».

Рис. 5.8. Кольцевидная структура бензола

Он нашел ответ. «Руки» атомов углерода нужно было задействовать для построения из этих атомов кольца. Они «брали друг друга за руки», используя лишь по одной «руке» каждый для «рукопожатия» с атомом водорода. Открытие бензольного кольца и аналогичных кольцевидных структур других молекул привело к развитию новой отрасли химии. Оказалось, что многие молекулы с такими кольцевидными структурами – это молекулы ароматические. Например, если заменить один из атомов водорода еще на один атом углерода, связанный с атомом кислорода и атомом водорода, получившаяся молекула будет пахнуть миндалем. Если же сделать эту молекулу чуть длиннее, добавив цепочку из трех атомов углерода, одного атома кислорода и трех атомов водорода, получится аромат корицы[80].

Эти молекулы достаточно просты, чтобы их структуру можно было изобразить на двумерной схеме. Но более сложные молекулы, например гемоглобин, изобразить на картинке гораздо труднее. Биохимику Джону Кендрю удалось воссоздать структуру этого белка при помощи большого количества двумерных рентгенограмм. За эту работу он получил в 1962 году Нобелевскую премию. Это было поразительное достижение: молекула содержит более 2600 атомов (и это еще совсем немного для молекулы белка). Хотя в 1957 году Кендрю сумел начертить изображение ее структуры, он решил, что для достойного представления этого открытия ему нужна помощь профессионального рисовальщика. Он обратился к профессиональному архитектору и умелому художнику Ирвингу Гейсу. Через шесть месяцев работы, ушедших на тщательное изучение статей и моделей Кендрю, Гейс создал акварельное изображение, появившееся в июньском номере журнала Scientific American за 1961 год. Хотя это потрясающее изображение прославило Гейса, оно получилось таким сложным, что использовать его в качестве шортката к действительному пониманию свойств молекулы практически невозможно.

Вероятно, самой трудной задачей такого рода, связанной с молекулами, было изображение ДНК. Как я уже говорил, секрет хорошей диаграммы часто сводится к отбрасыванию лишней информации. Когда Фрэнсис Крик и Джеймс Уотсон писали в журнал Nature статью, объясняющую строение двойной спирали ДНК[81], они могли нарисовать невероятно сложное изображение этой молекулы с полным описанием ее состава. Но сутью их открытия было существование двух нитей, составляющих молекулу ДНК и объясняющих, как она обеспечивает возможность передачи генов следующим поколениям. Как известно, они объявили о своем открытии в кембриджском пабе, в котором обычно выпивали. Когда Крик вернулся домой и заявил, что раскрыл тайну жизни, его жена Одайл отнеслась к его словам довольно скептически. «Он вечно приходил домой и говорил что-нибудь в этом роде», – вспоминала она.

Интересно отметить, что Одайл, профессиональная художница с соответствующим образованием, сыграла важную роль в привлечении к этому открытию внимания всего мира, так как именно она создала изображение, появившееся в статье в Nature. Крик дал ей набросок того, чего ему хотелось, но у него не было достаточных художественных способностей, чтобы проявить самую важную идею открытия. В тридцатых годах Одайл училась в Вене, а затем в лондонском Колледже Святого Мартина и в Королевском колледже искусств. Время от времени она писала портреты мужа, но по большей части работала с обнаженной женской натурой. Структуры молекул не были ее специальностью.

Но, когда Фрэнсис Крик объяснил суть открытия при помощи своего довольно невразумительного наброска, Одайл поняла, о чем идет речь, и превратила его смутные ощущения в запоминающееся изображение, всей силы которого она, вероятно, в то время не осознавала – потому что ее двойная спираль стала символом не только ДНК, не только биологии и даже не только научных открытий.

Двойная спираль сразу же заинтересовала художников. Ее быстро включил в свой репертуар научных метафор Сальвадор Дали. Он называл этот свой период «ядерным мистицизмом», и использование образа ДНК выявило на удивление консервативные и религиозные аспекты его творчества.

Однако к числу самых поразительных диаграмм лично я отношу фейнмановские диаграммы. Они дают нам не только возможность увидеть то, что невозможно рассмотреть даже в микроскоп, но и шорткат, избавляющий от необычайно сложных вычислений.

Если доска в кабинете химика бывает покрыта буквами C, H и O, соединенными линиями, то на доске физика вы, вероятно, найдете диаграммы, изображающие взаимодействие элементарных частиц, из которых состоят сами атомы химика. Эти динамические диаграммы показывают развитие во времени событий, происходящих, например, при взаимодействии электрона с позитроном.

Рис. 5.9. Фейнмановская диаграмма взаимодействия между электроном и позитроном[82]

Физик Ричард Фейнман придумал эти диаграммы в качестве средства, помогающего отслеживать ход чрезвычайно сложных вычислений, которые он выполнял, пытаясь понять эти частицы. Впервые он рассказал об открытии этого схематического шортката весной 1948 года на конференции по теоретической физике в отеле Поконо Мэнор в сельской части Пенсильвании.

На закрытом заседании, посвященном обсуждению теории квантовой электродинамики (КЭД), которая объясняет взаимодействие света с веществом, молодой ученый из Гарварда Джулиан Швингер в течение целого дня рассказывал о своем сложном математическом подходе к КЭД. Этот продолжавшийся весь день лекционный марафон прерывался только на перекуры и обед, и к его концу слушатели, вероятно, уже мало что соображали. Может быть, именно поэтому в конце дня, когда Фейнман встал к доске, чтобы рассказать о своем методе, и стал рисовать на ней диаграммы, сначала присутствующие не поняли, как именно они могут помочь в вычислениях. Более того, некоторые из бывших на лекции светил, в том числе Поль Дирак и Нильс Бор, были настолько озадачены картинками Фейнмана, что решили, что молодой американец просто не понимает квантовой механики.

Фейнман уехал с этой конференции разочарованным и подавленным. Но в конце концов диаграммы спас другой великий физик, Фримен Дайсон, который понял, что на самом деле они эквивалентны сложным вычислениям, которые выполнял Швингер. Только после того, как Дайсон рассказал о своем понимании диаграмм на одной из своих лекций, физическое сообщество начало принимать их всерьез. В статьях, которые Дайсон писал после этого, излагались пошаговые инструкции, объяснявшие, как составлять такие диаграммы и как переводить их на язык соответствующих математических выражений.

Сегодня эти диаграммы, придуманные Фейнманом, – первое средство, к которому обращаются физики-теоретики, пытающиеся понять, что происходит при взаимодействии частиц. Они представляют собой поразительный схематический шорткат к взаимосвязям, действующим на самом фундаментальном уровне физической вселенной. Хотя еще ни в одном эксперименте не были обнаружены отдельные кварки, такие диаграммы, начерченные на доске, дают нам возможность следить за тем, что происходит с этими элементарными частицами по мере их взаимодействия с окружающим миром.

Еще один, не менее плодотворный, визуальный шорткат к сложнейшим идеям фундаментальной физики создал мой оксфордский коллега Роджер Пенроуз. В 1967 году он предложил теорию твисторов, задача которой состоит в объединении квантовой физики – физики предельно малого – с теорией гравитации, по большей части касающейся физики чрезвычайно крупных объектов. Эта теория построена на объемном математическом аппарате, и Пенроуз считал, что в сложной математике лучше всего разбираться при помощи рисунков. По счастью, он сам весьма талантливый художник; в его работах встречаются очень интересные переклички с произведениями голландского художника М. К. Эшера. Вероятно, художественное дарование Пенроуза помогло ему создать диаграммы, ставшие наилучшим шорткатом к пониманию сложных математических аспектов его теории.

Хотя Пенроуз изложил свои идеи в конце шестидесятых годов, широкое распространение они получили лишь недавно, благодаря новой работе, связывающей его теорию с современными представлениями. Одна из созданных благодаря этому новому подходу диаграмм, которую назвали амплитуэдром, стала поразительным шорткатом к пониманию физики взаимодействия восьми глюонов – частиц, «склеивающих» кварки при помощи сильного взаимодействия[83]. Аналогичные вычисления даже с использованием диаграмм Фейнмана потребовали бы около пятисот страниц математических выкладок.

«Эффективность этого метода поражает воображение, – отмечает Джейкоб Бурджейли, физик-теоретик из Гарвардского университета, бывший в числе исследователей, разработавших эту новую идею. – Он позволяет легко выполнить на бумаге расчеты, которые до этого было невозможно произвести даже на компьютере».

Диаграммы Венна

Вы, возможно, уже знакомы с диаграммами, подобными той, которую я продемонстрировал в головоломке в начале этой главы. Это так называемые диаграммы Венна, действенное визуальное средство организации информации. Каждый круг обозначает некую концепцию, а области, в которых эти круги пересекаются или не пересекаются, – разные логические варианты взаимоотношений этих концепций. Возьмем, например, идею принадлежности числа к множествам а) простых чисел, б) чисел Фибоначчи и в) четных чисел. Мы можем распределить числа от 1 до 21 в соответствии с тем, каким из этих категорий они соответствуют.

Рис. 5.10. Диаграмма Венна простых чисел, чисел Фибоначчи и четных чисел

Диаграмма Венна – это удобный и наглядный способ представления разных возможностей. В данном случае из диаграммы видно, что число 2 – единственное четное простое число (поэтому математики любят шутить, что 2 – непростое простое число). Нет ни одного числа, которое было бы четным и простым, но не относилось к числам Фибоначчи.

Эти диаграммы называются именем английского математика Джона Венна, предложившего их в 1880 году в статье под названием «О диаграмматическом и механическом представлении тезисов и рассуждений» (On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings). Предполагалось, что диаграммы помогут понимать логический язык, который разрабатывал современник Венна Джордж Буль. Помимо них Венн занимался изготовлением «крикетных пушек» – автоматов, подающих мячи для тренировки отбивающих игроков. Однажды опробовать его машину попросили игроки приехавшей в Кембридж, где работал Венн, сборной Австралии по крикету. Они были несколько ошарашены, когда машина четыре раза подряд выбила из игры капитана команды. Но Венн считал более важным своим достижением диаграммы.

«Я сразу стал несколько увереннее работать над темами и книгами, которые я должен преподавать, – писал он. – Теперь я начинаю с диаграмматического приема, представляющего тезис в виде включающих и исключающих кругов. Разумеется, к тому времени этот прием не был новым, но он настолько явно отражал тот способ, которым любой рассматривающий тему с математической точки зрения попытался бы наглядно представить тезисы, что я почти сразу же пристрастился к нему».

Венн был прав: идея использования графических изображений для представления логических возможностей была не нова. Есть даже свидетельства того, что нечто подобное создал живший еще в XIII веке философ Раймунд Луллий. С помощью своих диаграмм он старался разобраться в связях между разными религиозными и философскими атрибутами. Они предназначались для применения в дебатах, целью которых было убедить мусульман перейти в христианскую веру при помощи логических рассуждений[84].

Но закрепилось за ними именно имя Венна. Чаще всего можно увидеть диаграммы, иллюстрирующие три разные категории. Это связано с тем, что такую диаграмму, по-видимому, проще всего начертить так, чтобы она учитывала все возможные варианты. Когда дело доходит до четырех разных категорий, становится гораздо труднее добиться, чтобы пересечения областей отражали все логические возможности. Например, следующая диаграмма недостаточно полна:

Рис. 5.11. Это не диаграмма Венна для четырех множеств

На ней нет области, соответствующей пересечению множеств А и D без пересечения с двумя остальными. Вместо нее нужна диаграмма такого рода:

Рис. 5.12. Диаграмма Венна для четырех множеств

В диаграмме Венна для семи множеств уже начинает теряться смысл диаграммы как средства, облегчающего понимание:

Рис. 5.13. Диаграмма Венна для семи множеств

Одна из самых любимых моих книг называется «Угадай мелодию по Венну» (Venn That Tune, 2008); ее написал Эндрю Винер, использовавший диаграммы Венна для кодирования названий песен. Он же был автором головоломки, приведенной в начале этой главы. Эта диаграмма обозначает песню «Застрял с тобой посередине» (Stuck in the Middle with You) британской группы Stealers Wheel, работающей в жанре фолк-рок.

Шорткат к шорткатам

Как представить сообщения или данные в виде изображения или диаграммы? В нашем распоряжении много разных жанров, которые могут открыть шорткат к пониманию. Простой график, иллюстрирующий зависимость прибылей компании от времен года. Столбчатая диаграмма, отслеживающая популярность разных блюд в кафе. Диаграмма Венна, объясняющая совпадения и различия мнений разных политических партий. Или же сетевая схема, подобная схеме лондонского метро, выявляющая те связи между идеями, которые не позволяют разглядеть слова.

Пит-стоп: Экономика

«Самый мощный инструмент в экономике – это не деньги и даже не алгебра. Это карандаш». С этих слов начинается книга Кейт Раворт «Экономика пончика» (Doughnut Economics, 2017), в которой она предлагает новую диаграмму, ставящую под вопрос экономический дискурс XX века. Это диаграмма в форме пончика.

Рис. 5.14. «Экономика пончика»

Я горячий поклонник книги Раворт, отчасти потому, что пончик (или тор, как мы называем эту форму в математике) – одно из моих самых любимых геометрических тел. Не только потому, что пончики вкусны, но и из-за чрезвычайно интересных математических аспектов его формы. Понимание связанной с ним арифметики было центральным элементом доказательства Великой теоремы Ферма. Понимание его топологии было жизненно важно для понимания того, какой может быть форма Вселенной. Но, как я узнал из книги Раворт, пончик к тому же является ключом к перевороту в экономике. Поэтому мне очень хотелось поговорить с ней о происхождении этой революционной диаграммы и ее функции шортката к экономическому мышлению.

Стоит открыть любую книгу по экономике, прослушать любую лекцию, посмотреть любой фильм на экономические темы, и мы неизбежно увидим одну и ту же пару диаграмм, появляющуюся снова и снова. Одна из них – это график роста, изображающий кривую, которая экспоненциально загибается вверх, обещая нам будущее с, по-видимому, беспредельными объемами производства. Вторая – график с двумя прямыми или кривыми, которые пересекаются, образуя Х-образную фигуру, и описывают зависимость спроса и предложения от количества и цены товаров. Кривая спроса показывает, что чем ниже цена, тем больше товара может приобрести покупатель. Кривая предложения демонстрирует, что объем производства растет, если растет цена. Считается, что совмещение этих двух кривых позволяет найти точку экономического равновесия, то есть цену, при которой объем спроса равен объему предложения.

Эти диаграммы были настолько влиятельны, что привели к убеждению, будто экономика, по сути дела, зависит только от спроса и предложения. Но Раворт хотела опровергнуть эту модель. В ней не хватало факторов, чрезвычайно важных для понимания мировой экономики – экологии и прав человека. Как писал в книге «Из обломков» (Out of the Wreckage, 2017) Джордж Монбио, лучшее, что можно противопоставить дискурсу, – это другой дискурс. Раворт придерживается сходной философии. «Эти старые диаграммы подобны интеллектуальным граффити на разуме, а граффити очень трудно соскрести, – говорит она. – Лучше всего зарисовать их чем-нибудь новым».

Раворт всегда считала, что изображения лучше всего помогают понимать сложные концепции. «В школе мне не разрешали рисовать на полях книг, но теперь мы понимаем, что существует много разновидностей интеллекта, и визуальный интеллект – одна из них. Подростком я обожала читать Фейнмана. В его книгах было полно рисунков. Может быть, именно это еще тогда подсказало мне, что это часть понимания, хотя другие говорили, что я рисую какие-то каракули».

Окончив школу, Раворт пошла учиться экономике, но ей казалось, что эта дисциплина, в сущности, не понимает, как устроены человеческие общества. «Мне становилось по-настоящему стыдно за те концепции, которые мне преподавали». Однажды, когда Раворт была присяжной в суде, ей попалась диаграмма Германа Дэйли, экономиста, работавшего во Всемирном банке, которая заронила семена ее экономического озарения. Дэйли хотел опровергнуть считавшуюся самоочевидной идею неограниченного роста и предложил проводить на экономических графиках внешнюю окружность, которую следует помечать надписью «Окружающая среда».

«Великие диаграммы отличаются тем, – говорит Раворт, – что, увидев однажды, их невозможно забыть. Они позволяют перевернуть мировоззрение, сменить парадигму». Диаграмма Дэйли оставалась в сознании Раворт несколько лет, пока, работая в Oxfam[85], она не познакомилась с другой диаграммой, основанной на его идее, и это не привело ее к ее собственному диаграммному прозрению. Эта вторая диаграмма изменила ее взгляды на экономику. Это была созданная экологом Йоханом Рокстрёмом схема девяти планетарных границ, определяющих безопасное пространство деятельности человечества. На ней была и окружность Дэйли, но, кроме того, там были изображены большие красные секторы, растущие из ее центра. Каждый из них представлял какой-нибудь фактор: озоновый слой, круговорот воды, климат, кислотность океанов и так далее. Проблема состояла в том, что многие из этих секторов выходили за окружность.

«Моя реакция была чисто рефлекторной, – говорит Раворт. – Я поняла, что с этого начинается экономика XXI века».

Но дело не ограничивалось красивой картинкой. Ее подкрепляли цифры. Экономисты обычно измеряют все на свете в долларах. Считается, что это удобный шорткат, позволяющий сравнивать величины, кажущиеся несравнимыми. Одно число, чтоб править всеми. Но Раворт находит столь одномерное мировоззрение подозрительным. Она сравнивает его с попыткой водить автомобиль, в котором вся информация о скорости, температуре, частоте вращения двигателя, остатке горючего в баке отображается одним-единственным прибором. Ездить на такой машине было бы невозможно.

«Нужна целая приборная доска, – говорит она. – Люди хорошо умеют обращаться с приборными досками. Мы живем в сложной системе. Если скрывать ее сложность, это не даст нам средств принятия решения с более широкими возможностями. Это опасный шорткат».

Именно этим были хороши новые диаграммы. Доллары не были в них единственной единицей измерения. Вместо этого в них использовались несколько единиц – тонны углекислого газа, тонны удобрений, параметры озонового слоя. И все же Раворт считала, что в диаграмме не хватало одного важного компонента – человека. «Я сидела в Oxfam в окружении людей, которые помогали ликвидировать последствия необычно сильной засухи в Сахаре или боролись за здравоохранение и образование для индийских детей, и думала: “Раз есть внешняя окружность, изображающая предельную нагрузку человечества на планету, то есть и внутренний предел, который мы последние 70 лет называем правами человека. Право, определяющее, сколько еды нужно в день каждому человеку, сколько нужно воды, какими должны быть минимальные жилищные условия или минимальный уровень образования, чтобы быть членом общества”. Если есть внешняя окружность, решила я, то нужно построить и внутреннюю окружность».

Тут Раворт подошла к доске, висящей у меня в кабинете, и набросала на ней пончик: внешняя окружность обозначала экологию, а внутренняя – права человека.

Сначала Раворт никому не рассказывала о своей диаграмме. Затем, в 2011 году, когда она представляла Oxfam на конференции специалистов по системам Земли, на которой обсуждались девять планетарных границ, кто-то повернулся к ней и сказал: «Проблема с этой системой планетарных границ в том, что в ней нет людей».

«На стене висела большая доска, – говорит Раворт. – Я сказала: “Можно, я нарисую картинку?”»

Она вскочила, нарисовала на доске свой пончик и объяснила: если внешняя окружность нужна нам, чтобы ограничивать воздействие человека на окружающую среду, нам точно так же нужна и внутренняя окружность, которая обозначает минимальные условия жизни каждого человека на планете – продовольствие, воду, здравоохранение, образование, жилье.

«Чтобы удовлетворить нужды всех и каждого, необходимо использовать ресурсы Земли, но таким образом, чтобы не выходить за пределы возможностей планеты. Мы хотим находиться в этом промежутке между окружностями, – говорит она, указывая на пончик. – Я рисовала очень быстро, потому что казалось, что мне сейчас скажут: “Да, милочка, можете садиться”. Но вместо этого они возбужденно заговорили, что именно эту картину мы все время упускали из виду; что это не круг, а пончик».

Раворт описала свою диаграмму в проекте документа Oxfam; его публикация была встречена с немедленным энтузиазмом. «Именно в этот момент я по-настоящему осознала, какими действенными шорткатами бывают изображения. Если взять все слова, которые есть на этой схеме, – продовольствие, вода, работа, доходы, образование, политическое участие, гендерное равенство, изменения климата, закисление океанов, истощение озонового слоя, сокращение биоразнообразия, химическое загрязнение – и выписать их список, никто и глазом не моргнет. Но, если изобразить их во взаимосвязи в паре концентрических окружностей, все говорят, что это настоящая смена парадигмы».

Как писал в 1972 году в ставшей классической книге «Искусство видеть» (Ways of Seeing) Джон Бергер: «Зрение первично по отношению к речи. Ребенок уже видит и понимает, хотя еще не умеет говорить»[86].

Раворт видит в диаграммах не только шорткат, но и выражение мировоззрения. И в этом их опасность, потому что может оказаться, что шорткат ведет к тому, как видите мир именно вы. Более того, диаграмма может не показывать того, что не кажется важным вам, но может быть основополагающим элементом видения других. Если компанию интересуют только краткосрочные прибыли, ее может вполне устраивать график экспоненциального роста. Однако если вас беспокоят вопросы экологии, то оказывается, что шорткат, игнорирующий вклад такого роста в изменения климата, быстро приводит к нужной им цели далеко не всех. Другую группу он, напротив, удаляет от того, к чему она стремится. Поскольку при составлении диаграммы отбрасывают ненужную информацию, ее использование приближается к срезанию углов. То, какие именно углы вы срезаете, считает Раворт, может говорить о вашем мировоззрении. То, что кажется одним экономистам шорткатом к пониманию их идей, может оказаться для других путем совершенно неверным, уводящим прочь от цели, которую они считают правильной.

«Шорткат может вести в чрезвычайно опасную пропасть, – говорит Раворт. – Мне очень полюбилось одно высказывание математика Джорджа Бокса: все модели ошибочны, но некоторые из них полезны».

Пончик стал одной из семи новых диаграмм, которые Раворт предлагает в книге «Экономика пончика» в качестве шортката к новым экономическим целям. Вспоминая процесс написания этой книги, она признается, что разрабатывать эти шорткаты было тяжелой работой – все равно что копать туннель сквозь гору.

Но эта работа была остро необходимой, учитывая, в каком направлении движутся планета и человечество.

«Чтобы преобразовать экономику в инструмент, пригодный для XXI века, – говорит Раворт, – нам нужно использовать все шорткаты, какие только можно, потому что времени у нас мало!»

6

Шорткаты дифференциальные

Если скатывать шарики по каждой из этих траекторий, по какой из них шарик быстрее всего докатится до конца – А, B или C?

Рис. 6.1. Какая линия спуска самая быстрая?

Когда астронавт подполковник Джон Гленн совершал третий виток вокруг Земли, он начал готовить свой космический аппарат к возвращению в земную атмосферу. В тот день, 20 февраля 1962 года, Гленн только что стал первым американцем, облетевшим Землю по космической орбите. Но, чтобы его полет можно было считать успешным, еще нужно было благополучно вернуться назад. Выбор траектории был жизненно важен. Если Гленн выберет неправильный угол снижения, спускаемый аппарат сгорит в атмосфере. Если он совершит посадку слишком далеко в море, корабли ВМФ не успеют подойти к аппарату прежде, чем он опустится на дно.

Жизнь Гленна была в руках калькуляторов, обрабатывавших численные данные. В 1962 году этими калькуляторами были не машины. Это была группа женщин, которых прославил впоследствии вышедший в 2016 году фильм «Скрытые фигуры» (Hidden Figures). В фильме Гленн сидит на стартовой площадке, готовясь дать команду к запуску, и просит Центр управления полетом: «Пусть девушка проверит цифры». Девушкой, о которой шла речь, была Кэтрин Джонсон, одна из группы вычислительниц, работавших на НАСА. В фильме ей понадобилось всего 25 секунд, чтобы выполнить расчеты, подтвердившие, что все идет по плану.

На самом деле вычисления Джонсон были выполнены за несколько недель до старта и, вероятно, заняли два или три дня. Тем не менее и это было потрясающе быстро, учитывая, насколько сложно было разобраться во всем диапазоне возможных случаев и сценариев. Но у Джонсон был под рукой шорткат, помогавший и НАСА, и всем остальным организациям, отправлявшим что-либо в космос, узнавать, где окажутся их космические аппараты. Это был математический анализ – вероятно, самое продуктивное средство обнаружения шорткатов из всех, когда-либо изобретенных математиками. Матанализ служит указателем, направляющим космические корабли по пути, ведущему к цели, будь то посадка зонда на комету или облет планет.

Могущество этого математического шортката использует не только космическая отрасль. Его берут на вооружение и многие коммерческие компании, чтобы максимально увеличить выпуск продукции, минимизировать затраты и найти самые рациональные способы производства. А также авиастроительные предприятия в целях разработки крыльев, вызывающих наименьшее сопротивление воздуха и позволяющих избежать чрезмерного расхода топлива. Капитаны танкеров, которым нужно находить кратчайшие маршруты через бурные воды. Брокеры, старающиеся уловить момент, когда курс акций достигнет самого высокого уровня перед обвалом. Архитекторы, которые хотят максимизировать полезную площадь проектируемых зданий с учетом ограничений, которые налагает окружающая среда. Инженеры, разрабатывающие мосты и стремящиеся минимизировать количество используемых материалов, не жертвуя структурной устойчивостью.

Чтобы достичь этих целей, всем им нужен математический анализ. Если у вас есть сложное уравнение, описывающее то, что вас интересует – экономическую систему, энергопотребление или что-нибудь еще, – он позволяет проанализировать такое уравнение и найти точки, в которых результат будет наибольшим или наименьшим.

Это же средство дало ученым XVII века способность понимать мир, находящийся в постоянном движении. Яблоки падали с деревьев. Планеты обращались по орбитам. Жидкости текли. Газы клубились. Ученым хотелось иметь способ получать моментальные снимки всех этих динамических процессов. И матанализ дал им возможность запечатлевать кадры всех этих движений. Поразительным образом этим же интересовались и работавшие в то время художники. Живописцы эпохи барокко изображали воинов, падающих с коней; архитекторы проектировали здания с размашистыми, динамичными изгибами; скульпторы запечатлевали в камне момент, когда Дафна превращается в дерево прямо в объятиях Аполлона.

Заслуга развития научной революции, произошедшей во второй половине XVII века, принадлежит двум величайшим математикам этой эпохи, Исааку Ньютону и Готфриду Вильгельму Лейбницу. Математический анализ, созданный этими великими людьми, оказался самым потрясающим шорткатом к изучению нашей динамической вселенной. Ричард Фейнман однажды назвал его «языком, на котором говорит Бог».

Поэтому, если вы еще не освоили матанализ, самое время это сделать. Для этого потребуется вникнуть в некоторое количество уравнений, но, можете мне поверить, дело того стоит.

Текучая вселенная

Еще до того, как Джон Гленн завершил орбитальный полет вокруг Земли, матанализ помог ему попасть на эту орбиту. Он ждал пуска на стартовой площадке, зная, что для преодоления гравитационного притяжения Земли корабль должен набрать определенную скорость, которую называют первой космической[87]. Но точное определение скорости космического аппарата в каждый момент его полета – задача непростая. Все непрерывно изменяется: масса корабля уменьшается по мере сгорания топлива, гравитационное притяжение ослабевает по мере удаления от Земли. Тяга реактивных двигателей состязается с гравитационным притяжением, и кажется, что все вместе образует совершенно неразрешимую головоломку. Но в том и состоит истинная сила математического анализа, что он позволяет видеть картину происходящего в невообразимо сложной системе изменяющихся переменных в любой момент времени.

А началось все с яблока, упавшего с дерева в саду принадлежавшей семье Ньютона усадьбы Вулсторп в графстве Линкольншир. Ньютон вернулся из Кембриджа в родной дом, когда началась эпидемия чумы. Кое для кого периоды изоляции во время пандемий, несомненно, бывали плодотворными. Утверждается, что именно когда театр «Глобус» закрылся на карантин, Шекспир закончил «Короля Лира». Сидя в саду, Ньютон пытался разобраться с задачей вычисления скорости падающего яблока в произвольной точке его пути от ветки до земли. Скорость равна отношению расстояния ко времени, которое занимает перемещение на это расстояние. Если скорость постоянна, все в порядке. Но проблема заключалась в том, что скорость непрерывно изменяется из-за гравитационного притяжения. Все измерения, которые проводил Ньютон, давали ему лишь среднюю скорость за период измерений.

Чтобы вычислять скорость с большей точностью, он мог использовать все меньшие временные интервалы. Но для определения точной скорости в любой момент нужно было взять бесконечно малый интервал. В пределе оказывалось, что расстояние нужно делить на нулевое время. Но как делить на 0? Эту операцию сделал осмысленной изобретенный Ньютоном математический анализ.

К тому времени Галилей уже открыл формулу, позволяющую установить, какое расстояние яблоко пролетает за любой временной промежуток. За t секунд падающее яблоко пролетает 5t^2 метров[88]. Число 5 играет здесь роль меры гравитационного притяжения Земли. Для яблони, растущей на Луне, этот коэффициент был бы меньше, потому что лунная сила тяжести меньше земной, и яблоко падало бы медленнее. Космическому аппарату Гленна нужно было учитывать изменения этого числа по мере удаления от Земли.

Возьмем яблоко и подбросим его вертикально вверх. Предположим, я бросил его со скоростью 25 метров в секунду. У бейсболистов, подающих мячи, скорость броска может превышать 40 метров в секунду, так что моя цифра не выходит за пределы разумного. Теперь высота положения яблока после броска определяется по формуле 25t – 5t^2.

При помощи этой формулы я могу рассчитать, через какое время яблоко снова долетит до моей руки, то есть его высота над моей рукой, равная 25t – 5t^2, опять станет равной 0. Если подставить в формулу t = 5, получим 0. Значит, суммарная длительность полета яблока вверх и вниз равна 5 секундам.

Но Ньютон хотел найти способ узнавать, какова скорость полета яблока в каждой точке его траектории. Однако эта скорость непрерывно изменяется, так как яблоко сперва замедляется, а затем снова ускоряется.

Попробуем вычислить при помощи нашей формулы – отношения пройденного расстояния ко времени, за которое это расстояние было пройдено, – скорость через 3 секунды. Итак, расстояние, которое пролетает яблоко между 3-й и 4-й секундами, равно

(25 × 4 – 5 × 4^2) – (25 × 3 – 5 × 3^2) = 20 – 30 = –10 м.

Минус показывает, что яблоко летит в направлении, противоположном тому, в котором я его бросил. Оно уже падает вниз. Таким образом, средняя скорость за этот период равна 10 метрам в секунду. Но это лишь средняя скорость за интервал длительностью в одну секунду. Она не равна действительной скорости яблока через 3 секунды после броска. Может быть, попробовать взять меньший интервал? Если делать этот интервал все меньше, оказывается, что скорость становится все ближе и ближе к 5 метрам в секунду. Но Ньютон хотел получить скорость моментальную, соответствующую нулевому временному промежутку. Его метод дал возможность понять, почему моментальная скорость через 3 секунды должна быть равна 5 метрам в секунду.

Рис. 6.2. График зависимости высоты полета яблока от времени. Средняя скорость между двумя значениями времени равна наклону прямой, проведенной через соответствующие точки графика

Скорость можно представить на графике зависимости пройденного расстояния от времени. Средняя скорость между 3-й и 4-й секундами – это наклон прямой, проведенной между двумя точками графика, соответствующими 3-й и 4-й секундам. Если уменьшать этот интервал, прямая будет приближаться к кривой, пока не попадет в положение, в котором она лишь касается ее в точке t = 3. Математический анализ Ньютона позволяет вычислить наклон (угловой коэффициент) прямой, касающейся кривой в этой точке. Такая прямая называется касательной к кривой. Математический анализ говорит нам, что в общем случае скорость (наклон касательной) в момент t вычисляется по формуле

25 – 10t

Вот почему это так: предположим, мы хотим вычислить скорость в момент t. Посмотрим, какое расстояние яблоко пролетит за малый промежуток времени после t, скажем, от момента t до момента t + d.

(25(t + d) – 5(t + d)2) – (25t – 5t^2) = 25 t + 25d – 5t^2 – 10td – 5d^2 – 25t + 5t^2 = 25 d – 10td – 5d^2

Теперь разделим на величину временного интервала d:

Если взять чрезвычайно малую величину d, скорость будет равна

25 – 10t

Это выражение называется производной функции 25t – 5t^2. Этот хитроумный алгоритм берет формулу расстояния, пройденного за некоторое время, и выдает новую формулу, позволяющую определить скорость в любой момент времени. Достоинство этого инструментария в том, что он применим не только к яблокам и космическим кораблям. Он позволяет анализировать любые процессы с непрерывными изменениями.

Производителю важно знать стоимость создания новой продукции, чтобы установить цену, которая будет обеспечивать прибыль. Вначале себестоимость продукции будет очень высокой из-за расходов на оборудование производства, наем работников и так далее. Но по мере производства все больших ее объемов себестоимость каждого следующего изделия будет изменяться. Вначале она будет снижаться, потому что производство этой продукции будет становиться все более экономичным. Но если чрезмерно увеличить объемы производства, стоимость продукции снова может вырасти. Увеличение производства рано или поздно приводит к работе в сверхурочное время, использованию менее производительных старых предприятий, конкуренции за дефицитное сырье и тому подобному. В результате стоимость дополнительных изделий увеличивается.

Это несколько похоже на подбрасывание в воздух мяча: сначала мяч летит быстро, но с каждой следующей секундой замедляется и пролетает все меньшее расстояние. Математический анализ может помочь производителю понять, как себестоимость продукции изменяется с изменениями объема производства, и найти оптимальную точку, то есть узнать, сколько нужно производить, чтобы себестоимость была наименьшей.

Открытый Ньютоном шорткат к пониманию подвижного мира положил начало современной науке. Я считаю Ньютона, как и Гаусса, одним из величайших мастеров шортката всех времен. Я даже совершил паломничество в поместье Вулсторп, где, как рассказывают, Ньютон сидел под яблоней, вдохновившей его на создание этого гениального шортката. К моему удивлению, дерево все еще было на месте! Мой экскурсовод позволил мне взять два его яблока, и из одного из их семечек мне удалось вырастить яблоню в своем саду. Под этим деревом я сижу долгими часами, надеясь найти шорткат, который приведет меня к решению задачи, над которой я сейчас работаю.

Гаусс, как и я, был горячим поклонником работ Ньютона. «Было всего три математика эпохального значения, – писал он, – Архимед, Ньютон и Эйзенштейн». Последнее имя – не опечатка. Речь идет о Готтхольде Эйзенштейне[89], молодом прусском ученом, занимавшемся теорией чисел. Он произвел на Гаусса столь сильное впечатление тем, что решил несколько задач, которые тот не смог решить сам.

К истории о яблоке, якобы бывшем ключом к открытиям Ньютона, Гаусс всегда относился довольно скептически. «История с яблоком слишком абсурдна, – писал он. – Падало ли яблоко или не падало, как можно поверить, что это могло ускорить или задержать такое открытие? Несомненно, на самом деле произошло нечто вроде следующего. Какой-нибудь назойливый глупец пришел к Ньютону и стал расспрашивать его, как он сделал свое великое открытие. Когда Ньютон увидел, с каким олухом он имеет дело, и захотел от него избавиться, он сказал, что ему на нос упало яблоко; тому все стало совершенно ясно, и он ушел, удовлетворенный».

Ньютон действительно не слишком заботился о пропаганде своих идей. Для него математический анализ был не столько средством оптимизации решений, сколько личным инструментом, помогшим ему прийти к выводам, которые он изложил в «Математических началах натуральной философии» (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica), великом труде, описывавшем его идеи относительно гравитации и законов движения, которые он опубликовал в 1687 году. Он объяснял, что его анализ был ключом к научным открытиям, содержавшимся в этой книге: «Г-н Ньютон нашел бо́льшую часть тезисов, изложенных в “Началах”, при помощи этого нового Анализа».

Он любил довольно высокопарно говорить о себе в третьем лице, но так и не опубликовал никакого изложения «нового анализа». Вместо этого он частным образом распространял его идеи среди своих друзей, не ощущая потребности представлять их на всеобщее обозрение. Последствия того, что Ньютон отказывался официально публиковать свои идеи, оказались весьма неприятными. Потому что через несколько лет после открытия Ньютона математический анализ разработал и другой математик – Готфрид Лейбниц. И удобство этого средства для оптимизации сделали очевидным именно его методы.

По максимуму

Если Ньютону математический анализ был нужен, чтобы понять окружавший его непостоянный физический мир, Готфрид Лейбниц пришел к тем же идеям с более математического, философского направления. Он увлекался логикой и языками; им двигало стремление запечатлеть самое широкое многообразие разных объектов, находящихся в непрерывном движении. У Лейбница были грандиозные планы. Он был последователем невероятно рационалистских взглядов на мир. Если бы все удалось свести к математическому языку, способному недвусмысленно выразить что угодно, можно было надеяться положить конец страданиям человечества: «Исправить наши рассуждения можно, только сделав их настолько же поддающимися оценке, насколько поддаются ей рассуждения Математиков, чтобы ошибку можно было увидеть с первого же взгляда, а когда возникнут споры, мы могли попросту сказать: давайте же, не откладывая, вычислим, кто прав».

Хотя его мечта об универсальном языке решения задач так и не осуществилась, Лейбницу удалось создать свой собственный язык, способный запечатлевать непрерывно изменяющееся. В самом сердце его новой теории был алгоритм, несколько похожий на компьютерную программу или механический набор правил, который можно было применить для решения огромного множества еще не решенных задач. Лейбниц был очень доволен своим изобретением: «Ибо более всего мне нравится в моем анализе то, что он дает нам в геометрии Архимеда то же преимущество перед Древними, какое Виет и Декарт дали нам в геометрии Евклида или Аполлония, избавляя нас от необходимости использовать воображение».

Если изобретенные Декартом координаты превратили геометрию в числа, анализ Лейбница точно так же создал новый язык, позволяющий расшифровать и точно представить изменяющийся мир.

Хотя Ньютону и Лейбницу ставят в заслугу революционное превращение математического анализа в ту могущественную дисциплину, которую преподают в наше время, тот факт, что матанализ помогает находить шорткаты к оптимальным решениям задач, осознал Пьер де Ферма, прославившийся своей Великой теоремой.

Ферма хотел найти способ решения задач следующего типа. Царь пообещал своему доверенному советнику в награду за верную службу земельный надел у моря. Советник получил от царя 10 километров изгороди, чтобы застолбить прямоугольный участок, упирающийся в морской берег[90]. Советнику, естественно, хотелось бы, чтобы площадь его надела была максимальной. Как ему следует расположить изгородь?

По сути дела, тут можно варьировать лишь одну переменную – длину стороны участка, перпендикулярной берегу, которую я обозначу буквой Х. По мере ее роста протяженность участка вдоль моря уменьшается. Какое соотношение этих двух длин даст максимальную площадь прямоугольника, ограниченного изгородью? На первый взгляд может показаться, что следует выбрать квадратную форму. Стремление к максимальной симметрии часто бывает правильной стратегией для обнаружения шортката к решению. Например, мыльный пузырь стремится к симметричной сферической форме, при которой содержащийся в нем воздух окружает поверхность наименьшей возможной площади. Но даст ли симметрия квадрата правильный ответ нашему доверенному советнику?

Есть очень простая формула зависимости площади участка от Х, переменной длины стороны. Поскольку длина участка вдоль берега равна 10 – 2Х, площадь участка А должна составлять

Х × (10 – 2Х) = 10Х – 2Х^2.

Какое значение Х делает эту величину наибольшей? Можно, конечно, просто перебирать значения Х, пока нам не покажется, что мы нашли такое из них, которое делает площадь самой большой. Но это долгий путь к решению задачи. Ферма понял, что существует и другой, более легкий.

Рис. 6.3. График зависимости площади участка от длины одной из сторон. Площадь максимальна там, где горизонтальная прямая пересекает кривую в одной точке, а не в двух

Шорткат, который он нашел, состоял в преобразовании формулы площади в изображение. Построим график функции 10Х – 2Х^2. На самом деле этот шорткат в итоге избавляет и от необходимости строить графики, но, чтобы найти шорткат, иногда приходится сначала идти в обход. График представляет собой кривую, сперва растущую от Х = 0 до пика, а затем спадающую до Х = 5, при котором площадь равна нулю. Самое главное – выяснить, где находится пик. Именно в этой точке площадь будет наибольшей. Какое же значение Х соответствует пику?

Проведем на графике горизонтальную прямую. В общем случае она пересекает кривую в двух точках – кроме самой вершины, в которой горизонтальная прямая лишь касается кривой в одной точке. Эту точку мы и ищем: это вершина графика, соответствующая самой большой площади. Ферма нашел способ определять эту точку, не строя графика. Оказалось, что оптимальную площадь участка дает значение Х = 2,5. Участок получился не квадратом, а прямоугольником, длинная сторона которого в два раза длиннее короткой. Если вы не боитесь алгебраических выкладок, вот вам более подробное изложение идеи Ферма.

Пусть Х = а. Тогда горизонтальная прямая, проведенная через эту точку, пересечет другую сторону кривой в некоторой точке X = b, в которой высота кривой такая же, как и в точке Х = а. Значит, это точка, в которой

10a – 2a^2 = 10b – 2b^2

Это равенство можно упростить при помощи некоторых алгебраических приемов. Перенесем все члены с квадратами в одну сторону:

2a^2 – 2b^2 = 10a – 10b

Но выражение с квадратами можно разложить на множители:

2(a – b)(a + b) = 10(a – b)

Разложить алгебраическое выражение на множители означает переписать его в виде произведения двух более простых выражений. В нашем случае речь идет о разности двух квадратов, которая попросту равна произведению (a – b) и (a + b). Но теперь видно, что обе части нового равенства содержат множитель (a – b). Его можно сократить с обеих сторон, и тогда мы получим

(a + b) = 5

Но Ферма интересовала та точка, в которой a и b равны, потому что именно она соответствует вершине кривой. В этой точке b = a. Подставив это в наше уравнение, получим

2a = 5

Точка, в которой находится вершина кривой, соответствует а, равному 2,5. Это длина стороны прямоугольника, дающего наибольшую площадь земельного участка. Следовательно, размеры прямоугольника – 2,5 на 5.

В приведенных выше вычислениях есть один интересный момент, касающийся деления на (a – b). С этой операцией все в порядке, кроме случая, когда a = b, в котором получается, что мы делим на 0, чего делать нельзя. Но погодите. Разве Ферма не хотел найти именно ту точку, в которой a = b? Как же с этим быть?

Для этого и нужен математический анализ. Он делает деление на 0 осмысленной операцией.

Мы видели математические операции, но где же математический анализ? Анализ позволяет получить наклон касательной к каждой точке кривой. Ферма понял, что максимум площади достигается в точке, в которой касательная горизонтальна. Это та точка, в которой наклон, то есть производная, равен нулю. Именно в этом заключается метод использования матанализа для поиска оптимальных значений функций: нужно найти точку, в которой производная функции равна нулю.

Кривая, описывающая площадь земельного участка, выглядит на удивление похоже на кривую, которую Ньютон построил для определения высоты полета своего яблока. Формула площади участка, 10Х – 2Х^2, и формула удаления яблока от моей руки – 25t – 5t^2, – это, по сути дела, одна и та же формула. Вторая получается из первой простым умножением на 2,5. В этом состоит один из великих шорткатов математики. Одно и то же уравнение может быть применимо ко множеству разных сценариев. В случае яблока точка, соответствующая наибольшей высоте его полета в воздухе, – это тот момент, когда скорость яблока становится нулевой и оно начинает лететь в противоположном направлении.

Но формулы такого рода могут описывать и многие другие вещи: энергопотребление, количество стройматериалов, длительность поездки. Появление метода, позволяющего найти наилучший способ максимизации или минимизации этих разнообразных величин, совершило настоящую революцию. Если формула дает зависимость прибыли компании от разных факторов, которые компания может регулировать, кому не захочется иметь средство, позволяющее настроить эти факторы так, чтобы получать наибольшую прибыль? Математический анализ – это шорткат к максимальной прибыльности.

Математика на стройке

Хотя математический анализ в первую очередь был создан, чтобы анализировать изменения, происходящие с миром во времени, он также полезен и для изучения изменений, происходящих вне времени. В частности, матанализ стал мощным средством для рассмотрения разных вариантов проектирования зданий и поиска тех из них, которые оптимизируют экономию энергии, шумоподавление или стоимость строительства, в то же время позволяя построить здание, которое выдержит испытание временем.

Одно такое здание, завершенное в 1710 году, до сих пор гордо возвышается не очень далеко от того места, где я живу в Лондоне: это собор Святого Павла. Я испытываю слабость к этому зданию отчасти потому, что проектировал его математик, учившийся в том же оксфордском колледже, в котором был студентом и я. До того, как Кристофер Рен стал одним из ведущих архитекторов Англии, он учил математику в Уодхэм-колледже. Студентом он освоил широкий диапазон методик, которые впоследствии позволяли ему находить шорткаты к проектированию некоторых из самых замечательных зданий в стране.

Одним из его первых великих свершений было строительство Шелдонского театра в Оксфорде: в этом здании студентам университета торжественно выдают дипломы. Это здание прекрасно тем, что в нем нет несущих колонн, на которые опиралась бы его огромная крыша. Причина этого была, видимо, не в том, что колонны мешали бы родителям видеть, как их чада получают дипломы, а в том, что раньше здание использовалось в основном для танцев. Рен сумел соорудить эту необычайно обширную крышу без видимых опор при помощи решетчатой структуры из балок, которая переносит нагрузку на края, опирающиеся на внешние стены. Но, чтобы найти работоспособный вариант конструкции, ему нужно было решить систему из 25 линейных уравнений. Хотя Рен и получил математическое образование, эта задача поставила его в тупик, и в конце концов он обратился за помощью к Джону Валлису[91], профессору кафедры геометрии, учрежденной Генри Савилем. Обращение за помощью часто бывает важным шорткатом!

Но по-настоящему математические дарования Рена проявились при строительстве купола собора Св. Павла. Купол, который видишь, подходя к собору, имеет сферическую форму. Сфере присущи красота и совершенство, особенно ясно видные на расстоянии. Кроме того, сферическая форма отсылала к идее церкви, объемлющей сферическое мироздание. Но с точки зрения строительства у сферы есть один важный недостаток. Она не может стоять сама по себе. Ее глубина недостаточна, чтобы выдерживать ее собственный вес, так что, если бы купол ни на что не опирался, он обрушился бы в самую середину собора. Поэтому на самом деле у Св. Павла не один купол, а целых три.

То, что вы видите изнутри собора, – не внутренняя поверхность внешнего купола. На самом деле это второй купол, и его форма воспроизводит новую кривую, называемую цепной линией, которую, в частности, описал при помощи математического анализа Лейбниц. Такой купол способен стоять сам по себе, без поддержки. Кривую, о которой идет речь, образует цепь, подвешенная за два конца. Шар, свободно катящийся с горы, находит точку наименьшей энергии и останавливается в ней; свободно висящая цепь точно так же принимает форму с наименьшей потенциальной энергией. Природа очень хорошо умеет находить такие низкоэнергетические состояния. Но для архитекторов – в том числе Рена – важнее всего было то обстоятельство, что в перевернутом виде эта низкоэнергетическая кривая становится профилем, способным поддерживать свой собственный вес.

Какова же форма этой кривой? Лейбниц проводил эксперименты, пробуя разные формы и составляя уравнения потенциальной энергии для каждой из них. Затем он нашел кривую, соответствующую наименьшей энергии, при помощи математического анализа. Она и должна была соответствовать форме висящей цепи. Будущие поколения архитекторов могли использовать найденную форму для сооружения свободно стоящих куполов, не подвешивая в зданиях, которые они строят, настоящих цепей. Рена же форма цепной линии особенно привлекала тем, что она создает измененную перспективу: когда смотришь снизу на такой купол, он кажется выше, чем он есть на самом деле. Применение математики для создания оптических иллюзий было в большой моде в архитектуре периода барокко.

Оставалась еще одна задача: нужно было сделать так, чтобы внешний купол не мог обрушиться внутрь собора и разрушить великолепный внутренний. Поэтому между двумя куполами, которые мы видим, скрыт еще и третий. Недавно у меня была возможность попасть внутрь двух куполов Св. Павла и увидеть третий купол, который, собственно, и обеспечивает поддержку сферического внешнего купола. В этом скрытом куполе также использована цепная линия: чтобы определить форму арки, необходимой для поддержки главки, которую Рен установил в высшей точке внешнего купола. Если подвесить на цепь какой-нибудь груз, он оттянет цепь вниз. При помощи матанализа можно получить математическое описание этой новой формы, соответствующей минимальной энергии. Но интереснее всего вот что: если перевернуть эту новую кривую, получится арка, которая сможет выдержать установленный на ее вершине вес, эквивалентный весу груза, подвешенного на цепи. Именно так Рен и разработал форму внутреннего купола, поддерживающего вершину купола сферического, который мы видим извне.

Самый необычный пример использования цепей с грузами для строительства куполов можно увидеть, если спуститься в подвал храма Саграда Фамилия в Барселоне. Антони Гауди задействовал этот принцип при проектировании крыши еще недостроенной часовни. Он подвешивал множество мешков с песком, имитировавших предполагаемую нагрузку на конструкцию, на целую сеть веревок, которые провисали по цепным линиям. При перевороте кривых, образованных веревками, получалась форма будущей крыши, которая не обрушится под таким весом. Добавляя и передвигая мешки, Гауди добился нужной ему формы крыши часовни, точно зная, что она не провалится, когда он ее построит. Но, чтобы получить математическое описание всех этих кривых, которое можно было бы передать производителям, нужно воспользоваться шорткатом матанализа. Сегодня архитекторы разрабатывают здания криволинейных форм, украшающие панорамы наших городов, только вместо цепей и мешков с песком, которые нужно передвигать вручную, им помогают математический анализ и уравнения, обрабатываемые компьютерами.

Однако матанализ помогает строить не только соборы и небоскребы. Найденные Лейбницем кривые с оптимальными свойствами позволили открыть и кривые, лучше всего подходящие для сооружения американских горок!

Американские горки

Я очень люблю кататься на американских горках. Занудным математикам вроде меня кажется, что вагончики разгоняются до предельных скоростей и в то же время удерживаются на рельсах силой геометрии и матанализа, вложенных в создание этих трасс. В Европе есть одни американские горки, волнующие мою математическую кровь больше, чем какие бы то ни было другие: это трасса Гранд-Нэшнл в Блэкпуле. В поездке по этой трассе можно не только ощутить могущество математического анализа, но и встретиться с одним из самых интересных объектов математической кунсткамеры – лентой Мёбиуса.

Как можно догадаться по названию аттракциона, Гранд-Нэшнл – это гонка с участием двух поездов[92]. Когда садишься в вагончик в верхней точке аттракциона, оказывается, что он состоит из двух параллельных трасс. Те, кто едет в разных поездах, проезжают изгибы, повороты и другие элементы трассы, названные именами наиболее известных препятствий знаменитых скачек, на расстоянии вытянутой руки друг от друга. Но, когда поезда выезжают на финальный участок перед самой финишной чертой, обнаруживается нечто странное. Каждый из них приезжает не к тому перрону, от которого он отправлялся, а к противоположному. Очень интересно. Трассы нигде не смыкаются и не пересекаются. Как же создателям аттракциона удалось провернуть этот фокус?

Этот эффект достигается в точке, названной в честь злополучного препятствия Бечерс-брук, где одна из трасс проходит над другой. После этого трассы оказываются по другую сторону друг от друга и заканчиваются у противоположных остановок.

Эта простая смена сторон в точке Бечерс-брук – главный элемент ленты Мёбиуса, прекрасной математической фигуры, лежащей в основе конструкции трассы. Чтобы сделать свою собственную ленту Мёбиуса, возьмите длинную полоску бумаги шириной около 2 сантиметров. Сверните ее в кольцо, но перед тем, как соединить концы полоски, переверните один из них на 180 градусов. Если представить себе бумажную ленту, проходящую между двумя трассами аттракциона Гранд-Нэшнл, то в точке Бечерс-брук, где две колеи проходят друг под (и над) другом и меняются местами перед возвращением к началу трассы, эта бумажная лента переворачивается на 180 градусов.

Лента Мёбиуса обладает весьма любопытными свойствами. У нее всего одна сторона. Приложите к ней палец и проведите им по всему кольцу. Вы сможете довести его до любой другой точки на поверхности ленты. Это означает, что трасса американских горок в Блэкпуле – это, по сути дела, не две параллельные колеи, а одна непрерывная колея. Но больше всего американским горкам, подобным аттракциону в Блэкпуле, нужна скорость!

Если вам нужны самые скоростные американские горки, оказывается, что матанализ поможет вам составить самый быстрый маршрут до цели. Собственно говоря, это и есть та головоломка, с которой начинается эта глава. Если даны две точки А и Б в вертикальной плоскости, какой будет кривая, начинающаяся в точке А и кончающаяся в точке Б, которую объект, движущийся только под воздействием силы тяжести, пройдет за самое короткое время?

Эту задачу впервые задал не разработчик парка аттракционов, а швейцарский математик Иоганн Бернулли, и было это в 1696 году. Он выбрал ее, чтобы устроить поединок между двумя величайшими умами того времени – своим другом Лейбницем и его лондонским соперником Ньютоном:

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам мира. Ничто не может быть привлекательнее для человека мыслящего, чем честная, трудная задача, возможное решение которой принесет ему славу и пребудет долговечным ему памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и проч., я надеюсь заслужить признательность всего научного сообщества, предложив лучшим математикам нашего времени задачу, которая послужит испытанием их методам и силе их разума. Если кто-либо сообщит мне решение предложенной задачи, я во всеуслышание объявлю его достойным славы.

В задаче предлагалось сконструировать наклонный путь, по которому шарик переместится из верхней точки А в нижнюю точку Б за самое короткое возможное время. Может показаться, что самым быстрым будет спуск по прямой. Или, может быть, по параболе, подобной той траектории, по которой следует шарик, подброшенный в воздух. На самом же деле ни одно из этих решений не будет правильным. Самым быстрым оказывается спуск по циклоиде – траектории, которую описывает точка на ободе катящегося велосипедного колеса.

Рис. 6.4. Циклоида: кривая, описываемая точкой окружности, катящейся по прямой

Если я переверну эту кривую, получится наискорейший спуск из А в Б. Кривая опускается ниже уровня конечной точки, и шарик набирает бо́льшую скорость, что позволяет ему преодолеть финишный подъем и докатиться до цели быстрее, чем по любой другой кривой.

Поскольку матанализ может находить минимальное и максимальное значения переменной при определенных условиях, существование бесконечного множества кривых, ведущих из А в Б, не имеет значения. Уравнения всегда позволяют нам найти самую скоростную из них.

В конце концов Ньютон и Лейбниц ввязались в ожесточенный спор о том, кто первым открыл этот поразительный шорткат к нахождению оптимальных решений задач. В течение нескольких лет они обменивались колкостями и обвинениями, пока наконец в 1712 году Лондонскому королевскому обществу не предложили рассудить их спор: действительно ли Ньютонов «метод флюксий», как называл его сам Ньютон, был открыт раньше, и содержится ли в дифференциальном методе, изобретенном Лейбницем, плагиат его идей. В 1714 году Королевское общество официально объявило создателем математического анализа Ньютона и, хотя и признало, что Лейбниц первым опубликовал свое изобретение, обвинило Лейбница в плагиате. Однако доклад Королевского общества по этому вопросу, вероятно, нельзя считать вполне беспристрастным: дело в том, что составил его президент общества, некий сэр Исаак Ньютон.

Лейбница это задело чрезвычайно сильно: он восхищался Ньютоном и так никогда по-настоящему и не оправился от этой обиды. Но по иронии судьбы в конце концов одержала верх та трактовка математического анализа, которую предлагал Лейбниц, а не Ньютон.

Хотя у основополагающих идей Лейбница было много общего с принципами, которыми руководствовался при разработке математического анализа Ньютон, между ними было и важное различие. Лейбниц пришел к своему анализу с более лингвистической, математической стороны. Его не интересовали ни падающие яблоки, ни определение изменений их скорости во времени; он рассматривал гораздо более общую картину. Матанализ Лейбница был предназначен для описания объектов, зависящих от нескольких факторов, для нахождения последствий изменения этих факторов.

Ньютон был в душе физиком, и его стремление описывать физический мир, вероятно, стесняло его возможности. Язык и обозначения, введенные Лейбницем, были гораздо более гибкими и пригодными для использования в разных ситуациях. Именно обозначения Лейбница выдержали проверку временем и преподаются в школах и университетах до сих пор.

По правде говоря, и Лейбниц, и Ньютон лишь начали процесс разработки математического анализа. Трактаты и аналитические выкладки обоих обладают многочисленными недостатками. Задача создания прочных логических основ матанализа выпала на долю следующего поколения. Но нельзя отрицать, что успехи следующего поколения стали возможными лишь благодаря тем революционным открытиям, которые совершили Ньютон и Лейбниц. Говоря словами знаменитого высказывания Ньютона: «Если я и видел дальше других, то лишь потому, что стоял на плечах гигантов»[93].

Занимаются ли собаки матанализом?

Однако возможно, что и Ньютона, и Лейбница опередили с созданием математического анализа другие соперники. Судя по некоторым данным, в животном царстве научились находить оптимальные решения задолго до того, как люди открыли для себя шорткат матанализа.

Вернемся к нашему доверенному советнику: он уже получил свой максимальный земельный надел, определенный при помощи матанализа, и теперь отдыхает на пляже. Внезапно он замечает в море попавшего в беду пловца. Он зовет дежурящую на пляже женщину-спасателя, призывая ее спасти тонущего.

Рис. 6.5. Какой путь нужно выбрать спасателю, чтобы быстрее всего добраться до тонущего пловца?

Предположим, что спасатель бегает в два раза быстрее, чем плавает. В какой точке ей следует войти в воду, чтобы спасти тонущего быстрее всего?

Если бы спасатель старалась минимизировать расстояние, которое ей нужно преодолеть, она бы просто провела прямую линию между начальной и конечной точками. Но, поскольку в воде спасатель перемещается медленнее, чем на суше, на самом деле ей нужно выбрать маршрут, сокращающий время плавания. Однако, если она побежит к точке, плавание из которой займет наименьшее время, возникнет другая проблема. В этом случае ей придется преодолеть большее расстояние по пляжу, что в конечном счете увеличит общее время. Видимо, оптимальным решением будет отправить спасателя в некоторую точку, расположенную справа от пересечения береговой линии с прямой между ними, но не доходя до места, в которое приходит перпендикулярная берегу прямая, проведенная от местоположения пловца. Где же лучше всего войти в воду, чтобы найти истинный шорткат к тонущему пловцу?

Ферма размышлял и об этой задаче. Это еще одна задача на оптимизацию. В варианте Ферма речь шла не о поиске самого быстрого маршрута для спасателя, а о пути, по которому распространяется луч света.

Вам, возможно, знакома странная иллюзия, возникающая в бассейне, когда внезапно начинает казаться, что на опущенной в воду палке появляется излом. На самом деле изгибается не палка, а свет, проходящий от палки до глаза наблюдателя. Как я уже говорил в главе 4, свет обожает шорткаты. Он старается найти кратчайший путь от палки до глаза. Но в воде свет распространяется медленнее, чем в воздухе. Поэтому он, как и наша спасатель, старается провести в воде как можно меньше времени, но так, чтобы время, проведенное в воздухе, не было чрезмерно долгим. Тот же принцип объясняет странные миражи, которые можно увидеть в пустыне. Свет, испускаемый участком неба, распространяется по кратчайшему пути через нагретый воздух, расположенный ближе к земле, а затем попадает в глаза, в результате чего кажется, что небо, похожее на воду, находится на земле.

Спасателю, как и советнику с его изгородью, нужно составить уравнение относительно времени, которое займет путь до пловца, если войти в море в Х метрах от начальной точки. Затем она сможет найти при помощи математического анализа значение Х, при котором это время будет наименьшим. Но что делать, если у вас под рукой нет ни бумаги, ни карандаша? Если алгебра и матанализ еще не изобретены? Что делать, если полагаться можно только на интуицию и ощущения? Что делать, если вы собака? Насколько хорошо собака сумеет определить правильную точку входа в воду?

Тим Пеннингс, профессор математики в Мичиганском университете Хоуп и собаковод, решил провести несколько экспериментов, чтобы проверить, насколько хорошо решает эту задачу из математического анализа его собака. Как и многие другие собаки, его вельш-корги по кличке Элвис обожает гоняться за мячиком. Поэтому Пеннингс решил, что проведет эксперимент, не спасая тонущих пловцов, а бросая мячик в озеро Мичиган во время прогулок с Элвисом и наблюдая за тем, какой маршрут к мячику Элвис будет выбирать.

Разумеется, главной целью Элвиса могла быть минимизация количества сил, затраченных на добывание мячика. В этом случае оптимальным решением было бы сократить до минимума время пребывания в воде и бежать к точке, в которой берег пересекает перпендикулярная к нему прямая, проведенная по поверхности озера. Но Пеннингс видел по блеску в глазах Элвиса и сильнейшему возбуждению собаки в тот момент, когда мячик вылетал из его руки, что Элвис стремится добраться до мячика как можно быстрее. Таким образом, все было готово для эксперимента по изучению интуитивных способностей Элвиса к математическому анализу.

Он вышел на прогулку с Элвисом в один из дней, когда на озере Мичиган не было сильного волнения и мячик, упавший в воду, не могло унести слишком далеко. Пеннингс, которому помогал друг, бросил мячик, побежал вслед за собакой и воткнул в землю отвертку в том месте, где Элвис зашел в воду. Затем он измерил рулеткой расстояние, которое Элвис проплыл до мячика.

В эксперименте было несколько фальстартов, когда Элвис бежал прямо к воде, выбрав явно не самый оптимальный маршрут. Пеннингс решил не учитывать эти попытки в своем анализе. «Даже у отличников бывают неудачные дни», – сказал он. Тем не менее к концу дня ему удалось собрать 35 результатов наблюдений за тем, как Элвис решал эту задачу. Какие же результаты показала собака? На удивление хорошие! В большинстве случаев Элвис оказывался довольно близко к оптимальной точке входа в воду. Отклонения Элвиса вполне можно отнести на счет несомненно случавшихся изменений условий эксперимента.

Значит ли это, что Элвис умеет использовать шорткат матанализа? Разумеется, нет. Но мозг животного поразительным образом развил способность находить такие шорткаты, не используя формального математического языка. Природа благоволит к тем, кто способен оптимизировать решения, так что у животных, которые могли интуитивно решать такие задачи, было больше шансов выжить, чем у тех, кто ошибался. Но способности мозга по части интуитивных оценок не безграничны. Поэтому когда Джон Гленн ожидал старта на пусковой площадке на мысе Канаверал, он не полагался на свою интуицию, а хотел, чтобы цифры, определяющие оптимальный маршрут, который позволит ему вернуться на Землю, проверили при помощи созданного человеком мощного инструмента, который мы называем математическим анализом.

Иногда животные решают задачи, подобные той, которую задали псу Элвису, коллективными усилиями. Есть данные, свидетельствующие, что обитатели муравейника находят оптимальные пути в ситуациях, похожих на задачу про спасателя, не хуже чем Элвис. В этом случае вместо мячика использовалась пища – таракан. В эксперименте с огненными муравьями, который поставили исследователи из Германии, Франции и Китая, муравьи находили наилучшие маршруты для доставки пищи в муравейник через две разные области. Многочисленные муравьи расходились в разные стороны и экспериментировали с разными маршрутами. Они помечали свой путь феромонами, что позволяло другим муравьям следовать за ними. По мере того, как все больше муравьев находили оптимальное решение, феромоновый след на соответствующем маршруте становился все сильнее.

Собственно говоря, действия муравьев были похожи на механизм, при помощи которого, как мы считаем, находит оптимальный путь свет. Откуда отдельному фотону света знать, какой путь наилучший? Квантовая физика утверждает, что фотон пробует одновременно все пути, а затем происходит коллапс его волновой функции на оптимальной траектории, когда такая обнаруживается. Муравьи используют сходную стратегию: они пробуют все возможные варианты, для чего требуется множество муравьев, пока не находят наилучший маршрут.

Природа очень хорошо умеет находить оптимальные решения. Свет находит самый быстрый путь к цели. Современная физика считает гравитацию падением материи сквозь геометрию пространства-времени по пути, обеспечивающему минимальную длительность падения. Подвешенные цепи помогли Рену решить задачу создания устойчивого купола. Мыльные пузыри используют минимизацию энергии в сферической форме. В не столь давние времена, в 1972 году, свойства мыльных пленок учел при проектировании мюнхенского олимпийского стадиона архитектор Фрай Отто. Чтобы сделать необычный волнистый навес, покрывающий стадион, конструктивно устойчивым, Отто анализировал образование мыльных пузырей на металлической раме.

Странная способность природы находить оптимальные низкоэнергетические решения получила математическое выражение в первой половине XVIII века, в принципе наименьшего действия Пьера Луи де Мопертюи. Мопертюи объяснял, что его математические выкладки сводятся к одной догме: «Природа экономна во всех своих действиях». Почему именно природа столь прижимиста, до сих пор не вполне понятно. Но иногда под рукой не оказывается собак, муравьев или мыльных пузырей, которые могли бы помочь нам найти нужный ответ. Тогда мы прибегаем к поразительному инструменту, который создали Ньютон и Лейбниц. Математический анализ был и будет поразительнейшим шорткатом к оптимальным решениям задач, с которыми мы сталкиваемся.

Вот что сказал о матанализе величайший мастер шортката Гаусс: «Такие концепции как бы объединяют в некое органическое целое бесчисленные задачи, которые иначе оставались бы изолированными, а решение их по отдельности требовало бы большего или меньшего приложения изобретательного разума».

Шорткат к шорткатам

Хотя матанализ – один из наших величайших шорткатов, его применение требует некоторых технических навыков. Хотя многие и думать не хотят об изучении даже краткого курса анализа, полезно хотя бы знать, что такая методика нахождения оптимальных решений существует. Многие пути требуют технического руководства, помогающего не заблудиться в потенциально трудных местах. Поэтому, если у вас есть изменяющиеся параметры и вы хотите найти оптимальные значения этих переменных, лучшим для вас шорткатом может быть обращение к специалисту по математическому анализу. Как признавал сам Ньютон, стоять на плечах гигантов всегда полезно. А иногда бывает и так, что техническое руководство можно найти не у местного математика, а в природе. Всегда имеет смысл проверить, не найдено ли уже самой природой оптимальное решение вашей задачи. Мыльная пленка может подсказать низкоэнергетическое решение инженерной задачи. На шорткат может навести луч света. А может быть, шорткат найдут муравьи, перепробовавшие множество других вариантов.

Пит-стоп: Искусство

Один из главных уроков математики состоит в том, насколько хорошо алгоритмы позволяют создавать шорткаты, избавляющие от тяжелой работы. Алгоритм кристаллизует то, что объединяет разные задачи и дает рецепт, который кто угодно может использовать для решения их всех вместо того, чтобы разбираться с каждой задачей по отдельности. Математический анализ – один из таких алгоритмов. Не важно, описывает ли ваше уравнение удельную прибыль, скорость космического корабля или энергопотребление: в любом случае матанализ может служить в качестве алгоритма, позволяющего найти оптимальное решение.

К немалому моему удивлению оказалось, что алгоритмы бывают способны помочь и в создании произведений искусства. Я узнал об этом из недавнего разговора с Хансом Ульрихом Обристом, куратором лондонской галереи «Серпентайн». Эта тема чрезвычайно меня заинтересовала, потому что я всегда боялся подойти к чистому холсту, а тут у меня появилась надежда найти шорткат, который, возможно, поможет мне преобразовать мои творческие замыслы в нечто осязаемое.

Идея Обриста выросла из проблем глобализации рынка произведений искусства. Когда он только начинал свою карьеру, искусство еще было ориентировано на запад. Выставки привозили в Кельн или Нью-Йорк, может быть, с заездом в Лондон или Цюрих. Но потом художественные галереи стали открываться по всему миру, и Обристу очень хотелось придумать, как привозить новые выставки в Южную Америку или Азию. Организация путешествий крупных выставок во все музеи, которые начали изъявлять желание их принять, стала трудной логистической задачей. В сотрудничестве с художниками Кристианом Болтански и Бертраном Лавье Обрист нашел способ преодоления этих трудностей: проект «do it»[94]. Его идея сводилась к разработке набора инструкций или рецептов, позволяющих создавать некое произведение искусства где угодно – будь то в Китае, Мексике или Австралии.

Для Обриста проект «do it» стал шорткатом к решению проблемы глобализации. Больше не нужно было пытаться перевозить огромные ящики с материальными произведениями. Достаточно было подготовить инструкции, которые могли быть выполнены одновременно в любом количестве мест. Воспроизводящаяся выставка. Художественный алгоритм. Инструкции стали шорткатом. Инструкции «do it» похожи на музыкальные партитуры, которые – будь то опера или симфония – используются бесчисленное количество раз все новыми исполнителями.

Идея инструктивного искусства не нова. Она происходит от работ Марселя Дюшана, который в 1919 году отправил из Аргентины своей сестре Сюзане и Жану Кротти инструкцию по изготовлению подарка на их свадьбу. Чтобы создать этот свадебный подарок со странным названием «Несчастный реди-мейд»[95] (Readymade malheureux), новобрачные должны были повесить у себя на балконе учебник геометрии, чтобы ветер мог «листать книгу и сам выбирать себе задачи». Расцвет инструктивного искусства наступил в конце 1960-х годов благодаря работам Джона Кейджа и Йоко Оно. Но только Обрист понял, что инструкции могут быть чем-то бо́льшим, чем просто интересная концептуальная идея, и стать настоящим шорткатом к устранению логистических проблем глобального мира искусства.

Одним из замечательных побочных эффектов проекта «do it» было то, что он придал вдохновения людям, которые иначе не решились бы пытаться создавать произведения искусства. Мы разговаривали во время изоляции 2020 года, введенной в Европе из-за коронавируса, и Обрист был очень взбудоражен той новой ролью, которую его проект стал играть в этот трудный для всего мира период.

«Шорткат превратился в губку, – говорил он. – Везде, куда он попадал, можно было получать и впитывать новые инструкции. Проект превратился в растущий архив. Мы увидели китайский вариант. Ближневосточный вариант. А в последние месяцы я стал получать множество сообщений, сначала из Китая, потом из Италии, потом из Испании. Понемногу, по мере начала карантинов, люди стали брать с полок свои книги про “do it” и выполнять некоторые из инструкций художников прямо у себя дома».

Я спросил, может ли Ханс Ульрих привести пример одной из инструкций «do it». Он взял сборник инструкций – великолепный оранжевый том – и открыл его на инструкции австрийского художника Франца Веста:

Франц ВЕСТ

«”do it” для дома», 1989

Возьмите швабру и плотно обмотайте черенок и щетку марлей так, чтобы щетка стояла вертикально.

Возьмите 350 граммов гипса и соответствующее количество воды. Размажьте гипс по всей поверхности марли. Возьмите еще один рулон марли и снова обмотайте покрытую гипсом работу. Нанесите еще один слой гипса, полностью покрывающий работу.

Повторите эту процедуру еще один раз и полностью высушите Passstück.

В результате этой процедуры объект может быть использован в качестве Passstück, сам по себе, перед зеркалом или перед гостями. Делайте с ним что хотите.

Предложите своим гостям использовать объект так, как им интуитивно кажется правильным.

Passstück, или «Приспосабливаемое», – это проект, который Вест начал еще в 1970-х годах: он брал небольшие предметы и покрывал их гипсом так, что они превращались в нечто чужеродное, но смутно узнаваемое. Его работа в проекте «do it» создает шорткат, позволяющий другим людям создавать свои примеры таких произведений. Как сказал мне Обрист: «Речь идет не только о работе со швабрами по инструкциям Франца Веста. Можно работать и с другими людьми». Например, инструкция «do it» Луизы Буржуа гласит: «Остановитесь на ходу и улыбнитесь незнакомому человеку».

Как я знаю по опыту собственной работы, шорткаты часто появляются лишь после долгих странствий. Так же думает и Обрист: «В искусстве часто бывают нужны отступления от темы, и в выставочном деле тоже. Но отступления в некотором смысле противоположны шорткатам. Однажды я разговаривал с Дэвидом Хокни, и он сказал, что ему надо сочинять роман, или снимать фильм, или писать научный трактат о перспективе, или он берет iPad и рисует на нем. Это всегда возвращает его к живописи, но создается впечатление, что ему практически необходимы эти отступления».

«Когда мы подготовили маленькую брошюру с 12 инструкциями, которые можно было использовать в качестве шорткатов, проект казался очень простым и понятным. Но в результате он оказался самым сложным из моих проектов, со множеством ответвлений и отступлений. Он превратился в такую систему обучения. Мне это казалось совершенно прекрасным, потому что я думал, что “do it” – это шорткат, доведенный до предела, так как его идея, по сути, и состояла в том, чтобы пойти по пути более прямому, чем обычно. Инструкции позволяют переходить от художника к тому, кто их выполняет, без всяких посредников. Просто взять и сделать. Чтобы можно было делать быстрее. Чтобы немедленно получались результаты. И тем не менее этот проект оказался самым долгим из моих проектов. Так что в этом смысле возник тот удивительный парадокс, что шорткат стал самым большим отступлением».

Обрист считает, что эти инструкции подобны благотворному вирусу. Вирус так хорошо распространяется, потому что, по сути дела, он представляет собой набор инструкций по воспроизводству с использованием клеточного материала носителя. Интересно отметить, что один из шорткатов, которые он использует, – это концепция симметрии. Вирусы часто имеют форму симметричного кубика, и это дает им то преимущество, что одни и те же инструкции могут воплощаться на разных участках этой фигуры, то есть отдельным участкам не нужны индивидуальные инструкции.

Но симметрия может стать и шорткатом, который использует при создании своих произведений художник. Скульптор Конрад Шоукросс любит работать на стыке искусства и науки. Его произведения известны во всем мире, а в 2013 году он был избран членом престижной Королевской академии искусств. Поскольку мастерская Шоукросса находится на расстоянии короткой велосипедной поездки от моего дома в восточной части Лондона, мне было интересно встретиться с ним и выяснить, применял ли он какие-либо шорткаты, чтобы стать всемирно признанным художником. Он сказал, что считает шорткаты средством, делающим честолюбивые свершения осуществимыми.

«Нужен очень рациональный и очень продуманный процесс, чтобы добиться чего-то такого, что невозможно было бы сделать по-другому. Нужно создавать шаблоны или образцы или повторяющиеся элементы, которые можно использовать для составления сложных композиций».

Шоукросс часто черпает вдохновение в работах художников, создающих серийные произведения. Он восхищается работами американского скульптора Карла Андре, использующего в качестве повторяющегося элемента кирпич, или Клода Моне, возвращавшегося к одним и тем же кувшинкам в одно и то же время суток, чтобы запечатлеть постепенные изменения. По мнению Шоукросса, зерно многих из его ранних творений заронила важная математическая фигура, называющаяся тетраэдром, – треугольная пирамида.

Тетраэдр интересен, в частности, тем, что древние греки считали его одним из элементов, образующих саму Вселенную. Греки полагали, что материя образуется из земли, ветра, огня и воды, и каждому из этих элементов присуща своя симметричная форма. Тетраэдр был формой огня. Шоукросс начал исследовать возможности этой формы в качестве составного элемента произведения искусства в конструкции, которую ему заказали построить в 2006 году в замке Садли. Он изготовил 2000 дубовых тетраэдров и потратил две недели на сборку конструкции из них. Процесс был неорганизованным и непредсказуемым. «Они образуют такие нерегулярные, пламенные побеги, которые никогда не замыкаются. Работа управляла мной, а не я работой. С одной стороны, это раздражало, но, с другой стороны, помогло многое понять; эта неудача многому меня научила и положила начало многим моим темам».

Шоукроссу нужно было найти способ создавать нечто красивое и конструктивно прочное. В конце концов он получил нужную идею от математика, сказавшего ему, что, если взять три тетраэдра, соединить их можно только одним способом.

Это прекрасный пример того, какие шорткаты способна создавать симметрия. Если попытаться найти другой способ соединения трех тетраэдров, оказывается, что новую конфигурацию всегда можно преобразовать в исходную простым поворотом. Шоукросс понял, что можно не использовать 2000 блоков, а сделать более крупные составные части из троек соединенных вместе тетраэдров.

«Это сразу же уменьшило мою проблему в три раза, – говорит он. – Задача внезапно стала гораздо более преодолимой». При наличии этого шортката Шоукроссу оставалось лишь найти способ скомпоновать 667 элементов, каждый из которых был составлен из трех тетраэдров. Эту работу было гораздо легче выполнить за то время, которое у него было на создание произведения.

Но, когда я говорил с Шоукроссом в его мастерской, выяснилось, что некоторыми шорткатами скульптор или живописец просто не может пользоваться. Его поразительная работа под названием ADA, движущаяся скульптура, описывающая в пространстве сложные геометрические фигуры под управлением системы шестерней, была представлена в составе танцевального представления в лондонской Королевской опере. Как обычно, Шоукросс должен был успеть к жесткому сроку, и не было никаких гарантий, что его инсталляция будет готова к уже назначенному вечернему спектаклю.

Когда дело дошло до покраски ADA, кто-то заметил, что заднюю сторону скульптуры можно и не красить – все равно публика ее не увидит. Казалось бы, вполне удобный шорткат. Однако Шоукросс не мог пойти на такой обман публики. Для него важно, чтобы во всех его произведениях, даже если в них есть стороны, которых зритель никогда не увидит, все было выполнено на том же уровне, что и видимые элементы. Хотя публика и не видела задней стороны скульптуры, для такого скульптора, как Шоукросс, этот шорткат был неприемлем.

Вот еще несколько художественных алгоритмов «do it» для создания произведений искусства в домашних условиях.

София АЛЬ МАРИЯ

2012

Найдите телевизор с богатым выбором спутниковых каналов. Выбирайте каналы с номерами, соответствующими последовательности чисел Фибоначчи.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и так далее

Можно использовать калькулятор чисел Фибоначчи.

Сфотографируйте каждый канал, который включаете, на цифровое устройство.

Исчерпав ассортимент спутниковых каналов, выбранных в соответствии с золотым сечением, расположите данные в порядке, обратном порядку их сбора, и составьте мозаику.

Получившееся изображение есть упрощенное представление одной из сторон многогранной медиаматрицы.

Поразитесь ошеломительной посредственности нашего рукотворного чуда.

Трейси ЭМИН

«Как поступила бы Трейси?», 2007

Возьмите стол. Поставьте на стол 27 бутылок – все они должны быть разных размеров и цветов. Возьмите катушку красных ниток и оберните нитки вокруг бутылок наподобие необычной паутины, связывающей их воедино. Если хотите, можно проводить катушку под столом.

Элисон НОУЛЗ

«Оммаж всему красному», 1996

Разбейте пол выставочного зала на квадраты любого размера.

Поместите в каждый квадрат один красный предмет.

Например:

• фрукт

• куклу в красной шляпе

• туфлю.

Продолжайте действовать таким образом, пока пол не будет полностью покрыт.

Йоко ОНО

«Произведение желания», 1996

Задумайте желание.

Запишите его на листе бумаги.

Сложите бумагу и оберните вокруг ветки Древа желаний. Попросите своих друзей сделать то же.

Продолжайте желать, пока все ветки не будут покрыты желаниями.

7

Шорткаты данных

Вас пригласили на телевизионную игру. Перед вами 21 ящик, а внутри каждого ящика – денежный приз. Вы можете открывать ящики по одному и взять деньги из последнего ящика, которую вы открыли. Но, как только вы открываете следующий ящик, вы уже не можете вернуться к предыдущему и взять деньги из него. Трудность в том, что вы понятия не имеете, сколько денег лежит в каждом ящике. Там может быть миллион, а может и меньше фунта. Спрашивается, сколько ящиков вам нужно открыть, чтобы вероятность получения наибольшего среди всех ящиков приза была самой высокой?

Каждый день, лавируя по расширяющемуся цифровому миру, который мы помогаем заселять, мы генерируем все больше и больше данных. Сейчас человечество производит каждые два дня столько же данных, сколько было произведено с самого времени зарождения цивилизации до 2003 года. Цифровой мир, который мы можем исследовать, огромен. В данных скрыты сокровища, ценные для компаний, старающихся выявить шаблоны, которые могут помочь в предсказании будущей цифровой деятельности потребителей. Ориентироваться в этих цифровых джунглях нелегко, но математики открыли целый набор хитроумных шорткатов, помогающих находить сокровища и избавляющих от необходимости обследовать весь этот мир.

Уже в XVII веке, как только началась научная революция, мы тонули в данных, которые сами же и производили. В 1663 году Джон Граунт, один из первых демографов, сетовал на «непосильное количество информации», которой он оказался завален в исследовании бубонной чумы, бушевавшей в то время в Европе. Такие данные необходимы для борьбы с пандемией. Именно поэтому генеральный директор Всемирной организации здравоохранения Тедрос Аданом Гебреисус сказал на пресс-конференции в Женеве, что ключевой элемент преодоления вспышки коронавируса 2020 года – «тестирование, тестирование и еще раз тестирование». Без данных правительства понятия не имели бы, где и какие ресурсы следует применять.

Однако данные бесполезны, если нет способов выделять сигналы из шума. В 1880 году комиссия по переписи населения США жаловалась, что собранные данные оказались настолько обширными, что на их анализ уйдет более десяти лет, а к тому времени уже придет новая волна данных переписи 1890 года. Требовались инструменты, дающие шорткат к смысловому содержанию тех огромных массивов чисел, которые мы производили и собирали.

Мой герой Карл Фридрих Гаусс всегда был любителем данных. Он упивался полной чисел книгой, которую ему подарили на пятнадцатилетие: в ней были и таблицы логарифмов, и в самом конце список простых чисел. «Вы и представить себе не можете, сколько поэзии заключено в таблице логарифмов», – писал он. Часами напролет он пытался выискать закономерности, скрытые внутри кажущихся случайно расположенными простых чисел, и в конце концов понял, что существует связь между ними и приведенными в начале книги логарифмами. Это откровение впоследствии привело к появлению теоремы о распределении простых чисел, предсказывающей вероятность того, что случайно выбранное число может быть простым.

Ему удалось предсказать траекторию движения Цереры по ночному небу, исходя из наблюдений, сделанных астрономами до того, как этот астероид скрылся за Солнцем. Он вызвался анализировать данные переписи населения, проведенной правительством Ганновера, заявив: «Я надеюсь заняться редактированием переписи, списков родившихся и умерших по местным округам, не в качестве работы, а для собственного моего удовольствия и удовлетворения». Он даже потратил некоторое время на анализ пенсионной схемы для вдов профессоров Геттингенского университета и заключил, вопреки всеобщим опасениям, что пенсионный фонд находится в прекрасном состоянии и даже может позволить себе увеличить выплаты вдовам.

Залогом успешного выделения положения Цереры из хаоса ночного неба была разработанная им стратегия, названная методом наименьших квадратов. Предположим, у вас есть данные с большим количеством шума, и вы хотите выбрать прямую или кривую, лучше всего соответствующую этим данным. Гаусс показал, что это должна быть кривая, для которой сумма квадратов расстояний всех точек данных от кривой будет наименьшей.

Рис. 7.1. Гауссов метод наименьших квадратов

В опубликованной в 1809 году статье, в которой Гаусс обрисовал этот метод, он также указал, что данные часто образуют распределение, которое мы называем теперь гауссовым. По сути дела, если изобразить распределения многих и самых разных наборов данных – роста людей, артериального давления, экзаменационных оценок, ошибок астрономических наблюдений или геодезических съемок, – всюду получится одна и та же картина: большинство случаев скапливается в середине, а по краям оказываются немногочисленные отклонения. Эту кривую часто называют колоколообразной, так как ее форма напоминает колокол.

Статистические методы, созданные Гауссом и другими, стали теперь самыми используемыми шорткатами для всех, кто хочет разобраться в современном мире, богатом данными.

8 из 10 кошек

В детстве меня всегда приводила в недоумение одна реклама кошачьего корма, которую регулярно передавали по телевизору. В ней утверждалось, что 8 из 10 кошек предпочитают Whiskas – корм рекламируемой марки[96]. Мне это казалось странным, потому что я не помнил, чтобы кто-нибудь приходил спросить нашу кошку, какую еду предпочитает она. Интересно, сколько кошек они опросили, чтобы это позволило им сделать такое решительное заявление? – думал я.

Может показаться, что для того, чтобы такое заявление было обоснованным, необходимо проделать огромную работу. В конце концов, считается, что в Великобритании около 7 миллионов владельцев кошек. Понятно, что производители Whiskas не обошли со своим опросом 7 миллионов домов. Однако оказывается, что математические методы статистики открывают поразительный шорткат к определению корма, самого любимого кошками всей страны. Если смириться с небольшой неточностью, число кошек, которых нужно опросить, становится на удивление небольшим. Предположим, я готов допустить в определении доли кошек, утверждающих, что им нравится Whiskas, 5-процентную погрешность. Такая неточность приведет к тому, что из моего опроса могут выпасть 5 процентов кошек. Это не страшно, но 5 процентов от 7 миллионов – это всего 350 000 кошек. Кошек, которых по-прежнему нужно опросить, все еще остается чрезвычайно много.

Но дело в том, что мне должно уж очень сильно не повезти, чтобы все 350 000 кошек, исключенные из опроса, не любили Whiskas. В большинстве случаев распределение этих 350 000 будет очень похоже на общее распределение всей популяции. Тут-то и открывается хитроумный шорткат. Предположим, я готов использовать выборку такого размера, чтобы в 19 случаях из 20 доля любящих Whiskas кошек в этой выборке отличалась от их доли во всей популяции не более чем на 5 процентов. Какого размера должна быть такая выборка? Как это ни удивительно, для определения предпочтений всех 7 миллионов кошек Соединенного Королевства с таким уровнем достоверности нужно опросить всего 246 кошек. То есть поразительно малое количество. Таково могущество математической статистики: она позволяет делать обоснованные утверждения по результатам опроса такого небольшого числа кошек. Когда я прошел курс статистики, я понял, почему нашу кошку никто не спрашивал, какая еда ей нравится.

Пользу методов, позволяющих судить о многом по малому, сознавали еще древние греки. В 479 году до н. э., когда союз городов-государств собирался напасть на город Платеи, нужно было узнать длину лестниц, необходимых, чтобы подняться на его стены. К городу отправили воинов, поручив им измерить образцы кирпичей, из которых были сложены городские стены. Взяв средний размер и умножив его на число кирпичей, которые были видны в стенах, нападавшие получили достаточно точную оценку высоты стен.

Но более замысловатые методы начали появляться лишь в XVII веке. В 1662 году Джон Граунт впервые оценил численность населения Лондона по числу похорон, проходящих в городе. Исходя из данных приходских книг, он предположил, что в каждых 11 семьях ежегодно умирают по 3 человека, а средний размер семьи составляет 8 человек. Поскольку в городе регистрировались 13 000 похорон в год, это позволило ему оценить численность населения Лондона в 384 000 человек. В 1802 году французский математик Пьер-Симон Лаплас пошел еще дальше: он использовал выборку записей о крещении в 30 приходах для получения оценки численности населения всей Франции. Из его анализа этих данных следовало, что на каждых 28,35 человека, живущих в каждом приходе, получалось по одному крещению. Воспользовавшись суммарным числом крещений во Франции за тот же год, он получил оценку численности населения страны – 28,3 миллиона человек.

Даже для определения количества кошек в Великобритании необходим статистический шорткат, позволяющий переходить от малого к большому. В случае кошачьего населения Великобритании можно использовать метод, сходный с тем, который применили греческие воины: измерить небольшую выборку и пропорционально увеличить результат. Зная число кошек на одного человека в малой выборке, можно получить оценку для всей страны, просто умножив его на суммарную численность населения. Но что делать, если нужно оценить суммарное количество барсуков, живущих в Великобритании в дикой природе? Поскольку ни один из этих барсуков не принадлежит людям, использовать количество людей, как в случае кошек, нельзя.

Вместо этого экологи используют хитроумный шорткат под названием «метод поимки с повторной поимкой». Он основан на той же стратегии, что и оценка Лапласа. Предположим, они пытаются оценить размеры популяции барсуков в графстве Глостершир. Сначала экологи ставят несколько ловушек и ловят барсуков в течение определенного периода. Откуда они знают, какую долю барсуков они поймали? Пока ниоткуда. Но вот на какую хитрость они идут. Они метят всех пойманных барсуков и снова отпускают их на волю, позволяя меченым животным вновь смешаться с общей популяцией. Затем устанавливают по всему графству видеокамеры, регистрирующие появление барсуков. Таким образом, они получают два разных числа: суммарное количество барсуков, замеченных камерами, и количество меченых барсуков. Это позволяет определить долю меченых животных среди попавших на камеру. Затем производится масштабирование. Зная, сколько всего в графстве меченых барсуков и какую часть всей популяции барсуков они составляют, можно оценить суммарное количество барсуков в графстве.

Предположим, например, что при первой поимке были пойманы и помечены 100 барсуков, а в выборке последующего видеонаблюдения меченым был 1 барсук из каждых 10. Предполагая, что во всей популяции такая же доля меченых животных, как и в наших видеозаписях, можно оценить ее суммарную численность в 1000 особей. В случае Лапласа новорожденные (число которых известно) соответствуют меченой части полной популяции (численность которой неизвестна), а подсчет количества новорожденных в 30 приходах (оба эти числа известны) соответствует этапу повторной поимки в эксперименте с барсуками.

Этот метод использовался для оценки всего на свете – от числа людей, находящихся сейчас в рабстве на территории Великобритании, до количества танков, производившихся в Германии во время Второй мировой войны.

Проблема с шорткатами заключается в том, что они не всегда ведут к знанию. Бывает так, что они сбивают с верной дороги, лишь создают иллюзию достижения ответа, тогда как на самом деле уводят за многие мили от той цели, до которой вам нужно добраться. Опасны этим и статистические шорткаты. Иногда они бывают не настоящими шорткатами, а способами срезать углы.

Хотя 246 кошек могут дать какое-то представление о предпочтении всего 7-миллионного кошачьего населения, на выборке из 10 кошек, разумеется, нечего и надеяться что-либо понять. Тем не менее в научной литературе есть масса примеров предполагаемых открытий, основанных на таких смехотворно малых выборках. Такое часто бывает во многих исследованиях по психофизике и нейрофизиологии, опубликованных в крупных журналах, просто потому, что набрать большое количество участников для таких исследований бывает трудно. Но можно ли в самом деле делать какие бы то ни было выводы из исследований, проведенных на двух макаках-резусах или четырех крысах?

К сожалению, о сенсационных открытиях типа «8 из 10 X предпочитают Y» часто объявляют, ничего не говоря о размерах использованной выборки, что не позволяет оценить вероятность того, что это открытие соответствует действительности.

Золотой стандарт для обоснованного сообщения о значительном открытии дают те параметры, которые я установил для создания представительной выборки в опросе о кошачьем корме. Тогда я решил, что меня устроит размер выборки, при котором предпочтения кошек будут правильно представлены в 19 случаях из 20.

Когда речь идет о научных открытиях и их потенциальной значимости, например, о действенности нового лекарства при лечении некоего заболевания, результаты можно считать значимыми, если вероятность того, что пациент выздоровел бы и без приема лекарства, составляет менее 1 шанса из 20. Предположим, вы придумали заклинание, делающее так, что подброшенная монета падает орлом. Большинство людей в это не поверит; что же вам нужно сделать, чтобы убедить их? Допустим, после применения вашего заклинания орел выпадает в 15 случаях из 20. Означает ли это, что заклинание, возможно, работает? Если подсчитать вероятность того, что при случайном подбрасывании «честной» (никак не измененной) монеты без заклинания в 15 случаях из 20 выпадет орел, окажется, что она составляет менее 1 шанса из 20. Значит, тот факт, что после применения вашего заклинания орел выпал 15 раз, позволяет предположить, что заклинание действительно работает.

Начиная с 1920-х годов пороговым уровнем вероятности случайного результата, необходимым, чтобы открытие можно было признать «статистически значимым» и пригодным для публикации, считают 1/20. Когда эта вероятность ниже, говорят, что P-значение меньше 0,05. Одна двадцатая означает 5-процентную вероятность того, что рассматриваемое событие произошло случайно.

Беда в том, что, если взять всего двадцать исследовательских групп, одна из них с очень высокой вероятностью может получить такой случайный результат. Девятнадцать групп займутся другими идеями, но двадцатая придет в чрезвычайно сильное волнение, так как будет считать, что получила значимый результат, соответствующий статистическому критерию пригодности для публикации. Легко понять, почему при использовании этого порогового критерия в научной литературе появляется такое количество сумасбродных гипотез. Именно поэтому появляются призывы перепроверять многие из результатов, опубликованных благодаря тому, что они прошли эту проверку на статистическую значимость.

Напротив, если P-значение результата равно 0,06 (то есть вероятность того, что он был получен случайно, составляет 6 процентов), его считают слишком недостоверным, чтобы его можно было признать статистически значимым, и часто отбрасывают. Однако такой критерий отбраковки гипотез может быть не менее опасен. Но об отрицательных результатах неинтересно писать в новостях. Поэтому девятнадцать исследовательских групп не пишут о том, что обнаружили отсутствие связи.

С такими порогами следует обращаться чрезвычайно осторожно. Если вы хотите определить, «честную» ли монету вы подбрасываете, такой критерий может быть вполне пригодным. Но представьте себе, что вы пытаетесь понять, связано ли количество неблагоприятных исходов у пациентов некоего врача с его некомпетентностью. Не хотелось бы расследовать деятельность каждого двадцатого врача. И все же в какой момент следует начинать беспокоиться?

Например, в сентябре 1998 года доктор Гарольд Шипман, уважаемый семейный врач, был арестован за то, что вколол по меньшей мере 215 пациентам смертельные дозы опиатов. Впоследствии группа статистиков, которую возглавлял Дэвид Шпигельхальтер, заявила, что аномалии в данных Шипмана можно было обнаружить гораздо раньше при помощи теста, применявшегося во время Второй мировой войны для контроля качества военных материалов; это могло спасти 175 жизней.

С порогами значимости следует обращаться с осторожностью. В марте 2019 года 850 ученых написали в журнал Nature письмо, критикующее, как они писали, одержимость научного сообщества использованием P-значений в качестве эталона значимости научных открытий. «Мы не призываем запретить P-значения, – говорилось в этом письме, – и не утверждаем, что их нельзя использовать в качестве критерия принятия решений в некоторых специализированных приложениях (например, при определении соответствия производственного процесса каким-либо стандартам качества). Мы также не выступаем за вседозволенность, при которой недостаточно обоснованные результаты считались бы заслуживающими доверия… но призываем прекратить общепринятое дихотомическое использование P-значений для принятия решений о том, противоречит ли результат научной гипотезе или подтверждает ее».

Коллективный разум

Один из полезных шорткатов, которые изобрел статистик сэр Фрэнсис Гальтон, заключался в следующем: опросить множество простых людей, чтобы всю тяжелую работу сделали они, а потом завершить исследование при помощи некоторых хитроумных математических операций. Хотя сегодня Гальтона справедливо критикуют за безнравственные расистские теории в области евгеники, его теория коллективного разума по-прежнему считается важным инструментом анализа больших данных. Собственно говоря, он наткнулся на это открытие случайно, когда пытался доказать, что справедливо прямо обратное. Более того, он настолько не верил в коллективный разум среднестатистических членов общества, что был активным противником идеи предоставления широкой общественности права участвовать в политической жизни: «Ибо глупость и заблуждения многих мужчин и женщин настолько огромны, что в это почти невозможно поверить».

Надеясь доказать свою правоту, Гальтон решил поставить опыт, использовав для этого ярмарку, проходившую в городе Плимуте, где он жил. Там был устроен конкурс, участникам которого предлагалось угадать вес забитого и освежеванного вола. 800 участников конкурса заплатили по шесть пенсов и высказали свои догадки. Хотя среди них могли быть и фермеры, большинство составляли посетители ярмарки, не обладавшие особенными знаниями в этой области. «Средний участник конкурса был, вероятно, настолько же способен правильно угадать вес освежеванного вола, насколько средний избиратель способен судить о достоинствах большинства политических вопросов, по которым он голосует», – презрительно писал Гальтон.

Но когда он забрал записанные догадки и подверг их статистическому анализу, результат оказался в некоторой степени потрясающим. Хотя многие участники были чрезвычайно далеки от истины – одни сильно недооценивали, а другие не менее сильно переоценивали вес вола, – Гальтон обнаружил, что среднее значение, учитывающее все их оценки, поразительно близко к истинной цифре. (Собственно говоря, Гальтон начал свой анализ со значения, находившегося точно посередине разброса догадок, – его называют медианным, – которое тоже оказалось весьма близким к истине.) По усредненной догадке участников конкурса вес вола составлял 1197 фунтов. Его истинный вес был равен 1198 фунтам. Ошибка составляла всего один фунт[97].

Гальтон был поражен. «Этот результат, по-видимому, подтверждает верность демократических решений более, чем можно было бы ожидать», – написал он. Он поручил коллективу проделать всю трудную работу – высказать догадки, – а затем получил при помощи математики шорткат к решению – истинному проявлению коллективного разума.

Недавно я получил благодарственное письмо от человека, который, услышав, как я рассказываю об этой идее, применил в точности ту же стратегию на местной ярмарке. В тамошнем конкурсе требовалось угадать, сколько конфет лежит в банке. Незадолго до окончания ярмарки он загрузил предположения таких же, как он сам, посетителей ярмарки, в таблицу Excel, нашел среднее и подал свою заявку. Его предположение, основанное на коллективном разуме, оказалось самым близким к истине: оно отличалось от верного ответа – 4532 конфеты – всего на пять штук. В письмо он вложил несколько конфет – мою долю приза, которой он хотел вознаградить меня за то, что я познакомил его с этим хитроумным шорткатом.

Другой пример коллективного разума проявляется в знаменитой телевизионной игре «Кто хочет стать миллионером?». Бо́льшую часть времени участник игры самостоятельно отвечает на вопросы, пытаясь дать 15 правильных ответов и получить главный приз – миллион фунтов[98]. Однако те, кто совершенно не представляет себе, как ответить на очередной вопрос, могут воспользоваться несколькими подсказками. Одна из них позволяет позвонить другу, а другая («помощь зала») – узнать мнение присутствующих на игре зрителей. Группа швейцарских ученых собрала данные по германскому варианту этой игры. Оказалось, что в их выборке к помощи зала прибегали 1337 раз, и полученные ответы были неправильными лишь в 147 из этих случаев. Доля попаданий составила целых 89 процентов! Сравните эту цифру со статистикой «звонков другу», которые не давали правильного ответа в 46 процентах случаев.

Если вы собираетесь воспользоваться помощью зала, важно не разглашать вашего собственного мнения по заданному вопросу. Всему нашему биологическому виду очень свойственно поддаваться чужому влиянию. Взять, например, случай участницы игры, которая получила бы четверть миллиона фунтов, дай она правильный ответ на следующий вопрос:

14 декабря какого года норвежский исследователь Роальд Амундсен достиг Южного полюса?

A: 1891 B: 1901 C: 1911 D: 1921

Поскольку она была практически уверена, что Роберт Скотт, которого Амундсен победил в гонке к Южному полюсы, был викторианцем, она была убеждена, что ответы C и D не могут быть правильными. Но выбрать между первым и вторым она не могла. Поэтому она запросила помощь зала. Вот какие результаты она получила:

A: 28 % B: 48 % C: 24 % D: 0 %

Разумеется, тут так и тянет выбрать ответ В. Но посмотрите на ответ С. Почему так много зрителей выбрали именно его, хотя участница игры была совершенно уверена, что это неправильный ответ? Потому что участница ошибалась. Более того, высказав свои соображения вслух, она, вероятно, ввела в заблуждение многих из зрителей, и в результате зал проголосовал за вариант В, хотя без этого влияния выбрал бы ответ С, который и был правильным.

Однако разумность доверия публике может зависеть от страны, в которой вы играете. Говорят, что русские зрители печально известны склонностью вводить участника игры в заблуждение, намеренно выбирая неправильный ответ. Разумеется, всегда можно попробовать воспользоваться шорткатом, в применении которого для получения миллиона фунтов обвиняют майора Чарльза Инграма, – жульничеством. Утверждается, что он договорился с одним из зрителей в зале, что тот будет кашлять каждый раз, когда ведущий зачитывает правильный ответ. Оказалось, однако, что человек, знающий математику, мог обойтись и без кашляющего помощника. В вопросе, на который нужно было ответить, чтобы получить миллионный приз, предлагалось ответить, как называется число, состоящее из единицы, за которой следуют 100 нулей: A) гугол, B) мегатрон, C) гигабит или D) наномоль. Если вам нужна подсказка, я кашляну, когда назовут ответ А).

Если коллективный разум работает так хорошо, зачем нам специалисты? Оказывается, все зависит от того, какую задачу нужно решить. Хотя консервативный политик Майкл Гоув и заявил во время катастрофы, связанной с Брекситом: «хватит с нас специалистов», я не хотел бы оказаться в самолете, которым управляет коллектив пассажиров. И даже если против Магнуса Карлсена будут играть все шахматисты-любители на свете, собранные вместе, я знаю, на кого я поставлю. В каких же вопросах коллективный разум может оказаться шорткатом к правильному ответу, а в каких он вводит в заблуждение? Одним из ключевых параметров является независимость коллективного суждения. Помните участницу игры «Кто хочет стать миллионером», которая повлияла на мнение аудитории своим убеждением, что исследователь Антарктики Скотт был викторианцем?

Психолог Соломон Аш продемонстрировал, что коллектив может быть особенно убедительным, когда он побуждает людей поступать вопреки их собственной интуиции. В эксперименте, проведенном в 1950-х годах, Аш предлагал семи участникам определить, какая из трех линий на рис. 7.2 имеет ту же длину, что и линия на левой панели.

Рис. 7.2. Эксперимент Аша: какая линия той же длины, что и линия слева?

Хитрость была в том, что первые шесть ответивших были подсадными. Все они должны были назвать ответ B. И когда очередь доходила до седьмого, он снова и снова отказывался поверить собственным глазам и назвать ответ C. Ему застилало глаза желание не противоречить мнению коллектива, и он давал тот же ответ, что и первые шесть участников.

В эпоху социальных сетей это стремление к согласию может иметь самые гибельные последствия для нашей способности принимать независимые решения. Социальные сети очень сильно мешают независимости мнений коллектива.

Но есть данные, позволяющие предположить, что абсолютная независимость тоже не всегда бывает полезна для коллективного разума. Как выяснилось в одном очень интересном исследовании, проведенном в Аргентине, если до принятия решения члены коллектива имеют некоторую возможность посовещаться, результат получается еще лучше, чем в коллективе, полностью независимом.

Сначала исследователи попросили 5180 человек, собравшихся на лекцию в Буэнос-Айресе[99], ответить на восемь вопросов, не обсуждая их с соседями. Например, какова высота Эйфелевой башни? Или сколько голов было забито на чемпионате мира по футболу 2010 года? Исследователи собрали ответы и вычислили среднее по каждому вопросу. Но после этого они попросили присутствующих разбиться на группы по пять человек и обсудить вопросы, а затем ответить на них еще раз с учетом этого обсуждения. Когда и эти ответы были собраны и обсчитаны, результаты оказались намного более точными.

Суть в том, что в группах, возможно, найдутся люди, обладающие знаниями по заданному вопросу, и это поможет сориентировать тех, кто, честно говоря, понятия не имеет, о чем идет речь. Таким образом, коллектив может извлечь пользу из присутствия специалистов. Те, кто совершенно не интересуется футболом, могут высказать лишь ни на чем не основанные догадки относительно количества мячей, забитых на чемпионате мира. Но если в группе из пяти человек окажется кто-нибудь, кто немного разбирается в футболе и сможет объяснить, что в среднем за матч забивают по 2–3 гола, а на чемпионате мира было сыграно 64 матча, у членов группы появляется разумная основа, на которой можно строить догадки. Скажем, можно подсчитать, что 2,5 × 64 = 160 голов. Правильный ответ был 145. Но важно тут то, что, когда члену такой группы нужно будет снова высказать предположение, но уже с использованием этого обсуждения, он вполне может учесть информацию, полученную от другого участника группы, который, по-видимому, знал, о чем говорил.

Разумеется, бывают люди, считающие себя специалистами, а на деле вводящие других в заблуждение. Поэтому не хотелось бы, чтобы на мнение коллектива влиял один уверенный в себе лидер. Однако, судя по всему, коллектив, состоящий из небольших групп, оказывается более продуктивным, чем коллектив, состоящий из отдельных индивидуумов.

Очень важную роль играет и еще один фактор: наличие в коллективе широкого разнообразия мнений. Участники эксперимента в Буэнос-Айресе с большой вероятностью принадлежали к одному и тому же социальному классу – людей, которым интересно посещать такие мероприятия. В результате исследование могло не охватить более широкого социального разнообразия. Это обстоятельство иллюстрируют некоторые любопытные случаи, в которых общественности предлагалось не оставлять бюджетные решения на усмотрение политиков, а участвовать в их принятии напрямую. Впервые идея партисипаторного (или инициативного) бюджетирования была опробована в 1989 году в бразильском городе Порту-Алегри. После финансового кризиса 2008 года, когда обрушилась экономика Исландии, правительство этой страны тоже решило привлечь к составлению бюджета представителей общественности. Однако, по общему мнению, эта инициатива не была успешной. По-видимому, на приглашение принять участие в этой работе откликнулись только те, кто интересовался политикой. Сформировавшаяся группа была изначально предвзятой и не представляла того разнообразия, от которого надеялись получить пользу.

Поэтому, когда такой же эксперимент проводился в Британской Колумбии, участников выбирали случайным образом. Им разослали приглашения – приблизительно так же, как рассылают повестки присяжным. Благодаря тому, что отбор участников был случайным, а не основанным на их желании участвовать, диапазон мнений в коллективе оказался гораздо шире, и осуществление идеи партисипаторного бюджетирования получилось намного более успешным.

Кто хочет стать ученым?

Идея использования коллективов в качестве шортката к научным открытиям легла в основу волны общественных научных проектов, которую мы наблюдаем в последние годы. Один из первых и наиболее успешных таких проектов был осуществлен в моем Оксфордском университете. Его название – «Галактический зоопарк» (Galaxy Zoo). Астрономический факультет университета использовал его для классификации разных типов галактик, существующих в нашей Вселенной. Существует поразительное множество самых разнообразных телескопов, получающих великолепные изображения галактик, но для того, чтобы просмотреть все эти изображения, не хватало исследователей. К тому моменту, когда начался проект, системы машинного зрения находились еще в зачаточном состоянии и не были способны отличить спиральную галактику от галактики сферической.

Но для человека различия между ними очевидны. Более того, как поняли ученые из Оксфордской группы, чтобы помочь этому проекту, вовсе не обязательно иметь докторскую степень по астрофизике. Нужно лишь большое количество глаз, которые могли бы просматривать данные. Будущие участники проекта проходили быстрый сетевой курс обучения, в котором объяснялось, что́ они будут искать, и было показано, в чем разница между спиральными и сферическими галактиками. После этого им предоставляли заниматься массой неразобранных изображений, полученных телескопами всего мира.

Такая коллективная помощь дала астрономическому факультету шорткат, позволяющий проделать огромную работу по классификации всех этих данных. Чем-то это напоминало историю о том, как Том Сойер заманивал своих друзей покрасить забор, что должен был сделать сам в наказание за шалости. Он превратил работу в игру, и все его друзья тут же выстроились в очередь, чтобы принять участие в покраске.

Но участники «Галактического зоопарка» пошли еще дальше. Они открыли совершенно новый тип галактик, прятавшийся в данных. Некоторые из изображений не соответствовали ни одной из категорий, по которым их просили распределять данные. Профессиональные астрономы видели эти изображения и посчитали их аномалиями. Но участникам «Галактического зоопарка» начало попадаться все больше и больше таких изображений, в которых на черном космическом фоне виднелось нечто похожее на зеленые горошины. В блоге «Галактического зоопарка» возникла ветка под названием «Give Peas a Chance» («Дайте гороху шанс»), авторы сообщений в которой призывали не исключать эти зеленые пятна из рассмотрения. Эта шутливая отсылка к песне Джона Леннона («Give Peace a Chance» – «Дайте миру шанс») привела к тому, что такие галактики стали называть «гороховыми».

По материалам открытия непрофессиональных астрономов в ежемесячнике Королевского астрономического общества была опубликована статья «Горошины “Галактического зоопарка”: Открытие класса компактных галактик с высокой способностью к звездообразованию»[100].

В использовании коллективной работы в качестве шортката к научным открытиям нет ничего нового. Во время затмения 3 мая 1715 года астроном Эдмонд Галлей привлек 200 волонтеров к измерению скорости перемещения тени Луны. Жителям Британии, находившимся в разных точках по всей стране, было поручено отметить время и длительность солнечного затмения. К сожалению, в Оксфорде в тот день была сплошная облачность, и тамошние волонтеры не смогли предоставить Галлею никаких данных. Тем, кто находился в Кембридже, с погодой повезло больше. Но они отвлеклись и пропустили затмение! Преподобный Роджер Котс[101], возглавлявший кембриджскую группу, писал Галлею: «Мы имели несчастье собрать слишком много публики». Для пришедших устроили чаепитие, а когда волонтеры наконец были готовы заняться измерениями, затмение уже закончилось.

Однако Галлею удалось собрать данные, позволившие оценить скорость движения лунной тени по поверхности Земли – целых 2800 километров час. Он опубликовал эти результаты в журналах Королевского общества, членом которого состоял.

Вдохновившись успехом Галлея, другой член Королевского общества, Бенджамин Робинс, прибег к помощи общественности в измерениях высоты, на которое поднимаются в небо пиротехнические ракеты. Превосходная возможность для проведения таких измерений представилась в ночь на 27 апреля 1749 года, когда король Георг II устроил в честь окончания Войны за австрийское наследство праздничный фейерверк, музыкальное сопровождение к которому сочинил специально для этого случая любимый композитор короля Георг Фридрих Гендель.

Робинс опубликовал в журнале Gentleman’s Magazine объявление, в котором просил читателей измерять высоту фейерверков из тех мест, в которых они находятся.

Ибо если те, кто любопытен и находится на удалении от 15 до 50 миль от Лондона, будут внимательно смотреть во все соответствующие стороны в ту ночь, когда эти фейерверки будут запущены, мы узнаем величайшее расстояние, на коем возможно увидеть ракеты; оно же, я полагаю, должно быть не меньше 40 миль, если положение наблюдателя и условия вечера будет благоприятными. Если же предприимчивые джентльмены, находящиеся в 1, 2 или 3 милях от фейерверков, измерят как можно точнее угол к горизонту, под которым ракеты в большинстве своем летят на наибольшей высоте, это определит вертикальную высоту полета тех ракет с достаточной точностью.

Речь вовсе не шла о каком-то бесцельном исследовательском прожекте. Учитывая, насколько важны были ракеты для военных, знание дальности полета фейерверков могло принести большую пользу при разработке вооружений. К несчастью, инструкции, которые Робинс напечатал в Gentleman’s Magazine, были настолько невразумительны, что не привлекли к участию в эксперименте никого за исключением одного джентльмена, жившего в 180 милях[102] от Лондона, в валлийском городе Кармартене. Он терпеливо ждал на вершине холма и утверждал, что видел две вспышки на высоте 15 градусов над горизонтом. С учетом кривизны Земли и наличия горных хребтов Брекон-Биконс очень маловероятно, чтобы он действительно смог увидеть хоть одну из 6000 запущенных ракет. Узнав, сколько ракет было использовано в фейерверках и насколько плохо их было видно из Уэльса, волонтер счел, что все это мероприятие было бессмысленной тратой государственных средств.

В наши дни общественность помогает в научных исследованиях гораздо успешнее, чем это было в неудачном эксперимента Робинса. Привлечение таких помощников к самым разным проектам, от подсчета пингвинов на видеозаписях из Антарктики до исследований фолдинга (сворачивания) белков в попытках найти причины дегенеративных заболеваний, дает крайне полезные шорткаты к новым открытиям.

Польза шорткатов к знаниям с привлечением коллективного разума не укрылась и от внимания крупных корпораций. Собственно говоря, в основе успеха Facebook и Google лежат ценные данные многочисленных пользователей, охотно предоставляющих их в обмен на услуги этих компаний.

Машинное обучение

В 2007 году, когда был запущен «Галактический зоопарк», машинное зрение работало еще очень плохо. Однако за последние несколько лет способности компьютеров по части определения элементов изображений постепенно совершенствовались. Это связано с новыми методами программирования, которые называются машинным обучением: программный код изменяется и мутирует в процессе взаимодействия с данными. Когда информация может накапливаться в программе «снизу вверх» и не нужно пытаться вводить ее «сверху вниз», это создает поразительный шорткат к формированию действенных алгоритмов. Сама программа может быть не слишком рациональной и изящной, но при имеющихся сегодня вычислительных мощностях это не создает таких затруднений, как раньше.

Одним из главных достижений машинного обучения стали системы машинного зрения. Главным элементом этой революции был шорткат к видению, обеспеченный статистическим анализом данных. Компьютер может ошибаться, но это не страшно. Вполне достаточно и того, что он выдает правильные ответы в большинстве случаев. Тут мы снова возвращаемся к тому же шорткату 8 из 10 кошек. Чтобы машина отличала кошку от собаки в 99 процентах случаев, нужно ввести в нее данные, но сколько их нужно? Не хотелось бы вводить в компьютер все изображения кошек и собак, какие только есть в сети, – уж больно их много!

В общем случае считается, что, чтобы обучить алгоритм различать разные категории объектов, нужно использовать по 1000 изображений каждой из них. Чтобы создать алгоритм, узнающий кошек, нужно взять 1000 изображений кошек, на которых программа сможет обучаться. Большее количество данных не увеличивает процента правильных ответов стандартных алгоритмов машинного обучения. По-видимому, алгоритмы выходят на плато. Но эффективность более сложных программ глубокого обучения все же возрастает по логарифмическому закону.

Знать, какого количества данных может быть достаточно, важно, когда речь идет, например, о выявлении переменных, которые могут влиять на объем продаж. Может быть, вам кажется, что он изменяется в зависимости от дней недели, погоды или радостных или неприятных новостей. Чтобы понять, что именно влияет на продажи, нужно собрать данные. Нужно взять те переменные, которые, как вы считаете, могут влиять на продажи, и посмотреть, каким бывает объем продаж при разных значениях всех этих переменных.

Чтобы узнать, какое минимальное количество данных требуется, чтобы сделать обоснованные выводы, можно использовать регрессионный анализ и правило одной десятой. Если мы рассматриваем 5 переменных, приблизительно 10 × 5 = 50 единиц информации должно быть достаточно, чтобы получить представление о том, как изменения этих параметров отражаются на продажах.

Но пользоваться такими шорткатами следует с осторожностью, потому что иногда они уводят в сторону. Чтобы получить пользу от коллективного разума, важно, чтобы коллектив был разнообразным; точно так же необходимо обеспечивать и разнообразие данных. Когда компания Amazon пыталась разработать искусственный интеллект, который помогал бы просеивать заявки претендентов на рабочие вакансии, она дала ему в качестве образца для поведения профили уже работающих сотрудников. Казалось бы, вполне разумное решение, учитывая, что до тех пор компанию вполне устраивал уровень ее сотрудников. Но, когда ИИ начал забраковывать все резюме, кроме присланных двадцатилетними белыми мужчинами, компания поняла, что алгоритм дискриминирует множество желающих получить в ней работу.

Выявлением таких алгоритмических шорткатов, которые приводят нас не к новым целям, а лишь к старым предрассудкам, занимается Лига алгоритмической справедливости (Algorithmic Justice League), которую основала Джой Буоламвини.

Также важно не отслеживать одновременно слишком много переменных, потому что чем больше их будет, тем с большей вероятностью в них можно будет найти какие-нибудь паттерны. Опасность работы со слишком большим количеством переменных проявилась, когда установку фМРТ (функциональной магнитно-резонансной томографии) использовали в эксперименте, в котором изучали 8064 области мозга, чтобы понять, какие из них могут быть задействованы, когда подопытному показывают разные выражения человеческого лица. Действительно, в 16 областях была обнаружена статистически значимая реакция. Вот только сканировали при этом мозг крупного атлантического лосося, причем мертвого. Исследователи использовали неодушевленные предметы, чтобы исключить из рассмотрения ложноположительные результаты. Но эта история показывает, как опасно просто проводить слишком много измерений, надеясь найти в результатах какие-нибудь паттерны. Исследователи получили за эту работу Шнобелевскую премию, которую присуждают за достижения, которые «заставляют сначала засмеяться, а потом – задуматься»[103].

Один из соавторов этого исследования, Крейг Беннет, объяснял: «Если вы бросаете дротики, имея 1-процентный шанс попасть в “яблочко”, и вы бросите один дротик, вероятность попадания будет равна одному проценту. Но, если вы бросите 30 000 дротиков, вы, скажем так, вероятно, попадете в цель хотя бы несколько раз. Чем больше у вас возможностей получить результат, тем больше вероятность, что вы его получите, даже если это произойдет случайно».

Сколько вам нужно данных, чтобы принять решение?

Телевизионная игра, которую я описал в начале этой главы, – это на самом деле хорошая модель многих задач, с которыми мы сталкиваемся в жизни. Первый человек, с которым у вас случился роман, может быть человеком прекрасным, но следует ли вам вступать с ним в брак или же вас преследует назойливое ощущение, что вы можете найти и кого-нибудь получше? На нем свет клином не сошелся; может быть, есть на свете кто-то, кто окажется «тем самым». Но, если бросить нынешнего партнера, пути назад, как правило, не будет. В какой же момент следует смириться с неизбежным и удовольствоваться тем, что есть?

Классический пример в этом роде дают поиски жилья. Сколько раз случалось так, что вы с первой же попытки находили превосходную квартиру, но потом вам казалось, что, прежде чем окончательно решиться, нужно посмотреть еще несколько вариантов, – и в результате первая прекрасная квартира от вас ускользала?

Ключом к оптимизации шансов на получение лучшего из возможных призов является второе по популярности в математике число – е = 2,71828… Подобно числу π, самому важному в математике, десятичная запись числа е бесконечна и не повторяется. Это число то и дело возникает в самых разных обстоятельствах. Оно есть и в великолепном уравнение Эйлера, объединяющем пять самых важных в математике чисел; я уже говорил о нем во второй главе. Кроме того, оно тесно связано с начислением процентов на вашем банковском счете.

Но, кроме того, число е оказывается шорткатом к получению наилучших шансов выбрать правильный ящик в нашей гипотетической телевизионной игре. Математика доказывает: чтобы составить некоторое представление о величине денежного приза при наличии N ящиков, нужно собрать данные по N/e из них. 1/e = 0,37… То есть речь идет о 37 процентах всех ящиков. После того, как вы их откроете, следует остановиться на том ящике, который будет лучше всех, уже открытых. Это не гарантирует, что вы получите самый большой приз, но в одном случае из трех у вас окажется наибольшая из возможных сумм. Если вы примете решение по результатам, увиденным в меньшем или большем числе ящиков, эта вероятность уменьшится. 37 процентов – оптимальное количество данных, которые нужно собрать перед принятием решения, идет ли речь о ящиках в телевизионной игре, квартирах, ресторанах или даже спутниках жизни. Хотя, когда речь идет о любви, возможно, будет лучше, если ваши избранники не узнают, насколько вы расчетливы.

Шорткат к шорткатам

Принятию решения о направлении, в котором следует развивать идеи нового проекта, во многих случаях помогает информация о личных предпочтениях. Хотя часто говорят, что данные – это новая нефть, все равно важно знать, сколько именно требуется этого топлива, чтобы идеи работали. В слишком большом количестве данных можно утонуть. Если их будет слишком мало, проект так и не сдвинется с места. Статистические шорткаты показывают, что иногда можно обойтись на удивление небольшой выборкой. Рациональные шорткаты играют очень важную роль и при сборе данных. Как показал Марк Твен, покраска забора в одиночку занимает долгое время, но, когда за работу берутся несколько человек, ее удается закончить гораздо быстрее. Работа коллективного разума помогает рождению новых идей, идет ли речь об организации опроса в Twitter, разработке сетевой игры, из которой можно извлекать данные, или определении популярности веб-сайта по данным Google Analytics.

Пит-стоп: Психотерапия

Когда я впервые рассказал своей жене Шани, что пишу книгу о шорткатах, она пришла в ужас. Она психолог и считает, что глубокую, продолжительную работу, необходимую, чтобы пройти курс психотерапии и заново настроить разум, часто ничем не заменить. И все же Шани признала, что даже в психотерапии найдены шорткаты, помогающие разбираться с огромными проблемами в области психического здоровья, с которыми сталкивается общество.

При мысли о визитах к психотерапевту в воображении предстают многие годы, проведенные на кушетке в рассказах о собственном детстве. Но для некоторых состояний существуют очень сильные методы, создающие шорткаты, которые позволяют обойтись без многолетней терапии. Шани посоветовала мне поговорить с доктором Фионой Кеннеди, которая много лет была практикующим психологом, а сейчас обучает других широкому спектру методов интенсивной терапии, разработанных для борьбы с нарушениями психического здоровья. Эти процедуры могут помочь пациентам, страдающим фобиями, тревожным расстройством, депрессией и посттравматическим стрессом, избавляя их от необходимости лечиться целые годы.

Кеннеди считает, что одной из причин успеха этих методов психотерапии было то, что они основаны на более научном подходе. «Представьте себе, что вам предстоит операция на сердце и у вас есть два хирурга. Первый говорит: “Вот история моих операций на сердце. Вот это методы, которые я использую, а это – доля благополучных исходов”. А второй говорит: “Ну, я-то никаких данных не собираю, но я человек творческий, и меня все любят. Я провел множество операций, и с огромным удовольствием”. Кому из них вы доверите свою операцию?» Хотя доказательный научный подход добрался лишь недавно до области психотерапии, он был ключевым элементом успешного внедрения этих методов в системах здравоохранения всего мира.

Вероятно, самый известный психологический шорткат – это КПТ, или когнитивно-поведенческая терапия. КПТ, которую разработал в конце 1960-х и начале 1970-х годов психиатр Аарон Бек, концентрируется на влиянии мыслей, убеждений и отношений человека на его ощущения и поведение и обучает методам приспособления, помогающим справляться с различными проблемами.

Кеннеди вспоминает, как еще студенткой принимала участие в эксперименте, в котором крысам и студентам давали различные задания: «Крысы побеждали студентов с разгромным счетом. Мы все слишком много думали о том, что происходит». Этот эксперимент показывал, что мыслительный процесс может мешать достижению успешного результата. Бек и другие считали, что важнее всего найти способы изменения мыслительного процесса.

Кеннеди дает всему этому довольно математическое описание: «Все дело в сетях. У человека есть очень сложный набор отношенческих сетей, которые определяют, кто он такой, а также как он реагирует на мир. Поэтому изменение этой сети становится очень важным».

В исходной модели КПТ Бека наше поведение рассматривалось в очень алгоритмическом виде. На вход поступает триггер, он обрабатывается, и это приводит к выработке мыслей, чувств и поведения, которые могут вызвать действия или исходящие сигналы. Бек предложил КПТ в качестве способа разбиения этого алгоритма на более мелкие части для выявления сбоев программы, нарушений мыслительного процесса. Поведенческая часть этой терапии состоит из упражнений, которые терапевт задает клиенту, чтобы убедиться, что определенные части алгоритма работают с ошибками. Например, боязнь пауков можно постепенно преодолевать, показывая пациенту пауков на короткое время, чтобы он осознал, что его страх последствий встречи с пауком безоснователен.

В некоторых случаях осознание дефекта мышления может поразительно быстро приводить к позитивным изменениям поведения. Улучшение мышления приводит к большему благополучию. Тот факт, что такой результат может быть получен всего за 8 часовых сеансов, привел к взрывному росту применения КПТ и других психотерапевтических методов в качестве шортката, позволяющего восстанавливать работоспособность. Чрезвычайно структурированный характер такой терапии часто позволяет проводить ее в разных формах, в том числе в группах или при помощи книг по самоусовершенствованию и даже приложений для мобильных телефонов.

Этот шорткат считается настолько действенным, что он стал основой британской программы «Повышения доступности психологической терапии» (Access to Psychological Therapies, IAPT), начатой в 2008 году и преобразившей лечение тревожных расстройств и депрессии у взрослых англичан. Профессор экономики лорд Ричард Лэйард убедил лейбористское правительство того времени, что возвращение людей на рабочие места сэкономит столько денег, что программа в конце концов станет самоокупаемой. В 2009 году правительство выделило 300 миллионов фунтов на обучение более 3000 психотерапевтов в течение трех лет. Сегодня IAPT широко известна как самая крупномасштабная программа разговорной психотерапии в мире. В 2019 году услугами IAPT в области борьбы с депрессией и тревогой воспользовались более миллиона человек.

Иногда обстоятельства позволяют провести лишь очень краткое вмешательство, но Кеннеди познакомила меня с данными, подтверждающими эффективность одной из моделей КПТ, в которой используются всего три сеанса. Эта модель, которую впервые предложил профессор клинической психологии Майкл Баркхэм, называется «два плюс один». Клиент посещает два часовых сеанса с недельным перерывом, а затем – третий, который проводится через три месяца. Все большее количество исследований показывают, что даже этот, очень короткий, шорткат может быть действенным. Например, данные, опубликованные в 2000 году в журнале Lancet, говорят о том, что применение интенсивной модели «два плюс один» привело к значимому снижению уровня психологического стресса среди южносуданских беженок в Уганде. Авторы этой статьи подчеркивают, что новаторские решения остро необходимы для крупномасштабной психологической гуманитарной помощи в подобных условиях нехватки ресурсов.

Другим аспектом методики Кеннеди, который особенно понравился лично мне, было использование диаграмм в качестве средства исследования новых перспектив. Одна из таких диаграмм изображает так называемый когнитивный треугольник. Эта диаграмма помогает терапевту и пациенту разобраться в интегрированной природе мыслей, чувств и поведения. Иногда рисуют квадрат, в котором чувства разделены на две категории: эмоции и телесные ощущения. Идея состоит в следующем: без вмешательства в поток, проходящий вокруг такой фигуры, мысли вызывают ощущения, порождающие нежелательное поведение, от которого пациент хотел бы избавиться, например боязнь выходить из дому или ту же арахнофобию. Но, если понять этот цикл и сознавать его существование, можно провести раннее вмешательство, изменяющее поведение. Такая диаграмма подобна карте мысленной территории пациента. Поднимаясь над сетью мыслей, пациент получает возможность увидеть, что у него есть выбор разных путей.

Кеннеди описывает еще одну диаграмму, о которой она предлагает думать во время сеансов терапии не пациентам, а психотерапевтам.

«Представьте себе, что вы – терапевт, а я – ваш клиент. Мы сидим на разных концах качелей, подвешенных к веревке, а веревка протянута поперек Большого каньона. Нам обоим очень важно поддерживать равновесие. Однажды я прихожу на сеанс в отличном настроении, потому что я выполнила все задания и добилась изменений. То есть я сдвинулась на качелях ближе к вам, и вы, поскольку вы очень энергичный и заботливый терапевт, разумеется, сдвигаетесь ко мне.

Но через неделю я прихожу с ощущением, что не могу больше этим заниматься. У меня была ужасная неделя. Ничего не получалось. На качелях я отодвинулась от вас. Вам рефлекторно хочется пододвинуться поближе ко мне. Но в этом случае мы упадем в Большой каньон. Чем настойчивее вы будете пытаться, тем сильнее будет мое сопротивление. Поэтому на самом деле вам нужно от меня отодвинуться».

Это был замечательный образ, потому что Кеннеди превратила психотерапию в уравнение, которое – в точности как качели – нужно все время держать в равновесии.

Кеннеди и ее коллеги находят доказательства эффективности таких шорткатов в данных, значительную часть которых собрал Дэвид Кларк, профессор психологии Оксфордского университета. Каждую неделю десятки тысяч психотерапевтов присылают ему данные по своим клиентам, и Кларк собирает их уже целое десятилетие. Он делает все эти данные общедоступными, чтобы обеспечивать прозрачность информации об исходах нарушений психического здоровья.

Но иногда мышления бывает недостаточно. Иногда невозможно найти шорткат, который заменил бы углубленную, продолжительную работу, которую необходимо проделать в рамках психотерапии, чтобы заново настроить рассудок. Кеннеди признает, что у стереотипных терапевтических методов есть и свои недостатки.

«КПТ основана на чистой логике. Но на самом деле терапия этим не исчерпывается. Есть еще то, что касается адекватной самооценки, привязанностей, принадлежности к семье, принадлежности к группе, принадлежности к миру, которые появляются в достаточно благоприятном детстве, и, если вы хотите исправить эти аспекты, этого не сделаешь за восемь сеансов».

В результате КПТ иногда сравнивают с лейкопластырем, который наклеивают на зияющую рану. Он может на короткое время остановить кровотечение, но, если не заняться причинами раны, рано или поздно она снова откроется. Как же можно перенастроить разум всего за 8 часовых сеансов? Некоторые терапевты опасаются, что иногда КПТ не открывает настоящего шортката, а просто срезает углы.

Наверное, тем, кто живет с психотерапевтами, всегда любопытно, что же именно происходит за закрытыми дверями сеанса терапии. Это любопытство было одной из причин, по которым я взял с полки Шани книгу «Терапия» (In Therapy, 2016) психоаналитика Сьюзи Орбах. Оказывается, оно же было и одной из причин, побудивших Орбах написать эту книгу, посвященную ее собственной спутнице Жанет Уинтерсон, «которая всегда хотела узнать, что делается в кабинете терапевта».

Орбах прославилась лечением принцессы Дианы от пищевого расстройства. Как она объясняет в книге, терапия – это не просто обучение ума и тела чему-то новому, например игре на виолончели или русскому языку. Начинать приходится с гораздо более трудной работы: пациент должен чему-то разучиться.

Психотерапия занимает такое долгое время, потому что необходимо разобраться с основными способами, которые разум использует для ориентации в мире. Как пишет Орбах, «в процессе терапии вы не только осваиваете новый язык, который можно добавить к вашему арсеналу; вы отбрасываете бесполезные части языка родного и сплетаете их со знанием новой грамматики».

Когда я обратился к Орбах за дальнейшими разъяснениями этой идеи, она еще раз подчеркнула ту же мысль. Но также признала, что и у нее есть шорткаты, которые она использует в работе с пациентами. В разговоре с ней мне было интересно узнать о роли, которую могут играть паттерны. Терапевт замечает в поведении паттерны, совпадающие с ранее изученными случаями, которые помогают разработать программу действий для нового пациента. Но этот аспект должен уравновешиваться пониманием индивидуальности и уникальности каждого случая.

«Терапия такого типа, какой практикую я, основана на извлечении уроков из углубленного изучения каждого отдельного человека, – говорит Орбах. – Это наследие Фрейда. Это исследование конкретных случаев. Это не значит, что все случаи совпадают, но процентах в пятидесяти из них бывают совпадения. Так что это может быть своего рода шорткатом, если эта информация запечатлена в сознании терапевта, в его мышлении, в его когнитивном и эмоциональном профессиональном репертуаре».

Это одно из увлекательных противоречий, существующих в психологии. Казалось бы, это почти что точная наука: в ней есть такие вещи, как исследование индивидуальных случаев; пациенты обращаются к психологу с конкретными расстройствами. Медик пытается сопоставить симптомы с теми, которые описаны в исследованиях предыдущих случаев, чтобы лечить пациента от его заболевания, опираясь на опыт лечения прошлых пациентов. Аналогичным образом паттерны поведения могут дать психотерапевту шорткат к пониманию поведения; точно так же паттерны математики помогают мне применять ранее использовавшиеся методики к решению новых на вид задач. И все же, поскольку психология каждого человека уникальна, точных повторений не бывает. Каждый случай требует особого подхода. Профессия психотерапевта – это скорее искусство, нежели наука.

«Психотерапия – ремесло индивидуальное; каждая терапевтическая пара или группа создает новые условия, которые приходится учитывать, – говорит Орбах. – Одна истина может вести к другой, которая может затмить то, что было понятно раньше. В процессе терапии запутанная конструкция человеческого разума изменяется. Включенное наблюдение изменений внутренней структуры и расширения ощущений – дело очень благодарное. Когда видишь, как используются средства защиты, как их можно обойти и со временем устранить, это дает ощущение красоты сродни тому, что испытывает математик или физик, находящий изящество в уравнении».

По словам Орбах, то, как она подходит к каждому новому пациенту, весьма похоже на то, как математик, такой как я, подходит к каждой новой задаче со всеми ее индивидуальными особенностями.

«Если я оцениваю потенциального пациента, я получаю физическое ощущение, может быть, даже формирую в уме геометрический образ взаимоотношений между внутренними объектами, защитных конструкций, всяких разных эмоциональных штук. Я вбираю очень много всего, но даже не знаю, что именно я получила, пока не выпишу все это на бумагу. Так что это тоже шорткат, но надо сказать, что связано это с тем, что я этим занимаюсь уже, черт возьми, сорок лет».

Снова возникает все та же тема: шорткаты достаются ценой упорного труда, многолетней работы. Я поинтересовался, что Орбах думает о том, как в качестве шортката к терапии используется КПТ. Она относится к этой, почти алгоритмической, методике психотерапии скептически.

«Я не верю в терапию по учебникам. Значит ли это, что она бесполезна? Нет. Иногда это лучше, чем ничего. Но можно ли поверить в излечение за восемь недель или восемь сеансов? Недостаток многих участников IAPT в том, что они часто бывают не терапевтами, а это работа, требующая высокой квалификации». Действительно, в некоторых случаях сеансы КПТ даже проводят терапевты с искусственным интеллектом. Орбах не верит, что психотерапию можно свести к следованию некой формуле. «Человеческая субъективность совсем не тривиальна, – говорит она. – Это нечто бесконечно сложное и прекрасное».

КПТ, возможно, обладает способностью создавать основу, позволяющую некоторым пациентам различать паттерны мышления и понимать, откуда они берутся. Вооружившись этим знанием, они могут впоследствии отключать негативные автоматические мысли. Но, по мнению Орбах, этой методике не хватает важного качества, присущего психотерапии. Дело в том, что такие паттерны часто работают на уровне идей, но не эмоций. И поэтому, полагает она, они не могут быть истинным шорткатом, позволяющим обойтись без терапии. Эмоции играют важнейшую роль в мышлении и сознании высокого уровня. Изменить последние без работы на эмоциональном уровне невозможно. Эмоции создают мыслительные структуры, развивающиеся на протяжении целых десятилетий. Орбах приводит такой пример: «У вас есть некая защитная структура, и вы понимаете: да, я возвращаюсь к этому конкретному типу поведения, потому что оно укоренено во мне, и так я понимаю, например, идеи, что “любовь – это ненависть” или “бьет – значит, любит” или еще что-нибудь. Это понятно, но эмоциональная составляющая всего этого невероятно сложна. И такие методики, конечно, помогают, но на самом деле… – тут она делает глубокий выдох, – …все это совсем не просто».

8

Шорткаты вероятностные

На что следует сделать ставку?

1. Что из шести брошенных костей хотя бы на одной выпадет шестерка.

2. Что из двенадцати брошенных костей хотя бы на двух выпадут шестерки.

3. Что из восемнадцати брошенных костей хотя бы на трех выпадут шестерки.

Современная жизнь состоит из целой серии решений, основанных на оценке диапазона возможных исходов. Анализ рисков – неотъемлемая часть того, как мы справляемся с каждым днем жизни. Вероятность дождя сегодня – 28 процентов. Брать ли зонтик? В газете пишут, что, если я ем бекон, это увеличивает вероятность рака прямой кишки на 20 процентов. Не следует ли мне отказаться от бутербродов с беконом? Не слишком ли много я плачу за страхование автомобиля, если учитывать вероятность аварии? Имеет ли смысл покупать лотерейные билеты? Какова вероятность того, что следующий бросок кубика в настольной игре отправит меня вниз по лестнице?

Во многих профессиях вычисление вероятностей необходимо для принятия жизненно важных решений. Какова вероятность роста или падения курса акций? Можно ли считать обвиняемого виновным, исходя из данных анализа ДНК? Следует ли пациентам беспокоиться о ложноположительных результатах анализов? Куда нужно бить футболисту, пробивающему пенальти? Иметь дело с миром неопределенностей нелегко. Но найти тропинку можно и в этом тумане. Математика разработала очень полезный шорткат, помогающий нам ориентироваться в неопределенностях всего на свете – от настольных игр до здравоохранения, от азартных игр до финансовых инвестиций. Речь идет о теории вероятностей.

Один из лучших способов изучения этого шортката – игра в кости. Задачей, с которой начинается эта глава, занимался знаменитый автор дневников XVII века Сэмюэл Пипс. Хотя Пипса интересовали азартные игры, он всегда был довольно осторожен и не отдавал заработанные тяжким трудом деньги на волю случая – и костей. В записи от 1 января 1668 года он рассказывает, что, возвращаясь домой из театра, наткнулся на «играющих грязных подмастерьев и бездельников» и вспомнил, как в детстве слуга водил его в игорный дом посмотреть, как игроки в кости пытаются выиграть состояние. Пипс отмечает, «сколь по-разному реагировали игроки на проигрыш: одни сквернословили и проклинали судьбу, другие лишь что-то бурчали себе под нос, третьи же и вовсе не выдавали своих чувств»[104]. Друг Пипса мистер Брисбенд предложил одолжить ему десять монет, чтобы и он мог попытать счастья, заявив, что «в первый раз не проигрывал еще никто, ибо Дьявол слишком коварен, чтобы отбивать охоту у игрока». Но Пипс отказался и ретировался домой.

Когда Пипс ребенком наблюдал за игрой, еще не было шорткатов, которые могли обеспечить ему преимущество. Но за годы, прошедшие между его детством и зрелостью, ситуация кардинально изменилась, потому что по ту сторону Ла-Манша два математика, Пьер де Ферма и Блез Паскаль, придумали новый способ мышления, давший игрокам потенциальный шорткат к выигрышу или хотя бы к уменьшению проигрыша. Возможно, Пипс еще не слышал о том, каких потрясающих успехов добились Ферма и Паскаль, когда попытались вырвать игральные кости из когтей дьявола и передать их в руки математиков. Сегодня теория вероятностей, начало которой они положили, служит ключевым элементом, позволяющим казино всего мира, от Лас-Вегаса до Макао, выживать за счет «играющих бездельников».

Каковы же шансы?

Ферма и Паскаля вдохновило на создание шортката известие о задаче, похожей на ту, которую обдумывал Пипс. Их общий знакомый, шевалье де Мере, хотел узнать, какая из следующих ставок выгоднее:

А. В четырех бросках одной кости выпадет шестерка.

Б. В 24 бросках двух костей выпадет двойная шестерка.

Этот шевалье был на самом деле не рыцарем, а писателем и математиком – его звали Антуан Гомбо; этот титул Гомбо дал персонажу, выражавшему его взгляды в диалогах, которые он писал. Но прозвище прилипло к нему самому, и друзья стали называть его шевалье. Он попытался решить головоломку с костями длинным путем и поставил множество опытов, снова и снова бросая кости. Но получавшиеся результаты не позволяли сделать какого-либо вывода.

Тогда он решил принести эту задачу в салон, который организовал из своей кельи монах-иезуит Марен Мерсенн. Мерсенн был своего рода центром интеллектуальной деятельности Парижа того времени: он получал интересные задачи и пересылал их другим своим корреспондентам, у которых, как ему казалось, могли появиться светлые мысли по поводу их решения. Когда дело дошло до задачи шевалье де Мере, он, несомненно, не ошибся в своем выборе. Ответу Ферма и Паскаля было суждено стать основой шортката, которому посвящена эта глава, – теории вероятностей.

Неудивительно, что длинный путь не слишком помог шевалье де Мере решить, какая ставка выгоднее. Когда Ферма и Паскаль применили к костям свой новый вероятностный подход, выяснилось, что вариант А выпадает в 52, а вариант Б – в 49 процентах случаев. Если сыграть в эту игру 100 раз, ошибки, вкрадывающиеся в основанные на случайности игры с использованием костей, с легкостью скроют эту разницу. Истинный паттерн может проявиться лишь после приблизительно 1000 партий. Этим и ценен этот шорткат. Он избавляет от большого количества трудоемких повторений экспериментов, которые к тому же могут создать ошибочное впечатление от задачи.

Шорткат, который изобрели Ферма и Паскаль, интересен тем, что он действительно помогает получить преимущество, но лишь в долгосрочной перспективе. В отдельной партии он игроку не поможет. Тут все по-прежнему зависит от воли богов. Но на долговременном масштабе он оказывает очень сильное влияние. Поэтому он очень полезен казино и не столь полезен праздному игроку, надеющемуся по-быстрому разбогатеть, бросив кости всего один раз.

В Лондоне же Пипс писал, с каким интересом он наблюдал, возвращаясь домой, как игроки стараются выкинуть семерку: «Надо было слышать, как они ругались и поносили судьбу; так, один джентльмен, который должен был выбросить “семерку” и никак не мог этого сделать, в сердцах закричал, что пусть он будет проклят, если ему впоследствии хотя бы раз удастся выкинуть “семерку”, – столь велико было его отчаяние; другие же без всякого труда выбрасывали злополучную “семерку” по нескольку раз кряду».

Действительно ли в том, что этот игрок никак не мог выкинуть семерку, было особое невезение? Стратегия, которую Ферма и Паскаль придумали для вычисления шансов получения на двух костях определенных чисел, сводилась к анализу разных вариантов выпадения костей и рассмотрению доли тех вариантов, которые дают семь очков. Первая кость может упасть шестью разными способами, что в сочетании с шестью же вариантами падения второй кости дает в общей сложности 36 разных комбинаций. Шесть из них приносят семь очков: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 и 6 + 1. Поскольку вероятности выпадения каждой из комбинаций одинаковы, можно утверждать, что семь очков выпадают в 6 из 36 случаев. Собственно говоря, это самый вероятный из всех результатов броска двух костей. Но все же в 5 случаях из 6 семерка не выпадает. Насколько в действительности был невезуч тот джентльмен, который впал в отчаяние из-за того, что не мог выбросить семерку несколько раз подряд?

Какова же вероятность, что семерка так и не выпадет за четыре броска? Перебор всех разных сценариев кажется делом практически непосильным, потому что число возможных исходов равно 36^4 = 1 679 616. Но тут приходят на помощь Ферма и Паскаль, потому что есть один шорткат. Чтобы получить вероятность того, что семерка не выпадет за четыре броска, нужно просто перемножить вероятности для всех этих бросков: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 ≈ 0,48. Значит, вероятность того, что семерка не выпадет четыре раза подряд, составляет около половины – почти равные шансы.

Верно и обратное: при четырех бросках двух костей есть почти равные шансы увидеть семерку. Такой же анализ показывает, что при четырех бросках одной кости есть равные шансы получить шестерку. Значит, в том, что джентльмен, которого видел Пипс, не выкинул ни одной семерки за четыре броска, нет ничего особенно удивительного. Это все равно что не выкинуть орла, подкинув монету один раз.

Из того факта, что семерка – наиболее вероятная комбинация двух костей, можно извлечь выгоду для себя во многих играх, в которых используются кости, например в нардах или «Монополии». К примеру, самая посещаемая клетка на доске «Монополии» – это «Тюрьма». В сочетании с вероятным результатом броска двух костей это означает, что с клетки «Тюрьма» многие игроки попадают на клетки с недвижимостью оранжевой зоны чаще, чем куда бы то ни было еще. Поэтому тот, кому удастся захватить оранжевые клетки и застроить их гостиницами, получит решающее преимущество в игре.

Хитрый шорткат: рассмотрим обратный случай

В вычислениях Ферма и Паскаля скрыт еще один изобретательный шорткат, которым часто пользуются математики. Что будет, если попробовать решать эту задачу, вычислив вероятность выпадения семерки за четыре броска костей? Для этого явно нельзя перемножить вероятности выпадения семерки четыре раза. Это произведение даст вероятность редкого случая выпадения четырех семерок подряд. Вместо этого нужно перебрать все возможные комбинации, в которых может выпасть семерка. Придется вычислить вероятность выпадения семерки в первом броске и ее отсутствия во всех последующих или ее отсутствия в двух первых бросках и выпадения двух семерок в двух последних. Снова масса работы. Но здесь можно использовать очень полезный шорткат. Есть всего один случай, который нас не интересует: когда семерка не выпадает ни разу. Но вычислить его вероятность легко.

Поэтому можно не пытаться решить задачу в лоб, а взглянуть на нежелательный исход. Мне лично этот шорткат очень помогает, над какой бы задачей я ни работал. Если с чем-нибудь не получается справиться напрямую, нужно попробовать посмотреть на обратную сторону. Например, понимание сознания – трудная научная задача, но анализ того, что сознания не имеет, иногда может привести к новым идеям относительно этой проблемы. Поэтому изучение пациентов, находящихся в состоянии глубокого сна или комы, может помочь ученым понять, что именно делает бодрствующий мозг сознательным.

Шорткат через оборотную сторону дает ключ и к решению следующей задачи: каждые выходные в Великобритании проходят матчи футбольной Премьер-лиги. Какова доля таких матчей, в которых на поле оказываются два человека с совпадающими днями рождения?

На первый взгляд кажется, что такое должно случаться очень редко. Может быть, один раз из десяти? Я думаю, что это впечатление возникает под влиянием мысли, что этот вопрос равнозначен следующему: если в эти выходные я буду играть в футбол, какова вероятность, что на поле окажется человек с тем же днем рождения, что и у меня? Вероятность такого события составляет около 5 процентов.

Однако тут речь идет лишь о сопоставлении меня самого с каждым из прочих футболистов. А как насчет всех остальных возможных пар? День рождения не обязательно должен совпасть именно у меня. Тогда задача усложняется, и становится ясно, что разных вариантов образования пар существует очень много.

Но при помощи шортката с рассмотрением обратной задачи можно прийти к решению гораздо более рациональным путем. Какова вероятность того, что на поле нет людей с совпадающими днями рождения? Если вычислить эту величину и отнять ее от 1, получится вероятность того, что два человека с одинаковыми днями рождения на поле есть.

Игра вот-вот начнется. Команды выбегают на поле: чтобы нам было удобнее, игроки выходят по одному. Первым выбегаю я. За мной – следующий футболист. Вероятность того, что его день рождения не совпадает с моим, – 364/365. Нужно только, чтобы он не родился в тот же день, что и я, – 26 августа.

Затем выбегает следующий игрок. Его день рождения должен отличаться как от моего, так и от дня рождения второго футболиста. Поскольку остается еще 363 дня, вероятность несовпадения ни с одним из наших дней рождения равна 363/365. Вероятность же того, что среди трех уже вышедших на поле людей нет совпадений дней рождения, составляет 364/365 × 363/365.

И так далее, пока на поле не окажутся все 22 футболиста… и судья. Каждый раз, когда на поле выходит очередной человек, количество возможных дней рождения, с которыми нужно не совпасть, увеличивается. К моменту выхода судьи нужно, чтобы его или ее день рождения не совпал с 22 днями рождения тех, кто уже на поле, а вероятность такого несовпадения равна (365 – 22)/365 = 343/365.

Когда на поле окажутся все 23 человека, вероятность того, что ни у кого из них не совпадают дни рождения, можно будет вычислить по формуле:

364/365 × 363/365 × 362/365 × … × 344/365 × 343/365 ≈ 0,4927.

Мы вычислили вероятность события, противоположного искомому. Теперь нужно ее перевернуть. Вероятность того, что на поле есть два человека с совпадающими днями рождения, равна 1 – 0,4927 = 0,5073. Казалось бы, невероятно, однако наличие совпадения дней рождения более вероятно, чем его отсутствие. Другими словами, в среднем в 5 из 10 матчей Премьер-лиги в каждые выходные на поле оказываются два человека с одинаковыми днями рождения.

Интересно отметить, что в реальности это число, вероятно, еще больше, потому что есть данные, что дни рождения футболистов чаще выпадают на сентябрь и октябрь. Почему? Те, кто родился ближе к началу учебного года, с большей вероятностью оказываются более развитыми физически, чем их одноклассники, родившиеся, как я, в августе[105]; у них больше шансов пройти отбор в школьную футбольную команду и набраться опыта в ее играх. Я живо помню, как недоумевал, почему я никогда не побеждал в школьных забегах. Но однажды, когда в нашем городе была летняя ярмарка, я принял участие в соревнованиях по бегу, которые проводили по возрастным группам. Поскольку было лето и мой день рождения еще не наступил, а все мои одноклассники свои уже отпраздновали, я попал в забег с ребятами, учившимися на класс младше. К огромному моему изумлению, я оставил соперников позади и впервые в жизни пришел к финишу первым.

Но и после этого хилому юному дю Сотою пришлось сидеть в библиотеке, пытаясь стать асом математики.

Шорткат в казино

Математики пользуются большим спросом в Лас-Вегасе, потому что казино постоянно ищут все новые шорткаты, которые помогли бы увеличить их преимущество в играх. Взять, к примеру, столы для игры в крэпс, модифицированного варианта той же игры, которую наблюдал Пипс. Делать ставки, играя в крэпс, – дело очень сложное из-за динамики этой игры, но в любой момент можно сделать ставку на то, что при следующем броске костей выпадет семь. Я уже объяснял, что в среднем такое происходит в 1 случае из 6. Однако, если вы поставите на этот исход доллар и выиграете, казино заплатит вам всего 4 доллара в дополнение к вашей 1-долларовой ставке. Если бы игра была честной, вам следовало бы заплатить 5 долларов. Такая ставка – одна из худших из всех, какие можно сделать в игре в крэпс, потому что она дает заведению преимущество 16,67 процента. Речь идет о прибыли, которую казино (в среднем) получает каждый раз, когда игрок делает ставку.

Если вам все же совершенно необходимо поставить на «семерку», есть лучший способ, позволяющий уменьшить преимущество заведения. Нужно разделить ставку натрое. Вы делаете не одну ставку на число 7, а сразу три: первую на то, что на костях выпадет 1 и 6, вторую – на 2 и 5, а третью – на 3 и 4. Такая ставка называется «хоп-бет»[106]. Хотя в совокупности три эти ставки означают то же, что и ставка на сумму, равную 7, выплата по каждой из них выгоднее, чем по ставке на «семерку». В этом случае преимущество заведения при каждой ставке составляет (в среднем) всего 11,11 процента.

Все игры, в которые играют в Лас-Вегасе, были тщательно проанализированы, чтобы обеспечить выигрыш заведения в долговременной перспективе, но игрок может, используя инструменты, которые разработали Паскаль и Ферма, находить места, в которых у него появляются лучшие шансы потерять деньги медленнее, чем где бы то ни было еще.

Например, в игре в крэпс есть ставка, по которой заведение выплачивает в зависимости от вероятности выигрыша. Это почти что единственная имеющаяся в казино возможность играть по правилам, не дающим преимущества заведению. В игре в крэпс игрок бросает кости и устанавливает целевое число. Оно должно быть равно 4, 5, 6, 8, 9 или 10. Если выпадает 2, 3, 7, 11 или 12, партия заканчивается. В случае 7 или 11 выигрывает игрок, а 2, 3 и 12 считаются проигрышными числами; случаи, когда выпадают они, называются «крэп». Если целевое число установлено, цель игрока (сделавшего такую ставку) – выкинуть это число еще раз прежде, чем выпадет 7.

Если поставить на то, что целевое число выпадет до появления «семерки», такая ставка не дает преимущества заведению. Предположим, целевое число равно 4. Если поставить 1 доллар на то, что 4 выпадет еще раз раньше, чем 7, и это произойдет, казино выплатит сверх 1-долларовой ставки еще 2 доллара, то есть всего 3. Это в точности соответствует вероятности такого события. Число 4 дают три комбинации костей, а число 7 – шесть, то есть такая ставка выигрывает один раз из трех. По этой ставке казино платит, не подкручивая соотношение вероятностей в свою пользу. Этот вероятностный шорткат не помогает разбогатеть, но по меньшей мере гарантирует, что игрок не отдает деньги просто так. Использование этой ставки означает, что в долгосрочной перспективе игрок должен остаться при своих.

Вот вам небольшая задача. Перейдем к рулетке. У вас есть 20 долларов. Ваша цель – по возможности удвоить эту сумму. Если вы поставите на красное и оно выиграет, вы получите в два раза больше, чем поставили. Какая стратегия имеет больше шансов на выигрыш? Стратегия А: поставить сразу все деньги на красное. Стратегия Б: каждый раз ставить на красное по одному доллару.

На первый взгляд может показаться, что никакой разницы нет, но у рулеточного колеса есть одна особенность. На нем расположены 36 чисел, половина из которых красные, а половина – черные, но, кроме того, есть еще 37-е число – зеро (0); его ячейка зеленая[107]. Если шарик попадает на него, вы теряете деньги, на что бы вы их ни поставили, красное или черное. В этом случае заведение обыгрывает всех[108]. Казалось бы, ничего страшного, но казино вычислили, что зеро открывает им шорткат к прибыли. Во всяком случае, в долгосрочной перспективе!

Поэтому шансы выигрыша и проигрыша при ставке на красное не равны. Вероятность выигрыша чуть меньше: она составляет 18/37. Предположим, вы ставите по 1 доллару на красное при 37 запусках колеса, и по странному стечению обстоятельств каждое из чисел, имеющихся на колесе, выигрывает по одному разу. Тогда в 18 случаях вы выигрываете по 1 доллару, но в 19 проигрываете по 1 доллару, и в результате у вас остается всего 36 долларов. Значит, с каждой 1-долларовой ставки вы, по сути, платите заведению по 1/37 ≈ 0,027 доллара. Преимущество заведения составляет 2,7 процента[109]. Чем больше играешь, тем больше теряешь.

При использовании стратегии А, когда вы ставите разом все 20 долларов, вероятность удвоения ваших денег равна 18/37, то есть около 48 процентов, даже меньше равных шансов. Но, если вы играете по стратегии Б, вы платите по доллару за каждую ставку, а следовательно, эта стратегия постепенно уводит вас все дальше и дальше от цели – удвоения исходного капитала. Собственно говоря, в долгосрочной перспективе вероятность того, что эта стратегия позволит вам удвоить капитал, составляет всего 25 процентов.

Хотя стратегия А дает больше надежды, игра по ней означает, что вы проведете в казино лишь довольно короткое время. Вечер игры по стратегии Б может быть более интересным, но за это удовольствие вам придется заплатить.

Возможно, вы слышали, что игроку, желающему получить преимущество перед казино, место за столом для блэкджека. В 1960-х годах математик Эдвард Торп сообразил, что, наблюдая за картами, которые приходят дилеру и другим игрокам, в этой игре можно получить преимущество[110]. Эта методика называется подсчетом карт. В блэкджеке нужно добиться, чтобы ваши карты давали сумму, равную или меньшую 21, но большую, чем у дилера. Если вы перебираете – набираете больше 21, – вы проигрываете. Ключевой фактор, обеспечивающий эффективность подсчета карт, – это правило, согласно которому дилер всегда обязан брать очередную карту, если у него на руках 16 или меньше очков.

В колоде есть 16 карт, сто́ящих по 10 очков (десятки, валеты, дамы и короли). Если вы знаете, что в колоде еще остается много таких карт, значит, велика вероятность того, что дилер, взяв следующую карту, переберет; поэтому вам имеет смысл делать более крупные ставки. Подсчет карт – простой метод, позволяющий отслеживать, сколько старших карт уже было отыграно, а сколько еще остаются в колоде. Как правило, в казино используют на каждом столе не по одной, а по шесть-восемь колод, чтобы минимизировать действенность подсчета, но даже тогда он дает игроку преимущество. Фильм «Двадцать одно» (2008) был снят по мотивам подлинной истории группы математиков из MIT, использовавших шорткат Торпа в Лас-Вегасе. Занудные математики вышли в нем такими сексапильными и обаятельными, что этот фильм, вероятно, сделал для популярности математики среди абитуриентов университетов больше, чем совокупные усилия всех математических факультетов по всей стране.

На первый взгляд кажется, что это прекрасный шорткат к богатству. Проблема только в том, что, когда я проанализировал, сколько времени на самом деле нужно, чтобы заработать при помощи этой стратегии по-настоящему много денег, оказалось, что отношение выигрыша к затраченному времени получается меньше минимальной зарплаты. Похоже, к успеху игроков из MIT приложила руку госпожа Удача.

Плата за вход

Сколько вы согласились бы заплатить за участие в следующей игре? Я бросаю игральную кость и плачу вам столько долларов, сколько на ней выпадет очков. В одном случае из шести выпадает «шестерка», и вы получаете 6 долларов. Любое другое число тоже выпадает один раз из шести. За шесть бросков вы можете заработать 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 доллар. Значит, средний выигрыш за один бросок равен 21/6 = 3,50. Если вам предложат сыграть за меньшую плату, имеет смысл соглашаться, потому что в долгосрочной перспективе вы должны остаться в выигрыше. Каждый раз, когда играешь на деньги, разумно оценить, каким должен быть средний выигрыш, чтобы понять, стоит ли играть в эту игру.

Хотя к открытию того факта, что к азартным играм можно применять математические методы, привела переписка между Ферма и Паскалем, математическая теория вероятностей по-настоящему кристаллизовалась лишь с появлением работы швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений» (Ars Conjectandi)[111]. Якоб принадлежал к тому самому клану Бернулли, который выступал на стороне Лейбница в споре об авторстве математического анализа. Именно в этой работе можно найти формулу целесообразной платы за участие в любой игре.

Предположим, существует N возможных исходов. В случае исхода 1 вы выигрываете W(1) долларов. Это происходит с вероятностью P(1). Аналогичным образом исход 2, вероятность которого P(2), приносит вам W(2) долларов. Каждый раз, когда вы играете в эту игру, вы выигрываете в среднем W(1) × P(1) + … + W(N) × P(N) долларов. Таким образом, если вам предлагают сыграть за меньшую сумму, в долгосрочной перспективе вы останетесь в выигрыше. Например, в моей игре с игральной костью есть шесть исходов, все вероятности P(1), … P(6) равны 1/6, а выигрыши W(1), … W(6) составляют от 1 до 6 долларов.

Эта формула казалась правильной, пока родственник Якоба Николай Бернулли[112] не совершил нечто почти наводящее на мысль об эдиповом комплексе: он придумал следующую игру. Я подбрасываю монету. Если выпадает орел, я плачу вам 2 доллара и игра заканчивается. Если выпадает решка, я подбрасываю монету еще раз. Если на этот раз выпадает орел, я плачу вам 4 доллара. Если решка, я подбрасываю монету еще раз. Каждый раз, когда я подбрасываю монету, выигрыш удваивается. Например, если 6 раз выпадает решка, а потом орел, я должен заплатить вам 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^7 = = 128 долларов. Сколько вы согласились бы платить за участие в игре Николая? Четыре доллара? Двадцать? Сто?

Существует 50-процентный шанс, что вы выиграете всего 2 доллара. В конце концов, вероятность того, что при первом же броске выпадет орел, равна 1/2. Значит, P(1) = 1/2, а W(1) = 2. Но вы надеетесь, что перед орлом будет долгая череда решек: тогда вы получите по-настоящему большой выигрыш. Вероятность того, что сначала выпадет решка, а за ней – орел, равна 1/2 × 1/2 = 1/4. Но в этом случае вы выиграете 4 доллара. Значит, для второго исхода P(2) = 1/4, а W(2) = 4. По мере продолжения игры вероятности становятся все меньше, но выигрыш – все больше. Так, для случая с шестью решками перед орлом вероятность равна (1/2)7 = 1/128, но выигрыш составляет 2^7 = 128 долларов.

Если вы останавливаете игру после 7 бросков, вы проигрываете только в случае выпадения семи решек подряд. По формуле Якоба средний выигрыш получается равным W(1) × P(1) ++ … + W(7) × P(7) = (1/2 × 2) + (1/4 × 4) + … + (1/128 × 128) == 1 + 1 + … + 1 = 7 долларам. Таким образом, играть имеет смысл, если за это предлагают заплатить меньше 7 долларов.

Но вот в чем загвоздка. Николай готов играть бесконечно, пока не выпадет орел. Вы выигрываете в каждой партии. Сколько же вы можете заплатить за участие в игре? Теперь вариантов бесконечно много. Из формулы следует, что средний выигрыш будет составлять 1 + 1 + 1 + … – бесконечно много долларов! Если вам предлагают играть по таким правилам, выгодно согласиться, сколько бы это ни стоило. Если плата за участие – 2 доллара, вы будете проигрывать с вероятностью 50 процентов, каждый раз, когда с первого же броска будет выпадать орел. Но математика утверждает, что если вы будете продолжать игру, то в долгосрочной перспективе вы должны оказаться в выигрыше.

Почему же большинство не согласится играть в такую игру, если входная плата будет больше долларов десяти или около того? Речь идет о санкт-петербургском парадоксе, названном так в честь Даниила Бернулли, двоюродного брата Николая[113], который предложил первое объяснение причин, по которым ни один рационально мыслящий человек не согласится играть в такую игру за любую плату. В то время Даниил работал в Академии наук в Санкт-Петербурге. Его ответ сводится к тому, что скажет вам любой миллиардер: первый заработанный миллион гораздо ценнее второго. В формулу нужно подставлять не сумму выигрыша, а его ценность для вас лично. Поэтому цена, которую вы готовы заплатить за участие в игре, меняется в зависимости от того, насколько вы цените ее исход. Решение Даниила имело значение, выходящее далеко за рамки любопытной математической игры: по сути дела, оно стало основой всей современной экономики.

Чтобы еще раз показать, что этот шорткат к миллиардному состоянию на самом деле не так хорош, как кажется, рассмотрим следующий вопрос: если вам удается играть по одной партии в секунду, сколько времени займут 2^60 партий? Именно на такое количество партий в санкт-петербургскую игру следует рассчитывать, чтобы остаться при своих, если плата за участие равна 60 долларам. Ответ – более 36 миллиардов лет. Возраст нашей Вселенной – не более 14 миллиардов лет. Этот результат дает еще один ответ на вопрос о том, почему большинство не согласится платить произвольную сумму за участие в этой игре.

Козы и машины

В 1990-х множество людей по всему миру, в том числе профессиональные математики, яростно спорили об оптимальной стратегии решения одной задачи из американской телевизионной игры «Заключим сделку» (Let’s Make a Deal)[114]. В игре был финальный раунд, проходивший приблизительно следующим образом.

Есть три закрытые двери. За двумя из них находятся козы, а за третьей – новенький спортивный автомобиль. В дальнейших рассуждениях я предполагаю, что участник игры хочет получить автомобиль, а не козу. Участник может выбрать одну из дверей – скажем, дверь А. Пока что все достаточно просто: вероятность того, что машина именно за этой дверью, равна одной трети, правильно? Но дальше начинается самое интересное. Ведущий, который знает, где находятся козы, открывает одну из двух оставшихся дверей, и за ней оказывается коза. Затем он ставит участника перед выбором: тот может либо открыть ту дверь, которую назвал исходно, либо изменить свое решение и открыть другую. Как поступить участнику?

Многим интуитивно кажется, что к этому моменту, раз осталось всего две двери, существует 50-процентная вероятность, что машина находится за той дверью, которую участник выбрал с самого начала. Если он изменит свое решение, это никак не повлияет на его шансы на победу, а если в результате окажется, что он с самого начала выбрал правильную дверь, то он никогда себе не простит, что отказался от приза. Поэтому чаще всего участники игры своего решения не меняют.

Но на самом деле изменение решения удваивает шансы участника на победу. Это может показаться странным, но вот почему это так. Чтобы вычислить вероятность победы, нужно перебрать все возможные сценарии с изменением решения и подсчитать, в скольких из них участник выигрывает.

Сценарий А. Машина находится за дверью А, исходно выбранной участником. Участник выбирает другую дверь и получает козу.

Сценарий Б. Машина находится за дверью Б. Ведущий открывает дверь В и показывает, что за ней – коза. Участник выбирает дверь Б и получает машину.

Сценарий В. Машина находится за дверью В. Ведущий открывает дверь Б и показывает, что за ней – коза. Участник выбирает дверь В и получает машину.

Все эти сценарии равновероятны. Однако в двух из трех случаев участник выигрывает машину. Если же он не изменяет своего решения, то выигрывает лишь в одном случае из трех. Выбрав другую дверь, он действительно удваивает свои шансы на победу!

Если вы не вполне можете осознать этот результат или поверить в него, не беспокойтесь. Такое же объяснение было напечатано в журнале, и более 10 000 человек, в том числе сотни математиков, написали в редакцию, утверждая, что оно ошибочно. Даже Пол Эрдёш, один из величайших математиков XX века, заблуждался по этому вопросу, пока как следует не обдумал задачу.

Если я вас все еще не убедил, подумайте вот о чем. Представьте себе, что дверей не три, а миллион. Ведущий знает, за какой из них спрятан приз. Участник выбирает дверь наудачу. Вероятность того, что он выберет правильную дверь, – одна миллионная. Затем ведущий открывает все остальные двери кроме одной: за ними обнаруживаются 999 998 коз. Закрытыми остаются две двери, та, которую выбрал играющий, и та, которую ведущий еще не открыл. Следует ли теперь участнику изменить свой выбор?

Дело в том, что, открывая дверь с козой, ведущий дает участнику информацию. Ведущий знает, где находятся козы. Если изменить условия, может измениться и решение. Предположим, в игре два участника, играющие друг против друга. Первый выбирает дверь. Второй получает право открыть одну из оставшихся. За ней оказывается коза. Как следует поступить первому участнику? Как ни странно, хотя кажется, что он располагает той же информацией (есть две двери, за одной – машина, за другой – коза), теперь вероятность выигрыша в случае, если первый участник останется верен своему выбору, составляет 50 процентов. Разница в том, что теперь есть еще один сценарий, который следует учесть: если за выбранной первым участником дверью находится коза, второй мог открыть дверь, за которой автомобиль. В предыдущем варианте такого случиться не могло, потому что ведущий всегда открывает дверь, за которой находится коза (благо он знает, за какими дверями спрятаны козы). Представьте себе вариант с миллионом дверей. Второй участник открывает 999 998 дверей, и за всеми оказываются козы. Из-за такого поразительного невезения он так и не получает автомобиль, но первому участнику его невезучесть не говорит об оставшихся закрытыми дверях ровным счетом ничего. Шансы найти машину за любой из двух последних дверей – пятьдесят на пятьдесят.

Преподобный Томас Байес

Понятие вероятности кажется вполне осмысленным, когда речь идет о событиях будущего. Если я собираюсь бросить две игральные кости, то в 1 из 6 возможных сценариев сумма выпавших на них чисел будет равна 7. Эта вероятность одинакова для меня и для вас, потому что мы оцениваем нечто такое, что произойдет в будущем.

Но что, если вы уже бросили кости, они упали, а вы не показываете мне результат? Бросок состоялся. Он уже в прошлом. На костях гарантированно выпало некое число – либо равное, либо не равное 7. Никаких других вариантов нет. Беда только в том, что мне результат неизвестен. Тем не менее мы можем оценить его вероятность, хотя некоторые в этом и сомневаются. Ваша оценка вероятности отличается от моей, потому что у вас есть информация. Моя вероятность – это численное выражение отсутствия у меня знания о положении вещей. Внезапно оказывается, что вероятность зависит от количества информации, имеющейся у каждого из нас. Получается численное выражение эпистемологической неопределенности, того, что мы в принципе можем знать, но на самом деле не знаем.

По мере того как я получаю дополнительную информацию, моя оценка вероятности изменяется. Но разработка математического аппарата, позволяющего выразить значения вероятности, которые я должен присваивать событиям с учетом новой информации, привела к возникновению нового направления научной мысли.

Например, бросьте на стол случайным образом белый бильярдный шар, заметьте его положение незаметно для меня и уберите шар со стола. Если мне нужно провести линию в соответствии с моими догадками о том, где мог оказаться шар, я могу просто провести ее по центру стола, так как никакой информации у меня нет. Но что, если я брошу на стол пять красных шаров, а вы скажете мне, между какими из них оказался ваш белый? Предположим, три красных шара находятся с одной стороны от него, а два – с другой. Это сдвинет предполагаемое положение к тому краю стола, ближе к которому лежат два шара. Но на сколько именно мне следует сдвинуть линию, исходя из этой новой информации?

Некоторые теории утверждают, что линию нужно провести на уровне двух пятых длины стола. Но один возмутитель спокойствия в теории вероятностей, Томас Байес, заявил, что на самом деле линию следует провести на уровне трех седьмых, потому что анализ этих теорий не учитывает некоторых дополнительных данных – а именно того обстоятельства, что до получения новой информации случайно брошенный шар мог с 50-процентной вероятностью оказаться как в левой, так и в правой части стола. Байес определяет, где провести линию, учитывая еще и эти два дополнительных шара.

Байес был священником-нонконформистом в приходе Танбридж-Уэллс, но в то же время и своего рода математиком-любителем. Он умер в 1761 году, но среди оставшихся после него документов была рукопись, в которой излагались его идеи об определении вероятности событий на основе лишь частичной информации. Королевское общество опубликовало эту рукопись под заголовком «Очерк к решению одной задачи теории шансов» (An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances). Идеи, изложенные в этой работе, оказали огромное влияние на современные методы определения вероятности событий, о которых мы располагаем ограниченной информацией.

В судебных процессах юристы пытаются определить, какова вероятность того, что тот или иной человек виновен в совершении преступления. Человек может быть либо виновным, либо невиновным. Определение вероятности кажется делом в некотором смысле весьма странным. Такая вероятность должна выражать меру нашей эпистемологической неуверенности. Но Байес считал, что вероятности изменяются по мере учета вновь получаемой информации. Присяжные и судьи часто не понимают тонкостей идей Байеса: доходит до того, что судьи пытаются исключить такие математические методы из рассмотрения, объявив, что суд не принимает их в качестве доказательства.

Шорткат к пониманию неопределенности при помощи приписывания событиям вероятности часто используют неправильно. К сожалению, у широкой общественности нет четкого понимания вероятности. Поэтому, чтобы не заблудиться, нам приходится использовать шорткаты математические. Взять хотя бы следующий пример.

Нам говорят, что человек, совершивший преступление, приехал из Лондона. На скамье подсудимых сидит лондонец. Но эта информация дает лишь очень шаткие основания подозревать именно его. Вероятность того, что он преступник, составляет одну десятимиллионную.

Затем присяжным говорят, что образцы ДНК, собранные на месте преступления, соответствуют ДНК обвиняемого, и что вероятность такого совпадения – одна миллионная. Казалось бы, сомнений быть не может. Большинству присяжных одного этого хватило бы, чтобы признать подсудимого виновным. Однако Байес объясняет, как именно с учетом этого следует изменить вероятность его виновности. Если численность населения Лондона – 10 миллионов человек, значит, в Лондоне есть 10 человек, ДНК которых совпадает с ДНК, найденной на месте преступления. То есть вероятность виновности человека, сидящего на скамье подсудимых, составляет всего одну десятую. Вердикт, только что казавшийся несомненным, становится не столь определенным. В этом примере разобраться довольно легко, но многие случаи использования теоремы Байеса в судебных разбирательствах бывают намного сложнее: когда речь идет о множестве разных типов улик, анализ вероятности виновности необходимо проводить с помощью компьютерных программ. К несчастью, многие судьи не понимают математики и не приобщают к делам заключений профессиональной экспертизы, что приводит иногда к ужасающим судебным ошибкам.

Вероятности используются и в медицине, и, если не понимать принципов применения шортката, в этой области также можно оказаться в результате чрезвычайно далеко от намеченной цели. Например, если пациентам говорят, что обследование на рак груди или простаты выявляет наличие рака с 90-процентной точностью, большинство впадает в панику, если результат обследования оказывается положительным. Но есть ли для этого основания? Важно учитывать дополнительные данные: что наличие рака вероятно лишь у одного из 100 пациентов. Проблему создают ложноположительные результаты. Если обследование обеспечивает 90-процентную точность, то из 99 человек, проходящих его, у 10, которые на самом деле вполне здоровы, положительные результаты будут ошибочными. Значит, если вы получили положительный результат, вероятность того, что вы действительно больны раком, составляет всего лишь одну одиннадцатую!

В этих числах важно разбираться, потому что СМИ обожают злоупотреблять ими для нагнетания страхов. Взять, к примеру, то сообщение, с которого я начал эту главу, – что бекон увеличивает вероятность возникновения рака прямой кишки на 20 процентов. Это пугает. Не пора ли мне отказаться от моих любимых бутербродов с беконом? Но, если посмотреть на долю людей, болеющих раком прямой кишки, она составляет 5 из 100. Употребление бекона увеличивает эту цифру до 6 из 100. В такой формулировке эта вероятность кажется не столь страшной.

Пипс

А как быть с задачей Пипса о шестерках, с которой начинается эта глава? Какова вероятность того, что в шести бросках выпадет хотя бы одна шестерка? Здесь нужно снова использовать тот же шорткат – рассмотреть обратный вариант. Вероятность того, что шестерка не выпадет шесть раз подряд, равна (5/6)6 ≈ 33,49 %. Значит, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки, довольно велика – около 66,51 %.

А как насчет выпадения по меньшей мере двух шестерок на двенадцати костях? Здесь тоже существует слишком много возможных вариантов развития событий, чтобы все их можно было рассмотреть, так что мы применим тот же прием и пойдем от обратного. Рассмотрим вероятность случаев, в которых а) не выпадает ни одной шестерки и б) выпадает ровно одна шестерка. Для случая а) действует та же формула, что и раньше: (5/6)12 ≈ 11,216 %. Теперь займемся одной шестеркой. Тут есть двенадцать возможных сценариев, смотря по тому, в каком из бросков она выпадает. Вероятность, что шестерка выпадет в первом броске и не выпадет во всех остальных, равна (1/6) × (5/6)11. Собственно говоря, то же справедливо и для всех остальных сценариев, так что суммарная вероятность составляет 12 × (1/6) × (5/6)11 ≈ 26,918 %. Следовательно, вероятность выпадения двух или более шестерок в двенадцати бросках приблизительно равна

100 – 11,216 – 26,918 = 61,866 %.

Таким образом, лучше ставить на вариант 1. Если произвести аналогичный анализ третьего варианта, несколько более сложного, чем второй, вероятность получится еще более низкой – около 59,73 %.

Пипс писал об этой задаче Исааку Ньютону в трех письмах, отправленных в конце 1693 года[115]. Пипсу интуитивно казалось, что третий вариант должен быть самым вероятным, но Ньютон, применив к задаче шорткат Ферма и Паскаля, ответил, что математика рекомендует другое решение. Поскольку Пипс собирался поставить 10 фунтов, что соответствует 1000 фунтов в нынешних деньгах, ему повезло: совет Ньютона спас его от шортката к обнищанию.

Шорткат к шорткатам

На каждом шаге жизненного пути мы попадаем на развилки, от которых отходят в будущее несколько разных дорог. В каждом выборе есть неуверенность относительно того, какая из этих дорог приведет к нужной цели. Если мы принимаем решения, полагаясь на интуицию, это часто приводит не к самым лучшим результатам. Выражение неопределенности в числах оказалось мощным средством анализа таких дорог и обнаружения шорткатов к цели. Математическая теория вероятностей не устраняет риски, но дает нам возможность более эффективно разбираться с ними. Эта стратегия позволяет нам анализировать все возможные сценарии будущего развития событий и определять, какая их часть ведет к успеху или неудаче. Это дает гораздо более ясную картину будущего, опираясь на которую можно выбрать, какой дорогой идти дальше.

Пит-стоп: Финансы

Все хотят найти шорткат к огромному состоянию. Купить лотерейный билет. Поставить на лошадь. Основать следующий Facebook. Написать нового «Гарри Поттера». Вложиться в очередной Microsoft. Хотя математика не может гарантировать богатства, она все же дает некоторые из лучших возможностей максимального увеличения шансов на его получение.

Можно было бы подумать, что Исаак Ньютон со всеми его математическими методами оптимизации решений должен был быть успешным инвестором. Однако, потеряв огромные деньги из-за рыночного краха, он заявил: «Я могу исчислить движение звезд, но не безумие человека».

Тем не менее со времен Ньютона математика выяснила, что полезные шорткаты к извлечению денег из рынков все же существуют. Поэтому фонды, дела которых устойчиво идут хорошо как в благоприятные, так и в неблагоприятные периоды, неизменно бывают набиты сотрудниками с учеными степенями по математике. Если вы хотите найти идеальный фонд для своих сбережений, для этого есть очень полезный шорткат: нужно подсчитать количество сотрудников фонда, защитивших диссертации по математике. Но при чем тут знание математики? Разве поведение рынков не определяется человеческими прихотями и капризами? Не будет ли полезнее иметь ученую степень по психологии?

В начале XX века французский математик Луи Башелье выдвинул утверждение, что инвестиции в фондовый рынок на самом деле ничем не отличаются от ставок на подбрасываемую монету. Он первым построил модель изменения цен с течением времени. Башелье, досконально знавший рынки, считал, что курсы акций растут и снижаются случайным образом. Такое поведение называют «пьяной походкой», потому что на графике оно выглядит похоже на траекторию движения пьяницы, ковыляющего по улице. Разумеется, на общее поведение курсов может повлиять, скажем, вспышка пандемии. Но даже если учесть это, курс акций впоследствии может случайным образом пойти вверх или вниз. Такое знание не дает реального преимущества. Но оно оказывается полезным, когда понимаешь, что на самом деле эта модель неверна. В 1960-х годах математики осознали, что случайность, аналогичная случайности падения монеты, не вполне точно подходит к этой ситуации, потому что в противном случае можно было бы предположить, что курс акций на фондовом рынке может дойти до отрицательных значений. Поэтому появилась новая модель, по-прежнему случайная, но учитывающая, что у курса акций есть нижний предел, хотя рост его потенциально может быть ничем не ограничен.

Одна из возможностей обыграть рынок появляется, когда удается разглядеть в биржевых курсах некую скрытую информацию. Иногда это позволяет получить преимущество. Например, букмекер, принимающий ставки на исход скачек, в которых участвуют три лошади, позаботится, чтобы вы не могли остаться в выигрыше, просто поставив на всех трех. Но представьте себе, что вы каким-то образом знаете, что одна из этих лошадей никак не может победить. Тогда можно распределить ставки между оставшимися двумя так, чтобы выиграть при любом исходе.

К этому, по сути, и сводилась идея, которую предложил в 1967 году в книге «Обыграй рынок» (Beat the Market) Эд Торп. Как я уже говорил в предыдущей главе, Торп решил задачу обеспечения преимущества в игре в блэкджек методом подсчета карт. Он даже использовал специальное устройство для анализа вращения рулеточного колеса, что позволяло ему делать рациональные ставки, пока его не выгнали из казино, обвинив в шулерстве[116]. Но после этого у него появилась идея, которая привела к возникновению концепции хедж-фондов. Ключевой в ней была ставка на две финансовые лошади, которая должна быть успешной вне зависимости от того, какая из них окажется первой.

Торп обнаружил, что некоторые финансовые инструменты – так называемые варранты – бывают переоцененными, приблизительно так же, как бывают переоцененными ставки в казино, что дает преимущество заведению. К сожалению, поскольку в казино нельзя поставить на собственный проигрыш, игрок не может извлечь из этой информации никакой выгоды. Но из переоценки варрантов, как понял Торп, можно извлечь выгоду, если использовать так называемую продажу без покрытия, или короткую продажу («шорт»). Можно взять дорогостоящие варранты, принадлежащие кому-то другому, в долг, пообещав их владельцу впоследствии вернуть их с процентами. Полученные таким образом варранты можно продать, а когда подойдет срок возврата, снова купить их и вернуть исходному владельцу. Суть в том, что завышенная цена варрантов обычно означает, что впоследствии они будут стоить меньше, чем в тот момент, когда вы их продаете, и это позволяет получить прибыль.

Проблема только в том, что так бывает не всегда. Со временем варранты могут и подорожать – точно так же, как ставка в казино может выиграть, несмотря на преимущество заведения. И если цена варрантов возрастет, вас ожидают крупные убытки. Но на этот случай есть хитроумная страховка – «хедж». Варрант – это одна из разновидностей опциона, то есть права на покупку определенных акций. Если цена варранта растет, причина этого – рост курса базисных акций, к которым он привязан. Поэтому, если одновременно с продажей взятых в долг варрантов купить некоторое количество соответствующих акций, то даже в случае провала сделки с варрантами – то есть если вам так не повезло, что их цена выросла, – можно получить доход с подорожавших акций. Это не гарантированный способ заработать, но Торп осознал, что в большинстве случаев можно получать прибыль независимо от того, растут цены или снижаются.

Главное – подобрать для этой эквилибристики такие цены, которые выгодны именно вам, – подобно тому, как ставящий на двух лошадей, зная, что третья никак не может победить, распределяет между ними свои ставки. Речь идет об извлечении выгоды из имеющейся информации. Так действуют казино, но хедж-фонды тоже нашли этот хитроумный шорткат, позволяющий зарабатывать на фондовых рынках.

Но математика – не единственный шорткат, имеющийся в распоряжении инвестора. Моя приятельница Хелен Родригес, ставшая чрезвычайно успешным финансовым аналитиком, готовилась к карьере в этой области, изучая не математику, а историю. Оказывается, навыки историка открыли перед ней шорткат, которым Хелен то и дело пользуется, чтобы понять, недооценена или переоценена та или иная компания.

Хелен специализируется на высокодоходных облигациях (их называют также бросовыми или мусорными), которые широко используются при покупке и финансировании компаний. Покупая облигацию, вы одалживаете компании некоторую сумму в обмен на обещание ее возврата с определенными процентами по истечении срока погашения облигации. У бросовых облигаций выше риск непогашения, но в связи с этим они приносят и более высокие доходы.

«Вот тебе первый шорткат: мы используем рейтинг кредитоспособности компаний, положение в котором определяется готовностью и способностью каждой компании возвращать кредиты, – говорит Хелен. – Компании, кредиты которым связаны с наименьшим риском, получают самый высокий рейтинг ААА; те, по кредитам которым вероятность выплаты процентов или даже основного капитала мала, – самый низкий рейтинг С. Облигации считаются высокодоходными, если кредитный рейтинг компании ниже уровня ВВВ–. Если у компании низкий рейтинг, в нее имеет смысл инвестировать только под более высокие проценты. Поэтому такие облигации и называются высокодоходными».

В новостях часто говорят, что какое-нибудь агентство вроде Moody’s – одна из корпораций, которые выпускают такие оценки, – снизило кредитный рейтинг той или иной страны или того или иного банка. Эти рейтинги – попытка спроецировать многомерный корпоративный мир во всей его сложности и запутанности на одномерную прямую, на одном конце которой стоит рейтинг С, а на другом – ААА.

Хелен заглядывает в прошлое, используя свой исторический инструментарий, и изучает историю конкретных компаний, которым присваивают тот или иной кредитный рейтинг, пытаясь понять, не может ли стоимость их облигаций быть завышенной или заниженной. Иногда такие попытки получения новой информации помогают приобрести преимущество. Выявление аспектов истории компании, оставленных без внимания другими, но способными дать новую информацию о ценности облигаций, – настоящее искусство. И такая способность яснее видеть общую картину часто встречается у историков.

«Я следила за 2500 немецкими косметическими магазинами; их облигации все время держались выше номинальной стоимости, и я думала: “Это пустая трата времени”, – говорит она. – Потом у них был неудачный квартал, и они утверждали, что убытки были вызваны терактами в Германии. Следующий квартал опять был плохим; компания по-прежнему винила во всем терроризм, и я подумала: “Тут что-то не так”. Но облигации все еще торговались выше номинала. Тогда я провела кое-какие исследования и обнаружила, что азиатские компании выходят на европейский рынок и продают через интернет ту же косметику, которая была на пике моды с полгода назад, по половинной цене. Это так называемый серый рынок. Пара компаний-возмутителей спокойствия, занимавшихся этим делом, совершенно убивали германский рынок косметики. Поэтому мы продали по 103, а в течение следующего года облигации упали до 40. Никто не осознал, на что способен серый рынок».

Прием, который использовала Хелен, похож на то, что делал Эд Торп. Она взяла облигации в кредит и продала их по 103, но впоследствии смогла вернуть облигации изначальному владельцу, у которого она их взяла, купив их по 40, что принесло ей огромную прибыль. Она сумела извлечь выгоду из предчувствия скорого краха этих облигаций. Часто бывает нужно разглядеть истинную стоимость компании сквозь дымовую завесу ее хвастовства.

«Компании часто делятся информацией о своих проблемах не так откровенно, как следовало бы, – говорит Хелен. – Они ведут себя так же глупо, как пятидесятипятилетние мужчины, не понимающие девочек-подростков. Часто дело бывает в гордыне или в тщеславии или просто в непонимании, как устроен мир. Такого очень много в розничной торговле – с учетом всего оттока средств и дестабилизации, случившихся из-за появления интернета. Руководители многих компаний осознали, что происходит, поразительно поздно».

Мне кажется, что поиск шорткатов в некоторых областях бывает таким трудным, потому что для появления такой идеи необходимо чрезвычайно доскональное знание компании. Многое зависит от рассказов и слухов. Хелен говорит, что это похоже на просмотр мыльной оперы: «Я следила за одной испанской компанией, разрабатывавшей игры. В течение полутора лет в ней шла реструктуризация, и буквально каждый божий день мне приходилось открывать и читать аргентинские газеты, потому что бывший президент Аргентины Кристина Киршнер использовала игровую отрасль в своих политических играх. Стоимость облигаций зависела от ее заявлений!»

Хелен считает, что именно те навыки, которые она приобрела, когда получала историческое образование, дают ей шорткат к пониманию сюжета развития компаний, которые она оценивает. Когда она смотрит мыльную оперу жизни очередной компании, ей нужно угадывать, что произойдет в следующей серии, еще до ее выхода в эфир. По словам самой Хелен, ей необходимо умение сводить огромные объемы информации к чему-то полезному. Это хорошо получается именно у историков. «Это похоже на решение головоломки – точно так же, как в изучении истории. Мне нужно взять десять разных источников и сформулировать мое собственное изложение событий, какими я их вижу. Поэтому кто-нибудь другой может взять те же источники и создать совершенно другое изложение. Это необходимо для самого существования рынка. Нужно, чтобы был кто-то, кто считает, что это отличное событие, и кто-то другой, кто считает, что это конец света. Тогда и возникает торговля».

Один из ее шорткатов занимает верхнюю строчку и в моем списке математических шорткатов: умение замечать паттерны. «Паттерны можно находить в том, что случается с компаниями, и в том, что идет не так, потому что у них у всех есть одинаковые проблемы, но распределение того, что они продают, может быть несколько разным. Я стараюсь раньше других замечать паттерны в происходящем и давать рекомендации, исходя из них».

Хелен много лет занималась инвестициями в компаниях Deutsche Bank, Merrill Lynch и других, а теперь работает в компании, которая проводит по заказу инвесторов независимый анализ облигаций – как это было в случае испанской игровой компании.

Так что, если вы читаете этот пит-стоп в надежде, что я расскажу вам о каких-нибудь хитроумных шорткатах к успешным инвестициям ваших сбережений, я бы посоветовал вам угадывать содержание следующей серии мыльной оперы, которую мы называем рынком, используя таланты математиков в сочетании с глубокими знаниями специалистов, подобных Хелен с ее историческим образованием. Как говорил Ньютон, иногда лучшим шорткатом бывает возможность стоять на плечах гигантов.

9

Шорткаты сетевые

Начертите следующую фигуру, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя ни одну из линий дважды:

Рис. 9.1. Задача по черчению

Наш путь по современному миру все в большей степени определяется сетями. Системы автомобильных шоссе, железных дорог и маршрутов авиаперелетов позволяют нам перемещаться из одного конца планеты в другой. Находить наиболее рациональные маршруты в этой запутанной паутине помогают разнообразные программные приложения. Компании, подобные Facebook и Twitter, расширяют сферу нашего социального общения далеко за пределы деревни, в которой мы живем. Главная сеть, по которой все человечество ежедневно путешествует целыми часами, стала настоящим альтернативным миром – я говорю об интернете. Поисковая система Google добилась успеха при помощи создающего шорткаты алгоритма PageRank, помогающего пользователям ориентироваться в этой паутине, содержащей более 2 миллиардов сайтов. Хотя мы считаем интернет явлением сравнительно новым, на самом деле первые догадки о возможности сетей такого рода появились еще в XIX веке, и автором их был мой любимый мастер шорткатов.

Карл Фридрих Гаусс увлекался физикой не меньше, чем математикой. Он сотрудничал во многих проектах с одним из ведущих геттингенских физиков Вильгельмом Вебером. Гаусс даже изобрел шорткат, избавлявший от необходимости ходить между геттингенской обсерваторией и лабораторией Вебера. Он протянул между ними телеграфную линию, позволявшую переговариваться, не встречаясь лично. Эта линия длиной около трех километров проходила над городскими крышами. Гаусс и Вебер понимали, какие возможности в области связи на расстоянии открывает электромагнетизм. Они разработали код, в котором каждая буква обозначалась последовательностью положительных и отрицательных электрических импульсов. Было это в 1833 году, за несколько лет до того, как аналогичная идея пришла в голову Сэмюэлу Морзе.

Гаусс считал это изобретение своего рода любопытной безделушкой, но Вебер понимал важность таких технологий: «Когда весь земной шар будет покрыт сетью железных дорог и телеграфных проводов, эта сеть будет выполнять функции, подобные функциям нервной системы в человеческом теле, отчасти в качестве транспортного средства, а отчасти – в качестве средства молниеносного распространения идей и ощущений». Учитывая стремительное распространение телеграфа, Гаусса и Вебера можно считать прародителями интернета. Их сотрудничество увековечено в памятнике им обоим, стоящем в Геттингене.

Как и предсказывал Вебер, сегодня эта сеть охватывает гораздо большие пространства, нежели несколько километров проволоки, которые двое ученых протянули по крышам Геттингена. Более того, она стала настолько сложной, что поиск шорткатов в сетях стал одной из основных задач современной математики. Эти сети могут состоять не только из проводов, но и из мостов, как я выяснил во время недавней поездки в Россию.

Читайте Эйлера. Читайте Эйлера. Он всем нам учитель

Несколько лет назад, когда я летел в Калининград, я постарался сделать так, чтобы на короткий перелет из Санкт-Петербурга у меня было место у окна. Я совершал паломничество в город, ставший местом действия одного из рассказов, на которых воспитываются все математики, – рассказа об одном из самых изобретательных шорткатов во всей истории математики.

Подлетая к Калининграду, маленькому эксклаву Российской Федерации, отделенному от ее основной территории Литвой и Польшей, я видел реку Преголю, протекающую через город. У реки есть два рукава, сходящиеся в Калининграде; от этого места она течет дальше на запад, к месту впадения в Балтийское море. В центре города расположен остров, обтекаемый рукавами реки. В самом сердце математической истории, прославившей Калининград, как раз и находятся мосты, соединяющие берега реки друг с другом и с этим островом.

История эта относится к XVIII веку, когда у города было другое название – Кёнигсберг. Он был родиной Иммануила Канта и знаменитого математика Давида Гильберта. В то время он входил в состав Пруссии, и через Преголю были перекинуты семь мостов[117]. Одним из любимых занятий обитателей города стало следующее развлечение: по воскресеньям после обеда они пытались найти такой маршрут, который проходил бы по всем мостам, но только по одному разу. Но как бы они ни старались, всегда находился один мост, до которого они добраться не могли. В самом ли деле это было невозможно, или все же был какой-нибудь способ, позволявший перейти через все семь мостов, до которого горожане просто не додумались?

Жителям Кёнигсберга казалось, что нет никакого способа избежать утомительной ходьбы по городу, пробуя поочередно все маршруты, проходящие по мостам, пока не будут исчерпаны все возможные варианты. При этом всегда оставалось подспудное ощущение, что, возможно, какой-нибудь хитроумный путь, дающий решение этой задачи, так и остался незамеченным.

Рис. 9.2. Семь мостов через реку Прегель в Кёнигсберге XVIII века

Раз и навсегда эта головоломка была разгадана только после явления одного из моих математических героев, Леонарда Эйлера: перейти через все мосты по одному, и только одному, разу было невозможно. Эйлер пришел к этому выводу, открыв шорткат, избавляющий от необходимости перебирать все возможные маршруты обхода мостов.

В главе 2 я уже познакомил вас со швейцарским математиком Леонардом Эйлером, когда показывал открытую им поразительную формулу, связывающую пять величин из числа самых главных в математике. «Читайте Эйлера. Читайте Эйлера. Он всем нам учитель», – писал о значении Эйлера в математике один из самых выдающихся математиков Франции Пьер-Симон Лаплас. Большинство математиков согласились бы с этой оценкой; его считают одним из величайших наравне с Гауссом. Был его поклонником и сам Гаусс: «Изучение работ Эйлера останется лучшей школой в разных отделах математики, и ничто не сможет его заменить».

Свершения Эйлера были многочисленны и разнообразны; к ним относится и шорткат к решению задачи о мостах Кёнигсберга, о которой он впервые узнал, когда служил профессором российской Императорской академии наук в Санкт-Петербурге. Эйлер не был коренным петербуржцем: он приехал туда из своего родного Базеля, в котором ему не удалось найти работу для математика. По-видимому, все подходящие должности уже были заняты. В этом небольшом городе наблюдался удивительный избыток математиков. Что еще удивительнее, все они происходили из одного и того же семейства – семейства Бернулли.

Более того, в Базеле не помещались даже все Бернулли. Даниил Бернулли перебрался в Санкт-Петербург еще раньше; именно его приглашение и обеспечило Эйлеру работу в академии. Перед отъездом Эйлера в Петербург Даниил прислал ему письмо с перечнем благ цивилизации, которых там недоставало: «Привезите, пожалуйста, пятнадцать фунтов кофе, фунт самого лучшего зеленого чая, шесть бутылок бренди, двенадцать дюжин отменных курительных трубок и несколько дюжин колод игральных карт».

Отягощенный всеми этими припасами, Эйлер отправился из Базеля в Петербург и, проделав семинедельный путь на корабле, в почтовой карете и пешком, прибыл туда и вступил в должность в мае 1727 года.

Кёнигсбергские мосты

Сперва задача о кёнигсбергских мостах была для Эйлера не более чем безделкой, позволявшей отвлечься от всех тех сложных вычислений, которыми он занимался. В 1736 году он изложил свои соображения об этой задаче в письме к придворному астроному в Вене Джованни Маринони: «Вопрос этот в высшей степени банален, но мне показалось достойным внимания то обстоятельство, что для его разрешения оказалось не достаточно ни геометрии, ни алгебры, ни даже искусства счета. В связи с этим мне случалось задумываться, не принадлежит ли он к сфере позиционной геометрии, к которой в свое время так стремился Лейбниц. Итак, после некоторых размышлений я получил простое, но совершенно обоснованное правило, применение коего помогает немедленно установить в любых примерах этого рода, возможен ли такой обход».

Важное концептуальное новшество, введенное Эйлером, сводилось к идее о том, что физические размеры города не имеют никакого значения. Важна лишь схема соединений между мостами. Тот же принцип лежит в основе схемы лондонского метро: в отличие от физически точной карты в ней сохранена лишь информация о соединениях между станциями. Если проанализировать карту Кёнигсберга, четыре участка суши, соединенные мостами, можно представить точками, а мосты – линиями, соединяющими эти точки, точно так же, как точки на схеме лондонского метро обозначают разные места Лондона. Тогда задача о возможности или невозможности существования маршрута, проходящего по всем мостам, сводится к вопросу о возможности или невозможности начертить такую же схему, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя никакую из линий дважды.

Почему же это невозможно? Хотя Эйлер, вероятно, никогда не чертил такого графического представления Кёнигсберга, его анализ показывает, что маршрут возможен только в том случае, когда в его каждой промежуточной точке на каждую входящую линию приходится одна исходящая. Если вы снова оказываетесь в этой же точке, должен быть новый мост, по которому в нее можно попасть, и новый мост, по которому ее можно покинуть. Единственные исключения из этого правила – начальная и конечная точки маршрута. От точки, из которой вы начинаете движение, отходит одна линия. К точке, в которой маршрут заканчивается, тоже ведет одна линия. Маршрут обхода любого графа может существовать только тогда, когда в этом графе есть не более двух точек (вершин), к которым подходит нечетное количество линий (ребер), – начальная и конечная точки.

Рис. 9.3. Сеть кёнигсбергских мостов

Но если посмотреть на план семи кёнигсбергских мостов, в каждой его точке соединено нечетное количество линий. Такое большое число точек, от которых отходит нечетное число мостов, означает, что составить маршрут прогулки по городу, проходящий по каждому из мостов только по одному разу, невозможно.

Это один из моих любимых примеров шортката. Вместо перебора разных вариантов прокладки маршрута по карте предлагается простой анализ числа точек, от которых отходит нечетное количество мостов, и он сразу же показывает, что проложить такой маршрут невозможно.

Главное достоинство анализа Эйлера состоит в том, что он применим не только к Кёнигсбергу. Эйлер доказал: о какой бы сети, изображенной точками и соединяющими их линиями, ни шла речь, если из всех вершин исходит четное количество ребер, всегда можно составить маршрут, проходящий по всем линиям один, и только один, раз. Кроме того, такой маршрут возможен, если есть ровно две вершины с нечетным количеством ребер, при условии, что эти вершины являются начальной и конечной точками маршрута. Какой бы сложной ни была карта, такой простой подсчет количества нечетных вершин дает нам шорткат к пониманию возможности или невозможности ее обхода.

В Кёнигсберге было всего семь мостов. Однако не так давно бристольские математики применили шорткат Эйлера к 45 мостам, пересекающим сложную систему рек и каналов, протекающих через этот город. Если в Кёнигсберге было два острова, в Бристоле их три – Спайк-айленд, Сент-Филипс и Редклифф.

На первый взгляд совершенно неясно, можно ли проложить маршрут обхода всех 45 мостов, но при помощи шортката Эйлера можно увидеть, что число нечетных вершин на схеме, которая изображает участки суши, соединенные мостами, достаточно мало, чтобы такой маршрут мог существовать. Первый маршрут обхода открытых для пешеходов мостов Бристоля составил в 2013 году доктор Тило Гросс, бывший преподаватель прикладной математики Бристольского университета. «Когда я нашел решение, я, естественно, не мог не пройти по этому маршруту, – говорит он. – Первая прогулка по мостам заняла 11 часов; длина маршрута была около 53 километров».

Собственно говоря, шорткат Эйлера помог и мне, когда я в молодости сдавал психометрический тест при поступлении на работу. В тесте было несколько сетей, которые соискатель должен был начертить, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя ни одной линии больше одного раза. Подразумевалось, что это возможно, и создавалось впечатление, что составители теста хотели проверить способность соискателей справляться с такими заданиями. На самом же деле проверялась честность соискателей, потому что начертить одну из трех сетей было невозможно. Как и в схеме кёнигсбергских мостов, в ней было больше двух вершин, от которых отходило нечетное число ребер.

Разумеется, написанное мной рядом с заданием заумное сочинение, рассказывающее о шорткате Эйлера и причинах, по которым это задание невозможно выполнить, не имело большого успеха. Работу я не получил.

Человеческая эвристика

Великим достижением Эйлера было решение сосредоточиться именно на том аспекте карты Кёнигсберга, который был важен для решения этой задачи. Не имело значения, какое расстояние нужно было пройти или как выглядели мосты. Главным в этом решении было отбрасывание лишней информации и сохранение только необходимых для составления маршрута аспектов карты. Идея отсеивания несущественной информации лежит в основе многих шорткатов. Именно она является ключевым элементом того, как человек использует эвристику – игнорирует или огрубляет информацию, будь то осознанно или бессознательно, чтобы упростить решаемую задачу и уменьшить объем необходимой для ее решения мыслительной деятельности. Людям часто приходится принимать решения за ограниченное время или с помощью ограниченных мыслительных ресурсов; поэтому нам необходимо находить эффективные способы выделения именно тех аспектов задачи, которые помогают ее решить, а не приводят к ненужному расходу драгоценного умственного пространства.

В революционной работе психологов Амоса Тверски и Даниэля Канемана были определены три основные стратегии, которые человек использует в качестве мысленных шорткатов к принятию решений. Мы используем идею паттернов, объединяющих разные события, – это явление они называют репрезентативностью. Оно, несомненно, помогает мне в математике, избавляя от необходимости заново обдумывать уже рассмотренные задачи. Вторая стратегия называется привязкой и корректировкой. Это процесс, отталкивающийся от некой исходной информации, уже понятной или известной, которая служит точкой привязки: мы сравниваем с ней другие ситуации. Наконец, есть эвристическая стратегия доступности, которая предполагает использование локальных знаний для оценки более общих ситуаций[118].

Очевидно, две последние стратегии склонны порождать предвзятость, потому что в общем случае у нас не бывает ни очень надежных точек привязки, ни по-настоящему репрезентативных локальных знаний. В чрезвычайно влиятельной книге Канемана об ограничениях человеческой эвристики под названием «Думай медленно… решай быстро»[119] приводятся примеры того, как суждение отвечающего на вопрос можно исказить, всего лишь назвав перед этим некое число. Например, если упомянуть 1215 и 1992 годы, это искажает оценку людей, которых затем спрашивают, в каком году Альберт Эйнштейн впервые приезжал в США (правильный ответ – в 1921-м). Они называют более ранние или более поздние годы, чем респонденты, которым тот же вопрос задали без точек привязки, хотя вполне очевидно, что эти точки – то есть упомянутые годы – не имеют ни малейшего отношения к задаваемому вопросу.

Математические шорткаты, которые мы изобрели на протяжении столетий, – это попытка преодолеть действие шорткатов эволюционных, которые начинают подводить нас по мере все большего усложнения наших вопросов. Эти эвристические методы, возможно, помогали нам ориентироваться в саванне, где вероятность столкнуться с большим разнообразием предметов была меньше, но в понимании универсальных истин от них пользы мало.

Главное в полезной эвристике – понять, как понял Эйлер в случае с Кёнигсбергом, что ни характеристики мостов, ни расстояния, ни география города для задачи не существенны. Для ее решения важно лишь то, как соединены между собой участки суши.

Когда я приехал в Калининград, мне интересно было узнать, сколько из пресловутых семи мостов еще стоят в современном городе. Калининград – важный порт на Балтийском море; во время Второй мировой войны он был стратегической базой германского флота и подвергся разрушительным бомбардировкам союзной авиации. Значительная часть старого города была стерта с лица земли, в том числе и знаменитый университет, в котором изучали науки Кант и Гильберт, расположенный на острове в самом городском центре. Какова же была судьба мостов?

Три из довоенных мостов еще существуют. Два полностью исчезли. Еще два моста были разбомблены во время войны, но впоследствии заново отстроены: по ним проходит пересекающая город автострада. Однако появились два новых моста: в западной части города два берега Преголи соединяет железнодорожный мост, по которому, как я выяснил, могут ходить и пешеходы, а кроме того, был построен пешеходный Кайзеровский мост[120]. То есть мостов снова стало семь, хотя их конфигурация несколько отличается от той, которую анализировал в XVIII веке Эйлер. Разумеется, вся прелесть этого шортката состоит в том, что он действует независимо от количества и расположения мостов. Поэтому мне сразу же пришла в голову мысль проверить, можно ли проложить такой маршрут по нынешним мостам.

Рис. 9.4. Семь мостов в Калининграде XXI века

Как мы помним, математический анализ Эйлера показал, что маршрут всегда возможен, если есть ровно две точки, из которых ведет нечетное число мостов: нужно начать прогулку в одной из таких нечетных точек и завершить ее во второй. Если посмотреть на план мостов нынешнего Калининграда, оказывается, что такая прогулка возможна. Начав с острова в центре города, я с понятным волнением отправился в паломничество по семи калининградским мостам.

История о кёнигсбергских мостах положила начало одному из чрезвычайно важных разделов математики, играющему огромную роль в нашем мире цифровых связей, – теории сетей. А разработка шорткатов для сложных сетей, подобных интернету, принесла некоторым математикам кучу денег.

Шорткаты интернета

В интернете более 1,7 миллиарда веб-сайтов. Тем не менее, несмотря на это поразительное количество, поисковая система Google умудряется быстро находить именно ту информацию, которую вы хотите получить. Можно подумать, что это обеспечивается огромной вычислительной мощностью, и этот аспект, несомненно, тоже играет свою роль. Но по-настоящему необходимым инструментом делает Google то, как именно система ищет информацию.

В прошлом поисковые системы искали те сайты, на которых слова поискового запроса упоминаются наибольшее число раз. Если вы хотели найти подробности биографии Гаусса, поиск по словам «биография Гаусса» выдавал список сайтов, на которых эти два слова встречаются чаще всего.

Однако если бы мне захотелось распространить какие-нибудь ложные сведения о биографии Гаусса, я мог бы, вставив в метаданные своего сайта побольше слов «Гаусс» и «биография», сделать так, чтобы мой сайт с ложной информацией оказался на самом верху списка выдачи поисковых систем. Простой поиск по ключевым словам не был достаточно действенным средством для обнаружения сайтов, нужных пользователю.

Гораздо более надежное решение, позволяющее найти наилучший метод расстановки разных биографий Гаусса по значимости в списке выдачи поискового запроса, придумали два стэнфордских аспиранта, работавшие в гараже в городе Менло-Парк, – Ларри Пейдж и Сергей Брин. Они решили использовать следующую хитроумную тактику: пусть сам интернет решает, какие страницы наиболее важны. Идея состояла в том, что значимость веб-сайта можно оценить по числу ссылок на него на других веб-сайтах. На достоверную страницу с подробным изложением биографии Гаусса, вероятно, должны ссылаться другие веб-сайты, имеющие отношение к этой теме.

Но, если значение веб-сайта оценивается просто по количеству ссылок с других сайтов, у меня по-прежнему есть простой способ поднять мой лживый сайт на вершину списка выдачи. Если я сделаю тысячи фальшивых сайтов со ссылками на мою страницу с «биографией Гаусса», эта страница будет казаться наиболее значимой из всех.

У Пейджа и Брина была стратегия и против такого мошенничества. Веб-сайт сможет занять высокое положение в рейтинге, только если сайты, ссылающиеся на него, тоже занимают высокое положение. Но погодите. Кажется, тут получается порочный круг. Мне нужно знать, какие из сайтов, содержащих ссылки на мою биографию Гаусса, обладают высокой значимостью. Но и их значимость порождается ссылками на них на сайтах высокой значимости. Похоже, я попадаю в бесконечную регрессию.

Чтобы разрешить это противоречие, нужно было изначально присвоить всем веб-сайтам одинаковый статус. Пусть с самого начала у каждого веб-сайта будет десять звездочек. Но затем мы начинаем перераспределять звездочки. Если на некотором веб-сайте есть ссылки на пять других сайтов, отдадим каждому из них по две звездочки этого сайта. Если он содержит ссылки всего на два сайта, каждый из этих двух получит по пять его звездочек. Хотя исходный сайт раздает таким образом все свои звездочки, есть надежда, что он получит некоторое количество новых от других веб-сайтов, которые на него ссылаются.

Продолжая перераспределять звездочки, передавая их от одних сайтов другим, мы начинаем замечать господствующие сайты, которые собирают все больше и больше звездочек. Вскоре станет казаться (и вполне справедливо), что моя страница, на которую просто ссылается тысяча фальшивых сайтов, – всего лишь подделка. После первого же раунда передачи звездочек все сайты этой тысячи останутся без них и уже не смогут поддерживать статус моей поддельной страницы. Ее запас звездочек тоже очень быстро иссякнет, и она провалится на самый низ списка сайтов, которые оценивает алгоритм. Практическое осуществление этой идеи требует еще некоторой работы, но именно к ней сводится основной принцип ранжирования веб-сайтов в Google.

Однако для анализа перемещений звездочек по сети нужны вычислительные мощности и время. Но Брин и Пейдж поняли, что при составлении рейтингов можно воспользоваться одним шорткатом. На старших курсах университета их познакомили с одной довольно эзотерической и мудреной областью математики, в которой речь идет о так называемых «собственных значениях матриц».

Этот математический инструмент предназначен для выявления в различных динамических системах частей, остающихся неизменными. Впервые его использовал Эйлер в применении к вращающемуся шару. Если взять глобус, на поверхности которого нарисованы страны Земли, то как бы вы ни вращали и ни крутили его в руке, в его конечном положении всегда можно выбрать две противоположные точки, такие, что поворот вокруг оси, проведенной через эти точки, вернет глобус в начальное положение. По сути дела, это означает, что любое изменение ориентации глобуса может быть сведено к простому повороту вокруг некоторой оси.

Собственное значение матрицы дает как доказательство того факта, что такая ось вращения всегда существует, так и метод определения двух неподвижных точек, через которые она проходит. Эта методика позволяет находить неподвижные точки в поразительно разнообразных динамических системах. Например, собственные значения матриц играют центральную роль в нахождении устойчивых энергетических уровней квантовых систем. Они также имеют ключевое значение для определения резонансных частот музыкальных инструментов.

Брин и Пейдж осознали, что в тех же собственных значениях заключается секрет выявления устойчивых распределений звездочек после их распределения по сети. Если собственные значения находят стабильные энергетические уровни в атоме или неподвижные точки на сфере, они точно так же помогают понять, как раздать звездочки таким образом, чтобы их число не слишком сильно изменялось при дальнейшем перераспределении по сети. Так вместо итерационного процесса, в котором приходится дожидаться, пока система достигнет равновесия, можно вычислить рейтинг любого сайта в интернете, воспользовавшись удобным шорткатом матричных собственных значений.

Хотя мои попытки поднять рейтинг фальшивой биографии Гаусса потерпели полный крах, тем не менее компаниям важно понимать, как именно работает шорткат Брина и Пейджа. Есть меры, которые компания может принять, чтобы шорткат Google прокладывал пути именно через ее веб-сайт. Малые возмущения в работе алгоритма Google могут приводить к небольшим изменениям траекторий, которые выстраивает этот шорткат, а это может вызвать снижение рейтинга веб-сайта. Важно знать, что́ можно изменить, чтобы вернуть сайт в центр внимания.

Шорткаты социальные

Иногда задача сводится к нахождению самого короткого пути от одной точки сети до другой. Можно ли воспользоваться для этого какими-нибудь хитрыми шорткатами? Возьмем, к примеру, сеть социальных связей между всеми жителями нашей планеты. Если выбрать случайным образом двух человек, какой длины будет кратчайшая цепочка дружеских отношений, по которой можно добраться от одного до другого? Такая цепочка оказывается на удивление короткой.

Впервые этот вопрос был сформулирован в рассказе «Звенья цепи», который написал в 1929 году венгерский писатель Фридьеш Каринти. Главный герой этого рассказа предполагает, что в цепочках такой сети существуют поразительные шорткаты:

Этот разговор породил увлекательную игру. Один из нас предложил доказать, что население Земли сплочено более, чем когда бы то ни было раньше, поставив следующий опыт. Мы должны были выбрать любого из полутора миллиардов обитателей Земли – кого угодно, где бы этот человек ни находился. Утверждалось, что с выбранным человеком можно связаться, не прибегая ни к чему, кроме личных знакомств, и задействовав не более пяти человек, один из которых нам лично знаком.

До испытания этой вымышленной игры на практике прошло чуть более 30 лет. В знаменитом эксперименте, который провел в 1960-х годах американский психолог Стэнли Милгрэм, подопытным был выбран его друг, биржевой брокер, живший в Бостоне. Милгрэм решил взять два американских города, наиболее удаленных – как географически, так и социально – от бостонца: Омаху, штат Небраска, и Уичиту, штат Канзас. Случайно выбранным жителям этих городов были отправлены письма с просьбой переслать их брокеру, имя которого было указано в письмах. Однако в них не было его адреса. Если получатель не знал такого человека, его просили переслать письмо кому-нибудь из его сети знакомых – человеку, у которого, по мнению получателя письма, было больше возможностей переправить письмо адресату.

Из 296 отправленных писем 232 так и не пришли к бостонскому адресату. Но те, которые все же были получены, пересылались в среднем по шесть раз, считая от исходного получателя до конечного адресата. Между началом и концом цепочки действительно оказалось пять человек.

Этот эксперимент привел к появлению знаменитой концепции шести рукопожатий[121]. Это словосочетание популяризовала одноименная пьеса Джона Гуара. Ближе к концу пьесы одна из ее героинь говорит: «Я где-то читала, что всех на нашей планете отделяют друг от друга всего шесть человек. Шесть рукопожатий. Между нами и всеми остальными на планете. Президент Соединенных Штатов. Венецианский гондольер. Назови любого. Речь идет не только об известных людях. Это может быть кто угодно. Туземец из дождевых лесов. Житель Огненной Земли. Эскимос. С каждым обитателем нашей планеты меня связывает цепочка из шести человек».

В наш цифровой век мы стали более взаимосвязаны, чем когда-либо раньше, и сеть этих связей мы можем использовать гораздо легче, чем пересылая письма через почтовую службу Соединенных Штатов. В 2007 году было показано на наборе данных, извлеченных из 30 миллиардов сообщений, которыми обменялись 240 миллионов человек, что средняя длина цепочки между пользователями действительно равна 6. В работе, опубликованной в 2001 году, выяснилось, что любых двух пользователей Twitter можно связать цепочкой, в которую в среднем входят всего 3,43 пользователя.

Почему же в социальных сетях существуют такие шорткаты? Так, несомненно, бывает не в любых сетях. Если расположить 100 узлов по окружности и соединить друг с другом только соседние узлы, для перехода с одной стороны такой сети на другую потребуется 50 «рукопожатий». Сеть, в которой переход между двумя произвольными точками можно совершить через малое количество связей, называют тесным миром.

Оказывается, примеры тесного мира дает поразительно большое количество сетей. Речь идет не только о наших социальных или интернет-связях. Нейронные связи в любых организмах, от червя-нематоды C. elegans, имеющего всего 302 нервных узла, до человека, мозг которого содержит 86 миллиардов нейронов, по-видимому, образуют сети типа тесного мира. Это позволяет каждому нейрону такой системы быстро обмениваться сигналами с любым другим нейроном через небольшое количество синапсов. К категории тесного мира относятся и электроэнергетические сети, равно как и сети аэропортов и пищевые сети. Что же делает все эти сети тесными мирами?

Рис. 9.5. Пример сети тесного мира

Эту тайну раскрыли два математика, Дункан Ваттс и Стивен Строгац, написавшие о ней в статье, опубликованной в 1998 году в журнале Nature[122]. Если взять набор узлов и создать локальные связи между узлами, расположенными близко друг к другу, получится картина, похожая на нашу окружность, в которой соединение случайно выбранных узлов в разных частях сети требует длинных цепочек. Однако Ваттс и Строгац установили, что для появления шорткатов бывает достаточно всего нескольких глобальных связей, пересекающих всю сеть. Допустим, все жители Бостона знакомы друг с другом, но потом оказывается, что у кого-то из бостонцев есть тетка, живущая в Канзасе. Это дает возможность установить более глобальное соединение между этими двумя локальными сообществами. Такую же структуру мы находим в организме червя C. elegans. Нейроны расположены по окружности, но между далекими друг от друга нейронами есть связи, пересекающие эту окружность. По-видимому, и человеческий мозг имеет сходную архитектуру. В нем тоже есть множество локальных соединений и немногочисленные длинные синапсы, связывающие друг с другом разные части мозга.

Подобным же образом устроены сети аэропортов: несколько узловых аэропортов соединяют разные точки мира дальними рейсами. В дополнение к ним в каждом регионе есть много ближних рейсов, которые обеспечивают перевозки из узловых аэропортов в местные пункты.

При помощи своей математической модели Ваттс и Строгац смогли показать, что в сети с такой локально-глобальной конфигурацией и N узлами, в которой каждый из узлов связан с K другими, средняя длина пути между двумя произвольными точками определяется формулой

log N/log K,

где log – логарифмическая функция, которую Джон Непер придумал в качестве вычислительного шортката. Если взять N равное 6,6 миллиарда и предположить, что у каждого человека есть 30 знакомых, число рукопожатий получается равным… 6,6.

При построении сети – будь то сеть социальная, физическая или виртуальная – часто бывает желательно иметь шорткаты через паутину соединений. Но теперь мы знаем, как разрабатывать такие системы. Чтобы создать сеть, обладающую свойством тесного мира – этими поразительными шорткатами от одного края сети к другому, – нужно добавить в нее такой случайно выбранный пучок глобальных связей, и это, по-видимому, приводит к требуемому результату.

Мозг Гаусса

Гаусс умер в 1855 году, распорядившись, чтобы его мозг был передан для научных исследований. Препарированием мозга занялся его друг и коллега физиолог Рудольф Вагнер из Геттингенского университета: он хотел узнать, были ли у мозга Гаусса какие-либо особенности, благодаря которым тот получил такие способности к созданию математических шорткатов. Эта работа была частью более крупного проекта, проводившегося в университете. Целью этого проекта было выяснить, есть ли какие-либо различия в строении мозга представителей научной элиты и простых обывателей. Не останавливаясь на измерениях объема, веса и тому подобных очевидных параметров, Вагнер утверждал, что кора мозга Гаусса имеет больше извилин, чем в обычном мозге.

Работу Вагнера дополняли гравюры на меди и литографии, подготовленные одним из его сотрудников. Недавно исследовательская группа из Геттингена подтвердила, используя современные методы фМРТ высокого разрешения, что между двумя областями левого полушария мозга Гаусса действительно была довольно необычная связность. Однако той же группе пришлось разбираться со странной путаницей, обнаруженной в коллекции этих материалов. Оказывается, мозг, который много лет считали мозгом Гаусса, на самом деле принадлежал другому представителю научной элиты Геттингена, Конраду Генриху Фуксу, умершему в том же году, что и Гаусс. По-видимому, образцы были перепутаны уже после исследований Вагнера и создания изображений. Путаница обнаружилась, только когда исследователи сравнили результаты фМРТ-сканирования с исходными рисунками.

Начатый в Геттингене XIX века проект изучения строения мозга выдающихся мыслителей продолжается и по сей день. Недавно мозг скончавшихся ученых – «супернормалов», как их называют в лаборатории, – исследовали на кафедре анатомии университета Луисвилла, штат Кентукки. Руководивший этим исследованием профессор Мануэль Казанова обнаружил в мозге профессиональных ученых некоторые структурные отличия.

По-видимому, мозг, специализирующийся на однонаправленном мышлении, отличается изобилием коротких локальных соединений. Человек, обладающий таким мозгом, в основном использует возможности отдельных его участков. Напротив, мозг с длинными соединениями, связывающими друг с другом разные участки, способствует выработке новых идей и нестандартному мышлению.

Рис. 9.6. Мозг Гаусса

Интересно отметить, что это различие, по-видимому, соответствует двум разным способам мышления. «Лиса знает много разного; еж знает одно, но важное», – писал древнегреческий поэт Архилох. Отталкиваясь от этого афоризма, хитрый как лис философ Исайя Берлин разделил мыслителей на две категории[123]. Лисам присущи широкие интересы, горизонтальный способ мышления. Ежи мыслят глубже; их мышление ориентировано вертикально, перпендикулярно мышлению лис. Лису интересует все. Еж одержимо сосредоточен на одном-единственном предмете.

Если изобилие коротких соединений характерно для ежа, а длинных – для лисы, нельзя ли предположить, что человек с мозгом, сочетающим множество таких коротких связей с множеством длинных, будет обладать способностями обоих типов, лисы и ежа? Такой вариант был бы идеальным, но на самом деле для соединений внутри мозга требуются свободное место и метаболическая деятельность. Ограничения, накладываемые геометрией черепа, не позволяют образоваться сочетанию этих двух видов связей.

Но есть альтернативный выход. Сотрудничество. Сотрудничество Гаусса с Вебером привело к созданию телеграфной линии, породившей современный интернет. Обмен знаниями между специалистами в разных областях и создание таких длинных связей между разными разумами создают возможность возникновения чего-то нового и интересного. Иногда в еще не исследованных междисциплинарных областях попадаются ценные находки, достижимые без особого труда. Изучив язык, на котором говорят за пределами нашей специальности, и применив его к нашим собственным задачам, мы можем легко получить важные результаты. Поэтому, в какой бы области вы ни работали, знакомство с идеями другой дисциплины может помочь обеим отраслям в поисках шорткатов к решению их задач.

Возможно, самое совершенное слияние лисы и ежа – это сотрудничество человека с машиной. Хотя моя книга должна прославлять чисто человеческую способность выискивать шорткаты, может быть, не стоит сбрасывать со счетов и то, что могут предложить машины. Хотя машина может вычислять быстрее и дальше методом грубой силы, достижение целей, не дающихся ни человеку, ни машине по отдельности, становится возможным только в сочетании с тем хитроумием, с которым люди находят удобные шорткаты.

Решение головоломки

Головоломка, с которой начинается эта глава, – это то самое задание, которое я получил, когда сдавал психометрический тест. Благодаря шорткату Эйлера я знаю, что начертить такую фигуру невозможно, потому что в ней более двух узлов, из которых исходит нечетное количество линий. Однако есть один прием, все же позволяющий ее начертить. Возьмите лист бумаги и загните его нижнюю четверть. Начертите квадрат, начиная с левого верхнего угла, причем так, чтобы нижняя сторона квадрата оказалась на загнутой полоске; завершив квадрат, не отрывайте карандаш от бумаги. Отогните загнутую часть: на бумаге останутся три стороны квадрата, а ваш карандаш будет в его левом верхнем углу. Если проанализировать оставшуюся часть фигуры, будет видно, что она соответствует критерию Эйлера.

Рис. 9.7. Прием, позволяющий начертить искомую фигуру: загните бумагу

Шорткат к шорткатам

Сети встречаются повсюду. В структуре компаний. В электрических схемах компьютеров. Во взаимозависимостях опционов на акции. В транспортных сетях. Во взаимодействии клеток нашего организма. Во взаимоотношениях персонажей романов. Всюду, где есть набор объектов и какие-либо связи между ними, возникает сеть. При изучении любой структуры всегда имеет смысл проверить, не скрыта ли в ней какая-нибудь сеть. Потому что, если такая сеть найдется, в вашем распоряжении будут математические средства, помогающие ориентироваться в ее архитектуре. Средства выявления самых важных узлов сети. Стратегии преобразования сетей в тесные миры, в которых есть быстрые пути между разными концами сетей. Топологические схемы, отбрасывающие излишнюю информацию и помогающие увидеть, что на самом деле происходит в системе.

Пит-стоп: Нейробиология

Часто кажется, что самые лучшие идеи возникают ниоткуда. Создается такое впечатление, что, когда мозг не думает, это помогает ему находить шорткаты к ответам. Философ Майкл Полани считал этот фоновый мыслительный процесс, в котором мозг обращается к подсознательным, невысказанным аргументам, ключевой частью силы человеческого мышления. Он выразил этот тезис в следующей фразе: «Мы знаем больше, чем можем высказать».

Во всяком случае, именно это мне приходилось испытывать в творческих занятиях математикой. Ощущение того, что я «вижу» ответ, хотя точно не знаю, почему он кажется мне правильным. Именно так я пришел к гипотезам, выражающим мое представление о конфигурации математического ландшафта. Я чувствую, что где-то вдали должна быть горная вершина, сам не вполне зная, как проложить путь к ней.

Многие математики говорят об озарениях, о моментах, когда мозг как бы запускает в сознание некие идеи. Сперва он работает подсознательно, а затем, когда получает решение, выводит его на арену сознательного мышления. У меня тоже бывали такие озарения, за которыми следует часто мучительная работа по восстановлению той логической последовательности, которая привела мое подсознание к явившемуся мне выводу.

Математик Анри Пуанкаре рассказывал об одном знаменитом случае, когда он работал над некой задачей, не в силах добиться хоть какого-нибудь прогресса. Только выйдя из-за стола и позволив своему мозгу отвлечься от задачи, он внезапно понял, как ее решить, когда садился в парижский автобус: «В тот самый момент, когда я поставил ногу на ступеньку, мне в голову пришла идея, к которой, казалось бы, никак не вели мои предыдущие размышления на эту тему: что преобразования, которые я использовал для определения функций Фукса, идентичны преобразованиям неевклидовой геометрии».

Нечто подобное испытал и Алан Тьюринг, когда разрабатывал идею машин Тьюринга. После долгой и упорной работы в кабинете Тьюринг любил отдыхать, совершая пробежки вдоль берега протекающей в Кембридже реки Кам. Именно в тот момент, когда он лежал на спине на лугу возле Гранчестера, он осознал, как можно использовать математику иррациональных чисел, чтобы показать, почему вычислительные возможности машин Тьюринга ограниченны.

Чтобы узнать больше о том, как прекращение размышлений о задачах приводит к их решению, я решил связаться с нейробиологом Огненом Амиджичем, который исследовал деятельность мозга специалистов в разных областях во время их профессиональной деятельности.

Амиджич не собирался становиться нейробиологом. Его мечтой была карьера шахматного гроссмейстера. Он тренировался тысячи часов и даже переехал из родной Югославии в Россию, чтобы учиться у лучших в мире наставников. Но в конце концов его мастерство достигло предела роста. Он так и не получил квалификации выше кандидата в мастера.

Тогда Амиджич решил выяснить, нет ли в конфигурации его мозга чего-то такого, что ограничивает его возможности. Поэтому он выучился на нейробиолога и начал исследования, целью которых было выяснить, есть ли различия между мозговой деятельностью шахматистов-любителей и гроссмейстеров.

Чтобы продемонстрировать свои результаты, он предложил мне сыграть партию в шахматы против одного из британских гроссмейстеров, Стюарта Конквеста; при этом мы оба были подключены к магнитоэнцефалографическому аппарату, который должен был выявить различия в работе нашего мозга. Я, разумеется, играю далеко не на уровне гроссмейстера, но умею мыслить логически, что позволяет мне анализировать шахматные позиции и понимать, каким может быть следующий ход.

Я быстро проиграл. Но меня интересовал не исход партии; поразительными оказались результаты, которые показала магнитоэнцефалограмма. Выяснилось, что мы используем во время игры очень разные части мозга. По-видимому, мой мозг работал более активно, но добивался меньшего успеха.

Исследования Амиджича показали, что подобные мне шахматисты-любители задействуют медиальную височную долю, расположенную в центре мозга. Это согласуется с предположением о том, что мыслительная деятельность любителя сосредоточена во время игры на анализе новых, непривычных ходов. Такое мышление можно считать аналогичным сознательному, проговариваемому анализу последствий каждого потенциального хода; вероятно, в ходе партии шахматист-любитель может размышлять таким образом вслух, комментируя свой мыслительный процесс.

Гроссмейстер же, напротив, совершенно не задействовал височную долю, а лишь лобную и теменную. Эти отделы мозга чаще всего связывают с интуицией. Именно к ним мы обращаемся при использовании долговременной памяти; они же участвуют в менее сознательном мышлении. Гроссмейстер может чувствовать, что тот или иной ход хорош, даже если он не может объяснить, почему это так. Его мозг не утруждает себя построением логического объяснения такого ощущения, как это делает мозг любителя, и, следовательно, не тратит энергии на работу медиальной височной доли. Гроссмейстер приходит к решению при помощи шортката, исключающего сознательные раздумья.

Получалось, что мой мозг бегал кругами, как сумасшедшая газель, а мозг гроссмейстера сидел, как спрятавшийся в траве лев, не тратя лишних сил до того момента, когда будет пора нанести жертве смертельный удар.

Амиджич придерживается той небесспорной точки зрения, что работа мозга не слишком сильно изменяется в результате упражнений. Он полагает, что сканирование шахматиста-любителя может показать заранее, позволит ли его мозг стать гроссмейстером, потому что способные на это шахматисты с самого начала используют в игре лобную и теменную долю: «Всем хочется думать, что любой может добиться успеха, стать кем угодно, а если это не получается, значит, в этом кто-то виноват – мать, или правительство, или поддержка отца… недостаток денег или еще какая-нибудь причина».

Но Амиджич считает, что дело сводится не к затраченному времени или возможности получить лучших учителей и лучшее из лучших образование, а, по существу, к генетике. «Можно родиться гроссмейстером, а можно – средним шахматистом; можно родиться великим математиком, или музыкантом, или футболистом, или кем-нибудь еще, – говорит он. – Люди рождаются, их не создают. Я просто не верю и не вижу никаких доказательств, что гения можно сделать, создать».

Амиджич вспоминает, как он обследовал одного ребенка, отец которого хотел, чтобы тот стал гроссмейстером. Амиджич видел, что анализ производится в его мозге только в височной доле. Он решил, что мальчику не удастся подняться выше уровня кандидата в мастера, и посоветовал его отцу подумать о других областях деятельности. Отец не последовал его совету, но впоследствии оказалось, что оценка Амиджича была точной.

По мнению Амиджича, важнее всего найти тот вид деятельности, которым мозг, как кажется, может хорошо заниматься интуитивно. Что касается его самого, он считает, что был с самого начала предназначен для успешных занятий нейробиологией, а не шахматами: «Жизнь – забавная штука. Благодаря этой области я стал известнее, чем был бы, останься я шахматистом».

Анализ моей мозговой активности во время игры в шахматы показал, что и я, вероятно, так и не смог бы стать гроссмейстером. Мой мозг не находил шорткатов к удачным ходам; он шел по длинному пути через височную долю и погрязал в деталях. Напротив, Амиджич предположил, что, если бы мы попробовали сканировать мой мозг, когда я занимаюсь математикой, в этом случае оказалось бы, что я использую интуитивную часть своего разума.

Из исследований Амиджича неясно, в самом ли деле все сводится к одной лишь генетике, или же мозг все-таки можно тренировать. Но его результаты, по-видимому, доказывают, что во время работы с максимальной эффективностью мозг использует шорткаты, расчищающие путь к решению от лишних мыслей.

10

Шорткаты невозможные

На фестивале Гластонбери я часто выступаю на сцене под названием «Астролябия». После выступления я стараюсь посетить все остальные площадки. Сможете ли вы найти для меня кратчайший маршрут, который начинается и заканчивается Астролябией и проходит через все остальные площадки, обозначенные на карте, по одному, и только одному, разу?

Рис. 10.1. Карта фестиваля Гластонбери

Не для всех задач существуют шорткаты. Иногда мы сталкиваемся с задачами, которые требуют физических изменений тела – например, с обучением игре на музыкальном инструменте, перенастройкой разума при помощи психотерапии, подготовкой к профессиональному спорту. Их решение требует затрат времени и сил. Но оказывается, что шорткатов могут не иметь и задачи другого рода. Сейчас математики считают, что существует огромное множество задач, получение ответов в которых невозможно без тяжелого, монотонного труда по проверке всех возможных вариантов решения.

Учитель пытается составить расписание на следующий год. Автоперевозчик прокладывает оптимальные маршруты доставки товаров для своих грузовиков. Кладовщик супермаркета ищет рациональные способы укладки коробок на полки. Футбольному болельщику не терпится узнать, сможет ли его команда победить в своей лиге. Любитель судоку хочет получить действенную стратегию решения этих дьявольских головоломок. Все они стараются найти шорткаты. Но, как ни жаль, на свете есть задачи, решению которых лучшее мышление не помогает. Даже самому Гауссу, попытайся он решить такую задачу, пришлось бы взяться за тяжкий труд перебора всех возможных сценариев. Возможно, поразительнее всего тот факт, что доказательства невозможности существования шорткатов для некоторых задач дает само искусство шортката – математика.

Классическая задача, к решению которой, по мнению математиков, не может быть шортката, называется задачей коммивояжера. В ней нужно найти кратчайший маршрут по сети городов. Ее название, по-видимому, связано с изданным в 1832 году в Германии справочником для коммивояжеров, в котором приводилась формулировка задачи и несколько примеров маршрутов по Германии и Швейцарии[124]. Математики до сих пор не придумали для гарантированного решения этой задачи ничего умнее, чем перебор всех возможных маршрутов в поисках кратчайшего.

Беда в том, что по мере добавления новых городов число возможных маршрутов стремительно растет, и перебор всех возможных вариантов становится практически невозможным, даже на компьютере. Разве нет более быстрого способа выбрать лучшее решение? Неужели не найдется какого-нибудь очередного Эйлера или Гаусса или Ньютона, который придумал бы хитроумную стратегию определения кратчайшего маршрута? Нельзя ли, например, каждый раз просто выбирать следующим город, ближайший к тому, в котором оказался коммивояжер? Эта методика называется алгоритмом ближайшего соседа. Во многих случаях она дает весьма хорошие маршруты, всего на 25 процентов длиннее оптимального. Однако совсем не трудно построить такую сеть, в которой этот алгоритм выдает не самый короткий, а самый длинный маршрут объезда городов.

Уже были разработаны алгоритмы, гарантированно выдающие для любой сети маршруты, длина которых превышает длину оптимального маршрута не более чем на 50 процентов. Но я-то хочу получить хитрый шорткат, который позволит находить без утомительных поисков самый лучший маршрут. Эта задача настолько измучила математиков, что многие пришли к убеждению, что такого шортката просто не существует. Доказательство невозможности существования этого шортката даже стало предметом одной из семи «Задач тысячелетия», величайших нерешенных математических задач, список которых был составлен в начале XXI века[125]. Математик, который сумеет доказать, что шортката к решению задачи коммивояжера не существует, получит в награду миллион долларов.

Что такое шорткат?

Чтобы выиграть миллионный приз, важно, собственно говоря, определить, что именно с точки зрения математики можно считать в этом контексте шорткатом. Математически различие длинного пути и шортката выражается в том, что первый приходит к решению за экспоненциальное время, а второй – всего лишь за полиномиальное. Что я имею в виду?

Рис. 10.2. Конфигурация девяти плиток, в которой узоры соседних квадратов согласуются

Эта задача сводится к нахождению алгоритмического метода, работающего не только для одной конкретной головоломки, но и для головоломок с любыми вариантами условий и размеров. Вопрос в том, как изменяется время работы алгоритма в зависимости от размера заданной ему задачи. Например, предположим, что у меня есть набор из 9 плиток, и на всех этих плитках есть разные узоры. Я хочу расположить эти плитки квадратом 3 × 3 так, чтобы узоры в смежных квадратах согласовывались друг с другом.

Сколько существует вариантов раскладки таких плиток? Для левого верхнего угла существует 9 возможностей: я могу положить туда любую из девяти плиток. У этой плитки есть 4 возможные ориентации. Всего получается 9 × 4 = 36 вариантов. Плитка, которая займет следующий квадрат, может быть любой из 8 оставшихся; у нее тоже есть 4 возможных варианта ориентации. Таким образом, суммарное число вариантов заполнения всего квадрата получается равным

9! × 4^9,

где 9! обозначает произведение 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, которое называют «9 факториал». Если компьютер может проверять по 100 миллионов вариантов в секунду, перебор всех этих возможностей займет у него чуть больше 15 минут. Не так уж и плохо. Но посмотрите, как быстро это время увеличивается с ростом числа плиток. Возьмем 16 плиток, которые нужно уложить в квадрат 4 × 4. Из рассуждений, аналогичных приведенным выше, следует, что число возможных комбинаций равно

16! × 4^16

Это увеличивает время, необходимое для перебора всех этих вариантов, до 28,5 миллиона лет. Если же перейти к простому квадрату 5 × 5, оно превысит возраст Вселенной, составляющий всего-навсего 13,8 миллиарда лет.

Число возможных конфигураций сетки с n положениями определяется формулой n! × 4n. Функция 4n растет с увеличением n экспоненциально. Я уже рассказывал о том, как опасен рост этой функции, в главе 1, когда индийский царь должен был заплатить за изобретение шахмат рисовыми зернами, число которых экспоненциально увеличивалось по мере продвижения по клеткам шахматной доски. А факториал n! (произведение всех чисел от 1 до n) – это функция, рост которой на самом деле еще быстрее экспоненциального.

Таково математическое определение длинного пути: алгоритм решения задачи, время работы которого, необходимое для вычисления ответа, экспоненциально возрастает с увеличением размера задачи. Именно для таких задач хотелось бы найти шорткаты. Но что считать качественным шорткатом? Так можно назвать алгоритм, по-прежнему вычисляющий решение сравнительно быстро даже при увеличении размера задачи: так называемый алгоритм полиномиального времени.

Предположим, у меня есть случайный набор слов, которые я хочу расположить в алфавитном порядке. Сколько времени будет занимать эта работа по мере все большего удлинения списка слов? Простой алгоритм для решения этой задачи мог бы в начале просмотреть весь исходный список из N слов и выбрать из него слово, стоящее в словаре раньше всех остальных. Затем нужно повторить ту же операцию для оставшихся N – 1 слов. Таким образом, чтобы расставить по порядку все N слов, нужно будет перебрать N + (N – 1) + (N – 2) + … + 1 слово. Но благодаря шорткату Гаусса мы знаем, что для этого потребуется в общей сложности N × (N + 1)/2 = (N^2 + N)/2 просмотров.

Это пример алгоритма полиномиального времени, потому что по мере увеличения числа слов N число просмотров растет пропорционально квадрату N. В случае задачи коммивояжера нужно найти алгоритм, который сможет находить кратчайший маршрут для N городов, перебрав всего, скажем, N^2 вариантов, то есть число маршрутов, пропорциональное квадрату числа городов.

К сожалению, первые алгоритмы, приходящие в голову, не относятся к полиномиальным. По сути дела, сначала мы выбираем первый город, в который нужно заехать, затем следующий… Если на карте всего N городов, это требует перебора N! маршрутов. Как я уже говорил, эта функция растет еще быстрее, чем экспоненциальная. Следовательно, необходимо найти стратегию, более рациональную, чем перебор всех маршрутов.

Шорткат к шорткатам

Чтобы показать, что существование такого алгоритма не всегда невозможно, рассмотрим задачу, которая на первый взгляд кажется столь же непреодолимой. Выберем две точки, обозначенные на карте в числе городов, которые должен посетить коммивояжер. Какой маршрут между этими двумя городами будет самым коротким? На первый взгляд кажется, что и здесь необходимо рассмотреть множество вариантов. В конце концов, можно начать с посещения любого города, непосредственно соединенного с начальным, а затем посетить один из городов, непосредственно соединенных уже с этим. Судя по всему, с увеличением числа городов сложность такого метода снова будет расти экспоненциально.

Но в 1956 году голландский программист Эдсгер В. Дейкстра придумал гораздо более рациональную стратегию, позволяющую находить кратчайший маршрут между двумя городами за время, аналогичное тому, что занимает перестановка слов в алфавитном порядке. Он обдумывал практическую проблему прокладки самого быстрого маршрута между двумя голландскими городами, Роттердамом и Гронингеном.

Однажды утром мы с моей молодой невестой ходили по магазинам в Амстердаме, устали и сели на террасе кафе выпить по чашке кофе. Я размышлял, смогу ли я решить эту задачу, и вдруг разработал алгоритм кратчайшего пути. Его изобретение заняло минут двадцать… Одна из причин, по которым он получился таким изящным, в том, что я разработал его без карандаша и бумаги. Позднее я понял, что одно из преимуществ работы без карандаша и бумаги состоит в том, что это почти что вынуждает избегать всех осложнений, которых можно избежать. В конце концов, к моему огромному удивлению, этот алгоритм стал одним из краеугольных камней моей известности.

Рассмотрим следующую карту:

Рис. 10.3. Каков кратчайший маршрут между городами 1 и 5?

Алгоритм Дейкстры предполагает, что я начинаю путешествие из начального города, города 1. На каждом этапе я буду вычислять для каждого города промежуточную сумму расстояний, что должно помочь мне найти кратчайший маршрут. Первым делом я помечу все города, связанные с начальным, расстояниями до них. В данном случае города 2, 3 и 6 получают соответственно метки 7, 9 и 14, и первым ходом я перемещаюсь в ближайший из этих городов. Однако следует помнить, что, когда алгоритм чудесным образом решит задачу, может оказаться, что самым лучшим первым ходом был переезд совсем в другой город.

Итак, вначале я переезжаю в город 2, потому что он расположен на самом малом расстоянии от начального пункта, города 1.

Затем я присваиваю городу 1, из которого я только что уехал, метку «посещенного». Находясь в следующем пункте, городе 2, я должен изменить метки всех городов, связанных с ним. Следовательно, речь идет о городах 3 и 4. Сначала я вычисляю расстояние до них от исходного пункта, города 1, через тот пункт, в котором я нахожусь, город 2. Если новое расстояние короче, чем то, которым следующий город помечен сейчас, я присваиваю ему метку с новым расстоянием. Если новое расстояние больше, город сохраняет старую метку. В случае города 3 новое расстояние (7 + 10) больше старого; следовательно, у этого города остается старая метка с числом 9. У некоторых городов, например города 4, может не быть предыдущей метки, потому что они не связаны с городами, которые я посетил до этого. Теперь я присваиваю этим новым городам метки с только что вычисленными расстояниями до них. Таким образом, город 4 получает метку с числом 7 + 15 = 22.

Теперь я снова помечаю город, в котором я нахожусь, как посещенный и переезжаю в следующий город, имеющий самую малую текущую сумму расстояний от начального пункта. В результате описанных выше операций таким пунктом оказывается город 3. В этом примере видно, что, хотя первое перемещение в город 2 казалось рациональным, дальнейший путь из него оказывается не самым коротким. Поэтому уже на этом этапе алгоритм может склоняться к прокладке маршрута через город 3.

Оказавшись в городе 3, я снова пересчитываю метки связанных с ним городов, которые я еще не посетил. Продолжая этот процесс, я в конце концов доберусь до пункта назначения, города 5, и его метка будет обозначать кратчайшее расстояние от города, с которого я начал. Затем можно воспроизвести все перемещения в обратном порядке, чтобы выяснить, через какие города проходит маршрут, соответствующий этому расстоянию. Обратите внимание, что в описанном случае он, как выясняется, вовсе не проходит через город 2.

Какова же длительность процесса выявления кратчайшего маршрута в шагах алгоритма? При наличии N городов она оказывается сравнимой с длительностью перестановки слов в алфавитном порядке. На каждом шаге из рассмотрения исключается очередной город, который не нужно учитывать в дальнейшем. Поэтому время, необходимое алгоритму для решения задачи, пропорционально N^2, то есть квадрату N. С точки зрения математики это несомненный шорткат!

Но на практике даже то, что на этом математическом языке называется шорткатом, может требовать для получения решения чрезвычайно долгого времени. В общем случае математики действительно считают алгоритмы полиномиального времени, подобные тому, который ищем мы, шорткатами. Квадратичные алгоритмы и в самом деле работают довольно быстро. Но, хотя математики называют быстрыми и алгоритмы третьей, четвертой или пятой степени, их работа может занимать долгое физическое время.

Если компьютер способен выполнять 100 миллионов операций в секунду, это не будет слишком большой проблемой при малом N. Но между временами работы алгоритма, находящего ответ за N^2 шагов, и алгоритма, находящего ответ за N^5 шагов, огромная разница.

За одну секунду алгоритм сложности N^2 может проверить сеть из 10 000 городов. Алгоритму сложности N^5 для проверки такого же числа городов потребуется 31 710 лет! И тем не менее это считается математическим шорткатом. По сравнению с экспоненциальным алгоритмом, который был у нас до сих пор, – а ему для перебора 10 000 городов требуется время, превосходящее возраст Вселенной, – это, несомненно, и есть шорткат. Более того, за время, равное возрасту Вселенной, алгоритм сложности 2N не способен перебрать даже 100 городов.

Однако с практической точки зрения целесообразно бороться за алгоритмы с как можно более низкими степенями N. Некоторые короткие пути бывают короче других.

Иголки в стогах

Вы можете надеяться, что, раз вы не коммивояжер, отсутствие шортката к прокладке кратчайшего маршрута, позволяющего объехать всех покупателей, вас не касается. Беда в том, что задач с такими же осложнениями существует очень много. Например, инженеру может понадобиться спроектировать электронную схему из сотни элементов так, чтобы робот прокладывал соединения между ними самым рациональным образом. Поскольку этот робот будет производить тысячи таких плат в сутки, сокращение времени его путешествия по соединениям этой сети даже на несколько секунд может дать компании огромную экономию средств. Но нам хотелось бы найти шорткаты не только к маршрутам перемещения по сетям. Ниже перечислены некоторые из задач, обладающих тем же качеством, что и задача коммивояжера, – задач, к решению которых, насколько нам известно, может не существовать шорткатов. Возможно, даже великий Гаусс не избежал бы при их решении долгой и нудной работы!

Задача о багажнике. Вам нужно перевезти в багажнике автомобиля коробки разных размеров. Задача требует отобрать те коробки, при укладке которых останется меньше всего неиспользованного пространства. Как выясняется, никакого рационального алгоритма, позволяющего выбрать оптимальное сочетание коробок, исходя из их размеров, не существует. Предположим, что все коробки имеют одинаковую высоту и ширину, которые точно совпадают с внутренними размерами багажника, но разную длину. Длина багажника – 150 см, а длина имеющихся в вашем распоряжении коробок равна 16, 27, 37, 42, 52, 59, 65 и 95 см. Есть ли какой-нибудь удобный способ выбрать такое сочетание коробок, которое заполнит багажник с наименьшими потерями?

Задача о расписании уроков. В начале каждого учебного года каждая школа сталкивается с задачей составления расписания для учеников. Но у возможностей распределения занятий по расписанию есть ограничения, связанные с тем, какие предметы выбирает каждый из учеников. Поскольку Ада решила заниматься химией и музыкой, уроки по этим предметам нельзя назначать на одно и то же время. А Алан выбрал химию и киноведение. Но в день может быть всего восемь уроков. Школе нужно каким-то образом втиснуть в расписание все предметы так, чтобы ни у кого не было нескольких уроков в одно и то же время. С учетом всех этих ограничений составление расписания иногда бывает похоже на укладку ковра в комнате с не вполне подходящими размерами. Не успеешь уложить ковер в одном углу, как он вспучивается в другом. Еще это похоже на решение судоку: казалось бы, все числа наконец оказались на нужных местах, как вдруг обнаруживается, что в одной из строк стоят две двойки. Черт!

Судоку. Если вы уже пытались решить какие-нибудь из самых трудных вариантов этой японской головоломки, вам случалось попадать в ситуации, в которых, по-видимому, остается только выбрать следующее число наудачу, а затем разбираться с логическими следствиями из этого решения. Если это решение было неверным и приводит к противоречию, вам остается только вернуться к тому шагу, на котором вы его приняли, и попытаться пойти по другому пути.

Задача о званом ужине. Проблема, сходная с задачей о расписании уроков, возникает, когда вы хотите пригласить друзей на ужин, но некоторые из них не ладят друг с другом, и вы не хотите приглашать их на один и тот же ужин. Чтобы определить минимальное количество ужинов, на которых у вас побывают все, но так, чтобы ни на одном из них не встретились те, кто не хочет встречаться, необходимо перебрать все возможные комбинации приглашенных.

Раскрашивание карты. Если взять любую географическую карту и попытаться раскрасить страны так, чтобы никакие две граничащие страны не были закрашены одним и тем же цветом, этого всегда можно добиться, используя четыре цвета. Но нельзя ли обойтись всего тремя? И в этом случае единственный имеющийся у нас алгоритм, позволяющий определить, хватит ли трех цветов для раскрашивания карты, сводится к перебору всех возможных вариантов ее раскрашивания. Как и при решении судоку, можно начать закрашивать страны, а потом обнаружить, что сделанный ранее выбор цветов приводит к тому, что две соседние страны приходится закрасить одним и тем же цветом. Если на карте изображены N стран, существует 3N способов раскраски этих стран тремя цветами, что означает, что число возможных вариантов растет экспоненциально.

Тот факт, что для этого требуется не более четырех цветов, был предметом одной из величайших теорем, доказанных в XX веке. Еще в 1890 году теорема была доказана для пяти цветов. Это доказательство было не слишком сложным: оно было основано на шорткате, часто используемом математиками. Предположим, что существуют карты, которые невозможно раскрасить пятью цветами. Возьмем такую карту с наименьшим числом стран. Тогда при помощи некоторых хитроумных выкладок можно показать, что одна страна может быть удалена так, что и оставшуюся карту нельзя будет раскрасить пятью цветами. Но это противоречит исходному утверждению, что изначальная карта содержала наименьшее возможное количество стран.

Вот, кстати, пример несерьезного применения шортката, в котором мы рассматриваем наименьший экземпляр чего-либо, чтобы доказать, что такой объект не может существовать: доказательство невозможности существования неинтересных чисел. Предположим, что неинтересные числа существуют. Пусть N – наименьшее неинтересное число. Но сам тот факт, что это наименьшее неинтересное число, делает его интересным.

Досаднее всего было то обстоятельство, что этот изящный шорткат, по-видимому, не помогал доказать, что для раскрашивания карты достаточно четырех цветов. Математики не могли продемонстрировать, что после удаления с карты одной страны ее по-прежнему невозможно раскрасить. Но никто не мог предложить и примера, доказывающего обратное.

В конце концов доказательство теоремы о четырех цветах было найдено в 1976 году. Однако это доказательство уж точно не могло считаться шорткатом. Тысячи вариантов, перебрать которые человеку было бы не по силам, проверили методом грубой силы на компьютере. Это доказательство стало поворотной точкой в истории математики: путь к решению впервые был проложен с использованием вычислительной мощности компьютеров. Это было похоже на ситуацию, в которой мы оказались бы перед горным хребтом и не смогли найти пути, ведущего в долину, которая лежит за ним. Тогда мы просто взяли машину и пробурили гору насквозь.

Многие представители математического сообщества испытывали смешанные чувства по отношению к такому использованию компьютера для доказательства этой теоремы. Предполагалось, что доказательство должно позволить человеку понять, почему именно четырех цветов достаточно, а не просто установить, так ли это. Число связей, которые могут образоваться в мозге человека, ограниченно; именно поэтому мозгу так важно ощущать, что он понимает, почему тот или иной шорткат именно таков. Если доказывать приходится долгим, кружным путем, получается, что оно не может быть загружено в мозг, и у нас остается ощущение, что нам так и не дали по-настоящему понять его.

Родственная раскрашиванию карты задача связана с сетью, состоящей из точек, некоторые из которых соединены линиями. Линии подобны границам между странами. В задаче спрашивается, каково минимальное количество цветов, необходимое для раскрашивания точек, при котором никакие две точки, соединенные линией, не оказались бы одного и того же цвета.

Футбол. Наверное, мои самые любимые примеры задач, к которым мы не можем найти шорткаты, связаны с футболом. Не столько с самой игрой, сколько с теми восхитительными вопросами, которые начинают возникать ближе к концу сезона: существует ли еще математическая возможность победы моей команды в Премьер-лиге при ее нынешнем положении в турнирной таблице? Может показаться, что это очень простая задача. Нужно всего лишь предположить, что команда победит во всех матчах и получит за каждую победу по три очка, а затем проверить, хватит ли ей этого, чтобы занять первое место. Однако на самом деле беспокоиться нужно обо всех матчах между другими командами. Разумеется, хотелось бы, чтобы команда, занимающая сейчас верхнюю строчку таблицы, проиграла как можно больше матчей. Но это означает, что те команды, с которыми она будет играть, будут побеждать и зарабатывать очки. Что, если у них окажется слишком много очков и одна из них выйдет на первое место?

Получается еще одна задача, в которой необходимо учитывать множество разных комбинаций матчей и их результатов. Приписывая командам победы, поражения и ничьи, я снова и снова бываю вынужден возвращаться назад, как в судоку, потому что оказывается, что один из результатов, которые я приписал раньше, разрушает все с таким трудом выстроенное равновесие.

Если всего в турнире осталось сыграть N матчей, каждый из них может закончиться для принимающей стороны победой, поражением или ничьей. Следовательно, нужно учесть в общей сложности 3N разных исходов: их число растет экспоненциально. А хотелось бы найти шорткат, который поможет мне быстро понять, может ли еще моя команда, чисто математически, надеяться на победу в турнире.

Но эта задача так нравится мне потому, что, когда я был школьником, такой алгоритм существовал. Что же случилось с тех пор? Нет, дело не в том, что мы утратили этот алгоритм, а в том, что изменились правила начисления очков. Раньше команды получали за победу всего лишь по два очка, а в случае ничьей – по одному каждая. Потом решили, что это побуждает футболистов сводить матчи к скучным ничьим. Поэтому в 1981 году было принято решение усилить привлекательность побед для команд. Вместо двух очков победившая в матче команда стала получать три. Это, казалось бы, безобидное новшество резко изменило ситуацию с точки зрения задачи о возможности выхода той или иной команды на верхнюю строчку турнирной таблицы Премьер-лиги.

Важнее всего то обстоятельство, что до 1981 года суммарное число очков, распределяющееся между командами, не зависело от того, кто выигрывает, проигрывает или заканчивает матч вничью. В турнире участвуют 20 команд; каждая из них встречается со всеми остальными по два раза, на своем поле и на выезде, то есть всего получается 20 × 19 матчей. В старой системе в каждом матче разыгрывались два очка, которые распределялись в зависимости от его исхода. Стало быть, суммарное число очков, распределенных между 20 командами к концу сезона, было равно 2 × 20 × 19 = 760.

Но теперь все совсем иначе. В каждом матче могут быть присуждены либо три очка – их получает победитель, – либо два, которые делят между собой команды, сыгравшие вничью. Если все матчи сезона будут сыграны вничью, сумма очков по-прежнему будет равна 760. Но, если не будет ни одной ничьей, сумма составит 3 × 20 × 19 = 1140 очков. Появление этих вариаций суммарного количества очков привело к тому, что действовавший до этого алгоритм, который позволял мне понять, остаются ли у моей команды математические шансы на победу в лиге, перестал работать.

Все эти задачи замечательны тем, что, если удается найти какое-нибудь решение, можно быстро проверить, действительно ли оно подходит к задаче. Я называю их «задачами об иголке в стоге сена»: сначала нужно проделать долгую, изнурительную работу, чтобы понять, где именно находится иголка, но как только вы ее нащупаете, не останется никаких сомнений, что вы ее нашли! Взломщик может долго возиться с сейфом, пробуя одну комбинацию за другой, но, как только комбинация окажется правильной, дверь тут же откроется.

У задач об иголке в стоге сена, или, если использовать их официальное название, NP-полных задач, есть одно довольно необычное свойство. Может показаться, что каждая из них требует своей, индивидуальной стратегии поисков алгоритма, который позволит решать ее за кратчайшее возможное время. Однако, если будет открыт алгоритм полиномиального времени, находящий кратчайший маршрут по любой карте, с которой может столкнуться пресловутый коммивояжер, это будет означать, что такие алгоритмы гарантированно существуют и для всех остальных таких задач. Хотя бы это дает шорткат к решению задачи поиска шорткатов. Если обнаружится, что существует шорткат к решению какой-нибудь из задач нашего списка, его можно будет преобразовать в шорткат к решению любой другой. Толкин сказал бы, что это один шорткат, чтоб все решить.

Я могу дать вам подсказку, которая показывает, почему это так: посмотрите, как некоторые из задач, которые я описал, можно преобразовывать друг в друга. Возьмем, например, задачу о расписании уроков. Там есть уроки, временные отрезки и накладки, которых необходимо избегать. Используя эту информацию, можно построить сеть, в которой каждый урок будет обозначен точкой, а накладки – линиями, каждая из которых соединяет два урока, между которыми возникает противоречие. Тогда распределение уроков по временным отрезкам превратится в задачу, точно совпадающую с задачей о раскрашивании точек графа таким образом, чтобы никакая линия не соединяла две точки одного и того же цвета.

Использование отсутствия шорткатов

Бывают такие ситуации, в которых важно, чтобы никаких шорткатов не было. Например, разработка нераскрываемых шифров. Разработчикам шифров выгодно такое положение вещей, когда взломать зашифрованное сообщение бывает, по-видимому, невозможно без полного перебора всех возможных вариантов. Взять, к примеру, кодовый замок. Если у него есть четыре колесика, на каждом из которых по десять цифр, то, чтобы его открыть, нужно перебрать 10 000 разных чисел, от 0000 до 9999. Некачественно изготовленные замки иногда выдают то положение, в котором замок открывается, потому что при установке правильной цифры в механизме замка происходит физический сдвиг, но в общем случае у взломщика нет никакого шортката, кроме перебора всех комбинаций.

Однако в других шифровальных системах обнаруживаются слабые места, которые можно использовать для создания шорткатов. Вот, например, классический «шифр Цезаря», он же шифр подстановки. Это код, в котором одни буквы алфавита систематически заменяют на другие. Например, каждая встречающаяся в сообщении буква А заменяется какой-нибудь другой буквой – скажем, буквой G. Затем все буквы B заменяются на одну из оставшихся букв. Таким образом, каждая из букв алфавита становится другой буквой. Разных шифров такого рода очень много. Существуют 26! (1 × 2 × 3 × … × 26) разных способов перестановки букв алфавита[126]. (В некоторых перестановках какая-нибудь буква может оставаться той же: например, буква Х заменяется на Х. Интересный вопрос: сколько существует шифров, в которых изменяются все буквы?) Чтобы стало понятно, о какой величине идет речь, заметим, что 26! секунд – это время, еще не прошедшее с момента Большого взрыва.

Если хакер перехватит закодированное сообщение, ему придется перебрать огромное количество разных комбинаций, чтобы его расшифровать. Но у этого шифра есть слабое место, которое обнаружил живший в IX веке ученый-энциклопедист Якуб аль-Кинди: некоторые буквы встречаются в текстах чаще, чем другие. Например, в любом тексте на английском языке чаще всего – в 13 процентах случаев – встречается буква e; второе место занимает буква t с 9 процентами[127]. Кроме того, у букв бывают индивидуальные характеристики, отражающиеся в тех сочетаниях, в которых они обычно используются. К примеру, после буквы q всегда идет u.

Аль-Кинди понял, что это может служить шорткатом для расшифровки сообщения, закодированного шифром подстановки. Если произвести частотный анализ закодированного текста и сопоставить чаще всего встречающиеся буквы с теми, которые наиболее часто попадаются в тексте нешифрованном, можно начать расшифровывать сообщение. Частотный анализ вообще дает поразительный шорткат к расшифровке таких кодов, которые оказываются не столь надежными, как может показаться.

Во время Второй мировой войны немцы считали, что нашли хитроумный способ использования шифров подстановки, не позволяющий расшифровывать сообщения при помощи этого шортката. Идея заключалась в следующем: для кодирования каждой следующей буквы сообщения нужно использовать новый шифр подстановки. Например, если нужно было зашифровать последовательность букв ЕЕЕЕ, все буквы Е заменялись разными буквами, что делало бесполезными любые попытки применить частотный анализ аль-Кинди. Для шифрования сообщений таким методом множественной подстановки была создана специальная шифровальная машина «Энигма»[128].

Одна из этих машин до сих пор выставлена на всеобщее обозрение в поместье Блетчли-Парк, в котором работали во время войны британские дешифровщики. На первый взгляд она кажется похожей на обычную пишущую машинку с клавиатурой, но выше клавиатуры имеется второй набор букв. Когда нажимаешь на одну из клавиш, над клавиатурой загорается одна из букв. Именно так кодируется каждая буква. Схема машины, по сути дела, перемешивает буквы, как в классическом шифре подстановки. Но при том же нажатии клавиши можно услышать щелчок и увидеть, как один из трех роторов, установленных в самом сердце машины, поворачивается на одно деление. Если нажать на ту же клавишу еще раз, загорится другая лампочка. Дело в том, что соединение между клавиатурой и лампочками изменилось. Соединительные провода проходят через роторы, и их повороты изменяют схему соединений в машине. Таким образом, вращение роторов обеспечивает использование нового шифра подстановки при кодировании каждой следующей буквы.

Казалось, что взломать такой шифр невозможно. Для настройки машины можно использовать шесть разных роторов, у каждого из которых есть 26 разных начальных состояний. Кроме того, в задней части машины имеется множество проводов, которые могут добавлять еще один уровень фиксированного шифрования. В общей сложности получается 158 миллионов миллионов миллионов вариантов настройки. Попытки определить, какой из них использовал оператор при зашифровке сообщения, казались буквальным воплощением идеи поисков иголки в стоге сена. Немцы были абсолютно уверены, что взломать эту машину невозможно.

Но они не приняли в расчет гениальность Гаусса XX века, математика Алана Тьюринга, который, работая в Блетчли-Парке, все же выискал в этой системе слабое место, позволявшее создать шорткат, который избавлял от необходимости перебора всех вариантов. Дело в том, что машина никогда не зашифровывала букву той же буквой. Ее схема всегда преобразовывала одну букву в какую-нибудь другую. Казалось бы, в этом нет ничего страшного. Но Тьюринг нашел способ использовать это свойство для получения гораздо более ограниченного набора вариантов шифровки конкретных сообщений.

Тем не менее для окончательных поисков ему все равно приходилось использовать машины. В домиках Блетчли-Парка ночи напролет жужжали «бомбы», как дешифровщики называли машины, которые реализовывали шорткат Тьюринга. Зато союзники каждую ночь получали доступ к сообщениям, которые немцы пересылали, считая их абсолютно защищенными от дешифровки.

Подозрительная простота

Коды, которые защищают сегодня наши кредитные карты, «летающие» по интернету, используют математические задачи, к решению которых, как мы считаем, в принципе не может быть шорткатов. В основе одного из таких шифров, который называется RSA[129], лежит загадочная категория чисел – простые числа. Каждый веб-сайт выбирает два секретных простых числа длиной порядка 100 знаков и перемножает их. Получившееся число, имеющее в длину около 200 знаков, можно опубликовать на сайте. Это кодовое число данного сайта. Когда я посещаю этот сайт, мой компьютер получает это 200-значное число, которое используется затем в математических операциях с моей кредитной картой. Зашифрованное таким образом число можно пересылать по интернету. Оно надежно защищено, так как для его расшифровки хакеру нужно было бы найти два простых числа, произведение которых дает 200-значное кодовое число веб-сайта. Такой шифр считается надежным, потому что эта задача, по-видимому, относится к категории задач об иголках в стогах сена. Математикам известен лишь один способ подбора таких простых чисел: перебирать эти числа одно за другим, надеясь случайно набрести на иголку, то есть на число, на которое кодовое число сайта делится без остатка.

О задаче разложения чисел на простые множители писал в своем великом трактате по теории чисел под названием «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae, 1801) сам Гаусс: «То, что задача о том, как отличать составные числа от простых и разлагать первые на их простые сомножители, принадлежит к важнейшим задачам всей арифметики и привлекала внимание как математиков древности, так и математиков нашего времени, настолько хорошо известно, что было бы излишним тратить здесь на это много слов… Кроме того, и интересы самой науки как таковой обязывают приложить все усилия к решению этой столь изящной и знаменитой проблемы»[130].

Он, разумеется, не сознавал, насколько важной станет эта задача в эпоху интернета и электронной торговли. Пока что никто, в том числе и сам великий Гаусс, не придумал шортката к нахождению простых делителей крупных чисел. Количество простых чисел, которые нужно перебрать, чтобы расшифровать 200-значное число, так велико, что любая такая попытка будет абсолютно нецелесообразной. Мы предполагаем, что задача факторизации – выражения числа в виде произведения меньших чисел – может быть сложной по самой своей природе. Это один из нерешенных вопросов, над которыми работают сейчас математики. Сможем ли мы доказать, что шортката к нахождению простых чисел не существует?

Но погодите. Как же тогда расшифровывает сообщения сам веб-сайт? Дело в том, что он начинает выполнение этого алгоритма с выбора двух простых чисел приблизительно по 100 знаков каждое, а затем перемножает их для получения 200-значного кодового числа. Простые числа, позволяющие произвести это вычисление в обратном порядке, известны только веб-сайту, и никому другому.

Тем не менее нахождение простых чисел – это одна из задач, которые математики еще не решили. Секрет расположения простых чисел в численной вселенной, так называемая гипотеза Римана, также входит в число семи Задач тысячелетия. Но, хотя на самом деле математики не понимают, как распределены простые числа, у нас есть один интересный шорткат, помогающий находить большие простые числа для таких интернет-кодов. Он основывается на свойстве простых чисел, которое открыл великий французский математик XVII века Пьер де Ферма. Он доказал, что если p – простое число, то результат возведения любого числа n, меньшего p, в степень p делится на p с остатком, равным n. Например, 2^5 = 32, а остаток от деления 32 на 5 равен 2.

Следовательно, если я хочу проверить, простое ли число, например, q, то обнаружение числа, меньшего q, для которого это правило не выполняется, означает, что q – число составное. Например, 2^6 = 64, а остаток от деления 64 на 6 равен 4, а не 2. Значит, число 6 не может быть простым, потому что оно не проходит тест Ферма. Этот тест был бы не слишком полезным, если бы, скажем, существовало лишь одно число, меньшее q, для которого это условие не выполнялось бы. В таком случае, возможно, пришлось бы перебрать все числа, меньшие q, – а тогда с тем же успехом можно было бы прямо проверить число q на неделимость. Великое достоинство этого теста состоит в том, что если потенциальный кандидат в простые числа его проваливает, то проваливает он его с треском. При применении уловки Ферма оказывается, что более половины чисел, меньших q, свидетельствуют, что q – число не простое.

В этой бочке меда есть, однако, своя ложка дегтя. Бывают числа, которые ведут себя как простые, и никакие свидетели Ферма их не выдают, но простыми они не являются. Их называют псевдопростыми. Тем не менее в конце 1980-х годов два математика, Гари Миллер и Майкл Рабин, сумели усовершенствовать метод Ферма и разработать безошибочный тест на простоту чисел, работающий за полиномиальное время. Единственная оговорка состояла в том, что для этого им пришлось предположить, что существует возможность покорения одной чрезвычайно высокой вершины – гипотезы Римана (или ее обобщенного варианта).

Миллер и Рабин смогли доказать, что, если математики найдут способ взойти на эту вершину, можно будет получить гарантированный шорткат к выявлению простых чисел. Одна из причин, по которым эта вершина так важна, связана именно с тем, что, как показали многие математики, с нее открывается путь к огромному множеству шорткатов. У меня самого есть несколько теорем, доказывающих истинность тех или иных утверждений при условии, что сперва я смогу доказать справедливость гипотезы Римана.

Однако никогда не следует терять надежды, что может найтись хитрая тропа, по которой гору можно обойти. В 2002 году математическое сообщество потрясла новость, что три индийских математика, Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена, работающие в Технологическом институте Канпура, открыли способ тестировать простоту чисел за полиномиальное время, не требующий перехода через гору Римана. Замечательно то обстоятельство, что двое из авторов этого открытия были студентами, писавшими дипломы под руководством Агравала. Даже сам Агравал, старший член этой группы, не был известен большинству математического сообщества. Многим это напомнило об истории великого Рамануджана, который внезапно ворвался на математическую сцену в начале XX века, написав о своих открытиях кембриджскому математику Г. Х. Харди.

Хотя открытие этой группы дало нам тест на простоту чисел, работающий за полиномиальное время и не требующий возможности перехода через гору Римана, в реальной жизни этот алгоритм был не слишком практичным. Как я уже говорил, важно знать степень используемого полинома. Если речь идет о квадратном полиноме, алгоритм работает быстро. Однако исходный алгоритм, который предложили Агравал, Каял и Саксена, имел полиномиальную сложность 12-й степени. Это число уменьшили до 6 американский математик Карл Померанс и голландский математик Хендрик Ленстр, но, как я уже объяснял, хотя с математической точки зрения такое решение и считается шорткатом, на практике оно очень быстро замедляется. По мере роста чисел, которые мы тестируем, работа алгоритма с полиномиальной сложностью шестой степени занимает существенно больше времени.

Раз безопасность в интернете зависит от наличия достаточного количества больших простых чисел, как же веб-сайтам удается быстро находить их для эффективного предоставления финансовых услуг? Для этого используются алгоритмы, которые по меньшей мере дают веб-сайту высокую вероятность того, что найденные ими числа простые, хотя и не гарантируют этого.

Вспомним, что если некое число не простое и не псевдопростое, то половина чисел, меньших его, не пройдут тест Ферма. Но что, если нам так сильно не повезет, что мы проверим именно те числа, которые пройдут этот тест? Казалось бы, чтобы найти свидетеля составного характера числа, необходимо проверить половину меньших его чисел. Но какова вероятность не попасть на такого свидетеля? Предположим, мы проверили 100 чисел и не нашли ни одного свидетеля. Это означает одно из двух: либо наше число простое или псевдопростое, либо нам действительно не попалось ни одного свидетеля, но вероятность такого события составляет 1 к 2^100. Играть на таких условиях я согласен! – уж слишком мала эта вероятность.

Хотя у нас есть превосходные алгоритмы, как детерминированные, так и вероятностные, позволяющие находить простые числа для создания таких кодов, обычных алгоритмов для взлома этих кодов, по-видимому, не существует. А как насчет чего-нибудь не столь обычного?

Квантовые шорткаты

Одна из проблем, с которыми сталкиваются обычные компьютеры, когда пытаются решить задачу, подобную нахождению простых чисел для деления большого кодового числа, состоит в том, что им приходится проводить одну проверку, прежде чем они могут перейти к следующей. (Уточню для ясности, что в последующих рассуждениях я имею в виду только точное деление, без остатка.) Хорошо бы было разделить компьютер на части так, чтобы все они одновременно проводили разные проверки. Параллельная обработка – очень действенный способ ускорения работы. Взять, к примеру, строительство дома. В состязании на скорость строительства дома, проводившемся в Лос-Анджелесе, победила бригада из 200 строителей, работавших параллельно: они закончили свой дом за четыре часа. Разумеется, некоторые задачи необходимо выполнять последовательно. При строительстве многоэтажного дома или подземного гаража следующий этаж можно добавить, только когда будет построен предыдущий. Но перебор меньших чисел с проверкой того, делится ли на них большее, прекрасно можно производить параллельно. Каждая из таких проверок никак не зависит от результатов всех остальных.

Недостаток параллельной обработки данных состоит в том, что и она ограничивается физическими возможностями. Если разбить задачу на две, время, которое занимают проверки, уменьшится в два раза, но зато увеличится вдвое количество необходимой аппаратуры. По сути дела, такой подход не помогает находить простые делители большого числа.

Но что, если такую параллельную обработку можно было производить без непременного удвоения аппаратуры? Такая идея пришла в голову математику Питеру Шору, работавшему в 1990-х годах в компании Bell Labs: он понял, что для одновременной проверки нескольких вещей можно использовать довольно необычные методы информатики. Речь шла о странной физике квантового мира. В квантовой физике частица – например, электрон – может находиться, по сути дела, одновременно в двух местах, пока не будет произведено ее наблюдение. Эти два положения могут соответствовать числам 0 и 1. Это называется состоянием квантовой суперпозиции. Его преимущество в том, что здесь не требуется удвоения аппаратуры: речь по-прежнему идет об одном-единственном электроне. Но этот электрон хранит не один элемент информации, а два. Такая единица информации имеет особое название – кубит. В отличие от обычных компьютеров, в которых каждый бит должен находиться либо во включенном, либо в выключенном состоянии, то есть содержать либо 0, либо 1, кубит одновременно существует в параллельных квантовых мирах: в одном из них его значение равно 0, а в другом – 1.

Таким образом, было бы полезно создать целую последовательность таких кубитов. Например, если удастся объединить 64 кубита в состоянии квантовой суперпозиции, такой массив сможет одновременно представлять все числа от 0 до 2^64 – 1. Обычному компьютеру пришлось бы последовательно перебирать все эти числа, присваивая каждому биту значения, равные 0 или 1. Но квантовый компьютер может сделать это одновременно. В результате мой обычный компьютер, как электрон, как бы существует в нескольких параллельных вселенных сразу. В каждой из них эти 64 кубита представляют разные числа.

Тут-то и начинается самое интересное. В каждом из параллельных миров такой компьютер проверяет, является ли то число, которое он представляет, делителем кодового числа. Но как сделать так, чтобы квантовый компьютер сумел выбрать именно тот мир, в котором кодовое число успешно делится на число проверяемое? Именно этот вопрос решает блестящий прием Шора, который он встроил в свой алгоритм. Как только мы производим наблюдение квантовой суперпозиции, она должна принять решение и окончательно перейти в одно или другое состояние. По сути дела, она выбирает положение 0 или положение 1. Переход в то или иное положение определяется вероятностью.

Шор сумел создать такой алгоритм, который обеспечивает, что после проверки на делимость в каждой из параллельных вселенных квантовая суперпозиция с подавляющей вероятностью переходит в состояние того мира, в котором проверенное число оказалось делителем кодового числа. Все остальные миры, в которых результат проверки оказался отрицательным, настолько похожи друг на друга, что они взаимно уничтожаются. Остается только тот мир, в котором деление прошло успешно.

Представьте себе двенадцать векторов, исходящих из центра циферблата часов и направленных на его числа. Если все они равной длины, то при сложении взаимно уничтожатся, и останется лишь точка в центре циферблата. Но что произойдет, если один из них будет вдвое длиннее остальных? При сложении получится вектор, указывающий в этом направлении. По существу, то же самое происходит и при квантовом наблюдении проверок на делимость.

Хотя Шор написал свою программу еще в 1994 году, создание реального квантового компьютера, на котором этот алгоритм смог бы работать, казалось несбыточной мечтой. Одна из проблем квантовых состояний – это так называемая декогеренция. 64 кубита начинают наблюдать друг друга, и суперпозиция исчезает еще до выполнения вычислений. Это одна из причин, по которым, возможно, не существует кот Шредингера – квантовый мысленный эксперимент, в котором кот, пока его не наблюдают, может быть одновременно живым и мертвым. Разумеется, электрон может находиться в состоянии суперпозиции, но как все атомы, составляющие кота, могут одновременно быть в состояниях, в которых кот мертв и жив? Среди большого количества атомов начнутся взаимодействия, и декогеренция приведет к коллапсу суперпозиции.

Однако в последние годы в области изоляции одновременных квантовых состояний были достигнуты поразительные успехи. В октябре 2019 года журнал Nature опубликовал статью исследователей из компании Google под названием «Обеспечение квантового превосходства при помощи программируемого сверхпроводящего процессора»[131]. Как сообщается в этой статье, ее авторам удалось использовать 53 кубита в состоянии суперпозиции, одновременно представляющие числа приблизительно до 10^16. Их компьютер смог выполнить чрезвычайно специализированную задачу, на которую у обычного компьютера ушло бы 10 000 лет работы.

Хотя это очень радостная новость, задача, которая была поручена этому квантовому компьютеру, была не того же уровня, что поиск простых делителей больших чисел. Она была довольно сильно приспособлена именно под то оборудование, на котором она выполнялась. Многим показалось, что Google немного перебарщивает с шумихой вокруг «квантового превосходства». Группа, занимающаяся разработкой квантовых компьютеров в компании IBM, отозвалась об этой публикации весьма пренебрежительно и даже показала, что та задача, которой занимались исследователи из Google, может быть выполнена на обычном компьютере не за 10 000 лет, а за несколько дней. Несмотря на все это, достигнутый результат был поразительным. Тем не менее создание квантового компьютера, способного взламывать кредитные карты, по-видимому, все еще остается делом достаточно отдаленного будущего.

Биологические компьютеры

А как насчет задачи коммивояжера? Можно ли найти шорткат к ней при помощи нетрадиционных средств? Одну из задач, родственных задаче коммивояжера, исследователям удалось решить, применив компьютер очень необычного типа. В этой задаче – так называемой задаче о гамильтоновом пути – нужно проложить маршрут по сети дорог с односторонним движением, соединяющих нанесенные на карту города́.

Рис. 10.4. Задача о гамильтоновом пути: как попасть из города А в город E, посетив все остальные города только по одному разу?

Требуется найти маршрут, начинающийся из одного города, скажем А, и заканчивающийся в другом городе – Е, – нопроходящий через все остальные города по одному, и только одному, разу. Возможен ли такой маршрут? Оказывается, найти его так же трудно, как решить задачу коммивояжера. Но и эта задача прекрасно подходит для применения параллельной обработки информации. Однако математик Леонард Адлеман не стал обращаться к квантовому миру, а придумал интересный биологический подход к ее решению. К слову, именно фамилию Адлемана обозначает буква А в аббревиатуре RSA, названии шифровальной системы, использующей простые числа для обеспечения безопасности сетевых транзакций.

В 1994 году Адлеман объявил на семинаре в MIT об изобретении суперкомпьютера, который он построил для решения задачи о гамильтоновом пути. Он назвал его TT-100, но его слушатели очень удивились, когда он достал из кармана пиджака обычную пробирку. Буквы ТТ означали test tube[132], а число 100 – объем этой пластмассовой пробирки, 100 миллилитров. Роль микропроцессоров, работавших в пробирке, играли небольшие нити ДНК.

Нити ДНК составляются из четырех оснований, которые обозначают буквами A, T, C и G[133]. Эти основания стремятся попарно соединяться друг с другом: А с Т, а C – с G. Если получить короткие одиночные нити, составленные из этих оснований, – так называемые олигонуклеотиды, – каждая из них попытается найти другую нить, основания которой могут образовывать пары с ее собственными. Например, нить АСА попытается найти нить TGT, с которой она может соединиться и образовать устойчивую двойную нить ДНК.

Идея Адлемана состояла в следующем: присвоим каждому городу на карте, по которой мы пытаемся проложить маршрут, метку, представляющую собой нить из 8 оснований. Затем, если между двумя городами есть односторонняя дорога, создадим нить ДНК с 16 основаниями, первые 8 из которых содержатся в метке города отправления, а вторые 8 – это основания, дополнительные к содержащимся в метке города, в который ведет дорога. Если есть дорога, ведущая в город А, и дорога, ведущая из него, две нити этих дорог, содержащие по 16 оснований, соединятся: последние 8 оснований дороги, ведущей в город А, свяжутся с первыми 8 основаниями дороги, ведущей из него.

Любой маршрут проезда по этим городам по таким дорогам может быть воспроизведен в нитях ДНК, соединяющихся во всех случаях, когда одна дорога входит в город, а другая выходит из него.

Например, у города А может быть метка ATGTACCA, у города B – GGTCCACG, а у города C – TCGACCGG. Тогда дороге из А в B будет соответствовать нить

ATGTACCACCAGGTGC,

а дороге из B в C – нить

GGTCCACGAGCTGGCC.

Восемь последних оснований первой из этих дорог могут соединиться с восемью первыми основаниями второй, что показывает, что маршрут, позволяющий попасть из города А в город C, существует.

Эта система прекрасна тем, что такие нити ДНК можно приобретать в больших количествах в коммерческих лабораториях. Адлеман заказал достаточное количество материала для исследования сети из 7 городов, а затем просто разложил нити по пробиркам. Нити принялись за параллельную обработку информации: они начали соединяться, создавая множество разных маршрутов обхода сети. Разумеется, многие из этих маршрутов нарушали правило, запрещающее посещать города больше одного раза. Но Адлеман понимал, что тот маршрут, который он ищет, должен представлять собой нить ДНК, длина которой равна

8 (город отправления) + 6 × 8 (для каждой дороги) + 8 (город назначения).

Для отбора таких нитей и проверки присутствия в их последовательностях всех городов годилась процедура, сходная с генетической дактилоскопией.

Хотя весь этот процесс занял больше недели, он открыл интересные перспективы: возможность использования биологических структур для создания машин, способных эффективно производить параллельную обработку информации. Для измерения количества молекул в пробирке химики используют единицу под названием «моль». Но один моль вещества содержит чуть более 6 × 10^23 молекул[134]. Адлеман считает, что использование предельно малых биологических объектов может стать шорткатом к решению предельно больших вычислительных задач.

Не исключено, что природа уже преуспела в этом. Оказывается, один странный организм, относящийся к классу собственно слизевики, довольно хорошо умеет находить самые рациональные маршруты передвижения по карте. Это слизевик Physarum polycephalum, который представляет собой плазмодиевый одноклеточный организм, растущий вовне из исходной точки в поисках источников пищи. Его любимая еда – овсяные хлопья.

Группа исследователей из Оксфорда и Саппоро решила задать своему слизевику следующую задачу: найти кратчайший маршрут среди овсяных хлопьев, разложенных так же, как расположены станции железнодорожной сети Токио и его окрестностей. У инженеров ушли целые годы на разработку наиболее рациональной схемы соединения городов. А на что способен слизевик?

Изначально слизевик ничего не знает о местах расположения хлопьев и начинает расти во всех направлениях. Но, когда он начинает натыкаться на источники пищи, многочисленные отростки, которые пищи не нашли, отмирают, и остаются только наиболее удобные соединения с источниками пищи. Всего за несколько часов слизевик настраивает свою структуру, создавая между новыми источниками пищи соединения, удобные для достижения разных точек.

Экспериментаторов поразил тот факт, что получившаяся структура слизевика была очень похожа на схему железнодорожных сообщений, созданных людьми в окрестностях Токио. У людей на это ушли многие годы. Слизевик справился за несколько часов. Неужели это одноклеточное существо знает шорткат, который сможет помочь нам решить одну из величайших нерешенных задач математики?

Решение: На рисунке показан кратчайший маршрут по карте фестиваля Гластонбери. Чтобы убедиться, что еще более короткого маршрута не существует, мне потребовалось много времени.

Рис. 10.5. Кратчайший маршрут обхода фестиваля Гластонбери

Шорткат к шорткатам

Иногда бывает очень важно знать, что к решению задачи, над которой вы работаете, нет никаких шорткатов. Понимание, что долгий окольный путь – это единственный путь к цели, позволяет не тратить времени на безрезультатные поиски шорткатов. А если уж вы собираетесь проделать всю необходимую работу, имеет смысл знать, что вы не напрасно тратите на нее время. Можно использовать шорткат преобразования одной задачи в другую, совершенно не похожую на первую, чтобы проверить, не пытаетесь ли вы решить, скажем, замаскированную задачу коммивояжера. Если же шорткатов действительно нет, может быть, это обстоятельство тоже можно выгодно использовать, как это делают шифровальщики.

Прибытие

Человеческая изобретательность помогла нам выдумать поразительно разнообразные шорткаты, которые на протяжении многих поколений ускоряют развитие нашего вида. Мы никогда не оказались бы в том технологически развитом состоянии, в котором мы сейчас находимся, без этого инструментария усовершенствованных способов мышления. Если нет шортката символов, обозначающих числа, все, что больше трех, называется «много». Понимание геометрии планеты упрощает физические путешествия по ней. Хотя всего 566 человек побывали в космосе[135] и никто из них не забирался дальше Луны, шорткат тригонометрии позволяет нам ориентироваться в глубинах космического пространства.

Мы нашли шорткат к путешествиям в будущее: распознавание паттернов и математический анализ помогают предугадывать дальнейшие события до того, как они произойдут. Шорткат вероятности дает нам возможность понять, какой из возможных исходов наиболее вероятен, не повторяя один и тот же опыт сотни раз. Вдумчивый анализ сетевых соединений позволяет пользоваться шорткатами, ведущими прямо к цели, вместо беспорядочных скитаний по всему интернету. Мы даже придумали новые числа, например квадратный корень из –1, чтобы создать зеркало, проходя через которое мы получаем шорткат к решениям задач. Путешествия в этот мнимый мир обеспечивают безопасную посадку вполне реальных самолетов.

Исходной причиной того, что я отправился в математическое путешествие, несомненно, было стремление уклониться от нудной и тяжелой работы. Возможность не заниматься бездумным трудом казалась ленивому подростку очень привлекательной. Я благодарен своему учителю математики, который не заставлял класс заниматься монотонными повторениями и вычислениями, а показал, что математика – это искусство находчивого мышления. Но оглядываясь назад, я также начал замечать, что в самой сути шорткатов содержится некий парадокс.

Работа математика – находить новые способы рационального мышления, но само изобретение таких шорткатов – дело нелегкое. Занятия математикой все равно требуют многочасовых размышлений над каждой задачей – размышлений, которые, как кажется в течение долгого времени, не дают никаких плодов. Но потом внезапно возникает понимание, происходит открытие шортката через запутанные заросли задачи. Однако без долгой медитации и беспорядочных записей в блокноте мне не удается дойти до такого озарения. Именно его, восторга момента «эврики», я и жажду. Его обещает открытие секретных путей, шорткатов, позволяющих справиться с задачей.

В конце концов я понял, что посвятил себя искусству шорткатов вовсе не из лени. Почти что ровно наоборот. Наибольшее удовлетворение приносит именно трудная работа по поискам шорткатов.

Оказавшись у подножия горы, можно подняться на ее вершину на вертолете. Это позволит насладиться видами, но, как объяснил мне Роберт Макфарлейн, с точки зрения альпиниста это делает восхождение бессмысленным. Удовлетворение приносит подъем на вершину, требующий тяжкого труда. Каждый его шаг, «пока наша плоть не станет прозрачной».

Я помню разговор об интеллектуальных трудностях преодоления великих нерешенных задач с одной исследовательницей, занимающейся физикой в Гарварде. В какой-то момент она предложила мне нажать на воображаемую кнопку, которая даст ответы на все вопросы, над которыми я работаю. Когда я уже потянулся, чтобы нажать на нее, моя собеседница схватила меня за руку: «Вы уверены, что хотите этого? Разве это не лишит вашу работу интереса?»

Сходные опасения высказывала и Натали Клейн. Если бы существовал шорткат к игре на виолончели, это, возможно, делало бы занятия музыкой менее привлекательными. Экстаз, связанный с достижением состояния психологического потока, порождает сочетание мастерства с трудностью задачи.

Один из моих любимых голливудских фильмов – это «Умница Уилл Хантинг», отчасти потому, что в нем есть одно из первых в популярной культуре упоминаний Филдсовской медали – «Нобелевской премии для математиков». Но, кроме того, этот фильм показывает, как важны долгие часы работы над задачей, приводящей в отчаяние своей трудностью, в качестве прелюдии к открытию шортката к ее решению. Главный герой фильма, уборщик математического факультета MIT, которого играет Мэтт Деймон, видит написанную на доске задачу и сразу понимает, как ее решить. Пришедших на следующее утро профессоров математики потрясает его решение, наспех набросанное на доске. Но в конце концов персонаж Деймона не становится математиком.

По-моему, дело в том, что это занятие кажется ему слишком простым. Для него сложная задача, не имеющая очевидного решения, которая и побуждает его уехать в конце фильма, – это девушка, которой он пытается добиться. Одна из важных черт математического шортката состоит в том, что он должен приносить момент экстатического освобождения после всех изматывающих попыток решить задачу «в лоб».

Шорткаты, которые ищу я, – это не ответы в конце задачника. Такие шорткаты не приносят удовлетворения. Лучшие из шорткатов возникают после тяжелой и упорной работы над задачей. Они почти что подобны музыкальным произведениям, тем их моментам, когда существующее в музыке напряжение наконец находит разрешение.

Получается парадокс: хотя исходно побуждение искать шорткаты, возможно, и бывает вызвано нежеланием проводить вечность за тяжелой работой, поиски шорткатов могут в конечном счете требовать от меня ничуть не меньше труда. Тем не менее, чтобы ответить на вопрос, почему тяжелая работа над шорткатами нравится мне больше, можно изобразить кривую, описывающую прилагаемые усилия. Если построить график усилий, которые я прилагаю, чтобы просуммировать все числа от 1 до 100, их уровень, вероятно, будет приблизительно постоянным, без каких бы то ни было заметных изменений во времени. Совокупное количество затраченных усилий будет медленно, но верно расти по линейному закону. А вот график, изображающий приложение усилий для поисков шортката будет выглядеть гораздо менее предсказуемо. На нем будут подъемы и спуски. Вероятно, в самом конце он взлетит до пика, а потом, когда начнется использование найденного шортката, упадет до минимума. Но после этой точки такой график уже не поднимется выше некоторого минимального базового уровня, потому что работать будет шорткат. А график работы над долгим решением так и будет отражать столь же тяжелую работу.

На другой из любопытных парадоксов указал музейный куратор Ханс Ульрих Обрист. Важно делать отступления и выбирать обходные пути. Некоторые из лучших шорткатов находятся благодаря обходным путям. Обход, в который увлекла математиков Великая теорема Ферма, оказался ценным благодаря всем необычным путям и перепутьям, которые мы в нем встретили. Такие отступления приводят к открытию множества поразительных шорткатов, которые мы просто вынуждены изобретать по пути.

Могущество шортката часто состоит в том, что он дает тем, кто по нему следует, возможность быстрее добраться до цели. В 2016 году был открыт самый длинный и глубокий туннель в мире. 57-километровый Готардский базисный туннель проходит под Альпами, соединяя север Европы с югом. Его строительство заняло 17 лет, но поезда проезжают от одного конца туннеля до другого за 17 минут.

Одной из последних поездок Карла Фридриха Гаусса была поездка на открытие новой железнодорожной линии между Ганновером и Геттингеном. Его здоровье постепенно ухудшалось, и ранним утром 23 февраля 1855 года он умер во сне.

Гаусс завещал выгравировать на его надгробии чертеж одного из открытий, побудивших его стать математиком, – построения правильного 17-угольника. Однако, когда гравер, которому поручили эту работу, увидел чертеж, он отказался его воспроизводить. Теоретически метод Гаусса действительно позволял построить правильный 17-угольник, но гравер решил, что он будет выглядеть просто как большая окружность.

Разработка шорткатов, на изучение которых я тратил время студентом, потребовала от их создателей долгих лет глубоких размышлений. Но, когда туннель уже построен, он дает тем, кто им пользуется, возможность попадать на передний край знания как можно быстрее. Когда юный Гаусс закончил поиски суммы чисел от 1 до 100, у него появилась возможность подумать о чем-то новом. И на мой взгляд, в этом и состоит смысл шорткатов. Если я трачу время на бездумную работу, я лишаю себя возможности заняться самопознанием, новыми открытиями, расширением своего кругозора. Шорткат позволяет мне посвятить силы новым, интересным и продуктивным занятиям.

Поэтому я надеюсь, что в нашем путешествии вы нашли для себя шорткаты к лучшим способам мышления, которые освободят ваше время для новых мыслей. Конец каждого шортката всегда бывает шансом начать что-то новое. Гаусс сформулировал свои взгляды на поиски знаний в письме к своему другу Фаркашу Бойяи от 2 сентября 1808 года. Вот что он писал:

Величайшее наслаждение доставляет не знание, но акт познания, не обладание, но движение к цели. Прояснив и исчерпав какой-либо предмет, я отворачиваюсь от него и вновь отправляюсь во тьму. Человек, не способный удовлетвориться, странен; если он завершает постройку, то не с тем, чтобы мирно жить в ней, но с тем, чтобы начать следующую. Я полагаю, что такое должен ощущать завоеватель мира, который, едва покорив одно царство, уже тянет руки к другим.

Шорткат – не средство побыстрее закончить путь, а скорее переход к началу нового пути. Это расчищенная дорога, пробитый туннель, возведенный мост, которые позволяют другим быстрее добираться до пределов нашего знания, откуда они могут начать свои собственные путешествия во тьму. Вооружитесь инструментами, которые веками оттачивали Гаусс и подобные ему математики, и тяните руки к следующим великим завоеваниям.

Выражение благодарности

В эпохальной задаче написания книги не очень-то много шорткатов, но один из лучших среди них – это поддержка великолепного коллектива. Луиза Хейнс, моя редактор в издательстве 4th Estate, подобно лучшим психологам умеет задавать самые правильные и глубокие вопросы, создающие условия, в которых автор находит выход из своих затруднений. Энтони Топпингу, моему агенту в литературном агентстве Greene and Heaton, неизменно удается смотреть на мою работу свежим взглядом, гарантирующим, что я не зайду слишком далеко по путям, ведущим в никуда. Мой литературный редактор Иан Хант очень терпеливо сражался с моей увечной английской грамматикой, приводя ее в божеский вид.

По другую сторону океана мои американские редакторы Томас Келлехер и Эрик Хенни из издательства Basic Books проделали великолепную работу, чтобы можно было не сомневаться, что мои шорткаты поведут американских читателей в правильную сторону.

Все те, кто участвовал в создании пит-стопов, перемежающих текст книги, чрезвычайно щедро делились со мной своим временем и своими идеями. Я глубоко признателен Натали Клейн, Бренту Хоберману, Эду Куку, Роберту Макфарлейну, Кейт Раворт, Хансу Ульриху Обристу, Конраду Шоукроссу, Фионе Кеннеди, Сьюзи Орбах, Хелен Родригес и Огнену Амиджичу за увлекательнейшие беседы об их взглядах на шорткаты.

Благодарю Софию Аль Марию, Трейси Эмин, Элисон Ноулз и Йоко Оно за разрешение включить в книгу их инструкции «do it».

Написание такой книги было бы невозможным, не будь у меня времени, которое дает мне моя профессорская должность. Я благодарю Чарльза Симони, учредителя моей кафедры, и Оксфордский университет за всю поддержку, которую я получаю в должности профессора кафедры популяризации науки.

И Ньютон, и Шекспир работали более производительно во время эпидемий чумы. Написание этой книги отчасти совпало по времени с пандемией, захлестнувшей планету в начале 2020 года. Это обстоятельство оказалось своего рода странным шорткатом: оно очистило мой ежедневник от отвлекающих событий и дало мне время как следует засесть за книгу. В результате я закончил рукопись на два месяца раньше срока. Когда рукопись пришла в издательство, моя редактор Луиза была потрясена. Она-то привыкла, что я каждый раз запаздываю года на два! Оказалось, однако, что я не единственный писатель, сдавший рукопись раньше срока. Более того, Луиза призналась, что получает от своих авторов романы, которых она вообще не заказывала. Поэтому, предупредила она, правки, возможно, придется подождать. Пока я ждал, я воспользовался карантином, чтобы написать новую пьесу. Этот проект может показаться безумным, учитывая, что все театры закрылись, но я надеюсь, что когда-нибудь она все же увидит свет.

В конце каждого дня писательской работы во время карантина все члены семьи выходили из своих комнат и рассказывали друг другу о своих приключениях в интернете. Смех и любовь, которыми мы делились друг с другом по вечерам, делали тяжкий труд по завершению книги намного легче. Спасибо Шани, Томеру, Ине и Магали. Они были лучшим шорткатом к завершению того пугающего путешествия, каким бывает написание книги.

Примечания

1

Английское слово shortcut, центральное в этой книге, не имеет точного аналога в русском языке. Его часто переводят выражением «короткий путь», но оно не вполне передает нужное значение. Такой путь далеко не всегда бывает физически более коротким: он может быть более быстрым, более легким, более удобным и т. д. Поэтому кажется целесообразным использовать в переводе этой книги слово «шорткат», уже существующее (особенно в контексте информатики), хотя еще и не вполне закрепившееся, в русском языке. – Здесь и далее, если не указано иное, примеч. перев.

2

Историческая достоверность этого эпизода небесспорна: в точности то же самое рассказывают, например, о Лобачевском и о Спинозе. Это, однако, нисколько не умаляет ни гениальности всех этих мыслителей, ни изящества решения.

3

При заданном объеме.

4

Еще одно богатое значениями английское слово, которое, кажется, лучше позаимствовать, чем передавать многословными выражениями. В зависимости от контекста оно может означать рисунок, узор, канву, выкройку, шаблон, систему, характер, закономерность и т. д. Трудность перевода слова pattern на другие языки обсуждается и в главе 3 этой книги.

5

Дифференциальное и интегральное исчисление.

6

Этот разговор происходит в начале 4-й главы 1-й книги трилогии.

7

The Simpsons, S06E04, Itchy & Scratchy Land (1994).

8

Из эссе «Критик как художник» (The Critic as Artist, 1891), пер. с англ. А. М. Зверева. Цит. по: Уайльд О. Собр. соч.: В 3 т. М.: Терра – Книжный клуб, 2003. Т. 3.

9

Из первого эссе серии «Бездельник» (The Idler), публиковавшейся в лондонском еженедельнике Universal Chronicle с апреля 1758 по апрель 1760 г.

10

Цит. по: Кристи А. Автобиография / Пер. с англ. В. Чемберджи, И. Дорониной. М.: Вагриус, 1999.

11

Хоум-ран (home run) – игровая ситуация, в которой отбивающий игрок успевает обежать все четыре «базы» поля, пока отбитый им мяч не окажется в руках игрока команды противника. Если ему удается отбить мяч за пределы поля, хоум-ран засчитывается автоматически.

12

Легко заметить, что эти слова родственны русским «практика» и «поэзия». В классификации Аристотеля был и третий вид деятельности – теория (θεωρία), то есть деятельность, направленная на познание истины.

13

Цит. по: Маркс К. Критика Готской программы // Избранные произведения: В 2 т. / Под ред. М. Б. Митина. М.: ОГИЗ, Государственное издательство политической литературы, 1940. Т. II. С. 453.

14

Цит. по: Маркс К. Капитал. Критика политической экономии. / Пер. с нем. И. И. Степанова-Скворцова, испр. и доп. Т. 3. Ч. 1 и 2. М.: Государственное издательство политической литературы, 1951. С. 833.

15

Интересно отметить, что Бартельс был учителем не только Гаусса, но и Н. И. Лобачевского: с 1808 по 1820 г. он служил профессором Казанского университета.

16

По-русски чаще говорят об изобретении велосипеда. Однако многое из того, о чем говорится в этой книге, произошло задолго до этого изобретения – так что тут, видимо, имеет смысл воспроизвести английскую идиому дословно.

17

Имя графа в оригинале – Count von Count – обыгрывает существующую в английском омонимию слов «граф» (count) и «[под]счет» (count).

18

Подробнее о вопросах масштабирования и исследованиях Уэста можно прочитать в его книге: Уэст Дж. Масштаб: Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний / Пер. с англ. Д. А. Прокофьева. М.: Азбука Бизнес, Азбука-Аттикус, 2018.

19

Идти (фр.).

20

Другое широко применяющееся обозначение – C^2_8 («C из 8 по 2»).

21

Табла – небольшой парный барабан, используемый в традиционной североиндийской музыке.

22

Числа, образующие треугольник Паскаля, – это упомянутые выше биномиальные коэффициенты Cmn. Вот их общая формула:

23

Русское издание: Гладуэлл М. Гении и аутсайдеры: Почему одним все, а другим ничего / Пер. с англ. О. Галкина. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2019.

24

Из книги «Flow: The Psychology of Optimal Experience» (1990), цит. по: Чиксентмихайи М. Поток: Психология оптимального переживания / Пер. с англ. Е. Перовой. М.: Смысл: Альпина нон-фикшн, 2011.

25

Если речь идет о десятичных логарифмах, т. е. логарифмах по основанию 10. В общем случае основанием логарифма может быть любое число. Кроме десятичных широко используются, например, логарифмы двоичные (по основанию 2) и натуральные, основанием которых служит число Эйлера e (2,71828…).

26

Royal Society of London for Improving Natural Knowledge (Лондонское королевское общество по развитию знаний о природе) – одно из старейших в мире научных обществ, создано в 1660 г.

27

Tartaglia – «заика» (ит.).

28

«Великое искусство» (лат.). Полное название книги – Artis magnæ, sive De regulis algebraicis («Великое искусство, или О правилах алгебры»).

29

Строго говоря, комплексными называются числа, которые можно представить в виде a + bi, где a и b – вещественные числа, а i – мнимая единица.

30

Более точная формулировка этой теоремы такова: «Любой отличный от константы многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел». Вещественные числа считаются в этом контексте частным случаем комплексных (с нулевой мнимой частью).

31

В математической литературе чаще всего встречается название «комплексная плоскость».

32

Поль Пенлеве был премьер-министром Франции с 12 сентября по 13 ноября 1917 г. и с 17 апреля по 22 ноября 1925 г. Кроме этого, он в разное время побывал министром военно-воздушных сил, министром финансов, военным министром, министром просвещения и председателем палаты депутатов (нижней палаты парламента) Третьей республики.

33

Прибор Хюльсмайера назывался «телемобилоскоп» (Telemobiloskop).

34

1 «Фабрика основателей» (англ.).

35

2 Название компании образовано от англ. словосочетания last minute (последняя минута).

36

Компания и одноименная социальная сеть, деятельность которых в РФ запрещена. – Примеч. ред.

37

Ричард Брэнсон – основатель корпорации Virgin Group, первыми предприятиями которой были музыкальный магазин и фирма звукозаписи Virgin Records.

38

Потому что у английских существительных нет грамматического рода. Интересно отметить, что этот нюанс теряется и в самом известном русском переводе этого произведения, стихотворении «На севере диком стоит одиноко…» М. Ю. Лермонтова (1841), хотя в русском языке грамматический род вполне существует. Зато, например, в переводах Ф. И. Тютчева («На севере мрачном, на дикой скале…», 1827) и А. А. Фета («На севере кедр одинокий…», 1841) сосна заменена кедром – возможно, именно ради его мужского рода.

39

Книг с такими – или близкими – названиями существует несколько, но в данном случае речь, видимо, идет о книге Land Frank William. The Language of Mathematics. Ее первое издание вышло в 1960 г.

40

Цит. по: Галилей Г. Пробирных дел мастер / Пер. с ит. Ю. А. Данилова. М.: Наука, 1987.

41

Или двух, если год високосный.

42

Причем далеко не сразу: Декарт умер в 1650 г., а его родной город Ла-Э-ан-Турен (La Haye en Touraine) был переименован в Ла-Э-Декарт (La Haye-Descartes) в 1802 г., а в Декарт (Descartes) – только в 1967-м.

43

В письме к Бесселю от 14 марта 1824 г.; геодезические съемки он проводил в 1820–1822 гг.

44

Португальский мореплаватель Бартоломеу Диаш впервые обогнул мыс Доброй Надежды – южную оконечность Африки – и вышел в Индийский океан весной 1488 г. Однако до Индии первым дошел другой португалец, Васко да Гама, и было это лишь в 1498 г.

45

Неизвестно, был ли аль-Фергани персом или арабом. Он предположительно родился в Ферганской долине в нынешнем Узбекистане, а впоследствии жил в Багдаде (где работал в уже упоминавшемся «Доме мудрости») и Каире.

46

Соответственно 1480 и 2161 м.

47

Насколько известно, первый канал, соединявший Нил с Красным морем («Канал фараонов»), был построен еще во втором тысячелетии до нашей эры. Впоследствии его и другие каналы неоднократно восстанавливали или строили заново, в том числе при персидском царе Дарии I (VI–V вв. до н. э.), при египетском царе Птолемее II Филадельфе (III в. до н. э.), при римском императоре Траяне (I–II вв. н. э.) и после арабского завоевания Египта (VII в. н. э.). Остатки одного из этих каналов обнаружили в 1798 г. археологи, участвовавшие в египетской экспедиции Наполеона.

48

Впоследствии «Ньюпорт» несколько раз был перепродан и менял названия. В 1912 г. судно купил российский полярный исследователь Г. Л. Брусилов, давший ему название «Святая Анна». В конце лета того же года «Святая Анна» вышла в экспедицию по Северному морскому пути и пропала без вести в 1914 г. с 13 членами экипажа, включая самого Брусилова. Участники этой экспедиции послужили прототипами персонажей романа «Два капитана» В. Каверина.

49

В 1519–1522 гг.

50

То есть находится в первой или третьей четверти. На приведенной далее схеме Луна изображена в первой четверти (растущей).

51

Ныне пролив Дарданеллы, или Чанаккале.

52

То есть его катетов.

53

Английское слово foot и означает «ступня». Разумеется, в других языках эта единица измерения называлась по-другому – например, немецкое Fuß, французское pied, польское stopa и т. п.

54

Например, французское pouce, словацкое palec или голландское duim – от которого и происходит русское слово «дюйм». Английское же inch, как и слово ounce («унция»), происходит от латинского uncia, означающего двенадцатую часть.

55

Серединой эту точку можно назвать лишь условно: Родез почти в два раза дальше от Дюнкерка, чем от Барселоны.

56

Видимо, имеется в виду район Бель-Ассиз города Клермона.

57

Уиквесгик (Wecquaesgeek, правописание варьируется) – название одной из групп в составе индейского племени ваппингеров.

58

Соответственно cow path и elephant trail. В русском языке чаще встречается приблизительно того же смысла выражение «козья тропа».

59

Также известного математика и поэта Фаркаша Бойяи.

60

Около 4,8 км/ч.

61

Пер. с фр. М. Н. Розанова. Цит. по: Руссо Ж.-Ж. Исповедь // Библиотека всемирной литературы. М.: Эксмо, 2011.

62

После войны Мюррей издал записи, сделанные таким образом в лагере, в виде книги «Альпинизм в Шотландии» (Mountaneering in Scotland, 1947).

63

The Living Mountain – самое известное произведение Шеперд, книга воспоминаний, написанная в 1940-х гг., но опубликованная только в 1977-м.

64

Цит. с уточнениями по: Кавелти Дж. Г. Изучение литературных формул / Пер. с англ. Е. М. Лазаревой // Новое литературное обозрение. 1996. № 22. С. 33–64.

65

Боулдеринг (англ. bouldering, от boulder – «валун») – одна из дисциплин в спортивном скалолазании, восхождение по коротким и технически сложным трассам.

66

Фри-соло – одиночное восхождение в свободном стиле – без устанавливаемых на скале приспособлений, облегчающих подъем.

67

То есть метров на 60.

68

Социальная сеть, деятельность которой в РФ запрещена. – Примеч. ред.

69

Сейчас Ускюдар, район в азиатской части Стамбула.

70

Или круговой гистограммой.

71

Пер. с англ. А. А. Москательникова, не издан.

72

От др. – гр. λοξός – «косой», «наклонный» и δρόμος – «путь».

73

…а другим концом, разумеется, – к Южному.

74

Как и на нижнем.

75

Все четыре станции находятся в центральной части линии Пикадилли.

76

А также диаграммами связей или ассоциативными картами.

77

Обычно их называют структурными формулами.

78

Речь, разумеется, идет о валентности соответствующих атомов.

79

А также в разное время в Париже, Гейдельберге, Генте и Бонне.

80

Речь идет соответственно о бензойном альдегиде (C_7H_6O) и коричном альдегиде (C_9H_8O).

81

Watson J., Crick F. Molecular Structure of Nucleic Acids: A Structure for Deoxyribose Nucleic Acid. Nature 171, 737–738 (1953).

82

Точнее говоря, изображена реакция, в которой электрон (e–) и позитрон (e+) аннигилируют с образованием фотона (γ), из которого затем рождается новая электрон-позитронная пара.

83

Слово «глюон» образовано от англ. glue – «клей».

84

Изобретение сходных диаграмм приписывают и Леонарду Эйлеру, жившему на сто с лишним лет раньше Венна. Собственно говоря, сам Венн называл свои диаграммы эйлеровыми кругами (Eulerian Circles).

85

Oxfam (от Oxford Committee for Famine Relief – Оксфордский комитет помощи голодающим) – объединение благотворительных организаций, борющееся с бедностью и ее последствиями во всем мире.

86

Пер. с англ. Е. Шраги. Цит. по: Бергер Дж. Искусство видеть. СПб.: Клаудберри, 2012.

87

То есть скорость, необходимую для выхода на замкнутую околоземную орбиту, равную в данном случае 7,91 км/с. Вторая космическая скорость (для Земли – 11,2 км/с) позволяет выйти на орбиту параболическую, то есть незамкнутую и дающую возможность удалиться на сколь угодно большое расстояние от планеты. Для преодоления притяжения Солнца и выхода за пределы Солнечной системы необходимо набрать третью космическую скорость (16,65 км/с относительно Земли).

88

Точнее, gt^2/2, где g – ускорение свободного падения (прибл. 9,8 м/с^2).

89

Эйзенштейн был на 46 лет моложе Гаусса, но умер от туберкулеза на три года раньше его, в возрасте 29 лет.

90

Об этом обстоятельстве важно помнить в дальнейших выкладках: изгородь образует не замкнутый прямоугольник, а букву П, ограничивая три стороны участка – кроме той, которая обращена к морю.

91

Таково традиционное русское написание его фамилии (Wallis), устоявшееся, в частности, в математике, например в названии формулы Валлиса. Более точная транскрипция – Уоллис.

92

Название «Grand National» отсылает к одноименным барьерным скачкам, ежегодно проводящимся в Ливерпуле с 1839 г. (более распространенное русское название – Ливерпульский стипль-чез).

93

Автором этого афоризма, который Ньютон цитирует в письме к Гуку, обычно считают французского философа XI–XII вв. Бернара Шартрского.

94

«Сделай» (англ.).

95

Ready-made (англ. «готовое») – термин, которым дадаисты и сюрреалисты называли свои работы, созданные из нехудожественных объектов. К этому жанру относятся, например, знаменитые произведения Дюшана «Велосипедное колесо» и «Фонтан».

96

Это не вполне точно. Рекламный лозунг Whiskas гласил: «8 из 10 владельцев кошек сказали, что их кошки предпочитают этот корм». Более того, впоследствии он был изменен по требованию Комитета по стандартам рекламы на «8 из 10 владельцев кошек, высказавших предпочтение, сказали, что их кошки предпочитают этот корм». Однако искаженный вариант «8 из 10 кошек» стал расхожим выражением – в частности, так (8 Out of 10 Cats) называется популярная юмористическая телепередача.

97

1197 фунтов – 542,95 кг, 1198 фунтов – 543,4 кг, 1 фунт – 453,6 г.

98

В российском варианте игры приз составляет 3 млн рублей.

99

Это была лекция в формате TED Talk одного из авторов работы, Мариано Сигмана. См.: Navajas J., Niella T., Garbulsky G., Bahrami B. & Sigman M. (2018). Aggregated knowledge from a small number of debates outperforms the wisdom of large crowds. Nature Human Behaviour, 2 (2), 126–132.

100

Cardamone C. et al. (2009). Galaxy Zoo Green Peas: discovery of a class of compact extremely star-forming galaxies. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 399(3), 1191–1205.

101

Роджер Котс (1682–1716) и сам был выдающимся математиком. В частности, он тесно сотрудничал с Ньютоном (он редактировал второе издание «Начал») и открыл квадратурные формулы Ньютона – Котса и формулу Эйлера в логарифмическом виде, а также ввел в употребление радианную меру углов.

102

Около 290 км.

103

См.: Bennett C., Miller M. & Wolford G. (2009). Neural correlates of interspecies perspective taking in the post-mortem Atlantic Salmon: an argument for multiple comparisons correction. NeuroImage, 47. S125.

104

Здесь и далее цитаты из Пипса приводятся с небольшими уточнениями по: Пипс С. Домой, ужинать и в постель. Из дневника / Пер. с англ. А. Я. Ливерганта. М.: Текст, 2010.

105

Конкретные месяцы, разумеется, зависят от правил приема в школу, действующих в данной стране. Например, в России в первый класс принимаются дети в возрасте от 6,5 до 8 лет, а во Франции в первый класс начальной школы идут все дети, которым исполняется 6 лет в текущем календарном году.

106

Hop bet – «прыжковая ставка».

107

На колесе рулетки американского типа есть и еще одно «зеленое число» – двойное зеро (00).

108

Кроме поставивших на зеро.

109

При наличии двойного зеро ставка на красное выигрывает в 18, а проигрывает в 20 случаях из 38, и преимущество заведения оказывается почти в два раза больше: 2/38 ≈ 0,053, то есть 5,3 %.

110

Подробнее о системе Торпа и о том, как он применял ее в казино Невады, рассказывается в его книге Beat the Dealer (1966). Русское издание: Торп Э. Обыграй дилера: Победная стратегия игры в блэкджек / Пер. с англ. Д. А. Прокофьева. М.: КоЛибри, Азбука-Аттикус, 2017.

111

Этот труд был издан в 1713 г., уже после смерти Бернулли, скончавшегося в 1705 г.

112

Николай Бернулли был племянником Якоба и Иоганна. Его отец, тоже Николай, и опубликовал упомянутую выше книгу Якоба.

113

Даниил был сыном Иоганна Бернулли.

114

Эту задачу часто называют парадоксом Монти Холла по имени ведущего игры.

115

Стоит отметить, что Пипс, служивший в Адмиралтействе, также был членом Королевского общества и даже его президентом в 1684–1688 гг., именно в то время, когда были опубликованы «Начала» Ньютона.

116

В разработке этого прибора (который считается одним из первых носимых компьютеров – дело было в 1961 г.) и его испытаниях в казино участвовал вместе с Торпом создатель теории информации Клод Шеннон.

117

Река в то время тоже носила немецкое название – Прегель (Pregel).

118

Подробнее о концепции Тверски и Канемана можно прочитать, например, в книге Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases (1982). На русском языке: Канеман Д., Словик П., Тверски А. Принятие решений в неопределенности: Правила и предубеждения / Пер. с англ. Харьков: Гуманитарный центр, 2005.

119

Русское издание: Канеман Д. Думай медленно… решай быстро / Пер. с англ. А. Андреева, Ю. Деглиной и Н. Парфенова. М.: АСТ, 2014.

120

Официальное название этого моста – Юбилейный, т. к. он был открыт в 2005 г. к 750-летнему юбилею города. Кайзеровским (Kaiserbrücke) назывался бывший на его месте мост, построенный в 1905 г. и разрушенный во время войны.

121

Довольно часто встречается более дословный перевод английского названия этой концепции (six degrees of separation) – «шесть степеней разделения» (отчуждения и т. п.).

122

Watts D., Strogatz S. Collective dynamics of «small-world» networks. Nature, 393. 440–442 (1998).

123

Речь идет об эссе Берлина The Hedgehog and the Fox (1953). Русское издание: Берлин И. Еж и лисица // Подлинная цель познания. Избранные эссе / Пер. с англ. и комментарии В. В. Сапова. М.: Канон+, 2002.

124

Справочник назывался «Коммивояжер – каким он должен быть и что делать, чтобы получать заказы и быть уверенным в успехе своих предприятий» (Der Handlungsreisende wie er sein soll und was er zu thun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiß zu sein).

125

Этот список «важных классических задач, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», был опубликован в 2000 г. Математическим институтом Клэя. Из семи задач пока что решена только одна – задача о доказательстве гипотезы Пуанкаре, которое нашел в 2002 г. Г. Я. Перельман. Задача коммивояжера сама по себе не входит в список Задач тысячелетия, но в нем есть более общая проблема равенства классов сложности P и NP (о которых говорится ниже).

126

Речь, разумеется, идет о латинском алфавите. В кириллице насчитывается 33! таких способа.

127

В русском языке самая частотная буква – о (11 процентов), а вторая по частотности – е (8,5 процента).

128

От др. – греч. αἴνιγμα – «загадка».

129

По фамилиям создателей этого алгоритма – Rivest, Shamir и Adleman.

130

Пер. с лат. В. Б. Демьянова. Цит. по: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Издательство Академии наук СССР, 1959.

131

Arute F., Arya K., Babbush R. et al. (2019). Quantum supremacy using a programmable superconducting processor. Nature 574, 505–510.

132

Test tube (англ.) – «пробирка».

133

Их названия – соответственно аденин, тимин, цитозин и гуанин.

134

Точнее – число Авогадро 6,02214076 × 10^23.

135

По состоянию на 20 июля 2021 г. – уже 574 человека.

Content

Маркус дю Сотой
Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Отправление

Дальше, больше, быстрее

Предстоящее путешествие

Человек и машина

Добровольная работа

1 Шорткаты паттернов

Паттерны планетарные

Назовите следующее число

Паттерны городские

Паттерны обманчивые

Шорткат к хорошей памяти

Со ступеньки на ступеньку

Связи между шорткатами

Шорткат к шорткатам

Пит-стоп: Музыка

2 Шорткаты вычислительные

Шорткат к счету

Черная магия математики

Механические калькуляторы

Сквозь математическое зеркало

Борт BA 107… посадку разрешаю

Двоичное, и не только

Шорткат к шорткатам

Пит-стоп: Стартап

3 Шорткаты языковые

Математическая грамматика

Свет в темном лабиринте

В энный день Рождества

Словарь Декарта

Шорткат в гиперпространство

Победа в играх

Шорткат к шорткатам

Пит-стоп: Память

4 Шорткаты геометрические

Из пункта А в пункт Б

Вокруг света

Тригонометрия – шорткат к небесам

Измерение метра

От Лондона до Эдинбурга

Народная тропа

Геодезические

Шорткат к шорткатам

Пит-стоп: Путешествия

5 Шорткаты диаграмм

Диаграмма-роза

Картография

Отображение великого и малого

Диаграммы Венна

Шорткат к шорткатам

Пит-стоп: Экономика

6 Шорткаты дифференциальные

Текучая вселенная

По максимуму

Математика на стройке

Американские горки

Занимаются ли собаки матанализом?

Шорткат к шорткатам

Пит-стоп: Искусство

7 Шорткаты данных

8 из 10 кошек

Коллективный разум

Кто хочет стать ученым?

Машинное обучение

Сколько вам нужно данных, чтобы принять решение?

Шорткат к шорткатам

Пит-стоп: Психотерапия

8 Шорткаты вероятностные

Каковы же шансы?

Хитрый шорткат: рассмотрим обратный случай

Шорткат в казино

Плата за вход

Козы и машины

Преподобный Томас Байес

Пипс

Шорткат к шорткатам

Пит-стоп: Финансы

9 Шорткаты сетевые

Читайте Эйлера. Читайте Эйлера. Он всем нам учитель

Кёнигсбергские мосты

Человеческая эвристика

Шорткаты интернета

Шорткаты социальные

Мозг Гаусса

Решение головоломки

Шорткат к шорткатам

Пит-стоп: Нейробиология

10 Шорткаты невозможные

Что такое шорткат?

Шорткат к шорткатам

Иголки в стогах

Использование отсутствия шорткатов

Подозрительная простота

Квантовые шорткаты

Биологические компьютеры

Шорткат к шорткатам

Прибытие

Выражение благодарности

Примечания