Шон Кэрролл

Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Посвящается Дженнифер

Sean Carroll

The Biggest Deas In The Universe. Space, Time, And Motion

От издательства

Ваши замечания, предложения, вопросы отправляйте по адресу comp@piter.com (издательство «Питер», компьютерная редакция).

Мы будем рады узнать ваше мнение!

На веб-сайте издательства www.piter.com вы найдете подробную информацию о наших книгах.

Введение

Я бы хотел жить в мире, где большинство людей с интересом и страстью относятся к физике, где, отдыхая в баре после работы, обсуждают проблемы темной материи и дискутируют о взглядах на квантовую механику. Я бы хотел оказаться на детском празднике, где, пока малыши играют в пятнашки, а родители увлеченно общаются друг с другом, от кого-то из взрослых можно услышать, к примеру: «Не понимаю я тех, кто ждет открытия новых частиц в электрослабом диапазоне» и тут же в ответ: «А как же тогда решать проблему иерархии?» В нашем мире есть много людей, осведомленных об экономике предложения или критической расовой теории, но мало таких, кто знаком с инфляционной космологией и теорией суперструн.

В чем же причина? Увы, нужно признать, что даже на фоне других научных дисциплин физика выделяется тем, что придумана специалистами для специалистов. Физики говорят друг с другом на очень специфичном языке, в котором изобилуют термины из области математики, не только непонятные, но и неизвестные обычным людям. Тому есть разумные объяснения, и все же ситуацию можно изменить. Ведь все дело в том, как физики передают свои знания миру.

Если вы не специалист, но изучить современную физику вам интересно, то перед вами лежат два пути. Один из них — не выходить за пределы общедоступного уровня, то есть знакомиться с научными концепциями, не углубляясь в технические или математические детали. Для этого можно читать книги, ходить на лекции, смотреть видеоролики, слушать подкасты. Такие ресурсы сегодня доступны и многочисленны, позволяют узнать много нового, хотя и несколько бессистемно. Так можно продвинуться очень далеко. И все же со временем вы поймете, что в этом потоке материала, образах и метафорах, переводе математических формул на человеческий язык не хватает чего-то реального, жизненно важного.

Другой путь — начать учиться на физика: пойти в институт или заняться самообучением по «правильным» учебникам и интернет-ресурсам. Сначала вам предстоит освоить высшую математику, в первую очередь изучить дифференциальное исчисление, научиться решать дифференциальные уравнения, разобраться в векторном анализе, комплексных числах, линейной алгебре и многом другом. До разговора о квантовой механике или теории относительности понадобится не меньше года предварительных занятий. Большинство студентов получают степень бакалавра или магистра, ничего не узнав о физике частиц, черных дырах и космологии. Эти области знаний доступны лишь тем, кто работает в определенных, достаточно узких проблемных областях.

Пропасть между физиком-любителем, в багаже знаний которого только метафоры и мутные переводы на человеческий язык, и специалистом, способным работать с уравнениями пугающей сложности, велика, но преодолима. Большинство людей водят машины, не помышляя о карьере профессионального гонщика. А значит, есть путь, двигаясь по которому можно приблизиться к подлинной сути современной физики без многолетнего обучения по стандартной программе, пусть и освоив несколько формул.

Путеводная карта у вас в руках!

В основу серии «Величайшие идеи Вселенной» положена мысль о том, что каждый человек, даже любитель, не стремящийся стать профессионалом, способен изучать современную физику по-настоящему, по формулам и уравнениям. Для этого хватит знаний, не выходящих за рамки школьного курса математики. Необходимо лишь думать над формулами, стремиться понять их смысл. И перед тем, кто готов это делать, откроется новый мир.

* * *

Поговорим об уравнениях. На самом деле в них нет ничего страшного: это просто компактная запись соотношений между величинами. Сравните: вам могут сказать, что согласно общей теории относительности Эйнштейна «масса и энергия приводят к искривлению пространства-времени». Уравнение Эйнштейна выражает ту же мысль, но другим способом:

Предложение на русском языке дает лишь некое представление о том, что утверждает общая теория относительности. Уравнение показывает, что происходит на самом деле, точно и недвусмысленно. Можно прочесть множество предложений и описаний, но чтобы по-настоящему проникнуться идеей великого физика, нужно понять эту формулу.

Какая-то тарабарщина, скажете вы. Действительно, чтобы во всем разобраться, нужно начать с отдельных цифр и букв, в том числе, внезапно, греческих μ и ν, усвоить, что означает, зачем нужна каждая из них. Обычно изучающие физику студенты тратят на это несколько лет. Вам будет нужно всего лишь прочесть мою книгу.

Тем, кто дойдет до восьмой главы, станет ясно, что означают символы из уравнения Эйнштейна, чем они связаны друг с другом и что говорят о пространстве-времени и гравитации. Смысл формулы, даже полностью состоящей из греческих букв, понять много проще, чем настоящий текст на греческом языке.

Авторы большинства популярных книг думают, что читателям будет неинтересно рассматривать уравнения. В учебниках же, напротив, предполагается, что студенты должны не просто рассматривать, а решать уравнения, то есть прилагать в процессе обучения значительно больше усилий, гораздо лучше готовиться к курсу, чем нужно просто для понимания формул.

Я бы хотел подчеркнуть разницу между решением и пониманием: ведь именно она — ключ к быстрому и успешному усвоению мыслей из этой книги. Формула Эйнштейна не просто связывает какие-то конкретные массу и энергию с кривизной какого-то конкретного пространства-времени. Она представляет собой общее правило, контракт вроде «если мне дадут набор из массы и энергии, то я покажу, как они искривляют пространство-время». Выполнить такой контракт и есть «решение уравнения».

Иногда решить уравнение просто. Например, если в случае x = y^2 нам скажут, что y = 2, решением будет x = 4. Ничего сложного. Однако в реальном мире перед физиками стоят гораздо более трудные задачи, работа над которыми требует применения вычислительной математики (математики непрерывных изменений) и других современных методик. Решение подобных уравнений может занять все рабочее время профессионального физика. Так что не удивительно, что большая часть курса их обучения посвящена именно решению уравнений.

Любой физик скажет вам, что самым сложным в студенческие годы были не лекции, а задачи, которые задавались в огромных количествах, без какой-либо жалости к тем, кто хотел проводить выходные несколько иначе.

Здесь, в этой книге, вам не придется решать уравнения. Но вы научитесь их понимать, что значительно проще. В итоге вы уясните смысл даже довольно сложных, по меркам учебников, формул. Вы согласитесь с тем, что идеи современной физики — в их истинном, а не размытом метафорами смысле — могут быть доступны всем, кто готов немного подумать над уравнениями и тем, что за ними стоит. Вера в такую возможность — фундамент, на котором и строится эта книга.

* * *

Так о каких же идеях пойдет речь? Как можно догадаться, их много. Настолько, что мне пришлось разделить текст на три книги: «Пространство, время и движение», «Кванты и поля» и «Сложность и синергичность». Трилогия — этот формат популярен еще со времен «Властелина колец».

В книге, которую вы держите в руках — «Пространство, время и движение», — я расскажу о классических законах, открытых еще Ньютоном и не терявших актуальности до самой квантовой революции двадцатого века. Не столько о блоках и наклонных плоскостях, как бы ни были важны эти термины, сколько о сложных вопросах природы пространства, изменений и времени. Не побоявшись разбавить формулы рядом идей из области философии, мы перейдем к теории относительности: предложенным Эйнштейном концепциям искривленного пространства-времени, а также последствиям искривления, например черным дырам. Таким образом, мы начнем с идей многовековой давности, а закончим современным подходом к физике.

В книге «Кванты и поля» мы обсудим несколько вкусных идей из квантовой физики, среди которых — кот Шредингера и запутанность. Однако по большей части мы будем говорить о квантовой теории поля и физике частиц, которые на данный момент лучше всего объясняют фундаментальные законы природы. В последней книге — «Сложность и синергичность» — мы признаем, что мир состоит не только из двух или трех частей, а также увидим, сколько всего интересного происходит, когда движущихся тел много.

В итоге мы рассмотрим множество концепций, практически все из которых относятся к физике и родственным ей наукам. Это не означает, что в других научных областях (в гуманитарных дисциплинах и даже в искусстве) нет столь же важных и масштабных идей. Нам просто нужно где-то провести черту.

Еще одна черта, которую мы проведем, пройдет по границе между «в достаточной мере проверенными идеями» и «многообещающими гипотезами». На первых строятся учебники физики, вторые — к радости читателей — в большом количестве представлены в популярной литературе. Предположения и гипотезы очень важны, ведь большая часть работы исследователя — поиск новых знаний на грани уже изученного, расширение этих границ. Но все-таки наша цель — рассказ о концепциях, которые будут с высокой вероятностью актуальны и через столетие.

* * *

Я с удовольствием выражаю признательность всем, кто помогал мне на этом пути. Скотт Ааронсон (Scott Aaronson), Джастин Кларк-Дуэйн (Justin Clarke-Doane) и Мэтт Штресслер (Matt Strassler) прислали мне ценные отзывы, благодаря которым в тексте стало меньше шероховатостей. Джейсон Торчински (Jason Torchinsky) нарисовал прекрасные иллюстрации. Мой редактор, Стивен Морроу (Stephen Morrow), как всегда, давал мне советы, а мой агент, Катинка Мэтсон (Katinka Matson), помогла придать непростому проекту четкую форму. Важную роль в написании книги сыграли Элис Далримпл (Alice Dalrymple), Тиффани Эстрейчер (Tiffany Estreicher), Дора Мак (Dora Mak), Накиша Уорнер (Nakeesha Warner) и Мелани Муто (Malanie Muto). И конечно, я не могу не сказать большое спасибо Дженнифер Оуэллетт (Jennifer Ouellette) за ценные советы, моральную поддержку и многое другое.

Во время пандемии COVID-19 я смотрел онлайн-уроки драматургии, которые проводила моя подруга Лорен Гундерсон (Lauren Gunderson). Вдохновленный полученными знаниями, я снял серию видеороликов, которые и легли в основу книг этой серии. Эти видеоролики, а также другие дополнительные материалы можно найти, перейдя по ссылке:

https://preposterousuniverse.com/biggestideas/

Один. Сохранение

Оглянитесь вокруг. Как и у всех людей, у вас есть тело, а сами вы где-то находитесь, и, скорее всего, — в окружении самых разных предметов. Стол и стулья, стены и потолок, деревья и озеро, если вы на природе, — все эти объекты существуют, а их положение и свойства могут меняться с течением времени. Можно поставить стул рядом со стеной или посередине комнаты. Можно выпить стакан воды, а можно поставить его на стол. Через какое-то время вода испарится.

Именно так мы видим окружающий мир, смотря на него человеческими глазами, с близкого расстояния. Мы видим пространство, в котором находятся объекты. (При этом под словом «пространство» мы понимаем не космос, а некую трехмерную область, в которой можно перемещаться.) Объекты могут оставаться неизменными либо меняться. Физика изучает объекты, их поведение на самом базовом уровне, который можно представить. Что они из себя представляют? Как связаны друг с другом? Как изменяются со временем? Что такое «время» и что такое «пространство»?

Одна из самых приятных особенностей физики в том, как быстро мы переходим от простых наблюдений — смотрите, вот этот объект ведет себя вот так! — к глубоким вопросам о природе реальности. Но никакие явления не происходят сами по себе: они вписываются в определенные закономерности. Именно их мы называем законами физики, и наша задача — раскрыть их.

Самой простой закономерностью является тот факт, что некоторые объекты не изменяются с течением времени. С размышлений над этой базовой особенностью реальности мы и начнем наш путь, который вскоре приведет нас ко множеству интересных вещей.

Предсказуемость

Можно с уверенностью сказать, что мир вокруг нас предсказуем хотя бы в некоторой степени. На пару секунд отвернувшись от стола, а затем повернувшись назад, мы уверены в том, что снова увидим его. Кладя на стол яблоко, мы знаем: оно не полетит на пол, пройдя сквозь поверхность. Увы, мы пока что не в силах точно сказать, будет ли завтра дождь и кто победит на чемпионате, но результаты многих явлений достаточно предсказуемы.

Именно предсказуемость делает возможным существование физики. Пусть и не с абсолютной точностью, мы можем предугадать, что произойдет в нашем мире, исходя из данных о его текущем состоянии. Самый главный вид предсказуемости — сохранение, то есть отсутствие изменений.

Физики понимают под этим словом «постоянство во времени». Возможно, вы слышали о сохранении энергии, свойства объектов, которым они обладают в зависимости от природы и состояния. Энергия — не вещество, как песок или вода, не жидкость, которая перетекает с одного места в другое. Однако мы можем сказать, что если объект расположен на высоте, движется, нагрет, имеет большой вес, электрически заряжен, он обладает энергией.

При определенных обстоятельствах энергия преобразуется из одной формы в другую и обратно. Например, энергия стоящего на столе стакана, если столкнуть его на пол, мгновенно перейдет в энергию движения. Когда же стакан упадет и разобьется, его энергия рассеется, преобразуясь в энергию удара, шум и другие явления. При этом под сохранением энергии мы понимаем тот факт, что суммарное ее количество, независимо от текущей формы, не изменяется в течение всего наблюдаемого процесса.

(Постойте, спросите вы, где же здесь логика? Мы просто придумали несколько величин, дающих в сумме постоянное число, назвали его «энергией» и радостно сообщаем, что открыли закон физики? Нет. Есть независимые способы определить энергию и показать ее преобразования. Способы, в основе которых тот факт, что законы физики сами по себе неизменны. Но все же вы задали верный вопрос.)

Итак, существует некое свойство объектов, которое не изменяется, остается постоянным с течением времени. Это очень простая идея. Однако я выбрал ее, чтобы начать разговор о физике, совсем не по этой причине. Такое решение связано с тем, что поняв, что энергия сохраняется, ученые сделали первый шаг на пути к современной науке.

От природы к закономерностям

Подумайте о тех, кто в далекие времена, до появления физики в ее нынешнем виде, пытался понять этот мир. Древние мыслители приходили, в общем-то, к схожим мыслям, но чаще других в пример приводят греческого философа Аристотеля. Значительно упрощая предложенную им довольно сложную телеологическую картину вселенной (согласно которой последняя устремлена к некой будущей цели), можно сказать, что он разделил движение всех объектов на «естественное» и «неестественное» («вынужденное»). У каждого объекта есть свойственное ему место, которое он стремиться занять, а также условия, при которых он движется к этому месту. Например, камень падает на землю и остается лежать, огонь поднимается в небо.

По мнению Аристотеля, в естественном состоянии все на Земле неподвижно, а чтобы объект на какое-то время пришел в движение, необходимо внешнее воздействие. Можно поднять камень и бросить его, привести в неестественное или вынужденное состояние движения. Однако он быстро упадет на землю, может быть, вновь подлетит, отскочив от нее, но затем возвратится в естественное состояние покоя.

Экстраполируя эти наблюдения, Аристотель решил, что можно вывести основное правило вселенной: объекты естественным образом находятся в состоянии покоя, а движутся только тогда, когда что-то выводит их из этого состояния. Во многих случаях это правило действует. Например, стоящая на столе чашка не будет двигаться сама по себе. Мы можем переместить ее, приложив небольшое усилие, но стоит убрать руку, как чашка снова окажется неподвижной.

Но все-таки так происходит не всегда. Еще современники Аристотеля — древние греки — могли заметить, что выпущенная из лука стрела не сразу падает на землю, а долго летит под действием приложенной к ней силы. Почему же так происходит? Что мешает стреле быстро вернуться в естественное состояние?

Сотни лет великие умы ломали голову над этим вопросом, и в конце концов предложенная Аристотелем телеологическая картина вселенной была отвергнута. Ученые пришли к выводу: объекты не стремятся к неким конечным целям, а подчиняются строгим законам, позволяющим предсказать, что случится потом, исходя из того, что происходит сейчас.

Сохранение импульса

Мыслитель Иоанн Филопон, который жил в VI веке в Александрии, предположил, что тетива придает стреле некую величину: импульс, как ее позже назвали. Именно импульс, рассеиваясь, некоторое время поддерживает полет. Простое предположение, которое стало важным шагом на пути от «будущих целей» Аристотеля к свойствам, которые существуют в конкретный момент времени.

Идею Филопона развил Ибн Сина (Авиценна), персидский эрудит XI века. Именно он сделал решающий шаг, утверждая, что импульс — не просто временная величина. Каждый объект обладает определенным импульсом, который остается постоянным, пока на объект не подействует некая сила. У неподвижных тел импульс равен нулю.

В этой новой картине мира камни и чашки перестают двигаться не потому, что покой — их естественное состояние, а так как воздействующие на них силы (трение, сопротивление воздуха) постепенно уменьшают импульс, ранее сообщенный этим объектам. Ибн Сина предположил, что в отсутствие воздуха стрела полетит с постоянной скоростью и будет двигаться бесконечно долго. Крайне смелые мысли для того времени. Однако сегодня мы строим ракеты, скорость которых в космосе почти не меняется (если не считать небольших потерь от воздействия гравитации). В XIV веке французский философ Жан Буридан ввел математическую формулу, согласно которой импульс равен весу объекта, умноженному на его скорость.

Так появился один из законов физики: о сохранении импульса. В дальнейшем от грубой идеи о неизменности некоторого «количества движения» ученые пришли к точному пониманию того, что это за количество. Такой подход — обычное дело в теоретической физике: мы предлагаем новую величину, находим формулу для ее вычисления, а затем смотрим на то, как она, эта формула, согласуется с тем, что мы видим в реальном мире. Сегодня мы знаем, что импульс на самом деле — масса, умноженная на вектор скорости (по крайней мере, если не принимать в расчет теорию относительности, которая несколько все усложняет).

Одна из проблем придуманной Буриданом формулы (вес, умноженный на скорость) состоит в том, что вес не является собственным свойством объекта, так как зависит от действующей на него силы тяжести. На Луне человек весит меньше, чем на Земле, а на космическом корабле, на пути от планеты к планете, совсем не имеет веса. Поэтому нам нужна масса — свойство, которое, грубо говоря, показывает сопротивление объекта ускоряющему воздействию. Чтобы разогнать тяжелый и легкий объекты до одинаковой скорости, нужно приложить разные усилия: чем больше масса, тем больше сила.

Кроме того, следует различать скорость и вектор скорости. В первом случае это просто число, сколько-то метров в секунду. Вектор же показывает не только величину (которая фактически соответствует его длине), но и направление. Если одна машина едет на север, а другая на юг, и обе они проезжают 90 километров за час, мы можем сказать, что скорости их одинаковы, а направления — отличаются. Соответственно, разными будут и векторы скорости.

Когда мы хотим показать, что какая-то величина является векторной, мы ставим над ее символом стрелочку: . Если же нас интересует только количественное значение (длина вектора), мы используем тот же символ, но без стрелочки. Иными словами, длина вектора — это просто v.

Такое обозначение имеет смысл: мы часто представляем векторную величину, буквально рисуя стрелку, которая указывает в направлении вектора, а по длине пропорциональна его величине. Кроме того, вектор можно разложить на компоненты — векторы, которые направлены в определенные стороны и образуют в сумме исходный вектор. Если вы движетесь точно на север, то компоненты скорости, направленные на запад или восток, равны нулю.

Складывать векторы очень просто. Нужно совместить начало одного вектора с концом другого, а затем нарисовать вектор, соединяющий начало второго вектора с концом первого. Как будто мы прошли сначала по одному из исходных векторов, а затем — по второму. Если исходные векторы направлены (почти) в одну сторону, длина их суммы будет (почти) равна сумме их длин. Если же они направлены в (почти) противоположные стороны, то результирующий вектор будет намного короче.

Буридан и его предшественники не знали о векторах: их придумали в XIX веке. Среди тех, кто это сделал, — немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус[1] (который знаменит «лентой Мёбиуса»), ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон, немецкий эрудит Герман Грассман и английский математик Оливер Хевисайд. Так что на правильное определение импульса ушло немало времени.

В наши дни вектор импульса обычно обозначается буквой (от его латинского названия — petere). В итоге формула импульса — одна из самых простых в мире — выглядит так:

(1.1)

Наше первое официальное уравнение. Вектор импульса направлен в ту же сторону, что и вектор скорости, а его длина пропорциональна ее величине. Пропорциональность станет для нас крайне важным понятием. Оно означает, что кратное изменение одной величины влечет за собой кратное изменение другой. Если удвоить скорость, удвоится и импульс. Постоянное число, которое связывает такие величины, называется «коэффициентом пропорциональности». В некоторых уравнениях он может быть не совсем постоянным, но в данном случае это так: он равен массе объекта.

Преимущества даже такого простого уравнения очевидны. Мы не просто говорим, что импульс какого-то объекта равен произведению его массы на скорость. Мы заявляем, что существует универсальное соотношение между импульсом, массой и скоростью, которое справедливо всегда, для любого объекта. Когда мы дойдем до теории относительности, кое-какие из ранее пройденных формул придется «подправить». Но основные принципы останутся прежними.

В этом уравнении нет «причинности». Это жесткая связь между величинами, которую можно прочесть как слева направо, так и справа налево. Мы можем выполнять с ним любые операции, но только одинаковые для обеих сторон. Например, если разделить их на m, мы получим . «Если я знаю скорость объекта, то, умножив ее на массу, я получу импульс». «Если я знаю импульс, то, разделив его на массу, я получу скорость». Эти высказывания равносильны.

Удары и толчки

Сила закона сохранения импульса выходит далеко за рамки идеи о том, что отдельный объект, на который не действуют силы, будет двигаться с постоянной скоростью. Гораздо важнее, что сохраняется суммарный импульс всех объектов, которые образуют некую систему.

Представьте себе два объекта, которые движутся без каких-либо действующих на них сил: например, два бильярдных шара на столе без трения. (Что будет идеализацией, но физики это любят.) Сначала они катятся по прямым линиям, затем сталкиваются и расходятся по новым прямым линиям.

Обозначим начальные импульсы двух шаров как и , а конечные — как и . Тогда закон сохранения импульса для них можно записать так:

(1.2)

Очевидно, что после столкновения импульсы шаров изменяются. Однако суммарный импульс остается неизменным.

Импульс сохраняется всегда. Простим наших предков за то, что они не сразу заметили это. Вспомните чашку Аристотеля, которая движется лишь тогда, когда кто-то перемещает ее по столу. Кажется, что импульс не сохраняется, ведь скорость чашки меняется с нуля до какой-то величины. Однако на самом деле на чашку воздействует рука человека, который своим весом давит на стул, на котором сидит, а тот, в свою очередь, опирается на пол и так далее, до самой Земли. Поэтому изменение импульса чашки точно компенсируется изменением импульса системы «человек, стул и Земля». Мы не замечаем этого, ведь масса чашки очень мала по сравнению с массой человека, и его скорость изменится неизмеримо мало (хотя все равно изменится). Как только человек отпустит чашку, произойдут обратные изменения скорости: импульс чашки уменьшится до нуля, а человек, напротив, приобретет небольшой импульс.

В фильме «Гравитация» есть сцена, в которой Сандра Буллок и Джордж Клуни попали в беду и летят за пределами станции, держась за привязанный к ней трос. (Предупреждаю о спойлерах в этом и следующем абзацах.) Хороший во всех отношениях фильм, но с физикой в этой сцене большие проблемы. Чтобы спасти Сандру, Джордж жертвует собой, отцепляясь от троса. В реальности все они находятся на практически одинаковой высоте от Земли, а значит, не действует никаких сил, отталкивающих их от станции. Чтобы вернуться туда, достаточно было немного дернуть за трос.

В фильмах нередко слегка искажают законы природы в угоду хорошей истории. А почему бы и нет? Но тут перегиб совершенно напрасный. Можно было бы даже повысить градус драматургии, полностью убрав трос. Представьте: Сандра и Джордж рука об руку медленно отдаляются от станции. Ничто их не держит, их общий импульс неизменен и направлен в открытый космос, к неизбежной гибели. Единственный шанс спастись — оттолкнуться друг от друга. Сумма импульсов останется прежней, но только один космонавт полетит к станции, а другой — все так же в космос, но только быстрее. Тут могут быть варианты: кто-то пожертвует собой, спасая коллегу, либо наоборот, обречет его на смерть, спасая себя. Но это был бы уже совсем иной фильм.

Классическая механика

На долгом пути к обретению знаний об импульсах люди не только открыли закон, который важен и по сей день, но и по-новому стали смотреть на физику. Исчез предложенный Аристотелем телеологический мир внутренних сущностей, причин и следствий, а также движения, требующего движущей силы. На смену ему пришел мир закономерностей, законов физики. И после важных открытий, сделанных Декартом, Галилеем и другими учеными, появилась первая полноценная система физических законов. Созданная Исааком Ньютоном в 1687 году, сегодня она известна как классическая механика.

Важно уточнить, что современные физики проводят различие между «классической механикой» — довольно широкой и универсальной системой законов — и «механикой Ньютона» — одной из конкретных моделей в этой системе. Классическая механика (в отличие, например, от механики квантовой) утверждает, что мир состоит из объектов, которые обладают определенными измеримыми свойствами и подчиняются однозначным уравнениям движения. Механика Ньютона рассматривает эти объекты в абсолютном пространстве и времени. В отличие от нее «релятивистская механика», которая также является классической, основана на том, что пространство и время представляют собой единое целое. Пока мы не начнем разговор о теории относительности, все уравнения для таких понятий, как импульс и энергия, мы будем брать из механики Ньютона.

Чтобы совсем вас запутать, добавлю, что есть еще механика Лагранжа и механика Гамильтона. Обе они, безусловно, являются классическими. И обе математически эквивалентны механике Ньютона, хоть и основаны на других понятиях. Считать ли их чем-то отличным от механики Ньютона или же нет — дело вкуса.

Классическая механика — это теория закономерностей, а не природы или причинно-следственных связей. Вместо «Какое состояние естественно для системы?» или «Почему система движется именно так?» мы спрашиваем: «Что происходит с системой в конкретный момент времени?». Полученный ответ дает возможность сделать прогноз на любой другой момент, причем не только в будущем, но и в прошлом. Вот, например, уравнение (1.2) (закон сохранения импульса) можно рассматривать применительно к прошлому: если мы знаем конечный суммарный импульс, мы можем утверждать, что он равен начальному, то есть не изменился.

Мы подошли к еще одному, гораздо более важному закону сохранения: сохранения информации, на котором по сути построена классическая механика Ньютона. Однако популярность среди ученых этот закон приобрел в 1814 году благодаря трудам Пьера-Симона Лапласа. По мнению этого математика из Франции, состояние классической системы в любой момент времени определяется положением и скоростью всех ее частей (например, Солнца и планет). Этот объем информации сохраняется с течением времени. По одному состоянию системы мы можем предсказать любые другие состояния, как в будущем, так и в прошлом. Разумеется, при наличии точных данных и мощных вычислительных систем. Лаплас представил себе «сверхразум», гипотетическое существо с такими возможностями, которое затем назвали демоном Лапласа. Разумеется, главный смысл этой идеи не в том, что кто-то может быть способен на такие предсказания, а в том, что мы должны стремиться к этому. Никто не может знать положение и скорость каждого атома в песчинке, тем более — во всей вселенной. Но у самой вселенной такие данные есть, и по законам классической механики они сохраняются во времени.

Сохранение энергии

Настало время поговорить о сохранении энергии, одном из самых известных законов классической механики и любопытном примере развития физических понятий. В отличие от импульса, величины векторной, энергия объекта — это просто число («скаляр», как иногда говорят, чтобы подчеркнуть отличие от векторов и других, более сложных величин). Энергия не имеет направления и может проявляться в разных формах. Одна из них — кинетическая энергия, энергия движения, — связана с импульсом. Формула[2] кинетической энергии объекта с массой m и скоростью v выглядит так:

(1.3)

В классической механике сохраняются и импульс, и энергия. Однако кинетическая энергия сама по себе не сохраняется, поскольку может переходить в другие формы энергии (или возникать из них). При стрельбе из лука энергия, накопленная при натяжении тетивы, переходит в кинетическую энергию стрелы.

В простых обстоятельствах мы можем напрямую проследить, как энергия переходит из одной формы в другую. Физики любят приводить в пример шар, который катится по холму, где, как мы представляем, нет ни трения, ни сопротивления воздуха. Поднятый на высоту, шар обладает потенциальной энергией. На высоте h она будет равна:

(1.4)

Здесь m — масса шара, а g — ускорение, обусловленное силой тяжести вблизи поверхности Земли (или другой планеты, где проводится эксперимент). Численно g ≈ 9,8 метра в секунду за секунду, то есть скорость падающего предмета (без учета сопротивления воздуха) каждую секунду увеличивается на 9,8 метра в секунду. Таким было бы ускорение, даже если бы не было холма.

Когда шар катится с холма, его суммарная энергия Екинетич. + Епотенц. остается постоянной. При этом энергия переходит из одной формы в другую. Например, если шар поместить на склон, он покатится вниз. Его кинетическая энергия будет расти ровно настолько, насколько потенциальная энергия — уменьшаться.

Легко увидеть, как потенциальная и кинетическая энергии превращаются друг в друга. Другие формы энергии менее очевидны. Мы уже говорили о бильярдных шарах. Физики любят, когда они движутся по поверхности без трения, а при столкновении не издают звука, не выделяют тепла. При этом импульс и кинетическая энергия шаров полностью сохраняются: они просто отскакивают друг от друга. Такие столкновения называются упругими (возможно, вам говорили о таких на уроках физики).

Бывают и неупругие столкновения, при которых импульс сохраняется, но кинетическая энергия переходит в другую форму. Столкнем вместо бильярдных шаров два комка глины. Если в начальный момент их импульсы равны и направлены друг против друга, то есть , то при столкновении комки немного деформируются и слипнутся, образовав один неподвижный ком. Суммарный импульс не изменился, а кинетическая энергия — да. Она перешла в тепло и механическое напряжение.

Раньше ученые, в том числе и сам Ньютон, не до конца понимали, что импульс и энергия — разные вещи. Они полагали, что существует некая единая величина — «количество движения». Несложно объяснить, что такое импульс, в терминах механики Ньютона, в основе которой — прямолинейное и равномерное движение объектов, не подвергающихся воздействию сил. С энергией все не так просто. Впрочем, попытки были. Например, Готфрид Вильгельм Лейбниц (соперник Ньютона в области высшей математики) предложил новую величину — «vis viva», — которую он определил как mv^2 и полагал важной для изучения движения.

Ситуацию прояснила Эмили дю Шатле — философ и физик из Франции, известная переводами книг Ньютона. Считая энергию независимой от импульса, но также сохраняющейся величиной, она провела опыт, задуманный голландским ученым Вильгельмом Гравезандом. Если бросить тяжелый шар в мягкую глину, он ожидаемо остановится в ней, полностью передав свой импульс земле. При этом в глине появится лунка, объем которой, как оказалось, зависит от квадрата скорости шара в момент удара, то есть от кинетической энергии. Именно ее шар и тратит на то, чтобы сделать лунку.

Возможно, вы слышали о «законе сохранения массы». Его считали верным, пока не появилась теория относительности. Согласно этой теории, импульс и энергия сохраняются (хотя их формулы несколько отличаются от написанных выше), масса же представляет собой особую форму энергии. В этом и заключается смысл знаменитого уравнения Эйнштейна — энергия неподвижного объекта (то есть при нулевой кинетической энергии) равна его массе, умноженной на квадрат скорости света:

(1.5)

Если для обычных тел закон сохранения массы можно считать достаточно точным приближением, то для частиц, скорость которых близка к скорости света, он не работает. Говоря о таких частицах, следует мыслить в терминах сохранения энергии[3].

Почему существуют законы сохранения?

Ученые любят задавать вопросы. Мы хотим знать, почему яблоки падают с деревьев, почему кофе и сливки смешиваются, почему горит и гаснет огонь, но часто при этом находим ответы, которые порождают новые вопросы. Нужно всегда быть готовыми к тому, что цепочка однажды прервется, и мы услышим в ответ: «Так есть, потому что так есть». И с этим уже ничего не поделать.

Так было и с законами сохранения. Однако, к счастью, в начале XX века была доказана теорема, которая установила связь этих законов с симметрией в природе. К такому замечательному выводу пришла Эмми Нётер, математик из Германии. Симметрия — это преобразование, которому может подвергнуться система при полном сохранении основных характеристик. Например, круг полностью симметричен относительно центра. Поэтому его можно повернуть на любой угол без внешних изменений. А вот квадрат сохраняет свой внешний вид только при повороте на угол, кратный 90°.

Теорема Нётер гласит, что любое плавное преобразование непрерывно симметричной системы связано с сохранением некоторой величины. Например, законы физики в целом симметричны при сдвигах в пространстве и времени. Мы можем провести опыт на одном месте, а затем повторить на другом, немного подождать и снова повторить. И мы получим один и тот же результат во всех этих случаях. Теорема Нётер связывает такую симметрию с уже известными нам законами сохранения. Неизменность при сдвигах в пространстве приводит к сохранению импульса, а при сдвигах во времени — к сохранению энергии. При этом важна размерность симметрии. Время одномерно, поэтому сохраняется лишь одна величина: энергия. Пространство трехмерно, мы можем перемещаться в любом из трех направлений. Поэтому импульс является вектором, который можно разложить на три компонента, по одному на каждое направление. В системах, где что-то вращается вокруг какой-то оси, появляется еще одна сохраняемая величина: момент импульса.

Рассматривая сдвиги в пространстве, сдвиги во времени и вращения, при которых система претерпевает пространственно-временные изменения, мы говорим о симметрии пространства-времени. В физике частиц и квантовой теории поля, которая изучает взаимодействие полей и их частей, существует понятие внутренней симметрии. Из-за нее сохраняются электрические заряды и другие свойства частиц.

Но есть одна важная тонкость. Кажущаяся нам симметрия законов физики нарушается, когда мы сами находимся внутри какой-то реальной системы. Например, Вселенная расширяется. Галактики постепенно отдаляются друг от друга, и в будущем расстояние между ними станет больше, чем было когда-то. Но если Вселенная изменяется при сдвигах во времени, значит, ее энергия не сохраняется. Если мы посчитаем суммарную энергию во всех известных нам формах материи (излучение, обычная материя, темная материя, темная энергия и т. д.), получится число, которое будет меняться со временем. Можно попробовать обойти этот факт, определив энергию в кривизне самого пространства-времени. Пока что такие попытки не дали нам положительных результатов. Поэтому нет ничего страшного в том, чтобы вычислить суммарную энергию «области пространства» или «всех объектов в какой-то области» и признать, что она не является постоянной.

Как можно заметить, законы сохранения — тема непростая, требует осторожных и тщательных размышлений. Это умение непременно потребуется нам при знакомстве с величайшими идеями во вселенной.

Философия сферической коровы

Законы сохранения очень важны с научной точки зрения и крайне полезны на практике. Но есть еще одна причина начать изучение физики именно с них, и прежде всего с сохранения импульса. Эти законы — отличный пример того, как работает важный методологический принцип: философия сферической коровы[4].

Этим названием мы обязаны анекдоту, который любят рассказывать физики. На одной ферме коровы перестали давать молоко. Как фермер ни бился, что ни придумывал, — не помогает. Тогда он позвал на помощь приятеля: физика-теоретика. Тот долго смотрел на коров, что-то записывал, считал и, наконец, пришел к фермеру с радостной новостью.

— Я понял, в чем тут проблема, — сообщил он важно. — Допустим, что корова имеет форму сферы…

Не поняли юмора? Шутка не только в том, что корова не похожа на сферу, что рога, копыта и хвост — именно то, что делает ее коровой. В природе в принципе нет и не может быть сферических коров. Смысл в том, что физики делают такие допущения, чтобы упростить формулы и расчеты, но часто при этом выходят за рамки реального мира, в данном случае — области знаний, полезных обычному фермеру с его надоями.

Но анекдот знаменит не тем, что ужасно смешной. Я этого не говорил. Все дело в том, что пример с коровой и сферой показывает общий принцип, который действительно работает в физике, и работает невероятно хорошо. Чтобы решить сложную задачу, мы подменяем ее более простой, создаем идеальный случай, в котором нет множества трудностей. Затем, получив решение, мы усложняем задачу и выясняем, как эти трудности влияют на результат.

Именно так был открыт закон сохранения импульса. Аристотель не ошибался: чашка будет стоять на столе, пока кто-то не сдвинет ее, и прекратит движение, стоит лишь отпустить руку. Ибн Сина тоже был прав: чашка остановится из-за трения, а не в силу своей внутренней природы. И если трением пренебречь, представив себе, к примеру, стрельбу из лука в вакууме, окажется, что стрела полетит с постоянной скоростью. Такого рода рассуждения — хорошая отправная точка, с которой можно начать анализ физического явления. Сложности вроде трения можно учесть позже.

Мастером на такие дела был Галилей. Он обладал выдающимся умением отделять существенные аспекты от тех, которыми можно для начала пренебречь. Аристотель утверждал, что тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие. В этом несложно убедиться: достаточно бросить книгу и лист бумаги с одной и той же высоты. Но Галилей заявил, что не будь сопротивления воздуха, предметы падали бы с одинаковой скоростью. Он даже провел гениальные опыты и сумел подтвердить основные моменты своей теории. Чтобы проверить ее окончательно, людям потребовалось несколько веков.

Философия сферической коровы приносит физикам много пользы, и мы еще не раз увидим ее в действии. Но все-таки нужно признать: она работает не всегда. Едва ли она помогла тому фермеру в его проблемах. Во многих сложных системах, которые могут встретиться нам в реальном мире, множество факторов действуют одновременно и влияют друг на друга так, что их невозможно разделить на важные и не очень, исключить, а затем внести обратно. Взять, например, биологию, экономику… Там все зависит от всего.

Физика кажется такой трудной именно потому, что на самом деле проста по сравнению с другими науками. Именно в физике (по крайней мере, в некоторых ее разделах) мы можем чудесным образом пренебречь множеством факторов, упростить и решить поставленную задачу, а затем учесть все, что было отложено на потом. Без этого наша работа была бы намного, намного сложнее. В результате физикам удалось открыть много парадоксальных и удивительных свойств нашего мира, от квантовой механики до теории относительности и Большого взрыва. Мы никогда не смогли бы дойти до таких вещей обычным умом, но мы придумали их, подгоняя формулы под опытные данные. Мы изучаем парадоксальные явления, а потому нам бывает трудно понять их, особенно поначалу. Предстоящий путь часто пугает тех, кто едва вступил на него.

Два. Изменение

Физика появилась благодаря тому, что наш мир в значительной мере склонен к непрерывности и предсказуемости. Жить в мире, где совсем ничего не меняется, было бы скучно, но, к счастью, не нужно. Все вокруг нас пребывает в движении: планеты и звезды летят сквозь космос, люди спешат на работу или домой, атомы внутри нас гудят, наполненные энергией. Давайте присмотримся к этим процессам как можно внимательнее.

В классической физике изменения описываются посредством особого механизма — парадигмы Лапласа. Чтобы доказать закон сохранения информации, Лаплас предложил мысленный эксперимент (того самого демона Лапласа). Утверждается, что данные, необходимые для предсказания будущего (либо восстановления прошлого), существуют в любой момент истории развития изолированной системы. Чтобы понять, как она изменяется, можно действовать следующим образом:

• описать состояние системы в какой-то момент времени;

• при помощи законов физики рассчитать ее состояние мгновение спустя (или до этого);

• при помощи тех же законов понять, что будет еще мгновение спустя, и т. д.

Действуя таким образом, можно воссоздать всю историю системы в прошлом, настоящем и будущем. Одно состояние за другим, опираясь лишь на текущие данные и законы физики, не думая о свойствах системы, ее назначении либо целях, которые она может преследовать.

Но вот вопрос: что мы имеем в виду под словами «мгновение спустя»? Сколько это — мгновение? Секунда? Доли секунды? Как-то не слишком определенно.

Пожалуй, было бы хорошо разделить время на минимально возможные единицы. Однако время течет непрерывно. Этот факт очевиден и принимается современной физикой. Древние ученые, от Зенона Элейского (известного своими «парадоксами») до Архимеда, считали непрерывность времени неразрешимой загадкой. Решить ее удалось лишь тогда, когда Ньютон и Лейбниц создали, независимо друг от друга, дифференциальное исчисление — математические методы для работы с бесконечно малыми величинами. Итак, отбросьте все страхи, школьные и студенческие: в этой главе мы познакомимся с высшей математикой.

Хорошая новость в том, что базовые понятия гораздо проще, чем, возможно, вам говорили. На самом деле их всего два: «производные», которые позволяют определить скорость изменения, и «интегралы», при помощи которых мы можем вычислить его суммарную величину.

(Плохих новостей нет.)

Планеты и силы

На пути к пониманию парадигмы Лапласа как способа описания изменений полезно подумать и о других способах. Рассмотрим, к примеру, движение планет Солнечной системы — вопрос, с давних пор волновавший и вдохновлявший физиков.

Многие знают о Птолемее и Копернике. Птолемей, астроном из Александрии, еще во II веке придумал геоцентрическую модель Солнечной системы (где центром мира является Земля). Эта модель была актуальной более тысячи лет. В XVI веке польский астроном Коперник придумал другой вариант — гелиоцентрическую модель (центр — Солнце), чем сильно расстроил многих из тех, кто с радостью считал себя жителем центра Вселенной. Обе модели строились на окружностях. Но чтобы описать орбиты, используя только окружности, и получить результат, похожий на то, что астрономы реально видели в небе, модель пришлось до ужаса усложнить. Во-первых, окружности орбит оказались смещенными относительно общего центра. Во-вторых, по этим окружностям двигались не планеты, а небольшие круги-эпициклы, точнее их центры. И вот по ним уже двигались сами планеты.

В XVII веке все стало намного проще. Немецкий астроном Иоганн Кеплер, как и Коперник, поставил в центр солнечной системы Солнце. Однако ученый знал, что помимо круга, при всех его достоинствах, есть и другие геометрические фигуры. Решительно выбрав эллипс, он полностью устранил эпициклы, а заодно и все усложнения, связанные с ними. Используя данные, по крупицам собранные его наставником Тихо Браге, Кеплер выдвинул три закона, которым подчинено движение планет:

1. Планеты движутся по эллиптическим орбитам, а Солнце находится в одном из их фокусов.

2. Двигаясь по орбите, планета проходит равные сектора за равное время. Поэтому рядом с Солнцем скорость движения выше, чем вдали от него.

3. Чем больше орбита, тем больше времени требуется на оборот вокруг Солнца. Если точнее, квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси эллипса ее орбиты. Именно так связаны друг с другом орбиты разных планет.

Законы Кеплера значительно приблизили ученых к пониманию динамики планет. Однако возник и новый вопрос: почему орбиты подчиняются этим законам? Стоит ли вообще думать об этом?

В конце XVII века, на заре Эпохи Разума, эти вопросы волновали лучших ученых нашего мира. Вдохновленные работами Галилея и Декарта, натурфилософы сосредоточились на механике — науке о движении, его причинах. Было известно, что прямолинейное движение с постоянной скоростью является естественным состоянием объекта, а его импульс всегда сохраняется. Но нужно было понять, почему тела не всегда движутся по прямой. Казалось, ответ очевиден: на них воздействуют некие силы. Но что такое сила и как она действует — оставалось неясным. По сути ученые вернулись к концепции Аристотеля о вынужденных или же неестественных движениях. Изменилось лишь мнение о том, что считать естественным состоянием: движение с постоянной скоростью пришло на смену неподвижности.

Важный шаг вперед сделал голландский физик Христиан Гюйгенс. Проведем простой опыт: привяжем к камню веревку и будем крутить его над головой. Чтобы камень не улетел, а описывал круги, придется крепко держать веревку. Гюйгенс нашел формулу для расчета «центростремительной силы», которую нам нужно приложить. (Еще он предложил волновую теорию света, изобрел маятниковые часы и открыл спутник Сатурна Титан. Бурное было время.) Конечно, веревка и камень лишь отдаленно показывают движение планет, но общее сходство имеется.

В 1660 году в Англии появилось Королевское общество, и вскоре в его состав вошли экспериментатор Роберт Гук, архитектор Кристофер Рен и молодой астроном Эдмунд Галлей, которые впоследствии стали друзьями. В одной из прочитанных обществу лекций Гук заявил, что движение планет можно объяснить силой тяготения Солнца, которая уменьшается с расстоянием и отклоняет планеты от прямолинейных траекторий. Однако Гук не был знатоком математики и не смог довести свою идею до ума. Вместе с Галлеем и Реном Гук много времени проводил в кофейнях (популярное новшество того времени) за обсуждением этих вопросов. К 1684 году друзья поняли, что третий закон Кеплера можно выразить с помощью формулы центростремительной силы Гюйгенса, если принять, что сила тяготения Солнца подчиняется закону обратных квадратов. Например, если одна планета в три раза дальше другой от Солнца, то воздействующая на нее сила будет в девять раз меньше той, что воздействует на вторую планету. Однако Гук и компания не смогли доказать, что орбиты планет под таким воздействием будут иметь форму эллипса.

Ньютон и его законы

Рен хорошо потрудился, проектируя собор Святого Павла и ряд других зданий, и был, возможно, самым богатым из трех друзей. Он предложил награду тому, кто сможет вывести формулу орбиты с учетом закона обратных квадратов. Уже в то время все знали, что самый умный на земле — Исаак Ньютон, который жил тогда в Кембридже и сторонился больших компаний. Однажды Галлей набрался смелости и приехал к нему. Ньютон принял Галлея любезно, и тот завел разговор об орбитах и гравитации. Ньютон сразу же заявил, что получится эллипс. Несколько ошеломленный Галлей спросил, почему он так в этом уверен. Ньютон ответил: «Я его вычислил».

Увы, мы не знаем, как именно он это сделал. Известно лишь, что Галлей попросил Ньютона изложить расчет на бумаге, после чего написал небольшую статью и представил ее Королевскому обществу. Однако статья оказалась не слишком подробной, и Галлей вновь обратился к великому физику с просьбой расширить ее. Ньютон с энтузиазмом начал работу. Восемнадцать месяцев спустя он создал «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), сокращенно — «Начала», книгу, что оказала, быть может, самое большое влияние на развитие современной науки.

В «Началах» описывалась новая система классической механики, которая считалась неоспоримой в течение трех веков. Помимо этого автор предложил закон всемирного тяготения, вывел законы Кеплера из базовых принципов, а также представил первые азы того, что сейчас известно как дифференциальное исчисление. Ньютон далеко продвинулся в этом вопросе, но опасался, что новые методы еще недостаточно совершенны и вызовут возражения. Поэтому он не решился в полную силу использовать их в «Началах». Независимо от него к похожим идеям пришел Лейбниц. Именно его обозначения используются в современной математике. Ньютон много и горячо спорил с Лейбницем по этому поводу, а с Гуком о законе обратных квадратов — Ньютон вообще любил много и горячо спорить.

Классическая механика — это не просто теория о каком-то определенном физическом явлении. Это система, всестороннее описание устройства нашего мира, которое до прихода квантовой физики принимали за истину практически все ученые. Мы говорили о том, как множество очень умных людей веками пытались понять, что такое импульс, сила и движение. Ньютон, тщательно все осмыслив, показал то, что представлялось в ту пору верным ответом. Как сказал знаменитый космолог Рокки Колб (Rocky Kolb): «Чтобы сравниться с Ньютоном, братьям Райт пришлось бы не просто построить первый в мире самолет, а сделать что-то похожее на современный лайнер и полететь на нем из Калифорнии прямо в Нью-Йорк».[5]

Так что же на самом деле сказал Ньютон? Погружение в классическую механику ждет нас в следующей главе. Пока же добавим к движению планет еще два важных понятия.

Первое из них — ускорение. Если объект в своем естественном состоянии движется по прямой с постоянной скоростью, ускорение служит мерой отклонения от этого состояния, то есть показывает, как изменяется скорость объекта. Как и скорость, ускорение представляет собой вектор, так как имеет определенное направление. Согласно второму закону Ньютона, самой известной формуле классической механики, ускорение пропорционально результирующей действующих на объект сил. Коэффициентом пропорциональности служит масса объекта:

(2.1)

Первый закон Ньютона утверждает, что в отсутствие внешних сил скорость объекта остается неизменной, а третий — что тела воздействуют друг на друга с равными силами, которые направлены в противоположные стороны. Чаще всего на объект действует сразу несколько сил, поэтому мы можем сложить их и получить единую, равнодействующую силу, которая и определяет ускорение. (Поскольку вектор — это длина и направление, две большие, но действующие друг против друга силы в сумме дадут очень маленькую.) Разделив обе части уравнения (2.1) на m, получим формулу для расчета ускорения: .

Второе понятие — закон всемирного тяготения — не что иное, как окончательный вариант закона обратных квадратов, о котором говорили Гук и его друзья. Заслуга Ньютона в том, что новый закон полностью универсален: он объясняет и движение планет, и падение яблок на землю. Для нас эти вещи кажутся очевидными, но в те времена отыскать связь между космосом и фруктовым садом было огромным шагом вперед.

Рассмотрим два небесных объекта с массами m1 и m2, удаленные друг от друга на расстояние r. Примем за «единичный вектор» длиной 1 (неважно, в каких единицах), направленный от объекта 2 к объекту 1. Ньютон говорит, что сила притяжения объекта 1, воздействующая на объект 2, будет равна

(2.2)

Число G — гравитационная постоянная, которая определяет величину силы тяготения. С точки зрения объекта 2 объект 1 является источником гравитации — физического свойства, создающего силу, — и наоборот.

Это уравнение немного сложнее предыдущих, но если сесть и подумать о нем, мы снова увидим пропорциональность двух векторов: силы , с которой объект 1 воздействует на объект 2, и единичного вектора , который направлен от объекта 2 к объекту 1. Сложный вид уравнения объясняется тем, что коэффициент пропорциональности представляет собой произведение гравитационной постоянной, двух масс и обратного квадрата расстояния. В результате мы можем точно определить, как сильно Солнце воздействует на планеты: чем ближе к нему, тем сильнее.

При помощи двух простых правил — второго закона (2.1) и закона всемирного тяготения (2.2) — Ньютону удалось воспроизвести все законы Кеплера. Более того, он показал, что сила тяготения сферического объекта в точности равна силе тяготения точки, обладающей такой же массой и расположенной в его центре. Поэтому, если мы принимаем модель, в которой планеты и Солнце — большие шары, мы с тем же успехом можем считать их точками. Кроме того, можно усложнить эту модель: рассматривать не обособленные пары из Солнца и одной планеты, а целиком всю Солнечную систему. Благодаря законам Ньютона мы можем понять, как на движение других планет влияет, к примеру, Юпитер (самая большая планета). Именно так небесная механика стала столь точной наукой, что позволяет нам отправлять на Луну ракеты.

Локальный подход

Мы не будем подробно рассматривать законы Кеплера в интерпретации Ньютона, лишь подчеркнем философские различия между двумя подходами к динамике планет (а значит, и к физике в целом). Кеплер говорит, что планеты движутся по эллипсам, делает предположения о скорости движения. Это глобальное утверждение, которое описывает орбиту в целом. Чтобы проверить его, нужно дождаться, когда планета сделает оборот вокруг Солнца, а затем проанализировать собранные данные.

Делая те же выводы, что и Кеплер, Ньютон идет совершенно иным путем. Он принимает за отправную точку какой-то конкретный, локальный момент времени и данные о планете, известные на этот момент: скорость, местоположение, действующие силы. Посредством второго закона он вычисляет ускорение, а затем экстраполирует результаты, чтобы понять, что будет с планетой в будущем.

Парадигма Лапласа в действии. Впервые предложенная Ньютоном, получившая философское осмысление в трудах Лапласа и развитая в дальнейшем другими учеными, в том числе Гамильтоном, она утверждает, что весь объем данных, необходимых, чтобы понять дальнейшее либо прошлое развитие системы, содержится в любом произвольно выбранном ее состоянии. В простой системе (как, например, планеты и Солнце) состояние можно описать положением и скоростью каждого из ее элементов. Вы можете возразить: нужны еще силы, которые воздействуют на планеты. Это действительно так. Но силы определяются скоростью и положением других элементов системы. И если у нас эти данные есть, мы готовы к работе.

Чтобы справиться с этой задачей, нужно решить два важных вопроса. Во-первых, мы говорим о скорости изменения различных величин. Скорость движения показывает, как быстро меняется положение в пространстве, ускорение — как быстро меняется скорость. Как выразить эти понятия в числах? Когда объект движется из одной точки в другую, мы можем определить его среднюю скорость: достаточно разделить пройденное расстояние на проведенное в пути время. Чтобы узнать мгновенную скорость в какой-то точке пути, этого недостаточно. Тут нужно действовать более умно.

Во-вторых, мы хотим воссоздать проделанный путь, то есть определить суммарно пройденное расстояние по известным начальным данным о положении, скорости и ускорении. В самом простом случае, когда объект движется строго с постоянной скоростью, нужно умножить скорость на время движения. Но если во время пути объект ускоряется или же замедляется, делает повороты, этого недостаточно. Здесь также нужно крепко подумать.

Дифференциальное исчисление как раз и дает ответ на вопрос о том, как найти мгновенную скорость и расстояние, пройденное за промежуток времени. Для этого нам нужны производные и интегралы, как называют их математики. Что же, пора засучить рукава.

Функции

Представим себе машину, которая мчится по прямому шоссе. Ее скорость и ускорение представлены векторами, но так как движение прямолинейно, оба они будут направлены в одну сторону, а значит, мы можем представить их числами (положительными либо отрицательными). Также представим себе, что в машине имеется точный одометр, которые отслеживает и регистрирует ее положение в каждый момент времени.

С математической точки зрения мы получили функцию, которая определяет положение машины x в зависимости от времени t. Функция устанавливает соответствие между двумя величинами. Мы можем взять одну из них, пропустить ее через функцию и получить другую. При этом величины могут быть выражены числами, множествами чисел или чем-нибудь более сложным. Входная величина называется аргументом функции, а выходное значение соответствует этому аргументу.

Функция: аргумент → значение

f: t → x.

Функцию, которая показывает зависимость х от t, можно записать как х = f(t) или, для краткости, просто х(t). Мы можем использовать любые буквы, главное — не забыть, что они означают. Если мы примем за x и y координаты на местности, мы можем выразить высоту рельефа в любой его точке как функцию h(x, y). То есть величина x в каких-то случаях может быть входным значением функции (аргументом), а в других — выходным.

В случае с машиной аргументом будет время t, а функция х(t) — возвращать координату x в соответствующий момент времени. Мы можем нарисовать ее график. Возможно, вам уже знакомы некоторые типовые функции вроде t2 или sin(t). Идея тут в том, что что функция устанавливает однозначное соответствие между значениями t и x, даже если его нельзя записать какой-то простой формулой.

Под «однозначным соответствием» мы понимаем, что каждому значению аргумента противопоставлено одно и только одно выходное значение. Значения могут повторяться: машина может несколько раз проехать какое-то место на дороге, однако в каждый момент времени t она будет только в какой-то одной точке x. График функции может изгибаться вверх и вниз, но не петлять влево или вправо.

Производные

Имея функцию x(t), то есть зависимость положения от времени, мы можем задаться вопросом, какова скорость машины в тот или иной момент. Мы знаем, что скорость показывает, насколько быстро меняется положение. Но как ее вычислить, зная x(t)? Для этого нам недостаточно знать, где машина сейчас: нужно учесть, где она была в другие моменты времени.

Посмотрев на график функции, можно интуитивно понять, что скорость машины связана с наклоном кривой в каждой ее точке: чем круче она изогнута вверх или вниз, тем выше скорость. Почти горизонтальный участок графика показывает, что с течением времени положение машины изменяется медленно, то есть скорость очень мала. Крутой участок, напротив, говорит о быстром перемещении, то есть высокой скорости.

Представим себе прямую линию, которая касается кривой x(t) в какой-то момент времени t0. Она называется касательной линией в этой точке. Скорость машины в момент t0 будет равна углу наклона такой касательной. Нам нужно предложить систематический подход к определению и вычислению угла наклона касательной в зависимости от времени.

Это довольно просто, когда машина едет с постоянной скоростью, то есть график функции представляет собой прямую, как на следующем рисунке. Ее наклон, а значит, и скорость вычислить очень легко: достаточно разделить изменение положения на время, в течение которого оно менялось. Обозначим изменение положения за Dx, а промежуток времени — за Dt. Заглавная греческая буква дельта (D) часто используется, чтобы показать изменение какой-то величины. (При этом обозначение Dx представляет собой цифру, изменение x, а не произведение какой-то величины D на x.) Соответственно, скорость составит:

(2.3)

Настало время поговорить об одном из базовых понятий дифференциального исчисления. Если функция относительно плавная, то есть не скачет как попало от значения к значению, на очень коротких отрезках она будет похожа на прямую. Чем больше мы будем увеличивать масштаб, тем более прямолинейной она будет казаться.

И это подсказывает нам, что делать. Возьмем какой-то момент времени t, в который мы хотим посчитать скорость, а также промежуток Dt, конечным моментом которого будет t + Dt. Используя нашу функцию, мы можем определить два положения машины: начальное x(t) и конечное x(t + Dt), а значит, изменение положения за Dt:

(2.4)

Если график функции криволинеен, деление суммарного изменения положения на промежуток времени даст нам среднюю скорость за это время:

(2.5)

Это выражение похоже на (2.3), но, в отличие от него, дает не скорость равномерного движения, а среднюю скорость за некоторый промежуток времени:

Но это не совсем то, что мы ищем: нам нужно вычислить скорость в каждый момент времени. Возможно, вы уже поняли, к чему я веду. Рассмотренный нами промежуток Dt взят совершенно произвольным образом. Мы можем выбрать любой. Давайте его уменьшим. Чем меньше будет Dt, тем меньше получится Dx. По мере того как Dx и Dt будут стремиться к нулю, их частное Dx/Dt будет стремиться к некому числу, отличному от нуля, а фактически — именно к тому, что мы ищем: углу наклона касательной к графику функции в начальный момент времени.

Только что описанные действия называются взятием предела при стремящемся к нулю Dt. Ноль, деленный на ноль, — это не какое-то число. Математически говоря, это значение не определено. Однако если мы возьмем предел (lim) стремящихся к нулю Dt и Dx, их частное даст нам скорость v — определенное значение. Такой предел называется производной функции x(t) и записывается следующим образом:

Вот и все. Мы разобрались с тем, что такое производная: это угол наклона кривой в некоторой точке, которую мы получаем как предел последовательности линий, постепенно приближающихся к касательной в этой точке. Мы рассмотрели пример зависимости x от t, и в данном случае производная представляет собой скорость. Однако понятие производной универсально. К примеру, ускорение — это производная скорости по времени:

(2.7)

Скорость измеряется в метрах в секунду, а ускорение — в метрах в секунду за секунду, то есть показывает, как быстро изменяется скорость. Ускорение объекта, свободно падающего на землю под действием силы тяжести, составляет примерно 9,8 метра в секунду за секунду (сокращенно — м/c2).

Если рассматривать некую функцию, зависимость от t, то есть f(t), ее производной будет df/dt. Мы всегда можем найти производную функции по переменной, зависимость от которой она определяет. При этом не важно, как именно обозначена переменная: мы можем выбрать любую удобную и понятную нам букву. Традиционно время обозначается буквой t, а расстояние буквой x, но этот выбор всегда остается за нами.

Значения dx и dt называются бесконечно малыми величинами. Мы как бы делим их друг на друга и получаем v. Но все не так просто. Будь они числами, мы бы фактически делили ноль на ноль, а это запрещено. Поэтому dx и dt следует понимать как обозначения, показывающие бесконечное приближение к нулю величин Dx и Dt. Их частное будет вполне определенным числом. Что тут можно сказать? Математики приложили немало усилий, чтобы придать этому смысл. Физики, со своей стороны, подходят к вопросу практически: работает — и отлично, можно переходить к следующей проблеме.

Сейчас вас, скорее всего, беспокоят два вопроса. Во-первых, мы пока что не сделали ничего сложного: порассуждали об углах наклона касательных линий и дали определение производной. А где же сложности высшей математики, которыми всех так часто пугают? Во-вторых, непонятно, что делать с этим определением. Оно довольно абстрактно. Как применять его в жизни: к реальным функциям или же показаниям одометра? Нам снова придется маяться с приращениями и пределами?

Два эти вопроса связаны и, в общем-то, исключают друг друга. Серьезно взявшись за дифференциальное исчисление, мы погрузились бы в мир утомительных, но достаточно четких правил дифференцирования, которые позволяют найти производную любой функции. Рассмотрим, к примеру, простую функцию f(x) = ax + b, где a и b — постоянные параметры (обычно называемые константами)[6]. Такая функция называется линейной, поскольку ее график представляет собой прямую.

Чтобы найти производную этой функции, достаточно просто подумать. Константа b не влияет на наклон прямой, а значит, мы можем ее не учитывать. Константа a, напротив, и есть этот уклон, ведь если x изменится на Dx, f(x) изменится на aDx, то есть Df(x)/Dx = a, какое значение x мы бы ни взяли. Поэтому

(2.8)

Производная линейной функции — константа, равная множителю при x в исходном уравнении.

Увы, наклон большинства функций не постоянен, а изменяется от точки к точке. Поэтому их производные будут сложнее. К примеру, производная параболической функции f(x) = x2 такова:

(2.9)

На следующем рисунке мы видим график функции f(x) = x2, а также углы наклона касательных в точках x = –2, –1, 0, 1, 2. При отрицательных x уклон параболы отрицательный, при положительных x — положительный.

Аналогичные формулы имеются для многих других случаев: любых степеней и корней x, логарифмов, синусов и косинусов, произведений функций и т. д. Некоторые примеры приведены в приложении A.

Множество формул и правил, которые нужно понять и запомнить, делают высшую математику скучной и сложной для изучения. Она приносит огромную пользу ученым, но наша цель — понять, как устроен мир. Тем, кто не метит в академики, достаточно взять от физики только самое интересное. Дифференцирование позволяет определить наклон кривой, то есть, к примеру, узнать скорость машины по ее перемещению с течением времени. Этого нам достаточно, чтобы двигаться дальше.

Интегралы

Согласно парадигме Лапласа, можно определить будущее положение объекта по его текущему положению и скорости, а также по данным о других влияющих на него объектах. Зная, какие силы воздействуют на объект, мы можем использовать второй закон Ньютона (2.1) и вычислить ускорение. Скорость определяет изменение положения с течением времени, а ускорение — изменение скорости. Собрав эти сведения воедино, мы можем построить траекторию движения объекта, то есть увидеть, как будут изменяться его положение и скорость.

Вернемся к примеру с машиной, которая движется по прямой с постоянной скоростью. Однако теперь мы рассмотрим график скорости, а не положения (допустим, что мы не знаем его). Это довольно легко, ведь скорость не изменяется.

Когда объект движется с постоянной скоростью v, пройденное им расстояние x равно произведению скорости на время движения: x = vDt. Несложно представить это геометрически: расстояние будет равно площади прямоугольника между прямыми 0 и Dt по горизонтали и 0 и v по вертикали. То есть накопленное значение какой-то величины представляет собой площадь под графиком ее функции.

Теперь возьмем более общий пример, в котором скорость не постоянна. Когда мы говорили о производных, мы увеличили масштаб настолько, что кривая стала казаться прямой. Применим эту же тактику и здесь: аппроксимируем площадь под графиком v(t). Для этого возьмем небольшой промежуток Dt и вычислим площадь прямоугольника от t = 0 до t = Dt (то есть v(0) ⋅ Dt), затем прямоугольника от t = Dt до t = 2Dt и т. д. Сложив все эти площади, мы получим величину, примерно равную площади под кривой. Для этой операции — сложения большого количества величин — используется специальное обозначение: S, то есть заглавная греческая буква сигма.

(2.10)

Волнистый знак равенства означает «приблизительно равно».

Чем меньше будет промежуток Dt, тем тоньше получатся прямоугольники (и тем больше их будет). При этом фигура, которую они составляют, будет все ближе и ближе к области под кривой. Поэтому, как и в случае с производными, в пределе Dt становится бесконечно малой величиной, которую мы обозначим dt. Если заменить символ суммы Σ на другой, напоминающий фигурную букву S, мы получим интеграл скорости по времени, то есть пройденное расстояние:

(2.11)

Аналогичным образом, вычислив интеграл ускорения, можно определить изменение скорости:

(2.12)

Это выражение не совсем точно: для простоты в нем отсутствуют сведения о начальном и конечном моментах времени, то есть о промежутке, в течение которого мы наблюдаем за изменением положения или скорости. Полный вариант формулы можно найти в приложении A.

Если производные — это способ осмыслить деление нуля на ноль, то интегралы — аналогичный способ понять умножение на ноль бесконечности (мы ищем сумму площадей бесконечно большого числа прямоугольников нулевой площади). Эти действия (которые математики называют матемическим анализом) можно выполнить довольно точно, хоть и не все ученые с этим согласны. Не удивительно, что в «Началах» Ньютон не стал активно использовать дифференциальное исчисление, которое было в те времена было новинкой. К счастью, для задач физики оно подходит как нельзя лучше.

Зная, какие силы действуют на объект, мы можем определить его ускорение по закону Ньютона — формуле F = ma. Далее, интегрируя ускорение, мы получаем скорость, а интегрируя скорость — пройденный путь. Таким образом, парадигма Лапласа верна: зная исходное положение и скорость, мы можем построить всю траекторию движения объекта.

Интегрирование и дифференцирование представляют собой противоположные операции над функциями. Взяв производную исходной функции, мы получаем новую функцию, а взяв от нее интеграл, — снова исходную. Таким образом производная отменяет интеграл и наоборот.

(2.13)

То же самое в обозначениях:

(2.14)

На практике брать производные относительно просто, интегралы — намного сложнее. Даже лучшие физики часто прибегают к численным методам и вычисляют нужные значения при помощи компьютеров.

Однако нам не придется подробно знакомиться с тем, как брать интегралы и производные (некоторые примеры можно найти в приложении A). Для нас важны не конкретные формулы, а сами эти понятия. Запомним одно простое правило: интеграл от бесконечно малой величины равен конечной величине:

(2.15)

Это означает, что суммарное количество x, накопленное за промежуток времени, есть изменение x от начала процесса до его завершения. При этом за х может быть принято что угодно: расстояние в космосе, промежуток времени, любая физическая величина, которую мы рассматриваем.

Непрерывность и бесконечность

Со времени Ньютона было открыто немало законов фундаментальных физических систем. Джеймс Клерк Максвелл предложил серию формул для электричества и магнетизма, Альберт Эйнштейн — уравнение кривизны пространства-времени, а Эрвин Шрёдингер — волновой функции квантово-механической системы… Все эти формулы объединяет одно: это дифференциальные уравнения, неизвестными в которых являются функции (временные или пространственные), которые описывают различные явления. По этой причине дифференциальное исчисление занимает в физике центральное место.

Но справедливо ли это? Не зная окончательных формулировок законов физики, мы должны быть открыты для любых предположений. Одно из них состоит в том, что парадигма Лапласа неверна, то есть фундаментальные законы глобальны, а не локальны, то есть не начинаются с какого-то состояния в какой-то момент времени. Следовательно, отталкиваясь от такого состояния, мы не можем судить и о будущих либо прошлых.

Другое предположение — время не непрерывно, то есть имеется некий минимальный промежуток времени, а Вселенная развивается ступенчато, с этим промежутком. Один из плюсов такого подхода в том, что непрерывность (и сестра ее бесконечность) всегда была для людей — математиков и философов — чем-то загадочным, тем, что нельзя увидеть в реальном мире. Однако идея о том, что время дискретно перечеркнет все открытия классической механики и теории относительности, заставит пересмотреть большую часть наших знаний о мире. И хоть, возможно, в конечном итоге так и придется сделать, разумно не слишком спешить со столь радикальными переменами.

Непрерывность времени (либо какой-то другой величины) означает, что между точками, разделенными, на наш взгляд, каким-то конечным расстоянием, лежит бесконечное число других, промежуточных точек. Мы можем проверить это, представив себе линию, изображающую время, которое течет из прошлого в будущее. Поставим на ней две точки и обозначим их t = 0 и t = 1.

На полпути между ними можно поставить еще одну точку: t = 1/2. Однако таким же образом можно поступить и с отрезком между t = 0 и t = 1/2: отметить его середину t = 1/4. Далее мы найдем и отметим точки t = 1/8, 1/16, 1/32… Какой бы отрезок мы ни взяли, у него всегда найдется середина (например, t = 3/4, 7/8, 15/16, 31/32 и так далее между t = 0 и t = 1). То есть между любыми двумя точками на непрерывной прямой будет бесконечно много других точек.

Примечательно то, что количество точек между 0 и 1 так же бесконечно, как и между —∞ и +∞. Это немного странно, ведь мы привыкли считать, что часть множества состоит из меньшего числа элементов, чем все множество целиком. Но бесконечность — нечто особенное. Мы можем изобразить интервал между 0 и 1 в виде следующей функции:

Здесь всем значениям x от —∞ до +∞ однозначно соответствуют значения y от 0 до 1. Построить аналогичную функцию для —∞ и +∞ по оси y нельзя, поскольку между х и y не будет точных и однозначных соответствий.

Можно решить, что все бесконечные величины каким-то непостижимым образом одинаковы. Ведь умножив бесконечность на 2 (или другое число больше 0), мы получим в результате бесконечность. Но разве количество целых чисел равно количеству четных? Нет, все немного сложнее. Георг Кантор, немецкий математик XIX века, доказал, что есть разные степени бесконечности. Согласно теореме Кантора, есть бесконечно много целых чисел и бесконечно много реальных, однако последних больше, чем первых. Открытие вызвало всеобщее неодобрение. Многие математики усомнились в представленных доводах, а современник Кантора Леопольд Кронекер даже назвал его «растлителем молодежи». Сегодня ученые в целом согласны с доказательством теоремы, но все же не склонны считаться с выводами, которые из нее следуют.

Важно ли это все для физики? Может и нет. Мы, люди, — существа ограниченные. На практике ни один из нас не заметит разницы между «бесконечным» и «очень большим» (или «нулевым» и «очень маленьким»). Так что, описывая наш мир, мы можем сами решать, что считать бесконечностью. Тем не менее не следует путать то, что может представить себе человек, и то, что на самом деле существует в природе. Возможно, когда-нибудь кто-то предложит единый, универсальный подход ко всем проблемам непрерывности и бесконечности. На данный момент такого подхода нет.

Три. Динамика

Представьте себе два дерева, растущие на некотором расстоянии друг от друга. Где-нибудь в парке, на совершенно ровном участке. Встаньте возле одного из них и нацельтесь на другое. Зажмурьте глаза и двигайтесь вперед. Если у вас хорошее чувство направления, никто не будет сбивать вас и не окажется на пути, через какое-то время вы дойдете до цели — второго дерева. Открыв глаза и посмотрев на свои следы, вы увидите, что шли по прямой.

Теперь попробуйте действовать по-другому. Возьмите веревку и привяжите один конец к первому дереву, а другой — ко второму. Натяните веревку и посмотрите на результат: получится прямая, проходящая ровно над следами из прошлого опыта.

Это и очевидно, и примечательно. Мы хорошо понимаем, что означает «прямая», но можем построить ее разными способами. Один из них — двигаться, не меняя направления, другой — найти кратчайший путь между начальной и конечной точками. Первый способ соответствует локальной философии в духе парадигмы Лапласа, о которой мы говорили в прошлой главе. Действительно, в каждый момент времени мы делаем что-то, что в конце концов приводит нас к определенному результату. Второй способ глобален, как законы Кеплера: из многих способов расположить веревку между деревьями выбран самый короткий. Оба способа, хоть и разные, дают в итоге одинаковый результат.

Физика работает точно так же. Мы уже говорили про идею Лапласа: данные о состоянии системы на какой-то момент времени позволяют нам шаг за шагом проследить за ее развитием в будущем. Но тот же результат можно получить совсем по-другому, исходя из совсем иного набора фундаментальных понятий. Поэтому возникает вопрос: какой из способов лучше, более эффективен? Если результат все равно один, возможно, нет разницы, как его получить. Мы не знаем окончательных формулировок законов физики, а потому одна из дорог может оказаться менее петляющей. Как однажды сказал Ричард Фейнман, одну и ту же мысль можно выразить по-разному, но «на пути в неизвестность все способы будут идентичны с психологической точки зрения».

В прошлой главе мы говорили об «изменении» в целом как исключительно общем понятии. В этой главе мы обсудим динамику, то есть изменения, подчиняющиеся формулам физики. Мы рассмотрим свойства некоторых физических систем и что говорит о них классическая механика. Размышляя о кинетической и потенциальной энергии, мы сделаем интересные выводы о динамике разных объектов. В итоге мы заново сформулируем законы механики, посмотрим на них более глобально, с учетом истории системы в целом, сквозь призму того, что сейчас называется «принципом наименьшего действия».

Важные сведения о движении

Рассмотрим парадигму Лапласа чуть более систематично. Чтобы не усложнять, представим себе частицу, которая движется в трехмерном пространстве. Состояние такой системы определяется положением (вектором ) и скоростью, которая представляет собой производную положения по времени, . Таким образом, мы получаем шесть чисел: три для положения и три для скорости.

Порядок действий таков. Мы говорим о какой-то конкретной системе, к примеру, о «шаре, катящемся с холма» или «планете, вращающейся вокруг Солнца». У нас есть данные об этой системе, известные на момент времени t0. Анализируя ситуацию, мы можем определить результирующую силу , которая действует на объект, например силу тяготения, с которой Солнце притягивает планету. Далее по второму закону Ньютона находим ускорение и узнаем в результате не только исходные данные , но и как быстро они изменяются:

Теперь при помощи дифференциального исчисления мы в состоянии построить траекторию движения объекта .

Это на удивление гибкий алгоритм. Мы много говорим о частицах, но классическая механика — наука значительно более общая. Возьмем некий пространственный объект: твердое, жидкое или газообразное тело, и поглядим на него макроскопически, как на единое целое, а не набор атомов. Мы можем сказать, что любой бесконечно малый кусок, «элемент объема» этого тела dV находится под действием внешних сил: гравитационных, электрических или каких-то иных. Но это не всё. На этот элемент объема будут воздействовать и другие такие же элементы, которые находятся рядом с ним. Если мы знаем положение и скорость рассматриваемого элемента, а также действующие на него силы, законы Ньютона подскажут нам траекторию его движения. Тогда благодаря дифференциальному исчислению мы сможем вывести уравнения для системы в целом, то есть сложить воедино все элементы объема.

Чтобы построить траекторию, нам важно знать входные данные: положение и скорость объекта. Не менее важно, что никакие другие сведения для этого не требуются. Например, ускорение мы получим при помощи закона Ньютона, исходя из строения системы. При этом скорость — производная положения, а ускорение — производная скорости, или, как говорят, вторая производная положения:

(3.1)

Вспомните: говоря об обозначениях, мы отметили, что d — это не переменная, а часть оператора. Запись d/dt означает производную по времени. Чтобы взять вторую производную, то есть производную производной, мы должны использовать оператор d/dt дважды. Поэтому в формулах мы будем писать d2/dt2.

Мы можем взять производные и других, более высоких порядков. У них даже есть свои, несколько экзотические названия:

• Скорость = первая производная положения (по времени).

• Ускорение = производная скорости = вторая производная положения.

• Рывок = производная ускорения = третья производная положения.

• Скачок = производная рывка = четвертая производная положения.

• Прыжок = производная скачка = пятая производная положения.

• Толчок = производная прыжка = шестая производная положения.

Эти термины иногда применяются в инженерном деле (хотя гораздо чаще — в спорте), но физики редко используют их. В большинстве случаев они просто не нужны: если известны скорость и положение, можно найти ускорение, и все.

Относительность Галилея

Теперь мы можем сделать один очень важный вывод. Тот факт, что нам нужно знать скорость и положение объекта, говорит о том, что во вселенной нет предпочтительной скорости или положения, то есть состояния, которое можно считать каким-то особенным, отличным от всех иных. По крайней мере с точки зрения законов физики. Они работают везде, независимо от положения, и это легко проверить: достаточно провести один и тот же опыт, к примеру, в Англии и Германии. Результат будет одинаков. Некоторые величины зависят от условий на месте измерения: например, скорость звука зависит от атмосферного давления, а гравитационное ускорение — от высоты над уровнем моря. Поэтому, измеряя их, мы можем получить разные значения. Но сами законы физики — второй закон Ньютона, закон всемирного тяготения и другие — справедливы в любой стране. Они не считают, что где-то в пределах вселенной есть место, где можно сделать из них исключение.

Немного сложнее обстоит дело со скоростью. Строго говоря, скорость любого объекта всегда измеряется относительно других объектов. Если у нас есть два тела, а расстояние между ними известно, их скорость относительно друг друга равна производной этого расстояния по времени. Нельзя говорить о скорости (или состоянии покоя) какого-то обособленного объекта. В обычной жизни эта особенность мира скрыта от нас, поскольку мы никогда не отдаляемся от привычного нам ориентира: земли, относительно которой мы измеряем скорости окружающих нас объектов. Однако любой пилот подтвердит, что скорости относительно земли и воздуха не совпадают.

Представьте себя на космическом корабле, который летит с выключенным двигателем, то есть без ускорения. Глядя в иллюминатор (или через какой-то наблюдательный прибор), вам не удастся определить, как быстро вы движетесь, поскольку скорость нельзя измерить саму по себе, без какого-то ориентира. Поэтому во вселенной нет никаких предпочтительных скоростей или положений.

Отсутствие предпочтительного состояния покоя с точки зрения законов физики впервые отметил Галилей (который, конечно, не помышлял о космических кораблях, но многое знал о морских). В то время он отстаивал теорию о том, что Земля вращается. Его противники (считавшие, что Солнце вращается вокруг Земли) говорили, что непременно заметили бы вращение, ведь скорость поверхности планеты добавлялась бы к скоростям любых объектов на ней. Галилей отвечал, что важно лишь относительное движение. Например, если сбросить с верхушки мачты пушечное ядро, то с точки зрения матроса оно упадет вертикально, с какой бы скоростью ни шел корабль относительно моря.

Термин «относительное движение» напоминает нам о теории относительности, и это неспроста. Отсутствие предпочтительного положения или состояния известно как принцип относительности, который Галилей предложил задолго до рождения Эйнштейна. Механика Ньютона основана на относительности Галилея, которая допускает, что два объекта могут двигаться друг относительно друга с любой скоростью. В современной физике используется относительность Лоренца (по имени голландского физика Хенрика Антона Лоренца), которая вводит верхний предел относительной скорости, равный скорости света.

Обратите внимание: мы отрицаем существование предпочтительных положений и скоростей, но не ускорений. Это связано с тем, что предпочтительное ускорение существует и равно нулю. При полном отсутствии ускорения объект движется по особой траектории, которая называется инерциальной. Человек на космическом корабле не чувствует его скорость, но может ощутить ускорение: разгоняясь, корабль будет подталкивать человека в определенную сторону.

Шар на холме

Согласно философии сферической коровы, в физике нет ничего полезнее, чем построение простых идеализированных моделей (которые ученые любят называть «игрушечными»), приблизительно отражающих реальные сложные системы. Анализируя такие модели, можно углубить и расширить интуитивные представления о порядке вещей, добиться его понимания.

Одна из самых распространенных и полезных игрушечных моделей — шар, катящийся по холмистой местности. В главе 1 мы уже рассматривали ее, рассуждая о кинетической и потенциальной энергии. Сложно переоценить полезность этой модели, ведь все, что мы можем понять о шарах на холме, можно применить к квантовым полям и стандартной модели из физики частиц.

Увидеть катящийся с холма шар можно и в реальной жизни. Но то, о чем мы будем говорить, — лишь идеализированная модель. В большинстве случаев в ней нет ни сопротивления воздуха, ни трения, ни других явлений, из-за которых рассеивается энергия. Учесть все это не так уж трудно, однако нам важно начать с простых случаев, чтобы понять суть, а уже затем вносить усложнения. Помимо потенциальной и кинетической энергии реальный шар имеет также энергию вращения, но мы ею также пренебрежем. Наш шар будет идеально ровной частицей, при движении которой сумма потенциальной и кинетической энергий полностью сохраняется.

По правилам классической механики нам нужно задать положение и скорость шара, вычислить равнодействующую сил, воздействующих на него, и определить ускорение. Мы будем думать, что шар всегда остается на поверхности холма, не подпрыгивает над ней и не погружается в нее. Для простоты мы также договоримся о том, что движение происходит только в одном направлении x. На самом деле шар перемещается и во втором направлении: по высоте, однако она определяется рельефом местности, h(x) (поскольку шар не отрывается от земли).

Равнодействующая сила является суммой двух сил: направленной вниз силы тяжести и силы реакции земли — нормальной силы. Такое название она получила не потому, что ее воздействие — норма, а потому, что направлена строго по нормали к поверхности, то есть всегда перпендикулярна ей.

Рассмотрим простейший случай из всех, что можно представить: шар находится на ровной земле, то есть высота h(x) для всех значений x одинакова. Сила тяжести направлена вниз, а нормальная сила — по нормали к поверхности, то есть вверх. Поэтому равнодействующая этих сил также будет вертикальна. Более того, понятно, что она равна нулю, поскольку шар не взлетает с поверхности и не погружается в нее. Другими словами, сила тяжести и нормальная сила равны и противоположно направлены, их сумма равна нулю, а значит, ускорение отсутствует. Поэтому с какой бы начальной скоростью ни двигался шар, он будет сохранять ее и не изменит направление движения.

Если поверхность имеет наклон, модель становится интереснее. Сила тяжести, как и раньше, направлена вниз, но нормальная сила не будет вертикальной. Поэтому и сумма двух сил не будет нулевой: она, а значит и ускорение, будет направлена «вниз с холма». Если в начале эксперимента шар не двигался, он покатится к подножию. Если же он уже двигался вниз, скорость его увеличится, а если вверх — уменьшится.

Движущийся шар обладает потенциальной и кинетической энергией. Потенциальная энергия равна

(3.2)

где m — масса шара, d ≈ 9,8 метра в секунду за секунду — ускорение свободного падения, а h(x) — высота холма в точке x. Такая запись может немного смутить тех, кто привык всегда писать знак умножения. И все же m и g здесь константы, а h(x) — функция, которая для каждого значения x дает определенное значение h. Мы просто перемножаем эти три числа и получаем потенциальную энергию. В данном случае мы обозначим ее за V, хотя иногда применяются и другие буквы. Поскольку нас интересует энергия, а не высота холма, часто используют термин «потенциал» V(x).

Обычно, чтобы определить, как будет двигаться шар, мы применяем второй закон Ньютона, . Однако формула потенциальной энергии дает нам возможность взглянуть на шар чуть по-иному. Реальный шар движется в вертикальном и горизонтальном направлениях, повторяя рельеф поверхности, так что, как мы уже говорили, нам нужно сложить векторы сил и найти равнодействующую. Но так как наш шар не отрывается от земли, достаточно определить лишь горизонтальное перемещение: положение по вертикали и так известно.

Итак, нам нужно подумать об ускорении в направлении x. Оно вызвано силой, которая действует в этом же направлении. Понятно, что эта сила связана с углом наклона поверхности, то есть толкает шар вниз тем интенсивнее, чем круче склон. С точки зрения дифференциального исчисления, сила в направлении x равна отрицательному значению производной потенциала по положению:

(3.3)

Буква x в обозначении силы напоминает о том, что она действует горизонтально. Наличие знака «минус» легко объясняется тем, что когда высота холма при движении вправо увеличивается (производная dV/dx имеет положительное значение), сила будет побуждать шар двигаться влево, то есть в отрицательном направлении по x.

Взгляд с точки зрения энергии

Определив воздействующую на шар силу и засучив рукава, мы можем точно узнать, как он будет двигаться по холмам любой формы. Для этого нужно вычислить ускорение по второму закону Ньютона и взять несколько интегралов. Звучит немного утомительно. Поэтому попробуем осмыслить движение шара, взглянув на него с точки зрения сохранения энергии.

Шар обладает не только потенциальной, но и кинетической энергией:

(3.4)

где v — скорость шара. Сложив оба вида энергии, мы получим суммарную энергию шара, которая остается постоянной на протяжении всей его траектории:

(3.5)

Уже само это уравнение позволяет узнать кое-что о движении шара. Кинетическая энергия минимальна (то есть равна нулю), когда шар неподвижен. Следовательно, потенциальная энергия, а значит и высота шара, при нулевой скорости достигает максимума. Аналогичным образом шар разовьет наибольшую скорость, когда потенциальная энергия снизится до минимума, то есть у подножия холма.

Закон сохранения энергии позволяет легко представить себе траекторию движения. Положим шар к подножию холма. Потенциальная энергия минимальна, ее производная равна нулю, а значит, на шар не будет действовать сила и он останется лежать, где лежит. Такое поведение вполне согласуется с тем, что мы понимаем чисто интуитивно: лежащий у подножия шар никуда не покатится.

Теперь поместим шар на склон холма и отпустим. Начальная скорость шара равна нулю, поэтому суммарная энергия будет равна потенциальной. Шар покатится вниз, ускоряясь, а его потенциальная энергия начнет переходить в кинетическую. Затем шар перейдет на другой холм и начнет подниматься. Его скорость будет снижаться до нуля, а потенциальная энергия — расти до максимума. Достигнув высоты, с которой он начал движение, шар полностью остановится, а затем начнет обратное движение вниз. Поэтому такая точка траектории называется точкой поворота.

В идеальном мире без трения шар станет бесконечно курсировать от одной точки поворота до другой. Не нужно думать, что рано или поздно он остановится у подножия холма, как подсказывает интуиция. Ее подсказка будет верна в реальном мире, где трение есть. Но если шар не теряет энергию, он обречен совершать колебания до скончания веков.

Простой гармонический осциллятор

Сферическая корова сферической корове рознь. Любимая сферическая корова всех физиков — самая важная, простая и четко разрешаемая физическая система с огромной областью применения: простой гармонический осциллятор.

Продолжим катать шар по холму без трения, но теперь возьмем холм весьма специфической формы. Если конкретно, рассмотрим параболическую долину с минимумом в точке x = 0. При этом потенциальная энергия будет равна:

V(x) = V0x2. (3.6)

Здесь V0 представляет собой параметр, который определяет ширину параболы: чем меньше V0, тем шире парабола.

Посмотрев на эту формулу, можно сразу сказать, как будет двигаться шар. Если поместить его куда-то на правую сторону параболы, например в точку x = x0, он покатится вниз, а затем начнет подъем по левой стороне. Так как потенциал на обеих сторонах параболы одинаков и симметричен относительно x = 0, в силу закона сохранения энергии можно сказать, что шар поднимется до точки x = —x0, где наберет первоначальную потенциальную энергию. Затем он снова покатится вниз и вернется в точку x = x0. Эти перемещения будут повторяться бесконечно.

Мы можем подумать о движении шара с точки зрения сил. Из уравнения (3.3) следует, что сила в направлении x равна отрицательному значению производной потенциала. Потенциал равен V(x) = V0x2, а из формулы (2.9) мы знаем, что d(x2)/dx = 2x. Поэтому Fx = —dV/dx = –2V0x. При отрицательных значениях x сила будет положительна и толкать шар вправо, при положительных — отрицательна и толкать его влево, то есть в обоих случаях — к минимуму параболы, точке x = 0. Такая сила называется восстанавливающей. Ее значение пропорционально расстоянию от точки равновесия x = 0.

Подобные системы называются осцилляторами, поскольку совершают возвратно-поступательные движения. У гармонического осциллятора потенциал строго пропорционален x2 (например, если вместо x2 взять x4, осциллятор не будет гармоническим); у простого гармонического осциллятора энергия полностью сохраняется (за отсутствием трения). Есть также гармонические осцилляторы «с затуханием», у которых трение не равно нулю, и «с возбуждением», в которые с течением времени поступает дополнительная энергия.

Можно построить график работы простого гармонического осциллятора. Для простоты изложения примем x0 = 1. Частица будет перемещаться вниз до –1, а затем возвращаться назад к 1. Колебания происходят бесконечно.

Функции такого вида могут быть знакомы тем, кто изучал тригонометрию (или вызывать у них воспоминания). Есть две очень важные тригонометрические функции: синус, график которой начинается с нуля, поднимается до +1, опускается до –1 и возвращается в ноль; и косинус, график которой начинается с +1, опускается до –1 и возвращается на +1.

Проще всего определить тригонометрические функции при помощи единичной окружности, то есть окружности с радиусом 1. Любую точку на ней можно однозначно определить при помощи угла θ относительно оси x. Мы будем измерять углы в радианах, особых единицах, в которых 360 градусам соответствует 2π радиан, где π = 3,14159… Это знаменитая константа, которую можно получить, если разделить длину любой окружности на ее диаметр (поэтому один радиан равен 180/π градусов). Есть много причин использовать радианы. Прежде всего потому, что интегралы и производные косинусов и синусов проще записывать. В радианах cos θ равен проекции точки на окружности на ось x, а sin θ — на ось y.

Как можно заметить, cos(0) = 1, а sin(0) = 0. Далее обе функции совершают колебания с периодом 2π радиан.

На вид график работы простого гармонического осциллятора очень похож на график косинуса. И это действительно так. Если осциллятор начинает работу из неподвижного состояния, действует формула:

x(t) = x0cos(ωt). (3.7)

Греческая буква ω означает угловую частоту осциллятора. При описании любых колебаний частота f показывает, как часто осциллятор возвращается в начальную точку, а угловая частота ω — как часто осциллятор делает полное колебание от 0 до 2π. Эти частоты связаны формулой ω = 2πf. У гармонического осциллятора с потенциалом (3.6) угловая частота составляет .

Теперь поговорим о скорости осциллятора. Сначала она равна нулю, поскольку работа начинается в неподвижном состоянии. Затем частица начинает движение влево, и скорость будет отрицательной. В точке поворота скорость снижается до нуля, после чего начинается обратное движение. По описанию это похоже на перевернутый синус (поскольку график sin θ начинается с нуля и идет вверх, а v(t) — начинается с нуля и идет вниз). Следовательно:

v(t) = v0sin(ωt). (3.8)

График скорости осциллятора имеет такую же угловую частоту, как и график положения. Величина ν0 зависит от массы частицы. Если подумать о сохранении энергии, можно связать x0 и V0.

Гармонические осцилляторы повсюду

Возможность получить такие же точные уравнения движения, как в случае с простым гармоническим осциллятором, приносит не только радостные чувства, но и пользу. Вот только в реальных физических системах она предоставляется очень редко. Даже ничем не примечательный осциллятор с потенциалом четвертой степени V(x) = V0 x 4 не имеет точных решений, которые можно записать простыми функциями. Поэтому простой гармонический осциллятор можно ценить уже только за это.

Еще лучше, когда точно разрешаемая система снова и снова появляется в реальном мире. И к счастью, именно так можно сказать о простом гармоническом осцилляторе.

Подумайте о разных физических системах, которые на первый взгляд никак не связаны с шаром на холме. Вот, например, груз, который подвешен на пружине. Если потянуть за него, растянуть пружину и отпустить, под ее силой груз будет двигаться вверх. Аналогичным образом (если, конечно, взять идеальный мир с безупречной пружиной, которая не перегибается и не сминается), сжатая пружина будет толкать груз вниз. Точка равновесия находится в середине, где сбалансированы все силы, и если отпустить груз, он никуда не сместится. Однако даже небольшое перемещение вверх или вниз от этой точки вызовет колебания груза.

Оказывается, вертикальное перемещение груза на пружине, как и движение шара на параболическом холме, можно описать синусоидой (так часто называют график синуса, косинуса и их смещенных вариантов). Стоит немного остановиться на этом. Физически две системы (шар и груз) совсем непохожи. Но их описывают одинаковые уравнения, так что на взгляд абстрактного физика-теоретика это одна и та же система. (Экспериментатор, которому придется создать такую систему, может с этим утверждением не согласиться.)

Есть и еще одна, более глубокая причина популярности гармонического осциллятора среди физиков: огромное количество систем, вплоть до вибрирующих квантовых полей в стандартной модели физики частиц, в некотором приближении можно считать простыми гармоническими осцилляторами. Нетрудно понять почему.

Рассмотрим некоторую физическую систему, которая совершает колебания взад и вперед относительно определенной точки равновесия (или остается неподвижной, если ее работа начнется в этой точке). Трение отсутствует, так что энергия полностью сохраняется. Обозначим за x расстояние между текущим положением системы и точкой равновесия. Потенциальная энергия изменяется по функции V(x), и в этот раз мы будем считать ее совершенно произвольной.

Применим важное математическое свойство: любую непрерывную функцию (то есть такую, в которой нет разрывов — скачков от одного значения к другому) можно выразить как бесконечный ряд, сумму слагаемых, в каждом из которых x стоит в какой-то степени.

V(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + … (3.9)

Главное — правильно подобрать коэффициенты {a, b, c…}. Давайте задумаемся о них. Первый член ряда, a — просто постоянное число. Он не влияет на форму графика, но сдвигает его вверх или вниз. Однако на силу влияет именно форма, уклон, а не конкретное численное значение. Из формулы (3.3) мы знаем, что сила — это производная потенциала, поэтому можно поставить любое a, например написать, что a = 0. Это никак не скажется на работе системы.

Посмотрим на другие члены ряда. Мы приняли x = 0 за точку равновесия, в которой система может находиться без движения. Что будет, если немного сдвинуть ее с этой точки? Значение x будет очень мало (много меньше единицы). Но если умножить такое число на само себя, результат получится еще меньше. Поэтому значения слагаемых в формуле (3.9) будут тем меньше, чем больше степень x. При достаточно малых x влияние будет иметь только самое первое из них, bx. Это, конечно, аппроксимация, но она работает при х, стремящемся к нулю. Какие коэффициенты ни выбрать, всегда найдутся значения x, при которых важным будет лишь первый член ряда.

Но подождите. Если x = 0 — это точка равновесия, потенциал V(0) в ней должен быть минимальным: ведь это подножие холма, где уклон нулевой, а сила не действует. Но при малых значениях x можно сказать, что V(x) ≈ bx, то есть уклон графика V при x = 0 — это просто b. Он будет нулевым только при условии, что b = 0. Поэтому с учетом сделанных предположений мы можем принять b = 0 так же, как ранее приняли a = 0. В противном случае при x = 0 потенциал не окажется минимальным. Таким образом, формула принимает такой вид:

V(x) = cx2 + dx3 + ex4 + … (3.10)

Теперь, исходя из тех же соображений, мы можем сказать, что при достаточно малых значениях x все степени высокого порядка будут пренебрежимо малы. Другими словами, в довольно грубом приближении мы видим, что потенциал колебательной системы вблизи точки равновесия выражается формулой

V(x) ≈ cx2. (3.11)

А это просто парабола, то есть мы получаем простой гармонический осциллятор. Это удивительный результат: в отсутствие трения, при малых отклонениях от точки равновесия почти любую колебательную систему можно аппроксимировать простым гармоническим осциллятором[7]. Шар у подножия холма, груз на пружине, маятник или атом, смещающийся внутри молекулы, амплитуда звуковой волны или электрического тока, даже значение поля бозона Хиггса — если систему можно описать в терминах кинетической и потенциальной энергии, рядом с точкой, где она минимальна, потенциал можно аппроксимировать параболой, а значит, физически эта система будет вести себя как гармонический осциллятор. Такое соответствие не будет точным, поскольку вдали от точки равновесия члены (3.10) с большими степенями будут иметь значение. Однако такие усложнения можно добавить к модели позже.

Итак, мы видим, как сферические коровы становятся реалистичными и философия обретает практический смысл. Мы не просто рассматриваем донельзя упрощенные системы и надеемся на лучшее.

Идея взять сложное выражение и записать его в виде бесконечного ряда слагаемых, как в уравнении (3.9), применима к широкому кругу задач. И нам очень часто везет: последующие члены ряда меньше, чем несколько первых. Поэтому появился систематический метод, известный как теория возмущений: мы записываем формулу, которая показывает работу системы как сумму из двух частей: несложной основы и небольшого возмущения. Затем мы находим решение для основной части и начинаем постепенно накладывать все остальное. Иногда (не всегда) Вселенная помогает нам понимать ее.

Фазовое пространство

Согласно парадигме Лапласа, траектория системы определяется скоростью и положением всех ее частей в какой-то момент времени. Мы уже знаем, что импульс объекта равен произведению его массы на скорость, . Поскольку обычно мы рассматриваем системы с постоянной массой, то для предсказания поведения системы указание «позиции и импульса» эквивалентно указанию «позиции и скорости». Когда мы перейдем к более сложным вопросам физики (то есть уже в следующей главе), мы сможем понять, что с определенной точки зрения импульс значительно более важен, чем скорость, и будем использовать именно его.

Множество всех возможных импульсов и положений системы называется ее фазовым пространством:

(Фигурные скобки {} обычно обозначают множество.) Чтобы проследить движение системы в соответствии с механикой Ньютона, достаточно указать, в какой точке фазового пространства она находилась в тот или иной момент времени. Другими словами, фазовое пространство — это множество всех возможных состояний, в которых может находиться система.

Рассмотрим один довод в пользу того, что импульс более важен, чем скорость. Ускорение представляет собой производную скорости по времени. Второй закон Ньютона неявным образом предполагает, что масса объекта всегда постоянна. Поскольку константа может быть вынесена за знак производной, можно представить себе эту формулу не как произведение массы на производную скорости, но как производную произведения массы на скорость:

(3.12)

Поэтому можно переписать второй закон Ньютона, выразив силу через импульс:

(3.13)

В таком виде уравнение становится не только более компактным, но и более общим, поскольку остается в силе даже для объектов с переменной массой (например, для ракеты, которая постепенно становится легче, сжигая топливо). Сила показывает изменение импульса с течением времени.

В мире, который мы знаем, объекты находятся в трехмерном пространстве. Но математики, а следом за ними и физики, понимают слово «пространство» в более общем смысле: как некое множество с какой-то дополнительной структурой. Поэтому «множество всех возможных положений отдельного объекта» — это не что иное, как старое доброе трехмерное пространство. В отличие от него фазовое пространство является шестимерным: три измерения определяют положение, три других — импульс (который представляет собой трехмерный вектор).

Если система состоит из N частиц, расположенных в трехмерном пространстве, можно говорить о ее конфигурационном пространстве, которое имеет размерность 3N и показывает трехмерное положение каждой из частиц. Поскольку каждая частица обладает также трехмерным импульсом, существует и соответствующее 6N-мерное фазовое пространство. Система «Земля и Луна» — это два объекта, которые движутся в трехмерном пространстве. Поэтому фазовое пространство этой системы будет иметь размерность 12. И это если не принимать в расчет, что планеты — совсем не частицы, и надо бы учесть их ориентацию и моменты инерции.

В общем случае фазовое пространство — это математическая конструкция с очень большой размерностью, которая зависит от конкретной системы. Впервые эта идея нашла применение в работах Людвига Больцмана, Джеймса Клерка Максвелла и других ученых XIX века, которые занимались статической механикой и регулярно рассматривали системы из большого числа частиц. При этом под «большим числом» традиционно понимается число Авогадро, 6 × 1023, которому примерно равно количество атомов в одном грамме атомарного водорода.

Один грамм — немного, но все же заметно для человека, поэтому все, что имеет такой или больший размер, можно смело назвать макроскопическим. Множество, состоящее из числа Авогадро частиц, можно описать фазовым пространством с размерностью 3,6 × 1024. И это очень много.

Однако размерность фазового пространства может быть совсем не большой. Например, простой гармонический осциллятор имеет одномерное конфигурационное пространство (положение x), поэтому фазовое пространство будет двумерным: {x, p}. Его несложно и полезно нарисовать.

На этом рисунке показаны три возможные траектории какого-то простого гармонического осциллятора в фазовом пространстве. Импульс и положение изменяются циклически, но из разных начальных точек. Когда положение равно нулю, импульс достигает максимума и наоборот. Поэтому эти траектории будут эллипсами, размеры которых определяются начальным условиями. (Обратите внимание: речь идет об эллипсах в фазовом пространстве. В реальном пространстве осциллятор перемещается вперед и назад. Фазовое пространство устроено совсем по-иному. Нам нет нужды говорить о «скорости в фазовом пространстве», поскольку вся траектория определяется только начальной точкой.) Частота колебаний не зависит от начальной амплитуды. Поэтому один оборот по эллипсу система будет совершать за одно и то же время, каких бы размеров он ни был.

Чтобы немного развлечься, давайте посмотрим, что будет, если в системе появится трение, то есть возьмем осциллятор с затуханием, а не простой. Интуитивно мы знаем ответ: начнутся колебательные движения, но потеря энергии приведет к постепенному уменьшению амплитуды. Траектория такой системы в фазовом пространстве будет иметь форму спирали, сходящейся к центру.

Пространство путей

Мы много говорили о шарах, катящихся с холмов, и осцилляторах, которые движутся вперед и назад. Порадуем же себя чем-нибудь сногсшибательным.

Знакомясь с классической механикой, мы сделали акцент на парадигме Лапласа, согласно которой по заданному состоянию системы (точке в ее фазовом пространстве, то есть импульсу и положению) в какой-то момент времени можно определить всю ее траекторию. Возвращаясь к началу этой главы, можно сказать, что это все равно что закрыть глаза и идти по прямой. Мы знаем, что делаем в данный момент, и можем двигаться вперед во времени от одного момента к другому. Физики полагают, что такой подход связан с так называемой проблемой начального значения, так как расчет должен начаться с какого-то определенного состояния.

Однако прямую линию можно построить и по-другому, например натянув веревку между деревьями. Для этого нам не нужно думать о «начальном состоянии», достаточно двух деревьев, а веревка автоматически даст нам прямую, проложенную в нужном направлении. Этот подход решает проблему начального значения, но добавляет другую — проблему граничных значений: нам нужно знать начальную и конечную точки, то есть два дерева.

Веревку между деревьями можно описать глобальными, а не локальными свойствами (вспомним различие в описаниях орбит, сделанных Кеплером и Ньютоном). «Движение в одном и том же направлении» — главным образом локальный процесс: в каждый момент времени выполняются какие-то определенные действия. «Движение по кратчайшему пути» — глобальный процесс: нужно сравнить длину натянутой веревки с длиной ослабленной, а потому непрямолинейной.

Мы как бы представляем себе огромное математическое пространство: пространство всех возможных путей, вдоль которых мы можем протянуть веревку от одной точки к другой. Большинство из них будут совсем не прямыми, поскольку существует лишь один прямой путь. Извилистых же будет бесконечно много. В этом гигантском множестве возможностей прямой путь отличается тем, что имеет наименьшую длину.

Примечательно, что вся классическая механика может быть изложена на таком глобальном языке, который совсем не похож на локальный, на котором мы говорили до сих пор. Вместо того чтобы указывать импульс и положение частицы в какой-то момент времени, мы можем указать только положение, но в два момента, например x1 в какой-то начальный момент t1 и положение x2 в какой-то более поздний момент t2. Любая линия в пространстве имеет определенную длину. Аналогичным образом все возможные траектории между (x1, t1) и (x2, t2) можно (как мы увидим) охарактеризовать некоей величиной, которую называют действием и которая зависит от изменения кинетической и потенциальной энергии во время движения. Из всех возможных траекторий частица движется по той, что подчиняется законам Ньютона и, как оказывается, имеет минимальное значение действия.

Эта идея развивалась в период с XVII по XIX век и, как легко догадаться, получила название «принцип наименьшего действия». Она достаточно далека от привычного нам мышления, поэтому сделаем паузу, чтобы поговорить о положенной в ее основу математической философии.

Значительная часть математической науки посвящена изучению пространств и их отображению друг на друга. Простая функция f(x), можно сказать, отображает на себя множество действительных чисел. Мы, сами того не зная, видели уже и другие примеры. Когда мы говорим «положение частицы», мы чаще всего видим точку в пространстве, а математик — отображение этой точки на трехмерное пространство.

Аналогичным образом траектория частицы, которая движется в пространстве сквозь время, является отображением какого-то промежутка на это пространство.

Что примечательно, понятие длины кривой можно определить при помощи отображения пространства всех кривых (скажем, между двумя конкретными точками) на множество неотрицательных чисел, в котором каждой из них соответствует длина L.

Нужно признать, довольно сложно изобразить «пространство всех кривых между двумя конкретными точками». Обычно рисуют несколько показательных примеров в надежде, что всю остальную работу возьмет на себя воображение.

Точка, линия и плоскость — это пространство с нулем, одним и двумя измерениями соответственно: по одному измерению на каждую единицу данных, необходимых, чтобы определить положение в пространстве. Поэтому пространство всех кривых будет иметь бесконечно много измерений, ведь каждая кривая проходит через бесконечное число промежуточных точек. Конечно, все это несколько усложняет математику, необходимые для работы инструменты. Однако примечательно, что многое из того, чем мы обычно пользуемся, работает в бесконечномерных пространствах без особых изменений.

Например, существует вариационное исчисление — вариант дифференциального исчисления, приспособленный для бесконечномерных пространств. Это довольно забавная штука, но мы не будем туда погружаться. Жизнь коротка, а нас впереди ждет еще столько всего интересного. Я говорю о нем лишь затем, чтобы подчеркнуть его важность для «нахождения кривой минимальной длины».

Возьмем обычную функцию одной переменной, f(x). Производная df/dx показывает наклон графика этой функции в каждой из точек. Но просто взглянув на график, мы можем заметить важное свойство: везде, где функция имеет локальный максимум (вершина холма) или минимум (дно долины), производная равна нулю.

Именно это свойство и есть главный секрет того, как математики ищут минимальные длины или другие параметры. Вернемся ко множеству всех возможных кривых. На нем можно определить функцию, которая будет отображать каждую из кривых на определенное число — ее длину. Найдем производную этой функции, учтя все возможные способы бесконечно малой деформации кривой. И там, где функция имеет минимальное значение, производная будет равна нулю. Это позволит нам перейти от словосочетания «кратчайший путь» к набору математических формул, показывающих, где «производная функции длины в пространстве путей становится равной нулю».

Наименьшее действие

Но в данный момент нам интересна не длина кривой. Если подбросить камень, он полетит по какой-то определенной траектории, которая, очевидно, не будет прямолинейной, то есть кратчайшим путем. Так происходит потому, что на этом пути к минимуму сводится не расстояние, а действие. Давайте посмотрим, что это значит.

В каждой точке траектории движущаяся частица имеет положение x и скорость v, то есть соответственно кинетическую энергию и потенциальную энергию V(x). Разность между ними называется лагранжианом L(x, v) (по имени французского математика Жозефа-Луи Лагранжа):

Лагранжиан = Кинетическая энергия — Потенциальная энергия,

(3.14)

Действие S для любой траектории [x(t), v(t)] равно интегралу лагранжиана по времени:

(3.15)

В каждой точке траектории, то есть в каждый момент времени, лагранжиан имеет некоторое числовое значение. Но действие не зависит от того, в какой точке пути мы находимся: оно зависит от траектории в целом. Между начальной и конечной точкой частица будет двигаться по пути, который требует минимального действия среди всех траекторий, которые можно проложить между этими точками. Такую формулировку классической механики часто называют механикой Лагранжа, поскольку лагранжиан является в ней центральной величиной. Действие — это интеграл лагранжиана по времени, а реальные физические перемещения всегда таковы, что действие сводится к минимуму.

Рассмотрим принцип наименьшего действия на примере шара (частицы) на холме. В момент времени t1 шар находится в точке x1, в момент t2 — в точке x2.

Как будет действовать человек, который застрял в парадигме Лапласа? Найдет ускорение с помощью F = ma, а затем будет его интегрировать. Но это неверно. Нам неизвестна скорость шара в точке x1, и мы не можем принять ее равной нулю, так как иначе он может не достичь точки x2 в указанное время. Мы также не можем считать, что точка x2 является точкой поворота: известно лишь, что шар находится там в момент t2. Тем не менее мы знаем достаточно, чтобы понять, как движется шар между этими точками. Быть может, из точки x1 он покатится по холму вверх, а затем развернется и устремится к точке x2. В любом случае действие на его траектории будет наименьшим, а в конечный момент времени он достигнет конечной точки, имея нужную для этого скорость.

Что значит наименьшее действие? Действие — это интеграл от лагранжиана, разности между кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия не может быть отрицательной, а значит, она должна быть как можно меньше. Однако она не может быть нулевой, поскольку неподвижный шар никогда не достигнет конечной точки. Шар должен двигаться достаточно быстро, чтобы пройти нужное расстояние за нужное время, но не более того.

Кажется, что свести к минимуму «отрицательный потенциал» несложно. Найти точку с очень большим значением V(x), и тогда — V(x) будет иметь очень малое значение (в этой задаче мы будем считать отрицательные числа малыми). Но здесь возникает противоречие с предыдущим абзацем. Если из точки x1 шар сначала движется в точку с большим потенциалом, чтобы вовремя успеть к точке x2, придется развить большую скорость, а это требует большой кинетической энергии. Мы же стремимся свести ее к минимуму.

Нужно найти такой компромисс между большой потенциальной и малой кинетической энергией, чтобы в указанные моменты времени шар находился в указанных точках. В результате этой работы будет построена траектория, которая полностью соответствует классическим уравнениям движения. Математически принцип наименьшего действия эквивалентен принципам, установленным Ньютоном.

Удивительно: второй закон Ньютона — главный принцип, основа классической механики, — утверждает, что сила, воздействующая на объект, равна его массе, умноженной на ускорение. В формулировке принципа наименьшего действия слово «сила» вообще отсутствует. Но несмотря на различия, оба принципа приводят к одним и тем же результатам.

Какой же из принципов более правилен? Природа движется из начального положения, проходя точку за точкой, момент за моментом, как говорил нам Лаплас? Или из множества возможных путей, соединяющих две точки, природа делает выбор в пользу того, где действие минимально?

Ни то ни другое. Природа — это природа, и делает то, что делает. Мы, люди, изо всех сил стремимся ее понять и осмыслить в придуманных нами терминах. Одно и то же явление может быть описано по-разному, и по большому счету нам нет нужды выбирать, решать, какой из способов «более верный». Мы просто должны быть готовы мыслить в терминах, которые дают наилучшее понимание.

Четыре. Пространство

До сих пор мы говорили о событиях, то есть о чем-то, что происходит. Шары катятся с холмов, грузы колеблются на пружинах, планеты вращаются вокруг Солнца. Вся эта жизнь имеет место не в пустоте, а в пространстве, совокупности всех возможных мест, где что-то может находиться. Пространство упоминалось уже не раз, с первых абзацев главы 1, но мы пока не задумывались о нем, ведь очевидно, что каждый человек в какой-то степени знаком с этим понятием. Теперь настало время копнуть поглубже. Какими свойствами обладает пространство и почему? Зачем вообще необходимо нечто, называемое пространством?

Точно ответить на все эти вопросы нельзя. Но можно подумать о свойствах пространства, об их взаимосвязи с другими особенностями нашего мира. Что такое пространство: вещество или свойство каких-то объектов? Что значит трехмерность? Какие физические характеристики позволяют нам мыслить в терминах пространства? Эти вопросы приведут нас к изучению еще одной формулировки классической механики: после механик Ньютона и Лагранжа мы познакомимся с точкой зрения Гамильтона. В отличие от других предшественников, Гамильтон вообще не считает пространство чем-то особенным, а значит, такой подход будет очень полезен при разговоре о нем.

Вещество или взаимосвязь?

В начале XVIII века, когда классическая механика только зарождалась, ученые задавались вопросом, верно ли, что пространство «существует»? По мнению одних, оно является веществом, то есть мир состоит из объектов и пространства, внутри которого они находятся. Пространство служит для них своего рода контейнером и существует независимо от них. Такое мнение кажется вполне естественным.

Но есть и другая точка зрения: пространство — не материальный предмет, а просто удобный способ представить себе, что все объекты связаны друг с другом некоей величиной — «расстоянием между ними», то есть пространство представляет собой взаимосвязь. Но если мы соглашаемся с тем, что все объекты в мире связаны между собой расстояниями, потребность в чем-то дополнительном под названием «пространство» отпадает. Мы продолжаем говорить о нем исключительно ради удобства.

Два эти взгляда на природу пространства — «субстанциализм» и «реляционизм» — активно обсуждались в переписке между Сэмюелем Кларком из Англии и Лейбницем. С ним мы уже знакомы: он придумал дифференциальное исчисление и был во многих отношениях непримиримым соперником Ньютона. Ученые часто спорили друг с другом. Ньютон, правда, любил обращаться к Лейбницу через посредников вроде Кларка.

На этот спор Кларка и Лейбница сподвигла Каролина Ансбахская, прусская дворянка, одним из воспитателей которой как раз и был Лейбниц. Позже она переехала в Англию, где ее муж Георг Август стал сначала принцем Уэльским, а затем — королем. Каролина любила науку и философию. Имея иммунитет к оспе, она активно продвигала вариоляцию (которая в те времена заменяла вакцинацию).

Однажды, когда Каролина уже жила при британском дворе, Лейбниц прислал ей письмо, в котором критиковал взгляды английских философов, прежде всего Джона Локка и Ньютона, за недостатки с теологической точки зрения. Принцесса же, то ли в шутку, то ли с умыслом, показала письмо Кларку — другу Ньютона и по совместительству англиканскому священнику. Кларк, разумеется, написал Лейбницу ответ. Так начался этот спор: Кларк говорил, что пространство абсолютно, а Лейбниц отстаивал релятивистскую точку зрения, которая возникла под большим влиянием Декарта. При этом известно, что Ньютон по меньшей мере советовал Кларку, что написать, хотя кое-кто из исследователей считает, что он чуть ли не сам писал эти письма.

Переписка оборвалась со смертью Лейбница в 1716 году. Дошедшие до наших дней письма — блестящий образец ранней научной философии: помимо природы пространства в них обсуждаются и другие вопросы, к примеру о сущности бога и свободе воли. Сегодня большинство физиков согласны с Ньютоном и считают пространство «вещью в себе». На это есть две причины. Во-первых, пространство между объектами не пусто: оно наполнено различными полями. Во-вторых, пространство (как часть пространства-времени) живет собственной жизнью. Эйнштейн показал, что его геометрия может меняться со временем под действием энергии. Мы будем говорить об этом в главе 8.

Но окончательного ответа у физиков нет. Вопрос, который когда-то был критически важным для развития науки, не решен до сих пор и отложен на будущее. Так иногда бывает. Развитие науки — не только в познании нового, но и в оценке того, что является злободневным на данный момент, а что можно отложить или проигнорировать. Не все вопросы остаются интересными в процессе изучения. И не на все вопросы можно дать ответ. Сейчас популярно мнение, что пространство возникает из квантовой запутанности, а не является самостоятельной субстанцией. Так что, возможно, в каком-то смысле реляционизм однажды восторжествует.

Измерения

Поговорим о свойствах пространства, отталкиваясь от наших более-менее интуитивных представлений о нем. Самое важное свойство пространства — его размерность. Пространство, в котором мы существуем в реальной жизни, трехмерно. Однако физики часто рассматривают пространства с меньшим или большим количеством измерений. Одномерные и двумерные пространства подходят для упрощенных моделей, многомерные применяются, например, в теории струн. Существуют и другие абстрактные математические «пространства» — множества с некоторой дополнительной структурой. Мы уже говорили, к примеру, о конфигурационных и фазовых пространствах, у которых может быть огромное число измерений. В этой главе мы рассмотрим старое доброе пространство, окружающее нас.

Представьте себе две длинные тонкие палки. Мы можем связать их друг с другом так, что угол между ними будет прямым. Мы можем взять и еще одну палку и привязать ее к первым двум в том же месте и с тем же условием. Все палки будут перпендикулярны друг другу. Возьмем еще одну, четвертую палку и попытаемся привязать ее под прямым углом к остальным.

Ничего не выйдет. В нашем мире три прямые могут быть перпендикулярны друг другу, четыре не могут. Это доказывает, что наше пространство трехмерно.

(Возможно, вы знаете, что для устойчивости стулу достаточно трех ножек. А если бы пространство было двумерным? Четырехмерным? С любым количеством измерений?)

Итак, измерение — это, по сути, «независимое направление, в котором могут перемещаться объекты». Если не считать разными направлениями движение в противоположные стороны, мы обнаружим, что их всего три: вперед и назад, вправо и влево, вверх и вниз. Все эти направления независимы, тогда как любые другие можно рассматривать как их сочетания. Три измерения.

Есть и еще один способ выразить эту идею. Можно заметить, что положение точки в пространстве можно определить тремя числами, которые называются координатами. Представьте себе некую точку — начало координат, — через которую проходят три перпендикулярные прямые — оси. Получится нечто похожее на пример с тремя связанными палками. Тогда координаты любой точки (x, y, z) можно получить, измерив расстояние между ней и началом координат вдоль каждой из трех осей.

В этих рассуждениях важно именно то, что точка в пространстве имеет три координаты. В зависимости от выбранной системы координат их значения будут разными, но по количеству их всегда будет три. Система координат с тремя перпендикулярными осями называется декартовой (в честь Рене Декарта). Можно использовать, например, сферическую систему координат. В ней положение точки характеризуется радиусом r, то есть длиной отрезка между точкой и началом координат, полярным углом θ (греческая буква тета) между этим отрезком и осью z и азимутальным углом φ (греческая буква фи) между осью x и проекцией точки на плоскость xy. Эта система называется сферической, так как множество точек, имеющих одинаковый радиус r, представляет собой сферу.

Координаты не являются объективными свойствами нашего мира. Это придуманные людьми ярлыки, метки, которые мы прикрепляем к различным точкам пространства. Основное правило — принцип инвариантности координат — состоит в том, что физические величины не должны зависеть от выбранной системы (так же, как, например, физическая длина объекта не зависит от единиц измерения — сантиметров или дюймов). Несмотря на кажущуюся простоту, для серьезного осмысления этого принципа приходится говорить о симметриях, калибровочных теориях и других важнейших понятиях современной фундаментальной физики.

Если пространство трехмерно, в нем можно выделить подпространства с меньшим количеством измерений. По крайней мере, с некоторыми допущениями. Возьмем, например, длинный провод. Каким бы тонким он ни был, его толщина не равна нулю. Фактически провод — трехмерное тело. Но если смотреть издали, можно пренебречь толщиной и считать его одномерным. Когда по проводу течет ток, электроны легко и быстро перемещаются в осевом направлении, но почти не двигаются в поперечных. Физики с радостью пользуются этим фактом и изучают токи в одномерных проводах. Бывают случаи, когда явления ограничены двумерными объектами: тонкими пленками, поверхностями трехмерных тел. Удобно рассматривать их так, как будто мы и сами живем в двумерном мире. Философия сферической коровы в действии! При упрощении сложной системы из нее исчезают целые измерения.

Измерения и силы

Не будь пространство трехмерным, жизнь наша была бы совсем другой. Возможно, ее просто бы не было. Возьмем, к примеру, одну из наших любимых физических сил: силу тяжести. Согласно закону всемирного тяготения, сила тяготения между двумя объектами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Но почему именно квадрату? Почему не просто расстоянию или его восемнадцатой степени?

Понять это можно при помощи рисунка. Представьте себе, что во все стороны от Солнца в бесконечность расходятся прямые лучи — силовые линии. Они называются так потому, что вдоль этих линий действует исходящая от Солнца сила, которая притягивает к нему объекты. Конечно, на самом деле никаких линий не существует. Они лишь графическое представление того, как действует сила тяготения, которое разъясняет смысл закона обратных квадратов.

Если нарисовать сферу, в центр которой поместить Солнце, все силовые линии пройдут через нее. То же самое будет с любой другой такой сферой. Однако чем больше радиус, тем дальше будут разнесены проходящие через нее линии. Если мы будем рассматривать на каждой из сфер участки одинаковой площади, количество проходящих через них линий с увеличением радиуса будет уменьшаться.

Общая площадь сферы А связана с ее радиусом r следующим образом: A = 4πr2. В данном случае 4π — это просто коэффициент, который нужно запомнить, а вот r2 можно объяснить при помощи анализа размерности. Физические величины всегда выражаются в каких-то единицах измерения: длины, времени, массы или же их сочетаниях. Когда величины складываются либо сравниваются, они должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Площадь (как двумерная величина), как правило, выражается в «квадратных» единицах длины. Сфера, площадь которой мы вычисляем, имеет только одно свойство, которое показывает длину: радиус. Поэтому площадь должна быть пропорциональна квадрату радиуса, иначе никак. Аналогичным образом длина окружности, которая, разумеется, выражается в единицах длины, будет пропорциональна радиусу без квадрата (и равна 2πr).

Силовые линии не начинаются и не заканчиваются на пустом месте: они берут начало на объектах с большой массой — источниках гравитации, в нашем случае на Солнце. Рассуждая о сферах с ним в центре, мы видим, что количество линий неизменно, а площадь поверхности сфер возрастает. Поэтому если у Солнца линии располагались плотно друг к другу, по мере удаления от него их плотность уменьшается (если конкретно, то пропорционально 1/r2). А плотность силовых линий определяет величину силы тяжести: чем выше плотность, тем больше сила.

Мы объяснили закон обратных квадратов. Действующая на объект сила пропорциональна плотности проходящих через него силовых линий, которая снижается по мере отдаления от источника гравитации, поскольку растет квадрат радиуса и, соответственно, площадь поверхности сферы, через которую они проходят. (По той же причине по мере удаления от нас объекты становятся менее яркими. Просто замените «силовые линии» на «лучи света».)

В пространствах с иным количеством измерений закон всемирного тяготения будет другим. Например, в двумерном пространстве источник гравитации находится в центре одномерной окружности, а не двумерной сферы. Поэтому плотность силовых линий и, соответственно, сила тяготения будут уменьшаться пропорционально расстоянию, а не его квадрату. В четырехмерном пространстве нам бы пришлось иметь дело с трехмерными гиперсферами. Их сложно нарисовать, а потому, полагаясь на чистую математику, можно сказать, что там будет действовать закон обратных кубов. В общем случае, то есть в d-мерном пространстве, сила притяжения будет пропорциональна 1/r d–1.

Подобные рассуждения могут навести на мысль о том, что закону обратных квадратов так или иначе подчинены все силы в природе. Но это не так, по крайней мере — не всегда. На уровне элементарных частиц существуют «сильные» и «слабые» ядерные взаимодействия, которые действуют на очень малых расстояниях, а затем быстро снижаются почти до нуля. Причины разные. В случае сильных взаимодействий силовые линии переплетаются друг с другом, а не тянутся в бесконечность, в случае слабых — они как будто постепенно затухают (а на самом деле поглощаются полем Хиггса, которое проходит сквозь все пространство). Что же, никто и не говорил о том, что в природе все и везде одинаково.

Еще один классический пример закона обратных квадратов — закон Кулона. Электрическое поле заряженной частицы создает силовые линии, которые уходят в бесконечность (если только не проходят вблизи других заряженных частиц, что случается часто). Поэтому сила электрического поля подчиняется закону обратных квадратов. По крайней мере в трехмерном пространстве.

Эксперименты с электрическим полем и навели ученых на мысли о силовых линиях. Впервые эту идею высказал Майкл Фарадей в середине XIX века. Фарадей был сыном бедного деревенского кузнеца, но подростком стал подмастерьем местного книготорговца и получил возможность учиться, читая книги. Потом Фарадей работал в Королевском институте в Лондоне, где занимался сначала химией (открыл бензол, изобрел первый вариант горелки Бунзена), а затем увлекся электричеством и магнетизмом и далеко продвинулся в этой области. В последствии Максвелл, который был сильным математиком, привел открытия Фарадея к системе строгих уравнений. Он же объединил электричество и магнетизм в единый раздел физики — электромагнетизм.

Новый взгляд на импульс и скорость

Что делает пространство пространством? То есть какие свойства этого мира позволяют нам описать его как «нечто, распределенное в пространстве»? (И развивающееся во времени, но об этом в следующей главе.)

Чтобы ответить на этот вопрос, займемся любимым делом: посмотрим на классическую механику свежим взглядом. Мы уже смотрели на нее глазами Ньютона и Лагранжа. Первый из них определял развитие системы из начального состояния (положения и скорости) при помощи своих законов, второй использовал принцип наименьшего действия, чтобы найти траекторию между начальным и конечным состояниями.

Теперь мы поговорим о том, как видел классическую механику Гамильтон. Он предложил считать, что импульс существует сам по себе, не зависит от скорости. Такой подход может показаться странным и мало чем отличным от строгих формул Ньютона. На самом деле отличие есть и довольно большое. Оно помогает понять, почему пространство — настолько важное понятие.

В предыдущей главе мы говорили о фазовом пространстве: множестве всех возможных положений и импульсов, которые может иметь система. Согласно парадигме Лапласа, достаточно указать одну точку в фазовом пространстве, чтобы определить всю траекторию системы (по крайней мере участок, на котором она не подвергалась внешним воздействиям). При этом, хоть мы и сделали импульс частью фазового пространства, мы знаем: в механике Ньютона импульс и скорость связаны друг с другом формулой .

Красивая картина. Но есть в ней один изъян, совсем небольшой, так что его очень трудно заметить. Вся суть парадигмы Лапласа состоит в том, что состояние системы в будущем определяется положением и скоростью в какой-то момент времени. Но скорость есть производная положения. Чтобы ее найти, следует заглянуть в будущее, посмотреть на систему мгновение спустя. Даже если такое мгновение — бесконечно малая величина, мы все равно используем не одно, а несколько разнесенных по времени состояний системы. И это немного противоречит философии Лапласа.

Механика Гамильтона

Гамильтон предложил довольно элегантное решение этой проблемы. Мы вновь начинаем с фазового пространства, множества всех положений и импульсов системы. Однако теперь мы говорим о векторе импульса, а не о скорости. Мы не определяем импульс как произведение массы на скорость, а принимаем его за понятие, независимое, по статусу равное положению. Поэтому у частицы (или более сложной системы) в любой момент времени есть два независимых свойства: положение и вектор импульса. Независимость импульса от чего бы то ни было позволяет нам определить состояние системы в текущий момент времени, не глядя на нее мгновение спустя.

Механика Гамильтона работает так. У нас есть фазовое пространство, множество всех импульсов p и координат x. (Для простоты изложения мы не будем обозначать векторы стрелочками, а также нумеровать части системы при помощи индексов. Мы примем это за очевидные вещи.) Мы можем определить функцию H(x, p) — гамильтониан, — которая, вообще говоря, представляет собой энергию системы, выраженную через импульс и положение.

Мы знаем, что потенциальная энергия системы зависит только от ее положения. Примем ее равной V(x). В механике Ньютона кинетическая энергия равна , но нам нужна зависимость от импульса, а не от скорости. Импульс и скорость связаны формулой p = mν. Выразим скорость через импульс (v = p/m) и подставим в уравнение кинетической энергии. Получим K = p2/(2m). Теперь мы можем записать, что

Гамильтониан = Кинетическая энергия + Потенциальная энергия:

(4.1)

Пока что мы просто выразили энергию через импульс (не скорость) и положение. Но это не все. Самое интересное в том, что мы можем вывести уравнения движения системы, начав только с выражения (4.1). Чуть позже мы выясним, как это делается. Сейчас же сразу перейдем к результатам, чтобы понять, какие выводы можно сделать.

Механика Ньютона сосредоточена вокруг одной переменной — положения x(t) как функции времени. В зависимости от нее определяются скорость и ускорение (первая и вторая производные соответственно). Поэтому для работы с любой системой достаточно одного уравнения F = ma. В механике Гамильтона переменных две: x(t) и p(t), а значит, потребуются и два уравнения. Они у нас есть: это производные импульса и положения:

(4.2)

(4.3)

Первое уравнение нам знакомо. Это второй закон Ньютона F = ma, который записан несколько непривычно. Вспомните выражение (3.13), где мы заменили ma на dp/dt, а также (3.3), которое говорит, что сила равна отрицательному значению производной потенциала по положению. Знакомо нам и второе уравнение, (4.3): это определение импульса (масса на скорость, p = mν), но совершенно в иной трактовке. Тот, кто поймет, в чем отличие, полюбит механику Гамильтона всем сердцем.

С точки зрения Ньютона, основополагающей переменной является x(t), то есть траектория движения рассматривается как зависимость положения от времени. Отсюда следует все остальное: берем производную и получаем скорость, умножаем на массу и получаем импульс. В механике Гамильтона импульс не выражается через скорость, но является независимой величиной. Поэтому выражение (4.3) представляет собой уравнение движения, которое описывает реальные, физически возможные траектории, а не просто дает определение какой-то производной величины. Несмотря на это, в обеих механиках это выражение выглядит одинаково.

В чем же различие между определением импульса и уравнением движения? Определение всегда верно. В механике Ньютона импульс равен массе, умноженной на скорость, просто потому, что так его определили. Уравнение движения, напротив, дает «правильный» результат, который основан на (пусть даже не всегда корректных) значениях переменных.

Две траектории в фазовом пространстве, которые показывают координату в обычном пространстве x(t) и импульс p(t) в каждый момент времени t. У левой траектории импульс не пропорционален скорости: не бывает импульсов, направленных не по касательной к траектории. Такая траектория не соответствует уравнению движения. А вот правая — соответствует.

В механике Гамильтона импульс существует независимо от скорости. В пространстве всех мыслимых вариантов положения x(t) и импульса p(t) не существует обязательных жестких связей между ними. Поэтому мы можем представить себе любые траектории, в том числе те, на которых импульс никак не связан со скоростью. Но если траектория подчиняется уравнению движения (а такие непременно существуют), импульс на них всегда равен mv.

Тем, кому сложно представить, что импульс — это не обязательно масса, умноженная на скорость, я предлагаю заменить слово «импульс» в рассуждениях выше, к примеру, на слово «пушистость». Гамильтон говорит, что состояние системы в любой момент времени определяется ее положением и вектором пушистости. На физических траекториях, которые соответствуют уравнениям движения, пушистость равна произведению массы на скорость. Однако существуют и другие траектории, на которых это не так. Но так уж вышло, что мы используем одно и то же слово, «импульс», для разных величин: независимой переменной фазового пространства в механике Гамильтона и произведению массы на скорость в механике Ньютона. Если объект перемещается по законам движения, эти величины равны. Однако с концептуальной точки зрения это разные величины.

Уравнения Гамильтона

Такова философия механики Гамильтона. Мы считаем импульс и положение двумя концептуально разными переменными и выводим уравнения движения для каждой из них. При этом гамильтониан — это просто энергия системы, выраженная как функция импульса и положения (но не скорости или других производных). Идея состоит в том, что из формулы гамильтониана (4.1) можно вывести уравнения движения для импульса (4.2) и положения (4.3). Но как же это сделать?

Подумаем об уравнении движения для импульса (4.2). Из него следует, что скорость изменения импульса равна отрицательному значению наклона функции потенциальной энергии. По сути это второй закон Ньютона, F = ma, так как наклон потенциала и есть (отрицательное значение) силы, воздействующей на объект. Можно сказать, что скорость изменения импульса зависит от скорости изменения потенциальной энергии при изменении положения. Это имеет физический смыл: при неизменной потенциальной энергии (шар катится по ровному столу) импульс не изменяется.

Как мы помним, потенциальная энергия — одно из слагаемых гамильтониана. Другое слагаемое — кинетическая энергия, p2/2m. Возникает вопрос: если импульс меняется вместе с потенциальной энергией, не будет ли положение меняться вместе с кинетической? Не возникает ли здесь приятная глазу симметрия? Именно так все и есть.

Помните выражение (2.7): производная функции x2 по x равна 2x? Оно работает для любых переменных: к примеру, производная p2 по p равна 2p. Поэтому производная кинетической энергии по импульсу будет равна:

(4.4)

(Когда мы берем производную функции, постоянные типа 2m просто выносятся за знак дифференциала. В данном случае при этом мы можем сократить две двойки.)

Интересный факт! Как и предполагалось, производная кинетической энергии по импульсу совпала с правой частью выражения (4.3) — уравнения движения для положения. Несмотря на то что в одном из уравнений есть странный знак «минус», а в другом его нет, мы хорошо видим, что импульс изменяется за счет изменения потенциальной энергии, а положение — за счет изменения кинетической. В итоге:

Скорость изменения импульса с течением времени = Отрицательное значение наклона графика потенциальной энергии относительно положения;

Скорость изменения положения с течением времени = Положительное значение наклона графика кинетической энергии относительно импульса.

Вместе эти два выражения известны как уравнения Гамильтона.

Красиво. Но есть небольшая техническая проблема, которая требует осмысления. Пока что для простоты изложения мы представляли себе частицу, которая движется в одномерном пространстве. Стандартная, очень наглядная игрушечная модель, для которой гамильтониан будет суммой двух энергий, как в выражении (4.1).

Однако механика Гамильтона имеет значительно более общий характер. Гамильтониан любой системы всегда будет функцией некоторого набора координат и соответствующих им импульсов, но при этом может иметь совершенно произвольный вид. Мы можем иметь любое количество импульсов и положений. В теории поля их будет бесконечно много. Встречаются гамильтонианы, в которых переменные смешиваются так, что нельзя отделить потенциальную энергию от кинетической. Большую часть времени современные физики проводят в поисках гамильтониана для изучаемой системы. Найдя его, можно получить все данные о ней. Поэтому нужно рассмотреть этот вопрос с более общей точки зрения.

Частные производные

Хотелось бы вывести уравнения Гамильтона, которые подходили бы для любых гамильтонианов. Для этого нам потребуется еще кое-что из высшей математики: частные производные.

Это связано с тем, что уравнения движения должны следовать из единой формулы — гамильтониана, а не отдельных выражений для кинетической и потенциальной энергий. Но если первая зависит только от p, а вторая — только от x, гамильтониан зависит от p и x одновременно. Необходимо понять, как брать производную функции нескольких переменных.

Производная функции представляет собой угол наклона кривой, ее графика. Но для функции двух переменных такую кривую построить нельзя: график будет трехмерным, напоминать холмистую местность, идти по которой можно в любую сторону. В зависимости от того, в каком направлении мы пойдем, мы можем спуститься или подняться, а может быть, и остаться на прежней высоте. Поэтому нужно придумать что-то посложнее, чем «угол наклона».

Частные производные — выход из этого положения. Поговорим о простой функции двух переменных, x и y: произведении x, y2 и константы a:

F(x, y) = axy2. (4.5)

Идея состоит в том, что функцию нескольких переменных мы можем рассматривать, поочередно перебирая их и считая все остальные константами. При этом мы получим несколько функций одной переменной, для каждой из которых мы можем взять производную. И чтобы всем было понятно, о какой производной идет речь, вместо буквы d пишут другую: ∂. (Ее иногда также называют «дэ». Поэтому, чтобы не было путаницы, при чтении вслух лучше всего говорить «частная производная».)

У функции f(x, y) можно взять две частные производные: по x и по y. В первом случае мы дифференцируем ее по x, считая y и а константами. При этом получаем:

(4.6)

Во втором случае, наоборот, дифференцируем по y, а постоянными считаем x и a:

(4.7)

Функция двух переменных, f(x, y) = xy2. Мы можем взять частную производную по x, приняв y за постоянную, либо наоборот — частную производную по y, приняв за постоянную x.

Вот, в принципе, и все. Чтобы взять частную производную, находим обычную производную по выбранной переменной, считая все остальные константами (и вынося за знак производной). В реальности эта задача бывает ужасно сложной: иногда люди тратят целую жизнь, чтобы найти более удачное решение, чем было получено ранее. Мы же не будем столь пристально их рассматривать. Все, что нам нужно, — понять, откуда взялись уравнения Гамильтона.

Объединим полученные знания. Мы поняли, что уравнения движения для импульса и положения можно получить, продифференцировав соответственно потенциальную и кинетическую энергию. Суммарная энергия, гамильтониан (в данном простом примере) — сумма двух энергий. Взяв частные производные этой суммы, то есть обычные производные по каждой из переменной, мы получим уравнения Гамильтона в самом общем их виде:

(4.8)

Здесь нет опечаток, честное слово! Знак «минус» действительно должен быть в первом выражении, не во втором. На это есть ряд причин, но они покрыты столь толстым слоем математики, что лучше туда не лезть. (Почитайте про «симплектическую геометрию», если интересно.) В левых частях выражений стоят обычные производные (со знаком «d»), а в правых — частные (со знаком «∂»). И это правильно: импульс и положение — функции одной переменной: времени, а гамильтониан — функция двух переменных: импульса и положения. Поэтому нам и нужны частные производные.

Элегантный подход. По философии Ньютона, для каждой части системы будет свое уравнение движения с описанием действующих на нее сил. И рассмотрев их, мы сможем констатировать, что некая величина — «энергия» — сохраняется. По философии Гамильтона, мы поступаем наоборот: берем единственную формулу — гамильтониан, который связывает энергию с импульсом и положением, — а затем выводим из нее все нужные уравнения движения. Все это работает и в более сложных системах, части которых взаимодействуют друг с другом каким-то хитрым образом. В любом случае найдется гамильтониан, единый на всю систему и содержащий в себе все знания по ее динамике.

Механики Ньютона, Лагранжа и Гамильтона — равноценные физические теории, в основу которых положены разные подходы. Поэтому иногда правильный выбор одной из них может весьма облегчить жизнь физика.

Я говорил, что домашних заданий у нас не будет. И все-таки, если вдруг возникает желание потрудиться, попробуйте вывести уравнения Гамильтона для простого гармонического осциллятора, потенциальная энергия которого . Или даже составить собственный гамильтониан, например для двух осцилляторов, каким-то образом взаимодействующих друг с другом, и посмотреть на то, что из этого выйдет.

Локальное взаимодействие

Кому все это надо? Мы тут страдаем от производных, лезем из кожи вон только ради того, чтобы однажды вывести несколько уравнений, снова переписать законы Ньютона еще одним, более хитрым способом?

Есть множество причин успокоиться на точке зрения Гамильтона, его механике. Она к тому же незаменима при переходе к механике квантовой. А нам она поможет понять, что же такого особенного в пространстве.

Механика Ньютона построена вокруг «пространства положений», то есть множества из всех возможных положений. И мы хорошо понимаем, что в нем особенного. Если, допустим, и можно представить себе «пространство импульсов», то очень абстрактно, совсем не так, как «пространство положений». Ведь мы живем именно в нем.

Но с точки зрения Гамильтона, импульс и положение равноправны, по крайней мере на первый взгляд. Уравнения Гамильтона (4.8) говорят нам, что импульс и положение — две координаты в фазовом пространстве — почти симметричны (если не считать знака «минус»). Гамильтониан зависит как от x, так и от p и может быть совершенно любой функцией H(x, p). Формально в такой системе нельзя отличить пространство положений от пространства импульсов и сказать, что мы в нем живем.

И в этой ситуации мы можем задать вопрос, который даже не пришел бы в голову Ньютону или его ближайшим преемникам. Что есть такого особенного в пространстве? Почему на практике импульс и положение кажутся нам такими разными, если в законах физики Гамильтона они выглядят очень похоже? Почему мы живем в пространстве положений, а не в пространстве импульсов?

Особенность пространства в том, что взаимодействия локальны по положению. Объекты взаимодействуют друг с другом, когда они находятся в одном и том же месте, а не когда у них одинаковый импульс (или что-то еще). Но разве сила притяжения Солнца не действует на планеты через пространство? Нам нужно подумать об этом.

Ученые с удовольствием обсуждают работу отдельно взятых физических систем. Хотя какой от этого толк, если такие системы представить себе нельзя? Нужно говорить о множестве систем, которые взаимодействуют между собой и влияют друг на друга. Особенность нашей Вселенной в том, что системы взаимодействуют, только когда находятся в непосредственной близости. Именно это физики называют «локальным взаимодействием»: если в какой-то точке что-то случилось, последствия проявляются только в соседних точках. А чтобы они проявились где-то на отдалении, нужно время.

Подумайте о бильярдном шаре. После удара кием он катится по прямой (если, конечно, это обычный удар, без подкрутки), пока не дойдет до борта или не столкнется с другим шаром. В этот момент два шара оказываются в одной и той же точке пространства. Во всех остальных случаях импульс значения не имеет: даже если два шара имеют равные (противоположные или любые другие) импульсы, они не будут влиять друг на друга.

Взаимодействие объектов в реальном мире описывает гамильтониан. В теории он может быть любой функцией, зависящей от x и p, на практике же выглядит как выражение (4.1), то есть представляет собой сумму кинетической энергии, пропорциональной p2, и потенциальной энергии, которая зависит только от x (хотя зависимость может быть довольно сложной).

Бильярдный шар взаимодействует с бортом или другим шаром, когда оказывается с ними в одной точке пространства. Два шара с одинаковыми импульсами никак не взаимодействуют друг с другом.

Тот же принцип действует и в системах, которые состоят из нескольких движущихся частей. Допустим, что есть два объекта, первый из которых имеет импульс p1 и занимает положение x1, а второй — импульс p2 и положение x2. Почти все время гамильтониан такой системы будет равен

(4.9)

Первые два слагаемых в этой формуле — кинетические энергии двух объектов. Потенциальная энергия V(x1, x2) каким-то образом зависит от их положения. У бильярдных шаров она будет равна нулю до тех пор, пока они не столкнутся. У двух планет, которые действуют друг на друга силой тяготения, потенциальная энергия равна нулю, пока они далеки, но возрастает по мере сближения. Важно напомнить, что расстояние в пространстве определяет интенсивность взаимодействия.

Эти правила действуют для любых типовых систем из реального мира (хотя исключения все же имеются). В теории мы можем придумывать любые, самые безумные гамильтонианы, в реальной жизни такой свободы нет. Каждый объект имеет собственную кинетическую энергию и взаимодействует с другими объектами посредством потенциальной, которая зависит от расстояния между ними.

Именно поэтому положения отличаются от импульсов, а мы уверены, что живем в пространстве положений, а не в пространстве импульсов. В реальных гамильтонианах положение — это переменная, относительно которой взаимодействия локальны.

Дальнодействие

Здесь есть один важный нюанс. Взаимодействие бильярдных шаров полностью локально, то есть отсутствует до тех пор, пока они не столкнутся. А вот планеты воздействуют друг на друга силой тяготения, то есть на расстоянии. Можно ли считать такое воздействие локальным?

Хороший вопрос. Ньютон и его современники много над ним размышляли. Многие полагали, что сила тяготения передается от одного объекта к другому через какое-то вещество, то есть считали взаимодействие планет локальным. Считалось, кроме того, что в хорошей научной теории не место таким понятиям, как «дальнодействие». Ньютон и сам называл его «жуткой нелепицей, какая не может прийти на ум человеку, хоть сколько-нибудь понимающему в вопросах философии». И все же проблема оставалась, и Ньютон, как человек практичный, в итоге «оставил ее на рассмотрение читателей»[8].

Именно так и поступили ученые следующих поколений. Тщательно все рассмотрев, они нашли решение. Идея состоит в том, что пространство не пусто: оно заполнено полями, одно из которых как раз и ответственно за гравитацию.

По сути поле — это функция самого пространства. В каждой точке оно принимает какое-то значение, которое зависит от природы поля и может быть числом, вектором или чем-то более сложным. Существуют электрические, магнитные, гравитационные и другие поля. В современной физике поля считаются основными строительными блоками нашей реальности (насколько нам это известно).

Солнце не действует на планеты, каким-то волшебным образом дотягиваясь до них через космос. Оно создает в пространстве гравитационное поле, и именно оно влияет на все попавшие в него объекты. Итоговое воздействие — сила тяготения — определяется суммой всех гравитационных полей, имеющихся в конкретной точке.

Поле и частица — понятия взаимодополняющие. Для частицы характерно местоположение в пространстве: она находится в определенной точке и больше нигде. Поле, напротив, находится везде, имеет значение во всех точках пространства и взаимодействует с другими полями, которые действуют в этих точках (их значения, а значит и производные, складываются). Однако значение поля в точке А не влияет на то, что происходит в точке В напрямую, но может влиять косвенно, за счет изменений поля между этими точками.

Первым до заполняющих пространство гравитационных полей додумался наш старый приятель Лаплас. Потенциал поля связан с силой тяготения Ньютона таким же образом, как потенциальная энергия холма связана с силой, которая действует на шар. Сила является производной потенциала.

Лаплас предложил два уравнения: одно определяет, как массивные объекты изменяют значения поля, другое же — как поле воздействует на объекты в своих пределах. По мнению Лапласа, Солнце создает в гравитационном потенциале напряжение, которое постепенно ослабевает по мере удаления от светила. Ослабевающее напряжение определяет наклон поля (подобно холму), который планеты ощущают как силу тяготения. Уравнения Лапласа строго локальны: происходящее в какой-то точке пространства определяется лишь тем, что происходит в непосредственной близости от нее.

Теория Лапласа полностью эквивалентна теории Ньютона и лишь описана другими терминами. Но с точки зрения современного физика тут есть один спорный момент: выходит, что любые изменения гравитационного поля мгновенно распространяются по всей Вселенной. То есть кто-то на другом конце галактики при помощи какого-то сверхчувствительного прибора может заметить, что здесь, на Земле, кто-то перекатил шар для боулинга. Сразу, как только это произошло. Если, конечно, Ньютон и Лаплас правы.

Теория относительности Эйнштейна учит нас, что мгновенная передача информации невозможна. Сигналы не могут распространяться быстрее скорости света. Поэтому Эйнштейн заменил теорию гравитации Ньютона и Лапласа своей собственной — общей теорией относительности, немного более сложной с математической точки зрения. В ее основу также положены поля, которые существуют в пространстве-времени и объясняют силу гравитации. Эта теория настолько локальна, насколько это возможно: на поле влияет только происходящее рядом с рассматриваемой точкой, а изменения поля распространяются в пространстве, но не быстрее скорости света.

Еще пара слов о локальном взаимодействии. В современной физике слово «дальнодействие» часто соседствует с определением «жуткое» (по памятной фразе Эйнштейна). К началу XX века локальный подход настолько укоренился в мировоззрении физиков, что дальнодействие стало вызывать отвращение. Общая теория относительности очистила гравитацию от подозрений в дальнодействии. Однако она относится к классической механике, а не квантовой. Эйнштейн понимал, что квантовая механика вновь поднимает вопрос о дальнодействии, которое можно наблюдать при измерении запутанных квантовых частиц. Это явление реально и доказано экспериментами. И все же хитрая природа не допускает, чтобы ценные сведения распространялись быстрее скорости света. Поэтому квантовая механика оставляет нас в странной ситуации: мы вынуждены использовать нелокальные концепции для объяснения того, что наблюдаем, но не имеем возможности использовать их для передачи сигналов через пространство.

Пять. Время

Мы уделили столько времени разговорам о пространстве, поскольку именно в нем происходят события. Но слово «происходить» означает трансформацию с течением времени: что-то не происходило, потом началось и, наконец, произошло. Если бы не было времени, не было бы ни движения, ни эволюции, ни изменений. Все интересное во Вселенной обязано своим существованием течению времени.

В наших словах время представляется невозможно таинственным. Святой Августин как-то сказал: «Я знаю, что такое время. Но никогда не смогу объяснить это тем, кто не знает». И все же с практической точки зрения время — совсем не тайна. Когда кто-нибудь говорит что-то вроде «Давайте встретимся в восемь часов» или «Фильм идет девяносто минут», мы точно знаем, что имеется в виду. В пространстве постоянно что-то происходит, движется и меняется. Время дает нам возможность узнать момент изменения, а также измерить его продолжительность.

Но если само время и не столь загадочно, как иногда кажется, то у него точно есть таинственные черты. Чем время и пространство похожи и чем они отличаются? Почему будущее не похоже на прошлое? Будущее не определено или предначертано? Прекрасные вопросы, на которые мы можем найти ответы. Пусть и не всегда точные.

Время и пространство

Сложность при понимании времени состоит в том, что в чем-то оно похоже на пространство, а в чем-то — нет. Давайте начнем с общих черт времени и пространства.

Время помогает нам определять местоположение во Вселенной. Чтобы пригласить девушку на свидание, нужно назвать и место, и время. Для этого нам потребуется четыре числа: три, чтобы определить точку в трехмерном пространстве, и еще одно, чтобы указать момент времени. На практике нам редко нужны такие подробные данные: мы говорим просто «кофейня в центре города», предполагая, что девушка знает и адрес, и этаж. И все-таки, если сказать, где встречаемся, но не сказать когда, или наоборот — сказать когда, но не сказать где, встреча вряд ли состоится.

Если время и пространство для нас — способ определения места во Вселенной, вполне естественно будет объединить их в пару, которую мы называем «пространством-временем». Вы, может быть, уже слышали о том, что концепция пространства-времени появилась в начале XX века как часть теории относительности. Исторический факт. Но еще в физике Ньютона, задолго до Эйнштейна, время и пространство можно было совместить. Разница только в том, что у Ньютона пространство-время разделялось на время и пространство совершенно определенным образом, тогда как в теории относительности разные наблюдатели разделяют их по-разному. У Ньютона время и пространство абсолютны сами по себе, а в относительности, как можно догадаться, — относительны. (В частности, они зависят от выбранной нами системы отсчета в пространстве-времени.)

Физика Ньютона не заставляет нас объединять время и пространство, но и не запрещает делать это. И поступив так, мы можем нарисовать карту, упрощенное изображение Вселенной. Оно будет состоять из пространственных измерений и еще одного измерения — времени. Такие пространственно-временные диаграммы занимают важное место в концептуальном инструментарии современного физика. Обычно они рисуются так: пространство растягивается по горизонтали, а время — по вертикали, причем прошлое находится внизу, а время увеличивается по мере движения вверх[9].

На пространственно-временной диаграмме объект отображается не точкой, обозначающей его положение, а мировой линией, которая тянется из прошлого в будущее и показывает положения объекта в разные моменты времени. В каждый из них человек занимает определенный объем в пространстве, но биография — это четырехмерный червь, протянувшийся через пространство-время. Каждый физик однажды рисовал свою собственную мировую линию, начиная с даты рождения.

Длина и продолжительность

Еще одно очевидное сходство пространства и времени в том, что их можно измерить. Траектории в пространстве имеют измеримую длину, а интервалы времени — измеримую продолжительность.

На практике для измерения нам нужны надежные стандарты, с которыми можно сравнивать объекты. Для длины у нас есть линейки. Возьмите два металлических стержня равной длины и защитите их от повреждений. Один из них положите, к примеру, в шкаф, а второй возьмите с собой в поездку. Вернувшись, сравните стержни друг с другом. Окажется, что они все еще одинаковы. Надежность и воспроизводимость таких сравнений наводит на мысль о стандарте длины. Мы можем выбрать какой-то стержень, назвать его «стандартным метром» и измерять длину любых предметов относительно него. Такие чудесные артефакты обязаны своим существованием фундаментальным законам физики. Стержни состоят из атомов, а их размеры, как правило, неизменны, поскольку зависят от физических констант: массы и заряда электронов и атомных ядер. Не позволяйте людям соскабливать атомы со стандартного метра, и он всегда будет служить вам верой и правдой.

То же самое можно сказать и о продолжительности, которую мы измеряем не линейкой, а при помощи часов. Часами можно считать все, что угодно, что изменяется во времени надежным и воспроизводимым образом по сравнению с другими часами. (Немного закольцованное определение, не так ли?) И точно так же, как и «стандартный метр», часы полезны лишь при условии, что сохраняют свою «длину» относительно происходящих событий.

В реальном мире часы можно встретить на каждом шагу: есть множество систем, которые совершают определенные движения предсказуемым, регулярным образом. Это свойство законов физики и позволяет нам измерять время. (А что бы мы делали, не будь во Вселенной ничего похожего на часы? Вот было бы весело!)

Классический пример такой системы — Земля с ее вращением вокруг своей оси и Солнца. Можно не сомневаться: в течение года Земля совершит чуть больше 366 оборотов[10] вокруг оси.

Еще один пример часов — простой гармонический осциллятор. Если он действительно гармонический, то есть восстанавливающая сила строго пропорциональна смещению от точки равновесия, то продолжительность одного полного колебания всегда будет одинаковой независимо от амплитуды. Чем больше амплитуда, тем выше будет скорость осциллятора, период же не изменится. Отличное начало для тех, кто хочет сделать часы.

Точные гармонические осцилляторы трудно найти в природе: в реальных физических системах непременно найдутся причины, сбивающие их с точного ритма. Но мы уже видели: к счастью, при небольшой амплитуде такие системы можно считать приблизительно гармоническими. Первый биограф Галилея рассказывал, как тот однажды заметил, что лампа, висевшая в Пизанском соборе, раскачивалась с постоянным периодом. Это натолкнуло ученого на мысль, что маятник можно использовать для создания точных часов. Позже (уже ослепнув) Галилей вернулся к этой идее и с помощью своего сына предложил конструкцию такого хронометра. Завершить этот проект им не удалось, но вскоре маятниковые часы спроектировал Гюйгенс.

И все-таки маятник — не идеальный гармонический осциллятор: период колебаний зависит от амплитуды. Поэтому, чтобы создать точные маятниковые часы, амплитуда должна быть очень маленькой, ведь все осцилляторы при этих условиях можно считать гармоническими. В конце концов Гук изобрел приспособление — анкерный спуск: механизм, позволивший ограничить амплитуду маятника всего несколькими градусами.

Развитие во времени

Сказать, чем время похоже на пространство, очень легко. Но все-таки они не совсем похожи. Даже на интуитивном уровне ясно, что время ведет себя совершенно иным образом. Мы ощущаем, что время течет, проходит мимо нас, но не можем сказать ничего подобного о пространстве. Человеку с его наивным восприятием мира пространство кажется набором вещей (точек, по одной в каждом месте), время же выглядит как процесс.

Интуитивные мнения редко берутся из ниоткуда. Это касается и различий между пространством и временем. С течением времени системы плавно переходят из одного состояния в другое. Вспомните, например, второй закон Ньютона о том, что сила равна произведению массы на ускорение (второй производной от положения):

(5.1)

Или же вспомните уравнения Гамильтона для производных импульса и положения по времени:

(5.2)

Эти законы должны выполняться в любой момент времени. Они определяют, что будет происходить в дальнейшем.

В пространстве подобных законов не наблюдается. Если где-то лежит очень тяжелый камень, который ничем нельзя сдвинуть с места, с большой вероятностью он пролежит там много лет. Однако совсем не факт, что рядом должен быть еще один такой камень (или же несколько). Состояния системы в соседних точках пространства могут значительно различаться, во времени же они плавно переходят одно в другое.

Стрела времени

Кажущееся «течение» времени (снова на уровне интуиции) имеет отчетливо выраженную направленность. Мы видим, что время движется от прошлого к будущему, а не наоборот. В 1927 году британский астрофизик Артур Эддингтон назвал эту особенность стрелой времени.

По само́й своей сути стрела времени асимметрична. С точки зрения настоящего прошлое и будущее имеют совершенно разные свойства. Прошлое неизменно, о нем написано в книгах, а будущее, напротив, открыто и не предопределено. У нас в настоящем есть память и записи о прошлом: фотографии, окаменелости, учебники истории, артефакты — все то, что дает нам четкое представление о том, что было какое-то время назад. Но мы ничего не знаем о будущем. Никаких фотографий, лишь предсказания. Нам нравится думать, что наш сегодняшний выбор как-то влияет на будущее, но он никак не изменит прошлое.

Стрела настолько естественна для нашего понимания времени, что ранние мыслители даже не думали о ней, считая, что все и так ясно. Конечно, прошлое и будущее отличаются друг от друга. Может ли быть иначе? Это же совершенно разные вещи.

С появлением классической механики стрела времени стала более загадочной. Она помогла нам узнать о сохранении информации. По текущему состоянию изолированной системы можно предсказать ее будущее или же проследить прошлое. Это свойство известно как обратимость: если, согласно законам физики, система, которая в момент времени 1 была в состоянии А, а к моменту времени 2 перешла в состояние В, по тем же законам мы можем сказать, что если система в момент времени 2 была в состоянии В, в момент времени 1 она должна была находиться в состоянии А. Часы и вперед, и назад идут одинаково.

В обычной жизни мы не видим проявления обратимости. Стакан горячей воды со льдом через некоторое время превращается в стакан холодной воды. Но и стакан с изначально холодной водой также станет стаканом холодной воды (то есть фактически не изменится). Поэтому, держа в руках стакан с холодной водой, невозможно сказать, была ли она когда-то горячей.

Можно допустить, что обратимость тайно заложена в классическую механику. Основные законы физики обратимы, необратим только реальный мир. Иногда говорят, что «микроскопическая», или «фундаментальная», динамика обратима, а «макроскопическая», или «эмерджентная», — нет. При этом слово «микроскопическая» обычно означает «небольшое количество движущихся частей», а не «небольшие размеры». Планеты в Солнечной системе очень хорошо описываются обратимой механикой Ньютона, хотя они и довольно большие. Возникает вопрос, почему макроскопический мир кажется полностью необратимым?

Обращение времени

Прежде чем погрузиться в причины необратимости, нужно поговорить о схожем по звучанию, но на самом деле совершенно ином понятии: симметрии обращения времени. Упоминая о ней, некоторые люди делают вид, будто она как-то связана со стрелой времени (что на самом деле не так). Поэтому нам нужно разобраться с этим на первый взгляд запутанным понятием.

Симметрия — это преобразование, при котором некоторые параметры системы меняют свой знак на противоположный, что не приводит к изменению основной структуры. Обращение времени T заключается в том, что все значения t умножаются на –1, то есть меняют направление:

t → —t. (5.3)

Законы классической физики инвариантны к такому преобразованию, то есть не изменяются. Эта особенность обращения времени тесно связана с обратимостью, но это не совсем совпадает с ней.

Вспомните второй закон Ньютона, записанный в виде формулы (5.1). При обращении времени вспять масса объекта не меняется. Не изменяется и сила, по крайней мере, так можно сказать о хорошо известных нам системах типа притяжения планет и шара на холме. А что произойдет с ускорением, ? Положение не меняется. Бесконечно малый промежуток времени dt превращается в — dt. (Обратив время, мы изменили направление, в котором оно увеличивается.) Но ускорение — вторая производная, а значит, — dt будет в квадрате: . Но (—dt)2 = dt2, поэтому трансформация (5.3) не влияет и на ускорение. То есть в итоге мы можем сказать, что второй закон Ньютона полностью инвариантен к обращению времени.

Все то же самое можно сказать и о механике Гамильтона, только рассказ получится еще увлекательнее. Тут нам придется пойти на две уловки. Во-первых, при обращении времени нам нужно обратить и импульс: . Кто-то, возможно, скажет: а в чем здесь уловка, ведь все и так очевидно. Импульс — это масса, умноженная на скорость, а направление скорости с обращением времени сменится на противоположное. Но дело все в том, что, по Гамильтону, импульс — независимая величина, а вовсе не масса, умноженная на скорость. Импульс равен их произведению только на траекториях, которые соответствуют законам движения. Тем не менее знак нужно изменить, чтобы соблюсти симметрию обращения времени. (Такой вот намек на то, что затевается нечто хитрое.)

Теперь о второй уловке. Гамильтониан — это сумма двух энергий: кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия обычно равна , а раз мы возводим импульс в квадрат, она не изменится.

Другими словами, фундаментальные формулы классической механики не видят разницы между движением в прошлое и движением в будущее.

Обратимость и CPT-инвариантность

«Обратимость» и «инвариантность к обращению времени» — две схожие по звучанию идеи, между которыми все-таки есть очень тонкое различие. Обратимость заключается в сохранении информации: системы не забывают, в каком состоянии они были раньше. С другой стороны, инвариантность к обращению времени говорит о том, что законы физики работают одинаково как при нормальном, так и при обратном ходе времени. Обратимость, как оказалось, имеет более фундаментальное значение: пока динамика обратима, мы всегда сможем придумать что-нибудь вроде симметрии обращения времени.

Мы можем добиться ее, двигаясь окольным путем. Если послушать специалистов по физике частиц (которые хоть и физики, но не такие, как все), они расскажут, что в мире элементарных частиц обращение времени все-таки не приводит к симметрии фундаментальных законов, что это даже на опыте подтвердить удалось. При точно подобранных условиях можно взять набор частиц в некотором состоянии A, перевести их в состояние B, а затем изменить все импульсы на обратные, как бы запуская частицы «назад во времени». Следует ожидать, что при этом они вернутся точно в состояние A. Но они не возвращаются.

Есть и другие симметрии, которые вроде должны быть в природе, но нарушаются. Например, можно обратить пространство. Такое преобразование известно как «четность» и обозначается буквой P. Мы изменяем направление всех трех измерений пространства и получаем нечто похожее на зеркало: слова пишутся задом наперед, винт с правой резьбой выглядит как винт с левой, вращающиеся частицы крутятся в другую сторону. Первоначально считалось, что четность — это симметрия природы, но опыты Ву Цзяньсюн, проведенные в середине XX века, доказали обратное: симметрия нарушается.

Можно использовать зарядовое сопряжение, или преобразование C. У многих элементарных частиц есть античастицы. Позитрон, античастица электрона, единственная из всех имеет собственное имя. Все остальные (к примеру, антинейтрино), довольствуются приставкой «анти». При зарядовом сопряжении частицы заменяются античастицами. Но, как и в случаях с T и P, при определенных условиях симметрия нарушается. Можно сказать, что зарядовое сопряжение совсем не похоже на обращение времени или пространства, но это не так. Направление времени тесно связано с различием между материей и антиматерией: античастицы математически эквивалентны частицам, движущимся назад во времени.

Но вот в чем дело. По отдельности симметрия преобразований C, P и T в физике элементарных частиц нарушается. А вот их сочетание, CPT, сохраняет симметрию. Сегодня это доказано как в теории, так и на практике. Если взять набор частиц, проследить за ними от состояния А до состояния B, а затем построить зеркальное отражение B, обратить импульсы, заменить частицы античастицами и запустить их в обратный путь по времени, получим исходное состояние A. Это и есть симметрия CPT в действии.

А если так, появляется довольно смелый план. Что если мы примем за «обращение времени» то, что мы только что описали как CPT? Точнее, мы определим новую операцию (назовем ее T’) как последовательность из обращения времени (T), преобразования четности (P) и зарядового сопряжения (C), а далее будем считать эту новую операцию T’ = CPT «тем, что на самом деле имеем в виду под обращением времени». Такой улучшенный вариант обращения времени станет симметрией природы.

Конечно, мы можем так сделать. Если лежащая в основе наших действий теория обратима, то мы всегда можем определить оператор для обращения времени, который будет, помимо основной задачи, менять и другие переменные. В результате получим хорошую симметрию. Обратимость всегда означает симметрию обратимости времени, но в ряде случаев она может выглядеть не совсем так, как изначально предполагалось.

Вспомните: даже в обычной механике Гамильтона для обращения времени нам пришлось изменить направление импульса. Тогда мы не дали принципиальных обоснований такого решения, зато теперь мы знаем, зачем оно было нужно. Мы поступили именно так, чтобы получить хорошую симметрию динамики. Как правило, для этого нужны дополнительные манипуляции, не только замена t на — t. Иногда они кажутся нам естественными и даже неизбежными, как, например, в случае с импульсом. Поэтому мы просто связываем их с определением «обращения времени» и больше об этом не думаем. В других случаях они могут показаться взятыми с потолка, как, например, добавление четности и зарядового сопряжения. Тогда мы что-то бурчим о том, что «обратимость времени искажена, но тесно связанная с ней симметрия сохраняется». Независимо от принятых нами решений физический смысл заключается в том, что, когда динамика обратима, какая-то симметрия есть всегда.

Таким образом, отход от простого определения обращения времени T не имеет ничего общего со стрелой времени. Эта особенность физики частиц хотя и важна сама по себе, не нарушает обратимости. Стрела времени возникает из-за того, что макроскопический мир не кажется обратимым, хотя микроскопический мир, казалось бы, обратим.

Энтропия

Что же тогда вызывает необратимость, а значит, и стрелу времени? Окончательный ответ кроется в том, что энтропия замкнутой системы, в том числе и всей Вселенной, имеет тенденцию повышаться со временем. Энтропию часто определяют как беспорядок или дезорганизацию системы: колода карт в идеальном порядке имеет низкую энтропию, а случайно перетасованная — высокую. Для общего понимания такого подхода достаточно, но мы можем дать более точное определение.

Демону Лапласа, который следит за точным микроскопическим состоянием мира, все кажется обратимым. С другой стороны, ему известно все и о будущем, и о прошлом. Он одинаково хорошо «вспоминает прошлое» и «предсказывает будущее», а настоящей стрелы времени для него не существует.

Но человек — не демон Лапласа, и близко не похож на него. Человек — конечное существо с резко ограниченными способностями к наблюдению и вычислениям. Мы с трудом запоминаем номера телефонов, что уж там говорить об импульсах и положениях 6 × 1023 частиц[11]. Мы не владеем всей полнотой данных о состоянии мира и даже не видим его целиком. Сидя в своих кабинетах, мы видим лишь стулья, столы и других людей.

Вместо этого мы, так сказать, снижаем детализацию: объединяем множество состояний в одно и работаем с ним, пытаясь понять систему и сделать максимально точные прогнозы. Например, говоря о баллоне с газом или чашке кофе, мы можем указать температуру, давление и скорость среды в каждой точке контейнера (то есть макросостояние системы). Такому описанию будет соответствовать большое количество расположений атомов и молекул (микросостояний), но отсутствие данных о конкретном микросостоянии не мешает нам понимать, что газ расширится и заполнит баллон, а кофе со временем остынет. Мы вполне можем делать такие предсказания по макросостоянию.

Точное определение макросостояния — дело непростое. Основная идея тут в том, что это «совокупность всех микросостояний, которые выглядят одинаково для макроскопического наблюдателя». Некоторые макросостояния (например, когда газ равномерно распределен по баллону) соответствуют огромному числу возможных микросостояний, другие же (например, скопление молекул газа в какой-то части этого баллона — бывает и такое) — относительно небольшому.

В 1870-х годах австрийскому физику Людвигу Больцману пришла в голову блестящая мысль пойти этим путем к пониманию энтропии. Больцман не первым заговорил о ней, но предложил связать это макроскопическое по сути свойство с его микроскопическим подтекстом, а именно — количеством микросостояний в макросостоянии[12]. С этой точки зрения логично, что энтропия стремится к увеличению со временем. При низкой энтропии макросостояние соответствует небольшому количеству возможных микросостояний, а при высокой — большому. Если система начинает свой путь по фазовому пространству из состояния с низкой энтропией и движется в произвольном направлении, следует ожидать ее увеличения просто потому, что путей к этому состоянию больше (обычно намного, очень намного больше), чем к уменьшению.

Это второй закон термодинамики: в замкнутых системах энтропия либо возрастает, либо остается постоянной, но никогда не уменьшается самопроизвольно. (Первый закон — это просто сохранение энергии.) Многие системы не являются замкнутыми, так как взаимодействуют с внешним миром, а значит, их энтропия может уменьшаться. Например, если поставить бутылку шампанского в холодильник, она охладится, а ее энтропия уменьшится. Но можно заметить, что в то же время холодильник излучает тепло: энтропия в целом продолжает расти. Вот почему нельзя охладить комнату, включив холодильник и оставив дверцу открытой. Законы термодинамики не позволят этого сделать.

Идеи Больцмана связывают микромир частиц с демоном Лапласа, а также макромиром со сниженной детализацией, аппроксимацией и нехваткой данных. Мы можем получить много полезной информации о физических системах, обходясь без подробных сведений о микросостояниях. Это важное свойство эмерджентности. Сейчас мы не будем рассматривать важный вопрос о том, почему в нашем мире возможны эмерджентные описания систем, но будем помнить об этом.

Гипотеза о прошлом

Энтропия возрастает, поскольку путей (микросостояний) к ее увеличению больше, нежели чем к уменьшению. Как можно заметить, такое утверждение предполагает, что изначально энтропия была низкой. Эта идея, которая известна как гипотеза о прошлом, вместе с предложенной Больцманом связью микро- и макромира дает нам возможность понять, что скрыто за вторым законом термодинамики.

Некоторую ясность можно внести, снова сравнив время с пространством. Мы четко видим, что существует стрела времени, но не существует «стрелы пространства». Можно отличить «верх» от «низа», но лишь потому, что живем мы рядом с Землей, и она влияет на нас силой тяжести. Для космонавта, парящего в невесомости, все стороны одинаковы.

Давайте подумаем. Здесь, на Земле, некая стрела пространства имеется, позволяя нам отличить верх от низа. Но это не работа законов физики, а следствие особой конфигурации материи рядом с нами, наличия большой, влияющей на нас планеты. Это случайность. Но может быть, то же самое происходит и со временем?

Такое возможно, а на самом деле именно так и есть. Допустим, мы знаем, что в данный момент энтропия Вселенной низка. Тогда мы можем предсказать, что в будущем она повысится, а в силу обратимости законов физики — сделать вывод, что в прошлом она также была выше. То есть выходит, что мы живем в какой-то особый момент истории, в который энтропия аномально низка.

Никто не верит, что это правда. Фундаментальная симметрия между прошлым и будущим нарушается граничным условием, которое распространяется на историю Вселенной или, по крайней мере, на ее видимую часть и предполагает очень низкую начальную энтропию.

Наша Вселенная расширяется. Примерно 14 миллиардов лет назад все, что мы видим сейчас, было сжато в очень горячее, очень плотное, быстро расширяющееся тело. Лучшая теория современной науки (общая теория относительности Эйнштейна) позволяет, экстраполируя развитие Вселенной в прошлое, говорить о наличии «сингулярности» бесконечной плотности, с маркировкой «Большой взрыв». Это утверждение верно не потому, что такая сингулярность действительно существовала, а потому, что сама теория перестает работать. Когда-нибудь мы лучше поймем гравитацию и расширяющуюся Вселенную, и это, надеюсь, позволит нам выяснить, что же произошло в тот момент, который мы называем Большим взрывом.

Пока же мы можем порадовать себя лишь тем, что можем сказать, что было сразу после него. Об этот нам многое говорят и теория, и наблюдения. Вселенная состояла из горячей, плотной плазмы, равномерно распределенной по всему пространству.

По аналогии с газом в баллоне можно сказать, что в таком состоянии материя имеет максимальную энтропию. Однако Вселенная в целом, огромная и массивная, ведет себя совсем не так, как газ. Решающее значение приобретает гравитация, которая нарушает равномерное распределение: собирает материю в одних областях и опустошает другие. Именно так и происходило миллиарды лет: из равномерного состояния формировались звезды, галактики и скопления. При этом энтропия возрастала. При наличии сильной гравитации частицам проще образовывать сгустки, чем равномерно распределяться. Поэтому в любом начальном состоянии, если каким-то случайным образом выбрать его из числа возможных, Вселенная имеет неимоверно меньшую энтропию, чем в будущих.

Мы не знаем, почему Вселенная начала существование с низкоэнтропийного состояния, в котором гораздо меньше микросостояний, чем при высокой энтропии. Такое состояние должно быть чем-то обусловлено. Этот вопрос изучает космология, которую мы пока что оставим в стороне.

Важно то, что Вселенная, за которой мы наблюдаем, действительно развивалась из состояния с низкой энтропией, которая с тех пор постоянно растет. Именно этим мы и обязаны существованию времени. Рядом с Землей для нас существует стрела пространства. Точно так же рядом (если так можно сказать) с Большим взрывом существует стрела времени.

Ученым еще многое предстоит объяснить. Стрела времени проявляется в памяти, старении, причинности и многом другом. Мы говорим о «термодинамической» стреле времени, предполагаем, что именно в ней первооснова всех этих аспектов, но мы не показали этого на практике. Такие вопросы все еще остаются загадкой для исследователей.

Презентизм, этернализм, поссибилизм

На нарисованной нами картине мира стрела времени не обусловлена фундаментальными законами физики. Она является эпифеноменом — побочным продуктом того, что Вселенная началась в состоянии с низкой энтропией и постоянно стремится ее повысить. Направленность или течение времени не является частью фундаментальной архитектуры реальности, которая не делает различий ни между движением в прошлое или будущее, ни между разными моментами времени.

Здесь уместно заметить: с этим согласны не все. Рассказанная нами история, вероятно, ближе всего к «стандартной» точке зрения ученых и философов, которые размышляли о таких вещах. Однако она не является общепринятой. Физика здесь довольно хорошо изучена, но есть альтернативные философские взгляды. Если они окажутся верными, это когда-нибудь улучшит понимание физики. Поэтому следует их рассмотреть.

Снова встает вопрос в том, что следует считать «реальным». Когда мы говорили о пространстве, мы сравнивали две идеи: о том, что пространство — это отдельная субстанция сама по себе, и о том, что оно — лишь способ организации отношений между объектами. В любом случае нет оснований считать, что какие-то части пространства реальны, а другие — нет. При разговоре о времени такие основания выходят на первый план. Традиционно принято считать реальным только текущий момент времени, «настоящее»: прошлое уже прошло, а будущее еще не наступило. По сравнению с настоящим они нереальны.

Мнение о том, что реально лишь настоящее, называется презентизмом[13], что и понятно. Противоположный ему взгляд — этернализм[14], сторонники которого говорят, что все моменты времени одинаково реальны, то есть рассматривают блочную вселенную, весь четырехмерный блок пространства-времени. Именно с этой точки зрения мы исходили в некоторых рассуждениях выше.

Презентизм и этернализм — не единственные варианты. Среди тех, кто склонен к презентизму, есть и такие, кто размышляет о разности между прошлым и будущим. Прошлое изменить нельзя, но есть уверенность в том, что наши поступки в настоящем могут повлиять на будущее. Отсюда возникает третья заманчивая точка зрения: поссибилизм[15], или теория «растущего настоящего». Поссибилисты считают реальными и прошлое, и настоящее, но отказывают в этом будущему.

Не предлагая окончательных решений в споре между этими взглядами, можно признать, что каждый из них по-своему разумно обоснован. Презентизм ближе всего к нашему интуитивному, донаучному взгляду на мир. Этерналисты знают законы физики, видят, что они обратимы и сохраняют информацию, не наделяют настоящее каким-то особым статусом. Поэтому, говорят они, мы должны считать прошлое, настоящее и будущее равнозначными. Действительно, нам кажется, что время течет, а настоящее более реально, чем другие моменты времени. Но это следствие стрелы времени, которая сама является следствием роста энтропии.

На это презентисты покачают головой и посетуют, что их друзья-этерналисты из кожи лезут в попытках объяснить то, что находится прямо перед носом. Не проще ли, спросят они, объяснить течение времени, предположив, что время и вправду течет? Что время — это процесс изменения, а не всего лишь координата в четырехмерной реальности, которую мы едва ли себе представляем? Что реально лишь настоящее? Согласны, скажут поссибилисты, но если уж мы принимаем всерьез наше восприятие мира, давайте не будем столь близоруки и не будем ставить будущее и прошлое в равные условия.

Бытие и становление

Все эти споры тянутся в наше время из древности. Презентизм можно увидеть в трудах Гераклита, греческого философа, который подчеркивал превосходство изменения. Нельзя дважды войти в одну и ту же реку, ведь каждый раз это будет другая река. Более этерналистский взгляд появился немного позже у Парменида, который размышлял о вечной и бесконечной Вселенной. Иными словами, Парменид ставил во главу угла бытие, а Гераклит — его становление.

Различие между бытием и становлением отражается не только в противопоставлении презентизма и этернализма, но и в нашем понимании самих законов природы. Согласно одной из философских школ, они лишь удобный способ обобщения всего, что происходит в мире. Можно представить себе, как сложно описывать вселенную, перечисляя происходящее в каждый отдельный момент времени. Гораздо проще (хотя и все равно ужасающе сложно) сказать, что происходит в какой-то один момент, и заявить, что все остальные моменты связаны с ним законами природы. Такая точка зрения — юмеанство — получила название в честь шотландского философа Дэвида Юма, хотя не совсем понятно, можно ли считать юмеанцем его самого.

Альтернативная теория — антиюмеанство — также имеет много приверженцев, хотя ни один знаменитый философ не отстаивал ее настолько громко, чтобы дать ей свое имя[16]. Антиюмеанцы считают, что законы природы не просто описывают мир, но действуют, поддерживая его существование с течением времени. Они — не просто сторонние наблюдатели, но существуют помимо Вселенной, ответственны за нее в ее нынешнем виде.

Юмеанство удобно сочетается с этерналистским взглядом, в то время как антиюмеанцы, скорее всего, являются презентистами. Чтобы понять, как связаны их точки зрения, прибегнем к гипотетическим построениям: подумаем о том, каким бы был мир, будь он немного другим. («Я бы не стал есть столько салатов, если бы знал, каким вкусным окажется торт».) Такие построения можно считать рассуждением о других возможных мирах, разумных альтернативных версиях нашей реальности. Мы постоянно так делаем. Не думая о других мирах, мы не могли бы спорить о выборе, ответственности, морали и других понятиях, которые мы любим обсуждать.

Но подождите. Для юмианца все, что существует, — это реальная вселенная, а то, что мы называем «законами природы», — всего лишь полезные обобщения закономерностей, которые мы видим в ней. Они описывают мир, но не управляют им. Поэтому юмеанцы не могут рассматривать гипотетические миры, ибо нельзя представить себе другую вселенную, но с теми же законами физики. Антиюмеанцев это не беспокоит. Для них законы не просто обобщают происходящее, они управляют им, а значит, несложно вообразить картину, где те же самые законы привели к развитию другого мира из иных начальных условий.

В свою очередь антиюмеанцам сложно объяснить смысл их утверждения о том, что законы физики «управляют» тем, что происходит во времени. Знай мы все, что когда-либо происходило во вселенной, нам было бы трудно понять, чего нам не хватает. У юмеанцев часто закрадывается подозрение, что антиюмеанцы все еще оперируют устаревшими крипто-аристотелевскими взглядами, согласно которым у каждой части мира есть своя сущность и природа. Возможно, считать, что вещи происходят просто так, и полагать своей задачей описание этих вещей, — нормально.

Шесть. Пространство-время

Физика Ньютона разрешала нам говорить о времени и пространстве как о едином четырехмерном пространстве-времени, в котором происходят события. Но поступать так было необязательно: пространство и время независимы друг от друга, никто никогда их не путал. Когда же в начале XX века возникла теория относительности, разговор о пространстве-времени стал почти неизбежным. В этой теории пространство и время больше не имеют отдельных объективных значений. В реальности существует именно пространство-время, а его разделение на время и пространство — всего лишь условность, удобная для людей.

Теория относительности считается сложной для понимания главным образом потому, что мы интуитивно привыкли разделять время и пространство, думать о них как о разных вещах. В нашем представлении объекты имеют определенную протяженность в «пространстве», и это кажется вполне объективным фактом. А так как обычно мы перемещаемся намного медленнее, чем свет, законы дорелятивистской физики работают отлично, а значит, таких представлений нам вполне хватает.

Несоответствие между интуитивными представлениями и теорией и делает переход к пространственно-временной перспективе таким пугающим. Еще хуже становится от того, что теорию относительности обычно излагают по восходящему принципу, то есть начинают с обычного взгляда на время и пространство, а затем говорят, как они изменяются в новом контексте. Людям рассказывают истории о растягивающихся стержнях и искаженных часах. Это все точно технически, но заслоняет красоту и простоту основополагающих концепций.

Мы пойдем другим путем. Наш путь в специальную теорию относительности будет нисходящим: мы с самого начала будем серьезно говорить о едином пространстве-времени и делать выводы, которые можно сделать. Придется немного напрячь мозги, но в результате мы глубже поймем релятивистский взгляд на вселенную.

Рождение пространства-времени

Создание теории относительности обычно приписывают Альберту Эйнштейну. Однако его работа — лишь замковый камень огромного монумента теоретической физики, который строился с тех пор, как Максвелл объединил электричество и магнетизм в единую теорию электромагнетизма. В середине XIX века Максвелл высказал идею о том, что свет — волна, колебания в электромагнитных полях, а значит, распространяется с определенной скоростью. Ученые того времени не до конца понимали, как поле может существовать само по себе и что же именно «колеблется» в световой волне.

Многие физики изучали гипотезу о том, что свет распространяется через среду, которую называли «светоносным эфиром». Однако никто из них так и не смог доказать, что он существует, а потому предлагались все более сложные доводы в пользу того, что светоносный эфир — субстанция необнаружимая. В 1905 году Эйнштейн заявил, что мы можем лучше понять законы физики без всякого эфира и он нам совсем не нужен. Все, что нам требовалось сделать, — принять совершенно новую концепцию пространства и времени. (Согласен, это непросто. Однако игра стоит свеч.)

Идеи Эйнштейна сейчас известны как специальная теория относительности. Ее основы изложены в работе «Об электродинамике движущихся тел», в которой доказана необходимость нового взгляда на длину и продолжительность. Ученый объяснил особую роль скорости света, предположив, что во Вселенной существует абсолютный предел скорости — скорость, с которой свет распространяется в пустом пространстве, и что она одинакова для всех, независимо от скорости того, кто измеряет ее значение. Но чтобы доказать эту теорию, Эйнштейну пришлось изменить привычные представления о времени и пространстве.

И все же он не предлагал объединить время и пространство в единое пространство-время. В 1907 году это сделал Герман Минковский, который когда-то работал профессором в университете. Место действия специальной теории относительности сегодня известно как пространство-время Минковского.

У многих из тех, кто впервые задумался о времени и пространстве как о едином четырехмерном континууме, возникает много вопросов. Какую форму имеет пространство-время? Оно плоское либо искривленное? Статичное или динамичное? Конечное или бесконечное? Пространство Минковского — плоское, статичное и бесконечное. Эйнштейн приложил много усилий к тому, чтобы включить в свою теорию гравитацию. В конце концов он понял, что пространство-время может быть динамичным и искривленным, а то, что мы ощущаем как гравитацию — влияние этой кривизны. В результате такого озарения появилась общая теория относительности.

Итак, специальная теория относительности говорит о плоском статичном пространстве-времени без гравитации, а общая — о динамичном пространстве-времени, кривизна которого порождает гравитацию. Обе теории считаются «классическими», хотя и заменяют некоторые принципы механики Ньютона. Для физиков слово «классический» не означает «нерелятивистский», оно означает «неквантовый». Несмотря на более сложное представление о времени и пространстве, в релятивистском контексте полностью сохраняются все принципы классической физики, включая возможность использовать динамику Гамильтона и принцип наименьшего действия.

Два определения времени

Знакомство со специальной теорией относительности обычно начинают с рассказов о «сокращении длины» и «растяжении времени». Эти понятия заслуживают уважения, но отражают старомодную тенденцию рассматривать время и пространство как отдельные фундаментальные понятия, хоть и более эластичные, чем мы привыкли.

Истина более глубока. Нам нужно расстаться с дорелятивистской привычкой разделять время и пространство, позволить им раствориться в едином пространстве-времени. Для этого лучше всего еще раз, более пристально посмотреть на то, что мы понимаем под временем. И лучше всего начать с нового взгляда на то, что мы думаем о пространстве.

Представьте себе две точки в пространстве: например, ваш дом и любимый ресторан. Каково расстояние между ними?

Ну, это как посмотреть, скажете вы, не задумываясь. Если напрямик, по идеальной прямой между точками, то будет одно расстояние. А если в реальности, где нужно петлять между зданиями, обходить препятствия, идти по улицам и переулкам, то расстояние будет совсем другим, и оно будет больше, чем при движении напрямик. Действительно, прямая — кратчайший путь между точками.

Теперь рассмотрим два события в пространстве-времени. На техническом жаргоне теории относительности «событие» — это точка во вселенной, которая определяется положением в пространстве и временем. Первым событием (обозначим его за А) будет «дома в шесть часов вечера», а вторым (событием B) — «в ресторане в семь часов вечера». Подумайте о том, как пройти из А в B. Слишком быстро идти нельзя, ведь если подойти к ресторану без пятнадцати семь, это не будет событие В. И чтобы оно наступило, придется подождать.

Раньше мы задавались вопросом о расстоянии между точками. Теперь подумаем, сколько времени прошло между событиями.

— Вопрос с подвохом? — спросите вы. — Если одно событие наступило в шесть часов, а другое в семь, между ними прошел ровно час.

— Не так быстро! — сказал бы Эйнштейн. — В довольно устаревшей, ньютоновской картине мира — естественно. Когда время абсолютно и универсально, а события разделяет один час, то больше тут не о чем говорить.

В теории относительности все по-другому. Теперь есть два разных представления о том, что мы понимаем под «временем». Прежде всего время — это координата в пространстве-времени, четырехмерном континууме. Если нам нужно указать точку в нем, удобно приписать каждой из них число, которое называется «временем». Именно это обычно имеется в виду, когда говорят «шесть часов вечера». Такая метка помогает определить точку, где происходит событие. Все хорошо понимают, что значит «встретимся в ресторане в семь часов вечера».

Однако теория относительности говорит, что время, реально затраченное на движение по мировой линии, обычно не совпадает с координатным временем и зависит от выбранного пути, точно так же как расстояние по прямой линии отличается от пройденного по реальной траектории. Человек ощущает количество времени, которое показывают часы у него на руке. Это и есть собственное время, проведенное в дороге. Но показания часов, как и показания одометра в машине, зависят от выбранного пути.

Это как раз одно из значений фразы «время относительно». Мы можем понимать время как координату в пространстве-времени или как личное время, проведенное в пути. Для времени, также как для пространства, эти понятия не обязаны совпадать. (Как отмечает историк Питер Галисон, Эйнштейн не случайно работал в швейцарском патентном бюро в те времена, когда бурно развивались железные дороги, а европейцы стали серьезно думать о времени в других городах континента и более точных часах.)

Инерциальные траектории требуют максимум времени

Время должно иметь какие-то отличия от пространства. Иначе мы говорили бы просто о четырехмерном пространстве, а не выделяли время как нечто особенное. Речь сейчас не о стреле времени: мы снова вернулись к простому миру, где мало движущихся частей и нет нужды беспокоиться об энтропии и необратимости.

Отличие заключается в следующем. В пространстве прямая линия — это кратчайший путь между двумя точками. В пространстве-времени, напротив, прямая траектория требует максимальных затрат времени на путь между двумя событиями. Именно эта противоположность и отличает время от пространства.

«Прямая траектория» в пространстве-времени представляет собой прямую линию в пространстве, движение по которой осуществляется с постоянной скоростью. Другими словами, это инерциальная траектория, ускорение отсутствует. Пусть у нас есть два события в пространстве-времени, то есть две точки в пространстве и соответствующие им моменты времени. Путешественник может идти от одной точки к другой напрямик и с постоянной скоростью (какой бы она ни была, лишь бы прибыть вовремя), или же может свернуть с нее на какое-то время, пройти по какой-то другой, отличной от инерциальной траектории, а затем вернуться обратно на прежний маршрут. При этом он пройдет пройти большее расстояние в пространстве, но потратит меньше времени.

Почему так? Потому что так говорит физика. Или, если хотите, потому что так устроена вселенная. На данный момент, при нынешнем состоянии наших знаний это не обоснованный вывод, а лишь одно из предположений, краеугольных камней, на которых строится физика. Возможно, со временем мы отыщем какой-то более интересный ответ.

Прямые линии в пространстве — это кратчайшее расстояние, прямые линии в пространстве-времени — это максимальные затраты времени. Более длинные траектории позволяют экономить время. Это звучит странно, но так все и есть. Будь по-другому, нам не был бы нужен Эйнштейн и его идеи.

Мысленный эксперимент с близнецами

Есть одна красочная иллюстрация этого принципа. Обычно ее называют парадоксом близнецов, хотя, конечно, никакой это не парадокс. Это лишь нелогичная особенность физики, с которой мы не сталкиваемся в повседневной жизни, поскольку не движемся со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Нехорошо объявлять парадоксами явления, которые лишь кажутся странными, да и то поначалу, на самом же деле вполне объяснимы.

Поговорим о двух близнецах: Алисе и Бобе. Или о просто ровесниках… Близнецы в этом эксперименте нужны для красного словца, поскольку на всех людей законы физики действуют одинаково, даже совсем на чужих друг другу. Но так пример будет более ярким. Итак, Алиса остается на Земле, а Боб садится в неимоверно мощный космический корабль и уносится прочь со скоростью, близкой к скорости света. Где-то там, далеко от дома он делает разворот и летит обратно, мечтая снова увидеть Алису. Мы будем считать, что корабль ускоряется почти мгновенно, а Боб не страдает от жутких перегрузок, которые при этом возникают. Мы также не будем учитывать (медленное) движение Земли и то, что Алиса находится в гравитационном поле. При мысленных экспериментах мы можем завести сферических коров любой породы.

В этом сценарии мировые линии Алисы и Боба соединяются в одних и тех же событиях: расставании и встрече. Однако Алиса движется в пространстве-времени по прямой, а в пространстве совсем не движется. Но мировая линия Боба совсем не прямая, поскольку он совершает разворот где-то на середине пути. (Иначе он также двигался бы по прямой, но никогда не встретился бы с Алисой, и мы не узнали бы, чем все закончилось.)

При встрече близнецы обнаружат, что они больше не ровесники: для Боба прошло меньше собственного времени, чем для Алисы. Кроме того, часы брата сильно отстали от часов сестры. В численном выражении, при условии что корабль мчался вперед и назад с постоянной скоростью, равной 99 % скорости света, за каждый год, прошедший для Боба, Алиса старела примерно на семь лет (чуть позже мы подтвердим это расчетом). И если бы Боб провел в путешествии десять лет, он мог бы и не застать Алису в живых.

Мы (пока) не можем летать в космические путешествия почти со скоростью света, а значит, не можем проверить это предположение. Однако с элементарными частицами такие эксперименты уже проводились и показали: оно безоговорочно верно. Затраты времени путешественника зависят от траектории в пространстве-времени так же, как пройденный путь — от траектории в пространстве.

Поэтому, как говорилось выше, никаких парадоксов здесь нет. Есть только радикальный пересмотр наших взглядов на природу времени. Во вселенной Ньютона время одинаково для всех, включая космических путешественников. Часы у них не отстают. Но во вселенной Эйнштейна у каждого человека свое время.

Скорость времени

Мысленный эксперимент с близнецами вызвал множество не слишком-то полезных споров о «скорости времени». Если Боб постарел меньше, чем Алиса, хочется сказать, что его часы шли медленнее. Но тех, кто поддастся этому искушению, ждет несколько затруднений.

При некоторых обстоятельствах, например когда человек взволнован, скучает, сходит с ума от ожидания либо трясется от страха, он чувствует, будто течение времени изменилось. В зависимости от ситуации кажется, что оно ускорилось или, наоборот, замедлилось. Но будьте спокойны: тут в дело вступает не физика, а биология с психологией. Это обычный сбой внутренних часов, механизма до ужаса ненадежного. Время само по себе не может ни ускоряться, ни замедляться.

Опять же, что значит «время ускорилось»? Скорость показывает изменение какой-то величины со временем (производная!). Например, скорость движения показывает путь, пройденный за единицу времени, скорость заполнения бассейна — количество вливаемой в него воды (опять же за единицу времени). По этой логике скорость времени, если пытаться найти в ней смысл, должна показывать, сколько времени проходит за его единицу. Вот прямо так: количество секунд за секунду. Другого просто не может быть. Но это так же нелепо, как количество метров, пройденных на метр пути.

Да, иногда мы слышим о том, что согласно теории относительности время может ускоряться и замедляться. Чушь собачья. Или, если не прибегать к столь грубым словам, ошибочное описание реального явления.

Теория относительности (и в этом ее новшество) говорит о том, что два человека, которые движутся по разным траекториям в пространстве-времени, затратят на путь разное количество времени, даже если начнут и закончат движение в одних и тех же событиях. Но это не потому, что меняется скорость времени. Просто, идя по разным дорогам, они проделают разный путь. Точно так же человек, избравший прямую линию между точками в обычном пространстве, пройдет меньшее расстояние, чем тот, кто выбрал извилистую дорогу. Мы же не говорим при этом о разном количестве метров на метр?

Тот, кто уверен, что время может замедляться, на самом деле, скорее всего, хранит в глубине души учение Ньютона об абсолютном времени, как бы считает, что часы Боба показывают некое материальное время, текущее за пределами вселенной. Но никакого материального, абсолютного времени нет. Мы называем его четвертым измерением пространства-времени, не это делает время материальным. Можно придумать какую-то другую систему координат, но ничего не изменится: физические явления не зависят от нашего выбора.

Посмотрев на часы во время полета, Боб не заметил бы отклонений. Стрелка бы двигалась, как и всегда: секунда за секунду. Ведь Боб и его часы движутся вместе по одной траектории в пространстве-времени, а значит, и собственное время у них одинаково. И сердце у Боба стучало бы так же, как если бы он никуда не летел. (А если и учащалось бы — только из-за восторга от близости к звездам, что можно понять.)

Возможно, вы возразите: как бы там ни было, время замедлилось. В конце концов, к возвращению Боба Алиса стала гораздо старше, чем он. Как же так?

Чтобы понять, что часы близнецов идут по-разному, нам нужно их как-то сравнить. И в этом проблема. Если бы они лежали на столе рядом, мы бы могли смотреть на них. Но на большом расстоянии невозможно «в тот же момент» узнать, что они показывают. Потребуется время, чтобы сигнал от часов Боба дошел до нас, ведь никакой сигнал не может двигаться быстрее скорости света. К тому моменту, как мы получим такой сигнал, часы Алисы уже уйдут вперед.

Вы скажете: это же чисто техническая проблема. Мы можем как-то решить этот досадный вопрос с запаздыванием сигналов. Что же, попробуйте. Я сразу скажу: сравнивать что угодно мгновенно и с абсолютной точностью невозможно. Это противоречит самой природе.

Правильный путь — оставить в покое идею сравнения часов. Отставание по времени совершенно нормально и соответствует теории относительности. Нашим глазам и чувствам открыта лишь малая часть этого мира. Мы не имеем полной его картины, а значит, не вправе считать, что он устроен именно так, как мы его видим.

Пространство-время Минковского

Мы долго предавались словесным рассуждениям. Настало время для уравнений.

Как нам уже известно, время, измеренное движущимся в пространстве-времени хронометром, аналогично показаниям одометра, то есть расстоянию, пройденному по траектории в обычном пространстве. Нужно бы нарастить на этот скелет немного численного мясца. Поэтому мы задумаемся о том, как измеряется расстояние.

Ответ нам дают Пифагор и его теорема. В прямоугольном треугольнике один из внутренних углов равен 90°, а длинная сторона, которая лежит напротив него, называется гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат ее длины равен сумме квадратов двух других сторон: a2 + b2 = c2. Это свойство весьма интересно само по себе и приводит в восторг любителей геометрии. Крайне важно оно и для нас, определяющих положение в пространстве в декартовых координатах.

Рассмотрим для простоты изложения двумерное пространство, координаты в котором мы по традиции обозначим за x и y. Мы можем четко определить расстояние d между любыми двумя точками в этом пространстве. Построим для этого прямоугольный треугольник: начнем из первой точки и будем двигаться в направлении x (по горизонтали), пока не поравняемся со второй точкой, а затем в направлении y (по вертикали), пока не дойдем до нее. В этом треугольнике длины коротких сторон будут равны Δx и Δy, а длина гипотенузы и будет нужным нам расстоянием d. (Напомню, что греческая буква дельта показывает изменение стоящей за ней переменной.) Поэтому, согласно теореме Пифагора, расстояние между двумя точками можно выразить через изменение координат:

d 2 = (Δx)2 + (Δy)2. (6.1)

Скорее всего, вам это известно. Отличная новость в том, что практически все то же самое работает и в пространстве-времени. Я говорю «практически», так как есть одно важное изменение: в пространстве-времени в теорему Пифагора прокрадывается знак «минус». Именно он и виновен в том, что на прямых вместо «минимального расстояния» мы получаем «максимальное время».

Возьмем теперь упрощенное двумерное пространство-время, в котором будет одна координата x для пространства и координата t для времени. Представим в нем прямую линию между двумя событиями (рассмотрим движение с постоянной скоростью). Обозначим собственное время, которое измеряется взятыми в путь часами, греческой буквой тау (τ). Как и в прошлый раз, обозначим изменение координат за Δx для пространства и Δt для времени.

Отличительная особенность пространства-времени Минковского — дома, в котором живет и действует специальная теория относительности, — состоит том, что собственное время можно определить по формуле, похожей на теорему Пифагора, но в которой пространственный компонент является не слагаемым, а вычитаемым:

τ 2 = (Δt)2 — (Δx)2. (6.2)

Это простое уравнение сообщает нам очень много о том, как работает пространство-время (в общем-то большего знать и не надо). Возьмем неподвижного наблюдателя. В придуманной нами системе координат он будет двигаться во времени, сохраняя свое положение в пространстве. Поэтому для него τ 2 = (Δt)2, то есть τ = Δt. Собственное время неподвижного наблюдателя строго совпадает с разностью координат по оси времени. Именно к этому мы и привыкли в обычной жизни.

Совсем по-другому идут дела у тех, кто куда-то бежит. Для них Δx не будет равно нулю, а значит, их собственное время будет меньше, чем у неподвижного наблюдателя за счет того самого знака «минус» из формулы (6.2). Так теория относительности навязывает нам сделку: чем больший путь в пространстве проходим мы, двигаясь от события к событию, тем меньше проходит для нас времени.

Пока что мы говорили лишь о прямых траекториях. На самом деле мы ими не ограничены и можем записать уравнение для любой мировой линии. Догадываетесь как? Для этого нужно записать выражение (6.2) в бесконечно малых величинах, а затем применить высшую математику. Для начала получим

dτ 2 = dt2 — dx2. (6.3)

Чтобы вычислить собственное время, затраченное на движение по траектории, нужно взять интеграл Δτ = ∫dτ.

Есть мнение, что специальная теория относительности работает только для равномерного движения, а при ускоренном не обойтись без общей. Ерунда. Общая теория относительности приобретает важность в искривленном пространстве-времени, где действует гравитация. В плоском пространстве-времени, которое предложил Минковский, а мы — рассматриваем в этой главе, действует специальная теория, но траектории могут быть любыми.

Скорость света

Время покаяться. Мы немного схитрили, изменяя теорему Пифагора и выводя уравнения (6.2) и (6.3). Вспомните про анализ размерности. Физические величины можно складывать только при том условии, что они выражаются в одних и тех же единицах измерения. Но τ2 и (Δt)2 — это квадраты времени, а Δx2 — квадрат расстояния. О чем мы думали, вычисляя их разность?

Фокус здесь в том, что теория относительности вводит универсальный коэффициент преобразования между пространством и временем (двумя направлениями в пространстве-времени), который обозначается буквой c и всегда равен одной величине:

c = 299 792 458 метров в секунду. (6.4)

Возможно, это число известно вам под названием «скорость света». Но дело здесь совсем не в том, что свет движется настолько быстро. Это число — универсальная постоянная, скорость, которая вплетена в саму ткань мироздания, а нам позволяет преобразовывать время в пространство и наоборот. Световые (как, впрочем, и гравитационные) волны действительно распространяются с этой скоростью, но это можно считать обычным совпадением.

С учетом огромной важности этой константы именно для нее придумали новую единицу измерения: световую секунду. Она гораздо удобнее, чем старомодные метры. По определению световая секунда равна расстоянию, которое свет проходит за одну секунду, то есть 299 792 458 метров. Это число можно выразить точно, поскольку не составляет труда определить одну секунду как некоторое количество колебаний атома, после чего сказать, что метр — это расстояние, которое свет проходит за 1/299 792 458 секунды.

Несмотря на точность, число получается странное. Если же вместо метров использовать световые секунды, все будет просто:

c = 1 световая секунда в секунду. (6.5)

Примечательно, что такие единицы измерения делают с равной 1, а значит, мы можем просто не учитывать скорость света в уравнениях: деление и умножение на 1 все равно ничего не меняет. Именно так мы и поступили, когда записывали выражение (6.2). В правой части, где стоит Δx, на самом деле имелось в виду Δx/c. Выбрав единицы измерения, в которых c = 1, мы можем как бы опустить скорость света, приняв ее за нечто само собой разумеющееся. Ведь так и формула проще, и понимание того, что расстояние и время — лишь показатели перемещения в пространстве-времени, глубже.

Теперь мы можем посмотреть на мысленный эксперимент с близнецами с численной стороны. Рассмотрим путь Боба со взлета до точки разворота. (Вторая половина пути по сути повторяет первую, разница лишь в направлении. Поэтому нет нужды повторять один и тот же расчет дважды.) При этом мы будем предполагать, что корабль Боба летит с постоянной скоростью:

(6.6)

Мы знаем, что Δx = vΔt. Подставив это в выражение (6.2), получим:

(6.7)

или

(6.8)

Алиса и Боб начинают и заканчивают путь в одних и тех же событиях, преодолевая его за Δt. Алиса неподвижна, поэтому ее собственное время равно изменению координат по оси времени. Но Боб затрачивает в раз меньше собственного времени (в тех единицах, в которых с = 1, не забываем об этом). Если ν = 0,99, получим , а 1/0,14 — это около 7. Вот почему Алиса будет проживать семь лет за один год Боба.

Этот же расчет объясняет, почему нам потребовалось так много времени, чтобы прийти к теории относительности. Ньютон был очень умен. Зачем же он собрал все собственные времена в одну кучу, которую назвал абсолютным временем? Все очень просто. Мы всю свою жизнь почти неподвижны по сравнению со светом. Автомобиль едет со скоростью 100 км/ч, но это лишь 10–7 в единицах, где c = 1. А значит, коэффициент в выражении (6.8) равен 0,999999999999995. Это настолько близко к 1, что никто никогда не заметит разницы. В нашей обыденной жизни собственное время, проведенное в пути, по сути неотличимо от фонового координатного времени.

Световые конусы

Знак «минус» в формуле собственного времени (6.2) открывает интересную возможность. Рассмотрев прямую траекторию, при движении по которой изменение пространства и времени одинаково, то есть (Δx)2 = (Δt)2, мы получим, что τ = 0. Объект перемещается в пространстве, но не затрачивает собственного времени. Такое возможно только при движении со скоростью света:

(6.9)

(Знак «минус» тут означает, что объект может двигаться и налево, и направо, что сейчас для нас не имеет значения.)

Довольно интересный результат. Все, что движется со скоростью света, в том числе и сам свет, не ощущает хода времени. Так и хочется спросить: а что если бы мы могли летать с такой скоростью? (Видимо, Эйнштейн задавался таким вопросом, когда был студентом.) Короткий ответ: ничего бы не было. Если бы мы могли лететь со скоростью света, мы бы не ощущали течение времени. Оно бы для нас замерло. Ни ощущений, ни мыслей.

Пространственно-временные траектории, по которым объект движется со скоростью света, называются нулевыми (поскольку время равно нулю) или светоподобными (по очевидным причинам). В единицах измерения, при которых c = 1, на схеме пространства-времени нулевые траектории будут диагоналями, наклоненными на угол 45°. Именно при таком условии изменение пространственных координат и времени будет одинаковым. Движение со скоростью меньше скорости света будет происходить больше во времени, нежели чем в пространстве. Такие траектории называются временеподобными и располагаются более вертикально по сравнению со светоподобными. Мы также можем подумать и о пространственноподобных траекториях, которые располагаются более горизонтально, так как движение происходит не столько во времени, сколько в пространстве. Физические объекты не могут двигаться по ним (так как нельзя лететь быстрее света), но рисовать их никто запретить нам не может.

Возьмем какое-то событие и обозначим его А. Изобразим чертеж, на котором светоподобные лучи будут начинаться с этого события и направляться в будущее. Как будто кто-то включил и тут же выключил лампочку, а мы отследили траектории всех разлетающихся фотонов. (Примерно так круги расходятся по воде, если бросить в озеро камень. Но только фотоны летят со скоростью света.) Все вместе эти лучи образуют световой конус события А. Гипотетической лампочки может и не быть: такой конус есть у любого события, даже если оно не сопровождается вспышкой света. Фактически конусов даже два: один направлен в будущее, а другой в прошлое, то есть состоит из светоподобных траекторий, которые начинаются где-то в прошлом и заканчиваются событием А.

Связанное со скоростью света ограничение означает, что все исходящие от события физически допустимые траектории должны оставаться внутри его светового конуса. Это касается любых событий. В каждой точке пространства-времени можно построить световые конусы для будущего и прошлого, и все траектории, на которых лежит эта точка, будут располагаться внутри этих конусов.

Световой конус заменяет собой винтажное представление Ньютона об абсолютном пространстве и времени. Стараясь изобразить его на рисунке, мы бы разрезали пространство-время на горизонтальные «моменты времени». При этом события, разделенные в пространстве, но происходящие одновременно, мы бы назвали «синхронными».

Но перейдя к теории относительности, мы потеряли право так делать: синхронных событий больше не бывает. Теперь мы говорим о «временеподобно разделенных» событиях, если одно из них находится в световом конусе другого, либо о событиях «пространственно разделенных» в противоположном случае. Именно с такими определениями согласится любой наблюдатель во вселенной.

Еще раз. Разделение пространства-времени на слои, соответствующие горизонтальным перемещениям, кажется нам естественным, потому что в жизни мы движемся очень медленно по сравнению со светом. Для наших целей метры гораздо удобнее световых секунд. (За всю историю человечества лишь несколько космонавтов — экипаж «Аполлона» — были на расстоянии более световой секунды от родной Земли. И добирались они туда намного дольше одной секунды.) Если рисовать световой конус в метрах и секундах, нулевые траектории не будут наклонены под углом 45°, но станут почти горизонтальными, ведь за секунду свет пролетает огромное количество метров. На таких конусах трудно заметить разницу между временеподобным и пространственноподобным разделением событий, но все-таки она существует.

Стремление делить пространство-время на несоответствующие в реальности слои синхронных событий преодолеть очень сложно. Но тем, кто всерьез занялся теорией относительности, нужно стараться забыть о них, думать только о световых конусах, объективных и универсальных.

Системы отсчета

Если деление плоского пространства-времени специальной теории относительности на горизонтальные срезы синхронных событий — напрасная забава, резать искривленное пространство-время общей теории относительности, пожалуй, просто невозможно. Но все же нужно признать: люди, как им ни объясняй, не перестанут мыслить в таких категориях. Нам тоже стоит подумать об этих срезах, ведь именно они способны пролить свет на такие вещи, как «сокращение длины». Поняв это, мы сможем наладить общение с коллегами-энтузиастами специальной теории относительности.

Итак, мы называем горизонтальные срезы «системами отсчета» или даже «глобальными системами отсчета», чтобы подчеркнуть их распространение на все пространство. Начнем как обычно: припомним, как все работает именно в пространстве. На плоскости (двумерном плоском пространстве) удобно использовать декартову систему координат с осями x и y, которые перпендикулярны друг другу. При этом никто не сомневается: первична именно плоскость, система же координат — лишь средство для поиска точек на ней. Мы можем выбрать другую систему, x′ и y′, например, повернув исходную на некоторый угол. Новые координаты будут не менее полезны, чем старые. Физически же измеримые величины, такие как расстояния между точками, от поворота не изменятся.

Можно проделать все те же действия и в пространстве-времени. Возьмем наблюдателя, который движется без ускорения, и поместим его в начало системы координат. Примем за ось t собственное время наблюдателя, которое показывают его часы. Проявив немного воображения, представим себе, что раз в секунду от наблюдателя исходят «бесконечно быстрые» лучи, которые расходятся во всех направлениях. Просто полет фантазии, не более: мы знаем, что бесконечных скоростей не бывает. Такие лучи представляют собой пространственноподобные линии, «перпендикулярные» мировой линии наблюдателя. Мы будем откладывать по ним координату x. У нас получилась система координат, инерциальная система отсчета, которая распространяется на все пространство-время. (Мы называем ее «инерциальной», поскольку наблюдатель движется без ускорения.)

Вы догадались, что будет дальше? Мы сделаем то же самое, что и раньше, но на этот раз возьмем другого наблюдателя, который движется также без ускорения (то есть с постоянной скоростью) относительно первого. Определим еще одну систему координат, используя собственное время наблюдателя t’ и исходящие от него пространственноподобные лучи x’. Получим некую аналогию поворота декартовой системы координат в обычном пространстве. Переход между ними называется преобразованием Лоренца[17].

Но вот сюрприз! Если нанести бесконечно быстрые лучи на уже привычный нам график пространства-времени, они не покажутся нам нормальными к траектории наблюдателя. Новые оси времени и пространства (t’, x’) будут располагаться под острым углом, образуя своеобразные ножницы. Однако фактически угол между ними прямой. Во всем этом виноват знак «минус» в формуле (6.2).

С физической точки зрения такое превращение в ножницы можно понять как следствие постоянства скорости света. Можно заметить, что относительно светового конуса новые оси времени и пространства наклонены на одинаковый угол. А это и говорит о том, что для любого наблюдателя скорость света неизменна независимо от применяемой системы отсчета.

Здесь уместно упомянуть, что «теория относительности» — название неправильное. Основное значение слова «относительность» в данном контексте состоит в том, что во Вселенной не существует объективной, предпочтительной системы отсчета. Мы можем измерять скорость объекта только относительно других объектов, но не в абсолютном смысле. Но это было верно и в механике Ньютона, основанной на относительности Галилея. «Теория относительности» в современном понимании представляет собой сочетание принципа относительности и постоянства скорости света для всех наблюдателей. Можно сказать и более элегантно: мы живем в пространстве-времени Минковского, где собственное время определяется формулой (6.2).

Сокращение длины

Наклон систем отсчета помогает понять знаменитое явление сокращения длины, которое состоит в том, что объекты, двигаясь с высокой скоростью, якобы становятся короче. Но что такое «длина» объекта? Взять, например, линейку. Конечно, она имеет определенную длину, но плюс к тому еще и определенную протяженность во времени (ведь она существует какое-то время, а не исчезла, едва появившись). Если мы упростим себе жизнь и будем считать линейку одномерным пространственным объектом, в пространстве-времени она будет иметь двумерный «мировой объем». Поэтому, говоря о длине, нужно выбрать систему отсчета, которая позволит нам отличить пространственную составляющую линейки от временной. Тогда «длиной линейки» будет поперечное сечение мирового объема в этой системе отсчета. По понятным причинам обычно мы измеряем предметы в неподвижных системах координат, то есть в таких системах, в которых эти объекты не двигаются. Но чтобы определить длину движущейся линейки, нужно использовать другую систему отсчета.

Как видно из этого рисунка, пространственное сечение в подвижной системе координат действительно будет не таким, как в неподвижной. Вот только оно будет больше, а не меньше. Линейка будет растягиваться, а не сокращаться. Как же так?

Причиной тому наше интуитивное понимание того, что такое длина. Мы представляем себе пространство не совсем так, как оно выглядит на схеме пространства-времени. Формула (6.2) позволяет вычислить собственное время при движении как в пространстве, так и во времени. Но собственное время имеет смысл для временеподобных траекторий и не имеет для пространственноподобных. Действительно, на них Δx больше Δt, то есть τ2 будет отрицательным числом, что для квадрата совсем не хорошо. (Интервал в пространстве-времени не может выражаться комплексным числом.) Поэтому говорить о собственном времени на пространственноподобных траекториях нельзя.

А вот о чем говорить можно, так это, разумеется, о пространственном расстоянии, которое в данном случае мы обозначим как s. Для его вычисления мы можем использовать особый вариант уравнения (6.2): нужно лишь изменить знак на обратный. Тогда получим формулу длины на пространственноподобной траектории:

s2 = (Δx)2 — (Δt)2. (6.10)

Знак «минус» объясняет, почему длина линейки в подвижной системе отсчета на самом деле короче, чем в неподвижной. Кажущееся увеличение длины на рисунке связано с тем, что линейка движется как в пространстве, так и во времени. В двумерной системе пространственных координат (на физической плоскости), переместив один конец линии вертикально при неизменном положении другого, мы неизбежно получим более длинную линию. В пространстве-времени все по-другому: даже небольшое смещение одного конца по времени приводит к сокращению пространственной длины. При этом, хотя такое изменение и совершенно реально, не следует думать, что объект физически сжимается. Нет. Но выбор другой системы отсчета приводит к изменению численного значения.

Синхронность и ее проблемы

Сравнение этих двух систем отсчета приводит нас в суровую реальность, в которой с точки зрения тории относительности два удаленных события не могут происходить «синхронно». Этот факт очевиден уже из рисунка, ведь линии, определяющие синхронность в разных системах отсчета, не совпадают. Однако на самом деле все еще хуже.

Представим себе, что наши два наблюдателя встретились (то есть начала обеих систем отсчета совпали), и назовем это событием А. Возьмем другое событие В, которое происходит на большом отдалении от события А, но почти сразу после него, если смотреть по исходной оси t.

Тогда, глядя из будущего, мы можем заметить, что в системе координат (t, x) событие В происходит позже события А, а в системе координат (t’, x’) — раньше него.

Вот так и происходят пространственноподобно разделенные события. Нельзя сказать, что одно из них «действительно» произошло раньше либо позже другого. Все зависит от выбранной системы отсчета, а все они равноправны. Мы можем сказать лишь то, что эти события пространственноподобно разделены.

Мы привыкли думать о том, что «прямо сейчас» происходит где-то на краю света. Но если край света астрономически далек от нас, возникает загвоздка. К примеру, до ближайшей к Солнцу звезды, Проксимы Центавра, примерно четыре световых года. Поэтому любому событию на Земле соответствует восьмилетний период, в течение которого любое событие на Проксиме можно считать происходящим раньше, позже или одновременно с этим событием. Все зависит от системы отсчета.

Эта особенность специальной теории относительности создает проблемы для «Звездного пути» и других космических опер. Обычно в таких историях предполагается наличие гиперпространственных двигателей или других продвинутых технологий, которые позволяют героям летать быстрее света. Но если перемещение по пространственноподобным траекториям возможно, ничто не мешает двигаться и назад во времени, по крайней мере в некоторых системах отсчета. Точнее сказать, в любой системе, поскольку, согласно теории относительности, все пространственноподобные траектории созданы равными.

Пожалуй, путешествия во времени весьма уместны в научно-фантастических вселенных. Только бы не было логических противоречий. (В том же «Звездном пути» герои то свободно перемещаются во времени, то вдруг забывают об этой возможности.) Поэтому и для физики, и для фантастики лучше всего полностью исключить движение быстрее света.

Унификация

Теория электромагнетизма Максвелла, объединившая под одной крышей электрические и магнитные явления, стала первым значительным примером унификации в физике. (Правда, еще до этого Ньютон связал падение яблок с движением планет.) Объединение дало огромные плоды, в том числе позволило понять, что свет — это электромагнитные волны. Почерпнув вдохновение у Максвелла, Эйнштейн в теории относительности объединил друг с другом пространство и время. И нужно ли нам удивляться тому, что унификация в очередной раз привела к новым открытиям.

В трехмерном пространстве мы часто используем векторы, например говорим о векторе скорости движущегося объекта. Как мы уже знаем, скорость — это производная положения объекта по времени, . Рассматривая вектор в какой-то системе координат, удобно разлагать его на компоненты по трем направлениям:

v i = (v x, v y, v z) = (v1, v2, v3). (6.11)

В этой формуле надстрочный знак i представляет собой индекс, который указывает на один из компонентов вектора. Это не степень! Индексы могут быть численными (1, 2, 3) или буквенными (x, y, z), то есть показывать порядок следования компонентов или связывать их с конкретными направлениями. Индексы очень универсальны[18].

Переместившись из пространства в пространство-время, мы можем расширить понятие вектора, добавив к нему четвертый, временной компонент. Новая версия вектора получила логичное название: 4-вектор (пространство-время ведь четырехмерное). Аналогичным образом скорость перемещения в пространстве-времени называется 4-скоростью.

Введем еще одно любопытное обозначение, которое может на первый взгляд показаться жутким, но быстро станет привычным. Если конкретно, мы будем использовать для нумерации координат в пространстве-времени не старый латинский индекс i со значениями (1, 2, 3), а новый греческий индекс µ (мю) со значениями (0, 1, 2, 3). Иными словами, мы примем время за «нулевую» координату, t = x0. Почему не за четвертую? Такой вариант представляется логичным, однако ноль значительно упрощает жизнь при рассмотрении пространств-времен с числом измерений большим (или меньшим) четырех. Таким образом, набор координат пространства-времени выглядит следующим образом:

x µ = (t, x, y, z) = (x 0, x 1, x 2, x 3). (6.12)

4-скорость объекта будет производной его положения в пространстве-времени.

Но подождите. Мы уже много сказали о том, что «скорости времени», аналогичной скорости в пространстве, не существует. Как можно тогда говорить о скорости в пространстве-времени?

Фокус тут в том, что 4-скорость является производной не по координатному времени t, а по собственному времени τ. Мы можем записать компоненты 4-скорости так:

(6.13)

Каков физический смысл 4-скорости? Из выражения (6.8) мы знаем, что:

(6.14)

(Мы вывели это уравнение для прямолинейных траекторий, но если принять за v скорость в рассматриваемой точке, оно будет верно и для бесконечно малых величин.) Поэтому окончательно компоненты 4-скорости будут равны:

(6.15)

При очень малых значениях v коэффициент примерно равен 1 и может быть опущен. Тогда нулевой компонент 4-скорости V 0 будет равен 1, а остальные компоненты — соответствующим компонентам трехмерного вектора скорости . Поэтому иногда мы будем писать, что V μ ≈ (1, v), что верно для малых скоростей.

А теперь в дело вступает магия. В дорелятивистской механике Ньютона импульс представляет собой трехмерный вектор, равный произведению вектора скорости на массу: . В мире относительности можно определить 4-импульс, по аналогии равный произведению массы на 4-скорость:

pµ = (p0, px, py, pz) = mVµ. (6.16)

Сравнивая эту формулу с выражением (6.15), можно заметить, что пространственные компоненты 4-импульса аналогичны ньютоновскому определению импульса, но с добавлением коэффициента . А что с временным компонентом? Мы получаем:

(6.17)

Иными словами, временной компонент 4-импульса равен массе объекта, деленной на коэффициент, зависящий от скорости.

Как обычно, мы можем сделать несколько выводов для малых скоростей (взять «нерелятивистский предел»). Но в этот раз мы используем мощный математический прием: любое выражение типа (1 + х)n, в котором x очень мало, а n — постоянное число, можно довольно точно аппроксимировать суммой:

(6.18)

Точки в конце означают, что количество слагаемых больше (при положительных n их будет бесконечно много). Они пропорциональны квадрату, кубу и более высоким степеням x, то есть при малых x и сами пренебрежимо малы. Поэтому их можно опустить.

Наш вездесущий коэффициент имеет именно такой вид: в данном случае x = —ν2, а n = –1/2. (Квадратный корень из любого числа равен этому числу в степени 1/2, а единица, деленная на любое число, равна этому числу в степени –1.) Поэтому для малых скоростей имеем:

(6.19)

Подставив это выражение в формулу (6.17), получим:

(6.20)

Второе слагаемое выглядит знакомо: это кинетическая энергия. Оказывается, что нулевой компонент 4-импульса представляет собой нечто энергоподобное и равен сумме массы и кинетической энергии.

А почему бы нам не определить энергию релятивистского объекта как нулевой компонент его 4-импульса? Мы можем записать:

(6.21)

В качестве побочного эффекта из этой формулы понятно, почему ракеты не могут летать со скоростью выше скорости света. Чем ближе v к 1, тем ближе к нулю, а — к бесконечности. Чтобы разогнать ракету до скорости света, а тем более превысить ее, потребуется бесконечное количество энергии. Это невозможно.

Если же скорость намного меньше скорости света, то в силу выражения (6.20) получим:

(6.22)

Мы говорим, что кинетическая энергия — это «энергия объекта, связанная с его движением». Другое слагаемое, которое равно просто массе m, можно понять как «энергию, которую объект имеет в состоянии покоя». Назовем ее энергией покоя, Eпокоя = m.

В этом выражении не все в порядке с единицами измерения. Возможно, это связано с тем, что мы принимаем c = 1 и опускаем. Мы знаем, что энергия измеряется в единицах массы, умноженных на квадрат единицы скорости. Поэтому мы можем устранить проблему, домножив массу на c2. Так мы приходим к знаменитой формуле:

Eпокоя = mc2. (6.23)

Чаще всего слово «покоя» в этой формуле опускается. Это неправильно и может вводить в заблуждение. На самом деле смысл ее в том, что объекты обладают энергией, даже когда находятся в полном покое, и эта энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света. (Кроме того, можно сказать, что масса объекта равна «значению 4-импульса объекта в неподвижной системе отсчета». Оба варианта верны.)

То, что мы рассмотрели — самый известный пример концептуальной унификации, которую дает нам специальная теория относительности. Энергия и импульс — не независимые понятия: энергия лишь временеподобная версия импульса. В этом и состоит одна из замечательных особенностей физики: разрозненные понятия могут быть собраны вместе силой одной хорошей теории.

Семь. Геометрия

Когда в 1907 году Минковский предположил, что лучше всего рассматривать специальную теорию относительности в терминах единого четырехмерного пространства-времени, Эйнштейн отнесся к этому скептически. В печати он жаловался, что подход Минковского «предъявляет к читателю довольно высокие математические требования».

Но вскоре Эйнштейн оценил труды Минковского. Это случилось, когда вдруг стало понятно, что гравитацию можно рассматривать как проявление кривизны пространства-времени, а значит, расширить теорию относительности. Однако какая же физическая теория без уравнений? И в данном случае на помощь приходит геометрия, особенно геометрия Римана, которая позволяет произвольно искривлять пространства и изучать их изнутри, а не встраивать их в какое-то более многомерное пространство.

Увы, Эйнштейн ничего не знал о геометрии Римана. В то время она была почти никому не известна, поскольку появилась лишь в середине XIX века и к 1910-м годам не нашла какого-то особого применения в физике. Но к счастью, Марсель Гроссман, старый одноклассник Эйнштейна, работал профессором математики и неплохо владел этой темой. С помощью Гроссмана Эйнштейн довольно хорошо освоил геометрию Римана и сформулировал общую теорию относительности — собственный взгляд на теорию гравитации.

Теперь пришла наша очередь. Если сам Эйнштейн, отложив собственные труды, выучил геометрию Римана, можно ли нам оставаться в стороне? Поэтому мы посвятим ей целую главу (ведь, несомненно, Риман предложил одну из «величайших идей»), а в следующей главе мы используем ее во благо физики.

Геометрия Евклида

С удовольствием или отвращением, но все мы помним школьные уроки геометрии. Все эти треугольники, окружности и другие фигуры. То, что мы изучали тогда, неразрывно связано с Евклидом, античным математиком, который жил в Александрии, примерно тогда же, когда Аристотель писал свои философские трактаты. Геометрию Евклида можно назвать «настольной», поскольку все фигуры и линии можно изобразить на плоской, двумерной поверхности (хотя достаточно легко перенести в трехмерное или многомерное пространство).

Влияние Евклида заключается не столько в конкретных результатах — теоремах о свойствах геометрических фигур, — сколько в самом подходе, который он предложил. На самом деле многое из того, что вошло в геометрию Евклида, было известно и до его работ:

• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

• Сумма углов треугольника равна 180° (π радиан).

• Длина окружности равна 2πr, где r — ее радиус.

• Площадь круга равна πr2.

Отличительной особенностью геометрии Евклида является система аксиом. Мы принимаем набор постулатов — аксиом, — которые служат логической основой для доказательства теорем, то есть утверждений типа «если эти аксиомы верны, то верен и вот этот вывод». Соглашаясь с такой логической основой (хотя, разумеется, это не обязательно; например, у философов есть к ней вопросы), мы считаем теоремы доказанными.

Такой подход сильно отличается от принятого в других науках, эмпиричных и склонных к фальсификациям, в которых любая теория может оказаться неверной, сколько бы доказательств не было приведено в ее подтверждение. Ученые выдвигают гипотезы о свойствах нашего мира и проверяют их по фактическим данным. От результатов проверки зависит то, как принимаются эти гипотезы. Нельзя быть до конца уверенными в том, что они верны, поскольку в будущем могут быть собраны новые данные, которые все опровергнут. Но в геометрии, да и в целом во всей математике и логике, все очень четко: если верны аксиомы, будут верны и теоремы[19].

По большей части аксиомы Евклида — это разумно звучащие утверждения, которые имеют смысл как основы для геометрии. Взять, например, «между любыми двумя точками можно провести прямую» или «все прямые углы равны». Но есть одна, которая всегда выделялась на фоне других. Это так называемый пятый постулат Евклида — аксиома параллельности. Если построить на плоскости две изначально параллельные прямые, например проведя их через концы какого-то отрезка под прямым углом к нему, эти прямые всегда будут отстоять друг от друга на одинаковое расстояние. (На самом деле Евклид сформулировал свой постулат так: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых [углов], то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».)

С учетом наших представлений о плоскостях все это кажется очень разумным. (Математики видят плоскости, уходящие в бесконечность во всех направлениях, обычные люди могут вообразить себе стол или лист бумаги.) Однако нельзя отрицать, что эта аксиома выглядит несколько неуклюже по сравнению с другими. В течение многих лет геометры думали, что можно доказать аксиому параллельности, используя другие постулаты Евклида, то есть перевести ее в разряд теорем. Когда я проходил геометрию в старших классах, учитель шутил над нами, предлагая дополнительные баллы тем, кто справится с этой задачей. Однако никто из нас так и не преуспел.

Неевклидова геометрия

Я не хочу так шутить. Доказать аксиому о параллельности другими аксиомами Евклида не представляется возможным. Мы знаем это, поскольку заменив этот постулат другим и добавив его к остальным аксиомам, можно получить новый, альтернативный, но полностью состоятельный вариант геометрии.

Такие геометрии по понятным причинам логично названы неевклидовыми.

Легко представить себе этот «другой» постулат. Если Евклид утверждает, что две изначально параллельные прямые не пересекаются, значит, нам нужно сказать, что это не так. И здесь есть два варианта: прямые могут сходиться или же расходиться.

Не беспокойтесь о том, что настоящие параллельные прямые линии ведут себя по-другому. Мы слишком сильно привыкли к учению Евклида о геометрии плоскостей и аналогичных объектов. Плоскости плоские, у них нет кривизны. Альтернативные аксиомы будут работать в иных двумерных пространствах, где кривизна есть.

Это совсем не означает, что неевклидовы геометрии полностью абстрактны и гипотетичны. Ведь существуют двумерные формы, отличные от плоскостей. Например, можно задаться вопросом: что будет с параллельными прямыми на сфере? (При этом нас интересует только поверхность сферы, а не то, что у нее внутри.)

Возможно, вы спросите о том, как можно нарисовать прямую на сфере? Ведь то, что на сфере можно провести, не будет прямой. Пока что просто подумайте о больших кругах или их фрагментах. Большой круг — это замкнутая кривая, которая образуется при пересечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр. Например, это экватор или меридианы (но не параллели!). Однако мы можем представить себе большие круги, наклоненные под любым углом.

Итак, рассмотрим отрезок экватора и две прямые, идущие из его концов на север под прямым углом. Пусть они будут как можно более прямыми, то есть большими кругами. Как к этому ни относись, они встретятся: в данном случае на северном полюсе.

При переходе от плоскости к сфере меняются и другие любимые нами свойства геометрии Евклида. Рассмотрим окружность с радиусом r и центром на северном полюсе. Как видно из рисунка, длина этой окружности будет меньше 2πr, а площадь круга, который она ограничивает, — больше πr2. (Если радиус дойдет до южного полюса, то периметр будет равен нулю.) К тому же сумма внутренних углов треугольника, как правило, больше 180°. Например, можно построить треугольник с тремя прямыми углами, соединив отрезки длиной по четверти длины трех больших кругов. Евклид, должно быть, переворачивается в могиле.

Бывают ли расходящиеся параллельные прямые? Конечно. Нарисовать их немного сложнее. Для этого нужно взять поверхность в форме седла или картофельного чипса.

На таких поверхностях свойства окружностей и треугольников снова меняются, но в противоположную сторону: длина окружности радиусом r будет меньше 2πr, площадь круга — больше πr2, а сумма углов треугольника — меньше 180°.

В обоих случаях можно заметить важное правило, которое упрощает нам жизнь: любые геометрические свойства двумерного пространства одинаковы во всех его точках и направлениях. Если мы проведем параллельные прямые из концов отрезка определенной длины, они будут сходиться либо расходиться со скоростью, независимой от его местоположения и ориентации. Технически это связано с тем, что мы рассматриваем геометрию постоянной, а не переменной кривизны. Но, разумеется, мы скоро откажемся от таких упрощений — удобной посадочной площадки на карусель, которая начнет кружить нас с бешеной скоростью.

При постоянной кривизне поверхности возможно всего три варианта геометрии двумерного пространства — в них параллельные прямые остаются параллельными, сходятся или расходятся:

• Остаются параллельными: геометрия Евклида, нулевая кривизна.

• Сходятся: сферическая (или эллиптическая) геометрия, положительная кривизна.

• Расходятся: гиперболическая геометрия, отрицательная кривизна.

Взгляд снаружи и взгляд изнутри

Впервые о неевклидовой геометрии заговорили только в начале XIX века, через две тысячи лет после Евклида. Основные идеи гиперболической геометрии независимо друг от друга высказали Николай Иванович Лобачевский в России и Янош Бойяи в Венгрии. Может показаться странным, что гиперболическая геометрия появилась раньше сферической и что на это потребовалось столько времени. Неужели так сложно нарисовать геометрические фигуры на сфере?

Обе странности частично объясняют друг друга. Конечно, все знали о сферах, рисовали на них окружности и углы. Однако никто не думал о том, что нужно изобретать для этого целую новую геометрию. Двухмерная сферическая поверхность как совокупность всех точек, удаленных от центра на расстояние R, считалась органичной частью трехмерной геометрии Евклида, которая превосходно описывала все свойства сферы.

Другое дело поверхности с отрицательной кривизной. Мы, конечно, можем представить себе седло или чипс, но при ближайшем рассмотрении окажется, что у таких объектов из реального мира кривизна хоть и отрицательна, но не постоянна. Есть центральная точка, по мере удаления от которой кривизна постепенно снижается. И как бы ни был умен математик, нельзя органично встроить двумерное пространство с постоянной отрицательной кривизной в трехмерное пространство Евклида.

Вот почему гиперболическая геометрия стала поистине впечатляющим достижением интеллекта. Мы можем записать набор аксиом, определяющих геометрические свойства двумерного пространства с постоянной отрицательной кривизной, которое иногда называют гиперболической плоскостью (в отличие от «плоской» плоскости Евклида). В рамках этой системы мы можем доказывать теоремы, выводить формулы длины окружности и площади круга, искать ответы на любые другие геометрические задачи. Но мы не можем построить такое пространство в реальном мире, где мы живем. Точная гиперболическая плоскость существует только в нашем воображении.

В истории математики гиперболическая геометрия стала огромным теоретическим шагом вперед. Освободившись от самоограничений, связанных с рассмотрением только реально существующих или возможных объектов, ученые смогли изучать любые аксиоматические системы просто ради интереса.

Что касается физиков, то перед ними открылась возможность анализировать внутренние геометрические свойства пространств, отличные от внешних свойств, которыми они обладают как части пространств более обширных. Такое разграничение впервые предложил Карл Фридрих Гаусс, один из величайших математиков всех времен. (Гаусс известен тем, что не спешил записывать результаты своих исследований. Он утверждал, что изобрел гиперболическую геометрию раньше Лобачевского и Бойяи. Даже если и так, никаких публикаций на эту тему у Гаусса нет, а за хорошие, но невысказанные идеи никто, как известно, не хвалит.)

Рассматривая фигуры, нарисованные на столе или же сфере в трехмерном пространстве, мы, разумеется, смотрим на них со стороны. С этой точки зрения «кривизна» говорит нам о том, как фигура сгибается и скручивается внутри большого пространства, в котором она находится. Такая кривизна является внешней.

Однако мы можем подумать о том, как выглядят эти фигуры в глазах воображаемых существ, живущих рядом с ними. Например, они могли бы нарисовать окружность, а затем измерить ее длину. Полученный результат не будет иметь никакого отношения к внешнему пространству, которое даже не обязано существовать. Характеристики, которые можно измерить только изнутри, определяют внутреннюю геометрию пространства.

Рассмотрим наглядный пример: представим себе двумерный цилиндр в трехмерном пространстве.

Для нас цилиндр, разумеется, выглядит круглым, но это последствие взгляда со стороны. На самом деле это двумерное пространство, по сути — плоскость. Мы можем проверить это: нарисовать параллельные прямые и посмотреть на них, построить треугольник и сложить его углы, посчитать длину окружности или площадь круга. В каждом из этих случаев внутренняя геометрия цилиндра будет такой же, как и на плоскости.

Мы обратили на это внимание, так как в конечном итоге мы подойдем к разговору о кривизне пространства-времени. Наша вселенная не является частью чего-то большего. По крайней мере, насколько об этом известно нам. Поэтому в рассуждениях о пространстве-времени мы можем опираться только на собственное, внутреннее представление о нем.

Многообразия

Гаусс не только понял различие между внутренней и внешней кривизной, но и впервые изучил случаи, когда она не является постоянной, то есть различна по форме и величине в разных точках пространства. Но когда дело дошло до разработки полноценной теории таких произвольных геометрий, он поручил эту работу своему ученику Бернхарду Риману.

В 1853 году Риман готовился к защите докторской диссертации[20]. Звание доктора наук в Германии необходимо для получения права преподавать в университете. (В своей кандидатской работе Риман впервые использовал комплексные числа для изучения двумерных поверхностей, в докторантуре же много времени посвятил обоснованию интегрального исчисления. Он был амбициозным и продуктивным юношей.)

Говорят, что Риман показал список возможных тем для диссертации Гауссу, и тот, к его удивлению, выбрал из них ту, которая самому Риману казалась наименее интересной: основы геометрии. Получив такое задание, Риман крепко задумался о том, что мы на самом деле понимаем под «геометрией» пространства и о каком «пространстве» мы вообще говорим, учитывая, что сами находимся внутри него. (Перед докладом он скромно сообщил, что «не практиковался в подобных философских изысканиях», хотя доложить-то получилось как нельзя лучше.) В итоге написанная им работа оказала огромное влияние на развитие математики, а сделанные в ней выводы до сих пор лежат в основе общей теории относительности и современного представления о пространстве-времени. К сожалению, ранняя смерть от туберкулеза не позволила Риману продолжить научную деятельность. Кто знает, какие еще открытия он мог бы сделать.

Риман начал свои рассуждения с определения понятия многообразия — бесконечного множества точек, плавно соединяющихся в пространство какой-то определенной размерности. Помните, что при близком рассмотрении любая кривая линия кажется прямой? Множества работают по такому же принципу, но в нескольких измерениях. При достаточном сильном увеличении масштаба любые объекты в искривленном пространстве подчиняются законам геометрии Евклида. Кривизна, которая проявляется на отдалении, определяется тем, как бесконечно малые кусочки плоского пространства соединяются друг с другом в пространстве, окружающем многообразие.

Важнейшая особенность многообразий заключается в том, что они не обязаны находиться внутри какого-то другого пространства, даже если в нашем представлении это именно так. Изображая двумерное многообразие, например сферу или тор, мы думаем именно о двумерной поверхности, а не о трехмерном теле, форму которого оно принимают. Такое представление — лишь артефакт того, как мы, трехмерные существа, представляем себе окружающие нас вещи. Многообразия имеют четко определенную топологию и геометрию сами по себе. Их следует рассматривать изнутри, а не снаружи.

Обобщая Пифагора

Теперь нам нужно понять, как определить геометрию многообразия, оперируя только внутренними понятиями, которые мы можем измерить с позиции внутреннего же наблюдателя. Как это сделать? Вариантов может быть очень много. Главное — получить такие базовые геометрические величины, на основании которых мы можем вывести любые другие, какие лишь захотим.

Риман предусмотрел способы для определения длин кривых. Не просто каких-то конкретных — любых, какие нам придет в голову нарисовать. А зная длину любой возможной кривой, можно узнать все, что таит в себе геометрия.

Определить длину любой кривой… От постановки такой задачи немудрено опустить руки. Даже простые многообразия вроде сферы и плоскости позволяют построить огромное число разных кривых. К счастью, у нас есть ключ от этого зоопарка: высшая математика. Нам нет нужды выводить формулу для каждой отдельной кривой. Вместо этого мы найдем выражение для длины бесконечно малого ее участка, а затем возьмем от него интеграл.

Чтобы немного облегчить работу воображению, представим себе плоскую двумерную поверхность с декартовыми координатами (x, y). Кто-то нарисовал на ней кривую (как повела рука), нам же необходимо измерить ее бесконечно малый участок ds, выразив его длину через бесконечно малые приращения координат dx и dy. Формулу для такого расчета мы уже знаем: это теорема Пифагора. (Если эти обозначения напомнят вам формулу (6.10), при помощи которой мы находили длину сегмента пространственноподобной траектории в пространстве-времени, не беспокойтесь: буквы просто кочуют из формулы в формулу.)

ds2 = dx2 + dy2. (7.1)

Пока что все просто. Но у декартовых координат есть одна особенность: при постоянном x линии всегда идеально прямые и параллельны друг другу. При постоянном y все то же самое. Если аксиома параллельности не выполняется (то есть многообразие не является евклидовым), определить координаты получится не во всех точках. К примеру, на сфере декартовых координат вообще быть не может.

Но даже на плоском многообразии мы не обязаны использовать декартову систему координат. Возьмем вместо нее полярную систему, в которой положение точки на плоскости определяется расстоянием r до центра системы и углом θ относительно горизонтальной оси. Вычислим длину бесконечно малого сегмента кривой в этих координатах.

Физическая длина, соответствующая изменению угла dθ, не постоянна, но возрастает с увеличением r. При постоянном r она, очевидно, будет равна rdθ. Поэтому формула для произвольного бесконечно малого сегмента будет иметь вид:

ds2 = dr 2 + r 2dθ2. (7.2)

Это почти теорема Пифагора, но с множителем r2 перед dθ2, который как раз и выражает мысль о том, что приращение dθ возрастает с увеличением длины r. Мы сохраняем дух теоремы Пифагора, но как бы обобщаем ее, вносим в нее влияние физических расстояний на приращение координат.

Линейный элемент

Вдохновляясь этим примером, попробуем понять, что такое линейный элемент — универсальная формула, которая позволяет определить длину произвольного бесконечно малого сегмента ds, выраженного через бесконечно малые приращения координат. Для простоты начнем с двумерного многообразия.

Допустим, что у нас есть две координаты (x1, x2). В данном случае надстрочные цифры — индексы, а не степени (так же, как при разговоре о компонентах вектора). Нам нужно связать расстояние ds с приращениями координат dxi. Не забывая теорему Пифагора, мы можем ожидать, что квадрат расстояния ds2 будет связан с квадратами приращений координат, к примеру (dx1)2. (Это квадрат dx1, так что теперь надстрочные цифры — и индексы, и степени. Не путайте!) Чтобы получить формулу в как можно более общем виде, нам нужно учесть наличие «перекрестных членов», произведений координат (dx1dx2). Кроме того, у нас могут быть множители, которые сами по себе зависят от координат, как, например, в полярной системе.

В самом общем виде формула двумерного линейного элемента имеет вид:

(7.3)

Тут очень много скобок и надстрочных символов. Вдохнем поглубже и попытаемся в них разобраться. Три величины, A, B и C, — это числа, значения которых зависят от конкретной точки многообразия. Поэтому мы записали их в виде функций от координат (x1, x2). Каждое из них умножается на произведение приращений координат dx1 и dx2 в трех возможных сочетаниях: (dx1)2, (dx2)2 и dx1dx2. Последнее произведение важно, когда оси координат не перпендикулярны друг к другу.

Формула (7.3) имеет огромное значение, ведь если три функции, A(x1, x2), B(x1, x2) и C(x1, x2), известны, то с ее помощью можно найти длину любой произвольной кривой. Риман утверждает, что этих данных достаточно, чтобы полностью определить геометрию многообразия. Эти функции хранят в себе сведения обо всем: углах, площадях, кривизне, обо всем, что мы захотим узнать. Этот принцип будет работать при любом количестве измерений, но с той лишь разницей, что станет больше и функций. В d-мерном пространстве для полного определения линейного элемента потребуется d(d + 1)/2 функций.

Извлечь геометрические данные из этих функций не очень-то просто. Проблема в том, что в разных системах координат линейный элемент может иметь разное выражение, хотя геометрия от этого никак не зависит. Мы уже видели это на примере плоской поверхности. В декартовых координатах линейный элемент (7.1) принимает вид (7.3) при следующих функциях:

A(x, y) = 1, B(x, y) = 0, C(x, y) = 1. (7.4)

Если же взять полярную систему координат и формулу (7.2), понадобятся другие функции:

A(r, θ) = 1, B(r, θ) = 0, C(r, θ) = r 2. (7.5)

Одна и та же геометрия, но разные варианты линейного элемента для разных систем координат. Но геометрии нет дела до них, плодов человеческой изобретательности, не имеющих никакого отношения к внутренним свойствам многообразия. Чтобы выдавить из линейных элементов сведения о кривизне, придется нажать на них посильнее.

Метрика

Для начала подумаем о более удобных обозначениях. Чем больше измерений, тем больше функций придется ввести для линейного элемента, а значит, хорошие обозначения — уже огромное подспорье.

Ввести такое обозначение несложно: воспользуемся схемой, которую дает выражение (7.3). Мы будем рассматривать пары приращений dxi и dxj, где i и j — индексы, значения которых определяются количеством измерений. Индексы могут иметь как разные, так и одинаковые значения. Для каждой пары определим функцию пространства-времени gij(x), причем в данном случае буква x обозначает все координаты сразу. Буквы i и j сами по себе не несут никакого конкретного смысла, мы можем использовать любые. Таким образом, на (dx1)2 мы будем умножать функцию g11, на dx1dx2 — функцию g12 и т. д.

Все эти функции можно записать в виде матрицы[21]. Например, для трехмерного пространства:

(7.6)

Мы получили знаменитый метрический тензор, объект, который окажется в центре внимания при разговоре об общей теории относительности. Каждое значение в матрице (элемент метрики) является функцией координат. Знание всех элементов метрики позволяет получить все данные о геометрии рассматриваемого многообразия. Обычно, когда перед физиком стоит какая-то исследовательская задача из общей теории относительности, он пытается либо найти метрику с нуля (например, если энергия и материя распределены каким-то определенным образом), либо вывести ее из уже существующих метрик. (Несмотря на то что в теории относительности метрики описывают пространство-время, а не обычное пространство, это на удивление мало влияет на математические формулы. Мы просто используем греческие буквы для обозначения элементов.)

Метрика — точный эквивалент линейного элемента. Связь между ними очень проста:

(7.7)

Таким образом, зная все элементы метрики, мы можем вычислить длину любой кривой. А значит, хоть это может быть не слишком очевидно, мы также можем находить углы между линиями, площади, объемы и многое другое.

Наш двумерный линейный элемент (7.3), как и следовало ожидать, вписывается в эту схему. Мы можем записать, что:

(7.8)

Как можно заметить, значение B появляется в этой метрике дважды, но оба раза делится пополам. Это связано с тем, что при буквальном применении формула (7.7) дает отдельные множители для математически равных произведений dx1dx2 и dx2dx1. Поэтому мы должны потребовать, чтобы метрика была симметричной, то есть для любых пар i и j соблюдалось равенство gij = gji. В матричной форме это означает, что элементы в правом верхнем и левом нижнем углах равны.

Пора спуститься с небес на землю и рассмотреть несколько примеров. Начнем с хорошо известных нам берегов: трехмерного евклидова пространства с декартовой системой координат (x, y, z). Мы знаем линейный элемент этого пространства — теорему Пифагора:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2. (7.9)

Нет ничего проще, чем записать метрический тензор в матричной форме:

(7.10)

(Вы уже знаете, что левый верхний элемент матрицы — это g11, элемент справа от него — g12 и т. д. Поэтому в дальнейшем мы больше не будем писать индексы в явном виде.) Это метрика Евклида. Можно расширить ее на любое количество измерений, добавив новые столбцы и строки, в которых на диагонали будет стоять 1, а в остальных позициях — 0. Сам Евклид неявно использовал эту метрику, хотя и не знал такого термина. Метрика определяет геометрию.

Метрики можно записать и для других систем координат. Например, для полярной системы (r, θ), исходя из выражения (7.2), получим:

(7.11)

Нужно четко понимать, что элементы метрики всегда жестко связаны с какой-то системой координат. Так, выражение (7.11) имеет смысл только в полярной системе (r, θ), то есть когда x1 = r, а x2 = θ.

Существует трехмерная версия полярной системы координат — сферическая система (r, θ, φ). Мы говорили о ней в главе 4. Метрика плоского пространства в этой системе имеет вид:

(7.12)

Поскольку угол θ изменяется в пределах от 0° на северном полюсе до 90° на экваторе, а затем до 180° на южном полюсе, sin θ изменяется от 0 до 1, а затем снова до 0. Появление этой функции в элементе g33 в нижнем правом углу матрицы (7.12) показывает, что физическое расстояние, соответствующее одинаковому приращению координаты x3 = φ, у полюсов будет меньше, чем на экваторе.

Не будет лишним напомнить, что выражения (7.10) и (7.12) соответствуют одной и той же геометрии. Оба описывают «метрику Евклида», но в разных системах координат: декартовой и сферической соответственно.

Метрика в искривленном пространстве

Рассмотрим несложное многообразие с некоторой кривизной, например двумерную сферу. К счастью, метрику для нее достаточно легко получить на основе выражения (7.12) для плоского пространства и сферической системы координат. Сфера — это подмножество плоского пространства, которое можно получить, приняв координату r постоянной и равной некоторому числу R. Это приведет к тому, что верхняя строка и левый столбец утратят физический смысл, так как описывают изменения координаты r, невозможные на сфере. Поэтому, удалив лишнее из выражения (7.12), получим метрику для сферы и системы координат (x1, x2) = (θ, φ):

(7.13)

Это выражение похоже на формулу (7.12) — трехмерную метрику Евклида в сферических координатах — только с виду. На самом деле они не родственники. Здесь R — не координата, а неизменный параметр, который определяет размеры сферы. Но самое главное, эта метрика не является плоской. По внешнему виду отличить плоскую метрику от искривленной непросто. Выбранная система координат может скрыть от нас важную геометрию.

Вернемся к метрике двумерной гиперболической плоскости, которую изучали Лобачевский и Бойяи (хотя они применяли термин «плоскость» не чаще, чем Евклид). Как и всегда, сначала определимся с системой координат. Самая удобная из них получила название диска Пуанкаре. (Впервые ее использовал Эудженио Бельтрами, а лишь затем Анри Пуанкаре. Но он был знаменит, а знаменитости любят давать понятиям свои имена.)

В этой системе координаты обозначаются как (x1, x2) = (x, y), совсем как в плоской декартовой. Однако при этом вводится дополнительное ограничение: r < 1, где r — радиальная координата, расстояние от точки до начала координат. В такой системе двумерное гиперболическое пространство имеет метрику:

(7.14)

Здесь важно отметить несколько моментов. Во второй части выражения мы заменили фактические координаты — x и y — на . Имеем право так сделать. Главное — помнить о том, что r — это функция, которая зависит от координат. Также нам нужно иметь в виду, что гиперболическая плоскость не имеет границ: это седло, которое во всех направлениях простирается далеко в бесконечность. А вот координаты на ней имеют значения только в пределах r. И это вполне допустимо. Вспомните, как в главе 2 мы говорили о том, что можно преобразовать бесконечную длину в конечный интервал и наоборот. Именно так происходит и здесь: диск Пуанкаре бесконечен, но выбранная нами система координат охватывает только вполне конечную его часть.

Чтобы понять, что пространство бесконечно велико, достаточно посмотреть на метрику (7.14). Подумайте, что происходит при приближении к кромке диска, когда r → 1? Оба ненулевых элемента метрики содержат коэффициент 1/(1 — r2)2. Чем ближе r к 1, тем 1 — r2 ближе к 0, а 1/(1 — r2)2 — к бесконечности. Физически это означает, что любое приращение координат dx и dy у кромки диска будет соответствовать очень большим расстояниям. Несмотря на конечность координат, физические размеры многообразия бесконечно велики. В этом и состоит магия метрики.

На этом рисунке гиперболическое пространство с диском Пуанкаре в качестве системы координат представлено в виде треугольников. Кажется, что чем ближе к кромке диска, тем меньше треугольники, но это оптическая иллюзия, которая возникает из-за особенностей системы координат. В метрике (7.14) все они имеют одинаковые размеры и форму. Однако чем ближе к кромке, тем больше треугольников. Вдохновившись этим рисунком, знаменитый голландский художник М.К. Эшер создал серию гравюр под названием «Предел круга».

Тензоры

Метрика многообразия говорит нам о том, как вычислять расстояния. Однажды мы уже называли метрику «тензором», но не сказали, что это такое. Давайте разбираться.

Понять, что такое функция на многообразии, довольно просто: это отображение его точек на множество вещественных чисел. То есть мы присваиваем каждой точке какое-то число (значение функции), что позволяет, к примеру, определить плотность вещества в заданной точке. Мы давно уже знаем о векторах, которые имеют длину и направление. Благодаря этому мы можем с их помощью выразить, скажем, скорость частицы на указанной траектории.

Но иногда перед нами стоят более сложные вопросы, ответы на которые требуют нескольких векторов или же направлений в пространстве. К примеру, мы можем задаться целью оценить наложение векторов и друг на друга или же посмотреть, как в искривленном пространстве изменятся изначально параллельные траектории. Для этого нам пригодятся тензоры — геометрические величины, которые содержат все необходимые данные. Функции и векторы — разновидности тензоров. Однако для изучения искривленных пространств нам нужны их более сложные варианты.

Представить себе тензор можно двумя способами. Мы уже знаем один из них: это массив элементов, пронумерованных при помощи индексов. В этом плане все рассмотренные нами матрицы можно назвать тензорами. Там есть интересные правила, которые говорят, как должны изменяться элементы при изменении координат, но нас они не касаются.

Каждый элемент квадратной матрицы имеет два индекса (номер строки и номер столбца). Тензоры не обязаны быть квадратными: индексов может быть сколько угодно, но их значения связаны с размерностью конкретного многообразия[22].

Вектор — это тензор с одним индексом. Мы рисуем векторы в виде куда-то направленных стрелок какой-то длины. Но выбрав систему координат, например (x, y, z), мы можем выразить вектор как сумму компонентов, направленных вдоль осей этой системы:

(7.15)

В отличие от вектора матрица — тензор с двумя индексами, а функция — тензор без индексов (с нулевым их количеством). Индексов может быть больше двух. Записать такой тензор в виде массива элементов непросто, но можно. Было бы желание. Например, можно представить трехиндексный тензор как вектор двухиндексных тензоров:

(7.16)

Не знаю, зачем это может понадобиться, но это вполне допустимо. И все же, когда число индексов больше двух, проще думать об отдельных элементах, а не о том, как выглядит какой-то гигантский массив.

Второй способ определить тензор — представить его в виде отображения одного набора тензоров на другой тензор. Замкнутый круг? Что делать, все взаимосвязано. Например, если у нас есть два вектора, νi и wj, мы можем подставить их в матрицу и вывести численное значение. Метрический тензор работает как черный ящик: на вход поступают два вектора, а на выходе получается число.

Чтобы получить это число, необходимо подставить соответствующие элементы векторов в матрицу, а затем последовательно сложить полученные значения, перебирая значения верхних и нижних индексов:

(7.17)

Это выражение широко известно, по крайней мере среди людей, кто часто сталкивается с векторами. Мы говорим о скалярном, или внутреннем, произведении двух векторов:

(7.18)

В обычном евклидовом пространстве скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Если векторы направлены в одну сторону, оно равно произведению их длин, а если в противоположные — всегда равно нулю.

Мы только что открыли маленький секрет: метрика не только позволяет вычислить длину кривой, но и определяет, что такое «перпендикуляр». Если две линии пересекаются, а скалярное произведение векторов, касательных к ним в точке пересечения, равно нулю, такие линии считаются перпендикулярными. Вот вам пример того, что метрика содержит в себе все данные о геометрии пространства.

Вы заметили, что индексы записываются то надстрочными (как у векторов и координат), то подстрочными знаками (как у метрик)? Так делается не по чьей-то странной прихоти. Верхние и нижние индексы имеют важные отличия. Сейчас нам достаточно знать лишь то, что суммирование по индексам, как в выражении (7.17), допустимо лишь при условии, что один и тот же индекс представлен и в верхнем, и в нижнем вариантах. Индексы, по которым идет суммирование, называются «немыми», а все остальные — «свободными». Свободные индексы могут иметь любые, но одинаковые во всех слагаемых значения, немые не имеют «значения», но лишь показывают, что нужно «сложить все возможные элементы с соответствующим индексом».

Суммирование по немым индексам настолько часто используется в тензорном исчислении, что Эйнштейн придумал, как упростить запись формул. Это изобретение называется правилом Эйнштейна и заключается в том, что если в формуле тензора либо произведения тензоров один и тот же индекс используется и в верхнем, и в нижнем вариантах, мы можем опустить знак суммы. Например:

(7.19)

Эйнштейн был настолько доволен своим правилом, что как-то сказал одному из друзей: «Я сделал великое математическое открытие!» Для общей теории относительности суммирование по немым индексам — чрезвычайно важная операция, поэтому правило Эйнштейна помогает нам сберечь немало времени.

Параллельный перенос

Огромная заслуга Римана в том, что предложенная им метрика многообразия действительно содержит все данные о его кривизне и геометрических свойствах. Настало время подумать о том, как извлечь эти данные. Мы начнем с разговора о том, как можно переместить вектор из одной точки в другую. На этот процесс не может не влиять кривизна. К сожалению, нам придется сильно усложнить математические формулы. Поэтому мы остановимся только на самых важных моментах, а всех интересующихся деталями я адресую за ними в приложение Б.

Представьте, что вы находитесь в какой-то точке искривленного многообразия и держите в руках вектор. Пусть, например, это будет вращающийся гироскоп, ось которого сориентирована в каком-то пространственном направлении. На некотором расстоянии от вас стоит другой человек, у которого тоже есть вектор. Нужно сравнить эти векторы: по направлению, по длине и т. д. Как это сделать?

В привычном нам плоском пространстве нет ничего проще. Нужно подойти к этому человеку, продолжая держать вектор и не меняя его направления, а затем приложить два вектора друг к другу. Но что значит «не меняя направления»? Один из вариантов — построить традиционную декартову систему координат и сохранить все компоненты вектора неизменными. Тогда мы сможем без всяких проблем таскать его с места на место.

Но вот беда: такой подход не работает в неплоских геометриях. В них нет «декартовых систем координат», в основе которых лежит плоская метрика. Но может быть, эта проблема чисто техническая, и можно найти какой-то эквивалент сохранения направления вектора при переносе?

Действительно можно. Параллельный перенос — это процесс, в ходе которого вектор, исходящий из какой-то точки, перемещается по определенной траектории, оставаясь параллельным себе самому в предыдущем положении. (Как вы, возможно, догадались, последовательные положения будут отстоять друг от друга на бесконечно малое расстояние, а значит, тянуть вектор мы будем не без помощи высшей математики.)

Какую же траекторию выбрать? В плоском пространстве не только хорошо понятно, как сохранить направление вектора, но и не важно, каким путем при этом двигаться. В произвольном искривленном пространстве это не так. Мы можем убедиться в этом, если рассмотрим параллельный перенос по двумерной сфере.

Допустим, вектор начинается в какой-то точке на экваторе и направлен на север. Направимся к северному полюсу, сохраняя вектор неподвижным. Это несложно сделать, ведь вектор будет все время направлен по касательной к траектории. Теперь представим себе другой сценарий. Сначала мы пройдем какое-то расстояние вдоль экватора, а затем повернем к полюсу.

Сравнив два принесенных на полюс вектора, мы увидим, что они направлены в разные стороны. А ведь мы так старались держать их, не изменяя направление. Такого бы никогда не случилось на плоскости, на сфере же неизбежно: параллельный перенос вектора по разным траекториям приведет к разным результатам. Но как мы увидим немного позже, этот неудачный опыт позволит нам четко определить, что понимается под словом «кривизна». (Обратите внимание: мы переносим вектор, находясь на сфере, а не глядя на нее из окружающего пространства.)

Мы столкнулись с важной и порой неочевидной особенностью искривленного пространства (или пространства-времени): не существует универсального способа, позволяющего сравнить векторы, находящиеся в разных точках. Мы можем переместить вектор, не изменяя его положения относительно траектории, но результат будет зависеть от нашего выбора: другая траектория может дать совершенно иной результат. Вот почему мы не можем, к примеру, судить о «скоростях» далеких галактик в расширяющейся Вселенной. Да, мы все пытаемся их измерить, однако непроизвольно делаем выбор в пользу какого-то определенного способа сравнения. Это нормально, но мы должны помнить о разнице между тем, что определено четко и точно, а что просто удобно для нас. Примерно о том же мы говорили в главе 6, отправляя близнеца в космос: нужно мыслить локально и сравнивать величины, измеренные в одной и той же точке, а не обманывать себя, пытаясь сопоставить происходящее где-то далеко с тем, что творится рядом с нами.

Геодезические линии

В начале главы 3 мы думали, как провести прямую линию между двумя деревьями. Можно натянуть между ними веревку, а можно просто идти от одного к другому. В обоих случаях мы получим одну и ту же прямую. Все то же самое можно проделать и на любом искривленном многообразии в геометрии Римана, хотя построенная линия вряд ли будет прямой. К примеру, на сфере мы получим большой круг или его дугу.

Линия между двумя точками, при движении по которой мы проходим минимальное расстояние (или затрачиваем максимум собственного времени, если речь идет о пространстве-времени), называется геодезической. Такие линии описываются формулами (см. приложение Б), которые можно вывести примерно так же, как делалось в главе 3 при обсуждении принципа наименьшего действия. Тогда мы говорили о пространстве путей, по которым может пройти частица, связывали с каждым из них какое-то количество действия и находили такой, на котором оно минимально (а производная действия в пространстве путей равна нулю). При поиске геодезических линий мы будем действовать точно так же, но вместо действия будем минимизировать длину кривой.

Геодезическая линия — это не только кратчайший путь: она во всех отношениях ведет себя, как прямая. Например, при движении по ней работает параллельный перенос вектора. Рассмотрим траекторию, которая представляет собой последовательность точек с параметром, позволяющим определить местоположение вдоль нее. Например, мы можем использовать формулу xi(t), где xi — координаты в соответствующем количестве измерений (сколько бы их ни было), а t — параметр, определенный вдоль траектории. (Часто таким параметром действительно служит время, но здесь буква t лишь удобное обозначение.) Тогда можно определить вектор скорости vi = dxi/dt, который направлен по касательной к траектории по ходу движения. Его длина показывает, как быстро мы перемещаемся.

А что значит «сохранять направление движения»? Это когда положение вектора скорости относительно траектории не изменяется, то есть осуществляется параллельный перенос этого вектора. Поэтому можно дать еще одно определение геодезической линии: это путь, при движении по которому вектор скорости остается параллельным начальному вектору скорости. Выходит, что параллельный перенос вектора связан с метрическим тензором: кривые, на которых возможен параллельный перенос, имеют минимальную длину.

Кривизна

Итак, к чему мы пришли? Метрический тензор — самая базовая геометрическая структура многообразия. Он позволяет определять длины траекторий, находить площади и объемы многомерных областей пространства и вычислять скалярные произведения векторов. Он говорит нам, как выполнять параллельный перенос векторов вдоль кривой: мы выяснили, что для этого нужны геодезические линии — кратчайшие пути между точками. Именно параллельный перенос позволит нам сложить последнюю часть головоломки: полностью кривизну пространства.

Сфера и гиперболическая плоскость — это самые простые искривленные многообразия, кривизна которых одинакова во всех точках и направлениях. Для более сложных случаев хотелось бы придумать способ надежно определять кривизну в любой точке многообразия. Мы уже поняли, что метрика не слишком подходит для этой цели, поскольку зависит от выбранной системы координат и при одной и той же геометрии может быть проще или сложнее. Нужная нам величина (возможно, тензор) должна однозначно показывать кривизну пространства и принимать нулевое значение при ее отсутствии.

При параллельном переносе вектора по двум разным траекториям итоговый вектор не совпадает с исходным. Мы уже видели это на примере сферы, когда переносили вектор с экватора на полюс. Аналогичным образом, если начать движение с полюса, дойти до экватора, переместиться вдоль него, а затем вернуться на полюс, направление вектора также изменится. Это очень важный момент: параллельный перенос по замкнутому контуру, как правило, не позволяет сохранить исходный вектор. По крайней мере в искривленных пространствах.

Мы можем использовать это наблюдение для оценки кривизны: на плоских множествах при параллельном переносе по замкнутому контуру вектор сохраняет направление, на искривленных — отклоняется на какой-то угол.

Однако проблема в том, что замкнутых контуров очень много и описать поведение векторов на них едва ли реально. Поэтому мы должны выбрать какой-то ограниченный набор характерных контуров, которые несложно описать в численном виде.

И здесь нам на помощь придет уже ставший привычным прием: мы будем мыслить бесконечно малыми величинами и применять высшую математику. Такой подход к изучению пространств с произвольной кривизной называется дифференциальной геометрией.

Представим себе два вектора, и , исходящие из одной точки p. Начиная из этой точки, сместимся на бесконечно малое расстояние в направлении , а затем на бесконечно малое расстояние в направлении . (Технически мы перемещаемся на расстояние, пропорциональное длине этих векторов.) После этого мы вернемся в исходную точку, сначала сместившись в направлении, обратном , а затем в направлении, обратном . Таким образом мы получили бесконечно малый замкнутый контур, который имеет форму параллелограмма[23].

Чтобы определить такой контур, не требуется много данных: нужны всего два вектора и точка. Чтобы измерить кривизну, возьмем еще один, третий вектор , который также исходит из начальной точки. В результате параллельного переноса по контуру мы получим новый вектор . На плоском многообразии старый и новый векторы совпадут: , на искривленном же будут немного отличаться друг от друга. Поэтому мы можем найти их разность:

(7.20)

Именно так мы будем определять кривизну в любой точке произвольного многообразия. Построив контур при помощи двух векторов и выполнив параллельный перенос третьего вектора, мы получим итоговый вектор, который покажет нам, как сильно искривлено пространство. На почти плоских множествах он будет очень мал, на сильно искривленных — относительно велик.

Иными словами, мы получили отображение множества из трех векторов на четвертый вектор, . Мы уже знаем, что такие отображения называются тензорами. В данном случае перед нами тензор кривизны Римана: на его вход поступают два вектора, определяющие контур, и вектор для параллельного переноса, на выходе образуется четвертый вектор, который показывает кривизну на этом контуре.

Можно подумать, что вычислять изменение вектора, циркулирующего по контуру в каждой точке пространства, — громоздкая и сложная задача. Но нам на помощь приходит «магия» тензоров. Представим все вектора в виде их компонентов: Ui, Vi и т. д. Число компонентов i равно размерности исследуемого многообразия.

Тогда мы можем записать тензор кривизны Римана Rijkl (порядок и расположение индексов имеет важное значение). Подобно тому как элементы метрического тензора gij описывают линейный элемент, элементы тензора кривизны Римана говорят о том, как исходные векторы превращаются в вектор кривизны :

Xi = RijklWjUkVl. (7.21)

В этой формуле мы применили правило Эйнштейна: на самом деле в правой части вычисляется сумма значений, полученных путем перебора индексов j, k и l.

Понятно, что тензор Rijkl состоит из большого количества элементов. У нас четыре индекса, каждый из которых принимает на d-мерном многообразии d значений. Итого d4 элементов: 81 при трех измерениях, 256 при четырех, а дальше еще много больше.

К счастью, тензор Римана обладает симметрией, которая несколько облегчает жизнь физиков. Некоторые элементы довольно просто связаны друг с другом. К примеру, если поменять местами последние два индекса, получится то же самое число, но со знаком «минус»: Rijkl = — Rijlk. Благодаря таким соотношениям общее количество независимых элементов тензора при d измерениях составит . В четырехмерном пространстве потребуется двадцать независимых элементов: многовато, но преодолимо. Зато при двух измерениях в тензоре будет всего один независимый элемент, то есть кривизна в каждой точке двумерного многообразия характеризуется обычным числом (положительным или отрицательным). А в одномерном пространстве в тензоре Римана вообще нет независимых элементов! Мы можем нарисовать одномерную кривую и объявить, что она изогнута. Но это ошибка: мы видим ее глазами внешнего наблюдателя. В самом же одномерном мире понятие кривизны в принципе отсутствует.

Кривизна вполне определенным образом зависит от метрики, но эта зависимость сложна, а потому я снова направляю вас к подробным выкладкам из приложения Б. Сейчас вам важно уяснить основные понятия: метрика, параллельный перенос, геодезические линии, кривизна. Эти математические инструменты понадобятся для понимания общей теории относительности Эйнштейна.

Восемь. Гравитация

Классическая механика, какое бы впечатление ни сложилось у вас при чтении предыдущих глав, не является теорией физики. Это, скорее, каркас, на котором могут строиться полноценные теории. Согласно классической механике, «физическая система описывается импульсами и положениями либо их соответствующими обобщениями, и эти переменные подчиняются уравнениям Ньютона, Гамильтона или принципа наименьшего действия». При этом остается неясным, какие силы действуют, какой вид имеет гамильтониан или что это за действие. Гравитация Ньютона, напротив, является полноценной теорией, так как дает точное определение силы (закон обратного квадрата), на основе которого можно предсказывать движение реальных объектов. Существует множество полноценных теорий, входящих в широкую структуру классической механики.

Квантовая механика — тоже каркас, альтернатива механике классической, и на нем также основаны настоящие теории, в том числе специальная теория классического простого гармонического осциллятора и отдельная теория квантового простого гармонического осциллятора. Практически все теории, о которых задумываются современные физики, построены либо на классическом, либо на квантовом каркасе.

Теория относительности — еще один каркас. Конкретные теории могут быть «нерелятивистскими» (как, например, гравитация Ньютона) или «релятивистскими» (как электромагнетизм Максвелла). Различие сводится к точке зрения на пространство-время: нерелятивистские теории оперируют абсолютным пространством и временем, допускают мгновенное дальнодействие, в то время как в релятивистских используются световые конусы, а скорость жестко ограниченна. Нерелятивистские/релятивистские категории пересекаются с классическими/квантовыми, и существуют модели, которые подходят к любой из этих категорий.

Классическая

Квантовая

Нерелятивистская

Гравитация Ньютона

Квантовый гармонический осциллятор

Релятивистская

Электромагнетизм Максвелла

Квантовая электродинамика

В физике многие явления сначала изучаются в классическом или нерелятивистском ключе, а затем, после небольших усилий, выстраивается их понимание в квантовом или релятивистском.

Теория относительности в значительной степени вдохновлена электромагнетизмом Максвелла — парадигматически классической релятивистской теории. Появившись, теория относительности вдохновила ученых на пересмотр старых теорий о силах природы и приведение их в новые рамки. Естественно, что дело дошло и до гравитации, которую Ньютон так успешно описал при создании нерелятивистской классической механики.

Однако предложить правдоподобную релятивистскую теорию гравитации оказалось непросто. Эйнштейну на это потребовалось десять лет: он выдвинул специальную теорию относительности в 1905 году, а общую, окончательную — только в 1915-м. Не он один работал над этой проблемой: финский физик Гуннар Нордстрём разработал альтернативную теорию, переписываясь с Эйнштейном по ходу работы. Однако непревзойденная физическая проницательность Эйнштейна и его дар к мыслительным экспериментам в конце концов победили. Специальная теория относительности была огромным шагом вперед. Фундаментальная работа по квантовой механике (также опубликованная в 1905 году) удостоилась Нобелевской премии, но именно общая теория относительности — учение об искривленном пространстве-времени — сделала Эйнштейна самым знаменитым ученым XX века.

Инерциальная и гравитационная масса

Масса и гравитация особым образом взаимосвязаны. Согласно второму закону Ньютона, воздействующая на объект сила равняется массе, умноженной на ускорение. При этом, согласно закону обратных квадратов, сила тяготения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

«Масса» фигурирует в обоих законах, но выполняет при этом совершенно разные функции. Во втором законе масса является мерой инерции — сопротивления, которое тело оказывает ускорению. Она неизменна и не зависит от силы, которая вызывает это ускорение. Однако в законе всемирного тяготения масса влияет на то, как сила воздействует на соответствующий объект. Так почему же столь разные по функциям величины равны друг другу?

Чтобы подчеркнуть это различие, обозначим инерциальную массу объекта буквой m, а гравитационную — буквой M. Второй закон Ньютона гласит, что

(8.1)

Закон всемирного тяготения (обратных квадратов) для двух объектов 1 и 2 выражается формулой

(8.2)

И все же в реальном мире получается, что обе массы — инерциальная и гравитационная — равны:

m = M. (8.3)

Для этого нет никаких очевидных причин. Рассмотрим, к примеру, закон Кулона, который определяет силу взаимодействия двух электрически заряженных частиц. Это тоже закон обратных квадратов:

(8.4)

Выражение (8.4) очень похоже на закон всемирного тяготения. Постоянная Кулона K аналогична гравитационной постоянной G, а электрические заряды Q1 и Q2 — гравитационным массам. И все-таки тут скрыто огромное отличие: электрический заряд, который является причиной появления электрической силы, никак не связан с инерциальной массой объекта. Он может быть положительным (как у протона), отрицательным (как у электрона) и даже нулевым (как у нейтрона). Разные частицы по-разному реагируют на электромагнитную силу, а некоторые не реагируют на нее вообще. При этом все частицы подчинены силам тяготения в строгом соответствии с их массой. Более того, под действием гравитации объекты всегда притягиваются друг к другу.

В своей теории Ньютон и не пытается объяснить, почему масса, из-за которой возникает сила тяготения, ничем не отличается от массы, которая вызывает инерцию и движение. Мы тоже принимаем это как особенность нашей вселенной и двигаемся дальше.

Принцип эквивалентности

Равенство инерциальной и гравитационной масс приводит к далеко идущему последствию. Рассмотрим две частицы, которые воздействуют друг на друга силой тяготения. Подумаем о том, что происходит с частицей 2 под воздействием частицы 1. Объединив выражения (8.1) и (8.2), получим:

(8.5)

Но m2 = M2, их можно сократить. Остается:

(8.6)

Из этой формулы следует, что ускорение, которое испытывает частица 2, не зависит от ее массы. Иными словами, каждый объект в гравитационном поле ускоряется одинаково, независимо от массы (или чего-то еще).

Интересно. Конечно, это утверждение не относится к другим силам, в том числе электромагнитным. В электрическом поле положительно заряженная частица движется в одном направлении, а отрицательно заряженная — в противоположном. Но гравитация движет объекты в одном направлении и с одинаковым ускорением. Ученые понимали, что это так, еще до уравнений Ньютона, во времена Галилея.

Эйнштейн же расширил эту особенность гравитации до общего принципа. В главе 3 мы говорили о том, что космонавт всегда чувствует ускорение ракеты, но не может измерить ее абсолютную скорость. Теперь давайте сравним ракету, которая неподвижно стоит на земле, с ракетой, которая летит в пространстве с ускорением g, равным ускорению свободного падения у поверхности земли.

Если уронить какой-то предмет в ускоряющейся ракете, он упадет на пол из-за того, что она движется. Более того, любые предметы будут падать одинаково. Но из-за равенства инерциальной и гравитационной масс то же самое будет происходить и в неподвижной ракете: все предметы будут испытывать одинаковое ускорение независимо от их массы.

Это навело Эйнштейна на мысль о принципе эквивалентности: в небольших областях пространства-времени воздействие гравитации эквивалентно нахождению в ускоряющейся системе отсчета. И дело тут совсем не в падении брошенных предметов: оказывается, что, находясь внутри закрытой ракеты, нельзя провести никаких опытов, позволяющих определить, ускоряется она в космосе или же неподвижно стоит на земле. Получается, что в небольших областях пространства-времени законы физики сводятся к законам (негравитационной) специальной теории относительности.

Если же говорить о больших областях пространства-времени, принцип эквивалентности не работает. Гравитационное поле может направлять объекты в разные стороны в зависимости от места их нахождения, в то время как ускоренная система отсчета всегда приводит к равномерному движению всего, что находится внутри нее. Например, рядом с Землей сила тяготения всегда направлена к ее центру. Будь ракета сравнима по размерам с планетой, неподвижные маятники, разнесенные на большое расстояние друг от друга, были бы наклонены в разные стороны. Поэтому крайне важно понимать, что принцип эквивалентности ограничен лишь небольшими областями пространства-времени.

После подобного озарения обычные люди, как вы или я, могли бы отправиться на покой с чувством безмерной гордости за себя. Эйнштейн же пошел дальше. Он заметил подозрительное сходство собственного утверждения о том, что «в небольших областях пространства-времени физика работает по законам специальной теории относительности» с выводом Римана об искривленных многообразиях, согласно которому «в небольших областях пространства геометрия работает по теоремам Евклида». Поэтому Эйнштейн решил, что нужно пересмотреть отношение к гравитации: перестать считать ее «силой», которая существует где-то в пространстве-времени, и начать думать о ней как о свойстве самого пространства, его кривизны.

Свободное падение

Вы можете сказать, что такой взгляд противоречит здравому смыслу. Ведь очевидно, что гравитация — это сила! Яблоки падают с деревьев, а неуклюжие люди — с лестниц, Земля вращается вокруг Солнца. Как можно понять гравитацию, не считая ее силой?

По правде говоря, ничто не мешает считать гравитацию силой, когда это нужно. В физике частиц, например, говорится о четырех силах природы, и гравитация входит в это число наряду с электромагнетизмом, сильными и слабыми ядерными взаимодействиями. Но гравитация — сила совсем иного рода: она универсальна и действует на все объекты одинаково, тогда как воздействие остальных трех сил зависит от заряда. Именно это и позволяет нам отказаться от представлений о силе, действующей в пространстве-времени, и говорить о свойствах самого пространства-времени.

Сначала нам нужно посмотреть на вещи с другой стороны. Например, мы привыкли считать, что уроненная человеком чашка падает на пол под действием силы тяжести. Однако согласно общей теории относительности, естественное состояние объектов — свободное падение. Падая на пол, чашка находится в естественном состоянии. А вот на человека, стоящего на земле, действует сила: Земля воздействует на него, отклоняя от траектории свободного падения. Это один и тот же набор событий, но теперь мы смотрим на них по-другому.

В специальной теории относительности не подвергающиеся воздействию сил объекты движутся по прямым линиям. Но мы уже знаем, что в более общем случае, на искривленном многообразии вместо прямых следует говорить о геодезических линиях. Поэтому, согласно общей теории относительности, пространство-время искривлено, а неускоряющиеся объекты движутся в нем по геодезическим линиям.

Вы можете возразить, что Земля движется вокруг Солнца по эллипсу, который никак нельзя назвать прямой. В обычном пространстве — именно так, но в пространстве-времени все по-другому. В неподвижной системе отсчета, центром которой является Солнце, Земля движется главным образом во времени, поскольку ее пространственная скорость очень мала (примерно в десять тысяч раз меньше скорости света). Но гравитация Солнца плавно искривляет пространство-время вокруг него, из-за чего геодезическая линия в обычном пространстве похожа на эллипс. Земля же делает все возможное, чтобы двигаться по прямой, как и чашка.

Метрика пространства-времени

В главе 6 мы говорили о пространстве-времени Минковского, а также о схожести формул собственного времени и длины пространственноподобных кривых с теоремой Пифагора. Там еще появлялся забавный знак «минус». В главе 7 мы познакомились с геометрией Римана, в основе которой лежит метрический тензор, позволяющий получить линейный элемент для вычисления длины кривых линий. Эти понятия тесно связаны между собой. Согласно теории относительности, пространство-время имеет особый вид метрики, в которой временеподобное направление характеризуется знаком «минус». Такая метрика называется метрикой Лоренца. А если бы пространство-время было плоским, мы получили бы метрику Минковского.

Давайте вспомним об индексах. Для нумерации измерений пространства-времени мы применяем греческие буквы (xµ), причем время считается измерением номер ноль (x0 = t), а для обычного пространства — латинские (xi = x1, x2, x3). В этих обозначениях метрика Минковского выглядит так:

(8.7)

Или в форме линейного элемента:

ds2 = —dt2 + dx2 + dy2 + dz2. (8.8)

Знак «минус» несколько затрудняет работу, но с этим можно смириться. При помощи этих формул мы можем легко найти длину любой пространственноподобной кривой. Мы уже делали это, записывая выражение (6.10). Но для временеподобных кривых, по которым как раз и движутся реальные объекты, пространственно-временной интервал ds2 оказывается отрицательным, а и вовсе комплексным числом. Странно, но совсем не страшно. Для таких траекторий нам просто следует говорить о собственном времени, для которого действует формула

dτ2 = —ds2. (8.9)

Как вариант, можно умножить правую часть выражения (8.8) на –1, то есть определить линейный элемент как отрицательное значение того, о чем мы говорили выше. Тогда для временеподобных кривых он будет давать собственное время, а результаты вычислений для пространственноподобных нам придется умножать на –1. Вполне разумный подход, который используется во многих учебниках. (Надо сказать, что большинство физиков, занимающихся теорией относительности, придерживаются варианта «—+++», тогда как в физике частиц чаще применяется +—–»). Наш выбор более удобен, поскольку, если понадобится поговорить о «пространстве в какой-то момент времени», метрика пространства-времени сведется к привычной метрике Евклида («+++»).

Специальную теорию относительности можно описать одним коротким предложением: «пространство-время описывается метрикой Минковского». В выражениях (8.7) и (8.8) заключен весь объем данных, необходимых для разговора о расстояниях, времени, световых конусах, космических путешествиях близнецов и других приключениях.

Однако по мнению Эйнштейна, реальное пространство-время в нашей вселенной выглядит как пространство-время Минковского только на небольших участках, которые, соединенные друг с другом, образуют искривленное многообразие, описанное Риманом. Его геометрия также характеризуется метрикой, но гораздо более сложной, чем (8.7). Поиски этой метрики и попытки понять ее влияние на процессы во вселенной — именно этим и заняты современные физики, специалисты по общей теории относительности.

Рассмотрим простую метрику, которая не сильно отличается от метрики Минковского, — метрику расширяющейся вселенной:

(8.10)

В этой записи все нулевые элементы опущены. Но мы будем помнить о том, что они есть, и записывать, если возникнет необходимость. Та же самая метрика в форме линейного элемента:

ds2 = —dt2 + a2(t)[dx2 + dy2 + dz2]. (8.11)

Функция a(t) называется масштабным фактором. Если задуматься над происходящим с физической точки зрения, мы увидим, что время идет, как обычно. Поэтому элемент g00 метрики, то есть коэффициент при dt2, равен –1, как и в пространстве-времени Минковского. А вот пространственные элементы умножаются на масштабный фактор, то есть расстояние между двумя объектами (например, галактиками) увеличивается по мере возрастания a(t). Таким образом, мы получили математическую модель расширяющегося пространства.

Специалисты по общей теории относительности часто подходят к работе примерно следующим образом. Допустим, нам нужно построить модель физической системы с определенными свойствами. Пусть это будет, к примеру, вселенная, в которой материя (которая искривляет пространство-время) распределяется равномерно, без сгустков и пустот. Следовательно, метрика такой вселенной не будет зависеть от пространственного положения xi, а только от t. Допустим также, что пространство (не пространство-время) является плоским и подчиняется геометрии Евклида. При этих допущениях мы однозначно получим метрику, имеющую вид (8.10). Но мы не знаем, как ведет себя масштабный фактор a(t), который, по всей видимости, зависит от количества материи. Нам нужно уравнение для связи метрики с материей и энергией. Эйнштейн нашел такое уравнение.

Тензор энергии-импульса

Математики принимают аксиомы и строго доказывают теоремы на их основе. Физики действуют по-другому: они высказывают догадки (или, по-умному, гипотезы) о том, как устроен мир, а затем проверяют их на внутреннюю согласованность и соответствие данным, полученным в ходе экспериментов. Эйнштейну предстояло догадаться, какое уравнение описывает трансформации метрики пространства-времени.

Согласно физике Ньютона, сила пропорциональна массе объекта — источника гравитации. Но мы хотим обобщить эту идею с позиций теории относительности, в которой «масса» считается одной из форм энергии (энергией неподвижного объекта). При этом, как мы знаем из главы 6, энергия объединяется с импульсом, то есть является нулевым элементом его 4-вектора.

Хотя в той главе мы говорили об отдельном объекте, который можно рассматривать как точку, нам не всегда будет так везти: придется когда-нибудь обсудить источники энергии и материи, распределенные по всему пространству (например, внутреннюю часть звезды или темную материю вокруг галактики). В теории относительности такую распределенную в пространстве материю принято называть жидкостью[24]. Не самый удачный термин, надо сказать, поскольку мы часто говорим о материи, нисколько не похожей на жидкость. Но мы все равно называем то, что находится внутри планеты, жидкостью, какой бы твердой она ни была. Разлетающиеся во все стороны фотоны — это тоже жидкость. Иными словами, для специалиста по общей теории относительности «жидкость» — это любая форма материи, которая не сосредоточена в одной точке, а распределена в пространстве.

Описывая жидкость, удобнее говорить не о массе либо энергии, но о плотности энергии, которая обозначается греческой буквой «ро» (ρ) и представляет собой количество энергии на кубический сантиметр (или какую-то другую единицу объема). Плотность энергии может меняться в пространстве и времени, а потому является в общем случае функцией от xµ. Для локализованного объекта, например звезды или планеты, полная энергия равна интегралу плотности энергии по пространству.

Помимо плотности энергии жидкость характеризуется давлением, которое показывает, как сильно она давит на стенки контейнера. (Конечно же, в реальности нет никаких контейнеров, поэтому мы думаем о воздействии на гипотетические стенки.) Жидкость может каким-то образом перемещаться (представьте себе поток воздуха или воды), а значит, в общем случае из каждой точки жидкости исходит вектор скорости. Наконец, если жидкость как-то искривлена либо деформирована относительно состояния равновесия, в ней появляются напряжения. Как и плотность энергии, все эти величины в общем случае зависят от рассматриваемой точки пространства-времени.

В теории относительности все эти понятия объединены в тензор энергии-импульса (также известный как тензор напряжения-энергии), который обычно обозначается как Tµν. Он содержит в себе все данные о массе, энергии, импульсе, давлении, напряжении и других энергетических характеристиках совокупности материи (излучения или любых других жидкостей).

Как можно догадаться, в привычных нам величинах формула Tµν будет ужасно сложной. Но мы можем хотя бы представить, на что она похожа, если рассмотрим простой случай с идеальной жидкостью, которая в неподвижной системе отсчета равномерно распределена во всех направлениях. В этом случае тензор энергии-импульса будет зависеть только от плотности энергии ρ и давления p. В плоском пространстве-времени и неподвижной системе отсчета тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет вид:

(8.12)

Будь жидкость неидеальной, а система отсчета подвижной, мы бы намучились с этим тензором. Из-за напряжений ненулевые внедиагональные элементы перестали бы быть нулевыми, да и диагональ усложнилась бы, так как давление в разные стороны может быть разным. Но мы и без этого хорошо напрягаем себе мозги. Поэтому остановимся на простой и понятной формуле (8.12), в которой плотность энергии значится в левом верхнем углу, а давление (одинаковое во всех направлениях) — на диагонали. Как ρ, так и p могут зависеть от xµ, так что у нас достаточно данных. А с помощью идеальной жидкости можно описать планеты, звезды и даже темную материю, заполняющую пространство.

Уравнение Эйнштейна

Чтобы обобщить гравитацию Ньютона с точки зрения теории относительности, нам нужно придумать уравнение, которое свяжет метрику пространства-времени с тензором энергии-импульса. Мы должны сделать новый шаг в деле унификации, о которой мы говорили, связывая энергию частицы с ее импульсом. В общей теории относительности гравитация создается не только массой, но и различными формами энергии, давлением, напряжением и другими величинами.

Так как же нам быть? И gµν, и Tµν — тензоры с двумя нижними индексами, да еще и симметричные (gµν = gνµ и Tµν = Tνµ). Поэтому в качестве первой догадки представим себе, что они пропорциональны друг другу:

gµν = αTµν. (8.13)

Здесь α — некий коэффициент пропорциональности. В любых выражениях с тензорами с обеих сторон должны быть одинаковые свободные индексы, иначе мы не сможем говорить о равенстве.

На самом деле эта идея довольно глупая. Но мы хотим посмотреть на то, как работает физик-теоретик. В его голове постоянно крутятся мысли: глупые тоже приходят, но не задерживаются надолго. Мы можем сразу сказать, что наше предположение не может быть верным, поскольку в пустом пространстве Tµν = 0 (так сокращенно записываются тензоры, все элементы которых равны 0), но метрика gµν не может быть нулевой. В пустом пространстве, а точнее при отсутствии гравитации, мы должны получить метрику Минковского.

Давайте подумаем. Выражение (8.13) законно с математической точки зрения, так как оно уравнивает два симметричных двухиндексных тензора. Однако оно не имеет физического смысла, ведь из него следует, что тензор энергии-импульса каким-то образом создает метрику, то есть пространство-время, а мы хотим, чтобы он его искривлял. В отсутствие источников гравитации (Tµν = 0) пространство-время может быть плоским, но стоит в нем появиться планете или звезде, оно должно искривиться[25].

Когда производная функции отлична от нуля, ее график искривляется. Следовательно, тензор энергии-импульса должен влиять не на саму метрику, а на ее производные. В главе 4 мы обсуждали гравитационные поля, которые Лаплас использовал для осмысления механики Ньютона. В этом контексте сила тяготения зависит не от потенциала поля, но от его производной. Поэтому в новом, релятивистском контексте следует считать метрический тензор грубым аналогом гравитационного потенциала: силы должны определяться не самим тензором, а его производными.

Таким образом, мы ищем величину, которая представляет собой симметричный тензор с двумя нижними индексами (так что мы можем считать его пропорциональным Tµν), который мы можем вывести из метрики и ее производных.

(8.14)

Но у нас уже есть почти то, что нам нужно: тензор кривизны Римана, который строится на основе производных метрики. Проблема в том, что у него слишком много индексов (которые теперь мы обозначаем греческими буквами, так как исследуем пространство-время). Но есть и другой тензор — тензор Риччи, который можно получить, суммируя тензор Римана по первому и третьему индексам. Тензор Риччи получил название в честь итальянского математика Грегорио Риччи-Курбастро, который заложил основы тензорного исчисления, а также создал большую часть математического аппарата современной геометрии Римана. В 1900 году Риччи вместе со своим бывшим учеником Туллио Леви-Чевитой написал очень важную статью, из которой Эйнштейн почерпнул много знаний о тензорах. По неизвестной причине под этой статьей он поставил имя Дж. Риччи (без Курбастро), и это странно, поскольку все остальные статьи он подписывал полным именем. Может быть, Риччи подозревал, что этот тензор заслуживает краткого и запоминающегося названия.

Если использовать правило Эйнштейна, тензор Риччи можно записать так:

Rµν = Rλµλν = R0µ0ν = R1µ1ν = R2µ2ν = R3µ3ν. (8.15)

Мы поменяли местами греческие буквы, но это не страшно: в конце концов, мы можем выбрать, какие хотим. Главное, чтобы соблюдалось общее правило: в обеих частях выражения должен быть один и тот же набор свободных индексов. Тензор Риччи также является симметричным: Rµν = Rνµ.

Теперь похоже, что мы близки к цели. Вновь обозначив коэффициент пропорциональности как α, запишем следующее уравнение:

Rµν = αTµν. (8.16)

Это выражение намного более разумно, чем (8.13). Оно соответствует общей форме (8.14) и приравнивает симметричный двухиндексный тензор, составленный из метрики и ее производных, к тензору энергии-импульса. В пустом пространстве при Tµν = 0 оно дает Rµν = 0, что определенно соответствует плоскому пространству-времени Минковского (в котором все элементы тензора Римана, а значит, и тензора Риччи равны нулю).

Это выражение настолько разумно, что в октябре 1915 года Эйнштейн предложил его в качестве возможной основы общей теории относительности. Оно почти работает. Почти, но все-таки не совсем.

Проблема возникла с одним хорошо известным нам свойством энергии: она сохраняется. В общей теории относительности это довольно трудный вопрос, поскольку энергия может передаваться от материи к кривизне пространства-времени и обратно. Такие трансформации накладывают жесткие ограничения на изменение тензора энергии-импульса во времени. А тензор Риччи таким ограничениям не соответствует. Поэтому, если считать выражение (8.16) верным, следует признать, что энергия не сохраняется. В противном случае едва ли удастся найти такую метрику, при которой оно будет выполняться.

Решение этой проблемы само по себе несложно, но, к сожалению, требует более глубоких познаний в области тензоров и кривизны. Их обсуждение вынесено в приложение Б. Основная хитрость тут в том, что нужно использовать обратную метрику, gµν, которая связана с метрикой обычной, но имеет верхние индексы вместо нижних. (Если вы знаете о матрицах, то это не что иное, как матрица, обратная метрике.) При помощи обратной метрики можно определить функцию пространства-времени — скаляр кривизны Риччи:

R = gµνRµν. (8.17)

Суммирование по µ и ν в правой части полностью устраняет свободные импульсы. Поэтому при умножении на метрику gµν можно получить отдельный симметричный двухиндексный тензор, построенный на основе метрики и ее производных. Затем, как это сделал Эйнштейн в ноябре 1915 года, можно попробовать отыскать сочетание Rµν и Rgµν, которое обладает нужными свойствами, то есть остается пропорциональным Tµν без нарушения закона сохранения энергии. Существует единственно верный ответ, который сегодня называется уравнением Эйнштейна:

(8.18)

В левой части находится тензор Эйнштейна. Можно придумать для него новый символ, но выражение и само по себе несложно: это тензор Риччи и скаляр кривизны. Это окончательная форма уравнения поля в общей теории относительности, в котором представил его Эйнштейн на докладе Прусской академии наук 25 ноября 1915 года.[26]

Физик Джон Уилер сформулировал общую теорию относительности так: «Пространство говорит материи, как двигаться, материя же говорит пространству, как искривляться». Первая половина этой фразы означает, что свободные частицы движутся по геодезическим линиям, а несвободные частицы (на которые действует отличная от гравитации сила) отклоняются от них примерно так же, как в механике Ньютона они отклоняются от прямых, двигаясь с ускорением. Вторую половину фразы обеспечивает уравнение Эйнштейна: решив его, можно узнать, какой будет метрика пространства-времени в любой интересующей нас ситуации. В итоге это уравнение правильно предсказало эволюцию Вселенной, существование черных дыр, распространение гравитационных волн и другие явления, о которых Эйнштейн в свое время даже и не догадывался. В этом и заключается сила хорошей научной теории: она знает гораздо больше, чем те, кто ее придумал.

В записанное нами уравнение Эйнштейна входит не просто какой-то странный коэффициент пропорциональности, а 8πG, где G — гравитационная постоянная, как и в законе всемирного тяготения Ньютона. Эту величину нельзя найти путем умозаключений или согласования с законами сохранения: нужны данные экспериментов. Для этого Эйнштейн рассмотрел «предел слабого поля», в котором гравитация почти не проявляется, а пространство-время почти, но все-таки не совсем плоское. В этих условиях хорошо сформулированная теория гравитации должна воспроизводить закон обратных квадратов Ньютона, для чего константа в выражении (8.18) должна быть равна 8πG. Удивительно, что уравнение, константа в котором получена путем наблюдений за падением яблок и движением планет, блестящим образом показывает, что было в первые минуты после Большого взрыва.

Принцип действия

В главах 3 и 4 мы рассмотрели несколько равносильных формулировок классической физики, предложенных Ньютоном, Лагранжем и Гамильтоном. Общая теория относительности — также классическая, а потому не следует удивляться тому, что ее уравнения могут быть выведены разными, но эквивалентными способами. Пойдем по пути Лагранжа и вспомним принцип наименьшего действия, который, как оказалось, очень удобен для осмысления релятивистских теорий, поскольку естественным образом уравнивает в правах пространство и время.

В прошлый раз, рассматривая этот принцип, мы говорили о частице, которая в точке x движется со скоростью v = dx/dt. Мы определили лагранжиан L как функцию, зависящую от x и ν и равную разности кинетической и потенциальной энергий. Действие — это интеграл лагранжиана по времени:

(8.19)

Из всех возможных путей из начальной точки в конечную реальная частица выберет такой, на котором действие сведется к минимуму.

Теперь ситуация немного другая. Вместо частицы, занимающей какое-то положение в пространстве, мы будем говорить о динамике метрического тензора. Общая теория относительности — это пример теории поля, поскольку тензор gµv(t, xi), в отличие от такой частицы, — поле, которое имеет значение в каждой точке пространства-времени. Рассмотрим особую функцию , которая называется плотностью Лагранжа. Чтобы найти лагранжиан, нужно проинтегрировать ее по всему пространству:

(8.20)

Обозначение d3x = dx1dx2dx3 указывает на то, что интеграл берется по всем трем измерениям пространства. Интегрируя функцию пространства-времени (плотность Лагранжа) по пространству, мы получаем функцию времени (собственно лагранжиан). Действие будет равно интегралу по времени, или, что то же самое, интегралу по пространству-времени:

(8.21)

Давайте представим себе, что еще не знаем уравнение Эйнштейна. Попробуем вывести его из принципа наименьшего действия. Задача понятна: нам нужно определить плотность Лагранжа L. Она должна состоять из метрики и ее производных (так же, как плотность Лагранжа простой частицы состоит из ее положения и его производных, а именно скорости). Хорошая новость в том, что мы ищем скалярную функцию: тензор с нулем индексов, а не с двумя, как в левой части выражения (8.14). Это существенно облегчит нашу работу.

Фактически такая функция только одна: это скаляр кривизны Риччи R. И так как других вариантов для нашей метрики, в общем-то, нет, можно записать, что . Для правильной работы сил гравитации в формулу нужно включить гравитационную постоянную G. Кроме того, нам потребуется плотность Лагранжа для материи. Мы не можем сказать, чему она равна, поскольку это зависит от типа материи. В результате получим такое выражение:

(8.22)

Вот и все. Мы определили действие, которое сводит к минимуму метрику пространства-времени. Как можно заметить, оно соответствует уравнению Эйнштейна (8.18). Правда, для простоты мы опустили одну деталь: в искривленном пространстве-времени «пространственный элемент» выглядит несколько необычно. И чтобы помнить об этом, мы записали его как

[27], а не просто d4x.

Вдумайтесь, насколько прекрасен этот подход. Предложить правильный вариант скалярной плотности Лагранжа гораздо проще, чем подобрать тензор для уравнения Эйнштейна, а наш любимый закон сохранения энергии соблюдается автоматически, без всяких усилий или проверок с нашей стороны. Разумеется, чтобы верно истолковать принцип наименьшего действия, а затем проделать все нужные выкладки (которые здесь мы, естественно, не приводим) и получить уравнение Эйнштейна, требуется сильный математик.

Эйнштейн, конечно же, был очень силен в математике, а его коллега Давид Гильберт — один из величайших математиков начала XX века — еще сильнее. («Пространство Гильберта» — одно из важнейших понятий общей теории относительности.) Летом 1915 года, незадолго до того, как было выведено знаменитое уравнение, Гильберт предложил Эйнштейну прочитать несколько лекций в Гёттингенском университете. Ученые много говорили об искривленном пространстве-времени. Эйнштейн даже гостил у Гильберта, а когда вернулся в Берлин, продолжил переписку с ним. В результате они практически одновременно пришли к уравнению (8.18): Эйнштейн — методом проб и ошибок, а Гильберт — посредством математических ухищрений.

По мнению некоторых историков, Гильберт вывел уравнение поля за несколько дней до Эйнштейна, а тот в своей работе во многом полагался на материал, полученный от Гильберта в ходе переписки. Достоверных сведений об этом нет: часть писем утрачена, документы искажены правками. Ясно лишь то, что именно Эйнштейн впервые предложил рассмотреть гравитацию в терминах кривизны пространства-времени и он же впервые публично представил свое уравнение в окончательном виде, четко обосновав с точки зрения физики. Поэтому выражение (8.18) принято называть «уравнением Эйнштейна», а формулу (8.22) — «действием Эйнштейна — Гильберта». Эти названия довольно точно передают исторический контекст, а так бывает далеко не всегда.

Эмпирические последствия

В отличие от большинства физических теорий, целью создания общей теории относительности было не объяснение каких-то загадочных аномалий, найденных в ходе экспериментов, а устранение нестыковок между другими теориями. Эйнштейн пытался согласовать давно известные представления о гравитации, прежде всего закон обратных квадратов и принцип эквивалентности, со специальной теорией относительности. В итоге он смог это сделать, стоило лишь представить, что гравитация — следствие кривизны пространства-времени.

Когда же все было сделано и появилось уравнение поля, настало время вернуться к экспериментам, проверить новую теорию на практике.

Одной из таких проверок стал вопрос о прецессии орбиты Меркурия, что было немного нечестно, поскольку ученые уже неплохо изучили эту проблему. Кеплер утверждал, что планеты движутся по идеальным эллипсам, а Ньютон уточнил, что так может быть лишь тогда, когда вокруг идеально сферического Солнца вращается только одна планета, которая не испытывает при этом каких-то иных воздействий. В реальном мире планеты взаимодействуют друг с другом, и их орбиты немного смещаются. Подсчеты показали, что ось орбиты Меркурия поворачивается на 0,148° за сто лет.

В начале XIX века астрономы измерили прецессию Меркурия и выяснили, что ее скорость составляет 0,160° за сто лет. Расхождение между теорией и практикой — всего в 0,012 — довольно мало, но не может считаться случайной ошибкой. Французский астроном Урбен Леверье объяснил схожую аномалию орбиты Урана, предположив, что в Солнечной системе есть еще одна планета — Нептун. Аналогичные рассуждения привели ученого к мысли о том, что неизвестная пока планета есть и рядом с Меркурием. Она даже получила имя: Вулкан, но, несмотря на все усилия, астрономы не смогли ее обнаружить. В конце концов было решено, что такой планеты не существует.

Эйнштейн знал, что его теория хорошо коррелирует с механикой Ньютона, но при расчете дает немного иные результаты. В сильных гравитационных полях расхождения становятся существенными. Предположив, что именно так происходит с Меркурием, самой близкой к Солнцу планетой, Эйнштейн попытался вычислить вызванную этим дополнительную прецессию и получил в результате 0,012° за сто лет, то есть сумел объяснить известное расхождение. Можно представить себе, какой восторг (и облегчение) испытал Эйнштейн, когда после долгих лет тензорного анализа и других математических абстракций понял, что его теория дает идеальное объяснение давней научной проблемы.

Найти ответ на давно поставленный вопрос — отличное достижение. Но все же в научных кругах считается более ценным, когда теория позволяет предугадать что-то еще неизведанное, но что удастся впоследствии обнаружить. Так было с отклонением света, или гравитационным линзированием, которое Эйнштейн предсказал еще до того, как вывел полное уравнение поля из общей теории относительности. На самом деле это явление — следствие принципа эквивалентности. Если смотреть из ускоряющейся ракеты, луч света покажется искривленным, что объясняется изменением ее скорости. Но то же самое должно быть верным и для ракеты, которая неподвижно стоит на планете с гравитационным полем.

Еще больше свет отклоняется, если проходит мимо объекта с высокой гравитацией, например Солнца. Но чтобы проверить эту гипотезу, нужно смотреть на звезды на его фоне, а этого сделать нельзя из-за слишком яркого света. Пришлось дождаться полного солнечного затмения, которое как нельзя кстати случилось в 1919 году. Эддингтон организовал экспедицию, в ходе которой удалось сделать снимки звезд на фоне Солнца и подтвердить гипотезу Эйнштейна об отклонении света.

Именно после этого (а не тогда, когда он только сделал свои теоретические предположения) Эйнштейн стал международной знаменитостью. Полученные Эддингтоном результаты попали на первые полосы газет. Например, в «Нью-Йорк таймс» приводили слова Оливера Джорджа, который сказал, что общая теория относительности «все победит, а математиков ждут трудные времена». Это неправда: математики были в восторге.

Как, впрочем, и физики с астрономами. Сегодня наблюдения за гравитационными линзами превратились в высокоточную науку и стали важнейшим инструментом в арсенале современных космологов. Посмотрев на галактики в глубинах Вселенной и отыскав статистические закономерности гравитационного линзирования, мы смогли сделать вывод о том, что в космосе существуют скопления материи, «темной» по большей части. Общая теория относительности однозначно утверждает, что энергия во всех формах вызывает искривление пространства-времени, а значит, мы можем использовать отклонение света, чтобы составить карту распределения материи в пространстве.

После этих классических испытаний, которые были проведены до или вскоре после появления общей теории относительности, ученые стали применять ее для описания многих других явлений. Свет, исходящий от обладающего гравитацией тела, теряет энергию, а длина его волны постепенно возрастает (гравитационное красное смещение). Движение материи вызывает пульсации кривизны пространства-времени, которые распространяются со скоростью света (гравитационные волны). Плотные скопления материи сжимаются (коллапсируют) под действием силы тяготения, в результате чего в пространстве возникают области, из которых не может вырваться даже свет (черные дыры). Да и сама Вселенная не находится в покое: заполненное материей пространство должно либо расширяться, либо сжиматься. И точно: в 1920-х годах Эдвин Хаббл установил, что Вселенная расширяется. Все эти впечатляющие открытия были сделаны под влиянием общей теории относительности и подтверждаются с исключительной точностью.

Сегодня общая теория относительности активно используется для решения важнейших физических проблем. Жаль, что Эйнштейн не дожил до этих времен. Он умер в 1955 году, так и не получив за свой научный прорыв Нобелевскую премию. Как, впрочем, и Хаббл за открытие расширяющейся Вселенной. В те годы ученые относились к астрофизикам с предубеждением. А те в большинстве случаев просто не имели возможности наблюдать за явлениями, в которых относительность проявляет себя.

Но времена изменились. Вот, например, полный (на 2021 год) список Нобелевских премий, присвоенных за открытие таких явлений:

1978 год — фоновое космическое излучение;

1993 год — двойной пульсар, косвенное подтверждение существования гравитационных волн;

2006 год — флюктуации и спектр космического микроволнового фона;

2011 год — ускорение расширения Вселенной;

2017 год — непосредственное наблюдение гравитационных волн;

2019 год — эволюция галактик и Вселенной;

2020 год — теория и наблюдение черных дыр.

Как можно заметить, темп ускоряется. Общая теория относительности, долгое время считавшаяся интеллектуальным триумфом, но далеко не основным инструментом практикующего физика, все чаще оказывается в центре захватывающих современных исследований. Мне кажется, что Эйнштейн был бы доволен этим.

Девять. Черные дыры

Уравнение Эйнштейна для общей теории относительности вмещает в себя огромное количество информации. Спасибо хитроумным обозначениям. Уравнение призвано определить метрику пространства-времени, gµv(x), но записано в терминах тензора Риччи, построенного на базе тензора кривизны Римана. Все эти тензоры, конечно, определяются в терминах метрики, но если бы мы записали эту зависимость во всей ее красе, мы получили бы кучу слагаемых: формула заняла бы целую страницу.

Сам Эйнштейн был так впечатлен или даже напуган сложностью своего детища, что делал прогнозы о результатах экспериментов при помощи различных аппроксимаций, прежде всего ньютоновского предела. Даже в упрощенных ситуациях уравнение было слишком сложным для точного решения.

Это не остановило Карла Шварцшильда, опытного физика и астронома, который в 1915 году, во время Первой мировой войны, служил в немецкой армии. Он побывал на французском и русском фронтах, рассчитывая траектории снарядов. Как-то во время отпуска ему удалось посетить одну из лекций Эйнштейна в Прусской академии, и он увлекся общей теорией относительности. Вернувшись в воинскую часть в конце декабря 1915 года, Шварцшильд написал Эйнштейну письмо, в котором привел первое точное решение его уравнения: метрику пространства-времени вне сферической планеты или звезды. К сожалению, на фронте Шварцшильд заразился редким кожным заболеванием, от которого и умер спустя полгода в возрасте сорока двух лет. Физикам потребовались десятилетия, чтобы смириться с ошеломляющим непредвиденным следствием его открытия: черными дырами, которые должны существовать, если верить общей теории относительности.

Решение Шварцшильда

Шварцшильд пытался найти аналог закона обратных квадратов Ньютона, который действует в Солнечной системе. В общей теории относительности этот процесс сводится к решению уравнения Эйнштейна для метрики пустого пространства вокруг изолированного сферического тела, такого как Солнце. Именно геодезические метрики позволяют нам судить о планетных орбитах, отклонении света и других следствиях общей теории относительности. Возможно, было бы достаточно лишь показать решение Шварцшильда во всей его красе, после чего приступить к обсуждению выводов, которые можно сделать на его основе. И все-таки гораздо интереснее пройти весь путь вслед за Шварцшильдом, проследить его основные вехи, продемонстрировать, как физики-теоретики решают схожие проблемы.

Мы знаем, что метрика плоского пространства-времени Минковского в декартовых координатах (t, x, y, z) имеет вид:

(9.1)

Как и раньше, мы опускаем нулевые внедиагональные элементы, но помним о них.

В метрике искривленного пространства-времени некоторые (или, возможно, все) элементы gµν будут функциями некоторых (или, возможно, всех) координат. Похоже, что скоро все станет ужасно сложным. Но нам поможет тот факт, что интересная нам физическая система (пространство вне сферического тела) должна быть сферически симметричной. В практическом смысле нам следует ожидать, что метрика будет зависеть от расстояния от начала координат, , а не от x, y или z по отдельности.

Поэтому прежде всего нам следует перейти из декартовой системы координат (x, y, z) к сферической (r, θ, φ). Мы уже знаем метрику плоского пространства Евклида в этих координатах: выражение (7.12). Несложно перейти от него к метрике пространства-времени Минковского с координатами (t, r, θ, φ):

(9.2)

Мы просто заменили пространственную часть метрики новой, зависящей от сферических координат. Обратите внимание: мы все еще говорим о плоском пространстве-времени Минковского, в котором нет гравитации. Мы просто привели метрику к виду, с которого нам удобно начать решение задачи.

В сферической системе координат нам нужно выяснить лишь то, как метрика зависит от радиальной координаты r, так как зависимость от угловых координат (θ, φ) четко определяется сферической симметрией. Выходит, что метрика вообще не будет зависеть от φ, а θ будет влиять на нее через множитель (sin θ)2 в правом нижнем элементе gφφ. Есть и другие упрощения. Одно из них заключается в том, что мы ищем статическое решение, то есть считаем пространство-время полностью неизменным во времени. Поэтому элементы метрики не будут зависеть от t. Также для простоты мы пока что не будем использовать внедиагональные элементы: пусть они остаются нулевыми.

Вас могут озадачить все эти догадки. Такой подход действительно кажется ненаучным, но речь ведь идет о решении уравнения, так что попытка предугадать результат вполне законна. Мы стремимся найти не все решения уравнения Эйнштейна, а лишь одно из них, описывающее конкретный случай. В конце концов, если догадки позволят нам отыскать подходящие тензоры Римана и Риччи, любые ухищрения, к которым мы прибегнем для этого, перестанут иметь значение.

И наконец, внимательно глядя на выражение (9.2), подумаем о том, что говорят нам коэффициенты r2. Они показывают, что физические расстояния в угловых направлениях пропорциональны квадрату радиуса. И в этом скрыта хитрая особенность общей теории относительности: выбор системы координат и поиск метрики в ней — не две задачи, которые мы решаем одну за другой, а два параллельных процесса. Координаты не имеют никакого смысла, пока его не придаст им метрика, тогда как ее элементы имеют смысл лишь в какой-то системе координат.

Следовательно, мы можем просто заявить, что «r2» есть, по определению, «величина, входящая в состав угловых элементов gθθ и gφφ метрического тензора», а r, в свою очередь, есть такое число, при котором площадь произвольной сферы равна A = 4πr2, а длина произвольной окружности — C = 2πr. При этом нам не потребуется решать задачу в общем виде, то есть считать элементы метрики какими-то произвольными функциями. Мы сразу будем полагать, что gθθ = r2, а gφφ = r2(sinθ)2, как уже и значится в выражении (9.2). Кроме того, в статических, сферически симметричных условиях r будет иметь какое-то фиксированное значение[28].

В итоге мы получаем метрику следующей формы:

(9.3)

Неплохо. Хитроумные, но чисто интуитивные догадки привели нас к довольно простой метрике, в которой неизвестны всего две функции одной переменной: A(r) и B(r).

Увы, хитроумие нам больше ничем не поможет. С этого момента нам, а фактически Шварцшильду, придется смириться с судьбой и вычислить сначала тензор Римана, а затем тензор Риччи. Здесь мы опустим всю эту математику, направив интересующихся к приложению Б, в котором описаны все нужные инструменты. Всем остальным просто сообщаю, что найти все члены левой части уравнения Эйнштейна возможно. Полученные выражения будут зависеть от A(r) и B(r), а также их производных по r.

Теперь нужно определить, что происходит в правой части уравнения Эйнштейна, то есть подумать о тензоре энергии-импульса. И здесь нас ждет хорошая новость: мы ищем метрику пространства-времени вне обладающего гравитацией тела, а это значит, что пространство пусто, а Tµν = 0. По-настоящему сложные вещи творятся внутри этого тела, но в нашем случае пространство-время лишь искривляется рядом с ним.

Шварцшильд проделал все эти расчеты, которые показались ему несложными (что и неудивительно для человека с таким высоким уровнем интеллекта). И вот как в итоге выглядят функции A(r) и B(r):

(9.4)

Другими словами, полная метрика Шварцшильда имеет вид:

(9.5)

Или в форме линейного элемента:

(9.6)

Великолепно, не правда ли? Мы получили точное решение уравнения Эйнштейна для пустого сферически симметричного пространства. Более того, путем искусных математических построений можно показать, что то, к чему мы пришли наполовину путем догадок, на самом деле единственно возможная метрика, при которой уравнение Эйнштейна выполняется в данных условиях. Вы можете возразить: а как же метрика Минковского? Ведь это еще одно возможное решение. Действительно, это так. Но метрика Минковского лишь частный случай решения Шварцшильда: достаточно подставить M = 0 в выражение (9.5) или (9.6).

Несколько слов о константах в формуле Шварцшильда. G — это, конечно же, гравитационная постоянная Ньютона, а M — масса объекта, гравитацию которого мы рассматриваем. Но если подойти к вопросу педантично, можно увидеть, что М не обязано быть массой, поскольку метрика (9.5) соответствует уравнению Эйнштейна при любых М. Но понимая это, мы можем решить, что M будет массой, и подтвердить свой выбор путем сравнения с ньютоновским пределом или аналогичными вещами. И в данном случае все действительно так. Однако нам следует помнить о том, что решения, принятые в силу их очевидности, обычно зависят от наших теоретических предпосылок и могут измениться при обновлении теорий, положенных в их основу.

Замедление времени

Внимательно глядя на метрику Шварцшильда (9.5), попробуем понять, о чем она говорит нам.

При помощи этой метрики мы можем вычислять расстояния в пространстве-времени. В том числе, мы можем найти собственное время τ, интегрируя вдоль временеподобной траектории. Рассмотрим объект, который остается неподвижным в пространственных координатах (r, θ, φ). Таким объектом может быть, к примеру, человек на Земле или сама Земля на гелиоцентрической орбите. Мы можем допустить такое приближение, поскольку скорости что человека, что Земли очень малы в сравнении со скоростью света, а значит, мы можем ими пренебречь. Классическая сферическая корова.

При движении по такой траектории пространственные координаты не изменяются, а значит, dr = dθ = dφ = 0. (Нет изменения, нет и приращений в соответствующих направлениях.) Поэтому мы можем узнать собственное время из формулы (9.6):

(9.7)

Проинтегрировать это выражение несложно. Извлечем из обеих его сторон квадратный корень. Множитель в скобках не зависит от t, то есть при разговоре о времени будет постоянным. Следовательно, для конечного интервала мы получаем:

(9.8)

Не забываем о том, что t — координатное время, придуманное нами для удобства, а τ — собственное время, которое на самом деле показывают часы. Согласно этой формуле затраты собственного времени будут пропорциональны изменению координатного времени t, а коэффициент пропорциональности зависит от радиальной координаты r.

Эту зависимость нетрудно интерпретировать. При больших значениях r коэффициент близок к 1, а собственное и координатное время совпадают. Вдали от Солнца гравитационное поле слабое, а пространство-время почти плоское. В этих условиях все часы отсчитывают время, практически равное координатному, как и предсказывал Ньютон.

Однако по мере приближения r к значению 2GM (но r все еще превышает его), 2GM/r будет стремиться к единице, а — к нулю. При этом изменение t будет все меньше и меньше собственного времени. (На время забудем о том, что r может быть меньше или равно 2GM: эта ситуация требует более тщательного осмысления.) То есть в сильном гравитационном поле часы будут идти медленнее, чем координатное время.

Это и есть гравитационное замедление времени. Именно так: мы специально не говорим, что «в гравитационных полях время течет замедленно», и можно понять почему. Часы продолжают отмерять одну секунду за секунду, а вот соотношение между секундой собственного и координатного времени изменилось. Конечно, неподвижный наблюдатель не замечает этого, поскольку ему нет дела до каких-то там искусственно придуманных координат.

Если же мы будем сравнивать две траектории между одними и теми же точками, разница начинает иметь значение. Представьте себе двух друзей, которые живут на далекой планете. Они синхронизируют часы, после чего один из них надолго улетает к Солнцу, другой же остается на месте. Когда они снова встретятся на родной планете, расхождение в собственном времени сделает свое дело: летавший к Солнцу меньше постареет. (Хотя по стандартам общей теории относительности гравитационное поле очень слабо даже вблизи поверхности Солнца, так что разница в возрасте будет не очень большой.)

Этот пример похож на приключения близнецов, о которых мы говорили раньше. Разница в собственном времени возникает в обоих случаях, но по разным причинам: в одном — из-за скорости света, в другом — из-за кривизны пространства-времени. Вспомните фильм «Интерстеллар»: там это как раз и показано.

Гравитационное замедление времени — реальное физическое явление, подтвержденное экспериментом, яркая демонстрация того, что гравитация действительно связана с геометрией. Гравитация напрямую влияет на то, как часы отмеряют временные промежутки в пространстве-времени.

Сингулярности

Теперь посмотрим на то, что случится, когда радиальная координата примет значение

r = 2GM. (9.9)

Это число настолько важно, что получило собственное имя: радиус Шварцшильда. Но прежде чем обсуждать его достоинства, стоит признать, что все происходящее при таких r никак не связано с тем, о чем мы говорили до этого, то есть с пространством за пределами звезды или планеты. Все потому, что радиус Шварцшильда очень мал: к примеру, у Солнца он составляет около трех километров, а у Земли и вовсе не более сантиметра. При этом радиус самого Солнца — около 700 000 километров, а радиус Земли — чуть больше 6000. Так что в любом случае радиус Шварцшильда скрыт глубоко внутри источника гравитации. Мы больше не находимся в пустом пространстве.

Решение Шварцшильда действует только в вакууме, за пределами обладающего гравитацией тела. Внутри него метрика пространства-времени будет какой-то другой, и ничего страшного при r = 2GM не случится. Казалось бы, это математический курьез, который возникает из-за того, что конкретное решение уравнения Эйнштейна неосторожно применяется совершенно к другим условиям.

И все же мы можем подумать о том, что может произойти, если пространство на радиусе Шварцшильда или даже меньшем расстоянии окажется пустым. Например, если случится какая-то катастрофа, из-за которой вся масса Солнца сожмется в шар размером в несколько километров, или же масса Земли соберется в комочек менее сантиметра. Конечно, при этом плотность материи достигнет неимоверно высокого значения, но это неважно: в астрофизике бывает и не такое. В таких местах возникают черные дыры — области пространства-времени, в которых искривление так велико, что даже свет не может выйти за их пределы. В черной дыре, где материя не препятствует приближению к радиусу Шварцшильда, появляется горизонт событий — условная граница, перейдя которую невозможно вернуться обратно во внешний мир.

Едва появившись, работа Шварцшильда завладела умами ученых. Вопрос о том, что творится при r = 2GM, взволновал всех. Действительно, если подставить эту величину в метрику (9.5), значение 1–2GM/r станет равно нулю, а элемент gtt исчезнет. С физической точки зрения это значит, что для тех, кто застыл неподвижно на радиусе Шварцшильда, ход собственного времени прекращается, хотя часы продолжают идти, как обычно. Это, конечно, странно, но вполне сносно. Именно так происходит на светоподобных траекториях, а свет по ним движется постоянно.

Гораздо больше проблем с элементом grr, который равен 1/(1–2GM/r), а значит, при r = 2GM устремляется в бесконечность. Когда величина становится бесконечной, мы говорим, что имеем дело с сингулярностью.

Вот это уже неприятно. Или все-таки нет? Элементы метрики зависят от системы координат. Важна кривизна, а не элементы. Возможно, мы просто выбрали неудобную систему координат.

Лишь через несколько лет физики догадались, что все так и есть. Очевидный дефект метрики при радиусе Шварцшильда — это лишь координатная сингулярность: лишь неудачный выбор системы координат, а не физическая неопределенность. Любая инвариантная к координатам функция, которую можно вывести из тензора Римана, при r = 2GM будет конечной, какими большими бы ни были значения элементов метрики. На радиусе Шварцшильда, несомненно, происходит что-то интересное, ведь это горизонт событий черной дыры, как мы уже скоро увидим. И все же пространство-время ведет себя там предсказуемым образом.

Дальнейший анализ метрики приводит к еще большим проблемам в другой точке, где r = 0, а 2GM/r = ∞. Там gtt стремится к бесконечности, а grr — к нулю. Можно предположить, что и здесь во всем виновата система координат.

Но нет. В точке r = 0 находится настоящая сингулярность кривизны, где кривизна самого пространства-времени, как кажется, становится бесконечно большой. И это действительно очень плохо. Можно было надеяться, что сингулярность возникла здесь потому, что мы слишком упростили условия, взяв точную сферическую симметрию, которой в реальности не бывает. И все-таки серия теорем о сингулярности, доказанных Роджером Пенроузом и Стивеном Хокингом в 1960-х годах, разрушила эту надежду. Ученые показали, что сингулярности кривизны предсказуемо возникают при самых разных физически реалистичных условиях.

Общая теория относительности играет с нами в игры. Согласно принципу космической цензуры, который предложил в 1969 году Пенроуз, любая сингулярность, предсказанная общей теорией относительности, будет скрыта за горизонтом событий. В мире нет голых сингулярностей, не закрытых горизонтами и доступных для прямого изучения. Уже в наши дни путем численного моделирования удалось показать, что космическая цензура действует не всегда и можно придумать такие начальные условия, при которых появится голая сингулярность. Однако эти условия должны быть бесконечно точны, так как любое отклонение приводит к появлению горизонта событий. Поиск голых сингулярностей в реальном мире не кажется перспективной программой для исследований.

Большинство физиков сходится во мнении, что в природе нет сингулярностей: ни голых, ни каких-то иных. Мы живем в квантово-механическом мире, а значит, классическая по сути своей теория Эйнштейна перестает работать при некоторых условиях и не может все объяснить. Поэтому не нужно так рьяно цепляться за нее, а двигаться дальше, к новым теориям, которые сгладят сингулярности или, по крайней мере, снимут с повестки дня связанные с ними концептуальные вопросы. Что ж, будем надеяться на квантовую теорию гравитации. На сегодняшний день проблема сингулярностей еще актуальна.

Черные дыры

Радиус Шварцшильда определяет поверхность — так называемый горизонт событий, внутри которого находится особая область пространства-времени: черная дыра. Давайте подумаем о них. Представим себе пространство-время, которое во всех точках описывается метрикой Шварцшильда, а протяженные объекты, вроде звезд и планет, отсутствуют.

Держа в руках метрику, мы можем построить световые конусы. Ведь именно они, а не системы координат или любимое многими разграничение на время и пространство показывают реальную структуру пространства-времени. Посмотрим, как будут выглядеть световые конусы на диаграмме пространства-времени с геометрией Шварцшильда, как бы его глазами.

В такой сферически симметричной геометрии в угловых направлениях θ и φ ничего интересного не происходит. Нам нужно говорить о координатах (t, r), и в них мы имеем нечто, похожее на этот рисунок. Давайте сначала рассмотрим его. Итак, мы нарисовали лучи света, проходящие через несколько точек, а также направленные в будущее световые конусы. Странная картина, скажете вы? Не удивительно: многие очень умные люди, включая Эйнштейна, десятки лет ломали над ней голову. Скоро мы поменяем систему координат, и все немного прояснится.

Да, здесь есть о чем поразмыслить. Справа, при больших значениях r, мы видим привычное нам пространство-время Минковского: нулевые траектории наклонены под углом 45°, а световые конусы направлены вверх. И это имеет физический смысл, поскольку вдали от черной дыры нет заметных гравитационных полей.

По мере приближения к горизонту событий (r = 2GM) световые конусы начинают складываться. Возникает странное впечатление, что мы не можем пересечь радиус Шварцшильда, ведь двигаться можно только в пределах световых конусов. Все дело в системе координат, которая перестает работать на этом участке, и скоро мы убедимся в этом.

За горизонтом событий творится нечто безумное. Сначала световые конусы очень широки, но по мере уменьшения r сужаются. При этом, что поразительно, они направлены влево, а не вверх. И мы по-прежнему обязаны оставаться в их пределах. Следовательно, перемещаясь в сторону уменьшения r за горизонтом событий черной дыры, мы движемся вперед по времени.

Становится ясно, что мы ошибались при размышлениях об r = 0. Интуитивно представляя себе плоское пространство-время, мы принимали эту точку как некое место, начало координат в центре черной дыры. Но это не так. На самом деле r = 0 — не точка в пространстве, а момент во времени. Более того, этот момент неизбежно настанет для всех, кто находится в черной дыре. Как бы мы ни старались, пройти мимо сингулярности не удастся: это не проще, чем обойти стороной завтрашний день.

Вы спросите: как же мы догадались об этом? Но разве мы не хозяева собственных координат, не можем определять их по своему усмотрению? Конечно хозяева. Но здесь мы уже сделали выбор, определили r как радиус сферы, которая окружает источник гравитации. И эта система координат прекрасно работала, давала понятные результаты вне горизонта событий. Но в черной дыре она дает сбой, и мы имеем то, что имеем, а именно превращение r из пространственной координаты во временну́ю.

Попробуем разобраться в причудливых трансформациях r и убедиться в том, что все еще остаемся в реальном мире: поговорим о формулах, определяющих световые конусы.

Что значит «построить световой конус»? Мы выбираем точку и проводим линии, движение по которым не изменяет пространственно-временного положения: ds2 = 0. Вернувшись к линейному элементу (9.6) и вычеркнув из него θ и φ (так как движения в этих направлениях нет), получим:

(9.10)

Поупражняемся в математике. Перенесем второе слагаемое в правую часть, умножим обе части на –1, чтобы убрать неудобные минусы, а затем разделим на (1–2GM/r). Запишем:

(9.11)

Сплошные квадраты. Давайте извлечем из них корень (не забывая добавить знак «±», чтобы учесть, что до возведения в степень числа могли быть и отрицательными), а затем разделим все на dr:

(9.12)

Мы получили то, что нам нужно: dt/dr, уклон небольшого сегмента линии, которая ограничивает световой конус. (Не забываем о том, что мы говорим о светоподобных, а не о каких-то произвольных траекториях.) Знак «±» показывает, что таких линий две, и они расходятся от центра в разные стороны.

Теперь посмотрим, какие конусы мы получим. При больших r выходит, что 2GM/r ≈ 0, а dt/dr ≈ ±1, то есть светоподобные траектории наклонены под углом около 45°, как в пространстве-времени Минковского. Это мы видим и на рисунке.

Когда r стремится к 2GM, 1–2GM/r стремится к нулю, а dt/dr — к ±∞. Конусы начинают сужаться и схлопываться: уклон светоподобных траекторий растет, они приближаются друг к другу. Можно было бы ожидать, что на горизонте событий они сольются в одну линию.

Строго в точке r = 2GM, то есть на радиусе Шварцшильда, элементы метрики утрачивают значение. Пропустим пока эту точку. А дальше, если мы как-то пройдем за горизонт событий, начинаются чудеса. При r < 2GM значение 2GM/r превышает единицу, а число 1–2GM/r становится отрицательным. Поэтому слагаемые gtt (в которое входит dt2) и grr (в которое входит dr2) в формуле (9.6) меняют знак.

За пределами черной дыры слагаемое gtt отрицательно, а grr положительно, как и в пространстве-времени Минковского. Поэтому t является временеподобной, а r — пространственноподобной координатой. За горизонтом событий знаки меняются местами, что приводит к грандиозным последствиям: координата t становится пространственноподобной, а r — временеподобной. Физически это выражается тем, что смещаясь в сторону меньших r, мы движемся не к центру черной дыры, а вперед в будущее. Именно так ведут себя реальные физические частицы. Именно поэтому нельзя уклониться от сингулярности в точке r = 0.

Рассказывая об этом, люди (включая тех, кто должен бы хорошо разбираться в вопросе) часто говорят, будто «в черной дыре пространство и время меняются местами». Это совсем не так. Местами меняются координаты t и r — придуманные человеком величины, а их не следует путать с реальными характеристиками нашего мира. Где бы мы ни были, в какой бы системе ни измеряли координаты, время всегда остается временем, а пространство — пространством. Попавший в черную дыру человек не заметил бы ничего необычного. Его часы не стали бы измерять расстояние вместо времени.

Я могу дать хороший совет. Оказавшись в черной дыре, смиритесь с судьбой: избежать сингулярности все равно не удастся. Более того, встреча с ней наступит довольно быстро: в дыре массой в миллиард Солнц — всего через пару часов. Но это при свободном падении, если вы будете двигаться по геодезической линии — самому долгому пути. Любые попытки ускориться, пытаясь вернуться за горизонт событий, только приблизят печальный конец.

Горизонт событий

Координатная сингулярность на радиусе Шварцшильда портит всю нарисованную нами картину. Как мы уже говорили, при взгляде на диаграмму пространства-времени на ум приходит вопрос: можно ли в принципе подлететь к горизонту событий? Ведь световые конусы там смыкаются, а временеподобная траектория направлена прямо вверх по координате t, не пересекая радиус Шварцшильда.

С другой стороны, из разговора о растяжении времени мы поняли: затраты собственного времени τ на любое неизменное перемещение по t при приближении к горизонту будут уменьшаться. Мы можем посмотреть на это утверждение с другой стороны: за любое неизменное собственное время τ при приближении к горизонту перемещение объекта по t будет увеличиваться. То есть мы снова приходим к мысли о том, что имеем дело с координатной, а не физической величиной. Даже если в расчетах выходит, что t → +∞, реальный объект спокойно преодолеет этот путь за конечное собственное время. Что же произойдет с ним мгновение спустя?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужна система координат, при которой на радиусе Шварцшильда отсутствует сингулярность. К счастью, такие системы существуют. Одна из них называется системой Эддингтона — Финкельштейна (по имени ее создателей — уже известного нам Артура Эддингтона и Дэвида Финкельштейна). В ней применяются те же пространственные координаты (r, θ, φ), что и у Шварцшильда, но введена новая временна́я координата t*, которая равна:

(9.13)

Таким образом, новая временная координата представляет собой сумму старой временной координаты, радиальной координаты и логарифма функции, которая от нее зависит. Столь странный выбор может показаться произвольным, однако на самом деле вполне обоснован. Дело в том, что вблизи горизонта событий логарифм стремится к —∞, что компенсирует увеличение t до +∞, а значит, мы сможем долететь дотуда при конечном значении t*.

Пропуская скучные математические выкладки, запишем метрику в координатах (t*, r, θ, φ) и посмотрим на световые конусы. Метрика будет выглядеть так:

(9.14)

То же самое в форме линейного элемента:

(9.15)

Формула несколько изменились: теперь в ней нет элемента grr, но есть внедиагональные элементы gt*r и grt*. Но если мы не меняли r, куда подевался grr? Дело в том, что функции этой координаты, как видно из (9.13), частично перешли к t*.

В системе Эддингтона — Финкельштейна координатная сингулярность при радиусе Шварцшильда r = 2GM не возникает, все элементы метрики (9.14) остаются конечными. (Элемент gt*t* становится равным нулю, но это конечное число.) Поэтому мы получим немного другие световые конусы (для красоты на следующем рисунке мы сохраним одно из угловых измерений).

В новой системе координат световые конусы больше не схлопываются, а только наклоняются с уменьшением r. При этом, как и прежде, пройдя горизонт, мы вынужденно двигаемся к сингулярности при r = 0, которая ждет нас в будущем.

Улучшенная система координат помогает понять, что происходит на радиусе Шварцшильда. Со стороны черная дыра кажется темной областью пространства-времени с неизменными размерами, а горизонт представляет собой поверхность постоянного радиуса r = 2GM. Расположенные на нем световые конусы наклоняются так, что становятся касательными к этой поверхности. При этом вертикальное движение по t* осуществляется фактически по световой, а не по временеподобной траектории.

В этом и состоит особенность горизонта событий. Чтобы остаться на нем, то есть при r = 2GM, необходимо двигаться в строго определенном направлении, причем со скоростью света. Любая временеподобная траектория приведет вас внутрь черной дыры. Кроме того, можно сказать, что временеподобные траектории ведут через горизонт только в одну сторону. И дело совсем не в том, что для спасения потребуется сверхмощный двигатель. Вернуться в обычное пространство в принципе невозможно, так как для этого нужно лететь быстрее света.

Заряженные и вращающиеся черные дыры

Земля очень похожа на шар, но все же имеет немного сплюснутую форму: расстояние между полюсами примерно на 0,3 % меньше диаметра по экватору. На ней есть и глубокие моря, и высокие горы, а значит, поверхность планеты совсем не ровная. Все это вызывает неравномерность гравитационного поля Земли. При помощи орбитальных спутников ученым удалось составить точные карты его распределения, узнать, где оно сильнее или слабее, чем в среднем. Подобные особенности есть у всех планет, а их гравитационные поля не похожи друг на друга.

Черные дыры — не сгустки материи посреди космоса, у них все работает по-другому. Об этом говорит теорема об отсутствии волос (хотя за отсутствием строгого доказательства математики склонны считать ее гипотезой): любая черная дыра принимает состояние, которое полностью характеризуется ее массой, электрическим зарядом и направлением вращения. Поэтому гравитационные поля двух черных дыр с одинаковыми значениями этих величин будут идентичны. Теорема верна независимо от того, из чего образовалась черная дыра, будь то останки массивной звезды, огромная груда книг или гора из арахисового масла (хотя едва ли такое бывает). Как бы там ни было, глядя на дыру, невозможно сказать, чем она была до почернения.

Вокруг невращающихся черных дыр с электрическим зарядом, как и вокруг заряженных частиц, образуются сферически симметричные электрические поля. Они обладают энергией, которую нужно учитывать при решении уравнения Эйнштейна. Метрику таких черных дыр называют решением Рейснера — Нордстрёма. Эти ученые пришли к нему независимо друг от друга вскоре после выхода работы Шварцшильда, что и не удивительно: ведь все по-прежнему сферически симметрично, а значит, нет и серьезных отличий.

По крайней мере, при взгляде снаружи. В доведенном до апогея буквальном понимании решение Рейснера — Нордстрёма рассказывает о том, что за горизонтом событий скрыт бесконечный ряд черных дыр, соединяющих независимые друг от друга вселенные.

Вот почему не следует искать точные решения уравнений и толковать их буквально, особенно вне физических условий, для описания которых они находились. Даже решение Шварцшильда при определенном толковании говорит о двух вселенных, которые связаны друг с другом кротовой норой. Еще в 1916 году об этом любопытном следствии работы Шварцшильда впервые сообщил Людвиг Фламм. В 1935 году кротовая нора была подробно изучена Эйнштейном и его коллегой Натаном Розеном, после чего получила красочное название моста Эйнштейна — Розена[29]. На практике в переходы между мирами мало кто верит. Реальные черные дыры в нашей галактике — это не вакуум, не электрические поля: в них скапливается поступающая извне материя, которая особым образом влияет на метрику пространства-времени. В черных дырах есть сингулярности, но нет кротовых нор.

Если черная дыра вращается, сферическая симметрия вокруг нее нарушается, появляется предпочтительное направление в пространстве — ось вращения. Поэтому поиск метрики для таких случаев потребовал много времени. Только в 1963 году справиться с этой задачей удалось Рою Керру. Его работа, которую мы называем решением Керра, — не просто математический шедевр. Ее практическое значение огромно. Ведь вряд ли реальная черная дыра будет сильно заряжена: притягивая и поглощая частицы с противоположным зарядом, она очень быстро утратит любой заряд. Зато реальные черные дыры вращаются, причем очень быстро. Практически все черные дыры во вселенной точно определяются метрикой Керра.

Теорема о площади

Впервые физики задумались о черных дырах еще в 1915 году, но чтобы полностью понять эту идею, потребовалось много лет. Ученым было трудно отличить реальные особенности физики от артефактов, связанных с системами координат. Например, было ясно, что непосредственно на радиусе Шварцшильда наблюдатель будет испытывать бесконечное гравитационное замедление времени: время для него просто застынет. Поэтому сжатие материи до размеров черной дыры должно, по идее, приводить к появлению «застывшей звезды», всегда остающейся в границах этого радиуса. Но мы уже знаем, что наблюдатель, проникший за горизонт событий, будет падать в черную дыру — двигаться к сингулярности.

Полное понимание горизонта событий было достигнуто в конце пятидесятых, чем мы обязаны работе Дэвида Финкельштейна, Мартина Крускала и других ученых. В активном изучении общей теории относительности началась новая эпоха, наиболее яркими представителями которой стали Джон Уилер в США, Деннис Сиама в Великобритании, а также Яков Зельдович в СССР. Благодаря Уилеру термин «черная дыра» обрел популярность. В шестидесятых и семидесятых больших успехов в этом вопросе добились Пенроуз, Хокинг и их коллеги.

Важным успехом в те годы стала теорема о площади, доказанная Хокингом в 1971 году. Она гласит, что площадь горизонта событий одной или нескольких черных дыр со временем только увеличивается, но никогда не уменьшается. Как в любой хорошей теореме, здесь не обошлось без допущений: например, было принято, что реальные частицы имеют только положительную массу (иначе можно было бы сжать черную дыру, направив в нее частицы с отрицательной массой). И, разумеется, все рассуждения ведутся в терминах классической физики, ведь с квантовой точки зрения черная дыра должна терять энергию на излучение и все-таки сжиматься, хотя бы и очень медленно.

Чтобы оценить значение теоремы о площади, следует задуматься о слиянии двух черных дыр, когда пространство-время сотрясается от их быстрого перемещения и возникают гравитационные волны, уносящие в окружающий мир часть их общей энергии. Впрочем, теорема гарантирует, что на волны затрачивается не очень много энергии, ведь площадь горизонта событий объединенной черной дыры будет не меньше суммы площадей исходных горизонтов.

Вы можете спросить, почему мы говорим о площади горизонта событий, а не о массе черный дыры? Ведь если радиус Шварцшильда равен r = 2GM, то площадь горизонта — A = 4πr2 = 16πG2M2 — зависит от массы. Все дело в том, что масса может уменьшаться, например, у вращающихся черных дыр.

Площадь горизонта событий вращающейся черной дыры зависит как от массы, так и от частоты вращения. Как выяснилось, такую черную дыру можно использовать как источник энергии: достаточно подавать туда материю с противоположным моментом импульса, как предложил Роджер Пенроуз (процесс Пенроуза). Представьте себе, насколько могучей стала бы наша цивилизация, будь к нашим услугам огромная черная дыра! Однако согласно теореме Хокинга, постоянное увеличение площади горизонта в конечном итоге остановит вращение, источник иссякнет.

Механика черных дыр

Кое-что в теореме о площади вызывает определенное беспокойство. Ведь если площадь горизонта событий со временем только растет, мы можем разглядеть в этом свойстве стрелу времени. Как же так? Уравнение Эйнштейна не делает различий между прошлым и будущим.

Проблема здесь чисто техническая. Стрела времени заложена не в общую теорию относительности саму по себе, а в ее следствия, которые мы применяем, рассматривая черные дыры. Мы как бы подразумеваем, что в прошлом на ее месте была звезда или другой астрофизический объект, который (двигаясь в будущее) сколлапсировал в черную дыру. Путем математических рассуждений мы можем обратить время вспять и вернуться к тому моменту, когда на том же месте существовала белая дыра — противоположность черной, окруженная горизонтом событий сингулярность, источник материи, которая, покидая дыру, не может туда вернуться. Ученые не верят в существование белых дыр, но в современной космологии считается, что наша Вселенная в далеком прошлом возникла из сингулярности Большого взрыва. У этих теорий есть много общего: Вселенная в чем-то похожа на белую дыру.

Такие аналогии наводят на мысли о глубокой связи черных дыр с термодинамикой (из-за которой и появляется стрела времени). В начале семидесятых физики обратили внимание на сходство теоремы Хокинга («площадь горизонта всегда увеличивается») со вторым законом термодинамики («энтропия всегда увеличивается»).

Впрочем, в ту пору на это сходство смотрели лишь как на забавное совпадение, не более. Когда Яаков Бекенштейн, аспирант Джона Уилера, предположил, что черные дыры обладают энтропией и что она пропорциональна площади горизонта событий, известные ученые высмеяли его работу. И не без оснований, ведь если объект обладает энтропией, он должен иметь и температуру. (В классической термодинамике температура системы постоянного объема равна производной энергии по энтропии.) Температура предполагает наличие теплового излучения, а если так, черные дыры не могут быть черными.

Хокинг был возмущен идеей Бекенштейна, и даже решил доказать ее ошибочность при помощи методов, которые находятся на стыке квантовой теории поля с общей теорией относительности. Однако в итоге он доказал, что Бекенштейн прав. У черных дыр действительно есть энтропия и температура, от них действительно исходит излучение, если принять во внимание квантовые эффекты. О них мы поговорим в другой раз, когда освоим квантовую механику. Пока же скажем лишь, что излучение Хокинга очень слабое. Температура черной дыры, сравнимой по массе с Солнцем, не превышает одной миллионной доли градуса Кельвина — слишком мало для измерения. У более массивных черных дыр температура еще ниже.

Реальный мир

В 2020 году, к немалому удивлению физиков, Нобелевскую премию получили Роджер Пенроуз, Рейнхард Генцель и Андреа Гез. Никто, естественно, не сомневался в важности работ этих ученых. Все дело в том, что Шведская королевская академия наук, которая и присуждает Нобелевские премии, чаще всего отмечает ими успешные эксперименты либо новые теоретические модели. В данном же случае Пенроуз использовал давно проверенную теорию (относительности), чтобы доказать реальность явления природы (черных дыр), а наблюдения Генцеля и Гез подтвердили его выводы, показав существование реальной черной дыры в центре нашей галактики.

Черные дыры перешли из разряда теоретических диковинок в авангард современной астрофизики. Несмотря на то что никто пока не видел ни одной из них (что, может быть, и к лучшему), существует множество доказательств их существования и проявления во многих астрофизических процессах.

Черные дыры весьма разнообразны и по размерам, и по происхождению. Наиболее известная их разновидность — те, что образуются на месте погасших звезд. Звезда сияет, пока легкие элементы внутри нее сливаются в массивное ядро, выделяя энергию. Но топливо со временем заканчивается. На этом этапе большинство звезд становятся белыми карликами, которые постепенно остывают, или, при большей массе, — нейтронными звездами, внутри которых протоны и электроны, объединяясь, образуют нейтроны. На месте же самых массивных звезд появляются черные дыры. Ученые считают, что большинство черных дыр, которые образовались подобным образом, имеют массу по меньшей мере в три раза больше, чем Солнце.

Но как же мы сможем обнаружить такие черные дыры? Они ведь действительно черные. Все дело в том, что они вращаются. Даже небольшое вращение исходной звезды может сильно раскрутить черную дыру при сжатии до ее размеров. Вращение же приводит к тому, что притянутая дырой материя, накапливаясь, образует на ее экваторе аккреционный диск. Такой материи может быть очень много, особенно когда черная дыра возникает на месте одной из звезд двойной звездной системы. Температура аккреционного диска очень высока, достаточна для сильного рентгеновского излучения. Именно его и могут наблюдать астрономы. К сожалению, у большинства черных дыр таких аккреционных дисков нет. Тем не менее, с учетом количества массивных звезд во Млечном Пути, ученые считают, что в нашей галактике могут быть сотни миллионов черных дыр. (На фоне ста миллиардов звезд это совсем немного.)

В центрах галактик скрываются черные дыры другого типа. Их масса очень велика: в миллионы и даже миллиарды раз больше, чем масса Солнца. Ученые считают, что такие дыры есть в большинстве крупных галактик, в том числе и в нашем Млечном Пути. (Наша черная дыра в четыре миллиона раз тяжелее Солнца.) Ученые узнали о ней, наблюдая за орбитами звезд, вращающихся вокруг компактной темной области в созвездии Стрельца. Именно за эти наблюдения Генцель и Гез и получили Нобелевскую премию.

Млечный Путь — довольно старая галактика, и большая часть газа и пыли давно превратилась в звезды. Нечему скапливаться вокруг черной дыры, и ее плохо видно. Но в молодых галактиках часто встречаются черные дыры с огромными, ярко светящимися аккреционными дисками. Они разбросаны по всей наблюдаемой нами Вселенной и предстают перед нами в виде квазаров или (в более общем смысле) активных галактических ядер.

Вот что Кип Торн рассказывает о Первом техасском симпозиуме по релятивистской астрофизике, который состоялся в Далласе в декабре 1963 года[30]. Тогда астроном Мартен Шмидт впервые измерил расстояние до квазара и показал, что оно очень велико. Квазар кажется очень ярким даже при взгляде с Земли, так что едва ли мы можем представить себе его реальное свечение. Собравшиеся на симпозиум ученые были в восторге. Они увлеченно спорили о квазарах, об их изучении с помощью теории относительности. Тем временем один молодой математик из Новой Зеландии прочел небольшой, но очень мудреный доклад о новом решении уравнения Эйнштейна для вращающегося пространства-времени. Слушатели почти не заметили его, а многие даже вышли из зала, чтобы перекусить. Докладчиком был Рой Керр. Тогда почти никто не понял, что он предложил инструмент, который сыграет важнейшую роль в изучении квазаров, — метрику черной дыры.

В 2015 году появился совершенно новый способ для сбора данных о черных дырах: гравитационные волны. Если гравитация — это искривление пространства-времени, то гравитационная волна — пульсация кривизны, которая распространяется со скоростью света. Подобно тому как при быстром движении заряженных частиц возникают привычные нам электромагнитные волны, быстрое движение массивных объектов вызывает волны гравитационные.

Но гравитация — очень слабая сила, и потому обнаружить такие волны непросто. В 2015 году об их существовании впервые сообщили ученые из лазерно-интерферометрической гравитационно-волновой обсерватории (LIGO), которые работали в сотрудничестве со специалистами из обсерватории VIRGO в Европе. LIGO состоит из двух обсерваторий, в каждой из которых имеются пары вакуумных лазерных тоннелей, расположенных под прямым углом друг к другу. Длина каждого тоннеля — четыре километра. Лазерный луч испускается из одного конца тоннеля, отражается от зеркала на другом конце и возвращается к источнику. Гравитационные волны вызывают едва заметные искажения пространства-времени, что изменяет время, которое необходимо лучу на путь до зеркала и обратно. Воздействие действительно очень мало: типичная волна отклоняет зеркало не больше чем на диаметр протона. Неудивительно, что для создания столь чувствительного прибора потребовались миллионы долларов и годы проектирования. Неудивительно и то, что в 2017 году Райнер Вайс, Кип Торн и Барри Бэриш получили за эту работу Нобелевскую премию.

Обнаруженные в 2015 году гравитационные волны возникли при слиянии двух черных дыр, масса которых была в 36 и 29 раз больше массы Солнца, двух гигантов, летевших рядом друг с другом примерно в миллиарде световых лет от нас. Орбитальное движение порождало гравитационные волны, и дыры, теряя энергию, постепенно сближались. Слияние произошло почти мгновенно, и через несколько секунд вместо двух черных дыр появилась одна.

С тех пор в обсерваториях LIGO и VIRGO наблюдали десятки подобных событий, чаще всего с участием черных дыр массой от десяти до ста Солнц. И это при том, что детекторы могут улавливать не все волны: на это влияет и природа конкретных черных дыр, и длина самих волн.

Современные астрофизики полны ожиданий и надежд. Ведь перед ними открылось еще одно окно, через которое видно космос. Мы, разумеется, узнаем много нового о черных дырах и жизненных циклах звезд, структуре галактик и даже, быть может, о форме и размерах Вселенной. Настоящие ученые всегда готовы узнать что-то совершенно неожиданное.

Приложения

Приложение A. Функции, интегралы и производные

На случай, если вы вдруг преисполнитесь сил заняться решением уравнений, которые мы обсуждали, в этом приложении мы рассмотрим наиболее часто встречащиеся функции и операции с ними.

Несколько слов об обозначениях. Мы часто используем буквы из конца алфавита (например, x, y и z) в качестве переменных — величин, которые нам неизвестны и которые нужно найти. Начальные буквы алфавита (например, a, b и c) обычно обозначают константы — некоторые определенные значения. Буквы f, g и им подобные традиционно используются для функций, отображающих одну переменную на другую. Едва ли не в каждой книге встречаются формулы типа f(x) = ax + b, где x — переменная, a и b — константы, а f(x) — функция от x. При этом переменная x может принимать любые, совершенно произвольные значения, тогда как константы a и b неизменны, даже когда их точные значения нам неизвестны или непринципиальны. Это различие очень важно.

Все это, конечно, просто традиция. Никто не запрещает использовать любые буквы. К тому же мы скоро исчерпаем латинский алфавит и будем вынуждены прибегнуть к греческому.

Определенные и неопределенные интегралы

Во время знакомства с интегралами в главе 2 мы упустили одну важную деталь: интеграл представляет собой площадь под кривой. Но это имеет смысл только в том случае, если мы указываем начало и конец области, площадь которой мы ищем. Поэтому различают определенные интегралы, для которых начальная и конечная точки заданы, и неопределенные, для которых они не указываются.

Пусть F(x) — интеграл некоей функции f(x), то есть:

(A.1)

Это и есть неопределенный интеграл. На самом деле мы упускаем здесь одну важную вещь. Поскольку начальная и конечная точки не указаны, мы не можем получить точное значение интеграла. Поэтому, строго говоря, мы должны были бы добавить к этому выражению произвольную постоянную С (то есть написать «F(x) + C»)[31]. Однако часто этот факт считается очевидным для читателя, и произвольная постоянная опускается. В большинстве случаев в этой книге под словами «интеграл функции» понимается именно неопределенный интеграл.

Для определенных интегралов начальная и конечная точки указываются начальная под знаком, а конечная — над ним:

(A.2)

Таким образом, определенный интеграл — это разность между значениями неопределенного интеграла в конечной и начальной точках. Давайте посмотрим, как это работает.

Постоянные функции

Рассмотрим очень простую функцию, а именно постоянную: f(x) = c. Тут особенно не о чем говорить, но с чего-то же надо начать. У постоянной функции наклон отсутствует, а значит, производная, без всяких сомнений, равна нулю:

(A.3)

Неопределенный интеграл будет пропорционален x:

(A.4)

Это означает, что определенный интеграл будет пропорционален расстоянию между начальной и конечной точками:

(A.5)

В этом легко убедиться, посмотрев на следующий рисунок. Здесь c = 2, a = 1, а b = 3. Площадь под кривой составляет 2 × (3–1) = 4, чего и следовало ожидать.

В формуле (A.5) скобки показывают, что число c умножается на разность b — a, а не то, что b — a — аргумент функции с, как x в выражении f(x). Обозначения одинаковы, но смысл разный. Предполагается, что читатель понимает его из контекста.

Линейные комбинации

В математике суммы, похожие на af(x) + bg(x), где a и b — константы, называются линейными комбинациями функций f(x) и g(x). При этом слово «линейная» означает, что каждая из функций входит в выражение только один раз и только в первой степени. Умножение и возведение в другие степени — операции нелинейные.

Интегрирование и дифференцирование — линейные операции, то есть производная линейной комбинации равна линейной комбинации производных. То же самое касается и интегралов. Для производных имеем:

(A.6)

Для интегралов:

(A.7)

То же самое (разумеется) происходит и в случаях, когда второго слагаемого нет, то есть мы ищем производную либо интеграл от af(x). В таких случаях мы «выносим константу за знак производной (или интеграла)». А так как мы интегрируем по x (на что указывает обозначение dx), мы можем считать константой все, что не зависит от x, даже если речь идет о функциях других переменных: ∫f(x)g(y)dx = g(y)∫f(x)dx.

Произведения

Поговорим о произведении двух функций, f(x)g(x). Мы будем опускать (x) и писать fg: так будет понятней. В таких случаях используется простая, но не слишком интуитивная формула:

(A.8)

То есть у нас «сумма произведения первой функции на производную второй и произведения второй функции на производную первой». Это так называемое правило Лейбница (про которого мы уже не раз говорили).

Именно потому, что есть вот такая симпатичная формула, математики и считают взятие производных «легким» процессом. Почти все интересующие нас функции можно представить (может быть, рекурсивно) в виде суммы или произведения других функций. Правило Лейбница подразумевает, что производные большинства функций могут быть в явном виде выражены через другие функции (или, как мы говорим, «в замкнутой форме»).

Казалось бы, по аналогии с производными должна существовать столь же красивая формула для интегралов. Но, к сожалению, это не так. Интегрировать трудно и в теории, и на практике.

Степени

Переходя от общих принципов к конкретным функциям, мы часто сталкиваемся с переменной x, возведенной в степень a: xa. При этом переменная называется основанием, а число а — показателем степени. (Эти функции следует отличать от экспонент, где какая-то постоянная возводится в степень переменной. Мы поговорим о них позже.) Если a — целое положительное число, то xa равно x, умноженному само на себя а раз. Но есть математические правила, при помощи которых можно возвести x в любую степень: хоть в дробную, хоть в отрицательную, хоть в комплексную.

Два полезных свойства степеней: при перемножении степеней одной и той же переменной показатели степени складываются, при возведении переменной в какой-то в степени в другую степень — перемножаются.

x ax b = x a+b, (x a)b = x ab. (A.9)

Рассмотрим несколько простых (и, вероятно, знакомых) примеров. Функция x2 называется параболой.

Эта функция никогда не принимает отрицательных значений, поскольку при умножении двух отрицательных чисел (в данному случае двух — x) получается положительное число. То же самое происходит при возведении x в любую четную степень. Графики таких функций будут похожи на параболу. Если же возводить x в нечетную степень, отрицательная сторона функции будет отрицательная, как на графике функции x3.

Переменную можно возвести и в дробную степень, хотя при этом мы ограничены только неотрицательными значениями x. Можно сказать, что возведение в степень 1/a отменяет его возведение в степень a, так как при этом показатели степени складываются:

(A.10)

В результате график функции — это лежащая на боку парабола.

Чтобы понять, что происходит с числом при возведении в отрицательную степень, рассмотрим произведение числа в первой и минус первой степенях.

x · x –1 = x 1–1 = x 0 = 1. (A.11)

Тогда понятно, что x–1 = 1/x. Такая функция называется обратной. Ее график имеет разрыв при x = 0, но мы не должны этого бояться. Мы говорим, что в этой точке функция 1/x не определена.

Производная степени — сама простота: показатель степени без изменений опускается вниз, а из исходного показателя вычитается единица:

(A.12)

При интегрировании, как можно представить, показатель увеличивается на единицу:

(A.13)

Забавы ради можно убедиться в этом: сначала взять производную, а потом найти от нее интеграл. Получится исходная функция.

Но есть здесь одна проблема: при a = –1 в выражении (A.13) появляется деление на ноль. Действительно, для этого случая предусмотрена отдельная формула:

(A.14)

Вертикальные черточки — это знак модуля: если значение x положительно, оно остается как есть, если же отрицательно — умножается на –1, то есть становится положительным. Функция ln x — натуральный логарифм. О них мы поговорим в следующем разделе.

Экспоненты и логарифмы

Теперь рассмотрим экспоненциальную функцию, то есть основанием является постоянная, а переменная выступает в роли показателя степени: f(x) =ax. Все очень просто. График этой функции (для а = 2) будет иметь вид:

Функция, обратная к ax, называется логарифмом (по основанию а), то есть:

(A.15)

Обычно экспонента означает быстрый рост, а логарифм, напротив, медленный рост с возрастанием x. При x = 1 логарифм всегда равен нулю, тогда как loga(a) = 1. При очень малых значениях x логарифм стремится к —∞, что объяснимо, ведь loga(x) — это «основание, которое нужно возвести в степень a, чтобы получить x», а значит, чтобы получить очень маленькое значение x, нам нужно возвести его в очень большую отрицательную степень.

В мире экспонент и логарифмов есть особое число — число Эйлера:

e = 2,71828… (A.16)

В дробной части числа e бесконечное число цифр, которые никогда не образуют повторяющихся групп. Точно так же, как в числе π = 3,14159… Это так называемые иррациональные числа, которые нельзя представить как частное двух целых чисел. Есть много способов определить число e, но, пожалуй, самый лучший из них таков: функция ex — единственная непостоянная функция, которая равна собственной производной:

(A.17)

При других основаниях производная экспоненты равна:

(A.18)

Здесь снова появляется натуральный логарифм. Теперь мы можем сказать, что он равен логарифму по основанию e:

ln(x) = loge(x). (A.19)

Мы уже видели натуральный логарифм в выражении (A.14) — формуле интеграла от функции 1/x. Если посмотреть на выражение (A.18) и вспомнить, что loga(a) = 1 при любых a, можно заметить, что при a = e неудобный множитель ln(a) исчезает, и мы получаем красивую формулу (A.17). Вот почему большинство физиков по возможности используют e в качестве основания логарифма.

Формула интеграла от логарифма так же проста:

(A.20)

Производная логарифма:

(A.21)

Интеграл от него:

(A.22)

Для тренировки попробуйте посмотреть, как изменятся эти формулы при a = e, когда ln(a) = ln e = 1.

Тригонометрические функции

И наконец, мы рассмотрим еще один набор часто используемых функций: тригонометрические функции, а именно синус и косинус. Их аргументы, как правило, представляют собой углы, а не просто реальные числа, и чтобы подчеркнуть это, мы будем использовать букву θ вместо x. Кроме того, важно сказать, что все углы мы будем измерять в радианах, а не в градусах. Сто восемьдесят градусов соответствуют π радиан. Несложно выполнить и обратное преобразование.

Мы обсуждали тригонометрические функции в главе 3, поэтому здесь мы сразу перейдем к их интересным свойствам. Теорема Пифагора показывает нам знаменитое соотношение между синусом и косинусом:

(sin θ)2 + (cos θ)2 = 1. (A.23)

Также по теореме Пифагора мы можем определить модуль (длину) вектора с компонентами vi в трехмерном пространстве Евклида:

(A.24)

Тогда скалярное произведение двух векторов мы можем выразить двумя равнозначными способами: через компоненты и при помощи косинуса угла между векторами:

(A.25)

Синус и косинус, что любопытно, являются производными друг друга:

(A.26)

(A.27)

Главное, не перепутать, где ставить минус. Запомнить это несложно: график cos θ начинается с единицы и направлен вниз. Значит, его производная для небольших углов будет отрицательна, что означает — sin θ. Интегралы находятся аналогичным образом. Единственное отличие — минус появляется в другом месте (что и логично, ведь интеграл — обратное действие к взятию производной).

(A.28)

(A.29)

Приложение Б. Связность и кривизна

Обсуждая геометрию (глава 7), мы рассмотрели все понятия, нужные для понимания концепции геодезических линий и уравнения Эйнштейна, не сказав при этом ни слова о том, как вывести их из какой-то произвольной метрики. Заполним пробелы. Представим себя в четырехмерном пространстве-времени и перейдем с латинских букв на греческие. Впрочем, все формулы будут работать и в обычном пространстве, и при любом количестве измерений.

Когда в главе 8 мы выводили уравнение Эйнштейна, нам потребовался скаляр кривизны Риччи, который можно получить при помощи «обратной метрики». Давайте обсудим, что это такое. Для начала введем чрезвычайно полезный тензор — дельту Кронекера, у которой есть один верхний и один нижний индекс. В четырех измерениях он выглядит следующим образом:

(Б.1)

В матричном представлении дельта Кронекера представляет собой единичную матрицу — аналог единицы в стране матриц: при умножении любой матрицы на единичную мы получаем исходную матрицу.

С учетом этого можно представить обратную метрику как тензор, который нужно умножить на исходную метрику, чтобы получить дельту Кронекера. Метрический тензор gµν представляет собой симметричный тензор с двумя нижними индексами, а значит, обратная метрика будет симметричным тензором с двумя верхними и соответствовать следующему условию:

gµλgλν = δµν. (Б.2)

Какое прекрасное зрелище! Взгляните на индексы. В формулах с тензорами они бывают двух типов: немые и свободные. Немые индексы всегда встречаются дважды: один раз вверху и один раз внизу, как λ в выражении (Б.2). Сама буква значения не имеет, важно лишь, чтобы она была и в верхней, и в нижней позиции. (Суммировать только по верхним или только по нижним импульсам нельзя.) Свободные индексы, напротив, встречаются только один раз, как µ и ν в выражении (Б.2). Мы можем выбрать любые буквы, но крайне важно, чтобы они были в каждом слагаемом (то есть произведении элементов тензоров). Именно так происходит в выражении (Б.2): верхний индекс µ и нижний индекс ν — свободные индексы, которые есть и в левой, и в правой части. Попытка сложить тензоры с несовпадающими свободными индексами ни к чему хорошему не приведет.

В обычной геометрии Евклида о метриках ничего не говорится. Но это не значит, что их там нет. Например, мы можем сказать, что скалярное произведение двух трехмерных евклидовых векторов равно . Мы можем записать и саму метрику. В декартовой системе координат она будет выглядеть так:

(Б.3)

Сравнив элементы (трехмерных модификаций) матриц из выражений (Б.1) и (Б.2), получим обратную матрицу, которая будет выглядеть точно так же:

(Б.4)

Именно поэтому можно пройти полный курс геометрии в средней школе, ни разу не услышав слово «метрика». В плоском пространстве и декартовых координатах все элементы метрики, обратной метрики и дельты Кронекера одинаковы.

Однако в общем случае это не так: элементы обратной метрики обычно не совпадают с элементами обычной. Если метрика диагональна, нам повезло (чего не сказать о тех, кому досталась не диагональная): все элементы обратной метрики будут обратны по отношению к элементам обычной. Например, для плоского трехмерного евклидова пространства в сферических координатах метрика равна:

(Б.5)

Обратная метрика в этом случае будет равна:

(Б.6)

В плоском пространстве мы можем, по крайней мере, выбрать декартову систему координат, в которой обычная метрика совпадает с обратной. Но в общем случае такой возможности нет, поэтому метрики важно различать.

Наличие обычной и обратной метрик позволяет нам выполнять две любопытные операции с тензорами: опускание и поднятие индекса. Как можно заметить даже по обозначениям матриц, разница между верхними и нижними индексами принципиальна. Но мы можем опустить верхний индекс, то есть сделать его нижним. Для этого тензор нужно умножить на метрику и просуммировать по этому индексу. Аналогичным образом можно поднять нижний индекс при помощи обратной метрики. Например, если у нас имеется вектор vµ, можно сказать, что:

vμ = gμνvν. (Б.7)

И если обратная метрика соответствует условию (B.2), сначала опустив, а затем подняв индекс любого тензора, мы гарантированно получим исходный тензор (поскольку суммирование по δμν равносильно полному отсутствию каких-либо действий):

g µλvλ = g µλgλνv ν = δ µνv ν = v µ. (Б.8)

Именно эти тензорные операции были нужны нам, чтобы определить скалярную кривизну Риччи в главе 8. У тензора Римана обычно один верхний и три нижних индекса, поэтому несложно «свернуть» один из них (просуммировать по нему) и получить тензор Риччи: Rµν = Rλµλν. Но дальше мы получаем тензор с двумя нижними индексами, который уже невозможно свернуть в скаляр. Однако мы можем поднять один из них при помощи обратной матрицы: Rµν = gµλRλν, после чего приступить к свертке: R = Rλλ или, что то же самое, R = gλσRλσ. Именно этот скаляр и позволил Эйнштейну найти такой тензор, который может быть пропорционален тензору энергии-импульса без нарушения закона сохранения энергии.

Поднятие индексов здорово пригодилось и при определении тензора Римана. В этом процессе нам очень важно описать параллельное перемещение вектора Wµ вдоль параметризованной кривой xµ(λ). (Хотя буква λ и греческая, здесь она служит не индексом, а параметром, который показывает местоположение на траектории.) Иными словами, для каждой точки этой кривой нам нужно определить значение вектора Wµ(λ), при котором выполняется условие параллельного переноса:

(Б.9)

В этой формуле понятны все обозначения, кроме Гμσρ. Это так называемые коэффициенты связности, или же символы Кристоффеля. Внешне они похожи на элементы тензора, но на самом деле не являются ими. (Так как зависят от системы координат не по-тензорски.) Поэтому мы и называем их «коэффициентами» или «символами». Они определяют то, что на практике мы понимаем под связностью на многообразии, данные, которые нам нужны для сравнения векторов и тензоров в точках, находящихся рядом друг с другом. Связность также очень важна в калибровочных теориях в физике частиц.

Чтобы определить коэффициенты связности, нам потребуется еще одно обозначение: на этот раз не какого-то глубокомысленного понятия, а просто для экономии времени. При изучении тензорных полей на многообразиях очень часто приходится брать частные производные по координатам xµ. Настолько часто, что мы придумали для этого удобное обозначение:

(Б.10)

Поняли, в чем тут хитрость? Координата xµ имеет верхний индекс, но при взятии частной производной оказывается в знаменателе. Поэтому в обозначении ∂μ мы используем нижний индекс.

Теперь, разобравшись с обратной метрикой и новым обозначением частичной производной, можно задуматься над формулой коэффициентов связности:

(Б.11)

Пока вы читаете эти строки, где-то на белом свете живут студенты, которые изучают общую теорию относительности, а потому должны вычислять коэффициенты связности по этой формуле. Попробуйте и вы. Возьмите плоскую метрику в сферической системе координат (Б.5): эта задача достаточно сложна, но все же вполне выполнима. Поскольку у Гρμν три индекса, в трех измерениях получится 33 = 27 элементов. Но при диагональной метрике, которая зависит всего от двух координат, многие из них окажутся нулевыми. Просто помните о том, что суммировать нужно по всем индексам.

Коэффициенты связности описывают процесс параллельного переноса, а значит, с их помощью можно определить геодезические линии. Действительно, ведь они представляют собой траектории, на которых возможен параллельный перенос вектора скорости dxµ/dλ. Если подставить этот вектор в выражение (Б.9) вместо Wµ, получим уравнение геодезической линии:

(Б.12)

При помощи формулы (Б.11) мы можем вычислить коэффициенты связности для заданной метрики gµν, а затем использовать их, чтобы найти геодезические линии xµ(λ), а значит, узнать, как движутся сквозь пространство-время реальные физические объекты, от планет до фотонов.

И наконец, еще одно важное применение коэффициентов связности: они позволяют определить тензор кривизны Римана, о котором мы говорили в главе 7. Если когда-нибудь вам придет в голову посчитать его элементы, воспользуйтесь следующей замечательной формулой:

(Б.13)

Конечно, сегодня студенты в здравом уме не вычисляют такие тензоры вручную. Для этого существуют компьютерные программы, которые не делают ошибок. Не то что раньше. Сидишь, бывало, на кухне, перебираешь бумажки, густо исписанные формулами, и думаешь: «Где ж это я умудрился поставить µ вместо ν?» Хорошие были времена.

Рекомендуем прочитать

Квантовые миры и возникновение пространства-времени

Шон Кэрролл

Надеемся, что отсутствие формул в книге не отпугнет потенциальных читателей. Шон Кэрролл — физик-теоретик и один из самых известных в мире популяризаторов науки — заставляет нас по-новому взглянуть на физику. Столкновение с главной загадкой квантовой механики полностью поменяет наши представления о пространстве и времени. Большинство физиков не сознают неприятный факт: их любимая наука находится в кризисе с 1927 года. В квантовой механике с самого начала существовали бросающиеся в глаза пробелы, которые просто игнорировались. Популяризаторы постоянно твердят, что квантовая механика — это что-то странное, недоступное для понимания… Чтобы все встало на свои места, достаточно признать, что во Вселенной мы существуем не в одном экземпляре. Шонов Кэрроллов бесконечно много. Как и каждого из нас. Тысячи раз в секунду во Вселенной возникают все новые и новые наши копии. Каждый раз, когда происходит квантовое событие, мир дублируется, создавая копию, в которой квантовое событие так и не произошло. В квантовой механике нет ничего мистического или необъяснимого. Это просто физика.

Вселенная. Происхождение жизни, смысл нашего существования и огромный космос

Шон Кэрролл

Знаменитый физик Шон Кэрролл в свойственной ему увлекательной манере объясняет принципы, которые лежат в основах научных революций от Дарвина до Эйнштейна, и показывает, как невероятные научные открытия последнего столетия изменили наш мир. Что есть жизнь и смерть, каково наше место в этой Вселенной, как устроен мир на квантовом, космическом и человеческом уровне, как общечеловеческие ценности связаны с наукой? Четырнадцать миллиардов лет минуло с момента Большого взрыва, наблюдаемая область пространства заполнена несколькими сотнями миллиардов галактик, каждая галактика в среднем содержит сто миллиардов звезд. Человек — крошечное, незаметное существо. По сравнению со Вселенной человек еще мельче, чем атом по сравнению с Землей. Мы малы, Вселенная велика, и у нас нет инструкции для ее познания. Тем не менее мы удивительно много узнали о том, как именно устроено все вокруг.

Квантовые миры и возникновение пространства-времени

Ш. Кэрролл

Надеемся, что отсутствие формул в книге не отпугнет потенциальных читателей. Шон Кэрролл — физик-теоретик и один из самых известных в мире популяризаторов науки — заставляет нас по-новому взглянуть на физику. Столкновение с главной загадкой квантовой механики полностью поменяет наши представления о пространстве и времени. Большинство физиков не сознают неприятный факт: их любимая наука находится в кризисе с 1927 года. В квантовой механике с самого начала существовали бросающиеся в глаза пробелы, которые просто игнорировались. Популяризаторы постоянно твердят, что квантовая механика — это что-то странное, недоступное для понимания… Чтобы все встало на свои места, достаточно признать, что во Вселенной мы существуем не в одном экземпляре. Шонов Кэрроллов бесконечно много. Как и каждого из нас. Тысячи раз в секунду во Вселенной возникают все новые и новые наши копии. Каждый раз, когда происходит квантовое событие, мир дублируется, создавая копию, в которой квантовое событие так и не произошло. В квантовой механике нет ничего мистического или необъяснимого. Это просто физика.

История всего. 14 миллиардов лет космической эволюции. 3-е межд. издание

Нил Деграсс Тайсон, Дональд Голдсмит

«В начале всех начал была физика». 14 миллиардов лет. Полет нормальный. А ведь когда-то, сразу после Большого взрыва, Вселенная увеличилась настолько, что достигла размеров грейпфрута. За эти 10(-33) секунды в ее истории прошла целая эпоха. Когда-то во Вселенной было настолько жарко, что в ней еще не могли образоваться звезды, а потом все стало гораздо интереснее. Выйдите ясной ночью на улицу, полюбуйтесь просторами Млечного Пути, а потом прочтите эту книгу и осознайте, что история всего на свете только начинается. У вас в руках увлекательная и завораживающая книга для всех, кто любит смотреть в небо и хочет понимать, что же он там видит. Добро пожаловать во Вселенную (кстати, полотенце не забудьте)! Что же изменилось с момента выхода предыдущего издания книги? Обнаружено более пяти тысяч экзопланет. Появились новые детекторы, способные улавливать гравитационные волны от источников, удаленных на миллиарды световых лет от Земли. Мы по новому взглянули на пять небесных тел, включая Марс, которые считали неинтересными, слишком холодными и маленькими. Построили новые наземные и космические обсерватории. Невозможно в несколько строк вместить все открытия в биологии, астрономии и астрофизике, совершенные в последнее время. Так что база научных знаний, на которой строится наше восприятие Вселенной, обновилась. “Тайсон и Голдсмит — лучших гидов по космическим путешествиям и пожелать нельзя.” — Митио Каку.

Примечания

1

Здесь и в дальнейшем я буду писать букву ё в именах и фамилиях, чтобы вы знали, как правильно их произносить.

2

Почему 1/2? На то есть причина, но чтобы ее понять, потребуется дифференциальное исчисление, знакомство с которым нам еще предстоит. Немного забегая вперед, скажу, что когда мы воздействуем на объект, накопленная им энергия будет равна интегралу силы по расстоянию. Согласно второму закону Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение. Ускорение — это производная скорости по времени, а интеграл ускорения по расстоянию равен интегралу скорости по скорости. При этом . Возможно, сейчас все кажется бессмыслицей. Наберитесь терпения.

3

Иногда говорят о «релятивистской массе», которая растет с увеличением скорости. Но это сложно, да и излишне. Лучше без усложнений считать массу объекта постоянной величиной, а его энергию — зависящей от скорости.

4

В российской традиции обычно говорят о «сферическом коне в вакууме». История этого термина началась со школьного анекдота: «Одна лошадиная сила равна силе, изменяющей за одну секунду скорость на один метр в секунду абсолютно черного сферического коня в вакууме массой один килограмм и объемом один литр, хранящегося в палате мер и весов в Париже». — Примеч. ред.

5

Рокки Колб. «Blind watchers of the sky. The people and Ideas That Shaped Our View of the Universe» (Basic Books, 1997), с. 134.

6

В данном случае аргументом функции является x, а f(x) — ее значение. Знак равенства не говорит о присвоении значений, хотя мы можем записать, к примеру, что y = f(x). При построении графика функции x будет откладываться по горизонтальной оси, а f(x) — по вертикальной.

7

Вы понимаете, почему «почти любую»? Допустим, что нам, к несчастью, досталась система, в которой c = d = 0 (ее потенциал в точности равен V(x) = ex4). Такую систему нельзя аппроксимировать гармоническим осциллятором даже при малых значениях x.

8

Письмо Исаака Ньютона Ричарду Бентли, 25 февраля 1692 г. The Newton Project, http://www.newtonproject.ox.ac.uk/view/texts/normalized/THEM00258/.

9

По крайней мере, так их рисуют специалисты по теории относительности и пространству-времени. У компьютерщиков время обычно идет вниз, а у тех, кто занимается физикой частиц, — слева направо. Или справа налево, если рисующий говорит на арабском или иврите.

10

Почему не 365? Если бы Земля не вращалась вокруг своей оси, а только вокруг Солнца, люди встречали бы рассвет один раз в год. И движение Солнца было бы обратным по сравнению с тем, что мы видим из-за вращения Земли. В итоге мы встречаем на один рассвет в год меньше, чем количество полных оборотов Земли.

11

В современном компьютере, на котором я пишу эти строки, 64 гигабайта оперативной памяти. Этого хватит, чтобы сохранить достаточно приблизительные значения импульсов и положений примерно 109 частиц. Для данных по даже довольно маленькой макроскопической системе потребуется миллион миллиардов таких компьютеров, и это при том условии, что под данные будет задействована вся их память. Вряд ли у нас когда-нибудь будут такие возможности.

12

Если конкретно, энтропия макросостояния пропорциональна логарифму количества микросостояний в нем. Про логарифмы можно прочитать в приложении А.

13

От англ. present — настоящее. — Примеч. пер.

14

От англ. eternal — вечный. — Примеч. пер.

15

От англ. possible — возможный. — Примеч. пер.

16

Согласно недавнему исследованию, 31 % философов согласны с юмеанской точкой зрения на законы природы, 54 % не согласны, а еще 15 % ответили «другое». Д. Бурже (D. Bourget) и Д. Чалмерс (D. Chalmers) (2021), «Philosophers on Philosophy: The 2020 PhilPapers Survey», https://philarchive.org/archive/BOUPOP-3/.

17

Работы Лоренца настолько важны для специальной теории относительности, что поначалу ее порой называли «теорией Лоренца — Эйнштейна». Однако сам Лоренц не отказался от идеи о светоносном эфире и связанной с ним неподвижной системе отсчета.

18

Индексы выглядят так же, как степени, но служат лишь для обозначения компонентов. Вы можете спросить: почему не использовать подстрочные знаки? Не было бы такой путаницы… Когда мы перейдем к общей теории относительности, нам потребуются и подстрочные, и надстрочные. И они будут означать разные вещи.

19

Те, кто следит за научными дискуссиями, может заметить некую «иерархию», в которой понятия ранжируются по степени достоверности. На первой ступени идут «гипотезы» (которые не сильно надежнее догадок), затем «модели», «теории» и, наконец, «законы». Однако в обиходе настоящих ученых все эти термины пересекаются настолько, что пропадает всякий полезный смысл отличать один от другого. С другой стороны, существует важное и четкое различие между «теориями» — научными моделями устройства мира — и «теоремами» — хитроумно доказанными математическими утверждениями.

20

Как и в России, в Германии принята двухступенчатая система ученых степеней. Молодые ученые сначала получают степень доктора наук, которая примерно соответствует российской степени кандидата, а затем проходят так называемую хабилитацию, аналог обучения в докторантуре. В тексте исходные «немецкие» термины заменены более понятными читателю «российскими». — Примеч. пер.

21

Матрицей математики называют массив величин. В этой книге мы не будем гадать, живем ли мы в компьютерной симуляции.

22

Метрики и другие тензоры, о которых мы будем говорить, имеют определенные значения в разных точках пространства (или пространства-времени, когда мы до него дойдем). Поэтому фактически мы имеем дело с тензорными полями. Скалярное поле — это функция, которая принимает численное значение в каждой точке. Аналогичным образом можно говорить о векторных и других тензорных полях.

23

Если вам кажется, что из-за кривизны пространства мы можем не попасть в исходную точку, вы правы: это действительно так. Но так как наш контур очень мал, расхождение будет пренебрежимо мало по сравнению с величинами, которые мы хотим измерить.

24

Или флюидом (fluid). — Примеч. ред.

25

При отсутствии источников гравитации пространство-время не обязано быть плоским: например, его могут искривлять гравитационные волны. Но если пространство-время плоское, в нем точно нет никаких источников гравитации.

26

Можно сделать еще кое-что: добавить слагаемое, пропорциональное самой метрике Λgµν, где Λ (иногда называемая лямбда-член) — константа. Эйнштейн додумался до этого в 1917 году и назвал Λ космологической постоянной. Существование ненулевой космологической постоянной было окончательно подтверждено в 1998 году, когда астрономы открыли ускорение вселенной. Однако измеренное значение Λ настолько мало, что им можно пренебречь. Если, конечно, вы не занимаетесь космологией.

27

Если вам непременно хочется это знать, пространственный элемент , где g — определитель метрического тензора.

28

Такой выбор означает, что r не обязательно (или, как выясняется, фактически) будет расстоянием от начала координат. Это какая-то другая физическая величина, и мы не знаем наперед, как она связана с расстоянием, измеренным относительно сферы того или иного радиуса. Мы можем взять сначала какое-то одно значение, а после посмотреть, что будет при другом. Площадь же сферы и длина окружности определяются чисто геометрически, так как мы в принципе говорим о сферах.

29

В 2011 году мне довелось быть научным консультантом при съемках фильма «Тор». Если помните, в нем Натали Портман в роли Джейн Фостер упоминает об этом мосте. Это моя идея.

30

Kip Thorne, «Black Holes and Time Warps. Einstein’s Outrageous Legacy» (New York: W.W. Norton, 1994), chapter 9.

31

Пришел как-то математик в бар для физиков и встретил там старого друга, физика-теоретика. Взяли по пиву, разговорились.

— У нас тут все знатоки математики, — похвастался физик, — даже официантки.

— Не может такого быть, — засомневался математик и подозвал ближайшую. — Скажите, девушка, чему равняется интеграл от икс-квадрат по дэ-икс?

— Одна треть икс-куб, — сообщила та, не задумываясь.

— Вот видите, коллега, — обрадовался физик, — а вы сомневались.

— Ступайте, девушка, вам незачет, — грустно сказал математик. — Как же можно было забыть про плюс це?

Content

Шон Кэрролл
Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

От издательства

Введение

Один. Сохранение

Предсказуемость

От природы к закономерностям

Сохранение импульса

Удары и толчки

Классическая механика

Сохранение энергии

Почему существуют законы сохранения?

Философия сферической коровы

Два. Изменение

Планеты и силы

Ньютон и его законы

Локальный подход

Функции

Производные

Интегралы

Непрерывность и бесконечность

Три. Динамика

Важные сведения о движении

Относительность Галилея

Шар на холме

Взгляд с точки зрения энергии

Простой гармонический осциллятор

Гармонические осцилляторы повсюду

Фазовое пространство

Пространство путей

Наименьшее действие

Четыре. Пространство

Вещество или взаимосвязь?

Измерения

Измерения и силы

Новый взгляд на импульс и скорость

Механика Гамильтона

Уравнения Гамильтона

Частные производные

Локальное взаимодействие

Дальнодействие

Пять. Время

Время и пространство

Длина и продолжительность

Развитие во времени

Стрела времени

Обращение времени

Обратимость и CPT-инвариантность

Энтропия

Гипотеза о прошлом

Презентизм, этернализм, поссибилизм

Бытие и становление

Шесть. Пространство-время

Рождение пространства-времени

Два определения времени

Инерциальные траектории требуют максимум времени

Мысленный эксперимент с близнецами

Скорость времени

Пространство-время Минковского

Скорость света

Световые конусы

Системы отсчета

Сокращение длины

Синхронность и ее проблемы

Унификация

Семь. Геометрия

Геометрия Евклида

Неевклидова геометрия

Взгляд снаружи и взгляд изнутри

Многообразия

Обобщая Пифагора

Линейный элемент

Метрика

Метрика в искривленном пространстве

Тензоры

Параллельный перенос

Геодезические линии

Кривизна

Восемь. Гравитация

Инерциальная и гравитационная масса

Принцип эквивалентности

Свободное падение

Метрика пространства-времени

Тензор энергии-импульса

Уравнение Эйнштейна

Принцип действия

Эмпирические последствия

Девять. Черные дыры

Решение Шварцшильда

Замедление времени

Сингулярности

Черные дыры

Горизонт событий

Заряженные и вращающиеся черные дыры

Теорема о площади

Механика черных дыр

Реальный мир

Приложения

Приложение A. Функции, интегралы и производные

Определенные и неопределенные интегралы

Постоянные функции

Линейные комбинации

Произведения

Степени

Экспоненты и логарифмы

Тригонометрические функции

Приложение Б. Связность и кривизна

Рекомендуем прочитать

Примечания