Джордан Элленберг

Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Научный редактор Михаил Гельфанд

В тексте неоднократно упоминаются названия социальных сетей, принадлежащих Meta Platforms Inc., признанной экстремистской организацией на территории РФ.

Все права защищены.

Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

Copyright © 2021 by Jordan Ellenberg

© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2023

* * *

Обитателям пространства в целом и CJ и AB в частности

Введение. Каковы вещи на самом деле и как они выглядят

Я – математик, публично говорящий о математике. Это как будто снимает блокировку внутри людей, и они начинают делиться со мной историями, которые, я чувствую, уже давно (а может быть, и никогда) никому не рассказывали. И это истории о математике. Иногда они печальные: учитель математики втаптывает эго ребенка в грязь безо всякой причины – просто из низости. Иногда немного счастливее: переживание внезапного озарения в детской голове, к которому взрослые хотели бы вернуться, но так и не смогли. (На самом деле это тоже печально.)

Часто эти истории связаны с геометрией. Похоже, она выделяется в воспоминаниях о старшей школе, как странная высокая нота в припеве. Одни ненавидят ее, говоря, что именно после изучения геометрии математика утратила для них смысл. Другие утверждают, что геометрия – единственная часть математики, которая им понятна. Геометрия – это кинза математики. Мало кто к ней относится нейтрально.

Что же выделяет геометрию? Каким-то образом она первична и встроена в наши тела. С криком покинув материнскую утробу, мы тут же начинаем изучать окружающий мир, каков он на самом деле и как выглядит. Я не из тех людей, которые станут уверять, что все важное в вашей внутренней жизни восходит к потребностям живших в саванне косматых охотников-собирателей, однако вряд ли можно сомневаться в том, что эти люди должны были развить понимание форм, расстояний и мест, вероятно, еще до того, как у них появились слова для их названий. Когда южноамериканские шаманы[1] (и их неюжноамериканские подражатели) совершают свой ритуал, первое, что происходит (ну хорошо, первое, что происходит после неконтролируемой рвоты), – это восприятие чистых геометрических форм: повторяющиеся двумерные узоры вроде решеток в классической мечети или трехмерное изображение шестиугольных ячеек, собранных в колеблющиеся соты. Геометрия существует даже тогда, когда остальная часть нашего мыслящего разума отключена.

Скажу честно: сначала я был к геометрии равнодушен. Что, наверное, странно, если учесть, что сейчас я математик, а заниматься геометрией – моя непосредственная работа!

Все было иначе, когда я был членом школьной команды по математике. Команда называлась «Углы ада»[2], на турниры мы приходили в одинаковых черных футболках и обязательно приносили магнитофон, который играл песню Hip to Be Square[3] группы Huey Lewis and the News. При этом мои товарищи прекрасно знали, что у меня проблемы с задачками типа «показать, что угол APQ равен углу CDF» или что-то в этом роде. Это не значит, что я их вообще не решал! Я их решал, но самым громоздким из возможных способов, то есть вводил координаты для точек, а затем исписывал целые страницы алгебраическими вычислениями, находя площади треугольников и длины отрезков. Все что угодно – лишь бы не так, как принято в геометрии. Иногда я решал задачу правильно, иногда – неправильно. Но каждый раз решение было уродливым.

Если и существует такая вещь, как «геометричность по природе», то я – ее полная противоположность. Можете попробовать пройти с ребенком[4] геометрический тест. Вы показываете ему последовательно пары картинок: преимущественно одинаковой формы, но примерно в каждой третьей паре правая фигура перевернута. Дети гораздо дольше рассматривают перевернутые формы. Они осознают: что-то происходит; и их исследующие мир умы тянутся к новому. Дошкольники, дольше разглядывающие перевернутые фигуры, как правило, получают более высокие баллы и в тестах по математике на пространственное мышление. Они быстрее и точнее представляют себе формы и их внешний вид после поворотов или склеивания. Ну а я? У меня таких способностей практически нет. Знаете маленькую картинку на терминалах бензоколонок, которая показывает, как правильно ориентировать кредитную карту? Для меня она бесполезна. Перевести этот плоский рисунок в трехмерное действие – за пределами моих умственных способностей. Каждый раз мне приходится проверять все варианты – магнитная полоса вверху справа, магнитная полоса вверху слева, магнитная полоса внизу справа, магнитная полоса внизу слева, – пока терминал не согласится прочитать мою карту и продать мне немного бензина.

И все же в целом считается, что геометрия лежит в основе того, что требуется для реального понимания мира. Кэтрин Джонсон, математик из НАСА, ставшая широко известной после книги и фильма «Скрытые фигуры», описала свой успех в отделе летных исследований так: «Все парни имели степени[5] по математике, но забыли всю геометрию, которую знали… А я все еще ее помнила».

Могучее очарование

Уильям Вордсворт в длинной, во многом автобиографической поэме «Прелюдия, или Становление сознания поэта» рассказывает несколько неправдоподобную историю о жертве кораблекрушения – выброшенном на берег человеке, у которого не было ничего, кроме экземпляра «Начал» Евклида (книги с аксиомами и теоремами, положившей начало геометрии как предмету около двух с половиной тысяч лет назад). Это было удачей для потерпевшего кораблекрушение: несмотря на подавленность и голод, он утешался, пробираясь через рассуждения Евклида и вычерчивая рисунки палкой на песке. «Вот что значит быть молодым, чувствительным, поэтичным!» – пишет Вордсворт в зрелом возрасте. Или, говоря словами самого поэта:

…Огромна абстракций чистых власть

над тем умом, что сам в себе не властен

и влеком толпою образов…[6], [7]

(У шаманов аналогичный подход: ритуал перезагружает мозг и поднимает разум над мучительным лабиринтом, где, как ему кажется, он застрял.)

Самое странное в рассказе Вордсворта о геометрии и кораблекрушении то, что в основном он правдив. Поэт позаимствовал его из мемуаров Джона Ньютона – молодого помощника работорговца, который в 1745 году оказался на острове Плантейн у берегов Сьерра-Леоне; правда, не в результате кораблекрушения: его бросил там хозяин. Островок не был необитаемым: с ним жили африканцы, и его главной мучительницей была африканская женщина, контролировавшая распределение еды. «Важная персона в некоей собственной стране, – описывает ее Ньютон, а затем жалуется, поистине поразительно не улавливая сути дела: – Эта женщина (не знаю, по какой причине) с самого начала была настроена против меня».

Через несколько лет Ньютон едва не умирает в море, ударяется в религию, становится англиканским священником, пишет книгу «Великая благодать» (в которой предлагает изучать совсем другую книгу, если вы в депрессии), наконец отказывается от работорговли и превращается в активного участника движения за отмену рабства в Британской империи. Но вернемся на остров Плантейн. Да, у Ньютона была с собой единственная книга – издание Евклида в переводе Исаака Барроу, и в мрачные моменты жизни он прятался в ее абстрактном комфорте. «Так я часто глушил свои горести[8], – пишет он, – и почти забывал о своих переживаниях».

История о геометрии на песке не единственное заигрывание Вордсворта с этой темой. Томас де Квинси, современник Вордсворта, в своих воспоминаниях писал: «Вордсворт был большим поклонником[9] величавой математики, как минимум высшей геометрии. Секрет его преклонения перед геометрией лежал в антагонизме между этим миром бестелесной абстракции и миром страсти». В школе Вордсворт не преуспевал в математике[10], но завязал крепкую дружбу с молодым ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном; именно он, по мнению некоторых[11], и вдохновил Вордсворта на добавление к «Прелюдии» знаменитого описания Ньютона (Исаака, а не Джона): «Память о разуме гения, что в одиночку бороздит необозримый мысли океан».

Гамильтон с ранней юности был очарован[12] всеми видами академических знаний – математикой, древними языками, поэзией, – но его интерес к математике сильно подстегнула встреча с Зерой Колберном, американским мальчиком-вычислителем. Однажды небогатый фермер из Вермонта Абья Колберн обнаружил, что его шестилетний сын повторяет таблицу умножения, которой его не учили. У мальчика оказались невероятные способности к счету в уме, ничего подобного в Новой Англии до сих пор не видели. (Как и у всех мужчин в семье, у него было по шесть пальцев на руках и ногах.) Отец Зеры показывал сына различным местным сановникам, включая губернатора Массачусетса Элбриджа Герри (мы еще вернемся к нему в совершенно ином контексте), которые посоветовали отвезти мальчика в Европу, поскольку только там есть люди, способные понять и развить его выдающиеся способности. Колберны пересекли Атлантику в 1812 году, и Зера попеременно то учился, то за деньги демонстрировал свой талант по всей Европе. В Дублине он выступал вместе с гигантом-альбиносом и мисс Ханиуэлл – американкой, показывавшей чудеса ловкости с помощью пальцев ног. В 1818 году, когда ему было четырнадцать, он соревновался в вычислениях с Гамильтоном, своим ирландским подростком-аналогом, и с честью вышел[13] из этого состязания, хотя противник был силен. Однако Колберн не стал заниматься математикой: его интересовали исключительно вычисления в уме. Изучая Евклида, он нашел его легким, но «сухим и лишенным интереса». Когда два года спустя Гамильтон встретил вычислителя («Он потерял все признаки шестого пальца», – вспоминал Гамильтон; лондонский хирург удалил его[14]) и стал расспрашивать его о применяемых методах, то обнаружил, что Колберн слабо понимает причины[15] эффективности его арифметических методов. Бросив образование, он попробовал себя на английской сцене, не преуспел, вернулся в Вермонт и прожил остаток жизни проповедником.

Когда Гамильтон в 1827 году встретил Вордсворта, ему было всего 22 года, а он уже был профессором Дублинского университета и королевским астрономом Ирландии. Вордсворту было 57 лет. Гамильтон в письме сестре описывал эту встречу так: молодой математик и старый поэт совершили «долгую-долгую полночную прогулку[16], где больше не было ничего, кроме звезд и наших собственных горячих мыслей и слов». Судя по стилю, Гамильтон не совсем отказался от поэтических амбиций. Он начал посылать Вордсворту свои стихи, и поэт отзывался о них тепло, но критически. Вскоре Гамильтон все же отказался от поэзии, фактически сделав это в стихах, прямо обращаясь к музе в произведении под названием «К поэзии», которое послал Вордсворту. Затем, в 1831 году, он передумал, написал еще одно стихотворение под названием «К поэзии» и тоже отправил его Вордсворту. Ответ поэта – один из классических случаев вежливого «опускания с небес на землю»: «Вы шлете мне потоки стихов, которые я получаю с большим удовольствием, как и все мы; однако мы опасаемся, что это занятие может сбить вас с пути Науки, который вам, похоже, суждено пройти с огромной честью для себя и пользой для других».

Не все окружение Вордсворта ценило сочетание страсти и холодного странного одинокого разума так же, как он и Гамильтон. На званом обеде[17] в доме художника Бенджамина Роберта Хейдона в конце 1817 года друг Вордсворта Чарльз Лэм напился и начал дразнить Вордсворта, издеваясь над Ньютоном и называя ученого «человеком, который не верил ничему, если это не было настолько же ясно, как три стороны треугольника». Подключился к обвинениям и Джон Китс, заявив, что Ньютон лишил радугу романтики, показав, что призма дает тот же оптический эффект. Вордсворт смеялся, стиснув зубы и, вероятно, стараясь избежать ссоры.

В портрете Вордсворта, рисуемом де Квинси, рекламируется еще одна, пока не опубликованная математическая сцена из «Прелюдии». Оказывается, в те времена у стихов были трейлеры! Де Квинси с волнением обещает, что эта сцена, по его мнению, «достигает непревзойденной величественности». В ней Вордсворт засыпает, читая «Дон Кихота», и ему снится встреча с бедуином, едущим на верблюде через пустыню. В руке араба две книги, но, что характерно для сновидений, одна не просто книга, а одновременно и тяжелый камень, а вторая – сияющая морская раковина. (Через несколько страниц оказывается, что бедуин – это Дон Кихот.) Книга-раковина выдает апокалиптические пророчества, если поднести ее к уху. А книга-камень? Это все те же «Начала» Евклида, которые здесь предстают не как скромный инструмент самопомощи, а как средство связи с бесчувственным и неизменным космосом: книга «связала души чистейшими узами разума, пред коими бессильны и пространство, и время». Логично, что де Квинси был хорош в этой психоделической среде: будучи некогда юным дарованием, он потом пристрастился к настойке опия и описал свои головокружительные видения в «Исповеди англичанина, употребляющего опиум» – сенсационном бестселлере начала XIX века.

Представление Вордсворта о геометрии – типичный взгляд стороннего наблюдателя. Да, восхищение, но так восхищаются гимнастом на олимпиаде, выполняющим такие сальто и кульбиты, которые обычному человеку кажутся невозможными. Именно это вы видите в самом знаменитом стихотворении о геометрии – сонете 45 Эдны Сент-Винсент Миллей: «Один Евклид узрел нагую Красоту, лишь он один. И пусть умолкнут те, кто мелет всякий вздор о красоте»[18]. У Миллей Евклид – необычная, неземная фигура, которую в один «святой ужасный день» пронзил луч просветления, в отличие от всех нас, кому, по словам Миллей (и то, если повезет), посчастливится лишь услышать раздающийся вдалеке стук сандалий Красоты по камню.

По большому счету эта книга вовсе не о геометрии. Не поймите меня неправильно. Как математик, я получаю немало пользы от престижа геометрии. Приятно, когда люди считают твою работу таинственной, вечной и возвышающейся над обыденностью. «Как прошел день?» – «Святой и ужасный, как всегда».

Но чем сильнее вы отстаиваете эту точку зрения, тем больше склоняете людей рассматривать изучение геометрии как некую обязанность. И она приобретает легкий затхлый запах чего-то, чем восхищаются, потому что так принято. Типа оперы. Однако такого рода восхищения недостаточно для поддержания антрепризы. Написано множество новых опер, но можете ли вы их назвать? Нет: услышав слово «опера», вы, скорее всего, представляете в черно-белом цвете меццо-сопрано в мехах, во все горло орущую Пуччини.

В геометрии также много нового, но, подобно новой опере, это не так широко освещается, как хотелось бы. Геометрия – это уже давно не Евклид. Это не культурный реликт со шлейфом запаха школьного класса, а живой предмет, развивающийся сейчас быстрее, чем когда-либо ранее. В следующих главах мы познакомимся с новой геометрией распространения пандемии, путаными политическими процессами в США, шашками на профессиональном уровне, искусственным интеллектом, английским языком, финансами, физикой и даже поэзией. (Многие геометры втайне мечтали, подобно Уильяму Гамильтону, стать поэтами.)

Мы живем в динамично развивающемся, глобальном городе геометрии. Геометрия не где-то там, вне пространства и времени, а прямо здесь, с нами, смешанная с рассуждениями повседневной жизни. Она красива? Да, но она не нагая. Геометры видят Красоту в рабочей одежде.

Глава 1. «Я голосую за Евклида»

В 1864 году преподобный Дж. П. Гулливер из Норвича (Коннектикут) вспомнил разговор с Авраамом Линкольном о том, как президент приобрел свое знаменитое умение убеждать. По словам Линкольна, в основе навыка лежала геометрия[19].

Читая законы, я постоянно натыкался на слово доказать[20]. Сначала мне казалось, что я понимаю его значение, но вскоре убедился, что это не так, и обратился к словарю Уэбстера. Там говорилось о «бесспорном доказательстве» и о «доказательстве вне возможности сомнения», но я не мог уловить, о какого рода доказательстве идет речь. Я думал, что многие вещи были доказаны вне возможности сомнения без обращения к такому экстраординарному процессу рассуждений, каким я считаю доказательство. Я сверился со всеми словарями и справочниками, какие удалось найти, но безрезультатно. С аналогичным успехом вы могли бы объяснять слепому, что такое синий цвет. Наконец я сказал себе: «Линкольн, ты никогда не станешь юристом, если не поймешь, что значит “доказать”» – и ушел со службы в Спрингфилде, отправившись в родительский дом, где и оставался до тех пор, пока не научился мгновенно выдавать любые теоремы из первых шести книг Евклида. Так я выяснил, что означает доказать, и вернулся к изучению права.

Гулливер был полностью согласен, ответив: «Никто не может хорошо выступать, если не способен прежде определить для себя, о чем он говорит. Хорошее знание Евклида освободило бы мир от половины его бедствий, изгнав половину бессмыслицы, которая вводит его в заблуждение и причиняет мучения. Я часто думал, что “Начала” были бы одной из лучших книг для включения в каталог “Общества трактатов”[21], если бы только они могли заставить людей прочитать ее. Изучение Евклида стало бы средством благодати». Линкольн, по словам Гулливера, засмеялся и согласился: «Я голосую за Евклида».

Как и потерпевший кораблекрушение Джон Ньютон, Линкольн использовал Евклида в качестве источника утешения в тяжелые периоды жизни. В 1850-х годах, после одного срока в Палате представителей, он отошел от политической деятельности и занялся разъездной юридической практикой. На одной из предыдущих работ в качестве землемера он изучил основы геометрии и теперь стремился восполнить пробелы. Его юридический партнер Уильям Херндон, которому часто приходилось делить комнату с Линкольном в маленьких сельских гостиницах, где они останавливались во время разъездов, вспоминал методы учебы Линкольна так: «…Я уже засыпал, а Линкольн, свесив длинные ноги с кровати, засиживался допоздна с зажженной свечой, погрузившись в Евклида».

Однажды утром Херндон застал в конторе Линкольна в состоянии какого-то душевного смятения.

Он сидел за столом, разложив перед собой чистые листы бумаги, большие тяжелые листы, циркуль, линейку, многочисленные карандаши, несколько бутылочек с чернилами разных цветов и множество канцелярских и пишущих принадлежностей. Похоже, он сражался с вычислениями какой-то величины, поскольку вокруг валялись листы бумаги, исписанные кучей цифр. Он был так поглощен своим занятием, что даже не посмотрел на меня, когда я вошел.

Лишь позднее Линкольн наконец выбрался из-за стола и сказал Херндону, что пытался квадрировать круг. Иными словами, он пытался построить квадрат с той же площадью, что и у заданного круга, причем построить в надлежащем евклидовом стиле – с помощью всего двух инструментов: циркуля и линейки. По словам Херндона, Линкольн просидел над этой задачей два дня подряд «почти до изнеможения».

Мне говорили, что[22] так называемая квадратура круга практически невозможна, но тогда я об этом не знал. И сомневаюсь, что это знал Линкольн. Его попытка решить задачу закончилась неудачей; и мы в конторе, заподозрив, что он довольно чувствителен к этому, старались быть осмотрительными и о ней не упоминать.

Квадратура круга – это очень старая проблема, и я подозреваю, что Линкольн мог знать об ее устрашающей репутации; долгое время квадратура круга была метафорой для трудной или невыполнимой задачи. Данте упоминает о ней в «Раю»:

Как геометр, напрягший все старанья[23],

Чтобы измерить круг, схватить умом

Искомого не может основанья,

Таков был я… [24]

В Греции, где все это начиналось, для случая, когда кто-то пытается решить задачу сложнее, чем требуется, есть типичный раздраженный комментарий: «Я не просил вас квадрировать круг!»

Квадрировать круг незачем, единственная мотивация – сложность и известность проблемы. Люди с менталитетом победителя пытались справиться с нею с Античности до 1882 года, когда Фердинанд фон Линдеманн доказал, что решения не существует (но даже тогда некоторые твердолобые упрямцы продолжали упорствовать… впрочем, найдутся такие и сейчас). Политический философ XVII века Томас Гоббс, чью уверенность в собственных умственных способностях нельзя полностью отразить приставкой «сверх», считал, что справился с задачей. По словам его биографа Джона Обри, Гоббс наткнулся на геометрию в зрелом возрасте и совершенно случайно.

Оказавшись в библиотеке некоего джентльмена[25], он наткнулся на «Начала» Евклида, которые были открыты на теореме 47 книги I[26]. Он прочитал формулировку. «Черт побери! – воскликнул он (время от времени Гоббс сквернословил для выразительности). – Это невозможно!» Тогда он прочел доказательство, оно отсылало его к какой-то другой теореме; ее он тоже прочитал. И так постепенно убедился в истинности утверждения. Это заставило его полюбить геометрию.

Гоббс постоянно публиковал очередные способы доказательства и враждовал с крупнейшими британскими математиками того времени. Однажды какой-то корреспондент указал ему на то, что одно из его построений не совсем верно, поскольку точки P и Q, которые он считал совпадающими, на самом деле находились на немного разном расстоянии от третьей точки R: 41 и 41,012 соответственно. Гоббс возразил[27], что его точки достаточно велики, чтобы покрыть столь ничтожную разницу. Так он и отошел в мир иной в глубокой уверенности, что квадрировал круг[28].

Один анонимный комментатор, рецензировавший учебник по геометрии в 1833 году, дал настолько точное описание типичного «квадратурщика», что под него подойдет как Гоббс, живший двумя веками ранее, так и нынешние интеллектуально ущербные личности, по-прежнему корпящие над этой задачей в XXI веке.

Все, что они знают о геометрии[29], – так это то, что в ней есть вещи, которые те, кто изучал ее дольше всего, давно признали невыполнимыми. Услышав, что авторитет знания слишком сильно влияет на умы людей, они предлагают уравновесить его авторитетом невежества; и если случится так, что человек, знакомый с предметом, найдет себе занятие получше, чем выслушивать, как они делятся скрытыми истинами, то он тут же именуется слепым фанатиком, душителем света истины и так далее.

В Линкольне мы находим более привлекательную личность: достаточно амбиций, чтобы попытаться, и достаточно смирения, чтобы признать поражение.

Что Линкольн позаимствовал у Евклида – так это идею, что при известной осторожности вы сможете возвести высокое прочное здание убеждений и согласия с помощью строгих дедуктивных шагов, этаж за этажом, на фундаменте аксиом, в которых никто не может усомниться, или, если хотите, истин, которые кажутся самоочевидными. Тот, кто не считает их таковыми, исключается из дискуссии. Я слышу отголоски Евклида в самом знаменитом выступлении Линкольна – Геттисбергской речи, где он говорит, что Соединенные Штаты убеждены в истинности утверждения, что все люди рождены равными. Слово утверждение (proposition)[30] – это термин, используемый Евклидом для высказываний, логически вытекающих из самоочевидных аксиом, которые просто нельзя рационально отрицать.

Линкольн не первый американец, искавший основы демократической политики в терминологии Евклида; раньше это делал любивший математику Томас Джефферсон. Линкольн отмечал в письме, прочитанном в Бостоне в 1859 году на торжественной церемонии в память о Джефферсоне, где он не смог присутствовать:

Можно с уверенностью утверждать[31], что человек может убедить любого здравомыслящего ребенка в том, что простые утверждения Евклида истинны; но тем не менее в итоге он потерпит неудачу с тем, кто будет отрицать определения и аксиомы. Принципы Джефферсона – это определения и аксиомы свободного общества.

В юности Джефферсон изучал Евклида в колледже Вильгельма и Марии и с тех пор высоко ценил геометрию[32]. Уже будучи вице-президентом, Джефферсон нашел время, чтобы ответить на письмо учащегося из Вирджинии о предполагаемом плане академического обучения, где пишет: «Тригонометрия в известном смысле имеет наибольшую ценность для каждого человека, и едва ли найдется день, когда он не станет прибегать к ней для каких-нибудь надобностей повседневной жизни (хотя большую часть высшей математики он описывает так: “Всего лишь роскошь[33], действительно восхитительная роскошь; не для тех, кому приходится иметь занятие ради пропитания”)». В 1812 году, уйдя из политики, Джефферсон писал своему предшественнику на посту президента Джону Адамсу:

Я отказался от газет в обмен на Тацита и Фукидида, Ньютона и Евклида и чувствую себя гораздо счастливее[34].

Здесь мы видим реальную разницу между двумя президентами-геометрами. Для Джефферсона Евклид был частью классического образования, необходимого для культурного джентльмена наряду с греческими историками и учеными эпохи Просвещения. Однако с Линкольном – самоучкой, выросшим на ферме, – ситуация обстояла иначе. Вот как преподобный Гулливер описывает Линкольна, вспоминающего свое детство:

Припоминаю, как уходил в свою маленькую спальню после того, как слышал вечерние разговоры соседей с моим отцом, и немалую часть ночи расхаживал взад и вперед, пытаясь понять точный смысл некоторых, на мой взгляд, мрачных фраз. Когда я преследовал какую-то идею, я не мог заснуть, хотя часто пытался, пока не ловил ее; а когда я считал, что поймал, то не удовлетворялся этим, а повторял ее снова и снова, пока не выражал на языке, достаточно ясном, как мне казалось, для любого знакомого мне мальчишки. Это была своего рода страсть, и она осталась со мной, поскольку мне всегда нелегко справиться с какой-то мыслью, пока я не ограничу ее с севера, юга, запада и востока. Возможно, этим объясняются те характерные особенности, которые вы наблюдаете в моих выступлениях.

Это не геометрия, но это взгляды геометра. Вы не оставляете вещи понятыми наполовину, а точно формулируете свои мысли и следите за ходом своих рассуждений точно так же, как Гоббс с изумлением следил за Евклидом. Линкольн считал такого рода систематическое самовосприятие единственным выходом из сумятицы и темноты.

Для Линкольна, в отличие от Джефферсона[35], стиль Евклида – вовсе не то, что пристойно джентльмену или профессору с академическим образованием, поскольку Линкольн не был ни тем ни другим. Это бревенчатая хижина разума, построенная вручную. Если построить ее правильно, она выдержит любые испытания. И она может принадлежать кому угодно в стране, задуманной Линкольном.

ЗАСТЫВШАЯ ФОРМАЛИСТИКА

Представление Линкольна о геометрии для американских масс, как и многие другие его хорошие идеи, было реализовано лишь частично. К середине XIX века геометрия переместилась из колледжей в старшие классы школ, однако в типичном курсе Евклид стал чем-то вроде музейного экспоната: его доказательства следовало запомнить, воспроизвести и в какой-то степени оценить. О том, как кто-то их придумал, не было и речи. Сам создатель доказательств практически исчез: один писатель того времени заметил, что «многие молодые люди[36] читают шесть книг “Начал”, прежде чем случайно узнают, что Евклид – это не название предмета, а имя человека, который о нем написал». Таков парадокс образования: то, чем мы больше всего восхищаемся, мы укладываем в коробочку и засовываем ее в ящик.

Честно говоря, об историческом Евклиде сказать почти нечего, поскольку нам о нем практически ничего и не известно. Он жил и работал в большом городе Александрия в Северной Африке примерно за 300 лет до нашей эры. И это все, что мы знаем. Его «Начала» – это собрание знаний по геометрии греческих математиков того времени; на десерт в конце книги добавлены основы теории чисел. Значительная часть материала была известна математикам еще до Евклида, но радикально новым и революционным шагом стала организация этого массива знаний. Из небольшого количества аксиом, в которых почти невозможно сомневаться[37], шаг за шагом выводится весь аппарат теорем о треугольниках, прямых, углах и окружностях. До Евклида – если это и правда был Евклид, а не целый коллектив геометров из Александрии, творивший под этим псевдонимом, – такую структуру было невозможно представить. Зато впоследствии она стала моделью для всего замечательного в знании и мышлении.

Конечно, существует и другой способ преподавать геометрию, который делает упор на изобретательность и пытается поместить учащегося в кресло Евклидова пилота, чтобы тот мог самостоятельно создавать определения и смотреть, что из них получится. Один из таких учебников, «Изобретательная геометрия», исходит из предпосылки, что «единственное настоящее образование – это самообразование». Не смотрите на конструкции других людей, советует книга, «по крайней мере пока не откроете собственную конструкцию», – и вы не будете беспокоиться и сравнивать себя с другими учениками: все занимаются в собственном темпе, и вы с большей вероятностью усвоите материал, если вам нравится им заниматься. Сама книга – всего лишь последовательность из 446 головоломок и задач. Одни достаточно просты: «Можете ли вы нарисовать три угла двумя прямыми линиями? А четыре угла двумя прямыми линиями?» У других, как предупреждают авторы, на самом деле не может быть решения, и вы оказываетесь в положении настоящего ученого[38]. А третьи, как и самый первый из вопросов, и вовсе не имеют четкого «правильного ответа»: «Поставьте куб[39] на стол гранью к себе и скажите, что вы считаете толщиной, что – шириной, а что – длиной»[40]. В целом это всего лишь своего рода «ориентированный на ребенка» исследовательский подход, который высмеивают традиционалисты, считая несоответствующим современному образованию. Книга вышла в 1860 году.

Несколько лет назад в математической библиотеке Висконсинского университета появилась огромная коллекция старых учебников, по которым учились школьники штата последние сто или около того лет[41], но в итоге от них отказались в пользу более новых вариантов. Глядя на эти потрепанные книги, понимаешь: все споры об образовании уже разворачивались не раз. Все, что мы считаем новым и странным (например, книги наподобие «Изобретательной геометрии», где учеников просят самостоятельно придумывать доказательства; математические книги, делающие задачи «актуальными», связывая их с повседневной жизнью школьников; книги по математике, способствующие продвижению общественных движений), на самом деле старо, в свое время тоже считалось странным и, несомненно, снова станет новым и странным в будущем.

Во введении в «Изобретательную геометрию» говорится, что геометрия имеет «место в образовании всех людей, не исключая женщин»: автор книги, Уильям Джордж Спенсер, – один из первых поборников совместного обучения. Более типичное отношение к женщинам и геометрии в XIX веке отражено (но не одобряется) в романе «Мельница на Флоссе» Джорджа Элиота[42], опубликованном в том же году, что и учебник Спенсера. «Девчонки не могут понять Евклида, правда, сэр?» – спрашивает один из персонажей учителя Стеллинга, на что тот отвечает: «У них иногда неплохие способности, но знания их неглубоки, они ничего не могут постичь до конца. Они смышленые, но поверхностные»[43]. Стеллинг представляет в сатирической форме тот традиционный образ британской педагогики, против которого восставал Спенсер: долгий марш через запоминание авторитетов, при котором медленный и тяжелый строительный процесс понимания не просто игнорируют, его остерегаются. «Мистер Стеллинг был не из тех, кто станет ослаблять и изнеживать ум своего питомца, прибегая к упрощениям и объяснениям»[44]. Евклид был своего рода тонизирующим средством для укрепления мужественности, и его приходилось терпеть, как крепкий напиток или ледяной душ.

Недовольство стеллингизмом стало нарастать даже в верхах математических кругов. Британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр, о геометрии и алгебре (а также отвращении к отупляющей мертвенности британской академической науки) которого мы еще поговорим, считал, что Евклида нужно спрятать «подальше от школьников», а геометрию преподавать в связке с физикой, делая акцент на геометрию движения, дополняющую статические формы Евклида. «Именно живого интереса[45] к предмету, – писал Сильвестр, – так не хватает нашим традиционным средневековым методам преподавания. Во Франции, Германии и Италии – везде, где я был на континенте, – разум воздействует непосредственно на разум: тем способом, который неизвестен застывшей формалистике наших академических учреждений».

СМОТРИ!

Мы уже не заставляем школьников заучивать и повторять наизусть Евклида. В конце XIX века в учебники стали включать упражнения, в которых ученикам предлагалось строить собственные доказательства геометрических утверждений. В 1893 году эти перемены узаконил сформированный в 1892-м Комитет десяти, возглавляемый президентом Гарварда Чарльзом Элиотом. Комитету было поручено рационализировать и стандартизировать обучение в американских средних школах. По его утверждению, задача геометрии в школе – прививать ученикам навыки строгого дедуктивного мышления. Эта идея прижилась. В ходе опроса пятисот американских учителей об их задачах в преподавании геометрии, проведенного в 1950 году[46], самым популярным был ответ: «Развить навыки ясного мышления и точного выражения», который почти вдвое превысил вариант: «Дать знание фактов и принципов геометрии». Иными словами, мы здесь не для того, чтобы пичкать учеников всеми известными фактами о треугольниках, а для того, чтобы развивать в них умственную дисциплину, позволяющую добывать эти факты из первоначальных принципов. Школа для маленьких Линкольнов.

А для чего нужна эта умственная дисциплина? Может быть, на случай, если в какой-то момент будущей жизни им понадобится окончательно и неопровержимо доказать, что сумма внешних углов многоугольника равна 360 градусам? Я все жду, когда же это произойдет, но пока безрезультатно.

Основная причина обучения детей формулированию доказательств вовсе не в том, что мир полон доказательств, а в том, что мир полон недоказательств, и взрослым людям нужно знать разницу. Трудно согласиться с недоказательством, если вы реально знакомы с подлинником.

Линкольн понимал эту разницу. Его друг и коллега-юрист Генри Клей Уитни вспоминал: «Много раз я видел[47], как он срывает маску с заблуждения и стыдит как заблуждение, так и его автора». Мы постоянно встречаемся с недоказательствами, рядящимися в одежду доказательств, и без должного внимания с нашей стороны они часто обходят нашу защиту. Существуют подсказки, которые вы можете высматривать. Когда в математике какой-то автор начинает фразу со слов «Очевидно, что», на самом деле он говорит: «Мне это кажется очевидным. Вероятно, следовало бы это проверить, но я немного запутался в процессе и потому решил просто заявить, что это очевидно». У газетных аналитиков аналогичная фраза начинается со слов: «Конечно, все мы согласны с тем, что». Всякий раз, сталкиваясь с подобным, вы ни в коем случае не должны верить, что все согласны с дальнейшим. Вас просят трактовать нечто как аксиому, но если мы что-то и обязаны выучить из истории геометрии, так это то, что нельзя включать аксиому в свою книгу, пока она не доказала свою реальную ценность.

Всегда скептично относитесь к любому, кто говорит, что он «просто логичен». Если вам рассказывают не о равенстве треугольников, а об экономической политике, или о каком-то недостойно себя ведущем культурном деятеле, или об уступке, которую от вас хотят, то тут нет ничего «просто логичного», поскольку все происходит в контексте, где логические выводы – если они вообще применимы – неотделимы от всего остального. От вас хотят, чтобы вы ошибочно приняли цепочку уверенно выраженных мнений за доказательство. Но как только вы ощутите резкий щелчок настоящего доказательства, вы уже никогда не угодите в эту ловушку. Предложите своему «логичному» оппоненту заняться квадратурой круга.

По словам Уитни, Линкольн выделялся вовсе не сверхмощным интеллектом. Многие общественные деятели очень умны, но среди них есть и хорошие, и плохие люди, с сожалением отмечает Уитни. Линкольна же отличало то, что для него «было морально невозможно[48] спорить нечестно; он не мог этого делать по определению, как не мог красть; по сути, для него было одно и то же – лишить человека собственности путем кражи или путем нелогичных или отвратительных рассуждений». То, что Линкольн позаимствовал у Евклида (или то, что уже имелось у Линкольна и гармонировало с тем, что он нашел у Евклида), – это целостность: принцип, что нельзя говорить какие-то вещи, пока ты честно не обосновал свое право их обсуждать. Геометрия – это форма честности. Линкольна можно назвать Геометрическим Эйбом[49].

Единственное, в чем я расхожусь с Линкольном, – что он стыдит автора за заблуждения. Труднее всего быть честным с самим собой, и требуется гораздо больше времени и усилий на разоблачение собственных ошибок. Нужно всегда относиться к своим убеждениям, как к расшатанному зубу, то есть к зубу, в крепости которого вы не совсем уверены. И если что-то вызывает сомнения, не стоит стыдиться; просто спокойно отступите на твердую почву и заново переосмыслите проблемное понятие.

Именно этому в идеале должна научить нас геометрия. Однако «застывшая формалистика», на которую жаловался Сильвестр, от этого ой как далека. На практике урок геометрии, который мы преподаем детям, по словам художника, педагога и популяризатора математики Бена Орлина, обычно таков:

Доказательство – это непонятная демонстрация уже известного вам факта[50].

Орлин приводит пример такого доказательства для теоремы о равенстве прямых углов, то есть утверждения, что любые два прямых угла равны. Что можно спросить у девятиклассника, столкнувшегося с этим утверждением? Типичный формат[51] – доказательство в два столбца, главная опора геометрического образования в течение более чем ста лет. В нашем случае оно выглядело бы примерно так:

«Транзитивность равенства» – одно из общих понятий Евклида, это арифметический принцип, который он излагает в начале своего труда наряду с геометрическими аксиомами. Принцип таков: две вещи, равные третьей, равны между собой[52].

Не стану отрицать, что есть определенное удовлетворение в сведении всего к таким крошечным, точным шагам. Они так убедительно складываются вместе, словно детальки лего! И подобное ощущение учителю действительно хочется передать.

Но все же… разве не очевидно, что два прямых угла – это одна и та же вещь, просто расположенная на странице в разных местах с разной ориентацией? На самом деле Евклид считал равенство прямых углов четвертой из аксиом – основных правил игры, которые принимаются как истинные без доказательства и из которых вытекает все остальное. Так почему современная школа требует от учеников предъявлять доказательство этого факта, если даже Евклид сказал: «Да ладно, это очевидно»? Потому что существует много разных наборов аксиом, из которых можно вывести геометрию на плоскости, и поступать в точности так, как Евклид, больше не считается самым строгим или педагогически выигрышным приемом. В 1899 году Давид Гильберт переписал всю аксиоматику с нуля, а аксиомы современной американской школы обычно следуют системе Джорджа Биркгофа 1932 года.

Аксиома это или нет, но тот факт, что два прямых угла равны, ученик просто знает. Вы не можете винить школьников в том, что они разочаруются, когда вы им скажете: «Вы думали, что знаете это, но на самом деле не знали, пока не выполнили все шаги в доказательстве в два столбца». Даже несколько обидно!

Слишком многое на уроках геометрии посвящено доказательству очевидных вещей. Я хорошо помню занятия топологией на первом курсе колледжа. Профессор, весьма выдающийся почтенный ученый, потратил две недели на доказательство следующего факта: если вы проведете на плоскости замкнутую кривую без самопересечений, то, какой бы извилистой и причудливой она ни была, она разделит плоскость на две части: одна внутри, а вторая – снаружи кривой.

С одной стороны, как оказалось, весьма сложно написать формальное доказательство этого факта, известного как теорема Жордана о замкнутых кривых. С другой – эти две недели я провел в состоянии едва сдерживаемого раздражения. Неужели в этом и заключается математика? Делать очевидное трудоемким? Читатель, я просто отключался, так же как и мои однокурсники, среди которых были будущие математики и другие ученые. Парочка, сидевшая передо мной, – весьма серьезные студенты, которые впоследствии получат степени по математике в лучших университетах, – начинала энергично обниматься всякий раз, когда выдающийся почтенный ученый поворачивался к доске, чтобы записать очередной тонкий аргумент о небольшом видоизменении многоугольника. Я имею в виду, что они реально заводились, как будто их подростковая страсть друг к другу могла каким-то образом перенести их в другую часть континуума, где такого доказательства еще нет.

Столь высококвалифицированный математик, каким я стал сейчас, мог бы, слегка выпрямившись, сказать: «Ну, молодые люди, вы просто недостаточно искушены, чтобы понимать, какие утверждения действительно очевидны, а какие скрывают в себе тонкости». Возможно, я упомянул бы пугающую рогатую сферу Александера[53], которая показывает, что аналогичный вопрос в трехмерном пространстве вовсе не так прост, как можно подумать[54].

Однако с педагогической точки зрения такой ответ, на мой взгляд, довольно плох. Если в классе мы будем тратить время на доказательство вещей, которые кажутся очевидными, и настаивать на том, что они неочевидны, наши ученики будут кипеть от возмущения, как когда-то я, или найдут себе занятия поинтереснее, когда преподаватель отвернется.

Мне нравится, как мастер преподавания Бен Блюм-Смит описывает эту проблему: чтобы учащиеся действительно ощутили огонь математики, им надо испытать градиент уверенности[55], [56] – ощущение перехода от чего-то очевидного к чему-то неочевидному, подталкиваемое вверх двигателем формальной логики. В противном случае мы говорим: «Вот список аксиом, которые выглядят совершенно правильными; складывайте их, пока не получите другое утверждение, которое выглядит совершенно правильным». Это все равно что обучать кого-нибудь лего, показав, что из двух маленьких кирпичиков можно сделать один большой. Вы можете это сделать, а иногда вам действительно нужно это сделать, но суть лего, конечно, не в этом.

Вероятно, лучше самому почувствовать градиент уверенности, чем говорить о нем. Для этого подумайте на миг о прямоугольном треугольнике.

Начнем с интуитивного ощущения: если горизонтальная и вертикальная стороны определены, то известна и диагональ. Если вы пройдете 3 километра на юг, а потом 4 километра на восток, то однозначно удалитесь от исходной точки на какое-то конкретное расстояние.

Но на какое? Для этого нужна теорема Пифагора – первая реальная теорема геометрии. Она говорит, что если a и b – горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольного треугольника, а c – диагональ (так называемая гипотенуза), то

a^2 + b^2 = c^2.

Если a = 3, а b = 4, то c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. Мы знаем, какое число при возведении в квадрат дает 25: это число 5. Оно и есть длина гипотенузы.

Почему эта формула верна? Вы можете начать подниматься по градиенту уверенности, нарисовав треугольник со сторонами 3 и 4 и измерив его гипотенузу, она будет близкой к 5. Затем нарисуйте треугольник со сторонами 1 и 3 и измерьте его гипотенузу; если вы обращались с линейкой достаточно внимательно, то получите что-то близкое к числу 3,16, которое при возведении в квадрат дает 1 + 9 = 10. Благодаря этим примерам уверенность увеличится, но это еще не доказательство. А вот это уже оно:

Большой квадрат на обоих рисунках одинаков, но разбит на части двумя разными способами. На первом чертеже четыре копии нашего прямоугольного треугольника и квадрат со стороной c. На втором – тоже четыре копии, но иначе расположенные: остаток квадрата теперь занимают два меньших квадрата со сторонами a и b. Площадь, которая остается в большом квадрате после убирания четырех треугольников, должна быть одинаковой в обоих случаях, а значит, c^2 (площадь, оставшаяся на первом чертеже) будет равна a^2 + b^2 (площадь, оставшаяся на втором чертеже).

При желании придраться можно пожаловаться на нестрогое доказательство того, что на первом рисунке квадрат (того, что длина сторон этой фигуры одинакова, недостаточно: сожмите пальцами противоположные углы квадрата – и получите фигуру под названием ромб: это явно не квадрат, но стороны по-прежнему равны). Но пусть так. До ознакомления с этой иллюстрацией у вас нет оснований считать, что теорема Пифагора верна, но, увидев ее, вы поймете, почему теорема верна. Подобные доказательства, когда геометрическая фигура разрезается на части, которые потом переставляются, называются доказательствами разрезания и ценятся за ясность и изобретательность. Математик и астроном XII века Бхаскара[57] показывает такую форму доказательства теоремы и находит изображение настолько убедительным, что для него не требуется словесное пояснение, просто подпись в виде одного слова «Смотри!»[58]. Любитель-математик Генри Перигал в 1830 году придумал собственное доказательство разрезанием, когда пытался, подобно Линкольну, квадрировать круг; он настолько высоко ценил свою схему[59], что спустя почти шестьдесят лет завещал вырезать ее на своем надгробии.

ЧЕРЕЗ МОСТ ОСЛОВ

Нам нужно знать, как решать геометрические задачи чисто формальными выводами, однако геометрия – это не просто последовательность чисто формальных выводов. Если бы это было так, то это был бы не лучший способ научить искусству систематических рассуждений в сравнении с тысячей других вещей. Мы могли бы объяснять шахматные задачи или судоку. Или создать систему аксиом, вообще не имеющую никакого отношения к какой-либо области человеческой деятельности, и заставлять учащихся выводить из нее следствия. Но вместо всего этого мы преподаем геометрию, поскольку она – формальная система, которая не просто формальная система. Она встроена в наши представления о пространстве, положении и движении. Мы не можем не быть геометрическими. Иными словами, у нас есть интуиция.

В эссе 1905 года геометр Анри Пуанкаре определил интуицию и логику как два незаменимых столпа математического мышления. Каждый математик склонен к той или иной стороне, и, как отмечает Пуанкаре, нам свойственно именовать геометрами тех, кто сильнее предрасположен к интуитивному мышлению. Нам нужны оба столпа. Без логики мы не могли бы ничего сказать о 1000-угольнике – объекте, который нам не представить ни в каком разумном смысле. Но без интуиции предмет теряет всю свою привлекательность. Пуанкаре объясняет, что Евклид – это мертвая губка:

Вы, несомненно, видели[60] те тонкие структуры кремниевых игл, которые формируют скелет некоторых губок. Когда органическая материя исчезает, остается только хрупкое и изящное кружево. Правда, там нет ничего, кроме оксида кремния, но интересна именно та форма, которую он принял, и мы не могли бы ее понять, если бы не знали живой губки, которая и придала ему такую форму. Именно так и старые интуитивные представления наших отцов – даже тогда, когда мы отказались от них, – все еще придают форму логическим построениям, которые пришли им на смену.

Каким-то образом нам нужно научить людей делать выводы, не отрицая наличия интуитивных способностей – той самой живой ткани губки. И все же мы не хотим, чтобы нами управляла исключительно интуиция. Здесь поучительна история постулата о параллельных. Евклид включил его в список аксиом: «Если дана прямая L и точка P вне ее, то через точку P можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой L»[61].

Это сложно и громоздко по сравнению с другими аксиомами, которые выглядят изящнее, например: «Через любые две точки можно провести прямую». Математикам казалось, что было бы лучше, если бы получилось вывести пятую аксиому из четырех других, которые считались более базовыми.

Но зачем? Ведь наша интуиция громко кричит, что пятая аксиома верна. Что может быть бесполезнее, чем пытаться это доказать? Это все равно что спрашивать, можем ли мы доказать, что 2 + 2 = 4. Мы это знаем!

И все же математики упорствовали, раз за разом безуспешно пытаясь показать, что пятая аксиома выводится из остальных. В итоге оказалось, что усилия изначально были обречены на неудачу, потому что существуют и другие геометрии, в которых прямая, точка и плоскость означают вовсе не то, что подразумевал под этими словами Евклид (и, вероятно, вы), однако они удовлетворяют первым четырем аксиомам, но не удовлетворяют пятой. В некоторых из этих геометрий через точку P проходило бесконечно много прямых, параллельных прямой L. В других не было ни одной такой прямой.

Нет ли тут обмана? Мы же не спрашиваем о каких-то геометрических сущностях других странных миров, которые извращенно называем прямыми. Мы говорим о настоящих прямых, для которых пятый постулат Евклида, безусловно, верен.

Да, конечно, вы можете пойти этим путем. Но, поступая таким образом, сознательно закроете себе доступ к целому миру геометрий просто потому, что это не та геометрия, к которой вы привыкли. Неевклидова геометрия – фундамент для обширных областей математики, включая и ту, что описывает физическое пространство, в котором мы реально живем. (Мы вернемся к этому вопросу через несколько страниц.) Мы могли бы отказаться открывать ее на основании своего жесткого евклидова пуризма. Но это была бы наша потеря.

Вот еще один пример, требующий нахождения баланса между формальной логикой и интуицией. Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник, то есть его стороны AB и AC равны. Теорема: углы B и C тоже равны.

Это утверждение иногда называют pons asinorum, то есть мост ослов, потому что это штука, через которую почти всех нас нужно осторожно провести. Здесь доказательство Евклида поважнее, чем вышеописанная ситуация с прямыми углами. Мы сразу оказываемся in medias res[62], хотя в школе подходили к мосту ослов только после нескольких недель подготовки. Поэтому примем как данность Предложение 4 книги I Евклида, где говорится, что если вы знаете две стороны треугольника и угол между ними, то можете найти длину третьей стороны и два оставшихся угла. Иными словами, если я нарисую так:

то существует только один способ восстановить оставшуюся часть треугольника. Другой способ сказать то же самое: если у двух треугольников равны две пары сторон и углы между ними, то у них равны все углы и все стороны, то есть, как говорят геометры, треугольники равны, или конгруэнтны.

Мы уже обращались к этому факту, когда угол между двумя сторонами был прямым, но я думаю, что и в случае произвольного угла это кажется столь же понятным.

(Кстати, справедливо и следующее: если три стороны двух треугольников равны, то и треугольники равны; например, если длины сторон 3, 4 и 5 равны, то треугольник должен быть прямоугольным, как я нарисовал выше. Однако это менее очевидно, что Евклид и доказал несколько позднее: Предложение I.8. Если вам кажется, что это очевидно, подумайте о четырехугольнике: вспомните ромб, с которым мы недавно встречались, – у него такие же стороны, как у квадрата, но он же не квадрат.)

А теперь перейдем к pons asinorum. Доказательство в два столбца может выглядеть так:

[63]

Да, мы посреди доказательства, но у нас новая точка и новый отрезок AD, так что лучше обновить чертеж! Кстати, вспомните, что, по нашему предположению, треугольник равнобедренный, поэтому длина AB и AC одинакова; сейчас мы это используем.

QED[64].

Это доказательство посерьезнее, чем то, что мы видели, поскольку тут вам действительно приходится что-то делать: вы проводите новую линию L и придумываете название D для точки, где L пересекает BC. Это позволяет вам воспринять точки B и C как углы двух новых треугольников ABD и ABC, которые, как мы продемонстрируем далее, равны.

Однако существует и более хитрый способ, изложенный примерно через шестьсот лет после Евклида Паппом Александрийским, еще одним геометром из Северной Африки, в трактате Συναγωγή («Математическое собрание»). (Слово «синагога» означает «собрание», и в античном мире оно могло обозначать собрание математических предложений, а вовсе не собрание евреев на молитву.)

Погодите, что произошло? Казалось бы, мы ничего не делали, а нужное заключение появилось просто из ниоткуда, как кролик, выпрыгивающий при отсутствии шляпы. Это создает определенное беспокойство. Это не то, что понравилось бы Евклиду. Но так или иначе, на мой взгляд, это верное доказательство.

Ключ к идее Паппа – предпоследняя строка: треугольники BAC и CAB конгруэнтны. Кажется, что это просто утверждение о равенстве треугольника самому себе, которое выглядит тривиальным. Но присмотритесь более внимательно.

Что на самом деле мы имеем в виду, говоря, что два разных треугольника PQR и DEF конгруэнтны?

А вот что! Мы утверждаем сразу шесть вещей: длина PQ равна длине DE, длина PR равна длине DF, длина QR равна длине EF, угол P равен углу D, угол Q равен углу E, угол R равен углу F.

Конгруэнтен ли треугольник PQR треугольнику DFE? Нет, потому что на рисунке длина стороны PQ не равна длине соответствующей стороны DF.

Если мы серьезно воспринимаем определение конгруэнтности (а для нас, геометров, принимать определения всерьез – в некотором роде фирменная фишка), то треугольники DEF и DFE не конгруэнтны, несмотря на то что это один и тот же треугольник. Потому что DE и DF имеют разную длину.

Однако в нашем доказательстве с мостом ослов треугольник равнобедренный, а потому, когда мы воспринимаем его как треугольник BAC, он в точности тот же, что и в случае, когда мы его рассматриваем как треугольник CAB. Это не тривиальное утверждение. Если я говорю, что имя АННА читается одинаково в обоих направлениях, я в действительности сообщаю вам тот факт, что это палиндром. Возражать против самой концепции палиндрома, заявляя: «Ну конечно, это одно и то же, там две буквы А и две буквы Н, а порядок не важен», – чистое извращение.

На деле слово «палиндромный» было бы хорошим названием для треугольников типа BAC, который конгруэнтен треугольнику CAB, получаемому при записи вершин в обратном порядке. Именно благодаря такой идее Папп и сумел пройти через мост, не прибегая к дополнительным линиям и точкам.

И все же доказательство Паппа не вполне объясняет, почему равнобедренный треугольник имеет два равных угла. Представление о палиндромности равностороннего треугольника, то есть о том, что он остается таким же при записи вершин в обратном порядке, говорит вам то же, что (я уверен) и ваша интуиция: треугольник остается неизменным, когда вы берете его, переворачиваете и кладете обратно на то же место. Как и слово-палиндром, он обладает симметрией. Вот почему нам кажется, что углы должны быть равны.

На уроках геометрии нам обычно не разрешают говорить о переворачивании фигур[65], хотя делать это нужно. С какими бы абстракциями мы ни имели дело, математика – это то, чем мы занимаемся с помощью нашего тела. И прежде всего – геометрия. Иногда буквально: каждый математик обнаруживал, что рисует невидимые фигуры с помощью жестов, и как минимум одно исследование[66] показало, что дети, которым предлагали представить геометрическую задачу в движениях, чаще приходили к верному заключению[67]. Говорят, сам Пуанкаре в геометрических рассуждениях полагался на свое чувство движения. Он не был визуалом и плохо запоминал лица и фигуры, поэтому, когда ему требовалось[68] нарисовать картинку по памяти, он, по его словам, вспоминал не то, как она выглядела, а то, как по ней двигался его взгляд.

РАВНОБЕДРЕННОСТЬ

Что означает слово «равнобедренный» в названии треугольников? Прежде всего то, что две его стороны равны. В греческом языке используется слово σκέλη (скеле), что значит «ноги», отсюда и английское isosceles. В китайском слово составлено из иероглифов равный и талия, на русском языке у такого треугольника равные бедра, а на иврите – равные голени. В любом случае мы, похоже, согласны с тем, что быть равнобедренным означает иметь две равные стороны. Но почему? Почему бы не определить равнобедренный треугольник как треугольник, у которого равны два угла? Вы, вероятно, заметили (а весь смысл pons asinorum в том, чтобы это доказать!), что равенство двух сторон означает равенство двух углов, и наоборот. Другими словами, эти два определения эквивалентны и задают одно и то же множество треугольников. Но я бы не сказал, что это одно и то же определение. Существуют и другие варианты. Более современно было бы определить равнобедренный треугольник как палиндромный: треугольник, который вы можете взять, перевернуть, положить обратно, и он при этом не изменится. То, что у такого треугольника будут две равные стороны и два равных угла, следует почти автоматически. В этом геометрическом мире рассуждение Паппа показывало бы, что треугольник с двумя равными сторонами равнобедренный, а треугольники BAC и CAB совпадают.

Хорошее определение – то, которое проливает свет на ситуации, выходящие за рамки того, для чего оно было придумано. Идея, что равнобедренный означает не изменяющийся при переворачивании, дает нам хорошее представление о том, что такое равнобедренная трапеция или равнобедренный пятиугольник. Вы могли бы сказать, что равнобедренный пятиугольник – тот, у которого две стороны равны, но тогда вы соглашаетесь на перекошенные обвисшие пятиугольники наподобие этого:

Но хотите ли вы этого? К определению «равнобедренный» явно лучше подходит вот такой симпатичный пятиугольник:

И в самом деле, в школьном учебнике равнобедренная трапеция – это не фигура с двумя равными сторонами или двумя равными углами, а фигура, которую можно перевернуть, и она не изменится. Сюда прокралось постевклидово понятие симметрии, потому что наши мозги устроены так, что его замечают. Все чаще и чаще идея симметрии становится основанием для доказательств на уроках геометрии. Это не Евклид, но именно такова сейчас геометрия.

Глава 2. Сколько отверстий в соломинке?

Всем, кто профессионально занимается математикой, всегда приятно, когда весь интернет день или два решает какую-нибудь математическую задачку. Мы наблюдаем, как другие люди открывают для себя тот способ мышления, которым мы упиваемся всю жизнь (и наслаждаются им). Когда у вас красивый дом, вы ведь, как правило, радуетесь неожиданным визитам гостей.

Задачи, которые захватывают людей, обычно интересны, хотя на первый взгляд могут показаться пустячными. Привлекает и удерживает внимание именно ощущение встречи с реальной математической проблемой.

Например: сколько отверстий в соломинке?

Большинство из тех, кому я задавал этот вопрос, считают ответ очевидным. И бывают крайне удивлены, а иногда даже расстроены, когда узнают, что есть люди, чей очевидный ответ отличается от их собственного.

Насколько я могу судить, впервые вопрос об отверстиях в соломинке появился в статье[69] супругов Стефани и Дэвид Льюис, вышедшей в 1970 году в журнале Australasian Journal of Philosophy: обсуждаемым трубчатым объектом был рулон бумажных полотенец. Затем этот вопрос всплыл[70] в 2014 году в виде опроса на каком-то форуме бодибилдеров. Аргументы на форуме отличались по тону от аргументов из философского журнала, но общие контуры полемики оказались довольно сходными: все ответы «ноль отверстий», «одно отверстие» и «два отверстия» имели определенное обоснование.

Затем появился ролик[71], где два приятеля из колледжа распалялись все сильнее, споря, два отверстия или одно; в итоге он стал вирусным и набрал свыше полутора миллионов просмотров. Задача о соломинке появилась на Reddit, в Twitter и в газете The New York Times. Группа молодых, привлекательных и крайне сбитых с толку сотрудников новостной компании BuzzFeed сняла видео, которое тоже набрало сотни тысяч просмотров[72].

Вероятно, вы уже начали в уме формулировать основные аргументы. Давайте перечислим их здесь.

Ноль отверстий. Ваша соломинка – это пластиковый прямоугольник, который свернули в трубочку и склеили. В прямоугольнике никаких отверстий не было, и вы не делали в нем никаких отверстий, когда сворачивали трубку, поэтому в нем их нет.

Одно отверстие. Отверстие – это пустое пространство в центре соломинки. Оно занимает все место от верха до низа.

Два отверстия. Да просто посмотрите на нее! Одно отверстие вверху, а другое – внизу.

Моя первая цель – убедить вас, что вы заблуждаетесь насчет отверстий, даже если так не думаете. У каждого из этих вариантов есть серьезные проблемы.

Сначала разберемся с нулем. Предмет может иметь отверстие, даже если из него ничего не убирали. Вы же не делаете бублик, выпекая сначала булочку, а потом пробивая ее центр. Нет, вы раскатываете змейку из теста[73], а затем соединяете ее концы и получаете бублик. Если вы станете утверждать, что в бублике нет дырки, вас засмеют в любом уважающем себя магазине по всему миру. Считаю, что этот вопрос решен окончательно.

А как насчет теории с двумя отверстиями? Тут возникает такой вопрос: если в соломинке две дырки, то где начинается одна и заканчивается другая? Если это вас не беспокоит, подумайте о кусочке швейцарского сыра. Будете ли вы считать дырки в нем по отдельности сверху и снизу?

Или такой аргумент: заполним чем-нибудь низ соломинки. Иными словами, уберем то, что вы, двухдырочники, считаете нижним отверстием. Теперь соломинка – фактически высокий узкий стакан. Есть ли в стакане отверстие? Да, скажете вы: наверху как раз и есть отверстие. Хорошо, тогда давайте уменьшать высоту стакана, пока он не станет пепельницей. Вы однозначно не будете утверждать, что верх пепельницы представляет собой отверстие. Но если при переходе от стакана к пепельнице дырка пропала, то когда именно?

Вы можете заявить, что пепельница все равно имеет отверстие, поскольку в ней есть углубление – отрицательное пространство, где нет материала, который там мог бы быть. Вы настаиваете, что отверстие «не обязано проходить насквозь», ведь говорят же люди про отверстия в земле. Это справедливое возражение, но я думаю, что если мы станем воспринимать как дыру любую впадину или выемку, то понятие станет слишком широким, а потому бесполезным. Когда вы говорите, что ведро дырявое, то вовсе не имеете в виду какую-то вмятину в его дне, а указываете на то, что оно больше не удерживает воду. Если вы откусываете кусок от булочки, то она от этого не превращается в бублик.

Остается одно отверстие. Это самый популярный из трех вариантов, но я испорчу и его. Когда я задал вопрос о соломинке своей подруге Келли, она отвергла теорию одного отверстия очень просто: «Означает ли это, что рот и анус – одно и то же отверстие?» (Келли преподает йогу, поэтому склонна смотреть на вещи с анатомической точки зрения.) Это хороший вопрос.

Однако давайте предположим, что вы из тех смельчаков, которые рискнут принять равенство рот = анус. Проблемы все равно остаются. Вот сцена из ролика с теми парнями из колледжа (впрочем, если серьезно, лучше посмотрите его сами, я не смогу так точно передать красиво нарастающее разочарование с помощью реплик и сценических указаний). Первый парень – сторонник однодырочной теории, второй – двухдырочной.

Второй (держит вазу). Сколько в ней дырок? Одна, верно?

(Первый выражает согласие невербально.)

Второй (держит рулон бумажных полотенец). Сколько тут дырок?

Первый. Одна.

Второй. Как? (Снова держит вазу.) Неужели они выглядят одинаково?

Первый. Потому что если я сделаю дырку тут (показывает жестом на дно вазы), то все равно остается одна дырка!

Второй (раздраженно). Ты только что сказал: если я сделаю дырку тут (издает что-то вроде раздосадованного причитания).

Первый. Если я сделаю еще одну дырку тут, это будет…

Второй. Правильно – еще одна дырка, включая эту. Две! Точка!

Второй студент в этой сцене выражает весьма правдоподобный принцип: если вы делаете в предмете новую дырку, то число дырок должно увеличиться.

Давайте усложним ситуацию: сколько дырок в штанах? Большинство людей сказали бы, что три – одна на талии и две на концах штанин. Но если вы зашьете талию, то останется большая джинсовая соломинка с изгибом. Если вы начинали с трех отверстий и одно убрали, то должно остаться два, а не одно, не так ли?

Если вы сторонник варианта с одним отверстием в соломинке, то, возможно, скажете, что в штанах только два отверстия, так что после зашивания талии остается одно. Такой ответ я слышу часто, но он страдает тем же, что и теория с двумя дырками в соломинке: если в штанах два отверстия, то где заканчивается одно и начинается другое?

Или вы считаете, что в штанах всего одна дыра, поскольку под ней подразумеваете область отрицательного пространства внутри брюк? А если я порву свои джинсы на коленке и сделаю новую дырку? Она не считается? Вы настаиваете, что это всего лишь новое отверстие, ведущее в ту же самую дыру? И когда вы зашиваете низ штанов или затыкаете низ соломинки, вы не убираете дыру, а просто закрываете один вход (или выход) в нее.

Но это возвращает нас к вопросу, есть ли отверстие в пепельнице. Или еще хуже. Предположим, у меня есть надутый воздушный шарик. Согласно вашему мнению, в шарике есть дыра – пустое пространство внутри. Я беру иголку и прокалываю шарик. Он лопается и превращается в круглый кусок резины (может, с завязанным узлом), который, очевидно, не имеет дыры. Итак, вы взяли предмет с дырой, проделали в нем дыру и получили то, в чем дыры нет.

Вот теперь вы запутались? Надеюсь, что да!

Математика не дает точного ответа на этот вопрос. Она не может вам сказать, что вы подразумеваете под словом «дыра» или «отверстие», – это ваше индивидуальное понимание. Но она может вам подсказать, что вы могли иметь в виду; а это хотя бы не даст вам споткнуться о собственные предположения.

Позвольте мне начать с раздражающе философского заключения: в соломинке два отверстия, но это одно и то же отверстие.

ХОРОШИЕ ВЫВОДЫ ИЗ ПЛОХО НАРИСОВАННЫХ ФИГУР

Здесь мы вступаем в область геометрии под названием топология. В ней нас не волнует величина объектов, их удаленность друг от друга, степень изогнутости или деформации. На первый взгляд это может показаться вопиющим отходом от темы нашей книги, а на второй – оставить вас в недоумении, не предлагаю ли я какой-то геометрический нигилизм, когда нас не заботит ничего.

Нет! Заметная часть математики состоит в том, чтобы понять, о чем мы можем позволить себе не заботиться, временно или навсегда. Такое избирательное внимание – базовая часть нашего мышления. Скажем, вы переходите улицу, и тут какая-то машина проскакивает на красный и мчится на вас. Есть множество вещей, которые вы можете учесть, планируя свой следующий шаг. Можете ли вы достаточно хорошо рассмотреть через ветровое стекло, трезв ли водитель? Какая модель у автомобиля? Надели ли вы сегодня чистое нижнее белье на случай, если в итоге вас собьют и вы будете лежать на асфальте? Все эти вопросы вы не задаете, позволяя себе не заботиться о них, и все свое сознание фокусируете на попытке определить траекторию движения машины, чтобы успеть отскочить с ее пути как можно быстрее и дальше.

Математические задачи обычно не столь драматичны, однако приводят к аналогичным процессам абстрагирования – умышленного игнорирования всех параметров, не относящихся непосредственно к стоящей перед нами проблеме. Ньютон сумел справиться с задачами небесной механики, когда понял, что небесные тела двигаются не по каким-то собственным прихотям, а по универсальным законам, применимым к каждой частице материи во Вселенной. Для этого ему пришлось заставить себя забыть о том, из чего сделан объект и какова его форма: все, что имело для Ньютона значение, – это масса объекта и расположение относительно других тел. Или шагнем еще дальше, к истокам математики. Сама идея числа состоит в том, что при вычислениях вы можете оперировать семью коровами, семью камнями или семью людьми, используя одни и те же правила подсчета и комбинирования, а отсюда уже недалеко до семи наций или семи идей. Не имеет значения (для данных целей), что это за объекты, – важно только их количество.

Топология – это нечто подобное, только для фигур. В своей нынешней форме она восходит к Анри Пуанкаре. Опять он! Это имя мы будем слышать не раз, поскольку Пуанкаре приложил руку к ошеломительно широкому диапазону геометрических идей – от специальной теории относительности до теории хаоса и тасования карт. (Да, тут тоже есть теория, и это тоже геометрия; мы к ней еще вернемся.) Пуанкаре родился в 1854 году в Нанси в состоятельной семье профессора медицины. В пятилетнем возрасте он серьезно заболел дифтерией и несколько месяцев совершенно не мог говорить; мальчик полностью выздоровел, но все детство был физически слабым. Уже взрослого один студент описывал его так: «Прежде всего я вспоминаю его глаза[74]: близорукие, но яркие и проницательные. В остальном в памяти хранится образ невысокого сутулого мужчины с неуклюжими движениями туловища и конечностей». Когда Пуанкаре был подростком, немцы захватили Эльзас и Лотарингию, хотя Нанси остался под властью Франции. Неожиданное и абсолютное поражение во Франко-прусской войне стало национальной трагедией; Франция не только решила вернуть утраченные территории, но и стала воспроизводить ту бюрократическую эффективность и технологическую компетентность, которую сочла причиной военного превосходства Германии. Подобно тому как запуск советского спутника привел к волне финансирования научного образования в Соединенных Штатах в конце 1950-х годов, утрата Эльзаса[75] и Лотарингии побудила Францию догнать Германию с ее лучше организованными научными учреждениями. Пуанкаре, который изучил немецкий язык во время оккупации, принадлежал к новому авангарду французских математиков, получивших современную подготовку и превративших Париж в один из математических центров мира с лидером в лице Пуанкаре.

Пуанкаре был выдающимся студентом, но не вундеркиндом: его первая серьезная работа появилась, когда ему было около 25 лет, а всемирно известной фигурой он стал только в конце 1880-х годов. В 1889 году он получил[76] премию шведского короля Оскара за лучшее эссе по задаче трех тел, в которой требуется определить положение трех небесных тел, двигающихся под действием гравитации. Эта задача не до конца понята и в XXI веке, однако в своей статье Пуанкаре заложил основы теории динамических систем – метода, используемого современными математиками для изучения как задачи трех тел, как и тысяч других проблем.

Пуанкаре отличался редкой пунктуальностью[77] и работал над математическими проблемами ровно четыре часа в день – с десяти утра до полудня и с пяти до семи вечера. Он верил в крайнюю важность интуиции и бессознательной работы, однако его карьера была в каком-то смысле очень методичной: ее характеризовали не столько яркие моменты озарения, сколько систематическое и неуклонное расширение царства познаваемого на территории тьмы по четыре часа в будни и никогда – по выходным. С другой стороны, у Пуанкаре, как известно, был ужасный почерк, а поскольку он одинаково владел обеими руками, в Париже ходила шутка[78], что Пуанкаре может писать одинаково хорошо, то есть одинаково плохо, любой рукой.

Он был не только самым выдающимся математиком своего времени[79], но и популяризатором науки для широкой публики: его книги, рассказывающие о таких модных темах, как неевклидова геометрия, радий или новые теории бесконечности, расходились десятками тысяч экземпляров и были переведены на английский, немецкий, испанский, венгерский и японский языки. Он был мастером слова с особым талантом выражать математическую идею в каком-нибудь тонком изречении. Вот одно из них, весьма подходящее для стоящей перед нами задачи:

Геометрия – это искусство делать хорошие выводы из плохих чертежей[80].

Иными словами, если мы с вами собираемся поговорить об окружности, мне нужно, чтобы нам было на что смотреть, поэтому я беру лист бумаги и рисую ее.

Если у вас педантичное настроение, вы можете возразить, что это не окружность; возможно, у вас есть линейка и вы проверяете, что расстояние от предполагаемого центра до каждой точки предполагаемой окружности вовсе не одинаково. Ладно, соглашаюсь я, но, когда мы говорим о числе дырок в круге, это неважно. В этом отношении я следую примеру самого Пуанкаре, который – в соответствии со своим изречением и своим ужасным почерком – рисовал фигуры отвратительно. Его ученик Тобиас Данциг вспоминал: «Окружности, которые он рисовал[81] на доске, были чисто формальными, они напоминали настоящие только тем, что были замкнутыми и выпуклыми»[82].

Для Пуанкаре и для нас все это – окружности.

Даже квадрат – это окружность![83]

И эта дурацкая загогулина – тоже[84].

Но вот это не окружность,

потому что в ней есть разрыв. Разорвав окружность, я совершил нечто более необратимо жестокое, нежели сминание, сгибание и даже загибание углов. Я действительно изменил ее форму, превратив в плохо начерченный отрезок вместо плохо начерченной окружности, и перешел от объекта с дырой внутри к объекту без дыры.

Вопрос об отверстиях в соломинке кажется топологическим вопросом. Нужно ли двум математикам знать точные размеры соломинки, действительно ли она прямая и представляет ли ее поперечное сечение идеальный круг, который одобрил бы Евклид? Конечно же, нет. На каком-то уровне они понимают, что от этих вещей при достижении их целей можно спокойно отказаться.

Но что останется, когда вы от них откажетесь? Пуанкаре советует нам взять соломинку и укорачивать, укорачивать и укорачивать ее. Однако для него это все та же соломинка. Очень скоро она превратится в узкую полоску пластика.

Можно пойти дальше и разогнуть стенки наружу, чтобы получилась плоская фигура на странице книги.

Официальное геометрическое название такой фигуры, заключенной между двумя окружностями, – кольцо, хотя вы можете считать это грампластинкой, или летающим кольцом Aerobie, или чакрамом – индийским метательным оружием XVII века с острым, как бритва, внешним краем. Как бы вы его ни назвали, это все равно плохо нарисованная соломинка и у нее всего одно отверстие.

Если топология настаивает, что в соломинке всего одно отверстие, то что она говорит насчет штанов? Мы можем укоротить их, как делали с соломинкой. Сначала они станут шортами, а потом и стрингами. Когда я разложу стринги на странице книги, которую вы читаете, вы увидите двойное кольцо,

в котором явно два отверстия. Итак, мы пришли сейчас к заключению, что у соломинки одно отверстие, а у штанов – два.

ШТАНЫ НЁТЕР

Но проблемы еще не закончились. Если в штанах два отверстия, то какие? При вышеописанном процессе укорачивания это штанины, а талия становится внешним краем. Но вы могли заметить, складывая белье, что с равным успехом можете сделать стринги по-другому, когда одна «штанина» станет внешним краем, а вторая «штанина» и талия будут двумя дырками.

Моя дочь, вовсе не знакомая с работами Пуанкаре, сказала, что штаны имеют два отверстия, аргументируя это тем, что отверстие в пояснице – это комбинация отверстий в ногах. Она права! И лучший способ это понять – серьезно воспринять аналогию между штанами и соломинкой. Попробуйте представить соломинку, через которую пьете солодовый молочный коктейль, в виде штанов. Вы можете окунуть одну штанину в бокал и тянуть напиток: через штанину заходит, а через талию выходит к вам в рот одно и то же количество жидкости. Вы можете сделать то же самое с другой штаниной, а можете опустить в коктейль обе. Но что бы вы ни делали, по закону сохранения молочного коктейля его количество, выходящее из талии, равно сумме количеств, поступающих через штанины. Если в левую штанину поступает 3 миллилитра коктейля в секунду, а в правую – 5 миллилитров в секунду, то сверху вытечет 8 миллилитров напитка[85]. Вот почему моя дочь права, сказав, что отверстие для талии – на самом деле не новое отверстие, а комбинация двух отверстий для ног.

Так значит ли это, что отверстия для ног – настоящие дырки? Не торопитесь. Всего секунду назад, складывая только что постиранные стринги, мы считали, что никакой разницы между «штанинами» и талией нет. Однако сейчас, похоже, талия снова играет особую роль: 3 + 5 = 8, но не 5 + 8 = 3 или 8 + 3 = 5.

Тут требуется аккуратность в отношении положительных и отрицательных чисел. Выходящий поток противоположен входящему, поэтому нужно брать его с обратным знаком: вместо того чтобы говорить, что 8 миллилитров вытекают через талию соломинки, мы скажем, что втекают – 8 миллилитров! И теперь у нас есть красивое симметричное описание: сумма потоков через три входа равна нулю. Чтобы описать полную картину протекания коктейля через штаны, я просто должен назвать два числа из трех, причем неважно, какие именно два. Подойдет любая пара.

Теперь мы готовы исправить ту ложь, что сказали ранее. Должен признать, не совсем верно говорить, что отверстие вверху соломинки (настоящей соломинки) – это то же самое отверстие, что и внизу. Но оно и не абсолютно новое. Отверстие вверху – это негатив отверстия внизу. То, что втекает в одно, должно вытекать из другого.

Математики и до Пуанкаре (особенно тосканский геометр и политик Энрико Бетти) боролись с вопросом, как задать форму нескольким отверстиям, однако именно Пуанкаре первым понял, что одни отверстия могут быть комбинациями других. Но даже он не думал об отверстиях так, как нынешние ученые; для этого пришлось ждать работу немецкого математика Эмми Нётер в середине 1920-х. Нётер ввела в топологию понятие группы гомологий, и с тех пор мы используем именно такое понимание отверстий.

Нётер выражала свои идеи на языке «цепных комплексов» и «гомоморфизмов», а не штанов и молочных коктейлей, но я буду придерживаться наших нынешних понятий, чтобы избежать болезненного стилистического перехода. Новаторство Нётер заключалось в том[86], что неправильно думать о дырах как о дискретных объектах, скорее это похоже на направления в пространстве.

Сколько направлений вы можете проложить на карте? В каком-то смысле вы можете двигаться в бесконечном множестве направлений: на север, юг, восток, запад; на юго-запад или северо-северо-восток; держать курс точно на 43,28 градуса к востоку от южного направления. Однако суть в том, что при всем богатстве выбора есть только два основных направления, в которых вы можете путешествовать: вы доберетесь куда угодно, комбинируя всего два направления – на север и на восток (если будете считать 10-мильное путешествие на запад отрицательным 10-мильным путешествием на восток).

Однако нет смысла спрашивать, какие два направления будут основными, из которых следуют все остальные. Любая пара ничем не хуже другой; можно выбрать север и восток, юг и запад, северо-запад и северо-северо-восток. Единственное, что вы не можете сделать, так это выбрать два совпадающих или противоположных направления, поскольку тогда вам придется ограничиться движением по одной линии.

Верх и низ соломинки – полные противоположности, север и юг. Здесь можно обнаружить только одно измерение. Талия и штанины, напротив, заполняют два измерения, например:

Проехав в одном из этих направлений, затем во втором, затем в третьем, вы вернетесь в исходную точку.

Три направления аннулируют друг друга, давая в сочетании ноль.

«Сегодня это считается самоочевидным[87], – писали Павел Александров и Хайнц Хопф в своем фундаментальном труде по топологии 1935 года, – однако восемь лет назад это было не так. Потребовалась энергия и индивидуальность Эмми Нётер, чтобы сделать это знание обычным для топологов. Благодаря ей оно стало играть современную роль в задачах и методах топологии».

«СЕГОДНЯ НИКТО НЕ СОМНЕВАЕТСЯ, ЧТО ГЕОМЕТРИЯ N ИЗМЕРЕНИЙ – РЕАЛЬНАЯ ВЕЩЬ»

Пуанкаре создал современную топологию, однако он ее так не называл, а использовал более громоздкий термин analysis situs («анализ места»). Хорошо, что он не прижился! На самом деле слово «топология» на шестьдесят лет старше, а придумал его Иоганн Бенедикт Листинг – ученый-универсал, который также изобрел слово «микрон» для обозначения миллионной доли метра, внес важный вклад в физиологию зрения, занимался геологией и изучал содержание сахара в моче больных диабетом. Он ездил по миру, измеряя магнитное поле планеты с помощью магнитометра, изобретенного его учителем Карлом Фридрихом Гауссом. Он был компанейским и доброжелательным человеком (возможно, даже слишком компанейским), пытаясь избавиться от своего долга. Физик Эрнст Брайтенбергер назвал его «одним из многих второстепенных универсалов, которые придавали колорит истории науки XIX столетия»[88].

Летом 1834 года Листинг сопровождал своего состоятельного друга Вольфганга Сарториуса фон Вальтерсхаузена в поездке к вулкану Этна на Сицилии, а в свободное время, когда вулкан спал, размышлял о формах и их свойствах и придумал термин «топология». У него не было такого систематического подхода, как у Пуанкаре или Нётер: в топологии, как и в других областях науки, и в жизни, он был чем-то вроде сороки, летящей туда, куда ее влекли интересы. Он оставил множество изображений узлов и нарисовал ленту Мёбиуса до Августа Фердинанда Мёбиуса[89] (хотя нет никаких подтверждений, что Листинг, как Мёбиус, понял ее любопытное свойство – наличие только одной стороны). В конце жизни он создал масштабный труд «Перепись пространственных форм», собрав в нем все формы, какие смог придумать. Он был своего рода геометрическим Одюбоном, каталогизирующим богатство разнообразия природы[90].

Есть ли причины выходить за рамки списка Листинга? Споры о количестве отверстий в соломинке занятны, но что делает их важнее, чем, скажем, обсуждение числа ангелов, которые могут поместиться на булавочной головке?

Ответ вы можете найти в самом первом предложении статьи Analysis Situs, которая начинается так:

Сегодня никто не сомневается[91], что геометрия n измерений – реальная вещь.

Представить себе соломинку и штаны легко, и нам не нужен формальный математический аппарат, чтобы их различать. Формы в пространствах более высоких измерений – дело другое. Наш внутренний глаз бессилен их увидеть. А мы хотим не только их рассмотреть, но и внимательно изучить. Как мы увидим, в геометрии машинного обучения мы будем искать пространство с сотнями или тысячами измерений, пытаясь найти самый высокий пик в этом невизуализируемом ландшафте. Уже в XIX веке Пуанкаре, изучая задачу трех тел, должен был отслеживать местоположение и движение материальных объектов в небе; а это означало запись для каждого небесного тела трех координат для положения и трех – для скорости[92], то есть всего шесть измерений. Поскольку у него было три движущихся тела одновременно и для каждого требовалось шесть измерений, то всего получалось восемнадцать измерений. Никакой рисунок на странице не поможет вам понять, сколько отверстий в восемнадцатимерной соломинке, не говоря уже о том, чтобы отличить ее от восемнадцатимерных штанов. Необходим новый формальный язык, который с неизбежностью будет отделен от наших внутренних представлений о том, что считать отверстием. Так всегда работает геометрия: мы начинаем с интуитивных представлений о формах физического мира (а с чего еще мы могли бы начать?), внимательно анализируем наше восприятие того, как эти формы выглядят и двигаются, – с достаточной точностью, чтобы мы могли говорить о них, не опираясь на интуицию. Потому что при выходе из мелководья трехмерного пространства, к которому привыкли, такая надобность у нас появится.

И мы уже можем видеть начало такого процесса. Остался один тревожный пример из нашего обсуждения, к которому мы готовы вернуться только сейчас. Помните воздушный шарик? В нем нет дырки. Вы протыкаете в нем дырку, раздается хлопок, и теперь перед вами резиновый диск. Очевидно, что дыры в нем нет. Но разве мы ее не сделали только что?

Вот один из способов разобраться в таком явном парадоксе. Если вы проделали в шарике отверстие и в результате в нем отверстий не оказалось, значит, изначально в нем должно быть – 1 отверстие.

Мы стоим на развилке – в точке принятия решения. Можно отбросить либо весьма привлекательную идею, что добавление дырки в предмете увеличивает количество дырок на единицу, либо весьма привлекательную идею, что отрицательное число отверстий – полная чушь. История математики богата на подобные болезненные решения. Обе идеи интуитивно понятны, но при тщательном рассмотрении мы обнаруживаем, что они логически несовместимы. От одной надо отказаться[93].

Не существует абстрактной истины, сколько дыр в воздушном шаре, соломинке или штанах. Когда мы подходим к развилке, которую преподносит нам математика, нам нужно выбрать какое-то определение. Не следует считать, что один путь ложный, а другой истинный; нужно думать, что один путь лучше, а другой хуже. Лучше тот, который объяснит и прольет свет на большее количество случаев. За многие столетия математики обнаружили, что обычно лучше принять то, что кажется странным (как отрицательное число дырок), чем то, что нарушает какой-то общий принцип (например, что проделывание дырки в объекте должно увеличивать число дырок в нем на единицу). Так что я водружаю свой флаг тут: предпочтительнее сказать, что нелопнувший шарик имеет – 1 отверстие. На деле существует способ характеризации пространств под названием эйлерова характеристика; она представляет собой топологический инвариант, то есть не меняется при различных непрерывных деформациях. Вы можете считать, что этот параметр равен единице минус число отверстий.

Штаны: эйлерова характеристика – 1, два отверстия.

Соломинка: эйлерова характеристика 0, одно отверстие.

Лопнувший воздушный шарик: эйлерова характеристика 1, ноль отверстий.

Нелопнувший воздушный шарик: эйлерова характеристика 2, –1 отверстие.

Способ описать эйлерову характеристику, чтобы она казалась менее странной, – это разность между двумя величинами: числом отверстий четной и нечетной размерности. В целом воздушном шарике, то есть в сфере, дыра есть – в том же смысле, что и дыра внутри куска швейцарского сыра: внутренняя часть шарика – дыра сама по себе. Однако ощущается, что это дыра иного рода, нежели в соломинке. Верно! Это то, что мы назвали бы двумерной дырой. Шарик имеет одну двумерную дыру и ни одной одномерной. Может показаться, что тогда эйлерова характеристика должна быть 1–1 = 0, что не соответствует нашей таблице. Мы упустили, что шарик имеет еще и нульмерное отверстие.

Что это может значить?

Вот тут и вступает в игру теория Пуанкаре и Нётер. Как следует из названия, эйлерову характеристику системно изучал швейцарский математик-универсал Леонард Эйлер, однако он рассматривал только двумерные поверхности. Многие люди, включая Иоганна Листинга, пытались распространить идеи Эйлера на трехмерный случай. Но только после Пуанкаре ученые поняли, как перенести результат Эйлера в пространства размерности более трех. Я не стану запихивать на одну страницу первый курс алгебраической топологии, а просто скажу, что Пуанкаре и Нётер дали общую теорию дыр любой размерности, и в их системе количество нульмерных отверстий в каком-то пространстве – это просто число частей, на которое оно разбивается. Шарик, как и соломинка, представляет собой единый объект, поэтому у него только одно отверстие нулевой размерности. А вот два шарика имеют два нульмерных отверстия.

Это определение может показаться странным, но с ним все работает. Шарик имеет:

1 нульмерное отверстие + 1 двумерное отверстие – 0 одномерных отверстий,

что дает нам эйлерову характеристику, равную 2.

В прописной букве В одно нульмерное отверстие и два одномерных, поэтому ее эйлерова характеристика равна – 1[94]. Разрежьте нижнюю петлю буквы B – и получите букву R, у которой эйлерова характеристика равна 0: у буквы R на одно одномерное отверстие меньше, поэтому число увеличилось на 1. Разрезав петлю буквы R, получите букву K: ее эйлерова характеристика равна 1. Вы могли бы также отрезать ножку у буквы R, получив две буквы P и I; теперь у вас два отдельных куска, поэтому два нульмерных отверстия и одно одномерное в букве P дают 2–1 = 1. Каждый раз, когда вы делаете разрез, вы увеличиваете эйлерову характеристику на 1, и это верно, даже если вы своим разрезом не устраняете одномерную дыру. У буквы I эйлерова характеристика равна 1; разрежьте ее – и получите две буквы I с эйлеровой характеристикой 2. Следующий разрез даст три I и характеристику 3 и так далее.

Что, если вы сошьете вместе нижние отверстия штанов? Не стану вдаваться в подробности, но получившаяся форма в системе Пуанкаре имеет одну нульмерную и две одномерные дыры, что дает эйлерову характеристику –1. Иными словами, в штанах после нашего вандализма столько же отверстий, сколько было и до него. Вы избавились от одного, сшив отверстия у лодыжек, но создали новое, которое теперь находится между штанинами. Убедительно? С удовольствием посмотрел бы на такое рассуждение в Snapchat![95]

Глава 3. Одно название разных вещей

Симметрия – это основа современного понимания геометрии. Более того, то, что мы решаем считать симметрией, определяет, с какой геометрией мы имеем дело.

В евклидовой геометрии симметрии – это движения фигур как твердого тела: любые комбинации сдвигов (переносов), переворачиваний (отражений) и вращений. Язык симметрии позволяет говорить о конгруэнтности (равенстве) более современным способом. Вместо того чтобы сказать: два треугольника конгруэнтны, когда соответствующие стороны и углы равны, мы говорим: треугольники конгруэнтны, если существует движение, которое переводит один в другой. Разве это не более естественно? Действительно, читая Евклида, чувствуешь, что он еле сдерживается (не всегда успешно), чтобы не выразиться именно таким образом.

Зачем в качестве фундаментальных симметрий брать движения? Одна из веских причин состоит в том (хотя доказать это не так-то легко), что именно движения – это то, что вы можете проделывать с плоскостью, сохраняя при этом расстояние между точками; собственно, и слово симметрия происходит от древнегреческого слова συμμετρία (соразмерность), которое образовано из слов συμ- (вместе, с, совместно) и μετρέω (измеряю). Термин, означающий «равная мера», был бы лучше; и действительно, в современной математике словом изометрия (от греческих слов ἴσος – равный, одинаковый, и μετρέω – измеряю) называют преобразования, которые сохраняют расстояние.

Эти два треугольника конгруэнтны,

а потому мы склонны, как и Евклид, считать, что они равны, несмотря на то что на самом деле это два разных треугольника, расположенных в нескольких сантиметрах друг от друга. Это подводит нас к другому изречению постоянно цитируемого Пуанкаре:

Математика – это искусство давать одно название разным вещам.

Подобные проблемы с определениями – часть нашего мышления и речи. Представьте, что кто-то спрашивает вас, не из Чикаго ли вы, а вы отвечаете: «Нет, я из Чикаго двадцатипятилетней давности». Это было бы абсурдной педантичностью, поскольку, говоря о городах, мы неявно подразумеваем симметрию при переносе во времени. В стиле Пуанкаре мы называем Чикаго прошлого и Чикаго настоящего одним и тем же словом.

Конечно, мы могли бы строже Евклида отнестись к тому, что считать симметрией: например, запретить отражения и вращения, оставив только перенос на плоскости без поворотов. Тогда эти два нарисованных выше треугольника уже не были бы равны, поскольку указывают в разных направлениях.

А если оставить вращения, но отказаться от отражений? Вы можете представить это как класс допустимых преобразований, но только в пределах плоскости: вы можете передвигать и поворачивать объекты, но запрещается их поднимать и переворачивать, поскольку это означает запрещенный выход в трехмерное пространство. Согласно таким правилам, мы по-прежнему не можем назвать эти два треугольника одним именем. В левом треугольнике порядок сторон от самой короткой к самой длинной идет против часовой стрелки. Как бы вы ни двигали и не поворачивали эту фигуру, это свойство сохранится, а значит, левый треугольник никогда не совпадет с правым, в котором короткая, средняя, длинная стороны идут по часовой стрелке. Отражение меняет направление по часовой и против часовой стрелки, а переносы и повороты – нет. Без отражения направление обхода короткая, средняя, длинная сторона – это свойство треугольника, которое никакая симметрия не изменит. Это то, что мы называем инвариантом.

У каждого класса симметрий есть собственные инварианты. Движение не может изменить площадь треугольника или любой иной фигуры; в терминах физики мы могли бы сказать, что это закон сохранения площади для движения. Есть и закон сохранения длины, поскольку движение не может изменить длину отрезков[96].

Повороты плоскости понять легко, однако переход к трехмерному пространству значительно усложняет дело. Еще в XVIII веке (опять Леонард Эйлер!) ученые выяснили, что любое вращение трехмерного пространства можно представлять как вращение вокруг какой-то неподвижной прямой – оси. Пока все хорошо, но остается куча вопросов. Предположим, я совершаю поворот на 20 градусов вокруг вертикальной оси, а потом на 30 градусов вокруг оси, указывающей горизонтально на север. Результирующее вращение должно оказаться поворотом на некоторое количество градусов вокруг какой-то прямой, но какой? Получится примерно 36 градусов вокруг оси, направленной вверх и куда-то на северо-северо-запад. Но увидеть это непросто! Человеком, разработавшим гораздо более удобный способ думать об этих вращениях – представлять их в виде своеобразного числа, называемого кватернионом, – был тот самый друг Вордсворта, Уильям Роуэн Гамильтон. Как известно, 16 октября 1843 года Гамильтон с женой шли вдоль Королевского канала в Дублине, когда… Давайте дадим слово самому Гамильтону.

Хотя она время от времени разговаривала со мной, в моей голове шла подспудная работа мысли, которая в итоге дала результат, и не будет преувеличением сказать, что я сразу понял его важность. Казалось, замкнулась электрическая цепь и проскочила искра… Я не смог устоять перед побуждением – каким бы противоречащим философии оно ни было, – проходя по мосту Брумридж, вырезать ножом на его каменной кладке фундаментальную формулу…

Гамильтон большую часть оставшейся жизни изучал следствия из своего открытия. Излишне говорить, что он написал о нем стихотворение. («Наука высших сфер с суровым очарованием чисел и фигур влекла нас за собой, и мы стремились узреть ее нерожденное потомство…» В общем, вы уловили идею.)

СКРОНЧМЕТРИЯ

Мы также можем повернуть ручку в сторону ослабления условий и рассмотреть более широкий спектр преобразований. Мы могли бы разрешить увеличение и уменьшение так, чтобы показанные далее фигуры считались равными.

Некоторые величины, раньше бывшие инвариантами (например, площадь треугольников), в таком более мягком представлении о тождественности уже ими не будут. Однако другие величины (например, углы) инвариантами остаются. На школьных уроках геометрии фигуры, одинаковые в этом более широком смысле, назывались подобными.

А еще мы можем изобрести совершенно новые понятия, с которыми никогда не сталкивались в школе. Мы можем, скажем, разрешить преобразование под условным названием скронч, которое будет растягивать фигуру по вертикали с определенным коэффициентом и одновременно сжимать ее по горизонтали с тем же коэффициентом[97].

При скронче какой-нибудь фигуры ее площадь не меняется. Это очевидно для прямоугольников, ориентированных сторонами по вертикали и горизонтали: поскольку их площадь равна произведению сторон, при скронче высота умножается на какое-то число, а ширина делится на это же число, поэтому произведение останется прежним. Посмотрим, можете ли вы доказать тот же факт для треугольника, что гораздо сложнее!

В скронч-геометрии (скрончметрии) мы называем две фигуры равными, если можем перейти от одной к другой с помощью параллельного переноса и скронча. Два скронч-равных треугольника имеют одинаковую площадь, но два треугольника с одинаковой площадью не обязательно скронч-равные: например, после скронча любой горизонтальный отрезок остается горизонтальным, следовательно, треугольник с одной горизонтальной стороной нельзя сделать скронч-равным треугольнику без горизонтальной стороны.

Даже на плоскости есть большое количество возможных типов симметрии, поэтому охватить их здесь максимально исчерпывающе нереально. Чтобы дать скромное представление об этом «зверинце», приведем диаграмму из авторитетной книги Гарольда Коксетера и Самуэля Грейтцера «Новые встречи с геометрией».

Это дерево во многом похоже на генеалогическое древо, где каждый «ребенок» – частный случай «родителя». Поэтому изометрия (то, что мы называли движением) – это частный случай подобия, а отражения и вращения – частный случай изометрии. «Прокрустово растяжение» – яркий термин Коксетера и Грейтцера для скронча. Аффинные преобразования – те, что получатся, если вы разрешите скронч и подобие. Язык симметрии дает нам естественный способ организовать многие определения в планиметрии (геометрии на плоскости). Упражнение: покажите, что эллипс – это любая фигура, получаемая аффинным преобразованием из круга. Более сложное упражнение: покажите, что параллелограмм – это любая фигура, которая получается аффинным преобразованием из квадрата.

Не существует правильного ответа на вопрос, какие пары фигур «действительно» одинаковые. Это зависит от предмета нашего интереса.

Если нас интересует площадь, то подобия будет недостаточно, поскольку площадь не инвариантна относительно подобия. Но если нас заботят только углы, то незачем настаивать на конгруэнтности: это может быть чересчур трудоемко.

Подобия вполне достаточно. Каждое понимание симметрии порождает собственную геометрию, собственный способ решать, какие вещи отличаются настолько, что лучше не давать им одинаковых названий.

Евклид непосредственно о симметрии почти не писал, но его последователи не могли не задуматься об этом, даже в контекстах, далеких от плоских фигур.

Идея, что при симметрии должны сохраняться те или иные важные величины, естественна для нашего мышления. Линкольн, например, писал в своих личных заметках в 1854 году в весьма геометрическом стиле:

Если А. способен убедительно доказать, что он может по праву поработить B., то почему B. не может воспользоваться тем же аргументом и точно так же доказать, что он может поработить А.?[98]

Линкольн предполагает, что моральная допустимость должна быть инвариантом, подобно площади евклидова треугольника, и не должна меняться только потому, что вы отразили фигуру, чтобы она указывала в противоположном направлении.

При желании мы можем пойти еще дальше, выйдя за рамки школьных уроков. Никаких карандашей, книг и неодобрительных взглядов Евклида! Мы могли бы позволить совершенно произвольно растягивать и сминать фигуры, лишь бы они не рвались; то есть треугольник может стать окружностью или сложиться в квадрат:

но не может стать отрезком, поскольку для этого его пришлось бы где-то разорвать[99]. Звучит знакомо? Этот экстравагантно неприхотливый вид геометрии, где треугольник, квадрат и окружность – одна и та же вещь, и есть топология, созданная Пуанкаре для решения задачи о соломинке. (Ладно, возможно, у него были и другие причины.) Эти симметрии, которые включают в себя все вышеупомянутые типы симметрии, представляют собой непрерывные преобразования, стоящие на ступеньку ниже самой верхней строки в диаграмме Коксетера и Грейтцера. В этой гибкой геометрии не сохраняются ни углы, ни площади. Отпадают все несущественные детали, о которых так заботился Евклид, остается только чистое представление о форме.

АНРИ, Я ДЕФОРМИРОВАЛ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ

В 1904 году в городе Сент-Луис проходила Всемирная выставка[100], посвященная столетию покупки Соединенными Штатами огромной территории Луизианы у Франции (сделка состоялась 101 год назад, но попробуйте устроить такое масштабное мероприятие вовремя!). Выставку, одновременно с которой в городе проходили Олимпийские игры и Национальный съезд Демократической партии, посетило более 20 миллионов человек. Целью была демонстрация того, что Соединенные Штаты, и особенно их центральная часть, готовы к выходу на мировую арену. Событие было увековечено в песне Meet Me in St. Louis («Встретимся в Сент-Луисе»). Из Филадельфии приехал колокол Свободы. Выставлялись картины Джеймса Мак-Нейла Уистлера и Джона Сингера Сарджента. Родившегося в строительной палатке ребенка назвали Louisiana Purchase O’Leary (буквально – Луизианская Покупка О’Лири). Город Бирмингем в Алабаме заказал 17-метровую чугунную статую Вулкана для развития своей сталелитейной промышленности. Легендарный индейский вождь Джеронимо подписывал свои фотографии, а перед толпами появлялась Хелен Келлер[101]. Некоторые утверждают, что именно тогда изобрели мороженое в вафельном стаканчике. А в сентябре прошел Международный конгресс искусств и наук, куда съехались выдающиеся иностранные ученые со всего мира, чтобы пообщаться со своими американскими коллегами там, где впоследствии будет кампус Университета Вашингтона в Сент-Луисе. Присутствовал и сэр Рональд Росс – британский врач, лауреат Нобелевской премии по медицине за открытие механизмов передачи малярии. Приехали и соперничавшие немецкие физики Людвиг Больцман и Вильгельм Оствальд, которые вели сражение за фундаментальную структуру материи: состоит она из дискретных атомов, как думал Больцман, или базовый материал Вселенной – непрерывные энергетические поля, как считал Оствальд? Присутствовал там и Пуанкаре, которому к тому времени исполнилось пятьдесят лет, и он был самым известным геометром в мире. В последний день конгресса он прочитал лекцию на тему «Принципы математической физики» крайне осторожным тоном, поскольку в то время эти принципы подвергались чрезвычайному давлению.

«Существуют признаки серьезного кризиса[102], – сказал Пуанкаре, – которые, казалось бы, указывают на то, что сейчас мы можем ожидать каких-то перемен. Однако поводов для серьезного беспокойства нет. Мы уверены, что пациент не умрет, и даже можем надеяться, что кризис будет оздоровляющим».

Кризис, с которым столкнулась физика, касался проблемы симметрии. Хотелось бы надеяться, что законы физики не изменятся, если вы сделаете шаг в сторону или повернетесь в другом направлении, – иными словами, они инвариантны относительно движений трехмерного пространства. Более того, эти законы в представлении Пуанкаре не должны меняться, если сесть в двигающийся автобус; это просто более сложный вид симметрии, включающий координаты как пространства, так и времени.

Поначалу может показаться неочевидным, что в физике ничего не должно меняться, если наблюдатель будет двигаться, ведь, когда стоишь или двигаешься, ощущения разные, не так ли? Отнюдь. Даже если Анри не едет на автобусе, он стоит на планете Земля, а она с огромной скоростью вращается вокруг Солнца, которое и само по какой-то безумной траектории летит вокруг ядра галактики и так далее. Если не существует абсолютного неподвижного наблюдателя, то нам лучше не принимать физические законы, которые верны только с точки зрения наблюдателя. Они не должны зависеть от его движения.

А теперь о кризисе: похоже, с физикой все обстояло не так. Уравнения Максвелла, великолепно объединявшие теории электричества, магнетизма и света, оказались не инвариантными относительно симметрий, как ожидалось. Самый популярный способ разрешить эту тошнотворную ситуацию – постулировать, что существует абсолютно неподвижная точка отсчета, невидимая основа, именуемая эфиром, – то сукно, по которому катятся все бильярдные шары Вселенной. Тогда истинными законами физики были бы законы, наблюдаемые с точки зрения этого эфира, а не с точки зрения людей на планете. Однако хитроумные эксперименты, предназначенные для обнаружения эфира или измерения скорости прохождения через него Земли, потерпели неудачу. Попытки объяснить этот провал вылились в появление неприятных специальных постулатов вроде сжатия Лоренца – идеи, что длина всех двигающихся объектов уменьшается в направлении их движения. Фундаментальная физика была больна. Пуанкаре завершил свою лекцию попыткой набросать способ избежать опасности:

Возможно, нам придется построить совершенно новую механику, на которую мы можем взглянуть лишь краешком глаза, где инерция будет возрастать со скоростью, а скорость света будет пределом, за который невозможно выйти. Обычная, более простая механика останется первым приближением, поскольку она верна для не слишком больших скоростей, так что старая динамика будет заключена в новой. У нас не должно быть причин сожалеть, что мы верили в старые принципы, – в самом деле, так как скорости, слишком большие для старых формул, всегда останутся исключительными и на практике безопаснее всего будет действовать так, словно мы продолжаем в них верить. Они настолько полезны, что для них следует оставить место. Стремиться полностью их изгнать – значит лишиться ценного оружия. В заключение спешу сказать, что мы еще не достигли этого рубежа и пока еще нет доказательств, что они не выйдут из схватки победителями, в целости и сохранности[103].

Как и предсказывал Пуанкаре, пациент не умер. Напротив, он поднялся с кровати в причудливо измененном виде. В 1905 году, менее чем через год после конференции в Сент-Луисе, Пуанкаре показал, что уравнения Максвелла все-таки симметричны. Однако задействованные симметрии, так называемые преобразования Лоренца, были новыми и смешивали пространство и время гораздо более хитрым способом, нежели «я находился в этом автобусе два часа, так что я в сорока километрах к северу от того места, где был». (Эта разница особенно заметна, когда автобус двигается со скоростью 90 % от скорости света.) С этой новой точки зрения сжатие Лоренца оказывалось не каким-то странным неуклюжим ляпом, а естественной симметрией: то, что какой-то объект может менять длину при столкновении с симметрией Лоренца, не более странно, чем тот факт, что треугольник может менять форму, когда к нему применяется скронч-преобразование. Если вы знакомы с симметриями, то знаете о том, насколько разными могут быть две вещи, называемые «одинаковыми». Пуанкаре был полностью готов к этому скачку, поскольку уже был одним из новаторов в чистой математике, разработавшим формы планиметрии (геометрии плоскости), отличавшиеся от евклидовых, в частности с другой группой симметрий. А «четвертая геометрия» Пуанкаре, которую он сформулировал еще в 1887 году, была не чем иным, как скронч-плоскостью.

Скронч-геометрия включает законы сохранения вертикали и горизонтали: если две точки соединены вертикальным или горизонтальным отрезком, то и после скронч-преобразования это свойство сохранится. Лоренцево пространство-время во многом такое же. Точка в пространстве-времени – это положение и момент времени; особые отрезки, которые сохраняются при симметриях Лоренца, – это отрезки, соединяющие два положения-момента, для которых положения разделены расстоянием, в точности равным преодоленному светом за время между их моментами. Иными словами, в геометрию встраивается скорость света. На вопрос о том, может ли свет добраться из положения-момента А в положение-момент В, есть определенный ответ, который будет одним и тем же независимо от того, сидите вы в движущемся автобусе или нет.

Скронч-плоскость подобна детской версии пространства-времени Лоренца. Вы можете думать о ней следующим образом: так выглядела бы релятивистская физика, если бы у нас вместо трех измерений пространства имелось всего одно, и вместе с одномерным временем получалось бы двумерное пространство-время.

Однако Пуанкаре не разработал теорию относительности. Последнее предложение его лекции в Сент-Луисе объясняет почему. Пуанкаре надеялся, что фундаментально менять физику не придется. С помощью математических исследований он открыл странную геометрию, к которой вели уравнения Максвелла, но у него не хватило смелости проследить весь путь до странной точки на горизонте, на которую они указывали. Он был готов согласиться с тем, что физика может оказаться не такой, как представляли он и Ньютон, но не был готов принять то, что геометрия самой Вселенной может оказаться не той, которую представляли он и Евклид.

То, что Пуанкаре увидел в уравнениях Максвелла, в том же 1905 году увидел и Альберт Эйнштейн. Более молодой ученый был смелее. Именно Эйнштейн «перегеометрил» лучшего геометра мира и перестроил физику в соответствии с указаниями симметрии.

Математики быстро осознали важность новых разработок. Герман Минковский первым проработал эйнштейновскую теорию пространства-времени до ее геометрической основы (поэтому то, что мы называем здесь скронч-плоскостью, на самом деле называется плоскостью Минковского, если вы захотите об этом почитать). А в 1915 году Эмми Нётер установила фундаментальную связь между симметриями и законами сохранения. Нётер жила абстракциями и, став старше, описывала свою диссертацию 1907 года – крайне изобретательную вычислительную работу, включавшую определение 331 инварианта полиномов четвертой степени от трех переменных, – как «дерьмо»[104] и «дебри формул» (Formelngestrupp). Слишком неряшливо и специфично! Модернизация теории дыр Пуанкаре таким образом, чтобы речь шла о пространстве дыр, а не о простом их подсчете, во многом соответствовала ее менталитету и расчистила хаос законов сохранения в математической физике. Поиск величин, которые сохраняются при данной симметрии, почти всегда важный физический вопрос; Нётер доказала, что каждый вид симметрии связан с соответствующим законом сохранения, увязав то, что было беспорядочной кучей вычислений, в аккуратную математическую теорию и решив тем самым загадку, озадачившую самого Эйнштейна.

Нётер уволили из Гёттингенского университета в 1933 году вместе с другими учеными-евреями, и она переехала в США, где стала работать в колледже Брин-Мар, однако вскоре умерла в возрасте всего лишь 53 лет от инфекции после вроде бы успешной онкологической операции. Эйнштейн написал письмо в The New York Times, воздав должное ее работе словами, которые великая специалистка по абстракциям, несомненно, оценила бы:

Она открыла методы[105], которые оказались крайне важными для развития современного молодого поколения математиков. Чистая математика – это в своем роде поэзия логических идей. Разыскиваются самые общие идеи, которые объединяют в простую, логичную и единую форму максимально широкий круг формальных отношений. В этом стремлении к логической красоте обнаруживаются божественные формулы, необходимые для более глубокого проникновения в законы природы.

Глава 4. Фрагмент сфинкса

Вернемся к выставке в Сент-Луисе. Напомним, что среди крупных ученых там присутствовал сэр Рональд Росс, который в 1897 году установил, что малярия переносится укусами комаров-анофелесов. К 1904 году он стал мировой знаменитостью, и идея пригласить его в Миссури для чтения лекции было весьма удачной. Заголовок в газете St. Louis Post-Dispatch гласил: «Человек-комар уже в пути»[106].

Лекция Росса называлась «Логические основы санитарной политики по снижению количества комаров», что, надо признать, не звучит сенсационно. Однако это выступление стало первым проблеском новой геометрической теории, которая готовилась ворваться в физику, финансы и даже изучение поэтических стилей: теории случайных блужданий.

Росс выступал во второй половине дня 21 сентября[107] – как раз тогда[108], когда в другом месте выставки губернатор Ричард Йейтс смотрел парад призового домашнего скота. Росс начал:

Предположим, вам удалось остановить размножение комаров в некоей круглой области, осушив пруды, где развиваются личинки. Это не устранит всех потенциальных малярийных комаров в этой местности, поскольку они могут родиться вне этого круга и прилететь в него. Однако жизнь комара коротка, и никаких целенаправленных устремлений у него нет; он не полетит прямым курсом к центру круга, да и в целом вряд ли заберется далеко вглубь за то короткое время, что ему отведено природой. Поэтому можно надеяться, что в каком-то районе вблизи центра нашего круга не будет малярии, если круг достаточно велик.

Насколько велик? Это зависит от того, как далеко в своих блужданиях может залететь комар. Росс продолжил:

Предположим, что комар рождается в определенной точке, но в течение своей жизни блуждает туда-сюда, влево-вправо, как ему заблагорассудится… Через какое-то время он умирает. Какова вероятность того, что его мертвое тело окажется на заданном расстоянии от места рождения?

Вот диаграмма, которую представил Росс. Пунктирная линия – это движение блуждающего комара; прямая – путь более целеустремленного комара, преодолевшего до своей смерти гораздо большее расстояние. «Всеобъемлющий математический анализ, определяющий этот вопрос, довольно сложен, – сказал ученый, – и я не могу справиться с ним во всей полноте»[109].

В XXI веке можно легко смоделировать путь комара, двигающегося по таким путям, что позволит улучшить диаграмму Росса, рассмотрев не пять этапов перемещения комара, а десять тысяч.

Типичная картина: иногда комар держится какое-то время в одном месте, и его траектория пересекает себя так часто, что почти заполняет все пространство; иногда кажется, что насекомое обретает какое-то чувство направления, и ему удается преодолеть некоторое расстояние. Должен сказать, что наблюдение за анимацией этого процесса затягивает – безо всяких разумных на то оснований.

Росс разобрался только с гораздо более простым случаем, когда комар придерживается прямой линии, выбирая, лететь ему на северо-восток или на юго-запад. Мы тоже справимся! Предположим, что комар живет десять дней и каждый день выбирает, лететь ему километр на северо-восток или километр на юго-запад. Если учесть, что выбор из двух вариантов происходит ежедневно, общее количество возможных карьерных траекторий насекомого равно 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024, причем все пути равновероятны (при условии, что наш комар беспристрастен). Чтобы комар закончил свои дни в 10 километрах к северо-востоку от места появления, ему нужно десять раз подряд выбрать северо-восточное направление движения, а это означает, что так поступит только один комар из 1024. Такая же крохотная доля всех комаров умрет в 10 километрах к юго-западу от родины. Сколько насекомых окажутся на расстоянии 8 километров? Для этого нужно, чтобы комар совершил определенную последовательность выборов, например:

СВ, СВ, СВ, ЮЗ, СВ, СВ, СВ, СВ, СВ, СВ,

где девять раз будет выбрано одно направление и один раз противоположное. Одинокий ЮЗ может находиться на любом из десяти мест, поэтому 10 из 1024 путей заканчиваются в 8 километрах к северо-востоку и еще 10 – в 8 километрах к юго-западу, то есть всего нужных путей 20. Присмотревшись, можно увидеть, что на внешних окружностях своей диаграммы Росс написал маленькие цифры 2 и 20. Если хотите, можете попробовать нарисовать 45 путей, которые заканчиваются в 6 километрах к северо-востоку от исходной точки, или 210, завершающихся в 2 километрах к северо-востоку, или 252, которые возвращают комара в тот самый зловонный пруд, где он родился. Самым вероятным местом могилы комара будет точка его рождения. Это имеет смысл, поскольку задачу о комарах можно смоделировать, подбросив десять монет: если выпал орел, то мы двигаемся на северо-восток, а если решка, на юго-запад. Итоговое расстояние в 8 километров означает, что выпало 9 орлов и 1 решка; возвращение домой означает 5 орлов и 5 решек, а это в действительности самый вероятный исход при подбрасывании десяти монет. Если вы построите гистограмму для всех результатов, то получится старая добрая колоколообразная кривая нормального распределения, показывающая склонность комаров держаться своих корней.

Однако мы можем узнать больше. Немного поработав, можно вычислить, что за 10 дней комар в среднем преодолеет 2,46 километра. Это типичная продолжительность жизни самцов. Самки комаров живут больше 50 дней и за это время в среднем продвинутся на 5,61 километра. Комар-долгожитель, живущий 200 дней, теоретически мог бы пролететь 200 километров, но в среднем удалится на 11,27 километра от дома. Четырехкратное увеличение жизни увеличивает расстояние всего вдвое. Здесь мы сталкиваемся со свойством, впервые обнаруженным Абрахамом де Муавром в XVIII веке (правда, он изучал не комаров, а подбрасывание монет): среднее отклонение числа орлов от половины при n подбрасываниях монеты определяется квадратным корнем из n. Комар с продолжительностью жизни, стократно превышающей норму, скорее всего, заберется всего лишь вдесятеро дальше своих недолговечных собратьев. Комар может улететь дальше, чем вы ожидаете, но с большой вероятностью этого не произойдет. Шансы, что комар на двухсотый день жизни окажется не ближе 40 километров от дома, составляют всего лишь 3 на 1000[110].

СНЯТО!

Однако 2,46 – это не квадратный корень из 10, а 11,27 – это не квадратный корень из 200! Хорошо-хорошо, я только рад, что вы читаете книгу с карандашом в руке. Более точное приближение состоит в следующем: за первые N дней путешествия комар в среднем улетит на расстояние, примерно равное Проверяем: за десять дней комар пролетает

Весьма близко! А для 200 дней получаем

что тоже прекрасно соответствует вышесказанному.

Наличие π может заставить зазвучать вашу геометрическую сигнализацию: может, π здесь присутствует из-за того, что комар пересекает круг? Увы, нет. В конце концов, в простой модели Росса насекомые двигались только по прямой. Да, поначалу мы сталкиваемся с числом π, изучая отношение длины окружности к ее диаметру, но, как и большинство математических констант, оно возникает повсеместно – вы можете просто свернуть за угол и наткнуться на него. Один из моих любимых примеров: выберите наугад два натуральных числа и задайтесь вопросом, с какой вероятностью они взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, отличных от 1). Вероятность этого равна 6/π^2, хотя никакой окружности тут не видно.

Число π у комаров появляется из анализа, в частности из величины одного интеграла, который включает π по каким-то собственным специфическим причинам. Его вычисление было сложной задачей для французских математиков XVIII и XIX веков, но сейчас мы можем этому научить в третьем семестре анализа (хотя, если не показать хитрый трюк, то с интегралом справится только одаренный студент). Вы можете увидеть его вычисленным в фильме 2017 года «Одаренная», где этот интеграл предлагается в виде задачки для Мэри Адлер – семилетней девочки-вундеркинда, которую сыграла девятилетняя Маккенна Грейс.

Я знаю это не потому, что смотрел фильм в самолете (хотя я смотрел: какое-то время его часто показывали в самолетах), а потому, что присутствовал на съемочной площадке в качестве консультанта, чтобы в фильме все было правильно с математической точки зрения. Если вы когда-либо смотрели картину с математическим содержанием, то, возможно, задавались вопросом, сколько усилий требуется для того, чтобы детали были верными. Оказывается, много. Достаточно, чтобы заплатить математику за то, чтобы он провел большую часть дня в задней части якобы лекционного зала Массачусетского технологического института (на самом деле съемки велись в Университете Эмори в Атланте), в то время как какой-то профессор в исполнении характерного актера (чаще играющего отрицательных героев-славян в полицейских сериалах) проверяет способности одаренного ребенка[111]. Как выяснилось, мне было чем заняться. В одном из диалогов Мэри обращается к своей бабушке (которая по каким-то причинам оказывается британкой и живет отдельно от дяди девочки и одновременно ее опекуна из-за доказательства проблемы Навье – Стокса, которое покойная мама вундеркинда, возможно, нашла, но не опубликовала; знаете, это долго объяснять, давайте двигаться дальше) и говорит «отрицательное», хотя в соответствии с написанным на доске надо сказать «положительное». Я подошел к матери Грейс – единственному человеку, с которым, на мой взгляд, мне было дозволено общаться, и поинтересовался, нужно ли мне кому-то об этом сообщить. Это важно? Да, это было важно. Она быстро препроводила меня к режиссеру Марку Уэббу и приказала передать ему все, что я только что ей сказал. И все мгновенно остановилось. Они изменили слово, Грейс пошла учить новую фразу, все остальные стояли и перекусывали снеками со стола с закусками. Сколько денег теряется в секунду, когда несколько десятков узкоспециализированных профессионалов, участвующих в создании полнометражного фильма на ведущей киностудии, одновременно праздно едят орехи? Это нижняя граница, показывающая, как сильно студия заботится о том, что написано математическим мелким шрифтом. Я спросил режиссера: «Кому-то есть до этого дело? Это вообще кто-нибудь заметит?» Он ответил уставшим и одновременно каким-то восхищенным тоном: «Люди в интернете заметят!»

На съемках я узнал, что создание фильма имеет нечто общее с написанием математической статьи: основная идея для изложения не так уж сложна, однако огромное количество времени тратится на мелкие детали, которые большинство людей вряд ли заметили бы.

Поскольку я уже был на съемочной площадке, Уэбб предложил мне стать перед камерой и сыграть роль профессора, рассказывая о теории чисел примерно шесть секунд, в то время как Грейс прилежно этому внимала. Готовясь к этим шести секундам, я провел в костюмерной целый час. Правда, в навязчивом стремлении съемочной группы фильма «Одаренная» к точному соблюдению всех деталей было одно исключение: мне дали туфли, которые были намного лучше и гораздо дороже, чем те, что носит на занятия любой профессор математики. А еще я узнал о киноиндустрии один грустный факт: они не позволяют вам оставить эти туфли себе.

ВКУС ЛОЖКИ СУПА ТОТ ЖЕ, ЧТО И ВСЕЙ ТАРЕЛКИ

Меня часто спрашивают, как опрос двухсот человек может сказать что-то достоверное о предпочтениях миллионов избирателей? Если так ставить вопрос, то это звучит сомнительно, словно попытка узнать, какой суп в тарелке, попробовав всего одну ложку.

Но на самом деле вы вполне можете это сделать! Ведь у вас есть все основания думать, что в вашей ложке находится случайная выборка – образец супа. Вы никогда не залезете в тарелку с клэм-чаудером так, чтобы в вашей ложке оказался минестроне[112].

Именно этот суповой принцип и делает опросы такими эффективными. Но он не говорит вам, насколько точно опрос отражает ситуацию в городе, штате или стране, в которых проводится. Ответ кроется в медленном беспорядочном движении комара из пруда. Возьмем какой-нибудь штат, например Висконсин, где я живу и где демократов и республиканцев практически поровну. Теперь представьте себе комара, движение которого определяется следующим образом: я звоню случайному висконсинцу, узнаю его политические взгляды и командую насекомому лететь на северо-восток, если мой респондент – демократ, и на юго-запад, если он голосует за республиканцев. Это в точности модель Росса: комар двигается случайно двести раз в том или ином направлении. Откуда нам знать, что мы не позвоним случайно двумстам демократам и не получим совершенно искаженное представление о том, как голосует Висконсин? Конечно, гипотетически такое возможно – так ведь и комар мог целенаправленно двигаться на северо-восток с места рождения и до смерти. Но этого с большой долей вероятности не произойдет. Мы уже видели, что расстояние от дома до комара через 200 дней (которое численно равно разности между количеством демократов и республиканцев в нашем опросе) в среднем составляет примерно 11 километров. Поэтому вовсе не странно было бы обнаружить в нашем опросе 106 республиканцев и 94 демократа. Другое дело, если бы выявилось соотношение 120 на 80, далекое от политической реальности. Это все равно что зачерпнуть в тарелке Висконсина, а получить ложку Миссури. Если республиканцев на 40 больше, чем демократов, то это эквивалентно тому, что комар блуждает в 40 километрах от дома, а мы уже видели, что вероятность такого сценария всего 3 из 1000.

Иными словами, маловероятно, что двести участников опроса будут существенно отличаться от висконсинцев в целом. Ложка супа имеет тот же вкус, что и вся тарелка. С 95-процентной вероятностью доля республиканцев в этой выборке будет заключена между 43 % и 57 %, а потому о таком опросе будет сказано, что он имеет погрешность ±7 %. Но это при условии, что в выборе респондентов не было никакого скрытого перекоса. Росс очень хорошо понимал, что подобное смещение может испортить его комариную модель: перед вычислениями и составлением диаграмм он оговаривает, что его ландшафт настолько однороден, «что все его точки равно привлекательны для них [комаров] в отношении питания и что нет ничего такого, например ветра или локальных врагов, что могло бы заставлять их попадать в какие-то определенные районы местности».

Росс настаивает на этом предположении по действительно веской причине: без него все летит к чертям. Допустим, что есть ветер. Поскольку комары очень малы, то даже легкий ветерок может сбить их с курса. Если ветер дует в северном направлении, то, возможно, вероятность того, что комар полетит на северо-восток, составит не 50 %, а 53 %. Точно так же в нашем опросе может оказаться незамеченное смещение, когда респондент окажется республиканцем с вероятностью не 50 %, а 53 %. Скажем, республиканцы охотнее соглашаются отвечать на вопросы, чем демократы, или чаще берут трубку, или чаще имеют телефон. Это значительно увеличивает шансы на то, что наш опрос даст описание электората, отличающееся от истины. При непредвзятом опросе вероятность обнаружить 120 республиканцев и 80 демократов будет всего 3 из 1000. При «республиканском ветре» она подскакивает до 2,7 %, то есть увеличивается почти вдесятеро.

В реальной жизни мы никогда не узнаем, насколько объективен опрос. Поэтому нам, пожалуй, следует довольно скептически относиться к заявленной погрешности. Если легкий ветерок систематического смещения регулярно подталкивает опрос в ту или иную сторону, то можно ожидать, что реальные результаты выборов будут гораздо сильнее выходить за пределы заявленных погрешностей, чем утверждается. И знаете что? Именно так и происходит. В одной статье 2018 года говорится[113], что реальные результаты выборов в среднем отличаются от результатов опросов примерно вдвое больше, чем можно было предположить исходя из заявленных погрешностей. Ветреные выборы!

Есть еще один способ подумать о воздействии неизвестного ветра. Это означает, что перемещения комара в разные дни не независимы, а коррелируют друг с другом. Если сегодня комар полетел на северо-восток, это слегка повышает вероятность, что ветер дует в том же направлении, поэтому более вероятно, что и завтра насекомое полетит туда же. Этот эффект слаб, но имеет тенденцию накапливаться.

Существует популярное заблуждение, которое называют «закон средних чисел»: если монета несколько раз подряд выпала орлом, то в следующем подбрасывании шансы на выпадение решки повышаются, чтобы все было «уравновешено в среднем». Мудрый человек скажет, что это неправда, потому что броски монеты не зависят друг от друга: вероятность орла в каждом последующем подбрасывании равна 50 % вне зависимости от того, что выпадало ранее.

Но на деле все еще хуже! Если у вас нет абсолютной уверенности в честности монеты, получается какой-то «закон антисредних». Если вы получили сто орлов подряд, то можете просто удивляться необычной полосе везения или разумно предположить, что вероятность выпадения орла на вашей монете не 50 %, а больше (возможно, на монете два орла). Чем больше орлов подряд выпадет, тем логичнее ожидать орла и далее[114].

Это приводит нас к Дональду Трампу. Перед президентскими выборами 2016 года все соглашались, что Хиллари Клинтон опережает соперника, но активно спорили, каковы именно шансы Трампа. Журнал Vox 3 ноября писал:

Еще на прошлой неделе[115] прогноз Нейта Сильвера, основанный исключительно на результатах опросов, давал Хиллари Клинтон ошеломительную вероятность победы – 85 процентов. Однако на утро четверга ее шансы упали до 66,9 процента – это значит, что, несмотря на то что Дональд Трамп все еще остается аутсайдером, есть один шанс из трех, что он станет следующим президентом.

Либералы пытались утешить себя, что FiveThirtyEight[116] – это исключение среди шести крупных прогнозистов, а остальные пять дают Трампу шансы на победу от 16 до менее 1 процента.

Сэм Ван в Принстоне оценивал шансы Трампа в 7 % и был так уверен в победе Клинтон, что обещал съесть какое-нибудь насекомое, если она проиграет. Через неделю после выборов он проглотил сверчка в прямом эфире CNN. Математики[117] иногда ошибаются, но мы держим слово.

Каким образом Ван так ошибся? Все прогнозисты соглашались, что результаты выборов будут зависеть от небольшого количества колеблющихся штатов, включая Флориду, Пенсильванию, Мичиган, Северную Каролину и, конечно же, Висконсин. Казалось, что Трампу для победы нужно выиграть в большинстве этих штатов, однако было похоже, что в каждом из них лидировала Клинтон. По оценкам Сильвера, шансы Трампа составляли:

Флорида 45 %,

Северная Каролина 45 %,

Пенсильвания 23 %,

Мичиган 21 %,

Висконсин 17 %.

Трамп мог выиграть во всех этих штатах, но такая вероятность казалась небольшой, равно как и вероятность, что комар пять раз подряд переместится в одном направлении. Вы можете оценить ее, как, скорее всего, и будущий поедатель сверчка Сэм Ван. Она равна:

0,45 × 0,45 × 0,23 × 0,21 × 0,17,

то есть примерно 1/600. Как показывают аналогичные вычисления, шансы Трампа на победу даже в трех или четырех из этих штатов довольно малы.

Однако Нейт Сильвер взглянул на вещи под другим углом. Его модель учла возможную корреляцию между разными штатами, основанную на неоспоримом факте, что исследователи общественного мнения могли неосознанно смещать выборку в пользу того или иного кандидата. Да, по нашей лучшей оценке, Трамп отставал во Флориде, в Северной Каролине и во всех остальных колеблющихся штатах. Но если он выиграет в одном из этих штатов, то это будет доказательством, что из-за какой-то ошибки в опросах положение Клинтон выглядит лучше, чем на самом деле, а потому победа Трампа в других штатах становится более вероятной. Так же как в вышеприведенном примере с «законом антисредних», победа Трампа во всех колеблющихся штатах становится вероятнее, чем можно было бы ожидать по цифрам в отдельных штатах. Вот почему Сильвер дал Трампу серьезные шансы на победу на выборах. И по этой же причине оценил шансы на победу Клинтон с двузначным отрывом (то есть с разницей больше чем 10 %) как 1 к 4, в то время как Ван тоже считал это крайне маловероятным[118].

Журналисты, ошарашенные результатами выборов, начали публиковать статьи под слезливыми заголовками вроде «Можем ли мы после 2016 года снова доверять опросам?»[119].

Да. Можем. Опросы по-прежнему намного лучше отражают оценку общественного мнения, чем рейтинг абстрактного президентского правления от какого-нибудь эксперта или остроты на дебатах. По оценкам Сильвера, борьба была очень упорной и выиграть мог любой кандидат. Он оказался прав! Если вы считаете, что это сомнительная отговорка, то спросите себя: разве лучше, чтобы математика предоставила вам способ притвориться, что вы почти наверняка знаете победителя, хотя на самом деле ни вы, ни кто-либо иной его не знает?

ПИСЬМО В NATURE

Рональд Росс полностью изучил поведение комара, привязанного к направлению с юго-запада на северо-восток. Однако более реалистичная ситуация, когда насекомые могут летать в произвольном направлении, выходила за рамки его математических познаний, поэтому летом того же 1904 года он обратился к Карлу Пирсону.

Это была вполне естественная кандидатура для консультаций, если у вас имелась какая-то идея, не вписывавшаяся в академические рамки. Пирсон был хорошо зарекомендовавшим себя профессором прикладной математики в Университетском колледже Лондона; он получил эту должность, когда ему не было и тридцати. Однако перед этим он изучал право и немецкую литературу в Гейдельберге и Берлине, и сначала ему предложили профессуру по германистике в Королевском колледже Кембриджа. Он любил Германию, которая по сравнению с Англией казалась раем бурной интеллектуальной жизни, не обремененной общественными условностями в целом и религией в частности. Будучи поклонником Гете, Пирсон написал романтический роман «Новый Вертер» под псевдонимом Локи. Гейдельбергский университет написал в каком-то документе его имя на немецкий манер – Karl вместо Carl, и он всю жизнь предпочитал именно этот вариант. Впечатленный тем, что в немецком языке есть гендерно-нейтральное слово Geschwister, означающее «брат или сестра», он изобрел аналогичное слово sibling[120].

Вернувшись в Англию, Пирсон выступал за нерелигиозный рационализм и освобождение женщин, а также читал скандальные лекции на такие темы, как «Социализм и секс». Газета Glasgow Herald так писала об одном из его выступлений: «Мистер Пирсон национализировал[121] бы землю и капитал: в настоящее время он в одиночку предлагает национализировать и женщин». Его харизма помогала ему[122] оставаться безнаказанным за умеренные выходки такого рода; один из его бывших студентов описывал его так: «Типичный античный атлет с тонко вырезанными чертами лица, кудрявыми волосами и великолепным телосложением». На фотографиях начала 1880-х запечатлен мужчина с высоким лбом, пристальным взглядом и челюстью, выставленной так, словно он собирается вас в чем-то убедить.

Затем Пирсон решил вернуться к математике – предмету, по которому преуспевал в колледже. Он писал, что «страстно желал работать с символами, а не со словами». Пирсон подал заявления на две профессорские должности по математике и получил отказ. Когда он наконец получил пост в Лондоне, его друг Роберт Паркер писал матери Пирсона:

Хорошо зная Карла[123], я всегда чувствовал, что однажды он ощутит свою значимость и получит то, что ему реально подходит, как бы ни огорчались его друзья в моменты кратковременных неудач. А сейчас мы можем осознать, насколько полезными для него оказались три или четыре года свободы и занятий не математикой, а другими вещами; я не имею в виду, что все это способствовало его нынешнему успеху, но, без сомнения, сделает его счастливее, полезнее и позволит избегать любого намека той ограниченности, которую так часто видишь в людях, посвятивших себя исключительно одному поглощающему занятию, и боишься за этих людей. Кроме того, выдающиеся идеи нередко появляются за пределами рамок специальных предметов, к которым относятся, и Карл возвращается в науку с огромным багажом таких идей, нуждающихся в разработке. Однажды они сделают его столь же знаменитым, как Клиффорд[124] и другие его предшественники[125].

Сам Пирсон не был настолько в этом уверен и в ноябре своего первого семестра писал Паркеру: «Если бы у меня была[126] хотя бы искра оригинальности или я был бы гением, я бы никогда не устроился на преподавательскую работу, а путешествовал бы по жизни[127] в надежде создать то, что может пережить меня». Однако прав оказался Паркер. Пирсон стал одним из основателей новой дисциплины – математической статистики, и не потому, что доказал теоремы, столь же великолепные, как и он сам, а потому, что понял, как состыковать реальный мир и язык математики.

Именно поэтому Пирсон в 1891 году стал профессором Грешэм-колледжа по геометрии; эта должность с 1597 года подразумевала чтение бесплатных публичных лекций по математике[128]. Хотя предполагалось, что лекции должны быть по геометрии, Пирсон в своей типичной манере занимался не флегматичными разговорами о кругах и прямых евклидовой геометрии, а нарушал условности, добавляя в лекции наглядность реальной жизни, и в итоге стал популярным преподавателем. Однажды он швырнул на пол[129] десять тысяч пенсов и заставил студентов посчитать число орлов и решек, чтобы они сами проверили закон больших чисел (доля выпавших орлов стремится к 50 %), а не прочитали о нем в книге. В заявлении о приеме на профессорскую должность Пирсон писал: «Я полагаю, что[130] в силу законного истолкования термина геометрия в том смысле, в каком он использовался во времена Томаса Грешэма для именования одной из семи областей знания, в дополнение к чисто геометрическим курсам можно читать курсы лекций по элементам точных наук, по геометрии движения, графической статистике, теории вероятностей и страхованию, и это удовлетворило бы потребности клерков и других людей, работающих днем в Сити». Он читал лекции по геометрии статистики – сегодня мы назвали бы это визуализацией данных. Он впервые предложил учитывать среднеквадратичное отклонение и разглядывать гистограммы. Вскоре он разработал теорию корреляции, – возможно, самую геометрическую из всех его работ, поскольку она объясняет, как две наблюдаемые переменные могут быть связаны посредством косинуса угла в многомерном пространстве![131]

К тому моменту, когда Росс задумался о комарах, Пирсон уже был мировым лидером в применении математики к биологическим проблемам. В 1901 году он стал одним из основателей журнала Biometrika, старые выпуски которого заполняли целые полки в моем доме[132]. (Нет, я не рос в академической библиотеке, просто мои родители – специалисты по биостатистике.)

Пирсон обнаружил, что биологов, которые уже работали над такими проблемами, убедить не удавалось: «К сожалению, я чувствовал[133] себя среди них не в своей тарелке, и мои мнения только ранили их чувства, не принося реальной пользы. Я всегда преуспевал в создании враждебности, не умея доносить до других свои взгляды; полагаю, здесь виноваты мои неудачные формулировки».

Я сочувствую биологам. Математики склонны к имперскому мышлению: мы часто подходим к чужим проблемам как к математическому ядру, окруженному раздражающим количеством отвлекающих знаний из конкретной области, которые мы с нетерпением обрываем, чтобы как можно быстрее добраться до «хороших вещей». Биолог Рафаэль Уэлдон писал Фрэнсису Гальтону: «Мне кажется, здесь, как и всегда[134], когда он появляется из облаков своих математических символов, Пирсон рассуждает вольно и не особо заботится, чтобы понимать свои данные…», а в другом письме отмечал: «Но я ужасно боюсь[135] чистых математиков без умения экспериментировать. Возьмите Пирсона». Уэлдон был не просто биологом, а одним из ближайших коллег Пирсона, а Гальтон – их почтенным наставником. Именно они втроем позже основали журнал Biometrika. Эти письма напоминают разговор двух друзей за спиной третьего: мы его, конечно, любим, очень любим, но иногда он так раздражает…

Пирсон, надо думать, был рад получить письмо от одного из самых выдающихся ученых-медиков своего времени. Он ответил Россу:

Математическая постановка[136] простейшего случая вашей задачи с комарами не сложна, но решение – дело другое! Я потратил на нее целый день, а преуспел только в получении распределения после двух перелетов… Боюсь, это выходит за рамки моих умений в анализе, и тут требуется какой-то сильный математик. Но если вы предложите таким людям задачу о комарах, они на нее и не посмотрят. Чтобы они ею занялись, я должен переформулировать ее как задачу на шахматной доске или что-то в таком духе!

Современный математик, пытающийся вызвать интерес к незнакомой задаче, может опубликовать вопрос в социальных сетях или на каком-нибудь сервисе вопросов и ответов, например в математическом интернет-сообществе MathOverflow. Аналогом в 1905 году была колонка писем в журнале Nature, где Пирсон задал вопрос, убрав, как и обещал, все упоминания о комарах, но одновременно, к раздражению Росса, и все упоминания о Россе. На той же странице номера от 27 июля мы видим письмо от Джеймса Джинса, безуспешно пытающегося опровергнуть новомодную квантовую теорию Макса Планка. Между Джинсом и Пирсоном находится уведомление от некоего Джона Батлера Бурка, который наблюдал самопроизвольное зарождение микроскопической жизни в сосуде с говяжьим бульоном под воздействием недавно открытого радия. Возможно, это не то место, где вы ожидали бы увидеть истоки области математики, которая процветает по сей день.

На вопрос Росса ответили очень быстро. По сути, это заняло минус двадцать пять лет. Уже в следующем выпуске Nature было помещено письмо лорда Рэлея, лауреата Нобелевской премии по физике предыдущего года, который сообщал Пирсону, что решил задачу о случайном блуждании еще в 1880 году, когда изучал математическую теорию звуковых волн. Пирсон ответил, на мой взгляд, в довольно оборонительной манере: «Решение лорда Рэлея… весьма ценно и вполне может оказаться достаточным для целей, которые я имел в виду. Возможно, мне следовало о нем знать, однако в последние годы область моего чтения сместилась, и никто не ожидает обнаружить первую стадию какой-то биометрической задачи в мемуаре о звуке». (Обратите внимание: несмотря на оговорку Пирсона о том, что источником задачи была биология, Рональд Росс по-прежнему не упоминается.)

Рэлей показал, что случай с комаром, который может летать в произвольном направлении, не особо отличается от более простой одномерной модели Росса. По-прежнему справедливо, что насекомое будет медленно блуждать и его типичное расстояние от исходной точки пропорционально квадратному корню из количества дней полета. И по-прежнему самое вероятное место для окончания полета – исходная точка. Это заставило Пирсона заметить: «Урок решения[137] лорда Рэлея таков: на открытой местности самое вероятное место найти пьяницу, который еще способен держаться на ногах, находится где-то рядом с его отправной точкой!»[138]

Именно из-за этого небрежного комментария Пирсона мы обычно сравниваем случайное блуждание с путем выпившего человека, а не с движением комара – переносчика болезни. Часто его называют «прогулкой пьяницы», хотя в нынешнее доброжелательное время большинство людей больше не думают о пагубной привычке как о забавном гвоздике, на который можно повесить математическое понятие.

СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ И БИРЖА

В начале нового века о случайных блужданиях думали не только Росс и Пирсон. Молодой человек из Нормандии Луи Башелье работал на крупнейшей финансовой бирже в Париже. Он начал изучать математику в Сорбонне в 1890-х годах, проявляя повышенный интерес к курсам вероятности, которые читал Анри Пуанкаре. Башелье не был типичным студентом: будучи сиротой, он был вынужден зарабатывать на жизнь, а потому не получил лицейского образования, которое вырабатывало стиль занятий французской математикой у большинства его сверстников. Он пытался[139] сдавать экзамены, едва наскребая на проходной балл. А его интересы вообще были странными. Высоким статусом в то время обладали небесная механика и физика; сюда относилась, например, задача трех тел, которую решал Пуанкаре, чтобы выиграть премию короля Оскара. Башелье же хотел изучать колебания цен на облигации, которые он наблюдал при работе на бирже, – он предлагал изучать их математически, так же как его профессора исследовали движения небесных тел.

Пуанкаре крайне скептически относился к применению математики к человеческим действиям, что проявилось еще во времена его неохотного участия в деле Дрейфуса – жарких спорах по поводу виновности французского офицера еврейского происхождения, обвиненного в шпионаже в пользу Германии. Пуанкаре не был склонен к политическим баталиям и каким-то образом умудрялся сохранять нейтралитет, даже когда конфликт охватил все французское общество. Однако его коллега Поль Пенлеве, ярый дрейфусар (и кроме того, второй француз, летавший на аэроплане, а гораздо позже и ненадолго – премьер-министр Франции во время президентства Раймона Пуанкаре, двоюродного брата Анри), смог убедить его вмешаться. Эксперт Альфонс Бертильон, известный научным подходом, выступил против Дрейфуса, заявив, что невиновность офицера исключается законами вероятности. Пенлеве заявил, что самый выдающийся математик страны не может молчать, когда дело стало вопросом вычислений. Пуанкаре написал письмо с оценкой расчетов Бертильона для прочтения жюри присяжных при повторном рассмотрении дела Дрейфуса в Ренне. Как и надеялся Пенлеве, когда Пуанкаре прочитал работу Бертильона, он обнаружил там преступления против математики. Бертильон выявил множество «совпадений», которые, по его мнению, неопровержимо указывали на вину Дрейфуса. Пуанкаре заметил, что методы Бертильона давали ему столько возможностей отыскать «совпадения», что было бы крайне необычно, если бы он ничего не нашел. Пуанкаре заключил, что метод Бертильона «абсолютно лишен научной ценности». Однако ученый пошел дальше и заявил, что «применение исчисления вероятностей к моральным наукам» – сейчас мы назвали бы их общественными науками – «скандально для математики». Он сказал: «Желание устранить моральные элементы и заменить их числами столь же опасно, сколь и бессмысленно. Короче говоря, исчисление вероятностей – это вовсе не та чудесная наука, которая (как, похоже, полагают люди) избавляет овладевших ею людей от необходимости обладать здравым смыслом».

Дрейфуса все равно признали виновным[140], [141].

А год спустя в своей диссертации ученик Пуанкаре Луи Башелье изложил методы определения подходящей цены для опциона – финансового инструмента, который позволяет вам купить облигацию по определенной цене в какой-либо определенный момент в будущем. Конечно, опцион имеет смысл только в случае, если рыночная цена облигации превышает зафиксированную вами цену. Таким образом, чтобы понимать ценность опциона, нужно представлять, с какой вероятностью цена облигации пойдет вверх или вниз. Идея Башелье для анализа этого вопроса сводилась к предложению рассматривать цену облигации как случайный процесс, который каждый день двигается вверх или вниз независимо от предыдущих дней. Звучит знакомо? Все тот же комар Росса, только на этот раз в обличье денег. И Башелье пришел к тем же выводам, к которым придет и Росс через пять лет (а лорд Рэлей – двадцатью годами ранее). Величина блуждания цены за определенное время обычно пропорциональна квадратному корню из этого времени.

Пуанкаре проглотил свой скептицизм и написал о диссертации теплый отзыв, подчеркнув умеренность целей его ученика: «Можно было опасаться[142], что автор преувеличил применимость теории вероятностей, как это часто бывало. К счастью, в данном случае это не так… он стремится установить границы, внутри которых можно законным образом применять подобные вычисления». Однако диссертация получила оценку «похвально» (honorable), которой хватало для принятия, а не «превосходно» (très honorable, буквально «весьма похвально»), которая требовалась Башелье для поступления во французскую академию. Его работа была слишком далека от основного русла, во всяком случае так казалось до начала революции случайных блужданий. В итоге Башелье получил должность[143] профессора в Безансоне и прожил до 1946 года – достаточно долго, чтобы увидеть, как оригинальность его работы оценили другие математики, но недостаточно долго, чтобы узнать, что случайные блуждания стали стандартным инструментом в финансовой математике. Сведения об этом распространились даже среди широкой публики: книга Бёртона Мэлкила об инвестировании «Случайная прогулка по Уолл-стрит»[144] разошлась тиражом свыше миллиона экземпляров. Суть идеи Мэлкила отрезвляет: постоянные колебания курса вверх и вниз выглядят так, словно ими движут какие-то события, однако они могут быть такими же случайными, как перемещения комара. Не тратьте время попусту, пытаясь отследить взлеты и падения рынка, советует автор. Вместо этого положите деньги в индексные фонды и забудьте о них. Никакие размышления не смогут предсказать следующее перемещение комара и дать вам преимущество. Башелье еще в 1900 году изложил утверждение, названное им фундаментальным принципом:

L’espérance mathématique du spéculateur est nulle

(«Математическое ожидание прибыли игрока на бирже равно нулю»).

ВЕСЬМА НЕОЖИДАННЫЙ ФАКТ КАЖУЩЕЙСЯ ЖИЗНЕСПОСОБНОСТИ

В июле 1905 года, в том же месяце, когда Пирсон опубликовал вопрос Росса в журнале Nature, Альберт Эйнштейн опубликовал в журнале Annalen der Physik статью «О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты». Статья описывала броуновское движение – загадочное перемещение мелких частиц, находящихся в жидкости. Впервые это движение заметил Роберт Броун во время изучения частиц растительной пыльцы под микроскопом и задался вопросом, не этот ли «весьма неожиданный факт кажущейся жизнеспособности» отражает некий фактор жизни, который остался в пыльце, несмотря на ее отделение от растения. Однако в последующих экспериментах он наблюдал точно такой же эффект в частицах неорганического происхождения: в мелких частицах стекла со своего окна, порошках марганца, висмута и мышьяка, волокнах асбеста и… (Броун упоминает об этом так буднично, словно иметь такую вещь в доме нормально для любого ботаника) во фрагменте сфинкса[145].

Объяснение броуновского движения вызывало ожесточенные споры. Одна из популярных теорий утверждала, что частицы пыльцы или сфинкса двигаются под воздействием еще более мелких частиц – молекул жидкости, которые слишком малы, чтобы их можно было увидеть в микроскопы XIX века. Молекулы постоянно случайным образом сотрясали пыльцу, заставляя ее выплясывать настоящий броуновский танец. Однако вспомните: не все тогда верили, что материя состоит из невидимых частиц! Это и было сутью масштабной дискуссии, где на стороне «крохотных частиц» выступал Людвиг Больцман, а противоположную точку зрения отстаивал Вильгельм Оствальд. Для оствальдианцев объяснение физического явления посредством постулирования крохотных ненаблюдаемых молекул было немногим лучше, чем призыв невидимых демонов, подталкивающих пыльцу. Сам Карл Пирсон в книге 1892 года «Грамматика науки» писал: «Ни один физик никогда не видел и не ощущал отдельный атом». Однако Пирсон все равно был атомистом; по его словам, будут когда-либо обнаружены атомы или нет, гипотеза об их существовании привнесла бы ясность и единство в физику и породила эксперименты для проверки. В 1902 году Эйнштейн организовал в своей бернской квартире общество научных дискуссий и обеденный клуб «Олимпийская академия». Скромный ужин обычно включал «ломтик болонской колбасы, кусочек сыра грюйер, какой-нибудь фрукт, немножко меда и одну-две чашки чая» (Эйнштейн, еще не получивший должность в швейцарском патентном бюро, наскребал на жизнь преподаванием физики за три франка в час и подумывал о подработке уличным скрипачом ради пропитания). В «Академии» читали[146] Спинозу, Юма, книгу Дедекинда «Что такое числа и для чего они служат?», работу Пуанкаре «Наука и гипотеза», однако самой первой изучили «Грамматику науки» Пирсона. И прорыв Эйнштейна три года спустя во многом был вполне в духе Пирсона.

Невидимые демоны непредсказуемы; не существует математической модели того, что эти негодяи будут делать дальше. С другой стороны, молекулы подчиняются законам вероятности. Если какую-то частицу ударяет молекула воды, двигающаяся в случайном направлении, то и частица под воздействием этого импульса продвинется на крохотное расстояние в этом направлении. Если каждую секунду происходит триллион таких ударов, то частица пыльцы перемещается на небольшое расстояние в случайно выбранном направлении каждую триллионную долю секунды. Что будет с частицей в долгосрочной перспективе? Это можно предсказать, даже если отдельные толчки не видны.

Это именно тот вопрос, которым задавался Росс. Вместо частицы пыльцы у него был комар, а вместо триллионов движений в секунду – одно в день, но математическая идея тут одинакова. Эйнштейн, как и Рэлей ранее, определил, как будут двигаться частицы пыльцы в результате последовательности толчков в случайных направлениях. В итоге оказалось, что молекулярную теорию можно проверить экспериментально, что впоследствии с успехом и сделал Жан Перрен; это стало решающим ударом сторонников Больцмана. Эффект совокупного воздействия триллиона беспорядочно толкающихся молекул был виден, хотя сами они оставались невидимы.

Анализировать одновременно броуновское движение, биржу и перемещение комара с помощью математики случайного блуждания – значит следовать высказыванию Пуанкаре и давать одно и то же название разным вещам. Пуанкаре сформулировал свой знаменитый совет в обращении 1908 года к Международному конгрессу математиков в Риме. Он трогательно говорил о том, что выполнение сложных вычислений может выглядеть «поиском вслепую», пока вы не сталкиваетесь с ситуацией, когда в основе двух разных проблем лежит одна и та же математическая структура, и тогда одна проблема проливает свет на другую. «Одним словом, – подытожил Пуанкаре, – это позволило мне обнаружить возможность обобщения. Тогда это будет не просто новый результат, а и новая сила»[147].

СВОБОДА ВОЛИ ПРОТИВ НЕИСТОВОГО АНДРЕЯ

Тем временем в России яростно враждовали две математические группы из-за разногласий в отношении связей между вероятностью, свободой воли и Богом. Московской школой руководил Павел Алексеевич Некрасов, который, прежде чем заняться математикой, получил образование в духовной семинарии. Некрасов был архиконсерватором, убежденным христианином вплоть до мистицизма и, по мнению некоторых, участником ультранационалистического черносотенного движения. Он был во всех отношениях человеком царизма. Один источник отмечал, что Некрасов резко противится[148] всем политическим изменениям, где участвуют народные массы, и считает частную собственность главным принципом, который обязан защищать царский режим. Консервативные убеждения сделали его популярным у политиков антиреволюционного толка, которые хотели сдерживать студенческий радикализм, и Некрасов неуклонно поднимался по административной лестнице, став сначала ректором[149] Московского университета, а затем попечителем Московского учебного округа.

Его противником был Андрей Андреевич Марков из санкт-петербургской математической школы, атеист и ярый враг православной церкви[150]. Он написал в газеты много резких писем по социальным проблемам и получил прозвище Неистовый Андрей[151]. В знак протеста[152] против решения Синода об отлучении Льва Толстого Марков потребовал в 1912 году, чтобы Святейший правительствующий синод Русской православной церкви отлучил и его (хотя это желание было удовлетворено, церковь не стала предавать академика анафеме – самой суровой мере).

Некрасов, как можно догадаться, после революции впал в немилость; он выжил, но его роль математического авторитета была утеряна; он, как говорили, казался странной тенью прошлого[153]. После его смерти в 1924 году «Известия» опубликовали умеренно лестный некролог, где хвалили Некрасова за решительное стремление[154] понять марксизм – последнее оскорбление покойного.

Удивительно, но судьба Маркова сложилась не лучше. При царизме Некрасов обвинял его в симпатиях к марксизму, однако Марков пользовался коммунистической идеологией не больше Священного синода; его неистовый дух обнаружил новую цель. В 1921 году, за год до своей смерти, Марков сообщил в Академию наук, что не может посещать ее заседания из-за отсутствия обуви. Полученную от государства обувь Марков счел настолько плохой, что потребовалось его последнее гневное публичное заявление:

Наконец я получил обувь[155]; но она не только дурно сшита, но и совершенно не подходит по своим размерам. Таким образом, я по-прежнему лишен возможности правильно посещать заседания Академии. Полученную мною обувь я предлагаю поместить в Этнографическом музее как образец материальной культуры текущего момента, ради чего я готов ее пожертвовать[156].

Разногласия между Марковым и Некрасовым можно было разрешить полюбовно, если бы они не перешли от религиозных и политических тем к более серьезному предмету – математике. И Марков, и Некрасов интересовались вероятностью, в частности так называемым законом больших чисел, – той теоремой, которую демонстрировал на лекции Карл Пирсон, бросив на пол десять тысяч пенсов. Исходная версия теоремы, доказанная Якобом Бернулли за двести лет до Маркова, утверждает примерно следующее: если подбросить монету достаточно большое количество раз, доля орлов будет близка к 50 %. Конечно, нет никакого физического закона, который заставляет монету падать именно так, и она может выпасть одной стороной столько раз, сколько вы захотите. Однако это крайне маловероятно, и с увеличением числа подбрасываний монеты становится все более неправдоподобной любая фиксированная процентная доля, отличная от 50 %, будь то 60, 51 или 50,00001 % орлов. Человеческое существование подчиняется тем же законам, что и подбрасывание монеты. Статистика поведения и действий людей[157], например частота различных преступлений или возраст первого вступления в брак, также демонстрирует тенденцию концентрироваться около определенных средних значений[158], как если бы люди в совокупности были просто кучей бессмысленных монет.

В течение двух столетий после Бернулли многие математики, включая учителя Маркова Пафнутия Львовича Чебышева, совершенствовали закон больших чисел, распространяя его на все новые и новые случаи. Однако все результаты требовали предположения о независимости: одно подбрасывание монеты не должно зависеть от другого.

Пример с выборами 2016 года показывает, почему это условие важно. В каждом штате разницу между оценкой по опросу и реальным голосованием можно рассматривать как случайную величину (ошибку прогноза). Если бы все эти ошибки были независимы друг от друга, то вероятность того, что все они будут в пользу одного кандидата, была бы крайне мала; гораздо вероятнее, что некоторые будут в одну сторону, некоторые в другую, и в среднем получится величина, близкая к нулю, то есть наша общая оценка будет недалека от истины. Но если ошибки зависимы, как часто бывает в реальной жизни, то наше предположение неверно, и тогда наш избирательный аппарат системно недооценивает одного кандидата – в Висконсине, Аризоне и Северной Каролине.

Некрасова беспокоила наблюдаемая статистическая закономерность человеческого поведения. Для него идея, что люди в своей основе предсказуемы и могут выбирать собственный путь во Вселенной не больше чем комета или астероид, была несовместима с церковной доктриной и потому неприемлемой. Он увидел выход в теореме Бернулли. Закон больших чисел гласил, что средние значения ведут себя предсказуемо, когда отдельные переменные независимы. Некрасов сделал вывод, что закономерности, которые мы видим в природе, не означают, что все мы – просто детерминистские частицы, двигающиеся по пути, предначертанному природой, а говорят о том, что все мы независимы друг от друга и способны делать собственный выбор. Иными словами, эта теорема – математическое доказательство свободы воли. Он изложил свою теорию в нескольких сумбурных статьях объемом в сотни страниц, опубликованных в журнале своего учителя, близкого ему по националистическим взглядам, Николая Васильевича Бугаева; итогом этих усилий стала увесистая книга, вышедшая в 1902 году.

Для Маркова это было мистической ерундой. Хуже того, эта мистическая ерунда рядилась в математические одежды. Марков жаловался одному из коллег, что труд Некрасова злоупотреблял математикой. Он не мог исправить то, что считал метафизическими ошибками Некрасова, но с математикой он разобраться мог.

На мой взгляд, нет ничего более интеллектуально бесплодного, чем словесная перепалка между истинно верующими и сторонниками атеизма. Однако на этот раз борьба привела к серьезному математическому прогрессу, и ее отголоски чувствуются до сих пор. Марков сразу увидел, что ошибка Некрасова – в прочтении теоремы задом наперед. Бернулли и Чебышев утверждали, что средние сходятся, когда рассматриваемые переменные независимы. Отсюда Некрасов заключил, что переменные независимы всякий раз, когда средние сходятся. Однако этот вывод неверен! Каждый раз, когда я ем гуляш, у меня появляется изжога, но это не означает, что каждый раз, когда у меня изжога, я ел гуляш.

Чтобы реально победить соперника, Маркову требовалось придумать контрпример: найти последовательность случайных величин, поведение средних у которых было бы полностью предсказуемым, но которые не были бы независимыми. В результате он изобрел то, что сейчас называют цепями Маркова. В основу легла та же идея Росса для моделирования перемещений комара, которую Башелье применил к фондовому рынку, а Эйнштейн – для объяснения броуновского движения. Первая работа Маркова на эту тему появилась в 1906 году; ему было пятьдесят лет, годом ранее он ушел с должности, так что это было отличное время, чтобы по-настоящему погрузиться в интеллектуальную дискуссию.

Марков рассмотрел комара[159], ведущего весьма стесненный образ жизни: он может летать всего в два места, назовем их Болото 0 и Болото 1. Где бы ни находился комар, он предпочитает оставаться, если может напиться достаточно крови. Предположим, что в любой день, когда комар находится в Болоте 0, он с вероятностью 90 % останется в нем же и на следующий день и с вероятностью 10 % перелетит в Болото 1, чтобы узнать, не лучше ли там ситуация с питанием. Болото 1 представляет собой несколько менее перспективные охотничьи угодья, так что здесь комар остается с вероятностью 80 % и перелетит в Болото 0 с вероятностью 20 %. Мы можем изобразить эту ситуацию на диаграмме.

Мы внимательно следим за перемещением комара, отмечая, где он проводит каждый день. Вероятнее всего, у вас будут длинные последовательности нулей (Болото 0) и единиц (Болото 1), потому что перелетать из болота в болото менее вероятно, чем в нем оставаться. Цепочка может выглядеть примерно так:

0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…

Марков доказал следующий факт: если долго наблюдать за комаром, то средняя доля времени, которую он провел в Болоте 1, будет стремиться к фиксированной вероятности – так же, как сходилась к 50 % доля орлов при подбрасывании монеты. Вы можете подумать, что комар, летая наугад, окажется в каждом болоте с равными шансами. Нет! Та асимметрия, которую мы заложили в условия, сохранится. В нашем случае среднее будет сходиться к числу 2/3. То есть комар 2/3 жизни проведет в Болоте 0 и только 1/3 – в Болоте 1.

Я не утверждаю, что это очевидно, но постараюсь вас убедить, что это хотя бы разумно. В любой день в Болоте 0 шансы комара улететь из него составляют 1/10, поэтому вы можете ожидать, что типичное время пребывания комара в Болоте 0 равно 10 дням. По тем же причинам типичное время пребывания комара в Болоте 1 равно 5 дням. Следовательно, в целом комар должен проводить в Болоте 0 вдвое больше времени, чем в Болоте 1, что и было сказано выше.

Однако – и это было смертельным ударом для Павла Алексеевича – величины в этой последовательности не независимы. Ничего подобного! Нынешнее и завтрашнее местоположение комара очень сильно зависимы и в подавляющем большинстве случаев будут совпадать. Но тем не менее закон больших чисел применим. Независимость не нужна. О математическом доказательстве свободы воли можно забыть.

Последовательность таких случайных величин называется цепью Маркова в случае, если каждая следующая величина зависит только от одной предыдущей, но не от тех, что были в цепи ранее. Если вы хотите знать, где будет завтра комар, неважно, где он был вчера или позавчера, – важно только то, где он находится сегодня[160]. Каждая случайная величина связана со следующей, как звенья цепи. Даже если сеть болот и путей между ними будет более сложной (но останется при этом конечной[161]), доля времени, которую комар проведет на каждом из болот, будет стремиться к некоторому фиксированному числу, как и в случае монет или игральных костей. Если раньше у нас был только закон больших чисел, то теперь появился закон долгих блужданий.

В первом десятилетии XX века не существовало мирового научного сообщества в современном виде, и математические работы пересекали границы с большим трудом. Эйнштейн не знал о работе Башелье со случайными блужданиями. Марков не знал об Эйнштейне. Никто из них не знал о Рональде Россе. И тем не менее все они пришли к одним и тем же заключениям. Невозможно избавиться от ощущения, что в начале 1900-х годов нечто витало в воздухе – какое-то болезненное осознание неизбежной пузырящейся случайности, лежащей в основе вещей. (Не говоря уже о развитии квантовой механики, которая в итоге вплетет вероятность в физику совершенно другим путем.) Говорить о геометрии пространства (вне зависимости от того, является ли оно сосудом с жидкостью, пространством рыночных состояний или кишащим комарами болотом) – значит говорить о том, как что-то в нем движется, и, похоже, во всем мире геометрии не найдется области, где случайное блуждание не оказалось бы иллюстративным инструментом. Позже мы увидим, что цепи Маркова играют крайне важную роль при изучении способов разделения штатов на избирательные округа, а прямо сейчас посмотрим, как они применяются к чисто абстрактному пространству самого английского языка.

PONDENOME OF DEMONSTURES OF THE REPTAGIN

Оригинальная работа Маркова была чисто абстрактным упражнением по теории вероятностей. Есть ли у нее практические применения? В одном из писем Марков писал, что его заботят только вопросы чистой науки, а вопрос применимости теории вероятностей ему безразличен. Согласно Маркову, выдающийся статистик и специалист по биометрике Карл Пирсон не сделал ничего заслуживающего упоминания. Узнав через несколько лет о предыдущей работе Башелье о случайных блужданиях на бирже, он заметил, что, конечно же, видел ее[162], но она ему сильно не понравилась, и что он не берется судить о ее значимости для статистики, но для математики, на его взгляд, она совершенно бесполезна.

Однако в итоге Марков таки сдался и применил свою теорию к области, которая объединяет в России и атеистов, и православных, – поэзии Александра Сергеевича Пушкина. Смысл и искусство пушкинской поэзии, разумеется, не поддаются механике вероятности, поэтому Марков ограничился первыми 20 000 букв романа в стихах «Евгений Онегин», которые рассмотрел как последовательность согласных и гласных, а если точнее, то 43,2 % гласных и 56,8 % согласных. Возможно, кто-то наивно надеялся, что буквы независимы друг от друга, а значит, буква, следующая за согласной, будет согласной ровно с такой же вероятностью, с какой согласные встречаются во всем тексте, то есть 56,8 %.

Однако Марков обнаружил, что это не так. Он тщательно подсчитал все пары последовательных букв, разбив их на четыре комбинации – согласная-согласная, согласная-гласная, гласная-согласная и гласная-гласная, – и получил следующую диаграмму:

Эта марковская цепь похожа на ту, что управляла комаром на двух болотах; просто вероятности поменялись. Если искомая буква – согласная, то следующая буква будет гласной с вероятностью 66,3 % и согласной с вероятностью 33,7 %. Двойные гласные встречаются еще реже: шансы, что одна гласная сменит другую, составляют всего 12,8 %. Эти числа статистически устойчивы по всему тексту. Вы можете рассматривать их как статистическую подпись пушкинского текста. В самом деле, позднее Марков вернулся к задаче и изучил 100 000 букв из романа Сергея Аксакова «Детские годы Багрова-внука». Процентное содержание гласных у Аксакова не особо отличалось от пушкинского: 44,9 %. Но эта марковская цепь выглядит совершенно иначе:

Если по какой-нибудь причине вам нужно определить, принадлежит неизвестный текст на русском языке Аксакову или Пушкину, есть один хороший способ (особенно если вы не умеете читать по-русски) – посчитать пары последовательных гласных, к которым Аксаков, похоже, благоволил, а Пушкин их избегал.

Нельзя винить Маркова, что он свел литературные тексты к двоичной последовательности гласных и согласных; ему приходилось все считать вручную на бумаге. С появлением компьютеров возможности значительно расширились. Вместо двух болот у вас может быть 26 – по числу букв английского алфавита. А с учетом огромного количества текстов можно оценить все вероятности, необходимые для определения цепи Маркова для английских букв. Питер Норвиг, директор по исследованиям[163] компании Google, задействовал для вычисления этих вероятностей набор текстов объемом около 3,5 триллиона букв. Приблизительно 445 миллиардов букв, то есть 12,5 % от общего количества, – это буква Е, наиболее часто употребляемая в английском языке. Однако следующая за ней снова буква Е встречалась только в 10,6 миллиарда случаев, что дает нам вероятность немногим более 2 %. Гораздо чаще за Е следовала буква R, что наблюдалось 57,8 миллиарда раз; таким образом, доля буквы R среди «следующих за Е» составила почти 13 %, что примерно вдвое превышает частоту R среди всех букв. На деле сочетание («биграмма») ER – четвертое по частоте среди всех двухбуквенных сочетаний в английском языке. (Прежде чем посмотреть в сноске первые три, попробуйте их угадать[164].)

Мне нравится представлять буквы как места на карте, а вероятности – как дорожки, которые в различной степени привлекательны и проходимы. От E к R ведет широкая дорога с хорошим покрытием. Дорожка от E к B намного уже и заросла колючками. От T к H дороги почти односторонние: добраться в двадцать с лишним раз проще, чем от H к T. (Носители английского языка часто употребляют слова the, there, this и that, а вот light и ashtray реже[165].) Цепь Маркова сообщает нам, какой извилистый путь вероятнее, когда мы идем по карте английского текста.

Ну раз уж вы здесь, почему бы не пойти дальше? Вместо последовательности букв мы можем представить текст как последовательности биграмм; например, первое предложение этого абзаца будет начинаться так[166]:

ON, NC, CE, EY, YO, OU…

Теперь на наших дорогах есть определенные ограничения. От ON нельзя перейти к произвольному буквосочетанию: следующее должно начинаться на N. Данные Норвига показывают, что самое распространенное продолжение – NS (14,7 %), а затем NT (11,3 %). Это дает еще более четкое представление о структуре английского текста.

Инженер и математик Клод Шеннон[167] первым понял, что цепи Маркова можно использовать не только для анализа, но и для создания текста. Предположим, вы хотите создать фрагмент текста с теми же статистическими характеристиками, что и текст на английском языке, и он начинается с ON. Тогда вы можете использовать для выбора следующей буквы генератор случайных чисел, который выдаст букву S с вероятностью 14,7 %, букву T с вероятностью 11,3 % и так далее. Как только выберете следующую букву (например, T), у вас есть следующее буквосочетание (NT), и вы можете аналогично делать следующий шаг и так далее, пока не получите текст желаемой длины. Статья Шеннона «Математическая теория связи» (положившая начало всей теории информации) появилась в 1948 году, а потому ученый не имел доступа к 3,5 триллиона букв английских текстов на нынешних магнитных носителях. Поэтому он применял цепи Маркова иначе. Если у него было буквосочетание ON, он брал с полки какую-нибудь книгу и просматривал ее, пока не натыкался на стоящие рядом буквы O и N. Если после них шла буква D, то следующим буквосочетанием он брал биграмму ND. Затем искал в очередной книге сочетание ND и так далее. (Если после ON следует пробел, вы тоже можете это учитывать, тогда у вас будет получаться текст, разделенный на отдельные слова.) Вы записываете выстроенную таким образом последовательность букв и получаете знаменитую фразу Шеннона:

IN NO IST LAT WHEY CRATICT FROURE BIRS GROCID PONDENOME OF DEMONSTURES OF THE REPTAGIN IS REGOACTIONA OF CRE.

Простой марковский процесс создал текст, который не является английским, но выглядит как английский[168]. Такова жуткая сила этой цепи.

Конечно, цепь Маркова будет зависеть от набора текстов, выбранных для определения вероятностей, – «обучающих данных», как мы говорим в сфере машинного обучения. Норвиг задействовал огромный набор текстов, собранных Google с сайтов и ваших электронных писем; Шеннон использовал книги со своей полки, а Марков – Пушкина. Вот текст, который[169] я сгенерировал с помощью марковской цепи, обученной на списке имен, которые давали младенцам, родившимся в США в 1971 году:

Teandola, Amberylon, Madrihadria, Kaseniane, Quille, Abenellett…

При этом использовались пары букв – биграммы. Мы можем пойти дальше и задаться вопросом: с какой вероятностью очередная буква будет появляться после определенной последовательности из трех букв (триграммы). Для этого понадобится гораздо больше данных, потому что триграмм намного больше, чем диграмм. Зато получающийся список будет гораздо больше похож на настоящие имена:

Kendi, Jeane, Abby, Fleureemaira, Jean, Starlo, Caming, Bettilia…

При переходе к пятибуквенным комбинациям ситуация настолько улучшается, что мы нередко просто воспроизводим реальные имена из базы, однако кое-какие новые все же встречаются:

Adam, Dalila, Melicia, Kelsey, Bevan, Chrisann, Contrina, Susan…

Используя цепь с триграммами и имена детей, родившихся в 2017 году, мы получим такой список:

Anaki, Emalee, Chan, Jalee, Elif, Branshi, Naaviel, Corby, Luxton, Naftalene, Rayerson, Alahna…

Он определенно выглядит более современно, причем примерно половина в нем – реальные имена, с которыми ходят сейчас дети. Для младенцев 1917 года рождения:

Vensie, Adelle, Allwood, Walter, Wandeliottlie, Kathryn, Fran, Earnet, Carlus, Hazellia, Oberta…

Сколь бы ни была проста цепь Маркова, она как-то улавливает стиль использования имен в разные времена. И этот способ придумать имя выглядит творческим. Некоторые из этих имен весьма неплохи! Вы вполне можете представить, что ребенка зовут Jalee или в стиле ретро – Vensie, но вряд ли назовете его Naftalene[170].

Способность цепи Маркова генерировать нечто вроде языка заставляет задуматься: может быть, язык – это просто цепь Маркова? Не создаем ли мы, когда говорим, просто новые слова на основе нескольких последних произнесенных нами слов или на основе какого-то вероятностного распределения, которое мы знаем из всех когда-либо услышанных чужих фраз?

Дело не только в этом. В конце концов, мы подбираем слова, каким-то образом относящиеся к окружающему миру, а не просто повторяем уже сказанное.

И все же современные цепи Маркова могут генерировать нечто удивительно похожее на человеческий язык. Алгоритм GPT-3 компании OpenAI – духовный потомок текстовой машины Шеннона, только намного мощнее. На входе не три буквы, а фрагмент текста длиной в сотни слов, но принцип тот же: если есть недавно созданный текст, то какова вероятность, что следующее слово будет «эта», «геометрия» или «гололедица»?

Вы можете подумать, что это легко. Достаточно взять первые пять предложений из вашей книги, пропустить их через GPT-3 и получить список вероятностей для каждой возможной комбинации слов в этих предложениях.

Погодите, а с чего вы взяли, что это легко? Вообще-то нет. Просто предыдущий абзац – это попытка алгоритма GPT-3 продолжить текст из трех абзацев перед ним. Я выбрал самый осмысленный результат из десятка попыток. Но все результаты каким-то образом звучат так, словно они взяты из книги, которую вы читаете, и это, скажу я вам, несколько тревожит ее автора, даже когда предложения не имеют смысла вообще, как в этом фрагменте[171]:

Если вы знакомы с понятием теоремы Байеса, то это должно быть для вас легко. Если есть вероятность 50 %, что следующим словом будет «эта», и 50-процентный шанс, что им будет «геометрия», то вероятность того, что следующим словом будет либо «эта геометрия», либо «гололедица», составляет (50/50)2 = 0.

Между этой задачей и текстовой машиной Шеннона действительно большая разница. Представьте, что у Шеннона огромная библиотека и он пытается с помощью этого метода составить английские предложения, начиная с тех пятисот слов, которые вы только что прочитали. Он просматривает книги до тех пор, пока не найдет ту, где эти слова расположены в точно таком же порядке, чтобы он мог записать следующее слово. Конечно же, он этих слов не находит! Никто (надеюсь!) никогда не написал эти пятьсот слов так, как только что сделал я. Поэтому метод Шеннона потерпит неудачу на первом же шаге. Это равнозначно попытке найти следующую букву после буквосочетания XZ. На его полке просто может не оказаться книги с такой биграммой. Тогда он пожимает плечами и сдается? Давайте припишем Клоду больше целеустремленности! Например, можно сказать, что мы раньше никогда не встречали XZ, но, возможно, видели биграммы, в каком-то смысле похожие на XZ? Тогда можно взять буквы, которые следовали за этими биграммами. Как только мы начинаем размышлять подобным образом, мы выносим суждения о том, какие последовательности букв «близки» к другим последовательностям, а это означает, что мы думаем о геометрии последовательностей букв. Непонятно, какую «близость» нам следует подразумевать, и проблема усложняется еще больше, когда мы говорим о фрагменте текста из пятисот слов. Что значит один фрагмент близок к другому? Это геометрия языка? Или стиля? И как компьютер должен это понимать? Мы еще вернемся к этому вопросу. Но сначала познакомимся с величайшим в мире игроком в шашки.

Глава 5. «Его стиль – непобедимость»

Величайший чемпион в истории человечества в своей области – лучше, чем Серена Уильямс в теннисе, Бейб Рут в хоумранах[172], Агата Кристи в написании бестселлеров и Бейонсе в проведении зрелищных концертов, – был кротким профессором математики и изредка проповедником, который жил со своей престарелой матерью с Таллахасси (штат Флорида). Его звали Марион Тинсли, и он играл в английские шашки[173], причем так, как никто не играл до него и не будет играть после.

Тинсли вырос в Колумбусе, где научился играть в шашки у квартирантки, жившей в их доме, – некоей миссис Кершоу, которая радовалась своему превосходству над мальчиком. «О, как она гоготала[174], перепрыгивая через мои шашки», – вспоминал Тинсли. Подростку повезло, что неподалеку, в Толедо, жил тогдашний чемпион мира Эйса Лонг. Начиная с 1944 года[175] Тинсли изучал шашки с Лонгом по выходным, а через два года, в девятнадцать, стал вторым на чемпионате США (хотя так никогда и не обыграл миссис Кершоу, переехавшую много лет назад). Он выиграл чемпионат США в 1954 году, уже будучи аспирантом, изучавшим математику в Университете штата Огайо. В следующем году он стал чемпионом мира – титул, который он будет время от времени подтверждать в течение следующих сорока лет, поскольку периодически брал перерывы в игре. В 1958 году он защитил свой титул в матче против Дерека Олдбери из Великобритании: 9 побед, 24 ничьи, 1 поражение. Еще один матч за шашечную корону он выиграл в 1985 году, обыграв своего наставника Эйсу Лонга: 6 побед, 28 ничьих, 1 поражение, а в 1975-м проиграл[176] одну игру Эверетту Фуллеру в победном для себя турнире Florida Open.

С 1951 по 1990 год Тинсли сыграл больше тысячи турнирных партий против величайших игроков в английские шашки и проиграл всего три[177].

У него не было запугивающих манер, он не издевался, не насмехался и не куражился над оппонентами. Он просто выигрывал, выигрывал и выигрывал. Берк Гранжан, секретарь Американской федерации шашек, сказал: «Его стиль – непобедимость»[178]. В интервью перед матчем в Лондоне в 1992 году Тинсли объяснял: «У меня просто нет стресса и напряжения[179], поскольку я чувствую, что не могу проиграть».

Но он проиграл. Вы уже поняли, к чему все идет, верно? Тинсли выиграл матч в 1992 году, но в итоге был свергнут с престола своим лондонским оппонентом – единственным, кто был лучше величайшего в истории игрока в английские шашки. Это была компьютерная программа «Чинук» (Chinook), разработанная в Альбертском университете под руководством специалиста по теории игр Джонатана Шеффера, и сейчас, когда вы читаете эту книгу, она – чемпион мира по английским шашкам. Конечно, я не знаю, когда именно вы будете ее читать, но уверен в своем утверждении, потому что «Чинук» сохранит титул чемпиона до скончания времен. Марион Тинсли чувствовал, что не может проиграть. Для «Чинука» это не просто чувство. Он не может проиграть. Это доказано математически. Игра окончена.

Тинсли и «Чинук» уже сталкивались раньше. В 1990 году они играли выставочный матч в Эдмонтоне из четырнадцати партий. Тринадцать партий матча закончились вничью, но один раз на десятом ходу программа допустила ошибку. «Ты пожалеешь об этом», – сказал Тинсли, увидев ход. Однако машине потребовалось[180] еще 23 хода, чтобы понять свою ошибку и сдать партию[181].

К 1992 году баланс начал смещаться. Именно тогда Тинсли впервые проиграл «Чинуку» – в первом шашечном матче на первенство мира между человеком и машиной. «Никто не был счастлив[182], – вспоминает Шеффер. – Я ожидал, что буду прыгать и веселиться». Вместо этого появилась хандра. Проигрыш Тинсли означал, что эпоха человеческого превосходства в английских шашках близится к завершению.

Хотя не так сразу. «Чинук» выиграл у Тинсли еще одну партию. Когда Тинсли поднялся, чтобы пожать руку Шефферу при сдаче, зрители решили, что игроки согласились на ничью. Никто в зале, кроме Тинсли и «Чинука», не мог увидеть, что машина победила. Затем Тинсли собрался, выиграл еще три партии, а вместе с ними и матч. Он остался чемпионом мира, но программа «Чинук» стала первым противником, выигравшим у Тинсли две партии со времен правления Трумэна.

Если вас это утешит, ничтожные смертные, то на самом деле Тинсли никогда не проигрывал «Чинуку», то есть не совсем так. В августе 1994 года 67-летний Тинсли согласился на реванш. К этому моменту программа провела 94 игры против лучших шашистов, ни разу не проиграв. Аппаратное обеспечение модернизировали: у «Чинука» был гигабайт оперативной памяти – впечатляющее вооружение на тот момент, хотя сейчас это примерно четверть возможностей операционной системы Android на дешевом телефоне. Тинсли и «Чинук» встретились в Компьютерном музее Бостона, находящемся в здании с видом на гавань. Тинсли надел зеленый костюм и приколол булавку для галстука с надписью: «Иисус». Игры проходили в присутствии большого количества зрителей, в основном других шашистов. Матч начался с шести ничьих подряд за три дня, и в большинстве партий никакого напряжения и опасностей для игроков не наблюдалось. На четвертый день Тинсли попросил отложить партию: ночью у него случилось расстройство желудка, и он не мог уснуть. Шеффер отвез его в больницу на обследование. Сильно обеспокоенный Тинсли сообщил Шефферу данные для связи со своей сестрой на случай, если понадобятся родственники, и сказал: «Я готов уйти». Пообщавшись с врачом и сделав рентгеновский снимок, он отдохнул после обеда, однако на следующее утро сообщил, что снова не спал. «Я сдаю матч и титул “Чинуку”», – сказал он собравшимся организаторам. Так закончилась эпоха человеческого доминирования в английских шашках[183]. В тот же день стали известны результаты рентгеновского обследования: опухоль в поджелудочной железе. Спустя восемь месяцев Тинсли умер.

АКБАР, ДЖЕФФ И ДЕРЕВО ИГРЫ «НИМ»

Как вы можете строго доказать, что не проиграете игру? Вне зависимости от того, насколько хорошо вы играете, обязательно найдется какой-то крохотный кусочек стратегии, который вы упустили из виду, как в каком-то фильме 1980-х о лыжниках, где аутсайдер оставляет позади фаворитов.

Но нет. Мы можем доказать какие-то утверждения об играх точно так же, как и утверждения из геометрии, потому что игры – это геометрия. Я мог бы нарисовать для вас геометрию английских шашек (хотя на самом деле не мог бы, потому что это заняло бы миллионы страниц, а слабый человеческий сенсорный аппарат не смог бы ее понять), но начнем мы с более простой игры «Ним».

Вот ее правила. Два игрока сидят перед грудой камней (количество кучек и камней может быть разным, все варианты все равно называются «Ним»). Игроки по очереди берут камни. За один раз игрок может взять любое количество камней, но только из одной кучки (это единственное правило игры). Пропускать ход запрещено: обязательно нужно взять хотя бы один камень. Побеждает тот, кто возьмет последний камень.

Итак, пусть Акбар и Джефф[184], [185] играют в «Ним». Для простоты предположим, что у нас всего две кучки и в каждой по два камня. Акбар ходит первым. Что ему делать? Он мог бы взять два камня, полностью забрав одну из кучек. Но это плохая идея, потому что тогда Джефф заберет вторую кучу и выиграет. Поэтому Акбару нужно взять один камень из какой-то кучки. Но это не лучший вариант, потому что у Джеффа есть убийственный ход – взять один камень из другой кучки, после чего в обеих кучках остается по одному камню. Предвидя неизбежный конец, Акбар угрюмо берет один камень. Из какой кучки? Совершенно неважно, и Акбар это понимает. Джефф забирает последний камень и побеждает. Не имеет значения, какой первый ход сделает Акбар. Если Джефф не сделает ошибки, он победит.

А если у нас три кучки по два камня в каждой? А если по десять или по сто камней? Внезапно играть в уме становится существенно сложнее.

Поэтому давайте возьмем бумагу и карандаш и нарисуем ход игры, когда вы начинаете с двумя кучками по два камня. Вначале у Акбара есть два варианта: взять один камень или два. Вот небольшой набросок результатов его действий. Самый нижний рисунок – это стартовое положение в игре; делая ход, вы перемещаетесь по диаграмме вверх по одной из ветвей, отходящих от текущего положения.

Да, я слышу ваше замечание: строго говоря, у Акбара четыре варианта, поскольку он может взять один камень из первой кучки, один из второй, оба камня из первой кучки или оба из второй. Но здесь мы действуем в стиле Пуанкаре и «называем разные вещи одним именем». У «Нима» идеальная симметрия – как минимум на момент начала игры; какую бы кучку Акбар ни выбрал в первый раз, вы называете ее левой. Всё последующее рассуждение осталось бы прежним, если бы мы назвали эту кучку правой, – просто слова «левый» и «правый» повсюду меняются местами. Это тот самый момент в математике, когда мы любим говорить «без потери общности», и это всего лишь причудливый способ сказать: «Сейчас я сделаю предположение, но, если оно вам не нравится, сделайте противоположное предположение, и все останется как есть, за исключением того, что слова “левый” и “правый” повсюду поменяются местами». Если это вас действительно беспокоит, переверните книгу вверх ногами.

Теперь ход Джеффа. Его выбор зависит от хода Акбара. Если Акбар взял один камень, то слева остался один камень и два справа. Поэтому у Джеффа три варианта: забрать последний камень слева, взять один камень справа или два камня справа. Если же Акбар взял два камня, то есть оставил всего одну кучку, то у Джеффа всего два варианта: взять один камень или оба.

Вы не находите, что этот абзац чуточку трудноват для чтения? Мне было немного скучно его писать. Картинка лучше!

Мы можем продолжать рисовать таким образом, пока не изучим все возможные варианты развития игры. Это не займет много времени. В конце концов, игрок обязан за ход брать хотя бы один камень; поскольку изначально их было четыре, игра закончится максимум за четыре хода. Вот она целиком – игра «Ним» (две кучки по два камня) в геометрической форме.

Такую диаграмму математики называют деревом. Возможно, чтобы ботаническая метафора сработала, вам нужно слегка приглядеться. Самая нижняя точка, место начала игры, – это корень, из которого все растет. Восходящие пути называются ветвями. Некоторые люди любят называть точку, где ветвь заканчивается и больше не разветвляется, листом[186].

Это дерево изображает нашу игру, давая полную картину всех возможных в ней состояний и всех путей между ними. Картинка рассказывает историю. Вы делаете выбор, и он направляет вас по какой-то из ветвей. После этого вы останетесь на этой ветке и ее ответвлениях до конца. Назад дороги нет. Все, что вам остается, – выбирать дальше, проходить по все более мелким ветвям и приближаться к неизбежному концу по мере того, как возможность выбора иссякает.

По сути, я говорю, что ваша жизнь – это дерево.

ЭНТУЗИАЗМ ДЕРЕВА РЕАЛЬНОСТИ

Геометрические объекты интересны широкому кругу людей, потому что они перекликаются с реальными вещами, с которыми мы периодически сталкиваемся в жизни. Если бы единственными треугольными предметами во Вселенной были металлические ударные музыкальные инструменты, то мы уделяли бы изучению треугольников гораздо меньше внимания.

С помощью дерева можно изобразить не только игру. Та же геометрия есть повсюду. Разумеется, в настоящих деревьях с корой, которые поглощают углекислый газ. В генеалогических (родословных) деревьях, где ветви определяются не выбором вариантов, а рождением детей. Корень родословного древа – это пара-основатель, конечные точки-листья – это члены семьи, у которых не было (или пока нет) детей. Обычно генеалогическое древо изображают с корнем вверху: мы называем себя потомками и находимся на нисходящей линии от предков.

Артерии в нашем теле тоже образуют дерево. Корень – это аорта, большая трубка, несущая насыщенную кислородом кровь от сердца; от нее отходят правая и левая коронарные артерии, плечеголовной ствол, левая общая сонная артерия, левая подключичная артерия, бронхиальные артерии, пищеводные артерии… Каждая из них, в свою очередь, делится на более мелкие артерии; плечеголовной ствол – на правую общую сонную артерию и правую подключичную артерию; правая общая сонная артерия разветвляется на внешнюю и внутреннюю сонные артерии примерно там, где подбородок соприкасается с шеей, и так далее, вплоть до крохотной сети артериол диаметром в один-два волоса – последней остановки крови перед тем, как она избавится от кислорода и начнет свое путешествие обратно к легким за его новой порцией.

Не у всех внутри одинаковое кровеносное дерево! Иллюстрация выглядит похожей на тест для иностранцев с несколькими ответами, хотя на самом деле на ней изображены разновидности ветвления артерий[187], питающих нашу печень.

Река – это дерево[188]. Только помните, что двигаться тут надо против течения. Корень – это залив или море, куда впадает река. Отсюда вы поднимаетесь по ней, а она тем временем разветвляется на притоки, затем на притоки притоков и так далее – вплоть до истока.

То же самое относится к любой иерархической классификации, например линнеевской классификации биологических видов. Царства делятся на отделы, отделы – на классы, классы – на порядки, порядки – на семейства, семейства – на роды, роды – на виды. Вот дерево деревьев:

Добро и зло – тоже деревья! Speculum Virginum («Зеркало девственниц») – это дидактический трактат для средневековых монахинь, составленный, как принято считать, монахом-бенедиктинцем Конрадом из монастыря Хирзау в Шварцвальде в XII веке, хотя вопросы авторства в истории литературы столь отдаленного времени крайне сложны. Тем не менее эта книга существует и в ней есть Древо Добродетелей и Древо Пороков. Зло интереснее, так что обратимся к порокам[189].

Корень дерева, источник всех пороков, – это superbia (гордыня), прорастающая из головы какого-то богато одетого господина. Потомки гордыни включают ira (гнев), avaritia (алчность), а в верхней части страницы – luxuria (похоть, блуд), слово, услужливо начертанное на тазе улыбающегося мужчины. У каждого из грехов есть собственные потомки: семь отпрысков гнева включают богохульство и оскорбление, а похоть порождает libido, fornicario и turpitudo. (Не могу сказать, что улавливаю между ними тонкие различия[190], и это одна из причин, почему из меня получилась бы плохая средневековая монахиня.)

С течением времени проблемы людей становятся не столько этическими, сколько корпоративными, а дерево возвращается в виде организационной диаграммы – схемы, показывающей структуру взаимоотношений внутри компании. Такое дерево сообщает, кто кому подчиняется и кто кому приказывает. Вот, возможно, первая такая схема, составленная инженером Дэниелом Маккаллумом в 1855 году для железной дороги Нью-Йорка и Эри. Впоследствии Маккаллум будет руководить всеми железными дорогами сил Союза во время Гражданской войны[191].

Информация течет от листьев обратно к корню, президенту железной дороги, в то время как власть течет в противоположном направлении: от президента через цепочки подчиненных к листьям и почкам, которые напечатаны слишком мелко, чтобы их можно было прочитать на этой странице: рабочие, машинисты, плотники и смазчики[192]. Эта диаграмма не совсем дерево; на ней организационная структура сочетается с изображением железнодорожных линий, которыми управляет организация. В центре она похожа на Древо Пороков, а по краям – на американские пригороды конца XX века, если смотреть на них сверху. Дерево отображает геометрию иерархии по тем же причинам, по которым оно представляет геометрию игры «Ним» или геометрию сада расходящихся тропок[193], составляющих нашу жизнь; нет циклов, нет бесконечного возвращения. Если я руковожу вами, то вы не можете руководить мной. Если одна позиция в «Ниме» следует из другой, то ни один ход не может вернуть вас в предыдущее состояние; это то, что мешает играм длиться вечно[194].

Но больше артерий, рек и грехов мне нравятся деревья чисел. Вот как они создаются. Вы начинаете с какого-нибудь числа, скажем 1001, и затем рубите его топором. Я имею в виду, что вы находите два меньших числа, произведение которых равно 1001. Например, 1001 = 13 × 77. А теперь рубим топором каждый из множителей. Мы можем разрубить 77 на 7 × 11. А 13? Вот здесь мы застряли: это число нельзя представить в виде произведения двух меньших чисел. Машите топором, сколько хотите, все равно ничего не выйдет. То же самое верно для 7 и 11. Мы можем записать то, что только что сделали, в виде дерева, где каждая ветвь изображает удар топора.

Листья дерева – числа, которые уже не разбиваются, – мы называем простыми числами, базовыми кирпичиками лего, из которых составлены все числа. Все числа? Откуда я это знаю? Благодаря дереву. На каждом этапе размахивания топором число, на которое мы нацелились, либо делится на два меньших множителя, либо нет, и если не делится, то оно простое. Мы рубим до тех пор, пока не сможем больше рубить. И в этот момент все оставшиеся числа оказываются простыми. Это может занять много времени, если мы начнем, например, с 1024:

или получиться сразу, если начать с простого числа вроде 1009:

Однако рано или поздно это произойдет.

Такой процесс не может продолжаться вечно, поскольку с каждым ударом топора числа в дереве становятся меньше, а последовательность целых положительных чисел, которые уменьшаются на каждом шаге, в итоге должна достигнуть конца и остановиться[195].

В финале этого фестиваля рубки получается дерево, все листья которого – числа, не раскладывающиеся на множители, то есть простые числа, и если их все перемножить, то мы получим число, с которого начали.

Тот факт, что любое целое число[196], каким бы большим и сложным оно ни было, можно выразить как произведение простых множителей, вероятно, впервые был доказан примерно в конце XIII века персидским математиком (и пионером в оптике – в те времена специализация была менее распространена) Камалом ад-Дин аль-Фариси в трактате (Тадхкират аль-Ахбаб фи байан аль-Тахабб «Записки для друзей о доказательстве дружественности»[197]).

С учетом вышесказанного это может показаться странным. Почему потребовалось почти две тысячи лет, чтобы пройти от определения простого числа у пифагорейцев до теоремы аль-Фариси? Здесь снова причина в геометрии. Евклид определенно понимал факты, из которых для современного специалиста по теории чисел немедленно следует вывод, что любое простое число можно разложить на простые: некоторые на кучу простых, как 1024, или только на одно, как 1009, или на нечто среднее, как 1001. Однако Евклид не пишет о произведениях большого количества простых множителей, и мы предполагаем, что причина в том, что он просто не мог этого сделать. Для Евклида все было геометрией, поэтому любое число он представлял как длину какого-то отрезка. Сказать, что число делится на 5, – значит сказать, что на этом отрезке укладываются пять одинаковых отрезков меньшей длины. Когда Евклид умножает два числа, он представляет результат в виде площади прямоугольника, длина и ширина которого – те два числа, что мы перемножили (сомножители). Когда Евклид умножает три числа, он называет результат телесное, поскольку воспринимает его как объем прямоугольного кирпича с длиной, шириной и высотой, равными сомножителям[198].

Математика в основе своей – творческое занятие, которое задействует все наши когнитивные и творческие способности. Когда мы занимаемся геометрией, мы используем то, что наш разум и тело знают о размерах и форме тел в пространстве. Евклид добился успехов в теории чисел не в перерывах между занятиями геометрией, а благодаря своим работам по геометрии. Воспринимая числа как длины отрезков, он смог понять их лучше своих предшественников. Однако привязка теории чисел к геометрической интуиции одновременно и ограничивала его. Произведение двух чисел было площадью прямоугольника, а трех чисел – объемом кирпича-параллелепипеда. А произведение четырех чисел? Это не та величина, которую можно реализовать в трехмерном пространстве, где мы живем. Поэтому такие величины Евклид обходит молчанием. Более алгебраический подход математиков средневековой Персии был не так сильно привязан к нашему физическому опыту и поэтому лучше способствовал переходу к чисто умственным абстрактным сферам. Однако это не означает, что в нем нет геометрии. Как мы уже видели, геометрия не ограничивается тремя измерениями, их может быть сколько угодно. Просто нужно больше напряжения при воображении. Мы доберемся и до этого.

ДЕРЕВО ИГРЫ «НИМ»

Мы видели, что игра «Ним», подобно организации железной дороги или неизбежному человеческому падению в греховную пропасть, описывается каким-то конечным деревом. Независимо от того, каким путем пойдут игроки по ветвям, в итоге они оказываются в конечной точке, в листе; кто-то выиграл, а кто-то проиграл.

Но кто?

Оказывается, дерево может нам сказать и это.

Фокус в том, чтобы начать с конца игры. Это самый простой способ определить, кто выигрывает! Если камней не осталось, то тот, кто только что сделал ход, выиграл. Так что, если моя очередь ходить, а камней нет, я проиграл. Чтобы отследить это, я украшу дерево игры, нарисованное ранее, надписав букву П над всеми позициями, где нет камней. Это напомнит нам, что я проигрываю, если окажусь в одной из этих позиций при своем ходе.

А если есть всего один камень? Тогда у меня только один вариант. Я беру камень и выигрываю. Поэтому я пишу букву В над каждой такой позицией.

Как насчет двух камней в одной куче? Теперь ситуация усложняется, поскольку у меня есть выбор. Я могу взять оба камня и, сделав это, выиграю. Но если я глуп, невнимателен, извращен или, наоборот, великодушен и беру всего один камень, то я оставляю противнику выигрышную позицию, которую мы только что обозначили буквой В, и проигрываю. Какой буквой нужно обозначить позицию, где все зависит от моих действий? Будем исходить из того, что игроки в конкурентных играх не отличаются глупостью, невнимательностью, извращенностью или великодушием, а хотят победить и всегда выбирают тот ход, который ведет к победе. Поэтому обозначим такую позицию В. Уточняю: это вовсе не значит, что я выиграю, что бы я ни делал дальше. В большинстве игр это вовсе не так: какой бы хорошей ни была ваша позиция, всегда есть риск сделать неудачный ход. Буква В просто означает, что один из имеющихся у меня ходов ставит моего противника в проигрышную позицию. Вы можете рассматривать это как «путь к победе».

Две кучки по одному камню – совершенно другое дело. Что бы я ни делал, я ставлю соперника в позицию В, обеспечивающую ему выигрыш. Следовательно, ее нужно подписать буквой П.

Вот так на данный момент выглядит наше дерево.

Теперь можем продолжить, двигаясь назад во времени шаг за шагом. Две кучки, в одной два камня, а в другой один? У нас есть три варианта хода: убрать меньшую кучку, убрать большую кучку или взять из нее один камень. Получающиеся позиции уже обозначены В, В, П. Но поскольку один из ходов означает проигрыш моего противника, мне следует выбрать именно его, и данная позиция получает букву В. Игрок, которому осталась позиция с двумя кучками или одной, выигрывает, если сделает верный ход.

Вы выигрываете, когда ваш противник вынужден проиграть. Звучит как мотивационный плакат в спортзале, но на самом деле это математика. На языке деревьев это означает следующее: «Обозначайте позицию буквой В, если в ней существует ветвь, ведущая в позицию П». По тем же соображениям обозначайте позицию буквой П, если это не так. Ведь это означает, что при любом выборе вы оставляете оппоненту позицию В. Вы проигрываете, когда ваш оппонент может победить, что бы вы ни делали.

Все сводится к следующему.

ДВА ПРАВИЛА

Первое правило. Если каждый мой ход ведет в позицию В, то моя текущая позиция – П.

Второе правило. Если какой-то сделанный мной ход приведет в позицию П, то моя текущая позиция – В.

Эти два правила позволяют нам системно маркировать любое положение буквами П или В – вплоть до корня, с которого мы начинали игру. При этом мы никогда не зациклимся, потому что у деревьев нет циклов.

Корень обозначен буквой П, поэтому начинающий игру Акбар проигрывает, если, конечно, Джефф не сделает неправильного хода.

Я могу описать этот процесс словами, но стоит ли? Чтобы досконально с ним разобраться, нужно поиграть самому. Позовите друга, предложите поиграть в «Ним» с двумя кучками по два камня. Пусть ваш друг ходит первым (поскольку вы, возможно, не такой уж и хороший друг). А теперь используйте нарисованное выше дерево для выбора ходов. Выигрывайте, выигрывайте и выигрывайте. Так вы прочувствуете, как это работает.

Метод дерева работает для игры «Ним» с большим количеством кучек и камней, то есть для всех вариантов игры. Хотите знать, кто выиграет с двумя кучками по 20 камней в каждой? Можете нарисовать большое дерево, спуститься по нему и выяснить это. (Побеждает Джефф.) Две кучки по 100 камней? (Все равно Джефф.) Одна куча из 100 камней, а вторая из 1000? (Здесь победит Акбар[199].) Более того, промаркированное дерево не просто говорит вам, кто победит, – оно показывает, как побеждать. Если вы находитесь в позиции В, то знаете, что как минимум один ход ведет в положение П, – сделайте его. Если вы в положении П, философски пожмите плечами, сделайте произвольный ход и надейтесь, что противник накосячит.

В случае, когда в игре «Ним» только две кучки, можно избежать утомительной маркировки всего дерева, применив более простой (и, честно говоря, более красивый) способ выяснить, кто победит, использующий симметрию левого и правого. Помните, насколько проще доказательство Паппа для моста ослов, основанное на симметрии, чем исходное евклидово? С «Ним» во многом то же. Предположим, что Акбар и Джефф начинают игру с двумя кучками по 100 камней в каждой. Хотите рисовать такое дерево? Я тоже не хочу. Поэтому есть способ получше. Думаю, вам знакома такая невероятно раздражающая ситуация, когда младший ребенок повторяет все за старшим? «Прекрати за мной повторять». «Прекрати за мной повторять». «Ты надоел». «Ты надоел». И так далее. Что ж, представьте, что Джефф выбрал такую тактику в игре. Что бы ни сделал Акбар, Джефф повторяет его действие на другой кучке. Акбар берет 15 камней из левой кучи, оставляя 85? Тогда Джефф берет 15 камней из правой; теперь в обеих кучах по 85 камней. Акбар переключается на правую кучу и забирает 17 камней, оставляя 68? Джефф делает то же самое с левой. Джефф всегда зеркально отражает действия Акбара, постоянно уравнивая стопки. В частности, Джефф никогда не сможет первым забрать всю кучу, потому что всего лишь повторяет действия Акбара. Поэтому Акбар первым покончит с одной из кучек, и тогда Джефф повторит это действие на другой кучке и выиграет. Следовательно, игра «Ним» с двумя равными кучами – это победа Джеффа. Его стратегия столь же непобедима, сколь и раздражительна.

А если кучки не одинаковы по размеру? Тогда Акбар, который ходит первым, уравняет в них количество камней. Теперь уже Джефф будет раздраженным старшим братом, потому что с этого момента Акбар будет повторять все его ходы и в итоге выиграет. На языке двух правил Акбар использует свой ход, чтобы добиться позиции с двумя равными кучами, которая – в соответствии с предыдущим абзацем – имеет маркировку П; и если вы можете попасть в П, то, по второму правилу, текущая позиция – В.

Когда у вас больше двух куч, простое соображение о симметрии не работает. Тем не менее все равно есть способ узнать, кто победит, не рисуя дерево целиком. Мы не станем описывать здесь все решение, включающее перевод количества камней во всех кучах в двоичную систему, но вы можете его найти в удивительно яркой, глубокой и богатой идеями книге Элвина Берлекэмпа, Ричарда Гая и Джона Конвея Winning Ways for Your Mathematical Plays («Выигрышные стратегии в математических играх»), наряду с другими играми, такими как «Хакенбуш», «Снорт», «Рассада», и объяснением, почему каждая игра в итоге – своего рода число.

В варианте игры «Ним» под названием «Игра с вычитанием» вы начинаете с одной кучи камней и вам разрешается взять только 1, 2 или 3 камня. Побеждает игрок, взявший последний камень. Эта игра тоже представляет собой дерево, и вы можете аналогичным образом проанализировать ее, начиная с конца. Эта версия «Ним» получила известность благодаря появлению в качестве задания для участников пятого сезона реалити-шоу Survivor («Последний герой»), который снимался в Таиланде. (Там игру назвали не «Ним» и не «Игра с вычитанием», а «Тай 21», хотя у нее нет тайских корней; возможно, такое название ориентировано на американскую аудиторию, которая склонна считать вещи азиатского происхождения мудреными и непостижимыми.) По той же причине сохраняется неискоренимая традиция описывать «Ним» как древнюю китайскую игру, хотя это, видимо, полностью вымышлено: впервые она упоминается[200] в книге математических головоломок и фокусов Луки Бартоломео де Пачоли, который был другом Леонардо да Винчи, францисканским монахом и общепризнанным «отцом двойной бухгалтерии». (Неужели это менее интересно, чем происхождение из Древнего Китая?)

Особенность шоу Survivor в том, что его принято считать одним из самых глупых на телевидении, хотя в действительности оно одно из самых умных. Вы много видели шоу, где в реальном времени можно наблюдать, как люди думают? Не говоря уже о занятиях математикой?! Именно это предлагает шестой эпизод пятого сезона шоу Survivor. Тед Роджерс – младший, крупный сильный мужчина, поигравший совсем недолго за «Даллас Ковбойс»[201], берет на себя инициативу и говорит сокомандникам: «В конце нам надо сделать так, чтобы осталось четыре флага». (В версии игры для шоу используются не камни, а флаги.) «Пять или четыре?» – уточняет Джейн Джентри, леди из Техаса из группы Роджерса. «Четыре», – настаивает мужчина.

Роджерс в уме проделал то же вычисление, что и мы для игры «Ним», подойдя к задаче с позиции математика – с конца. Это неудивительно: в глубоких зонах мозга, выстраивающих стратегии, все мы – математики, независимо от того, что написано на наших визитках.

Если остался один флаг, то это буква В; вы забираете его и выигрываете. С двумя и тремя флагами ситуация не меняется, поскольку у вас остается возможность забрать все флаги и победить. А как насчет четырех флагов?

Какой бы ход участники шоу ни сделали, они оставляют противникам букву В. Поэтому, согласно второму правилу, четыре флага – это П. Большой Тед прав: оставьте второй команде четыре флага – и обеспечите себе победу. Оппоненты это тоже осознали, но поздно: взяв три флага из девяти и оставив шесть, они ошеломленно смотрят друг на друга, и один из них говорит: «Если они берут два, мы проиграем». Увы, противники делают это и выигрывают[202].

Запоздалое озарение их не спасло, но оно все еще полезно для нас. Почему невыгодно оставаться с четырьмя флагами? Потому что на каждый ваш ход противник дает естественный ответ. Вы берете два, и они два. Вы один, они – три. Вы три, они – один. Во всех случаях все четыре флага разобраны, игра окончена, победитель не вы.

Так что правильная игра – оставить оппоненту четыре флага. И если перед вашим ходом их пять, шесть или семь, то нужно оставить противнику фатальную четверку. Но если перед вами восемь флагов, то в вашем шардоне плавает черная муха. Возьмете три – оппоненты возьмут один. Возьмете два – они тоже два. Возьмете один – они три. И с четверкой встречаетесь вы.

Звучит знакомо? Потому что начать с восьми флагов – все равно что с четырех. Что бы вы ни сделали, ответным ходом противник уменьшает суммарное количество флагов на четыре. Начать с двенадцати – все равно что начать с восьми, а начать с шестнадцати – все равно что с двенадцати и так далее…

Если вы начинаете с количества флагов, кратного четырем, вы проиграете; в противном случае выиграете, но при условии, что будете брать верное число флагов, чтобы оставлять противнику фатальные числа.

Поздравляю! Мы только что доказали теорему.

Подобным рассуждениям (о доказательстве) нужно учить на уроках математики, и особенно геометрии. Мы наблюдаем (возможно, чисто мысленно или сыграв много раз), что четыре или восемь флагов – это проигрышные состояния; анализируем и начинаем понимать, почему проигрывают не только четыре, восемь, но и любое число, кратное четырем. После этого при желании можно выстроить более формальную цепочку рассуждений, показывающую, что вы проигрываете каждый раз, когда число флагов кратно четырем.

Доказательство – это кристаллизованная мысль. Оно берет блестящий радостный момент «понимания» и фиксирует его на странице, чтобы мы могли поразмышлять над ним на досуге. Что еще важнее, мы можем поделиться доказательством с другими людьми, в чьем сознании оно снова оживает, словно одна из тех выносливых микробных спор[203], которые настолько жизнестойки, что могут выдержать путешествие в космос на метеорите и колонизировать новую планету после удара. Доказательство позволяет мыслям перемещаться. Считается, что мы, математики, стоим на плечах гигантов, но я предпочитаю говорить, что мы идем по лестнице застывших мыслей обычных людей. Мы добираемся до вершины, окропляем своими мыслями лед, они примерзают к нему и делают лестницу еще выше. Может, это не столь выразительно, зато гораздо правдивее.

И ТАК ДАЛЕЕ…

Я сказал, что мы доказали теорему. Нужно ли нам записать доказательство? Давайте запишем.

Теорема флагов: если количество флагов равно 4, 8, 12 или любому числу, кратному 4, то первый игрок проигрывает; в противном случае первый игрок выигрывает, выбирая такое количество флагов, чтобы противнику оставалось число, кратное 4.

А теперь доказательство. Может быть, вы уже сочли мои рассуждения убедительными. Надеюсь, что так! Однако в них есть слабое место – словосочетание «и так далее…». Это многоточие указывает на нечто недосказанное, а в доказательстве такого быть не должно.

Что происходит, когда мы пытаемся озвучить невысказанное? Мы упомянули 4, 8, 12 и 16 флагов, но не 20, поэтому могли бы добавить в обсуждение и их. Но тогда нам нужно было бы рассмотреть случай с 24 флагами, а это неизбежно приведет к варианту с 28 флагами. И так далее. Вот в чем настоящая проблема! Бесконечно длинное доказательство бесполезно! Кто будет его читать? И все же такая ситуация отдает некоторым пренебрежением – человек машет руками и говорит: «Я мог бы продолжать и дальше, но не буду».

Попробуем действовать иначе. Например, разобьем теорему флагов на две части.

ТФ1. Если количество флагов равно 4, 8, 12 или любому кратному числа 4, то первый игрок проигрывает.

ТФ2. Если количество флагов не равно числу, кратному 4, то первый игрок выигрывает.

Почему мы считаем, что утверждение ТФ1 истинно? Потому что, сколько бы флагов мы ни взяли, у противника остается количество флагов, не кратное 4. Поэтому, согласно ТФ2, такая ситуация отмечается буквой В, а значит, по второму правилу, моя текущая позиция – П. Таким образом, утверждение ТФ1 истинно, если утверждение ТФ2 истинно. На языке логики мы бы сказали: из ТФ2 следует ТФ1.

Похоже, наметился прогресс! Нам нужно было доказать две вещи, а теперь только одну. Так почему ТФ2 истинно? Предположим, что количество флагов не кратно 4. Тогда вы можете его уменьшить до кратного 4, взяв 1, 2 или 3 флага[204]. Теперь, согласно ТФ1, вы поставите оппонента в положение П. Но если вы можете перевести текущую позицию в П, то, исходя из первого правила, сама текущая позиция – В.

Итак, подытожим: ТФ1 истинно, поскольку ТФ2 истинно, а ТФ2 истинно, потому что истинно ТФ1.

Ой-ой-ой!

Уж очень напоминает порочный круг – то самое печальное рассуждение, когда вы воспринимаете утверждение как его собственное обоснование. Большинство из нас слишком умны, чтобы уговорить себя применить это непосредственно, поэтому мы строим небольшой цикл утверждений, где каждое последующее вытекает из предыдущего.

«Я не верю ничему, прочитанному в газете “Сердитый знаток”, ей верить нельзя. Откуда я знаю, что ей нельзя верить? Потому что там вечно публикуют лживые истории. Откуда я знаю, что они лживые? Потому что я читаю их в газетенке “Сердитый знаток”, а ей не стоит верить».

Получилась своего рода математическая ловушка.

К счастью, выход есть. Подумайте снова о нашем исходном аргументе, который (если не считать досадного многоточия) был весьма убедителен, и это вполне справедливо. Ведь он опирался на нисходящую схему: вы доказали факт о шестнадцати флагах, используя факт о двенадцати, который, в свою очередь, доказали с помощью факта о восьми, а его, в свою очередь, с помощью факта о четырех флагах. Такой процесс не может длиться вечно и должен прекратиться, потому что целые положительные числа не могут бесконечно уменьшаться. Это тоже геометрия! На непрерывном пути мы можем просто приближаться к конечной точке, делая бесконечное число все более крошечных шажков. Однако геометрия целых чисел дискретна, а не непрерывна; они похожи на последовательность камней, по которым вы прыгаете. На вашем пути не так много камней, и в конце концов он заканчивается. Звучит несколько знакомо, верно? Да потому что мы уже говорили об этом несколько страниц назад, когда обсуждали, что факторизация чисел в итоге приводит к куче простых множителей, которые уже разложить нельзя. Используемый здесь метод называется математической индукцией и в каком-то смысле восходит к тому факту о разложении на простые множители, который аль-Фариси предложил семьсот лет назад.

Нужное рассуждение будет доказательством от противного, которое сейчас для большинства математиков стало почти рефлекторной привычкой. Что бы вы ни хотели доказать, вы предполагаете обратное. Звучит странно и неправильно, зато это чрезвычайно полезно. Например, вы делаете предположение, что ошибаетесь насчет мироустройства, и начинаете обдумывать его, всячески переворачивая и строя цепочки следствий, пока (надеюсь!) не придете к заключению, что оно не может быть правильным. Это все равно что держать твердый леденец во рту, который постепенно растворяется и растворяется, пока не дойдет до кислого противоречия в центре.

Итак, допустим, что мы заблуждаемся в справедливости теоремы флагов. Тогда должен быть контрпример: какое-то плохое количество флагов, для которого теорема говорит, что мы проигрываем, хотя на самом деле выигрываем, или что мы выигрываем, хотя на самом деле проигрываем. Возможно, таких плохих чисел будет несколько. Однако вне зависимости от их количества среди них есть наименьшее.

В этот момент на сцену выходит алгебра. Иногда люди впадают в панику при появлении x или y. Полезно думать о таких символах как о местоимении. Бывает, что вы хотите обратиться к человеку, но не знаете его имени. Может быть, вы даже не знаете, кто именно этот человек. Скажем, говоря о следующем президенте Соединенных Штатов, вы используете местоимения он или она не потому, что у этого человека нет имени, а потому, что вы пока его не знаете. Поэтому давайте назовем самое маленькое плохое число N. Напоминаем, что слово «плохое» означает следующее: либо N кратно 4, но при этом позиция выигрышная, либо N не кратно 4, но при этом позиция проигрышная.

Допустим, N кратно 4, тогда, что бы я ни делал (брал 1, 2 или 3 флага), результат не будет кратным 4. Более того, он будет меньше N, а потому не может быть плохим. Это важный момент в доказательстве, так что остановитесь и полюбуйтесь. N не просто плохое число, это наименьшее плохое число. Все числа меньше N не являются плохими, а потому ведут себя в соответствии с теоремой флагов. А она утверждает, что если число флагов не кратно 4, то позиция выигрышная. Чувствуете привкус противоречия? Предполагалось, что позиция с N флагами выигрышная, однако оказалось, что любой ваш ход оставляет выигрышную позицию противнику. Этого не может быть. Противоречие.

Рассмотрим второй случай. N не кратно 4, но при этом позиция проигрышная. Однако, независимо от N, я могу взять 1, 2 или 3 флага и оставить второму игроку число флагов, кратное 4. Это новое число меньше N, а потому не может быть плохим и подчиняется теореме флагов, а значит, позиция должна быть проигрышной. Но если я могу оставить оппоненту проигрышную позицию, то моя исходная позиция с N флагами – выигрышная. Однако, согласно нашему предположению, она проигрышная. Снова противоречие. Поэтому мы вынуждены признать, что наше исходное допущение о существовании неких плохих чисел, для которых теорема флагов неверна, ошибочно. Следовательно, плохих чисел нет и теорема верна для всех чисел. Итак, теорема флагов доказана.

Вы можете отреагировать на это доказательство двумя способами. Первый – восхититься системным парадом мыслей, который аккуратно провел нас по извилистому пути к неизбежному заключению. Второй (который, честно говоря, настолько же обоснован) – сказать: «Да зачем мы потратили на это две страницы? Я и так был в этом убежден! Я понимал, что вы подразумеваете под “и так далее…”, и не думал, что нужны еще какие-то объяснения. Неужели вы, математики, реально проводите целый день, соединяя продуманные аргументы, чтобы доказать то, что нормальный человек посчитал бы уже установленным вне всяких сомнений?»

Ну… иногда – да. Но не всегда. Как только вы увидите несколько подобных доказательств, вам больше не нужно их записывать. Вы видите «и так далее…» и считаете это доказательством не потому, что так оно и есть, а потому, что у вас достаточно опыта, чтобы понимать, что вместо многоточия можно написать строгое доказательство.

Игра «Ним» – это разновидность математики, или, если угодно, такая математика – это разновидность игры. Игру любят и охотно в нее играют по всему миру. Возникает вопрос: почему мы не обучаем ей в школе? Возможно, навыки игры в «Ним» не будут непосредственно связаны с вашей профессией (если вы не участник реалити-шоу), но если мы допускаем, что обучение математическому мышлению помогает нам лучше понимать все остальное[205], то такой анализ будет способствовать образованию. Нас постоянно ругают за то, что школьная система образования подавляет у учеников природное чувство игры. Если бы мы больше играли на уроках математики, стали бы школьники активнее ее изучать?

И да, и нет. Я преподаю математику больше двадцати лет. Когда я начинал, меня интересовали такие вопросы: как правильно учить математическим понятиям? Сначала примеры, а потом объяснение? Или сначала объяснение, а затем примеры? Дать возможность учащимся открыть принципы на основе приведенных мной примеров или написать на доске принципы и позволить ученикам самим подобрать примеры?

Я пришел к выводу, что единого правильного способа не существует. (Зато, вне сомнения, есть несколько неправильных.) Ученики разные, и нет универсального метода преподавания, который подошел бы всем. Должен признаться, что я не люблю игры. Я ненавижу проигрывать, поэтому они меня нервируют. Однажды я поссорился с мамой моего приятеля, когда она в карточной игре «Червы» добилась «выстрела по луне»[206]. Если бы план урока основывался на игре «Ним», он бы, вероятно, оттолкнул меня. Зато мог бы очаровать моего соседа по парте! Я думаю, что учителя математики должны применять все возможные методики преподавания и быстро их менять. Так вы повысите вероятность того, что каждый учащийся почувствует хотя бы иногда, что преподаватель после столь скучных неинтересных подробностей говорит о предмете в разумной манере.

МИР «НИМАТРОНА»

Вы последовали моему совету и действительно сыграли в «Ним» 2 × 2? Это было не особо похоже на игру, верно? Когда вы знаете стратегию, это уже своего рода работа – как выполнение бессмысленного и чисто механического процесса. Вы правы. Он настолько механический, что его можно сделать таковым буквально. Вот американский патент (№ 2 215 544) 1940 года, а рядом «Ниматрон» во всей красе! Эта машина играет в «Ним», причем идеально. В электрическом духе того времени вместо камней использовались светящиеся лампочки. Через несколько лет один из ее изобретателей, физик Эдвард Кондон из компании Westinghouse Electric, присоединился к Манхэттенскому проекту, но ушел уже через шесть недель, жалуясь на «болезненно удручающую»[207] секретность.

Однако в 1940 году в Америке еще царил мир, и Кондон демонстрировал «Ниматрон» на Всемирной выставке в парке Флашинг-Медоуз в Нью-Йорке (раздел «Мир завтрашнего дня»). Тем летом «Ниматрон» сыграл на выставке в «Ним» сто тысяч партий. Газета The New York Times писала:

Что касается новинок, то компания Westinghouse[208] объявила о представлении «Ниматрона» – нового электрического робота 8 футов высотой, 3 фута шириной и массой 900 килограммов. «Ниматрон» противопоставит свой электрический мозг мыслительному аппарату человека и сыграет со всеми желающими в один из вариантов старинной китайской[209] игры под названием «Ним». В игре нужно выключать размещенные в четыре ряда лампочки, пока не погаснет последняя. «Ниматрон» обычно выигрывает, но если он проиграет, то противник получит жетон с надписью «Чемпион по “Ним”», обещают представители компании.

Но как человек мог победить, если «Ниматрон» играл идеально? Дело в том, что «Ниматрон» предлагал на выбор девять стартовых позиций, среди которых были выигрышные для человека, поэтому люди могли победить, если тоже играли идеально. Но обычно такого не случалось. По словам Кондона, большую часть поражений[210] автомат потерпел от операторов, которые демонстрировали публике, что его можно обыграть, поскольку люди после многочисленных попыток решали, что он непобедим.

В 1951 году британская электронная компания Ferranti построила собственного робота для игры в «Ним», назвав его Nimrod. Во время мирового турне он собирал толпы людей. В Лондоне группа экстрасенсов пыталась нарушить идеальную игру Nimrod с помощью концентрированных телепатических вибраций, но безуспешно. В Берлине машина сразилась с будущим канцлером Западной Германии Людвигом Эрхардом и обыграла его три раза подряд. Алан Тьюринг, работавший[211] над компьютером Ferranti Mark 1, заметил, что Nimrod настолько очаровал немецкую публику, что даже пустовал бесплатный бар в холле.

То, что компьютер может играть в «Ним» так же, как человек, казалось потрясающим (потрясающим вплоть до отказа немцев от пива!), но так ли это? Сам Тьюринг выразил определенный скептицизм, написав: «Читатель может спросить[212], почему мы используем эти сложные и дорогие машины для столь тривиального занятия, как игра». Конечно, игры играм рознь. Зная то, что нам сейчас известно о «Ним», мы понимаем: чтобы стать идеальным игроком, не нужно никакого человеческого мышления – достаточно всего лишь промаркировать дерево, шаг за шагом, от листьев до корня. Если вы играли в крестики-нолики, то, вероятно, наблюдали то же самое. Причина в том, что крестики-нолики тоже имеют геометрию дерева. Первые несколько шагов выглядят так[213]:

Однако есть разница: игра в крестики-нолики, в отличие от «Ним», может закончиться ничьей. На деле, если обоим игрокам больше семи лет, в основном так и происходит: большинство игр заканчиваются вничью.

Никаких проблем: это просто означает, что нам нужна буква Н для ничьей и три правила вместо двух.

ТРИ ПРАВИЛА

Первое правило: если каждый мой ход ведет в позицию В, то моя текущая позиция – П.

Второе правило: если я могу сделать ход, ведущий в позицию П, то моя текущая позиция – В.

Третье правило: если ни один мой ход не ведет в позицию П и не все мои ходы ведут в позицию В, то моя текущая позиция – Н.

Третье правило длиннее, но оно описывает, что значит находиться в ничейной позиции. Его первая часть говорит, что я не могу выиграть; согласно второй части, я не проиграл, потому что могу сделать какой-то ход, который не приведет противника к выигрышной позиции; а если ни я, ни он не можем друг друга обыграть, то это ничья.

Я прошу обратить внимание, что, независимо от того, какие варианты у нас есть в игре в крестики-нолики, мы всегда находимся в ситуации, когда применимо одно из трех правил, поэтому, как и в «Ним», можем добраться до корня игры – пустой доски, на которой оказывается буква Н.

Неудивительно, что никакой секретной стратегии для игры в крестики-нолики нет. Если оба игрока действуют идеально, неизменно получится ничья.

В математике так часто бывает. Вы сели решать одну задачу, а когда закончили (через день, месяц или год), понимаете, что одновременно решили еще несколько. Если у вас есть гвоздь и требуется изобрести для него молоток, то этим молотком можно будет забивать все, что похоже на гвоздь. Так происходит в большинстве случаев.

Крестики-нолики имеют геометрию дерева, поэтому три правила гарантируют, что игра закончится либо победой первого игрока, либо победой второго, либо ничьей. Более того, чисто механические расчеты могут нам сказать, какой из трех вариантов действительно реализуется и как выглядит идеальная стратегия.

По тем же соображениям это верно для любой игры, геометрию которой можно представить в виде дерева, где два игрока ходят по очереди, результат хода предопределен (участники не бросают монету, не крутят стрелку, не вытягивают карты и не используют прочие методы случайного выбора), а игра заканчивается через некоторое конечное число шагов. Для такой игры справедливо одно из утверждений.

1. У первого игрока есть стратегия, которая всегда гарантирует ему победу.

2. У второго игрока есть стратегия, которая всегда гарантирует ему победу.

3. Каждая безошибочно сыгранная игра заканчивается вничью.

Мы можем выяснить эти стратегии, маркируя дерево буквами В, П и Н в соответствии с тремя правилами от листьев к корню. Это может потребовать много времени, но результат будет гарантирован.

Многие игры – это деревья. Английские шашки – дерево. «Четыре в ряд» – дерево. Шахматы – дерево. Да, даже шахматы! Мы считаем их своего рода романтическим искусством, способом передать дух сражения на маленькой деревянной доске. Что-то в этом есть. О них сняты фильмы, написаны романы и даже мюзикл, созданный бывшими участниками группы ABBA.

И тем не менее это дерево. Игроки ходят по очереди, случайностей нет, а игра не может длиться дольше 5898 ходов. Этот теоретический максимум никогда не появится в партии, где игроки действительно стремятся выиграть. Самая длинная из когда-либо сыгранных турнирных игр[214] состояла из 269 ходов и заняла чуть больше 20 часов.

Если вы не разбираетесь в шахматах, то можете задаться вопросом, почему число ходов ограниченно. Это ведь не «Ним», вы не теряете пешку или фигуру с каждым ходом. Почему бы ладье и коню не гоняться друг за другом на доске вечно? Причина в том, что в шахматах установлены правила, запрещающие это. Если за 50 ходов не было взятий или ходов пешкой, то партия признается закончившейся вничью. Такие правила обусловлены той же логикой, которая заставляет нас исключить 1 из перечня простых чисел. Если бы 1 было простым числом, то процесс разложения на множители мог бы продолжаться бесконечно: 15 = 5 × 3 × 1 × 1 × 1… Это не совсем неверно, но совершенно бессмысленно. Правило 50 ходов не позволяет шахматам двигаться по тому же унылому вечному пути[215].

Так что шахматы, несмотря на все легенды и загадочность, по сути, то же самое, что крестики-нолики или «Ним». При встрече двух идеальных игроков либо белые всегда выигрывают, либо белые всегда проигрывают, либо неизменно будет ничья. И в принципе вычисление, какой из вариантов будет реализован, – всего лишь вопрос продвижения по дереву до корня. Шахматы – это сложная задача, но не настолько, как написание стихотворения, отражающего[216] пересечение политики атомного века середины столетия с модернизацией городов, ностальгией по детству, бесконечными отзвуками Гражданской войны и заменой человеческого духа механизированными изобретениями, а в смысле перемножения двух действительно больших чисел. Это может занять много времени, но в принципе вы знаете, как постепенно, шаг за шагом справиться с задачей.

В принципе. Это словосочетание – маленький коврик, элегантно уложенный над бездонной пропастью трудностей!

Игра «Ним» с двумя кучками по два камня – проигрыш. «Четыре в ряд»[217] – победа. Но для шахмат мы не знаем, будет победа, поражение или ничья. Возможно, никогда и не узнаем. У шахматного дерева очень много листьев. Нам доподлинно неизвестно сколько, но уж точно больше, чем способен рассмотреть восьмифутовый робот. Клод Шеннон, которого мы оставили за созданием фальшивого английского текста с помощью цепей Маркова, также написал одну из первых серьезных работ[218] о машинных шахматах; по его оценке, количество листьев на этом дереве выражается числом, примерно состоящим из единицы и 120 нулей, – сто миллионов триллионов гуголов. Это не просто большое число, оно больше, чем количество чего-либо во Вселенной, и уж точно это не то количество вещей, которые вам захочется просмотреть и обозначить буквами В, П или Н. В принципе, конечно, можно, но в реальности – нельзя.

Это явление (вычисления, которые мы умеем делать, но не делаем за неимением времени) – минорный мотив, звучащий на протяжении всей истории математики компьютерной эпохи. Вернемся на секунду к разложению на простые множители. Мы уже видели, что это можно делать без особых размышлений. Если вы начинаете, скажем, с числа 1001, то вам нужно найти число, на которое 1001 делится нацело, а если такого нет, то 1001 – простое число. Годится ли 2? Нет, 1001 не делится пополам. А 3? Нет. А 5? Нет. А 7? Да, поскольку 1001 = 7 × 143. (Тысяча и одна ночь – это сто сорок три недели.) Теперь можно махать топором над числом 143, проверяя деление за делением, пока не обнаружим, что 143 = 11 × 13.

Но что, если число, которое мы пытаемся разложить, состоит из двух сотен цифр? В этом случае проблема значительно превышает шахматный уровень. Чтобы проверить все возможные делители, не хватит продолжительности жизни Вселенной. Да, это всего лишь арифметика, но при этом, насколько нам известно, совершенно невыполнимая.

И это хорошо, поскольку в реальном мире, несомненно, есть нечто более ценное для вас, чья безопасность зависит от сложности этой задачи. Какое отношение факторизация чисел имеет к безопасности? Для этого нам нужно вернуться к криптографии конфедератов и книге экспериментальной поэзии в прозе Гертруды Стайн Tender Buttons («Нежные кнопки»).

УСТРАНЕНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ В «НЕЖНЫХ КНОПКАХ» ГЕРТРУДЫ СТАЙН

Предположим, Акбар и Джефф после окончания игры решают тайно пообщаться. И это вполне реально, если у них есть общая секретная система кодирования. Общая – ключевое слово; они должны использовать один и тот же код, а это предполагает наличие некоторой общей информации, обычно называемой ключом. Допустим, ключом будет текст «Нежных кнопок» Гертруды Стайн. Если Акбар хочет втайне передать Джеффу сообщение Nim has grown dreary («Ним стал скучным»), он может сделать это так: написать его над первыми словами первого стихотворения в сборнике «Нежные кнопки» (A CARAFE, THAT IS A BLIND GLASS. A kind in glass and a cousin, a spectacle and nothing strange a single hurt color and an arrangement in a system to pointing), ставя в соответствие одну букву другой.

Теперь складываем каждую пару букв. Конечно, буквы не числа, но у каждой есть номер в алфавите, так что суммируем именно эти номера. Обычно начинают с 0, так что A – это буква номер 0, B – это буква номер 1 и так далее. В нашем случае в первой паре N – тринадцатая буква, A – нулевая, 13 + 0 = 13, поэтому берем тринадцатую букву N. Во второй паре сумма I + C дает 8 + 2 = 10, что соответствует десятой букве – K. Продолжая действовать таким образом, получаем в итоге зашифрованный текст NKM YAX K…

Однако дальше мы сталкиваемся с небольшой проблемой: R(17) + T(19) дает 36, а такой буквы нет. Но, оказывается, проблема легко решаема: после Z мы просто начинаем счет заново, и тогда двадцать шестая буква будет снова A, двадцать седьмая – B и так далее. Поэтому 36 будет соответствовать та же буква, что и числу 10, то есть K. В итоге ваше сообщение будет выглядеть так:

Теперь Джефф, получив зашифрованное сообщение и, разумеется, экземпляр книги Гертруды Стайн, может восстановить текст, но уже не добавляя, а вычитая буквы. N минус A означает 13 – 0 = 13, а числу 13 соответствует N. И так далее. Когда мы доберемся до второй K, нам предстоит вычесть T(19) из K(10). Получится – 9, но не беспокойтесь, все в порядке! Минус девятая буква находится за 9 букв до буквы А(0), а поскольку мы расположили буквы по циклу и A следует за Z, то девятая буква перед А – это восьмая буква перед Z, то есть R.

Если вам категорически не нравится сложение и вычитание, можете просто держать под рукой такую табличку[219]:

Она похожа на таблицу сложения, которой пользуются в начальной школе, но только для букв! Чтобы вычислить R + T, просто посмотрите на строку R и столбец T (или на строку T и столбец R) – и получите K.

Или еще лучше воспользоваться той геометрией, которую этот код накладывает на алфавит. По нашему правилу, когда мы сдвигаемся на одну букву правее Z, мы не выходим за пределы английского алфавита, а возвращаемся к А. Это означает, что мы представляем алфавит не в виде строки

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ,

а в виде круга.

Каждая буква A в «Нежных кнопках» Гертруды Стайн – это 0; а значит, когда в ключе появляется А, мы оставляем букву исходного сообщения неизменной. Каждая буква С означает вращение круга против часовой стрелки на две позиции[220]. С такой геометрической точки зрения очевидно, почему этот код легко расшифровать при наличии ключа: достаточно повернуть круг на ту же величину, но по часовой стрелке.

Такой код называется шифром Виженера – в честь Блеза де Виженера, французского ученого XVI века, который его не изобретал. Подобные случаи в науке настолько распространены, что статистик и историк Стивен Стиглер сформулировал закон: «Ни одно научное открытие не названо в честь первооткрывателя». (Как отмечал сам Стиглер, закон Стиглера[221] впервые сформулировал социолог Роберт Мертон[222].)

Виженер был благородного происхождения[223], с хорошими связями, автором множества книг, секретарем у французского посланника на Вормсском рейхстаге, затем у герцога Неверского и короля Генриха. На таких должностях (особенно во время пребывания в Риме) он сталкивался с самыми сложными кодированными сообщениями. Мир римской криптографии XVI столетия был средоточием соперничества и ревностно охраняемых секретов. Известен случай, как Виженер разыграл одного из оппонентов, Пауло Панкатуччо, личного шифровальщика папы римского, написав ему сообщение по-детски примитивным шифром. Панкатуччо быстро декодировал текст и обнаружил поток оскорблений в свой адрес: «О бедный жалкий раб собственных дешифровок, на которые ты тратишь все свое масло и свои старания… Используй в будущем свой досуг и усилия на что-то более полезное и прекрати бездарно растрачивать свое время, одной-единственной минуты которого не купишь за все сокровища мира. Проверь прямо сейчас, сможешь ли ты узнать смысл хотя бы одной маленькой буквы из того, что написано дальше». И в этот момент шифр переключался на собственное изобретение Виженера – надежный код, который, как криптограф прекрасно знал, был Панкатуччо не по зубам. Все это нам известно из труда Виженера Traicté des Chiffres ou Secrètes Manières d’Escrire («Трактат о цифрах и тайнописи»), который стал стандартным справочником по криптографии, в то время как остальные работы ученого были забыты. Трактат содержит множество собственных сложных кодов Виженера, а также основные идеи вышеописанного более простого шифра Виженера, на самом деле изложенные в 1553 году[224] в труде Джовани Беллазо, который его изобрел, работая секретарем и шифровальщиком у кардинала Дюранте Дюранти в Камерино. (Насколько высоко требовалось в те дни подняться в церковной иерархии, чтобы обзавестись собственным шифровальщиком?)

Беллазо был высокого мнения о своем шифре, утверждая, что он обладает «таким изумительным совершенством[225], что его может использовать весь мир, и при этом никто не сможет понять, что пишет другой, за исключением тех, кто обладает очень коротким ключом, как написано в этой книге вместе с объяснением и способом применения». Мир в целом согласился с его оценкой: так называемый шифр Виженера стал широко известен как le chiffre indechiffrable (неразгадываемый шифр). И действительно, до появления теста Касиски, который, как мог бы предсказать Стиглер, на самом деле был изобретен Чарльзом Бэббиджем за два десятилетия до Фридриха Касиски[226], надежных способов разгадать шифр Виженера не существовало[227]. Но даже этот метод не сработает, если ключ будет таким же длинным, как, например, «Нежные пуговицы» Гертруды Стайн.

ПОЛНАЯ ПОБЕДА

Разумеется, шифр хорош лишь настолько, насколько добросовестны использующие его люди. К примеру, вы, вероятно, знаете, что Конфедерация (отколовшиеся южные штаты) вела войну против Соединенных Штатов в отчаянном стремлении сохранить чудовищную систему рабства; но знаете ли вы, что южане совершенно безобразно пользовались криптографией? Конфедераты использовали шифр Виженера с коротким ключом, повторяющимся во всем сообщении, и заботились только о кодировании слов, которые считали стратегически важными. Например, депеша, отправленная 30 сентября 1864 года Джефферсоном Дэвисом[228] генералу Эдмунду Кирби Смиту, гласила:

By which you may[229] effect O – TPQGEXYK – above that part HJ – OPG – KWMCT – patrolled by the ZMGRIK – GGIUL–CW – EWBNDLXL.

Шифровальщики конфедератов не только не зашифровали большую часть текста, но и сохранили длину зашифрованных слов. Поэтому неудивительно, что северяне, перехватив сообщение, догадались, что после слов above that part («выше той части») должно следовать выражение of the river («реки»). А имея фрагмент дешифрованного текста, определить ключ не проблема[230]. Вернитесь к алфавитному квадрату. Если слову OF соответствует слово HJ, то можно узнать буквы ключа. Буква O перешла в H, поэтому соответствующая буква в ключе будет T. Буква F перешла в J, поэтому должна быть E. На языке арифметики мы можем записать это так: H – O = T, а J – F = E. Действуя аналогичным образом и далее, получаем:

Из этой короткой фразы дешифровщик северян извлек уже больше половины использованного ключа конфедератов complete victory («Полная победа»), что выглядело несколько иронично, если учесть то, что вот-вот должно было случиться с южанами. А как только ключ известен, расшифровать оставшуюся часть сообщения – дело нескольких минут.

Если ключ длинный, то шифр Виженера более или менее сохраняет свой неразгадываемый статус. Однако тут есть проблема, причем серьезная. У кого-то еще, кроме Акбара и Джеффа, может быть экземпляр книги Гертруды Стайн «Нежные кнопки», и, соответственно, тогда этот кто-то с легкостью расшифрует их сообщения. Если Акбар или Джефф хотят включить в число доверенных собеседников Шебу[231], они должны послать ей экземпляр книги. При намерении отправить кому-то свой ключ вы не можете его зашифровать, поскольку у вашего адресата еще нет ключа для расшифровки; но если вы отправите его в незашифрованном виде и его перехватят, то тогда можно уже вообще не шифровать.

Это считалось одной из базовых проблем криптографии: ее нельзя было решить, а потому с ней приходилось мириться. В конце концов, Шеба и вражеский перехватчик находятся в одном и тот же положении: ни один из них не знает ключа. Вы не можете передать ключ Шебе, не отправив ей какого-то сообщения, но без ключа вы не можете защитить это сообщение от вражеских глаз. Как отослать сообщение так, чтобы Шеба могла его прочитать, а враг – нет? И вот тут – совершенно внезапно и чудесно, как доставка цветов от нового интересного знакомого, – на пороге появляется разложение простых чисел на множители.

Оказывается, умножение больших чисел – это то, что математики называют односторонней функцией с потайным входом. Потайной вход – это дверь, в которую легко войти, но очень сложно выйти. Умножение двух чисел из тысячи цифр – действие, которое ваш смартфон выполнит так быстро, что вы и глазом не успеете моргнуть. Разложить это произведение на два исходных сомножителя – задача, которую ни один известный алгоритм не сможет решить за миллион миллионов человеческих жизней. И эту асимметрию вы можете использовать для передачи ключа Шебе так, чтобы противник ничего не мог с этим поделать. А поможет в этом замечательный алгоритм RSA, названный так в честь Рональда Ривеста, Ади Шамира и Леонарда Адлемана (Rivest, Shamir, Adleman), которые изобрели его в 1977 году. По крайней мере они были теми, кто его изобрел и рассказал всем об этом. Реальная история несколько интереснее. В полном соответствии с законом Стиглера система RSA носит имя не тех, кто ее создал. На самом деле она была изобретена в начале 1970-х Клиффордом Коксом и Джеймсом Эллисом. Но на этот раз для изменения авторства была крайне веская причина: Кокс и Эллис работали в Центре правительственной связи – сверхсекретной спецслужбе Великобритании. До 1990-х никто[232], кроме узкого круга лиц, не должен был знать, что алгоритм RSA был раньше, чем работа R, S и A.

Детали алгоритма RSA содержат несколько больше теории чисел, чем я хотел бы здесь поместить, но вот ключевая вещь. Шеба знает два очень больших простых числа, p и q. Никто, кроме нее, их не знает – ни Акбар, ни Джефф, ни кто-либо еще. Эти числа – ключи. Алгоритм RSA для декодирования сообщения может быть использован любым, кто знает эти два больших простых числа.

Однако для шифрования сообщений вам нужно знать не числа p и q, а только их произведение – огромное число, которое мы обозначим N. Так что это вовсе не похоже на шифр Виженера, где расшифровка – это просто процесс шифрования, выполняемый в обратном порядке с применением того же ключа. В системе RSA шифрование и расшифровывание – совершенно разные процедуры, причем первая благодаря потайному входу намного проще второй.

Это большое число N называется открытым ключом, поскольку Шеба может сообщить его всем, а при желании даже прилепить его на входную дверь своего дома. Акбару, чтобы отправить Шебе сообщение, нужно знать только произведение N; с его помощью он может зашифровать свое сообщение, а Шеба с помощью чисел p и q превратит его обратно в исходный текст. Любой человек может с помощью числа N присылать Шебе сообщения, их можно даже открыто публиковать. Увидеть их смогут все, а вот прочитать – только Шеба, обладательница тайных ключей.

С появлением криптографии с открытым ключом все существенно упростилось. Вы (или ваш компьютер, телефон или холодильник) можете отправлять сообщения множеству людей одновременно, не опасаясь утечки конфиденциальной информации. Но тут все держится на надежности потайного входа. Если кто-то построит под ним лестницу, облегчив путь в обе стороны, все сооружение рухнет. Иными словами, если бы кто-то изобрел способ разложить число N на составляющие простые множители p и q, то мгновенно получил бы доступ ко всем ранее отправленным личным сообщениям, зашифрованным с помощью числа N.

Если проблема разложения числа на простые множители, как и проблема выигрыша в шахматной партии, окажется для какой-нибудь компьютерной программы более простой задачей, чем мы думали, то передача информации внезапно станет гораздо более опасным занятием. Вот почему вы видите романы-триллеры, как я недавно в аэропорту[233], с таким текстом на задней обложке:

Подросток Берни Вебер[234] – математический гений. Вашингтон, ЦРУ и Йельский университет внедряются в Милуоки, чтобы похитить его. Они хотят узнать его секрет разложения простых чисел.

(Если вы не засмеялись над последним предложением, остановитесь и хорошенько подумайте над математической задачей, с которой, как предполагается, справился Берни.)

У МЕНЯ – ГОСПОДЬ БОГ

Программа «Чинук» играла в шашки лучше кого-либо из ныне живущих или живших на земле. Однако это не означало, что победить ее нельзя было в принципе. Возможно, где-то в глубинах дерева шашек скрывалась какая-то превосходная стратегия, неизвестная человеку и машине, которая могла привести к чемпионству. Единственный способ полностью это исключить – проанализировать шашки до самого конца, чтобы узнать, какой буквой обозначить корень дерева. К какому из трех типов игры относятся английские шашки? Всегда побеждает первый игрок? Второй? Ничья?

Давайте я не стану испытывать ваше терпение. Будет ничья. С математической точки зрения шашки – это более или менее масштабная двухцветная версия крестиков-ноликов. Два игрока, которые никогда не ошибаются, не выиграют и не проиграют, всегда сыграют вничью. Возможно, это не станет большим сюрпризом для последователей Мариона Тинсли, который, как вы помните, ошибался крайне редко. Его конкуренты тоже ошибались ненамного чаще. И когда два таких почти идеальных игрока встречались за доской, партии в основном заканчивались вничью. В 1863 году Джеймс Уилли, шотландский чемпион по прозвищу Пастушок[235], встретился в Глазго в матче за звание чемпиона мира с Робертом Мартинсом из Корнуолла. Они сыграли пятьдесят партий, и все вничью. Причем двадцать восемь[236] были совершенно одинаковыми – ход в ход. Скукотища! Такая ситуация вынудила ввести в английских шашках систему ограничений: теперь первые два хода выбирались наугад из набора разрешенных дебютов, что уменьшало вероятность хождения игроками по одним и тем же проторенным дорожкам дерева, поднимаясь к одному и тому же листу. Однако после того, как в 1928 году Сэмюэл Гоноцкий и Майк Либер[237] сыграли сорок ничьих подряд в матче на ставку в 1000 долларов в отеле Garden City на Лонг-Айленде в Нью-Йорке, пришлось перейти к нынешнему ограничению с жеребьевкой первых трех ходов, которые выбираются из 156 вариантов с названиями вроде «Ужасный Эдинбург», «Хендерсон», «Глушь», «Ад Фрейзера» или «Твистер Оливера»[238]. Но даже с такой жеребьевкой количество ничьих в современных турнирах по английским шашкам значительно больше, чем побед или поражений[239].

Однако это всего лишь куча эмпирических свидетельств; совсем другое дело – строгое доказательство того, что ни у одного из игроков нет выигрышной стратегии, которую каким-то образом умудрились упустить целые поколения мастеров шашек.

Программе «Чинук» было всего пять лет, когда она отобрала шашечную корону у Мариона Тинсли в 1994 году. Пройдет еще тринадцать лет, прежде чем Джонатан Шеффер и его команда докажут, что Тинсли не может обыграть «Чинук». И никто другой не может. И уж точно не вы.

Хотя можете попробовать! «Чинук» трудится день и ночь на своем сервере в Эдмонтоне (провинция Альберта), встречаясь со всеми желающими. По ходу игры он спокойно оценивает свою позицию. «У “Чинука” есть небольшое преимущество», – сообщает он. Затем: «У “Чинука” большое преимущество». А через семь ходов в той партии, которую я играю, пока пишу эти строки: «Вы проигрываете». Это означает, что вы достигли позиции, которую программа со своей всеобъемлющей точки зрения обозначает буквой В. Это не значит, что вы должны прекратить играть! Машина терпелива. Куда ей деваться? Можете сделать еще ход. «Чинук» двигает свою шашку и снова предупреждает: «Вы проигрываете». Продолжайте, пока хватит выдержки.

Игра против «Чинука» расстраивает, но в то же время успокаивает. Это сильно отличается от игры против очень-очень умелого человека, который стремится вас обыграть: вас игра расстраивает, но не успокаивает. Как-то я играл в го со своим пятнадцатилетним кузеном Закари, который тогда был ударником в группе Sinister Mustard, игравшей треш-метал, и одним из лучших молодых шахматистов Аризоны. До этого Закари никогда не играл в го, и поначалу я получил изрядное преимущество. Но примерно на четверти партии что-то у него щелкнуло: он уловил логику игры, как намного ранее уловил логику шахмат, и энергично стер меня со стола. Говорили, что игра против Тинсли была во многом примерно такой же: неизменно вежливого и мягкого профессора математики называли Ужасный Тинсли – просто потому, что сесть с ним за доску означало, что вас почти гарантированно снесут бульдозером. И Тинсли, и версия «Чинука» 1994 года были практически идеальными игроками в шашки. Но, в отличие от «Чинука», Мариона заботило, выиграет ли он. «В целом я неуверенный в себе человек[240], – признался он в одном из интервью, – и ненавижу проигрывать». По мнению Тинсли, они с «Чинуком» принципиально разные, хотя и выполняли одну и ту же задачу. Перед состязанием в 1992 году он сказал репортеру одной газеты: «Мой программист лучше[241], чем у “Чинука”. У него был Джонатан, а у меня – Господь Бог».

АФРИКАНСКИЙ ГЛАЗГО

В английских шашках есть 500 995 484 682 338 672 639 возможных позиций (согласно Шефферу), хотя в легальной партии многих из них достичь нельзя. Поскольку шашки – это дерево[242], мы можем двигаться в обратном направлении от конца игры, присваивая каждой позиции букву В, П или Н.

Но даже это количество позиций, ничтожно малое по сравнению с тем, что могут предложить шахматы или го, выходит за рамки наших возможностей полного перебора. К счастью, мы можем обойтись гораздо меньшим благодаря мощи трех правил.

Самый популярный из первых семи возможных ходов в английских шашках обозначается[243] 11–15, но опытные игроки настолько горячо его любят, что обычно называют «старый добрый». Предположим, что черные начинают со «старого доброго», а белые отвечают 22–18 (это начало дебюта под названием «Двойной угол 26–17»). Теперь ход черных. В этот момент Шеффер доказывает, что для черных эта позиция – либо П, либо Н, но они точно не могут форсированно выиграть. Поэтому обозначим это положение ПН, чтобы показать, что пока еще не закончили для него вычисления.

Однако это уже может кое-что сказать о ходе «старый добрый»! Согласно трем правилам, позиция обозначается П только в том случае, если каждая позиция, куда можно из нее перейти, будет В. Однако для «старого доброго» это неверно, потому что у белых есть ход 22–18, ведущий либо к П, либо к Н. Следовательно, мы знаем, что «старый добрый» – это либо Н, либо В. И знаем мы это, не утруждая себя изучением любого из множества других возможных ответов на «старый добрый», имеющихся в распоряжении белых, или точным определением буквы, которую надо присвоить позиции после 22–18. Выражаясь языком информатики или лесоводства, мы обрезаем те ветви, от которых можно избавиться, не рассматривая. Это чрезвычайно важный прием. Часто люди думают, что достижения вычислительной техники обусловлены тем, что мы делаем наши компьютеры невероятно быстрыми, чтобы они могли обрабатывать больше данных. Однако не менее важно обрезать большие объемы данных, не имеющие отношения к рассматриваемой задаче! Самое быстрое вычисление – то, которое вы не выполняете.

На самом деле можно продемонстрировать, что все семь открывающих ходов ведут либо к Н, либо к В. Только для одного из них, 9–13, Шефферу нужно копнуть глубже и показать, что это Н.

И этого достаточно, чтобы полностью решить шашки! Мы знаем, что черные, начиная игру, имеют ход, а именно 9–13, который не дает белым выигрышной позиции. Следовательно, начальная позиция не может быть П. Но мы также знаем, что ни один из возможных ходов черных не дает белым позицию П, а потому исходная позиция не может быть В. Остается один вариант: исходная позиция – Н, и шашки – ничейная игра.

Для шахмат такого анализа нет. Возможно, пока. А может, не будет никогда. Дерево шахмат – это секвойя по сравнению с кустиком шашек, и мы не знаем, какая буква будет у корня – В, П или Н.

А если бы знали? Станут ли люди посвящать жизнь шахматам, зная, что при идеальной игре партия неизменно завершится ничьей, что нельзя выиграть благодаря блестящей логике, а можно только проиграть из-за оплошности? Или они ощутят опустошенность? Ли Седоль, один из лучших в истории игроков в го, прекратил играть в турнирах после поражения в матче с AlphaGo – программой, разработанной компанией DeepMind. «Даже если я буду номером один[244], – объяснил он, – есть сущность, которую нельзя победить». А ведь игра го еще полностью не решена! По сравнению с секвойей, изображающей шахматы, го – это… ну, вот если бы существовало дерево размером больше, чем гугол секвой, то го была бы именно им. Почитайте форумы, посвященные шахматам и го, и увидите, сколько людей высказывают те же опасения, что и Ли Седоль. Если игра – это всего лишь дерево с написанными на нем буквами, то действительно ли это все еще игра? Может, нам стоит просто уйти, когда «Чинук» со спокойствием и бесконечным терпением сообщает, что мы проиграли?

Международный зал славы английских шашек был когда-то главной достопримечательностью Петала (штат Миссисипи) – города с населением десять тысяч человек, расположенного недалеко от университетского городка в Хаттисберге. В здании площадью свыше 3000 квадратных метров был установлен бюст Мариона Тинсли, самая большая шашечная доска в мире, а также вторая по величине шашечная доска в мире. Зал закрылся в 2006 году[245] после того, как его основателя приговорили к пяти годам тюрьмы за отмывание денег. В 2007 году (том самом, когда Шеффер доказал, что шашки – ничейная игра) здание сгорело дотла.

И тем не менее люди по-прежнему повсеместно играют в шашки и продолжают бороться за звание чемпиона мира среди людей. (На момент написания этих слов титул принадлежал итальянскому шашисту Серджо Скарпетте.) Конечно, шашки уже не так популярны, как раньше, но спад начался задолго до появления доказательства Шеффера, а новые игроки всё продолжают пополнять ряды шашистов. Одной из лучших шашисток мира Амангуль Бердыевой из Туркменистана было семь лет, когда программа «Чинук» отобрала корону у Тинсли. Нынешний чемпион мира в классической версии (без жеребьевки первых ходов), 49-летний Лубабало Кондло из Южной Африки, разработал свой вариант того самого дебюта, в котором Уилли и Мартинс сыграли сорок раз вничью в Шотландии в 1863 году; вариант Кондло в честь того матча сейчас известен как «Африканский Глазго».

Если цель игры в шашки – выигрывать лучше всех, то больше нет смысла в них играть. К счастью, смысл игры не в этом. Никто из людей не играл лучше Тинсли, и Тинсли знал, что суть не в победе. «Конечно, я очень не люблю проигрывать[246], – признался он в интервью в 1985 году, – но если мы сыграем много красивых партий, это будет моей наградой. Шашки – такая красивая игра, что я даже не против проиграть». Шахматы ничем не отличаются. Нынешний чемпион мира Магнус Карлсен сказал: «Я не считаю компьютеры противниками[247]. Для меня интереснее обыгрывать людей». Гарри Каспаров, долгие годы удерживавший звание чемпиона мира, отвергает идею, что человеческие шахматы[248] устарели, поскольку для него игра людей и вычисления компьютера – принципиально разные вещи. По его мнению, человеческие шахматы – это форма психологической войны. Это не дерево, а сражение на дереве. Вспоминая партию, сыгранную против Веселина Топалова двадцать лет назад, Каспаров объясняет: «Я был поражен[249] красотой этой геометрии». Геометрия дерева говорит вам, как выиграть, но ничего не говорит о том, что делает игру красивой. Это более тонкая геометрия, и на данный момент ни одна машина не может рассчитать ее шаг за шагом с помощью какого-то короткого списка правил.

Совершенство – это не красота. У нас есть абсолютное доказательство того, что идеальные игроки не выигрывают и не проигрывают. Любой наш интерес к игре существует именно потому, что люди несовершенны. И возможно, это неплохо. Идеальная игра – это вовсе и не игра в прямом смысле слова. Наше личное присутствие в игре происходит в силу нашего несовершенства. Мы что-то чувствуем, когда наши недостатки сталкиваются с недостатками других людей.

Глава 6. Загадочная сила метода проб и ошибок

Мы не знаем, как полностью маркировать дерево шахмат буквами В, П и Н. Когда я говорю, что, возможно, никогда и не узнаем, я отнюдь не имею в виду, что у нас не хватит на это ума, а хочу сказать, что количество позиций, которые требуется промаркировать, насколько велико, что Вселенная может угаснуть раньше завершения этого процесса. Строго говоря, возможно, существует какой-нибудь способ избежать этой тягомотной канители с началом в листьях (в таком множестве листьев!) и возвратом к корню с расстановкой букв на этом пути, как произошло в «Игре с вычитанием» в реалити-шоу Survivor. Если игра начинается со 100 000 000 флагов, то вы, конечно, можете кропотливо идти с конца, расставляя буквы В и П, а можете применить теорему флагов, доказанную чуть выше. Поскольку 100 000 000 делится на 4, то теорема говорит нам, что второй игрок всегда может выиграть. И мы даже знаем как: если первый игрок возьмет один флаг, вы берете три; если он берет два, то и вы два. Если он возьмет один, то вам нужно взять три. Повторите это еще 24 999 999 раз и наслаждайтесь победой.

Я не могу доказать, что подобной простой выигрышной стратегии не существует для шахмат. Но это кажется маловероятным.

Тем не менее компьютеры играют в шахматы. И играют очень хорошо. Лучше, чем я, вы, Гарри Каспаров, мой кузен Закари, да и любой другой человек. Как они это делают, не маркируя все позиции в игре?

Причина в том, что машины нового поколения искусственного интеллекта даже не пытаются быть идеальными. Они действуют совершенно иначе. Чтобы объяснить это, нам нужно вернуться к простым числам.

Вспомните: система криптографии с открытым ключом, на которую всё опирается, зависит от двух больших простых чисел, используемых в качестве вашего личного ключа, причем «большие» означает «триста цифр или около того». Где их взять? В торговых центрах нет магазинов простых чисел. А если бы и были, то вряд ли вам захотелось бы покупать их в магазине, потому что весь смысл секретного ключа в том, что он не общедоступен (если вы, конечно, не реконструктор, занимающийся криптографией конфедератов).

Поэтому вам нужно генерировать собственные простые числа. Поначалу это кажется сложным. Если мне необходимо составное число из трехсот цифр, я знаю, что нужно делать: просто перемножать кучу небольших чисел, пока не доберусь до трех сотен цифр. Но простые числа – как раз те, которые не состоят из таких мелких строительных блоков. С чего вообще начинать?

Это один из вопросов, которые мне часто задают как преподавателю математики: «С чего же начинать?» Я всегда рад слышать такой вопрос независимо от того, насколько озадаченным выглядит ученик, ведь подобный вопрос – это возможность преподать один урок, суть которого состоит в следующем: не так важно то, с чего вы начинаете, как то, что вы уже начали. Пробуйте что-нибудь. Может не сработать. Тогда пробуйте что-нибудь еще. Учащиеся часто растут в мире, где просят решить математическую задачу по фиксированному алгоритму. Если вас попросят перемножить два трехзначных числа, то вы умножите первое число на последнюю цифру второго, запишете результат и т. д.

Реальная математика (как и настоящая жизнь) не имеет с этим ничего общего. Там сплошные пробы и ошибки. На этот метод часто смотрят свысока, вероятно из-за слова ошибка. Но в математике не боятся ошибок. Ошибки – это отлично! Ошибка – это просто возможность проверить еще одну версию.

Итак, вам нужно трехсотзначное простое число. «С чего начать?» Со случайного выбора числа из трехсот цифр. «Откуда мне знать с какого?» Серьезно, это неважно. «Ладно, тогда как насчет единицы с тремястами нулями после нее?» Ну хорошо, не с этого, потому что оно явно четное, а четное число (за исключением 2) не может быть простым, потому что разлагается на множители – 2 и еще какое-то число. Это ошибка, переходим к следующей попытке. Возьмите другое число с тремя сотнями цифр, на этот раз нечетное.

Итак, теперь ваше число, насколько вы можете видеть, простое. По крайней мере вы не видите явных причин, почему это не так. Но как в этом убедиться? Можно махнуть топором разложения на множители и посмотреть, что будет. Делится на 2? Нет. А на 3? Нет. На 5? Нет. Прогресс наметился, но вы снова упираетесь в возраст Вселенной. На практике вы не сможете проверить таким способом, простое ли число, как не сможете решить шахматы, обозначив буквами В, П и Н все ветви шахматного дерева.

Существует способ лучше, но придется задействовать другую геометрию – геометрию окружности.

ОПАЛЫ И ЖЕМЧУЖИНЫ

Перед вами браслет: семь камней, расположенных по кругу, – несколько опалов и несколько жемчужин[250].

Вот еще три браслета.

А вот все браслеты с четырьмя камнями.

Их шестнадцать. Вы можете пересчитать браслеты на рисунке и убедиться, что я ничего не пропустил, но существует и более причудливый способ. Начиная сверху и двигаясь по часовой стрелке, мы получаем два варианта выбора для первого камня: это либо опал, либо жемчужина. Для каждого из этих двух вариантов есть два способа выбрать второй камень; следовательно, два камня мы можем выбрать четырьмя способами. Для каждого из этих четырех способов у нас есть два варианта выбрать третий камень, то есть всего получается восемь вариантов выбрать три камня. И наконец, для каждого из этих восьми вариантов последний камень может оказаться опалом или жемчужиной, так что в итоге получаем 2 × 2 × 2 × 2 = 16.

Ну, или можно просто посчитать! Однако преимущество нашего причудливого способа в том, что это рассуждение можно перенести на другие браслеты, например на изображенный выше браслет из семи камней. Число способов его изготовить 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128, и мой фломастер не настолько тонок, чтобы уместить все эти варианты на одной странице.

Однако я уже слышу, как вы говорите: а не нарисовано ли тут больше браслетов, чем надо? Посмотрите на первый и третий браслет с семью камнями: третий получится, если вы повернете первый на две позиции по часовой стрелке. Это действительно другой браслет или тот же, если смотреть на него под другим углом?

Пока будем придерживаться версии, что браслеты разные, если они выглядят на странице по-разному. Однако не забудьте об идее вращения. Мы могли бы назвать два браслета конгруэнтными, если один можно повернуть и получить второй (разумеется, это означает, что второй тоже можно повернуть так, чтобы получился первый)[251].

Может, давайте красиво расположим все браслеты в витрине по конгруэнтности? Каждый браслет можно повернуть семью способами, поэтому группируем все 128 браслетов блоками по семь штук. Сколько будет блоков? Поделим 128 на 7 и получим 18,2857142…

Ура, снова ошибка! Что-то пошло не так, поскольку 128 не делится на 7.

Проблема возникла из-за некоторых браслетов, которые я не нарисовал. Например, вариант исключительно из опалов.

Семь вращений этого браслета дадут тот же самый браслет! Поэтому это не группа из семи предметов, а группа из одного предмета. Браслет исключительно из жемчужин тоже образует собственную группу.

А могут быть другие группы меньшего размера? Конечно. Вот эти два браслета из четырех камней образуют собственную группу.

Причина в том, что поочередное расположение опал – жемчужина повторяет себя при двух поворотах. Поэтому вы получите из первоначального браслета не четыре разных расположения, а только два.

Однако для браслета с семью камнями это не так. Включите воображение и представьте, что у вас есть браслет с семью камнями, который можно повернуть три раза и получить исходный. Тогда у вас группа из трех предметов: исходный браслет; браслет, повернутый один раз; браслет, повернутый дважды. Погодите, а если некоторые из них будут одинаковыми? Чтобы избавиться от этого неприятного варианта, давайте предположим, что три – это наименьшее число поворотов, которое возвращает браслет в первоначальное положение[252].

Если тройной поворот возвращает нас к исходному браслету, то аналогичный возврат будет происходить после шести и девяти поворотов. Но теперь у нас возникает проблема, потому что семь поворотов браслета однозначно переводят его в первоначальное положение, так что девять поворотов – это то же самое, что и два поворота; однако два поворота не могут перевести браслет в исходное положение, поскольку мы только что предположили, что для этого нужно не менее трех поворотов.

И мы опять ощущаем острый привкус противоречия.

Возможно, начинать с числа 3 было неудачной идеей? Что, если в группе пять элементов, то есть пять – это наименьшее количество поворотов, восстанавливающих исходный браслет? Но тогда десять поворотов тоже его восстановят, а десять поворотов – то же самое, что и три. Снова противоречие?! А если два поворота? Это срабатывало для браслета с четырьмя камнями. Если два поворота восстанавливают исходный браслет, то это же сделают четыре, шесть и восемь поворотов, но восемь – ой-ой-ой – то же самое, что и один поворот.

У нас не было такой проблемы с четырьмя камнями. Вы дважды поворачиваете браслет и получаете исходный, поворачиваете четыре раза и тоже получаете исходный. Однако никакого противоречия тут нет, потому что четыре поворота вернут вас в начало. Все у вас выходит, поскольку четыре кратно двум. А проблемы с семью камнями возникают, потому что семь не делится на три, пять или на два. Семь вообще ни на что не делится, потому что семь – простое число.

Помните, что мы изначально говорили о простых числах?

Кстати, этот принцип может многое рассказать нам о цикадах. Каждые 17 лет мой родной штат Мэриленд буквально оккупирует большой восточный выводок: из-под земли появляются сотни миллиардов насекомых, покрывающих землю стрекочущим ковром. Какое-то время вы пытаетесь на них не наступать, но потом сдаетесь, потому что их слишком много.

Но почему 17? Многие специалисты по цикадам (этих специалистов гораздо больше, чем вы думаете, и, буду с вами честен, они давно ведут по этому поводу жаркие споры, проявляя удивительную изобретательность в издевательствах над чужими гипотезами о периодичности цикад) говорят, что цикады считают под землей до семнадцати, потому что 17 – простое число. Например, если бы они появлялись на поверхности раз в 16 лет, то можно было бы вообразить хищника, который эволюционировал бы так, чтобы активно размножаться раз в 8, 4 и 2 года, чтобы у него при каждом появлении имелось достаточное количество пищи[253]. Однако ни одна голодная ящерица или птица не может синхронизироваться с большим восточным выводком[254], если только у нее самой не будет периода длиной в 17 лет[255].

Когда я говорю, что 7 (как 5, 17 или 2) не делится ни на что, я преувеличиваю: конечно же, 7 делится на 1 и на 7. Поэтому существуют два вида групп браслетов: группы по семь браслетов и группы по одному браслету. И в группе из одного браслета все камни должны быть одинаковыми, поскольку любой поворот оставляет браслет без изменений.

Таким образом, полностью опаловый и полностью жемчужный браслет – единственные две группы из одного браслета; остальные 126 браслетов разбиваются на группы по семь. Вот теперь все получается, потому что 126 / 7 = 18 групп.

Что, если мы перейдем к 11 камням? Общее количество браслетов вычисляется путем перемножения одиннадцати двоек, то есть равно 2^11 = 2048. Опять же, есть только два однородных браслета, а остальные 2046 распадаются на группы по 11; если быть точным, то таких групп 186. Вы можете продолжать аналогичным образом:

2^13 = 8192 = 2 + 630 × 13;

2^17 = 131 072 = 2 + 7710 × 17;

2^19 = 524 288 = 2 + 27594 × 19.

Заметили, что я пропустил 15? Я сделал это, во-первых, потому что оно составное, 15 = 3 × 5, а во-вторых, потому что оно не сработает! 2^15 – 2 = 32 766, и это число не делится на 15 нацело. (Энтузиасты поворачивания браслетов могут самостоятельно проверить, что 32 768 браслетов можно разделить на 2 группы по одному браслету, 2 группы по три, 6 групп по пять и 2182 группы по пятнадцать браслетов).

Вы думаете, что мы дурачились с вращающимися браслетами? Но на самом деле мы использовали геометрию окружности и ее вращение, чтобы доказать факт о простых числах, который на первый взгляд совершенно не выглядит геометрическим. Геометрия скрыта повсюду, в самой сути вещей.

Наше наблюдение о простых числах – это не просто факт, а факт с именем: его называют малой теоремой Ферма в честь Пьера де Ферма – первого человека, который его записал[256]. Какое бы простое число n вы ни взяли, каким бы большим оно ни было, 2 в n-й степени будет на 2 больше, чем число, кратное n (при делении 2 в n-й степени на n получится остаток 2).

Ферма не был профессиональным математиком (во Франции XVII века таких людей практически не существовало). Провинциальный юрист, советник парламента в Тулузе, он жил вдали от центра событий в Париже и участвовал в научной жизни того времени в основном путем переписки со своими современниками-математиками. Впервые он сформулировал малую теорему в 1640 году[257] в письме Бернару Френиклю де Бесси, с которым активно обменивался мнением о совершенных числах[258]. Ферма изложил теорему, но не привел ее доказательства, написав Френиклю, что включил бы его в письмо, «если бы оно не было таким длинным»[259]. Это классический прием Пьера де Ферма. Если вы слышали его имя, то, скорее всего, в связи не с малой теоремой, а с Великой (или Последней) теоремой Ферма, которая вообще была и не теоремой, и не последней в его жизни. Это было предположение о числах[260], записанное на полях экземпляра «Арифметики» Диофанта примерно в 1630-х годах. Ферма отмечал, что придумал поистине удивительное доказательство, но поля книги слишком малы, чтобы его вместить. В конце концов Великая теорема Ферма действительно оказалась теоремой, но это выяснилось только в 1990-х годах, когда Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор наконец завершили ее доказательство[261].

Один из способов это принять – согласиться с тем, что Ферма был своего рода провидцем, умеющим делать правильные математические утверждения без их доказательства – примерно так, как талантливый шашист может интуитивно ощущать правильность хода, не просчитывая всей дальнейшей последовательности ведущих к победе ходов. Но лучше все же предположить, что Ферма был обычным человеком, причем не всегда внимательным! Несомненно, Ферма быстро понял, что у него нет доказательства так называемой Великой теоремы, поскольку позднее писал о ее частных случаях и больше никогда не заявлял, что знает доказательство в общем случае. Французский специалист по теории чисел Андре Вейль[262] писал о преждевременном заявлении Ферма: «Едва ли могут оставаться[263] какие-то сомнения, что это произошло из-за некоторого недопонимания с его стороны, хотя, по иронии судьбы, известность Ферма среди некомпетентных людей опирается именно на это».

В конце письма Френиклю Ферма выражает убеждение, что все числа вида 22n + 1 являются простыми, и, как обычно не предлагая доказательства, уточняет: «Я в этом почти убежден», проверив это утверждение, когда n равнялось 0, 1, 2, 3, 4 и 5. Но Ферма ошибался. Его предположение не выполняется для всех чисел, даже для 5! Он не заметил, что число 4 294 967 297, которое он счел простым, на самом деле составное и равно 641 × 6 700 417. Френикль тоже не заметил ошибки Ферма (очень жаль, поскольку по тону писем понятно[264], что он действительно стремился опровергнуть своего более именитого корреспондента), и Ферма придерживался этого мнения до конца жизни, по-видимому не утруждая себя проверкой первоначально проделанных арифметических исследований. Иногда вещи кажутся правильными; но даже если ты математик масштаба Ферма – не все, что кажется правильным, таковым является[265].

КИТАЙСКАЯ ГИПОТЕЗА

Теорема о браслетах позволяет проверить, является ли простым некое число, подобно тому как вышибала проверяет гостей у дверей фешенебельного клуба. Если у входа в шикарном костюме появляется число 1 020 304 050 607 и пытается пройти, то мне понадобится некоторое время, чтобы удостовериться в его праве (я буду пробовать делить его на 2, 3, 5, 7 и так далее). Однако гораздо легче возвести число 2 в степень 1 020 304 050 607, вычесть 2 и проверить, разделится ли результат на 1 020 304 050 607[266]. Если нет, то это означает, что число 1 020 304 050 607 – точно не простое, и я могу выпроводить его своей мускулистой рукой.

Однако здесь есть странность: мы, несомненно, доказали, что число 1 020 304 050 607 разбивается на меньшие множители, но это доказательство не дает никаких подсказок, какие именно это множители! (Это хорошо; вспомните, что вся система криптографии с открытым ключом основана на сложности поиска таких множителей.) К подобным «неконструктивным доказательствам» требуется привыкнуть, но в математике они встречаются повсеместно. Такое доказательство в чем-то сродни автомобилю, внутри которого каждый раз сыро во время дождя[267]. По наличию воды и запаху вы понимаете, что где-то протекает. Но доказательством, как ни досадно, будет сам факт существования протечки, а не то, где именно она находится.

Нам нужно вникнуть еще в одну важную особенность этого доказательства. Если ваши коврики влажные во время дождя, то протечка есть; но это не значит, что если они сухие, то протечки нет! Протечка может быть в другом месте, или ваши коврики могут очень быстро сохнуть. Можно сделать два различных утверждения.

Если ваши коврики влажные, протечка есть.

Если ваши коврики сухие, протечки нет.

В терминах логики второе утверждение называется противоположным первому. Существуют и другие варианты.

Обратное утверждение. Если в автомобиле есть протечка, то коврики на полу будут влажными.

Контрапозитивное утверждение. Если в автомобиле нет протечки, то коврики будут сухими[268].

Исходное утверждение эквивалентно своему контрапозитиву; это просто два разных набора слов, выражающих одну и ту же идею, словно 1/2 и 3/6 или «величайший шорт-стоп в моей жизни» и «Кел Рипкен – младший»[269]. Вы не обязаны соглашаться ни с тем, ни с другим, но если соглашаетесь с одним, то вынуждены согласиться и с другим. Однако утверждение и обратное утверждение – две совершенно разные вещи. Может оказаться, что оба истинны, оба ложны или одно истинное, а другое ложное.

Ферма показал, что если n – простое число, то 2n делится на n. Обратное утверждение звучит так: если 2n делится на n, то n – простое число. Это утверждение, которое позволило бы делать проверку методом Ферма, иногда называют китайской гипотезой[270]. Оно истинно? Нет. Оно китайское? Тоже нет. Название происходит от стойкого и ошибочного убеждения[271], что малая теорема Ферма была известна китайским математикам еще во времена Конфуция. Как и в случае игры «Ним», западные математики сочли странно привлекательной идею, что любую математическую концепцию неясного происхождения следует считать старой и китайской. Мнение, что древние китайские математики сформулировали утверждение, обратное малой теореме Ферма, по-видимому, восходит к короткой заметке 1898 года[272], написанной британским астрофизиком Джеймсом Джинсом[273] в пору студенчества, что только добавляет издевательства к неправильной атрибуции[274].

Утверждение, обратное малой теореме Ферма, неверно, потому что, подобно тому как юноша с фальшивым удостоверением личности может обмануть самого сурового вышибалу, некоторые составные числа проходят такой тест. Наименьшее из этих чисел – 341. (Хотя этот пример, кажется, был открыт только в 1819 году!) Другой пример – то самое подлое число 4 294 967 297, одурачившее Ферма. И таких чисел бесконечно много.

Однако их наличие не делает тест бесполезным, он просто несовершенен. Внешний мир часто думает, что математика – это наука о безупречном и определенном, однако несовершенные вещи нам тоже нравятся, особенно если мы знаем границы их несовершенства. Вот как можно сгенерировать большие простые числа методом проб и ошибок. Напишите трехсотзначное число. Примените к нему тест Ферма (или лучше его современный вариант: тест Миллера – Рабина). Если число не прошло тест, выберите другое и повторите попытку. Продолжайте, пока не наткнетесь на то, которое пройдет тест.

ПЬЯНОЕ-ПЬЯНОЕ ГО

Все вышеизложенное возвращает нас к компьютерному го. Игра го намного старше шашек и шахмат и (просто для разнообразия!) действительно древняя и китайская. С другой стороны, машины, играющие в го, появились позже автоматов для других игр. Еще в 1912 году испанский математик Леонардо Торрес-и-Кеведо построил машину «Шахматист» (El Ajedrecista), которая умела разыгрывать некоторые шахматные эндшпили, а Алан Тьюринг изложил план функционального шахматного компьютера в 1950-х годах. Сама идея автомата, играющего в шахматы, еще старше: она восходит к «Шахматному турку» Вольфганга фон Кемпелена, чрезвычайно популярному автомату в XVIII и XIX веках, который вдохновлял Чарльза Бэббиджа, озадачивал Эдгара По[275] и ставил мат Наполеону, однако на самом деле управлялся человеком небольшого роста, скрытым внутри механизма[276].

Первая компьютерная программа, играющая в го, появилась только в конце 1960-х: ее написал Альберт Зобрист в рамках свой диссертации по информатике в Висконсинском университете. В 1994 году, когда «Чинук» на равных сражался с Марионом Тинсли, машины были бессильны против профессиональных игроков в го. Но, как выяснил Ли Седоль, все быстро изменилось.

Что делает высококлассная машина для игры в го (например, AlphaGo) без притаившегося внутри маленького человека, двигающего детальки? Она не маркирует каждый узел дерева го буквой В или П (буква Н не нужна, потому что в стандартном варианте го нет ничьих). Дерево го очень высокое и густое, никто не может справиться с этой чертовой штукой. Однако, как и в тесте Ферма, мы можем ограничиться приближением – функцией, которая присваивает каждой позиции на доске определенное число с помощью какого-то легкого вычисления. Это число должно быть большим, если позиция хороша для игрока, собирающегося делать ход, и маленьким, если ситуация на доске благоприятна для его противника. Наличие такой оценки предлагает стратегию: среди всех доступных ходов вы выбираете тот, который оставляет противнику позицию с наименьшим числом, так вы ставите противника в наихудшее из потенциально возможных положений. Полезно представить себя внутри подобного алгоритма. Вы занимаетесь повседневными делами и каждый раз, принимая какое-то решение (например, я хочу шоколадный круассан, миндальный круассан или бейгл?), быстро перебираете все имеющиеся варианты. Для каждого почти мгновенно высвечиваются какие-то числовые значения и складываются в общую оценку каждого вида выпечки: вкус плюс насыщение минус цена минус количество углеводов и т. д. Это звучит одновременно и грандиозно, и фантастически устрашающе.

В основе всего, что мы делаем в области искусственного интеллекта, лежит компромисс. Чем точнее оценочная функция, тем больше времени обычно требуется для ее вычисления; чем она проще, тем менее точно отражает тот параметр, для которого предназначена. Разумнее всего было бы присвоить 1 каждой выигрышной позиции и 0 каждой проигрышной; это обеспечило бы абсолютно идеальную игру, но у нас нет реальных способов вычислить такую функцию. С другой стороны, мы могли бы присвоить каждой позиции одно и то же число («Да я не знаю, вся выпечка кажется отличной»). Это число было бы очень просто вычислять, но мы не получили бы вообще никаких полезных подсказок о том, как нам играть дальше.

Правильный путь где-то посередине. Вам нужен способ грубой оценки для какого-то набора действий без тщательного обдумывания всех его последствий. Это может быть «делай то, что сейчас нравится, ты живешь только раз» или «слушайся указаний вашего местного религиозного деятеля». Ни одна из этих стратегий не идеальна, но все же они, вероятно, лучше для вас, чем совершенно необдуманные действия (за исключением некоторых случаев, связанных с местным религиозным деятелем).

Трудно понять, как это применимо к играм типа го. Если вы не мастер игры (или если вы компьютер), то никакое расположение камней на доске не вызовет радости или страдания. В отличие от шашек или шахмат, где игрок с большим количеством фигур обычно в каком-то смысле «впереди», в го нет явного выражения материального перевеса. Выигрышная позиция или проигрышная – тонкий вопрос размещения камней на доске.

Важная математическая тактика: когда вы понятия не имеете, что попробовать, пробуйте то, что кажется очень глупым. Вот что вы делаете. В данной позиции вы представляете, что Акбар и Джефф начинают сильно пить – так сильно, что теряют всякое понимание стратегии и желание выиграть, хотя в каком-то темном уголке сознания помнят правила игры. Другими словами, они ведут себя подобно пьянице на открытой местности, которого воображал Карл Пирсон. Каждый игрок по очереди наугад выбирает разрешенный ход, пока игра не закончится и оба не рухнут под стол, полностью обессиленные. Игроки совершают случайное блуждание по дереву го.

Пьяное го легко смоделировать на компьютере, поскольку оно не требует тщательных рассуждений – достаточно просто знать правила и беззаботно крутить колесо для случайного выбора одного из доступных ходов. Вы можете смоделировать игру, а после окончания партии смоделировать ее снова: один раз, два, миллион – неизменно начиная с одной и той же позиции. Иногда побеждает Акбар, иногда Джефф. И тогда оценка, которую вы присваиваете позиции (мера того, насколько она выгодна для Акбара), – это доля смоделированных партий, выигранных Акбаром.

Какой бы грубой ни была эта мера, она не совсем бесполезна. Рассмотрим такую метафору. Допустим, мертвецки пьяный Акбар стоит в длинном коридоре, у которого два выхода – спереди и сзади. Он бесцельно бродит взад-вперед, пока не натыкается на один из выходов. Разумно предположить, что чем ближе Акбар стоит к передней двери, тем выше вероятность, что он наткнется именно на нее, даже если не пытается добраться до нее или куда-то еще. И мы можем использовать это рассуждение в обратном порядке: если Акбар выходит через парадную дверь, это подтверждает (хотя, естественно, не доказывает), что его исходная точка была к ней ближе.

Подобные рассуждения были частью теории случайных блужданий задолго до того, как Пирсон дал им название. Можно считать, что такая схема восходит к Книге Бытия, где Ной, которому надоело сидеть законопаченным в ковчеге с несколькими сотнями пар животных, отправляет ворона, который «отлетал и прилетал» в поисках земли, оставленной отступающей водой. Ворон ничего не нашел. Тогда Ной отправил голубя, и тот тоже вернулся, не найдя суши. Но когда голубь в следующий раз отправился в случайный полет и вернулся с масличным листом в клюве, Ной понял, что земля где-то рядом[277].

Случайные блуждания появлялись при изучении игр в течение многих веков, особенно в азартных играх, где блуждание по дереву всегда случайно, по крайней мере частично. Пьер де Ферма в перерывах между написанием писем о простых числах обсуждал с математиком и мистиком Блезом Паскалем задачу о разорении игрока. В этой игре Акбар и Джефф играют в кости, причем у обоих по 12 монет. Они по очереди бросают по три кости. Каждый раз, когда Акбар выбрасывает 11 очков, он получает одну из монет Джеффа. Каждый раз, когда Джефф выбрасывает 14 очков, он забирает одну из монет Акбара. Игра заканчивается, когда один из игроков лишается всех монет и «разоряется». Каковы шансы, что Акбар выиграет?[278]

Это просто вопрос о случайном блуждании, которое начинается в тот момент, когда у игроков поровну монет, и заканчивается, когда у одного из них денег не остается. При бросании трех костей вероятность выпадения 11 очков примерно вдвое выше, чем 14 очков, – просто потому, что существует всего 15 исходов, когда сумма чисел на трех костях равна 14, и целых 27 исходов, когда сумма чисел на трех костях равна 11. Поэтому разумно предположить, что Джефф находится в невыгодном положении. Но насколько невыгодном? Этот вопрос Паскаль задал Ферма. Оказалось[279] (как сразу же ответил Паскалю Ферма, а Паскаль раздраженно дал понять, что уже сообразил), что шансы Джеффа на разорение больше в тысячу с лишним раз! Небольшой сдвиг в случайном блуждании превращается в задаче о разорении игрока в колоссальное неравенство. Джеффу может повезти, и он пару раз выбросит 14 до того, как Акбар выбросит 11, однако его преимущество вряд ли будет длительным, не говоря уже о разорении соперника.

Самый простой способ посмотреть, как это работает на практике, – заменить задачу более простой (детским примером, как ее любят называть математики). Предположим, Акбар и Джефф играют в игру, где шансы Акбара на победу в одной партии равны 60 %, и побеждает игрок, который первым выиграет две партии. Вероятность того, что это сделает Акбар (и тем самым выиграет в целом), составляет 0,6 × 0,6 = 0,36, или 36 %. А вероятность, что Джефф выиграет первые две партии подряд (и тем самым игру в целом), равна всего 0,4 × 0,4 = 0,16, или 16 %. В оставшихся 48 % случаев игроки выиграют по одной партии и игра продолжится. Акбар выиграет следующую партию в 60 % от этих 48 % случаев, то есть в 28,8 % игр (0,6 × 0,48 = 0,288). В оставшихся 40 % от этих 48 % случаев, то есть в 19,2 % игр (0,4 × 0,48 = 0,192), победит Джефф. Следовательно, общие шансы Акбара на победу (со счетом 2:0 или 2:1) составляют 36 % + 28,8 % = 64,8 %. Это несколько выше, чем его шансы выиграть каждую отдельную партию. Если игра ведется до трех побед в отдельных партиях, то вы можете убедиться, что шансы Акбара на общую победу возрастают примерно до 68,3 %. Чем длительнее игра, тем выше шансы, что победит более умелый игрок[280].

Принцип разорения игрока лежит в основе спортивных турниров. Почему мы не определяем чемпиона мира по бейсболу в одной-единственной игре или победителя какого-нибудь теннисного турнира в одном гейме? Потому что это слишком ненадежно: в одном конкретном гейме более сильный теннисист вполне может проиграть, а цель турнира – определить действительно лучшего.

Вместо этого теннисный сет продолжатся до тех пор, пока один из игроков не выиграет шесть геймов с опережением как минимум на два гейма. Это трудно описать словами, поэтому давайте посмотрим на рисунок.

Вы можете представлять теннис как случайное блуждание по этой сетке; каждый раз после сыгранного гейма вы перемещаетесь вправо или вверх и останавливаетесь, когда ударяетесь об одну из границ, то есть «разоряете» одного из игроков (конец сета). Если игрок А чуть-чуть лучше, чем игрок В (то есть вероятность шага вверх больше, чем вправо), то шанс закончить матч на верхней границе выше, чем на нижней[281]. Поскольку длинный диагональный коридор на диаграмме бесконечен, для продолжительности сета не установлено никаких ограничений. Если игроки не будут одинаково сильны, то крайне маловероятно, чтобы блуждание зайдет очень далеко по коридору, не ударившись о его стенки. Тем не менее такое бывало. Например, матч Джона Изнера и Николя Маю 23 июня 2010 года на Уимблдоне[282]. Два игрока то выходили вперед, то сравнивали счет – гейм за геймом. Шли часы. Солнце стало садиться. Табло на корте выключилось при счете 47:47, поскольку это был максимум, на который оно запрограммировано. Примерно в 21:00 при счете 59:59 темнота помешала играть дальше. На следующий день Изнер и Маю ее возобновили, продолжая брать геймы на своей подаче. Наконец, очередной удар Изнера[283] принес ему выигрыш 138-го гейма и общую победу 70:68 в пятом сете (и в матче). Изнер сказал: «Ничего подобного больше не повторится. Никогда»[284].

Но могло бы! Такие правила могут показаться странными, но для меня это часть очарования тенниса. Ни часов, ни сирены, ни ограничения на количество геймов. Единственный итог – кто-то должен выиграть[285].

Большинство спортивных турниров проходят иначе[286]. Когда в финале Мировой серии играют две бейсбольные команды, победителем станет та, которая первой одержит четыре победы. Поэтому серия не может длиться дольше семи игр: при счете 3:3 следующая будет решающей. Нельзя, чтобы матчи превратились в ультрамарафон, как у Маю и Изнера[287]. Геометрия границ Мировой серии отличается.

Мы снова пришли к компромиссу между точностью и скоростью. Вы можете представлять теннисный сет как алгоритм, цель которого – выяснить, кто лучше играет в теннис, равно как Мировая серия – это алгоритм, позволяющий узнать, кто лучше играет в бейсбол. (Спортивное мероприятие – это не только данный алгоритм; оно предназначено для развлечения, получения налоговых поступлений, ослабления недовольства населения и т. д.; но такой алгоритм – один из его аспектов.) Сет в теннисе требует больше времени для вычислений и более точно выявляет мелкие различия между уровнем мастерства игроков; Мировая серия грубее, и здесь работа выполняется быстрее. Разница проистекает из геометрии границы: она квадратная и прямолинейная, как в Мировой серии, или длинная и вытянутая, как в случае теннисного сета? И эти варианты не единственные. Вы можете использовать другие схемы при поиске компромисса между точностью и скоростью с помощью выбора формы. Мне всегда нравилась такая:

В этой системе действует «правило милосердия»: вам засчитывается поражение в серии, если после трех игр вы проигрываете 3:0 (название означает, что аутсайдеру не приходится лишний раз унижаться). С другой стороны, если обе команды выиграли по три игры (что свидетельствует о равенстве сил), то для чемпионства требуется одержать пятую победу. Да, вы потеряете те редкие захватывающие моменты, когда команда отыгрывается после 0:3, как бейсболисты «Бостон Ред Сокс» против «Нью-Йорк Янкиз» в 2004 году, однако такие события случаются редко. И разве это будет слишком высокой ценой за возможность сыграть восьмые матчи и девятый матч «победитель получает все», когда команды одинаково сильны?

ПРОСТРАНСТВО СТРАТЕГИЙ

Вернемся к го. Мы видели, что исход случайного блуждания может подсказать, где находилась ваша исходная точка. Разумно предположить, что позиция, в которой Акбар с большой вероятностью выиграет при случайных ходах, сохранит это свойство, если он будет по-настоящему настроен на победу. Вы можете это проверить, играя в го с помощью описанной стратегии: на каждом этапе переходите в позицию, у которой самая высокая оценка в пьяном го. Если будете пользоваться этим правилом, то хоть и не обыграете опытного противника, но точно будете играть лучше любого новичка.

Еще выгоднее совместить пьяные спотыкания с анализом дерева вроде того, что мы использовали для игры «Ним». Это выглядит примерно так:

Думаю, пришло время рассказать кое-что о себе. Я не умею играть в го. Партия, в которой кузен Закари сокрушил меня, была последней в моей жизни. Я даже не помню правил. Однако это не имеет значения; я в любом случае могу написать этот раздел о го, потому что дерево сообщает вам, что делать, независимо от того, знаете вы правила или нет. Дерево может быть шашечным, шахматным, деревом «Ним» или го – вы анализируете его совершенно одинаково. Все, что имеет отношение к стратегии, заключено в структуре ветвей и числах на листьях. Важна только геометрия дерева.

Числа на листьях указывают пьяную оценку для соответствующей последовательности ходов. Если Акбар делает ход А, а Джефф отвечает ходом 1, после чего они ходят наугад, то в итоге Акбар выиграет 60 % партий. Таким образом, позиция А1 получает пьяную оценку 0,4.

Однако пьяная оценка самого хода А не настолько проста. Если мы предположим, что пьяный Джефф делает после него случайный ход из трех возможных, то с вероятностью 1/3 партия перейдет в положение А1, с вероятностью 1/3 – в положение А2 и с вероятностью 1/3 – в положение А3. Из 300 пьяных попыток 100[288] закончатся в А1, и пусть Акбар выиграет из них 60, в А2 – 50 игр из 100, а в А3 – 40 из 100. В общей сложности он выиграет 150 партий из 300, то есть ровно половину. Поэтому позиция А получает пьяную оценку 0,5. Аналогичным образом мы можем найти оценки для позиции B – это 0,4, и позиции C – 0,9. (Помните, что пьяная оценка для позиции, где ход Джеффа – это вероятность того, что пьяный Джефф победит пьяного Акбара, а не наоборот.)

То, как Акбар играет в эту игру, зависит от того, когда начинается пьянка (то есть случайная игра). Если он просматривает только одну ветвь ниже по дереву, считая ее далее случайной, он выберет ход В с наименьшей пьяной оценкой. Но если он продвинется по дереву дальше, то сможет рассуждать следующим образом. Что на самом деле произойдет, если он выберет ход В? Джефф, еще трезвый как стеклышко, выберет какой-нибудь ход В2, дающий Акбару 20-процентный шанс на победу. Это лучше, чем паршивый ход С, где шансы Акбара всего 10 %, что бы Джефф ни делал дальше. Однако ход А дает Джеффу меньше: его лучший ответ – перейти в А1, где у Акбара шанс 60 %. Поэтому Акбар, думающий на два хода вниз по дереву, а не на один, сможет увидеть, что ход А лучше, чем В.

Естественно, более глубокий анализ может улучшить результат. Позиция В2 заканчивается для Акбара очень плохо, если разыгрывается наугад. Возможно, это просто объективно неблагоприятный сценарий для Акбара. Однако может оказаться, что в этой позиции у Акбара есть один потрясающий ход и много дрянных. Для Акбара, играющего наугад, такая позиция – плохая, поскольку шансы выбрать этот хороший ход невелики, а вот для Акбара, умеющего смотреть на шаг вперед, она прекрасна.

Подобная смешанная стратегия по-прежнему в значительной степени полагается на полусмехотворный метод пьяного го. Поэтому может показаться удивительным, что всего несколько лет назад компьютерные программы для го[289], основанные на подобных методах, были вполне конкурентоспособны на продвинутом любительском уровне.

Однако не эта стратегия приводит в действие машины нового поколения, из-за которых игру покинул Ли Седоль. Новые программы все еще применяют функцию, которая оценивает позицию как «хорошая или плохая для Акбара» по какой-то числовой шкале, и ориентируются на эту оценку при выборе следующего хода. Однако механизм вычисления оценки, используемый программой типа AlphaGo, много-много лучше, чем любой, добытый из случайного блуждания. Как построить такой механизм? Ответ (который, я бы сказал, вы уже точно знаете): геометрия. Но геометрия более высокого порядка.

В любой игре – крестики-нолики, шашки, шахматы или го – вы начинаете с геометрии доски. Исходя из нее и правил игры, вы поднимаетесь на один уровень вверх и разрабатываете геометрию дерева, которая в принципе содержит все, что касается идеальной стратегии игры. Однако в тех случаях, когда найти идеальную стратегию слишком сложно по причине вычислений, вы соглашаетесь на стратегию, достаточно близкую к идеальной, чтобы обеспечить высокое качество игры.

Чтобы обнаружить такую стратегию, вам нужно ориентироваться в новой геометрии – геометрии пространства стратегий, – а это место рисовать куда сложнее, чем дерево. И мы пытаемся найти в этом бесконечномерном[290] абстрактном стоге сена процедуру принятия решений, которая будет лучше, чем все, что могла придумать отточенная практикой интуиция Мариона Тинсли или Ли Седоля.

Звучит сложно. Куда нам двигаться дальше? Все сводится к самому грубому и самому мощному методу – проб и ошибок. Посмотрим, как это работает.

Глава 7. Искусственный интеллект как альпинизм

Моя знакомая Мередит Бруссард[291], профессор из Нью-Йоркского университета и эксперт в сфере машинного обучения и его влияния на общество, не так давно выступала на телевидении, где ее попросили вкратце объяснить общенациональной аудитории, что такое искусственный интеллект и как он работает.

Это не роботы-убийцы, объяснила она ведущим, и не бесстрастные андроиды, чьи умственные способности превосходят наши. «Самое важное, что нужно помнить – сказала она, – что это просто математика и не надо ее бояться».

Удивленное выражение лиц ведущих наводило на мысль, что они предпочли бы роботов-убийц.

Однако ответ Мередит был хорош. И я готов более детально поговорить на эту тему. Так что я принимаю эстафету и попробую объяснить, что такое математика машинного обучения, потому что эта масштабная идея проще, чем вы думаете.

Для начала предположим, что вы альпинист и пытаетесь покорить вершину. Но у вас нет карты. Вас окружают деревья и кусты и нигде нет никакой точки обзора, с которой можно было бы охватить взглядом весь ландшафт. Как добраться до вершины?

Вот одна из стратегий. Посмотрите на уклон у ваших ног. Возможно, поверхность чуть повышается при шаге на север и чуть понижается при шаге на юг. Повернитесь на северо-восток и обнаружите еще более крутой подъем. Поворачиваясь вокруг своей оси, вы проверите все возможные направления движения; среди них точно есть одно с наибольшим уклоном вверх[292]. Сделайте несколько шагов в этом направлении. Снова повернитесь, выберите самый крутой подъем и продолжите движение.

Теперь вы знаете, как работает машинное обучение!

Ладно, возможно, в нем есть нечто большее. Но в основе всего лежит идея под названием градиентный спуск[293]. Фактически это некая форма метода проб и ошибок: вы пробуете несколько возможных ходов и выбираете тот, который вам больше всего подходит. Градиент, связанный с определенным направлением, – это математическое наименование выражения «насколько изменится высота, если вы делаете один крохотный шаг в этом направлении». Другими словами, это наклон поверхности, когда вы двигаетесь в этом направлении. Если вы знаете математический анализ, то это примерно то же самое, что производная, однако для обсуждения нашей темы математический анализ не нужен. Градиентный спуск – это алгоритм, математический способ сказать «явное правило, указывающее вам, что делать в любой ситуации, с которой вы можете столкнуться». И в данном случае правило таково:

Представьте все шаги, которые можете сделать. Выясните, какой из них обеспечивает наибольший градиент, и сделайте его. Повторите.

Ваш путь к вершине, нанесенный на топографическую карту, будет выглядеть примерно так:

(Еще одно изящное геометрическое утверждение[294]: при движении по градиентному спуску ваш путь на карте всегда пересекает точки изолиний равных высот под прямым углом. Объяснение ищите в примечаниях в конце книги.)

Как видите, эта идея может оказаться удачной для альпинизма (хотя не всегда, и мы еще к этому вернемся), однако какое отношение все это имеет к машинному обучению?

Предположим, что я все-таки не альпинист, а компьютер, пытающийся чему-то научиться. Это может быть одна из машин, с которыми мы уже встречались, например AlphaGo, играющая в го лучше мастеров, или GPT-3, выдающая длинные строки правдоподобного английского текста. Но для начала будем придерживаться классики и допустим, что я – компьютер, который пытается узнать, что такое кошка.

Как мне это сделать? Примерно так же, как это делает младенец. Малыш живет в мире, где время от времени какой-нибудь взрослый показывает на нечто, находящееся в поле зрения, и говорит: «Кошка!» Вы можете обеспечить компьютеру аналогичный процесс обучения: предоставить ему тысячу изображений кошек в различных позах, при разном освещении и в разном настроении. «Все это кошки», – сообщаете вы компьютеру. В реальности, если вы действительно хотите быть полезным, вы добавляете такое же количество изображений с другими объектами и объясняете компьютеру, что это не кошки.

Задача машины – разработать стратегию, позволяющую ей отличать кошек от некошек самостоятельно. Это блуждание по ландшафту всех возможных стратегий в попытках найти лучшую – вершину точности в идентификации кошек. По сути, это аналог альпиниста. Следовательно, мы можем применить метод градиентного спуска! Вы выбираете какую-нибудь стратегию, тем самым помещая себя в ландшафт, а затем действуете в соответствии с правилом градиентного спуска.

Проанализируйте все небольшие изменения, которые можете внести в текущую стратегию, выясните, какое из них предлагает наибольший градиент, и сделайте это. Повторите.

ЖАДНОСТЬ – ЭТО ДОВОЛЬНО ХОРОШО

Звучит неплохо, но только до тех пор, пока вы не осознаете, что понятия не имеете, что это значит. Например, что такое стратегия? Это должно быть нечто, понятное компьютеру, а потому должно выражаться в математических терминах. Изображение для компьютера – это длинный список чисел. (Для компьютера все – длинный список чисел, за исключением вещей, которые для него являются коротким списком чисел.) Если картинка представляет собой сетку размером 600×600 пикселей, и каждый пиксель имеет яркость, задаваемую числом от 0 (чистый черный) до 1 (чистый белый цвет), и если мы знаем эти 360 000 чисел (600 × 600), то, соответственно, знаем, что изображено на картинке (по крайней мере в черно-белом варианте).

Стратегия в нашем случае – это просто способ взять 360 000 чисел и превратить их либо в кошку, либо в некошку, то есть на языке компьютеров – в 1 или 0. В математических терминах это функция. На деле для большей психологической реалистичности результатом стратегии может быть какое-то число между 0 и 1: оно выражает неуверенность машины, если ей подсунут двусмысленное изображение, например рысь или подушку в виде кота Гарфилда. Результат 0,8 можно интерпретировать так: «Я почти уверен, что это кошка, но сомнения остаются».

Например, ваша стратегия может быть такой: «Вывести среднее значение всех 360 000 чисел входных данных». Это даст 1, если изображение было полностью белым, и 0, если оно было полностью черным, а в целом отражает его среднюю яркость на экране. Что тут общего с кошкой? Ничего. Я и не говорил, что это хорошая стратегия.

Как же измерить успешность стратегии? Простейший способ – посмотреть, как она работает на тех двух тысячах картинок, которые наш «Кошкотрон» уже видел. Для каждой картинки мы можем присвоить нашей стратегии «меру неправильности»[295]. Если нарисована кошка и стратегия дает 1, то это «нулевая неправильность», то есть получается верный ответ. Если нарисована кошка, а стратегия выдает 0, то неправильность равна 1 – наихудший из возможных результатов. Если на изображении кошка, а стратегия дает 0,8, то ответ верный, но с долей сомнения, равной 0,2[296].

Вы складываете такие числа для всех двух тысяч используемых изображений и получаете общую суммарную неправильность, которая и будет мерой вашей стратегии. Ваша цель – найти стратегию с минимальной суммарной неправильностью. Как сделать так, чтобы стратегия не ошибалась? Вот здесь и появляется градиентный спуск. Потому что теперь вы уже знаете, что означает улучшение или ухудшение стратегии при ее незначительном изменении. Градиент измеряет, как сильно меняется неправильность при небольшом изменении стратегии. И из всех возможных способов немного изменить стратегию вы выбираете тот, который максимально уменьшает неправильность. (Кстати, именно поэтому метод называют градиентным спуском, а не подъемом! Часто наша цель в машинном обучении – минимизировать что-то плохое, например неправильность, а не максимизировать что-то хорошее, скажем высоту над уровнем моря.)

Метод градиентного спуска применим не только к кошкам; вы можете использовать его каждый раз, когда захотите, чтобы машина изучала какую-то стратегию на собственном опыте. Возможно, вам нужна стратегия, которая берет чьи-то рейтинги для сотен фильмов и предсказывает их рейтинги для еще не просмотренных картин; или стратегия, которая берет позицию в шашках или го и выдает ход, ставящий вашего противника в проигрышное положение; или стратегия, которая на основе видеосигнала с камеры автомобиля выдает движение рулевой колонки, упреждающее столкновение с мусорным баком. Все что угодно! Во всех случаях вы можете начать с какой-то предложенной стратегии, оценить, какие незначительные изменения максимально уменьшат неправильность в большинстве примеров, которые вы уже видели, внести эти изменения и повторить.

Я не хочу преуменьшать вычислительные проблемы. «Кошкотрон», скорее всего, придется обучать на миллионах изображений, а не на тысячах. Поэтому вычисление полной неправильности может потребовать сложения миллионов отдельных неправильностей. Даже если у вас очень мощный процессор, это затратно по времени! Вот почему на практике мы часто используем разновидность процесса под названием стохастический градиентный спуск. У этого метода невообразимое количество модификаций, хитростей и усложнений, но базовая идея такова: вместо того чтобы складывать все неправильности, вы берете наугад одну картинку из своего обучающего множества – одного ангорского котенка или аквариум, – а затем делаете шаг, который сильнее всего уменьшит для нее неправильность. На следующем шаге вы снова выбираете случайное изображение и продолжаете. Со временем (поскольку для этого процесса требуется много шагов) вы, вероятно, в итоге учтете все различные изображения.

Что мне нравится в стохастическом градиентном спуске, так это его странность. Представьте, например, что президент Соединенных Штатов принимает решения без какой-либо глобальной стратегии: глава государства окружен толпой кричащих подчиненных, где каждый требует скорректировать политику в соответствии с его собственными интересами. И президент ежедневно случайным образом выбирает одного из этих людей, выслушивает его и соответствующим образом меняет курс страны[297]. Довольно нелепый (и опасный!) способ руководить правительством огромной страны, однако неплохо работающий в машинном обучении!

В нашем описании пока отсутствует кое-что важное: как узнать, когда остановиться? Ну, это как раз просто: вы останавливаетесь, когда ваши мелкие изменения больше не дают никаких улучшений. Однако тут возникает большая проблема: возможно, на самом деле вы вовсе не на вершине!

Если вы – тот самый счастливый альпинист на рисунке, то при любом шаге влево или вправо заметите, что уклона вверх нигде нет. Вот почему вы счастливы! Вы на вершине!

Хотя нет. Настоящая вершина далеко, и градиентный спуск не приведет вас туда. Вы попали в точку, известную как локальный оптимум[298], в которой никакие мелкие изменения не приводят к улучшению, но при этом она далека от фактического наилучшего положения. Мне нравится думать о локальном оптимуме как о математической модели прокрастинации – склонности откладывать дела на потом. Предположим, вам нужно сделать какое-то неприятное дело: например, разобрать огромную шаткую стопку папок, большинство из которых связано с целями, к которым вы стремились годами, и избавление от них означало бы окончательное признание, что вы этими путями уже больше никогда не пойдете. В любой конкретный день метод градиентного спуска рекомендует вам совершить какой-то маленький шаг, который сделает вас в этот день максимально счастливым. Нужно ли для этого разбирать завалы? Нет, как раз наоборот. Начав возиться со злополучной стопкой, вы почувствуете себя ужасно. Таким образом, градиентный спуск требует от вас отложить работу на завтра. Но завтра он вам скажет то же самое. И послезавтра тоже. Поздравляю! Вы попали в точку локального оптимума, на невысокую вершину. Чтобы подняться на более высокую вершину, вам придется спуститься в какую-то низину и, возможно, преодолеть большое расстояние – спуститься, чтобы в итоге покорить вершину. Градиентный спуск – это так называемый жадный алгоритм, потому что в любой момент он требует сделать шаг, ведущий к краткосрочной выгоде. Жадность – одна из главных ветвей на древе грехов, но опять же, согласно капиталистической поговорке, жадность – это хорошо[299]. В машинном обучении правильнее сказать: «Жадность – это довольно хорошо». Метод градиентного спуска может привести к локальному оптимуму, однако на практике это случается не так часто, как можно предположить теоретически.

Существуют способы обойти локальный оптимум: нужно просто ненадолго приструнить свою жадность. У каждого хорошего правила есть исключения! Например, вы можете вместо остановки на какой-то вершине выбрать другое случайное положение и заново запустить градиентный спуск. Оказываясь в одном и том же месте, вы обретете больше уверенности, что эта точка – наилучшая. Однако на картинке, нарисованной выше, выход из случайной начальной точки с большей вероятностью закончится на высоком пике, а не на низком.

В реальной жизни весьма сложно поставить себя в случайно выбранное новое местоположение! Более реалистичный поступок – сделать из своего текущего положения случайный большой шаг вместо маленького жадного шажка; часто этого достаточно, чтобы вы оказались в такой точке, откуда можно добраться до наилучшей доступной вершины. Именно это мы делаем, когда просим совета у незнакомца, находящегося вне нашего обычного круга общения, или вытаскиваем карты из колоды вроде «Обходных стратегий»[300], изречения на которых («Используй неприемлемый цвет», «Самое главное – то, что легче всего забыть», «Бесконечно малые градации»[301], «Отбрось аксиому»[302]) предназначены для того, чтобы выбить нас из локального оптимума, где мы застряли, и сделать шаги, «срабатывающие» не сразу. Само название указывает на путь, отличающийся от того, что мы обычно выбираем.

ПРАВ ЛИ Я? ОШИБАЮСЬ ЛИ Я?

Существует еще одно препятствие, причем значительное. Мы беспечно решили рассмотреть все небольшие изменения, которые можем сделать, и выяснить, какое из них обеспечивает лучший градиент. Когда вы – альпинист на горе, все четко определено: вы находитесь на двумерной поверхности, и выбор шага – это всего лишь выбор какого-то направления по компасу; ваша цель – найти направление с максимальным градиентом.

Но что насчет пространства всех возможных стратегий для оценивания изображений кошек? Это пространство гораздо больше, фактически оно бесконечномерное. Нет никакого реального способа рассмотреть все ваши возможные варианты. Это очевидно, если расценивать ситуацию с точки зрения человека, а не машины. Предположим, я пишу книгу по саморазвитию с помощью градиентного спуска и говорю: «Улучшить выбор в жизни легко: достаточно взять все возможные способы изменить ее и выбрать тот, который кардинально улучшает ситуацию». Вас бы парализовало! Пространство всех возможных изменений поведения слишком велико для поиска. А если с помощью какого-то сверхчеловеческого подвига самоанализа вы все же смогли бы его вести? Тогда вы столкнулись бы с еще одной проблемой, потому что есть стратегия для вашей жизни, которая абсолютно минимизирует неправильность всего вашего прошлого опыта.

Стратегия: если решение, которое вам предстоит принять, в точности совпадает с тем, что вы уже принимали раньше, примите то, которое вы сейчас, оглядываясь назад, считаете правильным. В противном случае подбросьте монету.

В сценарии «Кошкотрона» аналог этого правила будет таким.

Стратегия: для любого изображения, которое вы при обучении признали кошкой, скажите «кошка». Для любого изображения, которое вы при обучении признали некошкой, скажите «некошка». Для остальных изображений подбросьте монету.

Эта стратегия обладает нулевой неправильностью! Она дает правильный ответ для каждого изображения в группе, на которой вы обучались. Но это настораживает. Если я показываю «Кошкотрону» картинку кошки, которую он не видел, он подбрасывает монету. Если я покажу картинку, которую уже называл кошкой, но поверну на сотую долю градуса, он подбросит монету. Если я покажу картинку с холодильником, он подбросит монету. Все, что он способен сделать, – это воспроизвести точный конечный список кошек и некошек, который я ему когда-то сообщил. Это не обучение, а просто запоминание.

Мы увидели два вида неэффективности стратегий. В каком-то смысле они противоположны.

• Стратегия неверна во множестве ситуаций, с которыми вы уже сталкивались.

• Стратегия настолько точно адаптирована к ситуациям, с которыми вы уже сталкивались, что бесполезна для новых ситуаций.

Первая проблема называется недообучением: при формировании стратегии вы недостаточно использовали свой опыт; вторая – переобучением: мы слишком полагаемся на свой опыт. Как найти золотую середину между этими бесполезными крайностями? Это можно сделать, приблизив задачу к настоящему походу в горы. Альпинист выбирает из весьма ограниченного количества вариантов, и мы тоже можем так поступить, если заранее решим ограничить свои возможности. Давайте вернемся к моей книге по саморазвитию с помощью градиентного спуска. Что, если вместо указания рассортировать все допустимые вмешательства, которые читатели могут предпринять, я предложу им подумать только об одном измерении? Например, спрошу работающих родителей, что для них важнее – работа или дети? Это выбор в одном измерении – одна ручка на приборе вашей жизни, которую можно повернуть. И вы можете спросить себя, оглядываясь назад: хотелось бы мне повернуть эту ручку больше в сторону работы или моих детей?

Инстинктивно мы это знаем. Думая о выборе своих жизненных стратегий, мы, как правило, используем метафору с перемещением по поверхности земли, а не по бесконечномерному пространству. Роберт Фрост назвал это развилкой двух дорог. Песня «Лишь раз в жизни» (Once in a Lifetime)[303] группы Talking Heads – своеобразное продолжение стихотворения Фроста «Неизбранная дорога» (The Road Not Taken), это почти изображение градиентного спуска (если прищуриться):

И ты можешь спросить себя:

«Что это за прекрасный дом?»

И ты можешь спросить себя:

«Куда ведет эта дорога?»

И ты можешь спросить себя:

«Прав ли я? Ошибаюсь ли я?»

И ты можешь сказать себе:

«Боже мой! Что я наделал?!»

Вы не обязаны ограничивать управление только одной ручкой. Типичная книга по саморазвитию может содержать много подобных вопросов: хотите повернуть ручку в сторону детей или работы? В сторону детей или супруга? В сторону амбиций или легкой жизни? Но ни в одной книге по саморазвитию, какой бы авторитетной она ни была, вы не найдете бесконечного количества таких вопросов. Каким-то образом из огромного числа возможных ручек, которые вы можете покрутить в своей жизни, книга выбирает конечный набор направлений, куда вы можете пойти.

Будет ли такая книга хорошей, зависит от того, хорошие ли ручки она предлагает. Если бы там говорилось о том, следует ли вам побольше читать Джейн Остин, а поменьше Энтони Троллопа, или о том, нужно ли смотреть побольше хоккея, а поменьше волейбола, то они, вероятно, не помогли бы большинству людей с их насущными проблемами.

Один из самых распространенных способов выбора ручки называется линейной регрессией. Именно к этому инструменту в первую очередь прибегают статистики, когда ищут стратегию прогнозирования одной переменной по какой-то другой. Например, скупой владелец бейсбольной команды желает узнать, насколько процент выигранных матчей влияет на количество проданных билетов. Зачем выставлять на поле слишком много талантов, если это не приводит к переполненным трибунам? Вы можете составить такую диаграмму.

Сравнение посещаемости и процентной доли выигранных матчей для команд Главной лиги бейсбола в 2019 году

Каждая точка на диаграмме – это бейсбольная команда. Положение точки по вертикали определяется процентом игр, выигранных командой в 2019 году, а положение по горизонтали – общей посещаемостью домашних игр за год. Ваша цель – найти стратегию для прогнозирования посещаемости в зависимости от процента побед, и во всем пространстве таких стратегий вы позволяете себе использовать только линейные правила:

посещаемость = (первое загадочное число) × (процент побед) + (второе загадочное число).

Любая подобная стратегия соответствует прямой линии на диаграмме, и вы хотите, чтобы такая линия как можно лучше соответствовала вашим данным – точкам. Два загадочных числа – это две ручки, вы можете поворачивать их вверх и вниз и тем самым выполнять градиентный спуск, меняя эти числа до тех пор, пока суммарную неправильность вашей стратегии уже нельзя будет уменьшить такими небольшими вмешательствами[304].

Линия, которую вы получите, будет выглядеть так.

Сравнение посещаемости и процентной доли выигранных матчей для команд Главной лиги бейсбола в 2019 году

Вы можете заметить, что прямая с наименьшей неправильностью все равно весьма неточная! Большинство взаимосвязей в настоящем мире не строго линейны. Мы можем попробовать решить эту задачу, взяв больше переменных (например, можно учесть размер стадиона команды), но в итоге на линейных стратегиях далеко не уедешь. Этот класс стратегий попросту недостаточно велик, чтобы, например, рассказать вам, какие изображения будут кошками. Вам придется рискнуть и выйти в дикий мир нелинейности.

DX21

Самая главная вещь в современном машинном обучении – это метод, называемый глубоким обучением. Именно его использует AlphaGo – программа, победившая Ли Седоля; именно он поддерживает парк беспилотных автомобилей Tesla и обеспечивает работу Google Translate. Иногда его изображают как своего рода оракула, автоматически обеспечивающего сверхчеловеческое понимание. Другое название метода – нейронные сети – звучит так, словно он каким-то образом улавливает работу самого человеческого мозга.

Но нет. Как говорила Бруссард, это просто математика, причем даже не новая: основная идея существует с конца 1950-х годов. Что-то вроде архитектуры нейронной сети можно было увидеть еще в 1984 году в моем подарке на бар-мицву. Наряду с чеками, стаканчиками для кидуша[305] и двумя дюжинами ручек я получил от родителей подарок, который страстно желал, – синтезатор Yamaha DX21. Он до сих пор стоит у меня в комнате. А тогда я был крайне горд, что у меня синтезатор, а не просто клавиатура. Это означало, что DX21 не просто имитировал звучание фортепиано, трубы или скрипки согласно заводским настройкам, а позволял вам программировать собственные звуки – при условии, что вы освоите довольно-таки мудреное семидесятистраничное руководство с массой картинок наподобие этой:

Каждый из этих блоков ОП представляет собой волну и имеет несколько ручек, которые вы можете повернуть, чтобы звук был громче, тише, затухал или нарастал. Все это стандартно. Настоящая гениальность DX21 – в связях между операторами, отображенных на вышеприведенной диаграмме. Это своеобразная машина Руба Голдберга[306], где волна, исходящая из ОП 1, зависит не только от ручек на этом блоке, но и от выхода ОП 2, который дает входной сигнал для ОП 1. Волны могли даже изменять сами себя: у ОП 4 есть стрелка «обратной связи».

Таким образом, поворачивая несколько ручек на каждом блоке, я мог получить на удивление большой диапазон выходных сигналов, которые предоставляли мне бесконечные возможности для создания новых самодельных звуков, например «электрическая смерть» или «космический пук»[307].

Нейронная сеть похожа на мой синтезатор. Это сеть из небольших блоков наподобие этой:

Каждый такой блок делает одно и то же: берет на входе какое-то число и выдает на выходе либо 1 (если число на входе было больше или равно 0,5), либо 0 (если число на входе было меньше 0,5). Идею использовать подобные блоки в качестве базового элемента обучающейся машины придумал в 1957 или 1958 году психолог Фрэнк Розенблатт[308] как простую модель работы нейрона: он бездействует, пока получаемый им стимул не превысит определенное пороговое значение, и в этот момент возбуждается и передает сигнал. Розенблатт назвал свои машины перцептронами. Из-за этой истории мы по-прежнему называем такие сети фальшивых нейронов «нейронными», хотя большинство людей уже не считают их имитаторами работы нашего мозгового аппарата.

Как только блок выдает выходной сигнал, это число двигается вдоль стрелки, отходящей от блока вправо. Каждой стрелке приписано определенное число, называемое весом, и выходной сигнал умножается на этот вес. Входной сигнал каждого блока – это сумма всех чисел, поступающих в него слева.

Каждый столбец блоков называют слоем, поэтому нарисованная выше сеть имеет два слоя – два блока в первом слое и один во втором. Вы начинаете с двух входных сигналов, по одному для каждого блока. Вот что может произойти.

• Оба входных сигнала не меньше 0,5. Тогда оба блока в левом столбце дают 1. При движении по стрелке вправо они превращаются в 1/3 после умножения на вес, поэтому блок в правом столбце получает на входе 2/3 и выдает на выходе 1.

• Один входной сигнал не меньше 0,5, а второй меньше. Тогда блоки слева выдают 1 и 0, блок справа получает 1/3 на входе и выдает 0 на выходе.

• Оба входных сигнала меньше 0,5. Тогда оба блока слева выдают 0, блок справа получает 0 и выдает его же.

Иными словами, эта нейронная сеть – машина, которая берет два числа и сообщает вам, меньше ли они 0,5 или нет.

Следующая нейронная сеть немного сложнее.

Теперь в левом столбце 51 блок, и все они соединены с единственным блоком в правом столбце с разными весами на стрелках. Некоторые веса маленькие – всего 3/538, самый большой – 55/538. Что делает такая машина? Она получает на входе 51 разное число и активирует каждый блок слева, если входной сигнал больше 0,5. Затем она складывает все веса, подходящие к блоку справа, и проверяет, превышает ли сумма 0,5. Если да, то на выходе будет 1, если нет, то 0.

Мы могли бы назвать эту конструкцию двухслойным перцептроном Розенблатта, но обычно ее называют Коллегией выборщиков в США: 51 блок – это 50 штатов и Вашингтон, округ Колумбия[309]. Блок штата активируется, если в нем побеждает кандидат от республиканцев. Тогда вы суммируете голоса выборщиков со всех штатов, делите на 538, и если ответ будет больше 0,5, то побеждает кандидат от республиканцев[310].

Вот более современный пример. Его не так просто описать словами, как Коллегию выборщиков, но он немного ближе к нейронным сетям, которые обеспечивают нынешний прогресс в машинном обучении.

Блоки здесь несколько сложнее, чем у Розенблатта: блок получает на входе некоторое число и выдает либо его, либо 0 в зависимости от того, какое из них больше. Иными словами, если блок на входе получает положительное число, он его пропускает дальше, а если отрицательное, то выдает 0.

Давайте посмотрим на работу такого устройства. Предположим, я начинаю слева с 1 и 1. Оба числа положительные, поэтому оба блока в левом столбце выдадут 1. Далее верхний блок второго столбца получает на входе 1 × 1 = 1, а второй блок сверху: 1 × (–1) = –1. Аналогично третий и четвертый блоки получают на входе 1 и –1. Поскольку 1 – положительное число, верхний блок выдает 1. Однако второй блок с отрицательным входом не станет активироваться и выдаст 0. Аналогично третий блок выдаст 1 и четвертый 0.

Теперь рассмотрим третий столбец. На входе верхнего блока

1 × 1 + 3 × 0 + 2 × 1 + 1 × 0 = 3,

а на входе нижнего

3 × 1–1 × 0–5 × 1–1 × 0 = –2.

Следовательно, первый блок выдает 3, а у второго на выходе 0. Наконец, единственный блок четвертого столбца получает сумму этих двух чисел и в итоге выводит 3.

Если вы не проследили описанное во всех деталях, ничего страшного. Важно то, что нейронная сеть – это стратегия: она принимает два числа на входе и выдает одно на выходе. И если вы измените веса на линиях, соединяющих блоки, то есть повернете четырнадцать ручек, то измените и стратегию. Эта схема дает нам 14-мерный ландшафт, который вы можете исследовать в поисках наиболее подходящей для имеющихся у вас данных стратегии. Если у вас сложности с четырнадцатью измерениями, рекомендую последовать совету Джеффри Хинтона, одного из основателей современной теории нейронных сетей: «Представьте себе трехмерное пространство[311] и скажите себе очень громко: “Четырнадцать”. Все так делают». Хинтон – выходец из семьи энтузиастов пространств большой размерности: его прапрадед Чарльз[312] написал в 1904 году целую книгу о том, как визуализировать четырехмерные кубы, и изобрел слово тессеракт для их описания[313]. Если вы когда-нибудь видели картину Дали «Распятие, или Гиперкубическое тело», то это одна из визуализаций Хинтона.

Описанная сеть с указанными весами присваивает значение 3 или меньше любой точке (x, y) плоскости, которая лежит внутри следующей фигуры:

(Обратите внимание, что точка (1, 1), для которой наша стратегия выдает ровно 3, находится на границе фигуры.) Различные значения весов дадут различные фигуры, но не любую фигуру. Природа перцептрона такова, что нарисованный объект всегда будет многоугольником – фигурой, ограниченной отрезками прямых[314].

Предположим, у меня есть такая картинка:

Я отметил некоторые точки на плоскости буквой X, а некоторые – буквой O. Моя цель – научить машину присваивать буквы X и O другим, еще не помеченным точкам этой плоскости, основываясь на моей маркировке. Может быть (я надеюсь), существует какая-то стратегия, получаемая путем настройки четырнадцати ручек, которая будет присваивать большие значения всем точкам с X и маленькие – всем точкам с O, и это позволит мне сделать какие-то разумные предположения о тех точках плоскости, которые я еще не пометил. А если такая стратегия есть, надеюсь, я смогу изучить ее с помощью градиентного спуска, чуть-чуть поворачивая каждую ручку и наблюдая, как это уменьшает неправильность моей стратегии в отношении уже имеющихся примеров. Найдите наилучшее маленькое изменение, которое можете внести. Сделайте это. Повторите.

Слово глубокий в термине глубокое обучение просто означает, что сеть имеет много столбцов-слоев. Число блоков в каждом столбце называется шириной, и это число на практике может быть довольно большим, однако название «широкое обучение» кажется не таким привлекательным терминологически.

Конечно, современные глубокие сети намного сложнее изображенных на наших рисунках. Блоки могут быть устроены сложнее, чем простые функции, о которых мы говорили. В так называемой рекуррентной нейронной сети у вас могут быть блоки с обратной связью, использующие свой выходной сигнал в качестве своего же входного сигнала, как блок ОП 4 на моем синтезаторе DX21. И они просто быстрее. Как мы узнали, идея нейронных сетей не нова; я еще помню не столь отдаленные времена, когда ее считали тупиковой. Однако оказалось, что она очень удачна и просто нуждалась в соответствующих компьютерных мощностях[315]. Чипы, называемые графическими процессорами и предназначенные для быстрой отрисовки графики в компьютерных играх, оказались идеальными инструментами для обучения действительно больших нейронных сетей. Это позволило экспериментаторам увеличить глубину и ширину своих сетей. С современными процессорами вам незачем ограничиваться четырнадцатью ручками – их можно иметь тысячи, миллионы и даже больше. Нейронная сеть GPT-3 использует для генерации правдоподобного английского текста 175 миллиардов ручек.

Конечно, пространство со 175 миллиардами измерений велико; однако 175 миллиардов ничтожно малы по сравнению с бесконечностью. Мы по-прежнему исследуем только крохотное подпространство из пространства всех возможных стратегий. И тем не менее, похоже, на практике этого достаточно, чтобы получить текст, выглядящий так, будто его написал человек, – равно как крохотной сети, имевшейся в DX21, было достаточно, чтобы обеспечить правдоподобную имитацию трубы, виолончели и космического пука.

Это удивительно, но есть и еще одна загадка. Вспомните, что идея градиентного спуска сводится к поворачиванию ручек до тех пор, пока вы не сделаете все возможное для данных, на которых обучались. Современные сети имеют так много ручек, что часто могут добиться идеальной работы на обучающем множестве, называя каждое из тысяч изображений кошек кошкой и каждое из тысяч изображений других объектов – некошкой. Фактически при таком количестве ручек имеется колоссальное пространство стратегий, и все они на 100 % верны на обучающем множестве. Оказывается, большинство этих стратегий работают ужасно, когда им дают изображения, которые сеть еще не видела. Но тупой жадный процесс градиентного спуска приводит к одним стратегиям гораздо чаще, чем к другим, и те стратегии, которые предпочитает градиентный спуск, на практике кажутся гораздо более приспособленными к обобщению на новые примеры.

Почему? Что такого особенного в этой конкретной форме сети, что делает ее настолько хорошей для широкого круга задач обучения? Почему именно в той крохотной области пространства стратегий, где мы ищем, и оказывается хорошая стратегия?

Насколько я знаю, это загадка. Хотя буду честен, ведутся жаркие споры о том, загадка ли это. Я задавал этот вопрос многим специалистам в области искусственного интеллекта – именитым, важным людям, и каждый радостно забалтывал меня по этому поводу. У некоторых были очень уверенные объяснения, почему все это работает, но двух одинаковых объяснений я не слышал.

Но я хотя бы могу сказать, почему мы выбрали для исследований ландшафт нейронных сетей.

ПОВСЮДУ КЛЮЧИ ОТ МАШИНЫ

Наверное, вы слышали старую байку о том, как человек, возвращающийся поздно ночью домой, увидел своего мрачного друга, стоящего на четвереньках под уличным фонарем.

– Что случилось?

– Потерял ключи от машины, – отвечает друг.

– Дело дрянь. Давай помогу.

Он тоже становится на колени, и оба дружно шарят в траве. Через некоторое время человек обращается к другу:

– Ты уверен, что они тут? Мы же долго ищем.

– Не уверен и понятия не имею, где они, – отвечает друг. – Я много где был с того момента, когда последний раз их видел.

– Но тогда почему мы уже двадцать минут ищем их под этим фонарем?

– Потому что в остальных местах темно и ничего не видно!

Этот друг очень похож на современного специалиста по машинному обучению. Почему среди огромного моря стратегий, где мы могли бы искать, мы обращаем внимание на нейронные сети? Потому что они прекрасно подходят для градиентного спуска – единственного метода поиска, который мы по-настоящему знаем. Влияние поворота одной ручки легко вычленить: он воздействует на выходной сигнал соответствующего блока понятным образом; затем можно проследить, как этот измененный выходной сигнал влияет на блоки, лежащие ниже, и так далее[316]. Почему мы выбираем для поиска хороших стратегий именно эту часть пространства? Да потому, что именно в этой части проще всего увидеть, куда мы идем. В остальных местах слишком темно!

Предполагается, что байка о ключе выставляет друга глупцом. Однако в несколько измененной вселенной друг вовсе не так глуп. Предположим, что ключи от машины на самом деле разбросаны повсюду – на улице, в лесу и (весьма вероятно) где-то в круге света под уличным фонарем. Фактически там в траве валяется, вероятно, множество ключей от многих машин. Возможно, друг на практике обнаружил, что предыдущие поиски в этом месте наградили его ключами от гораздо более крутых автомобилей, нежели он ожидал! Да, ключ от лучшего автомобиля в городе может с равным успехом находиться где угодно. Но если достаточно долго искать под фонарем, отказываясь от имеющихся ключей каждый раз, когда находишь ключи от более роскошной машины, можно жить припеваючи и горя не знать.

Глава 8. Вы – свой нольюродный брат, и другие карты

Что такое окружность? Вот официальное определение.

Окружность – это совокупность точек на плоскости, находящихся на определенном расстоянии от фиксированной точки, называемой центром.

Прекрасно, а что такое расстояние?

Мы уже сталкивались с такой проблемой. Расстояние между точками может быть расстоянием по прямой. Но в реальности, если кто-то спрашивает вас, как далеко вы от его дома, вы можете сказать: «О, всего в пятнадцати минутах ходьбы». И это тоже понятие расстояния. Если рассматривать расстояние как «время, необходимое для преодоления», то окружности могут выглядеть так:

Эти заостренные «морские звезды» представляют собой концентрические окружности, которые обозначают точки, находящиеся ровно в десяти, двадцати, тридцати, сорока и пятидесяти минутах езды на трамвае от их общего центра – площади Пикадилли-Гарденс в Манчестере (Англия). Карты такого рода называются изохронными[317].

Различная геометрия города дает различные виды окружностей. На Манхэттене (слоган: «Я здесь хожу!») люди перемещаются пешком, и, если кто-то спрашивает вас, как далеко вы от дома, вы называете число кварталов. Окружность из точек, находящихся на расстоянии четырех кварталов от центра, выглядит как квадрат, поставленный на один из своих углов.

(Смотрите, мы таки умудрились квадрировать круг!) И любая изохронная карта покажет кучу концентрических квадратов, которые в данном контексте представляют собой окружности вокруг центральной точки.

Везде, где есть понятие расстояния, есть и понятие геометрии, и сопутствующее понятие окружности. Например, мы привыкли к словосочетанию «дальний родственник» и из геометрии генеалогического древа можем вывести это понятие расстояния. Вы со своим братом или сестрой находитесь друг от друга на расстоянии 2, потому что, для того чтобы добраться от вас до него или до нее, нужно подняться на одну ветвь к одному из родителей, а затем спуститься на один шаг к своему брату/сестре.

Расстояние до вашего дяди равно 3: сначала один шаг до вашего родителя, который, как мы только что выяснили, находится на расстоянии 2 от своих брата или сестры. Расстояние до вашего двоюродного брата (или двоюродной сестры) равно 4: два шага до бабушки или дедушки, а потом два до кузена или кузины. Вы можете аналогично поступить для любого уровня родства и получить красивую формулу:

расстояние до вашего n-юродного брата = 2n,

поскольку n-юродный брат – это человек, с которым у вас общий предок находится на n уровней выше вас.

Вы являетесь собственным нольюродным братом, поскольку ваш общий родственник – это вы и есть, ноль шагов вверх! (То же самое говорит и формула: расстояние от вас до себя равно 2 × 0 = 0.) Что касается ваших родителей, то у них нет общего предка (если только они не из истинно аристократического клана), зато есть общий родственник – вы! – ниже по дереву, так сказать, на – 1 уровень вверх. Так что ваши родители друг другу – «минус-одноюродные» брат и сестра. Ваша минус-двоюродная сестра – это человек, с кем у вас общий внук, например теща вашего сына. Такие сложные отношения, называемые «самдхи» на хинди, «консуэгро» на испанском, «атони» на языке кикамба (на котором говорит народ камба в Кении), «мехутаним» на иврите и «махатунем» на идише[318], не имеют названия в английском языке, который бедноват в сфере именования родственных отношений.

Если представить людей своего поколения из моей семьи в виде точек на некоторой плоскости, то круг радиуса 2 будет включать меня и всех моих родных братьев и сестер[319]; круг радиуса 4 – меня, всех моих братьев и сестер и всех двоюродных братьев и сестер; круг радиуса 6 – всех вышеперечисленных плюс моих троюродных братьев и сестер. И здесь мы видим очаровательно странную особенность «кузеновой» геометрии. Как выглядит круг радиуса 4 вокруг моей двоюродной сестры Дафны? В него входит Дафна, ее родные и двоюродные братья и сестры – другими словами, все внуки моих общих с Дафной бабушки и дедушки. Но ведь это в точности тот же круг радиуса 4, что и у меня! Так кто же находится в его центре – я или Дафна? Никуда не денешься – мы оба. В этой геометрии каждая точка круга является его центром.

Треугольники в «кузеновой» плоскости тоже отличаются от тех, к которым мы привыкли. Мы с сестрой находимся на расстоянии 2 друг от друга, и каждый из нас находится на расстоянии 4 от нашей кузины Дафны, – следовательно, мы образуем равнобедренный треугольник. Представьте себе: любой треугольник в этой плоскости – равнобедренный. Предлагаю вам самостоятельно убедиться, что это так. Странные геометрии наподобие этой называются неархимедовыми. Они могут показаться уродливыми научными курьезами, тем не менее встречаются в математике регулярно. Например, существует «2-адическая» геометрия целых чисел, в которой расстояние между двумя числами – величина, обратная наибольшей степени двойки, на которую делится их разность. Серьезно, оказывается, это хорошая идея.

Практически не бывает настолько абстрактных контекстов, чтобы там нельзя было изобрести понятие расстояния, а за ним и сопутствующую геометрию. Дмитрий Тимочко, теоретик музыки из Принстона, пишет целые книги о геометрии аккордов[320] и о том, как композиторы инстинктивно подбирают кратчайшие пути от одного музыкального положения к другому. Даже язык, на котором мы говорим, обладает определенной геометрией, и ее построение ведет нас к карте всех слов.

КАРТА ВСЕХ СЛОВ

Представьте, что кто-то пытается вам описать, как выглядит штат Висконсин, сообщив список городов и указав расстояние между любыми двумя из них. Да, в принципе это скажет вам, какую форму имеет Висконсин и как в нем располагаются города. Однако на практике ни один человек (даже такой любитель чисел, как я) не сможет ничего сделать с длинным списком названий и чисел. Наши глаза и мозг воспринимают информацию в форме карт.

Кстати, не совсем очевидно, что эти расстояния опишут вам форму карты! Предположим, в Висконсине всего три города. Знание расстояний между любыми двумя из них означает, что у нас есть длины трех сторон треугольника, а согласно упоминавшемуся в главе 1 утверждению Евклида, если вы знаете три стороны треугольника, то знаете и его форму. Однако куда больше усилий нужно, чтобы доказать, что можно восстановить форму, образованную произвольным множеством точек, если вы знаете расстояния между любыми двумя из них[321]. Мы с вами на основе этих данных можем составить разные карты, но мою карту можно будет перевести в вашу с помощью движения – переноса и поворота, без изменения формы[322].

Зачем представлять форму Висконсина в таком сложном для улавливания табличном виде, когда карты уже существуют? Незачем. Однако для других – негеографических – сущностей мы можем ввести понятие расстояния и с его помощью создать новые виды карт. Например, мы могли бы составить карту индивидуальных черт личности. Что бы мы подразумевали под расстоянием между двумя чертами? Самый простой способ – спросить людей. В 1968 году[323] психологи Сеймур Розенберг, Карнот Нельсон и П. С. Вивеканантан раздали студентам колледжа пакеты из 64 карточек с различными чертами и попросили сгруппировать карточки так, чтобы в одной группе оказались черты, которые, по их мнению, могут принадлежать одному человеку. Тогда расстояние между двумя чертами можно определить по частоте, с которой студенты объединяли соответствующие карточки. Слова reliable («надежный») и honest («честный») часто встречались вместе, потому что они близки по смыслу; а слова good-natured («добродушный») и irritable («раздражительный») – реже, потому что плохо сочетаемы и должны располагаться подальше друг от друга[324].

Как только получите такие числа, можете попробовать составить карту черт личности, чтобы расстояние между ними на бумаге соответствовало расстояниям, установленным в эксперименте.

Возможно, у вас не выйдет! А вдруг вы обнаружите, что любые два слова из набора reliable («надежный»), finicky («разборчивый»), sentimental («сентиментальный») и irritable («раздражительный») находятся на одинаковом расстоянии друг от друга? Вы можете попытаться расположить четыре точки на плоскости на одинаковых расстояниях друг от друга, но у вас ничего не получится. (Я настоятельно рекомендую действительно попробовать это сделать, чтобы ваша геометрическая интуиция осознала, почему это невозможно.) Одни множества расстояний можно передать на плоскости, другие – нет. Существует так называемый метод многомерного шкалирования, который позволяет нарисовать карту, если вы соглашаетесь, чтобы расстояния на ней только приблизительно соответствовали найденным. (Кстати, вам нужно быть готовым к тому, что студенты колледжа, участвующие в психологических экспериментах за деньги на пиво, не обеспечивают точность на уровне электронного микроскопа.) Вы получите следующую картину:

Думаю, вы согласитесь, что эта схема отражает кое-что в геометрии личности. (Оси на рисунке нарисованы исследователями: это их интерпретация того, что на этой карте в действительности означают направления[325].)

Кстати, в трех измерениях сделать одинаковыми все шесть расстояний очень просто: вы размещаете четыре точки в вершинах правильного тетраэдра.

Чем больше размерность пространства, тем точнее вы сможете разместить на своей карте точки так, чтобы расстояния между ними соответствовали измеренным. Это означает, что данные могут сказать вам, в пространстве какой размерности они «хотят» быть[326]. Политологи определяют сходство между членами конгресса на основе их голосования, затем помещают конгрессменов на карту так, чтобы рядом оказались голосовавшие аналогичным образом. Знаете, какая размерность пространства нужна, чтобы вполне качественно расположить американских сенаторов в соответствии с их голосованиями? Всего единица. Вы можете расставить[327] сенаторов вдоль по одной прямой – от самого левого (Элизабет Уоррен из Массачусетса) до самого правого (Майкл Ли из Юты) – и тем самым успешно отразить большую часть их наблюдаемого поведения при голосовании. Так было на протяжении десятилетий; когда же этого не происходило, причиной был настоящий идеологический раскол в демократической партии между крылом, поддерживающим гражданские права, и преимущественно южной фракцией, остававшейся воинственно сегрегационистской. Некоторые полагают, что Соединенные Штаты движутся к новой перестройке, где традиционное разделение «левые против правых» не охватывает всей картины. Например, существует популярная «теория подковы», которая утверждает, что крайне левое и крайне правое крыло в американской политике, расположенные в чисто линейной модели максимально далеко друг от друга, на самом деле весьма близки. С геометрической точки зрения теория подковы утверждает, что политика не вписывается в прямую, а требует плоскости.

Если это правда и на противоположных концах подковы окажется достаточно избирателей, чтобы выбрать себе представителей в конгрессе, мы увидим это по данным голосований: одномерная модель конгресса будет все менее и менее точной. Пока этого еще не произошло.

Для больших массивов данных двумерного пространства редко бывает достаточно. Группа специалистов Google под руководством Томаша Миколова разработала гениальное математическое устройство Word2vec, которое можно назвать картой всех слов. Нам больше не нужно полагаться на студентов и карточки, чтобы собрать информацию о том, какие слова сочетаются между собой. Программа Word2vec, обученная на наборе текстов из Google News объемом шесть миллиардов слов, присваивает каждому английскому слову точку в трехсотмерном пространстве. Нарисовать это трудно, но помните, что точно так же, как точка в двумерном пространстве задается двумя числами (широтой и долготой), точка в трехсотмерном пространстве – это всего лишь список из 300 чисел: долгота, широта, высота, мелкота, густота, прямота, частота, круглота и т. д. и т. п., насколько вам поможет словарь рифм. В трехсотмерном пространстве тоже есть понятие расстояния, которое не особо отличается от известного нам расстояния на плоскости[328]. Цель Word2vec – разместить похожие слова в точках, находящихся недалеко друг от друга.

Что делает слова похожими? Вы можете представить, что у каждого слова есть облако соседей – слов, которые часто появляются вместе с ним в наборе текстов Google News. В первом приближении Word2vec расценивает два слова как похожие, если их облака соседей сильно перекрываются. Во фрагменте текста, окружающего слова glamour («очарование»), runway («подиум») или jewel («драгоценность»), вы можете ожидать найти слова stunning («оглушительный, ошеломительный») или breathtaking («захватывающий»), но не trigonometry («тригонометрия»). А потому слова stunning и breathtaking, в облаках которых встречаются общие слова glamour, runway и jewel, можно считать похожими, отражая тот факт, что эти два почти синонимичных слова часто встречаются в одинаковых контекстах. Word2vec ставит их на расстоянии 0,675 друг от друга. На самом деле из миллиона слов, которые умеет кодировать Word2vec, слово breathtaking – ближайшее к слову stunning. Для сравнения: расстояние от stunning до trigonometry составляет 1,403.

Как только у нас появляется представление о расстояниях, можно говорить об окружностях и кругах. (Хотя, возможно, находясь в трехсотмерном пространстве, было бы лучше говорить об их многомерных аналогах – сферах и шарах.) Круг радиуса 1 вокруг слова stunning содержит 43 слова, в том числе spectacular («зрелищный, эффектный»), astonishing («изумительный, поразительный»), jaw-dropping («крайне удивительный, феерический») и exquisite («изумительный, изысканный»). Машина явно улавливает нечто в этом слове, включая то, что оно может обозначать как красоту, так и удивление. Я должен отметить, что тут не происходит никакого численного выделения смысла слов. Это было бы настоящим подвигом. Вся стратегия строится вовсе не для этого. Расстояние от слова hideous («страшный, омерзительный») до stunning всего 1,12; хотя они почти противоположны по значению, вы вполне можете представить, что они часто появляются в общем контексте, например: «Этот свитер реально __________». Круг слов радиусом 0,9 от teh включает слова ther, hte, fo, tha, te, ot и thats – это даже не слова, не то что не синонимы, однако Word2vec правильно распознает, что все они могут появляться в контекстах с большим количеством опечаток.

Нам нужно поговорить о векторах. Формальное определение этого термина выглядит устрашающе, но его смысл можно свести к следующему. Точка – это существительное. Она отражает какую-то вещь: место, название, слово. Вектор – это глагол. Он указывает, что нужно делать точке. Милуоки (штат Висконсин) – это точка. «Двигайтесь на тридцать миль на запад и две мили на север» – это вектор. Если вы приложите этот вектор к городу Милуоки, получите город Окономовок.

Как вам описать этот вектор, переносящий вас из Милуоки в Окономовок? Вы могли бы назвать его «вектор на запад до внешнего кольца пригородов». Приложите его к Нью-Йорку[329], и получите город Морристаун (штат Нью-Джерси), или, точнее, природный парк Dismal Harmony («Мрачная гармония») непосредственно к западу от города.

Вы можете перефразировать это по аналогии так: Морристаун относится к Нью-Йорку так же, как Окономовок к Милуоки, как Буанвиль-ан-Мантуа к Парижу, Сан-Херонимо-Икстапантонго к Мехико, а Фараллоновы острова (необитаемое место, бывшая свалка отходов атомной промышленности, а сейчас территория с самой большой плотностью грызунов на планете) – к Сан-Франциско.

Это возвращает нас обратно к слову stunning. Разработчики Word2vec обратили внимание на интересный вектор: тот, который говорит нам, как перейти от слова he («он») к слову she («она»). Можете считать его вектором феминизации. Применив его к слову he, получаете слово she. Что, если применить его к слову king («король»)? Вы получаете точку, которая, как и в случае с парком Dismal Harmony, не попадет в точности в то место, для которого у вас есть слово. Но ближайшее слово – queen («королева»), как в случае парка ближайшим городом был Морристаун. Queen относится к king, как she к he. Это хорошо работает и для других слов: феминизированная версия для слова actor («актер») – actress («актриса»), а для waiter («официант») – waitress («официантка»).

А что насчет слова stunning? Представьте себе: вы получите gorgeous («пышный, великолепный»). Слово gorgeous относится к слову she так же, как stunning к he. Приложите этот вектор в другом направлении, попросив программу Word2vec маскулинизировать stunning, и получите spectacular («зрелищный»). Поскольку эти аналогии представляют собой только приблизительные числовые равенства, они не всегда симметричны: результатом обратной феминизации для spectacular действительно будет stunning, но при маскулинизации слова gorgeous получится magnificent («великолепный»).

Что это означает? Что в математическом, универсальном и совершенно объективном смысле слово gorgeousness («великолепие») – это женская версия слова stunningness («поразительность, ошеломительность»)? Естественно, нет. Программа Word2vec не знает значений слов и не имеет возможности узнать. Все, что она знает, – это огромный набор английских текстов (преобразованные в массу чисел газеты и журналы, выходившие в течение десятилетий), на которых ее обучали. Когда англоговорящие люди хотят выразить stunningness в отношении женщины, у них есть статистически обнаруживаемая привычка употреблять слово gorgeous. Когда речь идет о мужчине, такой привычки нет. Та геометрия, которую вычленила программа Word2vec, на первый взгляд может показаться геометрией смыслов, однако на самом деле это геометрия нашей манеры говорить; отсюда мы можем многое узнать как о себе и своих гендерных предрассудках, так и о нашем языке.

Баловаться с Word2vec – все равно что положить собрание сочинений англоязычного мира на кушетку психоаналитика и заглянуть в его безобразное бессознательное. Феминизированная версия слова swagger («чванство») – sassiness («дерзость»); слова obnoxious («несносный, противный») – bitchy («стервозный»); слова brilliant («блестящий») – fabulous («вымышленный, сказочный»); слова wise («мудрый») – motherly («материнский»). Женский вариант для слова goofball («дурачок, недотепа») – ditz («глупышка»), а второй предлагаемый вариант – вот честное слово! – perky blonde («бойкая блондинка»)[330]. Женский вариант для слова genius («гений») – minx («кокетка»). И тут снова несимметричность: мужской вариант от minx – scallywag («озорник, проказник»). Шаг в мужскую сторону от teacher («учитель») – headmaster («директор школы»). Шаг в мужскую сторону от имени Карен[331] – Стив[332].

Если вы возьмете bagel («бейгл») и феминизируете его, то леди-бейгл – это muffin («маффин»). Hindu bagel («индийский бейгл») – то есть то, что вы получите, если возьмете вектор, переводящий слово Jewish («еврейский»)[333] в Hindu («индийский»), и примените его к слову bagel, – это vada pav («вада пав»), популярное в Мумбаи вегетарианское блюдо: булочка с двумя картофельными котлетками. Catholic bagel («католический бейгл») – это sandwich («сэндвич»); второй вариант – meatball sub (сэндвич с фрикадельками под соусом).

Программа Word2vec знает и названия городов. Если вместо широты и долготы использовать ее концептуальный векторный анализ, то Окономовоком для Нью-Йорка будет вовсе не Морристаун, а Саратога-Спрингс. Понятия не имею почему.

Играть с этой штукой весело и в каком-то смысле поучительно. Но я позволил себе ненадлежащее поведение, свойственное авторам статей о машинном обучении, – настойчиво выбирал фактики поинтереснее. Забавно делиться самыми эффектными и впечатляющими примерами! Это может ввести в заблуждение: Word2vec – вовсе не волшебная машина смыслов. Чаще всего предлагаемая аналогия – всего лишь синоним исходного слова (женский вариант для слова boring («скучный») – это uninteresting («неинтересный»); для слова mathematics («математика») – просто сокращение math; для amazing («поразительный») – incredible («невероятный»); написание с орфографической ошибкой (женская версия слова vicious («порочный») – это viscious) или просто совсем неправильное слово: мужской вариант для duchess («герцогиня») – это prince («принц, князь»), женский для pig («свинья») – piglet («поросенок»), женский для cow («корова») – cows («коровы»), женская версия слова earl («граф») – это Georgiana Spencer (Джорджиана Спенсер), хотя правильное слово здесь – countess («графиня»). Правда, тут нужно признать: Спенсер графиней была[334].

Читая о последних достижениях искусственного интеллекта, не относитесь к ним пренебрежительно: прогресс в этой области действительно впечатляет. Хотя есть вероятность, что то, что вы читаете в пресс-релизе, – наилучшие результаты из множества попыток. Поэтому сохраняйте и здоровую долю скептицизма.

Глава 9. Три года воскресений

Действительно важный и в каком-то смысле замалчиваемый факт о математике – она очень сложна. Иногда мы скрываем этот факт от учеников, полагая, что оказываем им услугу. Как раз наоборот. Будучи стажером у преподавателя Робина Уильямса, я научился у него одной простой вещи. Когда мы говорим, что этот урок легкий или простой, а это явно не так, мы даем учащимся понять, что проблемы не в математике, а в них. И они нам верят. К худу или к добру, но ученики доверяют учителям. «Если я не понял даже то, что было просто, – скажут они, – то зачем вообще утруждать себя попытками понять что-то сложное?»

Наши ученики боятся задавать вопросы в классе из-за опасений «выглядеть глупо». Если бы мы честно признались[335], насколько трудна и глубока математика, то даже та математика, которую изучают на уроках геометрии в старших классах, явно стала бы меньшей проблемой: мы оказались бы в классах, где задавать вопросы значило бы не «выглядеть глупо», а, наоборот, «выглядеть как человек, который хочет чему-то научиться». И это относится не только к слабым ученикам. Да, некоторые легко усваивают основные правила алгебраических операций или геометрических построений, но даже им следует задавать вопросы – учителям и себе. Например: я сделал то, что просил учитель, но что, если бы я попробовал сделать что-то другое, о чем учитель не спрашивал? И кстати, почему учитель просил то, а не иное? Нет такой интеллектуальной вершины, с которой вы не сможете увидеть какой-то пробел в знаниях, и именно туда и нужно направить усилия, если вы хотите учиться. Если урок математики легкий, значит, вы что-то делаете неправильно.

Что такое вообще сложность? Это одно из тех слов, которые, как нам кажется, мы хорошо знаем, но при попытках их описать они распадаются на связанные, но разные понятия. Мне нравится история, рассказанная специалистом по теории чисел Эндрю Грэнвиллом об алгебраисте Фрэнке Нельсоне Коуле[336].

На заседании Американского математического общества[337] в 1903 году Коул подошел к доске и, не говоря ни слова, вычислил величину 2^67 – 1 = 147 573 952 589 676 412 927. Затем на второй части доски он написал 193 707 721 × 761 838 257 287, перемножил эти числа и получил то же самое число. После этого он, по-прежнему не сказав ни слова, сел на свое место, а впоследствии признался, что разложение числа 2^67 – 1 на два множителя заняло у него «три года воскресений». Мораль этой истории в том, что, хотя Коулу потребовались огромные усилия и настойчивость, чтобы найти эти множители, ему не понадобилось много времени, чтобы продемонстрировать и обосновать свой результат в аудитории математиков (и доказать свою правоту). Таким образом, как мы видим, доказательство может быть коротким, даже если его поиск занял массу времени.

Одно дело – трудность в признании истинности какого-нибудь утверждения, и совсем другое – трудность в придумывании утверждения, истинность которого должна быть признана. Именно этому достижению аплодировала аудитория Коула. Мы уже видели, что поиск простых делителей для больших чисел – это сложная задача; однако число 147 573 952 589 676 412 927 по стандартам современной компьютерной техники вовсе не является большим. Я только что разложил его[338] на своем ноутбуке, и это заняло не целое воскресенье, а совершенно незаметный промежуток времени. Так сложна эта задача или нет?

Или рассмотрим проблему вычисления цифр числа π; когда-то это занятие считалось исследовательской математикой, но сейчас это всего лишь простые расчеты. Здесь появляется еще один вид трудности – трудность мотивации. Я не сомневаюсь, что моих технических умений вычислять хватит, чтобы вручную найти семь или восемь цифр π. Но мне было бы очень непросто заставить себя это сделать, потому что это скучно, потому что за меня это может сделать мой компьютер и (возможно, самое главное) потому что нет причин знать очень много цифр этого числа. Конечно, существуют ситуации, где понадобится семь-восемь цифр. Но сотая цифра? Сорока цифр уже вполне достаточно, чтобы вычислить длину окружности размером с нашу Галактику с точностью до размера протона.

Знать сто цифр числа π – вовсе не значит знать о кругах больше, чем другие люди. В числе π важно не его значение, а то, что оно само имеет большое значение. Значимым фактом будет то, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от ее размера и местоположения. Это факт о симметрии плоскости. Любую окружность можно преобразовать в другую с помощью так называемого подобия, состоящего из переносов, вращений и изменений масштаба. Подобие может менять расстояния, однако делает это путем умножения на фиксированную константу: возможно, все расстояния удваиваются, возможно, уменьшаются в десять раз, но в любом случае отношение между двумя длинами (скажем, длиной окружности и длиной ее диаметра) остается тем же. Если вы считаете две фигуры одинаковыми, когда их можно перевести друг в друга путем симметрий такого рода (называя разные вещи одним именем в стиле Пуанкаре), то в реальности существует всего одна окружность, а потому и только одно число π. Аналогично есть только один квадрат и, соответственно, только один ответ на вопрос «Каково отношение периметра квадрата к его диагонали?»[339], и этот ответ равен удвоенному квадратному корню из 2, то есть примерно 2,828… и эту величину можно назвать числом π для квадрата. Точно так же есть только один правильный шестиугольник, и его π равно 3.

А вот у прямоугольника числа π нет, потому что существует не один прямоугольник, а много, отличающихся отношением между длинной и короткой сторонами.

Сложно ли сыграть идеальную партию в шашки? Для человека – да, но компьютерной программе «Чинук» вполне по силам. (Правильно ли ставить вопрос не о сложности, с которой сталкивается «Чинук» в игре, а о сложности, с которой столкнулись ученые при создании программы?) Как мы видели, задача игры в идеальные шашки, идеальные шахматы или идеальное го принципиально ничем не отличается от перемножения двух больших чисел. А разве в каком-то смысле это действие не концептуально простое? Мы точно знаем, что нужно сделать, чтобы проанализировать дерево игры, даже если в реальности нам не хватит на это времени жизни Вселенной.

Один простой ответ – сказать, что некоторые задачи, такие как разложение чисел на множители или игра го, просты для компьютеров и сложны для нас, потому что компьютеры лучше и умнее нас. Такой ответ неявно моделирует сложность в виде некоторой точки на прямой, где также можно расположить людей и компьютеры, при этом их положение определяется умением решать все задачи, размещенные левее.

Однако это неверно: геометрия сложности не одномерна. Существуют задачи – например, разложение больших чисел на множители, идеальная игра в шашки или хранение миллиардов слов с идеальной точностью, – с которыми компьютеры справляются гораздо, гораздо лучше нас. (Прежде всего, компьютеры не сталкиваются с проблемой мотивации: они делают – во всяком случае, на данный момент – то, что мы им говорим.) Но есть задачи, сложные для компьютеров и легкие для нас. Известный пример – проблема четности: стандартные архитектуры нейронных сетей очень плохо с ней справляются. Скажем, в строке из букв X и O четное или нечетное количество букв X? Трудности возникают и с экстраполяцией. Если вы приведете человеку кучу подобных примеров:

и спросите, что будет на выходе, если на входе 3,2, то он скажет: 3,2. То же самое выдаст и нейронная сеть, обученная на этих данных. А если на входе будет 10,0? Человек скажет 10,0. А вот нейронная сеть может ответить что угодно. Существует масса безумных правил, которые согласуются с формулой «вход = выход» в промежутке от 1 до 5, но ведут себя совершенно иначе вне этого диапазона. Человек знает, что «вход = выход» – это самый простой и естественный способ экстраполировать правило на более широкий класс возможных входных сигналов, а вот алгоритм машинного обучения[340] не знает. Вычислительные мощности у него есть, а понимания нет.

Естественно, я не могу исключить, что машины со временем (или даже неизбежно!) превзойдут когнитивные способности людей во всех аспектах. Такую вероятность исследователи искусственного интеллекта признавали всегда. Один из пионеров в этой области Оливер Селфридж в телевизионном интервью начала 1960-х годов сказал: «Я убежден, что[341] машины могут и будут думать при нашей жизни», хотя и с оговоркой: «Не думаю, что моя дочь когда-либо выйдет замуж за компьютер». (Нет настолько абстрактных технических достижений, чтобы люди не ощущали сексуального беспокойства по этому поводу.) Многомерная геометрия сложности должна нам напоминать, что очень трудно понять, какие умения машины находятся на грани появления. Возможно, автомобиль без водителя делает правильный выбор в 95 % случаев; но как раз приходящиеся на оставшиеся 5 % исключительные случаи и могут быть той самой проблемой, для решения которой наши тестообразные мозги приспособлены лучше, чем любая современная или разработанная в ближайшем будущем машина.

И конечно же, меня по понятным причинам интересует вопрос, может ли машинное обучение заменить математиков. Не берусь предсказывать, но надеюсь, что математики и машины останутся партнерами, как и сейчас. Многие вычисления, отнимавшие у математиков годы воскресений, сегодня можно делегировать нашим механическим коллегам, что позволит нам заниматься тем, в чем мы особенно хороши.

Пару лет назад Лиза Пиччирилло, в то время аспирантка в Техасском университете, решила давнюю геометрическую задачу[342] об узле Конвея, доказав, что это не срезанный узел (это факт о том, как выглядит узел с точки зрения четырехмерных существ, но для нашей истории не имеет значения, что это в точности означает). Это была знаменитая сложная задача. Но даже здесь значение слова непонятно: задача была сложной, потому что многие математики безуспешно работали над ней, или легкой, потому что Пиччирилло нашла элегантное решение всего на девяти страницах, из которых две – рисунки? Один из моих наиболее часто цитируемых результатов[343] обладает той же природой: шестистраничная статья решает проблему, над которой я и многие другие математики трудились в течение двадцати лет. Может быть, нам нужно новое слово, которое означало бы не «это легко» или «это сложно», а «сложно осознать, что это легко»?

За несколько лет до Пиччирилло тополог по имени Марк Хьюз[344] из Университета Бригама Янга пытался создать нейронную сеть, которая позволяла бы узнать, какие узлы срезаны. Он предоставил ей длинный список узлов, для которых ответ был известен, – точно так же, как нейронная сеть, обрабатывающая изображения, получала длинный список изображений кошек и некошек. Нейронная сеть Хьюза научилась присваивать каждому узлу определенное число: если узел был срезанным, то число должно быть 0, если не срезанным, то предполагалось, что машина должна выдавать целое число больше 0. На деле нейронная сеть спрогнозировала значение, очень близкое к 1 (то есть предсказала, что узел не срезанный), для всех узлов, протестированных Хьюзом, – за исключением одного. Это был узел Конвея. Нейронная сеть выдала число, весьма близкое к 1/2: это ее способ сказать, что она совершенно не уверена, какой должен быть ответ – 0 или 1. Потрясающе! Нейронная сеть правильно определила узел, действительно представляющий трудную и математически богатую проблему (в данном случае она воспроизвела то интуитивное представление, к которому топологи уже давно пришли). Некоторые люди воображают мир, где компьютеры дают нам все ответы. Я мечтаю о большем. Я хочу, чтобы они задавали хорошие вопросы.

Глава 10. Что произошло сегодня, произойдет и завтра

Я пишу эту главу в условиях пандемии. Уже несколько месяцев в мире бушует COVID-19, и никто точно не знает, как будет распространяться болезнь. Сколько людей заболеет, где и когда? Это не математический вопрос, но вопрос, содержащий математику. Весь мир прошел интенсивный курс математики болезней. И этот вопрос в его современной форме снова возвращает нас к человеку-комару Рональду Россу. Его лекция по случайному блужданию комаров была частью более масштабного проекта: перенесение болезней в область, поддающуюся количественному измерению. В течение всей истории человечества эпидемии были подобны кометам: появлялись неожиданно, ужасали людей и снова исчезали без какого-либо расписания. Ньютон и Галлей разобрались с их появлением, привязав кометы к эллиптическим орбитам с помощью законов движения. Почему бы и эпидемиям не подчиняться столь же универсальным законам?

Лекция Росса не увенчалась успехом. «На самом деле мне надо было начать дискуссию по патологии[345], – писал он позже, – но меня убедили, что я могу выбрать тему на свое усмотрение, поэтому я прочитал математическую статью… сотням разочарованных врачей, которые ни слова не поняли из того, что я сказал!»

Эти слова прекрасно отражают сущность личности Росса. Он всецело посвятил себя внедрению математических методов в медицину, но это не всегда приводило к признанию врачей. «Некоторые представители[346] этой профессии, – писал редактор журнала British Medical Journal, – с удивлением (возможно, смешанным с сожалением) узнают, что этот выдающийся представитель экспериментального метода – энтузиаст применения количественных методов в эпидемиологии и патологии».

К тому же он был несколько самоуверен. Журнал Journal of the Royal Society of Medicine писал:

У сэра Рональда Росса была репутация[347] тщеславного, обидчивого, жадного до славы и денег человека. В какой-то степени так и было, но это не единственные и не доминирующие его черты.

Например, он отличался щедростью в отношении молодых ученых и всегда оказывал им поддержку. В любой иерархической организации найдутся люди, которые обходительны с людьми своего статуса и выше, но смотрят на нижестоящих как на мусор; найдутся и те, кто рассматривает важных шишек как соперников и врагов, зато проявляет исключительную доброту к новым людям. Росс принадлежал ко второму типу, что в целом предпочтительнее.

На рубеже веков Росс вел ожесточенные войны с итальянским паразитологом Джованни Грасси за приоритет в исследованиях малярии. Даже получив Нобелевскую премию (в отличие от Грасси), Росс, похоже, ощущал, что и этого признания недостаточно. Его споры с Грасси переросли в общую неприязнь к итальянцам, которые встали на сторону соотечественника[348]. Лекция Росса в Сент-Луисе[349] практически сорвалась, потому что, узнав, что в дискуссии должен участвовать римский врач Андреа Челли, он немедленно отказался от поездки; его уговорили поехать только после того, как заверили телеграммой, что Челли не будет участвовать.

Росса посвятили в рыцари, назначили руководителем научного института, носящего его имя, он коллекционировал научные награды, словно это были диспенсеры Pez[350], однако ему всегда чего-то не хватало. Несмотря на то что он не испытывал никаких финансовых затруднений, он годами публично призывал парламент дать ему денежную премию за вклад в общественное здравоохранение. Эдвард Дженнер получил ее в 1807 году за разработку вакцины от оспы, и Росс считал, что заслуживает не меньшего.

Возможно, его многолетняя раздражительность проистекала из скрытого ощущения, что он не идет по своему истинному жизненному пути, предначертанному свыше. Как ни удивительно это звучит для столь выдающегося врача, Росс утверждал, что попал в медицину «просто и чисто по долгу службы», отказавшись от двух занятий, которые по-настоящему владели его сердцем. Одним были стихи, которые он писал на протяжении всей карьеры. Стихотворение, которое он сочинил, когда получил экспериментальное подтверждение своей теории малярии («Со слезами и тяжким вздохом я нахожу твои коварства семена. О смерть, уносящая миллионы»), в то время было хорошо известной частью его легенды. Двадцать лет спустя он (вполне в своем духе) написал другое стихотворение «Юбилей», где жаловался на то, что его недооценивают («Чего добились сущим чудом мы, то глупый мир презрел…»). В какой-то момент он стал использовать фонетический алфавит, который счел наиболее подходящим для имитации латинских достоинств в английских стихах:

Aa hwydr dúst dhou flot swit sælent star

Yn yóndr flúdz ov iveningz dæying læt?

(Ah, whither dost thou float, sweet silent star

In yonder floods of evening’s dying light?[351])

Второй его страстью была математика. Он вспоминал свое первоначальное геометрическое образование: «Что касается математики[352], то Евклид был для меня удивительно непостижим, пока я не добрался до утверждения 36 в Книге I, и его смысл внезапно раскрылся передо мной и больше не представлял для меня никаких трудностей. Я стал очень хорошо разбираться в геометрии и решал задачки для себя; помню, что одну решил во сне рано утром». Будучи молодым врачом в Мадрасе, он взял с полки какую-то книгу по небесной механике, которую не видел со студенческих лет, и испытал то, что назвал величайшим бедствием – внезапным погружением в математическую одержимость. Он купил в местном магазине все книги по математике и за месяц прочитал их: «До конца вариационного исчисления[353], хотя в школе я не продвинулся дальше квадратных уравнений». Он был поражен тем, насколько легко ему все дается, и приписал это тому факту, что его никто не заставлял это делать: «Образование должно в основном[354] сводиться к самообразованию во время или после школы, иначе оно вообще никогда не приблизится к завершению».

С этой точкой зрения не согласится ни один преподаватель математики. Я бы хотел, чтобы мои объяснения у доски были настолько убедительно ясными, а мой путь по материалу – настолько эффективным и прямым, чтобы ученики за пятьдесят минут моего урока дошли со мной до полного овладения темой. Однако образование в трактовке Росса – это самообразование. Да, наша работа как учителей – объяснять, но в той же степени нашу работу можно рассматривать как разновидность маркетинга. Нам нужно продать ученикам идею, что стоит потратить время вне занятий на настоящее изучение материала. И лучший способ это сделать – позволить нашим горячим чувствам к математике выплеснуться в нашей речи и поведении.

Оглядываясь назад с высоты среднего возраста, Росс вспоминает эти горячие чувства в типично поэтической манере:

Это был как интеллектуальный, так и эстетический энтузиазм[355]. Доказанное утверждение походило на идеально сбалансированную картину. Бесконечный ряд угасал в будущем, как долгие вариации какой-нибудь сонаты… Эстетическое чувство на самом деле представляет собой интеллектуальное удовлетворение от достигнутого совершенства; но я видел также будущее совершенство, которого можно достигнуть с помощью могущественного оружия чистого разума. Звезды вечера и рассвета… были теперь вдвое прекраснее, поскольку попали в сети анализа. Вскоре я начал читать о применении математики к движению, теплоте, электричеству и атомной теории газов и с самого начала думал о возможном ее применении к объяснению причин существования и распространения болезней… Но я всегда был нетерпелив в своем чтении математики и чувствовал, что хотел бы создавать собственные утверждения; и действительно, они формулировались сами, пока я читал старые.

Это нежелание учиться у предшественников глубоко укоренилось в его характере. Рассказывая о любимом дяде, который увлекался химией (хотя на самом деле он, конечно, говорил о себе), он писал: «Почти все идеи в науке[356] исходят от любителей, таких как мой дядя Росс; прочие джентльмены пишут книги и получают профессорские должности». И как математик он никогда не поднимался выше любителя, хотя это не мешало ему публиковать статьи по чистой математике с довольно громкими названиями («Алгебра пространства»), которые более или менее повторяли идеи, уже существовавшие в литературе, и испытывать разочарование оттого, что профессиональные математики не обращали внимания на его работы.

НЕ САМЫЕ ВАЖНЫЕ ИЗ БОЖЬИХ МЫСЛЕЙ

В середине 1910-х годов Росс был полностью готов взяться за проблему, которую обдумывал еще в Мадрасе, – создание математической теории для эпидемий вроде той, что Ньютон создал для небесных тел. На самом деле это было недостаточно амбициозно для Росса: он хотел разработать теорию, которая описывала бы количественное распространение любого изменения состояния у людей – переходы между религиями, выборы в профессиональные сообщества, призывы в армию и, разумеется, распространение эпидемических заболеваний. Он назвал ее теорией событий. В 1911 году Росс писал своему протеже Андерсону Маккендрику: «Мы в итоге создадим новую науку[357]. Но сначала мы с тобой отопрем дверь, куда сможет войти кто угодно».

И – несмотря на высокое мнение о собственных способностях и склонность к любительству – он сделал то, что должен был сделать, чтобы открыть эту дверь: нанял себе в помощь настоящего математика. Ее звали Хильда Хадсон. Хадсон была гораздо более сильным математиком, чем Росс. Ее первой публикацией стало новое краткое доказательство[358] одного из утверждений Евклида, полученное путем искусного деления квадрата на более мелкие фигуры. Девочке тогда исполнилось десять лет. (Помогло то, что оба ее родителя тоже были математиками.)

Хадсон работала в области, которая объединяет геометрию и алгебру и называется (увы, мы не всегда придумываем изобретательные названия) алгебраической геометрией. Рене Декарт первым систематически использовал идею, что точки на плоскости можно представлять в виде пары чисел – абсциссы x и ординаты y, и это позволяет рассматривать геометрические объекты как алгебраические. Тогда окружность (множество точек, находящихся на определенном расстоянии от данной точки-центра) – это, например, множество пар чисел (x, y), таких, что x^2 + (y – 5)2 = 25[359]. Ко времени работы Хадсон сочетание алгебры и геометрии стало самостоятельным предметом и исследовало не только кривые на плоскости, но и фигуры в пространствах любых размерностей. Хадсон была ведущим специалистом в области так называемых преобразований Кремоны[360] для двух- и трехмерных тел и в 1912 году стала первой женщиной, прочитавшей лекцию на Международном конгрессе математиков.

Если я скажу, что преобразование Кремоны – это «бирациональный автоморфизм проективного пространства», то это будет простым швырянием фонем в вашу сторону, так что позвольте мне пойти другим путем. Что такое 0/0? Наверное, когда-то вы узнали, что нужно отвечать «неопределенность»; это верно, но это также выход для трусов. На самом деле все зависит от того, какие нули вы делите! Каково отношение площади квадрата размером ноль на ноль к его периметру? Разумеется, вы можете сказать, что это не определено, но почему бы не проявить смелость и не определить это? Если сторона квадрата равна 1, то отношение равно 1/4, или 0,25. Когда сторона уменьшается до 1/2 (и периметр равен 2), то отношение составляет 1/8. Если длина стороны 0,1, то отношение равно 0,01 / 0,4 = 0,025. Отношение становится все меньше и меньше, а это означает, что есть только один хороший ответ на вопрос, что произойдет, когда квадрат сожмется в точку: в этом случае 0 / 0 = 0. Теперь рассмотрим отношение длины отрезка в сантиметрах к длине отрезка в дюймах. Что будет с ним, если отрезок начнет сжиматься в точку? Поскольку дюйм равен 2,54 сантиметра, то это отношение составит 2,54 и для длинных, и для коротких отрезков, а потому, когда отрезок сожмется до точки, такое отношение 0/0 должно быть 2,54.

Вы можете последовать примеру Декарта и думать о паре чисел как о точке на плоскости. Точка (1, 2) находится на 1 правее и на 2 выше начала координат. Отношение 2/1 – это наклон прямой, соединяющей точку (1, 2) и начало координат (0, 0). Когда точка расположена в самом начале координат (0, 0), нет никакой соединяющей прямой, поэтому нет и наклона. Простейший вид преобразования Кремоны – заменить плоскость очень похожей геометрией, где точка (0, 0) заменяется множеством точек – на самом деле бесконечным количеством точек! Каждая запоминает не только свое место (0, 0), но и наклон – как если бы вы отслеживали не только свое местоположение, но и направление, по которому туда добрались[361]. Подобное преобразование, когда одна точка превращается в бесконечное множество, называется раздутием. Хадсон изучала гораздо более сложные преобразования Кремоны в пространствах более высокой размерности; вы могли бы назвать их общей геометрической теорией присваивания значений тем «неопределенным» отношениям, от которых отказался бы более робкий вычислитель.

В 1916 году, в самом начале работы с Россом, Хадсон опубликовала целую книгу о построениях в стиле Евклида с помощью циркуля и линейки[362] – теми же инструментами Авраам Линкольн тщетно пытался квадрировать круг. Хадсон отличалась такой мощной геометрической интуицией, что ее работы иногда критиковали за недостаточность доказательств: для нее были очевидны вещи, которые стоило бы подкреплять в письменной форме для тех из нас, кто менее способен мысленно представлять геометрические поверхности. Нет никаких подтверждений, что Росс, несмотря на всю свою любовь к геометрии, как-то участвовал или интересовался работой Хадсон в сфере чистой математики. Возможно, это и к лучшему, потому что алгебраической геометрией занималось много итальянцев.

Первая статья Росса и Хадсон начинается с солидного списка ошибок из предыдущей работы Росса. Росс ссылался на то обстоятельство, что он был за границей, когда оттиски статьи прислали для проверки; я же предпочитаю думать, что Хадсон начала свое сотрудничество с Россом с ненавязчивого замечания об ошибках в работе, выполненной им до ее появления. О взаимодействии между ними известно очень мало: Росс упомянул Хадсон в своих мемуарах всего один раз, однако интересно представить отношения между этими двумя очень разными учеными. Росс обладал непомерными амбициями, Хадсон – глубинными знаниями математики. У Росса были звания, должности и награды, Хадсон в эпоху практически чисто мужского преподавательского состава была простым лектором. Если у Росса и были религиозные чувства, то он не придавал им большого значения; в жизни набожной Хадсон христианство было основополагающим. После публикации труда о преобразованиях Кремоны в 1927 году она, похоже, оставила математику и многие годы работала в студенческом христианском движении. Ее эссе 1925 года «Математика и вечность» – замечательный документ того интеллектуального мира, где вера и наука ощущали определенную необходимость оправдывать себя друг перед другом. «Мы можем думать о присутствии Бога на уроке алгебры[363], – писала Хадсон, – лучше, чем на кухне брата Лаврентия[364]; и в полном одиночестве в скромном уголке исследовательской работы – лучше, чем на вершине горы». Каждый математик, верующий или нет, поймет, что она имеет в виду в следующей сентенции, которую следует помнить:

Идеи чистой математики истинны[365], не приблизительны и не сомнительны; возможно, они не самые интересные или важные мысли Бога, но они – единственные, о которых мы точно знаем.

НЕ СЛИШКОМ ОБНАДЕЖИВАЕТ

Идеи Росса о росте эпидемии определялись базовым принципом – единственным, который лежит в основе всего математического прогнозирования: что произошло сегодня, произойдет и завтра. Все мрачные детали заключаются в выяснении того, что это означает на практике.

Вот самое простое, что это может означать. Предположим, носители заразного вируса в течение периода своей заразности (скажем, 10 дней) инфицируют в среднем двух человек. Если мы начали с 1000 зараженных, то через 10 дней будет примерно 2000 инфицированных. Исходная тысяча теперь не заразна, однако новые 2000 через 10 дней заразят примерно 4000, еще через декаду вирус подхватят около 8000 человек и так далее. В результате за первый месяц число заражений составит:

день 0: 1000;

день 10: 2000;

день 20: 4000;

день 30: 8000.

Такая последовательность называется геометрической прогрессией, хотя связь с геометрией тут несколько туманна. Название дано по той причине, что каждый член последовательности является средним геометрическим между предыдущим и последующим. Но что означает «среднее» и почему оно геометрическое?

Среднее значение, к которому вы, вероятно, привыкли, отображается точкой, делящей отрезок числовой прямой ровно пополам. Среднее 1 и 9 – это число 5, так как 5 отстоит на 4 и от 1, и от 9. Такое среднее называется средним арифметическим (думаю, из-за того, что возникает в результате операций сложения и вычитания), а последовательность чисел, в которой каждый член является средним арифметическим между предыдущим и последующим, называется арифметической прогрессией.

Среднее геометрическое – это другой вид среднего. Чтобы узнать среднее геометрическое для 1 и 9, возьмите прямоугольник со сторонами длиной 1 и 9.

Среднее геометрическое – это длина стороны квадрата, площадь которого равна площади этого прямоугольника. (Греки очень любили думать о площадях в терминах квадратов; это была одна из причин, почему они пытались безуспешно квадрировать круг.) Среднее геометрическое было любимым у Платона; по некоторым сведениям, он считал[366] его самым истинным средним. Площадь нашего прямоугольника 1 × 9 = 9; если у квадрата та же площадь, то длина его стороны – число, которое дает 9 при умножении на себя. Это длинный способ сказать 3. Таким образом, 3 – это среднее геометрическое для чисел 1 и 9, и

1, 3, 9

образуют геометрическую прогрессию.

Сегодня мы обычно определяем среднее геометрическое другим, хотя и эквивалентным способом: среднее геометрическое двух чисел x и z – это такое число y, что выполняется соотношение:

y / x = z / y[367].

Сравните эту четкую формулу со словесными узлами, которые пришлось закручивать Платону при объяснении геометрического среднего:

Прекраснейшая же из связей такая[368], которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел – как кубических, так и квадратных – при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места, выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство[369].

Оцените достоинства алгебраических обозначений!

Вирусы распространяются в геометрической прогрессии не потому, что им нравится вычислять площади прямоугольников или они читали Платона, а потому, что механизм распространения вируса требует, чтобы отношение между заражением за прошлую и нынешнюю декады было таким же, как между заражением за нынешнюю и следующую декады. То, что происходит сегодня, произойдет и завтра, и в нашем примере количество новых случаев каждые десять дней умножается на 2. Когда последовательность чисел возрастает в геометрической прогрессии, мы говорим, что она растет экспоненциально. Люди часто используют словосочетание экспоненциальный рост как синоним очень быстрого роста, однако первое выражение гораздо конкретнее. Каждый учитель математики хотел бы иметь пример, который действительно продемонстрирует ученикам, что такое экспоненциальное поведение. К сожалению, в данный момент такой пример у нас под рукой.

Наша стандартная интуиция плохо приспособлена к осознанию экспоненциального роста. Мы привыкли к физическим объектам, движущимся примерно с постоянной скоростью. Если вы едете со скоростью 60 километров в час, то пройденное с каждым часом расстояние выглядит так:

60 километров, 120 километров, 180 километров, 240 километров…

Это арифметическая прогрессия – разность между каждым ее членом и следующим числом никогда не меняется, и числа растут с постоянной скоростью.

Геометрическая прогрессия – совсем другое дело; наш мозг интерпретирует ее как медленный, устойчивый, управляемый рост, а потом вдруг резкая и устрашающая крутизна. Однако в геометрическом смысле скорость увеличения никогда не меняется. Очередная декада похожа на предыдущую, просто вдвое хуже. Катастрофа полностью предсказуема, но мы почему-то не способны целиком ее воспринять. Обратите внимание на слова Джона Эшбери – вероятно, единственного крупного американского поэта, затронувшего этот вопрос в стихотворении 1966 года «Словами делу»:

Подобно дружелюбному началу геометрической прогрессии,

Не слишком обнадеживали…

В Италии, одной из наиболее сильно пострадавших стран в первые дни вспышки COVID-19, потребовался месяц, чтобы болезнь убила первую тысячу человек. Следующая тысяча умерла за четыре дня. А 9 марта 2020 года, когда болезнь уже стала распространяться по всему миру, один представитель американского правительства[370] агрессивно преуменьшил угрозу, сравнив ситуацию с ежегодной эпидемией гриппа, от которой страдают тысячи американцев: «На данный момент подтверждено 546 случаев коронавируса с 22 летальными исходами. Подумайте об этом!» Через неделю по 22 американца умирали от COVID-19 уже ежедневно. Еще через неделю – почти в десять раз больше.

Дело в том, что геометрические прогрессии бывают хорошими и плохими. Предположим, носители болезни передают возбудителя в среднем не двум людям, а всего 0,8. Тогда геометрическая прогрессия инфекций выглядит так:

день 0: 1000;

день 10: 800;

день 20: 640;

день 30: 512;

а в следующие четыре дня улучшение еще заметнее:

день 40: 410;

день 50: 328;

день 60: 262;

день 70: 210.

Это экспоненциальное убывание – математическое подтверждение победы над эпидемией.

Указанное число – отношение членов геометрической прогрессии (еще его называют знаменателем прогрессии) – имеет очень большое значение. Если знаменатель больше 1, то вирус быстро распространяется и добирается до значительной доли населения, если меньше, то эпидемия сходит на нет и затухает. В эпидемиологических кругах его обозначают R_0. По оценкам, во время весенней волны эпидемии испанки в 1918 году[371] R_0 равнялся 1,5. Во время эпидемии переносимого комарами вируса Зика в 2015–2016 годах R_0 составлял примерно 2. Для эпидемии кори в Гане в 1960-х годах он был 14,5!

Эпидемия с маленьким R_0 выглядит так:

Большинство людей обычно заражают всего одного человека (или вообще никого), и в результате цепочка инфекций, как правило, заканчивается, не успевая сильно распространиться. Когда R_0 чуть больше 1, вы видите примерно такую картину:

Когда же R_0 существенно больше 1, вы наблюдаете быстрый экспоненциальный рост: процесс постоянно ветвится[372] и вирус распространяется все дальше и дальше по популяции.

Если после заболевания у человека вырабатывается иммунитет, то эти ветви к нему не вернутся и не образуют цикл, поэтому такая эпидемическая сеть будет отражать уже знакомую нам геометрическую структуру – дерево.

Существование этого принципиального порога при R_0 = 1 было центральной идеей Росса при изучении малярии. Открытие, что малярию переносят комары, стало не только огромным достижением, но и породило определенный пессимизм. Убить комара легко, убить всех комаров трудно. Поэтому можно решить, что остановить распространение малярии невозможно. Однако Росс настаивал, что это не так. Пока существуют комары-анофелесы, некоторые из них будут кусать зараженного малярией человека, а затем, немного полетав, укусят тех, у кого малярии еще нет. Поэтому болезнь продолжит распространяться. Но если плотность комаров настолько мала, что волшебное число R_0 будет меньше 1, то каждую неделю будет все меньше и меньше случаев заболевания, и эпидемия экспоненциально пойдет на убыль. Вам не нужно полностью останавливать передачу, достаточно остановить ее в соответствующей степени.

Именно эту идею продвигал Росс в 1904 году на выставке в Сент-Луисе. С помощью рассуждений о случайном блуждании он хотел показать, что, после того как количество комаров в какой-то местности уменьшится, потребуется довольно много времени, чтобы туда залетело достаточное количество анофелесов, чтобы ситуация снова преодолела эпидемический порог.

Это также ключевая идея в борьбе с COVID-19. Хорошо, что нам не обязательно полностью устранять вероятность передачи болезни; это и невозможно. Контроль над эпидемией – это не перфекционизм.

77 ТРИЛЛИОНОВ ЧЕЛОВЕК В СЛЕДУЮЩЕМ ГОДУ ЗАБОЛЕЮТ ОСПОЙ[373]

Весной 2020 года, в самом начале пандемии COVID-19 в Соединенных Штатах, болезнь явно демонстрировала признаки плохой геометрической прогрессии. Число случаев COVID-19 росло примерно на 7 % в день. Это означало, что каждую неделю их количество увеличивалось в 1,07 × 1,07 × 1,07 × 1,07 × 1,07 × 1,07 × 1,07 ≈ 1,6 раза, то есть примерно на 60 %. Если бы так продолжалось и дальше, то 20 000 подтвержденных случаев в день в конце марта превратились бы в 32 000 в первую неделю апреля и в 420 000 в середине мая. Через сто дней, в начале июля, получилось бы по 17 миллионов новых случаев ежедневно.

Видите здесь проблему? Вы не можете поддерживать темп в 17 миллионов новых случаев каждый день, потому что тогда через три недели количество зараженных американцев станет больше, чем общее число американцев. Именно подобные чересчур легкомысленные рассуждения привели к тому, что одна отважная группа исследователей во главе с Мартином Мельцером из агентства CDC[374] написала в 2001 году после терактов 11 сентября, что преднамеренное распространение вируса оспы в Соединенных Штатах может всего за год привести к 77 триллионам заражений[375]. (Один из коллег заметил: «Время от времени доктор Мельцер теряет контроль над своим компьютером»[376].)

Что-то неладно в нашей истории с геометрической прогрессией.

Вернемся к магическому числу R_0, которое показывает, сколько новых заражений генерирует один инфицированный человек. R_0 – это не константа. Число зависит от биологических характеристик конкретной инфекции (которые могут отличаться для разных штаммов), от количества людей, с которыми ежедневно сталкивается больной во время периода заразности (можем ли мы его сократить при соответствующем лечении?), и от того, что происходит во время таких встреч. Стоят ли люди близко друг к другу или соблюдают дистанцию в шесть футов[377] согласно нынешним рекомендациям? Носят маски или нет? Встречаются на улице или в плохо проветриваемом помещении?

Однако даже в случае, когда в болезни или поведении людей ничего не изменилось, показатель R_0 со временем меняется[378]. У вируса просто заканчиваются объекты для заражения. Например, предположим, что мы достигли точки, когда инфицировано уже 10 %. Больной может беспечно и бессимптомно резвиться, как обычно, и по-прежнему кашлять рядом с тем же количеством людей, что и раньше, но теперь каждый десятый из них либо уже болен, либо выздоровел, а значит, имеет иммунитет против повторного заражения[379]. Поэтому в течение периода заразности человек инфицирует в среднем уже не двух человек, а только 90 % от этого числа, то есть 1,8. Когда заражено 30 % населения, R_0 падает до 0,7 × 2 = 1,4. Если же заражено 60 %, то R_0 становится 0,4 × 2 = 0,8, и мы пересекаем критический уровень. Теперь R_0 не больше, а меньше 1, и мы движемся по хорошей геометрической прогрессии, а не по плохой.

На самом деле доля инфицированных может даже не достигать 60 %. Давайте обозначим ее P. Тогда наш новый R_0 = (1 – P) × 2, и, как только это число будет меньше 1, эпидемия начинает экспоненциально затухать. Это случится, когда 1 – P = 1/2, откуда P = 1/2. Таким образом, эпидемия с изначальным значением R_0 = 2 начнет затухать, когда половина населения заражена. Это называется коллективным иммунитетом. Эпидемия не может продолжаться, когда достаточное количество людей невосприимчивы к болезни. Однако это «достаточное количество» зависит от исходного значения R_0. Если оно, как в случае кори, равно 14, то вам понадобится (1 – P) = 1/14, а это означает, что иммунитет должен выработаться у 93 % населения; вот почему даже небольшое количество детей, не делающих прививку от кори, становится причиной уязвимости населения ко вспышке заболевания. Для болезни с более умеренным R_0 = 1,5 ситуация разворачивается при заражении 33 %. Если предположение, что для COVID-19 значение параметра R_0, лежащее между 2 и 3, справедливо, то нынешняя пандемия пойдет на спад, когда затронет от половины до 2/3 населения планеты[380].

Но это масса людей, болезней и удручающее число смертей. Поэтому эпидемиологи мира, расходясь во многих существенных деталях, в целом единодушны в том, что нельзя пускать дело на самотек. Нет, нет и еще раз нет!

ИГРА КОНВЕЯ

Проще всего, если вы увлекаетесь математикой, думать о пандемии как о кривой, нарисованной на миллиметровке или на экране, с числами, отражающими абстрактные величины, изменяющиеся во времени. Однако нельзя забывать, что они отображают реальных людей, которые заболели или умерли. Поэтому нужно периодически останавливаться и думать об этих людях. Один из них – Джон Хортон Конвей – умер от COVID-19 11 апреля 2020 года. Он был геометром[381] и много чем еще занимался, однако почти вся его математика так или иначе включала рисование картинок.

Я познакомился с Конвеем во время своей постдокторантуры в Принстоне и постоянно задавал ему вопросы по математике. У него всегда находился развернутый, информативный и поучительный ответ, хотя он никогда непосредственно не отвечал на тот вопрос, что я задал. Тем не менее я многому у него научился! Конвей не усложнял жизнь намеренно, просто таков был его образ мышления – скорее ассоциативный, чем дедуктивный. Вы спрашивали его о чем-то, а он рассказывал, о чем напомнил ему ваш вопрос. Если вам требовалась конкретная информация, ссылка или утверждение теоремы, вас ожидал долгий окольный путь с неизвестным местом назначения. Офис Конвея был забит забавными головоломками, играми и игрушками, которые в известном смысле были развлечением, но одновременно и частью его математики. Казалось, он думал о математике всегда. Однажды прямо посреди улицы его посетила идея какой-то теоремы из теории групп, и в результате его сбил грузовик. Впоследствии он называл эту теорему «орудием убийства»[382].

Все математики воспринимают математику как своеобразную игру, но Конвей был уникален в своем упорстве воспринимать игру как своеобразную математику. Он был заядлым изобретателем игр[383] и любил давать им забавные названия: Col, Snort, Loony, Dud, Sesqui-up, Phutball[384]. Однако это было не развлечение ради развлечения. Из развлечений он выстраивал теорию. Мы уже встречались с его математическими играми в этой книге: именно Конвей разработал представление об играх класса «Ним» как о своего рода числах; и его коллега Дональд Кнут использовал эту идею в написанной в 1974 году книге с крайне экстремальным для того времени названием Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Total Happiness («Сюрреальные числа»[385]). Книга написана в виде диалога двух студентов, которые натолкнулись на священный текст, излагающий теорию Конвея: «Вначале везде была пустота, и Джон Хортон Конвей начал создавать числа…»[386]

Именно Конвей в конце 1960-х годов первым нарисовал на бумаге список всех узлов с одиннадцатью или меньшим числом пересечений; он разработал собственную систему записи (изобрел множество собственных обозначений) для небольших частей узла, где переплетаются нити (Конвей назвал их плетениями[387]).

Один из узлов реестра Конвея впоследствии получил его имя – это тот самый упоминавшийся уже нами узел, о котором нейронная сеть заявила, что его трудно понять, а Лиза Пиччирилло тем не менее доказала о нем теорему.

Конвей, пожалуй, наиболее известен в мире за пределами теоретической математики благодаря игре «Жизнь» – простому алгоритму, создающему невероятно сложные и постоянно меняющиеся конфигурации, которые выглядят практически как живые – отсюда и название[388]. Однако его раздражала такая слава, поскольку он считал игру «Жизнь» (справедливо) гораздо менее глубокой, чем большая часть его математических результатов. Поэтому я закончу не игрой «Жизнь», а одной из моих любимых теорем – действительно геометрической теоремой, которую Конвей доказал вместе с Кэмероном Гордоном в 1983 году[389]. Возьмите любые шесть точек в пространстве. Существует десять различных способов разбить эти точки на две группы по три. (Проверьте!) Для каждого разбиения вы можете соединить обе тройки точек, чтобы получить два треугольника. Конвей и Гордон доказали, что среди разбиений всегда будет как минимум одно, при котором эти треугольники будут сцепленными, как звенья цепи.

Для меня метод доказательства выглядит даже изящнее самого факта. В реальности Конвей и Гордон доказывают, что число разбиений, приводящих к сцепленным треугольникам, должно быть нечетным. Однако ноль – число четное! Следовательно, должно быть хотя бы одно разбиение, при котором треугольники сцеплены. Кажется довольно странным доказывать существование какого-то объекта на основании того, что таких объектов должно быть нечетное число, однако на самом деле ничего необычного тут нет. Предположим, у тумблера лампочки два положения. Если вы вошли в комнату и увидели, что лампа не в том состоянии, как вы ее оставили, то вы понимаете, что кто-то щелкнул выключателем. Однако причина, почему вы это поняли, в том, что состояние лампы говорит вам, что выключателем щелкнули нечетное число раз.

БЕЛЫЕ ЛЮДИ СТАРЫ

Опасность заболеть COVID-19 одинакова не для всех. Риск серьезных симптомов, госпитализации и смерти намного выше у пожилых людей, чем у молодежи и лиц среднего возраста. В Соединенных Штатах есть также расовые и этнические отличия. В июле 2020 года подтвержденные случаи заболеваний COVID-19 в США делились по расам так[390]:

36,6 % – латиноамериканцы;

35,3 % – белые нелатиноамериканцы;

20,8 % – черные.

Распределение смертей от COVID-19 выглядело иначе:

17,7 % – латиноамериканцы;

49,5 % – белые нелатиноамериканцы;

22,9 % – черные.

Эти цифры могут удивить, если вы слышали что-либо о неравенстве в американском здравоохранении, которое почти повсеместно подразумевает сравнение не в пользу несветлокожих американцев. Но при этом смертность среди белых людей, на долю которых приходилось всего 35 % подтвержденных случаев заболевания COVID-19, составила 49,5 % от всех смертей. Получается, что среди белой части населения вероятность летального исхода в результате заболевания COVID-19 гораздо выше. Почему?

Как я узнал от математика и писателя Дейны Маккензи, причина в возрасте. Белые люди чаще умирают от COVID-19, потому что пожилые люди чаще умирают от COVID-19, а белые люди в целом старше. Если разбить все случаи по возрастным группам, ситуация будет выглядеть совершенно иначе. Среди американцев от 18 до 29 лет белые составляют 30 % случаев заболеваний, но всего 19 % смертей. Среди людей от 85 лет и старше белые составляют 70 % всех случаев и 68 % смертей. Фактически в каждой конкретной возрастной категории взрослых, установленной агентством CDC, случай COVID-19 у белого американца будет фатален с меньшей вероятностью, чем у типичного американца того же возраста. И тем не менее объединение данных по всем группам создает впечатление, что болезнь сильнее поражает белых. Это явление известно как парадокс Симпсона, и его следует учитывать каждый раз, когда изучаемое явление затрагивает неоднородную популяцию. На самом деле парадокс – неподходящее название, потому что здесь нет никакого противоречия, а просто есть два разных способа рассматривать одни и те же данные, и оба верны. Например, правильно ли сказать, что COVID-19 поразил Пакистан меньше, чем США, поскольку население Пакистана моложе и потому менее уязвимо? Или правильно ли сравнивать вероятности, что заболеет пожилой пакистанец и его американский сверстник? Урок парадокса Симпсона не в том, какую точку зрения принять, а в том, чтобы держать в уме одновременно и целое, и части.

У КАКОЙ МОНЕТЫ СИФИЛИС?[391]

Специалисты сходятся в одном: невозможно избежать самого ужасного сценария развития событий без тестирования – гораздо более масштабного, чем проводится сейчас. Чем больше тестов мы делаем, тем лучше знаем, как развивается COVID-19 и на какой стадии мы находимся.

Вот еще одна старая математическая задачка. У вас есть 16 золотых монет: 15 настоящих массой по 10 граммов и одна фальшивая, в которой всего 9 граммов. У вас есть весы, но каждое взвешивание стоит доллар. Как найти подделку с наименьшими затратами?

Безусловно, вы решите задачу, взвесив каждую монету и потратив при этом 16 долларов. На самом деле один доллар можно сэкономить: если вам все время не везло и вы 15 раз натыкались на честные монеты, то после 15 взвешиваний знаете, что оставшаяся монета – фальшивая. Так что незачем тратить больше 15 долларов.

Однако можно действовать разумнее. Разделите монеты на две группы по восемь в каждой и взвесьте первую группу: ее общий вес составит либо 80, либо 79 граммов. Теперь вы знаете, в какой группе находится фальшивка. Итак, вы сузили круг подозреваемых до восьми монет. Снова разделите их на две группы по четыре и взвесьте одну группу. В итоге вы сократили варианты до четырех (и заплатили при этом 2 доллара). Еще через два деления пополам вы гарантированно найдете фальшивую монету, при этом в общем потратите всего 4 доллара.

Как и во многих подобных головоломках, здесь используется какое-то дополнительное условие, чтобы придать задаче смысл: в реальной жизни взвешивание не стоит так дорого!

А вот биологические тесты – стоят, и это возвращает нас к инфекционным заболеваниям. Предположим, что вместо 16 монет у вас 16 новобранцев для армии и один отличается от остальных – только не весом, а тем, что болен сифилисом. Во время Второй мировой войны эта болезнь была серьезной проблемой: в 1941 году «Нью-Йорк Таймс» обвинила[392] «большую банду танковых проституток, обслуживавших солдат механизированных подразделений в придорожных закусочных и дансингах от Чикаго до обеих Дакот» в заражении тысяч солдат сифилисом и гонореей: «на свободе, без лечения, заразных и представляющих опасность для сограждан».

Вы можете выявить инфицированных, проведя анализ крови с помощью реакции Вассермана. Это вполне реально для 16 новобранцев, но совершенно неприемлемо для 16 тысяч. «Проверка отдельных участников большой популяции – дорогостоящий и утомительный процесс», – заметил Роберт Дорфман – известный профессор экономики из Гарварда, который в 1950-х и 1960-х годах первым применил математические модели к коммерческим задачам. Однако в 1942 году[393] он еще работал статистиком на государственной службе, шестью годами ранее окончив колледж, где решил сконцентрироваться на математике после того, как пришел к выводу, что у него нет будущего в первоначальном призвании – поэзии. Выше процитирована первая фраза его классической статьи «Обнаружение дефектных членов больших групп»[394], в которой он вводит в эпидемиологию идею решения задачки о монетах. Вы не можете использовать в точности ту же стратегию, что работала для монет, ведь половина от 16 тысяч солдат – это все равно очень много! Однако предположим, говорит Дорфман, что вы разбиваете новобранцев на группы по пять человек, а затем смешиваете кровь членов каждой группы в сывороточный коктейль и проверяете его на сифилитический антиген. Отсутствие антигена означает, что вы можете сообщить всем пятерым, что они здоровы; в противном случае вызываете их и проверяете каждого по отдельности.

Насколько удачна такая идея, зависит от степени распространения сифилиса в популяции. Если заражена половина войск, то почти все сгруппированные пробы дадут положительный результат, и в итоге почти все участники пройдут тест дважды, что сделает обнаружение дефектных элементов еще более утомительным и дорогостоящим. Но если сифилисом заражены всего 2 % новобранцев? Вероятность, что данная выборка даст негативный результат, равна произведению вероятностей, что каждый солдат из проверяемой пятерки не болен сифилисом. Поэтому в нашем случае вероятность негативного результата в пятерке такова:

0,98 × 0,98 × 0,98 × 0,98 × 0,98 ≈ 0,90.

Если солдат 16 000, то получается 3200 групп; из них примерно 2880 будут чистыми, и для повторной проверки остается около 320 групп, то есть 1600 солдат. Их придется проверять по одному. В результате вы проведете тест 3200 + 1600 = 4800 раз, и это огромная экономия по сравнению с проверкой каждого из 16 000 человек! Причем вы можете даже улучшить метод: Дорфман определил, что при уровне заболеваемости в 2 % оптимальный размер групп – по 8 человек, что сводит задачу примерно к 4400 тестам.

Связь с коронавирусом очевидна: если у нас недостаточно тестов, чтобы проверить всех по одному, может быть, стоит взять мазок у 7–8 человек, объединить пробы в одном контейнере и протестировать их все разом?

Предупреждение: протокол Дорфмана для выявления сифилиса в реальности никогда не использовался. Дорфман даже работал не в армии: он трудился в Управлении по контролю над ценами, когда вместе с Дэвидом Розенблаттом, которого призвали на службу и провели тест с помощью реакции Вассермана, вынашивал идею группового тестирования на сифилис. Однако оказалось, что на практике она не работает: разбавление образцов[395] слишком затруднило обнаружение следов антител.

Коронавирус – совсем другое дело. Тест полимеразной цепной реакции, который обнаруживает этот вирус, значительно усиливает даже крошечный след вирусной РНК. Это делает групповое тестирование целесообразным, а в случаях низкой распространенности заболевания и нехватки специалистов и оборудования – весьма привлекательным.

Такое тестирование проводилось в больницах Германии[396] и Хайфы, а одна лаборатория в Небраске[397] протестировала 1300 проб в неделю, группируя их по пять, что, как сообщалось, вдвое сократило общее количество требуемых тестов. Ухань – город в центральном Китае[398], где началась пандемия, – использовал объединенные выборки для тестирования 10 миллионов человек за считаные дни.

Специалисты, действительно не понаслышке знакомые с групповым тестированием, – это ветеринары, которым приходится быстро и точно выявлять небольшие вспышки заболеваний в крупных плотных группах домашних животных. Иногда они оценивают сотни образцов с помощью одного-единственного теста. Один мой знакомый ветеринар-микробиолог сказал мне, что не видит причин, по которым их протоколы нельзя использовать для быстрой проверки людей на коронавирус, хотя какую-то часть процедур придется менять. «Нельзя посадить тысячу человек на ленту конвейера и ректально проверять каждого по мере прохождения», – заметил он (как мне показалось, с некоторым сожалением).

ГУДИ, ГУДИ, МАШИНА

Итак, теперь мы полностью готовы приступить к теории событий Росса и Хадсон применительно к распространению пандемии. И начнем с придумывания некоторых чисел. (Настоящий эпидемиолог оценивал бы их как можно точнее. По мере распространения пандемии и расширения знаний о динамике болезни такая процедура все больше будет отличаться от «придумывания чисел».) Предположим, что в первый день наших попыток построить график распространения вируса заражено 10 000 человек из миллионного населения нашего штата, а оставшиеся 99 % населения по-прежнему восприимчивы к инфекции, то есть уязвимы. Таким образом:

уязвимы (день 1) = 990 000;

инфицированы (день 1) = 10 000.

Если я раз за разом буду набирать слова уязвимый и инфицированный, то они примелькаются и утратят свое значение, так что для краткости переключимся на буквы У и И: У(день 1) = 990 000, И(день 1) = 10 000.

Ежедневно заражаются новые люди. Допустим, каждый инфицированный в среднем кашляет на кого-то раз в пять дней, то есть получается 0,2 человека в день. Вероятность того, что тот, на кого кашлянули, восприимчив к инфекции, – это доля уязвимого населения штата, то есть У / 1 000 000. Поэтому ожидаемое количество новых инфекций составляет 0,2 × И × У / 1 000 000.

Каждое новое заражение уменьшает количество уязвимых людей:

У(завтра) = У(сегодня) – 0,2 × И(сегодня) × У(сегодня) / 1 000 000

и увеличивает число инфицированных:

И(завтра) = И(сегодня) + 0,2 × И(сегодня) × У(сегодня) / 1 000 000.

Однако мы еще не закончили, потому что – к счастью! – люди поправляются. Надо придумать еще одно число. Предположим, период заразности длится 10 дней, так что в любой день каждый десятый из зараженных выздоравливает. (Это означает, что каждый инфицированный человек за 10 дней заразит примерно двух человек; таким образом, R_0 = 2). Тогда в действительности мы имеем:

И(завтра) = И(сегодня) + 0,2 × И(сегодня) × У(сегодня) / 1 000 000 – 0,1 × И(сегодня).

Такого рода соотношение называют разностным уравнением, поскольку оно сообщает нам разницу между ситуацией сегодня и завтра. Возможность вычислять эту разницу каждый день позволяет прогнозировать пандемию настолько далеко вперед, насколько мы посчитаем нужным. Вы должны представить этот кусок алгебры в виде какой-то машины, в идеале – со множеством мигающих лампочек и ревущим звуком. Вы помещаете сегодняшнюю ситуацию в машину, она ее прокручивает – и вы получаете ситуацию на завтра. Затем вы берете ее, снова запихиваете в машину, и она выдает ситуацию на послезавтра и так далее.

На второй день число новых инфицированных равно:

0,2 × И(день 1) × У(день 1) / 1 000 000 = 0,2 × 10 000 × 990 000 / 1 000 000 = 1980,

и поэтому

У(день 2) = У(день 1) – 0,2 × И(день 1) × У(день 1) / 1 000 000 = 990 000 – 1980 = 988 020.

На второй день появилось 1980 новых зараженных, но при этом выздоровела десятая часть из тех, кто заражен в данный момент.

И(день 2) = И(день 1) + 0,2 × И(день 1) × У(день 1) / 1 000 000 – 0,1 × И(день 1) = 10 000 + 1980–1000 = 10 980.

Теперь мы знаем ситуацию на день 2; помещаем ее в машину и получаем прогноз на день 3.

У(день 3) = У(день 2) – 0,2 × И(день 2) × У(день 2) / 1 000 000 = 988 020 – 2169,69192 = 985 850,30808.

И(день 3) = И(день 2) + 0,2 × И(день 2) × У(день 2) / 1 000 000 – 0,1 × И(день 2) = 10 980 + 2169,69192 – 1098 = 12 051,69192.

Эти 69,192 % человека – хорошее напоминание о том, что мы имеем дело всего лишь с вероятностным прогнозом, наилучшим предположением, и не должны ожидать его правильности с точностью до последнего знака!

Вы можете продолжать эту процедуру сколько угодно. Число инфицированных людей день ото дня (округленно, потому что незачем тратить время на столько десятичных знаков) составит:

10 000, 10 980, 12 052, 13 223, 14 501…

Вы можете проверить, что это очень близко к геометрической прогрессии с ежедневным увеличением на 10 %. Но это не точная геометрическая прогрессия: темпы роста чуть-чуть ниже. Число 10 980 на 9,8 % больше, чем 10 000, однако 14 501 только на 9,7 % больше, чем 13 223. Это не ошибка округления, а эффект сокращения доли уязвимого населения, из-за чего у вируса уменьшаются возможности для распространения.

Вряд ли вас вдохновят целые страницы, исписанные числами У(день тот) и И(день этот); мне так точно не хочется их набирать. Именно для таких громоздких вычислений и предназначены компьютеры. С помощью нескольких строк кода вы получите прогноз на какое угодно количество дней. Я, например, получил такую картину:

Пик заражения приходится на 45-й день, когда инфицировано чуть более 16 % населения. В этот момент примерно 34 % населения уже выздоровело[399], а около половины все еще уязвимо. Таким образом, показатель R_0, который вначале был равен 2, уменьшился наполовину и теперь равен 1 – как раз тому пороговому значению, при котором заражение начинает снижаться. Хотя на приведенном графике это не совсем четко отражено, спад в таких моделях обычно не настолько крутой, как подъем: потребовалось 45 дней, чтобы добраться с 1 % инфицированных до пика, и 60 дней, чтобы спуститься с пика обратно до уровня в 1 % зараженных.

Сегодня ученые традиционно приписывают эту модель не Россу и Хадсон, а Кермаку и Маккендрику. Андерсон Маккендрик (адресат письма Росса об открытии двери в новую науку об эпидемиях) был, как и Росс, шотландским врачом со склонностью к математике; он работал с Россом в Сьерра-Леоне. Уильям Огилви Кермак – еще один врач шотландского происхождения, ослепший во время несчастного случая в лаборатории от едкой щелочи, – подобно Хадсон, обладал колоссальной геометрической интуицией.

Кермак никуда не ходил без своей тяжелой деревянной трости, постукивание которой было известно всем в лаборатории Королевского колледжа врачей в Эдинбурге, хотя иногда, когда ему было нужно, «он также имел привычку[400] вешать трость на руку и появляться под руку с кем-нибудь из помощников – бесшумно и неожиданно, иногда доставляя неудобство». В своей статье 1927 года Кермак и Маккендрик ссылаются на предыдущие труды Росса и Хадсон, но их работа, помимо добавления новых идей, была написана проще, с более понятными обозначениями, и казалась более удобной для использования. Их система сегодня известна как SIR-модель, где Susceptible – здоровые восприимчивые (уязвимые) к инфекции люди (они обозначены буквой У); Infected – инфицированные (зараженные, они обозначены буквой И); Recovered – выздоровевшие люди, у которых на данный момент выработался иммунитет. В более сложных моделях используются и другие группы людей, и количество букв в названиях моделей, соответственно, увеличивается.

Как и надеялся Росс, математическая основа, которую он помог создать для изучения распространения болезней, оказалась полезной для понимания и других видов событий. Сегодня мы используем SIR-модели для многих заразных вещей, например твитов. В марте 2011 года землетрясение в регионе Тохоку и последовавшее за ним цунами разрушили атомную электростанцию «Фукусима» и унесли жизни тысяч людей в северо-восточной Японии. Запаниковавшие люди делились информацией в Twitter, причем не всегда здравой. Ходили слухи, что соприкосновение с дождем опасно. Широко разошелся твит: «Для предотвращения побочных эффектов от радиоактивности полезно пить жидкость для полоскания рта, содержащую йод, и есть как можно больше морских водорослей». Эти слухи, даже если они исходили от людей с небольшим количеством подписчиков, распространялись очень быстро, как и поправки от научных авторитетов.

Слухи весьма похожи на коронавирус. Вы не можете их передать, если предварительно не подверглись их воздействию и в какой-то степени не выработали иммунитет. Если вы уже познакомились со слухом и передали его, то последующие ваши встречи с ним вряд ли запустят новый виток распространения. Поэтому вполне логично, что исследователи в Токио обнаружили, что SIR-модель[401] весьма неплохо справляется с моделированием распространения твитов со слухами о землетрясении. Вы можете считать параметром R_0 для слуха среднее число людей, которые им делятся дальше. Если слух не особо интересен, то показатель R_0 невелик, как у гриппа; если же он реально захватывающий, то ситуация становится больше похожа на корь. Последний вид слухов мы называем вирусным, хотя на самом деле все слухи вирусные! Просто одни вирусы заразнее других.

ЛАГХУ ЛАГХУ ЛАГХУ ЛАГХУ

Разностные уравнения подходят не только для моделирования заболеваний. Они лежат в основе целого множества последовательностей, интересных с точки зрения математики. Любите арифметические прогрессии? Можете получить одну из них, предположив, что разность – это фиксированное число:

А(завтра) – А(сегодня) = 5,

и получите (если начнете с 1) последовательность 1, 6, 11, 16, 21…

Если хотите получить геометрическую прогрессию, нужно взять разность, которая пропорциональна текущему значению, скажем:

А(завтра) – А(сегодня) = 2 × А(сегодня),

что дает последовательность 1, 3, 9, 27, 81 и т. д., в которой каждый член втрое больше предыдущего. Вы можете взять любое разностное уравнение, какое захотите! Например, возможно, по каким-то причинам вам захотелось, чтобы разность была квадратом текущего значения:

А(завтра) – А(сегодня) = А(сегодня)2,

что приводит к весьма быстро растущей последовательности 1, 2, 6, 42, 1806… Такого рода прогрессии не были известны Платону, их гораздо больше знает «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей» (OEIS), которая одновременно является важным исследовательским инструментом и невероятно успешным средством прокрастинации для всех известных мне математиков. Этот проект запустил математик Нил Слоун[402] в 1965 году: сначала на перфокартах, затем в виде бумажной книги, а потом и онлайн. Вы можете задать машине список целых чисел, а она выдаст вам все, что математический мир знает о нем. Например, вышеприведенная последовательность – это последовательность A007018 в OEIS, и я узнал, что ее n-й член – это «число упорядоченных деревьев, имеющих узлы с полустепенью исхода 0, 1, 2, и таких, что все листья находятся на уровне n». (Снова деревья!)

Если вы хотите несколько усовершенствовать модель (а при моделировании болезней с претензией на реализм, вероятно, так и есть), можно сделать так, чтобы разность между сегодняшней и завтрашней ситуацией зависела не только от произошедшего сегодня, но и от того, что происходило вчера. Попробуем так:

A(завтра) – A(сегодня) = A(вчера).

Чтобы начать вычисления, нам нужны данные за два первых дня. Если и сегодняшнее, и вчерашнее значение равно 1, то завтра будет 1 + 1 = 2. Еще через день A(сегодня) = 2, A(вчера) = 1, поэтому A(завтра) = 3. Эта последовательность продолжается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

где каждый член – сумма двух предыдущих. Это последовательность Фибоначчи, или A000045 в OEIS, и она настолько знаменита, что ей посвящен целый математический журнал.

Вам может быть неясно, откуда в реальном мире возьмется процесс, порождающий такое разностное уравнение. Сам Леонардо Фибоначчи в своей «Книге абака» в 1202 году предложил эту последовательность на основании совершенно неубедительной биологической модели размножающихся кроликов. Но есть и более древний и хороший способ! Я узнал о нем от Манджула Бхаргавы – не только выдающегося специалиста по теории чисел, но и серьезного исследователя классической индийской музыки и литературы. Он играет на табле[403] и знает поэзию на санскрите. Как и в английском языке, метрическая структура стихов на санскрите определяется различными типами слогов. В англоязычной поэзии мы, как правило, следим за закономерностями в чередовании ударных и безударных слогов, которые называются стихотворными размерами; среди них есть ямб, когда за безударным слогом идет ударный (To BE or NOT to BE), или дактиль, где за ударным слогом следуют два безударных (THIS is the FORest priMEval). В санскритской поэзии[404] ключевое различие проводится между лагху (легким) и гуру (долгим) слогом, при этом гуру вдвое длиннее. Метр (матра-вррта[405]) – это последовательность лагху и гуру, образующих некоторую фиксированную длину. Например, если эта длина равна 2, то есть только два варианта: либо два лагху, либо один гуру.

В английском языке существует четыре способа сложить два слога: безударный – ударный (ямб), ударный – безударный (хорей), ударный – ударный (спондей[406]) или безударный – безударный, который, как я только что выяснил, называется пиррихий[407].

Если у вас три слога, то каждый из этих четырех вариантов порождает еще два: например, после хореической стопы может следовать безударный слог, что дает дактиль, а может ударный, что дает редко используемый размер под названием амфимакр. (Вероятно, самым известным примером его применения в современном американском стихосложении является слоган пива Bud Dry: Why ask why? Try Bud Dry[408].) Итак, существует восемь вариантов для трехсложного размера стиха, шестнадцать для четырехсложного, тридцать два для пятисложного и так далее.

В санскрите все гораздо запутаннее. Если три различных метра длины 3:

лагху лагху лагху;

лагху гуру;

гуру лагху;

и пять метров длины 4:

лагху лагху лагху лагху;

лагху гуру лагху;

гуру лагху лагху;

лагху лагху гуру;

гуру гуру.

Та же самая задача в музыкальных терминах: сколькими способами можно объединить половины и четверти ноты, чтобы получить целую ноту?

Сколько вариантов получится, когда длина матра-вррта равна 5? Подсказкой будет тот порядок, в котором написаны варианты выше. Такой метр может оканчиваться лагху (это значит, что этому предшествует метр длины 4, а таких метров пять) либо гуру (это значит, что перед этим находится метр длины 3, а таких метров три). Всего 5 + 3 = 8 вариантов, сумма двух предыдущих членов. И мы вернулись к последовательности Фибоначчи, или, как любит ее называть Бхаргава, последовательности Вираханки – в честь выдающегося индийского ученого, знатока литературы, религии и математики, впервые нашедшего эти числа (за пять столетий до того, как Фибоначчи задумался над своими кроликами).

ЗАКОНЫ СОБЫТИЙ

В SIR-модели мы отошли от строгой геометрической прогрессии, но не от философии, что все, что происходит сегодня, произойдет и завтра. Нам просто нужно интерпретировать это несколько шире. В арифметической прогрессии ежедневное увеличение одинаково, в геометрической – разное, но оно одно и то же, если считать его в долях от сегодняшнего числа. Правило расчета ежедневного прироста завтра будет таким же, как сегодня. Согласно нашей модели, завтра случится то, что наша гудящая машина произведет из того, что случилось сегодня. Скорость роста может разниться день ото дня, но машина всегда одна и та же.

Такой взгляд на вещи делает нас наследниками и преемниками Исаака Ньютона. Его первый закон утверждает, что тело продолжит двигаться с той же скоростью и в том же направлении, если к нему не будет приложена какая-нибудь сила. Завтра движение будет таким же, как и сегодня.

Однако большинство интересующих нас объектов не двигаются сквозь не дающий трения вакуум по вечной неизменной линии. Подбросьте вертикально теннисный мяч, он пролетит какое-то расстояние, достигнет максимальной точки и начнет опускаться, как наш график инфицирования. Это приводит нас ко второму закону Ньютона, описывающему поведение тел при приложении к ним какой-нибудь силы, например гравитации.

С доньютоновской точки зрения поведение теннисного мяча постоянно меняется. Однако характер этих изменений один и тот же! Если вы подбросили мяч вертикально, его вертикальная скорость через секунду будет на 9,8 м/с меньше. Для движения вниз все наоборот: через секунду скорость мяча в том же направлении будет на 9,8 м/с больше, чем сейчас.

Если вам нужен более единообразный способ это сказать, то можете (и должны!) думать о движении вниз со скоростью 20 м/с как о движении вверх со скоростью –20 м/с. Соответственно, если мяч падает и сейчас его скорость – 20 м/с, то через секунду его скорость будет – 29,8 м/c. Это поначалу путает людей при столкновении с отрицательными числами: когда вы уменьшаете отрицательное число, оно каким-то образом становится больше!

Разница между скоростью сейчас и скоростью через секунду – всегда 9,8 м/с, потому что сила, действующая на теннисный мяч, всегда одна и та же: тяготение Земли. Это еще одно разностное уравнение! Скорость мяча не постоянна в разные секунды времени, но разностное уравнение, предсказывающее будущее поведение скорости, остается тем же[409]. Подбросьте мяч на Венере – и получите другое разностное уравнение[410], но суть останется прежней. Что происходит сейчас, произойдет и через секунду.

Если вы, конечно, не ударите по мячу! Подобные модели предсказывают поведение системы в фиксированных условиях. Встряска или даже легкое вмешательство (например, атмосферы) меняют эти условия, и, соответственно, меняется и прогноз. Реальные системы подвержены множеству всевозможных вмешательств. Во время пандемии мы не пускаем все на самотек, а предпринимаем какие-то шаги! Однако это не делает модели бесполезными. Если мы хотим знать, что произойдет с теннисным мячом после удара, то должны иметь четкое представление, как он двигается под действием одной только силы тяжести. Модели заболеваний не предскажут будущее, поскольку не знают наших возможных действий. Однако они определенно помогут решить, что и когда нам следует делать.

ВСЕ ТОЧКИ КРИТИЧНЫ

Данные о COVID-19 поступают к нам ежедневно, а не ежечасно или ежеминутно. Но местоположение брошенного мяча можно измерять в гораздо более мелких временных масштабах, чем секунда. Мы могли бы спросить, как меняется скорость мяча каждые полсекунды, или каждую десятую долю секунды, или каждую пикосекунду; в максимально честолюбивом случае мы могли бы захотеть описать мгновенную скорость, с которой меняется скорость движения мяча, то есть скорость изменения скорости. Ньютон с этим справился. Суть его теории флюксий, которую мы сейчас называем дифференциальным исчислением, – разобраться в подобных вопросах. Мы не станем вдаваться в подробности, а скажем лишь то, что если в разностном уравнении сделать промежутки бесконечно малыми, чтобы адекватно описывать непрерывные изменения, то уравнение будет называться дифференциальным. Любая физическая система, эволюцию которой во времени можно описать в терминах ее текущего состояния, регулируется каким-то дифференциальным уравнением. Теннисные мячи на Венере; вода, протекающая по трубам; распространяющееся по металлическому стержню тепло; спутники, вращающиеся вокруг планет, вращающихся вокруг Солнца, – у всех есть собственное дифференциальное уравнение. Некоторые из них легко решить в явном виде, некоторые – трудно, большинство – невозможно.

Язык дифференциальных уравнений – вот что использовали в своих моделях Росс, Хадсон, Кермак и Маккендрик. Росс уехал из Сент-Луиса до того, как Анри Пуанкаре прочитал свою лекцию в последний день работы выставки 1904 года, а если бы остался, то, возможно, получил бы фору в целых десять лет для своих исследований эпидемий. Пуанкаре говорил аудитории:

Что древние подразумевали под законом?[411] Для них он был некоей внутренней гармонией, статической и незыблемой; или же моделью, которой природа старалась подражать. Для нас закон – уже совсем иное, это постоянная связь между сегодняшним и завтрашним явлением; одним словом, это дифференциальное уравнение.

Дифференциальные уравнения, которые Росс и Хадсон применяли к пандемиям, обладают критической точкой; существует пороговый уровень иммунитета – та точка коллективного иммунитета, которая разделяет два совершенно разных вида поведения. Болезнь в популяции с иммунитетом ниже этого уровня будет распространяться экспоненциально (по крайней мере, поначалу). Однако в том случае, когда иммунитет населения выше этой точки, заболевание идет на спад. Динамика двух тел в космосе подчиняется той же простой дихотомии: они либо вращаются друг вокруг друга по эллипсу, либо разлетаются по гиперболе. Однако переход от двух тел к трем порождает фантастический диапазон новых динамических возможностей. Как раз с этими дифференциальными уравнениями боролся Пуанкаре, решая задачу трех тел, сделавшую его известным. Сложное поведение, описанное Пуанкаре, стало началом новой области – теории хаоса. Когда царит хаос, малейшее возмущение текущего состояния может привести к принципиально иному будущему. Каждая точка – критическая.

Пуанкаре уже знал то, что Россу еще только предстояло изучить: дифференциальные уравнения были естественным языком для любых попыток создать что-то вроде ньютоновской физики болезней или – если учесть амбиции Росса – физики всех событий. События завтрашнего дня зависят от сегодняшних.

Глава 11. Этот ужасный закон увеличения

Совет экономических консультантов (CEA) при президенте США 5 мая 2020 года опубликовал диаграмму, отображающую количество смертей от COVID-19 на начало мая 2020 года, а также несколько потенциально возможных кривых, которые примерно соответствуют таким данным.

Одна из этих кривых, названная на диаграмме кубической аппроксимацией, представляла позицию крайнего оптимизма, показывая, что смертность от COVID-19 упадет практически до нуля за две недели. Эту кривую откровенно высмеяли, особенно после того, как выяснилось, что она исходит от советника Белого дома Кевина Хассетта. Ранее Хассетт больше всего прославился как соавтор книги Dow 36,000: The New Strategy for Profiting from the Coming Rise in the Stock Market («Доу 36 000: новая стратегия заработка на предстоящем росте фондового рынка»), опубликованной в октябре 1999 года. В ней утверждалось, что, исходя из прошлых тенденций, на фондовом рынке ожидается колоссальный рост цен. Сейчас мы знаем, что произошло с людьми, поспешившими вложить свои сбережения в компанию Pets.com. Подъем остановился вскоре после выхода книги Хассетта, а затем рынок начал падать; и только через пять лет индекс Доу – Джонса вернулся к максимуму 1999 года.

Кривая кубической аппроксимации была аналогичным завышенным обещанием. Смертность в США в мае и июне упала, но болезнь не исчезла.

С математической точки зрения в этой истории интересно не то, что Хассетт ошибся, а то, в чем именно состояла ошибка. Понять это – единственный способ овладеть умением избегать таких ошибок в будущем (помимо ограниченной в применения стратегии «не верьте Кевину Хассетту»). Чтобы выяснить, что неладно с кубической аппроксимацией, давайте обратимся к вспышке чумы крупного рогатого скота в Британии в 1865–1866 годах.

Это вирусное заболевание коров (точнее, считалось таковым до 2011 года, когда было полностью искоренено в результате многолетней кампании[412]), которому подвержены также буйволы, жирафы и другие парнокопытные. Болезнь зародилась в Центральной Азии, вероятно еще до документированной истории, и разнесена по миру гуннами и монголами. Некоторые полагают, что это пятая библейская казнь, от которой пострадали упрямые египтяне. Примерно в середине Средних веков[413] какая-то разновидность этого вируса преодолела межвидовой барьер и распространилась среди людей, ее мы сейчас называем корью. Как и корь, чума крупного рогатого скота крайне заразна, а это означает, что она может очень быстро распространиться в популяции. Партия зараженного скота прибыла в порт Халл в восточном Йоркшире 19 мая 1865 года[414]. К концу октября[415] заболело почти двадцать тысяч коров. Роберт Лоу, член парламента, а впоследствии канцлер казначейства и министр внутренних дел, предупреждал палату общин словами, которые звучат неприятно знакомо в 2020 году: «Если мы не справимся с заболеванием к середине апреля, приготовьтесь к бедствиям, выходящим за рамки любых расчетов. Вы смотрите на ситуацию в зачаточном состоянии. Подождите – и увидите, как тысячи станут десятками тысяч, поскольку нет причин, по которым ужасный закон увеличения, работавший до сих пор, не должен работать и впредь». (Лоу был знаком с математикой и разбирался в геометрической прогрессии).

С ним не согласился Уильям Фарр – ведущий британский врач середины XIX века, создатель управления демографической статистики в стране и сторонник реформ здравоохранения в густонаселенных городах. Если вы слышали это имя, то, вероятно, в связи с одним выдающимся успехом ранней эпидемиологии, когда Джон Сноу обнаружил источник лондонской вспышки холеры в 1854 году – водозаборную колонку на Брод-стрит. Правда, Фарр представлял[416] ошибавшуюся сторону этого спора – традиционную точку зрения британских медиков, что холера распространяется не живыми организмами, а забродившими миазмами от грязных вод Темзы.

Именно Фарр в 1866 году выступил против общепринятого мнения. Он написал письмо в лондонскую газету Daily News, настаивая на том, что чума крупного рогатого скота не только не угрожает уничтожить все его поголовье, но и вот-вот начнет исчезать сама. Фарр писал: «Никто не умеет высказать предложение яснее мистера Лоу, однако ясность предложения – это еще не доказательство его истинности… Математическая демонстрация допускает, что закон увеличения, который действовал до сих пор, влечет не то, что “тысячи станут десятками тысяч”, а обратное: это заставляет нас ожидать, что в марте начнется спад». Фарр сделал численные прогнозы на ближайшие пять месяцев – с точностью до одной коровы. К апрелю, по его словам, число случаев чумы должно снизиться до 5226, а к июню – всего до 16.

Парламент проигнорировал заявление Фарра, а медицинские круги отвергли его. Медицинский журнал British Medical Journal опубликовал короткий пренебрежительный ответ: «Мы рискнем сказать[417], что доктор Фарр не найдет ни одного исторического факта для подтверждения своего вывода о том, что через девять или десять месяцев болезнь может незаметно сойти на нет: может пройти по естественной кривой».

Они рискнули зря! На этот раз Фарр оказался прав. Как он и предсказал, количество случаев заболевания снизилось весной и летом, а к концу года вспышка была ликвидирована.

Фарр свел свою математическую демонстрацию к краткой сноске, правильно предположив, что читатели Daily News предпочтут не видеть голые формулы. Нам незачем быть такими осторожными. Но чтобы увидеть, что делал Фарр, мы должны вернуться к началу его карьеры. Летом 1840 года он подал руководителю службы регистрации актов гражданского состояния отчет с указанием причин и распределения 342 529 известных смертей, которые произошли в Англии и Уэльсе в 1838 году. Он убедительно хвастался, что «это более обширные сведения[418], чем когда-либо публиковавшиеся в этой или любой другой стране». Среди прочего он фиксировал смерти от рака, тифа, белой горячки, родов, голода, старости, самоубийства, апоплексического удара, подагры, водянки и чего-то с ужасающим названием «гельминтозная лихорадка доктора Масгрейва».

Фарр особо отмечает, что уровень заболеваемости туберкулезом (тогда его именовали чахоткой) у женщин выше, чем у мужчин, – как он полагает, по причине ношения корсета. Здесь перечисление статистических данных сменяется страстным призывом к реформам: «31 090 английских женщин умерли за год от этой неизлечимой болезни! Разве этот впечатляющий факт не побудит высокопоставленных и влиятельных лиц вывести своих соотечественниц из заблуждения и заставить их отказаться от практики, которая уродует тело, сдавливает грудную клетку, вызывает нервные и другие расстройства и, без сомнения, способствует появлению в теле неизлечимой чахоточной болезни? Девушки нуждаются в искусственных костях и бандажах не больше, чем юноши». (Фарр здесь не раскрывает, во всяком случае напрямую, что тремя годами ранее от туберкулеза умерла его жена.)

Этот отчет сегодня известен в основном из-за заключительного раздела, касающегося эпидемии оспы 1838 года; именно в нем Фарр впервые обращается к развитию эпидемий, которые, по его словам, «внезапно поднимаются[419], как туман с земли, и обрушивают опустошение на народы, чтобы исчезнуть так же быстро и неощутимо, как и появились». Цель Фарра как статистика – придать какой-то числовой смысл этим неосязаемым вещам, пусть даже истинные причины заболевания и неизвестны. (В одной сноске он упоминает теорию, что эпидемии вызывают «крошечные насекомые[420], передающиеся от одной особи к другой через атмосферу», однако отвергает эту гипотезу на том основании, что лучшие микроскописты того времени не наблюдали таких «анималькулюсов».)

Фарр ежемесячно записывал количество смертей от оспы, пока эпидемия не пошла на спад. Числа выглядели примерно так:

4365, 4087, 3767, 3416, 2743, 2019, 1632.

Фарр предположил, что это снижение, как и многие другие природные процессы, будет происходить по закону геометрической прогрессии, когда отношение двух соседних членов остается постоянным. Первое отношение 4365 / 4087 = 1,068. Однако второе немного отличается: 4087 / 3767 = 1,085. Последовательность отношений выглядит так:

1,068, 1,085, 1,103, 1,245, 1,359, 1,237.

Это явно не одно и то же: числа даже не близки. Похоже, они растут (по крайней мере, до последнего члена), а это нарушает предполагаемый закон. Однако Фарр не был готов сдаться и отказаться от охоты за геометрической прогрессией. Что, если сами эти отношения (упорно непостоянные) растут геометрически? Это уже в каком-то смысле метауровень, поскольку мы спрашиваем, всегда ли одинаковы отношения отношений. Так ли это? Мы начинаем с 1,085 / 1,068 = 1,016 и получаем далее такой ряд:

1,016, 1,017, 1,129, 1,092, 0,910.

Честно скажу, что эта последовательность не кажется мне постоянной, но в то же время в ней нет явного убывания или возрастания, и для Фарра этого было достаточно. Чуть-чуть изменив ее, он смог построить последовательность:

4364, 4147, 3767, 3272, 2716, 2156, 1635,

которая вполне соответствовала данным о смертности от оспы, а отношения отношений в ней действительно были одинаковыми – 1,046. (Не кажется ли вам, что немножко корректировать числа подозрительно? На самом деле нет. Реальные данные запутанны и редко следуют – а когда дело касается людей, то я бы сказал «никогда» – какой-то определенной математической кривой с точностью до n-го знака.) И Фарр утверждал, что это правило 1,046 соответствует реальным данным достаточно хорошо для того, чтобы называться законом эпидемии.

Эта кривая показывает модель Фарра для эпидемии оспы, а точки – фактическое количество смертей для каждого месяца; построенная им плавная линия достаточно хорошо соответствует реальным данным.

Наверное, вы уже предположили, что должен был сделать Фарр с данными по чуме крупного рогатого скота. Однако, скорее всего, вы ошибаетесь! У Фарра были данные для первых четырех месяцев вспышки:

октябрь 1865: 9597;

ноябрь 1865: 18 817;

декабрь 1865: 33 835;

январь 1866: 47 191.

Он определил, что отношение между числом случаев заболевания для соседних месяцев равно 1,961, 1,798 и 1,395. Если бы это был «ужасный закон увеличения», о котором Лоу предупреждал парламент, то все эти числа были бы одинаковыми. На самом же деле они уменьшались, и это говорило Фарру о наличии некоторого ослабления. Тогда он взял отношения отношений:

1,961 / 1,798 = 1,091,

1,798 / 1,395 = 1,289,

но на этом не остановился. Эти отношения отношений не походили на константу: второе было заметно больше первого. Поэтому он нашел отношение отношений отношений:

1,289 / 1,091 = 1,182.

Единственное число 1,182 однозначно является постоянной последовательностью, поскольку тут всего одно число. И, как всегда уверенный в себе, Фарр заявил, что оно должно быть законом, который управляет всем: это отношение отношений отношений должно определять весь ход эпидемии чумы. Поскольку последнее отношение отношений равнялось 1,289, то следующее должно быть 1,289 × 1,182 ≈ 1,524. Это означает, что следующим в убывающей последовательности отношений после 1,961, 1,798, 1,395 будет число 1,395 / 1,524 ≈ 0,915. Другими словами, болезнь пойдет на убыль! Фарр пришел к выводу, что в феврале произойдет 0,915 × 47 191, то есть примерно 43 000 новых случаев.

Разрешаю вам ощутить некоторую щекотливость в рассуждениях Фарра. Почему он решил, что отношение отношений отношений останется в будущем постоянным числом 1,182? Я не берусь утверждать, что такое утверждение оправданно, но у него есть определенная логика. Позвольте мне начать с объяснения того, как я выиграл местное шоу талантов.

ВЕЛИКИЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬ КОРНЕЙ

Каждый год в январе, в разгар студеной висконсинской зимы, в нашем районе проводится шоу талантов. Дети играют на скрипке, родители разыгрывают дурацкие скетчи. Я вычислял в уме квадратные корни, выступая под именем Великий Вычислитель Корней. И я победил! Трюку с вычислением квадратных корней в уме я научился в колледже. Его социальная полезность оказалась не такой большой, как я ожидал. Но я все равно вас ему научу.

Предположим, вас просят найти квадратный корень из 29. Чтобы трюк сработал, нужно хорошо знать квадраты, потому что у вас должно буквально соскальзывать с языка, что 5 в квадрате – это 25, а 6 в квадрате – 36. Рассмотрим теперь последовательность чисел

√25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36.

Мы знаем только первый и последний из ее двенадцати членов; это 5 и 6. Нам нужно найти пятый член.

Предположим, что это арифметическая прогрессия. Хотя это не так, но давайте допустим. Великий Вычислитель Корней вам разрешает. Мы за 11 шагов переходим от 5 к 6; если все шаги одинаковы, то каждый шаг равен 1/11. Поэтому √29, который находится через четыре шага от 5, должен быть 5^4/11. О, я не забыл упомянуть, что еще нужно немножко уметь делить в уме? Возможно, вы знаете, что 1/11 – это примерно 0,09, так что 4/11 – это приблизительно 0,36; или вы можете прикинуть, что число 5^4/11 немного меньше, чем число 5^4/10, которое равно 5,4. В любом случае вы говорите: «Это где-то 5,3 с хвостиком, вероятно почти 5,4»[421]. (Истинное значение – примерно 5,385.)

Надеюсь, вы заметили принципиальное сходство с аргументацией Фарра, хотя мы использовали разности, а не отношения. Мы безосновательно (как и Фарр) решаем, что на самом деле все разности одинаковы, а затем, на основе имеющихся скудных данных, вычисляем разность нашей прогрессии. Это кажется неоправданным. Но ведь как-то работает!

Справедливо задаться вопросом: зачем я стал это делать (если не считать моей внутренней потребности превзойти соседского ребенка, который научился играть песню Free Fallin’)? Неужели я не мог просто нажать кнопку квадратного корня на своем калькуляторе? Мог. Но Уильям Фарр не мог. И астрономы VII века тоже не могли. Вот как далеко в прошлое уходит эта идея. Чтобы следить за движениями небесных тел, нужны значения тригонометрических функций; эти значения сохранялись в огромных таблицах, составленных с колоссальными затратами сил и времени. Для этих таблиц требовалась более высокая точность, чем может обеспечить мой фокус с квадратными корнями. Примерно в 600 году[422] возникла одна новая идея – у астронома и математика Брахмагупты из индийской исторической области Гурджарадеша и китайского астронома и создателя календаря Лю Чжо, жившего во времена династии Суй.

Нам незачем вдаваться в детали календаря империи, поэтому я для объяснения их метода ограничусь примером с квадратным корнем. С точки зрения арифметики это самая суровая часть во всей теме, так что предполагается, что вы не сможете проделывать это в уме на вечеринке в колледже, попивая пивко.

Чтобы применить подход Брахмагупты – Лю, понадобятся три квадратных корня, а не два: например: √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6. От √16 до √36, то есть от 4 до 6 – двадцать шагов, поэтому если вы последуете рецепту Великого Вычислителя и предположите, что корни будут образовывать арифметическую прогрессию, то расстояние между ее членами будет 2/20. Я говорил вам, что это не совсем так, и вот доказательство: если бы эта последовательность была арифметической прогрессией, то √25 (девять шагов от √16) был бы 4,9, а он на самом деле равен 5.

Вот способ поправить дело. Только что мы убедились: нельзя настаивать на том, что квадратные корни образуют арифметическую прогрессию, если у нас есть какие-то три числа; иными словами, мы не можем считать все получающиеся разности одинаковыми.

Следующее предположение: пусть тогда эти разности сами образуют арифметическую прогрессию, то есть чтобы одинаковыми были разности между разностями! Но это в точности идея Фарра об отношениях отношений.

√16, √17, √18, √19, √20, √21, √22, √23, √24, √25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36

????????????????????

Итак, чтобы это сработало, нам нужна во второй строке арифметическая прогрессия из двадцати чисел, сумма которых равна 2 (она будет убывать, потому что расстояния между корнями становятся все меньше и меньше); однако при этом сумма первых девяти чисел должна составлять 1, потому что они ведут от √16 = 4 до √25 = 5. Оказывается, существует всего одна подходящая прогрессия. Вот удобный способ ее найти.

Поскольку первые девять членов в сумме дают 1, то их среднее равно 1/9. Однако среднее в арифметической прогрессии с нечетным числом членов – это ее средний член, в нашем случае пятый, поэтому он равен 1/9.

С другой стороны, сумма последних одиннадцати членов тоже равна 1, поэтому их среднее составляет 1/11. Значит, их средний член (то есть пятнадцатый во всей последовательности) равен 1/11.

√16, √17, √18, √19, √20, √21, √22, √23, √24, √25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36

???? 1/9????????? 1/11?????

И этого достаточно, чтобы восстановить всю прогрессию! От пятого члена до пятнадцатого – десять шагов, и при этом нам надо преодолеть расстояние от 1/9 до 1/11, то есть 2/99. Следовательно, каждый шаг равен 2/990. Это означает, что первая разность, которая на четыре шага больше, чем 1/9, равна 1/9 + 8/990 = 118/990, а последняя, которая на пять шагов меньше, чем 1/11, составляет 1/11 – 10/990 = 80/990[423].

√16, √17 ………………………………………. √35, √36

118/990 ………………………………. 80/990

………..1/9 …………………..1/11 ……….

Так чему же равен √29 в соответствии с последними достижениями астрономии VII века? Чтобы дойти от √16 до √29, нужно сложить первые тринадцать разностей:

118/990 + 116/990 + 114/990 + … + 94/990

и добавить их к 4. Вы получите 4 + 1378/990, то есть примерно 5,392. Это приблизительно втрое точнее нашей первой оценки 5^4/11.

Метод последовательных разностей попал из Индии в арабский мир, а затем несколько раз был переоткрыт в Англии, в первую очередь Генри Бригсом. В 1624 году он опубликовал работу «Арифметика логарифмов» – таблицы логарифмов для тридцати тысяч чисел с точностью до четырнадцати знаков. (Бригс был первым профессором геометрии в Грешем-колледже – та самая должность, которую позже занимал Карл Пирсон, знакомивший своих слушателей со статистикой.) Как и многое другое в европейской математике XVII века, этот метод был формализован и усовершенствован Ньютоном, так что в итоге мы его называем интерполяционным методом Ньютона. В сочинениях Фарра нет никаких свидетельств, что он знал что-нибудь об этой истории. Хорошие идеи в математике часто возникают естественным образом, когда реальные проблемы мира создают потребность в их появлении.

Работа Бригса не исчерпала проблему логарифмов. Таблицы – вещь конечная, и всегда может оказаться, что вам нужен логарифм какого-то числа, лежащего между числами, включенными в «Арифметику логарифмов». Гениальность метода разностей состоит в том, что он позволяет получать оценки для весьма сложных функций, например косинусов и логарифмов, используя только операции сложения, вычитания, умножения и деления, поэтому при необходимости вы всегда можете заполнить пробелы между числами, указанными в книге. Однако, как демонстрирует пример с квадратными корнями, вам придется много складывать, вычитать, умножать и делить – и это при том, что вы изучаете всего лишь разности разностей! Чтобы получить еще лучшее приближение, вам могут понадобиться разности разностей разностей или даже разности этих тройных разностей, а то и дальше, пока у вас не закружится голова.

Вам не захочется делать это вручную. Возможно, вам понадобится какой-то механический вычислитель, который будет считать эти разности вместо вас. Это приводит нас к Чарльзу Бэббиджу, который был очарован автоматами с самого детства, когда «человек, назвавший себя Мерлином»[424] позволил мальчику войти к себе в мастерскую и показал свое самое гениальное механическое творение. Позже Бэббидж вспоминал: «Восхитительная танцовщица[425] с птицей на указательном пальце правой руки, которая вертела хвостом, хлопала крыльями, открывала клюв. Эта дама принимала удивительно очаровательные позы. Ее глаза были полны воображения и совершенно неотразимы».

В 1813 году Бэббиджу исполнился 21 год и он изучал математику в Кембридже. Вместе со своим другом Джоном Гершелем (который превзошел Бэббиджа в исследованиях и позднее изобрел цианотипию, которая стала использоваться для получения светокопий) он основал математическое общество – своеобразную пародию на множество студенческих обществ, горячо споривших о правильном толковании Писания. Задачей их общества было возвысить систему математических обозначений Лейбница над системой, которой пользовался местный герой – Ньютон. Это аналитическое общество быстро переросло свое сатирическое происхождение и превратилось в настоящий интеллектуальный салон, нацеленный на перенос новых идей из Франции и Германии в страну, которая после Ньютона стала чем-то вроде математического захолустья.

«Однажды вечером[426], – вспоминает Бэббидж в мемуарах, – я сидел в комнатах аналитического общества в Кембридже, склонив голову в каком-то мечтательном настроении над лежавшей передо мной открытой таблицей логарифмов. Другой член общества, войдя в комнату и увидев полусонного меня, воскликнул: “Бэббидж, о чем грезишь?” – на что я ответил: “О том, что все эти таблицы (указав на логарифмы) могут вычислять машины”».

Бэббидж, как и его вдохновитель Мерлин, быстро превратил мечту в медь и дерево. Его машина, которую теперь считают первым механическим компьютером, умела вычислять логарифмы с помощью метода разностей, поэтому он и назвал ее «Разностной машиной».

Существует одно огромное различие между работой Великого Вычислителя Корней и работой Фарра. Когда мы оценивали квадратные корни, мы находили значения, лежащие между уже известными нам корнями, – такой процесс называется интерполяцией. Фарр, используя известные данные по числу больных коров, пытался экстраполировать – оценивать значение функции в будущем, за пределами диапазона имеющихся данных. Экстраполяция сложна и имеет много подводных камней[427]. Представьте, что произойдет, если с помощью нашего вечериночного трюка мы возьмемся оценивать корень из 49, то есть из числа, которое больше тех двух чисел, что мы использовали в качестве исходных данных. Как вы помните, наша приближенная оценка состояла в том, что корень увеличивается на 1/11 каждый раз, когда число растет на 1. Поскольку 49 превосходит 25 на 24, то корень из него должен быть на 24/11 больше, чем 5, или примерно 7,18. Истинное значение равно 7. А как насчет 100? Оно больше 25 на 75, так что корень из 100 должен быть 5 + 75/11 ≈ 11,82. Настоящее значение 10. Теперь этот трюк плохо пахнет!

Вот в чем опасность экстраполяции. Она становится менее надежной, когда вы отходите от известных данных, на которых строятся ваши разности. И чем глубже вы погружаетесь в разности разностей разностей, тем страннее становятся экстраполяции.

Именно это произошло с Кевином Хассеттом. Хотя он не изучал эпидемиологию XIX века, использованный им метод «кубической экстраполяции» основывался на том же эвристическом рассуждении[428], которое применял Уильям Фарр для моделирования чумы. Его модель предполагала, что отношение между отношениями между отношениями последовательных данных останется постоянным на протяжении всей эпидемии. (Вам не нужно читать старинные статьи по истории медицины для реализации этой стратегии, сегодня достаточно нажать несколько клавиш в Excel.) Кривая Хассетта примерно соответствовала ходу эпидемии в прошлом – смертность от COVID-19 в США действительно достигла пика как минимум в краткосрочной перспективе, – однако он существенно ошибался относительно устойчивости эпидемии при экстраполяции этих данных на будущее.

Наивная экстраполяция может также увести вас далеко от истины в пессимистическом направлении. Джастин Вольферс, экономист из Мичиганского университета, назвавший модель Хассетта ПОЛНЫМ БЕЗУМИЕМ (прописные буквы его), всего месяцем ранее писал: «Спроецируйте кривую для США всего на 7 дней, и у вас в общей сложности получится 10 000 смертей. Сдвиньтесь еще на неделю – и у вас будет 10 000 смертей в день»[429]. Вольферс экстраполировал еще более простым методом, чем Хассетт, прогнозируя смертность с помощью обычной геометрической прогрессии. И результаты показывают, насколько быстро экстраполяция может отказать. В США действительно умерло 10 000 человек через неделю после прогноза Вольферса, однако после следующей недели уровень смертности достиг весеннего пика в 2000 смертей в день, что в пять раз меньше числа, полученного Вольферсом путем слепой экстраполяции.

«…НО НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫ»

Когда я объяснял доводы Фарра своему сыну-подростку, тот спросил: «Папа, а почему Фарр не подождал конца февраля, который все равно уже наполовину прошел, и не получил еще одну точку данных? Тогда у него было бы два отношения отношений отношений вместо одного и, соответственно, более прочная основа для подтверждения его величины 1,182 в качестве закона увеличения».

Хороший вопрос, сын! Лучшее объяснение, что мне приходит в голову, – выбор Фарра был победой чувств над разумом. Фарр полагал, что цифры следующего месяца покажут пик эпидемии, и, будучи гордым человеком, хотел предсказать этот пик до того, как он наступит, а не после.

Оказалось, что его прогноз был преждевременным: число новых случаев в феврале превысило 57 000, что по-прежнему превосходило данные предыдущего месяца (47 191). Если бы он дождался новых сведений, то обнаружил бы, что последнее отношение 57 000 / 47 191 = 1,208, последнее отношение отношений 1,395 / 1,208 = 1,155, а последнее отношение отношений отношений 1,155 / 1,289 = 0,896. Пошел бы он дальше, обнаружив такое расхождение, и стал бы вычислять отношение двух отношений отношений отношений? Мы не знаем.

Однако можно с уверенностью сказать, что Фарр понял главное: эпидемия приближается к пику и скоро пойдет на спад. В марте было зафиксировано всего 28 000 новых случаев чумы, а затем заболеваемость продолжила снижаться, хотя и не так быстро, как предсказывал Фарр: его кривая, изображенная на следующем графике, показывает, что болезнь исчезнет к концу июня, хотя на самом деле она продлилась до конца года.

Вы можете видеть на этом примере риски экстраполяции. Расчеты Фарра оправдались в краткосрочной перспективе (скоро ли все изменится?), однако долгосрочный прогноз был гораздо хуже (когда все закончится?).

Почему же исчезла чума крупного рогатого скота? Фарр, по-прежнему не принимая полностью микробную теорию болезней, говорил, что, какое бы ядовитое вещество ни переходило от коровы к корове, с каждым новым животным оно теряло часть своей ядовитости. Это не так: сейчас мы понимаем, как действуют вирусы. Когда British Medical Journal высмеивал письмо Фарра, оспаривались не выводы ученого, а его рассуждения. «Он совершенно забывает принять во внимание[430], – писал анонимный язвительный рецензент, – тот факт, что все убеждены в заразной природе болезни и, соответственно, принимают меры для ее предотвращения». Фарр предсказывал, что чума «исчезнет спонтанно»; и это то, что мы можем сказать наверняка: она действительно исчезла.

О методе Фарра практически забыли на десятилетия, пока в начале XX века Джон Браунли не вернул его в эпидемиологию. Браунли обратил внимание на то, что упустил Фарр: если вы моделируете эпидемию, чтобы отношение отношений было постоянным, как это делал Фарр с оспой, то у вас получается красивая симметричная кривая, которая падает так же быстро, как и поднимается. На самом деле это не что иное, как нормальное распределение, или колоколообразная кривая, играющая центральную роль в теории вероятностей. Люди, которые немного разбираются в математике, относятся к колоколообразной кривой со своего рода фетишистским почтением. Она описывает потрясающее разнообразие природных явлений. Однако распространение и спад эпидемий не входят в их число. Фарр это знал: еще в 1866 году он брал третье отношение вместо второго и предсказывал, что волна чумы будет асимметричной и спадет быстрее, чем поднималась. Браунли тоже признавал, что строгое совпадение с нормальной кривой – это редкость для реальных эпидемий. Тем не менее каким-то образом понятие «закон Фарра» стало означать, что эпидемии следуют примерно симметричной колоколообразной кривой, хотя сам Фарр был достаточно сведущ, чтобы с этим не соглашаться. Я склонен называть его «законом» Фарра, чтобы подчеркнуть, что на самом деле это не закон. Хотя, возможно, лучше было бы назвать его «законом» «Фарра».

Такое жесткое представление порождает опасность плохой экстраполяции. В 1990 году Деннис Брегман и Александр Ленгмюр (легендарный эпидемиолог, предпочитавший практические исследования «в поле», а не чисто лабораторные работы) опубликовали статью под названием «Закон Фарра в применении к прогнозам СПИДа». Ссылаясь на успешный прогноз Фарра в борьбе с чумой крупного рогатого скота, они провели аналогичный анализ статистики СПИДа в Соединенных Штатах. Однако приняли слишком узкую точку зрения, что кривая эпидемии должна быть симметричной и что распространенность СПИДа будет снижаться так же быстро, как увеличивалась. Ученые пришли к выводу, что СПИД уже прошел пик и что в 1995 году в США должно быть зафиксировано всего около 900 случаев заболевания.

На самом деле их было выявлено 69 тысяч.

Это возвращает нас в 2020 год к COVID-19. Многие прогнозы[431] предпочитают рисовать смертность от коронавируса в каждом штате в виде идеально симметричной колоколообразной кривой. Вовсе не потому, что авторы – ее фетишисты; просто они обнаружили, что именно она лучше всего соответствует немногочисленным данным за первые недели вспышки. Для некоторых эпидемий это могло бы сработать. Однако кривая для COVID-19 оказалась стабильно асимметричной, стремительно взлетая в каждом регионе, а затем снижаясь с мучительной медлительностью, оставляя за собой болезни и страх. Эта эпидемия поднимается на лифте, а спускается по лестнице. Если ваш прогноз настаивает на ином, он будет противоречить истине: не надо проталкивать колоколообразную кривую и пытаться подкрутить настройки, когда новые данные будут входить в противоречие с предсказаниями.

Мы здесь сталкиваемся с серьезной проблемой, общей для всех попыток математически спроецировать настоящее в будущее. Сделать прогноз – значит высказать предположение о законе, который управляет интересующей вас переменной. Иногда этот закон прост, как в случае движения теннисного мяча. Он обладает приятной симметрией: время от броска до верхней точки равно тому же количеству времени, которое нужно, чтобы мяч вернулся в вашу руку. Более того, если вы будете аккуратно измерять высоту мяча над землей каждую секунду и запишете последовательно все эти числа, то обнаружите, что разности разностей в этой последовательности будут всегда одинаковыми – на протяжении всей параболической дуги полета мяча. Именно это – характерное свойство параболы, отличающее ее от полуокружности или перевернутой цепной линии, форму которой имеет арка в Сент-Луисе «Ворота Запада»[432]. Если вам повезет, вы сможете обнаружить подобные закономерности, даже не понимая лежащего в их основе механизма; Галилей открыл параболический закон движения тела путем тщательных наблюдений – за десятки лет до того, как Ньютон разработал общую теорию сил и ускорений.

Однако иногда законы не просты! Если диапазон законов, где мы готовы искать, слишком узок – например, если мы настаиваем, что пандемия следует симметричным курсом, когда отношение отношений равно константе, – то мы потерпим неудачу в попытках привязать к реальности наше слишком жесткое правило. Получается недостаточная подгонка данных. То же самое происходит с алгоритмом машинного обучения, когда у него недостаточно ручек или они непригодны.

Это заставляет меня вспомнить о профессоре Роберте Плоте – первом человеке, опубликовавшем рисунок кости динозавра. Выбор возможных объяснений происхождения такой кости у Плота был не слишком широк, чтобы в него попала истина (он наткнулся на часть бедренной кости гигантской рептилии, которую сейчас называют мегалозавром). Натуралист рассматривал вероятность того, что это был какой-то римский слон, заблудившийся и умерший в Корнуолле, однако сравнение с настоящей бедренной костью слона исключило эту версию[433]. Поэтому после некоторых рассуждений ученый счел, что кость принадлежит человеку, вопрос только в том какому. Его ответ: очень высокому человеку[434].

Надо отдать Плоту должное: он имел дело с совершенно новым явлением, и трудно обвинить его в том, что он не сумел распознать то, что видел[435]. Ошибка с подгонкой данных была бы куда более серьезной, если бы Плот счел в своей модели, что все кости в земле принадлежат людям, несмотря на многочисленные примеры найденных нечеловеческих костей. Раскопав скелет какой-нибудь подвязочной змеи, такой палеонтолог мог бы воскликнуть: «О боже! Каким необычайно гибким должен быть этот крошечный человечек!»

Суть модели не в том, чтобы сообщить нам, что общее число смертей от COVID-19 в Соединенных Штатах будет 93 526 (этот прогноз популярная модель Института измерения показателей и оценки здоровья давала 1 апреля), или 60 307 (16 апреля), или 137 184 (8 мая), или 394 693 (15 октября), и не в том, чтобы указать точно день и час, когда процент заполненных больничных коек достигнет максимума. Для работы такого рода нужны прорицатели, а не математики. Однако модели от этого не становятся бесполезными. Зейнеп Туфекчи (социолог, а не математик и не создатель моделей) выразила это в статье с совершенно правильным названием «Модели коронавируса не должны быть верны»[436]. Более полезная цель моделей – дать широкие качественные оценки поведения пандемии в данный момент: она нарастает, выходит из-под контроля? Распространяется, но выходит на плато? Сходит на нет? Как раз с этой задачей Кевин Хассетт и его кубическая модель не справились.

Мы во многом похожи на AlphaGo. Эта программа изучает приблизительный закон, который присваивает определенное количество баллов каждой позиции на доске, но число не говорит нам в лоб, какая это позиция – В, Н или П: такое действие выходит за рамки возможностей любой вычислительной машины, независимо от того, реализована она в железе или находится внутри нашего черепа. Однако задача программы не в том, чтобы выдать абсолютно правильный ответ, а в том, чтобы дать нам совет, какой из возможных путей с наибольшей вероятностью приведет нас в итоге к победе.

Моделирование пандемии сложнее, чем ситуация с AlphaGo, как минимум по одной причине: на протяжении всей партии в го правила игры не меняются, а при создании модели для эпидемии вы основываетесь на определенных фактах – кто, кому и когда передает инфекцию. Однако эти факты могут внезапно измениться из-за массовых действий людей или вследствие какого-то постановления правительства. Вы можете использовать физику для моделирования полета теннисного мяча, а теннисисты достаточно высокого уровня быстро и бессознательно рассчитывают в этой модели, куда полетит мяч при определенном ударе. Однако физика не поможет вам предсказать, чем окончится длинный матч, поскольку она не учитывает человеческий фактор. Моделирование реальности – всегда маневрирование между предсказуемой динамикой и нашими непредсказуемыми реакциями.

В новостях я видел фотографию одного протестующего[437] в Миннесоте, разгневанного указом губернатора оставаться дома с целью ограничения передачи вируса. Видимо, он еще не осознал серьезности угрозы COVID-19, поэтому и нес плакаты с надписями: «Прекратите закрывать» и «Все модели неправильны». Он частично позаимствовал (думаю, не специально) знаменитый афоризм британского статистика Джорджа Бокса, который подходит для ситуации с COVID-19 как нельзя лучше. Он гласит: «Все модели неправильны, но некоторые полезны».

ПОДБОР КРИВОЙ И ОБРАТНАЯ РАЗРАБОТКА

Есть два способа предсказать будущее. Вы можете попытаться выяснить, как устроен мир, и, исходя из этого понимания, сделать хорошие предположения о его дальнейшем развитии. А можете… этого не делать.

Рональд Росс очень четко проводит это различие, отделяя себя от предшественников, чье место намерен занять (например, Фарра). Росс ориентируется на первый подход, который мы могли бы назвать «инженерным анализом»[438]: начать с известных ему фактов о распространении болезни и оттуда обосновывать свой путь к дифференциальным уравнениям, которым с необходимостью должна удовлетворять кривая эпидемии. Уильям Фарр находился в противоположном лагере. Он занимался не инженерным анализом, а подбором (подгонкой) кривой, состоящим в поиске закономерностей в прошлом, предположении, что они сохранятся в будущем, при этом не особо беспокоясь почему. Что случилось сегодня, случится и завтра. Таким способом вы можете делать прогнозы, не заглядывая и даже не пытаясь понять, что происходит внутри системы. И ваши прогнозы могут даже оказаться правильными!

Большинство ученых испытывают естественную симпатию к Россу и людям, занимающимся инженерным анализом. Ученые любят понимать то, что происходит. Так что вот вам небольшой холодный душ: метод подгонки кривых переживает возрождение благодаря прогрессу в машинном обучении.

Возможно, вы заметили, что Google сейчас довольно хорошо переводит документы с одного языка на другой. Не идеально, конечно, как сделал бы человек, но с качеством, которое еще несколько десятилетий назад казалось фантастическим. Улучшается и интеллектуальный (предиктивный) ввод текста: вы набираете буквы, а машина опережает вас и предлагает одним нажатием клавиши вставить слово или фразу, которые (по ее мнению) вы собираетесь набрать дальше. И довольно часто машина оказывается права. (Когда машина правильно угадывает, что я собрался сказать, я из гордости или вредности меняю свою фразу, а когда ничего не остается, кроме как признать правильность модели, сам набираю слово буква за буквой, как положено. Честно говоря, не знаю, что я пытаюсь ей доказать?!)

Если бы вы спросили Рональда Росса, как работает такой метод, он мог бы сказать нечто вроде: мы многое знаем о внутренней структуре предложений (с определенного возраста некоторые даже умеют рисовать их схему) и значениях слов, которые зафиксированы в словарях. С учетом этой информации носитель языка вполне может понимать механизм предложения в достаточной степени, чтобы догадаться, что когда я набираю: «Надеюсь, мы сможем встретиться на следующей неделе за…» – то следующим словом, вероятно, будет не глагол, а какое-то существительное, подходящее по смыслу: «обедом» или «кофе», но не «имуществом», «репой» или «COVID».

Однако языковая машина Google работает совершенно иначе. Она больше похожа на Фарра. Google видел миллиарды фраз – достаточно, чтобы вычленить какие-то статистические закономерности, которые определяют, какие словосочетания могут быть осмысленными предложениями, а какие – нет. Кроме того, машина может оценить, какие фразы среди осмысленных встречаются чаще всего. Фарр смотрел на предыдущую эпидемию, Google просматривает старые электронные письма. Множество людей и до вас не раз говорили: «Надеюсь, мы сможем встретиться на следующей неделе за…» – и большинство из них продолжали фразу словом «обедом» или «кофе». Никто не объясняет машине, что такое существительное и глагол или что такое репа и обед. И она ни в каком разумном смысле не знает, что это такое. Но, так или иначе, это работает. Пока еще не настолько хорошо, как получается у писателя или переводчика (может, так и не получится никогда). Но вполне приемлемо!

Машина работает, даже если вы набираете что-то совершенно оригинальное, как нам всем нравится думать. В 2012 году произошел интеллектуальный спор[439] между одним из основоположников современной лингвистики Ноамом Хомским и Питером Норвигом из Google, который предпринимает колоссальные инженерные усилия, чтобы без нее обходиться. В 1950-х годах Хомский предложил знаменитую фразу Colorless green ideas sleep furiously («Бесцветные зеленые идеи спят яростно»), иллюстрирующую управляемость природы человеческого языка какими-то правилами. Эту фразу никто из людей раньше не видел (во всяком случае, пока Хомский ее не прославил), и не существует способа придать ей осмысленное толкование как утверждения о физическом мире. Тем не менее наш разум четко распознает ее как грамматическое предложение и даже «понимает» ее: мы могли бы правильно отвечать на вопросы, основанные на ней (например: «Спокойно ли спят бесцветные зеленые идеи?»), и осознаем (поскольку знаем, что такое существительные, прилагательные и глаголы), что в конструкции «спят зеленые яростно идеи бесцветные» нужно переставить слова, чтобы придать ей хоть какое-то подобие смысла. Однако, вопреки Хомскому, современная машина может прийти к тем же выводам без изучения правил структуры языка. Программа разрабатывает способ оценить какую-то последовательность слов как похожую на предложение или не похожую, опираясь на ее сходство с другими предложениями, которые реально были сформулированы людьми. Как и машина, обученная отличать кошку от некошки, она применяет своеобразную форму градиентного спуска, чтобы постепенно выработать стратегию, которая идентифицирует уже виденные предложения как максимально похожие на предложения, чем прочие комбинации слов. И не только это; стратегия, которую находит машина, склонна (по каким-то причинам, которые остаются не совсем понятными специалистам) хорошо срабатывать при оценке правильности тех строк слов, которые не были частью обучения. Фраза «бесцветные зеленые идеи спят яростно» получает гораздо более высокую оценку похожести на предложение, чем «спят зеленые яростно идеи бесцветные», даже без какой-либо формальной системы грамматики, даже если эти фразы никогда ранее не встречались в наблюдаемых данных (если предположить, что вы тренируетесь на текстах, собранных до Хомского). Даже фрагменты этой фразы (например, «бесцветные зеленые») встречались редко, если вообще встречались.

Норвиг отмечает, что, когда дело касается реального машинного перевода или автоматической подсказки, статистические методы наподобие этого определенно превосходят все попытки воссоздать базовые механизмы производства человеческого языка[440]. Хомский возражает: как бы там ни было, но методы, как у Google, не дают ни малейшего представления о том, что такое язык; они подобны Галилею, наблюдавшему движение тела по параболе, когда Ньютон еще не предложил объясняющие его законы.

И в отношении языка, и в отношении пандемий правы обе стороны. Нельзя обойтись ни без подбора кривой, ни без инженерного анализа. Автор одной из самых удачных моделей пандемии 2020 года, недавний выпускник Массачусетского технологического института Юян Гу умело объединил оба подхода: он использовал модель дифференциальных уравнений в стиле Росса, предназначенную для имитации известной механики передачи COVID-19, но при этом добавил методы машинного обучения для настройки многих неизвестных параметров в модели, чтобы они максимально хорошо соответствовали наблюдаемым до сих пор данным о пандемии. Нам нужно как можно больше каталогизировать то, что произошло вчера, если мы хотим предсказать, что произойдет завтра. Однако у нас никогда не было миллиардов прошлых пандемий, которые можно было бы рассмотреть, и если мы хотим хорошо подготовиться к следующей вирусной новинке, то нам стоит лучше поискать законы.

Глава 12. Дым в листе

В 1977 году группа участников нидерландской команды предложила на международной математической олимпиаде в Белграде своим британским коллегам такую головоломку. Какое число будет следующим в последовательности?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211…

Упростит ли это задачу, если я назову несколько следующих чисел:

13112221, 1113213211, 31131211131221, 13211311123113112211…

Большинство людей не могут ее решить. Я, естественно, тоже не смог, когда увидел впервые. Но когда вы узнаете решение, удивлению нет предела, насколько оно простое и одновременно очаровательное. Это последовательность «посмотри и скажи». Первый член – это 1. Читаем его как «одна единица» и получаем второе число 11. Читаем его как «две единицы» и получаем следующее число 21. Читаем его как «одна двойка, одна единица» и получаем 1211. Затем следует «одна единица, одна двойка, две единицы», то есть 111221, и так далее.

Это просто забавное развлечение; во всяком случае, так казалось команде из Нидерландов. Однако примерно в 1983 году последовательность «посмотри и скажи» попалась на глаза Джону Конвею, для которого превращение развлечения в математику (и обратно) было образом жизни. Конвей доказал, что[441] последовательность «посмотри и скажи» никогда не будет содержать цифр больше 3, а ее долгосрочное поведение управляется поведением 92 особых цепочек цифр, которые Конвей окрестил атомами и назвал в честь химических элементов (например, 1113213211 – это гафний, за которым следует олово). Более того, само количество цифр в членах последовательности тоже ведет себя вполне предсказуемо. Выписанные выше члены последовательности «посмотри и скажи» имеют такую длину:

1, 2, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 20…

Было бы очень красиво, если бы это была геометрическая прогрессия, но это не так. Отношение каждого последующего члена к предыдущему равно:

2, 1, 2, 1,5, 1, 1,33333…, 1,25, 1,4, 1,42857…

Но по мере дальнейшего продвижения начинает вырисовываться какая-то регулярность. Сорок седьмое, сорок восьмое и сорок девятое числа имеют соответственно 403 966, 526 646 и 686 646 цифр. Второе число в 1,3037 раз больше первого. Третье в 1,3038 больше второго. Похоже, что отношение соседних чисел стабилизируется. Изобретательно манипулируя своими 92 атомами, подвергавшимися тому, что он назвал аудиоактивным распадом, Конвей доказал, что эти отношения действительно сходятся к некоторой константе, которую математик точно вычислил[442]. Длины чисел из последовательности «посмотри и скажи» не образуют геометрическую прогрессию, но образуют прогрессию, которая со временем все больше и больше сходится к геометрической.

Геометрические прогрессии элегантны и первозданны. Но в реальном мире они редкость. Чаще встречаются приблизительно геометрические прогрессии, такие как «посмотри и скажи». Они знакомят нас с крайне важным математическим понятием под названием собственное значение. Мы не можем избежать собственных значений, если, например, хотим сделать модели распространения болезней Росса – Хадсон хотя бы немного реалистичными.

ДАКОТА И ДАКОТА

Теория событий Росса и Хадсон применительно к болезням основана на выявлении доли населения, зараженного в данный момент. Это уже создает определенную двусмысленность. О каком населении идет речь? Ваш район? Ваш город? Страна? Весь мир?

Вы можете убедиться, что это действительно важно, выполнив простое упражнение на сложение. Предположим, что на Великих равнинах[443] бушует какая-то новая болезнь – Страшный и Ужасный грипп (СИУ). Допустим, что в Северной Дакоте число случаев утраивается каждую неделю, а в соседней Южной Дакоте по каким-то причинам только удваивается. Числа для Северной Дакоты могут выглядеть так:

10, 30, 90, 270,

а для Южной Дакоты – так:

30, 60, 120, 240.

Тогда общее число случаев заболевания, если бы обе Дакоты были одним штатом, составило:

40, 90, 210, 510,

что вообще не является геометрической прогрессией: отношения между ее последовательными членами равны 2,25, 2,33, 2,43. Если вы рассматриваете статистику по Дакотам как по единому целому, то можете решить, что какая-то зловещая сила делает вирус с каждой новой неделей все более заразным. И начнете волноваться. Прекратится ли когда-нибудь этот рост?

Не волнуйтесь. Число случаев растет не в геометрической прогрессии, а приблизительно так, как в последовательности «посмотри и скажи». За четыре рассмотренные недели количество инфицированных распределилось между Дакотами примерно поровну. Однако ненадолго. Следующие четыре недели принесут Северной Дакоте много заболевших:

810, 2430, 7290, 21 870,

а в Южной Дакоте будет всего лишь:

480, 960, 1920, 3840.

Общее количество случаев заболеваний в обеих Дакотах за восьмую неделю составило 25 710, то есть в 2,79 раза больше, чем за седьмую (9210). Это отношение уже довольно близко к 3 и далее будет только приближаться к этому числу. Более быстрый рост в Северной Дакоте полностью затмевает рост в Южной. Через десять недель после начала эпидемии почти 95 % всех случаев будут зафиксированы именно там. В какой-то момент вы сможете просто игнорировать Южную Дакоту: практически все заболевшие будут концентрироваться в Северной, утраиваясь каждую неделю.

Две Дакоты – напоминание, что в борьбе с пандемиями нужно думать не только о времени, но и о пространстве. В базовой SIR-модели любые два человека в популяции встречаются и смешивают выдохи с равной вероятностью. Мы знаем, что это не совсем так. Жители Южной Дакоты в основном встречаются с другими жителями Южной Дакоты, а северодакотцы – с северодакотцами. Именно поэтому скорость распространения инфекции может быть разной в разных штатах и даже в разных местностях одного штата. Равномерное перемешивание населения привело бы к выравниванию динамики болезни, подобно тому как смешивание горячей и холодной воды быстро дает теплую воду.

Вот более сложный сценарий для Дакот. Предположим, что в Южной Дакоте идеально соблюдают правила социального дистанцирования, то есть между двумя жителями штата никогда не происходит случаев передачи инфекции. Тем временем в Северной Дакоте все общаются, дышат общим воздухом и в целом игнорируют правила. Каждый инфицированный житель Северной Дакоты передает вирус одному жителю штата. Более того, северодакотцы любят пересекать границу, встречаться с людьми, и при этом каждый инфицированный северодакотец передает вирус одному южнодакотцу, а каждый инфицированный южнодакотец – одному северодакотцу.

Уловили? Если нет (или даже если да), давайте посмотрим, как это работает, если сначала у нас есть один северодакотец с СИУ, а в Южной Дакоте больных нет.

На следующей неделе он заразит одного жителя штата Сада мира[444] и одного южнодакотца, в то время как в Южной Дакоте, где зараженных не было, новых инфекций нет. Чтобы упростить ситуацию, будем считать, что больные гриппом выздоравливают после заразной недели, так что в конце недели больными будут только новые инфицированные: в нашем случае это один северо- и один южнодакотец.

На следующей неделе этот северодакотец заразит двух человек – одного в Северной Дакоте, а другого – в Южной, в то время как южнодакотец заразит только приблизившегося северодакотца, так что мы получим:

Со временем инфекция распространяется все шире. Несколько следующих недель дадут нам:

Не слышите ли вы отголоски поэзии на санскрите? Количество зараженных северодакотцев в зависимости от недели:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

это (вуаля!) числа Вираханки – Фибоначчи. То же самое и с числом больных в Южной Дакоте, просто со сдвигом на неделю. Это обеспечивают выбранные нами правила передачи вируса Страшного и Ужасного гриппа: каждую неделю количество южнодакотцев с СИУ – это число инфицированных северодакотцев на прошлой неделе, а число северодакотцев с СИУ – это сумма количеств зараженных северодакотцев и южнодакотцев на прошлой неделе, которая равна сумме числа заболевших северодакотцев на прошлой неделе и числа заболевших северодакотцев на позапрошлой неделе.

Последовательность Фибоначчи – не геометрическая прогрессия, отношение между ее членами меняется:

1, 2, 1,5, 1,666…

Хотя на самом деле это своего рода геометрическая прогрессия! Особенно если мы продолжим ее еще на несколько членов. Двенадцатое число Фибоначчи – 144, тринадцатое – 233, а четырнадцатое – их сумма, то есть 377. Отношение 233 / 144 ≈ 1,61806. Следующее отношение 377 / 233 ≈ 1,61803. Эти числа весьма близки. А если вы проследите за распространением инфекции еще несколько недель, то увидите, что отношения между соседними неделями все больше приближаются к общему числу, очень близкому к 1,618034. Мы снова сталкиваемся с явлением не точного, но почти экспоненциального роста. Что это за загадочное число, которое скрыто в последовательности чисел Фибоначчи?

Это не просто число. Это число с причудливым названием золотое сечение, оно же золотая пропорция, оно же божественная пропорция, оно же φ (греческая буква, которая читается как «фи»). Чем знаменитее число, тем больше у него имен[445]. Если вам нужна точная формула, то золотое сечение φ = (1 +√5) / 2.

Люди веками поднимали шум из-за этого числа. У Евклида пропорция носит более приземленное название «деление в среднем и крайнем отношении». Это число требовалось Евклиду для построения правильного пятиугольника, ведь золотое сечение – это отношение длины диагонали правильного пятиугольника к его стороне. Иоганн Кеплер называл теорему Пифагора и золотое сечение главными сокровищами классической геометрии: «Первое мы можем сравнить с массой золота[446], второе можем назвать драгоценным камнем».

Где-то по пути отношение перестало быть драгоценным камнем и стало золотым; в одном тексте 1717 года говорится, что «древние называли[447] это отношение золотым». (Нет никаких подтверждений, что кто-то из древних на самом деле использовал такое название, однако присваивание вашей выдумке некоторой традиции добавляет ей немного культурной привлекательности.) Золотой прямоугольник – это прямоугольник, длина которого в φ раз больше ширины; у него есть приятная особенность: если вы разрежете его поперек, чтобы одна из частей была квадратом, то другая снова окажется золотым прямоугольником (меньшего размера). При желании вы можете отрезать квадрат и от него, получив еще меньший, и так далее, строя целую спираль из квадратов.

Кеплер ценил золотое сечение как за геометрические, так и за арифметические свойства; он открыл последовательность Вираханки – Фибоначчи независимо и обнаружил, что отношения между ее последовательными членами стремятся к золотому сечению. Взаимоотношения между геометрией и арифметикой в этой последовательности становятся заметны, если нарисовать почти золотой прямоугольник, длина и ширина которого – два последовательных числа Фибоначчи, как в этом примере 8 × 13:

Он почти золотой: отрежьте квадрат, и получите прямоугольник 5 × 8; снова отрежьте квадрат, и останется 3 × 5. С каждым разрезом вы двигаетесь назад по последовательности Фибоначчи. В итоге вы доберетесь до нуля, и ваша спираль из квадратов закончится, а не будет продолжаться вечно.

Мое любимое свойство золотого сечения привлекает относительно немного внимания, так что у меня есть шанс известить вас о нем! Причина, по которой я вынужден писать φ = 1,618… с раздражающим многоточием, – то, что это число иррациональное; вы не можете выразить его в виде отношения двух целых чисел, а это означает, что вы не можете записать золотое сечение в виде конечной десятичной дроби или даже периодической десятичной дроби вроде 1/7 = 0,142857142857142857…

Но это не значит, что нет рациональных чисел, достаточно близких к нему. Конечно же, они есть! В конце концов, десятичное разложение числа – это способ записать дроби, близкие к нему:

16/10 = 1,6 (довольно близко);

161/100 = 1,61 (ближе);

1618/1000 = 1,618 (еще ближе).

Десятичное разложение дает вам дробь со знаменателем 1000, которая отличается от золотого сечения не более чем на 1/1000[448]; если взять дробь со знаменателем 10 000, то мы получим точность в пределах 1/10 000 и так далее.

Однако есть способ лучше, чем применение десятичных дробей! Вспомните, что отношения между соседними числами Фибоначчи – это тоже дроби, которые стремятся к золотому сечению:

8/5 = 1,6;

13/8 = 1,625;

21/13 ≈ 1,615.

Забравшись далеко в последовательности, вы получите число

233/144 = 1,6180555555…

которое всего лишь на 2/100 000 отличается от золотого сечения, и это существенно лучше, чем 1618/1000, хотя знаменатель 144 нашей дроби и меньше 1000. По сути, разница меньше сотой часть дроби 1/144.

Некоторые знаменитые иррациональные числа можно аппроксимировать еще точнее. Цзу Чунчжи, астроном V века[449] из Нанкина, заметил, что простая дробь 355/113 невероятно близка к π – с точностью до двух десятимиллионных. Ученый назвал это число «милю» – «очень близкое отношение». Книга Цзу с математическими методами утеряна, а потому мы не знаем, как он придумал это приближение. Однако это не самая очевидная вещь: пройдет еще тысяча лет, прежде чем такое приближение заново откроют в Индии, еще через сто оно станет известно в Европе, и еще через столетие будет окончательно доказано, что на самом деле π иррационально.

Насколько точно можно приближать иррациональные числа к рациональным? Это арифметическая задача, но лучше всего думать о ней геометрически. Для этого есть изумительный трюк, придуманный в начале XIX века немецким математиком Петером Густавом Лежён Дирихле. Мы нашли дробь 233/144, расстояние от которой до числа φ составляет меньше сотой доли от 144. Можно ли найти какую-нибудь дробь p/q, расстояние от которой до числа φ будет составлять менее тысячной доли от знаменателя q? Можно, и доказательство Дирихле для этого факта настолько простое, что я не могу вам его не показать[450]. Нарисуйте отрезок числовой прямой от 0 до 1 и разделите его на тысячу равных частей-отделений. Я не могу нарисовать тысячу равных частей, так что просто вообразите их.

Теперь начинаем выписывать кратные для числа φ:

φ = 1,618…

и отмечать на числовой прямой дробную часть каждого из этих чисел – ту часть, которая идет после десятичной запятой. Если я нарисую дробные части первых трехсот кратных для числа φ в виде вертикальных линий ради лучшей заметности, то у меня получится своеобразный штрихкод.

Каждая из этих линий попала в одно из тысячи отделений. Само золотое сечение находится в 619-м отделении. (Не в 618-м – по той же причине, по которой мы сейчас живем в XXI веке, хотя номер года начинается с 20; первое отделение соответствует числам между 0,000 и 0,001, второе – числам между 0,001 и 0,002 и так далее.) Следующее кратное 2φ попадет в отделение номер 237, 3φ – в отделение номер 855. Продолжайте раскладывать числа по отделениям. Если какое-то из этих кратных окажется в первом отделении, мы выиграем, потому что в этом случае какое-то число qφ будет иметь дробную часть от 0 до 0,001. Это значит, что разница между qφ и каким-то целым числом p составляет не более 0,001, а потому после деления обоих чисел на q получаем, что разница между φ и дробью p/q составляет не более одной тысячной от 1/q.

Но почему какое-то кратное должно попасть в первое отделение? Может быть, подобно фишке в игре «Монополия», никак не желающей попадать на нужное нам поле, кратные будут обходить это отделение?

Вот тут и появляется замечательная идея Дирихле. Сам математик называл ее «принципом выдвижных ящиков» (Schubfachprinzip), а в англоязычных странах называют «принципом голубей и ящиков»[451]. Он гласит: если вы рассаживаете голубей по ящикам и количество голубей больше, чем ящиков, то как минимум в одном ящике окажется два голубя.

Это утверждение настолько очевидно, что трудно поверить в его полезность. Иногда такое случается с самой глубокой математикой.

В нашем случае голуби – это числа, кратные φ, а ящики – это тысяча отделений. Если мы возьмем 1001 число, кратное φ, то как минимум два из них попадут в одно отделение. Предположим, в одном отделении окажутся 238φ и 576φ. На самом деле это не так (эта пара чисел находится в отделениях 93 и 988 соответственно), но допустим, что так. Тогда разность между ними должна быть не более 1/1000 от какого-то целого числа. Назовем его p. Однако эта разность составляет 338φ. Следовательно, число 338φ должно оказаться в первом отделении или, честно говоря, в самом последнем отделении, заканчивающемся числом 0,999… (числа там тоже отличаются от целого не больше чем на 1/1000). В любом случае p/338 – это наше требуемое приближение.

Не имеет значения, какие именно два кратных числа φ окажутся в одном отделении; любая пара даст дробь, достаточно близкую к φ. На самом деле первые голуби, оказывающиеся в одном ящике, – это числа φ и 611φ = 988,6187…; оба попадают в отделение 619. Их разность равна 610φ, то есть примерно 987,0007, и поэтому 987/610 – действительно хорошее приближение для φ. Вы не удивитесь, узнав, что 610 и 987 являются последовательными членами последовательности Фибоначчи, идущими как раз после того места, где мы остановились в вычислениях.

В числе 1000 нет ничего принципиального. Если вы желаете найти рациональное число p/q, которое отличается от φ менее чем на миллионную долю 1/q, то можете добиться и этого, хотя, возможно, число q будет равняться почти миллиону.

Разность между «близким отношением» Цзу Чунчжи 355/113 и π составляет всего одну тридцатитысячную от 1/113. Что касается метода Петера Густава Лежёна Дирихле, то вам, возможно, придется искать дроби со знаменателем едва ли не в 30 000, чтобы найти такое же хорошее приближение. Однако на самом деле этого не потребуется! Число «милю» – это не просто хорошее приближение для π, а потрясающе хорошее приближение.

Давайте посмотрим, как это выглядит на числовой прямой. Если я посмотрю на первые триста кратных числа 1/7 и отмечу их дробные части вертикальным штрихом, как делал для числа φ, то получу такую картинку. На ней всего семь линий, поскольку, на какое число ни умножай 1/7, я получу какое-то количество седьмых, дробная часть которых будет 0, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 или 6/7.

То же самое верно и для любого рационального числа; мы можем брать сколь угодно кратных, однако линии будут образовывать конечный набор, равномерно распределенный между 0 и 1.

А что насчет π? Вот дробные части для трехсот первых кратных.

Здесь штрихов много. Но не триста. Если бы вы сосчитали видимые линии, то увидели бы, что их ровно 113. Вы видите тут подпись числа «милю». Поскольку π очень близко к 355/113, то его первые триста кратных тоже близки к какому-то количеству «сто тринадцатых», а это означает, что штрихи останутся очень близкими к числам 0, 1/113, 2/113 (представьте, что я здесь написал все 113 вариантов), 112/113. Поскольку π не точно равно 355/113, то его кратные не точно попадут в места этих дробей: более толстые линии на рисунке – на самом деле несколько линий, слившихся вместе.

Это возвращает нас к золотому сечению. Штрихкод для числа φ, который я уже рисовал выше, распределен равномернее, без кластеров, как у линий числа р. Нарисуйте тысячу кратных – и получите то же самое, только линий будет больше.

Сколько бы кратных числа φ мы ни брали – тысячу, миллиард или больше, – эти линии никогда не окажутся в каком-то маленьком множестве равномерных положений, как это было в случае рациональных чисел, и даже не сконцентрируются около таких положений, как в случае с числом р. Здесь нет своего числа «милю».

Вот красивый факт, который несколько сложноват для того, чтобы привести здесь его доказательство: вы не найдете лучших рациональных приближений для φ, чем те, которые дает последовательность Фибоначчи, и эти приближения никогда не будут существенно лучше тех, что гарантирует теорема Дирихле. Фактически в каком-то смысле (этому утверждению можно придать строгость, но не здесь) из всех вещественных чисел φ хуже всего аппроксимируется дробями; это самое иррациональное из иррациональных чисел. Для меня этот факт – вполне драгоценный камень.

В ПОИСКАХ ОПРЕДЕЛЕННОГО ОТНОШЕНИЯ

Однажды в 1990-х я ужинал с другом моего друга в ресторане Galaxy Diner в Нью-Йорке. Друг моего друга сказал, что снимает фильм о математике и хотел бы поговорить с профессионалом о том, на что реально похожа математическая жизнь. Мы ели бутерброды с говядиной под расплавленным сыром, а я рассказывал какие-то истории. Прошли годы, и я уже об этом забыл. Друга моего друга звали Даррен Аронофски, и в 1998 году вышел его фильм «Пи». Главный герой картины Макс Коэн занимается теорией чисел, крайне напряженно размышляет и вечно теребит волосы. Он встречает хасида, который заинтересовал его еврейской нумерологией – методом под названием гематрия[452], когда слово превращают в число путем сложения числовых значений всех букв иврита, которые оно содержит. Хасид объясняет, что при сложении значений букв в еврейском слове «восток» получается 144, а в словосочетании «древо жизни» – 233. Макс заинтригован, ведь это числа Фибоначчи! Он выписывает еще несколько чисел Фибоначчи на страницах газеты, посвященных фондовому рынку. «Никогда раньше такого не видел», – замечает впечатленный хасид. Макс лихорадочно программирует свой компьютер (носящий имя Евклид) и рисует спирали из золотых прямоугольников, а затем долго пялится на похожие спирали молока в своем кофе. Он вычисляет 216-значное число. По-видимому, это ключ к прогнозированию цен на акции, а также возможное тайное имя Бога. Он много играет в го со своим научным руководителем. («Прекрати размышлять, Макс. Просто чувствуй. Используй интуицию».) Приступы головной боли усиливаются, он все чаще теребит волосы. Им увлекается красивая девушка из соседней квартиры. Я забыл упомянуть, что фильм черно-белый. Кто-то пытается похитить героя. Наконец, он сверлит отверстие в собственном черепе, чтобы частично снизить математическое давление, и фильм подходит к тому, что кажется счастливым концом.

Не помню, что я рассказывал Аронофски о математике, но точно не это.

(Честно признаюсь: после выхода фильма «Пи», когда мне было уже ближе к тридцати, я не раз сидел в кафе, тактически грамотно положив на видном месте свой потрепанный экземпляр книги Робина Хартсхорна «Алгебраическая геометрия», весьма напряженно думал и теребил волосы пальцами. Однако никто так и не заинтересовался.)

Аронофски узнал о числах Фибоначчи в старших классах из курса «Математика и мистицизм» и сразу ощутил родство с этой последовательностью, поскольку его домашний индекс – 11235. Такое внимание к совпадениям и закономерностям, значимое или нет, характерно для нумерологии золотого сечения. Где-то по дороге понятное влечение к математическим свойствам числа 1,618… вылилось в куда более грандиозные претензии. Специалист по теории чисел Джордж Баллард Мэтьюз еще в 1904 году «жаловался на фильм Аронофски»:

Божественная пропорция[453], или золотое сечение, впечатляет невежественных и, как ни удивительно, даже образованных людей, таких как Кеплер, ощущением таинственности и заставляет их грезить всевозможными видами фантастического символизма. Даже для греков это было сечение; а их философы, несомненно зараженные Востоком, размышляли об атомах и правильных многогранниках в манере, которая нам кажется по-детски примитивной, но была достаточно серьезной для них. Так или иначе, человек, который первым обнаружил точную схему построения правильного пятиугольника, имел основания гордиться своим достижением; а суеверия, собранные вокруг pentagramma mirificum[454], – гротескное эхо его славы.

Фигуры, части которых находятся в золотой пропорции друг к другу, иногда называют самыми красивыми по своей природе. В XIX веке немецкий психолог Густав Теодор Фехнер показывал испытуемым множество разных прямоугольников, чтобы узнать, какие из них они считают самыми привлекательными. Они выбирали золотые! Это и правда красивый прямоугольник. Однако утверждения, что по такому принципу спроектирована пирамида Хеопса, Парфенон и «Мона Лиза», не имеют надежных обоснований. (Леонардо да Винчи проиллюстрировал книгу Пачоли о числе, которое итальянцы называли божественной пропорцией, однако никаких доказательств того[455], что художник обращал внимание на него в собственных работах, нет.) Название φ для золотого сечения придумано уже в XX веке в честь греческого скульптора Фидия, который, как говорят, использовал золотое сечение для создания классических совершенных тел из камня, но, скорее всего, на самом деле такого не было. Авторитетная статья 1978 года[456] в журнале Journal of Prosthetic Dentistry утверждала, что набор вставных зубов[457] для максимально привлекательной улыбки должен иметь центральный резец в 1,618 раза шире бокового резца, который, в свою очередь, должен быть в 1,618 раз шире клыка. Зачем довольствоваться золотым зубом, если можно получить зубы с золотым сечением?

Золотая нумерология достигла пика популярности в 2003 году после выхода бестселлера Дэна Брауна «Код да Винчи» – истории о профессоре религиозной символики из Гарварда, который использует последовательность Фибоначчи и золотое сечение, чтобы распутать головоломку, включающую рыцарей-тамплиеров и современных наследников Иисуса. После этого «вставка φ» была уже просто грамотным маркетинговым ходом. Можно было купить джинсы, золотые пропорции которых подчеркивают вашу задницу (и прекрасно сочетаются с искусственными зубами!). Появился «Код Диеты»[458], утверждавший, что Леонардо хотел бы, чтобы вы сбрасывали вес, употребляя белки и углеводы в золотой пропорции. Но, вероятно, вершиной мистической геометрической пустой болтовни была стратегия BREATHTAKING («Захватывает дух»[459]) – 27-страничное описание маркетинговой компанией Arnell Group нового логотипа Pepsi в виде глобуса, разработанного в 2008 году. Вам объясняют, что Pepsi и золотое сечение – естественные партнеры, потому что, как вы, вне сомнения, знали, «лексикон истины и простоты – это повторяющееся явление в истории бренда». На приведенной в документе временной шкале появление нового логотипа Pepsi представлено как кульминация тысячелетий науки, включая Пифагора, Евклида, да Винчи и почему-то ленту Мёбиуса. Нам просто повезло, что Arnell ничего не знала о Вираханке, потому что боюсь даже думать, какую псевдосубконтинентальную философию она в противном случае добавила бы в эту адскую смесь.

Новый логотип Pepsi построен из дуг окружностей, радиусы которых находятся в золотой пропорции друг к другу, и, как заявлено в рекламе, отныне это отношение будет известно как «отношение Pepsi» – поистине впечатляющий ребрендинг! И вот тут-то все становится по-настоящему странным. На следующих страницах мы видим «энергетические поля Pepsi» и их связь с магнитосферой Земли, а также такую иллюстрацию, демонстрирующую связь эйнштейновской теории гравитации и привлекательности бренда в продуктовом отделе:

Как ни абсурдно все это звучит, но арнелловский глобус десять лет спустя все еще находится на банках с пепси-колой. Так что, возможно, золотое сечение действительно настоящий природный арбитр того, что красиво и хорошо. А может, люди просто любят пепси?!

Ральф Нельсон Эллиотт занимался бухгалтерским учетом в Канзасе, работал в руководстве железных дорог в Мексике, проводил финансовую реорганизацию в Никарагуа (в то время страна находилась под американским контролем), трудился в Гватемале. В 1926 году он заразился паразитическими амебами и был вынужден вернуться в США. Через несколько лет[460] фондовый рынок рухнул и погрузил мир в депрессию, так что у Эллиотта было много времени и достаточно мотивации, чтобы привнести хоть какой-то порядок в финансовый мир, который больше не вписывался в точные записи двойной бухгалтерии. Разумеется, Эллиотт не знал о работе Луи Башелье о случайном блуждании цен на акции, а если бы и знал, то не уделил бы ей ни минуты. Он не желал верить, что цены на акции колеблются случайно, словно пыль, взвешенная в жидкости. Он хотел нечто более похожее на физические законы, которые надежно удерживают планеты на их орбитах. Эллиотт сравнивал себя с Эдмундом Галлеем, который в XVII веке понял, что кажущиеся случайными приходы и уходы комет на самом деле подчинены строгому расписанию. «Человек – такой же природный объект[461], как Солнце и Луна, – писал Эллиотт, – и ритмизованная последовательность его действий также подлежит анализу».

Эллиотт тщательно изучил котировки за семьдесят пять лет, вплоть до минутных изменений, пытаясь найти закономерности во взлетах и падениях. Итогом стала волновая теория Эллиотта, которая постулировала, что фондовый рынок регулируется взаимосвязанным набором циклов – от мельчайших (которые занимают минуты) до большого суперцикла, начавшегося в 1857 году и продолжающегося до сих пор. Чтобы все это помогало инвестору зарабатывать, нужно знать, когда рынок разворачивается вверх или вниз. Ответ дает волновая теория. Эллиотт полагал, что движение рынка определяется предсказуемыми закономерностями восходящих и нисходящих трендов, которые специалисты, посвященные в теорию волн, могут спрогнозировать, исходя из принципа, что отношение между длиной нынешнего и длиной прошлого тренда имеет тенденцию быть золотым сечением 1,618. В этом случае Эллиотт был предшественником Макса Коэна из «Пи», который строчил числа Фибоначчи на биржевых страницах газеты.

Правило 1,618 не было абсолютным; следующая волна может быть длиннее на 61,8 %, потому что в этом случае длина последующего тренда в 1,618 раз больше, чем предыдущего. Или она может быть длиннее на 38,2 %, потому что это 61,8 % от 61,8 %. Тут много места для маневров, а чем больше места для маневров допускает теория, тем проще описывать то, что уже происходило, с уверенным «Я так и думал!». Честно говоря, постороннему человеку трудно точно осознать, что именно Эллиотт предсказывает и не предсказывает. Волновая теория, как и все теории, разработанные людьми, много времени проводящими в одиночестве, изобилует специфической терминологией: «Треть трети – мощная средняя часть в импульсной волне. Прорыв – импульсная волна после завершения треугольника». Не удовлетворившись решением проблем фондового рынка, последние десять лет жизни Эллиотт посвятил написанию обобщающей монографии, труда всей жизни под названием «Закон природы – секрет Вселенной». (Спойлер: это волны.)

Эта теория могла быть всего лишь еще одной из странных разработок, оказавшихся на свалке финансовой истории наряду с теориями Роджера Бэбсона, который считал[462], что фондовым рынком управляют законы движения Ньютона, предсказал великий крах 1929 года, затем – неминуемый[463] конец Депрессии в 1930 году, основал колледж Бэбсона в Массачусетсе и колледж Утопия в Юрике в Канзасе (это географический центр Соединенных Штатов, где, по его мнению, будет безопасно в случае взрыва атомной бомбы), баллотировался в президенты США от Партии запрета в 1940 году и потратил большую часть денег, заработанных на книгах и статьях о бизнесе, на попытки разработать антигравитационный металл.

Но разница в том, что волновая теория Эллиотта по-прежнему дееспособна. Руководство по техническому анализу от инвестиционного банка Merrill Lynch включает о ней целую главу – «Концепция Фибоначчи», где излагаются обычные рекламные россказни о золотом сечении:

Как и все иные методы анализа[464], отношение Фибоначчи не является надежным на все 100 %. Тем не менее просто невероятно, насколько часто оно предсказывает важные критические точки. Существует множество предположений о том, почему отношение Фибоначчи и его производные постоянно появляются в жизни. Дело в том, что это загадочное отношение часто обнаруживается в природе. Оно повсеместно встречается на картинах Ренессанса, определяя пропорции и перспективу. Оно также выявлено в архитектуре античных греческих храмов – задолго до времени Фибоначчи.

Ваш блумбергский терминал[465] (если у вас достаточно средств, чтобы его иметь) будет рисовать на ваших биржевых диаграммах маленькие «линии Фибоначчи», чтобы вы знали, до какого уровня поднимется цена, прежде чем будет вынуждена повторить предыдущий тренд с масштабом φ (сторонники теории волн называют это коррекциями Фибоначчи). В апреле 2020 года Wall Street Journal предупредил своих читателей[466], что у пострадавшего от коронавируса индекса S&P 500 «впереди, вероятно, еще больше проблем»; цены подскочили на 23 % после того, как рынок достиг в конце марта дна, но коррекции Фибоначчи предсказывали дальнейшие потери. Через два месяца S&P вырос еще на 10 %[467].

У меня есть состоятельная знакомая, которая использует методы Фибоначчи для своих инвестиций. Ее аргументация такова: неважно, работает ли это на самом деле, важно то, что достаточное количество людей думают, что работает, и в результате рынки хоть как-то коррелируют с предсказаниями волн Эллиотта. Волны, как и фея Динь-Динь[468], воплощаются в жизнь теми, кто в них по-настоящему верит. Возможно, моя знакомая права, но подтверждений ее взглядов крайне мало. Если ваш инвестиционный менеджер – приверженец коррекций Фибоначчи, я бы сказал, уж простите, что он некомпетентен.

ПОВТОРНЫЙ ВИЗИТ В ДАКОТЫ

Что, если мы подправим нашу модель и сделаем северодакотцев немного опаснее? Скажем, каждый инфицированный житель Северной Дакоты будет заражать не одного, а двух человек из своего штата. Если мы начнем, как и ранее, с одного инфицированного в Северной Дакоте и нуля в Южной, то есть:

(1 СД, 0 ЮД),

то в следующем поколении получится два новых инфицированных северодакотца и один новый зараженный южнодакотец:

(2 СД, 1 ЮД).

Затем эти два северодакотца заразят еще четверых жителей Северной Дакоты и двух – Южной, в то время как единственный зараженный южнодакотец заразит одного нового северодакотца:

(5 СД, 2 ЮД).

Теперь число зараженных в Северной Дакоте образует последовательность

1, 2, 5, 12, 29…

в которой каждое число – это сумма удвоенного предыдущего и предпредыдущего. У нее тоже есть название – последовательность чисел Пелля. Это не геометрическая прогрессия, но, как и последовательность Фибоначчи, тоже к ней стремится. Отношение между последовательными членами равно:

2/1 = 2;

5/2 = 2,5;

12/5 = 2,4;

29/12 = 2,416666…

Продвиньтесь в ней подальше, и найдете число 33 461, за которым следует 80 782; отношение этих величин равно 2,4142…, то есть почти точно 1 + √2. И чем дальше вы заберетесь в эту последовательность, тем ближе отношения будут к этой управляющей константе.

Мы бы наблюдали то же самое, если бы каждый житель Северной Дакоты заражал трех жителей своего штата; тогда магическое отношение было бы (3 + √13) / 2, то есть чуть больше 3,3. Или можем расширить нашу исходную модель, добавив в нее штат Небраска[469] и предположив, что каждый житель Небраски заражает одного южнодакотца, каждый южнодакотец – одного небрасканца, а друг друга жители Небраски не инфицируют. Это сложное взаимодействие между тремя штатами дает такую последовательность для числа больных в Северной Дакоте:

1, 1, 2, 3, 6, 10, 19, 33…

У нее нет собственного названия[470], но ее свойства похожи на описанные выше; последовательные отношения ее членов постепенно приближаются к числу 1,7548…, которое, если уж вы настаиваете на точном выражении, равняется:

Подобные закономерности (а не конкретно золотое сечение) будут базовым принципом повсюду. Неважно, сколько штатов вы включите, сколько именно жителей Юты заразит в среднем житель Вайоминга и т. д., – количество инфекций в каждом штате будет стремиться к какой-то геометрической прогрессии[471]. Платон был прав: природа действительно в каком-то смысле к ней благоволит.

Это до странности сложное число, управляющее скоростью геометрического роста, называется собственным значением. Золотое сечение – всего лишь один из вариантов; его приятные свойства проистекают из того факта, что оно – собственное значение очень простой системы. У других систем – другие собственные значения; на самом деле в большинстве систем их больше одного. В самом первом сценарии для Дакот эпидемия состояла из двух разных вспышек: в обоих случаях рост был геометрическим, только в первом еженедельно происходило утроение числа больных, а во втором – удвоение. Со временем начала доминировать более мощная вспышка: суммарное число заболеваний стало примерно геометрической прогрессией со знаменателем 3. В такой ситуации у вас есть два собственных значения – 2 и 3, причем важно наибольшее из них.

В системах, где разные части взаимодействуют между собой, не так просто понять, как разделить процесс на отдельные идеальные геометрические прогрессии. Но вы сможете! Например, вот геометрическая прогрессия, которая начинается с числа, примерно равного 0,7236… а каждый последующий ее член в φ раз больше предыдущего:

0,7236… 1,1708… 1,8944… 3,0652… 4,9596…

А вот еще одна, которая начинается с 0,2764… и имеет отрицательный знаменатель – 0,618… (на самом деле это просто число 1 – φ). У этой последовательности наблюдается экспоненциальное убывание к нулю, а не экспоненциальный рост, как у эпидемий с маленьким показателем R_0. (Ну, возможно, не совсем так, поскольку у нас каждое второе число получается отрицательным.)

0,2764… –0,1708… 0,1056… –0,0652… 0,0403…

Сложите эти два геометрических ряда – и произойдет нечто замечательное: хвосты после десятичных точек исчезнут, а вы получите в точности последовательность Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5…

Другими словами, последовательность Фибоначчи – это не геометрическая прогрессия, а сумма двух геометрических прогрессий, одна из которых определяется золотым сечением φ, а другая – числом 1 – φ = –0,618… Это два собственных значения. В долгосрочной перспективе реальное значение имеет только большее из них.

Но откуда взялись эти два числа? Это не какое-то северное и южное собственное значение; каждое из чисел 1,618… и – 0,618… отражает нечто глубокое и глобальное в поведении системы. Это не свойство отдельных частей системы, а результат взаимодействия между ее частями. Алгебраист Джеймс Джозеф Сильвестр (о котором мы скоро расскажем) назвал эти числа скрытыми корнями. Как он ярко объяснял, «скрытыми в том смысле[472], в каком можно сказать, что пар скрыт в воде или дым в табачном листе». К сожалению, англоговорящие математики предпочли наполовину перевести предложенное Давидом Гильбертом слово Eigenwert, означающее по-немецки «собственная стоимость или значение»[473], [474].

Мы не обязаны разделять пандемию по географическому признаку и можем использовать любые категории. Например, разделим дакотцев не на северных и южных, а на две (или пять, или десять) возрастные группы, отслеживая во всех случаях степень взаимодействия внутри каждой группы и между группами. В ситуации с десятью группами получается довольно много информации; чтобы упорядочить ее, вы можете взять таблицу 10 × 10 и, например, на пересечении третьей строки и седьмого столбца вписать число близких личных контактов между участниками третьей и седьмой возрастных групп. (Это может быть несколько избыточно, поскольку то же самое число вы поставите на пересечении седьмой строки и третьего столбца; однако если вы считаете, что молодые передают инфекцию пожилым с большей вероятностью (или наоборот), то вполне можете использовать для этих клеток разные числа.) Такую таблицу чисел Сильвестр назвал матрицей, и название прижилось. Вычисление собственного значения матрицы – скрытого числа, которое определяет рост системы, состоящей из многих частей и описываемых такой таблицей чисел, – математики стали считать одним из фундаментальных. Большинство математиков вычисляют собственные значения ежедневно.

Собственные значения могут дать вам гораздо более точную картину развития пандемии и ее предполагаемого будущего, нежели базовые модели, обсуждавшиеся ранее. В частности, если некоторые подгруппы населения заражаются и передают вирус с гораздо большей вероятностью по сравнению с другими, то первоначальное высокое значение показателя R_0 не обязательно означает пандемию, которая распространится на большую часть популяции. Возможно, начальные высокие показатели обусловлены большим количеством заболевших в самой восприимчивой подгруппе населения, а как только вирус охватит всю эту небольшую часть населения (и она, возможно, временно приобретет иммунитет), в оставшейся части его передача замедлится настолько, что ее не хватит для поддержания роста пандемии. Вы можете создать подобные модели[475], где пандемия останавливается после заражения очень небольшой части людей, всего 10 или 20 %, даже при высоком значении R_0. Чтобы узнать эти количества, придется вычислять собственные значения для различных подгрупп, но вы можете уловить основную идею, представив себе простой пример. Допустим, для вируса уязвимы всего 10 % популяции (а 90 % имеют иммунитет), но каждый из инфицированных во время периода заразности может в среднем заразить двадцать человек. Однако рост инфекции будет соответствовать показателю R_0 = 2, а не R_0 = 20, потому что каждый больной человек хотя и встретится с двадцатью людьми, заразит только двоих, наиболее уязвимых. Когда же среди 10 % населения заразятся практически все, у вируса закончатся потенциально восприимчивые жертвы.

Как мы уже знаем, геометрические прогрессии не описывают всей истории. Показатель R_0 во время эпидемии может меняться в результате действий правительства или отдельных лиц. Кроме того, есть подъем и спад, которые предсказывает модель Росса – Хадсон и Кермака – Маккендрика, когда вирус охватывает популяцию, приходит к точке коллективного иммунитета и медленно болезненно исчезает. Вы можете провести такой анализ для популяции, разделенной на пространственные или демографические подгруппы, и тогда изучите не столько одну эпидемию, сколько целый набор, где каждая влияет на другие. В итоге, когда вы сложите все результаты, получится нечто, выглядящее смутно реалистичным: вспышки и затишья в разных популяциях в различное время.

При этом, чтобы ваше моделирование оказалось правильным, оно должно быть стохастичным. Это означает, например, что вы не просто присваиваете каждому человеку его персональное точное значение R_0 – как если бы вы на этой неделе определенно заразили шесть своих сверстников и одного пожилого человека, – а считаете этот параметр случайной величиной. И если она меняется не очень существенно, то это, возможно, не будет иметь значения: половина инфицированных заразят одного человека, половина – двух, и вы не много потеряете, если положите, что число инфекций на следующей неделе будет в полтора раза больше, чем на этой, и построите модель с параметром R_0 = 1,5. Но что, если 90 % не заражают никого, 9 % заражают по десять человек, а 1 % – по шестьдесят? Это по-прежнему дает в среднем 1,5 новые инфекции на человека, но динамика эпидемии будет другой. Возможно, эта небольшая доля людей сверхзаразна по какой-то биологической причине, а может, они предпочитают посещать многолюдные мероприятия в помещении; неважно – математика будет одинаковой. Такие сверхраспространения – масштабные события, но при этом они редки. В любом конкретном регионе какое-то время может не наблюдаться ни одного такого события, болезнь какое-то время потихоньку будет протекать, но если извне и проникает инфекция, то взрыва не происходит. Но вдруг подряд случаются несколько крупных событий со сверхраспространением, и внезапно происходит локальный всплеск заболевания. Однако вы не уверены в причинах. Если в двух разных местах болезнь протекает по-разному, то, возможно, потому, что в одном из них проводилась соответствующая политика. Но это может быть и просто стохастичность. Чем выше степень доминирования сверхраспространения над инфекцией, тем сильнее влияние глупой случайности в распределении болезни.

Это не означает, что местные органы здравоохранения должны опустить руки, отказаться от действий и молиться, чтобы судьба оказалась к ним благосклонной. Знание, что причина эпидемии – сверхраспространение, может быть полезным. Вы можете подавить передачу, подавляя сверхраспространение. Никаких многолюдных свадеб в помещениях, никаких баров, никакого хорового пения – и, возможно, вам удастся обойтись более мягкими ограничениями в отношении остальных форм контактов между людьми.

КАК РАБОТАЕТ GOOGLE, ИЛИ ЗАКОН ДОЛГИХ БЛУЖДАНИЙ

Появление Google разделило интернет на до и после. Людям, впервые вышедшим онлайн после середины 1990-х, практически невозможно объяснить, насколько радикально все тогда поменялось. Внезапно, вместо того чтобы знать, по какой последовательности ссылок переходить, или вручную набирать HTML-адрес, чтобы добраться до нужной информации, вы могли просто… спросить. Это казалось чудом. На самом деле это были собственные значения.

Лучший способ увидеть, как это работает, – вернуться к пандемии. Предположим, у вас есть усовершенствованная модель, где население делится не просто на две Дакоты или на десять возрастных групп. Вы идете дальше и дробите его на все более мелкие категории, пока каждый человек не становится отдельной категорией. Это называется агентным моделированием, и это прекрасная штука, если вы каким-то образом можете отслеживать (или разумно аппроксимировать) огромный массив данных о взаимодействиях каждого конкретного человека со всеми остальными. Такая модель во многом похожа на случайные блуждания, которые изучал Рональд Росс. Но теперь блуждает не зараженный комар, а сам вирус, перепрыгивая с какой-то вероятностью с инфицированного человека на восприимчивого, с которым тот контактирует. Далее применяется такой же анализ собственных значений, просто размер вашей матрицы колоссален: число строк и столбцов в ней равно числу людей в популяции!

Вы можете подумать, что вероятность заражения в подобных моделях зависит от количества контактов с другими людьми. В какой-то степени это так. Но важно и то, с кем именно вы контактируете. Супруги, разумеется, взаимодействуют друг с другом практически каждый день. Но если они редко общаются с другими людьми, то их контакты не влияют на общее распространение инфекции. Если вы сведете социальное общение к минимуму, ограничившись, скажем, лучшим другом, это может показаться весьма безопасным; но если ваш лучший друг регулярно посещает места большого скопления людей, где не носят масок, вы подвергаетесь высокому риску заболеть, несмотря на небольшое количество контактов.

В реальности агентные модели не доминировали при моделировании COVID-19, поскольку на самом деле у нас нет (и не может быть!) ничего похожего на такие детализированные данные об отдельных контактах людей, без которых агентное моделирование не будет работать.

Но мы говорим уже не о COVID-19, а о поиске в интернете. Сеть ссылок между веб-страницами гораздо легче измерить, чем сеть контактов между людьми. Однако структура схожа. Есть множество отдельных страниц, и каждая пара либо связана, либо нет.

Если ваш поисковый запрос – пандемия, то вам вовсе не нужна случайная страница, выбранная наугад из всех страниц интернета, где упоминается это слово. Вы хотите лучшую! Естественно, вы можете решить, что лучшая страница по этой теме – с наибольшим количеством ссылок на нее. Однако это не всегда так. Распространитель какого-нибудь текста типа «Пандемии – это всего лишь побочные эффекты муниципального фторирования воды» вполне может создать сто сайтов на эту тему, и все они будут ссылаться друг на друга. Если вы на основании этого присвоите высокий рейтинг странице «Чистка зубов или смерть?!», то сделаете большую ошибку.

Важно, откуда идут ссылки. Страницы о фторировании, активно ссылающиеся друг на друга, но без ссылок извне, подобны живущим изолированно супругам, контакты которых замкнуты. Наличие друга – завсегдатая вечеринок – это аналог ссылки на вашу страницу компании CNN; ссылка должна иметь большой вес, если она исходит со страницы, на которую ведет много ссылок. Вы можете смоделировать важность в интернете с помощью случайного блуждания, подобно агентному моделированию распространения болезни. Если вы случайно бродите по интернету, следуя наугад выбранной ссылке на каждой странице, то какие страницы будете посещать часто, а на какие вообще никогда не зайдете?[476]

Весьма приятное свойство случайных блужданий – то, что у этого вопроса есть ответ. И уходит он корнями во времена Андрея Андреевича Маркова и закона долгих блужданий: если у комара есть конечное множество болот, куда он может приземлиться; если у каждого из болот есть определенное множество связанных с ним других болот; если комар в любой момент выбирает болото, в которое полетит, случайным образом из доступных ему болот, то для него существует какая-то предельная вероятность оказаться в каждом из болот. Иными словами, каждому болоту присваивается определенная процентная доля, и комар, блуждающий долгое время, скорее всего, проведет в каждом болоте почти точно такой процент времени.

Несколько проще понять эту ситуацию на примере игры «Монополия». Это случайное блуждание: ваша фишка перемещается между сорока полями в соответствии с указаниями игрального кубика. В 1972 году Роберт Эш и Ричард Бишоп вычислили предельные вероятности[477] для этой игры. Самым вероятным полем для фишки оказалась тюрьма: там в среднем проводится 11 % всего времени[478]. Но если вы хотите знать, где должны строить дома и отели, вам нужно определить, на какие поля с собственностью фишки попадают с наибольшей вероятностью. Лучше всего поле «Иллинойс-авеню», где фишка проводит 3,55 % времени, что существенно выше, чем те 2,5 %, которых вы могли ожидать при равномерном случайном распределении по сорока имеющимся на доске полям. Конечно же, в любой конкретной партии вы можете вообще не попадать сюда (во всяком случае, так вечно происходит с моими везучими детьми, когда я строю дома на Иллинойс-авеню, подчиняясь законам вероятности). Но в целом, если вы будете отслеживать, куда попадают все игроки во всех играх за длительный промежуток времени, то, согласно закону долгих блужданий, именно к таким долям вы будете приближаться.

Для каждого из сорока полей существует предельная вероятность, и поэтому у вас есть список из сорока чисел. Такая штука называется вектором, но этот вектор не просто вектор, а собственный вектор. Как и собственное значение, он фиксирует нечто присущее долговременному поведению системы, что не очевидно при простом взгляде на нее, нечто скрытое, как дым в табачном листе.

То, что Эш и Бишоп сделали для «Монополии», создатели Google сделали для всего интернета. Точнее, тут надо сказать «делают», потому что в интернете, в отличие от «Монополии», постоянно появляются новые сайты и исчезают старые. Предельная вероятность для сайта дает вам оценку, которую они назвали PageRank, и она отражает истинную геометрию интернета лучше, чем что-либо ранее.

Это действительно осуществляется красиво. Вероятность оказаться в определенном месте интернета – это сложная сумма геометрических прогрессий, как это было с общим количеством зараженных в двух Дакотах, только сейчас у нас не две, а миллиарды Дакот. Кажется, что такое невозможно проанализировать. Однако помните: геометрическая прогрессия может экспоненциально расти, экспоненциально затухать, а на границе между этими вариантами оставаться постоянной. Для описанного случайного блуждания одна из геометрических прогрессий постоянна, а все остальные экспоненциально затухают. Их вклад становится все меньше и меньше по мере блуждания. Мы можем увидеть это даже на примере простого блуждания комара по двум болотам из главы 4. Анализ показал, что треть времени комар проведет на одном из болот. Однако мы можем уточнить: если комар начинает свой путь с болота 1, то вероятность того, что он окажется в болоте 1 через день, равна 0,8, через два дня – 0,66, а через три дня – 0,562[479]; мы можем объединить их в такой ряд:

1, 0,8, 0,66, 0,562, 0,493…

и со временем они будут стремиться к числу 1/3 – долгосрочной вероятности нахождения комара в этом болоте. Эта последовательность не геометрическая прогрессия, а результат (полагаю, это вас уже не удивит) сложения двух прогрессий. Одна их них – постоянная:

1/3, 1/3, 1/3, 1/3, 1/3…

а другая – нет, и каждый ее член на 70 % меньше предыдущего:

2/3, 14/30, 98/300…

Со временем эта вторая прогрессия неумолимо сходится практически к нулю, оставляя лишь постоянный рефрен: 1/3.

Что верно для двух болот, то верно и для миллиардов сайтов. Операция случайного блуждания устраняет все несущественные затруднения с сетью. В конце остается одна постоянная геометрическая прогрессия – единственное неизменное число, в то время как все остальное исчезает, как при удержании клавиши фортепиано остается чистый тон, пока не стихнут гармоники. Оставшееся число – это и есть PageRank.

НОТЫ В АККОРДЕ

Столь замысловатое наложение сотен тысяч взаимосвязанных моделей, геометрических прогрессий или чего-нибудь еще более устрашающего поначалу может показаться несколько вычурным, как доньютоновская теория эпициклов, согласно которой движение планет представлялось в виде сложной комбинации круговых движений, когда планета двигалась по кругу, центр которого двигался по другому кругу[480]. Или, если уж на то пошло, как волновая теория Эллиотта с ее маленькими и средними волнами, накладывающимися на ультра-супермегациклы. Однако собственные значения – это настоящая математика, и она повсюду. Они находятся в сердце квантовой механики, и я бы хотел рассказать эту геометрическую историю здесь. Пожалуй, я расскажу одну ее маленькую часть, поскольку она дает мне возможность разместить в конце главы настоящее математическое определение. Хватит неопределенности, давайте вычислять!

Рассмотрим бесконечную последовательность – и не просто бесконечную, а бесконечную в обе стороны:

… 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8…

Такую последовательность можно сдвинуть на одно место влево:

… 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16…

В этом случае происходит нечто очень интересное: сдвиг последовательности на один шаг влево – то же самое, что и удвоение каждого члена. Причина в том, что эта последовательность – геометрическая прогрессия! Если бы я взял прогрессию со знаменателем 3, то сдвиг умножал бы каждый член последовательности на 3. Но если бы я использовал последовательность, не являющуюся геометрической прогрессией, например:

…–2, –1, 0, 1, 2…

то сдвинутый вариант

…–1, 0, 1, 2, 3…

не был бы кратным для исходной последовательности. Последовательности с тем особым свойством, что сдвиг умножает их на какое-то число (то есть геометрические прогрессии), – это собственные последовательности для операции сдвига, а число, на которое умножается такая собственная последовательность, – это собственное значение.

Сдвиг не единственное, что можно сделать с последовательностью. Например, мы можем умножить каждый член на его номер: нулевой член на 0, первый – на 1, второй – на 2, минус первый по порядку – на – 1 и так далее. Давайте назовем эту операцию креном. Если мы проведем крен для нашей геометрической прогрессии (считая нулевым членом 1), то преобразуем

… 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8…

в

…–3/8, –2/4, –1/2, 0, 2, 8, 24…

Эта последовательность не кратна исходной, так что наша геометрическая прогрессия не является собственной последовательностью для преобразования крена. Собственной последовательностью для операции крена будет последовательность вроде этой:

…0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0…

где в позиции 2 стоит единица, а все остальные члены равны нулю.

Проведите крен для этой последовательности, и получите

…0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0…

которая вдвое больше исходной. Поэтому это собственная последовательность для операции крена с собственным значением 2. На самом деле можно показать (вы сможете?), что только последовательности с одним ненулевым членом могут быть собственными последовательностями для преобразования крена. (А как насчет последовательности из одних нулей? Она действительно кратна себе самой хоть при сдвиге, хоть при крене, однако нулевая последовательность не считается; одна из причин – отсутствие способа определить, каким кратным себя она является.)

Возможно, вы слышали, что на нижнем уровне организации материи частица, как правило, не имеет четко определенного положения или импульса, а существует скорее в форме облака неопределенности в отношении того или иного из этих параметров. Можно думать об определении положения как об операции, которую мы можем выполнить над частицей, – точно так же, как совершали операцию сдвига над последовательностью. Если точнее, частица имеет состояние, где фиксируется все о ее текущей физической ситуации, а операция под названием «определение положения» каким-то образом меняет его. Для целей нашего обсуждения неважно, какого рода сущность именуется состоянием[481], но важно, что состояние – это что-то, что можно умножать на число, как последовательность. И точно так же, как собственной последовательностью для операции сдвига была некая последовательность, умножаемая при сдвиге на число, так и собственное состояние для операции определения положения получается путем умножения на число (собственное значение) при такой операции. Оказывается, частица действует так, словно имеет точное положение в пространстве, именно тогда, когда ее состояние является собственным. (И каково же ее положение? Это вы можете узнать с помощью собственного значения.) Однако большинство состояний не являются собственными состояниями, так же как большинство последовательностей – не геометрические прогрессии. Однако, как мы уже видели, более широкий класс последовательностей, например Вираханки – Фибоначчи, часто можно разложить в комбинацию геометрических прогрессий, и так же состояние, не являющееся собственным, можно разложить в комбинацию собственных состояний, где каждое будет иметь собственное значение. Одни собственные состояния проявляются с большей интенсивностью, другие – с меньшей, и именно этот разброс определяет вероятность обнаружить данную частицу в любом конкретном месте.

Аналогичная ситуация и с импульсом частицы: определение импульса – это еще одна операция с состояниями, которую можно представлять как аналог операции крена. Частица с точно определенным значением импульса (а не смутным вероятностным облачком) была бы собственным значением для такого оператора – аналогом собственной последовательности для операции крена.

Итак, у какой же частицы окажутся точно определенными и положение, и импульс? Она была бы аналогом последовательности чисел, которая оказалась бы собственной последовательностью и для сдвига, и для крена. Но такой последовательности не существует! Собственная последовательность для операции сдвига – геометрическая прогрессия. Собственная последовательность для операции крена – последовательность с единственным ненулевым элементом.

Никакая ненулевая последовательность не может одновременно быть и той и другой.

Вот еще один способ доказать этот факт, который еще сильнее приближает нас к квантовой физике. (Оставшаяся часть главы – отличный повод взять бумагу и карандаш, но если вы ее просто бегло прочитаете, я не стану вас осуждать.) Начнем с вопроса: что произойдет, если применить к последовательности обе операции? Скажем, мы начали с последовательности:

Тогда сдвиг дает:

а операция крена, то есть умножения на номер (помните, что число – 3, которое было на первом месте, теперь находится на нулевом месте, число 1 – на минус первом месте и так далее) дает:

Можно было бы назвать эту комбинированную операцию «сдвиг, затем крен» или, для краткости, сдвигокрен[482]. Но почему мы ее делали в таком порядке? Что, если выполнить операцию «сдвиг, затем крен»? Исходная последовательность после операции крена превращается в:

и когда вы затем ее сдвинете, то получите:

Выходит, что креносдвиг – вовсе не то же самое, что сдвигокрен! Мы обнаружили явление, называемое некоммутативностью. Этим вычурным математическим словом обозначается тот факт, что выполнение одного действия, а потом второго не всегда приводит к тому же результату, что и их выполнение в обратном порядке, то есть сперва второе, а затем первое. Школьная математика в основном коммутативна: умножение на 3, а потом на 2 – это то же самое, что умножение на 2, а затем на 3. Некоторые операции в физическом мире тоже коммутативны: например, надевание левой и правой перчаток. В каком порядке их ни надевай, результат будет одинаковым – обе руки в перчатках. Однако попробуйте натянуть туфли раньше носков – и столкнетесь с некоммутативностью.

Но какое отношение это имеет к собственным значениям? Все сводится к разности между креносдвигом и сдвигокреном. Вычтем сдвигокрен из креносдвига:

и получим последовательность:

Но ведь именно с нее мы и начинали! (Ну, если точнее, это – ее сдвиг.) На самом деле неважно, с какой последовательности вы начнете, – разность между креносдвигом и сдвигокреном всегда будет сдвигом первоначальной последовательности. А теперь предположим, что вы каким-то образом умудрились найти загадочную последовательность S, которая является собственной и для операции сдвига, и для операции крена: допустим, например, что сдвиг S – это утроенная S, а крен S – это удвоенная S. В этом случае крен сдвига S – это крен утроенной S, а потому должен быть 6S[483]. Аналогичные рассуждения показывают, что и сдвиг крена S – тоже 6S. Следовательно, разность между креносдвигом и сдвигокреном – это последовательность из одних нулей. Однако эта разность – сама по себе сдвиг S! Стало быть, последовательность S – нулевая, а, как было оговорено ранее[484], ее мы не учитываем.

Идея собственной последовательности – понять, когда такие операции, как сдвиг и крен, действуют подобно умножению. Однако умножения коммутируют между собой, а сдвиг и крен – нет. Вот вам и нестыковка! Операции как бы похожи, но не совсем. С той же нестыковкой столкнулся Уильям Роуэн Гамильтон при определении своих любимых кватернионов. Он хотел рассматривать поворот как своеобразное число, но повороты не коммутировали: результат поворота на 20 градусов вокруг одной оси и последующего поворота на 30 градусов вокруг другой оси оказывался вовсе не тем же самым, что результат тех же двух поворотов, выполненных в обратном порядке. Чтобы получить «числа», моделирующие вращения, ему пришлось отказаться от аксиомы коммутативности. (Разумеется, некоторые повороты могут коммутировать, – например, если производятся вокруг одной оси. Стоит отметить, что в этом случае любая точка на этой общей оси остается неподвижной при обоих поворотах; это собственное направление для обоих поворотов сразу, причем собственное значение в обоих случаях равно 1.)

Ситуация в квантовой физике во многом похожа. Операторы определения положения и импульса не коммутируют. И разница между положением импульса и импульсом положения для состояния частицы – это просто… ну, не само это состояние, а состояние, умноженное на некоторое число, известное как постоянная Планка и обозначаемое ħ[485]. В частности, это означает, что разность не может быть нулевой[486], откуда, в свою очередь, следует, что состояние частицы не может быть собственным одновременно и для оператора определения положения, и для оператора определения импульса. Иными словами, у частицы нельзя одновременно точно определить и положение, и импульс. В квантовой механике это утверждение называется принципом неопределенности Гейзенберга, и он окружен покровом тайны и загадочности. Хотя на деле это всего лишь собственные значения.

Очевидно, мы многое опустили[487]. Мы постоянно говорим, что массу интересных последовательностей можно представить в виде комбинации геометрических прогрессий и что состояние частиц можно разложить как комбинации реальных собственных состояний. Но как на практике это реализовать? Вот пример из более классической части физики. Звуковую волну можно разложить на чистые тона, которые представляют собой собственные значения для какой-то операции; их собственное значение определяется частотой – нотой, которую они дают. Если вы слышите аккорд до мажор, то это комбинация трех собственных волн: с собственным значением до (C), с собственным значением ми (E) и с собственным значением соль (G). Для разделения волны на составляющие собственные значения применяют математический механизм под названием преобразование Фурье. Эта область математики появилась только в XIX веке, и в этой интересной истории переплетаются анализ, геометрия и линейная алгебра.

Однако вы способны услышать отдельные ноты в аккорде, даже если не знаете анализа! Причина в том, что это геометрическое вычисление, на разработку которого у математиков ушли сотни лет, также умеет выполнять изогнутый кусок плоти в вашем ухе, именуемый улиткой[488]. Геометрия существовала в наших телах задолго до того, как мы научились излагать ее на страницах книг.

Глава 13. Складка в пространстве

Одним из первых примеров применения теории случайных блужданий Маркова была работа венгерского математика Дьёрдя Пойа и его ученика Флориана Эггенбергера, посвященная распространению явлений в двумерном пространстве. Игнорируя презрение неистового русского к практической реализации, они использовали марковские процессы[489] для моделирования оспы, скарлатины, крушений поездов и взрывов паровых котлов. Эггенбергер назвал диссертацию «Вероятностная инфекция» (поскольку она была на немецком языке, ученый обошелся одним словом: Wahrscheinlichkeitsansteckung).

Распространение болезни в виде случайного блуждания в пространстве можно представить следующим образом. Предположим, мы начинаем в какой-то точке квадратной сетки, похожей на карту Манхэттена. Точка – это инфицированный вирусом человек. Его личные контакты – это четыре человека в соседних точках сетки. Для максимальной простоты допустим, что каждый человек ежедневно заражает всех людей, которым не повезло быть его соседями.

У каждого человека есть четыре соседа по сетке, поэтому можно подумать, что мы увидим экспоненциально растущую пандемию с R_0 = 4. Но это не так. Через день инфицированы пятеро:

через два дня – 13:

а через три – 25:

Получается последовательность: 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113… Она растет быстрее, чем арифметическая прогрессия (разница между соседними членами не постоянна, а увеличивается)[490], но медленнее любой геометрической. Поначалу каждый член превышает предыдущий более чем вдвое, но далее вы видите, что 113/85 – уже всего лишь 1,33.

При построении своей первой модели заболевания мы видели, что случаи заражения росли в геометрической прогрессии. Эта модель другая, потому что мы думаем не только о том, сколько людей инфицировано, но и о том, где и насколько далеко они находятся друг от друга. Мы учитываем геометрию. Геометрия такого рода эпидемии – диагонально ориентированный квадрат[491] с центром в нулевом пациенте, постепенно расширяющийся день ото дня с постоянной скоростью. Это совершенно не то, что мы видели в случае COVID-19, который, казалось, охватил весь мир за несколько недель.

Почему же рост такой медленный? Потому что встреченные вами четыре человека – это не четыре человека, выбранные наугад из всего населения Северной Дакоты, а люди рядом с вами. Если вы – вот этот человек:

то заражены сразу двое из тех четверых, с кем вы будете контактировать. Еще неинфицированный человек к северу от вас получит вирус и от вас, и от своего западного соседа. Вирус распространяется избыточно, снова и снова сталкиваясь с одними и теми же людьми.

Все это должно напомнить нам о нерешительном комаре, который все время крутится около одного квартала города и крайне медленно отваживается отлетать от места своего рождения. Места, куда комар может попасть за n дней полета, – это внутренняя часть квадрата радиусом n, а это не так уж и много. Трудно быстро изучить геометрическую сеть – хоть комару, хоть вирусу.

Пандемии обычно действуют именно так. Эпидемия чумы, известной как черная смерть, началась в Европе в Марселе и Сицилии в 1347 году, а затем устойчивой волной прокатилась по Европе, однако понадобилось около года, чтобы она добралась до Северной Франции и охватила Италию, еще год, чтобы пересечь Германию, и еще один, чтобы достичь России.

Совсем не так было с масштабной эпизоотией конского гриппа в Северной Америке в 1872 году. Она называется эпизоотией, а не эпидемией, поскольку греческое слово «демос» означает «народ», а люди конским гриппом не болеют. Слово epizootic сейчас мало используется, но конский грипп 1872 года оставил такой след в жизни американцев, что словосочетание «конский грипп» вплоть до XX века было сленговым названием для не поддающейся классификации болезни[492] – животных или человека. Один корреспондент в Бостоне сообщал, что «по крайней мере семь восьмых[493] от общего числа животных в городе страдают от этой болезни», а Торонто, где осенью 1872 года и началась эпизоотия, окрестили «огромной больницей для заболевших лошадей»[494]. Представьте, что все легковые и грузовые автомобили заболели гриппом, и сможете осознать масштаб последствий.

Начавшись в Торонто, конский грипп распространился по большей части континента, однако не такой плавной расширяющейся волной, как черная смерть.

Болезнь пересекла границу и приземлилась в Буффало 13 октября 1872 года; 21 октября она вступила в Бостон и Нью-Йорк, а через неделю ее выявили в Балтиморе и Филадельфии. Но во внутренние города вроде Скрантона и Уильямспорта, которые расположены ближе к Торонто, она добралась только в начале ноября. К тому времени лошади уже болели намного южнее – до самого Чарльстона. Продвижение на запад было таким же неравномерным: на второй неделе января грипп обнаружили в Солт-Лейк-Сити, а в середине апреля – в Сан-Франциско, однако в Сиэтл он добрался только в июне, хотя по прямой от Торонто до него такое же расстояние.

Причина в том, что грипп не распространяется по прямым, а передвигается, как поезд. Трансконтинентальная железная дорога, которой тогда было всего три года, перевезла лошадей и болезнь из центра страны непосредственно в Сан-Франциско, а железнодорожные линии, соединявшие Торонто с крупными прибрежными городами и Чикаго, привели к ранним вспышкам заболевания[495]. Путешествия в места, удаленные от железных дорог, шли медленнее, поэтому и эпизоотия добралась туда позже.

СКЛАДКА В ПИЦЦЕ

В переводе с греческого слово «геометрия» означает «измерение земли», и именно этим мы сейчас и занимаемся. Задать геометрию на участке земли, множестве людей или множестве лошадей – это, по сути, определить некоторое число для любых двух точек и интерпретировать его как расстояние между ними. Фундаментальная идея современной геометрии состоит в том, что сделать это можно разными способами, и каждый будет означать другую геометрию. Мы уже сталкивались с этим, когда определяли степень родства на генеалогическом дереве. Но даже когда мы рисуем точки на карте, у нас есть несколько геометрий на выбор. Есть геометрия прямых, когда расстояние между любыми двумя городами – это длина отрезка, соединяющего их между собой[496]. А есть геометрия, в которой расстояние между двумя городами определяется так: сколько времени вам понадобится, чтобы добраться от одного населенного пункта до другого в 1872 году, и она более удобна для эпизоотии[497]. В такой метрике (метрика – это термин, который в геометрии используется вместо громоздкого выражения «определение расстояния для каждой пары точек») Скрантон находится дальше от Торонто, чем Нью-Йорк, хотя гораздо ближе по прямой. Вы можете придумывать что угодно – это математика, а не школа! Возможно, ваша метрика – это «расстояние между двумя городами в списке всех городов США в алфавитном порядке», и тогда Скрантон снова станет ближе к Торонто, чем Нью-Йорк.

Идея, что геометрия не фиксирована, а может меняться в соответствии с нашей волей, знакома нескольким поколениям читающих американских детей по следующей картинке:

Это геометрическая демонстрация миссис Чтотут – одной из трех межпланетных ведьм/ангелов, которые помогают трем детям победить космическое зло в фильме «Излом времени»[498]. Как они пересекают вселенную быстрее света? «Мы научились срезать углы где только можно, – поясняет она. – Как в математике».

Муравей находится близко к одному концу нитки, но очень далеко от другого. Однако переместите нить в пространстве вот так:

и расстояние уменьшится почти до нуля, что позволит муравью быстро перебраться с одной руки на другую. «Теперь вы видите, – объясняет миссис Чтотут, – что он оказался здесь без длительного путешествия. Вот так мы и путешествуем». Сгибание нити – та складка, которая дала название книге. Ведьмы называют этот метод «тессерактом». В контексте 1872 года такой метод называется «железной дорогой». Рельсы, соединяющие Чикаго и Сан-Франциско, – это изменение геометрии континента, которое делает две точки гораздо ближе друг к другу, чем мы могли наивно полагать. Но точки могут и отдалиться! Эпизоотия 1872 года добралась до Никарагуа, но не попала в Южную Америку. Причина: Панамский перешеек представлял собой «почти непроходимые болота[499] с крутыми и труднодоступными горами» для потенциальных путешественников. Колумбия и Никарагуа находятся почти рядом на поверхности Земли, но в метрике конных путешествий фактически расположены на бесконечно большом расстоянии друг от друга.

Современный мир буквально покрыт такими складками. Еще до того, как мы узнали о пандемии, коронавирус летал на самолетах между Китаем и Италией, Италией и Нью-Йорком, Нью-Йорком и Тель-Авивом. Если бы мы по какой-нибудь причине не знали о существовании такой вещи, как самолет, то могли бы догадаться об этом по характеру распространения заболевания. И все же стандартная геометрия поверхности планеты по-прежнему играет свою роль. Сильнее всего в США весной 2020 года пострадали не города с международными аэропортами и не путешествующие на авиалайнерах сливки общества, а места, куда можно было доехать из Нью-Йорка на машине. Пандемии распространяются и быстро, и медленно, на каком бы транспортном средстве мы ни перемещались.

«Если выражаться на языке Евклида[500], на языке старомодной геометрии плоскости, – продолжает миссис Чтотут, – то прямая линия – это не кратчайшее расстояние между двумя точками»[501]. Однако в новомодной геометрии мы можем заступиться за Евклида. Какова кратчайшая линия между двумя точками на поверхности Земли, например между Чикаго и Барселоной? Она не может быть прямой (если вы не отличный землекоп), потому что, в отличие от евклидовой плоскости, поверхность Земли изогнута. На поверхности сферы нет прямых линий.

Однако должен быть кратчайший путь. И он может проходить вовсе не там, где вы думаете. Чикаго и Барселона находятся примерно на одной широте – 41 градус. Если вы соедините их прямой линией на карте и будете по ней двигаться, то вам придется проехать по 41-й параллели на восток примерно 4650 километров. Но это много! Кратчайший путь пройдет севернее, по дуге, которая покидает Северную Америку около маленького городка Конш на Ньюфаундленде, где перерабатывают треску, а самая северная точка траектории в Атлантике окажется примерно на широте в 51 градус. Это сократит ваше путешествие больше чем на триста километров.

Идея, что двигаться на запад или восток по широте означает движение по прямой, кажется логичной, но это одно из тех внешне привлекательных утверждений, которые рушатся, как только вы начинаете размышлять, что это значит на самом деле[502]. Предположим, находясь в двух метрах от южного полюса, вы двигаетесь строго на запад. Через несколько секунд вы опишете очень маленькую и очень холодную окружность. У вас не будет ощущения, что вы идете по прямой. Доверьтесь своим чувствам.

Наилучшее представление о прямых на сфере у Евклида было с самого начала: мы просто определяем прямую как кратчайший путь. (На деле это скорее больше похоже на отрезок, который, в отличие от прямой, имеет начало и конец.) Оказывается, все кратчайшие пути на сфере – это части больших кругов, названных так потому, что это самые большие круги, которые можно нарисовать на сфере, – круги, проходящие через две ее противоположные точки[503]. Большой круг – это то, что мы подразумеваем под прямой на сфере. Экватор – это большой круг, а вот остальные параллели – нет. Меридиан вместе со своим продолжением на противоположной стороне планеты тоже составляет большой круг, поэтому движение строго на север или на юг можно назвать движением по прямой. Если вас беспокоят асимметрии между направлениями север – юг и запад – восток, то просто вспомните, что оно заложено в нашем способе определять широту и долготу. Меридианы пересекаются на полюсах, параллели нет. Западного полюса не существует.

Хотя мы могли бы его устроить! Мы можем сделать полюс, где захотим. Например, ничто не мешает нам заявить, что один полюс находится в пустыне Кызылкум в Узбекистане, а другой – в противоположной точке Земли, в южной части Тихого океана. Инженер-программист из Нью-Йорка Гарольд Купер составил такую карту. Почему именно такую? Потому что тогда около дюжины меридианов (или, как называет их Купер, «авеню») проходят вдоль по Манхэттену, а перпендикулярные им параллели – это поперечные улицы. Иными словами, вы можете расширить сетку улиц Манхэттена на остальную часть земного шара[504]. Математический факультет Висконсинского университета находится на углу 5086-й авеню и минус 3442-й Западной улицы, что, возможно, объясняет нашу атмосферу и энергетику.

То, что мы рисуем на своих картах параллели в виде прямых линий, – наследие изобретателя карт Герарда Меркатора[505]. При рождении он был Кремером, но по моде ученых своего времени взял латинизированную версию имени: латинское слово Mercator, как и нижненемецкое слово Kremer, означает «купец, торговец». (Если бы я сделал то же самое, меня звали бы Jordanus Cubitus[506], что звучит неплохо.) Меркатор изучал математику и картографию у фламандского мастера Геммы Фризиуса, написал популярное руководство по начертанию шрифтов, просидел в тюрьме часть 1544 года по подозрению в протестантской ереси, разработал и преподавал курс геометрии в Дуйсбурге, а также создал множество карт. Сегодня его имя известно благодаря карте 1569 года, которую Меркатор назвал Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata («Новое и наиболее полное представление земного шара, приспособленное для использования в навигации»), где он применил то, что мы сейчас называем проекцией Меркатора.

Карта Меркатора была удобна для моряков, поскольку их не волновал кратчайший путь: им было важно не заблудиться. В море вы с помощью компаса можете выдерживать курс под определенным углом к направлению на север (точнее, на магнитный полюс, который от северного не так далеко). В проекции Меркатора меридианы были вертикальными прямыми, параллели – горизонтальными, а все углы на карте – такими же, как и в реальной жизни. Поэтому если курс лежит строго на запад, или на 47 градусов от северного направления, или куда-то еще и вы намерены его придерживаться, то ваш путь (который называется локсодромой) на карте Меркатора будет изображен в виде прямой линии. Если у вас есть карта и транспортир, то вы легко увидите, в какую точку берега приведет вас локсодрома.

Однако карта Меркатора отображает некоторые вещи неверно, ведь меридианы на ней параллельны и не пересекаются. На самом же деле они встречаются дважды – на полюсах. Следовательно, на севере и на юге с картой Меркатора что-то должно происходить не так. Действительно, картограф обрезал свою карту по параллелям, проходящим недалеко от полюсов, чтобы избежать явных искажений Арктики и Антарктики. Чем ближе к полюсам, тем параллели на карте располагаются все дальше и дальше друг от друга, хотя фактически их разделяет одинаковое расстояние. Поэтому объекты в высоких широтах выглядят на изображении больше, чем в реальности. В меркаторовской проекции Гренландия получается величиной с Африку, хотя на самом деле Африка в четырнадцать раз больше.

Нет ли проекции получше? Возможно, вам захочется, чтобы большие круги отображались отрезками прямых (гномоническая проекция), чтобы относительная площадь объектов соответствовала реальной жизни (равноплощадная проекция) и чтобы проекция сохраняла углы (равноугольная (конформная) проекция, к которым относится и меркаторовская). Однако вы не можете сразу получить все эти свойства. Причина – теорема Карла Фридриха Гаусса о пицце. Правда, Гаусс не называл ее так, хотя определенно мог бы назвать, если бы у него в Геттингене XIX века были такие ломтики. Но он назвал ее Theorema Egregium, что на латыни означает «Замечательная теорема». Я не буду утомлять вас точной формулировкой, а просто нарисую изображение.

Гладкая искривленная поверхность, если ее достаточно увеличить, будет выглядеть как одна из этих четырех картинок. Слева мы видим часть сферы, в середине – плоскость и часть цилиндра, справа – нечто типа чипса[507]. Гаусс разработал числовое понятие кривизны; у плоскости и цилиндра кривизна равна 0, у сферической поверхности она положительна, а у чипса – отрицательна. Более сложные поверхности вроде следующей могут иметь положительную кривизну в одних точках и отрицательную – в других.

Оказывается, если вы можете сопоставить одну поверхность с другой так, чтобы сохранялись углы и площади, то сохранится и метрика, – иными словами, геометрия двух поверхностей будет одинакова. Расстояние между двумя точками на одной поверхности будет таким же, как и между соответствующими точками другой поверхности.

«Замечательная теорема» гласит: если вы можете спроецировать одну поверхность на другую таким образом, чтобы геометрия оставалась неизменной (иными словами, если вам разрешено изгибать ее и крутить, но не растягивать), то кривизна должна остаться той же самой. Апельсиновая корка – это кусок сферы, а потому имеет положительную кривизну, следовательно, вы не можете расплющить ее на плоскости, ведь у плоскости кривизна нулевая. А кусок пиццы, вырезанный из плоского круга, имеет нулевую кривизну, и его можно свернуть в цилиндрическую форму нулевой кривизны, загнув кончик:

или завернув с обоих краев:

Однако нельзя сделать и то и другое одновременно[508], поскольку получится чипс. Пицца – это не чипс, и ее нельзя сделать чипсом, поскольку кривизна чипса отрицательная, а не нулевая. Вот почему, когда вы идете по Амстердам-авеню с только что купленным куском пиццы, вы загибаете его края вверх: потому что кривизна пиццы и теорема Гаусса не дадут кончику пиццы загнуться вниз, и горячий сыр не капнет вам на рубашку.

Совершенно не обязательно понимать всю замечательность «замечательной теоремы», чтобы осознать, что нельзя получить карту сферической Земли, которая удовлетворяла бы всем вашим геометрическим требованиям. Эта проблема отражена еще в старой загадке. Охотник проснулся, вылез из палатки и стал искать медведя. Он прошел десять километров на юг – медведя нет; прошел десять километров на восток – медведя тоже нет; прошел десять километров на север и увидел медведя прямо перед своей палаткой.

Вопрос: какого цвета был медведь?

Если вы не знаете этой загадки, вот другая версия. Начните путешествие из Либревиля в Габоне примерно на экваторе, двигайтесь строго на север до Северного полюса, поверните на 90 градусов направо и возвращайтесь на юг, пока не наткнетесь на экватор около городка Батаан на Суматре; наконец, снова поверните на 90 градусов направо и двигайтесь по экватору на запад на четверть его длины, пока не вернетесь обратно в Либревиль.

Вспомните, что наша воображаемая идеальная проекция должна использовать дуги большого круга в качестве прямых. Пройденный путь полностью состоял из дуг больших кругов, поэтому на нашей воображаемой идеальной карте он должен отображаться тремя отрезками, то есть быть треугольником. Однако идеальная карта должна сохранять углы, а мы поворачивали под углом в 90 градусов, значит, и на карте должны получить углы по 90 градусов. Однако треугольник на плоскости не может иметь три прямых угла, так что наша мечта об идеальной карте не сбылась.

Ах да, медведь был белым. Поскольку при описанных условиях палатка должна находиться на Северном полюсе[509], так что это был полярный медведь.

(Ха!)

КАКОЕ У ВАС ЧИСЛО ЭРДЁША – БЕЙКОНА?

При переходе от геометрии плоской карты к геометрии сферы уже появляется довольно богатая математика. Однако давайте обратимся к еще более радикальным отклонениям от книги Евклида. Как насчет геометрии кинозвезд? Я не об изгибах и плоскостях их тел (хотя о них написано предостаточно), а о сети, которую образуют их связи при совместной работе. Чтобы актеры обладали геометрией, нам нужна метрика, показывающая, насколько далеко они отстоят друг от друга. Для этого введем расстояние по совместному участию в фильмах. Будем считать, что между двумя актерами есть соединяющее звено, если они снимались в одном фильме. Джордж Ривз снимался в фильме «Отныне и во веки веков» вместе с Джеком Уорденом. Уорден сыграл вместе с Киану Ривзом в фильме «Дублеры». Следовательно, расстояние между Джорджем Ривзом и Киану Ривзом равно 2. Строго говоря, максимум 2, ведь нам надо проверить, нет ли между ними более короткого пути в одно звено (если бы они снимались в одном фильме). Впрочем, Джордж Ривз умер за пять лет до рождения Киану, так что расстояние действительно равно 2.

Однако нам вовсе не обязательно брать киноактеров: такое же расстояние можно определить для любой сети, где происходит совместная работа. На самом деле эту идею намного раньше применили к математикам. Мы считаем, что два математика соединены звеном, если они написали совместную статью. Геометрия математиков стала игрой на вечеринках после того, как Каспер Гоффман написал в 1969 году в журнале American Mathematical Monthly заметку на полстранички под названием «Какое у вас число Эрдёша?». Ваше число Эрдёша – это расстояние до математика Пала Эрдёша, который считается центральным элементом такой сети благодаря своему огромному числу соавторов – 511 по последним подсчетам (несмотря на то что Эрдёш умер в 1996 году, он периодически образует новые звенья, поскольку другие авторы все еще пишут статьи, пользуясь идеями, которые почерпнули во время общения с ним). Эрдёш был знаменитым эксцентричным ученым, который не имел обычного жилья, не умел (или якобы не умел) готовить и стирать[510], время от времени появляясь в доме у того или иного ученого, доказывая теоремы вместе с хозяином и потребляя лошадиные дозы стимуляторов. (Однажды он отказался присоединиться к группе математиков за чашечкой послеобеденного кофе, объяснив: «У меня есть кое-что получше, чем кофе»[511].)

Ваше число Эрдёша – это длина кратчайшей цепочки, соединяющая вас с венгерским ученым. Если вы – Эрдёш, то ваше число Эрдёша равно 0; если вы не Эрдёш, но написали с ним совместную работу, то ваше число Эрдёша равно 1; если вы не писали совместной статьи, но писали ее с человеком, чье число Эрдёша равно 1, то ваше число Эрдёша равно 2 и так далее. Эрдёш связан практически со всеми математиками, когда-либо писавшими статьи с соавторами, так что число Эрдёша есть практически у каждого математика. Мастер шашек Марион Тинсли имел число Эрдёша 3; у меня оно такое же: в 2001 году я написал статью о модулярных формах с Кристофером Скиннером, который в 1993 году, будучи стажером в Bell Labs, написал статью о дзета-функциях с Эндрю Одлыжко, который написал три статьи с Эрдёшем в 1979–1987 годах. Расстояние между Тинсли и мною равно 4[512]. Мы образуем равнобедренный треугольник.

Этот треугольник выглядит несколько сжатым сверху, потому что Тинсли за свою короткую математическую карьеру написал всего одну совместную статью со своим учеником Стэнли Пейном, так что это звено – и часть цепочки от Тинсли до Эрдёша, и часть цепочки от Тинсли до меня.

А теперь изменим масштаб, чтобы нарисовать 400 000 математиков, которые когда-либо публиковали статьи. Каждую пару соавторов соединим линией-звеном.

Большой кусок на рисунке (на специализированном языке это большая «компонента связности») – это 268 000 математиков, которые каким-то образом соединены с Эрдёшем. То, что похоже на пыль вокруг, – математики, которые никогда не делали совместных публикаций; их примерно 80 000. Остальные математики разбиты на мелкие кластеры, самый большой из которых – это 32 специалиста по прикладной математике из Симферопольского университета в Крыму. Каждый математик в наибольшей компоненте соединен с Эрдёшем цепочкой не более чем из тринадцати звеньев; если у вас вообще есть какое-то число Эрдёша, то оно не превосходит 13.

Может показаться странным, что получилась не куча компонент разной величины, а одна гигантская компонента и множество почти полностью разобщенных математиков-одиночек. Однако мир устроен именно так, и мы знаем об этом факте благодаря самому Эрдёшу. Понятие числа Эрдёша не просто дань общительности ученого; это также дань уважения новаторской работе о статистических свойствах больший сетей, выполненной им совместно с Альфредом Реньи. Вот что они показали. Предположим, у вас есть миллион точек, где под миллионом подразумевается «некое большое число, которое мне незачем уточнять». Допустим, выбрано какое-то число R. Чтобы сделать из этих точек сеть, вы решаете одни пары соединить, а другие – нет; при этом все осуществляется абсолютно случайно – любая пара точек соединяется ребром с вероятностью R на миллион. Скажем, R = 5. Каждую точку можно соединить с миллионом других точек (ну хорошо, с 999 999), но шансы на соединение для каждой всего 5 миллионных. Складывая миллион пятимиллионных, получаем, что каждая точка в среднем соединяется с пятью другими[513]. Число R – среднее число «соавторов» для каждой точки.

Эрдёш и Реньи обнаружили, что существует некое критическое значение. Если R < 1, то сеть практически наверняка распадается на огромное количество несвязных кусков. Однако если R > 1, то с не меньшей уверенностью можно сказать, что получается один гигантский кусок, охватывающий большую часть сети. Внутри этого куска для двух любых точек есть соединяющий путь – как почти у всех математиков есть путь до Эрдёша[514]. Крошечное изменение числа R от 0,9999 до 1,0001 приводит к полному изменению поведения всей сети.

Мы уже видели это. Предположим, что точки – это население Южной Дакоты (а там его как раз около миллиона) и что две точки соединены, если люди контактируют и дышат друг на друга. Это не идеальная модель для распространения инфекции (поскольку не учитывает, что разные люди заразны в разное время), однако вполне приемлемая для консультационной деятельности. Среднее число людей, которых заражает инфицированный человек, равно R; это число срывает свою маску, и оказывается, что оно все время было числом R_0. Меньше 1? Болезнь будет локализована в каком-то небольшом фрагменте сети. Больше 1? Она распространится практически повсюду.

Кроме того, Эрдёш знаменит идеей Книги: он любил говорить, что у Бога есть Книга, в которой содержатся самые сжатые, элегантные и наглядные доказательства теорем. Вам не нужно верить в Бога, чтобы верить в Книгу; сам Эрдёш, хотя и вырос в еврейской семье, был далек от религии. Побывав в католическом Университете Нотр-Дам[515], он заметил, что кампус очарователен, но в нем слишком много знаков плюс (то есть крестов)[516]. И тем не менее он пришел практически к тем же взглядам на математическую реальность, что и набожная Хильда Хадсон; она ведь тоже считала, что поистине хорошее доказательство – это случай проявления прямой связи с божественным. Пуанкаре, который не был верующим, но и не насмехался над верой, относился к подобным откровениям более скептически. Он писал, что если бы какое-то трансцендентное существо знало истинную природу вещей, то оно «не смогло бы найти слов[517], чтобы выразить ее; мы не только не можем предвидеть ответ, но, даже если бы он нам был дан, мы бы все равно ничего не поняли».

ГРАФЫ И КНИЖНЫЕ ЧЕРВИ

Игру Эрдёша на киноактеров переключила в 1990-е годы одна группа скучающих студентов колледжа, которые заметили, что актер Кевин Бейкон, похоже, снимался в фильмах со всеми[518]: он был Эрдёшем для Голливуда 1980-х и 1990-х годов. Поэтому для любого киноактера вы можете определить число Бейкона – это расстояние до Кевина Бейкона в геометрии совместных съемок. Как почти у всех математиков есть число Эрдёша, так почти у всех актеров есть число Бейкона[519]. Мое число Бейкона равно 2, поскольку я снимался с Октавией Спенсер в фильме «Одаренная», а она сыграла в 2005 году роль клиентки в фильме «Салон красоты» с певицей Куин Латифой, где Бейкон играл Джорджа. Поэтому мое число Эрдёша – Бейкона: 3 + 2 = 5. Клуб людей с определенным числом Эрдёша – Бейкона довольно мал. Даника Маккеллар, которая подростком играла в телесериале «Чудесные годы» и, по мнению всех моих друзей, учивших ее в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, сделала бы блестящую карьеру в математике, если бы не предпочла актерскую профессию, имеет число Эрдёша – Бейкона, равное 6. Николас Метрополис[520] разработал и дал свое имя одному из важнейших алгоритмов при случайных блужданиях, который помог реализовать мечту Больцмана о понимании свойств газов, жидкостей и твердых тел путем последовательного анализа движения молекул и их бильярдных столкновений. Однако для нас сейчас важнее, что он сыграл эпизодическую роль в фильме Вуди Аллена «Мужья и жены» и тем самым обошел меня с числом Эрдёша – Бейкона: у него оно 2 + 2 = 4[521].

Математики обычно не называют такие сети сетями; мы называем их графами, и они не имеют ничего общего с графиками функций, которые вы, возможно, рисовали в школе. Мы виним в этом химиков. Предельные углеводороды (парафины или алканы) – это вещества, молекулы которых состоят только из атомов углерода и водорода. Самый простой из них – один атом углерода и четыре атома водорода – это метан (газ «коровья отрыжка вызывает глобальное потепление»). Слово «парафин» может напомнить вам о парафиновом воске, различные молекулы которого содержат уже десятки атомов углерода. Химики XIX века определяли, сколько углерода и водорода содержится в каждом соединении, проводя «элементный анализ» (это причудливый способ сказать «подожгите и посмотрите, сколько выделится двуокиси углерода, а сколько воды»). Однако вскоре они начали понимать, что существуют молекулы с одинаковыми формулами, но при этом с разными свойствами. Они пришли к мысли, что дело не только в количестве атомов. Молекулы обладают геометрией. Одни и те же атомы могут располагаться по-разному.

Бутан – вещество, сгорающее в зажигалке Zippo, – имеет формулу C_4H_10: четыре атома углерода, десять атомов водорода. Эти атомы углерода можно расположить в цепочку:

а можно в виде буквы Y, что дает молекулу под названием изобутан.

Чем больше у нас атомов углерода, тем больше разных геометрий можно построить. Октан, как следует из его названия, содержит восемь атомов углерода: его формула C_8H_18. В стандартной форме все они выстроены в одну линию. Однако октан, входящий в состав вашего бензина и обеспечивающий плавную езду, выглядит так:

Его научное название – 2,2,4-триметилпентан. Я понимаю, почему на бензоколонках не пишут 2,2,4-триметилпентановое число. Однако обычная номенклатура приводит к довольно странному факту, что у октана крайне низкое октановое число[522].

Молекула – это сеть; точки – атомы, между которыми есть связи. В предельных углеводородах атомы углерода не образуют замкнутого цикла, поэтому сеть атомов углерода – это дерево, как в случае позиций для шашек.

Оказывается, каждый атом углерода образует связи с четырьмя другими атомами, а атомы водорода моногамно обходятся одной. Вы можете убедиться, что две изображенные выше молекулы бутана охватывают все способы соединить четыре С и десять H. Для пентана, с его пятью атомами углерода, получается три способа:

а для гексана – пять способов (я не стану на этот раз рисовать водород):

Снова последовательность Вираханки – Фибоначчи! Однако нет: для гептана с семью атомами углерода существует не восемь, а девять вариантов цепи. Маленьких чисел не так уж много, а потому при подсчете может происходить перекрытие. Это проблема стандартизированных тестов; вы вполне можете спросить ученика: «Какое число будет следующим в последовательности 1, 1, 2, 3, 5?» И если он ответит: «Девять, потому что я решил, что мы подсчитываем количество предельных углеводородов», то вам придется признать, что этот всезнайка заслужил зачет[523].

Хорошая картинка все проясняет чудесным образом. Химики значительно продвинулись в своем понимании, когда начали рисовать изображения вроде представленных на этих страницах, которые назвали графической нотацией. Математики тоже вдохновились новыми геометрическими вопросами, обнаруженными химиками, и быстро перенесли их в область чистой математики. Сколько тут разных структур молекул и как можно организовать весь этот дикий геометрический зоопарк? Алгебраист Джеймс Джозеф Сильвестр одним из первых серьезно взялся за эти вопросы. Он писал, что химия оказала «животворящее и вдохновляющее влияние на алгебраистов»[524]. Он сравнил такое действие на математический ум с вдохновением, которое поэты черпают из картин:

В поэзии и алгебре[525] мы имеем чистую идею, разработанную и выраженную посредством языка, а в живописи и химии идея, заключенная в материи, для должного проявления частично зависит от процессов обработки и ресурсов искусства.

Сильвестр взял выражение «графическая нотация»[526], используемое химиками, и на его основе придумал термин «граф», которым мы пользуемся до сих пор.

Сильвестр был англичанином, но также в каком-то смысле и первым американским математиком; в шестьдесят лет он стал первым профессором математики в только что открывшемся Университете Джона Хопкинса в 1876 году – в те времена, когда американской математики практически не существовало и студентам приходилось ехать в Германию, чтобы научиться чему-нибудь серьезному. Он выглядел как выдающийся пожилой ученый. Один из современников описывал Сильвестра как «гигантского гнома с бородой[527] на огромной груди, к счастью без шеи, поскольку ни одна шея не выдержала бы такую чудовищную голову – лысую, за исключением перевернутого ореола волос, покрывающего место ее соединения с широченными плечами». Все обращали внимание на огромную голову Сильвестра. Фрэнсис Гальтон, статистик и энтузиаст френологии, говорил своему ученику Карлу Пирсону: «Было настоящим удовольствием наблюдать[528] за этим громадным куполом». (Гальтон жаловался на открытие Пирсона, что объем черепа не коррелировал с интеллектуальными достижениями, во что всегда верил большеголовый Гальтон.)

Развитие математики в Америке могло начаться намного раньше, поскольку Сильвестр еще в 1841 году был принят на работу в Вирджинской университет. Это может показаться идеальным местом, поскольку Вирджиния была университетом любителя математики Томаса Джефферсона, а одним из неукоснительных требований при поступлении была «демонстрация досконального знания Евклида»[529]. Однако дела не задались с самого начала. Если у вас есть знакомые, которые любят сетовать на то, какие нынче наглые студенты американских колледжей, посоветуйте им прочитать о студентах американских колледжей начала XIX века. Из Йельского университета в 1830 году[530] были исключены 44 человека, включая сына вице-президента Джона Кэлхуна, после отказа сдавать итоговый экзамен по геометрии из-за изменения его условий, а именно запрета пользоваться справочной литературой. Событие стало известно как «Восстание конических сечений». В Вирджинии студенческие волнения перешли от неподчинения в классе к откровенному насилию. Студенты собирались толпами и скандировали: «Долой европейских профессоров», а швыряние камней в окна неугодных преподавателей было совершенно обычным делом. В 1840 году студенты-бунтовщики[531] застрелили непопулярного профессора права.

Сильвестр был не только европейцем, но и евреем. Одна местная газета заявляла, что жители Вирджинии – «христиане, а не язычники, не мусульмане, не евреи, не атеисты» и что профессора должны соответствовать такому же религиозному стандарту. Назначению Сильвестра препятствовал тот факт, что он, строго говоря, не имел степени. Это тоже было связано с религией. Кембридж требовал, чтобы выпускники заявляли о своем согласии с документом «Тридцать девять статей англиканского вероисповедания», чего Сильвестр сделать не мог. К счастью, Тринити-колледж в Дублине, который должен был принимать не только студентов-протестантов, но и католиков, такой присяги не требовал и незадолго до поездки в Америку присвоил Сильвестру степень бакалавра.

Сильвестр, в то время не производивший впечатления физически сильного человека (несмотря на голову), был едва старше тех, кого обучал, и в результате все его старания поддерживать в классе дисциплину натыкались на дерзость и презрение. Попытка наказать Уильяма Балларда из Нового Орлеана за чтение книги под столом во время занятий вылилась в спор, с которым пришлось разбираться всему факультету. Баллард обвинил Сильвестра в худшем, что только мог вообразить: что профессор обращается к нему так, как белый в Луизиане разговаривает с рабом. К великому разочарованию Сильвестра, многие из его коллег смотрели на вещи так же, как Баллард. Впрочем, с этого момента стало еще хуже. Позже в том же семестре Сильвестр совершил ошибку: на устном экзамене он заметил какие-то оплошности в ответе одного студента, в результате старший брат этого парня решил вступиться за честь своей семьи и ударил Сильвестра по лицу. Ученый, конечно же зная о судьбе непопулярного профессора права, предусмотрительно носил с собой трость с вложенной шпагой, которую и пустил в дело. Брат студента не пострадал, но карьере Сильвестра в Вирджинском университете пришел конец. Несколько месяцев он ездил по Соединенным Штатам в поисках более подходящего места и почти получил должность в Колумбийском университете, но препятствием опять послужила религия. Попечители сказали ему (видимо, это казалось им оправданием), что у них нет никакого предубеждения к иностранным профессорам и они точно так же сочли бы американского еврея неподходящим для этой должности. Эта неудача помешала также его матримониальным планам в Нью-Йорке.

«Моя нынешняя жизнь сейчас практически пуста», – вспоминал Сильвестр. Он вернулся в Англию[532], одинокий и безработный, перебивался различными заработками: был актуарием, юристом, частным преподавателем математики у Флоренс Найтингейл, одновременно занимаясь алгеброй. Вернуться к университетской жизни ему удалось только через десять лет. Из-за пересекших Атлантику слухов из Вирджинского университета люди верили, что он убил ребенка, на которого напал с оружием в трости. Сильвестр также отличался неприятной склонностью к ученым склокам, о чем можно догадаться по его работам вроде опубликованной в 1851 году «Объяснения совпадения теоремы, приведенной мистером Сильвестром в декабрьском номере этого журнала, с теоремой, изложенной профессором Донкином в июньском номере», которое я перескажу: «Хотя я иногда пишу статьи в ваш журнал, я не читаю его регулярно, поэтому не заметил более раннюю работу Донкина, относящуюся к теореме, которую я на самом деле доказал еще девять лет назад, но никому не показывал, поскольку решил, что она слишком проста и наверняка уже где-то опубликована». Он заканчивает весьма сдержанным извинением перед Донкином (здесь я должен цитировать – настолько это выразительно звучит), «чья высокая и заслуженная репутация, не говоря уже о бескорыстной любви к истине ради самой истины без учета личных соображений, а также вдохновляющий труд подлинного служителя науки должны сделать его безразличным к почестям, которые, как предполагается, могут проистекать от авторства или первой публикации этой очень простой (хотя и важной) теоремы». Он подавал заявку на профессуру в Грешем-колледже[533] по геометрии (та должность, которую позже занимал Карл Пирсон) и получил отказ. Сильвестр так никогда и не был женат.

Несмотря на все эти препирательства, в конце концов он все-таки занял место в официальной английской математике середины XIX века, участвуя в создании предмета, который сегодня мы называем линейной алгеброй. Для Сильвестра она была неотделима от геометрии пространства, к которой он постоянно возвращался. Линейная алгебра позволяет расширить наши интуитивные представления о трехмерном пространстве на пространства любой размерности[534], так что разум естественным образом обращается к вопросу, не живем ли мы на самом деле в пространстве большей размерности. Сильвестр любил метафору «книжного червя» – идеально плоского существа, которое живет в двумерном листе бумаги, не имея ни понятия о существовании более широкого мира, ни возможности его сформировать. Сильвестр задавался вопросом: что, если мы, трехмерные существа, такие же ограниченные? Позволят ли наши способности к воображению превзойти червяка и взглянуть за пределы нашей трехмерной «страницы»? Возможно, предполагал Сильвестр, наш мир «подвергается в пространстве четырех измерений[535] (столь же непостижимом для нас, как наше пространство для предполагаемого плоского червя) каким-то искажениям, аналогичным смятию страницы…». Заметили, что это та же теория, которую излагала миссис Чтотут, только вместо муравья на нити используется книжный червь?

Однажды Сильвестр начал лекцию с извинения: «Красноречивый математик[536] должен по природе вещей оставаться таким же редким явлением, как говорящая рыба», однако это обязательное извинение человека, скорее гордящегося своим умением оперировать словами. Подобно Уильяму Роуэну Гамильтону и Рональду Россу, Сильвестр был поэтом. Он написал, возможно, единственный в истории сонет, адресованный алгебраическому выражению: «Недостающему члену в группе членов в алгебраической формуле»[537]. Сильвестр пошел еще дальше, написав целую книгу «Законы стихосложения», где стремился поставить техническую сторону поэзии на строгую математическую основу. При этом Сильвестр хоть и не сообщает, что когда-либо изучал санскритское стихосложение, принимает ту же точку зрения, что и Вираханка тринадцатью столетиями ранее: ударный слог вдвое длиннее безударного. Для того, что Вираханка называл лагху и гуру, Сильвестр использует музыкальные термины crotchet (четвертная нота) и quaver (восьмая).

Я считаю, что цель Сильвестра – поднять поэзию до уровня математики, а не опустить до него, поскольку Сильвестр определенно думал именно так. Он всю жизнь был противником популярного взгляда на математику как на бессистемную прогулку дедуктивными шагами. Для Сильвестра математика была способом прикоснуться к трансцендентной реальности; чтобы попасть туда, требовалась вспышка интуиции, и только после этого происходило возвращение и строительство логического помоста, чтобы помочь другим тоже туда добраться. Он нападает на традиционную педагогику своего времени, прямо связывая ее с отупляющим англиканским консерватизмом, лишившим его места в академической науке:

Я рано изучил Евклида[538], и это сделало меня ненавистником геометрии, что, я надеюсь, послужит мне оправданием, если я шокировал представления присутствующих в этой комнате (а я знаю, что есть люди, считающие Евклида вторым по святости после самой Библии и одним из форпостов британской конституции) тем тоном, которым ранее упоминал о нем как об учебнике; и тем не менее, несмотря на это отвращение, которое стало моей второй натурой, каждый раз, когда я достаточно глубоко погружался в какой-то математический вопрос, я обнаруживал, что наконец касался геометрического дна.

Он восхищался и Германией, и Америкой, где ощущал тот интеллектуальный ветер, который был невозможен в Англии, и зашел так далеко, что однажды сказал (конечно, перед американской аудиторией: он мог быть невежливым, но не глупцом), что Америка и Германия, несмотря на географию[539], находятся в одном полушарии, а Англия в другом. Тем не менее Сильвестр вернулся в Англию в 1883 году в качестве савильского профессора геометрии[540] в Оксфордском университете; кстати, первым этот пост в свое время занял составитель таблицы логарифмов Генри Бригс. Примерно в то же время Сильвестр посетил молодого Пуанкаре, который в конце XIX века приложил максимум усилий ради освобождения геометрии из евклидовой тюрьмы и настаивал на ее фундаментальном значении для науки.

Недавно я посетил Пуанкаре[541] в его высоком насесте на улице Гей-Люссака в Париже… В присутствии этого могучего хранилища сдерживаемой интеллектуальной силы мой язык поначалу отказался выполнять свои функции, глаза блуждали, и я был в состоянии говорить только спустя некоторое время (может быть, две или три минуты), потраченное на то, чтобы рассмотреть и уловить его внешне юношеские черты.

Впервые за свою долгую жизнь разговорчивый Сильвестр потерял дал речи.

Когда ученый умер в 1897 году, Королевское общество отчеканило в его честь медаль. Первым ее получил Пуанкаре. На ежегодном обеде общества 1901 года он произнес трогательную речь, посвященную старшему коллеге. Сильвестру, несомненно, было бы приятно услышать, как великий геометр восхваляет его математику, говоря, что она обладает «чем-то от поэтического духа Древней Греции».

На обеде присутствовал и сэр Рональд Росс[542]. Представьте, что было бы, если бы он оказался рядом с Пуанкаре и французский математик в духе застольной беседы рассказал ему об одной интересной работе своего студента Башелье по случайным блужданиям на финансовом рынке, а Росс заметил бы связь со своими идеями о блуждающих комарах…

ЧТЕНИЕ МЫСЛЕЙ НА РАССТОЯНИИ

В номере от 15 мая 1916 года журнал для фокусников The Sphinx опубликовал такое объявление:

ЧТЕНИЕ МЫСЛЕЙ НА РАССТОЯНИИ. Вы отправляете по почте какому-нибудь лицу обыкновенную колоду карт, просите его перетасовать их пролистыванием и выбрать одну карту. Затем он возвращает выбранную карту на любое место в колоде и присылает вам только ПОЛОВИНУ колоды, не сообщая, есть ли в ней искомая карта. В ответном письме вы называете карту, которую он выбрал. Цена 2,5 доллара.

ПРИМЕЧАНИЕ. При получении 50 центов я устрою реальную демонстрацию. Тогда, если вы захотите узнать секрет, останется заплатить 2 доллара.

Это объявление разместил Чарльз Джордан, куровод из Петалумы, который в качестве хобби собирал гигантские радиоприемники, а также подрабатывал, выигрывая конкурсы головоломок в газетах. (Он был так хорош[543], что газеты запрещали ему участвовать. Тогда он сколотил группу из нескольких человек, и те отдавали его ответы в обмен на часть прибыли; однажды его схема едва не провалилась, когда одного из его партнеров пригласили в редакцию для проведения тай-брейка[544].) Джордан был также плодовитым изобретателем карточных фокусов. Несмотря на отсутствие математического образования в том смысле, как мы это понимаем, он был пионером в применении математики в фокусах.

Я собираюсь научить вас тому, как читать мысли по почте. Да, я знаю, что фокусник никогда не раскрывает секреты трюков. Но я ведь не фокусник, а преподаватель математики. И секрет трюка Джордана кроется в геометрии тасования карт.

О геометрии тасования карт я узнал от Перси Диакониса, у которого писал дипломную работу. У многих профессиональных математиков довольно предсказуемый путь в науку. Но не у Диакониса – сына мандолиниста и учительницы музыки, сбежавшего из дома в 14 лет, чтобы стать фокусником в Нью-Йорке, затем поступившего в Городской колледж Нью-Йорка, чтобы изучать теорию вероятностей, потому что коллега сказал ему, что это улучшит его карточные навыки. Он встретил Мартина Гарднера, энтузиаста математики и фокусов[545], и тот написал для него рекомендательное письмо, включавшее такие слова: «Я не особо разбираюсь в математике, но этот парень изобрел два лучших карточных фокуса за последние десять лет. Вам следует дать ему шанс». В некоторых местах (например, таких как Принстон) это впечатления не произвело, но в Гарварде работал Фред Мостселлер – не только статистик, но и фокусник-любитель, и Диаконис стал его учеником. Когда я поступил в Гарвард, Перси был там уже профессором.

Вводные математические курсы для аспирантов не имеют в Гарварде определенного учебного плана: профессорам разрешается читать любой материал, который они сочтут подходящим. В осеннем семестре моего первого года обучения алгебру преподавал Барри Мазур, мой будущий научный руководитель, и курс был посвящен его (а позже и моей) области – алгебраической теории чисел. Весной у нас преподавал Диаконис, и целый семестр мы занимались тасованием карт.

Геометрия тасования карт во многом похожа на геометрию кинозвезд и математиков – только она гораздо, гораздо масштабнее. Точки этого пространства – способы, которыми можно упорядочить 52 карты. Сколько существует таких способов? Первую карту из колоды можно выбрать 52 способами. Следующей картой может быть любая из оставшихся в колоде, то есть ее можно выбрать 51 способом. Поэтому всего получается 52 × 51 = 2652 способа выбрать две карты. Третья карта выбирается 50 способами, что дает нам для первых трех карт 52 × 51 × 50 = 132 600 способов. Продолжая в том же духе, мы получим, что количество способов упорядочить 52 карты равно произведению всех чисел от 52 до 1. Это число обычно обозначается 52![546] и читается как «52 факториал», хотя в XIX веке его предлагали назвать «52 восхищение» – в соответствии с типографским знаком. Факториал числа 52 – это 67-значное число, и я не собираюсь загружать вас его точным значением. Но поверьте, оно определенно намного больше, чем число математиков или кинозвезд.

(Конечно, эта геометрия в каком-то наивном смысле меньше, чем геометрия скромного отрезка прямой, где бесконечно много точек!)

Чтобы получить какую-то геометрию, нам нужно понятие расстояния. Вот тут на сцену и выходит тасование. Под ним понимается тасование пролистыванием: вы делите колоду на две части, затем составляете новую стопку, выбирая по одной карте из каждой части слева или справа (необязательно строго чередовать обе стопки). Когда все карты будут выложены, появится новая перетасованная стопка. Обычно это выполняется с помощью приема «ласточкин хвост», когда вы сводите две стопки так, чтобы уголки слегка загибались кверху, а затем отпускаете, и карты начинают чередоваться с успокаивающим звуком «фр-р-р-р-р-р-р». Существуют и другие способы тасовать карты: например, если в одной из двух стопок всего одна карта, то вы можете вставить ее в любое место другой стопки. Это тоже будет пролистывание, хотя, вероятно, в реальной жизни вы так не делаете. Будем говорить, что один порядок карт связан со вторым, если от первого ко второму можно перейти с помощью тасования пролистыванием. Соответственно, расстояние между двумя порядками карт – это количество тасований, которые придется сделать, чтобы добраться от одного порядка до другого.

Существует около четырех с половиной квадриллионов различных тасований пролистыванием. Это много, но все равно не сравнимо с факториалом числа 52. Поэтому новая колода, вынутая из коробки и перетасованная таким способом один раз, не может дать совершенно произвольный порядок: это может быть только порядок, находящийся на расстоянии 1 от фабричного. В геометрии есть название для множества точек, которые находятся на расстоянии не более 1 от данной точки: мы называем это множество шар[547].

Малый размер шара – это ключ к умению читать мысли по почте. Суть трюка в следующем. Я отправляю вам колоду карт. Вы ее тасуете, делите перетасованную колоду на две стопки, выбираете любую карту из одной стопки, запоминаете ее и вставляете в другую стопку. Теперь возьмите любую из стопок, бросьте на пол, соберите снова, вложите в любом порядке в конверт и отправьте обратно мне. Я дистанционно проникну в ваш разум и вытащу из него ту карту, которую вы выбрали.

Как?

Для простоты изложения предположим, что мы проделываем этот фокус только с бубновой мастью. Вот как тасование выглядит на странице. Вы начинаете с карт в следующем порядке:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т.

Делите карты на две стопки, необязательно одного размера:

2, 3, 4, 5, 6

7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т

и выполняете тасование пролистыванием: – фр-р-р-р-р-р-р:

2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 5, В, 6, Д, К, Т.

Карты перетасованы, но, если присмотреться, можно заметить, что они сохраняют определенную память об исходном порядке. Все начинается с 2, затем прыжок к следующей по старшинству карте 3, затем прыжок к 4 и так далее – пока вам не придется вернуться к следующей по старшинству карте: это произойдет, когда вы доберетесь до 6 бубен. Я выделил жирным шрифтом карты, где вы приземляетесь при первом проходе:

2, 3, 7, 4, 8, 9, 10, 5, В, 6, Д, К, Т.

Теперь вернитесь к первой еще не использованной карте – семерке – и повторите процесс. На этот раз вы охватите все оставшиеся карты. Две эти последовательности карт и есть те две стопки, которые мы смешали вместе тасованием. Неважно, как оно происходило, – колода всегда делится на две подобные возрастающие последовательности.

Теперь предположим, что вы снова делите надвое получившуюся колоду:

2, 3, 7, 4, 8, 9

10, 5, В, 6, Д, К, Т,

перекладываете какую-то карту (например, даму) из одной части в другую:

2, 3, 7, Д, 4, 8, 9

10, 5, В, 6, К, Т

и посылаете одну из стопок по почте мне, умеющему читать мысли.

Вот как работает этот фокус. Когда я получаю карты по почте, я раскладываю их в отдельные последовательности идущих по порядку карт. Если бы вы не переложили карту из одной стопки в другую, то последовательностей было бы две, но поскольку вы переложили одну карту, то их, вероятно, будет три. Если одна из последовательностей состоит из одной карты, то именно ее вы и перекладывали. Если нет, но есть недостающая карта, наличие которой могло бы склеить две последовательности, то перекладывали ее (но она осталась в другой стопке). Давайте посмотрим, как это выглядит в нашем случае. Если вы отправили мне по почте первую стопку, я раскладываю карты в возрастающем порядке:

2, 3, 4, 7, 8, 9, Д

и замечаю, что здесь есть два ряда последовательных карт (2, 3, 4 и 7, 8, 9) и одна карта отдельно. Именно она и есть перемещенная карта – дама.

А если вы отправили мне вторую стопку? Я упорядочиваю карты и получаю:

5, 6, 10, В, К, Т.

Если попробовать разбить их на ряды последовательных карт, то получится три пары. Однако можно заметить, что если бы у вас была еще одна карта, которая отделяет ряд 10, В от ряда К, Т, то вышло бы всего два ряда. Эта недостающая карта – дама.

К сожалению, этот трюк срабатывает не всегда. Что, если вы переложите 10 из второй стопки в первую и пришлете мне первую стопку? Тогда я получу 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10 и разделю их на две возрастающие последовательности: 2, 3, 4 и 7, 8, 9, 10. И в результате не буду иметь ни малейшего понятия, какую карту перекладывали. Когда карт всего тринадцать, такое происходит часто. Но с полной колодой из 52 карт фокус работает почти всегда.

Разумеется, Джордан не отправлял людям колоду в фабричном порядке: в этом случае секрет трюка был бы очевиден. Если вы соберетесь его проделывать, то и вам не следует так поступать. Вам нужно знать, в каком порядке изначально располагалась колода, поэтому выберите его так, чтобы вы могли легко его запомнить. Когда получите обратно половину колоды, расположите ее строго в соответствии с выбранным вами порядком, и переложенная карта сразу же бросится вам в глаза.

Этот трюк возможен потому, что колода, перетасованная перелистыванием, не организована в случайном порядке. Точнее, если пользоваться правильной математической терминологией, это не равномерный случайный порядок: так выражают идею, что не все порядки карт в колоде одинаково вероятны. Математики используют слово «случайный» в более широком смысле: если монета несимметрична и орел выпадает с вероятностью 2/3, то результат ее подбрасывания все равно случаен. Однако равномерности уже не будет, поскольку один из двух результатов подбрасывания более вероятен, чем другой. Даже если на монете два орла, результат подбрасывания в понимании математиков все равно будет случайным! Просто в таком случайном событии один из исходов (орел) будет наблюдаться в 100 % случаев. Вы можете настаивать, что это уже точно не случайность, поскольку результат вообще не зависит от случая. Однако для меня это все равно что сказать: ноль не является числом, потому что он выражает не количество, а его отсутствие. (Даже сейчас эта плохая идея сохраняется в термине «натуральные числа», обозначающем целые числа, начинающиеся с 1. Ненавижу этот термин: нет ничего более натурального, чем 0. Существует множество вещей, которых нет!)

Чем чаще вы перетасовываете колоду, тем более равномерно случайной она становится. Это кажется естественным (и было бы крайне неприятно для всех дилеров блек-джека, если бы дела обстояли иначе), однако доказать это непросто. Одно из первых объяснений[548] можно найти в книге старого доброго Пуанкаре, который отвлекся от геометрии ради статьи по вероятности. Используемая в ней математика во многом та же, что и в основе гугловского PageRank, – закон долгих блужданий. Когда вы наугад блуждаете по пространству всевозможных порядков карт в колоде, память об исходной точке начинает постепенно стираться. Вы могли начать где угодно. Отличие PageRank от карт в том, что одни веб-страницы популярнее других, так что человек, бродящий по интернету, будет проводить на них больше времени, увеличивая их параметр PageRank. В колоде все упорядочения карт одинаково хороши, и если перетасовывать их достаточно долго, то шансы получить тот или иной порядок равны.

Если жертва телепатического трюка Джордана перетасует карты два раза, а не один, то фокус не сработает, – по крайней мере, так, как описано. Это вдохновило Диакониса и его соавтора Дэйва Байера[549] на вопрос: сколько раз нужно перетасовать колоду методом перелистывания, чтобы порядок карт в ней настолько приблизился к равномерному, что трюки с картами станут невозможны?

Оказывается, шестикратного тасования достаточно, чтобы добиться любого порядка карт в колоде. Можно сказать, что 6 – это радиус такой геометрии, то есть наибольшее расстояние, пройденное от центра, пока еще хватает места. Точно так же, как 13 – наибольшее число Эрдёша, которое может быть у математика, 6 – это максимальное число тасований, которое может быть у некоторой перестановки карт. (Как и следовало ожидать, одна из перестановок, где требуется шесть тасований, – та, где все карты расположены в обратном порядке.) Итак, геометрия тасования карт велика, но каким-то образом и мала, подобно миру с межконтинентальными рейсами: различных точек много, но, чтобы добраться из одной в другую, не требуется много шагов.

Однако даже после шести тасований некоторые порядки карт гораздо вероятнее других. Оказывается, никакое количество тасований не делает все порядки абсолютно равновероятными, но вероятности довольно быстро становятся к ним настолько близки, что значимой разницы между ними уже нет. Ни один фокусник, даже самый искусный, уже не сможет определить карту, которую вы перекладывали из одной стопки в другую. Диаконис и Байер смогли измерить эту схождение в сторону равномерности. В математическом мире этот результат называют «теоремой о семи тасованиях», поскольку семь тасований обеспечивают[550] разумную степень перемешивания.

Диаконис интересовался тасованием карт, потому что был фокусником. А чем обусловлен интерес Пуанкаре? Отчасти это связано с физикой. Как и все ученые того времени, Пуанкаре был озадачен проблемой энтропии. Концепция Больцмана, что поведение материи можно вывести из совокупного поведения мириад отдельных молекул, сталкивающихся в соответствии с законами Ньютона, выглядела привлекательной и элегантной. Однако законы Ньютона обратимы во времени: они одинаково работают и вперед, и назад. Почему же тогда в соответствии со вторым законом термодинамики энтропия всегда увеличивается? Если смешать горячий и холодный суп, быстро получится теплый, однако теплый суп никогда самопроизвольно не разделится в тарелке на горячую и холодную половину.

Один ответ исходит из вероятностей. Возможно, дело не в том, что энтропия невозможна, а в том, что она крайне маловероятна. Тасование карт – это тоже обратимый во времени процесс. Скорее всего, вы никогда не тасовали колоду так, чтобы в итоге порядок карт в ней оказался тем же, что и в фабричной упаковке. Однако причина не в невозможности – такое возможно! Просто маловероятно. Точно так же длинная гибкая веревка (например, шнур от наушников) склонна запутываться узлами, когда вы суете ее в карман, – так подсказывает вам жизненный опыт и статья 2007 года с убийственным названием «Самопроизвольное завязывание узлов при встряхивании веревки» (Spontaneous Knotting of an Agitated String)[551]. Однако причина не в существовании универсального закона об увеличении запутанности, а в наличии для веревки гораздо большего количества способов запутаться, чем распутаться, а потому случайные подергивания вряд ли приведут к редкому состоянию распутывания[552].

Мы снова возвращаемся к лекции Пуанкаре на выставке в Сент-Луисе в 1904 году, в которой он затронул многочисленные кризисы, охватившие физику. В 1890-х Пуанкаре решительно выступал против вторжения вероятности в эту область. Но он не был доктринёром; он боролся с ненравившейся ему теорией, читая курс по ней, и в ходе этого процесса пришел к выводу, что у нее есть свои достоинства. Он сообщил аудитории в Сент-Луисе, что если бы вероятностная точка зрения была верной, то «физический закон приобрел бы совсем иной облик и был бы уже не просто дифференциальным уравнением, а принял бы характер статистического закона»[553].

ЕДИНСТВЕННЫЙ КАРДИМ В МИРЕ

Тасование карт очень похоже на комара Росса. В обоих случаях мы выполняем последовательность шагов, каждый из которых выбирается случайным образом из определенного числа вариантов. Комар при каждом тиканье часов выбирает, лететь ему на север, запад, юг или восток; колода карт проходит через одно из применимых к ней тасований пролистыванием.

Однако у этих двух геометрий есть и различия. Вспомним, что комар двигается очень медленно. Если он находится в центре сетки 20 × 20, то ему понадобится двадцать дней, чтобы у него появился шанс добраться до угла сетки; при этом реальное случайное отклонение от центра, как мы видели, происходит гораздо медленней. Чтобы положение комара на сетке стало более или менее случайным, нужны сотни перемещений. Колода карт, несмотря на то что число порядков в ней гораздо больше, обходит всю свою геометрию за шесть шагов и практически обеспечивает равномерность за семь.

Одно очевидное отличие состоит в том, что у комара есть четыре направления и перетасовать карты пролистыванием можно четырьмя миллиардами способов. Но скорость обеспечивается не этим. Если из всех четырех миллиардов способов[554] выбрать какие-нибудь четыре и использовать только их, то порядок карт все равно станет случайным очень быстро.

Но есть и принципиальная разница между перемещением комара и тасованием колоды. Первое связано с обычной геометрией пространства. Второе – нет. В этом и разница. Абстрактные геометрии вроде геометрий перетасованных карт, как правило, исследуются гораздо быстрее, чем геометрии из физического пространства. Количество мест, куда можно добраться, растет экспоненциально с количеством сделанных вами шагов, следуя ужасающему закону геометрического роста, а это предполагает, что вы можете попасть куда угодно за короткое время. Кубик Рубика имеет[555] 43 квинтиллиона конфигураций, но из любой из них можно попасть в исходное одноцветное положение всего лишь за 20 ходов. Сотни тысяч публиковавших статьи математиков (за исключением отдельных изолятов) находятся всего в тринадцати шагах от Пала Эрдёша.

Однако математика – это человеческая деятельность, математики – люди, и если честно, то сеть, сильнее всего привлекающая наше внимание, – это сеть людей и их взаимодействий. Она имеет отношение и к распространению пандемии. Что это за сеть? Она больше походит на тасование карт или на блуждающих анофелесов Росса?

Понемногу и на то, и на другое. Большинство людей, на которых вы кашляете, живут непосредственно рядом с вами. Однако существуют и дальние связи: бизнесмен из Уханя летит в Калифорнию, лыжник из северной Италии летит домой в Исландию. Такие дальние связи редки, но имеют большое значение. В теории графов мы называем сети, сочетающие короткие и длинные расстояния, выражением «маленький мир», которое восходит к 1960-м годам и социальному психологу Стэнли Милгрэму[556]. Возможно, Милгрэм наиболее известен экспериментом, где властно побуждал испытуемых бить актеров ложными ударами тока, но в более веселые моменты жизни он изучал и позитивные формы человеческих связей. Он задался вопросом: насколько в геометрии знакомства, где мы считаем двух людей связанными, когда они знакомы друг с другом, вероятно, что их соединяет какая-то цепочка, и если да, то какой она длины? В своей пьесе «Шесть степеней отчуждения» Джон Гуэйр излагает результаты Милгрэма устами одного из персонажей – Уизы, торгующей предметами искусства в Нью-Йорке:

Я где-то прочитала, что всех на этой планете отделяют друг от друга всего лишь шесть других людей. Шесть степеней отчуждения. Между нами и любым жителем планеты. Президентом Соединенных Штатов. Гондольером в Венеции. Впишите любые имена. Я нахожу: a) такую близость невероятно утешительной, б) при этом она похожа на китайскую пытку водой. Потому что вам нужно найти шесть подходящих человек для этой связи. Это не знаменитости. Это кто угодно. Житель тропического леса. Огнеземелец. Эскимос.

Это не совсем то, что обнаружил Милгрэм. Он изучал только американцев, попросив людей из Омахи найти цепочку знакомств, заканчивающуюся конкретным биржевым маклером в Шароне (Массачусетс). И он не обнаружил, что все люди связаны; напротив, всего 21 % жителей Небраски нашли путь к маклеру[557]. Как правило, в цепочке было от 4 до 6 человек, но как минимум в одном случае понадобилось 10 шагов. Пьеса Гуэйра искажает результаты, чтобы исследование служило лучшей метафорой расового беспокойства: белые персонажи пьесы хотят сказать, что являются частью разнообразного современного мира, но им физически больно осознавать, что тропический лес и его жители могут оказаться не так далеко от Верхнего Ист-Сайда на Манхэттене, как они думают. (То отчуждение, которое добавляет Гуэйр к милгрэмовским шести ступеням, конечно же, несет скрытое дополнение «но равенство».) Милгрэм действительно провел дополнительное исследование в 1970 году[558], в котором экспериментаторы просили 540 белых человек в Лос-Анджелесе установить цепочку связей с восемнадцатью людьми в Нью-Йорке, половина из которых была белыми, а половина – черными. Связь между белыми и белыми была успешно установлена примерно в трети случаев, но только каждый шестой из белых калифорнийцев смог найти дорогу к черному адресату.

Эти «Шесть шагов отчуждения» превратились в «Шесть шагов до Кевина Бейкона» – обычное название процесса построения кратчайшего пути до Кевина Бейкона в геометрии кинозвезд. Во время эпидемии COVID-19 в марте 2020 года Бейкон запустил кампанию «Шесть шагов», призвав своих поклонников сохранять социальную дистанцию. В записанном видеоролике он сказал: «Технически я нахожуcь всего в шести шагах от вас[559]. Но я остаюсь дома, поскольку это сохраняет жизни, и это единственный способ замедлить распространение коронавируса».

Сегодня мы можем проводить эксперименты с пошаговым разделением, не обращаясь к людям, пересылающим почтовые открытки, как у Милгрэма. В 2011 году в Facebook♦ [560] насчитывалось примерно 700 миллионов активных пользователей – в среднем по 170 друзей у каждого; и математики из исследовательского подразделения компании имеют доступ ко всей этой мегасети. Выберите наугад двух пользователей в любой точке земного шара: средняя длина кратчайшей цепочки друзей в Facebook♦ между ними будет всего 4,74 (то есть, как правило, между двумя пользователями есть еще три или четыре промежуточных человека). Почти все пары (99,6 %) оказались в пределах шести шагов. Facebook♦ – это граф типа маленького мира[561]. (И становится все теснее[562] по мере увеличения числа пользователей: к 2016 году средняя длина пути еще немного снизилась – до 4,57.) Охват Facebook♦ настолько велик, что его сеть побеждает географическое пространство. Расстояние между случайными пользователями в Соединенных Штатах равно 4,34; между двумя шведскими пользователями – 3,9. Для Facebook♦ мир лишь ненамного больше Швеции.

Анализ такого гигантского графа требует серьезных вычислений. Facebook♦ сообщит вам, сколько у вас друзей, но для анализа пути нужно знать, сколько у вас друзей друзей, а далее – сколько друзей у этих друзей друзей и так далее. Одним словом, требуется еще как минимум несколько итераций. Это усложняет дело: вы не можете просто сложить количество друзей ваших друзей, поскольку они повторяются. Поиск по всему списку повторяющихся имен предполагает сохранение сотни тысяч записей и постоянного обращения к ним, что сильно замедлит вашу работу.

Трюк, позволяющий ускорить процесс, называется алгоритм Флажоле – Мартена. Я не стану вдаваться в детали его действия, а расскажу упрощенную версию. Facebook♦ не скажет вам, сколько у вас друзей друзей, но позволит искать среди них людей, например по имени Констанс. У меня таких 25. Констанс не особо распространенное имя: в тех возрастных группах, куда входит большая часть моего круга общения, это имя носят 100–300 женщин на миллион родившихся в Соединенных Штатах. Если среди друзей моих друзей имя Констанс имеет такое же распространение, как и в среднем по Америке, то это означает, что у меня примерно 85–250 тысяч друзей друзей. Я пробовал сделать то же самое еще для нескольких имен, выбирая редкие, чтобы получить достаточно короткий список: 50 Джеральдов, 18 Чарити. В основном выходило около четверти миллиона, на этой оценке я и остановился.

Алгоритм Флажоле – Мартена не совсем такой, но работает по тому же принципу. Он напоминает просмотр списка друзей всех ваших друзей с отслеживанием самого редкого имени. Каждый раз, встречая имя, более редкое, чем нынешний рекордсмен, вы отбрасываете старое имя и заменяете его новым. Не требуется большого хранилища! В конце процесса у вас будет предположительно самое редкое имя, и чем длиннее ваш список, тем более редким оно будет. Теперь можно вернуться и по степени редкости самого редкого имени прикинуть, сколько различных людей есть среди друзей ваших друзей!

Это срабатывает не всегда. Например, у меня есть друг по имени Кардим (Kardyhm). Родители назвали его так, сложив инициалы семи лучших друзей в удобном для произношения порядке. Я считаю, что он – единственный Кардим в мире. Поэтому построенная вышеописанным способом оценка для любого из друзей друзей Кардима будет неоправданно завышена из-за крайней редкости его имени. Настоящий алгоритм Флажоле – Мартена использует не имена, а другой вид идентификатора – хеш, которым можно управлять во избежание таких проблем, как с Кардимом.

Одно небольшое предупреждение насчет подобных вычислений. Если вы ими займетесь, то, скорее всего, столкнетесь с обидным для вашего эго фактом, что у ваших друзей в среднем больше друзей, чем у вас. Я вовсе не пытаюсь этим унизить коммуникабельность своего читателя. Крупномасштабный анализ[563] сети Facebook♦, проведенный в 2011 году, показал, что 92,7 % пользователей имеют меньше друзей, чем их средний друг. Совершенно нормально, что у ваших друзей больше друзей, чем у вас, потому что ваши друзья (в реальной жизни или на экране) – не случайная выборка из всего населения. В силу того, что они оказались в числе ваших друзей, они с большей вероятность являются теми, у кого много друзей.

ШЕСТЬ ШАГОВ ДО СЕЛЬМЫ ЛАГЕРЛЁФ

Для большинства людей удивительно, что такую колоссальную сеть, как Facebook♦, можно пересечь всего за несколько шагов. Но теперь мы знаем, что сети типа маленького мира сегодня обычное явление. Математические основы заложили в своей фундаментальной работе 1998 года Дункан Уоттс и Стивен Строгац[564]. Уоттс и Строгац просят вас поразмышлять о следующем виде сети. Вы начинаете с нескольких точек, расположенных по кругу, причем каждая соединена только с несколькими ближайшими соседями. Такая сеть похожа на блуждание комара: вы не можете перемещаться быстро, и если на окружности стоят тысячи точек, то для полного обхода вам потребуется много времени. А если добавить несколько связей между далекими точками, чтобы имитировать случайные связи между удаленными людьми?

Уоттс и Строгац обнаружили, что достаточно небольшого числа таких новых связей, чтобы превратить сеть в маленький мир, где люди соединены друг с другом коротким путем. Они пишут (и этот фрагмент теперь кажется тревожно нострадамусовским): «Можно предсказать, что инфекционные заболевания в маленький мире будут распространяться легче и быстрее; настораживающий и менее очевидный факт – насколько мало нужно сделать спрямляющих путей, чтобы сделать мир маленьким». Разработка математического описания маленьких миров показывает, что изначально удивительное явление, обнаруженное Милгрэмом, вовсе не должно удивлять. Такова природа хорошей прикладной математики: она превращает «Как такое может быть?» в «А разве может быть иначе?».

Стэнли Милгрэм считается отцом теории шести рукопожатий[565] отчасти из-за проведенного им эксперимента, отчасти из-за способности продать собственную работу подобно искусному маркетологу. Первое описание эксперимента с открытками появилось на два года раньше всех официальных научных публикаций – в популярном журнале Psychology Today; по сути, это была главная статья в номере. Однако вовсе не Милгрэм первым задумался о малом размере сетевого мира[566]. Его эксперимент проводился для проверки существовавшего теоретического предсказания о тесноте мира, сделанного (но не опубликованного) Манфредом Кохеном и Итиэлем де Сола Пулом (последний был дедом моего соседа по комнате в колледже – факт совершенно в духе коротких цепочек). А до этого, в начале 1950-х, Рэй Соломонофф и Анатоль Рапопорт, писавшие для биологических журналов, осознали существование критической точки, которую позже Эрдёш и Реньи обнаружили независимо друг от друга в чисто математическом контексте: как только достигается определенная плотность связей, можно начинать где угодно и распространиться повсюду[567]. А до этого, в конце 1930-х, социальные психологи Якоб Морено и Хелен Дженнингс изучали «цепные взаимоотношения»[568] в социальных связях в исправительной школе для девочек штата Нью-Йорк.

Однако самое раннее появление идеи маленького мира зафиксировано не в биологии и не в социологии, а в литературе. Венгерский сатирик[569] Фридьеш Каринти в 1929 году опубликовал рассказ под названием «Звенья цепи» (Láncszemek)[570]:

Никогда планета Земля не была такой крошечной, как сейчас. Она уменьшилась – относительно, конечно, – из-за учащения пульса и физического, и словесного общения. Этот вопрос возникал и раньше, но мы никогда не формулировали его таким образом. Мы никогда не говорили о том, что любой человек на Земле, по моему или чьему угодно выбору, может всего за несколько минут узнать, что я думаю или делаю, что я хочу или что мне нравится делать… Один из нас предложил провести следующий эксперимент, чтобы доказать, что население Земли ближе друг к другу, чем когда-либо ранее. Мы должны выбрать любого человека из 1,5 миллиарда жителей планеты – любого, вообще где угодно. Он поспорил с нами, что с помощью не более чем пяти человек доберется до выбранного человека, используя исключительно сеть личных знакомств. Например: «Смотрите, вы знаете господина X. Y. Пожалуйста, попросите его обратиться к его другу господину Q. Z., которого он знает, и так далее». Кто-то сказал: «Интересная идея! Давайте попробуем. Как бы вы связались с Сельмой Лагерлёф?» «Ну что ж, Сельма Лагерлёф, – ответствовал автор идеи. – Нет ничего проще». И за пару секунд выдал решение: «Сельма Лагерлёф получила Нобелевскую премию по литературе, так что она должна знать короля Швеции Густава, поскольку, по правилам, именно он ее вручает. Как хорошо известно, король Густав очень любит играть в теннис и участвует в международных теннисных турнирах. Он играл с господином Керлингом, так что они должны быть знакомы. И так уж случилось, что я тоже неплохо знаю господина Керлинга».

Если не считать меньшей величины населения планеты, эти строки можно было написать и в 2020 году. Тревога и беспокойство, испытываемые рассказчиком, не отличаются от того, что мы чувствуем сейчас, в разгар пандемии, и что чувствовали персонажи пьесы Гуэйра, укрывавшиеся в квартире в Верхнем Ист-Сайде. Это беспокойство о геометрии мира, в котором мы живем. Мы эволюционировали в сторону понимания мира, где нас окружает то, что мы можем видеть, слышать и осязать. Геометрия, в которой мы сегодня живем, и геометрия, к которой приходилось привыкать Каринти еще в 1920-е годы, отличаются. «Знаменитые мировоззрения и идеи, которые ознаменовали конец XIX века, сегодня бесполезны, – пишет Каринти далее в своем рассказе. – Мировой порядок разрушен».

Сегодня геометрия мира стала еще меньше, еще взаимосвязаннее и еще более склонной к экспоненциальному распространению. Складок во времени так много, что они почти везде. Нарисовать их на карте непросто. И когда наша способность рисовать иссякает, в игру вступают абстракции геометрии.

Глава 14. Как математика разрушила демократию, но все еще может ее спасти

Вечер 6 ноября 2018 года стал радостным для многострадальных демократов штата Висконсин. Наконец-то губернатор-республиканец Скотт Уокер, дважды прошедший через общие выборы и кампанию отзыва, принесший в штат за восемь лет пребывания у власти в Мэдисоне[571] поляризацию в стиле Вашингтона и какое-то время даже рассматривавшийся своей партией как кандидат на президентские выборы 2016 года, был повержен. Он проиграл употребляющему просторечия Тони Иверсу, поклоннику карточной игры юкер, бывшему школьному учителю не первой молодости, чьей наивысшей предыдущей должностью был пост инспектора учебных заведений штата. На самом деле в тот вечер демократы заняли должности по всему штату. Их кандидат в сенат Тэмми Болдуин была переизбрана с отрывом в 11 пунктов – самый большой отрыв кандидата в масштабах штата с 2010 года для обеих партий. Они заняли посты прокурора штата и казначея штата, которые ранее принадлежали республиканцам. Все это происходило на фоне национальной волны продемократических настроений, которая привела к победе партии в Палате представителей США, где демократы получили на 41 место больше.

Тем не менее у демократов Висконсина не все было так гладко. В Ассамблее (нижней палате законодательного собрания штата) республиканцы потеряли всего одно место, сохранив большинство 63–36. В сенате штата Республиканская партия фактически приобрела одно место.

Почему на выборах в законодательные органы в 2018 году, когда повсюду наступали демократы, в Висконсине ситуация практически не отличалась от 2016 года, когда сенатор-республиканец Рон Джонсон был переизбран, а на президентских выборах впервые за десятилетия в штате победил кандидат от республиканцев? Можно поискать политическое объяснение: может быть, избиратели Висконсина считают республиканцев лучшими законодателями, хотя и предпочитают демократов? Но если бы дело обстояло именно так, то можно было бы ожидать, что в штате будет группа избирательных округов для выборов в Ассамблею, которая голосует за представителя от республиканцев, одновременно поддерживая Иверса в качестве губернатора. Но если отобразить на графике долю голосов, полученную Скоттом Уокером в каждом избирательном округе, и долю голосов, которую набрал республиканский кандидат в Ассамблею, то картина будет выглядеть так[572].

Скотт Уокер выступил в избирательных округах практически так же, как и местный кандидат-республиканец в законодательное собрание. Только два округа[573] (в обоих действующие представители – республиканцы) голосовали за Иверса, но при этом за республиканскую партию в Ассамблее. Уокер потерял пост губернатора, набрав при этом больше голосов в 63 из 99 избирательных округов. Большинство избирателей Висконсина в 2018 году выбрали демократов, но большинство округов выбрали республиканцев.

Это может показаться забавной случайностью; однако это не случайность, и смеяться тут можно, только схватившись руками за голову. Округа в Висконсине являются республиканскими, потому что их границы были проведены республиканцами: их специально проектировали для достижения такого результата. Вот график, показывающий процент голосов за Уокера в каждом избирательном округе, где я упорядочил округа по мере увеличения их «республиканскости».

Наблюдается явная асимметрия. Обратите внимание на доминирование округов, где Уокер лишь слегка превысил 50 % голосов. В 38 из 99 округов он набрал от 50 до 60 %. Его противник Тони Иверс получил от 50 до 60 % всего в 11 округах. Небольшое преимущество Тони Иверса в масштабах штата – это сочетание уверенной победы примерно в трети округов и поражения (почти везде незначительного) в остальных местах.

Этот график можно воспринимать по-разному. Вы можете сказать, что сила демократов в Висконсине сосредоточена в небольшом политически активном регионе, который на самом деле не отражает политики штата. Естественно, именно такова точка зрения республиканской партии Висконсина, один из лидеров которой, Робин Вос, после выборов заметил: «Если убрать из формулы выборов Мэдисон и Милуоки[574], то у нас было бы явное большинство»[575]. С точки зрения демократов, логичнее заметить, что есть восемнадцать округов, где Скотт Уокер получил меньше трети голосов, и только пять, где аналогичные результаты были у Иверса. Иными словами (все с той же точки зрения), республиканцев мало в областях, составляющих пятую часть штата, в то время как существенное количество демократов есть почти везде, включая округа с большинством у республиканцев. У 78 % висконсинцев, голосовавших за Скотта Уокера, представитель в Ассамблее штата – республиканец, и только у 48 % голосовавших за Иверса – демократ.

В обеих версиях такая асимметрия построенной кривой рассматривается как своеобразная характерная черта политической географии Висконсина. Но это не так. По сути, эта кривая была создана в 2011 году в незаметном помещении одной юридической фирмы Мэдисона группой помощников и консультантов, работающих на республиканских законодателей. Этот проект – часть национальных усилий[576] Республиканской партии по преобразованию результатов выборов 2010 года в благоприятные границы округов. Важна цифра 0 в конце числа 2010: именно в годы, которые делятся на 10, Соединенные Штаты проводят перепись, которая предоставляет новую официальную статистику населения, поскольку вследствие естественных потоков мигрирующих людей одни избирательные округа становятся больше других. Это означает необходимость создавать новые округа, и приверженцы той или иной партии борются за право делать это самим. В предыдущие годы переписей сохранялся баланс: каждая партия контролировала либо законодательное собрание Висконсина, либо пост губернатора, поэтому закон о новой карте округов должен был удовлетворять обе стороны. На практике это означало, что ни одну из карт нельзя было принять в виде закона, так что этой работой занимались суды. В 2010 году ситуация изменилась: у республиканцев было большинство в обеих палатах, и свежеиспеченный губернатор-республиканец Скотт Уокер вознамерился устанавливать правила на следующие десять лет выборов еще до того, как повесил новые шторы в кабинете. Что могло удержать партию от извлечения максимальной политической выгоды? Разве что чувство приличия.

Но эта история не о триумфе норм приличия.

«АГРЕССИВНЫЙ ДЖО»: ЖИЗНЬ И ВРЕМЯ

Составители карты для Висконсина обязались сохранять полную секретность. Даже законодателям-республиканцам показали только их собственный предполагаемый округ и запретили обсуждать увиденное с коллегами. Демократы не видели вообще ничего. Вся карта целиком находилась под грифом «секретно» и стала известной только за неделю до того, как законодательное собрание сделало ее законом штата (Акт 43); голосование прошло в соответствии с партийным разделением[577].

Картографы в течение нескольких месяцев старались составить карту, максимально отвечающую интересам республиканцев. Среди них был и Джозеф Хендрик, не новичок в этой игре. Как-то он сказал одному интервьюеру: «Любое крупное решение в моей жизни принималось на фоне желания баллотироваться в ассамблею штата». Впервые он выдвинул свою кандидатуру в северном округе, еще будучи двадцатилетним студентом колледжа. Его кампания ориентировалась на данные, что было необычно для середины 1980-х годов: он создал диаграмму всех участков, чтобы определить, где действующий политик-демократ превзошел оппонента, и провел для этих избирателей мощную идеологическую кампанию, касающуюся налогов и прав на рыбную ловлю для индейцев (он был против и того и другого). Здравый смысл говорил, что юнец из колледжа не может победить популярного действующего политика, и здравый смысл оказался прав. Однако эта гонка[578] сделала Хендрика перспективной фигурой в республиканской политике штата, и позднее он отработал в ассамблее три срока. К 2011 году он уже не занимал никакой выборной должности, а консультировал законодателей штата. «Что мне нравится в кампаниях больше всего, – признался однажды Хендрик, – так это планирование стратегии и разработка плана игры». В задней комнате юридической фирмы он погрузился как раз в то занятие, которое любил больше всего.

Команда картографов именовала карты «уверенными», когда они существенно помогали республиканцам, и «агрессивными», когда они помогали еще больше. Каждую карту назвали, объединив одно из этих прилагательных с именем ее составителя. В итоге была выбрана карта, которая использовалась и в 2018 году, она была составлена Джо Хендриком. Ее назвали «Агрессивный Джо»[579].

Смотрите, насколько агрессивной была эта карта. Приглашенный для консультаций профессор политологии из Оклахомы Кейт Гэдди оценил, что республиканцы сохранят большинство в 54–45 по местам в ассамблее даже в том случае, когда их доля в масштабах штата упадет до 48 %. Чтобы демократы смогли получить большинство в ассамблее, им требовалось выиграть в масштабах штата с перевесом 54–46 %.

Существует простой метод проверить актуальность оценок Гэдди через семь лет. Если вы ранжируете 99 округов Висконсина по успехам Скотта Уокера в 2018 году, то в середине окажется избирательный округ 55 (находится в Виннебейго, примерно на полпути между городами Мэдисон и Грин-Бей). Уокер получил там 54,5 % голосов[580], примерно на четыре пункта больше его доли в целом. Сорок девять избирательных округов были для Уокера лучше, а сорок девять – хуже; на языке статистики мы говорим, что округ 55 стал медианой среди округов. Если бы какой-то демократ выиграл в округе 55, то с хорошими шансами демократическая партия победила бы в 49 округах «демократичнее» этого, что обеспечило бы общее большинство; то же самое справедливо и для республиканцев. Лидерский статус округа 55 – это не просто гипотеза: на всех выборах, которые проводились в Висконсине после создания этой карты, кандидат, побеждавший в округе 55, получал большинство округов в целом[581].

Насколько удачным должен оказаться год для демократов, чтобы они выиграли в округе 55? В 2018 году, когда оба кандидата в губернаторы получили почти поровну голосов, Уокер выиграл этот округ с преимуществом в 9 пунктов. Так что вы можете прикинуть: чтобы добиться в округе 55 хотя бы равенства, демократам нужен перевес в 9 пунктов по всему штату, то есть победить 54,5–45,5 %. Это практически те же цифры, которые назвал Гэдди при составлении карт. Это всего лишь эмпирическое правило, а не точный прогноз для будущих выборов, однако оно дает определенное представление о том, с чем приходится сталкиваться демократам в попытках получить большинство в ассамблее при нынешних границах избирательных округов.

Еще один способ оценить влияние карты из Акта 43 – сравнить ее с предыдущей, составленной разозленным федеральным окружным судом в 2002 году после того, как он обнаружил «неустранимые изъяны» во всех шестнадцати картах, представленных ему заинтересованными сторонами[582].

Перед вами список ноябрьских выборов, которые проводились в Висконсине с 2002 по 2018 год[583]. На горизонтальной оси – доля голосов жителей штата, полученных кандидатом-республиканцем, а на вертикальной – доля от 99 избирательных округов, которые дали ему больше голосов, чем демократу.

Кружки – это выборы по карте 2002 года, а звездочки – по карте «Агрессивный Джо». Ничего не замечаете? В 2004 году Джон Керри чуть-чуть опередил Джорджа Буша на президентских выборах, получив 50,2 % голосов (в пересчете на двухпартийное голосование), при этом Буш выиграл в 56 избирательных округах. На таких же близких по результату выборах генерального прокурора штата 2006 года республиканец Джон ван Холлен победил Кэтлин Фолк, выиграв в 51 избирательном округе. Это два кружка в центре диаграммы. Республиканец Рон Джонсон в избирательной кампании в сенат 2010 года выступил лучше, победив занимавшего это место Расса Файнгольда; он набрал 52,4 % и выиграл в 63 округах.

После 2012 года все изменилось. Результат Дональда Трампа в 2016-м и Скотта Уокера в 2018 году был практически одинаков с их соперником, как у Буша и ван Холлена; однако там, где у них были 56 и 51 победа в округах, Трамп и Уокер выиграли в 63 из 99 округов, то есть показали тот же результат, что и Рон Джонсон по карте, составленной судом, когда уверенно опередил своего оппонента-демократа. В 2012 году – первом году действия новой карты Акта 43 – республиканец Митт Ромни набрал 46,5 % голосов (в пересчете на двухпартийное голосование), но победил в 56 из 99 округов; демократ Тэмми Болдуин получила 52,9 % голосов на выборах в сенат, но выиграла только в 44 округах. Когда Болдуин баллотировалась на выборах 2018 года, она выступила лучше, опередив соперницу Лию Вукмир на 11 пунктов. Она выиграла в 55 округах; да, конечно, это большинство, однако в 2004 году Расс Файнгольд выиграл сенаторскую кампанию с тем же разрывом в процентах, победив в 71 из 99 округов по старой карте.

Сказано много слов, хотя проще взглянуть на диаграмму. Звездочки расположены выше кружков, а это означает, что те же самые результаты выборов теперь обеспечивают республиканцам больше мест, чем десять лет назад. Ничего не изменилось в политической картине Висконсина между 2010 и 2012 годами, кроме карты.

Тэд Оттман, еще один тайный картограф, на собрании республиканцев заявил: «Карты, которые мы принимаем[584], определят, кто будет у власти в ближайшие десять лет… Мы можем и обязаны нарисовать карты, которых на протяжении десятилетий у республиканцев не было». Красноречивые слова. Не просто можем, а обязаны. Отсюда следует, что главная обязанность политической партии – защищать собственные интересы от притязаний потенциально враждебного электората. Практика проводить границы округов для обеспечения преимущества себе и своим сторонникам называется джерримендеринг, и именно с его помощью получается, что в колеблющемся штате вроде Висконсина республиканцы получают более серьезный перевес в нижней палате законодательного собрания, чем в более консервативных штатах вроде Айовы или Кентукки.

Честно ли это?

Короткий ответ: нет.

Длинный ответ потребует немного геометрии.

ИСКУССТВЕННЫЕ РАЗЛИЧИЯ И ТОНКОСТИ СИЛЛОГИЗМОВ

Демократический образ управления государством основан на принципе, что мнение каждого гражданина должно учитываться в процессе принятия решений. Как и все хорошие принципы, этот тоже легко сформулировать, трудно точно выразить и почти невозможно реализовать абсолютно удовлетворительным образом.

Прежде всего, дело в масштабах. Даже скромный по размерам город слишком велик, чтобы выносить на референдум любое решение – о планировке, школьной программе, общественном транспорте или налогах. Существуют обходные пути. В случае уголовных преступлений мы вытаскиваем из шляпы наугад двенадцать имен людей и предоставляем им право решать. Для большей части повседневного управления городами и штатами решения принимаются государственными органами, а участие избирателей случайное и косвенное. Но когда дело касается законодательной деятельности, базовой структуры действий правительства, мы используем систему выборных представителей, при которой люди выбирают небольшую группу законодателей и уполномочивают их выступать от имени народа.

Как выбрать этих представителей? Массой разных способов, но тут уже нюансы начинают иметь значение. Избиратели на Филиппинах могут голосовать сразу за 12 кандидатов, и 12 человек, получивших больше всего голосов, входят в сенат. В Израиле каждая политическая партия составляет список предполагаемых законодателей, и избиратели выбирают партию, а не отдельных людей. Затем каждая партия получает места в кнессете в соответствии с долей набранных голосов. Однако наиболее распространен способ, применяемый в Соединенных Штатах: вы делите население на заранее определенные избирательные округа, и каждый округ выбирает своего представителя.

В США округа распределяются по географическому принципу. Но это необязательно. В Новой Зеландии[585] у маори есть собственные избирательные округа, которые накладываются на общие: маори могут голосовать хоть в своем, хоть в общем округе, где они проживают. Разделение может вообще не иметь географического контекста. В законодательном собрании Гонконга есть место, за которое голосуют только преподаватели и работники образования, – одно из тридцати пяти мест по функциональным округам[586]. В центуриатных собраниях (комициях) в Древнем Риме избирательные округа распределялись по уровню благосостояния. В верхней палате Эряхтаса (ирландского парламента) три сенатора избираются выпускниками Дублинского университета, а еще три – выпускниками Ирландского национального университета. Собственное место в парламенте Ирана имеют евреи.

Американцы привыкли думать об американском способе как о единственном и неповторимом, однако предлагаю поразмышлять и о других способах, которыми можно разделить голосующее население США. Что, если избирательные округа в штатах создавать не по географическому принципу, а по возрастным группам равной величины? С кем у меня больше общего в политических приоритетах и ценностях – с пожилым пенсионером, живущим в десяти милях от меня, или с 49-летним человеком, которому осталось планировать примерно такую же продолжительность жизни, как и мне, у которого дети, вероятно, того же возраста, что и у меня, но живет он на противоположном конце штата? Должны ли законодатели проживать в своем «хронологическом» округе? (Если да, то это точно решит проблему ленивых политиков, по инерции остающихся на своем посту: если только представители не будут распределены крайне равномерно по дате рождения, то со временем они станут регулярно сталкиваться между собой по мере перемещения в старшие возрастные группы.)

Штаты США (по крайней мере, формально) – это полуавтономные образования с собственными интересами. С другой стороны, избирательные округа внутри штатов – это просто участки территории, не имеющие смысла. Никто во втором избирательном округе Висконсина по выборам в конгресс, где я живу, не носит футболок с такой надписью и не может распознать этот округ по силуэту. Что касается моего избирательного округа по выборам в ассамблею штата, то мне пришлось наводить справки, чтобы убедиться, что я правильно указал его номер. Такие избирательные округа нужно каким-то образом выделять, несмотря на то что у них нет никакой внутренней, присущей им политической идентичности. Кто-то должен делить штат на фрагменты. Этот процесс – технический и трудоемкий и отнимает много времени. Из него не сделаешь телевизионное шоу, и он традиционно не привлекает особого общественного внимания.

Теперь ситуация изменилась. И изменилась потому, что мы поняли то, чего раньше не осознавали, и этот факт одновременно и математический, и политический: то, как вы разрежете штат на избирательные округа, окажет колоссальное влияние на то, как законодательное собрание штата будет принимать законы. Это значит, что люди с ножницами имеют огромную власть над теми, кто будет избран. А кто владеет ножницами? В большинстве штатов это сами законодатели. Теоретически предполагается, что избиратели выберут своих представителей, однако во многих случаях как раз представители выбирают себе избирателей.

В какой-то степени очевидно, что создатели избирательных округов обладают большой властью. Если я полностью контролирую распределение округов в Висконсине и уполномочен делить население любым способом, то я могу просто найти группу людей с близкими мне взглядами, объявить каждого из них отдельным избирательным округом, а всех остальных объединить в общий округ. Тогда мои отобранные кандидаты проголосуют за себя, попадут в законодательное собрание штата, а у оппозиции в собрании окажется максимум один голос. Демократия!

Это явно нечестно. Безусловно, жители Висконсина (за исключением этой группы) будут возмущены, что не представлены в управлении штатом. Описанный сценарий кажется смешным: никакое демократическое правительство никогда не действует подобным образом! За исключением, конечно, тех, кто именно так и поступает. Например, в Англии столетиями существовали «гнилые районы», выбиравшие членов парламента, несмотря на то что почти обезлюдели. Городок Данвич[587], некогда не уступавший Лондону по размеру, из-за береговой эрозии постепенно погружался в Северное море и к XVII веку практически опустел, но продолжал исправно посылать двух человек в палату общин, пока эту практику не пресекла избирательная реформа 1832 года, проведенная партией вигов во главе с Чарльзом Греем, 2-м графом Греем (признайтесь, вы думали, что он изобрел чай[588]). К тому времени в Данвиче оставалось 32 избирателя. И это было не самое гнилое из гнилых мест! Старый Сарум некогда считался процветающим местом с собором, однако после возведения нового собора в Солсбери потерял всякое значение; город был заброшен, а все здания разобраны на строительные материалы в 1322 году. И тем не менее еще пятьсот лет Старый Сарум имел двух членов в парламенте, которых выбирала семья, владевшая безлюдным холмом. Даже сторонник традиций Эдмунд Бёрк жаловался на необходимость реформ: «Представителей больше[589], чем избирателей, и они нужны только для того, чтобы рассказывать нам, какое оживленное место торговли тут некогда было… хотя отследить улицы сейчас можно только по цвету кукурузы, а единственное производство там – члены парламента».

В американских колониях все было более рационально, но лишь отчасти. Гнилых мест не имелось, однако одни американцы были представлены лучше других. Томас Джефферсон жаловался на неравные размеры законодательных округов в Вирджинии, настаивая на том, что «правительство является республиканским в той мере[590], в какой каждый его член обладает равным голосом в решении своих проблем». Даже в XX веке[591] Балтимор имел только 24 места из 101 в палате депутатов Мэриленда, хотя балтиморцы составляли половину населения штата. Генеральный прокурор Мэриленда (и уроженец Балтимора) Исаак Лоуб Штраус просил изменить конституцию, чтобы дать Балтимору равное представительство, цитируя Джефферсона и Бёрка, а затем заявляя: «Кто-нибудь объяснит[592], по какому принципу справедливости, этики, права, политики, философии, литературы, религии, медицины, натурфилософии, анатомии, эстетики или искусства у человека из графства Кент право на представительство в двадцать девять раз больше, чем у человека из Балтимора?»

(Чтобы у вас не сложилось впечатления, что Штраус был принципиальным сторонником демократии, сообщу, что в том же 1907 году он произнес речь, в которой рекомендовал и другую поправку, требующую для получения права голоса пройти проверку грамотности – с целью смягчения «зла от бездумного избирательного права, коим распоряжается множество безграмотных и безответственных избирателей в этом штате, которые стали избирателями вследствие войны между Севером и Югом – не только не в результате какого-либо действия жителей Мэриленда, но и вопреки их формальному отказу от поправки к федеральной конституции, согласно которой эти люди могут голосовать». Для читателей, незнакомых с используемыми тут обычными кодовыми словами американской политики: он имеет в виду чернокожее население.)

Эпоха неравного представительства завершилась в Америке только в 1964 году, когда Верховный суд в деле Рейнольдс против Симса рассматривал вопрос об избирательных округах и законодательном собрании штата Алабама. Согласно законодательству Алабамы, представитель выбирался от административного округа[593]; по такой формуле получалось, что в законодательное собрание штата по одному сенатору назначали и округ Лаундс (15 417 жителей), и округ Джефферсон (куда входил город Бирмингем, так что общее население округа превышало 600 000). У. Маклин Питтс, выступая в защиту системы Алабамы, предупреждал, что трансформация карт избирательных округов приведет к тому, что «более крупные и густонаселенные округа[594] будут контролировать законодательное собрание, следуя принципу “один человек – один голос”, а жители сельских районов не будут иметь права голоса в правительстве штата». Но суд взглянул на ситуацию иначе, написав в решении 8–1, что Алабама нарушает Четырнадцатую поправку, поскольку лишает избирателей в более крупных округах равной защиты со стороны законов, регулирующих голосование.

Требование равного представительства означает, что мы не можем остановить джерримендеринг, запретив правительствам штатов трогать границы избирательных округов. Менять их необходимо. Люди переезжают с места на место, старики умирают, младенцы рождаются, одни регионы разрастаются, другие приходят в упадок, поэтому после очередной переписи правильные границы становятся неправильными. Вот почему так важны годы, которые оканчиваются на 0.

Принцип У. Маклина Питтса – «Почему жители Бирмингема должны иметь больше власти только потому, что их больше?» – звучит для современных ушей довольно забавно, хотя на самом деле американцы все еще следуют ему. От каждого штата в сенат входят два человека – будь то крошечный Вайоминг или огромная Калифорния. Это вызывало споры с самого начала. Александр Гамильтон жаловался в эссе «Федералист № 22»:

Любая идея пропорциональности и любое правило справедливого представительства направлены против принципа, дающего Род-Айленду равный вес на весах власти с Массачусетсом, Коннектикутом или Нью-Йорком, а Делавэру – равный голос в национальных обсуждениях с Вирджинией или Северной Каролиной. Его применение противоречит фундаментальной максиме республиканского правления, которая требует приоритета чувств большинства… Может оказаться, что большинство штатов составляет небольшое меньшинство народа Америки; и нельзя долгое время убеждать две трети населения страны с помощью искусственных различий и тонкостей силлогизмов, что они должны согласиться с тем, чтобы их интересами управляла и распоряжалась одна треть[595].

История овеществила беспокойство Гамильтона: 26 наименьших штатов, 52 представителя которых составляют большинство в сенате, говорят от имени всего лишь 18 % населения[596].

Но дело не только в сенате. Каждый штат, каким бы маленьким он ни был, имеет не менее трех голосов в коллегии выборщиков, которая в итоге и определяет, кто становится президентом. В Вайоминге 579 000 жителей – примерно столько же проживает в городе Чаттануга с пригородами, и, поскольку у них три голоса в коллегии, каждый голос представляет 193 000 вайомингцев. У Калифорнии 55 голосов в коллегии, но ее население составляет почти 40 млн человек, так что каждый голос представляет больше 700 000 калифорнийцев.

Это было сделано умышленно, как вам, скорее всего, часто напоминают друзья-традиционалисты. Сегодня идея, что президента нужно выбирать большинством голосов жителей страны, кажется естественной многим американцам – даже тем, кто видит причины для сохранения системы с коллегией выборщиков. Однако отцы-основатели не испытывали особого энтузиазма по ее поводу. Исключением был Джеймс Мэдисон, но даже он поддерживал общенациональное голосование только потому, что считал все остальные варианты еще хуже. Маленькие штаты опасались, что шансы будут только у кандидатов от густонаселенного штата. Южанам (за исключением Мэдисона) не нравилось, что общенациональные выборы ослабят с трудом достигнутый «компромисс трех пятых», который позволял им получить дополнительное представительство в конгрессе за счет многочисленного порабощенного и бесправного чернокожего населения[597]. При системе общенационального голосования ваш штат не получает власти от людей, если только вы не разрешите им голосовать.

Способ избрания президента вызвал ожесточенные споры, которые продолжались все лето 1787 года[598]. Выдвигались и отклонялись все новые и новые планы. Элбридж Герри предложил, чтобы выбирали губернаторы, причем число голосов у каждого из них было пропорционально населению штата; эту идею решительно отвергли, так же как и предложения о том, чтобы президента избирали законодательные собрания штатов, конгресс или комитет из 15 членов конгресса, выбранных случайным образом. Не придя к согласию, основная группа делегировала решение об избрании президента и некоторые другие нерешенные проблемы группе из одиннадцати незадачливых членов под названием комитет по незавершенным делам. Не нужно считать, что система, к которой мы в итоге пришли, – это блестящее воплощение мудрости отцов-основателей; это просто компромисс, на который согласились скрепя сердце и утомившись от споров, потому что ничего лучшего придумать не смогли. Если вы когда-нибудь сидели на долгом собрании, зная, что надо забирать детей из детсада, а вы не можете уйти, пока собрание не примет нужный документ, который каждый из присутствующих может заставить себя с ворчанием подписать, то вполне представляете, как появилась коллегия выборщиков.

Даже если вы согласны с представительским неравенством, встроенным в устройство коллегии выборщиков, вам следует знать, что сейчас оно намного серьезнее, чем во времена отцов-основателей. По данным переписи 1790 года, население самого большого штата (Вирджинии) в 11 раз превышало численность населения самого маленького (Род-Айленда). Сейчас же соотношение между численностью населения Калифорнии и Вайоминга составляет примерно 68. Разве конвент предоставил бы Род-Айленду столько полномочий по назначению сенаторов и выборщиков, если был он был еще в шесть раз меньше, чем на самом деле?

Возможно, самый простой способ смягчить неравенство в коллегии выборщиков – увеличить количество членов палаты представителей. В 1912 году их насчитывалось 435, как и сейчас, хотя население страны увеличилось втрое. Число выборщиков от каждого штата равно числу его представителей в сенате и палате представителей. Если бы в палате состояло 1000 членов, то 120 из них были бы из Калифорнии, а 2 – из Вайоминга. Всего у Калифорнии будет 122 голоса, по одному на каждые 324 000 калифорнийцев, а у Вайоминга 4 голоса, по одному на каждые 144 500 вайомингцев. Неравенство сохранилось, но оно уже не так велико. Чем больше палата представителей, тем лучше коллегия выборщиков представляет голоса населения в целом – и при этом план отцов-основателей не меняется ни на йоту.

Каким бы существенным ни было электоральное неравенство сегодня, бывало и хуже. Когда в 1864 году в Союз приняли Неваду, в ней проживало примерно 40 тысяч человек; штат Нью-Йорк был в сто с лишним раз больше! Такая огромная разница не случайна. Авраам Линкольн и республиканцы протащили для Невады статус штата (несмотря на ее мизерное население) в преддверии выборов 1864 года: опасаясь, что голоса за трех кандидатов разделятся и выборы придется передать в палату представителей, они хотели иметь надежный республиканский голос невадцев, пусть и непропорциональный их реальному количеству. Невада стала штатом за считаные недели до выборов и послушно отдала голоса за Честного, но изворотливого, когда нужно, Эйба. Постепенно Невада разрослась, но для этого потребовалось время. В 1900 году она была в 171 раз меньше Нью-Йорка, и за тридцать шесть лет своего существования отправила в Вашингтон в качестве сенатора всего одного демократа всего на один срок.

Подобные диспропорции может завуалировать тот факт, что некоторые маленькие штаты выглядят большими. Политики-республиканцы любят рисовать карты Соединенных Штатов, где почти от побережья до побережья простирается море красного республиканского цвета, а демократические оплоты в Калифорнии и на северо-востоке – лишь небольшая синяя кайма вдоль береговой линии. С этой точки зрения наличие целых двух кандидатов в сенате у Вайоминга вовсе не выглядит несправедливым – да вы только посмотрите, какой он большой!

Однако это – всего лишь следствие метода составления карты. Сенаторы представляют людей, а не квадратные километры территории. Мы уже видели проблему «слишком большой Гренландии» – стандартные карты с использованием проекции Меркатора искажают площади, делая некоторые районы больше, чем они есть в действительности. Нельзя ли сделать карту, на которой величина каждого штата отображала бы не его площадь, а население? Это лучше отражало бы идею, что сенат представляет именно людей. Геометрия может это сделать. Такие карты называются картограммами.

Эта картограмма показывает, какая часть населения по-прежнему проживает в первоначальных тринадцати колониях на востоке США и насколько узкой осиной талией на самом деле являются Великие равнины.

Избиратель в Пенсильвании может иметь меньшее влияние на выборах, нежели житель Нью-Гэмпшира, но оно в бесконечное число раз больше, чем у американца, живущего в Пуэрто-Рико, на Гуаме или Северных Марианских островах[599]. (Гуамцы с активной гражданской позицией[600], несмотря на отсутствие избирательных прав, все равно каждый раз проводят праймериз и выборы президента; в 2016 году явка составляла 69 % – выше, чем во всех штатах США, кроме трех.)

Вы можете рассматривать сенат и коллегию выборщиков как своего рода стандартизированный тест – числовой показатель того, что мы считаем волей народа. Как и любой стандартизированный тест, он примерно измеряет то, для чего предназначен, но им можно манипулировать; и чем дольше он существует в фиксированной форме, тем больше люди привыкают думать о нем как о самостоятельной вещи, действительно имеющей значение. Иногда я представляю далекое будущее, где целые регионы Соединенных Штатов, опустошенные изменением климата и неконтролируемым загрязнением, населены исключительно горсткой людей-киборгов в возрасте ста и больше лет, которых держат в состоянии стазиса в камерах с очищенным воздухом и приводят в сознание с помощью их механических компонентов раз в четный год для того, чтобы поставить галочку в бюллетенях на выборах в конгресс, которые гарантированы им конституцией. А в газетах при этом по-прежнему будут публиковаться статьи, восхваляющие мудрость отцов-основателей, разработавших систему самоуправления, которая так хорошо и так долго нам служит.

Сейчас штаты в основном фиксированы: мы не собираемся их заменять каким-то рационализированным машинным делением населения на куски равного размера, чтобы обеспечить Вайомингу и Чаттануга равные возможности в законотворчестве. Одни штаты по-прежнему будут меньше других. Избирательные округа после дела Рейнольдса, напротив, имеют примерно одинаковый размер. Это ослабляет влияние составителей карт, не позволяя им внаглую создавать гнилые места ради сохранения власти. Однако не уничтожает эти возможности полностью. Председатель Верховного суда Эрл Уоррен в своем мнении большинства в деле Рейнольдса писал: «Неразборчивое разбиение на избирательные округа без учета политического разделения, естественных или исторических границ может стать просто-напросто открытым приглашением к партийному джерримендерингу».

Так и оказалось. Законодателям, которые особенно мотивированы продвигать интересы своей политической силы, доступно множество различных шалостей. Давайте посмотрим, как это работает в штате Крайола[601].

КТО ПРАВИТ В КРАЙОЛЕ?

В большом штате Крайола за власть борются две партии – Оранжевые и Пурпурные. В штате есть перекос: из миллиона избирателей 60 % поддерживают Пурпурную партию. В Крайоле десять избирательных округов, каждый из которых направляет сенатора в законодательный орган, расположенный в городе Хромополис[602].

Вот четыре способа разделить избирателей по этим десяти округам.

Все четыре метода делят Крайолу на равные округа по 100 тысяч избирателей в каждом. Всех четыре варианта дают нам 600 тысяч сторонников Пурпурных и 400 тысяч сторонников Оранжевых (сумма в столбцах).

Однако при разных методах разбиения на округа мы получим совершенно различные законодательные собрания штата. В первом случае Пурпурные выиграют шесть мест, а Оранжевые – четыре. Во втором – Оранжевые получат шесть мест из десяти. В третьем Пурпурные будут иметь семь мест из десяти. И наконец, в четвертом Оранжевых не будет в собрании вообще и Пурпурные смогут принимать законы без чьих-либо возражений.

Какой из способов честный?

Это не риторический вопрос. Поразмышляйте над ним хотя бы минуту. Нет смысла читать десятки страниц о сложной социальной проблеме, если вы не задумываетесь о цели, которой мы хотим достичь.

Минута пошла…

Очевидного ответа тут нет, как вы, надеюсь, поняли. В своих выступлениях я всегда много говорю о разбиении на избирательные округа и неизменно задаю этот вопрос. Отвечают по-разному. Почти всегда большинство считает лучшим вариант 1, а самым несправедливым – вариант 2, где Оранжевые получают большинство, хотя составляют меньшинство по количеству населения. Как-то раз я разговаривал с группой людей, которые сочли худшим вариант 4, потому что одна партия полностью лишалась представительства в законодательном органе. И такие люди не одиноки в своем мнении.

Это вообще математический вопрос? Его нельзя назвать нематематическим. Однако здесь также переплетены правовая, политическая и философская составляющие, и отделить их друг от друга невозможно. Существует давняя и не особо впечатляющая традиция, когда математики подходили к задаче такого деления как к упражнению на чистую геометрию: как разрезать Висконсин идеально прямыми линиями, чтобы в получившихся многоугольных областях населения было поровну? Сделать это, конечно, можно, но не нужно, поскольку тогда у вас получатся избирательные округа, не имеющие ничего общего с реальными политическими обстоятельствами на местах. Геометрические свойства у таких избирательных округов будут подходящими, но они разрежут города и кварталы, а также пересекут границы округов штата, что в Висконсине и многих других штатах запрещено[603], если только вы не делаете это вынужденно ради одинакового по численности населения в избирательных округах.

С другой стороны, когда юристы и политики думают об изменении границ избирательных округов, пренебрегая математической составляющей, результат будет не лучше; но именно так по большому счету эти вопросы и решались до недавнего времени. Чтобы добиться правильного разделения, неизбежно придется копаться в числах и формах.

Посмотрите на числа для четырех методов проведения границ избирательных округов в Крайоле, и основной количественный принцип джерримендеринга станет совершенно ясен. Если вам поручено провести границы избирательных округов, то нужно, чтобы сторонники оппонентов сконцентрировались в небольшом числе округов, где они будут доминировать. Лучше всего, если вы выведете этих вражеских избирателей из ранее конкурентных соседних округов, обеспечив своей партии там преимущество. Что касается ваших собственных избирателей, то их нужно распределить по большому количеству округов, чтобы они там существенно превалировали. Именно это происходит в варианте 2: большинство сторонников Пурпурных определили в четыре округа, где у Оранжевых нет никаких шансов, зато в шести избирательных округах Оранжевая партия имеет солидное преимущество 55–45.

Именно это происходит в Висконсине. Граница между административными округами Уокешо и Милуоки – одна из самых прочных политических границ штата. Когда вы едете из Мэдисона на восток, чтобы посмотреть игру «Брюэрс»[604], вывески и знаки мгновенно превращаются из красных республиканских в синие демократические, как только вы пересекаете 124-ю улицу.

До 2010 года границы избирательных округов заканчивались на границах административных округов; на западе, в Уокешо, избирательные округа были уверенно республиканскими, а на востоке, в Милуоки, – демократическими. Однако карта 2011 года все изменила.

Карта 2001 года

Карта 2011 года

Теперь 13, 14, 15, 22 и 84-й избирательные округа пересекают границу между административными округами Уокешо и Милуоки[605], чтобы добавить к республиканцам из Уокешо какое-то число демократов из Милуоки, но не слишком много[606]. Эти пять избирательных округов были республиканскими с момента создания до 2018 года, когда демократ Робин Вининг, бывшая пастор и официальная «мать года» Висконсина, получившая этот титул в 2017 году, победила в 14-м округе с менее чем полупроцентным отрывом[607]. На старой карте было 18 избирательных округов, целиком расположенных в Милуоки, на новой – только 13. В одиннадцати из них места в ассамблее принадлежат демократам, а ситуация в десяти настолько однозначна, что республиканцы в 2018 году даже не пытались выставлять там своего кандидата.

Политика – это не игрушки, и с определенной точки зрения в ней нет несправедливости. Законотворчество – такая игра, где лидер может менять правила на ходу, нет неправильного или правильного, а только победа или поражение. И тем не менее многие люди относятся к практике джерримендеринга с подозрением, причем некоторые из них работают федеральными судьями. Избирательные округа Висконсина стали предметом судебных исков практически сразу же после прихода к власти Скотта Уокера. В 2012 году судьи изменили два избирательных округа, чтобы уменьшить враждебность карты по отношению к испаноязычным избирателям Милуоки. Их решение начиналось со слов: «Было время, когда Висконсин славился уважением и традициями хорошего управления»[608], а далее называло «почти смехотворными» заявления составителей карты, что они работали без политических пристрастий. Затем, в 2016 году, коллегия из трех судей Окружного суда США по Западному избирательному округу Висконсина забраковала целиком всю карту как образчик политического джерримендеринга, нарушающего Конституцию США. Решение было обжаловано в Верховном суде США, который долго пытался выработать разумный правовой стандарт того, какой масштаб партийного джерримендеринга можно считать перебором. То, что произошло после, было столкновением математики, политики, права и мотивированных рассуждений, и американская политика до сих пор пожинает последствия.

«УСТАНАВЛИВАЕТСЯ ПРАВЛЕНИЕ МЕНЬШИНСТВА»

Если вы что-то и слышали о джерримендеринге, то, вероятно, те два факта, которые объединены в названии этого явления: во-первых, его изобрел Элбридж Герри, участвовавший в качестве губернатора Массачусетса в разделении на избирательные округа, которое помогло Демократическо-республиканской партии победить федералистов на выборах 1812 года[609]; во-вторых, там были районы с причудливо извилистыми границами вроде того «саламандрообразного» избирательного округа в Массачусетсе, который художник-карикатурист увековечил как Gerrymander.

Однако оба факта ошибочны. Прежде всего, джерримендеринг возник в Америке задолго до появления этого слова и задолго до Герри. Согласно фундаментальному исследованию Элмера Каммингса Гриффита – диссертации по истории, которую он защитил в 1907 году в Чикагском университете[610], – эта практика восходит как минимум к ассамблее колонии Пенсильвания 1709 года[611]. Печально известный пример проведения политически ангажированных границ из ранней истории Америки принадлежит Патрику Генри – тому самому отцу-основателю, который произнес знаменитую фразу: «Дайте мне свободу или смерть». Его стремление к свободе сдерживалось желанием сохранить железный контроль над законодательным собранием Вирджинии. Генри был ярым противником новой конституции Соединенных Штатов и преисполнен решимости не допустить в конгресс Джеймса Мэдисона – одного из ее главных архитекторов – на выборах 1788 года. По указанию Генри родной административный округ Мэдисона объединили с пятью другими административными округами, которые считались противниками конституции. Генри надеялся, что в получившемся избирательном округе большинство проголосует за оппонента Мэдисона – Джеймса Монро. Споры о том, насколько нечестным был такой метод создания избирательного округа, ведутся до сих пор, но, несомненно, Мэдисон и его сторонники чувствовали, что Генри ведет грязную игру. Мэдисон надеялся, что его путь в конгресс будет легким, а в результате ему пришлось ехать из Нью-Йорка в родные места и целыми неделями вести предвыборную кампанию по всему новому избирательному округу. У политика была тяжелая степень геморроя, что затрудняло поездки, а во время дебатов с Монро в январе перед толпой лютеран он обморозил лицо. Однако, несмотря на джерримендеринг, Мэдисон все же победил[612], в частности получив в родном административном округе Ориндж 216 голосов против 9.

Так что к тому моменту, когда Элбридж Герри занялся джерримендерингом, это была не новинка, а устоявшаяся политическая технология. Закон Стиглера снова в действии! К 1891 году эта практика вкупе со всевозможными прочими предвыборными махинациями была настолько распространена, что побудила президента Бенджамина Гаррисона[613] заявить в своем обращении к конгрессу:

Если бы меня попросили объявить, в чем заключена наша главная национальная опасность, я бы без колебаний сказал, что это низвержение принципа правления большинства путем подавления или извращения избирательного права народа. С тем, что это реальная опасность, должны согласиться все; однако энергия тех, кто это видит, расходуется в основном на попытки возложить ответственность на противоположную сторону, а не на стремление сделать эту практику невозможной для любой из сторон. Разве нельзя отложить эти бесконечные и безрезультатные споры и сделать общий шаг в сторону реформ, уничтожив джерримендеринг, который все стороны осуждают как фактор, влияющий на избрание выборщиков президента и членов конгресса?

Гаррисоновское описание демократии при джерримендеринге не утратило своей актуальности: «Устанавливается правление меньшинства, которое можно свергнуть только в результате политических потрясений»[614].

В связи с этим возникает вопрос. Если законодатели уже триста лет проводят границы избирательных округов в соответствии со своими партийными интересами, а демократия более или менее сохраняется, то почему сейчас вдруг срочно потребовалась реформа?

Отчасти это вопрос технологий. Один старый специалист по выборам как-то рассказал мне, как раньше проходил передел избирательных округов. Имелся человек, который за десятилетия вращения в политических кругах Висконсина запомнил все особенности каждого избирательного участка в штате – от Кеноши до Сьюпириора. И вот этот гений раскладывал большую бумажную карту на гигантском столе для совещаний, смотрел на нее, прикидывал туда-сюда, отмечал маркером изменения – и дело сделано.

Когда-то джерримендеринг считался искусством, а современные вычислительные мощности превратили его в науку. Джо Агрессивный Хендрик и его команда картографов пробовали вариант за вариантом и поправку за поправкой уже не за деревянным столом, а за экраном. Для каждого варианта разделения на избирательные округа они запускали моделирование, проверяя его эффективность при различном политическом климате, пока не сошлись на карте, которая оптимальным образом сохраняла контроль республиканцев при любых обстоятельствах за исключением совсем уж крайних случаев. Этот процесс не просто быстрее – он лучше. Один юрист, участвовавший в судебных разбирательствах против штата, сказал мне, что эффективность джерримендеринга по Акту 43 гораздо выше, чем мог добиться вручную любой старый мастер.

Более того, хорошо сработавший на первых выборах джерримендеринг приводит к занятию должностей политиками из партии, озаботившейся этой практикой, а это дает дополнительные преимущества. Спонсоры оппозиции, видя, что карта слишком пристрастна, но это непреодолимо, распределяют средства по другим местам. Джерримендеринг подпитывает себя сам.

Судья Сандра Дэй О’Коннор, выражая несогласие по делу 1986 года Дэвис против Бандемера, утверждала, что судам не следует вмешиваться в вопросы перераспределения границ избирательных участков. Вспомните, что создание «хорошей» карты предполагает наличие многих округов, где ваша партия обладает умеренным перевесом. О’Коннор задается вопросом: разве это не означает, что джерримендеринг – стратегия, рискованная по своей природе? По ее мнению, партии будут воздерживаться от необоснованно чрезмерного джерримендеринга, поскольку их кандидаты рискуют выбыть из гонки от неожиданного политического порыва. Она писала: «Это хороший повод задуматься, что политический джерримендеринг – это самоограничивающееся предприятие».

В те времена, возможно, она была права. Однако нынешние вычислительные мощности разрушили самоограничивающую природу этого явления, как это было и со многими другими ограничениями (спросите Мариона Тинсли). Точно так же, как карты можно настраивать для получения существенного перевеса одной партии, их можно корректировать, чтобы одновременно снизить риск для действующих политиков. И причина не только в том, что современный компьютер работает быстрее, чем Apple II. Изменились и сами избиратели! Нам, американцам, нравится думать, что мы беспристрастно оцениваем избирательный бюллетень, изучаем политическую платформу каждого кандидата и его соответствие будущей должности, а затем голосуем за наилучший из имеющихся вариантов. Однако на самом деле мы довольно предсказуемы и становимся все более предсказуемыми. Большинство из нас просто голосуют за человека с нужной буквой после фамилии. Доля «колеблющихся избирателей»[615], которые меняют партии при голосовании на разных выборах, в период с середины XX века до 1980-х годов находилась где-то в районе 10 %. Сейчас она снизилась вдвое. Чем стабильнее и предсказуемее голосующие, тем больше возможностей у какой-то партии нарисовать карту, которая обеспечит ей большинство, защитит действующих политиков и сохранит эффект до следующей переписи и, стало быть, до новой карты, составленной тем же законодательным большинством в том же секретном помещении[616].

ПРЕКРАТИТЕ ПИНАТЬ ДОНАЛЬДА ДАКА

Традиционную точку зрения на джерримендеринг, сам того не подозревая, некогда высказал судья Поттер Стюарт, – разумеется, совершенно по иному юридическому поводу: «Вы узнаёте его, когда видите»[617]. Абсолютно верно: существует несколько избирательных округов весьма странной формы. Например, четвертый избирательный округ Иллинойса по выборам в конгресс – «наушники», где две области соединены узкой полоской автодороги, или вот эта красота из Пенсильвании, известная в народе как «Гуфи, пинающий Дональда Дака»[618].

Седьмой избирательный округ Пенсильвании определен таким образом, чтобы охватить достаточное количество рассеянных республиканцев и сформировать район, благоприятствующий Великой старой партии[619]. Две основные области связаны только посредством территории больницы, расположенной на кончике ноги Гуфи. Шея Гуфи – просто автостоянка[620].

В 2018 году этот избирательный округ был забракован Верховным судом Пенсильвании как пример партийного джерримендеринга, зашедшего слишком далеко: это решение – победа честных выборов и относительно округлых форм. Общепринятое мнение при реформировании перераспределения избирательных округов сводится к тому, что для предотвращения эксцессов достаточно потребовать, чтобы округа имели «разумную» форму, ограничивая тем самым возможности законодателей мошенничать. В конституциях многих штатов даже есть положения, предписывающие избегать создания избирательных округов, напоминающих по форме диснеевские драки. Например, Висконсин требует, чтобы округа были «максимально компактными». Но что конкретно это означает? Законодатели так и не пришли к единому мнению, а попытки определить, какие формы считать «компактными», иногда приводят к еще большей путанице. В 2018 году избиратели Миссури провели референдум с целью внести поправку в конституцию: «Компактные избирательные округа – это округа в форме квадрата, прямоугольника или шестиугольника в той степени, в какой это допускается природными или политическими границами». Ну, прежде всего, квадрат – это вид прямоугольника. А что Миссури имеет против треугольников, пятиугольников и неправильных четырехугольников? (Моя личная теория: штат Миссури просто стыдится своей формы трапеции и теперь пытается это компенсировать.)

Геометрия действительно предлагает некоторые варианты измерения компактности какой-нибудь фигуры. Ваша интуиция, вероятно, говорит, что у очень хитроумных фигур (вроде бывшего седьмого избирательного округа Пенсильвании) граница замыкает площадь очень неэффективно: она слишком длинная, сложная и путаная. Возможно, нам нужны фигуры, у которых периметр не слишком велик по сравнению с их площадью.

Вероятно, ваша первая мысль – использовать отношение: какая площадь приходится на каждый километр периметра. Чем выше результат, тем лучше. Однако с этой идеей возникает проблема. Маленький квадрат размером 4 на 4 километра имеет периметр 16 и площадь 4 × 4 = 16. Поэтому отношение площадь / периметр равно 16 / 16 = 1. А что, если мы увеличим квадрат так, чтобы его стороны были по 40 километров? Тогда периметр составит 160, площадь 1600, а наш показатель улучшится, поскольку 1600 / 160 = 10.

Это неприятная ситуация. Степень компактности квадрата не должна зависеть от его размера! Точно так же она не должна зависеть от того, измеряем мы его размер в милях, километрах или фарлонгах! Какую бы меру компактности мы ни использовали, она должна быть тем, что геометры называют инвариантом[621], то есть не должна меняться при перемещении, повороте, расширении или стягивании. Когда мы передвигаем или вращаем область, ее периметр и площадь не меняются, так что проблемы нет. Но когда мы увеличиваем ее с коэффициентом 10, периметр увеличивается в 10 раз, а площадь – в 100 раз. Это подсказывает, что лучше использовать другое отношение:

площадь / периметр^2,

которое не меняется при увеличении или уменьшении площади территории. Кстати, удобный способ отслеживать такие вещи – добавлять единицы измерения. Периметр вашего 40-километрового квадрата – 160 километров, а его площадь – 1600 квадратных километров, поэтому площадь, деленная на периметр, – это не просто 10, а 10 километров, то есть не число, а длина.

Вышеуказанное отношение называют оценкой Полсби – Поппера – по имени двух юристов, которые осознали ее удобство в 1990-е, однако само понятие старше. Для круга радиуса r периметр равен 2πr, а площадь πr^2, так что этот показатель равен:

(πr^2) / (2πr)2 = πr^2 / 4π^2r^2 = 0,079…

Обратите внимание, что ответ вообще не зависит от радиуса круга! Радиус r пропал. Вот так работает инвариантность. То же самое справедливо для квадрата: если длина его стороны d, то периметр 4d, площадь d^2, поэтому оценка Полсби – Поттера равна:

d^2 / (4d)2 = d^2 / 16d^2 = 1 / 16 = 0,0625

и не зависит от длины стороны квадрата. Показатель для квадрата получился несколько меньше, чем 1/4π. На самом деле 1/4π – это наилучший показатель для любых возможных форм! Это вполне согласуется с нашим интуитивным представлением о том, насколько большой может быть площадь фигуры, если зафиксировать ее периметр. Положите на стол веревочку в виде петли и попробуйте расположить ее так, чтобы внутри оказалось как можно больше материала. Вам не кажется, что она примет круглую форму? Этот факт был известен и доказан не вполне нестрогим образом (как поступало большинство древних математиков) Зенодором, жившим примерно через век после Евклида. Математики называют это изопериметрическим равенством. Его строгое доказательство в соответствии с современными требованиями появилось только в XIX веке[622].

Таким образом, вы можете рассматривать оценку Полсби – Поппера как показатель того, насколько кругообразен избирательный участок. И в этот момент уже можете засомневаться в том, что это действительно хорошая идея. Неужели кругообразный район лучше квадратного? А чем не угодил прямоугольник вроде этого:

оценка для которого равна 4 / 100 = 0,04?

Раз уж на то пошло, а что мы вообще подразумеваем под периметром? Границы реальных территорий – это частично прямые линии, проведенные геодезистами, а частично искривленные линии вроде побережий, которые фрактальны по природе и искривлены в любом масштабе. Поэтому их длина увеличивается, когда вы измеряете все их более мелкие изгибы и выступы. Однако качество избирательного округа не должно зависеть от размера вашей рулетки!

Попробуем иной подход. Во многих случаях наиболее удобные геометрические фигуры – выпуклые. Если в общих чертах, то выпуклая фигура – та, что выгибается только наружу:

но не вовнутрь:

Однако есть и приятное официальное определение: фигура называется выпуклой, когда любой отрезок, соединяющий две ее точки, полностью лежит внутри фигуры. (Это определение имеет смысл в двух измерениях или в трех и даже в большем числе измерений, намного превышающих вашу способность визуализировать выгибание наружу или внутрь.) Вы можете увидеть, как вторая фигура не проходит тест с помощью отрезка:

Выпуклой оболочкой фигуры называется объединение всех отрезков, соединяющих все пары ее точек:

Вы можете представлять ее как «заполнение всех невыпуклых мест» или, с более физической точки зрения, как результат максимально плотного обтягивания фигуры тонкой пластиковой пленкой. Выпуклая оболочка мяча для гольфа – это сфера; все углубления на его поверхности (которые делают по соображениям аэродинамики) будут заполнены[623]. Выпуклая оболочка вашего собственного тела будет плотно прилегать, если вы сожмете ноги, а руки прижмете к бокам; однако если вы расставите их в стороны, то выпуклая оболочка станет гораздо больше.

Давайте определим оценку «Населенный многоугольник» для какого-нибудь избирательного округа: это отношение между количеством проживающих в нем людей и числом людей, проживающих в его выпуклой оболочке. Выпуклая оболочка района из фигур Гуфи и Дональда Дака включает всех людей, которые живут между ними, поэтому наша оценка для этого округа будет плохой.

Оценка «Населенный многоугольник» лучше оценки Полсби – Поппера, потому что учитывает фактическое место проживания людей. Однако есть и более глубокая проблема с использованием компактности в качестве тормоза для джерримендеринга: это не работает. Возможно, во времена бумажных карт людям приходилось прибегать к причудливым формам, чтобы получить желаемое распределение избирателей, но теперь это не так. Программное обеспечение, которое может за полдня оценить миллионы карт, позволит вам отыскать те, которые одновременно будут и красивой формы, и нужной вам конфигурации. Такие нечестные округа[624] вокруг Милуоки будут выглядеть невинными квазипрямоугольниками, которые получили бы приемлемые оценки по любым методам определения компактности.

Сандра Дэй О’Коннор однажды написала[625], что, когда дело касается избирательных округов, «внешность имеет значение»: «саламандрообразный» округ создает впечатление, что тут задействованы отнюдь не демократические идеалы. Если вы спросите меня, я скажу, что эти идеалы не укрепятся, если вы замените Гуфи и Дональда картой, которая не так оскорбительна для глаз, но столь же политически необъективна. На мой взгляд, существует несколько веских причин делать округа компактными: например, более короткий путь к офису представителя или более схожие политические приоритеты электората. Однако компактность ограничивает джерримендеринг просто потому, что она и есть ограничение. Чем меньше выбор у составителей карты, тем ниже вероятность, что они найдут вариант с существенной подтасовкой. Дело не в том, что компактным округам присуща какая-то внутренняя справедливость; просто у вас остается гораздо меньше вариантов разбиения штата на избирательные округа, если они должны быть примерно округлыми.

Сейчас мы знаем, что традиционных мер компактности недостаточно, чтобы удержать партии от подтасовки карт в свою пользу, равно как недостаточно и требования о равном по численности населении в деле Рейнольдс против Симса. Конечно, можно скорректировать меры компактности и ввести более строгие ограничения, или потребовать строгого соблюдения закона о нарушении границы административных округов, или просто придумать произвольные правила («количество зарегистрированных избирателей в каждом округе должно быть простым числом»). Любое дополнительное ограничение лишает законодателей места для маневра в их десятилетней жульнической игре. Однако такие произвольные правила нецелесообразны с политической точки зрения. Если цель – прекратить джерримендеринг, то и стратегию нужно нацеливать непосредственно на него. Это означает, что нам нужна мера для карты, которая сообщает не только о том, насколько равномерно населены избирательные округа и насколько они круглые, но и насколько они подтасованы. Эта еще более сложная задача. Но геометрия поможет нам с нею разобраться.

СОБЕРИТЕ ЛИБЕРАЛОВ!

Перефразируем Генри Менкена: почти на каждый интересный вопрос прикладной математики есть ответ, который прост, математически элегантен и неправилен[626]. В случае разбиения штата на избирательные округа этот ответ – пропорциональное представительство: принцип, согласно которому партия должна получить в законодательном органе долю мест, равную доле полученных ее кандидатами голосов. Таков прямой количественный ответ на вопрос, что значит «справедливость» карты избирательного округа, и он действительно популярен. Газета Washington Post сообщила, что в 2016 году на выборах в ассамблею штата Висконсин кандидаты-республиканцы набрали 52 % голосов, а в ассамблее получили 65 % мест. Газета отмечала, что Великая старая партия, «похоже, извлекла пользу из джерримендеринга[627], если учесть такое расхождение между полученными голосами и местами». Завуалированный намек, что ситуация дурно пахнет, когда эти цифры не совпадают.

Пропорциональное представительство – вот причина, по которой людям нравится вариант 1 в Крайоле. Пурпурная партия получила 60 % голосов и, соответственно, 60 % мест в законодательном органе.

Но станет ли пропорциональное представительство результатом справедливого составления карт? Почти наверняка нет! Возьмем, к примеру, сенат штата Вайоминг. Вайоминг, по некоторым показателям, самый республиканский штат Америки. Две трети его избирателей голосовали за Дональда Трампа в 2016 году, и такая же доля проголосовала за республиканца на выборах губернатора в 2018 году. Однако сенат штата не на две трети состоит из республиканцев – в нем 27 сенаторов от Великой старой партии и только три демократа. Следует ли считать это несправедливым? Если две трети штата – республиканцы, то довольно вероятно, что почти все отдельные географические области штата – тоже республиканские. В самом экстремальном случае, когда штат абсолютно однороден в политическом контексте и в каждом районе каждого города одинаковое соотношение республиканцев и демократов, партия большинства выиграет на всех избирательных участках и получит абсолютно все места в парламенте. Это сценарий варианта 4 в Крайоле. И получившийся однопартийный законодательный орган окажется не результатом джерримендеринга, а следствием однородного распределения избирателей по штату.

У Айдахо и Гавайев по два представителя в конгрессе, и мы не считаем странным, что за последнее десятилетие[628] делегация Айдахо полностью республиканская, а Гавайев – полностью демократическая, хотя доля избирателей, поддерживающих партию большинства в каждом штате, ближе к 50 %, а не к 100 %. Не думаю, что какое-то справедливое разбиение Айдахо на два избирательных округа дало бы одного демократа и одного республиканца. И не думаю, что вы могли бы нарисовать какой-то не смехотворно выглядящий округ, который охватывал бы половину Айдахо и имел демократическое большинство.

А как обстоят дела у либертарианцев? Доля американцев, голосующих за кандидатов от Либертарианской партии в палату представителей, стабильно колеблется на уровне 1 %; однако никогда ни один человек от этой партии[629] не попадал в палату, не говоря уже о трех-пяти, которых должно давать пропорциональное представительство, – просто трудно себе представить целый либертарианский город или хотя бы район города (хотя воображать такое забавно!). В Канаде, где выборы организованы очень похоже на американские, отклонения еще сильнее: на выборах в федеральные органы 2019 года Новая демократическая партия набрала 16 % голосов, а Квебекский блок – только 8 %, однако голосовавшие за блок сконцентрированы в одной провинции, Квебеке, а потому получили больше мест в парламенте.

Между прочим, в Канаде нет проблем с джерримендерингом, несмотря на законодательную систему в стиле США. И не потому, что канадцы лучше американцев, а потому, что разбиение на избирательные участки в Канаде (у них они называются «райдингами») с 1964 года проводят внепартийные комиссии. До этого рисование округов было таким же политически мотивированным и грязным, как и в Соединенных Штатах. Даже первый премьер-министр Канады[630], консерватор сэр Джон Макдональд, брался за перо и занимался разбиением на избирательные участки, пытаясь ослабить своих оппонентов из Либеральной партии. Карта, использованная для выборов 1882 года, была настолько наглой, что вдохновила на написание следующего стихотворения, опубликованного в газете Toronto Globe, – без сомнения, лучшее объяснение принципов джерримендеринга, когда-либо изложенное четырехстопным хореем:

И поэтому давайте [631]

Округа мы перестроим,

Чтоб улучшить перспективы

На сомнительных участках;

Соберите либералов,

Где они и так могучи,

Там, где их не победить нам;

И, забрав свои отряды

Из твердынь сих бесполезных,

Укрепите ими наши

Округа, что послабее.

Так воистину пристало

Поступать вождю всех тори!

Пропорциональное представительство – вполне разумная система, многие страны встроили ее в метод формирования своих законодательных органов. Однако у нас не так, и не имеет смысла ожидать, что результатом каких-либо выборов в США станет пропорциональное представительство. Тем не менее его призрак все еще преследует рассуждения о джерримендеринге. На закрытом семинаре, где республиканцам объясняли, как составлять карты в свою пользу, не вступая в конфликт с судьями (его тайно записал один из участников), юрист-республиканец Ханс фон Спаковски предупреждал аудиторию о тех, кто попытается отменить карту через суд:

Они говорят, что если, например, кандидат в президенты от Демократической партии получил 60 % голосов в штате на президентских выборах, то она имеет право на 60 % мест в законодательном органе штата и 60 % мест в конгрессе[632].

Это ложь, хотя мне непонятно, знает ли Спаковски, что это ложь. Пропорциональное представительство – вовсе не тот стандарт, за который выступают реформаторы. Так что же это?

ЗАПОЛНИТЕ РАЗРЫВ

Дело Виет против Джубелирера, рассматриваемое Верховным судом в 2004 году, поставило проблемы партийного джерримендеринга в любопытное состояние правовой неопределенности. Четверо судей полагали, что практика джерримендеринга в интересах партии не подпадает под юрисдикцию суда, то есть это чисто политический вопрос, а федеральным судам запрещено в них вмешиваться. Четверо считали, что карта ущемляет право на представительство настолько грубо, что это нарушает конституцию.

Судья Энтони Кеннеди, который в данном деле (как и во многих других) был ключевой фигурой, присоединился к большинству и поддержал обсуждаемую карту, но разошелся во мнении по критическому вопросу юрисдикции. Он написал, что у судов есть права и обязанности пресекать партийный джерримендеринг, но только при наличии разумных стандартов, позволяющих судьям определить, что карта настолько плоха, что от нее конституцию тошнит.

Мы уже видели, что пропорциональное представительство не подходит в качестве такого стандарта, как и параметры геометрической компактности. Требовалась новая идея. Она и была предложена реформаторам политологом Эриком Макги и профессором права Николасам Стефанопулосом, это так называемый разрыв эффективности (efficiency gap).

Вспомните, как работает джерримендеринг: ваша партия выигрывает много округов с небольшим перевесом и немного округов с большим. Вы можете представлять это как эффективное распределение ваших избирателей. Если с такой позиции смотреть на вариант 2, то мы видим ужасающую неэффективность Пурпурной партии. Что им дает победа 85 000 на 15 000 в 7-м округе? Лучше было бы передать 10 000 этих избирателей в 6-й округ, а взамен привлечь в 7-й округ 10 000 Оранжевых. Тогда Пурпурные все равно выиграют 7-й округ с внушительным перевесом 75 000 на 25 000, но вдобавок победят еще и в 6-м округе: теперь там счет 55 000 на 45 000 в их пользу, а не наоборот, как было раньше.

Эти лишние Пурпурные в 7-м округе, с точки зрения их партии, бесполезны. У Стефанополуса и Макги «бесполезными голосами» считаются:

• голоса, поданные в округе, где ваша партия проигрывает;

• голоса выше порога в 50 % в округе, где ваша партия побеждает.

В варианте 2 Пурпурная партия тратит массу голосов впустую. Вот схема:

В каждом из шести проигранных избирательных округов у Пурпурных по 45 000 бесполезных голосов; в 7-м и 8-м округах их по 35 000 – это голоса, превышающие количество, необходимое для победы; в 9-м и 10-м их по 30 000. Всего получается 6 × 45 000 + 2 × 35 000 + 2 × 30 000 = 400 000 бесполезных голосов.

Оранжевые, напротив, невероятно эффективны. В каждом из первых шести округов у них всего по 5000 бесполезных голосов, а в тех округах, где они проиграли, причем разгромно, бесполезными были по 15 000 голосов в 7-м и 8-м округах и по 20 000 в 9-м и 10-м округах. Всего у них 100 000 бесполезных голосов, то есть на 300 000 меньше, чем у Пурпурных.

Разрыв эффективности – это разность между количеством бесполезных голосов у двух партий[633], выраженная в процентах от общего числа поданных голосов. В случае варианта 2 он составляет 300 000 на миллион, то есть 30 %.

Это огромный разрыв эффективности. На реальных выборах эта величина обычно выражается однозначным числом. Некоторые юристы считают, что любой цифры больше 7 % достаточно, чтобы суд внимательно присмотрелся к произошедшему.

Не во всех вариантах, предложенных для Крайолы, разрыв настолько велик. Вот схема для варианта 1 – той карты, которая дает пропорциональное представительство:

Пурпурные потратили зря по 25 000 голосов в каждом из первых шести округов, по 35 000 в округах 7 и 8 и по 40 000 в округах 9 и 10. Всего – 300 000. У Оранжевых бесполезными остались те же 150 000 в первых шести округах, но только по 15 000 в 7-м и 8-м округах и по 10 000 в 9-м и 10-м. Всего – 200 000. Таким образом, разрыв эффективности равен 100 000 на миллион, то есть 10 %, и по-прежнему в пользу Оранжевых. В варианте 4, когда Пурпурные забирают себе все места, Оранжевая партия впустую тратит 40 000 голосов в каждом округе, а Пурпурная только 10 000, так что мы снова получаем разрыв в 30 %, но уже в пользу Пурпурных. А как насчет варианта 3?

Здесь каждая партия бесполезно потратила одно и то же количество голосов: 250 000. У этой карты нулевой разрыв эффективности; с точки зрения этого показателя она самая справедливая из возможных, несмотря на то что отклоняется от пропорционального представительства.

По-моему, это хорошо! На практике карты, составленные нейтральными арбитрами, редко приближаются к пропорциональному представительству, за исключением тех случаев, когда и доля мест, и доля в общем голосовании близки к 50–50. Но, как правило, доля полученных мест будет сильнее отклоняться от 50–50, чем доля в голосовании. Согласно стандарту, использующему разрыв эффективности, те выборы, когда одна партия получила 60 % голосов и 60 % мест в законодательном органе, скорее свидетельствуют в пользу джерримендеринга, а не против него.

Разрыв эффективности – это объективный показатель, его легко подсчитать, и масса эмпирических данных показывает, что он резко увеличивается на тех картах, о мошенническом создании которых заведомо известно, – как в Висконсине. Поэтому истцы быстро полюбили этот показатель. Он сыграл главную роль в судебном процессе, отклонившем в 2016 году висконсинские карты, которые долгие годы были предметом юридических споров.

И вот здесь я снова опускаю вас с небес на землю. Разрыв эффективности подвергся критике практически сразу же после того, как стал популярен. У него действительно есть недостатки, и серьезные. Прежде всего, он не непрерывен. Станут ли голоса бесполезными, зависит от того, кто победит в округе, и при очень маленьком изменении в числе голосов показатель может весьма существенно поменяться. Если Пурпурные выигрывают округ 50 100 – 49 900, то у Оранжевых 49 100 бесполезных голосов, а у Пурпурных только 100. Незначительный сдвиг в голосовании, чтобы с тем же счетом победили уже Оранжевые, – и картина переворачивается: теперь уже у Пурпурных почти 50 000 бесполезных голосов. Такие изменения сами по себе меняют разрыв эффективности почти на 10 %! Хорошая мера не должна быть настолько хрупкой.

Другая проблема с разрывом эффективности больше связана с юриспруденцией, чем с математикой. Чтобы суд запретил карту или хотя бы взял дело на рассмотрение, лицо, подающее в суд, должно обладать правом на иск, то есть истец должен доказать, что искомая карта лишает лично его какой-то части конституционных прав. Когда округа сильно отличаются по размеру, пострадавший очевиден: это человек из гигантского округа, чей голос значит меньше. Подача претензии в случае джерримендеринга – дело гораздо более туманное, и разрыв эффективности тут мало поможет. Чьи права ущемлены или по крайней мере существенно урезаны? Это не может быть любой человек, чей голос считается бесполезным, тогда это подразумевало бы голоса всех, кто их отдал за проигравшую партию, а в этом случае у голосовавших явно не урезали никаких прав. Именно из-за этого дело штата Висконсин потерпело фиаско в Верховном суде, который единогласно решил: истцы не продемонстрировали в достаточной степени, что лично стали жертвами мошенничества. Дело было возвращено в Висконсин для исправления и больше в Верховный суд не попало, поскольку он решил для вынесения решения о джерримендеринге использовать дела из Северной Каролины и Мэриленда.

Разрыв эффективности также страдает от некоторой избыточной жесткости. Если количество голосов во всех округах одинаково, как в нашем примере с Крайолой[634], то получается, что разрыв эффективности – это просто разница между

перевесом победившей стороны в общем голосовании

и

половиной перевеса победившей стороны в количестве мест.

Таким образом, вы получаете нулевой разрыв эффективности, когда перевес в местах ровно вдвое больше перевеса в голосовании, и чем вы ближе к этому стандарту, тем меньше разрыв эффективности. В Крайоле Пурпурная партия выиграла общее голосование с преимуществом в 20 пунктов (60–40). Поэтому с точки зрения нашего показателя правильный перевес в числе мест должен быть вдвое больше, то есть 40 пунктов. Именно это и происходит в варианте 3 с нулевым разрывом эффективности, где Пурпурная партия заняла 70 % мест, а их противники – 30 %. В варианте 1, где Пурпурные выигрывают и общее голосование, и гонку за места с перевесом в 20 пунктов, разрыв эффективности равен 20 % – 10 % = 10 %.

Суды не любят системы, где существует какое-то одно «правильное» число мест, соответствующее данной доле голосов. Это попахивает пропорциональным представительством даже тогда, когда, как здесь, формула обычно с ним несовместима.

Я говорю «обычно несовместима», поскольку есть одна ситуация, когда и разрыв эффективности, и пропорциональное представительство (и, вероятно, вы тоже) соглашаются с тем, что все справедливо. Это тот сценарий, когда каждая партия набирает ровно половину голосов. Тогда имеется фундаментальная симметрия, которой (как вы можете ожидать) обладает любая «справедливая» карта: коль население штата разделено ровно пополам, не должны ли обе партии делить пополам и законодательный орган?

Республиканская партия Висконсина сказала бы «нет». И как бы я ни относился к их жульничеству с границами весной 2011 года, должен признать, что они правы.

Карта 2 Крайолы отдает большинство мест Оранжевым, хотя в народном голосовании Пурпурные их обошли. Но что, если Пурпурные в штате собираются в паре темно-пурпурных городских областей на фоне оранжевой сельской местности? Возможно, в этом случае вы увидите похожие результаты выборов безо всяких жульнических игрищ с проведением границ. Действительно ли такая асимметрия несправедлива, если Пурпурные обманывают сами себя?

Генеральный прокурор Висконсина республиканец Брэд Шимел указал в консультативном заключении[635] для Верховного суда, что именно такой сценарий и произошел в Висконсине. Избирательный округ в ассамблею штата в Мэдисоне, где я живу (AD77), отдал 28 660 голосов демократу Тони Иверсу. Республиканец Скотт Уокер получил всего 3935 голосов. В округе 10 в Милуоки Иверс доминировал еще больше, победив 20 621 – 2428. При этом не было округов, где с аналогичным перевесом победили бы республиканцы. И не потому, что эти избирательные округа созданы с помощью джерримендеринга. Просто Мэдисон полон демократов.

Внешне справедливый критерий, что разделение голосов 50–50 должно обеспечивать и разделение мест 50–50 в ассамблее, по словам Шимела, на самом деле направлен против республиканцев – и не только в Висконсине, но и в любом штате, где в густонаселенных городах преобладают избиратели-демократы. Иными словами, почти в любом штате.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗЛОУПОТРЕБЛЕНИЯ ОБЕИХ ПАРТИЙ

Не все в этом консультативном заключении было хорошо. Карта Акта 43 разрабатывалась с учетом сопротивления равномерным переменам в настроениях избирателей: если каждый избирательный округ сдвинется в сторону демократов на один и тот же фиксированный процент, то для уничтожения искусственного преимущества республиканцев понадобится довольно большой сдвиг. Шимел, задача которого – отрицать эффективность карты, над которой его собственная партия так усердно трудилась, указывает, что на самом деле 99 округов не меняются синхронно.

Существует множество статистических показателей, вычисление которых может помочь в проверке, насколько однородны эти изменения и насколько хорошо карта Акта 43 противостоит росту демократических настроений в рамках более реалистичной модели ежегодных изменений. Это был бы интересный и полезный анализ. Но Шимел его не делал. А вместо этого выбрал один округ – избирательный округ 10 по выборам в сенат штата, который дал кандидату-республиканцу 63 % на одних выборах и 44 % на следующих, то есть изменение в 19 пунктов. Насколько правдоподобно, что весь штат стал гораздо демократичнее за такое короткое время? Если бы это было так, по оценке Шимела, то демократы оказались бы на пути к «победе в 77 избирательных округах из 99» (задыхающийся курсив Шимела). Думаю, что предвыборные махинации были не так уж и плохи!

Шимел не уточняет, что в округе 10, где победила Патти Шахтнер (бабушка с девятью внуками, охотница на медведей, у которой ранее высшей должностью был пост судмедэксперта административного округа), проводились внеочередные выборы на вакантное место, причем в январе, с явкой вчетверо меньше той, что обычно бывает в год выборов. И не говорит, что кандидатом, получившим 63 % голосов, был популярный политик, который занимал это место шестнадцать лет.

Вы не сможете утверждать, что политика Висконсина качнулась на 19 пунктов за восемнадцать месяцев, если тщательно не подгоните данные к своему выводу, как сделал Шимел[636].

Статистические злоупотребления такого рода не ограничиваются республиканцами Висконсина. Общее количество голосов, поданных за кандидатов-демократов в ассамблею штата в 2018 году, составляло 1 306 878.

Кандидаты-республиканцы получили 1 103 505. Но в целом кандидаты-демократы, набравшие 53 % в общем голосовании в ассамблею, получили в ней только 36 из 99 мест. Это не просто отклонение от пропорционального представительства, что было бы простительно; это почти большинство с правом вето, узурпированное партией, набравшей меньше голосов. Эту статистику распространяли повсюду. Она появилась в популярном либеральном телешоу Рэйчел Мэддоу, ее опубликовал в Twitter глава Демократической партии штата как доказательство мошенничества с разбиением штата на избирательные округа.

Но я не упоминал об этом. И вот почему. Один из главных эффектов джерримендеринга – плотное и однородное размещение демократов в округах, где у республиканцев вообще нет шансов. В год с общим демократическим настроем, как, например, в 2018-м, кандидату от республиканцев даже не стоило пробовать выдвигать кандидатуру.

Таким образом, в 2018 году в 30 избирательных округах из 99 никаких кандидатов-республиканцев не выдвигалось вообще (мой округ в Мэдисоне, естественно, был одним из них); в то же время нашлось всего 8 округов, где кандидатов не выставляли демократы. Любой из этих 30 округов дал бы какое-то количество голосов кандидату от республиканцев, если бы он там был. Однако величина 53 % соответствует тому, что там вообще нет республиканских настроений.

И числа Шимела, и числа Мэддоу оказались верны. И это каким-то образом усугубляет ситуацию! Ложные величины можно исправить. Но на верное число, используемое для создания ложного впечатления, гораздо труднее надеть намордник. Люди часто жалуются, что никто больше не любит факты, числа, рассуждения и науку, однако как человек, рассказывающий об этих вещах публично, могу заявить, что это неправда. Люди любят числа и впечатлены ими, причем иногда даже больше, чем следовало бы. Аргумент, подкрепленный математикой, обладает определенным авторитетом. И если вы используете его, то несете особую ответственность за то, чтобы делать это правильно.

НЕПРАВИЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Если под подозрение попадает даже тот основной принцип, что при равном голосовании получающийся законодательный орган должен иметь аналогичный состав 50 на 50, то остается ли вообще какая-то надежда на определение честности? Как разобраться, какая из четырех карт Крайолы правильная? Может быть, это вариант 1, соответствующий пропорциональному представительству, где у Пурпурных шесть мест, а у Оранжевых – четыре? Или вариант 3 с нулевым разрывом эффективности, где у Пурпурных перевес 7–3? А что насчет варианта 4? Вроде бы кажется неправильным, что Пурпурные получили все места в собрании, но, как мы только что видели, именно это и должно происходить, если штат Крайола будет политически однородным, с соотношением 60 на 40 во всех городах и деревушках. В этом случае неважно, где проводить линии, – каждый избирательный округ будет давать результат 60–40 в пользу Пурпурных, и в итоге вы получите однопартийный законодательный орган.

Республиканцы Висконсина предложили бы не вычеркивать даже вариант 2: если концентрация Пурпурных в городах достаточно велика, возможно, любая разумная карта даст четыре интенсивных пурпурных округа и шесть умеренно оранжевых.

Похоже, мы зашли в тупик: нет четкого способа посмотреть на эти величины и решить, какая карта справедлива. Это ощущение беспомощности радует махинаторов, которые предпочитают беспрепятственно делать свое темное дело по вычерчиванию границ. Оно лежит в основе каждого аргумента, приводимого в защиту этой практики в суде: возможно, это справедливо, возможно, нет, но, как ни прискорбно, Ваша честь, просто не существует способа рассудить.

Может быть, и нет. Но мы с вами не судьи. Мы в данный момент – математики. Нас не связывают рамки закона, и мы можем использовать все имеющиеся под рукой инструменты, чтобы попытаться выяснить, что на самом деле происходит. И если нам очень повезет, мы придумаем что-то, с чем можно выступить в суде.

Юридические баталии по поводу джерримендеринга[637] достигли апогея в марте 2019 года, когда Верховный суд заслушал прения сторон в двух делах, что потенциально могло закрыть или открыть ту конституционную дверь, которую судья Кеннеди оставил маняще приоткрытой. Сам Кеннеди не участвовал в слушаниях: годом ранее он ушел в отставку, а его место в суде занял Нил Горсач[638]. Одно дело, Ручо против группы Common Cause, поступило из Северной Каролины; другое, Бенисек против Лэймон, – из Мэриленда. Обе оспариваемые карты относились к избирательным округам для выборов в палату представителей США. Карта из Северной Каролины, составленная республиканцами, была устроена так, что десять из тринадцати мест штата железно принадлежали республиканцам; в то же время в Мэриленде, наоборот, уже демократические власти сократили число реальных мест для республиканцев до одного из восьми. Составителей мэрилендской карты консультировал Стени Хойер – ветеран-конгрессмен от демократов и лидер большинства в палате представителей, который однажды сказал в интервью: «А сейчас позвольте со всей ясностью заявить, что я регулярно занимаюсь джерримендерингом»[639]. По иронии судьбы, политическая карьера Хойера началась, когда он 27-летним новичком в политике выиграл гонку 1966 года за место в сенате штата Мэриленд – место, которое появилось именно в том году после того, как Верховный суд в результате дела Рейнольдс против Симса запретил в Мэриленде избирательные округа неравного размера при выборах в сенат[640]. (К сожалению, Исаак Штраус не дожил до этого.)

Наличие двух дел сразу давало суду прекрасную возможность вынести решение по джерримендерингу, не принимая при этом сторону одной из партий. Самые резонансные махинации в стране – в Северной Каролине, Вирджинии и Висконсине – вели республиканцы, поэтому борьбу за реформу системы разбиения на избирательные округа обычно считали делом демократов; однако такие высокопоставленные республиканцы, как губернатор Огайо Джон Кейсик и сенатор от Аризоны Джон Маккейн, также высказались против джерримендеринга, предоставив в суд консультативные заключения с изложением их собственного печального опыта, связанного с влиянием составления карт на демократию. Свои заключения представили эксперты со всей страны. Был исторический обзор, где цитировалось не менее одиннадцати статей из «Федералиста»[641]; документ от группы организаций по защите гражданских прав, где обращали внимание на права меньшинств; меморандум политологов, где оспаривалось мнение судьи О’Коннор о том, что проблема джерримендеринга решится сама собой; и впервые в истории Верховного суда появилось консультативное заключение математиков[642]. На нем есть и моя подпись. Через несколько страниц вы узнаете его содержание.

Математики подобны энтам – разумным деревьям в романе «Властелин колец»[643]; мы не любим ввязываться в будничные конфликты, которые не синхронизированы с нашей медленной шкалой времени. Но иногда (я все еще продолжаю в контексте метафоры с энтами) события в мире настолько оскорбляют наши интересы, что мы вынуждены вмешаться. Здесь наше вмешательство было необходимо из-за некоторых фундаментальных заблуждений относительно сути проблемы, и мы надеялись исправить положение с помощью нашего заключения. С самого начала прений было понятно, что мы не преуспели в этом в полной мере. Судья Горсач, опрашивая адвоката истца из Северной Каролины Эммета Бондюранта, перешел к тому, что считал важным: «Какого отклонения от пропорционального представительства достаточно, чтобы предопределить результат?»

В математике неправильный ответ – это плохо, но неправильные вопросы еще хуже. А это был неправильный вопрос. Как мы видели, никакого пропорционального представительства как раз и не получается, если нарисовать округа нейтрально. Да, в Северной Каролине более трех четвертей округов прочно удерживают республиканцы, тем не менее доля избирателей-республиканцев в этом штате и близко не соответствует трем четвертям. Однако вовсе не эту проблему истцы просили решить суд.

Легко понять, почему судьям хочется, чтобы просили именно этого: ведь это здорово облегчило бы их работу – достаточно просто сказать «нет». Дело Дэвис против Бандемера уже установило, что отсутствие пропорционального представительства не делает карту неконституционной. Но истинная проблема в деле Ручо была гораздо тоньше. Чтобы объяснить это, нам нужно (как это часто бывает в математике, когда мы по-настоящему застреваем) вернуться к началу проблемы и приступить к делу заново.

ПЬЯНОЕ РАЗБИЕНИЕ НА ОКРУГА

Мы пытались найти числовой стандарт справедливости, но потерпели неудачу из-за допущенной фундаментальной философской ошибки. Противоположность джерримендеринга – это не пропорциональное представительство, не нулевой разрыв эффективности и не соблюдение какой-то конкретной числовой формулы. Противоположность джерримендеринга – это не джерримендеринг. Когда мы спрашиваем, справедлива ли какая-то карта округа, на самом деле мы хотим спросить:

Способствует ли такой метод разбиения созданию карт, похожих на те, которые нарисовала бы нейтральная сторона?

Мы уже находимся в области, которая заставляет юристов нервно потирать руки, поскольку задаем вопросы об альтернативной реальности: что будет происходить в другом, более справедливом мире? Честно говоря, на математику это тоже не очень похоже. Вопрос требует знания желаний картографа. Что математика знает о желаниях?

Путь из этих дебрей впервые прорубили политологи Цзовэй Чэнь и Джонатан Родден, обеспокоенные проблемами, связанными с традиционными показателями джерримендеринга, особенно тем принципом, что 50 % голосов должны давать 50 % мест в законодательном органе. Они считали, что концентрация одной партии в городских округах может привести к тому, что они назвали «непреднамеренным джерримендерингом», благоприятствующим более сельской партии – даже в картах, составленных незаинтересованными людьми.

Именно это мы и видели в Крайоле: партия, чьи избиратели распиханы по малому числу округов, оказывается в невыгодном положении при распределении мест. Но будет ли такая асимметрия достаточно большой, чтобы объяснить наблюдаемые нами диспропорции? Чтобы выяснить это, нужно попросить, чтобы нейтральные стороны нарисовали для вас карты, а если таковых нет, то вы можете просто запрограммировать компьютер. Идея Чэня и Роддена, которая сейчас занимает центральное место в нашем понимании джерримендеринга, сводится к автоматическому составлению в большом количестве карт посредством какого-то механического процесса, не отдающего предпочтение ни одной из сторон, поскольку мы его так задумали. Поэтому мы можем перефразировать наш исходный вопрос:

Способствует ли такой метод разбиения созданию карт, похожих на те, которые нарисовал бы компьютер?

Однако существует множество разных способов, которыми компьютер может нарисовать карту. Так почему бы не использовать его возможности, чтобы рассмотреть все вероятные варианты? Это позволяет нам перефразировать вопрос так, что он начинает звучать более математически:

Способствует ли такой метод разбиения созданию карт, похожих на карту, случайно выбранную из множества всех юридически допустимых карт?

Это соответствует нашему интуитивному представлению, по крайней мере поначалу; можно было бы предположить, что картограф, которому действительно все равно, сколько мест получит каждая из партий, будет одинаково доволен любым из способов разбить Висконсин на части. Если бы существовал миллион таких способов, вы могли бы бросить игральный кубик с миллионом граней, прочитать выпавшее число, выбрать соответствующую карту и расслабиться до следующей переписи.

Однако дела обстоят не совсем так. Одни карты лучше других. Некоторые оказываются совершенно незаконными, – например, если округа состоят из отдельных частей[644], или если нарушается Закон об избирательных правах в отношении округов, где расовые меньшинства избирают своих представителей, или если численность населения в избирательных округах отличается больше, чем установлено нормами. Но даже среди карт, удовлетворяющих законам, у нас есть определенные приоритеты. Штаты хотят отразить естественное политическое разделение, не желая разрезать административные округа, города и районы. Мы хотим, чтобы наши округа были разумно компактными и чтобы их границы не были чересчур извилистыми. Вы можете представить, что каждой карте округов присваивается оценка, которая измеряет, в какой степени карта соответствует этим критериям. В юридической терминологии они называются «традиционными критериями разделения на округа», я же буду просто использовать слово «привлекательность». И теперь вы выбираете округ наугад из всех законных вариантов, отдавая при этом предпочтение самым привлекательным картам.

Итак, попробуем еще раз:

Способствует ли такой метод разбиения созданию карт, похожих на карту, случайно выбранную из множества всех юридически допустимых карт с учетом ее привлекательности, но при отсутствии каких-либо политических предпочтений?

Возникает вопрос. Почему бы просто не поручить компьютеру поиск самой привлекательной из всех карт, которая будет максимально соответствовать границам административных округов и минимизирует невыпуклости своего периметра?

На то есть две причины. Одна – политическая. По моему опыту, те, кто работает в правительстве штата, единодушны во мнении, что избранные должностные лица и их избиратели ненавидят идею карты, созданной компьютером. Разбиение на округа – это задача, осуществляемая через какой-то официальный орган, и предполагается, что он представляет наши интересы. Делегировать эту задачу равнодушному алгоритму совершенно неприемлемо!

Если эта причина вас не убедила, вот другая: это было бы абсолютно и однозначно невозможно сделать. Компьютер может выбрать наилучшую карту из ста. Он может выбрать наилучшую карту из миллиона. Но количество возможных разбиений на округа намного больше. Вспомните число 52! – астрономическое количество комбинаций карт в колоде. Так вот: это число похоже на крошечную сморщенную фасолину рядом с колоссальным количеством способов[645] разделить штат Висконсин на 99 связных областей с примерно равной численностью населения[646]. Это означает, что вы просто не можете попросить компьютер оценить привлекательность каждой карты и выбрать среди них лучшую.

Вместо этого мы можем рассмотреть всего несколько возможных карт, где под словами «всего несколько» я подразумеваю 19 184. Вы получите примерно такую картинку:

То, что вы видите, называется ансамбль; это набор карт, сгенерированных компьютером случайным образом. Конкретно этим компьютером управляли Грегори Хершлаг, Роберт Равье и Джонатан Маттингли из Университета Дьюка[647]. Для каждой из девятнадцати с лишним тысяч случайно сгенерированных карт они взяли голоса, поданные за республиканцев и демократов на реальных выборах в ассамблею штата Висконсин в 2012 году и распределили их по новой автоматически сгенерированной карте[648]. Для каждой карты вы подсчитываете число избирательных округов, где выиграли республиканцы. Именно это вы видите на диаграмме выше. Самый частый результат, встречающийся на более чем пятой части созданных компьютером карт, – республиканцы получают 55 мест. Чуть реже – 54 или 56 мест. Вместе эти три варианта охватывают более половины случаев моделирования. По мере отдаления от самого частого значения[649] (55 мест) гистограмма начинает сходить на нет; как и во многих случайных процессах, она образует нечто, напоминающее колоколообразную кривую, а результаты, сильно отклоняющиеся от 55, крайне маловероятны. В статистике результаты, сильно отклоняющиеся от общей выборки, называются выбросами.

Метод разбиения на округа, который разделил в 2012 году избирателей так, что в 60 округах победили республиканцы и только в 39 демократы, – один из таких выбросов. Маловероятно, чтобы карта дала такой результат для Великой старой партии, ведь это происходит менее одного раза на 200 моделирований. Точнее, такая карта крайне маловероятна, если ее случайным образом выберет человек или машина, у которых нет партийной заинтересованности. Если же карту выбирает группа консультантов в закрытой комнате с четкой задачей максимизировать число мест республиканцев, то все как раз наоборот.

Ансамбль также показывает правду и ложь в утверждениях висконсинского законодательного собрания в защиту этой карты. Что мы можем поделать, сетуют они, если демократы предпочитают собираться в городах среди себе подобных изнеженных либералов, и это создает перекос в законодательном собрании в пользу республиканцев, даже если общее голосование дает близкие результаты.

И это правда! Но с ансамблем мы можем оценить насколько. Если бы в 2012 году голоса между республиканцами и демократами на выборах в ассамблею разделились примерно поровну, то типичная нейтральная карта дала бы республиканцам большинство мест 55–44. Это существенно меньше, чем реально полученное большинство 60–39. Шесть лет спустя[650], на выборах 2018 года, Скотт Уокер набрал чуть больше половины голосов во всеобщем голосовании; тем не менее на типичной нейтральной карте он получил бы большинство в 57 округах по выборам в ассамблею штата. Однако составленная республиканцами карта умудряется создать 63 округа в его пользу! Политическая география Висконсина помогает республиканцам: турбонаддува, полученного от джерримендеринга, хватает с лихвой.

По крайней мере, иногда. В 2014 году, когда проводились промежуточные выборы, а вся страна пребывала в несколько республиканском настроении, Великая старая партия преуспела в Висконсине, получив почти 52 % голосов на выборах в ассамблею[651]. Но их большинство в ассамблее увеличилось всего на три места – 63 из 99. Профильтруйте те же выборы через 19 184 случайные карты, и это вообще перестанет выглядеть как выброс; оказывается, на выборах 2014 года 63 места республиканцев[652] – примерно то, что с большой вероятностью дала бы случайная нейтральная карта.

Что произошло? Неужели махинации потеряли свою силу всего через два года? Это было бы подтверждением, что для джерримендеринга не требуется судебное вмешательство и он, подобно похмелью, пройдет сам по себе. Однако это не совсем так и больше походит на ситуацию с концерном «Фольксваген». Несколько лет назад выяснилось, что эта компания систематически уклонялась от тестов на загрязнение окружающей среды, установив на свои дизельные автомобили программное обеспечение, чтобы обмануть регулирующие органы и заставить их верить, что двигатели соответствуют нормам токсичности выхлопов. Работало это следующим образом: программа обнаруживала, когда автомобиль проходит проверку, и только тогда включала систему защиты среды. Все остальное время автомобиль спокойно раскатывал по дорогам, выбрасывая вредные частицы.

Карта Висконсина – аналогичный наглый конструкторский проект. И метод ансамбля позволяет это обнаружить, предоставляя вам информацию не только о том, что произошло в штате на выборах, но и о том, что могло произойти, если бы выборы прошли немного иначе. Что, если мы возьмем выборы 2012 года и сдвинем все 6672 участка на 1 % в пользу демократов или республиканцев? Согнется или сломается мошенничество с границами? Это тот же способ предположения, который использовал Кейт Гэдди, когда республиканцы впервые разрабатывали карту. И здесь выясняется нечто поразительное. В электоральной среде, где республиканцы имеют большинство в общем голосовании по штату, джерримендеринг не оказывает существенного влияния; на выборах Великая старая партия в любом случае получит большинство в ассамблее. Реально джерримендеринг включается в игру только для того, чтобы, подобно брандмауэру, сохранить республиканское большинство вопреки превалирующим демократическим настроениям среди избирателей. Вы можете увидеть этот брандмауэр на графике на странице 408: в те годы, когда республиканцы были успешными, кружки и звездочки не разделялись, но по мере снижения доли республиканцев в общем голосовании звездочки отделились от кружков, упорно держась выше линии в 50 мест, обеспечивающей республиканцам большинство.

Исследователи из Университета Дьюка с помощью своих ансамблей показывают, что карта Акта 43 делает именно то, что предсказывал Гэдди. Она сохраняет ассамблею в республиканских руках, если только демократы не выиграют общие выборы с отрывом от 8 до 12 пунктов, а такой перевес в этом разделенном практически пополам штате крайне маловероятен. Как математик я впечатлен. Как избиратель Висконсина чувствую себя немного больным[653].

Я кое-что упустил. Существует огромное количество возможных карт, поэтому мы не можем выбрать лучшую. Тогда почему же мы можем выбрать девятнадцать тысяч из них наугад?

Для этого нам понадобится геометр. Мун Дачин – специалист по геометрической теории групп и профессор математики из Университета Тафтса в Массачусетсе. Его диссертация в Чикагском университете была посвящена случайным блужданиям в пространстве Тейхмюллера[654]. Пусть вас не волнует, что это такое, просто сосредоточьтесь на случайном блуждании – ключ именно в этом. Мы уже видели на примере позиций го, тасования карт и даже в определенной степени на примере комаров, что случайное блуждание, наша старая добрая марковская цепь, – это способ исследовать неконтролируемо огромное количество вариантов.

Вспомните: для случайного блуждания по картам округов нужно знать, с какой карты и на какую вы можете перейти; иными словами, знать, какие карты близки друг к другу. Мы возвращаемся к геометрии, но к геометрии очень высокого и концептуального типа: не геометрии штата Висконсин, а геометрии множества всех способов разбить эту геометрию на 99 частей. Именно ее изучали картографы, чтобы обнаружить нужную им жульническую карту; и именно ее должны исследовать математики, чтобы показать, насколько ужасным выбросом является эта жульническая карта.

О том, какую геометрию использовать в самом штате, разногласий нет. Город Мэдисон близок к деревне Маунт-Хореб, город Мекван – к деревне Браун-Дир. Когда имеешь дело с геометрией всех разбиений на округа, есть масса способов выбора, и оказывается, что выбор важен. Я предпочитаю способ, разработанный Дачином вместе с Дэрилом Дефордом и Джастином Соломоном, под названием ReCom-геометрия[655] (сокращение от слова «рекомбинация»). Случайное блуждание в такой геометрии работает следующим образом.

1. Случайным образом выберите на вашей карте два избирательных округа, граничащих друг с другом.

2. Объедините их в один округ двойного размера.

3. Случайным образом выберите способ разделить этот удвоенный округ пополам, получив тем самым новую карту.

4. Проверьте, не нарушает ли эта новая карта какие-то юридические нормы, и если да, вернитесь к пункту 3 и разделите иным способом.

5. Вернитесь к пункту 1 и начните заново.

Для разбиения карты на округа описанная процедура «разделить и воссоединить» (или рекомбинация), включающая пункты 2 и 3, – то же самое, что тасование для колоды карт. И точно так же как в случае с картами, вы всего за несколько ходов можете добраться до множества самых разных конфигураций. Это маленький мир. Всего семью тасованиями вы могли добиться случайного порядка в колоде. Но, к сожалению, семи рекомбинаций недостаточно, чтобы изучить все пространство разбиений на округа. Сто тысяч рекомбинаций, похоже, справятся с делом; это число выглядит большим, но по сравнению с проблемой сортировки всех разбиений оно ничтожно мало. На своем ноутбуке вы можете провести сотню тысяч рекомбинаций за час. Это даст вам подходящий по размеру ансамбль нейтральных карт, с которыми можно сравнить ту карту, которую подозреваете в джерримендеринге.

Смысл метода ансамбля не в том, чтобы полностью устранить партийный джерримендеринг, равно как и суть дела Рейнольдс против Симса не в том, чтобы избирательные округа равнялись по численности с точностью до одного человека. Каждое решение составителя карты – от защиты действующего политика до помощи в конкурентных выборах – может иметь влияние. Цель не в том, чтобы обеспечить невозможный абсолютный нейтралитет, а в том, чтобы заблокировать вопиющие нарушения.

Вспомните речь Тэда Оттмана перед законодателями-республиканцами о том, что партия обязана воспользоваться возможностью укрепить контроль. Если ваша задача – добиться большинства в законодательном органе и удержать его, а закон позволяет вам играть так грязно, как вам нравится, то грязь – это ваш долг. Ослабление мощи джерримендеринга, определение уровня нечестности, с которым демократия не будет мириться, оказало бы оздоровляющее влияние на весь процесс. Политики охотнее шли бы на разумные компромиссы, если бы вознаграждение за джерримендеринг не было так велико. Если вы не хотите, чтобы дети воровали в магазинах, возможно, не стоит оставлять столько шоколадок так близко к дверям.

ТРИУМФАЛЬНОЕ ВОЗВРАЩЕНИЕ ГРАФОВ, ДЕРЕВЬЕВ И ОТВЕРСТИЙ

Я мог бы обойти вниманием ту часть рекомбинации, где вы делите удвоенный округ на два, но не стану, поскольку это позволит мне вернуть двух персонажей из предыдущей части книги. Прежде всего, участки для голосования в избирательном округе, подобно кинозвездам или атомам в углеводородах, образуют сеть, или граф, если пользоваться термином Джеймса Джозефа Сильвестра. Территории – это вершины графа, и если они граничат друг с другом, то соответствующие вершины соединены ребром. Если участки выглядят так:

то граф так:

Нам требуется найти способ разделить эти участки на две группы, причем нужно гарантировать, что каждая из этих групп образует связную сеть.

Если определить в одну группу A, B, и C, а в другую D, E и F, то все хорошо:

Однако, если взять C, D и F, то останутся A, B и E, которые не образуют связный округ.

Здесь мы оказались на краю целого кипящего кратера в теории графов. Джон Уршел, нападающий клуба «Балтимор Рэйвенс»[656], в 2017 году ушел из спорта и занялся этой темой, поскольку она всегда была ему интересна. Одна из его первых работ[657] после ухода из футбола посвящалась разбиению графов на две связные компоненты с помощью теории собственных значений, о которых мы говорили в главе 12.

Существует масса способов разбить граф на части. Когда он маленький, как представленный выше, можно просто перечислить все возможные разбиения и выбрать одно из списка наугад. Но если граф будет больше, то составлять списки всевозможных разбиений труднее. Есть трюк для случайного выбора, и в нем поучаствуют наши старые знакомые. Предположим, Акбар и Джефф играют в такую игру: по очереди убирают по одному ребру из графа, и проигрывает тот, кто разбивает граф на отдельные компоненты. Например, в графе выше Акбар может убрать ребро AF, Джефф – ребро DF, затем Акбар мог бы удалить ребро EF (но не AB, потому что тогда вершина A отделится от графа, и он проиграет!). После этого Джефф может удалить BF, и теперь Акбар в тупике: какое бы ребро он ни стер, граф разделится на две не связанные между собой части.

Мог ли Акбар сыграть умнее и победить? Нет, потому что у этой игры есть секретное свойство: если оба игрока будут стремиться не делить граф на части, то совершенно неважно, какие ходы вы делаете: игра всегда закончится после четырех ходов, и Акбар всегда проиграет. На самом деле неважно, насколько велика сеть: количество ходов в игре фиксировано. Для этой величины даже есть изящная формула:

число ребер – число вершин + 1.

В начале игры у нас 6 вершин и 9 ребер, так что 9–6 + 1 = 4. В конце игры остается только 5 ребер, и это число уменьшается до 0. То, что осталось от нашей сети, имеет весьма специальную форму: в получившемся графе нет ни одного цикла, хотя в исходном графе вы могли пройти по циклу от A к B, к F и обратно к A. Если бы в графе был какой-нибудь цикл, то вы могли бы удалить одно из его ребер, но граф не распался бы на части. Поэтому в оставшемся в результате нашей игры графе нет никаких циклов, а граф без циклов – это дерево.

Сколько отверстий в этой сети? Это в каком-то смысле вопрос запутанный – подобно вопросу о количестве отверстий в соломинке или в брюках. Однако я уже дал вам на него ответ – в точности написанное выше число: количество ребер минус количество вершин плюс 1. Каждый раз, вырезая ребро из цикла, вы избавляетесь от одного отверстия. Когда больше вырезать нечего, у вас остается граф без отверстий вообще: дерево. Это не просто метафора, а фундаментальный инвариант для любых видов пространства под названием эйлерова характеристика; она очень, очень, очень примерно говорит вам о количестве отверстий[658]. Мы уже встречались с ней, когда считали отверстия в соломинках и штанах. Свои эйлеровы характеристики есть у соломинок, сетей и моделей 26-мерного пространства-времени из теории струн: единая теория охватывает все геометрии – от скромных до космических.

Итак, мы вернулись к геометрии деревьев. Дерево, которое получается в конце описанной игры с вырезанием ребер, называется остовным: остовное дерево графа – это дерево с теми же вершинами и с максимальным вырезанным числом ребер. Такие объекты встречаются в математике постоянно. Если вы построите остовное дерево для квадратной решетки (вроде улиц Манхэттена), то получится нечто знакомое под названием лабиринт. Белые линии на рисунке – это ребра[659]. Если у вас есть под рукой карандаш, то можете убедиться, что лабиринт связный: вы можете проложить путь от любой точки до другой, не покидая белых линий. По сути, существует только один маршрут, который можно проложить без возвращения.

Вы можете также изобразить остовное дерево, где вершины будут точками, а ребра – отрезками прямых; это больше похоже на то, как мы рисовали граф для разбиения избирательных участков.

У большинства графов сколько-нибудь приличного размера не одно остовное дерево, а много. Физик XIX века Густав Кирхгоф вывел формулу для их количества, однако она не отвечает на все возникающие вопросы, так что даже спустя столетие в этой области ведутся активные исследования. Здесь есть регулярность и структура. Например, сколько тупиков в случайном лабиринте? Конечно, чем больше лабиринт, тем больше в нем тупиков, но что, если мы зададимся вопросом, какую долю от мест в лабиринте занимают тупики? Очень крутая теорема Манны, Дхара и Мажумдара[660] 1992 года показывает, что при увеличении размеров лабиринта эта доля не сходится ни к 1, ни к 0, а по какой-то причине стремится к числу (8 / π^2) (1–2 / π), чуть менее 0,3. Вы можете подумать, что число остовных деревьев в случайном графе будет более или менее случайным числом. Нет. Моя коллега Мелани Матчетт Вуд доказала в 2017 году[661], что если ваш граф выбирается случайным образом[662], то количество остовных деревьев будет четным с чуть большей вероятностью, чем нечетным. Точнее говоря, вероятность того, что количество остовных деревьев нечетно, будет бесконечным произведением:

(1 – 1/2) (1 – 1/8) (1 – 1/32) (1 – 1/128)…

где знаменатель каждой дроби вчетверо больше предыдущего. Снова геометрическая прогрессия! Это произведение примерно равно 0,419, то есть довольно далеко от 0,5. Такая асимметрия – признак какой-то более глубокой геометрической структуры на совокупности всех остовных деревьев; оказывается, существует осмысленный способ сказать, когда последовательность остовных деревьев образует арифметическую прогрессию![663]

Но чтобы объяснить это, мне пришлось бы углубиться в захватывающие подробности, а мы еще не спасли демократию. Поэтому вернемся к нашим избирательным округам.

Как только у вас в руках окажется остовное дерево, разделить сеть на части не составит труда: просто сделайте проигрывающий ход, убрав ребро и разъединив граф. Любой ваш выбор разделит граф на две части; если немножко постараться, то можно найти ребро, которое делает их примерно равными по размеру. (Если не выходит, возьмите другое дерево и начните заново.) Получится приблизительно такая картинка: и слева, и справа одну из частей я выделил, а другую – нет.

Теперь вы более или менее знаете, как работает ReCom[664]: берете удвоенный округ, выбираете наугад остовное дерево (например, проведя игру со случайным удалением ребер[665]), выбираете в нем случайное ребро, режете его – и ваш граф распадается ровно на два новых округа.

Я хочу сделать одну оговорку. Существует огромная разница между случайным блужданием посредством метода ReCom на пространстве карт и случайным блужданием с помощью тасований на пространстве способов расположить карты в колоде в каком-то порядке. Во втором случае мы имеем теорему о семи тасованиях, где под теоремой я подразумеваю именно теорему: есть математическое доказательство, что определенного количества тасований (шести!) достаточно, чтобы добраться до любого возможного порядка карт, и, сверх того, с помощью нескольких тасований (семи!) можно обеспечить примерно одинаковую вероятность всех расположений карт в колоде. Когда дело касается округов, никаких теорем нет. О геометрии разбиений на округа мы знаем гораздо меньше, чем о геометрии тасований. Пространство всех разбиений может выглядеть, скажем, так:

В этом случае, начав с одного конца, вы потенциально можете долгое время случайно блуждать по одной части, прежде чем доберетесь до другого конца перешейка. Может даже оказаться, что пространство всех разбиений может быть разделено на две (или даже больше) отдельные части. А вдруг там есть неоткрытая страна возможных карт Северной Каролины, принципиально отличная от всех, когда-либо предлагавшихся математиками, компьютерами или недобросовестными политиками; и вполне может быть, что для этих карт десять республиканских мест из тринадцати – как раз самое обычное дело. Если мы не можем исключить такую вероятность, то имеем ли мы право говорить, что нынешняя карта с мошенническим построением границ – это выброс?

Да, насколько я понимаю. Мы не можем с абсолютной уверенностью знать, существует ли где-нибудь некое секретное хранилище альтернативных карт, но мы знаем, что на практике, если взять карту Северной Каролины, составленную законодательным собранием, и начать ее менять, то она становится менее республиканской, что бы вы с ней ни делали. Такой эксперимент дает четкое подтверждение – в любом значимом статистическом смысле, – что эта карта сфальсифицирована. Это не доказательство мошенничества картографов. Если уж на то пошло, то таким доказательством не являлись бы даже их электронные письма или заявления, прямо утверждающие, что они подтасовывают разбиение; в конце концов, нет никакого доказательства в евклидовом смысле, что они на самом деле не пытались просто набрать: «Давайте приступим к делу и начертим карты, которые беспристрастно отражают волю людей», но их пальцы соскользнули, и вместо этого получилось: «Давайте проведем границы этого штата так, чтобы мы не могли проиграть». Это доказательство в смысле закона, но не в смысле геометрии.

СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ ПРОТИВ СЭНДВИЧА С ТУНЦОМ

Ансамбль карт, составленных с помощью случайных блужданий, оказался в самом центре судебных дел о джерримендеринге, которые Верховный суд рассматривал весной 2019 года. Суть была не в том, чтобы доказать, что карты составлены в пользу какой-то партии; этот вопрос не оспаривался. Томас Хофеллер, архитектор карты Северной Каролины, уже дал показания, что его целью было «создать как можно больше избирательных округов, в которых кандидаты от Великой старой партии будут успешными»[666] и «минимизировать количество округов, в которых демократы… могли бы избрать своего кандидата». Вопрос стоял так: сработал ли этот план? Вы не можете отбрасывать карту только потому, что ее стремились сделать нечестной. Вы должны доказать, что она такой и получилась.

Метод ансамбля – лучший инструмент, который у нас для этого есть. Более старые идеи, например разрыв эффективности, в запросах истцов в основном отсутствовали. Истцы просили суд признать[667], что карта Северной Каролины – выброс, который выделяется среди нейтральных аналогов, как бородавочник в помете поросят. Они утверждали, что анализ выбросов и есть тот самый «контролируемый стандарт», который разыскивает суд. Джонатан Маттингли, математик из Университета Дьюка и участник группы, создавшей ансамбль карт для выборов в висконсинскую ассамблею, сделал то же самое и для округов Северной Каролины по выборам в конгресс, продемонстрировав, что в его ансамбле из 24 518 карт нашлось всего 162, в которых республиканцы выиграли бы 10 округов. На существующей карте Северной Каролины доля демократов штата была так эффективно распределена по трем округам, что они получили там 74, 76 и 79 %; ни на одной из 24 518 смоделированных карт таких перекошенных округов не нашлось.

В своем консультативном заключении математики излагали аналогичные аргументы, хотя наши графики были красивее.

Затем последовали прения, которые для всех нас, кто рассматривал это судебное дело через призму математики, стали полным разочарованием. Как будто и не было многих лет прогресса в изучении разбиения на округа, словно мы вернулись к избитому вопросу, дают ли 55 % в общем голосовании 55 % мест в законодательном органе. Пол Клемент, защищавший карты Северной Каролины, говорил судье Соне Сотомайор: «Я думаю, что вы уловили то, что мои друзья с той стороны считают проблемой, а именно отсутствие пропорционального представительства». Судья Сотомайор пыталась сообщить Клементу, что дело не в этом, но он продолжал, обращаясь уже к Стивену Брайеру: «Вы не можете говорить даже в целом о выбросах или крайностях, если не знаете, от чего они отклоняются. И я так понимаю, по вашему вопросу и по вопросу судьи Сотомайор, что людей беспокоит отклонение от принципа пропорционального распределения». «На самом деле…» – вмешалась Соня Сотомайор. «Вы все время так говорите, но я не думаю, что это правильно», – возразила Елена Каган. Это не остановило Клемента, который высказался насчет положения в Массачусетсе. Он заметил, что республиканцы никогда не имели в конгрессе представителя от Массачусетса, хотя треть населения штата принадлежит к республиканской партии: «Никто не думает, что это нечестно, поскольку вы реально не можете начертить такие районы, потому что они распределены равномерно. Для них это, возможно, и печально, но я не думаю, что это нечестно».

Бедственное положение республиканцев Массачусетса также обсуждалось в заключении математиков. Наше мнение в основном совпадало с мнением Клемента, за исключением одной важной детали: то, что, по его словам, истцы просят обеспечить, на самом деле то, что истцы просят запретить. Нет ничего нечестного в том, что республиканцы в Массачусетсе не обладают пропорциональным представительством. Вы можете создать ансамбль карт, целые тысячи карт, нарисованных безо всяких гнусных партийных целей, и любая из них отправит в конгресс девять демократов и ноль республиканцев[668]. Вот почему наблюдательная группа Common House не просила Верховный суд гарантировать пропорциональное представительство. Пропорциональное представительство – плохой критерий справедливости. Карта для Массачусетса, составленная с прицелом на пропорциональное представительство, не была бы защищена от обвинений в джерримендеринге и на самом деле была бы такой же жульнической, как и карта «Агрессивный Джо».

Однако многие судьи полагали, что их призвали решать именно вопрос пропорционального представительства. Нил Горсач беспокоился, что если он вынесет решение против Северной Каролины, то «нам придется в качестве обязанностей для каждого отдельного случая разбиения рассматривать доказательства, чтобы определить, почему это было отклонением от нормы пропорционального представительства; в этом вопрос?»

Вопрос был не в этом. Горсачу, похоже, было сложно это принять. Ближе к концу прений между Горсачем и Эллисон Риггз, представляющей Лигу женщин-избирателей, состоялся действительно потрясающий обмен мнениями по поводу мошеннической карты. Риггз объясняет, что ее клиент просит суд всего лишь исключить наиболее вопиющие жульничества с большой партийной предвзятостью. Тогда у штатов оставалось бы много простора для выбора среди остальных 99 % всех карт, и они могли бы использовать любые внепартийные критерии, какие им нравятся. Горсач перебивает…

Судья Горсач. Но относительно… Извините, что прерываю, советник, но простор от чего?

Мисс Риггз. Простор для…

Судья Горсач. От… сколько простора, от какого стандарта? И разве… разве ответ, который вы хотите… я понимаю, что вы не хотите его давать, но разве настоящий ответ здесь – не простор от пропорционального представительства до, скажем, семи процентов?

Мисс Риггз. Нет.

После еще одного раунда препирательств Горсач, похоже, признает, что Риггз не собирается принимать его принудительный пересказ. «Нам нужна точка отсчета, – говорит он. – А она, я все еще думаю, если это не пропорциональное представительство, то какую точку отсчета мы должны использовать, по вашему мнению?»

Он задавал вопрос, на который только что ответила Елена Каган: «То, что недопустимо, – это отклонение от того, что предложил бы штат без таких партийных соображений».

Для математика читать стенограмму дискуссии – все равно что вести небольшой семинар, когда только один студент читал материал. Судья Каган понимает суть. Она ясно и лаконично формулирует тот количественный аргумент, который ее просят рассмотреть. А затем… все ведут себя так, будто она не сказала ни слова. Соня Сотомайор и Джон Робертс говорят мало, но в основном по делу. У Стивена Брайера есть собственный тест на джерримендеринг, который не нравится ни одной из сторон. А Горсач, Сэмюэль Алито и в какой-то степени Бретт Кавано с помощью Пола Клемента совместно конструируют какую-то вымышленную версию дела, в которой истцы просят суд навязать штатам некую форму пропорционального представительства.

Если вам нужно отдохнуть от ансамблей, случайных блужданий и выбросов, то вот как бы выглядели прения, если бы речь шла о заказе сэндвича.

Мисс Риггз. Мне горячий сэндвич с сыром.

Судья Алито. Окей, один бутерброд с тунцом.

Мисс Риггз. Нет, я попросила сэндвич с сыром.

Судья Кавано. Я слышал, что бутерброд с тунцом – это хорошо.

Судья Горсач. Вы хотите открытый или закрытый бутерброд с тунцом?

Мисс Риггз. Я не хочу бутерброд с тунцом, я хочу…

Судья Горсач. Такое ощущение, что вы просто не хотите выйти и сказать это, но разве вы хотите не бутерброд с тунцом…

Мисс Риггз. Нет.

Судья Каган. Она просила сэндвич с сыром. Это не бутерброд с тунцом, потому что в нем нет тунца.

Судья Горсач. Но если, по вашим словам, вы не хотите бутерброд с тунцом, чего вы хотите? Предполагается, что мы должны для вас сделать сэндвич…

Судья Алито. Вы приходите сюда, просите горячий сэндвич на поджаренном хлебе с сыром на нем. По мне, так это бутерброд с тунцом.

Судья Брайер. Никто никогда не заказывает печеночный паштет, но давали ли ему настоящий шанс?

Мистер Клемент. Основатели имели все возможности сделать вам бутерброд с тунцом, но они решили этого не делать.

Возможно, вы уже знаете, чем все это закончилось, а если не знаете, то догадываетесь. Верховный суд 27 июня 2019 года большинством 5–4 постановил, что вопрос о том, конституционен ли партийный джерримендеринг или нет, выходит за рамки компетенции федеральных судов; если пользоваться специализированным термином, то он «не подлежит юрисдикции суда». Попросту говоря, штаты могут с неограниченным энтузиазмом жульничать с границами своих карт. Судья Робертс, написавший решение, объяснил:

Претензии к партийному джерримендерингу неизменно выражаются в стремлении к пропорциональному представительству[669]. Как излагала судья О’Коннор, такие претензии основаны на «убеждении, что чем больше отклонение от пропорциональности, тем подозрительнее план разбиения».

Робертс все же признает в самом конце своего решения, что пропорциональное представительство – вовсе не то, что требовали истцы в деле Ручо, однако большая часть из написанного им посвящена повторению своего несогласия с этим несуществующим требованием. Конституционное утверждение, что ничьи права голоса не могут быть ущемлены, настаивает он, «не означает, что влияние каждой партии должно быть пропорциональным числу ее сторонников».

Нет, я не сделаю вам бутерброд с тунцом. Вы же знаете, что мы не подаем здесь бутерброды с тунцом!

Я не юрист и не буду выдавать себя за юриста. И не стану притворяться, что вопросы конституционного права в этом деле были простыми. Простые дела не доходят до Верховного суда. Так что я не собираюсь рассказывать вам, что с точки зрения закона большинство приняло неправильное решение. Если это то, что вы ищете, то рекомендую прочитать особое мнение судьи Каган, которое настолько язвительно и мрачно, что временами кажется, будто она вот-вот разразится сардоническим смехом.

Для Робертса крайне важно, что в прошлом суды в явном виде разрешали определенную степень партийных перекосов в разбиении на избирательные округа. Перед судом стоял вопрос, не наступит ли в какой-то момент такая вещь, как чересчур. Большинство в деле Ручо сказали «нет». Если это соответствует конституции, то и переусердствовать – конституционно. Или, точнее, если суд не может установить четкую, согласованную или универсальную грань между допустимым и запрещенным, то суд вообще не может рассматривать этот вопрос. Это правовая версия парадокса кучи, который восходит к Евбулиду, оппоненту Аристотеля. Этот парадокс предлагает определить, сколько зернышек пшеницы нужно, чтобы получилась куча (по-гречески – сорит). Одно зернышко – это не куча, два зернышка – тоже. На самом деле добавление одного зернышка к какому-то количеству зерен, которое нельзя считать кучей, тоже ее не даст: три зерна не куча, четыре зерна не куча и так далее. Рассуждая таким образом, мы приходим к выводу, что такого понятия, как куча зерен пшеницы, не существует, однако кучи пшеницы каким-то образом существуют[670].

Робертс считает, что ситуация с джерримендерингом подобна парадоксу кучи. Он говорит, что любая линия, проведенная между «приемлемым джерримендерингом» и «извините, но это уже чересчур», неизбежно будет субъективной и в итоге окажется сложной и зависящей от конкретного дела (возможно, его устроило бы правило, что 99 зерен не куча, а 100 – уже куча; однако не устроило бы положение, когда пороговая величина зависит от того, имеем мы дело с зернами или с песчинками).

Я понимаю его точку зрения. Но все же продолжаю думать о Неваде. Это единственный из 50 штатов, не требующий связности избирательных округов. Невада ориентирована на демократов, и в ней 21 избирательный округ для выборов в сенат штата. В принципе законодательный орган штата может заполнить три округа полностью республиканцами и сбалансировать состав остальных округов так, чтобы в них было около 60 % демократов. Это практически гарантированно закрепит места в сенате, то есть в верхней палате штата будет супербольшинство 18–3, которое сохранится, даже если штат качнется вправо и выберет губернатора-республиканца. В соответствии с решением по делу Ручо, нет однозначного способа установить, что такой план – это чересчур. Иногда юридическая позиция – даже если она обоснована с точки зрения закона – лишена здравого смысла.

В конце концов, вынесенное большинством решение затрагивает один технический момент: что партийный джерримендеринг – это политический вопрос. Это означает, что даже при нарушении конституции Верховному суду запрещено вмешиваться. При этом то, что результаты джерримендеринга «разумно кажутся нечестными» и фактически «несовместимы с демократическими принципами», не оспаривается; это реальные цитаты из решения суда! И неубедительные протесты составителей, что их карты на самом деле не обеспечивают надежного преимущества на выборах, отклоняются практически без комментариев. Однако, как пишет судья Робертс, сам по себе факт, что нечто нечестно, несовместимо с демократическими принципами и дьявольски эффективно, не означает, что нарушения конституции входят в компетенцию суда. Джерримендеринг воняет, но не настолько сильно, чтобы конституция уловила этот запах.

В этом решении чувствуется какой-то дискомфорт: не только в признании, что джерримендеринг препятствует демократии, но и в четко выраженном желании, чтобы этим вопросом занимался кто-то другой, а не Верховный суд. Возможно, в конституциях штатов найдется что-нибудь, запрещающее джерримендеринг, предполагает Робертс. А если нет, то, может быть, избиратели в заинтересованных штатах устроят протест или изменят систему путем референдума, если живут в штате, где законодательный орган не может немедленно отменить результаты такого голосования. Или, может, что-нибудь предпримет конгресс США?

В моем представлении Робертс ассоциируется с работником завода, уходящим после смены в 17:05 и замечающим, что здание загорелось. Рядышком на стене висит огнетушитель, он может его схватить и устранить возгорание, но тут в его голове проносится куча противоречивых мыслей, ведь на карту поставлен принцип! Уже больше 17 часов, его рабочее время закончилось. В правилах профсоюза четко сказано, что он не может работать без оплаты сверхурочно. Если он потушит огонь, то создаст прецедент: теперь он связан обязательствами каждый раз, когда здание загорится после окончания рабочего дня. Вероятно, рядом есть кто-нибудь, кто работает допоздна и может потушить пожар. В конце концов, есть же пожарная часть – это она обязана тушить пожары! Правда, неизвестно, как быстро они приедут, да и, честно говоря, пожарная часть города обычно не сильно торопится. И тем не менее официально это их работа, а не его.

«МОЖНО СВЕРГНУТЬ ТОЛЬКО В РЕЗУЛЬТАТЕ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПОТРЯСЕНИЙ»

Для противников джерримендеринга решение Верховного суда не стало долгожданным счастливым концом, но могло стать счастливым началом, ведь судья Робертс не ошибался, говоря о существовании и других возможных путей реформ. В течение года после решения по делу Ручо в Северной Каролине округа по выборам в конгресс были запрещены коллегией судей штата – как нарушающие конституцию Северной Каролины. Верховный суд Пенсильвании сделал то же самое в 2018 году (именно в этот момент губернатор пригласил Дачина, одного из создателей алгоритма ReCom, помочь составить новые, более честные карты). Палата представителей приняла закон[671], заблокированный сейчас руководством сената, по которому должны создаваться внепартийные комиссии, которые будут формировать округа для выборов в палату (но не округа для выборов в законодательные органы штатов, над которыми конгресс власти не имеет[672])[673].

Да и само рассмотрение столь резонансного дела сделало проблему джерримендеринга гораздо более заметной в глазах общественности. Сатирическое шоу Last Week Tonight на канале HBO включило двадцатиминутный блок, посвященный проблеме разделения на избирательные округа. Старшеклассник из деформированного до уродливости техасского десятого округа по выборам в конгресс придумал настольную игру о джерримендеринге – «Творец карт»; и она разошлась тысячами экземпляров после того, как заклятый враг джерримендеринга Арнольд Шварценеггер поддержал ее в социальных сетях. Сегодня о джерримендеринге знает больше людей, чем когда-либо ранее, а когда люди о нем знают, они его не одобряют; 55 из 72 административных округов Висконсина (как демократические, так и республиканские) приняли резолюции[674], требующие проводить беспартийное разбиение.

Избиратели Мичигана и Юты на общем референдуме одобрили создание новых внепартийных комиссий для формирования избирательных округов. В Вирджинии, где карта состряпана республиканцами, одной двухпартийной группе в законодательном органе удалось провести поправку, передающую контроль над разбиением независимой комиссии. Однако этот штат так быстро сдвинулся влево, что в 2019 году демократы преодолели джерримендеринг и получили большинство в обеих палатах. Многие члены новоиспеченного большинства, оказавшись на руководящей позиции перед очередной переписью, внезапно потеряли энтузиазм к реформе.

В особом мнении судья Каган говорит, что не стоит ждать слишком многого от политического процесса. Политический процесс – это как раз то, что пытается ограничить джерримендеринг. Например, в Мэриленде ситуация с жульнической картой для выборов в конгресс сохраняется даже с губернатором-республиканцем: демократы обладают большинством с правом вето в законодательном органе штата и, похоже, сохранят существующую карту.

Как Висконсину получить более честные карты? В конституции штата так мало говорится о границах избирательных округов (а то, что говорится, уже привычно игнорируется), что трудно представить себе успешное оспаривание действующих карт в суде[675]. Висконсинцы не имеют возможности выдвинуть на общее голосование какую-нибудь избирательную инициативу, так как это должен делать законодательный орган, но законодательный орган устраивает сложившееся положение вещей. Висконсин мог бы избрать нового губернатора, который наложил бы вето на жульническую карту, созданную республиканцами, – по сути, так и было сделано в 2018 году. Однако ходят слухи, что законодательный орган штата планирует потребовать у судов Висконсина объявить, что разбиение на избирательные округа – дело исключительно законодательного органа и не требует подписи губернатора; вполне возможно, это найдет отклик в судебной системе штата. Если такое произойдет, то трудно понять, как жители Висконсина смогут хоть как-то высказываться по этому вопросу.

В Мичигане независимая комиссия по разбиению на округа сталкивается с судебными исками от республиканцев штата с того самого дня, как 61 % жителей штата проголосовали за ее появление. В Арканзасе группа Arkansas Voters First, выступающая за реформу системы деления на округа, собрала более ста тысяч подписей в разгар пандемии, чтобы внести поправку в конституцию на ноябрьском голосовании; однако секретарь штата заявил, что эти петиции недействительны, поскольку фраза в соответствующей форме, удостоверяющая, что платные агитаторы прошли проверку на наличие судимости, неправильно сформулирована[676]. Политика штатов изобилует местами, где можно наложить вето, поэтому политические фракции, стремящиеся охранять свою территорию, располагают массой способов защитить себя от общественности.

И тем не менее я оптимист. Американцы привыкли пожимать плечами при виде избирательных округов совершенно разных размеров, говоря, что именно так и ведется игра; сейчас же большинство людей, с которыми я беседовал, шокированы тем, что такую практику вообще допустили. Мы склонны не любить нечестность, а наши представления о честности неотделимы от математического мышления. Разговоры с людьми о темном искусстве джерримендеринга – это своеобразная форма преподавания математики, а математика имеет свойство подкупать человеческий разум, особенно когда переплетена с другими вещами, которые нас глубоко волнуют: властью, политикой и представительством. Джерримендеринг имел громадный успех, когда осуществлялся за закрытыми дверьми. Я хочу верить, что он не сохранится в открытом и хорошо проветриваемом помещении.

Заключение. Я доказываю теорему, и дом расширяется

Британский архитектор Герберт Бейкер, один из творцов индийской колониальной столицы Нью-Дели, утверждал, что новый город нужно строить по неоклассическому плану. Архитектура с местным колоритом не соответствовала бы целям империи. «Хотя при таком стиле у нас есть средства, чтобы выразить обаяние и очарование Индии, – писал он, – он не обладает конструктивными и геометрическими качествами, необходимыми для воплощения той идеи закона и порядка, которую британская администрация создала из хаоса». Геометрию можно рассматривать как метафору непререкаемого (по определению) авторитета, математический аналог естественного порядка, сосредоточенного на короле, отце или колониальном администраторе. Монархи Франции тратили несметное количество пистолей, разбивая регулярные парки, идеальные линии которых сходились к дворцу, представлявшему тот неизменный порядок, который они считали аксиомой[677].

Возможно, самым чистым примером такой точки зрения можно назвать короткий роман «Флатландия»[678], написанный в 1884 году директором английской школы Эдвином Эбботтом. Повествование ведется от имени квадрата. (Первые издания были опубликованы под псевдонимом Квадрат в качестве автора[679].) Действие книги происходит в двумерном мире, обитатели которого, подобно книжным червям Сильвестра, не способны воспринять направление в третье измерение. Жители плоскости (люди) – это геометрические фигуры, форма которых определяет их положение в обществе. Чем больше у человека сторон, тем выше его статус, а самыми высокопоставленными считаются многоугольники с таким большим количеством сторон, что они почти неотличимы от окружностей. Основную массу населения составляют равнобедренные треугольники, социальное положение которых зависит от угла между равными сторонами. У солдат этот угол очень мал; ниже их только женщины; они вообще представляют собой отрезки и изображены в романе как ужасные, практически безмозглые создания, смертельно опасные в силу своей остроты и практически невидимые, если смотреть не сбоку, а спереди. (А как насчет неравнобедренных треугольников? Их считают дефективными и помещают в лечебные учреждения, изолируя от нормального общества. При отклонении формы фигуры от правильной может милосердно применяться эвтаназия.)

Квадрат во сне оказывается в Лайнландии, и гордый одномерный король этой страны не может постичь объяснения своего гостя, что за пределами его владений есть целая плоская вселенная. После пробуждения Квадрат шарахается от бестелесного голоса, исходящего от крохотной окружности, невесть как проникшей в его дом. Окружность непостижимым образом увеличивается и уменьшается; разумеется, потому, что это не окружность, а сфера, поперечное сечение которой является той плоскостью-вселенной, где обитает рассказчик, и меняется по мере движения сферы вверх и вниз в третьем измерении. Сфера пытается объяснить Квадрату истинное устройство мира, но не преуспевает в этом и поднимает рассказчика над плоскостью, чтобы он мог увидеть свой мир снаружи. Вернувшись на свою плоскость, Квадрат пытается рассказать об увиденном. Но, как и следовало ожидать, его сажают в тюрьму, и роман заканчивается тем, что рассказчик остается в заточении, а его откровения проигнорированы.

Публикацию «Флатландии» встретили недоумением и пренебрежением. New York Times писала: «Это очень загадочная[680] и очень тягостная книга, и во всех Соединенных Штатах и Канаде ею могут насладиться максимум шесть, от силы семь человек». Тем не менее она стала любима школьниками, увлекающимися геометрией, регулярно переиздается и по ней снято несколько фильмов. В детстве я перечитывал ее много раз.

Однако я не понимал тогда, что эта книга – сатира, высмеивающая, а не приветствующая старомодную социальную иерархию Флатландии. Эбботт вовсе не считал женщин пустоголовыми смертельными иглами – он был сторонником равенства в образовании. Он входил в совет организации Girls’ Public Day School Company[681], которая финансировала среднее образование женщин. Поскольку я не знал, что автор был англиканским священником, чьи публикации, кроме этого романа, носили преимущественно теологический характер, я, конечно же, не улавливал христианской аллегории, оживляющей всю эту историю: принципы геометрии не навязывают деспотический социальный порядок, а позволяют выйти из него тем, кто готов принять реальность другого мира.

Сила геометрии в этом повествовании состоит в том, что двумерное существо может с помощью чистого разума вывести свойства мира более высоких измерений, который оно не может непосредственно наблюдать. По аналогии с известными ему квадратами наш герой способен вычислить, что у куба должно быть восемь вершин и шесть граней, каждая из которых является квадратом, как и он сам. На этом этапе аналогия с христианством разрушается или становится крайне подрывной, поскольку Квадрат идет дальше и спрашивает сферу, что ей известно о четвертом измерении, о котором можно рассуждать совершенно аналогичным образом. Сфера отвечает, что это смешно, что никакого четвертого измерения не существует и что это глупость.

Известную нам геометрию можно использовать для поддержки традиционных взглядов. Но геометрия, которой мы еще не знаем, представляет собой угрозу. В XVII веке в Италии иезуиты[682] пресекали попытки математиков создать теорию бесконечно малых и вычислять площади и объемы ранее недоступных фигур; все, что выходило за рамки Евклида, считалось подозрительным. В Англии ньютоновское исчисление подвергалось церковным нападкам, и его приходилось защищать. Например, Джеймс Джурин написал книгу «Геометрия, не являющаяся другом неверия, или Защита сэра Исаака Ньютона и британских математиков». Но она станет таким другом, если ваша вера недостаточна! Геометрия (особенно новая) предлагает местоположение авторитета, который соперничает с установленным порядком. В этом смысле она может оказаться дестабилизирующей силой и радикальной мерой.

ДУША ФАКТА

Рита Дав – поэтесса, получившая Пулицеровскую премию, бывший поэт – лауреат США, профессор английского языка в Вирджинском университете, где в свое время математическими размышлениями занимались Томас Джефферсон и Джеймс Джозеф Сильвестр; однако в начале 1960-х она была закомплексованным ребенком в Акроне (штат Огайо). Ее отец, промышленный химик, был первым чернокожим химиком-исследователем в компании Goodyear Tire[683]. Дав вспоминает:

Мы с братом собирались вместе, чтобы решить домашнее задание по математике[684]. Мы часами пытались решать сложную задачу самостоятельно, прежде чем сдаться и обратиться к отцу, потому что он был настоящим знатоком математики, и, если у нас возникал вопрос по алгебре, он говорил: «Ну, это было бы проще, если бы вы использовали логарифмы». Мы протестовали: «Но мы же ничего не знаем о логарифмах!» Но он все равно доставал логарифмическую линейку, и через пару часов мы знали логарифмы, но вечер был потерян.

Это воспоминание превратилось в стихотворение Flash Cards («Карточки для обучения»)[685].

Карточки для обучения

Я была математиком-вундеркиндом, хранителем

апельсинов и яблок. Что тут непонятного,

говорил мне отец; чем быстрее

я отвечала, тем быстрее они появлялись.

Я могла наблюдать за бутоном на герани учителя,

за пчелой, жужжащей на мокром окне.

Тюльпанное дерево [686] всегда тянулось после сильного дождя,

и я втягивала голову, когда мои ботинки шлепали по дому.

Отец закидывал ноги после работы

и расслаблялся с бокалом виски и «Жизнью Линкольна».

После ужина шло натаскивание, и я поднималась в темноту

перед сном, перед тем как тонкий голос пищал

числа, когда я крутилась на колесе. Я должна была угадывать.

«Десять, – повторяла я, – мне всего лишь десять».

Это стихотворение отображает факты арифметики как авторитет, навязанный сверху. (Вдвойне: там есть и строгий отец, и любящий математику Авраам Линкольн, появляющийся в названии книги.) В стихотворении есть и привязанность. Дав говорит: «Вы также осознаете, что вас любят[687], потому что тратят на вас свое время. Мой отец был тогда очень суров, эти карточки появлялись перед сном. Тогда я их ненавидела, но сейчас я довольна». Однако в конце вы перебираете ногами на колесе в темноте, выдавая ответы как можно быстрее и правильнее. Такова математика в понимании множества школьников.

Большинство выдающихся поэтов не написали ни одного математического стихотворения, а у Дав их целых два. Вот еще одно.

Геометрия

Я доказываю теорему, и дом расширяется[688]:

окна плавно взмывают и парят у потолка,

потолок со вздохом уплывает вдаль,

поскольку стены очищаются от всего,

кроме прозрачности, унося с собой запах гвоздики.

Я под открытым небом,

и над окнами, превратившимися в бабочек,

солнечный свет вспыхивает там, где они пересеклись.

Они устремляются к какой-то точке недоказанной истины.

Какая огромная разница! Там, где арифметика – утомительная работа, геометрия – своеобразное освобождение. Озарение настолько мощное, что раздвигает стены (или делает их невидимыми; это поэзия, и я не думаю, что мы должны углубляться в точную физику подобного сценария). Пересечения плоскостей в пространстве становятся живыми существами, которые могут красиво упорхнуть, даже если вы не можете прикрепить их к двумерной странице. То, что происходит в разуме, когда открывается вот такое доказательство, – это что угодно, но только не утомительная логическая работа.

В геометрии есть нечто особенное – то, ради чего стоит писать стихи. В других местах школьной программы вы в конце концов обязаны полагаться на авторитет учителя или учебника, когда дело касается того, кто воевал во французских или индейских войнах или какова основная продукция Португалии. В геометрии у вас есть собственное знание. Сила в ваших руках.

Именно поэтому флатландцы и итальянские иезуиты справедливо считали геометрию опасной. Она – альтернативный источник авторитета и власти. Теорема Пифагора верна не потому, что Пифагор так сказал, а потому, что мы сами можем доказать, что она верна. Смотри!

Однако истина и доказательство – не одно и то же. Именно на этом и заканчивается стихотворение Дав: «…точке недоказанной истины». Пуанкаре оказывается там же, когда настаивает на необходимой роли интуиции. Он пишет:

Только что сказанного мною достаточно[689], чтобы показать, насколько тщетно было бы пытаться заменить свободную инициативу математика каким-либо механическим процессом. Для получения реально ценного результата недостаточно громоздить вычисления или иметь машину для упорядочивания; ценность заключена не в порядке вообще, а в неожиданном порядке. Машина может хвататься за голый факт, однако душа этого факта всегда будет ускользать от нее.

Мы используем формальное доказательство в качестве опоры, чтобы расширить возможности нашей интуиции, однако это было бы лестницей в никуда, если бы мы не использовали его, чтобы добраться до места, которое мы каким-то необъяснимым образом могли увидеть.

Мы, математики, представляемся миру людьми, чьи знания вечны и неоспоримы, поскольку мы все это доказали. Доказательство – важный инструмент для нас, мерило нашей уверенности, так же как это было для Линкольна. Однако суть не в этом. Суть в понимании вещей. Нам нужны не просто факты, а души фактов. Именно в момент понимания, когда стены стали прозрачными, а потолок улетает, мы и творим геометрию.

Несколько лет назад российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. Это была не единственная гипотеза Пуанкаре, но именно она связывается с его именем, поскольку оказалась трудной, а попытки справиться с ней, как правило, приводили к появлению новых интересных идей; вот так действительно хорошая гипотеза оправдывает себя.

Я не собираюсь точно формулировать гипотезу Пуанкаре. Она касается трехмерных пространств, но не обязательно нашего; скорее Пуанкаре спрашивает о несколько более геометрически богатых трехмерных пространствах – пространствах, которые можно искривлять и сгибать[690]. Представьте, что Квадрат, вынутый из Флатландии его трехмерным гостем, обнаружил бы, что плоскость, на которой он жил, – на самом деле поверхность сферы[691] или вообще какого-нибудь сложного пончика, а затем сказал бы своему новому другу: а что, если ваш трехмерный мир на самом деле имеет какую-то сложную форму, видимую только из четвертого измерения? Как вы могли бы об этом судить?

Вот один из способов узнать, живете вы на пончике или на сфере. На поверхности пончика можно сделать замкнутую петлю из эластичной веревки так, чтобы ее нельзя было стянуть в точку, сколько бы вы ни пытались. Сфера – другое дело: любая веревочная петля на поверхности стягивается в точку.

Трудновато представить себе это в нашем трехмерном пространстве, но почему бы не попробовать? Веревочную петлю, которую вы держите в руке, наверняка можно стянуть в точку, не покидая Вселенной.

Но как насчет космического корабля, который удаляется от Земли на много гигапарсеков, а потом возвращается домой? Если представите его путь в космосе как длинную-длинную петлю, очевидно ли, что можно стянуть ее в точку? Геометрия Вселенной в таких масштабах так же недоступна нашим прямым наблюдениям, как и мелкомасштабные странности внутри электрона.

Пуанкаре понял, что понятие о таких стягиваемых и нестягиваемых петлях играет фундаментальную роль. Его гипотеза заключалась в том, что есть только один вид трехмерного пространства без нестягиваемых петель – то, с которым мы знакомы. Убедитесь, что все петли можно стянуть, и вы знаете все, что нужно знать о форме пространства.

Честно говоря, Пуанкаре не строил в точности таких предположений. Он просто спросил в статье 1904 года (года выставки), так ли это, не останавливаясь ни на одном из двух вариантов. Возможно, от конкретики его удержал консервативный характер, а может быть, тот факт, что четырьмя годами ранее он высказал другую подобную гипотезу, которая, как он сам признал в работе 1904 года, оказалась полностью неверна. Такое встречается чаще, чем вы думаете. Даже великие математики высказывают множество ложных предположений. Если вы никогда их не делаете, значит, не высказываетесь о достаточно сложных вещах.

Перельман ответил на вопрос Пуанкаре, используя такие методы, которые французский математик едва ли мог вообразить. Его доказательство поднимается на уровень выше, используя геометрию всех геометрий, позволяя загадочному трехмерному пространству без петель течь через пространство всех пространств, пока оно не станет стандартным трехмерным пространством, которое мы знаем и любим.

Это не простое доказательство.

Однако новые идеи из работы Перельмана обусловили огромную волну работ с этими абстрактными потоками и расширили понимание математиков о том, какой может быть геометрия. Сам Перельман в этом не участвовал[692]. Бросив свою бомбу, он уединился в своей маленькой квартирке в Санкт-Петербурге, отказавшись и от медали Филдса, и от премии в миллион долларов, учрежденной Институтом Клэя за решение этой проблемы.

Позвольте предложить мысленный эксперимент. Что, если бы гипотезу Пуанкаре доказал не российский геометр-интроверт, а машина? Скажем, внук внука «Чинука», который, вместо того чтобы разбираться с шашками, взялся бы за эту задачу трехмерной геометрии.

Предположим также, что доказательство (подобно идеальной стратегии «Чинука» для шашек) было бы чем-то совершенно непонятным для человеческого разума, цепочкой чисел или формальных символов, правильность которой мы можем проверить, но не можем понять ни в каком значимом смысле.

Тогда, несмотря на тот факт, что одна из самых известных проблем геометрии была бы решена, а истинность гипотезы раз и навсегда установлена, мне было бы все равно. Абсолютно! Поскольку суть не в том, чтобы знать, что истинно, а что ложно. Истина и ложь не так уж интересны. Это факты без души. Уильям Тёрстон, выдающийся современный специалист по неевклидовым трехмерным геометриям и разработчик грандиозной стратегии классификации всех таких геометрий, которую успешно завершила работа Перельмана, не имел времени для промышленного взгляда на математику как фабрику истин: «Мы не пытаемся выполнить какую-то абстрактную норму по производству определений, теорем и доказательств[693]. Мера нашего успеха – позволяет ли людям то, что мы делаем, лучше понимать математику и думать о математике более ясно и эффективно». Математик Дэвид Блэквелл выразился более прямолинейно: «Вообще-то мне неинтересно заниматься исследованиями, и никогда не было интересно. Мне интересно понимать, а это совершенно другое дело»[694].

Геометрия – это люди. Она универсальна и вечна, проявляясь в тех же формах в любом когда-либо существовавшем человеческом сообществе, но она также находится прямо здесь, располагаясь во времени и пространстве среди людей. Она здесь, чтобы научить нас чему-то, заставив дом расширяться.

Блэквелл специализировался в теории вероятностей, много работал с марковскими цепями, однако, подобно Линкольну, Дав и Рональду Россу, находил вдохновение в евклидовой плоскости. По его словам, геометрия была «единственным курсом, который позволил мне увидеть, что математика действительно красива и полна идей». Блэквелл вспоминает одно доказательство, возможно даже доказательство с мостом ослов: «Я все еще помню понятие вспомогательной линии[695]. Перед вами утверждение, которое выглядит довольно загадочно. Кто-то проводит одну линию, и внезапно все становится очевидным. Это красиво».

«ПОБЕДИЛИ МЕНЯ ДЕТИ МОИ!»

В Талмуде есть знаменитая история о печи Ахная[696]. Группа раввинов горячо спорит, как это обычно бывает в группе раввинов. Суть вопроса: будет ли печь, если разрезать ее на части, а затем скрепить обратно с помощью песка, подчиняться законам о ритуальной чистоте, которые регулировали печь из чистого камня? Впрочем, неважно, о чем был спор; важно, что один раввин, Элиэзер бен Гиркан, твердо придерживался мнения, отличного от остальных. Ситуация накалилась. Как говорится в Талмуде, Элиэзер привел в тот день «все возможные аргументы в мире», но их не приняли. Тогда Элиэзер обратился к более эффектным формам доказательства. Он сказал:

– Если я прав, то пусть рожковое дерево подтвердит мою правоту!

Тут же соседнее рожковое дерево вырвало с корнем, и оно отлетело на сто локтей. Но рабби Йеошуа возразил:

– Рожковое дерево – это еще не доказательство.

Тогда Элиэзер сказал:

– Если я прав, то пусть ручей подтвердит это!

Воды ручья потекли вспять. Однако и это их не убедило:

– Какая разница, ручей тоже ничего не доказывает.

Тогда Элиэзер сказал:

– Если я прав, то пусть стены Дома Учения подтвердят это!

Стены накренились внутрь. Но даже это не впечатлило оппонентов[697].

Элиэзер разыграл еще одну карту.

– Если я прав в толковании Торы, то пусть небеса подтвердят мою правоту!

И раздался сверху голос Бога:

– Зачем противитесь вы словам рабби Элиэзера? Ведь в таких вопросах он всегда прав!

Встал тогда рабби Йеошуа и сказал:

– Глас Божий – тоже не доказательство! Не на небе Тора уже, а на земле, она записана, и данные нам правила ясны; в Торе сказано: «по большинству склоняться», а большинство против мнения рабби Элиэзера.

И Бог засмеялся и сказал: «Победили меня дети мои, победили меня».

Эта история о разногласии порождает множество разногласий. Некоторые считают Йеошуа героем, подобно Прометею восставшим против власти Бога. В этой истории он – юрист, и я думаю, что Авраам Линкольн встал бы на его сторону. Партнер Линкольна Уильям Херндон описывал его так: «Он безжалостно анализировал факты и принципы[698]. Только после такого всестороннего рассмотрения он мог сформировать идею и выразить ее, но не раньше. У него не было ни веры в голословные утверждения, ни уважения к ним, даже если они исходили из традиции или от авторитета».

Другие предпочитают Элиэзера, который отстаивал свои убеждения один против всех. Писатель Эли Визель говорит о тезке-раввине так: «Элиэзер мне также нравится за одиночество[699]. Он был тем, кем был, никогда не пытался сдаться, оставался верен себе, что бы ни говорили другие. Он был готов к одиночеству». Это перекликается со словами Александра Гротендика, который в 1960-х годах перестроил геометрию с нуля и чьих работ мы не касались, хотя книга уже подошла к концу (ну ладно, может быть, в следующий раз). Он вспоминал свои дни учебы в Париже:

В те критические годы я научился быть одиноким… добираться к вещам, которые хотел изучать, собственным путем, а не опираясь на представления общего мнения, явные или молчаливые, исходящие от более или менее обширного клана, членом которого я оказался или который по иной причине претендовал на то, чтобы его заявления считались авторитетными. Это молчаливое общее мнение информировало меня в лицее и в университете, что не следует беспокоиться о том, что на самом деле подразумевается при использовании таких терминов, как «объем», что считалось «очевидно не требующим доказательства», «общеизвестным», «беспроблемным» и так далее. Но я не прислушивался к ним… Именно в этом поступке «выхода за пределы», в том, чтобы быть личностью, а не пешкой в общем мнении, в отказе оставаться в жестком круге, который другие очерчивают вокруг себя, – именно в этом акте уединения человек находит истинное творчество. А все остальное будет само собой разумеющимся следствием[700].

И все же Гротендик стал Гротендиком только благодаря плодородной почве французской геометрии, питавшей его идеи, и мгновенному восприятию его инноваций десятками математиков парижского кружка.

Когда мы по-настоящему глубоко размышляем о геометрических вещах (пытаемся создать схему распространения пандемии; бродим по дереву стратегий, управляющих какой-либо игрой; разрабатываем рабочий протокол для демократического представительства; осознаем, какие вещи близки между собой; пробуем представить внешний вид дома, находясь внутри, или, подобно Линкольну, критически подходим к собственным убеждениям и предположениям), мы в каком-то смысле одиноки. Но одиноки вместе со всеми остальными людьми на земле. Каждый занимается геометрией по-разному, но все ею занимаются. Это, как следует из названия, способ измерения мира и, следовательно (только в геометрии мы говорим «следовательно»), способ измерения себя.

Благодарности

Мой агент Джей Мандель, его помощница Шан-Эшли Эдвардс и все сотрудники William Morris Endeavor неустанно поддерживали меня в течение всего времени работы над этой книгой. Мне было приятно снова сотрудничать с редактором Скоттом Мойесом в Penguin Press. Они постоянно стремятся публиковать книги, которые авторы хотят писать, а не заставляют авторов писать книги, которые они хотят продать. Спасибо всем, особенно Миа Каунсил, Лиз Каламари и Шине Патель, а также Лауре Стикни из Penguin UK и Стефани Росс, создавшей потрясающую обложку.

Благодарю Райли Мэлоун, которая написала мне прошлым летом и спросила, не нужна ли мне помощница в исследованиях. Конечно, нужна! Часы, которые она провела, разыскивая ответы на мои странные вопросы, проверяя факты и оспаривая мои формулировки, очень помогли в создании книги. Редактор Грег Виллепик мастерски прошелся по всей рукописи гребенкой наноуровня и спас меня от нескольких досадных фактических ошибок, включая год моей собственной бар-мицвы.

Мне повезло, что я могу опереться на друзей, знакомых и незнакомцев, которые отвечали на вопросы, отрабатывали идеи и терпеливо объясняли мне конституционное право и квантовую физику. Среди тех, кто мне помог: Амир Александер, Марта Алибали, Дэвид Бейли, Том Банхофф, Мира Бернштейн, Бен Блум-Смит, Барри Бёрден, Дэвид Карлтон, Рита Дав, Чарльз Франклин, Эндрю Гельман, Лиза Голдберг, Маргарет Грейвер, Элизенда Григсби, Патрик Хоннер, Кэтрин Хорган, Марк Хьюз, Патрик Ибер, Лалит Джейн, Келли Джеффрис, Джон Джонсон, Малия Джоунс, Дерек Кауфман, Эммануэль Ковальски, Адам Кухарски, Грег Куперберг, Джастин Левитт, Ваньлинь Ли, архивариусы Лондонской школы гигиены и тропической медицины, Джефф Манделл, Джонатан Маттингли, Кен Майер, Лоренцо Найт, Дженнифер Нельсон, Роб Новак, Кэти О’Нил, Бен Орлин, Чарльз Пенс, Уэс Пегден, Дуглас Поланд, Бен Рехт, Джонатан Шеффер, Том Скокка, Аджай Сети, Лиор Зильберман, Джим Стейн, Стив Строгац, Жан-Люк Тиффо, Чарльз Уокер, Трэвис Уорвик, Эми Уилкинсон, Роб Яблон, Теншик Юн, Тим Ю и Аджай Зутши.

Отдельное спасибо тем, кто читал разделы книги в незаконченном и неотредактированном виде и существенно их улучшил: Карл Бергстром, Мередит Бруссард, Стефани Бёрт, Алес Дэвис, Лалит Джейн, Адам Кухарски, Грег Куперберг, Дуглас Поланд, Бен Рехт, Лиор Зильберман, Стив Строгац, а также суперредактору Мишель Ших, которая прочитала большую часть книги и помогла мне поверить, что все это имеет смысл.

Я благодарен Муну Дачину, который показал мне, что джерримендеринг не только важная политическая проблема, но и проблема, содержащая в себе глубокую и интересную математику, а также Грегори Хершлагу за дополнительный анализ данных по выборам 2018 года в Висконсине.

Как всегда, я счастлив работать в Висконсинском университете в Мэдисоне, который неизменно поддерживает мою писательскую деятельность. Университетский кампус наподобие нашего – практически идеальная среда для написания такой масштабной книги, как эта: в пешей доступности найдется специалист по любой теме. Также есть множество мест, где можно выпить кофе.

Первым моим учителем геометрии был Эрик Уолстейн, который умер от COVID-19 в ноябре 2020 года. Я хотел бы, чтобы он мог научить математике еще много детей.

Еще одна вещь, которую я хотел бы отметить, – это все те темы, которые было бы здорово затронуть в книге по геометрии, но их в книге нет, поскольку у меня не хватило времени и места. Я хотел написать об «объединителях и разделителях» и теории кластеризации; Джуде Перле и использовании направленных ациклических графов в изучении причинности; навигационных картах Маршалловых островов; компромиссе между исследованием нового и применением старого и многоруких бандитах; бинокулярном зрении у личинок богомола; максимальном размере подмножества решетки размером N на N, чтобы никакие три точки не являлись вершинами равнобедренного треугольника (если решите эту задачу, дайте мне знать); гораздо больше о динамике, начиная с Пуанкаре и заканчивая бильярдами, Синаем и Мирзахани; гораздо больше о Декарте, который начал объединять алгебру и геометрию, но каким-то образом почти не упоминается в книге; и гораздо больше о Гротендике, который продвинул это объединение гораздо дальше, чем Декарт мог мечтать; теории катастроф; дереве жизни. Заниматься геометрией в реальном мире – значит всегда одновременно учитывать реальное и идеальное, а писать книги – во многом то же самое: идеал этой книги – то, что вы и я должны просто представить, но я надеюсь, что та реальная вещь, которую вы держите в руках, – достаточно хороший набросок.

Книга – это результат труда всей нашей семьи. Мой сын CJ разобрался и проанализировал данные по выборам в Висконсине за много лет, а дочь AB нарисовала некоторые иллюстрации, и все были терпеливы, когда я озадачивался вопросом, с чего я вообще взял, что написать целую книгу по теме, которую существенная доля людей (как им кажется) ненавидит, – это хорошая идея. А Таня Шлам, как всегда, была опорой и первым и последним читателем всего, что вы видите на странице; она делала неровные фразы гладкими, кривые пассажи – прямыми, а непонятные объяснения – ясными. Без нее ничего бы этого не было.

Над книгой работали

Руководитель редакционной группы Светлана Мотылькова

Ответственный редактор Юлия Константинова

Арт-директор Алексей Богомолов

Дизайн обложки Наталья Савиных

Корректор Елена Сухова

ООО «Манн, Иванов и Фербер»

mann-ivanov-ferber.ru

Эту книгу хорошо дополняют:

Как не ошибаться

Джордан Элленберг

Теория игр

Авинаш Диксит, Барри Нейлбафф

Десять уравнений, которые правят миром

Дэвид Самптер

Вероятности и неприятности

Сергей Самойленко

Сноски

1

Когда южноамериканские шаманы: страница 10 в работе Benny Shanon’s, “Ayahuasca Visualizations: A Structural Typology,” Journal of Consciousness Studies 9, no. 2 (2002): 3–30, просто на случай, если вы подумали, что я говорю о собственном опыте.

2

Игра слов: Hell’s Angles звучит похоже на Hells Angels. «Ангелы ада» – один из крупнейших в мире клубов байкеров. Прим. пер.

3

Название песни можно перевести примерно так: «Круто быть нормальным», то есть не бунтарем, а законопослушным, обычным, скучным человеком. Прим. пер.

4

Можете попробовать пройти с ребенком: Jillian E. Lauer and Stella F. Lourenco, “Spatial Processing in Infancy Predicts Both Spatial and Mathematical Aptitude in Childhood,” Psychological Science 27, no. 10 (2016): 1291–98.

5

Все парни имели степени: Margalit Fox, “Katherine Johnson Dies at 101; Mathematician Broke Barriers at NASA,” New York Times, Feb. 24, 2020, из интервью 2010 года в Fayetteville (NC) Observer.

6

Перевод Т. Стамовой. Прим. ред.

7

Покоя не давал: цитируется, например, в работе Newton P. Stallknecht, “On Poetry and Geometric Truth.” The Kenyon Review 18, no. 1 (1956): 2.

8

Так я часто: John Newton, An Authentic Narrative of Some Remarkable and Interesting Particulars in the Life of John Newton, 4th ed. (Printed for J. Johnson, 1775), 75–82.

9

Вордсворт был большим поклонником: Thomas De Quincey, The Works of Thomas De Quincey, vol. 3–4 (Cambridge, MA: Houghton, Mifflin, and Co.; The Riverside Press, 1881), 325.

10

Вордсворт в математике не преуспевал: смотрите письмо от 26 июня 1791 года от сестры поэта Дороти Вордсворт к Джейн Поллард (Letters of the Wordsworth Family From 1787 to 1855, ed. William Knight, vol. 1 (Cambridge: Ginn and Company, 1907), 28), в котором говорится, что Вордсворт не смог получить стипендию в Кембридже, поскольку не смог заставить себя изучать математику. «Он читает на итальянском, испанском, французском, греческом, латинском и английском, но никогда не открывал ни одной математической книги».

11

Именно он, по мнению некоторых: Joan Baum, “On the Importance of Mathematics to Wordsworth,” Modern Language Quarterly 46, no. 4 (1985): 392.

12

Гамильтон с ранней юности был очарован: письмо Гамильтона кузену Артуру от 4 сентября 1822 года воспроизводится в книге Robert Perceval Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, vol. 1 (Dublin: Hodges Figgis, 1882), 111.

13

Гамильтон с честью вышел: по крайней мере, так утверждает Роберт Персеваль Грейвс в очерке о Гамильтоне в журнале Dublin University Magazine 19 (1842): 95, написанном еще при жизни Гамильтона, и то же самое он повторяет на с. 78 своей книги Life of Sir William Rowan Hamilton (указанной выше). История появляется практически во всех более поздних биографиях Гамильтона, и все они, насколько я могу судить, опираются в качестве источника на Грейвса. В письмах Гамильтон описывает встречу с Колберном в 1820 году и тот факт, что он «видел», как тот производит вычисления, однако я не нашел никаких писем, которые касались бы соревнования; Колберн в своих мемуарах, указанных ниже, также не упоминает о таком состязании и даже вообще о встрече с Гамильтоном, хотя весьма гордо говорит о других вундеркиндах, с которыми встречался и которых превзошел. А имело ли место вообще это соревнование?

14

Лондонский хирург удалил его: Zerah Colburn, A Memoir of Zerah Colburn: Written by Himself. Containing an Account of the First Discovery of His Remarkable Powers; His Travels in America and Residence in Europe; a History of the Various Plans Devised for His Patronage; His Return to this Country, and the Causes which Led Him to His Present Profession; with His Peculiar Methods of Calculation (Springfield, MA: G. and C. Merriam, 1833), 72.

15

Колберн слабо понимает причины того: Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, 78–79.

16

Полночную прогулку: письмо Гамильтона Элизе Гамильтон от 16 сентября 1827 года цитируется по книге Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, 261.

17

На званом обеде: Tom Taylor, The Life of Benjamin Robert Haydon, vol. 1 (London: Longman, Brown, Green, and Longmans, 1853), 385.

18

К 1922 году, когда Миллей это написала, Евклид фактически уже не был один: неевклидовы геометрии (по-своему столь же прекрасные без одежды) были уже не только известны, но и осознавались (благодаря Эйнштейну) как истинная геометрия пространства-времени, как мы увидим в главе 3. Меня заинтересовало, знала ли об этом Миллей и намеренно ли использовала анахроничный образ, однако мои друзья-литературоведы сказали, что она вряд ли была в курсе последних достижений в математической физике.

19

По словам Линкольна, в основе: “Mr. Lincoln’s Early Life: How He Educated Himself,” New York Times, Sep. 4, 1864: 5. Конечно, цитата из Линкольна взята из воспоминаний Гулливера и не может считаться точным воспроизведением его слов.

20

В оригинале demonstrate, demonstration – именно эти слова используются при описании действий Евклида в английских текстах. Прим. пер.

21

«Американское общество трактатов» (American Tract Society) – некоммерческая организация, которая была основана в 1825 году и занимается публикацией и распространением христианской литературы. Прим. пер.

22

Мне говорили, что: воспоминания Херндона цитируются по работе Jesse William Weik, The Real Lincoln; a Portrait (Boston: Houghton Mifflin, 1922), 240. Я узнал эту историю из замечательной книги Дэйва Ричесона: Tales of Impossibility (Princeton: Princeton University Press, 2019), в которой есть все, что вы хотите знать о квадратуре круга, трисекции угла и так далее.

23

Как геометр: перевод мой. Перевод misurar lo cerchio как квадрировать круг убедительно оправдан в работе R. B. Herzman and G. W. Towsley, “Squaring the Circle: Paradiso 33 and the Poetics of Geometry,” Traditio 49 (1994): 95–125.

24

«Божественная комедия», «Рай», песнь тридцать третья. Перевод М. Лозинского. Прим. пер.

25

Оказавшись в библиотеке некоего джентльмена: John Aubrey, ‘Brief Lives,’ Chiefly of Contemporaries, Set down by John Aubrey, between the Years 1669 & 1696, ed. Andrew Clark, vol. 1 (Oxford: Oxford University Press, 2016), 332; https://www.gutenberg.org/files/47787/47787-h/47787-h.htm.

26

Это теорема Пифагора. Прим. пер.

27

Гоббс возразил: F. Cajori, “Controversies in Mathematics Between Hobbes, Wallis, and Barrow,” Mathematics Teacher 22, No. 3 (March 1929): 150.

28

Долгая и, откровенно говоря, смешная история войны Гоббса с его терпеливыми математическими критиками изложена в главе 7 книги Амира Александра «Бесконечно малые».

29

Все, что они знают о геометрии: рецензия на Geometry without Axioms, в Quarterly Journal of Education XIII (1833): 105.

30

Слово «утверждение» (proposition): источник этой идеи – A. Kucharski, “Euclid as Founding Father,” Nautilus, Oct. 13, 2016; http://dev.nautil.us/issue/41/selection/euclid-as-founding-father.

31

Можно с уверенностью утверждать: Abraham Lincoln, The Collected Works of Abraham Lincoln, ed. Roy P. Basler et al., vol. 3 (New Brunswick, NJ: Rutgers University Press, 1953), 375; http://name.umdl.umich.edu/lincoln3.

32

Хотя оборот «Мы считаем эти истины самоочевидными» не принадлежит Джефферсону; в его проекте Декларации было написано: «Мы считаем эти истины священными и неоспоримыми». Именно Бенджамин Франклин вычеркнул эти слова и заменил их на «самоочевидные», сделав документ чуть менее библейским и чуть более евклидовым.

33

Всего лишь роскошь: Thomas Jefferson, The Essential Jefferson, ed. Jean M. Yarbrough (Indianapolis: Hackett Publishing, 2006), 193.

34

Я отказался от газет: Thomas Jefferson, The Papers of Thomas Jefferson, Retirement Series, ed. J. Jefferson Looney, vol. 4 (Princeton: Princeton University Press, 2008), 429; https://press.princeton.edu/books/ebook/9780691184623/the-papers-of-thomas-jefferson-retirement-series-volume-4.

35

Для Линкольна, в отличие от Джефферсона: о разнице между концепциями геометрии у Линкольна и Джефферсона смотрите: Drew R. McCoy, “An ‘Old-Fashioned’ Nationalism: Lincoln, Jefferson, and the Classical Tradition,” Journal of the Abraham Lincoln Association 23, no. 1 (2002): 55–67.

36

Многие молодые люди: тот же автор и та же рецензия, что уже цитировалась в связи с квадратурой круга: Quarterly Journal of Education, vol. XIII (1833): 105. Этот анонимный автор весьма часто цитируется!

37

За исключением одной, но этот спорный постулат о параллельных прямых и начавшийся с него двухтысячелетний путь к неевклидовой геометрии обсуждается во многих других местах и здесь будет лишь упомянут.

38

– Голубчики, – сказал Федор Симеонович озабоченно, разобравшись в почерках. – Это же проблема Бен Бецалеля. Калиостро же доказал, что она не имеет решения.

– Мы сами знаем, что она не имеет решения, – сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать.

– Как-то странно ты рассуждаешь, Кристо… Как же искать решение, когда его нет? Бессмыслица какая-то…

– Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица – искать решение, если оно и так есть. Речь идет о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос…

Стругацкие А. и Б. «Понедельник начинается в субботу». Прим. науч. ред.

39

Поставьте куб: William George Spencer, Inventional Geometry: A Series of Problems, Intended to Familiarize the Pupil with Geometrical Conceptions, and to Exercise His Inventive Faculty (New York: D. Appleton, 1877), 16. Британское издание появилось в 1860 году.

40

Это действительно плохо поставленный вопрос: при такой расстановке очевидно, что назвать шириной, высотой и глубиной. Видимо, тут имеется тонкое различие в описании «с точки зрения куба», у которого нет выделенных длины, ширины и толщины, потому что они равны, и со стороны внешнего наблюдателя, который использует естественные для него координаты в трехмерном пространстве. Прим. науч. ред.

41

В одной из книг по арифметике, последний раз использованной в 1930 году, я нашел пометку карандашом: «Смотри страницу 170»; на 170-й странице было другое указание: «Смотри страницу 36», где я увидел новую команду, и т. д., пока не добрался до последней страницы, где было написано: «Ты дурак!» Десятилетний мальчик разыграл меня с того света.

42

Здесь уместно напомнить, что Джордж Элиот – псевдоним писательницы Мэри Анн Эванс.

43

«Мельница на Флоссе». Книга вторая, глава первая. Перевод Л. Поляковой и Г. Островской. Прим. пер.

44

«Мельница на Флоссе». Книга вторая, глава первая. Перевод Л. Поляковой и Г. Островской. Прим. пер.

45

Именно живого интереса к предмету: James J. Sylvester, “A Plea for the Mathematician,” Nature 1 (1870): 261–63.

46

В ходе опроса 1950 года: Kenneth E. Brown, “Why Teach Geometry?” Mathematics Teacher 43, no. 3 (1950): 103–6; https://www.jstor.org/stable/27953519.

47

Много раз я видел: H. C. Whitney, Lincoln the Citizen (Baker & Taylor, 1908), 177. Если честно, то пример заблуждения, который Уитни приводит сразу после этого (он включает вопрос, можно ли сказать, что у корпорации есть душа), не кажется мне неудачей дедуктивной логики.

48

Было морально невозможно: Whitney, Lincoln the Citizen, 178.

49

Отсылка к популярному прозвищу Линкольна – Честный Эйб. Прим. пер.

50

Доказательство – это: слова Орлина взяты из его поста от 16 октября 2013 года: “Two-Column Proofs That Two-Column Proofs Are Terrible,” Math with Bad Drawings (blog), mathwithbaddrawings.com/2013/10/16/two-column-proofs-that-two-column-proofs-are-terrible/.

51

Типичный формат: материал о Комитете десяти и истории доказательства в два столбца взят из работы P. G. Herbst, “Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century,” Educational Studies in Mathematics 49, no. 3 (2002): 283–312.

52

В сценарии Тони Кушнера для фильма Стивена Спилберга «Линкольн» президент ссылается на это в драматический момент.

53

Рогатая сфера Александера делит трехмерное пространство на две части, как и обычная сфера, но другим способом: в то время как на плоскости по теореме Шенфлиса две получающиеся части топологически эквивалентны кругу и плоскости с круглой дыркой для любой кривой без самопересечений. См. Фукс Д. Б. Рогатая сфера Александера. Квант (1990) № 6. Прим. науч. ред.

54

В математике существует немало вещей, которые кажутся очевидными, но при этом неверны. Рассмотрим утверждение: сплошной шар радиусом 1 сантиметр нельзя разбить на конечное число частей и сложить из них сплошной шар радиусом 1 километр. Утверждение кажется очевидным, однако оно ложно: такое разбиение возможно (парадокс Банаха – Тарского). Аналогично интуиция отрицает существование непрерывной функции, у которой ни в одной точке нельзя провести касательную. Однако такие функции существуют. Поэтому, увы, даже вроде бы очевидные вещи в математике приходится доказывать. Прим. пер.

55

Градиент – векторная величина, показывающая направление наибольшего возрастания числовой величины в разных точках какого-либо пространства. Здесь автор использует понятие в переносном смысле – как синоним подъема в гору. Прим. пер.

56

Градиент уверенности: Ben Blum-Smith, “Uhm Sayin,” Research in Practice (blog), http://researchinpractice.wordpress.com/2015/08/01/uhm-sayin/.

57

В истории математики его часто называют Бхаскара II, чтобы отличать от более раннего математика с таким же именем.

58

Некоторые источники полагают, что доказательство Бхаскары было взято из более раннего китайского математического текста «Чжоу би суань цзин», однако по этому поводу ведутся споры; если на то пошло, то неясно, было ли у самих пифагорейцев то, что мы именуем сейчас доказательством.

59

Он настолько высоко ценил свою схему: Bill Casselman, “On the Dissecting Table,” Plus Magazine, Dec. 1, 2000; https://plus.maths.org/content/dissecting-table.

60

Вы, несомненно, видели: Henri Poincaré, The Value of Science, trans. G. B. Halsted (New York: The Science Press, 1907), 23.

61

Это не совсем так, как сформулировано у Евклида, но эквивалентно его пятому постулату, который он сформулировал еще более топорно и запутанно. [Формулировка Евклида: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых». «Начала», книга I. Перевод Д. Мордухай-Болтовского. Прим. пер.]

62

Латинское выражение in medias res (буквально «в середине вещей») используется, когда в литературном произведении сюжет начинается с ключевого эпизода, без предыстории и долгих описаний. Прим. пер.

63

* Зря: если совсем строго, надо еще доказать, что прямая L пересекает отрезок ВС. Прим. науч. ред.

64

Сокращение латинских слов Quod Erat Demonstrandum, означающих «что и требовалось доказать».

65

В Соединенных Штатах стандарты образования Common Core, которые должны были обеспечить универсальную базу для обучения детей по двенадцатилетней системе K-12, сейчас явно сдают позиции. В них действительно требуется, чтобы на уроках геометрии рассматривали симметрию. Остается надеяться, что, когда стандарты Common Core отступят, обсуждение симметрии останется в программах, подобно ледниковой морене.

66

Существует как минимум одно исследование: M. J. Nathan, et al., “Actions Speak Louder with Words: The Roles of Action and Pedagogical Language for Grounding Mathematical Proof,” Learning and Instruction 33 (2014): 182–93.

67

Хотя частота построения формального доказательства сделанного вывода при этом не увеличивалась!

68

Когда ему требовалось: Jeremy Gray, Henri Poincaré: A Scientific Biography (Princeton: Princeton University Press, 2012), 26.

69

Появился в статье 1970 года: David Lewis and Stephanie Lewis, “Holes,” Australasian Journal of Philosophy 48, no. 2 (1970): 206–12.

70

Затем этот вопрос всплыл в 2014 году:https://forum.bodybuilding.com/showthread.php?t162056763&page=1.

71

Затем появился ролик: этот видеоролик был скопирован на многих сайтах, например metro.co.uk/2017/11/17/how-many-holes-does-a-straw-have-debate-drives-internet-insane-7088560/.

72

Сняла видео, которое:www.youtube.com/watch?v=W0tYRVQvKbM.

73

Нет, вы раскатываете: честно говоря, среди изготовителей бубликов есть и те, кто делает змейку и соединяет ее в кольцо, и те, кто делает круглую лепешку и пробивает отверстие в середине. Однако никто из них не делает дырку в уже готовом выпеченном хлебе без дырок.

74

Прежде всего я вспоминаю его глаза: Galina Weinstein, “A Biography of Henri Poincaré–2012 Centenary of the Death of Poincaré,” ArXiv preprint server, July 3, 2012, 6; https://arxiv.org/pdf/1207.0759.pdf.

75

Утрата Эльзаса: Gray, Henri Poincaré, 18–19.

76

В 1889 году он получил: June Barrow-Green, “Oscar II’s Prize Competition and the Error in Poincaré’s Memoir on the Three Body Problem,” Archive for History of Exact Sciences 48, no. 2 (1994): 107–31.

77

Пуанкаре отличался редкой пунктуальностью: Weinstein, “A Biography of Henri Poincaré,” 20.

78

В Париже ходила шутка: Tobias Dantzig, Henri Poincaré: Critic of Crisis (New York: Charles Scribner’s Sons, 1954), 3.

79

Он был не только: Gray, Henri Poincaré, 67.

80

Геометрия – это искусство: “La Géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites.” Henri Poincaré, “Analysis situs,” Journal de l’École Polytechnique ser. 2, no. 1 (1895): 2.

81

Окружности, которые он рисовал: Dantzig, Henri Poincaré, 3.

82

Термин «выпуклый» означает примерно «выгибающийся только наружу, а не внутрь». Подробнее об этом – в главе 14, где мы встретимся с еще более вычурными формами избирательных округов.

83

Точнее, так: квадрат – это окружность, если нас интересуют топологические вопросы, например: сколько отверстий в фигурах, которые они ограничивают, или на сколько частей распадаются такие фигуры. Если же вас волнуют вопросы вроде «сколько касательных можно провести к кривой в одной точке», то квадрат и окружность сильно отличаются.

84

Хотя эта фигура не является всюду выпуклой. Прим. науч. ред. [Научный редактор всегда должен быть в педантичном настроении. Прим. науч. ред.]

85

Нет, я не знаю, как вы умудряетесь пить коктейль, чтобы через одну соломинку проходило в 1^2/3 раза больше жидкости, чем через другую. Но вы уже подарили мне соломинку в форме штанов, так что с равным успехом можете продолжать этот мысленный эксперимент.

86

Новаторство Нётер: ради справедливости по отношению к Пуанкаре отметим, что Леопольд Вьеторис, работавший на заре топологии и скончавшийся в 2002 году в возрасте 110 лет, указывал, что Пуанкаре понимал, что штаны образуют пространство, но не выразил это в своей работе. Я предпочитаю действия Нётер. (Saunders Mac Lane, “Topology Becomes Algebraic with Vietoris and Noether,” Journal of Pure and Applied Algebra 39 (1986): 305–07.) Сам Вьеторис независимо от Нётер и примерно в то же самое время формализовал это же понятие, однако в те дни математические результаты Вены не сразу становились известны в Геттингене, и наоборот.

87

Сегодня это считается самоочевидным: “Diese Tendenz scheint heute selbstverstandlich; sie war es vor acht Jahren nicht; es bedurfte der Energie und des Temperamentes von Emmy Noether, um sie zum Allgemeingut der Topologen zu machen und sie in der Topologie, ihren Fragestellungen und ihren Methoden, diejenige Rolle spielen zu lassen, die sie heute spielt.” Paul Alexandroff and Heinz Hopf, Topologie I: Erster Band. Grundbegriffe der Mengentheoretischen Topologie Topologie der Komplexe Topologische Invarianzsätze und Anschliessende Begriffsbildungen Verschlingungen im n-Dimensionalen Euklidischen Raum Stetige Abbildungen von Polyedern (Berlin: Springer-Verlag, 1935), ix. Благодарю Андреаса Зигера за помощь в переводе этого абзаца.

88

Одним из многих: биографический материал о Листинге взят из книги Ernst Breitenberger, “Johann Benedikt Listing,” History of Topology, ed. I. M. James (Amsterdam: North-Holland, 1999), 909–24.

89

Листинг открыл эту поверхность в июле 1858 года, а Мёбиус – в сентябре 1858-го. Прим. пер.

90

Джон Джеймс Одюбон – американский натуралист и художник, стремившийся изобразить всех птиц Америки. Прим. пер.

91

Сегодня никто не сомневается: Poincaré, “Analysis situs,” 1.

92

Для физика скорость означает не только численное значение, но и направление; вам требуется отслеживать скорость перемещения в направлении на север, восток и вверх, то есть всего три величины.

93

Сравните это с ситуацией с Джефферсоном. Он был одним из самых ярых сторонников идей свободы и равенства, которые вдохновляли революцию, но одновременно всю жизнь использовал рабский труд, несмотря на словесное неприятие, и сомневался, что чернокожий человек «способен проследить и понять исследования Евклида». Хотя он и любил Евклида, он никогда не мог прямо взглянуть на это противоречие.

94

Это минимальная эйлерова характеристика для символов на вашей клавиатуре, если только у вас нет знака доллара, перечеркнутого двумя чертами (его эйлерова характеристика – 3), или символа командной клавиши на клавиатуре Apple (⌘), для которого она равна –4. Максимальная эйлерова характеристика на клавиатуре равна 2 для символов вроде! у которых два нульмерных отверстия и нет никаких других.

95

Snapchat – мобильное приложение обмена сообщениями с прикрепленными фото и видео. Прим. ред.

96

Должен добавить, что сохранение длины влечет за собой сохранение площади треугольников, поскольку два треугольника с одинаковыми сторонами конгруэнтны, а потому имеют одинаковую площадь; вы также можете воспользоваться красивой формулой Герона (названной так в честь математика Герона Александрийского), которая выражает площадь треугольника через его стороны.

97

Преобразования такого рода хорошо известны мультипликаторам, которые называют их сквош и стрейч (сжатие/растяжение) и уже почти век используют для того, чтобы объекты на экране выглядели достаточно «мультяшными».

98

Что он может поработить А.: из личных заметок, написанных до Гражданской войны. Michael Burlingame, Abraham Lincoln: A Life (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2013), 510.

99

Если вы желаете узнать настоящее определение идеи, которую я здесь несколько неточно обрисовал, то вам нужно искать слово гомеоморфизм. Впрочем, предупреждаю, что на пути к формальному определению вам понадобится познакомиться с некоторым количеством обозначений. [На самом деле треугольник легко непрерывно перевести в отрезок (например, спроектировав его на одну из собственных сторон). Но это не гомеоморфизм, поскольку для гомеоморфизма нужно и обратное преобразование, а вот с ним будут проблемы. Прим. пер.]

100

В 1904 году город Сент-Луис: информация о выставке взята большей частью из книги D. R. Francis, The Universal Exposition of 1904, vol. 1 (St. Louis: Louisiana Purchase Exposition Company, 1913).

101

Хелен Келлер – американская слепоглухая писательница и политическая активистка. Прим. пер.

102

Существуют признаки серьезного кризиса: “The Present and the Future of Mathematical Physics,” trans. J. W. Young, Bulletin of the American Mathematical Society 37, no. 1 (Dec. 1999): 25.

103

В целости и сохранности: Poincaré, “The Present and the Future,” 38.

104

Дерьмо: по-немецки Mist. Colin McLarty, “Emmy Noether’s first great mathematics and the culmination of first-phase logicism, formalism, and intuitionism.” Archive for History of Exact Sciences 65, no. 1 (2011), 113.

105

Она открыла методы: “Professor Einstein Writes in Appreciation of a Fellow-Mathematician,” New York Times, May 4, 1935, 12.

106

Человек-комар уже в пути: St. Louis Post-Dispatch, Sep. 17, 1904, 3.

107

Росс выступал во второй половине дня: время лекции Росса можно найти в работе Hugo Munsterberg, Congress of Arts and Science, Universal Exposition, St. Louis, 1904: Scientific Plan of the Congress (Boston: Houghton, Mifflin, 1905), 68.

108

Как раз тогда: D. R. Francis, The Universal Exposition of 1904, vol. 1 (St. Louis: Louisiana Purchase Exposition Company, 1913), 285.

109

Всеобъемлющий математический анализ: Ronald Ross, “The Logical Basis of the Sanitary Policy of Mosquito Reduction,” Science 22, no. 570 (1905): 689–99.

110

Если вы захотите найти нужные формулы и самостоятельно вычислить эту вероятность, то задача ставится так: «Какова вероятность того, что биномиальная случайная величина с p =0,5 и n = 200 примет значение, не меньшее 120?»

111

Автор, видимо, подразумевает актера Джона Склароффа, игравшего роль руководителя кафедры математики в МТИ. Прим. пер.

112

Клэм-чаудер – американский крем-суп из морепродуктов. Минестроне – итальянский суп из овощей. Прим. пер.

113

В одной статье 2018 года говорится: Houshmand Shirani-Mehr et al., “Disentangling Bias and Variance in Election Polls,” Journal of the American Statistical Association 113, no. 522 (2018): 607–14. Один из авторов – статистик из Колумбийского университета Эндрю Гельман, блог которого – раскаленный добела центр интернета, когда дело касается соленых статистических комментариев. Смотрите также популярное описание этой статьи двумя другими ее авторами: David Rothschild and Sharad Goel, “When You Hear the Margin of Error Is Plus or Minus 3 Percent, Think 7 Instead,” New York Times, Oct. 5, 2016.

114

Однако будьте осторожны. Внешне весьма похожее рассуждение: «Я много езжу пьяным и до сих пор никого не сбил, так что это не должно быть особо опасно» – может привести к плохим последствиям.

115

Еще на прошлой неделе: A. Prokop, “Nate Silver’s Model Gives Trump an Unusually High Chance of Winning. Could He Be Right?” Vox, Nov. 3, 2016; https://www.vox.com/2016/11/3/13147678/nate-silver-fivethirtyeight-trump-forecast.

116

FiveThirtyEight – сайт американского статистика Нейта Сильвера, анализирующий шансы в бейсболе, баскетболе и на выборах. Прим. пер.

117

Ван по профессии нейробиолог, а не математик, но для меня математиком является любой, кто в конкретный момент занимается математикой.

118

Я немного упростил. Ван тоже не отказывался от идеи корреляции, но просто счел ее слишком маленькой. После выборов он писал: «Пусть на выборах случилась неудача, но опросы четко показывали, насколько упорной была борьба. Я ошибся в июле: когда я настраивал свою модель, моя оценка для коррелированной ошибки на последней стадии выборов (которую также называют систематической неопределенностью) была слишком маленькой. Честно говоря, в тот момент этот параметр казался малозначимым. Однако в последние недели он стал важным».

119

Можем ли мы после 2016 года: The New Republic, Dec. 14, 2016.

120

Точнее, возродил староанглийское слово sibling, придав ему нужное значение. Позднее термин «сиблинг» вошел и в русский язык, хотя употребляется обычно только в научном контексте. Прим. пер.

121

Мистер Пирсон национализировал: Egon S. Pearson, “Karl Pearson: An Appreciation of Some Aspects of His Life and Work,” Biometrika 28, no. 3/4 (Dec. 1936): 206. Эгон Пирсон – сын Карла Пирсона.

122

Его харизма помогала ему: кроме отмеченного, биографические данные о Пирсоне в этих двух абзацах взяты из работы M. Eileen Magnello, “Karl Pearson and the Establishment of Mathematical Statistics,” International Statistical Review 77, no. 1 (2009): 3–29.

123

Хорошо зная Карла: письмо от 9 июня 1884 года цитируется по книге Pearson, “Karl Pearson,” 207.

124

Геометр Уильям Кингдом Клиффорд, возможно, известен не всем, но он был и остается крупной фигурой в математике и физике. В его честь названа алгебра – верный признак, что вы добились успеха. [Алгебра Клиффорда – обобщение комплексных чисел, кватернионов Гамильтона и других систем чисел. Прим. пер.]

125

Клиффорд также был профессором Университетского колледжа Лондона. Прим. пер.

126

Если бы у меня была: письмо от 12 ноября 1884 года цитируется по работе M. Eileen Magnello, “Karl Pearson and the Origins of Modern Statistics: An Elastician Becomes a Statistician,” New Zealand Journal for the History and Philosophy of Science and Technology 1 (2005); http://www.rutherfordjournal.org/article010107.html.

127

Как комар Росса!

128

Грешэм-колледж не принимает студентов и не выдает дипломов. По завещанию купца Томаса Грешэма, профессора должны читать бесплатные лекции для всех желающих. Изначально профессоров было семь (астрономия, богословие, геометрия, музыка, право, риторика, физика), но сейчас добавили еще три области (бизнес, экология, информационные технологии); кроме того, для лекций приезжают приглашенные профессора. Прим. пер.

129

Однажды он швырнул на пол: M. Eileen Magnello, “Karl Pearson’s Gresham Lectures: W. F. R. Weldon, Speciation and the Origins of Pearsonian Statistics,” British Journal for the History of Science 29, no. 1 (Mar. 1996): 47–48.

130

Я полагаю, что: Pearson, “Karl Pearson,” 213.

131

Для книги по геометрии это прекрасный пример, но об этом я уже писал в другой книге; если она у вас под рукой, прочитайте прямо сейчас страницы 411–421, а затем возвращайтесь сюда. [Элленберг Д. Как не ошибаться. Сила математического мышления. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2021.]

132

Примерно в то же время вследствие своего интереса к грандиозным социальным схемам Пирсон стал сторонником евгенических «улучшений» британского населения и наследственности психических характеристик. В одном из первых выпусков журнала Biometrika содержится исчерпывающее сравнение братьев и сестер среди тысяч школьников, каждого из которых он оценивал по бодрости, настойчивости, самоанализу, популярности, добросовестности, нраву и почерку.

133

К сожалению, я чувствовал: Pearson, “Karl Pearson,” 228.

134

Мне кажется, здесь, как всегда: письмо от 11 февраля 1895 года цитируется по работе Stephen M. Stigler, The History of Statistics (Cambridge: The Belknap Press of Harvard University Press, 1986), 337.

135

Но я ужасно боюсь: письмо от 6 марта 1895 года цитируется по работе Stigler, History of Statistics, 337.

136

Математическая постановка: “Karl Pearson and Sir Ronald Ross,” Library and Archives Service Blog, blogs.lshtm.ac.uk/library/2015/03/27/karl-pearson-and-sir-ronald-ross.

137

Урок решения: Karl Pearson, “The Problem of the Random Walk,” Nature 72 (August 1905), 342.

138

Но разве мы только что не сказали, что типичное преодоленное расстояние пропорционально квадратному корню из числа дней, которое вовсе не равно нулю? Да, тут есть определенная тонкость. Предположим, что комар летал некоторое время, и самое вероятное расстояние от дома равно, например, 10 км. Однако точки в 10 км от исходной образуют окружность, а точки в 0 км от исходной – это просто исходная точка. Поэтому шансы оказаться где-то в районе этой окружности больше, чем шансы оказаться где-то рядом с домом, однако шансы оказаться рядом с какой-то конкретной точкой этой окружности меньше, чем шансы оказаться рядом с домом.

139

Он пытался: по крайней мере, так говорит Бернар Брю в работе Murad S. Taqqu, “Bachelier and His Times: A Conversation with Bernard Bru,” Finance and Stochastics 5, no. 1 (2001): 5, откуда взята большая часть информации. Жан-Мишель Курто и другие авторы работы “Louis Bachelier on the Centenary of Theorie de la Speculation,” Mathematical Finance 10, no. 3 (July 2000): 341–53, указывают на с. 343, что оценки Башелье были вполне хорошими.

140

Дрейфуса осудили и приговорили к пожизненному заключению в 1894 году. У автора речь идет о пересмотре дела в 1899 году, когда виновность подтвердили, но срок снизили до 10 лет в силу смягчающих обстоятельств. В 1906 году очередной суд оправдал капитана. Прим. пер.

141

Дрейфуса все равно признали виновным: весь материал по делу Дрейфуса взят из книги Gray, Henri Poincaré, 166–69.

142

Можно было опасаться: Courtault et al., “Louis Bachelier on the Centenary of Théorie de la Spéculation,” 348.

143

В итоге Башелье получил должность: история Башелье взята из книги Taqqu, “Bachelier and His Times,” 3–32.

144

Издана на русском языке: Мэлкил Б. Случайная прогулка по Уолл-стрит. Минск: Попурри, 2006. Прим. пер.

145

Во «фрагменте сфинкса»: Robert Brown, “XXVII. A Brief Account of Microscopical Observations Made in the Months of June, July and August 1827, on the Particles Contained in the Pollen of Plants; and on the General Existence of Active Molecules in Organic and Inorganic Bodies,” Philosophical Magazine 4, no. 21 (1828): 167.

146

В «Академии» читали: материал об «Олимпийской академии» взят из введения Мориса Соловина к книге Albert Einstein, Letters to Solovine, 1906–1955 (New York: Philosophical Library/Open Road, 2011). В качестве первой прочитанной книги Соловин ссылается на неуказанную «научную работу Карла Пирсона», однако другие источники говорят, что это была «Грамматика науки».

147

На самом деле Пуанкаре в Риме заболел, и его доклад «Будущее математики» на конгрессе прочитал Жан Гастон Дарбу. Прим. пер.

148

Некрасов резко противится: факты и цитаты о Некрасове взяты из работы E. Seneta, “The Central Limit Problem and Linear Least Squares in Pre-Revolutionary Russia: The Background,” Math Scientist 9 (1984): 40.

149

Став сначала ректором: E. Seneta, “Statistical Regularity and Free Will: L. A. J. Quetelet and P. A. Nekrasov,” International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique 71, no. 2 (Aug. 2003): 325.

150

Отец Маркова – Андрей Григорьевич Марков – был, как и Некрасов, выпускником семинарии и государственным чиновником. Делайте из этого какой угодно вывод, поклонники психоанализа.

151

А также Боевой Академик. Прим. пер.

152

В знак протеста против: G. P. Basharin, A. N. Langville, and V. A. Naumov, “The Life and Work of A. A. Markov,” Linear Algebra and Its Applications 386 (2004): 8.

153

Некрасов ушел в отставку еще в 1908 году. После революции он, наоборот, вернулся на работу в Московский университет и стал преподавать. Прим. пер.

154

Решительное стремление: E. Seneta, “Statistical Regularity and Free Will,” 331.

155

Наконец я получил обувь: история с обувью взята из работы Basharin et al., “The Life and Work of A. A. Markov,” 8. Связь отправителей обуви с партией взята из работы N. Kremenstov, “Big Revolution, Little Revolution: Science and Politics in Bolshevik Russia,” Social Research 73, no. 4 (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2006): 1173–1204.

156

Это заявление Марков сделал на заседании физико-математического отделения Академии наук 25 мая 1921 года. Цитируется по книге: Гродзенский С. Андрей Андреевич Марков. М.: Наука, 1987. Прим. пер.

157

Статистика поведения и действий людей: E. Seneta, “Statistical Regularity and Free Will,” 322–23.

158

Но необязательно в согласии с гауссовым распределением, как в случае подбрасывания монеты. Прим. науч. ред.

159

Разумеется, в статье Маркова не было ни слова о комарах, он работал в других терминах. Прим. пер.

160

Математики записывают это так: P(St + 1 | St, St – 1, St – 2, …, S_1) = P(St + 1 | St). Иными словами, вероятность того, что в момент времени t + 1 система находится в состоянии St + 1, при условии, что в предыдущие моменты она была в состояниях St, St – 1, St – 2, …, S_1, равна вероятности того, что в момент t + 1 система находится в состоянии St + 1, при условии, что в предыдущий момент она была в состоянии St. Все остальные предыдущие состояния не оказывают на вероятность никакого влияния. [Точнее, это цепь Маркова первого порядка. Естественное обобщение, которое также называют цепями Маркова, – считать, что состояние сейчас зависит от состояния в k предыдущих моментов: это будет цепь Маркова k-го порядка. Прим. науч. ред.]

161

Можно рассматривать и цепи Маркова с бесконечным числом состояний, и при определенных условиях предельные вероятности для них тоже существуют. Прим. пер. [Да, это будет называться марковский процесс. Прим. науч. ред.]

162

Что, конечно же, видел ее: Basharin et al., “The Life and Work of A. A. Markov,” 13.

163

Питер Норвиг, директор по исследованиям: P. Norvig, “English Letter Frequency Counts: Mayzner Revisited, or ETAOIN SRHLDCU,” 2013; norvig.com/mayzner.html. Частоты некоторых диграмм и триграмм взяты из более ранней статьи Норвига Natural Language Corpus Data в работе T. Segaran and J. Hammerbacher, eds., Beautiful Data (Sebastopol, CA: O’Reilly, 2009).

164

На первом месте TH, затем HE и IN. Однако обратите внимание, что это вовсе не закон природы: в другом наборе текстов, который Норвиг собрал в 2008 году, IN потеснило TH с первого места, а в пятерке лидеров – ER, RE и HE. Каждый набор обладает несколько различной частотой биграмм.

165

Соответственно: определенный артикль, там, этот, тот, свет, пепельница. Прим. пер.

166

Текст оригинала: Once you’re here… Прим. пер.

167

Инженер и математик Клод Шеннон первым понял: Claude E. Shannon, “A Mathematical Theory of Communication,” Bell System Technical Journal 27, no. 3 (1948): 388.

168

Для русского языка аналогичные эксперименты проводил Роланд Львович Добрушин. Для цепи Маркова порядка 3 у него получилось «ВЕСЕЛ ВРАТЬСЯ НЕ СУХОМ И НЕПО» (Добрушин Р. Математические методы в лингвистике. Математическое просвещение, 1961, вып. 6). Прим. науч. ред.

169

Вот текст, который: весь текст на основе цепей Маркова был создан невероятно забавной программой Брайана Хайеса Drivel Generator («Генератор бреда»), которая доступна по адресу: http://bit-player.org/wp-content/extras/drivel/drivel.html. Данные об именах взяты у Администрации социального обеспечения США. Более серьезная попытка «марковизовать» сочинение детских имен требует учета частоты их использования; я же просто взял полный список имен, не обращая никакого внимания на их популярность. Смотрите работу Brian Hayes, “First Links in the Markov Chain,” American Scientist 101, no. 2 (2013): 252, которая охватывает ряд вопросов этого раздела, а также содержит отличные иллюстрации.

170

Но шрифт naftalene так назвали. Прим. науч. ред.

171

А вот как выглядит реальный сгенерированный русский текст на основе текста этой книги по семеркам букв: «Какой бы ни огорчатся, если бы взять букву с вероятно, могу заявить, что каждый мой ход ведет в позиций прием. Назад дороги почти все петли можно повернутый два разных концах подковы утверждении, что любили этого потребовалось не меняется. На этой поверхности психических центра этих данных, как метафорой ранее, с заражение умение убеждение: сплошной шар радиусом километр на северо-восточной боли усилия на более предложите этот вариантов». Прим. ред. [Если же сделать цепь Маркова, символами в которой будут не буквы, а слова, и обучить ее на большом корпусе соответствующей литературы, то получится алгоритм SciGen для написания случайных «научных» статей. При помощи этой программы была написана статья, опубликованная в журнале, выдававшем себя за научный: Жуков М. Корчеватель: Алгоритм типичной унификации точек доступа и избыточности. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов (2008) № 8. Прим. науч. ред.]

172

Хоумран – удачный удар в бейсболе, позволяющий атакующей команде совершить пробежку. Бейбу Руту принадлежит рекорд Главной лиги бейсбола по количеству хоумранов за карьеру (714). Прим. пер.

173

Английские шашки (чекерс) отличаются от русских: простые шашки могут бить только вперед, а дамки ограничены в ходах. Прим. пер.

174

О, как она гоготала: L. Renner, “Crown Him, His Name Is Marion Tinsley,” Orlando Sentinel, Apr. 27, 1985.

175

Начиная с 1944 года: G. Belsky, “A Checkered Career,” Sports Illustrated, Dec. 28, 1992.

176

В 1975 году он проиграл: биографический материал о ранней жизни Тинсли в основном взят из книги Jonathan Shaeffer, One Jump Ahead (New York: Springer-Verlag, 1997), 127–33.

177

Если учитывать все официальные партии, то с 1950 года Тинсли проиграл пять партий людям и еще две – компьютерной программе «Чинук», о чем будет сказано ниже. Прим. пер.

178

Его стиль – непобедимость: Renner, “Crown Him, His Name Is Marion Tinsley.”

179

У меня просто нет стресса и напряжения: Schaeffer, One Jump Ahead, 1.

180

Однако машине потребовалось еще: Schaeffer, One Jump Ahead, 194.

181

Шеффер, который тогда делал ходы за свою программу, писал: «Я еще не успел отпустить шашку, когда Тинсли поднял с удивлением глаза и сказал: “Ты пожалеешь об этом”. Будучи неопытным в общении с великим Тинсли, я сидел и молча думал: “Откуда он знает? Моя программа смотрит на 20 ходов вперед и говорит, что у нее преимущество”. Через несколько ходов оценка “Чинука” упала до равенства. Еще через несколько она утверждала, что у Тинсли лучше. Потом заявила, что у нее неприятности. Наконец, ситуация стала такой плохой, что мы сдались. Комментируя партию, Тинсли сказал, что видел весь ход игры до конца и знал, что победит, с 11-го хода – следующего после нашей ошибки. “Чинуку” нужно было смотреть на 60 ходов вперед, чтобы знать, что десятый ход проигрывает». Прим. пер.

182

Никто не был счастлив: цитируется по работе J. Propp, “Chinook,” American Chess Journal, November 1997; http://www.chabris.com/pub/acj/extra/Propp/Propp01.html.

183

В 1995 году «Чинук» защитил титул, победив Дона Лафферти (1 победа и 31 ничья). После этого Шеффер решил больше не играть с людьми, а сосредоточился на том, чтобы полностью решить игру. В 2007 году было объявлено, что цель достигнута. При правильной игре в чекерс всегда получается ничья. Прим. пер.

184

Акбар и Джефф – персонажи комикса Мэтта Грейнинга «Жизнь в аду». Прим. пер.

185

Пусть Акбар и Джефф: Matt Groening, Life in Hell, 1977–2012.

186

Таковы уж математики; как только мы получаем метафору, мы выжимаем из нее всю кровь до последней капли. Но дальше лесная терминология не заходит: у математического дерева нет коры, сучков, ксилемы и флоэмы. Впрочем, группа деревьев действительно называется лесом.

187

Ветвление артерий: это рисунок 6 из работы Ronald S. Chamberlain, “Essential Functional Hepatic and Biliary Anatomy for the Surgeon,” IntechOpen, Feb. 13, 2013; https://www.intechopen.com/books/hepatic-surgery/essential-functional-hepatic-and-biliary-anatomy-for-the-surgeon.

188

Тут поучительно вспомнить, что у дерева ветвятся не только ветки, но и корни, а у реки, помимо системы притоков, часто бывает дельта. Прим. науч. ред.

189

Обратимся к порокам: взято из Walters Art Gallery, http://www.thedigitalwalters.org/Data/WaltersManuscripts/W72/data/W.72/sap/W72_000056_sap.jpg.

190

Сладострастие, распутство и безнравственность соответственно. Прим. науч. ред.

191

Когда вы слышите «шотландец XIX века» и «офицер времен Гражданской войны», то, вероятно, думаете: «Готов поспорить, что у этого парня была великолепная борода». И должен сказать, вы не ошибаетесь.

192

Мне тоже пришлось искать объяснение. Это рабочие, которые чистят и смазывают части двигателя.

193

«Сад расходящихся тропок» (El jardín de senderos que se bifurcan) – рассказ Хорхе Луиса Борхеса. Прим. науч. ред.

194

На самом деле существует более общее понятие, нежели дерево, – так называемый ориентированный ациклический граф, который более точно отражает ситуацию: в таком графе ветви могут соединяться, но циклов при этом не образуется, потому что по ветвям можно двигаться только в одном направлении. Представьте генеалогическое древо аристократа, родители которого могут иметь общего прадеда или прабабку, а то и нескольких. Анализ ориентированных ациклических графов может оказаться несколько более неприятным делом, чем анализ деревьев, однако большая часть того, о чем мы рассказываем в этой главе, к ним тоже применима.

195

Последняя фраза выглядит очевидной, и в некотором роде так и есть, однако стоит немного задуматься, что утверждение стало бы неверным, если бы я пропустил слово «положительных»: как насчет 2, 1, 0, –1, –2, –3…? А если бы не было слова «целых», то и насчет 1, 0,1, 0,01, 0,001…?

196

Что любое целое число: Ahmet G. Agargün and Colin R. Fletcher, “Al-Fārisī and the Fundamental Theorem of Arithmetic,” Historia Mathematica 21, no. 2 (1994): 162–73.

197

«Дружественность» тут означает не отношения с друзьями, а свойство натуральных чисел. Два числа называются дружественными, если сумма собственных (то есть не равных самому числу) делителей первого числа равна второму числу, а сумма собственных делителей второго числа равна первому числу. Это интересная история, но я не вижу в ней геометрии, так что подожду до другого раза.

198

«Когда же три числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее есть телесное, стороны же его – перемножаемые между собой числа». «Начала», книга VII. Перевод Д. Мордухай-Болтовского. Прим. пер.

199

Упражнение для читателя: можете ли вы объяснить, почему это утверждение следует из предыдущего?

200

Впервые она упоминается: L. Rougetet, “A Prehistory of Nim,” College Mathematics Journal 45, no. 5 (2014): 358–363.

201

Dallas Cowboys – американский футбольный клуб (американский футбол) из техасского города Арлингтон. Прим. пер.

202

Упражнение 2: сколько флагов из девяти надо было им взять? Сейчас мы ответим на этот вопрос.

203

Одну из тех выносливых микробных спор: W. Fajardo-Cavazos et al., “Bacillus Subtilis Spores on Artificial Meteorites Survive Hypervelocity Atmospheric Entry: Implications for Lithopanspermia,” Astrobiology 5, no. 6 (Dec. 2005): 726–36; www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/16379527.

204

На языке теории чисел можно сказать, что вам нужно взять остаток от деления текущего числа флагов на 4.

205

И раз уж вы оказались здесь – довольно далеко в этой книге, то я полагаю, что мы это допустили?

206

«Выстрел по луне» (shooting the moon) – ситуация в «Червах», когда игрок собирает все очковые карты за раунд и получает 0 очков, а все противники получают по 26 очков. Поскольку цель игры – набрать минимум очков, то игрок, «выстреливший по луне», получает большое преимущество. Прим. пер.

207

Болезненно удручающую: Jessica Wang, “Science, Security, and the Cold War: The Case of E. U. Condon,” Isis 83, no. 2 (1992): 243.

208

Что касается новинок, то компания Westinghouse: “Fair’s Ticket Sale Is ‘Huge Success,’ with Late Rush On,” New York Times, May 6, 1940, 9. После материала о «Ниматроне» идет объявление, что на ярмарке в специальном стеклянном будуаре будет показана Элси, «корова-звезда завтрашнего молочного мира компании Borden».

209

Вовсе не китайской, как мы убедились выше!

210

Большую часть поражений: E. U. Condon, “The Nimatron,” American Mathematical Monthly 49, no. 5 (1942): 331.

211

Алан Тьюринг, работавший: S. Barry Cooper and J. Van Leeuwen, Alan Turing (Amsterdam: Elsevier Science & Technology, 2013), 626.

212

Читатель вполне может спросить: Cooper and Van Leeuwen, Alan Turing.

213

На этой иллюстрации тоже есть несколько разных вещей с одним и тем же названием. Симметрия игры позволяет считать, что все первые ходы в угол одинаковы и все первые ходы в середину стороны – тоже, поэтому у нас на первом ходу не девять вариантов, а всего три. [Среди вторых ходов тоже есть одинаковые. Прим. науч. ред.]

214

Самая длинная из когда-либо сыгранных турнирных игр: о самой длинной теоретически возможной партии ведутся споры, но чаще всего звучит число 5898. В 1989 году в Белграде Иван Николич и Горан Арсович сыграли партию из 269 ходов. В обычной шахматной нотации ход включает по одному движению фигур каждого из игроков, так что путь на дереве, соответствующий этой партии, в реальности состоит из 538 отрезков.

215

Если проявить педантичность, то, строго говоря, дерево для шашек не конечно, поскольку в английских шашках нет четких правил фиксации ничьей. Если два игрока захотят бесконечно ходить дамками, в принципе им ничто не помешает. На практике шашисты соглашаются на ничью, если видят, что ни один не может победить.

216

Написания стихотворения, отражающего: Robert Lowell, “For the Union Dead” (1960), из его книги 1964 года с тем же названием. Вы можете прочитать это стихотворение на сайте: https://www.poetryfoundation.org/poems/57035/for-the-union-dead.

217

Четыре в ряд: этот факт почти одновременно доказали в 1888 году Джеймс Аллен и Виктор Эллис. Смотрите магистерскую работу Эллиса. Victor Allis. 1988. “A Knowledge-based Approach of Connect-Four – The Game is Solved: White Wins.” Masters thesis. Vrije Universiteit, Amsterdam.

218

Одну из первых серьезных работ: Claude E. Shannon, “XXII. Programming a Computer for Playing Chess,” London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 41, no. 314 (1950): 256–75.

219

Можете просто держать под рукой такую табличку: иллюстрация из статьи C. J. Mendelsohn, “Blaise de Vigenère and the Chiffre Carré,” Proceedings of the American Philosophical Society 82, no. 2 (Mar. 22, 1940): 107.

220

Под поворотом против часовой стрелки подразумевается, что, например, на место буквы I встает буква K. Но с равным успехом можно трактовать, что при сдвиге происходит поворот по часовой стрелке и буква I сдвигается в то положение, где была буква K. Прим. пер.

221

Как отмечал сам Стиглер, закон Стиглера: Stephen M. Stigler, “Stigler’s Law of Eponymy,” Transactions of the New York Academy of Sciences 39 (1980): 147–58.

222

В российской традиции эта закономерность носит имя Владимира Игоревича Арнольда. Точнее: «Принцип Арнольда. Если какое-либо понятие имеет персональное имя, то это – не имя первооткрывателя. Принцип Берри. Принцип Арнольда применим к самому себе». (Арнольд В. О преподавании математики. Успехи математических наук (1998), т. 53, вып. 1 (319)). Прим. науч. ред.

223

Виженер был благородного происхождения: почти вся информация о Виженере взята из книги Mendelsohn, “Blaise de Vigenère and the Chiffre Carré”.

224

Изложенные в 1553 году: A. Buonafalce, “Bellaso’s Reciprocal Ciphers,” Cryptologia 30, no. 1 (2006): 40–47.

225

Таким изумительным совершенством: Mendelsohn, “Blaise de Vigenère and the Chiffre Carré,” 120.

226

Но здесь ситуация иная. Виженер был знаком с трудом Беллазо (и работами других криптографов) и просто описал известные ему приемы в своей книге. Прусский офицер Фридрих Касиски опубликовал свой метод в 1863 году, разработав его независимо от Бэббиджа, а приоритет Бэббиджа установили только в 1985 году. Прим. пер.

227

Надежных способов разгадать шифр: C. Flaut et al., “From Old Ciphers to Modern Communications,” Advances in Military Technology 14, no. 1 (2019): 81.

228

Джефферсон Дэвис – первый и единственный президент Конфедеративных Штатов Америки. Прим. пер.

229

By which you may: William Rattle Plum, The Military Telegraph During the Civil War in the United States: With an Exposition of Ancient and Modern Means of Communication, and of the Federal and Confederate Cipher Systems; Also a Running Account of the War Between the States, vol. 1 (Chicago: Jansen, McClurg, 1882), 37.

230

Уместно напомнить о разнице в русском языке между понятиями «расшифровка» и «дешифровка», которые часто путают. Оба понятия противоположны шифрованию, но между ними есть разница. Расшифровка (расшифровывание) – это перевод шифрованного сообщения в исходный текст с помощью ключа (так сказать, законный способ). Дешифровка (дешифрование) – это восстановление исходного текста без ключа – только по шифрованному сообщению (так сказать, доступ со стороны). Прим. пер.

231

Шеба – персонаж комикса Мэтта Грейнинга «Жизнь в аду». Прим. пер.

232

До 1990-х никто: Nigel Smart, “Dr Clifford Cocks CB,” honorary doctorate citation, University of Bristol, Feb. 19, 2008; http://www.bristol.ac.uk/graduation/honorary-degrees/hondeg08/cocks.html.

233

Matthew Flynn, Pryme Knumber, Dailey Swan Pub., 2012. Прим. пер.

234

Подросток Берни Вебер: из романа писателя и кандидата в губернаторы Висконсина Мэтта Флинна Pryme Knumber, появившегося в 2012 году. В сиквеле 2017 года Берни доказывает гипотезу Римана и вынужден бежать от китайской разведки. Почему этот текст смешной? Нельзя разложить простые числа на множители – они простые!

235

Потому что действительно был деревенским парнем, который приводил стада в Эдинбург и облапошивал там городских пижонов, ставя на то, что обыграет их десять раз на каждую проигранную партию. И действительно обыгрывал.

236

Причем двадцать восемь: Brian Christian, The Most Human Human (New York: Doubleday, 2011), 124. Кристиан, как и многие другие источники, указывает, что было 40 партий, из которых совпадала 21, но многие люди на форумах, посвященных шашкам, сейчас считают, что правильно 28/50.

237

Либер – одноклассник Эйсы Лонга в Толедо, который явно был Сан-Педро-де-Макорисом для сильных шашистов. [Сан-Педро-де-Макорис – город в Доминиканской Республике, известный тем, что в нем родилось большое количество профессиональных бейсболистов. Прим. пер.]

238

Можно устраивать забавную салонную игру «Шашечный дебют или горнолыжный склон умеренной сложности?».

239

То же самое характерно и для русских шашек, и для международных (стоклеточных). Прим. пер.

240

В целом я неуверенный в себе человек: Jim Propp, “Chinook,” American Chess Journal (1997), первоначально опубликовано на сайте ACJ; http://www.chabris.com/pub/acj/extra/Propp/Propp01.html.

241

Мой программист лучше: цитируется по работе The Independent, Aug. 17, 1992; из книги Schaeffer, One Jump Ahead, 285.

242

Педантично уточню: дерево будет конечным, если вы, как в шахматах, добавите правило, что троекратное повторение позиции означает ничью. Шеффер сделал именно так.

243

В отличие от русских шашек, где нотация совпадает с шахматной, в английских шашках используют числовую нотацию, где пронумерованы только черные поля – от 1 до 32, сверху вниз и слева направо. Первый ход 11–15 соответствует ходу f6–e5 (в английских шашках первыми ходят черные). Прим. пер.

244

Даже если я буду: “Go Master Lee Says He Quits Unable to Win Over AI Go Players,” Yonhap News Agency, Nov. 27, 2019; en.yna.co.kr/view/AEN20191127004800315.

245

Зал закрылся в 2006 году: “Checkers Group Founder Pleads Guilty to Money Laundering Charges,” Associated Press State & Local Wire, June 30, 2005; https://advance-lexis-com/api/document?collection=news&id=urn: contentItem:4GHN-NTJ0-009F-S3XV-00000-00&contex =1516831.

246

Конечно, я очень не люблю: “King Him Checkers? Child’s Play. Unless You’re Thinking 30 Moves Ahead. Like a Mathematician. This Mathematician,” Orlando Sentinel, Apr. 7, 1985.

247

Я не считаю компьютеры противниками: Martin Sandbu, “Lunch with the FT: Magnus Carlsen,” Financial Times, Dec. 7, 2012.

248

Человеческие шахматы: цитируется по подкасту Conversations with Tyler (podcast), episode 22, May 2017.

249

Я был поражен: цитируется по подкасту Conversations with Tyler (podcast), episode 22, May 2017.

250

Строго говоря, жемчуг – это не камень, он вообще не относится к минералам. Однако по традиции его с древности причисляют к драгоценным камням. Прим. пер.

251

Это прекрасно соответствует определению конгруэнтности (равенства), с которым мы встречались в главе 1, когда фигуры называются конгруэнтными (равными), если вы можете перевести одну в другую с помощью поворота или иного движения.

252

Для педантов уточним: наименьшее число больше нуля.

253

Не при каждом, а при каждом втором, четвертом и восьмом соответственно. Кого будет есть хищник в оставшиеся годы, непонятно. Прим. науч. ред.

254

Выводок – это группа периодических цикад с общим началом цикла. Теоретически возможно 17 выводков, которые традиционно нумеруются от I до XVII (но на самом деле не все варианты реализуются). Выводок I последний раз появлялся в 2012 году, а следующий раз появится в 2029, выводок II – в 2013-м и 2030-м и так далее. Большой восточный выводок, о котором пишет автор, – это выводок X, его прошлое появление было в 2004 году. При этом разные выводки появляются в разных местах США. Прим. пер.

255

Существуют также периодические цикады с периодом в 13 лет, их выводки нумеруются от XVIII до XXX, хотя реально их не 13 выводков, а меньше. Прим. пер.

256

На самом деле это всего лишь один из частных случаев теоремы Ферма. В реальности для любого числа m, а не только числа 2, число mp при делении на p дает остаток m.

257

Впервые он сформулировал малую теорему в 1640 году: Colin R. Fletcher, “A Reconstruction of the Frénicle-Fermat Correspondence of 1640,” Historia Mathematica 18 (1991): 344–51.

258

Совершенное число – это число, сумма делителей которого (не считая самого числа) равна этому числу. Например, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Для современных математиков их очарование довольно неясно, но Евклид их любил, что дало им определенный статус в глазах первых специалистов по теории чисел. Приятно превзойти Евклида.

259

Если бы оно не было таким длинным: André Weil, Number Theory: An Approach Through History from Hammurabi to Legendre (Boston: Birkhäuser, 1984), 56.

260

Это было предположение о числах: A. J. Van Der Poorten, Notes on Fermat’s Last Theorem (New York: Wiley, 1996), 187.

261

О драматической истории этого доказательства см.: Сингх С. Великая теорема Ферма. М.: МЦНМО, 2000. Прим. науч. ред.

262

Брат философа Симоны Вейль, но в математических кругах она – сестра Андре.

263

Едва ли могут оставаться: Weil, Number Theory, 104.

264

Поскольку по тону писем понятно: Вейль предполагает, что эти двое хитрили и скрывали друг от друга самые свои сложные теоремы, а возможно, даже намеренно вводили друг друга в заблуждение, чтобы противник не взял верх. Weil, Number Theory, 63.

265

Надо отметить: проверить тот факт, что это число составное, – не самое простое дело. Это обнаружил только Эйлер в 1732 году. Прим. пер.

266

Почему это легче? Нам надо примерно триллион умножений двойки на себя, что кажется крайне затратным по времени. Однако существует умный метод (под названием бинарный, или быстрый алгоритм возведения в степень), который позволяет выполнять эту операцию действительно быстро. Однако здесь на полях слишком мало места, чтобы я мог объяснить его.

267

Например, подержанному Chevy Cavalier, на котором я ездил с 1998 по 2002 год, пока он окончательно не сломался на пункте сбора пошлины у моста через реку Делавэр на платной автодороге Нью-Джерси. Мысленно я все еще ощущаю запах ковриков на полу. Я так и не нашел протечку.

268

В общем виде ситуация выглядит следующим образом. Пусть A– – это отрицание A. Предположим, что исходное утверждение: A⇒B (читается: «из A следует B»). Тогда противоположное утверждение: A–⇒B–; обратное утверждение: B⇒A; контрапозитивное утверждение: B–⇒A–. Прим. пер.

269

Шорт-стоп – игровая позиция в бейсболе. Келвин Кел Рипкен – младший – один из лучших бейсболистов в истории, игравших на этой позиции. Прим. пер.

270

Точнее, китайская гипотеза – это оба утверждения сразу: число n является простым тогда и только тогда, когда 2n делится на n. В одну сторону это верно (частный случай малой теоремы Ферма), в другую – неверно. Прим. пер.

271

От стойкого и ошибочного утверждения: Qi Han and Man-Keung Siu, “On the Myth of an Ancient Chinese Theorem About Primality,” Taiwanese Journal of Mathematics 12, no. 4 (July 2008): 941–49.

272

По-видимому, восходит к короткой заметке: J. H. Jeans, “The Converse of Fermat’s Theorem,” Messenger of Mathematics 27 (1898): 174.

273

Тот самый человек, который спустя семь лет боролся с квантовой физикой на страницах журнала Nature по соседству с вопросом Карла Пирсона о случайных блужданиях.

274

Строго говоря, слово «китайская» в названии гипотезы полностью оправданно. Да, древние китайцы действительно ничего не знали об этой теореме (им было вообще чуждо понятие простых чисел). Однако это утверждение сделал китайский математик XIX века Ли Шаньлань, и впервые оно упомянуто в 1869 году в журнале Notes And Queries On China and Japan, выходившем в Гонконге. Заметку под названием «Китайская теорема» написал не сам Ли Шаньлань, а знакомый с ним британский миссионер Александр Уайли, впечатленный этим результатом. История заблуждения подробно изложена в статье, указанной автором книги в примечаниях. Прим. пер.

275

На самом деле Эдгар По написал эссе «Шахматный игрок Мельцеля», в котором разоблачал обман. Прим. пер.

276

Скрытого внутри механизма: история механического турка широко известна; например, подробно изложена в книге Tom Standage, The Turk: The Life and Times of the Famous Eighteenth-Century Chess-Playing Machine (New York: Berkley, 2002). Самую интересную историю об автомате рассказывает Тьюринг в статье Digital Computers Applied to Games в книге Faster Than Thought, ed. B. V. Bowden (London: Sir Isaac Pitman & Sons, 1932): махинация обнаружилась, когда кто-то заорал «Пожар!» во время партии и человек, сидевший в автомате, помчался к выходу. Я не смог найти никаких убедительных подтверждений подлинности этой истории, поэтому она перенесена в примечания.

277

Для полноты картины я должен признать, что текст о вороне несколько неясен, и толкователям пришлось дополнить историю деталями. Согласно жившему в III веке знатоку Торы (и разбойнику в молодости) Решу Лакишу (трактат «Санхедрин», 108b), ворон вообще не искал никакой суши. Описание «отлетал и прилетал» относилось разве что к небольшой области вокруг ковчега, где он мог не спускать глаз с Ноя, который, как думала подозрительная птица, отослал его искать землю в качестве предлога, чтобы заняться прелюбодеянием с миссис Ворон. Всегда читайте комментарии, там найдутся дикие вещи. [На самом деле Реш Лакиш приписывает птице сразу два опасения. «Ворон сказал ему [Ною]: “Твой Господин Бог ненавидит меня, и ты ненавидишь меня. Твой Господин ненавидит меня, поскольку приказал взять кошерных животных по семь пар, а некошерных по две пары. Ты же ненавидишь меня, поскольку игнорируешь виды по семь пар и вместо этого отправляешь вид, где две пары. Если ангел тепла или ангел холода навредит мне и убьет меня, не будет ли в мире нехватки в одном виде, поскольку останется только одна пара воронов? А может, ты отправляешь меня, потому что тебе нужна моя жена, чтобы совокупиться с нею?”» Прим. пер.]

278

В оригинале формулировка Паскаля была иной. В его варианте игроки А и В начинали с нуля, однако если А выбрасывал нужное число очков (11), то А получал очко, если у противника В в этот момент было 0 очков; если же у В было ненулевое число очков, то не А добавлял себе очко, а оно списывалось у В. Аналогично и с игроком В, которому требовалось выбросить 14 очков. Иными словами, отстающий игрок всегда имеет 0 очков. Победителем объявлялся тот, кто первым наберет 12 очков. Требовалось найти шансы А и В на победу. Прим. пер.

279

Оказалось: вся информация о задаче о разорении игрока и переписке Паскаля и Ферма взята из работы A. W. F. Edwards, “Pascal’s Problem: The ‘Gambler’s Ruin’,” International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique 51, no. 1 (Apr. 1983): 73–74.

280

Вы можете заметить, что эта игра несколько отличается от исходной проблемы разорения игрока; в задаче, которую изучали Паскаль и Ферма, требовалось добиться преимущества в 12 очков, а не просто первым выиграть 12 партий. Но детский пример проще анализировать.

281

Фанаты тенниса заметят, что из-за поочередной подачи случайное блуждание несколько усложняется. Это верно, но существенно не влияет на природу рассматриваемой математики.

282

Первые четыре сета они сыграли 22 июня. Матч был остановлен из-за темноты и продолжен 23 июня. Прим. пер.

283

Наконец, очередной удар Изнера: Alexandre Sokolowski, “June 24, 2010: The Day Marathon Men Isner and Mahut Completed the Longest Match in History,” Tennis Majors, June 24, 2010; https://www.tennismajors.com/our-features/on-this-day/june-24-2010-the-day-marathon-men-isner-and-mahut-completed-the-longest-match-in-history-267343.html.

284

Ничего подобного больше не повторится: Greg Bishop, “Isner and Mahut Wimbledon Match, Still Going, Breaks Records,” New York Times, June 23, 2010.

285

Рекорд этого матча не будет побит, поскольку в 2019 году на Уимблдоне изменили правила. Теперь даже в решающем сете играется тай-брейк, а преимущество в два гейма не требуется. Теоретически тай-брейк тоже может длиться очень долго (в нем нужно иметь преимущество в два очка), но вероятность получить преимущество в два очка гораздо больше, чем преимущество в два гейма, так что тай-брейки намного короче. Прим. пер.

286

Большинство спортивных турниров: материалы об альтернативных форматах Мировой серии взяты из работы J. Ellenberg, “Building a Better World Series,” Slate, Oct. 29, 2004; https://slate.com/human-interest/2004/10/a-better-way-to-pick-the-best-team-in-baseball.html.

287

Но каждый отдельный бейсбольный матч в принципе может продолжаться бесконечно, если в конце каждого иннинга счет будет равным. [Иннинг – период в бейсбольной игре. Прим. пер.] Если такая возможность вас заинтриговала, настоятельно рекомендую роман Уильяма Кинселлы «Бейсбольная конфедерация Айовы».

288

То есть «очень вероятно, что если мы проведем этот эксперимент много раз, то среднее количество раз, когда игра перейдет в позицию А1, будет приближаться к 100», но я не собираюсь набирать эту фразу перед каждым числом. Не стоит благодарности.

289

Компьютерные программы для го: S. Gelly et al., “The Grand Challenge of Computer Go: Monte Carlo Tree Search and Extensions,” Communications of the ACM 55, no. 3 (2012): 106–13.

290

Не вполне ясно, в каком математическом смысле это пространство, но в любом случае оно будет конечномерным, просто с очень большим числом измерений. Прим. науч. ред.

291

Моя знакомая Мередит Бруссард: MSNBC, Velshi & Ruhle, Feb. 11, 2019. Available at www.msnbc.com/velshi-ruhle/watch/trump-to-sign-an-executive-order-launching-an-ai-initiative-1440778307720.

292

А если таких направлений несколько? Тогда выбирайте любое, которое вам нравится.

293

На самом деле речь в данном случае идет о градиентном подъеме (мы ищем самую высокую точку местности), а градиентный спуск используют для нахождения самой низкой точки. Но иногда говорят о методе градиентного спуска, подразумевая движение в обе стороны, поскольку принципиальной разницы нет, а вычисления одинаковы. Прим. пер.

294

Еще одно изящное геометрическое утверждение: только для любителей анализа: если f(x,y) – это функция, которую мы максимизируем, то формула для производной неявной функции говорит нам, что касательная к кривой f(x,y) = с (такая кривая изображает изолинию равных высот) имеет наклон – (df/dx)/(df/dy), в то время как градиент – это вектор (df/dx, df/dy), который ей ортогонален.

295

Среди настоящих компьютерщиков это обычно называется «ошибками» или «потерями».

296

Есть много способов измерить неправильность; этот не самый популярный на практике, зато его просто описать. Мы не станем вдаваться в подробности на таком уровне детализации.

297

Несколько более точная аналогия со стохастическим градиентным спуском – разместить советников в случайном порядке и просматривать их по одному в день; это как минимум гарантировало бы, что каждый получит свою долю внимания.

298

В зависимости от того, ищете вы максимум или минимум, эта точка может оказаться локальным максимумом или локальным минимумом.

299

Greed is good (в переводе «Алчность – это хорошо») – популярные слова Гордона Гекко, персонажа фильма «Уолл-стрит» (1987) в исполнении Майкла Дугласа. Прим. пер.

300

«Обходные стратегии» (Oblique Strategies) – метод для выхода из творческого ступора, разработанный композитором Брайаном Ино и художником Питером Шмидтом. Реализован в виде колоды карт с различными изречениями, которые могут помочь разрешить дилемму или выбраться из тупика. Прим. пер.

301

Это почти описание градиентного спуска!

302

А это может быть почти описанием неевклидовой геометрии!

303

Одним из ее авторов и продюсером был Брайан Ино, который также придумал и карты «Обходные стратегии»!

304

Мера неправильности, наиболее подходящая для этого случая (причины этого мы рассмотрим в другой раз), такова: мы берем квадрат разности между прогнозом, который дает линейная стратегия, и истинным значением и суммируем эти квадраты по всем бейсбольным командам, поэтому описанный метод называется «методом наименьших квадратов». Метод известен очень давно и к настоящему моменту настолько отлажен, что оптимальную линию в нем можно найти гораздо быстрее, чем с помощью градиентного спуска, однако и градиентный спуск будет работать.

305

Кидуш – один из обрядов в иудаизме, чтение благословения, которое производится над бокалом (стаканчиком) вина. Прим. пер.

306

Машина Руба Голдберга – устройство, которое выполняет несложное действие (например, переворачивание страницы) крайне хитроумным образом («зачем просто, если можно сложно?») с помощью сложного многоступенчатого механизма с ременными передачами, катящимися шариками, перемещающимися деталями и так далее. Название дано в честь американского художника и изобретателя Руба Голдберга. Прим. пер.

307

Возможно, тут уместно напомнить тем, кто не знает, что подарки на бар-мицву вы получаете, когда вам исполнилось тринадцать лет.

308

Психолог Фрэнк Розенблатт: Frank Rosenblatt, “The perceptron: a probabilistic model for information storage and organization in the brain.” Psychological Review 65, no. 6 (1958): 386. Перцептрон Розенблатта был обобщением менее тонкой математической модели нейронной обработки, созданной в 1940-е годы Уорреном Маккаллоком и Уолтером Питтсом.

309

Число 538 – это общее количество выборщиков в коллегии, а числитель дробей – количество выборщиков от каждого штата (например, на президентских выборах 2020 года Калифорния имела 55 голосов, Техас – 38 голосов, Флорида и Нью-Йорк – по 29 и так далее до минимальных 3 голосов у Аляски, Вайоминга, Вермонта, Делавэра, Монтаны, Северной Дакоты, Южной Дакоты и округа Колумбия). Распределение голосов по штатам меняется со временем в зависимости от изменения количества населения в них. Прим. пер.

310

Коллегия выборщиков немного отходит от определения Розенблатта. Последний блок выдает 1, если входной сигнал больше 0,5, и 0, если меньше 0,5. Однако если входной сигнал в точности равен 0,5, то блок передает ответственность за принятие решения в Палату представителей.

311

Визуализируйте трехмерное пространство: Lecture 2c of Geoffrey Hinton’s notes for “Neural Networks for Machine Learning”; www.cs.toronto.edu/~tijmen/csc321/slides/lecture_slides_lec2.pdf.

312

Его прапрадед Чарльз: о семейных отношениях между двумя Хинтонами смотрите статью K. Onstad, “Mr. Robot,” Toronto Life, Jan. 28, 2018.

313

Старший Хинтон также написал много научно-фантастических романов, которые тогда назывались научными романами, был осужден за двоеженство и был вынужден уехать из Англии в Японию, затем преподавал математику в Принстоне, где создал для бейсбольной команды работавшую на порохе машину, которая выстреливала мячи. Машина принесла ему большую известность, но от нее отказались после того, как она травмировала нескольких игроков.

314

Разве я не говорил о нелинейности? Да, но этот перцептрон кусочно-линейный. Это означает, что он линеен по-разному в различных областях пространства. Более общие нейронные сети могут дать более округлые формы.

315

И больших наборах данных для обучения. Прим. науч. ред.

316

Для знатоков математического анализа: настоящая причина простоты заключается в том, что функция, которую вычисляет нейронная цепь, строится путем сложения и суперпозиции других функций, а потому их производные легко вычислить с помощью правила дифференцирования сложной функции (цепного правила).

317

От др.-греч. ἴσος (изос) «равный» и χρόνος (хронос) «время». Прим. пер.

318

В русском языке родители одного из супругов по отношению к родителям другого супруга – это сват и сватья. Прим. пер.

319

Обратите внимание, что здесь речь о круге, а не об окружности. Окружность – это множество точек, находящихся на данном расстоянии от центра. Круг – это множество точек, находящихся не дальше данного расстояния, то есть круг включает еще и точки внутри окружности. Соответственно, когда мы говорим о круге родственников радиусом 2, то в него входят не только родственники на границе, но и вы сами, потому что находитесь на расстоянии 0 от центра круга. Аналогично и далее. Прим. пер.

320

Целые книги о геометрии аккордов: Dmitri Tymoczko, A Geometry of Music (New York: Oxford University Press, 2010).

321

Если известно, что все эти точки расположены на плоскости, то проблемы нет: можно просто достраивать треугольники. Однако не любая матрица расстояний задает множество точек на плоскости, см. ниже. Прим. науч. ред.

322

Для четырех точек это утверждение означает, что форма четырехугольника однозначно определена, если вы знаете все четыре стороны и две диагонали. Полезно поразмышлять, чтобы убедиться в этом. Было бы достаточно длины одной диагонали? [Зависит от того, признаем ли мы невыпуклые четырехугольники. Прим. науч. ред.]

323

В 1968 году: Seymour Rosenberg, Carnot Nelson, and P. S. Vivekananthan, “A Multidimensional Approach to the Structure of Personality Impressions,” Journal of Personality and Social Psychology 9, no. 4 (1968): 283. Однако я в детстве читал об этом в главе Джозефа Крускала «Значение слов» в книге Statistics: A Guide to the Unknown, ed. Judith Tanur (Oakland: Holden-Day, 1972); это отличный пример математического изложения, уроки которого актуальны до сих пор, и с этой книгой следует активнее знакомиться.

324

На самом деле этого оказалось недостаточно, поскольку слишком много пар черт вообще фактически никогда не группировали вместе. Чтобы получить более точную картину, вы считаете слова reliable и honest близкими не только потому, что их часто располагают вместе, но и потому, что какие-то третьи слова, например finicky («разборчивый»), как правило, примерно одинаково часто объединяют как с reliable, так и с honest.

325

По вертикали проведена ось «жесткий – мягкий», по горизонтали «плохой – хороший». Кроме того, экспериментаторы провели линии, отражающие, на их взгляд, активность, интеллектуальные способности и уровень «социальности» человека.

326

В общем случае для точного размещения N точек понадобится примерно N/2-мерное пространство. Прим. науч. ред.

327

Вы можете расставить: здесь я ссылаюсь на числа метода DW-Nominate, который разработали Кейт Пул и Ховард Розентал; его можно найти на voteview.com. Метод, дающий такие числа, не всегда является многомерным шкалированием и, строго говоря, не включает понятие расстояния между законодателями; подробности смотрите в работе Keith T. Poole and Howard Rosenthal, “D-Nominate After 10 Years: A Comparative Update to Congress: A Political-Economic History of Roll-Call Voting,” Legislative Studies Quarterly 26, no. 1 (Feb. 2001): 5–29.

328

Расстояние между двумя точками вычисляется так: найдите разность между двумя долготами, двумя широтами, двумя высотами, двумя мелкотами и так далее. Теперь у вас есть триста чисел. Возведите их в квадрат, сложите квадраты и извлеките квадратный корень. Это и есть расстояние. Это трехсотмерный вариант теоремы Пифагора, хотя сам Пифагор вполне мог бы отвергнуть такие вещи как нечто далекое от физической геометрии.

329

Официальные границы Нью-Йорка довольно широки, так что давайте оговорим, что здесь под Нью-Йорком будем понимать определенную точку – книжный магазин Strand в районе Ист-Виллидж на Манхэттене.

330

Word2vec работает с лексемами, которые обычно являются словами, но иногда это имена или короткие выражения.

331

Шаг в мужскую сторону от имени Карен: источник всех данных – мой ноутбук; векторы для слов получаются с помощью бесплатной программы Word2vec, и вы можете самостоятельно повозиться с ними с помощью языка Python.

332

Карен – популярный американский мем: белая американка среднего класса, которая постоянно борется за свои права как покупателя, клиента, потребителя и так далее (ее типичная фраза: «Я хочу поговорить с менеджером»). Стив – слабо выраженный мужской аналог Карен. Похоже, программа сумела это отследить. Прим. пер.

333

Бейгл – выпечка, происходит из еврейской кухни. Прим. пер.

334

Маргарет Джорджиана Спенсер, графиня Спенсер (1737–1814) – аристократка и филантроп, дальний предок принцессы Дианы (урожденной Дианы Спенсер). Прим. пер.

335

Если бы мы честно признались: то, что я говорю о «выглядеть глупо», в основном вдохновлено обсуждением в Twitter сообщения от моего коллеги Sami Schalk (@DrSamiSchalk), сделанного 8 мая 2019 года.

336

Согласно Мартину Гарднеру, это история из книги Эрика Темриля Белла «Математика – царица и служанка науки». См. Гарднер М. Математические досуги. М.: Мир, 1972, с. 419. Прим. науч. ред.

337

На заседании Американского математического общества в 1903 году: Andrew Granville, Number Theory Revealed: An Introduction (Paw-tucket, RI: American Mathematical Society, 2019), 194.

338

Я только что разложил его: с помощью команды ntheory.factorint в пакете SymPy языка Python, если вы захотите сами убедиться, насколько это быстро.

339

Почему к диагонали? Я считаю ее хорошим аналогом диаметра, потому что это самое большое расстояние между точками фигуры.

340

А вот алгоритм машинного обучения не знает: Andrew Trask et al., “Neural Arithmetic Logic Units,” Advances in Neural Information Processing Systems 31, NeurIPS Proceedings 2018, ed. S. Bengio et al; https://arxiv.org/abs/1808.00508. Введение объясняет, как традиционные архитектуры нейронных сетей не могут справиться с этой конкретной проблемой, а основная часть статьи предлагает возможный метод исправления ситуации.

341

Я убежден, что: CBS. “The Thinking Machine” (1961). Видеоролик на YouTube. 16 июля 2018 года. Дэвид Уэйн и Джером Визнер на видеокомпиляции с 1:40 до 1:50; www.youtube.com/watch?time_continue=154&v=cvOTKFXpvKA&feature=emb_title.

342

Решила давнюю геометрическую задачу: Lisa Piccirillo, “The Conway Knot Is Not Slice,” Annals of Mathematics 191, no. 2 (2020): 581–91. Изложение открытия Пиччирилло доступным языком смотрите в работе E. Klarreich, “Graduate Student Solves Decades-Old Conway Knot Problem,” Quanta, May 19, 2020; https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519.

343

Один из моих наиболее часто цитируемых результатов: Jordan S. Ellenberg and Dion Gijswijt, “On Large Subsets of F n/q with No Three-Term Arithmetic Progression,” Annals of Mathematics (2017): 339–43.

344

Тополог по имени Марк Хьюз: Mark C. Hughes, “A Neural Network Approach to Predicting and Computing Knot Invariants,” Journal of Knot Theory and Its Ramifications 29, no. 3 (2020): 2050005.

345

На самом деле мне надо было начать дискуссию: Ronald Ross, Memoirs, with a Full Account of the Great Malaria Problem and Its Solution (London: J. Murray, 1923), 491.

346

Некоторые представители: E. Magnello, The Road to Medical Statistics (Leiden, Netherlands: Brill, 2002), 111.

347

У сэра Рональда Росса была репутация: M. E. Gibson, “Sir Ronald Ross and His Contemporaries.” Journal of the Royal Society of Medicine, vol. 71, no. 8 (1978): 611.

348

Грасси не только независимо от Росса показал перенос малярии комарами, но и первым заразил человека в эксперименте через укус комара. Изначально Нобелевскую премию 1902 года по физиологии и медицине хотели поделить между ними, однако Росс развернул активную кампанию по обвинению Грасси в плагиате, и в итоге Нобелевский комитет сдался, и премия досталась одному Россу. Прим. пер.

349

Лекция Росса в Сент-Луисе: E. Nye and M. Gibson, Ronald Ross: Malariologist and Polymath: A Biography (Berlin: Springer, 1997), 117.

350

Pez – ручной дозатор-игрушка с конфетами-пастилками, созданный в Австрии и распространившийся по всему миру. Некоторые ранние или редкие разновидности диспенсеров – предмет коллекционирования. Прим. пер.

351

Начало стихотворения «Геспер» (Hesperus). Геспер – название вечерней Венеры. Текст содержит архаичные английские слова, так что русский эквивалент выглядел бы примерно так: «Ах, куда плывеши, милая безмолвная звезда / В потоках гаснущего вечернего света?» Прим. пер.

352

Что касается математики: Ross, Memoirs, 23–24.

353

До конца вариационного исчисления: Ross, Memoirs, 49.

354

Образование должно в основном: почти идентично фразе «единственное настоящее образование – это самообразование» из книги Уильяма Спенсера «Изобретательная геометрия». Мог ли Росс ее читать?

355

Это был как интеллектуальный: Ross, Memoirs, 50.

356

Почти все идеи в науке: Ross, Memoirs, 8.

357

Мы в итоге создадим: эта цитата и большая часть остального материала о Россе, Хадсон и теории событий взята из книги Adam Kucharski’s The Rules of Contagion (New York: Basic Books, 2020).

358

Ее первой публикацией: Hilda P. Hudson, “Simple Proof of Euclid II, 9 and 10,” Nature 45 (1891): 189–90.

359

Центр это окружности – это точка (0, 5). Прим. науч. ред.

360

Названы в честь предложившего их итальянского математика Луиджи Кремона. Прим. пер.

361

Звучит похоже на координаты, которые использовал Пуанкаре для задачи трех тел, где ему нужно было отслеживать не только положение каждой планеты, но и направление ее движения. Да, это то же самое.

362

С помощью циркуля и линейки: Hilda P. Hudson, Ruler & Compasses (London: Longmans, Green, 1916).

363

Мы можем думать о присутствии: Hilda P. Hudson, “Mathematics and Eternity,” Mathematical Gazette 12, no. 174 (1925): 265–70.

364

Брат Лаврентий (брат Лоренс) – монах XVII века, который работал поваром в кармелитском монастыре в Париже и утверждал, что о Боге можно думать не только во время молитвы. В одном из писем он писал: «Рабочее время для меня не отличается от времени молитвы; а в кухонном шуме и гаме, когда несколько человек одновременно выкрикивают разные требования, я обладаю Богом в столь великой безмятежности, как если бы я стоял на коленях пред святым причастием». Прим. пер.

365

Идеи чистой математики истинны: Hudson, “Mathematics and Eternity”.

366

По некоторым сведениям, он считал: Luc Brisson and Salomon Ofman, “The Khora and the Two-Triangle Universe of Plato’s Timaeus” (preprint, 2020), arXiv:2008.11947, 6.

367

Если вы любите алгебру, умножьте обе части этого уравнения на xy. Тогда получится y^2 = xz; слева – площадь квадрата со стороной y, справа – площадь прямоугольника со сторонами x и z. То есть два определения действительно эквивалентны.

368

Прекраснейшая же из связей такая: Plato, Timaeus, trans. Donald J. Zeyl (Indianapolis: Hackett Publishing, 2000), 17.

369

Платон, диалог «Тимей». Перевод С. Аверинцева. Прим. пер.

370

Ладно-ладно, это был президент Соединенных Штатов, но сейчас это неважно.

371

Во время весенней волны эпидемии испанки в 1918 году: значения R_0 взяты из работы: P. van den Driessche, “Reproduction Numbers of Infectious Disease Models,” Infectious Disease Modelling 2, no. 3 (Aug. 2017): 288–303.

372

Происходит постоянное ветвление: эти рисунки создал Косма Шализи – восхитительно самоуверенный статистик и специалист по теории чисел; они включены в его лекции, посвященные эпидемии; www.stat.cmu.edu/~cshalizi/dm/20/lectures/special/epidemics.html#(16).

373

77 триллионов человек: M. I. Meltzer, I. Damon, J. W. LeDuc, and J. D. Millar, “Modelling Potential Responses to Smallpox as a Bioterrorist Weapon,” Emerging Infectious Diseases 7, no. 6 (2001): 959–69.

374

Centers for Disease Control and Prevention (Центры по контролю и профилактике заболеваний) – федеральное агентство Министерства здравоохранения США. Прим. пер.

375

Это число почти в 10 000 раз больше, чем население нашей планеты. Прим. пер.

376

Время от времени: M. Stobbe, “CDC’s Top Modeler Courts Controversy with Disease Estimate,” Associated Press, Aug. 1, 2015.

377

6 футов – примерно 1,8 метра. Прим. пер.

378

Строго говоря, название R_0 относится к среднему числу новых случаев в популяции в тот момент, когда никто еще не заразился вирусом, а тот показатель, что меняется во времени, обозначают R или Rt, однако многие люди говорят об изменении R_0 во время эпидемии, и если вы не собираетесь писать статьи по математической эпидемиологии на основании исключительно того, что узнали из этой книги, то ничего страшного, если вы не будете проводить такие различия. Кстати, не пишите статьи по математической эпидемиологии исключительно на основании того, что узнали из этой книги.

379

Во всяком случае, мы на это надеемся. Мы еще точно не знаем, дает ли заболевание COVID-19 и выздоровление долговременный иммунитет. Без такого предположения вы получаете другой долгосрочный сценарий, и, как нетрудно догадаться, он будет не так хорош.

380

Этот порог может быть ниже, хотя, видимо, ненамного, по причинам, связанным с неоднородностью: не каждый больной инфицирует одно и то же число людей. Подробнее об этом в главе 12.

381

Он был геометром: часть материала этого раздела взята из статьи J. Ellenberg, “A Fellow of Infinite Jest,” Wall Street Journal, Aug. 14, 2015.

382

Орудием убийства: István Hargittai, “John Conway – Mathematician of Symmetry and Everything Else,” Mathematical Intelligencer 23, no. 2 (2001): 8–9.

383

Он был заядлым изобретателем игр: R. H. Guy, “John Horton Conway: Mathematical Magus,” Two-Year College Mathematics Journal 13, no. 5 (Nov. 1982): 290–99.

384

Col – седло, snort – фырканье, loony – недоумок, dud – негодная вещь, sesqui-up – на полтора, phutball – сокращение слов Philosopher’s Football, то есть философский футбол. Прим. пер.

385

Издана на русском языке: Кнут Д. Сюрреальные числа. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2014. Прим. ред.

386

Начал создавать числа: Donald Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Boston: Addison-Wesley, 1974). Книга Кнута знакомит с системой чисел Конвея, однако связь этих чисел устанавливается в книге Конвея 1976 года On Numbers and Games.

387

В русскоязычной литературе они также могут называться связками или танглами. Прим. пер.

388

Одним из поклонников игры был Брайан Ино, который увидел демонстрацию в научном музее в Сан-Франциско в 1978 году и стал «полностью зависимым» от нее, часами наблюдая за изменением конфигураций. Через два года он поучаствует в создании песни «Лишь раз в жизни». Вы можете спросить себя…

389

Которую он доказал вместе с Кэмероном Гордоном: John H. Conway and C. McA. Gordon, “Knots and Links in Spatial Graphs,” Journal of Graph Theory 7, no. 4 (1983): 445–53. Статья включает несколько теорем, в том числе описанную в книге и также доказанную Хорстом Саксом.

390

В июле 2020 года: все статистические данные из этого раздела взяты из работы Dana Mackenzie, “Race, COVID Mortality, and Simpson’s Paradox,” Causal Analysis in Theory and Practice (blog); causality.cs.ucla.edu/blog/index.php/2020/07/06/race-covid-mortality-and-simpsons-paradox-by-dana-mackenzie. Числа на момент написания этих строк (сентябрь 2020) не такие, – однако, похоже, все равно демонстрируют парадокс Симпсона.

391

У какой монеты сифилис? Этот раздел взят из работы J. Ellenberg, “Five People. One Test. This Is How You Get There,” New York Times, May 7, 2020.

392

В 1941 году статья «Нью-Йорк Таймс» обвинила: P. de Kruif, “Venereal Disease,” New York Times, Nov. 23, 1941, 74.

393

Однако в 1942 году: биографическая информация о Дорфмане и истории группового тестирования взята из статей “Economist Dies at 85,” Harvard Gazette, 18 июля 2002 года, и Dingzhu Du and Frank K. Hwang, Combinatorial Group Testing and Its Applications, vol. 12 (Singapore: World Scientific, 2000), 1–4.

394

Обнаружение дефектных членов больших групп: R. Dorfman, “The Detection of Defective Members of Large Populations,” Annals of Mathematical Statistics 14, no. 4 (Dec. 1943): 436–40.

395

Разбавление образцов: Du and Hwang, Combinatorial Group Testing, 3.

396

В больницах Германии: K. Bennhold, “A German Exception? Why the Country’s Coronavirus Death Rate Is Low,” New York Times, Apr. 5, 2020.

397

А одна лаборатория в Небраске: Ellenberg, “Five People. One Test. This Is How You Get There”.

398

Ухань – город в центральном Китае: BBC report, June 8, 2000; www.bbc.com/news/world-asia-china-52651651.

399

Более сложный вариант этой модели учитывал бы ту мрачную реальность, что некоторые зараженные люди умирают, а не выздоравливают. К счастью, доля смертей для COVID-19 не очень велика, поэтому для начала можно запустить модель без их учета.

400

Он также имел привычку: James Norman David on, “William Ogilvy Kermack, 1898–1970,” Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society 17 (1971), 413–14.

401

Обнаружили, что SIR-модель: Takayasu et al., “Rumor Diffusion and Convergence During the 3.11 Earthquake: A Twitter Case Study,” PLoS ONE 10, no. 4 (2015): 1–18. Чинелли с соавторами в своем препринте 2020 года The COVID-19 Social Media Infodemic утверждает, что распространение информации вокруг начала пандемии COVID-19 следует анализировать аналогично и что слухи в Instagram♦ имеют гораздо более высокий показатель R_0, чем в Twitter.

402

Он также соавтор Джона Конвея в работе над геометрической задачей о максимально плотной упаковке многомерных апельсинов в многомерный ящик.

403

Индийский ударный музыкальный инструмент – небольшой барабан. Прим. пер.

404

В санскритской поэзии: материал об индийском стихосложении взят из работы Parmanand Singh, “The So-Called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India,” Historia Mathematica 12, no. 3 (1985): 229–44.

405

Это хорошее напоминание о том, что санскрит относится к индоевропейским языкам и имеет общего предка с английским и романскими языками. Слово mātrā напоминает английские слова measure («мера») и meter («метр»); vrrta происходит от протоиндоевропейского корня wert, который означает «поворот», от того же корня происходит английское слово verse («стих», «поэзия»). [К тому же протоиндоевропейскому корню восходит и русское слово «вертеть». Прим. пер.] Слова laghu и guru – кузены английских слов light («свет») и grave («могила»).

406

В русском языке спондеем называют два стоящих рядом ударных слога в двусложном размере. Например, в пушкинской ямбической строке «Скучна мне оттепель; вонь, грязь – весной я болен» слог «вонь» является ударным, хотя занимает безударное место. Прим. пер.

407

Вы никогда не слышали о стихах, написанным пятистопным пиррихием, потому что никто их не пишет. Эдгар По, который хорошо разбирался в метрике стиха, сказал: «От пиррихия справедливо отказались… настаивание на такой трудной для понимания пустышке, как размер с двумя безударными слогами, дает, пожалуй, лучшее подтверждение грубой иррациональности и угодничества перед авторитетом, которые демонстрирует наше стихосложение». [В русском языке написать строку пиррихием тоже невозможно, однако термин используется для обозначения двух смежных безударных слогов. Например, пушкинская «Полтава» написана ямбом, но в первой строке «Богат и славен Кочубей» ударения на слоге «Ко» нет, и получается два безударных слога («вен» и «Ко») подряд. Прим. пер.]

408

Можно считать, что в стопе амфимакра два ударных слога, между которыми стоит безударный. Соответственно, слоган произносится с выделением слогов why, why, try, dry. Прим. пер.

409

Уравнение для скорости при вертикальном подбрасывании мяча в зависимости от времени t выглядит так: v(t) = v_0 – gt, где v_0 – начальная скорость, а g ≈ 9,8 м/с^2 – ускорение свободного падения. Поэтому разностное уравнение для движения вверх v(t+1) – v(t) = –g. Прим. пер.

410

Разность арифметической прогрессии будет не 9,8, а 8,87 м/с, потому что гравитация на Венере несколько ниже, а ускорение свободного падения равно 8,87 м/с^2.

411

Что древние подразумевали: Henri Poincaré, “The Present and the Future of Mathematical Physics,” trans. J. W. Young, Bulletin of the American Mathematical Society 37, no. 1 (1999): 26.

412

Что дает превосходный вопрос для викторины: «Искоренить полностью удалось только две природные болезни: оспу и что еще?» Сработает, если на вашу викторину не придут ветеринары-эпидемиологи.

413

Примерно в середине Средних веков: Y. Furuse, A. Suzuki, and H. Oshitani, Origin of Measles Virus: Divergence from Rinderpest Virus Between the 11th and 12th Centuries, Virology Journal 7, no. 52 (2010); doi.org/10.1186/1743-422X-7-52.

414

19 мая 1865 года: S. Matthews, “The Cattle Plague in Cheshire, 1865–1866,” Northern History 38, no. 1 (2001): 107–19; doi.org/10.1179/nhi.2001.38.1.107.

415

К концу октября: A. B. Erickson, “The Cattle Plague in England, 1865–1867,” Agricultural History 35, no. 2 (Apr. 1961): 97.

416

Фарр представлял: об истории со Сноу, Фарром и эпидемией холеры написано очень много; описание взято из статьи N. Paneth et al., “A Rivalry of Foulness: Official and Unofficial Investigations of the London Cholera Epidemic of 1854,” American Journal of Public Health 88, no. 10 (Oct. 1998): 1545–1553.

417

Мы рискнем сказать: British Medical Association, British Medical Journal 1, no. 269 (1866): 207.

418

Это более обширные сведения: General Register Office, Second Annual Report of the Registrar-General of Births, Deaths, and Marriages in England (London: W. Clowes and Sons, 1840), 71.

419

Внезапно поднимаются: Second Annual Report of the Registrar-General, 91.

420

Крошечные насекомые: Second Annual Report of the Registrar-General, 95.

421

Вероятно, почти 5,4: метод в стиле Фарра «закройте глаза и притворитесь, что это арифметическая прогрессия» – это не только ваш выбор; аналогичный подход, который называется методом Ньютона (при тех же предположениях он основан на математическом анализе), дает в этом случае приближение 5,4, почти такое же хорошее, как 5^4/11, и он ощутимо лучше для чисел, квадратный корень из которых близок к целому числу. Чтобы быть Великим Вычислителем Корней, нужно иметь в запасе несколько козырей.

422

Примерно в 600 году: информация о начале истории интерполяции взята из книги E. Meijering, “A Chronology of Interpolation: From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing,” Proceedings of the IEEE 90, no. 3 (2002): 319–42.

423

Да, мы не сократили дроби, и ваш учитель математики в десятом классе мог бы сказать, что ответ неверен. Он верен! Выражения 80/990 и 8/99 – различные названия для одного числа, и если мы выражаем все дробями со знаменателем 990, то в использовании первого из них нет ничего плохого.

424

Это был Джон Джозеф Мерлин – плодовитый бельгийский умелец, который также изобрел роликовые коньки. Спустя много лет выросший Бэббидж купил этот автомат на аукционе у разорившегося музея и установил в своей гостиной.

425

Восхитительная танцовщица: Charles Babbage, Passages from the Life of a Philosopher (London: Longman, Green, 1864), 17.

426

Однажды вечером: Babbage, Passages from the Life of a Philosopher, 42.

427

Мы уже видели в главе 7, что даже очень мощная нейронная сеть может потерпеть неудачу, когда ее просят экстраполировать за пределами обучающего множества.

428

На том же самом эвристическом рассуждении: в любом случае ничего лучше я предположить не могу. Хассетт не изложил точный механизм, который выдал его кривую (а только назвал его кубической экстраполяцией), однако подбор полинома третьей степени к логарифму наблюдаемых величин, как делал Фарр, дал мне вполне хорошее совпадение с кривой в пресс-релизе.

429

Спроецируйте кривую для США: Justin Wolfers (@JustinWolfers), Twitter, Mar. 28, 2020, 2:30 p.m.

430

Он совершенно забывает: British Medical Association, British Medical Journal 1, no. 269 (1866): 206–07.

431

В частности, очень широко распространенная модель Института измерения показателей и оценки здоровья (IHME) Вашингтонского университета в Сиэтле. Позже в ходе пандемии IHME мудро отказался от предположения о симметрии. Честно говоря, во время первоначальной вспышки в Ухане подъем и снижение эпидемии шли примерно симметрично; это быстрое падение сейчас считается результатом крайне жестких мер противодействия со стороны китайских властей.

432

Арка в Сент-Луисе «Ворота Запада»: оказывается, форма «Ворот Запада», несмотря на то что архитектор Ээро Сааринен называл ее цепной линией, на самом деле является более общей кривой. Смотрите R. Osserman, “How the Gateway Arch Got Its Shape,” Nexus Network Journal 12, no. 2 (2010): 167–189.

433

Роберт Плот считал, что слона в Британию мог привезти император Клавдий. Однако визит Клавдия – миф, и Плот не нашел никаких документов, подтверждающих наличие слонов на Британских островах. Прим. пер.

434

Его ответ: Robert Plot and Michael Burghers, The Natural History of Oxford-Shire: Being an Essay Towards the Natural History of England (printed at the Theater in Oxford, 1677): 136-Biodiversoty Heritage Library; https://www.biodiversitylibrary.org/item/186210#page/11/mode/1up.

435

Плот был по-своему логичен. Во-первых, эта кость была найдена около кладбища. Во-вторых, в XVII веке, когда жил натуралист, люди доверяли написанному в XII веке труду Гальфрида Монмутского «История королей Британии», где упоминались «гиганты Альбиона», с которыми воевал прибывший сюда Брут, потомок Энея. Поэтому Плот счел, что это кость одного из тех великанов. Прим. пер.

436

Не предполагается, что модели коронавируса верны: Z. Tufekci, “Don’t Believe the COVID-19 Models,” Atlantic (Apr. 2, 2020); https://www.theatlantic.com/technology/archive/2020/04/coronavirus-models-arent-supposed-be-right/609271.

437

Фотографию одного протестующего: автор Jim Mone, Associated Press; journaltimes.com/news/national/photos-protesters-rally-against-coronavirus-restrictions-in-gatherings-across-us/collection_b0cd8847-b8f4-5fe0-b2c3-583fac7ec53a.html#48.

438

Инженерный анализ (реверс-инжиниринг, обратное проектирование, обратный инжиниринг) – это изучение устройства или программы, чтобы понять схему их работы. Прим. пер.

439

В 2012 году произошел интеллектуальный спор: Y. Katz, “Noam Chomsky on Where Artificial Intelligence Went Wrong,” Atlantic (Nov. 1, 2012); https://www.theatlantic.com/technology/archive/2012/11/noam-chomsky-on-where-artificial-intelligence-went-wrong/261637/; и воинственная, но очень информативная работа P. Norvig, “On Chomsky and the Two Cultures of Statistical Learning”; norvig.com/chomsky.html.

440

И конечно же, оба метода легко может положить на лопатки обычный человек, который изучает язык гораздо точнее, чем любой искусственный интеллект, причем его входные данные в миллиард раз меньше по объему.

441

Конвей доказал, что: J. Conway, “The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay,” Eureka 46 (Jan. 1986).

442

Для любителей алгебры: это самый большой корень некоторого многочлена степени 71!

443

Великие равнины – область в Канаде и США. Пересекают США с севера на юг. Задевают территорию десяти штатов, включая Северную и Южную Дакоту. Прим. пер.

444

Штат Сада мира – прозвище Северной Дакоты, данное по Международному саду мира – ботаническому парку в северной части штата. Прим. пер.

445

Помимо указанных у автора, используются названия: золотое число, гармоническое деление, ф («тау», от греческого слова τομή – «сечение»). Прим. пер.

446

Первое мы можем сравнить: Karl Fink, A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink’s Geschichte der Elementarmathematik, 2nd ed., trans. Wooster Woodruff Beman and David Eugene Smith (Chicago: Open Court Publishing, 1903), 223.

447

Древние называли: H. Becker, An Even Earlier (1717) Usage of the Expression “Golden Section,” Historia Mathematica 49 (Nov. 2019): 82–83.

448

На самом деле мы можем получить точность 1/2000, округляя последнюю цифру вверх или вниз, а не просто обрывая разложение; подробности оставляем заинтересовавшемуся читателю! В любом случае мы не собираемся быть настолько мелочными, что нам понадобится возиться с коэффициентом 2.

449

Цзу Чунчжи, астроном V века: информация о Цзу Чунчжи и «милю» взята из работы L. Lay-Yong and A. Tian-Se, “Circle Measurements in Ancient China,” Historia Mathematica 13 (1986): 325–340.

450

Этот раздел рассказывает о самых началах диофантовых приближений. Если вас это заинтересует, то вещи, о которых стоит почитать, – теорема Дирихле (которую мы здесь доказываем), непрерывные дроби и теорема Лиувилля.

451

В русскоязычной литературе его называют принципом Дирихле и обычно для объяснения используют кроликов и клетки. Прим. пер.

452

Вы могли бы подумать, что это явная гебраизация греческого слова «геометрия», однако такое объяснение является лишь одной из версий.

453

Божественная пропорция: из рецензии на Geschichter der Elementär-Mathematik in Systematischer Darstellung, Nature 69, no. 1792 (1904): 409–10; рецензия подписана просто GBM, однако очевидно, что именно Мэтьюз был тем членом Королевского общества, который ее написал. Благодарю Дженнифер Нельсон за детективную работу в этом вопросе.

454

Pentagramma mirificum (лат.) – чудесная пентаграмма. Однако этим термином называют не правильный пятиугольник, как можно понять из цитаты, а пентаграмму на сфере, состоящую из дуг большого круга, причем углы при вершинах пентаграммы прямые. Прим. пер.

455

Однако нет никаких доказательств: книга Марио Ливио The Golden Ratio (New York: Broadway Books, 2002) вполне бескомпромиссно высказывается о долгой истории претензий, что канонические произведения искусства имеют скрытое золотое сечение.

456

Авторитетная статья 1978 года: E. I. Levin, “Dental Esthetics and the Golden Proportion,” Journal of Prosthetic Dentistry 40, no. 3 (1978): 244–52.

457

Набор вставных зубов: Julie J. Rehmeyer, “A Golden Sales Pitch,” Math Trek, Science News, June 28, 2007; https://www.sciencenews.org/article/golden-sales-pitch.

458

Появился «Код Диеты»: S. Lanzalotta, The Diet Code (New York: Grand Central, 2006). На самом деле рекомендации в этой книге включают не только золотое сечение, там фигурирует число 28, которое «различным образом представляет лунный цикл, возраст духовного раскрытия в йоге, один из египетских локтей (единиц измерения) и фундаментальную расчетную координату майя»; http://www.diet-code.com/f_thecode/right_proportions.htm.

459

Захватывает дух: доступно по всему интернету, например по адресу: www.goldennumber.net/wp-content/uploads/pepsi-arnell-021109.pdf.

460

Через несколько лет: биографические материалы об Эллиотте взяты из его 64-страничной биографии, которая открывает книгу R. N. Elliott’s Masterworks: The Definitive Collection, ed. Robert R. Prechter Jr. (Gainesville, GA: New Classics Library, 1994).

461

Человек – такой же природный объект: R. N. Elliott, The Wave Principle (self-published, 1938), 1.

462

Наряду с теориями Роджера Бэбсона, который считал: весь материал о Бэбсоне взят из книги Martin Gardner, Fads and Fallacies in the Name of Science (Mineola, NY: Dover Publications, 1957), chapter 8. Ненависть Бэбсона к гравитации, похоже, уходит корнями к несчастному случаю в детстве, когда утонула его сестра, как он упоминает в эссе «Гравитация – наш враг номер один».

463

Как оказалось, вовсе не неминуемый.

464

Как и все иные методы анализа: Merrill Lynch, A Handbook of the Basics: Market Analysis Technical Handbook (2007), 48.

465

Компьютерная система компании Bloomberg для анализа и контроля финансового рынка. Компания предоставляет терминалы и доступ к информации. Прим. пер.

466

Предупредил своих читателей: Paul Vigna, “How to Make Sense of This Crazy Market? Look to the Numbers,” Wall Street Journal, Apr. 13, 2020.

467

А если смотреть через два месяца? Может быть, Фибоначчи окажется прав! Хорошо, смотрите. Если под фразой «мой прогноз был верен» вы подразумеваете «в какой-то неопределенный момент в будущем фондовый рынок упадет», то ваш прогноз одновременно и верен, и совершенно не впечатляет.

468

Фея Динь-Динь (в оригинале Tinker Bell) – персонаж сказки Джеймса Барри «Питер Пэн». Может умереть, если люди перестанут верить в фей. Прим. пер.

469

Небраска примыкает с юга к Южной Дакоте, но не граничит с Северной Дакотой. Прим. пер.

470

Хотя она и содержится в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей как A028495. Там я узнал, что n-й член этой последовательности – число способов, которыми белые могут поставить мат ровно за n + 1 ход в некоей конкретной шахматной позиции, если игнорировать правило 50 ходов и правило трехкратного повторения ходов. Чудно!

471

По крайней мере поначалу. Геометрическая прогрессия моделирует раннюю стадию эпидемии, когда у вируса еще не закончились уязвимые носители.

472

Скрытыми в том смысле: J. J. Sylvester, “The Equation to the Secular Inequalities in the Planetary Theory,” Philosophical Magazine 16, no. 100 (1883): 267.

473

Слово Eigenwert, в свою очередь, вероятно, является германизированным вариантом более раннего термина Пуанкаре nombre characteristique (характеристическое число).

474

Eigenwert (нем.) – это и собственное значение, и внутренняя (собственная) ценность (стоимость). В соответствующем английском термине eigenvalue, где первая часть слова Eigenwert осталась непереведенной, сохраняется та же двузначность. Прим. пер.

475

Вы можете создать подобные модели: существует масса статей об этом, но особенно серьезной считается препринт M. G. M. Gomes et al., “Individual Variation in Susceptibility or Exposure to SARS-CoV-2 Lowers the Herd Immunity Threshold,” medarXiv (2020); https://doi.org/10.1101/2020.04.27.20081893.

476

Что делать, если вы попадете при этом на страницу без ссылок? Это похоже на проблему попадания в локальный оптимум при градиентном спуске, так что можно применить такое же решение: начните снова движение в случайном месте.

477

Вычислили предельные вероятности: Robert B. Ash and Richard L. Bishop, “Monopoly as a Markov Process,” Mathematics Magazine 45, no. 1 (1972): 26–29. В одной более поздней статье приводятся те же самые вычисления, но по не совсем понятным мне причинам получаются несколько иные числа, хотя ее авторы и соглашаются, что чаще всего посещаемое поле с собственностью – это Иллинойс-авеню. Paul R. Murrell, “The Statistics of Monopoly,” Chance 12, no. 4 (1999): 36–40.

478

Эш и Бишоп предполагали, что вы либо остаетесь в тюрьме на три хода, либо выбрасываете на кубиках дубль, а не платите 50 долларов за возможность немедленного выхода.

479

Вряд ли это очевидно. Но вы можете найти эти значения пошагово – вручную или (если вам нравятся матрицы) возводя матрицу переходных вероятностей в степень.

480

Правильнее было бы сказать – докеплеровская, поскольку именно Кеплер отказался от орбит в виде комбинаций таких окружностей, установив, что планеты двигаются по эллипсам. Прим. пер.

481

Если вам интересно, то это точка в некотором пространстве под названием «гильбертово пространство» – в честь того самого Гильберта, с которым мы в последний раз встречались, когда он возился с основами геометрии на рубеже веков.

482

Упражнение: можете ли вы найти собственную последовательность для операции сдвигокрена?

483

Мы используем здесь условие, что крен линеен; это означает, что умножение на 3 и последующий крен – то же самое, что крен с последующим умножением на 3; еще один вопрос коммутативности!

484

Как было оговорено ранее: впервые об этом аргументе я узнал не в контексте квантовой физики, а на семинаре по некоммутативной геометрии, который вел Том Невинс – замечательный геометр и обладатель различных наград из Иллинойского университета; Невинс умер 1 февраля 2020 года в возрасте всего лишь 48 лет.

485

Строго говоря, буквой ħ обозначается так называемая приведенная постоянная Планка (она же постоянная Дирака). Постоянная Планка h связана с постоянной Дирака соотношением ħ = h/2π. Прим. пер.

486

Впрочем, по сравнению с масштабами нашего сенсорного физиологического аппарата постоянная Планка крайне близка к 0, и поэтому мы воспринимаем, что объекты находятся в определенной точке и двигаются определенным образом.

487

Если вы желаете знать, что я опустил, то книга Шона Кэрролла Something Deeply Hidden («Нечто глубоко сокрытое») прекрасно и доступно излагает математику, лежащую в основе квантовой физики.

488

Именуемый улиткой: смотрите, например, Robert Fettiplace, “Diverse Mechanisms of Sound Frequency Discrimination in the Vertebrate Cochlea,” Trends in Neurosciences 43, no. 2 (2020): 88–102.

489

Они использовали марковские процессы: David Link, “Chains to the West: Markov’s Theory of Connected Events and Its Transmission to Western Europe,” Science in Context 19, no. 4 (2006): 561–89. Упоминаемая работа Пойа и Эггенбергера – Florian Eggenberger and George Pólya, “Über die statistik verketteter vorgänge,” ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 3, no. 4 (1923): 279–89.

490

Вы можете проверить в духе Уильяма Фарра, что разность между этими разностями будет всегда постоянна, а именно 4. [Для этого надо заметить, что член с номером N равен N^2 + (N – 1)2, а это ясно из рисунков, на которых видны пары наложенных друг на друга квадратов. Прим. науч. ред.]

491

Хотя в геометрии Манхэттена, как мы видели в главе 2, этот квадрат – круг!

492

Сленговым названием для не поддающейся классификации болезни: J. Warren, “Feeling Flulike? It’s the Epizootic,” Baltimore Sun, Jan. 17, 1998. Смотрите также слово epizootic в словаре американского английского языка.

493

По крайней мере семь восьмых: A. B. Judson, “History and Course of the Epizoötic Among Horses upon the North American Continent in 1872–73,” Public Health Papers and Reports 1 (1873): 88–109.

494

Огромной больницей для заболевших лошадей: Sean Kheraj, “The Great Epizootic of 1872–73: Networks of Animal Disease in North American Urban Environments,” Environmental History 23, no. 3 (2018): 495–521; doi.org/10.1093/envhis/emy010.

495

Привели к ранним вспышкам: “The Great Epizootic,” 497.

496

А как насчет кривизны земной поверхности? Если это вас так беспокоит, подождите несколько страниц – мы доберемся и до этого!

497

И годится для рисования изохронных карт, одну из которых мы видели в главе 8.

498

Миссис Чтотут – ответ на отличный вопрос для викторины: «Какого персонажа сыграли и Элфри Вударт, и Риз Уизерспун?» [Существует две экранизации романа Мадлен Л’Энгл «Складка времени» (A Wrinkle in Time) – 2003 и 2018 года. В оригинале экранизации названы так же, как и книга, но в русском варианте названия расходятся, причем неточно переведено и название романа («Трещина во времени»), и название фильма («Излом времени»). Прим. пер.]

499

Почти непроходимые болота: Judson, “History and Course of the Epizoötic,” 108.

500

Если выражаться на языке Евклида: смотрите J. H. Webb, “A Straight Line Is the Shortest Distance Between Two Points,” Mathematical Gazette 58, no. 404 (June 1974): 137–38.

501

Почему мы пользуемся таким выражением, хотя линия – это вовсе не расстояние? По-видимому, эта странная формулировка – результат плохо сделанного в XIX веке перевода учебника геометрии Лежандра, где использовалась формулировка le plus court chemin (кратчайший путь). И знаете, какой переводчик так напортачил? Историк и эссеист Томас Карлейль, который в молодости работал учителем математики в шотландском городе Керколди.

502

Вставьте тут сравнение с вашей самой нелюбимой политической идеологией.

503

Строго говоря, этот большой круг – это круг, проходящий через противоположные точки сферы, а соответствующие линии на сфере – это большие окружности, а не круги. Однако часто, говоря о больших кругах на сфере, подразумевают большие окружности. Прим. пер.

504

На сайте extendny.com вы можете «манхэттенизировать» ваше собственное местонахождение.

505

Герарда Меркатора: детали биографии Меркатора взяты из книги Mark Monmonier, Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection (Chicago: University of Chicago Press, 2004), chapter 3.

506

Ellenberg – это немецкое диалектное слово, означающее «локоть» (по крайней мере, так гласит наше семейное предание).

507

Математический термин для таких поверхностей – гиперболоид. Прим. пер.

508

Однако нельзя сделать и то и другое одновременно: моя дочь-фактчекер настаивает, что с некоторыми усилиями вы на самом деле можете согнуть пиццу вниз, так что, возможно, лучше сказать, что загибание сторон ломтика вверх затрудняет сгибание кончика вниз. Подробнее о теореме о пицце смотрите: A. Bhatia, “How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice,” Wired, Sep. 5, 2014.

509

Недалеко от Южного полюса есть целые семейства точек, в которых может находиться палатка с соблюдением условий задачи, но там нет никаких медведей. См. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971, с. 33. Прим. науч. ред.

510

Неприятная сторона легенды об Эрдёше: она побуждает некоторых математиков считать домашнюю работу чем-то ниже их достоинства и выше их способностей одновременно. И тем не менее мы едим пищу и носим чистые рубашки. Факт: думать о математике во время мытья посуды полезно как для математики, так и для посуды (если вы так же склонны к задумчивости, как большинство математиков).

511

У меня есть кое-что получше, чем кофе: С. Кранц, рецензия на книгу Пола Хоффмана The Man Who Loved Only Numbers, College Mathematics Journal 32, no. 3 (May 2001): 232–37.

512

Расстояние между Тинсли и мною: все эти расстояния вычислены с помощью инструмента Collaboration Distance («Расстояние сотрудничества»), который доступен по адресу: mathscinet.ams.org/mathscinet/freeTools.html.

513

Строго: пусть случайная величина Xt – это число звеньев от некоторой фиксированной точки до точки с номером i. Случайная величина Xt принимает два значения: 1 с вероятностью 5/1 000 000 и 0 с вероятностью 999 995/1 000 000. Следовательно, среднее значение (математическое ожидание) величины Xt равно 1 × 5/1 000 000 + 0 × 999995/1 000 000 = 5/1 000 000. Такое же число получится, какую бы точку Xt мы ни взяли. Пусть S – это общее число звеньев, идущих от нашей точки, иными словами S = X_1 + X_2 + … + X1000000. Поскольку математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, то среднее значение S равно 1 000 000 × 5/1 000 000 = 5. Прим. пер.

514

Что будет, если R = 1? Об этом написаны сотни статей. Часто случается, что именно пограничные случаи скрывают самую богатую и причудливую математику.

515

Побывав в католическом Университете Нотр-Дам: Melvin Henriksen, “Reminiscences of Paul Erdös (1913–1996),” Humanistic Mathematics Network Journal 1, no. 15 (1997): 7.

516

По воспоминаниям математика Мелвина Хенриксена, дело было немного не так. Эрдёш в 1953–1954 годах работал в этом исследовательском университете, расположенном в штате Индиана. Когда отказавшегося от религии ученого поддразнивали, что он работает в католическом учреждении, он «со всей серьезностью отвечал, что ему там очень нравится, а особенно он рад дискуссиям с доминиканцами; единственное, что его беспокоит, – там слишком много знаков плюс». Прим. пер.

517

Не смогло бы найти слов: Henri Poincaré, The Value of Science, trans. George Bruce Halsted (New York: The Science Press, 1907), 138.

518

Снимался в фильмах со всеми: Brandon Griggs, “Kevin Bacon on ‘Six Degrees’ Game: ‘I Was Horrified’,” CNN, Mar. 12, 2014; https://www.cnn.com/2014/03/08/tech/web/kevin-bacon-six-degrees-sxsw/index.html.

519

Возможно, это верно, только если не учитывать китайское и индийское кино. Прим. науч. ред.

520

Вместе с Августой Теллер, Эдвардом Теллером, Арианной Розенблют и Маршаллом Розенблютом.

521

Два соавтора Эрдёша (Дэниэл Клейтман и Брюс Резник) претендуют на число Эрдёша – Бейкона, равное 3, на основании фильмов, где снимались в массовке. Честно ли это? Не мне об этом говорить. (Впрочем, скажу: да, нечестно.)

522

У обычного линейного октана (н-октан) октановое число всего лишь 17–19. А вот у 2,2,4-триметилпентана, который обычно называют изооктаном, октановое число принято за 100. Прим. пер.

523

Разумеется, последовательность, которая считает количество предельных углеводородов с разным числом атомов углерода, тоже есть в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей. Это последовательность A000602.

524

Животворящее и вдохновляющее влияние: J. J. Sylvester, “On an Application of the New Atomic Theory to the Graphical Representation of the Invariants and Covariants of Binary Quantics, with Three Appendices [Continued].” American Journal of Mathematics 1, no. 2 (1878): 109.

525

В поэзии и алгебре: Sylvester, “On an Application”.

526

Выражение «графическая нотация»: материал о происхождении слова «граф» взят из книги N. Biggs, E. Lloyd, R. Wilson, Graph Theory 1736–1936 (Oxford: Oxford University Press, 1999), 64–67.

527

Гигантского гнома с бородой: автор описания – первый докторант Сильвестра Джордж Брюс Халстед, цитируется по работе E. E. Slosson, Major Prophets of To-Day (New York: Little, Brown, 1914), p. 137. Похоже, Халстед унаследовал склонность своего научного руководителя к спорам: его уволили из ряда университетов за критику руководства, в итоге он работал электриком в семейном магазине и продолжал публиковать работы по неевклидовой геометрии.

528

Было настоящим удовольствием наблюдать: письмо Гальтона Карлу Пирсону от 31 декабря 1901 года в работе The Life, Letters, and Labours of Francis Galton, vol. 1, ed. K. Pearson (Cambridge: Cambridge University Press, 1924).

529

Демонстрация досконального знания Евклида: D. R. McCoy, “An ‘Old-Fashioned’ Nationalism: Lincoln, Jefferson, and the Classical Tradition,” Journal of the Abraham Lincoln Association 23, no. 1 (Winter 2002): 60. Два других требования – уметь читать классических авторов и переводить с английского на латынь.

530

Из Йельского университета в 1830 году: Clarence Deming, “Yale Wars of the Conic Sections,” The Independent Devoted to the Consideration of Politics, Social and Economic Tendencies, History, Literature, and the Arts (1848–1921) 56, no. 2886 (Mar. 24, 1904): 667.

531

В 1840 году студенты-бунтовщики: Lewis Samuel Feuer, America’s First Jewish Professor: James Joseph Sylvester at the University of Virginia (Cincinnati: American Jewish Archives, 1984), 174–76.

532

Он вернулся в Англию: биографический материал о Сильвестре взят из книги Karen H. Parshall, James Joseph Sylvester: Jewish Mathematician in a Victorian World (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2006), 66–80. Точные обстоятельства внезапного отъезда из Вирджинии все еще являются предметом споров: сделал ли это Сильвестр из-за вражды с Баллардом или из-за инцидента с тростью? Фойер в книге America’s First Jewish Professor утверждает, что из-за второго.

533

На профессуру в Грешем-колледже: Alexander Macfarlane, “James Joseph Sylvester (1814–1897),” Lectures on Ten British Mathematicians of the Nineteenth Century (New York: John Wiley & Sons, 1916), 109; https://projecteuclid.org/euclid.chmm/1428680549.

534

Именно линейная алгебра дает нам теорию векторов, которая является сутью машинного обучения, и именно она предоставила Джеффри Хинтону возможность описать четырнадцатимерное пространство как трехмерное, для которого всего лишь нужно громко сказать: «Четырнадцать!»

535

Подвергается в пространстве четырех измерений: J. J. Sylvester, “Inaugural Presidential Address to the Mathematical and Physical Section of the British Association,” reprinted in The Laws of Verse: Or Principles of Versification Exemplified in Metrical Translations (London: Longmans, Green, 1870), 113.

536

Красноречивый математик: J. J. Sylvester, “Address on Commemoration Day at Johns Hopkins University”, Feb. 22, 1877. Collected in The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: Volume III (Cambridge: Cambridge University Press, 1909), 72–73.

537

Дэниэл Браун в своей чрезвычайно интересной книге «Поэзия викторианских ученых» утверждает, что это стихотворение можно прочитать как описание исключения Сильвестра из университетской системы из-за его веры, то есть «недостающий член» – это сам Сильвестр. Несмотря на свое умение находить религиозный символизм в работе ученых прошлых лет, этот Браун не имеет отношения к Дэну Брауну, написавшему «Код да Винчи».

538

Я рано изучил Евклида: J. J. Sylvester, “Mathematics and Physics,” Report of the Meeting of the British Association for the Advancement of Science (London: J. Murray, 1870), 8.

539

Америка и Германия, несмотря на географию: Sylvester, “Address on Commemoration Day,” 81.

540

Английский математик сэр Генри Савиль в 1619 году учредил две профессорские ставки – по геометрии и по астрономии. Должности савильского профессора геометрии и савильского профессора астрономии существуют до сих пор. Прим. пер.

541

Недавно я посетил Пуанкаре: James Joseph Sylvester, The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester, vol. 4 (Chelsea Publishing, 1973), 280.

542

На обеде присутствовал: слова Пуанкаре 30 ноября 1901 года, обед в Королевском обществе и присутствие там Росса – из The Times, Dec. 2, 1901, p. 13; ссылку я получил из статьи G. Cantor, “Creating the Royal Society’s Sylvester Medal,” British Journal for the History of Science 37, no. 1 (Mar. 2004): 75–92. «Таймс» упоминает только присутствовавшего «майора Росса», однако в том году Рональд Росс был избран в члены Королевского общества, позднее стал его вице-президентом и в других документах того времени упоминается как «майор Росс». Поэтому я практически уверен, что это наш человек-комар.

543

Он был так хорош: все биографические сведения о Джордане и трюке с чтением мыслей взяты из работы Persi Diaconis and Ron Graham, Magical Mathematics (Princeton: Princeton University Press, 2015), 190–91.

544

Процедура, помогающая быстро выявить победителя в ничейной ситуации. Прим. ред.

545

И главного популяризатора математики в XX веке. Например, игра Конвея «Жизнь» стала всемирно известной после того, как появилась в колонке Гарднера в Scientific American. Набоков упомянул его в романе «Ада», церковь сайентологии объявила его «подавляющей личностью», а за обедом с Сальвадором Дали он беседовал о тессерактах (четырехмерных кубах). Гарднер жил на улице под названием Евклид-авеню, а один его короткий рассказ о топологии опубликовали в журнале Esquire. Забавный парень.

546

Это число обычно обозначается: Florian Cajori, “History of Symbols for N Factorial,” Isis 3, no. 3 (1921): 416.

547

Нет, не сфера, потому что сфера – это множество точек, находящихся на расстоянии ровно 1 от данной точки. Поверхность Земли – сфера (ну хорошо, самую малость сплющенный у полюсов сфероид), а вот сама Земля – это шар. Разница такая же, как между окружностью и кругом. [В обоих случаях нужно добавлять, что речь идет о единичном шаре или единичной сфере. Если взять не 1, а другое число, то множество точек все равно будут называться шаром и сферой, но его радиус будет другим. Прим. пер.]

548

Одно из первых объяснений: Oscar B. Sheynin, “H. Poincaré’s Work on Probability,” Archive for History of Exact Sciences 42, no. 2 (1991): 159–60.

549

Который (будучи той рукой, которая пишет вместо Рассела Кроу во всех сценах с доской в биографическом фильме о Джонни Нэше «Игры разума») имеет число Бейкона, равное 2 (через Эда Харриса), и число Эрдёша, равное 2 (через Диакониса, который опубликовал совместную с Эрдёшем статью о наибольшем общем делителе через восемь лет после смерти соавтора). Эта статья, в свою очередь, первое звено на пути длиной 4 между Эрдёшем и Даникой Маккеллар.

550

Семь тасований обеспечивают: ключевое слово для меры «перемешанности», которая здесь используется, – «расстояние по полной вариации от равномерного распределения».

551

Самопроизвольное завязывание узлов при встряхивании веревки: Dorian M. Raymer and Douglas E. Smith, “Spontaneous Knotting of an Agitated String,” Proceedings of the National Academy of Sciences 104, no. 42 (2007): 16432–37.

552

Физик, читающий эти строки, поймет, что это крайне упрощенное изложение того, как сегодня думают об энтропии. Лучше (хотя все равно сильно упрощенно) представлять энтропию не как меру состояния супа, а как меру нашей неуверенности в состоянии супа. С течением времени эта неопределенность увеличивается, и сказать, что неопределенность максимальна, – значит (очень грубо) сказать, что все состояния одинаково вероятны. Однако гораздо больше состояний молекул соответствуют теплому супу, чем супу с разделением по температуре. Поэтому суп, скорее всего, в итоге будет теплым.

553

Физический закон приобрел бы: Poincaré, The Value of Science, 110–11.

554

Если из всех четырех миллиардов способов: здесь я пересказываю недавнюю теорему из статьи Harald Helfgott, Akos Seress, and Andrzej Zuk, “Random generators of the symmetric group: diameter, mixing time and spectral gap,” Journal of Algebra 421 (2015): 349–368. Не совсем строго, но думаю, что идею я передал верно.

555

Кубик Рубика имеет: Clay Dillow, “God’s Number Revealed: 20 Moves Proven Enough to Solve Any Rubik’s Cube Position,” Popular Science, Aug. 10, 2010.

556

Так называемая теория шести рукопожатий, согласно которой любые два человека на Земле разделены не более чем пятью уровнями общих знакомых (и, соответственно, шестью уровнями связей). Прим. ред.

557

В эксперименте участвовали не только жители Омахи, но и жители города Уичито (Канзас). Участникам давали описания условий эксперимента и базовую информацию о контактном лице из Шарона (это пригород Бостона). Испытуемые должны были отправить письмо (точнее, открытку) либо самому этому лицу (если его знали), либо какому-либо из своих знакомых, который, на их взгляд, имел наибольшие шансы быть знакомым с ним. Из 296 писем до цели добрались 64, однако это вовсе не означает, что в оставшихся случаях исходный и конечный человек никак не связаны: главная проблема была в том, что многие люди в цепочке просто не отправляли письмо дальше. Прим. пер.

558

В 1970 году Милгрэм действительно провел: C. Korte and S. Milgram, “Acquaintance Networks Between Racial Groups: Application of the Small World Method,” Journal of Personality and Social Psychology 15, no. 2 (1970): 101–08.

559

Технически я нахожуcь всего в шести шагах от вас: A. Legaspi, “Kevin Bacon Advocates for Social Distancing with ‘Six Degrees’ Initiative,” Rolling Stone, Mar. 18. 2020; www.rollingstone.com/movies/movie-news/kevin-bacon-social-dstancing-six-degrees-initiative-969516.

560

♦ Здесь и далее: название социальной сети, принадлежащей Meta Platforms Inc., признанной экстремистской организацией на территории РФ.

561

Facebook♦ – это граф маленького мира: информация о графе Facebook♦ взята из статей: Lars Backstrom et al., “Four Degrees of Separation,” Proceedings of the 4th Annual ACM Web Science Conference (June 22–24, 2012): 33–42, и Johan Ugander et al., “The Anatomy of the Facebook♦ Social Graph” (preprint, 2011), https://arxiv.org/abs/1111.4503.

562

И становится все теснее: описано в исследовательском блоге Facebook♦, research.fb.com/blog/2016/02/three-and-a-half-degrees-of-separation.

563

Крупномасштабный анализ: Ugander et al., “The Anatomy of the Facebook♦ Social Graph”. Так называемый парадокс дружбы был впервые описан в работе Scott L. Feld, “Why Your Friends Have More Friends Than You Do,” American Journal of Sociology 96, no. 6 (1991): 1464–77.

564

Дункан Уоттс и Стивен Строгац: Duncan J. Watts and Steven H. Strogatz, “Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks,” Nature 393, no. 6684 (1998): 440–42.

565

Стэнли Милгрэм считается отцом теории: в работе Judith S. Kleinfeld, “The Small World Problem,” Society 39, no. 2 (2002): 61–66, включающей обширные изыскания по архивам Милгрэма, есть информативное описание разницы между научными результатами Милгрэма и тем, как он представлял их в прессе.

566

Задумался о малом размере сетевого мира: историей исследования сетей типа маленького мира я обязан книгам Duncan Watts, Small Worlds: The Dynamics of Networks Between Order and Randomness (Princeton: Princeton University Press, 2003) и Albert-László Barabási, Mark Newman, and Duncan Watts, The Structure and Dynamics of Networks (Princeton: Princeton University Press, 2006).

567

Следует учитывать, что граф Эрдёша – Реньи, рассмотренный выше, и граф маленького мира строятся по-разному и имеют разные свойства. Распределение степеней вершин у первого – пуассоновское, а у второго – степенное. Длина среднего пути в первом пропорциональна log N (N – количество вершин), а во втором log log N, то есть гораздо короче, что и обсуждается в тексте. Прим. науч. ред.

568

Изучали «цепные взаимоотношения»: Jacob L. Moreno and Helen H. Jennings, “Statistics of Social Configurations,” Sociometry 1, no. 3/4 (1938): 342–74.

569

Эрдёш, Реньи и отец Милгрэма были венграми, и теория графов и по сей день считается венгерской темой; делайте с этим фактом, что хотите.

570

«Звенья цепи» (Láncszemek): использованный перевод принадлежит Адаму Маккаи и появился в работе Barabási, Newman, and Watts, The Structure and Dynamics of Networks, 21–26.

571

Мэдисон – столица штата Висконсин, местонахождение правительства штата. Прим. пер.

572

Очень внимательный читатель заметит, что на этой диаграмме не 99 точек, а только 61. [В Висконсине 99 избирательных округов. Прим. пер.] Причина в том, что мы рассматриваем только тот 61 округ, где своих кандидатов выставили обе партии.

573

Только два округа: округа 49 и 51. Я благодарю Джона Джонсона из Университета Маркетта за данные, лежащие в основе вышеуказанного, и за этот график.

574

Если убрать из формулы выборов Мэдисон и Милуоки: Molly Beck, “A Blue Wave Hit Statewide Races, but Did Wisconsin GOP Gerrymandering Limit Dem Legislative Inroads?”, Milwaukee Journal Sentinel, Nov. 8, 2018.

575

Как гласит старая еврейская поговорка, «если бы моя бабушка имела колеса, она была бы повозкой».

576

Этот проект – часть национальных усилий: как указано в книге Дэйва Дэйли Ratf**ked (New York: Liveright, 2016), или, если вы предпочитаете первоисточник, Karl Rove, “The GOP Targets State Legislatures: He Who Controls Redistricting Can Control Congress,” Wall Street Journal, Mar. 4, 2010.

577

Или почти в соответствии: Саманта Керкман (округ Рэндолл) – единственная из республиканцев, проголосовавшая против.

578

Однако эта гонка сделала: биографические сведения о Джо Хендрике и его цитаты взяты из книги R. Keith Gaddie, Born to Run: Origins of the Political Career (Lanham, MD: Rowman & Littlefield, 2003), 43–55.

579

Ее назвали «Агрессивный Джо»: информация о карте взята из решения по делу Уитфорд против Гилла (Whitford v. Gill) от 21 ноября 2016 года, страницы 14–15; www.scotusblog.com/wp-content/uploads/2017/04/16-1161-op-bel-dist-ct-wisc.pdf. Строго говоря, «Агрессивный Джо» была одной из нескольких весьма похожих карт; все они, в свою очередь, были очень похожи (если не полностью идентичны) на карту, введенную Актом 43; смотрите сноски 56 и 57 в решении по делу Уитфорд против Гилла.

580

Имеется в виду 54,5 % от суммы голосов демократов и республиканцев. Для простоты я отброшу голоса за мелкие партии (извините, либертарианцы) и буду считать доли для двух партий.

581

Получал большинство округов в целом: в штате Висконсин информация по результатам выборов на отдельных избирательных участках является открытой; так что если вы видите какое-то число без ссылки на источник, то это означает, что я или мой трудолюбивый сын (помощник по работе с данными) залезли в таблицы и получили эти данные самостоятельно.

582

Неустранимые изъяны: Baumgart v. Wendelberger, case nos. 01-C-0121, 02-C-0366 (E.D. Wis., May 30, 2002), 6.

583

Не все. Я убрал поражение на выборах в сенат 2006 года и довольно странные губернаторские выборы 2002 года, когда младший брат бывшего республиканского губернатора баллотировался от либертарианской партии и получил 10 % голосов.

584

Карты, которые мы принимаем: Matthew DeFour, “Democrats’ Short-Lived 2012 Recall Victory Led to Key Evidence in Partisan Gerrymandering Case,” Wisconsin State Journal, July 23, 2017.

585

В Новой Зеландии: материал по системам разбиения на округа в разных странах, а также частично другие материалы этой главы взяты из статьи J. Ellenberg, “Gerrymandering, Inference, Complexity, and Democracy,” Bulletin of the American Mathematical Society 58, no. 1 (2021), 57–77.

586

В сенате Гонконга 70 мест. При этом 35 человек избираются по географическим округам, а 35 человек – от отдельных групп. Кроме упомянутой отрасли образования, за свое место голосуют строители, юристы, медики, финансисты и так далее. Прим. пер.

587

Городок Данвич: C. Lynch, “The Lost East Anglian City of Dunwich Is a Reminder of the Destruction Climate Change Can Wreak,” New Statesman, Oct. 2, 2019.

588

Граф Грей (Earl Gray) – титул в Соединенном Королевстве. Одновременно Earl Gray («Эрл Грей») – популярный сорт черного чая с бергамотом, названный как раз в честь 2-го графа Грея. Прим. пер.

589

Представителей больше: E. Burke, “Speech on the Plan for Economical Reform,” February 11, 1780. Reprinted in Selected Prose of Edmund Burke, ed. Sir Philip Magnus (London: The Falcon Press, 1948), 4–44.

590

Правительство является республиканским: “Proposals to Revise the Virginia Constitution: I. Thomas Jefferson to ‘Henry Tompkinson’ (Samuel Kercheval), 12 July 1816,” Founders Online, National Archives; https://founders.archives.gov/documents/Jefferson/03-10-02-0128-0002.

591

Даже в XX веке: I. L. Smith, “Some Suggested Changes in the Constitution of Maryland,” July 4, 1907, опубликовано в: Report of the Twelfth Annual Meeting of the Maryland State Bar Association (1907), 175.

592

Кто-нибудь объяснит: Smith, “Some Suggested Changes,” 181.

593

В данном случае округ (county) – это не избирательный округ (district), а стандартная административно-территориальная единица США: каждый штат делится на округа. Чтобы различать понятия, далее в разделе и в этой главе в целом, если может произойти смешение, используются термины «избирательный округ» и «административный округ». Прим. пер.

594

Более крупные и густонаселенные округа: прения по делу Рейнольдс против Симса. Я не знаю, доступны ли стенограммы прений; я взял эту цитату из записи, и, чтобы ощутить весь эффект, вам нужно послушать все выступление со всем южным возмущением. Его можно найти по адресу: https://www.oyez.org/cases/1963/23.

595

Строго говоря, Гамильтон говорит здесь о Статьях Конфедерации, а не о распределении мест в сенате в только что разработанной конституции. [Статьи Конфедерации – первый конституционный документ США, принятый в 1777 году; был заменен конституцией только в 1787 году. Прим. пер.] Однако он высказывался аналогично и о ней: «В наших ли интересах менять это общее управление, жертвуя правами отдельных людей ради сохранения прав искусственных сущностей, именуемых штатами?»

596

То есть 18 % населения в 50 штатах. Процент окажется еще ниже, если вы учтете американцев, которые проживают в Вашингтоне, округ Колумбия, Пуэрто-Рико и других территориальных владениях США, которые вообще не имеют представительства в сенате.

597

Северяне и южане долгое время спорили, как считать население при определении числа мест в палате представителей. Южане считали, что положено учитывать всех, включая рабов, а северяне настаивали, что учитывать нужно только свободных. В итоге стороны пришли к компромиссу; население южных штатов определялось так: число свободных граждан плюс три пятых от числа рабов. Прим. пер.

598

Филадельфийский конвент, обсуждавший эти вопросы, проходил с 25 мая по 17 сентября. Прим. пер.

599

Пуэрто-Рико, Северные Марианские острова и Гуам имеют статус неинкорпорированных организованных территорий США. Прим. пер.

600

Гуамцы с активной гражданской позицией: A. Balsamo-Gallina and A. Hall, “Guam’s Voters Tend to Predict the Presidency – but They Have No Say in the Electoral College,” Public Radio International, The World, Nov. 8, 2016; https://www.pri.org/stories/2016-11-08/presidential-votes-are-guam-they-wont-count.

601

Крайола (Crayola) – бренд товаров для рисования (мелки, краски, маркеры, фломастеры). Автор выбрал такое название для вымышленного штата, поскольку будет пользоваться «цветовыми» названиями. Прим. пер.

602

Буквально Цветоград – от греч. χρῶμα (хрома) «краска, цвет» и πόλις (полис) «город». Прим. пер.

603

Что в Висконсине и многих других штатах: мнение Роберта Уоррена, генерального прокурора Висконсина, 58 OAG 88 (1969).

604

«Милуоки Брюэрс» (Milwaukee Brewers) – бейсбольный клуб из Милуоки. Прим. пер.

605

Пересекают границу между административными округами: информация о создании этих участков и их жульнических свойств взята из работы Malia Jones, “Packing, Cracking and the Art of Gerrymandering Around Milwaukee,” WisContext, June 8, 2018; www.wiscontext.org/packing-cracking-and-art-gerrymandering-around-milwaukee.

606

Разве я не говорил, что конституция Висконсина запрещает нарушать границы округов? Да, но до сих пор судебные обжалования этой карты проходили через федеральные суды, которые не рассматривают потенциальные нарушения конституции штата.

607

Еще один факт в подтверждение: в ноябре 2020 года демократам удалось победить еще в одном избирательном округе – 13-м. Президентское голосование в штате было почти равным, как и гонка между Уокером и Иверсом, а республиканцы при этом сохранили большинство в ассамблее 61–39.

608

Было время, когда Висконсин славился: Baldus v. Members of the Wis. Gov’t Accountability Bd., 843 F. Supp. 2d 955 (E.D. Wis. 2012).

609

Федералистская партия США официально существовала с 1792 до 1820-х годов. Прим. пер.

610

Которую он защитил в 1907 году: E. C. Griffith, The Rise and Development of the Gerrymander (Chicago: Scott, Foresman, 1907).

611

Эта практика восходит: Griffith, The Rise and Development of the Gerrymander, 26–27.

612

Мэдисон все же победил: о Генри, который, возможно, мошенничал, рассказывается в Griffith, The Rise and Development of the Gerrymander, 31–42, а в более современных терминах – в T. R. Hunter, “The First Gerrymander? Patrick Henry, James Madison, James Monroe, and Virginia’s 1788 Congressional Districting,” Early American Studies 9, no. 3 (Fall 2011): 781–820.

613

Который получил большинство в Коллегии выборщиков в 1888 году, проиграв всенародное голосование, хотя можете не соглашаться, настаивать не стану.

614

Устанавливается правление меньшинства: United States Department of State, Papers Relating to the Foreign Relations of the United States (Washington, DC: Government Printing Office, 1872), xxvii.

615

Доля «колеблющихся избирателей»: C. D. Smidt, “Polarization and the Decline of the American Floating Voter,” American Journal of Political Science 61, no. 2 (April 2017): 365–81.

616

Сравните с тем, что говорил Элмер Каммингс Гриффт о столь же поляризованной эпохе: «К 1840 году две великие партии занялись стабильной и постоянной борьбой за политическое первенство. При общей политической стабильности результаты выборов можно предсказывать с большими шансами на успех. Когда ситуация с партиями устоялась, переходы избирателей от одной партии к другой составляют небольшую долю. Поэтому результаты выборов можно с уверенностью предсказывать в определенных пределах».

617

«Узнаю, когда вижу» (I know it when I see it) – крылатое американское выражение, означающее умение определить какое-то явление без точного определения. Судья Поттер Стюарт использовал эту фразу в 1964 году в отношении порнографии. Прим. пер.

618

В современной России аналогичный интерес представляет так называемая лепестковая нарезка на выборах Государственной думы 2015 года в Новосибирской области, при которой каждый район города присоединен к нескольким сельским районам. Примечательны также округа на местных выборах в Балтийске в том же году, большая часть которых состоит из двух участков в двух разных городах, Балтийске и Приморске, соединенных длиной и очень узкой полосой, идущей вдоль косы Балтийского моря. Прим. науч. ред.

619

Великая старая партия (Grand Old Party, GOP) – неофициальное название Республиканской партии. Прим. пер.

620

Шея Гуфи – просто автостоянка: T. Gabriel, “In a Comically Drawn Pennsylvania District, the Voters Are Not Amused,” New York Times, Jan. 26, 2018.

621

В частности, инвариантом является подобие, которое мы обсуждали в главе 3.

622

Его строгое доказательство: подробный обзор этой истории можно найти в работе V. Blasjo, “The Isoperimetric Problem,” American Mathematical Monthly 112, no. 6 (June-July 2005): 526–566.

623

На самом деле сфера получится только приближенно: после заполнения углублений получатся кусочки плоскостей. Прим. пер.

624

Такие нечестные округа: я не вычислял никаких оценок компактности для висконсинских карт Акта 43, однако оспаривание округов по Акту 43 в суде основано не на компактности, так что я вполне безопасно полагаю, что с ними все в порядке. Во всяком случае, они хорошо выглядят.

625

В судебном деле Шоу против Рено, касавшемся расового джерримендеринга. Проведение границ округов с целью гарантировать (или воспрепятствовать) представительство какого-либо меньшинства – это отдельная большая тема в практике создания избирательных округов, и в нашей главе нет для этого места.

626

Американскому журналисту Генри Менкену принадлежит афоризм: «У каждой человеческой проблемы всегда есть хорошо известное решение – ясное, обоснованное и неправильное» (There is always a well-known solution to every human problem – neat, plausible, and wrong). Часто его приводят в форме: «Каждая сложная проблема имеет решение, которое просто, обоснованно и неверно». Прим. пер.

627

Похоже, извлекла пользу из джерримендеринга: P. Bump, “The Several Layers of Republican Power-Grabbing in Wisconsin,” Washington Post, Dec. 4, 2018.

628

Честно говоря, после выборов 2008 года в каждом штате на один срок был один представитель партии меньшинства.

629

Никогда ни один человек от этой партии: впрочем, Джастин Амаш из Мичигана, избранный как республиканец, вышел из этой партии и на срок исполнения обязанностей зарегистрировался как либертарианец, а затем отказался баллотироваться на второй срок.

630

Даже первый премьер-министр Канады: Anthony J. Gaughan, “To End Gerrymandering: The Canadian Model for Reforming the Congressional Redistricting Process in the United States,” Capital University Law Review 41, no. 4 (2013): 1050.

631

И поэтому давайте: R. MacGregor Dawson, “The Gerrymander of 1882,” Canadian Journal of Economics and Political Science/Revue Canadienne D’Economique et De Science Politique 1, no. 2 (1935): 197.

632

Они говорят, что: “The Full Transcript of ALEC’s ‘How to Survive Redistricting’ Meeting,” Slate, Oct. 2, 2019; https://slate.com/news-and-politics/2019/10/full-transcript-alec-gerrymandering-summit.html.

633

У двух партий? А если… да, знаю-знаю. Количественные исследования джерримендеринга в случае, когда партий больше двух, – это практически неизученная область, и я предлагаю вам поразмышлять над этим вопросом!

634

Как в нашем примере с Крайолой: а если явка по избирательным округам будет не одинаковой? Связи между разрывом эффективности и общим голосованием в такой более общей ситуации изучаются в работе Ellen Veomett, “Efficiency Gap, Voter Turnout, and the Efficiency Principle,” Election Law Journal: Rules, Politics, and Policy 17, no. 4 (2018): 249–263.

635

Указал в консультативном заключении: Brief for the State of Wisconsin as Amicus Curiae, Benisek v. Lamone, 585 U.S. (2018).

636

Еще один факт в подтверждение: в ноябре 2020 года, когда Шахтнер впервые попробовала пойти на обычные выборы, она проиграла с разницей в 19 пунктов.

637

Юридические баталии по поводу джерримендеринга: часть материалов по делу Ручо против Common Cause взята из работы J. Ellenberg, “The Supreme Court’s Math Problem,” Slate, March 29, 2019; https://slate.com/news-and-politics/2019/03/scotus-gerrymandering-case-mathematicians-brief-elena-kagan.html.

638

Автор ошибается. Вместо ушедшего на пенсию в 2018 году Энтони Кеннеди в состав суда вошел Бретт Кавано. Нил Горсач появился в составе Верховного суда еще в 2017 году вместо Антонина Грегори Скалиа. Прим. пер.

639

А сейчас позвольте мне: O. Wiggins, “Battles Continue in Annapolis over the Use of Bail and Redistricting,” Washington Post, March 21, 2017.

640

Запретил в Мэриленде избирательные округа неравного размера: в деле Maryland Committee for Fair Representation v. Tawes, 377 U.S. 656 (1964).

641

«Федералист» («Записки федералиста») – сборник из 85 статей и эссе Александра Гамильтона, Джеймса Мэдисона и Джона Джея, которые под общим псевдонимом Публий написали их в 1787–1788 годах. Упомянутое ранее эссе Гамильтона «Федералист № 22» входит в этот сборник. Прим. пер.

642

Строго говоря, «Консультативное заключение математиков, профессоров права и студентов-юристов», но большинство из нас были математиками.

643

Математики подобны энтам – разумным деревьям: J. R. R. Tolkien, The Two Towers (London: George Allen & Unwin, 1954), book 3, ch. 4.

644

За исключением Невады – единственного штата, в котором не требуется связности; подумайте об этом, позже нам это понадобится.

645

Рядом с колоссальным количеством способов: указанное число 706 152 947 468 301 получил Боб Харрис в своем препринте 2010 года “Counting Nonomino Tilings and Other Things of That Ilk”.

646

Не существует ни точной формулы, ни даже приличного приближения для этого числа. Число способов разделить 81 клетку в квадрате 9 × 9 на девять связных областей одинакового размера (если хотите, это число возможных обобщенных вариантов судоку) равно уже 706 152 947 468 301. Висконсин же имеет 6672 участка, которые нужно разделить на 99 областей.

647

Конкретно этим компьютером управляли: Gregory Herschlag, Robert Ravier, and Jonathan C. Mattingly, “Evaluating Partisan Gerrymandering in Wisconsin” (preprint, 2017), arXiv:1709.01596.

648

Здесь есть определенные проблемы, например: что делать с людьми, которые живут в округах, где выборы в реальной жизни были безальтернативными? Вам нужно оптимальным образом предположить, как голосовали бы избиратели при наличии кандидатов от обеих партий; это можно сделать с помощью экстраполяции данных, как голосовал этот округ на пост президента, губернатора или в палату представителей, когда было два кандидата.

649

Значение, которое случайная величина принимает чаще всего (место, где гистограмма дает пик), обычно называют модой – еще один термин, предложенный Карлом Пирсоном.

650

Шесть лет спустя: анализ в работе Herschlag et al., “Evaluating Partisan Gerrymandering in Wisconsin,” выполнен только до выборов 2016 года включительно, однако Грег Хершлаг был настолько любезен, что провел для меня аналогичные испытания для губернаторских выборов 2018 года.

651

Получив почти 52 % голосов: точнее, 52 % – это доля в общем голосовании, которую республиканцы (по оценке Хершлага и его коллег) получили бы, если бы выставляли кандидата во всех округах на выборах в ассамблею штата.

652

На выборах 2014 года: Herschlag et al., “Evaluating Partisan Gerrymandering in Wisconsin,” data summarized in figure 3, p. 3.

653

Как избиратель Висконсина: материал на этой странице взят из работы J. Ellenberg, “How Computers Turned Gerrymandering into a Science,” New York Times, Oct. 6, 2017.

654

Если вам очень интересно знать, то это своеобразная геометрия всех двумерных геометрий, названная в честь одного из самых ярых нацистов в математике первой половины XX века Освальда Тейхмюллера, хотя никак нельзя сказать, что он ее полностью разработал.

655

Под названием ReCom-геометрия: Daryl DeFord, Moon Duchin, and Justin Solomon, “Recombination: A Family of Markov Chains for Redistricting” (preprint, 2019); https://arxiv.org/abs/1911.05725.

656

«Балтимор Рэйвенс» (Baltimore Ravens) – клуб Национальной футбольной лиги (американский футбол). Прим. пер.

657

Одна из его первых работ: John C. Urschel, “Nodal Decompositions of Graphs,” Linear Algebra and Its Applications 539 (2018): 60–71. Я брал интервью у Джона и писал о его крайне интересном и одновременно странно типичном пути в математику в онлайн-журнале Hmm Daily (“John Urschel Goes Pro,” Sep. 28, 2018); https://hmmdaily.com/2018/09/28/john-urschel-goes-pro.

658

Если слегка не так грубо, то «количество отверстий четной размерности минус количество отверстий нечетной размерности». Если вам интересно узнать, как дела обстоят на самом деле, посмотрите книгу Дэйва Ричесона Euler’s Gem. [Переведена на русский язык: Ричесон Д. Жемчужина Эйлера. М.: ДМК Пресс, 2021. Прим. пер.]

659

Белые линии на рисунке: взято с веб-страницы Расса Лайонса по адресу: pages.iu.edu/~rdlyons/maze/maze-bostock.html; Расс создал его с помощью реализации алгоритма Уилсона, выполненной Майком Бостоком.

660

Теорема Манны, Дхара и Мажумдара 1992 года: Subhrangshu S. Manna, Deepak Dhar, and Satya N. Majumdar, “Spanning Trees in Two Dimensions,” Physical Review A 46, no. 8 (1992): R4471–R4474.

661

Доказала в 2017 году: Melanie Matchett Wood, “The Distribution of Sandpile Groups of Random Graphs,” Journal of the American Mathematical Society 30, no. 4 (2017): 915–58.

662

В смысле Эрдёша и Реньи, глава 13.

663

Когда последовательность остовных деревьев: Alexander E. Holroyd et al., “Chip-Firing and Rotor-Routing on Directed Graphs,” In and Out of Equilibrium 2, ed. Vladas Sidoravicius and Maria Eulália Vares (Basel, Switzerland: Birkhäuser, 2008), 331–64.

664

Если вы хотите знать больше, а не меньше, обратитесь к книге «Политическая геометрия» под редакцией Дачина, Ари Ниеха и Оливии Уолч.

665

Но если вы хотите получать каждое остовное дерево с равной вероятностью, нужно обдуманно выбирать удаляемое ребро; можно следовать примеру Дефорда, Дачина и Соломона и использовать «алгоритм Уилсона», который также немного быстрее.

666

Создать как можно больше: заявление Хофеллера цитируется в решении судьи Джеймса Уинна по делу Ручо против Common Cause, 318 F. Supp. 3d 777, 799 (M.D.N.C., 2018), 803.

667

Истцы просили суд: Brief for Common Cause Appellees, Rucho v. Common Cause.

668

Девять демократов и ноль республиканцев: M. Duchin et al., “Locating the Representational Baseline: Republicans in Massachusetts,” Election Law Journal: Rules, Politics, and Policy 18, no. 4 (2019): 388–401.

669

Насколько я могу судить по словам моих друзей-юристов, «выражаются в» здесь означает нечто среднее между «проистекают из» и «представляют собой». И люди еще говорят, что это математики говорят на непонятном жаргоне!

670

Приглашаю читателя обратить внимание на сходство этой идеи с доказательством по индукции, появлявшимся при разговоре об игре «Ним».

671

Палата представителей приняла закон: H.R. 1, 116th Congress, “For the People Act of 2019,” особенно раздел II, подраздел E.

672

Над которыми конгресс власти не имеет: по крайней мере, по традиционному мнению; но Питер Каллис, “The Boerne-Rucho Conundrum: Nonjusticiability, Section 5, and Partisan Gerrymandering,” 15 Harvard Law and Policy Review (готовится к печати), утверждает, что решение по делу Ручо можно истолковать так, что оно предоставляет конгрессу полномочия контролировать разделение штатов на избирательные округа.

673

Во всяком случае, так принято считать, однако в последнее время некоторые юристы утверждают, что конгресс может регулировать работу законодательных собраний штатов в силу Четырнадцатой поправки.

674

55 из 72 административных округов: “11 More Wisconsin Counties Should Vote ‘Yes’ to End Gerrymandering,” Wisconsin State Journal, Sep. 12, 2020.

675

Впрочем, когда я однажды заметил одному висконсинскому судье в отставке, что не понимаю, каким образом текста конституции Висконсина было достаточно для какой-то юридической претензии, он посмотрел на меня усталым взглядом и сказал: «Я вижу, что вы не юрист, работающий в суде».

676

Удостоверяющая, что платные агитаторы: M. R. Wickline, “3 Ballot Petitions in State Ruled Insufficient,” Arkansas Democrat-Gazette, July 15, 2020. О количестве собранных подписей: J. Lynch, “Backers of Change in Arkansas’ Vote Districting Sue in U.S. Court,” Arkansas Democrat-Gazette, Sep. 3, 2020. На ноябрьском голосовании в Арканзасе этот вопрос не появился.

677

Разбивая регулярные парки, идеальные линии которых: цитата Бейкера и эта интерпретация французских регулярных парков – из книги Амира Александера Proof! How the World Became Geometrical (New York: Scientific American/Farrar, Straus and Giroux, 2019). Стоит отметить: в то время как Бейкер считает строгие геометрические конструкции проявлением британской колониальной власти, ранее англичанин Энтони Троллоп считал прямолинейную планировку американских городов совершенно не британской, упоминая «параллелограммную болезнь» Филадельфии и Верхнего Манхэттена.

678

Издана на русском языке: Эбботт Э. Флатландия. Бюргер Д. Сферландия. СПб.: Амфора, 2015. Прим. ред.

679

Возможно, это был математический каламбур: полное имя писателя – Эдвин Эбботт Эбботт (Edwin Abbott Abbott), и инициалы EAA можно воспринять алгебраически как «E A в квадрате».

680

Это очень загадочная: New York Times, Feb. 23, 1885.

681

Он входил в совет организации: Edwin Abbott Abbott, W. Lindgren, and T. Banchoff, Flatland: An Edition with Notes and Commentary (Cambridge: Cambridge University Press, 2010), 262.

682

В XVII веке в Италии: об этой истории смотрите первую часть книги Amir Alexander, Infinitesimal (New York: Scientific American/Farrar, Straus and Giroux, 2014).

683

Первым чернокожим химиком-исследователем: “Comprehensive Biography of Rita Dove,” University of Virginia, people.virginia.edu/~rfd4b/compbio.html.

684

Мы с братом: “A Chorus of Voices: An Interview with Rita Dove,” Agni 54 (2001), 175.

685

Двусторонние карточки с различными заданиями, часто выполняемыми на скорость. Иногда называются флеш-картами. Прим. пер.

686

Тюльпанное дерево (лириодендрон) – дерево семейства магнолиевых. Прим. пер.

687

Вы также осознаете, что вас любят: “A Chorus of Voices,” 175.

688

Не думаю, что Дав завуалированно намекает на расширение палаты представителей, чтобы обеспечить более равное представительство в коллегии выборщиков, однако поэтическая строка содержит много перекрывающихся смыслов, так что, если вы хотите, чтобы здесь подразумевалось это, давайте скажем, что так и есть. [В стихотворении использовано слово house, палата представителей – House of Representatives. Прим. пер.]

689

Только что сказанного мною достаточно: Henri Poincaré, “The Future of Mathematics” (1908), trans. F. Maitland, appearing in Science and Method (Mineola, NY: Dover Publications, 2003), 32.

690

Подождите, но разве Эйнштейн не показал, что наше пространство тоже такое? В некотором роде да, однако в теории относительности мы имеем дело с геометрией, где инвариантами являются углы, в то время как вопрос Пуанкаре относится к более свободному виду геометрии, который мы называем топологией (потому что именно так она и называется), где окружность, квадрат и треугольник – одно и то же.

691

На самом деле это сюжет продолжения «Флатландии», написанный в 1950-х годах нидерландским учителем Дионисом Бюргером; его книга называется «Сферландия». Общество оказывается потрясено открытием, что у очень больших треугольников сумма углов превышает 180 градусов.

692

Сам Перельман в этом не участвовал: Luke Harding, “Grigory Perelman, the Maths Genius Who Said No to $1m,” Guardian, Mar. 23, 2010.

693

Мы не пытаемся: William P. Thurston, “On Proof and Progress in Mathematics,” Bulletin of the American Mathematical Society 30, no. 2 (1994): 161–77.

694

Вообще-то мне неинтересно: William Grimes, “David Blackwell, Scholar of Probability, Dies at 91,” New York Times, July 17, 2010.

695

Я все еще помню понятие: Donald J. Albers and Gerald L. Alexanderson, Mathematical People: Profiles and Interviews (Boca Raton, FL: CRC Press, 2008), 15.

696

В Талмуде есть знаменитая история: Bava Metzia 59a-b. Комментарии к этой истории и ее связь с современным юридическим мышлением смотрите в работе D. Luban, “The Coiled Serpent of Argument: Reason, Authority, and Law in a Talmudic Tale” Chicago-Kent Law Review 79, no. 3 (2004); https://scholarship.kentlaw.iit.edu/cklawreview/vol79/iss3/33. Момент, где стены при доказательстве накреняются, эхом отражен в стихотворении Дав «Геометрия» – совпадение?

697

Если быть точным, когда стены накренились, Йеошуа рявкнул на них: «Когда мудрые люди ведут спор, какое у вас право вмешиваться?» И стены из уважения к рабби Йеошуа прекратили наклоняться, но из уважения к рабби Элиэзеру не стали и выпрямляться, оставшись наклонными. Прим. пер.

698

Он безжалостно анализировал: William Henry Herndon and Jesse William Weik, Herndon’s Lincoln, ed. Douglas L. Wilson and Rodney O. Davis (Champaign, IL: University of Illinois Press, 2006), 354.

699

Элиэзер мне также нравится: Визель цитируется по работе “Wiesel: ‘Art of Listening’ Means Understanding Others’ Views,” Daily Free Press, Nov. 15, 2011; https://dailyfreepress.com/2011/11/15/wiesel-art-of-listening-means-understanding-others-views.

700

В те критические годы: из книги A. Grothendieck, Recollte et Semailles, trans. Roy Lisker, доступно в Ferment Magazine по адресу: https://www.fermentmagazine.org/rands/promenade2.html.

Content

Джордан Элленберг
Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Введение. Каковы вещи на самом деле и как они выглядят

Глава 1. «Я голосую за Евклида»

Глава 2. Сколько отверстий в соломинке?

Глава 3. Одно название разных вещей

Глава 4. Фрагмент сфинкса

Глава 5. «Его стиль – непобедимость»

Глава 6. Загадочная сила метода проб и ошибок

Глава 7. Искусственный интеллект как альпинизм

Глава 8. Вы – свой нольюродный брат, и другие карты

Глава 9. Три года воскресений

Глава 10. Что произошло сегодня, произойдет и завтра

Глава 11. Этот ужасный закон увеличения

Глава 12. Дым в листе

Глава 13. Складка в пространстве

Глава 14. Как математика разрушила демократию, но все еще может ее спасти

Заключение. Я доказываю теорему, и дом расширяется

Благодарности

Над книгой работали

Эту книгу хорошо дополняют:

Сноски