В. А. Успенский

Апология математики (сборник статей)

Редактор Маргарита Савина

Руководитель проекта А. Шувалова

Корректор Е. Аксёнова

Компьютерная верстка М. Поташкин

Дизайн обложки Ю. Буга

Иллюстрация на обложке shutterstock.com

© Успенский В., 2017

© Издание на русском языке, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2017

Все права защищены. Произведение предназначено исключительно для частного использования. Никакая часть электронного экземпляра данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для публичного или коллективного использования без письменного разрешения владельца авторских прав. За нарушение авторских прав законодательством предусмотрена выплата компенсации правообладателя в размере до 5 млн. рублей (ст. 49 ЗОАП), а также уголовная ответственность в виде лишения свободы на срок до 6 лет (ст. 146 УК РФ).

* * *

Предисловие ко второму изданию

Любезного читателя, купившего, укравшего, одолжившего, взявшего в библиотеке или иным способом получившего в постоянное или временное владение настоящую книгу, прошу прочесть предисловие к первому изданию. Оно идёт сразу вслед за этим предисловием.

Но ведь читатель сначала должен решить, стоит ли ему хотя бы фрагментарно читать настоящую книгу. Поэтому сообщаю, на кого она рассчитана. Настоящая книга рассчитана на образованных дилетантов.

Приятно отметить, что ошибку в одном из чертежей первого тиража первого издания указал мне вовсе не математик, а лингвист доктор филологических наук Анатолий Фёдорович Журавлёв.

Книга не вышла бы в свет, если бы этого не пожелало издательство «Альпина нон-фикшн». Приношу глубокую признательность этому издательству в лице тех, чьё содействие я ощутил.

Это генеральный директор Павел Дмитриевич Подкосов. Именно он позвонил мне и предложил переиздать «Апологию математики». Он пошёл мне навстречу в важном для меня вопросе: сделать исключение из стандартов издательства и использовать букву ё с двумя диакритическими точками. Личное общение с ним было приятным и полезным.

Это менеджер проектов Александра Михайловна Шувалова. С ней я вёл постоянную переписку. Она взяла на себя труд быть посредником между автором и генеральным директором, а также между автором и редактором книги.

Это редактор книги Маргарита Евгеньевна Савина. Не будучи математиком, она провела героическую работу по редактированию книги хотя и популярной, но всё же математической. Более того, она поправила некоторые формулы в этой книге.

Предисловие к первому изданию

Редкий читатель добирается до середины предисловия, поэтому главное следует сказать в начале. В тексте этого сборника наряду со всем знакомыми кавычками-ёлочками и кавычками-лапками применяются одинарные кавычки. Они называются также марровскими. Закрывающая марровская кавычка имеет вид запятой, поднятой на верхнюю линию шрифта (иногда опрокинутой «вниз головой» и одновременно зеркально отражённой). Открывающая марровская кавычка также выглядит как поднятая запятая, но непременно либо отражённая, либо опрокинутая. Марровские кавычки применяются для обозначений понятий и смыслов, то есть тех абстрактных сущностей, которые есть лишь в нашем сознании. Надеюсь, что всё станет ясным из двух приводимых ниже примеров.

1. Фразу Слово «число» выражает понятие числа можно записать так: Слово «число» выражает понятие 'число'.

2. Фразу Смысл предложения «Петя съел яблоко» состоит в том, что Петя съел яблоко можно записать так: Смысл предложения «Петя съел яблоко» есть 'Петя съел яблоко'.

Пропуски в цитатах обозначены многоточием, заключённым в квадратные скобки […], чтобы читатель не путал его с многоточием, употреблённым автором цитаты.

В сборник вошли девять текстов, написанных автором в разное время, с 1965 по 2008 г. Все они были в своё время опубликованы[1]. Однако при подготовке сборника тексты подвергались переработке, иногда минимальной, а иногда довольно существенной. Наилучший способ получить представление об их тематике – заглянуть в содержание; все они в той или иной степени относятся (или хотя бы примыкают) к не имеющей чётких границ области знания, которую одни именуют философией математики, другие – основаниями математики, третьи – ещё как-нибудь. К этой же области принадлежат работы А. Н. Колмогорова и П. К. Рашевского, включённые в сборник в качестве приложений I и II. Автор имел честь быть учеником А. Н. Колмогорова и слушать лекции П. К. Рашевского во время учёбы в Московском университете.

Сочиняя включённые в сборник тексты, автор если кого и видел в качестве читателя, то отнюдь не профессионального математика. Уж скорее (в большинстве случаев) гуманитария. Правильнее всего будет сказать, что книга рассчитана на образованного дилетанта. Приходилось поэтому выбирать между понятностью и точностью. Предпочтение отдавалось понятности. (За неточности прошу прощения у коллег-математиков. Достигнуть абсолютной точности всё равно невозможно. Как, впрочем, и абсолютной понятности – вообще чего-либо абсолютного.) Тем не менее читателю-нематематику отдельные места могут показаться трудными для восприятия. Возможно также, что некоторую сообщаемую автором информацию он сочтёт избыточной, утяжеляющей чтение. Что ж, такие места автор советует пропускать, как и всё, что читатель посчитает неинтересным.

Должен также заметить, что отдельные сюжеты и даже рисунки повторяются в тексте сборника (но не в пределах одной и той же статьи). Вызвано это стремлением к тому, чтобы каждую статью можно было читать как отдельное произведение, не обращаясь к другим статьям сборника. В большинстве случаев независимо друг от друга можно читать и разделы статей.

Хотел бы выразить глубокую благодарность заместителю главного редактора издательства «Амфора» Елене Сергеевне Суворовой, которая способствовала выходу в свет этой книги, и Татьяне Германовне Филатовой, которая эту книгу редактировала. Работать с ними было приятно.

Из предисловия к сборнику переводов «Математика в современном мире»

Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках[2]. Несмотря на то что вторжение математики продолжается – и со всё возрастающей интенсивностью, – удивление по этому поводу скорее даже убывает: математическая экспансия стала привычной. Сейчас уже все смирились со словосочетаниями «математическая биология», «математическая лингвистика», «математическая экономика», «математическая психология»; и какую дисциплину ни возьми, вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение к её наименованию эпитета «математический».

Распространение математики вширь сопровождается её проникновением вглубь; математика занимает теперь видное положение в жизни общества. Изменилось и традиционное представление о математиках: место паганелеобразных чудаков заняли молодые люди в ковбойках, увлекающиеся лыжным спортом. Всё большее число родителей желает определить своих детей в школы с математическим уклоном: математика стала модной профессией.

Исчерпывающие причины такого стремительного (в течение последних 10–15 лет) изменения роли математики в современном мире, конечно, легче будет установить будущим историкам науки, чем нам, наблюдающим его сегодня. Однако уже сейчас можно, пожалуй, сказать, что основная причина заключается не только и не столько в конкретных успехах последних лет, сколько в осознании необъятных возможностей применения математики и появлении возросших потребностей в использовании этих возможностей.

Тем не менее повсеместное проникновение математики некоторым кажется загадочным, а некоторым – подозрительным. В самом деле, не вызывает сомнений право на всеобщее признание, скажем, физики или химии: физика открывает нам новые мощные источники энергии и новые средства быстрой связи, химия создаёт искусственные ткани, а сейчас покушается и на создание искусственной пищи. (Сказанное не претендует, разумеется, на какое-либо определение и тем более ограничение роли физики и химии.) Неудивительно, что эти науки, помогающие человеку в его извечных поисках еды, одежды, источников силы и способов связи, прочно вошли в нашу жизнь, заняв в ней почётное место. А ведь математика проникла даже в науки, традиционно считающиеся гуманитарными. И хотя, например, в языкознании пользуются физическими приборами для исследования устной речи, никто не говорит о «физической лингвистике».

Так что же даёт людям математика, теоретическая наука, которая не открывает ни новых веществ, как химия, ни новых средств перемещения предметов или передачи сигналов, как физика? И почему появление в какой-либо отрасли науки математических методов исследования или хотя бы просто математического осмысления соответствующей системы понятий и фактов всегда означает достижение этой отраслью определённого уровня зрелости и начало нового этапа в её дальнейшем развитии? Наиболее распространённый в недавнем прошлом ответ состоял в том, что математика умеет хорошо вычислять и тем самым позволяет находить в нужных случаях требуемые цифровые данные. Однако при всей важности вычислительного аспекта математики – и особенно в последние годы, ознаменованные столь бурным развитием вычислительной техники, – этот аспект оказывается и второстепенным, и вторичным при попытке объяснить причины математизации современного мира.

Любая попытка дать краткое объяснение этих причин неизбежно приведёт к неполной и неточной формулировке. Если всё же заранее согласиться на это, то можно сказать следующее: математика предлагает весьма общие и достаточно чёткие модели для изучения окружающей действительности, в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками; действительность же так усложнилась (как за счёт познания новых её сторон, так и за счёт создания человеком новых её форм), что без упрощающих, огрубляющих, формализующих, охватывающих лишь одну сторону явления моделей ныне не обойтись. Появление таких моделей в какой-либо отрасли науки свидетельствует о том, что система понятий этой отрасли уточнилась настолько, что может быть подвергнута строгому и абстрактному, т. е. математическому, изучению. Такое изучение, в свою очередь, играет решающую роль в дальнейшем уточнении понятий, а следовательно, и в успешном их применении. Математическая модель нередко задаётся в виде особого «языка», предназначенного для описания тех или иных явлений. Именно так, в виде языка, возникли в XVII в. дифференциальное и интегральное исчисления. Важнейшим примером математического языка, описывающего количественную сторону явлений, служит «язык цифр»; вот почему упомянутый выше вычислительный аспект математики как производный от её основного языкового аспекта мы назвали вторичным. Замечательно, что, хотя математическая модель создаётся человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения; познавая её свойства, мы тем самым познаём и свойства отражённой моделью реальности.

Сказанным обусловлен и специфический характер математических открытий. Естественно-научные открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира. Математические же открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства рассматриваемых моделей мира, а наиболее революционные открытия дают начало новым моделям. Так, поистине революционный характер носило осознание древними бесконечности натурального ряда, а точнее, создание такого понятия натурального числа (такой модели), при котором натуральных чисел оказывалось бесконечно много (ведь представление, что числовой ряд обрывается, скажем, на миллиарде, вряд ли могло быть опровергнуто прямым наблюдением). Возникнув как инструмент исследования мира, понятие натурального числа само стало предметом исследований, приведших к выявлению скрытых, но объективных свойств этого понятия. Поразительным достижением античной математики было, например, установление бесконечности множества[3] простых чисел – поразительным как по постановке вопроса о бесконечности, хотя и без употребления самого слова «бесконечность», так и по безукоризненной точности формулировки ответа (как гласит 20-е предложение книги IX Евклидовых «Начал», «простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел») и по неожиданной простоте доказательства. Точно так же принятая нами геометрическая картина мира неизбежно приводит к существованию несоизмеримых отрезков, потрясшему ещё пифагорейцев.

Появление новых моделей нередко означает принципиальный поворот в развитии математики. Один из таких переломных моментов связан с величайшими достижениями математической мысли прошлого века – открытием неевклидовой геометрии (правильнее сказать, «неевклидовых геометрий») и возникновением теории бесконечных множеств. Открытие неевклидовых геометрий знаменовало начало новой эры в математике: впервые было обнаружено, что одну и ту же сторону реального мира (в данном случае – его геометрическую структуру) можно отразить различными моделями, одинаково хорошо согласующимися с действительностью при определённых возможностях экспериментальной проверки. Теория множеств Г. Кантора продемонстрировала возможность строгого изучения бесконечности; она распространила на бесконечные совокупности понятие количества, замкнутое до того времени в рамки понятия натурального числа; оказалось, что не только конечные, но и бесконечные совокупности могут состоять из разного количества элементов.

Теория множеств дала универсальную систему понятий, которая охватила все существовавшие к тому времени математические теории. Вместе с тем при дальнейшем развитии теории множеств появились существенные трудности, не преодолённые полностью до сих пор. Исследования последних лет дают основания считать, что созданная Кантором «наивная теория множеств» описывает на самом деле не одну, а сразу несколько теоретико-множественных моделей, так что факты, верные в одной модели, могут быть неверны в другой[4]. Если это так (а по-видимому, это действительно так), то «наивная теория множеств» расщепится на несколько моделей, подобно тому как основанная на непосредственных пространственных представлениях «наглядная» геометрия расщепилась в XIX в. на евклидову и неевклидовы. Подобное расщепление моделей происходит, пожалуй, всё же реже, чем обратный процесс, приводящий к возникновению на основе нескольких моделей одной обобщающей сверхмодели; именно так, путём отвлечения от частностей, возникают алгебраические понятия кольца, поля, группы, структуры и даже поглощающее их все понятие универсальной алгебры.

Мы видим, что модель Кантора оказывается недостаточно чёткой, а ведь выше говорилось именно о достаточной чёткости как о характерной черте математических моделей. Дело в том, что само понятие достаточной чёткости не абсолютно, а исторически обусловлено. Определения, открывающие собой евклидовы «Начала»: «Точка есть то, что не имеет частей», «Линия же – длина без ширины» и т. д., казались, вероятно, достаточно чёткими современникам Евклида (III в. до н. э.), а непреложность его системы в целом не подвергалась публичным сомнениям вплоть до 11 (23) февраля 1826 г., когда Н. И. Лобачевский сделал сообщение в отделении физико-математических наук Казанского университета. Зато именно сомнения в этой непреложности и привели в конечном счёте к современной (достаточно чёткой на сегодняшний день) формулировке евклидовой системы геометрии.

Итак, действительное значение математической строгости не следует преувеличивать и доводить до абсурда; здравый смысл в математике не менее уместен, чем во всякой другой науке. Более того, во все времена крупные математические идеи опережали господствующие стандарты строгости. Так было с великим открытием XVII в. – созданием основ анализа бесконечно малых (т. е. основ дифференциального и интегрального исчисления) Ньютоном и Лейбницем. Введённое ими в обиход понятие бесконечно малой определялось весьма туманно и казалось загадочным современникам (в том числе, по-видимому, и самим его авторам). Тем не менее оно с успехом использовалось в математике. Разработанный Ньютоном и Лейбницем символический язык не имел точной семантики (которая в удовлетворяющей нас сейчас форме была найдена лишь через полтораста лет), но даже и в таком виде позволял описывать и исследовать важнейшие явления действительности. Так было и с такими фундаментальными понятиями математики, как предел, вероятность, алгоритм, которыми пользовались, не дожидаясь их уточнения. Так обстоит дело и с «самым главным» понятием математики – понятием доказательства. «Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство"» – этими словами открывается знаменитый трактат Николя Бурбаки «Начала математики»[5]. Однако читатель заметит, что знакомое ему ещё со школы понятие доказательства носит скорее психологический, чем математический характер. Доказательство (в общепринятом употреблении этого слова) – это всего лишь рассуждение, которое должно убедить нас настолько, что мы сами готовы убеждать с его помощью других. Несомненно, что уточнение этого понятия (во всей полноте его объёма) – одна из важнейших задач математики.

Трудовые будни математики по необходимости состоят в получении новых теорем, открывающих новые связи между известными понятиями (хотя и теперь ещё приходится слышать – правда, всё реже – удивлённое: «Как? Неужели ещё не всё открыто в этой вашей математике?»). Однако к этому математика отнюдь не сводится. Вот какие цели математического исследования считает важными великий математик А. Н. Колмогоров:

1. Привести общие логические основы современной математики в такое состояние, чтобы их можно было излагать в школе подросткам 14–15 лет.

2. Уничтожить расхождение между «строгими» методами чистых математиков и «нестрогими» приёмами математических рассуждений, применяемых прикладными математиками, физиками и техниками.

Две сформулированные задачи тесно связаны между собой. По поводу второй замечу, что, в отличие от времён создания Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления, математики умеют сейчас без большого промедления подводить фундамент логически безукоризненных математических построений под любые методы расчёта, родившиеся из живой физической и технической интуиции и оправдывающие себя на практике. Но фундамент этот иногда оказывается столь хитро построенным, что молодые математики, гордые пониманием его устройства, принимают фундамент за всё здание. Физики же и инженеры, будучи не в силах в нём разобраться, изготовляют для себя вместо него временные шаткие подмостки[6].

Непрерывное повышение уровня математической строгости одновременно с попытками представить самые сложные построения так, чтобы они стали интуитивно понятными, возникновение одних понятий и уточнение других, переставших удовлетворять новым требованиям, расщепление казавшихся ещё недавно незыблемыми моделей и образование новых обобщающих моделей – весь этот исполненный большого внутреннего драматизма процесс характерен для математики не менее, чем доказательство теорем (без которого, впрочем, описанный процесс был бы совершенно бессодержателен, да и вообще не мог бы иметь места).

Математика подобна искусству – и не потому, что она представляет собой «искусство вычислять» или «искусство доказывать», а потому, что математика, как и искусство, – это особый способ познания. Имеет, быть может, смысл по аналогии с художественными образами говорить о математических образах как специфической для математики форме отражения действительности.

Математическое и гуманитарное: преодоление барьера

Поверх барьеров.

Борис Пастернак

Уточняйте значения слов. Тогда человечество избавится от большей части своих заблуждений.

Рене Декарт

«Да, мой голубчик, – ухо вянет:

Такую, право, порешь чушь!»

И в глазках крошечных проглянет

Математическая сушь.

Андрей Белый. Первое свидание

Чем дальше, тем Белому становилось яснее… что искусство и философия требуют примирения с точными знаниями – «иначе и жить нельзя». ‹…› Недаром прежде, чем поступить на филологический факультет, он окончил математический.

Владислав Ходасевич

I

Никто не знает, сохранят ли грядущие века и тысячелетия сегодняшнее деление наук на естественные и гуманитарные. Но даже и сегодня безоговорочное отнесение математики к естественным наукам вызывает серьёзные возражения. Естественно-научная, прежде всего физическая, составляющая математики очевидна, и нередко приходится слышать, что математика – это часть физики, поскольку она, математика, описывает свойства внешнего, физического мира. Но с тем же успехом её можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления, а значит, должны проходить по ведомству психологии. Не менее очевидна и логическая, приближающаяся к философской, составляющая математики. Скажем, знаменитую теорему Гёделя о неполноте, гласящую, что, какие способы доказывания ни установи, всегда найдётся истинное, но не доказуемое утверждение – причём даже среди утверждений о таких, казалось бы, простых объектах, как натуральные числа, – эту теорему с полным основанием можно считать теоремой теории познания.

В 1950-х гг. по возвращении с индийских научных конференций мои московские коллеги-математики с изумлением рассказывали, что в Индии математику – при стандартном разделении наук на естественные и гуманитарные – относят к наукам гуманитарным. И на этих конференциях им приходилось сидеть рядом не с физиками, как они привыкли, а с искусствоведами. К великому сожалению, у людей гуманитарно ориентированных математика нередко вызывает отторжение, а то и отвращение. Неуклюжее (и по содержанию, и по форме) преподавание математики в средней школе немало тому способствует.

Лет сорок назад было модно подчёркивать разницу между так называемыми физиками (к коим относили и математиков) и так называемыми лириками (к коим причисляли всех гуманитариев). Терминология эта вошла тогда в моду с лёгкой руки поэта Бориса Слуцкого, провозгласившего в 1959 г. в культовом стихотворении «Физики и лирики»:

Что-то физики в почёте,

Что-то лирики в загоне.

Дело не в сухом расчёте,

Дело в мировом законе.

Однако само противопоставление условных физиков условным лирикам вовсе не было вечным. По преданию, на воротах знаменитой Академии Платона была надпись: «Негеометр [нематематик. – В. У.] да не войдёт сюда!» С другой стороны, самоё математику можно называть младшей сестрой гуманитарной дисциплины юриспруденции: ведь именно в юридической практике Древней Греции, в дебатах на народных собраниях впервые возникло и далее шлифовалось понятие доказательства.

II

Можно ли и нужно ли уничтожать ставшие, увы, традиционными (хотя, как видим, и не столь древние!) границы между гуманитарными, естественными и математическими науками – об этом я не берусь судить. Но вот разрушить барьеры между представителями этих наук, между лириками и физиками, между гуманитариями и математиками – это представляется и привлекательным, и осуществимым. Особенно благородная цель – уничтожить этот барьер внутри отдельно взятой личности, т. е. превратить гуманитария отчасти в математика, а математика – отчасти в гуманитария. Обсуждая эту цель, полезно вспомнить некоторые факты из истории российской науки. Эти факты связаны в обратном хронологическом порядке с именами Колмогорова, Барсова и Ададурова (в другом написании – Адодурова).

Первая научная работа великого математика Андрея Николаевича Колмогорова [12 (25) апреля 1903, Тамбов – 20 октября 1987, Москва] была посвящена отнюдь не математике, а истории. В начале 1920-х гг., будучи семнадцатилетним студентом математического отделения Московского университета, он доложил свою работу на семинаре известного московского историка Сергея Владимировича Бахрушина. Она была опубликована посмертно[7] и чрезвычайно высоко оценена специалистами – в частности, руководителем Новгородской археологической экспедиции Валентином Лаврентьевичем Яниным. Выступая на вечере памяти Колмогорова, состоявшемся в Московском доме учёных 15 декабря 1989 г., он так охарактеризовал историческое исследование Колмогорова: «Эта юношеская работа в русле исторической науки занимает место, до которого её [исторической науки. – В. У.] развитие ещё не докатилось. Будучи опубликованной, она окажется впереди всей исторической науки». А в предисловии к вышеназванному посмертному изданию исторических рукописей Колмогорова В. Л. Янин писал: «Некоторые наблюдения А. Н. Колмогорова способны пролить свет на источники, обнаруженные много десятилетий спустя после того, как он вёл своё юношеское исследование». И там же:

Андрей Николаевич сам неоднократно рассказывал своим ученикам о конце своей «карьеры историка». Когда работа была доложена им в семинаре, руководитель семинара профессор С. В. Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как «в исторической науке каждый вывод должен быть снабжён несколькими доказательствами» (!). Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: «И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства». История потеряла гениального исследователя, математика приобрела его.

Двадцать шестого апреля (по старому стилю, а по новому – 7 мая) 1755 г. состоялось торжественное открытие Московского университета. После молебна были сказаны четыре речи. Первая из них – и притом единственная прозвучавшая на русском языке – называлась «О пользе учреждения Московского университета». Произнёс её Антон Алексеевич Барсов [1 (12) марта 1730, Москва – 21 декабря 1791 (1 января 1792), там же]. Неудивительно, что в 1761 г. он был назначен профессором (в современных терминах – заведующим) на кафедру красноречия; вступление в эту должность ознаменовалось его публичной лекцией «О употреблении красноречия в Российской империи», произнесённой 31 января (11 февраля) 1761 г. Чем же занимался Барсов до того? Преподавал математику – именно с Барсова, в феврале 1755 г. специально для этой цели переведённого из Петербурга в Москву, и началось преподавание математики в Московском университете! Впоследствии Барсов прославился трудами по русской грамматике; ему же принадлежит и ряд предложений по русской орфографии, тогда отвергнутых и принятых лишь в XX в. К сожалению, портрет А. А. Барсова не сохранился.

Ещё раньше, в 1727 г., знаменитый математик Даниил Бернулли, работавший в то время в Петербургской академии наук, обратил внимание на студента этой академии Василия Евдокимовича Ададурова [15 (26) марта 1709, Новгород – 5 (16) ноября 1780, Москва]. В письме к известному математику Христиану Гольдбаху от 28 мая 1728 г. Бернулли отмечает значительные математические способности молодого человека и сообщает о сделанном Ададуровым открытии: сумма кубов последовательных натуральных чисел равна квадрату суммы их первых степеней: 13 + 23 +… + п3 = (1 + 2 +… + п)2. Математические заслуги Ададурова засвидетельствованы включением статьи о нём (с портретом, выполненным в технике силуэта) в биографический раздел однотомного «Математического энциклопедического словаря» (М., 1988). А из статьи «Ададуров» в первом томе «Нового энциклопедического словаря» Брокгауза и Ефрона мы узнаём, что Ададуровым написано несколько сочинений по русскому языку и, более того, что «в 1744 г. ему было поручено преподавать русский язык принцессе Софии, т. е. будущей императрице Екатерине II». Последующие изыскания (они были проведены братом автора этих строк Борисом Андреевичем Успенским) показали, что Ададуров является автором первой русской грамматики на русском же языке, составление каковой следует рассматривать как большое событие. Ведь важнейший этап в языковом сознании носителей какого бы то ни было языка – появление первой грамматики этого языка на том же самом языке; этот этап сравним с осознанием того, что кажущаяся пустота вокруг нас заполнена воздухом. Прибавим ещё, что с 1762 по 1778 г. Ададуров был куратором Московского университета – вторым после основавшего университет И. И. Шувалова.

Итак, даже если согласиться с традиционной классификацией наук, отсюда ещё не следует с неизбежностью аналогичная классификация учёных или учащихся. Приведённые факты показывают, что математик и гуманитарий способны уживаться в одном лице.

Здесь предвидятся два возражения. Прежде всего нам справедливо укажут, что Ададуров, Барсов, Колмогоров были выдающимися личностями, в то время как любые рекомендации должны быть рассчитаны на массовую аудиторию. На это мы ответим, что образцом для подражания – даже массового подражания – как раз и должны быть выдающиеся личности и что примеры Ададурова, Барсова, Колмогорова призваны вдохновлять. Далее нам укажут, опять-таки справедливо, что отнюдь не всем гуманитариям и отнюдь не всем математикам суждено заниматься научной работой, это и невозможно, и не дóлжно. Ну что ж, ответим мы, примеры из жизни больших учёных выбраны просто потому, что история нам их сохранила; сочетать же математический и гуманитарный подход к окружающему миру стоит даже тем гуманитариям и математикам, которые не собираются посвятить себя высокой науке, и это вполне посильная для них задача.

III

По всеобщему признанию, литература и искусство являются частью человеческой культуры. Ценность же математики, как правило, видят в её практических приложениях. Но наличие практических приложений не должно препятствовать тому, чтобы и математика рассматривалась как часть человеческой культуры. Да и сами эти приложения, если брать древнейшие из них – такие, скажем, как использование египетского треугольника (т. е. треугольника со сторонами 3, 4, 5) для построения прямого угла, – также принадлежат общекультурной сокровищнице человечества. (Чьей сокровищнице принадлежит шестигранная форма пчелиных сот, обеспечивающая максимальную вместимость камеры при минимальном расходе воска на строительство её стен, – этот вопрос мы оставляем читателю для размышления.) В Древнем Египте, чтобы получить прямой угол, столь необходимый при строительстве пирамид и храмов, поступали следующим образом. Верёвку делили на 12 равных частей; точки деления, служащие границами между частями, помечали, а концы верёвки связывали. Затем за верёвку брались три человека, удерживая её в трёх точках, отстоящих друг от друга на 3, 4 и 5 частей деления. Далее верёвку натягивали до предела – так, чтобы получился треугольник. По теореме, обратной к теореме Пифагора, треугольник оказывался прямоугольным, причём тот человек, который стоял между частью длины 3 и частью длины 4, оказывался в вершине прямого угла этого треугольника.

Раздел математики, сейчас называемый математическим анализом, в старые годы был известен под названием «дифференциальное и интегральное исчисление». Отнюдь не всем обязательно знать точное определение таких основных понятий этого раздела, как производная и интеграл. Однако каждому образованному человеку желательно иметь представление о производном числе как о мгновенной скорости (а также как об угловом коэффициенте касательной) и об определённом интеграле как о площади (а также как о величине пройденного пути). Поучительно знать и о знаменитых математических проблемах (разумеется, тех из них, которые имеют общедоступные формулировки) – решённых (как проблема Ферма и проблема четырёх красок[8]), ждущих решения (как проблема близнецов[9]) и тех, у которых решения заведомо отсутствуют (из числа задач на геометрическое построение и простейших задач на отыскание алгоритмов). Ясное понимание несуществования чего-либо – чисел ли с заданными свойствами, или способов построения, или алгоритмов – создаёт особый дискурс, который можно было бы назвать культурой невозможного. И культура невозможного, и предпринимаемые математикой попытки познания бесконечного значительно расширяют горизонты мышления.

Всё это, ломая традиционное восприятие математики как сухой цифири, создаёт образ живой области знания, причём живой в двух смыслах: во-первых, связанной с жизнью; во-вторых, развивающейся, т. е. продолжающей активно жить. Всякому любознательному человеку такая область знания должна быть интересна. Вообще, образованность предполагает ведь знакомство не только с тем, что непосредственно используется в профессиональной деятельности, но и с человеческой культурой как таковой, чьей неотъемлемой частью – повторим это ещё раз – является математика.

Здесь возможен следующий упрёк. Хотя в названии настоящего очерка политкорректно говорится о преодолении барьера, изложение явно уклоняется в сторону пропаганды «математического». Автор болезненно относится к такому упрёку и спешит оправдаться. Дело в том, что гуманитарная культура не нуждается в пропаганде: она не только повсеместно признана непременной частью культуры вообще, но часто отождествляется с последней. Отличать ямб от хорея, понимать смысл выражения «всевышней волею Зевеса», а заодно и знать, кто такой Зевес, – все (или по крайней мере большинство) согласны в том, что подобные знания и умения входят в общеобязательный культурный багаж. Включение же в этот багаж чего-то математического в качестве обязательной составной части многим может показаться непривычным и потому нуждается в лоббировании.

IV

Однако образование состоит не только в расширении круга знаний. В неменьшей степени оно подразумевает расширение навыков мышления. Математик и гуманитарий обладают различными стилями мышления, и ознакомление с иным стилем обогащает и того и другого. Скажем, изучение широко распространённого в математике аксиоматического метода, дозволяющего использовать в рассуждениях только ту информацию, которая явно записана в аксиомах, прививает привычку к строгому мышлению. А знакомство со свойствами бесконечных множеств развивает воображение. Потребуются ли когда-нибудь, скажем, историку аксиоматический метод или бесконечные множества? Более чем сомнительно. Но вот строгость мышления и воображение не помешают и ему. С другой стороны, и математику есть чему поучиться у гуманитария. Последний более толерантен к чужому мнению, чем математик, и это говорится здесь в пользу гуманитария (разумеется, имеются в виду некоторые усреднённые – а то и воображаемые автором этих строк – гуманитарий и математик). Математические понятия резко очерчены, тогда как гуманитарные расплывчаты; и как раз эта расплывчивость делает их более адекватными для описания окружающего нас расплывчатого мира, поскольку его явления (или надо сказать «его феномены»?) сами расплывчаты. Математик ведь привык иметь дело с такими утверждениями, каждое из которых либо истинно, либо ложно, и эта привычка поневоле заставляет его видеть мир в чёрно-белом цвете. Его мышление настроено на более высокую контрастность или резкость (не знаю, какое слово здесь правильнее употребить). Ему, в отличие от гуманитария, чужда или непонятна мысль, что истина, может быть, и одна, но вот правда у каждого своя.

Поучительно сравнить между собой методы рассуждений, применяемые в математических и в гуманитарных науках. На самом деле речь идёт здесь о двух типах мышления, и человеку полезно познакомиться с каждым из них. Автор не берётся (потому что не умеет) описать эти типы, но попытается проиллюстрировать на двух примерах своё видение их различия.

Пример первый. Все знают, что такое вода. Это вещество с формулой Н2О. Но тогда то, что мы все пьём, не вода. Разумеется, в повседневной речи и математик, и гуманитарий и то и то называет водой, но в своих теоретических рассуждениях первый как бы тяготеет к тому, чтобы называть водой лишь Н2О, а второй – всё, что имеет вид воды. Потому что математик изучает идеальные объекты, имеющие такой же статус, как, скажем, круги и треугольники, которых нет в реальной природе; гуманитарий же изучает предметы более реалистические. Боюсь, впрочем, что этот пример слишком умозрителен и способен отчасти запутать читателя.

Вот другой, уже не умозрительный, а взятый из жизни пример. Имеется строгое (кстати, в наиболее отчётливой форме сформулированное Колмогоровым) определение того, что такое ямб. Мы имеем здесь в виду не ямбическую стопу та-тА, понимание которой не вызывает затруднений, а ямбическую строку, которая может состоять отнюдь не из одних только ямбических стоп (как иногда ошибочно думают): любая ямбическая стопа может быть всегда заменена пиррихием та-та (здесь оба слога безударны), а в особых случаях, впервые чётко указанных Тредиаковским, – и спондеем тА-тА (здесь оба слога ударны). Если в стихотворении встречается отклонение от законов, которым обязана подчиняться ямбическая строка, то, с точки зрения математика, это уже не ямб. Однако для многих филологов стихотворение, содержащее не слишком много нарушений, не перестаёт быть ямбическим – в то время как математик назовёт его всего лишь похожим на ямб, ямбоподобным.

По-видимому, математики, которых специально обучают обращению с абстракциями, начинают мыслить отчасти по-особому. Одни из них перестают это замечать и утверждаются в убеждении, что так мыслят все. Другие же достаточно трезво оценивают применимость своих ограниченных представлений к реальным ситуациям и с удовольствием рассказывают анекдоты про тех, кто этой ограниченности не замечает (или не желает замечать). Вот три таких анекдота.

Жена говорит мужу-математику: «Купи батон, а если будут яйца, возьми десяток». Муж приносит десять батонов. (Действительно, сказанное женой имеет – на формальном уровне – два смысла, и муж руководствуется тем из них, который аналогичен смыслу фразы: «Купи один батон, а если хватит денег, возьми десяток».)

Математика окликают с заплутавшего воздушного шара: «Где мы?» – «На воздушном шаре». (В другом, более пространном варианте анекдота после обмена репликами один из воздухоплавателей замечает: «Все ясно. Это математик». «С чего ты взял?» – спрашивает другой. «Он подумал, прежде чем ответить, и ответ дал совершенно точный – и совершенно бессмысленный».)

Пассажиры поезда наблюдают в окно нескончаемые стада белых овец. И вдруг замечают чёрную овцу, повернувшуюся к поезду боком. «О, здесь бывают и чёрные овцы!» – восклицает один. «По меньшей мере одна овца с по меньшей мере одним чёрным боком», – поправляет его другой, математик.

«Сказка ложь, да в ней намёк! Добрым молодцам урок». Эти анекдоты весьма поучительны: они в наглядной и сжатой форме выражают идею о том, что чрезмерная точность может быть вредной, способной мешать адекватному восприятию текста. Здесь есть основа для уважительного диалога между гуманитарием и математиком, диалога, полезного для обеих сторон. В этом диалоге математик обучает гуманитария – нет, не так, не обучает, а делится своими представлениями о том, сколь важна точность, причём не только точность выбора слов, о которой говорил ещё Декарт, процитированный нами в эпиграфе, но и точность построения синтаксических конструкций. Математик в этом диалоге пытается передать гуманитарию свою способность увидеть логический каркас текста. Гуманитарий же делится с математиком своими соображениями о важности неточности; он объясняет математику, что и «плоть» текста, облекающая его логический каркас, и контекст, в котором возникает текст, не менее существенны, чем упомянутый каркас. Окружающий мир, говорит гуманитарий, аморфен и расплывчат, и потому неточные, расплывчатые тексты и образы более приспособлены для адекватного его отражения, нежели тексты и образы математически точные.

V

Ряд положений языкознания может быть изложен с математической точностью. (А скажем, для литературоведения подобный тезис справедлив разве что в применении к стиховедению.) В то же время именно на уроках математики учащиеся могли бы приучаться правильно выражать свои мысли на родном языке. Уроки языка и уроки литературы на родном языке проводятся, как правило, одним и тем же учителем. На наш взгляд, было бы полезнее несколько отделить лингвистику от литературоведения. И уж совсем крамольная идея – объединить, хотя бы в порядке эксперимента, родной язык и математику, с тем чтобы их преподавал один и тот же учитель. Некоторые уважаемые коллеги автора этих строк нашли эту фантастическую идею ужасающей. Поэтому спешу объясниться.

Прежде всего идея эта не столько крамольная, сколько утопическая и относится к некоторому идеальному будущему. Будущее, как известно, подразделяется на обозримое и необозримое. В обозримом будущем объединение уроков языка и уроков математики нереально хотя бы потому, что учителей, способных преподавать оба этих предмета, на сегодняшний день не найдёшь. Если же говорить о будущем необозримом, то можно предполагать, что сама технология обучения в этом будущем кардинально изменится и окажется мало похожей на сегодняшнюю. Так что высказанное предложение обозначает всего лишь вектор движения, и притом движения не реальной организации образования, а мысли. Это как показ образцов высокой моды или футуристических градостроительных проектов, которые хотя и не предполагают массового тиражирования, но служат источником вдохновения для создателей реальной одежды и реальной архитектуры.

Что до движения мысли, то здесь надлежит сказать следующее. Среди многочисленных функций языка можно выделить две: передавать информацию и передавать эмоции. Разумеется, в реальной языковой практике названные функции переплетены. Тем не менее при всей их нераздельности наличествует и некая неслиянность, и можно попытаться разделить их как в обучении языку, так и в его преподавании. Функция передачи эмоций сближает язык с литературой (думается, что, когда говорят о «великом и могучем», имеют в виду именно эту функцию). Действительно, вся стилистика, всевозможные художественные средства языка – в частности, такие локальные, как тропы (метафоры, метонимии, гиперболы и т. п.), – всё это относится столько же к ведомству лингвистики, сколько к ведомству литературоведения. Поэтому названные темы могут изучаться на лингво-литературоведческих уроках. Нас же будет интересовать функция бесстрастной передачи информации; она воплощается в текстах, которые один из основоположников отечественного программирования Андрей Петрович Ершов называл деловой прозой. К деловой прозе относятся, в частности, естественно-научные тексты[10] (и прежде всего математические), юридические тексты, тексты делопроизводства, инструкции. Деловая проза занимает всё большее место в нашей жизни и потому должна быть предметом, которому учат в школах. Преподавать его можно было бы на уроках родного языка или же на специальных занятиях, посвященных чистой, не несущей эмоции информации.

Обучение деловой прозе призвано прививать навыки правильного составления и правильного восприятия деловых текстов, иначе говоря, умение правильно выражать мысль посредством слов и правильно интерпретировать выраженную словами мысль. Это особенно важно для понимания инструкций, ошибочная трактовка которых нередко вызывает проблемы.

Проблема такого рода возникла, например, в 2008 г. на выборах в Российскую академию наук (РАН). Как известно, выборы в РАН трёхступенчатые: сперва кандидатуры соискателей рассматривает секция, затем – отделение и наконец – общее собрание академии. Проблема возникла в одном из гуманитарных отделений при выборах в секции. Мы не будем указывать ни имён, ни названий подразделений РАН, сведя всё к абстрактной задаче.

Итак, чтобы стать членом некоего общества гуманитарной направленности, надо пройти процедуру голосования на имеющиеся вакансии. Правом голоса обладают все члены общества, голосование проводится в несколько туров. Положение о выборах было написано математиками. Оно гласит:

Для избрания членом общества необходимо получить не менее ⅔ голосов лиц, принявших участие в голосовании, и не менее половины от списочного состава общества. Кандидат считается избранным в данном туре голосования, если в этом туре он получил необходимое для избрания число голосов и число всех кандидатов, получивших в этом туре такое же или большее число голосов, не превышает числа вакансий по данной специальности, оставшихся незаполненными в предыдущих турах (в первом туре – числа всех имеющихся вакансий). Если в первом туре голосования число избранных кандидатов по данной специальности оказалось меньше, чем число вакансий по этой специальности, то проводится второй тур голосования. Если по результатам первого и второго туров остались незаполненные вакансии по данной специальности, то проводится третий тур голосования.

Случилось так, что при выборах на единственную вакансию каждый из кандидатов X и Y получил во втором туре не менее ⅔ голосов лиц, принявших участие в голосовании, и не менее половины списочного состава. При этом Y собрал больше голосов, чем X. Возникает три вопроса: 1) избран ли кто-нибудь в этом туре, 2) если избран, то кто и 3) надо ли проводить третий тур?

Эксперимент показал, что математики отвечают на этот вопрос, как правило, верно, тогда как гуманитарии, как правило, неверно. Верный ответ состоит в том, что X не избран, избран Y и третий тур проводить не надо. Это обосновывается следующим рассуждением. Имеются два условия избрания. Первое условие – получить необходимое количество голосов: не менее ⅔ голосов участвующих в голосовании и не менее половины от списочного состава. Второе условие – количество N всех кандидатов, получивших в этом туре такое же или большее число голосов, не превышает числа Р вакансий.

В нашем примере первое условие выполнено для обоих кандидатов. Посмотрим, что происходит со вторым условием. В нашем примере число вакансий Р = 1. Для X второе условие не выполнено, поскольку для этого кандидата N = 2, а значит, N превышает Р. Для Y второе условие выполнено, поскольку для этого кандидата N = 1 и, стало быть, N не превышает Р.

В реальности же был проведён третий тур, в котором избранным оказался X. Напомним, что электорат состоял из гуманитариев. (Возвращаясь к реальным событиям, отметим, что через год справедливость была восстановлена и кандидат Y также стал членом Академии.)

Мораль этой истории такова: текст положения о выборах, логически и лингвистически безупречный, всё же обладает тем недостатком, что реальный гуманитарный электорат понимает его (по крайней мере отдельные его фрагменты) с трудом, или вовсе не понимает, или понимает неправильно. По-видимому, текст стоило бы переписать с учётом этого обстоятельства. Так что упрёк можно предъявить не только гуманитариям, не понявшим инструкцию, но и математикам, её составлявшим. Хотя текст инструкции безупречен с логической точки зрения и смысл его однозначен, он, этот текст, составлен без учёта возможных психологических трудностей его восприятия.

Интерпретация деловой прозы определяется главным образом трактовкой синтаксических конструкций, по-разному воспринимаемых математиками и гуманитариями. Рассмотрим два утверждения: «Каждый из присутствующих знает хотя бы один из следующих двух языков – баскского и ирокезского» и «Среди присутствующих есть некто, кто не знает ни баскского, ни ирокезского». Абсолютное большинство студентов-математиков сразу понимает, что первое из этих утверждений равносильно отрицанию второго, и наоборот. Для немалого же числа студентов-гуманитариев это не столь очевидно.

Следует, однако, подчеркнуть, что реальная фраза на естественном языке состоит не только из логического каркаса. Каркас этот облачён в мягкую (а то и пульсирующую студенистую) плоть, какова плоть весьма существенна для адекватного восприятия фразы. Что и было продемонстрировано приведёнными выше анекдотами о математиках.

VI

В последние годы получило заметное распространение преподавание математики студентам гуманитарных специальностей. И это переводит задачу постижения математиками гуманитарного образа мышления из общефилософской в практическую плоскость. Чтобы успешно преподавать свой предмет, математик должен понимать, как предмет этот воспринимается его учениками-гуманитариями.

Вот простой пример. Отношение называют рефлексивным, коль скоро всякий предмет, для которого данное отношение осмысленно, находится в этом отношении к самому себе. Пример рефлексивного отношения: 'жить в том же городе' – каждый живёт в том же городе, что он сам. (Не исключено, впрочем, что некоторые сочтут предложение «NN живёт в том же городе, что он сам» бессмысленным.) Будет ли рефлексивным отношение 'находиться неподалёку'?

Опрошенные мною математики (притом отнюдь не математические логики) отвечали, что будет: каждый предмет находится неподалёку от самого себя. Гуманитарии же – да и просто обычные люди, нематематики – в большинстве своём расценивают высказывание «Нечто находится неподалёку от самого себя» либо как ложное, либо как бессмысленное. Причина такого расхождения, надо полагать, заключается в следующем. Слово «неподалёку» означает «на малом расстоянии» (но смысл его этим не ограничивается, о чём будет сказано ниже). Математики свободно оперируют расстоянием ноль, на каковом расстоянии любой предмет находится от самого себя. Для нематематика же, в том числе для гуманитария, нулевых расстояний не бывает.

Беседуя как-то с дамой, мастером по маникюру и педикюру, я спросил её, находится ли предмет неподалёку от самого себя. Получив, к немалому своему удивлению, положительный ответ, я справился о расстоянии между предметом и им самим и был удивлен ещё более: ответом был ноль. Тогда я поинтересовался, какое образование получила моя собеседница. Оказалось – высшее техническое по специальности «гидравлика», включая достаточно обширный курс математики. Всё стало на свои места. Даже если этот курс и не познакомил её с расстоянием ноль, преподаваемая в его рамках общая система понятий и терминов не могла не выработать мысли о возможности такого расстояния.

Математики в большинстве своём не замечают, что слово «неподалёку» означает нечто большее, чем малость расстояния. Напомним, что отношение называется симметричным, коль скоро выполняется следующее условие: всякий раз, когда какой-то предмет находится в этом отношении к другому, то и этот второй предмет находится в том же отношении к первому; примеры симметричных отношений: 'жить в том же городе', 'быть родственниками'. По наблюдению автора этих строк, для большинства математиков отношение 'находиться неподалёку' является симметричным. Но анализ естественного языка показывает, что значение словосочетания «находиться неподалёку» отнюдь не симметрично. Соответствующее наблюдение сделал выдающийся американский лингвист Леонард Талми. Вот что пишет Талми по этому поводу[11]:

Можно было бы ожидать, что такие два предложения, как

(a) Велосипед находится неподалёку от дома;

(b) Дом находится неподалёку от велосипеда[12]

будут синонимичны на том основании, что они всего навсего выражают две инверсные формы некоторого симметричного отношения. Отношение это выражает не что иное, как малость расстояния между двумя объектами. На самом же деле эти два предложения вовсе не означают одно и то же. Они были бы синонимичными, если бы выражали только указанное симметричное отношение. Однако в дополнение к этому (а) содержит не симметричное указание, что один из объектов (а именно дом) имеет местоположение [set location] в пределах некоторой рамки [reference frame] (в качестве таковой здесь подразумевается данная окрестность, весь мир и т. п.) и используется в целях сообщения о местоположении другого объекта (а именно велосипеда). Соответственно, местоположение этого другого объекта есть переменная (для рассматриваемого примера это так и есть, поскольку в разных ситуациях велосипед окажется в разных местах), чьё частное значение и составляет предмет интереса.

Что касается предложения (b), то оно содержит противоположное указание. Это указание, однако, не вписывается в привычную картину мира, вследствие чего предложение (b) выглядит странным, что ясно демонстрирует его отличие от (а).

Из разбора Талми в действительности видно, что обычный человек (в том числе гуманитарий) полнее и глубже понимает смысл русского слова «неподалёку» (а именно слышит во всей полноте заключённый в нём «семантический звук», а потому и отвергает фразу, где он прозвучать не может), чем типичный математик. Типичный математик слышит в этом слове только те элементы, которые ему профессионально близки (да ещё зачастую учит гуманитария быть таким же полуглухим).

VII

Различие в понимании слов составляет существенную часть барьера, упомянутого в заголовке настоящего очерка. И следует признать, что подавляющая часть людей находится по ту же сторону барьера, что и гуманитарии. Честнее было бы сказать, что гуманитарии просто пользуются общепринятыми значениями слов. (Подозреваю, правда, что, когда в гуманитарном собрании звучат слова «дискурс», «парадигма», «экзистенциальный» и им подобные, затесавшийся на собрание математик получает редкую возможность насладиться своим единством с большинством человечества.) Можно выделить два фактора, вызывающие указанное различие.

Первый, очевидный, фактор состоит в том, что математики оперируют точной терминологией, а в качестве терминов нередко употребляют слова обычного языка, придавая им совершенно новый смысл. Например, слова «кольцо» и «поле» обозначают в математике алгебраические структуры определённого вида, ничего общего не имеющие с обручальными кольцами и засеянными полями. Подобные явления следует квалифицировать как омонимию, а возможная путаница легко устраняется контекстом, и потому обычно не составляет труда уяснить, что имеется в виду[13]. Математики настолько привыкли черпать специальные термины из общеупотребительной лексики, что порой склонны отыскивать математический смысл в самых обычных словах.

Вот иллюстрация к сказанному. Механико-математический факультет Московского университета, 1950-е гг. Идёт научный семинар, руководимый знаменитым математиком Сергеем Львовичем Соболевым (сейчас его имя носит Институт математики Сибирского отделения РАН). До слегка задремавшего Соболева доносятся слова докладчика: «А теперь я должен ввести целый ряд обозначений». Соболев просыпается и спрашивает: «Простите, какой ряд вы называете целым?» (Для тех читателей, которые незнакомы с математическим термином «ряд», поясню, что в математике рядом называется последовательность из бесконечного числа членов, подлежащих суммированию.) В подобных случаях долг гуманитария – напомнить математику, что обычные слова имеют значения и за пределами математического жаргона.

Второй фактор заключается в том, что математический смысл слова, заимствованного из естественного языка, может быть близок к обычному смыслу этого слова, но не совпадать с этим обычным смыслом. Так, математическое значение слова «угол» происходит от его обыденного значения, однако эти значения не совпадают даже в простейшем случае угла между двумя прямыми линиями (не говоря уже об угле комнаты): обыденное сознание вряд ли примирится с углом ноль градусов. В подобных случаях выбор правильного значения может оказаться затруднительным. Второй фактор глубже первого и предопределяется, по-видимому, тем, что занятия математикой и сопряжённое с ними систематическое использование точной терминологии накладывают свой отпечаток на психологию, по крайней мере в части восприятия слов. Этот фактор и проявился в нашем примере со словом «неподалёку».

Пожалуй, существует и третий фактор, не упомянутый нами по той причине, что он, возможно, обнаруживается лишь в отношении одного (но очень важного) слова. Фактор этот сводится к тому, что для обозначения одного важнейшего – и важнейшего не только для математики! – понятия в русском языке отсутствует нужное слово. В математике понятие, о котором идёт речь, обозначается словом «ложь».

Слово «ложь» происходит от глагола «лгать», каковой факт отражается в его словарном толковании: «неправда, намеренное искажение истины». Подчеркнём здесь слово «намеренное». Знаменитый «Энциклопедический словарь» Брокгауза и Ефрона в одноименной статье прямо указывает на аморальность лжи:

Ложь – в отличие от заблуждения и ошибки – обозначает сознательное и потому нравственно предосудительное противоречие истине. Из прилагательных от этого слова безусловно дурное значение сохраняет лишь форма лживый, тогда как ложный употребляется также в смысле объективного несовпадения данного положения с истиною, хотя бы без намерения и вины субъекта; так, лживый вывод есть тот, который делается с намерением обмануть других, тогда как ложным выводом может быть и такой, который делается по ошибке, вводя в обман самого ошибающегося.

Мы видим, что значение русского существительного «ложь» непременно подразумевает субъекта и его злонамеренность. Но субъект со своими намерениями чужд математике.

Вместе с тем в математике ощущается острая потребность в слове, обозначающем любое неистинное утверждение. В качестве такового и выбрано слово «ложь». Таким образом, математики употребляют это слово, лишая его какой-либо нравственной оценки и отрывая от слова «лгать». Заметим, что английский язык располагает двумя словами для перевода русского слова «ложь»: это lie для передачи обычного, общеупотребительного, бытового его смысла, предполагающего сознательную злонамеренность, и falsehood для смысла математического. Заметим также, что в русском языке существует слово, обозначающее любое истинное утверждение, вне зависимости от намерений, с которыми данное утверждение сделано. Это слово «истина». Можно сказать: «Дважды два четыре – это истина» – и при этом не иметь в виду никого, кто бы собирался кого-либо просветить. Но в математике можно сказать: «Дважды два пять – это ложь», не имея в виду никого, кто бы стремился кого-либо обмануть. (Вот тема для интересующихся философией языка: истина в русском языке объективна, а ложь – субъективна.)

VIII

Было бы замечательно, если бы математик был способен понимать точку зрения гуманитария, в значительной степени отражённую в языке гуманитария, а гуманитарий – точку зрения математика, в ещё большей степени отражённую в языке математика. И то и другое трудно. Ещё труднее не требовать признания одной из точек зрения единственно правильной. Таким образом, и гуманитариев, и математиков следует призвать сделать шаг навстречу друг другу. И начинать надо с преподавания, руководствуясь следующими словами А. Н. Колмогорова:

…Учитель (для конкретности – преподаватель математики) находится в том же положении, как учёный, приходящий со своей проблематикой в уже существующий вычислительный центр с определённым набором вычислительных машин, запасом заготовленных (с другими целями!) программ, даже со штатом программистов. Задача его состоит в том, чтобы обучить этот сложный механизм выполнить новую работу, используя все свои уже заготовленные заранее механизмы, программы, навыки.

IX

Обсуждая вопрос о преподавании кому-либо чего-либо, полезно иметь представление о целях этого преподавания. Среди таких целей можно выделить две: 1) получение образования; 2) подготовка к профессии.

Следует заметить, что в ряде стран различие названных целей отчётливо отражено в организации образовательных учреждений. Так, в России разделение целей организационно оформлено на уровне среднего образования, во Франции – на уровне высшего. В современной России, как это было ещё в СССР, образование призваны давать средние школы; в СССР к профессии готовили техникумы, каковые в современной России переименованы, кажется, в колледжи (слава богу, что не в академии). Во Франции образование дают университеты, профессии же – так называемые высшие школы (grandes écoles), среди которых наиболее известны Высшая нормальная школа (École normale supérieure) и Политехническая школа (École polytechnique). В университеты берут без экзамена всякого, лишь бы он проживал в данном регионе и имел надлежащую справку о среднем образовании; в высшие школы – суровый конкурс, и в них, по крайней мере в некоторых, платят приличную стипендию.

X

Разумеется, грань между повышением общеобразовательного уровня и профессиональной подготовкой зачастую стирается. Скажем, знакомство с аксиоматическим методом значимо не только в плане общего образования.

Разъясним прежде всего, как в рамках этого метода трактуется слово «аксиома». В повседневном языке аксиома понимается, скорее всего, как утверждение настолько очевидное, что оно не требует доказательств. Однако авторитетный толковый словарь Ушакова вообще отрицает принадлежность слова «аксиома» повседневному языку, относя один из оттенков его значения к математике, а другой – к языку книжному[14]. Словари же иностранных слов – и словарь Крысина[15], и словарь Захаренко и др.[16] – если и впускают это слово в повседневный язык, то лишь в значении, квалифицируемом как переносное: «Бесспорное, не требующее доказательств положение». Основное же, даваемое первым значение слова «аксиома» эти словари толкуют сходным образом: «Исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений» (словарь Крысина), «Отправное, исходное положение какой-либо теории, лежащее в основе доказательств других положений этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательств» (словарь Захаренко и др.). Таким образом, в том своём значении, которое является основным для математиков, аксиомы трактуются не как положительные утверждения, а как формулировки предположений. В современной математике развитие какой-либо аксиоматической теории происходит следующим образом: предположим, что верно то, что записано в аксиомах, тогда окажется верным то-то и то-то.

Сущность аксиоматического метода останется непонятной без предъявления содержательных примеров. Сообщим поэтому, как выглядит фрагмент одной из аксиоматических систем для геометрии. Сперва объявляется, что существуют два типа объектов; объекты первого типа называются точками, объекты второго типа – прямыми. Что это за объекты, как они «выглядят», намеренно не объясняется. Далее декларируется, что существует некоторое отношение, называемое отношением инцидентности, в которое могут вступать между собой отдельно взятая точка и отдельно взятая прямая. Что это за отношение, опять-таки не объясняется, сообщается лишь, что если даны точка и прямая, то они могут быть инцидентны друг другу, а могут быть и не инцидентны. Если точка инцидентна прямой, то говорят, что точка лежит на этой прямой, а прямая проходит через эту точку. Наконец, указываются свойства, соединяющие между собой вводимые сущности: в нашем случае – точки, прямые, отношение инцидентности. Формулировки таких свойств и называются в математике аксиомами, в нашем случае – аксиомами геометрии.

Для примера приведём три из аксиом геометрии. Первая: для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих точек. Вторая: существуют три точки, не лежащие на одной прямой. Третья: для любой прямой и любой не лежащей на ней точки существует не более одной прямой, проходящей через эту точку, но не проходящей ни через одну из точек, лежащих на исходной прямой (эта аксиома называется аксиомой о параллельных). Эти три аксиомы вкупе с другими аксиомами, говорящими о свойствах точек, прямых и отношения инцидентности, а также о свойствах некоторых других объектов и отношений, позволяют развить науку, называемую геометрией. При этом никакими иными сведениями, кроме тех, которые записаны в аксиомах, пользоваться не разрешается.

Предпринимались попытки создать аксиоматику и для некоторых нематематических дисциплин, скажем для фонологии. В качестве исходных понятий брались такие объекты, как звук языка и фонема. В качестве исходных отношений – отношение равносмысленности, в каковом отношении могли находиться две цепочки звуков языка, и отношение принадлежности, в каковом отношении могли находиться звук языка и фонема. Одна из аксиом постулировала, что если при замене в какой-то цепочке звуков языка звука X звуком Y оказалось, что результирующая цепочка не равносмысленна исходной, то звуки X и Y не могут принадлежать одной и той же фонеме. (Эта аксиома называется аксиомой минимальной пары, поскольку пара цепочек, не являющихся равносмысленными и различающихся лишь тем, что в одной и той же позиции в них стоят разные звуки, называется минимальной парой.) Другая аксиома постулировала, что если, напротив, в любой цепочке звуков такая замена приводит к равносмысленной цепочке, то звуки X и Y непременно принадлежат одной и той же фонеме (эта аксиома называется аксиомой свободного варьирования, поскольку про звуки X и Y, во всех случаях допускающие замену одного другим, так что результирующая цепочка оказывается равносмысленной исходной, говорят, что они находятся в отношении свободного варьирования).

И геометрический, и фонологический примеры демонстрируют главное, что характеризует аксиоматический метод. Это главное состоит в следующем. Природа вводимых в рассмотрение предметов и отношений намеренно не разъясняется, они остаются неопределяемыми. Единственное, что про них предполагается известным, – это те связи между ними, которые записаны в аксиомах. Вся дальнейшая информация выводится из аксиом путём логических умозаключений. Таким образом, человек, собирающийся развивать теорию на основе сформулированных аксиом, должен сделать над собой психологическое усилие и забыть всё, чему его учили в школе по геометрии и в вузе по фонологии. Другое дело, что он ни в коем случае не должен забывать этого на стадии составления списка аксиом, коль скоро желает, чтобы эти аксиомы отражали реальность.

В обоих наших примерах невозможно было выделить из списка аксиом геометрии такие, которые характеризовали бы только точку, или только прямую, или только инцидентность. Аналогично среди аксиом фонологии невозможно выделить такие, которые характеризуют, скажем, только звук речи или только равносмысленность. Набор аксиом характеризует, как правило, исходные понятия не по отдельности, а в их совокупности – через объявление их связей между собой.

Аксиоматический метод может рассматриваться как один из способов введения новых понятий наряду с широко известными демонстрационным и вербальным.

Демонстрационный способ заключается в предъявлении достаточного числа примеров, не только положительных, но и отрицательных. Желая, например, ввести понятие 'кошка', нужно показать достаточное количество кошек, но также, скажем, собак и кроликов, объясняя, что эти собаки и кролики не суть кошки.

Вербальный способ опирается на словесную дефиницию. Вот два примера вербального способа: 1) определение слова «хвоя» из толкового словаря Ушакова: «Узкий и упругий в виде иглы лист у некоторых пород деревьев»; 2) определение термина «простое число»: «Натуральное число называется простым, если оно, во-первых, больше единицы и, во-вторых, делится без остатка только на единицу и на само себя». (Интересно, кстати, сколько чисел, как простых, так и простыми не являющихся, надо предъявить, чтобы понятие простого числа могло быть усвоено демонстрационным способом?[17])

Аксиоматический способ определения, скажем, понятия 'точка' предполагает определение этого понятия одновременно с понятиями 'прямая' и 'инцидентно'. Все эти три понятия определяются не порознь, а совокупно, через ту информацию о них, которая записана в аксиомах. Хотя записанная в аксиомах информация, очевидно, вербальна, аксиоматический способ существенно отличается от вербального. Ведь при вербальном способе новое понятие определяется через старые, уже известные; при аксиоматическом способе несколько новых понятий определяются друг через друга на основе тех соотношений, кои связывают их в аксиомах.

XI

Сходным образом изучение математических моделей реальных явлений позволяет осознать границы моделирования, задуматься над соотношением между моделью и моделируемой реальностью. Но помимо этой философской миссии изучение математических моделей явлений экономики, психологии или лингвистики позволяет и лучше понять сами моделируемые явления.

Можно согласиться с теми, кто не устаёт напоминать об ограниченности математических моделей. Действительно, когда говорят о точности такой модели, то подразумевают её точность как математического объекта, т. е. точность «внутри себя». Когда говорят о точности модели, речь не идёт о точности описания, т. е. о точном соответствии модели описываемому фрагменту действительности. Под ограниченностью математических моделей как раз и понимается их неспособность охватить описываемое ими явление во всей его полноте.

Однако нельзя согласиться с теми, кто в этой ограниченности видит их слабость. Скорее, в этом их сила. Математическая модель должна быть проста, а потому огрублена.

Проиллюстрирую сказанное примером. Всем известно, что Земля – шар. Те, кто получил некоторое образование, знают, что Земля – эллипсоид вращения, сдавленный у полюсов. Геодезисты уточнят, что Земля – геоид, иначе говоря, геометрическая фигура, поверхность которой совпадает с поверхностью Земли без учёта таких мелких деталей, как горы и т. п. (более точно, совпадает с той поверхностью, которую образовывал бы Мировой океан, если бы все материки и острова были бы залиты водой или, ещё более точно, были бы срезаны по уровню Мирового океана). Мы имеем здесь три математические модели, с возрастающей точностью описывающие моделируемый ими объект – форму планеты Земля. Важнейшая из этих моделей – первая, она же самая неточная. Хотя для прокладки авиамаршрутов нужна, возможно, и вторая, а для запуска баллистических ракет – даже третья.

Полное понимание реального строения окружающей нас Вселенной вряд ли когда-либо будет достигнуто. Однако именно математические модели приближают нас к такому пониманию и – это главное – объясняют, каким это строение может быть. А ведь если вдуматься, то понимание некоторых сторон устройства пространственно-временнóго континуума (а может, вовсе и не континуума, а чего-то дискретного) существенно для выживания человечества или, точнее, того, во что превратится человечество в далёком будущем.

Роль математической модели для представителя гуманитарной науки можно сравнить с ролью скелета для художника, рисующего человека. Художник не изображает скелет, скелет скрыт и от него, и от зрителя, но, чтобы грамотно изобразить человеческую фигуру, полезно представить её себе в виде скелета, обросшего плотью.

Так, гениальный математик Андрей Колмогоров очертил скелет понятия падежа, указав, в частности, основные исходные представления, необходимые для образования этого понятия (представления о синтаксически правильной фразе, о состоянии предмета, о выражении состояний предмета контекстами и т. п.). Гениальный лингвист Андрей Зализняк обрастил этот скелет лингвистической плотью в своём знаменитом трактате «Русское именное словоизменение».

Тут самое время заметить, что скелеты представляют интерес главным образом для анатомов. И при всей пользе, которую художники могут извлечь из рисования скелетов, на картинах скелеты всё-таки изображают обросшими плотью.

В качестве поучительного отступления перескажу свой разговор с Ираклием Луарсабовичем Андрониковым. Я спросил, как ему удаётся не просто сымитировать звучание голоса, но добиться портретного сходства с героями своих рассказов. Главное, объяснил он, ухватить и воспроизвести мимику, раз уж сходство геометрической формы недостижимо.

XII

Из только что сказанного как будто напрашивается вывод, что главная цель обучения гуманитариев математике состоит в том, чтобы познакомить их с математическими моделями или хотя бы заложить фундамент для такого знакомства. Однако это не так.

Главная цель обучения гуманитариев математике лежит в области психологии. Эта цель заключается не столько в сообщении знаний и даже не столько в обучении методу, сколько в изменении – нет, не в изменении, а в расширении психологии обучающегося, в привитии ему строгой дисциплины мышления. (Слово «дисциплина» понимается здесь, разумеется, не в значении 'учебный предмет', а в смысле приверженности к порядку и способности следовать этому порядку.) Как сказал Ломоносов, «математику уже за то любить стоит, что она ум в порядок приводит».

Помимо дисциплины мышления я бы назвал ещё три важнейших умения, выработке которых должны способствовать математические занятия. Перечисляю их в порядке возрастания важности: первое – это умение отличать истину от лжи (понимаемой в объяснённом выше объективном, математическом смысле, т. е. без ссылки на намерение обмануть); второе – это умение отличать смысл от бессмыслицы; третье – это умение отличать понятное от непонятного.

Вливание элементов математической психологии в сознание гуманитариев (недруги такого вливания назвали бы его индоктринизацией, а то и интоксикацией) может осуществляться как в прямой форме – путём обучения в классах и аудиториях, так и в форме косвенной – путём проведения совместных исследований, участия математиков в проводимых гуманитариями семинарах и т. п.

К косвенным формам влияния относятся даже вопросы, задаваемые математиками на лекциях на гуманитарные темы. Здесь на память приходит известный случай из истории психологии. В конце XIX в. в одной из больших аудиторий Московского университета была объявлена лекция на тему «Есть ли интеллект у животных?». Просветиться собралось несколько десятков, а то и сотен слушателей. Председательствовал заслуженный ординарный профессор математики Московского университета Николай Васильевич Бугаев – президент Московского математического общества (с 1891 по 1903 г.) и отец Андрея Белого. Перед началом доклада он обратился к аудитории с вопросом, знает ли кто-либо, что такое интеллект. Ответ оказался отрицательным. Тогда Бугаев объявил: поскольку никто из присутствующих не знает, что такое интеллект, лекция о том, есть ли он у животных, состояться не может. Это типичный пример косвенного воздействия математического мышления на мышление гуманитарное. Подобные формы воздействия также являются одним из элементов математического образования.

За последние полвека заметно уменьшилось количество непонятных или бессмысленных утверждений в отечественной литературе по языкознанию. Полагаю, что произошло это не без влияния – как прямого, так и главным образом косвенного – математики.

Случается, впрочем, и языковедам поправлять математиков. Наиболее существенную из таких поправок осуществил в отношении математика Фоменко лингвист Зализняк[18].

Разумеется, математики не претендуют на то, чтобы разрешить проблемы, возникающие в гуманитарных науках (хотя, как уже говорилось выше, именно математику Колмогорову принадлежит первое научное определение лингвистического понятия 'падеж'). Но они помогают гуманитариям лучше уяснить суть этих проблем и критически отнестись к попыткам их решения.

Роль математики в подготовке гуманитариев можно сравнить с ролью строевой подготовки в обучении воина. Все эти ружейные артикулы, повороты, строевой шаг и иные движения, которым обучают молодого бойца, вряд ли находят применение в реальном бою. Но во всех армиях мира они рассматриваются как необходимая основа всякого военного обучения, поскольку приучают выполнять команды. (Кстати, оперирование с математическими алгоритмами также приучает выполнять команды. «Сначала я вам скажу, чтó я делаю, а [только] потом объясню зачем» – это программное заявление содержится в одной из книг по методике математики.)

Строевая подготовка тренирует дисциплину – только не дисциплину мышления, как это делает математика, а дисциплину действий.

Другая аналогия – тренировка моряков на парусных судах. Не знаю, как сейчас, но во времена моей молодости всякий, кто обучался в гражданских мореходных вузах, в обязательном порядке проходил плавание на парусниках – и это при том, что применять полученные навыки хождения под парусом впоследствии ему вроде бы не приходилось. Тем не менее обучение этим навыкам считалось (а может быть, и считается до сих пор) необходимой частью морской подготовки, необходимым тренингом. Сходным тренингом – тренингом мышления, наведением порядка в мозговых извилинах – служат занятия математикой.

XIII

Спросите «человека с улицы», в чём состоит аксиома о параллельных прямых и в чём заключается открытие Лобачевского. Эксперимент показывает, что на первый вопрос ответ будет в большинстве случаев таким (причём и в России, и в Америке): аксиома состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. А в ответ на второй вопрос вам, скорее всего, скажут: Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются. При этом отвечающий, как правило, знает, что прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. В значительном числе случаев ответившего можно убедить в ошибочности обоих ответов. В случае вопроса об аксиоме многие (но не все!) понимают, что коль скоро слово «параллельные» – это синонимичное название для непересекающихся прямых, то объявлять непересекаемость параллельных аксиомой довольно бессмысленно. (Это всё равно как объявить такую аксиому: «Всякий красный предмет является красным». Впрочем, ощутимое количество людей не имеют ничего против такой аксиомы.) Что до открытия Лобачевского, то, в чём бы оно ни состояло, ясно, что прямые линии, называемые параллельными, пересечься не могут.

Вопрос про аксиому о параллельных прямых не является, разумеется, вопросом на испытание памяти. Точно так же вопрос об открытии Лобачевского не является вопросом на проверку эрудиции. Оба вопроса – на понимание смысла делаемых утверждений. Строго говоря, вся ситуация лежит здесь не в сфере математики, а в сфере упоминавшейся выше логики русского или иного естественного языка. И это довольно типично: значительная часть того, что происходит на уроках математики для гуманитариев, как раз и должна, по нашему разумению, состоять в обсуждении этой логики, а отчасти и в обучении ей. Математики впитывают семантику неосознанно, поскольку занятия математикой невозможны без чётко сформулированных утверждений. Столь же неосознанно у гуманитариев семантика размывается – не без влияния расплывчатых текстов гуманитарных наук. (И для гуманитария такая размытость семантики зачастую необходима.)

Диалог математика с гуманитарием о параллельных прямых мы считали бы полезным и поучительным для обеих сторон. Вот ещё пример такого полезного и поучительного диалога:

Математик. Возьмём прямую линию и точку на ней. Существует ли на этой прямой точка, ближайшая к нашей точке и лежащая справа от неё?

Гуманитарий. Да, существует.

Математик. Вы не возражаете, если исходную точку мы обозначим буквой А, а ближайшую к ней справа буквой В?

Гуманитарий. Не возражаю.

Математик. Вы согласны с тем, что любые две различные точки можно соединить отрезком?

Гуманитарий. Согласен.

Математик. Значит, можно соединить точки А и В и получить отрезок АВ. Правильно?

Гуманитарий. Правильно.

Математик. А согласны ли вы с тем, что всякий отрезок имеет середину?

Гуманитарий. Согласен.

Математик. Значит, и у отрезка АВ есть середина. Но ведь эта середина явно ближе к точке А, чем точка В. Меж тем точка В – ближайшая к А. Как быть?

(Гуманитарий не знает, что сказать.)

Математик. Я лишь хотел обратить ваше внимание, что не могут одновременно быть истинными все три утверждения о существованиях: «Для всякого отрезка существует его середина», «Любые две различные точки можно соединить отрезком» и «Для точки на прямой линии существует ближайшая к ней точка справа».

Надо признать, впрочем, что ответ «Да, существует» на вопрос о ближайшей точке даётся хотя и весьма часто, но всё же реже, чем приведённые выше ответы о сущности аксиомы о параллельных и открытии Лобачевского.

Результатом диалога о ближайшей точке должно стать отнюдь не только уяснение гуманитарием того, что для данной точки не существует ближайшей к ней точки справа; несуществование такой точки – это, в конце концов, всего лишь математический факт. Не менее, а скорее даже более важным является уяснение математиком тех деталей психологии гуманитария, которая заставляет его считать, что такая точка существует.

Дело в том, что представление о 'ближайшем' формируется у гуманитария (как и у всякого человека) не на основе изучения такого сложного образования, как континуум точек на прямой, а на основе наблюдений материальных предметов окружающего мира. Наблюдение же, скажем, окон дома или кресел в театральном зале не оставляет сомнений в наличии ближайшего справа окна или кресла. (Предвидя ехидное возражение мелочного педанта, прибавим: если только исходное окно или кресло не является крайним.)

Из сказанного можно сделать такое заключение: наш пример с ближайшей точкой есть конкретное проявление некой общей трудности, имеющей философский характер. Трудность состоит в следующем. Математика изучает идеальные сущности (каковыми являются, в частности, точки), но обращается с ними, как если бы они были реальными предметами физического мира (например, применяет к точкам понятие 'ближайший'). Но в таком случае математик обязан отдавать себе отчёт в том, что подобный квазиматериальный подход к абстракциям, если не сделать специальных оговорок, влечёт за собой перенесение на эти абстракции шлейфа представлений, которые абстракциям не свойственны, а заимствуются из обращения с физическими предметами.

Что до упомянутых «специальных оговорок», они делаются явно, а подсознательно впитываются математиками в процессе их обучения. В случае точек на прямой указанный шлейф включает в себя представление о точках на прямой как о мельчайших бусинах, нанизанных на натянутую нить. Разумеется, в рамках такого представления естественно предполагать наличие ближайшей точки и даже быть уверенным в её наличии.

Порядок точек на прямой является в математической терминологии плотным порядком; термин «плотный» означает, что для любых двух участвующих в этом упорядочении объектов, каковыми в данном случае служат точки прямой, найдётся объект (в данном случае точка) между ними. В окружающем нас материальном мире плотных порядков не встречается.

Вот другой пример на ту же тему. Одной из математических абстракций является пустое множество. Само понятие 'множество', подобно понятию 'натуральное число', представляет собой одно из первичных, неопределяемых математических понятий, познаваемых из примеров. Синонимом математического термина «множество» является слово «совокупность»; объекты, входящие в какую-либо совокупность, она же множество, называются её (соответственно его) элементами.

Слово «множество» может навести на мысль, что в множестве должно быть много элементов, тем более что главное, общеупотребительное значение этого слова действительно выражает данную мысль, как, например, во фразе «Можно указать множество причин…». Эта ложная мысль разрушается уже заявлением, что «множество» (в математическом смысле) и «совокупность» суть синонимы: ведь количество элементов в совокупности может быть и малым. Заметим, кстати, что переводы термина «множество» на французский (ensemble) и на английский язык (set) не содержат идеи 'много'.

Зададимся теперь вопросом, может ли совокупность состоять из одного элемента. Математик ответит категорическим «да». Для гуманитария же минимально возможное количество элементов совокупности – это два. Но математики свободно оперируют и пустым множеством, вовсе не содержащим элементов. На занятиях по математике гуманитарии быстро усваивают это понятие (в частности, соглашаются, что пустое множество единственно: пустое множество крокодилов и пустое множество планет – это одно и то же множество).

Для математика наименьшим числом, служащим ответом на вопрос «Сколько?», является ноль, для нематематика – один. Скажем, если в зоопарке всего лишь один слон, то число один будет естественным ответом на вопрос «Сколько слонов в этом зоопарке?». Хотя нематематик признает число ноль верным ответом на вопрос «Сколько в этом бассейне крокодилов?» и даже, возможно, сам даст подобный ответ, но всё же он, скорее, ответит: «Да нет тут никаких крокодилов!» И уж точно не задаст вопрос «Сколько?», не спросив предварительно: «Есть ли в этом бассейне крокодилы?» – и только после положительного ответа спросит, сколько их.

Как в примере с точками, так и в примере с пустым множеством общение математика с гуманитарием оказывается более поучительным для первого, потому что заставляет его осознать: он, математик, даже в таких простых, казалось бы, вопросах, ушёл в мир абстрактных сущностей и тем самым удалился от общечеловеческого словоупотребления и образа мыслей.

Поэтому математику негоже с высокомерием относиться к высказываниям гуманитария. Напротив, ему полезно осознать, что он приписывает абстракциям свойства, которые в жизни не встречаются. Заметим, что именно неограниченное, а потому незаконное перенесение на математические абстракции слов и смыслов, заимствованных из реальной жизни, и приводит в конце концов к математическим парадоксам, а именно к так называемым парадоксам теории множеств. Эти парадоксы появляются там, где с чрезвычайно высокими абстракциями начинают обращаться как с реальными предметами.

Заметим, что ту же, по существу, природу – природу незаконного перенесения – имеют и парадоксы, которые окрестили логическими, хотя правильнее было бы называть их лингвистическими. Так мы и будем их называть. Как только что отмечалось, математические парадоксы возникают при попытке оперировать с математическими сущностями путём использования общеупотребительной лексики. Лингвистические парадоксы возникают, напротив, при попытке оперировать с общеупотребительными словами так, как если бы они выражали точные математические понятия. Общеупотребительные слова, как правило, имеют расплывчатый смысл, и попытка придания им точного смысла как раз и приводит к парадоксам. Рассмотрим для ясности три известных лингвистических парадокса.

Парадокс кучи. Это один из самых известных и древних парадоксов. Ясно, что если из кучи песка удалить одну песчинку, то оставшееся всё ещё будет кучей. Но ведь, повторив данную операцию достаточное количество раз, мы дойдём до одной-единственной песчинки, каковая кучу не образует. Где же граница между кучей и не кучей? Ответ очевиден: слово «куча» имеет расплывчатый смысл, и потому искать точные границы этого смысла бесполезно.

Парадокс наименьшего числа. Возьмём «наименьшее натуральное число, которое не допускает определения посредством фразы, содержащей менее ста слов». С одной стороны, это число не допускает определения посредством менее ста слов. С другой стороны, взятая в кавычки фраза является его определением, причём таким, которое содержит менее ста слов. Разгадка в том, что мы обращаемся с выражением «определять натуральное число» так, как если бы оно имело точный смысл, какового в действительности оно не имеет. Достаточно задаться вопросом, какие слова можно использовать в определении. Можно ли, например, употреблять названия редких растений, известные лишь узкому кругу ботаников, или специальные математические термины, или собственные имена людей (притом что каждое такое имя принадлежит, как правило, нескольким людям)? Наш парадокс как раз и показывает, что обсуждаемому выражению точный смысл придать невозможно.

Парадокс гетерологичности. Назовём прилагательное гомологическим, если оно обладает тем свойством, которое это прилагательное выражает; в противном случае назовём его гетерологическим. Примеры: прилагательное «многосложный» само многосложно и потому является гомологическим; прилагательное «односложный» не односложно и потому является гетерологическим. Гомологично или гетерологично прилагательное «гетерологический»? Если оно гомологично, то, значит, обладает свойством, которое выражает, а свойство это – 'гетерологичность'; значит, рассматриваемое прилагательное гетерологично. Если же оно гетерологично, то, обладая выражаемым им свойством гетерологичности, должно квалифицироваться как гомологическое. Всё дело в том, что слова «гомологический» и «гетерологический» не обладают точным смыслом, в презумпции какового происходит рассуждение. Толкование этих слов опирается на толкование словосочетания «свойство, выражаемое прилагательным», а при толковании этого словосочетания возникают значительные трудности. Возьмём для примера прилагательное «простой». Возможно ли недвусмысленно указать свойство, выражаемое этим прилагательным? Где граница между простыми и непростыми сущностями? И обладают ли этим свойством простые дроби, простые числа, простые вещества, простые эфиры и василистник простой (растение семейства лютиковых)?

XIV

Вернёмся, однако, к тому, чем математика может быть полезна всем, в частности гуманитариям.

Воспитываемая на уроках математики дисциплина мышления помогает в числе прочего отчетливо разграничивать и различать истину и ложь (в вышеуказанном – математическом – значении последнего слова), доказанное и всего лишь гипотетическое, ведь нигде эти различия не проявляются с такой чёткостью, как в математике.

Автору очень хочется сказать, что математика – единственная наука, где достигается абсолютная истина, но он всё же на это не решается, так как подозревает, что абсолютная истина не достигается нигде.

В любом случае математические истины ближе к абсолютным, чем истины других наук. Поэтому математика – наилучший полигон для тренировки на истину. Истина – основной предмет математики.

Духовная культура состоит не столько в знаниях, сколько в нормах. Нормы проявляются прежде всего в противопоставлениях. Эстетика учит нас противопоставлению между прекрасным и безобразным, высоким и низким. Этика – между должным и недолжным, между нравственным, моральным и безнравственным, аморальным. Юриспруденция – между законным, правовым и незаконным, неправовым. Логика – между истинным и ложным.

Но логика сама по себе не создаёт истин. Её законы носят условный характер: если то-то и то-то истинно, то неизбежно истинно то-то и то-то. (Точно так же теория вероятностей не назначает и не может назначать вероятности того или иного события, а лишь указывает, как по одним вероятностям вычислять другие. Например, она не утверждает, что при подбрасывании монеты выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая; она утверждает лишь, что если при одном броске выпадение орла имеет вероятность одна вторая и если результаты бросков не зависят друг от друга, то выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая.) Знаменитый силлогизм про смертность бедного Кая не утверждает, что Кай смертен, а утверждает лишь, что если все люди смертны и если Кай – человек, то и он, Кай, смертен.

Истину же поставляют конкретные науки, в том числе математика. Кажется, это ставит математику на одну доску с другими науками. Но нет, это не так: её и только её истины могут претендовать на приближение к абсолюту, и они если не «совершенно», то «почти» абсолютны.

Приходится, однако, признать – математику со вздохом, гуманитарию с удовлетворением, – что в этой приближённости математических истин к абсолютным состоит некоторая ограниченность математики. Потому что тот мир, который дан нам в ощущениях, более адекватно отображается скорее в истинах, достаточно далёких от абсолютных.

Даже почитавшиеся незыблемыми законы Ньютона оказались пригодны лишь для сравнительно узкой полосы между микро- и макромирами, а вне этой полосы они требуют замены законами теории относительности.

Что уж говорить о так называемых прописных истинах гуманитарной сферы, будь то истины моральные или эстетические, которые с трудом поддаются, а то и вообще не поддаются оценке в терминах «верно» и «неверно».

XV

Казалось бы, что может быть важнее и первичнее, чем умение отличать истинные высказывания от высказываний ложных? Однако ещё более важным, ещё более первичным является умение отличать осмысленные высказывания от бессмысленных.

Вот характерный пример бессмысленного высказывания: «Рассмотрим совокупность всех слов, имеющих хотя бы одну общую букву». Это заявление бессмысленно, поскольку такой совокупности не существует. В самом деле, «рот» и «сыр» имеют общую букву «р» и потому должны принадлежать этой совокупности. Слово «око» должно принадлежать этой совокупности, поскольку имеет общую букву со словом «рот», и не должно ей принадлежать, поскольку не имеет общих букв со словом «сыр».

Мы потому назвали пример характерным, что подобные псевдоконструкции, ничего на самом деле не конструирующие, были довольно типичны для литературы по языкознанию несколько десятилетий назад. Возникало даже парадоксальное удовлетворение, когда некоторое утверждение можно было квалифицировать всего лишь как ложное. Чувство удовлетворения возникало потому, что ложность утверждения свидетельствовала о его осмысленности.

Преподавателю-математику, ведущему диалог со студентом-гуманитарием, зачастую приходится просить студента вдуматься в то, что тот только что сказал, и затем спрашивать, понимает ли студент, чтó сказал. Не столь уж редко честные студенты, поразмыслив, в некоторой растерянности признаются, что не понимают.

Когда знаменитого педиатра доктора Спока спросили, с какого возраста следует воспитывать ребёнка, он, узнав, что ребёнку полтора месяца, ответил: «Вы уже опоздали на полтора месяца». Не следует ли способность отличать осмысленное от бессмысленного и истинное от ложного неназойливо прививать уже с начальных классов школы? И не является ли это главным в школьном преподавании?

Надо сказать, что квалификация высказывания как ложного, бессмысленного или непонятного, как правило, требует некоторого усилия – иногда почти героического. Как же так, уважаемый человек что-то говорит или пишет, а ты осмеливаешься его не понимать или, поняв, возражать? Не все и не всегда способны на такое усилие.

XVI

Способность к усилию, о котором только что говорилось, вырабатывается (во всяком случае должна вырабатываться) на уроках математики и при общении с математиками. Дело в том, что математика – наука по природе своей демократическая. На её уроках воспитывается (а при косвенном воздействии – прививается) демократизм.

Внешние формы такого демократизма произвели большое впечатление на автора этих строк в его первые студенческие годы, когда в конце 1940-х гг. он стал обучаться на знаменитом мехмате – механико-математическом факультете Московского университета. Если почтенный академик обнаруживал, что выступающий вслед за ним студент собирается стереть с доски им, академиком, написанное, он с извинениями вскакивал с места и стирал с доски сам. Для профессора мехмата было естественно самому написать и вывесить объявление, но не для профессора гуманитарного факультета.

Эти внешние проявления косвенно отражают глубинные различия. Ведь математическая истина не зависит от того, кто её произносит – академик или школьник. При этом академик может оказаться неправ, а школьник – прав.

Реакция Колмогорова на третьекурсника, опровергнувшего его на лекции, была такова: он пригласил студента к себе на дачу, там покатался с ним на лыжах, накормил обедом и взял себе в ученики.

С горечью приходится признать, что подобный демократизм имеет свои издержки, на что указывает Андрей Анатольевич Зализняк:

Мне хотелось бы высказаться в защиту двух простейших идей, которые прежде считались очевидными и даже просто банальными, а теперь звучат очень немодно.

1. Истина существует, и целью науки является её поиск.

2. В любом обсуждаемом вопросе профессионал (если он действительно профессионал, а не просто носитель казённых титулов) в нормальном случае более прав, чем дилетант.

Им противостоят положения, ныне гораздо более модные:

1. Истины не существует, существует лишь множество мнений (или, говоря языком постмодернизма, множество текстов).

2. По любому вопросу ничьё мнение не весит больше, чем мнение кого-то иного. Девочка-пятиклассница имеет мнение, что Дарвин неправ, и хороший тон состоит в том, чтобы подавать этот факт как серьёзный вызов биологической науке[19].

Чем наука дальше от математики, чем она, так сказать, гуманитарнее, тем сильнее убедительность того или иного высказывания начинает зависеть от авторитета высказывающего лица. На гуманитарных факультетах подобная персонализация истины ещё недавно ощущалась довольно сильно. «Это верно, потому что сказано имяреком» или даже «Это верно, потому что сказано мною» – такие категорические заявления, высказанные в явной или чаще неявной форме, не столь уж редки в гуманитарных науках. (И имярек в первой фразе, и первое лицо во второй фразе обычно относились как раз к одному из тех «носителей казённых титулов», о которых говорит Зализняк.)

В естественных науках и в математике подобные заявления невозможны. Впрочем, в тоталитарном обществе принцип верховенства мнения того, кто на должность авторитета назначен властью, применялся с печальными последствиями и к естественным наукам – достаточно вспомнить лысенковщину. Проживи Сталин дольше, возможно, изменению подверглась бы и таблица умножения. Предпринимались же попытки отменить теорию относительности.

Нет в математике и «царского пути». Здесь я ссылаюсь на известную историю, то ли подлинную, то ли вымышленную, которую одни рассказывают про великого математика Архимеда и сиракузского царя Гиерона, другие про великого математика Евклида и египетского царя Птолемея.

Царь изъявил желание изучить геометрию и обратился с этой целью к математику. Математик взялся его обучать. Царь выразил недовольство тем, что его учат совершенно так же, в той же последовательности, как и всех других, не принимая во внимание его царский статус, каковой особый статус, по мнению царя, предполагал и особый способ обучения. На что математик, по преданию, ответил: «Нет царского пути в геометрии».

Эпилог

Первоначальный вариант этого очерка был напечатан в 2007 г. в декабрьском номере журнала «Знамя». Даже самые доброжелательные критики не могли не предъявить автору упрёка в односторонности. Хотя и чувствуется, говорили они, что автор желает примирить «физиков» и «лириков» на основе презумпции равенства сторон, но на деле из этого ничего не получилось. Сколь бы благими ни были намерения автора, декларируемое им преодоление барьера вылилось в агрессию математики: математическое проламывает барьер и, вторгшись на территорию гуманитарного, начинает устанавливать там свои порядки.

Такое положение вещей автору определённо не нравилось и, главное, не отвечало его замыслу. Автор стал размышлять, почему так сложилось. Результатами своих размышлений он и хотел бы поделиться с читателем в эпилоге.

Дело в том, что слова «математик» и «гуманитарий» употребляются в тексте в двух значениях или смыслах. Эти смыслы не указаны явно, но при желании легко извлекаются из контекста. Первое (прямое, терминологическое) значение подразумевает математика и гуманитария как носителей определенных профессий, второе (переносное, бытовое) – как обладателей характерного для этих профессий склада мышления. В своём переносном значении слова «математик» и «гуманитарий» имеют значительной больший объём, поскольку первое слово включает в себя уже не только профессиональных математиков, но и просто людей с математически ориентированными мозгами; а второе распространяется почти на всех остальных представителей человеческого рода.

Каждая из двух трактовок – и строгая, и расширительная – намечает своё направление преодоления барьера. Иными словами, выбор трактовки определяет, с какой стороны происходит или должно происходить преодоление: математическое влияет на гуманитарное, его математизируя, или же, напротив, гуманитарное влияет на математическое, его гуманизируя.

Математик в широком смысле этого слова вряд ли поможет широко понимаемому гуманитарию, но вот как профессионал профессионалу может помочь. Только не следует понимать это в вульгарном смысле: мол, математик – это ментор, который с высоты своего величия подаёт гуманитарию непрошеные советы. Говоря здесь о математике, мы скорее имеем в виду абстрактную персонификацию математического. Математическое же может проявляться в разных формах, в том числе и в виде реального лица, в пессимальном случае действительно, увы, ментора, а в случае оптимальном – доброжелательного критика, обращающего внимание гуманитарного исследователя на неясности, нелогичности или неточности. Наилучший результат математического влияния, к коему надлежит стремиться, состоит в усвоении гуманитарием дисциплины мышления, о которой шла речь в настоящем очерке, в пестовании им некоего «внутреннего математика», математического начала в своём мозгу. (Теоретически дисциплина мышления должна вырабатываться на уроках математики в школе, практически же этого не происходит, поскольку математика редко когда преподаётся интересно, да и вообще преподаётся не та математика, которой следовало бы обучать школьников.)

Гуманитарий же, напротив, вряд ли поможет математику в его профессиональной деятельности, но способен прямо или косвенно приобщить его к общепринятым нормам выстраивания и интерпретации синтаксических конструкций. Например, тем, которые требуют учитывать контекст («предлагаемые обстоятельства», как сказал бы Станиславский) и предписывают купить не десять батонов, а десять яиц. А также к нормам словоупотребления: например, употребления слова «неподалёку».

Возможно, слово «норма», даже с эпитетом «общепринятая», здесь слишком узко. Потому что, скажем, рекомендации по составлению инструкций вряд ли поддаются жесткой регламентации, предполагаемой термином «норма». Ведь одна из главных рекомендаций состоит в том, что текст инструкции должен быть лёгок для понимания, а именно этой лёгкости была лишена электоральная инструкция, о которой мы говорили выше. Безупречная с точки зрения синтаксиса и семантики, а потому полностью устраивающая математиков (в широком смысле слова), она оказалась, как выявила практика, трудна для понимания гуманитариями (опять-таки в широком смысле слова), а значит, неудачна. Лингвист сказал бы, что текст инструкции неудовлетворителен с точки зрения прагматики.

И ещё одно немаловажное обстоятельство. Нисколько не умаляя роли школы (роли, впрочем, не реальной, а желательной) и прочих общественных институтов, заметим, что влияние математического на гуманитарное главным образом опосредуется через личность математика-человека. Такое положение вещей не может не поставить его в незавидное положение высокомерного ментора, каковым он не является. Напротив, основная форма влияния гуманитарного на математическое деперсонализирована и не выглядит как личное влияние какого-то гуманитария. Влияние гуманитарного на математическое выражается в мощном давлении среды при условии, что среда эта, в широком смысле преимущественно гуманитарная, сумеет победить желание математика от неё отгородиться.

Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Мира восторг беспредельный

Сердцу певучему дан.

Александр Блок. Роза и крест

Наука умеет много гитик.

Ключ к карточному фокусу

Глава 1

Ватсон против Холмса

«Человек отличается от свиньи, в частности, тем, что ему иногда хочется поднять голову и посмотреть на звёзды». Это изречение принадлежит Виктору Амбарцумяну (в 1961–1964 гг. президенту Международного астрономического союза). А почти за 200 лет до него на ту же тему высказался Иммануил Кант, который поставил звёздное небо по силе производимого впечатления на один уровень с пребывающим внутри человека – и прежде всего внутри самого Канта – нравственным законом. Эти высказывания объявляют усеянное звёздами небо частью общечеловеческой духовной культуры, более того, частью, обязательной для всякого человека. Трудно представить индивидуума, не впечатлявшегося видами неба. Впрочем, воспоминания переносят меня в осень 1947 г., на лекцию по астрономии для студентов первого курса механико-математического факультета МГУ. Лекцию читает профессор Куликов. Он делает нам назидание. «В прошлом веке профессор Киевского университета Митрофан Хандриков, – говорит он, – на экзамене спросил студента, каков видимый размер Луны во время полнолуния, и в ответ услышал, что студент не может этого знать, поскольку никогда не видал Луны»[20].

Приведённые выше высказывания о роли звёздного неба в духовной культуре человека декларируют если не прямо, то косвенно, принадлежность к ней сведений об устройстве небесного свода. Неотъемлемой частью человеческого знания является то или иное представление об этом устройстве, хотя бы и признаваемое в наши дни совершенно фантастическим, как, например, такое: «А Земля – это только лишь плесень в перевёрнутой неба корзине; звёзды – это свет другого мира, к нам просвечивающий сквозь дно корзины, сквозь бесчисленные маленькие дыры, не затёртые небесной глиной». Человек, вовсе не имеющий представления об устройстве мироздания, признаётся выпадающим из культуры. Вспомним, как изумился доктор Ватсон, когда вскоре после вселения в знаменитый дом 221b по Бейкер-стрит узнал: Холмс понятия не имеет, что Земля вертится вокруг Солнца. И даже полагает это знание совершенно излишним. «Ну хорошо, пусть, как вы говорите, мы вращаемся вокруг Солнца, – возражал Холмс. – А если бы я узнал, что мы вращаемся вокруг Луны, много бы это помогло мне или моей работе?» Вот здесь очень важный момент. Холмс признаёт нужным только то знание, которое может быть использовано в практических целях. Ватсон считает – и, очевидно, исходит из того, что читатели его записок разделяют эту точку зрения, – что некоторые знания обязательны независимо от того, имеют они практическое применение или нет. При всём уважении к великому сыщику, согласимся с доктором.

Итак, есть определённый объём непрактических знаний, обязательный для всякого культурного человека[21] (выражение «культурный человек» в силу расхожести и затрёпанности отдает дурновкусием, но ради ясности изложения приходится его употреблять). Мы полагаем, что в этот объём входят и некоторые математические представления, не нашедшие утилитарного использования. Это не только факты, но также понятия и методы оперирования с ними.

Роль математики в современной материальной культуре, как и роль её элементарных разделов в повседневном быту, достаточно известна, так что на ней можно не останавливаться. В этом очерке мы собираемся говорить о математике как о части культуры духовной.

Математические идеи способны вызывать эмоции, сравнимые с теми, что вызывают литературные произведения, музыка, архитектура. К сожалению, косные методы преподавания математики редко позволяют ощутить её эстетическую сторону, доступную, хотя бы отчасти, не только математикам. Математиками же эта сторона ощущается с полной ясностью. Вот что писал выдающийся математик, учитель великого Колмогорова Николай Николаевич Лузин (1883–1950): «Математики изумляются гармонии чисел и геометрических форм. Они приходят в трепет, когда новое открытие открывает им неожиданные перспективы. И та радость, которую они переживают, разве это не есть радость эстетического порядка, хотя обычные чувства зрения и слуха здесь не участвуют. ‹…› Математик изучает свою науку вовсе не потому, что она полезна. Он изучает её потому, что она прекрасна. ‹…› Я говорю о красоте более глубокой [чем та, которая поражает наши чувства. – В. У.], проистекающей из гармонии и согласованности воедино всех частей, которую один лишь чистый интеллект и сможет оценить. Именно эта гармония и даёт основу тем красочным видимостям, в которых купаются наши чувства. ‹…› Нужно ли ещё прибавлять, что в развитии этого чувства интеллектуальной красоты лежит залог всякого прогресса?»

Являясь (через Колмогорова) научным «внуком» Лузина, автор настоящего очерка с сочувствием относится к формуле «математика для математики», образованной по аналогии с известным слоганом «искусство для искусства». Однако всё не так просто. Следует огорчить поклонников чистого разума и утешить приверженцев практической пользы. Опыт развития математики убеждает, что самые, казалось бы, оторванные от практики её разделы рано или поздно находят важные применения. Всю первую половину XX в. математическая логика рассматривалась как наука, занятая исключительно проблемами логического обоснования математики, своего рода философский анклав в математике; в СССР борцы со всевозможными «-измами» ставили её под подозрение, и первая кафедра математической логики была открыта лишь в 1959 г. Сегодня математическая логика переплетена с теоретической информатикой (theoretical computer science) и служит для последней фундаментом. Теория чисел, одна из древнейших в математике, долгое время считалась чем-то вроде игры в бисер. Оказалось, что без этой теории немыслима современная криптография, равно как и другие важные направления, объединённые названием «защита информации». Специалисты по теоретической физике интересуются новейшими разработками алгебраической геометрии и даже такой абстрактной области, как теория категорий.

Применение математики в физике не ограничивается числовыми формулами и уравнениями. Её (математики) абстрактные конструкции позволяют лучше понять природу тех физических явлений, исследования которых составляют передовой край науки. Поясним сказанное с помощью исторической аналогии. Когда-то считалось, что Земля плоская. Ничего другого в то время просто не могло прийти в голову. Затем люди пришли к мысли о её шарообразности. Вряд ли эта мысль затеплилась бы в человеческом сознании, не обладай оно представлением о шаре. Точно так же долгое время считалось очевидным, что окружающее нас физическое пространство есть самое обычное трёхмерное евклидово пространство, известное из школьного курса геометрии. В этом были уверены все, включая тех, кто, не владея учёной терминологией, ведать не ведал, что это за «евклидово пространство» такое. (Вспомним мольеровского Журдена, не подозревавшего, что он говорит прозой.) И действительно, а как же может быть иначе? Первыми прониклись сомнением в XIX в. независимо друг от друга в России великий геометр Лобачевский, а в Германии – великий математик Гаусс и, возможно, юрист и математик Швейкарт[22]. Они первыми осознали не только существование неевклидовой геометрии как математического объекта, но и возможность неевклидового строения нашего мира (мы ещё коснёмся этой темы в главе 8). Лобачевского тогда никто не понял, кроме Гаусса, сам же Гаусс, предчувствуя непонимание, ни с кем не делился своим прозрением. Теория относительности подтвердила неевклидовость мироздания, предсказав искривление пространства под воздействием массивных тел, что, в свою очередь, было подтверждено наблюдаемым отклонением луча света вблизи таких объектов. Некоторые свойства пространства-времени оказались парадоксальными, другие остаются неизвестными. Вместе с тем познание этих свойств может оказаться жизненно важным для человечества. Математика предлагает уже готовые модели, позволяющие лучше понять подобные свойства, в особенности же свойства парадоксальные, противоречащие повседневному опыту. Более точно, в математике построены структуры, обладающие требуемыми свойствами.

В частности, математические модели позволяют понять два непривычных качества окружающего нас пространства – его признанную сообществом физиков кривизну и его возможную четырёхмерность (нельзя исключать, что измерений ещё больше). Говоря о четвёртом измерении, мы не имеем в виду время (которое иногда не без оснований так называют), а ведём речь об измерении в прямом, пространственно-геометрическом смысле. Не исключено, что в реальности[23] пространство, в котором мы живём, четырёхмерно (или даже имеет пять, шесть, а то и больше измерений), хотя непосредственному наблюдению, по крайней мере до сих пор, было доступно лишь его трёхмерное подпространство. Осознание подлинной размерности пространства (оставим в стороне вопрос о смысле слова «подлинный») может оказаться важным для познания мира. Представим себе двумерную поверхность (например, плоскость или сферу), по которой ходит слон. Его следы на поверхности имеют вид пятен. Двумерным, не обладающим толщиной существам, живущим в (не на, а именно в!) поверхности, появление этих пятен покажется необъяснимым. Наиболее проницательные двумерные мудрецы предположат наличие третьего измерения и передвигающегося в нём «слона». Возможно – всего лишь возможно! – некоторые явления в доступном нашим чувствам трёхмерном пространстве получат аналогичное объяснение на основе представлений о «четырёхмерном слоне», т. е. как следы процессов, развивающихся в четырёхмерном пространстве.

Здесь мы прикоснулись к важной философской, а точнее, гносеологической теме. Выше говорилось, что мысль о шарообразности Земли не возникла бы в человеческом сознании, если бы ещё раньше в нем не появилось представление о шаре. Само же это представление, в свою очередь, опиралось на повседневный опыт, а именно на наблюдение шарообразных тел природного происхождения (плодов и ягод, катимых скарабеями навозных шариков и т. п.). И когда человек задумался над формой Земли, ему оставалось лишь воспользоваться названным представлением. Иначе обстоит дело с попытками познать строение Вселенной. Повседневный опыт не даёт требуемых геометрических форм. Но хотя такими формами и не обладают предметы, доступные непосредственному созерцанию, оказалось, что этим формам отвечают уже обнаруженные математиками структуры. Поскольку указанные математические структуры точно описаны, при желании нетрудно понять, как в них реализуются предполагаемые свойства мироздания – даже те, которые кажутся парадоксальными. А тогда остаётся допустить, что геометрия реального мира хотя бы отчасти выглядит так, как геометрия этих структур. Таким образом, математика, не давая ответ на вопрос, как оно есть в реальном мире, помогает понять, как оно может быть, что не менее важно, ведь как оно есть, мы вряд ли когда-нибудь узнаем до конца. (Мы вернёмся к этой теме в главе 12.) И помощь, которую оказывает математика в познании мира, также следует вписать в перечень её практических приложений.

Как говорил один из самых крупных математиков XX в. Джон фон Нейман (1903–1957), «в конечном счёте современная математика находит применение. А ведь заранее и не скажешь, что так должно быть».

Нередко утверждают, что математику следует рассматривать как часть физики, поскольку она описывает внешний физический мир. Но с тем же успехом её можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления, а значит, должны проходить по ведомству психологии. Взять, например, такое основное (и, может быть, самое главное) понятие математики, как понятие натурального числа, т. е. числа, являющегося одновременно и целым, и положительным (иногда к натуральным числам причисляют ещё и число ноль, для чего есть серьёзные основания). Ведь показать, скажем, число пять невозможно, можно только предъявить пять пальцев или пять иных предметов. Уже здесь не такая уж малая степень абстракции. Ещё более высокая степень абстракции в числе пять септиллионов: ясно, что предъявить столько предметов невозможно. И уж совсем высокая (и одновременно глубокая) абстракция заключена в понятии натурального числа вообще и натурального ряда как совокупности всех натуральных чисел. Здесь поле, которое психология только начала распахивать. Упоминавшийся уже Лузин, который был не только математиком, но и философом (и даже его избрание в 1929 г. в Академию наук СССР произошло «по кафедре философии»), так высказывался на эту тему: «По-видимому, натуральный ряд чисел не представляет собой абсолютно объективного образования. По-видимому, он представляет собой функцию головы того математика, который в данном случае говорит о натуральном ряде».

Тем не менее два математика на разных континентах приходят к одним и тем же выводам о свойствах натурального ряда чисел, хотя могут наблюдать числа никак не внешним зрением, а лишь зрением внутренним, мысленным. В этом труднообъяснимом единстве взглядов на идеальные сущности некоторые усматривают доказательство существования Бога. (Как пишет Ю. И. Манин, «мы [математики. – В. У.] изучаем идеи, с которыми можно обращаться так, как если бы они были реальными предметами»[24]. Весь вопрос в том, почему это возможно.)

Итак, мы отстаиваем два тезиса. Первый: математика – вне зависимости от того, находит ли она практическое использование, – принадлежит духовной культуре. Второй: отдельные разделы математики входят в общеобязательную часть этой культуры.

Задаваться же вопросом, что именно из математики, причём неприкладной, должно входить в общеобязательный культурный минимум, вряд ли стоит, потому что однозначного ответа на него не найти. Каждый должен определять этот минимум для себя. Задача общества – предоставить каждому индивидууму ту информацию о математических понятиях, идеях и методах, из которой можно было бы отобрать этот субъективный минимум. Вообще, приобретение знаний есть дело добровольное, и насилие тут неуместно. На ум приходит замечательное высказывание Сухарто (второго президента Индонезии – не путать с первым её президентом Сукарно): «В наше время чрезвычайно трудно заставить кого-либо сделать что-либо добровольно». Тем не менее дальше вам встретятся рекомендации о включении в математический минимум тех или иных знаний; это отнюдь не категорическое требование, а скорее, примеры и материал для дальнейшего обсуждения. Школьная программа по математике – слишком болезненная тема, чтобы её здесь затрагивать (хотя она не может не волновать, поскольку касается миллионов наших детей). Ограничусь тем, что скажу: хорошо бы в этой программе устранить перекос в сторону вычислений и уделить больше внимания качественным моментам, с вычислениями непосредственно не связанным.

Замечу в заключение, что математика составляет часть мировой культуры и благодаря своему этическому аспекту. Хотя существование такового может показаться странным, он есть. Математика не допускает лжи, т. е. ложных утверждений. Более того, математика требует, чтобы утверждения не просто провозглашались, но доказывались. Она учит задавать вопросы и требовать разъяснений, если ответ оказался тёмен. Она по природе демократична, её демократизм обусловлен характером математических истин. Их непреложность не зависит от того, кто их провозглашает – академик или школьник. Вот поучительный эпизод из жизни механико-математического факультета (знаменитого мехмата) Московского университета, относящийся к концу 1940-х гг. Великий Колмогоров читает специальный (т. е. необязательный) курс по теории меры. Он объявляет некоторую теорему и говорит, что, поскольку дальнейшее изложение на неё не опирается, он её доказывать не будет, а просит поверить на слово. Один из слушателей, третьекурсник, строит опровергающую конструкцию и в перерыве показывает её лектору. Вторую половину лекции Колмогоров начинает с изложения этой конструкции, а третьекурсника приглашает к себе на дачу, где производит в ученики.

Здесь прошу читателя остановиться и подумать, следует ли ему читать дальше. А помочь в этом раздумье способно мнение другого читателя, содержащееся в приложении к этой главе, которое помещено в конце очерка. Того, кто решит продолжить чтение, прошу прочесть (или перечесть) тот абзац предисловия, где говорится о точности и понятности.

Глава 2

Теорема Пифагора и теорема Ферма

Весьма и весьма поучительным, а потому достойным войти в «джентльменский набор» математических фактов нам представляется знание того, почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским. (Пусть даже нас упрекнут в непоследовательности, ведь раньше мы настойчиво подчёркивали, что в данном очерке речь пойдет о непрактических, неприкладных аспектах математики.) А всё дело в том, что древнеегипетским строителям пирамид нужен был простой и надёжный способ построения прямого угла. И вот как они это делали. Верёвку разбивали на 12 равных частей, пометив границы между соседними частями; концы верёвки соединяли. Затем три человека натягивали верёвку так, чтобы она образовала треугольник, причём расстояния между каждыми двумя людьми, натягивающими верёвку, составляли соответственно 3 части, 4 части и 5 частей. Получался прямоугольный треугольник с катетами в 3 и 4 части и гипотенузой в 5 частей. Естественно, прямым был угол между сторонами в 3 и 4 части. Как известно, древнеегипетских землемеров, которые, помимо измерения земельных участков, занимались построениями на местности, греческие писатели называли гарпедонаптами (что буквально означает «натягивающие верёвки»). Гарпедонапты занимали третье место в жреческой иерархии Древнего Египта.

Но почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 окажется прямоугольным? Боюсь, пытаясь ответить на этот вопрос, большинство читателей сошлётся на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей. Здесь же используется теорема, обратная к теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то тогда треугольник – прямоугольный. (Не уверен, что эта обратная теорема занимает должное место в школьной программе.)

В начале данной главы мы упоминали, что рискуем навлечь на себя упрек в непоследовательности, поскольку, обещав говорить о неутилитарном аспекте математики, сразу же перешли к её практическому применению. Однако эта непоследовательность кажущаяся, потому что описанное практическое приложение обратной теоремы Пифагора принадлежит далёкому прошлому. Едва ли кто-либо строит прямые углы указанным способом сегодня. Он переместился из мира практики в мир идей, подобно тому как многое из материальной культуры прошлого вошло в духовную культуру настоящего.

Тему египетского треугольника можно подразделить на три подтемы: прямой угол, треугольник и равенство 3² + 4² = 5². В каждой из этих подтем усматриваются элементы, относящиеся к тому, что автор этих строк понимает под общечеловеческой культурой. Подкрепим сказанное примерами.

Сперва о понятии «прямой угол». Оно может быть использовано для интеллектуального обогащения. Поставим такую задачу: объяснить, какой угол называется прямым, но не на визуальных примерах, а вербально, например по телефону. Вот решение. Попросите собеседника мысленно взять две жерди, соединить их крест-накрест и заметить, что в точке соединения сходятся четыре угла; если эти углы равны друг другу, каждый из них и называют прямым. «При чем тут духовная культура, если речь идёт о жердях?!» – возмутится критически настроенный читатель. Но суть здесь, конечно же, не в жердях, а в опыте вербального определения одних понятий через другие. Такой опыт поучителен и полезен, а возможно, что и необходим. Математика вообще удобный полигон для оттачивания искусства объяснения. Адресата объяснений следует при этом представлять себе тем внимающим афинскому софисту любопытным скифом, о котором писал Пушкин в послании «К вельможе». Объяснение признаётся успешным, если есть надежда, что любопытный скиф его поймёт. Кстати, если скиф окажется не только любопытным, но и глубокомысленным, он заявит, что ему непонятно, какие углы называются равными, а непонятно потому, что каждая сущность может быть равной только сама себе. И в этом мы согласны со скифом. Ведь когда говорят, скажем, о равенстве людей, то всегда прибавляют (хотя бы мысленно), в чем они равны. Вспомним, например, первую фразу 1-й статьи Всеобщей декларации прав человека: «Все люди рождаются свободными и равными в своём достоинстве и правах». Поэтому скиф вправе требовать разъяснений. Вербальные разъяснения здесь таковы: имеется в виду равенство угловых размеров углов, но поскольку неизвестно, что такое угловой размер, то равенство углов понимается как возможность их совпадения при перемещении. («А как же они могут совпасть, если все четыре расстояния от точки пересечения до конца жерди различны?» – не унимается скиф. Продолжить беседу с ним предоставляем читателю.)

Теперь – пример, относящийся к треугольникам. Речь пойдёт о триангуляции. Триангуляция – это сеть примыкающих друг к другу, наподобие паркетин, треугольников различного вида; при этом существенно, что примыкают лишь целые стороны, так что вершина одного треугольника не может лежать внутри стороны другого. Триангуляции сыграли важнейшую роль в определении расстояний на земной поверхности, а тем самым – и в определении фигуры Земли.

Потребность в измерении больших, в сотни километров, расстояний – как на суше, так и на море – появилась ещё в древние времена. Капитаны судов, как известно из детских книг, меряют расстояния числом выкуренных трубок. Близок к этому метод, применявшийся во II в. до н. э. знаменитым древнегреческим философом, математиком и астрономом Посидонием, учителем Цицерона: морские расстояния Посидоний измерял длительностью плавания (с учётом, разумеется, скорости судна). Но ещё раньше, в III в. до н. э., другой знаменитый древний грек, заведовавший Александрийской библиотекой математик и астроном Эратосфен, измерял сухопутные расстояния по скорости и времени движения торговых караванов. Можно предполагать, что именно так Эратосфен измерил расстояние между Александрией и Сиеной, которая сейчас называется Асуаном (если смотреть по современной карте, получается примерно 850 км). Это расстояние было для него чрезвычайно важным. Эратосфен хотел измерить длину меридиана и считал, что эти два египетских города лежат на одном и том же меридиане; хотя это в действительности не совсем так, но близко к истине. Найденное расстояние он принял за длину дуги меридиана. Соединив эту длину с наблюдением полуденных высот солнца над горизонтом в Александрии и Сиене, он далее путём изящных геометрических рассуждений вычислил длину всего меридиана и, как следствие, радиус земного шара.

Ещё в XVI в. расстояние (примерно 100 км) между Парижем и Амьеном определялось при помощи счёта оборотов колеса экипажа. Приблизительность результатов подобных измерений очевидна. Но уже в следующем столетии голландский математик, оптик и астроном Снеллиус изобрёл излагаемый ниже метод триангуляции и с его помощью в 1615–1617 гг. измерил дугу меридиана, имеющую угловой размер 1°11′30''.

Посмотрим, как триангуляция позволяет определять расстояния. Сперва выбирают какой-нибудь участок земной поверхности, включающий в себя оба пункта, расстояние между которыми хотят найти, и доступный для проведения измерительных работ на местности. Этот участок триангулируют, т. е. покрывают сетью треугольников, образующих триангуляцию. Затем выбирают один из треугольников триангуляции; будем называть его начальным. Далее выбирают одну из сторон начального треугольника. Она объявляется базой, и её длину тщательно измеряют. В вершинах начального треугольника строят вышки с таким расчётом, чтобы каждая была видна с других вышек. Поднявшись на вышку, расположенную в одной из вершин базы, измеряют угол, под которым видны две другие вышки. После этого поднимаются на вышку, расположенную в другой вершине базы, и делают то же самое. Так, путём непосредственного измерения получают сведения о длине одной из сторон начального треугольника (а именно о длине базы) и о величине прилегающих к ней углов. По формулам тригонометрии вычисляют длины двух других сторон этого треугольника. Каждую из них можно принять за новую базу, причём измерять её длину уже не требуется. Применяя ту же процедуру, можно теперь узнать длины сторон и углы любого из треугольников, примыкающих к начальному, и т. д. Важно осознать, что непосредственное измерение какого-либо расстояния проводят только один раз, а дальше уже измеряют только углы между направлениями на вышки, что несравненно легче и может быть сделано с высокой точностью. По завершении процесса оказываются установленными величины всех участвующих в триангуляции отрезков и углов. А это, в свою очередь, позволяет находить любые расстояния в пределах участка поверхности, покрытого триангуляцией.

В частности, именно так в XIX в. была найдена длина дуги меридиана от широты Северного Ледовитого океана (в районе Хáммерфеста на норвежском острове Квáлё) до широты Чёрного моря (в районе дельты Дуная). Она была составлена из длин 12 отдельных дуг. Процедура облегчалась тем, что для измерения длины дуги меридиана вовсе не требуется, чтобы составляющие дуги примыкали друг к другу концами; достаточно, чтобы концы соседних дуг находились на одной и той же широте. (Например, если нужно узнать расстояние между 70-й и 40-й параллелями, то можно на одном меридиане измерить расстояние между 70-й и 50-й параллелями, на другом меридиане – расстояние между 50-й и 40-й параллелями, а затем сложить полученные расстояния.) Общее число треугольников триангуляции равнялось 258, длина дуги оказалась равной 2800 км. Чтобы исключить неточности при измерениях неизбежные, а при вычислениях возможные, десять баз были подвергнуты непосредственному измерению на местности. Измерения проводились с 1816 по 1855 г., а результаты были изложены в двухтомнике «Дуга меридиана в 25°20′ между Дунаем и Ледовитым морем» (СПб., 1856–1861), принадлежащем перу замечательного российского астронома и геодезиста Василия Яковлевича Струве (1793–1864), осуществившего российскую часть измерений.

Формулы тригонометрии, упомянутые выше, входят в школьную программу. Подавляющему большинству после школы они никогда не понадобятся, их можно спокойно забыть. Знать – и не только знать, но и осознавать, понимать – надо следующее (и именно это должно входить в обязательный, на наш взгляд, интеллектуальный багаж): треугольник однозначно определяется заданием любой его стороны и прилегающих к ней углов, и этот очевидный факт может быть использован и реально использовался для измерения расстояний методом триангуляции. Если всё же кому-нибудь когда-нибудь и понадобятся формулы тригонометрии, их легко найти в справочниках. Учат ли в наших школах пользоваться справочниками? А ведь это умение несравненно полезнее, чем затверженные наизусть формулы.

Наконец, о равенстве 3² + 4² = 5². Если положительные числа a, b, c обладают тем свойством, что a² + b² = c², то, по обратной теореме Пифагора, они представляют собою длины сторон некоторого прямоугольного треугольника; если они к тому же суть числа целые, их называют пифагоровыми, а саму тройку (a, b, c) таких чисел – пифагоровой тройкой. Если будем последовательно умножать члены нашей «египетской» тройки (3, 4, 5) на 2, 3, 4, 5 и т. д., получим бесконечный ряд пифагоровых троек: (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15, 20, 25) и т. д. Но и количество «первичных» пифагоровых троек, не получающихся друг из друга умножением на число, также бесконечно; вот несколько примеров таких троек: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (12, 35, 37); (9, 40, 41). Известен способ, позволяющий получить все пифагоровы тройки.

Возникает естественный вопрос: а что будет, если в соотношении, определяющем пифагоровы числа, заменить возведение в квадрат на возведение в куб, в четвёртую, пятую и более высокие степени? Можно ли привести пример таких целых положительных чисел a, b, c, чтобы выполнялось равенство a³ + b³ = c³, или равенство a^4 + b^4 = c^4, или a^5 + b^5 = c^5 и т. п.? Любую тройку целых положительных чисел, для которых выполняется одно из указанных равенств, условимся называть тройкой Ферма. Более точно, условимся называть тройкой Ферма для показателя n любую тройку целых положительных чисел a, b, c, для которой выполняется равенство an + bn = cn. Таким образом, пифагоровы тройки суть не что иное, как тройки Ферма для показателя 2. Итак, вопрос состоит в том, существует ли тройка Ферма для какого-либо показателя, большего двух.

Этим вопросом заинтересовался великий французский математик середины XVII в. Пьер Ферма (вообще-то, занятия математикой, а заодно и оптикой для него были хобби, служебные его обязанности состояли в заведовании отделом петиций тулузского парламента). Поиски требуемых примеров ни к чему не привели, и Ферма пришёл к убеждению, что их не существует. Утверждение о несуществовании троек Ферма принято называть Великой теоремой Ферма. Строго говоря, его следовало бы называть Великой гипотезой Ферма, поскольку автор утверждения не оставил нам его доказательства. Ферма оставил потомкам лишь две латинские фразы, написанные им около 1637 г. на полях изданной в 1621 г. в Париже на двух языках, греческом и латинском, «Арифметики» древнегреческого математика Диофанта. (Поля в книге были широкими, и Ферма делал на них заметки по ходу чтения.) И вот какие две фразы он, в частности, написал (приводим их в переводе): «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвёртой степени быть записанной в виде суммы двух четвёртых степеней, или вообще для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанным в виде суммы двух таких же степеней. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но оно не уместится на полях [hanc marginis exiguitas non caperet (букв. скудость поля его не вмещает)]». В бумагах Ферма после его смерти было найдено лишь доказательство Великой теоремы для показателя 4, т. е. невозможности равенства a^4 + b^4 = c^4 ни при каких целых положительных a, b, c (а в нашей терминологии – отсутствия троек Ферма для показателя 4).

Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их, да и то, как правило (если не всегда), без доказательств, сообщалась им в личной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 г. К числу последних принадлежит и Великая теорема: в 1670 г. старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Так Великая теорема стала известна человечеству. Могла ли она не привлечь внимания ореолом романтической тайны, окружавшим её появление? Неочевидность наблюдения гения, соединённая с простотой и наглядностью, короткая запись на полях книги Диофанта, утверждение о наличии «поистине удивительного» доказательства, тщетность попыток обнаружить это доказательство… Всё это чем-то напоминало записку из бутылки, выловленной в океане, с точными, но частично размытыми водой указаниями о месте, где зарыт клад.

Лишь через 100 лет дело сдвинулось с мёртвой точки: в 1770 г. великий математик Эйлер доказал теорему Ферма (т. е. отсутствие троек Ферма) для показателя 3. Ещё через 55 лет было установлено отсутствие троек Ферма для показателя 5, затем, в 1839 г., – для показателя 7. Читатель, несомненно, обратит внимание и на медленность продвижения вперед, и на его ускорение. Но как бы ни убыстрялся прогресс, речь шла об отдельных показателях, тогда как Великая теорема в своём полном объёме провозглашала отсутствие троек Ферма для любого целочисленного показателя, начиная с трёх. Впрочем, с самого начала было очевидно, что если тройка Ферма найдётся для какого-то показателя kn, кратного числу n, то и для самого n найдётся тройка Ферма.

Действительно, если a, b, c служат тройкой Ферма для kn, то это значит, что akn + bkn = ckn, или (ak)n + (bk)n = (ck)n, так что тройка чисел ak, bk, ck служит тройкой Ферма для показателя n. Из полученных к 1839 г. результатов следовало поэтому, что Великая теорема доказана для бесконечных рядов чисел 3, 6, 9, 12, 15, 18, …; 4, 8, 12, 16, 20, 24, …; 5, 10, 15, 20, 25, 30, …; 7, 14, 21, 35, 42, 49, ….

Задача доказать гипотезу Ферма составила содержание проблемы Ферма. В XIX – начале ХХ в. несколько выдающихся исследователей внесли свой вклад в изучение этой проблемы. Из них мы выделим двух немецких математиков – Куммера и Линдемана.

Эрнст Эдуард Куммер (Ernst Eduard Kummer, 1810–1893), создатель алгебраической теории чисел, начал заниматься проблемой Ферма в 1837 г. Он впервые предложил некие общие методы, позволившие ему, в частности, доказать теорему Ферма для всех показателей в пределах первой сотни, а стало быть, как мы знаем, и для всех показателей, делящихся на какое-нибудь число в пределах первой сотни. А главное, он проложил дорогу для дальнейших исследований.

Среди учеников Фердинанда Линдемана (Carl Louis Ferdinand von Lindemann,1852–1939) были и великий математик Давид Гильберт, и великий геометр Герман Минковский (создатель геометрической теории чисел и той четырёхмерной геометрической модели, которая легла в основу теории относительности). Сам Линдеман совершил одно из величайших открытий в истории математики – доказал, что проблема квадратуры круга, о которой мы расскажем в главе 5, не имеет решения. Но Линдемана мы назвали здесь по совсем иной причине, нежели Куммера. Дело в том, что у него была жена. Ей оказалось недостаточно той всемирной славы, которую принесло мужу его открытие (вспомним «Сказку о рыбаке и рыбке»), и она заставляла его доказывать Великую теорему Ферма. Он страдал, но вынужден был подчиняться. Результатом были недостойные такого замечательного математика публикации с ошибочными доказательствами. Последнее из них относится к 1907 г., а его 66-страничная публикация состоялась в 1908 г. (читатель вскоре поймёт, зачем нам нужны эти даты). Вот уж точно «Не корысти ради, а токмо волею пославшей мя жены», как говаривал в погоне за 12 стульями окарикатуренный Ильфом и Петровым несчастный иерей Фёдор Иванович Востриков. («Бывают странные сближения»[25].) Корыстный мотив возникнет хотя и близко по времени, но всё же позже.

Вскоре в среде математиков появилось ощущение, что доказать теорему Ферма невозможно. (Предпринимались даже попытки эту невозможность обосновать.) Заниматься этой проблемой среди профессионалов сделалось почти так же неприлично, как изобретать вечный двигатель. Я ещё помню, как, поступив в 1947 г. на мехмат, почувствовал это разлитое в воздухе ощущение. (Впрочем, ходили слухи, что, не афишируя того, проблемой Ферма всерьёз занимается Александр Осипович Гельфонд, один из крупнейших мировых специалистов по теории чисел и один из очень немногих советских математиков, удостоенных статьи в Британской энциклопедии[26].)

И раз уже профессионалы заниматься проблемой Ферма не желали, в назидание (или в наказание) им за неё взялись дилетанты – так называемые ферматисты.

Всё началось с того, что Пауль Вольфскель (Paul Friedrich Wolfskehl), родившийся 30 июня 1856 г. в Дармштадте в состоятельной и образованной семье, в 1880 г. заметил у себя симптомы рассеянного склероза. Для истории теоремы Ферма это имело два последствия. Во-первых, Вольфскель, в том году получивший в Гейдельберге степень доктора медицины, понял, что практикующего врача из него не выйдет, поскольку в недалёком будущем он окажется прикован к инвалидному креслу-каталке. Поэтому он перешёл от занятий медициной к занятиям математикой, которой вскоре весьма увлёкся. Он изучал математику в Бонне и Берлине, где слушал лекции того самого знаменитого Куммера (сам читал какие-то лекции, опубликовал несколько математических статей). Но главным увлечением его сделалась теорема Ферма. Говорят, чтение работы Куммера, ей посвящённой, в последний момент спасло Вольфскеля от самоубийства, совершить каковое он намеревался из-за неудач на любовном фронте и безуспешных попыток доказать Великую теорему. Как бы то ни было, именно занятия проблемой Ферма скрасили последние годы жизни Вольфскеля, к тому времени почти полностью парализованного. Итак, первым следствием болезни стало увлечение проблемой Ферма. А вторым – решение родственников, обеспокоенных прогрессирующей неподвижностью Пауля, подыскать наконец ему жену. (Вот уже второй раз в истории долгой осады проблемы Ферма возникает тема жены. Возникнет и в третий.) Предполагалось, что жена будет присматривать за больным. В супруги ему подобрали 53-летнюю старую деву. Брак был заключён 12 октября 1903 г. Родственники крупно просчитались: новобрачная оказалась… как бы это помягче сказать? Короче, она оказалась сущей ведьмой и сумела превратить жизнь мужа в подлинный ад. Поэтому в январе 1905 г. он изменил свою последнюю волю, завещав значительную часть состояния, а именно 100 тысяч марок, научному обществу в Гёттингене для награждения того, кто первым докажет Великую теорему Ферма[27].

Пауль Вольфскель умер 13 сентября 1906 г. А 27 июня 1908 г. Королевское научное общество в Гёттингене (Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen) обнародовало условия конкурса (из девяти пунктов), считавшегося с того дня открытым. Они были затем опубликованы в нескольких научных журналах. Современный читатель отыщет их в увлекательной и доступной самой широкой аудитории книге Саймона Сингха «Великая теорема Ферма»[28]. Из них мы приведём лишь пятое и девятое:

5. Премия присуждается Обществом не ранее чем через два года после опубликования мемуара, удостоенного премии.

9. Если премия не будет присуждена до 13 сентября 2007 г., в дальнейшем заявки приему не подлежат.

Слух о более чем внушительной награде вскоре широко распространился и привёл к последствиям, которых никто не ожидал. В первый же год поступила 621 (!) рукопись с «решениями». Ведь в пятой статье положения о премии речь идёт лишь об окончательном решении присудить, а самоё рукопись каждый автор стремился прислать как можно раньше, чтобы застолбить свой приоритет. Ещё в 1997 г. ежемесячно приходило в среднем четыре рукописи. Несчастные аспиранты и ассистенты Института математики должны были читать каждую рукопись, комментировать ошибки (потому что рукописей без ошибок не встречалось) и отвечать автору. Автор не сдавался, писал вновь и вновь, посылал новые варианты, исправления, исправления к исправлениям. Рекорд поставил претендент, отправивший в Гёттинген более 60 заявок.

Так возникла эта особая разновидность людей – ферматисты. Не принадлежа к числу математиков и не обладая должным (а часто вовсе никаким) математическим образованием, они свято убеждены в том, что им удалось доказать теорему Ферма, и навязывают своё ложное доказательство чуть не силой. Спорить с ферматистами бесполезно, разубедить их невозможно. Как правило, они рассылают свои сочинения сразу по нескольким адресам. Например, после 1908 г. значительное число их адресовали свои сочинения Королевскому обществу наук в Берлине, доказав тем самым, что в первую очередь ими руководила не корысть. Премия Вольфскеля призвана была не столько указать новый способ заработать (хотя и это тоже), сколько привлечь внимание к знаменитой проблеме, которая оставалась нерешённой, хотя и имела простую для понимания формулировку. Действительно, проблему Ферма можно объяснить школьнику младших классов. Это вам не проблема Пуанкаре, которую мы попытаемся растолковать в главах 9–11: всякое компактное односвязное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. (Может статься, миру была бы явлена новая общность людей – пуанкаристы, если бы достаточное число вдохновенных любителей не сочли за труд вникнуть в проблему Пуанкаре. Впрочем, это маловероятно. Сумевший до конца выучить и уразуметь все необходимые определения, скорее всего, приобретёт вместе с ними и способность отличать правильные рассуждения от неправильных.) По своей формулировке проблема Ферма ощутимо проще даже тех очень простых нерешённых проблем теории чисел, о которых пойдёт речь в следующей главе (поскольку не использует представления о бесконечности). Внешне она напоминает школьную задачу на решение уравнений. Вот эта обманчивая простота и сделала её привлекательной для широкого круга желающих «срубить деньжат по-лёгкому» да при этом ещё и прославиться.

Феномен ферматизма представляет интерес для специалистов той относительно новой междисциплинарной области исследований, которая зовется социальной психиатрией. Нечто подобное наблюдается сейчас в России: люди, не имеющие лингвистического образования, не осознающие подлинных механизмов развития языка и подлинной сложности связанных с этим проблем, берутся эти проблемы решать и приходят к несокрушимому убеждению, что они их решили. Проводимые при этом лжеобоснования противоречат не только принятым в науке взглядам (которые в отдельных частях, возможно, и неверны), но и просто здравому смыслу. Термина для этого историко-филологического аналога ферматизма пока ещё не придумано.

Что же движет ферматистами? Как уже отмечалось, материальный интерес, по нашему мнению, здесь на вторых ролях (хотя именно 100 тысяч марок Вольфскеля породили само явление ферматизма). На первом плане стоит желание славы, а для начала – хотя бы признания. Признания ферматисты, естественно, не получили. Хуже того, заваленные рукописями математические кафедры ряда крупных западных университетов перешли в глухую оборону – стали заворачивать любые доказательства Великой теоремы Ферма, прилагая к ним стандартное письмо с указанием, что доказательство будет рассмотрено только после получения денежного залога. А известный гёттингенский профессор Эдмунд Ландау (избранный в 1932 г. иностранным почётным членом Академии наук СССР) даже изобрёл специальный бланк, который поручал заполнять аспирантам: «Дорогой сэр (Дорогая мадам)! Мы получили Ваше доказательство Великой теоремы Ферма. Первая ошибка допущена на странице …, строка …».

Мне наблюдать одного из ферматистов довелось в студенческие годы. (Скептически настроенный читатель может попенять автору за то, что слишком далеко отошёл от заявленной темы – места математики в общечеловеческой духовной культуре. И будет неправ. И ферматизм являет собой часть человеческой культуры, но не материальной же, а значит, духовной.) Произошло это в 1950 г. (или около того) в Москве. Я заглянул в редакцию на Большой Калужской улице (сейчас это начало Ленинского проспекта). Следом вошёл другой посетитель и попросил разрешения позвонить по телефону – в те годы вход в офисы ещё не стерегли ни охранники, ни кодовые замки. Посетитель был живописен: худой, длинноволосый, в руках сетчатая авоська, а в ней – скрипка. (Как мне потом расскажут знающие люди, он зарабатывал на жизнь, играя на скрипке на палубе речных теплоходов. А ещё позже я узнал его фамилию – Добрецов. Оказалось, что как ферматист он был довольно известен.) Я стал свидетелем того, как он сделал два звонка. Первый: «Это Московский университет? Попросите, пожалуйста, к телефону ректора. Ах, ректор занят и не может подойти? Дело в том, что я посылал на его имя ценное письмо с решением проблемы Ферма и хотел бы узнать результат. Ну хорошо, я позвоню позже». Второй звонок: «Это Академия наук? Попросите, пожалуйста, к телефону президента. Ах, президент занят и не может подойти? Дело в том, что я посылал на его имя ценное письмо с решением проблемы Ферма и хотел бы узнать результат. Ну хорошо, я позвоню позже». Позвонив, он вежливо благодарит и удаляется.

Отнюдь не все советские ферматисты были столь безобидны. Часто, не найдя поддержки, они писали жалобы в управлявший нашей страной так называемый директивный орган – ЦК КПСС. В жалобе указывалось, что имеется возможность показать Западу кузькину мать и в очередной раз продемонстрировать всему миру приоритет советской науки, предъявив решение знаменитой проблемы, а нехорошие люди чинят этому препятствия. К жалобе прилагалась рукопись. А иной раз всё ограничивалось посылкой рукописи. В любом случае ЦК переправлял её тому же ректору Московского университета или тому же президенту Академии наук. А далее она, украшенная грозными резолюциями, спускалась вниз, на кафедру или в отдел. Теперь уже отмахнуться от неё было невозможно и приходилось разбираться в заведомо ложном доказательстве, отыскивая в нём ошибку. Когда-то я прикинул, сколько времени профессиональные математики вынуждены тратить на переписку с ферматистами (переписку бесплодную, поскольку истинного ферматиста переубедить невозможно), – прикинул и ужаснулся.

Сейчас в ЦК КПРФ не пишут – находят новые адреса. Но общий тон безграмотной и агрессивной риторики сохраняется. Вот, например, что я прочел на интернет-сайте «Независимой газеты» (http://www.ng.ru/ng_politics/2008-02-05/23_theorema.html):

Теоремой – по ракетам!

Об абстрактной математике Ньютона и универсальной математике Ферма

2008 02 05

Еще немного – и все сотрудники «НГ» будут вполне сносно разбираться в математических джунглях Великой теоремы Ферма. По крайней мере саратовец Николай Андреев[29] к этому стремится, неустанно пытаясь объяснить главному редактору газеты, а заодно и всем её сотрудникам причину недолётов отечественных ракет, которую усматривает именно в неспособности учёного мира оценить суть его собственного доказательства загадочной формулы. А чтобы не быть голословным, наш уважаемый читатель прислал в редакцию всевозможные ответы из самых различных ведомств, включая Госдуму и Минобороны. И поскольку ни в одном из ответных писем доказательная база автора явно не опровергается, мы приводим дополнительные аргументы Андреева в пользу теоремы Ферма. Ибо судьба российских ракет и снарядов нам тоже небезразлична.

И далее на сайте (а может, и в самой «Независимой газете») приведено письмо Андреева главному редактору. Мы помещаем это письмо ниже, пометив сделанные нами купюры угловыми скобками.

Видимо, действительно учёные математики моим направлением доказательства великой теоремы в рамках дифференциального исчисления, опубликованной в «НГ» 20.11.2007 г., оказались застигнутыми врасплох ‹…› Учёные математики, консервативно следуя ньютоновской математике, не проявляют интерес к универсальной математике Ферма с новым исчислением, представленным им за 35 лет до ньютоновской математики. Если бы высшая математика развивалась по Ферма, то, наверное, за 340 лет можно было достичь большего в прикладных науках. ‹…› Может быть, тогда спускаемые космические аппараты умели обнаруживать в радиусе не в десятках км от заданной точки приземления, а в значительно меньшем радиусе.

Возможно, что учёные стремятся не допустить обсуждения интересной темы о концептуальных направлениях развития высшей математики по той причине, что такое обсуждение может привести к разоблачению специалистов Российской академии ракетных и артиллерийских наук и других специалистов в области внешней баллистики. ‹…› В результате чего реактивные снаряды «Смерч» и «Ураган» могут не долететь на 10 км и более. ‹…› Подтверждается не только нежелание ученых РАН и Роснауки заниматься научными вопросами, но и их безразличие к предотвращению огромного ущерба, причиняемого государству, и к безопасности стрельбы реактивными снарядами, которые могут не долететь на 10 км и обрушиться на свои войска.

В сравнительно редких случаях ферматисту удавалось опубликовать свой труд. (Это сейчас за счёт автора можно опубликовать что угодно, а в советское время даже светокопировальные аппараты находились под строжайшим контролем, что уж говорить об издательствах и типографиях.) В частности, это удалось Виктолию Будкину. В 1975 г. расположенное в Ярославле Верхне-Волжское книжное издательство выпустило пятитысячным тиражом его брошюру «Методика познания "истины". Доказательство Великой теоремы Ферма». Написанное в ней на с. 45 весьма типично для самосознания ферматиста: «Итак, сменилось 13 поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё недоказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде». Полагаю, читатель понимает, что никакого доказательства на самом деле не было.

Мы уже говорили, что формулировка Великой теоремы доступна школьникам младших классов. Одним из таких школьников был английский мальчик Эндрю Уайлс (Andrew John Wiles), родившийся 11 апреля 1953 г. в Кембридже в семье либерального теолога. В Кембридже он и жил, там же ходил в школу и там же, будучи школьником, познакомился с теоремой Ферма. Это случилось в 1963 г. Через 30 лет он расскажет Саймону Сингху, чья книга упоминалась выше, о своём ощущении от этого знакомства: «Она выглядела такой простой, и всё же великие умы в истории математики не смогли доказать её. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента никогда не смогу от неё отступиться. Я должен был решить её». И он её решил. Шестого октября 1994 г., в день рождения своей жены, он преподнёс ей подарок, который она хотела получить больше всего, – рукопись с доказательством теоремы Ферма. Но тому предшествовали драматические обстоятельства, с большой экспрессией изложенные в книге Сингха.

Систематическую работу над проблемой Ферма Уайлс начал поздней весной 1986 г., держа свои занятия в тайне от всех, кроме жены, да и её он посвятил в них не сразу. Он забросил все дела, кроме необходимых повседневных, и семь лет углублённо и конспиративно занимался проблемой. Использовал самые современные методы и математические теоремы, связывающие теорему Ферма с алгебраической геометрией, а именно с теорией алгебраических кривых. Наконец Уайлс пришёл к убеждению, что доказал теорему Ферма. В январе 1993 г. при запертых на ключ дверях он поделился этим убеждением с коллегой по Принстонскому университету Ником Катцем (Nicholas Michael Katz). В конце мая Уайлс сообщил о том, что доказал Великую теорему Ферма, жене.

Публично же основные идеи доказательства были изложены им в трёх лекциях, состоявшихся 21, 22 и 23 июня 1993 г. в Институте имени Ньютона Кембриджского университета. (Чтобы учёные споры и размышления не прекращались ни на минуту, доски в этом институте висят даже в лифтах и санузлах.) Успех был феноменальным. Потрясающая новость немедленно облетела весь математический (да и не только математический) мир. Уайлс сразу стал звездой первой величины. Комиссия в Гёттингене была немедленно оповещена о решении проблемы. Мир с нетерпением ожидал публикации текста с изложением полного доказательства. (Напомним, что премия Вольфскеля могла быть выплачена лишь по прошествии двух лет после публикации.)

Однако публикация явно затягивалась. Впоследствии выяснилось, что Уайлс послал 200-страничный текст в журнал Inventiones Mathematicae, где ввиду экстраординарности события работу отдали на отзыв сразу шести рецензентам – рекордное число. Каждый отвечал за свою часть статьи. Одним из рецензентов был упомянутый Катц (привлёкший ещё и седьмого рецензента). Он и обнаружил в своей части пробел в доказательстве. Редакция и рецензенты тщательно скрывали этот факт: была надежда, что автор залатает прореху. Математический мир был взбудоражен неопределёнными слухами. В конце концов, 4 декабря 1993 г. Уайлс был вынужден признать возникшие трудности, но обещал вскоре их преодолеть. Был ли он сам уверен, что сумеет это сделать? Неизвестно. К тому же теперь он не мог вести свои исследования в тайне, каждый встречный норовил спросить: «Ну как?», – что отнюдь не помогало в работе. В январе 1994 г. Уайлс призвал на помощь своего ученика Ричарда Тэйлора (Richard Lawrence Taylor), кстати, одного из шести рецензентов. Начались интенсивные обсуждения, но окончательное решение ускользало. К тому же в начале апреля появилось сообщение, что теорема Ферма опровергнута: для гигантского показателя, большего чем 10^20, найдена тройка Ферма. Все пребывали в шоке и унынии, пока не выяснилось, что это первоапрельская шутка.

Всё же дискуссии с Тэйлором начали давать плоды. Как пишет сам Уайлс, 19 сентября 1994 г. на него снизошло озарение, и он понял, что теперь теорема Ферма действительно доказана. В мае 1995 г. в 141-м томе журнала Annals of Mathematics были опубликованы две статьи подряд, одна за другой. Первой, на с. 443–551, шла статья Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» («Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem»), поступившая в редакцию 14 октября 1994 г., а сразу за ней, на с. 553–572, совместная статья Уайлса и Тэйлора «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» («Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras»), полученная 7 октября 1994 г. В совокупности эти работы содержали полное доказательство Великой теоремы Ферма. Двадцать седьмого октября 1995 г. Уайлс был награждён призом Ферма (Prix Fermat) в Тулузе, а на следующий день посетил городок Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne), побывал в доме, где родился Ферма, и посетил его могилу, на надгробии которой высечена в виде формулы Великая теорема.

А премия Вольфскеля, как и предусматривалось условиями конкурса, была вручена лишь через два года после публикации – 27 июня 1997 г., в то же число этого месяца, когда 89 лет назад было объявлено о её учреждении. Уайлс получил награду уже от Гёттингенской академии наук (Akademie der Wissenschaften zu Göttingen), в каковую к тому времени было переименовано Королевское научное общество. За прошедшие годы премия значительно обесценилась и составила 75 тысяч немецких марок[30]. Уайлс удостоился и многих других премий и знаков признания, в частности рыцарского звания в 2000 г. (после чего он стал именоваться сэром Эндрю).

Казалось бы, после того как доказательство теоремы Ферма было не только найдено (в сентябре 1994 г.), но и опубликовано (в 1995 г.), а также признано мировой математической общественностью, ферматизму пришёл конец. И что же вы думаете? Ряды ферматистов хотя и поредели, но не изничтожились вовсе. Сведения о том, что Великая теорема доказана, дошли не до всех, ведь, повторяю, ферматисты не математики (хотя люди, имеющие техническое образование, часто считают себя таковыми). А многие из тех, до кого новость и дошла, продолжали искать какое-нибудь простое доказательство. В России ферматизм дал неожиданную вспышку в августе 2005 г. К «Новой газете» я питал уважение и – до того августа – доверие и не думал, что когда-либо выступлю её оппонентом; но приходится. Номер 61 от 22 августа 2005 г. открывался крупным и чуть ли не цветным заголовком «ЧЕЛОВЕЧЕСТВО МОЖЕТ РАССЛАБИТЬСЯ?». Далее сообщалось, что «омский академик Александр Ильин предложил простое доказательство знаменитой теоремы Ферма». Заместителю главного редактора газеты Олегу Никитовичу Хлебникову я пытался объяснить накануне, 21 августа, что если доктор технических наук Александр Иванович Ильин и является академиком, то академиком одной из десятков тех академий, кои как грибы после дождя выросли у нас в постсоветское время (одних только академий энергоинформационных наук две – Международная и Сибирская), но никак не членом Российской академии наук (РАН); попытки мои успеха не имели; Олег Никитович отвечал, что знает точно: Александр Иванович Ильин – член РАН. Более того, через неделю, в № 63 от 29 августа 2005 г., та же газета уведомила, что «академики Новиков и Никитин решение теоремы Ферма уже видели и ошибок в нём не нашли». Надо ли объяснять читателю, что г-да Новиков и Никитин (как, впрочем, и Ильин) не являлись не только членами РАН, но и математиками? Некоторое время сенсация сверкала на экранах телевизоров и на страницах различных газет, не говоря уже об интернете. Потом всё как-то тихо сошло на нет.

А в январе 2008 г. нижегородский профессор Г. М. Жислин прислал мне письмо, извещавшее: «К сожалению, не только в Ярославле было опубликовано "доказательство" теоремы Ферма. Недавно, в 2007 г., в Нижнем Новгороде Академией новых технологий выпущен межвузовский сборник "Новое в науке XXI века". В него вошла статья В. Б. Моторова и Э. А. Моторовой "О некоторых соотношениях между конечными суммами целочисленных степеней нецелочисленных аргументов", где "доказывается" ещё более общее, чем теорема Ферма, утверждение». В следующем письме профессор Жислин уточнил, что на с. 83 названной статьи выписано соотношение dm = gn – bn, которое, как утверждается, не может быть выполнено ни при каких положительных целочисленных значениях d, g, b, m и n, для которых n > 2, (n + 1) > m > 1; при m = n это утверждение превращается в теорему Ферма. Профессор любезно сообщил мне также, в чём состоит присутствующая в «доказательстве» элементарная ошибка. Внимательный читатель, несомненно, заметит, что очередное «доказательство» теоремы Ферма не обошлось без участия одной из институций, носящих гордое название академии. (А читатель въедливый не оставит без внимания то обстоятельство, что как издательство, опубликовавшее сочинение В. И. Будкина, так и то, что напечатало сборник со статьёй Моторовых, расположены на берегах одной и той же реки. С тех же берегов посылались и письма в «Независимую газету».)

В качестве завершения темы снова вернусь в 1950-е гг. Посетителя редакции на Большой Калужской мне довелось увидеть ещё один раз, теперь уже на третьем этаже дома 9 по Моховой улице, в канцелярии мехмата, на котором я тогда учился. Всё с той же скрипкой в авоське он вошёл в канцелярию, попросил лист бумаги и, примостившись у стола, стал писать. Не в силах сдержать любопытства, я заглянул ему через плечо. Каллиграфическим почерком он вывел: «Бывшего студента… императорского университета прошение…» (какого именно университета, не помню). Затем попросил указать ему специалиста по теории чисел. В качестве такового ему был назван заведующий кафедрой теории чисел член-корреспондент Гельфонд. В это время по коридору шёл член-корреспондент Гельфанд, к теории чисел отношения не имеющий. Услышав его фамилию, бывший студент императорского университета бросился к нему навстречу. Всем было известно, что Гельфанд – математик великий, но человек непредсказуемый и легко может нахамить. Я не стал дожидаться катастрофического столкновения двух тел и в страхе убежал.

Глава 3

Проблемы нерешённые и проблемы нерешимые

Проблема – это всегда требование что-то найти, указать, предъявить. Это «что-то» может иметь самую различную природу; этим «чем-то» может быть ответ на заданный вопрос, законопроект, доказательство теоремы, число (при решении уравнений), последовательность геометрических построений (при решении геометрических задач на построение). Опыт математики позволяет провести чёткую грань между проблемами нерешёнными и проблемами нерешимыми. Первые ждут своего решения, вторые же решения не имеют и иметь не могут, у них решения просто-напросто не существует. Вот одна из наиболее знаменитых нерешённых проблем: дать ответ на вопрос, есть ли жизнь на Марсе. А вот два простых примера нерешимой проблемы: указать целое число, квадрат которого равен 17; указать наибольшее целое число.

К числу нерешённых долгое время относилась проблема Ферма. В математике таких проблем много, но понять формулировки абсолютного большинства из них может лишь тот, кто получил специальное образование. Нерешённых проблем с простыми формулировками гораздо меньше. Из них наиболее известны, пожалуй, четыре обсуждаемые ниже проблемы теории чисел: две проблемы совершенных чисел и две – чисел простых. Теория чисел (в ортодоксальном понимании этого термина) занимается только положительными целыми числами. Поэтому только такие числа разумеются в данной главе под словом «число». Желание сделать текст понятным как можно более широкому кругу читателей побуждает нас для начала напомнить некоторые определения и факты, каковые теоретически должны быть известны из курса средней школы.

Напоминание: делимость, чётность и простота

Некоторые числа нацело делятся на другие. Предлагаем читателю дать по возможности строгую, недвусмысленную формулировку того, чтó это значит – число a делится на число b. Математик ответит так: говорят, что (вариант: по определению) число a делится на число b, если (вариант: коль скоро) существует такое число s, которое в произведении с числом b даёт число a:

a = b · s.

Например, 48 делится на 1, 2, 3, 16, 48 и ряд других чисел. Всякое число делится на единицу и на само себя (почему?). Выражение «a делится на b» имеет тот же смысл, что и «b является делителем числа a»; так что 1, 2, 3, 16, 48 и некоторые другие числа являются делителями числа 48. Ясно, что делитель не может быть больше того числа, делителем которого он является. Если a делится на b, а b делится на c, то и a делится на c. Попробуйте это доказать исходя из определения слова «делится». Никакие два соседних числа (т. е. n и n +1) не могут делиться на одно и то же число, кроме как на единицу (почему?). Числа, делящиеся на 2, называются чётными, все остальные – нечётными. В натуральном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… нечётные и чётные числа чередуются друг с другом. Сумма любого количества чётных чисел есть чётное число (почему?). А вот при суммировании нечётных чисел чётность результата зависит от чётности количества слагаемых: если это количество чётно, то и сумма будет чётным числом, а если оно нечётно, то и сумма окажется нечётной (почему?).

Число называется простым, если обладает двумя свойствами: во-первых, оно больше единицы; во-вторых, оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Вот первые 7 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Упражнение для читателей: найдите несколько следующих простых чисел. (И ещё одно упражнение: ответьте на вопрос, сколько существует чётных простых чисел.) Числа, бóльшие единицы и не являющиеся простыми, называются составными.

Две проблемы о совершенных числах

Число 6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6 – эти числа 1, 2, 3, 6 образуют полный список делителей числа 6. Если из этого списка удалим само число 6, а остальные сложим, получим то же самое число 6. Действительно, 1 + 2 + 3 = 6. Тем же свойством обладает число 28. Его делителями служат числа 1, 2, 4, 7, 14, 28, и только они. Если их все, кроме 28, сложить, получим как раз 28: действительно, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. В VI в. до н. э. это редкое свойство чисел вызывало мистический восторг у Пифагора и его учеников: по их мнению, оно свидетельствовало об особом совершенстве числа, обладающего таким свойством. А потому каждое число, совпадающее с суммой всех своих делителей, отличных от самого этого числа, получило титул совершенного. Мистический восторг пифагорейцев перед совершенством совершенных чисел продолжался и в учениях христианских отцов церкви. В V в. Блаженный Августин писал в сочинении «Град Божий»:

Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее, наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.

Пифагорейцы знали только три первых совершенных числа. Первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128 приведены в «Арифметике» Никомаха Герасского[31]. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил выдающийся немецкий математик, астроном и астролог Региомонтан (XV в.). В XVI в. были найдены ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX в., когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

Про первые 45 из известных совершенных чисел известно, что они идут без пропусков. Это значит, что если занумеровать совершенные числа в порядке их открытия, то, скажем, между 40-м и 41-м числами совершенных чисел нет. Но про последние четыре открытые числа это неизвестно. Так что между 45-м и 46-м совершенными числами могут оказаться другие совершенные числа, равно как между 46-м и 47-и, между 47-м и 48-м, 48-м и 49-м. Можно сказать, что каждое совершенное число имеет два номера – один абсолютный и другой хронологический. До сих пор мы имели дело с хронологическими номерами – это те номера, которые присваиваются числам в порядке их открытия. Абсолютный номер – это порядковый номер совершенного числа, если совершенные числа выстроить в порядке их возрастания. До 45-го совершенного числа включительно их абсолютные и хронологические номера совпадали. А дальше – неизвестность.

Первые четыре совершенных числа (6, 28, 496 и 8128) были известны уже во II в. н. э. К октябрю 2008 г. было обнаружено 46 совершенных чисел; для записи наибольшего из них требуется 25 956 377 десятичных знаков. К настоящему моменту (август 2017 г.) известно уже 49 совершенных чисел. Самое большое известное совершенное число имеет вид 274207280 × (274207281 − 1) и содержит в своей записи 44 677 235 десятичных знаков.

Все найденные совершенные числа оказались чётными. И вот первая, простая по формулировке, но не решённая до сих пор, проблема: существуют ли нечётные совершенные числа?

Может ли случиться, что 49-е совершенное число – последнее не только из найденных к настоящему времени, но вообще из всех существующих? Может быть, оно самое большое из всех и совершенных чисел, бóльших его, уже нет? Никто не знает, эта проблема тоже до сих пор не решена. Однако имеется гипотеза, что в ряду чисел за каждым совершенным числом встретится ещё большее совершенное число, иными словами, совокупность всех совершенных чисел бесконечна. Но пока это только гипотеза. Доказать или опровергнуть гипотезу о бесконечности количества совершенных чисел – это и есть вторая из двух проблем, упомянутых в заголовке этой главки.

Заметим, что на самом деле ищут не сами совершенные числа, а теснейшим образом с ними связанные простые числа Мерсенна, получившие в конце XX в. практическое применение в криптографии и в создании широко используемых в информатике псевдослучайных чисел[32]. О числах Мерсенна – в следующей главке.

Числа Мерсенна. Число Первушина

Биографические сведения о великом древнегреческом математике Евклиде крайне скудны. Считается установленным, что он родился во второй половине IV в. до н. э., а скончался в первой половине III в. до н. э. В историю математики Евклид вошёл благодаря своему прославившему его сочинению, известному в русском переводе под названием «Начала». В нём он собрал и изложил всю известную к тому времени математику. Нас здесь интересует вклад Евклида в теорию совершенных чисел.

В свои «Начала» Евклид поместил следующую теорему: если число 2p − 1 является простым, то число 2p−1 (2p − 1) является совершенным. Например, число 2³ – 1 простое, и в соответствии с теоремой Евклида число 28 = 23–1 (2^3–1) является совершенным. Заметим, что 2p − 1 может быть простым только при простом p. В самом деле, если p = r · s, r > 1, s > 1, то, как известно из курса средней школы, выражение 2r·s – 1 = (2r)s – 1 делится на 2r – 1. Однако обратное неверно: из простоты числа p не следует простота числа 2p – 1; так, 2¹¹ – 1 = 23 · 89.

Более чем через тысячу лет после Евклида, примерно в 1000 г. н. э., великий арабский учёный Ибн аль-Хайсам (965–1040) высказал гипотезу, что всякое чётное совершенное число имеет вид 2p−1 (2p – 1), где число 2p − 1 является простым. И действительно, совершенное число 496, например, представимо в виде 25–1(2^5 – 1). Лишь в 1747 г. великий швейцарско-российский математик Леонард Эйлер сумел доказать гипотезу Ибн аль-Хайсама. Тем самым было установлено взаимно однозначное, т. е. однозначное в обе стороны, соответствие между чётными совершенными числами и простыми числами вида 2p − 1: каждому простому числу названного вида однозначно соответствует чётное совершенное число, и наоборот, каждому чётному совершенному числу однозначно соответствует простое число вида 2p − 1.

Из сказанного видно, что числа вида 2n – 1 представляют специальный интерес. Они названы числами Мерсенна в честь французского монаха Марена Мерсенна (Marin Mersenne, 08.09.1588–01.09.1648), теолога, философа, математика, акустика и теоретика музыки. В честь Мерсенна принято также и обозначение: число 2n – 1 обозначается Mn. Таким образом, теорему Евклида – Эйлера можно записать так: чётное число тогда и только тогда является совершенным, когда оно представимо в виде 2n−1 Mn, где Mn – простое.

Марен Мерсенн был личностью замечательной. Ему принадлежат серьёзные работы по акустике колеблющейся струны. Но главное, в первой половине XVII в. он был центральной фигурой и координатором исследований в области естествознания и математики в Европе. По замечанию Паскаля, Мерсенн имел уникальный талант ставить новые научные проблемы, а не разрешать их. Он создал научный кружок, к которому принадлежали многие выдающиеся учёные того времени, в том числе математики Декарт, Дезарг, Паскаль.

Из этого кружка уже после смерти Мерсенна, в 1666 г., выросла Французская академия наук. Не меньшее значение имела переписка, которую Мерсенн вёл с большинством светил европейской науки XVII в. (в том числе, например, с Галилеем и Торричелли). Практически только из переписки Мерсенна с Ферма, изданной уже после смерти последнего, мы знаем об открытиях этого великого математика и физика. Необходимо учесть, что при отсутствии научных журналов – а первый такой журнал вышел лишь в 1665 г. – их роль выполняли кружки и переписка.

Разумеется, когда Мерсенн занялся числами, ныне носящими его имя, они так не назывались. Его вклад заключался в попытке составить список первых последовательно идущих простых чисел Мерсенна. Этот список, включавший 11 чисел, страдал значительными погрешностями. Так, последним в нём стояло число M_257, каковое – как и число M_67, включённое Мерсенном в свой список, – оказалось составным.

Но этот и другой (о нём мы ещё поговорим) недостаток, сколь бы существенны они ни были, не отменяет главного: Марен Мерсенн поставил задачу создания как можно более длинного списка простых чисел Мерсенна. Более того, математики осознали, что большие простые числа удобно искать именно среди чисел Мерсенна. Как тут не вспомнить высказывание Паскаля об уникальном даре Мерсенна.

Другой недостаток, о котором мы обещали сказать, состоит в неполноте списка. Некоторые простые числа были в нём пропущены. В 1883 г. сельский священник Пермской губернии Иван Михеевич Первушин доказал, что число М_61, квалифицированное Мерсенном как составное и потому не вошедшее в его список, на самом деле является простым. Это была первая демонстрация неполноты списка Мерсенна: число М_61 явилось первым примером простого числа, пропущенного автором списка, и ввиду этого получило наименование числа Первушина (Pervushin's number). За это и другие достижения в теории чисел Первушин был избран членом-корреспондентом Санкт-Петербургской, Неаполитанской и Французской академий наук, членом Московского и Казанского математических обществ.

Число Первушина, записываемое в десятичной записи как 2 307 843 009 213 693 951, оказалось вторым по величине найденным простым числом. Первым по величине было число M_127, стоявшее в списке Мерсенна предпоследним; его простота была подтверждена в 1876 г. Второе место число Первушина удерживало вплоть до 1911 г., когда было доказано, что число M_89 – простое.

Иван Михеевич Первушин [21.01 (02.02) 1821 – 17 (30).06.1900] достоин того, чтобы о нём рассказать подробнее. В 1838 г. он поступил в Пермское духовное училище, в 1842 г. был переведен в Пермскую духовную семинарию, где впервые и обнаружилась его склонность к занятиям математикой. С переходом его в 1848 г. в Казанскую духовную академию пристрастие к математике усилилось, и присутствовавший на экзамене в академии П. Л. Чебышёв просил обратить внимание на молодого человека. На первых порах всё шло хорошо. По окончании академии Первушин был направлен в семинарию, которую окончил, где стал преподавать математику. Однако с 1856 г. и до своей кончины с небольшим перерывом на служение в уездном городе Шадринске Первушин был сельским священником. Известный уральский краевед Владимир Павлович Бирюков писал, что назначение лица, окончившего духовную академию, в сельскую церковь можно сравнить с назначением профессора учителем деревенской школы. Причину «административной ссылки» Бирюков видит в прямом и насмешливом характере Первушина.

Конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна? Этот вопрос, как мы знаем, равносилен вопросу о конечности или бесконечности множества чётных совершенных чисел и потому ждёт своего ответа. На октябрь 2014 г. было известно 48 простых чисел Мерсенна – ровно столько же, сколько известно чётных совершенных чисел. Наибольшее найденное простое число Мерсенна – это число М57885161. Оно и было наибольшим найденным к тому времени простым числом.

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 2³¹ – 1 = 2 147 483 647.

Наибольшим известным простым числом по состоянию на август 2017 г. является 274 207 281 – 1. Его нашли 17 сентября 2015 г. в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS[33], однако все проверки завершились лишь 7 января 2016 г. В этот день в 22 часа 30 минут Всемирного координированного времени (UTC), когда в Москве было уже половина третьего ночи 8 января, проект GIMPS отметил двадцатую годовщину своего существовании открытием нового простого числа, наибольшего из известных. Это было число Мерсенна M74207281, содержащее в своей записи 22 338 618 десятичных знаков. За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF[34] назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Свойства простых чисел

Каждое число n, кроме единицы, имеет хотя бы один простой делитель. Доказать этот факт весьма просто. Возьмём какое угодно число n, большее единицы. Среди делителей нашего числа n заведомо присутствуют числа, отличные от единицы: например, само число n. Составим список всех отличных от единицы делителей числа n, выберем из них наименьший (т. е. самый маленький) и как-нибудь его обозначим: например, q. Вот это q и будет тем простым делителем числа n, который мы ищем. Мы уже знаем, что q отлично от единицы. Осталось убедиться, что q не делится ни на что, кроме единицы и самого себя. Возьмём какое-то отличное от единицы число x, на которое делится q, и покажем, что оно равно q. В самом деле, это x служит делителем числа q, а q служит делителем числа n; значит, x также служит делителем числа n (см. раздел «Напоминание: делимость, чётность и простота»). Значит, оно входит в составленный нами список и потому не может быть меньше, чем наименьший член этого списка, каковым является q. Вместе с тем x, будучи делителем числа q, не может быть больше, чем q (см. раздел «Напоминание: делимость, чётность и простота»). Для x остаётся одна возможность – совпасть с q.

Ещё в III в. до н. э. в «Началах» Евклида было доказано, что среди простых чисел нет наибольшего: их ряд 2, 3, 5, …, 829, 839, 853, …, 2797, 2801, 2803, … никогда не кончается; иными, современными, словами, совокупность простых чисел бесконечна. Предложение 20 книги IX «Начал» гласит, что простых чисел больше, чем в любом предъявленном списке таковых; доказательство же этого предложения состоит в описании способа, позволяющего для любого списка простых чисел указать простое число, в этом списке не содержащееся. Отметим, что Евклид нигде не говорит о совокупности всех простых чисел в целом – само представление о бесконечных совокупностях как об особых сущностях появилось значительно позже.

Доказательство Евклида настолько просто и поучительно, что сейчас мы его воспроизведём. Итак, мы хотим убедиться, что невозможен такой конечный список чисел, который содержал бы все простые числа. Для этого возьмём какой угодно конечный список простых чисел (k, l, m, …, r, s, t) и найдём простое число, в нём отсутствующее; это будет означать, что простые числа не могут быть исчерпаны никаким конечным списком. Перемножим все числа нашего списка. Мы получим число k · l · m · … · r · s · t. Чтобы о нём говорить, как-нибудь его обозначим, например Q. Ясно, что это Q делится на каждое из чисел k, l, m, …, r, s, t нашего списка. Теперь посмотрим на число Q + 1. Оно больше единицы, а потому, как мы убедились выше, у него найдётся хотя бы один простой делитель. Обозначим буквой p какой-нибудь простой делитель числа Q + 1. Он не может совпадать ни с одним из чисел k, l, m, …, r, s, t, потому что тогда бы получалось, что на это p делятся два последовательных числа, а именно Q и Q + 1, что невозможно. Вот мы и нашли простое число, не входящее в наш список (k, l, m, …, r, s, t). Другое, уже не такое короткое, но весьма остроумное доказательство бесконечности ряда простых чисел принадлежит великому швейцарско-российскому математику Леонарду Эйлеру. Сказанное не вполне точно. Эйлеру не было нужды доказывать хорошо известный факт. Но он доказал одну теорему, содержание которой мы приведём ниже, а из неё этот факт немедленно вытекает. Поэтому мы позволим себе говорить о доказательстве Эйлера.

Доказательство Эйлера

Прежде всего условимся временно отказаться от нашего соглашения называть числами только положительные целые числа. Рассмотрим какую-либо конечную или бесконечную совокупность положительных чисел. Будем называть эту совокупность ограниченной сверху, если существует такое число, которое больше всех чисел, входящих в рассматриваемую совокупность. Всякое такое число будем называть верхним ограничителем этой совокупности. Ясно, что если наша совокупность конечна, то она ограничена сверху: в качестве верхнего ограничителя можно взять, например, сумму всех чисел, принадлежащих нашей совокупности. (Бесконечная совокупность чисел также может быть ограничена сверху, даже если её члены возрастают. Такова, например, совокупность {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …}. Действительно, одним из её верхних ограничителей является число 6. (Упражнение для читателя: какой из ограничителей этой совокупности является самым маленьким?) Предположим далее, что нам удалось расположить все числа исследуемой совокупности в виде конечной или бесконечной последовательности (A):

(A) a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, ….

Если наша совокупность конечна, то последовательность (A) где-то оборвётся. Если же совокупность бесконечна, то последовательность (A) продолжается неограниченно. Будем теперь одну за другой образовывать суммы начальных членов этой последовательности: сначала образуем сумму двух первых членов, затем первых трёх и т. д., пока возможно. Процесс оборвётся, если конечна последовательность (А). Если же она бесконечна, процесс продолжится неограниченно. В итоге возникнет конечная или бесконечная последовательность (В):

(B) a_1 + a_2, a_1 + a_2 + a_3, a_1 + a_2 + a_3 + a_4, a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5, ….

Если совокупность всех членов последовательности (A) конечна, то совокупность всех членов последовательности (В) также конечна и, следовательно, ограничена сверху. Поэтому, если оказалось, что совокупность всех членов последовательности (B) не является ограниченной сверху, то она бесконечна, а значит, бесконечна и совокупность всех членов последовательности (A). В этом суть Эйлерова доказательства бесконечности ряда простых чисел. В качестве последовательности (A) берётся последовательность дробных чисел, обратных простым, т. е. последовательность дробей 1/2, 1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13 и т. д. Тогда в качестве последовательности (B) выступит последовательность сумм

1/2 + 1/3, 1/2 + 1/3 + 1/5, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11, ….

В той своей теореме[35], на которую мы здесь ссылаемся, Эйлер доказал, что совокупность всех таких сумм не является ограниченной сверху. Следовательно, она бесконечна. А значит, бесконечна совокупность {1/2, 1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13, …} всех дробей, обратных простым числам. Стало быть, бесконечна и сама совокупность простых чисел.

Когда-то изучение простых чисел рассматривалось как чистая игра ума. Оказалось, однако, что простые числа (особенно большие, требующие для своей записи сотен десятичных знаков простые числа) могут быть чрезвычайно полезны для решении многих практических задач защиты информации, в том числе криптографии. Тайнопись существовала уже во времена античности, а возможно, и раньше. Что касается России, то мне довелось видеть факсимильное воспроизведение документа XVII в., в котором говорилось о необходимости изобрести такое письмо, которое только его царскому величеству, и никому другому, было бы ведомо. Мальчишеское воображение всегда увлекала романтика шифров. Вспомним культовый советский сериал «Семнадцать мгновений весны», эту сказку для детей зрелого возраста. Её главный герой – штандартенфюрер Макс Отто фон Штирлиц, под каковым именем скрывается доблестный разведчик (шпион, с германской точки зрения) полковник Максим Максимович Исаев. Пользуясь конспиративным псевдонимом Юстас, Исаев отправляет шифрованные донесения Алексу. Не исключено, что тем же шифром пользуются и другие агенты Алекса. Теперь вообразим себе такую ситуацию. Шифр вот-вот будет разгадан противником, и узнавший об этом Алекс должен срочно сообщить всем своим агентам новый способ шифровки сообщений. В довершение бед Алекс лишен возможности отправить агентам шифрограммы (например, код, которым он пользуется, уже раскрыт). Казалось бы, положение совершенно безнадёжное. Однако в конце 1970-х гг. была предложена технология так называемого открытого ключа, позволяющая нынешним алексам публиковать новые инструкции по шифрованию совершенно открыто: например, в виде объявлений в средствах массовой информации. Инструкция состоит в указании двух чисел. Одно из них является произведением двух достаточно больших простых множителей, но сами эти множители разведцентр не объявляет, так что они не известны даже отправителям шифрованных сообщений. Подобный способ позволяет шифровать сообщение всякому, а вот расшифровать его смогут только в центре. Взломать код тем труднее, чем больше указанные множители.

Среди нерешённых проблем, связанных с простыми числами, назовём две – проблему близнецов и проблему Гольдбаха.

Проблема близнецов

Заметим, что встречаются очень близко расположенные друг к другу простые числа, а именно такие, расстояние между которыми равно 2. Пример: 41 и 43. Такие числа называются близнецами. Начнём последовательно выписывать пары близнецов: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), …, (41; 43), …, (821; 823), …, (1 000 000 007; 1 000 000 009) и т. д. Спрашивается, закончится ли когда-нибудь этот ряд пар? Наступит ли момент, когда будет выписана последняя пара и список близнецов окажется исчерпанным, или же ряд близнецовых пар продолжается неограниченно и их совокупность бесконечна (как бесконечна совокупность простых чисел)? Есть гипотеза, что совокупность близнецовых пар бесконечна. Проблема доказательства этой гипотезы близнецов и есть проблема близнецов. Она не решена до сих пор, хотя с помощью компьютеров и найдены весьма большие близнецы. Рекорд на конец декабря 2011 г. – близнецы, содержащие по 200 700 десятичных знаков: это два простых числа, на единицу большее и на единицу меньшее произведения 3 756 801 695 685 · 2666 669.

Попробуем решить её тем же методом, каким была установлена бесконечность совокупности простых чисел в доказательстве Эйлера. В качестве последовательности (A) возьмём последовательность чисел, обратных близнецам, т. е. последовательность дробей (1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13, 1/17,…). В качестве (B) тогда возникнет последовательность сумм

1/3 + 1/5, 1/3 + 1/5 + 1/7, 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11, 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13, ….

Если бы удалось обнаружить, что совокупность всех таких сумм не является ограниченной сверху, то это означало бы, что ряд близнецовых пар никогда не закончится, и проблема близнецов была бы решена. Такая надежда теплилась до 1919 г., когда норвежский математик Вигго Брун (Viggo Brun) доказал, что совокупность этих сумм ограничена сверху[36]. «И прекрасно, – скажет иной читатель, – это также означает решение проблемы близнецов, но только с противоположным результатом: совокупность близнецов конечна». Однако такой вывод неправилен, что показывает следующий простой пример. Последовательность сумм

1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32, ….

ограничена сверху (наименьший ограничитель – число 1), но ряд степеней двойки (2, 4, 8, 16, 32 и т. д.) – бесконечен.

Итан Чжан и его открытие

Сенсационный прорыв в проблеме близнецов произошёл весной 2013 г. И совершил этот прорыв мало кому до того известный математик китайского происхождения, занимавший на тот момент более чем скромную должность в американском Университете Нью-Хэмпшира. Зовут этого математика Итан Чжан (Yitang Chang, а в стандартной латинской транслитерации пиньинь и с учётом того, что в китайском языке фамилия предшествует имени – Zhāng Yìtáng). В истории математики это редчайший случай, когда математик делает первое выдающееся открытие на пороге шестидесятилетия.

Итан Чжан родился в Шанхае в 1955 г. (более точной даты установить не удалось). Через 11 лет в Китае началась так называемая Великая пролетарская культурная революция – инициированный и управляемый лично Мао Цзэдуном хаос, сопровождавшийся погромами и нанёсший колоссальный урон культуре и образованию. Только в 1978 г., в двадцатитрёхлетнем возрасте, Чжан поступил в Пекинский университет, в стенах которого пребывал вплоть до присвоения ему магистерской степени в 1984 г., после чего он получил право на продолжение учёбы в престижном американском Университете Пердью. В этом университете Чжан обучался с января 1985 г. по декабрь 1991 г., когда стал доктором математики[37].

А потом наступили тяжёлые времена. Чжан не сумел найти работу по специальности. Но он не отчаялся. Несколько лет он работал то в лавке, торгующей сэндвичами, то бухгалтером в ресторане, то разносчиком пиццы, то служащим мотеля. Только в 1999 г. Чжану удалось устроиться на временную работу преподавателя в Университете Нью-Хэмпшира. В этом качестве он в 2013 г. сделал одно из крупнейших открытий в теории чисел. Гром пошёл по пеклу, и Чжана тут же произвели в полные профессора, осыпали премиями[38] и избрали членом Китайской академии наук.

Попробуем объяснить, что именно сделал Чжан.

Расстояние между n-м простым числом p(n) и ближайшим следующим простым числом p(n + 1), т. е. разность p(n + 1) – p(n), обозначим через r (n). Вот первые 12 членов последовательности, составленной из этих расстояний r(n):

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 6, 4.

Двойка встречается здесь пять раз; гипотеза близнецов состоит в том, что во всей бесконечной последовательности она встретится бесконечное число раз.

Насколько редко могут быть расположены простые числа? Иными словами, насколько велики могут быть числа r(n)? Оказывается, отрезки числового ряда, не содержащие ни одного простого числа, могут быть сколь угодно длинными. Вот типичная задача, часто предлагаемая в школьных кружках по математике: для произвольного числа n предъявить n подряд идущих чисел, ни одно из которых не является простым. Решение: надо взять числа (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, …, (n + 1)! + (n + 1). Каждое из этих n чисел составное: первое делится на 2, второе – на 3, третье – на 4 и т. д. Стало быть, расстояние между соседними простыми числами может быть сколь угодно велико.

При возрастании n среднее значение числа r(n) стремится к бесконечности. Это значит, что к бесконечности стремится дробь

Более того, в 1896 г. два знаменитых математика – француз Жак Адамар (Jacques Salomon Hadamard, 1865–1963) и бельгиец Шарль Жан Валле-Пуссен (Charles Jean Étienne Gustave Nicolas de la Vallée Poussin, 1866–1962) – независимо друг от друга доказали, что s(n) стремится к бесконечности с той же скоростью, что и логарифм n: отношение s(n)/log(n) стремится к 1[39]. Оставался открытым вопрос, не стремятся ли к бесконечности и сами члены последовательности r(n).

Нет, доказал в 2013 г. Чжан, члены последовательности r(n) к бесконечности не стремятся.

Из этого результата, полученного китайским исследователем, вытекает следствие, имеющее самое непосредственное отношение к проблеме близнецов. Коль скоро последовательность чисел r(n) не стремится к бесконечности, то существует число M, обладающее следующим свойством: количество натуральных чисел n, для которых r(n) ≤ M, бесконечно. Это бесконечное множество разбивается на конечное число подмножеств Hq = {n: r(n) = q}. Хотя бы одно из этих подмножеств бесконечно. А это значит, что существует бесконечное множество простых чисел, расстояние от которых до следующего равно в точности q. Всякое такое q естественно называть числом Чжана. Открытие китайского математика состояло в доказательстве того, что числа Чжана (разумеется, сам он их так не называл) существуют – до него это не было известно. Доказательство Чжана принадлежало к доказательствам чистого существования (см. сноску 35 о доказательстве Вигго Бруна): не было названо ни одного числа Чжана. Однако Чжан доказал, что хотя бы одно число Чжана существует в пределах первых 70 миллионов. К апрелю 2014 г. соединёнными усилиями различных математиков рубеж 70 000 000 удалось понизить до 246. Гипотеза близнецов состоит в том, что число 2 является числом Чжана.

Семнадцатого апреля 2013 г. статья Чжана под названием «Ограниченные промежутки между простыми числами» («Bounded gaps between primes»), излагающая его выдающийся результат, поступила в Annals of Mathematics – престижнейший математический журнал, издающийся совместно Принстонским университетом и Институтом перспективных исследований (Institute for Advanced Study). Надо сказать, что поначалу статья неизвестного автора была встречена редакцией скептически. Однако рецензирование подтвердило её математическую безупречность, и в начале мая 2013 г. она была принята к печати, а опубликована в майском номере журнала за 2014 г. (т. 179, вып. 3, с. 1121–1174).

Проблема Гольдбаха

Она состоит в требовании доказать гипотезу Гольдбаха, которая в современном понимании сводится к тому, что каждое число, начиная с шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. Справедливость этого утверждения для небольших чисел может проверить каждый: 6 = 2 + 2 + 2; 7 = 2 + 2 + 3; 8 = 2 + 3 + 3 и т. д. Но произвести проверку для всех чисел, как того требует гипотеза, конечно же, невозможно. Требуется какое-то иное доказательство, нежели просто проверка. Однако, несмотря на все старания, такое доказательство до сих пор не найдено.

Гипотеза была выдвинута в 1742 г. Христианом Гольдбахом в переписке с Леонардом Эйлером. Основная деятельность этих учёных протекала в России; Гольдбах был похоронен в Москве в 1764 г., а Эйлер – в Петербурге в 1783 г. Чем славен Эйлер, едва ли не самый продуктивный и один из самых великих математиков за всю историю человечества, легко узнать, если заглянуть, как в старые времена, в энциклопедический словарь. Сведения же о том, что собой представляет Гольдбах, словари дают скупо. За информацией о нём придётся обратиться к специальной литературе или же провести разыскания в интернете. Между тем некоторые из фактов заслуживают того, чтобы здесь их изложить. Хотя математические статьи, опубликованные Гольдбахом в научных журналах, и не оставили сколько-нибудь заметного следа в математике, он являлся признанным членом математического сообщества своего времени. Был лично знаком или состоял в переписке с рядом выдающихся умов, в том числе с Лейбницем; его переписка с Эйлером продолжалась 35 лет и прекратилась лишь со смертью Гольдбаха. Ему писали охотно и содержательно. Лишь из письма к Гольдбаху знаменитого математика Даниила Бернулли от 28 мая 1728 г. мы узнаём о математических достижениях Василия Евдокимовича Ададурова (1709–1780), и только это сделало возможным появление статьи об Ададурове в биографическом разделе однотомного «Математического энциклопедического словаря». Один из историков науки (кстати, правнук Эйлера и непременный секретарь Петербургской академии наук) писал: «Его [Гольдбаха] переписка показывает, что если он не прославился ни в одной специальности, то это следует приписать большой универсальности его познаний. То мы видим его обсуждающим… кропотливые вопросы классической и восточной филологии; то он пускается в нескончаемые археологические споры…» В своих письмах Гольдбах предстаёт как человек, наделённый и интуицией, и способностью чувствовать новое. В России, куда он приехал в 1725 г. в возрасте 35 лет, Гольдбах сделал головокружительную карьеру. Он сразу получил место секретаря, а также историографа организуемой во исполнение замысла Петра I Императорской академии наук; именно он вёл (на латыни) первые протоколы академии. С 1737 по 1740 г. он был одним из двух лиц, осуществлявших административное управление академией (другим был Шумахер; обоим по этому случаю присвоили чин коллежского советника). В конце 1727 г. он был назначен наставником двенадцатилетнего императора Петра II. Рассказывают, что руководство по обучению царских детей, составленное Гольдбахом в 1760 г., применялось на практике в течение 100 последующих лет. В 1742 г. Гольдбах стал служить по ведомству Коллегии иностранных дел, получал награды, земли и чины и к 1760 г. дослужился до тайного советника. Чин этот довольно точно отражал его обязанности, поскольку Гольдбах состоял в должности криптографа. Эйлеру тоже захотелось чина. Однако Екатерина II, благосклонно встретившая его пожелания относительно жалованья, казённой квартиры и обеспечения его трёх сыновей должностями и доходами, весьма дипломатично отказала: «Я дала бы, когда он хочет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет его с множеством людей, которые не стоят г-на Эйлера. Поистине его известность лучше чина для оказания ему должного уважения».

На самом деле Гольдбах выдвинул гипотезу, очень похожую на ту, что носит его имя, но всё же отличную от неё[40]. Дело в том, что в его терминологии к простым числам относилась и единица, которую в наши дни (и в нашей статье) к простым числам не относят.

Гипотезу о разбиении любого числа на три простых слагаемых часто называют тернарной гипотезой Гольдбаха.

Посмотрим, как обстоит дело с разбиением чисел на два простых слагаемых. Приступим к проверке, начав с 4 (числа 1, 2, 3 разбить так нельзя): 4 = 2 + 2; 5 = 2 + 3; 6 = 3 + 3; 7 = 2 + 5; 8 = 3 + 5; 9 = 2 + 7; 10 = 5 + 5. Казалось бы, всё получается. Но вот на числе 11 мы спотыкаемся, его на два простых слагаемых разбить невозможно. Идём дальше: 12 = 5 + 7; 13 = 2 + 11; 14 = 7 + 7; 15 = 2 + 13; 16 = 3 + 13; на числе 17 опять заминка. Итак, мы быстро нашли два числа, которые не разбиваются на два простых слагаемых. Иной читатель скажет, что и не надо их разбивать на простые слагаемые, эти числа 11 и 17 уже сами простые. Но вот, скажем, числа 27 и 35 не являются простыми, а представить их в виде суммы двух простых слагаемых невозможно. Заметим, что все найденные нами числа, которые нельзя разбить на два простых слагаемых, нечётны. В неслучайности этого мы сейчас убедимся. Сумма двух нечётных чисел всегда чётна. Поэтому если нечётное число есть сумма двух простых слагаемых, то одно из этих слагаемых чётно. Но чётных простых чисел всего одно: это число 2. Значит, само исходное число на 2 больше какого-то простого. Но если перебирать числа в порядке возрастания, то подобные числа будут встречаться всё реже и реже, потому что всё реже и реже будут встречаться простые числа.

Гипотезу о том, что всякое чётное число, начиная с четырёх, может быть представлено в виде суммы двух простых слагаемых, принято называть бинарной гипотезой Гольдбаха. Бинарную гипотезу выдвинул Эйлер в ответном письме Гольдбаху[41]. Он заметил, что из бинарной гипотезы следует тернарная. Действительно, предположим, что бинарная гипотеза верна. Тогда для разложения числа n на три простых слагаемых надо сделать вот что. Если число n чётно, вычтем из него 2, если нечётно – вычтем 3. В обоих случаях получится чётное число, которое можно разложить на два простых слагаемых. Эти два слагаемых вкупе с вычтенной двойкой или тройкой и дадут искомое разложение. И наоборот, из тернарной гипотезы следует бинарная. Пусть тернарная гипотеза верна и требуется разложить чётное число n на два простых слагаемых. Поскольку n чётно, то n + 2 тоже чётно. Разложим его на три простых слагаемых. Если бы все эти слагаемые были нечётны, то и их сумма n + 2 была бы нечётна. Поэтому одно из слагаемых чётно и в силу того, что является простым числом, равно 2. Тогда остальные два слагаемых в сумме дадут n. Поэтому и бинарную, и тернарную гипотезу следует считать всего лишь различными формулировками одной и той же гипотезы – гипотезы Гольдбаха. Из сказанного вытекает, что есть только одна гипотеза Гольдбаха, имеющая различные эквивалентные формулировки.

К 1989 г. гипотеза Гольдбаха была доказана вплоть до гигантского числа, десятичная запись которого занимает около 43 тысяч знаков. Однако проблема Гольдбаха в её полном объёме остаётся нерешённой до сих пор, поскольку в ней говорится обо всех числах. Тернарную гипотезу Гольдбаха в применении к нечётным числам, т. е. гипотезу о том, что каждое нечётное число, начиная с семи, является суммой трёх простых чисел, принято называть слабой гипотезой Гольдбаха. Именно эта гипотеза привлекала наибольшее внимание исследователей. В 2013 г. произошло большое событие: Харальд Хельфготт, перуанец по рождению, американец по университетскому образованию и француз по месту современного жительства и работы, доказал слабую гипотезу Гольдбаха. До Хельфготта самого заметного успеха в этой области достиг советский математик И. М. Виноградов, доказавший, что каждое нечётное число, большее некоторой величины, является суммой трёх простых слагаемых. Однако названная величина оказалась астрономически велика, и потому проверить истинность гипотезы Гольдбаха для всех чисел, меньших этой величины, не представляется возможным.

Осознание того, что есть простые по формулировке вопросы, столетиями ждущие ответа, представляется поучительным. Не менее поучительно осознание того, что бывают и проблемы другого типа, не ждущие решения по причине того, что решения не существует в принципе.

Принято считать, что ранее всего – и по постановке, и по доказательству – была установлена принципиальная нерешимость проблемы нахождения общей меры двух отрезков, приписываемой школе Пифагора. Осторожные выражения «принято считать» и «приписываемая» означают, что затруднительно говорить как о бесспорных датировках, так и о бесспорном авторстве идей, относящихся к столь глубокой древности. Мы всё же будем придерживаться традиционной версии, достаточно правдоподобной.

Пифагор и пифагорейцы с их мистическим отношением к числам считали натуральные числа мерилом всех вещей, выразителями мирового порядка и основой материального бытия. Их занимала мысль об универсальной единице длины, т. е. о таком едином отрезке, который в каждом другом отрезке укладывался бы целое число раз. Прежде всего они пришли к пониманию, что такого отрезка не существует. Это сейчас его отсутствие кажется очевидным, тогда же осознание сего факта было подлинным открытием. Но оставался вопрос, существует ли подобный отрезок-мера, не общий для всех отрезков сразу, а свой для каждых двух отрезков. Для ясности сформулируем проблему более развёрнуто. Представим себе два каких-то отрезка. Их общей мерой называется такой отрезок, который в каждом из них укладывается целое число раз. Скажем, если второй из наших двух отрезков составляет треть первого, то этот второй отрезок и будет общей мерой: действительно, в первом отрезке он укладывается 3 раза, а во втором – 1. Отрезок, составляющий одну шестую первого отрезка, будет укладываться в нём 6 раз, а во втором – 2 раза, так что он также будет их общей мерой. Легко предъявить пару отрезков, для которых их общая мера будет укладываться в первом отрезке 6 раз, а во втором – 5; другая общая мера тех же отрезков будет укладываться в первом из них 18, а в другом – 15 раз. Теперь спросим себя, для любых ли двух отрезков существует их общая мера. Ответ неочевиден. В школе Пифагора был получен следующий поразительный результат: если взять какой-либо квадрат, а в нём – его сторону и его диагональ, то окажется, что эта сторона и эта диагональ не имеют общей меры! Говорят, что диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы. А соизмеримыми как раз и называются такие два отрезка, которые имеют общую меру.

Сегодня трудно себе представить силу эмоционального потрясения, испытанного, по дошедшим до нас из глубины веков сведениям, пифагорейцами, когда они обнаружили, что отрезки могут быть несоизмеримы. Рассказывают, что в благодарственную жертву богам они принесли около сотни быков (и с тех пор, как выразился кто-то, скоты всегда ревут, когда открывается новая истина). А ещё говорят, что пифагорейцы поклялись никому не сообщать о своём открытии. (И вот вам современная аналогия: по распространённому мнению, в наши дни велено скрывать от публики свидетельства о летающих тарелках. Я относил это мнение к числу предрассудков – и ошибался: в марте 2007 г. было объявлено, что Франция рассекречивает собиравшиеся десятилетиями данные о неопознанных летающих объектах.) По одной из легенд, возможно, придуманной самими пифагорейцами в острастку другим нарушителям, нашёлся преступивший клятву и был убит.

Оценивая открытие несоизмеримых отрезков с современных позиций, по прошествии двух с половиной тысяч лет, можно усмотреть в нём два общекультурных аспекта. Первый заключается в том, что впервые было доказательно установлено отсутствие чего-то – в данном конкретном случае общей меры стороны и диагонали одного и того же квадрата. Произошёл один из самых принципиальных поворотов в интеллектуальном развитии человечества. В самом деле, доказать, что что-то существует, можно, предъявив это «что-то». Например, если бы гипотеза Ферма оказалась неверна, то для её опровержения достаточно было бы предъявить некоторый показатель степени и соответствующую ему тройку Ферма. Но как доказать, что чего-то нет? Если искомое «что-то» заведомо содержится в известной и ограниченной совокупности, то, вообще говоря, можно перебрать все элементы этой совокупности и убедиться, что ни один из них нам не подходит. Но что делать, если искать наше «что-то» надлежит в совокупности необозримой? А именно эта ситуация и имеет место при поиске общей меры, ведь искать её приходится в необозримой совокупности всех мыслимых отрезков. Остаётся единственный способ: доказывать отсутствие не путём непосредственного наблюдения, а путём логического рассуждения. Его и применили пифагорейцы.

Сегодня трудно сказать, как именно рассуждали Пифагор и его ученики, доказывая несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. До нас дошло чисто геометрическое и притом чрезвычайно изящное доказательство отсутствия общей меры, но является ли оно тем самым первоначальным, неизвестно[42]. Сейчас, как правило, принято сводить несоизмеримость диагонали и стороны к вопросу из теории чисел. А именно: используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2x² = y². (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения x и y дают решение.) Боюсь, что в нашей средней школе эту равносильность не разъясняют, а надо бы: этот пример демонстрирует и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа x и y, что 2x² = y². Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной. Вот первая часть: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне x раз, а в диагонали – y раз; тогда по теореме Пифагора 2x² = y². А вот вторая часть: если найдутся такие целые числа x и y, что 2x² = y², то по обратной теореме Пифагора треугольник с длинами сторон x, x и y будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины x и диагональю длины y. Таким образом, великое пифагорейское открытие не только было значительным само по себе, но и проложило дорогу к пониманию и доказательству замечательного факта: уравнение может не иметь решений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решений (среди целых чисел, как в нашем примере, или среди действительных чисел, как уравнение x² = −1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2x² = y² настолько просто, что доступно школьнику младших классов[43]; боюсь, однако, в школах его не излагают.

Разговор о том, что в иных случаях решения не существует, мы продолжим в главах 5 и 6, а пока укажем второй общекультурный аспект открытия явления несоизмеримости: оно привело, хотя и не сразу, к понятию действительного числа, лежащему в основе не только математики, но и всего современного естествознания и современной техники.

Глава 4

Длины и числа

Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, т. е. квадрата со стороной, длина которой единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким образом, возникает дилемма: или признать, что существуют отрезки, не имеющие длины, или изобрести какие-то новые числа помимо целых и дробных. Человечество выбрало второе. Ввиду важности сделанного выбора изъяснимся более подробно.

Давайте осознаем, как возникает понятие длины с логической точки зрения, но отчасти также и с исторической. Для измерения величины какого угодно рода (длины, веса, температуры или напряжения) требуется прежде всего назначить эталон измерения, т. е. такую величину этого рода, мера которой объявляется равной единице. Тогда мера любой величины того же рода определяется числом, отражающим отношение измеряемой величины к эталону. В частности, для измерения длин надлежит в первую очередь указать в качестве эталона отрезок, длиной которого объявляется число один. Этот отрезок называется единичным. Если теперь этот единичный отрезок укладывается в каком-то другом отрезке 7 или 77 раз, то этому другому отрезку приписывается длина 7 или 77. Таким способом приписываются целочисленные длины всем отрезкам, такую длину имеющим. За бортом указанного процесса остаются все те многочисленные отрезки, в которых единичный отрезок не укладывается конечное число раз. Посмотрим, как обстоит дело с ними. Возьмём какой-нибудь из таких отрезков и предположим, что он соизмерим с единичным. Пусть, скажем, их общая мера укладывается в нашем отрезке 18 раз, а в единичном – 12 раз. Тогда в нашем отрезке укладывается 18/12 единичного отрезка, и ему приписывается длина 18/12. Если для двух отрезков найдена их общая мера, то для них всегда можно указать и другие общие меры, и притом в бесконечном количестве. Для рассматриваемого случая таковыми будут, скажем, мера, укладывающаяся в избранном отрезке 180 раз, а в единичном – 120 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 9 раз, а в единичном – 6 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 6 раз, а в единичном – 4 раза; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 3 раза, а в единичном – 2 раза. Следовательно, нашему избранному отрезку можно приписать и длину 180/120, и длину 9/6, и длину 6/4, и длину 3/2. Именно поэтому дроби 180/120, 18/12, 9/6, 6/4 и 3/2, будучи различными дробями, выражают одно и то же число. Указанные дроби можно трактовать как разные имена этого числа, т. е. как синонимы. Таким образом, длина у отрезка одна, хотя именоваться она может по-разному.

Числа, выражаемые дробями, называются дробными. Целые и дробные числа объединяются под названием рациональных чисел. (Для простоты изложения мы ничего не говорим об отрицательных числах; для наших целей они не нужны, и о них можно просто забыть.) Казалось бы, какие ещё могут быть числа? Но, как мы знаем, диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной. Поэтому если взять квадрат со стороной длины единица, то оказывается, что длина диагонали этого квадрата никаким рациональным числом не выражается. Следовательно, у этой диагонали либо вовсе нет длины, либо эта длина выражается числом какого-то нового типа, каковой тип ещё только надлежит ввести в рассмотрение. Числа этого нового типа называются иррациональными, вместе с рациональными они образуют систему действительных, или вещественных, чисел. В этой системе каждый отрезок обретает длину в виде некоторого действительного числа.

Надо иметь в виду, что изложенный взгляд на понятие числа, включающий в его объём и иррациональные числа, есть взгляд современный. Чтобы прийти к нему, потребовались тысячелетия. В древности лишь натуральные числа считались числами. Число понималось как совокупность единиц. Постепенно (очень медленно) в обиход входили дроби – сперва с числителем единица и небольшим знаменателем, затем числителю уже разрешалось быть бóльшим единицы, но всё-таки непременно меньшим знаменателя, и т. д. Но и дробь не сразу была признана выражающей число, поначалу она трактовалась иначе – как выражающая отношение величин. Открытие явления несоизмеримости привело к осознанию того поразительного факта, что не всякое отношение величин может быть выражено дробью, и в конечном счёте – к возникновению понятия действительного числа. Возможно, впервые ясное представление о действительных числах сформулировал великий арабский учёный и государственный деятель XIII в. Насирэддин Туси. Рассуждая об однородных величинах (каковыми являются длины, веса, объёмы и т. п.) и отношениях величин одного и того же рода, он писал: «Каждое из этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов». И наконец, точку в развитии ясного, хотя всё ещё интуитивного, представления о действительных числах поставил Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» (1707): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей; дробное есть кратное долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».

Нормы научной строгости со временем ужесточаются. Можно полагать, что формулировки Туси и Ньютона воспринимались современниками как определения понятия действительного числа. В наши дни они воспринимаются всего лишь как полезные комментарии. Вербализация указанных формулировок свидетельствует, что в XIII–XVIII вв. понятие действительного числа уже с достаточной отчётливостью воспринималось именно как понятие. Однако со временем одного интуитивного осознания сделалось мало, возникла потребность в исчерпывающих определениях. Формулировки Туси и Ньютона таковыми не являются, потому что содержащиеся в них термины «величина» и «отношение» сами нуждаются в разъяснении. Теории действительных чисел, отвечающие сегодняшним строгим требованиям, появились лишь около 1870 г. Первопроходцем здесь был почти забытый ныне французский математик Шарль Мерэ (Charles Méray; 1835–1911). На его долю выпало два звёздных мгновения, поставивших Мерэ на почётнейшее первое место в некой значимой сфере. В 1854 г. Мерэ оказался касиком, т. е. первым среди принятых по конкурсу в парижскую Высшую нормальную школу (знаменитую École normale supérieure («Эколь нормаль»), каковую благополучно окончил в 1857 г. [Изначально слово «касик» (cacique) означало индейского племенного вождя в доколумбовой Центральной Америке, Мексике и Вест-Индии.] В 1869 г. Мерэ опубликовал статью, в которой впервые было дано определение действительного числа и изложена математическая теория действительных чисел. Не только первое, но и второе событие остались лишь фактами его биографии. Мерэ приобрёл статус уважаемого, но всё же не ведущего математика своего времени, хотя имел основания числиться ведущим. Его идеи не были должным образом оценены современниками и никак не повлияли на развитие науки. А повлияли на это развитие появившиеся через несколько лет публикации прославленных, в отличие от Мерэ, немецких математиков Рихарда Дéдекинда (Richard Dedekind, 1831–1916) и Георга Кантора (Georg Cantor, 1845–1918), о котором мы ещё поговорим в главе 7. Каждый из них предложил некую конструкцию, посредством которой действительные числа строились на базе чисел рациональных. Хотя нет сомнений, что конструкция Кантора была найдена им независимо, она повторяет конструкцию Мерэ.

У нас здесь нет возможности излагать теории Дедекинда и Мерэ – Кантора. Отметим лишь, что строительным материалом для математического понятия действительного числа служат рациональные числа, каковые, в свою очередь, строятся на основе целых чисел. Это обстоятельство дало возможность выдающемуся немецкому математику Леопольду Крóнекеру (1823–1891) произнести в 1886 г. знаменитую фразу «Бог создал целые числа, всё остальное есть дело рук человеческих» («Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»). Возможно, более точным переводом немецкого слова ganzen было бы здесь русское слово «натуральные», потому что не вызывает сомнений: Кронекер имел в виду не все целые, а именно натуральные числа (из которых уже путём сознательной человеческой деятельности строятся отрицательные целые числа). Согласие с божественным происхождением натуральных чисел ещё не означает торжества креационизма. Ибо ничто не мешает считать, что натуральные числа появились в процессе исторической эволюции, оставляя при этом в стороне вопрос, управляется ли эволюция Господом Богом или происходит сама по себе. Став на эту точку зрения, приходим к выводу, что натуральные числа родились в процессе пересчитывания предметов, а также (и, надо полагать, позже) определения количества предметов. Это разные процессы, и они с философской точки зрения приводят к различным (хотя и соотнесённым друг с другом) системам натуральных чисел. Не знаю, как другие языки, но русский демонстрирует это различие достаточно наглядно. Пересчёт мы начинаем обычно со слова «раз», а наименьшее возможное количество чего-нибудь есть ноль. Таким образом, наименьшее количественное число есть ноль, а наименьшее считательное число есть раз (один, единица)[44]. Некоторые поэтому начинают натуральный ряд, т. е. ряд натуральных чисел, с ноля, другие же – с единицы.

Упоминавшийся уже Дедекинд называл числа свободными творениями человеческого духа [а книга Дедекинда, в которой была провозглашена эта формула, сама имела примечательное название – «Что такое числа и каково их назначение» (Was sind und was sollen die Zahlen)]. Для понимания сущности чисел важно помнить, что число есть понятие абстрактное. Никакое число, даже, скажем, число два, нельзя ни увидеть, ни услышать. Увидеть можно два стола или двух слонов, а услышать или прочитать можно слово «два», но это совсем другое дело. Полезно отметить, что абстрактность понятий не есть отличительная (и потому многих пугающая) черта математики. Если вдуматься, то, скажем, такие физические понятия, как «электрон», «протон» и т. п., весьма абстрактны. На память приходит вопрос, заданный на знаменитом семинаре Гельфанда (который работал на механико-математическом факультете Московского университета) одним из участников: «Какой реальный математический смысл имеет эта физическая абстракция?»

Вернёмся, однако, к проблемам, не имеющим решения.

Глава 5

Квадратура круга

Выражение «квадратура круга» прочно вошло в язык в качестве красивого обозначения всякой не имеющей решения задачи. Это расширенное значение, метафора. В узком же, буквальном смысле квадратура круга есть некая пришедшая к нам из античности геометрическая задача на построение.

Не одно тысячелетие она оставалась костью в горле математики: ни решить, ни доказать, что это невозможно. Тем не менее мысль о невозможности решения всё крепла и крепла, пока в XVIII в. не превратилась в убеждение настолько твёрдое, что академии наук разных стран заявили: трактаты, претендующие на разрешение коварной проблемы, более к рассмотрению не принимаются. Наконец, на исходе XIX в. вопрос был закрыт: развитие математики позволило доказать, что решения и в самом деле не существует. Понимание того, в чём состоят задачи на построение, и в частности древняя задача о квадратуре круга, входит, на наш взгляд, в общекультурный минимум. Чтобы читатель мог рассудить, верен или нет этот тезис, приведём кое-какие необходимые сведения.

Геометрия требует чертежа, и античные математики делали чертежи. Самым удобным и дешёвым способом было чертить на песке. Архимед, величайший учёный древности (да и не только древности!), был убит римским воином в 212 г. до н. э., во время Второй пунической войны, на Сицилии, в своих родных Сиракузах. По преданию, воин застал учёного на песчаном пляже и, взбешённый его словами «Не трогай мои чертежи!», зарубил мечом. Основными элементами чертежей служили прямые линии и окружности. Для их вычерчивания имелись специальные инструменты. Таких инструментов было два: линейка, позволяющая проводить прямые, и циркуль, позволяющий проводить окружности. Под термином «циркуль» условимся понимать любое устройство, пригодное для данной цели. Скорее всего, древнейший циркуль состоял из двух палок, соединённых верёвкой; одну палку («иглу») втыкали в песок в центре намеченной окружности, верёвка натягивалась, и второй палкой («писалом», «чертилом», «стилóм») чертили окружность с радиусом, равным длине верёвки. Задача на построение состояла в том, чтобы построить, т. е. начертить, геометрическую фигуру с требуемыми свойствами. Вот простейший пример такой задачи: для заданного отрезка найти его середину. Решение: для каждого из концов отрезка проводим окружность с центром в этом конце и с радиусом, равным длине отрезка; далее проводим прямую через те две точки, в которых наши окружности пересеклись; эта прямая пересечёт заданный отрезок в его середине.

Формулировка задачи о квадратуре круга такова: для заданного круга построить квадрат, равновеликий (т. е. равный по площади) этому кругу. То, что эта задача не имеет решения, доказал в 1882 г. немецкий математик Фердинанд Линдеман, о котором мы рассказывали в главе 2. Говорят, Линдеман завершил доказательство 12 апреля, в день своего тридцатилетия, и на вопрос друзей, отчего это он сияет так, словно решил проблему квадратуры круга, отвечал, что они попали в точку.

Прочитав две предыдущие фразы, читатель вправе возмутиться. Ведь в первой фразе говорится, что задача не имеет решения, а во второй – что Линдеман её решил. Дело в том, что в строгом, узком смысле решить задачу – значит найти её решение, а в более широком – найти решение или доказать, что его не существует. Таким образом, если удалось доказать, что задача не может быть решена, в математике она признаётся решённой. Подобные странности восторга не вызывают, но и больших трудностей не создают, поскольку из контекста обычно ясно, о чём идёт речь.

Мы, разумеется, не собираемся здесь доказывать нерешимость задачи о квадратуре круга. Можно было бы попытаться в доступных широкому читателю терминах наметить общее направление доказательства, но мы и этого делать не будем, потому что это вывело бы нас за пределы того, что мы считаем общекультурным математическим минимумом. А вот самоё формулировку обсудим. Казалось бы, что тут обсуждать, формулировка достаточно ясная? Сейчас мы увидим, что на самом деле её смысл нуждается в разъяснениях. Приносим извинения тем, кто почтёт эти разъяснения занудными и излишними. И надеемся встретить иного читателя, который найдёт здесь пищу для размышлений и оценит то обстоятельство, что именно математика такую пищу поставляет.

Каждая задача на построение предполагает наличие некоторой исходной геометрической фигуры и состоит в требовании указать способ, который позволяет построить новую фигуру, связанную с исходной указанными в задаче соотношениями. Так, в задаче о середине отрезка исходной фигурой был отрезок, а новой – точка, являющаяся его серединой; в задаче о квадратуре круга исходная фигура – круг, а новая – квадрат, имеющий ту же площадь. Вот ещё пример: по данной стороне построить правильный треугольник (т. е. такой, у которого одинаковы все стороны и все углы). Исходной фигурой здесь служит отрезок, а новой – треугольник, у которого все стороны конгруэнтны[45] этому отрезку. Надеемся, что читатель легко решит эту задачу. Решение будет приведено в конце главы.

Можно построить и правильный 17-угольник, но это уже не столь просто. А вот задача о построении правильного семиугольника не имеет решения – это в конце XVIII в. доказал один из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс (Johann Carl Friedrich Gauß, 1777–1855), уже упоминавшийся в главе 1 в связи с неевклидовой геометрией. До Гаусса существование таких задач на построение, решить которые невозможно, было лишь правдоподобной гипотезой. Он же указал способ построения правильного 17-угольника.

Вот ещё пример весьма известной и древней задачи на построение – задача о трисекции угла. В ней требуется для каждого угла построить другой угол, составляющий треть исходного. Для некоторых углов специального вида, например для прямого угла, построение трети не составляет труда. Однако в середине XIX в. было доказано, что некоторые углы невозможно построить, оперируя линейкой и циркулем. Оказалось, в частности, что невозможно построить углы в 10° и 20° и, следовательно, осуществить трисекцию углов в 30° и 60°. Тем самым была установлена неразрешимость задачи о трисекции угла.

Итак, в каждой задаче на построение требуется указать некоторый способ построения. Когда такой способ предъявляется, как для задачи о середине отрезка, он [способ] обычно не вызывает сомнений. Но, когда утверждается, что такого способа нет, как это утверждается для квадратуры круга или для трисекции угла, возникает необходимость уточнить, чего именно нет.

Всякий способ построения состоит в указании некоторой последовательности разрешённых операций. Последовательность эта – своя для каждой задачи. Сам же перечень разрешённых операций один и тот же для всех задач на построение. Он весьма невелик, и мы сейчас с ним познакомимся.

Прежде всего это операции, выполняемые при помощи линейки. Читателя может удивить множественное число. На что ещё годна линейка, кроме черчения прямой? А вот на что: чертить луч, т. е. полупрямую; чертить отрезок. Более точно, разрешается, приложив линейку к двум уже построенным точкам, начертить отрезок между этими точками; или луч, начинающийся в одной из этих точек и проходящий через другую; или прямую, проходящую через эти две точки. «Господи! – воскликнет читатель. – Да это же и так ясно! Стоило ли тратить слова на такую очевидность?» Еще как стоило. Объясню почему. Рассмотрим ещё одну операцию, выполнить которую не сложнее, чем провести прямую через две точки, но которая, однако же, не входит в число разрешённых: через данную точку провести касательную к данной окружности. Начертив окружность и взяв точку вне круга, читатель убедится, как легко провести касательную, используя реальную, деревянную или металлическую, линейку. Тем не менее в перечень разрешённых операций проведение касательной не включено. Мы только что прибегли к важному, как нам кажется, приёму обучения понятиям: надо приводить примеры не только того, что входит в объём вводимого понятия, но и того, что в его объём не входит. Так, чтобы на примерах объяснить, что такое чётное число, надо не только сказать, что числа 0, 2, 4, 6 и т. д. являются чётными, но и упомянуть, что числа 1, 3, 5, 7 и т. д. чётными не являются; чтобы объяснить марсианину, что такое кошка, надо предъявить ему не только несколько кошек, но также и несколько собак, сообщив, что это не кошки.

При помощи циркуля выполняют такие операции. Разрешается, установив иглу циркуля в одну уже построенную точку, а стило – в другую уже построенную точку, начертить окружность. И даже более общо: разрешается, установив иглу и стило в две уже построенные точки, не меняя раствора циркуля, перенести иглу в третью уже построенную точку и начертить окружность.

Разрешается находить пересечения уже построенных прямых, лучей, отрезков, окружностей и дуг окружностей (но не всяких дуг, а расположенных между двумя уже построенными точками).

Наконец, разрешается совершать так называемый выбор произвольной точки, т. е. нанести стилом точку в любом месте плоскости, а также в любом месте уже построенной фигуры и использовать эту точку в дальнейших построениях. (Термин «фигура» обозначает здесь отрезок, луч, прямую, окружность, дугу окружности, а также участок плоскости, граница которой составлена из перечисленных только что простейших фигур.)

Только теперь, после описания всех разрешённых операций, обретает точный смысл утверждение о нерешимости той или иной задачи на построение, в частности задачи о квадратуре круга. Отсутствие решения означает здесь отсутствие такой цепочки разрешённых операций, которая приводила бы от круга к квадрату той же площади.

Заметим, что сам перечень разрешённых операций в значительной степени обусловлен историческими причинами и, вообще говоря, мог бы быть другим. Например, можно было бы включить в число разрешённых операций построение касательной, о котором говорилось выше. (Заметим, кстати, что это не дало бы ничего принципиально нового, потому что касательную можно построить, подобрав подходящую цепочку разрешённых операций из старого перечня.) Можно было бы включить в число разрешённых операций вычерчивание эллипса, ведь устройство для его вычерчивания лишь немногим сложнее циркуля. (Достаточно вбить два гвоздя в фокусы будущего эллипса и протянуть между ними нить, длина которой больше расстояния между фокусами. Зацепим нить стилом и натянем. Перемещая стило так, чтобы нить оставалась натянутой, получим эллипс.) Да лёгкость выполнения разрешённой операции не должна нас заботить: строго говоря, мы вправе объявить разрешённой любую операцию по нашему усмотрению. Перечень разрешённых операций, с чисто логической точки зрения, достаточно произволен. Однако, будучи выбран, он уже не меняется. Полезная аналогия – свод юридических актов. С чисто логической, опять же, точки зрения законы произвольно устанавливаются законодателем, но будучи принятыми, они уже не подлежат изменению, хотя бы на определённый период. Во всяком случае так должно быть.

Объясним теперь, почему задачам на построение уделено здесь такое внимание. На их примере мы пытались продемонстрировать некоторые математические представления принципиального характера, представления, которые можно отнести к философии математики, а то и к философии вообще:

1. Задача, или проблема, всегда есть требование что-то найти, указать, построить.

2. Необходимо уточнять, в пределах какого класса объектов мы ищем решение задачи.

Иногда этот класс состоит из объектов довольно простой (честнее было бы сказать – довольно привычной) природы: четвёрок чисел в проблеме Ферма (если ставится задача опровергнуть гипотезу Ферма), отрезков в проблеме соизмеримости (если ставится задача найти общую меру). Но случается, что его составляют довольно-таки специфические объекты вроде цепочек операций в задачах на построение.

3. Уточнять особенно необходимо, если задача нерешима.

4. Представление о разрешённой операции в общем виде шире сферы задач на построение.

Оно существенно и для компьютерной науки (computer science), и для компьютерной практики, а именно для программирования. Каждый компьютер имеет свой набор разрешённых операций, а каждая компьютерная программа есть некоторая цепочка операций, выбранных из этого набора.

Именно в силу философского аспекта задачи на построение должны занимать достойное место в школьном курсе геометрии. Мы не имеем в виду сложных задач, требующих зачастую большой изобретательности, – они должны изучаться в специализированных математических классах. Нет, речь идет о самых простых задачах вроде задачи на построение правильного треугольника или задачи на нахождение середины отрезка.

Решение задачи о построении равностороннего треугольника.

Пусть отрезок AB (см. рисунок) конгруэнтен исходному отрезку. Устанавливаем иглу в точку А, стило – в точку В и проводим окружность с центром в А. Далее переносим иглу в точку В, стило – в точку А и проводим окружность с центром в В. Полученные окружности пересекутся в двух точках. Одну из них обозначим буквой С. Треугольник АВС окажется равносторонним со сторонами, конгруэнтными исходному отрезку.

Глава 6

Массовые задачи и алгоритмы

В который уже раз подчеркнем, задача – это всегда требование что-то найти, построить, указать. В школе это «что-то» обычно называют ответом, а систему рассуждений, приводящую к ответу, – решением. Во «взрослой» математике ответ чаще всего тоже называют решением. Таким образом, термин «решение» обозначает сразу и действие, и его результат. Ситуация эта отнюдь не уникальна: слово «пение», например, означает и процесс извлечения звуков, и сами звуки. К путанице подобная многозначность, как правило, не приводит. Всё расставляет по местам контекст. Так что договоримся употреблять «взрослую» терминологию.

В замечательной одноактной пьесе «Урок» Эжена Ионеско есть такой диалог, который мы приведём с купюрами.

Учитель. ‹…› Сколько будет, ну, скажем, если три миллиарда семьсот пятьдесят пять миллионов девятьсот девяносто восемь тысяч двести пятьдесят один умножить на пять миллиардов сто шестьдесят два миллиона триста три тысячи пятьсот восемь?

Ученица (отвечает немедленно). Это будет девятнадцать квинтиллионов триста девяносто квадриллионов два триллиона восемьсот сорок четыре миллиарда двести девятнадцать миллионов сто шестьдесят четыре тысячи пятьсот восемь. ‹…›

Учитель (сосчитав в уме, с нарастающим изумлением). Да… Вы правы… ответ действительно… (невнятно бормочет) квадриллионов… триллионов… миллиардов… миллионов… (разборчиво) сто шестьдесят четыре тысячи пятьсот восемь… (Ошеломлённо.) Но каким образом вы это вычислили, если вам недоступны простейшие приемы арифметического мышления?

Ученица. Очень просто. Поскольку я не могу положиться на своё арифметическое мышление, я взяла и выучила наизусть все результаты умножения, какие только возможны[46].

Всех результатов умножения бесконечно много, так что выучить их наизусть нет никакой возможности. Да это и не нужно: Ионеско справедливо утверждает устами Учителя из своей миниатюры, что «математика – заклятый враг зубрёжки». (Кстати, теоретическая невозможность выучить все результаты получила в приведённом диалоге и экспериментальное подтверждение. Дело в том, что Ученица дала неправильный ответ: правильным ответом является число 19 389 602 947 179 164 508, а ею названо число 19 390 002 844 219 164 508. Не берусь судить, получил ли этот факт должное отражение в ионесковедении[47].)

Но мы ведь умеем умножать. Это потому, что ещё в начальной школе нас учат некоторому общему способу умножения любых целых чисел, а именно умножению столбиком. Любой человек, им овладевший, имеет право заявить, что теперь готов умножить друг на друга любые два натуральных числа – и не потому, что выучил все результаты (что, повторим, невозможно), а именно потому, что указанный способ позволяет найти требуемый результат для любой пары сомножителей.

Пример с умножением даёт представление о массовых задачах. Массовая задача образуется в результате совместного рассмотрения серии однотипных единичных задач. В случае умножения каждая единичная задача состоит в указании пары конкретных чисел (например, тех, которые были названы Ученице Учителем) и требовании найти их произведение. Это произведение является решением предложенной единичной задачи. Массовая же задача состоит здесь в требовании указать некий метод, позволяющий найти произведение для каждой отдельной пары чисел.

Другой простой пример. Требуется решить квадратное уравнение x2 − 13x + 30 = 0. Это единичная задача, и её решением служит пара чисел 3 и 10. А вот изучаемая в средней школе задача решения произвольного квадратного уравнения является массовой, и её решением служит всем известная (по крайней мере она должна быть всем известна) формула, дающая решение для любого конкретного квадратного уравнения.

Остановим свой взгляд на какой-нибудь массовой задаче и посмотрим, чем различаются составляющие её единичные задачи. Мы видим, что они различаются своими исходными данными. Для каждой единичной задачи умножения исходным данным служит конкретная пара чисел. А для каждой единичной задачи на решение квадратного уравнения исходное данное – это конкретное квадратное уравнение. Решением же массовой задачи является общий метод, дающий решение для каждой из составляющих её единичных задач. Если предложенный общий метод состоит в последовательности строго детерминированных операций, ведущих от исходных данных к результату, он называется конструктивным, или эффективным, или алгоритмическим, или, ещё короче, алгоритмом. Таким образом, можно говорить об алгоритме сложения столбиком, об алгоритме умножения столбиком, об алгоритме решения квадратных уравнений и т. п. Алгоритмы играют в математике – да и во всей нашей жизни – большую роль, особенно в связи с развитием компьютерной технологии.

Само слово «алгоритм» достаточно интересно: это, возможно, единственный математический термин, произошедший от географического названия – Хорезм. Это название носили историческая область и древнее государство в Средней Азии в низовьях реки Амударьи. В конце VIII – первой половине IX в. здесь жил замечательный ученый Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (аль-Хорезми буквально означает «из Хорезма»). Он предложил некоторые методы решения арифметических задач, и на его авторитет ссылались средневековые европейские авторы, писавшие, как это было принято, на латыни. Начиная с XII в. его имя транслитерировалось как Algoritmi. Отсюда и пошёл термин «алгоритм». Поиски общего метода для решения массовой задачи велись со времён Античности. Однако впервые ясное понимание алгоритма в качестве самостоятельной сущности встречается лишь в 1912 г. в трудах великого французского математика Эмиля Бореля.

Понятие алгоритма – одно из центральных в математике. Программа для компьютера есть не что иное, как запись алгоритма на одном из так называемых языков программирования. Прорыв в осмыслении этого важнейшего понятия произошёл в 1936 г., когда независимо друг от друга Алонзо Чёрч в Америке и Алан Тьюринг в Великобритании предложили математические уточнения понятия алгоритма (каждый своё) и на основе этих уточнений предъявили первые примеры массовых проблем, неразрешимых алгоритмически, в числе которых оказалась и очень знаменитая, стоявшая с 1915 г. так называемая проблема разрешения (das Entscheidungsproblem), считавшаяся главной в математической логике. Поясним, что термины «проблема» и «задача» для нас синонимы и что массовая проблема считается алгоритмически неразрешимой, если не существует решающего её алгоритма, т. е. такого единого алгоритма, который позволял бы находить решение для каждой из тех единичных проблем, которые и составляют рассматриваемую массовую проблему.

Алгоритмически неразрешимые проблемы, указанные Чёрчем и Тьюрингом, слишком сложны, чтобы их здесь формулировать. Сейчас мы приведём достаточно простой пример такой проблемы. Разумеется, мы вынуждены ограничиться её формулировкой и не приводить ни доказательства её неразрешимости, ни даже намёка на него. Пример этот покажет, что массовые проблемы, для решения которых алгоритма нет, лежат совсем близко к повседневной жизни.

Для большей наглядности изложим наш пример в терминах некой игры. Любезный читатель согласится, что такая игра вполне мыслима в нашу эпоху пиара, рекламных акций, казино и игровых автоматов.

Игровыми принадлежностями будут служить пластинки, похожие на костяшки, что используются при игре в домино. Как и костяшка домино, каждая пластинка разделена пополам чертой. В каждой половине что-то написано. Отличие от домино заключается в том, чтó именно написано. В случае домино в каждой из половин точками фиксируется число очков от 0 до 6. В нашем случае в каждой из половин записывается цепочка из букв x и z. Вот примеры таких цепочек. Цепочки длины один: x, z. Цепочки длины два: xx, xz, zx, zz. Цепочки длины три: xxx, xxz, xzx, xzz, zxx, zxz, zzx, zzz. Возможна и цепочка длины ноль, в этом случае не записано ничего. А вот одна из 128 цепочек длины семь: zxzxxxz. Возможный вид пластинок изображён на рис. 1.

Изображённые на рис. 1 четыре пластинки, в том порядке, как они показаны, обозначим – для дальнейших ссылок – буквами A, B, C, D. Если приложить одну пластинку к другой, но не торцами, как при игре в домино, а боками, то в результате получим две строчки букв: одну сверху, другую снизу. Так, прикладывая A к D (слева D, справа A), получаем zzzx сверху и zzx снизу. Если приложить в другом порядке, получим xzzz сверху, zxz снизу. Аналогично можно прикладывать друг к другу несколько пластинок и считывать верхнюю и нижнюю строчки букв. Более того, каждую пластинку разрешается воспроизводить в неограниченном количестве и создавать сочетания из повторяющихся пластинок, такие, например, как AACA. В этом примере верхней строчкой будет xxxzx, а нижней – zxzxzzzx. Прошу у читателя прощение за долгое вступление, но хотелось бы, чтобы всё было предельно ясно.

Теперь – сама игра. Она состоит в следующем. В средствах массовой информации объявляется некоторый конкретный набор пластинок. Далее предлагается, воспроизводя каждую из пластинок набора в необходимом количестве, приложить пластинки друг к другу так, чтобы верхняя и нижняя строчки совпали друг с другом. Первым пяти приславшим решения будет выплачен внушительный приз.

Поясним сказанное на примерах. Пусть объявленный набор содержит всего только одну пластинку A из приведённого выше перечня. Ясно, что решение невозможно, потому что, сколько раз ни прикладывай пластинку A саму к себе, нижняя строка всегда окажется длиннее верхней. По сходной причине решения не существует, если объявленный набор состоит из одной только пластинки D, только тут длиннее будет верхняя строка. Желающие могут попытаться доказать, что решения не существует и в том случае, когда объявленный набор состоит из двух пластинок A и D. А вот если объявить набор из всех наших четырёх пластинок A, B, C и D, то решение существует. Действительно, если сложить пластинки в таком порядке: DBCDA, – то и верхняя, и нижняя строка окажутся одинаковы: zzzxxzzzzx.

Итак, набор объявлен. Все хотят получить приз. Но, прежде чем пытаться найти такое расположение пластинок, при котором верхняя и нижняя строки окажутся одинаковыми, желательно узнать, возможно ли такое расположение в принципе. Ведь если оно невозможно, то бесперспективно его искать, это будет пустой потерей времени. Так вот, оказывается, что не существует никакого эффективного способа это узнать. Не существует такого алгоритма (он не просто неизвестен – его нет), который позволял бы для любого объявленного набора пластинок узнать, имеется ли решение, т. е. можно или нельзя сложить пластинки требуемым образом. Узнать, к какой из двух категорий относится каждый отдельно взятый набор пластинок – к той, для которой решения имеются, или же к той, для которой решений нет, – это сугубо творческая задача, своя для каждого набора, а общий метод нахождения ответа для всех таких задач отсутствует.

Глава 7

Парадокс Галилея, эффект Кортасара и понятие количества

Мне áлеф-ноль сияет в вышине,

Как лишь песцы сияют голубые,

И я ищу спасения от змия

В теории Георга, как в вине.

Из студенческого фольклора

В детстве меня иногда посещал кошмар. Мне представлялось большое число стульев (наглядно – в виде рядов в партере летнего театра). И вот их начинают пересчитывать. Получают некоторое число. Затем пересчитывают в другом порядке и получают другое число. Кошмар заключался в том, что оба числа верны.

Только в университете я узнал, что невозможность описанного составляет предмет особой и притом не слишком просто доказываемой теоремы. А потом прочёл «Записи в блокноте» Хулио Кортасара. Там говорилось о произведённой в 1946-м или 1947 г. операции по учёту пассажиров на одной из линий метро Буэнос-Айреса:

‹…› Было установлено точное количество пассажиров, в течение недели ежедневно пользующихся метро. ‹…› Учёт производился с максимальной строгостью у каждого входа и выхода. ‹…› В среду результаты исследований были неожиданными: из вошедших в метро 113 987 человек на поверхность вышли 113 983. Здравый смысл подсказывал, что в расчётах произошла ошибка, поэтому ответственные за проведение операции объехали все места учёта, выискивая возможные упущения. ‹…› Нет необходимости добавлять, что никто не обнаружил мнимой ошибки, из-за которой предполагались (и одновременно исключались) четверо исчезнувших пассажиров.

В четверг всё было в порядке: сто семь тысяч триста двадцать восемь жителей Буэнос-Айреса, как обычно, появились, готовые к временному погружению в подземелье. В пятницу (теперь, после принятых мер, считалось, что учёт ведется безошибочно) число людей, вышедших из метро, превышало на единицу число вошедших[48].

При дальнейшем чтении я, к сожалению, обнаружил, что Кортасар предлагает некое рациональное объяснение изложенного им парадокса; в этом очевидное отличие Кортасара от его старшего соотечественника Борхеса (влияние коего Кортасар, несомненно, испытал): Борхес не стал бы искать рационального оправдания. «К сожалению» сказано потому, что поначалу мне показалось, будто в рассказе выражена глубокая идея о возможности, хотя бы в фантазии, следующего эффекта: при очень большом количестве предметов это количество не меняется при добавлении или убавлении сравнительно небольшого их числа. И хотя, повторяю, я ошибался, когда приписывал Кортасару открытие и опубликование этого воображаемого эффекта, давайте всё же будем называть его для краткости эффектом Кортасара, следуя принципу, установленному нашим выдающимся математиком Владимиром Игоревичем Арнольдом: если какое-либо явление или утверждение носит чьё-либо имя, то это означает, что оно не имеет своим автором носителя этого имени. Предположение, что эффект Кортасара имеет отношение не только к фантазиям, но и к реальности, может показаться бредом, но, как будет показано ниже, скрывающееся за этим названием явление действительно имеет место, если очень большое становится бесконечным.

Бесконечное вообще следует – в понятийном аспекте – трактовать как упрощённое представление о конечном, но очень большом. А бывает ли вообще бесконечное количество предметов? Бывает ли оно в физической реальности, никто не знает. Количество звёзд во Вселенной – конечно оно или бесконечно? Мнения расходятся, и проверить, кто прав, довольно затруднительно. В реальности же идеальной – да, бывает. Например, бесконечен натуральный ряд, т. е. ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, …. Предуведомим для ясности, что в этой главе, вплоть до особого предупреждения, никаких других чисел мы рассматривать не будем, а потому натуральные числа будут именоваться просто числами.

Натуральный ряд представляет собой, пожалуй, наиболее простой пример бесконечной совокупности, или, как говорят математики, бесконечного множества. И уже в нём можно наблюдать некоторые парадоксальные явления: в частности, нарушение древней философемы «Целое больше части». На это обратил внимание Галилей, описавший ситуацию с полной отчётливостью и наглядностью. В 1638 г. вышла его книга «Беседы и математические доказательства…». Изложение в духе того времени выглядело как запись бесед, которые в течение нескольких дней вели между собою вымышленные персонажи. В первый же день была затронута тема бесконечности, в том числе применительно к натуральному ряду. Послушаем, чтó говорят участники беседы.

Сальвиати. ‹…› Мне пришёл в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращённых к синьору Симпличио, указавшему на затруднения. Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.

Симпличио. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на само себя; таким образом, числа четыре, девять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трёх на самих себя.

Сальвиати. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые, числа носят название сторон, или корней; другие числа, не являющиеся произведениями двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь если я скажу, что количество всех чисел вместе – квадратов и неквадратов – больше, нежели одних только квадратов, то такое утверждение будет правильным, не так ли?

Симпличио. Ничего не могу возразить против этого.

Сальвиати. Если я теперь спрошу вас, каково число квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень – свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень – более одного квадрата.

Симпличио. Совершенно верно.

Сальвиати. Но если я спрошу далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что оно равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются все числа. А между тем ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как бόльшая часть их не является квадратами.

«Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?» – в растерянности спрашивает ещё один участник беседы, Сагредо. Возможны два выхода. Первый состоит в том, чтобы отказаться от сравнения бесконечных количеств по их величине и признать, что, рассматривая два таких количества, не следует даже и спрашивать, равны ли они, первое ли больше второго, второе ли больше первого, – и то и другое бесконечно, и этим всё сказано. Такой выход и предлагает Галилей устами Сальвиати. Но возможен и другой выход. Можно предложить общую схему сравнения любых количеств по их величине. В случае конечных количеств эта схема не будет расходиться с привычными для нас представлениями. Для количеств бесконечных она тоже, если вдуматься, не будет им противоречить, хотя бы потому, что каких-либо привычных схем оперирования с бесконечностями у нас нет. Именно этот второй выход и принят в математике. Забегая вперёд, укажем, что если к квадратам добавить сколько угодно неквадратов, то полученная расширенная совокупность чисел будет равна по количеству исходной совокупности квадратов (эффект Кортасара). Можно, в частности, добавить все неквадраты и получить таким образом совокупность всех чисел. Оказывается, количество всех чисел действительно равно количеству квадратов, хотя квадраты составляют только часть чисел. Это явление – равенство по количеству совокупности и её собственной части – для конечных совокупностей невозможно, для совокупностей же бесконечных возможно, и сама эта возможность может служить одним из определений бесконечности.

Только что изложенное свойство бесконечных совокупностей не столь трудно для понимания, как может показаться. И сейчас мы попытаемся его объяснить. Сама логическая конструкция проста, изящна и поучительна. Мы надеемся, что читатель согласится включить её в свой интеллектуальный багаж, причём в качестве носимой с собой ручной клади, а не тяжеловесного предмета, сдаваемого в багажное отделение.

Для начала перестанем избегать принятого в математике термина «множество», как мы делали до сих пор, стыдливо заменяя его синонимом «совокупность».

Первая глава знаменитой книги Хаусдорфа[49] «Теория множеств» (Mengenlehre)[50] открывается такими словами: «Множество возникает путём объединения отдельных предметов (вещей) в одно целое. Оно есть множественность, мыслимая как единство» («Eine Menge entsteht durch Zusammenfassung von Einzeldingen zu einem Ganzen. Eine Menge ist eine Vielheit, als Einheit gedacht»). Далее Хаусдорф замечает, что подобное определение можно по праву назвать определением через самоё себя (idem per idem) или даже определением тёмного через темнейшее (obscurer per obscurium) и что это не столько определение, сколько иллюстрация и указание на первичный характер понятия, которое не сводится ни к чему более простому. «Однако, – пишет он о цитированных нами словах, – мы можем трактовать их просто как указания на некоторый первоначальный, всем свойственный акт мышления, который, быть может, и нельзя, а может быть, и не нужно [курсив мой. – В. У.] разлагать на другие, более простые акты». Дать точное определение всем понятиям невозможно, поскольку одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д., и мы неизбежно приходим либо к порочному кругу, либо к тупику. Поэтому необходимо должны существовать понятия неопределимые, познаваемые непосредственно материальным или ментальным опытом. В математике к числу их принадлежат понятия натурального числа и множества.

Заметим, что здесь, как и в ряде других случаев, математики используют слово естественного (русского, английского и т. п.) языка не в его обыденном значении, привычном для тех, кто в математике не искушён, а в особом, терминологическом. (В современной алгебре, например, термины «кольцо» и «поле» означают математические структуры с определёнными свойствами.) В обычном понимании русское слово «множество» употребляется, когда чего-то много. Математическое же понятие множества не предполагает, что элементов в множестве много. Множество может состоять из одного-единственного элемента и даже быть пустым, вовсе не имеющим элементов. «Зачем же рассматривать такие патологические образования, как пустое множество?» – спросит читатель. И мы ему ответим: «Это удобно». Мы можем, например, говорить о множестве слонов в зоопарке города N, не зная заранее, есть ли в этом зоопарке хотя бы один слон. Какое множество ни возьми, оно включает в себя и пустое множество: так, среди частей множества всех слонов земного шара присутствует не только множество слонов Московского зоопарка, но и множество слонов любого зоопарка, этих животных не имеющего. Во избежание недоразумений заметим, что пустое множество одно: пустое множество слонов и пустое множество мух представляют собою одно и то же множество. (Совершенно так же, как стакан газировки без вишневого сиропа не отличается от стакана газировки без апельсинового сиропа; сравнение понятно старшему поколению, которое ещё помнит, как газированной водой торговали на улицах советских городов.)

Учение о множествах создал великий немецкий математик и философ Георг Кантор в 1874–1897 гг. О Канторе мы ещё расскажем несколькими строками ниже, а пока заметим, что именно ему принадлежит идея обозначить понятие множества словом со смысловым оттенком 'много'. А именно: он предложил обозначить это понятие немецким словом Menge (имеющим значения 'масса', 'множество', 'большое количество', 'куча', 'груда', а также 'толпа', 'рой', 'стая'), которое стало общепринятым в немецкой математической терминологии. К этому слову Кантор пришёл не сразу, вначале он использовал, причём как синонимы, слова Inbegriff (со значениями 'воплощение', 'олицетворение', 'высшее проявление') и Mannigfaltigkeit (со значениями 'разнообразие', 'разносторонность', 'многосторонность', 'множественность'[51]). Наконец он остановился на Menge и в 1895 г. так разъяснил своё понимание этого термина: «Под множеством мы понимаем соединение M определенных и вполне различимых объектов m нашего созерцания или мышления (каковые называются элементами M) в одно целое» («Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen»[52]).

Назвав Кантора выше немцем, мы всего лишь последовали укоренившейся традиции. Не вполне ясно, как его надо называть. Отец Кантора родился в Дании, мать – в России. Сам он также появился на свет на русской земле, а именно 3 марта в Санкт-Петербурге (где на календаре в тот день было 19 февраля); в этом городе он провел первые 11 лет своей жизни, о которых вспоминал с ностальгией. Вот, скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось выше, в главе 2, можно, не испытывая сомнений, назвать французом: он всегда жил во Франции, ей служил и говорил по-французски; трудно представить, чтобы Ферма ощущал себя кем-то иным, нежели французом. Кем ощущал себя Кантор, загадка. Его биографы указывают, что, хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.

Выдающийся российский математик Павел Сергеевич Александров (1896–1982) писал: «Думаю, что во второй половине XIX в. не существовало математика, оказавшего большее влияние на развитие математической науки, чем создатель абстрактной теории множеств Георг Кантор».

Учение о бесконечном далось его автору настолько трудно, что привело его к тяжёлой нервной болезни. В 1884 г. у Кантора начались приступы депрессии, а с 1897 г. он уже не публиковал научных работ. С 1899 г. Кантор становится пациентом неврологических санаториев, а потом и клиник, проводя в них всё больше и больше времени. В одной из таких клиник он и скончался 6 января 1918 г. Любезному читателю это не грозит, поскольку мы ограничимся началами.

Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после её осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не нужно смущаться тем, что в выражении «равенство количеств» слово «количество» уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Совершенно так же образованию понятия 'цвет' предшествует формирование представления об одноцветности, хотя слово «одноцветный» происходит от слова «цвет». Можно сказать, что цвет – это то общее, что есть у всех одноцветных предметов, а количество – это то общее, что есть у всех равноколичественных множеств.

Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, можно вообще не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых владеет стадом коз, а другой – стадом овец. Они хотят обменяться стадами, но при условии, что те равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца – ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств. Аналогично нет нужды пересчитывать людей и стулья, чтобы убедиться в одинаковости их количеств. Надо просто посадить людей на стулья, причём так, чтобы на каждом стуле сидел один человек и чтобы никто не занимал двух или более стульев.

Пример из первобытной жизни и пример со стульями приводят нас к важнейшему понятию эквивалентности множеств. Говорят, что два множества эквивалентны, если можно так сопоставить друг с другом их элементы, что каждый элемент первого множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом второго множества и каждый элемент второго множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом первого множества. Такое сопоставление выявляет взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми множествами. Наши скотоводы как раз и осуществили подобное сопоставление, установив тем самым взаимно однозначное соответствие между своими стадами. А синьор Сальвиати установил взаимно однозначное соответствие между множеством всех квадратов и множеством всех чисел. Это соответствие можно наглядно показать посредством следующей бесконечной таблицы:

Чтобы продемонстрировать эффект Кортасара на простом примере, добавим к множеству квадратов какие-нибудь три числа, квадратами не являющиеся: скажем, 7, 23 и 111. Следующая бесконечная таблица демонстрирует взаимно однозначное соответствие между множеством квадратов и расширенным множеством, состоящим из всех квадратов и трёх указанных неквадратов:

Читатель да благоволит изобразить на листе бумаги любые два отрезка и в качестве несложного упражнения убедиться, что множество точек, расположенных на первом отрезке, и множество точек, расположенных на втором отрезке, являются эквивалентными. Решение будет приведено в конце главы.

Но не окажутся ли вообще все бесконечные множества эквивалентны друг другу? Великое открытие Кантора состояло в том, что он обнаружил неэквивалентные бесконечности. Так, одна из его замечательных теорем гласила, что множество всех точек прямой и множество всех натуральных чисел неэквивалентны. Оказалось, что наиболее знакомые нам бесконечные множества подразделяются на два основных рода, причём множества первого рода эквивалентны друг другу, как и множества второго рода, а множества разных родов друг другу неэквивалентны. Множества первого рода называются счётными, к ним относятся: натуральный ряд, любая бесконечная часть натурального ряда (например, множество всех квадратов), множество всех дробей, множество всех мыслимых комбинаций (как ведущих к выигрышу, так и проигрышных) пластинок из четырёхчленного набора, заявленного в игре из предыдущей главы. Множества второго рода именуются континуальными; таковы множество всех точек прямой, множество всех точек плоскости, множество всех окружностей, множество всех частей натурального ряда. Некоторые бесконечные множества не являются ни счётными, ни континуальными, но в «математическом быту» они почти не встречаются.

Позволим себе теперь рассматривать и другие числа помимо натуральных – те, о которых говорилось в главе 4. Хотя каждое рациональное число может быть записано посредством многих дробей, а более точно – бесконечного их количества, множество рациональных чисел оказывается эквивалентным множеству дробей, т. е. счётным. С другой стороны, как известно из курса средней школы, каждому действительному числу можно поставить в соответствие некоторую точку на прямой, и при этом каждая точка будет сопоставлена ровно с одним числом – своей координатой; таким образом, множество точек прямой и множество действительных чисел эквивалентны, и, следовательно, множество действительных чисел континуально. Как указывалось в предыдущем абзаце, континуальность и счётность не могут сочетаться в одном и том же множестве. Поэтому множество рациональных чисел не может совпасть с множеством всех действительных чисел, а отсюда следует, что существуют такие действительные числа, которые не являются рациональными; их называют иррациональными. Стало быть, сам факт существования иррациональных чисел, без указания какого-либо конкретного иррационального числа, может быть выведен из общих рассуждений.

И ещё об одном виде чисел – так называемых алгебраических числах. Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число 0, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (коэффициент при x², коэффициент при x, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале «от простого к сложному». Математиков долгое время интересовал вопрос, могут ли действительные числа не являться алгебраическими; такие числа называют трансцендентными. Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 г. путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 г. была доказана трансцендентность известного числа e и только в 1882-м – ещё более известного числа π. Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким было установлено существование чисел иррациональных. А именно: в 1874 г. Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.

Понятие эквивалентности служит основой для понятия количества элементов множества. Количество – это то общее, что имеется у всех эквивалентных друг другу множеств. Для каждого класса эквивалентных друг другу множеств это количество своё – одно и то же для всех множеств этого класса. Возьмём, например, множество чудес света, множество дней недели, множество нот гаммы, множество смертных грехов и множество цветов спектра (и радуги), зашифрованных во фразе «Каждый охотник желает знать, где сидит фазан». Все они эквивалентны. Просвещённый читатель добавит к ним множество городов, споривших за честь быть родиной Гомера, и множество земных душ «по», присутствующих, согласно верованиям китайцев, в каждом человеке. И множество столбов того дома мудрости, о котором говорится в Притчах Соломона. И множества печатей, рогов, очей и духов из пятой главы Апокалипсиса. А также множества ангелов и труб из его восьмой главы. И множество ворот древнегреческих Фив, и множество вождей похода аргивян на те же Фивы. И множество римских холмов. И множество тех нянек, у которых дитя без глаза. И множество невест ефрейтора Збруева[53]. И множество пядей во лбу. Если теперь рассмотреть наряду с перечисленными только что множествами и все мыслимые множества, эквивалентные перечисленным, мы обнаружим, что в них присутствует нечто общее. Это общее есть количество элементов в каждом из них. В данном конкретном случае количество называется, как всем известно, семь. А количество элементов, характерное для множества планет Солнечной системы и всех эквивалентных ему множеств, теперь (после разжалования Плутона) называется восемь.

Надеемся, читатель уже пришёл к выводу, что все счётные множества обладают одним и тем же количеством элементов. В частности, количество всех квадратов равно количеству всех натуральных чисел. Количество элементов какого-либо счётного множества (а у всех счётных множеств количество элементов одно и то же!) называется счётной мощностью и обозначается буквой áлеф с нижним индексом ноль (произносится áлеф-ноль) –  Вот и соответствующая цитата из одноимённого рассказа Борхеса (кстати, с довольно отчётливой формулировкой эффекта Кортасара): «В Mengenlehre Алеф – символ трансфинитных множеств, где целое не больше, чем какая-либо из частей».

До сих пор мы применяли к множествам термин эквивалентные, опасаясь испугать читателя обилием новых непривычных слов. В наши дни этот термин – в указанном применении – следует признать устаревшим. И тому есть причины. Термин этот имеет слишком уж большую сферу использования – от логики, где говорят об эквивалентных суждениях, до наркологии, где определяют, какое количество пива эквивалентно такому-то количеству водки. Современная терминология такова: два множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равномощными (иногда всё же уточняют «равномощными, или эквивалентными»). Так мы и будем теперь выражаться, считая того, кто дочитал до сюда, достаточно закалённым. Этот закалённый читатель уже, наверное, понял, что равномощные множества имеют одну и ту же мощность. Мощность (в теории множеств) – это то общее, что имеют между собой все равномощные множества. Мы видим, что слово «мощность» в данном его употреблении является синонимом словосочетания «количество элементов» (но не слова «количество», потому что можно, например, говорить о количестве воды в стакане). Мощность множества называют также его кардинальным числом. Все континуальные множества имеют одну и ту же мощность, называемую континуальной; она обозначается посредством строчной буквы из печатного готического алфавита.

Описанный выше способ, посредством которого существование иррациональных и трансцендентных чисел можно вывести из общих соображений, без предъявления конкретных примеров, мы вправе назвать количественным, ибо он основан на несовпадении количеств – счётного количества, присущего как множеству рациональных, так и множеству алгебраических чисел, и континуального количества, присущего множеству всех действительных чисел.

Теперь о сравнении количеств. Два количества могут быть равны или не равны. Давайте осознаем, чтó это означает. Каждое количество представлено классом всех мыслимых эквивалентных друг другу множеств. Равенство количеств означает совпадение соответствующих классов, а неравенство – их несовпадение. Семь потому не равно восьми, что класс всех множеств, эквивалентных множеству смертных грехов, не совпадает с классом всех множеств, эквивалентных множеству планет. Количество квадратов потому равно количеству натуральных чисел, что класс всех множеств, эквивалентных множеству квадратов, совпадает с классом всех множеств, эквивалентных натуральному ряду. Но хотелось бы иметь право говорить не только о равенстве или неравенстве двух количеств, но и о том, какое из них больше, а какое меньше. (Не запутайтесь: слова «больше» и «меньше» относятся к количествам, а не к представляющим их классам множеств!)

Спросим уже знакомых нам, не умеющих считать первобытных скотоводов, могут ли они определить, в каком из их стад больше элементов (в предположении, что стада различны по численности). Их ответ будет положительным. Если в стаде коз удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству овец, то коз больше. Если же в стаде овец удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству коз, то больше овец. (В математике каждое множество считается частью самого себя, поэтому оговорка о несовпадении существенна.) Однако, как мы видели, такой способ не годится в случае бесконечных множеств. Действительно, в натуральном ряду можно выделить часть, с ним не совпадающую (а именно: множество квадратов), которая эквивалентна множеству квадратов; тем не менее натуральный ряд и множество квадратов, как мы видели, эквивалентны. Что же делать? Надо придумать такой критерий, который применим к любым множествам. Гениальное решение, найденное Кантором, состоит в следующем: к предложенной нашими скотоводами формулировке надо всего лишь добавить некую клаузулу, излишнюю (хотя и ничему не мешающую) в конечном случае, но необходимую в случае бесконечном. Клаузула состоит в требовании неэквивалентности сравниваемых множеств. Полная формулировка того, что количество элементов первого множества больше количества элементов второго множества, такова: множества неэквивалентны, но в первом множестве имеется часть, эквивалентная второму множеству.

Вот теперь мы можем сказать, что континуальная мощность больше счётной. В самом деле, эти мощности различны, но в континуальном множестве действительных чисел можно выделить счётную часть, например натуральный ряд. Счётную часть можно выделить в любом бесконечном множестве, поэтому счётная мощность – наименьшая из всех бесконечных мощностей. Одна из замечательных теорем Кантора утверждает, что количество всевозможных частей какого-либо множества всегда больше, чем количество элементов в самом этом множестве. (Читатель легко проверит этот факт для конечных множеств; надо только не забыть учесть пустую часть и часть, совпадающую со всем множеством.) В частности, количество всех частей натурального ряда больше счётного количества натуральных чисел, оно несчётно. А количество всех частей прямой линии больше континуального количества точек на ней.

Противопоставление счётных и несчётных бесконечных множеств приводит к глубокому философскому последствию, лежащему на стыке семиотики и гносеологии. А именно: оказывается, что мыслимы сущности, которые нельзя назвать. Постараемся изложить ситуацию как можно более ясно. Когда мы что-то называем, мы снабжаем это что-то индивидуальным (присущим только ему, и ничему другому) именем. Всякое же имя есть конечная цепочка знаков из некоторого выбранного для данной системы имён конечного списка знаков. Любой конечный список знаков математики называют алфавитом, составляющие его знаки – буквами, а всякую конечную цепочку букв – словом в данном алфавите. [В отличие от слов естественных языков, в математическом языке слово может быть совершенно непроизносимым, как, например, имена альдебаранцев в рассказе Лема «Вторжение с Альдебарана» – Нгтркс и Пвгдрк. Возможно, скажем, и такое слово:))) =hgйъh=+ (.] Нетрудно убедиться, что, какой алфавит ни возьми, множество всех слов, основанных на этом алфавите, будет счётным. А значит, никак не больше счётной окажется любая система имён, созданная на основе этого алфавита; эта система может быть лишь конечной, или счётной. И если мы имеем дело с несчётным множеством объектов, то в этом множестве непременно встретятся объекты – и даже очень много таких объектов, – для которых в рассматриваемой системе имён не найдётся никакого имени. В частности, какую систему именований ни придумай, всегда окажется, что существуют не имеющие имени части натурального ряда, не имеющие имени точки прямой, не имеющие имени действительные числа.

Только что приведённые соображения можно использовать для доказательства счётности множества алгебраических чисел и, следовательно, для доказательства существования трансцендентных чисел. Известно, что для всякого алгебраического уравнения множество его действительных корней, т. е. таких действительных чисел, которые служат корнями этого уравнения, всегда конечно (оно может быть, в частности, и пустым). Расположим это множество в порядке возрастания, тогда каждый корень получит свой порядковый номер в этом расположении. Именем данного алгебраического числа объявим запись, состоящую из записи любого алгебраического уравнения, корнем которого данное число является (таких уравнений всегда много!), и записи порядкового номера этого корня среди всех корней этого уравнения. Общее количество всех введённых таким способом имён счётно. Отсюда легко выводятся два факта. Во-первых, оказывается счётным количество чисел, получивших имя, – а это как раз и есть алгебраические числа. Во-вторых, многие действительные числа не получат никакого имени – это и будут трансцендентные числа.

Возникает естественный вопрос, а бывают ли мощности, промежуточные между мощностями счётной и континуальной. Иначе говоря, вопрос состоит в том, какое из двух альтернативных утверждений справедливо:

(1) по количеству элементов континуум действительных чисел идёт сразу вслед за натуральным рядом

или же

(2) в указанном континууме можно выделить промежуточное множество, т. е. такую бесконечную часть, которая не равномощна ни всему континууму, ни натуральному ряду.

Гипотезу, предполагающую, что справедливо первое из этих утверждений, называют гипотезой континуума, или континуум-гипотезой, а требование доказать или опровергнуть эту гипотезу – проблемой континуума. В 1877 г. Кантор объявил, что континуум-гипотеза представляет собою математическую истину, и с 1879 г. начал отдельными частями публиковать трактат, имеющий целью эту истину доказать. Шестая часть была завершена 15 ноября 1883 г. Она содержала доказательство того факта, что промежуточное множество заведомо отсутствует в определённом классе множеств (а именно в классе замкнутых множеств), а также обещание в последующих статьях доказать, что такого множества вообще не существует, т. е. доказать гипотезу в её полном объёме. Однако обещанных статей не последовало. Кантор осознал, что не может доказать континуум-гипотезу, и в мае 1884 г. у него случился первый приступ нервной болезни. В середине XX в. было установлено, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Здесь мы остановимся из страха повторить судьбу Кантора.

На языке лингвистики то, чем мы занимались в этой главе, есть семантика количественных числительных. При этом выяснилось, что привычный бесконечный ряд «конечных» числительных: один, два, три, …, сорок восемь, …, две тысячи семь, … – может быть дополнен «бесконечным» числительным алеф-ноль –

Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя) количественного числа (оно же кардинальное число, оно же мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя) порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их – в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) – римскими цифрами. Порядковое число – это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы текст), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям – ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения знакомы не только мне.

Итак, раннее детство. Я размышляю о том, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль: раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, значит, я плохой. Но тогда я хороший и т. д. Какая замечательная бесконечная лестница мною выстроена, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами «первая», «вторая», «третья» и т. д. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I («Я плохой»), II («Я хороший, потому что осознал, что плохой»), III («Я плохой, потому что себя похвалил») и т. д. С лестницей же в целом («Я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу») соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число ω (омега). Далее следуют ω + I («Я плохой, потому что себя похвалил»), ω + II, ω + III и т. д. А потом за ними всеми ω + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить этот ряд и далее. Начиная с ω идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат «омега», «омега плюс один», «омега плюс два», «омега плюс три» и т. д. По смыслу они представляют собою порядковые числительные и потому должны были бы быть на них похожи по форме. Следовало бы говорить поэтому «омеговый», «омега-плюс-первый» и т. д.; но так почему-то не говорят.

Читатель, желающий проверить, понял ли он, что такое бесконечные порядковые числа (удалось ли автору это внятно изложить), благоволит выполнить следующее упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 8, числа 3, всех чисел 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т. д. и всех чисел 2, 2 1/2, 2 2/3, 2 3/4, 2 4/5 и т. д. Пронумеруйте элементы этого множества в порядке их возрастания порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим, элементом является здесь 0, и он получит номер I, элемент 1/2 получит номер II, элемент 2/3 – номер III и т. д.; далее элемент 2 получит номер ω, элемент 2 1/2 – номер ω + I, элемент 2 2/3 – номер ω + II и т. д.; наконец, элемент 3 получит номер ω + ω и элемент 8 – номер ω + ω + I.

Решение задачи об эквивалентности множеств точек, расположенных на двух отрезках.

Обозначаем концы отрезков буквами A, B, C, D, как указано на рисунке. Проводим прямые через A и C и через B и D до пересечения в точке F. (Предоставляем читателю самостоятельно разобраться в случае, когда прямые оказались непересекающимися.) Из F проводим лучи, пересекающие оба отрезка. Точки наших отрезков, лежащие на одном и том же луче (на рисунке они помечены крестиками и кружкáми), объявляем соответствующими друг другу. Возникает взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми множествами.

Глава 8

Параллельные прямые в мифологии, реальности и математике

Общественное сознание отчасти мифологично, и это давно не новость. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не «понятно массам», а «понято массами», а Пушкин (в письме к жене) писал не «с умом», а «с душою». Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна, ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф – формула «Клянусь говорить правду, только правду и ничего, кроме правды», якобы применяемая в американском судопроизводстве (и довольно странная, поскольку обороты «только правду» и «ничего, кроме правды» имеют один и тот же смысл). На самом деле в Америке говорят по-другому: «Клянусь говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, и да поможет мне Бог» («I swear to tell the truth, the whole truth, and nothing but the truth, so help me God»).

Математики могут чувствовать себя польщёнными тем, что среди деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, есть и такие, которые относятся к их дисциплине. Например, большинство людей убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяют через другие понятия, а каждое утверждение доказывают, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: «Портной учился у другого, другой у третьего, да первоет[54] портной у кого же учился?» Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: «Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников». Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть сколько угодно сторон, в правильном же многограннике количество граней может выражаться лишь одним из следующих пяти чисел: 4 (у тетраэдра), 6 (у куба, он же гексаэдр), 8 (у октаэдра), 12 (у додекаэдра) или 20 (у икосаэдра), так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.

Самое же замечательное – это то, как преломляется в мифологическом сознании учение о параллельных прямых.

Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали про аксиому о параллельных прямых, ведь её проходят в школе. Никто из так называемых людей с улицы, которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных бытует в массовом сознании.

Получив указанный выше ответ, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула «и лежат в одной плоскости» не будет произнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают: тут что-то не так, ибо не может же аксиома заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт этого сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее, что аксиома о непересекаемости непересекающихся прямых имеет право на существование. С представителями этого меньшинства договориться трудно: разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. «А как насчёт такой аксиомы: всякий зелёный предмет является зелёным?» – спрашивал я. «Аксиома как аксиома, – отвечали мне представители меньшинства. – Вот если б вы сказали, что всякий зелёный предмет является красным, тогда другое дело».)

Замечательно, что ложная формулировка аксиомы о параллельных (параллельные прямые не пересекаются) получила интернациональное распространение. В этом несколько неожиданном обстоятельстве автор убедился следующим образом. В марте 2006 г. на симпозиуме в Пекине, посвящённом проблемам математического образования, я рассказал о своих наблюдениях относительно аксиомы о параллельных – наблюдениях, сделанных на русскоязычном материале. Среди присутствовавших был американский профессор математики Веллеман (Daniel J. Velleman) из довольно известного Амхерст-колледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс. В тот же день он спросил свою жену Шелли (Shelley L. Velleman), бакалавра и магистра нескольких гуманитарных наук, приехавшую вместе с ним в Пекин, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: «В том, что параллельные прямые не пересекаются». Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа. Итак, хотя бы в этой детали русская и американская мифологические картины мира оказались одинаковы.

Но сюжет с параллельными прямыми на этом не заканчивается. Респондента, осознавшего абсурдность его ответа, можно спросить, в чём же всё-таки состоит аксиома о параллельных. На этом этапе вы, скорее всего, получите такой ответ: «Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести прямую, параллельную этой заданной прямой». Это уже значительно лучше, потому что такой ответ всего лишь неверен, но уже не абсурден. Неверен же ответ потому, что представляет собою не аксиому, а теорему. (Теорема эта доказывается чрезвычайно просто: надо сперва из точки опустить перпендикуляр на заданную прямую, а затем из той же точки восставить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру; тогда заданная прямая и восставленный перпендикуляр будут перпендикулярны к одной и той же прямой, а именно к опущенному перпендикуляру, и потому параллельны.) Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой. (Проницательный читатель усмотрит здесь аналогию с восемью из первых десяти поправок к американской конституции, известных в своей совокупности под названием «Билль о правах». В этих восьми поправках свободы формулируются в терминах запретов: «конгресс не должен…» – в первой поправке, «ни один солдат не должен…» – в третьей поправке и т. п.) Причина искаженного восприятия аксиомы о параллельных, на наш взгляд, заключается в следующем. В средней школе для простоты обычно вдалбливают формулировку «можно провести одну и только одну прямую», не заостряя внимания на том, что оборот «можно провести» выражает здесь теорему, а «можно провести одну и только одну» – аксиому. В результате в сознании остаётся более простая идея о возможности, а более сложная (и более глубокая) идея о единственности теряется.

Учение о параллельных – основа геометрии Лобачевского. Чем эта геометрия отличается от обычной, евклидовой, будет сказано несколькими абзацами ниже. А пока констатируем, что Лобачевский, возможно, единственный российский математик, присутствующий в общественном сознании (а если брать всех математиков, а не только российских, то, скорее всего, один из двух; другой – Пифагор). Его место закреплено в поэзии: «Пусть Лобачевского кривые / Украсят города / Дугою…», «И пусть пространство Лобачевского / Летит с знамён ночного Невского», – призывает Хлебников в поэме «Ладомир». Бродский в стихотворении «Конец прекрасной эпохи» не призывает, но констатирует:

Жить в эпоху свершений, имея возвышенный нрав,

к сожалению, трудно. Красавице платье задрав,

видишь то, что искал, а не новые дивные дивы.

И не то чтобы здесь Лобачевского твёрдо блюдут,

но раздвинутый мир должен где-то сужаться, и тут –

тут конец перспективы.

Если спросить «человека с улицы», в чём состоит вклад Лобачевского в науку, в подавляющем большинстве случаев ответ будет таким: «Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются» (в более редком и изысканном варианте: «Лобачевский открыл, что параллельные прямые могут и пересечься»). Тогда надо немедленно задать второй вопрос: «А что такое параллельные прямые?» – и получить ответ «Параллельные – это такие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются». После чего можно пытаться (с успехом или без оного) убедить собеседника в несовместимости двух его ответов. Намёк на схождение параллельных в точку содержится уже в приведённой цитате из Бродского о сужении мира до финального «конца перспективы». Более раннее свидетельство встречаем в романе В. А. Каверина «Скандалист, или Вечера на Васильевском острове»[55]. Открываем изданный в 1963 г. первый том шеститомного собрания сочинений на с. 447–448. Герой романа Нагин[56] просматривает читанную ранее «книгу по логике», и вот «он внезапно наткнулся на вопросительный знак, который был поставлен на полях книги его рукою. Одна страница осталась непонятой при первом чтении курса. Вопросительный знак стоял над теорией Лобачевского о скрещении параллельных линий в пространстве». Нагин собирается писать рассказ на эту тему: «Он кусал себе ногти. "Параллели, параллели", – написал он здесь и там на листе…" Нужно заставить их встретиться", – начертал он крупно…» Наконец, прямое указание находим в фольклоре (а ведь буквальное значение слова folklore – народная мудрость):

Однажды Лобачевский думал, кутаясь в пальто:

Как мир прямолинеен, видно, что-то здесь не то!

И он вгляделся пристальней в безоблачную высь,

И там все параллельные его пересеклись[57].

Имеются и более современные свидетельства. Примером может служить диалог из книги Александра Гольдштейна «Спокойные поля», выпущенной издательским домом «НЛО» в 2006 г. Приводимая ниже цитата из этой книги взята из интернета с двух сайтов: сайта журнала «Зеркало» за 2005 г. (http://magazines.russ.ru/zerkalo/2005/25/go1-pr.html) и сайта журнала «Критическая масса» за тот же 2005 г. (http://magazines.russ.ru/km/2005/2/alg5-pr.html): «"Крайности сходятся", – буркнул я. "Сомневаюсь, – сказал Торговецкий, – это не лобачевские параллели"».

Некогда каждое утро по будням, между 9 и 11 часами, на «Эхе Москвы» шла интерактивная программа «Разворот». Пятнадцатого февраля 2006 г. в рамках этой программы слушателям предлагалось выразить своё отношение к идее провести в Москве парад геев. Ведущий Алексей Венедиктов, беседуя с очередным слушателем, призывал его к толерантности и к признанию права каждого иметь собственную точку зрения. Происходил такой диалог (я записал его тогда со слуха):

Венедиктов. Вот вы скажите, параллельные прямые пересекаются?

Слушатель. Нет.

Венедиктов. А вот у Лобачевского пересекаются, там другая система отсчёта.

В следующем, 2007 г., на «Эхе Москвы» та же точка зрения была высказана ещё раз, теперь уже в рамках программы «Особое мнение», с каковым мнением 18 октября выступил Леонид Радзиховский. Он сказал: «Вот когда Лобачевский придумал свою неевклидову геометрию, что две параллельные прямые могут пересечься, – это был действительно переворот в области геометрии и физики»[58].

Правда, как известно, у каждого своя, но истина одна. Истина состоит в том, что параллельные друг другу прямые не пересекаются даже у Лобачевского.

Природа мифологического представления об открытии Лобачевского понятна: все знают, что в его геометрии происходит что-то необычное с параллельными прямыми; а что может быть необычнее их пересечения?! Поражает всё же степень распространённости этого представления. Впрочем, апологет математики вправе испытать и чувство законного удовлетворения: хоть какие-то серьёзные математические представления, пусть даже ложные, в массовом сознании присутствуют!

Не в интересах правды, а в интересах истины сообщим, что же происходит в геометрии Лобачевского. Отличие геометрии Лобачевского от привычной, известной со школы евклидовой геометрии в следующем. В евклидовой геометрии через точку проходит только одна прямая, параллельная заранее указанной прямой, а в геометрии Лобачевского – много таких прямых. В аксиоме о параллельных, сформулированной выше, надо заменить слово «нельзя» на слово «можно», и аксиома о параллельных в версии Евклида превратится в аксиому о параллельных в версии Лобачевского: через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.

Особое положение аксиомы о параллельных вызвано тем, что она не столь очевидна, как другие аксиомы геометрии. Возьмём, например, аксиому о том, что через две любые различные точки проходит одна и только одна прямая. Её можно проверить экспериментально. Надо выбрать плоский участок, вбить два колышка и туго натянуть между ними нить – вот вам наглядное подтверждение существования прямой, проходящей через две точки. Если же мы возьмём другую натянутую нить, соединяющую те же колышки, то обе нити сольются в одну линию – на глаз, конечно, но вся наша проверка и производится «на глаз»; так подтверждается единственность прямой. А вот убедиться столь же просто, что проходящая через точку параллельная всегда только одна, невозможно. Представим себе, что мы провели параллельную и, кроме того, через ту же точку какую-то другую прямую под очень маленьким углом к этой параллельной. По евклидовой аксиоме эта другая прямая обязана пересечь ту исходную прямую, к которой и была проведена наша параллельная. Но где она, точка пересечения? Она ведь может оказаться не только вне выбранного участка, доступного нашему обозрению, но и астрономически далеко, вне нашей Галактики. И может не найтись иного способа убедиться в том, что такая точка существует, как просто поверить в евклидову аксиому о параллельных. Но такой, основанный на чистой вере, способ подтверждения того факта (а лучше сказать того предположения, той гипотезы), что аксиома о параллельных выполняется в реальном физическом пространстве, был не по душе математикам.

Поэтому в течение долгого времени предпринимались попытки доказать содержащееся в аксиоме о параллельных утверждение и тем самым как бы понизить её статус, переведя её из аксиом в теоремы. До нас дошли сведения о таких попытках, относящихся ко II в. н. э. Желание доказать аксиому о параллельных подогревалось, помимо всего прочего, громоздкостью её первоначальной формулировки, которая содержится в составленных в III в. до н. э. «Началах» Евклида. В «Началах» она значилась по одним манускриптам 11-й аксиомой, а по другим – 5-м постулатом. В качестве 5-го постулата она так изложена в последнем, наиболее авторитетном русском издании «Начал» 1948 г.:

И если прямая, падающая на [пересекающая] две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где [в сумме] углы меньше двух прямых [углов].

Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности. Список всех пяти постулатов Евклида приведен в настоящем сборнике в § 2. Аксиомы Евклида. При взгляде на этот список бросаются в глаза отличия 5-го постулата от других. Во-первых, его не так легко понять при беглом чтении. А во-вторых, когда понимание наконец приходит, обнаруживается, что истинность этого постулата не столь очевидна, как других. Была ещё одна причина, побуждавшая доказывать 5-й постулат: выяснилось, что 4-й постулат, провозглашающий равенство всех прямых углов, можно доказать, а значит, изъять его из списка постулатов.

Однако все попытки доказать 5-й постулат неуклонно проваливались. Нельзя сказать, что эти попытки были бесполезны, они способствовали развитию геометрии. Более того, тот общепринятый ныне «школьный» вариант аксиомы о параллельных, который мы привели выше (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой прямой), принадлежит античному философу и математику V в. Проклу Диадоху, руководителю Платоновой Академии. Прокл пришёл к этой современной формулировке, комментируя Евклида и пытаясь доказать 5-й постулат. Формулировка Прокла равносильна 5-му постулату (он же 11-я аксиома) Евклида.

Вообще, в каждое рассуждение, объявляемое доказательством аксиомы о параллельных, незаметно вкрадывалось какое-нибудь геометрическое утверждение, не вызывающее, казалось бы, никаких сомнений, но на самом деле равносильное этой аксиоме. Например, в «доказательстве» знаменитого французского математика XVIII–XIX вв. Лежандра использовалось такое вроде бы невинное предложение: через любую точку внутри угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла. Оказалось, что это предложение равносильно аксиоме о параллельных: мало того, что оно опирается на эту аксиому, её можно из этого предложения вывести.

Известно много других равносильных формулировок аксиомы о параллельных. Многие из них выглядят совершенно очевидными – гораздо более очевидными, чем те, что были предложены Евклидом и Проклом. Вот некоторые из них.

1. Существует хотя бы один прямоугольник, т. е. такой четырёхугольник, у которого все углы прямые.

2. Существуют подобные, но не равные[59] треугольники.

3. Любую фигуру можно пропорционально увеличить.

4. Существует треугольник сколь угодно большой площади.

5. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую – сближаются.

6. Сумма углов одинакова у всех треугольников.

7. Существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.

8. Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу.

9. Существуют параллельные прямые, при этом всякая прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

10. Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.

11. Справедлива теорема Пифагора.

12. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.

13. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться.

Последние две формулировки принадлежат знаменитому персидскому математику и философу XI–XII вв. Омару Хайяму, в России более известному в качестве поэта.

С большим трудом в сознание математиков проникало убеждение, что, скорее всего, утверждение, сформулированное в аксиоме о параллельных, вообще нельзя доказать. Осознать это было трудно ещё и потому, что вплоть до самого конца XIX в. какой-либо чёткой системы аксиом геометрии вообще не существовало. Для аксиомы о параллельных решающим оказалось третье десятилетие XIX в. В этот период два великих геометра – российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) и венгерский математик Янош Бóйаи[60] (Bolyai János, 1802–1860) – совершенно независимо друг от друга построили геометрическую теорию, основанную на отрицании аксиомы о параллельных. Эту теорию за рубежом, как правило, называют геометрией Лобачевского – Бойаи (по-английски Bolyai – Lobachevskian geometry), а в России – геометрией Лобачевского (предполагаю, что в Венгрии она называется геометрией Бойаи). У неё есть и «обезличенное» название – гиперболическая геометрия.

Надо сказать, что гениальность Лобачевского и Бойаи была признана только после их смерти, после признания созданной ими неевклидовой геометрии, отрицающей ту общепринятую евклидову аксиому о параллельных, которая была сформулирована выше. Свершившись, это признание произвело переворот не только в математике, но и в философии. Во-первых, была признана возможность развития гиперболической геометрии в качестве теории столь же содержательной и непротиворечивой, как и геометрия Евклида; и это развитие уже произошло. Во-вторых, признали теоретическую возможность того, что гиперболическая геометрия реализуется в окружающем нас физическом пространстве.

Первые публикации по гиперболической геометрии принадлежат её авторам: в 1829–1830 гг. обнародовал результаты своих изысканий Лобачевский, в 1832 г. – Бойаи. Их предшественником можно считать упомянутого в главе 1 немецкого юриста Швейкарта, который пришёл к идее неевклидовой геометрии в 1818 г., а также, может быть, его племянника Тауринуса[61]. В начале 1819 г. принадлежащее Швейкарту описание новой «астральной» (звёздной) геометрии, уместившееся на одной странице, было переслано Гауссу одним из учеников последнего (кстати, астрономом). Гаусс ответил: «Почти всё списано с моей души». Дело в том, что «король математиков», великий Гаусс, о котором уже заходила речь в главе 5, пришёл к неевклидовой геометрии ещё раньше. В письме к Тауринусу от 8 ноября 1824 г. Гаусс называл эту геометрию странной и сообщал: «Я настолько разработал [её], к моему полному удовлетворению, что могу решить в ней любую проблему». Однако Гаусс ничего на эту тему не публиковал, справедливо полагая, что научная общественность ещё не готова воспринять столь смелые мысли. Работы Гаусса по неевклидовой геометрии стали известны лишь после посмертной публикации его архива. Вот какое признание он сделал в 1829 г. в частном письме: «Вероятно, я ещё не скоро смогу обработать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, я не решусь на это во всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев, который поднимется, если я выскажу свои воззрения целиком». А упомянутого ученика-астронома, намеревающегося публично допустить ложность евклидовой аксиомы о параллельных, Гаусс в 1818 г. предостерегает: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых вы потревожите, полетят вам на голову».

Обоснованность опасений Гаусса вскоре была подтверждена реакцией современников на сочинения Лобачевского. Что касается единственной публикации Бойаи, то она, кажется, не привлекла особого внимании и оставила современников равнодушными, исключая Гаусса. Он высоко оценил заслуги обоих коллег. Получив в 1832 г. от знакомого ему по Гёттингену Фаркаша Бойаи работу его сына Яноша, он написал отцу автора: «Все содержание работы, путь, по которому твой сын пошёл, и результаты, к которым он пришёл, почти сплошь совпадают с моими, которые я частично получил уже 30–35 лет тому назад. Я действительно этим крайне поражён. Я имел намерение о своей собственной работе, кое-что из которой я теперь перенес на бумагу, при жизни ничего не публиковать… Я хотел… чтобы эти мысли по крайней мере не погибли со мной. Я поэтому чрезвычайно поражён случившимся – оно освобождает меня от этой необходимости; и меня радует, что именно сын моего старого друга таким удивительным образом меня предвосхитил». А вот что сообщал Гаусс в письме к другому своему корреспонденту: «Я нашёл все мои собственные идеи и результаты, развитые с большим изяществом, хотя вследствие сжатости изложения в форме труднодоступной тому, кому чужда эта область… я считаю, что этот юный геометр Бойаи – гений первой величины».

Первое знакомство Гаусса с трудами Лобачевского состоялось в 1841 г., на следующий год после того, как в Берлине вышла небольшая (всего 61 с.) книжка Лобачевского Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (её первый русский перевод, опубликованный под названием «Геометрические изыскания о теории параллельных линий», появился лишь в 1868 г. в российском математическом журнале[62]). В 1842 г. Гаусс предложил избрать Лобачевского как «одного из превосходнейших математиков Российского государства» в члены-корреспонденты Гёттингенского научного общества и лично известил его об избрании. Однако ни в этом письме, ни в представлении Гаусса, ни в выданном Лобачевскому дипломе не говорилось ни слова о том, чтó послужило поводом для лестного отличия. Янош же Бойаи и вовсе не получил от Гаусса никакой поддержки.

Открытие неевклидовой геометрии не принесло прижизненной славы двум смельчакам, решившимся обнародовать своё открытие. Их исследования были выше понимания современников. И если для Лобачевского, который стал жертвой глумления, его открытие обернулось драмой, то Бойаи оно привело к трагедии – расстройству психики.

Труды Лобачевского не просто не были признаны современниками, но подверглись прямому поношению. Упомянутая выше первая публикация Лобачевского 1829–1830 гг. называлась «О началах геометрии» и была напечатана в виде пяти статей в журнале «Казанский вестник, издаваемый при Императорском Казанском университете», в частях XXV, XXVII, XXVIII. К заглавию публикации была сделана примечательная ссылка:

Извлечено самим Сочинителем из рассуждения под названием: «Exposition des principles de la Géometrie etc.», читанного им в заседании Отделения физико-математических наук 11 февраля 1826 года.

В 1832 г. совет Казанского университета представил эту работу в Академию наук. Академик Остроградский написал в своём отзыве: «Всё, что я понял в геометрии г-на Лобачевского, ниже посредственного. ‹…› Книга г-на ректора[63] Лобачевского опорочена ошибкой… она небрежно изложена и… следовательно, она не заслуживает внимания Академии». Михаил Васильевич Остроградский был математик хотя и несколько приземлённый, но знаменитый (и даже заслуженно знаменитый), и его мнение пользовалось высоким авторитетом. Провинциала же Лобачевского в столицах никто не знал. К отзыву Остроградского прислушались. И в 1834 г. в журнале Ф. В. Булгарина «Сын отечества» появился издевательский пасквиль, подписанный двумя буквами «С. С». Вот цитата из него:

Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не учёность, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего.

Слава «Коперника геометрии» пришла к Лобачевскому посмертно, накануне столетнего юбилея. Уважение вызывает его преданность научной истине, бесстрашие в её отстаивании и стойкость в перенесении невзгод.

В июне 1981 г. я посетил могилу Лобачевского на церковной аллее Арского кладбища в Казани и обнаружил её в довольно запущенном состоянии. Поставленный в своё время крест был похищен или разрушен, от него сохранился только постамент, и на нём стоял стандартный дешёвый крест из металлических труб и прутьев, такие кресты и ныне можно видеть на наших кладбищах.

Лесков в «Левше» описал судьбу русского гения. Именно усилиями Лобачевского Казанский университет стал одним из лучших учебных заведений России. Двадцатого ноября 1845 г. Лобачевский был в шестой раз утверждён в должности ректора на новое четырёхлетие. Тем не менее летом 1846 г. Лобачевского уволили с должности ректора, а весной 1847 г. – с должности профессора. Он тяжело переживал этот страшный удар. Формально Лобачевский получил даже повышение – был назначен помощником попечителя учебного округа, однако жалованья ему не назначили. Наступили годы увядания. Вскоре Лобачевский разорён, имение его жены продаётся за долги. В 1852 г. умирает старший сын Лобачевского. Здоровье его самого подорвано, он сильно одряхлел, стал слепнуть и к концу жизни ослеп совершенно. Но и лишённый зрения, Лобачевский не переставал приходить на экзамены, на собрания и учёные диспуты и не прекращал заниматься наукой. За год до смерти он закончил свой последний труд «Пангеометрия», диктуя его ученикам. Разбитый жизнью и больной, он умер в феврале 1856 г., не дожив совсем немного до признания его теории.

Толчок к признанию дала публикация дневников и писем Гаусса, последовавшая за его кончиной в 1855 г. Рассыпанные в них восторженные отзывы о Лобачевском всколыхнули математический мир. О Лобачевском заговорили, стали искать его работы. В Казань из университетов Европы полетели просьбы прислать его сочинения. Потребовалось срочное переиздание всех его геометрических трудов, а позже из журналов были извлечены статьи Лобачевского и по другим математическим темам. «Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский – оба славяне по происхождению. Каждый из них произвёл революцию в научных идеях. Величие каждой из этих революций настолько огромно, что оно может быть сравнено лишь с величием другой. Причина чрезвычайной важности этих революций заключается в том, что они изменили наше понимание космоса», – писал знаменитый английский геометр и философ Уильям Клиффорд[64].

Что касается Бойаи, то открытие им неевклидовой геометрии привело его к повреждению в психике. Судя по всему, он был довольно амбициозен. Янош с детства был весьма одарён и рос вундеркиндом. В 13 лет он овладел дифференциальным и интегральным исчислением и аналитической механикой. Он играл на скрипке и говорил на девяти иностранных языках, в том числе на китайском и на тибетском. Окончив в 1822 г. обучение в венской Инженерной академии (пройдя за четыре года семилетний курс), он в сентябре 1823 г. поступил в инженерные войска; на военной службе пробыл 11 лет и имел славу лучшего фехтовальщика и танцора во всей австро-венгерской армии. При этом он никогда не курил и не пил ничего крепкого, даже кофе. Ни одного достоверного портрета Яноша Бойаи до нас не дошло.

Создавать неевклидову геометрию Бойаи начал в 17 лет, а 3 ноября 1823 г. написал отцу, что открыл удивительные вещи, сотворил другой, новый мир. Но лишь в 1832 г. результаты исследований Бойаи были опубликованы – как тогда было принято, на латыни. Полное название единственного (!) опубликованного сочинения Бойаи таково: «Appendix. Scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica» [ «Приложение. Содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности и ложности XI аксиомы Евклида[65] (что априори никогда решено быть не может); с прибавлением к случаю ложности геометрической квадратуры круга»]. «Математический энциклопедический словарь» (М., 1988, с. 669) отмечает, что изложение «отличается крайней сложностью и схематичностью, но по продуманности каждого слова и обозначения принадлежит к числу наиболее совершенных произведений математической литературы». Указанные сложность и схематичность, а также чрезвычайная сжатость (изложение занимало 24 с.) явно не способствовали популяризации идей Бойаи: надо было быть Гауссом, чтобы их понять. Кроме того, трактат не вышел отдельным изданием, а был опубликован в качестве приложения к книге Бойаи-старшего (отсюда и общепринятое краткое название – Appendix, т. е. «Приложение»). Не получив публичной поддержки Гаусса да ещё и узнав о его заявлении, что сообщённое ему открытие он сделал раньше, младший Бойаи впал в полное отчаяние. Он заподозрил Гаусса в попытке украсть его результаты и присвоить приоритет. Но сильнейший удар ждал его впереди. В 1848 г. Бойаи ознакомился с упомянутым выше сочинением Лобачевского Geometrische Untersuchungen, из первых же строк которого явствовало, что русский математик обнародовал неевклидову теорию раньше, в 1829 г. Это доконало Яноша. Он даже заподозрил, что Лобачевский – вымышленное лицо, выдумка хитроумного интригана Гаусса. Это уже был явный симптом психического нездоровья, на которое сдержанно намекает «Математический энциклопедический словарь»: «Открытия Бойаи при жизни признания не получили, что отразилось на его психике».

В геометрии Лобачевского – Бойаи много непривычного для нас, воспитанных на учении Евклида. Например, сумма углов своя у каждого треугольника, и притом она всегда меньше 180°. Достаточно взглянуть на утверждение, использованное Лежандром, и другие приведённые выше равносильные формулировки аксиомы о параллельных, чтобы осознать: ни одно из них не имеет места в гиперболической геометрии (хотя все другие аксиомы евклидовой геометрии выполняются). Вот какое суждение высказал Гаусс в упомянутом письме Тауринусу от 8 ноября 1824 г.:

Предположение, что сумма углов треугольника меньше чем 180°, приводит к странной геометрии, совершенно отличной от нашей, но совершенно непротиворечивой. ‹…› Три угла треугольника становятся сколь угодно малыми, если только стороны взять достаточно большими, хотя площадь треугольника никогда не может превзойти и даже достигнуть некоторого предела, сколько бы большими ни были стороны.

Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё-таки истинна – Евклида или Лобачевского. Тот раздел труда Лобачевского «О началах геометрии», который был опубликован в 1830 г. в части XVIII «Казанского вестника» (с. 251–283), начинается такими словами, в которых мы изменили лишь орфографию и пунктуацию:

Изложенная нами теория параллельных предполагает линии с углами в такой зависимости, которая, как после увидим, находится или нет в природе, доказать никто не в состоянии. По крайней мере наблюдения астрономические убеждают в том, что все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы, что в сравнении с линиею, принятою в данной теории за единицу, употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть справедливы.

Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам философским. Прежде всего надо понять, что значит «истинна». Казалось бы, ясно: истинна – значит соответствует реальному положению вещей. Как там, в реальном мире, одна параллельная прямая или много? А никак, потому что в реальном мире вообще нет прямых, как нет и других объектов геометрии. Геометрических шаров, например, в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару; при этом арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч – в меньшей степени, чем бильярдный шар или шарик подшипника. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке либо на бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком, – все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, т. е. то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Да и отрезков в точном геометрическом смысле в природе не существует: самая тонкая нить имеет толщину, самая гладкая поверхность лишь приближается к идеально ровной, а под электронным микроскопом выглядит как рябь. Луч света и тот искривляется в реальном пространстве. Для формирования же представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно – требуется ещё и воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, отрезки, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, населённый этими идеальными геометрическими объектами, всего лишь похожий на мир реальный (по терминологии некоторых философских школ, являющийся отражением реального мира).

«Поверхности, линии, точки, как их определяет Геометрия, существуют только в нашем воображении», – писал в 1835 г. Лобачевский во вступлении к своему сочинению «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (впервые оно было опубликовано в четырёх номерах «Учёных записок Казанского университета» за 1835, 1836, 1837 и 1838 гг.). Аксиомы геометрии как раз и уточняют свойства этих существующих в нашем воображении понятий. Значит ли это, что мы можем сформулировать какие угодно аксиомы? Нет, если мы хотим, чтобы геометрические понятия отражали наши представления о реальном физическом пространстве. Потому что, хотя точки, прямые, поверхности не существуют реально, некие физические объекты и явления, приводящие к этим понятиям, безусловно, существуют (если вообще признавать реальное существование окружающего нас мира). Поэтому вопрос надо ставить так: какая из аксиом, Евклида или Лобачевского, точнее описывает те представления о структуре реального физического пространства, которые отражаются в геометрических образах? Строгий ответ на этот вопрос таков: неизвестно. Однако можно с уверенностью утверждать, что в доступных нашему наблюдению областях пространства евклидова геометрия соблюдается с высокой степенью точности. Так что, говоря о неизвестности, мы имеем в виду очень большие области пространства. Дело в том, что в геометрии Лобачевского отличие суммы углов треугольника от 180° тем больше, чем длиннее стороны этого треугольника; поэтому, чем больше треугольник, тем больше надежды заметить данное отличие – и тем самым подтвердить на практике аксиому Лобачевского. Отсюда возникает мысль измерять треугольники с вершинами в звёздах (недаром упомянутый выше Швейкарт называл звёздной геометрию, впоследствии предложенную Лобачевским). Такими измерениями занимался сам казанский ректор («И он вгляделся пристальней в безоблачную высь…»), но точность измерительных приборов оказалась недостаточной, чтобы уловить отклонение суммы углов треугольника от суммы двух прямых углов, даже если таковое отклонение и существует.

Чтобы пояснить, как это может быть, что для меньших участков пространства действует одна геометрия, а для бóльших – другая, воспользуемся следующей аналогией. При составлении плана местности нет нужды учитывать шарообразность Земли – именно потому, что участок, план которого снимается, невелик. Поэтому, когда имеешь дело со сравнительно небольшими участками, разумно исходить из того, что Земля – плоская, оттого это заблуждение так долго держалось. При составлении же карты России шарообразность Земли не брать в расчёт нельзя, а при тонких расчётах приходится иметь в виду, что Земля есть эллипсоид (а точнее, геоид). При ружейной стрельбе можно проследить на карте местности траекторию пули, приложив линейку к двум точкам, отмечающим положение стрелка и цели. Но маршрут самолёта, совершающего дальний перелёт по кратчайшей линии, на плоской карте выглядит как дуга. Аналогично евклидова геометрия хорошо работает в малых масштабах, т. е. на доступных нам участках пространства. Мы не знаем, что происходит в масштабах очень больших. В рассказе Уэллса «История Платтнера» его герой Готфрид Платтнер проделывает некое фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. Уэллс объясняет это явление выходом в другой мир, в четвёртое измерение. Теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть совершено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Мы вернёмся к этому в главе 12.

Но что же представляют собой идеальные геометрические объекты: точки, прямые, углы, плоскости и т. п., отражающие наши представления о физической реальности? И в каком смысле они подчиняются аксиомам? Проще всего объяснить это с помощью хотя и искусственной, но поучительной аналогии. Выпишем следующие четыре утверждения:

(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.

(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.

(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.

(4) Каж дого бокра будлают по меньшей мере две куздры.

Что такое куздры, бокры, будлать, оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для выведения из этих утверждений определённых заключений, т. е. таких, которые непременно являются истинными при условии истинности всех четырёх исходных посылок. Убедимся, например, что (5) два различных бокра не могут одновременно быть будлаемы более чем одной куздрой. В самом деле, если бы таких куздр было две, то они совместно будлали бы двух наших бокров, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры.

Итак, что мы имеем? Мы имеем какие-то объекты (в данном случае – куздры и бокры) и отношения между ними (в данном случае – отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае – в утверждениях (1) – (4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае – аксиомы куздроведения). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, т. е. дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздроведения мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности геометрия. Ограничимся для простоты планиметрией, т. е. геометрией плоскости, не выходя в трёхмерное пространство. Основные объекты планиметрии суть точки и прямые. Основных отношений четыре:

(1) отношение инцидентности между точками и прямыми – точка и прямая могут быть или не быть инцидентны друг другу (в школьной геометрии употребляется более приземлённая терминология: когда точка и прямая инцидентны, говорят, что «точка лежит на прямой» или же «прямая проходит через точку»);

(2) отношение «между», связывающее тройки точек, – из трёх точек, лежащих на одной прямой, одна, произвольно выбранная, может находиться или не находиться между двумя другими;

(3) – (4) отношение конгруэнтности отрезков и отношение конгруэнтности углов – два отрезка или два угла могут быть или не быть конгруэнтны друг другу. (Когда-то в наших школах не боялись слова «конгруэнтны»; сейчас, к сожалению, это слово велено заменить на «равны». Почему к сожалению? А потому, что в виду имеется не отношение между длинами отрезков или величинами углов (и те и другие действительно равны, если соответствующие отрезки или углы конгруэнтны), а отношение между отрезками и между углами как геометрическими фигурами. А каждая сущность, геометрическая фигура в частности, может быть равна только самой себе.)

Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, что такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение «между», конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реального физического мира, отражением каковых служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность совмещения одной фигуры с другой посредством перемещения.

На примере куздр, бокров и будлания мы попытались вкратце изложить суть аксиоматического метода. Несколько заключительных замечаний относительно этого примера. Заменим в вышеприведённых аксиомах (1) – (4) слово «куздра» на «точка», слово «бокр» – на «прямая», слово «будлать» – на выражение «лежать на». Аксиома (4) превратится тогда в такое утверждение (4*): на каждой прямой лежат по меньшей мере две точки. Аналогично аксиомы (1), (2) и (3) превратятся в утверждения (1*), (2*) и (3*), которые мы просим любезного читателя образовать самостоятельно. Утверждения (1*) – (4*) составляют в совокупности группу так называемых аксиом связи планиметрии, регулирующих то, как точки связаны с прямыми. Читатель может теперь перевести аксиому о параллельных на язык куздр: для куздры, не будлающей заданного бокра, существует не более одного бокра… (благоволите продолжить). И последнее: странные эти слова мы заимствовали у выдающегося отечественного языковеда Льва Владимировича Щербы, который в 1920-х гг. учил студентов извлекать максимум лингвистической информации из фразы «Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка».

Глава 9

Проблема на миллион долларов

Давно известна классическая формула репортёров: если собака укусила человека, это не новость; другое дело, если человек укусил собаку. (От себя замечу, что иные из репортёров дают сообщение, что человек укусил собаку, и тогда, когда в действительности этого не было.) Сведения о том, что петербургский математик Григорий Перельман решил великую математическую проблему, 100 лет не поддававшуюся решению, начали появляться в российских средствах массовой информации с 2003 г. Но это была ещё не новость. Подлинной новостью, сенсацией – в согласии с приведённой формулой – стало облетевшее СМИ летом 2006 г. и заметное время не сходившее с экранов и страниц известие: Перельман отказался от всех присуждённых ему наград, в частности от миллиона долларов. Корреспондентам, пытавшимся взять у него интервью, Перельман вежливо, но решительно отказал во встрече, сославшись на неуместность шумихи, но прежде всего на то, что должен идти в лес по грибы, – эти причины были названы им в оглашённой по телевидению записи телефонного разговора с домогающимися корреспондентами. Одновременно сообщалось, что проблема не только знаменитая и очень трудная, но и существенная для теоретической физики, а именно для понимания устройства окружающего нас физического пространства.

Пожалуй, со времени вхождения в общекультурный оборот проблемы Ферма ни одна математическая проблема с тянущимся за ней шлейфом обстоятельств не приобретала ни в какой стране такой массовой известности. Математическая проблематика вторглась в общественное сознание. Не следует ли нам утвердить величие великой проблемы, оставив её окружённой ореолом тайны, открытой лишь для посвящённых и полностью недоступной пониманию широкой публики? Не знаю; может быть, и стоит. Тем не менее в следующих главах мы попытаемся в самых общих чертах объяснить читателю-нематематику, в чём состоит проблема.

Но сперва о «шлейфе обстоятельств». Григорию Яковлевичу Перельману, кандидату физико-математических наук, ныне безработному, который, в отличие от якобы доказавших теорему Ферма «академиков» (см. главу 2), в самом деле решил так называемую проблему Пуанкаре, ещё только предстоит отказаться (или не отказаться) от миллиона долларов. До тех пор пока премия не будет ему предложена, Перельман, по его собственным словам, не намерен заниматься решением вопроса, принимать её или нет. Что касается самой этой премии, то расположенный в Массачусетсе частный Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) действительно включил проблему Пуанкаре в список из семи математических «проблем тысячелетия» и за решение каждой из них обещает выплатить миллион. Но выплата происходит по прошествии определённого срока и после специальной экспертизы. В случае проблемы Пуанкаре ни о том, ни о другом, кажется, ещё говорить не приходится. И неясно, придётся ли когда-либо. Дело в том, что к рассмотрению, как правило, принимаются лишь решения, опубликованные в авторитетных изданиях, реферируемых в специальных реферативных журналах. Ни одно из бумажных изданий Перельман публикацией не удостоил и своё решение обнародовал лишь в интернете.

Предыдущий текст был написан до 2010 г. 18 марта 2010 г. институт Клэя присудил Григорию Перельману свой приз[66], от которого Перельман отказался.

Перельман отказался и от медали Филдса.

Математика, как известно, не входит в число наук, за достижения в которых присуждают Нобелевские премии. Неоднократно предпринимались попытки, иногда презабавные, выяснить, почему же Нобель обошёл математиков в своём завещании. Наиболее популярное объяснение сводится к Сherchez la femme. Якобы Нобель не поделил женщину с неким знаменитым шведским математиком, коему, существуй премия по математике, пришлось бы её дать. Однако такие объяснения хоть и привлекательны, но не слишком достоверны.

Медаль Филдса (Fields Medal) в мире математиков считается примерно такой же престижной наградой, как Нобелевская премия – в мире физиков, например. Она как бы заменяет собою эту премию. На лицевой стороне золотого диска изображён рельефный профиль Архимеда, обрамлённый приписываемым ему девизом: «Transire suum pectus mundoque potiri» («Превзойти себя и овладеть миром»), на оборотной – надпись: «Congregati ex toto orbe mathematici ob scripta insignia tribuere» («Математики, собравшиеся со всего света, отдают должное замечательным работам»).

Между медалью Филдса и Нобелевской премией имеются по меньшей мере три различия. Премия присуждается ежегодно, медаль – раз в четыре года, зато награждённых бывает больше – от двух до четырёх. Возраст нобелевских лауреатов не ограничен, и премию зачастую присуждают за достижения весьма и весьма давние. Возраст филдсовских лауреатов лимитирован 40 годами, а потому Уайлс, решивший проблему Ферма в возрасте 41 года, медали не получил; вместо неё председатель Филдсовского комитета торжественно вручил ему специальную серебряную табличку. Наконец, хотя медаль и сопровождается некоей суммой, сумма эта в несколько десятков раз меньше Нобелевской премии.

Медали вручают на проходящем раз в четыре года Международном конгрессе математиков[67]. Президент Международного математического союза специально прилетал в Петербург, чтобы уговорить Перельмана посетить XXV конгресс, который должен был состояться в Мадриде в августе 2006 г., и получить медаль из рук короля Испании.

Перельман остался непреклонен и на конгресс не поехал.

Это был первый случай отказа от Филдсовской медали. Проблемы и даже скандалы в ходе присуждения и вручения медалей Филдса возникали и раньше. Так, из-за Второй мировой войны не было ни конгрессов, ни присуждений с 1936 по 1950 г. (Последний предвоенный Международный конгресс математиков прошёл в Осло в 1936 г., первый послевоенный состоялся в 1950 г. в Кембридже, штат Массачусетс.) Все последующие недоразумения были вызваны вмешательством советской власти. Например, намеченный на 1982 г. конгресс в Варшаве был перенесён на август 1983 г. из-за объявления в Польше военного положения.

В 1966 г. один из крупнейших математиков XX в. Александр Гротендик (Alexander Grothendieck; 1928–2014) в знак протеста против советской политики в Восточной Европе не приехал в Москву на очередной конгресс, где ему должны были вручить медаль. Церемония вручения проходила в Кремле, во Дворце съездов. Вручавший медали президент Академии наук М. В. Келдыш скороговоркой огласил список лауреатов (так что было непросто разобрать, сколько их) и всех чохом пригласил на сцену, где и раздал медали, уже не повторяя имён. Кто есть ху, понять из зала было невозможно; некоторые могли подумать, что среди вышедших на сцену есть и Гротендик.

В 1970 и 1978 гг. конгрессы состоялись соответственно в Ницце и в Хельсинки. На них должны были получить медали два математика из СССР: в Ницце – Сергей Петрович Новиков (р. 1938; кстати, племянник того самого Келдыша), а в Хельсинки – Григорий Александрович Маргулис (р. 1946). Поездка их за наградой была признана, по советской бюрократической терминологии, «нецелесообразной», так что их не выпустили за пределы СССР. Маргулис был тогда кандидатом наук, и в «Московском комсомольце» (кажется, единственном российском издании, откликнувшемся на присуждение соотечественнику высшей математической награды) появилась статья с замечательной фразой: «И [даже] докторская диссертация на подходе».

Относительно недопущения поездки Маргулиса и отсутствия публикаций о его премии свидетельствует М. И. Монастырский[68]:

Как известно, Грише не разрешили поехать в Хельсинки получать Филдсовскую медаль. И это постыдное решение целиком лежит на совести советского математического начальства, а персонально – на И. М. Виноградове и Л. С. Понтрягине, руководителях Национального комитета советских математиков… К слову сказать, у нас (в России) очень любят причитать по поводу недооценки русских учёных на Западе. Но тщательный анализ реальных фактов показывает, что больше всего признанию русских (советских) учёных мешают другие русские (советские) учёные. Сейчас, когда опубликованы соответствующие материалы, известно, с какой яростью протестовал Л. С. Понтрягин против присуждения Грише Филдсовской медали[69]. ‹…› Я… решил популяризировать Гришины работы и написать о них заметку… Б. Н. Делоне, с которым предполагалось опубликовать эту статью, рассказал мне, что Виноградов и Понтрягин, узнав о «крамольной» статье (кстати, от него же), так накричали на него, что он попросил меня убрать статью из уже подготовленного к печати номера [журнала «Природа». – В. У.].

Владимир Игоревич Арнольд был номинирован на медаль Филдса 1974 г. Далее излагается рассказ самого Арнольда (надеюсь, что помню его правильно). Всё было на мази, Филдсовский комитет рекомендовал присудить Арнольду медаль. Вручение должно было происходить в августе 1974 г. в канадском городе Ванкувере на очередном XVII конгрессе математиков. Утвердить решение Филдсовского комитета предстояло высшему органу Международного математического союза, его исполнительному комитету[70]. В 1971–1974 гг. вице-президентом исполнительного комитета был один из крупнейших советских (да и мировых) математиков академик Лев Семёнович Понтрягин. Накануне поездки на заседание исполкома Понтрягин пригласил Арнольда к себе домой на обед и беседу о его, Арнольда, работах. Как Понтрягин сообщил Арнольду, он получил задание не допустить присуждения тому Филдсовской медали. В том случае, если Арнольду всё же будет присуждена медаль, Понтрягин был уполномочен пригрозить неприездом советской делегации на конгресс в Ванкувер, а то и выходом СССР из Международного математического союза. Но чтобы суждения Понтрягина о работах Арнольда звучали убедительно, он, Понтрягин, по его словам, должен очень хорошо их знать. Поэтому он и пригласил Арнольда, чтобы тот подробно рассказал о своих работах. Что Арнольд и сделал. По словам Арнольда, задаваемые Понтрягиным вопросы были весьма содержательны, беседа с ним – интересна, обед – хорош. Не знаю, пришлось ли Понтрягину оглашать свою угрозу, но только медали Филдса Арнольд тогда не получил – было выдано две награды вместо намечавшихся трёх. К следующему присуждению медалей родившийся в 1937 г. Арнольд исчерпал возрастной лимит.

В 1995 г. Арнольд уже сам стал вице-президентом, и тогда он узнал, что в 1974 г. на членов исполкома большое впечатление произвела глубина знакомства Понтрягина с работами Арнольда.

Проблема, которую решил Перельман, состоит в требовании доказать гипотезу, выдвинутую в 1904 г. великим французским математиком Анри Пуанкаре (1854–1912) и носящую его имя. О роли Пуанкаре в математике трудно сказать лучше, чем это сделано в Большой Советской Энциклопедии (3-е изд., т. 21):

Труды Пуанкаре в области математики, с одной стороны, завершают классическое направление, а с другой – открывают пути к развитию новой математики, где наряду с количественными соотношениями устанавливаются факты, имеющие качественный характер.

Гипотеза Пуанкаре как раз и имеет качественный характер – как и вся та область математики (а именно топология), к которой она относится и в создании которой Пуанкаре принял решающее участие.

На современном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие гомеоморфно трёхмерной сфере.

Смысл этой устрашающей словесной формулы мы попытаемся разъяснить в следующих главах. В силу особенностей жанра наши разъяснения не будут совершенно точными. В их композиции мы постараемся по возможности учесть заветы Колмогорова, в 1950-е гг. учившего, как надо писать статью для энциклопедии. В ту пору энциклопедическая статья была устроена так: заглавное слово, тире, дефиниция, точка; дефиницией назывался текст, идущий сразу вслед за тире до ближайшей точки[71]. В крайнем случае статья могла этим исчерпываться. Если же автору дают ещё место, то, учил Колмогоров, следует написать несколько фраз, доступных человеку с начальным образованием. Если допустимый объём исчерпан, этим и следует ограничиться. Если же объём позволяет, надо написать абзац, требующий уже семиклассного образования, затем – десятиклассного[72]. Если статья достаточно большая, можно перейти к сюжетам, предполагающим образование высшее, а в конце – даже требующим специальных знаний. Наконец, при очень большом объёме в самом конце автор – в качестве премии самому себе – вправе поместить текст, который понимает он один. Этой премии мы себя лишим, но на четырёх- и семиклассное образование тоже не будем ориентироваться.

В заключение предложим в очень огрублённой форме космологическую интерпретацию гипотезы Пуанкаре. Термин «односвязное компактное трёхмерное многообразие» содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин «гомеоморфия» означает некую степень глубинного сходства, в известном смысле неотличимость. Формулировка в целом означает, следовательно, что если Вселенная обладает свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия, то она – в том же самом «известном смысле» – и есть трёхмерная сфера. В отличие от обычной двумерной сферы, т. е. поверхности шара, трёхмерная сфера недоступна нашему непосредственному наблюдению. Однако не исключено, что именно в ней мы все и живём.

Глава 10

От метрической геометрии к геометрии положения

Геометрические фигуры

Следуя принципу Колмогорова, мы начнём с цитаты из классического школьного учебника Киселёва – «кристальной киселёвской "Геометрии"», по словам Солженицына. Боюсь, что читатель XXI в. может и не знать, кто такой Киселёв. Андрей Петрович Киселёв (1852–1940) – великий просветитель в области математики, по его учебникам арифметики, алгебры и геометрии учились многие поколения российских школьников (в частности, те, которым было суждено составить впоследствии славу российской математики). Киселёвым были последовательно подготовлены к изданию «Систематический курс арифметики для средних учебных заведений» (1884), «Элементарная алгебра» (1888), «Элементарная геометрия» (1892). Эти учебники выдержали десятки изданий до революции и десятки изданий после (в советское время они назывались короче: «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия»). Следует сказать, что в советское время они подвергались редактированию, подчас значительному, что не всегда делало их лучше[73]. Поэтому цитату мы приведём из § 6 дореволюционного, 1917 г., 26-го издания[74] «Элементарной геометрии»[75] (разбиение на абзацы сохраняем лишь частично):

Всякая ограниченная часть пространства называется геометрическим телом. Геометрическое тело можно подразделить на части; каждая часть геометрического тела есть также геометрическое тело. Граница геометрического тела, т. е. то, чем оно отделяется от остального пространства, называется поверхностью. Поверхность можно подразделять на части; всякая часть поверхности есть также поверхность. Граница поверхности или части поверхности называется линией. Линию можно также подразделять на части; каждая часть линии есть также линия. Граница линии или части линии называется точкой. Геометрическое тело, поверхность, линия и точка не существуют раздельно. Однако при помощи отвлечения мы можем рассматривать поверхность независимо от геометрического тела, линию – независимо от поверхности и точку – независимо от линии. При этом поверхность мы должны представлять себе не имеющею толщины, линию – не имеющею ни толщины, ни ширины и точку – не имеющею ни длины, ни толщины.

Всякая линия содержит в себе бесчисленное множество точек. Принято говорить, что эти точки лежат на линии или что эта линия проходит через эти точки. Их можно рассматривать как последовательные положения одной и той же точки, движущейся вдоль этой линии. Поэтому можно сказать, что линия есть след движения точки. Если, например, мы остриё карандаша двигаем по бумаге, то след этого движения на бумаге есть приблизительно линия; приблизительно потому, что остриё карандаша не представляет собою геометрической точки, вследствие чего проведённая на бумаге линия имеет некоторую ширину (и даже толщину). Чем острее очинён карандаш, тем более остриё его приближается к геометрической точке и тем более линия, проведённая этим остриём, приближается к геометрической линии. Подобно этому поверхность можно рассматривать как след движения линии, движущейся в пространстве некоторым образом.

Совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве, называется вообще геометрической фигурой.

Образуют ли геометрическую фигуру два не имеющих общих точек шара? Если исходить из точного смысла последней фразы приведённой цитаты, ответ должен быть утвердительным. Но нам хотелось бы получить право говорить, что это не фигура, а две фигуры. Поэтому мы включим в понятие фигуры дополнительное требование связности. Связность фигуры означает, что любые две её точки можно соединить линией, не выходящей за пределы фигуры. В дальнейшем, говоря «фигура», мы всегда будем подразумевать её связность.

Геометрические фигуры бывают плоские и пространственные («объёмные»); последние называются геометрическими телами. Примерами тел, изучаемых в средней школе, служат пирамиды, параллелепипеды, шары, конусы, цилиндры. Плоскую фигуру можно определить как часть плоскости, пространственную – как часть пространства. Плоские фигуры изучаются в планиметрии, пространственные – в стереометрии. Текст из учебника Киселёва написан с позиции стереометрии, в ней все геометрические фигуры, включая поверхности и линии, видятся расположенными в пространстве. При изучении планиметрии слово «поверхность» не произносят, хотя все такие плоские фигуры, как круг или многоугольник, при включении их в дискурс (автор не смог удержаться от искушения употребить модное словцо) стереометрии являются поверхностями.

Термин, обозначающий математическое понятие 'поверхность', как в русском, так и в других языках, происходит от бытового представления о поверхности чего-нибудь – стола, воды, Земли. Это прослеживается и в приведённой цитате. Однако такое понимание создает определённые неудобства. Скажем, чтобы подвести под определение поверхности платок (толщиной платка мы пренебрегаем), который может быть и не плоским, его необходимо непременно представить себе границей какого-то тела или дополнить до такой границы. Полезно поэтому иметь в виду следующее. Источником понятия (не слова, а понятия!) поверхности служит представление об очень тонком слое. Аналогично источником понятия линии служит представление об очень тонкой нити. Можно сказать, что поверхность – это бесконечно тонкий слой, линия – бесконечно тонкая нить (а точка – бесконечно малый кружочек). Вопрос к читателю: сфера – это тело или поверхность? Если отождествлять, как это нередко делают, понятия 'сфера' и 'шар', тогда, конечно, сфера есть тело. Но такое отождествление терминологически неправильно. Терминологически правильный ответ таков: сфера – это поверхность шара, а шар – это часть пространства, ограниченная сферой. Точно так же окружность – это граница круга, а круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

А теперь посмотрим на тор. Тор – эта геометрическое тело, к форме которого в той или иной степени приближаются баранка, бублик[76], спасательный круг, обруч хулахуп. Энциклопедические словари определяют тор как геометрическое тело, полученное вращением круга вокруг оси, расположенной вне этого круга. Но прибавляют: «Поверхность, ограничивающую тор, иногда также называют тором»[77]. Если тор понимают как тело, то его поверхность называют поверхностью тора. Если же тор понимают как поверхность, то ограниченное ею тело называют полноторием – с двумя употребительными вариантами именительного падежа: полноторие и полноторий. Но чаще всего, пренебрегая тонкостями, говорят просто «тор», извлекая смысл из контекста. Автор не уверен, что сумеет избежать подобной двусмысленности, устраняемой лишь контекстом, но будет очень стараться. И тор как тело и тор как поверхность не односвязны (это слово пока для нас всего лишь термин из формулировки проблемы Пуанкаре, а что оно значит, будет объяснено ниже).

Равенство, конгруэнтность, конгруэнция, изометрия

В средней школе, как известно, вводится понятие равенства геометрических фигур, в частности треугольников. В § 35 уже цитированного учебника Киселёва говорится: «Два многоугольника, как вообще две какие-нибудь геометрические фигуры, считаются равными, если они при наложении могут быть совмещены».

Хотелось бы привлечь внимание любезного читателя к тому, что Киселёв употребляет слово «считаются», подчёркивая тем самым конвенциональность (условность) термина «равный», определение которому даётся в цитате. Потому что основное значение этого термина состоит в совпадении. Когда говорят, что дважды два равно четырём, то имеют в виду, что число с именем «дважды два» и число с именем «четыре» – это одно и то же число. Именно такое совпадение и выражает знак равенства в формуле 2 · 2 = 4 (совпадение не выражений 2 · 2 и 4, а тех сущностей, которые обозначены этими выражениями). То же происходит и в обычном языке. Как мы уже отмечали, когда говорят «все люди равны», то непременно прибавляют (или подразумевают), в чём они равны: в правах, достоинстве или в чём-то ином. Но выяснить, совпадение каких сущностей имеется в виду при определении равенства многоугольников или в чём равны эти многоугольники, не так-то просто. Андрей Петрович Кисёлев в приведённой цитате вынужден констатировать принятое в школьной математике словоупотребление. Видимо, он сам от него не в восторге, что доказывается нижеследующим подстрочным примечанием к слову «совмещены», где то, что в предыдущей цитате было названо равенством, получает более правильное название конгруэнтность:

Фигуры, могущие совместиться при наложении, называются конгруэнтными, а самое совмещение – конгруэнцией. Различают конгруэнцию прямую и непрямую. Прямою конгруэнция называется тогда, когда совмещение может быть выполнено посредством передвижения одной из конгруэнтных фигур по плоскости, в которой фигуры лежат; если же для совмещения фигур такого передвижения недостаточно, но надо ещё перевернуть одну из фигур другою стороною, то конгруэнция называется непрямою. Например, треугольники, изображённые на рис. 2[78], прямо конгруэнтны, а треугольники на рис. 3 непрямо конгруэнтны.

К сожалению, сделав это примечание, Киселёв уступает сложившейся практике и в дальнейшем термин «конгруэнтный» не употребляет. Что же касается фигур стереометрии, то даже и термин «равенство» применяется в учебнике Киселёва только к трёхгранным углам, да и то лишь в параграфах, набранных мелким шрифтом (§ 401–402).

Мы же будем следовать сделанному Киселёвым примечанию и применительно к геометрическим фигурам вместо школярского слова «равно» употреблять слово «конгруэнтно». Вот ещё пример на противопоставление прямой и непрямой конгруэнций: начертания прописных букв Р и Ь не являются прямо конгруэнтными, но непрямо конгруэнтны. Ясно, что в случае пространственных фигур непрямая конгруэнция невозможна, поскольку невозможно «перевернуть одну из фигур другою стороною». Поэтому человек не конгруэнтен своему отражению в зеркале, а правая кисть руки не конгруэнтна левой. Простой геометрический пример зеркально симметричных, но не конгруэнтных тел дан на рис. 4. Более изысканный пример представлен на рис. 5, где изображены два заузленных верёвочных кольца (при математическом изучении узлов[79] их свободные концы принято склеивать, чтобы узел было невозможно развязать).

Откажемся от понятия непрямой конгруэнции (тем более что её нет для фигур стереометрии) и будем отныне конгруэнтными называть только такие фигуры, которые допускают прямую конгруэнцию, т. е. совпадающие при перемещении. И здесь мы подходим к представлению почти философскому – представлению об относительности конгруэнтности. Треугольники, показанные на рис. 3, оказываются неконгруэнтными, если числить их по ведомству плоскости, т. е. рассматривать, не выходя за пределы той плоскости, в которой они расположены; и они же конгруэнтны, если числить их расположенными в пространстве и тем самым разрешать выход за пределы плоскости. То же самое можно отнести к силуэтам или отпечаткам левой и правой ладоней: они конгруэнтны относительно пространства, но не конгруэнтны относительно плоскости.

Тем не менее очевидно наличие некой общности между членами каждой из пар фигур, представленных на рис. 2–5. Та же общность связывает левую и правую кисти рук, а также любой предмет с его отражением в зеркале. Сказать, что эта общность заключается в равенстве размеров, недостаточно. Каких именно размеров? Ведь, скажем, существуют весьма отличающиеся на глаз ромбы с совпадающими длинами сторон: бывают – или надо сказать «были»? – подставки для чайников в виде ромба с шарнирами по углам, изменяющие свою форму. Речь идёт о равенстве всех размеров, но это, конечно, требует уточнения. С этой целью вспомним обсуждавшееся в главе 7 понятие взаимно однозначного соответствия и рассмотрим взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек одной геометрической фигуры и множеством всех точек другой фигуры. Это соответствие называется изометрическим, коль скоро сохраняются расстояния между точками. Слова «сохраняются расстояния между точками» расшифровываются следующим образом: пусть при рассматриваемом соответствии точкам А и В первой фигуры соответствуют точки А_1 и В_1 второй фигуры; тогда расстояние между А_1 и В_1 должно быть равно расстоянию между А и В. Две геометрические фигуры называются изометричными, коль скоро между множествами их точек можно установить изометрическое соответствие. Каждый из треугольников на рис. 2 изометричен другому. То же справедливо для треугольников на рис. 3, для треугольных пирамид на рис. 4, для узлов на рис. 5. Левая и правая кисти изометричны; произвольный предмет изометричен своему зеркальному отражению. Понятие изометричности (она же изометрия), в отличие от конгруэнтности, абсолютно: наличие или отсутствие у фигур изометрии не зависит от того, рассматриваются ли они планиметрически, в пределах плоскости, или же стереометрически, в пределах пространства.

ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ. Если две фигуры, расположенные в одной и той же плоскости, изометричны друг другу, то они конгруэнтны, т. е. могут быть совмещены путём перемещения (возможно, с выходом в пространство, за пределы плоскости). Изометричные фигуры в пространстве необязательно конгруэнтны, т. е. необязательно допускают совмещение посредством перемещения (см. рис. 4–5).

Четвёртое измерение – брать пример с мыслителей Флатландии

Первоначальный вариант очерка «Апология математики» был напечатан в журнале «Новый мир» в 2007 г., в последних двух номерах. Статью прочёл Андрей Анатольевич Зализняк и 7 января 2008 г. прислал мне письмо, в котором, в частности, отмечал:

В некоторых случаях мне очень не хватает каких-то Ваших «человеческих» (образных, через аналогии и т. п.) попыток помочь читателю выйти мыслью за рамки своего нормального земного мышления. Так, мне кажется, всё это у Вас сделано, например, в вопросе о параллельных. Но мне очень хотелось бы чего-то подобного, в частности, в вопросе о четвёртом и прочих измерениях. Мне кажется, Вы не учитываете, что для 99 % читателей (из тех, кто вообще слыхал, что бывает больше чем три измерения) четыре измерения – это три обычных измерения + время (так сказать, хронотоп). И что они, следовательно, думают совсем не о том, читая Вас.

Нет ли способа дать читателю хоть какой-нибудь glimpse[80] о том, в каком примерно направлении (по сравнению с земной жизнью) устремляют своё воображение математики, когда они создают понятие четвёртого (пятого и т. д.) измерения? Ведь не из землемерия же это родилось. На Ваших страницах понятие четвёртого измерения появляется, если не ошибаюсь, так, как если бы читателю оно уже должно было быть если не понятным, то по крайней мере привычным.

Признаюсь, что без этого лично я не смог составить себе ни какого удовлетворительного представления о том, что такое трёхмерная сфера и, следовательно, о теореме Пуанкаре – Перельмана.

В настоящей подглавке я старался, как мог, исполнить пожелания Андрея Анатольевича.

Линии (в частности, прямые и окружности) одномерны, поверхности (в частности, плоскости и сферы) двумерны, точки нольмерны. Смысл этого утверждения можно пояснить следующим образом. Положение точки, лежащей на линии, задаётся указанием одного действительного числа; положение точки, лежащей на поверхности, – указанием двух чисел; чтобы задать положение точки в пределах самой этой точки, не нужно вообще никаких чисел, поскольку возможен лишь единственный вариант. Числа, задающие положение точки, называются её координатами. Таким образом, положение точки на линии определяется одной координатой, на поверхности – двумя координатами, на точке (или в точке – не знаю, как лучше) – нолём (нулём) координат. Координатой точки на линии может служить расстояние, пройденное этой точкой при движении вдоль линии (мы ссылаемся здесь на цитату из Киселёва). Посмотрим, откуда могут взяться (возможны и другие способы!) те две координаты, которые определяют положение точки на поверхности. Первая координата – это координата рассматриваемой точки на той линии, движением которой образована наша поверхность. Вторая координата – это то расстояние, которое прошла точка при движении линии по поверхности; данное расстояние может измеряться длиной, углом или ещё как-нибудь. Когда в школе в рамках курса математики изучают координаты на плоскости (абсциссу и ординату), исходят из измерения длин. Когда же на уроках географии знакомятся с координатами на поверхности Земли (широтой и долготой), исходят из измерения углов. Рекомендуем читателю подумать, как можно ввести координаты на поверхности тора.

Тела трёхмерны, и положение точки тела определяется тремя координатами. Чтобы задать, скажем, положение точки в толще Земли, надо указать две координаты на поверхности и затем третью, показывающую глубину.

В нашем мире нет четырёхмерных геометрических фигур. Но если очень напрячь воображение, можно представить себе их существование. Для этого перенесёмся в воображаемый плоский мир, так называемую Флатландию. Флатландия – это плоскость, населённая плоскими, не имеющими толщины существами – флатландцами.

Для них двумерная плоскость – это их мир, их вселенная; третье измерение недоступно их опыту. Они живут не на, а в плоскости (мы бы сказали «в её толще», если бы плоскость имела толщину). Представить себе трёхмерные тела они не в состоянии, но понимают, что такое два, одно и ноль измерений. Слово «поверхность» во флатландском языке отсутствует, поскольку нет ничего, что могло бы иметь поверхность. На уроках математики флатландским школьникам объясняют, что нет и не может быть такой прямой, которая проходила бы через вершину прямого угла и была перпендикулярна к двум его сторонам. Но некоторые флатландцы путём напряженных размышлений чисто умозрительно додумались до возможности существования трёхмерного мира с расположенными в нём трёхмерными телами, мира понятного нам с вами, живущим в этом мире, уважаемый читатель, флатландцам же недоступного. Эти же флатландцы утверждают, что если такой мир существует, то существует и та прямая, невозможность существования которой доказывают в школах; эта прямая протыкает Флатландию насквозь в вершине упомянутого прямого угла. Для пишущего эти строки важно, чтобы читатель понял, как устроена Флатландия, и проникся мировоззрением флатландцев. Может быть, кому-то покажется более понятным такая псевдофизическая модель Флатландии. Вместо плоскости возьмём тонкий слой, ограниченный двумя параллельными плоскостями (для наглядности – горизонтальными). Потребуем, чтобы в этом слое действовало следующее мироустройство: все геометрические фигуры состоят не из точек, как мы привыкли, а из вертикальных отрезков, перпендикулярных к ограничивающим плоскостям и упирающихся в них концами. Отрезки эти неделимы, как атомы в представлениях, державшихся до начала ХХ в.; никаких частей у вертикальных отрезков не существует. Все движения в слое происходят лишь вдоль ограничивающих плоскостей; направлений вверх и вниз просто-напросто не существует. Это и будет Флатландия, мир которой, с точки зрения его обитателей, двумерен.

Вот так и мы, следуя примеру философов и математиков Флатландии, усилием воображения можем допустить существование четырёхмерного мира с расположенными в нём четырёхмерными геометрическими фигурами – гипертелами. Мы не назвали их четырёхмерными телами, чтобы избежать путаницы. Ведь в принятой нами системе терминов слово «тело» уже подразумевает трёхмерность.

Путаница может возникнуть и со словом «пространство». Оно очень многозначно. К сожалению, все его значения важны, поэтому выбрать какое-либо одно из них, а остальные запретить невозможно. В цитате из учебника Киселёва этим словом обозначалось обычное, «школьное» пространство, в котором располагаются шары и многогранники.

Это пространство трёхмерно и евклидово (термин будет разъяснён далее). В школе молчаливо предполагают, что это и есть то физическое пространство, которое нас окружает, говоря попросту, «наше пространство». (В главе 8 мы вкратце обсудили возможность того, что физическое пространство не является евклидовым.)

Вернёмся на несколько минут к Флатландии. Треугольники, изображенные на рис. 3, не конгруэнтны относительно плоскости, но – для нас! – конгруэнтны относительно пространства. С флатландской же точки зрения, они, разумеется, изометричны, но не конгруэнтны ни в каком смысле, поскольку возможности выхода в трёхмерное пространство не существует во флатландском миропонимании. Но это если говорить о миропонимании флатландского обывателя, «человека с улицы». Однако, как уже было сказано, некоторые флатландские мыслители осознали теоретическую возможность существования третьего измерения и того, что указанные треугольники конгруэнтны относительно трёхмерного мира. Таким образом, эти мыслители (математики, философы, фантасты) допускают возможность такого, выходящего за пределы Флатландии перемещения, при котором один из треугольников с рис. 3 превратится в другой. Попытаемся взять пример с этих продвинутых, пытливых флатландцев и допустить, скажем, такое выводящее за пределы нашей трёхмерной Вселенной перемещение, при котором одна из пирамид с рис. 4 превращается в другую. Собственно, нет нужды ходить за примерами в Флатландию, вдохновляющий пример можно найти и на Земле, а именно у Г. Дж. Уэллса.

В 1896 г. Уэллс написал уже упоминавшуюся «Историю Платтнера» – рассказ о том, как школьный учитель Готфрид Платтнер, совершивший фантастическое путешествие, возвращается из него зеркально перевёрнутым. До путешествия он не был левшой, и тело его имело нормальное строение, за исключением лёгкой асимметрии: «Левый глаз немного больше правого, и челюсть чуть-чуть отвисает с левой стороны». А вот каким он сделался после путешествия: «Правый глаз немного больше левого, и правая часть челюсти слегка тяжелее левой. ‹…› Сердце Готфрида бьётся с правой стороны! ‹…› Все другие несимметричные части его тела расположены не на своих местах. Правая доля его печени расположена с левой стороны, левая – с правой, аналогично перепутаны и лёгкие. ‹…› Он может писать только левой рукой, причём справа налево»[81]. Заметим, что «новый» Платтнер изометричен самому себе «старому».

Уэллс объясняет происшедшие с Платтнером изменения выходом в другой мир, в четвёртое измерение: «Если вы вырежете из бумаги любую фигуру, имеющую правую и левую стороны, вы можете легко переместить эти стороны, если поднимете и перевернёте фигуру. Но с предметом объёмным дело обстоит иначе. Теоретики-математики говорят нам, что единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, – это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство), вынуть его из обычных условий и переместить куда-то вне пространства. ‹…› Случившаяся у Платтнера перемена местами правой и левой частей есть не что иное, как доказательство того, что он переходил из нашего пространства в так называемое Четвёртое Измерение, а затем снова вернулся в Наш Мир».

Называя пространство евклидовым, мы тем самым подчёркиваем, что в нём выполняются аксиомы Евклида. В школьной математике слова «трёхмерное» и «евклидово» опускают и говорят просто «пространство», предполагая его и евклидовым, и трёхмерным. В этом пространстве, в отличие от Флатландии, можно найти три попарно перпендикулярных луча, исходящих из одной точки, но вот четвёртого луча, перпендикулярного к этим трём, найти не удаётся; более того, можно доказать, что такого луча и не существует. Однако если допустить возможность прямых, протыкающих пространство ровно в одной точке, то можно построить и четвёртый луч.

Евклидово расстояние

Евклидовость пространства можно определить и без ссылок на аксиомы Евклида. Дело в том, что в трёхмерном евклидовом пространстве расстояние s между точкой с координатами (x_1, y_1, z_1) и точкой с координатами (x_2, y_2, z_2) задаётся формулой

s² = (x_1 – x_2)² + (y_1 – y_2)² + (z_1 – z_2)².

Вот эта формула задания расстояний в трёхмерном пространстве и определяет его евклидовость. Иначе говоря, евклидовым называют такое трёхмерное пространство, в котором расстояние задаётся указанной формулой.

На плоскости расстояние s между двумя точками с координатами (x_1, y_1) и (x_2, y_2) задаётся формулой

s² = (x_1 – x_2)² + (y_1 – y_2)².

Поэтому плоскость называют двумерным евклидовым пространством.

На прямой расстояние s между двумя точками с координатами x_1 и x_2 задаётся формулой

s² = (x_1 – x_2)².

Поэтому прямую называют одномерным евклидовым пространством.

Расстояния, определяемые выписанными формулами, называются евклидовыми. Приведём для ясности пример неевклидовых расстояний. Таковы, в частности, все расстояния, измеряемые по поверхности Земли, если считать Землю эллипсоидом. Чтобы получить евклидово расстояние между двумя точками на земной поверхности, надо провести через эти две точки прямую, которая неизбежно будет проходить в толще планеты, и измерить длину соединяющего точки отрезка. Для жителей Земли, однако, больший интерес представляют именно расстояния по поверхности.

Надеемся, читатель уже понял, что положение точки в четырёхмерном пространстве задаётся четырьмя координатами. При этом евклидовость четырёхмерного пространства означает, что евклидовым является расстояние s между точкой с координатами (x_1, y_1, z_1, u_1) и точкой с координатами (x_2, y_2, z_2, u_2), т. е. что оно задаётся формулой

s² = (x_1 – x_2)² + (y_1 – y_2)² + (z_1 – z_2)² + (u_1 – u_2)².

Точка в шестимерном пространстве имеет шесть координат. Предоставляем читателю написать формулу евклидова расстояния между точкой с координатами (x_1, y_1, z_1, u_1, v_1, w_1) и точкой с координатами (x_2, y_2, z_2, u_2, v_2, w_2).

В математике принято отождествлять точку с набором её координат. При таком отождествлении точка прямой – это просто-напросто действительное число, а прямая (она же одномерное евклидово пространство) – это множество всех действительных чисел с евклидовым расстоянием между ними. Точно так же точка плоскости (двумерного евклидова пространства) – это пара действительных чисел (x, y), а сама плоскость – множество всех пар действительных чисел с евклидовым расстоянием между парами. Трёхмерное, четырёхмерное и т. д. пространство – это множество всех троек (всех четвёрок и т. д.) действительных чисел (x, y, z) с евклидовым расстоянием между тройками (четвёрками и т. д.).

Таким образом, нет нужды воображать существование какого-то четырёхмерного мира, объемлющего наш трёхмерный. Можно ограничиться изучением четвёрок действительных чисел и евклидовых расстояний между этими четвёрками. В своих строгих рассуждениях математики так и поступают. Однако одновременно пользуются и геометрическими образами, как если бы четырёхмерный мир существовал.

Более того, некоторые математики (автор этих строк к ним не принадлежит) выработали в себе значительную геометрическую интуицию и способны «видеть» (внутренним зрением, разумеется) фигуры четырёхмерного пространства. В мои студенческие годы желающих, среди которых был и я, собрали в одной из больших аудиторий университета и показали фильм «Вращение куба в четырёхмерном пространстве». На экране мелькали отрезки, я мало что понял, но впечатлился. Сделаю робкую попытку пояснить читателю, что именно происходило. Представим себе квадрат, расположенный в Флатландии, вращение этого квадрата вокруг его центра в пределах флатландской плоскости и флатландца, наблюдающего это вращение. На рис. 6 показаны два положения квадрата – А и B и наблюдающий флатландец (точнее, его глаз). Когда квадрат находится в положении А, наблюдатель видит отрезок, длина которого равна стороне квадрата. Когда квадрат придёт в положение B, наблюдатель увидит отрезок, длина которого равна диагонали квадрата. Во время вращения наблюдатель будет видеть отрезок варьирующейся длины, которая непрерывно изменяется от длины стороны до длины диагонали и обратно. Теперь представим себе другую картину. Примем, что квадрат состоит из одних своих сторон, а внутри он пустой. Пусть он вращается вокруг оси, проходящей через середины P и Q противоположных сторон, – с выходом за пределы Флатландии. На рис. 7 показаны два флатландских наблюдателя I и II. Что они увидят? Для наблюдателя I точки P и Q сольются в одну, её он будет видеть всё время, а в какой-то миг – проходящий через неё отрезок. Наблюдатель II будет всё время видеть две точки P и Q, а в какой-то миг – сторону квадрата, которая заслонит собою эти точки. Этот миг наступит, когда все стороны квадрата окажутся во Флатландии. А теперь представим себе, что вращение вокруг оси PQ некто, находящийся в трёхмерном, внешнем по отношению к Флатландии, пространстве, снимает (на плёнку, на диск или на что ещё теперь снимают), а затем показывает на плоском экране. Что увидит зритель на экране? Он увидит мелькание сторон периодически меняющего свою форму четырёхугольника. Аналогично если оператор, пребывающий в четырёхмерном, внешнем по отношении к нашему трёхмерному миру, пространстве, заснимет вращение куба, то мы увидим на экране мелькание граней этого куба. Что и узрели в конце 1940-х гг. студенты мехмата МГУ.

Таким образом, мы видим два подхода к многомерной (в частности, четырёхмерной) евклидовой геометрии, различающиеся скорее психологически, чем сущностно. При одном подходе четырёхмерное, пятимерное и т. д. евклидово пространство (как и пространства трёхмерное, двумерное, одномерное) состоит из геометрических точек, и каждая точка имеет числовые координаты. При другом оно состоит из наборов чисел, каковые наборы и являются точками. Каждый из этих подходов предполагает, что расстояние между точками евклидово. Наибольшую пользу приносит сочетание двух этих подходов. (Здесь прослеживается некоторая отдалённая аналогия с физикой, где электрон – и частица, и волна одновременно.)

Георгию Борисовичу Шабату принадлежит замечательный термин «плюриагорафобия» – боязнь многомерного пространства. В порядке борьбы с этой фобией слегка прикоснёмся к представлению о четырёхмерном кубе.

Возьмём единичный квадрат (квадрат со стороной, длина которой равна единице), такой, что одна из его вершин расположена в начале координат, а две другие – по координатным осям. Координаты его вершин таковы: (0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1). Его граница состоит из четырёх отрезков.

Теперь возьмём единичный куб, одна вершина которого помещается в начале координат, а три другие – по координатным осям. Координаты восьми его вершин таковы: (0, 0, 0); (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (1, 0, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1). Его граница состоит из шести квадратов.

Иногда бывает удобным называть квадраты двумерными кубами, а отрезки – одномерными кубами.

Четырёхмерный куб имеет 16 вершин. Если поместить одну из них в начале координат, а четыре других – по четырём координатным осям, то, предполагая по-прежнему, что длина стороны равна единице, получим такие координаты вершин: (0, 0, 0, 0); (0, 0, 0, 1); (0, 0, 1, 0); (0, 0, 1, 1); (0, 1, 0, 0); (0, 1, 0, 1); (0, 1, 1, 0); (0, 1, 1, 1); (1, 0, 0, 0); (1, 0, 0, 1); (1, 0, 1, 0); (1, 0, 1, 1); (1, 1, 0, 0); (1, 1, 0, 1); (1, 1, 1, 0); (1, 1, 1, 1). Его граница состоит из восьми трёхмерных кубов.

Сказанное имело, в частности, целью сообщить мыслям читателя некоторую инерцию, с тем чтобы подвести его к понятию трёхмерной сферы, используемому в формулировке проблемы Пуанкаре. (Как видим, инерция мышления – это не всегда плохо.) Продолжим набирать инерцию.

Обычная сфера – это поверхность шара, двумерная, как всякая поверхность. Мы так и будем говорить – двумерная сфера. Из каких точек она состоит? Из всех точек трёхмерного евклидова пространства, находящихся на одном и том же расстоянии от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей; указанное расстояние называется радиусом сферы. Обозначим координаты центра сферы буквами a, b, c. А если отождествлять точку с набором её координат, то можно сказать, что центр нашей сферы – это точка (a, b, c). Пользуясь формулой евклидова расстояния в трёхмерном пространстве, мы вправе сказать, что двумерная сфера с радиусом r состоит из всех таких точек (x, y, z) трёхмерного пространства, которые удовлетворяют уравнению

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r².

Трёхмерный шар, ограниченный этой двумерной сферой (он же просто шар в общеупотребительном значении этого слова), состоит из всех таких точек (x, y, z) трёхмерного пространства, которые удовлетворяют неравенству

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² ≤ r².

Если заменить здесь знак ≤ неравенства на знак < строгого неравенства, получим так называемый открытый шар, граница которого (двумерная сфера) удалена. Он состоит из всех таких точек (x, y, z), для которых

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² < r².

Если желают подчеркнуть разницу между шаром, содержащим ограничивающую его сферу, и открытым шаром, первый называют замкнутым.

Давайте теперь поразмыслим, что такое одномерная сфера. Определение строим по аналогии с определением двумерной сферы: одномерная сфера состоит из всех точек двумерного евклидова пространства, находящихся на одном и том же расстоянии, называемом радиусом, от некоторой выделенной точки, называемой центром. Поскольку двумерное евклидово пространство – это не что иное, как плоскость, то ясно, что одномерная сфера – это просто-напросто окружность. Если обозначить радиус буквой r, а координаты центра – буквами a и b, то становится ясным, что одномерная сфера есть множество всех таких точек (x, y) двумерного пространства, которые удовлетворяют уравнению

(x – a)² + (y – b)² = r².

Это и есть знакомое (как мы надеемся) по средней школе уравнение окружности. Окружность ограничивает круг, точки которого удовлетворяют нестрогому неравенству

(x – a)² + (y – b)² ≤ r².

Круг можно назвать двумерным шаром. А как следует назвать множество всех точек плоскости, удовлетворяющих строгому неравенству

(x – a)² + (y – b)² < r²?

Позволю себе высказать убеждение, что читатель уже догадался: это множество называется открытым кругом (или открытым двумерным шаром), а определяемый нестрогим неравенством просто круг называют, чтобы противопоставить его открытому кругу, замкнутым кругом.

Каждая трёхмерная сфера ограничивает четырёхмерный шар. И те и другие недоступны нашему непосредственному наблюдению, и представить их себе в качестве геометрических объектов нам так же трудно, как Василию Ивановичу из анекдота – квадратный трёхчлен. Но всё сказанное до сих пор приходит нам на помощь. Читатель уже сам, без подсказки, мог бы заключить, что трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного евклидова пространства, находящихся на одном и том же расстоянии, называемом радиусом, от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Обозначая радиус буквой r, а координаты центра – буквами a, b, c, d, получаем, что трёхмерная сфера радиуса r состоит из всех таких точек (x, y, z, u) четырёхмерного пространства, которые удовлетворяют уравнению

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² + (u – d)² = r².

А тот четырёхмерный шар (он же замкнутый четырёхмерный шар), границей которого эта трёхмерная сфера служит, состоит из всех таких точек (x, y, z, u) четырёхмерного пространства, которые удовлетворяют неравенству

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² + (u – d)² ≤ r².

Призываем читателя выписать соотношение для точек открытого четырёхмерного шара.

Если же мы желаем тем или иным образом представить себе трёхмерную сферу как «геометрический объект» (а не просто множество числовых четвёрок), как гипертело, то у нас вместе с Василием Ивановичем нет другого выхода, как взять пример с мыслителей Флатландии, которые находятся на передовом крае флатландской науки. Увидеть двумерную сферу непосредственно они не могут – только одномерную, т. е. окружность. Но они пришли к мысли, что в трёхмерном пространстве существуют двумерные сферы. А самые смелые из них допустили даже, что сама Флатландия не плоскость, а двумерная сфера очень большого радиуса (настолько большого, что на ограниченном обитаемом участке Флатландии кривизна незаметна); большинство из этих смельчаков были сожжены на кострах за вольнодумство. Вот так и мы, если уж допускаем четырёхмерное пространство как некую недоступную нам реальность, то допускаем и существование «геометрической» трёхмерной сферы. Не исключено, что все мы как раз и пребываем в трёхмерной сфере, каковой является наша Вселенная. В осознании такой возможности некоторую роль играет результат Перельмана.

Геометрия положения

Все понятия и факты, о которых говорилось до сих пор в этой главе, принадлежали так называемой метрической геометрии, которая основана на понятии расстояния и изучает метрические инварианты, т. е. свойства, общие для всех изометричных друг другу фигур. Именно эту геометрию изучают в средней школе. А разве бывает другая? Бывает, и к этой другой (возможно, точнее было бы сказать «к одной из таких других») мы собираемся перейти. Вот два примера геометрических задач, никак не связанных с понятием расстояния:

задача Мёбиуса – в 1840 г. Август Фердинанд Мёбиус, о котором будет рассказано в главе 12, предложил такую задачу: «Жил-был король, и было у него пять сыновей. В своём завещании он указал, что после его смерти королевство должно быть разделено между его сыновьями на пять областей, причём каждая область должна иметь общую границу с каждой из остальных четырёх. Может ли быть исполнено это завещание?»;

задача о пяти городах – можно ли пять городов соединить, каждый с каждым, непересекающимися дорогами?

Для обеих задач ответ отрицательный. Произвольно выберите пять точек на какой-либо поверхности и попытайтесь соединить их каждую с каждой непересекающимися линиями, проходящими по той же поверхности. Вы легко сделаете это на поверхности тора. А вот ни на плоскости, ни на сфере сделать это вам не удастся.

Не удастся также исполнить королевское завещание в любом королевстве, расположенном на плоскости или на сфере. На торе же может сыскаться королевство, в котором последняя воля короля будет исполнена. Заметим, что из отсутствия решения для задачи о пяти городах вытекает отсутствие решения и для задачи Мёбиуса. В самом деле, если бы разделение королевства на пять областей, удовлетворяющее требуемому свойству, было возможным, то, соединив столицы соседних областей дорогой, пересекающей общую границу, мы получили бы пять городов, соединённых непересекающимися дорогами.

Чтобы не перегружать изложение, мы не формулировали явно, а лишь подразумевали нижеследующее требование. Предполагается, что каждая область гомеоморфна кругу.

Подробнее о понятии гомеоморфии мы поговорим в главе 11. Пока же нам будет достаточно следующего понимания фразы «область гомеоморфна кругу». Нанесём нашу область на плёнку, сделанную из неограниченно растяжимого и неограниченно сжимаемого материала, и вырежем её из плёнки по контуру границы. Гомеоморфность кругу означает, что без разрывов и склеиваний нашу область можно деформировать в круг. Например, кругу гомеоморфен не только квадрат и вообще любой многоугольник, но и боковая поверхность конуса, а также боковая поверхность цилиндра, если прорезать в ней щель.

А вот вам ещё один пример – эйлерова характеристика поверхности. Вообразим себе планету, поверхность которой состоит из материка и окружающего его океана. На материке расположены страны, каждая из которых как геометрическая фигура гомеоморфна кругу. (Для ясности: Италия не такова, в состав её входят острова, и уже потому она не гомеоморфна кругу. Впрочем, не такова и её материковая часть, поскольку Ватикан и Сан-Марино создают в ней «дыры».) Океан, царство Нептуна, также объявляется страной. Нарисуем на глобусе политическую карту планеты. Узлом назовём всякую точку, где сходятся несколько границ, ребром – участок границы между соседними узлами. К общему числу стран прибавим общее число узлов и затем вычтем общее число рёбер. Мы обязательно получим число два. Данный факт и составляет содержание знаменитой теоремы Эйлера, в справедливости которой приглашаем читателя убедиться на примерах. Число два называется эйлеровой характеристикой сферы.

Оказывается, эйлерова характеристика существует у многих поверхностей (в частности, у любой компактной поверхности, а что это такое, будет разъяснено в главе 11). Наличие у данной поверхности эйлеровой характеристики означает следующий замечательный факт: какую карту ни начерти на рассматриваемой поверхности, вычитание числа границ из суммы числа стран и числа узлов всегда даёт один и тот же результат. Любознательный читатель может сам подобным же образом вычислить эйлерову характеристику поверхности тора и убедиться, что она равна нолю. Для этого достаточно нарисовать какую-нибудь карту на торе, не забывая при этом, что каждая страна должна быть гомеоморфна кругу, а затем из суммы числа стран и числа узлов вычесть число рёбер.

Все приведённые наглядные примеры принадлежат геометрии положения. Довольно давно было замечено, что некоторые геометрические задачи, подобные задаче о пяти городах и дорогах между ними, имеют качественный (а не количественный!) характер. Вот другая задача того же типа: провести непересекающиеся дороги от каждого из трёх домов к каждому из трёх колодцев; ни на плоскости, ни на сфере это невозможно, но возможно на поверхности тора. Для исследования таких задач совершенно несущественны размеры фигур и даже пропорции этих размеров – существенно лишь взаимное расположение точек и линий. Математическую дисциплину, которая этим занимается, ещё до её возникновения Лейбниц предложил называть Analysis situs (анализ положения) или Geometria situs (геометрия положения). Пуанкаре писал в трактате «Наука и метод» в главе «Будущее математики»:

Есть дисциплина, которую называют Analysis situs и предметом изучения которой являются соотношения расположений различных элементов фигуры независимо от их величины. Эта геометрия – чисто качественная: её теоремы остались бы справедливыми, если бы точные фигуры были заменены грубыми изображениями, созданными ребёнком. Можно построить также Analysis situs более чем трёх измерений. Важность Analysis situs огромна, и я не думаю, чтобы его значение могло быть преувеличено…

Смеем надеяться, что слова о более чем трёх измерениях не остались не замеченными читателем.

Есть две известные задачи геометрии положения, взятые из реальной жизни, причём вторая имела и практическое значение.

Первая – это знаменитая задача о кёнигсбергских мостах. Река Прегóля (Прегель), протекающая через город Кёнигсберг (переименованный 4 июля 1946 г. в честь скончавшегося 3 июня того же года, но никак не связанного с городом М. И. Калинина в Калининград), образует различные протоки, через которые были перекинуты семь мостов. На рис. 8 представлена старинная карта города. Буквы и цифры, добавленные к ней, обозначают части города (А – Альтштадт, Б – Кнайпхоф, В – Ломзе, Г – Форштадт) и мосты [в порядке строительства: 1 – Лавочный (Торговый), 2 – Зелёный, 3 – Рабочий (Мусорный), 4 – Кузнечный, 5 – Деревянный, 6 – Высокий, 7 – Медовый][82]. Рис. 10 воспроизводит план расположения мостов, начертанный самим Эйлером. Если на этом плане прочесть их немецкие названия, то можно увидеть, что карта на рис. 8 и план на рис. 10 повёрнуты относительно друг друга. В схематическом виде план Эйлера повторён на рис. 9. Немецкие названия мостов написаны на плане не слишком разборчиво, поэтому мы приведём их здесь, слегка осовременив орфографию (Эйлер для всех названий употреблял раздельные написания): a – a – Krämerbrücke (Лавочный, или Торговый, мост), b – b – Schmiedebrücke (Кузнечный мост), c – c – Grüne brücke (Зелёный мост), d – d – Köttelbrücke (Рабочий, или Мусорный, мост), e – e – Honigbrücke (Медовый мост), f – f – Holzbrücke (Деревянный мост), g – g – Hohe brücke (Высокий мост).

На Эйлеровом плане видна надпись: Comment. Acad. Sc. Она расшифровывается как Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, что в переводе с латинского означает «Записки Императорской Санкт-Петербургской Академии наук». Именно в восьмом томе этих «Записок» (с. 128–140) была в 1736 г. опубликована статья Эйлера «Решение одной проблемы, относящейся к геометрии положения» («Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis»), едва ли не первая публикация об этом разделе геометрии. Проблема, которую решал Эйлер, состояла в следующем: можно ли прогуляться по в сем кёнигсбергским мостам, не пройдя ни по одному из них дважды? Эйлер доказал, что нельзя. На какой из рисунков (рис. 8, 9 или 10) следует опираться при решении данной задачи? Очевидно, что это не играет никакой роли, потому что задача принадлежит геометрии положения, для которой важно только взаимное расположение элементов, а не их точная форма.

Вторая задача не менее (а в математической среде, пожалуй, даже более) знаменита. Это так называемая проблема четырёх красок. На географических картах административные единицы, имеющие общий участок границы, для удобства принято закрашивать разными цветами. Такую раскраску называют правильной. В 1852 г. при составлении карты деления Англии на графства возник вопрос: каким минимальным числом цветов можно обойтись? Для той конкретной карты хватало четырёх цветов, как хватало их и для всех воображаемых карт, которые удавалось придумать. Но оставалась возможность того, что есть такая карта (скажем, территориально-административного деления Марса), что четырёх цветов оказалось бы недостаточно для её правильной раскраски. Всегда или нет, для любой ли реальной или воображаемой карты хватает четырёх цветов – вот в чем состоит проблема четырёх красок. Наименьшее число цветов, достаточное для правильной раскраски любой мыслимой карты на сфере, называют хроматическим числом сферы. Ясно, что хроматическое число одно и то же для всех сфер. Проблему четырёх красок, следовательно, можно сформулировать так: верно ли, что хроматическое число сферы равно четырём? Но вот обстоятельство, на которое редко обращают внимание: заранее неясно, существует ли хроматическое число сферы вообще. А вдруг можно строить всё более и более сложные карты, раскраска которых требует всё большего и большего числа цветов? В 1890 г. удалось доказать, что для правильной раскраски любой мыслимой карты достаточно пяти цветов. Тем самым было доказано, что хроматическое число сферы существует и что оно не превосходит пяти.

На торе можно нарисовать 7 стран, каждая из которых граничит с 6 другими (рис. 11). Поэтому хроматическое число тора, если оно существует, не может быть меньше 7. Не знаю, когда точно, но к 1940-м гг. уже было доказано, что хроматическое число тора действительно существует и что оно равно 7. Было найдено и хроматическое число поверхности кренделя – 8. В 1954 г. немецкий математик Герхард Рингель (Gerhard Ringel, 1919–2008) опубликовал доказательство существования хроматических чисел для всех замкнутых поверхностей[83], имеющихся в трёхмерном евклидовом пространстве[84]; более того, для каждой из таких поверхностей он указал такие три последовательных натуральных числа, что одно из них непременно является хроматическим числом данной поверхности. Но проблема четырёх красок оставалась нерешённой.

В 1976 г. было анонсировано, а в 1977 г. изложено доказательство того, что для сферы и плоскости всегда хватает и четырёх цветов; однако оно очень сложно и к тому же опирается на длительные компьютерные вычисления; поэтому не все убеждены в полной корректности этого доказательства. Тем не менее практически все уверены, что хроматическое число сферы и плоскости равно 4.

Всё это факты геометрии положения, где точная форма не имеет значения. Карту можно нарисовать не на плоскости, а на платке, сам же платок смять; сферу можно подвергнуть сжатию, растяжению, сминанию и вообще любой деформации без разрывов и склеиваний, превратить её в поверхность груши, например; тор можно растянуть; крендель – сдавить. Хроматические числа от этого не изменятся.

Глава 11

От геометрии положения к топологии

Продолжим наши попытки разъяснить формулировку гипотезы Пуанкаре. С этой целью прежде всего напомним эту формулировку: всякое односвязное трёхмерное компактное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.

«Да что же это такое?! – в сердцах воскликнет читатель. – Автор не удосужился даже перечитать ту формулировку, которую сам же привёл в конце главы 9! Ведь там не было слов "без края"!» Действительно, не было. Дело в том, что математическая терминология точна, но, к сожалению, не однозначна: один и тот же термин подчас употребляется, увы, в разных смыслах. (Мы уже столкнулись с неоднозначностью термина «натуральное число»: при одном понимании число ноль считается натуральным, при другом – нет.) В применении к многообразиям в ходу две терминологические системы. Первая допускает, что многообразия могут как иметь край, так и не иметь его; в её рамках противопоставляются многообразия с краем и многообразия без края, и те и другие называются многообразиями. Вторая система называет многообразиями только те объекты, которые в первой системе именуются многообразиями без края; в рамках этой системы многообразия противопоставляются многообразиям с краем; в этой второй терминологии термин «многообразие с краем» надлежит рассматривать как словосочетание неделимое, а не как означающее такое многообразие, которое имеет край. Дабы сделать формулировку более короткой, в главе 9 мы использовали вторую терминологическую систему[85]. В данной главе нам встретятся многообразия с краем, и, чтобы читатель не запутался, мы будем использовать более контрастную первую систему.

В приведённой только что формулировке выделим понятия, разъяснения коих сделает формулировку понятной. Понятие компактного многообразия без края естественно расщепляется на два: 'компактное многообразие' и 'многообразие без края'. Тогда возникают пять понятий: 'односвязное', 'компактное многообразие', 'многообразие без края', 'гомеоморфно', 'трёхмерная сфера'.

Что такое трёхмерная сфера, мы, как могли, объяснили в предыдущей главе. Самым простым из тех четырёх понятий, которые ещё осталось разъяснить, является понятие односвязности. С него мы и начнём.

Односвязность

Представим себе резинку, которую продают под названием «банковская» и одни называют канцелярской, другие аптечной, т. е. резиновую нить со склеенными концами; при покупке небольшого числа мелких предметов, скажем, карандашей в магазине канцелярских принадлежностей или конвалют (пластиковых матриц с ячейками для таблеток или пилюль) в аптеке, ею часто скрепляют покупку. Вообразим резинку столь упругой, что она, если её не удерживать, стремится стянуться в точку, и столь умной, что ради стягивания в точку она готова пойти и на растяжение: например, если натянуть резинку на «талию» песочных часов, она, чтобы сжаться в точку на вершине колбы, вынуждена будет растянуться, проходя через верхнюю половину колбы. Геометрическая фигура называется односвязной, коль скоро расположенная в её пределах резинка при любом своём расположении (!) имеет возможность беспрепятственно стянуться в точку, не выходя за пределы рассматриваемой фигуры. Поясним сказанное на примерах. Круг односвязен, но, если в нём проделать дыру, он перестанет быть односвязным. Конечно, и в случае круга с дырой можно так разместить в нём резинку, чтобы ничто не препятствовало её стягиванию в точку. Но если мы обведём резинку вокруг дыры, то стянуть её в точку окажется невозможным: дыра помешает. А для односвязности нужно, чтобы стягивание в точку было возможным при любом расположении резинки.

Поверхность стола и поверхность глобуса односвязны, а поверхность большинства современных унитазных сидений[86], поверхность спасательного круга и боковая поверхность цилиндра не односвязны. Шар и цилиндр односвязны, а бублик – нет; не односвязен и крендель. Говоря об односвязности пространственных тел, мы делаем несколько фантастическое допущение, что резинка вольна свободно перемещаться в толще тела (в наших примерах – в мякише бублика или кренделя). Рекомендуем читателю обнаружить такие расположения резинки внутри бублика, а также на поверхности унитазного сиденья, поверхности спасательного круга и боковой поверхности цилиндра, при которых резинка не может стянуться в точку, не покидая названных фигур. Вопрос к читателю: односвязно или нет тело, представляющее собою 1) шар, в котором имеется полость, 2) чашку с ручкой и 3) чашку с отбитой ручкой? Можно доказать, что трёхмерная сфера односвязна.

Наш очерк не претендует на математическую строгость, поэтому определения односвязности в терминах стягивающейся резинки вполне достаточно для наших целей. Тем не менее читатель вправе знать, что такое определение не может считаться математически точным.

Многообразия

Наша следующая тема – многообразия, в частности компактные. Многообразия представляют собою важнейший класс топологических пространств, и, чтобы правильно и полно определить понятие многообразия, следовало бы сначала определиться с тем, что такое топологическое пространство и что такое гомеоморфизм. Иными словами, начать с вводного курса топологии. По понятным причинам делать этого мы не будем, а скрепя сердце пожертвуем и общностью, и точностью. Мы ограничимся рассмотрением многообразий, которые являются геометрическими фигурами. А геометрическая фигура всегда располагается в каком-то из евклидовых пространств, являясь подмножеством точек этого пространства. Такое ограничение, казалось бы, сужает понимание и проблемы Пуанкаре, и результата Перельмана, но на самом деле сужает только формально, поскольку каждое компактное многообразие в общем топологическом смысле этого термина гомеоморфно некоторой геометрической фигуре. Слово «гомеоморфно» будет разъяснено ниже, а некоторые детали прояснятся в конце этой главы.

Отличительным свойством многообразия без края является его локальная однородность: вблизи любой своей точки оно устроено так же, как вблизи другой. Если вырезать из такого многообразия два кусочка в разных местах, то эти кусочки в некотором глубоком смысле нельзя отличить один от другого. Окружность, сфера, прямая, плоскость, трёхмерное пространство – вот наглядные примеры многообразий без края. Край нарушает указанную однородность. Например, у шара краем является ограничивающая его сфера; и кусочек шара, содержащий хотя бы одну точку этой сферы, резко отличается от кусочков того же шара, таких точек не содержащих. Точки геометрической фигуры, принадлежащие её краю, называются краевыми.

В многообразии окрестности всех точек, за исключением краевых, устроены одинаково. При этом под окрестностью какой-либо точки A понимается совокупность всех точек, расположенных вблизи от этой точки A. Конечно, и слово «вблизи», и словосочетание «устроены одинаково» нуждаются в уточнении, без какового тем не менее мы их пока оставляем. Заметим лишь, что мы имеем в виду качественное устройство без учета размеров; с такого рода устройством мы встречались в предыдущей главе, когда говорили о геометрии положения. Точки, не являющиеся краевыми, называются внутренними. Повторим: многообразие вокруг каждой из его внутренних точек устроено так же, как и вокруг любой другой внутренней точки. Микроскопическое[87] существо, находящееся в одной из внутренних точек и способное видеть только ближайшие к нему точки этого многообразия, не в состоянии определить, в какой именно точке оно, существо, находится: вокруг себя оно всегда видит одно и то же.

Многообразия могут иметь любую размерность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы Т. Край этой линии состоит из трёх точек: одна точка – в самом низу и две – вверху, в концах «перекладины». Как ни понимай смысл слова «вблизи», окрестностью любой из этих краевых точек будет отрезок с концом в рассматриваемой точке. Окрестностью любой из остальных точек, кроме одной, служит отрезок, содержащий данную точку между своими концами[88]. Но есть здесь и особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек. Это та точка, в которой «вертикальная палочка» утыкается в «перекладину»; в этой точке образуется то, что на языке дорожного движения называется Т-образным перекрёстком. Именно поэтому линия в форме буквы Т не является многообразием. Другой пример одномерного немногообразия – линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии; краевых точек тут нет. Не является многообразием и одномерная фигура, составленная из двух пересекающихся (или же касающихся друг друга, так что возникает восьмёрка) окружностей; здесь особыми будут точки пересечения (или точка касания).

Чтобы читатель лучше усвоил понятие многообразия, приведём ещё два примера геометрических фигур, многообразиями не являющихся. Физические прообразы их – две детские игрушки: воздушный шарик с удерживающей его нитью и ватно-поролоновый шарик с прикреплённой к нему резинкой; на геометрическом языке это двумерная сфера с приклеенной линией и шар с приклеенной линией. Точки, где происходит приклеивание, – особые. Сфера вместе с пересекающей её плоскостью не является многообразием, поскольку та окружность, по которой происходит пересечение, сплошь состоит из особых точек.

В силу сказанного многообразие без края – это геометрическая фигура, целиком состоящая из внутренних точек. Надеемся, что читатель не забыл ещё разницу между отрезком и интервалом, которой обучают в школе. Отрезок имеет два конца, он состоит из этих концов и всех точек, расположенных между ними. Интервал же состоит только из всех тех точек, которые расположены между его концами, сами же концы в интервал не входят; можно сказать, что интервал – это отрезок с удалёнными концами, а отрезок – это интервал с добавленными к нему концами. Ещё бывают полуинтервалы: полуинтервал – это интервал, в который добавлен один из его концов (иначе говоря, отрезок, у которого удалён один из его концов). Прямая, интервал, отрезок, полуинтервал, окружность служат примерами одномерных многообразий, причём прямая, интервал и окружность суть многообразия без края, а отрезок и полуинтервал – многообразие с краем; край в случае отрезка состоит из двух концов, а в случае полуинтервала – из одного.

Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразий без края. Плоскость с вырезанной в ней дырой также будет многообразием, а вот с краем или без края – зависит от того, куда мы относим контур дыры. Отнеся его к дыре, получим многообразие без края; если оставим контур на плоскости, получим многообразие с краем, каковым и будет служить этот контур. Разумеется, мы имели здесь в виду идеальное математическое вырезание, а при реальном физическом вырезании, скажем, вырезании дыры ножницами в листе бумаги, вопрос, куда относится контур, не имеет никакого смысла.

Несколько слов о трёхмерных многообразиях. Шар вместе со сферой, служащей его поверхностью, представляет собою многообразие с краем; указанная сфера как раз и является этим краем. Если мы удалим этот шар из окружающего пространства, получим многообразие без края. Если мы сдерём с шара его поверхность, получится то, что на математическом жаргоне называется «ошкуренный[89] шар», а в научном языке, как нам уже известно из предыдущей главы, – открытый шар. Если удалить открытый шар из окружающего пространства, получится многообразие с краем, и краем будет служить та самая сфера, которую мы содрали с шара. Баранка вместе с корочкой есть трёхмерное многообразие с краем, а если отодрать корочку (которую мы трактуем как бесконечно тонкую, т. е. как поверхность), получим многообразие без края в виде «ошкуренной баранки». Всё пространство в целом – то трёхмерное евклидово пространство, которое известно нам из средней школы, – есть трёхмерное многообразие без края.

Настало время попытаться определить, что такое компактное многообразие. Для большей наглядности мы начнём с двумерных многообразий, от коих сперва спустимся к одномерным, а потом поднимемся до трёхмерных. Двумерное компактное многообразие – это такая поверхность, которую можно сшить из конечного числа лоскутов. Например, простыня, если трактовать её как поверхность, представляет собой двумерное компактное многообразие с краем. Дырявая от ветхости простыня остаётся двумерным компактным многообразием с краем; край этого многообразия состоит из точек, расположенных как по старым, до появления дыр, краям простыни, так и по краям дыр. Лоскутных простыней мне видеть не довелось, а вот лоскутные одеяла я видел. Они представляют собою сшитый из лоскутов чехол, набитый утеплителем, обычно ватой или пухом. Чехол лоскутного одеяла, до того как он набит и зашит, является двумерным компактным многообразием с краем. А вот если его зашить, но не простёгивать, он становится двумерным компактным многообразием без края (если же простегать, он перестаёт быть многообразием, поскольку все точки стежков – особые). Повторим определение: двумерное компактное многообразие – это поверхность, которую можно сшить из конечного количества лоскутов. Слова о конечном количестве кажутся ненужными. Какой смысл говорить о бесконечном количестве лоскутов? Необходимость противопоставления конечного и бесконечного количеств будет вскоре объяснена. Пока что заметим, что математики предпочитают употреблять глагол «склеивать», а не «сшивать». Поэтому можно сказать и так: двумерное компактное многообразие – это поверхность, которую можно склеить из конечного количества лоскутов. Под лоскутом же следует понимать любую поверхность, которую можно получить из замкнутого круга, изгибая, комкая, растягивая и сжимая его как угодно, но только не разрывая и не склеивая с самим собой. С понятием лоскута (но не с термином) мы уже встречались в главе 10, в разделе о геометрии положения, когда говорили о граничащих друг с другом областях. То, что мы называли областью в главе 10, и то, что мы называем лоскутом сейчас, – одно и то же.

Стандартный футбольный мяч, как известно, склеен (или сшит?) из 32 лоскутов. Что ещё можно склеить из лоскутов? Боковую поверхность цилиндра – это будет многообразие с краем. Но можно склеить и спасательный круг, т. е. на математическом языке – поверхность тора; эта поверхность края не имеет. Поверхность спортивной гири (рис. 12) даёт ещё один пример двумерного компактного многообразия без края.

Можно представить себе гирю настолько тяжёлую, что один человек её не поднимет, самое меньшее – два силача. Тогда к ней следует приделать не одну, а две ручки. Легко представить и гирю, неясно для чего нужную, с тремя ручками (рис. 13), с четырьмя (для четырёх силачей) и вообще с любым числом ручек. Поверхность каждой из таких гирь является двумерным компактным многообразием без края. (Сами же гири суть трёхмерные многообразия с краем.)

Круг является, конечно же, компактным многообразием, но с краем, каковым является ограничивающая круг окружность. Отдерём эту окружность от круга (разумеется, это можно проделать только мысленно). Получится фигура, которая в предыдущей главе была названа открытым кругом. Открытый круг не имеет края, но зато и не является компактным многообразием: его нельзя составить из конечного числа лоскутов. Читатель, верно, уже понял, что такое открытый квадрат – это квадрат без своего периметра. Как и открытый круг, он не является компактным многообразием.

В случае одномерных многообразий роль лоскутов выполняют куски нити. Желая придумать какой-нибудь термин, аналогичный термину «лоскут», мы оказались не способны найти что-либо более удачное, чем слово «обрывок». На языке геометрии обрывок – это линия, которую можно получить из отрезка деформацией, подобной той, с помощью которой мы получали лоскут из круга. Иными словами, обрывок – это то, что можно получить из отрезка, как угодно его изгибая, растягивая и сжимая; запрещаются только разрывы и склеивания. Одномерным компактным многообразием называется всякая линия, которую можно склеить из конечного числа обрывков. При этом подразумевается, что обрывки склеиваются своими концами: конец одного обрывка или не склеивается ни с чем (и тогда возникает край многообразия), или же склеивается с ровно одним концом ровно одного другого обрывка. При таком способе склеивания букву Т, которая служила для нас первым примером немногообразия, получить никак невозможно: при попытке склеить эту букву мы вынуждены будем в особой точке либо склеить один из обрывков с внутренней точкой другого, либо склеить концами сразу три обрывка. Нельзя получить и линию в форме восьмёрки. (При склеивании из лоскутов двумерных многообразий подразумевалось, что лоскуты склеиваются своими краями.) Примерами одномерных компактных многообразий могут служить отрезок и окружность, а также всё, что можно получить из этих фигур, деформируя их как угодно, но только без разрывов и склеиваний. Отрезок, а также всякая линия, которая может быть получена из него деформацией (например, конечный участок любого из тех графиков функций, которые проходят в школе), является одномерным компактным многообразием с краем. Окружность, а также всякая линия, которая может быть получена из неё деформацией (например, обе линии на рис. 14), являются одномерными компактными многообразиями без края. Других примеров одномерных компактных многообразий не существует. (Ни интервал, ни полуинтервал не являются компактными многообразиями.)

Можно ли склеить из обрывков прямую? Можно, но для этого потребуется бесконечное число обрывков. Склеить прямую из конечного числа обрывков невозможно; в силу ранее сказанного это значит, что прямая не компактна. Аналогично плоскость можно склеить из бесконечного числа лоскутов, но нельзя – из конечного; это значит, что плоскость не компактна. Покажем, как из бесконечного числа обрывков можно склеить полуинтервал. Возьмём прямую и будем строить на ней бесконечное число отрезков. Начнём с произвольного отрезка А_0А_1. Пусть его длина равна l. К концу А_1 этого отрезка приклеим отрезок А_1А_2 длины l/2. К точке А_2 приклеим отрезок А_2А_3 длины l/4. И будем подклеивать всё новые и новые отрезки, причём так, чтобы длина каждого отрезка составляла половину длины предыдущего. Из всех этих отрезков, число коих бесконечно, составится полуинтервал длины l + l/2 + l/4 + l/8 +… = 2l с концом в А_0. А если ещё тем же способом подклеивать отрезки с другой стороны исходного отрезка, получится интервал. Надеемся, что читатель сумеет склеить из бесконечного количества лоскутов как открытый круг, так и открытый квадрат.

Мы в состоянии теперь дать общее определение одномерных или двумерных многообразий безотносительно к тому, являются они компактными или нет. Многообразие – это такая геометрическая фигура, которую можно склеить из конечного или бесконечного числа лоскутов (тогда многообразие двумерно) или обрывков (тогда многообразие одномерно).

Призываем читателя, прежде чем двигаться дальше, подумать, как следует определить трёхмерное многообразие.

Сперва надо указать те элементарные «кирпичики», из которых складывается любое трёхмерное многообразие. В случае двумерных многообразий такими «кирпичиками» были лоскуты, в случае одномерных многообразий – обрывки. Чтобы выдержать единство стиля, трёхмерные кирпичики мы назовём комками. Комок – это тело, которое можно получить из шара путём его деформации; при этом шар разрешается мять, растягивать и сжимать, но не разрешается делать склейки и разрывы. Вот пример запрещённой деформации: скатаем шар в цилиндр, а концы цилиндра склеим; мы получим тор, который комком не является. Трёхмерное многообразие – эта такая геометрическая фигура, которая может быть получена склеиванием конечного или бесконечного числа комков. Для склеивания шара, тора, гири с ручками достаточно конечного числа комков; поэтому все эти фигуры суть компактные многообразия. А вот ошкуренный шар или всё пространство можно склеить лишь из бесконечного количества комков, поэтому эти многообразия не являются компактными.

Однако мы обязаны предупредить читателя вот о чём: в главе 12 мы встретимся с компактным двумерным многообразием (а именно бутылкой Клейна), не умещающимся в трёхмерном евклидовом пространстве. Чтобы склеить его из лоскутов, надо выйти из трёхмерного пространства в четырёхмерное. Трёхмерная сфера, являющаяся компактным многообразием, не помещается в трёхмерном пространстве. Чтобы склеить её из комков, также надо выйти в четырёхмерное пространство. А бывают и такие трёхмерные многообразия, для которых не хватает и четырёхмерного пространства, и они требуют для своего размещения пространства пятимерного (слава богу, для размещения трёхмерных многообразий не требуется привлечения пространств с числом измерений, бóльшим пяти). Все наши операции по склеиванию многообразий из обрывков, лоскутов, комков и т. д. были чисто мысленными, а тут, как видим, ещё прибавилась трудность, которая весьма и весьма напрягает мысль, – необходимость для некоторых многообразий выходить в пространства высоких измерений.

Гомеоморфизмы, гомеоморфия, топология

Слово «гомеоморфия» пугает непосвященного, но скрывающееся за ним понятие весьма естественно. Предварим разъяснения философическими комментариями. Не могу вспомнить, у кого я вычитал следующую мудрую сентенцию: наука начинается там, где устанавливаются понятия одинаковости и различия. Когда эти понятия установлены, то определяется и совокупность тех свойств, которые являются общими у одинаковых предметов. Именно изучение этих общих свойств, каковые естественно назвать инвариантами, составляет основу того или иного раздела науки.

Проиллюстрируем сказанное примером из зоологии. В самом элементарном смысле каждая собака одинакова только сама с собой, но уже на следующей ступеньке абстракции одинаковы все таксы и все сенбернары. (Кинологи меня убьют, справедливо заявив, что таксы – это целая группа пород, а сенбернары бывают двух разновидностей – длинношёрстные и короткошёрстные, так что предложенная ступенька не является следующей.) Затем можно считать, что одинаковы все собаки, отличая их, однако, от волков и лисиц. Далее можно и собак, и волков, и лисиц признать одинаковыми, как представителей семейства псовых (они же собачьи, они же волчьи). И так вплоть до одинаковости всех живых организмов. Этот пример показывает, что чем более либерально представление об одинаковости, чем меньше объём тех свойств, которые должны совпасть у двух предметов для признания их одинаковыми, тем важнее и глубже становится само понятие одинаковости, ведь очевидно, что различие между собакой и камнем важнее и глубже различия между собакой и кошкой. Инварианты, присущие всем живым организмам, и составляют основной предмет изучения биологии.

Уже в школьной геометрии мы встречаемся с двумя видами одинаковости – конгруэнтностью фигур и их подобием. Как мы уже говорили, в школе конгруэнтные фигуры как бы не различают и потому называют их равными. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые размеры во всех своих деталях (т. е. изометричны). Подобие же, не требуя одинаковости размеров, означает одинаковость пропорций этих размеров; поэтому подобие отражает более сущностное сходство фигур, нежели конгруэнтность. (А изометрия занимает промежуточное, хотя и очень близкое к конгруэнтности, положение между конгруэнтностью и подобием.)

Гомеоморфия – это наиболее глубокая степень геометрической одинаковости. Сейчас мы попытаемся дать приблизительное объяснение этому понятию путём постепенного к нему приближения.

Геометрия в целом стоит на более высокой ступени абстракции, нежели физика, а физика – чем материаловедение. Возьмём, к примеру, шарик подшипника, бильярдный шар, крокетный шар и мяч. Физика не вникает в такие детали, как материал, из которого они сделаны, а интересуется лишь такими свойствами, как объём, вес, электропроводность и т. п. Для математики все они шары, различающиеся только размерами. Если шары имеют разные размеры, то они различаются для метрической геометрии, но одинаковы для геометрии подобия. Поэтому геометрия подобия более абстрактна, чем метрическая геометрия. С точки зрения геометрии подобия одинаковы и все шары, и все кубы, а вот шар и куб не одинаковы. Метрическая геометрия изучает те инварианты, те свойства, которые являются общими для всех конгруэнтных друг другу фигур, а геометрия подобия – те инварианты, которые являются общими для всех фигур друг другу подобных.

А теперь посмотрим на тор. Призываем благосклонного читателя осознать, что шар и куб «более одинаковы» между собой, чем каждый из них и тор. Наполнить это интуитивное осознание точным смыслом позволяет следующий мысленный эксперимент. Представим себе трёхмерную геометрическую фигуру (тело) сделанной из материала столь податливого, что его можно изгибать, растягивать, сжимать и вообще деформировать как угодно – нельзя только ни разрывать, ни склеивать. На рис. 15[90] изображены три тела, шар и ещё два, каждое из которых можно преобразовать в любое другое деформацией указанного вида.

Когда говорят о запрете на склеивание, это означает, что две разные точки не должны склеиваться в одну. Пример запрещённой деформации показан на рис. 16.

Левая фигура на рис. 16 деформируется в среднюю вполне законно, а вот при переходе от средней фигуры к правой как раз и происходит склеивание. Законно деформировать правую фигуру в среднюю тоже не удаётся: в этом случае, напротив, произойдёт разрыв.

Очевидно, что деформацией без разрывов и склеиваний шар можно превратить в куб, но вот в тор превратить невозможно. С другой стороны, в тор можно превратить гирю с одной ручкой (см. рис. 12), а вот в гирю с двумя ручками превратить тор нельзя. Превращение тора в кружку с ручкой и обратно читатель может наблюдать на сайте «Википедии», на движущейся картинке в статье «Топология»[91].

Не назвав этого понятия, мы уже познакомились с гомеоморфией. Две фигуры называются гомеоморфными, если одну можно превратить в другую путём деформации без разрывов и склеиваний; сами такие деформации называются гомеоморфизмами. Все фигуры, изображённые на рис. 15, гомеоморфны друг другу, тор гомеоморфен гире с одной ручкой и кружке с ручкой. Шар гомеоморфен кубу и пирамиде, но не гомеоморфен ни тору, ни кренделю, а последние два тела не гомеоморфны между собой. Явление гомеоморфии изучается в высшем разделе геометрии – топологии, и потому гомеоморфизмы называются также топологическими преобразованиями.

Комок (как мы его определили выше в разделе о многообразиях) – это тело, гомеоморфное шару.

Толковый словарь Ушакова определяет крендель как выпечку (сдобную витую булку) в форме буквы В. С той точки зрения, которая выражена в понятии гомеоморфии, и выпечка в форме буквы В, и выпечка в форме цифры 8, и выпечка в форме греческой буквы θ (теты, которая в русском письменном языке дореволюционной орфографии стала фитой) имеют одну и ту же форму. Даже если предположить, что хлебопёки сумели получить тесто, обладающее вышеуказанными свойствами податливости, колобок невозможно путём гомеоморфизма превратить ни в баранку, ни в крендель, как и два последних вида выпечки – друг в друга. А вот превратить шарообразный колобок в куб или в пирамиду можно. Любезный читатель сумеет найти и такой вид выпечки, в который нельзя превратить ни колобок, ни бублик, ни крендель.

Возможность превращения шара в куб и невозможность превращения его в баранку, а баранки – в крендель говорит о том, что есть некое глубинное геометрическое сходство между кубом и шаром, отсутствующее в других случаях. (Аналогично кит имеет глубинное сходство с мышью, а не с более похожей на него внешне акулой.) Указанное глубинное геометрическое сходство и формализуется в математике в виде гомеоморфии.

До сих пор мы говорили лишь о гомеоморфии трёхмерных фигур. Впрочем, нет, это неверно. Ведь наш лоскут – это, по определению, поверхность, гомеоморфная кругу. Двумерные фигуры под углом зрения гомеоморфии следует представлять себе сделанными из резиновой плёнки, которую можно как угодно мять, растягивать, сжимать; нельзя только эту плёнку ни рвать, ни склеивать; таким образом, допускаются только топологические преобразования. Вырежем из такой плёнки круг. Никаким топологическим преобразованием из него нельзя изготовить продырявленный круг, да и вообще никакой неодносвязный кусок плёнки. Зато его легко превратить в квадрат или в любой другой односвязный кусок. Но ни в поверхность шара, ни в боковую поверхность цилиндра наш круг за счёт гомеоморфизма превратить невозможно, а обе эти поверхности не превращаются ни друг в друга, ни в поверхность тора, ни в поверхность кренделя. Никакие две из рассмотренных только что поверхностей (а это были круг, круг с дыркой, сфера, боковая поверхность цилиндра, поверхность тора и поверхность кренделя) не являются гомеоморфными. Если считать, что на рис. 15 изображены не трёхмерные тела, а их поверхности, то все эти поверхности гомеоморфны друг другу.

Вспомним о спортивных гирях с любым числом ручек. Включим в этот комплект и гирю с нолём ручек (хотя на общечеловеческом языке это будет, скорее, ядро). Если гиря имеет n ручек, то её поверхность (являющаяся, как мы знаем, двумерным компактным многообразием без края) называется в топологии сферой с n ручками. Одна из замечательных теорем топологии гласит, что всякое двумерное компактное многообразие без края, являющееся частью трёхмерного пространства, гомеоморфно сфере с каким-то количеством ручек. (Слова «являющееся частью трёхмерного пространства» существенны, без них теорема неверна. Пример двумерного компактного многообразия без края, в трёхмерном пространстве не помещающегося, будет приведён в главе 12.)

Вернёмся ненадолго к проблеме Пуанкаре. И двумерная, и трёхмерная сфера односвязны, компактны и не имеют края. Вопрос в том, достаточно ли этих двух свойств для однозначного их определения. Однозначность понимается здесь в топологическом смысле, т. е. с точностью до гомеоморфии, ведь в топологии гомеоморфные геометрические фигуры не различаются, они считаются одной и той же фигурой (наподобие того, как одной и той же фигурой считаются конгруэнтные фигуры в школьной геометрии). Для двумерной сферы вопрос (который можно было бы назвать «двумерной проблемой Пуанкаре») ставится, следовательно, так: всякое ли двумерное односвязное компактное многообразие без края гомеоморфно двумерной сфере? Положительный ответ на этот вопрос был известен давно (и уж заведомо известен Пуанкаре). Если же заменить в нём слова «двумерное» и «двумерной» на «трёхмерное» и «трёхмерной», вопрос превращается в знаменитую проблему Пуанкаре, которая 100 лет не поддавалась решению; эту проблему можно назвать «трёхмерной проблемой Пуанкаре».

замечание. У гипотезы Пуанкаре имеются и n-мерные версии, где n > 3. Эти версии формулируются менее элементарно, чем трёхмерная. Они тоже очень трудны, но все же найти их доказательства оказалось проще, чем получить доказательство трёхмерной гипотезы. Эта парадоксальная ситуация чем-то напоминает ту, что сложилась с установлением хроматических чисел поверхностей (см. конец главы 10). Там тоже самым трудным оказалось решить вопрос для сферы; найти хроматическое число для более сложных поверхностей и доказать, что оно является таковым, было делом более простым. В 1960-е гг. была доказана n-мерная гипотеза для всякого n ≥ 5, а для особенно трудного случая n = 4 в начале 1980-х гг. гипотезу доказал Майкл Хартли Фридман (Michael H. Freedman, р. 1951).

Можно говорить и о гомеоморфии одномерных образований – линий. С точки зрения топологии их удобно воспринимать как тонкие резиновые нити, которые допустимо изгибать, растягивать и сжимать, но нельзя рвать и склеивать. Мы вправе теперь сказать, что обрывок – это линия, гомеоморфная отрезку. Дуга окружности – обрывок, она гомеоморфна отрезку. Окружность гомеоморфна периметру квадрата и любой из линий на рис. 14, но не гомеоморфна ни линии, которая состоит из двух окружностей, пересекающихся в двух точках, ни восьмёрке, которую можно понимать как линию, состоящую из двух окружностей, соприкасающихся в одной точке; линия из окружностей, пересекающихся в двух точках, не гомеоморфна восьмёрке. Восьмёрка не гомеоморфна греческой букве θ, а буква В при одном начертании гомеоморфна букве θ, при другом – восьмёрке.

(Читатель не должен видеть противоречия в том, что выпечку в форме цифры 8, или буквы θ, или буквы В мы выше объявили гомеоморфными: ведь выпечка суть не линии, а трёхмерные тела, и указанные её виды можно непрерывно деформировать один в другой.)

Инварианты, общие для всех гомеоморфных друг другу фигур, называются топологическими инвариантами. Один такой инвариант мы уже знаем – это свойство односвязности. Предоставляем читателю осознать, что свойство односвязности действительно есть топологический инвариант, т. е. что фигура, гомеоморфная односвязной фигуре, и сама непременно односвязна. Все факты, относящиеся к геометрии положения вообще и в частности к тем задачам, которые были рассмотрены в конце главы 10, где речь шла о геометрии положения, являются топологическими инвариантами. Например, топологическим инвариантом является хроматическое число поверхности. Топология как раз и изучает топологические инварианты и в этом смысле включает в себя геометрию положения, но далеко не исчерпывается ею, поскольку среди инвариантов, изучаемых в «высокой» топологии, встречаются очень сложные и совершенно не наглядные.

Передо мной лежит небольшая (имеющая тем не менее суперобложку) книга, изданная Гостехтеориздатом в 1932 г., – Иоганн Бенедикт Листинг «Предварительные исследования по топологии». Перевод с немецкого под редакцией и с предисловием Э. Кольмана. На контртитуле указаны название и имя автора на языке оригинала: Vorstudien zur Topologie von Johann Benedict Listing, – а также место и год издания: Göttingen, 1848. Эта книга примечательна тем, что в ней в 1848 г. впервые в печати был употреблён термин «топология» в его немецком варианте – Topologie (в английском языке слово «topology» впервые появилось лишь в 1920 г.). Сам же Листинг использовал этот термин ещё раньше, в 1836 г., в письме своему школьному учителю Мюллеру, которому во многом был обязан интересом к математике и естественным наукам (и благодарен за это). Введение в научный оборот названного термина – бесспорная заслуга Листинга[92]. (Как топологическое сочинение книжка Листинга не слишком содержательна даже по тем временам, и её одарённый автор сам это осознавал, назвав свой труд «предварительными исследованиями»; это скорее расширенный очерк, нежели книга.)

Листингу не нравились ни выражение «Analysis situs», ни «Geometria situs», и термин «топология» призван был заменить их собою. Противопоставляя метрическим соотношениям модальные, Листинг так определял значение нового термина:

Под топологией, таким образом, следует понимать учение о модальных отношениях пространственных образований, или о законах соединения, взаимного расположения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их агрегатов в пространстве, без учёта соотношений меры и величины[93].

Таким образом, топологии в понимании Листинга ещё очень далеко до того, что начали называть этим словом впоследствии, т. е. до общего учения о пространственных формах, рассматриваемых под углом зрения их гомеоморфии[94]. Тем не менее его «Предварительные исследования» сыграли, как нам кажется, немаловажную роль в том, чтобы геометрия положения оформилась в область математики, постепенно развившуюся в топологию в её современном понимании. В знак признания его заслуг узел, изображённый на рис. 17, получил название узел Листинга.

Узлами Листинг заинтересовался под влиянием великого Гаусса, который едва ли не первым увидел в них математическое содержание. Гаусс обратил внимание на весьма способного и усердного студента Гёттингенского университета (Листинг поступил туда в 1830 г.). Листингу посчастливилось войти в круг ближайших учеников Гаусса, по рекомендации которого в 1839 г. он был назначен профессором физики Гёттингенского университета. Вышедшая в 1845 г. монография Листинга вошла в число классических сочинений по физиологической оптике. Биографы его утверждают, что из-за своего характера, а ещё более из-за поведения жены[95], он не был в чести у коллег, а потому его научные заслуги не получили должного признания. Осталось прибавить, что Листинг родился 25 июля 1808 г. и скончался 24 декабря 1882 г.

В заключение этого раздела коснёмся философского аспекта понятия гомеоморфизма. Представим себе мыслящее существо, которое живёт внутри какой-либо геометрической фигуры и лишено возможности посмотреть на эту фигуру извне, со стороны. Для него фигура, в которой оно живёт, образует вселенную. Представим себе также, что когда объемлющая фигура подвергается гомеоморфизму, то вместе с нею деформируется и всё, что находится внутри фигуры, включая все измерительные приборы и само указанное существо. Тогда для этого существа его вселенная не меняется; в частности, изометричные фигуры остаются изометричными (хотя они и перестанут быть таковыми для внешнего наблюдателя). Если, скажем, подвергнутая гомеоморфизму фигура была шаром, то существо никаким способом не может различить, пребывает ли оно по-прежнему в шаре или в том, во что этот шар превратился: например, в эллипсоиде, кубе или пирамиде. Однако для него остаётся теоретическая возможность убедиться, что его новая вселенная не имеет формы тора или кренделя.

Изотопия

Наше определение гомеоморфии – не определение в математическом смысле слова, а скорее, описание – нуждается в серьёзном уточнении. И вот почему. Снова взглянем на рис. 5. Будут ли гомеоморфны две изображённые на нём заузленные верёвки? Попытка преобразовать одну в другую без разрывов и склеиваний проваливается. Тем не менее в топологии эти две трёхмерные геометрические фигуры признаются гомеоморфными. Как же так?

Тут мы должны покаяться перед читателем. Дело в том, что мы его слегка обманули, изложив под видом гомеоморфии близкое, но всё же другое понятие – изотопию.

Обманули из лучших побуждений, чтобы не осложнять изложение и побыстрее ввести читателя в суть понятий. Надеемся, что, ознакомившись с дальнейшим текстом, читатель нас поймёт и простит. В качестве дополнительного оправдания приведём то обстоятельство, что в неформальном описании гомеоморфии мы всего лишь следовали устоявшейся традиции. Например, в уже упоминавшейся (в подстрочном примечании) статье «Топология» Павел Сергеевич Александров, у которого учился топологии автор этих строк, так описывает топологическое преобразование, т. е. гомеоморфизм:

Наглядно топологическое преобразование какой-либо геометрической фигуры (линии, поверхности и т. п.) можно себе представить следующим образом. Предположим, что наша фигура изготовлена из какого-нибудь гибкого и растяжимого материала, например из резины. Тогда можно подвергать её всевозможным непрерывным деформациям, при которых она в одних своих частях будет растягиваться, в других – сжиматься и вообще будет всячески изменять свои размеры и свою форму.

Описывая гомеоморфию двух тел в терминах деформаций, мы молчаливо предполагали, что деформация происходит в трёхмерном пространстве, где и располагаются наши тела. А где же она ещё может происходить? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним рассуждения о конгруэнтности и изометрии из главы 10. На нескольких примерах мы показали, что изометричные фигуры, расположенные в плоскости, могут и не быть конгруэнтны относительно этой плоскости, т. е. могут не совмещаться при перемещении в её пределах. Но любые такие фигуры непременно могут быть совмещены перемещением в трёхмерном пространстве, т. е. они конгруэнтны относительно этого пространства. Теперь взглянем на рис. 4–5. Каждый из них демонстрирует фигуры, которые нельзя совместить перемещением в трёхмерном пространстве, но можно совместить перемещением в четырёхмерном пространстве (всюду – речь об евклидовых пространствах). Следовательно, не будучи конгруэнтными относительно трёхмерного пространства, они являются конгруэнтными относительно пространства четырёхмерного. (Точно так же обстояло дело с прежним Платтнером и его вернувшимся в наш мир зеркальным отражением.) Мы видим, что конгруэнтность есть понятие относительное. Бессмысленно спрашивать, конгруэнтны или нет две фигуры, не уточняя, относительно какого объемлющего пространства ставится вопрос. В отличие от конгруэнтности, изометрия есть понятие абсолютное: для утверждения, что две фигуры являются или не являются изометричными, достаточно предъявить сами эти фигуры, не спрашивая, где они расположены.

Аналогично изотопия (которую мы описали в предыдущем разделе, незаконно окрестив её гомеоморфией) – понятие относительное. Говоря об изотопии, необходимо уточнить, в каком пространстве осуществляется деформация. Заузленные верёвки на рис. 5 не деформируются друг в друга в пределах трёхмерного пространства (чтобы «перетянуть» одну в другую, её необходимо сперва разрезать, а потом склеить). Однако они деформируются («перетягиваются» без разрезов и склеиваний) в пределах пространства четырёхмерного. Иными словами, они изотопны относительно четырёхмерного пространства, но не изотопны относительно трёхмерного пространства.

Чтобы лучше усвоить понятие изотопии, зададимся вопросом: всякие ли две линии, расположенные на плоскости и преобразуемые одна в другую с выходом в трёхмерное пространство, можно преобразовать, оставаясь в пределах плоскости? Плоскость бедна многообразиями, и для них ответ положителен. А вот для произвольных линий ответ отрицательный: достаточно взять замкнутый контур «с хвостом внутрь» и замкнутый контур «с хвостом наружу» (рис. 18). Аналогична ситуация с линиями в трёхмерном пространстве; может случиться, что, будучи преобразуемыми одна в другую в четырёхмерном пространстве, две такие линии не допускают преобразования в рамках трёхмерного пространства: для примера достаточно трёхмерные вёревки с рис. 5 сжать каждую до одномерной нити. (Возникающий здесь пример с нитями показывает, что ответ для линий в трёхмерном пространстве может быть отрицателен и в том случае, если линии являются компактными многообразиями.)

Разумеется, чтобы осознать сказанное, необходимо развить воображение, ведь надлежит представлять себе деформацию геометрических фигур в четырёхмерном пространстве! Но если мы готовы согласиться с перемещениями в этом пространстве, то отчего бы не согласиться и на деформации?

Так что же такое гомеоморфия?

А теперь изложим понятие гомеоморфии более четко. Для этого достаточно уточнить, какое преобразование одной геометрической фигуры в другую мы назовём гомеоморфизмом, поскольку гомеоморфия двух фигур есть не что иное, как возможность преобразовать одну фигуру в другую посредством гомеоморфизма. Итак, приступим.

Перечислим главные свойства гомеоморфизма. Очевидно, во-первых, что каждая точка исходной фигуры переходит в какую-то точку результирующей фигуры (а не уходит в никуда), и притом только в одну точку (а не несколько точек). Во-вторых, никакие две точки исходной фигуры не переходят в одну и ту же точку, иначе произошло бы склеивание, что запрещено. Поэтому возникающее при гомеоморфизме соответствие между точками двух фигур является взаимно однозначным: каждой точке первой фигуры соответствует ровно одна точка второй фигуры, и каждая точка второй фигуры соответствует ровно одной точке первой фигуры.

С понятием взаимно однозначного соответствия мы уже встречались в главе 7. Поскольку при взаимно однозначном соответствии точки не могут склеиваться, запрет на склеивание выполняется автоматически.

Обсудим теперь запрет на разрывы. Здесь потребуется ввести важное геометрическое понятие точки прикосновения. Вот что писал о понятии прикосновения вообще Лобачевский в своём сочинении «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (упомянутом в главе 8):

Прикосновение составляет отличительную принадлежность тел и даёт им название геометрических, когда в них удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие, существенные ли то будут или случайные.

Возьмём какую-нибудь геометрическую фигуру, а в ней – какую-нибудь её часть. Точка нашей фигуры называется точкой прикосновения для рассматриваемой части, если в любой близости от этой точки найдётся хотя бы одна точка указанной части. (Ясно, что каждая точка выделенной части является её точкой прикосновения, ведь в любой близости от неё найдётся она сама.) Понятие 'в любой близости' будет уточнено позже. Теперь же мы можем так сформулировать запрет на разрывы: гомеоморфизм сохраняет отношение прикосновения; это означает, что если в исходной фигуре какая-то точка была точкой прикосновения для какой-то части, то то же будет и с теми точкой и частью результирующей фигуры, в которые перейдут исходные точки и часть. (Рекомендуем читателю убедиться, что отношение прикосновения нарушается при попытке деформировать правую фигуру рис. 16 в среднюю.)

Какой смысл, вообще говоря, несет в себе утверждение, что некоторое свойство или отношение сохраняется при преобразовании? Это можно понимать в двух смыслах – слабом и сильном. Поясним на примерах. Рассмотрим преобразование натурального ряда {1, 2, 3, 4, 5, …} в множество чётных чисел {2, 4, 6, 8, 10, …}, при котором каждое число n переходит в число 2n. Рассмотрим свойство 'делиться на 4'. Ясно, что если n обладает этим свойством, то им обладает и 2n. Мы вправе сказать, что свойство 'делиться на 4' сохраняется при данном преобразовании. Однако 2n может делиться на 4 и тогда, когда n на 4 не делится (например, при n = 6). Здесь сохранение свойства понимается в слабом смысле. Сильный смысл означал бы, что 2n может делиться на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится n.

Именно так будет с тем же свойством 'делиться на 4' при преобразовании натурального ряда в множество {3, 6, 9, 12, 15, …}, при котором каждое число n переходит в число 3n. В дальнейшем сохранение свойств условимся понимать именно в сильном смысле. А именно: говоря про какое-то свойство, что оно сохраняется при данном преобразовании, будем иметь в виду соблюдение двух условий: во-первых, если исходный объект обладает рассматриваемым свойством, то и результирующий объект обладает этим свойством; во-вторых, если исходный объект не обладает этим свойством, то и результирующий объект им не обладает. Точно так же, в сильном смысле, будем понимать сохранение отношений. Слова «отношение сохраняется при данном преобразовании» будут означать следующее: если исходные объекты находятся в этом отношении, то и результирующие объекты находятся в том же отношении; если же исходные объекты не находятся в этом отношении, то и результирующие объекты в нём не находятся.

Суммируя сказанное, можно предложить следующее определение гомеоморфизма: гомеоморфизм есть взаимно однозначное преобразование, сохраняющее отношение прикосновения между точками и частями геометрических фигур.

По сравнению с прежним, неформальным, определением понятия гомеоморфизма в терминах деформации предложенная дефиниция не только является более строгой, но и расширяет объём этого понятия. Нетрудно убедиться, например, что интервал гомеоморфен прямой, открытый круг – плоскости, а открытый шар – всему трёхмерному пространству. Чтобы охватить подобные случаи определением через деформации, пришлось бы допускать в качестве таковых бесконечные растяжения.

Осталось выполнить данное ранее обещание и определить понятие 'в любой близости'. Каждая геометрическая фигура расположена в евклидовом пространстве какой-то размерности, а там установлено евклидово расстояние (см. главу 10). Слова «нечто найдётся в любой близости от данной точки» означают, что это «нечто» найдётся на расстоянии (от данной точки), меньшем любого наперёд заданного положительного действительного числа. Более подробно: какое положительное действительное число ни задай, интересующее нас «нечто» найдётся на таком расстоянии от рассматриваемой точки, которое меньше заданного числа. Быть может, любезному читателю покажется более простым вот какое многоступенчатое разъяснение слов «в любой близости». Сперва вводится понятие открытого шара произвольной размерности, частично знакомое нам по главе 10: открытый шар размерности n и радиуса r с центром в точке А состоит из всех точек n-мерного евклидова пространства, находящегося от А на расстоянии меньшем, нежели r. Затем для всякой точки геометрической фигуры вводится понятие окрестности этой точки: окрестностью точки называется пересечение множества всех точек фигуры с произвольным открытым шаром, центр которого находится в этой точке.

Иными словами, окрестность точки есть множество всех таких точек рассматриваемой фигуры, которые одновременно принадлежат какому-либо открытому шару. Подразумевается, что в качестве размерности всех этих открытых шаров выступает размерность того евклидова пространства, в рамках которого рассматривается наша фигура. Таким образом, каждая точка фигуры имеет бесчисленное количество окрестностей – столько же, сколько существует открытых шаров с центром в данной точке. Наконец, сообщается, что «в любой близости от данной точки» означает 'в любой окрестности данной точки'.

Если все точки прикосновения какой-либо части геометрической фигуры принадлежат самóй рассматриваемой части, эта часть называется замкнутой. Круг, например, является замкнутой частью плоскости. Его, как мы знаем, иногда называют замкнутым, чтобы отличить от открытого круга. Последний же замкнутой частью плоскости не является, поскольку среди его точек прикосновения имеются точки не принадлежащей ему окружности. Запрещению разрывов при гомеоморфизме можно теперь дать более сжатую формулировку: гомеоморфизм сохраняет свойство замкнутости. Это означает, что всякая замкнутая (незамкнутая) часть исходной фигуры обязана перейти в замкнутую же (незамкнутую) часть результирующей фигуры.

Окончательно для понятия гомеоморфизма можно предложить следующее определение: гомеоморфизм есть взаимно однозначное преобразование, сохраняющее замкнутость.

Ещё о многообразиях

Понятие гомеоморфии позволяет предложить следующее определение n-мерного многообразия: это такая геометрическая фигура, каждая точка которой имеет окрестность, гомеоморфную n-мерному шару. Данное определение имеет тот недостаток, что наши «геометрические фигуры» расположены в евклидовых пространствах, а многие важные многообразия возникают не как подмножества евклидовых пространств, а «сами по себе». Чтобы дать определение многообразия, свободное от этого недостатка, пришлось бы вводить общее понятие абстрактного топологического пространства. Мы не будем давать точного определения этого понятия, ограничившись следующим неформальным описанием: топологическое пространство есть некое обобщение понятия геометрической фигуры, для которого имеют смысл обсуждавшиеся выше понятия прикосновения, окрестности точки, замкнутого множества и гомеоморфизма. (Указанный недостаток не слишком страшен, поскольку каждое многообразие может быть «представлено» в виде геометрической фигуры. Это значит, что для каждого многообразия существует гомеоморфная ему геометрическая фигура. Так, любое трёхмерное многообразие гомеоморфно некоторой геометрической фигуре, расположенной в пятимерном евклидовом пространстве.)

Приведем некоторые примеры многообразий, возникающих «абстрактно» в механике и геометрии.

1. Рассмотрим механическую систему, которая состоит из двух частиц, свободно передвигающихся вдоль прямой. Мы считаем, что частицы могут беспрепятственно проходить сквозь друг друга и сохраняют свою индивидуальность: они были пронумерованы, и в каждый момент нам известно, какая из частиц имеет номер один, а какая – номер два. Каково пространство состояний нашей системы? Ясно, что каждое состояние соответствует паре чисел (мы считаем, что наша прямая отождествлена с числовой прямой – для такого отождествления надо выбрать начало отсчёта, единицу длины и направление). Следовательно, пространство состояний – так называемое конфигурационное пространство – может быть отождествлено с плоскостью.

Этот простой пример можно развить в нескольких направлениях.

2. Если частиц не две, а три, мы придём к трёхмерному пространству. А если четыре – к четырёхмерному, так что мы получили простую механическую модель для четырёхмерного пространства. Правда, модель эта не даёт ответа на существенный вопрос: как же математики представляют себе это пространство? Если точка четырёхмерного пространства – это положение четырёх частиц, то что же такое, скажем, трёхмерная сфера, лежащая в этом пространстве? Формальный ответ дать несложно: это совокупность тех положений частиц, для которых фиксирована сумма квадратов расстояний от частиц до начальной точки отсчёта. Но ведь подобный ответ можно дать и в случае трёх частиц и двумерной сферы. И станет видно, как далёк такой ответ от привычного геометрического образа, связанного со словом «сфера». Так что же видят математики, думая о четырёхмерном (а то и бесконечномерном!) пространстве? Говорить об этом математики, похоже, не хотят, а возможно, и не умеют.

3. Предположим, что частиц наших по-прежнему две, но теперь они неразличимы. Положения, которые для различимых частиц мы описывали парами (x, y) и (y, x), теперь считаются одинаковыми. Будем использовать поэтому лишь такие пары (x, y), для которых x ≤ y. Тем самым мы не исключаем положений вида (x, x), когда частицы сливаются. Что теперь служит конфигурационным пространством? Ответ: многообразие, гомеоморфное полуплоскости. Действительно, те точки (x, y) плоскости, для которых x ≤ y, образуют полуплоскость.

4. Пусть теперь наши частицы скользят не по прямой, а вдоль окружности. Пусть их две и они различимы. Что будет конфигурационным пространством в этом случае? Ответ: тор (имеется в виду двумерная поверхность, а не полноторие). Действительно, при введении естественной системы координат на торе (широта и долгота) каждая точка тора соответствует паре своих «торических координат» – точек на окружности. Аналогично получаются многомерные торы (если частиц больше двух).

5. Две неразличимые частицы скользят вдоль окружности. Не будем лишать читателя удовольствия самому разобраться с тем, каким будет конфигурационное пространство в этом случае, и укажем лишь ответ: лист Мёбиуса (он будет описан в главе 12). Его краем служат те положения, при которых частицы сливаются.

6. Частиц три, они скользят вдоль окружности и неразличимы. Здесь следует уточнить, чтó понимается под положением системы. Тонкость заключается в следующем: если две из трёх частиц слились, так что мы видим только две частицы, видим ли мы при этом, где именно находится «двойная», или «тяжёлая», частица? Будем считать, что нет, не видим. Таким образом, положение или состояние системы – это (неупорядоченное) подмножество окружности, состоящее либо из трёх точек, либо из двух, либо из одной.

Для этого случая вопрос о «форме» конфигурационного пространства оказывается намного труднее, чем для предыдущих. Известный польский математик Кароль Бóрсук (Karol Borsuk, 1905–1982), внёсший значительный вклад в развитие топологии, допустил ошибку при решении этого вопроса и опубликовал неверную работу. Правильный ответ нашёл другой знаменитый тополог Рауль Ботт (Raoul Bott, 1923–2005)[96]: конфигурационное пространство в рассматриваемом случае гомеоморфно трёхмерной сфере. Положения, когда все три точки слились в одну, образуют в этой сфере нетривиальный (т. е. не перетягиваемый в окружность) узел – трилистник.

7. Ещё один пример компактного многообразия, естественным образом возникающий в механике, – пространство положений твёрдого тела с закреплённой точкой. Пусть наше тело – шар, который может как угодно вращаться в трёхмерном пространстве, однако центр его должен занимать фиксированное положение. Чтобы описать возможные положения шара, отметим на его граничной сфере точку и приложим к этой точке стрелку, указывающую определённое направление на сфере. Строго говоря, мы рассматриваем вектор, касающийся сферы в данной точке. Проследим, куда этот вектор переходит при вращении. Ясно, что, вращая шар, мы можем получить любой другой касательный вектор той же длины (примем её за единицу) и что знание этого вектора однозначно определяет положение шара. Таким образом, конфигурационное пространство в этом случае гомеоморфно пространству единичных касательных векторов к сфере. Можно доказать, что это неодносвязное компактное трёхмерное многообразие, которое может быть получено из трёхмерной сферы отождествлением всех пар антиподов (т. е. диаметрально противоположных точек). Это многообразие называется трёхмерным проективным пространством.

8. Построим теперь другой пример компактного трёхмерного многообразия, имеющий непосредственное отношение к проблеме Пуанкаре, – так называемую сферу Пуанкаре. Это пространство всех додекаэдров, вписанных в данную двумерную сферу. Его можно также получить следующим образом: сперва произвольно выберем какой-нибудь из таких вписанных додекаэдров, а затем рассмотрим все вращения сферы и отождествим те из них, при которых этот додекаэдр переходит в одно и то же положение. Каждому додекаэдру при этом соответствует 60 вращений, поскольку существует 60 вращений сферы, переводящих заданный додекаэдр сам в себя. Сфера Пуанкаре оказывается неодносвязной. Этот пример неодносвязного компактного трёхмерного многообразия принадлежит Пуанкаре. Он обнародовал его в 1904 г. в опровержение собственной неверной теоремы, опубликованной в 1900 г. Теорема утверждала, что компактное трёхмерное многообразие, в известном смысле похожее на трёхмерную сферу, и есть трёхмерная сфера (гомеоморфные многообразия считаются одним и тем же многообразием!). Обнаружив контрпример к своей теореме, Пуанкаре сформулировал её правильную (как мы теперь знаем) версию в виде знаменитой гипотезы, заметив, что её обсуждение «увело бы нас слишком далеко». Пуанкаре был прав: на доказательство его гипотезы ушло 100 лет.

Глава 12

Какой может оказаться наша Вселенная?

…С каких пор начали исследовать глубину познаний?

Н. В. Гоголь. Игроки. Явление VIII

Для математики значение гипотезы Пуанкаре, превратившейся теперь из гипотезы в теорему Пуанкаре – Перельмана, огромно (не зря ведь за решение проблемы был предложен миллион долларов), равно как огромно и значение найденного Перельманом способа её доказательства, но объяснить это значение здесь – вне нашего умения. Что же касается космологической стороны дела, то, возможно, значимость этого аспекта была несколько преувеличена журналистами. Впрочем, некоторые авторитетные специалисты заявляют, что осуществлённый Перельманом научный прорыв может помочь в исследовании процессов формирования чёрных дыр.

Чёрные дыры, кстати, служат прямым опровержением положения о познаваемости мира – одного из центральных положений того самого передового, единственно верного и всесильного учения, которое 70 лет насильственно вдалбливалось в наши бедные головы. Ведь, как учит физика, никакие сигналы из этих дыр не могут к нам поступать в принципе, а потому узнать, чтó там происходит, невозможно. О том, как устроена наша Вселенная в целом, мы вообще знаем очень мало, и сомнительно, что когда-нибудь узнаем больше. Да и сам смысл вопроса об её устройстве не вполне ясен. Не исключено, что этот вопрос относится к числу тех, на которые, согласно учению Будды, не существует ответа. Физика предлагает лишь модели устройства, более или менее согласующиеся с известными фактами. При этом физика, как правило, пользуется уже разработанными заготовками, предоставляемыми ей математикой.

Математика не претендует, разумеется, на то, чтобы установить какие бы то ни было геометрические свойства Вселенной. Но она позволяет осмыслить те свойства, которые открыты другими науками. Более того, она позволяет сделать более понятными некоторые такие свойства, какие трудно себе представить, она объясняет, как такое может быть. К числу подобных возможных (подчеркнём: всего лишь возможных!) свойств относятся конечность Вселенной и её неориентируемость. (Вспомним формулировку проблемы Пуанкаре и из педантизма отметим, что конечность многообразия следует из его компактности, неориентируемость же, напротив, несовместима с односвязностью.)

Долгое время единственной мыслимой моделью геометрического строения Вселенной служило трёхмерное евклидово пространство, т. е. такое, которое известно всем и каждому со средней школы. Это пространство бесконечно; казалось, что никакие другие представления и невозможны; помыслить о конечности Вселенной казалось безумием (не меньшим, чем несколько тысяч лет назад мысль об обращении Земли вокруг Солнца). Однако ныне представление о конечности Вселенной не менее законно, чем представление о её бесконечности. В частности, конечна трёхмерная сфера. От общения с физиками у меня осталось впечатление, что одни отвечают: «Скорее всего, Вселенная бесконечна», другие же: «Скорее всего, Вселенная конечна», и только единицы не имеют определённой точки зрения.

Ниже мы попытаемся объяснить теоретическую возможность конечности Вселенной. Пока что заметим лишь, что конечность Вселенной не означает существования у неё края, «стены». Ведь само по себе отсутствие у геометрической фигуры конца и края ещё не означает её бесконечности. Поверхность нашей планеты, например, конечна, но края у неё нет. Но это мы твёрдо знаем всего несколько сот лет. В детстве я, как и другие, наслаждался старинной картинкой, на которой был изображён монах, дошедший до Края Земли и просунувший голову сквозь небесный свод. Ещё более, чем упомянутая картинка, моё детское воображение увлекала модная гипотеза (потом она как-то заглохла), что некие две далёкие туманности, наблюдаемые с Земли в противоположных концах небосвода, являются на самом деле не различными астрономическими объектами, а одним и тем же объектом, видимым с разных сторон. Подтвердись такое, это было бы доказательством конечности Вселенной.

Вот три мысленных эксперимента, способных засвидетельствовать конечность Вселенной, если она действительно имеет место. Первый: экспериментатор отправляется в космическое путешествие и, двигаясь всё время в одну сторону, возвращается в исходную точку. Второй: длина окружности оказывается меньше той, которую сообщают нам в школе, т. е. меньше 2π, помноженных на длину радиуса, причём отличие от «школьной» длины тем больше, чем длиннее радиус. Третий (предложен Эйнштейном): экспериментатор окружает себя сферой из прочной и неограниченно растягивающейся плёнки и начинает эту сферу раздувать; площадь поверхности сферы сперва будет возрастать, но начиная с некоторого момента начнет уменьшаться, а в итоге вся сфера стянется в точку. Этот третий эксперимент можно изложить и несколько иначе – в терминах намазывания краски на шар для игры в кегли, крокет или бильярд; можно взять и мяч. Предполагается, что краска имеется в неограниченном количестве. Экспериментатор покрывает шар всё новыми и новыми слоями краски, так что радиус шара неуклонно возрастает, поверхность же его уплощается, становясь всё менее и менее выпуклой. В какой-то момент экспериментатор замечает, что поверхность перестаёт быть выпуклой, она начинает прогибаться в другую сторону (так и хочется сказать «становится впуклой»). А ещё через некоторое время экспериментатор обнаруживает себя не вне той сферы, каковой является поверхность окрашиваемого шара, а внутри неё, т. е. внутри сферической полости. Он продолжает накладывать краску на «стены» полости до тех пор, пока эти сжимающиеся «стены» его не стискивают совершенно.

Чтобы понять, как такое возможно, надо напрячь воображение, а затем рассуждать по аналогии. С этой целью мы слегка изменим наше представление о Флатландии. В главе 10 Флатландия была плоской, теперь будет сферической. Желающие могут представить себе очень тонкий слой между двумя концентрическими двумерными сферами – столь тонкий, что его толщиной мы пренебрегаем, считая, что её нет вовсе. Таким образом, новая Флатландия двумерна, как и прежде; она населена двумерными существами, флатландцами. Мы с вами живём на сфере (на поверхности Земли), флатландцы же пребывают в теле сферы, в её «толще»; эта «толща», конечно, не имеет толщины, но ведь и флатландцы её не имеют. Органы чувств не позволяют флатландцам ощутить что-нибудь вне пределов этой сферы, которая для них составляет вселенную. Двумерная сфера, образующая Флатландию, большая, а двумерные жители обитают на малом её участке и – внимание! – полагают, что их вселенная представляет собою двумерное евклидово пространство, т. е. плоскость. (Полезно вспомнить, что люди тысячелетиями были убеждены: поверхность Земли – плоская. И, надо сказать, имели к тому разумные основания.)

Посмотрим, что может поколебать флатландцев в убеждении, что их вселенная, Флатландия, плоская. Если считать, что флатландцы умеют видеть чрезвычайно далеко, то удалённый от них объект они видят с двух сторон, ведь в их вселенной луч света идёт по сфере, огибая её. Флатландец, совершающий космическое путешествие и двигающийся всё время в одну сторону, возвращается, обогнув сферу, в исходную точку. Радиус окружности двумерные существа проводят по сфере, и потому длина «флатландского радиуса» оказывается больше евклидова радиуса той же окружности, проведённого в недоступном флатландцам «внешнем» пространстве. Следовательно, длина окружности окажется меньшей, нежели та, которая получится, если по известной школьной формуле умножить «флатландский радиус» на 2π. Если окружность невелика, то указанную разницу невозможно уловить измерительными приборами, имеющимися во флатландских исследовательских центрах; если же окружность достаточно велика, эта разность становится очень заметной. Посмотрим теперь, чтó произойдёт, если двумерный экспериментатор окружит себя канцелярской резинкой, способной неограниченно растягиваться, придаст ей форму окружности и станет увеличивать радиус этой окружности. Сперва длина окружности будет возрастать, но после прохождения через «экватор» Флатландии она начнёт уменьшаться и в итоге уменьшится до ноля. В качестве шаров для игр у флатландцев выступают круги. Если начать красить такой круг (что во Флатландии означает наносить краску на окружность круга, причём наносить её снаружи), то сперва круг будет расширяться, оставаясь для красильщика выпуклым, но только пока радиус круга не сравняется с «флатландским радиусом» всей Флатландии. После этого момента красильщик будет ощущать себя внутри сужающегося круга.

А теперь картину, только что изложенную нами для двумерного мира, надо по аналогии перенести на мир трёхмерный. Мы, как и флатландцы, убеждены, что пребываем в «прямом» евклидовом пространстве школьной геометрии. Однако не исключено, что на самом деле – в (не на, а в) сфере, только трёхмерной. И эту трёхмерную сферу можно представлять себе расположенной в евклидовом четырёхмерном пространстве – наподобие того, как двумерная сфера расположена в пространстве трёхмерном. Четырёхмерное пространство мы, разумеется, не воспринимаем своими органами чувств, но ведь и флатландцы не воспринимают пространства трёхмерного. Как и флатландцы, мы можем убедиться в кривизне мира, увидев какой-нибудь весьма отдалённый предмет с двух противоположных сторон или отправившись в космическое путешествие и, никуда не сворачивая, вернувшись на космодром отправления. Можно также сравнивать длины окружностей с теми, которые выражаются через их радиусы по стандартной, известной из школы формуле. Вместо эксперимента с канцелярской резинкой надлежит произвести тот эксперимент с растягивающейся плёнкой, о котором было сказано выше.

Нередко представления об устройстве Вселенной, уже включённые наукой в перечень подтверждённых, кажутся парадоксальными; не исключено, что некоторые её свойства могут оказаться ещё более невероятными. Пожалуй, сейчас уже всем известен так называемый парадокс близнецов. Если один из двух близнецов совершает космическое путешествие, а другой остаётся на Земле, то в момент возвращения из космоса космонавт непременно окажется моложе своего брата; если ускорения, которым подвергался космонавт во время путешествия, были достаточно велики или достаточно длительны, разница в возрасте будет заметна на глаз. Разумеется, если они будут слишком велики, космонавт погибнет, а если слишком длительны – вряд ли он (а тем более его оставшийся на Земле близнец) окажется в живых к моменту возвращения, так что, говоря о «заметной на глаз разнице», мы допустили художественное преувеличение. Но незаметная глазу разница действительно имеет место.

Сейчас мы опишем другое явление – парадокс зеркального отражения. Встретится ли он когда-либо в действительности, неизвестно. В отличие от парадокса близнецов, описывающего реальные (точнее сказать, общепризнанные) свойства мироздания, парадокс зеркального отражения – чисто теоретическое построение, возможность его воплощения в реальности всего лишь не опровергнута.

Итак, парадокс зеркального отражения. Вспомним случай с Готфридом Платтнером, придуманный Уэллсом и дважды пересказанный нами. Платтнер на время исчезает, а по возвращении оказывается зеркально перевёрнутым. Уэллс не видит иного способа объяснить происшествие, кроме как приписать его выходу в другой мир, в четвёртое измерение: «Единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, – это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство)».

Здесь существенна заключённая в скобки оговорка «в том виде, в каком мы понимаем пространство». Имеется в виду стандартное, школьное понимание пространства. Математики, однако, обнаружили теоретическую возможность существования такой формы трёхмерного пространства, что поменять местами правую и левую части тела можно и без выхода за его пределы. При стандартном, школьном понимании формы окружающего нас трёхмерного пространства действительно никаким перемещением в этом пространстве невозможно превратить кисть правой руки в кисть левой руки. Но это невозможно именно при стандартном, школьном понимании. Существуют, однако, иные формы пространства, допускающие такое перемещение. Попытаемся разъяснить, как такое может быть.

Как справедливо замечает Уэллс, вырезанный из бумаги силуэт правой ладони невозможно превратить в силуэт левой ладони, ограничиваясь перемещением по плоской поверхности стола; чтобы это сделать, надо поднять силуэт над столом, т. е. выйти в третье измерение, перевернуть силуэт и снова положить на стол.

Существуют, однако, такие поверхности, при перемещении по которым правое может превратиться в левое, а левое – в правое. Самой простой и самой известной из таких поверхностей является лист Мёбиуса (Möbius strip) или – как эту поверхность называли в добрые старые времена – лента Мёбиуса (Möbius band). Лента Мёбиуса показана на рис. 19. Знаменитый голландский художник Эшер (Мaurits Cornelis Escher, 1898–1972) увековечил ленту Мёбиуса в своём параде муравьёв, ползущих по ней друг за другом (рис. 20). Изображение ленты Мёбиуса можно встретить на обложках математических изданий и значках математических сообществ (в частности, на значке мехмата МГУ).

При желании читатель может сам изготовить ленту Мёбиуса. Сделать это просто. Если взять бумажную или матерчатую ленту и склеить её торцы, то полученная поверхность будет боковой поверхностью цилиндра. Если же при этом ленту перекрутить, т. е., удерживая неподвижным один конец ленты, другой конец повернуть перед склеиванием на 180°, как раз и получится лента Мёбиуса. Сказанное иллюстрирует рис. 21. Если взять ленту с двумя длинными сторонами AC и BD и двумя короткими, торцевыми, сторонами AB и CD (рис. 21, а) и склеить торцы AB и CD без перекручивания, точка A склеится с точкой C, а точка B – с точкой D, и получится боковая поверхность цилиндра. Если же A склеить с D, а B – с C, получим ленту Мёбиуса (рис. 21, б). Случается, что, подпоясавшись и застегнув ремень, вы обнаруживаете, что ремень перекрутился; такой перекрученный и застёгнутый ремень может служить примером ленты Мёбиуса[97]. Боковая поверхность цилиндра имеет два края, лента же Мёбиуса – только один (подобно тому, как один край имеет круг).

Самое же замечательное, что лента Мёбиуса имеет всего лишь одну сторону. Муравей, ползущий по одной стороне вырезанного из плоскости круга, не может перейти на другую его сторону, не переползя через край. Тот же муравей, ползающий по внешней стороне сферы, не может попасть внутрь сферы, не прогрызя её насквозь; а если он ползёт по внутренней стороне сферы, то точно так же должен её прогрызть, чтобы вырваться наружу. И поверхность в виде круга, и поверхность в виде сферы имеют каждая по две стороны. Иное дело лента Мёбиуса. Пусть теперь наш муравей ползает по ней. Проделаем такой мысленный эксперимент. Сделаем клон муравья и пустим его ползти, оставив исходного, клонированного, муравья на месте. Мы обнаружим, что, следуя определённым маршрутом, клон достигнет того же места ленты, что и клонированный муравей, но только оба насекомых окажутся в положении антиподов по отношению друг к другу: каждый относительно другого будет обращен спиной вниз. Лист бумаги можно закрасить с одной стороны в чёрный цвет, оставив другую его сторону незакрашенной. Точно так же и боковую поверхность цилиндра, и сферу можно выкрасить с одной стороны, оставив другую незакрашенной. Поступить так с лентой Мёбиуса не удастся. И плоскость, и её кусок, и поверхность цилиндра, и сфера суть поверхности двусторонние. Лента же Мёбиуса является односторонней поверхностью.

Феномен ленты Мёбиуса был обнаружен в 1858 г. Первооткрывателем его стал уже известный нам по предыдущей главе Листинг; ему же принадлежит и первое сообщение в печати. Однако описание свойств этой поверхности первым дал другой немецкий математик – Август Фердинанд Мёбиус (August Ferdinand Möbius, 1790–1868). Среди его предков со стороны матери был Лютер, а среди учителей – Гаусс. Память Мёбиуса увековечена не только в названии знаменитой поверхности, но также в названии кратера на обратной стороне Луны и астероида 28516. Дело в том, что, хотя основные его научные труды – труды замечательные, высоко оценённые Гауссом – относились к области математики, по должности он был астроном – профессор астрономии Лейпцигского университета (и в качестве такового внёс заметный вклад в эту науку двумя монографиями по теоретической астрономии). Преподавал же он в основном механику. Начинал Мёбиус младшим сотрудником астрономической обсерватории, причём утверждают, что он согласился на такую скромную работу из-за низкой самооценки. Его скромность, впрочем, была вознаграждена, потому что директором астрономической обсерватории в Гёттингене оказался не кто иной, как Гаусс.

В предыдущей главе была приведена предложенная Мёбиусом в 1840 г. задача, аттестующая его как одного из пионеров геометрии положения. За десять лет до кончины Мёбиус представил рукопись об односторонних поверхностях (в частности, о той, которая была впоследствии названа его именем) в Парижскую академию наук (как неофициально именовалась Французская академия естественных наук). Академия эта, увы, была печально известна тем, что присланные рукописи подчас пылились на полках и никто их не читал. А иногда они и пропадали[98]. Слава богу, рукопись Мёбиуса не пропала и после его смерти была обнаружена.

Другое свойство ленты Мёбиуса особенно важно для нашего изложения. Оно состоит в так называемой неориентируемости. Лента Мёбиуса, как и всякая поверхность, не имеет толщины. Если на какой-то поверхности изображён силуэт ладони, то невозможно сказать, правая она или левая: это зависит от того, с какой стороны посмотреть. Сказанное верно и для ленты Мёбиуса. (Читатель да не смутится употреблением здесь слова «сторона». Лента Мёбиуса в целом является односторонней, но тот малый её участок, на котором изображена ладонь, – двусторонний, и как ни гуляй по нему, своим антиподом не станешь.) Если рядом изображены две ладони, то можно сказать, одинаковы ли они, или же одна есть зеркальное отражение другой. Так вот, можно так переместить силуэт ладони по ленте Мёбиуса, что он вернётся на прежнее место зеркально отражённым, а возможность подобного передвижения и означает неориентируемость. Каждый может удостовериться, что это вполне реально. Для наглядности полезно представлять себе ленту Мёбиуса изготовленной из промокательной бумаги, так что любой рисунок, нанесённый чернилами, проступает насквозь. Не менее полезно воображать, что лента Мёбиуса сделана из бумаги, которая благодаря своей ничтожной толщине совершенно прозрачна, так что рисунок, нанесённый на одну сторону, ясно виден и с другой.

Если же перемещать изображение ладони по плоскости или по сфере, то, как его ни двигай, оно никогда не превратится в своё зеркальное отражение: и плоскость, и сфера суть поверхности ориентируемые.

Ориентируемость и неориентируемость геометрических образований – настолько важные понятия, что мы сейчас приведём ещё одну наглядную их иллюстрацию. Поставим спичку вертикально головкой вверх на горизонтальную плоскость и будем по ней передвигать; ясно, что спичка будет всё время торчать головкой вверх. Возьмём вместо плоскости сферу; если первоначально спичка была направлена головкой наружу, то так оно и останется при любых передвижениях; то же с заменой слова «наружу» на слово «внутрь». Это тот же мысленный эксперимент, который ранее мы изложили в муравьиных терминах. Теперь обведем основание спички окружностью, расположенной в нашей плоскости – не на плоскости, а в её «нолевой толще». Зададим на окружности так называемую ориентацию: нарисуем на ней дугообразную стрелку, указывающую направление обхода окружности. Этот обход, если смотреть на окружность с головки спички, может совершаться в одном из двух направлений – по ходу или против хода стрелки часов; каждое из этих двух направлений и называется ориентацией окружности. Ясно, что при описанном выше движении спички по плоскости ориентация привязанной к спичке окружности (которая будет передвигаться в плоскости) останется одной и той же. Это и есть ориентируемость плоскости. То же самое можно проделать, заменив плоскость сферой: ориентация передвигающейся окружности вместе со спичкой окружности меняться не будет. Это и есть ориентируемость сферы. Если же передвигать спичку, не отрывая её основания от ленты Мёбиуса, то можно добиться того, чтобы она пришла в положение, при котором ориентация окружности, описанной в ленте у основания спички, сменится на противоположную. Этот мысленный эксперимент демонстрирует неориентируемость ленты Мёбиуса.

Лента Мёбиуса имеет край, и её можно сшить из конечного числа лоскутов. Поэтому она является компактным двумерным многообразием с краем. Отодрать от неё край в реальном, физическом смысле, конечно, нельзя. Да ведь и сама лента Мёбиуса не является, строго говоря, реальным, физическим объектом: она есть не имеющая толщины поверхность и, как и всякая идеальная поверхность, пребывает лишь в нашем воображении (поразительным образом одинаковом в подобных случаях у разных людей). Но мысленно удалить край можно. Оставшееся будет двумерным многообразием без края, но уже не компактным: из конечного числа лоскутов это многообразие сшить нельзя, но можно сшить из бесконечного числа лоскутов, уменьшающихся в размерах по мере приближения к отсутствующему краю.

А возможна ли такая поверхность, которая, как и лента Мёбиуса, неориентируема, но является компактным многообразием без края? Такие поверхности существуют, но только в нашем обычном трёхмерном пространстве они не умещаются. Одной из них является знаменитая бутылка Клейна, названная по имени немецкого математика Феликса Клейна, запустившего её в математический оборот в 1874 г.

Постараемся в меру наших сил объяснить, как она получается. С этой целью вернёмся к той процедуре получения из обычной ленты цилиндрической поверхности и ленты Мёбиуса, которая была показана на рис. 21, а и б. Исходную ленту будем изображать в виде прямоугольника. Не станем помечать буквами его углы, а вместо этого воспользуемся стрелками. Они будут указывать способ склеивания. Требуется, чтобы при склейке направления, указанные стрелками, совпали. Схема получения боковой поверхности цилиндра показана на рис. 22, а. Видно, что у получающейся поверхности два края, один из коих соответствует острым концам стрелок, а другой – тупым. Что же касается ленты Мёбиуса, то схема её получения изображена на рис. 22, б. Наглядно видно, что у ленты Мёбиуса только один край, поскольку правый верхний угол теперь склеивается с левым нижним углом.

До сих пор мы склеивали только боковые стороны исходной ленты. А что, если попытаться склеить между собой также и другие две стороны? При склейке, показанной на рис. 23, а, получится тор. Если же склеить, как показано на рис. 23, б, как раз и получится бутылка Клейна. Легко увидеть, что и тор, и бутылку Клейна можно сшить из конечного числа лоскутов. А значит, обе поверхности суть двумерные компактные многообразия. Поскольку все стороны многоугольника участвуют в склеивании, краю в результирующих поверхностях неоткуда взяться. Поэтому и тор, и бутылка Клейна являются многообразиями без края.

Но всё дело в том, что склеить стороны так, как предписывает рис. 23, б, оставаясь в пределах нашего привычного трёхмерного пространства, невозможно. Это возможно лишь в том случае, если мы научимся действовать в пространстве четырёхмерном (кто знает, может быть, когда-нибудь и научимся). В четырёхмерном пространстве бутылка Клейна (в проекции на трёхмерное пространство) выглядит так, как показано на рис. 24.

Точнее сказать, так выглядит одна из гомеоморфных друг другу (и даже изотопных в четырёхмерном пространстве) фигур, каждую из которых можно назвать бутылкой Клейна (ведь и листу Мёбиуса можно придать различные формы, но все они будут гомеоморфны друг другу). Лучше сказать, что на рис. 24 предъявлена некоторая «бутылочная репрезентация» бутылки Клейна.

Не исключено, что более наглядным окажется другое объяснение того, как построить бутылку Клейна. Начнём с ленты Мёбиуса. Приглашаем читателя взглянуть на рис. 25, а и б. На них изображены два недостроенных плоских кольца; назовём их недокольцами. Чтобы достроить каждое недокольцо до полного кольца, нужно закрыть имеющуюся щель. Представим себе эти недокольца сделанными из абсолютно растяжимой резиновой плёнки. Тогда можно, не выходя из плоскости, стянуть эти недокольца так, чтобы в каждом из них края щели сомкнулись. Торцевые отрезки, образующие края щели, при этом склеиваются. Теперь потребуем дополнительно, чтобы при стягивании слились и одинаковые цифры, стоящие по концам склеиваемых торцевых отрезков. Для фигуры на рис. 25, а это возможно, а для фигуры на рис. 25, б – нет; напомним, что мы говорим о стягивании в пределах плоскости. Однако и для фигуры на рис. 25, б есть способ склеить торцевые отрезки так, чтобы совпали одинаковые цифры. Только для этого надо осуществить операцию не на плоскости, а в трёхмерном пространстве. При этом получится не плоское кольцо, а лента Мёбиуса.

Теперь взглянем на рис. 26, а и б. На них изображены баранки, в каждой из которых выгрызена щель. Говоря научным языком, на них изображены торы со щелями. Края щелей представляют собою круги. На окружностях этих кругов поставлены стрелки, указывающие направления обхода. Исходим из того, что фигуры с рис. 26, а и б сделаны из неограниченно растягиваемой резины, так что в каждой из фигур края щели можно затянуть. Упомянутые окружности при этом склеятся, а фигура превратится в тор. Усложним задачу, потребовав, чтобы при склеивании окружностей совпали направления их обхода. Мы видим, что это осуществимо для фигуры с рис. 26, а и неосуществимо для фигуры с рис. 26, б. Здесь имеется в виду осуществимость посредством деформации в пределах трёхмерного пространства. Однако и для фигуры с рис. 26, б есть способ стянуть края щели так, чтобы направления обхода склеиваемых окружностей совпали. Только для этого надо осуществить операцию не в трёхмерном пространстве, а в четырёхмерном. При этом получится не тор, а бутылка Клейна. Любезный читатель не преминет заметить аналогию между только что изложенным сопоставительным построением тора и бутылки Клейна и построением, также сопоставительным, плоского кольца и ленты Мёбиуса, изложенным в предыдущем абзаце.

Столь длительное обсуждение неориентируемых поверхностей, т. е. фигур двумерных, играло в нашем изложении роль разбега перед прыжком, длительность которого по сравнению с разбегом мала. Аналогом же прыжка у нас будет следующий за сим абзац, посвящённый неориентируемым трёхмерным фигурам.

Трёхмерную геометрическую фигуру, которая была бы неориентируемой, т. е. такую, внутри которой может существовать траектория, приводящая к зеркальному отражению, – подобную фигуру представить себе очень трудно. Тем не менее таковые допускают математическое построение. В нашем обычном трёхмерном пространстве они не умещаются. Те из них, которые компактны и не имеют края, не умещаются даже в «обычном» (евклидовом) четырёхмерном пространстве, подобно тому как неориентируемые компактные поверхности без края не умещаются в трёхмерном пространстве (вспомним, что умещающаяся в трёхмерном пространстве лента Мёбиуса имеет край). Однако уже не вызывает протеста предположение о существовании таких фигур в высших измерениях, ведь и двумерная лента Мёбиуса, не умещаясь на плоскости, требует для своего размещения трёхмерного пространства. И действительно, все неориентируемые трёхмерные тела «хорошо себя чувствуют» в пятимерном евклидовом пространстве.

Вспомним путешествие Готфрида Платтнера, в результате которого он превратился в своё зеркальное отражение. И евклидово пространство из курса средней школы, и трёхмерная сфера ориентируемы. В них отсутствуют траектории, приводящие к зеркальному отражению. Но теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что она неориентируема. А тогда путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Возможно, таким образом, не вполне прав был поэт, сказавший:

Какая тяжкая обида

Существовать и твёрдо знать,

Что из пустых пространств Евклида

Нам никуда не убежать.

И нам с тобою неужели

Идти в грядущие года –

Как в бесконечность параллели,

Не пересекшись никогда.

Приложение к главе 1

Мнение читателя

Он позвонил мне домой 6 июля 2008 г., и я во второй раз осознал, что за те 65 лет, что мы знакомы, его голос практически не изменился. Предыдущий раз он звонил 25 октября 2007 г. (а до того не звонил никак не меньше полусотни лет), поэтому теперь я узнал его сразу. Это был Алик Гуревич, мой одноклассник по замечательной московской 167-й школе в Дегтярном переулке (сейчас её уже нет). В школьные времена мы были достаточно близкими друзьями и какое-то время сидели за одной партой. Мы оба поступили в выпускной, десятый, класс прямо из восьмого, миновав девятый. Но при этом я серьёзно подорвал здоровье – летом не отдыхал ни дня, учил материал девятого класса и сдавал экзамены по всем предметам. Он же, всегда превосходивший меня сообразительностью, сумел поступить в десятый класс, программы девятого класса не проходя вовсе, и получить при этом золотую медаль, причём совершенно заслуженно. Дело было так. В сентябре 1946 г. я пошёл в десятый класс нашей школы, а Алик, как и следовало, в девятый. Но его самолюбие не могло допустить, что я буду учиться в десятом классе, а он в девятом, да ещё и встречаться со мной, десятиклассником, на переменах. Поэтому, проучившись сентябрь в девятом классе, он перешёл в вечерний экстернат, в десятый класс. А проделал это Алик следующим образом. В том десятом классе, куда я перешёл, учился его однофамилец, Аркадий Гуревич. Алик попросил Аркадия взять в канцелярии школы справку, в которой было бы сказано: «А. Гуревич окончил 9 классов». Получив от Аркадия такую справку, Алик предъявил её в экстернат и был принят. Поучившись там какое-то время, он заболел скарлатиной, а после болезни, в начале 1947 г., перешёл в десятый класс школы рабочей молодёжи. Были в то время такие школы. Правда, для обучения в них необходимо было где-то работать. Не возникает сомнений, что Алик сумел обойти и это препятствие.

В 1947 г. мы с ним поступили в Московский университет, но на разные факультеты: он – на физический (физфак), а я – на механико-математический (мехмат). Ныне Алик – известный (и, по моим сведениям, хороший) физик, академик Александр Викторович Гуревич. За те годы, что он мне не звонил, я звонил ему (по служебному телефону) дважды: в 1984 г. с поздравлением по случаю избрания его членом-корреспондентом Академии наук СССР и в 2003 г. с поздравлением по случаю избрания его академиком Российской академии наук. Он говорил со мной вполне дружелюбно, но несколько отстранённо: я явно попадал в общий хор поздравителей. Меньше всего я ожидал его звонка. «Ты что, не узнаёшь, кто с тобой говорит?» – произнёс 25 октября 2007 г. весёлый, чем-то знакомый, но не опознанный мною голос в трубке. Выяснилось, что Гуревич по некоторым делам вступил в контакт с Владимиром Михайловичем Тихомировым и тот сказал ему: «Так вы тот Алик, про которого Успенский рассказывает такие замечательные истории?» После чего Гуревич – видимо, польщённый – взял у Тихомирова мой домашний телефон и позвонил. Его тон был необычайно тёплым, совсем другим, нежели при ответах на мои поздравления. И тут я полюбил Гуревича почти с той же силой, как прежде, в шестом и седьмом классах. Я понял, что для него быть академиком менее важно, чем заслужить восхищение и зависть одноклассников в школьные годы. И что воспоминание о том, как он утёр мне нос 60 лет назад, до сих пор согревает его душу.

Однако вернёмся к его звонку 6 июля 2008 г. «Слушай, – сказал он мне, не здороваясь, а, по своему обыкновению, сразу переходя к сути, – я сейчас в санатории, делать здесь нечего, я читаю тут всякую ерунду, и вот попалась твоя "Апология математики" в "Новом мире"[99]. Я её не то чтобы изучил, но прочёл. Не хватает заключения с выводами. Необходимо резюме, в котором перечислялись бы основные математические проблемы, упомянутые в статье, которые надлежит знать каждому интеллигентному человеку. А то слишком много всего и длинно. Что же до НЛО – это полная чепуха, и все разговоры о "рассекречивании" не должны создавать веру в НЛО. И конец о физике неудачен».

Тут я его прервал в испуге: «Я написал что-нибудь неверное?» – «Да нет, неверного ничего нет, но видно, что написано непрофессионалом. Физика – совсем не то, что ты думаешь, в физике очень важны числовые значения, например масса электрона».

Признаться, у меня были более романтические представления о физике. Я полагал, что физика объясняет общее устройство мироздания (или по крайней мере к этому стремится). Но, может быть, я под физикой понимал нечто другое, что, скорее, следует назвать космологией? Как бы то ни было, спорить о физике с академиком-физиком было бы нелепо[100]. Это означало бы быть смешным в собственных глазах, что куда хуже, чем быть смешным в глазах других людей.

«И зачем ты полез в чёрные дыры[101], – продолжал Алик. – Нечего тебе было о них писать». Я снова испугался: «Я написал что-нибудь неверное?» «Да нет, – с неохотой признал Алик, – не в этом дело. Чёрные дыры – это сложная проблема, всё время поступают новые данные…»

Я почёл своим долгом ознакомить читателей с мнением авторитетного физика. А ведь в первой главе того журнального варианта, который он читал, не было ни фантастических рассуждений о четырёхмерном слоне, ни сомнительного противопоставления геометрического смысла четвёртого измерения его временнóму смыслу (между тем с точки зрения физики время и пространство единосущны – «неслиянны и нераздельны»).

Страшно даже подумать о реакции моего друга на всё это!

«А Вселенная конечна или бесконечна?» – спросил я его под конец разговора. Он не сказал «Не знаю», а дал более глубокий, если вдуматься, ответ: «Не имею точки зрения».

Приложение к главе 3

К истории проблемы Гольдбаха

Проблема Гольдбаха известна как одна из самых знаменитых в теории чисел. Однако при внимательном взгляде на литературные источники обнаруживается, что некоторые сопутствующие ей исторические и литературные обстоятельства сами порождают проблемы. Прежде всего существует расхождение между тем, как ставил проблему сам Гольдбах, и тем, как она понимается сегодня.

Начнём с того, что процитируем статью «Гольдбаха проблема» из «Математического энциклопедического словаря» [1, с. 159]:

ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА в теории чисел: всякое ли целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел? Эту проблему выдвинул в 1742 г. Х. Гольдбах в письме к Л. Эйлеру. В ответ Л. Эйлер заметил, что для решения проблемы достаточно доказать, что каждое чётное число есть сумма двух простых.

Гипотезу о том, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел называют гипотезой Гольдбаха, а также тернарной гипотезой Гольдбаха. [Тернарная] проблема Гольдбаха, следовательно, состоит в требовании доказать или опровергнуть тернарную гипотезу. Слабой гипотезой (и, соответственно, проблемой) Гольдбаха называют тернарную гипотезу (и, соответственно, проблему), поставленную только для нечётных чисел. Гипотезу о том, что каждое чётное число, большее или равное четырём, есть сумма двух простых чисел, называют гипотезой Эйлера – Гольдбаха, а также бинарной гипотезой Гольдбаха. Бинарная проблема Гольдбаха, следовательно, состоит в том, чтобы доказать или опровергнуть бинарную гипотезу.

В приведённой цитате из словаря содержатся, в частности, два заявления: о том, как формулируется проблема, и о том, кем, когда и как она выдвинута. Оба эти заявления присутствуют, как правило, и в иноязычных текстах, обсуждающих проблему Гольдбаха. Как выясняется, эти заявления противоречат друг другу. Словосочетание «проблема Гольдбаха» («the Goldbach problem») есть устойчивый математический термин, и его значение последние 100 лет, а то и больше, понимается всеми, в том числе и авторами словаря, одинаково. Но именно при таком понимании оказывается, что в известном письме Гольдбаха выдвинута сходная, но всё же другая проблема.

Переписка Леонарда Эйлера с Христианом Гольдбахом опубликована. Опубликовал её Павел Николаевич Фусс (Paul Heinrich von Fuss), правнук Эйлера по матери и непременный секретарь Императорской Санкт-Петербургской академии наук, в первом томе изданного им в 1843 г. в Санкт-Петербурге двухтомника Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII-ème siècle. Факсимильное воспроизведение страниц этого издания, содержащих указанную переписку, размещено на сайте http://www.math.dartmouth.edu/~euler/ correspondence/correspondents/Goldbach.html.

Всё это даёт нам возможность ознакомиться с исходными текстами.

Вот что писал Гольдбах Эйлеру в своём письме от 7 июня 1742 г.:

Таким образом, я отваживаюсь выдвинуть гипотезу, что всякое число, которое составлено [сложено] из двух простых чисел, есть также соединение [сумма] произвольного количества простых чисел (к каковым причисляется и единица) вплоть до собрания [суммы] всех единиц; например:

К слову «единиц» Гольдбах делает подстрочное примечание, которое, как показывает факсимильное воспроизведение [2, с. 171], он не может уместить внизу страницы и потому располагает на левом поле поперёк основного текста. В заключительной фразе этого примечания и формулируется гипотеза, составившая содержание знаменитой проблемы:

После того как я это перечитал, я нахожу, что эту гипотезу [о возможности представления всякого числа в виде суммы произвольного количества простых чисел. – В. У.] можно доказать с полной строгостью для случая n + 1, если она выполняется для случая n и если n + 1 может быть разложено в сумму двух простых чисел. Доказательство очень легкое. Кажется по меньшей мере, что любое число, которое больше чем 1, есть соединение [сумма] трёх простых чисел.

Клаузулу «которое больше чем 1» мы прокомментируем позже. Пока же укажем, что наш русский перевод осуществлён по книге Фусса. Для полной объективности приведём оригинальный текст (немецкий, с латинскими вкраплениями):

Auf solche Weise will ich auch eine conjecture hazardiren: dass jede Zahl, welche aus zweien numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatem*); zum Exempel

*) Nachdem ich dieses wieder durchgelesen, finde ich, dass sich die conjecture in summo rigore demonstriren lässet in casu n + 1, si succes serit in casu n, et n + 1 dividi possit in duos numeros primos. Die Demonstration ist sehr leicht. Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 1, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.

Простое число в современном понимании – это такое целое число, которое, во-первых, больше единицы и, во-вторых, не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. При таком понимании сформулированная Гольдбахом в подстрочном примечании гипотеза немедленно опровергается: каждое из чисел 2, 3, 4, 5 больше единицы, но ни одно из них не разлагается в сумму трёх простых чисел. Поэтому в современной формулировке проблемы говорится о разложении на слагаемые чисел, начиная с 6.

Однако (хотя это чаще всего забывают) Гольдбах причислял к простым числам и 1, о чём он объявил с полной ясностью. А тогда числа 3, 4, 5 также разлагаются в сумму трёх простых чисел. Но число 2 не разлагается в сумму трёх простых слагаемых, даже если в качестве таковых может выступать 1. В книге [2, с. 170] дан следующий перевод цитаты из письма Гольдбаха: «Таким образом, я хочу решиться высказать предположение… каждое число, большее чем 2, есть сумма трёх простых чисел». Там указывается, что переписка Эйлера с Гольдбахом цитируется по новому изданию [3]. Надо полагать, следовательно, что в издании 1965 г. цифра 1 была заменена на цифру 2. Изучение факсимильного воспроизведения письма Гольдбаха в книге [2, с. 171] оправдывает эту замену. Видно, что оговорку «die grösser ist als 1» («которое больше чем 1») Гольдбах вставил в уже написанную строку примечания. Сначала он пытается записать её между строк, но не находит места и помещает её под последней строкой примечания, где места тоже не слишком много (вспомним, что само примечание написано на левом поле и поперёк). Конец этой новой записи оказывается смазанным, а последняя цифра, принятая в издании 1843 г. за цифру 1, сливается с той линией, которой вставляемая запись обведена, как это всегда делается при вставках. Более тщательное прочтение убеждает, что указанную цифру следует читать не как 1, а как 2. Изложенное в этом абзаце составляет проблему не столько историческую, сколько литературную, хотя, впрочем, книга Фусса занимает заметное место в истории математики.

Как уже говорилось, предположение, что всякое число, начиная с 3 (в первоначальном варианте) или 6 (в современном варианте), может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел, принято называть гипотезой Гольдбаха (the Goldbach conjecture). Таким образом, проблема Гольдбаха состоит в проверке гипотезы Гольдбаха. Часто проблему Гольдбаха понимают и так: доказать гипотезу Гольдбаха. Эти два понимания по существу не отличаются друг от друга, потому что в математике требование доказать почти всегда означает требование доказать или опровергнуть. Как мы видели, и гипотеза, и проблема Гольдбаха существуют в двух вариантах, различающихся смыслом слов. В исходном, Гольдбаховом, варианте 1 считается простым числом, и потому нижний рубеж равен 3. В современном варианте 1 простым числом не считается, и потому нижний рубеж равен 6. Ясно, что из современного варианта гипотезы вытекает исходный её вариант, и потому может оказаться, что исходная проблема несколько легче современной.

Из текста письма следует, что гипотеза о возможности представления чисел в виде суммы трёх простых – в каком бы из двух вариантов её ни понимать – трактуется Гольдбахом как частный случай более общей гипотезы о возможности представления чисел в виде суммы произвольного количества простых. Наверное, было бы терминологически правильным называть первую гипотезу Гольдбаха частной, а вторую – общей и различать общую и частную проблемы, состоящие в проверке соответствующих гипотез. Формулируя свою общую гипотезу, Гольдбах подразумевал, что число слагаемых, на которое разбивается число, больше 1[102] и не превосходит того числа, которое представляется в виде суммы. Напомним, что Гольдбах относил к простым числам и 1. При современном понимании термина «простое число» ограничения на число слагаемых усложняются, а потому усложняется и смысл общей гипотезы.

И в основном тексте письма, и в подстрочном примечании к нему упоминается разложение числа на сумму двух простых слагаемых (каждое из которых может быть и 1). Возможность такого разложения любого числа не утверждается и даже не предполагается в качестве гипотезы. Эта возможность фигурирует всего лишь в качестве условия того, что для данного числа выдвигается общая гипотеза Гольдбаха. Скажем, числа 11 и 35 не допускают разложения на два простых слагаемых (даже если допускать в качестве таковых 1), поэтому для них, как и для многих других, общая гипотеза не предлагается. Частная же гипотеза предлагается для всех чисел, начиная с 3.

Однако если не предполагать существования какого-то неизвестного нам сообщения Гольдбаха Эйлеру, то именно эти слова о разложении чисел на два простых слагаемых и явились причиной того замечания Эйлера в его ответном письме, в котором он приписывает Гольдбаху гипотезу о возможности такого разложения для чётных чисел.

Как подчёркивалось в предыдущем абзаце, в письме Гольдбаха такой гипотезы нет. Тем не менее Эйлер называет эту свою гипотезу «наблюдением» (eine Observation) Гольдбаха. Заметим также, что в письме Гольдбаха о чётности чисел ничего не говорится.

Ответное письмо Эйлера датировано 30 июня 1742 г. Вот что пишет в нём Эйлер на интересующую нас тему:

То, что любое число, разложимое на два простых числа, в то же время могло бы быть разбито и на любое число простых, может быть проиллюстрировано и подтверждено исходя из наблюдения, сообщённого мне Вами ранее, а именно: что каждое чётное число есть сумма двух простых чисел. В самом деле, если данное число n чётно, то оно есть сумма двух простых чисел, и так как n – 2 также является суммой двух простых чисел, то n также является суммой трёх, а также четырёх [простых] и т. д. Если же n нечётно, то оно же, разумеется, есть сумма трёх простых, потому что n – 1 есть сумма двух [простых], и может, следовательно, быть разложено на сколь угодно много [простых слагаемых]. А что каждое чётное число есть сумма двух простых, я почитаю вполне верной теоремой, хотя и не могу её доказать.

Текст оригинала (со с. 135 книги Фусса):

Dass eine jegliche Zahl, welche in zwei numeros primos resolubi lis ist, zugleich in quot, quis volueruit, numeros primos zertheilt wer den könne, kann aus einer Observation, so Ew. vormals mit mir communicirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus par eine sum ma duorum numerorum primorum sey, illustrirt und confirmirt werden. Denn, ist der numerus propositus n par, so ist er eine summa duorum numerorum primorum, und da n – 2 auch eine summa duo rum numerorum primorum ist, so ist n auch eine summa trium, und auch quator u. s. f. Ist aber n ein numerus impar, so ist derselbe ge wiss eine summa trium numerorum primorum, weil n – 1 eine sum ma duorum ist, und kann folglich auch in quotvis plures resolvirt werden. Dass aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstrieren kann.

Итак, в ответном письме Эйлера содержится гипотеза о возможности разложения каждого чётного числа на сумму двух простых чисел. При этом, как видим, вслед за Гольдбахом к простым числам Эйлер относит и 1, что забывают при обсуждении проблемы Гольдбаха едва ли не всегда. В своих публикациях (по крайней мере в тех, которые мне известны) Эйлер, однако, не считал 1 простым числом – достаточно взглянуть, например, на § 267 из первого тома его трактата «Введение в анализ бесконечно малых»[103], где явно перечисляются «все простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.». Таким образом, гипотеза Эйлера также существует в двух вариантах – первоначальном, сформулированном Эйлером, и современном. Разложение, скажем, числа 18 вида 18 = 17 + 1 годится для первоначального варианта и не годится для современного; здесь надо искать такие разложения, как 18 = 13 + 5 и 18 = 11 + 7. В современном варианте следует говорить о разложении каждого чётного числа, начиная с 4. Ясно, что 4 – единственное чётное число, разлагаемое на такие два простых слагаемых, из которых хотя бы одно чётно, так что все последующие чётные числа могут разлагаться только на два простых нечётных слагаемых. Ясно также, почему речь идёт о разложении только чётных чисел: ведь нечётное n можно разложить на два простых слагаемых тогда и только тогда, когда n − 2 является простым.

В письме Эйлера дано доказательство того, что подтверждение его гипотезы о возможности разложения чётных чисел на два простых слагаемых немедленно приводит к подтверждению общей (а значит, и частной) гипотезы Гольдбаха. Доказательство дано Эйлером для варианта, при котором 1 считается простым числом. Если исключить 1 из корпуса простых чисел, надо предложенный Эйлером переход от n к n – 1 поменять на переход от n к n – 3.

И наконец, последний комментарий к этому обмену письмами. Эйлер обосновывает достаточность своей гипотезы для подтверждения общей гипотезы Гольдбаха. Однако даже частной гипотезы Гольдбаха оказывается достаточно для подтверждения гипотезы Эйлера о том, что каждое чётное число n разлагается на два простых слагаемых.

Достаточно разложить на три простых слагаемых число n + 2 и заметить, что ввиду его чётности невозможно, чтобы все три слагаемых были нечётны. Значит, какое-то из этих слагаемых непременно чётно и, следовательно, равно 2. Оставшиеся два простых слагаемых в сумме дают число n. Поэтому все три рассмотренные гипотезы – гипотеза Эйлера, частная и общая гипотезы Гольдбаха – оказываются эквивалентными. А следовательно, эквивалентны и соответствующие проблемы. В наши дни все они объединяются терминами гипотеза Гольдбаха и проблема Гольдбаха.

Ещё в начале ХХ в. считалось допустимым включать 1 в объём понятия 'простое число'. Вот, например, что написано в знаменитой «Энциклопедии элементарной математики» Вебера и Вельштайна [4]: «Это, конечно, только вопрос целесообразного соглашения; часто относят единицу к простым числам, как оно и кажется естественнее на первый взгляд. Мы предпочитаем, однако, отделять единицу от простых чисел, так как это даёт возможность короче выражать некоторые предложения». С тех пор понятие простого числа сделалось общепринятым и устойчивым, и оно не включает в свой объём 1. А потому гипотеза и проблема Гольдбаха всеми понимаются однозначно – в современном варианте, исключающем из числа допустимых слагаемых 1.

Пора, однако, переходить к современности. Но прежде – несколько замечаний, преимущественно терминологических.

Проблему Гольдбаха можно ставить отдельно для разложения чётных и нечётных чисел. Поскольку, как мы видели, чётное число n может быть разложено на три простых слагаемых тогда и только тогда, когда на два простых слагаемых может быть разложено число n – 2, то проблема Гольдбаха для чётных чисел равносильна проблеме Эйлера, состоящей в требовании доказать гипотезу Эйлера, а стало быть, и проблеме Гольдбаха в её полном объёме. Поэтому в попытках решить тернарную проблему часто ограничиваются разложением нечётных чисел. Такая ограниченная проблема Гольдбаха называется слабой и состоит в проверке слабой гипотезы Гольдбаха (Goldbach's weak conjecture)[104]: всякое нечётное число, начиная с 7, может быть разложено на три простых слагаемых. Нередко термин «слабая гипотеза Гольдбаха» понимают в усиленном варианте, требующем, чтобы все три слагаемых были нечётными, и тем самым исключающем разложения вида 2 + 2 + p, где p – простое число (нижний порог поднимается в этом случае с 7 до 9). Эта терминологическая путаница порождает свои проблемы: подчас без внимательного анализа доказательств непонятно, что, собственно, сделано (показательный пример будет приведён ниже, в последнем абзаце)[105].

А теперь – последняя проблема этой статьи. Она состоит в выяснении того, решена проблема Гольдбаха или нет. В авторитетном словаре [1, с. 677], вышедшем в 1988 г., находим утверждение, что проблема Гольдбаха решена. Приведём соответствующую фразу полностью: «Другим следствием метода (1935–1937)[106] было решение ряда аддитивных проблем с простыми числами и, в частности, решение проблемы Гольдбаха». Эта фраза содержится в статье «ВИНОГРАДОВ Иван Матвеевич». Итак, благодаря использованию некоего метода проблема Гольдбаха была решена. Осталось узнать, какой из возможных ответов был дан на вопрос, составляющий проблему Гольдбаха и сформулированный в цитате из того же словаря [1, с. 188]. Вот тут и возникают трудности: ответ получить не удаётся.

В первой декаде XXI в. автор этих строк опросил нескольких специалистов по теории чисел, решена ли проблема Гольдбаха. Они отвечали уклончиво. Но на прямой вопрос, верно ли, что каждое число, начиная с 6, может быть разложено на три простых слагаемых, единодушно отвечали, что это неизвестно.

Посмотрим, что сказано в статье «ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА» в том же словаре. Находим фрагмент:

В 1937 г. И. М. Виноградов доказал[107], что всякое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел, т. е., по существу, решил Г. п. для нечётных чисел. Это одно из крупнейших достижений современной математики.

Что касается признания того, что сделал И. М. Виноградов, одним из крупнейших достижений современной математики, то оно бесспорно и не вызывает вопросов. Их вызывают две детали в приведённой цитате. Первая деталь – бросающееся в глаза отличие от того, что написано на с. 677. Если там говорится о решении проблемы Гольдбаха, то здесь – о решении её частного случая для нечётных чисел, т. е. о слабой проблеме Гольдбаха. Вторая деталь состоит в том, что даже для этого частного случая говорится не обо всех нечётных числах, а лишь о «достаточно больших». Уклончивые ответы, упомянутые выше, объяснялись, по-видимому, словами «по существу» из цитаты. В самом деле, нужно ведь только проверить все нечётные числа, предшествующие «достаточно большим», на предмет возможности их разложения, и слабая проблема действительно будет решена, а разница между «решена» и «будет решена» не так уж и существенна. Но для этого нужно знать, где начинаются «достаточно большие числа». В теоремах Виноградова таких оценок не приводится.

По счастью, оказалось, однако, что указанные оценки можно извлечь из доказательства указанных теорем. И хотя сам Виноградов не указал нижнего рубежа «достаточно больших чисел», это сделал его ученик Константин Григорьевич Бороздин. Он установил, что методом Виноградова слабая гипотеза Гольдбаха подтверждается для всех чисел, начиная с числа 314348907 (это есть 3 в степени 3^15)[108]; десятичная запись этого числа занимает свыше 6,5 млн знаков. (Названное число приблизительно равно числу e, возведённому в степень e16,573. В публикации 1956 г. [6] Бороздин слегка уточнил свою оценку, заменив показатель 16,573 на 16,038.) Чтобы слабая проблема Гольдбаха была решена, остается перебрать все нечётные числа, которые меньше порога, указанного Бороздиным, и для каждого из них выяснить, можно или нет разложить его на три простых слагаемых. Пока это человечеству не под силу. В 1989 г. китайские математики Ван и Чен [7] понизили этот порог до числа, требующего всего лишь примерно 43 тысячи десятичных знаков для своей записи, а именно до числа e, возведённого в степень e11,503. Но и это число слишком велико для того, чтобы в наши дни – а возможно, и когда-либо в будущем – можно было перебрать и проверить все нечётные числа, меньшие указанного Ваном и Ченом рубежа.

Приходится признать, что сделанное в словаре [1, с. 677] заявление о решении проблемы Гольдбаха несколько преждевременно. В качестве одного из возможных объяснений того, почему оно вообще было сделано, можно предложить такое.

Статья об И. М. Виноградове в «Математическом энциклопедическом словаре» [1, с. 677] практически буквально повторяет одноимённую статью из 5-го тома 2-го издания Большой Советской Энциклопедии. Этот том вышел в 1971 г., при жизни Виноградова, скончавшегося в 1983 г. Директор Математического института им. В. А. Стеклова Академии наук СССР (с 1932 г. и до конца жизни[109]), дважды Герой Социалистического Труда (звание было присвоено ему в 1945 и 1971 гг.), академик И. М. Виноградов был всемогущ и мстителен. Вне сомнений, текст статьи в Большой Советской Энциклопедии с ним согласовывался, и утверждение о том, что им решена проблема Гольдбаха, соответствовало его желаниям. Вот что пишет о Виноградове Сергей Петрович Новиков [8, с. 57]:

У математиков большое моральное влияние приобрёл Иван Матвеевич Виноградов. Он встал на путь антиинтеллигентности и доносничества в интересах своей карьеры ещё в 1929–1932 гг., а после войны вдобавок пошёл работать идеологом-антисемитом.

Как это ни печально, но роль личности влияет и на формулировки о степени разрешённости математических проблем.

Чтобы убедиться, что изложенный казус не представляет собою случайного исключения, заглянем в § 1 обзора А. О. Гельфонда [9] в фундаментальной 1044-страничной монографии «Математика в СССР за тридцать лет». Читаем:

Этот же глубокий метод позволил И. М. Виноградову [5] доказать, что всякое нечётное число представляется в виде суммы трёх простых чисел, и решить тем самым знаменитую проблему Гольдбаха. Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что всякое достаточно большое нечётное простое число может быть представлено в виде суммы трёх нечётных простых слагаемых. Все попытки доказать это предположение до работ И. М. Виноградова были безуспешны.

Если, в угоду Виноградову формулировать высказанное Гольдбахом в 1742 г. предположение так, как оно сформулировано А. О. Гельфондом, тогда Виноградов действительно решил проблему Гольдбаха. Но, как мы знаем, Гольдбах высказывал другое предположение, в котором ни одно из указанных Гельфондом ограничений на число не фигурировало: не говорилось ни что оно должно быть нечётным, ни что оно должно быть достаточно большим. Подлинная формулировка Гольдбаха была мало доступна советскому читателю в 1948 г.

По-видимому, Виноградов и его окружение вообще считали искажение истины полезным рабочим приёмом. Свидетельствует С. П. Новиков [8, с. 60–61]:

В начале 1977 г. Виноградов в возрасте 85 лет (ещё редкостно здоровый) переизбирался директором на очередной пятилетний срок. Из Новосибирска мне позвонил А. Д. Александров и спросил: будем ли мы это терпеть? Нельзя ли привлечь Леонтовича и совместно выступить на Общем собрании [Академии наук]?

‹…› Первой была речь Данилыча [Александра Даниловича Александрова. – В. У.]. Её содержание было для меня неожиданностью. Гениальное всегда просто. Он начал так: «Распространена официальная справка о Виноградове как директоре института. Она не соответствует действительности. В ней написано, что он бессменный директор с 1934 г. Все знают, что в годы войны директором был знаменитый математик – академик Соболев. Всё это – клевета на Соболева, попытка аннулировать его заслуги в трудные годы войны и т. д.».

О том, что Соболев какое-то время был директором Математического института, нет ни слова в статье «СОБОЛЕВ Сергей Львович» в Большой Советской Энциклопедии. В одноимённой статье «Математического энциклопедического словаря» [1], напротив, об этом сказано и названы годы его директорства: 1941–1943[110]. Причины ясны: 1-й полутом 24-го тома 3-го издания Большой Советской Энциклопедии вышел в 1976 г., при жизни Виноградова, а «Математический энциклопедический словарь» – в 1988 г., после его смерти.

Объективность требует сказать, что И. М. Виноградов был очень крупный математик[111] и что результаты, полученные им при исследовании проблемы Гольдбаха, являются выдающимися. А его «Основы теории чисел» пишущий эти строки читал с наслаждением.

Если результаты Виноградова и его последователей позволяют подтвердить слабую гипотезу Гольдбаха для некоторого «хвоста» натурального ряда, то современные компьютеры дают возможность подтвердить её для начальных отрезков натурального ряда – довольно длинных, но всё же очень далёких от того, чтобы сомкнуться с «хвостом». Эксперименты по подтверждению производятся для гипотезы Гольдбаха в формулировке Эйлера. Ясно, что если существование разложения на два простых слагаемых подтверждено для всех чётных чисел вплоть до числа n, то существование разложения на три простых слагаемых оказывается подтверждённым для всех чисел вплоть до числа n + 3. Сайт http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html даёт сведения (и приводит соответствующую ссылку) о состоянии дел на конец 2005 г.: бинарная гипотеза подтверждена вплоть до числа 300 000 000 000 000 000 (17 нулей). Здесь 18 десятичных знаков, а начало «хвоста», как мы видели, – в районе 43 тысяч знаков.

Говоря об истории проблемы Гольдбаха, нельзя не упомянуть так называемую константу Шнирельмана. Для удобства изложения назовём числом Ландау всякое число N со следующим свойством: любое число, большее единицы, разлагается в сумму не более чем N простых слагаемых. Существование чисел Ландау не является очевидным. Как указано в работе [10], гипотезу об их существовании высказал в 1912 г. Эдмунд Ландау (Edmund Landau), отчего мы и решились назвать их здесь его именем. Ясно, что если какое-то число является числом Ландау, то таковым же является и любое большее число. Наименьшее из чисел Ландау принято называть константой Шнирельмана (Schnirelmann's constant или the Schnirelmann constant). Константа Шнирельмана не может быть меньше чем 3, так как, скажем, число 27 не разлагается на два простых слагаемых. Гипотеза Гольдбаха утверждает, что константа Шнирельмана существует и равна 3. Существование чисел Ландау, а значит, и константы Шнирельмана в 1930-х гг. [11, 12] установил Лев Генрихович Шнирельман (разумеется, свою константу он так не называл), что явилось значительным событием. Он доказал, в частности, что константа Шнирельмана не превосходит 300 000. С тех пор она понижена, и притом весьма значительно. Последний результат в этой области [13]: константа Шнирельмана не превосходит числа 7.

Наконец в 2013 г. свершилось великое. Была решена слабая проблема Гольдбаха. Её решение анонсировал Харальд Хельфготт (Harald Helfgott), перуанец по происхождению и по гражданству. Хельфготт родился 27 ноября 1977 г. в Лиме. Ещё там, в школе, проявились его математические способности. В 1994 г. он поступил в Брандейский университет в США, который окончил в 1998 г. с отличием и со степенью бакалавра. По-видимому, из уважения к той части света, откуда он произошёл, темой своей дипломной работы Хельфготт выбрал изучение математических структур, называемых «ацтекскими алмазами». С 1998 по 2003 г. Хельфготт – в аспирантуре Принстонского университета. После защиты диссертации и преподавания в американских, канадском и британском университетах он оказывается в Париже. С 2010 г. он – исследователь 1-го разряда (researcher, 1st class) в Высшей нормальной школе, а после объявления своего выдающегося результата – с 2014 г. старший исследователь 2-го разряда (senior researcher, 2nd class) в одном из парижских университетов. Статья [14] с открытием Хельфготта выложена в интернет-хранилище arXiv.org (произносится [архив]) – крупнейшем бесплатном архиве электронных публикаций научных статей и препринтов по математике, информатике, физике, астрономии и биологии.

Открытие Хельфготта оказало решающее влияние на оценку константы Шнирельмана. Теперь можно утверждать, что она не превосходит числа 4. В самом деле, всякое нечётное число разлагается на три простых – это имеет место в силу теоремы Хельфготта. Ежели же число m чётно, то перейдём к нечётному числу m – 3; оно разлагается на три простых слагаемых, каковые вместе с числом 3 образуют четыре простых слагаемых, на которые разлагается m.

список литературы к приложению к главе 3

1. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Сов. энциклопедия, 1988.

2. Юшкевич А. П., Копелевич Ю. Х. Христиан Гольдбах. 1690–1764. – М.: Наука, 1983.

3. Euler L., Goldbach Ch. Briefwechsel, 1729–1764 / A. P. Herausgeg, E. Juškevič, B. Winter. Berlin: Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin Kl. Philos., 1965.

4. Вебер Г., Вельштейн И. Энциклопедия элементарной математики / Пер. с нем., ред. и примеч. В. Кагана: В 3 т. Т. 1: Элементарная алгебра и анализ / Сост. Г. Вебер. – Одесса: Mathesis, 1906. – С. 50.

5. Виноградов И. М. Представление нечётного числа суммой трёх простых чисел // Докл. АН СССР. 1937. Т. 15. С. 291–294.

6. Бороздин К. Г. К вопросу о постоянной И. М. Виноградова // Труды Третьего всесоюзного математического съезда. Т. 1. – М.: Изд-во АН СССР, 1956. – С. 3.

7. Chen J. R., Wang T.-Z. On the Goldbach problem // Acta mathematica sinica. 1989. Vol. 32. P. 702–718.

8. Новиков С. П. Математики и физики Академии 60–80-х годов // Вопросы истории естествознания и техники. – 1995. № 4. – С. 55–65.

9. Гельфонд А. О. Теория чисел // Математика в СССР за тридцать лет. 1917–1947. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. С. 53–81.

10. Iwaniec H., Kowalski E. Analytic number theory // Colloquium Publications. 2004. Vol. 53. P. 443.

11. Schnirelmann L. G. Über additive Eigenschaften von Zahlen // Mathematische Annalen. 1933. Vol. 107. S. 649–690.

12. Шнирельман Л. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи математических наук. – 1939. – Т. 6. – С. 9–25.

13. Ramaré O. On Schnirelmann's constant // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV. 1995. Vol. 22. № 4. P. 645–706.

14. Helfgott H. A. The ternary Goldbach conjecture is true // arxiv.org/abs/1312.7748 (Submitted on 30 Dec 2013, last revised 17 Jan 2014).

О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'

Понятия множества и кортежа трактуются в данной статье как первичные, неопределяемые. Понятия же соответствия, функции и отношения определяются в ней через понятия множества и кортежа[112].

Множество

Понятие множества является не только первым, но и самым главным из перечисленных понятий. Заметим сразу же, что рассматриваемые в традиционной комбинаторике так называемые сочетания суть не что иное, как конечные множества.

Вот что говорит о понятии множества и о самом термине «множество» выдающийся отечественный математик П. С. Александров:

На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем трудно определимым понятием, которое выражается словом «совокупность». Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данный момент в данной комнате, о совокупности гусей, плавающих на пруду, зайцев, живущих в лесах Московской области, и т. п.

В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова «совокупность» употребить слово «множество»[113].

А вот что пишет учитель П. С. Александрова, не менее выдающийся математик Н. Н. Лузин:

Что такое множество? Мы не станем доискиваться ответа на этот вопрос, потому что понятие множества является столь первоначальным, что затруднительно, по крайней мере на сегодняшний день, определить его при помощи более простых понятий.

Читателя это обстоятельство не должно удивлять. Действительно, когда некоторое понятие P определяется при помощи более простого понятия D, то само это понятие D также нуждается в определении посредством более простого понятия C, а оно, в свою очередь, нуждается в определении посредством ещё более простого понятия B и т. д. Таким образом, в конце концов мы должны будем прийти к столь первоначальному понятию А, которое не удаётся определить с помощью более простых понятий; всё, что можно здесь сделать, – это только разъяснить на ряде примеров смысл такого понятия А.

Итак, мы не станем искать определения слова «множество». Можно, разумеется, было бы сказать, что множество есть «собрание», «коллекция», «класс», «система», «семейство», «комплекс», «ансамбль» и т. д. Но такая замена одного слова другим никогда не может дать самоё идею множества тому, кто раньше не приобрёл её каким-нибудь образом. Поэтому мы предпочитаем обратиться к примерам, разъясняющим смысл слова «множество». Понимая под этим словом совокупность, составленную из каких-нибудь предметов, мы можем говорить о множестве всех букв на данной странице, о множестве всех атомов серебра в данной монете, о множестве всех корней данного уравнения, о множестве всех положительных чисел, о множестве всех многочленов, о множестве всех непрерывных функций, о множестве всех точек на данной окружности, о множестве всех углов, имеющих иррациональное значение синуса, и т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами[114].

И далее:

Из приведённых примеров видно, что элементами множества могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т. д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и её приложимость к очень многим областям знания (математике, механике, физике)[115].

Надо иметь в виду, что список областей знания, приведённый в скобках Н. Н. Лузиным, не является не только исчерпывающим, но даже достаточно представительным; этот список, по существу, мог бы состоять из всех областей знания.

Кортеж

Понятие кортежа несколько менее популярно, чем понятие множества, но почти столь же фундаментально. Так же как и понятие множества, оно заимствуется непосредственно из опыта (хотя это понятие и можно формально определить через понятие множества, но лишь весьма искусственно); сам термин «кортеж», как и термин «множество», имеет ряд синонимов, ничего не разъясняющих по существу, но служащих некоторым психологическим подспорьем для понимания. Такими синонимами в данном случае являются «упорядоченный набор», «конечная последовательность», «вектор»[116]. Вот что пишет, например, о понятии 'вектор' видный английский психиатр, более известный в России как один из пионеров кибернетики У. Р. Эшби (у которого это понятие полностью совпадает с нашим понятием 'кортеж'):

…Предположим, что радиопередача должна дать нам отчёт о «состоянии» (в определённый момент времени) проходящего сейчас марафонского бега. До этого она должна сообщить положение каждого бегуна в данный момент времени. Множество этих положений определит «состояние» бега. Итак, состояние бега в целом задаётся различными состояниями (положениями) различных бегунов, взятыми одновременно. ‹…›

Такое состояние есть вектор, т. е. составной объект, имеющий определённое число компонентов, или составляющих. Удобно записывать его в виде (a_1, a_2, …, an); это означает, что первая составляющая имеет значение a_1, вторая – значение a_2 и т. д.

…«Положение» корабля в любой момент не может быть описано одним числом; необходимы два числа: широта и долгота. Таким образом, «положение» есть вектор с двумя составляющими[117].

Существенно подчеркнуть следующее:

1. Составляющие вектора стоят на определённых местах, причём указано, какое место является первым, какое – вторым и т. д. (бегунов нумеруют; относительно координат договариваются, какую из них – широту или долготу – указывать первой);

2. Составляющие, стоящие в векторе на разных местах, могут совпадать (два бегуна могут иметь одинаковое положение; широта и долгота, на которых находится корабль, могут также оказаться одинаковыми – если указывать их просто числами со знаком «плюс» или «минус», не прибегая к таким обозначениям, как, скажем, «западная долгота»).

Часто вместо термина «вектор» употребляют термин «кортеж», вместо термина «компонент» – термин «компонента», а записывают кортеж в угловых или круглых скобках:

〈a_1, a_2, …, an〉 или (a_1, a_2, …, an).

Вот ещё примеры кортежей: можно говорить о кортеже автомобилей в церемониальной процессии, о кортеже букв в слове, о кортеже слов во фразе, о кортеже фраз в абзаце, о кортеже абзацев в тексте, о кортеже азотистых (пуриновых и пиримидиновых) оснований в каждой из двух «нитей» молекул дезоксирибонуклеиновой кислоты. Знакомые, которые последовательно встретились вам сегодня на улице (при условии, что никакие двое знакомых не появлялись одновременно), также образуют кортеж. Во всех этих примерах, кроме первого, компоненты кортежа, стоящие на разных местах, могут совпадать. Кортежи с несовпадающими элементами суть не что иное, как рассматриваемые в комбинаторике размещения.

Кортеж с двумя компонентами называют парой, с тремя – тройкой и т. д.

Соответствие

Чтобы подойти к определению математического понятия соответствия, начнём с примеров употребления этого понятия.

Пример 1. Будем измерять рост людей в сантиметрах, а их вес – в килограммах. Каждому возможному для человека значению роста соответствуют некоторые значения веса – те значения, которые может иметь вес при данном значении роста.

Пример 2. С другой стороны, каждому возможному значению веса человеческого тела соответствуют определённые значения роста человека – те значения, которые рост может иметь при данном весе.

Пример 3. Каждому человеку либо соответствует некоторый цвет – цвет его волос, либо не соответствует ничего, если он лыс.

Пример 4. Каждому цвету либо соответствуют люди, чьи волосы имеют этот цвет, либо (как, например, зелёному цвету) не соответствует никто (если иметь в виду естественный цвет волос).

Пример 5. Каждому русскому существительному соответствуют окончания, возникающие при склонении этого существительного, а несклоняемому существительному не соответствует ничего (если не считать отсутствие окончания особым «нулевым» окончанием).

Пример 6. Каждому окончанию соответствуют некоторые существительные, а именно те, которые имеют хотя бы одну форму с данным окончанием, или ничего не соответствует, если такое окончание невозможно для существительных.

Пример 7. Каждому слову одного языка, если оно имеет аналоги (переводы) в другом языке, соответствуют эти аналоги.

Во всех этих примерах мы имеем дело с соответствиями (причём в примерах 2, 4, 6 – с соответствиями, обратными соответствиям из примеров 1, 3, 5). Соответствие, таким образом, предполагает наличие двух множеств (множества ростов и множества весов в примере 1, множества окончаний и множества существительных – в примере 6), причём для каждого элемента первого множества либо не указано соответствующих ему элементов второго множества (как для зелёного цвета в примере 4), либо такие элементы второго множества указаны (как для чёрного цвета в том же примере). Первое из этих множеств называется областью отправления, а второе – областью прибытия соответствия. Областями отправления в приведённых примерах служили последовательно множество возможных ростов, множество возможных весов, множество всех людей, множество всех цветов, множество всех существительных, множество всех окончаний, множество всех слов некоторого языка. А областями прибытия – множество возможных весов, множество возможных ростов, множество всех цветов, множество всех людей, множество всех окончаний, множество всех существительных, множество всех слов некоторого языка[118].

Чтобы задать соответствие, недостаточно, конечно, указать область отправления и область прибытия; надо ещё указать, какие элементы области прибытия каким элементам области отправления соответствуют. Если взять наугад какой-то элемент a из области отправления и какой-то элемент b из области прибытия, то элемент b, конечно, может и не соответствовать элементу a. Чтобы указать, какие элементы каким соответствуют, надо, следовательно, из всех пар <a, b>, где a – элемент области отправления, а b – элемент области прибытия, выделить такие, в которых b соответствует a. Для этого достаточно, очевидно, указать множество таких «хороших» пар. Заданием этого множества (вместе с заданием областей отправления и прибытия) соответствие полностью определяется. Поэтому соответствие естественно определить (как это и делается при уточнении этого понятия в математике) просто как тройку множеств: область отправления, область прибытия и некоторое множество пар элементов из этих областей (первый член пары должен быть из области отправления, а второй – из области прибытия). Поскольку пары и тройки суть просто частного вида кортежи, понятие соответствия оказывается выраженным через понятие множеств и понятие кортежа.

Функция

Само слово «функция» встречается уже в школьном курсе математики. Однако расшифровка этого слова оказывается не таким простым делом, поскольку, как можно заметить, слово «функция» употребляется в несколько различающихся смыслах.

В обычной, классической, математике известны два основных направления, по которым происходит осмысление понятия функции[119]. Первое направление – исторически более раннее и, пожалуй, даже сейчас более распространённое – ориентировано в основном на традиционно трактуемые технические и естественно-научные приложения математики и опирается на понятие переменной величины; второе – более современное и более точное – не использует этого понятия вовсе (в то же время второе направление способно обслужить как все традиционные приложения математики, так и ещё много новых, возникших за последнее время).

Первое направление. Именно первое направление отражено, например, в Большой Советской Энциклопедии (3-е изд.), где статья «Функция»[120] начинается со следующей дефиниции: «Функция – одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других».

В рамках данного направления, в свою очередь, можно выделить два подхода, первый из которых (опять-таки более ранний и, возможно, более распространённый) скорее соответствует точке зрения физиков, второй – точке зрения математиков[121].

Первый подход состоит в истолковании функции как переменной величины. Именно такое истолкование принято в средней школе. «Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией этой другой переменной величины»[122]. Подобное определение функции принято и в ряде авторитетных вузовских учебников[123], и в Большой Советской Энциклопедии, где следующая за дефиницией фраза в только что упоминавшейся статье «Функция» гласит: «Если величины x и y связаны так, что каждому значению x ответствует определённое значение y, то y называют (однозначной) функцией аргумента x». Как видно из исторического обзора в конце названной статьи, аналогичные формулировки встречались ещё в XIX в. и восходят к ещё более ранним представлениям.

Второй подход состоит в истолковании функции как закона, но также связанного с понятием переменной величины (и с разделением переменных величин на «зависимые» и «независимые»): «Закон (правило), по которому значениям независимых переменных отвечают (соответствуют) значения рассматриваемой зависимой переменной, называется функцией»[124].

Приведённые формулировки нельзя, конечно, считать отчётливыми. Для их уточнения требуется предварительное создание достаточно нерасплывчатой системы представлений о переменных величинах. Создание такой системы если и возможно, то, по-видимому, лишь на основе использования в качестве исходных таких понятий, как 'величина' и 'изменение во времени'[125], т. е. вне рамок теоретико-множественной концепции.

Второе направление. Принципиально иной путь связан с отказом от переменных величин. Он приводит к более широкому понятию функции, поскольку разрешает рассматривать функции не только от «величин» (заметим вскользь, что попытки уточнить, что такое «величина вообще», приводят к значительным трудностям). В рамках этого второго направления можно опять-таки различить несколько подходов, а точнее, по меньшей мере три. Первый подход определяет не самоё функцию, а лишь, так сказать, «функциональную ситуацию», т. е. ситуацию, при которой разрешено говорить, что имеет место функция; второй подход трактует функцию как правило или закон, третий – как соответствие.

Первый подход характерен для руководств по теории множеств и общей теории функций. Вот, например, что говорит о функции П. С. Александров в уже цитировавшейся нами книге[126]:

Если каким-нибудь образом каждому элементу x некоторого множества X поставлен в соответствие определённый элемент y некоторого множества Y, то мы пишем f: X → Y и говорим, что имеется отображение множества X во множество Y или функция f, аргумент которой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y.

А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин пишут:

В [математическом] анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть X – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция f, если каждому числу x ∈ X поставлено в соответствие определённое число y = f (x). При этом X называется областью определения данной функции, а Y – совокупность всех значений, принимаемых этой функцией – её областью значений.

Если теперь вместо числовых множеств рассматривать множества какой угодно природы, то мы придём к самому общему понятию функции, а именно: пусть M и N – два произвольных множества. Говорят, что на M определена функция f, принимающая значения из N, если каждому элементу x ∈ M поставлен в соответствие один и только один элемент из N. Для множеств произвольной природы (как, впрочем, и в случае числовых функций) вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое[127].

Как мы уже говорили, приведённые (и широко распространённые подобные им[128]) формулировки оставляют само понятие функции неопределяемым. Здесь определяется не что такое функция, а лишь некоторое правило употребления этого термина. Что же такое функция и когда о двух функциях можно говорить как об одной и той же функции – это остаётся неопределённым. Разумеется, такая точка зрения вполне правомерна[129].

Однако правомерно и стремление определить самоё функцию (причём не используя понятия переменной величины). Попытки определить функцию как правило или закон[130], посредством которого для каждого элемента одного множества указывается некоторый элемент второго, приводят к потребности уточнить, что такое правило или закон. Такие уточнения приводили до сих пор к слишком узким классам функций, как, например, классу вычислимых функций, когда слово «закон» уточняется посредством понятия алгоритма. Попытки же найти слову 'закон' максимально общее уточнение оказываются – и, по-видимому, неизбежно (во всяком случае, при наших сегодняшних представлениях) – связанными с необходимостью максимально широко и одновременно совершенно отчётливо очертить язык (или языки) записи законов, что вряд ли когда-нибудь удастся; считать же понятие «закон» первичным и неопределяемым вряд ли целесообразно.

Наиболее законченное представление о функции заключается в рассмотрении её как соответствия. «Функция… определённая на множестве M, есть не что иное, как просто соответствие f различным элементам множества M некоторых элементов (различных или тождественных) множества N»[131]. Или более точно: «В самом общем смысле (однозначная) функция… это соответствие, в силу которого каждому элементу x некоторого множества X отвечает единственный элемент y некоторого множества Y»[132]. Если понимать соответствие так, как мы условились выше его понимать, и считать, что в приведённой только что формулировке X и Y служат областью отправления и областью прибытия соответствия, то станет очевидным, что эта формулировка выделяет функцию – среди прочих соответствий – посредством следующего требования: каждому элементу области отправления должен соответствовать ровно один элемент области прибытия. Именно такое определение функции – как соответствия (понимаемого как тройка множеств), при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия – принято в «Началах математики» Н. Бурбаки[133].

Можно теперь сделать шаг в сторону обобщения, потребовав меньшего, а именно потребовав, чтобы в случае функции каждому элементу области отправления соответствовало не более одного элемента области прибытия. Так, если рассматривать функции действительного переменного, т. е. функции, у которых область отправления и область прибытия совпадают каждая с множеством действительных чисел:

1. Функция y = x² каждому действительному числу a ставит в соответствие ровно одно действительное число a_2;

2. Функция y = √x каждому неотрицательному действительному числу a ставит в соответствие ровно одно действительное число √a, а любому отрицательному действительному числу ничего не ставит в соответствие.

По твёрдому убеждению автора этих строк, именно такие соответствия, в которых каждому элементу области отправления либо соответствует ровно один элемент области прибытия, либо не соответствует ничего, и должны именоваться функциями. Те из функций, у которых каждому элементу области отправления непременно что-то соответствует, надлежит, как это и принято, называть всюду определёнными, или тотальными.

В приведённых выше примерах соответствий лишь пример 3 даёт функцию (если считать, что у каждого нелысого человека вполне определённый цвет волос).

Отношение

Последним из начальных понятий нашего списка является понятие отношения. Начнём с примеров. Говорят об отношении родства среди людей, об отношении 'меньше' среди чисел, об отношении старшинства среди военнослужащих, об отношении синонимии среди слов в лексике, об отношении паразитирования среди животных, об отношении совместимости среди групп крови, об отношении подобия среди геометрических фигур, об отношении согласования и отношении подчинения среди слов в предложении.

Мы видим, что каждый из этих примеров устроен следующим образом: имеется некоторое множество (людей, слов, фигур и т. д.), и для любой пары элементов из этого множества указано, находится ли первый член этой пары в данном отношении ко второму или нет. (Например, для каждой пары военнослужащих указано, является ли первый из них старшим по отношению ко второму. Для каждой пары чисел указано, является ли первое из них меньшим, чем второе.) Причём из рассмотрения не исключаются пары, у которых первый и второй члены совпадают. (Так, для любой пары, составленной из совпадающих чисел, указано, что первый член пары не находится в отношении 'меньше' ко второму. Для любой пары, составленной из совпадающих геометрических фигур, указано, что первый член находится в отношении подобия ко второму.)

Чтобы задать отношение, достаточно, следовательно, задать некоторое исходное множество пар его элементов – «график отношения», состоящий из тех пар, у которых первый член находится в рассматриваемом отношении ко второму. Естественно поэтому само отношение отождествить с парой, составленной из его графика и его области задания. Такое отождествление и принято нами в качестве определения понятия 'отношение'. Отношение, следовательно, есть пара, составленная из двух множеств, причём элементами первого из этих множеств служат некоторые пары элементов второго.

Для простоты мы ограничились здесь двуместными, или бинарными, отношениями. А вот пример трёхместного, или тернарного, отношения: для любой тройки точек осмыслен вопрос, расположена ли вторая из них между первой и третьей; если, например, точки не лежат на одной прямой или две из них совпадают, ответ будет отрицательным.

Из книги «Что такое аксиоматический метод?»

§ 1. Что такое аксиомы?

Аксиоматический метод – это такой способ построения какой-либо математической теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории, называемые теоремами, доказываются на основе этих аксиом путём чисто логических рассуждений. Те выражения из предыдущей фразы, которые были выделены курсивом, а именно аксиомы, теоремы и чисто логические рассуждения, будут разъяснены далее.

Начнём с аксиом. Возникают естественные вопросы: что такое аксиомы, откуда они взялись, зачем они нужны? Чтобы ответить на них, нам придётся выйти за пределы чистой математики и вступить в области, пограничные между математикой и философией.

В естественных науках многие факты обосновываются экспериментально, т. е. посредством проведения эксперимента (экспериментом называется научно поставленный опыт). Возьмём, например, такой медицинский факт: анальгин производит обезболивающее и жаропонижающее действие. Этот факт обосновывается многочисленными экспериментами: анальгин давали людям, имевшим повышенную температуру или испытывавшим боль, после чего температура у них понижалась, а боль уменьшалась. Или такой ботанический факт: деревья, имеющие хвою, имеют и шишки. Этот факт обосновывается многочисленными наблюдениями над хвойными деревьями. Или растворимость поваренной соли в воде – каждый может убедиться, что эта соль растворима в воде, на собственном опыте. В физике свойство равноускоренности свободного падения неоднократно проверялось открывшим это свойство Галилеем и его современниками.

Другое дело – теоремы геометрии. Предположим, что мы хотим обосновать тот факт, что у двух треугольников, у которых равны две стороны и угол между ними, равны и третьи стороны. Что мы должны делать? Конечно, мы можем поставить опыт: взять какие-либо два треугольника, удовлетворяющие сформулированному требованию, и убедиться в том, что их третьи стороны действительно равны. Однако может ли этот опыт служить достаточным обоснованием интересующего нас факта? А ну как равенство третьих сторон имеет место только для выбранной нами пары треугольников, а для других пар треугольников оно места не имеет? Будем продолжать наши эксперименты и брать всё новые и новые пары треугольников с равными углами, заключёнными между попарно равными сторонами. Каждый раз мы будем убеждаться, что и третьи стороны равны. Но ведь мы всё равно не сможем перебрать все треугольники, а тогда каждый раз будет оставаться сомнение: а вдруг для ещё не рассмотренных нами треугольников равенство третьих сторон не выполняется?!

Наши сомнения совершенно законны, и их законность подкрепляется следующим рассуждением. Изменим условия, изначально налагаемые нами на треугольники, и вместо того, чтобы требовать равенства углов, расположенных между попарно равными сторонами, будем требовать равенства углов, прилежащих к соответствующим сторонам. Более точно, рассмотрим такое утверждение: «Пусть у треугольников ABC и А'В'С' сторона АВ равна стороне А'В', сторона АС равна стороне А'С' и, кроме того, угол В равен углу В'; тогда сторона ВС равна стороне В'С'». Это утверждение неверно, и мы приглашаем читателя убедиться в этом самостоятельно, найдя противоречащий пример, т. е. пару треугольников, для которой выполнены все условия сформулированного утверждения (они перечислены после слова «пусть»), но не выполнено его заключение (оно сформулировано после слова «тогда»). Однако легко может случиться, что такой противоречащий пример будет найден не сразу и у многих испробованных пар треугольников, в которых равны углы, прилежащие к равным сторонам, третьи стороны этих треугольников также окажутся равными. А что, если противоречащий пример (хотя он на самом деле существует) вовсе не будет найден? Ведь тогда можно было бы сделать ошибочный вывод, что наше утверждение истинно! Проведённый анализ показывает, что надо быть очень осторожным при применении неполной индукции, т. е. перехода от частных примеров, не исчерпывающих в своей совокупности всех возможных случаев, к утверждениям общего характера.

Здесь у читателя может возникнуть законное недоумение. Ведь упомянутые выше выводы о свойствах анальгина, о наличии шишек у хвойных деревьев, о растворимости соли, о законе свободного падения – все эти выводы сделаны на основе ограниченного числа наблюдений, т. е. на основе той самой неполной индукции, которую мы только что вроде бы отвергли. Да, мы её отвергли – но только как средство для доказательств положений математики. Для естественных наук, таких как медицина, биология, химия, физика, метод неполной индукции считается вполне приемлемым, поскольку им без него не обойтись; впрочем, и здесь положения, установленные методом неполной индукции, подчас приходится пересматривать.

Что же касается математики, то её истины более незыблемы, чем истины медицины или химии, и в математике неполная индукция не работает.

Вернёмся, однако, к теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними. Что же с нею делать? Перед нами выбор: или пытаться доказывать её, опираясь на ранее доказанные утверждения, или объявить её аксиомой, т. е. утверждением, не нуждающимся в доказательстве. Если раньше читатель был вправе недоумевать, то теперь он вправе возмутиться. Что значит «объявить аксиомой»? Разве это в нашей власти? Да, в значительной степени в нашей власти, и чуть позже мы попытаемся это объяснить. Если же мы будем доказывать нашу теорему с помощью других, ранее доказанных теорем, а те, другие, теоремы – с помощью третьих и т. д., то ведь всё равно этот процесс не может продолжаться бесконечно. Значит, где-то придётся остановиться, т. е. уже не доказывать какие-то предложения, а принять их за аксиомы.

§ 2. Аксиомы Евклида

Необходимость аксиом была осознана ещё древними греками. Самое знаменитое сочинение мировой математики – написанный в III в. до н. э. древнегреческим математиком Евклидом и охватывающий всю современную ему математику трактат «Начала» – начинается так. Сперва идут определения, а сразу вслед за ними – аксиомы. Аксиомы у Евклида разбиты на два списка. Первый список состоит из пяти предложений, второй – из девяти. Лишь аксиомы второго списка названы в русском переводе трактата аксиомами, аксиомы же первого списка названы постулатами. Говоря о древних текстах, всегда надо точно указывать издание; вот издание, на которое мы здесь ссылаемся: Начала Евклида / Пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. Книги I–VI. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Приведём полностью постулаты и аксиомы из этого издания. Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности.

Постулаты

Допустим:

1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором [циркуля] может быть описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то, неограниченно продолженные, эти прямые встретятся с той стороны, где [внутренние] углы [в сумме] меньше двух прямых [углов].

Аксиомы

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые [т. е. суммы] будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства.

На современном языке пятый постулат Евклида можно сформулировать так:

При пересечении двух прямых третьей, секущей, образуются четыре внутренних угла. Если сумма двух из них, расположенных по одну сторону от секущей, меньше 180°, то эти две прямые пересекаются и притом по ту же сторону от секущей.

Возникает естественный вопрос, почему одни предложения названы постулатами, а другие – аксиомами. Вопрос этот достаточно сложен. На примере приведённых двух списков можно увидеть некое различие между значениями слов «аксиома» и «постулат», но различие столь тонкое, что нам для целей нашего изложения нет нужды принимать его во внимание; к тому же это различие не всегда ясно прослеживается. В современном языке термины «аксиома» и «постулат» считаются синонимами. Например, пятый постулат Евклида часто называют аксиомой о параллельных. (Строго говоря, аксиомой о параллельных называется в наши дни другое утверждение, а именно: «Дана прямая и точка вне её; не существует двух различных прямых, проходящих через данную точку и параллельных данной прямой». Это утверждение равносильно пятому постулату: приняв это утверждение, можно доказать пятый постулат, а приняв пятый постулат, можно доказать сформулированное утверждение. Поэтому пятый постулат рассматривают как одну из форм аксиомы о параллельных.) Мы тоже будем считать термины «аксиома» и «постулат» синонимами, а если и будем называть одни формулировки Евклида постулатами, а другие – аксиомами, то только потому, что за ними исторически закрепилось такое название.

Кроме того, надо иметь в виду следующее. Текст Евклидовых «Начал», как и подавляющее большинство других древних текстов, не сохранился в виде рукописи, написанной самим автором. До наших дней дошли лишь рукописные копии, причём не с оригинального манускрипта, а с других рукописных копий. Древнейшая из сохранившихся копий относится ко второй половине IX в. Изготовление рукописных копий требовало достаточно высокой по тем временам математической квалификации, и эта высокая квалификация древних переписчиков имела свою оборотную сторону: иногда они «улучшали» и дополняли Евклида, особенно в части постулатов и аксиом. Поэтому некоторые исследователи полагают, что не все те аксиомы и постулаты, которые приводятся в современных изданиях «Начал», действительно присутствовали в исходном тексте Евклида. Кое-кто даже считает, что у Евклида вовсе не было аксиом второго списка (они-то и называются в переводах аксиомами), а из пяти аксиом первого списка (постулатов) Евклиду принадлежали лишь первые три. А некоторые публикаторы, оставляя в списке постулатов первые три, оставшиеся два переносят в аксиомы; они же добавляют в аксиомы ещё одну: «И если от неравных отнимаются равные, то остатки будут не равны». Всего тогда в списке оказывается 12 аксиом, среди которых аксиома о параллельных – предпоследняя, отчего её иногда называют одиннадцатой аксиомой.

Первое печатное издание «Начал» Евклида вышло в Венеции в 1482 г. в переводе на латинский язык. Наиболее авторитетным считается лейпцигское издание «Начал» (как на языке оригинала, т. е. на греческом, так и на латыни) 1883–1888 гг. Оно содержит реконструкцию первоначального текста, которую предпринял в 1890-х гг. датский филолог Иохан Людвиг Гейберг (Johan Ludvig Heiberg, 1854–1928)[134]. Для своей реконструкции он использовал восемь манускриптов, датируемых IX–XI вв. Тот русский перевод Мордухай-Болтовского, на который мы ссылались в начале параграфа, сделан именно с издания Гейберга.

Мы привели постулаты и аксиомы Евклида по двум причинам. Во-первых, интересно посмотреть, как формулировали свои мысли математики далёкого прошлого. Во-вторых, поучительно сравнить формулировки Евклида с теми современными формулировками аксиом геометрии, которые будут приведены ниже[135].

Но сперва несколько замечаний о Евклидовых формулировках.

1. Принято считать, что, когда Евклид говорит о равенстве геометрических фигур, он имеет в виду их равновеликость. А девятая аксиома Евклида отражает тот факт, что через две точки может проходить только одна прямая, т. е. что для двух прямых р и q невозможно расположение, показанное ниже на рисунке (если бы такое расположение было возможно, Евклид сказал бы, что прямые р и q «содержат пространство», а именно то «пространство», которое выделено «заливкой» на рисунке).

Некоторые из аксиом (например, восьмая) не используются Евклидом в его последующем изложении.

Напротив, изложение Евклида опирается на многие положения, не входящие в списки постулатов и аксиом. Так, бросается в глаза, что в эти списки не входят аксиомы стереометрии, хотя теоремы стереометрии в трактате Евклида имеются. Но даже если ограничиться теоремами планиметрии, то выясняется, что в их доказательствах Евклид часто опирается не только на аксиомы, но и на непосредственную геометрическую наглядность. Например, в аксиомах Евклида ничего не говорится о таких важных геометрических понятиях, как «располагаться между», 'располагаться по одну сторону' и т. п., хотя использование этих понятий необходимо при доказательстве многих теорем.

Некоторые формулировки при внимательном анализе оказываются неполными или непонятными. Но, может быть, всё дело в том, что мы пока ничего не сказали об определениях Евклида? Может быть, если принять во внимание определения, формулировки станут полными и понятными? Обратимся к определениям.

Как мы отметили ранее, трактат Евклида начинается с определений. Вот некоторые из них (мы сохраняем нумерацию источника).

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же – длина без ширины.

3. Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней.

4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

5. Плоская же поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.

С современной точки зрения, это всё не определения таких понятий, как 'точка', 'линия', 'прямая', 'поверхность', 'плоскость', а всего лишь пояснения этих понятий.

Впрочем, у Евклида встречаются и такие формулировки, которые следует признать определениями и с современной точки зрения. Таково, например, его десятое определение, в котором определяются понятия 'прямой угол' и 'перпендикуляр':

10. Когда же прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом [смежные] углы, равные между собой, то каждый из [этих] равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.

Меньше всего, однако, мы хотели бы создать впечатление, что Евклид и другие древние авторы заслуживают лишь критики или снисходительного похлопывания по плечу: вот, дескать, какие у них неточные и примитивные формулировки, только в отдельных случаях поднимающиеся до нашего просвещённого уровня! Совсем наоборот, достойно удивления и восхищения то обстоятельство, что более двух тысяч лет назад мыслящие люди ставили перед собою задачу заложить логический фундамент математики (и блестяще решили эту задачу!). Этот факт служит опровержением известного тезиса, что движущей силой развития науки являются исключительно практические потребности, ведь и строгость, и само содержание трактата Евклида далеко превосходили практические потребности того времени. Что же касается формулировок, которые кажутся нам сейчас странными, расплывчатыми, устаревшими, то такими же (или даже худшими) покажутся, надо думать, современные формулировки нашим потомкам, причём не через две тысячи лет, а много раньше, потому что человеческая цивилизация эволюционирует с ускорением.

§ 3. Современный подход к аксиоматизации геометрии: аксиоматика Гильберта

В названии этого параграфа два учёных слова – «аксиоматика» и «аксиоматизация». Аксиоматика, или аксиоматическая система, – это то же самое, что система аксиом. А аксиоматизация какой-либо теории – это процесс создания аксиоматики для этой теории.

Только что мы познакомились с древнейшей аксиоматической системой – системой геометрических аксиом (куда мы включаем и постулаты!) Евклида. Посмотрим теперь, как устроены современные системы аксиом геометрии. Мы сделаем это на примере наиболее известной из таких систем. Она была создана на рубеже XIX и XX вв. великим немецким математиком Давидом Гильбертом и называется поэтому системой аксиом Гильберта. На этом примере мы сможем увидеть и проанализировать многие свойства, характерные для аксиоматических систем вообще.

Чтобы устройство системы аксиом Гильберта, да и любой системы аксиом геометрии было более понятным, сделаем важное предварительное замечание. В аксиомах геометрии встречаются те или иные геометрические понятия, такие, например, как 'угол'. Чтобы понимать смысл аксиомы, мы должны иметь представление о смысле использованных в аксиомах понятий, говоря попросту, понимать, чтó эти понятия означают. Но как можно составить представление о том или ином понятии? Есть два основных способа, один из которых мы условно назовём наглядным, а другой, столь же условно, – дефиниционным (от лат. definitio – определение).

При наглядном способе понятие усваивается на примерах, при дефиниционном – с помощью определений. Скажем, усвоение понятий 'стол' и 'корова' происходит на основе того, что человеку показывают достаточное количество столов и коров. Таким же наглядным способом могут усваиваться и понятия, выражающие свойства, такие, например, как 'металлический' или 'фиолетовый': для этого нужно предъявить достаточное количество металлических предметов и предметов фиолетовой окраски. Аналогичным образом человек обучается понятиям, выражающим положение в пространстве одних предметов относительно других, таких как 'слева от', 'справа от', 'спереди', 'сзади', 'над', 'под', 'на', 'в', 'между' и т. п.

А вот представление о понятиях «металлический стол» или «фиолетовая корова» можно получить и не прибегая к примерам (в случае «фиолетовой коровы» это было бы и затруднительно). Здесь годится способ дефиниционный. Понятия 'металлический стол' и 'фиолетовая корова' можно не показать, а определить: металлический стол – это такой стол, который является металлическим; фиолетовая корова – это такая корова, которая является фиолетовой.

Наглядным способом осуществляется и первое знакомство с такими математическими понятиями, как, скажем, «шар» или «прямая». Однако здесь надо проявить осторожность и понимать, что арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч – в меньшей степени шар, чем бильярдный шар или шарик подшипника, ведь, строго говоря, геометрических шаров в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком, – все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, т. е. то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Отметим, что в трактате Евклида термин «прямая» обозначает не всю бесконечную прямую линию, а именно отрезок. Представление о бесконечности было, по-видимому, чуждо античной математике, да и всему античному мировоззрению. Представление о бесконечном следует отличать от представления о неограниченно продолжаемом; для ясности бесконечное часто называют в этом противопоставлении актуально бесконечным, а неограниченно продолжаемое – потенциально бесконечным. Разумеется, древние понимали, что, сколько раз ни откладывай отрезок в одну и ту же сторону, его можно будет отложить в ту же сторону ещё раз – это и есть пример неограниченной продолжаемости (она же потенциальная бесконечность). Актуальная же бесконечность в данном случае означает разрешение рассматривать всю прямую целиком, т. е. как объект, который возникнет после завершённого (а в реальности ни в какой момент не завершающегося!) процесса прикладывания отрезков друг к другу[136].

Итак, для того, чтобы получить представление о бесконечной прямой, одного только наглядного способа недостаточно – требуется ещё воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, который населён этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (как говорят философы, является отражением реального мира).

Таким образом, к геометрическим понятиям наглядный способ применим лишь с оговорками. Посмотрим, как работает дефиниционный способ. Возьмём для примера понятие угла. Можно объяснять это понятие, демонстрируя конкретные углы, т. е. применяя наглядный способ. А можно воспользоваться способом дефиниционным, т. е. попытаться определить, что такое угол. Вот определение: угол есть совокупность (другими словами, множество) двух лучей, исходящих из одной и той же точки О. Но тогда надо знать, что такое 'луч, исходящий из точки О'. Это понятие, в свою очередь, определяется как множество, состоящее из самой этой точки О и всех точек, расположенных по одну и ту же сторону от этой точки. Но что значит, что две точки лежат 'по одну и ту же сторону' от точки O? Это значит, что эти две точки и точка О лежат на одной и той же прямой, причём так, что точка О не находится между этими двумя точками. Но тогда мы должны сперва установить, что означает, что точки 'лежат' на прямой и одна точка находится 'между' двумя другими.

Итак, при дефиниционном способе одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но ведь мы не можем продолжать этот процесс бесконечно. А значит, на каких-то геометрических понятиях мы вынуждены остановиться и далее их не определять. Эти понятия, которые уже не имеют определения, называют неопределяемыми, или исходными. Но если исходные понятия не могут быть определены, то, спрашивается, откуда же мы можем знать, что они означают? Казалось бы, ответ очевиден: мы должны использовать наглядный способ и познать эти понятия из непосредственного опыта, иными словами, усвоить их на примерах. Однако несколькими строками выше было отмечено, что примеры хотя и подводят нас к представлению о том или ином геометрическом понятии, но лишь до некоторой степени. А математика – наука точная, приблизительность ей не к лицу, и математик должен совершенно точно знать, каким именно понятием он оперирует. Вроде бы возник тупик. Аксиоматический метод как раз и предлагает выход из этого тупика.

Чтобы понять, что это за выход, ещё раз осмыслим встающую перед нами проблему. Мы хотим рассуждать о некоторых понятиях, причём рассуждать совершенно точно. Но точности наших рассуждений мешает то обстоятельство, что эти понятия не имеют определений. Тогда поступим так. Попытаемся выписать основные свойства этих понятий, а именно те свойства, на которые будем опираться в наших рассуждениях. Дадим себе обещание не использовать в рассуждениях никаких иных свойств, кроме тех, которые внесены нами в список основных свойств. Каждый отдельный элемент списка, в котором фиксированы какие-то определённые свойства рассматриваемых понятий, будем называть аксиомой, сам же список – системой аксиом. Рассуждения же, которые не опираются ни на какие свойства понятий, кроме явно указанных в аксиомах, и есть те самые чисто логические рассуждения, которые упоминались в начале § 1.

Очевидно, что построению системы аксиом должно предшествовать составление перечня исходных, или неопределяемых, понятий. Надо подчеркнуть, что составление такого перечня во многих чертах произвольно и зависит от вкуса составителя. Например, можно взять за исходное понятие отрезка (как это, по существу, и делает Евклид) и с его помощью определять понятие прямой, а можно, напротив, взять за исходное понятие прямой (как это и делается в большинстве современных аксиоматических систем), а через него уже определять понятие отрезка. Говоря о трёх точках О, А, В некоторой прямой, мы определили выше понятие 'лежать по одну сторону от О' через понятие 'находиться между А и В'. А могли бы, наоборот, следующим образом определить второе понятие через первое: 'точка O находится между точками А и В' означает, что А и В не лежат по одну сторону от O. Таким образом, по желанию составителя системы аксиом геометрии в качестве исходного можно принять одно из двух понятий: 'находиться между' или 'лежать по одну сторону'.

Для своей системы аксиом геометрии Гильберт выбирает восемь исходных, или неопределяемых, понятий: точка, прямая, плоскость, отношение связи точки и прямой, отношение связи точки и плоскости, отношение «находиться между» (для точек), отношение конгруэнтности отрезков, отношение конгруэнтности углов. (В школьном курсе математики конгруэнтность геометрических фигур, в том числе отрезков и углов, называют обычно их равенством.) Список же своих аксиом он для удобства изложения разбивает на пять групп.

Аксиомы первой группы говорят о способах, которыми прямые и плоскости связываются, соединяются или сочетаются с точками. Поэтому их называют аксиомами связи, или аксиомами соединения, или аксиомами сочетания. Наглядно мы себе представляем, что значит, что какая-то точка лежит на какой-то прямой или на какой-то плоскости. Это соотношение между точкой А и прямой или плоскостью р словесно можно выразить по-разному: «А лежит на р», «р проходит через А», «А соединяется (сочетается) с р». Все эти взятые в кавычки обороты синонимичны, они выражают один и тот же факт. Таким образом, слова разные, а понятие одно и то же; его можно называть и 'соединяться', и 'сочетаться', и 'лежать на', и 'проходить через'.

В обычной, школьной, геометрии прямая рассматривается как множество точек. В аксиоматической геометрии прямые – это просто такие особые объекты, часть из которых связана (соединяется, сочетается и т. д.) с другими объектами, точками. Но каждой прямой отвечает множество точек, лежащих на этой прямой. Вместо того чтобы говорить длинно: «Точка А принадлежит множеству точек, лежащих на прямой р», – говорят короче: «Точка А принадлежит прямой р» (и эта фраза выражает то же, что и фраза «р проходит через А»). Аналогично фразу «Точка А принадлежит множеству точек, лежащих на плоскости π» сокращают до фразы: «Точка А принадлежит плоскости π» (и эта фраза выражает то же, что и фраза «π проходит через А»). Поэтому отношения связи называют также отношениями принадлежности, а аксиомы связи – аксиомами принадлежности.

‹…›

§ 15. Аксиомы метрики и аксиомы меры

Знаете ли вы, уважаемый читатель, что такое расстояние между двумя точками? Ну, конечно же, знаете – это знают все: надо соединить эти точки отрезком и измерить его длину. Очень хорошо. Значит, когда говорят, что от Москвы до Владивостока столько-то километров, мысленно соединяют эти города отрезком прямой… Нет, тут что-то не так, ведь вследствие шарообразности Земли этот отрезок пройдёт под землёй. А расстояния между городами всё-таки измеряются по поверхности Земли. Значит, расстояние между Москвой и Владивостоком надо мерить так: натянуть между этими двумя городами нитку по глобусу, измерить её длину и затем умножить на масштаб. На более научном языке тот же способ излагается так: находим дугу большого круга, соединяющую Москву и Владивосток, и измеряем её. (Для простоты изложения мы принимаем, что Земля – это в точности шар; именно тогда можно говорить о «больших кругах», т. е. о тех окружностях на поверхности Земли, центр которых совпадает с центром Земли.) Допустим, что мы нашли расстояние между нашими городами именно таким способом (можно даже внести поправку на отклонение формы Земли от шара). Но если мы теперь откроем железнодорожный справочник, то мы увидим совсем другое расстояние – и это понятно, поскольку там расстояние указывается в километрах железнодорожного пути. А в справочнике автомобильных дорог – ещё одно расстояние, в километрах автодорог. (Мы игнорируем как незначительное то обстоятельство, что автодорога от Москвы до Владивостока до сих пор не проложена.)

Итак, мы обнаружили четыре разных расстояния между Москвой и Владивостоком. Которое же из них истинное? А ведь есть ещё и другие способы измерения расстояния. Всем известно, что капитаны добрых старых времён измеряли путь по пучинам вод не иначе как количеством выкуренных трубок. Вот более серьёзный пример: представим себе неоднородное прозрачное вещество, внутри которого распространяется свет. Тогда расстояние между двумя точками уместно измерять временем прохождения света от одной точки до другой, и это время будет зависеть не только от геометрического расстояния между точками, но и от меняющихся на его пути оптических свойств среды.

Повторим вопрос: какой же из способов измерения расстояния приводит к истинному расстоянию? Ответ: все. Просто мы имеем дело с разными представлениями о расстоянии, или, как говорят, с разными метриками.

Вот, скажем, в случае Москвы и Владивостока мы имели четыре разные метрики: 1) евклидову метрику, когда расстояние между двумя точками пространства измеряется длиной соединяющего их отрезка, пусть даже и протыкающего насквозь нашу планету; 2) сферическую метрику, когда расстояние между двумя точками мерится по поверхности сферы; 3) железнодорожную метрику, когда расстояние между двумя точками измеряется длиною рельсового пути между ними; 4) автомобильную метрику, когда расстояние измеряется длиной автомобильного пути.

А давайте подумаем, можно ли расстояние между двумя точками туристского маршрута измерять временем перехода. Если мы так сделаем, то расстояние от точки А, лежащей под горой, до точки В, расположенной на горе, может оказаться больше, чем расстояние от В до А, что как-то нехорошо. (По той же причине нельзя мерить расстояние количеством затраченного топлива.) В наших предыдущих примерах такого неприятного эффекта не наблюдалось, и расстояние было симметричным. А вот между площадями Москвы измерять расстояние при помощи пробега автомобиля нельзя: такое расстояние оказалось бы несимметричным (ввиду наличия улиц с односторонним движением и вызванной этим необходимости объездов).

Можно попытаться выделить те свойства, которые присущи всем мыслимым способам измерения расстояния. Таких свойств оказалось три. Во-первых, расстояние от любого места до этого же самого места равно нолю, а расстояние между различными местами не может быть равно нолю. Во-вторых, расстояние от одного места до второго должно быть равно расстоянию от второго места до первого (свойство симметричности расстояния). В-третьих, мы не можем сократить расстояние от А до В, если по дороге зайдём в пункт С. Все эти свойства оформляются в виде так называемых аксиом метрики. А метрикой называется функция, ставящая в соответствие двум объектам расстояние между ними.

Итак, мы познакомились с различными способами измерения расстояния; все они подчиняются аксиоматике метрики. Но бывают и совсем другие измерения. Так, размер комнаты обычно измеряют площадью её пола. Однако если нужно клеить обои, то важнее другое измерение – площадь стен. Немаловажное значение имеет и объём комнаты. Когда перемещают товар, то иногда его мерят по весу (столько-то тонн угля), иногда по объёму (столько-то кубометров газа), а в иных случаях – скажем, при таможенных расчётах – и по стоимости (на такую-то сумму денег). А сельскохозяйственные угодья можно измерять количеством снимаемого урожая. Все эти способы подчиняются аксиомам меры.

Представим себе, что у нас есть нечто, что может делиться на части. Это может быть проволока, или жилой фонд, или какой-то товар, или лесной массив. Далее каждой части мы ставим в соответствие некоторое число, называемое мерой этой части. Например, в случае проволоки мерой части, т. е. куска проволоки, может служить её длина или вес, но мы должны остановиться на одном из этих вариантов. В случае жилого фонда часть состоит из какого-то количества комнат или квартир, а мерой может служить или, как обычно, площадь, или, скажем, объём (чего на практике, кажется, не встречается). В случае товара мерой части может служить или её вес, или объём, или цена – но, конечно, мы должны выбрать что-нибудь одно. В случае леса частями являются его участки, а мерой может служить количество кубометров вырубленной на нём древесины – или, что более приятно в экологическом отношении, цена, вырученная за собранные на этом участке шишки.

Во всех этих случаях мера каждой части есть неотрицательное действительное число. Очевидны основные свойства меры. Ну, например, мера пустой части должна быть равна нолю. Но это не главное свойство меры. Главное свойство меры состоит в её аддитивности. Это значит, что при сложении частей меры должны тоже складываться; разумеется, слагаемые части должны при этом не перекрываться. Достаточно потребовать, чтобы это правило действовало для сложения двух частей, т. е. чтобы выполнялось следующее: если две неперекрывающиеся части соединяются в одну, то мера образовавшейся суммарной части должна быть равна сумме мер тех двух частей, из которых эта суммарная часть составлена. А тогда это свойство аддитивности будет автоматически распространяться на сложение любого конечного числа частей. Действительно, меру части, полученной слиянием частей А, В и С, можно вычислить так: сперва объединить А и В, мера объединённой части будет равна сумме мер частей А и В; а затем к этой объединённой части присоединить С; в результате окажется, что результирующая мера равна сумме мер всех трёх частей. И так для сложения любого конечного числа частей. Поэтому изложенный вариант свойства аддитивности называется свойством конечной аддитивности.

Однако для развития теории меры свойство конечной аддитивности часто оказывается недостаточным, и востребованным оказывается его обобщение на случай бесконечного числа слагаемых. Чтобы мы имели дело с полноценной мерой, должно выполняться следующее правило счётной аддитивности: если А_1, А_2, A_3, …, Ап, … есть последовательность неперекрывающихся частей и мы соединили их все в новую часть, то мера этой образовавшейся суммарной части равна сумме ряда, составленного из мер всех отдельных членов нашей последовательности. Заметим, что свойство конечной аддитивности вытекает из свойства счётной аддитивности. Это обосновывается следующим простым рассуждением. Сумма двух частей А и В равна сумме членов бесконечной последовательности, у которой первые два члена совпадают соответственно с А и В, а остальные члены совпадают с пустой частью. Составленный из мер числовой ряд будет выглядеть в этом случае так: мера части А плюс мера части В плюс нули, нули, нули… Сумма этого ряда как раз и будет равна сумме мер частей А и В.

Мы уже почти готовы дать точное определение меры. Чтобы перейти на математический уровень, вместо слова «часть» будем использовать слово «подмножество». Когда говорят о подмножествах, всегда имеют в виду некоторое универсальное множество, чьими частями и являются рассматриваемые подмножества. В случае проволоки таким множеством будет множество её точек; это если игнорировать её толщину. (А если не игнорировать – множество линейных координат поперечных срезов; линейная координата – это расстояние от начала проволоки до среза.) Всякий кусок проволоки можно рассматривать как подмножество такого множества. В случае жилого фонда универсальным множеством будет множество всех точек пространства, принадлежащих включённым в этот фонд комнатам и квартирам. В случае товара универсальным множеством служит множество всех единиц, из которых состоит товар. Например, в случае мебели – это предметы мебели, а в случае угля или газа – материальные точки, т. е. мельчайшие частицы, из которых состоит топливо. В случае лесного массива универсальным множеством можно считать множество принадлежащих этому массиву деревьев.

Перед окончательным определением – ещё два примера. Представим себе пространство, заполненное материальными телами, имеющими массу; тогда, очевидно, имеет смысл говорить о суммарной массе, заключённой в данном объёме пространства, а более общо – данном множестве точек пространства. Мы получаем функцию, относящую к некоторым множествам точек пространства их (множеств) массу. Эта функция является мерой. Универсальное множество здесь – множество всех точек пространства.

Другой пример – с тем же универсальным множеством. Поставим в соответствие данному объёму пространства вероятность того, что интересующее нас событие происходит именно в пределах этого объёма. Более общо, припишем некоторым множествам вероятность того, что событие происходит в одной из точек этого множества. Функция, относящая к множеству соответствующую вероятность, является мерой. Этот простой пример позволяет понять, почему вся современная теория вероятностей (следуя высказанному в начале 1930-х гг. предложению великого математика Колмогорова) имеет своим фундаментом теорию меры.

Мера есть функция, аргументами которой служат подмножества универсального множества. Не предполагается, что мера есть у всякого подмножества; те подмножества, у которых она есть, называются измеримыми. Скажем, в случае товара: при измерении его по стоимости не всякое собрание единиц этого товара можно считать товаром, имеющим стоимость. Даже газ должен поступать достаточно компактными объёмами; если мы, скажем, мысленно отберём в рассматриваемую часть каждую десятую молекулу газа, то полученное подмножество молекул будет слишком разреженным, чтобы признать его частью того самого газа – не в физическом, а в потребительском смысле.

В аксиоматиках метрики и меры участвовало помимо исходных (неопределяемых) понятий этих аксиоматик также и понятие действительного числа. Возможны два подхода к введению в рассмотрение действительных чисел. При одном подходе мы их строим (используя в качестве строительного материала натуральные числа), при другом – определяем аксиоматически. Если мы выбираем второй подход, то в систему аксиом как метрики, так и меры должны быть включены и аксиомы действительных чисел.

Заключительные замечания

Во всех рассмотренных нами системах аксиом свободно употреблялись понятия множества, функции и натурального числа. Иногда эти понятия были упрятаны внутрь других. Так, неоднократно использовавшееся понятие последовательности содержит внутри себя понятия натурального числа и функции: ведь последовательность – это не что иное, как функция, определённая на натуральном ряду. Мы не включали понятия множества, функции и натурального числа в наши списки исходных, неопределяемых понятий на том основании, что относили их к тому языку, на котором мы разговариваем. Точнее сказать, к логике этого языка. Однако пользование логикой – а лучше сказать, тем, что мы считаем логикой, – языка без каких-либо ограничений приводит к парадоксам. Удивляться этому особенно не приходится, потому что логика языка возникла и развивалась исходя прежде всего из бытовой практики, а потом уже её стали не вполне законно применять к сложным математическим образованиям.

Мы оказали бы дурную услугу читателю, призвав его усомниться в существовании натуральных чисел. Но всё же полезно задуматься над тем, чтó значит, что существует какое-нибудь очень большое число: например, число, превосходящее количество элементарных частиц в видимой Вселенной. А существование натурального ряда – т. е. совокупности всех натуральных чисел – вызывает ещё больше непростых философских вопросов.

Можно потребовать, чтобы и такие фундаментальные понятия математики, как понятия множества и натурального числа, определялись аксиоматически. Однако задача аксиоматического определения фундаментальных понятий таит в себе ловушки и опасности. Это уже совершенно другая и более сложная тема, относящаяся к компетенции математической логики.

Простейшие примеры математических доказательств

§ 1. Математика и доказательства

Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-нибудь другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, по астрономии или по мостостроению. Дело в том, что в любой серьёзной книге по математике непременно присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств – вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

Первую попытку охватить единым трактатом всю математику предпринял древнегреческий математик Евклид в III в. до н. э. В результате появились знаменитые «Начала» Евклида. А вторая попытка состоялась только в XX в. н. э., и решился на неё французский математик Николя Бурбаки[137], в 1939 г. приступивший к изданию многотомного трактата «Начала математики». Вот какой фразой открывает Бурбаки свой трактат: «Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство"».

Таким образом, эти два слова – «математика» и «доказательство» – объявляются почти синонимами.

Казалось бы, можно возразить, что доказательства встречаются и в других сферах, например в юриспруденции. Так, в суде каждая из сторон предъявляет свои доказательства (причём доказательства одной стороны нередко противоречат доказательствам другой стороны). Однако все согласны, что математические доказательства гораздо убедительнее тех, которые оглашаются в судах.

Доказательства, собственно, встречаются во всех науках, даже гуманитарных. Приведу два примера: первый – из исторической науки, второй – из филологии.

Первые шаги в науке великого российского математика Андрея Николаевича Колмогорова были сделаны не в математике, а в истории и относились к истории Новгородской земли в XV в.[138]

Колмогоровские разыскания содержали в числе прочего ответ на вопрос, как брался налог с селений Новгородской земли – с селения в целом или же с каждого его двора. Опровергая господствующее мнение, Колмогоров доказал, что налог брался с селения в целом. Доказательство состояло в том, что в противном случае правило налогообложения было бы чересчур сложным. Проведённый Колмогоровым анализ новгородских писцовых книг, в которых наряду с другими сведениями записывались сведения о налогообложении, привёл к следующим результатам. Налог с больших селений всегда брался в целых единицах, к тому же в большинстве случаев в круглых цифрах, налог со средних селений брался в основном также в целых единицах. Налог с небольших селений мог составлять как целое, так и дробное число налоговых единиц, но это дробное число всегда имело вид целого числа с половиной. Более того, во многих случаях, когда налог с небольших селений брался в целых единицах, дворов в селении оказывалось больше, чем налоговых единиц, взимаемых с селения. Кажется невероятным, чтобы налог был подворным и его ставки были столь хитроумны, чтобы достигнуть таких числовых эффектов!

Теперь пример из филологии. Долгое время предметом ожесточённых спекуляций служил вопрос о подлинности «Слова о полку Игореве», т. е. о том, создано ли оно в XII–XIV вв., что и означает подлинность, или же является позднейшей подделкой, относящейся, скорее всего, к XVIII в. Андрей Анатольевич Зализняк доказал подлинность «Слова». Доказательство опирается на анализ раскрытых Зализняком тончайших закономерностей древнерусского языка. Невероятно, чтобы мог существовать такой фальсификатор, который не только знал бы эти закономерности, иные из коих были обнаружены лишь недавно, но и скрыл своё знание от современников! (Это при том, что, как известно, незнание можно скрыть, знание скрыть невозможно.)

В обоих наших примерах о доказательствах в гуманитарных науках мы употребили слово «невероятно», а не слово «невозможно». Дело в том, что в обоих случаях всё-таки остаётся некоторая, пусть весьма малая, вероятность того, что в действительности налог был подворным, а «Слово» – подделкой. Требуется ли ещё уменьшать эту вероятность? На мой взгляд, в приведённых примерах не требуется, но этот взгляд субъективен. И если кто-нибудь потребует сделать вероятность опровержения открытий, сделанных Колмогоровым и Зализняком, ещё ничтожнее, против этого будет трудно возразить. Вот, например, как реагировал на сообщение Колмогорова известный историк С. В. Бахрушин, когда работа была доложена на занятиях руководимого им семинара в Московском университете. Пишет известный археолог, руководитель Новгородской археологической экспедиции В. Л. Янин:

Когда работа была доложена им [Колмогоровым] в семинаре, руководитель семинара профессор С. В. Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как «в исторической науке каждый вывод должен быть обоснован несколькими доказательствами» (!). Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: «И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства». История потеряла гениального исследователя, математика навсегда приобрела его.

Думается, позиция Бахрушина имеет следующее объяснение. Он привык к тому, что обычно применяемые в исторической науке доказательства допускают, каждое в отдельности, ощутимую вероятность того, что доказанное утверждение не соответствует действительности, а посему для уменьшения этой вероятности требуется несколько доказательств. Возможно, он впервые услышал доказательство, которое одно уже делало указанную вероятность пренебрежимо малой, – услышал, но не осознал.

Вернёмся, однако, к математике. Математические доказательства повсеместно признаются эталоном бесспорности. Выражения вроде «я тебе докажу математически», встречающиеся в русской классической литературе, касаются доказательств, которые нельзя оспорить.

Но что же такое доказательство? Доказательство – это рассуждение, которое убеждает того, кто его воспринял, настолько, что он готов убеждать других с помощью этого же рассуждения. Так понимается доказательство всюду: и в истории, и в филологии, и в математике. Во избежание недоразумений и возможного возмущения просвещённых читателей (если таковые найдутся среди читающих этот текст) отметим: есть и другое понимание того, что такое доказательство. По Бурбаки, например, доказательство – это цепочка символов, организованная по определённым правилам. Мы обсудим это другое понимание в заключительном разделе нашего очерка. Полагаем, однако, что наше понимание не является чем-то оригинальным, а отражает то стандартное употребление слова «доказательство», которое имеет место и в средней, и в высшей школе. Те математические объекты, которые именует доказательствами Бурбаки, разумно называть формальными доказательствами, в отличие от содержательных, психологических доказательств, о которых мы здесь говорим. Формальные доказательства составляют предмет изучения математической логики. Заметим ещё, что, на наш взгляд, и Бурбаки не может избежать содержательных доказательств, ведь чтобы убедиться, что данная цепочка символов является формальным доказательством, требуется провести содержательное рассуждение, т. е. именно психологическое доказательство.

Отличие математического доказательства от доказательств в других науках состоит в том, что в математике порог убедительности значительно выше. Можно сказать, что математические и нематематические доказательства имеют разные «амбиции». Нематематические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с подавляющей вероятностью, а предположение, что это утверждение ложно, невероятно. Математические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с необходимостью, а предположение, что это утверждение ложно, невозможно. Так, уже отмечалось, что в приведённых выше примерах из истории и филологии оставалась возможность, пусть совершенно невероятная, что доказываемое утверждение ложно. И даже демонстрация нескольких доказательств, как того требовал Бахрушин, всего лишь повысила бы степень невероятности, но не превратила бы её в невозможность. В математических же доказательствах невероятность противоположного эффекта, т. е. допущения того, что доказанное утверждение неверно, заменяется на невозможность. Поэтому убедительность математических доказательств должна быть абсолютной, не оставляющей никакой возможности для противоположного суждения.

Предвидим протест или по меньшей мере удивление некоторых читателей. Как же так? Такое важное математическое понятие, как «доказательство», имеет столь нечёткое определение, да и вообще не определение, а описание, пояснение. На это у нас два возражения. Во-первых, даже в математике всё определить невозможно, ведь одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но и этот процесс не может продолжаться бесконечно. Поэтому мы вынуждены где-то остановиться. Во-вторых, понятие доказательства не есть математическое понятие (подобное, скажем, понятию действительного числа или понятию многоугольника); по отношению к математике оно не внутреннее, а внешнее; оно принадлежит не математике, а психологии (и отчасти лингвистике). Однако невозможно представить себе современную математику без повсеместного использования этого понятия.

Можно ли предложить разумную классификацию всевозможных доказательств, т. е. убедительных рассуждений? Вряд ли. Тем более что доказательство, как правило, состоит из нескольких (иногда очень многих) этапов, и на каждом этапе применяется свой способ убеждения. Можно, однако, среди схем доказательства выделить несколько часто повторяющихся; ниже некоторые из таких схем будут изложены.

Чтобы не дезориентировать читателя, сделаем два предупреждения.

Предупреждение первое. Было бы глубоким заблуждением считать, что других методов доказательства не бывает. Да и само выделение схем достаточно условно. Ведь нередко бывает, что одна схема вклинивается в другую; скажем, внутри доказательства по индукции может встретиться доказательство от противного, и наоборот.

Предупреждение второе. Ниже будут приведены примеры лишь очень простых и коротких доказательств. Между тем многие математические доказательства и гораздо сложнее, и гораздо длиннее, они могут занимать десятки, сотни и даже тысячи страниц. Поясним, откуда берутся эти тысячи. Дело в том, что каждое доказательство опирается на какие-то факты, и, если включить в него и полные доказательства всех этих фактов, тут-то и могут потребоваться тысячи страниц.

§ 2. О точности и однозначности математических терминов

Но прежде чем продолжить разговор о доказательствах, необходимо сказать несколько слов о математической терминологии.

Убедительность математических доказательств поддерживается отчётливостью, недвусмысленностью математических утверждений. Когда, например, говорят, что один общественный строй более прогрессивен, чем другой, то не вполне ясно, что в точности это означает. А вот когда говорят, что две прямые пересекаются, то каждому однозначно понятен смысл этих слов.

Для того чтобы математические суждения воспринимались как точные и недвусмысленные, необходимо прежде всего, чтобы таковыми были те понятия, которые в этих суждениях используются. Суждения облекаются в словесную форму в виде предложений, а понятия – в виде терминов. Таким образом, каждый термин должен иметь, во-первых, точно очерченный смысл. Во-вторых, смысл должен быть только один. Что же в действительности происходит с математическими терминами?

Надо признать, что смысловая точность реально достигается лишь в профессиональных, высокоучёных математических текстах, в повседневной же практике – отнюдь не всегда. Чем точнее очерчен смысл термина, тем убедительнее использующие этот термин доказательства. Однозначности терминов также, к сожалению, не наблюдается. Возьмём, к примеру, такой распространённый термин, как «многоугольник». Его понимают по-разному: и как любую замкнутую ломаную, и как самонепересекающуюся замкнутую ломаную (и то и другое ещё надо определять!), и как часть плоскости, ограниченную ломаной. Если вдуматься, то выражение «часть плоскости, ограниченная ломаной» нуждается в разъяснении, а тот факт, что такая часть существует, – ещё и в доказательстве, каковое оказывается довольно непростым (сам этот факт представляет собой частный случай так называемой теоремы Жордана, касающейся не только ломаных, но и замкнутых линий вообще). Тем не менее именно в таком, достаточно наглядном и потому оставляемом без разъяснения смысле термин «многоугольник» понимается в настоящем очерке (а потому все излагаемые здесь рассуждения о многоугольниках убедительны лишь постольку, поскольку ясен смысл термина).

Или термин «угол». Вот несколько различных значений этого термина:

(1) 'два луча, исходящих из одной точки';

(2) 'угол в значении (1) плюс одна из двух частей, на которые им разбивается плоскость';

(3) 'поворот луча';

(4) 'мера угла в значении (1)' (так понимают этот термин, когда говорят о сумме углов треугольника или произвольного выпуклого многоугольника);

(5)'мера угла в значении (2)' (так понимают этот термин, когда говорят о сумме углов произвольного многоугольника, не обязательно выпуклого);

(6) 'мера угла в значении (3)' (так понимают этот термин, когда говорят об отрицательных углах и об углах, бóльших или равных 360°).

Заметим, что отнесение к углу как геометрической фигуре его меры как числа представляет собою с позиций Высокой Науки довольно сложную процедуру.

В дальнейшем изложении встретятся три важных неоднозначных термина. Это термины «натуральное число», «натуральный ряд» и «равно».

Возможны два понимания того, что такое натуральное число, отличающиеся друг от друга в одном пункте: считать ли ноль натуральным числом? В школьных учебниках понятие натурального числа обычно выводят из пересчёта предметов, и потому натуральный ряд начинают с единицы. Но можно понимать натуральное число и как количество элементов какого-либо конечного множества. Поскольку одним из конечных множеств является пустое множество, вовсе не содержащее никаких элементов (например, множество ныне живущих динозавров), а количество элементов пустого множества есть ноль, то – при этом втором понимании – и наименьшее натуральное число есть ноль. При первом понимании понятие натурального числа совпадает с понятием целого положительного числа, при втором – с понятием целого неотрицательного числа. Подчеркнём, что каждое из указанных двух понятий имеет совершенно точное, недвусмысленное содержание, а двусмысленность заключается в терминологии, поскольку каждое претендует на то, чтобы его называли «натуральным числом». Дабы избежать неясностей, первое понятие можно было бы называть считательным натуральным числом, а второе – количественным натуральным числом.

Натуральный ряд – это, по определению, множество всех натуральных чисел. Сообразно сказанному есть два понятия натурального ряда: одно из них предполагает, что натуральный ряд начинается с ноля, другое – что с единицы.

Каждая из двух точек зрения на то, чтó понимать под терминами «натуральное число» и «натуральный ряд», имеет свои преимущества. Которую из них выбрать – дело вкуса. Но какую-то надо выбрать обязательно. Потому что невозможно ни говорить о доказательствах, ни тем более доказывать что-нибудь, не договорившись о значениях терминов. Чтобы не слишком уклоняться от школьной терминологии, мы будем начинать натуральный ряд с единицы. Впрочем, в некоторых из приводимых ниже примеров на тему индукции удобнее относить к натуральным числам и ноль. Желающих начинать натуральный ряд с ноля призываем слегка переделать последующее изложение метода индукции, а именно: в базисе индукции надо положить n = 0 вместо n = 1.

Теперь о слове «равно». Основное значение этого термина в математике таково: говорят, что два предмета равны, если они совпадают. Именно этот смысл вкладывается и в выражающий равенство символ =. Когда, например, пишут 3 + 5 = 8, то эту запись понимают как выражающую такое утверждение: предмет, обозначенный символом 3 + 5, совпадает с предметом, обозначенным символом 8. Казалось бы, никакое иное понимание и невозможно. К сожалению, возможно, и оно хорошо известно читателю. Это иное понимание появляется в школьном курсе геометрии. Там равными фигурами называют такие, которые могут и различаться, но совпадут после того, как одна из них путём перемещения будет совмещена с другой. Именно так понимается, скажем, равенство отрезков AB и EF или треугольников ABC и EFG. И эти равенства записывают в виде AB = EF и Δ АВС = Δ EFG, так что смысл знака = здесь не тот, какой был указан выше.

Более грамотно было бы называть фигуры, совпадающие при совмещении, конгруэнтными и использовать для записи конгруэнтности не знак равенства =, а некоторый специальный знак, например ≅. Однако, чтобы не усложнять изложения, мы не будем употреблять ни термина «конгруэнтный», ни знака ≅, а удовольствуемся школьной традицией (не такой уж, впрочем, и устойчивой, поскольку одно время в советских школах использовался именно термин «конгруэнтный»).

Итак, запись АВ = EF вовсе не означает (а должна бы!), что отрезки AB и EF совпадают. Но что-то всё же совпадает, а именно: их, отрезков, длины. Под психологическим давлением этого обстоятельства и длину отрезка AB нередко обозначают точно так же, как и сам отрезок, т. е. посредством символа AB. И можно встретить такую запись известного неравенства, связывающего стороны треугольника: АС < АВ + ВС. Но это уже не лезет ни в какие ворота, и в этом очерке длина отрезка AB будет обозначаться так, как ей и положено: |AB|.

§ 3. Доказательства методом перебора

Пример 1. Доказать, что среди целых неотрицательных чисел, меньших числа 420, нет других корней уравнения (x + 2008) (x – 3) (x – 216) (x – 548) = 0, кроме чисел 3 и 216.

Доказательство: Последовательно перебирая числа 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, …, 213, 214, 215, 217, 218, 219, …, 417, 418, 419 и подставляя их в уравнение, убеждаемся, что ни одно из них не обращает в ноль левую часть. Это есть типичное доказательство методом перебора.

«Зачем же поступать так странно?!» – возмутится читатель. Ведь достаточно опереться на следующее свойство произведения: если произведение равно нолю, то непременно равен нолю хотя бы один из сомножителей; действительно, из указанного свойства вытекает, что если число является корнем нашего уравнения, то оно есть либо 2008, либо 3, либо 216, либо 548, а из этих четырёх чисел только 3 и 216 одновременно неотрицательны и меньше, чем 420. Читатель совершенно прав: его доказательство короче. Однако мы призываем читателя осознать тот факт, что предложенное нами доказательство совершенно убедительно, а значит, совершенно безупречно. Кроме того, наше доказательство хотя и длиннее, но в определённом смысле проще: ведь оно не предполагает использования указанного выше свойства произведения. Представьте себе, что это свойство кому-либо неизвестно; тогда этот «кто-либо» поймёт наше доказательство, но не поймёт доказательства читателя. Мы преследовали и ещё одну, практическую, цель: приучить читателя не бояться доказательств методом перебора. Ведь хотя доказательство методом перебора может потребовать намного больше времени, чем какое-нибудь хитроумное короткое доказательство, поиск последнего способен затянуться надолго…

Пример 2. Доказать, что среди трёхзначных чисел нет числа, делящегося одновременно на 7, 11 и 13.

Школьник младших классов, знакомый лишь с делением, может справиться с этой задачей, перебрав и испробовав все 900 трёхзначных чисел. Школьник старших классов знает (точнее, должен знать), что среди натуральных чисел выделяются простые числа и что простым называется всякое натуральное число, которое, во-первых, больше единицы и, во-вторых, делится только на 1 и на само себя. Так что числа 7, 11 и 13 – простые. А ежели школьник ещё более образован, то он знает, что число, делящееся на каждое из нескольких простых чисел, обязано делиться и на их произведение. Произведение 7 × 11 × 13 равно 1001. Но никакое трёхзначное число не может делиться на 1001.

Пример 3. Представим себе, что мы выдвинули такую гипотезу: уравнение x^4 + y^4 = z^2 не имеет решения в области целых положительных чисел, не превосходящих числа 100.

В действительности указанное уравнение не имеет решения ни в каких целых положительных числах, так что наша гипотеза верна. Доказательство теоремы о неразрешимости нашего уравнения в целых положительных числах вполне элементарно (это не значит, что до него легко додуматься). Так что в принципе читатель может доказывать гипотезу одним из двух способов.

Первый способ. Перебрать все десять тысяч пар 〈x, y〉, таких что 1 ≤ x ≤ 100, 1 ≤ y ≤ 100; возвести для каждой такой пары её члены в четвёртую степень, сложить и убедиться, что сумма не является полным квадратом.

Второй способ. Попытаться самостоятельно получить доказательство теоремы о неразрешимости уравнения.

Второй способ труден, первый способ скучен. Конечно, можно поручить осуществление первого способа компьютеру; однако ведь можно взять вместо верхней границы 100 другую, настолько большýю, что и компьютеру перебор будет не под силу.

Сейчас мы приведём реальный пример перебора, с которым не в состоянии справиться современные компьютеры.

Пример 4. В 1742 г. российский математик Христиан Гольдбах выдвинул такую гипотезу: всякое натуральное число n, начиная с 6, есть сумма трёх простых чисел. Для небольших n гипотезу Гольдбаха можно проверить непосредственно; например, 96 = 2 + 47 + 47. С другой стороны, для очень больших нечётных чисел гипотеза тоже верна: как доказал в 1937 г. И. М. Виноградов, гипотеза Гольдбаха верна для всех нечётных чисел n, бóльших некоторого громадного n_0. Что касается самого этого n_0, то из результатов Виноградова и его последователей вытекает, что в качестве n_0 можно взять, например, число 314 348 907, требующее свыше 6,5 млн знаков для своей десятичной записи. Оставалось, таким образом, проверить все нечётные числа от 7 до названного числа, и тогда для нечётных чисел гипотеза Гольдбаха оказалась бы либо доказанной, либо опровергнутой. Однако такая проверка совершенно нереальна. В 2013 г. перуанский математик Харальд Хельфготт доказал, что не только очень большие, но любые нечётные числа, начиная с 7, представимы в виде суммы трёх простых чисел. Тем самым проблема Гольдбаха была решена для нечётных чисел.

Пример 5. Целые числа вида n² + 1 обладают следующим свойством: у них не бывает простых делителей вида 4k + 3.

Если перед читателем встанет задача проверить это свойство для предъявленного ему множества (в другом варианте – для одного, но большого числа вида n² + 1), то что он предпочтёт: решать задачу перебором или же искать в математической литературе доказательство общей теоремы относительно чисел вида n² + 1, а то и пытаться самому сочинить такое доказательство?

§ 4. Косвенные доказательства существования. принцип дирихле

Самый естественный способ доказать, что объект с заданными свойствами действительно существует, – это его указать, назвать, построить (и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами). Чтобы доказать, например, что данное уравнение имеет решение, достаточно указать какое-то его решение. Такие доказательства существования чего-нибудь называются прямыми, или конструктивными. Прямыми будут, например, приводимые в примерах 17 и 18 доказательства существования несоизмеримых отрезков, поскольку такая пара отрезков будет там указана.

Но бывают и косвенные доказательства, когда обоснование того факта, что искомый объект существует, происходит без прямого указания такого объекта.

Пример 6. В некоторой шахматной партии противники согласились на ничью после 15-го хода белых. Доказать, что какая-то из чёрных фигур ни разу не передвигалась с одного поля доски на другое. (Термин «фигура» понимается здесь в широком смысле, включающем и пешки.)

Рассуждаем так. Передвижения чёрных фигур по доске происходят лишь при ходах чёрных. Если такой ход не есть рокировка, передвигается одна фигура; если же ход есть рокировка, передвигаются две фигуры. Чёрные успели сделать 14 ходов, и лишь один из них мог быть рокировкой. Поэтому самое большое количество чёрных фигур, затронутых ходами, есть 15. А всего чёрных фигур 16. Значит, по крайней мере одна из них не участвовала ни в каком ходе чёрных. Отметим, что здесь мы не указываем такую фигуру конкретно (мы могли бы это сделать лишь в том случае, если бы наблюдали шахматную партию или располагали её записью), а лишь доказываем, что она непременно существует.

Пример 7. В самолёте летит 380 пассажиров. Доказать, что какие-то два из них отмечают свой день рождения в один и тот же день года.

Рассуждаем так. Всего имеется 366 (включая 29 февраля) возможных дат для празднования дня рождения. А пассажиров больше; значит, не может быть, чтобы у всех у них дни рождения приходились на различные даты, и непременно должно быть так, что какая-то дата является общей по крайней мере для двух человек. Ясно, что этот эффект будет обязательно наблюдаться, начиная с числа пассажиров, равного 367. А вот если это число равно 366, не исключено, что числа и месяцы их дней рождения будут для всех различны, хотя это и чрезвычайно маловероятно. (Кстати, теория вероятностей учит, что если случайно выбранная группа людей состоит более чем из 22 человек, то более вероятно, что у кого-нибудь из них дни рождения будут совпадать, нежели что у всех у них дни рождения приходятся на разные дни года.)

Логический прием, применённый нами в примере 7, носит название принцип Дирихлé – по имени знаменитого немецкого математика XIX в. Петера Густава Лежёна Дирихлé. Вот общая формулировка этого принципа:

Если имеется n ящиков, в которых находится в общей сложности по меньшей мере n + 1 предметов, то непременно найдётся ящик, в котором лежат по меньшей мере два предмета.

Чтобы увидеть, как приведённая формулировка используется в примере 7, надо мысленно представить себе 366 ящиков и надписать на каждом одну из 366 дат года, а затем мысленно же разместить по ящикам 380 пассажиров, помещая каждого пассажира в ящик с соответствующей этому пассажиру датой (всё делается только мысленно, так что никакой дискомфорт пассажирам не грозит). Тогда в каком-то из ящиков окажется более одного пассажира, и у этих пассажиров будет общий день рождения.

Пример 8. Докажите, что если прямая не проходит ни через одну из вершин треугольника, то она не может пересекать все его стороны.

Решение: Прямая делит плоскость на две полуплоскости. А вершин три. По принципу Дирихле отыщется полуплоскость, в которой находятся по меньшей мере две вершины треугольника, причём, по предположению, обе располагаются внутри полуплоскости, а не на её границе, т. е. не на исходной прямой. Сторона, соединяющая эти вершины, не пересекает указанную прямую.

Пример 9. По условиям шахматного турнира каждый участник должен сыграть с каждым другим одну партию. Докажите, что в любой момент турнира найдутся два шахматиста, сыгравшие к этому моменту одинаковое число партий.

Решение. Пусть всего в турнире участвует n шахматистов. Не будем их беспокоить и заменим каждого игрока карточкой с его именем. Каждый игрок мог сыграть от 0 до n – 1 партий, так что для каждого игрока имеется n вариантов. Приготовим столько ящиков, сколько есть вариантов, и пронумеруем их от 0 до n – 1. В ящик с номером k положим карточки с именами тех игроков, которые к данному моменту сыграли k партий. Наша задача – доказать, что хотя бы в одном ящике лежит не менее двух карточек.

Возможны два случая.

Первый случай: каждый игрок сыграл хотя бы одну партию. Тогда ящик № 0 пустой и для размещения n карточек остаётся n – 1 ящиков с номерами от 1 до n – 1.

Второй случай: есть игрок, не сыгравший ни одной партии. Его карточка попадает в ящик № 0, но зато ящик № n – 1 оказывается пустым, потому что нет игрока, сыгравшего со всеми другими игроками; для размещения n карточек остаётся n – 1 ящиков с номерами от 0 до n – 2.

В обоих случаях число ящиков, в которые могут попасть карточки, меньше числа карточек, и по принципу Дирихле в одном из ящиков непременно окажется две карточки.

§ 5. Доказательства от противного

Доказательства от противного выстраивают так. Делают предположение, что верно утверждение B, противное, т. е. противоположное, тому утверждению A, которое требуется доказать, и далее, опираясь на это B, приходят к противоречию; тогда заключают, что, значит, B неверно, а верно A.

Пример 10. Этот пример встречается и в «Началах» Евклида, и в современных школьных учебниках. Пусть дан треугольник и два его неравных угла. Требуется доказать утверждение A: против большего угла лежит бóльшая сторона.

Делаем противоположное предположение B: сторона, лежащая в нашем треугольнике против большего угла, меньше или равна стороне, лежащей против меньшего угла. Предположение B вступает в противоречие с ранее доказанной теоремой о том, что в любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а если стороны неравны, то против большей стороны лежит больший угол. Значит, предположение B неверно, а верно утверждение А. Интересно, что прямое (т. е. не «от противного») доказательство теоремы A оказывается намного более сложным.

Пример 11. Иррациональность квадратного корня из двух. Арифметическое доказательство. Обозначим этот корень буквой r и начнём рассуждать от противного. Итак, число r рационально и таково, что r² = 2. Всякое рациональное число выражается дробью. Все выражающие число r дроби равны друг другу. Среди них найдётся несократимая дробь – доказательство этого простого факта составляет предмет примера 15. Пусть эта дробь есть m/n. Следовательно,

(m/n)² = 2.

Освобождаясь от знаменателя, получаем:

m² = 2n². (1)

Мы видим, что число m2 чётно. Но квадрат любого нечётного числа всегда нечётен; значит, число m чётно, m = 2k при некотором целом k. Подставляя 2k в формулу (1) вместо m, получаем:

(2k)² = 2n² (2)

и после сокращения на 2

2k² = n². (3)

Совершенно так же, как мы убедились в чётности m, убеждаемся в чётности n. Итак, оба числа m и n чётны, и дробь m/n можно сократить на 2, а ведь мы выбрали её несократимой. Полученное противоречие доказывает, что число r не может быть рациональным, оно иррационально.

Пример 12. Доказать, что уравнение x³ + x + 1 = 0 не имеет решений в рациональных числах.

Рассуждаем от противного. Предположим, что наше уравнение имеет рациональный корень. Запишем его в виде несократимой дроби p/q. Итак, p³/q³ + p/q + 1 = 0. Умножая обе части на q³, получаем равенство p³ + pq² + q³ = 0. Замечаем, что если хотя бы одно из чисел p и q нечётно, то нечётно и выражение p³ + pq³ + q³. Но этого не может быть, потому что оно равно нолю, а ноль – число чётное. Значит, числа p и q оба чётные, но этого тоже не может быть, потому что дробь p/q несократима.

Чаще всего способом от противного доказывают, что объекта с заданными свойствами не существует. В самом деле, если требуется доказать, что что-то существует, то можно просто предъявить соответствующий объект (конечно, надо ещё доказать, что предъявлено именно то, что надо, т. е. что предъявленный объект обладает требуемыми свойствами). А как доказать, что чего-то нет? Хорошо, если это «что-то» надо искать среди конечного количества элементов, тогда можно попробовать метод перебора. А если среди бесконечного? Один из методов, применяемых в этом случае, есть так называемый метод бесконечного спуска, речь о котором пойдёт ниже, в § 6, и который можно рассматривать как частный случай метода доказательства от противного.

§ 6. Принципы наибольшего и наименьшего числа и метод бесконечного спуска

Принцип наибольшего числа утверждает, что в любом непустом конечном множестве натуральных чисел найдётся наибольшее число.

Принцип наименьшего числа формулируется так: в любом непустом (а не только в конечном!) множестве натуральных чисел существует наименьшее число.

Вторая формулировка принципа наименьшего числа: не существует бесконечной убывающей (т. е. такой, в которой каждый последующий член меньше предыдущего) последовательности натуральных чисел.

Эти две формулировки принципа наименьшего числа равносильны. В самом деле, если бы существовала бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел, то среди членов этой последовательности не существовало бы наименьшего. Теперь представим себе, что удалось найти множество натуральных чисел, в котором наименьшее число отсутствует; тогда для любого элемента этого множества найдётся другой, меньший, а для него – ещё меньший и т. д., так что возникает бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел.

Принцип наибольшего числа и обе формулировки принципа наименьшего числа с успехом применяются в доказательствах. Продемонстрируем это на примерах 13–15.

Пример 13. Доказать, что любое натуральное число, большее единицы, имеет простой делитель.

Рассматриваемое число делится на единицу и на само себя. Если других делителей нет, то оно простое, а значит, является искомым простым делителем. Если же есть и другие делители, то берём из этих других наименьший. Если бы он делился ещё на что-то, кроме единицы и самого себя, то это «что-то» было бы ещё меньшим делителем исходного числа, что невозможно.

Пример 14. Доказать, что для любых двух натуральных чисел существует наибольший общий делитель.

Поскольку мы договорились начинать натуральный ряд с единицы (а не с ноля), то все делители любого натурального числа не превосходят самого этого числа и, следовательно, образуют конечное множество. Для двух чисел множество их общих делителей (т. е. таких чисел, каждое из которых является делителем для обоих рассматриваемых чисел) тем более конечно. Найдя среди них наибольшее, получаем требуемое.

Пример 15. Доказать, что среди всех равных друг другу дробей непременно найдётся несократимая дробь.

Первое доказательство – со ссылкой на пример 14, а следовательно, с косвенным использованием принципа наибольшего числа. В нашем множестве дробей выберем произвольную дробь и найдём наибольший общий делитель d её числителя и знаменателя. Если d = 1, то выбранная нами дробь уже несократима. Если d ≠ 1, то сократим её числитель и знаменатель на это число d. Полученная дробь будет несократимой. Ведь если бы её можно было бы ещё сократить на какое-то число q, то произведение dq, большее числа d, было бы делителем числителя и знаменателя первоначальной дроби и d не было бы наибольшим общим делителем.

Второе доказательство – с использованием принципа наименьшего числа. Рассмотрим множество натуральных чисел, к которому отнесём всякое число, являющееся знаменателем какой-нибудь из дробей нашей коллекции равных дробей. Найдём в этом множестве наименьшее число. Дробь с таким знаменателем будет несократима, потому что при любом сокращении и числитель, и знаменатель уменьшаются.

Третье доказательство – с использованием второй формулировки принципа наименьшего числа. Предположим, что в нашем множестве дробей нет несократимой. Возьмём произвольную дробь из этого множества и сократим её. Полученную тоже сократим и т. д. Знаменатели этих дробей будут всё меньшими и меньшими, и возникнет бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно.

Продемонстрированный в третьем доказательстве примера 15 вариант метода от противного, когда возникающее противоречие состоит в появлении бесконечной последовательности убывающих натуральных чисел (чего, повторим, быть не может), называется методом бесконечного (или безграничного) спуска.

Пример 16. Вот ещё пример на метод бесконечного спуска. Выше, говоря о методе перебора, мы упомянули, что уравнение x^4 + y^4 = z^2 не имеет решений в области натуральных чисел. Стандартный способ доказательства этого факта состоит в доказательстве от противного: противоречие выводится из предположения, что существует тройка (а, b, с) натуральных чисел, являющаяся решением уравнения, т. е. такая, что a^4 + b^4 = c^2. Для получения требуемого противоречия применяют метод бесконечного спуска. Мы не будем здесь излагать, как именно осуществляется описываемое ниже построение[139], а ограничимся общей идеей. Идея же состоит в том, что указывается способ, следуя которому для каждой тройки натуральных чисел (а, b, с), служащей решением нашего уравнения, строится другая тройка натуральных чисел (а´, b´, с´), также служащая решением того же уравнения, но такая, что |с´| < |c|. Применяя этот метод, для тройки решения (а´, b´, с´) можно построить тройку-решение (а´´, b´´, с´´), а для этой последней – тройку (а´´´, b´´´, с´´´) и т. д. А тогда возникает невозможная убывающая последовательность натуральных чисел |c| > |c´| > |с´´| > |c´´´| >….

Напомним, что отрезок a называется мерой отрезка b, если a укладывается в b целое число раз. Возникает вопрос, для всяких ли двух отрезков существует их общая мера, т. е. такой отрезок, который является мерой для каждого из этих двух. Если какие-либо два отрезка имеют общую меру, то эти отрезки называются соизмеримыми, в противном же случае – несоизмеримыми. Итак, любые ли два отрезка соизмеримы? Этот вопрос имеет принципиальное значение: отношение несоизмеримых отрезков не может быть выражено рациональным числом, и потому именно явление несоизмеримости вызывает к жизни иррациональные числа. Тот факт, что несоизмеримые отрезки существуют, был известен ещё древним грекам и производил на них глубокое впечатление, а с открытием этого факта связан ряд легенд. Самым ранним примером несоизмеримых отрезков была такая пара: диагональ какого-нибудь квадрата и сторона этого же квадрата. Разумеется, попытки доказать несоизмеримость двух отрезков методом перебора были бы тщетны, ведь тогда пришлось бы перебрать все отрезки (что невозможно!) и убедиться, что никакой из них не является общей мерой рассматриваемых отрезков, в частности общей мерой стороны и диагонали одного и того же квадрата.

Все известные доказательства несоизмеримости стороны и диагонали квадрата осуществляются способом от противного. Мы приведём два доказательства – арифметическое и геометрическое. Обоим предпошлём следующее соображение. Если разрезать квадрат по диагонали, возникнут два равнобедренных прямоугольных треугольника, в каждом из которых эта диагональ будет гипотенузой, а стороны квадрата – катетами. Так что вопрос о соизмеримости или несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали равносилен вопросу о соизмеримости или несоизмеримости катета и гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Несоизмеримость катета и гипотенузы мы и будем доказывать.

Пример 17. Несоизмеримость гипотенузы и катета равнобедренного прямоугольного треугольника. Арифметическое доказательство. Предположим противное: у гипотенузы и катета имеется общая мера. Пусть эта общая мера укладывается целое число m раз в гипотенузе и целое число n раз в катете. Тогда по теореме Пифагора 2n² = m², откуда √2= m/n. Но этого не может быть, так как √2 есть число иррациональное, что было доказано в примере 11.

Но известно и другое доказательство несоизмеримости гипотенузы и катета, чисто геометрическое, необыкновенно красивое и, возможно, древнее.

Пример 18. Несоизмеримость гипотенузы и катета равнобедренного прямоугольного треугольника. Геометрическое доказательство. Рассуждать будем так. Для каждого равнобедренного прямоугольного треугольника Q построим другой равнобедренный прямоугольный треугольник Q´ с более коротким катетом и такой, что всякая общая мера катета и гипотенузы треугольника Q служит также общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´. Применяя к Q´ ту же конструкцию, получим равнобедренный прямоугольный треугольник Q´´ с ещё более коротким катетом и такой, что всякая общая мера катета и гипотенузы треугольника Q' служит также общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´´. К треугольнику Q´´ снова применяем ту же конструкцию. И так далее. Получаем бесконечную последовательность равнобедренных прямоугольных треугольников Q, Q´, Q´´, Q´´´, … со всё более и более короткими катетами; при этом всякая общая мера катета и гипотенузы исходного треугольника Q будет в то же время и общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´, а значит, и общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´´, а следовательно, катета и гипотенузы треугольника Q´´´ и т. д. Это построение, которое мы осуществим ниже, и позволяет провести доказательство от противного.

Действительно, предположим, что некоторый отрезок a является общей мерой для катета и гипотенузы треугольника Q. Тогда для каждого из треугольников Q(k) он является общей мерой катета и гипотенузы этого треугольника. Отсюда следует, что в катете каждого из этих треугольников он укладывается какое-то целое число раз. Пусть отрезок a укладывается n раз в катете треугольника Q, пусть далее этот отрезок укладывается n´ раз в катете треугольника Q´, n´´ раз – в катете треугольника Q´´ и т. д. Поскольку длины катетов уменьшаются, то n > n´ > n´´ > n´´´ > …; таким образом, мы получаем бесконечную последовательность убывающих натуральных чисел, что невозможно. А это значит, что было неверным наше исходное предположение о существовании у катета и гипотенузы треугольника Q общей меры.

Осталось указать, как по треугольнику Q = Δ ABC строится треугольник Q´.

На гипотенузе BC исходного треугольника Q откладываем отрезок BD, равный катету (рис. 1). Из D восстанавливаем перпендикуляр к BC. Обозначим через E точку пересечения этого перпендикуляра с прямой, проходящей через точки A и C. Убедимся, что эта точка располагается между точками A и C, т. е. на стороне AC, а не на продолжении этой стороны за точку A. Соединив прямой точки A и D (на рис. 1 эта прямая показана штриховой линией), получаем треугольник ADB. Этот треугольник равнобедрен по построению, и его углы BDA и BAD, прилежащие к равным сторонам, равны. В треугольнике не может быть ни двух прямых углов, ни двух тупых, поэтому угол BDA острый и, следовательно, меньше прямого угла BDE, а потому прямая DE не может идти внутри угла BDA. Значит, она проходит внутри угла ADC, в чём и требовалось убедиться.

Изучим наш чертёж более детально и установим три соотношения между его деталями. В прямоугольном (по построению) треугольнике CED угол ECD равен половине прямого угла, а общая сумма углов треугольника равна двум прямым; отсюда следует, что и угол CED равен половине прямого. Мы видим, что в треугольнике CED углы при его вершинах C и E равны; следовательно, этот треугольник равнобедренный с равными сторонами DE и DC:

|DE| = |DC|. (1)

Соединим точки B и E. Замечаем, что треугольники BEA и BED имеют общую сторону BE и равные стороны BA и BD; поскольку они прямоугольны, то сказанного достаточно для их равенства. Следовательно,

|EA| = |ED|. (*)

Соединяя формулы (*) и (1), получаем второе из искомых соотношений:

|AE| = |DC|. (2)

Наконец, выводим третье соотношение. Поскольку, как только что доказано, |DC| = |AE|, то |DC| = |AE| < |AC| = |AB|. Итак,

|DC| < |AC| = |AB|. (3)

Теперь уже нетрудно показать, что в качестве искомого треугольника Q´ можно взять треугольник CED. Действительно, он прямоуголен по построению и равнобедрен, как показывает соотношение (1). Его катет короче катета исходного треугольника Q = Δ ABC, как показывает соотношение (3). Осталось убедиться, что всякая общая мера гипотенузы и катета треугольника ABC служит также и общей мерой для гипотенузы и катета треугольника CED. В самом деле, пусть некоторая общая мера сторон треугольника ABC укладывается p раз в его катете и q раз – в его гипотенузе BC. Тогда она укладывается p раз в равном катету отрезке BD и q – p раз – в отрезке CD. Поскольку, согласно соотношению (2), отрезок AE равен отрезку CD, то и в AE эта общая мера укладывается q – p раз. Значит, в отрезке EC она укладывается р – (q – p) раз. Итак, эта мера укладывается целое число раз и в катете CD, и в гипотенузе EC треугольника CED, т. е. является их общей мерой.

Замечание. Египетский треугольник и обратная теорема Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (понятно, что надо бы говорить о длинах катетов и гипотенузы, но слово «длина» для краткости часто опускается). Всякая тройка целых чисел, выражающих длины сторон какого-либо прямоугольного треугольника, называется пифагоровой. Пифагоровых троек бесконечно много, из них тройка (3, 4, 5) имеет наименьшие члены, а прямоугольный треугольник с такими длинами сторон называется египетским. Происхождение названия таково. В Древнем Египте этот треугольник использовался в строительстве для построения прямого угла. Верёвка, разбитая на 12 равных частей, растягивалась в трёх точках так, чтобы эти точки стали вершинами треугольника со сторонами длиною в 3, 4 и 5 частей. Треугольник оказывался прямоугольным. Тем не менее само существование египетского треугольника требует доказательства. Построить треугольник с длинами сторон 3, 4, 5 нетрудно, но вот почему он будет прямоугольным? Нередко можно услышать ответ: «По теореме Пифагора, потому что 3² + 4² = 5²». Ответ неверен. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике выполняется известное соотношение между длинами сторон. Но она не утверждает, что, если это соотношение выполняется, треугольник прямоуголен. Этот факт составляет содержание другой теоремы, обратной к теореме Пифагора и называемой для краткости обратной теоремой Пифагора. Обратная теорема Пифагора гласит: если в каком-то треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоуголен и против большей стороны лежит прямой угол. Её доказательство чрезвычайно просто. Пусть длины сторон треугольника Δ суть a, b, c, причём a² + b² = c². На сторонах прямого угла отложим от его вершины O отрезки OX и OY, равные, соответственно, a и b. Возникает прямоугольный треугольник OXY, гипотенуза XY которого имеет по теореме Пифагора длину  т. е. c. Таким образом, треугольники Δ и OXY имеют соответственно равные стороны и, следовательно, равны. Значит, треугольник Δ прямоугольный и против стороны с длиной c лежит прямой угол.

Пример 19. Иррациональность квадратного корня из двух. Геометрическое доказательство. Предположим, что этот корень рационален и выражается дробью Тогда Замечаем, что m² = 2n² ⇒ m² < 4n² ⇒ m < n + n и что n < n + m. Поэтому для тройки чисел (n, n, m) выполняются неравенства треугольника и возможен треугольник со сторонами длины n и m. По обратной теореме Пифагора этот треугольник прямоуголен, причём единичный отрезок укладывается в его катете n раз, а в гипотенузе – m раз. Следовательно, единичный отрезок служит общей мерой катета и гипотенузы этого равнобедренного прямоугольного треугольника, так что они соизмеримы, чего не может быть (см. пример 18).

Замечание. Выпуклые фигуры. Напомним, что геометрическая фигура называется выпуклой, если она обладает следующим свойством (α): для любых двух точек фигуры отрезок, соединяющий эти точки, находится в пределах этой фигуры. В качестве полезного упражнения рекомендуем читателю доказать, что для любой совокупности выпуклых фигур фигура, образованная их пересечением, непременно выпукла. В частности, если прямая пересекает выпуклый многоугольник, то она разбивает его на два выпуклых многоугольника. В самом деле, каждая из частей разбиения представляет собою пересечение исходного многоугольника с одной из тех двух полуплоскостей, на которые прямая разрезает плоскость, а всякая полуплоскость выпукла.

Пример 20. Важное свойство выпуклого многоугольника. Для того частного случая, когда геометрическая фигура является многоугольником, можно предложить и другое определение выпуклости. Именно можно назвать многоугольник выпуклым, если он обладает свойством (β): какую ни взять сторону многоугольника, многоугольник целиком лежит по одну сторону от неё, т. е. от прямой, служащей её продолжением.

Эти определения равносильны: (1) из (α) вытекает (β); (2) из (β) вытекает (α). Утверждения (1) и (2) легко доказываются от противного. Доказательство для (1) сейчас изложим; доказать (2) предоставляем читателю.

Итак, предположим, что в многоугольнике, обладающем свойством (α), нашлись две такие его точки P и Q, которые лежат по разные стороны от некоторой его стороны AB. Поскольку все точки отрезка AB принадлежат многоугольнику, ему будут принадлежать и все точки треугольников PAB и QAB. Таким образом, отрезок AB является общей стороной треугольников PAB и QAB, расположенных хотя и по разные стороны от этого отрезка, но целиком в пределах рассматриваемого многоугольника. Очевидно, что такого не может быть, коль скоро AB является одной из сторон этого многоугольника.

§ 7. Индукция

Доказательства методом математической индукции

Метод математической индукции применяется тогда, когда хотят доказать, что некоторое утверждение выполняется для всех натуральных чисел. Продемонстрируем метод математической индукции на простом примере.

Пример 21. Доказать, что всегда 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2. Рассуждаем так. Во-первых, для n = 1 это утверждение верно; действительно:

Во-вторых, предположив, что наше утверждение верно для n = k, убеждаемся, что тогда оно верно и для n = k + 1; действительно:

Значит, наше утверждение верно для всех значений n. Действительно, оно верно для n = 1 (это было наше «во-первых»), а тогда в силу «во-вторых» оно верно для n = 2, откуда в силу того же «во-вторых» оно оказывается верным и для n = 3 и т. д.

Пример 22. Доказать, что справедливо равенство Ададурова (названное по имени Василия Евдокимовича Ададурова, российского математика XVIII в., который это равенство нашёл[140])

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)².

Доказываем по индукции. Для n = 1 проверяем непосредственно. Предположим, что равенство верно при n = k. Докажем, что тогда оно верно и при n = k + 1 (при этом используем результат примера 21):

Приведённое выше рассуждение показывает, что наше равенство верно не только при n = 1, но и при n = 2, n = 3 и т. д., т. е. при всех n.

Пример 23. Доказать, что при всех n справедливо равенство

Вы легко убедитесь в этом, воспользовавшись описанным методом.

Изложенный метод рассуждения требует установления двух фактов: (1) интересующее нас утверждение верно для единицы; (2) если интересующее нас утверждение верно для какого-то числа k, то оно верно и для следующего за ним числа k + 1. Если оба факта установлены, тогда, переходя от 1 к 2, от 2 к 3 и т. д., убеждаемся, как в только что приведённом примере, что рассматриваемое утверждение верно для всех натуральных чисел.

Первый факт называется базисом индукции, второй – индукционным переходом, или шагом индукции. Индукционный переход включает в себя посылку, или предположение индукции, или индукционное предположение и заключение. Смысл посылки: рассматриваемое утверждение верно при n = k. Смысл заключения: рассматриваемое утверждение верно при n = k + 1. Сам же индукционный переход состоит в переходе от посылки к заключению, т. е. в заявлении, что заключение верно, коль скоро верна посылка. Весь в целом логический приём, позволяющий заключить, что рассматриваемое утверждение верно для всех натуральных чисел, коль скоро справедливы и базис, и переход, называется так: принцип математической индукции. Использование этого принципа и составляет метод математической индукции.

Таким образом, надеяться (всего лишь надеяться!) на успешное применение метода математической индукции можно при следующих условиях: имеется некоторое утверждение A, которое зависит от параметра, принимающего натуральные значения; требуется доказать, что A справедливо при всяком значении параметра. Так, в примере 21 A имело вид

Сам параметр называется параметром индукции; говорят также, что происходит индукция по данному параметру.

Утверждение A при значении параметра, равном 1, принято обозначать через A(1), при значении параметра, равном 2, – через A(2) и т. д. В примере 21 A(10) есть

Утверждения A(1), A(2), A(3), … называют частными формулировками, а утверждение «Для всякого n имеет место A(n)» – универсальной формулировкой. Таким образом, в наших теперешних обозначениях базис индукции есть не что иное, как частная формулировка A(1). А шаг индукции, или индукционный переход, есть утверждение «Каково бы ни было n, из истинности частной формулировки A(n) вытекает истинность частной формулировки A(n + 1)».

Доказательство по методу индукции начинается с того, что формулируются два утверждения – базис индукции и её шаг. Здесь проблем нет. Проблема состоит в том, чтобы доказать оба эти утверждения. Если это не удаётся, наши надежды на применение метода математической индукции не оправдываются. Зато если нам повезло, если удалось доказать и базис, и шаг, то доказательство универсальной формулировки мы получаем уже без всякого труда, применяя следующее стандартное рассуждение:

Утверждение A(1) истинно, поскольку оно есть базис индукции. Применяя к нему индукционный переход, получаем, что истинно и утверждение A(2). Применяя к A(2) индукционный переход, получаем, что истинно и утверждение A(3). Применяя к A(3) индукционный переход, получаем, что истинно и утверждение A(4). Таким образом мы можем дойти до каждого значения n и убедиться, что A(n) истинно. Следовательно, для всякого n имеет место A(n), а это и есть та универсальная формулировка, которую требовалось доказать.

Принцип математической индукции заключается, по существу, в разрешении не проводить «стандартное рассуждение» в каждой отдельной ситуации. Действительно, стандартное рассуждение только что было обосновано в общем виде, и нет нужды повторять его каждый раз применительно к тому или иному конкретному выражению A(n). Поэтому принцип математической индукции позволяет делать заключение об истинности универсальной формулировки, как только установлены истинность базиса индукции и индукционного перехода.

Чтобы у читателя не создалось впечатления, что принцип индукции используется только для доказательства равенств, докажем с помощью этого принципа важное неравенство.

Пример 24. Доказать, что верно неравенство (1 + α)n ≥ 1 + nα, где α ≥ –1.

Базис индукции выполнен, поскольку при n = 1 левая и правая части одинаковы. Шаг индукции начинаем с предположения, что утверждение верно при n = k; таким образом, посылка шага индукции есть (1 + α)k ≥ 1 + kα. Умножая это неравенство на неотрицательное число 1 + α, получаем (1 + α)k+1 ≥ (1 + kα) (1 + α). Последнее неравенство переписываем так: (1 + α)k+1 ≥ 1 + (k +1)α + kα². Отбрасывая в правой части неотрицательный член kα², получаем: (1 + α)k+1 ≥ 1 + (k + 1)α. А это и есть заключение шага индукции. Итак, мы проверили и базис, и шаг. Доказательство методом индукции завершено.

Иногда приходится доказывать утверждение не для всех натуральных чисел, а для всех, начиная с некоторого числа; как поступать в таких случаях, показано в примере 25.

Пример 25. Доказать, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 2(n – 2) d, где d – прямой угол.

Ясно, что утверждение, которое нужно доказать, имеет смысл лишь при n ≥ 3. Чтобы иметь право применить метод индукции, надо косметически изменить формулировку: сумма углов выпуклого (n + 2)-угольника равна 2nd. Такая формулировка уже имеет смысл при всех натуральных n. Базис составляет здесь известная теорема о сумме углов треугольника: сумма углов (1 + 2)-угольника равна 2 · 1d. Чтобы вывести заключение индукционного перехода [сумма углов многоугольника с числом сторон (k + 1) + 2 равна 2(k + 1) d] из его посылки (сумма углов многоугольника с числом сторон k + 2 равна 2kd), поступаем так. В многоугольнике с числом сторон (k + 1) + 2 берём две вершины, соседствующие с одной и той же вершиной, и соединяем их диагональю. Эта диагональ разобьёт наш многоугольник на две части – на треугольник и на (k + 2)-угольник. Сумма углов исходного многоугольника получается сложением суммы углов треугольника, каковая сумма есть 2d, и суммы углов (k + 2)-угольника, каковая сумма (посылка перехода!) есть 2kd; складывая, получаем: 2 (k + 1) d, что и требовалось.

Иногда утверждение может и не содержать параметра в явном виде и требуется сообразительность, чтобы его туда ввести (примеры 26 и 27).

Пример 26. Дано конечное множество прямых на плоскости. Доказать, что части, на которые плоскость разбита этими прямыми, можно раскрасить двумя красками, причём раскрасить правильно, т. е. так, чтобы никакие две части, имеющие общую границу, не были бы одинакового цвета.

Именно так, правильно, раскрашиваются географические карты, отражающие политическое или административное устройство какой-либо территории; поэтому всякое разбиение плоскости на части тоже будем называть картой. В подлежащем доказательству утверждении никакое натуральное число не упоминается, но сейчас мы такое число введём. С этой целью слегка переформулируем наше утверждение, включив в него параметр n: всякую карту, образованную n прямыми, можно правильно раскрасить в два цвета. Вот теперь уже можно применять метод математической индукции.

Базис справедлив: ведь при n = 1 прямая ровно одна и достаточно просто раскрасить в разные цвета те две части, на которые она делит плоскость. Посылка индукционного шага состоит в предположении, что правильную раскраску можно всегда осуществить в случае k прямых. Заключение – в утверждении, что правильную раскраску всегда можно осуществить для k + 1 прямых. Переход от посылки к заключению, показанный на рис. 2, состоит в следующем. На карте, образованной k + 1 прямыми, выделим одну прямую – на рис. 2, а она показана жирной линией и помечена буквой p. Удалив эту прямую, получим карту, содержащую k прямых (рис. 2, б). Согласно индукционному предположению, полученная карта допускает правильную раскраску, которая показана на рис. 2, в. На раскрашенной карте восстанавливаем удалённую прямую (рис. 2, г), отчего правильность раскраски, разумеется, нарушается. Однако она сохранится в каждой из полуплоскостей, на которые выделенная прямая разбивает плоскость; нарушения будут иметь место лишь там, где граница между участками проходит по прямой p. Поэтому если в одной из названных полуплоскостей раскраску не менять, а в другой заменить каждый из двух цветов на противоположный, то вся карта с k + 1 прямой окажется правильно раскрашенной (рис. 2, д).

Пример 27. Выпуклый многоугольник целиком покрыт другим выпуклым многоугольником. (Например, на рис. 3 многоугольник ABCDEFG целиком покрыт многоугольником IJKLMNO.) Доказать, что периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра многоугольника внешнего.

Будем доказывать данное утверждение методом математической индукции. Чтобы применить этот метод, надлежит ввести параметр. Сообразительности здесь потребуется несколько больше, чем в примере 26. Назовём свободной всякую сторону внутреннего многоугольника, которая не лежит ни на какой стороне внешнего многоугольника. (Так, на рис. 3 свободными являются стороны AB, BC, CD, EF, GA, но не стороны DE и FG.) В качестве параметра индукции возьмём количество свободных сторон, точнее говоря, количество свободных сторон плюс единица (поскольку свободных сторон может и не быть, а мы условились начинать натуральный ряд не с ноля, а с единицы). Сформулируем теперь более развёрнуто утверждение, которое собираемся доказывать индукцией по этому параметру: каково бы ни было натуральное число n, для всяких двух вложенных друг в друга выпуклых многоугольников, у которых число свободных сторон равно n – 1 или меньше, периметр внутреннего многоугольника не превосходит периметра внешнего многоугольника.

В базисе индукции значение параметра равно единице, а это значит, что свободных сторон нет вовсе. Тогда утверждение очевидно: ведь в этом случае каждая сторона внутреннего многоугольника является частью какой-либо стороны внешнего многоугольника. Предположим теперь, что утверждение верно для всех случаев, когда в паре вложенных многоугольников имеется k свободных сторон. Докажем его для всех случаев, когда в паре вложенных многоугольников имеется k + 1 свободных сторон. Итак, пусть R есть внутренний многоугольник, Т – внешний и количество свободных сторон есть k + 1. Нам нужно доказать, что p(R) ≤ p(T), где p(R) и р(Т) – периметры многоугольников R и T. Берём одну из свободных сторон и продолжаем её в обоих направлениях (на рис. 3 в качестве такой свободной стороны выбрана сторона AB). Полученная прямая разрезает Т на два многоугольника – также выпуклых, как это показано в замечании, непосредственно предшествующем примеру 20. Точки пересечения со сторонами многоугольника T обозначим буквами X и Y. Поскольку внутренний многоугольник выпукл, он, как это доказано в примере 20, целиком лежит по одну сторону от прямой XY. Следовательно, он целиком располагается внутри одного из тех двух многоугольников, на которые эта прямая разбивает T. Обозначим буквой S тот из многоугольников разбиения, который содержит R, так что R вложен в S, а S вложен в T. На рис. 3 таковым промежуточным S является многоугольник XYKLMNO (а другим из двух многоугольников, на которые разбивается T, будет многоугольник XYJI). Обозначим через p (S) периметр многоугольника S. На рис. 3 видно, что p (S) ≤ p (T), поскольку отрезок, стягивающий концы ломаной (на рис. 3 – отрезок XY), короче самой этой ломаной (на рис. 3 – ломаной XIJY). Если теперь рассмотреть пару вложенных многоугольников R и S, то можно заметить, что в этой паре количество свободных сторон меньше количества свободных сторон в паре R и T. Действительно, свободной перестала быть та сторона (на рис. 3 – сторона AB) многоугольника R, с которой мы начали построение. Поэтому по предположению индукции p(R) ≤ p (S). Соединив это неравенство с установленным ранее неравенством p(S) ≤ p(T), приходим окончательно к требуемому неравенству p(R) ≤ p(T).

Принцип наименьшего числа может быть использован для построения нового варианта «стандартного рассуждения», призванного обосновать истинность универсальной формулировки. Вспомним, что мы обосновывали её, делая последовательные переходы от A(1) к A(2), от A(2) к A(3) и т. д. Теперь же будем рассуждать от противного. Покажем, как строится рассуждение, на примере 26. Предположим, что бывают карты указанного вида, которые нельзя правильно раскрасить. Назовём число n «плохим», если существует карта, образованная n прямыми, которую нельзя правильно раскрасить. По предположению «плохие» числа существуют; следовательно, множество всех таких чисел не пусто. Применяя к нему принцип наименьшего числа, получаем, что существует наименьшее «плохое» число a. В силу базиса индукции а ≠ 1. Значит, a = k + 1, где k – натуральное число. Так как a – наименьшее из «плохих» чисел, то k не является плохим; следовательно, всякую карту, образованную k прямыми, можно правильно раскрасить. Но тогда в силу индукционного шага можно правильно раскрасить и всякую карту, образованную a = k + 1 прямыми. Полученное противоречие убеждает нас, что исходное предположение о существовании карт, не допускающих правильной раскраски, не соответствует действительности. Таким образом, мы получили доказательство того, что всякую карту, образованную прямыми, можно раскрасить правильно.

Полная и неполная индукция

Метод индукции в самом общем смысле состоит в переходе от частных формулировок к формулировке универсальной. Различают полную и неполную индукцию. Метод математической индукции позволяет, применяя некоторое логическое рассуждение к произвольному натуральному числу, убедиться, что A истинно для этого произвольного числа, а значит, убедиться что A(n) истинно для всех n. В этом смысле данный метод является методом полной индукции; слово «полная» означает, что мы лишь тогда считаем себя вправе объявить об истинности универсальной формулировки, когда мы убедились в её истинности для каждого отдельного значения n – во всей полноте этих значений, без исключения. Метод неполной индукции состоит в переходе к универсальной формулировке после проверки частных формулировок для отдельных, но не всех значений n.

Примеры неполной индукции встречаются на каждом шагу. Скажем, если не все, то многие уверены, что Бенджамин Франклин был президентом Соединённых Штатов. «Президент Франклин» – такое можно услышать и от кассира в банке, и с экрана телевизора, причём от персонажей, которых трудно заподозрить в глубоком знании американской политической истории. А откуда же возникла подобная уверенность? Дело в том, что портрет Франклина мы видим на 100-долларовой банкноте, а едва ли не каждый знает: на лицевой стороне долларовых банкнот помещены заключённые в овал портреты американских президентов. И действительно, на однодолларовой купюре изображён первый президент Джордж Вашингтон, на двухдолларовой – третий президент Томас Джефферсон, на пятидолларовой – шестнадцатый президент Авраам Линкольн, на двадцатидолларовой – седьмой президент Эндрю Джексон, на пятидесятидолларовой – восемнадцатый президент Улисс Грант. Однако попытка установить порядковый номер президентства Франклина встречает непреодолимые затруднения. Дело в том, что Франклин не был президентом США. (Как не был президентом США и Александр Гамильтон, чей портрет украшает десятидолларовую купюру.)

Только что был приведён наглядный пример провала метода неполной индукции. Тем не менее любой человек в повседневной жизни постоянно применяет – не может не применять – этот метод. Вот, например, вы покупаете яблоки. Вам предлагают попробовать. Вы пробуете, яблоко вам нравится, и вы покупаете два кило, применив неполную индукцию, т. е. рассуждая так: если одно яблоко хорошее, то и все хороши. Однако ведь не исключено, что, в отличие от выбранного вами на пробу плода, все остальные окажутся плохи. Да, не исключено, но надкусить все яблоки вам не дадут, потому что это выведет яблоки из категории товаров.

Если магазин, закупающий яблоки ящиками, серьёзно подходит к делу, он подвергнет дегустации не одно, а несколько яблок (но, конечно, не все) из каждого ящика. Если результат дегустации оказался положительным, магазин закупает все ящики целиком, т. е. на практическом уровне принимает решение «Все яблоки хорошие», а следовательно, опять-таки применяет неполную индукцию. Сходная процедура применяется при контроле качества многих товаров. Чтобы проверить, хорошо ли сделана, скажем, электрическая лампочка, нужно её разбить, т. е. уничтожить как товар. Таким образом, полный контроль партии в тысячу лампочек предполагает тотальное уничтожение всей партии. Разработана математическая теория, которая указывает, сколько яблок из ящика или лампочек из тысячи надо опробовать, чтобы при положительном результате их исследования можно было с большой вероятностью заключить о годности всех яблок или всех лампочек партии.

Строго говоря, даже универсальные законы природы формулируются лишь на основе отдельных наблюдений, т. е. на основе метода неполной индукции. Поэтому и наши практические решения (типа решения о качестве яблок или лампочек), и наши теоретические суждения (типа законов природы), если они высказаны в виде универсальных формулировок, верны не в абсолютном смысле, а в лучшем случае лишь с высокой степенью правдоподобия. Иное дело математика, истины которой признаются незыблемыми. А потому и метод неполной индукции, действующий в естественных науках, в математике не действует.

В математике нередко случается, что частная формулировка A(n) оказывается верной для отдельных значений n и вместе с тем не удаётся найти таких значений, для которых частная формулировка была бы неверна. Тогда есть основание выдвинуть гипотезу об истинности универсальной формулировки – но всего только гипотезу, ибо то, чего не удалось найти сегодня, будет, возможно, обнаружено завтра. Вот три замечательных примера, показывающих, что метод неполной индукции не работает в математике.

Пример 28. Великий французский математик XVII в. Пьер Ферма изучал числа вида 22ⁿ + 1, которые стали называть числами Ферма. Ферма полагал, что все они суть числа простые. Для такого мнения, казалось бы, имелись основания, ведь при n = 0, 1, 2, 3, 4 числа Ферма и в самом деле являются простыми. Однако в XVIII в. великий швейцарский (да и российский тоже) математик Леонард Эйлер обнаружил, что число 2²^5 + 1 есть произведение двух простых чисел 641 и 6 700 417. Более того, неизвестно, существуют ли простые числа Ферма помимо вышеуказанных пяти, открытых ещё самим Ферма.

Пример 29. Трёхчлен x² + x + 41, указанный Эйлером, принимает простые значения при x = 0, 1, 2, …, 39. Однако при x = 40 его значением будет число составное, а именно 41².

Пример 30. Если брать различные значения n и разлагать двучлен xn – 1 на множители с целыми коэффициентами, то можно заметить, что у каждого из многочленов сомножителей все его коэффициенты равны либо 1, либо –1. Например, x^6 – 1 = (x – 1) (x + 1) (x² + x + 1) × (x² – x + 1). Была выдвинута гипотеза, что это обстоятельство справедливо для любого n. Однако доказать эту гипотезу почему-то не удавалось. А в 1941 г. выяснилось, что, хотя коэффициенты разложения действительно обладают указанным свойством при всех n до 104 включительно, в разложении на множители двучлена x^105 – 1 среди сомножителей появляется многочлен, у которого некоторые из коэффициентов равны –2.

§ 8. Алфавиты и буквы. Слова и строки. Взаимно однозначные соответствия и мощность. Диагональный метод

В математике любой конечный список знаков принято называть алфавитом. Не предполагается, что эти знаки что-нибудь означают. Иногда говорят не о знаках, а о символах, но опять-таки не предполагая, что они что-либо символизируют. (Честнее было бы говорить не о знаках или символах, а о закорючках, но это уж как-то слишком ненаучно.) Члены алфавита называются буквами.

Первый математический алфавит, который узнаёт школьник, – это алфавит десятичных цифр с буквами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А вот алфавит римских цифр: I, V, X, L, C, D, M.

Конечная последовательность идущих друг за другом букв алфавита называется словом в этом алфавите. Например, «ъЪрйрьоь» есть слово в русском алфавите. Пример показывает, что далеко не всякое слово в русском алфавите является русским словом, т. е. словом русского языка.

Слова также называют строками. Содержание этих терминов одинаковое, а различаются они сферами употребления: термин «слово» чаще употребляют те, кто занимается теоретическими изысканиями, тогда как термин «строка» употребителен в более прикладной среде, в частности в информатике. Мы будем использовать оба термина.

Количество букв в слове (строке) именуют его (её) длиной. Так, длина приведённого выше слова в русском алфавите есть 8.

Пример 31. Если алфавит состоит из одной буквы, то число слов длины n равно 1.

Пример 32. Доказать, что если алфавит состоит из двух букв, то число слов длины n равно 2n.

Каждое слово длины n получается приписыванием одной из двух букв алфавита к слову длины n – 1. Стало быть, при удлинении слова на одну букву количество слов удваивается. А количество слов длины 1 есть два.

В примере 32 мы начали с двух слов длины 1. А могли бы начать и с одного слова длины 0, вовсе не содержащего букв. Такое слово называется пустым и обозначается заглавной греческой буквой «лямбда» (Λ).

Рассмотрим множество {a; b; c} из трёх элементов: a, b и c. Напомним, что для того, чтобы получить имя множества, достаточно заключить в фигурные скобки список имён его элементов, разделив их имена запятой или точкой с запятой (последнее удобнее). Найдём все части, или подмножества, нашего множества. Во-первых, три одноэлементные части: {a}, {b}, {c}. Во-вторых, три двухэлементные части: {b; c}, {a; c}, {a; b}. В-третьих (поскольку всякое множество считается частью самого себя), трёхэлементную часть {a; b; c}. Наконец, пустое множество Ø, не содержащее ни одного элемента и считающееся частью любого множества. Всего частей оказалось 8.

Пример 33. Сколько частей у множества, содержащего n элементов?

Пронумеруем элементы числами от 1 до n. Каждой части отнесём строку длины n из плюсов и минусов, образованную по следующему правилу: если элемент с номером k принадлежит нашей части, на k-м месте строки ставим плюс; если же k-й элемент не принадлежит рассматриваемой части, на k-м месте строки ставим минус. Заметим, что не только каждой части множества соответствует ровно одна строка, но и каждой строке длины n, составленной из плюсов и минусов, соответствует ровно одна часть.

Мы получили то, что называется взаимно однозначным соответствием между двумя множествами – в данном случае между множеством частей и множеством строк.

В общем случае взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие между ними, когда каждому элементу из X соответствует ровно один элемент из Y и каждый элемент из Y соответствует ровно одному элементу из X. Если между двумя множествами имеет место взаимно однозначное соответствие, то количества элементов в обоих множествах совпадают.

Собственно, количество элементов – это и есть то общее свойство, что несут в себе все те множества, между которыми можно установить взаимно однозначные соответствия. Невозможность такого соответствия между множествами X и Y означает различие количеств элементов, содержащихся в этих множествах.

Это математическое уточнение интуитивного понятия количества элементов множества, основанное на понятии взаимно однозначного соответствия, принадлежит одному из величайших математиков XIX в., создателю теории множеств, без которой немыслима современная математика, немецкому учёному Георгу Кантору. Кантор, в частности, первым обнаружил, что бесконечные множества могут содержать различные количества элементов.

В математике количество элементов множества принято называть его мощностью.

Таким образом, выражения:

1. Два множества имеют одинаковое количество элементов;

2. Два множества равноколичественны;

3. Два множества имеют одинаковую мощность;

4. Два множества равномощны;

5. Между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие

синонимичны. Они несут в себе одинаковый смысл.

Очевиден следующий принцип транзитивности:

если два множества равномощны третьему, то они равномощны друг другу.

(Предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно сформулировать принцип транзитивности в терминах взаимно однозначных соответствий.)

Но вернёмся к примеру 33.

В силу только что сказанного частей нашего подмножества столько же, сколько цепочек плюсов и минусов длины n, а число таких цепочек, как показано в примере 32, есть 2n.

Пример 34. Пусть в алфавите s букв. Сколько в этом алфавите слов длины n?

Рассуждаем как в примере 32. Удлинение на одну букву приводит к увеличению количества слов в s раз. Начиная со слов длины 0, количество коих есть 1, приходим к выводу, что количество слов длины n равно sn.

Пример 35. Дан список из n слов длины n в каком-то алфавите. Как указать слово в том же алфавите, не входящее в заданный список?

Решение проиллюстрируем на частном случае. В качестве алфавита возьмём двухбуквенный алфавит {0; 1}, а список такой: 00100100100; 01011011010; 10011011001; 01111011101; 11001010110; 11111111111; 11010001000; 11001000100; 00000000000; 10101010101; 01010101010. Расположим слова списка одно под другим, так чтобы получилась квадратная таблица:

По идущей от верхнего левого угла диагонали этой квадратной таблицы стоит слово 01011100000. Поменяв в нём все цифры, получим 10100011111, что отличается от всех строк (а заодно и всех столбцов). В самом деле, это слово не может совпасть ни с пятой, скажем, строкой, потому что на пятом месте в этом слове стоит ноль, тогда как в пятой строке на пятом месте стоит единица, ни с десятой строкой, где на десятом месте в этом слове стоит единица, а в десятой строке на этом месте стоит ноль, и вообще ни с одной из строк таблицы.

Изложенный метод иногда называют диагональным, или методом канторовской диагонали. В 1891 г. он впервые был применён в статье Кантора. Это было сделано для доказательства того, что натуральный ряд N и множество Ω всех бесконечных двоичных (т. е. составленных из ноля и единицы) последовательностей обладают различными количествами элементов. Диагональный метод успешно используется при доказательстве некоторых важнейших теорем математики.

Пример 36 (Кантор). Доказать, что множества Ω и N имеют различное количество элементов.

Для этого мы должны установить невозможность взаимно однозначного соответствия между указанными множествами. Рассуждаем от противного. Пусть такое соответствие возможно. Тогда бесконечные двоичные последовательности, из которых состоит множество Ω, можно занумеровать натуральными числами: первая, вторая, третья и т. д. Расположим эти последовательности друг под другом. Возможный вариант такого расположения показан ниже.

Естественно возникает бесконечная диагональная последовательность: в ней на первом месте стоит первый член первой последовательности, на втором – второй член второй последовательности, …, на сотом – сотый член сотой последовательности и т. д. Для показанного варианта диагональная последовательность будет иметь вид 0101110000… Меняем в ней все члены и получаем бесконечную последовательность 1010001111 …, которая отсутствует в нашем перечне в силу причин, изложенных в примере 35. Стало быть, наше предположение, что мы пронумеровали все двоичные бесконечные последовательности, оказалось ложным.

§ 9. Задачи из элементарной комбинаторики

Выражение (читается «цэ из n по k») означает количество k-элементных частей n-элементного множества или, в более современной терминологии, количество частей мощности k множества мощности n.

Пример 37. Доказать равенство

Пусть множество M имеет n элементов. Каждому его подмножеству A мощности k взаимно однозначно соответствует его дополнение M \ A, состоящее в точности из тех (n – k) элементов, которые не входят в A. Наличие этого взаимно однозначного соответствия и доказывает равенство.

Пример 38. Доказать равенство

Равенство очевидно, если вспомнить, что количество частей n элементного множества равно 2n (см. пример 33).

Равенство (*) из примера 39 не столь очевидно.

Пример 39. Доказать равенство

Постараемся доказать равенство (*) как можно нагляднее. Возьмём множество M, имеющее 2n элементов, произвольно отберём из него n элементов и назовём их «белыми»; остальные n элементов назовём «чёрными». Каждое подмножество K множества M, содержащее n элементов, есть объединение двух частей – «белой» части A, состоящей только из «белых» элементов, и «чёрной» части B, состоящей только из «чёрных» элементов: K = A ∪ B. Число элементов в каждой из этих частей может варьироваться от 0 до n. Приготовим n + 1 «комнату», на которых выставим номера от 0 до n. Все подмножества мощности n множества M распределим по этим «комнатам», соблюдая следующее правило: в «комнату» с номером k помещаются те подмножества, число «белых» элементов в которых равно k. В каждой «комнате» поставим «столов» и подмножества, попавшие в эту «комнату», распределим по этим «столам». Число «белых» подмножеств мощности k множества M, т. е. подмножеств, содержащих k «белых» элементов и ноль «чёрных», равно т. е. числу «столов». Для каждого такого «белого» подмножества взаимно однозначно выберем свой «стол». На этом «столе» располагаются подмножества мощности n множества M, у которых «белая» часть уже фиксирована, а «чёрная» часть варьируется. «Белая» часть имеет мощность k. «Чёрной» частью может быть любое множество мощности (n – k), элементы которого выбраны из n «чёрных» элементов, присутствующих в M. Так что для заданного стола число возможных «чёрных» частей есть Столько же подмножеств множества M лежит на нашем «столе». Итак, в «комнате» «столов», а на каждом из них подмножеств. Значит, в «комнате» подмножеств. Осталось вспомнить равенство из примера 37 и сложить количества подмножеств по всем «комнатам», чтобы получить общее количество n элементных подмножеств множества M в виде левой части равенства (*). А в правой части стоит символ, по определению выражающий это количество.

Пример 40. Доказать равенство

В множестве мощности (n + 1) выделим какой-то элемент. Совокупность k элементных подмножеств этого множества распадается на два класса: содержащих элемент и не содержащих выделенного элемента

Пример 41. Доказать равенство

Для доказательства полезно привлечь так называемые биномиальные коэффициенты.

Биномиальные коэффициенты – это коэффициенты разложения бинома (1 + x)n по возрастающим степеням x:

Из выписанной формулы видно, как они обозначаются. Если в этой формуле положить x = –1, то получим:

Только что полученная формула очень похожа на равенство, которое требовалось доказать. И это не случайно. Дело в том, что биномиальный коэффициент и количество подмножеств  – это одно и то же число.

Пример 42. Доказать равенство

Мы наметим лишь план доказательства. Сначала равенство проверяется для случаев k = 0 и k = n. Затем доказывается равенство, аналогичное равенству из примера 40:

Доказать это равенство чрезвычайно просто. Надо рассмотреть два способа записи разложения степени бинома (1 + x)n+1 по возрастающим степеням x. Первый способ – стандартный, с использованием коэффициентов

Второй способ таков: возводим (1 + x) в степень n, располагаем по степеням x с использованием коэффициентов а затем это разложение умножаем на (1 + x) и развёртываем в многочлен. Если теперь приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной, то получим равенство (****). Далее, для получения равенства (***) рассуждаем по индукции.

Этому рассуждению можно придать легко запоминающуюся форму. Рассмотрим так называемый треугольник Паскаля:

По краям стоят единицы, а каждое другое число равно сумме двух его «соседей» из предыдущей строки. Таблица неограниченно продолжается вниз. Занумеруем строки, считая верхнюю строку (из одной единицы) нулевой. Таким образом, первая строка – это 11, вторая – 121 и т. д. Аналогично нумеруем числа в каждой строке: самая левая единица получает номер ноль, за ней следует число номер один и т. д. Например, третье число в шестой строке – это 20.

Наше доказательство равенства можно теперь сформулировать так: числа равны потому, что каждое из них есть k-е число в n-й строке треугольника Паскаля.

§ 10. Счётные и несчётные множества

Прежде всего не станем уподобляться свифтовским остроконечникам и тупоконечникам, готовым воевать с теми, кто при поедании яиц разбивает их не с того конца. Признаем, что ноль можно считать, а можно и не считать натуральным числом. Потому что на самом деле есть два понятия натурального числа: количественное, возникающее при исследовании количества элементов в множестве, и считательное, возникающее при пересчёте элементов этого множества, при условии, что таковые существуют[141]. Из сказанного ясно, что наименьшее количественное натуральное число есть ноль; это количество элементов в пустом множестве. Наименьшее считательное натуральное число есть единица, потому что с неё начинается любой пересчёт. Сообразно этому есть два натуральных ряда – количественный, начинающийся с ноля, и считательный, начинающийся с единицы. Между ними нетрудно установить взаимно однозначное соответствие:

К сожалению, оба натуральных ряда претендуют на обозначение N. Это не слишком страшно, потому что из контекста ясно, какой из двух натуральных рядов имеется в виду. В этом параграфе натуральный ряд начинается с единицы.

Множество называется счётным, если между ним и натуральным рядом можно установить взаимно однозначное соответствие. Например, множество всех целых чисел счётно, как показывает бесконечная таблица из двух строк:

В первой строке в некотором порядке выписаны все целые числа, во второй – соответствующие им члены натурального ряда. Ясно, что между любыми двумя счётными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (хотя бы через промежуточное соответствие каждого из них с натуральным рядом). Поэтому все счётные множества имеют одинаковую мощность или одинаковое количество элементов – столько же, сколько их содержится в натуральном ряду, т. е. столько же, сколько существует натуральных чисел.

Позволительно дать и такое определение счётного множества:

множество называется счётным, если его можно пересчитать, т. е. назвать какой-то его элемент первым; какой-то элемент, отличный от первого, – вторым; какой-то, отличный от первых двух, – третьим и т. д., причём ни один элемент множества не должен быть пропущен при пересчёте.

Как только какое-либо бесконечное множество удалось расположить в последовательность отличных друг от друга элементов, так сразу возникает его взаимно однозначный пересчёт: член последовательности, стоящий на первом месте, и только он, объявляется первым; член, стоящий на втором месте, и только он, – вторым и т. д. Возьмём, к примеру, множество всех слов, составленных из букв a и b, и расположим его в последовательность:

A, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, aba, abb, …, baaba, baabb, ….

Правило расположения слов в последовательности мы выбрали таким (а могли бы выбрать и другим): группируем слова по длине, а в пределах группы располагаем их в алфавитном порядке. Раз множество всех слов в двухбуквенном алфавите удалось расположить в последовательность различающихся элементов, значит, оно счётно. Аналогичным образом можно расположить в последовательность различающихся элементов и множество слов в любом другом алфавите. Поэтому имеет место следующий фундаментальный факт: каков бы ни был алфавит, множество всех слов в этом алфавите счётно.

Пример 42. Доказать, что объединение счётного множества A с конечным множеством B является счётным множеством.

Пусть A = {a_1, a_2, a_3, …, an, …} и B = {b_1, b_2, b_3, …, bn}. Тогда их объединение A ∪ B можно расположить в последовательность {b_1, b_2, b_3, …, bn, a_1, a_2, a_3, … an, …}. Элемент a_1 получит в этой последовательности номер (n + 1). Следовательно, объединение счётного и конечного множеств счётно.

Пример 43. Доказать, что объединение счётного множества A со счётным множеством B является счётным множеством.

Пусть A = {a_1, a_2, a_3, …, an, …} и B = {b_1, b_2, b_3, …, bn, …}. Тогда их объединение A ∪ B можно расположить в последовательность {a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3, …, an, bn, …}. Значит, объединение двух счётных множеств счётно.

Пример 44. Доказать, что всякое бесконечное множество M содержит счётное подмножество.

Так как множество M бесконечно, в нём имеется какой-то элемент, который мы обозначим a_1. Бесконечное множество не может исчерпываться этим единственным элементом, поэтому в M присутствует ещё какой-то, отличный от a_1 элемент, который мы обозначим a_2. Но и этими двумя элементами не исчерпывается бесконечное множество, поэтому в нём найдётся элемент a_3, отличающийся как от a_1, так и от a_2. Продолжая процесс, мы выделим из множества M счётное подмножество {a_1, a_2, a_3, …}. Итак, всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Когда автор этих строк в 1947 г. пришёл студентом на мехмат Московского университета, он ещё застал замечательное выражение разве что счётное множество, означающее множество, являющееся конечным или счётным. Хотелось бы вдохнуть в него новую жизнь, и потому примеры 45 и 46 мы сформулируем с его использованием.

Пример 45. Доказать, что всякое подмножество разве что счётного множества разве что счётно.

Если объемлющее множество конечно, то всякое его подмножество конечно. Если же оно бесконечно, то расположим его элементы в последовательность β с неповторяющимися членами. Те члены этой последовательности, которые принадлежат интересующему нас подмножеству, естественным образом образуют конечную или бесконечную подпоследовательность последовательности β, что и доказывает, что это подмножество конечно или счётно. Итак, всякое подмножество разве что счётного множества разве что счётно.

Пример 46. Доказать, что объединение М ∪ С бесконечного множества M с разве что счётным множеством C содержит столько же элементов, сколько и M.

Напомним, что через C \ M обозначается множество всех тех элементов С, которые не являются элементами M. Заметим, что М ∪ С = М ∪ Н, где H = C \ M, причём H разве что счётно и не пересекается (т. е. не имеет общих элементов) с M. Если мы сумеем установить взаимно однозначное соответствие между M и М ∪ Н, то провозглашённый в примере 46 факт будет доказан.

Мы поступим так. Множество M разобьём на два непересекающихся множества A и B: M = A ∪ B, а множество М ∪ Н на два непересекающихся множества K и L: М ∪ Н = K ∪ L. Затем установим два взаимно однозначных соответствия: соответствие η между A и K и соответствие θ между B и L. При этом автоматически возникнет соответствие между множеством A ∪ B, равным M, и множеством K ∪ L, равным М ∪ Н, каковое соответствие, в силу того что A не пересекается с B, а K не пересекается с L, будет взаимно однозначным.

Приступаем к осуществлению плана. Выделяем в М счётное подмножество R. Полагаем A = M \ R, B = R, K = M \ R, L = R ∪ Н. В качестве η берём соответствие тождества, при котором каждый элемент соответствует сам себе. Множество R счётно, а множество H конечно или счётно. Поэтому (см. примеры 42 и 43) множество L счётно и между ним и B существует взаимно однозначное соответствие. Одно из таких соответствий берём в качестве θ. Итак, объединение бесконечного множества с разве что счётным множеством содержит столько же элементов, сколько и бесконечное множество.

В § 8 мы уже встретились с примером бесконечного множества, не являющегося счётным. Это было множество Ω всех бесконечных двоичных последовательностей. Множество называется несчётным, если оно бесконечно и не является счётным. Можно было бы сказать и так: множество называется несчётным, если оно не является разве что счётным. Сам факт существования несчётных множеств весьма принципиален, поскольку показывает, что бывают бесконечные множества, количество элементов в которых отлично от количества элементов натурального ряда. Установление данного факта в XIX в. Георгом Кантором является одним из крупнейших открытий в математике.

В этом параграфе будет показано, что некоторые из хорошо известных множеств несчётны. Среди таких множеств – прямая (понимаемая как множество её точек), луч, отрезок и интервал. Напомним, что интервал]a; b[состоит из всех точек, расположенных между точками a и b, тогда как отрезку [a; b], помимо указанных точек, принадлежат ещё и сами точки a и b.

Но прежде всего следует сказать об аксиоме вложенных отрезков. Список аксиом геометрии включает одну или несколько (в зависимости от выбранной версии списка) так называемых аксиом непрерывности, которые обеспечивают непрерывность прямой. Понятно, что данная фраза требует разъяснения. Дадим его в форме иллюстрации.

Допустим, мы должны воткнуть иглу циркуля в точку прямой, заданным раствором описать окружность и найти точку пересечения этой окружности с исходной прямой. Теперь вообразим, что такой точки мы не находим, потому что там, где мы рассчитываем её обнаружить, в прямой дырка. «Но это невозможно!» – с возмущением воскликнет читатель. Однако подобная невозможность как раз и обеспечивается аксиомами непрерывности. Представим себе, что прямая содержала бы только точки с рациональными координатами, а нужная нам точка имела бы координату √2 и потому отсутствовала бы на прямой. Аксиомы непрерывности и гарантируют присутствие на прямой точек с любыми действительными координатами и тем самым возможность отождествления точек прямой с действительными числами, координатами этих точек. Говорят, что точки прямой (или соответствующие им действительные числа) образуют континуум. Латинское прилагательное continuus (это в мужском роде, а в среднем – continuum) как раз и означает 'непрерывный, сплошной, связный, продолжающийся без перерыва, не имеющий ни скачков, ни пробелов'. Можно говорить о континууме точек на интервале или на отрезке, но говорить, скажем, о континууме рациональных точек нельзя.

Известны несколько вариантов аксиомы (или аксиом) непрерывности, из которых мы выберем такой:

Пусть дана бесконечная последовательность вложенных друг в друга отрезков:

[a_1; b_1] ⊃ [a_2; b_2] ⊃ [a_3; b_3] ⊃ … ⊃ [an; bn] ⊃ ….

Существует точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Это и есть аксиома о вложенных отрезках. (Подумайте, почему в формулировке аксиомы нельзя заменить отрезки интервалами.)

Пример 47. Доказать, что множество точек прямой несчётно.

Доказательство ведём от противного. Допустим, что это множество счётно и перенумеруем его: x_1, x_2, x_3, …, xn, …. Образуем последовательность вложенных отрезков по следующему принципу: отрезок [ak; bk] не должен содержать ни одну из точек x_1, x_2, x_3, …, xk. Тогда не найдётся ни одной точки xn, которая принадлежала бы всем отрезкам, что нарушает аксиому. Итак, множество точек прямой несчётно.

Совершенно так же доказывается несчётность отрезка, интервала, открытого (без вершины) и замкнутого (включая вершину) луча. Каждая из этих геометрических фигур понимается в данном случае как множество своих точек. Более того, все эти множества оказываются равномощными; говорят, что они континуальны или что они имеют мощность континуума. Сейчас мы докажем заявленную равномощность.

Пример 48. Доказать, что все отрезки на числовой прямой равномощны. Достаточно доказать равномощность произвольного отрезка [a; b] единичному отрезку [0; 1] (тогда все отрезки окажутся равномощными в силу принципа транзитивности). Формула y = (1 – t)a + tb, где t пробегает [0; 1], даёт требуемое взаимно однозначное соответствие между [0; 1] и [a; b]. Приводимая формула имеет наглядную физическую интерпретацию: точка y едет с постоянной скоростью от левого конца отрезка [a; b] к правому и достигает цели в течение единичного интервала времени; каждому моменту единичного интервала соответствует положение точки в этот момент. Следовательно, все отрезки на числовой прямой равномощны.

Пример 49. Доказать, что все интервалы равномощны. Доказательство ведётся так же, как в примере 48, только t пробегает теперь не отрезок [0;1], а интервал]0; 1[.

Пример 50. Доказать, что всякий интервал равномощен прямой.

Формула y = tg x устанавливает взаимно однозначное соответствие между интервалом] –π/2; + π/2[и прямой. А все интервалы равномощны друг другу. Следовательно, всякий интервал равномощен прямой.

Пример 51. Доказать, что интервал]a; b[и отрезок [a; b] равномощны.

Записываем [a; b] =]a; b[∪ {a; b} и вспоминаем результат примера 46.

Континуальность лучей просим читателя рассмотреть самостоятельно.

Пример 52. Как доказать, что существуют иррациональные числа?

Можно предложить прямое доказательство существования иррациональных чисел. Например, указать число √2 и доказать, что оно иррационально. Выше были приведены два таких доказательства: арифметическое (в примере 11) и геометрическое (в примере 19). Но можно предложить и косвенное доказательство.

Множество всех рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно; значит, бывают и числа, не являющиеся рациональными, т. е. иррациональные. Конечно, надо ещё доказать счётность множества рациональных чисел. Счётность множества рациональных чисел вытекает из того, что каждому рациональному числу можно дать имя в виде слова в едином для всех рациональных чисел алфавите.

Изъяснимся подробнее. В качестве единого алфавита выбираем двенадцатибуквенный алфавит {–; /; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. С каждым рациональным числом взаимно однозначно сопоставляем несократимую дробь, а дробь записываем в виде m/n, если она положительна, и в виде – m/n, если она отрицательна; здесь m и n – десятичные записи натуральных чисел. Эту запись m/n или – m/n объявляем именем соответствующего рационального числа. Множество данных имён счётно как подмножество счётного множества всех слов в данном алфавите, а потому счётно и множество всех рациональных чисел.

В примере 52 косвенное доказательство было не намного проще прямого. Но бывают ситуации, когда косвенное доказательство гораздо проще прямого. Именно так обстоит дело в случае трансцендентных чисел.

Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами; в противном случае оно называется трансцендентным. Прямое доказательство существования трансцендентных чисел состоит в предъявлении образца таких чисел. Первое такое предъявление было осуществлено в 1844 г., чем и было доказано существование трансцендентных чисел. Впоследствии было доказано, что трансцендентными являются известные числа e (основание натуральных логарифмов) и π (отношение длины окружности к диаметру). Однако доказать, что число e или число π (или какое угодно другое число) является трансцендентным, довольно сложно. В то же время возможно следующее несложное косвенное доказательство существования трансцендентных чисел. Надо сравнить два множества – несчётное множество всех действительных чисел и множество всех алгебраических чисел – и убедиться, что второе счётно. Счётность следует из того, что каждое алгебраическое число можно «назвать», т. е. присвоить ему некоторое имя. В качестве такого имени проще всего взять выражение, состоящее из двух частей: 1) из записи соответствующего многочлена и 2) порядкового номера рассматриваемого числа среди корней этого многочлена (корни берутся в порядке возрастания).

Нетрудно придумать алфавит, в котором все эти имена записывались бы в виде слов. Некоторые имена окажутся «пустыми» в том смысле, что не называют никакого числа. Так случится, если уравнение не имеет действительных корней, а также если уравнение имеет, скажем, десять таких корней, а мы включили в имя номер сотого корня. Такие имена мы отбрасываем. У каждого действительного числа окажется много имён, из них мы выбираем то, которое идёт первым в пересчёте всех слов придуманного нами алфавита; остальные имена отбрасываем. Таким образом, множество имён алгебраических чисел окажется подмножеством всех слов в некотором алфавите и, следовательно, счётным. Вместе с ним счётным окажется и множество всех алгебраических чисел. Раз множество всех алгебраических чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно, то непременно бывают действительные числа, не являющиеся алгебраическими, т. е. трансцендентные.

замечание. И в примере 52, где доказывалось существование чисел, не являющихся рациональными, и в последующем доказательстве существования чисел, не являющихся алгебраическими, была использована следующая идея: множество «выделенных» чисел (рациональных, алгебраических) допускает пересчёт (поскольку оно счётно), а множество всех чисел не допускает пересчёта (поскольку оно несчётно); следовательно, существуют числа, не являющиеся «выделенными». Более рафинированный вариант этой идеи таков. Имеется множество и подмножество, оба допускают пересчёт. Среди пересчётов выделяются пересчёты специального вида и доказывается, что подмножество допускает такой пересчёт, а объемлющее множество не допускает. Тем самым обнаруживается, что в множестве существуют элементы, не принадлежащие подмножеству. Именно такой рафинированный вариант используется в одном из доказательств знаменитой теоремы Гёделя о неполноте. Множество всех истинных утверждений арифметики не допускает вычислимого пересчёта, тогда как множество всех доказуемых утверждений арифметики такой пересчёт допускает. Отсюда следует существование истинных утверждений, не являющихся доказуемыми. Этот способ доказательства теоремы Гёделя предложил великий математик Андрей Николаевич Колмогоров.

§ 11. Представление о математических доказательствах меняется со временем

Великий французский математик Анри Пуанкаре писал в 1908 г.:

Если мы читаем книгу, написанную 50 лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости.

Для иллюстрации приведём рассуждение из книги «Введение в анализ бесконечных». Правда, она была опубликована в 1748 г., т. е. не за 50, а за 160 лет до высказывания Пуанкаре, зато сам пример очень нагляден. В названной книге встречаются такие странные, по нынешним меркам, утверждения: «ex = (1 + x/i)i, где i означает бесконечно большое число»; «так как дуга 2kπ/i бесконечно мала, то cos(2k/i) π = 1 – (2k²/i²)π²»; «член x²/i² может быть опущен без опасения, потому что даже после умножения на i он останется бесконечно малым». Скажи студент такое на экзамене в наши дни, он получил бы двойку. Однако автор книги не кто иной, как великий математик Эйлер, а взятые нами в кавычки цитаты составляют часть доказательства одной из знаменитых формул Эйлера, а именно формулы для разложения синуса в бесконечное произведение:

Формула Эйлера и поныне составляет одну из жемчужин математического анализа. В середине XX в. даже выяснилось, что и процитированным «странным» утверждениям Эйлера можно придать точный смысл на основе так называемого нестандартного анализа, но это уже совсем другая история.

Мы видим, таким образом, что само понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Ведь понятие доказательства основано на представлении об убедительности, а это представление исторически обусловлено. Для средневековых судов, например, убедительными были весьма своеобразные, с нашей точки зрения, доказательства виновности и невиновности: если человек мог держать в руке раскалённое железо, то он признавался невиновным; если брошенная в воду связанная женщина не тонула, то её объявляли ведьмой. Понятие математического доказательства имеет те же психологические основы, что и понятие доказательства юридического, и потому так же зависимо от исторических обстоятельств.

Для математических текстов средневековой Индии, например, были характерны такие (возможно, восходящие к более древним временам) способы доказывания геометрических утверждений: предлагался чертёж, под которым стояло всего одно слово «Cмотри!». На рис. 4 воспроизведено подобное индийское доказательство формулы, выражающей площадь круга S через длину окружности l и радиус r. Формула эта замечательна тем, что не использует числа π, осознание которого в качестве полноправного числа сталкивается с вполне естественными психологическими трудностями, ведь оно не представимо ни в виде дроби, ни даже в виде выражения с радикалами (т. е. знаками корня), как это имеет место в случае диагонали единичного квадрата. Поэтому данная формула могла быть понятна и в древности. Найти её нетрудно. Поскольку l = 2πr, то в известной формуле площади круга число π можно заменить отношением длины полуокружности к радиусу:

Таким образом, площадь круга равна площади прямоугольника, основанием которого служит отрезок, равный по длине полуокружности этого круга, а высотой – его радиус. Именно это наглядно показывает индийский чертёж, одновременно демонстрируя и доказательство. Сперва круг делится диаметром пополам, а потом каждый полукруг разрезается на большое и одинаковое для каждого полукруга количество равных секторов. Затем каждая из полуокружностей распрямляется, секторы превращаются в треугольники, и возникают две равные фигуры, по форме напоминающие пилу. Наконец, эти «пилы» вставляются друг в друга, так чтобы зубцы одной «пилы» полностью вошли в промежутки между «зубцами» другой. Возникает прямоугольник, равный по площади исходному кругу и имеющий требуемые длины сторон. «Что за чушь?! – скажет педант XXI в. – При распрямлении дуг секторы превратятся бог знает во что и не смогут совпасть с промежутками между "зубцами", да и площади их исказятся. И прямоугольник выйдет кривобокий. Так что никакое это не доказательство». Однако для индийцев это было доказательством. И минувшие века не лишили его убедительности, ведь при разбиении на очень большое количество секторов все справедливо отмеченные педантом искажения будут почти незаметны. Так что при большом желании и готовности потрудиться индийское рассуждение можно облечь в форму, приемлемую сегодня.

Для полноты картины приведём индийское доказательство теоремы Пифагора. Это тоже чертёж со словом «Смотри!». Заметим, что

a² + b² = ab + ab + (а – b)².

Поэтому теорему Пифагора, утверждающую, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c справедливо равенство a² + b² = c², можно доказывать в форме

c² = ab + ab + (a – b)².

Последняя формула и доказывается чертежом, приведенным на рис. 5[142]. Слева на рис. 5 – квадрат с площадью c², составленный из четырёх одинаковых треугольников и квадрата со стороной a − b. Справа – тот же квадрат со стороной a – b, а треугольники уложены так, что образовались два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b. Заметим, что, в отличие от предыдущего, это рассуждение полностью приемлемо и сегодня.

Наш рис. 5 с подписью «Смотри!» встречается в трудах индийского астронома и математика XII в. Бхáскары. Можно предположить, что он содержался в ещё более ранних индийских текстах. В пользу такого предположения говорит, в частности, то, что левый чертёж с рис. 5 мы находим в китайском трактате, датируемом не позже чем III в. Китайский автор, однако, не довольствуется призывом «Смотри!», а заменяет его алгебраическим пояснением. В упомянутом трактате предлагалось и другое, пожалуй, ещё более простое и наглядное доказательство теоремы Пифагора. Это второе доказательство иллюстрирует рис. 6. Китайский автор и в этом случае сопровождал чертёж необходимым пояснением; мы же на индийский манер ограничимся призывом «Смотри!». Для точности укажем, что китайский чертёж состоял из наложенных друг на друга чертежей, показанных на рис. 5 и 6, давая таким образом одновременно два доказательства теоремы Пифагора.

В древних египетских текстах описываются приёмы оперирования с простыми дробями – не со всеми, а с некоторыми избранными: аликвотными (так принято называть дроби с числителем единица) и дробью 2/3. Встречаются также способы вычисления простейших площадей. Но все они приводятся без какого бы то ни было обоснования. По-видимому, в то время в нём не ощущалось психологической необходимости. Убедительность способа проистекала из того, что он, во-первых, исходил из авторитетного источника (как правило, от жреца) и, во-вторых, был записан. (Не так ли подчас и мы относимся к медицинским предписаниям?) Жившие в советское время помнят, что любое утверждение считалось полностью доказанным, коль скоро его удавалось обнаружить в каком-либо из текстов Маркса или Ленина; в сталинское же время ещё более неоспоримыми были тексты Сталина. (Так что официальная ментальность того времени недалеко ушла от ментальности Древнего Египта.)

Первые математические доказательства в современном их понимании приписывают древнегреческим мыслителям Фалéсу и Пифагору. Считается, что именно в Древней Греции в VII–VI вв. до н. э. возник новый, до того не встречавшийся обычай сопровождать математический факт его обоснованием. Появилась потребность не просто сообщать факт, но и убеждать слушателя в его истинности, т. е. проводить доказательство. По-видимому, сама идея необходимости убеждать слушателей появилась в дискуссиях на народных собраниях и в судах. (В этом смысле математика – младшая сестра юриспруденции.)

Древнегреческие доказательства были почти безупречны с современной точки зрения. Положение вещей начало меняться с XVII в., когда в математику вошли переменные величины, а вместе с ними представление о предельном переходе. С сегодняшней точки зрения эти понятия и представления не были достаточно чёткими, а потому и относящиеся к ним доказательства XVII–XVIII вв. кажутся теперь нестрогими, вспомним хотя бы приведённые выше цитаты из книги Эйлера. Замечательно, однако, что эти нестрогие доказательства приводили к строгим результатам, прочно вошедшим в арсенал современной математики. Так продолжалось до 20-х гг. XIX в., когда появились работы знаменитого французского математика Луи Огюстена Коши; в его трудах понятие предела и опирающиеся на него понятия впервые стали приобретать ту логическую форму, которую они имеют сегодня. Инициатива Коши была развита затем многими математиками, прежде всего уже во второй половине XIX в. знаменитым немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Но новые представления о необходимом уровне математической строгости входили в математику не сразу, о чём свидетельствует открывающее этот раздел высказывание Пуанкаре. Напрашивается предположение, что представления о строгости будут развиваться и впредь и то, что кажется строгим сегодня, не покажется таковым в будущем.

Уже сейчас видно одно из направлений, по которым может развиваться пересмотр представлений об убедительности математических доказательств. Дело в том, что само понимание того, что такое математическая истина, вызывает серьёзные затруднения. Ведь математические объекты, в отличие от объектов физических, не присутствуют в природе, они существуют лишь в умах людей. Поэтому в применении к математическим истинам говорить, что истина – это то, что соответствует реальному положению вещей, можно лишь с большой натяжкой.

Чтобы закончить этот раздел на оптимистической ноте, подчеркнём, что доказательства, содержащиеся в трудах Евклида и Архимеда, не потеряли своей убедительности за прошедшие тысячи лет.

§ 12. Два аксиоматических метода – неформальный и формальный

Неформальный аксиоматический метод

Стремление придать бóльшую убедительность математическим доказательствам привело к появлению так называемого аксиоматического метода. Если говорить вкратце, он состоит в следующем. Выбирают основные положения рассматриваемой математической теории, которые принимают без доказательств, а из них уже все остальные положения выводят чисто логическими рассуждениями. Эти основные положения получили название аксиом, а те, которые из них выводятся, – теорем. Ясно, что всякая аксиома также выводится из списка аксиом, поэтому удобно аксиомы рассматривать как частный случай теорем (в противном случае слову «теорема» надо было бы дать такое длинное определение: теорема – это то, что выводится из списка аксиом, однако в этот список не входит).

Первая попытка создать систему аксиом для какой-нибудь теории была предпринята Евклидом в III в. до н. э. Система аксиом из его «Начал» оставалась единственной системой аксиом геометрии вплоть до конца XIX в., когда появились новые системы, отвечающие современным требованиям. Вот как Евклид определяет, что такое точка и что такое прямая: «Точка есть то, что не имеет частей», «Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней». С современных позиций эти определения непонятны и не могут быть использованы в доказательствах.

А как же определяются точка и прямая в современных аксиоматических системах? Ответ может удивить неискушённого читателя (искушённого читателя ничто не может удивить). Эти понятия не определяются никак. Не определяется и значение выражений «точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку». Если вдуматься, то чего-то подобного, т. е. предъявления основных понятий без определения, и следовало ожидать, ведь всё определить невозможно: одно определяется через другое, другое – через третье, и где-то приходится остановиться. Уж лучше сделать такую остановку честно и открыто. Спрашивается: а как же в таком случае можно использовать эти понятия в доказательствах? Вот тут на помощь и приходят аксиомы.

В аксиомах вместо определений основных понятий формулируются их главные исходные свойства. На эти свойства и опираются доказательства. Поясним сказанное на примере. Среди основных понятий геометрии присутствуют такие: 'точка', 'прямая', 'лежать на', 'лежать между'. Что такое точки и прямые, не разъясняется, а говорится лишь, что бывают такие объекты: одни называются точками, другие – прямыми. А про лежать на говорится, что это некоторое отношение между точками и прямыми. Это означает следующее: если взять произвольную точку и произвольную прямую, то осмысленно спросить, лежит ли эта точка на этой прямой; точка либо лежит на прямой, либо нет. А вот спрашивать, скажем, лежит ли прямая на прямой, бессмысленно: отношение 'лежать на' для пары прямых не определено, как не определено оно и для пары точек, и для пары (прямая, точка). Лежать между – это некоторое трёхместное отношение между точками; сказанное означает, что если даны три точки A, B, C, то точка B либо лежит между точками A и C, либо нет. Природа предметов 'точка' и 'прямая' и отношений 'лежать на' и 'лежать между' никак не раскрывается. Вместо этого в аксиомах формулируются основные свойства этих объектов и отношений и основные связи между ними. Вот как выглядят некоторые из аксиом:

1. На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки.

2. Для двух различных точек не может существовать более одной такой прямой, что обе точки лежат на этой прямой.

3. Если три точки таковы, что одна из них лежит между двумя другими, то все эти три точки различны.

4. Если три точки таковы, что одна из них лежит между двумя другими, то все эти три точки лежат на одной прямой.

5. Для любых двух различных точек A и B существует такая точка С, что B лежит между A и C.

Покажем на примере, как на основе аксиом совершаются доказательства. Докажем, опираясь на выписанные пять аксиом, такую теорему: на каждой прямой лежат по меньшей мере три точки.

Вот доказательство. Итак, пусть p – прямая. Надо обнаружить на ней три различные точки. По аксиоме 1 на ней лежат какие-то две различные точки; обозначим их A и B. По аксиоме 5 находим такую точку C, что B лежит между A и C. Согласно аксиоме 3, все они различны, а согласно аксиоме 4, все они лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую буквой q. Точки A и B лежат на прямой p и в то же время лежат на прямой q. Но в силу аксиомы 2 две различные точки не могут лежать на двух различных прямых; следовательно, q совпадает с p. Поскольку через q была обозначена та прямая, на которой лежат все три точки A, B и C, а q совпадает с p, то все эти точки лежат на p. Вот мы и нашли на p три различные точки.

Казалось бы, тем же способом можно далее доказать, что на p лежат четыре точки: надо применить аксиому 5 к точкам B и C и получить такую точку D на той же прямой, что C лежит между B и D. Действительно, все точки B, C и D будут различны; однако ведь может случиться, что точка D совпадает с точкой А, из аксиом не вытекает, что такое невозможно!

Ещё один пример. Дано множество N каких-то объектов. Задана операция, которая каждому объекту из множества N ставит в соответствие некоторый другой (а впрочем, может случиться, что и тот же самый) объект из того же множества N. Объект, ставящийся в соответствии объекту x, будем обозначать как х'. Некоторый объект из множества N выделен особо, его будем обозначать как 0. Всё это подчиняется двум аксиомам.

I. Если х' = у', то x = y.

II. Не существует такого x, что х' = 0.

Требуется доказать утверждение 0'''' ≠ 0''.

Доказываем от противного. Предположим, что 0'''' = 0''.

Тогда в силу первой аксиомы 0''' = 0'. В силу той же первой аксиомы 0'' = 0. Но это противоречит второй аксиоме, потому что получается, что 0 есть результат применения операции «'» к объекту 0'. Точно так же доказывается различие любых двух объектов вида 0''…', имеющих в своей записи различное количество штрихов. Поэтому выражения 0, 0', 0'', … часто используются в качестве обозначений натуральных чисел (включая ноль). Если принять эти обозначения, то видно, что только что была доказана формула 4 ≠ 2.

Заметим, что доказательства в обоих примерах понимались в соответствии с разъяснениями, предложенными в начальном разделе данного очерка, как убедительные рассуждения. Специфика состояла в том, что мы не знали, о каких сущностях идёт речь. Мы не знали, что такое точка, прямая, отношение 'лежать на' и 'лежать между' в первом примере. Во втором примере мы не знали, ни какие объекты образуют множество N, ни который из них выделен, ни в чём состоит операция «'», ставящая в соответствие каждому объекту x объект х'. Мы знали лишь те свойства этих таинственных сущностей, которые были перечислены в аксиомах, и именно на эти свойства, и только на них, опирались в рассуждениях, образующих доказательства. Таким образом, сами наши доказательства были неформальными, психологическими. Поэтому тот вариант аксиоматического метода, который был проиллюстрирован на двух примерах, принято называть неформальным аксиоматическим методом.

Формальный аксиоматический метод

Формальный аксиоматический метод отличается от неформального тем, что совершенно чётко определяет не только исходные понятия и записанные в виде аксиом исходные положения, но и дозволенные способы рассуждения. Точно указываются допустимые логические переходы. Более того, и аксиомы, и разрешённые логические переходы должны быть оформлены таким образом, чтобы первые можно было использовать, а вторые – делать чисто механически, не вникая в их содержание, так чтобы и то и другое было по силам исполнительному лаборанту, а теперь и компьютеру. Для этого нужно уметь оперировать с используемыми в доказательствах утверждениями, опираясь только на их внешний вид, а не на содержание, непонятное ни лаборанту, ни компьютеру. Такое оперирование довольно затруднительно, если утверждения записаны на естественном языке, т. е. на одном из тех языков, которыми пользуются люди в повседневной жизни. Приходится записывать утверждения на специальном языке, отражающем структуру утверждений.

Скажем, тот факт, что из A следует B, на русском языке может быть записан многими разными способами: «из A следует B», «из A вытекает B», «если A, то B», «B верно при условии, что верно A», «B верно при условии, что справедливо A», «B справедливо при условии, что верно А» – и ещё многими другими, которые, без сомнения, сможет предложить любезный читатель. Заставить компьютер во всём этом разбираться было бы слишком накладно. А ведь помимо русского языка существует ещё немало других. В специальном, искусственном языке математической логики (точнее было бы сказать – в одном из орфографических вариантов такого языка) указанный факт записывается так: (A ⇒ B). Аналогично, вместо того чтобы анализировать все способы, которыми в русском языке можно выразить тот факт, что утверждение A неверно, пишут просто ¬A.

Вот здесь скрыто очень важное отличие формального аксиоматического метода от неформального. Для неформального метода несущественно, на каком языке – древнегреческом, русском или китайском – записаны утверждения. Для формального метода утверждений вне способов записи как бы не существует. Поэтому грамотнее говорить, что формальный метод имеет дело не с утверждениями, а с предложениями.

Посмотрим, например, как рассуждение от противного выглядит в рамках формального метода. На содержательном уровне это рассуждение происходит по следующей схеме:

из двух утверждений, (1) и (2):

(1) B,

(2) из утверждения не-A (т. е. из отрицания утверждения A) следует утверждение не-B (т. е. отрицание утверждения B) –

вытекает утверждение A.

В формальном методе указанное содержательное рассуждение оформляется в виде такого правила: если доказано предложение B и доказано предложение (¬A ⇒ ¬B), то считается доказанным и предложение A.

Подобные правила носят название правил вывода. Они должны быть перечислены исчерпывающим образом. Их соединение с аксиомами приводит к тому, что некоторые предложения объявляются доказуемыми. Сперва доказуемыми объявляются все аксиомы, а затем провозглашается, что применение любого правила вывода к любым доказуемым предложениям даёт доказуемое предложение.

Проиллюстрируем сказанное на примере того, как в формальном методе доказывается утверждение 0'''' ≠ 0'', содержательный вывод которого из аксиом-утверждений был приведён выше.

Прежде всего надо построить тот язык, в виде предложений которого будут записываться как аксиомы, так и все другие задействованные утверждения. Построение языка начинается с предъявления алфавита, т. е. списка символов, которые мы собираемся использовать. Для наших целей удобен такой алфавит:

() ⇒ ¬ ∃ = xy 0'.

Символы алфавита принято называть буквами, а цепочки букв – словами.

Каждое предложение, таким образом, является словом в только что определённом смысле. Придирчивый читатель может спросить, все ли слова являются предложениями, а если нет, то какой процедурой они, предложения, выделяются среди всех слов. Ответим ему так: для наших локальных целей это знать необязательно, и он может спокойно всюду заменить встречающийся ниже термин «предложение» (коль скоро он представляется ему непонятным) на термин «слово». (Как сказал ещё принц Гамлет, «слова, слова, слова».)

Внимательный читатель заметит, что в выписанном алфавите отсутствует буква ≠. Она излишня, потому что вместо а ≠ b можно писать ¬ (a = b).

Слова вида 0, 0′, 0′′, 0′′′, … называют нумералами. Через A(m) будем обозначать то слово, которое получается из слова A подстановкой нумерала m вместо x. Например, если A есть )) 'yx ¬ x'' (, а m есть 0'', то A (m) есть )) 'y0'' ¬ 0''''(. Через A (m, n) будем обозначать то слово, которое получается из слова A одновременной подстановкой нумерала m вместо x и нумерала n вместо y. Сами такие подстановки будем обозначать записями х → m, y → n. Примеры:

если A есть (х'' = х'), а подстановка есть x → m, то A(m) есть (m'' = m');

если A есть (х'' = у'), а подстановки суть x → m, y → n, то A(m, n) есть (m'' = п').

При помощи букв нашего алфавита запишем аксиомы в виде предложений:

I. (х' = у') ⇒ (x = y);

II. ¬ ∃ х (х' = 0).

Далее сформулируем правила вывода. Каждое правило договоримся записывать в виде дроби, где в числителе – то предложение или те предложения, к которым это правило применяется, в знаменателе – результат применения. В скобках после названия правила пишем его условное обозначение. Правил будет четыре:

Покажем, что предложение ¬ (0'''' = 0'') доказуемо. Для этого предъявим список из девяти доказуемых предложений, справа от каждого из них указав в квадратных скобках причину, по которой оно признаётся доказуемым. Если предложение является аксиомой, указываем номер аксиомы; если оно получается из предыдущих предложений списка по одному из правил, указываем номера этих предложений в списке и это правило. Вот этот список:

1) ¬ ∃ x (x′ = 0) [Ax. II];

2) ¬ (0′′ = 0) [1; ¬ ∃: x → 0′].

Временно прервём выписывание списка, чтобы сделать два комментария. Первый комментарий: мы только что установили доказуемость предложения ¬ (0′′ = 0). На содержательном уровне это предложение выражает тот интересный факт, что два не равно нолю. Второй комментарий: уже выписанные две строки позволяют заметить одну важную особенность формального метода, отличающую его от метода неформального. Вспомним, что, излагая неформальный метод, аксиому II мы записали так: Не существует такого x, что х' = 0. Ясно, что смысл аксиомы не изменился бы, выбери мы для неё такую запись: Не существует такого y, что у' = 0. Поэтому доказательство утверждения 0'''' ≠ 0'', предъявленное нами в рамках неформального метода, осталось бы прежним. А вот если бы мы в формальном методе заменили аксиому ¬ ∃ х (х' = 0) на аксиому на ¬ ∃ у (у' = 0), то получить предложение ¬ (0'' = 0) нам бы не удалось, поскольку правило ¬ ∃ разрешает подстановку именно вместо буквы x, а не вместо буквы y. Формальный метод на то и называется формальным, что форма записи имеет здесь первенствующее значение. Продолжим список:

3) (х′ = у′) ⇒ (х = y) [Ax. I];

4) (0′′′ = 0′) ⇒ (0′′ = 0) [3; C: x → 0′′, y → 0];

5) ¬ (0'' = 0) ⇒ ¬ (0''' = 0') [4; ⇒ ¬];

6) (0'''' = 0'') ⇒ (0''' = 0') [3; С: х → 0''', у → 0'];

7) ¬ (0''' = 0') ⇒ ¬ (0'''' = 0'') [6; ⇒ ¬];

8) ¬ (0''' = 0') [5, 2; MP];

9) ¬ (0'''' = 0'') [7, 8; MP].

Остаётся заметить, что последним в списке стоит интересующее нас предложение ¬ (0′′′′ = 0′′).

Если мы теперь запишем все эти 9 предложений друг за другом, разделив их каким-нибудь знаком (для определённости – решёткой #), получим то, что называется формальным доказательством предложения ¬ (0'''' = 0''):

¬ ∃ x (x' = 0) # ¬ (0'' = 0) # (x' = у') ⇒ (х = у) # (0''' = 0') ⇒ (0'' = 0) # ¬ (0'' = 0) ⇒ ¬ (0''' = 0') # (0'''' = 0'') ⇒ (0''' = 0') # ¬ (0''' = 0') ⇒ ¬ (0'''' = 0'') # ¬ (0''' = 0') # ¬ (0'''' = 0'').

На этом примере состоялось знакомство с важнейшим понятием формального доказательства. Неформальные доказательства (которые называют ещё содержательными или психологическими) представляют собою убедительные рассуждения, т. е. прежде всего тексты, состоящие из утверждений (не любые такие тексты, разумеется). Формальное же доказательство есть цепочка предложений, особым образом организованная. Читатель может возразить, что в начальном разделе статьи сообщалось, что формальное доказательство есть цепочка символов. Тут нет противоречия: ведь каждое предложение есть цепочка символов, и если составить их вместе, разделив каким-либо разделительным знаком, то снова возникнет не что иное, как цепочка символов, как это и видно из нашего примера. Таким образом, формальное доказательство есть слово, которое составлено из букв дополненного разделительным знаком алфавита.

Общее определение формального доказательства очевидно. Формальное доказательство есть такая цепочка предложений, каждое предложение которой либо является аксиомой, либо получено из каких-то предшествующих предложений цепочки применением одного из правил вывода.

Возьмём любое формальное доказательство, а в нём – какое-либо его подслово (т. е. часть слова, образованную подряд идущими буквами слова), не содержащее знака решётки и представляющее собой такую часть слова, которая ограничена решётками слева и справа, либо же начало слова, ограниченное решёткой справа, либо же конец слова, ограниченный решёткой слева, либо всё слово. Всякое такое подслово является доказуемым предложением. Если это предложение представляет собою конец формального доказательства, то это формальное доказательство называется формальным доказательством данного предложения. Ясно, что предложение тогда, и только тогда, является доказуемым, когда оно имеет формальное доказательство.

§ 13. Теорема Гёделя

Словосочетание «теорема Гёделя» довольно популярно, и не только в математической среде. И это совершенно заслуженно. Ведь теорема Гёделя (точнее, теорема Гёделя о неполноте) не только одна из самых замечательных и неожиданных теорем математической логики, да и всей математики, но и, пожалуй, единственная на сегодняшний день теорема теории познания.

Говоря совсем грубо, теорема Гёделя утверждает, что не всё можно доказать, говоря чуть более точно – что существуют истинные утверждения, которые нельзя доказать, а подробнее – что такие утверждения найдутся даже среди утверждений о натуральных числах. Но эта формулировка заключает в себе некое противоречие. В самом деле, если мы обнаружили истинное утверждение, которое невозможно доказать, то откуда, спрашивается, мы знаем, что оно истинное? Ведь, чтобы убеждённо заявлять о его истинности, мы должны эту истинность доказать. Но тогда как же можно говорить о его недоказуемости?

Разгадка в том, что в грубых, подобно приведённым, формулировках теоремы Гёделя смешиваются два понятия доказательства – содержательное (неформальное, психологическое) и формальное. Теорему Гёделя надлежит понимать в следующем смысле: существуют не имеющие формального доказательства утверждения, являющиеся тем не менее истинными, причём истинность их подтверждается содержательными доказательствами. Иными словами, эти утверждения доказуемы содержательно и недоказуемы формально. Отметим, что в применении к какому бы то ни было утверждению более корректно было бы говорить о формальных доказательствах не самого этого утверждения, а предложения, служащего записью этого утверждения в виде слова, составленного из букв подходящего алфавита. Однако мы этого делать не будем, чтобы не утяжелять изложения.

Указанный смысл нуждается в дальнейшем уточнении. Ведь понятие формального доказательства осмысленно лишь тогда, когда предъявлены аксиомы и правила вывода. Достаточно взять любое утверждение и включить его в число аксиом – и оно тут же сделается доказуемым формально. Чтобы не осложнять изложение, ограничимся ситуациями, при которых ни одно утверждение, не являющееся истинным, не может оказаться доказуемым (для этого достаточно, чтобы аксиомы выражали истинные утверждения, а правила вывода сохраняли истинность). Тогда точная, хотя и требующая разъяснений, формулировка теоремы Гёделя такова: если язык достаточно богат, то какой бы список аксиом и какой бы список правил вывода ни были предъявлены, в этом языке найдётся истинное утверждение о натуральных числах, не имеющее формального доказательства.

Жанр очерка не позволяет дать предложенной «точной» формулировке исчерпывающих объяснений. Но некоторые намётки всё же сделаем.

Под утверждениями о натуральных числах понимаются такие, которые помимо общелогических понятий (вроде 'и', 'если… то', 'существует', 'равно' и т. п.) используют в своих формулировках лишь натуральные числа и операции сложения и умножения.

Под достаточным богатством языка понимается его способность выражать некоторые утверждения о натуральных числах. Чтобы было понятно, чтó имеется в виду, заметим, что тот язык, на примере которого выше демонстрировался формальный аксиоматический метод, является «бедным»: в нём можно выразить лишь очень простые утверждения о натуральных числах, а именно такие утверждения, которые можно сформулировать, используя лишь обозначения чисел (т. е. нумералы), переменные x и y, операцию «'» и общелогические понятия «равно», «существует», «неверно, что», «если… то»). Богатство же языка означает его способность выражать более сложные утверждения о числах: требуется, чтобы для любого перечислимого множества натуральных чисел в языке имелась формула, выражающая принадлежность к этому множеству натурального числа. Дальнейшие объяснения потребовали бы изложения основ математической логики и теории алгоритмов, а потому здесь мы остановимся.

Семь размышлений на темы философии математики

1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается?

Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке: причём не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к удовольствию этих последних, осознаётся не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике – опять-таки в отличие от других наук – всё строго доказывается из аксиом. В-третьих, математика непонятна в такой вызывающей уважительный трепет степени, какая недоступна ни одной другой науке. Непонятна даже в школе (репетиторов по математике едва ли не больше, чем по всем другим школьным предметам, вместе взятым). А уж о современной математической науке и говорить нечего: достаточно раскрыть любую монографию, а тем более журнальную статью. (Заметим, что третья из перечисленных черт вступает в известное противоречие с первыми двумя, хотя над этим мало кто задумывается.)

Когда что-то общеизвестно, закрадывается подозрение, не миф ли это (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.

Тогда, во-первых, обнаружим, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое – через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первоет портной у кого же учился?» – справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. И. Шатуновский, приводя определение всё новых и новых понятий в ответ на повторные вопросы «А что такое то-то и то-то?», наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое "что такое"?»

Давайте задумаемся о принципах толкования слов в словаре какого-либо языка – русского, английского и т. д. В нём одни слова определяются через другие, другие – через третьи и т. п. Но поскольку слов в языке конечное число, то неизбежно возникает круг (т. е. ситуация, в которой слово определяется в конечном счёте через само себя)[143]. Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. В некоторых словарях так и делают[144]. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики. А именно: если только не допускать порочного круга, некоторые понятия должны остаться без определения. Спрашивается, как же могут быть усвоены эти понятия. Ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Нет нужды напоминать, что формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека – сложный процесс, принадлежащий более психологии, нежели логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа.

При составлении перечня (который вряд ли может быть вполне определённым) категорий (первичных понятий) математики следует соблюдать известную осторожность. Иначе число первичных понятий будет неоправданно велико в нарушение принципа «бритвы Оккама». В самом деле, возьмём, например, такое понятие, как шар. Шар, как известно, есть геометрическое место точек пространства, чьё расстояние от одной определённой точки (центра шара) не превосходит определённой величины (радиуса шара). Однако вряд ли кто-нибудь впервые узнаёт, что такое шар, из этого определения. Надо полагать, что человек усваивает понятие шара в детстве – на примере мяча, глобуса, шарика из подшипника и бильярдного шара. Приведённое выше определение он узнаёт лишь на уроках в школе. При этом отнюдь не всегда учащемуся удосуживаются объяснить, что тот шар, который он знает с раннего детства, и тот шар, который он изучает в школе, – это одно и то же. В результате и возникает представление, что «у них в физике и математике всё наоборот. Может быть, у них и шар пойдёт вверх»[145]. Но следует ли на основании того, что понятие шара узнаётся из опыта, а не из словесной формулировки, считать понятие шара неопределяемым, одной из категорий математики? Вероятно, нет.

Казалось бы, дело обстоит яснее с более сложными и дальше отстоящими от опыта понятиями математики, такими, например, как понятие группы – уж это-то понятие никак не отнесёшь к числу первичных. Однако формирование понятия группы в умах профессионалов-математиков, возможно, не слишком отличается от образования понятия шара в умах людей вообще (как математиков, так и нематематиков): как понятие шара возникает в результате многочисленного рассмотрения различных шаров, так и понятие группы возникает в результате рассмотрения конкретных групп, а уж потом это понятие закрепляется в словесной формулировке (здесь, разумеется, речь идёт о возникновении понятия группы в коллективном опыте математиков, а не в опыте отдельного математика). Поэтому характерным признаком первичности (категориальности) понятия надлежит считать не способ его возникновения, а способ сообщения сведений о нём при передаче системы знаний. Для разъяснения сказанного представим себе, что носитель некоторой системы знаний – в нашем случае знаний о математике – должен передать свои знания другому. Тогда он может сообщить другому, что такое шар или что такое группа, пользуясь словесным определением соответствующего понятия. И потому эти понятия не категориальные. Если же нужно сообщить, что такое множество, прямая или натуральное число, то это делается по-другому. Говорится примерно так: все стулья в этой комнате составляют множество, и все страусы за полярным кругом составляют множество, и все иррациональные числа отрезка [0, 1] составляют множество. И далее после приведения достаточного числа примеров говорится: «Всё это множества», – и так возникает общее понятие множества. Аналогично говорится: «Ноль, один, два, три, четыре, пять и т. д. – всё это натуральные числа», – и так возникает общее понятие натурального числа. (Мы видим, что при объяснении понятия натурального числа явно или неявно присутствуют слова «и так далее», иначе и не может быть для первичных понятий: указывается достаточное количество примеров, а дальше – «и т. д.»)

Итак, первый из мифов – в математике всё определено – оказывается разрушенным. Перейдём ко второму: в математике всё доказывается из аксиом. Чтобы убедиться, что это не так и таким образом разрушить и этот миф, достаточно открыть классический школьный учебник геометрии А. П. Киселёва, или какой-нибудь втузовский учебник математического анализа, или университетский учебник теории чисел. Мы встречаем в этих учебниках доказываемые теоремы, но вряд ли (за исключением аксиомы о параллельных – она же пятый постулат Евклида) найдём какие-либо аксиомы. Дело обстоит несколько загадочным образом. В самом деле, если нет аксиом, то на основе чего происходят доказательства, скажем, теорем теории чисел? По-видимому, на основе здравого смысла и неких представлений об основных свойствах натуральных чисел, каковые представления, хотя и одинаковые у всех людей, не сформулированы явно в виде списка аксиом. (Насколько их можно сформулировать – тема следующего размышления.)

Необходима честная констатация того наблюдения, что в реальной математике сплошь и рядом встречаются теоремы, доказываемые без опоры на какие бы то ни было аксиомы. Сложнее дело обстоит с третьей отмеченной нами чертой математики – её непонятностью. Проще всего сказать, что это миф, но если относительно первых двух черт достаточно было спросить самоё математику – спросить и получить отрицательный ответ, – то здесь, конечно, обращение к математике с вопросом, понятна ли она, неуместно. А опрос общественного мнения, безусловно, выставит математику на призовое место по уровню непонятности. Выяснение причин этого явления, которое следует признать настолько объективным, насколько вообще могут быть объективными явления социальной психологии, – тема отдельного большого исследования, на которое мы не замахиваемся. Некоторым комментариям на эту тему будет посвящено наше последнее размышление.

2. Можно ли определить понятие натурального числа?

Конечно, можно сказать, что натуральное число – это количество предметов в конечной совокупности. Эта формулировка, по-видимому, будет отвечать как значению (точнее, одному из значений) слова «определить», предложенному «Толковым словарём русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова [5] («дать научную, логическую характеристику, формулировку какого-либо понятия, раскрыть его содержание»), так и формулировке «Философской энциклопедии» [11] [ «поскольку результаты изучения объекта отображаются в соответствующих понятиях, определение можно рассматривать как формулирование (в явной и сжатой форме) содержания этих понятий»]. Подойдём, однако, к понятиям «определить», «определение» с позиций математика. А именно: потребуем, чтобы определение содержало в себе исчерпывающую информацию об определяемом понятии – настолько исчерпывающую, что человек, ничего ранее не знавший об этом понятии, мог бы составить правильное представление о нём исключительно из предложенного определения. Можно ли в таком случае предположить, что человек, вовсе не знающий, что такое натуральное число (не термин, а именно понятие), может усвоить это понятие из первой фразы данного абзаца? Весьма сомнительно: вряд ли, искренне не зная, что такое число, он понимает, что количество предметов не означает, скажем, их суммарного веса, да и само понятие конечной совокупности предметов расплывается при переходе к очень большим совокупностям. Вероятно, все согласны, что триллион в триллионной степени – это натуральное число, однако это число больше числа атомов во Вселенной. Неясно, насколько уместно говорить о конечной совокупности, состоящей из триллиона в триллионной степени предметов [16].

Итак, будем придирчиво требовать от определения исчерпывающей полноты, т. е. будем требовать, чтобы определяемое понятие выражалось с помощью общепринятых синтаксических конструкций через другие понятия, отправные для рассматриваемого определения. С учётом сказанного попробуем предложить такую формулировку: натуральное число – это мощность конечного множества. В этом определении участвуют три основных понятия: 1) множество, 2) мощность, 3) конечное. В рамках тех теорий, в которых эти понятия уже как-то разъяснены (в частности, объявлены неразъясняемыми, или первичными), приведённая только что формулировка действительно является определением натурального числа. Именно такое определение – в идейном смысле такое с точностью до несущественных деталей – принято, например, в трактате Николя Бурбаки «Начала математики»[146]. (Напомним в связи с этим, что полное имя единицы в теории Бурбаки требует для своей записи десятков тысяч знаков [6, с. 188].) Однако здравый смысл отказывается признать понятия множества, мощности, конечного более простыми, чем понятие натурального числа. Здесь типичный пример определения простого через сложное. (Как в прибаутке: «Плазма или, короче говоря, протоплазма».)

Сказанное не следует воспринимать как критику в адрес Н. Бурбаки и других авторов, предлагающих аналогичные формулировки. Разумеется, они, как и все люди, имеют априорное представление о натуральном числе (априорное, конечно же, по отношению к предлагаемому определению, но не к опыту). Они не ставят себе цели дать объясняющее определение понятия натурального числа (т. е. определение, которое могло бы послужить для обучения новичка). Их цель более скромна и более технична – дать определение этому понятию в рамках излагаемой аксиоматической теории множеств.

Можно определить понятие функции через понятие пары, а можно – понятие пары через понятие функции. Ясно, что эти умственные построения имеют мало общего с объяснением непосвящённому, что такое пара и что такое функция. Все предыдущие рассуждения имеют целью подвести к следующей почти очевидной мысли. Оставим в стороне математическую и логическую проблематику, связанную с поисками определения (а правильнее было бы сказать «поисками отражения, моделирования») понятия натурального числа в рамках той или иной аксиоматической теории. Займёмся попытками дать «наивное» объяснение понятия натурального числа, позволяющее незнающему узнать, что это такое. Довольно скоро мы убеждаемся, что такие попытки бесплодны. Натуральное число следует признать первичным, неопределяемым понятием, одной из категорий математики.

Замечание. Читатель был вправе удивиться тому, что мы считаем ноль натуральным числом, тогда как в школе учат, что наименьшим натуральным числом является единица. Дело в том, что на самом деле есть два понятия натурального числа – считательное и количественное. Считательные натуральные числа возникают в процессе пересчёта предметов: один, два, три и т. д. Поэтому наименьшее считательное число есть единица. В начальных классах школы появляются именно считательные числа. Количественное же натуральное число отражает количество предметов конечной совокупности, каковая совокупность может быть и пустой, т. е. не содержать ничего. Поэтому наименьшее количественное число есть ноль (нуль). Вот что писал по этому поводу выдающийся математик Павел Сергеевич Александров (следует учесть, что математики обычно вместо слова «совокупность» употребляют слово «множество», имеющее в математике тот же смысл): «К числу конечных множеств мы причисляем и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что, когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью[147], так как, может быть, какой-нибудь капитан и завёз какого-нибудь страуса за полярный круг».

3. Можно ли определить натуральный ряд (с прописной буквы)?

Потерпев неудачу в попытках определить, что такое натуральное число (или, напротив, преуспев в отнесении этого понятия к категории неопределяемых), обратимся к понятию Натурального Ряда. Натуральный Ряд – с большой, или прописной, буквы – это совокупность всех натуральных чисел. Если мы знаем, что такое натуральное число и понимаем слова «совокупность всех», то мы знаем и что такое Натуральный Ряд. И наоборот, зная Натуральный Ряд, мы легко определим натуральное число как его элемент. Поэтому понятие Натурального Ряда столь же неопределимо, как и понятие натурального числа. (Впрочем, можно считать фразу «Натуральный Ряд есть множество всех натуральных чисел» законным определением понятия Натурального Ряда через первичные неопределимые понятия «натуральное число» и «множество всех».)

«Как же так? – воскликнет читатель. – А аксиомы Пеано? Разве они не определяют Натуральный Ряд?» Конечно, нет, да они на это и не претендуют, если понимать Натуральный Ряд так, как мы его понимаем, т. е. как единственную (!) совокупность некоторых однозначно понимаемых сущностей, называемых натуральными числами. В самом деле, посмотрим, как выглядят аксиомы Пеано. Они гласят: «Ноль есть натуральное число, и ноль не следует ни за каким натуральным числом и т. д.». Таким образом, они опираются на понятия 'ноль' и 'следовать за' (имеется в виду непосредственное следование). Но они не разъясняют, да и не могут разъяснить, что означают эти понятия (т. е. что такое 'ноль' и что такое 'следовать за'), а лишь указывают связи между ними. Причём аксиомы сформулированы таким образом, что если ноль этих аксиом – это обычный Ноль[148] Натурального Ряда, а «следование за» означает непосредственное следование одного числа за другим в Натуральном Ряду (так что за Нолём следует Единица, за Единицей – Двойка и т. д.), то все эти связи будут выполнены в Натуральном Ряду. Иными словами, аксиомы Пеано оказываются верными, истинными утверждениями при естественной их интерпретации на Натуральном Ряду. Но они, разумеется, будут верны не только на Натуральном Ряду, но и на всякой структуре, изоморфной[149] Натуральному Ряду. Например, если интерпретировать встречающийся в аксиомах Пеано термин «ноль» как наименьшее простое число, а термин «следовать за» – как переход от одного простого числа к ближайшему за ним следующему, то при такой интерпретации все аксиомы Пеано окажутся верными. Выходит, они, эти аксиомы, не дают даже возможности отличить Натуральный Ряд от совокупности всех простых чисел. Повторяю, они на это и не претендуют. Они претендуют на то, чтобы, как говорят, «определить Натуральный Ряд с точностью до изоморфизма»[150]. Более точно это означает, что аксиомы Пеано определяют не одну, а сразу много математических структур, причём все эти структуры изоморфны Натуральному Ряду и, следовательно, изоморфны между собой. Ещё более точно: аксиомы Пеано определяют весь класс таких структур. Любую такую структуру будем называть натуральным рядом (с маленькой, или строчной, буквы!). Таким образом, Натуральный Ряд есть один из натуральных рядов.

Говоря коротко, изоморфизм двух математических структур – это взаимно однозначное соответствие между совокупностями элементов первой и второй структуры, сохраняющее определённые на этих структурах операции и отношения. В нашем примере изоморфизм между структурой N (Натуральный Ряд с операцией «следовать за») и структурой P (простые числа с операцией «следовать за») задаёт бесконечная таблица

Операция «следовать за» при этом соответствии действительно сохраняется: 6 следует за 5, и одновременно 17 следует за 13, и вообще у следует за x в верхнем ряду тогда и только тогда, когда соответствующие им члены нижнего ряда ру и рх (именно в этом порядке!) следуют один за другим (следуют в смысле, определённом для P).

Иногда говорят, что Натуральный Ряд – это есть ряд

ноль, один, два, три,…, сто двадцать шесть,…

(его членами являются выражения, составленные из русских букв и пробелов между словами); или ряд

0, 1, 2, 3, …, 126, …

(его членами являются выражения, составленные из арабских цифр); или ряд

0, I, II, …, CXXVI, …

(его членами являются выражения, составленные из римских цифр с добавлением придуманного нами символа 0 – «римский ноль»[151]).

Разумеется, любой из этих рядов не есть Натуральный Ряд (который состоит из абстрактных количественных категорий и не может быть изображён), а есть всего лишь ряд имён, обозначений для его членов, т. е. для натуральных чисел. Вместе с тем каждый из этих рядов имён может рассматриваться как один из натуральных рядов с маленькой буквы.

Ситуация с Натуральным Рядом имеет универсальный характер. Аналогичным образом обстоит, например, дело с тем трёхмерным евклидовым пространством, в котором мы живём. Отвлечёмся от того, что мы, скорее всего, живём в неевклидовом пространстве, да и вообще живём в пространстве не математическом, а физическом[152], а это разные вещи. Вообразим, отвлекаясь от реальности, что мы живём в совершенно конкретном трёхмерном Евклидовом Пространстве (мы опять употребляем прописные буквы, чтобы подчеркнуть уникальность этого пространства). Конечно, его нельзя определить никаким числом аксиом, а можно только «указать пальцем». С другой стороны, существуют многочисленные системы аксиом (наиболее известная из них принадлежит Гильберту [3]), определяющих это пространство «с точностью до изоморфизма». Взятое в кавычки выражение означает, что система аксиом определяет целый класс изоморфных между собой пространств, а наше «реальное» Евклидово Пространство – одно из них.

Вообще, никакая система математических аксиом никогда не определяет какую-либо структуру однозначным образом, в лучшем случае – с точностью до изоморфизма. (Мы говорим «в лучшем случае», поскольку бывают и весьма важные системы аксиом, определяющие класс неизоморфных структур. Например, аксиомы теории групп определяют математические структуры, называемые группами, но не все они изоморфны между собой.)

Подведём итоги. Определить аксиоматически Натуральный Ряд невозможно. Можно пытаться определить аксиоматически понятие натурального ряда, т. е. понятие произвольной структуры, изоморфной Натуральному Ряду. Обсуждению этих попыток мы посвящаем наше следующее размышление.

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?

Итак, приступим к попыткам определить аксиоматически понятие натурального ряда – структуры, изоморфной Натуральному Ряду. Как только произносится слово «изоморфизм», тем самым предполагается, что указано, какие отношения и операции должны сохраняться при этом изоморфизме. Следовательно, мы должны прежде всего точно указать, какие отношения и операции мы желаем рассматривать на Натуральном Ряду и изоморфных ему натуральных рядах. В число этих операций могут быть включены нольместные операции (т. е. индивидные константы; например, индивидную константу «ноль» можно рассматривать как нольместную операцию) и одноместные отношения (т. е. свойства). Указание этих выделенных операций и отношений в значительной мере произвольно. Например, можно рассматривать Натуральный Ряд (а значит, и любой изоморфный ему натуральный ряд): 1) как структуру лишь с отношением порядка «<», или 2) как структуру с выделенным элементом «ноль» и операцией «переход к следующему», или 3) как структуру, в которой помимо уже названных отношений и операций выделены ещё операции сложения и умножения.

Для наших целей нагляднее всего не задавать никаких операций, а задать лишь отношение порядка «<». Итак, мы рассматриваем каждый натуральный ряд как множество, на котором определено бинарное отношение порядка «<». Именно свойства такой математической структуры мы и будем исследовать.

Перейдём к перечислению этих свойств. Каждое свойство отношения «<» в произвольном натуральном ряду должно (в силу наличия изоморфизма) иметь место и в обычном Натуральном Ряду, когда отношение «<» понимается как обычное отношение порядка между натуральными числами. После этого замечания сформулируем несколько таких свойств.

1. Отношение «<» транзитивно. В символах:

2. Отношение «<» антирефлексивно. В символах:

3. Отношение «<» связно. В символах:

Эти три свойства в своей совокупности утверждают просто-напросто, что «<» есть отношение строгого линейного порядка.

Прежде чем двигаться дальше, остановимся и задумаемся: а зачем, собственно, мы перечисляем эти свойства? А вот зачем. Мы надеемся, что, перечислив некоторое число свойств, мы сумеем дать аксиоматическое определение натурального ряда. Более подробно, наш план таков. Сперва мы выписываем некоторое число характерных для Натурального Ряда свойств. Затем мы объявляем эти свойства аксиомами и определяем натуральный ряд как произвольную математическую структуру, удовлетворяющую выписанным аксиомам. Мы не претендуем на то, что ровно одно определённое множество с заданным на нём бинарным отношением «<» будет удовлетворять нашим аксиомам (такая претензия была бы совершенно нереальна), но претендуем на то, что все такие множества (с заданным на них отношением) окажутся изоморфными между собой. А поскольку наши аксиомы будут выполняться на Натуральном Ряду (так мы будем выбирать аксиомы), то Натуральный Ряд будет одной из попарно изоморфных структур, удовлетворяющих аксиомам, и, значит, все эти изоморфные между собой структуры будут изоморфны и Натуральному Ряду. Если нам удастся достичь изложенной только что цели, мы и будем считать, что сумели аксиоматически определить натуральный ряд.

Можем ли мы, имея в виду поставленную цель, довольствоваться тремя выписанными свойствами – аксиомами? Разумеется, нет. Этим аксиомам удовлетворяют все линейно упорядоченные множества, среди которых много неизоморфных и, следовательно, заведомо неизоморфных Натуральному Ряду N. Например, множество R всех действительных чисел с обычным отношением порядка будет удовлетворять выписанным трём аксиомам. Наблюдая совместно N и R, мы замечаем, что N имеет по крайней мере два свойства, которых нет в R. Вот они.

4. В N есть наименьший элемент. В символах:

5. В N за каждым элементом х непосредственно следует некоторый у. («Непосредственно» – это значит, что между х и у нет третьего элемента.) В символах:

Эти пять аксиом уже значительно сужают круг удовлетворяющих им линейно упорядоченных множеств. Этим аксиомам удовлетворяет Натуральный Ряд, а также, например, такое множество действительных чисел (рассматриваемое с обычным порядком):

Наличие этой, отличной от N, структуры (*), удовлетворяющей аксиомам 1–5, ещё не служит препятствием к тому, чтобы считать эти аксиомы аксиоматическим определением натурального ряда, ведь эта структура изоморфна N (и, таким образом, может признаваться натуральным рядом). Графическое изображение порядка на (*) (и на N) приведено на рис. 1.

Легко заметить, однако, что аксиомам 1–5 удовлетворяет и такая структура (т. е. множество плюс отношение порядка):

Графический образ этой порядковой структуры приведён на рис. 2.

В этой структуре у двух элементов (у 0 и 10) нет непосредственных предшественников. Запретим эту ситуацию следующей аксиомой 6.

6. Если у двух элементов х_1 и х_2 нет непосредственных предшественников, то они равны. В символах:

Аксиома 6 исключает структуру (**), но не исключает такой структуры:

Структура (***), очевидно, не изоморфна натуральному ряду. Её графический образ приведён на рис. 3.

Наша цель, подобно горизонту, отодвигается всё дальше и дальше… Оказывается, она вообще недостижима. Оказывается, имеет место следующий замечательный факт: сколько бы мы ни выписывали аксиом, использующих логические знаки, знак отношения «<» и переменные, пробегающие по элементам определяемой структуры, у совокупности выписанных аксиом всегда будет модель, не изоморфная натуральному ряду. Ввиду фундаментальной важности этого факта (означающего невозможность аксиоматического определения натурального ряда с использованием указанных средств) изложим его подробнее.

Будем записывать аксиомы на формализованном символическом языке, в алфавит которого входят следующие знаки:

1. Знаки препинания: левая скобка «(» и правая скобка «)»;

2. Логические знаки «¬», «∧», «∨», «⇒», «∀», «∃», «=»;

3. Индивидные переменные х, у, z, и, v, w, х_1, y_1, z_1, u_1, v_1, w_1, …;

4. Знак «<».

С помощью этих букв по естественным и легко формулируемым синтаксическим правилам составляются формулы. Простейшие примеры формул:

х < у ∨ у < х; ∀х (х < х);

∃ х ∃у (у < х ⇒ у < х);

∃ у (х < у); ∀ х ∃у (х < у).

Возьмём теперь какое-либо множество с каким-либо определённым на нём бинарным отношением (не обязательно отношением строгого порядка), обозначаемым через «<». Всякое такое множество с отношением «<» будем называть структурой сигнатуры <. Таким образом, структура сигнатуры < состоит из множества (называемого носителем структуры) и отношения «<». Назначим для каждой индивидной переменной носитель структуры в качестве области изменения этой переменной. Тогда каждая формула становится либо высказыванием, как вторая, третья и пятая формула из приведённого только что списка, либо высказывательной формой, как первая и четвёртая формулы. Формулы, превращающиеся в высказывания, называются закрытыми[153], только их мы и будем впредь рассматривать. Про (закрытую) формулу, становящуюся – при рассмотрении на данной структуре – истинным высказыванием, говорят, что она истинна на данной структуре или выполняется на данной структуре, а про структуру – что она удовлетворяет данной формуле.

Среди структур сигнатуры < выделена структура N – наш обычный Натуральный Ряд с обычным отношением порядка. Будем называть аксиомой любую закрытую формулу, превращающуюся в истинное высказывание при интерпретации на структуре N. Так вот, какое бы – конечное или бесконечное – количество аксиом мы ни выписывали, всегда найдётся такая структура сигнатуры <, которая, во-первых, удовлетворяет всем выписанным аксиомам и, во-вторых, не изоморфна N.

Получается, таким образом, что натуральный ряд нельзя определить аксиоматически: ведь определить N аксиоматически – это значит записать такую систему аксиом, которая определяла бы N с точностью до изоморфизма (это, в свою очередь, значит, что любые две структуры, удовлетворяющие всем выписанным аксиомам, изоморфны).

«Позвольте, – снова возразит читатель, – но аксиомы Пеано ведь определяют Натуральный Ряд как раз с точностью до изоморфизма. Система аксиом Пеано категорична, а это как раз и означает, что все её модели[154] изоморфны». Немножко терпения, разберёмся и с аксиомами Пеано.

А сейчас обсудим вот какой вопрос. На Натуральном Ряде определено не только отношение порядка «<», но и бесчисленное множество других отношений и операций. Среди них двуместное (или бинарное) отношение делимости двух чисел; трёхместное (или тернарное) отношение «х + у = z»; одноместное (или сингулярное, singulary[155]) отношение «быть простым числом» (напомним, что свойства мы трактуем как одноместные отношения); двуместная операция сложения; двуместная операция умножения; двуместная операция возведения в степень (причём 0^0 = 1); одноместная операция непосредственного следования (мы будем, как это часто делается, обозначать её штрихом, так что, например, 0' = 1; 13' = 14); константы 0, 1, 2, 3, 4, … (напомним, что константы мы трактуем как нольместные операции); четырёхместная операция [logu+2 z! + yx·z+u] (здесь, как обычно, через [a] обозначается целая часть числа a); и многие другие. Мы привели лишь несколько примеров, а всего на N определено несчётное количество операций и отношений. Для того чтобы определить понятие структуры, изоморфной N, мы сперва должны из этого количества выделить некоторые (теоретически возможно – все) операции и отношения и рассмотреть изоморфизм относительно именно этих выделенных операций и отношений. На самом деле поэтому не существует понятия натурального ряда просто, а только понятие натурального ряда относительно данного списка операций и отношений. Выше мы рассматривали понятие натурального ряда относительно списка, в котором операций не было вовсе, а отношение одно – отношение «быть меньше».

Выделенные на множестве операции и отношения, а также выделенные элементы множества (таковых у нас пока не было) называют в контексте наших рассмотрений сигнатурными, а список таких операций и отношений – сигнатурой. Точнее, сигнатурой называют список не самих выделенных элементов, операций и отношений, а список их имён, но для наших целей это различие (само по себе очень важное) не слишком существенно, и нам проще его не замечать.

Множество с выделенными операциями и отношениями, образующими список σ, называется (математической) структурой сигнатуры σ. Теперь мы можем сказать, что всякий натуральный ряд является структурой той или иной сигнатуры σ. Поэтому следует говорить не о натуральном ряде вообще, а о натуральном ряде сигнатуры σ. До сих пор мы рассматривали случай, когда

σ = {<}.

Может быть, причина нашего неуспеха в попытке определить аксиоматически натуральный ряд вызвана именно бедностью сигнатуры? Давайте расширять сигнатуру и наблюдать, чтó при этом будет происходить.

Сперва добавим в сигнатуру константу «0» (для обозначения наименьшего, относительно порядка «<», элемента) и штрих «'» для обозначения операции непосредственного следования. На Натуральном Ряде N эти объекты подчинены аксиомам (свойствам) 7 и 8 (сравните свойства 4 и 5, которые вытекают из свойств 7 и 8).

7. ∀y (0 = у ∨ 0 < у).

8. ∀x (x < x' ¬ ∃ z (x < z ∧ z < x')).

Всякий натуральный ряд с сигнатурой {0, ', <} изоморфен, по определению, Натуральному Ряду N, причём изоморфизм рассматривается относительно {0, ', <}. Поэтому всякий такой натуральный ряд состоит из элементов 0, 0', …, упорядоченных следующим образом: 0 < 0' < 0'' < 0''' <…

замечание. Следует отдавать себе отчёт, что в каждом натуральном ряду свой 0, свой ' и своё <, т. е. свой элемент, обозначенный через «0», своя операция, обозначенная через «'», и своё отношение, обозначенное через «<». Строго говоря, для каждого натурального ряда мы должны были бы придумать своё обозначение этих объектов: например, если мы рассматриваем натуральный ряд M, то нужно прибавлять эту букву M в качестве индекса к знакам «0», «'», «<». Эта строгость создаёт некоторое удобство. Однако отсутствие строгости тоже создаёт некоторое удобство. Считается, что в данном случае удобство от нестрогости больше, и поэтому одним и тем же знаком «0» обозначаются различные элементы (но в каждом натуральном ряду – один и только один элемент; в частности, в Натуральном Ряду – мощность пустого множества). Аналогично знак «<» обозначает различные отношения (но в каждом натуральном ряду только одно) и знак «'» обозначает различные операции (но в каждом натуральном ряду – только одну). Сказанное сохраняет силу не только для натуральных рядов, но и для любых структур сигнатуры {0, ', <}, не обязательно изоморфных N.

Посмотрим теперь, как выглядит произвольная структура сигнатуры {0, ′, <}, подчиняющаяся аксиомам 1–8 (аксиомы 4 и 5 следуют из аксиом 7 и 8, но в этом нет большой беды). Она, очевидно, представляет собой линейно упорядоченное множество, в котором 0 есть наименьший элемент, 0′ – непосредственно следующий за 0 элемент (так что между 0 и 0′ ничего нет), 0′′ – непосредственно следующий за 0′ элемент и т. д. Все эти элементы 0, 0′, 0′′, 0′′′′, … образуют начальный отрезок нашей структуры. Этот начальный отрезок называется стандартной частью структуры, а оставшаяся часть (она может быть и пустой) – нестандартной. Стандартная часть изоморфна Натуральному Ряду N. Если бы оказалось, что в любой структуре сигнатуры {0, ′, <}, подчиняющейся аксиомам 1–8, нет ничего, кроме стандартной части, то наша цель была бы достигнута: аксиомы 1–8 давали бы в своей совокупности искомое аксиоматическое определение натурального ряда, точнее, натурального ряда сигнатуры {0, ′, <}.

Однако это не так, поскольку структура, графически изображённая на рис. 3, такая, скажем, как (***), где

удовлетворяет аксиомам 1–8, но не изоморфна N: в ней есть непустая нестандартная часть (на рис. 3 эта нестандартная часть изображена справа), в (***) эта нестандартная часть состоит из элементов вида  Более того, оказывается, что никакие аксиомы не могут задать натуральный ряд сигнатуры {0, ', <}, поскольку структура на рис. 3 всегда будет моделью для таких аксиом.

Может быть, дело всё ещё в бедности сигнатуры? Что будет, если добавить сложение и умножение и рассматривать натуральный ряд не сигнатуры {0, ', <}, а сигнатуры {0, ', <, +, ·}? Можно ли для такой более богатой сигнатуры составить список аксиом, определяющих понятие натурального ряда этой сигнатуры, т. е. выделить из всех структур этой сигнатуры те структуры, которые относительно 0, ', <, +, · изоморфны N? Оказывается, нет, нельзя. Какую бы совокупность аксиом[156] – конечную или бесконечную – мы ни образовали, всегда для этой совокупности будут существовать структуры (сигнатуры {0, ', <, +, ·}), не изоморфные N. Более того, какую бы мы ни взяли сигнатуру и какую бы ни взяли для этой сигнатуры систему аксиом, всегда будет существовать модель этой системы аксиом, не изоморфная Натуральному Ряду N. Такие неизоморфные N модели называют нестандартными, а аксиомы, перечисляющие свойства натурального ряда (особенно, когда в сигнатуру входят «+» и «·»), называют аксиомами арифметики. Поэтому сказанное можно выразить и так: для любой системы аксиом арифметики существует нестандартная модель.

Если в число аксиом входят аксиомы 1–8 или какие-нибудь им равносильные, то в любой модели можно выделить стандартную часть 0, 0', 0'', …; нестандартность модели означает в этом случае непустоту нестандартной части. Эта нестандартная часть может оказаться устроенной более сложно, чем на рис. 3. На рис. 3 нестандартная часть подобна с точки зрения порядка множеству Z всех целых чисел. При естественных же аксиомах для сигнатуры, включающей операцию сложения, нестандартная часть всякой счётной (т. е. насчитывающей счётное число элементов) структуры, удовлетворяющей этим аксиомам, имеет вид, который мы (не очень удачно) пытались изобразить на рис. 4. На этом рисунке мы пытались как-то выразить следующую идею: берётся очень много (бесконечное счётное число) экземпляров множеств целых чисел Z, и эти экземпляры располагаются так, как расположено множество всех рациональных чисел Q.

Итак, предъявить систему аксиом, определяющую понятие натурального ряда (какой угодно сигнатуры), невозможно. Более подробная расшифровка этого утверждения, как мы знаем, такова: какие ни выбрать определённые на N операции и отношения, не может быть такой системы аксиом, все модели которой изоморфны N относительно этих операций и отношений.

Вот теперь и ответим на в опрос: а как же аксиомы Пеано?

Классические аксиомы Пеано с несущественными изменениями устроены так. Рассматривается сигнатура {0, '}. Формулируются три аксиомы.

I. ¬ ∃ x (x′ = 0).

II. ∀ x ∀ у (x' = у' ⇒ x = у).

III. Аксиома индукции.

Третью аксиому, аксиому индукции, мы пока только назвали, но не выписали. Теперь выпишем её:

∀Р {[Р(0) ∧ ∀x (Р(x) ⇒ Р(x'))] ⇒ ∀xР(x)}.

Приглядимся к аксиоме индукции. Мы замечаем, что в ней наряду с обычной индивидной переменной встречается ещё переменная Р. Разъясним смысл этой переменной. Прежде всего напомним, что семантика формулы (т. е. придание этой формуле смысла) возникает лишь после того, как предъявляется математическая структура соответствующей сигнатуры. В частности, чтобы обрели смысл аксиомы Пеано (формулы I–III), надо предъявить какую-либо структуру сигнатуры {0, '}, т. е. множество с выделенным элементом, обозначенным через «0», и выделенной одноместной операцией, обозначенной через «'». Тогда сразу определяется область изменения переменной x (как и всякой индивидной переменной): это есть множество всех элементов рассматриваемой структуры. Какова же область изменения переменной Р?

Переменная Р – особая, не встречавшегося ещё в нашем изложении типа. Её область изменения состоит из всевозможных свойств (= одноместных отношений), определённых на рассматриваемой структуре, т. е. свойств элементов этой структуры.

Понятие свойства относится к первичным и постигается из примеров. На натуральных числах определено, например, свойство чётности: каждое число может быть либо чётным, либо нечётным. Здесь несущественно, что бывают как чётные, так и нечётные числа; нас устроила бы ситуация, когда все числа – чётные; важно, что для каждого числа осмыслен вопрос, чётное оно или нечётное. А вот свойство зелёности не определено на натуральном ряду; для числа «быть зелёным» бессмысленно. Выше мы сформулировали некоторые свойства, какими как целое обладает Натуральный Ряд. Свойствами могут обладать и отношения: так, среди отношений выделяются, например, транзитивные. Но в данный момент нас интересуют свойства элементов рассматриваемой структуры (для которой выполняются аксиомы Пеано). Именно эти свойства могут выступать в качестве значений переменной Р.

Тот факт, что элемент a обладает свойством Q, записывается как Q(a). Если на элементах какого-то множества М определено свойство Q, то можно ввести в рассмотрение подмножество K этого множества, состоящее из тех и только тех элементов М, которые обладают свойством Q:

(x ∈ K) ⇔ Q(x). (!)

И наоборот, для каждого подмножества K можно ввести свойство Q – «быть элементом K», и опять-таки будет выполнено соотношение (!). Таким образом, свойство – это почти то же самое, что подмножество: «язык свойств» и «язык подмножеств» тривиально переводимы один в другой. (На языке подмножеств, например, аксиома индукции записывалась бы так:

∀ P{[0 ∈ Р ∧ ∀ x (х ∈ Р ⇒ х' ∈ Р)] ⇒ ∀ x (x ∈ Р)}.)

Итак, область изменения переменной Р в аксиоме индукции – совокупность всех свойств, определённых на рассматриваемой структуре. Посмотрим, как эта аксиома используется для того, чтобы установить, что удовлетворяющая аксиомам Пеано структура изоморфна N. Пусть структура сигнатуры {0, '} удовлетворяет аксиомам I–III. Аксиомы I–II обеспечивают наличие в этой структуре стандартной части {0, 0', 0'', 0''', …}. Теперь применим аксиому индукции, взяв в качестве значения переменной Р такое свойство P_0 элементов структуры: «принадлежать к стандартной части». Аксиома гласит, что нечто справедливо для всякого Р, в частности для этого P_0. Таким образом:

[Р_0(0) ∧ ∀ x (Р_0(х) ⇒ Р_0(х'))] ⇒ ∀ xР_0(x).

Заключённая в квадратные скобки посылка, очевидно, истинна (0 принадлежит стандартной части, и если x принадлежит стандартной части, то принадлежит и x'); поэтому ∀ xР_0(x), т. е. все x (все элементы структуры!) принадлежат стандартной части. Стандартная часть, как уже было замечено, изоморфна N. Этим завершается доказательство того, что рассматриваемая структура изоморфна N.

Таким образом, всякая структура, удовлетворяющая аксиомам Пеано, изоморфна N, и, следовательно, эти аксиомы определяют понятие натурального ряда с сигнатурой {0, '}. Вроде бы это обстоятельство противоречит неоднократно делавшемуся нами заявлению, что системы аксиом с таким свойством не может быть.

Однако противоречия нет, и вот почему. Ранее речь шла лишь о свойствах Натурального Ряда, которые можно выразить определёнными языковыми средствами, иными словами, об аксиомах, записанных на определённом языке. В этом языке был лишь один вид переменных – индивидные переменные x, y, z, …. Сущность этих индивидных переменных заключается в том, что при интерпретации на какой-либо структуре областью изменения каждой из этих переменных объявляется одно и то же множество – множество всех элементов рассматриваемой структуры. В аксиоме же индукции участвует переменная другого вида – переменная Р. Её значениями являются не элементы рассматриваемой структуры, а свойства этих элементов (иначе, определённые на этих элементах одноместные предикаты, отчего сама переменная Р называется предикатной, точнее, предикатной переменной валентности 1). Таким образом, аксиома индукции – это формула другого, расширенного языка, более широкого, нежели рассматривавшийся до сих пор узкий язык. (Узкий потому, что в нём бывают только индивидные переменные.) А когда мы говорили, что систем аксиом, полностью характеризующих натуральный ряд, не бывает, мы имели в виду этот прежний, узкий язык.

Разъяснение, конечно, дано, но вряд ли оно кого-нибудь удовлетворит. Что с того, что на каком-то языке нельзя написать систему аксиом натурального ряда? Это, как говорится, «факт не биографии натурального ряда, а биографии этого языка». Просто-напросто узкий язык плохой, а вот теперь мы нашли хороший, расширенный язык, на котором как раз и возможно выписать адекватные аксиомы натурального ряда.

Однако всё не так просто. Грубо говоря, дело обстоит как раз наоборот: узкий язык «хороший», а расширенный – «плохой».

Попробуем разъяснить ситуацию. Начнём с терминологии. Формулы, в которых все переменные индивидные, называются элементарными, а язык, в котором допускаются только элементарные формулы, – элементарным. Синонимом для термина «элементарный» в данном контексте является термин «1-го порядка», или «первопорядковый». Все рассматриваемые выше аксиомы, кроме аксиомы индукции (т. е. все аксиомы 1–8 и I–II), были элементарными аксиомами, т. е. элементарными формулами. Не существует никакой (ни конечной, ни бесконечной и притом любой сигнатуры) системы элементарных аксиом, которой удовлетворял бы Натуральный Ряд N и все модели которой были бы изоморфны Натуральному Ряду N.

Бывают и неэлементарные формулы, но они принадлежат неэлементарному языку. В этом языке допускаются переменные более сложной природы – предикатные переменные валентности 1, значениями которых служат свойства (= одноместные отношения), предикатные переменные валентности 2, значениями которых служат бинарные (= двуместные) отношения и т. п., а также функциональные переменные (значением функциональной переменной валентности 1 может быть любая одноместная операция, такая, скажем, как «следование за», а значением функциональной переменной валентности 2 может быть любая двуместная операция, такая, скажем, как сложение). Аксиома индукции служит примером неэлементарной формулы. Более точно, неэлементарный язык с описанными только что возможностями называется языком 2-го порядка: это значит, что в нём допускаются переменные, пробегающие по отношениям и операциям (каковые отношения и операции должны быть определены на элементах структуры), но не рассматриваются более сложные переменные, значениями которых могут служить, скажем, свойства операций или операции над отношениями (или свойства отношений, такие как транзитивность). Аксиома индукции служит примером неэлементарной формулы языка 2-го порядка (или просто примером формулы 2-го порядка).

Казалось бы – и наличие аксиом Пеано это как бы подтверждает – возможна система неэлементарных аксиом 2-го порядка (т. е. аксиом, записанных в виде формул этого неэлементарного языка), определяющая понятие натурального ряда в следующем точном смысле:

1) N является моделью этой системы;

2) всякая модель этой системы изоморфна N.

Однако здесь возникают неожиданные, но совершенно фундаментальные трудности семантического (можно даже сказать – гносеологического) характера. Дело в том, что уже для языка 2-го порядка (не говоря уже о более сложных неэлементарных языках) само понятие модели теряет необходимую ясность. Это положение иллюстрируется следующим примером, связанным с так называемой проблемой континуума.

Как известно, количество элементов какого-либо множества называется кардинальным числом, или мощностью, этого множества. Понятие кардинального числа, или мощности, является обобщением понятия натурального числа, поскольку натуральные числа – это мощности конечных множеств. Среди бесконечных мощностей выделяются следующие две: мощность множества всех натуральных чисел и мощность множества всех действительных чисел (или всех точек какой-либо прямой). Первая обозначается (читается «áлеф-ноль») и называется счётно-бесконечной мощностью (или бесконечной счётной, а чаще – просто счётной, хотя нередко бывает полезным называть счётными не только счётно-бесконечные, но и конечные мощности, т. е. натуральные числа); вторая обозначается (строчное готическое «це») и называется мощностью континуума, континуальной мощностью. Эпитеты «счётно-бесконечный» («бесконечный счётный», «счётный») и «континуальный» распространяются и на множества соответствующих мощностей. Очевидно[157],

Знаменитая проблема континуума состоит в выяснении того, существует или нет промежуточная мощность, т. е. мощность удовлетворяющая неравенству

Знаменитая континуум-гипотеза состоит в том, что такой мощности нет. Философский смысл континуум-гипотезы очевиден: не существует количества, промежуточного между количеством всех натуральных чисел и количеством всех точек прямой линии (или равным ему количеством всех действительных чисел)! Эквивалентная формулировка континуум-гипотезы: всякая бесконечная часть континуального (т. е. имеющего континуальную мощность) множества либо сама имеет мощность континуума, либо же имеет счётно-бесконечную мощность.

историческая справка. Континуум-гипотезу высказал ещё в XIX в. Георг Кантор (1843–1918) – великий немецкий (впрочем, родившийся в Санкт-Петербурге и проведший там первые одиннадцать лет жизни) философ и математик, создатель теории множеств. Он высказал эту гипотезу не как гипотезу, а как положительное утверждение. А именно: в написанной в 1877 г. статье «К учению о многообразиях» [27, с. 257; 29, с. 132] Кантор заявил, что всякое бесконечное множество точек на прямой имеет либо континуальную, либо счётно-бесконечную мощность и что это утверждение устанавливается «с помощью индуктивного рассуждения, которое мы не будем здесь приводить». «Строгое исследование этого вопроса, – завершалась статья, – мы откладываем до другого раза». И действительно, с 1879 г. Кантор начал отдельными порциями публиковать трактат под названием «О бесконечных линейных точечных многообразиях»; эта серия публикаций должна была увенчаться доказательством заявленного утверждения. В шестой публикации [28] названной серии это утверждение и в самом деле было доказано, но лишь для узкого класса множеств (а именно для так называемых замкнутых множеств). Соответствующая теорема была сформулирована в самом конце статьи [28], и её формулировка сопровождалась утверждением, что «эта замечательная теорема» (dieser merkwürdige Satz) остаётся справедливой и для произвольных множеств и что это будет доказано в последующих параграфах трактата. Таким образом, Кантор, во-первых, доказал, что не существует такого количества, промежуточного между счётно-бесконечным и континуальным, которое служило бы количеством элементов какого-либо замкнутого множества на прямой линии, а также, во-вторых, обещал предъявить доказательство более сильного утверждения, а именно: что ни для какого (а не только замкнутого) множества точек на прямой линии количество этих точек не может быть промежуточным. Статье [28], завершённой 15 ноября 1883 г., суждено было стать последней в серии. Кантор обнаружил, что не в состоянии выполнить своё обещание, поскольку не располагает доказательством для общего случая. Это осознание имело драматические последствия. В мае 1884 г. Кантора постиг первый приступ нервной болезни. Через месяц приступ прошёл, но болезнь уже не отпускала свою жертву, а с 1899 г. приступы участились. После 1897 г. Кантор уже ничего не публиковал, а в 1918 г. умер в нервной клинике.

Ныне известно (в силу результатов, полученных К. Гёделем и П. Коэном), что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Говоря «доказать» и «опровергнуть», мы имеем в виду все мыслимые средства, допускаемые современной математикой. А значит, повисает в воздухе вопрос о самом смысле континуум-гипотезы. В самом деле, смысл утверждения, истинность или ложность которого заведомо нельзя установить никакими средствами, воспринимается как туманный. Эта чрезвычайная ситуация радикально отличается от такого часто встречающегося положения, когда мы просто чего-то не знаем (но хотя бы ясно понимаем сам вопрос[158]).

Оказывается, что можно выписать формулу 2-го порядка, которая тогда и только тогда имеет модель (т. е. такую структуру, в которой она становится верна), когда континуум-гипотеза справедлива. Можно выписать и такую формулу 2-го порядка, наличие у которой модели равносильно, напротив, наличию промежуточной мощности, т. е. справедливости отрицания континуум-гипотезы. Таким образом, для формул 2-го порядка вопрос о наличии у них модели может оказаться столь же туманным, как сама континуум-гипотеза. (Пример формулы, обладающей указанным свойством, интересующийся читатель найдёт в приложении к данной статье.)

Кажется сомнительным, чтобы язык со столь неясной семантикой мог служить удовлетворительным средством для аксиоматического определения чего-нибудь, в частности натурального ряда.

И действительно, если мы проанализируем использование аксиомы индукции в процессе доказательства того, что любая модель аксиом I–III изоморфна N, мы увидим, что здесь, по существу, используется то самое понятие натурального числа, которое мы ещё только собираемся аксиоматически определить. Наше свойство P0 означает «иметь вид 0''…'». Многоточие между штрихами в выражении «0''…'» как раз и пытается заменить собою общее представление о натуральном числе. А выразить свойство Р0 без априорного представления о натуральном числе или без заменяющих его многоточия или слов «и так далее» невозможно.

5. «Можно ли доказать, что великую теорему ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?»

Именно так было озаглавлено пятое размышление в опубликованном в 1987 г. первоначальном тексте этой работы. В то время убеждение в справедливости Великой теоремы Ферма основывалось на некой иррациональной вере: доказательство теоремы отсутствовало, отсутствовало и опровержение. Напомним, что опровержение какого-либо утверждения состоит в доказательстве его ложности; опровергнуть утверждение – значит доказать, что оно является ложным, иначе говоря, доказать его отрицание.

Однако с тех пор в мировой науке произошло важное событие: более чем через 350 лет после того, как была сформулирована Великая теорема Ферма, она была наконец доказана! Автором доказательства стал сорокалетний англичанин Эндрю Уайлс (A. Wiles), выпускник аспирантуры Кембриджа, переехавший в 1980-е гг. в Америку и ставший профессором Принстонского университета.

Доказательство Уайлса рождалось с драматизмом, достойным Великой теоремы. После многих лет упорной работы к маю 1993 г. Уайлс был убеждён, что обладает доказательством, которое он изложил в общих чертах в трёх лекциях, прочитанных в его родном Кембридже 21–23 июня 1993 г. В номере от 5 июля 1993 г. известный американский журнал Time посвятил этому событию статью с подзаголовком «Решена самая знаменитая математическая проблема в истории». В январе 1994 г. популярный математический журнал опубликовал статью [31] о многовековой осаде Великой теоремы Ферма – осаде, завершившейся предпринятым Уайлсом семилетним штурмом; впрочем, в конце статьи содержалось следующее примечание:

На декабрь 1993 г. рукопись Уайлса ещё не обнародована. Кен Райбет (Ken Ribet) отмечает, что применительно к длинным рукописям подобная задержка является сравнительно нормальной. Большинство экспертов продолжает верить в то, что в основном доказательство правильно.

Однако, когда Уайлс записал своё доказательство, в нём обнаружился пробел (т. е. недоказанный логический переход). Над учёным нависла угроза провала. (Здесь уместно вспомнить судьбу Георга Кантора.) К счастью, в сентябре 1994 г. с помощью своего ученика Ричарда Тэйлора (R. Taylor) Уайлс сумел пробел устранить. Уточнённое доказательство Уайлса теперь уже не подвергается сомнению в мире математиков. Подробнее обо всём этом можно прочесть в замечательной книге Саймона Сингха [32].

Итак, теорема Ферма доказана. Поэтому избранный нами в качестве заголовка вопрос «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?» потерял свой смысл и потому взят в кавычки; сегодня ответом на него должно служить уверенное «нельзя». Попробуем, однако, перенестись в прошлое, когда теорема Ферма ещё не была ни доказана, ни опровергнута. Будем рассуждать в рамках того прошедшего времени, когда ещё не было известно, появится ли когда-либо доказательство или опровержение Великой теоремы. С современной точки зрения настоящее, пятое, размышление, вероятно, следовало бы озаглавить так: «Можно ли когда-либо было ожидать (опасаться, надеяться) получить доказательство того, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?» Мы увидим, что ожидать этого было никак нельзя.

Проблема континуума, упомянутая в конце нашего предыдущего размышления, относится к числу главных проблем, волновавших умы математиков. В знаменитом докладе «Математические проблемы», с которым великий Гильберт выступил в 1900 г. на Международном конгрессе в Париже, она была названа первой. Как было отмечено, проблема континуума оказалась неразрешимой: континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Перечисляя 23 основные проблемы математики, Гильберт не упомянул проблему доказательства (или опровержения) Великой теоремы Ферма. По-видимому, Гильберт не считал эту проблему достаточно важной. Тем не менее нет сомнения, что это самая знаменитая из не решённых в то время математических проблем. И притом единственная из таких проблем, известных, к сожалению, широкой массе нематематиков. Мы написали «к сожалению», ибо ощутимую долю времени математики-профессионалы тратят на изучение и опровержение сочинений ферматистов – так называются люди, не имеющие должной математической подготовки, но считающие, что они доказали теорему Ферма.

Если считать, что под теоремами следует понимать лишь те математические утверждения, истинность которых установлена путём доказательства, то теорему Ферма нельзя называть теоремой, а следует называть гипотезой Ферма. Ведь доказательство «теоремы Ферма» ещё не найдено[159]. Но если обозначать словом «теорема» математическое утверждение, истинность которого подлежит установлению путём доказательства, то термин «теорема Ферма» оказывается законным. Как бы то ни было, мы будем употреблять именно его. (Не чуждого терминологических проблем читателя приглашаем взглянуть на статьи «Теорема» и «Ферма теорема» в «Математической энциклопедии» [22, 23].)

Много факторов способствовало популярности теоремы Ферма в среде непрофессионалов. Среди них: 1) авторитетность автора (теорему сформулировал великий французский математик Пьер де Ферма); 2) почтенность возраста (она была высказана около 1630 г.); 3) романтические обстоятельства, при которых она была сформулирована (Ферма записал её на полях латинского перевода «Арифметики» Диофанта издания 1621 г. Восьмая задача второй книги «Арифметики» Диофанта гласит: «Заданный квадрат разложить на два квадрата». Ферма сделал к этой задаче следующее замечание (также на латыни): «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата – вообще никакую степень, бóльшую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». В бумагах Ферма доказательства найдено не было.); 4) учреждение в 1908 г. премии Вольфскеля в 100 тысяч германских марок за доказательство теоремы Ферма («приятный» факт учреждения большой премии, естественно, получил гораздо бóльшую известность, чем «неприятный» факт её обесценивания вследствие наступившей после Первой мировой войны инфляции); 5) простота формулировки.

Конечно, первые четыре фактора не смогли бы сработать, не будь теорема Ферма столь общедоступна по своей формулировке. Вот в чём она состоит: каково бы ни было целое число n, большее чем 2, уравнение хп + уп = zn не имеет целых положительных решений.

Как видим, участвующее в формулировке теоремы Ферма уравнение рассматривают как уравнение с тремя неизвестными: х, у, z. Поскольку п может принимать значения 3, 4, 5, 6 и т. д., то на самом деле речь идёт о бесконечной серии уравнений и утверждается, что ни одно из них не имеет решения в таких целых х, у, z, что х > 0, у > 0, z > 0. С логической точки зрения более естественно рассматривать уравнение хn + уn = zn как одно уравнение с четырьмя неизвестными п, х, у, z. Теорема Ферма, стало быть, утверждает, что это уравнение не имеет целых решений, таких что п > 2, х > 0, у > 0, z > 0.

Современные эксперты сходятся во мнении, что Ферма на самом деле не обладал доказательством своей теоремы, хотя, возможно, умел её доказывать для двух частных случаев, а именно: для случая, когда показатель степени п равен 3, и для случая, когда этот показатель равен 4. Впервые доказательства для этих двух случаев были опубликованы великим швейцарским и российским математиком Эйлером в XVIII в. Заметим, что из доказательства теоремы Ферма для какого-либо показателя n немедленно вытекает её доказательство для всех показателей, делящихся на n. Таким образом, ещё в XVIII в. теорема была доказана для всех показателей, делящихся на 3 или на 4. Далее теорема Ферма была доказана последовательно для показателей, делящихся на 5 (1825 г.), на 14 (1832 г.), на 7 (1839 г.). К 1978 г. справедливость теоремы Ферма была установлена для всех показателей, меньших 125 000. Однако все эти успехи не позволяют утверждать истинность теоремы Ферма в её полном объёме, т. е. утверждать отсутствие таких положительных целых чисел х, у, z, которые смогли бы удовлетворить уравнению хn + уn = zn хотя бы при одном каком-нибудь показателе п, большем чем 2.

Попытки доказать теорему Ферма продолжаются. Теоретически могли бы предприниматься и попытки её опровержения, но этого не происходит. Ситуация с гипотезой, называемой «теоремой Ферма», значительно отличается от той, которая имеет место для континуум-гипотезы, ведь, как мы знаем, доказано, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть (точнее, Гёдель в 1939 г. показал, что её нельзя опровергнуть, а Коэн в 1963 г. – что её нельзя доказать). Для гипотезы (теоремы) Ферма такое доказательство – доказательство того, что её невозможно ни доказать, ни опровергнуть – отсутствует. Спрашивается, доказательство пока отсутствует (и остаётся надежда получить его в будущем) или это в принципе невозможно? Если бы такое доказательство удалось получить, это, несомненно, принесло бы математике большую пользу, поскольку раз и навсегда закрыло бы шлюз для потока безграмотных попыток доказать теорему Ферма[160].

К сожалению, такое доказательство невозможно. И мы сейчас разъясним, почему невозможно. Правда, остаётся теоретическая возможность того, что удастся доказать, что теорему Ферма нельзя доказать. Появление такого доказательства также перекрыло бы вышеназванный шлюз, но тогда, вероятно, возник бы поток попыток опровергнуть теорему Ферма (например, путём предъявления в косвенной форме четвёрок астрономически больших чисел п, х, у, z, для которых нужное равенство было бы практически непроверяемым).

Итак, предположим:

(а) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя доказать;

(б) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть.

Наша цель теперь – показать, что (а) и (б) несовместимы, т. е. не может быть, чтобы оба эти утверждения были истинны одновременно. На самом же деле мы обнаружим, что (б) несовместимо даже с более слабым, чем (а), утверждением (a_1): теорему Ферма нельзя доказать. А именно, мы покажем, что из (б) следует: теорема Ферма поддается доказательству, что исключает (a_1).

Начнём с некоторых предварительных комментариев. Всякую четвёрку натуральных чисел п, х, у, z, такую, что n > 2, x > 0, у > 0, z > 0 и хn + уn = zn, условимся называть четвёркой Ферма. Теорема Ферма гласит, что четвёрок Ферма не существует в природе. Опровергнуть какую-либо теорему[161] – это значит доказать истинность противоположного. Опровергнуть теорему Ферма – значит доказать, что четвёрки Ферма существуют.

Лемма 1. Если нельзя доказать, что четвёрки Ферма существуют, то их не существует.

Замечание. Пусть А – какое-либо утверждение. Нет никаких причин считать, что если нельзя доказать, что А верно, то А неверно. Однако – и в этом содержание леммы – это так, коль скоро А есть утверждение «четвёрки Ферма существуют».

Доказательство. Поведём доказательство от противного. В самом деле, предположим, что четвёрки Ферма существуют. Выпишем какую-либо из них. Это будет четвёрка натуральных чисел a, b, с, d. Проверим, что это действительно четвёрка Ферма, т. е. проверим, выполняются ли неравенства a > 2, b > 0, с > 0, d > 0 и равенство bа + са = dа. Предъявление четвёрки a > 2, b > 0, с > 0, d > 0 вкупе с указанной проверкой образует доказательство существования четвёрки Ферма. Разумеется, если четвёрка состоит из гигантских чисел, то время, потребное на проверку, может превосходить длительность жизни человека, а то и всего человечества (а объём вычислений – размеры видимой Вселенной). Однако мы от этого отвлекаемся и считаем, что даже и в этом случае проверка того, что предъявленная четвёрка является четвёркой Ферма, возможна в принципе. Философ скажет, что здесь мы используем так называемую абстракцию потенциальной осуществимости, как раз и состоящую в отвлечении от ограниченности наших реальных возможностей в пространстве и времени.

Лемма 2. Если нельзя опровергнуть теорему Ферма, то теорема Ферма верна.

Замечание. Не видно причин, почему это должно быть верно для любой теоремы.

Доказательство. Лемма 2 есть просто переформулированная лемма 1. Ведь «опровергнуть теорему Ферма» – значит «доказать, что четвёрки Ферма существуют», а «теорема Ферма верна» – значит «четвёрки Ферма не существуют».

Лемма 2, которую мы доказали, имеет строение «если Р, то Q». Поэтому если Р имеет доказательство, то и Q имеет доказательство (доказательство Q состоит в сочетании доказательства леммы с доказательством Р). Поэтому имеем сформулированное ниже следствие леммы 2.

Следствие леммы 2. Если существует доказательство того, что нельзя опровергнуть теорему Ферма, то существует и доказательство того, что теорема Ферма верна, т. е. попросту доказательство теоремы Ферма.

Ввиду важности этого следствия ещё раз сформулируем его: если существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть, то теорему Ферма можно доказать. Итак, если верно (б), то теорему Ферма можно доказать, что и представляет собою обещанное отрицание утверждения (a_1).

Полученное противоречие и завершает наше рассуждение о том, что (a_1) и (б), а тем более (а) и (б), несовместимы.

Возникает следующий естественный вопрос: а почему проведённое рассуждение нельзя повторить для континуум-гипотезы, о которой шла речь в конце нашего предыдущего, четвёртого, размышления? В самом деле, гипотеза (теорема) Ферма утверждает, что нет четвёрок Ферма, а континуум-гипотеза – что нет множеств мощности, промежуточной между и Давайте заменим четвёрку Ферма на множество промежуточной мощности, теорему Ферма – на континуум-гипотезу и повторим только что проведённое рассуждение. Мы должны, обязаны где-то споткнуться, ведь утверждения (а') и (б'), получаемые из (а) и (б) заменой слов «теорема Ферма» на слово «континуум-гипотеза», оба верны. Где же мы споткнёмся? А вот где: в доказательстве леммы 1 (разумеется, не в первоначальной формулировке, а в той, где слова «четвёрки Ферма» заменены словами «множества промежуточной мощности»). Приведённое выше доказательство леммы 1 основывалось на следующей идее: можно фактически предъявить четвёрку чисел а, b, с, d и удостовериться, что она образует четвёрку Ферма. Но что значит «предъявить множество»? Могут возразить, что и мы, собственно, предъявляем не числа как количественные категории – их предъявить невозможно, можно только написать их имена (например, в виде ноля со штрихами или в виде десятичной записи). Но дело в том, что каждое натуральное число имеет имя, чего нельзя сказать о множествах: множеств больше, чем имён (если понимать последние как конечные комбинации знаков какого-нибудь алфавита). Но даже если ограничиться множествами, имеющими имена, и предъявлять вместо множеств эти имена, всё равно остаётся главная трудность: как проверить, что предъявленное множество имеет промежуточную мощность? Проверить, что четвёрка чисел есть четвёрка Ферма, в принципе (если отвлечься от количества шагов и необходимого пространства), несложно: надо подставить числа в уравнение и сравнить левую и правую части. Способа же, который позволил бы по предъявленному множеству определить его мощность или хотя бы определить, будет ли эта мощность удовлетворять неравенству не существует.

замечание. Можно указать на ещё одно философское различие между ситуацией с теоремой Ферма и ситуацией с континуум-гипотезой. Обсуждая вопрос о возможных доказательствах теоремы Ферма или её возможных опровержениях (т. е. доказательствах её отрицания), мы исходили из понятия доказательства в общем, неформальном смысле; об этом понятии – наше шестое размышление. Упоминавшиеся же открытия Гёделя, установившего, что континуум-гипотезу нельзя опровергнуть, и Коэна, установившего, что континуум-гипотезу нельзя доказать, утверждают невозможность формальных доказательств в рамках некоторого ранее известного конкретного представления о формальном доказательстве – более точно, в рамках некоторой конкретной аксиоматики теории множеств, а именно так называемой системы Цермело – Френкеля. Однако считается (мнение это представляет собой не что иное, как акт веры), что система Цермело – Френкеля позволяет формализовать любое неформальное математическое доказательство. Это и даёт право говорить, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть какими бы то ни было средствами, допускаемыми современной математикой.

Обсуждаемая тема имеет самое тесное отношение к знаменитой теореме Гёделя о неполноте. Теорема эта утверждает, что, какое бы ни было предложено понятие формального доказательства, имеется такое утверждение о натуральных числах, что ни оно само, ни его отрицание не обладает формальным доказательством в рамках предложенного понятия. Мы исходим из очевидности того, что возможны различные определения формального доказательства. Эти определения отличаются друг от друга набором допускаемых аксиом и правил вывода. Могут быть такие представления о формальном доказательстве, в котором вообще не используются ни аксиомы, ни правила вывода. Короче говоря, подходы к понятию формального доказательства могут быть весьма различны. Но все эти подходы имеют и фундаментальную общность, выражаемую в следующих принципах:

1. Каждое формальное доказательство есть текст, т. е. конечная цепочка знаков, выбранных из некоторого алфавита;

2. Каждый текст, составленный из букв рассматриваемого алфавита, поддается алгоритмической проверке на предмет того, является ли он формальным доказательством или нет, и если да, то какого именно утверждения;

3. Только истинные утверждения могут обладать формальными доказательствами.

В силу третьего принципа предъявление формального доказательства какого-либо утверждения гарантирует его истинность и, следовательно, может считаться его доказательством. Обратное, конечно, не предполагается: не предполагается, что каждое истинное или даже содержательно доказуемое утверждение имеет – при заранее заданном понятии формального доказательства – формальное доказательство. Анализ теоремы Гёделя о неполноте показывает, что утверждение, о котором в ней идёт речь, всегда имеет вид  – некоторое свойство натурального числа х. Это свойство зависит от рассматриваемого понятия формального доказательства, но всегда алгоритмически проверяемо[162] (подобно тому, как алгоритмически проверяемо свойство четвёрки чисел «быть четвёркой Ферма»). Итак, теорема Гёделя утверждает, что не имеют формального доказательства.

Ужесточим наши требования к представлениям о формальном доказательстве. А именно потребуем, чтобы выполнялось следующее условие: коль скоро для какого-то алгоритмически проверяемого свойства утверждение оказывается истинным, то это утверждение обладает формальным доказательством. Это требование довольно естественно; оно реализуется при формализации следующих уже встречавшихся выше этапов: 1) предъявления некоторого с; 2) проверки, что это с удовлетворяет свойству здесь существенно и то, что с можно фактически предъявить, и то, что можно фактически проверить.

Наше требование вытекает, в частности, из следующих двух ещё более естественных требований:

1) если для числа с справедливо (алгоритмически) проверяемое свойство то обладает формальным доказательством;

2) для какого угодно свойства если для некоторого с утверждение обладает формальным доказательством, то и обладает формальным доказательством.

Теперь, прибегнув к рассуждениям, аналогичным тем, которые применялись в связи с теоремой Ферма, приходим к следующему выводу: если ни утверждение ни его отрицание не обладают формальным доказательством, то одно это уже позволяет заключить, которое из этих двух утверждений верно, а именно: верно

В самом деле, если бы было верно то это утверждение обладало бы формальным доказательством; стало быть, неверно, а верно[163].

Давайте ещё раз оценим парадоксальность ситуации: из одного только факта, что ни А, ни не-А не обладают формальным доказательством, можно заключить, которое из этих двух высказываний истинно на самом деле.

6. Что такое доказательство?

Если мы читаем книгу, написанную 50 лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости.

анри пуанкаре. наука и метод. 1908 [2, с. 356]

В предыдущем размышлении встречался как термин «доказательство», так и термин «формальное доказательство». Иногда считают, что формальное доказательство – это такое доказательство, которое формально. Мы предпочитаем смотреть на эти понятия иначе.

Формальное доказательство – это математический объект, подобный, скажем, матрице или треугольнику. Это конечная цепочка знаков некоторого заранее фиксированного алфавита, т. е., как говорят в математике, слово в этом алфавите. Говоря «знак», мы не имеем в виду – в данном случае – какую-либо смысловую, содержательную сторону, но только внешнюю, графическую. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в математике, когда имеют в виду внешнюю, графическую сторону, говорят не «знак», а «буква». К числу букв относят обычно буквы алфавитов реальных языков (русского, латинского и т. д.), цифры, знаки препинания. Разумно отнести к числу букв и пробел между словами (словами в обычном, не математическом смысле), изобретая для его обозначения какой-либо специальный символ, например #. Это даёт возможность рассматривать текст, т. е. последовательность слов, как слово (в уточнённом выше математическом смысле). Итак, формальное доказательство – это прежде всего слово в некотором алфавите, алфавите формальных доказательств. Разумеется, этим ни в малейшей степени не исчерпывается понятие формального доказательства; мы просто хотели подчеркнуть, что понятие формального доказательства относится к разряду слов, так же как понятие треугольника – к разряду геометрических фигур.

Какие именно слова следует считать формальными доказательствами – это тема особого разговора, выходящего за круг предметов, которые мы хотели бы здесь обсудить. Подчеркнём, что можно дать различные определения понятию формального доказательства, каждое из которых приводит к своему множеству формальных доказательств. Некоторые общие положения, которым должно подчиняться любое разумное определение, были изложены в предыдущем размышлении. Заметим, впрочем, что иногда делают ещё один шаг в сторону общности и не требуют заранее, чтобы формальными доказательствами обладали только истинные утверждения, полностью отделяя понятие формального доказательства от понятия истины. А затем это отброшенное требование вводят в виде дополнительного свойства (которым формальные доказательства, вообще говоря, могут и не обладать), а именно: множество формальных доказательств называют семантически непротиворечивым, если всякое утверждение, обладающее формальным доказательством, истинно. Более точно общие представления о формальных доказательствах излагаются с помощью понятия дедуктики (см., например, [21]).

Подчеркнём ещё, что формальными доказательствами могут обладать (или не обладать) не сами содержательно понимаемые утверждения, а лишь их записи (т. е. опять-таки слова) в каком-либо точно заданном логико-математическом языке.

Определение понятия формального доказательства – быть может, лучше сказать «определение множества формальных доказательств» – в широких пределах (обусловленных указанными выше общими ограничительными свойствами множества формальных доказательств) произвольно. Здесь имеется в виду тот «юридический» произвол, который отличает математические определения вообще. Мы имеем «юридическое» право, например, произвольно определить класс функций и назвать их «как хотим», например непрерывными.

Другое дело, что всякое разумное математическое определение обычно претендует на то, чтобы соответствовать некоторым интуитивным представлениям, отражать их. Законность определения ещё не означает его разумности. Так, математическое понятие непрерывной кривой отражает (с той или иной точностью) наши интуитивные, содержательные представления о траектории движущейся точки. Аналогично понятие формального доказательства отражает интуитивные представления о содержательном доказательстве.

Можно сказать, что понятие формального доказательства является математической моделью понятия доказательства – в том же смысле, в каком понятие непрерывной кривой является математической моделью понятия траектории.

Остаётся выяснить, что же такое доказательство – не формальное доказательство, а просто доказательство. Хотя, как мы отмечаем в самом начале настоящего очерка, неправильно полагать, что в математике всё доказывается, нет сомнений, что понятие доказательства играет в математике центральную роль. «Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство"» – так начинает свои «Начала математики» Николя Бурбаки [6, с. 231]. Вместе с тем мы отмечали, что понятие доказательства не принадлежит математике (математике принадлежит лишь его математическая модель – формальное доказательство). Оно принадлежит логике, лингвистике и больше всего – психологии.

Итак, термин «доказательство» – один из самых главных в математике – не имеет точного определения. А приблизительное его определение таково: доказательство – это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других [12, с. 8]. Пожалуй, всё-таки следует уточнить, что под словом «нас» в этом определении понимаются те, кто слушает или читает доказательство, а не те, кто его воспроизводит, т. е. произносит или пишет.

Восприняв доказательство, мы делаемся в известной степени агрессивными, готовыми убеждать других с помощью этого воспринятого нами рассуждения. Если же мы не готовы, значит, мы ещё не восприняли предъявленного нам рассуждения как доказательства, а если и признали его доказательством, то просто чтобы отмахнуться.

Заметим, что понятия, присутствующие в нашем определении доказательства, – либо логико-лингвистические («рассуждение»), либо психологические («убеждающее», «способны убеждать»). Это полностью отвечает сути дела: само представление о доказательстве неразрывно связано с языковыми средствами и с социальной психологией человека. И то и другое изменяется с ходом истории. Меняется языковое оформление доказательств. Меняется и представление об убедительности.

Представление об убедительности зависит не только от эпохи, но и от социальной среды. К сожалению, я не могу сейчас вспомнить, где читал пассаж на следующую тему. Кардиналы, современники Галилея, были неглупые люди, некоторые из них могли воочию наблюдать горы на Луне в Галилеев телескоп, а также с пониманием следить за логикой рассуждений Галилея. Однако для них их собственные взгляды, основанные на априорной догме, были убедительнее любого эксперимента и любой логики. (Интересный анализ того, как априорно суженное представление о способах доказывания препятствует признанию некоторых фактов, приведён в статье С. П. Божича [13].)

Представление об убедительности того или иного рассуждения зависит от многих факторов. Выявление этих факторов – важная задача логики и психологии. В число таких факторов входит, например, разделение понятий (а точнее, терминов) на осмысленные и бессмысленные. Понятия флогистона и теплорода, считавшиеся осмысленными в XVIII в., признаются сейчас бессмысленными. Эйнштейн открыл, что бессмысленным является и понятие одновременности двух событий – если считать его объективным, не зависящим от наблюдателя (более точно, Эйнштейн открыл, что одновременность не двуместное отношение между двумя событиями, а трёхместное отношение, членами которого являются 1-е событие, 2-е событие и наблюдатель). С другой стороны, такое «очевидно бессмысленное понятие», как бесконечно малое число, вот уже полвека наполняется точным смыслом в рамках так называемого нестандартного анализа. С изменением представлений об осмысленности или бессмысленности понятий меняется и представление о самой сущности научной истины. Меняется представление об очевидности. Как в своё время все знали, что гроза вызывается высшими силами, так теперь все знают, что причина грозы – атмосферное электричество. Неспособность инертных газов образовывать химические соединения была настолько очевидной, что это свойство закрепили в самом названии «инертные». Когда же в 1962 г. были получены первые соединения, которые эти газы образуют с другими веществами, химики, по-видимому, не испытали никакого стыда, а лишь с удовольствием констатировали, что «для объяснения строения этих соединений не потребовалось принципиально новых представлений о природе химической связи» (Большая Советская Энциклопедия, 3-е изд., статья «Инертные газы»).

То, что человеческое знание меняется с ходом истории, разумеется, общее место. Здесь хотелось бы подчеркнуть, что в состав знания входят не только сами факты, но и исходные предпосылки, презумпции, на основании которых тот или иной факт делается членом системы знаний: представления об осмысленности и бессмысленности, об очевидности и неочевидности, о возможном и невозможном, о частном и общем, об убедительности и неубедительности, о доказанном и недоказанном, о достоверном и недостоверном. Все эти представления, хотя, возможно, и меняются медленнее простых представлений о фактах, в сущности, так же исторически относительны, как и последние.

Математика иногда воспринимается как скала, неподвижно возвышающаяся над волнами переменчивых представлений, относящихся к другим наукам. Конечно, основания для такого взгляда на математику имеются. Тем не менее взгляд на математику как на нечто абсолютное, видимо, являет собой преувеличение. Если математика и абсолютна, то только на уровне повседневного опыта – точно так же, как абсолютна ньютоновская физика в применении к явлениям «средних масштабов» (а в очень малом и в очень большом действует уже иная, эйнштейновская физика)[164].

В частности, социально-историческая обусловленность представлений о «доказательствах вообще» распространяется и на математические доказательства.

Для иллюстрации сказанного автор сейчас попытается изложить вкратце свои представления о понятии доказательства в Древнем Египте, в Древней Греции и в Индии.

У нас не так много достоверных сведений о том, как излагались и воспринимались математические доказательства в древности. Многие из дошедших до нас текстов весьма отрывочны; к тому же встречающиеся в них термины зачастую допускают различную интерпретацию[165]. Многое приходится домысливать. Каждый домысливает в желательную для себя сторону, и автор этих строк, надо думать, не исключение. С учётом этих оговорок можно составить следующую схему.

Представление о доказательстве есть продукт социальной истории общества. Мы отдаём себе отчёт в упрощённости наших исторических подходов, приписывая Древнему Египту централизованную государственность, хотя и там были периоды раздробленности, а Древней Греции – демократию, хотя и там случались тиранические правления. Но любая схема предполагает упрощения.

Итак, Древний Египет. Теократическое государство с необычайно сильной центральной властью. В качестве действенного инструмента поддержания централизации, повиновения, порядка выступает постоянное строительство пирамид, требующее колоссальных людских и материальных ресурсов и объединяющее усилия всей страны. Авторитет фараона и жрецов непререкаем. Непререкаем и авторитет написанного слова. Если что-то сказал или написал жрец, писец, учитель, значит, это есть истина. Если что-то написано на папирусе, это есть истина. Убедительность основывается на авторитетности источника.

Математические тексты Древнего Египта содержат готовые правила без какого бы то ни было их обоснования. Говоря об отсутствии обоснования, мы имеем здесь в виду современное понимание слова «обоснование». С точки зрения древнего египтянина, написанное на папирусе было полностью обосновано тем, что исходило из авторитетного источника и было запечатлено в авторитетной форме записи на папирусе. Факт занесения на папирус, запечатления на нём и был сам по себе доказательством. Действительно, этого было достаточно для того, чтобы с его помощью убеждать других. Ряд правил для вычисления площадей треугольников и четырёхугольников не получил в наши дни однозначного толкования; идут споры, как надо понимать входящие в них термины [4, глава IV, § 2, а]. В зависимости от толкования эти формулы должны восприниматься либо как точные, либо как приближённые, либо как вообще неверные. Говоря о неверной формуле, мы имеем в виду выражение площади треугольника через полупроизведение основания на боковую сторону[166]. Многие исследователи считают, впрочем, что соответствующий древнеегипетский термин надо трактовать не как боковую сторону, а как высоту (и тогда формула из папируса оказывается верной). Однако, даже если бы этот термин означал в действительности не высоту, а боковую сторону, соответствующую (неверную, с нашей современной точки зрения) формулу следует считать доказанной в древнеегипетском понимании, ведь эта формула убедительно обоснована тем, что она (конечно, записанная не с помощью математических символов, а посредством слов) содержится в авторитетном документе.

Иначе обстояло дело в Древней Греции. Сравнительно (с Египтом) небольшие государственные образования с народными собраниями. В народных собраниях выступают ораторы, не являющиеся носителями априорного авторитета. Они должны убедить слушателей посредством рассуждения. Формулирование правильных рассуждений становится повседневной и актуальной потребностью. Отсюда – зарождение логики у Сократа и окончательное оформление её в виде науки у Аристотеля. Отсюда же – приближающиеся к современным представления о доказательстве, начало дедуктивного метода в математике. Основой математической убедительности становится рассуждение. Возникает понятие об основах правильных рассуждений – аксиомах и правилах логического вывода. Убедительно (и следовательно, доказуемо) то, что может быть получено «законным рассуждением» из отправных утверждений, признаваемых справедливыми. (Если задуматься над тем, какие дисциплины опираются на понятие доказательства, то окажется, что таких дисциплин две: математика и юриспруденция. По-видимому, местом их рождения следует признать Древнюю Грецию: именно там возникла культура убеждения путём рассуждения, в частности – путём прения сторон. В этом смысле математику можно назвать младшей сестрой юриспруденции.)

Наконец, Индия. Хотя те геометрические иллюстрации, на которые мы собираемся ссылаться, относятся к средневековой Индии, скорее всего, они появились уже в Индии древней. Вообще, датировка индийских математических представлений вызывает значительные трудности, поскольку одни тексты могут представлять собой изложение других, более ранних. С другой стороны, это и не так существенно: в то время как средневековый Египет и средневековая Греция не имели ничего общего с Древним Египтом и Древней Грецией, средневековая Индия оставалась хранителем духовного наследия Древней Индии. Существенной чертой этого наследия являлось и является придание статуса высшей достоверности внутреннему озарению. Непосредственное внутреннее озарение представляет собой основной источник знания и обладает неоспоримой убедительностью. То, что познано таким образом, считается доказанным. Чтобы убедить в этом другого, надо привести его в такое состояние, чтобы и он мог испытать внутреннее озарение. Поэтому геометрические доказательства выглядели так: чертёж, а под ним подпись «Смотри!».

Примеры таких чертежей с подписями «Смотри!», относящиеся к XII и XVI вв., приведены, например, в монографии [9, с. 76, 154]. Чертёж XIV в. (он воспроизведён также в статье [15, с. 75]), на наш взгляд, достоин того, чтобы излагаться в сегодняшней средней школе: он нагляднее современных доказательств показывает, что площадь круга равна площади прямоугольника, стороны которого суть полуокружность и полудиаметр круга. Поэтому мы приводим этот чертёж здесь (рис. 5).

Автор отдаёт себе отчёт в том, что его мнение по поводу индийских доказательств расходится с мнением такого авторитета в области истории математики, как А. П. Юшкевич, который пишет [9, с. 155]: «Лаконичность выводов в индийских сочинениях по математике или наличие в последних чертежей с одной лишь припиской "Смотри!" не следует рассматривать как проявление особого подхода к проблеме доказательства или особого хода мышления». На наш взгляд, как раз следует. Почему же в противном случае такого рода «Смотри!» мы не встречаем нигде, кроме Индии?

На рис. 6 приведён ещё один чертёж с подписью «Смотри!». Он относится к XII в. и представляет собой доказательство теоремы Пифагора, опирающееся на формулу квадрата разности двух чисел.

Ценные соображения об эволюции понятия математического доказательства высказывает С. С. Демидов, который, в частности, указывает, «что доказательность математических рассуждений также в конечном итоге есть их убедительность. То, что нам казалось убедительным вчера, уже не кажется таким сегодня» [15].

Определение доказательств как убеждающего текста делает понятие доказательства довольно-таки субъективным (для кого текст убеждающий, а для кого нет). Нам это не представляется недостатком определения. Такова суть вещей. Употреблённое выше слово «делает», пожалуй, неудачно. Наше определение не столько делает понятие доказательства субъективным, сколько отражает субъективный характер этого понятия. Тем интереснее уяснить задачу, от решения которой мы весьма далеки: почему же всё-таки понятие доказательства носит характер общекультурный в том смысле, что в пределах одной и той же культуры споры о том, доказано или нет то или иное утверждение, хотя и возникают, но сравнительно редко?

Говоря о таких спорах, мы не имеем в виду несогласия между представителями разных логических направлений в математике: например, между представителями обычной (классической) и интуиционистской (конструктивистской) математики. Последние не признают доказанными (а, напротив, считают неверными) многие утверждения обычной математики. Можно считать, что интуиционисты (конструктивисты) принадлежат к другой математической культуре и даже самые привычные слова (такие, скажем, как «существует») наполняют другим смыслом [разумеется, интуиционисты (конструктивисты) считают, что это представители традиционной математики наполняют слова другим смыслом, а они, интуиционисты, как раз и употребляют эти слова в единственно правильном смысле]. Поэтому интуиционисты считают неверными многие доказательства традиционной математики.

Мы говорим здесь о другом – не об изменении семантики терминов, ведущем к изменению оценки истинности утверждений, а о том, что доказательство может оказаться непонятным и потому неубедительным (а раз неубедительным, значит, вообще не доказательством). Современная математика имеет сложное строение, постепенно становящееся необозримым. Доказательства некоторых теорем оказываются столь громоздкими, что проверка их требует чрезвычайно большого желания, терпения и времени. О владении специальными знаниями нечего и говорить: не только придумывание, но и проверка доказательств ряда теорем доступна лишь узкому кругу посвящённых. Именно так обстоит дело, например, с предложенным Уайлсом доказательством Великой теоремы Ферма.

Иногда интересуются объёмом доказательства той или иной теоремы. При этом обычно имеют в виду, что в доказательстве разрешается использовать в виде готовых формулировок, уже не требующих доказательств, теоремы, полученные ранее. Будет ли такое рассуждение доказательством, т. е. убеждающим текстом, для того, кто не знаком с доказательствами этих установленных ранее теорем? Мы не берёмся дать однозначный ответ на этот вопрос. Заметим ещё, что само слово «ранее» вносит дополнительный субъективный «релятивистский» момент (хронологическая последовательность двух почти одновременно доказанных теорем может по-разному определяться разными наблюдателями). Если же запретить ссылаться в доказательстве на какие бы то ни было ранее доказанные теоремы и восходить непосредственно к определениям и первичным, неопределяемым понятиям (о которых мы рассуждали в нашем первом размышлении), то такое полное доказательство может в ряде случаев простираться на тысячи страниц математического текста (и быть затруднительным для восприятия даже ещё более, чем доказательство, опирающееся на факты, хотя бы и неизвестные читателю, но ясно сформулированные).

Изучение трудных математических доказательств можно сравнить с альпинистским восхождением на вершину. Уровень моря соответствует начальным понятиям. Восхождение от уровня моря может занимать месяцы, а его математический аналог (понимание доказательства) – годы. В обоих случаях много промежуточных остановок. Первая – общий высокогорный лагерь, в котором собираются альпинисты, направляющиеся на различные окрестные вершины. Этому этапу соответствует получение серьёзной математической подготовки, достаточной для овладения более специальными темами. Затем начинается движение к избранной вершине, опять-таки с остановками в промежуточных лагерях. Для математика роль этих лагерей и остановок играют соответственно теории и теоремы. Как альпинист может совершить за свою жизнь ограниченное число восхождений, так и математик узнаёт ограниченное число доказательств.

Следующая общая для альпинизма и математики черта является существенной – это известная условность в выборе точки отсчёта. Собственно восхождение начинается не с уровня моря, а с точки, куда профессиональные альпинисты могут добраться как бы без труда, хотя для обычных людей попадание в эту точку может представить весьма большие трудности. Собственно доказательство начинается с аналогичной точки: эта точка расположена на некоем общекультурном (имеется в виду математическая культура) уровне. Впрочем, при современном состоянии математики область, очерчиваемая в сложных словах частью «обще-», постоянно уменьшается, и ныне многие доказательства начинаются с точки, доступной лишь узким специалистам. Ещё одна общая черта математики и альпинизма – расчленённость на этапы, наличие достаточного числа промежуточных остановок.

Откуда же у математика берётся убеждение, что доказанные теоремы, доказательства которых он так никогда и не узнáет, действительно являются доказанными, т. е. располагают доказательствами? Видимо, такое убеждение основано не на чём ином, как на доверии. Это положение внешне не должно казаться слишком странным. В самом деле, многие ли читатели этих строк видели остров Пасхи? Ведь убеждение не видевших остров в том, что он существует, также основано в конечном счёте на доверии. Но если современное доказательство основано на доверии к авторитету, то в чём же его принципиальное отличие от древнеегипетского?

Ответ на этот непростой вопрос заключается, возможно, в том, что доказательства постепенно переходят из разряда явлений индивидуального опыта в разряд явлений опыта коллективного. Тенденция к выдвижению на первый план коллективного вообще характерна для истории цивилизации. Хорошо известно (и подробно обсуждено), что с развитием человеческого общества возникают и неуклонно усиливаются разделение и кооперация труда. Лишь в глубокой древности человек мог сам, лично производить всё необходимое для себя; сейчас каждый вынужден пользоваться результатами труда других. Известно (хотя и не столь подробно обсуждено), что одновременно происходят разделение и кооперация научных знаний. Трудно сказать, когда – по-видимому, в Средние века – ещё находились отдельные учёные, способные охватить всю доступную их современникам сумму знаний. Сейчас каждый вынужден так или иначе использовать знания других. Аналогично обстоит дело и с доказательствами: деятельность в сфере производства и потребления доказательств стала в такой же степени объектом разделения и кооперации, как и деятельность в сфере производства и потребления знаний. Само понятие убедительности начинает терять свой индивидуализированный оттенок и всё больше приобретает коллективный характер. По-видимому, следует постепенно приучаться говорить об убедительности не для отдельного индивидуума, а для некоторого научного коллектива. При этом коллективная убедительность отнюдь не означает равную «непосредственную убедительность» для каждого в отдельности члена коллектива. Коллектив выступает не как простая сумма членов, а как единое целое. Смысл коллективной убедительности в том, что для каждой составной части доказательства найдётся свой «отвечающий за неё» член коллектива, для которого непосредственно убедительна именно эта часть (а другие члены коллектива полагаются в данном вопросе на этого члена).

Век информатики вносит свои коррективы и в представления о доказательствах. Возникают, например, случаи, когда доказательство требует перебора столь большого числа вариантов, что этот перебор делается недоступным человеку, а машине доступен. Допустим, машина перебрала все требуемые варианты и перебор привёл к нужным результатам. Можем ли мы считать, что получили доказательство? А что если машина дала так называемый сбой? (Но ведь и человек может ошибаться!) Кроме того, необходима гарантия, что сама программа (работы машины) составлена правильно; правильность программы требует особого доказательства, и теория таких доказательств образует специальный раздел теоретического программирования.

Реально компьютер был привлечён для решения проблемы четырёх красок. По простоте формулировки эта проблема, состоящая в доказательстве гипотезы четырёх красок, мало уступает проблеме Ферма (состоящей в доказательстве гипотезы Ферма), а по естественности постановки (и прикладному значению) её превосходит. Вот формулировка этой гипотезы в Большой Советской Энциклопедии (изд. 3-е, том 29, статья «Четырёх красок задача»): Четырёх различных красок достаточно для того, чтобы раскрасить любую карту так, чтобы никакие две области, имеющие общий участок границы, не были окрашены в один и тот же цвет. Проблема четырёх красок возникла в картографической среде: впервые наблюдение о достаточности четырёх красок было сделано в 1852 г. при составлении карты графств Англии. Обнаружилось, что гипотеза четырёх красок подтверждается во всех известных частных случаях. Сравнительно просто удаётся доказать (и это было сделано в 1890 г.), что для любой мыслимой карты достаточно пяти красок. Попытки же доказать аналогичное утверждение для четырёх красок долгое время (в течение ста лет) были безуспешны.

В 1976 г. Аппелем и Хакеном было анонсировано [17], а в 1977 г. изложено [18, 19] решение проблемы, основанное на сведéнии решения к большому числу частных случаев, рассмотрение которых можно поручить машине. Машина всё проверила, и таким образом было получено доказательство того, что всякую карту можно раскрасить четырьмя красками так, как нужно.

Казалось бы, проблема закрыта. Однако всё не так просто. Доказательство обладало двумя неприятными особенностями. Во-первых, рассуждения авторов были столь длинны и сложны, что никому не удавалось проверить их во всей полноте. Во-вторых, существенная часть доказательств состояла в использовании компьютера; именно компьютер, а не человек проверял, обладает ли каждая из почти двух тысяч специально отобранных карт некоторым требуемым качеством. Первая особенность была впоследствии устранена (если не полностью, то в очень большой степени) другими авторами, значительно упростившими первоначальные рассуждения Аппеля и Хакена. А вот избежать того, что в истинности большого числа фактов удостоверяется не человек, а компьютер, не удалось. А что если компьютер ошибся? Ведь такое иногда случается. Поэтому утверждение, что проблема четырёх красок решена, у многих вызывает сомнение.

Сами Аппель и Хакен высказывают такие мысли по поводу своего доказательства: «При доказательстве было осуществлено беспрецедентное применение компьютеров. Дело в том, что используемые в доказательстве вычисления делают его более длинным, чем традиционно считается допустимым. На самом деле правильность предложенного доказательства вообще не может быть проверена без помощи компьютера. Более того, некоторые из решающих идей доказательства материализовались посредством компьютерных экспериментов. Не исключено, конечно, что в один прекрасный день появится короткое доказательство теоремы о четырёх красках… Вместе с тем не исключено, что такое короткое доказательство вообще невозможно. В этом последнем случае возникает новый и интересный тип теорем, для которых не существует доказательств традиционного типа» [20].

Комментарий. Остановимся на ситуации с доказательством Аппеля и Хакена чуть подробнее. Основная идея этих авторов связана со следующими представлениями. Прежде всего авторы переходят от раскраски областей карты к раскраске вершин плоского графа, причём такого, который представляет собою триангуляцию. Далее они называют конфигурацией любой подграф, образованный циклом и внутренностью этого цикла. Конфигурация называется сводимой, если некоторыми стандартными методами можно доказать, что она не может быть вложена в минимальный контрпример к гипотезе четырёх красок. Множество конфигураций называется неизбежным, если каждая плоская триангуляция содержит как подграф одну из конфигураций множества. Из определений немедленно следует, что для решения (положительного) проблемы четырёх красок достаточно предъявить неизбежное множество сводимых конфигураций. Авторы предъявляют в явном виде 1834 сводимые конфигурации, образующие неизбежное множество [19, с. 505–567]. Длина цикла в каждой из этих конфигураций – 14 или менее того. И для поиска неизбежного множества, и для доказательства сводимости его членов использовался компьютер. Однако если в первом случае (построение множества) компьютер выполнял вспомогательные функции, поскольку само доказательство неизбежности найденного (теперь уже не важно, каким способом) множества не опирается на машинные вычисления, то во втором случае (проверка сводимости) использование компьютера являлось существенным компонентом доказательства, и на каждую конфигурацию ушло примерно 10 минут машинного времени такой проверки. Оценивая доказательство Аппеля и Хакена, авторы обзора [24] указывают, что для доказательства понадобилось четыре года и 1200 часов машинного времени и что текст его занимает 139 страниц, в том числе 99 страниц рисунков, в среднем более 30 рисунков на страницу. Они отмечают также, что «существенно переборный характер доказательства затрудняет его проверку (по оценке Аппеля, проверка всех деталей требует 300 часов машинного времени)». Названные 300 часов относятся, по-видимому, к проверке сводимости. Однако, как мы уже отмечали, сомнения вызывает как раз немашинная часть – проверка неизбежности предъявленного множества конфигураций. Дело в том, что непосредственно в тексте статей [18] и [19] эта проверка исчерпывающим образом не проводится. В статье [18, с. 460], в подстрочном примечании, сообщено, что детали доказательства неизбежности предъявленного множества (более точно, детали доказательства лежащей в основе этой неизбежности так называемой теоремы о разрежении) содержатся на микрофишах[167], образующих специальное приложение к журналу. Автор этих строк, изучавший журнал в библиотеке, указанного приложения, однако, не обнаружил.

Что же касается авторов обсуждаемого доказательства, то они отдавали себе отчёт в сложности его восприятия. В статье [33, с. 852] приводится следующая цитата из неназванной статьи Аппеля и Хакена 1986 г. (перевод даётся по статье [34, с. 95]):

Читатель должен разобраться в 50 страницах текста и диаграмм, 85 страницах с почти 2500 дополнительными диаграммами, 400 страницах микрофишей, содержащих ещё диаграммы, а также тысячи отдельных проверок утверждений, сделанных в 24 леммах основного текста. Вдобавок читатель узнаёт, что проверка некоторых фактов потребовала 1200 часов компьютерного времени, а при проверке вручную потребовалось бы гораздо больше. Статьи устрашающи по стилю и длине, и немногие математики прочли их сколько-нибудь подробно.

Доказательство Аппеля и Хакена продолжало вызывать сомнения до конца XX в. Вот что пишет Робин Томас, автор упомянутой статьи [33]:

[…] Трудности с доказательством Аппеля и Хакена можно уложить в два пункта:

1. Часть доказательства основана на использовании компьютера и не может быть проверена вручную;

2. Даже та часть, для которой ручная проверка предполагается возможной, не подвергалась, насколько мне известно, независимой проверке.

Далее Р. Томас указывает, что он и трое его коллег (N. Robertson, D. P. Sanders, P. Seymour) пытались проверить доказательство Аппеля и Хакена, но вскоре сдались и поняли, что разумнее разработать собственное доказательство. Что они и сделали. Доказательство четырёх авторов следует основным идеям Аппеля и Хакена и не устраняет трудности (1), но в значительной мере ликвидирует трудность (2), будучи гораздо более проверяемым в своей некомпьютерной части. Тем не менее и это новое доказательство вызывает скептицизм. Вот что пишет о нём А. В. Самохин, завершая свою статью [34]:

Компьютерная часть всё ещё остаётся скорее предметом веры. Ведь даже проверка распечаток всех программ и всех входных данных не может гарантировать от случайных сбоев или даже от скрытых пороков электроники (вспомним, что ошибки при выполнении деления у первой версии процессора Pentium были случайно обнаружены спустя полгода после начала его коммерческих продаж – кстати, математиком, специалистом по теории чисел). По-видимому, единственный способ проверки компьютерных результатов – написать другую программу и для другого типа компьютера. Это, конечно, совсем не похоже на стандартный идеал дедуктивных рассуждений, но именно так осуществляется проверка утверждений во всех экспериментальных науках. Из которых математика, стало быть, исключена напрасно.

Создаётся впечатление, что с развитием математики (и появлением всё более и более сложных и длинных доказательств) доказательства теряют своё главное свойство – свойство убедительности. Непонятно, что же тогда остаётся от доказательства, ведь убедительность является их свойством по определению. Кроме того, с усложнением доказательства возрастает элемент его субъективности. Конечно, формальное доказательство объективно. Но, во-первых, формальными доказательствами обладают не сами суждения, а их выражения, записи в формализованных языках. Во-вторых, проверка утверждения, что данный текст является формальным доказательством, хотя и осуществляется алгоритмически, может при объёмистом тексте вызвать значительные практические трудности.

Большие доказательства начинают жить по каким-то своим макроскопическим законам. При чрезмерном возрастании объёма доказательства расплывается само представление о доказательстве, подобно тому как в «большом» расплывается понятие о натуральном числе (ещё раз отсылаем читателя к статье П. К. Рашевского [16]).

Получается, что, хотя все доказательства должны по определению быть убедительными, одни из них убедительнее других, т. е. как бы являются доказательствами в большей степени, чем другие. Возникает нечто вроде градации доказательств по степени доказательности – явление, которое, конечно, в корне противоречит первоначальным представлениям об одинаковой непреложности всех доказательств. Но ведь и математические истины допускают нечто вроде такой градации. Каждое из следующих трёх утверждений: «2 · 2 = 4», «17^14 > 31^11», «300! > 100^300» – истинно. Однако мы говорим: «Верно, как 2 · 2 = 4», но не говорим: «Верно, как 17^14 > 31^11» или «Верно, как 300! > 100^300».

7. Можно ли сделать математику понятной?

Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал её настолько ясной, что берёшься изложить её содержание первому встречному.

Давид Гильберт[168]

Почему математика непонятна столь многим? Эта проблема волновала великого Пуанкаре. Вот что он писал в своём известном трактате «Наука и метод»: «Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле… здесь имеется проблема, которая не легко решается, но которая должна занимать всех, желающих посвятить себя делу преподавания» [2, с. 353].

Скорее всего, «виноваты» обе стороны. Виноваты нематематики, которым дурное преподавание помешало понять математику и даже привило неприязнь к ней (как указывает Пуанкаре, «зачастую ум людей, нуждающийся в руководящей нити, слишком ленив для поисков её» [2, с. 354]). Виноваты математики, не желающие тратить усилий на разъяснение математики непосвящённым (а сколько людей удивляется, что в математике ещё осталось что открывать!). Конечно, в математике всегда останутся многочисленные детали, недоступные непрофессионалу (и даже профессионалу, но в другой области математики). Но ведь так обстоит дело всюду, в шахматах, например. Многие ходы Карпова и Каспарова в их сражениях друг с другом были непонятны даже гроссмейстерам. В то же время гораздо больше из математики, чем принято думать, могло бы быть объяснено широким кругам доброжелательных слушателей и читателей – не в деталях, конечно, а на уровне общей сути. Разумеется, это требует от математиков целенаправленной деятельности в новом для них направлении. Возможно, что в этом и состоит их нравственный долг перед человечеством.

«Но, чтобы помочь непонимающим, мы должны сначала хорошо узнать то, что их останавливает» [2, с. 354]. Во многих случаях, по-видимому, препятствием является сложное логическое строение математических определений и утверждений – строение, в котором логические связки и кванторы существования и общности чередуются друг с другом. Всякий преподававший математический анализ знает трудности, возникающие на пути параллельного усвоения понятия предельной точки последовательности, определение которой имеет структуру ∀ ε ∀ k ∃ n (А ∧ В), и понятия предела последовательности, определение которого имеет структуру ∀ ε ∃ k ∀ n (А ⇒ В). Однако что препятствует пониманию: сложность смысла или проблемы словесного выражения? Автор не знает ответа на этот вопрос, который связан с ещё более глубоким вопросом: можно ли отделить математику от словесных формулировок? Иначе говоря, пребывает ли математика исключительно в математических текстах или же математика имеет некоторую отличную от текстов сущность, а тексты служат лишь тем или иным (и потому, может быть, не всегда удачным) способом выражения этой сущности? По-видимому, этот вопрос, который мы назвали более «глубоким», применим не только к математике, но и к любой другой науке. Математика же выделяется среди других наук тем, что она есть, по формулировке Энгельса из «Диалектики природы», «абстрактная наука, занимающаяся умственными построениями, хотя бы и являющимися отражениями реальности»[169] [1, с. 529].

По-видимому, всё же математические понятия, как и всякие разумные понятия, существуют в виде представлений, не обязательно связанных с текстами. Определяющие же эти понятия словесные тексты следует признать важным, но не единственным средством их усвоения.

Думается, сегодня мы располагаем более совершенными инструментами внедрения в сознание обучающегося понятий предела и предельной точки последовательности (обучающегося, не имеющего специальных «математических способностей», которые – при современном понимании этого взятого в кавычки словосочетания – предполагают умение свободно воспринимать именно словесные формулировки). Представим себе экран, на котором отображается траектория движения точки, неограниченно приближающейся к некоторой неподвижной точке, которая и есть предел. Этот сюжет многократно повторяется с изменением как положения предела (чтобы не создавалось ложного впечатления, будто у всех последовательностей один и тот же предел), так и способа приближения движущейся точки к пределу (чтобы не создавалось, в частности, ложного впечатления, что расстояние между движущейся точкой и её пределом изменяется монотонно). Можно представить и аналогичную наглядную иллюстрацию понятия предельной точки, когда траектория хотя и неограниченно приближается временами к этой точке, но вместе с тем опять-таки временами отдаляется от неё на большое расстояние. Кажется правдоподобным, что у любого наблюдающего такие картинки возникнет правильное представление и о пределе, и о предельной точке.

Можно быть уверенным, что с внедрением компьютеров преподавание пойдёт по пути визуализации понятий, традиционно считавшихся совершенно абстрактными. (Колмогоров, кстати, неоднократно высказывал мысль, что следует изучать те наброски, которые делает на бумаге математик, занимаясь самыми абстрактными построениями. Изучать надо даже те движения пальцами, которые математик в это время производит. Колмогоров полагал, что это может быть полезным и для математики, и для психологии.)

Если бы излагаемая тема имела только педагогическое значение, мы бы не останавливались на ней так подробно в сочинении философского характера. Однако тема выходит за рамки педагогики, смыкаясь с вопросом об онтологической природе математических сущностей. Вопрос же этот, как и всякий разумный теоретический вопрос, имеет прикладное значение – в данном случае в порядке обратной связи педагогическое. В самом деле, если математическое понятие имеет сущность, отдельную от воплощения в словесном определении или формуле, то можно надеяться на лучшее понимание этой сущности путём демонстрации различных её проявлений (а не только формулировки).

Чтобы не быть голословными, приведём пример. В учебном пособии [25, с. 71–72] приведена формула, определяющая некое математическое понятие – так называемый конус Кларка. Сформулировав определение, авторы пишут: «Однако с первого взгляда невозможно понять ни свойств конуса Кларка, ни самого смысла его формального определения». И дальше они сперва приводят эвристические соображения, позволяющие уяснить суть понятия конус Кларка, а затем переводят эти соображения на язык нестандартного анализа. Здесь можно уловить мысль, что понятие конуса Кларка существует как бы само по себе; определение же в виде формулы – лишь один из способов (и не наиболее удобный) постижения этого понятия, а для лучшего постижения полезны описания вроде «результаты разглядывания множества в микроскоп» [25, с. 86]. Независимо от того, так ли это на самом деле, представляется плодотворной следующая рабочая гипотеза: подлинно глубокое математическое понятие или математическое утверждение должно быть в своей сути просто. И тогда есть надежда, что оно окажется понятным (или, лучше сказать, понятым): ведь к простому легче привыкнуть, а мы не знаем иного толкования для «понять», чем «привыкнуть».

Литература

1. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. – 2-е изд. – Т. 20. – М.: Госполитиздат, 1961.

2. Пуанкаре А. О науке / Пер. с фр. под ред. Л. С. Понтрягина. – М.: Физматлит, 1983. – 560 с.

3. Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. с нем. И. С. Градштейна под ред. П. К. Рашевского. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. – 491 с.

4. Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук. Т. 1: Догреческая математика. – М.; Л.: ОНТИ, 1937. – 243 с.

5. Толковый словарь русского языка / Под ред. Д. Н. Ушакова. Т. 2. – М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1938. – Стлб. 832.

6. Бурбаки Н. Теория множеств / Пер. с фр. Г. Н. Поварова и Ю. А. Шихановича; Под ред. В. А. Успенского. – М.: Мир, 1965. – 455 с.

7. Чёрч А. Введение в математическую логику / Пер. с англ. B. C. Чернявского под ред. В. А. Успенского. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 485 с.

8. Hornby A. S., Parnwell Е. С. An English-Reader's Dictionary. – L.: Oxford University Press, 1959. 511 p.

9. Юшкевич А. П. История математики в средние века. – М.: Физматгиз, 1961. – 448 с.

10. Потоцкий М. В. О педагогических основах обучения математике: Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1963. – 200 с.

11. Горский Д. Определение // Философская энциклопедия. Т. 4. – М.: Сов. энциклопедия, 1967. – С. 150–152.

12. Успенский В. А. Предисловие // Математика в современном мире. – М.: Мир, 1967. – С. 5–11.

13. Божич С. П. О способах истинностной оценки естественно-научного высказывания // Логика и эмпирическое познание. – М.: Наука, 1972. – С. 243–255.

14. Изоморфизм // Большая Советская Энциклопедия. – 3-е изд. – Т. 10. – М.: Сов. энциклопедия, 1972. – С. 98.

15. Демидов С. С. К истории аксиоматического метода // История и методология естественных наук. Вып. 14: Математика. Механика. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1973. – С. 74–91.

16. Рашевский П. К. О догмате натурального ряда // Успехи математических наук. 1973. Т. 28. Вып. 4 (172). С. 243–246.

17. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable // Bulletin of the American Mathematical Society. 1976. Vol. 82. № 5. Pp. 711–712.

18. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. Part I: Discharging // Illinois Journal of Mathematics. 1977. Vol. 21. № 3. Pp. 429–490.

19. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. Part II: Reducibility // Illinois Journal of Mathematics. 1977. Vol. 21. № 3. Pp. 491–567.

20. Appel K., Haken W. The solution of the Four-Color-Map problem // Scientific American. 1977. Vol. 237. № 4. Pp. 108–121.

21. Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. – М.: Физмат-лит, 1982. – 111 с.

22. Плиско В. Е. Теорема // Математическая энциклопедия. Т. 5. – М.: Сов. энциклопедия, 1985. Стлб. 334–335.

23. Толстиков А. В. Ферма теорема // Математическая энциклопедия. Т. 5. – М.: Сов. энциклопедия, 1985. – Стлб. 605–608.

24. Козырев В. П., Юшманов С. В. Теория графов (Алгоритмические, алгебраические и метрические проблемы) // Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1985. Т. 23. С. 68–117.

25. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы и их применения: Учеб. пособие. – Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1985. – 86 с.

26. Уроки открывает беседа с математиком Л. Понтрягиным: Интервью академика Л. С. Понтрягина «Учительской газете» // Учительская газета. 1985. 23 мая.

27. Cantor G. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1878. Bd. 84. S. 242–258. (Русский перевод см. в работе [30, с. 22–35].)

28. Cantor G. Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 6 // Mathematische Annalen. 1884. Bd. 23. H. 4. S. 453–488. (Русский перевод см. в работе [30, с. 106–139].)

29. Cantor G. Gesammelte Abhandlungen. Berlin: Springer, 1932. 486 S.

30. Кантор Г. Труды по теории множеств / Пер. с нем. Ф. А. Медведева, П. С. Юшкевича; Отв. редакторы А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. – М.: Наука, 1985. – 430 с.

31. Cox D. A. Introduction to Fermat's Last Theorem // American Mathematical Monthly. 1994. Jan. Pp. 3–14.

32. Сингх С. Великая теорема Ферма / Пер. с англ. – М.: МЦНМО, 2000. – 288 с. (Оригинальное издание: Singh S. Fermat's Last Theorem. L.: Fourth Estate, 1997.)

33. Thomas R. An update on the Four-Color Theorem // Notices of the American Mathematical Society. 1998. Vol. 45. № 7. Pp. 848–859.

34. Самохин А. В. Проблема четырёх красок: неоконченная история доказательства // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6. № 7 (56). С. 91–96.

Приложение

Проблема континуума и языки второго порядка

На языке второго порядка можно написать такую систему аксиом, что наличие или отсутствие у неё модели будет равносильно соответственно подтверждению или опровержению континуум-гипотезы. А если соединить все эти аксиомы знаком конъюнкции, то возникнет формула второго порядка, которая тогда и только тогда имеет модель, когда континуум-гипотеза справедлива; такая формула и была обещана в главе 4, в конце четвёртого размышления. Указанную систему аксиом мы и намерены выписать в настоящем приложении.

Пусть множество M обладает следующими свойствами: 1) его мощность континуальна; 2) в нём выделено некоторое такое подмножество Q счётно-бесконечной мощности, что всякое подмножество множества, содержащее, в свою очередь, Q в качестве подмножества, имеет мощность либо счётно-бесконечную, либо континуальную. Легко проверить, что возможность такого множества равносильна подтверждению континуум-гипотезы. Поэтому всякое такое M временно условимся называть подтверждающим. Наша цель – выписать систему аксиом, задающую подтверждающее множество. Для этого мы воспользуемся следующей теоремой из теории упорядоченных множеств: всякое линейно упорядоченное множество, обладающее плотным в нём счётно-бесконечным подмножеством и такое, что любое его сечение дедекиндово, имеет мощность континуума. (Напомним, что сечением линейно упорядоченного множества называется такое его разбиение на два класса, нижний и верхний, что любой элемент нижнего класса предшествует любому элементу верхнего класса. Сечение называется дедекиндовым, если либо в нижнем классе есть наибольший элемент, либо в верхнем классе есть наименьший элемент, но не то и другое вместе.) Система аксиом, которую мы собираемся выписать, как раз и задаст нам в качестве подтверждающего такое линейно упорядоченное множество, причём в роли Q выступит подмножество, плотное в M. (Подмножество A упорядоченного множества B называется плотным в B, коль скоро для любых двух различных элементов из B найдётся элемент из A, расположенный между ними.)

Но прежде чем выписывать аксиомы, необходимо указать сигнатуру. Наша сигнатура имеет четыре члена. Она состоит из константы «0Q», имени «Q» одноместного отношения (т. е. свойства), имени двуместного отношения и имени «'» одноместной операции. Об этих членах сигнатуры не требуется знать ничего, кроме того, что будет записано в аксиомах.

Как известно, носителем модели называется множество её элементов. Все операции и отношения модели считаются заданными на её носителе.

Начнём выписывать аксиомы, попутно их комментируя.

Аксиомы H1–H3 утверждают, что отношение представляет собою строгий линейный порядок, определённый на носителе модели. Таким образом, этот носитель оказывается линейно упорядоченным множеством.

Аксиома H4 утверждает, что линейный порядок на носителе является дедекиндовым. (Сечение образуется областями истинности свойств P и ¬P.)

Аксиома H5 утверждает, что между любыми двумя элементами носителя найдётся элемент из области истинности свойства Q (т. е. из множества тех элементов носителя модели, которые обладают этим свойством). Иначе говоря, аксиома утверждает, что эта область плотна в носителе.

Аксиомы H6–H10 гарантируют счётную бесконечность области истинности свойства Q. В самом деле, аксиомы H6 и H7 означают, что элемент 0Q принадлежит области истинности свойства Q, а операция «'» не выводит за пределы этой области. Аксиомы H8 – H10 напоминают аксиомы Пеано I–III; их можно было бы назвать «аксиомами Пеано» для области истинности свойства Q. Эта область истинности, следовательно, представляет собою один из натуральных рядов (со строчной буквы, разумеется). Поэтому она, эта область, счётно-бесконечна.

Аксиома Н11 (последняя) утверждает нечто о произвольном надмножестве области истинности свойства Q; в аксиоме это надмножество фигурирует в качестве области истинности свойства W. А именно: H11 утверждает, что всякое такое надмножество находится во взаимно однозначном соответствии либо с носителем модели, либо с областью истинности свойства Q. В первом случае оно континуально, во втором – счётно-бесконечно. Соответствие, о котором идёт речь, представлено функцией φ, которая взаимно однозначно отображает область истинности свойства W либо на весь носитель, либо на область истинности свойства Q.

Математика языка

[170]

Правильно говорить на каком-либо языке, в частности на русском, можно, конечно, и не зная математики. Но вот для того, чтобы дать языку научное описание, математика оказывается полезной, а в XXI в., пожалуй, что и необходимой. Посмотрите на эту книгу[171]. Она называется «Математические методы в лингвистике». Даже вкратце обозреть её содержание, конечно, невозможно. Но можно обратить внимание на её толщину. Издана она известным издательством Kluwer и является наглядным свидетельством того, сколь серьёзно сейчас в мире понимается связь математики с лингвистикой.

Попробуем уловить эту связь на конкретных примерах.

Все знают, что в русском языке шесть падежей: именительный, родительный, дательный, винительный, творительный, предложный. Такова традиция. Этому учат в школе. Поэтому эти шесть падежей будем именовать школьными или традиционными.

Когда слово меняет свой падеж, происходит изменение его формы; изменение, в частности, может состоять и в том, что форма слова остаётся прежней: у слова кровать, например, совпадают формы именительного и винительного, а у слова кофе – вообще все формы. Изменение форм данного слова по всем падежам называется его склонением; обычно термином «склонение» обозначают изменение слова не только по падежам, но и по числам, но мы для простоты «забудем» на некоторое время о существовании множественного числа и будем рассматривать слова лишь в единственном числе. Вот, например, склонение слова сахар: им. п. сахар, род. п. сахара, вин. п. сахар, дат. п. сахару, тв. п. сахаром, предл. п. о сахаре. Все эти формы: сахар, сахара, сахару, сахаром, сахаре – называются словоформами слова сахар; словоформы часто называют просто словами.

Спросим себя, какой падеж у словоформы сахару. В только что приведённом списке словоформ указано, что это дательный падеж. Теперь посмотрим на фразу

(1) Положить тебе ещё сахару?

Согласится ли любезный читатель, что у слова сахару здесь дательный падеж? Ведь дательный падеж, как известно, отвечает на вопрос Кому?/Чему?. Здесь же слово сахару отвечает на вопрос Чего?. Но на вопрос Чего? отвечает родительный падеж. Но формой родительного падежа для слова сахар служит слово (форма) сахара. Как же быть?

Отложим ответ на заданный вопрос и рассмотрим похожую ситуацию. Самая знаменитая детская песенка начинается со слов

(2) В лесу родилась ёлочка…

В каком падеже здесь слово лесу? Судя по окончанию – в дательном. Однако сразу возникают две трудности, препятствующие тому, чтобы радостно принять этот ответ. Первая трудность аналогична той, которую мы видели в примере (1) со словом сахару. Дательный падеж у слова лес должен отвечать на вопрос Кому?/Чему?, как, например, во фразе

(3) Вернём долги лесу.

Однако во фразе (2) слово лесу отвечает на другой вопрос, а именно на вопрос Где?. Вторая трудность для нас новая и связана с акцентуацией, т. е. с местом ударения в слове. Во фразе (3), служащей для нас эталоном дательного падежа для слова лес, ударение в слове лесу стоит на первом слоге, тогда как во фразе (2) слово лесу имеет ударение на втором слоге. Выходит, что во фразе (2) мы встречаемся с какой-то новой словоформой слова лес – новой в том смысле, что она отсутствует в традиционном шестичленном списке падежных форм этого слова. Значит, список неполон. И действительно, логика вещей подсказывает, что должен быть специальный падеж, отвечающий на вопрос Где?. Этот падеж называется местным падежом, или локативом (от латинского слова locus – 'место'). Именно в локативе и стоит слово лесу в предложении (2). Вот пример, где местный и предложный падежи противопоставляются друг другу в пределах одной фразы:

(4) Вороны искали в снегу (местн. п.) пищу, а художники в снеге (предл. п.) – вдохновения для своих картин.

Здесь перефразирован известный пример, предложенный великим филологом Романом Осиповичем Якобсоном:

Вороны чего-то искали в снегу, но корму в снегу не было. – Художники чего-то ищут в снеге, но живописности в снеге нет.

Местный падеж называют также 2-м предложным.

Теперь нас не должно удивить решение, предлагаемое лингвистами для проблемы, возникающей в связи с фразой (1). Здесь мы также имеем дело с новым падежом, выражающим неопределённое количество, неопределённую часть того предмета, о котором идёт речь во фразе, – в данном случае неопределённое количество сахара. Этот падеж называется отделительным падежом, или партитивом (от латинского слова pars – 'часть'). Поскольку слова в партитиве отвечают на вопрос Чего?, этот падеж называют также 2-м родительным.

В обоих случаях – и с обнаружением в падежной системе русского языка локатива, и с обнаружением партитива – логика рассуждений лингвиста такая же, как у биолога, сталкивающегося с новым видом. На первых порах он пытается отнести встретившееся ему растение или животное к тому или иному из известных видов, и только потом, потерпев неудачу, констатирует, что обнаружен новый вид.

В оправдание школьных учебников следует сказать, что найденные два дополнительных падежа встречаются в русском языке значительно реже шести традиционных падежей; к тому же очень часто форма локатива совпадает с формой предложного падежа, а форма партитива – с формой падежа родительного, как, например, во фразах:

(5) Киты живут в океане.

(6) Положить тебе ещё каши?

Тем не менее, на наш взгляд, оба нетрадиционных падежа следует прописать в школьных учебниках. Сейчас они присутствуют только в вузовских учебниках для филологов. Падежи этого октета – шесть традиционных и два добавленных – условимся называть стандартными. Надеемся, что в близком будущем на них распространится термин «школьные», а в будущем более отдалённом – даже и термин «традиционные».

А нет ли в русском языке ещё каких-нибудь падежей?

Отменим на короткое время наш запрет на рассмотрение множественного числа и вспомним строки Маяковского:

(7) Я бы в лётчики пошёл, / пусть меня научат.

Какой падеж имеет здесь слово лётчики? Ответ зависит от того, какое из трёх решений принимает лингвист. Первое решение: можно считать, что слово лётчики пребывает здесь в именительном падеже, имеющем при себе предлог в. «Именительный с предлогом» звучит, конечно, достаточно экзотично, но пример из Маяковского отнюдь не уникален. Вниманию читателя предлагается знаменитое восклицание Фамусова:

(8) Что за комиссия, Создатель, / быть взрослой дочери отцом!

Слово комиссия стоит в именительном падеже с предлогом за. Второе решение: можно считать, что в данном конкретном контексте слово лётчики означает вовсе не множественное число от слова лётчик, а некую нерасчленённую массу лётчиков (подобно тому, как слово листва не является множественным числом от слова лист). При таком понимании слово лётчики является неодушевлённым существительным единственного числа, стоящим во фразе (7) в винительном падеже. Третье решение: можно, наконец, считать, что в этом примере слово лётчики представляет собой множественное число от слова лётчик и стоит в особом включительном падеже. Этот падеж отличается от винительного падежа формой управляемого слова после глагола: иду в лётчики (включит. п.), говорю про лётчиков (вин. п.).

Следует, кроме того, учесть, что понятие падежа (как и едва ли не все другие лингвистические понятия) опирается на представление о грамматически правильной фразе, т. е., говоря попросту, о том, какие сочетания слов считаются допустимыми, а какие – нет. Но само представление о допустимости в языке не является несомненной истиной и зачастую зависит от вкусов говорящего на этом языке. Поэтому в самом понятии падежа скрыта некоторая неопределённость или, лучше сказать, вариативность.

Можно ли согласиться с тем, что глагол ждать требует после себя винительного падежа для имён одушевлённых и родительного падежа для имён неодушевлённых? Поясним сказанное на примерах. Можно ли согласиться с тем, что разрешено сказать только жду сестру, жду результата, а вот жду сестры и жду результат – это запрещено? Согласие означает появление нестандартного ждательного падежа, формы которого совпадают с формами винительного для одушевлённых имён и с формами родительного для неодушевлённых. Но язык меняется, и то, что было невозможно позавчера, становится возможным сегодня.

Ввиду сказанного целесообразно остановиться на восьми стандартных падежах. Для сравнения – один из языков Дагестана, табасаранский, в своём литературном варианте насчитывает 46 падежей. Остаётся вопрос, что такое падеж. Вот тут на помощь приходит математика.

«Математическая составляющая» в вопросе о падежах заключается в том, что первое научное определение понятия 'падеж' имело в своём основании такие начальные понятия математики, как «пара», «бинарное отношение», «разбиение на классы», а сформулировал его великий математик Андрей Николаевич Колмогоров. Мне это определение стало известно при следующих обстоятельствах. 24 сентября 1956 г. на филологическом факультете Московского университета открылся семинар «Некоторые применения математических методов в языкознании» – первый семинар по математической лингвистике в нашей стране. Я был одним из двух (вместе с лингвистом Вячеславом Всеволодовичем Ивановым) учредителей этого семинара и за несколько дней до названной даты обратился к Колмогорову с просьбой посоветовать, с чего начать. Он посоветовал начать с конкретных задач и предложить участникам семинара две задачи на поиски определений двух популярных понятий – понятия ямба и понятия падежа. Что касается ямба, то убеждение, что в ямбической строке ударения стоят на чётных слогах, было почти всеобщим, несмотря на очевидную ложность. (Взять хотя бы вторую строку «Евгения Онегина»: Когда не в шутку занемог. Для наглядности мы подчеркнули здесь гласные в чётных слогах.) Что касается падежа, то удовлетворительное определение этого понятия, хотя бы и неверное, отсутствовало вовсе (хотя на интуитивном уровне лингвисты понимали, что это такое). Тогда же Колмогоров сообщил мне основные идеи определений названных понятий. Когда он сам пришёл к этим определениям, мне неизвестно, однако ясно, что к моменту разговора он ими уже располагал.

Достойна быть отмеченной следующая характерная черта Колмогорова: он щедро делился своими идеями, нередко по поводу довольно случайному. Некоторые из этих идей были им выношены, как определения ямба и падежа, некоторые же возникали внезапно, как это произошло на моих глазах 9 сентября 1954 г. на семинаре «Рекурсивная арифметика», которым он пригласил меня руководить вместе с ним: при обсуждении темы конструктивных ординалов Колмогоров предложил систему понятий, лёгших в основу тогда ещё не существовавшей теории нумераций (названная дата и есть день рождения этой теории). Боюсь, что большинство идей, высказанных Колмогоровым таким ненавязчивым способом, остались невоспринятыми, непонятыми, неоценёнными и тем самым навеки пропали. Что до определения падежа, то, что я сумел понять и запомнить, было опубликовано мною в 1957 г. в вышедшем на стеклографе и с грифом «На правах рукописи» 5-м номере «Бюллетеня Объединения по машинному переводу»; статья называлась «К определению падежа по А. Н. Колмогорову».

Великий лингвист Андрей Анатольевич Зализняк в § 2.3–2.4 своего классического труда «Русское именное словоизменение» уточнил конструкцию Колмогорова и переложил её на более наглядный и более понятный его коллегам язык. А в § 6.20 названного труда читателя встречают три теоремы. Формулировки и доказательства их совершенно математические. Теоремы эти нужны их автору для обоснования того, что предложенный им способ описания устройства ударения в парадигмах русских существительных оптимален. Понятия предыдущей фразы нуждаются в разъяснении. Парадигмой данного слова называется совокупность всех его словоформ. Каждому слову соответствует определённое распределение ударений по его парадигме; это распределение называется схемой ударения рассматриваемого слова. Схем ударения (особенно с учётом форм множественного числа) несколько десятков, и они довольно разнообразны. Желательно найти способ их описать наиболее экономно. Вот Зализняк с помощью своих теорем и устанавливает, что способ, который он предлагает, является наиболее экономным. Предложенный Зализняком способ основан на введённом им новом понятии – понятии условного ударения. Поясним на примере. Во всех косвенных падежах слова стол ударение стоит на окончании; в именительном падеже окончания вроде бы нет, а слово односложно, поэтому спрашивать, где здесь ударение, бессмысленно. Но можно считать, что и в именительном падеже слова стол имеется окончание, только мы его не видим, и именно на нём стоит условное ударение. В других же падежах условное ударение совпадает с действительным. А тогда можно сказать, что ударение (условное!) во всех падежах слова стол стоит на окончании. Это явно короче, чем говорить, что в одних падежах – одно правило, а в других – другое.

Математика нужна в лингвистике всюду: и в фонетике, где звуки описываются некими графиками и математическими формулами; и в синтаксисе, где синтаксическая структура описывается некоторой геометрической картинкой; я уж не говорю о всевозможных современных поисковых системах. Когда вы что-то ищете в «Яндексе» или в Google, то там применяются очень тонкие современные методы лингвистики (в частности, разработанный Зализняком способ описания системы словоизменения), лингвистические алгоритмы представления синтаксической структуры предложений и, что очень важно, лингвистическая статистика. Без неё развитие лингвистики весьма затруднительно, так как совершенно ясно, что нужно понимать, что встречается часто, а что – редко, а для этого очень важно понимать, что именно мы считаем.

О «Лингвистических задачах» А. А. Зализняка

Начну с изъявления радостных чувств. Это, во-первых, чувство глубокого удовлетворения от состоявшегося события, причём, на мой взгляд, события значительного. Событие заключается в том, что уникальное сочинение А. А. Зализняка появилось наконец в виде отдельного издания[172]. Лингвистические задачи Зализняка могут не только составить тему занятий кружков для школьников – кружков как по лингвистике, так и по математике, – но и доставить истинное наслаждение всем, кто готов получать удовольствие от интеллектуальных упражнений. До сего времени это сочинение Зализняка печаталось хотя и дважды, но только в составе сборников[173].

Теперь, когда «Лингвистические задачи» появились в виде отдельной брошюры, можно не только её прочесть, но и найти текст на сайте Московского центра непрерывного математического образования, в разделе «Свободно распространяемые издания». Достаточно набрать http://www.mccme.ru/free-books/ в адресной строке – и читайте на своём компьютере. В настоящей брошюре, кстати, исправлены те немногочисленные опечатки, которые присутствовали в сборниках.

Во-вторых, я вспоминаю тот восторг, который охватил меня, когда полвека тому назад я познакомился с текстом ещё в рукописи.

Уже первая фраза первой задачи сражала наповал: «Для лиц, незнакомых с баскским языком»! А сама задача вызвала у меня оторопь формулировкой задания: выписывались без перевода 12 предложений на баскском языке, указывалось, что в одном из них допущена грамматическая ошибка, и требовалось эту ошибку найти и исправить. Тут какая-то чушь, подумалось мне. Ведь может случиться, что в этом таинственном баскском языке именно так и положено сказать. Как же можно такое опровергнуть? С тем большим удивлением я обнаружил через некоторое время, что решил задачу: и ошибку нашёл, и исправление предложил. Более того, оказалось, что почти все, кто брался за эту задачу, успешно её решали.

Напрашивающееся объяснение таково: в подсознании человека содержатся некоторые представления о том, как может и как не может быть устроен человеческий язык. Эти представления формализуются с большим трудом, если вообще формализуются. Их реализация, демонстрируемая возможностью успешного решения сформулированной задачи, происходит на интуитивном уровне. На том же, до сих пор не формализованном уровне происходит, скажем, узнавание со спины человека, которого мы до того видели только спереди, а также наша способность продолжить числовую последовательность, заданную своим началом: например, последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…[174] Всё это наводит на непростые размышления о природе человеческого знания. Задач подобного типа – основанных на эксплуатации подсознания – в книге четыре. Они образуют первую группу. Вот, к примеру, третья задача этой группы. Выписаны шесть фраз на албанском языке с их переводами на древнееврейский; после чего выписываются две фразы на древнееврейском языке и предлагается перевести их на албанский.

Вторую группу составляют три задачи совершенно другого типа, объединённые единством замысла. По существу, в них читателю предлагается самостоятельно построить лингвистическую теорию, способную объяснить некоторые нерегулярности современного языка.

Чтобы стало понятно, о чём идёт речь, приведу примеры. Вот не вызывающие вопросов переходы от существительных к образованным от них глаголам: коса – косить, мера – мерить, гроза – грозить (и им подобные; читатель может продолжить). Отчего же тогда не калека – калекить, рука – прирукить, слуга – слугить, нега – негить, а почему-то калека – калечить, рука – приручить, слуга – служить, нега – нежить? Потому, отвечает лингвист, что когда-то как раз и было калекить, прирукить, слугить, негить, но в дальнейшем эти слова постепенно превратились соответственно в калечить, приручить, служить, нежить. Тогда встаёт следующий вопрос: каковы те события, происшедшие в процессе развития языка, которые вызвали такое превращение? Историческая лингвистика русского языка даёт на это такой ответ: согласные звуки [к] и [г], сопровождаемые гласными звуками определённого типа, к которому, в частности, принадлежит звук [и], повсюду в русском языке превращались в звуки [ч] и [ж]. Слово «повсюду» может вызвать у читателя недоумение: если превращение происходило повсюду, то слова «калека», «рука», «слуга» и «нега», взятые в форме родительного падежа единственного числа или в форме именительного падежа множественного числа, должны выглядеть как калечи, ручи, служи, нежи. Но ведь эти формы выглядят по-другому, а именно калеки, руки, слуги, неги. Как же так? Подумав, можно прийти к следующему заключению. Если бы первоначальными, древними формами были руки, слуги и т. д., то в силу правила превращения перед звуком [и] звуков [к] и [г] соответственно в звуки [ч] и [ж] сегодняшними формами существительных были бы ручи, служи и т. д. Но раз это не имеет места, то, значит, древние формы имели какой-то другой вид. И действительно, этот вид был таков: калекы, рукы, слугы, негы. И лишь впоследствии – причём позже, чем совершился переход звуков [к] и [г] перед звуком [и] соответственно в звуки [ч] и [ж], – звук [ы] в этих формах в силу некоторого другого перехода превратился в звук [и].

Описанная процедура восстановления древних форм слов и установления законов развития, приведших от древних форм к современным, называется внутренней реконструкцией. (Бывает и так называемая внешняя реконструкция, но о ней нет необходимости здесь говорить.) В задачах второй группы читателю как раз и предлагается осуществить внутреннюю реконструкцию, только не для русского, а для других языков – латышского и древнеиндийского.

Сборники задач по лингвистике публиковались и до того, как А. А. Зализняк обнародовал свои задачи. Некоторый список таких сборников приводит автор в сноске к первой же фразе своего сочинения. Для полноты добавим к этому списку два более поздних задачника:

Малаховский В. А. Сборник задач и упражнений по курсу «Введение в языкознание». – М.: Учпедгиз, 1960;

Клюева В. Н. Задачник по курсу «Введение в языкознание». – М.: Высшая школа, 1962.

Уже из самих названий этих сборников задач (как сборников, названных А. А. Зализняком, так и добавленных нами) видно, что они являются задачниками, цель которых поупражняться в усвоении некоторого языковедческого курса. Таким образом, собранные в них задачи предполагают некие знания, в соответствующих курсах полученные. Задачи Зализняка совершенно иного рода. Они самодостаточны в том смысле, что не предполагают никаких лингвистических знаний и тем самым доступны для попытки решения любому желающему.

Поскольку раньше подобных задач не было, то оказалось, что для них нет общепринятого названия. Термин «лингвистические задачи», кажущийся ныне совершенно естественным, в то время далеко не всеми воспринимался таковым. Характерна реакция одной лингвистки, прослышавшей, что вышел сборник «Исследования по структурной типологии» со статьёй «Лингвистические задачи». Принадлежа к кругу хороших знакомых автора статьи, она с деликатно смягченным неодобрением сказала кому-то из того же круга: «Это что же, выходит, Андрей решил уже выступить, как академик Виноградов?» Академик Виктор Владимирович Виноградов, чьё имя носит сейчас Институт русского языка Академии наук, пребывал на вершине лингвистического Олимпа того времени, и только ему и равным ему принадлежало неписанное право писать программные статьи о задачах лингвистики, а единственный смысл, который она смогла приписать странному и никогда не встречавшемуся словосочетанию «лингвистические задачи», – это 'задачи лингвистики'.

Таким образом, Зализняк открыл новый жанр – жанр самодостаточных лингвистических задач. С одной стороны, задачи этого жанра дают прекрасный материал для исследования мыслительной деятельности человека, о чём уже говорилось выше, с другой – они сыграли поистине историческую роль в деле подготовки лингвистов. Дело в том, что именно опубликование в 1963 г. этих задач сделало возможным лингвистические олимпиады школьников. В 1965 г. в Москве состоялась Первая традиционная московская лингвистическая олимпиада[175]; XLII Московская традиционная олимпиада по лингвистике состоялась в конце 2011 г. Традиционные московские олимпиады стали образцом и побудительной причиной для Международных олимпиад по лингвистике, которые проводятся ежегодно начиная с 2003 г. Первая Международная олимпиада состоялась в Болгарии в 2003 г., а далее они последовательно проводились в России, в Нидерландах, в Эстонии, в России, в Болгарии, в Польше, в Швеции, в США, в Словении. XI Международная олимпиада прошла в городе Манчестере и собрала 138 участников из 26 стран. XII, XIII и XIV Олимпиады прошли, соответственно, в Китае, Болгарии и Индии. Количество как участников, так и представляемых ими стран неуклонно возрастает – от 33 и 6 на I Международной олимпиаде до 167 и 31 на XIV Олимпиаде. Конечно, в процессе проведения лингвистических олимпиад в их задачах не могли не появиться новые идеи, но все они так или иначе были развитием тех идей самодостаточности, которые были заложены в пионерской работе А. А. Зализняка. Без появления этой работы олимпиадное движение в области лингвистики не могло бы родиться.

Подводя итоги, можно сказать, что лингвистические задачи Зализняка имеют выдающееся научное, педагогическое и эстетическое значение.

Опыт применения математики к филологии

Анализ фрагментов текстов Гоголя и Достоевского

Татьяне Вячеславы Булыгиной – к её юбилею и не только

§ 1

Отсутствие библиографических ссылок в этой статье не означает, что её автор приписывает содержащиеся в ней мысли (если таковые имеются), наблюдения и теоретические построения себе. Просто он почти не знаком с лингвистической литературой, каковой недостаток отчасти компенсируется тем, что автор не имеет приоритетных притязаний. Он также приносит извинения тем читателям, которые найдут изложение избыточно детальным, а отдельные абзацы – не содержащими в себе ничего нового. Всё это объясняется желанием избежать малейшей неточности или двусмысленности. Делая по материалам этой статьи доклад (о чём речь пойдет в заключительном параграфе), автор просил слушателей перебивать его немедленно, как только возникнет вопрос или протест; к сожалению, читателю такой возможности не дано, и потому автор обязан заранее предвидеть вопросы и протесты и попытаться на них ответить.

§ 2

Время линейно: из двух неодновременных событий одно непременно происходит ранее другого. Поскольку речь развивается во времени, она также линейна: что-то непременно говорится раньше, а что-то – позже. Какая бы сегментация текста ни производилась – на буквы (для письменного текста в языках с алфавитной письменностью), на звуки или фонемы (для устного текста), на слова, на предложения и т. п., – из любых двух сегментов какой-то непременно предшествует другому, а этот другой следует за первым. Текст предстает в виде линейно упорядоченной совокупности своих сегментов, и этот порядок существен для описания многих языковых явлений. Явления, описания и объяснения коих опираются на указанный линейный порядок, присущи всем уровням языка – от низшего, фонетического (здесь естественно упомянуть, в частности, регрессивную и прогрессивную ассимиляции), до высших, семантического и прагматического (здесь можно упомянуть, в частности, актуальное членение). А если открыть, например, изданный в 1935 г. учебник художественного чтения С. В. Шервинского, то обнаружим, что на с. 43 перечислены все шесть возможных перестановок слов «бежит», «рыжая», «собака» и отмечено, что «у всех этих построений есть свои оттенки».

Сказанное выглядит совершенно банальным, каковым оно и является. Несколько менее банален, кажется, следующий тезис: язык не только использует линейность, но и пытается бороться с нею. Он использует линейность, когда она помогает ему выразить замысленное содержание, и борется с ней, когда она мешает.

Дальнейшее изложение посвящено попытке разъяснить этот тезис на примерах.

§ 3

Во всех наших примерах будет рассматриваться следующая задача, стоящая перед говорящим: имеется пара предметов; требуется назвать эту пару в том или ином контексте. Боюсь, что эта формулировка слишком кратка и нуждается в комментарии. Изъяснимся поэтому чуть более подробно. Прежде всего само слово «предмет» понимается в данной статье в максимально широком смысле, охватывающем не только материальные предметы, но и абстрактные сущности – короче, всё, о чём можно говорить, всё, что может служить референтом. (Референтом какого-либо имени принято называть тот предмет, который обозначен этим именем. При этом слово «имя» понимают в самом широком смысле: это может быть не только имя существительное собственное как противопоставленное имени существительному нарицательному, но любое выражение, которым в данном контексте назван какой-либо предмет.)

Итак, даны два предмета. Требуется нечто высказать о нашей паре предметов, как минимум высказать назывное предложение, не содержащее ничего, кроме её имени. В любом случае, для того чтобы упомянуть какую-либо пару предметов, требуется прежде всего снабдить эту пару именем. Создание такого имени и есть задача называния пары в данном контексте. Под контекстом здесь понимается вся совокупность предложенных обстоятельств (почти по Станиславскому), влияющих на выбор имени.

Возможны две ситуации, различение которых существенно для нашего изложения. В первой ситуации говорящий отдаёт одному из предметов предпочтение перед другим, во второй – трактует эти предметы как равноправные.

Язык предоставляет говорящему широкие возможности для решения задачи в условиях первой ситуации. (Подозреваю, что обзору таких возможностей посвящена обширная литература.) Например, если Пете отдаётся предпочтение перед Ваней, то скажут «Петя и Ваня», а если предпочтён Ваня, то скажут «Ваня и Петя». Здесь свойство линейности языка помогает решить поставленную задачу: название предпочтённого предмета появляется в тексте. Предпочтённый предмет договоримся называть также главным, и – чтобы не говорить «предпочтённее» – будем говорить, что он главнее непредпочтённого предмета.

§ 4

Не знаю, бывают ли языки, в которых главный из двух предметов появляется в речи не раньше, а позже. Для русского языка приоритет по предшествованию очевидным образом согласован с приоритетом по предпочтению. Особенно ярко, как хорошо известно, это проявляется в этикете: в документах протокольных мероприятий участники церемонии перечисляются от старшего по рангу к младшему; в письмах принято упоминать дам первыми при обращении, при просьбе передать привет такой-то и такому-то и т. д.

первый пример из истории. Не могу вспомнить, откуда взят этот пример, а потому приношу читателю извинения за возможные неточности. Речь идёт о мирном договоре, заключённом, кажется, в XVII в. Россией с одним из её северных соседей, скажем со Швецией. Договор составлялся в двух экземплярах. Один из них подписывала сперва российская сторона, затем шведская; другой – наоборот. В первом экземпляре россияне подписались в порядке от старшего к младшему, то же вслед за ними сделали шведы. Во втором экземпляре шведы, подписывавшиеся первыми, снова подписывались от старшего к младшему, но, когда дело дошло до русских, те подписались от младшего к старшему. Тем самым подавался некий семиотический сигнал. Он указывал, что в этом документе более почётной является не предшествующая, а последующая позиция, и шведы, таким образом, снова оказывались на вторых ролях.

§ 5

Теперь обратимся ко второй ситуации, когда нет намерения оказать предпочтение какому-либо из членов пары. Тогда для адекватного выражения нужного содержания возникают некоторые препятствия. В самом деле, как выразить равноправие предметов, когда невозможно ни произнести, ни написать их названия так, чтобы ни один из них не был назван прежде другого? В дипломатической практике при заключении договора между двумя Высокими (и непременно равноВысокими!) Договаривающимися Сторонами текст договора изготовляется в двух вариантах, причём в одном из вариантов Стороны упоминаются и ставят свои подписи в одном порядке, а в другом варианте это делается в противоположном порядке. Тут существенна сама возможность размножения текста, причём не буквального копирования, а с внесением изменений в порядок элементов текста. Вот аналогичный пример размножения вариантами, относящийся, впрочем, не к обычному человеческому языку, а к языку флагов. При визите зарубежного гостя высшего ранга уличные столбы иногда украшают – а при советской власти украшали, сколько я помню, всегда – государственными флагами двух стран: принимающей и той, которую представляет визитер. На каждом столбе вывешивают два таких флага, причем порядок их вывешивания чередуется от столба к столбу: если, при взгляде с проезжей части, на каком-то столбе слева развевается флаг хозяев, а справа – гостя, то на соседнем столбе будет наоборот.

второй пример из истории. Когда в 1959 г. Н. С. Хрущёв отправился в Америку для встречи с Д. Эйзенхауэром, в СССР была выпущена книжка с портретами этих двух руководителей на обложке. Перед дизайнерами встала проблема расположения портретов. Если бы обложка была рассчитана только на советского читателя, портреты были бы, разумеется, расположены в таком порядке: слева (или сверху) – Хрущёв, справа (или снизу) – Эйзенхауэр. Возможно также, что в этом случае Эйзенхауэра на обложке не оказалось бы вовсе. (Вспомним, что в горбачёвское время выражение «Президент СССР» писалось с прописной буквы, тогда как «президент США» – со строчной.) Учитывая международный характер издания, портреты были расположены по диагонали, идущей от нижнего левого угла к верхнему правому. Так что один из портретов оказывался левее, но зато ниже, а другой – правее, но зато выше. (Интересно, как была бы решена эта проблема в социумах, где пишут не слева направо, а справа налево.)

§ 6

В реальной речи, разумеется, тексты не варьируются. Как же тогда быть? Напомним задачу: требуется назвать совокупность из двух предметов, не отдав ни одному из них предпочтения. Одно решение напрашивается: надо назвать самоё эту совокупность, не называя составляющих ее предметов по имени.

первый пример из гоголя. Рассказывая о визите Чичикова к Манилову, Гоголь пишет: «[…] Мне пора возвратиться к нашим героям, которые стояли уже несколько минут перед дверями гостиной, взаимно упрашивая друг друга пройти вперёд. […] Наконец оба приятеля вошли в дверь боком и несколько притиснули друг друга».

Мы видим, что Гоголь не называет здесь Чичикова и Манилова по отдельности, а использует обороты «наши герои» и «оба приятеля» для наименования пары, состоящей из обоих персонажей. И это понятно. Можно предположить, что Гоголь потому не хотел назвать их в этом пассаже по имени, что тогда бы неизбежно кто-либо из них был назван первым и могло возникнуть ложное впечатление, будто этот первый упрашивал более настойчиво или же вошёл в дверь несколько ранее другого.

§ 7

Мыслимы, однако, ситуации, когда членов пары, из коих никто не предпочтён другому, необходимо тем не менее назвать по имени. Одно из этих имён неизбежно будет названо первым. Может ли говорящий в этих условиях выразить ту мысль, что он не отдаёт предпочтение ни одному из членов пары? Возможны два ответа. Первый: нет, не может. Второй: да, может.

Первый, отрицательный, ответ несёт с собой бремя тяжких последствий. Если согласиться с этим ответом, то окажется, что отменяется едва ли не основная презумпция языкознания, состоящая в том, что язык в состоянии выразить любую мысль. Мы видим, что выбор ответа на мелкий и частный, казалось бы, вопрос оказывается судьбоносным для философских основ языкознания. Под влиянием этих соображений мы склоняемся ко второму, положительному ответу.

Но как же выразить мысль о равноправии, скажем, между Петей и Ваней? Надо сказать, например, так:

Петя и Ваня, но я лишь потому говорю «Петя и Ваня», что обязан произнести эти имена в каком-то порядке; с тем же успехом я мог бы сказать и «Ваня и Петя», потому что никому из них не хочу отдать предпочтения.

Мне возразят, что приведённая только что фраза совершенно ужасна, что пример чрезвычайно искусствен и т. п. Со всем этим я соглашусь. Пример искусствен, потому что и ситуация отчасти искусственна, ведь явно выражать отсутствие предпочтения приходится довольно-таки редко. Я соглашусь и с теми, кто объявит весь конец фразы – всю длинную добавку после первых трёх слов «Петя и Ваня» – принадлежащей метаязыку; но решительно не соглашусь с теми, кто объявит эту длинную добавку не принадлежащей языку. Потому что естественный язык является и своим собственным метаязыком.

А что добавка очень длинная, так давайте её сократим, условившись вместо неё произносить слово «бум»: «Петя и Ваня, бум». Автор отдаёт себе отчёт в том, что языковедение с некоторой брезгливостью относится к искусственным оборотам речи, созданным на основе явных соглашений (а кстати, напрасно: по мере того как в обиход будет входить всё больше такого, что покойный академик Андрей Петрович Ершов назвал «деловой прозой», доля подобных оборотов в языке станет возрастать). Языковедение предпочитает примеры из реальной жизни или из художественной литературы. В следующем параграфе будут приведены два таких примера: один – из жизни, другой – из литературы.

§ 8

пример из жизни кодовых замков. Дверные кодовые замки бывают двух типов. В одном из них кнопки надо нажимать последовательно и притом в определённом порядке, в другом – одновременно. Ограничимся случаем, когда комбинация состоит из двух цифр, скажем цифры 0 и цифры 5. В замках первого типа комбинация 05 неравносильна комбинации 50, в замках второго типа – равносильна. Так что фразы «Нажмите 0 и 5» и «Нажмите 5 и 0» не синонимичны для замков первого типа, но синонимичны для замков второго типа. Если говорящий опасается, что слушающему неизвестно, к которому из типов принадлежит замок, он должен в первом случае сказать: «Нажмите последовательно 0 и 5» или «Нажмите последовательно 5 и 0», а во втором – «Нажмите одновременно 0 и 5» или «Нажмите одновременно 5 и 0». Слово «одновременно» подаёт сигнал о том, что цифры 0 и 5 равноправны. Мыслим (хоть я таких и не встречал) и третий тип замков, в которых нажимать кнопки надо хотя и последовательно, но безразлично в каком порядке. Для замков третьего типа сигналом о равноправии служит словосочетание «в любом порядке»; для замка этого типа синонимичны фразы «Нажмите в любом порядке 0 и 5» или «Нажмите в любом порядке 5 и 0».

второй пример из гоголя. После описанной в 9-й главе «Мёртвых душ» беседы Анны Григорьевны (дамы, приятной во всех отношениях) с посетившей её Софьей Ивановной (просто приятной дамой) «весь город заговорил про мёртвые души и губернаторскую дочку, про Чичикова и мёртвые души, про губернаторскую дочку и Чичикова». В гоголевской фразе названы три пары. Состав их таков. Имеются три предмета: 1) мёртвые души; 2) губернаторская дочка; 3) Чичиков. Обозначим их для краткости М, Г, Ч. Каждая пара содержит какие-то два предмета из этих трёх: первая пара – М и Г, вторая – Ч и М, третья – Г и Ч. Для каждой пары в качестве её имени или названия Гоголем используется словосочетание, состоящее из соединённых союзом «и» имён членов пары. В каждом таком словосочетании имена членов пары не могут не идти в определённом порядке, и этот порядок, казалось бы, сообщает о предпочтениях, которые говорящий (в данном случае – Гоголь) имеет в виду (не вообще, конечно, а только в этой фразе). Казалось бы, имя первой пары сообщает, что (1) М главнее, чем Г; имя второй пары – что (2) Ч главнее, чем М; имя третьей пары – что (3) Г главнее, чем Ч. Однако утверждения (1), (2) и (3), взятые вместе, приводят к очевидной нелепости. Единственное, на наш взгляд, разумное объяснение возникшей кризисной ситуации таково. Гоголь не предполагает отдать предпочтение какому-то из трёх объектов – М, Г или Ч; напротив, он трактует их в процитированной фразе как равноправные. Однако, называя какую-либо пару предметов, он просто не может, если бы и желал, не поставить имя одного из них на первое место, а имя другого – на второе.

Наша интерпретация второго примера из Гоголя станет ещё прозрачнее, если привлечь некие простейшие понятия из области оснований математики. Мы изложим понятия ниже в § 11, а в § 12 вернёмся к Гоголю.

§ 9

Таким образом, если в тексте встречаются два имени, составляющие в своей совокупности название некоторой пары предметов, и одно из этих имён стоит впереди другого (а иначе и быть не может!), то наблюдаемый порядок имён не обязательно выражает предпочтение, оказываемое одному из предметов. Имеет ли предпочтение место или же нет, это уже зависит от контекста. Контекст (совокупность предложенных обстоятельств) может быть явно или неявно выраженным посредством окружающего текста или же не быть выраженным никак, а подразумеваться. Попытаемся изложить сказанное в виде общей схемы.

Выделим из текста интересующие нас два имени, поставим их через запятую друг за другом в том порядке, как они встретились в тексте, и заключим в квадратные скобки. Полученное выражение будем называть двучленом. Вот примеры двучленов, извлекаемых из предшествующего изложения. Два двучлена из § 3: [Ваня, Петя] и [Петя, Ваня]; два двучлена из первого примера предыдущего параграфа: [5, 0] и [0, 5]; три двучлена из второго примера того же параграфа: [мёртвые души, губернаторская дочка], [Чичиков, мёртвые души], [губернаторская дочка, Чичиков].

Двучлен служит названием, или именем, для пары соответствующих (т. е. названных составляющими двучлен именами) предметов. Эта пара предметов является, следовательно, референтом рассматриваемого двучлена. При этом пара может пониматься в одном из двух смыслов: либо как пара совершенно равноправных предметов, либо как пара, в которой предметы упорядочены по предпочтению. При втором понимании тот из предметов является главным, который назван в первом по порядку члене двучлена (по крайней мере это справедливо для русского языка).

Итак, запомним: двучлен может выражать как такую пару предметов, в которой одному из предметов отдаётся предпочтение, так и такую пару, в которых оба предмета равноправны.

Выбор смысла зависит от контекста, выраженного или подразумеваемого. В § 7 выраженным контекстом служило слово «бум» или синонимичный ему оборот. В первом примере из § 8 контекст был в одних случаях подразумеваемым (когда тип кодового замка подразумевался), в других он был выраженным и выражался словами «последовательно» и «одновременно» и словосочетанием «в любом порядке». Во втором примере из § 8 контекст был выраженным, но выраженным неявно: для каждого двучлена предлагаемые обстоятельства задавались совокупностью соседствующих двучленов.

§ 10

Во избежание недоразумений сделаем следующее замечание. Как хорошо известно, в языке любое слово может употребляться автонимно, т. е. в качестве имени самого себя. В этом случае оно служит своим собственным референтом. Так во фразе «Друзья зовут Эдуарда Лёшей» референтом слова «Эдуард» является один из современных композиторов (а именно Эдуард Артемьев), а референтом слова «Лёша» является само это слово. Сказанное полностью относится и к двучлену как к имени пары: референтом двучлена служит пара референтов тех двух имен, которые и образуют двучлен, а эти два имени могут употребляться и автонимно. Так, во фразе «Тарапуньку и Штепселя на самом деле звали Юрий Тимошенко и Ефим Березин» двучлен [Тарапунька, Штепсель] имеет своим референтом популярную когда-то пару эстрадных артистов, а двучлен [Юрий Тимошенко, Ефим Березин] – пару, составленную из имён «Юрий Тимошенко» и «Ефим Березин». Напротив, во фразе «Юрий Тимошенко и Ефим Березин выступали под сценическими псевдонимами Тарапунька и Штепсель» та же пара артистов служит референтом двучлена [Юрий Тимошенко, Ефим Березин], тогда как в двучлене [Тарапунька, Штепсель] составляющие его имена автонимны.

§ 11

Одно из фундаментальных различий, фиксируемых математикой, есть различие между упорядоченной и неупорядоченной парой.

Неупорядоченная пара, составленная из объектов a и b, – это просто совокупность, коллекция, куча и т. д. (на математическом языке – множество), содержащая эти два объекта; никакого различия в ролях этих объектов не имеется, а потому бессмысленно спрашивать, какой из них на каком месте: какой первый, а какой второй, какой главный, а какой второстепенный. Неупорядоченная пара объектов a и b обозначается посредством заключения их имён в фигурные скобки: {а, b}. Из двух объектов можно составить ровно одну неупорядоченную пару, поэтому {а, b} = {b, а}.

В отличие от неупорядоченной пары, упорядоченная пара, составленная из объектов а и b, заключает в себе ещё и информацию о том, какое место в паре занимает каждый из членов пары. Мест в упорядоченной паре два. Для единообразия эти места обычно называют первым и вторым. Можно было бы называть их по-другому: например, белым и чёрным, красным и зеленым, левым и правым или ещё как-нибудь; важно лишь, что эти места как-то помечены и отличаются одно от другого. Упорядоченная пара, в которой объект а является первым, а объект b – вторым, обозначается посредством заключения в угловые скобки их имён, взятых в надлежащем порядке: <а, b>. Упорядоченная пара, в которой объект b является первым, а объект а – вторым, обозначается, следовательно, так: <b, а>. Эти две пары считаются различными, если только различны сами а и b. Таким образом, из двух различных объектов можно составить ровно две упорядоченные пары. Если же объекты а и b совпадают, то в этом (и только в этом!) случае, конечно, <a, b> = <b, а>.

Понятия упорядоченной и неупорядоченной пары позволяют следующим образом представить те две ситуации, о которых говорилось в § 3. В ситуации, когда ни одному из объектов не отдаётся предпочтения, возникает неупорядоченная пара этих объектов. В ситуации, когда одному из объектов отдаётся предпочтение, возникает упорядоченная пара этих объектов. Надо только договориться, какой объект считать в этом случае первым, а какой – вторым членом пары. Ведь распределение мест в упорядоченной паре совершенно условно; оно определяется явным соглашением, а не тем, который из объектов главнее или назван в тексте раньше другого. Давайте согласимся предоставлять первое место в упорядоченной паре главному объекту (но мы вправе были бы и сделать наоборот).

Теперь мы можем сформулировать сказанное в предпоследнем абзаце § 9 следующим образом: двучлен, понимаемый как имя пары объектов, может служить как именем упорядоченной пары, так и именем неупорядоченной пары, составленной из этих объектов. Можно сказать, что двучлен обладает полисемией.

§ 12

Вернёмся ко второму примеру из Гоголя, изложенному в § 8.

Из трёх различных предметов М, Г и Ч можно составить ровно три неупорядоченные пары, а именно {М, Г} {Ч, М}, {Г, Ч}, и ровно шесть упорядоченных пар, а именно <М, Г>, <Г, М>, <Ч, М>, <М, Ч>, <Г, Ч>, <Ч, Г>.

Мы видим, что в гоголевском тексте перечислена исчерпывающая совокупность всех неупорядоченных пар, составленных из элементов трёхэлементного множества {Чичиков, губернаторская дочка, мёртвые души}. Это наблюдение служит дополнительным аргументом в пользу той точки зрения, что в этом тексте для каждого двучлена референтом служит именно неупорядоченная пара соответствующих предметов. Если бы Гоголь хотел перечислить упорядоченные пары, он писал бы: «про мёртвые души и губернаторскую дочку, про губернаторскую дочку и мёртвые души, про Чичикова и мёртвые души, про мёртвые души и Чичикова, про губернаторскую дочку и Чичикова, про Чичикова и губернаторскую дочку».

§ 13

Когда человека просят указать свои имя и отчество, то ему как бы предлагают виртуальную анкету с двумя позициями: первая позиция – имя самого этого человека, вторая позиция – имя его отца. С тем же успехом можно было бы договориться, что, напротив, первая позиция – имя отца, а вторая позиция – имя анкетируемого. Но тот или иной вариант необходимо выбрать и далее уже не менять. Для определённости остановимся на первом варианте.

При таком понимании словосочетание «Иван Петрович» оказывается представленным в виде упорядоченной пары ‹Иван, Пётр›, а словосочетание «Пётр Иванович – в виде упорядоченной пары ‹Пётр, Иван›. Словосочетания «Иван Иванович» и «Пётр Петрович» будут представлены соответственно в виде упорядоченных пар <Иван, Иван> и <Пётр, Пётр>.

Можно представить себе, что, отвечая на вопрос об имени-отчестве, мы как бы заполняем анкету, вписывая в каждую из двух граф соответствующее имя. Заполненную анкету можно трактовать как текст, а тогда присутствующие в ней два имени образуют двучлен. Например, для имён-отчеств из предыдущего абзаца получаем такие двучлены: [Иван, Пётр], [Пётр, Иван], [Иван, Иван], [Пётр, Пётр]. Каждый подобный двучлен является именем некоторой пары, служащей для этого двучлена референтом. Очевидно, что в данном случае составляющие двучлен имена употребляются автонимно (см. § 10), и потому, скажем, двучлен [Иван, Пётр] означает не пару, составленную из Ивана и Петра, а пару, составленную из имён «Иван» и «Пётр».

По общему правилу, сформулированному в последнем абзаце § 11, каждый двучлен может означать (т. е. иметь своим референтом) как упорядоченную, так и неупорядоченную пару. Возникает вопрос, какие пары, упорядоченные или неупорядоченные, выражают наши двучлены, составленные из двух собственных имён. Вопрос кажется глупым, а ответ очевидным: разумеется, упорядоченную; например, двучлен [Иван, Пётр] выражает упорядоченную пару <Иван, Пётр>, т. е. в конечном счёте этот двучлен выражает имя-отчество «Иван Петрович».

Упорядоченность же пары, как и положено, вытекает из заданного контекста, т. е. из предложенных обстоятельств, которые в данном случае состоят в заполнении анкеты с графами «имя» и «отчество».

Однако предложенный ответ справедлив лишь в обстоятельствах нормальных. Но бывают обстоятельства и ненормальные, контекст патологический, когда двучлен [Иван, Пётр] будет выражать неупорядоченную пару {Иван, Пётр}. На уровне имён и отчеств это означает, что искомое имя-отчество есть либо «Иван Петрович» либо «Пётр Иванович», а какое именно – не уточняется.

«Где же это автор встречал такой патологический контекст?» – возмутится читатель. Не знаю, как в жизни, а в русской литературе встречал, чем и собираюсь поделиться в § 14. Впрочем, нечто похожее проскальзывает и в жизни (см. § 16–18).

§ 14

В главе 2 второй части «Идиота» Достоевский описывает визит князя Мышкина к Лукьяну Тимофеевичу Лебедеву. В ответ на вопрос князя об имени-отчестве Лебедев сказался Тимофеем Лукьяновичем. Присутствовавший племянник Лебедева тут же его разоблачил. Вот этот эпизод:

– […] Извините, как вас по имени-отчеству, я забыл?

– Ти-Ти-Тимофей.

– И?

– Лукьянович.

Все бывшие в комнате опять рассмеялись.

– Соврал! – крикнул племянник, – и тут соврал! Его, князь, зовут вовсе не Тимофей Лукьянович, а Лукьян Тимофеевич! Ну, зачем, скажи, ты соврал? Ну, не все ли равно тебе, что Лукьян, что Тимофей и что князю до этого? Ведь из повадки одной только и врёт, уверяю вас!

– Неужели правда? – в нетерпении спросил князь.

– Лукьян Тимофеевич, действительно, – согласился и законфузился Лебедев, покорно опуская глаза и опять кладя руку на сердце.

– Да зачем же вы это, ах, боже мой!

– Из самоумаления, – прошептал Лебедев, всё более и покорнее поникая своею головой.

– Эх, какое тут самоумаление! […] – сказал князь […].

Ни лебедевский племянник Владимир Докторенко, ни князь Л. Н. Мышкин не видят смысла в поведении Лебедева. Меж тем смысл есть, и состоит он именно в том, что ясно обозначил Достоевский устами Лебедева, – в самоумалении. В следующем параграфе мы постараемся объяснить и обосновать нашу точку зрения.

§ 15

Мы исходим из того, что самоумаление может выражаться, в частности, в малости той информации, которая сообщается о себе. Сообщать о себе много подробностей – значит считать свою персону достойной того, чтобы обременить этими подробностями уважаемого собеседника. Напротив, человек скромный о себе скажет мало, считая сведения о себе незначительными, недостойными внимания.

Позволительно предположить, что в порыве самоумаления Лебедев, отвечая на вопрос князя Мышкина, намеревался минимизировать сообщаемую информацию. Зададимся вопросом, каким способом это можно сделать.

При любом естественном подходе к измерению информации очевидно, что упорядоченная пара содержит больше информации, чем неупорядоченная. В самом деле, неупорядоченная пара содержит информацию лишь о составляющих её элементах, а упорядоченная пара – ещё и о том, какой из этих элементов первый, а какой – второй.

На вопрос об имени и отчестве полный ответ состоит в предъявлении упорядоченной пары имён: на первом месте имя, на втором – отчество. На этом языке пар полный (и правильный!) ответ Лебедева должен был бы выглядеть так: <Лукьян, Тимофей>. Теперь мы видим, что одним из возможных способов уменьшения информации в предлагаемом ответе является такой: вместо упорядоченной пары сообщить неупорядоченную, т. е. такую: {Лукьян, Тимофей}. Её и сообщает князю Мышкину Лебедев. Посмотрим, как он это делает.

Заполняя виртуальную анкету, Лебедев вписывает своё имя в графу «отчество», а своё отчество – в графу «имя». Тем самым он создаёт двучлен [Тимофей, Лукьян]. Согласно общему правилу (см. § 11, последний абзац), этот двучлен может иметь своим референтом либо упорядоченную пару <Тимофей, Лукьян>, либо неупорядоченную пару {Тимофей, Лукьян}. Упорядоченная пара соответствует имени-отчеству «Тимофей Лукьянович», и при таком понимании высказывание Лебедева делается ложным. Однако у нас нет оснований подозревать Лебедева во лжи. Фраза его племянника «Соврал, и тут соврал!» соотносится с предшествующей репликой того же Докторенки: «Ну, этот, положим, соврал», – сказанной в связи с заявлением Лебедева, что умнее Мышкина никого на свете нет; вряд ли мы должны соглашаться с оценками лебедевского племянника (про которого Достоевский свидетельствует, что князю «этот молодой человек становился весьма противен»).

Итак, примем, что Лебедев говорит правду. Но единственный способ понимания двучлена [Тимофей, Лукьян], при котором ответ Лебедева делается правдивым, состоит в том, чтобы считать референтом двучлена неупорядоченную пару {Тимофей, Лукьян}, совпадающую с неупорядоченной парой {Лукьян, Тимофей}.

Таким образом, контекст, который согласно § 9 призван определять выбор между упорядоченной и неупорядоченной парой, состоит здесь в самоумалении, подкрепляемом презумпцией, что Лебедев, вопреки мнению его противного племянника, не лжёт.

§ 16

Нечто похожее проскальзывает и в жизни, как было заявлено в конце § 13. Под похожим подразумевается положение, случающееся не с именами и отчествами, как только что у Достоевского, а с фамилиями и личными именами. Так, делая упомянутый в § 1 доклад, я задал с трибуны вопрос аудитории вполне авторитетной (см. § 21), чтó является личным именем, а чтó фамилией в словосочетании «Саддам Хусейн». Попытка получить на этот вопрос ответ провалилась. Можно считать, что референтом двучлена [Саддам, Хусейн] является – в сознании большинства – неупорядоченная пара собственных имён {Саддам, Хусейн}.

Подтверждением такой гипотезы могут служить две публикации в газете «Правда» от 1979 г., относящиеся, правда, не к Саддаму Хусейну, а к другому политическому деятелю Азии. Сообщение под названием «Обращение к народу» на с. 4 в номере от 28 декабря начиналось так: «Кабул, 27 (ТАСС). Сегодня кабульское радио передало следующее обращение Бабрака Кармаля от имени и по поручению […]». А в номере той же газеты от 30 декабря 1979 г., так же на с. 4, было помещено сообщение под названием «Обращение Кармаля Бабрака». Можно считать, что и здесь двучлены [Бабрак, Кармаль] и [Кармаль, Бабрак] обозначают одну и ту же неупорядоченную пару имён; хотя одно из них предположительно является личным именем, а другое – фамилией, но что является чем, не указано.

§ 17

Относятся ли правила, регулирующие тот порядок в котором стоят фамилия и личное имя, к речевому этикету, к прагматике[176] или же к синтаксису? Ответ на этот вопрос зависит от рассматриваемого языка.

Можно полагать, что для русского языка эти правила принадлежат прагматике [ср. имена Павел Власов (из романа Горького «Мать»), Павка Корчагин (из романа Н. Островского «Как закалялась сталь») и Павлик Морозов (непримиримый борец с кулаками, пионер), использовавшиеся для обозначения положительных героев официальной советской мифологии, и Ивáнов Павел, которым обозначался отрицательный персонаж одноимённой дореволюционной комической оперы].

Для английского языка с жёстким закреплением первой позиции у личного имени и для венгерского и японского языков с их ещё более жёстким закреплением первой позиции у фамилии названные правила принадлежат синтаксису. (По некоторым данным, в латышском языке произошла смена японо-венгерской модели на английскую.)

Поэтому, когда в английском тексте приходится менять обычный порядок слов и ставить фамилию перед личным именем – а такое приходится проделывать, например, в словарях, энциклопедиях, указателях, – после фамилии ставят запятую, так что стандартное «John Smith» превращается в «Smith, John». Ведь если написать без запятой «Smith John», могут подумать, что речь идёт о человеке по имени Smith и по фамилии John. Для русского языка подобное ложное понимание неестественно, а потому запятая в этих случаях излишня. Однако и в русских источниках можно, к сожалению, увидеть и «Смит, Джон» и «Сидоров, Иван Петрович». (В сталинские послевоенные времена тех, кто ставит запятую, обвинили бы – и с серьёзными последствиями – в низкопоклонстве перед Западом.)

Интересно посмотреть, что происходит при переводе сочетаний имени и фамилии в тех случаях, когда перевод осуществляется с языка с определённым порядком этих элементов на язык с противоположным порядком. При переводе с венгерского языка на русский происходит изменение порядка и фамилию ставят на второе место: Имре Надь, Янош Кадар. Здесь «Имре» и «Янош» суть личные имена, а «Надь» и «Кадар» суть фамилии. При переводе на русский с японского наблюдаются, как мы покажем в следующем параграфе, более сложные явления, заставляющие предполагать, что в данном случае упорядоченная пара переводится (по крайней мере иногда) в виде неупорядоченной пары, а стало быть, часть информации теряется.

§ 18

В качестве примера рассмотрим ситуацию, которая сложилась с именами двух популярных в России замечательных японских прозаиков. Имеются в виду Акутагава Рюноскэ и Кобо Абэ.

На обложках русских переводов книг этих писателей имена авторов встречаются, как правило (если не всегда), именно в указанных только что формах: «Акутагава Рюноскэ» и «Кобо Абэ». Можно предположить, что в каждом из этих словосочетаний один элемент представляет собой личное имя, а другой – фамилию.

Вообразим простодушного носителя русского языка, который пытается как-нибудь разобраться, где здесь личное имя, а где – фамилия. С этой целью он обращается к энциклопедическим изданиям.

В томе 1 (1970 г.) Большой Советской Энциклопедии (3-е издание, далее – БСЭ-3) на с. 369 содержится статья под заголовком АКУТАГÁВА РЮНÓСКЭ. Поскольку заголовок набран прописными, выделить личное имя не удаётся; напротив, у нашего простодушного исследователя появляются основания предположить, что такового здесь и нет. Однако, взяв в руки «Советский энциклопедический словарь» (М., 1980, далее – СЭС), он находит на с. 34: «АКУТАГÁВА Рюноскэ (1892–1927), япон. писатель». Выбор шрифтов позволяет заключить, что «Акутагава» – фамилия, а «Рюноскэ» – имя. Попутно возникает впечатление, что СЭС полезнее для объявленной цели, чем БСЭ-3.

Под этим впечатлением исследователь обращается к СЭС за разгадкой тайны Кобо Абэ. И читает нас. 11: «ÁБЭ КÓБО (р. 1924), япон. писатель». Та же неудача, что постигла его в БСЭ-3 с Акутагава Рюноскэ! Что же скажет на этот раз БСЭ-3? Тот же том 1, с. 46: «ÁБЭ КÓБО, совр. японский писатель, см. Кобо Абэ». Полный успех! Действительно, курсив только в слове «Кобо» означает, что именно на это слово (а не на словосочетание «Кобо Абэ») в БСЭ-3 имеется словарная статья, а значит, это и есть фамилия. Успех закрепляется в томе 12 (1973 г.) на с. 353: «КÓБО Абэ (р. 7.3.1924, Токио), японский писатель». Казалось бы, проблема исчерпана. Ан нет: и «Большой энциклопедический словарь» (2-е изд., М.-СПб., 1997) на с. 9, и «Литературный энциклопедический словарь» (М., 1987) на с. 537 единодушно дают: ÁБЭ Кобо.

Энциклопедические изыскания, совершённые воображаемым дотошным носителем русского языка, позволяют ему заключить, что референтом как словосочетания «Кобо Абэ», так и словосочетания «Абэ Кобо» является неупорядоченная пара имён {Абэ, Кобо}, совпадающая, как известно, с неупорядоченной парой {Кобо, Абэ}.

§ 19

В процессе подготовки этой статьи неожиданно обнаружился досадный пробел в русской ономастической терминологии. Покажем его на примере.

В словосочетании «Иван Петрович Сидоров» слово «Иван» принадлежит разряду личных имён, слово «Петрович» – разряду отчеств, а слово «Сидоров» – разряду фамилий. А его двучленная часть «Иван Петрович» принадлежит разряду имён-отчеств. Но как назвать всё трёхчленное словосочетание в целом, к какому разряду, к какому типу имён его отнести? Термин «полное имя» уже занят: например, «Таня» есть гипокористическое, или сокращённое, имя, а «Татьяна» – полное. Нашёл применение и термин «распространённое имя»: «Анна» есть распространённое имя, а «Мелания» – нет.

Для словосочетания «Сидоров Иван Петрович» вроде бы имеется подходящее родовое название: это словосочетание можно отнести к разряду фио. Несклоняемое существительное среднего рода «фио» произошло от аббревиатуры ФИО, как существительное «вуз» – от аббревиатуры ВУЗ. Но какой всё же термин подходит для словосочетаний типа «Иван Петрович Сидоров»? Неужели иоф?

А какое терминологическое название следует предложить для той категории русских антропонимов, к которой относятся двучленные словосочетания «Джек Лондон», «Иван Сидоров», «Сидоров Иван», «Абэ Кобо», «Кобо Абэ»?

§ 20

Мы старались строго соблюдать разницу между фактами и надстраиваемыми над ними теоретическими конструкциями. Первые подаются как объективные и бесспорные, вторые субъективны и могут быть оспорены. Мы надеемся, что указанное разграничение не осталось незамеченным читателем.

Объективны только факты, закрепляемые в наблюдениях. В настоящей статье к таковым наблюдениям относятся замечание о линейности языка, цитаты из Гоголя и Достоевского, простейшие комбинаторные подсчёты и т. п. Всё остальное суть теоретические построения, с которыми каждый волен соглашаться или не соглашаться.

Ведь даже представление о том, что данный предмет служит референтом для данного слова или словосочетания, является не чем иным, как конструктом. Согласно «Словарю лингвистических терминов» О. С. Ахмановой, конструкты определяются как «понятия о ненаблюдаемых объектах науки, постулируемые для объяснения фактов, данных в наблюдении». Конструкты субъективны и потому спорны по своей природе. К их числу принадлежат решительно все понятия семантики, в том числе и само понятие референта, не говоря уже о понятии смысла.

§ 21

Положения этой статьи были сначала опубликованы автором в эскизном виде в 1997 г. в пункте 4.3 его очерка «Предварение для читателей "Нового литературного обозрения" к семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова» (журнал «Новое литературное обозрение», № 24), а затем озвучены в его докладе «Опыт формализации одного пассажа Ф. М. Достоевского (из романа "Идиот")» на состоявшемся 18 мая 1999 г. юбилейном расширенном совместном заседании учёного совета и отдела теоретического языкознания Института языкознания РАН, посвящённом 70-летию Татьяны Вячеславовны Булыгиной и 45-летию её научной творческой деятельности.

А. Н. Колмогоров: статья для «Философской энциклопедии»

Колмогоров Андрей Николаевич, р. 25.04.1903 н. ст. (12.04.1903 ст. ст.) в Тамбове, ум. 20.10.1987 в Москве, – российский учёный, оказавший влияние на развитие ряда разделов математики (в том числе математической логики), её философии, методологии, истории и преподавания, а также внёсший значительный вклад в кибернетику, информатику, логику, лингвистику, историческую науку, гидродинамику, небесную механику, метеорологию, теорию стрельбы и теорию стиха. Действительный член Академии наук СССР (1939); почётный член многих зарубежных академий и научных обществ.

Колмогоров окончил физико-математический факультет Московского университета (1925) и аспирантуру там же (1929); во время обучения был учеником Н. Н. Лузина. Первые научные работы – одну по истории Новгорода (опубликована в 1994 г.) и другую, математическую (опубликована в 1987 г.), – выполнил в январе 1921 г. Первая научная публикация – в 1923 г. С 1931 г. Колмогоров состоял профессором Московского университета, где внёс выдающийся вклад в организацию математического образования. В МГУ Колмогоров создал и первым возглавил кафедру теории вероятностей (1935), лабораторию статистических методов (1963), кафедру математической статистики (1976); с 1980 г. до конца жизни – зав. кафедрой математической логики. В Математическом институте им. Стеклова АН СССР Колмогоров с 1939 по 1960 г. заведовал отделом теории вероятностей, а с 1983 г. до конца жизни – отделом математической статистики и теории информации.

Колмогоров получил фундаментальные математические результаты в области теории вероятностей, математической статистики, теории множеств, теории функций, топологии, математической логики, теории алгоритмов, теории информации, теории динамических систем.

Научное наследие Колмогорова весьма обширно; в библиографию к данной статье включены лишь сочинения, имеющие философскую составляющую.

Мировоззрение Колмогорова было последовательно материалистическим. Центральным для него был вопрос о соотношении математических представлений с реальной действительностью. Для философии и методологии математики огромное значение имела статья Колмогорова «Математика» в 1-м (1938) и 2-м (1954) изданиях Большой Советской Энциклопедии. Эта статья, перепечатанная также в сборнике статей Колмогорова «Математика в её историческом развитии», содержит оригинальную периодизацию истории математики, анализ предмета и метода математики и её места в системе наук, а также специальный раздел, посвящённый вопросам обоснования математики. В других статьях названного сборника Колмогоров исследует влияние Ньютона и Лобачевского на формирование математического мышления. В трудах Колмогорова вскрыты как вне-, так и внутриматематические мотивы возникновения новых математических понятий и теорий. Колмогоров защищал ту точку зрения, что восхождение к более высоким ступеням абстракции имеет прямой практический смысл, и потому настаивал на более широком внедрении метода абстракции в преподавание. В 1933 г. Колмогоров предложил общепринятую ныне систему аксиоматического обоснования теории вероятностей.

Для Колмогорова характерно повышенное внимание к различению в объектах и процессах конструктивного и неконструктивного. Конструктивными объектами с необходимостью являются объекты, участвующие в конструктивных процессах, а также выражения какого-либо языка. При этом выражение языка служит, как правило, именем неконструктивного объекта. Последнее наблюдение естественно приводит к понятию нумерации, служащему математическим выражением общей идеи соответствия между именами (в математической терминологии – «номерами») и их значениями в рамках какой-либо системы имён (в математической терминологии – «нумерации»); основы теории нумераций были сформулированы Колмогоровым в 1954 г. Интерес к конструктивным процессам привёл Колмогорова к алгоритмической проблематике. В частности, в 1960-х гг. Колмогоров предложил новые, алгоритмические, подходы к обоснованию теории вероятностей, что позволило в конечном счёте дать строгое определение понятию случайности для индивидуального объекта (что недоступно традиционной теории вероятностей).

В кибернетике Колмогоров проанализировал роль дискретного (в противопоставлении непрерывному) и отстаивал принципиальную возможность возникновения у машин мышления, эмоций, целенаправленной деятельности и способности конструировать ещё более сложные машины. В информатике Колмогоров в 1950-х гг. предложил общее определение понятия алгоритма, а в 1960-х гг., опираясь на алгоритмические представления, создал теорию сложности конструктивных объектов. Эта теория, в свою очередь, была им применена для построения нового обоснования теории информации.

Выдающуюся роль в логике играют две статьи Колмогорова: «О принципе tertium non datur» (Математический сборник. 1925. Т. 32. № 4. С. 668–677) и «Zur Deutung der intuitionistischen Logik» (Mathematische Zeitschrift. 1932. Bd. 35. S. 58–65); обе перепечатаны в книге его избранных трудов «Математика и механика»[177] (вторая в русском переводе – «К толкованию интуиционистской логики»). Обе объединены общей идеей – навести мост между интуиционистской логикой и традиционной, или классической, логикой, причём сделать это средствами, свободными как от идеологии интуиционизма, так и от крайностей теоретико-множественного догматизма. Именно, в статье 1925 г. предлагается такая интерпретация «классической» логики, которая приемлема с точки зрения интуиционизма; напротив, в статье 1932 г. предлагается такая интерпретация интуиционистской логики, которая приемлема с классических позиций.

В статье «О принципе…» Колмогоров принимает предпринятую главой интуиционизма Брауэром критику традиционной логики; при этом Колмогоров обнаруживает в последней ещё один уязвимый, но обойдённый критикой Брауэра логический принцип, а именно принцип, выражаемый аксиомой А → (¬ А → В). Как указывает Колмогоров, эта аксиома «не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невозможного». Колмогоров выдвигает два вопроса: 1) почему незаконное с интуиционистской точки зрения применение принципа исключённого третьего часто остаётся незамеченным; 2) почему оно не привело до сих пор к противоречию? На оба вопроса в статье даются ответы. На 1-й вопрос – потому что применения закона исключённого третьего оправданы, коль скоро возникающее в результате таких применений суждение носит финитный характер; действительно, в этом случае оно может быть доказано и без использования указанного закона (это открытие Колмогорова опровергло точку зрения Брауэра о том, что при получении финитных результатов должны быть запрещены нефинитные умозаключения). На 2-й вопрос – потому что если бы противоречие было получено при использовании закона исключённого третьего, то оно могло бы быть получено и без него; здесь впервые в истории логики произошло предвосхитившее последующие работы Гёделя 1930-х гг. доказательство относительной непротиворечивости формальной аксиоматической системы, т. е. такое доказательство непротиворечивости, которое использует презумпцию о непротиворечивости другой системы. Колмогоров точно очертил круг тех суждений, для которых составленные из них тавтологии классической логики высказываний являются интуиционистски обоснованными: это суть те, и только те, суждения, для которых выполняется закон двойного отрицания. В своей статье Колмогоров впервые предложил позитивный анализ обоснованности с точки зрения интуиционизма традиционной, или «классической», математики. Одновременно Колмогоров впервые сделал интуиционистскую логику объектом строгого математического анализа. В статье была предложена первая система аксиом для этой логики, предвосхитившая формализацию Гейтинга и ныне известная как минимальное исчисление для отрицания и импликации.

В 1-м разделе статьи «Zur Deutung…» («К толкованию…») Колмогоров наполняет формулы интуиционистской пропозициональной логики новым содержанием, свободным от философских предпосылок интуиционизма. Именно он предлагает рассматривать каждую такую формулу не как утверждение, а как проблему (т. е. как требование указать или построить объект, подчинённый тем или иным заранее заданным условиям). Понятие проблемы, или задачи, есть одно из фундаментальных понятий логики; Колмогоров был первым, кто включил это понятие в логико-математический дискурс (здесь идеи Колмогорова предвосхитили так называемую семантику реализуемости Клини – Нельсона). Предложенная Колмогоровым интерпретация интуиционистской логики близка к концепции Гейтинга, однако у последнего отсутствует четкое различение между суждением и проблемой. Существенным этапом в становлении логического мышления явилось предложенное Колмогоровым уточнение представления о сводимости одной проблемы к другой. Сам Колмогоров впоследствии так определял цель статьи: «Работа писалась в надежде на то, что логика решения задач сделается со временем постоянным разделом курса логики. Предполагалось создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух типов – высказываниями и задачами». Во 2-м разделе статьи выдвигается и обосновывается следующий взгляд: с интуиционистской точки зрения нельзя, вообще говоря, рассматривать отрицание общего суждения в качестве содержательного суждения. «Но тогда, – указывает Колмогоров, – исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключённого третьего оказывается справедливым для всех суждений, для которых отрицание вообще имеет смысл. Возникает, однако, новый вопрос: какие логические законы справедливы для суждений, отрицание которых не имеет смысла?»

Сочинения Колмогорова, имеющие философскую составляющую

Книги

Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука 1974. – 119 с.

Введение в математическую логику. – М: Изд-во МГУ, 1982. – 120 с. (Соавтор А. Г. Драгалин.)

Математическая логика: Дополнительные главы. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 119 с. (Соавтор А. Г. Драгалин.)

Избранные труды: В 6 т. Т. 4: Математика и математики: В 2 кн. / Отв. ред. и сост. А. Н. Ширяев; подготовка текста Т. В. Толозова, Н. Г. Xимченко. – М.: Наука, 2007.

Математика – наука и профессия: Сб. статей / Сост. Г. А. Гальперин. – М.: Физматлит, 1988. – 288 с.

Математика в её историческом развитии: Сб. статей / Сост. Г. А. Гальперин; Под ред. В. А. Успенского. – М.: Физматлит, 1991. – 223 с.

Новгородское землевладение XV века. – М.: Физматлит, 1994. – 128 с.

Статьи

Современные споры о природе математики // Научное слово. 1929. № 6. С. 41–54.

Современная математика: Сб. статей по философии математики / Под ред. С. А. Яновской. – М.: ОНТИ, 1936. – С. 7–13.

Теория и практика в математике // Фронт науки и техники. 1936. № 5. С. 32–42.

Предисловие // А. Гейтинг. Обзор исследований по основаниям математики. – М.: ОНТИ, 1936. – С. 3–4.

Аксиома // Большая Советская Энциклопедия. – 2-е изд. – Т. 1. – М.: Сов. энциклопедия, 1949. – С. 613–616.

Предисловие редактора перевода // Р. Петер. Рекурсивные функции. – М.: Иностр. лит., 1954. – С. 3–10.

Тезисы о кибернетике [от 20 января 1957 г.] // Очерки истории информатики в России / Ред. – сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. – Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. – С. 142–145.

Информация // Большая Советская Энциклопедия. – 2-е изд. – Т. 51. – М.: Сов. энциклопедия, 1958. – С. 129–130.

Кибернетика // Большая Советская Энциклопедия. – 2-е изд. – Т. 51. – М.: Сов. энциклопедия, 1958. – С. 149–151.

Предисловие // У. Р. Эшби Введение в кибернетику. – М.: Иностр. лит., 1958. – С. 5–8.

Автоматы и жизнь: Тез. докл. // Машинный перевод и прикладная лингвистика. Вып. 6. – М.: 1961. – С. 3–8. [Перепечатано в сб.: Очерки истории информатики в России. / Ред. – сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. – Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. – С. 147–150.]

Жизнь и мышление как особые формы существования материи // О сущности жизни / Отв. ред. Г. М. Франк, А. М. Кузин. – М.: Наука, 1964. – С. 48–57.

Бесконечность в математике // Большая Советская Энциклопедия. – 3-е изд. – Т. 3. – М.: Сов. энциклопедия, 1970. – С. 264–265.

Вероятность // Большая Советская Энциклопедия. – 3-е изд. – Т. 4. – М.: Сов. энциклопедия, 1971. – С. 544.

Элементы логики в современной школе // Математика в школе. 1971. № 3. С. 91–92.

О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического мировоззрения // Математика в школе. 1978. № 3. С. 6–9.

Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьном курсе математики и физики // Квант. 1980. № 4. С. 15–18.

Письма А. Н. Колмогорова к А. Гейтингу // Успехи математич. наук. 1988. Т. 43. Вып. 6. С. 75–77.

Семиотические послания // Новое литературное обозрение. 1997. № 24. С. 216–245.

Литература о Колмогорове

Колмогоров. Юбилейное издание: В 3 кн. Кн. 1: Истина – благо. Библиография / Ред. – сост. А. Н. Ширяев; подготовка текста Н. Г. Xимченко. – М.: Физматлит, 2003. – 384 с.

Колмогоров в воспоминаниях / Ред. – сост. А. Н. Ширяев. – М.: Физматлит, 1993. – 734 с.

Колмогоров в воспоминаниях учеников / Ред. – сост. А. Н. Ширяев; текст подготовлен Н. Г. Xимченко. – М.: МЦНМО, 2006. – 472 с.

Явление чрезвычайное: Книга о Колмогорове / Сост. Н. X. Розов; под общ. ред. В. М. Тихомирова. – М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999. 256 с.

Успенский В. А. Андрей Николаевич Колмогоров – великий учёный России // Очерки истории информатики в России / Ред. – сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. – Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. – С. 484–505.

Тихомиров В. М. Андрей Николаевич Колмогоров, 1903–1987: жизнь, преисполненная счастья / Отв. ред. С. С. Демидов. – М.: Наука, 2006. – 199 с.

Колмогоров и кибернетика / Под ред. Д. А. Поспелова, Я. И. Фета. – Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2001. – 159 с.

Uspensky V. A. Kolmogorov and mathematical logic // The Journal of Symbol Logic. 1992. Vol. 57. № 2. Pp. 385–412.

Youshckevitch A. P. A. N. Kolmogorov: Historian and Philosopher of Mathematics // Historia mathematica. 1983. Vol. 10. № 4. Pp. 383–395.

Приложение I

А. Н. Колмогоров. Современные споры о природе математики

От публикатора

Андрей Николаевич Колмогоров [12 (25).04.1903–20.10.1987] – великий учёный России. Он, конечно, был и великим математиком, но великий учёный – это нечто большее, чем великий математик, великий физиолог или великий филолог. Великих учёных, по мнению автора этих строк, в России было три: Ломоносов, Менделеев, Колмогоров. К 1960-м гг. сформировалось представление о Колмогорове как о первом математике мира, что, в частности, было подтверждено присуждением ему в 1963 г. высшей на тот момент мировой награды в области математики – премии фонда Бальцана (Fondazione Internazionale Balzan). Британская энциклопедия (Encyclopaedia Britannica) бесстрастно определяет Колмогорова как «российского математика, чьи труды оказали влияние на ряд ветвей современной математики».

Помещаемая ниже статья А. Н. Колмогорова «Современные споры о природе математики» была впервые опубликована в 1929 г. в журнале «Научное слово» (№ 6, с. 41–54). Через 77 лет она, с моими комментариями, была перепечатана в журнале «Проблемы передачи информации» за 2006 г. (т. 42, вып. 6, с. 129–141). Публикуя эту труднодоступную в наши дни статью[178], редакция журнала преследовала цель не только познакомить читателя с малоизвестным сочинением классика науки, но и сделать его заинтересованным наблюдателем научного прогресса. Дело в том, что в конце XIX – начале XX в. в математике возникли и укоренились абстракции столь высокого уровня, что актуальной стала проблема их соотношения с реальностью. Эта проблема волновала ряд крупнейших математиков того времени, и статья Колмогорова была весьма актуальной. Уже через год после первой публикации статьи появились первые ошеломляющие результаты Гёделя, давшие ответ на ряд затронутых в статье вопросов и одновременно внёсшие математическую строгость в самоё постановку этих вопросов.

Со статьёй Колмогорова перекликаются отдельные места некоторых других статей данного сборника, прежде всего «Апологии математики» и «Семи размышлений».

Затекстовые комментарии нацелены в основном на то, чтобы дать представление о современном положении дел. Непосредственно в тексте они отмечены заключёнными в квадратные скобки цифрами от [1] до [21]. В остальном колмогоровский текст печатается в том виде, в каком он был опубликован в «Научном слове», без каких-либо изменений, за исключением немногочисленных орфографических и пунктуационных поправок. Сопровождавшие статью комментарии редакции «Научного слово» – а именно предварявшая статью преамбула и подстрочные примечания – опущены[179].

I

Никогда ещё претензия математики на незыблемость и общезначимость её выводов не подвергалась столь суровым испытаниям, как в настоящее время. Недаром французский математик Гадамар [1] по поводу некоторых математических споров выставил недавно гипотезу, что причина несогласий кроется в разности осмотического давления в клеточках мозга или ещё каком-либо различии, столь же мало поддающемся устранению посредством логических доказательств. Если эта гипотеза и носит несколько шуточный характер, то самая безнадёжность прийти к соглашению по некоторым вопросам очень остро ощущается многими. Так, ещё в 1905 г. в «пяти письмах о теории множеств» [2] несколько французских математиков, в том числе Гадамар и Борель, высказали прямо противоположные мнения по поводу незадолго до этого предложенного Цермело так называемого принципа произвольного выбора. То, что казалось Гадамару совершенно очевидным и не требующим никаких доказательств, Борелю представлялось отнюдь не очевидным и даже лишённым всякого смысла. Лебег и Бер [3] в своих письмах высказали ещё новые оттенки взглядов на тот же вопрос. Все эти различные мнения остаются непримирёнными до настоящего времени.

Правда, исчисление бесконечно малых в первый период своего развития вызывало также много споров и несогласий. Но там дело шло только об отсутствии достаточно точных определений; недостаток этот сознавался и самими сторонниками новых методов и в течение XIX в. был устранён. В настоящее время исчисление бесконечно малых обосновано столь прочно, как и более старые отрасли математики, и поводу смысла его основных понятий не возникает никаких недоразумений. Для этого было достаточно проделать чисто математическую работу: дать хорошие определения и формулировать исчерпывающую систему допущений, на которые опираются последующие логические построения. Разрешения же современных разногласий приходится искать вне математики. Когда часть математиков формулирует достаточно простой принцип теории множеств, кажущийся им очевидным, другая же часть находит этот принцип лишённым какой бы то ни было убедительности, неизбежным становится теоретико-познавательный анализ смысла основных терминов, ими употребляемых. Дело идёт собственно о понятиях множества, его элемента и особенно о понятии существования. Довольно ясно, что формальное математическое определение этих понятий было бы пустой тавтологией.

Эта и многие другие трудности, возникшие на окраинах современной математики по поводу недавно возникших крайне абстрактных теорий, не мешают, конечно, продолжать текущую работу в классических областях математики. При этом имеется довольно обоснованная уверенность, что наиболее ценные конкретные достижения современной математики устоят против ведущейся разрушительной критики. Однако с чисто логической точки зрения дело обстоит так, что при исследовании весьма конкретных вопросов классического анализа применяются те же самые методы, которые в более общих теориях приводят к затруднениям и даже противоречиям [4]. На этом обстоятельстве особенно настаивает Вейль. Например, он убедительно показывает, что доказательство существования верхнего предела числовой последовательности обосновывается рассуждениями совершенно такого же рода, как те, которые в общей теории множеств приводят к противоречиям (антиномиям), открытым Ресселем [5] и др.

Естественен поэтому повышенный интерес, который проявляют сейчас математики к углублённому исследованию оснований своей науки. При этом им неизбежно приходится выходить за пределы собственно математических рассуждений и опираться на ту или иную теорию математического познания. К сожалению, часто теория познания математиков, занимающихся исследованием оснований, имеет несколько кустарный, доморощенный характер.

Две теории в настоящее время обещают разрешить все затруднения, волнующие математиков, обе, правда, довольно дорогой ценой.

Возглавляемый Гильбертом формализм предполагает сделать это посредством превращения математики в чистую игру символами, в которой всё позволено под единственным условием уметь доказать отсутствие в этой игре противоречий. Интуиционизм Броуэра [6], напротив, предлагает изгнать из математики всё, что не имеет твёрдого основания в общей всем интуиции. Большинство математиков, внимательно присматриваясь к обоим течениям, занимает выжидательную позицию.

Основной трудностью при изложении содержания этих двух теорий для неспециалистов является то обстоятельство, что обе они возникли в виде реакции против теоретико-множественной концепции математики, которая сама имеет не столь древнее происхождение и ещё недостаточно хорошо известна нематематикам. Поэтому нам придётся сначала напомнить её развитие, в основном закончившееся к началу нашего столетия, затем рассмотреть те затруднения, к которым она привела, и лишь после этого наметить попытки их преодоления, предлагаемые Гильбертом и Броуэром.

II

Наибольшей известностью пользуется изложение нового взгляда на структуру математической теории, данное на границе нашего и прошлого века в «Основаниях геометрии» Гильберта [7]. Здесь объявляется, что геометрия имеет дело с системой вещей, условно называемых «точками», «прямыми», «плоскостями», связанных отношениями тоже совершенно неизвестной природы, отношениями, условно описываемыми терминами «прямая проходит через точку» и т. д. Отнюдь не природа этих вещей и отношений определяет содержание геометрии. Для развития геометрии важно только то, что эти отношения удовлетворяют известным аксиомам, например такой: «Существует одна и только одна прямая, проходящая через две данные точки». Гильбертом дана система из двадцати двух аксиом геометрии; всякая система вещей и отношений, которая удовлетворяет этим двадцати двум аксиомам, по мнению Гильберта, с одинаковым правом может быть названа «пространством». В ряде приложений к «Основаниям геометрии» показывается, что и другие математические теории могут быть изложены подобным образом. Рессель формулировал этот взгляд на истинный смысл математической теории в виде широко известного парадокса: «Математика – это наука, которая не знает, о чём она говорит и что она говорит».

Первой теорией, которая получила строгое абстрактное изложение, т. е. изложение, ничего не предлагающее относительно природы элементов, образующих изучаемую систему, была теория групп.

Именно Кэли в 1854 г. было предложено называть «группой» всякую систему элементов, для каждых двух из которых определён третий элемент, называемый их «произведением», если только это произведение удовлетворяет известным перечисленным им условиям, например условию (АВ)С = А(ВС). Приведём два примера групп. Группой будет совокупность тех вращений куба вокруг его центра, которые совмещают его с самим собой[180]. Число различных таких вращений равно 24. Группой же будет совокупность всевозможных перестановок четырёх символов. Число таких перестановок тоже равно 24. Больше того, внутренняя структура этих двух групп, на первый взгляд не имеющих между собой ничего общего, совершенно тождественна. С точки зрения абстрактной теории это одна и та же группа. Именно в возможности абстрактную теорию применять в самых различных случаях, придавая основным её терминам то или иное конкретное значение, и заключается одно из основных преимуществ новой точки зрения.

Отчётливое понимание абстрактной природы геометрии мы встречаем впервые в 1871 г. у Клейна, который показал, что каждая из трёх разработанных к тому времени систем геометрии допускает много различных применений. Так, например, сферы и окружности, ортогональные к одной данной сфере в евклидовом пространстве, обладают всеми свойствами плоскостей и прямых геометрии Лобачевского. Поэтому из каждой теоремы геометрии Лобачевского мы можем одним изменением терминов получать теорему о сферах и окружностях евклидова пространства.

Абстрактное изложение теории чисел было дано Пеано, для чего ему понадобились только три аксиомы. Но целые числа сохраняют и в современной математике особое положение. В самом деле, математика изучает системы предметов, отвлекаясь от природы каждого из них. Но сама система, если она конечна, состоит из определённого числа предметов. Так, абстрактные группы классифицируются по их «порядку», числу элементов. Здесь число фигурирует не как нечто удовлетворяющее аксиомам Пеано, а как понятие с вполне определённым содержанием.

Отстаивая такое особое положение в математике целого числа, Пуанкаре, безусловно, высказывал мнение большинства математиков.

Зато теорию действительных чисел (дробных и иррациональных) современная математика склонна рассматривать как абстрактную теорию, так как конкретное их осуществление достаточно разнообразно[181]. Система аксиом, определяющая действительное число, дана в одном из приложений к «Основаниям» Гильберта.

Для того чтобы абстрактная теория имела смысл, необходимо существование хотя бы одной системы предметов и отношений, удовлетворяющей выставленным аксиомам [8]. Когда дело идёт о системах из конечного числа элементов, вопрос решается крайне просто, так как такая система может быть непосредственно материально осуществлена. Так и поступают в теории конечных групп: группу задают таблицей её элементов и их произведений.

Много сложнее вопрос об абстрактных системах геометрии. Первоначальной моделью математического пространства было физическое пространство нашего внешнего опыта. Но, во-первых, геометрия идеализирует данные непосредственного опыта, что разрушает однозначность связи между элементами математического пространства и наблюдаемыми элементами пространства физического. Во-вторых, теперь мы имеем уже не одно математическое пространство, а бесчисленное их множество, причём неизвестно, которое из них является наиболее точной моделью пространства физической действительности. Поэтому приходится конструировать образцы различных пространств аналитическим путём. Так, для доказательства реальности данной им системы аксиом евклидова пространства Гильберт рассматривает пространство, в котором точки являются просто тройками действительных чисел – их координат. Точно так же и другие виды пространств легко строятся при помощи чисел. Но и сами действительные числа нуждаются в конструкции.

Обычно при конструктивном определении числа предполагают уже данными целые числа, как определённые их реальным значением. Правда, логисты (Пеано, Рессель) пытались обойтись без этого, но мы увидим дальше, что действительные тенденции логистики [9] оказались очень далёкими от рассматриваемой сейчас концепции.

Рациональные числа строятся без труда посредством пар целых чисел, изображающих их в виде дроби. Существенно новый принцип пришлось ввести Дедекинду для определения произвольного действительного числа. Дедекинд определяет действительное число как сечение в ряду рациональных чисел, т. е. использует для определения одного действительного числа разбиение рациональных чисел на два бесконечных множества. Это приводит нас к одному из основных конструктивных принципов теории множеств – переходу от данного множества к множеству его частей.

Теперь часто предпочитают построение действительного числа, отправляясь непосредственно от целых чисел. Так, можно объявить действительным числом просто всякую последовательность натуральных чисел, рассматриваемую как последовательность неполных частных непрерывной дроби. Последовательность натуральных чисел, в которой каждому номеру места в последовательности соответствует определённое число, есть не что иное, как целочисленная функция от целочисленного аргумента. Аналогично, имея два множества, строят множество всех функций, ставящих в соответствие каждому элементу первого множества некоторый элемент второго множества.

Если к этим принципам присоединить ещё сложение множеств, то мы получаем возможность, исходя от натурального ряда целых чисел, построить запас элементов достаточной мощности, чтобы составить из них системы, удовлетворяющие самым разнообразным требованиям.

III

Предыдущие краткие указания были направлены главным образом к тому, чтобы сделать ясным, насколько теоретико-множественная точка зрения глубоко проникла во всю современную математику. Общая теория множеств с её специальными проблемами, правда, остаётся несколько изолированной, но её методы получают всё большее преобладание в изложении классических отраслей математики и постепенно проникают в элементарные учебники.

Мы могли различить в этой концепции математики две стороны: с одной стороны, имеются теории, постулирующие существование бесконечных систем объектов, удовлетворяющих известным аксиомам, и формально извлекающие из этих аксиом свойства изучаемой системы; с другой стороны, признаётся необходимой ещё конструкция соответствующих объектов исходя из натурального ряда или ещё какого-либо запаса элементарных объектов. Последние годы показали, что устойчивого равновесия между этими двумя сторонами достигнуто не было. С известным приближением можно формулировать выдвинутые в новейшее время точки зрения так: Гильберт предлагает сохранить только первую, формальную, часть математики, освободив нас от необходимости конструкции посредством своей теории непротиворечивости; Броуэр, напротив, ценит по преимуществу конструктивную часть, но думает, что конструкция не в состоянии дать нам то законченное существование бесконечных совокупностей, которое требуется для свободного применения ставших обычными в математике способов рассуждений, и поэтому требует коренного пересмотра приёмов математического доказательства.

Появление этих крайних точек зрения объясняется тем, что соединение обеих сторон теоретико-множественной математики привело к большим затруднениям и даже противоречиям. Общим источником этих затруднений является следующее. Математики привыкли обращаться с числами, функциями, множествами так, как будто бы это были вещи реального мира, во всём подобные материальным.

Уже самоё предпочтение термина «вещь» (Ding) термину «предмет» (Gegenstand) [10] достаточно характерно в этом отношении; а именно о системе «вещей» говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», так же как и большинство математиков. Между тем такой взгляд в общей теории множеств приводит к противоречиям.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим известный парадокс Ресселя. Предположим при этом, что все логические классы существуют наподобие столбов, к которым протянуты проволоки от всех входящих в них вещей… Если сам класс является элементом самого себя, то наш должен выступать в двойной роли: элемента класса и столба, этот класс отображающего. Исходящая от него как от элемента проволока должна возвращаться к нему же как к столбу, отображающему весь класс элементов. Выделим теперь все те столбы, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом, это те классы, которые не содержат сами себя в качестве элемента. Среди них, например, не будет класса всех классов. Выделенные столбы образуют вполне определённый класс вещей. Следовательно, должен уже существовать столб, к которому сходятся проволоки от всех выделенных столбов. Когда мы спросим себя, принадлежит ли последний столб к числу выделенных, мы и получим без труда противоречие. Если он принадлежит к их числу, то от него должна исходить проволока, возвращающаяся к нему же, что невозможно, ибо слова «принадлежит к их числу» означают, что он сам есть один из таких столбов, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом; если же он не принадлежит к их числу, то такой проволоки не должно быть, что опять приводит к противоречию, ибо в таком случае, не имея проволоки, прикреплённой к нему двумя концами, он сам должен принадлежать к числу выделенных нами столбов.

Существует много объяснений этого парадокса, но все они сводятся к тому, что запрещается рассматривать совокупность всех классов в виде законченной совокупности, иначе говоря, к отрицанию законности нашей аналогии с действительными вещами.

Вне общей теории множеств «совокупность всех классов» не нужна математикам. Если более осторожно ограничиваться множествами «вещей», действительно необходимых, то прямых противоречий не получается. Еще до сих пор наиболее популярным среди избегавших философии математиков выходом из создавшегося затруднительного положения и является ограничение области «существующего». Так, почти общим мнением является, что трансфинитные числа третьего класса «не существуют» [11]; относительно трансфинитных чисел второго класса, не изобразимых аналитически функций и некоторых других пограничных предметов мнения расходятся; наконец, целые и действительные числа, непрерывные и другие «приличные» функции большинством признаются за существующие. Само собой разумеется, что принимаются за существующие и конечные комбинации существующих предметов: например, комплексные числа, рассматриваемые как пары действительных.

Такая позиция, хотя и является наиболее спокойной, страдает беспринципностью, которая особенно наглядно выражается в том, что границы области «признаваемого» тем или иным математиком стоят в явной зависимости от его личных интересов: не заинтересованные в сохранении каких-нибудь трансфинитных чисел с лёгким сердцем выбрасывают их за борт; занимающиеся их исследованием противятся этому.

Так как не было выработано никакого разумного критерия для разграничения «математически существующего» и «несуществующего», то математики, ставшие на описанную точку зрения, оказались беззащитными против угроз лишить их на тех же основаниях, на которых они добровольно отказались от роскоши общей теории множеств, и многих предметов первой необходимости. Так, Вейлем было запрещено говорить о верхнем пределе числовой последовательности; были объявлены не имеющими смысла вопросы о существовании целого числа, обладающего тем или иным свойством; наконец, был совсем изгнан непрерывный континуум, вместо которого было предложено счётное множество точек, включающее все алгебраические и элементарно-трансцендентные точки и будто бы вполне достаточное для всех практических нужд математиков.

Но и по поводу вопросов, выдвинутых математической практикой, а не спекуляциями общей теории множеств, возникли если не противоречия, то затруднения, имеющие тот же источник – чрезмерно реалистическое отношение к тем «вещам», с которыми имеет дело математическая теория. Здесь следует указать прежде всего на вопрос о так называемой аксиоме Цермело, или «принципе произвольного выбора», который уже упоминался в начале статьи. Тщательный анализ выяснил, что этот принцип, не будучи точно формулирован, неоднократно применялся в элементарных учебниках [12]. Общая формулировка его такова: если имеется множество множеств, содержащих каждое хотя бы по одному элементу, то существует множество, имеющее по одному и только одному общему элементу с каждым данным множеством [13]. Было предложено следующее популярное изъяснение этого принципа: имеется большое количество пар сапог, требуется образовать множество, содержащее по одному элементу каждой пары; очевидно, достаточно для этого из каждой пары взять правый сапог.

Именно такого рода грубо реалистические аналогии заставляют многих считать аксиому Цермело совершенно очевидной. Но она пришла в безнадёжное столкновение с тем представлением, что математическое существование должно быть поддержано соответствующей конструкцией [14]. Обнаружилось, что действительное определение множества, существование которого постулируется в аксиоме Цермело, часто является делом совершенно безнадёжным. К тому же те объекты, существование которых доказывается при помощи этой аксиомы, оказались не только ненужными, но иногда и разрушающими простоту и стройность важных математических теорий [15]. Так, например, без аксиомы Цермело мы умеем строить только «измеримые» точечные множества, т. е. такие, которым можно приписать определённое число – их меру, – вполне аналогическое длине отрезка; есть все основания думать, что другого рода множества вообще нельзя построить [16]; между тем из аксиомы Цермело следует «существование» неизмеримых множеств [17].

IV

Таким образом, мы видим, что постулируемое при аксиоматическом изложении той или иной математической теории «существование» соответствующих предметов не находит достаточной опоры в тех конструкциях, которые нам известны. Наиболее естественным выходом из положения является, отбросив аксиоматический путь, изучить своеобразную природу тех объектов, которые мы можем конструировать, и вывести отсюда, какие свойства можно им приписывать и по каким законам рассуждать о них. Это и делает Броуэр.

В основу своих построений Броуэр кладёт последовательность, закономерность определённых предметов, например натуральных чисел. Они заданы законом образования каждого следующего из предыдущего. Каждое из них обозначается определённой комбинацией известных символов в конечном числе, например по обычной десятичной системе. После этого Броуэр считает натуральные числа вполне хорошо определёнными.

Но известно в силу известной теоремы Кантора, что для действительных чисел нельзя дать регулярного метода обозначения каждого из них при помощи конечных комбинаций заранее определённого запаса символов. Это вызывается тем, что континуум действительных чисел неперечислим [18], т. е. не может быть занумерован натуральными числами так, чтобы каждому его элементу соответствовал свой собственный номер. Броуэр и делает основным предметом своего изучения способы задания элементов континуума. При этом он рассматривает континуум в форме совокупности последовательностей натуральных чисел; другие представления континуума могут быть сведены к этому, и их рассмотрение привело бы к тем же результатам.

Итак, элементом континуума является бесконечная последовательность натуральных чисел

a_1, a_2, a_3, а_4, …, ап, ….

Такая последовательность не может быть написана вся полностью. Если мы хотим дать какую-либо одну определённую последовательность, то мы можем определить её только посредством некоторого закона её образования, например такого:

а_1 = 1, аn = аn–1 + 2п + 1,

который позволил бы последовательно находить её элементы. Но закон образования не есть сама последовательность; двум различным законам может соответствовать одна и та же последовательность. Например, определённая выше последовательность может быть получена ещё по формуле

аn = п².

Сама же последовательность, независимо от того или иного способа её задания, по Броуэру, может мыслиться только как незаконченная, становящаяся. Но тогда это не есть последовательность, определённая до конца, так как ещё неизвестно, каковы будут её элементы, следующие за уже определёнными. Такую последовательность Броуэр называет «свободной последовательностью», характер которой может быть ограничен только указанием конечного числа её первых элементов. Но раз последовательность мыслима только как становящаяся, то исчезает сам континуум в качестве совокупности множества элементов. Континуум остаётся, как говорит Броуэр, только той средой, в которой развёртывается становящаяся последовательность. Задание конечного числа элементов последовательности лишь выделяет из континуума известную часть, в которой после этого она обязана оставаться. Геометрически становящаяся последовательность соответствует точке, положение которой на прямой определяется со всё бóльшим приближением, но никогда не даётся вполне точно.

Правда, при помощи того или иного закона развёртывания последовательности можно в этом текучем и подлинно непрерывном континууме выделить одну или несколько вполне определённых точек, но, по Броуэру, это уже вторичное явление. К тому же в силу неперечислимости [18] континуума мы никогда не исчерпаем его полностью.

Таким образом, Броуэр считает, что никакой совокупности предметов, удовлетворяющей обычным аксиомам, определяющим действительное число, нет. Естественно, что вместе с этим отпадает и возможность излагать геометрию в духе Гильбертовых «Оснований» как теорию «системы вещей», удовлетворяющих геометрическим аксиомам. Понятие множества как собрания предметов вообще почти исчезает в концепции Броуэра. Вместо этого даётся определение множества как закона построения его элементов. С этого определения начинается положительная работа интуиционистов над построением математики на новых основаниях. При этом, особенно Вейлем, подчёркивается, что вместо теоретического описания объективно данного на первый план выдвигается известная деятельность – конструктивное творчество.

Особенно много споров и недоразумений вызывает то, что Броуэр с этой перестройкой математики связывает и реформу логики, именно отрицание неограниченной применимости принципа исключённого третьего. Вопрос этот заслуживал бы более подробного освещения, но это заняло бы слишком много места. Здесь мы заметим только, что необходимость отказаться от принципа исключённого третьего тесно связывается интуиционистами с утратой математикой чисто теоретического характера. Принцип исключённого третьего по Броуэру неприменим лишь к суждениям особого рода, в которых теоретическое высказывание неразрывно связано с построением объекта высказывания. Поэтому можно предполагать, что идеи Броуэра вовсе не находятся на самом деле в противоречии с традиционной логикой, которая собственно никогда не имела дела с подобными суждениями.

V

Гильберт, давший в «Основаниях геометрии» известнейшее изложение теоретико-множественного взгляда на математику, выступает теперь в ряде статей с совершенно противоположными взглядами. Правда, их зародыши можно проследить и в некоторых местах «Оснований», и первое время вся глубина различия двух точек зрения не была замечена. Новый взгляд Гильберта заключается в том, что для оправдания построения геометрии или иной математической дисциплины нет никакой надобности доказывать существование соответствующей системы предметов конструктивным путем, достаточно доказать непротиворечивость аксиом.

Изгоняя из математики то, что считалось предметом её исследования, Гильберт приходит к выводу, что математическая теория является просто системой формул. Эти формулы не выражают никаких суждений, так как самые предметы, о которых они могли бы что-либо высказывать, упраздняются. Соответственно с этим математическое доказательство не есть больше доказательство в обычном смысле слова, это просто ряд операций над формулами, производимых по определённым вычислительным правилам, приводящих в конце к «доказываемой» формуле. «Непротиворечивость» математической теории, по Гильберту, тоже нельзя понимать в обычном смысле слова, это просто свойство принятых аксиом и вычислительных правил никогда не приводить к формулам специального вида, заранее объявленным ложными: например, 0=1.

Непротиворечивости в указанном смысле, как это ни странно, достаточно, чтобы оправдать законность практических применений математики. Именно, оказывается, что если в результате не имеющих никакого смысла формальных выкладок мы приходим к формуле, допускающей реальное истолкование, например к числовому равенству, то это реальное истолкование тем самым будет действительно доказано. Непротиворечивость же Гильберт обещает доказать для весьма широкого круга аксиом, включая в их число и разбиравшуюся выше аксиому Цермело [19].

Наиболее уязвимым пунктом Гильбертовой теории является то, что для доказательства непротиворечивости математических аксиом ему приходится построить новую дисциплину «метаматематику» [20], и есть опасения, что в «метаматематике» возродятся все трудности, изгнанные из математики.

Именно этот ряд идей Гильберта является естественным завершением логистики Пеано и Ресселя, которые, на словах оставаясь приверженцами теоретико-множественной точки зрения, в действительности работали над полной формализацией математики. Но для успеха этой формализации до последнего времени не хватало именно методов доказательства непротиворечивости, которые только и позволяют отказаться от всякого реального толкования формул.

Работы Гильберта по формализации математики и доказательству непротиворечивости ещё не закончены, что, естественно, затрудняет оценку действительной силы его методов [21].

VI

С теоретико-познавательской стороны точка зрения Гильберта сводится к строгому ограничению конечным; все математические предложения, в которые так или иначе входит бесконечность, объявляются лишёнными всякого смысла. Правда, с блестящим искусством Гильберт восстанавливает забракованные математические теории в виде формальной непротиворечивой игры символами. Всё же этот выход, не дающий никакого объяснения, чем же держалась математика до настоящего времени, почему, высказывая о бесконечности суждения, не имеющие никакого смысла, математики понимали друг друга, продиктован только неумением найти выход более удовлетворительный.

Это заставляет отнестись с особым вниманием к Броуэру, который, не пугаясь проблемы, обещает выяснить природу бесконечного.

Но позволительно сомневаться, что интуиция и конструкция новых образов, исходя из натурального ряда, окажутся при этом надёжными руководителями. В частности, Броуэр изучает континуум в форме бесконечных последовательностей натуральных чисел, так как только в такой форме его естественно получать чисто логическими средствами. Исторически же идея континуума создалась посредством идеализации действительно наблюдаемых непрерывных сред; пока трудно представить себе, как отсюда извлечь опору для развития математической теории, но только это было бы прямым путём к пониманию природы математического континуума.

Комментарии

1. Написание собственных имён во всех случаях оставлено таким, как оно было в исходном тексте. В 20-е гг. XX в. при передаче кириллицей иностранных имён стремились в большей степени отразить их написание, нежели произношение. Впоследствии тенденция сменилась на противоположную, и сейчас фамилия французского математика Hadamard передаётся как Адамар.

2. Имеются в виду письма, которыми обменялись между собой Адамар, Борель, Бэр и Лебег: Cinq lettres sur la théorie des ensembles // Bulletin de la societé mathématique de France. 1905. T. 22. P. 261–273. Возникшая по инициативе Бореля, эта переписка публиковалась затем во втором и последующих изданиях его «Лекций по теории функций» (Borel Е. Leçons sur la théorie des functions. 2ème éd., augmentée. Paris, 1914), а также в собрании его трудов (Œvres de Emile Borel. Paris, 1972. P. 1253–1265).

3. Сейчас французская фамилия Baire передаётся как Бэр.

4. Например, в параграфе 13 монографии S. С. Kleene «Introduction to Metamathematics» (N. Y., Toronto, 1952; русский перевод: Клини С. К. Введение в метаматематику. – М., 1956) показывается, что при доказательстве теоремы о существовании наименьшей верхней грани используются рассуждения, сходные с теми, которые в другой ситуации приводят к знаменитому парадоксу Рассела о множестве всех множеств, не содержащих самого себя в качестве элемента. Ниже, в разделе III статьи А. Н. Колмогорова, этот парадокс Рассела будет изложен.

5. Сейчас английская фамилия Russell передаётся как Рассел.

6. Сейчас голландская фамилия Brouwer передаётся как Брауэр.

7. Русский перевод: Гильберт Д. Основания геометрии. – М.-Л., 1948.

8. Такая система предметов и отношений называется моделью рассматриваемой совокупности аксиом.

9. В литературе по основаниям математики термин логистика понимается в двух близких значениях: 1) как учение о формализованных языках, ограничивающееся чисто синтаксическими методами конструирования и анализа этих языков без апелляции к их семантике; 2) как направление в основаниях математики, пытающееся свести математику к логике (это направление называют также, и притом более часто, логицизмом).

10. Значение термина «предмет» имеет более абстрактный характер, чем значение термина «вещь». Ср. «предмет исследований» и «С вещами на выход!».

11. Сейчас трансфинитные числа, т. е. порядковые типы вполне упорядоченных множеств, чаще называют порядковыми числами, или ординалами. При этом порядковые числа конечных множеств образуют первый класс, а порядковые числа счётных множеств – второй. Каждое трансфинитное число третьего класса является порядковым типом некоторого несчётного множества. Речь здесь идёт о несуществовании чисел третьего класса в некоем неформальном представлении о «реальном с существовании», оставленном в статье без попытки его уточнить. Заметим, что уточнить его не так просто. Ведь буквальное следование этому представлению приводит к тому, что, хотя каждый ординал второго класса существует, множества всех таких ординалов не существует. Действительно, если бы указанное множество существовало, то его порядковое число принадлежало бы третьему классу. Возможно, что, говоря о «несуществовании» ординалов третьего класса, Колмогоров имеет в виду несуществование множества всех таких ординалов в целом, притом что существование отдельных «небольших» ординалов третьего класса допускается. Возможно также, что утверждение о «несуществовании» следует здесь понимать как констатацию того факта, что не известны такие математические задачи вне сферы теории множеств и некоторых специальных разделов алгебры и общей топологии, которые приводили бы к ординалам третьего класса.

12. В частности, без этого принципа невозможно доказать такие общеизвестные факты: эквивалентность различных определений непрерывности функции в заданной точке; наличие у произвольного бесконечного множества счётного подмножества; счётность счётного объединения счётных множеств; счётную аддитивность меры Лебега и т. п. Вспомнив соответствующие доказательства, нетрудно обнаружить применения этого принципа.

13. В наших комментариях для удобства условимся говорить «коллекция множеств» вместо «множество множеств». К приведённой в комментируемой статье формулировке принципа произвольного выбора, или аксиомы Цермело, необходимо добавить, что никакие два различных множества из рассматриваемой коллекции не должны иметь общих элементов (а иначе требуемого множества может и не существовать).

14. Читателю полезно отдавать себе отчёт в том, что в примере с сапогами соответствующая конструкция как раз имеется: она состоит в образовании множества правых сапог. Теперь представим себе, что каждая пара состоит из двух правых сапог одинакового размера и цвета. Тогда предложенная конструкция не работает и однозначно определить или назвать какое-либо множество сапог, содержащее ровно по одному сапогу из каждой пары, не представляется возможным. Именно неконструктивность по сути аксиомы Цермело (она же аксиома выбора, она же принцип произвольного выбора) лишает её бесспорности. Ведь гипотетическое лицо, выбравшее на основе этой аксиомы по одной точке каждого из предъявленных множеств и собравшее все эти точки в новое множество, не в состоянии идентифицировать это новое множество, не в состоянии отличить одно такое множество от другого, образованного тем же неопределённым, неконструктивным способом.

15. Вот яркий пример. При помощи аксиомы Цермело удаётся доказать следующую теорему, не укладывающуюся в привычные рамки геометрической интуиции: существует такое разбиение шара на конечное число частей, что, передвигая эти части в пространстве, из них можно сложить два таких же шара. (Для ясности: под шаром понимается самый обычный шар в трёхмерном евклидовом пространстве, а под движением – преобразование, составленное из поворотов и параллельных переносов.) Кажется, что эту теорему можно легко опровергнуть, произведя подсчеты объёмов, но всё дело в том, что каждая из частей разбиения отнюдь не является «сплошной», а представляет собою множество точек, настолько прихотливо расположенных, что оно, это множество, не имеет объёма (на точном математическом языке не является измеримым). Указанную теорему получили в 1924 г. польские математики Банах и Тарский, и сформулированное в ней утверждение принято называть парадоксом Банаха – Тарского.

Парадокс Банаха – Тарского может быть усилен в двух направлениях. Во-первых, как исходный шар, так и результирующая пара шаров могут быть заменены на произвольные множества из обширного класса множеств. А именно: пусть А и В суть два множества в трёхмерном евклидовом пространстве, каждое из коих ограничено и обладает непустой внутренностью; тогда существует такое разбиение множества А на конечное число частей, что, передвигая эти части, из них можно сложить множество В. Говоря образно, бильярдный шар можно разломать на конечное число частей и затем сложить из этих частей планету или – при другом способе разламывания – цветок (разумеется, в подобного рода метафорических иллюстрациях словосочетанию «можно разломать» не следует придавать буквального физического смысла). Во-вторых, если в качестве А взять шар, а в качестве В – пару конгруэнтных с А шаров, то для переделки А в В достаточно разбить А на пять частей (меньшего числа частей уже недостаточно). Доказательства этих двух усилений можно найти, например, в интернете, в статье Francis Е. Su «The Banach – Tarski Paradox» (http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/banachtarski.pdf, см. там соответственно теоремы 14 и 20). Вообще, парадокс Банаха – Тарского достаточно освещён в литературе; среди публикаций выделяются энциклопедическая монография S. Wagon «The Banach – Tarski paradox» (Cambridge etc., 1985. XVI. 251 p.) и популярная статья R. M. French «The Banach – Tarski Theorem» (The Mathematical Intelligencer. 1988. Vol. 10. № 4. Pp. 21–28).

16. И действительно, как показал в 1970 г. Соловей (Solovay), такая точка зрения (все множества измеримы) не может привести к противоречию. Вместе с тем ещё за 20 лет до этого П. С. Новиков построил точечное множество (так называемое второе множество Новикова), относительно которого непротиворечиво полагать, что оно неизмеримо. (В подобных результатах «построить объект» понимается в смысле 'указать имя объекта в языке теории множеств', так что использование аксиомы Цермело не допускается.)

17. При доказательстве указанных в комментарии 12 общеизвестных фактов из математического анализа необходим лишь ослабленный случай общего принципа, постулирующий существование требуемого множества в ситуации, когда рассматриваемая коллекция множеств счётна. Этот частный принцип носит название счётной аксиомы выбора; именно без этой счётной аксиомы и нельзя обойтись при изложении начальных глав анализа.

Приведём для контраста пример использования континуальной аксиомы выбора, когда выбор элементов осуществляется применительно к континуальной коллекции множеств. А именно с опорой на эту аксиому докажем такую теорему: если объединение двух множеств континуально, то хотя бы одно из этих множеств континуально. (Стандартное доказательство основано на наделении континуума порядком, превращающим его во вполне упорядоченное множество, что, в свою очередь, требует применения аксиомы выбора к коллекции, мощность которой превосходит континуальную.)

В силу теоремы Кантора – Бернштейна достаточно доказать, что если плоскость представлена как объединение двух множеств, то хотя бы одно из слагаемых содержит континуальное подмножество; это и будем доказывать. Если какая-то из вертикальных прямых целиком содержится в первом слагаемом, то она и образует искомое подмножество первого слагаемого. Если же это не так, то на каждой вертикали найдётся точка из второго слагаемого; континуальная аксиома выбора позволяет выбрать на каждой вертикали ровно по одной такой точке; выбранные точки образуют искомое подмножество второго слагаемого.

Рассмотрение счётных множеств и, в частности, натурального ряда требует менее высокого уровня абстракции, чем рассмотрение множеств континуальных. (Ведь даже представление о множестве всех точек прямой – это довольно сложная абстракция.) Поэтому счётная аксиома выбора вызывает меньше недоверия, нежели континуальная (и тем более нежели связанная с ещё более высокими мощностями). Вот что в 1905 г. писал Борель о несчётной аксиоме выбора в краткой заметке, давшей толчок к его упоминавшейся переписке с Адамаром и др.: «Возражения, которые можно выставить здесь, действительны и для всякого рассуждения, в котором предполагается произвольный выбор, совершённый несчётное множество раз; такие рассуждения находятся вне пределов математики» (Remarques sur les principes de la théorie des ensembles // Mathematische Annalen. 1905. B. 60. S. 194–195). При любом конкретном применении аксиомы выбора можно ограничиться её частным вариантом, связанным с конкретной мощностью соответствующей коллекции множеств. Иногда удаётся добиться понижения этой мощности, как это мы видели только что на примере континуальной аксиомы выбора.

В функциональном анализе используется и аксиома выбора в общем виде (т. е. в той формулировке, где на мощность рассматриваемой коллекции множеств не налагается никаких ограничений): она участвует, например, в доказательстве теоремы Хана – Банаха. С её помощью доказывается и теорема о том, что каждый фильтр на каком-либо множестве вкладывается в ультрафильтр на том же множестве и, как следствие, что на всяком бесконечном множестве существует нетривиальный (он же свободный) ультрафильтр, т. е. такой ультрафильтр, который не содержит конечных множеств. Аксиома выбора в общем виде эквивалентна известной лемме Цорна, широко используемой в абстрактной алгебре, а также теореме Цермело о том, что всякое множество можно вполне упорядочить. В вышеназванной краткой заметке Борель указывал, что в теореме Цермело фактически доказывается не утверждение о возможности полного упорядочения любого множества, а лишь эквивалентность этого утверждения аксиоме выбора.

18. Термин «неперечислимый» используется здесь в смысле 'несчётный'. В наши дни такая терминология не применяется, а указанный термин имеет другое значение. (Это другое значение связано с теорией алгоритмов. А именно: непустое множество конструктивных объектов называется перечислимым, коль скоро его можно расположить в вычислимую последовательность, и неперечислимым – в противном случае; пустое множество считается перечислимым по определению.)

19. Применительно к аксиоме Цермело обещание Гильберта было осуществлено Куртом Гёделем в 1938 г. Гёдель доказал, что добавление этой аксиомы к другим, «менее спорным», аксиомам теории множеств не в состоянии вызвать противоречия – при условии, правда, что совокупность этих других аксиом сама непротиворечива. При том же условии через четверть века было доказано (это сделал Коэн), что аксиома Цермело не выводима из других аксиом теории множеств. При этом непротиворечивость системы аксиом теории множеств (будь то с аксиомой Цермело или без оной) приходится принимать на веру, поскольку доказать её невозможно в принципе – по крайней мере с помощью тех средств, которые доступны современной математике; это вытекает из так называемой второй теоремы Гёделя.

20. Метаматематикой называют дисциплину, объектом которой являются математические теории (это, так сказать, «теория теорий»).

21. В 1930 г. надежда на то, что программа Гильберта в своём развитии способна охватить всю математику, была разрушена знаменитой теоремой Гёделя о неполноте (называемой также первой теоремой Гёделя). Согласно этой теореме, при любой разумной попытке формализовать понятие доказательства неизбежно обнаруживаются утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках избранной формализации. Такие утверждения называются неразрешимыми (в данной теории!). Ясно, что если утверждение неразрешимо, то неразрешимо и его отрицание. Каждое неразрешимое утверждение можно без появления противоречий присоединить к исходным аксиомам теории; в расширенной таким способом теории наше утверждение перестанет быть неразрешимым: оно станет доказуемым, а его отрицание – опровержимым. Однако для расширенной теории снова можно будет указать неразрешимое в ней утверждение и т. д.

Мы (и притом в приблизительном виде) привели здесь синтаксическую версию теоремы Гёделя, не апеллирующую к представлению об истинностном значении утверждения. (Подлинная формулировка самого Гёделя была именно синтаксической.) Придирчивый читатель справедливо заметит, что в таком случае сам термин «утверждение» не вполне уместен, ведь при его использовании обычно подразумевается, что всякое утверждение имеет истинностное значение в двузначной логике, т. е. является либо истинным, либо ложным. И действительно, для полной строгости следовало бы говорить не об утверждениях, а о формулах специального вида (иногда их называют предложениями), начинающих выражать утверждения после того, как формулы рассматриваемой теории наделяются семантикой, а точнее, истинностными значениями. Полезно понимать, что такое наделение формул семантикой не всегда возможно. Прежде всего это невозможно для теории множеств в её полном объёме. В самом деле, вряд ли уместно говорить об истинности или ложности, скажем, аксиомы выбора или гипотезы континуума. Для менее амбициозных теорий, не претендующих на то, чтобы сравняться глобальностью с теорией множеств, – в частности, для арифметики, – наполнение их формул двузначной семантикой оказывается возможным. А тогда при естественном предположении, что доказать можно лишь формулы, выражающие истинные утверждения, из синтаксической версии теоремы Гёделя легко получается её семантическая версия: при любой разумной попытке формализовать понятие доказательства неизбежно обнаруживаются утверждения, которые, будучи истинными, не допускают доказательства в рамках избранной формализации.

Отметим, что утверждения, о которых идёт речь в теореме Гёделя, отнюдь не следует искать в заоблачных математических высях. Нет, они суть утверждения об обычных натуральных числах. Теорема Гёделя о неполноте была первым строго установленным фактом той самой теории математического познания, о которой Колмогоров говорит выше, в разделе I своей статьи. Она явилась как гром среди ясного неба: никто и вообразить не мог, что подобные результаты вообще возможны. Тем более что она явилась на фоне другой теоремы, ненамного ранее также полученной Гёделем, но, напротив, вполне ожидаемой – теоремы о полноте, содержание коей состоит в подтверждении мощи той формализации процедуры логического доказывания, которую ещё в конце XIX в. предложил «отец математической логики» Готлоб Фреге. А именно: теорема о полноте утверждает, что любое предложение, которое логически не противоречит данной теории, истинно в некоторой модели этой теории.

Приложение II

П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда

От публикатора

Пётр Константинович Рашевский [14 (27).07.1907 – 13.06.1983] эволюционировал в моём сознании от уважаемого специалиста в области дифференциальной геометрии к глубокому философу математики. Не могу вспомнить, на каком курсе, третьем или четвёртом, в мои студенческие годы на мехмате МГУ нам преподавали дифференциальную геометрию. Если на третьем, то я слушал лекции по этому учебному предмету в 1949/50 учебном году, а если на четвёртом – то в году 1950/51. Параллельно для разных учебных групп читали два курса. Один читал профессор Сергей Павлович Фиников [03 (15).11.1883 – 27.02.1964], другой – профессор Рашевский. Кому как повезёт. Мне повезло: я оказался в одной из тех групп, которым было положено слушать Рашевского. Нашему курсу он запомнился, в частности, тем, что приходил на лекции в форме с полковничьими погонами, но не военными, а гражданскими, железнодорожными или связистскими (если вторые существовали). Говорили, что параллельно с университетом он преподаёт в каком-то техническом учебном заведении.

С 1964 г. и до конца своих дней Рашевский заведовал кафедрой дифференциальной геометрии. Перед ним с 1952 г. кафедрой заведовал Фиников. Наконец, первым заведующим (с 1922 г.) был непосредственный предшественник Финикова Вениамин Фёдорович Каган [25.02 (09.03).1869 – 08.05.1953], учеником которого был Рашевский. Принадлежность к научной школе Кагана в значительной степени стимулировала интерес Рашевского к вопросам оснований геометрии. «Основания геометрии» – так назывались и фундаментальный двухтомник Кагана, вышедший в 1905–1907 гг., и его монография, первая часть которой вышла в 1949 г., а вторая – посмертно, в 1956 г., и учебная дисциплина, занятия по которой, проводимые Каганом, я посещал на первом курсе. Так же назывался изданный в 1948 г. под редакцией Рашевского русский перевод классического сочинения великого математика Давида Гильберта «Grundlagen der Geometrie». Рашевский написал для этого издания замечательную вступительную статью «"Основания геометрии" Гильберта и их место в историческом развитии вопроса», а также снабдил издание не менее замечательными комментариями.

В начале 1972 г. Пётр Константинович обратился ко мне с просьбой критически посмотреть короткий текст на тему оснований математики, который он собирался опубликовать. Продолжая видеть в нём своего профессора, я был польщён. Текст поразил меня глубиной и оригинальностью мысли. Вскоре он был опубликован в журнале «Успехи математических наук» (1973. Т. 28. Вып. 4 (172). С. 243–246) под заголовком «О догмате натурального ряда».

В качестве эпиграфа к своей статье Рашевский взял знаменитую фразу Леопольда Кронекера, которая перекидывает мост между публикуемым выше в данном сборнике очерком «Апология математики», где эта фраза комментируется, и помещаемой ниже статьёй П. К. Рашевского.

Целые числа создал Господь Бог, остальное – дело рук человеческих.

Л. Кронекер

Конечно, никто в настоящее время не воспринимает слова Л. Кронекера в буквальном смысле, да вряд ли понимал их буквально и он сам. Но если прочесть их в надлежащей транскрипции, то они, пожалуй, выражают в некотором смысле господствующее умонастроение математиков до нашего времени включительно.

Этим я хочу сказать, что натуральный ряд и сейчас является единственной математической идеализацией процессов реального счета[182]. Это монопольное положение осеняет его ореолом некой истины в последней инстанции, абсолютной, единственно возможной, обращение к которой неизбежно во всех случаях, когда математик работает с пересчётом своих объектов. Более того, так как физик использует лишь тот аппарат, который предлагает ему математика, то абсолютная власть натурального ряда распространяется и на физику и – через посредство числовой прямой – предопределяет в значительной степени возможности физических теорий.

Быть может, положение с натуральным рядом в настоящее время имеет смысл сравнить с положением евклидовой геометрии в XVIII в., когда она была единственной геометрической теорией, а потому считалась некой абсолютной истиной, одинаково обязательной и для математиков, и для физиков. Считалось само собой понятным, что физическое пространство должно идеально точно подчиняться евклидовой геометрии (а чему же ещё?). Подобно этому мы считаем сейчас, что пересчёт как угодно больших материальных совокупностей, измерение как угодно больших расстояний в физическом пространстве и т. п. должны подчиняться существующим схемам натурального ряда и числовой прямой (а чему же ещё?).

Разница лишь в том, что на первый вопрос в скобках дало ответ развитие науки в XIX–XX вв. (неевклидова геометрия, а позже теория относительности), а на второй, как мне кажется, ответ предстоит ещё дать.

Я хорошо понимаю, что те соображения на эту тему, которые меня давно занимают, ориентировочны и бездоказательны, но всё же в порядке постановки вопроса решаюсь их высказать.

Процесс реального счёта физических предметов в достаточно простых случаях доводится до конца, приводит к однозначно определённому итогу (число присутствующих в зале, например). Именно эту ситуацию берёт за основу теория натурального ряда и в идеализированном виде распространяет её «до бесконечности». Грубо говоря, совокупности большие предполагаются в каком-то смысле столь же доступными пересчёту, как и малые, и со столь же однозначным итогом, хотя бы реально этот пересчёт и был неосуществим. В этом смысле наше представление о натуральном ряде похоже на зрительное восприятие панорамы, скажем панорамы какого-либо исторического сражения. На первом плане на реальной земле расположены реальные предметы: разбитые пушки, расщеплённые деревья и т. п.; затем всё это незаметно переходит в раскрашенный холст с точным расчётом на обман даже очень внимательного глаза.

В рамках математической теории подобная идеализация процесса счёта, разумеется, вполне законна. Но ввиду единственности теории эта точка зрения автоматически навязывается и физике; однако здесь вопрос поворачивается по-другому. В самом деле, пусть мы хотим узнать, сколько молекул газа заключено в данном сосуде. Должны ли мы искать ответ в виде совершенно точно определённого целого числа? Оставим в стороне вопрос о ненужности такой «точности» для физики, не будем останавливаться и на фактической трудности задачи. Гораздо более важной для нас является её принципиальная неосуществимость: молекулы газа взаимодействуют со стенками сосуда, испытывают различные превращения и т. п., а потому наша задача просто не имеет определённого смысла. Физик вполне удовлетворяется – в этом и в аналогичных случаях – достаточно хорошим приближённым ответом. Из этого примитивного примера можно усмотреть некоторый намёк. А именно: можно думать, что математик предлагает физику не совсем то, что тому нужно. Духу физики более соответствовала бы математическая теория целого числа, в которой числа, когда они становятся очень большими, приобретали бы в каком-то смысле «размытый вид», а не являлись строго определёнными членами натурального ряда, как мы это себе представляем. Существующая теория, так сказать, переуточнена: добавление единицы меняет число – а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом? Если мы согласимся принять эти соображения хотя бы за отдалённый намёк на возможность математической теории нового типа, то в ней прежде всего пришлось бы отказаться от идеи, что любой член натурального ряда получается последовательным насчитыванием единиц – идеи, которая буквально, конечно, не формулируется в существующей теории, но косвенно провоцируется принципом математической индукции. Вероятно, для «очень больших» чисел присчитывание единицы вообще не должно их менять (возражение, что, присчитывая единицы, можно «присчитать» и любое число, не котируется в силу только что сказанного выше).

Разумеется, числа этой гипотетической теории были бы объектами другой природы, чем числа натурального ряда. Можно предполагать, что почти совпадение имело бы место лишь для начальных отрезков существующего и гипотетического натуральных рядов, а по мере удаления по ним различие их структуры должно возрастать; в гипотетическом натуральном ряде началось бы нечто вроде «принципиального сбивания со счёта», и он (ряд), всё более «размываясь», приобретал бы в каком-то смысле черты непрерывной структуры числовой прямой. Можно догадываться даже, что математическая индукция при этом приняла бы своеобразные черты – промежуточные между индукцией обычной и, например, интегрированием дифференциального уравнения у' = f(x, у) (здесь как бы вместо перехода п → п + 1 мы применяем переход х → х + dх).

Быть может, имеет смысл сделать такое замечание. В современных космологических теориях само собой разумеется, что сколь угодно большие космические протяжённости должны описываться на основе существующих математических представлений о натуральном ряде и числовой прямой. Но так ли это очевидно? Вспомним, что ещё в 1900-х гг. физики обсуждали вопрос о геометрической форме электрона. Считалось вполне осмысленным предположение, что электрон по своей геометрии не отличается от бильярдного шарика очень малого размера. Другими словами, считалось, что наши геометрические представления полностью применимы к обьектам микромира; только последующее появление и развитие квантовой механики показало абсурдность этой «очевидной» точки зрения.

Не следует ли ожидать, что в области очень больших протяжённостей нас ещё ждут сюрпризы, подобные встретившимся в области протяжённостей очень малых (но, конечно, сюрпризы совсем другого стиля). И не исключено, что описание ситуации потребует существенно иных конструкций в самом математическом фундаменте, т. е. наших представлениях об очень больших числах.

Впрочем, возможно, что нам даже не придётся углубляться в космос для проверки того, насколько очень большие материальные совокупности на самом деле подчиняются счёту на основе теории натурального числа. Возможно, что какое-нибудь из следующих поколений ЭВМ достигнет столь гигантских возможностей в смысле количества производимых операций, что соответствующие эксперименты станут реальными.

Ещё одно замечание в сторону. Знаменитые отрицательные результаты Гёделя 1930-х гг. в своём фундаменте исходят из убеждения: сколько бы ни продолжать построение метаматематических формул для данной (полностью формализованной) математической теории, принципы пересчёта и упорядочения формул остаются обычными, т. е. подчинёнными схеме натурального ряда. Разумеется, это убеждение даже не оговаривалось, настолько оно считалось очевидным.

Между тем построение метаматематических формул – это реальный физический процесс, производимый человеком или, как стало возможно в последнее время, машиной.

Если мы откажемся от догмата, что натуральный ряд идеально приспособлен для описания любых сколь угодно больших материальных совокупностей, то становятся сомнительными и результаты Гёделя; точнее, их придётся рассматривать, возможно, как утверждения, относящиеся не к реальному развитию данной формализованной математической теории, а к условному, идеализированному её развитию, когда при пересчёте формул, сколь много бы их ни было, и при описании их структуры, сколь громоздка ни была бы она, мы считаем законным применять схему натурального ряда. На это дополнительное условие, в сущности, и опирается тонкая игра Гёделя с двойным, математическим и метаматематическим, толкованием некоторых сконструированных им соотношений. Не успокаивает и финитность конструкций Гёделя: при полной расшифровке сокращений (что в данном контексте является принципиальным) его конструкции становятся чрезвычайно сложными, явно не выписываются, и сомнения, высказанные раньше насчёт поведения «очень больших» совокупностей, напрашиваются и здесь.

Наша гипотетическая реформа числового ряда должна, конечно, сопровождаться соответствующей реформой числовой прямой; как уже упоминалось, реформированный натуральный ряд в своих удалённых областях как бы станет походить на (реформированную) числовую прямую. И эта «реформированная» числовая прямая должна отличаться от обычной тоже некоторой размытостью своих элементов: сколь угодно точные рациональные приближения вещественных чисел возможны именно потому, что мы пользуемся обычным натуральным рядом, элементы которого определены абсолютно точно, сколь далеко мы ни зашли бы. Но если при удалении по натуральному ряду возникает возрастающая размытость его элементов, она передаётся и дробям с большими знаменателями, и мы доходим до оптимальной возможной точности в оценке (реформированных) вещественных чисел, может быть, раньше, чем знаменатель успеет «устремиться к бесконечности».

Если здесь снова вспомнить о физике, то нам придётся как бы повторить сказанное ранее, но под другим углом зрения. Вещественное число имеет в физике смысл результата измерения. Разумеется, любое измерение производится лишь с какой-то степенью точности, и та «идеальная точность», которую предлагает математика в понятии вещественного числа, физику не требуется. Однако до сих пор не существует иного способа создания физических теорий с математическим аппаратом. Что это – неизбежное, роковое обстоятельство или «просто» результат несуществования математической теории, о которой здесь идёт речь и в которой идея «приближённости» будет заложена органически; в которой «точное» будет в то же время означать в каком-то смысле «оптимально приближённое»?

Если бы такая теория стала реальностью, то можно было бы думать о новой трактовке дуализма «волна – частица» в квантовой механике и даже мечтать об автоматическом исчезновении расходимостей релятивистской квантовой механики, после того как точки пространства-времени утратят свою резкую определённость и приобретут чуть-чуть размытый вид.

Не следует ожидать, что наша гипотетическая теория, если ей когда-нибудь суждено появиться на свет, будет единственной; наоборот, она должна будет зависеть от каких-то «параметров» (по своей роли отдалённо напоминающих радиус пространства Лобачевского, когда мы отказываемся от евклидовой геометрии в пользу геометрии неевклидовой). Можно ожидать, что в предельном случае гипотетическая теория должна будет совпадать с существующей.

Построение подобной теории (если вообще верить в его возможность) будет очень трудным, но не совсем в том смысле, как бывают трудны математические проблемы типа «доказать или опровергнуть данное утверждение». Видимо, сама её логическая структура должна сильно отклоняться от общепринятых схем. Для примера: в обычной математической теории считается, что любой объект, участвуя в конструкции другого объекта, сам от этого не меняется и тем более не исчезает. Так, сопоставляя числам а, b их сумму а + b, мы в то же время сохраняем в своём распоряжении и прежние числа. Заметим, что этот принцип, общепринятый в математике, несколько парадоксален с точки зрения материальных прообразов математических операций. Так, «сложив» два мешка зерна путём ссыпания их в третий мешок, мы получим «сумму», но безвозвратно потеряем «слагаемые». Восстановить же их мы можем лишь приближённо. Возможно, и в нашей гипотетической теории придётся принять, что участие объекта в конструировании другого объекта некоторым образом влияет на первый объект, вызывая в нём какие-то изменения. Это не нужно, конечно, понимать как определённое предложение; я хочу лишь пояснить, какого рода могло бы быть серьёзное отклонение логической структуры от обычной.

Возможен и другой вариант сказанного. Обычную точку зрения можно трактовать так: любой объект существует в неограниченном количестве абсолютно одинаковых копий, и, когда одна из них «истрачена» на конструкцию другого объекта, остаётся сколько угодно других. Возможно, в нашей гипотетической теории придётся отказаться от абсолютной одинаковости «копии» и принять, что они «изготовляются» в пределах некоторых «допусков». Кстати, это хорошо соответствует идее «размытости» объектов теории, о чём говорилось ранее.

Заканчивая эту заметку, я понимаю, конечно, что ничего не доказал, да и не пытался что-либо доказать. Я хотел только привлечь внимание к проблематике, которую смог обрисовать – это также нужно признать – лишь весьма туманно. Но обрисовать её более ясно – это уже означало бы продвинуться и в её решении.

Мне неизвестны какие-либо печатные материалы по затронутой теме, но в устной передаче я слышал, что о ней думали; по-видимому, в чём-то родственные соображения относительно натурального ряда высказывал в своё время Н. Н Лузин.

Сведения о предыдущих публикациях статей

Все статьи сборника были в своё время опубликованы. Шесть из них – в книге: Успенский В. А. Труды по нематематике: В 2 т. Т. 1. – М.: ОГИ, 2002. – 580 с. Ниже при ссылках сокращённо обозначается так: [ТпН-1].

Для данного издания все статьи – за исключением, разумеется, не принадлежащих автору и включённых в качестве приложений I и II – перерабатывались, причём в отдельных случаях довольно существенно. Таким образом, указанные ниже предыдущие варианты могут значительно отличаться от публикуемых в этом сборнике.

1. Из предисловия к сборнику переводов «Математика в современном мире»

а. Математика в современном мире / Пер. с англ. Н. Г. Рычковой. – М.: Мир, 1967. – С. 5–11.

б. [ТпН-1]. С. 266–273.

2. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера

а. Знамя. 2007. № 12. С. 165–173.

б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 5–51.

3. Апология математики, или О математике как части духовной культуры

а. Новый мир. 2007. № 11. С. 127–149; № 12. С. 123–149. (Приложение к главе 3 публиковалось в качестве отдельной статьи в продолжающемся издании: Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. XIII. – М.: Янус-К, 2009. – С. 273–283.)

б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 52–285.

4. О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'

а. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. – М.: Физматлит, 1965. – С. 12–24.

б. [ТпН-1]. С. 163–173.

в. Шиханович Ю. А. Введение в математику. – М.: Научный мир, 2005. – С. 16–27.

г. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 286–299.

5. Из книги «Что такое аксиоматический метод?»[183]

а. [ТпН-1]. С. 27–41.

б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 300–322.

6. Простейшие примеры математических доказательств

а. Успенский В. А. Простейшие примеры математических доказательств. – М.: Изд-во МЦНМО, 2009. (Библиотека «Математическое просвещение». Вып. 34.)

б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом «Амфора»», 2015. С. 323–398.

7. Семь размышлений на темы философии математики

а. Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты / Отв. ред. М. И. Панов. – М.: Наука, 1987. – С. 106–155.

б. [ТпН-1].С. 63–110.

в. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. С. 399–470.

8. Опыт применения математики к филологии: анализ фрагментов текстов Гоголя и Достоевского (под названием «К проблеме линейности языка: по поводу одного недоумения князя Л. Н. Мышкина»)

а. Вопросы филологии. 1999. № 3. С. 34–42.

б. [ТпН-1]. С. 562–576.

9. Колмогоров [Статья для философской энциклопедии]

а. Новая философская энциклопедия: В 4 т. Т. 2. – М.: Мысль, 2001. – С. 272–274.

б. [ТпН-1]. С. 21–26.

10. Приложение I. А. Н. Колмогоров. Современные споры о природе математики

а. Научное слово. 1929. № 6. С. 41–54.

б. Проблемы передачи информации. 2006. Т. 42. Вып. 4. С. 146–158. [С комментариями В. А. Успенского, но без комментариев редакции «Научного слова».]

в. Колмогоров А. Н. Избранные труды: В 6 т. Т. 4: Математика и математики. Кн. 1: О математике / Отв. ред. и сост. А. Н. Ширяев. Подготовка текста Т. Б. Толозова, Н. Г. Xимченко. – М.: Наука, 2007. – С. 259–271. [С комментариями редакции «Научного слова», но без комментариев В. А. Успенского.]

11. Приложение II. П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда

Успехи математических наук. 1973. Т. 28. Вып. 4 (172). С. 243–246.

12. Математика языка

а. B. H. Partee, A. ter Meulen, R. E. Wall. Mathematical Methods in Linguistics. – Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1990. – 663 p. (Studies in Linguistics and Philosophy. Vol. 30.)

б. Математическая составляющая / Ред. – сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. – М.: Фонд «Математические этюды», 2015. – С. 98–103.

13. О «Лингвистических задачах» А. А. Зализняка

Предисловие / Зализняк А. А. Лингвистические задачи / С предисловием В. А. Успенского. – 2-е изд. – М.: МЦНМО, 2013. – С. 1–5.

Сноски

1

Сведения о предыдущих публикациях приведены в конце настоящего издания.

2

Прошу читателя иметь в виду, что этот текст впервые был опубликован в 1967 г. К этому периоду и следует относить слово «современный».

3

Множество – принятый в математике синоним слова «совокупность».

4

На первый взгляд кажется непостижимым, что у такого «наглядного понятия», как совокупность, могут быть разные математические модели; но ведь в прошлом веке, да и сейчас ещё, многим было столь же непонятно, что возможны различные математические модели «наглядного» представления о расположении прямых на плоскости.

5

Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965. С. 23.

6

Колмогоров А. Н. Простоту – сложному // Известия. 1962. 31 дек.

7

Колмогоров А. Н. Новгородское землевладение XV века. – М.: Физмат-лит, 1994.

8

Проблема четырёх красок заключается в требовании доказать следующий факт: любую мыслимую карту можно так раскрасить в четыре цвета, чтобы страны, имеющие общую границу, всегда были окрашены в разные цвета. Проблема ждала решения более ста лет.

9

Близнецами называются такие два простых числа, разность между которыми равна двум: например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. Неизвестно, конечным или бесконечным является количество близнецовых пар; в требовании дать ответ на этот вопрос и состоит проблема близнецов. (Напомним, что простым называется такое большее единицы целое число, которое делится без остатка только на само себя и на единицу.)

10

Было бы хорошо, если бы и некоторые гуманитарные тексты, в частности все тексты исторической науки, писались с такой же безоценочной бесстрастностью.

11

Talmy Leonard. Toward a Cognitive Semantics. Vol. 1. The MIT Press, 2000. P. 314. (http://linguistics.bufalo.edu/people/faculty/talmy/talmyweb/Volumel/chap5.pdf)

12

В оригинале: «The bike is near the house» и «The house is near the bike».

13

Математикам, впрочем, иногда нравится обыгрывать указанную омонимию в каламбурах: И до боли жаждет воли / Истомившийся от бега / По борелевскому полю / Измеримых по Лебегу. Те множества, которые являются измеримыми по Лебегу, действительно образуют борелевское поле, но бежать по нему, разумеется, невозможно.

14

Положение, принимаемое без доказательств (мат.). || Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.) (Толковый словарь русского языка / Под ред. Д. Н. Ушакова. – М., 1935–1940.).

15

Крысин Л. П. Толковый словарь иноязычных слов. – 2-е изд., доп. – М., 2000.

16

Захаренко Е. Н., Комарова Л. Н., Нечаева И. В. Новый словарь иностранных слов. – М., 2003.

17

Задача для развлечения нематематика: продолжить последовательность чисел 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; ….

18

Зализняк А. А. Лингвистика по А. Т. Фоменко // Успехи математических наук. 2000. Т. 55. Вып. 2. С. 162–188. И подробнее: Зализняк А. А. Из заметок о любительской лингвистике. – М., 2009. – 240 с.

19

Зализняк А. А. Похвала филологии. М., 2007. С. 79. А также: Зализняк А. А. Из заметок о любительской лингвистике. М., 2009. С. 210.

20

Константин Алексеевич Куликов вообще щедро делился со студентами замечательными подробностями из истории науки. Так, из его лекций я узнал, что знаменитый датский астроном XVI в. Тихо Браге, чьим именем названы кратеры на Луне и на Марсе, лишился части носа во время дуэли и носил протез. Уже в передаче до меня дошёл такой его рассказ. В конце XVIII в. на Сухаревской башне была установлена зрительная труба. Образованные барышни, зная о способности трубы показывать перевёрнутое изображение, старательно придерживали юбки.

21

Сказанному, впрочем, отчасти противоречат данные Всероссийского центра изучения общественного мнения (ВЦИОМ). Как явствует из его пресс-выпуска № 679 от 20.04.2007 (выложенного в интернете по адресу http://wciom.ru/novosti/press-vypuski/press-vypusk/single/4448.html), на вопрос «Согласны ли вы со следующим утверждением: "Солнце обращается вокруг Земли"?» правильный ответ дали 67 % россиян, неправильный – 28 %, затруднились с ответом 5 %. Я не осмеливаюсь согласиться с тем, что лишь не более чем 67 % моих соотечественников являются «культурными людьми». (То обстоятельство, что, по данным ВЦИОМ, те же цифры с точностью до 1 % дал аналогичный опрос в странах Европейского союза, служит слабым утешением.) Приходится признать, что мои представления об исключительности астрономических познаний (точнее, невежества) Холмса неверны. Однако не следует забывать и знаменитое высказывание Корнея Ивановича Чуковского. Когда его упрекнули в наивности: и как это он не понимает, что все его усилия в защиту чистоты русского языка напрасны, – Чуковский возразил: «Я понимаю, но партия учит нас, что новое должно рождаться в борьбе со старым». В данном случае старым, по-видимому, является гелиоцентрическая система Коперника, а новым – приходящие ей на смену невежественные представления.

22

Впрочем, озарение снизошло на Швейкарта (Ferdinand Karl Schweikart, 1780–1857), когда он находился в России. С 1811 по 1816 г. (по другим источникам – с 1812 по 1817 г.) Швейкарт состоял ординарным профессором древних прав Харьковского университета. В «Энциклопедическом словаре» Брокгауза и Ефрона (2-й дополнительный том, или 4-й полутом, с. 880) сообщается, что Фердинанд Львович Швейкарт читал лекции на латыни. О том, что к неевклидовой геометрии Швейкарт пришёл именно в харьковский период своей жизни, свидетельствует письмо ученика Гаусса Х. Л. Герлинга (Christian Ludwig Gerling, 1788–1864), своему учителю от 26 февраля 1844 г., в котором он, благодаря Гаусса за указания на труды Лобачевского, прибавляет: «Das russische Steppenland scheint demnach doch ein geeigneter Boden für diese Speculationen, denn Schweikart (jetzt Professor in Königsberg) ersann seine Astral-Geometrie während er in Charkov war» [ «Русские степи, должно быть, благоприятная почва для этих изысканий, потому что Швейкарт (сейчас профессор в Кёнигсберге) придумал свою астральную (звёздную) геометрию, будучи в Харькове»].

Просвещённого читателя может удивить, что выше не упомянуто имя великого венгерского геометра Бóйаи. Увы, автор не знает, допускал ли Бóйаи возможность неевклидова строения реального мира.

23

Автор просит не допытываться у него, что значит «в реальности»: он всё равно не сумеет ответить.

24

Манин Ю. И. Математика как метафора. М., 2008. С. 20.

25

Это из Пушкина, из «Заметки о "Графе Нулине"».

26

Он прославился тем, что в 1934 г. решил одну из труднейших проблем алгебраической теории чисел, входящую в список знаменитых «проблем Гильберта».

27

Воинствующие феминистки могут не беспокоиться: стервозная вдова Вольфскеля была богата.

28

Singh S. Fermat's Last Theorem. Русский перевод этой книги, прекрасно выполненный Ю. А. Даниловым, был в 2000 г. издан Московским центром непрерывного математического образования (МЦНМО) довольно большим по нынешним временам, пятитысячным тиражом. Бросающимся в глаза недостатком этого русского издания является отсутствие в нём подробного оглавления, а также именного и предметного указателей. Зато и то, и другое, и третье есть на сайте издания http://www.ega-math.narod.ru/Singh/FLT.htm. Условия конкурса помещены в книге в главе 3.

29

Не путать с сотрудником Математического института Академии наук Николаем Николаевичем Андреевым, замечательным просветителем, создателем «Математических этюдов» (см. http://www.etudes.ru).

30

Конечно, 75 тысяч марок меньше тех 600 тысяч, которые Уайлс получил бы, если бы премия хранилась в золоте, а тем более меньше 1,7 млн долларов (суммы, вычисленной исходя из того соображения, что в течение ХХ в. покупательная способность золота упала примерно впятеро). Забавно, что ошибка, содержавшаяся в доказательстве 1993 г. и исправленная в публикации 1995 г., принесла Уайлсу дополнительные 5 тысяч марок. Если бы правильное доказательство было опубликовано в 1993 г., то через два года после публикации, в 1995 г., Уайлс получил бы 70 тысяч марок, а с 1995 по 1997 г. успели нарасти проценты.

31

Никома́х из Гера́сы, Никома́х Гера́сский (1-я половина II в. н. э.) – древнегреческий философ. Гераса, в которой жил Никомах, – это современный Дже́раш, или Джа́раш, на севере Иордании.

32

Псевдослучайное число – это число, которое получено при помощи компьютерной программы и потому не может быть случайным, но очень похоже на случайное. Оно обладает рядом важных свойств числа, полученного случайно (например, при помощи подбрасывания монеты).

33

GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) – широкомасштабный проект добровольных вычислений по поиску простых чисел Мерсенна.

34

EFF (Electronic Frontier Foundation) – основанная в июле 1990 г. в США некоммерческая правозащитная организация с целью защиты – в связи с появлением новых технологий связи – прав, заложенных в Конституции и Декларации независимости.

35

Она представляет собой заключительную, 19-ю теорему статьи Эйлера (на латинском языке, как тогда было принято), опубликованной в 1744 г. в российском научном журнале «Записки Петербургской академии наук» (Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae). Статья называется «Различные наблюдения о бесконечных рядах» («Variae observationes circa series infinitas»), и всякий желающий может увидеть её оригинал в интернете на сайте http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E072.pdf.

36

Хотя и доказано, что совокупность эта ограничена, неизвестно, каким именно числом она ограничена: до сих пор не найдено ни одного её верхнего ограничителя. Доказательство Бруна представляет собой пример того, что в математике называется доказательством чистого существования. Оно доказывает существование объекта с требуемыми свойствами, но не содержит каких-либо указаний на конкретный объект с подобными свойствами. В данном случае таким объектом является верхний ограничитель.

37

Точнее, доктором философии. Это высшая американская учёная степень, примерно соответствующая принятой у нас степени кандидата наук.

38

Среди прочих наград была премия Коула (Cole prize), учреждённая в память об американском математике Фрэнке Нельсоне Коуле (Frank Nelson Cole, 1861–1926). В 1903 г. Коул сделал памятный доклад на заседании Американского математического общества, предъявив делители числа Мерсенна M67. Тот факт, что число M67, включённое Мерсенном в список простых чисел, не является простым, был известен (это доказал ещё французский математик Люкá в 1876 г.), но делители его оставались неизвестными. Во время доклада Коул подошёл к доске и в полной тишине вычислил значение M67, получив 147 573 952 589 676 412 927. Затем он перешёл на другую сторону доски и написал выражение 193 707 721 · 761 838 257 287. После этого он провёл нужные вычисления вручную и, когда оба результата совпали, вернулся на своё место, так и не произнеся ни слова. Слушатели отметили его выступление аплодисментами стоя. Позднее он сказал, что поиски делителей заняли у него «три года воскресений».

39

Выражение log(n) – одно из общепринятых обозначений натурального логарифма числа n, т. е. логарифма по основанию e, где e – иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828459045. Мнемонический приём для запоминания начала десятичной записи этой важнейшей константы таков: «2,7», затем «дважды Лев Толстой» (1828 – год рождения Толстого), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

40

Соответствующий фрагмент письма Гольдбаха Эйлеру воспроизводится в нашей статье «К истории проблемы Гольдбаха», которая помещена в качестве приложения к настоящей главе. Мы будем придерживаться современного понимания термина «гипотеза Гольдбаха».

41

Соответствующий фрагмент письма Эйлера приведен в приложении к настоящей главе, помещённом после данного очерка.

42

Оно приведено в настоящем сборнике в статье «Простейшие примеры математических доказательств». См. пример 18 в § 6.

43

Оно приведено, в частности, в настоящем сборнике в статье «Простейшие примеры математических доказательств». См. пример 11 в § 5.

44

Примечание для тех, кто интересуется лингвистической семантикой. Считательные числа по своему смыслу близки к порядковым. По форме же выражения в русском языке они все, кроме числа раз, не отличаются от количественных чисел.

45

В школе вместо «конгруэнтны» обычно говорят «равны».

46

Пер. с фр. Н. Мавлевич.

47

Сдержанность в этом вопросе российского ионесковедения объясняется, возможно, тем, что в некоторых русских переводах (например, вошедшем в книгу: Ионеско Э. Носорог: Пьесы и рассказы / Пер. с фр. – М., 1991. – C. 208) приведены иные цифры, нежели во французском оригинале. Мы сверили этот перевод с двумя изданиями, выпущенными в 1954 г. известным парижским издательством «Галлимар» (Gallimard): 1) Ionesco E. Théâtre. V. 1. P. 73 и 2) Ionesco E. La cantatrice chauve, suivi de La leçon. P. 114. Для полной ясности приведём французский текст. Вопрос Учителя звучит так: «‹…› Combien font, par exemple, trois milliards sept cent cinquante-cinq millions neuf cent quatre-vingt-dix-huit mille deux cent cinquante et un, multiplié par cinq milliards cent soixantedeux millions trois cent trois mille cinq cent huit?» На что Ученица сразу же отвечает: «Ça fait dix-neuf quintillions trois cent quatre-vingt-dix quadrillions deux trillions huit cent quarante-quatre milliards deux cent dix-neuf millions cent soixante-quatre mille cinq cent huit. ‹…›

48

Пер. с исп. А. Борисовой.

49

[Феликс] Хаусдорф (Felix Hausdorff, 1868–1942) – выдающийся немецкий математик, заложивший основы современной общей топологии. Покончил жизнь самоубийством в Бонне, узнав о предстоящей отправке его с семьей в гитлеровский концлагерь.

50

Её русское издание, выпущенное в 1937 г. Гостехиздатом тиражом 4000 экземпляров, до определённой степени является новой книгой. Оно было не только отредактировано П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым, но и существенно ими дополнено. В середине XX в. для многих российских математиков это издание было настольным руководством.

51

Сейчас для немецкого Mannigfaltigkeit стандартным русским переводом в математическом контексте служит термин «многообразие».

52

Cantor G. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre // Matematische Annalen. 1885. Bd. 46. S. 481. Русские переводы этой и других статей Кантора можно найти в издании: Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985.

53

Речь идет о знаменитом фильме 1970-х гг. «Семь невест ефрейтора Збруева».

54

Так в оригинале.

55

Благодарю В. И. Беликова, подсказавшего мне это свидетельство.

56

В восьмитомнике В. А. Каверина (1980) этот персонаж носит фамилию Ногин.

57

Сообщено Н. М. Якубовой.

58

Cписано с сайта «Эха Москвы». Этот пример указан мне Г. М. Полотовским.

59

Мы предпочли бы сказать «не конгруэнтные».

60

По-русски эту фамилию часто пишут как Больяй, хотя наиболее близким к венгерскому произношению является написание Бояи.

61

Юрист и математик Франц Адольф Тауринус (Franz Adolf Taurinus, 1794–1874) допускал под влиянием дяди возможность существования неевклидовой геометрии, но свою брошюру 1826 г., содержащую это допущение, сжёг. Труды Тауринуса были обнаружены только после его смерти.

62

Другой русский перевод, озаглавленный «Геометрические исследования по теории параллельных линий», который выполнил, прокомментировал и снабдил вступительной статьёй Вениамин Фёдорович Каган (1869–1953), известный специалист в области оснований геометрии, вышел в 1945 г. отдельным изданием, а также в составе полного собрания сочинений Лобачевского.

63

Лобачевский был ректором Казанского университета с 1827 по 1846 г. Именно на его имя как ректора Лев Толстой писал прошение о приёме в число студентов.

64

Уильям Клиффорд (William Kingdon Clifford, 1845–1879) – один из основоположников векторного исчисления, автор терминов «ротор» и «дивергенция», предвосхитивший Эйнштейна в предположении, что гравитация имеет геометрическую природу.

65

Напомним, что в 11-й аксиоме (чаще называемой 5-м постулатом) Евклида говорится о свойстве параллельности в евклидовой геометрии.

66

См. http://www.claymath.org/sites/default/files/milleniumprizefull.pdf

67

Некоторое представление о том, что думают математики о себе и своей науке, даст читателю следующая цитата из речи президента XVII конгресса: «Почему же тогда мы с вами съехались со всех уголков земли? Что нас объединяет? Наверное, то, что мы ценим узоры абстракций и стремимся к порядку, истине и красоте в мире, полном путаницы, обмана и скверны».

68

Монастырский М. И. Пятьдесят лет дружбы. Неюбилейные заметки к юбилею Григория Маргулиса // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 13 (48). М., 2009. С. 321–322.

69

Автор цитаты ссылается здесь на книгу: Lehto Olli. Mathematics without Borders: A History of International Mathematical Union. Springer, 1998. XVI. 399 p.

70

Утвердить неформально: решения Филдсовского комитета не нуждаются в чьём-либо формальном утверждении.

71

Статья для энциклопедии – трудный жанр (труднее, пожалуй, писать лишь статьи для толкового словаря). В пределах же статьи самое сложное – это дефиниция. Колмогоров поручил мне, тогда его аспиранту, написать статью «Рекурсивные функции» для 2-го издания Большой Советской Энциклопедии. Содержащий эту статью 36-й том вышел осенью 1955 г. Статью я написал, но вот на дефиниции споткнулся и с этой проблемой пришёл к Колмогорову. Рукой мастера, одним мазком кисти поправляющего картину незадачливого ученика, Колмогоров написал: «Рекурсивные функции – термин, употребляемый в современных исследованиях по основам арифметики».

72

На смену семилетке давно уже пришла девятилетка, место десятилетки заняла одиннадцатилетка. В наши дни Колмогоров вынужден был бы говорить о девяти- и одиннадцатилетнем образовании

73

Тем не менее они, на мой взгляд, были и остаются лучшими из наших школьных учебников математики. «Почему надо вернуться к Киселёву?» – так называется информативная и убедительная статья И. П. Костенко в журнале «Университетская книга» (2007, № 10, с. 32–39).

74

Напечатано без перемен с 24-го.

75

Допущена Уч. Ком. Мин. Нар. Пр. в качестве руководства для средних учебных заведений мужских и женских; рекомендована Учебн. Ком. при Св. Синоде для употребления в духовных заведениях в качестве учебного пособия; одобрена Деп. Торг. и Мануф. для коммерческих училищ в качестве пособия; рекомендована как руководство для кадетских корпусов.

76

Согласно толковому словарю Ушакова, бублик – это «толстая баранка из заварного теста».

77

У профессиональных математиков это «иногда» превращается в «очень часто».

78

Ссылки на рисунки в учебнике Киселёва заменены ссылками на рисунки настоящего издания.

79

Такое изучение составляет предмет особого и притом довольно сложного раздела математики – теории узлов.

80

Здесь: общее, поверхностное впечатление (англ.).

81

Пер. с англ. Н. Морозова.

82

Из этих мостов осталось только три: Медовый (превращённый в пешеходный), Деревянный (реконструированный в 1904 г.) и Высокий. (Впрочем, от старого Высокого моста сохранились только опоры, а сам он был в 1938 г. снесён и заменён новым Высоким мостом, воздвигнутым в нескольких десятках метров от старого.)

83

В главе 11 такие поверхности будут названы компактными двумерными многообразиями без края.

84

Указание на трёхмерное пространство исключает неориентируемые поверхности, о которых пойдет речь в главе 12.

85

Именно такая терминология, в которой термин «многообразие» означает то, что в другой терминологической системе называется многообразием без края, применена в статье «Многообразие» в 16-м томе 3-го издания Большой Советской Энциклопедии. Эту статью, которую её автор, замечательный математик Николай Владимирович Ефимов, написал простым и ясным языком, мы настоятельно рекомендуем нашему читателю. Кстати, её можно найти в интернете.

86

В советское время сиденья для унитаза имели другую форму – с прорезью спереди. Этот образ важнейшего предмета повседневной жизни настолько въелся в сознание советских людей, что иные и сегодня, будучи спрошены, полагают, что в их квартире сиденье имеет прорезь, и приходят в изумление, обнаружив отсутствие таковой.

87

Следуя духу последних веяний, следовало бы сказать «наноскопическое». А ближе к тому, что мы хотим выразить, – «бесконечно малое».

88

Коллег-математиков, которым попадётся на глаза эта страница, смиренно прошу не подвергать меня остракизму за отклоняющееся от принятой терминологии использование слова «окрестность».

89

Когда я был студентом, на московских топологических семинарах иногда говорили «ошкурённый». Именно так выражался один из основателей московской топологической школы Павел Сергеевич Александров.

90

Рис. 14–16 заимствованы из трёхтомной монографии «Математика, её содержание, методы и значение», изданной Академией наук СССР в 1956 г., точнее, из написанной для неё П. С. Александровым главы XVIII «Топология».

91

См. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0 %BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F.

92

Листинг вообще был мастер придумывать термины, становившиеся широко употребительными. Среди его находок – «узловая точка», «геоид» (для обозначения фигуры Земли), «микрон» (для обозначения миллионной доли метра).

93

Unter der Topologie soll also die Lehre von den modalen Verhältnissenräumlicher Gebilde verstanden werden, oder von den Gesetzen des Zusammenhangs, der gegenseitigen Lage und der Aufeinanderfolge von Punkten, Linien, Flächen, Körpern und ihren Teilen oder ihren Aggregaten im Raume, abgesehen von den Mass- und Grössenverhältnissen.

94

В наши дни топология – один из крупных разделов математики. Целые две кафедры мехмата МГУ имеют слово «топология» в своих названиях – кафедра высшей геометрии и топологии и кафедра общей топологии и геометрии.

95

Женитьба обернулась для Листинга форменным несчастьем. Дурное обхождение его супруги Паулины с прислугой было притчей во языцех. Чете Листинг приходилось часто менять квартиры, поскольку Паулина не могла наладить нормальных отношений с хозяевами. Деньги она тратила неуёмно, залезала в долги (доводившие Листингов до судебных разбирательств) и в конце концов привела семью к почти полному финансовому краху.

96

Национальная его принадлежность не вполне ясна: Ботт родился в Венгрии, детство провёл в Словакии, дома у него говорили по-немецки, во время Второй мировой войны он служил в канадской армии, а работал бóльшую часть жизни в США.

97

Этот многим знакомый пример ленты Мёбиуса автор узнал от Г. Б. Шабата.

98

Так случилось с работой гениального французского математика Эвариста Галуа (Évariste Gaqlois, 1811–1832).

99

Журнальный вариант статьи был опубликован в 11-м и 12-м номерах «Нового мира» за 2007 г.

100

Не хотелось бы уподобиться филологу Юрию Владимировичу Рождественскому, который как заведующий кафедрой филфака МГУ шесть с лишним лет, с 1982 по 1988 г., курировал преподавание математики на этом факультете. Он прочёл мне небольшую лекцию о том, как надо её преподавать: «Главное в математике – это число, число в платоновском смысле. Вот этому понятию и надо обучать студентов в первую очередь. Раскрывать им смысл чисел: один – это единство мира, два – это его дуальность, три – это троичность, четыре – это четыре стороны света или четыре стихии…» И так далее.

101

Они упоминаются в главе 12.

102

На самом деле подразумевается, что оно больше 2. Число 35 разбить на два простых слагаемых невозможно.

103

В латинском оригинале трактат называется Introductio in analysin infinitorum, что при дословном переводе означает «Введение в анализ бесконечных». Почему тем не менее использованное Эйлером греко-латинское словосочетание «analysis infinitorum» (в заглавии книги оно стоит в винительном падеже) и в самом деле следует переводить как «анализ бесконечно малых», требует отдельного историко-математического объяснения.

104

Следует сказать, что термин «слабый» (weak) в данном контексте характерен для англоязычной литературы, в русскоязычной он практически не встречается.

105

В интернете наблюдается ещё бóльшая путаница. Например, на сайте http://explanation-guide.info/meaning/Goldbach's-weak-conjecture.html в самом начале страницы приводятся оба варианта слабой гипотезы и без какого-либо обоснования голословно утверждается, что они эквивалентны.

106

Имеется в виду метод оценки тригонометрических сумм, принадлежащий И. М. Виноградову.

107

В статье [5].

108

Ссылки на какую-либо публикацию Бороздина, содержащую эту оценку, найти не удалось. Информация заимствована из косвенных источников (в частности, из интернета).

109

Ни в одной из официальных биографий Виноградова не найти указания, что в военные годы директором было другое лицо, о чём будет сказано ниже.

110

Сайт http://www.mathnet.ru/php/organisation.phtml?orgid=748&option_lang=rus&fletter=all приводит более точные данные: с октября 1941 г. по февраль 1944 г.

111

Кстати, очень крупным математиком был и Александр Осипович Гельфонд – не менее крупным, чем Виноградов. В частности, в 1934 г. им была решена одна из тех двух проблем, которые составили в совокупности знаменитую седьмую проблему Гильберта.

112

Возможны и другие решения вопроса о том, какие понятия назначить исходными неопределяемыми, а какие определять через первые.

113

Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М., 1977. – С. 7.

114

Лузин Н. Н. Теория функций действительного переменного. – М., 1948. – С. 7.

115

Лузин Н. Н. Указ. соч. С. 8.

116

Более известно другое, чисто геометрическое, значение термина «вектор» – направленный отрезок.

117

Эшби У. Р. Введение в кибернетику / Пер. с англ.; предисл. А. Н. Колмогорова. – М., 1959. – С. 52.

118

Для простоты мы чуть-чуть огрубляем истинное положение вещей. На самом деле области отправления и прибытия ещё не вытекают однозначно из формулировок наших примеров. Так, в примере 3 мы могли бы считать областью прибытия множество не всех, а лишь возможных цветов, а в примере 1 – рассматривать в качестве области отправления множество всех действительных чисел, а не только тех, которые служат значениями человеческого роста.

119

Мы не касаемся здесь осмысления этого понятия в так называемой конструктивной математике.

120

Натансон И. П. Функция // Большая Советская Энциклопедия. 3-е изд. Т. 28. – М., 1978. – С. 138.

121

См. об этом в книге: Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика / Пер. с англ. – 2-е изд. – М., 1967. – С. 302–304.

122

Киселёв А. П. Алгебра. – 41-е изд. – Ч. II. – М., 1964. – С. 25.

123

Величина y называется функцией величины x, определённой на множестве M, если каждому значению величины x, определённой на множестве М, соответствует единственное определённое значение величины y (Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. М., 1953. С. 15. Ср. также § 2.). Переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определённое значение y (Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. 5-е изд. Т. 1. М., 1964. С. 40).

124

Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. М., 1964. С. 37.

125

См. Колмогоров А. Н. Величина // Большая Советская Энциклопедия. 2-е изд. Т. 7. 1951 (3-е изд. Т. 4. 1971). См. также статью «Переменные и постоянные величины» во 2-м издании Большой Советской Энциклопедии (Т. 32. 1955).

126

Александров П. С. Указ. соч. С. 14.

127

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – 3-е изд., перераб. – М., 1972. – С. 14. Незнакомые со знаком могут понимать его в данном случае просто как синоним предлога «из».

128

См., например: Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.; Л., 1950. – С. 80.

129

Вот что сказано по этому поводу в двух сочинениях, которые можно, пожалуй, назвать классическими: «Понятие функции такое же основное и первоначальное, как и понятие множества» (Хаусдорф Ф. Теория множеств / Пер. с нем. – М.; Л., 1937. – С. 12); «В конечном счёте понятие функции – или какое-либо сходное понятие, например понятие класса – приходится считать первоначальным, или неопределяемым» (Чёрч А. Введение в математическую логику / Пер. с англ. – Т. 1. – М., 1960. – С. 351).

130

Вот, например, как определяется функция в весьма популярной в своё время книге Дж. Кемени, Дж. Снелла и Дж. Томпсона «Введение в конечную математику» (М., 1963. С. 95): «Пусть дано множество D, которое называется областью определения функции, и правило f, которое каждому элементу множества D ставит в соответствие некоторый объект. ‹…› Тогда f называется функцией, определённой на множестве D». Сравнение с приведённой выше цитатой из учебника А. Д. Мышкиса показывает, что этот «второй подход второго направления» весьма, по существу, близок ко «второму подходу первого направления», поскольку в этом последнем обращение к понятию переменной величины является на самом деле совершенно необязательным.

131

Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М., 1948. С. 126.

132

Клини С.К. Введение в метаматематику / Пер. с англ. – М., 1957. – С. 36.

133

Бурбаки Н. Теория множеств. С. 90.

134

Гейберг прославился ещё и тем, что открыл так называемый Архимедов Палимпсест. А именно: в 1906 г. Гейберг обнаружил, что литургический текст хранящейся в Константинополе книги на пергаменте написан поверх семи сочинений Архимеда, из коих два дотоле не были известны даже в переводах. Эти семь текстов он, вооружённый только собственными глазами и тем фотоаппаратом, какие существовали в начале XX в., переписал и издал. Дальнейшими исследованиями, произведёнными с помощью современной техники, было установлено, что исходный текст записан на пергаменте в X в., а новый текст поверх старого – в XII в.

135

Современные формулировки даны в книге «Что такое аксиоматический метод?», а здесь не приводятся.

136

Мы видим, что наша попытка наглядного разъяснения понятия 'актуальная бесконечность' содержит в себе внутреннее противоречие. Некоторые специалисты в области оснований математики считают, что указанное противоречие присуще самому этому понятию. Приверженцы такой точки зрения отвергают поэтому представление об актуальной бесконечности, а признают законным лишь представление о бесконечности потенциальной, т. е. о неограниченной продолжаемости процессов. Однако именно представление об актуальной бесконечности оказалось чрезвычайно плодотворным как для самой математики, так и для её преподавания (оно лежит в основе преподавания математики в вузах).

137

На самом деле такого математика не существует. Николя Бурбаки – это коллективный псевдоним группы математиков, подобно тому как Козьма Прутков – коллективный псевдоним группы писателей (но только, в отличие от группы Бурбаки, постоянного состава). Сказанное не послужило препятствием ни к тому, чтобы г-н Бурбаки имел свой почтовый ящик на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 г. (причём почту из ящика исправно забирали), ни к тому, чтобы он получил гонорар, выписанный ему издательством «Мир» за осуществлённое в 1965 г. издание русского перевода первого тома его трактата. Рассказывают, что, когда Американское математическое общество выпустило справочник, где было написано, что Бурбаки – псевдоним группы математиков, возмездие последовало незамедлительно: в одной из публикаций Бурбаки президент Американского математического общества был назван мифической фигурой, коллективным псевдонимом.

138

См. сноску 6 настоящего издания.

139

Заинтересованный читатель найдёт это построение в главе 15 книги Г. Радемахера и О. Тéплица «Числа и фигуры. Опыты математического мышления», одной из лучших популярных книг по математике. Её перевод с немецкого выдержал в России четыре издания (последнее – в 2007 г.).

140

У автора этих строк нет сомнений в том, что Ададуров нашёл это равенство самостоятельно, а также нет сведений, что на него претендовал кто-либо из европейских математиков. Однако в арабских математических текстах оно встречалось ранее. Об этом свидетельствует 32-й лист манускрипта западноарабского математика XV в. ал-Каласади (полное имя: Абу-л-Хасан Али ибн Мухаммад ибн Ади ал-Кураши ал-Басти ал-Каласади). Русский перевод этого манускрипта под названием «Раскрытие тайн науки цифр губар» опубликован в 2009 г. в ежегоднике «Историко-математические исследования» [вторая серия, выпуск 13 (48)]. Обсуждаемое равенство содержится во втором и третьем абзацах на с. 352 названной публикации.

141

Более подробно об этом уже говорилось на страницах этого сборника – в глава 4 статьи «Апология математики» и в заключительном замечании размышления второй статьи «Семь размышлений…».

142

Чертёж заимствован со с. 130 книги Ф. Кэджори «История элементарной математики с указанием на методы преподавания» (Одесса: Mathesis, 1910).

143

Полезно представить себе граф, в котором в вершинах размещены слова, а стрелка идёт от вершины X в вершину Y в том случае, если в словарной статье, толкующей слово X, встречается слово Y.

144

Например, в толковом словаре английского языка Хорнби и Парнуэлла [8] оставлены без объяснений такие слова, как thing (в основном значении) и all. К сожалению, для русского языка подобный словарь, в котором «первичные» слова оставлены без объяснений, ещё не создан.

145

Эти слова произнёс «неглупый ученик» в оправдание сделанному им на уроке заявлению, что шар, положенный на наклонную плоскость, покатится вверх. Сей замечательный эпизод описан в работе [10, с. 150–151].

146

Автор пользуется случаем выразить свой протест против получившего, к сожалению, распространение русского перевода названия трактата Бурбаки как «Элементы математики» (в подлиннике «Eléments de mathématique»). Французские издания «Начал» Евклида также озаглавлены «Eléments». «Параллельность» замыслов Евклида и Бурбаки бросается в глаза. (Несколько менее очевидное сходство заключается в загадочности личностей обоих авторов и скудности биографических сведений о них. Ведь само существование Евклида как отдельного человека иногда также подвергается сомнению.) Если принятое русское название трактата Евклида, укоренившееся ещё в XIX в., есть «Начала», то русским названием для трактата Бурбаки должно быть «Начала математики».

147

П. С. Александров как бы предвидел начавшееся в последние годы разведение страусов в Северном полушарии (цитата относится к 1948 г.).

148

Названия членов Натурального Ряда – Ноль, Один (Единица), Два (Двойка) и т. д. – мы пишем с прописной буквы, чтобы подчеркнуть уникальность, т. е. абсолютную единственность, этих членов. Слова «Ноль», «Один» (или «Единица»), «Два» (или «Двойка») и т. д. – собственные имена в абсолютном смысле (такие как слова «Солнце», «Луна», «Земля»), у каждого из них единственное значение – количество элементов пустого, одноэлементного, двухэлементного и т. д. множества. А «ноль» аксиом Пеано является именем собственным лишь относительно, в пределах данного контекста, а точнее, в контексте той структуры, которая описывается этими аксиомами. Таких структур много, и в каждой из них свой ноль.

149

По поводу понятий «изоморфизм», «изоморфный» мы отсылаем читателей ко второй из двух статей «Изоморфизм» в 3-м издании Большой Советской Энциклопедии [14].

150

Хотя обычно говорят «с точностью до изоморфизма», возможно, более правильным было бы говорить «с точностью до изоморфии». Дело в том, что изоморфизм – это математический объект, а именно такое соответствие между двумя структурами, которое сохраняет свойства этих структур (несколько более точно – сохраняет характерные для этих структур отношения и операции). Изоморфия же двух структур означает факт существования изоморфизма между ними.

151

Не отсутствием ли «римского ноля» в традиционном наборе символов объясняется упорное исключение ноля из натурального ряда? Короче говоря, не находимся ли мы в этом вопросе в плену у латыни?

152

Заметим в связи с этим, что «физический» Натуральный Ряд, скорее всего, отличается от своей математической модели – «математического» Натурального Ряда. См. по этому поводу глубокую и недостаточно оценённую статью П. К. Рашевского [16], вошедшую в настоящее издание как приложение II.

153

Нетрудно заметить, что свойство закрытости формулы не зависит от того, применительно к какой структуре мы рассматриваем эту формулу; это свойство может быть определено чисто синтаксически по внешнему виду формулы. (Все переменные должны быть связаны кванторами; в этом и состоит закрытость.)

154

Моделью системы, или списка, аксиом называется всякая структура, удовлетворяющая каждой из аксиом системы.

155

«Вслед за У. В. Куайном мы принимаем этот этимологически более правильный термин вместо распространённого в настоящее время термина unary (унарный)» [7, прим. 29].

156

Когда мы говорим об аксиомах, мы имеем в виду символический язык, подобный описанному выше для сигнатуры {<}; только теперь в алфавит его знаков вместе с «<» входят «0», «'», «+», «·».

157

Точнее, это становится очевидным, если разумным образом распространить отношение строгого порядка «<» с конечных мощностей (т. е. конечных количеств) на все мощности, включая и мощности бесконечные (т. е. бесконечные количества).

158

А залог ясности понимания вопроса состоит в ясности понимания возможных ответов на него.

159

Впрочем, не все придерживаются этой точки зрения. Так, Виктолий Иванович Будкин на с. 45 своей книги «Методика познания "истины". Доказательство Великой теоремы Ферма» (Ярославль: Верх. – Волж. кн. изд-во, 1975) указывает: «Итак, сменилось 13 поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё не доказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде». Следует отметить, что подавляющему большинству ферматистов всё же не удаётся опубликовать свои псевдодоказательства.

160

Этот прогноз, сделанный мной при первой публикации очерка, оказался слишком оптимистическим. Как мне сообщили в Российской академии наук в январе 2001 г., поток поступающих туда лжедоказательств теоремы Ферма не иссяк.

161

Мы по-прежнему пользуемся неточной терминологией и отождествляем слово «теорема» со словом «утверждение», а не со словосочетанием «доказанное утверждение».

162

Это значит, что существует алгоритм, который для любого с проверяет, верно ли или нет.

163

Слова «истинно» и «верно» – синонимы. Слово «доказуемо» имеет другой смысл (даже другие смыслы).

164

По поводу «расплывания в большом» представлений о натуральном числе см. уже упоминавшуюся статью П. К. Рашевского [16].

165

См., например, относящееся к толкованию древнеегипетских текстов примечание переводчика С. Я. Лурье в работе [4, с. 139].

166

Вот что говорит по этому поводу академик Л. С. Понтрягин: «Первая известная нам математическая рукопись – это рукопись Ахмеса, составленная за две тысячи лет до нашей эры. В ней содержатся некоторые алгебраические и геометрические правила: например, вычисление площади треугольника ‹…› Однако в папирусе Ахмеса была допущена ошибка. Согласно ему, площадь равнобедренного треугольника равна произведению основания на половину боковой стороны, а каждый сегодняшний школьник знает, что это неверно» [26].

167

Микрофиша – отдельно взятый кадр микрофильма, очень маленький слайд.

168

Гильберт приписывает это высказывание «старому французскому математику», чьего имени он, однако, не называет.

169

Эти построения вряд ли могут быть осуществлены человеческим умом, если они не опираются на общечеловеческую логику, а следовательно, на реальность, из оперирования с которой эта логика происходит.

170

Публикуется с разрешения издательства «Фонд "Математические этюды"».

171

B. H. Partee, A. ter Meulen, R. E. Wall. Mathematical Methods in Linguistics. – Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1990. – 663 p. (Studies in Linguistics and Philosophy. Vol. 30.)

172

Зализняк А. А. Лингвистические задачи / С предисловием В. А. Успенского. – 2-е изд. – М., 2013.

173

См.: Исследования по структурной типологии / Ин-т славяноведения АН СССР; Отв. ред. Т. Н. Молошная. – М.: Изд-во АН СССР, 1963. – С. 137–159; Задачи лингвистических олимпиад. 1965–1975 / Ред. – сост. В. И. Беликов, Е. В. Муравенко, М. Е. Алексеев. – М.: МЦНМО, 2006. – С. 516–545.

174

Это – хорошо известная математикам последовательность Фибоначчи, каждый член которой равен сумме двух предыдущих. Опыт показывает, что и лица, с нею не знакомые, в состоянии извлечь из выписанных начальных членов необходимую для продолжения закономерность.

175

Тогда она называлась по-другому: «Первая традиционная московская олимпиада по языковедению и математике».

176

К сфере лингвистической прагматики относятся те аспекты речи, которые отражают мнения и эмоции говорящего или пишущего по поводу того, о чём говорится.

177

Книга эта комментирована, в числе комментаторов был и сам Колмогоров. Она выдержала два издания, из коих второе было расширено за счёт включения одной ранней, студенческой, работы Колмогорова, а также дополнительного комментария к его работам по интуиционистской логике. Кроме того, биография Колмогорова была изложена более подробно. Вот эти издания: Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика / Отв. ред. С. М. Никольский; сост. В. М. Тихомиров. – М.: Наука, 1985. – 470 с. [С биографической справкой]; Колмогоров А. Н. Избранные труды: В 6 т. Т. 1: Математика и механика / Отв. ред. А. Н. Ширяев; сост. В. М. Тихомиров. – М.: Наука, 2005. – 519 с. [С краткой биографией].

178

Через год после перепечатки в журнале статья была воспроизведена вновь. См.: Колмогоров А. Н. Избранные труды: В 6 т. Т. 4. Кн. 1. С. 259–271.

179

Интересующийся читатель может ознакомиться с ними в издании, указанном в сноске 177.

180

При этом произведением двух вращений А и В называют тот поворот куба, который получается, если к кубу, повёрнутому уже при помощи вращения А, применить вращение В.

181

Раньше всего они появились как мера, т. е. как отношение двух величин; но с чисто арифметической точки зрения дробные числа получаются как результат деления, не осуществимого в пределах целых чисел, иррациональные же – в виде пределов последовательностей рациональных чисел; можно также называть действительным числом просто всякую бесконечную десятичную дробь.

182

Я позволю себе игнорировать те «варианты» формализованной теории целого числа, возможность которых вытекает из принципиальной неполноты её аксиоматики; достаточно того, что они не имеют значения для реально работающих отраслей математики.

183

Имеется в виду книга: Успенский В. А. Что такое аксиоматический метод? – 2-е изд., испр. – Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

Content

В. А. Успенский
Апология математики (сборник статей)

Предисловие ко второму изданию

Предисловие к первому изданию

Из предисловия к сборнику переводов «Математика в современном мире»

Математическое и гуманитарное: преодоление барьера

Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Глава 1 Ватсон против Холмса

Глава 2 Теорема Пифагора и теорема Ферма

Глава 3 Проблемы нерешённые и проблемы нерешимые

Напоминание: делимость, чётность и простота

Две проблемы о совершенных числах

Числа Мерсенна. Число Первушина

Свойства простых чисел

Доказательство Эйлера

Проблема близнецов

Итан Чжан и его открытие

Проблема Гольдбаха

Глава 4 Длины и числа

Глава 5 Квадратура круга

Глава 6 Массовые задачи и алгоритмы

Глава 7 Парадокс Галилея, эффект Кортасара и понятие количества

Глава 8 Параллельные прямые в мифологии, реальности и математике

Глава 9 Проблема на миллион долларов

Глава 10 От метрической геометрии к геометрии положения

Геометрические фигуры

Равенство, конгруэнтность, конгруэнция, изометрия

Четвёртое измерение – брать пример с мыслителей Флатландии

Евклидово расстояние

Геометрия положения

Глава 11 От геометрии положения к топологии

Односвязность

Многообразия

Гомеоморфизмы, гомеоморфия, топология

Изотопия

Так что же такое гомеоморфия?

Ещё о многообразиях

Глава 12 Какой может оказаться наша Вселенная?

Приложение к главе 1 Мнение читателя

Приложение к главе 3 К истории проблемы Гольдбаха

список литературы к приложению к главе 3

О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'

Множество

Кортеж

Соответствие

Функция

Отношение

Из книги «Что такое аксиоматический метод?»

§ 1. Что такое аксиомы?

§ 2. Аксиомы Евклида

§ 3. Современный подход к аксиоматизации геометрии: аксиоматика Гильберта

§ 15. Аксиомы метрики и аксиомы меры

Заключительные замечания

Простейшие примеры математических доказательств

§ 1. Математика и доказательства

§ 2. О точности и однозначности математических терминов

§ 3. Доказательства методом перебора

§ 4. Косвенные доказательства существования. принцип дирихле

§ 5. Доказательства от противного

§ 6. Принципы наибольшего и наименьшего числа и метод бесконечного спуска

§ 7. Индукция

§ 8. Алфавиты и буквы. Слова и строки. Взаимно однозначные соответствия и мощность. Диагональный метод

§ 9. Задачи из элементарной комбинаторики

§ 10. Счётные и несчётные множества

§ 11. Представление о математических доказательствах меняется со временем

§ 12. Два аксиоматических метода – неформальный и формальный

§ 13. Теорема Гёделя

Семь размышлений на темы философии математики

1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается?

2. Можно ли определить понятие натурального числа?

3. Можно ли определить натуральный ряд (с прописной буквы)?

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?

5. «Можно ли доказать, что великую теорему ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?»

6. Что такое доказательство?

7. Можно ли сделать математику понятной?

Литература

Приложение Проблема континуума и языки второго порядка

Математика языка

О «Лингвистических задачах» А. А. Зализняка

Опыт применения математики к филологии

Анализ фрагментов текстов Гоголя и Достоевского

А. Н. Колмогоров: статья для «Философской энциклопедии»

Сочинения Колмогорова, имеющие философскую составляющую

Приложение I А. Н. Колмогоров. Современные споры о природе математики

Приложение II П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда

Сведения о предыдущих публикациях статей

Сноски