Феликс Фликер

Магия физики. Как управлять тайными силами материи, создавать вещества из квантового мира и вызывать кристаллы из хаоса

Felix Flicker

THE MAGICK OF MATTER

Crystals, chaos and the wizardry of physics

© Felix Flicker, 2022

© Прокофьев Д.А., перевод на русский язык, 2023

© Издание на русском языке. ООО «Издательская Группа «Азбука-Аттикус», 2024

КоЛибри®

* * *

Феликс Фликер блистательно раскрывает тайны, скрывающиеся за магией нашего времени, которую мы называем физикой. Эта превосходно написанная книга вдохновит новое поколение научных волшебников и поможет поколению нынешнему постичь невероятную Вселенную, в которой мы живем.

Маркус дю Сутуа, профессор математики Оксфордского университета

Ироничная, глубокая и проницательная книга. Волнующее погружение в загадочный мир физики.

Чарльз Фостер, автор книги «Быть человеком»

Эту книгу обязательно должны прочитать те, кто хочет понять, как знание физики преобразует наш мир.

Феми Фадугба, автор книги «Верхний мир»

Увлекательная история о часто упускаемом из виду столпе современной науки.

Nature Physics

После этой книги вы перестанете воспринимать обычные, повседневные вещи как должное и заново откроете для себя удивительное волшебство мира.

BBC Radio 4

I

«Физика грязи»

Волшебница Вериана пробиралась по холодной, темной пещере, привычно нашептывая в свой кристалл заклинание. Дунув на камень, как если бы она сдувала семена с одуванчика, она пробудила в кристалле ослепительный красный свет, озаривший окружавшие ее мшистые скалы.

Пройдя еще немного, она оказалась перед входом. Путь ей преградила большая деревянная дверь, укрепленная широкими железными брусьями. В резком свете кристалла она нашла дверную ручку – толстое кольцо из черного железа. Она потянула за кольцо, но дверь не подалась: она была заперта. Найдя край двери, волшебница запустила пальцы в узкую щель между дверью и окружавшим ее камнем и нащупала засов, сделанный из того же грубого железа, что и кольцо.

Вериана снова заговорила с кристаллом тем же уверенным негромким голосом, и он стал постепенно темнеть. Через несколько секунд она вновь оказалась в абсолютной темноте. Встав напротив засова, она положила кристалл на ладонь и поднесла его к двери, как пучок травы к морде лошади. Когда она произнесла несколько слогов древнего языка, на этот раз более резким тоном, вновь появился свет – теперь это был узкий, сфокусированный красный пучок интенсивного жара. Проникнув в щель, луч прорезал засов, оставляя после себя красно-оранжевое свечение расплавленного железа. В воздухе разлился острый запах кузнечного горна. Свет исчез так же быстро, как появился. Она снова потянула за кольцо; дверь неохотно открылась. При этом с другой стороны, от сложенной из каменных глыб лестницы, в расширяющийся проем начали просачиваться свет и жизнь. Волшебнице предстояло потрудиться.

Эта книга – о колдовстве. В ней раскрываются секреты искусства волшебников и рассказывается, как научиться их использовать. Кроме того, в ней излагается история магии – повествование о том, как волшебники вывели из своих наблюдений за миром заклинания, которые они используют, и как современные волшебники продолжают разрабатывать новое волшебство для преобразования мира прямо на наших глазах.

В современном мире магию называют физикой, а колдовство, которым занимаются волшебники – физикой конденсированного состояния. Прежде чем мы поговорим о значении этих слов, я должен предупредить вас об одной особенности этой книги. Когда вы узнаёте, как использовать то или иное заклинание, производимое им действие перестает казаться вам волшебным. Оно становится прозаическим. Обыденным. Скучным. Такова цена магического знания. Чтобы вновь обрести способность поражаться так, как вы поражались, когда вам только показывали это волшебство, требуется много практики и терпения.

На протяжении большей части истории – и даже на памяти ныне живущих людей – история, которую вы только что прочитали, относилась к жанру фантастики. Если вы могли достать из кармана кристалл, способный осветить пещеру по вашему желанию, тут, несомненно, происходило нечто волшебное, а вы были колдуном. Однако в наши дни это действие стало совершенно прозаическим: такой кристалл называется светодиодом; нажав на выключатель, вы пускаете через него электрический ток, и от этого появляется свет. Лазерный диод – тоже кристалл – испускает интенсивный свет, и, если его сфокусировать, он может разрезать твердый металл. Сейчас вам, вероятно, кажется, что вас обманули. В использовании светодиодного фонарика нет никакой магии. Светодиодный фонарик – это скучно! В магии должно быть нечто непонятное, нечто неизвестное. Светодиодные фонарики неинтересны, потому что они нам знакомы и потому что мы – до той или иной степени – понимаем, как они работают. Но если бы можно было показать такой фонарик человеку, жившему в Средние века, он, несомненно, счел бы его вещью волшебной, потому что лежащая в его основе технология выходила за рамки привычного. При наличии достаточного времени средневековому человеку можно было бы объяснить эту технологию. При этом, по мере все большего знакомства с ней, фонарик переставал бы казаться волшебным. Но в самом ли деле он теряет свои волшебные качества? Или это всего лишь иллюзия?

Чтобы увидеть волшебные аспекты привычных вещей, нужно потрудиться, но эти аспекты у них есть. Физика – это программа рационализации и познания мира. Многое из того, что некогда считалось волшебным, стало теперь частью повседневности. Но наше понимание мира, как правило, развивается шаг за шагом, опираясь на уже имеющиеся знания. Анекдот может оставаться смешным вечно, но «въехать» в него можно только один раз. Зато, если вы поняли анекдот, это позволяет вам пересказывать его другим. Если вы делаете это достаточно умело, то при небольшом везении этот анекдот произведет на других такое же впечатление, какое он произвел на вас. То же происходит и с волшебством. Главное в познании магии мира – изучении физики – постоянно смеяться над анекдотом космического масштаба. Нам не просто показывают, как фокусник исполняет свой номер, а объясняют, как устроен этот фокус. Я надеюсь, что, когда вы впервые познакомитесь с некоторыми из идей, о которых идет речь в этой книге, они смогут вызвать в вас это ощущение волшебства. И что, когда вы прочитаете эту книгу, вы будете понимать, откуда взялись эти идеи, и они покажутся вам более естественными. Возможно, вам придется приложить некоторые усилия, чтобы сохранить то ощущение волшебства, которое они вызывали у вас раньше, но знакомство с заклинаниями позволит вам использовать их на благо других.

Правила колдовства

Теперь, раз вы уже предупреждены, можно поговорить о волшебниках. Когда я говорю о волшебниках, я имею в виду волшебников вполне классических. Тех, кто занимается магией[1]. На мой взгляд, волшебникам свойственны следующие основополагающие черты – назовем их «Правилами колдовства»:

1. Волшебники изучают мир.

2. Волшебники понимают, что являются частью того мира, который они изучают.

3. Благодаря своему разуму волшебники замечают скрытые закономерности и связи, которых не видят другие.

4. Знания волшебников – это знания практические, прикладные.

5. Волшебники могут вызывать изменения мира, но производят такие изменения с заботой о нем (см. п. 2).

Иногда исследования волшебников могут быть образовательными – как учеба Гарри и Гермионы в «Хогвартсе». Бывает, что исследование представляет собою молчаливое размышление – как это свойственно Рей и Йоде в «Звездных войнах», мудрецам классических даосских текстов наподобие «Чжуан-цзы» или сверхъестественно одаренным мастерам боевых искусств вроде Катары и Аанга из эпического телесериала «Аватар»[2]. Часто исследование принимает форму экспедиции, путешествия по миру – как это происходит с Гэндальфом во «Властелине колец», Морганой и Мерлином в легендах артуровского цикла или Тенар и Гедом в классических романах о Земноморье Урсулы Ле Гуин. Во многих современных примерах волшебником бывает сверхъестественно талантливый ученый. Свершения Дока Брауна в фильмах «Назад в Будущее», Рика в «Рике и Морти» и Доктора Кто приписываются научным достижениям, но используемые ими технологии настолько превосходят понимание остальных персонажей и зрителя, что больше похожи на магию. Если внимательно перечитать этот список примеров, станет ясно, что «Правила волшебников» неявно предполагают существование одного важного негласного правила – «Правила бунтарства»:

Волшебники понимают, что правила существуют для того, чтобы их нарушать.

Взгляните еще раз на пять с половиной правил волшебников и замените слово «волшебники» на слово «ученые». Подходит, не правда ли? Более поэтически это сформулировано Дж. Дж. Фрэзером в его летописи магических практик под названием «Золотая ветвь»:

В основе как магии, так и науки лежит твердая вера в порядок и единообразие природных явлений… Как магия, так и наука открывают перед тем, кто знает причины вещей и может прикоснуться к тайным пружинам, приводящим в движение огромный и сложный механизм природы, перспективы, кажущиеся безграничными[3].

Эти слова Фрэзера описывают связь между магией и наукой. Но колдовство – это особый вид магии, особый вид науки. И у него есть свое название – физика конденсированного состояния.

Магия истинных имен

Зоология изучает животных. Ботаника изучает растения. А что изучает физика? Ее название происходит от древнегреческого τα φυσική (та фисики), что означает «естественное». Оно позаимствовано из названия сборника работ Аристотеля о физическом мире. Однако это не слишком-то помогает определить область, о которой идет речь, сколько-нибудь точнее. Возможно, наилучший ответ заключается в том, что физику определяют не столько те явления, которые она изучает, сколько те уникальные методы и инструменты, которые она использует. Грубо говоря, эти инструменты делятся на три группы. Как правило, каждый конкретный физик специализируется лишь на одной из них, хотя для получения искомых знаний о естественном мире необходима совместная работа всех трех.

Эти три категории инструментов – это эксперимент, вычисления и теория. Физики-экспериментаторы исследуют поведение мира, ставя практические опыты. Какими бы экстравагантными и малопонятными ни становились наши научные теории, они всегда должны давать проверяемые на опыте предсказания. Эти предсказания могут быть подтверждены или опровергнуты путем наблюдений: волшебники не изобретают заклинания, а изучают их. Там, где мы видим в своих вымышленных рассказах о волшебниках, как они выучивают свои заклинания, они неизменно делают это путем наблюдения за самим миром. Например, в «Аватаре» некоторые люди обладают врожденной способностью оказывать магическое воздействие на воду, которой их предки научились, наблюдая за влиянием Луны на приливы и отливы.

Специалисты по вычислительной физике создают и испытывают компьютерные модели мира. В таких моделях явления могут происходить в более регулируемых условиях и с большей частотой, чем в экспериментах, проводимых в реальном мире. Однако при этом физики, работающие с численными моделями, должны быть уверены, что те обладают всеми существенными свойствами реальных аналогов.

Физики-теоретики тоже работают с моделями реальности. Но, если вычислители обычно предпочитают наиболее точные модели, теоретики, как правило, пытаются найти простейшую из моделей, отражающих суть того или иного явления. Теоретику нужно научиться видеть истинную сущность вещей; этот процесс, несомненно, лежит в самом сердце любой магии.

Сам я теоретик, хотя также работаю в тесном сотрудничестве с экспериментаторами и вычислителями. Это руководство по современному колдовству написано с точки зрения теоретика – отчасти потому что это моя точка зрения, а отчасти потому что книгам такого рода свойственно сводить сложные истории к самой сути. Теоретики сочиняют аналогии, басни. Но, как сказал мне однажды коллега, доктор Янс Хенке, математическая модель – это самый сильный вид аналогии, потому что она не просто соотносит явления со знакомыми обстоятельствами: она также позволяет нам описать, причем весьма подробно, как те же явления будут происходить в новых, не испытанных на опыте ситуациях. Затем экспериментаторы могут проверить эти явления и узнать, ведут ли они себя так, как предсказывает модель. Зачастую вначале появляются опытные наблюдения, и теория – «басня» – строится на их основе. Предположим, предсказания модели подтверждаются на опыте, причем повторяемым, проверяемым образом. Это придает убедительности предположению, что простые элементы, вошедшие в эту модель, содержат в себе суть явления. Теоретическая физика часто бывает близка к математике; различие между ними возникает из разрыва между математической моделью – идеальной и предсказуемой – и реальностью, запутанным миром, который мы ощущаем на опыте. Теоретическая физика – это сочинение повествований, делающих математические модели более понятными.

Работа теоретика всегда напоминала мне магию истинных имен. Во многих культурах, от Древнего Египта до нынешних хакеров, существовала и существует идея о том, что знание истинного имени сущности дает власть над ней. Прекрасный пример такого представления в жанре фэнтези дают книги Урсулы Ле Гуин о Земноморье, которые считают первым примером литературного повествования, в котором волшебник является главным героем, а не второстепенным персонажем. В мире Земноморья волшебники учатся магии, прислушиваясь к миру и узнавая истинные имена вещей. Повседневные названия, которые мы используем для обозначения вещей, – всего лишь ярлыки, которые мы навешиваем на них, чтобы называть их в разговорах. В Земноморье они называются обиходными именами, но кроме них у каждой вещи есть истинное имя. Говорят, что эти имена происходят из Языка созидания. Например, читатель узнает, что истинное имя камня – «ток». Когда в разговоре с другими мы называем вещь ее обиходным именем, нечто теряется в переводе. Когда я говорю «камень», в моем сознании возникают определенные ассоциации, которых нет у других людей. Моя невеста Доминик объяснила мне это следующим образом. Если назвать истинное имя вещи, ничто не может потеряться в переводе просто по определению; у любого другого человека будет то же абсолютное понимание значения этого слова. Поэтому вполне естественно связывать истинные имена с заклинаниями. Как гарантировать абсолютное понимание в отсутствие самого предмета? Когда я говорю «камень», я могу иметь в виду какое-нибудь более общее свойство, присущее всем камням. Однако, чтобы произнести имя «ток», мне нужно сначала понять сущность камня.

Истинные имена бывают и у людей. В графическом романе «Невидимые»[4] человек, становящийся магом, должен принять магическое имя. При этом очень серьезно предупреждают, что подходить к выбору имени ни в коем случае нельзя легкомысленно: имя определяет личность. У меня есть друг, религия которого требует обращаться к праведнику при выборе имени новорожденного. Считается, что праведник способен получить некое мистическое понимание сути ребенка и дать ему соответствующее имя. На разных этапах жизни человека, по мере его развития, тот же праведник дает ему новые имена. Имя действительно может определять некоторые аспекты жизни человека. Мое собственное имя – Феликс Фликер – звучит абсурдно и привлекает внимание; я поневоле задумываюсь, развились ли у меня самого под его влиянием эти черты. Но воздействие имени может быть и более серьезным. В исследовании, проведенном в 2012 году, было установлено, что при рассмотрении одинаковых заявлений на соискание должности в научном учреждении заявления, поданные от лица кандидатов с женским именем, оцениваются ниже, чем поданные от мужского имени, и это считается достаточным основанием для назначения существенно более низкой зарплаты[5]. Даже в нашем мире имя – это не просто произвольный ярлык.

Теоретики изучают не сами сущности, а модели сущностей. Представим себе, что некий теоретик однажды бросает свой хрустальный шар с лестницы своей башни. Поскольку шар пропитан могущественной магией, он не разбивается при падении. Но теоретику нужно знать, когда он докатится до низу, чтобы вызванный орел мог своевременно подобрать его[6]. В мгновение ока он решает построить математическое уравнение, моделирующее качение шара по ступенькам, используя законы движения Ньютона. Но он не будет пытаться включить в модель все аспекты физического процесса. По всей вероятности, он предположит, что шар катится по ступенькам без трения, пренебрежет сопротивлением воздуха и не станет учитывать возможное возникновение несильных порывов ветра, потому что их нельзя достоверно предсказать. Наш теоретик будет надеяться, что результат процесса – который он точно может вычислить в своей модели, – будет соответствовать реальности, в которой он окажется, бросив свой шар. «Хрустальный шар» – это обиходное имя, вот этот конкретный шар, а математическая модель – имя истинное, идеальное, не запятнанное реальностью. Если вы поняли математическое выражение, вы понимаете его в точности так же, как понимает его любой другой человек, на каком бы языке вы ни говорили. Два плюс два равно четырем, как бы это ни было записано. В модели нет никаких приближений; приближения появляются при переходе от модели к реальности. Вопрос о том, «существует» ли модель, является предметом ожесточенных философских дебатов. Если она существует, не будет чрезмерным преувеличением сказать, что это существование вызвано пониманием модели. Чтобы видеть мир с точки зрения физика-теоретика, нужно научиться слышать истинные имена: научиться вызывать из небытия совершенные математические модели. Искусство состоит в умении выбирать простейшие модели, отражающие суть изучаемого. Простота важна: карта в масштабе 1:1 будет абсолютно точной, но в то же время абсолютно бесполезной, потому что в ней не будет никаких упрощений.

Физика – это набор инструментов, которые можно применить к чему угодно, от невидимо малого до непознаваемо большого. Но внимание волшебника сосредоточено на более конкретной области, на том, что есть здесь и сейчас. Между крайностями лежит срединная область – тот знакомый мир, в котором мы живем.

У срединной области свои обычаи

Все разделы физики занимаются вещами вполне волшебными. Космологи изучают рождение и жизнь Вселенной и предсказывают ее судьбу. Астрофизики слушают гравитационные волны, чтобы услышать столкновения черных дыр. Те, кто занимается физикой частиц, возбуждают квантовые поля, создавая элементарные частицы, которые до этого никогда не регистрировались. Во всех этих областях используется великолепная магия, и им посвящено множество превосходных книг. Однако между квантовым микрокосмом и вселенским макрокосмом существует срединная область. Она не менее волшебна, но ее магия принимает другие – знакомые нам – формы, и поэтому научно-популярные книги по большей части обходят ее стороной. Тем не менее это самая крупная область физики, в которой работает около трети всех исследователей.

Изучение срединной области – это физика конденсированного состояния. Это физика того, что мы видим вокруг нас, изучение материи – сгустков вещества, которые можно взять в руки, – и их описание вплоть до квантовой области, из которой они рождаются. Как известно, Вольфганг Паули, один из создателей квантовой механики, презрительно называл физику конденсированного состояния Schmutzphysik, «физикой грязи». Это название превосходно описывает искусство колдовства. На мой взгляд, можно сказать, что ближайшая родственница физики конденсированного состояния – это физика элементарных частиц. Важно понимать сходства и различия между этими двумя дисциплинами. Элементарные частицы, которыми занимается вторая из них, – электроны, протоны и так далее – можно вполне обоснованно определить приблизительно следующим образом:

Элементарная частица может существовать сама по себе в космическом вакууме и не может быть сведена к другим объектам, обладающим тем же свойством.

Электрон соответствует этим критериям. Однако атом им не соответствует, так как, хотя в некоторых случаях он может существовать сам по себе, он состоит из других объектов (электронов, протонов и нейтронов), также обладающих этим свойством. Протон, в свою очередь, состоит из трех кварков, но кварки не могут существовать по отдельности, так что они не являются элементарными частицами в смысле приведенного выше определения.

Физика же конденсированного состояния изучает то, что возникает при взаимодействии множества элементарных частиц. Если это так, не сводится ли она попросту к физике элементарных частиц? В этой книге я постараюсь убедить вас, что это не так. Если бы у физики конденсированного состояния был девиз, он был бы таким:

Целое больше, чем сумма составляющих его частей.

Возможно, самую важную иллюстрацию этого принципа дает поведение частиц в материи – на мой взгляд, центральный элемент волшебства реальности. Когда электрон летит сквозь космический вакуум, у него есть определенная масса, электрический заряд и магнитное поле (так называемый «спин»). Эти определяющие свойства уникальны для электронов, и все электроны одинаковы. Если этот электрон попадает в вещество, он взаимодействует с другими частицами, находящимися в этом веществе, в соответствии с правилами квантовой механики. При этом его свойства изменяются; поскольку все электроны имеют одинаковую массу, эта частица уже не может быть электроном. Более того, она уже не может быть элементарной частицей: она превращается в «эмерджентную квазичастицу», целое, которое больше суммы составляющих его частей.

Чтобы объяснить, как это происходит, я перефразирую изящную аналогию, которую профессор Дэвид Дж. Миллер предложил для объяснения поведения одной из элементарных частиц – бозона Хиггса. Поскольку профессор Миллер упоминал, что позаимствовал ее основной образ из физики конденсированного состояния, я надеюсь, что он не будет возражать против временного возврата этого долга. Представьте себе, что в полуразрушенный бальный зал заколдованного замка набилось множество охотников за привидениями, о чем не подозревает призрак в кружевном жабо, беззаботно плывущий вдоль по коридору, держа под мышкой собственную отрубленную голову. Призрак вплывает в зал, и внезапно на него оказываются обращены все взгляды (и сомнительные измерительные приборы). Толпа, до этого рассеянная по всему залу, скапливается вокруг него. К несчастью для призрака, он похож на привидение из книги «Полуночный сад Тома»[7], то есть не способен беспрепятственно просачиваться сквозь людей. Его скорость резко падает, и ему приходится проталкиваться сквозь толпу охотников, которые никак не могут его сфотографировать. Масса призрака увеличивается – в том смысле, что для придания ему ускорения требуется большее усилие, чем когда он летел по коридору: теперь нужно сдвинуть с места не только его, но и окружающую его толпу. Чтобы несколько приблизить эту аналогию к настоящим квантовым странностям реальности, можно вообразить, что призрак ведет себя так же, как в фильме «Новые приключения Билла и Теда» (Bill & Ted’s Bogus Journey, 1991): он не проталкивается сквозь толпу в своей исходной форме, а поочередно вселяется в тела людей, перескакивая из одного в другое. Его скорость все равно падает, а эффективная масса возрастает, но в зале теперь нет ничего, похожего на исходного призрака; тем не менее, когда он наконец выбирается на террасу, он вновь обретает свой изначальный вид. Когда электрон находится в веществе, он изменяется, однако он может вылететь из вещества и снова стать элементарной частицей.

Другие эмерджентные квазичастицы не имеют аналогов среди элементарных частиц. Например, если свет передается элементарными частицами, которые называют фотонами, то звук не может быть описан элементарными частицами, так как он не может существовать в вакууме. Поскольку звук – это вибрация, он не может распространяться в отсутствие среды. Но в веществе он распространяться может, и тогда его тоже можно представить в виде эмерджентных квазичастиц, называемых фононами[8]. Возвращаясь к аналогии Миллера, на этот раз одному из охотников за привидениями просто кажется, что он «ощутил некое присутствие», и он рассказывает об этом охотнику, стоящему рядом. Сосед последнего, услышав эти слова, передает их дальше, и вскоре слух распространяется по всему залу. Всюду, куда доходит этот слух, толпа сдвигается плотнее, как будто там есть призрак – хотя никакого призрака там нет. Уплотнение толпы ведет себя как объект, имеющий массу: оно оказывает сопротивление воздействию, изменяющему его скорость, в точности как фонон. Вещество, не содержащее никаких квазичастиц, можно считать аналогом космического вакуума для физики конденсированного состояния, ведь вакуум – это просто отсутствие элементарных частиц. Наглядный пример дают фононы. Их можно считать вибрацией атомов в кристалле; когда кристалл охлаждается, атомы вибрируют меньше и фононы исчезают. Когда в кристалле не остается ни одного фонона, он находится в состоянии наименьшей энергии, так называемом основном состоянии. Когда вы говорите в кристалл спокойным, привычным голосом, вы сообщаете ему энергию, тем самым возбуждая вибрацию его атомов и вызывая из небытия фононы. Исходя из этого, можно предложить следующее определение:

Эмерджентная квазичастица может существовать сама по себе выше основного состояния материала и не может быть сведена к другим объектам, обладающим тем же свойством.

Эмерджентные квазичастицы не могут быть сведены к элементарным частицам без потери существенной части этого описания: представьте себе толпу, в которой все притискиваются друг к другу, чтобы расслышать слух о появлении призрака. Разумеется, эту ситуацию можно описать в терминах индивидуальных охотников за привидениями, но при этом теряется общая картина. В этом суть идеи «эмерджентности», концепции, согласно которой целое может быть чем-то большим, чем сумма его составляющих: у толпы есть свойства – например ограничения возможностей движения, – которых нет у составляющих эту толпу индивидов. В физике конденсированного состояния роль индивидов обычно играют атомы и элементарные частицы, а эмерджентными свойствами являются макроскопические свойства вещества, понимаемые в терминах эмерджентных квазичастиц.

Квазичастицы встречаются только в физике конденсированного состояния. Многие из них обладают поразительно призрачными, ирреальными свойствами: фононы можно зарегистрировать в эксперименте, но при попытке найти их на уровне элементарных частиц оказывается, что их не существует. Это просто коллективная вибрация атомов.

Исходя из этого, может возникнуть искушение заявить, что квазичастицы «менее реальны», чем те элементарные частицы, из которых они рождаются. Однако взглянем на этот вопрос вот с какой точки зрения: мы считаем окружающий нас мир – срединную область – реальным. Напротив, квантовая область кажется нам полной мистического морока. Однако знакомый нам мир оказывается свободен от квантовых трюков именно потому, что он эмерджентен. Отрицать реальность квазичастиц – значит отрицать реальность повседневного бытия. Не существует элементарных частиц, переносящих звук, но это не мешает нам слышать далекое уханье сов в соседнем лесу.

Совы – не то, чем они кажутся

Теоретики работают во всех отделах физики, выделяя из реальности ее суть. Но это выделение может принимать много разных форм. Те, кто занимается физикой элементарных частиц, стараются выявить отдельные составляющие элементы Вселенной – самые мелкие движущиеся части реальности. Эта программа добилась поразительных успехов, главным из которых стало создание Стандартной модели, учитывающей все известные элементарные частицы. Возможно, конечной целью этого предприятия следует считать «теорию всего», которая добавит к Стандартной модели последний недостающий ингредиент – гравитацию. Если такая теория действительно будет создана, в ней будет содержаться ключ к пониманию будущего Вселенной. Но, как вы, вероятно, понимаете, на самом деле она не будет теорией всего. По сути, такая теория не будет описывать ничего из того, с чем мы сталкиваемся каждый день. Она будет теорией всех элементарных частиц и их взаимодействий, но не будет теорией, скажем, сов.

Не существует элементарной частицы сов, и все же мы считаем, что сами совы существуют. Они состоят из атомов множества разных типов. Каждый атом состоит из протонов, нейтронов и электронов. Таким образом, совы не элементарны, а эмерджентны. Сова представляет собой сложный, беспорядочный набор характеристик; она больше, чем сумма составляющих, из которых она возникает. Простейшими из этих составляющих могут быть элементарные частицы, атомы, клетки, гены или что-нибудь еще. Эти описания нижнего уровня не исключают друг друга, и ни одно из них, строго говоря, нельзя назвать неверным. Однако они не отражают когтей сов, их крика, их клюва или распространенных представлений об их связях с колдовством.

Физика конденсированного состояния не изучает сов (во всяком случае, пока). Однако она изучает то, что возникает при взаимодействии множественных объектов, и именно этим срединная область отличается от мира микроскопического. Старая пословица утверждает, что одна голова хорошо, а две – лучше. Реже отмечают тот факт, что две головы лучше одной более чем вдвое: дополнительное преимущество дает эмерджентность. А когда огромное множество частиц собирается вместе и образует комок вещества, могут возникать целые новые миры.

Эта книга рассматривает вопрос о том, какие формы могут принимать эти новые миры. Если выпарить повествование до самой сути, полученная эссенция даст ответ на следующий вопрос: что такое материя?

Понять этот ответ можно многими разными способами, и каждая из глав будет посвящена одному из возможных, взаимно дополнительных подходов. Наше исследовательское путешествие будет состоять из трех этапов.

Туда и обратно

Однажды, странствуя по пустыне, я встретил фокусника. Мы беседовали о том и о сем и в конце концов заговорили об эстрадных фокусах. Я спросил фокусника, знает ли он моего любимого иллюзиониста Деррена Брауна, который напоминает публике в начале каждого представления, что использует сочетание «магии, внушения, психологии, отвлекающих маневров и актерского мастерства». Фокусник о нем знал.

Я рассказал фокуснику, что мое уважение к Деррену Брауну развивалось в два этапа. Вначале, когда я смотрел его выступления, меня восхищали его блестящие сеансы телепатии и внушения. Он читал мысли, заставлял видеть то, чего там не было, или исполнять невероятные трюки. Он использовал пробелы в нашем восприятии реальности, чтобы показать, что наши модели мира уязвимы для манипуляций. Но по мере маниакального, многократного просмотра его выступлений я в конце концов понял, что многого можно достичь не психологическими манипуляциями, а хитроумной ловкостью рук и традиционными фокусами. Тогда-то мое восхищение и перешло на новый уровень. Это было настоящее волшебство! Браун заставил меня, рационального скептика, снова поверить в магию, и добился он этого, используя слепое пятно науки – тайны мозга.

Фокусник из пустыни сказал мне, что считает Деррена Брауна величайшим из живущих фокусников. Он согласился, что в его случае, как и в отношении любых по-настоящему великих фокусов, существуют две степени восхищения. Но, добавил он, есть и третья степень: восхищение коллеги, профессионала, смотрящего эти фокусы. Фокусник знает, сколько приемов использовано в том или ином фокусе и как именно этот фокус исполняется, – но все равно, глядя на работу Деррена Брауна, поражается его несравненному техническому искусству. Наблюдать столь мастерское исполнение фокусов доставляет профессионалу истинное наслаждение.

В том, о чем говорил фокусник, я узнал нечто аналогичное пути к пониманию, который проходит ученый. Это и есть то трехэтапное путешествие, в которое отправляемся все мы. В молодости мир приводит нас в восхищение. Все в нем для нас ново, его чудеса поражают нас. Это первый этап: восторг от представления. По мере взросления мы начинаем узнавать, как вещи устроены. Так мы приближаемся ко второму этапу – пониманию того, как именно мир делает свои фокусы. На этом этапе легко заблудиться, забрести в холодную, темную пещеру рационализма. Но если вы способны поддержать в себе хотя бы тлеющий огонек восторга, его всегда можно снова зажечь всего лишь легким дуновением. При наличии терпения и небольшого везения вы сможете разжечь это пламя и перейти к третьей стадии понимания – стадии ученого, понимающего, как устроены фокусы, которые показывает нам мир, и любящего его еще больше за то, как искусно он это делает.

Познание окружающей нас материи – это история, которую дополняют и пересказывают на протяжении веков. По мере продвижения по этой книге мы познакомимся с разными взглядами на природу материи. Мы начнем с далекого прошлого, когда все состояло из земли, воздуха, огня и воды, и дойдем до отдаленного будущего: там нашу жизнь преобразуют вещи, в которых физика конденсированного состояния только сейчас начинает разбираться. В первых главах мы составим основные заклинания – сведения, передававшиеся из поколения в поколение и охватывающие те знания, которые должны получить в процессе обучения все желающие заниматься этой наукой. Подготовившись таким образом, в следующих главах мы начнем продвигаться в будущее, знакомясь с заклинаниями, которые специалисты по физике конденсированного состояния только учатся использовать.

Если из этой книги можно извлечь один главный урок, я надеюсь, что он будет состоять вот в чем. Волшебники существуют, и, если вы хотите стать одним из них, вас с радостью примет сообщество физики конденсированного состояния. Если вас беспокоит то обстоятельство, что вы не соответствуете традиционному образу физика, вы тем более нужны нам. Физикой конденсированного состояния занимаются, и чем дальше, тем чаще, люди из самых разных областей. Я вкратце расскажу о тех вкладах, которые внесли в эту дисциплину в прошлом и настоящем некоторые конкретные физики, и надеюсь, что это даст вам хотя бы общее представление о разнообразии тех, кто занимается этой наукой.

С другой стороны, рассказы о персонажах прошлого не следует воспринимать как согласие со всем тем, что они говорили. Процитированный выше Дж. Дж. Фрэзер обладал изящным слогом, но взгляды его были реакционными даже для его времени. Кроме того, не во всем еще одержана победа. Например, до 2017 года лишь два из 216 нобелевских лауреатов по физике были женщинами;[9] первый лауреат, не бывший выходцем из Европы или Северной Америки, появился только через 30 лет после учреждения премии;[10] эту премию до сих пор не получил ни один человек из Африки, из Южной Америки или с Ближнего Востока. Нобелевские премии – лишь один из симптомов гораздо более широкомасштабной проблемы, состоящей в том, что только узкий срез нашего общества получает возможность заниматься наукой, а вклад тех, кто не соответствует стереотипам, не оценивается по достоинству или игнорируется. Я буду время от времени упоминать Нобелевские премии, так как это удобный способ подчеркнуть важность той или иной работы, но следует помнить, что отсутствие премии часто говорит только о предрассудках и ни о чем больше. Ситуация постепенно улучшается: Нобелевские премии были присуждены женщинам в 2018 и 2020 годах[11] (правда, лауреатов мужского пола за тот же период было семеро). Этот прогресс жизненно важен для будущего науки: лучший способ решения сложных задач – учет как можно большего числа разных взглядов и подходов. Поэтому если вам покажется, что вы не соответствуете описаниям ученых или волшебников прошлого, значит, будущее этой науки именно за вами.

Мне хотелось бы рассказать вам, что на изучение физики меня вдохновило желание стать волшебником или любовь к фэнтези. Я действительно помню, как меня привлекали мистические слова и идея эзотерических знаний, открытых лишь посвященным, но на самом деле и к тому, и к другому меня влекло нечто более глубокое: любовь к воображению. Те же способности, которые используются для создания вымышленных миров, применяются и для воплощения этих миров в физических теориях, и для изобретения способов добраться до них в экспериментах. Я буду использовать эту связь на протяжении всей книги, подчеркивая магию физики вымышленными историями и ссылками на классические книги и фильмы. Как видно из отрывка, который открывает эту книгу, магию часто бывает легче увидеть, когда она представлена в виде вымысла. Однако я надеюсь, что к концу этой книги вы согласитесь: реальный мир не менее волшебен, чем самые увлекательные из содержащихся в нем историй.

Приступим же к изучению «физики грязи». О многих заклинаниях в этой книге не говорится, и она не ставит себе целью научить вас использовать их. Мир и так рассказывает вам свои заклинания; цель этой книги – помочь вам услышать.

II

Четыре стихии

Однажды леди Долгоух и мистер Калабаш сбивали с дерева оливки. Вокруг них роились поденки. Мистер Калабаш сказал:

– Задумывалась ли ты когда-нибудь, что эти поденки проводят с нами всю свою жизнь? Мы приходим работать на заре. К нашему утреннему чаепитию они рождаются, к нашему обеду достигают среднего возраста, а к тому моменту, когда мы спускаемся с горы и уходим домой, они уже мертвы. Те, кому повезет, успевают спариться, но многие другие проводят свою короткую и бессмысленную жизнь незамеченными, разве что иногда помешав нам работать.

– Их жизнь не бессмысленнее твоей или моей, – ответила леди Долгоух. – Взгляни, например, на эту оливу. Она проросла во времена наших давно забытых предков. К тому времени как она достигла зрелости, в наших семьях родились и умерли многие поколения. Когда придет ее час, нас с тобой давно не будет на свете.

«К тому же, – добавила к ее словам олива, – вы двое тоже не совершили ничего заметного, разве что иногда досаждали мне.

Первые люди, которые меня нашли, меня не тревожили. Дети их детей попробовали мои плоды и сочли их отвратительными. Их внуки научились засаливать эти плоды. С тех пор меня никак не оставят в покое. Всего лет через сто вы начали выращивать ниже по склону моих отпрысков. Еще через поколение вы даже научились правильно поливать их, хоть и не настолько правильно, как питают меня воды этой горы».

«Да уж я думаю, – вступила в разговор гора. – Твои, олива, наблюдения, неполны. Для меня вы все незначительны. Я, дорогое дерево, видела, как бесчисленные поколения животных приспосабливались есть твои плоды, а ты точно так же приспосабливалось использовать животных.

В юности я вышла из моря и смотрела, как сталкиваются континенты. Взрослея, я наблюдала появление и исчезновение видов. Для меня все ваши виды – лишь мимолетные блики. Я живу временем всей нашей планеты и понимаю временные масштабы самой Вселенной».

Тут и сама Вселенная не удержалась и присоединилась к беседе:

«Гора, ты говоришь, что понимаешь мои временные масштабы, но не сознаешь, что их у меня нет. Я простираюсь далеко в твое будущее и твое прошлое, но также живу и в каждом событии между ними. Ты видишь, как появляются и исчезают виды, но поколения настолько не важны для тебя, что ты не можешь отличить одно от другого.

Дерево, мне очень нравится твое существование. У тебя тоже есть своя гордость. Ты видишь целые поколения таких, как Долгоух и Калабаш, но сами они позволяют тебе увидеть лишь мимолетные мгновения своего существования.

Ты, Калабаш, утверждаешь, что целые жизни поденок незначительны по сравнению с одним-единственным лишенным событий днем твоей собственной жизни. Возможно, тебе следует задуматься вот о чем.

Все вы и правы, и неправы, как и я. Мою истинную природу невозможно высказать, но я дам вам грубое приближение. Я сосуществую с вами на временных масштабах каждого из вас, но при этом еще и содержу в себе все другие события, какие только случались в прошлом и случатся в будущем. В вашем понимании всё это происходит совместно.

Я содержу в себе аннигиляцию частиц, существующих столь недолго, что, по сути дела, нельзя сказать, что они вообще существуют, и других, которые существуют вечно, никогда не встречаясь ни с чем другим. Во мне существуют поденки, проживающие свой век, и планеты, проживающие свой, и все эти вещи абсолютно важны и совершенно бессмысленны».

Тогда мистер Калабаш признал неправоту своих замечаний о поденках и отправился домой, чтобы как следует подумать о том, чем он сегодня будет ужинать.

Эмерджентность

Сколько нужно собрать песчинок, чтобы получилась куча?

Явного и удовлетворительного ответа на этот вопрос не существует. Можно предложить какое-нибудь число – скажем, четыре. Но куча из четырех песчинок не будет особенно убедительной, и, если кто-нибудь спросит, почему три песчинки не образуют кучи, а пять уже образуют, вы сможете только ответить, что назвали число и не откажетесь от него. Приблизительно так же поступили ученые, когда определили число атомов, образующих кусок вещества разумных размеров. Это число, называемое постоянной Авогадро, в точности равно

602 214 076 000 000 000 000 000.

Это чуть больше полутриллиона триллионов. Число это очень велико: для сравнения скажем, что в Млечном Пути содержится всего лишь двести миллиардов звезд. Но, как бы ни была велика постоянная Авогадро, это тем не менее фиксированное число: если атомов будет на один меньше, размер вашего куска вещества, если верить определению, будет чуть-чуть недостаточным.

Возможно, расплывчатый ответ будет лучше точного. Даже если дать точное определение кучи трудно, часто бывает легко сказать, образует ли то или иное число песчинок кучу. Неопределенность местоположения береговой линии не отменяет того факта, что мы легко можем указать, что одна точка несомненно находится в море, а другая – определенно на суше. Две песчинки – это явно не куча, но миллион песчинок, соприкасающихся друг с другом и собранных в нечто приблизительно конической формы, определенно составляют кучу: куча возникает из песчинок.

Эта глава посвящена эмерджентности: тому, как взаимодействия атомов на мельчайших пространственных и временных масштабах порождают измеримые крупномасштабные эффекты в нашей срединной области.

Наша область построена из состояний вещества – то есть видов коллективного поведения атомов. Понимание эмерджентности означает понимание того, как из мира атомов вырастают состояния вещества. Я хожу по земле, плаваю в воде, дышу воздухом и греюсь у огня. Все это может показаться ничуть не более удивительным, чем возникновение кучи песка из отдельных песчинок. Но те же самые атомы могут проявлять много разных видов эмерджентного поведения: например, сочетания молекул воды могут образовывать лед, жидкую воду или пар. Нам приходится постигать множество таких тонкостей. Чтобы понять состояния материи и переходы перед ними, нам нужно научиться мыслить в разных пространственных и временных масштабах, как научился этому мистер Калабаш; так же, как Калабаш, мы будем одновременно сталкиваться с образованиями, возникающими на разных пространственных и временных масштабах, от самых малых до самых крупных. Наши исследования заведут нас в отдаленное прошлое, где мы увидим изначальный проблеск физики конденсированного состояния, ранних концепций эмерджентности. Это будет самым настоящим посвящением в волшебники.

Нельзя отрицать, что волшебники очень жадны по части накопления сокровенных знаний. Но они копят эти знания не ради самого накопления: ими всегда руководят некие практические цели (см. правило 4: Знания волшебников – это знания практические, прикладные). Чем лучше мы понимаем состояния вещества, тем лучше мы можем использовать их с выгодой для себя. Это не означает подчинять их своей воле: мы по-прежнему остаемся частью мира (правило 2: Волшебники понимают, что являются частью того мира, который они изучают). Эта мысль изящно выражена в «Ле-цзы», даосском трактате, написанном в Китае в IV веке. Там рассказывается, что однажды Конфуций увидел, как некий пловец легко пересекает кажущийся непреодолимым водоворот. Пловец объясняет:

Я вхожу в воду посредством преданности и доверия, а выходя из воды, по-прежнему блюду преданность и доверие. С преданностью и доверием погружаюсь я в поток и не позволяю себе действовать самочинно[12].

Пловец понимает, что является частью водного потока, и следует ему с выгодой для себя. Если в таких дисциплинах, как физика элементарных частиц, космология и астрофизика, вполне можно отличать ученого от предмета его исследований, то физика конденсированного состояния неразрывно связана с миром повседневного опыта. Эта практическая сторона сокровенного знания была частью физики конденсированного состояния начиная с самых ранних, доисторических этапов ее существования. О ней же в первую очередь думали два человека, давшие этой дисциплине ее имя.

Больше – другое

Один из основателей физики конденсированного состояния, профессор Филип Уоррен Андерсон, свел суть этой науки к одной простой фразе: больше – другое. В этом и заключается принцип эмерджентности. В статье 1972 года под таким же названием Андерсон утверждал:

Способность свести всё к простым фундаментальным законам не предполагает способности восстановить Вселенную, исходя из этих законов. Собственно говоря, чем больше физика элементарных частиц сообщает нам о природе этих фундаментальных законов, тем менее применимыми они кажутся к чрезвычайно реальным задачам остальных отраслей науки и уж тем более общества.

В Кавендишской лаборатории Кембриджского университета, где Андерсон работал на протяжении значительной части своей карьеры, некогда существовала исследовательская группа под названием «Теория твердого состояния». Сотрудникам этой группы довольно давно стало ясно, что их интересы выходят далеко за пределы области твердых веществ. В 1967 году Андерсон и его коллега профессор Фолькер Гейне дали группе новое название – «Теория конденсированного вещества», – включив тем самым в рассмотрение все вещества, в той или иной мере «конденсированные», то есть такие, в которых взаимодействие между частицами порождает некое коллективное поведение, наблюдаемое на повседневном уровне. Называние есть акт творения: давая имя, мы включаем в категорию одни сущности и исключаем из нее другие. Эту идею лаконично выразила в книге «Чистота и опасность» (Purity and Danger, 1966), исследовании ритуальных табу и магических верований, социолог Мэри Дуглас:

По мере научения объектам присваиваются имена. Эти имена влияют на то, как эти объекты будут восприняты в следующий раз: получив метки, они скорее будут попадать каждый в свою классификационную ячейку[13].

Название «физика конденсированного состояния» распространило область интересов этой науки с твердых веществ на всю материю вообще, и это переименование и по сей день продолжает определять развитие этой дисциплины.

Мне повезло встретиться как с Гейне, так и с Андерсоном. С Гейне я познакомился в 2015 году, когда заканчивал свою диссертацию в Бристольском университете. Я приехал в Кембридж провести семинар и, повинуясь внезапному порыву, постучал в дверь его кабинета. Он появился передо мною в рубашке совершенно психоделической расцветки и со здоровенным металлическим медальоном на груди и радостно пригласил меня войти, хотя понятия не имел, кто я такой. Его кабинет украшала собранная на протяжении всей жизни коллекция загадочных артефактов, а наша беседа стала одной из самых интересных в моей жизни. Разговор начался с физики, но потом мы поговорили о множестве самых разных предметов, пока не добрались до бегства из нацистской Германии в Новую Зеландию, которое он пережил в детстве. К сожалению, тема подобных побегов часто возникает в истории физики XX века.

На следующий год я начал работать научным сотрудником в Калифорнийском университете в Беркли. Оттуда я полетел – тоже провести семинар – в Принстон, где и познакомился с профессором Андерсоном, обосновавшимся в Принстоне после выхода на пенсию в 1984 году (физики, как и волшебники, никогда по-настоящему не отходят от дел). Поскольку гостевой кабинет находился прямо напротив кабинета Андерсона, а его дверь, как мне показалось, всегда оставалась открытой, я постучался и поздоровался. Там я удостоился еще одного увлекательнейшего разговора, всячески стараясь не терять самообладания в присутствии сразу двух Андерсонов – живого и его картонной фигуры в натуральную величину, стоявшей рядом с ним. Меня очень обнадежил рассказ Андерсона о том, как он пришел к своим столь высоко ценимым сейчас идеям. Я думаю, дело было в том, что я понял: живые легенды – тоже люди; им тоже случается ощущать неуверенность относительно того, как будут восприняты их идеи.

Вечером того же дня я рассказал о своем разговоре с Андерсоном некоторым из принстонских постдоков. Это их поразило: они никогда не слышали, чтобы с ним кто-нибудь беседовал! Поскольку никто не решался к нему приблизиться, его считали неприступным. На самом же деле его моральная поддержка оказалась очень полезной в карьере, которая часто бывает непредсказуемой.

Хотя очертания берегов физики конденсированного состояния могут быть нечеткими, все волшебники могут назвать одной из определяющих характеристик этой дисциплины море эмерджентности. Тем не менее, хотя эта идея кажется интуитивно понятной, ее может быть трудно выразить словами. Начать можно со знаменитого коана дзен-буддизма:

Это [хлопает в ладоши] – звук хлопка двумя ладонями. А каков звук хлопка одной ладонью?

Хлопок не содержится ни в одной из двух ладоней; он возникает из их сочетания. Мой друг, философ Леонид Тарасов предложил следующее определение:

Явление эмерджентно тогда, и только тогда, когда оно объяснимо в терминах других явлений, но его объяснение не может быть сведено только к ним.

Другими словами, при исключении из объяснения самого эмерджентного явления из него исчезает нечто существенное. Нужно отметить, что эмерджентность в этом смысле не противоречит другой основе научной мысли – редукционизму, который стремится сводить явления к их сути. Редукционизм – это процесс отделения важных элементов от несущественных. Когда Шерлок Холмс расследует дело, он повторяет нам историю, которую мы только что прочитали, но в редуцированном виде, сохраняя лишь существенные детали. Он способен на это, потому что понял задачу и знает, на какие детали можно не обращать внимания. Как любит подчеркивать мой друг, теоретик Крис Хули, эмерджентность на самом деле представляет собой один из видов редукционизма, но существенные детали в ее случае – это не мельчайшие элементы (элементарные частицы), а коллективные явления. И это вполне понятно: если вам предложат за несколько секунд нарисовать волшебника, вы, вероятно, набросаете условную человеческую фигуру с несколькими деталями – остроконечной шляпой, усыпанной звездами, жезлом, может быть, и совой на плече. Вряд ли вы попытаетесь нарисовать за отведенное время как можно больше атомов, хотя волшебника можно описать и таким образом.

Понятное объяснение можно сформулировать на примере муравьев. Вероятно, вполне можно утверждать, что отдельные муравьи не придумывают особенно замысловатых схем, но целая колония муравьев способна принимать весьма хитроумные коллективные решения. Физик Ричард Фейнман довольно подробно пишет о своих наблюдениях за муравьями в автобиографии «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» (Surely You’re Joking, Mr Feynman! 1985). Сначала он заметил, что если посмотреть на цепочку муравьев, пробирающихся к источнику пищи – например кусочку сахара – и от него, оказывается, что они часто выбирают весьма рациональный маршрут. Но как муравей узнает, какой маршрут будет самым лучшим? С учетом масштаба муравья сахар находится далеко от гнезда; на таком расстоянии муравей, вероятно, не видит сахара и не слышит его запаха. Фейнман наблюдал следующее явление. Муравей находит кусочек сахара, по сути дела, случайно. Когда это происходит, он набирает некоторое количество сахара и возвращается к муравейнику довольно-таки окольными путями. Фейнман предположил, что муравей, возможно, оставляет на своем обратном пути ароматические метки, сообщающие другим муравьям, что он нашел нечто ценное, потому что затем по пути, ведущему к сахару, начинают сновать другие муравьи. Постепенно маршруты, по которым следующие муравьи добираются до сахара, становятся все рациональнее: муравьи срезают углы и находят более короткие пути. Очень скоро муравьиная тропа становится хорошим приближением к кратчайшему пути от муравейника к сахару.

Наблюдая это природное явление, Фейнман придумал гипотезу, объясняющую его. Однако, будучи добросовестным ученым, он придумал и эксперимент, позволяющий проверить эту гипотезу на практике. Муравьи попадали в дом через щель у окна и вначале оказывались на подоконнике. Он подвесил кусочек сахара на нитке, чтобы уменьшить вероятность того, что какой-нибудь муравей наткнется на него случайно. Затем он положил на подоконник клочок бумаги. Каждый раз, когда на бумаге оказывался муравей, он подносил бумагу к сахару. Каждый раз, когда муравей слезал с сахара обратно на этот бумажный паром, Фейнман возвращал его на подоконник. Муравьи очень быстро начали передвигаться по прямому пути к бумажному парому, переезжать на нем к сахару, а затем возвращаться на паром и далее в муравейник. Это подтверждало справедливость гипотезы о том, как муравьи выбирают свои маршруты.

Ни один отдельный муравей не понял, как использовать паром: эта идея возникла из совокупности муравьев, коллективно. В дикой природе наблюдали, как муравьи, сцепляясь друг с другом, образуют мосты через расселины шириной в десять или двадцать муравьиных тел. С другой стороны, их поведение иногда бывает ошибочным: иногда можно видеть, как огромные количества муравьев-солдат образуют «смертельные круги» – они ходят друг за другом по кругу, пока в конце концов не умрут от истощения сил. Выяснение того, как такое сложное поведение возникает на основе простых правил, открывает перспективы разнообразных приложений, от «роевой робототехники» (простых роботов, работающих совместно без руководителя) и нанотехнологий до «программируемой материи» (молекулы которой можно «научить» изменять положение для образования требуемой конфигурации). Одной из главных тем исследований в области информатики являются искусственные нейронные сети, позволяющие компьютеру распознавать образы, используя коллективную работу многочисленных простых процессов, – подобно нейронам мозга. Во всех этих случаях речь идет о крупномасштабном сложном поведении, объяснимом в терминах более простых составляющих меньшего масштаба, но не сводимом к ним одним.

Однако самый классический пример, возможно, дает именно то, что интересует нас в этом исследовании больше всего, – сама материя.

Состояния материи

Состояния материи хорошо описал греческий философ Эмпедокл, предположивший, что все на свете состоит из сочетаний классических «стихий» (элементов) – земли, воздуха, огня и воды. Поразительно сходные теории материи существовали и во многих других культурах, в том числе в Древней Индии, Египте, Вавилоне и Тибете, а также в индуизме и буддизме.

На самом деле эта идея, возможно, зародилась в Западной Персии. От названия зороастрийских жрецов – магов, занимавшихся эзотерическими исследованиями в алхимии, астрологии и астрономии, – произошли слова, обозначающие магию во многих языках. Логично предположить, что они были своего рода древними предшественниками современных ученых; если это так, то четыре стихии представляли изначальные познания в физике конденсированного состояния.

Эти стихии поразительно хорошо сохранились и в современной физике в виде знакомых нам четырех состояний вещества: земле соответствует твердое состояние, воде – жидкое, воздуху – газообразное, а огню – плазма, пример четвертого состояния вещества. Хотя у всех этих состояний разные свойства, их общая черта состоит в том, что все они возникают лишь тогда, когда набирается достаточно индивидуальных частиц, чтобы их было не различить в общей толпе. Чтобы понять это, важно научиться рассматривать мир на разных пространственных масштабах.

Рассмотрение разных пространственных и временных масштабов жизненно важно для физики конденсированного состояния, потому что в этой дисциплине рассмотрение эмерджентных свойств повседневного мира часто начинается с описания в терминах элементарных частиц. Эти масштабы удобно классифицировать по методикам экспериментальных исследований, которые применяются для их изучения.

Например, взгляните на свой волшебный посох, который стоит у стены. Предмет, который вы видите, живет на «макроскопическом масштабе», или макромасштабе – привычном масштабе повседневных вещей, которые можно увидеть невооруженным глазом. Речь идет о размерах, скажем, от миллиметра до нескольких метров.

Если у вас есть под рукой микроскоп, вы можете исследовать свой посох поподробнее, до расстояний порядка одной тысячной миллиметра. Это соответствует верхней границе «микромасштаба». Под микроскопом можно увидеть отдельные растительные клетки посоха. Если же – что маловероятно – у вас есть под рукой сканирующий туннельный микроскоп (они обычно занимают целую комнату), вы можете разглядеть расстояния нанометрового масштаба (порядка одной миллионной миллиметра), или «наномасштаба». На отрезке длиной в один нанометр поместятся всего пять атомов вашего посоха; ширина спирали ДНК составляет около трех нанометров. Лучшие из сканирующих туннельных микроскопов обладают разрешением около одной десятой нанометра, что приблизительно соответствует диаметру отдельного атома.

Когда я услышал, что можно получать изображения индивидуальных атомов, я в это не поверил. Уж наверное Вселенная должна была постараться, чтобы такое знание оставалось в тайне. Однако сейчас мне выпала честь работать с экспериментаторами, которые безо всякого труда рассматривают наномасштабные объекты, исследуя тайны нашего мира. Одним из ведущих мировых специалистов по сканирующей туннельной микроскопии является профессор Видья Мадхаван из Иллинойского университета в Урбане-Шампейне. Она и ее аспирант Хорхе Оливарес Родригес любезно прислали мне это изображение атомов стронция, которое они получили при помощи сканирующего туннельного микроскопа. Некоторая его нечеткость объясняется тем, что микроскоп подходит вплотную к фундаментальным пределам, установленным квантовой механикой.

Словосочетанием «микроскопический масштаб» иногда обозначают все пространственные масштабы, для исследования которых нужны микроскопы любого рода. Я тоже буду использовать здесь это условное обозначение, подразумевая, что мир делится на две части – микроскопическую и макроскопическую. Вооружившись этой терминологией, мы можем разобраться в четырех стихиях и присущих им состояниях материи.

Отдельные атомы стронция в кристалле под сканирующим туннельным микроскопом. Изображение предоставлено профессором Видьей Мадхаван

Твердое состояние представлено в четырех стихиях землей. Вообще говоря, мы понимаем, что такое твердое вещество, но дать этому состоянию точное определение оказывается делом весьма непростым. То определение, которое в конце концов выработали ученые, вряд ли будет первым, пришедшим вам в голову: они установили, что только твердые тела могут быть устойчивы к «напряжению сдвига». Напряжение сдвига – это усилие, возникающее, когда одну сторону тела толкают в одном направлении, а противоположную – в противоположном. Такое усилие создает фокусник, сдвигающий с колоды игральные карты. Вообразите, что конкурирующий иллюзионист тайно подменил его колоду точной копией, изготовленной из единого куска твердого вещества. Нашему фокуснику не удастся сдвинуть верхнюю карту, потому что атомы карт в этой копии колоды связаны друг с другом.

Твердые вещества естественным образом подразделяются на две категории – кристаллы и стекла. Различие между ними яснее всего видно на наномасштабе. Атомы кристалла расположены периодически, то есть через регулярные интервалы, подобно гребням волн или клеткам шахматной доски. На фотографии профессора Мадхаван видно, что атомы стронция находятся именно в такой структуре. Напротив, любое твердое вещество с беспорядочным расположением атомов называется стеклом. Стекло, из которого сделаны винные бутылки, – один из примеров такого вещества, но существует и множество других стекол, в том числе обсидиан и некоторые керамические материалы.

Отличие кристаллов от стекол выходит на передний план в вечном споре относительно того, является ли стекло жидкостью. На самом деле ответ на этот вопрос зависит от временного масштаба, о котором идет речь. Одно из часто приводимых доказательств в подтверждение жидкостной природы стекла заключается в том, что окна в старых церквах бывают толще внизу, чем наверху, что позволяет предположить, что они медленно стекают вниз. В действительности это не так: по старинным производственным технологиям стекло раскатывали в нагретом добела (и определенно более похожем на жидкое) состоянии, в результате чего один из краев оконных стекол получался утолщенным. Когда делали окна, стекло обычно устанавливали этим концом вниз, и поэтому утверждать, что форма старых оконных стекол свидетельствует о том, что стекло – жидкость, неверно. Тем не менее стекло действительно течет – только очень, очень медленно. Но текут и некоторые твердые вещества: например, свинцовые трубы заметно прогибаются за несколько лет. Вопрос заключается в том, на каком временном масштабе происходит такое течение? Например, кажется разумным называть свинец твердым веществом, так что течение на масштабе в несколько лет, видимо, можно считать слишком медленным для жидкости. С другой стороны, некоторые сыры растекаются за считаные минуты или даже секунды.

Я поговорил с доктором Камиллой Скаллиет, исследовательницей из Кембриджа, специализирующейся на стекле и стеклоподобных веществах, и спросил ее, где исследовательское сообщество проводит границу между твердыми веществами и жидкостями. Она ответила, что вещество, заметно текущее на масштабе сотни секунд, они считают жидкостью, а в противном случае – стеклом (или даже более твердым веществом). Вот вам и ответ! Это тоже природное волшебство, похожее на разговор о том, образуют ли четыре песчинки кучу. Определение, несомненно, точное, но вполне произвольное.

Процесс получения знаний о стекле очень похож на трехступенчатую последовательность изменения отношения к фокусам. Сначала вы просто наслаждаетесь зрелищем: природа создала твердое вещество, которое течет! Затем, на втором этапе, наступающем чуть позже, вы познаете технику, скрывающуюся за фокусом, и распространяете ее на более широкое мировоззрение. Стекло – жидкость; ничего удивительного, что оно течет. Погодите, вы разве не знали, что стекло – жидкость? Пфф. На этом этапе легко застрять. Но если вам очень повезет, еще чуть позже вы перейдете с него на третий – поймете, что вам не следовало так легко отказываться от веры в волшебство. Стекло – это аморфное твердое вещество или переохлажденная жидкость (то есть жидкость при температуре меньшей температуры замерзания), и существует огромное множество таких не поддающихся классификации материалов. Хотя они на виду, их скрывают от нас наши попытки разложить все по категориям. Мир все-таки волшебен, и теперь вы можете оценить зрелище, опираясь на знания профессионального фокусника.

Итак, хотя твердые вещества нам знакомы, у них могут быть свои тайны. А как обстоит дело с остальными стихиями?

Жидкости, представленные в классических стихиях водой, неустойчивы к напряжению сдвига. Вспомним, как фокусник сдвигает карты с колоды: если бы колода была жидкой, она растеклась бы в лужу. В наномасштабе жидкость беспорядочна. Тем не менее жидкости, как и твердые вещества, обладают плотностью. Газы, которые в наборе классических стихий представляет воздух, тоже неустойчивы к напряжению сдвига, но, кроме того, у них в отличие от жидкостей нет постоянной плотности. Плотность газа зависит от массы составляющих его молекул. На этом основан фокус с левитацией, который я однажды видел в исполнении профессора Кари Дальноки-Вересса, называющего область своих исследований «хлюпающей физикой». Дальноки-Вересс сделал бумажный кораблик и поместил его в пустой аквариум. Как по волшебству, кораблик не упал на дно, а стал плавать по аквариуму, как если бы там была вода. На самом деле аквариум был наполнен ксеноном – невидимым газом тяжелее воздуха. Ксенон был настолько плотным, что бумажный кораблик оказался легче ксенона и плавал в соответствии с законом Архимеда. Затем Дальноки-Вересс показал еще один фокус – с превращением: он сделал свой голос неестественно низким. Если вдохнуть ксенон, голос становится ниже; точно так же, если вдохнуть гелий, который легче воздуха, голос становится выше. Чтобы показать этот фокус, профессору пришлось встать на голову, так как иначе тяжелый ксенон осел бы в его легких и задушил бы его.

Плазма, которую представляет огонь, отличается от газа тем, что она «ионизована»: некоторые из ее атомов и молекул стали ионами, то есть приобрели электрический заряд. Хороший повседневный пример плазмы дает огонь: поскольку в нем содержатся свободно движущиеся ионы, он естественным образом проводит электричество. Еще один неплохой повседневный (или по меньшей мере встречающийся несколько раз в год) пример плазмы – это молния. Она, несомненно, тоже электропроводна, хотя проверять это при помощи омметра бурной ветреной ночью может прийти в голову разве что совсем безумному ученому.

Хочется спросить, почему некоторые газы превращаются в плазму. Поскольку плазма менее знакома нам по опыту обычной жизни, нам кажется, что она требует более подробного разъяснения. На самом деле плазма – это самое распространенное состояние конденсированной материи во Вселенной; звезды представляют собой огромные шары плазмы. По сути, плазма возникает при высоких энергиях, когда атомы возбуждаются настолько, что теряют электроны. Вообще говоря, при переходе от низкой энергии к более высокой материя преобразуется в следующей последовательности: земля – вода – воздух – огонь. В качестве аналогии можно представить себе сборище волшебников: при низкой энергии все они сидят и серьезно беседуют о важных материях, как атомы твердого вещества. Но тут среди них начинает ходить слух о только что открытом новом заклинании. Волшебники начинают бродить по залу, что-то бормоча себе под нос, – как атомы жидкости. Слух обрастает подробностями: говорят, что было открыто очень важное заклинание; волшебники начинают возбужденно подпрыгивать и бегать кругами, спрашивая друг друга, о каком именно заклинании идет речь. Их быстрые движения напоминают поведение атомов газа. Наконец слух подтверждается: обнаружено долгожданное заклинание, которое позволяет волшебнику найти потерявшуюся шляпу, – возможно, самое желанное заклинание за всю историю колдовства! Волшебники впадают в неистовство и носятся туда и обратно, как атомы плазмы, подбрасывая в воздух свои шляпы и теряя их.

Какая из классических стихий соответствует металлам? Тот факт, что при нормальных условиях металлы по большей части находятся в твердом состоянии, заставляет подумать о земле. Но они к тому же проводят электричество, что напоминает об огне. Если перевести эти рассуждения из древних терминов в современные, оказывается, что приблизительно так дело и обстоит. Металлы – твердые вещества, но их атомы образуют связи друг с другом, высвобождая по одному или нескольку электронов. При этом они становятся положительно заряженными ионами, неподвижными среди плазмы свободно движущихся отрицательных зарядов. Значит, плазма встречается чаще, чем кажется на первый взгляд, и для ее существования не требуются ни огромные энергии, ни высокие температуры.

Оказывается, четыре классические стихии, взятые вместе, на удивление хорошо соответствуют состояниям материи, которые мы наблюдаем вокруг себя, – коллективному поведению, возникающему из взаимодействия атомов. Но на самом деле состояний гораздо больше, чем четыре, и с некоторыми из них мы хорошо знакомы.

Пятый элемент

Идея четырех состояний материи была так хороша, что успешно просуществовала не одно тысячелетие. Однако при этом она несколько ограничила наше мышление, скрыв от нас другие состояния, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. Один из примеров таких состояний – жидкие кристаллы, которые используются в лэптопах и телевизионных экранах. Их молекулы выстраиваются в определенном порядке, чего не бывает в жидкостях, но в то же время эти вещества нельзя считать твердыми: их молекулы не образуют упорядоченных решеток, как в кристаллах, и перемещаются быстрее, чем в стеклах. Гели (например, желе) и коллоидные системы (например, молоко) обладают свойствами, отличающимися от свойств любого из четырех классических состояний. Коллоид – это взвесь твердых сгустков в жидкости: молоко представляет собой взвесь сгустков жира в воде.

Однако самым знакомым явлением, не поддающимся классификации в системе четырех элементов, можно, наверное, признать магнетизм.

Магнит ведет себя именно так, как можно ожидать от состояния материи: магнитное поле возникает из коллективного поведения множества взаимодействующих атомов. Существуют магнитные твердые вещества, магнитные жидкости и магнитные газы. Плазма магнитна по самой своей природе: в стандартной конструкции термоядерного реактора – токамака – плазма удерживается магнитным полем. В таком реакторе происходит термоядерный синтез – соединение атомных ядер с высвобождением энергии такое же, как внутри Солнца. При этом не образуются вредные побочные продукты, невозможно возникновение неуправляемой реакции, а в качестве топлива нужен только водород. Водорода существует настолько много, что термоядерный синтез считается возобновляемым источником энергии. Коммерческое внедрение синтеза пока не осуществлено; одна из причин этого связана с техническими трудностями: удержание плазмы магнитным полем иногда сравнивают с удержанием желе в равновесии на натянутой проволоке. В задачу специалистов по физике плазмы – некоторые из них считают, что занимаются физикой конденсированного состояния, а некоторые так не думают, смотря кого спросить, – входит разработка уравнений, которые сделают возможным эту невероятную эквилибристику.

Хотя магниты привычны, они остаются достаточно таинственными, чтобы сохранять свои волшебные свойства. Если вы увидите, как некий предмет движется по столу как бы под воздействием чьей-то мысли, вы, вероятно, первым делом заподозрите, что в этом фокусе используются магниты. Честно говоря, в том, что магниты позволяют перемещать объекты на расстоянии, действительно есть нечто волшебное! Люди впервые познакомились с ними в виде «магнитного железняка» или магнетита – естественно намагниченного минерала. Как именно намагничивается магнетит, никто точно не знает; наиболее правдоподобной считается гипотеза, согласно которой это происходит под действием молний. Это предположение подкрепляет то обстоятельство, что намагниченные минералы, по-видимому, встречаются только вблизи земной поверхности.

Природные магниты связаны с еще одним из ранних проявлений физики конденсированного состояния и всегда были связаны с волшебством. Одно из первых сохранившихся упоминаний о них встречается в китайской книге «Гуй Гу-цзы» ( – «Книга Учителя из долины Демонов»), относящейся к IV веку до н. э. Вот этот отрывок:

Желающий знать начинает с себя и, лишь познав себя, может знать других. Знающий друг – что рыба камбала, у которой оба глаза на одном боку. Познавший другого подобен эху, вторящему голосу. Постигший чувства другого подобен тени, неотступно следующей за телом. Вникать в слова другого – все равно что магнитом притягивать иглу или языком облизывать кость[14].

Современные исследователи полагают, что в книге «Гуй Гу-цзы» собраны мысли разных авторов. Считается, что Учитель был реальным историческим персонажем и действительно жил в некой долине Демонов (или Духов), давно затерявшейся в тумане прошлого. У нас имеются относящиеся ко II веку до н. э. упоминания об использовании магнетита для изготовления «волшебной ложки», которая при помещении ее на гладкую поверхность всегда указывает на юг: теперь мы называем такое устройство компасом. Английское название магнетита – lodestone – происходит от существовавшего в среднеанглийском языке слова lode, которое означало путь или дорогу[15]. Следы этого употребления существуют до сих пор: мой любимый паб, построенная в XV веке таверна на реке Северн, называется Lower Lode Inn («Корчма на Нижней дороге»). Его легче всего найти, отправившись на юг из средневекового города Тьюксбери. Паб окажется прямо перед вами, за широким течением Северна. Посмотрите направо, и вы увидите столб, на котором висит колокол; позвонив в него, можно вызвать паромщика, который приплывет за вами через реку. Иначе приходится долго идти через поля или гораздо, гораздо дольше ехать на машине. Лучше всего добираться по нижней дороге.

Природные магниты подробно обсуждаются в вышедшей в 1558 году книге «Природная магия» (Magia Naturalis), которую написал Джамбаттиста делла Порта. Делла Порта, прозванный «профессором тайн», был неаполитанским ученым-энциклопедистом, занимавшимся, в частности, криптографией, оптикой, астрономией, метеорологией, физиологией и драматургией. Он основал первое в мире научное общество под названием Academia Secretorum Naturae (Академия тайн природы). Каждый желающий вступить в это общество должен был разъяснить по меньшей мере одну из неизвестных до тех пор тайн природы. Это требование до сих пор остается условием получения ученой степени в естественных науках: в современных терминах речь идет о представлении оригинального научного открытия. Академия была распущена папой римским по подозрению в колдовстве; делла Порту допрашивала инквизиция, а многие его друзья попали в заключение. Это его не смутило: он изобрел способ передачи им тайных посланий, записанных внутри вареных яиц[16]. Если четыре стихии иллюстрируют первоначальные изыскания в физике конденсированного состояния, то «Природная магия», несомненно, иллюстрирует первоначальное состояние научно-популярной литературы. Делла Порта перечисляет множество древних представлений по двадцати темам, от «необычных стекол» до «подделки славных камней». При этом он не просто регистрирует существующие верования, но и описывает свои собственные опыты, проверяющие их достоверность, и не стесняется отмечать случаи, в которых древние авторитеты несли чушь. В книге VII, «О чудесах магнитного камня», мы находим главы с не нуждающимися в пояснениях заглавиями: «Глава LIII: Неверно, будто алмаз ослабляет достоинства магнита» или «Глава LIV: Козья кровь не освобождает магнит от заклятия алмаза». Он скрупулезно указывает источники своих сведений, а многие из его собственных наблюдений оказываются точными и проходят проверку опытом.

Хотя козья кровь действительно никак не влияет на свойства магнита, на них могут воздействовать другие магниты. Как именно они воздействуют, зависит от типа этого магнита. Наиболее очевидны магнитные свойства материалов, обладающих собственным магнетизмом, – ферромагнетиков. Приставка «ферро-» отсылает к железу, которое является типичным примером ферромагнетика: любой кусок чистого железа можно намагнитить при помощи другого магнита. Затем существуют материалы, сами по себе не магнитные, но проявляющие магнитные свойства, если поместить их рядом с магнитом, к которому они при этом притягиваются. Если их вывести из магнитного поля, они лишаются магнитных свойств. Эти вещества называются парамагнетиками; к этой категории относится большинство элементов периодической системы.

Третий тип распространенных магнитов – это диамагнетики. Они тоже не магнитны сами по себе, но проявляют магнитные свойства, будучи помещены в поле другого магнита. Однако если парамагнетики притягиваются магнитами, диамагнетики ими отталкиваются. Если вы когда-нибудь прижимали магнит к другим предметам, вы, вероятно, находили примеры ферромагнетиков и парамагнетиков, но вряд ли замечали какие-либо диамагнетики. Однако они распространеннее всего – просто диамагнетизм проявляется так слабо, что мы его не замечаем. В число диамагнетиков входят вода, древесина, многие металлы, многие пластмассы и большинство органических материалов. Например, вы сами тоже являетесь диамагнетиком.

Диамагнетизм можно весьма хитроумно использовать в колдовстве. Он позволяет добиться левитации любого предмета в магнитном поле, достаточно быстро изменяющемся в пространстве. У этого явления есть практические применения: например, левитация мышей дает возможность моделировать состояние невесомости, не покидая Земли. Благодаря диамагнитной левитации я получил один из самых ясных в моей жизни опытов трехэтапного восприятия природной магии. Это произошло, когда я приехал в Сент-Эндрюсский университет в Шотландии. Зайдя в кабинет каких-то аспирантов, я увидел висящий в воздухе над полкой маленький, тонкий кристалл. Первая стадия восприятия была очевидной: левитирующий кристалл! Я не видел ни лесок, ни обманчивого освещения, ни зеркал, скрывающих опору. Когда я подтолкнул кристалл, он сдвинулся, но остался парить в воздухе. Я был убежден, что его левитация имеет магнитную природу; к этому моменту я переходил ко второй стадии восприятия волшебства: пытался рационализировать его, опираясь на знакомые мне концепции. Но тут у меня возникло затруднение, потому что существует математическое доказательство невозможности левитации магнитов в статической конфигурации – так называемая теорема Ирншоу. Вы можете убедиться в ее справедливости на собственном опыте: как бы вы ни старались, вам не удастся добиться, чтобы один магнит завис в равновесном состоянии над другим, не используя никаких опор. Я задумался, не может ли кристалл очень медленно вращаться: это было бы одним из решений проблемы. Я спросил о кристалле у аспирантов, и они сказали, что он висит там уже не первый месяц. Это исключало возможность вращения, так как сопротивление воздуха постепенно остановило бы его. К слову, аспирантам даже не пришло в голову показать мне этот левитирующий кристалл – именно потому, что он был у них уже несколько месяцев; они к нему привыкли. Но для меня он был внове, и его волшебство становилось тем сильнее, чем дольше мне не удавалось понять его.

В конце концов они признались, что кристалл представлял собой невероятно сильный диамагнетик. Это был кусок пиролитического графита – в обычных условиях этот материал является самым сильным из всех известных диамагнетиков, – а парил он над подложкой из невероятно сильного ферромагнетика – неодима. Теорема Ирншоу исключает статическую магнитную левитацию только для ферромагнетиков, а здесь речь шла о диамагнетике. Так что теперь я перешел на третью ступень восприятия: я понимал, как именно получается левитация кристалла, но все равно мог оценить техническое мастерство исполнения и необычайно редкие образцы диамагнетиков и ферромагнетиков, настолько сильных, что они обеспечивают левитацию без подачи энергии.

Магнитные свойства всех материалов возникают из магнитных полей отдельных атомов – атомных спинов. Само слово «спин»[17] указывает на происхождение этих полей: при вращении электрически заряженного объекта вокруг него возникает магнитное поле. Тот спин, о которым мы говорим, представляет собой квантово-механическую величину, к которой трудно подобрать аналогии из повседневной жизни. Но в качестве запоминающейся иллюстрации вы можете представить себе, что спин атома возникает в результате того, что отрицательно заряженные электроны движутся по орбитам вокруг атомного ядра так же, как Луна вокруг Земли. Движущийся по круговой траектории электрический заряд порождает магнитное поле (на этом принципе основаны электромагниты, в которых магнитное поле создает электрический ток, текущий по спиральной проволочной обмотке).

Ферромагнетизм уникален среди трех типов магнетизма тем, что это чисто эмерджентное свойство: оно появляется только из-за магнитного взаимодействия многочисленных спинов, приводящего к их ориентации в одном и том же направлении. Напротив, парамагнетизм и диамагнетизм можно понять из модели, в которой спины всех атомов ведут себя независимо друг от друга; их общее поведение представляет собой всего лишь сумму составляющих и не более того. По этой причине кое-кто утверждает, что только ферромагнетики – это истинное состояние материи, а остальные два типа таковыми не являются. Лично я считаю такое разделение слишком строгим. Одна из причин, по которым я так думаю, связана с тесным родством между механизмом превращения ферромагнетиков в парамагнетики и механизмом превращения жидкой воды в газ. Такие преобразования не менее важны, чем сами состояния.

Фазовые переходы

Ближайшим аналогом четырехчастного деления природы по Эмпедоклу в древнекитайской философии была концепция у-син, которая выделяла пять элементов: дерево, огонь, землю, металл и воду. Во времена появления у-син были известны пять планет, и число 5 вошло во многие классификации. Было пять направлений (север, юг, восток, запад, центр), пять основных цветов (черный, красный, яшмовый, белый желтый), по одному типу чая на каждый цвет и пять тонов пентатонической музыкальной гаммы[18]. Название «у-син» точнее переводится как «пять движений», и изначально оно относилось именно к перемещениям планет среди неподвижных звезд. То обстоятельство, что переходам между состояниями придавалось не меньшее значение, чем самим состояниям, очень важно. Изменения состояния материи называются «фазовыми переходами». Фазы вещества – это обозначение чуть более конкретное, чем его состояния. Например, лед может содержать несколько разных структур атомного масштаба. Это и есть разные фазы, но все они относятся к твердому состоянию. В настоящее время известно восемнадцать кристаллических фаз льда и одна аморфная фаза. Как фазы, так и состояния соединяются фазовыми переходами. Рассмотрим эти явления более подробно на примере воды и ее превращения в пар.

Хотя вода хорошо нам знакома, она остается веществом весьма волшебным, многие проявления которого мы пока не можем объяснить. Например, сонолюминесценция – это эффект возникновения света из мельчайших пузырьков воздуха в воде при их схлопывании под воздействием звуковой волны. Установившегося общего мнения о том, как или почему это происходит, до сих пор нет. Или же можно взять эффект Мпембы. В 1960-х годах, когда физик Денис Осборн посетил школу в Танганьике, в которой учился тринадцатилетний Эрасто Мпемба, тот спросил, почему вода, нагретая до 100 °C, замерзает быстрее, чем такой же объем воды при 35 °C, если и ту и другую воду поместить в морозильную камеру. Одноклассники и учителя подняли его на смех, но Осборн проверил это утверждение на опыте, который, как ему показалось, подтвердил его справедливость. В 1969 году Осборн и Мпемба опубликовали статью об этом явлении. Общепринятого объяснения механизма этого явления у нас тоже нет; идут споры о том, в самом ли деле оно существует и не является ли этот эффект следствием недостаточного учета других факторов: например, того обстоятельства, что горячая вода сильнее испаряется, и замораживается меньшее ее количество.

Вода обладает множеством странных свойств. Это единственное химическое вещество, которое может существовать в нормальных условиях в виде твердого вещества, жидкости и газа. Другое необычное свойство состоит в том, что вблизи температуры замерзания жидкая вода плотнее, чем твердая: именно поэтому лед плавает, а не тонет. Благодаря этому странному свойству вода у дна водоемов не замерзает, что позволяет рыбам переживать зиму. Если бы у воды не было этого свойства, мы, возможно, не могли бы удивляться его необычности, просто потому что не существовали бы. В общем, переходы из твердого состояния в жидкое не так просты.

Но непросты и переходы из жидкости в газ. Воздух, как и вода, одновременно знаком и загадочен. (Разумеется, газообразная форма воды – это на самом деле не воздух, а пар, то есть воздух, содержащий высокоэнергетические молекулы воды.) Большинством замечательных свойств воздуха в большей или меньшей степени обладают и другие газы, но, поскольку воздух повсеместно присутствует на Земле, именно этот газ используется в большинстве практических приложений. Главным среди его необычных свойств является его невероятная теплоизоляционная способность: одежда согревает благодаря заключенному в ней воздуху; волосяной покров тела создает теплоизолирующий слой воздуха, который позволяет нам выживать в Арктике или сидеть в сауне; пенистые термоизоляционные материалы, используемые в строительстве, тоже работают, удерживая воздух. Вы и сами могли самостоятельно убедиться в превосходных теплоизоляционных свойствах воздуха, если когда-либо слишком долго держали зажженную спичку: вы не ощущаете жар пламени, пока оно не окажется в каком-нибудь миллиметре от вашего пальца. Доминик заметила одно из проявлений магии воздуха, сидя рядом со мною, когда я писал эту книгу. Она попыталась подогреть на плите кружку с чаем, но обнаружила, что вогнутое дно кружки мешает эффективному нагреванию на плите. Однако потом мы поняли, что кружка сделана такой специально и эта особенность полезна. Все кружки имеют вогнутое снизу дно, под которым остается воздух, изолирующий содержимое кружки от поверхности, на которой она стоит (и обычно не дающий этому содержимому остыть). Именно поэтому след, который остается от кружки на столе, имеет форму кольца, а не диска[19]. Яснее всего эта способность воздуха проявляется в аэрогеле – искусственном твердом веществе, почти полностью состоящем из воздуха. Есть знаменитая фотография, на которой цветок лежит на пластинке из аэрогеля толщиной около миллиметра над синим пламенем: цветок остается невысохшим. Кроме того, аэрогель невероятно легок, прозрачен и способен выдерживать вес, во много раз превышающий его собственный (двухграммовый брикет из аэрогеля легко выдерживает вес, в тысячу раз больший). Его применение для теплоизоляции зданий позволяет сэкономить массу места и энергии. К 2011 году поразительные способности аэрогеля были отмечены 15 рекордами в Книге рекордов Гиннесса; многие из них – это попросту практические применения свойств воздуха. А свойства воздуха, как и свойства других газов, порождаются его низкой плотностью.

Газообразная форма любого вещества бывает гораздо менее плотной, чем жидкая. С точки зрения волшебников, это означает, что плотность является примером «параметра порядка» – некоего свойства, существенно изменяющегося при фазовом переходе. Существуют два типа фазовых переходов, и разобраться в них можно, рассмотрев поведение параметров порядка.

Первый тип – это так называемые фазовые переходы первого рода. Они отличаются резким изменением параметра порядка. Предположим, вы кипятите воду. После нагревания жидкой воды до температуры кипения – 100 °C – для ее превращения в газ требуется дополнительная энергия, которую называют скрытой теплотой. Интересно отметить, что для превращения воды, нагретой до 100 °C, нужно приблизительно вдесятеро больше энергии, чем для ее нагревания от комнатной температуры до 100 °C. Если вы готовите напиток, не требующий кипящей воды, – например кофе или зеленый чай, – вы можете сэкономить немало энергии (и следовательно, денег), если выключите чайник по достижении нужной температуры, вместо того чтобы доводить воду до кипения и давать ей остыть. Чтобы увидеть, на что расходуется эта энергия, достаточно заметить, что в течение большей части процесса нагревания чайник остается практически неподвижным, а за несколько секунд до закипания начинает сильно дрожать. Это дрожание, требующее большого количества энергии, – следствие внезапного образования крупных пузырей при превращении жидкости в газ и резком уменьшении плотности.

Фазовые переходы первого рода находят практическое применение в так называемых материалах с фазовым переходом. Я помню, как заворожила меня грелка для рук, которую мне подарили в детстве на Рождество. Она представляла собой пакет с гелем, в котором был маленький металлический диск. Когда я сжимал диск, гель моментально затвердевал и нагревался. Как такое возможно? Неужели производители этой штуки не слыхали о законе сохранения энергии? Откуда берется это тепло? Впоследствии я узнал, как работает это устройство. В него заранее подается энергия, превращающая материал из твердого в жидкий: если поместить пакет в микроволновку[20], его потом можно использовать повторно. Твердое состояние характеризуется меньшей энергией, но для замерзания жидкости необходимо преодолеть энергетический барьер. Сжимание металла позволяет произойти фазовому переходу, при котором выделяется скрытая теплота: он образует поверхность, на которой может начаться рост твердого кристалла. Сейчас материалы с фазовым переходом используются в энергетических системах с возобновляемыми источниками – например солнечными батареями, – в которых в одни дни может случаться избыток энергии, а в другие – нехватка. Избыточную энергию можно сохранить в виде скрытой теплоты, а затем, когда она понадобится, высвободить в виде тепла.

Переходы второго типа называют непрерывными или фазовыми переходами второго рода. Хороший пример такого превращения – образование ферромагнетика. При высоких температурах железо обладает парамагнитными свойствами: спины отдельных его атомов направлены случайным образом. Хотя атомы ощущают магнитные поля друг друга, при высокой температуре их энергия так велика, что не допускает их ориентации в одном направлении и коллективного поведения. Однако при охлаждении железа до температуры ниже 768 °C происходит фазовый переход, и железо становится ферромагнитным. На наномасштабе происходит ориентация спинов, а на макромасштабе – намагничивание железа[21]. Намагниченность играет роль параметра порядка, так же как плотность при закипании воды. Разница в том, что при намагничивании нет никакой скрытой теплоты. Намагничивание происходит по мере уменьшения температуры не резким скачком, а непрерывно. От такого непрерывного изменения параметра порядка и происходит название этого типа фазового перехода. В качестве понятной аналогии можно представить себе, что два типа фазовых переходов соответствуют двум элементам ландшафта: оба описывают изменение высоты, но непрерывный переход подобен пологому склону, а переход первого рода – отвесной скале. При уменьшении давления на воду температура ее кипения снижается. Этот факт был хорошо известен путешественникам и исследователям XIX века, которые оценивали по температуре закипания воды высоту над уровнем моря. Он так же хорошо известен и всем тем волшебникам, которые пытались заваривать чай на горных перевалах. Для получения полноценного вкуса черного чая его нужно заваривать водой при температуре, близкой к 100 °C; поэтому настоящий волшебник знает, что в горные походы лучше брать зеленый чай, который следует заваривать менее горячей водой. При повышенном давлении – например на дне глубокой шахты – температура кипения, напротив, увеличивается. Если у вас нет под рукой такой шахты, можно просто вскипятить воду в герметически закрытом сосуде: давление будет увеличиваться по мере нагревания воды.

Однако при достаточно высоком давлении происходит нечто поистине замечательное: различия между жидкостью и газом полностью исчезают. Результат оказывается весьма странным и на удивление полезным.

Сверхкритические флюиды

Представьте себе, что вы собираетесь приготовить весьма хитроумным способом некий живительный эликсир: возжигаете огонь под своим аламбиком, дабы получить настой сушеных листьев растения Camellia sinensis. Или, проще говоря, кипятите воду, чтобы заварить себе чаю. Когда вода закипает в чайнике, ее плотность резко изменяется – это отвесная скала фазового перехода первого рода. Однако передвигаясь по скале ко все более высоким давлениям, мы обнаруживаем, что высота скалы уменьшается: разница плотности жидкости и газа становится меньше. В конце концов вершина скалы оказывается на уровне моря и исчезает: фазовый переход, отделяющий жидкость от газа, перестает существовать. Именно в этой точке фазовый переход между водой и паром превращается из перехода первого рода в переход непрерывный – точно так же вы можете плавно перейти из моря на вершину скалы только в том месте, где скала встречается с морем. Температуру и давление, при которых это происходит, называют критической точкой. Критическая температура воды равна 373,9 °C, а ее критическое давление в 218 раз больше атмосферного.

За критическими давлением и температурой больше нет фазового перехода, отделяющего жидкость от газа. В этой области получается нечто совершенно новое – сверхкритический флюид. Флюид – это обобщающий термин, обозначающий некую текучую среду. В отличие от газа сверхкритический флюид невозможно сконденсировать в жидкость путем уменьшения его температуры. В отличие от жидкости его нельзя испарить, то есть превратить в газ путем уменьшения давления. Эти результаты впервые получил ученый и изобретатель Шарль Каньяр де ла Тур (1777–1859). Когда Каньяр перекатывал кремневый шарик внутри запечатанного пушечного ствола, наполовину наполненного жидкостью, он слышал всплеск каждый раз, когда шарик попадал в жидкость. Но по достижении некоторого давления этот звук внезапно прекратился. Граница между жидкостью и газом исчезла: все содержимое ствола превратилось в сверхкритический флюид.

Скала встречается с морем

Хотя сверхкритические флюиды не слишком знакомы нам по опыту повседневной жизни, они не так уж редки. Сжатый воздух для надувания (нелетающих) воздушных шаров хранится в баллонах в виде сверхкритического флюида. Атмосфера газовых гигантов – планет, подобных Юпитеру, – состоит из сверхкритических флюидов. А глубоководные океанские источники, известные под названием «черных курильщиков», выбрасывают сверхкритическую воду, тепло и минеральный состав которой поддерживают существование целых экосистем существ, не встречающихся на поверхности: эти глубоководные организмы – единственные на Земле живые существа, получающие энергию из источников, никак не связанных с Солнцем.

С точки зрения волшебников, важно, что сверхкритические флюиды также применяются на практике. Они обычно бывают лучшими растворителями, чем жидкости или газы, и лучше, чем жидкости, проникают в пористые твердые вещества. Сверхкритический диоксид углерода используют в химической чистке, так как он хорошо растворяет грязь. В технологиях декофеинизации чая и кофе сверхкритические флюиды растворяют кофеин, не изменяя вкуса и аромата этих продуктов. Сверхкритическую воду можно использовать для переработки органических отходов в водородные топливные ячейки и другие источники энергии, а также для улавливания углерода. Таким образом, они очень полезны, но само их существование порождает интригующие вопросы о природе материи.

Вернемся на секунду к скале: вы можете начать свой путь с ее вершины, пройти по склону к воде, а затем проплыть к точке, расположенной под тем местом, с которого вы ушли в самом начале, не прыгая со скалы в воду. Точно так же, начав с жидкости, можно найти такую последовательность изменений температуры и давления, которая приведет к газообразному состоянию без фазового перехода. Так можно ли вообще считать жидкость и газ разными состояниями вещества?

Как и в случае вопроса о том, сколько песчинок образуют кучу, искомый ответ, вероятно, зависит от определения и в еще большей степени от причин, по которым вы задаете этот вопрос. При атмосферном давлении вода и пар, несомненно, обладают разными свойствами, и в повседневной жизни полезно считать их разными состояниями. Оказывается, существует способ точно сформулировать это видимое различие между жидкостью и газом.

Шерсть и вода[22]

Самые ранние из сохранившихся прозаических текстов Великобритании содержатся в «Мабиногионе» – созданных в XII веке записях более древних устных преданий на средневаллийском языке. В число этих историй входят ранние версии легенд о короле Артуре; эта книга оказала большое влияние на Дж. Р. Р. Толкина. В легенде о Передуре, сыне Эвраука, есть рассказ о волшебных странствиях Передура:

Передур же поехал дальше долиной реки, вдоль которой расстилались луга. И на одном берегу реки он увидел стадо белых овец, а на другом – стадо черных. И как только одна из белых овец блеяла, черная овца переплывала реку и становилась белой. Когда же блеяла черная овца, одна из белых овец переплывала реку и делалась черной[23].

Боюсь, что я не смогу объяснить, что именно происходит в этом отрывке; то были попросту более волшебные времена. Тем не менее овцы Передура могут привести нас к более формальному пониманию возникновения и состояний материи. Представьте себе гигантскую решетку из квадратных полей, простирающуюся во все стороны, насколько хватает глаз. В каждой клетке решетки находится овца – либо черная, либо белая, – и каждая овца может блеять четырем соседним. В каждый момент мы выбираем случайным образом одну из овец: она меняет цвет, если от этого число соседей, с которыми она будет одного цвета, увеличится. В отличие от овец Передура наши остаются на своих полях. Если исходно цвета овец распределены случайным образом, что будет происходить с этими цветами с течением времени?

Поскольку исходно черных овец было столько же, сколько белых, хочется предположить, что это равенство должно сохраниться. Но на самом деле если подождать достаточно долго, окажется, что все овцы стали одного цвета – либо черного, либо белого. Вот как это происходит. В исходном случайном распределении будут некоторые сгустки цветов: например, может найтись квадратный участок из девяти полей, все овцы на которых черные. Эти овцы вряд ли поменяют цвет: у овцы в центре есть четыре черных соседа, так она находится в наилучшем из возможных состояний, а у каждого из этих соседей есть по три черных соседа, что тоже совсем неплохо. Кроме того, со временем такие сгустки склонны разрастаться. Крупномасштабный результат возникает из мельчайших исходных вариаций на уровне индивидуальных овец.

Овцы Передура: начав со случайного распределения цветов слева, со временем все овцы становятся одного цвета

На следующей иллюстрации показано, как изменяется со временем цвет овец. Каждый пиксель соответствует одной овце.

Овцы Передура изображают классическую модель магнетизма, которая называется моделью Изинга. Два цвета овец соответствуют двум ориентациям атомных спинов. Эрнст Изинг был немецким физиком еврейского происхождения; он родился в 1900 году в Кельне. В его диссертации 1924 года было найдено точное решение задачи, которая носит теперь его имя. В 1939 году он и его жена Иоганна, спасаясь от нацистов, перебрались в Люксембург, где он стал пастухом. В конце концов они переехали в Соединенные Штаты и жили там долго и счастливо: Эрнст дожил до 98 лет, а Иоганна умерла в 110, совсем незадолго до 111-го дня рождения.

Тот факт, что модель Изинга одинаково легко описывает как магниты, так и волшебных овец, наводит на мысль о том, что она может быть применима в весьма широкой области. Таково могущество теоретической физики: чем проще и абстрактнее модель, тем большее число разных явлений она может описать. Модель Изинга является разным людям в разных обличиях. Информатики знают ее под названием сети Хопфилда: это простая, но действенная нейронная сеть для искусственного интеллекта. Биологи видят в ней простую модель формирования памяти в мозге. Ее предлагали в качестве модели поведения плавающих бактерий, движения атомов в металлических сплавах и даже взаимодействия людей во время формирования мнений. Специалисты по физике конденсированного состояния любят шутить, что при обнаружении нового явления они первым делом думают описать его моделью Изинга.

Изинг рассматривал магниты, атомы которых расположены на одной прямой, а овцы Передура воспроизводят модель Изинга на квадратной решетке. Это одна из самых простых физических моделей с фазовым переходом. Каждый спин должен быть ориентирован либо северным полюсом вверх, либо северным полюсом вниз, что соответствует либо одному, либо второму цвету овцы. Каждый спин чувствует притяжение четырех ближайших соседей, что и побуждает их ориентироваться в одном и том же направлении.

Точность модели Изинга позволяет более подробно исследовать эмерджентные состояния материи и соединяющие их фазовые переходы. Одним из чрезвычайно хитроумных способов выявления эмерджентных состояний мы обязаны профессору Лео Каданову (1937–2015), у которого я учился в магистратуре Института теоретической физики «Периметр». Он был превосходным, терпеливым учителем. Его познания в древних искусствах были непревзойденными, что он и продемонстрировал, выдав студентам своего курса всего один учебник – написанный в 1944 году. Как и следовало бы ожидать от человека столь аскетических взглядов, его основная идея изящна в своей простоте.

Модель Изинга определена на микромасштабе. Но допустим, что нам хотелось бы узнать, какие состояния возникают на макромасштабе. По сути дела, мы хотим расфокусировать свой взгляд и понять, какие черты все еще остаются видны. Так называемое блочное построение Каданова позволяет формализовать это действие математически. Вернемся к овцам Передура. Представьте себе, что вы некоторое время обучались магии у Мерлина и Короля былого и грядущего и обрели способность превращаться в ворону. Взлетев над полями, вы видите, что каждая из овец роняла шерсть по всему своему полю, так что теперь каждое поле приобрело цвет той овцы, которая на нем пасется. Поднимитесь на такую высоту, с которой вы едва можете разглядеть отдельные поля. А теперь воспарите еще выше – так высоко, чтобы квадрат из девяти полей казался того же размера, какого до этого казались отдельные поля. С этой высоты вам видны только скопления полей, на которых у овец один и тот же цвет. Остроумное наблюдение Каданова состояло в том, что по окончании этого процесса группирования полей и укрупнения масштаба результат имеет ту же основную форму – сочетания черных и белых квадратов. Если взять группу спинов в модели Изинга и укрупнить масштаб, получится другая группа спинов в модели Изинга. Если повторить эту операцию много раз, взлетая все выше и выше или все больше расфокусируя взгляд, останется только эмерджентное состояние. Форма этого состояния зависит от температуры магнита.

На самом крупном масштабе всем спинам выгоднее всего иметь одно и то же направление – либо вверх, либо вниз, – потому что в таком случае каждый спин будет направлен туда же, куда направлены его соседи. Это ферромагнетик: все спины сонаправлены на микромасштабе, что дает общее намагничивание на макромасштабе. Но в реальности магниты подвержены возмущающим воздействиям температуры, в результате чего некоторые спины получают невыгодное направление. У овец Передура это выражается в том, что они не всегда изменяют цвет, когда им этого хотелось бы, а иногда изменяют его, сами того не желая. При очень высоких температурах каждый спин направлен вверх или вниз случайным образом, без учета состояния соседей. Это парамагнетик, не имеющий общего намагничивания, и именно в этом состоянии изначально находятся овцы: черный и белый цвета перемешаны случайным образом. Таким образом, овцы Передура следуют сценарию, в котором находящийся при высокой температуре парамагнетик внезапно охлаждается, превращаясь в низкотемпературный ферромагнетик, – как если бы кузнец опустил раскаленный докрасна меч в бочку с водой. При некоторой промежуточной температуре должен происходить фазовый переход, разделяющий два экстремальных состояния – беспорядка и порядка.

Граница между порядком и беспорядком представляет собой фазовый переход: при увеличении температуры цвета превращаются в случайную смесь черного и белого; при ее уменьшении они начинают группироваться в сгустки, разрастающиеся по мере дальнейшего понижения температуры. Что же происходит между двумя крайностями, аккурат в точке фазового перехода? Каким будет там распределение цветов – случайным или комковатым?

Оказывается, в точке перехода происходит нечто замечательное: распределение цветов выглядит одинаково на всех пространственных масштабах. Взгляните на эту иллюстрацию. Три изображения кажутся вариациями одной и той же картины. Но на самом деле изображение в центре получено увеличением левого изображения, а изображение справа – увеличением центрального. Чистая магия, не правда ли? При наличии достаточного количества полей с овцами можно сколько угодно укрупнять масштаб, и картина будет оставаться неизменной. Такие структуры не зависят от пространственного масштаба, на котором их наблюдают (а их изменения не зависят от временного масштаба наблюдения). Это несколько напоминает мне эпизод из романа «Третий полицейский» Флэнна О’Брайана: главный герой, запертый в камере полицейского участка, рассматривает трещины на потолке и вдруг понимает, что они точно повторяют рисунок улиц города. Затем он замечает крошечного движущегося велосипедиста: это и есть улицы города, которые он видит с огромной высоты. Где-то среди них должен быть и он сам, разглядывающий еще более мелкие трещины.

Модель Изинга в критической точке

Однако реальность еще удивительнее: чтобы увидеть точное воспроизведение самого себя, узнику нужно было бы увеличить изображение на дискретную, точно определенную величину, в то время как рисунок модели Изинга в критической точке можно увеличивать и уменьшать непрерывно, в любое число раз, и он всегда будет выглядеть одинаково. Такие структуры называют «масштабно инвариантными», и они встречаются на удивление часто – нужно только уметь их искать.

Масштабная инвариантность

Некоторые привычные нам объекты обладают приблизительной масштабной инвариантностью. Хороший пример этого дают облака: издалека они выглядят белыми и мягкими и несколько похожи на «критические» распределения овец Передура; если войти внутрь облака в тумане или в мглистых горах, оно по-прежнему кажется белым и мягким; и, если рассматривать его все ближе и ближе, со все бо́льшим увеличением, облако выглядит, по сути, все так же, пока не дойдешь до уровня нескольких десятков молекул. Хотя ваш деревянный посох не обладает масштабной инвариантностью, дерево, от которого он произошел, можно с разумной точностью считать масштабно инвариантным на нескольких разных макроскопических пространственных масштабах: у дерева есть крупные ветви, расходящиеся от ствола, ветки поменьше, расходящиеся от крупных, и прутья, расходящиеся от мелких веток. Возможно, самое лучшее приближение масштабной инвариантности дает сама Вселенная: галактики образуют скопления, которые входят в скопления скоплений и так далее, и никакой пространственный масштаб нельзя назвать особым.

Теории масштабной инвариантности представляют собой точные модели непрерывных фазовых переходов. К сожалению, тот фазовый переход, который легче всего изучать самостоятельно, – превращение закипающей воды в пар – относится к первому роду и, следовательно, не обладает масштабной инвариантностью. Но и само по себе изменение масштаба познавательно и может быть использовано на практике. Когда вы нагреваете воду и она приближается к закипанию, в ней образуются мелкие пузырьки и становится слышно негромкое тонкое шипение. По мере дальнейшего нагревания пузырьки становятся крупнее, а тон шипения ниже. Звук изменяется с «шиии» на «шууу», и вы можете услышать, почувствовать и увидеть, насколько близко вода подошла к закипанию. Этот прием бывает полезен при заварке разных видов чая, требующих разных температур.

Существует старинная система названий разных стадий нагревания воды, восходящая по меньшей мере к «Записям о чае» – трактату, который написал в 1049–1053 годах мастер чайных церемоний по имени Цай Сян. Первая стадия – «глаз креветки» – наступает, когда в воде, на внутренней поверхности кастрюли или котла появляются первые очень мелкие пузырьки. Температура воды составляет при этом около 70 °C. Водой, нагретой до «глаза креветки», заваривают самые нежные зеленые чаи. На следующей стадии, которая называется «крабий глаз», пузырьки становятся крупнее, но по-прежнему остаются на стенках. При переходе от креветочного глаза к крабьему от воды начинает подниматься пар. Температура воды становится чуть ниже 80 °C, что подходит для большинства зеленых и белых чаев, а также улунов. Третья стадия – «рыбий глаз». Пузырьки становятся еще крупнее и только начинают отделяться от стенок. Именно в этот момент становится слышно пение воды. Температура воды чуть превышает 80 °C и позволяет получить более ароматный настой некоторых особо стойких зеленых и белых чаев. Четвертая стадия называется «жемчужная нить», потому что на ней пузырьки устремляются к поверхности. Это происходит при температуре воды порядка 90–95 °C. При такой температуре следует заваривать черный чай. Пятая, и последняя, стадия – «бушующий поток» – это интенсивное кипение при 100 °C; через пузыри бушующего потока вода теряет слишком много кислорода, что может привести к некоторой потере аромата, хотя чайные пакетики предназначены для заваривания именно при такой температуре. Единственный листовой чай, способный выдержать бушующий поток, – это черный («зрелый») пуэр. Этот потрясающий чай с землистым привкусом (или, как говорит мой друг Мартин, «будто им козла мыли») устойчивее всех прочих; его можно заваривать при любой температуре – от «глаза креветки» и выше.

Хотя изменение размера пузырьков в зависимости от температуры может иметь значение при заваривании разных типов чая, оно говорит о том, что закипающая вода не обладает масштабной инвариантностью. Однако если нагревать воду в герметически закрытом сосуде, можно одновременно увеличивать давление и температуру, что позволяет довести ее до критической точки, в которой пузырьки становятся масштабно инвариантными. При этом образуются пузырьки любых размеров и даже пузырьки внутри других пузырьков внутри других пузырьков и так далее, на всех пространственных масштабах, от десятых долей нанометра до размеров, почти достигающих размеров сосуда. Все эти пузырьки рассеивают свет, в результате чего получается поистине магический эффект: вода перестает быть прозрачной и становится молочно-белой, напоминая опал. Это явление называют критической опалесценцией.

Теория критической опалесценции была создана Альбертом Эйнштейном[24] в числе других трудов, в которых он пытался объяснить, как из микроскопического мира атомов и молекул возникает срединная область нашего существования. Эйнштейн предсказал, что масштабная инвариантность пузырьков воды в критической точке должна приводить к рассеянию света разных цветов под разными углами. Собственно говоря, его математическое выражение в точности совпадает с формулой, описывающей рассеяние света в атмосфере – из-за которого небо становится синим. Это предсказание легко было проверить на опыте благодаря эффектному виду критической опалесценции.

Математическая модель Эйнштейна точно описывала экспериментальные наблюдения, но не ограничивалась этим. Модель – это не просто математическое уравнение или оракул, к которому обращаются за толкованиями. Модель строится на неких предположениях об устройстве физической реальности. Доказательства достоверности модели дают доказательства справедливости предположений о природе реальности, которые часто бывает невозможно проверить на опыте. Уравнения Эйнштейна получили именно тот вид, который они имеют, потому что он предполагал, что макроскопический мир возникает из мира микроскопического, мира атомов и молекул. То, что считается сейчас самоочевидным, в 1905 году далеко не было общепризнанной истиной: хотя концепция атомов возникла не позднее VIII века до н. э. (у древнеиндийского мудреца Аруни), к концу XIX века более распространенным было представление о сплошной, неразрывной Вселенной. Когда модель Эйнштейна в точности подтвердилась, это сделало более весомой и убедительной и саму молекулярную теорию. Не будь Эйнштейна, мы, возможно, и по сей день не верили бы в существование атомов.

В древности адепты природной магии искали универсальные законы, управляющие поведением мира; современная физика добилась огромных успехов в достижении этой цели. Масштабная инвариантность в критической точке дает один из самых наглядных примеров универсального поведения. Собственно говоря, этот пример настолько хорош, что мы называем это явление универсальностью.

Вселенная в песчинке

В повседневном обиходе слово «универсальность» обозначает проявление разными объектами одинакового поведения. В физике существует много видов универсальности. Например, авторы статьи, напечатанной в 2011 году в «Трудах Национальной академии наук США»[25], получили численное описание некоторых из замечательных проявлений коллективного поведения огненных муравьев. Когда их гнездо затапливает вода, они собираются вместе и образуют шар диаметром несколько сантиметров, что позволяет всему населению муравейника оставаться на плаву на поверхности воды. Когда этот шар достигает суши, муравьи расцепляются и вновь начинают перемещаться поодиночке. Исследователи описали такое коллективное поведение муравьев в терминах твердого и жидкого состояний; они измерили, например, вязкость муравьиного флюида и даже изучали фазовый переход из твердого состояния в жидкое в поведении огненных муравьев. В контексте фазовых переходов универсальность – это часто наблюдаемая независимость макроскопического поведения от отдельных микроскопических факторов. Это обстоятельство было впервые обнаружено в экспериментах, исследовавших фазовые переходы между жидкостями и газами вблизи их критических точек: оказалось, что многие флюиды, хоть и состоящие из совершенно разных типов атомов, взаимодействующих совершенно по-разному, проявляют одинаковое макроскопическое поведение. Критические точки этих флюидов возникают при сильно отличающихся значениях температуры и давления. Когда исследователи поддерживали критическое давление и охлаждали флюиды, приближая их к критической температуре, плотность этих, чрезвычайно разнообразных, флюидов изменялась совершенно одинаково, причем изменения поддавались точному математическому выражению. Форма, которую принимало это поведение, определялась на удивление точно: плотность флюидов была пропорциональна температуре в степени 0,326. С математической точки зрения в этом числе нет ничего особенного, но тем не менее: хотя это число – просто число, оно описывает совершенно разные флюиды. Вот что значит универсальность. Еще удивительнее то обстоятельство, что в точности такое же поведение проявляют магниты, находящиеся вблизи критической точки! В этом случае с температурой изменяется не плотность, а намагниченность, но и ее изменение определяется тем же самым числом – 0,326. Такое же поведение можно даже вывести математически в модели Изинга.

В наши дни универсальность обнаруживают в самых разнообразных ситуациях. В число таких примеров входят распространение трещин в металлах и минералах, разрывание бумаги, пропитывание фильтровальной бумаги водой, распространение молекул по раствору, лавины в кучах песка, обрывы соединений в интернете и развитие жесткости в растущих эмбрионах. Во всех этих случаях под универсальностью понимают появление одних и тех же, по-видимому, произвольных, чисел в никак не связанных между собою контекстах.

Как выяснилось, универсальность управляет и человеческим поведением. Авторы статьи 2013 года в журнале Physical Review Letters[26] проанализировали видеозаписи скоплений зрителей в танцевальных партерах («мош-питах») на рок-концертах и показали, что возникающее поведение толпы соответствует поведению фазового перехода из жидкости в газ вблизи критической точки. Хотя каждый человек движется под музыку и в зависимости от движений ближайших соседей, в толпе спонтанно возникают «круговые ямы», в которых люди движутся быстрее и чаще сталкиваются друг с другом, что уменьшает плотность толпы. Авторы статьи утверждают, что речь идет об эмерджентном состоянии материи не хуже любого другого. Мне приходилось бывать в таких круговых ямах; танцуя в толпе, например, под музыку группы «System of a Down», я не заметил у себя явной потери свободы воли, даже когда исполнители перескочили на композицию «Sugar» прямо посреди «Prison Song». Однако можно предположить, что я действовал как тот пловец в водовороте – отдавался течению. В статье отмечаются некоторые практические применения этих результатов: охваченная паникой толпа, спасающаяся от пожара, проявляет поведение, сходное с поведением толпы в танцевальном партере, а это может привести к возникновению заторов. Авторы предлагают использовать свой анализ для повышения безопасности архитектурных проектов и совершенствования методик управления потоками людей, отмечая, например, что в танцевальных партерах установилось следующее правило: если кто-нибудь падает, его соседи помогают ему встать. Почему же эти не связанные друг с другом системы ведут себя одинаково? Согласно нашему нынешнему пониманию универсальности она возникает из масштабной инвариантности. Вблизи критической точки физические системы выглядят и ведут себя сходным образом на всех пространственных и временных масштабах. Это означает, что микроскопические детали (будь то атомы, спины или зрители) перестают иметь значение: расфокусированным взглядом их не увидеть. Чтобы отражать такое положение вещей, математическая модель должна и сама быть масштабно инвариантной. С этой точки зрения простое объяснение универсальности состоит в том, что число возможных масштабно инвариантных теорий ограничено, а приведенные выше масштабно-инвариантные картины представляют собой чрезвычайно особые случаи.

Универсальность и колдовство

Что такое материя? Эта глава дает следующий ответ: это коллективное поведение, возникающее в повседневном масштабе, когда взаимодействуют многочисленные микроскопические компоненты. Атомы и молекулы в сочетании друг с другом дают нечто большее, чем сумма их частей, в результате чего и появляются состояния материи, с которыми мы имеем дело. Один и тот же набор атомов может образовывать много разных состояний, а в одном и том же состоянии материи могут существовать многие микроскопические конфигурации. Центральное место во всем этом занимает идея универсальности: мелкомасштабные подробности часто становятся неважными, и в чрезвычайно разных условиях возникает одинаковое крупномасштабное поведение.

Это чем-то похоже на «кинематографическую вселенную Marvel». Мелкие подробности могут меняться от фильма к фильму: главный герой может быть то волшебником, то ученым, то инопланетной собакой; несчастный случай, в результате которого он обрел свои сверхспособности, может быть укусом радиоактивного паука, или происшествием с гамма-излучением, или взрывом двигателя космолета – но, когда вы входите в кинозал, вы можете быть уверены, что вам покажут знакомую в общих чертах историю, в предпоследней сцене которой будет победоносная решающая битва, а после нее – беззаботный эпилог. Подробности могут меняться, но крупномасштабное поведение остается все тем же.

Эта глава началась с простого примера эмерджентности: если добавить достаточно песчинок, возникнет куча. Точно так же сложение множества теорий и экспериментальных наблюдений приводит к возникновению более сложных идей. Например, непрерывные фазовые переходы проявляют масштабную инвариантность – пузырьки в пузырьках на любых пространственных и временных масштабах. Но истинная масштабная инвариантность невозможна: невозможно получить пузырь крупнее сосуда. Профессор Каданов предложил простой подход к этой проблеме: фазовых переходов не существует! Точнее, они существуют только в математических моделях, которые никогда в точности не соответствуют реальности. Эта точка зрения часто встречается у теоретиков, занимающихся физикой конденсированного состояния. Но, если переходов между состояниями не существует, существуют ли сами эти состояния?

Прагматический ответ на этот вопрос состоит в том, что состояния материи существуют постольку, поскольку они полезны. Математические модели способны быть точными, потому что могут предполагать существование бесконечного количества частиц, что не соответствует реальности. Но вам не обязательно нужно, чтобы ваш чай выдерживал столь строгий анализ: все, что от него требуется, – чтобы он плескался в вашей чашке, а не замерзал в твердую ледышку и не улетучивался в виде газа. Кроме того, ответ зависит от применимых пространственных и временных масштабах. Если кусок камамбера сохраняет форму в течение обеда, значит, он обладает достаточной твердостью, даже если столь краткий период окажется слишком ничтожным, чтобы привлечь внимание наблюдающей за нами оливы.

Именно универсальность позволяет простым моделям отражать суть реальных физических ситуаций. Сложные мелкомасштабные подробности становятся несущественными, и это обстоятельство можно выразить численно. Говоря словами того же Дж. Дж. Фрэзера, универсальность есть порядок и единообразие, скрытая пружина, обнаружение которой открывает безграничные перспективы. Тщательные размышления и наблюдения открывают путь, иногда скрытый, к сути мироздания. На первый взгляд кажется, что у магнитов и конденсации нет ничего общего, но на деле они связаны глубокими корнями.

В изначальной трактовке физики конденсированного состояния материи были представлены классическими стихиями. Эта глава была посвящена жидкостям и газам, которые олицетворяют вода и воздух. Теперь мы спустимся в глубь земли и сосредоточимся на самом магическом из всех проявлений – кристаллах. Путешествие по многочисленным мирам отдельных кристаллов приведет нас к совершенно иному пониманию материи – пониманию, сводящемуся к вопросу симметрии.

III

Магия кристаллов

Вериана спускалась по пыльным каменным ступеням винтовой лестницы, освещая себе дорогу своим камнем. Ступени были узкими, их поверхность неровной; в середине каждой за многие века вытерлось по гладкой впадине. Миновав казавшееся бесконечным число одинаковых дверей, по одной на каждом уровне, Вериана дошла до той, которую она искала. Прорезав засов, она открыла дверь, за которой обнаружилась огромная подземная библиотека.

Пол и потолок состояли из чугунных решеток с замысловатым цветочным орнаментом, повторявшимся в каждом из абсолютно одинаковых трехметровых квадратов. Сквозь решетки Вериана видела бесчисленные этажи, точно такие же, как тот, на котором она находилась. Магия, накапливавшаяся в книгах на протяжении многих эпох, просочилась и в саму постройку. Некоторые проявления этого были всего лишь безобидными курьезами: пройдя три квадрата вперед, три квадрата вправо, три квадрата назад и три квадрата влево, не всегда получалось вернуться в исходную точку. Однако другие бывали более тревожными.

Когда магия только появилась, она пришлась ко двору. Тяжелые дубовые книжные шкафы сдвигались с места, чтобы читателю было удобнее, или подсовывали ему незаслуженно забытые рукописи. Но с течением времени атмосфера все гуще пропитывалась колдовством, и библиотека постепенно забыла о читателях. Книжные полки, некогда расставленные идеальными шеренгами, стали бессистемно передвигаться туда и обратно, образуя самые непредсказуемые конфигурации. Некоторые из них собирались в новые тематические группы, непостижимые для рационального ума. Некоторые держались парами, с интересом изучая книги друг друга, а собравшиеся в более крупные скопления высыпали свои рукописи, так что между ними образовывались беспорядочные кучи бумаг. В конце концов читатели, не в силах совладать с этим безумием, оставили библиотеку. Но это не означало, что ею никто не интересовался: при появлении Верианы в библиотеке где-нибудь наверняка поднялась тревога. Ей следовало предполагать, что за ней уже гонятся.

Вступив в библиотеку, Вериана тут же начала лавировать между быстро движущимися книжными шкафами, каждый из которых был в три раза выше ее. Огромные размеры библиотеки отражали громадность стоявшей перед ней задачи; нужно было действовать быстро. За годы исследований и тщательных размышлений Вериана нашла общие нити, вплетенные в повествования, хранившиеся в библиотеке. Вытягивая эти нити, она сплела их в своем сознании в понимание устройства библиотеки. Движения были подобны дрожи капель росы на пропитанной туманом паутине – всё непрерывно перемещалось, но никогда не сталкивалось. Каждая полка ощущала притяжение всех остальных и сама притягивала их. В каждый момент в их движении были свои закономерности, изменяющиеся, но навеки неизменные.

То перебегая между стеллажами, то прячась за ними, Вериана добралась до книги, обещавшей то запретное знание, которое и заставило ее преодолеть бессчетные лиги пути. Перед ней стоял тяжелый стол, казавшийся точкой жутковатого спокойствия посреди хаоса. На столе лежала одна-единственная большая книга, два фута шириной и несколько футов длиной. Пергаментный том в кожаном переплете был прикован к столу тяжелой цепью. Не теряя времени, Вериана принялась читать.

Никакая книга о колдовстве не будет полной без разговора о кристаллах. Они – природное воплощение магии: мы извлекаем из рыхлой, неоднородной земли эти поразительные твердые самоцветы с плоскими гранями, геометрически правильными кромками и острыми вершинами – артефакты, древние, как сам мир. В их сердце заключены невиданные цвета. Бывают кристаллы прозрачные и непрозрачные, кристаллы матовые, молочно-туманные или пыльные или кристаллы, кажущиеся тусклыми, пока при малейшем повороте в них не обнаружится ослепительный блеск. Они могут освещать темноту или флуоресцировать в неоновом свете буйной дискотеки. Кристаллы – это заклинания, которые произносят сами себя, замечательное стремление к самопроизвольному возникновению упорядоченности из беспорядка. Как же неупорядоченная земля порождает столь потрясающие симметричные формы?

Кристаллы льда (снежинки). Рисунок Олафа Магнуса (1490–1557)

Идея о том, что порядок возникает из хаоса, существует издревле. Греки и римляне считали, что исходно мир был хаосом; в скандинавской мифологии Имир, бывший первоначальным живым существом, исходно существовал в хаосе, имевшем вид пропасти. В Древней Месопотамии хаос и первоначальное творение символизировала богиня Тиамат; в Древнем Китае эту роль играл Хуньдунь – безликая сущность, которую иногда отождествляют с мифическим существом под названием Ди-цзян. В относящейся к IV веку до н. э. китайской «Книге гор и морей» (Шань хай цзин), бестиарии мифических существ, составленном, как утверждается, по рассказам шаманов и колдунов, возвращавшихся из потусторонних странствий, говорится, что Хуньдунь был четырехкрылым, шестиногим и безликим существом, походящим на «мешок». В одном из комментариев к этому тексту утверждается, что на самом деле смысл этого сравнения в том, что мешок не походит ни на что: изначальный хаос бесформен и слеп. Хотя мифологические верования в возникновение порядка из хаоса широко распространены, это не делает менее поразительными их осуществление в реальных материалах.

Кристаллы настолько важны, что мы соотносим этапы развития нашего вида с периодами их применения. Каменный век начался около трех миллионов лет назад, когда мы начали вытесывать инструменты из кремня (состоящего из мелких кристаллов кварца). Бронзовый век начался где-то после 6000 года до н. э., когда мы научились выплавлять бронзу: этот сплав меди с другими металлами (традиционно это было олово) также является кристаллом. Хотя тот факт, что металл может быть кристаллом, может показаться странным, на самом деле это скорее правило, чем исключение: почти все металлы относятся к кристаллам. По мере совершенствования нашего умения управляться с огнем мы начали обрабатывать металлы с более высокими температурами плавления, и около 1200 года до н. э. научились делать орудия из стали (кристаллизованного сплава железа с углеродом), то есть вступили в железный век.

Атомы, входящие в состав металлических кристаллов, отдают один или несколько электронов, которые образуют отрицательно заряженное море – приблизительно так же, как книжные полки древней волшебной библиотеки обменивались своими рукописями, в результате чего между ними возникало взаимное притяжение. Поэтому металлы хорошо проводят электричество и тепло. Причина, по которой они кажутся холодными на ощупь, заключается в том, что они отводят тепло от вашей руки. Равномерное распределение электронов означает, что металлы охотно изменяют форму, что делает их ковкими (легко обретающими новые формы и не ломающимися под ударами молота) и тягучими (легко вытягиваемыми в проволоку). Практические применения с самого начала были центральным аспектом наших отношений с кристаллами, и изучение их свойств составляло важную часть физики конденсированного состояния на ранних этапах ее развития. В наши дни мы постоянно используем их магию – от светодиодных светильников в наших жилищах и на улицах до жидкокристаллических дисплеев телефонов и компьютеров или лазерных диодов, передающих данные интернета по волоконно-оптическим кабелям. Вся электроника основывается на кристаллах – кремниевых микросхемах.

Вот как рассказывает о кристаллах мой друг Стивен Бланделл, профессор физики конденсированного состояния в Оксфордском университете: каждый кристалл образует свой собственный мир со своими собственными физическими законами – собственной скоростью звука и собственной скоростью света. В мире одного кристалла механическое сдавливание порождает электричество. В мире другого заряженные частицы движутся по кругу. Давайте отправимся в путешествие по этим мирам по примеру знаменитых оксфордских непосед – таких как Алиса из «Зазеркалья» или Лира из трилогии «Темные начала» Филипа Пулмана. В некоторых из этих миров мы познакомимся с новыми частицами; в других мы встретим старых друзей в новых обличиях. Мы попадем в миры, в которых магические способности обыденны, и вернемся из них с некоторыми из таких способностей: кристаллы научат нас видеть привычный нам мир в новом, волшебном свете. Та нить, следуя за которой мы пройдем сквозь эти миры, нить, связывающая их воедино, – это симметрия.

Симметрия – определяющее свойство кристалла. Я живо помню, в какое возбуждение привел меня в детстве кристалл висмута, который я увидел на обложке журнала. Он стал бы отличным дополнением к «Павлиньему музею», который я устроил в картонной коробке[27]. Я нетерпеливо надорвал пластиковый пакет, приклеенный к журналу, надеясь найти в нем новый уникальный экспонат. И с ужасом осознал, что меня надули: кристалл оказался пластмассовой подделкой. Напрасно я надеялся заполучить свой собственный кристалл! Ошибка фальсификаторов состояла в том, что они сделали свою подделку слишком красивой: с металлической поверхностью, покрытой маслянистой радужной патиной, и формой ступенчатой пирамиды наподобие храмов майя. Природа явно не могла произвести ничего столь симметричного.

Лишь годы спустя, когда я прослушал курс металлургии, будучи студентом в Оксфорде, я выяснил, что кристалл-то был самым настоящим. Кристаллы действительно волшебны: висмут добывается из-под земли именно таким невероятно прекрасным и симметричным.

Кристалл висмута

Значение симметрии для мировоззрения физика невозможно переоценить. Я приведу еще одну цитату из мастера определений Филипа Уоррена Андерсона:

Будет лишь небольшим преувеличением сказать, что физика есть исследование симметрии.

Это смелое утверждение, но его защитники найдутся во всех отраслях этой дисциплины. Чтобы понять, почему Андерсон так думал, нам нужно сначала постичь значение и возможности симметрии. Понимание того, как кристаллы достигают своей симметрии, жизненно важно для понимания самой материи. В этой главе нам встретится следующее каноническое определение материи:

Материя есть жесткая структура, возникающая при спонтанном нарушении симметрий.

Чтобы понять смысл этого утверждения, мы должны совершить путешествие по мирам кристаллов, в каждом из которых есть свои законы и свои особенности. Но сначала посмотрим на некоторые из магических свойств кристаллов, обратив особое внимание на то из них, которое и мы можем использовать, чтобы увидеть мир по-новому.

Поляризация мнений

Многие кристаллы обладают особыми свойствами. Один пример таких свойств мы уже видели – это магнетизм. Его поразительно интересным образом используют магнитотактические бактерии, развившие в процессе эволюции способность выращивать внутри себя магнитные кристаллы, чтобы ориентироваться в магнитном поле Земли, что помогает им в поисках наиболее подходящей для них среды. Эти бактерии выделяют из воды железо и используют его для выращивания кристаллов магнетита (оксида железа) или грейгита (сульфида железа) длиной от приблизительно тридцати до сотни нанометров. Бактерии научились выращивать кристаллы именно такого размера, потому что они достаточно велики, чтобы ощутимо смещаться под действием геомагнитного поля, но не настолько велики, чтобы в них образовывались разнонаправленные магнитные домены (что уменьшало бы суммарную интенсивность поля). Несколько групп проводили исследования, показавшие, что в принципе магнитотактическими бактериями можно покрывать вирусы, убивающие раковые клетки так, чтобы эти вирусы могли существовать в организме человека достаточно долго и их можно было подводить к раковым опухолям при помощи магнитов, устанавливаемых на тело человека[28].

Другая магическая способность кристаллов – триболюминесценция: некоторые кристаллы начинают светиться, если их потереть или постучать по ним. Одно из первых задокументированных применений этого свойства нашли члены североамериканского племени анкомпагри народа юте: они собирали кристаллы кварца в горах Колорадо и Юты и складывали их в прозрачные короба из бизоньей шкуры. Когда такой короб трясли, кристаллы ударялись друг об друга и начинали светиться. Свойством триболюминесценции обладает и сахар: сахарный песок состоит из отдельных кристаллов, и, если насыпать его в блендер в темноте, можно увидеть, как от этих кристаллов исходит жутковатое оранжевое свечение. В современном шаманском фольклоре известны утверждения, что кристаллы ЛСД также могут светиться, если потрясти их в темноте[29].

Один из самых ясных примеров способностей кристаллов, которые мне довелось наблюдать, касался двойного лучепреломления. Этим свойством обладают кристаллы кальцита: если положить такой кристалл на книжную страницу, в кристалле появятся два изображения текста. При повороте кристалла одно из изображений будет совершать пируэты вокруг другого.

Чтобы понять, как действует магическое воздействие кальцита на свет, сначала необходимо разобраться в некоторых не столь известных свойствах самого света. А именно, у света есть так называемая поляризация. Основная идея – что свет можно представить себе в виде волны – не слишком сложна. Если привязать один конец веревки к столбу, отойти от него так, чтобы веревка была несколько натянута, и начать раскачивать второй конец веревки вверх и вниз, на ней образуется волна. Точно так же можно создать волну, раскачивая конец веревки влево и вправо. Глядя вдоль веревки, в первом случае вы увидите, что все ее движение происходит в вертикальном направлении, а во втором случае – в горизонтальном. Направление, в котором происходит такое движение, называется плоскостью поляризации. Если бы можно было посмотреть таким же образом вдоль распространяющегося светового луча, вы увидели бы, что у него есть электрическое поле, колеблющееся (скажем) вверх и вниз, и магнитное поле, колеблющееся влево и вправо. Направление, в котором колеблется электрическое поле, называют плоскостью поляризации света.

В зависимости от того, как генерируется свет, он может быть поляризованным или неполяризованным. Солнечный свет не поляризован, что значит, что его можно видеть под любым углом поляризации. С другой стороны, свет, исходящий от жидкокристаллического экрана, например компьютерного, сильно поляризован. (Молекулы жидких кристаллов экрана ориентируются под воздействием электрических токов, пропуская свет только в случае определенной ориентации молекул.)

Волны, возникающие при вертикальном (вверху) или горизонтальном (внизу) раскачивании привязанной к столбу веревки. Направление раскачивания определяет поляризацию волны

В кальците свет с одной поляризацией распространяется с одной скоростью, а свет, поляризованный под прямым углом к поляризации первого, – с другой. Замедляясь при попадании в вещество, свет преломляется и изменяет направление; именно поэтому ловля рыбы копьем требует большого искусства: из-за преломления света в воде кажется, что рыба находится не там, где она есть на самом деле. Поскольку скорость распространения света с двумя разными поляризациями в кальците неодинакова, в результате преломления по-разному изменяется и направление его распространения. Если направить на кальцит пучок неполяризованного света, он расщепится на два (по одному на каждую поляризацию), и вы увидите в кристалле два изображения слов.

В нашей срединной области существует постоянная скорость света в вакууме. Это наибольшая возможная скорость, остающаяся неизменной, в какую бы сторону вы ни смотрели. Но, если бы вы уменьшились настолько, чтобы попасть в квантовую область и проникнуть внутрь кристалла кальцита, вы обнаружили бы, что существуют две разные скорости света – и его скорость зависит от того, в каком направлении вы смотрите.

Двойное лучепреломление позволяет предположить, что в прошлом у кристаллов кальцита было одно интересное применение: возможно, викинги применяли их для навигации в морских путешествиях. Это предположение основано на исландских текстах, записанных в XIII и XIV веках – в них есть упоминания об использовании «солнечных камней» для определения положения солнца в затянутом облаками небе:

Погода стояла хмурая, и валил снег, как и предсказывал Сигурд. Конунг призвал к себе [сыновей Раудульва] Сигурда и Дага. Затем конунг послал человека выглянуть наружу, и тот не увидел на небе ни единого просвета. Тогда конунг спросил у Сигурда, насколько высоко поднялось солнце. Тот дал точный ответ. После этого конунг приказал принести солнечный камень и поднять его вверх. Конунг посмотрел, куда тот отбрасывает луч, и убедился, что все было именно так, как сказал Сигурд.

Прядь о Раудульве (Rauðúlfs þáttr), ок. XII в.[30]

В этом отрывке есть несколько примечательных моментов. Во-первых, кажется вполне очевидным, что Сигурд совершает некое волшебство, и разумно было бы предположить, что он колдун. Во всяком случае окружающие, по-видимому, считают его способности сверхъестественными. Если бы вы могли взглянуть на затянутое облаками небо и узнать, где именно находится солнце, – разве не была бы такая способность магической? Если так, запомните эту мысль, ибо вскоре эта способность станет вам доступна – если только вы этого захотите. Во-вторых, заметим, что персонажи повествования, по-видимому, не считают использование солнечного камня колдовством: это надежное средство получения правильного ответа. Судя по всему, солнечный камень не кажется викингам магическим – он привычен. Но что такое этот солнечный камень? Видимо, знания о нем были утрачены, и это вернуло ему магический статус.

Поскольку магнитные компасы стали известны в Европе только около 1300 года, викинги использовали в навигации другие ориентиры – в том числе положение солнца или звезд в небе. Однако вблизи земных полюсов, где, как мы знаем, плавали викинги, эти ориентиры часто бывают недоступны: на далеком севере в течение многих месяцев царят сумерки, в которых не видно ни солнца, ни звезд. В 2013 году была опубликована статья, авторы которой утверждали, что крупный кристалл кальцита, найденный в обломках затонувшего судна Елизаветинской эпохи, мог использоваться в качестве навигационного прибора. Идея состояла в следующем: свет, падающий с неба, поляризован, и поляризационные рисунки образуют на небе гигантскую карту, по которой, если ее увидеть, можно определить положение солнца.

Многие животные, в том числе пчелы и утки, способны видеть поляризацию неба и использовать ее в навигации. Человек может увидеть эту небесную карту при помощи кальцита. При вращении кристалла проходящий сквозь него свет меняет цвет с синего на желтый в зависимости от направления поляризации, выявляя контуры небесной карты. В XX веке кальцит использовали на практике пилоты гражданской авиации, совершавшие полеты в приполярных областях; это и вызвало к жизни предположение о том, что таинственный солнечный камень был именно кальцитом. Возможно, вы не думаете, что навигационные методы викингов будут особенно полезным добавлением к вашей книге заклинаний. Ничего страшного: у двойного лучепреломления есть множество других применений.

Одно из самых магических среди этих применений было обнаружено в 2011 году, когда исследователи из Великобритании и Дании установили, что из двух кристаллов кальцита можно сделать «пещеру невидимости»[31]. Макроскопические объекты, помещенные в такую пещеру, становятся невидимыми извне, причем под любым углом, так как свет огибает их. Предыдущие попытки добиться невидимости основывались на кропотливом создании специализированных материалов, начинавшемся с атомного уровня, и получавшиеся решения работали только для объектов не крупнее нескольких тысячных миллиметра в поперечнике, да и то только в свете определенных цветов. Проблема (а в практической магии никогда не обходится без проблем) состоит в том, что кальцитовая пещера работает только в свете определенной поляризации, так что для нее требуется источник поляризованного света. Чтобы заметить присутствие такой пещеры, волшебнику нужно всего лишь каким-то образом научиться видеть поляризацию света – обрести своего рода новое магическое чувство. Но это конечно же неподвластно реальной магии…

Второе зрение

Известны два вида млекопитающих, обладающие способностью видеть поляризацию света без кристаллов с двойным лучепреломлением. Это летучие мыши и… человек. Почему у нас есть эта способность, неизвестно, и люди в большинстве своем за всю свою жизнь так и не осознают, что она у них есть. В 1844 году австрийский минеролог Вильгельм Карл фон Гайдингер, изучавший кристаллы в поляризованном свете, заметил призрачную фигуру, похожую на четырехлистный клевер с чередующимися желтыми и синими листьями. Она висела в центре его поля зрения, и «клеверные листья» были приблизительно с толщину большого пальца, если смотреть на него, вытянув руку. Но самое замечательное произошло потом. Когда Гайдингер убрал кристалл, изображение не исчезло. Хотя кристалл усиливал эффект, Гайдингер понял, что видит эту фигуру и без него. Теперь это явление известно под названием щетки Гайдингера. Два синих листа лежат в плоскости поляризации света.

Кристаллы показали Гайдингеру, что он обладает чувством, которого не замечал до него ни один человек. Любой умелый волшебник может развить это чувство тренировками; однако, как и все, что связано с магией, эта способность дается не бесплатно; прежде чем вы решите, хотите ли вы обрести ее, нужно тщательно обдумать следующие соображения. Свет, исходящий от жидкокристаллических экранов, сильно поляризован. Если вы натренируете свою способность видеть щетку Гайдингера, вы всегда будете видеть ее, в самом центре поля зрения, при взгляде на компьютер или телефон: избавиться от этой мутной бурой кляксы вам уже не удастся. Если такая цена кажется вам слишком дорогой, не читайте следующий абзац.

Ах, вы все-таки здесь. Я так и знал: вы считаете, что за эзотерическое знание можно заплатить любую цену. Начнем. Откройте на своем телефоне или лэптопе какую-нибудь ярко-голубую страницу. Если вы начнете быстро поворачивать экран туда и обратно на несколько градусов, то при каждом взгляде на него вы будете замечать бледный желто-бурый «бантик», поворачивающийся вместе с экраном. Поворачивать экран нужно просто потому, что движущиеся предметы легче заметить. Сначала бантик будет выглядеть просто бурой кляксой. Расположенный под прямым углом к нему синий бантик будет еще бледнее: он будет казаться темным пятном на голубом экране. Заметив эту фигуру и потренировавшись, вы научитесь видеть щетку, даже не поворачивая экрана. Как правило, она исчезает секунды через две, если смотришь в одну и ту же точку, но снова возникает при движении глаз. Итак, вы научились видеть поляризацию света; если кто-нибудь спрячет какие-либо предметы в кальцитовой «пещере невидимости», теперь вы сможете разоблачить эту уловку. На небе поляризационная карта лучше всего видна в сумерках, безоблачным вечером. Представьте себе, что через солнце проходит линия, которая делит небо на две в точности равные части. Вытяните обе руки в направлении солнца (но не смотрите на него!), а затем отведите правую руку вдоль этой линии так, чтобы ваши руки оказались под прямым углом друг к другу. Теперь ваша правая рука должна указывать на самую поляризованную точку в небе, в которой легче всего увидеть щетку Гайдингера. Потренировавшись, можно научиться видеть карту почти по всему небу, даже сквозь легкую облачность, – как видел ее Сигурд в тот пасмурный, снежный день.

Для щетки Гайдингера находится все больше практических применений. Недавно ее начали использовать в качестве теста на возрастную макулодистрофию (дегенерацию желтого пятна), которая является главной причиной слепоты во многих частях света. Поскольку от этой болезни страдают те же части глаза, которые различают поляризацию, на измерении способности пациента видеть щетку может быть основан простой и неинтрузивный метод диагностики. Родственная методика была разработана для неинтрузивного выявления офтальмологических расстройств у малолетних детей, а тренировка видения щетки Гайдингера оказалась действенным средством коррекции целого ряда распространенных проблем со зрением, связанных с использованием неправильных областей сетчатки.

Поляризацию видят только некоторые животные, и свойством двойного лучепреломления обладают только некоторые кристаллы, но у других кристаллов есть свои способности. Как же работает магия кристаллов? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно углубиться в микроскопический мир, из которого они возникают.

Кристаллическая решетка

Кристалл – это твердое вещество, атомы которого образуют регулярную структуру; точнее, структуру периодическую, рисунок которой повторяется через равные интервалы – как сегменты ограды или плитки в ванной. Атомы кристалла равномерно распределены во всех трех направлениях: так же были расставлены книжные полки в начале этой главы до того, как они начали безумствовать. Чтобы представить себе, на что это похоже, вообразите, что кристалл – это склад, заполненный множеством одинаковых кубических ящиков, похожий на тот, что показан в конце фильма «Индиана Джонс: В поисках утраченного ковчега». Ящики стоят впритык дуг к другу, между ними нет никаких промежутков. Поскольку кристалл гораздо меньше склада, эти ящики должны быть крошечными; представьте себе, что в каждый из них плотно, без зазоров, входит один атом. Поскольку ящики образуют периодическую структуру, ее образуют и атомы.

В реальном кристалле есть атомы, но нет ящиков. Вместо них атомы удерживает на месте взаимодействие с другими атомами. В металлах, как мы уже видели, каждый атом отдает один или несколько электронов в общее облако, в котором они и перемещаются. При этом атомы становятся положительно заряженными ионами, а поскольку облако электронов имеет отрицательный заряд, оно удерживает атомы на месте. В кристаллах соли, то есть хлорида натрия, действуют ионные связи: каждый атом натрия отдает один электрон атому хлора, в результате чего оба атома приобретают более энергетически выгодную электронную конфигурацию. Атомы натрия становятся положительно заряженными, а атомы хлора – отрицательно заряженными, и это опять-таки удерживает их вместе. Существуют и многие другие возможные типы химических связей.

Тем не менее регулярно расставленные ящики – это удобная аналогия. Физики пытаются создавать совершенные математические модели, надеясь, что они будут обладать теми же существенными характеристиками, что и несовершенный реальный мир. В основе физики кристаллов лежит математическая идея «кристаллической решетки». Ее можно представить себе в виде тех самых несуществующих ящиков. Кристаллическая решетка – это воображаемый, идеально регулярный и идеально повторяющийся набор точек (каждая из которых соответствует, скажем, центру очередного ящика). Однако реальный мир неидеален. Физические кристаллы не продолжаются во все стороны до бесконечности, как идеальная решетка: даже весьма крупный кристалл может иметь в каждом измерении размер не более нескольких сантиметров. Однако число атомов в кристалле велико – оно сравнимо с числом Авогадро. Почти для всех этих атомов, если перейти на микроскопический масштаб, на котором они и взаимодействуют с миром, поверхность кристалла находится так далеко, что атомы не замечают ее существования. Поэтому приближение, в котором атомы повторяются до бесконечности и расположены в идеально упорядоченной конфигурации, не так уж и далеко от истины. Атомы кристалла не остаются неподвижными; они совершают колебания (квантовые) в разные стороны вокруг своего предпочтительного положения. Этот процесс можно представить в виде прохождения сквозь кристалл фононов, аналогичного движениям книжных полок, от которых Вериана уклонялась в библиотеке.

Любой кристалл можно полностью описать двумя характеристиками: расположением атомов в каждом ящике (одинаковым для всех случаев) и расположением ящиков в кристаллической решетке. Разные решетки могут состоять из ящиков разной формы. Некоторые кристаллы – например кристаллы полония – имеют кубические ящики. В других ящики представляют собой прямоугольные параллелепипеды (похожие на кубы, но имеющие грани в форме прямоугольников, а не квадратов). Пример такого кристалла – топаз. α-кварц состоит из ящиков с шестиугольными основаниями. Возможны не любые формы ящиков: они должны быть такими, чтобы ящики могли примыкать к таким же, как они сами, не оставляя зазоров. Например, шестиугольные монеты можно выложить на столе впритык друг к другу без зазоров, а с пятиугольными это сделать невозможно. В 1848 году Огюст Браве (физик, также интересовавшийся в числе прочего северными сияниями) доказал, что существует в точности четырнадцать разных форм ящиков, которые могут быть использованы в кристаллических решетках. Атомы каждого кристалла во Вселенной расположены по одной из этих четырнадцати схем, которые называют теперь решетками Браве. Простой причины, по которой их именно четырнадцать, не существует. Четырнадцать, и все тут. Не больше, не меньше. Четырнадцать есть число, кое ты сочтешь, и счет твой да будет до четырнадцати. О шестнадцати не может быть и речи[32].

Атомы кристалла; ящики – всего лишь удобное представление

Именно решетки Браве придают кристаллам их способности. На самом деле, слово «способности» означает здесь попросту явления, которые не возникали бы, если бы не было кристаллов, – различия между свойствами мира того или иного кристалла и свойствами нашего мира. Мы уже видели, что в кристалле свет может замедляться и изменять направление, а также распространяться в разных направлениях с разной скоростью. Свет может не распространяться во всех направлениях с одинаковой скоростью, потому что, если смотреть с атома внутри кристалла, разные направления выглядят по-разному. Из-за этого в кальците и возникает двойное лучепреломление. Чтобы кристалл обладал свойством двойного лучепреломления, свет должен по-разному распространяться в разных направлениях – это явление называют оптической анизотропией.

Решетки Браве объясняют и красоту кристаллов. Вернемся к простейшему случаю кубических ящиков, в каждом из которых находится по одному атому: каждый атом в кристалле должен находиться в точности в таких же условиях, что и все остальные. Если некоторое расположение соседних атомов подходит одному атому, оно подходит и всем остальным, потому что все они совершенно одинаковы. Кристалл в целом образован составленными вместе ящиками решетки. Поэтому кристалл приблизительно походит на тот же ящик, увеличенный до гигантского размера. Плоские грани кристаллов образуются массивами идеально пригнанных друг к другу атомов. Разумеется, бывают изъяны – недостающие атомы, лишние атомы, атомы не того типа и так далее. Или же в самой решетке могут быть сбои, например нарушения порядка составления ящиков, из-за которых, переместившись на три ящика вперед, на три вправо, на три назад и на три влево, оказывается невозможно вернуться к исходному ящику. Но в общем и целом кристаллы устроены по принципу «что сверху, то и снизу».

Кристаллическая решетка – источник способностей кристалла. Чтобы понять, как появляются эти способности, нужно понять самое заметное свойство кристаллов – симметрию.

Грозная симметрия[33]

В обиходной речи, когда вы называете нечто симметричным, вы, вероятно, имеете в виду, что этот объект обладает зеркальной симметрией: его отражение в зеркале выглядит так же, как он сам. Что я вижу, полную луну или ее отражение в неподвижном озере? Тот же принцип действует и в более общем случае; можно сказать, что…

…объект обладает симметрией, если преобразование не изменяет его вида.

Если объект обладает зеркальной симметрией, он выглядит таким же, когда отражается в зеркале. Многие вещи выглядят в зеркале почти такими же, что, несомненно, способствует потусторонней атмосфере, окружающей зеркала и делающей их непременным атрибутом волшебных сказок и страшных историй. Я помню, как в семилетнем возрасте меня (умеренно) ужаснула книга «Давай станем невидимыми!» (Let’s Get Invisible!) из серии «Ужастики» (Goosebumps), в которой мальчика постепенно затягивает в зеркало его злой зеркальный двойник. С тех пор зеркала всегда казались мне интересными. Например, задумывались ли вы когда-нибудь, какого цвета зеркало? Над другой зеркальной головоломкой, которую популяризовал Ричард Фейнман, я бился несколько недель, когда был студентом: почему в зеркале меняются местами право и лево, но не меняются верх и низ? Вот вам подсказка: чтобы объект обладал зеркальной симметрией, через него должна проходить такая прямая, что изображение в помещенном на нее зеркале точно воспроизводит закрытую зеркалом часть. Мне эти недели непонимания принесли много пользы, но если вы хотите узнать мой ответ на этот вопрос, он записан здесь так, чтобы его смог прочитать ваш зеркальный двойник.

Причина, по которой вам кажется, что у вашего зеркального отражения меняются местами левая и правая стороны, состоит в том, что вы обладаете приблизительной зеркальной горизонтальной (слева направо) симметрией (ваша левая половина похожа на зеркальное отражение правой), но не обладаете такой вертикальной (сверху вниз) симметрией (голова не похожа на зеркальное отражение ног). Чтобы понять это, представьте себе существо, состоящее из четырех квадратов – трех синих и одного красного, – которые образуют квадрат большего размера. Это существо смотрится в зеркало. Если ему кажется, что изображение в зеркале – это оно само, обошедшее вокруг зеркала и оказавшееся за ним, значит, оно думает, что зеркало переворачивает изображение, меняя местами правое и левое. Но с тем же основанием оно может предположить, что изображение попало в зеркальный мир, взобравшись на зеркало и спрыгнув головой вниз; в таком случае оно думает, что зеркало перевернуло его вверх ногами[34]. Мы не думаем о втором сценарии, потому что, стоя на голове, выглядели бы совершенно иначе. На самом же деле не происходит вообще никаких переворачиваний: ваша левая сторона остается левой и в зеркале. Вы просто воспринимаете зеркальное изображение как перевернутое.

Зеркальные симметрии накладывают на способности кристаллов важные ограничения. Например, за исключением горстки процессов, которые происходят с некоторыми элементарными частицами, наша Вселенная, по-видимому, обладает хиральной[35] симметрией: насколько нам известно, ей не свойственна ни праворукость, ни леворукость[36]. Как однажды сказал мне мой друг, профессор философии Джеймс Лейдимен, было бы очень странно собрать зеркально отраженный автомобильный двигатель и обнаружить, что он работает хуже исходного. Резьба на его болтах была бы закручена в другую сторону (их нужно было бы отвинчивать по часовой стрелке, а не против нее), но такой же была бы и резьба на гайках. Все, что выглядит в зеркале иначе, было бы перевернуто, но в целом можно предположить, что такой двигатель работал бы точно так же. Однако если отправиться в кристаллический мир кварца, там дело обстоит по-другому. Кристаллы кварца бывают правой или левой формы. Это придает им способность, которую называют «естественной оптической активностью»: когда сквозь кварц проходит поляризованный свет, плоскость его поляризации поворачивается. Чтобы увидеть этот эффект, можно использовать поляризационный фильтр – устройство, пропускающее только свет с определенной поляризацией. Если вернуться к аналогии с раскачиваемой веревкой, такой фильтр можно представить себе в виде участка ограды: колеблющаяся веревка может пройти между прутьями ограды, только если она колеблется параллельно им. Предположим, вы пропустили свет, входящий в кристалл, через фильтр и знаете, что он полностью поляризован в вертикальном направлении. Тогда вы обнаружите, что второй поляризационный фильтр, через который проходит свет, выходящий из кристалла, придется повернуть на некоторый угол – иначе свет сквозь него не пройдет. Чем большее расстояние преодолевает свет внутри кварца, тем сильнее нужно будет повернуть второй фильтр.

Чтобы кристалл был оптически активным, он должен выглядеть иначе, чем его зеркальное отражение, на атомном масштабе. Атомы кварца образуют либо левосторонние, либо правосторонние структуры, которые поворачивают поляризацию в соответствующие стороны. Естественную оптическую активность открыл в 1811 году Франсуа Араго (физик и франкмасон, поддерживавший тайные революционные общества – он упоминается в «Коде да Винчи»). Теперь на ней основан принцип работы жидкокристаллических кристаллов, а также промышленный способ определения содержания сахара в сиропах: молекулы глюкозы и фруктозы являются зеркальным отражением друг друга и поворачивают поляризацию света в противоположных направлениях.

Вы можете спросить, почему у кальцита бывают левая и правая формы. Если отвечать коротко, раз у кристаллов могут быть такие варианты строения, значит, они и возникают. Если посмотреть на это с другой стороны, было бы еще более странно, если бы нечто, не противоречащее законам физики, никогда не встречалось. Если вернуться к представлению кристаллической решетки в виде сложенных ящиков, вполне возможно идеально сложить ящики, выглядящие иначе, чем их зеркальные отражения. Все эти ящики должны быть одного и того же рода (скажем, все левосторонние), в результате чего и возникающая из них структура будет обладать той же хиральностью, что и ее микроскопические составляющие.

Не все способности кристаллов имеют отношение к свету. Кристаллы кварца также обладают пьезоэлектрическим эффектом: при их сжатии возникает электрический потенциал – напряжение. Если представить себе, что электрический ток – это течение реки, то напряжение подобно перепаду высот, который заставляет воду течь. Пьезоэлектричество используется для получения искр в некоторых кухонных плитах и зажигалках, но у него есть и множество других применений: на мировом рынке пьезоэлектрических устройств ежегодно обращаются десятки миллиардов долларов. В одном из еще разрабатывающихся подобных приложений предлагается устанавливать пьезоэлектрические устройства под полом общественных мест – например железнодорожных станций: это позволит преобразовывать часть энергии, которая расходуется при движении людских потоков, в электричество.

Пьезоэлектрическими свойствами обладают только кристаллы, у которых нет «инверсионной симметрии»[37]. Инверсионно-симметричный кристалл сохраняет неизменный вид, когда все его атомы переносят через некоторую точку и на противоположную сторону от нее, подобно тому как выворачивают наизнанку перчатку (отчего левая перчатка становится правой). Пьезоэлектрический эффект возникает оттого, что у молекул кристалла есть положительно и отрицательно заряженные концы. Сжатие кристалла приводит к изменению их ориентаций и распределения, что вызывает дисбаланс электрического заряда. Инверсионная симметрия не допускает этого, потому что на каждую молекулу, поворачивающуюся в одну сторону, приходится другая, совершающая в точности противоположный переворот, что сводит эффект к нулю. Это дает нам ощутимую связь между микроскопическим и макроскопическим масштабами: если мы сжимаем кристалл и видим вылетающую из него искру, мы немедленно понимаем, что на атомном масштабе этот кристалл не обладает инверсионной симметрией.

Тот факт, что при взгляде на любой ящик кристаллической решетки мы видим в точности одну и ту же структуру, определяет еще один вид симметрии – трансляционную симметрию[38]. В математике и физике слово «трансляция» означает перенос объекта без его вращения или каких-либо других преобразований. Таким образом, нечто обладает трансляционной симметрией, если после переноса результат выглядит так же, как до него. Полная классификация симметрии кристаллов учитывает их поведение при отражении, вращении, инверсии и трансляции. Все возможные симметрии кристаллов были впервые подсчитаны в 1892 году, и оказалось, что существует в точности 230 возможных вариантов. Эти варианты называются пространственными группами. Число 230 кажется на удивление несимметричным; пространственные группы образуют исчерпывающий перечень всех возможных симметрий всех возможных периодических структур, какие только могут существовать в нашем трехмерном мире. Казалось бы, их количество должно выражаться каким-нибудь более приятным числом – например тремя, – но это не так.

Хотя способности кристаллов происходят от микромасштабных симметрий, эти симметрии часто проявляются и на макроскопическом масштабе. Хорошо знакомый (или незнакомый – смотря где вы живете) пример дают снежинки. Каждая снежинка – это индивидуальный кристалл льда. Поскольку у снежинок по шесть лучей, можно с первого же взгляда понять, что микромасштабная структура льда обладает шестиугольной симметрией вращения. Здорово, правда? Однако привычность воды и в этом случае скрывает от нас ее хитрости. Например, меня долгое время ставил в тупик следующий вопрос: почему все шесть лучей снежинки выглядят одинаково? Оказывается, тут идет речь о чрезвычайно искусном обмане.

Письма с небес

Магия льда не нуждается в представлении. Мультфильм «Холодное сердце» был настолько популярным, что привел к 37-процентному увеличению потока американских туристов в Норвегию – хотя его действие происходит вовсе не там. В путешествии внутрь мира ледяного кристалла обнаруживается одно из моих любимых проявлений кристаллической магии.

Два нерушимых закона мироздания гласят, что скорость света в вакууме постоянна и ничто не может двигаться быстрее ее. Но, если вы окажетесь внутри кристалла льда, вы обнаружите, что скорость света в нем составляет всего лишь около трех четвертых обычной. Она по-прежнему постоянна, но имеет другое постоянное значение. А знаете, что по-настоящему холодит кровь (оцените игру слов)? То, что в этом ледяном мире другие частицы могут двигаться быстрее света! Никакой закон не запрещает превышать скорость света во льду – только в вакууме. Элементарные частицы, которые называются мюонами, постоянно прилетают в виде космических лучей (каждую секунду сквозь вас проходит около 30 таких частиц, не причиняя вам никакого вреда) и то и дело пролетают сквозь лед быстрее света. Когда при взмахе кнутом его кончик переходит звуковой барьер, раздается резкий щелчок; точно так же мюоны, пролетающие сквозь лед, создают ударную волну синего света, который называют черенковским излучением. Это свойство использует и нейтринная обсерватория IceCube[39], находящаяся глубоко подо льдами Антарктиды. В этом эксперименте ищут нейтрино – призрачные элементарные частицы, известные тем, как трудно их обнаружить. Экспериментальная установка регистрирует вспышки черенковского излучения, возникающие при рождении мюонов в результате взаимодействия нейтрино с молекулами воды, из которых состоит лед. Проект IceCube играет ключевую роль в поисках темной материи, потому что предполагается, что нейтрино являются измеримым продуктом распада некоторых частиц, которые могут составлять темную материю.

Я заинтересовался симметрией снежинок, когда увидел, как они растут, в документальном сериале «Замерзшая планета» (Frozen Planet) производства Би-би-си. Откуда один луч узнает, что происходит с остальными? Я попытался поспрашивать об этом на физическом факультете, но, к моему удивлению, ответа на этот вопрос, по-видимому, никто не знал. Тогда я организовал проект, в котором студент магистратуры должен был написать программу, моделирующую рост снежинки. В начале всякого исследовательского проекта нужно выяснить, что уже было сделано. Мы узнали, что специалистом мирового уровня по снежинкам считается профессор Кеннет Либбрехт, бывший глава факультета астрофизики Калифорнийского технологического института. В титрах «Холодного сердца» он назван «консультантом по снежинкам», а кроме того, он участвовал в создании той серии «Замерзшей планеты», которая и вдохновила меня на эту работу. У самого Либбрехта интерес к снежинкам возник, когда он приезжал в свой родной промерзший город в штате Северная Дакота. Стремясь как можно глубже понять источники их красоты, он установил у себя в гараже камеру, в которой можно было растить и фотографировать снежинки.

Мы со студентом связались с Либбрехтом. Он не только помог нам разработать компьютерную модель, но и дал простой ответ на вопрос о том, почему все шесть лучей снежинки выглядят одинаково. Они растут в облаках, начиная с мельчайших сгустков порядка половины миллиметра в поперечнике. В каждый момент на рост кристалла влияют две вещи: температура и «перенасыщение» в ближайшей окрестности снежинки. Когда воздух перенасыщен водой, в нем содержится больше водяного пара, чем могло бы содержаться в присутствии твердой поверхности. Например, если бы рядом оказалась трава, вода осаждалась бы на ней в виде росы. В облаке единственные твердые объекты – это сами снежинки, и поэтому перенасыщение совершенно необходимо для роста снежинок.

Летая по облаку, снежинка попадает в разные условия, и ее рост то и дело изменяется. Поскольку никакие две снежинки не следуют в точности по одному и тому же маршруту, не может получиться двух одинаковых снежинок. Но все шесть лучей каждой снежинки в каждый момент оказываются приблизительно в одних и тех же условиях и потому выглядят одинаково. Однако Либбрехт рассказал нам, что этим дело не ограничивается.

Важные для роста снежинок факторы впервые выявил профессор Укисиро Накайя (1900–1962), создатель первых искусственных снежинок. Когда Накайя начинал работать профессором физики в университете Хоккайдо, у него было мало оборудования, но сколько угодно снега. Им-то он и занялся и создал первый в мире снежный кристалл, выращенный в лаборатории (на кончике кроличьей шерстинки). Тщательно контролируя условия роста, Накайя составил так называемую диаграмму Накайи, которая показывает, какого типа снежинки вырастают при тех или иных температурах и уровнях перенасыщения.

Диаграмма роста снежинок Накайи

Хотя общей теории, объясняющей все особенности этой диаграммы, у нас пока нет, некоторые тенденции понятны. При низком перенасыщении воды мало, и снежинке приходится дожидаться появления очередной молекулы. Это приводит к образованию плоских поверхностей, потому что молекулы предпочитают иметь как можно больше соседей, а это достигается посреди граней, а не на ребрах или вершинах. При высоком перенасыщении вся вода, окружающая кристалл, идет на рост кристалла, но если какой-нибудь выступ на поверхности сможет пройти через эту обедненную область, он попадает туда, где воды имеется в достатке, и начинает расти быстрее. По мере разветвления мелких выступов на всех масштабах это приводит к образованию кустистых, папоротникообразных наростов.

Накайя называл снежинки «письмами с небес»: в них содержится информация о всей последовательности условий, которые встречались на пути этих снежинок[40]. Кроме того, Либбрехт рассказал нам о более фундаментальной причине, по которой снежинки симметричны: они вовсе не симметричны! Это классический пример отвлечения внимания. На каждую снежинку, изображение которой вы видите, приходится от 1000 до 10 000 снежинок менее симметричных. Миф о совершенной симметрии снежинок был подкреплен вышедшей в 1864 году книгой Фрэнсис Чикеринг «Облачные кристаллы – Альбом снежинок» (Cloud Crystals – A Snow-Flake Album). Чикеринг создавала иллюстрации для своей книги, быстро вырезая из бумаги снежинки, которые она видела на своем подоконнике. Для этого она применяла изобретенную ею же особую технику – заранее складывала бумагу вшестеро. Это позволяет вырезать быстрее и обеспечивает совершенную симметрию. Мне в конце концов удалось найти немного снега, который я мог исследовать, и найти по-настоящему симметричные образцы действительно оказалось трудно. Но на мой взгляд, несовершенство снежинок только добавляет им красоты.

То, как Чикеринг использовала приблизительную симметрию снежинок, выводит на первый план большую практическую пользу симметрии в более широком смысле: она позволяет экономить время, опираясь на выявленные закономерности. Предположив, что снежинки обладают шестиугольной симметрией, она могла вырезать форму лишь одного луча, а не всех шести. Эта фундаментальная идея играет важную роль в современном мире. Взять хотя бы сжатие данных, используемое при кодировании видеозаписей: файл сообщает компьютеру, какого цвета в каждый момент должен быть каждый пиксель. Но если бы видеофайл содержал данные по каждому пикселю для каждого кадра, он был бы таким большим, что его невозможно было бы обрабатывать. В каждом кадре соседние пиксели часто бывают одинакового цвета, и это создает своего рода симметрию, которую можно использовать: при переходе от одного пикселя к соседнему цвет не меняется. Точно так же пиксели по большей части сохраняют цвет при переходе от кадра к кадру. Это тоже своего рода симметрия: мы переходим к следующему кадру, а цвет пикселя остается тем же. Поэтому один из способов сжатия видеофайлов состоит в том, что записывают только изменения, а во всех остальных случаях полагаются на симметрию. Это похоже на то, как в текстах песен пишут слово «припев»: одно слово заменяет сразу несколько.

Снежинки занимают важное место в истории кристаллографии и математики. Первое задокументированное объяснение того, как макроскопическую симметрию кристаллов можно объяснить микроскопическим расположением атомов, появилось в 1611 году, в работе Иоганна Кеплера под названием «Новогодний подарок, или О шестиугольном снеге» (Strena seu de Nive Sexangula). Кеплер предположил, что шестиугольная форма возникает в результате наиболее плотной из возможных упаковок шаров на микромасштабе и что такая упаковка должна быть похожа на слой пчелиных сот. Интересно отметить, что эта гипотеза была доказана лишь в 1998 году. На размышления на эту тему Кеплера навела переписка с английским математиком Томасом Хэрриотом, которому задал эту задачу энергичный флибустьер сэр Уолтер Рэли: ему нужно было знать, как лучше всего складывать пушечные ядра на корабле.

Рисунок Кеплера, изображающий самую плотную упаковку шаров

Хотя рассуждения Кеплера о льде были не вполне правильными (у молекул воды не сферическая форма), его предположение о том, что симметрия кристаллов определяется микроскопическим расположением их атомов, далеко обогнало свое время. Дополнительное подтверждение его справедливости было получено, когда заметили, что углы между гранями всех известных кристаллов соответствуют углам между поверхностями таких ящиков, которые можно составлять в штабели. Но, хотя рассуждения Кеплера казались интуитивно понятными, казалось, что проверить их невозможно. Можно ли даже надеяться рассмотреть расположение атомов? Только в XX веке был найден способ, позволяющий это сделать: способ перемещения между мирами, от большого к малому и обратно.

Зазеркалье

Когда рентгеновские лучи проходят сквозь ваше тело и попадают на фотопластинку, на ней получается изображение ваших костей, потому что кости не пропускают лучи. А что получится, если пропускать рентгеновские лучи сквозь кристаллы?

Получится загадочный процесс, который называют рентгеновской дифракцией. Дифракция – это эффект, создающий прекрасные радужные узоры на мыльных пузырях, кристаллах висмута и крыльях некоторых бабочек и жуков. Когда белый свет (смесь всех цветов видимого света) падает на мыльный пузырь, часть его отражается от верхней поверхности пленки, а часть – от нижней, расположенной чуть ниже. Сочетание световых лучей, отраженных от этих двух поверхностей, усиливает одни цвета и ослабляет другие. Этот эффект особенно силен, когда длина волны – расстояние между двумя соседними пиками световой волны – приблизительно равна толщине пленки: поскольку разные длины волн соответствуют разным цветам, малейшие изменения толщины приводят к разной дифракции разных цветов, что и создает радугу.

Интересно отметить, что дифракцию цвета можно контролировать и обнаруживать без какого бы то ни было оборудования. Просто прижмите большой палец к указательному в нескольких сантиметрах от глаз, установив за рукой источник яркого белого света. Раздвиньте пальцы на минимально возможное расстояние, и между ними появится темная перемычка. Раздвиньте их еще чуть-чуть, и вы увидите, как соединяющая пальцы перемычка разделится на десять-двадцать полосок, между которыми будет виден свет: как деревянные планки на подвесном мосту в фильме «Индиана Джонс и Храм судьбы». Ваши пальцы образуют узкий проход, в котором свет дифрагирует подобно волне воды в узком проливе.

Я помню аналогичное замешательство, в которое меня привели специальные «радужные» очки, которые мне подарили на каком-то празднике, когда мне было лет восемь. Когда я их надевал, они показывали раскрашенные в цвета радуги копии всего, что я видел. Как очкам удавалось узнавать, на что я смотрю, и копировать эти изображения? Много лет спустя я узнал, что на их стеклах были дифракционные решетки – множество мельчайших бороздок, устроенных так, что световые лучи, отраженные от разных бороздок, взаимно складывались и вычитались, как на своего рода усиленной мыльной пленке.

Одну из самых ясных демонстраций дифракции дает «огонь» опала – яркие вспышки цветного света, которые можно увидеть, вращая этот драгоценный камень в руке. Опалы содержат множество мельчайших шариков из кремнезема, каждый диаметром порядка 1000 атомов. Они образуют плоскости, отражающие свет подобно поверхности мыльной пленки. Чем плотнее расположены такие плоскости, тем более синий свет может дифрагировать на них. Бывают опалы, дающие только красные вспышки, но если в опале может вспыхивать фиолетовый огонь (этот цвет соответствует самым коротким волнам видимого спектра), то в нем могут появляться вспышки и любого другого цвета. У. Т. Ферни сообщал в 1907 году в книге «Драгоценные камни» (Precious Stones), что некогда считалось, будто опалы, «самые завораживающие, самые таинственные из всех самоцветов», обладают магическими свойствами всех тех драгоценных камней, цвет которых в них содержится: например, рубина, который обесцвечивается при приближении опасности, аметиста – камня трезвости, который удерживает своего владельца от злоупотребления алкоголем, или изумруда, который «избавляет от глупых страхов, например боязни бесов или домовых». Сам опал якобы давал невидимость, если его держать завернутым в свежий лавровый лист.

Дифракция света в опалах возвращает нас к вопросу о рентгене и кристаллах. Рентгеновские лучи – это в некотором смысле одна из форм света, хотя они не видны человеческому глазу, потому что имеют слишком короткую длину волны и находятся далеко за ультрафиолетовым краем спектра. Однако, как бы ни были малы расстояния между их волнами, промежутки между отдельными атомами кристалла еще меньше, и поэтому при прохождении рентгеновских лучей сквозь кристалл они дифрагируют.

Методика эксперимента достаточно проста: нужно всего лишь пропустить сквозь кристалл рентгеновские лучи и зарегистрировать их интенсивность при помощи фотопленки (или детектора). В результате получается набор регулярно распределенных ярких точек, как если бы сквозь центр каждой клетки шахматной доски светил лазер. Мой сотрудник по экспериментам профессор Аншуль Когар из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе любезно предоставил эту рентгеновскую дифракционную картину диселенида титана.

Рентгеновская дифракционная картина диселенида титана. Изображение предоставил профессор Аншуль Когар

На этом изображении виден набор резко выделяющихся точек. Кроме того, можно увидеть несколько колец; Аншуль объясняет, что они, вероятно, порождены вкраплениями йода. Вообще говоря, кольца должны появляться в отсутствие кристаллического порядка: например, кольца бывают на дифракционных рентгенограммах жидкостей. В общем случае изучение распределения этих точек позволяет определить, как расположены атомы в кристалле. Фокус тут в том, что точки не прямо соответствуют положению атомов. Вместо этого короткие расстояния на дифракционной картине соответствуют длинным расстояниям в кристалле и наоборот. Математическое описание такого переворота большого и малого называется преобразованием Фурье.

Жозеф Фурье (1768–1830) прославился многими достижениями в физике и математике; в частности, именно он первым предположил существование парникового эффекта из-за происходящего на всей планете удержания тепла. Его имя вошло в число семидесяти двух, записанных на Эйфелевой башне во время ее сооружения. Известен он и тем, что смерть его была чуть ли не рекордно нелепой. После того как Фурье внес вклад в создание теории теплоты, он вбил себе в голову, что постоянное нахождение в тепле обеспечивает бессмертие. Поэтому он все время заворачивался в одеяла. В возрасте шестидесяти двух лет он запутался ногами в своем одеяле, упал с лестницы и вскоре после этого умер.

Но помимо этой современной басни Эзопа Фурье оставил миру операцию, которую теперь называют преобразованием Фурье. Ее действие очень похоже на действие волшебного музыкального инструмента. Представьте себе нечто вроде фортепиано, но способное воспроизводить не фиксированное количество нот, как обычное фортепиано, а любые ноты, какими бы они ни были. Пусть это будет фортепиано с бесконечным количеством клавиш (но представим себе, что все они по-прежнему помещаются на клавиатуре той же длины – в этом нет ничего безумного, если между 0 и 1 помещается бесконечное количество дробных чисел). Этот инструмент уже получается довольно волшебным, но его истинное могущество состоит вот в чем: нажав на правильно выбранные клавиши с правильно подобранным усилием, на нем можно воспроизвести любой звук, какой только можно себе представить. Уханье совы, кваканье жабы, радиосериал «Автостопом по галактике» 1978 года – все что угодно. На клавиши нужно нажимать непрерывно. Самое удивительное, что такие музыкальные инструменты вполне существуют – например, так может работать ваш компьютер. И дело тут не в магических свойствах самого инструмента, а в том поразительном обстоятельстве, что любой звук может быть в точности воспроизведен соответствующей комбинацией постоянных чистых тонов.

Вы можете иметь некоторое представление о том, как это работает, если вам когда-нибудь случалось настраивать струнный музыкальный инструмент: если заставить звучать две струны близкого, но не одинакового тона, вы услышите «бит» – совместный звук ритмически становится громче или тише. Сложение сразу нескольких тонов позволяет воспроизводить более сложные звуковые последовательности. Преобразование Фурье – это математический процесс переключения между двумя явлениями: исходным звуком, который изменяется во времени, и набором тонов, каждый из которых сам по себе остается неизменным. Время измеряется в секундах, высота тона – в количестве колебаний в секунду. Вообще говоря, преобразование Фурье переводит единицы одного типа в обратные им (обратная величина – это единица, разделенная на эту величину; поэтому если величина растет, то обратная величина уменьшается). Вы, возможно, замечали, что у крупных собак бывает более басовитый лай (в этом звуке больше представлены низкие частоты), а мелкие собаки тявкают более визгливо: чем крупнее собака, тем ниже типичный тон ее лая, а крошечные животные – например комары – издают очень высокие звуки.

Преобразование Фурье работает и с волнами других типов. Представьте себе волны на воде, складывающиеся в разные формы: длинные волны (соответствующие низким звукам) формируют общие очертания формы, а короткие определяют мелкие подробности. Предположим, например, что вы смотрите на озеро Лох-Несс. Вы играете на очередном магическом инструменте – дудочке из чертополоха, которая, как сказали вам местные дети, способна вызывать лох-несское чудовище. Вдалеке вы замечаете появившийся на воде ряд гребней. Что это – волна с длиной волны около метра или горбы на спине Несси? Допустим, вы подобрались чуть ближе, и вам кажется, что вы можете различить на одной из волн нечто похожее на маленькие уши. Если это волны, а не Несси, значит, поверх волн, которые вы видели раньше, должна быть какая-то коротковолновая рябь. При наличии достаточно количества разных волн можно построить полный, совершенно реалистичный профиль Несси[41]. А вот как это работает с рентгеном. Кристаллическая решетка – это всего лишь набор регулярно распределенных точек. Результат ее преобразования Фурье – тоже набор регулярно распределенных точек (тех пятен, которые вы видите на дифракционной рентгенограмме). Вполне логично думать об обоих наборах точек одинаково: регулярно распределенные атомы кристалла называют кристаллической решеткой, а точки на дифракционной картине – «обратной решеткой». Чтобы понять, почему это так, заметим, что при увеличении расстояний между атомами кристалла – скажем, при нагревании кристалла, которое заставляет его расширяться, – точки обратной решетки приближаются друг к другу, точно так же, как при увеличении числа уменьшается число, обратное ему.

Говоря о структурах более общего рода, физики называют «реальным пространством» тот привычный мир, в котором мы живем, и «обратным пространством» мир, который получают преобразованием Фурье, где пространственные и временные величины превращаются в соответствующие им обратные величины. Концепция обратного пространства сложна, но важно помнить основное правило: малое превращается в большое и наоборот.

Чтобы обосновать идею о том, что это действительно отдельное пространство, вернемся к фортепиано, на котором можно сыграть любую из возможных нот. Предположим, вы услышали некий особенно удачный звук – скажем, вой очень одинокого волка – и хотите написать партитуру, которая расскажет вашим коллегам-волшебникам, как его воспроизводить. Поскольку при игре на нашем инструменте нужно удерживать клавиши непрерывно нажатыми, хочется подумать, что в партитуре нужно всего лишь указать, какие клавиши нажимать и с каким усилием. В общем-то, так оно и есть. Можно представить себе партитуру следующего вида: поставим за клавишами лист бумаги и проведем на нем линию, высота которой над каждой клавишей соответствует усилию, с которым на эту клавишу нужно нажать (а если клавиша вообще не используется, линия оказывается на нижнем краю листа). Тогда можно вообразить, что вы уменьшились в размерах и ходите вдоль клавиш: если вы хотите узнать, как участвует в смешанном звуке тот или иной тон, вы просто подходите к соответствующей клавише и измеряете высоту линии. Эта линия похожа на контур горного хребта в обратном пространстве. Если волчий вой был низким, то в области нижних нот горы будут выше.

Я узнал о преобразовании Фурье и рентгеновской дифракции, когда учился в Оксфорде, от профессора Дэвида Кокейна. Кокейн был из Австралии; его дочь работала врачом санитарной авиации и отвечала за участок аутбэка[42] размерами больше Соединенного Королевства. На первых порах концепция обратного пространства кажется пугающей. Вы рефлекторно понимаете, как передвигаться в реальном пространстве, потому что живете в нем всю жизнь. Участок аутбэка размерами больше Соединенного Королевства очень велик, и, если вам нужно попасть в какую-то точку этого участка, вы можете предположить, что придется преодолеть немалое расстояние. В обратном пространстве большое становится малым, и облет обратного аутбэка оказывается делом гораздо более легким, чем обход вашего обратного сада. Чтобы мы осознали эту идею, Кокейн задал нам прочитать «Алису в Стране чудес» – точнее, «Аннотированную “Алису”» Мартина Гарднера. Гарднер был не только признанным популяризатором математики, но и одним из самых видных волшебников XX века. В «Аннотированной “Алисе”» есть примечания, объясняющие математические идеи, скрытые в волшебном мире Алисы[43]. Автор «Алисы в Стране чудес» Льюис Кэрролл был оксфордским математиком, и многие из фантастических эпизодов этой книги содержат математические аллегории. (В ее продолжении, «Алисе в Зазеркалье», также есть классический пример перехода в зеркальный мир.)

Кокейн задал нам прочитать эту книгу, чтобы мы поняли, как попасть в обратное пространство и перемещаться в нем. В одном из эпизодов Алиса не может проникнуть за крошечную дверь. Она находит на столике напиток с этикеткой «Выпей меня». Выпив его, она уменьшается – этот процесс оказывается довольно трудным – и, став меньше, может передвигаться как обычно. Кокейн видел в этом аналогию преобразования Фурье: сам процесс преобразования может быть трудным, но после перехода в уменьшенный мир (обратном пространстве), двигаться в нем так же легко, как и на обычном масштабе (в реальном пространстве). Чтобы вернуться в большой мир, Алисе пришлось совершить некоторые действия – съесть пирожок с ярлыком «Съешь меня»; точно так же для возвращения из обратного пространства в реальное нужно выполнить другую операцию – обратное преобразование Фурье. Правда, пирожок делает Алису больше, чем она была изначально, что не укладывается в нашу аналогию: существуют всего два пространства, реальное и обратное.

То, в каком пространстве вам нужно находиться, зависит от типа колдовской деятельности, которой вы занимаетесь. Как выяснила Алиса, некоторые действия гораздо легче выполнять в одном пространстве, чем в другом. Вот вам пример: профессор Од Олива из Массачусетского технологического института создала магическое изображение, которое издали кажется портретом Мэрилин Монро, а вблизи – портретом Альберта Эйнштейна. Так получается потому, что в этом изображении есть только грубые детали лица Мэрилин и только мелкие детали лица Эйнштейна. Когда я увидел его впервые, я совершенно не понял, как оно сделано. Если работать с исходными изображениями в реальном пространстве, добиться такого эффекта очень непросто. Но потом меня осенило: это легко в обратном пространстве: тонкие детали соответствуют точкам, удаленным от центра, а грубые – точкам, находящимся вблизи центра. Потому что малое становится большим и наоборот. Поэтому методика сводится к следующему: применяем к каждому изображению преобразование Фурье; берем все ближние точки из преобразованной Монро и все дальние точки из преобразованного Эйнштейна; объединяем результаты в обратном пространстве и производим обратное преобразование Фурье, чтобы вернуться в реальное пространство. Вот моя репродукция изображения Олива:

Мэрилин Эйнштейн: вблизи получается Эйнштейн, а издали – Монро

У этого изображения есть практические применения: когда его мельком показывают человеку, он видит только Монро, что демонстрирует, что мозг сначала выявляет грубые черты и лишь потом добавляет подробности. Сотрудники Олива предложили создавать изображения, в которых при близком рассмотрении проступают новые детали (например, многослойные технические чертежи), анимации, действие которых развивается по мере приближения изображения к глазам, и тексты, которые можно прочитать только вблизи, – для обеспечения секретности. Волшебник легко может включить такие изображения в свой арсенал – например, если ему нужно выступить в роли обвинителя некоего нечистоплотного монарха на магическом судебном процессе. «Ваше величество, знаком ли вам этот человек? – спросит он, показывая обвиняемому портрет его друга. – Что-что? Знаком, говорите?» [Медленно разворачивает изображение к присяжным; на нем оказывается лицо придворного убийцы. ] Кроме того, их можно использовать в классических фокусах: вы даете слабовидящему человеку посмотреть вблизи на некий текст и просите подтвердить, что он не может прочесть его. Затем предлагаете ему показать этот листок зрителям: те, поскольку находятся на удалении, могут прочесть текст, что, по-видимому, подтверждает слабость зрения этого человека. После этого вы забираете у него листок, произносите какое-нибудь заклинание и показываете ему тот же текст с большего расстояния – и человек чудесным образом обретает способность прочесть текст.

В современном мире преобразования Фурье используются на каждом шагу. Например, они тоже являются важным элементом сжатия данных. В телефонной связи необходимо передавать лишь звуки с частотой приблизительно от 150 до 14 000 Гц, так как это более или менее покрывает диапазон звуков, используемых в речи; другие частоты можно отбросить. Как это сделать? Сначала выполним преобразование Фурье звука. Затем отбросим все тонкие (высокочастотные) и грубые (низкочастотные) данные, в точности как при создании Мэрилин и Эйнштейн. Произведем обратное преобразование Фурье – и у нас получится сигнал, который можно передавать по телефонной линии. Тот же принцип действует, например, в онлайн-стриминге.

Преобразование Фурье превращает кристалл в другой кристалл, но существующий в обратном пространстве. Рентгеновская дифракция дает нам фотографию этого двойника из другого мира, и в этом обратном мире, поскольку малое и большое меняются местами, крошечные расстояния между атомами скорее помогают, чем мешают. Рентгеновская дифракция позволила проникнуть в некогда недостижимый мир атомов Кеплера и убедиться, что симметрия снежинок действительно порождается симметрией кристаллической решетки. Эта фотография демонстрирует симметрии расположения атомов кристалла, и именно в этих симметриях заключается источник его способностей.

Оптическая анизотропия кальцита – различное поведение света при распространении в разных направлениях – наделяет его способностью двойного лучепреломления: скорость света изменяется в зависимости от направления. Отсутствие зеркальной симметрии кристалла порождает естественную оптическую активность: плоскость поляризации света поворачивается. Отсутствие инверсионной симметрии сообщает кварцу пьезоэлектрические свойства: пространство сжимается под действием электричества. На самом деле сжимается кристаллическая решетка, но если вы живете на квантовом масштабе, внутри кристалла, равномерно распределенные атомы должны казаться вам приблизительно такими же, каким нам кажется воздух, – повсеместными и воспринимаемыми как пустое пространство.

Хотя все эти эффекты связаны с симметриями кристаллической решетки, интересно отметить, что все они порождаются отсутствием той или иной симметрии. В этом заключается фундаментальный парадокс каждого кристалла: хотя кристаллы определяются присущими им симметриями, на самом деле их определяет отсутствие симметрий, которыми они могли бы обладать. Кристалл – это то, что получается при нарушении симметрий.

Зеркало треснуло

Пытались ли вы когда-нибудь установить яйцо так, чтобы оно оставалось в равновесии, стоя на конце? Существует народное поверье, что это возможно только в определенные дни года, и в течение этого якобы необычного периода по всему миру происходят целые фестивали установки яиц. На самом деле этот миф давно развеян одним физиком, глубоко овладевшим искусством симметрии. Мы уже знакомы с ним: это Укисиро Накайя, создатель искусственных снежинок. Он-то и показал, что равновесная установка яйца – задача одинаково трудная, но выполнимая, в любое время года. Трудность ее связана с симметрией. Яйцо обладает почти совершенной вращательной симметрией: если поворачивать его вокруг продольной оси, его вид остается таким же. Накайя объяснил, что для равновесной установки яйца нужно найти мельчайшие неровности – такие, чтобы скорлупа одновременно соприкасалась со столом в трех точках, а центр тяжести яйца находился над образованным ими треугольником. Если бы симметрия яйца была абсолютной, то единственным способом его установить было бы помещение центра тяжести в точности над концом яйца, что недостижимо на практике. Однако секрет Накайи позволяет вам научиться одному фокусу: если просыпать на стол несколько крупинок соли, на них легко установить яйцо (три крупинки создадут три точки соприкосновения). Сдуйте оставшуюся соль, и всем будет казаться, что яйцо стоит само по себе. Если вы привержены черной магии, вы легко можете превратить этот фокус в тему для прибыльных пари в вашей местной таверне.

Яйцо в равновесии

Неподвижное уравновешенное яйцо симметрично и выглядит одинаково со всех сторон. Когда яйцо начинает катиться, симметрия нарушается: яйцо катится только в одном направлении. Как оно решает в каком? На самом деле яйцо никогда не бывает абсолютно симметричным. К тому же стол не может быть идеально ровным, в воздухе могут быть легкие порывы ветра и так далее. Если бы нам нужно было разработать математическую модель, мы не смогли бы учесть в ней все такие отклонения от идеального состояния, так что нам пришлось бы прибегнуть к некоторой магии и сказать, что яйцо выбирает направление случайным образом. Эту абстракцию называют спонтанным нарушением симметрии: направление выбирается произвольным образом. Это кажется самоочевидным, если только вас не вводит в заблуждение совершенство математических моделей. Притча о буридановом осле предостерегает нас как раз от такого рода ошибок: осел, стоящий ровно посередине между двумя копнами сена, не в состоянии выбрать одну из них и умирает с голоду. Кристаллы растут, потому что они способны выбирать.

В прошлой главе мы говорили о жидкой воде и ее фазовом переходе в газообразный пар. Поговорим теперь о ее фазовом переходе в кристаллический лед. Как мы только что отмечали, замерзание – это пример спонтанного нарушения симметрии, потому что все кристаллы определяются симметриями, которых им недостает. Но если это так, значит, жидкость должна обладать большей симметрией, чем кристалл. Это утверждение может показаться несколько сомнительным: разве кристаллический лед не более симметричен, чем беспорядочная мешанина молекул, образующая жидкую воду? Но на деле вода действительно более симметрична в мокром состоянии. Как такое может быть?

Ответ на эту загадку основывается на следующем соображении, которое может показаться неким жульничеством, но на самом деле представляет собой глубокую и таинственную истину. Симметрии бывают двух типов – дискретные и непрерывные. Равносторонний треугольник обладает дискретной вращательной симметрией: если повернуть его на треть оборота, то есть определенную дискретную величину, его вид останется прежним, но после поворота на меньший угол он будет выглядеть по-другому. Напротив, окружность обладает непрерывной вращательной симметрией: на какой угол ее ни поверни, она выглядит так же, как прежде. Поэтому непрерывные симметрии сильнее, чем дискретные.

Оказывается, именно поэтому жидкостям удается быть симметричнее кристаллов.

Определяющее свойство кристалла состоит в наличии трансляционной симметрии на атомном масштабе: при переносе атомов на дискретное, фиксированное расстояние, равное промежутку между соседними одинаковыми атомами, вид кристалла не изменяется. В случае переноса на меньшее расстояние он будет выглядеть иначе. Но жидкость обладает более сильной, непрерывной трансляционной симметрией: она сохраняет прежний вид при переносе на любое расстояние, большое или малое. На атомном масштабе жидкость не упорядочена, и неупорядоченность эта одинакова повсюду. Точно так же, если кристаллы обладают дискретными вращательными симметриями, то жидкости всегда имеют более сильные, непрерывные вращательные симметрии.

Я согласен, что это кажется шулерством – очередной ловкостью рук, – но уверяю вас, что это не так. Дело в том, что мы не живем в микроскопическом мире атомов; мы живем в своей собственной срединной области. Когда мы измеряем свойства материалов, будь то своими руками или замысловатыми экспериментальными приборами, мы измеряем поведение, усредненное по некоторому временному периоду и некоторой пространственной области. На атомном масштабе жидкости в той или иной точке в тот или иной момент атом может присутствовать или отсутствовать, но разрешение наших измерений вынуждает нас вычислять среднее по времени, а в среднем атом с равной вероятностью может быть как в этой, так и в другой точке. А то обстоятельство, что у наших измерений есть минимальное пространственное разрешение, аналогичным образом означает, что мы всегда рассматриваем величины, усредненные по этой минимальной области. Если такой объем достаточно велик, чтобы в него поместилось существенное число атомов, жидкость повсюду выглядит одинаково. Нам важны именно эти средние значения.

Это ясно показывает рентгеновская дифракция. Если дифракция рентгеновских лучей в кристалле дает сетку четких точек (фотографию обратной решетки), то дифракция рентгеновских лучей в жидкости дает кольцо, радиус которого обратно пропорционален среднему расстоянию между молекулами (то есть при увеличении этого расстояния кольцо становится меньше). Те существенные величины, которые мы измеряем, – это средние значения. Таким образом, неупорядоченная жидкость действительно более симметрична, чем упорядоченный кристалл, и некоторые из ее симметрий неизбежно нарушаются при замерзании: важно отметить, что кристаллы нарушают симметрию даже в среднем.

Способности кристаллов порождаются нарушениями симметрий. Чем больше симметрий нарушено, тем больше способностей может быть у кристаллов (и этим они похожи на супергероев, за сверхспособностями которых неизменно скрывается трагическая история из прошлого). Изотропные жидкости выглядят одинаково во всех направлениях – что тоже есть одна из форм симметрии; когда из этих жидкостей вырастают анизотропные кристаллы, они теряют эту симметрию, приобретая при этом способность к двойному лучепреломлению. Жидкости обладают инверсионной симметрией; когда из этих жидкостей вырастают неинвертируемые кристаллы, они теряют эту симметрию, приобретая при этом пьезоэлектрические свойства. Жидкости обладают непрерывной трансляционной симметрией; когда из этих жидкостей вырастают кристаллы, они теряют эту симметрию, сохраняя лишь дискретную трансляционную симметрию. Все это примеры спонтанного нарушения симметрии. Слово «спонтанное» говорит о том, что из всех возможных способов нарушения симметрии кристалл без каких-либо указаний извне выбирает один вариант. Тут у него есть атом, а там нет – но чем «тут» лучше, чем «там»?

Точно так же, как мы объясняли качение яйца неизвестным порывом ветра, мы можем объяснить рост кристалла неизвестной асимметрией. Когда вода замерзает в лед, кристалл льда начинает расти со стенок сосуда или с каких-нибудь инородных частиц в воде. Атомы кристалла предпочитают одни положения другим, так как они должны соответствовать сосуду. На этом основан следующий фокус: если очень осторожно охлаждать чрезвычайно чистую воду, можно довести ее в жидком состоянии до температуры на несколько градусов ниже нуля по Цельсию. В этом состоянии, которое называют переохлажденной жидкостью, малейшее сотрясение приводит к мгновенному затвердеванию воды. Чтобы произвести на публику максимально эффектное впечатление, стукните по сосуду своей волшебной палочкой, предварительно произнеся какое-нибудь приличествующее случаю заклинание. Это тот же принцип, на основе которого работает ручная грелка с фазовым переходом. Переохлажденная жидкость подобна очень голодному буриданову ослу или чрезвычайно симметричному яйцу, только и ждущему, чтобы его вывело из равновесия малейшее дуновение ветра.

Выращивание кристаллов – дело магическое по самой своей природе. Специалисты по выращиванию кристаллов составляют уникально волшебную когорту среди прочих физиков.

На большом университетском факультете могут работать около сотни физиков; большинство составляют экспериментаторы, еще несколько человек занимаются теорией. Но если среди них найдется даже один специалист по выращиванию кристаллов, это можно считать большой удачей. Однако без них физика конденсированного состояния не могла бы существовать. Выращивание одного-единственного качественного кристалла может занять месяцы, но исследователи всего мира будут передавать его друг другу на протяжении десятилетий. Их охотно одалживают в обмен на включение в список авторов статьи. Моя первая публикация по физике[44] появилась, когда канадскому специалисту по выращиванию кристаллов доктору Харлину Силверстейну удалось вырастить первый в истории кристалл молибдата иттрия; теория предсказывала, что этот материал должен быть магнитным стеклом невиданного ранее типа. По всей вероятности, это был единственный кристалл молибдата иттрия, когда-либо существовавший во Вселенной. Он был бесценным в самом буквальном смысле слова: его было невозможно купить и не с чем сравнить, чтобы определить его стоимость. Я испытываю глубочайшее почтение к тем, кто выращивает кристаллы. На свои расспросы о выращивании кристаллов я уже дважды получал один и тот же простой ответ – «Это черная магия», – сопровождавшийся демонстративным глотком из чашки чаю, который давал мне понять, что разговор закончен. Могу сказать вам только одно: когда мой друг, искусный лесоруб Том Брукс, который попадает топором в дерево с двадцати шагов, выразил желание стать физиком, и я, зная присущие ему магические способности, посоветовал ему заняться выращиванием кристаллов, он тут же предъявил мне кристалл висмута, который он вырастил в сковороде на открытом огне неделей раньше. А когда я рассказал оксфордскому кристалловеду профессору Дхармалингаму Прабхакарану, что кристалл силицида кобальта, вероятно, может содержать некоторые ранее неизвестные квазичастицы, он ответил, что как раз на прошлой неделе вырастил кристалл силицида кобальта. Я часто размышляю над теми словами, произнесенными за чаем; мне кажется, они означают, что, помимо упорного труда и умения, выращивание совершенного кристалла требует чего-то еще.

Когда буриданов осел находится между двумя копнами сена, достаточно малейшего намека, чтобы он начал есть. Но когда это случится, оторвать осла от выбранной им копны уже невозможно. Решение принято, и осел будет жестко его придерживаться. Именно эта жесткость оказывается ключом к точному определению материи.

Жесткое мышление

Замечали ли вы когда-нибудь, что любимые заклинания волшебников – всегда самые прозаические? Новички всегда хотят хвастаться самой зрелищной магией, а настоящие мастера, как кажется, почти совсем не колдуют. Возможно, это очередной вариант трех стадий восприятия: человеку неискушенному кажется впечатляющей любая способность; принятый в учение знакомится с основами искусства и хочет чего-нибудь повычурнее; мастер же возвращается к основам, которые он видит в новом свете благодаря накопленной мудрости.

В многочисленных искусствах, посвященных движениям человека, всегда проявляются одни и те же центральные принципы и важнее всего оказываются самые базовые из них. Возможно, самые важные и самые базовые – это способность дышать и стоять. Однажды я видел наглядную демонстрацию этого соображения в фокусе, который показывали в одной телепрограмме. Ведущий заговаривал со случайным прохожим и просил его постоять не двигаясь, с закрытыми глазами. Сам же он вставал метрах в трех за этим человеком и делал вид, что тянет и толкает его силой мысли (размахивая при этом руками), пока тот не падал. Иллюзия была весьма убедительной, и я не понимал, как она работает. Но потом я вспомнил, как трудно бывает стоять не шевелясь: если вы мне не верите, попробуйте простоять на одной ноге, закрыв глаза и вытянув руки по швам, хотя бы несколько секунд. Я поставил опыт на друге, согласившемся мне помочь: я попросил его закрыть глаза и стоять неподвижно, сказав, что заставлю его упасть, не подходя к нему, одной лишь силой моего волшебства. И действительно, через несколько секунд он упал; более того, он утверждал, что чувствовал, как его тянет некая сила. В некотором смысле он был прав: этой силой была гравитация. Фокуснику нужно было всего лишь добавить убедительные пассы руками, чтобы показалось, что падение – его рук дело.

На мой взгляд, самое волшебное свойство, которым обладают кристаллы, сводится к этому же: они просто существуют, сохраняя свою форму. Если кристалл подтолкнуть с одной стороны, противоположная его сторона сдвинется с места. Другие состояния материи на это не способны: например, жидкость принимает форму сосуда; если толкнуть пальцем жидкость, палец погрузится в нее. Вспомним, что в физике конденсированного состояния твердым считается вещество, устойчивое к напряжению сдвига, тому координированному сочетанию толкающего и тянущего усилий, которое используется, когда мы снимаем карты с колоды. В жидкости отдельные атомы или молекулы пытаются сопротивляться этому напряжению поодиночке, без координации, и у них ничего не выходит. В твердом веществе каждый атом координируется со всеми остальными: если определить положение любого атома в кристалле, это позволяет узнать положение всех остальных, потому что они образуют периодическую структуру, описываемую кристаллической решеткой. Попробуйте сдвинуть верхний слой атомов, и все остальные слои помогут его сопротивлению. Координированная реакция кристаллов обеспечивается макроскопическим числом атомов, которое позволяет им сопротивляться изменениям. Таково определение жесткости. Кроме того, это неплохое определение и самой материи.

Что же такое материя? Физики, занимающиеся конденсированными состояниями, часто определяют ее так:

Материя есть жесткая структура, возникающая при спонтанном нарушении симметрий.

Разберем это определение на примере льда, растущего из воды. По мере того как вода охлаждается, приближаясь к 0 °C, взаимодействия между молекулами начинают выстраивать их в регулярную периодическую структуру. Что определяет, где фиксируются молекулы? Это может быть сосуд или чужеродные частицы, но в нашей математической модели мы считаем, что выбор делается спонтанно. Выбрав место, молекула там и остается, потому что ее удерживают на месте соседи, а их удерживают на месте их соседи и так далее. Структура становится жесткой.

Жесткость характеризует не только кристаллы. Другой уже знакомый нам пример дают ферромагнетики. Вспомним, что каждый индивидуальный атом ферромагнетика имеет магнитное поле – спин, – и эти спины ориентируются в одном и том же направлении. При высоких температурах спины направлены случайным образом; все направления в равной степени не намагничены, и поэтому существует непрерывная вращательная симметрия. При приложении магнитного поля все спины легко поворачиваются, реагируя на воздействие поля индивидуально. По мере снижения температуры взаимодействия заставляют спины выстраиваться, пока не происходит фазовый переход, при котором они спонтанно выбирают некоторое направление. Выбрав это направление, спины жестко придерживаются этого выбора: если приложить магнитное поле, чтобы попытаться развернуть спин, он будет сопротивляться его воздействию, потому что предпочитает сохранять соответствие всем остальным спинам. Определение материи через жесткость покрывает твердые вещества и ферромагнетики, но я бы не сказал, что оно включает в себя все то, что мы привыкли называть материей.

Этому критерию соответствует лишь одно из четырех классических состояний – твердое. Однако многие из тех, кто работает в области физики конденсированного состояния, изучают жидкости, газы, плазму и множество других вещей. Именно поэтому Филип Уоррен Андерсон и Фолькер Гейне отказались от названия «физика твердого тела». Чуть меньшая жесткость в определении жесткости позволяет включить в него другие состояния. Хотя у жидкостей нет жесткости относительно напряжения сдвига, какая есть у твердых веществ, они обладают жесткостью в более общем смысле: когда астронавты разливают воду на борту Международной космической станции, она не разлетается на отдельные молекулы, а собирается в сферу. Если ткнуть в эту сферу пальцем, она не распадется. Это координированная реакция. Такое сопротивление изменениям тоже можно считать жесткостью. Молекулы воды сплачиваются, образуя некое состояние вещества. Сплачиваются даже газы, стремясь держаться вместе, хотя и слабо: и тем не менее их лучше описывает их эмерджентное поведение, нежели поведение отдельных их молекул.

Нужно сказать, что с таким более общим определением жесткости согласятся не все физики, занимающиеся конденсированными состояниями. Некоторые могут возразить, что в космическом вакууме жидкость или газ разлетелись бы на отдельные атомы. Но это справедливо и для твердых веществ, только на более долгом временном масштабе: когда в лампочках использовались раскаленные металлические нити, их приходилось наполнять инертным газом – например аргоном, – потому что иначе нить испарялась и выгорала так быстро, что лампочку было невозможно использовать. Я бы сказал, что набор атомов обладает такой, более широко определенной, жесткостью, если взаимодействия между его атомами приводит к проявлению у них некоего эмерджентного коллективного поведения.

Как бы именно мы ни определяли жесткость, она лежит в самом сердце физики конденсированного состояния: взаимодействия огромного числа индивидуальных компонентов приводит к возникновению коллективного поведения, которое не сводится к сумме составляющих. Ни одно свойство индивидуального атома не может объяснить, как кристалл стоит или почему он обладает симметриями. Выше я утверждал, что всю материю можно определить через жесткость и, следовательно, симметрию. Но как быть с утверждением Андерсона, что вся физика есть изучение симметрии? Чтобы ответить на этот вопрос, нам потребуется еще одно, последнее обобщение.

Возможные миры

Чтобы физика была изучением симметрии, симметрия должна быть руководящим принципом не только физики конденсированного состояния, но и других отделов этой науки. Для некоторых из них это, несомненно, так и есть. Вся Стандартная модель физики элементарных частиц построена вокруг симметрий. Хотя они несколько более абстрактны, чем симметрии кристаллов, они ничуть не менее точны. И в них остается справедливой та же основная идея: симметрия означает, что нечто выглядит так же после изменений. Например, если поменять заряд электрона на положительный, получится позитрон, по всем другим параметрам идентичный электрону. Спонтанные нарушения симметрии играют важнейшую роль в истории Вселенной, которую рассказывают нам специалисты по физике элементарных частиц и космологии. В процессе, аналогичном росту кристалла из жидкости, бозон Хиггса нарушает симметрию Вселенной, что придает массу всем тем элементарным частицам, у которых она есть. Речь идет о так называемом механизме Андерсона – Хиггса, и сначала Филип Уоррен Андерсон понял его в контексте физики конденсированного состояния, а уже затем этот механизм получил более общее применение. Но эти грандиозные идеи далеки от срединной области простых смертных, и мы больше не будем говорить о таких вещах (ну разве что немножко в главе VIII).

Вообще же можно сказать, что физика является изучением симметрии в некоем более поэтическом смысле. Физика стремится рационализировать мир и ищет в нем всеобщие связи. Конденсация воды в ее критической точке описывается той же математикой, что и развитие магнетизма. Это тоже своего рода симметрия: можно заменить воду на магниты, и математическая модель будет выглядеть так же. В этом смысле поиски скрытых связей, которыми заняты физики, – это поиски симметрии.

Идеально плоские грани кристаллов и геометрия их поверхностей являются обыденным проявлением их идеально регулярного атомного порядка, так же как множество их волшебных свойств – от явных чудес вроде свечения, которое возникает, если встряхнуть кристалл, до того вполне обыденного факта, что при нажатии на одну сторону кристалла сдвигается весь кристалл. Еще более прекрасным кажется мне то обстоятельство, что эта регулярная периодическая структура порождает целый мир эмерджентных квазичастиц, которые не могут существовать вне кристаллов.

Некоторые из них могут быть совершенно новыми. Фононы, частицы звука, не способны существовать без среды, в которой они могут распространяться. Другие могут быть старыми знакомыми в новых обличьях. Фотоны, частицы света, перемещаются в кристаллах медленнее, и другие частицы могут двигаться быстрее их. В результате получается потусторонний голубой свет черенковского излучения. Исходно этот эффект был предсказан для элементарных частиц, движущихся быстрее света, еще до того, как Эйнштейн объяснил, что их существование невозможно. Такова магия физики конденсированного состояния: было предсказано поразительное явление; было показано, что в нашем мире оно невозможно; но затем выяснилось, что оно все же возможно – но в другом мире. Этот мир был открыт внутри кристаллов.

Есть ли какие-нибудь пределы тому, что может существовать в этих иных мирах? Задача волшебников – выявлять скрытые закономерности внутри хаоса. Но как это делать, если разрешено все? По счастью, оказывается, что существуют некоторые правила, объединяющие все возможные миры. Давайте же продолжим наше путешествие и познакомимся поближе с некоторыми из этих законов, действующих во всех вселенных, какие только можно себе представить.

IV

Размышления о движущей силе огня

Читая открывшуюся перед ней огромную книгу, Вериана начала познавать тайную историю мира:

«Если плыть на закат от самой западной точки на карте, можно найти архипелаг, острова которого составляют самый отдаленный – и самый магический – уголок мира. Там вечно царит приятный, теплый климат. Дождей выпадает довольно для поддержания достаточного и разнообразного рациона островитян: там растут фрукты и овощи, но также и некий корень, любимый местными жителями за свои опьяняющие свойства. В каждом селении, коих на большинстве островов по нескольку, есть свой узлодел. Повседневные обязанности деревенского узлодела в основном касаются изготовления рыболовных сетей, латания парусов или связывания бамбуковых бревен для прибрежных хижин. Время от времени ему также может быть поручено создание новых узлов, которые обычно требуются при разработке новых технологий (яркий пример таковых – ветряные мельницы). Создатели новых узлов распространяют сведения о них по островам; более привычных нам областей мира они порой не достигают годами. При разработке нового узла часто требуется несколько обсуждений, в которых вместе с узлоделом участвуют и другие жители селения: чтобы узел получил распространение, он должен быть достаточно понятным. Некоторые узлы, в которых сочетаются практичность, полезность, эстетическая привлекательность и простота, удостаиваются редкой чести считаться истинно прекрасными.

Когда узлоделы собираются вместе, они могут часами напролет развлекать друг друга узловыми головоломками с множеством причудливых петель и прочих причуд, ставящих в тупик даже самых опытных мастеров. Одно из излюбленных их состязаний посвящено взлому замков – ибо это умение также считается частью искусства узлодела. В начале состязания каждый узлодел получает несколько сцепленных друг с другом замков, которые он должен вскрыть как можно быстрее; каждый вскрытый замок прицепляют к замкам, которые должен вскрыть соперник…»

Пределы могущества волшебника

Могущество волшебника никогда не бывает безграничным. Будь он даже самым могущественным существом своей вселенной, волшебник обычно вынужден считаться с ограничениями, наложенными миром, в котором он обитает. Например, в «Волшебнике Земноморья» магические способности ограничивает необходимость знать истинные имена вещей.

Каковы же законы мира? И что их изучение говорит нам о материи? Алхимики пытались превращать одни вещества в другие и достичь бессмертия, создав эликсир жизни. Обычно считается, что алхимики потерпели в этом неудачу, хотя алхимия привела к появлению химии, которая вполне способна превращать многие вещества во многие другие. Алхимия потерпела неудачу в том смысле, что она не определила пределы возможного: если вы пытаетесь осуществить допустимое превращение одного вещества в другое, это химия; если недопустимое – это алхимия, и у вас ничего не получится. Медь в ярь-медянку? Можно. Свинец в золото? Нельзя. Яйца в омлет? Можно. Омлет в яйца? Нельзя.

По счастью, правила действуют в этой игре, даже когда мы не знаем, что играем в нее. Обозревая классические стихии, мы рассмотрели воду, воздух и землю. Но огонь – стихия трансформации, ибо огонь есть энергия, огонь создает хаос, а энергия и хаос – это основополагающие принципы, управляющие миром и его преобразованиями. Эти принципы выражены в трех с половиной «началах» (законах) термодинамики. Законы эти управляют всем, от клеток до звезд и всего того, что находится между ними, но истоки их следует искать в практических аспектах срединной области. Начало этим законам положил зарегистрированный в 1698 году патент Томаса Севери на «Новое изобретение для подъема воды и создание движения на любом заводе посредством движущей силы огня». Впоследствии он привел к созданию паровой машины.

Я вполне понимаю, что для большинства читателей в паровой машине нет ничего особенно вдохновляющего. Даже в произведениях жанра стимпанк[45] часто бывает не слишком много пара (и не слишком много панка), а основное внимание уделяется шестерням, очкам-консервам и шелковым цилиндрам. Но законы термодинамики касаются не только паровых машин, печей и поршней: они устанавливают пределы поведения всей материи, энергии и информации во Вселенной, от ДНК до черных дыр. С пара все только началось.

Первые паровые машины дали нам возможность поймать хаос. Начавшаяся в результате этого промышленная революция была своего рода сделкой с дьяволом: давая нам господство над материей и энергией, наши машины – как помогавший Фаусту демон Мефистофель – производят изменения в макроскопическом мире, исполняя наши желания в мире микроскопическом. Этот пращур физики конденсированного состояния привел ученых в конце XIX века к печально известному теперь убеждению, что мы приближаемся к концу познания.

Но кто был истинным господином – Фауст или демон? Еще в 1558 году Джамбаттиста делла Порта замечал в своей «Природной магии»:

Есть два вида магии: первый отвратителен и злополучен, поскольку связан с нечистыми духами и состоит из заклинаний и греховного любопытства… Вторая магия есть магия натуральная, кою признают, используют и пылко чтят все превосходные мудрецы; ничто иное не пользуется бо́льшим уважением, ни бо́льшим почетом среди ученых мужей.

Таким образом, можно считать, что нам повезло, что мы решили сохранить вторую, но не первую. Сейчас мало кто верит в демонов; можно сказать, что именно изгнание этих демонов из рационального в остальном мышления привело нас к современной науке.

Во многих отношениях алхимия пользуется незаслуженно дурной репутацией. Да, вызывание демонов несколько вышло из моды. Но некоторые аспекты алхимии позволяют считать ее ранней формой естественных наук. Многие успехи алхимии были вполне реальными: первая исследовательница в этой области, записи о которой у нас сохранились, Мария Пророчица (работавшая в Александрии примерно в 200 году), изобрела устройства, которыми и сегодня пользуются химики, в том числе водяную баню бенмари (от фр. bain Marie – «баня Марии»). О влиянии герметизма (древней формы оккультизма) на раннюю химию свидетельствует сохранившееся слово «герметичность», исходно относившееся к воздухонепроницаемым сосудам алхимиков. К тому же многие отцы-основатели научной революции XVII века – в том числе и сам сэр Исаак Ньютон – называли себя алхимиками. Термодинамика появилась в XVIII веке под влиянием практических потребностей, что привело к отказу от более эзотерических элементов алхимии и созданию современной науки. Осталось только то, что действительно работало. Но это не значит, что в науке не осталось места для теории: скорее, можно сказать, что термодинамика выжила именно потому, что ее теория оказалась настолько удачной. Абстрактный характер термодинамики позволил ей осуществить мечту алхимиков – достичь бессмертия.

В этой главе мы поочередно рассмотрим начала термодинамики. Существует легко запоминаемое краткое изложение этих законов для непрофессионалов, которое приписывают поэту-битнику Аллену Гинзбергу (хотя более правдоподобна версия, что его сформулировал писатель и физик Ч. П. Сноу)[46]:

Нулевое начало: идет игра.

Первое начало: выиграть невозможно.

Второе начало: остаться при своих невозможно.

Третье начало: выйти из игры невозможно.

Мы увидим, как эти законы ограничивают доступные нам виды магии и как они возникают на микроскопическом масштабе. С исторической точки зрения термодинамику можно считать непосредственной предшественницей физики конденсированного состояния; она породила дополнительное представление о материи как о состоянии хрупкого равновесия между энергией и хаосом. Мы рассмотрим каждое из ее начал, но сначала поговорим о развитии самой термодинамики.

Водяное колесо Карно

В работе 1824 года, из которой позаимствовано название этой главы[47], Сади Карно (1796–1832) вывел формулу максимальной производительности любой машины, преобразующей теплоту в движение, – например паровой машины. Это событие часто называют началом термодинамики. Инфернальные приложения с самого момента ее зарождения были у этой дисциплины: Карно обещал, что сила пара поможет одерживать военные победы и расширять империю. По счастью, гениальность Карно проявилась в способности к абстрагированию. Паровая машина – это сложное сочетание металлических штоков и поршней, угля, дымоходов и людей, управляющих машиной. Но Карно увидел за всем этим суть процесса: он выявил нечто универсальное.

В детстве на Карно произвело сильное впечатление водяное колесо, которое построил его отец[48]. Оно приводилось в движение ниспадающим током воды. Я вполне могу его понять: в моем родном городе, Оттери-Сент-Мэри в Девоне, есть «кувырковая запруда», с которой вода реки падает в огромную дыру. Некогда эта запруда отводила воду на фабрику, где та вращала большое колесо (эта система еще работала лет за десять до того, как мой дед начал работать на фабрике в 1950-х годах).

Водяное колесо

Чтобы построить модель водяного колеса, можно представить себе воду, текущую из большого резервуара через колесо в другой, нижний резервуар: при этом вода приводит колесо в полезное движение. Возможен и обратный процесс: затратив некоторую энергию, можно повернуть колесо в обратную сторону, чтобы поднять воду обратно, снизу вверх. Карно вообразил аналогичную систему, в которой тепло течет из горячего «резервуара» в холодный. Он представил себе, что тепловым эквивалентом резервуара может быть источник тепла, такой большой, что он может отдавать тепло без изменения собственной температуры. В процессе передачи тепла от горячего к холодному можно извлечь полезное движение. В паровой машине горячий сжатый пар расширяется и охлаждается, приводя в движение поршень. Роль горячего резервуара играет источник горячего пара, а холодного резервуара – охлажденный пар, выпускаемый в конце процесса.

Карно вычислил максимальную производительность любого теплового двигателя, называемую теперь «коэффициентом полезного действия (КПД) цикла Карно». Чем больше разница температур резервуаров, тем выше КПД. Если в тепловом двигателе можно использовать только жидкую воду, существующую лишь при температурах от 0 °C до 100 °C, то КПД цикла Карно составляет всего 27 %. Никакие инженерные ухищрения не позволят превзойти этот предел: это ограничение, наложенное самой Вселенной[49]. Может показаться, что паровые машины остались в прошлом, вместе с викторианцами в очках-консервах, или принадлежат к миру стимпанковских фантазий, в котором по холмам и долам бродят полуразрушенные за́мки, приводимые в движение дружелюбными огненными демонами – такими как Кальцифер из «Ходячего замка», мультфильма студии «Гибли» (и книги Дианы Уинн Джонс). Но на самом деле пар по-прежнему имеет очень большое значение. Около 85 % электроэнергии, вырабатываемой сегодня на Земле, производится с использованием пара. Ядерные реакторы создают горячий пар, который, расширяясь и охлаждаясь, вращает колеса (турбины). При преобразовании в электричество геотермической энергии тоже используется пар. В нашей реальности роль Кальцифера играет огонь, горящий внутри Земли. Карно научил нас, что увеличение производительности требует увеличения разницы температур тепловых резервуаров; если поместить воду под давление, можно увеличить температуру ее кипения – или вовсе избавиться от нее, превратив воду в сверхкритический флюид. Сверхкритическую воду уже используют на электростанциях нового поколения, благодаря чему их производительность возрастает на величину, достигающую 50 %, а в 2014 году правительство Австралии объявило о первом успешном опыте производства сверхкритической воды с использованием солнечной энергии.

Идея Карно, основанная на его детском интересе к водяному колесу, сыграла важнейшую роль в развитии термодинамики. В последствии для этой дисциплины были сформулированы законы – «начала», – к которым мы теперь и обратимся.

Идет игра

Я сказал, что есть три с половиной начала термодинамики: их три, но есть еще и нулевое начало. То, что оно нулевое, говорит о двух вещах. Во-первых, это начало настолько важно, что его нужно ввести до того, как можно будет рассматривать остальные (иначе оно было бы четвертым). Во-вторых, его значение настолько тонко, что его легко упустить из виду (иначе оно было бы первым). Когда остальные три начала уже были установлены, ученые поняли, что им нужно формальное выражение некоего допущения, которое они делали с самого начала.

Как сказал Гинзберг, прежде чем формулировать правила игры, нам нужно убедиться, что мы вообще в нее играем. Формальное выражение нулевого начала термодинамики гласит:

Если система A находится в тепловом равновесии с системой B, а система B находится в тепловом равновесии с системой C, то система A находится в тепловом равновесии с системой C.

Физики называют системой то, что является предметом изучения, в отличие от среды, которая им не является. Одно отделено от другого воображаемым барьером. Если система находится в тепловом равновесии, ее энергия не изменяется и в ней повсюду одинаковая температура. Две системы, находящиеся в тепловом равновесии друг с другом, если между ними разрешен теплообмен, производят его только равным образом – так, чтобы в сумме не происходило никакой передачи тепла.

Мой друг, оксфордский профессор Стивен Бланделл, формулирует нулевое начало проще: «термометры работают». Это утверждение кажется довольно-таки самоочевидным: термометры обыденны – конечно, они работают! Но мы помним, что волшебник отличается тем, что сохраняет интерес, не исчезающий под влиянием обыденности. Термометры измеряют температуру. В качестве единицы измерения температуры в науке используют кельвины (K); величина их приращения такая же, как у градусов Цельсия, но нуль по Кельвину установлен на «абсолютный нуль» – самую низкую теоретически возможную температуру.

Чтобы понять, почему для работы термометров нужно нулевое начало, представьте себе, что вы – волшебник, любящий рыбалку. У вас за окном висит термометр, позволяющий вам с первого взгляда понять, не наступили ли заморозки (тогда рыбалка отменяется). Принцип действия термометра основан на том факте, что его температура равна температуре воздуха; но знание температуры воздуха полезно лишь в том случае, если она совпадает с температурой поверхности воды. Значит, вы рассчитываете, что термометр находится в тепловом равновесии с воздухом, а воздух находится в тепловом равновесии с поверхностью воды. Но тем самым вы неявно подразумеваете, что термометр оказался бы в тепловом равновесии и с водой, если бы его привели в соприкосновение с ней. Последнее допущение и есть нулевое начало термодинамики: термометры работают! Чтобы понять, какой могла бы быть иная ситуация, представьте себе, что вы пытаетесь, основываясь на тех же принципах, организовать зоопарк. Если поселить черепаху вместе со львами, ничего особенного не произойдет – равновесие не нарушится. Если поселить черепаху с козами, равновесие снова сохраняется. Поэтому вы рассуждаете следующим образом: раз львы находятся в равновесии с черепахой, а черепаха находится в равновесии с козами, вполне можно поселить коз со львами – тут-то и начинаются неприятности. Еще более знакомый пример – игра в камень-ножницы-бумагу. Бумага побеждает камень, а камень побеждает ножницы – казалось бы, бумага должна тем более побеждать ножницы. Но на самом деле ножницы побеждают бумагу. Хотя победа в отдельном раунде игры в камень-ножницы-бумагу имеет мало что общего с равновесием, можно представить себе группу людей, играющих в эту игру много раз. Если в этой группе нет телепатов, итоговый счет должен оказаться приблизительно равным, потому что каждый из предметов побеждает один из других и побеждается одним из других. Если вы захотите применить этот принцип в неблаговидных целях в своей местной таверне (в которой, надо думать, у вас уже сложилась определенная репутация), вы можете изготовить себе «интранзитивные кости» наподобие изображенных здесь:

Интранзитивные кости

Каждое число повторяется на противоположной грани. Подсчитав возможные исходы броска двух костей, вы обнаружите, что каждая кость побеждает одну из остальных с вероятностью 5/9 и проигрывает одной из остальных с вероятностью 5/9. Поэтому, если вы уговорите своего приятеля бросить кости первым, вы всегда можете выбрать кость, на которой, вероятно, выпадет больше очков, чем у него. Это удивительно: логично было бы предположить, что если A в среднем побеждает B, а B в среднем побеждает C, то A должна в среднем побеждать C. Но на самом деле A проигрывает.

Учитывая существование подобных фокусов, совершенно не очевидно, что термометры должны работать. А они работают, что позволяет считать концепцию температуры осмысленной. Это очень хорошо, потому что, хотя понятия горячего и холодного кажутся интуитивно понятными, оказывается, что с ними все может быть не так просто. Например, какова температура одной молекулы? Чтобы увидеть, насколько температура может противоречить привычному нам представлению, мы совершим сейчас путешествие сквозь время и пространство.

На ковре-самолете

Как мы знаем, в космосе очень холодно. (Если вы подозреваете, что это очередная ловушка, не беспокойтесь – там действительно холодно: вдали от звезд и всего такого прочего температура в космосе составляет около 3 K, то есть на 3 °C выше абсолютного нуля.) Из кино нам известно, что с человеком, оказавшимся в космосе без скафандра, обычно происходят две вещи: он взрывается и замерзает. Что касается взрыва, тут рассуждают следующим образом: на Земле на нас воздействует сильное давление атмосферы, поэтому внутри нашего тела должно существовать такое же сильное давление, чтобы его уравновесить. Там же, где атмосферы нет, уравновешивать давление, направленное изнутри наружу, нечему, и наше тело лопается. Но на самом деле кожа достаточно прочна, чтобы сдерживать это давление без особенных затруднений – разве что появятся синяки. Если изменение давления будет достаточно медленным, мы не должны взрываться. Поэтому давайте представим себе, что мы неспешно летим в космосе на ковре-самолете; при этом у нас есть заклинания, позволяющие нам дышать и не сталкиваться с космическим мусором. Потребуется ли нам еще одно заклинание, чтобы не замерзнуть? Я так не думаю, и вот почему.

Хотя температура вашего тела выше, чем температура космического пространства, не существует действенного механизма теплообмена между тем и другим. Если вас бросить в бассейн с жидкостью, температура которой близка к абсолютному нулю, как это случилось с одним из подручных Скараманги в конце фильма про Джеймса Бонда «Человек с золотым пистолетом», вы, несомненно, замерзнете. При этом вы будете терять тепло тремя способами. Теплопроводность: поскольку вы находитесь в физическом соприкосновении с жидкостью, вы можете непосредственно передавать ей тепло. Конвекция: вы нагреваете окружающую вас жидкость, она становится менее плотной и поднимается вверх, а ее место занимает более холодная жидкость, которая продолжает забирать ваше тепло. Излучение: вы постоянно обмениваетесь со средой инфракрасным излучением – светом, невидимым, потому что он имеет слишком большую длину волны. Если ваша температура выше температуры окружающей среды, вы отдаете через механизм излучения больше тепла, чем получаете. В горячей среде человек в основном отдает тепло четвертым способом, через испарение: из нашего тела выходят молекулы воды (пот), уносящие с собой энергию.

Космос – не бассейн с жидкостью; в нем нет ничего, что могло бы забирать у вас тепло по механизмам теплопроводности или конвекции. Поскольку ваше тело будет стараться сохранить тепло, оно сведет испарение к минимуму. Вы действительно будете терять много тепла по механизму излучения. Однажды, когда я гулял с другом по пустынным болотам Дартмура, у него возникло переохлаждение. Пока мы с ним ждали скорую помощь, переохлаждение возникло и у меня. Санитары завернули нас в металлические одеяла не толще бумажного листа, которые отражали излучаемое тепло обратно к нашим телам. Я почти сразу же ощутил приятное тепло. Быстрый расчет показывает, что находясь в космосе, вы будете терять на излучение около трех мегаджоулей энергии в час; на моей коробке с хлопьями для завтрака написано, что рекомендованная суточная норма энергии, получаемой из пищи, составляет 8,4 мегаджоуля. Таким образом, чтобы не замерзнуть в космосе, нужно есть приблизительно в девять раз больше, чем обычно. Если мы возьмем с собой на ковер-самолет какие-нибудь бутерброды, с нами все должно быть в порядке.

С точки зрения теплопроводности и конвекции ощущения в космосе должны быть приблизительно такими же, как в чуть теплой ванне. Однако баланс излучения со средой будет отличаться от привычного: в этом отношении вы действительно должны чувствовать, что вокруг 3 K. Таким образом, температура не так проста, как кажется на первый взгляд. Дело в том, что в космосе вы не находитесь в тепловом равновесии со средой: вы теряете энергию, которую приходится пополнять за счет бутербродов. Но в отсутствие теплового равновесия температура может не поддаваться столь же точному определению. Большинство систем достигают такого равновесия в лучшем случае лишь приблизительно: когда температура воздуха падает, соответствующие изменения состояния как термометра, так и озера занимают некоторое время. У термометра это получается быстро, у озера – медленнее. Температура воздуха в Англии выше всего в июле, но море теплее всего в августе и начале сентября. То есть термометры работают лишь приблизительно, да и то только тогда, когда существует приблизительное тепловое равновесие.

Концепции тепла, температуры и равновесия касаются явлений наших повседневных, макроскопических масштабов пространства и времени. Но макроскопический мир возникает из коллективного поведения большого числа атомов и молекул. Дисциплина, изучающая возникновение крупномасштабной термодинамики из мелкомасштабного мира, называется статистической механикой. Давайте посмотрим, как она работает в отношении нулевого начала.

Возникновение нулевого начала

В стимпанке действие разворачивается в разделенном мире. Есть чистый, богатый верхний мир. И есть грязное, злачное дно. Часто верх и низ бывают отделены друг от друга в самом буквальном смысле. Многие клише стимпанка появились в мультфильме «Небесный замок Лапута» студии «Гибли»: он начинается в городе при угольной шахте, а заканчивается на волшебном, утопическом летающем острове. Эстетика стимпанка сосредоточена именно на грязном нижнем мире. Как это было в эпоху промышленной революции, роскошное декадентское общество существует благодаря грязной работе, незримо происходящей внизу, в машинных отделениях. То же справедливо и в отношении нашей роскошной срединной области: вся работа происходит внизу, в микроскопическом мире, из которого эта область возникает.

В наши дни идея о том, что мир построен из атомов, настолько привычна, что кажется самоочевидной: у нас есть даже фотографии атомов, сделанные при помощи туннельных сканирующих микроскопов. Однако всеобщее признание атомов произошло сравнительно недавно. Работа, выполненная в 1905 году Эйнштейном, была в конце концов подтверждена экспериментально, в связи с чем Жан Батист Перрен получил в 1926 году Нобелевскую премию по физике «за работу по дискретной природе материи». Хотя концепция атомов появилась еще в древности, в конце XIX века она утратила популярность среди некоторых философов и физиков. В значительной степени это было связано с успехами термодинамики: казалось, что среди плавно изменяющихся температур и потоков тепла нет места дискретному микроскопическому миру. Физика конденсированного состояния едва не закончилась, так и не начавшись; человеком, которому мы обязаны возвращением на верный путь, был Людвиг Больцман.

Больцман родился в Вене; его предки были часовщиками. Он славился скрупулезным вниманием к деталям. Например, однажды, когда он решил, что в рационе его детей недостаточно молока, он купил на рынке корову. Я согласен, что сам по себе этот поступок не говорит о какой-нибудь особенной скрупулезности, но если бы простой смертный узнал, как доить корову, у крестьянина, Больцман вместо этого обратился за консультацией к профессору зоологии. Такая тщательность сопровождала всю его карьеру и помогла разрешить некоторые весьма сложные философские вопросы, возникшие в конце XIX века[50]. Идея Больцмана заключалась в следующем: возможно, окружающий нас непрерывный макроскопический мир возникает из мелкомасштабного поведения отдельных атомов, подчиняющихся знакомым нам законам ньютоновской механики. Хотя поведение индивидуальных атомов предсказать невозможно, можно ожидать, что коллективное поведение атомов будет точно соответствовать статистическим предсказаниям. Это связано с законом больших чисел: по мере увеличения числа опытов статистические средние значения приближаются к ожидаемым. Например, при одиночном броске игральной кости может выпасть любая грань, а при нескольких бросках вполне можно ожидать, что одно из чисел по случайности будет выпадать чаще, чем другие. Но чем дольше вы будете бросать кость, тем более равным образом будут представлены все грани – по существу, закон больших чисел сводится к утверждению, что речь идет не о свойствах игральной кости, а о свойствах вероятности. Знаменитый исторический пример (о котором я узнал из одного из представлений с фокусами Деррена Брауна) получил статистик Френсис Гальтон[51], рассмотревший распределение 787 оценок массы съедобной части вола, данных посетителями сельскохозяйственной выставки в Девоне. Хотя среди индивидуальных оценок наблюдался огромный разброс, как и следовало ожидать от многолюдной толпы, в которой было множество неспециалистов, средняя оценка – 1197 фунтов – оказалась совершенно правильной, с точностью до фунта[52]. Важнейшую роль в физике конденсированного состояния играет концепция термодинамического предела. Она попросту означает, что количество рассматриваемых частиц настолько велико, что к ним применим закон больших чисел. Это тот предел, на котором из микроскопической статистической механики возникает наша срединная область. Собственно говоря, согласно распространенному определению, физика конденсированного состояния – это изучение явлений, возникающих на термодинамическом пределе.

Простейшая модель, соединяющая статистическую механику с термодинамикой, – это модель идеального газа. Идеальный газ подчиняется простой зависимости: его температура пропорциональна произведению его давления и объема. На микромасштабе этот факт можно объяснить, предположив, что составляющие его молекулы движутся независимо друг от друга: они просто летают во все стороны, отражаясь от стенок сосуда. Когда молекула газа ударяется о внутреннюю поверхность наполненного этим газом надувного шара, она отскакивает назад, передавая шару часть своего импульса. То же самое происходит, когда вы отбиваете ракеткой теннисный мяч: мяч отскакивает, а ваша рука ощущает толчок. Происходящие в любой момент многочисленные индивидуальные столкновения молекул газа со стенками шара приводят к возникновению давления на стенки шара, толкающего их наружу. Таково микроскопическое объяснение того факта, что шар остается надутым. Чтобы понять, как из такого рода суматошной деятельности возникает знакомый нам мир, полезно использовать понятия «микросостояние» и «макросостояние».

Макросостояние системы – это ее наблюдаемые, измеримые свойства: объем, температура, давление и так далее. Вообще говоря, каждое макросостояние совместимо с огромным числом микросостояний – набором положений и скоростей частиц на микромасштабе. Нулевое начало говорит нам о системах, находящихся в тепловом равновесии; с точки зрения статистической механики равновесие – это всего лишь макросостояние, согласующееся с наибольшим числом микросостояний. С точностью до некоторых более или менее общепризнанных допущений это означает, что состояние равновесия возникает с наибольшей вероятностью. Нулевое начало говорит нам, что система, находящаяся в равновесии, максимально распространена и перемешана. Вот пример знакомой всем нам ситуации: если воздух находится в состоянии равновесия, его молекулы равномерно распределены по всему помещению, а, скажем, не скапливаются в одном углу. Аналогичным образом, если две системы имеют возможность прийти в равновесие друг с другом, они достигают макросостояния, согласующегося с наибольшим числом микросостояний: тогда говорят, что они достигают одинаковой температуры.

Физики строят свои математические модели так же, как создают узлы узлоделы на островах, что лежат к закату от самой западной точки на карте. Как и у узлоделов, модель может удостоиться редкой чести считаться истинно красивой, только если в ней будут сочетаться практичность, полезность, эстетическая привлекательность и простота. Статистическая механика – красивая теория. Установленная ею связь между микрокосмом и макрокосмом стала основой для физики конденсированного состояния.

По словам Гинзберга, нулевое начало определяет некоторые базовые правила игры, в которую играем все мы. Остальные начала объясняют, как в нее играть.

Выиграть невозможно

Первое начало термодинамики гласит:

Энергия сохраняется, а тепло представляет собой один из видов энергии.

Здесь содержатся две идеи. Первая из них – это закон сохранения энергии: энергию нельзя создать или уничтожить; можно только преобразовывать ее из одной формы в другую. Этот принцип превратился в клише волшебных историй: когда волшебник творит волшебство, это приводит к нарушению равновесия, и в этом заключается одна из причин, по которым волшебники изменяют мир сочувственно (см. правило II). В романе «Цвет волшебства» Терри Пратчетт вводит этот принцип в виде самостоятельного правила, закона сохранения реальности: достижение некой цели при помощи магии неизбежно требует по меньшей мере такого же количества усилий, как и ее достижение немагическими средствами.

Вторая идея состоит в том, что тепло – это одна из форм, которые может принимать энергия. Идея о сохранении энергии принадлежит математику и натурфилософу (в наши дни такого человека, вероятно, называли бы физиком-теоретиком) Эмили дю Шатле (1706–1749). Подростком дю Шатле использовала свои математические способности, разрабатывая многочисленные стратегии игры в азартные игры, чтобы заработать на покупку книг, которые читала запоем. Понять, как работает ее идея, можно на примере гипнотизера, который раскачивает часы на цепочке. Я не знаю, действительно ли гипнотизеры раскачивают часы, хотя однажды я был на конференции по гипнозу, на которой нескольким участникам выдали по маятнику и попросили неподвижно держать его перед глазами, а затем им зачитали некие слова, от которых часть маятников начала качаться благодаря бессознательным движениям участников[53]. В нижней точке траектории маятник обладает большой кинетической энергией, связанной с его движением, а в верхней ее точке кажется, что вся эта энергия исчезла. Однако нам говорят, что энергия не исчезает, а преобразуется в «потенциальную энергию». Но не идет ли тут речь всего лишь о логической уловке? Разве нельзя взять что угодно не сохраняющееся – например число уток на пруду – и сказать, что когда утка улетает с пруда, она просто преобразуется в потенциальную утку, так что суммарное число уток остается постоянным? Я бы сказал, что существенное различие состоит в том, что для разных типов энергии мы можем построить математические модели. Когда мы складываем математические выражения для разных составляющих (в данном случае – кинетической и потенциальной), мы видим, что сумма не изменяется. В случае пруда с утками невозможно сказать, сколько существует потенциальных уток, поэтому эта идея оказывается бесполезной. На самом деле, неподалеку от меня есть пруд с загоном, в котором держат уток; внутри загона у уток есть маленький домик. В этом случае существует осмысленная концепция потенциальных уток, потому что если утка находится в домике, она не находится в пруду, но могла бы в нем находиться. И тогда суммарное число уток в загоне действительно сохраняется. В основе этого ответа лежит идея о том, что математика выражает суть физической ситуации. В этом и состояло открытие дю Шатле: измеряя отпечатки, которые оставляли в глине падающие шары, она создала правильное математическое описание кинетической энергии. Только тогда она смогла увидеть то, что упустили из виду другие – в том числе сам Ньютон: кажущиеся не связанными друг с другом явления движения массы и неподвижного нахождения той же массы на высоте можно объединить при помощи некоторой величины – энергии, – которая остается постоянной.

Но столь простое объяснение поведения часов гипнотизера не может быть исчерпывающим, потому что маятник рано или поздно останавливается, если его не снабжают энергией (поступающей от руки гадалки или других источников). Куда же девается энергия? Она не может быть ни кинетической, ни потенциальной. Здесь-то и вступает в игру первое начало. Маятник перестает качаться, потому что трение преобразует его кинетическую энергию в тепловую – то есть в тепло. Часть его нагревает окружающий воздух; часть передается в виде вибрации руке гипнотизера; часть расходуется в виде усыпляющего вас тихого ритмичного шороха цепочки. Значит, на самом деле маятник сам по себе не сохраняет энергию, но ее сохраняет маятник в сочетании с окружающей его средой. Об этом и говорит нам первое начало.

В этой игре невозможно выиграть, потому что выиграть означало бы получить нечто (энергию), ничего не отдав взамен. Не забывайте, что магия работает только тогда, когда вы вкладываете по меньшей мере столько же усилий, сколько требует то же действие, произведенное без использования магии. Возможно, именно поэтому некоторые волшебники всегда пытаются заручиться помощью других магических существ. В фантастическом романе Сюзанны Кларк «Джонатан Стрейндж и мистер Норрелл» речь идет о возрождении магии в Англии XIX века; там волшебнику важнее всего залучить себе на службу эльфа, который будет выполнять его распоряжения. Выдающийся генетик Дж. Б. С. Холдейн, первопроходец применения статистики в биологии, написал серию книг о волшебнике по имени мистер Лики. В этих книгах рассказывается о похождениях мистера Лики, заставляющего целый паноптикум разнообразных магических существ выполнять его поручения (как волшебные, так и самые прозаические) в его лондонском доме и во время периодических путешествий на ковре-самолете; чайник ему согревает миниатюрный дракон.

Первое начало возникает из микроскопического мира вполне понятным образом: энергия сохраняется на микромасштабе и продолжает сохраняться на макромасштабе. Если предположить вслед за Больцманом, что движение отдельных частиц подчиняется ньютоновской механике, такое движение должно сохранять энергию по самой своей природе. Первое начало также затрагивает тепло, что более интересно с точки зрения эмерджентности, поскольку тепло определяется только в термодинамическом пределе. Чтобы рассмотреть возникновение тепла более подробно, обратимся ко второму началу. Нулевое и первое начала говорят нам о системах, уже достигших теплового равновесия; второе рассказывает, как именно они его достигают.

Остаться при своих невозможно

Однажды Тор, северный бог грома, вызвал обитателей города Утгарда на состязание в борьбе. Тор надеялся сразиться с грозными великанами Ётунхейма, но вместо них против него вышла старуха по имени Элли. Когда началась схватка, Тор понял, что не может справиться со старухой: чем упорнее он боролся, тем сильнее она становилась; в конце концов Тор опустился на одно колено, и его признали побежденным. Дело было в том, что Тор боролся вовсе не со старой женщиной, а с самой старостью.

Так рассказывает написанная в XIII веке «Младшая Эдда». Когда я слышал эту историю в детстве, мне, как я помню, казалось, что старость должно быть легко побороть – у нее наверняка слабые колени и больная спина. Но кто-то объяснил мне суть этой притчи: единственное, чего Тор никак не может победить, – это его собственная старость. А причиной тому второе начало термодинамики:

Невозможен процесс, единственным результатом которого является преобразование тепла в полезное движение.

Если первое начало говорит нам, что и тепло, и работа (полезное движение) являются формами энергии, то второе утверждает, что между ними есть важное различие. Полностью преобразовать полезное движение в тепло просто – именно этим занимались во время борьбы Тор и Элли, – но полностью преобразовать тепло в полезное движение невозможно. Какое отношение это утверждение имеет к несокрушимой силе Элли? Эта асимметрия приводит к постепенному превращению полезного движения в бесполезное тепло. Смерть и разложение неизбежны, и все на свете стремится к беспорядку. В игре в жизнь невозможно не только выиграть, но и остаться при своих: рано или поздно вы не можете не проиграть.

Ощущение проигрыша воплощается в идее необратимости. Почти все законы физики, все ее уравнения, с тем же успехом работают и в обратную сторону. Хрустальный шар может катиться вниз по склону, набирая скорость, а может катиться и вверх, пока не остановится. Часы гипнотизера раскачиваются как влево, так и вправо. Эти процессы обратимы: при просмотре их видеозаписи невозможно сказать, воспроизводится ли она нормально или задом наперед. Все законы физики за исключением горстки тонких квантовых процессов обратимы – кроме второго начала термодинамики: полезное движение можно полностью преобразовать в тепло, а обратный процесс невозможен. Это единственное в своем роде (не считая квантовых) правило замечательно тем, что говорит нам: движение в будущее отличается от движения в прошлое. Если убрать из реальности этот единственный закон, события, которые можно увидеть в видеозаписи, воспроизводимой задом наперед, будут случаться с той же вероятностью, что и при нормальном воспроизведении видео. Тем не менее наше существование совершенно необратимо: шрамы свидетельствуют о событиях прошлого, яйца разбиваются, но не восстанавливаются из разбитого состояния, а весь мир в целом движется к большему беспорядку.

Для точного численного выражения беспорядка в физике используется идея энтропии. Энтропия служит численным выражением того обстоятельства, что мы видим и ощущаем мир на макромасштабе, но не знаем почти ничего о том, что происходит на микромасштабе. Например, молекулы воздуха могут находиться в любых точках комнаты, но я могу уверенно установить лишь, что все они не скопились в одном ее углу (поскольку я могу дышать). Однако число вариантов расположения молекул, совместимых с моим наблюдением, все равно остается поистине астрономическим. Вспомним, что вся совокупность информации о молекулах (их положения и скорости) называется микросостоянием, а крупномасштабная информация (скажем, значения давления и температуры воздуха) – макросостоянием. Большее значение энтропии означает, что существует большее число микросостояний, совместимых с наблюдаемым макросостоянием.

Второе начало говорит нам, что со временем все системы стремятся к тепловому равновесию. Это макросостояние, совместимое с наибольшим числом возможных микросостояний: хотя существует много способов согнать весь воздух в один угол комнаты, способов распределить его приблизительно равномерно по всей комнате настолько больше, что мы всегда встречаемся именно с последним вариантом. Первый возможен, но крайне маловероятен. Второе начало есть утверждение статистическое и чисто эмерджентное: его можно объяснить за счет других явлений, но невозможно исключить из объяснения, оставив в нем только эти явления.

Кое-кому кажется, что второе начало противоречит здравому смыслу: например, говорят, что существование сложной, упорядоченной жизни, по-видимому, не согласуется с тенденцией к увеличению беспорядка. Из беспорядочного первичного бульона в конце концов возникли сложные организмы – например летучие мыши. Но хотя сложный живой объект – та же летучая мышь – находится в состоянии с низкой энтропией (существует гораздо больше вариантов конфигурации, в которых атомы, составляющие летучую мышь, образуют не действующую летучую мышь, а большую кучу неизвестно чего), процесс роста летучей мыши в утробе матери производит гораздо большее количество энтропии, так как мать ест больше пищи, чтобы потреблять больше энергии, и часть этой энергии выделяется в виде тепла. Жизнь – это процесс поглощения энергии и ее преобразования в тепло для того, чтобы не попасть в состояние теплового равновесия (то есть смерти): равновесным состоянием будет как раз куча неизвестно чего, а не летучая мышь. Иначе говоря, любые изменения происходят в соответствии со вторым началом, которое неудержимо подталкивает системы к равновесию: когда равновесие будет достигнуто, работа второго начала будет выполнена – после этого не останется никакой возможности изменений, то есть жизни.

Таким образом, второе начало положило конец поискам философского камня – секрета бессмертия; жить вечно означало бы вечно оставаться вне состояния равновесия, но поскольку энергия преобразуется в тепло, рано или поздно не должно остаться еще не преобразованной энергии. Задним числом понятно, что эти поиски, как и многие другие предприятия алхимиков, не могли не закончиться неудачей. Однако не всегда бывает ясно, к какой области относится задача, которую мы решаем, – честной науки или запретной магии. По счастью, существует простое заклинание, правильное применение которого позволяет разрешить эту дилемму при помощи всего пары слов.

Тщетные химеры

Многие научные идеи бывают зарублены на корню, когда кто-нибудь замечает, что они противоречат второму началу термодинамики. Были и у меня идеи, которые постигла эта участь. Когда факт такого противоречия установлен, для изгнания беса используют традиционное заклинание, состоящее из двух латинских слов – «Perpetuum mobile!» (перпе́туум мо́биле) – или, если вам претит излишняя претенциозность, «вечный двигатель». Показать, что из некоего предположения вытекает возможность вечного движения, – простой способ убедиться в его ошибочности, потому что если бы вечное движение существовало, это означало бы, что мы заблуждаемся относительно более или менее всего на свете.

Первому началу можно дать другую, эквивалентную формулировку:

Не может существовать устройства, создающего полезное движение без использования энергии.

Такое устройство было бы вечным двигателем первого рода, то есть нарушающим первое начало термодинамики. Его невозможность ограничивает те типы магии, которые может использовать волшебник. Например, недавно мне пришло в голову, что, может быть, можно было бы сделать заводного механического кролика, который в движении заводил бы свою собственную пружину. Тогда его завод мог бы никогда не кончиться! Но я быстро понял, что такой кролик невозможен, так как он получал бы нечто, ничего не отдавая взамен. «Perpetuum mobile!» – вскричал я, и эта идея была снова ввергнута в бездну чересчур живого воображения. Более правдоподобный вариант предложил один мой друг, спросивший, почему электромобили не используют собственные тормоза в качестве своего рода динамо-машин, которые могли бы заряжать их аккумуляторы: тогда им не понадобился бы источник питания! На самом деле, электромобили действительно возвращают таким образом часть затраченной энергии, но, опять же, не могут вернуть всю ее, потому что в этом случае они получали бы нечто, ничего не отдавая взамен.

В 1670 году один из основателей Королевского общества[54] Джон Уилкинс, епископ Честерский, назвал три широко определенных темы конструкций проектов двигателей, дав всем им «магические» названия. Это были «Химические экстракции», «Магнетические качества» и «Натуральное влечение гравитации». О том, что вечные двигатели не могут работать, знали даже в XVII веке, но попытки их создания упорно предпринимаются по сей день. Патентное управление Соединенного Королевства (United Kingdom Patent Office, UKPO) сочло необходимым выпустить следующее заявление:

Процессы или устройства, якобы работающие в явном противоречии с общепризнанными законами физики, например вечные двигатели, считаются не имеющими практического применения.

Руководство UKPO по патентной практике, ред. 2020 г., раздел 4.05

Хотя с этим утверждением трудно не согласиться, более поэтически та же мысль была выражена в записных книжках Леонардо да Винчи за 1494 год:

О вы, искатели вечного движения, сколько вы преследуете тщетных химер? Вам место среди алхимиков[55].

Второе начало тоже можно сформулировать в виде ограничения возможностей волшебников. Любое предполагаемое устройство, единственным результатом работы которого является преобразование тепла в полезное движение, называется вечным двигателем второго рода и существовать не может. Например, можно вообразить некий процесс, в котором молекулы воздуха, ударяясь в храповое колесо, поворачивают его, в результате чего происходит охлаждение воздуха и самопроизвольное вращение колеса. Второе начало термодинамики говорит, что такое устройство относится к разряду запретной магии.

Однако один физик подошел к разработке вечного двигателя второго рода чрезвычайно близко. Подобно мистеру Норреллу и мистеру Лики, он сделал это с помощью демона. Этим человеком был Джеймс Клерк Максвелл.

Демон Максвелла

Эйнштейн как-то заявил, что все его достижения стали возможными лишь потому, что он стоял на плечах Джеймса Клерка Максвелла. Максвелл внес огромный вклад во все аспекты современной физики, от объединения электричества и магнетизма в системе носящих его имя уравнений (тем самым он объяснил волновую природу света и предсказал существование радиоволн) до объяснения природы колец Сатурна, объяснения цветного зрения и изобретения цветной фотографии. Однако он никогда не писал о демонах. В письме другу, физику и математику Питеру Тэйту, он упоминал лишь некое «конечное существо», наделенное сверхъестественными способностями. Речь шла о мысленном эксперименте, целью которого было расширение пределов возможного с точки зрения второго начала термодинамики. Свое ставшее бессмертным название демон получил в письме, которое прислал в журнал Nature лорд Кельвин (чьим именем называется единица измерения температуры).

Демон Максвелла в представлении моей приятельницы Рут Гордон

Представьте себе коробку, разделенную на две половины. Коробку можно считать изолированной, то есть не взаимодействующей с остальной Вселенной. В одной половине коробки находится газ, полностью состоящий из черных молекул, а во второй – газ, полностью состоящий из белых молекул. А теперь вообразите, что в перегородке, разделяющей две половины коробки, открывается крошечное окошко со скользящей заслонкой. Через некоторое время обе половины будут содержать серую смесь черных и белых молекул. Причина этого состоит в том, что способов образования серого газа намного больше, чем способов разделения газа на черный и белый: микросостояний, совместимых с серым макросостоянием, намного больше, чем микросостояний, совместимых с раздельным черно-белым макросостоянием. Если бы серый газ самопроизвольно разделился на черный и белый газы, это нарушило бы второе начало.

А теперь представьте себе крошечного демона, способного открывать и закрывать окошко. Кроме того, этот демон видит точные положения и скорости всех молекул газа: ему известны как микросостояние системы, так и ее макросостояние. Максвелл понял, что такой демон способен, начав с состояния, в котором в обеих половинах коробки содержится серый газ, разделить его на черный и белый газы, тем самым нарушив второе начало термодинамики. Демону нужно лишь, не расходуя никакой энергии, открывать окошко, когда он видит черную молекулу, направляющуюся в одну сторону, или белую, движущуюся в обратном направлении, но не открывать его в противном случае. В исходной формулировке Максвелла речь шла не о черных и белых, а о быстрых и медленных молекулах; в таком случае демон разделяет теплый газ на горячий и холодный.

Естественно спросить, не должен ли демон, когда он открывает и закрывает окошко, выполнять небольшую работу, тем самым вырабатывая тепло. Это устранило бы противоречие, поскольку суммарное количество тепла все же увеличивалось бы. На протяжении долгого времени считалось, что в этом и состоит решение. Но недавние эксперименты подтвердили, что такое тепло может быть гораздо меньшим, чем энергия, которую теряет газ. Таким образом, вполне можно допустить, что окошко открывается и закрывается без расхода энергии и увеличения энтропии.

Через некоторое время демону удастся разделить газы и уменьшить энтропию; важно отметить, что это, по-видимому, не вызывает соответствующего увеличения энтропии где-либо еще. Последняя оговорка – ключевой элемент, позволяющий получить неискаженное сравнение состояний: если бы изменялись какие-то другие объекты, это могло бы маскировать добавочную энтропию. Итак, дело выглядит так, что демону действительно удалось создать вечный двигатель и обойти второе начало.

Однако одно изменение все же произошло. После процесса сортировки в мозгу демона сохранилась информация обо всех частицах, которым он позволил пролететь через окошко; раньше этой информации там не было. Для неискаженного сравнения состояний эту информацию необходимо удалить; демон должен все забыть. Но забывание – процесс необратимый: нельзя «раззабыть» забытое!

Можно возразить, что демону не нужна память, так как он мог бы забывать о каждой частице сразу же после измерения: если вы конструируете детектор дыма, вы не снабжаете его памятью. Но на самом деле детектору дыма тоже нужна память – только очень маленькая. Даже если он может обнаруживать всего лишь по одной частице в каждый момент, он немедленно забывает, что обнаружил ее, и этот процесс необратим.

Второе начало позволяет получить численное выражение нашего наблюдения того факта, что со временем беспорядок возрастает. Яйца падают со стола и разбиваются; разбитые яйца не восстанавливаются сами по себе, хотя это и приводило бы к сохранению энергии. Если бы демон Максвелла существовал, он представлял бы собою устройство обращения времени. Эта мысль лежит в основе фильма «Довод» (Tenet, 2020). Сходная идея появляется в пересказывающих артуровскую легенду книгах серии «Король былого и грядущего» (The Once and Future King) Т. Х. Уайта. В них мудрость волшебника Мерлина основывается на обращении времени: это позволяет ему помнить будущее. В романе Курта Воннегута «Бойня номер пять» (Slaughterhouse-Five, 1969) есть трогательное описание обратного хода войны, направленного в сторону уменьшения энтропии: самолеты высасывают пули из убитых, возвращая их к жизни, вытягивают огонь из горящего города и заключают его внутри бомб, которые они запирают в своих бомбовых отсеках, и возвращаются на свои базы, где бомбы разбирают на минералы и закапывают в землю. (Будучи военнопленным, Воннегут находился в Дрездене во время его бомбардировки.)

Информация в мозгу демона наводит нас на разрешение противоречия со вторым началом. Поскольку необратимые процессы – это процессы, в которых возрастает энтропия, а забывание необратимо, то забывание должно соответствовать увеличению энтропии – то есть выделению тепла. Тепло, испускаемое мозгом демона при удалении информации, соответствует теплу, потерянному в результате разделения газов. Иначе быть не может, так как это означало бы противоречивость физических законов.

Машина Сциларда

Как стимпанку, так и киберпанку свойствен дух бунтарской кустарщины. То обстоятельство, что он присутствует в обоих этих жанрах, – превосходная демонстрация всеобъемлющего значения термодинамики, и наглядный пример этого дает паровая машина, приводимая в действие исключительно цифровой информацией. Эту машину сконструировал венгерский ученый Лео Сцилард, диссертация которого была посвящена демону Максвелла. Кроме того, Сцилард изобрел электронный микроскоп и ускоритель элементарных частиц, а также участвовал в первых успешных опытах по клонированию человеческих клеток. В 1960 году, когда у него обнаружили рак, он разработал свой собственный метод радиационной терапии с использованием кобальта-60. Как это ни невероятно, лечение оказалось успешным.

В основе этого устройства лежит поразительная идея. Представьте себе герметичную обувную коробку, наполненную воздухом. На обоих ее концах, внутри коробки, есть движущиеся внутренние перегородки, которые можно сдвигать к ее середине, нажимая на соответствующие штоки. Можно собрать весь воздух в правой половине коробки, переместив левую перегородку в середину. При этом объем, занимаемый воздухом, уменьшается вдвое, а значит, удваивается его давление. Если отпустить шток, давление воздуха на перегородку переместит ее обратно, выдвигая шток. Точно так же можно собрать воздух в левой половине коробки, а затем снова позволить ему расшириться. Кроме того, конструкция позволяет зафиксировать перегородку в середине коробки.

Компьютер из обувной коробки

Такая коробка представляет собой одновременно одиночную ячейку компьютерной памяти и простой двигатель. Предположим, мы будем считать состояние, в котором газ находится в левой половине коробки, соответствующим 0, а состояние, в котором он находится справа, соответствующим 1. При наличии достаточного числа коробок в них можно сохранить всю информацию, записанную на жестком диске: например, компьютер сохраняет букву «a» в виде строки из восьми битов: 01100001. Следовательно, букву «a» можно сохранить в виде ряда из восьми обувных коробок, в которых газ находится в разных половинах: левой, правой, правой, левой, левой, левой, левой и правой. При этом любая коробка, содержащая бит информации, может быть использована для производства полезного движения: если отпустить перегородку, газ расширится и вытолкнет шток наружу. При этом информация теряется, так как после расширения газа коробка не соответствует ни 0, ни 1. Информация расходуется на приведение двигателя в действие.

Сцилард придумал упрощающее усовершенствование этой конструкции. Представим себе, что в газе содержится всего одна частица. Она так быстро ударяется о стенки, что по-прежнему может создавать давление – как пчела, летающая внутри бумажного пакета так, что он остается расправленным. Допустим, что у нас есть демон Максвелла, который видит, где находится эта частица. Он может подождать, пока частица окажется, скажем, в левой половине коробки, и тогда быстро вдвинуть правый поршень. Поскольку в правой половине в этот момент газа нет, для этого не требуется никакой энергии. Затем демон может опустить поршень, что позволит газу, состоящему из единственной частицы, расшириться, вытолкнув поршень наружу и совершив работу. Таким образом, демон преобразовал единственный бит информации (знание о том, в какой половине коробки находится частица, левой или правой) в полезную работу. Такое устройство вполне можно назвать… термодемонической системой.

Когда одночастичный газ расширяется, его энтропия возрастает. Чтобы убедиться в этом, заметим просто, что у частицы, которая может двигаться в обеих половинах коробки, есть вдвое больше возможных положений, то есть вдвое больше микросостояний, соответствующих ее макросостоянию. Увеличение энтропии – степени беспорядка – означает увеличение тепла. В 2010 году исследовательская группа из Токийского университета построила реальную машину Сциларда и показала на опыте, что она действительно работает:[56] информацию можно преобразовывать в энергию, а удаление информации соответствует выделению тепла. Это положение называется принципом Ландауэра: удаление информации, каким бы ни был использованный для этого физический процесс, производит тепло. При работе компьютера информация удаляется все время. Учитывая количество процессов, идущих в любой момент в современной электронной аппаратуре, количество рассеиваемого тепла получается огромным. Правда, в нынешних компьютерах есть гораздо более мощные источники тепла, и ни один из них еще даже не приблизился к теоретическому пределу производительности, который устанавливает принцип Ландауэра. Тем не менее законы термодинамики говорят нам, что производство тепла является необходимой частью любого необратимого процесса. Например, для отвода тепла от серверов, используемых для работы поисковых систем, требуются огромные охлаждающие устройства: по консервативным оценкам компании Google, каждая поисковая операция на ее сайте использует около 1 кДж; этой энергии достаточно для питания уличного фонаря мощностью 35 Вт в течение тридцати секунд. К 2021 году на майнинг в системе BitCoin расходовалось столько энергии, что если бы речь шла о стране, она входила бы в число тридцати стран с самым высоким энергопотреблением и расходовала бы больше энергии, чем все население Аргентины. Система устроена так, что в дальнейшем это потребление будет только расти.

Интересно отметить, что работа компьютеров может и не подразумевать непременного удаления информации. Я нахожу это обстоятельство интересным потому, что даже самые базовые элементы логики необратимы: утверждение «я либо одет, либо не одет в свою мантию волшебника» неизбежно истинно, но истинность этого утверждения невозможно обратить так, чтобы можно было установить, есть ли на мне мантия. В компьютерах такая логика реализуется при помощи электронных «логических вентилей» с двумя входами и одним выходом. Если на любом из входов есть высокое напряжение, оно есть и на выходе, но наличие напряжения на выходе не позволяет определить, на каком из входов оно есть. Но обратимые вычислительные технологии уже существуют. Например, работа квантовых компьютеров абсолютно обратима за исключением конечного этапа считывания результатов вычислений. Обратимые вычисления обходят предел Ландауэра, приближаясь к самой черте нарушения второго начала, но не пересекая ее. Эта отрасль практической магии сулит огромное увеличение производительности[57].

Чтобы увидеть, как законы термодинамики объединяют всю физику, представьте себе, что демон Максвелла пытается ничего не забывать – что произойдет в этом случае? Второе начало не требует, чтобы при регистрации информации вырабатывалось тепло: это может происходить в зависимости от особенностей конкретного способа регистрации, но никакого фундаментального принципа, утверждающего, что это необходимо во всех случаях, не существует. Однако оказывается, что есть максимальная плотность информации, которая может существовать во Вселенной. Она достигается только в черных дырах и известна под названием энтропии Бекенштейна – Хокинга. Если демон попытается сохранить у себя в голове слишком много информации, его мозг в конце концов превратится в черную дыру. Используя формулу Бекенштейна – Хокинга и среднюю площадь поверхности мозга, можно оценить максимальное количество информации, которое может быть сохранено в мозгу одного человека. По моим расчетам, получается порядка 10^70 битов – это число записывается в виде единицы с семьюдесятью нулями. Замечу – хотя из-за этого замечания моя книга может оказаться устаревшей уже через год-другой, – что средняя емкость лэптопа составляет около одного терабайта: это означает, что мозг способен сохранить приблизительно столько же информации, сколько могут сохранить чуть более миллиарда триллионов триллионов триллионов триллионов лэптопов. Разумеется, в реальности – если можно говорить о реальных мозгах демонов – мозг, скорее всего, будет иметь ограниченную емкость, пропорциональную его объему; когда эта емкость заполнится, демон не сможет больше запоминать новую информацию.

Из второго начала термодинамики вытекает одно довольно пессимистическое предсказание: наш мир направляется к состоянию максимальной энтропии, максимального беспорядка, в котором не смогут существовать никакие упорядоченные структуры. Эту концепцию называют тепловой смертью Вселенной. Ее начали обсуждать в середине или конце XIX века; мне приходилось слышать интересную гипотезу, что эта идея была естественным продуктом того общества, в котором она возникла, – Западной Европы в период подготовки к Первой мировой войне, когда мечты Карно о действенных машинах распространения империй и уничтожения осуществились в самой полной степени. В наши дни считается, что судьбу Вселенной решат космологические факторы, в том числе ее будущее расширение.

Демон Максвелла – не единственный, приложивший руку к развитию термодинамики. За десятилетие до публикации «Размышлений о движущей силе огня» довольно демонические мысли посещали и Пьера-Симона Лапласа.

Выйти из игры невозможно

Как и Максвелл, сам Лаплас никогда не писал о демонах. В эссе 1814 года[58] он рассуждал о воображаемом «разуме», знающем в некоторый момент положения и скорости всех частиц во Вселенной, и замечал, что такой моментальный снимок состояния мироздания должен давать абсолютное знание всех событий прошлого и будущего. Однако в XIX веке демоны были в моде, и вскоре такой интеллект тоже стали называть демоном. Демона Лапласа часто вызывают в разговорах, касающихся возникновения второго начала. Одно из рассуждений состоит в том, что энтропия, по сути, исключает существование демона Лапласа в нашей срединной области: представление о том, что прошлое можно восстановить по настоящему, основано на принципе обратимости, но он несовместим с нашим повседневным опытом (разбитые яйца не становятся целыми). Споры об этом продолжаются до сих пор; в частности, без ответа один из величайших вопросов физики, а именно: как микроскопический мир может быть обратимым, если возникающий из него мир макроскопический необратим?

Эту проблему называют парадоксом Лошмидта. Существуют частичные ответы на этот вопрос: от демонов мы узнали, что второе начало истинно только в среднем, при наличии большого числа частиц, хотя вероятность нарушения второго начала становится очень малой при наличии хотя бы нескольких частиц. На нашем повседневном масштабе мы никогда не сталкиваемся с такими нарушениями: приблизительно так же подброшенная монета вполне может выпасть «орлом» два раза подряд, но почти наверняка не выпадет одной и той же стороной десять раз подряд. Лошмидт был учителем, коллегой и другом Людвига Больцмана; именно парадокс Лошмидта привел Больцмана к вероятностному пониманию энтропии.

Демон Лапласа не может существовать в нашей срединной области, потому что в ней всегда присутствует энтропия. Последнее утверждение – это третье начало термодинамики. Его можно сформулировать так:

Энтропия системы стремится к минимуму по мере приближения температуры к абсолютному нулю.

Или по-другому:

Абсолютный нуль не может быть достигнут за конечное число операций.

Другими словами, в реальности невозможно достичь состояния наименьшей энтропии. Или, говоря словами Гинзберга, выйти из игры невозможно.

В третьем начале упоминается абсолютный нуль, теоретический нижний предел температуры, равный –273,15 °C или нулю по шкале Кельвина. Кельвин вывел существование абсолютного нуля из рассмотрения предложенного Карно представления тепловых машин по аналогии с водяными колесами. Он понял, что, если температура может уменьшаться бесконечно, в какой-то момент коэффициент полезного действия машины превысит 100 % – Perpetuum Mobile! Поэтому должна существовать наименьшая температура, и любая машина, работающая благодаря передаче тепла телу этой наименьшей температуры, должна работать со стопроцентной производительностью. Он оценил значение этой температуры при помощи экстраполяции измерений газов при более высоких температурах, используя модель идеального газа, состоящего из независимых молекул.

Знание значения абсолютного нуля позволяет вам использовать одно практическое колдовство: если вам нужно срочно куда-то отправиться, а ваш верный конь пасется на лугу, вы вскакиваете в седло велосипеда. Путь ваш пролегает через опаленные зноем северные пустоши. Помня уравнение состояния идеального газа, вы знаете, что давление в ваших шинах возрастает с ростом температуры, а вам не хотелось бы, чтобы шины лопнули. Но вы не хотите выпускать из них воздух по дороге, потому что тогда они сдуются к тому моменту, когда вы достигнете цели. Как узнать величину давления при некоторой температуре, если вам известно только давление при другой температуре? Абсолютный нуль делает эту задачу простой: отношение двух значений давления равно отношению двух значений температуры, выраженных в кельвинах. Этот прием работает только с абсолютными температурами: если использовать градусы Цельсия или Фаренгейта, ничего не получится.

Обратите внимание, что с кельвинами не используется символ градуса. Сначала я думал, что это просто случайный пережиток, исторический курьез, но мой друг Монтес объяснил, что это не так. Речь идет об отличии абсолютной шкалы от шкал относительных. До того как стало известно о существовании наименьшей температуры, значения температуры в физических законах были значениями разницы температур. При рассмотрении разницы не важно, что принимается за нулевую отметку[59]. Когда же было установлено, что существует самая низкая из всех возможных температур, появилась возможность измерять не разницу температур, а саму температуру, и символ градуса отбросили. Аналогичным образом третье начало говорит нам, что имеет смысл говорить не только о разнице энтропий, но и о самой энтропии. Грубо говоря, абсолютный нуль – это температура, при которой прекращается все движение. Третье начало есть точное выражение этого принципа. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим еще одну его формулировку:

Энтропия бесконечного идеального кристалла стремится к нулю по мере стремления температуры к абсолютному нулю.

Возможно, этот вариант легче всего понять, как концептуально, так и с точки зрения практических следствий. Если бы в лишенном дефектов кристалле можно было достичь абсолютного нуля, то его энтропия уменьшилась бы до нуля. Кристалл был бы абсолютно упорядоченным, для чего, в частности, требуется, чтобы составляющие его атомы не двигались. Идея энтропии как причины возмущений в идеальной в остальных отношениях кристаллической решетке позволяет дать новое определение материи: это результат уравновешивания стремления к порядку с искушением хаосом.

Свободная и повсеместная

В рассказе «Бес противоречия» (The Imp of the Perverse, 1845) Эдгар Аллан По исследует стремление человека к бесцельному самоуничтожению. Убийца, которому удалось прожить полноценную жизнь, так и не попав под подозрение в совершении преступления, в один прекрасный день ни с того ни с сего во всеуслышание признается в нем. Он сам не знает, почему он так поступил, – может быть, ему нашептывал демон, сидящий у него на плече? Чувство вины? Или же попросту соблазн иррациональности ради иррациональности?

Кристаллы – это чертежи порядка Вселенной. Бесчисленные атомы образуют регулярную структуру, и каждый из них находится в точности в тех же условиях, что и все остальные. Каждый атом стремится минимизировать свою энергию, как брошенный хрустальный шар, который скатывается к самому низу склона. Поскольку все атомы одинаковы, они выбирают одинаковые состояния. Но если этим все и исчерпывается, почему лед тает и превращается в воду? Почему он не остается кристаллом навечно?

Потому что в нем действует еще один процесс. Идеальной упорядоченности кристалл достигает только при абсолютном нуле. Если же температура отличается от нуля (что, как говорит нам третье начало, бывает всегда), атомы вибрируют. Это проявление энтропии. По мере увеличения температуры атомы приобретают энергию; они идут на это, потому что одновременно они приобретают и энтропию. Такой компромисс вполне понятен: если взять тот же хрустальный шар, который скатывается вниз по склону, – почему он не закатывается вверх по другому склону и не продолжает затем кататься туда и обратно? Потому что при его соприкосновении с землей возникает трение и происходит рассеяние части кинетической энергии в виде тепла (а также звука и вибрации). Этот процесс необратим, и рано или поздно шар останавливается.

Существует изящный способ выражения противоречивых стремлений природы – с одной стороны, к минимизации энергии, а с другой – к максимизации энтропии. Мы обязаны им Герману фон Гельмгольцу. Путь Гельмгольца в физику был необычным: он был военным врачом, а в свободное время ставил в казарме научные опыты. В то время шла дискуссия о том, применимы ли появлявшиеся тогда всеобщие принципы физики к живым существам: можно ли считать, что люди и животные просто преобразуют химическую энергию в механическую, или же существует некая нематериальная «витальная» (жизненная) энергия, присущая живому? Гельмгольц придерживался первого мнения и тщательно продемонстрировал, что при движении мышц энергия сохраняется. Это стало важным шагом к отказу от витализма, после которого физиологи смогли использовать в исследованиях живой материи физические принципы. Гельмгольц добился значительных успехов в разных областях физики, но нас сейчас интересует его работа в термодинамике.

У материи есть внутренняя энергия: викторианцы приводили в действие свои стимпанковские штуковины, сжигая уголь, в результате чего высвобождалась заключенная в нем энергия. Но из первого начала мы знаем: часть этой энергии может быть использована для производства полезной работы – например перемещения по холмам и долам шагающих замков, – но часть неизбежно принимает форму бесполезного тепла – вибрации атомов и так далее. Идея Гельмгольца состояла в вычитании из полной энергии этой бесполезной части. Энергия, получающаяся в результате этого вычитания, может быть использована для производства полезной работы: теперь ее называют свободной энергией Гельмгольца[60]. Что такое материя? Это структура, возникающая, когда взаимодействующие частицы минимизируют свою свободную энергию в соответствии с законами термодинамики. При низких температурах материя наиболее эффективно минимизирует свободную энергию путем уменьшения своей внутренней энергии, в результате чего возникает порядок (как во льде или других кристаллах). При более высоких температурах материи легче минимизировать свободную энергию путем максимизации своей энтропии. Равновесие смещается в точке фазового перехода: порядок исчезает, и лед тает, превращаясь в воду; при еще более высоких температурах вода кипит, превращаясь в пар.

Во многом благодаря вкладу Гельмгольца к моменту его смерти в 1894 году термодинамика стала общепризнанной научной дисциплиной. Ее феноменальный успех произвел революцию в человеческом мышлении и заложил прочные основы современной науки. Все было готово для новой революции, произошедшей около рубежа XX века.

Искусство возможного

В генеалогическом древе физики есть две ветви: почтенный аристократический род натурфилософов, университетских ученых, которые начали проверять свои теории на опыте, и семейка бродяг-алхимиков, пытавшихся добиться богатства и славы при помощи сокровенного знания. К тому, что эти семейства породнились, приложила руку и термодинамика. Это был брак по расчету, который предложили и обеспечили потребности промышленности. Но и родословная бродячей семейки разделялась на две линии: естественную магию, в которой алхимики пытались познать мир через многократные опыты, служившие для проверки достоверности знаний, унаследованных от древних, и вызывание демонов. В этом союзе не нашлось места эзотерическому мракобесию: демонов навечно изгнали из науки, ибо они не выдержали испытания воспроизводимыми экспериментами.

Термодинамика, выраженная в трех с половиной началах, – это фундаментальное осознание того факта, что наши знания связаны между собою этими скрытыми корнями. Ее законы применимы ко всему, от макрокосма до микрокосма и всего того, что лежит между ними: образование и поведение элементарных частиц подчиняются закону сохранения энергии; звезды представляют собой гигантские тепловые машины, работающие на ядерном синтезе; а развивающаяся сейчас область нанотехнологий поднимает термодинамику до уровня высокого искусства, строя молекулярные машины, выполняющие наши поручения – например доставляющие лекарства, которые, как мы надеемся, однажды смогут излечивать многие болезни. Термодинамика – это ясное проявление фундаментального отличия нашей срединной области: скажем, для элементарных частиц никакой энтропии не существует; это чисто эмерджентное явление, и тем не менее оно составляет суть нашего существования. Оно определяет различие между прошлым и будущим: время течет в направлении увеличения беспорядка, и известная нам реальность эмерджентна.

В самом ли деле эти законы невозможно нарушить? Особенно мудрый волшебник мог бы ответить, что так уж устроен мир и было бы мудрее изучать и исполнять эти законы, чем пытаться им противиться. Но волшебникам свойственно бунтарство, и он мог бы добавить шепотом, что кроме всего этого, чтобы нарушать законы, их сначала следует изучить. При достаточных знаниях законы становятся похожи на дружелюбных партнеров по тренировкам: проверяя их устойчивость, мы познаем окружающий нас мир.

Мы видели, как эти законы возникают из микроскопического мира атомов и молекул, который описывает статистическая механика. Но в XIX веке понятия о микроскопическом мире были чрезмерно упрощенными: предполагалось, что атомы и молекулы ведут себя привычным образом, летая по прямым линиям. Эта модель оказалась на удивление полезной, но на самом деле микроскопический мир – место гораздо более магическое. По мере того как эксперименты начали все глубже проникать в него, ученые стали осознавать, что поведение атомов и молекул фундаментально отличается от того, что мы знаем по повседневной жизни. Объяснение этих экспериментов потребовало включения в модели реальности непривычных и, казалось бы, противоречащих здравому смыслу черт.

Термодинамика стала предком физики конденсированного состояния, использовав древние, но зачастую неверные идеи в превращении этой области в науку современной эпохи. К началу XX века были собраны дрова и приготовлена растопка. В 1905 году кремень разума Альберта Эйнштейна высек четыре искры; из них разгорелся огненный смерч создания квантовой механики, и именно к этому пламени мы обратим теперь свои взоры.

V

За знакомыми нам полями

По дороге домой леди Долгоух остановилась на залитой лунным светом лесной тропе и показала на что-то пальцем.

– Что это такое? – спросила она Калабаша.

– Изгородь, – ответил он.

Леди Долгоух просунула палец между листьями и повторила тот же вопрос.

– Изгородь, – был ответ.

Леди Долгоух повертела пальцем, показывая, что он не касается листьев.

– Дыры – тоже часть изгороди! – возразил Калабаш.

Леди Долгоух объяснила:

– В здешних лесах есть особое слово для туннелей, которые проделывают в изгородях птицы. Их называют смюзами.

Услышав это, Калабаш перестал видеть изгородь с дырами. Теперь он видел только смюзы, разделенные листьями.

Квантовая область

Мы начали с первоначальных проблесков физики конденсированного состояния – классических состояний материи и давнего восхищения человечества природными магнитами. Затем мы прошли предысторию этой дисциплины, первые познания в области возможностей металлов и кристаллов. После этого мы перешли к непосредственному преддверию нашей науки – термодинамике, отбросившей наименее полезные части классической мысли (демонов и тому подобное) и выведшей на первый план поддающиеся проверке эксперименты; мы видели, как статистическая механика объясняет возникновение нашего мира из микроскопического мира атомов и молекул. К концу XIX века успехи этих идей породили ощущение, что физика объяснила более или менее все, что можно познать; оставалось лишь разобраться с некоторыми мелочами.

Эта точка зрения оказалась довольно недальновидной.

У многих хорошо изученных явлений не было объяснения, логично вытекающего из идей того времени. В головоломке не хватало кое-каких фрагментов: лежащие в поле морковку, ветки и угольки уже нашли, но еще не поняли, что раньше здесь стоял снеговик. Например, на рубеже XX века природные магниты все еще оставались чистым колдовством – объяснения причин существования магнитов по-прежнему не было. Другой пример: в то время считалось, что любое вещество, если его достаточно охладить, должно замерзнуть в твердые кристаллы. Если абсолютный нуль – это температура, при которой прекращается любое движение, что же еще может произойти? Однако на заре XX века, с появлением криогенной техники, стало ясно, что заморозить гелий невозможно. Гелий никогда не затвердевает при атмосферном давлении – даже при абсолютном нуле. Далее, из приведенного в прошлой главе описания фазовых переходов с точки зрения равновесия между энергией и беспорядком следует, что при абсолютном нуле (где беспорядка быть не должно) они происходить не могут. Однако теперь известны примеры фазовых переходов при абсолютном нуле. Чтобы объяснить эти – и многие другие – явления, нужно было отказаться от классического мировоззрения.

Классический период современной физики закончился в 1905 году. Физики называют 1905-й annus mirabilis, годом чудес. Чудеса эти совершил Альберт Эйнштейн. Он выпустил четыре короткие статьи, в которых набросал карту мира, которого до этого никто никогда не видел. Говоря словами из основополагающей книги современного жанра фэнтези, «Дочери короля эльфов» (The King of Elfland’s Daughter, 1924) лорда Дансени, за знакомыми нам полями лежал целый еще не открытый мир. В первой статье Эйнштейн изобрел квантовую механику. Во второй он объяснил, как один простой эксперимент подтверждает существование атомов, опираясь на статистическую механику. В третьей разработал специальную теорию относительности. А в четвертой вывел самую знаменитую формулу в мире: E = mc^2. Любая из этих статей привела бы к революционным изменениям наших взглядов на мир. Как же ему удалось написать все их сразу? Между всеми четырьмя статьями была скрытая связь: стоит шагнуть за эту границу, за знакомые нам поля, и все они кажутся в равной степени логичными. До этого мы плавали по поверхности моря; Эйнштейн нашел способ заглянуть в его глубины. То, что он обрисовал в этих четырех статьях, и есть современная физика.

В народном сознании Эйнштейн стал архетипическим эксцентричным гением, живым воплощением теоретической физики. Один из моих любимых анекдотов о нем – это история, которую рассказывал его племянник: Эйнштейн любил ходить под парусом, но выходил в море, только когда не было ветра, так как считал, что иначе это слишком просто[61]. Как и любую другую великую магию, работу Эйнштейна можно оценить в три этапа. Сначала вам ясно видно, что это действительно чистая магия. Все знают, что E = mc^2, но по большей части даже не пытаются выяснить, что это значит, так как считают, что это так же невозможно, как научиться колдовскому заклинанию. На втором этапе, если вы изучаете его работы в университете, вы узнаете, что многие из приписываемых ему формул были разработаны другими. Например, уравнения, которые описывают искажения времени и пространства, вызываемые относительным движением, создал Хендрик Лоренц. Эйнштейн этого совершенно не скрывал, но в популярных изложениях эти предшествовавшие ему работы часто обходят вниманием. Но затем вы переходите к третьему этапу: прозрения Эйнштейна действительно были волшебными, как это и казалось с самого начала, – но волшебством были вовсе не изысканные математические формулы. Его новаторство было концептуальным, а потому еще более глубоким: оно не требовало тайных знаний. Он предложил интерпретацию истинного смысла уравнений Лоренца и тем упростил наше понимание мира. Наука никогда не развивается в изоляции. В 1950 году Эйнштейна спросили, кого из ученых он уважает больше всего; он назвал Лоренца и Марию Склодовскую-Кюри. Исследования излучения и материи, проведенные Кюри, во многом заложили основу собственных результатов Эйнштейна. Современная физика тоже создавалась не один год. Все те темы, о которых Эйнштейн писал в 1905 году, продолжают разрабатываться и сегодня. По мере понимания все новых подробностей предметы изучения становились все более сложными: получение возможности применять квантовую механику сразу к множеству частиц заняло десятилетия. В результате получилось то, что мы называем квантовой теорией поля. Именно тогда родилась дисциплина, исследующая огромные наборы частиц и их квантовые свойства, – физика конденсированного состояния.

Микроскопический мир, которым управляет квантовая механика, – это мир возможностей и вероятностей, того, что могло бы быть, и того, что должно быть. Уверенные заявления нашей срединной области – например «мои вещи тут» – в квантовой области становятся недостоверными. Там у ваших вещей может быть только вероятность, с которой они могут находиться где бы то ни было. А как только вы их найдете, у них появится вероятность быть в другом месте. Как известно, Эйнштейн считал такое квантовое безумие чрезмерным. В 1926 году он отозвался о квантовой механике в следующих словах:

Эта теория дает немало, но практически не приближает нас к секрету Старика. Как бы то ни было, я убежден, что Он не играет в кости.

Возражения Эйнштейна были вполне основательными: принять квантовую механику – значит признать, что наш мир гораздо волшебнее, чем отваживался его описывать кто бы то ни было из любых авторов фэнтези. В этой главе мы будем лишь скользить по поверхности этой магии, время от времени опуская под волны ведро со стеклянным дном, чтобы бросить взгляд в глубины.

Прежде чем пускаться в такое умопомрачительное путешествие, важно обзавестись надежным якорем. Возьмите талисман; когда вы почувствуете, что падаете в бесконечную бездну, сожмите его, ощутите, как привычно он лежит в руке, как успокаивает его тяжесть, и напомните себе, что некогда вы были в здравом уме и еще вернетесь в это состояние. Талисманом будет один простой факт:

Квантовая механика не была придумана, чтобы сделать мир более волшебным.

Мир и так волшебен.

Квантовая механика – это простейшее из возможных его описаний.

А Старик, несомненно, играет в кости, и мы можем убедиться в этом на опыте.

Существует множество конкурирующих друг с другом философских интерпретаций квантовой механики – предположений относительно того, что ее математические результаты на самом деле говорят о реальности. Определить справедливость этих интерпретаций на опыте невозможно. Я постараюсь не допускать, чтобы поток домыслов смыл нас в это мутное море, по возможности придерживаясь экспериментальных наблюдений. В этой книге я не пытаюсь дать ответы на вопросы, оставшиеся неразрешенными после столетия размышлений. Иметь связную философскую систему важно, но физики, ежедневно использующие квантовую механику, по большей части не особенно тревожатся о том, почему она работает – так же, как автомеханики не размышляют дни напролет о том, как автомобили могут двигаться, если древнегреческие философы утверждали, что любое движение – всего лишь иллюзия. Один прославленный «квантовый механик», корнельский профессор Н. Дэвид Мермин, кратко сформулировал этот подход в следующих словах: «Заткнись и считай!»

Поэтому же квантовая механика должна нас интересовать – потому что она работает. Вспомните наш талисман: мы изобрели магию не ради самой магии. Квантовая механика проверена точнее, чем любая другая теория за всю историю человечества; например, значение ее постоянной тонкой структуры подтверждено экспериментально с точностью до 81 миллионной. Это гораздо более высокая точность, чем та, что использовалась в классической механике при строительстве домов, та, которой мы доверяем в гидродинамике, рассчитывая, что наш самолет полетит. Благодаря квантовой механике мы знаем теперь, как устроены звезды, создаем лазеры для передачи информации интернета по оптоволоконным линиям и пользуемся медицинской томографией. Процесс прохода на ту сторону зеркала с использованием рентгеновской дифракции – это процесс чисто квантовомеханический. Она управляет миром атомов и играет ключевую роль в освоении новых источников энергии – например солнечной и термоядерной энергетики. Она управляет всеми существующими электронными приборами – телефонами, компьютерами, чем угодно. И все это она делает потому, что физика конденсированного состояния – это прикладная квантовая механика.

В предыдущих главах мы видели, как именно наша срединная область возникает из микроскопического мира. Но прочесывая глубины микромасштаба, мы достигаем области квантовой, и хотя она кажется далекой от мира, который мы ощущаем, для объяснения многих повседневных явлений – например того же магнетизма – нам необходимо постичь ее тайны. В этой главе рассматривается вопрос о том, как наш классический мир может возникать из мира квантового.

Жизнь пси

Слово «квантовый» означает дискретный, раздельный. Квантовая механика – это описание мира на уровне дискретных частиц. Я всегда предполагал, что она должна иметь какое-то отношение к вероятности; на самом деле эти два понятия родственны.

Представьте себе кристалл кальцита. Кальцит разделяет луч света на два. Если это просто луч, то все в порядке, но квантовая механика пытается описывать объекты на самом мелком масштабе: из чего состоит сам этот луч? Эйнштейн тоже приучил нас считать свет состоящим из мельчайших частей – элементарных частиц, которые называются фотонами. Но тогда немедленно возникает проблема. Если луч света – это поток фотонов, то что решает, куда именно направляется каждый отдельный фотон в кальците? Для каждого фотона должна существовать вероятность того, что он полетит по одному или другому пути. Ну, хорошо, говорите вы, может быть, с ними происходит то же, что с молекулами воды в реке, разветвляющейся на два рукава. Но на самом деле происходит нечто еще более странное.

Между 1908 и 1913 годами эксперименты Гейгера – Марсдена (которые называют также экспериментами Резерфорда) показали, что у атомов есть компактные положительно заряженные ядра, окруженные отрицательным зарядом. В этих экспериментах золотую фольгу обстреливали положительно заряженными α-частицами. В очень редких случаях – приблизительно один раз из 10 000 – эти частицы отражались от фольги. Из этого следовало, что в атоме должна существовать малоразмерная положительно заряженная область, хотя в целом, как уже было известно, атомы нейтральны, то есть не имеют электрического заряда. Было соблазнительно представить себе, что атом подобен положительной планете, вокруг которой летают по орбитам отрицательные спутники, но тогда возникало следующее затруднение. Электрический заряд, движущийся по кругу, излучает энергию; поэтому, если электроны буквально вращаются вокруг ядра, как спутники вокруг планеты, они должны терять энергию и падать в ядро: тогда атомы распадались бы практически мгновенно. Но электроны не могут оставаться неподвижными, потому что отрицательно заряженные электроны притягиваются положительно заряженным ядром, и тогда они падали бы в ядро, как яблоки с дерева. Что же они делают на самом деле?

Квантовая механика отвечает на этот вопрос так: электроны текут по своим орбитам, как вода в реке, но их течение – это течение вероятности, поток положений, в которых каждый электрон мог бы находиться. Если вы захотите увидеть электрон, вы найдете его в одном положении – но это потому, что вы на него посмотрели. Если посмотреть еще раз, электрон, по всей вероятности, окажется не там, где вы ожидаете его найти, предполагая, что он продолжает свое течение по орбите.

Эта странность выражается идеей «квантовой суперпозиции». Представьте себе знакомый предмет – монету (скажем, медный грош грубой чеканки), брошенную на стол в таверне на пари. Такая монета находится либо в одном, либо в другом состоянии, лежит либо орлом, либо решкой кверху. В отличие от нее квантовая монета может существовать в состоянии квантовой суперпозиции орла и решки, то есть при ее осмотре может обнаружиться любое из этих двух состояний. Принято считать, что суперпозиция – это магия, недоступная пониманию, но на самом деле это хорошо знакомое нам свойство волн. В этом контексте суперпозиция сводится к тому наблюдению, что результатом столкновения двух волн (скажем, в море) тоже является волна. Одно из последствий этого состоит в том, что если две водные волны проходят друг сквозь друга, они остаются после этого такими же, как раньше. Другое – в том, что любая сложная рябь представляет собой всего лишь комбинацию простых волн. Собственно, мы уже встречались с этой идеей, когда говорили о преобразовании Фурье: используя правильное сочетание чистых тонов, можно создать любой сложный звук. Поэтому суперпозиция нам знакома, и именно таким образом квантовая монета может существовать в состоянии комбинации орла и решки – как сложная волна, составленная из двух простых (волны орла и волны решки).

Однако у квантовой суперпозиции действительно есть одна магическая особенность: когда вы смотрите на грош, он лежит либо орлом, либо решкой. То, что было очевидным в срединной области, в квантовой становится волшебством – потому что когда вы смотрите на сложную морскую волну, она не перестает выглядеть сложной волной. Она остается в состоянии суперпозиции: ничто не заставляет ее принять вид одной из составляющих ее простых волн. Вся магия заключена в слове «квантовая», то есть дискретная: грош лежит либо так, либо эдак; когда вы ищете частицу, вы находите ее в каком-то одном месте. Вся магия квантовой механики, по сути, сводится к двум положениям, и это одно из них: в квантовой области измерения дают дискретные результаты.

Важно отметить, что между тем, как мы определяем вероятность в случаях броска квантовой и классической монеты, есть различие. Для розыгрыша пари в таверне есть традиционный способ бросать монету: вы подкидываете ее повыше, чтобы все видели, как она вращается в воздухе, ловите ладонью и торжествующим ударом прижимаете к столу, затем медленно заглядываете под ладонь, объявляете результат и только после этого убираете руку, выставляя монету на всеобщее обозрение. В тот момент, когда монета уже на столе, но ее еще никто не видел, она может оказаться лежащей кверху орлом или решкой с вероятностью 50:50. Но эта вероятность – всего лишь численное выражение отсутствия информации у зрителей: сама монета уже упала той или другой стороной. В этом и состоит ключевое отличие от квантового случая, потому что квантовая монета, пока ее не измерили, не лежит ни орлом, ни решкой – она находится в состоянии квантовой суперпозиции этих двух исходов, в явном, измеряемом отличии от классического сценария.

Чтобы понять это различие, рассмотрим следующий бросок «квантовой монеты». Вспомним о поляризации света: если считать свет волной, можно изобразить его в виде веревки, один конец которой привязан к столбу, а второй раскачивают вверх и вниз. Веревка ведет себя как электрическое поле света. Тогда поляризационный фильтр подобен попытке пропустить эту веревочную волну между планками забора: если веревка колеблется в том же направлении, в котором ориентированы планки, она может пройти в щель между ними, а если под прямым углом к планкам, то не может. Подавая неполяризованный свет на поляризационный фильтр, мы в некотором смысле подбрасываем квантовую монету: фильтр пропустит только половину света и задержит вторую половину, поляризация которой перпендикулярна. Как будто каждый фотон падает либо орлом, либо решкой, и только упавшие орлом могут пройти сквозь фильтр.

Возьмем теперь два поляризационных фильтра (назовем их фильтрами А и Б), положим их друг на друга и повернем фильтр Б на четверть оборота. Если считать их заборами, теперь они расположены под прямым углом друг к другу. Поэтому сквозь них не может пройти никакой свет – так как свет, прошедший сквозь фильтр А, не сможет пройти сквозь фильтр Б. Этот эксперимент легко провести самостоятельно, если у вас есть две пары поляризованных темных очков: расположите их под прямым углом друг к другу и убедитесь, что они не пропускают никакого света. В терминах орла и решки это вполне соответствует нашему классическому здравому смыслу: через фильтр А проходят только орлы, а через фильтр Б – только решки. Чтобы монета прошла через фильтр А, она должна выпасть орлом, но тогда она не пройдет через фильтр Б.

А теперь нечто странное. Возьмем третий поляризационный фильтр, В, и поместим его между А и Б, повернув на 45°. Поскольку через фильтры А и Б никакой свет не проходил, вполне очевидно, что через систему с добавлением третьего фильтра, АВБ, тоже ничего не пройдет. Но на деле оказывается, что свету удается пройти сквозь тройной фильтр! Если у вас нет трех пар поляризованных очков, вы можете использовать то обстоятельство, что экран вашего телефона или лэптопа поляризован – он может играть роль первого фильтра. Поместите одни очки перед экраном и поверните их так, чтобы свет от экрана не проходил сквозь них. Теперь поместите между очками и экраном вторые очки, и вы увидите сквозь них свет. Это по-настоящему потрясает[62]. Если пытаться объяснить это явление, предполагая, что до того, как вы проверили квантовую монету, она находилась в одном из двух положений – либо орлом, либо решкой, – ничего не получится. Имея два фильтра, вы знали, что весь свет, попавший в промежуток между фильтрами А и Б, соответствует орлу, и поэтому он не проходит сквозь фильтр Б. Но когда вы вставили в этот промежуток фильтр В, оказалось, что теперь часть света, достигающего фильтра Б, каким-то образом соответствует решке. У этого света не могло быть точно определенной поляризации, потому что это была бы поляризация орла, необходимая, чтобы пройти сквозь фильтр А. Значит, квантовые вероятности не просто отражают незнание человека относительно квантовой области – они делают что-то еще.

В квантовой механике вероятность воплощается в так называемых волновых функциях. У них тоже есть вполне знакомый нам классический предшественник. Волновые функции описывают (например) морские волны и содержат всю существующую информацию о них: высоту воды в каждой точке и расположение этой точки относительно цикла волны, в котором подъемы чередуются со спусками. Квантовая волновая функция играет такую же роль. Ее традиционно обозначают символом ψ, греческой буквой пси.

Меня всегда завораживала магия квантовой механики. В юности я прочитал все научно-популярные книги о ней, какие только смог найти; символ ψ казался мне прекрасным. Из этих книг я узнал, что этот символ используется в определяющем уравнении квантовой механики, математической формуле, приблизительное описание которой пытается дать словесное изложение, – в уравнении Шрёдингера. Но самого этого уравнения в книгах не было; поскольку дело было еще до появления Википедии, мне приходилось воображать эти символы самостоятельно.

Когда мне было четырнадцать лет, я был на каникулах в Альпбахе, горной деревне в Австрии. У меня была с собой научно-популярная книга по квантовой механике – «В поисках кота Шрёдингера» (In Search of Schrödinger’s Cat, 1984) Джона Гриббина[63]. Прогуливаясь по деревенскому кладбищу, как это свойственно подросткам, я наткнулся на любопытную могилу. Она была не более роскошной, чем другие, но хорошо ухоженной, с цветами и зажженными свечами. И, к моему удивлению, на надгробии была надпись на языке математики, языке творения:

Надпись на могиле Шрёдингера

Это и было уравнение Шрёдингера – те мистические символы, которые мои книги лишь описывали словами. По чистому совпадению я оказался на могиле создателя уравнения, Эрвина Шрёдингера. Я не был достаточно подкован в математике, чтобы даже приблизительно понять, что означает эта формула, но она запечатлелась в моей памяти, как древние руны. Я знал, что ψ – магическая буква, и эта последовательность символов, высеченная в камне, говорила о ней все, что только можно сказать, гораздо больше, чем способны выразить слова.

Итак, я показал вам символы, которые я увидел в тот день, – в том виде, в котором они записаны на надгробии Шрёдингера. Я не буду объяснять их, но постараюсь донести до вас часть их магии на словах. Однако при этом главное внимание будет уделяться тому, что они говорят об окружающем нас эмерджентном мире и почему нам кажется, что в нем нет квантовой магии. Процитируем еще раз прославленного квантового механика Н. Дэвида Мермина:

Я всегда пишу о физике, чтобы самому лучше понять ее, потому что уравнения в некотором роде избавляют нас от обременительной обязанности думать об этом предмете.

Эта мысль особенно уместна здесь, потому что даже физики не знают смысла квантовой волновой функции ψ: они используют ее в своих расчетах, чтобы облегчить бремя размышлений о том, что происходит в квантовой области. Им известно, что ψ можно использовать для определения, при помощи простой математической операции, вероятности нахождения частицы в заданном месте. Однако она извлекает из неопределенности вполне определенные утверждения; я приведу один из примеров практической магии, в которых ее можно использовать, – квантовый туннельный эффект.

Свет в конце туннеля

Бросьте свой хрустальный шар в стену. Поищите с другой стороны: вы его там не найдете, потому что он отскочил назад. Но проделайте то же самое в квантовой области, и шар может найтись за стеной – причем стена останется в целости и сохранности. Это называется квантовым туннельным эффектом.

Многие электронные приборы используют способность электронов туннелировать сквозь преграды. Туннельный диод использует туннельный эффект для создания отрицательного сопротивления электрическому току: если увеличить напряжение, ток уменьшается, хотя обычно мы ожидаем противоположного результата. Компьютеры построены на транзисторах, которые вынуждают электроны преодолевать энергетические барьеры; в недавних экспериментальных работах были созданы транзисторы, производительность которых увеличивается стократно благодаря тому, что электроны туннелируют сквозь эти барьеры[64].

Туннельный эффект лежит в основе радиоактивного распада атомов, открытого Марией и Пьером Кюри: атом радия распадается, когда протоны и нейтроны туннелируют из ядра. Обратный процесс, в котором частицы туннелируют обратно в ядро, лежит в основе термоядерного синтеза. Именно этот процесс вызывает свечение Солнца, а его освоение на Земле обещает дать нам чистый, возобновляемый источник энергии. Возможно, растения используют туннельный эффект для осуществления фотосинтеза;[65] более точное понимание этого механизма может привести нас к массе зеленых, энергосберегающих процессов. В физике конденсированного состояния квантовый туннельный эффект то и дело используют для исследования микроскопического мира. Помните изображение отдельных атомов на с. 41? Группа Мадхавана получила его при помощи сканирующего туннельного микроскопа. Он работает следующим образом: к поверхности материала придвигают очень тонкий – иногда имеющий на конце толщину всего в один атом – металлический щуп. Подают напряжение, которое побуждает электроны перемещаться с материала на щуп (или наоборот). Это напряжение увеличивает энергию электронов, но не настолько, чтобы они могли перелететь промежуток между щупом и материалом: вместо этого электроны туннелируют через этот промежуток. Затем микроскоп измеряет возникающий электрический ток: чем больше сила тока, тем ближе щуп находится к материалу. При более высоких напряжениях при помощи такого щупа можно даже подбирать отдельные атомы – как в игре «Магнитная рыбалка» – и строить из них новые структуры. Этот процесс лежит на переднем крае нанотехнологий.

Вы может спросить, почему этот эффект называется туннельным. Разве это не похоже на перепрыгивание через провал? Нет, тут происходит нечто гораздо более странное. Если вы перепрыгиваете через провал, вы и начинаете, и заканчиваете прыжок наверху; вам нужно только не упасть вниз в середине (так научился летать герой книг «Автостопом по Галактике» Артур Дент: он отвлекся, когда падал, и просто забыл удариться об землю). Но при туннелировании через промежуток вы и начинаете, и заканчиваете свой путь внизу, и вам нужно преодолеть находящееся посередине возвышение – а для этого нужна энергия, которой у вас нет. Представьте себе неподвижно стоящий шар, который слегка подталкивают. Если рядом с ним есть (лишенная трения) впадина, шар может покатиться вниз по одному склону, набирая при этом скорость, которая позволит ему закатиться вверх на другой стороне впадины. Но туннелирование подобно преодолению возвышения: шар не сможет закатиться наверх. Таким образом, это квантовое явление подобно прокладке туннеля, позволяющего оказаться на другой стороне возвышения без подъема наверх.

Если подтолкнуть неподвижный шар, он может перекатиться через лишенную трения впадину (вверху), но не через возвышение (внизу). Квантовый шар может туннелировать сквозь такое возвышение

Когда я познакомился со сканирующими туннельными микроскопами, одно их свойство показалось мне по-настоящему магическим: они способны видеть то, что могло бы быть. У электронов, находящихся в материале, есть некоторый диапазон энергий; увеличение напряжения микроскопа позволяет увидеть, как вели бы себя эти электроны, если бы у них было больше энергии. Микроскоп регистрирует электроны вне материала, где они не оказались бы, если бы не было регистрирующего их микроскопа. Эта ситуация всегда казалась мне несколько похожей на то, что происходит в фильме Джона Карпентера «Чужие среди нас» (They Live, 1988): его герой находит очки, показывающие ему невидимый мир, который сосуществует с нашим. Правда, в туннельном микроскопе меньше инопланетных зомби.

Квантовый туннельный эффект можно измерить и без дорогостоящей аппаратуры. Одно из лучших мест для этого – ваша местная таверна (если вас все еще пускают в нее). Прижмите слегка влажный палец к внешней поверхности стенки пивного стакана. Посмотрите на отпечаток пальца сквозь пиво: вы убедитесь, что он виден очень четко, причем бугорки оставляют темные следы, а бороздки – светлые. Почему? Дело в том, что свет, который вы видите, отражается от внутренней поверхности стекла. Но бугорки на ваших пальцах оказываются так близко к внешней поверхности стекла, что фотоны, находящиеся внутри его, могут туннелировать в вашу кожу. Поэтому они не отражаются, и на этом месте получаются темные линии. Однако этот эффект очень чувствителен, и бороздки на пальцах уже оказываются слишком далеко от стекла, чтобы в них могло происходить сколько-нибудь заметное туннелирование; поэтому от этих областей свет отражается.

Что же на самом деле происходит при туннелировании частицы? Вначале она находится с одной стороны барьера, а потом оказывается по другую сторону, причем у нее не было энергии, достаточной для существования в области, расположенной между этими двумя точками. Таинственные процессы такого рода называют квантовыми флуктуациями. Это название обманчиво, потому что оно заставляет предположить, что частица непрерывным и случайным образом приобретает и теряет энергию, что не соответствует истине: в квантовой механике энергия сохраняется так же, как в механике классической. На самом деле происходит нечто еще более магическое.

Туннельный эффект дает одну из самых ясных иллюстраций вероятностной природы квантовой области. Нужно сказать, что это явление может происходить и с классическими волнами: существует описание эффекта пивного стакана, в соответствии с которым свет принимает форму «нераспространяющейся волны», соединяющей стакан с вашим пальцем. Квантовая загадка возникает только тогда, когда туннелируют отдельные частицы (в данном случае фотоны), ибо этот случай не имеет классических аналогов – квантовое означает дискретное. До сих пор мы и говорили о таких отдельных частицах, но одним из самых замечательных достижений квантовой механики после работ Эйнштейна было осознание того, что квантовая механика не только может учитывать множество частиц сразу, но и должна согласовываться при этом с одним из других великих открытий 1905 года – специальной теорией относительности. Сочетание этих двух идей называется квантовой теорией поля, и она является основой современной физики.

Знакомые нам поля

В фильме «Взломщики сердец» (I ♥ Huckabees, 2004) есть сцена, в которой «сыщик-экзистенциалист» Бернард описывает свои философские воззрения на реальность при помощи одеяла. Одеяло, объясняет он, – это модель всего на свете. Вот эта часть – это он сам; эта – его жена и сотрудница Вивиен; эта – молоток; эта – Эйфелева башня; эта – война. Всё, утверждает он, есть одно и то же, несмотря на различия. Даже в контексте фильма показывается, что мировоззрение Бернарда не отражает всей истины. Тем не менее утверждение о том, что разные части одеяла, хоть и различны, в конечном счете входят в состав одного и того же одеяла, отражает суть современной физики, описанную квантовой теорией поля.

Мне кажется, что получить представление о квантовой теории поля будет легче всего, если вернуться к идее фононов. Вспомним, что это квантовое описание звука, распространяющегося внутри кристалла. В простой классической аналогии атомы представляют в виде маленьких шариков, каждый из которых соединен с соседними посредством пружин. Для упрощения картины представим себе двумерный кристалл, лист материала толщиной в один атом – например самое тонкое из возможных одеял или упругую поверхность батута. Модель шариков и пружин хороша тем, что каждый атом притягивается к соседним под действием химических связей, но не слишком приближается к ним, потому что тогда они начинают ощущать взаимное отталкивание положительно заряженных ядер. Атомы не неподвижны: они могут колебаться, а пружины – растягиваться и сжиматься. Если потянуть за один край такого кристаллического листа, вибрация распространится на весь лист. Когда приподнимаешь один шарик, пружины, связывающие его с соседними, приподнимают их, эти соседи тянут своих соседей, и так далее. Если теперь отпустить лист, шарики начнут колебаться, и эта вибрация распространится по всему батуту. Если шарики и пружины достаточно малы (а мы помним, что они изображают атомы и связи между атомами), а вы слегка расфокусируете зрение, вы увидите непрерывную поверхность плавно колеблющейся высоты. Это и есть поле – описание процесса, предполагающее приписыванию каждой точке пространства значения некоторой величины (в данном случае высоты). Высота батута в конкретный момент времени в конкретной точке пространства указывает, на какое расстояние атом, находящийся в этой точке, отклоняется в ту и в другую сторону от положения покоя.

Название «поле» предложил в 1849 году Майкл Фарадей, размышлявший тогда о магнитных полях (которые дают другой пример той же концепции – магнитное поле описывает направления магнитных силовых линий во всех точках пространства). Я проясню разнообразные метафоры, потому что само слово «поле» тоже используется метафорически. Шарики с пружинами – это классическая модель атомов и связей между ними. Мы представляем себе, что они образуют двумерный лист, простоты ради (и для углубления аналогии), но то же было бы верно и для реальных трехмерных материалов. Если расфокусировать зрение, они кажутся поверхностью батута. В любой произвольный момент снимок батута выглядит как набор волнистых полей. Если набросить на батут одеяло – или разложить в поле скатерть для пикника, – одеяло или скатерть принимают форму поверхности.

Концепция поля была введена, чтобы избавиться от потребности в «действии на расстоянии». Например, один магнит может воздействовать на другой на расстоянии, не касаясь его. Но если бы это воздействие было мгновенным, оно противоречило бы утверждению, что ничто не может распространяться быстрее скорости света, – основе теории относительности Эйнштейна. Поле разрешает эту проблему, позволяя сказать, что оба магнита воздействуют на магнитное поле и подвергаются его воздействию. Перемещение одного из магнитов изменяет поле в той точке, где он находится; возмущение распространяется по полю со скоростью света – но не быстрее – и сдвигает это одеяло на другом магните, что и заставляет его двигаться.

Чтобы превратить классическое поле в поле квантовое, нужно всего лишь превратить классические пружины этой модели в квантовые. Оказывается, сделать это на удивление легко; квантовая пружина[66] действует именно так, как мы ожидаем, – она растягивается и сжимается, как и пружина классическая. Единственное различие состоит в том, что классическая пружина может колебаться с любой частотой, а квантовая – лишь с определенными, дискретными частотами.

Квантовая теория поля описывает мир как коллективные колебания гигантского одеяла, сотканного из квантовых пружин. В каждой точке пространства существует одна такая пружина: поскольку мы живем в трехмерном пространстве, возможно, более точным был бы образ не одеяла, а трясущегося студня. Там, где студень трясется быстро, много вибрационной энергии; там много индивидуальных единиц вибрации, фононов. Другие частицы – например электроны – описываются другими полями, но принцип остается тем же: область концентрации энергии в поле соответствует наличию в этом месте большого числа частиц.

Шарики, соединенные пружинами, – классическая аналогия вибрации атомов в материале

Чтобы увидеть, насколько эффективен такой подход, учтите, что все электроны во Вселенной совершенно одинаковы. У них одинаковые заряды и массы; единственный другой параметр, которым они обладают, – спин – всегда имеет одну и ту же величину. Почему это так? Почему их массы совпадают точно, а не приблизительно? Это легко объяснить, прибегнув к модели одеяла. Все электроны идентичны, потому что они представляют собой вибрации одного и того же квантового поля. У меня есть один электрон вот тут (я приподнимаю один участок одеяла) и один вон там (приподнимаю другой). Они одинаковы в том смысле, что являются частями одного и того же одеяла, но различны в том смысле, что занимают разные положения. Все на свете одинаково, даже если различно.

Квантовая теория поля – результат поиска связей между эйнштейновскими статьями 1905 года. Эти работы показали, что классическая физика перестает работать на двух разных пределах – когда объекты становятся чрезвычайно малыми и когда они движутся чрезвычайно быстро, приближаясь к скорости света. Когда Шрёдингер впервые написал в 1925 году свое уравнение, оно описывало одиночную квантовую частицу, обладающую массой, например электрон. Это уравнение точно описывало то, что происходит на очень мелких масштабах, но в нем по-прежнему предполагалось, что эти частицы движутся намного медленнее скорости света. В этом и состоит проблема: уравнение Шрёдингера предполагает, что пространство и время – принципиально разные вещи. Это, разумеется, вполне естественно. Но работы Эйнштейна показали, что на самом деле пространство и время следует считать двумя аспектами одного и того же – пространства-времени. Сегодня у нас есть ясные доказательства этого предположения: например, элементарная частица, которая распадается за долю секунды, когда она неподвижна относительно наблюдателя, существует в течение тысяч лет, если наблюдатель движется относительно нее. Перемещаясь в пространстве, мы наблюдаем более длительное ее существование, что подтверждает связь между пространством и временем. С нашей точки зрения, время частицы идет медленнее, а с точки зрения частицы замедляется наше время. Такие релятивистские эффекты чрезвычайно увлекательны, но эта книга посвящена не им; важно лишь отметить, что уравнение Шрёдингера их не учитывает, а следовательно, нам нужно что-то еще.

Уравнение, которое описывает поведение электрона с учетом как квантовой механики, так и специальной теории относительности, впервые написал в 1928 году Поль Дирак[67]. Как рассказывал сам Дирак, когда он открыл уравнение, названное его именем, он немедленно прекратил работу и лег спать: ему хотелось провести хотя бы одну ночь в убеждении, что он открыл релятивистскую теорию электрона, прежде чем он проснется и неизбежно обнаружит в ней ошибку. К счастью для будущего физики, эта ошибка так и не была обнаружена.

Уравнение Дирака привело к некоторым замечательным предсказаниям. Прежде всего, о существовании еще одного типа частицы, идентичной электрону во всех отношениях, кроме одного: она имеет электрический заряд противоположного знака. Теперь эту «античастицу» электрона называют позитроном. Позитрон помог объяснить второе странное следствие из результатов Дирака: тот факт, что непротиворечивая теория электрона требует существования других электронов и позитронов – более того, их существования в бесконечном количестве! Это, несомненно, весьма сложная идея, но суть ее достаточно проста. Самый известный из результатов, полученных Эйнштейном в 1905 году, – это, вероятно, формула E = mc^2, которая говорит нам, что энергия и масса – так же как пространство и время – суть два аспекта одного и того же. Если электрон столкнется с позитроном, они могут аннигилировать, и вся их масса преобразуется в энергию. Аналогичным образом, если сконцентрировать достаточное количество энергии (скажем, создав сильное электрическое поле), можно создавать электрон-позитронные пары. Но вот что интересно: если измерять напряженность электрического поля вокруг электрона, оказывается, что по мере приближения к электрону поле становится все сильнее и сильнее – так же, как при измерении электрического поля вокруг заряженного воздушного шарика. Но в отличие от шарика электрон существует только в одной точке – он бесконечно мал. При достаточном приближении к нему можно обнаружить настолько сильное поле, с настолько высокой энергией, что в нем могут рождаться электрон-позитронные пары. Этот процесс называют поляризацией вакуума (рождающиеся частицы поляризованы в том смысле, что позитроны предпочитают находиться ближе к исходному электрону, чтобы обеспечить равновесие зарядов). Поэтому существование одного электрона предполагает существование других электронов и позитронов, и чем более высокая энергия используется в измерениях, тем больше таких частиц будет обнаружено.

Сейчас квантовая теория поля лежит в основе наших представлений почти во всех разделах физики. В физике элементарных частиц она применяется к исследованию частиц и взаимодействий между ними. В космологии и космомикрофизике она используется для объяснения наблюдений в масштабах всей Вселенной, в том числе в отношении темной материи и темной энергии. А в физике конденсированного состояния ее используют для изучения коллективного поведения атомов и молекул в составе материи, из которого возникает наша срединная область.

Ключевой результат квантовой теории поля состоит в том, что все частицы непременно относятся к одному из двух типов – бозонам или фермионам. Их поведение принципиально различается, когда несколько частиц оказываются вместе. Фононы, например, относятся к бозонам, и о некоторых аспектах их поведения мы уже говорили. Электроны же являются фермионами. Частицы этого типа отличаются тем, что подчиняются так называемому запрету Паули. Я уверен, что вам не нужно напоминать об основном правиле путешествий во времени по версии классического фильма «Патруль времени» (Timecop, 1994) с Жаном-Клодом Ван Даммом: у вас, как и у меня, несомненно, лежит дома заезженная видеокассета с этой лентой. Рецензии на этот фильм были совершенно восторженными, типа «Легче понять акцент Ван Дамма, чем сюжет этой картины». Однако полноты ради вот это правило: «Один и тот же материальный объект не может занимать одно и то же место в одно и то же время». К этому, по сути, и сводится запрет Паули. Правда, его формулировка в фильме не лишена некоторых мелких противоречий. Во-первых, это утверждение неприменимо к бозонам – я считаю это обстоятельство одной из немногих логических ошибок фильма. Во-вторых, это утверждение, очевидно, ложно: один и тот же объект, разумеется, не может не занимать одно и то же место в одно и то же время – просто по определению. Наверное, авторы сценария имели в виду строгую формулировку запрета Паули: в одно и то же время в одном и том же месте не может быть нескольких одинаковых фермионов. Интересно, что этот простой факт объясняет существование многих знакомых нам состояний материи.

Материи квантовые

Имевшееся в конце XIX века описание материи работало на удивление хорошо, но существовали некоторые состояния материи, которые оно попросту не учитывало. Хороший пример таких состояний дает магнетизм: теорема Бора – ван Лёвена (сформулированная Нильсом Бором в 1911 году и независимо от него Хендрикой ван Лёвен в 1919-м) представляет собой математическое доказательство невозможности существования магнитов без квантовой механики. Хотя полное доказательство этой теоремы довольно сложно, ее основной тезис вполне прост. Классическое описание поведения электронов в веществе получается из статистической механики. Она утверждает, что вероятность существования любого конкретного распределения движения электронов зависит только от их суммарной энергии и температуры магнита. Однако магнитное поле не может изменять энергию электронов. Это связано с тем, что оно заставляет электроны двигаться по окружности; оно влияет только на направление их движения, но не на их скорость: поэтому их энергия не увеличивается. Таким образом, магнитное поле не может влиять на суммарную картину движения электронов в веществе и, в частности, не может порождать какое-либо общее магнитное поле. Следовательно, магнетизм существовать не может. В этой модели чего-то недостает, а именно – квантовой механики.

Отдельно от этого запрет Паули позволяет получить простое объяснение другой квантовой странности магнитов. В магнитах самого привычного типа, ферромагнетиках, все спины ориентированы в одном направлении. Но почему соседние спины стремятся быть сонаправленными? Ведь если положить рядом два магнита, они стремятся развернуться в противоположных направлениях.

Объяснение оказывается очень изящным и чисто квантовомеханическим. У каждого электрона есть спин; волновая функция, описывающая два электрона, должна определять их спины, а также вероятность найти эти электроны в каждой точке пространства. Если спины повернуты в одну и ту же сторону, эти электроны идентичны, и к ним применим принцип «Патруля времени»: они не могут существовать в одном и том же месте. Но если их спины противонаправлены, электроны перестают быть идентичными и вполне могут находиться в одном и том же месте. А если два электрона находятся в одном и том же месте, между ними должна быть большая энергия отталкивания, так как оба они заряжены отрицательно, а одноименные заряды отталкиваются. Поэтому при одинаковом направлении спинов суммарная энергия уменьшается, поскольку электроны никогда не оказываются в одном и том же месте. Таким образом, квантовые спины, в отличие от их классических аналогов, стремятся быть сонаправленными.

Запрет Паули также играет ключевую роль в объяснении того факта, что одни материалы проводят электричество, а другие его не проводят. То обстоятельство, что для этого объяснения понадобилась квантовая механика, само по себе удивительно: предыдущие концепции не могли объяснить многих экспериментальных наблюдений – например того факта, что электропроводность материала пропорциональна его теплопроводности. Все доквантовые гипотезы терпели поражение на одном и том же месте: они предсказывали, что в наблюдаемые свойства металла должны вносить вклад все содержащиеся в нем электроны. В конце концов, раз все электроны одинаковы, чем некоторые из них могут выделяться из общего числа? Но эксперименты, по-видимому, показывали, что какую бы то ни было пользу приносит лишь малая часть электронов.

Квантовая механика объяснила это противоречие. Представьте себе, что целая банда волшебников забронировала некий отель для проведения конференции. Волшебники, как и Вселенная, которую они изучают, стремятся минимизировать количество энергии, которую они сообщают окружающему их миру. Поэтому первые прибывшие в многоэтажную гостиницу, в которой проходит конференция, вселяются в самые нижние номера, чтобы им не пришлось слишком много ходить по лестницам. Тем самым они получают еще одно преимущество: они первыми успевают на завтрак в холле гостиничной башни, где неизменно выбирают из фруктового салата все кусочки ананаса. Но в каждый номер может вселиться только один волшебник, поэтому приехавшие позже начинают заполнять номера на следующих этажах башни. В результате некоторые из волшебников окажутся очень высоко. Тем не менее в целом они занимают самые нижние из имеющихся номеров; каждый из них расходует минимально возможное количество энергии, хотя при этом одни расходуют ее больше, чем другие. Так вот, оказывается, что электроны в веществе ведут себя так же, как эти волшебники: все они стремятся минимизировать свою энергию, но в связи с запретом Паули на каждом энергетическом уровне может находиться только один электрон[68]. Поэтому некоторые электроны – как волшебники, зарегистрировавшиеся позже других, – оказываются с высокой энергией даже в самом низком из возможных для них энергетических состояний. Материал будет электропроводным, если для течения через него электрического тока требуется очень небольшая энергия. Если для приведения электронов в движение требуется много энергии, такой материал будет электрическим изолятором. Если вернуться к аналогии с волшебниками в гостинице, наличие или отсутствие у материала электропроводности зависит от высоты самых низких незанятых номеров в башне. Чтобы побудить волшебников к каким бы то ни было коллективным действиям, некоторым из них необходимо переселиться на другие этажи. Если на этаже, расположенном непосредственно над живущими выше всех волшебниками, есть свободные номера, а идти туда не слишком далеко, материал получается электропроводным, так как для приведения волшебников в движение требуется лишь небольшая энергия. Если же следующие свободные номера находятся гораздо выше (скажем, в башне есть мезонин с изысканной инсталляцией в стиле корпоративного искусства), для приведения кого-либо из волшебников в движение нужно много энергии. Получается изолятор.

А как насчет того обстоятельства, что, по-видимому, что-либо делает – например вносит вклад в электрический ток – только малая часть электронов? Это изящно объясняется тем фактом, что переселяться могут только те волшебники, которые живут выше всех. Те, которые поселились ниже, не могут переехать этажом выше, потому что он уже занят. Только электроны металла, обладающие самыми высокими энергиями, могут участвовать в электрическом токе или переносе тепла. Эти жизненно важные свойства материалов невозможно понять без квантовой механики.

Эта идея не столь эзотерична, как может показаться. Медь имеет красный оттенок, потому что она поглощает синие фотоны, но отражает красные; это связано с тем, что в спектре возможных энергетических состояний электронов меди есть зазор (тот самый мезонин в башне волшебников). Синие фотоны, обладающие большей энергией, могут дать электрону энергию, позволяющую ему перепрыгнуть через этот зазор. При этом такие фотоны поглощаются. Энергии красных фотонов для этого не хватает, и поэтому они отражаются.

Без квантовой механики невозможно объяснить и еще одно свойство материи, которое относится к числу моих любимых проявлений магии, – так называемый эффект Холла, открытый Эдвином Холлом в 1879 году. Чтобы понять его, нужно сначала понять способ, которым он был открыт. Возьмем длинную тонкую металлическую полоску и пропустим вдоль нее электрический ток – скажем, присоединив ее концы к противоположным клеммам батареи. Если подключить к тем же концам полоски вольтметр, он покажет номинальное напряжение батареи. Это вполне логично: если мы, как раньше, считаем, что электрический ток подобен течению реки, то напряжение между двумя точками подобно перепаду высот. Батарея создает склон с верхней и нижней точками. Река течет вниз по склону, а ток течет от высокого потенциала к низкому. Теперь подсоединим вольтметр поперек полоски. Он не покажет никакого напряжения. Да и с чего бы ему там быть? В этом направлении никакого склона нет, так как к боковым сторонам полоски батарея не подключена.

А теперь пропустим сквозь полоску магнитное поле – скажем, направив на нее северный полюс магнита, находящегося под полоской. Тогда окажется, что подсоединенный поперек ее вольтметр начал регистрировать напряжение. Дело в том, что магнитное поле заставляет электроны – которые до этого двигались по прямой вдоль полоски – поворачивать в сторону. Магнитное поле стремится заставить электроны двигаться по окружности, но эта окружность гораздо больше нашей металлической полоски. То, на какой стороне полоски образуется более высокий потенциал, зависит от заряда частиц, переносящих ток.

Когда Холл проводил свои измерения, он обнаружил, что эти частицы заряжены отрицательно. Это логично, так как электрический ток переносится отрицательно заряженными электронами. Поскольку заряд всегда остается отрицательным, более высокий потенциал всегда должен возникать на одной и той же (для данного направления тока и магнитного поля) стороне полоски, из какого бы материала она ни была изготовлена. Верно? Но на деле оказывается, что в некоторых материалах более высокий потенциал возникает на другой стороне, как если бы ток переносился положительно заряженными частицами.

Эти положительно заряженные частицы имеют приблизительно ту же массу, что и электроны, но заряжены с противоположным знаком. Это не могут быть протоны из ядер, потому что протоны гораздо тяжелее. Казалось бы, этим критериям соответствуют позитроны, но и они не подходят, потому что при столкновении частицы с античастицей обе аннигилируют, превращаясь в чистую энергию. Эти таинственные положительные частицы есть в любых материалах, с многими из которых и вам приходилось иметь дело. Собственно говоря, практически все металлы содержат оба заряда: хотя и индий, и алюминий – металлы и находятся в одном и том же столбце периодической системы, в индии электрический ток переносится в основном положительными частицами, а в алюминии – в основном отрицательными. В число других металлов по большей части с положительными частицами входят свинец, вольфрам, цинк и еще около половины металлических элементов периодической таблицы. Что же это за положительные частицы?

Вот вам подсказка в форме классической загадки:

Чем больше из меня берешь, тем больше я расту. Если я окажусь в кармане, карман опустеет. Если я окажусь в бочке, бочка станет легче. Что я такое?

Наличие и отсутствие

Разгадать эту тайну помогают квазичастицы – те частицы, которые возникают из взаимодействия большого числа элементарных частиц в реальных веществах. Можно сказать, что они являются определяющей чертой физики конденсированного состояния. Некоторые квазичастицы могут быть сходны со своими элементарными аналогами; например, квазиэлектрон похож на элементарный электрон. Другие разительно отличаются от них; в самых экстремальных случаях они даже не могут существовать как элементарные частицы – таковы, например, фононы. Частицы, которые нас интересуют в этом случае, относятся к последнему разряду. Ответ на приведенную выше загадку – «дырка», и так же называются эти частицы. Чтобы научиться их видеть, нужно научиться видеть мир так, как увидел его мистер Калабаш, когда узнал слово «смюзы»: считать наличие и отсутствие более равными[69]. Дырки – эмерджентные квазичастицы, существующие только в материалах. Они очень похожи на положительно заряженные электроны. Самой магической их особенностью я считаю то, как они возникают. Представьте себе волшебников, выстроившихся в очередь к шведскому столу во время завтрака в гостинице. У каждого должна быть на голове его волшебная шляпа – по правилам, установленным в гостинице, обслуживаются только волшебники, одетые по всей форме, – но, поскольку дело происходит ранним утром, все волшебники, кроме одного, забыли свои шляпы в номерах. Единственный не забывший надеть шляпу стоит в конце очереди; очередь никуда не сдвинется, пока на первом стоящем в ней волшебнике не будет шляпы. Поэтому волшебник, стоящий в хвосте, снимает шляпу и надевает ее на голову стоящего перед ним; тот делает то же, и так продолжается, пока шляпа не дойдет до самого начала очереди. Шляпа ведет себя как электрон, переносящий по проводу электрический ток[70]. А теперь представьте себе послеполуденный перерыв на прием эликсира духовного пробуждения. Теперь все присутствующие несколько лучше осознают реальность, поскольку успели в течение дня принять где-то по полтора десятка стаканчиков эликсира. На этот раз никто из волшебников не забыл свою шляпу – кроме одного-единственного. Но, разумеется, именно забывший шляпу волшебник оказался в начале очереди и жадно разглядывает ограниченные запасы кондитерских изделий. На сей раз свою шляпу передает вперед тот, кто стоит в очереди вторым; второму передает шляпу третий, и так далее. В результате отсутствующая шляпа перемещается назад по очереди, пока не дойдет до последнего стоящего в ней волшебника. В обоих случаях получается передача одной шляпы из заднего конца очереди в передний. Но в одном варианте шляпа перемещается вперед, а в другом отсутствие шляпы перемещается назад. Этот второй случай соответствует механизму поведения дырок: дырка имеет положительный заряд, потому что она представляет собой отсутствие отрицательно заряженного электрона.

Дырки до некоторой степени похожи на позитроны, античастицы элементарных электронов. Когда позитрон сталкивается с электроном, они взаимно аннигилируют. Аналогичным образом, когда электрон попадает в дырку, он заполняет ее, и не остается ничего. Собственно говоря, именно так Дирак исходно представлял себе позитроны. Он полагал, что космический вакуум полон положительно заряженных дырок: когда электрон попадает в дырку, в результате не остается ничего. Представьте себе, что вы погружаете в море ведро, создавая в воде углубление в форме ведра. Если налить в ведро воду, углубление заполнится, и на его месте ничего не останется. В применении к электронам эту концепцию называют «морем Дирака». В наши дни специалисты по физике элементарных частиц обычно считают позитрон самостоятельной частицей, а не просто отсутствием электрона. Однако интерпретация Дирака по-прежнему используется и даже остается основной в физике конденсированного состояния, в которой чаще говорят о море Ферми. Мы уже встречались с морем Ферми в другом обличье – это наша башня, наполненная волшебниками. В большинстве привычных ситуаций, когда мы взаимодействуем с морем, мы взаимодействуем только с водой, находящейся близко к поверхности; океанские глубины по большей части остаются неисследованными. Точно так же взаимодействие с морем Ферми затрагивает только электроны, ближайшие к его поверхности. Только волшебники, живущие на самом высоком этаже, могут переселиться еще выше, и только самые верхние электроны моря Ферми могут принять участие в переносе тепла или электричества. Когда волшебник переселяется на следующий этаж, после него остается пустой номер; если в этот пустой номер переедет другой волшебник, номер заполнится, а пустой номер сдвинется вниз.

Поскольку волшебники передают свои шляпы вперед, отсутствие шляпы передается назад

Дырки напоминают мне об одном пассаже из классического сюрреалистического романа «Гора Аналог» (Le Mont Analogue, 1952) Рене Домаля. Там рассказывается о людях-пустышках, существующих в виде пустот в скалах. Они едят пустоту и пьют пустые слова, которые произносят их заполненные двойники. Домаль сообщает нам: «…в горах у каждого живого есть двойник, подобно тому как ножны есть у меча, а у ступни – отпечаток, след, и, умирая, каждый с двойником своим соединяется»[71]. Электрон, находящийся в материале, может таким же образом найти своего двойника-дырку, заполнить ее и вернуться в море Ферми, тем самым перестав участвовать в создании тех свойств – например электропроводности, – которые мы измеряем в своей срединной области.

Холодными лунными вечерами физики, зябко ежащиеся на каком-нибудь дальнем берегу, часто согреваются рассказами о приключениях в море Ферми. Мне тоже случалось прибегать к живительной силе этих легенд. Мой друг доктор Крис Хули рассказал мне следующую историю – или нечто похожее на нее – о доблестном воображении Дирака:

Как-то раз три друга ловили рыбу на некоем теплом необитаемом острове. Как обычно, они хотели разделить свой улов поровну. После тяжелого дня, проведенного на рыбалке, они заснули. Рано утром один из них проснулся и решил не будить остальных. Подсчитав улов, он обнаружил, что число рыб на единицу больше кратного трем. Поэтому он вернул одну рыбу в море и забрал себе треть оставшегося. Несколько позже проснулся второй друг. Он не заметил, что первый уже ушел. Подсчитав улов, он тоже обнаружил, что число рыб на единицу больше кратного трем. Поэтому он вернул одну рыбу в море и забрал себе треть оставшегося. Наконец проснулся и третий рыболов. Он тоже не заметил, что двое других ушли. Подсчитав улов, и он обнаружил, что число рыб на единицу больше кратного трем. Поэтому он вернул одну рыбу в море и забрал себе треть оставшегося.

Дираку рассказали эту историю и спросили, сколько рыбы поймали трое друзей.

Приложив немалое терпение, простой смертный может в конце концов наткнуться методом проб и многочисленных ошибок на правильный ответ – 25. Первый друг вернул одну рыбу в море, после чего их осталось 24, и забрал треть: осталось 16 рыб. Второй вернул одну рыбу в море, после чего их осталось 15, и забрал треть: осталось 10 рыб. Третий вернул одну рыбу в море, после чего их осталось 9, и забрал треть: осталось 6 рыб. Но Дирак не был простым смертным, ибо его имя навечно высечено на великой скале истории – так же, как его уравнение высечено на его надгробной плите в Вестминстерском аббатстве. Поэтому Дирак увидел путь к более изящному решению, блестевший, как лунная дорожка на ряби безмятежного моря. Изящный ответ – 2 рыбы. Тогда после возвращения одной рыбы в море их остается –3, а после изъятия трети снова становится –2, и этот процесс можно повторять, сколько захочется.

Надпись на могиле Дирака

Возможно, отрицательная рыба – это дырка в море, которую должна заполнить рыба: если бросить рыбу в такую дырку, в результате получится безрыбное море. Эта история настолько подозрительно удачно подходит к идее Дирака о дырках в море Ферми, что в его роль в открытии этого решения вряд ли можно верить всерьез. Но какие достойные пересказа истории не украшались такими апокрифами?

Легенды моря Ферми

Физика конденсированного состояния пересекается с другими разделами физики, а также с математикой, химией, инженерным делом и материаловедением. Но есть по меньшей мере одна вещь, которая принадлежит физике конденсированного состояния, и только ей, – квазичастицы. И разбираться в них лучше всего в море Ферми.

Море Ферми – это аналог космического вакуума для электронов в металле. Если использовать профессиональный термин, это «основное состояние» металла, что означает следующее: хотя у некоторых электронов может быть много энергии, в совокупности они обладают минимальной энергией, которой могут обладать. Попробуем добавить немного энергии, скажем, приложив электрическое поле. Тогда электрон будет вынужден покинуть море Ферми и перейти в более высокоэнергетическое состояние. Получится квазичастица – возбуждение над морем Ферми. Вспомним определение квазичастиц, которое мы дали в главе I:

Эмерджентная квазичастица может существовать сама по себе выше основного состояния материала и не может быть сведена к другим объектам, обладающим тем же свойством.

На это можно возразить, что квазичастицы, разумеется, не могут существовать самостоятельно: разве это не противоречит идее эмерджентности? На самом деле, именно в этом и состоит идея эмерджентности. Хотя квазичастицы – например электроны в веществе – можно описать в терминах элементарных частиц, удалить квазичастицы из такого описания без потери неких существенных аспектов невозможно. А с точки зрения описания в терминах квазичастиц они вполне могут самостоятельно существовать над морем Ферми.

Когда электрон перепрыгивает в более высокоэнергетическое состояние, как выпрыгивает из моря летучая рыба, он оставляет после себя отсутствие электрона – дырку. Процесс извлечения из моря Ферми электрона и дырки называется образованием электронно-дырочной пары. Для него нужна энергия – так же как для прыжка летучей рыбы. Образование пар показывает, что море Ферми, как и космический вакуум, на самом деле не пусто: в его пустоте скрываются возможности. Тут есть одна хитрость. Каждый электрон в море Ферми имеет возможность выпрыгнуть, как летучая рыба, оставив после себя отсутствие рыбы. Рыбу, бывает, можно найти вне моря – например на палубе корабля, – но только потому, что в этом месте нашлась палуба, на которую она смогла упасть. Электрон также, бывает, можно найти в состоянии с большей энергией, чем могла быть у него в море Ферми, но только потому, что его снабдило этой энергией измерительное устройство. До измерения летучая рыба (электрон) и ее отсутствующий аналог (дырка) составляют так называемую виртуальную пару. Вечная вероятность их существования представляет собой еще один случай квантовой флуктуации. Виртуальные пары обеспечивают возможность взаимодействия электрона с другими частицами – другими электронами, но также фононами, фотонами, дырками и любыми другими квазичастицами, находящимися внутри материала. Эти взаимодействия производят измеримые эффекты; один из них, который мы уже видели, состоит в том, что когда электрон попадает в материал и становится квазичастицей, его масса изменяется.

Квантовые флуктуации объясняют многие свойства, необъяснимые в классической интерпретации. В прошлой главе мы видели, что материя есть компромисс между уменьшением энергии и увеличением беспорядка: тепловые флуктуации разрушают порядок. По этой логике при абсолютном нуле должен существовать абсолютный порядок – все должно быть неподвижным, твердым и кристаллическим.

Так считалось в конце XIX века. В 1908 году голландскому физику Хейке Камерлинг-Оннесу удалось охладить гелий до температуры, при которой он превратился в жидкость. Это была самая низкая температура, когда-либо достигнутая на поверхности Земли. Тем не менее, каким бы холодным ни становился гелий, он, по-видимому, так никогда и не затвердевал. Как такое могло быть, если абсолютный нуль – это по определению полное отсутствие тепловых флуктуаций? Ответ на этот вопрос дает квантовая механика: вместо тепловых флуктуаций вещество подвергается разрушающему порядок влиянию флуктуаций квантовых. Чтобы лучше понять это положение, мы обратимся к самому знаменитому фокусу.

Игра в наперстки

Говорят, Гудини сказал, что никто не может называть себя фокусником, не овладев игрой в наперстки. Ее идея вам знакома: есть три наперстка, под одним из которых лежит шарик; вы должны сказать, где именно он находится, – и никогда не угадываете правильно. В этой игре используются все основополагающие элементы искусства иллюзиониста – отвлечение внимания, обман, ловкость рук и манипуляция ожиданиями аудитории. Она существовала по меньшей мере в римскую эпоху, а возможно, и гораздо раньше: одна интересная настенная роспись, выполненная в Египте около 2500 года до н. э., изображает нечто на удивление похожее на игру в наперстки.

Чтобы подготовить фокус, представьте себе множество наперстков открытой стороной вверх, и в каждом из них лежит по шарику. Если все наперстки немного трясутся, шарики в них бренчат. Если потрясти наперстки как следует, шарики начнут взлетать в воздух и падать в разные наперстки. Получится хаос. Уровень тряски, на котором шарики начинают вылетать из наперстков, несколько похож на фазовый переход, отделяющий низкоэнергетическое упорядоченное состояние (шарики в наперстках) от состояния высокоэнергетического и беспорядочного (шарики покидают наперстки).

Теперь представим себе, что наперстки совсем не трясутся. Собственно, сделаем ситуацию еще более трудной: пусть все наперстки стоят открытой стороной вниз, и под каждым из них находится по шарику. Уж теперь-то, конечно, шарики никуда не денутся – на каждый наперсток должно приходиться по одному шарику. Именно такая логика и приводит к проигрышу в этой игре! Загляните под какой-нибудь наперсток: там окажется два шарика. Загляните под него еще раз: теперь там нет ни одного, хотя никакой тряски не было. Я согласен, что фокусник, делающий это, вынужден использовать некоторую энергию. Но играть в наперстки может и сама Вселенная, и ей для этого нужна только магия квантовых флуктуаций. Если наши шарики – квантовые частицы, они могут туннелировать между наперстками, с легкостью производя тот эффект, ради которого фокуснику приходится тренироваться всю жизнь.

Классическая теория вещества утверждает, что фазовые переходы происходят тогда, когда тепловые флуктуации нарушают равновесие между порядком и беспорядком. Но теперь мы знаем, что многие фазовые переходы происходят при абсолютном нуле. Это квантовые фазовые переходы, и порождают их квантовые флуктуации. Помните критические точки – особые условия, при которых материя становится масштабно инвариантной, что приводит к соответствующим чудесам? Так вот, существуют и квантовые критические точки, и они чрезвычайно интересуют тех, кто занимается физикой конденсированного состояния, потому что они, по-видимому, сопровождают многие из самых экзотических и важных состояний вещества.

Мне хотелось бы дать более точное определение тому, что я называю квантовыми флуктуациями. В некотором смутном смысле они – то самое загадочное нечто, которое отличает квантовые теории от классических; кроме того, они касаются виртуальных частиц, определяющее свойство которых состоит в том, что их невозможно наблюдать непосредственно. Но есть и точный технический смысл, в котором квантовые флуктуации присутствуют в теоретической физике. Некоторые физики предпочитают называть их квантовыми поправками, потому что флуктуация предполагает изменения во времени, а это не так. Философская основа этого понятия такова. Нам приходится работать с квантовым полем, потому что это дает наиболее точную модель экспериментальных наблюдений. Однако мы привыкли считать мир классическим; поэтому мы считаем квантовое поле классическим, но требующим внесения математических поправок. В классическом описании электрон движется как бильярдный шар; квантовая поправка может вводить испускание электроном фонона и последующее его поглощение тем же электроном, что соответствует виртуальному взаимодействию между электроном и вибрациями кристаллической решетки. Такие процессы невозможно увидеть; виртуальные процессы по определению неизмеримы. Кроме того, они не происходят в конечных временных промежутках, так как поправки присутствуют независимо от того, сколько времени проходит между измерениями. Тем не менее они могут влиять на свойства электрона: они изменяют классическое поведение так, что электрон ведет себя в соответствии с точным квантовым описанием. Вероятно, проще всего думать о них, придерживаясь принципа Мермина – «заткнись и считай», – так как квантовые поправки – это необходимый промежуточный этап математических вычислений. Если они и соответствуют какой-либо осязаемой физической реальности, мы этого пока что полностью не понимаем.

Неизмеримые виртуальные частицы, подобные испускаемым и поглощаемым фононам, могут обладать странными свойствами, невозможными для частиц измеримых. Они могут не подчиняться формуле Эйнштейна, E = mc^2; именно в этом смысле лучше всего работает аналогия между флуктуациями квантовыми и флуктуациями тепловыми: квантовое состояние представляют классическим, но с поправками, которые создают виртуальные частицы с разными энергиями. В качестве аналогии можно сказать, что в веществе, находящемся при некоторой температуре, могут быть флуктуирующие области с разными энергиями. Но эта аналогия обманчива: тепловые флуктуации представляют собой колебания во времени, а в отношении квантовых флуктуаций это неверно. На самом деле все наоборот: самое лучшее описание материи на мельчайших масштабах – это описание не классическое, а квантовое. Если смириться с этим фактом, квантовые флуктуации уже не будут нужны, кроме как в качестве одного из этапов вычислений. Тогда становится ясно, что классический мир, в котором мы живем, возникает из мира квантового.

Квантовая механика всегда будет центральным элементом физики конденсированного состояния, а квантовой теории поля всегда найдется естественное место в исследованиях материи.

Наш эмерджентный мир

Современная физика – это квантовая теория поля, объединение идей, высказанных Эйнштейном в 1905 году. Как оказалось, даже при изучении отдельной частицы логика требует допускать существование великого множества других частиц. Некоторые из них – виртуальные частицы, в принципе не поддающиеся наблюдению; так Луна притягивает к себе океаны, когда никто не смотрит. Другие – реальные промежуточные частицы, распадающиеся так быстро, что их невозможно увидеть. Когда открывают новую элементарную частицу – например бозон Хиггса, – ее не измеряют непосредственно; вместо этого измеряют другие частицы, на которые она распадается. То же справедливо и в отношении физики конденсированного состояния: хотя многие эмерджентные квазичастицы не могут существовать вне материалов, в которых они обитают, измерительные приборы, находящиеся вне этих материалов, все же измеряют влияние таких квазичастиц.

Как элементарные частицы, так и эмерджентные квазичастицы описываются квантовыми полями. Хочется заявить, что только элементарные частицы «реальны», а эмерджентные квазичастицы – это всего лишь удобная условность для описаний коллективного поведения, но на самом деле и те и другие описывают один и тот же математический аппарат. Более того, идею о необнаруженных элементарных частицах, летающих в космическом вакууме, невозможно исследовать научными методами: каждая частица, которую мы измеряем, неизбежно взаимодействует с веществом, из которого состоит детектор. Микроскопический мир, из которого возникает наш собственный, противоречит здравому смыслу – но разве у нас есть основания полагать, что он должен ему соответствовать?

При всей его таинственности в квантовом мире на самом деле есть всего два явления, не имеющие классических аналогов. Первое состоит в том, что, когда бы вы ни стали искать частицу, вы всегда находите ее в одном конкретном месте; дискретные результаты измерений и дали квантовой физике ее название. Хотя в нашей срединной области такая дискретность привычна, в мире квантовой суперпозиции она становится чудом. Второе явление – это квантовая запутанность, о которой мы поговорим в главе VII.

Появившиеся в 1905 году первые искры квантовой механики разожгли пламя, которое в конце концов привело нас к современному пониманию материи. В этом месте книги мы переходим от прошлого к настоящему и будущему. Поэтому мы сосредоточимся на еще идущих исследованиях – заклинаниях, которые только пишутся.

VI

Заклинания деления

Оставаясь на маленьком пятачке спокойствия посреди лихорадочных метаний библиотечных стеллажей, Вериана продолжала читать забытую историю мира.

Все узлоделы принадлежат к одному и тому же клану. Они – главные историки, архивисты, счетоводы и учетчики мира. Если другие передают мирскую мудрость из поколения в поколение в изустных преданиях или письменных документах, то узлоделы знают способ зашифровывать знания в виде переплетенных нитей. Для ясности такие конструкции можно называть не узлами, как все остальные узлы, а сплетениями. Узлодела, работающего историком, именуют мастером сплетений – как и любого узлодела, искусного в использовании сплетений. В каждом сплетении содержится основная центральная петля, от которой отходят в радиальных направлениях многочисленные нити. К этим радиальным нитям могут быть привязаны другие, меньшие нити, на каждой из которых бывает завязано множество разных узлов.

Хотя сплетения могут использоваться для хранения численных записей, на более высоком уровне их применяют для кодирования языка. Мастер сплетений читает сплетение, приписывая каждому типу узлов свой звук; так, проводя пальцем по нитям, он может прочитать вслух всю фразу. Рисунок узлов на нити также указывает, какие вторичные нити следует прочесть и в каком порядке; таким образом, узлы можно считать своего рода пунктуационными знаками. Однако сплетение превосходит письменное слово, когда вторичными нитями соединяют две или более основных, создавая сложные паутины. Если любое письменное предложение может быть передано символами, расположенными в строке, сплетение способно кодировать структуры неизмеримо большей сложности. Проще всего понять, как устроены такие высказывания, можно, если представить себе, что записанное предложение содержит не только саму мысль, но и указания по переходам туда и обратно по странице. Люди по большей части воспринимают историю как нечто линейное, соответствующее порядку, в котором расположены отражающие ее письменные или устные фразы. Узлоделы же видят историю паутинообразной структурой сплетений.

Алгоритмический процесс манипуляций с узлами также позволяет использовать сплетение в качестве абака для выполнения вычислений. То же можно сказать и о лингвистическом кодировании: некий узел на нити может означать переход на нить второго порядка, но другой узел или последовательность узлов может означать, что нить второго порядка следует отвязать и присоединить в другом месте или же что нужно соединить две нити, до этого не соединявшиеся. В результате запись в сплетении получается не статической, а динамической – она изменяется в процессе чтения. Как правило, узлоделы не проводят такого же резкого различия между прошлым и будущим, как читатели обычных текстов. И это не случайно, ибо динамическое сплетение способно выражать вычисления, предсказывающие события будущего с произвольной точностью. Эти знания порождают возникновение в умах узлоделов новых узлов прошлого и будущего, и в конце концов они почти перестают отличать одно от другого…

Деление неделимого

Развитие физики конденсированного состояния с самого начала было тесно переплетено с развитием вычислительной техники. Несмотря на огромную сложность компьютеров – позволяющую им создавать новые миры, служить основой новых научных достижений и управлять всеми аспектами нашей жизни, – все они в конечном счете основаны на одном скромном состоянии конденсированной материи, полупроводнике. Но эта глава не о том, как полупроводники приобрели такое значение; она о том, что будет дальше.

Полупроводники занимают промежуточное положение между проводниками и изоляторами с точки зрения способности проводить тепло и электричество. Их магия имеет форму заклинания деления – создания электронно-дырочных пар, – а их пользу, возможно, лучше всего иллюстрирует один простой рассказ о практических нуждах. Весной 1944 года, во время сражений Второй мировой войны, в окрестностях итальянского города Анцио наступило временное затишье. Ни одна из сторон не могла продвинуться вперед, и солдатам было практически нечем заняться. Им запрещалось слушать радио, потому что враг мог обнаружить сигнал приемника, работающего на батареях, и установить его местоположение. В один прекрасный день солдаты войск союзников сделали замечательное открытие. При подсоединении одного провода наушников к английской булавке, а второго к бритвенному лезвию получался работающий радиоприемник – без источника питания.

Вот как работало это «окопное радио». Металлическая поверхность бритвенного лезвия покрыта слоем оксида – ржавчины. Этот оксид металла является полупроводником. Непрочное соединение с булавкой образует радиодеталь, которую называют теперь точечно-контактным выпрямителем. Поскольку радиоволны – это электромагнитное излучение, они порождают в металлических проводах – в данном случае в проводах наушников – электрические токи. Однако это переменные токи, меняющие направление на противоположное много раз в секунду; поэтому они не создают в наушниках слышимого звука. Тут-то и требуется выпрямитель: он пропускает ток только в одном направлении. В этом отношении он подобен стене, через которую перекатываются волны. Выпрямитель преобразует переменный ток в постоянный, который можно услышать в наушниках. Работа выпрямителя основана на простом логическом условии: если ток направлен в одну сторону, то его следует пропустить, а если в другую, то нет. Эта основополагающая идея – что свойства материалов можно использовать для воплощения логики – привела к созданию ставшего теперь знаменитым полупроводникового прибора, транзистора.

Транзистор – это полупроводник, к которому подсоединены три провода. Как и выпрямитель, он осуществляет простую логику. Назовем эти провода А, Б и В. Транзистор пропускает ток от А к В, если приложить напряжение между А и Б. Это логическое условие: если между этими проводами есть напряжение, ток проходит. Такое простое правило лежит в основе электронных компьютеров. Вскоре мы увидим, как оно работает.

Успех компьютерной отрасли был предсказан с самого начала. Это предсказание, известное под названием закона Мура, утверждает, что плотность расположения транзисторов на печатной плате должна удваиваться каждые два года. Грубо говоря, мощность компьютеров должна следовать той же тенденции – экспоненциально расти, – и уже на протяжении полувека этот закон соблюдается с почти неукоснительной точностью. Успешность этого предсказания обеспечивает множество разных факторов; до некоторой степени оно стало самосбывающимся. Но в исходной статье Мура 1965 года[72] есть множество утверждений о том, как физика полупроводниковых материалов создает возможности развития этих технологий; там, например, говорится, что их рост не будет ограничен соображениями выделения тепла, потому что кремниевые подложки могут обеспечить его эффективный отвод.

Однако в мире с ограниченными ресурсами рост не может быть бесконечным. Эту идею иллюстрирует старинная легенда об изобретении шахмат, которую записал ученый XIII века Ибн Халликан. Как рассказывается в этой истории, царю так понравилась эта игра, что он предложил изобретателю любую награду, какую он только пожелает. Изобретатель попросил положить одно пшеничное зерно на первую клетку доски, а потом класть на каждую следующую клетку вдвое больше зерен, чем на предыдущую. Царь счел это жалким вознаграждением за столь великолепное изобретение. Но когда его министры попытались выполнить это поручение, они обнаружили, что число зерен быстро превысило все запасы страны. О дальнейших событиях рассказывают по-разному: одни говорят, что изобретателя сделали высокопоставленным сановником, другие – что его казнили, чтобы не умничал.

Мы оказались в положении министров, сыплющих зерно на шахматную доску: в 2004 году ученые из Карлсруэ создали транзистор, состоящий из одного-единственного атома[73]. До предела исполнения закона Мура остается в лучшем случае несколько удвоений, а по некоторым оценкам отклонения от него уже начались. Что происходит с экономикой, основанной на росте, когда мы достигаем пределов, накладываемых на развитие технологий фундаментальными законами физики?

Закон Мура – это утверждение о конкретном воплощении вычислительной техники. Чтобы выйти за его пределы, нам нужно вернуться к заклинанию деления, которое используют полупроводники, и поинтересоваться, нельзя ли изменить его формулировку; так мы, возможно, сумеем отделить идею компьютеров от их электронного воплощения. Фантастический – но, возможно, не столь уж далекий от нашего собственного будущего – пример такого решения дает история мира, которую читает Вериана, и существующие в ней компьютеры, основанные на магии узлов.

Во всех электронных устройствах логические операции выполняются путем перемещения электрических зарядов в полупроводниковых материалах. Сколько бы мы ни вглядывались в кофейную гущу, мы не можем предсказать, что именно придет на смену этой технологии. Однако несомненно одно: эти новшества придут из физики конденсированного состояния. В этой главе мы рассмотрим одну из таких возможностей: может быть, мы можем использовать не заряд электрона, а другое фундаментальное его свойство – спин. Для этого потребуется заклинание деления, которое специалисты по физике конденсированного состояния еще продолжают изучать; оно называется фракционализацией и представляет собой одну из самых удивительных возможных форм эмерджентности.

Как и во многих других великих приключенческих повествованиях, в нашем будут странствия во льдах в поисках полюсов. Но наш путь приведет нас не к замерзшим просторам Арктики, а к новому типу вещества, который называют спиновым льдом. Прежде чем отправиться в будущее, давайте вспомним, каким образом мы оказались в настоящем.

Монарх и волшебник

Монарх – ничто, если у него нет придворного волшебника. Используя свою власть и богатство, монарх дает волшебнику возможность заниматься недоступными простым смертным изысканиями, а тот в свою очередь увеличивает власть и богатство монарха. Мерлин был волшебником короля Артура; у царя Соломона, как говорят, был визирь Асиф ибн Бархия, который умел перемещаться на огромные расстояния в мгновение ока;[74] Нострадамус был придворным астрологом Екатерины Медичи, Джон Ди – английской королевы Елизаветы I, а Галилей – великого герцога Тосканского. То покровительство, которое компьютерная промышленность оказывает физике конденсированного состояния, вполне вписывается в эту традицию. Во времена «физики твердого тела» значительная часть исследований конденсированных сред касалась полупроводников для электронной и вычислительной техники. Благодаря финансовой поддержке компьютерной промышленности эта отрасль физики наконец обрела свободу заниматься своей собственной эзотерической магией. В долгосрочной перспективе такие абстрактные исследования часто приносят самые большие дивиденды. Прекрасный пример этого дают Лаборатории Белла (Bell Labs) в штате Нью-Джерси, основанные на доходах, которые принесло изобретение телефона Александром Грэхемом Беллом. Поскольку Белл был физиком, он понимал, что путь к созданию практических приложений лежит через изучение интересных задач ради самого процесса изучения. К настоящему времени работы Лабораторий Белла были удостоены пяти премий Тьюринга и девяти Нобелевских премий по физике – в том числе премии 1956 года за изобретение точечно-контактного транзистора[75], лежащего в основе всей современной электроники. Чтобы понять, как работают эти приборы, необходимо разобраться в состоянии той материи, из которой их делают.

На вид и на ощупь полупроводники представляют собой замечательно парадоксальные кристаллы. Полупроводящие химические элементы, находящиеся в периодической системе между металлами и неметаллами, и свойствами обладают такими промежуточными, где-то между свойствами тех и других, что придает им несколько сверхъестественные качества. На вид они похожи на шершавые камни, а на ощупь оказываются на удивление гладкими. Их трудно назвать матовыми или блестящими – к ним одинаково подходят и не подходят оба эти определения. На ощупь они не такие холодные, как металлы (теплопроводность которых отводит тепло от вашей руки), но и не комнатной температуры, как неметаллы (например, эта книга). Их подробные исследования дали не менее странные результаты. В 1833 году Майкл Фарадей заметил, что сопротивление сульфида серебра уменьшается с увеличением его температуры, что идет вразрез с поведением всех известных проводников. С металлами все понятно: чем больше тепла, тем больше беспорядка, а следовательно, больше сопротивления. Но что происходит в сульфиде серебра? Так Фарадей открыл одно из ключевых свойств полупроводников: они используют заклинание деления.

Если приложить в космическом вакууме сильное электрическое поле, то, как следует из открытой Эйнштейном взаимосвязи между энергией и массой, на свет явится электрон-позитронная пара. То же может происходить и в веществе, когда из моря Ферми рождается электронно-дырочная пара. Такое же заклинание деления легко применить в полупроводнике, в котором небольшое количество тепла может дать достаточно энергии для образования пары. Поскольку и электроны, и дырки способны переносить электрический ток, это объясняет наблюдения Фарадея: при увеличении температуры число электронов и дырок увеличивается, а сопротивление уменьшается. В так называемых «примесном» или «несобственном» полупроводнике вообще нет собственных подвижных электронов и дырок, пока в него не поступит энергия, достаточная для их создания.

Поэтому лучшее место для наблюдения дырок в их естественной среде обитания – это «собственные», или «беспримесные», полупроводники. В собственных полупроводниках p-типа подвижные дырки существуют естественным образом (буква p означает «позитивный», то есть положительный). В собственных полупроводниках n-типа вместо них есть подвижные электроны (а буква «n» означает «негативный», то есть отрицательный). В обоих случаях подвижные квазичастицы присутствуют в связи с наличием примесей: например, если взять чистый одноэлементный кремний, небольшое число атомов кремния можно заменить на атомы галлия. Если посмотреть в периодическую таблицу, можно увидеть, что кремний находится в четвертом столбце, то есть имеет четыре электрона, которые могут участвовать в образовании химических связей, а галлий – в третьем, поэтому у него таких электронов только три. Поэтому каждый атом галлия, оказавшийся в кремнии, создает отсутствие одного электрона – то есть одну дырку. Если заменить галлий на мышьяк (пятый столбец), эффект будет обратным: каждый атом примеси добавит по одному лишнему электрону. Именно такая ставка на примеси, а также рано возникшая тесная связь физики твердого тела с развитием полупроводниковых технологий побудили Вольфганга Паули презрительно назвать физику конденсированного состояния «физикой грязи». Электронно-дырочные пары также можно создавать светом или звуком. В начале этой книги мы видели, как Вериана сказала что-то в свой кристалл и вызвала свет. Ее кристалл, несомненно, был полупроводником: и светодиоды, и лазерные диоды представляют собой полупроводники, в которых области n-типа граничат с областями p-типа. Такая конструкция называется n-p-переходом[76]. Принцип его действия – тот же, что и в точечно-контактном выпрямителе окопного радио: течение электрического тока в одном направлении облегчается, а в другом затрудняется. При приложении к светодиоду должным образом направленного напряжения возникают электронно-дырочные пары, а при воссоединении электронов и дырок выделяется энергия, испускаемая в виде света.

Понять, как устроен n-p-переход, не слишком трудно. В целом он представляет собой кусок полупроводника, например кремния (хотя он чаще бывает не из чистого химического элемента, а из какого-нибудь соединения). Левая половина кремния содержит примеси в виде отдельных атомов мышьяка, собственного полупроводника n-типа, заменяющих малую часть атомов кремния. В правой половине таким же образом имеются атомы германия, собственного полупроводника p-типа. Можно подумать, что при наличии в левой части множества свободных отрицательно заряженных электронов, а в правой – большого количества положительно заряженных дырок все эти электроны и дырки должны будут находить друг друга и аннигилировать, так же как в «Горе Аналог» у каждого человека существует в скалах пустой двойник, с которым он неизбежно воссоединяется в смерти. Это предположение справедливо: вблизи границы между двумя половинами электроны и дырки действительно мигрируют, сталкиваясь друг с другом и аннигилируя. Однако следует помнить, что атомы мышьяка и германия исходно нейтральны, то есть не имеют электрического заряда: они содержат другое количество электронов, нежели атомы кремния, но в то же время содержат и другое количество протонов, которые компенсируют заряд этих электронов. Поэтому, когда электроны и дырки начинают перемещаться и аннигилировать, после них остаются заряженные атомы примесей. В результате область n-типа вблизи границы между двумя половинами становится положительной, а аналогичная область p-типа – отрицательной. Это создает электрическое поле, препятствующее дальнейшему перемещению электронов и дырок. Такая заряженная зона вблизи границы называется обедненной областью.

Миграция зарядов напоминает мне об одной замечательной книге в жанре фэнтези, «Луде-туманном» (Lud-in-the-Mist, 1926) Хоуп Мирлиз. Описанная в ней страна Доримар во многом похожа на наши, но отличается тем, что граничит с землями эльфов. Местные жители по большей части стараются не слишком приближаться к границе: там происходят странные вещи, так как магия эльфов отчасти просачивается в наш мир. Вполне можно предположить, что в приграничной полосе по другую сторону наблюдается аналогичное влияние нашего мира на мир эльфов, которое кажется тамошним обитателям столь же магическим. Обедненная область подобна такой пограничной полосе между мирами.

Важность n-p-перехода связана с тем, что происходит при приложении к нему напряжения. На самом деле, при приложении напряжения в противоположных направлениях в нем происходят разные вещи. Подсоединим p-сторону к положительному полюсу батареи, а n-сторону – к отрицательному. Напряжение, создаваемое батареей, может частично компенсировать заряд, накопившийся в обедненной области. Эта область становится уже, все плотнее прижимается к границе. Чем выше напряжение, тем уже становится обедненная область и тем меньшим препятствием для течения тока становится ее электрическое поле, пока наконец при не слишком высоком напряжении ток может течь через весь переход. Однако при приложении напряжения в обратном направлении обедненная область становится не уже, а шире. Течение тока затрудняется еще сильнее: мир эльфов проникает в Доримар, и правящий эльфами герцог Обри, давно изгнанный из страны, вновь принимается мучить ее население своей злобной магией.

Транзистор развивает ту же идею. Простейший тип транзистора – это полупроводник с тремя чередующимися слоями разных типов, n-p-n. Как мы помним, к нему присоединены три контакта. Контакт А подключен к левой части (n), контакт Б – к средней (p), а контакт В – к правой (n). Если создать напряжение между контактами А и Б, барьер, препятствующий течению тока от А к В, уменьшится. Тщательный подбор разных концентраций примесей в двух областях позволяет получить искомый эффект – простое логическое условие: ЕСЛИ между контактами А и Б есть напряжение, ТО между контактами А и В может течь ток. Этот простой принцип лежит в основе всей современной вычислительной техники.

Отделение идеи от воплощения

Компьютеры не всегда были основаны на электронике. По одной из гипотез, одним из самых ранних предшественников компьютеров были кости с зарубками, которые использовались в качестве бирок или других математических пособий. В число примеров таких костей входят кость Ишанго (изготовленная приблизительно за 20 000 лет до н. э. и найденная на территории Демократической республики Конго) и кость Лебомбо (относящаяся к периоду порядка 40 000 лет до н. э. и найденная в горах между Южной Африкой и Эсватини). К одному концу кости Ишанго прикреплен острый кристалл кварца, делающий ее похожей на волшебную палочку; в одной из последовательностей зарубок есть группы из девятнадцати, семнадцати, тринадцати и одиннадцати штук, что заставляет предположить, что это могло быть пособие для вычислений на основе простых чисел. На кости Лебомбо двадцать девять зарубок: возможно, она имела отношение к числу дней лунного месяца. Имеющиеся данные не позволяют сделать окончательных выводов; также высказывалось предположение, что зарубки были сделаны просто для того, чтобы эти кости было удобнее держать в руке.

Абак определенно использовался для вычислений. Известны шумерские абаки с бусинами, которые двигались по стержням, созданные за 2700 лет до н. э. Умелый абакист мог быстро выполнять весьма сложные вычисления – например извлекать кубические корни. Абаки или счеты до сих пор используются во многих частях света; у меня есть счеты, доставшиеся мне по наследству от дедушки. Гораздо таинственнее «Антикитерский механизм», созданный около 100 года до н. э. в Греции. Считается, что это была механическая модель Солнечной системы, предназначенная для вычисления дат затмений и других астрономических событий. Это устройство содержит невероятно сложную систему шестерней; нам не известна ни одна система сравнимой сложности, созданная вплоть до изобретения часового механизма, который появился на целых 1500 лет позже.

Это подводит нас к тому заклинанию деления, при помощи которого мы, возможно, могли бы найти средство обойти закон Мура: нужно отделить идею компьютеров от их электронного воплощения. Полупроводники реализуют логические операции, отделяя положительные заряды от отрицательных. Может быть, мы сможем найти некое новое состояние материи, которое разделяет не электрические заряды, а нечто другое?

Возможно, естественно будет обратиться к ближайшему родственнику электричества – магнетизму.

Заряды и полюса

Хотя у электричества и магнетизма есть много сходств, между ними есть и одно важное различие: электрические заряды существуют, а магнитные нет. Магнитный заряд представлял бы собой северный полюс магнита без южного – или наоборот. Электрический ток – это течение электрических зарядов; поскольку не существует магнитного заряда, не может быть и магнитных токов. Казалось бы, это с самого начала исключает возможность существования магнитного аналога полупроводников. Однако давайте рассмотрим эту идею более пристально.

Хотя окружающие нас объекты в большинстве своем содержат положительные и отрицательные заряды в равных количествах, сила электричества заключается в отделении одних от других. Если заезжий коммивояжер предложит вам купить волшебную ткань, которой можно стирать электроны с отдельных атомов, вы, наверное, сочтете его либо волшебником, либо шарлатаном. Но такая ткань существует: из нее сделан любой шерстяной свитер. Если потереть им воздушный шарик, отрицательно заряженные электроны перейдут со свитера на шарик. Если бы это явление не было таким привычным, оно казалось бы в высшей степени волшебным. Но для магнитов такого заклинания деления не существует. А почему, собственно?

Простой ответ состоит в том, что у магнита всегда есть северный полюс и южный полюс. В переводе на профессиональный язык это означает, что магниты представляют собой «магнитные диполи», то есть имеют два полюса. Разрезав магнит пополам, вы получите два магнита меньшего размера, и у каждого из них будет два полюса. Если продолжить разрезать магнит на все более мелкие части, в конце концов вы дойдете до одиночного электрона, который – поскольку это элементарная частица – разделить невозможно. У электрона есть собственное магнитное поле – его спин, – и он тоже имеет северный и южный полюса. Раз два полюса есть даже у элементарной частицы, кажется, что на заклинание деления, способное разделить их, нечего и надеяться.

Но в этом есть нечто странное. Электрон имеет отрицательный электрический заряд: он является «электрическим монополем», то есть одиночным полюсом электричества. Если бы существовал магнитный заряд – северный полюс без южного или наоборот, – он был бы магнитным монополем. Элементарных частиц с электрическим зарядом существует сколько угодно; элементарной частицы с магнитным зарядом никто никогда не наблюдал. Странно тут то, что, по-видимому, не существует никакой фундаментальной причины, по которой это так. Напротив: законы физики имели бы гораздо более изящный вид, если бы были найдены магнитные заряды. В то же время их существование дало бы ответы на некоторые из самых важных вопросов о природе реальности: например, почему электрический заряд, по-видимому, всегда бывает кратным заряду электрона. На поиски элементарных магнитных монополей направлены многие проводящиеся сейчас эксперименты, но пока что в них не нашли ничего. А поскольку у нас нет магнитно заряженных элементарных частиц, не может быть и других магнитно заряженных объектов.

Хочется спросить, как же магнетизм вообще существует, если не существует магнитного заряда. Тут дело в том, что хотя элементарные частицы, по-видимому, никогда не имеют магнитного заряда, иногда бывают магнитными диполями – именно это имеют в виду, когда говорят о спинах частиц. Хотя классические аналоги спина всегда неточны, в общих чертах его можно представить себе следующим образом: когда по проволочной обмотке течет электрический ток, он создает магнитное поле. Можно считать, что спин атома порождается электрическим током, вызванным движением электрона по орбите вокруг ядра. Откуда берется спин у одиночного электрона – вопрос более сложный, но вы можете заметить, что, если зарядить воздушный шарик, потерев об него свитер, а потом закрутить его, вращение заряда и в этом случае будет создавать магнитное поле. Эти аналогии отражают один важный аспект – причину, по которой у магнита всегда обнаруживаются оба полюса. Поднесите свой заряженный шарик к часам. Теперь закрутите его по часовой стрелке – в том направлении, в котором вращаются стрелки часов. Если вы измерите магнитное поле шарика из той точки, в которой вы стоите, вы обнаружите северный полюс, вокруг которого шарик вращается по часовой стрелке. Но если подойти к шарику с противоположной стороны, там окажется южный полюс, и с этого направления шарик кажется вращающимся против часовой стрелки. Вы увидите, что разделить полюса магнита так же невозможно, как отделить движение по часовой стрелке от движения против нее.

Но, несмотря на все это, надежда на магнитный полупроводник все же есть. Дело в том, что физика конденсированного состояния изучает не элементарные частицы, а эмерджентность.

Распиливание пополам

Один из узлоделов, назначенных на каждый остров, становится узловым мастером. Эта звание говорит не только о совершенном владении искусствами вязания узлов, но и о мудрости в делах правления. Узлового мастера каждого острова выбирает клан наблюдателей. Тот факт, что эта задача является главным делом наблюдателей, говорит о важности этого назначения. У наблюдателей есть набор испытаний, которым они подвергают членов клана узлоделов в очень юном возрасте. Некоторые из этих испытаний непосредственно связаны с узлами – например состязания в развязывании и повторении узлов, которые проводятся между узлоделами. В других нужно продевать предметы в отверстия или обносить их вокруг препятствий в соответствии с определенными последовательностями, а также создавать вязаные или шитые узоры. Бывают задания в форме загадок, например:

У этой нити есть два конца, левый и правый.

Покажи мне нить, у которой лишь левый конец.

Цель этого испытания – не столько получение верного ответа, сколько удовольствие от процесса завязывания мысленного узла, начинающегося с загадки. Даже если на первый взгляд она похожа на шутку или банальность, узловой мастер заметит в такой фразе тончайшую нить смысла, потянув за которую, он начнет разматывание бесконечного клубка. Беседа двух узловых мастеров ведется так, что случайный наблюдатель может вполне резонно решить, что они несут полную бессмыслицу. Такой наблюдатель недоумевает, каким образом мастера понимают друг друга и в конце концов приходят к разумным выводам. На самом же деле мастера заняты переплетением двух нитей рассуждений…

Эта книга не предназначена для разоблачения секретов волшебства. Она не претендует на роль недолговечной телепрограммы 1990-х годов[77] «Тайны великих магов. По ту сторону фокусов» (Breaking the Magician’s Code: Magic’s Biggest Secrets Finally Revealed), которую вел актер Митч Пиледжи, известный по сериалу «Секретные материалы». Это меня огорчает. Нескрываемое пренебрежение Митча к трюкам, исполняющему их «Фокуснику в маске» и публике у экранов домашних телевизоров превратили шоу в превосходное развлечение для воскресного дня. Однако сейчас – один-единственный раз – я поступлюсь честью мундира фокусника и наконец открою одну из величайших тайн иллюзионизма – как распилить человека пополам.

Точнее, я наконец расскажу, что я думал о том, как устроен этот фокус, потому что оказалось, что я ошибался. Я предполагал, что в ящике спрятан второй человек: я думал, что вижу голову одного человека и ноги другого. На самом деле, как объяснил нам Митч, когда мы видим ноги, торчащие из ящика, это муляж с дистанционным управлением.

Давайте все же разработаем свой собственный вариант этого фокуса, работающий так, как предполагал я. В таком случае то, что кажется нам одним человеком, разрезанным на две части, – это на самом деле два целых человека. Возможно, вы видели в таком варианте фокус, исполнитель которого притворяется, что волшебным образом отрывает один из своих больших пальцев: на самом деле он прячет палец в другой руке. (Если, конечно, у него нет муляжа большого пальца с дистанционным управлением.) Если у нас есть несколько экземпляров предмета, мы можем сделать вид, что делим один и тот же предмет пополам. В физике конденсированного состояния речь идет не о двух экземплярах, а об огромном их множестве.

Представьте себе несколько магнитов, разложенных в ряд, концами друг к другу. Северный полюс каждого из них покрашен в красный цвет, а южный – в синий. Если в достаточной степени расфокусировать зрение, весь ряд магнитов кажется фиолетовым. При переворачивании одного из магнитов получается двойной синий участок, а рядом с ним – двойной красный. Эти двойные участки настолько велики, что они остаются синими или красными, даже если смотреть на них расфокусированными глазами; мы получили участок концентрации северных полюсов рядом с участком концентрации южных. Перевернем теперь следующий в ряду магнит. Один из двойных участков – скажем, красный, – сдвинется на один шаг. Переворачивая следующие магниты, можно перемещать участки концентрации северных и южных полюсов независимо друг от друга. Так можно разделить полюса!

Переворачивание магнитов

Чтобы подчеркнуть, насколько это поразительно, вот вам простая иллюстрация невозможности разделения концов магнита. Представьте себе, что магнит лежит перед вами северным полюсом влево. Тогда ясно видно, что пытаться получить северный полюс без южного – все равно что пытаться получить левый конец без правого! Разделение полюсов, даже в эмерджентном смысле, дает ответ на загадку узлоделов – «покажи мне нить, у которой лишь левый конец». Чтобы изолировать участок концентрации северных полюсов, нужен очень длинный ряд магнитов, и южный полюс нужно переместить очень далеко вправо.

Мы создали магнитные монополи, использовав эмерджентность. Суммарная намагниченность исходит из двойного северного полюса и возвращается к двойному южному, но без нарушения каких бы то ни было физических законов. Но эта макроскопическая история с магнитными брусками – лишь забавная интерпретация вполне знакомых нам явлений. Настоящая магия получилась бы, если бы то же самое происходило естественным образом, на атомном масштабе, внутри реального кристалла. Вот что я имею в виду. Во-первых, у нас есть некое интуитивное эстетическое ощущение, что созданное природой лучше рукотворного. Например, искусственная трава не идет ни в какое сравнение с природной, а настоящие опалы могут стоить в миллионы раз дороже, чем синтетические. Во-вторых, как, я надеюсь, я вас уже убедил, эмерджентные квазичастицы ничуть не менее реальны, чем частицы элементарные. С этой точки зрения, если бы из поведения индивидуальных атомов могли возникать магнитные монополи, они были бы реальными. Но лучше всего было бы, если бы монополи давали простое объяснение ситуации, которая без них кажется до невозможности сложной. Переворачивание брусковых магнитов не вполне справляется с этой задачей.

Естественное возникновение монополей было бы выгодно и с практической точки зрения. Когда ученые создают магнитные системы, это отнимает немало времени и энергии, а в результате получаются весьма крупные сооружения. Но природа умеет создавать сложнейшие магнитные конструкции атомных масштабов в мгновение ока. Это происходит в процессе роста кристаллов, и системы эти получаются более компактными и прочными, чем любые микроэлектронные устройства, созданные человеком. Что-то в этом роде и требуется для создания магнитной версии полупроводников. По счастью, природа вполне может, используя две-три подсказки специалистов по выращиванию кристаллов, выполнять свой собственный фокус с распиливанием пополам.

Спиновый лед

Мы подслушиваем заклинания в шепоте природы. Где же найти такое заклинание деления? Кристаллы титаната диспрозия (Dy_2Ti_2O_7) и титаната гольмия (Ho_2Ti_2O_7) относятся к парамагнетикам. Насколько нам известно, они не растут в природе, но специалисты по выращиванию кристаллов в разных странах вырастили несколько экземпляров. При охлаждении до очень, очень низких температур они превращаются в нечто поразительное – «спиновый лед».

Это фундаментально новый тип магнита. Поскольку речь идет о кристаллах, атомы спинового льда находятся в регулярной периодической структуре (строго говоря, это ионы, так как они имеют электрический заряд, но это в данном случае несущественно). У каждого из них есть свое магнитное поле, спин. Регулярная структура кристаллической решетки спинового льда состоит из треугольных пирамид, тетраэдров. У каждой пирамиды есть четыре вершины. Они расположены таким образом, что каждая вершина одной пирамиды соприкасается с вершиной другой. В точках соприкосновения пирамид и расположены ионы. Спин каждого иона направлен точно к центру одной пирамиды и точно от центра другой.

Представьте себе, что все четыре спина направлены к центру того тетраэдра, в вершинах которого они находятся. То есть все четыре северных полюса направлены к центру, друг к другу. Магниты будут стремиться выйти из этого положения, потому что одноименные полюса отталкиваются. Аналогичным образом они не могут быть все направлены вовне, потому что тогда к одной и той же точке будут направлены южные полюса. Оптимальным будет расположение, в котором два спина направлены внутрь, а два – наружу. Для каждой пирамиды есть шесть вариантов такой конфигурации. Если спины во всех пирамидах кристалла ориентированы таким образом – два внутрь, два наружу, – такое состояние и называется спиновым льдом.

Два тетраэдра, треугольные пирамиды, со спинами в каждой вершине

Ячейка спинового льда: в каждом тетраэдре два спина направлены внутрь и два наружу

Вообразите теперь, что северные концы спинов покрашены в красный цвет, а южные – в синий. Речь идет об атомном масштабе, на котором никаких красок не существует, но представить себе такую ситуацию вполне можно. Если расфокусировать зрение, сочетание двух спинов, направленных внутрь, и двух, направленных наружу (двух красных и двух синих), кажется фиолетовым. То есть состояние спинового льда повсюду фиолетово. Но реальные кристаллы испытывают нарушающее порядок воздействие температуры, а потому не все пирамиды находятся в низшем энергетическом состоянии. Если перевернуть один из спинов с направления «наружу» в направление «внутрь», получится состояние с тремя спинами внутрь и одним наружу. Пирамида с тремя красными вершинами и одной синей кажется расфокусированному взгляду красной. Это участок концентрации северных полюсов – северный магнитный монополь! Но перевернутый спин принадлежит и к соседней пирамиде, в которой теперь получилось три спина наружу и один внутрь. Она кажется синей – это южный монополь. Благодаря дальнейшим переворотам спинов север и юг могут разделиться, как мы и надеялись.

Эта способность к возникновению участков концентрации северных и южных полюсов и есть то природное осуществление магнитных монополей, к которому мы стремились. Некоторые исследователи предпочитают не называть их квазичастицами на том основании, что их появление может быть объяснено законами классической физики, а не квантовой механики. Но это не отменяет реальности таких монополей. Например, если поднести к поверхности спинового льда магнитометр (детектор магнитных полей), можно ожидать обнаружения именно таких изменений магнитного поля, какие происходили бы при существовании элементарных магнитных монополей. Вспомним одну из центральных тем этой книги: эксперименты измеряют эмерджентные свойства, потому что наша реальность, наша срединная область, эмерджентна.

Название «спиновый лед» не имеет никакого отношения к температуре. Собственно говоря, такие кристаллы намного холоднее льда: они становятся спиновым льдом в районе 2 К, всего на 2 °C выше абсолютного нуля. Они холоднее, чем сама Вселенная! Температура Вселенной в космическом вакууме, вдали от звезд и других объектов, составляет около 2,7 К. Такова температура космического реликтового излучения – энергии, оставшейся после Большого взрыва. Охладить кристаллы до такой температуры – дело трудоемкое, но возможное для искусных экспериментаторов.

Молекулярное строение льда

Откуда же взялось название спинового льда? Лед состоит из воды, H_2O. В его кристаллах атомы кислорода расположены в повторяющейся периодической структуре. У каждого атома кислорода есть четыре соседних атома кислорода, образующие вокруг него тетраэдр. Кроме того, при каждом атоме кислорода есть два атома водорода, ориентированные в двух из этих направлений. Выбор этих двух направлений не фиксирован, в результате чего для каждого тетраэдра снова существуют шесть возможных вариантов. Два направлены внутрь, два наружу, как спины в спиновом льду. Этот принцип называется правилом льда, и он чрезвычайно важен для природы материи.

Новые миры за полюсами

В научной фантастике и фэнтези часто используется тема новых миров, которые можно открыть за полюсами Земли. Наверное, самый знаменитый современный пример этого дает трилогия Филипа Пулмана «Темные начала», но эта тема была в книге, которую часто называют первым научно-фантастическим произведением, – романе «Описание нового мира, называемого Пылающим миром» (The Description of a New World, Called The Blazing-World, 1666) Маргарет Кавендиш. На книгу Кавендиш явно оказала влияние опубликованная годом ранее научная работа «Микрография» (Micrographia) Роберта Гука, открывшего новый мир микроскопических живых организмов. Спиновые льды таким же образом используют свое заклинание деления, чтобы открыть дверь в новый мир микроскопического масштаба; в этом кристаллическом мире существуют магнитные монополи, которых, по-видимому, не может быть в нашем.

Ключевое доказательство существования спиновых льдов было получено из измерений теплоемкости кристаллов. Увеличение удельной теплоемкости кристаллов при их охлаждении ниже 2 К означает, что для заданного изменения температуры требуется большее количество тепла. Нечто похожее можно наблюдать и при фазовом переходе к другому состоянию вещества, но при фазовом переходе возникает либо радикальный огромный пик теплоемкости, либо ее скачкообразное изменение, а спиновый лед дает плавный горб. Что же его вызывает?

В главе III мы видели классическое определение материи: это то, что возникает на макроскопическом масштабе при порождающем жесткость спонтанном нарушении симметрии во взаимодействии множества частиц. Типичный пример такого явления – образование ферромагнетика из парамагнетика. При высоких температурах спины индивидуальных ионов в парамагнетике ориентированы в произвольных направлениях. Хотя они испытывают воздействие магнитных полей друг друга, разрушающее порядок воздействие температуры приводит к тому, что они стремятся не к минимизации энергии, а к максимизации энтропии. По мере охлаждения материала это равновесие постепенно смещается до тех пор, пока не происходит фазовый переход, при котором их спины спонтанно ориентируются в одном направлении. В результате возникает так называемый дальний порядок. Если попытаться развернуть один из спинов, этому сопротивляются все спины вместе: это состояние жестко.

Когда из парамагнетика образуется спиновый лед, происходит нечто другое. При высоких температурах (относительно «высоких» – выше 2 К) спины каждого тетраэдра произвольным образом направлены внутрь или наружу. У многих тетраэдров есть четыре спина, направленных внутрь, и ни одного, направленного наружу, у многих других один внутрь и три наружу – и так далее. При охлаждении материала ниже 2 К все тетраэдры начинают переходить в состояние «два внутрь, два наружу». Если дать им достаточно времени, все тетраэдры в принципе должны перейти к такой конфигурации. Но это не дальний порядок: если я знаю, какова ориентация одного спина, это ничего не говорит мне об ориентации других спинов в других местах. Однако между спинами есть некая корреляция, в том смысле, что каждый спин является частью пары тетраэдров, находящихся в состоянии «два внутрь, два наружу». И в этом обстоятельстве есть нечто поистине замечательное.

Чтобы понять, почему это так, представим себе следующую упрощенную модель спинового льда (так называемый «квадратный лед»): начертим сетку с квадратными ячейками и попытаемся расставить по сторонам квадратов стрелки таким образом, чтобы на каждую вершину квадрата – точку, в которой сходятся четыре стрелки, – приходились две стрелки, направленные к ней («внутрь»), и две, направленные от нее («наружу»). Добиться этого очень трудно, если только не сделать так, чтобы все стрелки были ориентированы одинаково (скажем, все вертикальные вверх, а все горизонтальные – вправо). Вы можете попробовать и быстро убедиться, как это сложно. Проблема состоит в том, что, хотя первые несколько стрелок можно расставить произвольным образом, потом быстро обнаруживаешь, что заходишь в тупик: какую бы стрелку ни нарисовать, в каком-нибудь другом месте никак не получается сделать так, чтобы две были направлены внутрь, а две – наружу. Тот факт, что реальные материалы способны решать эту задачу, поразителен. Еще поразительнее то, что они способны делать это в ситуации, когда каждый спин учитывает только состояние своих ближайших соседей. Взаимодействия между соседними спинами порождают крупномасштабные корреляции – так же как муравьи составляют из своих тел сложные структуры, просто взаимодействуя каждый со своими соседями. Это дает явный пример эмерджентного явления[78].

Квадратный лед

Кстати, спины все же ощущают магнитное поле более удаленных спинов, но это не меняет сути дела. Если включить в модель и эти взаимодействия, оказывается, что эмерджентные магнитные монополи начинают взаимодействовать друг с другом. Взаимодействуют они в точности так же, как взаимодействуют посредством своего электрического поля электроны, и это делает аналогию еще более точной.

Идея дальних корреляций без дальнего порядка заставляет задуматься о необходимости более гибкого подхода к состояниям вещества. Соблазнительно назвать спиновый лед отдельным состоянием вещества, так как его поведение на макроскопическом масштабе измеримым образом отличается от поведения парамагнетика, из которого он образуется. Но большинство исследователей предпочитает называть его «коррелированным парамагнетиком», а горб удельной теплоемкости – не настоящим фазовым переходом, а преобразованием. В конечном счете все зависит от того, как определять эти термины.

С уверенностью можно утверждать лишь то, что дальние корреляции спинового льда имеют реальные последствия для нашей срединной области. Еще одно ключевое доказательство существования спиновых льдов было получено методом нейтронографии, или дифракции нейтронов. Эта методика похожа на проход сквозь зеркало при помощи рентгеновской дифракции – превращение малого в большое для получения фотографии мира кристалла. Когда жидкость замерзает и превращается в кристалл, в ней возникает дальний порядок; если при этом просветить вещество рентгеновскими лучами, возникнет дифракционная картина с набором резких, мелких пятен. Размер этих пятен будет тем меньше, чем бо́льшую дальность имеет дальний порядок кристалла. Но нейтроны также подвержены дифракции. Это может показаться странным, так как нейтроны принято считать не волнами, а частицами, но на самом деле они представляют собой квантовые объекты и способны дифрагировать. Главное отличие состоит в том, что у каждого нейтрона есть спин. Поэтому рассеяние нейтронов не только проявляет кристаллическую структуру материала, но и измеряет распределение спинов. Что же происходит с картиной дифракции нейтронов, когда материал охлаждается до состояния спинового льда? На ней не могут появиться резкие точки, потому что они означали бы наличие дальней корреляции, а в дифракционной картине большое становится малым. Вместо этого появляются образования, которые называют «точками сужения». Они растянуты в одном направлении и сжаты в другом. Здесь приведено приблизительное изображение такой картины: темные области соответствуют высокой интенсивности рассеяния нейтронов, а контуры показывают, как изменяется эта интенсивность. Точки сужения – это места, в которых черные области почти соприкасаются друг с другом (при более высоком разрешении они действительно соприкасаются).

Нейтронографическое изображение спинового льда

В детстве я часто раздумывал о том, можно ли оторвать от магнита северный полюс. Со временем я пришел к убеждению, что это, вероятно, невозможно. Но где-то в глубине моего сознания по-прежнему оставалась мысль о том, что, может быть, как-нибудь это все-таки можно сделать. Когда я был студентом Оксфорда, перед четвертым курсом мне нужно было выбрать две специализации. Я выбрал теоретическую физику и физику элементарных частиц. Но летом перед началом этого, последнего курса появилась новость об открытии в спиновых льдах магнитных монополей[79]. Эта работа была теоретической, но в ней было хитроумное сопоставление численных моделей с имевшимися экспериментальными данными, выглядевшее очень убедительно. Узнав об этом, я немедленно сменил специализацию: начиная с этого момента, я стал заниматься теоретической физикой и физикой конденсированного состояния. Окончив Оксфорд, я поступил на старший курс магистратуры в Институт теоретической физики «Периметр». В дипломной работе я моделировал дифракцию нейтронов в спиновых льдах, используя методику, разработанную в теории струн. Возможно, это было не совсем то, что я имел в виду, когда обдумывал, как отделить от магнита северный полюс, но магии в этом было ничуть не меньше. Я вернулся к тому, что волновало меня в детстве: эта задача в конце концов оказалась разрешимой, но более сложным путем, чем мне когда-то представлялось.

Цвета шума

Впоследствии мне повезло участвовать в качестве теоретика в других экспериментальных поисках корреляций в спиновом льду, которые одновременно развили и прояснили его аналогию с полупроводниками. Я хотел бы рассказать вам об этой работе, потому что она отражает извивы и повороты на пути к научным открытиям. Позвольте рассказать эту историю с самого начала.

Научная идея родилась, когда мы были где-то в окрестностях Беркли, в сотне миль от края пустыни. Мой друг профессор Норм Яо сконструировал прибор, способный обнаруживать магнитные поля на уровне нескольких десятков атомов. Я предложил использовать его для поисков магнитных монополей в спиновом льду. Мы связались с профессором Стивеном Бланделлом из Оксфорда, моим бывшим учителем и специалистом по спиновым льдам, и профессором Амиром Якоби из Гарварда, специалистом по магнитометрическим методам, которые мы надеялись применить. Но настоящим героем этой истории стала доктор Фран Киршнер, бывшая тогда аспиранткой Стива в Оксфорде: она создала при помощи своего компьютерного колдовства превосходные численные модели того, что мы могли ожидать увидеть[80]. Оказалось, что при температурах, которые можно было получить в этом эксперименте, монополей должно было быть слишком много, чтобы их можно было обнаружить. Как будто некто выдвинул теорию о возможности существования капли дождя и предсказал, с каким звуком она должна падать, и вдруг капли хлынули потоком, причем со звуком «шииищщщ».

В действительности такая аналогия со звуком оказалась очень точной. Магнитометр измеряет напряженность магнитного поля в точке, расположенной вблизи спинового льда – но вне его. По мере приближения и удаления монополей от детектора, а также их появления и исчезновения, это поле становится то сильнее, то слабее. При наличии такого большого количества монополей сигнал должен превращаться в чистый белый шум. Но вспомним преобразование Фурье: любой шум можно разложить на смесь чистых тонов; то же справедливо и для изменений магнитных полей во времени. Фран использовала преобразование Фурье, чтобы выяснить, какую смесь частот магнитного поля можно получить в нашем случае. В результате получилось нечто действительно очень похожее на шум дождя или реки, текущей по камням, или закипающего чайника – что-то вроде «шииищщщ». Но когда она рассмотрела этот результат подробнее, звук оказался несколько иным – чуть более похожим на «шууущщщ».

Точности ради необходимо понимать, что не все шумы одинаковы. У шума есть так называемый «цвет» – аналог цвета, который имеет свет. Если взять в равных пропорциях все частоты (цвета) видимого света, результат получится белым. А если взять в равных пропорциях все частоты (тона) звука, получится белый шум. Менее известен пример розового шума. В этой смеси больше низких частот, и она больше похожа на «шууущщщ», чем на «шииищщщ». Названа она тоже по аналогии со светом: если смешать частоты света, но с большей долей цветов с низкими частотами (более красных), результат получится розовым. Слушать белый шум очень неприятно, а розовый шум оказывается весьма успокаивающим. Я впервые узнал о нем подростком, когда попал на производственную практику на предприятие, производившее аудиоколонки. При изготовлении колонки важно убедиться, что динамики не дребезжат, и ее необходимо испытать на самых разных частотах. Для этого можно воспроизводить белый шум, поскольку это смесь всех частот в равных пропорциях, но никто никогда не захочет слушать белый шум из своих колонок. Вместо белого шума можно использовать розовый, так как в нем все частоты содержатся приблизительно в таком же распределении, как в музыке.

Одна из теорий предполагает, что розовый шум успокаивает потому, что напоминает нам о звуках, которые мы слышали в утробе матери; если это так, становится интересным то обстоятельство, что в музыке, которую мы создаем, используется такая же смесь частот. На самом деле розовый шум возникает во многих местах. Ученые утверждают, что обнаруживают его в огромном числе природных и искусственных явлений, от поведения фондовых рынков до высот приливов, срабатывания нейронов, последовательностей ДНК, ритмов сердцебиения и гравитационных волн. Его часто называют самым наглядным примером универсальности в физике[81]. Если придать еще больше веса низким частотам (произнести тот же звук «шууущщщ», но басом), получится красный шум. С красным шумом тоже связано множество процессов. Так, пример красного шума дает броуновское движение – перемещение частиц пыльцы в воде. Именно построенная Эйнштейном математическая модель движения частиц пыльцы, вызываемого столкновениями с отдельными молекулами воды, позволила ему в 1905 году убедить мир в существовании атомов. Основную идею высказывал еще в 60 году до нашей эры римский философ Лукреций, приводивший пример пляшущих в воздухе пылинок, которые видны «…всякий раз, когда солнечный свет проникает // В наши жилища и мрак прорезает своими лучами»[82]. Но получить несомненные доказательства справедливости микроскопической модели позволили только проверяемые предсказания модели Эйнштейна.

Позвольте мне объяснить более точно, в чем состоит измерение шума в применении к спиновому льду. Магнитометр регистрирует магнитное поле, изменяющееся со временем по мере перемещений монополей. Если посмотреть на этот шумный, колеблющийся сигнал, можно увидеть, что в него входят вклады всех возможных частот изменяющегося со временем магнитного поля. Рассмотрев вклады всех частот магнитного поля, можно определить цвет шума магнитного поля кристалла. Если бы вклады всех частот в сигнал были одинаковыми, магнитное поле имело бы форму белого шума.

Развивая анализ Эйнштейна, можно доказать, что на высоких частотах любой парамагнетик должен выдавать совершенно красный шум. Это пример истинной универсальности, так как полупроводники также генерируют совершенно красный шум при образовании и исчезновении электронно-дырочных пар. А как обстоит дело со спиновым льдом? На этот вопрос помогает ответить компьютерная модель, которую создала Фран. Она обнаружила, что в спиновом льду на высоких частотах шум оказывается не красным. Хотя это зависит от температуры, он всегда остается розово-красным и розовеет с увеличением температуры. Из-за дальних корреляций поведение спинового льда обладает измеримыми отличиями от поведения парамагнетика. Это заставляет предположить, что поведение спинового льда отличается и от поведения полупроводника. Это действительно так и согласуется с теорией: поскольку элементарных магнитных монополей не существует, монополи должны быть соединены с антимонополями силовыми линиями магнитного поля, чего не происходит с электронами и дырками. Впервые это наблюдение было сделано еще в 1931 году, в исходной статье Поля Дирака, в которой он выдвинул теоретическое предположение о существовании магнитных монополей[83].

Через несколько месяцев после того, как мы получили численные предсказания, Фран докладывала о нашей работе на конференции. В зале присутствовал профессор Дж. К. Шеймус Дэвис. Если мы предполагали использовать крошечный, наномасштабный магнитометр, то Шеймус понял, что предсказания относительно шума должны выполняться и на нашем повседневном масштабе, в срединной области. Это позволило бы ставить более легкие эксперименты. Правда, «легкими» в экспериментальной физике обычно называют работы, которые на существующем технологическом уровне могут занимать несколько лет. Но этот случай оказался исключением благодаря невероятному экспериментальному мастерству аспирантки Шеймуса, доктора Ритики Дусад. Всего через несколько дней после доклада Фран мы получили по электронной почте сообщение о том, что Ритика построила экспериментальную установку, провела измерения и подтвердила предсказания Фран: шум в магнитном поле оказался не красным, как у любого парамагнетика, а розово-красным. Из этого следовало, что спиновый лед ведет себя так, как будто он состоит не из магнитных диполей, а из магнитных монополей. Когда в результате поведения множества диполей возникают монополи, измерения «видят» именно монополи – так же как, когда из коллективного поведения множества атомов возникает сова, мы видим сову, а не атомы[84].

Впоследствии Ритика рассказала мне, как ее поразило то, какие именно умения могут потребоваться физику-экспериментатору. В ее случае главным из них оказалось умение шить, которое дала ей бабушка: для проведения измерений ей нужно было аккуратно обмотать проволоку шесть раз вокруг чрезвычайно крошечного кристалла спинового льда, а затем подсоединить эту обмотку к очень чувствительному детектору магнитных полей, который называется «сверхпроводящий квантовый интерферометр», сокращенно SQUID[85]. SQUID может воспринимать определенный диапазон частот магнитного поля – точно так же наши уши воспринимают определенный диапазон звуковых частот. Интересно отметить, что эти диапазоны пересекаются: мы слышим звуки с частотой приблизительно от 20 Гц до 20 кГц, а SQUID регистрирует магнитные поля с частотой от нескольких герц до приблизительно 2,5 кГц. Поэтому сигнал магнитного поля, который получается при помощи SQUID, можно преобразовать в самый настоящий шум, состоящий из звуков соответствующей интенсивности на каждой из частот, что позволяет услышать магнитные монополи. Ритика провела такие измерения, и разница между обнаруженными при помощи SQUID парамагнетиками, то есть магнитными диполями, и спиновым льдом, то есть магнитными монополями, действительно заметна на слух. Чтобы найти магнитные монополи, нужно всего лишь прислушаться.

Магнитные монополи в спиновом льду – это лишь один из возможных вариантов не использующей электрических зарядов технологии, которая может прийти на смену нынешней электронике. Это лишь один из аспектов более широкой развивающейся области в составе физики конденсированного состояния, области заклинаний деления, официальное имя которых – фракционализация.

Фракционализация

Эмерджентные магнитные монополи – лишь один из примеров фракционализации: эмерджентность разделяет магнитный диполь на две половины, две фракции того целого, которым он был до этого. Мне кажется, что это один из самых глубоких примеров эмерджентности: казалось бы, эмерджентная сущность никак не может быть меньше того, из чего она возникает! Оказывается, может. Другим таким примером, привлекающим к себе как интерес физиков, так и финансирование компьютерной промышленности, является так называемое «разделение спина и заряда». Оно происходит, когда многочисленные частицы, каждая из которых обладает спином и электрическим зарядом, образуют смесь эмерджентных квазичастиц двух типов – у одного типа есть только спин, у другого – только заряд. Эти квазичастицы, которые называют спинонами и холонами, движутся независимо друг от друга и даже имеют разные массы. Их иногда сравнивают с Чеширским котом из «Алисы в Стране чудес», который мог отделяться от собственной улыбки:

– Д-да! – подумала Алиса. – Видала я котов без улыбки, но улыбка без кота! Такого я в жизни еще не встречала[86].

Разделение спина и заряда замечательно тем, что для перемещения спинов требуется меньше работы и при нем выделяется меньше тепла, чем в случае перемещения зарядов. По сравнению с электроникой, в которой перемещаются заряды, «спинтроника» обещает огромное увеличение производительности. По сути дела, спин используется в ней так же, как заряд в электронных приборах, но на меньших масштабах и с меньшим расходом энергии. Эта технология – не дело отдаленного будущего: спинтронные приборы существуют уже сейчас. В «Международной дорожной карте устройств и систем» (International Roadmap for Devices and Systems), составленной лидерами полупроводниковой промышленности, спинтроника отнесена к технологиям, осуществимым в настоящее время; спинтронная компьютерная память уже внедрена в коммерческие изделия, хотя для более широкого ее внедрения требуется дальнейшее развитие этой технологии.

Разделение спина и заряда происходит в материалах, которые можно считать приблизительно одномерными. Это может казаться странным, но на самом деле в этом нет ничего такого уж необычного: хотя реальные материалы трехмерны, в некоторых из них имеются сильные связи между атомами внутри цепочек и слабые связи между такими цепочками. Поэтому электрону, который пытается перемещаться внутри такого материала, легко передвигаться вдоль одномерной линии, но чрезвычайно трудно выйти за ее пределы. Один из примеров материалов, в которых, как сообщают, было обнаружено это явление, – купрат стронция (SrCuO_2)[87]. Возможно, замечательнее всего тот факт, что разделение спина и заряда предположительно является для одномерных металлов скорее правилом, чем исключением. Основную картину того, как это происходит, понять не так уж и сложно. Ее объяснил мне специалист по одномерным веществам, оксфордский профессор Фабиан Эсслер. Здесь я перескажу своими словами его объяснение этого явления.

Монеты изображают электроны, а орлы и решки соответствуют спинам, направленным к странице и от нее. Удаление монеты (электрона) создает дырку, а кроме того, оставляет две решки по обе стороны дырки. Так появляется область сосредоточения спинов, направленных внутрь страницы

Монеты справа перемещаются в дырку, отчего она сама перемещается вправо, и это отделяет ее от двойной решки

Наконец, двойная решка смещается влево в результате переворота двух соседних монет

Высыпьте на стол местной таверны содержимое карманов своей мантии; отодвиньте всевозможные безделушки, драгоценные камни и клочки древнего пергамента с проклятиями и соберите все монеты, которые там окажутся. Это, разумеется, будут гроши грубой чеканки. Разложите эти монеты в ряд на равном расстоянии друг от друга, чередуя орлы и решки. Каждая монета изображает отрицательно заряженный электрон; орлы соответствуют спинам, направленным вверх (северный полюс находится над столом), а решки – спинам, направленным вниз (северный полюс находится внутри столешницы).

Теперь уберите одну монету где-нибудь в середине ряда. Такое происходит, например, если фотон с высокой энергией попадает в материал и выбивает электрон. Предположим, эта монета лежала орлом: теперь на ее месте в материале образовалась дырка. Но кроме того, получился участок концентрации решек, то есть спинов определенного направления. И вот что замечательно: заряд и спин могут перемещаться независимо друг от друга. Чтобы переместить заряд, нужно проделать тот же фокус, что и со шляпами волшебников в главе V: сдвинуть монету, лежащую непосредственно справа от дырки, в результате чего дырка сместится вправо. Если повторить эту операцию еще пару раз, можно избавиться от положительного заряда – холона. Заметим, что при этом две монеты, лежащие решками, окажутся друг рядом с другом. Чтобы сдвинуть двойную решку – спинон, – перевернем левую монету двойной решки орлом кверху. Двойная решка исчезнет, зато слева от того места, где она была, появится двойной орел. Хотя это дает представление о механизме процесса, в реальном материале переворачивается и левая решка, и лежащий слева от нее орел. Таким образом одна двойная решка превращается в другую, сдвинутую на две позиции влево. Это менее резкое изменение магнитного поля, чем переворот лишь одного спина, и оно требует меньше энергии.

Разделение спина и заряда позволяет получить независимое течение спина. Следует подчеркнуть, что такая фракционализация отличается от того, что происходит при образовании магнитных монополей. В монополях заклинание деления отделяет северный полюс от южного. Здесь же заклинание отделяет спин от заряда, но у спина остаются оба полюса.

Хотя многое в фракционализации еще предстоит понять, у нее уже появилось множество разнообразных практических приложений.

Практическая магия

Одна из выгод, которых всегда можно ожидать от фундаментальной науки, состоит в том, что развитие экспериментальных методов, необходимое для проверки теорий, приводит к разработке новых технологий, которые используются затем на благо общества. Природа фундаментальных научных исследований такова, что они раздвигают пределы человеческого знания.

Одно из возможных приложений идей, описанных в этой главе, связано с развитием магнитно-резонансной томографии (МРТ)[88]. Используемые в больницах установки МРТ – это огромные и очень дорогостоящие машины. В процедуре МРТ нет ничего приятного: вам приходится лежать в большой трубе, а вокруг вас раздается громкий металлический грохот. Томограф измеряет расположение воды и жиров в теле, определяя его по спинам атомных ядер. Для измерения спинов необходимо прикладывать магнитное поле. Поскольку это поле взаимодействует с ними очень слабо, само оно должно быть чрезвычайно сильным. Этим и объясняются дороговизна, неудобство и большое энергопотребление таких устройств. Уровень применяемого поля определятся чувствительностью измерительной установки. Измерительный прибор, который Ритика Дусад использовала для измерения магнитных монополей, представлял собой самый чувствительный детектор магнитных полей из когда-либо созданных. При большей чувствительности детектора используемое магнитное поле может быть не таким сильным. Дороговизна и неудобство МРТ могут отчасти исчезнуть, что позволит больницам экономить время, электроэнергию и деньги, а пациентов избавит от ощущений, часто бывающих неприятными. В работе, опубликованной в «Трудах Национальной академии наук», уже была продемонстрирована на опыте практическая возможность создания установки МРТ со слабым полем[89].

Электричество и магнетизм повсеместно присутствуют в современных технологиях, но не будет преувеличением сказать, что электричество присутствует более повсеместно: электричество мы получаем у себя дома в любых количествах, чего нельзя сказать о магнетизме. Магнитных токов не существует, потому что не существует магнитных монополей. Если вы попытаетесь передать магнетизм по проводу, вслед за северным полюсом отправится и южный, который его скомпенсирует. Освоение монополей спиновых льдов, возможно, восстановит равновесие. Профессор Стив Брамвелл, бывший одним из первооткрывателей спиновых льдов, предложил для таких магнитных токов особое название – «магнитричество» (magnetricity). Впоследствии он и его коллеги нашли массу подтверждений существования монополей, представляя их себе именно в виде течения магнитричества через спиновый лед.

Правда, эти эмерджентные магнитные монополи могут существовать только в кристаллах спинового льда, а мы вряд ли будем сооружать линии энергопередачи из спиновых льдов и охлаждать их до 2 К – температуры, более низкой, чем температура самой Вселенной. Но, в принципе, мы можем начать внедрять связанную с ними технологию в уже разрабатываемые миниатюрные спинтронные приборы. Магнитричество обещает нам возможность создавать магнитные аналоги любых электронных приборов, способных работать на переменном токе. Это могло бы принести огромную пользу широкомасштабному внедрению спинтроники.

Деление против противоречий

Вернемся к задаче, о которой мы говорили в начале этой главы: может ли фракционализация породить фундаментально новый подход к вычислительным технологиям при нашем переходе в мир, лежащий за пределами области действия закона Мура? Мне кажется, что вероятность этого довольно велика. Одно из уже реализованных применений эмерджентных магнитных монополей – это создание искусственных спиновых льдов, матриц из магнитов, длина каждого из которых составляет около тысячной миллиметра. Всюду, где они встречаются, в конфигурации с самой низкой энергией, как и в спиновом льде, два магнита должны быть ориентированы внутрь, а два – наружу. Уже существуют логические элементы, изготовленные на основе искусственных спиновых льдов. Как и спинтроника, вычислительные системы с искусственными спиновыми льдами могут обладать гораздо большей производительностью, чем системы с передачей заряда. Более того, уже было показано, что искусственные спиновые льды способны работать на пределе Ландауэра, то есть с максимальным коэффициентом полезного действия, допускаемым вторым началом термодинамики[90]. Кроме того, спиновые льды привели к уточнению нашего понимания третьего начала. Как мы помним, оно утверждает, что при абсолютном нуле идеальный кристалл должен находиться в идеально упорядоченном состоянии, из чего следует, что с макросостоянием с наименьшей энергией должно быть совместимо одно-единственное микросостояние. Но у спинового льда – как и у льда обычного – есть приблизительно столько же конфигураций с наименьшей энергией, сколько атомов есть в кристалле. Наличие множественных возможных конфигураций с одной и той же энергией и есть беспорядок: множество микросостояний, совместимых с одним и тем же макросостоянием, то есть высокая энтропия. Осознание этого факта привело к необходимости слегка подправить третье начало. В современном понимании оно выглядит так: по мере приближения температуры к абсолютному нулю материя стремится лишь к состоянию постоянного беспорядка, то есть энтропия стремится не к нулю, а к некой постоянной величине; полностью избавляться от беспорядка не обязательно. Заставив ученых разбираться, как такие материалы вообще могут существовать, не нарушая законов термодинамики, спиновые льды дали нам более ясное понимание самих этих законов.

Эмерджентные магнитные монополи в спиновых льдах – и фракционализация в более широком смысле – это одно из возможных заклинаний деления, которые мы можем использовать для отделения идеи компьютеров от их воплощения в полупроводниках. Электронная промышленность началась с квантовой механики, когда исследователи физики конденсированного состояния впервые поняли, как устроены полупроводники, и ею же и закончится: пределы, которых достигают сейчас полупроводниковые технологии, находятся на таком малоразмерном масштабе, что становятся квантовомеханическими по самой своей природе. В таких мелких электронных приборах электроны перестают слушаться и начинают туннелировать из тех мест, в которых они нам нужны.

Но нам нужно попытаться плыть не против течения квантовой механики, а по нему. Использование квантовых эффектов обещает нам вычислительные мощности, которые сейчас невозможно даже вообразить. В этой главе мы говорили о развитии физики конденсированного состояния в XX веке, вплоть до нынешнего ее состояния, и ее ближайшем будущем. Теперь пришло время заглянуть еще дальше вперед – посмотреть на самую крупную отрасль промышленности 2035 года, сейчас еще не существующую.

VII

Защитные заклинания

За неимением лучшей аналогии можно сказать, что цикл появления на свет узлоделов похож на реинкарнацию. Для подлинного осмысления этого процесса необходимо хотя бы до некоторой степени понять мировоззрение узлодельческого клана, на которое влияет самая важная, самая мистическая и менее всего сознаваемая посторонними их способность: присущее им точное знание не только прошлого, но и будущего. Ее понимание тесно связано с принципами работы сплетений. Хотя результат вычислений может быть заранее определенным, у ведущего к нему процесса есть бесконечное множество возможных вариантов.

С точки зрения этих островитян, время – не линейная цепочка, соединяющая прошлое с будущим, но переплетающаяся паутина. История не записывается в неизменном виде, но интерактивно создается в уме узлодела по мере динамического чтения сплетения. Если смысл целого письменного текста может измениться из-за кляксы на одном-единственном слове, а одна-единственная оговорка может таким же образом изменить устное предание, то информация [о прошлом и будущем], зашифрованная в сплетении, может измениться только при завязывании или развязывании какого-либо узла…

Добро пожаловать в мир завтрашнего дня!

Можете ли вы вообразить новую технологию, жизни без которой не смогут представить себе люди завтрашнего дня? Вот мой ответ: квантовые компьютеры. В 1985 году физик Ричард Фейнман сделал следующее наблюдение: существуют физические процессы, про которые известно, что их невозможно за разумное время смоделировать в компьютере; однако природа постоянно моделирует их – попросту их осуществляя. Лошадь представляет собой идеальную квантовую модель лошади, точную от микроскопического до макроскопического масштаба и воспроизводящую все эмерджентные свойства, возникающие между ними. Поэтому, предположил Фейнман, если компьютеры будут использовать квантовую механику, они смогут выполнять некоторые полезные вычисления гораздо быстрее, чем это возможно сейчас.

Область применения таких квантовых компьютеров была бы огромной. Они могли бы точно определять поведение элементарных частиц: сейчас этим занимаются гигантские ускорители, подобные Большому адронному коллайдеру. Им нашлось бы применение в биологии и медицине: например, они могли бы упростить секвенирование геномов, что помогло бы бороться с вновь возникающими вирусами. Их можно было бы использовать для прогнозирования, открытия и даже конструирования лекарств. В химии они могли бы применяться, например, в разработке более совершенных батарей, что сыграло бы жизненно важную роль в устранении нашей зависимости от ископаемого топлива. Они могли бы моделировать молекулы и скорости реакций, а также прогнозировать новые методы синтеза. Сейчас на производство аммиака, использующегося во всем мире в качестве удобрения для сельскохозяйственных культур, расходуется около 2 % мировой энергии; при этом бактерии способны производить аммиак гораздо эффективнее, и молекулярное моделирование на квантовом компьютере могло бы показать, как это им удается.

Квантовые компьютеры – отнюдь не фантастика. Они уже существуют: в октябре 2019 года исследователи из компании Google опубликовали данные, показывающие, что их квантовый компьютер производит вычисления более чем в три миллиона раз быстрее, чем это под силу самому высокоскоростному суперкомпьютеру в мире. В декабре 2020 года группа из китайского города Хэфэя при помощи квантового компьютера решила за 20 секунд задачу, на решение которой классическими методами ушло бы 600 миллионов лет.

Однако существует одна проблема – кажущаяся невозможность масштабирования квантовых вычислительных систем. С каждым мучительным шагом вперед мы попросту застреваем еще больше, как в паутине. И затрудняет увеличение масштабов квантовых вычислительных систем именно источник их могущества.

Масштабирование – ключ к практическому применению. Например, часто говорят, что паутинный шелк прочнее, чем сталь. Если это так, почему же мы по-прежнему используем сталь, а не паутину? Дело в том, что прочность паутинного шелка не масштабируется. Она порождается связями между молекулами воды на микроскопическом масштабе, и паутинный шелк прочен только при микроскопической толщине. Если увеличить его толщину, молекулы воды останутся прежнего размера, и толстая паутина окажется безнадежно непрочной. Благодаря невероятным достижениям инженерного дела у нас теперь есть квантовые компьютеры, которые соотносятся с классическими так же, как паутинный шелк со сталью: они гораздо лучше, но только на мельчайших масштабах. Более того, масштабирование квантовых компьютеров для их применения к практическим задачам повседневных масштабов представляется сейчас еще более недостижимым, чем масштабирование паутинного шелка.

Мой друг и бывший коллега Стив Саймон, оксфордский профессор теоретической физики конденсированного состояния – один из лучших в мире специалистов по квантовым компьютерам. По его словам, квантовые процессы должны быть свободны от шума, то есть среда, в которой они происходят, должна быть очень холодной и очень чистой. Минимизация шума представляет собой сложную инженерную задачу. В этой области были достигнуты некоторые впечатляющие успехи, но трудность продвижения вперед растет с каждым шагом экспоненциально. Однако Стив отмечает, что может существовать и другая возможность – научиться не замечать шума. Этим путем идет теоретическая физика.

Нам нужен некий метод защиты квантовой информации от разрушительного воздействия внешнего мира. Защитное заклинание, которое мы будем составлять, называется топологией – изучением форм в общем смысле этого слова, в том числе завязывания узлов и проделывания отверстий. Это искусство появилось раньше, чем письменность; чтобы научиться этому заклинанию, нам понадобится усомниться в некоторых представлениях о реальности, которые мы считаем непреложными. Давайте сначала рассмотрим существующую ситуацию и оценим трудности практического применения квантовых компьютеров.

Сад расходящихся тропок

Классический компьютер – например тот, что установлен в вашем мобильном телефоне, – сохраняет информацию в виде битов, нулей или единиц. Мощность классического компьютера пропорциональна числу битов, которые он способен хранить в своей памяти: для удвоения мощности нужно удвоить число битов. Я ясно помню, как был удивлен, когда узнал, что суперкомпьютеры – это попросту огромные наборы обычных компьютеров, соединенных друг с другом. Я узнал об этом от экспериментатора, который выяснил, что самый рациональный способ наращивания вычислительной мощности – это покупка огромного количества подержанных игровых приставок Playstation 2.

С другой стороны, квантовый компьютер сохраняет информацию в виде квантовых битов, кубитов. Каждый из них представляет собой квантовую суперпозицию нуля и единицы. Это высшая форма параллельной обработки информации: сама Вселенная устроена так, что квантовая система, пока ее не измерили, сохраняет все возможные состояния. В отличие от классического компьютера мощность квантового возрастает с числом кубитов экспоненциально: для ее удвоения нужно просто добавить еще один кубит. Но вот в чем сложность: сложность добавления кубитов также растет экспоненциально, потому что каждый следующий кубит должен сочетаться со всеми остальными.

Что очень жаль, потому что квантовые компьютеры могли бы выполнять некоторые вычисления неизмеримо быстрее, чем классические аналоги. Вычисления кодируются в компьютерах в виде алгоритмов. Их часто сравнивают с рецептами, последовательностями инструкций, которым, скажем, алхимик должен следовать для получения желаемого результата.

Первый квантовый алгоритм разработал в 1985 году профессор Дэвид Дойч; в последующие годы на его основе был создан так называемый алгоритм Дойча – Йожи. Вычисление, которое выполняет этот алгоритм, было выбрано потому, что оно легко производится квантовым компьютером, но оказывается почти невозможно трудным для классического. Однако в книге «Структура реальности» (The Fabric of Reality, 1997)[91] Дойч уделяет особое внимание не ему, а алгоритму Шора, первому квантовому алгоритму, разработанному для практического применения. Алгоритм Шора – это процедура разложения заданного числа на простые сомножители при помощи квантового компьютера[92]. Если бы алгоритм Шора удалось внедрить на практике, это имело бы чрезвычайно важные последствия для защиты данных в интернете. Криптографический стандарт RSA, который используется в большинстве случаев обмена информацией через интернет, от сообщений электронной почты до банковских переводов, основан на том, что разложить большое число на простые сомножители практически невозможно. Решение этой задачи всеми известными нам методами занимает недопустимо долгое время, а числа, используемые в приложениях интернет-безопасности, состоят из сотен знаков. Доказать, что быстрого метода не существует, невозможно; однако было доказано, что открытие такого метода облегчило бы решение других чрезвычайно трудных задач. Поскольку весь комплекс таких задач остается нерешенным в течение очень долгого времени (во многих случаях сотен лет), специалисты по криптографии сочли, что они с высокой вероятностью никогда и не будут решены. Но квантовые компьютеры могли бы решать их в мгновение ока.

Дойч поднимает один интересный вопрос: откуда у алгоритма Шора берется способность работать настолько быстрее любого из возможных классических методов? Сам он отвечает, что эта способность происходит из параллельных вселенных. Дойч – один из ведущих сторонников многомировой интерпретации квантовой механики, согласно которой при каждом измерении квантовой суперпозиции Вселенная расходится на несколько параллельных вселенных и в каждой из этих вселенных получают по одному из возможных результатов измерения. Эти вселенные существуют внутри более крупной мультивселенной; эта идея послужила источником вдохновения для многих художественных произведений – от фильмов серии «Назад в будущее» и вселенной комиксов Marvel до выходившего в середине 1990-х годов телесериала «Скользящие» (Sliders). Более того, эта идея даже была предсказана в художественной литературе: в рассказе Хорхе Луиса Борхеса «Сад расходящихся тропок», написанном в 1941 году, рассказывается о книге под таким названием, написанной одним из персонажей. Каждый раз, когда один из героев этой книги принимает какое-нибудь решение, сюжет развивается во всех возможных направлениях. Этот рассказ Борхеса цитирует в своей книге 1973 года Брайс Девитт, который и предложил название данной интерпретации. Однако многомировая интерпретация относится – во всяком случае, пока что – к области личной веры, а не физики. Это справедливо и в отношении всех остальных интерпретаций квантовой механики: поскольку все они соглашаются с математическими предсказаниями теории, то и результаты любых возможных экспериментов они предсказывают одинаково.

Так откуда же берутся возможности квантовых компьютеров? На этот вопрос можно дать один неоспоримый ответ: они являются следствием того, что делает квантовый мир квантовым. Что отличает квантовый мир от классической срединной области? По существу, всего две вещи. Первой из них была посвящена глава V: это способность квантовых частиц существовать в суперпозиции в сочетании с тем фактом, что при измерении мы всегда обнаруживаем их в одном из результатов. Вторая – свойство, не имеющее абсолютно никаких обыденных аналогов. Оно называется квантовой запутанностью, и это самое волшебное из всех известных мне свойств Вселенной.

Квантовая схема. Каждая линейка обозначает один кубит. Первая операция слева воздействует на одну линейку, а вторая – на две линейки. В общем случае операция, затрагивающая несколько линеек, может порождать запутанность кубитов

Прежде чем мы начнем разбираться в том, что такое запутывание, позвольте мне объяснить, почему оно необходимо для практического применения квантовых компьютеров. В отрывке фантастической истории, с которого начинается эта глава, можно увидеть иллюстрацию некоторых из ключевых методов работы квантового компьютера. Представить себе то, что делает квантовый компьютер, легче всего при помощи квантовых схем, которые используются для представления и разработки квантовых алгоритмов. Квантовая схема – это набор параллельных горизонтальных линий, по одной на каждый кубит, похожий на линейки нотного стана или непереплетенную прядь нитей, растянутую слева направо. Ниже приведен пример такой схемы[93]. Как и в нотах, линейки читаются слева направо, причем все линейки следует читать одновременно (что аналогично одновременному воспроизведению нескольких нот на некоторых инструментах). Вначале каждый кубит – каждая линейка – находится в известном состоянии, 0 или 1. По мере продвижения вдоль линеек могут выполняться операции двух типов. Первый воздействует на отдельные линейки – аналогично воспроизведению одиночной ноты в музыке. Это может приводить, например, к возникновению на этой линейке квантовой суперпозиции 0 и 1. Суперпозиция – уже знакомый нам ключевой элемент квантовой механики; она играет ключевую роль и в квантовых вычислениях. Однако есть еще и второй тип операций, который задействует множественные линейки. Такая операция обозначается символом, соединяющим несколько линеек; ее можно представить себе аналогом одновременного извлечения нескольких нот (аккорда). После этого состояния этих линеек становятся взаимосвязанными. Как можно понять из самого названия этого явления, в результате подобных операций такие кубиты «запутываются» друг с другом. Правые концы всех линеек обозначают окончание вычислений. На этом этапе все кубиты измеряют, и они вновь получают определенные значения, 0 или 1. Тот факт, что при измерении они выдают определенные результаты, хотя в процессе вычислений непременно были неопределенными, – часть магии квантовой механики. В этой главе наше внимание будет сосредоточено именно на тех операциях, которые вызывают запутанность нескольких линеек[94].

Есть ли Луна, когда на нее никто не смотрит?

Название этого раздела почтительно заимствовано из научно-популярной статьи Дэвида Мермина о квантовой запутанности[95]. Первое предложение этой статьи отличается характерной для Мермина прямолинейностью:

Квантовая механика – это магия.

Выше я называл Мермина мастером квантовой механики. Точнее сказать, он маститый исследователь в области физики конденсированного состояния, не менее известный своими ясными объяснениями наиболее магических аспектов квантового мира[96]. Его учебник по физике конденсированного состояния остается главным справочным пособием для студентов с середины 1970-х годов. То, что он начал свою статью с процитированной выше фразы, кажется мне очень важным обстоятельством. У профессиональных квантовых механиков может возникнуть искушение отрицать существование этой магии, как будто признание того, что есть вещи, которых мы не понимаем, равнозначно признанию в своей собственной несостоятельности. В юности вас настолько очаровывает квантовая механика, что вы становитесь физиком, чтобы проводить с ней как можно больше времени; но в какой-то момент вы поддаетесь соблазну сказать, что больше не находите в ней ничего магического. Значит, вы застряли на второй стадии: вы поняли, как устроены некоторые из фокусов, и называете их скучными. Но, как рассказал мне фокусник в пустыне, если магия восхищает настоящих магов, она должна восхищать и вас. Мермин выражает эту мысль кратко и точно, и его авторитет дает другим физикам возможность признаться, что и они видят эту магию.

Мермин родился в 1935 году, том самом, в котором Эйнштейн написал первую статью по квантовой запутанности. В одном из интервью он сказал:

В первую очередь меня привлекла к физике именно магия. Ее было два вида – относительность и квантовая механика.

То есть работы Эйнштейна 1905 года. Я встречался однажды с Мермином, но, к стыду своему, в то время еще не знал, кто он такой. Я был студентом-первокурсником и записался на конференцию по квантовой механике, которую организовал в Германии профессор доктор Антон Цайлингер, руководивший первым в мире экспериментом по «квантовой телепортации». Никто из моих знакомых до этого не бывал на научных конференциях, и я думал, что меня могут счесть слишком молодым и выгнать оттуда взашей. Кроме того, мое прибытие прошло не самым обычным образом. Я приехал на день раньше, думая, что смогу при помощи своего ломаного немецкого найти какую-нибудь гостиницу – но все было закрыто. Конференция проходила в штаб-квартире Немецкого физического общества, которая размещается во дворце XVIII века. Поскольку я не решался явиться туда раньше времени, опасаясь, что мое воображаемое самозванство могут разоблачить, я пристроился на ночь на стройплощадке по соседству, завернувшись в свое пальто, которое было похоже на мантию. В какой-то момент мимо меня пробежала крыса, что побудило меня несколько пересмотреть ситуацию: я решил, что будет лучше все же пробраться во дворец и где-нибудь там спрятаться. Попав внутрь, я разыскал библиотеку и заснул в кресле у теплого камина; предварительно я положил себе на колени книгу, чтобы можно было притвориться, что я просто задремал за чтением, если мною заинтересуется служитель. В 7 утра я решил, что уже не слишком рано и можно зарегистрироваться: столь ранняя активность говорит всего лишь о сверхъестественной деловитости, а не об опасной эксцентричности. Когда я подошел к стойке портье, за ней никого не было, но я обнаружил свой ключ на крючке. Войдя в номер, я увидел, что в нем две кровати – и у меня есть сосед! Когда он проснулся, он объяснил, что провел там всю предыдущую ночь: участники конференции должны были заселяться самостоятельно. Я что, не получил письма с инструкциями?

В остальном конференция прошла гораздо более гладко. В какой-то момент мне случилось побеседовать с Мермином. Помимо того, что за следующий год я досконально изучил его книгу (настолько, что я мог уверенно раскрывать ее именно на той странице, которая была мне нужна по самым разнообразным темам), в ходе дальнейшей карьеры я не раз обращался к нему со своими исследовательскими проблемами. Он всегда был готов помочь и подбодрить, точно так же, как при нашей первой встрече во дворце.

Именно благодаря одной из статей Мермина я впервые ощутил, что начинаю по-настоящему понимать квантовую запутанность. Я воспроизведу его пример здесь, лишь слегка его перефразировав.

Y golchwyr nos

В 1935 году Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен опубликовали работу, которая должна была показать, что квантовая механика не может быть полным отражением реальности[97]. В ней был обрисован так называемый (по инициалам авторов) ЭПР-парадокс. Как говорит Мермин, «из всех известных мне физических явлений эксперимент ЭПР ближе всего к магии, а магией следует наслаждаться». Мишенью статьи ЭПР была идея о том, что при измерении некоторых квантовых систем каждый из двух возможных исходов может получиться с вероятностью 50:50, как когда мы подбрасываем монету и прижимаем ее к столу, не посмотрев, какой стороной она упала. Как мы видели в главе V, при подбрасывании квантовой монеты система, по-видимому, выбирает орла или решку только в тот момент, когда мы на нее смотрим. В том, что я сказал, есть элемент интерпретации: многомировая интерпретация утверждает, что при осуществлении измерения те вселенные, в которых выпадают орел и решка, перестают сообщаться друг с другом, но в прочем мультивселенная остается неизменной. Однако общепризнано, что между монетой квантовой и монетой классической есть измеримые различия. Вспомним электрон в атоме: если бы у него до измерения было определенное положение, он упал бы в ядро. Значит, как бы мы ни интерпретировали математические результаты, в процессе измерения должно происходить нечто странное. Эйнштейн, что вполне логично, возражал против этой идеи. Один из его друзей рассказывал:

Я помню, как во время одной прогулки Эйнштейн внезапно остановился, повернулся ко мне и спросил, в самом ли деле я считаю, что Луна существует только тогда, когда я на нее смотрю.

А. Пайс. Эйнштейн и квантовая теория[98]

Статья ЭПР замечательна тем, что она привела к экспериментальной проверке, действительно позволяющей установить, какой из двух вариантов осуществляется – существует ли исход подбрасывания квантовой монеты до измерения или не существует.

Эйнштейн утверждал, что он существует благодаря свойству квантового запутывания, которое заключается в том, что результат измерения одной квантовой частицы определяет результаты измерений других частиц. Прежде чем я приведу утверждение Мермина, позвольте мне кратко изложить сущность магии ЭПР-парадокса. В момент измерения запутанные частицы могут находиться очень далеко друг от друга; по-видимому, измерение одной частицы мгновенно определяет результат измерения другой, удаленной, но это противоречит одной из основных идей специальной теории относительности – невозможности перемещения быстрее скорости света. Чтобы понять, как можно разрешить это кажущееся противоречие, переместимся в более фантастические условия.

Кельтский фольклор предупреждает, что темной ночью усталый путник может встретить трех прачек – y golchwyr nos на древнем наречии[99], – моющих саваны мертвецов. Если прачки заметят вас, они заставят вас помогать им со стиркой. Но будьте осторожны: если вы будете выжимать постиранное, закручивая его в ту же сторону, что и прачки, вас затянет в саван, где вы и погибнете. Если же вы будете закручивать в противоположную сторону, ночные прачки исполнят три ваших желания.

Представим себе, что, прогуливаясь туда и сюда по залитым лунным светом разветвляющимся лесным тропам, вы с двумя друзьями встречаете у темного пруда ночных прачек. Поскольку вы сведущи в древних преданиях, вы выжимаете выстиранное белье, закручивая его в противоположную сторону; а поскольку вы сведущи в логике, загадываете следующие желания. Первое: вы хотите, чтобы прачки говорили только правду. Второе: вы хотите, чтобы они назвали вам самое лучшее желание. И третье: в соответствии с советом, полученным во исполнение второго желания, вы хотите научиться самой могущественной магии в мире.

Прачки соглашаются. Первая снимает с неба Луну и передает ее – холодный, твердый стеклянный шарик – второй, а та начинает перебрасывать этот лунный шарик из руки в руку. Каким-то образом в каждой руке у нее оказывается по шарику. Она бросает их своим подругам; прежде чем вы успеваете поинтересоваться, каким образом у каждой из прачек оказалось по шарику или кто вернул на небо Луну, каждая из прачек берет за руку одного из вас троих. Они стоят спиной к спине, а вы образуете кольцо вокруг них. Перед каждым из вас стоит по одной прачке. Каждая прачка вытягивает вперед руки со сжатыми кулаками, в одной руке у каждой зажат шарик, и каждая предлагает стоящему перед ней человеку угадать на счет «три», в какой руке у нее шарик. Они объявляют, что их магия будет действовать следующим образом:

i. Каждый раз, когда один из вас выберет левую руку, среди ваших ответов будет нечетное число правильных.

ii. Каждый раз, когда все трое выберут левую руку, среди ваших ответов будет четное число правильных.

Вы играете в эту игру много раз, и прачки всегда оказываются правы: каждый раз, когда один или все три из вас выбирают левую руку, выполняются правила i и ii. Ваше восприятие проходит первые две стадии. На первой стадии это магия. Откуда они знают? На второй вы начинаете рассуждать. Видимо, по меньшей мере одна из них незаметно перекладывает шарик из одной руки в другую – ловкость рук! Иначе вероятность четного и нечетного числа правильных ответов всегда была бы 50:50. Кроме того, заключаете вы, по меньшей мере одна из них наверняка подслушивает, что вы все трое выбираете.

Прачки видят, что вы застряли на второй стадии, но по условиям договора они обязаны довести вас до третьей. Поэтому каждая прачка берет своего человека и помещает его в отдельную башню, каждая из которых отстоит от двух других на расстояние суточного полета ворона. Каждую ночь, ровно в полночь, к окну вашей башни прилетает ворон со стеклянным шариком. Каждую ночь ваша прачка берет этот шарик и предлагает вам угадать, в какой он руке. Каждый день вы записываете вороновым пером, какую руку вы выбрали и был ли правильным ваш ответ. Спустя много месяцев этих ежедневных занятий вы возвращаетесь к пруду и находите там своих друзей. У них тоже есть списки, записанные вороновым пером. Вы сравниваете свои записи и не можете поверить собственным глазам: утверждения i и ii каждый вечер оставались истинными.

И тут вы переходите на третью стадию, потому что ваша прачка никак не могла знать, что выбирали ваши друзья. Даже если она каждый раз потихоньку перекладывала шарик, чтобы ваш ответ заведомо оказывался правильным или неправильным, она не могла знать, в каком случае будут выполняться утверждения i и ii. Прачки не могли обмениваться информацией, потому что ничто не может перемещаться быстрее ворона. Ладно, думаете вы, но может быть, на шарике было выцарапано тайное послание? Или, может быть, прачки показывают или не показывают шарики в соответствии с заранее согласованной схемой? А может быть, они координируют свои ответы, исходя из цвета неба или состояния Луны. Но ничто из этого не помогло бы им победить – и вот по какой причине.

Если тайное правило существует, оно должно указывать результаты выбора обеих рук для каждого человека, потому что вы выбираете руку по собственному усмотрению. Пусть, например, есть тайное правило, совместимое с утверждением i: независимо от того, какую руку выберет человек, каждая прачка показывает, что в этой руке есть шарик. Если один человек выбирает левую руку, все три ответа оказываются правильными, потому что в этом случае все три ответа всегда оказываются правильными, а три – число нечетное. Значит, утверждение i истинно. Но такое тайное правило несовместимо с утверждением ii: если три человека выберут левую руку, все три ответа по-прежнему будут правильными. Три – число нечетное, значит, утверждение ii не выполняется.

Немного поразмыслив, вы можете перечислить все возможные тайные правила, совместимые с утверждением i: их всего восемь, и я объясняю, как их получить, в Приложении. Однако утверждение ii нарушается во всех восьми случаях! О чем бы прачки ни договорились заранее, какая бы информация ни была спрятана на шарике, в цвете неба или в состоянии Луны, утверждения i и ii не могут быть истинными, если только действия одной прачки (скажем, вашей) не изменяются в зависимости от выбора, сделанного вашими друзьями. Но для этого вашей прачке нужно узнать об этом выборе быстрее, чем летит ворон.

Я советую вам попробовать придумать все возможные варианты, в которых утверждения i и ii могут всегда быть истинными при условии, что вы и ваши друзья сохраняете свободу воли. Можно придумывать какие угодно механизмы; единственное ограничение состоит в том, что ничто не может передавать информацию быстрее, чем летит ворон. Чем больше вы будете пытаться победить в этой игре, тем прочнее будет становиться ваша уверенность в том, что это невозможно.

Вы попытались? И согласны, что непротиворечивое выполнение утверждений i и ii невозможно? То есть вы убедились: если такое происходит, значит, это магия. Однако вот какое дело: когда физики проводили эксперимент с запутанными частицами, утверждения i и ii всегда выполнялись.

Вороны и суеверия

В реальном эксперименте вместо трех воронов, доставляющих стеклянные шарики в три далекие башни, были три запутанных фотона, прилетающие в далекие детекторы[100]. На самом деле детекторы стояли всего лишь в метре или около того друг от друга, но измерения каждого из них можно было регистрировать настолько быстро, что свет не успевал за это время преодолеть расстояние между детекторами. Поскольку ничто не может перемещаться быстрее света, результаты одного детектора никак не могли быть переданы другим до получения ими собственных результатов. Каждый детектор не выбирал одну из двух рук ночной прачки, а измерял поляризацию света либо в горизонтальном, либо в вертикальном направлении. Каждый детектор был запрограммирован выбирать направление поляризации случайным образом перед самым прилетом фотона, так что два других детектора не могли знать, какое направление он выбрал. Двум возможным исходам соответствовало совпадение или несовпадение поляризации фотона с выбранной. Измерения показали, что утверждения i и ii всегда истинны, если фотоны описываются определенной запутанной волновой функцией, которую называют GHZ-состоянием (буква Z обозначает здесь того самого Цайлингера, который в тот судьбоносный вечер пригласил меня во дворец). Из этого эксперимента следует именно тот результат, который так не нравился Эйнштейну. Исход измерения не может быть определен заранее: до измерения состояния квантовой монеты она не лежит ни орлом, ни решкой. Если бы исход можно было предопределить, мы вернулись бы к вышеупомянутым восьми тайным правилам (которые, как мы уже договорились, не работают). В квантовой механике эти тайные правила называются локальными скрытыми параметрами; этот эксперимент показывает, что они несовместимы с нашей Вселенной. Вероятности в квантовой механике не просто отражают недостаток наших личных знаний: они должны быть чем-то более фундаментальным.

Соблазнительно было бы подумать, что этот эксперимент можно использовать для передачи информации со скоростью, превышающей скорость воронов, но это не так: у вас по-прежнему остается только стоящая перед вами прачка, которая показывает, есть ли шарик в той руке, которую вы выбрали. В реальном эксперименте оказывается, что вы бываете правы ровно в половине случаев, какую бы руку вы ни выбирали. Только вернувшись к друзьям, вы узнаёте, что между вашими результатами существовала магическая корреляция.

Точная классическая аналогия квантового запутывания невозможна. Но если мы обратимся к невозможному, в этой сфере есть некое сходное явление, которое кажется нам понятным, хотя и совершенно нереальным, – сглаз. Предположим, вы ждете результатов собеседования с работодателем, и некто спрашивает у вас, как оно прошло. Вам кажется, что оно прошло превосходно, но не возникает ли у вас сильного желания не проявлять чрезмерного оптимизма, чтобы не сглазить и действительно получить эту работу? Никакого причинно-следственного механизма, посредством которого ваш ответ мог бы повлиять на ситуацию, не существует, но время от времени все мы поддаемся соблазну такого магического мышления. Если попытаться сформулировать, какую форму принимает у меня страх сглаза, наверное, можно сказать, что я ощущаю себя живущим одновременно в двух возможных мирах. Если я скажу вслух, что, как мне кажется, получил работу, тем самым я решу свою судьбу и заключу себя в мире, в котором я работы не получил, хотя решение о ней принимается вдали от меня, в моем прошлом или будущем. Таким же образом можно считать, что измерение частицы решает судьбу ее партнера по запутанности, даже если этот партнер находится далеко от нее, а измерение было произведено в прошлом; результаты обеих частиц должны быть непротиворечивыми, даже если до измерения их судьбы не были определены.

Хотя магию нельзя использовать, чтобы обмениваться информацией быстрее, чем летают вороны, она далеко не бесполезна. Если бы мир был классическим, прачки могли бы быть правы лишь в половине случаев. Но благодаря запутанным квантовым частицам они могут быть правы всегда. Это обстоятельство уже используется на практике, в так называемой квантовой криптографии. Основная ее идея состоит в том, что, если по дороге ворон будет перехвачен, а стеклянный шарик осмотрен, исход окажется измерен до прибытия шарика. Запутанность с другими шариками будет утрачена, и утверждения i и ii уже не смогут оставаться истинными. Заметив в полученном шарике отсутствие запутанности, вы понимаете, что вас подслушивают, и прекращаете обмен информацией. Первый банковский перевод с использованием квантовой криптографии на основе запутанных фотонов был осуществлен в 2004 году; в 2017-м запутанные фотоны начали успешно использоваться в дальней спутниковой связи[101]. Я впервые узнал о квантовой запутанности из вдохновляющей книги Брайана Грина «Ткань космоса» (The Fabric of the Cosmos: Space, Time, and the Texture of Reality, 2004)[102]. Меня глубоко потрясло его описание экспериментов с запутанностью: я чувствовал, что от них так и веет магией. В 2004 году, когда Грин писал свою книгу, последние эксперименты касались запутывания пар частиц. Но не успел я оправиться от этого потрясения, как меня ожидало новое: несколько лет назад стало ясно, что существуют состояния материи, в которых все квазичастицы запутаны со всеми остальными. Эти состояния пронизаны запутанностью, даже определяются ею. Запутанность способна сохраняться за термодинамическим пределом! И это вполне логично, ибо можно сказать, что запутанность – самое эмерджентное свойство из всех, так как эту сумму буквально невозможно разделить на слагаемые!

Если вам хочется подержать в руках кусок запутанной материи, это вполне возможно. Более того, это регулярно происходит: вся материя подчиняется квантовой механике, и вся она до некоторой степени запутана. Но в этом утверждении есть небольшой обман: магия квантовой механики в том и состоит, что мы не видим самых фантастических ее эффектов в повседневном мире. А волшебники – люди прагматичные: ладно, теоретически все на свете квантовое – но что можно считать квантовым с практической точки зрения?

Когерентная философия

Этого слова никто не искал; на него наткнулись случайно.

В те мгновения, когда на Луну никто не смотрит, она отдыхает. Калабаш намеревался опустить взгляд, но замешкался на мгновение и мельком увидел слово, начертанное в пейзаже тенями, листьями и облаками на горизонте. Этого слова никто не видел раньше и никто не видел потом, но тогда, в то мгновение, Калабаш мог прочитать его так же ясно, как если бы оно было написано на бумажной странице. Он не хотел этого знания и выкрикнул слово вглубь леса, чтобы избавиться от него. Но слово не исчезло: вместо этого оно рассеялось среди трав и деревьев, зверей, воды и птиц в небе. И Вериана, разговаривая с деревьями, и с бабочками, и с ползучими змеями, и с пузырями на воде, медленно и методично собрала слово воедино. А когда она завершила этот труд, она не знала ответов, но знала, где их нужно искать.

Термодинамика ввела в оборот идею разделения системы (того объекта, который мы изучаем) и среды (всего остального). Нигде этот принцип не играет такой важной роли, как в квантовой механике. В ней система – скажем кусок вещества – ведет себя в соответствии с уравнением Шрёдингера, из которого следует, что со временем частицы становятся все более запутанными. Что касается среды, можно сказать, что она «измеряет» систему в том смысле, что она взаимодействует и запутывается с ней. В этом и состояла исходно идея запутывания, изложенная Шрёдингером в письме к Эйнштейну: он представлял себе экспериментальный детектор, который приобретает запутанность с изучаемой квантовой системой, то есть судьбы детектора и системы переплетаются. Когда мы проверяем, в какой руке находится шарик, – то есть производим измерение, – мы получаем определенный результат, несмотря на все предыдущие квантовые странности; когда среда измеряет систему, это, по-видимому, приводит к сходному состоянию определенности. Связанную с этим утрату квантовой странности называют декогеренцией.

Если человек говорит когерентно (то есть связно), значит, он говорит нечто разумное. Разумеется, волшебники часто ведут себя прямо противоположным образом – бормочут себе под нос нечто некогерентное (бессвязное), сосредоточившись на своих возвышенных материях. В квантовой механике у когерентности есть строгое определение, но в нем сохраняется это интуитивное представление. По сути, если квантовая система когерентна, это означает, что она обладает свойственными ей магическими способностями. С другой стороны, постоянное взаимодействие между системой и окружающей ее средой приводит к декогеренции. Принято считать, что именно так из квантового мира возникает наша срединная область; именно поэтому в повседневной жизни нас не преследуют квантовые странности, и вы, вернувшись домой после долгого дня колдовской работы и поставив свой посох у двери рядом с зонтиками, можете быть уверены, что он не туннелирует сквозь стену и не окажется в башне соседнего волшебника. То есть считается, что Луна есть, даже когда на нее никто не смотрит, но вовсе не по очевидным причинам.

Однако с этим связана одна проблема. На самом деле декогеренция не уничтожает квантовые эффекты, а лишь рассеивает их. Строго говоря, среда не может измерять систему, потому что и сама среда является квантовой системой. Что бы мы ни выбрали в качестве системы, со временем эта система подвергается декогеренции с окружающей ее средой. Ее квантовая информация распространяется вовне, как распространяется по паутине вибрация попавшейся в нее мухи. Но, подобно тому слову, которое выкрикнул в лес мистер Калабаш, эта информация никогда по-настоящему не исчезает: ее лишь становится трудно собрать воедино. Эта ситуация очень похожа на то, что происходит в термодинамике: хотя в целом энергия сохраняется, она может не сохраняться в конкретной системе. С течением времени размах колебаний часов гипнотизера становится все меньше: энергия колебаний передается среде в виде вибрации и тепла. Это обстоятельство может быть бесполезно для нас, но оно существует. Квантовая информация, как и энергия, сохраняется и никогда по-настоящему не исчезает.

Поэтому не исчезает и магия. Пока мы не познаем квантовые измерения, мы не можем с уверенностью сказать, существует ли Луна, когда на нее никто не смотрит. Так называемый «парадокс измерений» остается одним из главных неразрешенных вопросов физики и философии. Но декогеренция объясняет кажущееся исчезновение квантовых странностей при объединении большого количества частиц. Странности рассеиваются, и мы теряем их из виду. Именно это создает препятствия на пути всех тех, кто пытается реализовать в нашей срединной области практические выгоды квантовой механики. Добавление каждого кубита к квантовому компьютеру увеличивает его мощность экспоненциально, и для создания модели вселенной, содержащей столько же частиц, сколько содержит наша, – если эти частицы ведут себя в соответствии с классическими законами, – требуется всего лишь около 270 кубитов. Но добавление каждого кубита так же экспоненциально увеличивает и сложность добавления следующего. Каждый следующий кубит должен сохранять когерентность со всеми предыдущими, а запутывание ни к чему не стремится так, как к рассеянию. Хуже того, нет никаких гарантий, что от максимального числа кубитов, до которого мы сможем дойти, совершенствуясь в этом искусстве, вообще будет хоть какая-нибудь польза. Пусть у традиционных компьютеров есть ограничение в виде закона Мура, но они-то уже способны приносить пользу.

Чтобы продолжать движение к возможному будущему, в котором масштабируемые квантовые компьютеры станут реальностью, нам нужно заклинание, защищающее запутывание от рассеяния. Чтобы достичь этих будущих, мы должны заглянуть в далекое прошлое – посмотреть на искусство завязывания узлов.

Суета вокруг узлов

В культурах всего мира есть свидетельства, намекающие, что узлы могли использовать в качестве изначального средства учета, еще до письменности. Лучше всего известен пример кипу – способа сохранения численных данных в последовательностях узлов, который использовали инки и другие культуры в Андах. Эта технология послужила источником вдохновения для некоторых аспектов того, что Вериана читает в библиотеке. Некоторые исследователи утверждают, что определенные узлы кипу использовались в качестве региональных маркеров, что означает, что такие узлы применялись и для записи языка. Об использовании узлов для записи речи упоминается в древнекитайской «Книге перемен» («И цзин»), руководстве по гаданию, составленном приблизительно за 1000 лет до н. э. были найдены костяные иглы, предположительно предназначавшиеся для завязывания узлов, которые относят ко времени за 100 000 лет до н. э.

Магия узлов распадается на три основные категории – ветряную магию, медицинскую магию и любовную магию. Моряки, отправляющиеся в плавание за океан, могут прийти к узлоделу, чтобы тот приготовил им ветряной узел – веревку с тремя одинаковыми узлами. Выйдя в море, моряк может развязать первый узел, чтобы вызвать легкий бриз, который отнесет судно в места с более благоприятной погодой. В более трудных условиях моряк может развязать второй узел, выпускающий более сильный ветер. Только глупец развяжет третий, ибо это вызовет шторм, способный сломать пополам мачту даже самого крепкого корабля. Возможно, третий узел делали скорее для гарантии: если моряки были слишком суеверны, чтобы его использовать, неумелые погодные маги могли скрывать свои ошибки, оправдываясь тем, что им неверно сообщили, какой силы должен быть каждый из узлов, и утверждая, что нужно было использовать и третий узел.

Письменные свидетельства о медицинских узлах, применявшихся для профилактики и лечения болезней, начинаются по меньшей мере с Вавилона VIII века до н. э.: мы находим их в виде заклинаний, записанных клинописью на глиняных табличках. В книге Сайруса Дэя «Кипу и ведьмины узлы» (Quipus and Witches’ Knots: The Role of the Knot in Primitive and Ancient Cultures) приводятся примеры употребления медицинских узлов во все времена и во всех уголках мира; возраст узловой магии оценивается в ней по меньшей мере в 7000 лет. Чтобы помочь от головной боли, узлодел мог завязать на голове повязку, распевая при этом соответствующие заклинания; когда повязку снимали, вместе с ней снимали и головную боль. Так же могли повязывать, а затем развязывать и другие болеющие части тела. В альтернативном варианте узел мог улавливать болезнь; тогда его снимали целиком, тщательно затягивали и выбрасывали как можно дальше от людей (либо в реку, текущую к морю, либо подальше в пустыню). Что касается узлов профилактических, в доме, в котором в ближайшее время ожидалось рождение ребенка, узлодел мог посоветовать развязать все имеющиеся узлы, чтобы младенец не «попался» в них: распустить шнурки, отвязать занавеси и отпереть замки.

Любовные узлы остаются на удивление распространенными и в современном обществе. Многие церемонии бракосочетания включают в себя ритуальное переплетение рук или что-нибудь в этом роде, да и обручальные кольца, будучи замкнутыми петлями, тоже символизируют соединения и нерушимые связи. Огромное множество замков, развешанных парочками по мостам всего мира, говорит о том, что в любовную магию по-прежнему верят очень многие.

В физике узлы имеют историю не столь древнюю, но не менее почетную. Началось все с физического наблюдения того факта, что кольца дыма – например выпускаемые волшебником из трубки – переносят всевозможные возмущения воздуха. Они могут колебаться и растягиваться, но, как кажется, никогда не разрываются, как будто их защищает некое заклятие. Физический механизм этого явления объяснил в XIX веке лорд Кельвин. Когда волшебник выдыхает кольцо дыма, он создает в воздухе вихрь, похожий на торнадо, верхний и нижний концы которого соединены так, что образуется кольцо. Дым оказывается заключен внутри этого вихря и позволяет увидеть, куда тот летит. Кельвин разработал соответствующую модель, используя некоторые упрощающие предположения относительно свойств воздуха – в частности, считая его вязкость нулевой. В рамках этой модели он смог математически доказать, что вихрь, который удается замкнуть в кольцо, будет существовать вечно. На самом деле у воздуха есть небольшая вязкость, вследствие чего кольца дыма рано или поздно рассеиваются. Тем не менее они существуют достаточно долго, чтобы их можно было использовать в одном весьма впечатляющем фокусе. Возьмите картонную коробку, прорежьте в ее стенке круглое отверстие диаметром десять сантиметров и наполните коробку дымом. Если после этого сильно ударить по бокам коробки, вы можете добиться того, что из нее вылетит кольцо дыма, такое устойчивое, что им можно сбивать бумажные стаканчики на расстоянии метров пяти.

Математические узлы подобны тем, что вы завязываете на ботинках, за исключением того, что у них, как и у колец дыма, свободные концы соединены и образуют замкнутую петлю. Кольцо дыма принимает форму простейшего узла, называемого тривиальным, – потому что он даже не завязан. Следующий по сложности узел – первый, который мы можем естественно завязывать. Он называется трилистником и часто встречается в кельтских орнаментах: например, он украшает «Келлскую книгу» VIII века, рунические камни XI века из шведской деревни Фунбо и созданную в XX веке обложку музыкального альбома Led Zeppelin IV. Друг Кельвина, математик Питер Гатри Тэйт, вдохновившись его работой, взялся за составление таблицы всех возможных узлов. Здесь приведена часть его таблицы узлов:

Таблица узлов

Трилистник находится в верхнем ряду, вторым слева. Как его ни рисуй, в этом узле нить должна пересекаться с самой собой не менее трех раз. Это пример «топологического» свойства. Топология – это раздел математики, занимающийся изучением форм. Считается, что две формы имеют одинаковую топологию, если одна может быть преобразована в другую без разрезов и соединений. Например, трубка волшебника имеет такую же топологию, что и кольца дыма, которые из нее вылетают: обе эти формы содержат по одному отверстию. Хотя эти предметы выглядят совершенно по-разному, их формы могут быть преобразованы одна в другую без разрезов и соединений.

Часто говорят, что самой первой топологической задачей была задача о семи мостах Кёнигсберга. В 1736 году мэр Гданьска рассказал в письме к легендарному математику Леонарду Эйлеру о головоломке, озадачившей жителей близлежащего Кёнигсберга. В этом городе четыре участка суши соединялись семью мостами. У горожан имелось множество маршрутов для прогулок по городу, но был один маршрут, по которому им особенно хотелось, но никак не удавалось пройти: маршрут, проходивший по каждому из мостов один, и только один, раз. Построение такого маршрута – задача топологическая: мосты можно изгибать или растягивать, острова можно увеличивать или сжимать, и это не меняет задачи. Она изменится, только если разрушить один из мостов или, наоборот, построить новый. Здесь показана оригинальная схема мостов, нарисованная Эйлером. Вам будет интересно попытаться решить эту задачу самостоятельно. Эйлер, однако, так и не нашел ее решения – вместо этого он доказал, что решение невозможно.

Еще более ранняя предшественница топологии, задача о ходе коня, существует по меньшей мере с IX века. Шахматный конь ходит на две клетки по вертикали и одну по горизонтали (или наоборот). Задача состоит в нахождении последовательности ходов, в которой конь побывает на каждой клетке шахматной доски один, и только один, раз. Эйлер предложил несколько решений этой задачи. До него ее решение нашел в 842 году анатолийский шахматист аль-Адли ар-Руми. Приблизительно в то же время кашмирский поэт Рудрата придумал поистине мастерское решение. Он написал на санскрите стихотворение, состоящее из четырех строк, по восемь символов в каждой (что соответствует половине доски); каждый символ обозначает один слог. Стихотворение можно читать так же, как вы читаете этот текст, слева направо и сверху вниз. Но, кроме этого, его можно читать, переходя от символа к символу ходом коня. Как это ни поразительно, в обоих случаях получается в точности одно и то же стихотворение.

Схема семи мостов Кёнигсберга, нарисованная Эйлером

Однажды я видел замечательную иллюстрацию топологии, которую приводил Данкан Холдейн. Холдейн был одним из трех лауреатов Нобелевской премии по физике за 2016 год, которой они были удостоены за «теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических состояний вещества». На одной конференции в 2015 году мне отвели место в том же кабинете, что и ему. Я заметил, что, когда ему задавали какой-нибудь вопрос, он отвечал, глядя в упор на кого-нибудь другого, – а его ответ всегда казался относящимся к другому вопросу. Иллюстрируя топологию, он показал изображение кружки и объяснил, что у нее есть одно отверстие – в ручке. Затем он показал изображение кружки с двумя ручками – так называемой «кружки для любовников». У нее другая топология, потому что в ней есть два отверстия, а потому ее могут одновременно использовать два человека. Затем он описал кружку с тремя ручками, топология которой отличается от двух предыдущих. Ее он назвал «кружкой для калифорнийских любовников».

Суть защитного заклинания топологии в том, что разрезание и соединение часто бывает делом гораздо более трудным, чем изгибание и поворачивание. Узел можно изгибать, переворачивать или трясти, но он останется тем же узлом. Тривиальный узел никогда не станет трилистником. Природа находит узлам практическое применение: известно, что миксины, походящие формой на угрей, завязывают свои тела узлом, спасаясь от хищников; птицы-портнихи связывают нити паутинного шелка узлами, когда строят гнездо; цепочки ДНК иногда образуют узлы, что, возможно, увеличивает их устойчивость.

В 1997 году российский физик Алексей Китаев выдвинул одно замечательное предложение. Представьте себе квантовый алгоритм, который можно зашифровать в виде узла. Тогда его, может быть, можно будет защитить от декогеренции так же, как кольцо дыма оказывается защищено от порывов ветра. Мировой шум никуда не денется, но квантовый компьютер будет глух к нему. Таким было первое предложение, касавшееся так называемых топологических квантовых компьютеров. Впоследствии Китаев объяснил, как завязывать такие квантовые узлы, используя магию эмерджентных квазичастиц.

Материи топологические

Если свести защитное заклинание топологии к самой сути, она такова: точно так же, как не бывает наполовину беременных или наполовину влюбленных, не бывает и половинных отверстий. Хотя может показаться, что у топологии есть только очень специализированные приложения, она имеет огромное множество практических применений в повседневной жизни. Один абстрактный пример этого дает прославленный источник древней мудрости, ставший хитом 1995 года фильм «Крепкий орешек 3: Возмездие». Несомненно, у вас, как и у меня, где-нибудь хранится заезженная видеокассета. Этот фильм популяризовал следующую головоломку. У вас есть канистра на пять галлонов, канистра на три галлона и водоем. Злодей с манией величия и неубедительным немецким акцентом угрожает взорвать бомбу, если вы не поставите на весы ровно четыре галлона воды, с точностью до унции. У вас есть всего одна попытка. Как же выполнить это задание? Немного поразмыслив, Брюс Уиллис и Сэмюэл Л. Джексон моментально находят решение. Полностью наполните пятигаллонную канистру. Вылейте из нее в трехгаллонную канистру столько воды, сколько туда поместится. В пятигаллонной канистре останется два галлона воды. Теперь вылейте всю воду из трехгаллонной канистры в водоем и перелейте два галлона, оставшиеся в пятигаллонной канистре, в трехгаллонную. Еще раз налейте доверху пятигаллонную канистру, а потом долейте из нее трехгаллонную. При этом перельется ровно один галлон воды, а в пятигаллонной канистре останется ровно четыре галлона. Йиппи-кай-эй, дорогие любители головоломок! Герои фильма превратили приблизительные оценки непрерывного диапазона в последовательность шагов, на каждом из которых канистра либо совершенно полна, либо совершенно пуста. Утверждение «канистра полна» может быть либо истинным, либо ложным: оно не может быть истинным наполовину, как не может быть половины отверстия. Они преобразовали свою головоломку в задачу по топологии.

Классический пример топологии в физике конденсированного состояния дает квантовый эффект Холла. Вспомним эффект Холла, с которым мы познакомились в главе V: берем тонкую металлическую полоску, длина которой больше ширины; пропускаем вдоль нее электрический ток и создаем магнитное поле, поднеся к ней магнит. Подключаем к боковым краям полоски вольтметр и измеряем напряжение, создаваемое в результате отклонения тока в боковом направлении; оказывается, что увеличение напряженности магнитного поля сопровождается пропорциональным увеличением напряжения. Однако в 1980 году Клаус фон Клитцинг обнаружил, что, если магнитное поле будет очень сильным, а материал – очень холодным и свободным от дефектов, непрерывного роста напряжения больше не будет. Вместо этого оно изменяется скачками и превосходно квантуется. На самом деле это происходит оттого, что квантуется проводимость самого материала. Все значения напряжения, измеренные фон Клитцингом, оказались в точности целыми кратными самой малой величины. Получить половину такого скачка так же невозможно, как получить половину отверстия. Это и есть «целочисленный квантовый эффект Холла». Величину этих скачков можно измерить с такой высокой точностью, что ее даже стали использовать для определения единиц, в которых ее измеряют.

Целочисленный квантовый эффект Холла имеет топологическую природу: сейчас полагают, что целые числа фон Клитцинга подсчитывают отверстия в самой таинственной из всех сущностей – квантовой волновой функции, описывающей электроны в веществе. Полное математическое объяснение этого эффекта весьма сложно, но понятно специалистам.

Менее понятно наблюдение, сделанное в 1982 году Даниэлем Цуи и Хорстом Штёрмером: в еще более чистом и еще более холодном материале значения напряжения перестают быть целыми кратными этой минимальной величины, а становятся ее дробными кратными. Третью, двумя пятыми, пятью половинами и так далее. Это дробный квантовый эффект Холла; это заклинание мы еще изучаем, но физики уже начали сплетать свои повествования о нем.

Казалось бы, появление дробных чисел противоречит главному завету топологии. Что происходит, когда напряжение равно, скажем, одной трети наименьшей целой величины? Можно ли получить треть отверстия? Нет, нельзя. Но вспомним заклинания деления, магию фракционализации: при взаимодействии многих частиц результат может быть похож на дробную часть одной частицы. В физике конденсированного состояния можно получить треть электрона – или во всяком случае квазичастицу, похожую на нее. Дробный квантовый эффект Холла тоже можно интерпретировать как подсчет отверстий в волновой функции, но речь уже не идет о волновой функции электронов; это волновая функция эмерджентных квазичастиц, заряд которых равен трети заряда электрона.

Многие из самых интересных состояний вещества подразумевают координацию огромного числа электронов, движущихся будто бы в тщательно отрепетированном танце. Дробный квантовый эффект Холла – лишь один из таких примеров. Магнитные поля заставляют заряженные частицы – например те же электроны – двигаться по кругу. Танцоры кружатся друг вокруг друга, причем все они кружатся вокруг остальных одновременно. Разные напряженности магнитного поля определяют, сколько шагов требуется каждому танцору для завершения круга. Эту аналогию предложил профессор Вэнь Сяоган из MIT, выполнивший эпохальную работу по теории дробного квантового эффекта Холла. Однажды он рассказал мне, что вдохновлялся даосской идеей о том, что отсутствие вещей может быть столь же важно, как и их присутствие. Он привел пример комнаты без двери – она оказывается такой же бесполезной, как и комната без стен. Это прекрасная формулировка сущности топологии – важности отверстий, способности ценить не только присутствие, но и отсутствие[103]. Он написал учебник по физике конденсированного состояния, в котором приводит начальные строки книги «Дао дэ цзин», основополагающего трактата даосизма, составленного приблизительно за 400 лет до н. э., но в переводе на язык современной физики:

Физическая теория, которую можно сформулировать, не может быть полной и окончательной теорией.

Классификация, которую можно применить, не может классифицировать всё.

Неформулируемая окончательная теория существует и управляет образованием Вселенной.

Формулируемые теории описывают материю, которую мы видим ежедневно.

Во время учебы Вэнь занимался теорией струн, но затем переключился на физику конденсированного состояния. В 1990 году он разработал концепцию «топологического порядка», объединяющую узлы, топологические квантовые компьютеры и эмерджентные квазичастицы дробного квантового эффекта Холла.

Разрубание гордиева узла

У детей моего родного городка в Девоне, Оттери-Сент-Мэри, было много странных ритуалов. 5 ноября горожане, в том числе дети начиная с семилетнего возраста, пробегали сквозь густую толпу с зажженными бочонками смолы на спине. В июне мы праздновали День эльфов: дети, наряженные эльфами, связывали церковных звонарей и тащили их вниз по склону, к сооруженной за пределами города искусственной пещере, из которой, как считалось, происходили эльфы. А 1 мая дети участвовали в многочисленных масленичных забавах, в том числе в плясках вокруг майского дерева. Нам сейчас интересен именно этот ритуал. Майское дерево – это высокий деревянный столб, к верхушке которого привязано множество лент. Каждый ребенок берется за конец одной из лент, после чего они пляшут, кружась друг вокруг друга и вокруг столба, переплетая ленты. В одном из простых танцев половина детей движется вокруг столба в одну сторону, а вторая половина – в другую, то приближаясь к нему, то удаляясь от него, в результате чего ленты образуют переплетенный узор.

Можно представить себе, что квазичастицы дробного квантового эффекта Холла танцуют, держась за ленты. Вообразим, что магнитное поле соткано из силовых линий. Именно так об идее магнитного поля часто рассказывают ученикам, впервые встречающимся с этой темой: если положить на стол брусковый магнит и рассыпать вокруг него железные опилки, они образуют замысловатый узор, выстраиваясь вдоль силовых линий магнитного поля. Так же представлял концепцию магнитного поля и Фарадей; в архивах Королевского института в Лондоне есть оригинал его лабораторного журнала, к страницам которого он приклеил железные опилки, предварительно рассыпанные там, чтобы показать линии силового поля вокруг магнита. Чтобы понять, как ведут себя силовые линии в дробном квантовом эффекте Холла, представим себе, что магнит, направленный на тонкую полоску материала, намного крупнее этой полоски. В таком случае можно считать, что линии магнитного поля, проходящие сквозь полоску, параллельны друг другу, как бамбуковые стволы в многочисленных киноэпопеях о боевых искусствах – например в фильме «Дом летающих кинжалов».

Силовые линии магнитного поля проходят сквозь материал, как бамбуковые стволы

Персонажи таких фильмов часто грациозно порхают между бамбуковыми стволами, которые несколько сгибаются, но не ломаются: движения героев отточены почти до уровня волшебства. Силовые линии магнитного поля тоже способны изгибаться и растягиваться не разрываясь[104]. В дробном квантовом эффекте Холла электроны похожи на героев фильма, перелетающих между бамбуковыми стволами. Но их движения точно скоординированы так, что с определенным числом силовых линий непременно бывает связано определенное число электронов. Количества силовых линий и электронов одинаковы во всех наборах, и именно эти количества определяют измеряемое напряжение. Например, можно представить себе, что каждая эмерджентная квазичастица имеет вид трех электронов, связанных с двумя силовыми линиями.

В общем случае изображенные на рисунке силовые линии не соответствуют какой-либо определенной величине магнитного потока; на самом деле можно сказать только, что более плотное расположение линий соответствует более сильному полю. Но в случае второго из приведенных здесь рисунков следует считать, что каждая силовая линия соответствует точной величине магнитного потока. Эта величина, которую называют квантом магнитного потока, является универсальной природной постоянной. Квазичастицы должны содержать не только целое число электронов, но и целое число этих базовых единиц магнитного потока. Такая модель «композитных фермионов» – не единственный способ представить, как действует дробный квантовый эффект Холла, но ее, возможно, проще всего понять.

Тройки электронов, связанные с парами силовых линий

Когда частицы кружатся в танце друг вокруг друга, их ленты – силовые линии – переплетаются, и в рисунке переплетения лент набора частиц сохраняется память о том, где они были раньше. Прошлое кодируется последовательностью переплетений точно так же, как ленты пляшущих вокруг майского дерева сохраняют информацию о траектории их движений. Именно такая память дает квазичастицам способность работать в качестве вычислительных устройств. Эта память устойчива: на нее наложено защитное заклинание топологии, ибо как бы ни прыгали в разные стороны эти частицы, память об их движениях сохранится, если только их траектории не будут расплетены.

Наличие у частиц коллективной памяти – явление чрезвычайно магическое и, как и любое качественное колдовство, оно также напоминает нам, что правила существуют для того, чтобы их нарушать (см. «Правило бунтарства»). Чтобы увидеть, как это происходит в данном случае, вспомним, что любая частица является либо фермионом, либо бозоном. Один из способов понять разницу между теми и другими заключается в рассмотрении их поведения при перемене мест двух одинаковых частиц. Такая перемена может произойти по любым причинам, но в рамках этого рассуждения можно представить себе, что мы просто берем частицы и переставляем их вручную. Так вот, при перестановке двух одинаковых бозонов описывающая их квантовая волновая функция остается неизменной. Это соответствует классическому представлению о том, что при перемене мест двух совершенно одинаковых объектов конечное состояние будет неотличимым от исходного. Однако при перестановке двух одинаковых фермионов их волновая функция изменяется. Это, конечно, несколько странно, но тоже не непредставимо: если поменять местами двух одинаковых сов, смотрящих друг на друга, после этого они будут смотреть друг от друга. Однако ясно, что после двойной перестановки двух одинаковых вещей состояние должно вернуться к исходному: двойная перестановка двух предметов в одном и том же направлении аналогична обращению одного из них вокруг другого. Когда завершится полный оборот, все снова будет расположено так же, как и раньше.

Две перестановки должны быть равнозначны обращению одного объекта вокруг другого

Но представьте себе двух людей, пляшущих вокруг майского дерева. Если один человек совершает полный оборот вокруг другого, оба они оказываются в исходных точках, но теперь их ленты переплетены. Благодаря этому фокусу эмерджентные квазичастицы дробного квантового эффекта Холла нарушают правило, согласно которому все частицы должны быть либо бозонами, либо фермионами. Они становятся неким новым типом частиц – энионами[105]. Это название отражает их свойства: перестановка двух бозонов подобна повороту стрелки часов на полный круг: она не изменяет состояния. Перестановка двух фермионов подобна повороту стрелки часов на полкруга: состояние изменяется, но после второй перестановки возвращается к исходному. Перестановка двух энионов может быть подобна повороту стрелки часов на любой угол – поэтому их и называют энионами.

При разных напряженностях магнитного поля дробный квантовый эффект Холла порождает разные энионы. Для возвращения в исходное состояние им требуется разное количество перестановок. Странность происходящего трудно преувеличить: мы берем два объекта, обносим один вокруг второго, – и они становятся другими объектами. Если бы этот фокус исполнял иллюзионист, получился бы феноменальный номер, но его исполняет не фокусник, а сама Вселенная. И, как и все лучшие фокусы Вселенной, он может приносить практическую пользу: именно этот фокус может дать возможность создания масштабируемого квантового компьютера.

Вот как это работает. Подберем напряженность магнитного поля в дробном квантовом эффекте Холла так, чтобы образовывались энионы нужного нам типа; извлечем из квантового вакуума энион и его античастицу (для современных волшебников это тривиальная задача); поскольку это античастицы, то, если они сойдутся вместе, они аннигилируют и вернутся в пустоту. Но мы этого не допустим, а создадим вторую пару и обернем энион первой пары вокруг эниона второй: теперь окажется, что ни одна из пар не может аннигилировать. Дело в том, что энионы больше не являются античастицами друг друга – оба превратились в другие объекты.

Вопрос о том, могут ли два эниона аннигилировать, сводится к оценке результата простой операции квантовой логики, то есть основе квантовых вычислений. Сплетая пары энионов в определенной последовательности, можно создавать сколь угодно сложные программные коды. Таким образом, технология будущего кодируется при помощи технологии далекого прошлого – завязывания узлов. Но если повествования о магии научили нас чему-нибудь, то это тому, что обход законов мироздания обычно приводит к неожиданным последствиям. Этот случай – не исключение.

Запутанная материя

Изменение напряженности магнитного поля в дробном квантовом эффекте Холла приводит к изменениям, которые мы можем измерить в нашей срединной области, – например напряжения в поперечном направлении материала. Электроны и магнитное поле совместно порождают фундаментально новое эмерджентное поведение, не имеющее аналогов в классическом мире. Мы далеко ушли от земли, воздуха, огня и воды. На самом деле в дробном квантовом эффекте Холла содержится бесконечное множество разных состояний материи – разных фракций с разным поведением, каждая из которых состоит из эмерджентных квазичастиц своего собственного типа.

В сердцевине материала дробный квантовый эффект Холла создает состояние, являющееся электрическим и тепловым изолятором, как резина или воздух. Но поверхность материала проводит электричество, и это свойство сохраняется, где бы ни находилась эта поверхность. Если отрезать от материала кусочек, разделить материал пополам или даже сложить два куска материала в один, поверхность изменится, но новая поверхность по-прежнему будет проводником, а новая сердцевина – по-прежнему изолятором. Представьте себе апельсин, у которого, как бы вы его ни разрезали, снаружи всегда остается толстая корка, а внутри – дольки мякоти. Такой апельсин был бы волшебным; что-нибудь в этом роде, наверное, можно получить от дьявола, если продать ему душу за хороший, сочный плод.

Если и это не кажется вам замечательным, подумайте о фазовых переходах между разными состояниями дробного квантового эффекта Холла. Канонические фазовые переходы были описаны в главе III. Там мы видели, что материя есть состояние нарушенной симметрии: кристалл растет благодаря нарушениям непрерывной трансляционной симметрии жидкости, и при изменении симметрии происходит фазовый переход. Но возможные состояния дробного квантового эффекта Холла могут обладать в точности одинаковой симметрией, несмотря на измеримо разные макроскопические свойства. Эти состояния называют топологическими состояниями вещества, и между ними существуют топологические фазовые переходы.

Упорядоченность кристаллов придает им жесткую устойчивость к изменениям: если толкнуть один конец кристалла, сдвигается весь кристалл. У состояний дробного квантового эффекта Холла есть упорядоченность менее заметная – топологический порядок. Он не менее реален, чем упорядоченность кристалла. Состояния дробного квантового эффекта Холла обладают жесткой устойчивостью к изменениям: они, как и кристаллы, сопротивляются сжатию, но делают это без спонтанных нарушений симметрии.

Когда Вэнь Сяоган предложил концепцию топологического порядка, он свел ее к самой сути, выявив основополагающее свойство этого порядка. Согласно его формулировке, топологически упорядоченная материя определяется наличием дальней запутанности между ее эмерджентными квазичастицами. Хотя до некоторой степени запутанна любая материя, запутанность топологически упорядоченной материи имеет практический смысл.

Много лет назад, когда я читал в «Ткани космоса» о запутанности в парах элементарных частиц, я думал, что это свойство возможно только в микроскопическом мире. Мне и в голову не могло прийти, что в один прекрасный день мы увидим его проявления в нашей срединной области, в кусках вещества, которые можно взять в руку (пусть и в перчатке с очень хорошей изоляцией). Представьте себе целые состояния вещества, определенные через запутывание. В некотором смысле связь между запутыванием и топологией можно назвать естественной: при заплетании одного эниона вокруг другого не важно, на каком расстоянии друг от друга они находятся: важно лишь, чтобы траектория образовала замкнутую петлю. Когда запутывание влияет на стеклянные шарики в башнях, не важно, на каком расстоянии друг от друга находятся эти башни: однажды установленные связи сохраняются независимо от пространства и времени.

Пути вперед

Топологические исследования материи образуют теперь огромную независимую научную область, находящуюся на переднем крае физики конденсированного состояния. Возможность создания масштабируемых квантовых компьютеров – лишь один из побудительных мотивов этой деятельности. Хотя первое предположение о существовании энионов было высказано еще в 1977 году, впервые наблюдать их в не вызывающем сомнений эксперименте удалось лишь в то время, когда я писал эту книгу. В этих экспериментах, проведенных в 2020 году, впервые непосредственно наблюдалось и основополагающее свойство энионов – их преобразования при переплетении[106]. С другой стороны, может оказаться, что пути, которые приведут нас к масштабируемым квантовым компьютерам, вообще не затрагивают топологии. Исследуются многочисленные другие варианты, в том числе инженерные и теоретические подходы. На сегодня ведущее место среди конкурирующих вариантов занимает альтернативный путь, в разработке которого принимал участие Алексей Китаев, под названием «дистилляции в магическом состоянии»[107]. Многие пути к квантовым компьютерам могут быть параллельными, и разные подходы могут дополнять друг друга. Каким бы ни оказался правильный путь, мне кажется, что мы вскоре доберемся до цели. Небольшие квантовые компьютеры, содержащие по нескольку кубитов, уже вполне доступны для использования онлайн. Вы можете буквально создавать свои собственные квантовые суперпозиции и запутывания: вы можете, не покидая уютного дома, писать и запускать свои собственные квантовые алгоритмы, обмениваясь информацией с экспериментальными лабораториями по всему миру через интернет. Могущество микроскопического мира уже пришло в срединную область.

Замкнем петлю, вернувшись к нашему исходному вопросу: откуда берется мощность квантовых компьютеров? Одна из интерпретаций ссылается на мультивселенную Дойча, но есть и множество других версий. Не вызывает разногласий лишь одно утверждение: что их мощность происходит из того же источника за пределами классического мира, из которого черпает свое могущество квантовая механика; оттуда, куда уходит Луна, когда на нее никто не смотрит.

Сейчас квантовая механика провозглашает конец закона Мура и тех ограничений, которые он налагает на рост классических компьютеров. В недалеком будущем мы научимся работать с квантовой механикой, высвобождая силы, превосходящие классические пределы. Но этим мы не избавимся от бесконечно продолжающегося роста: роста, невозможного во Вселенной с ограниченными ресурсами. Если мы хотим выжить в отдаленном будущем, мы должны стремиться не к нему, а к равновесию.

VIII

В поисках философского камня

Лодка Верианы вошла в крупный торговый порт на побережье. Стояло свежее осеннее утро; солнце только начинало рассеивать туман. Дома из бледно-желтого камня были надежно скреплены древними просмоленными балками. Ярко-красный цвет их черепичных крыш контрастировал с сине-зеленой водой. На каналах города царило оживленное утреннее движение: торговцы разгружали ящики с чаем и пряностями, а рыбаки возвращались в порт с утренним уловом. Вериана убрала стаксель и плавно остановила лодку. Швартуя ее к причалу, она заметила на набережной знакомую тень: ее ждала ее подруга Беатриса.

В паутине мощенных булыжником улиц было полно людей, спешивших разделаться с делами, пока не началась полуденная жара. Несмотря на толпы, Беатриса могла часами бродить по своему городу, не встречая ни души. Держась за руки по местному обычаю, они с Верианой легко прошли по узким переулкам города. Высокие желтые стены образовывали огромный лабиринт, и лишь изредка попадавшиеся окна или двери напоминали, что вдоль этих улочек стоят чьи-то жилища. Уютная привычность этих мест могла убаюкивать посетителей, приводя их в состояние, подобное сну. Некоторые из таких зачарованных превращались в сомнамбул, безвозвратно погружаясь в блаженство, к которому вел их игривый дух города, весело скакавший перед ними. Вериана знала: чтобы найти то, чего она ищет, ей нужно будет отдаться на волю этого духа. У нее на шее висел тяжелый талисман. Когда ей понадобится вернуться, она сожмет его в руке, и его вес свяжет ее с реальностью.

Передохнув в тени – ибо ранний день становился жарким, – Вериана и Беатриса продолжили свой путь. К началу вечера Вериана постепенно осознала, что стена, идущая слева, плавно отклоняется от нее, и она не помнит, когда начала идти вдоль нее. Стена эта образовывала замкнутую петлю длиной около мили в самом сердце города. В ней был вход в катакомбы, из укромных пещер которых можно было попасть в великую библиотеку. Сжав в руке талисман, она вернула свои мысли в реальность. Где-то в этой стене должна была быть дверь. Хотя она не была спрятана, увидеть ее мог только тот, кто знал Слово. Но у Верианы было это знание: Слово давным-давно сообщили ей лесные растения и животные. Итак, Вериана пересекла порог, а Беатриса бодро отправилась дальше, навстречу множеству других друзей, которые должны были посетить ее этим вечером, а некоторые и остаться у нее на очень долгое время.

Неизбежность потерь

Почему бы просто не покрыть всю Сахару солнечными панелями? Ну потому что это ценная и уникальная экосистема. Но почему мы не генерируем электроэнергию возобновляемыми методами, используя особенности местных условий, чтобы потом рассылать ее по всему миру? Солнечную в Сахаре, геотермическую в Гренландии, ветряную в Чикаго (ну ладно, чикагские ветра – это миф)… Короткий ответ – из-за второго начала термодинамики: передача энергии неизбежно приводит к потере большой ее части по пути, в основном в форме тепла, но также в форме звука и вибрации. Например, можно услышать, как гудят линии электропередачи, а если воткнуть люминесцентную лампу в землю под линией электропередачи, она начнет светиться. В фильме «Престиж» (The Prestige, 2006), когда аналогичный трюк проделывает Никола Тесла, его объявляют истинным волшебником – человеком, который на самом деле может сделать то, что фокусники только изображают. Этот эффект вызывается коронным разрядом, посредством которого линии электропередачи рассеивают энергию в воздухе. В 2021 году только Соединенные Штаты потеряли электроэнергии на сумму около 31 миллиарда долларов в процессе передачи и распределения; этого хватило бы, чтобы освещать улицы Нью-Йорка в течение тысячелетия[108]. Несмотря на большие усилия, которые прилагаются к минимизации потерь, второе начало, по-видимому, говорит нам, что они неизбежны. На памяти всех живущих поколений технологии развивались в экспоненциальном темпе. Этот рост совпал с экспоненциальным же ростом численности человечества; оба начались приблизительно во времена промышленной революции. Но, по оценкам ООН, к 2100 году численность населения мира должна стабилизироваться. В двух предыдущих главах мы видели примеры того, как физика конденсированного состояния может обеспечить продолжение столь же стремительного технического прогресса человечества. И все же кажется разумным надеяться, что в отдаленном будущем стабилизировавшееся население может обратиться вместо этого к поискам технологий, направленных на достижение равновесия с окружающей средой.

С практической точки зрения это потребует возможности передавать энергию из одного места в другое без потерь. В этом можно увидеть продолжение главного предприятия алхимиков – поисков способа трансмутации свинца в драгоценные металлы, который должен быть получен благодаря обнаружению философского камня. Однако физические трансмутации были лишь одной из способностей этого камня. Более высоким его назначением было обеспечение бессмертия – то есть избавление от потерь. Сходные изыскания велись повсюду – в древнем Шумере, у персидских магов, у китайских даосов, у европейских алхимиков, у догонов в Африке. Во всех этих случаях присутствовала вера в – предположительно – магические способности тех, кто обрабатывает металлы; эту связь красноречиво описал в своей истории алхимии, книге «Кузнецы и алхимики» (Forgerons et alchimistes, 1956)[109], Мирча Элиаде:

Важен тот факт, что овладение огнем утверждается как в культурном прогрессе, который является ответвлением металлургии, так и в психофизиологических техниках, образующих основу древнейших магий и известных шаманских мистик.

В 1911 году голландский физик Хайке Камерлинг-Оннес осуществил мечту алхимиков, преобразовав низкое вещество в драгоценный металл. В качестве исходных материалов он использовал излюбленные металлы алхимии – ртуть и свинец. Однако успеха он добился не приложением жара, а его полным исключением: он охладил металлы до самой низкой температуры, когда-либо достигавшейся на Земле. Камерлинг-Оннес не превратил эти металлы в золото, но преобразовал их в нечто гораздо более ценное – сверхпроводник.

Сверхпроводники обладают способностью проводить электрические токи без каких бы то ни было потерь. Подобно ничего не подозревающим гостям портового города, описанного в начале этой главы, электрический ток, текущий по замкнутому сверхпроводящему контуру, будет течь в нем вечно, не испытывая никаких потерь. Сверхпроводники Камерлинг-Оннеса были, вероятно, первыми на Земле, а может быть, и во всей Вселенной, за исключением тех, что могут существовать внутри нейтронных звезд. Познание заклинаний сверхпроводимости – создание простой теоретической модели, подробно объясняющей целый комплекс странных и непостижимых явлений, – было одним из величайших достижений в истории физики. Однако история сверхпроводимости еще далека от завершения: упомянутая простая теоретическая модель утверждает, что сверхпроводники могут существовать только при крайне низких температурах, не встречающихся на Земле даже в самые холодные ночи в самых холодных пустынях. Выход из этого тупика должно открыть еще одно заклинание, которое специалисты по физике конденсированного состояния еще только постигают. Это и есть современные поиски философского камня – получение сверхпроводимости при комнатной температуре.

На этом последнем этапе нашего путешествия мы попадем в отдаленное будущее физики конденсированного состояния, не зная наверняка, что мы там найдем. Но начать можно с хорошо известной территории, обратившись к веществам, которые завораживали меня с тех самых пор, когда я еще ребенком впервые услышал легенды об их магии, – сверхтекучим средам.

Тайные зелья и сверхтекучесть

Помню, впервые я услышал о сверхтекучести в начальной школе – мне тогда было лет восемь. По рассказам казалось, что ничего волшебнее и быть не может. Хотя я уже знал, что хочу стать физиком, сегодня я подозреваю, что на путь, ведущий к физике конденсированного состояния, вполне могли направить меня именно слухи о сверхтекучести. Точнее, как я вспоминаю, мне рассказали вот что: если налить сверхтекучую жидкость в бутылку, она поднимется по стенкам и вытечет наружу через горлышко. Кроме того, я помню, что слышал, будто бы сверхтекучие вещества сохраняют текучесть даже при абсолютном нуле. Не помню, при каких обстоятельствах я услышал об этом в девонской деревне в середине 90-х, но я рад, что это случилось. И многое из того, что восьмилетки из начальной школы Оттери-Сент-Мэри считали непреложной истиной, по счастью, действительно было правдой[110]. Гелий – единственное известное вещество, приобретающее сверхтекучесть путем одного только охлаждения. Были созданы и другие сверхтекучие среды, но для них требуются чрезвычайно сложные установки или огромные давления: например, считается, что сверхтекучую среду образуют нейтроны в нейтронных звездах. Тем не менее этим экзотическим материалам начинают находить практическое применение на Земле. Один стартап, занимающийся квантовыми компьютерами, даже планирует производить работающие кубиты с использованием сверхтекучего гелия.

Магические свойства сверхтекучих сред порождаются отсутствием вязкости. Вязкость определяет, насколько текуче то или иное вещество: например, паста «Мармайт»[111] считается вязкой, а вода – нет. Зыбучий песок, в котором рисковали утонуть беспечные посетители пустынь до его загадочного исчезновения из популярной культуры в середине 1990-х годов, опасен именно потому, что обладает переменной вязкостью: эта смесь песка и воды имеет высокую вязкость, почти превращающую ее в твердое вещество, пока на нее не встанешь; в этот момент она начинает свободно растекаться, затягивая свою жертву к верной гибели.

Сверхтекучесть означает вязкость, точно равную нулю. Способность сверхтекучих сред вытекать из сосуда называют фонтанным эффектом; на самом деле сходное свойство проявляют и обычные жидкости, но в гораздо меньшей степени. Под действием поверхностного натяжения жидкость немного поднимается по стенкам сосуда, образуя мениск – направленное вверх искривление, которое можно увидеть по краям, например, чашки с чаем. К счастью для любителей чая, вязкость обычных жидкостей не позволяет им подниматься по стенкам слишком высоко. Тем не менее и этот классический эффект можно использовать в фокусе.

Чтобы исполнить его, вам нужно будет вернуться в местную таверну. Вас наверняка туда уже не пускают, так что вам придется переодеться – скажем, пожилым книгоношей, если, конечно, вы на самом деле не пожилой книгоноша: в таком случае можно притвориться, например, путешественником, который только что вернулся из пустыни со странным чувством юмора. Придумайте способ включить в свой наряд пробку от винной бутылки. Завязав беседу с ничего не подозревающим завсегдатаем таверны, ловко переведите разговор на пробки. Например, вы можете сказать, что, скитаясь по пустыне, встретили там фокусника: он рассказал вам, что в обычных условиях невозможно положить пробку на поверхность напитка так, чтобы она оставалась точно в центре стакана, но он знает волшебное средство, которое может заставить пробку оставаться в этой точке. Фокус работает почти с любыми напитками, но предположим, что перед вашим собеседником стоит чарка медовухи. Дайте ему свою пробку и попросите попытаться положить ее так, чтобы она неподвижно лежала на поверхности медовухи в центре чарки. Собеседник убедится, что это невозможно: пробка будет смещаться в самую высокую точку поверхности жидкости, которая из-за наличия мениска находится на краю. После этого продемонстрируйте колдовство, которому научил вас фокусник. Нужно чуть-чуть переполнить чарку, чтобы мениск стал из вогнутого выпуклым. Тогда медовуха поднимется над краями чарки, самая высокая точка окажется в центре, и пробка сама по себе сместится именно в центр поверхности. Если вы склоняетесь к черной магии, этот фокус легко превратить в предмет прибыльных пари. В общем случае мениск образуется потому, что молекулы текучей среды сильнее притягиваются к стенкам сосуда, чем друг к другу. Поднимаясь на стенки сосуда, они увеличивают площадь соприкосновения с ними. Это происходит с водой в стакане и со многими жидкостями на основе воды, например с молоком или медом (так что должно получиться и с медовухой – алкогольным напитком на основе меда). В некоторых веществах притяжение между молекулами бывает сильнее, чем их притяжение к сосуду; в таком случае мениск выше в центре, чем по краям, даже когда сосуд не переполнен. Такой мениск можно наблюдать на поверхности ртути в термометре[112].

Способность сверхтекучих сред подниматься по стенкам – это экстремальное проявление эффекта мениска. Другие их способности не столь понятны и имеют чисто квантовую природу. В главе VI мы связывали тот факт, что гелий не затвердевает при абсолютном нуле, с квантовыми флуктуациями. Для более точного утверждения нужно оговориться, о каком именно изотопе идет речь – гелии-4 или гелии-3. Разные изотопы одного и того же элемента имеют одинаковое число протонов, но разное количество нейтронов. У гелия-4 тех и других по два; при температуре ниже 4,2 К он претерпевает фазовый переход, который называется конденсацией Бозе – Эйнштейна и переходит в новое, сверхтекучее состояние вещества.

Вспомним легенды моря Ферми. Запрет Паули гласит, что никакие два идентичных фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Поэтому, когда несколько фермионов оказываются вместе, некоторые из них поневоле имеют высокую энергию даже в самом низкоэнергетическом своем состоянии – как нерасторопные волшебники, которым приходится тащиться на верхние этажи башни, потому что все нижние уже заняты. Но атомы гелия-4 ведут себя не как фермионы, а как бозоны.

Бозоны названы в честь Шатьендраната Бозе (1894–1974), физика из Бенгалии, основавшего дисциплину «квантовой статистической механики». Хотя за работы, ставшие возможными непосредственно благодаря его открытиям, на сегодня было присуждено уже семь Нобелевских премий, сам Бозе так и не удостоился этой чести. Бозе был ученым-энциклопедистом, свободно владел бенгальским, английским, французским, немецким и санскритом, а также выполнил первый перевод статей Эйнштейна по общей теории относительности на английский язык[113].

Бозоны не подчиняются запрету Паули. Они вполне могут существовать в том же квантовом состоянии, что и другие, так что при низких температурах все они переходят в состояние с наименьшей энергией. Если бы волшебники были бозонами, они все спали бы вповалку в самом нижнем номере гостиничной башни. Если же при этом бозоны испытывают притяжение друг к другу, как это происходит с атомами гелия-4, они активно привлекают друг друга в состояние с наименьшей энергией. Образующееся при этом состояние вещества называют конденсатом Бозе – Эйнштейна, и сверхтекучий гелий-4 представляет собой пример именно такого состояния. Хотя странные макроскопические свойства сверхтекучих сред имеют чисто квантовую природу, их можно наблюдать на крупном масштабе, в нашей срединной области. Это ли не невероятно? Как такое может быть?

Вспомним, что вся информация о квантовой частице содержится в ее волновой функции. Все частицы в конденсате Бозе – Эйнштейна имеют одну и ту же волновую функцию; в гелии-4 эти частицы – индивидуальные атомы гелия, а их волновая функция соответствует состоянию с наименьшей возможной энергией. Поскольку у всех этих частиц одна и та же волновая функция, разумно описывать весь конденсат чем-то похожим на эту единую квантовую волновую функцию. В этом и заключается основа магии сверхтекучести: именно так квантовые явления проявляются на повседневных масштабах.

Но, обратившись к гелию-3, мы сталкиваемся с новой загадкой, потому что, хотя атомы гелия-3 ведут себя не как бозоны, а как фермионы, при очень, очень низких температурах – около 0,0025 К – гелий-3 тоже становится сверхтекучим. Получается какой-то абсурд: фермионы ведут себя как волшебники в башне; как все они оказались на нижнем этаже? Видимо, они нашли способ вести себя как бозоны. Понимание того, как это происходит, – ключ к сверхпроводимости, в которой главную роль играют не атомы гелия, а электроны (то есть фермионы).

Сверхпроводники

Если отвлечься от некоторых важных тонкостей, сверхпроводники – это сверхтекучие среды с электрическим зарядом. Если сверхтекучесть – явление чрезвычайно редкое, то сверхпроводимость весьма распространена, хотя и при очень низких температурах. Собственно говоря, считается, что при достаточно низкой температуре все металлы становятся сверхпроводниками, если нет каких-либо особых причин, по которым этого не может произойти, – так же как все жидкости замерзают до твердого состояния, если их охладить в достаточной степени. Если бы мы жили при температурах, близких к абсолютному нулю, сверхпроводимость была бы обыденной, привычной, скучной. В нашем мире уже не было бы потерь – во всяком случае в том, что касается электрических токов. Но температуры в Сахаре далеки от абсолютного нуля.

При достаточном охлаждении куска металла поведение электронов резко изменяется. Положительно заряженные ионы остаются кристаллом, так что общая форма материала сохраняется. Однако новое поведение электронов порождает массу магических явлений, и все они имеют подходящие научно-фантастические названия.

Во-первых, сверхтоки: сверхпроводники обладают нулевым сопротивлением электрическому току. Не почти нулевым, не нулевым с точностью до погрешности измерения, а в точности нулевым. Если вы возбудите ток в сверхпроводящем кольце, вы можете вернуться к нему в конце долгой и насыщенной жизни и обнаружить, что он течет точно так же, как тек, когда вы его оставили. Что особенно важно для нас, сверхтоки также могут течь по сверхпроводящим линиям электропередачи на сколь угодно дальние расстояния без каких-либо потерь.

Во-вторых, эффект Мейснера. Если приложить к куску свинца магнитное поле, оно проходит сквозь него. Но если охладить свинец до 7,2 К, начинается магия: свинец превращается в сверхпроводник и вытесняет из себя магнитное поле. Это и есть эффект Мейснера: магнитное поле не может существовать внутри сверхпроводника. Силовые линии магнитного поля огибают его снаружи.

Эффект Мейснера: вытеснение силовых линий магнитного поля из сверхпроводника

В-третьих, захват магнитного потока. Возьмите свой кусок свинца и сделайте из него кольцо. Поместите это кольцо в магнитное поле так, чтобы силовые линии поля проходили сквозь него. Как и прежде, охладите кольцо так, чтобы металл превратился в своего сверхпроводящего двойника. Как и прежде, сверхпроводник выталкивает из себя магнитное поле – но на этот раз часть вытесненного поля попадает внутрь кольца. Оно оказывается заперто и не может выйти из кольца, потому что для этого ему нужно пройти через сам сверхпроводящий материал, что невозможно. Это и есть захват магнитного потока. Кольцо удерживается на месте магнитным полем; если поле выключить, силовые линии, проходящие сквозь кольцо, останутся и образуют замкнутые петли.

В-четвертых, квантование магнитного потока: если измерить величину магнитного поля, запертого в сверхпроводящем кольце, окажется, что она может быть только кратным некоего минимального значения – универсальной природной постоянной, которую называют квантом магнитного потока (что может быть самым научно-фантастическим названием в науке). Величина магнитного потока, проходящего сквозь кольцо, может быть равна одному кванту магнитного потока, двум квантам, трем квантам, но, скажем, не 1,2 кванта.

Сверхпроводники бывают двух типов, и между ними существует одно важное различие. Сверхпроводники I рода не впускают в себя магнитное поле ни при каких обстоятельствах: по мере все большего усиления магнитного поля в конце концов сверхпроводимость резко исчезает, и материал снова становится обычным металлом. Сверхпроводники II рода так же сопротивляются небольшим магнитным полям, но с усилением поля они не совершенно отказываются от сверхпроводимости, а начинают пропускать в себя пучки квантов магнитного потока. Это не противоречит тому явлению, с которым мы только что познакомились: на тех участках, через которые проходит магнитный поток, сверхпроводник возвращается в состояние обычного металла. Можно представить себе, что кусок сверхпроводника превращается в сверхпроводящее кольцо, через отверстие которого проходит магнитный поток.

Захват магнитного потока: силовые линии магнитного поля оказываются запертыми в сверхпроводящем кольце

Может показаться, что сверхпроводникам самое место в двигателях вымышленных машин времени, но на самом деле они широко используются на практике. Между ними и магнитами существует нечто вроде отношений любви-ненависти. Вращающийся сверхпроводник создает магнитное поле, направленное точно вдоль оси вращения; такая система может работать в качестве невероятно чувствительного гироскопа и была использована, например, в программе Gravity Probe B – спутниковом эксперименте по проверке общей теории относительности. Вспомним, что электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает магнитное поле; поскольку сверхток течет без потерь, он может порождать очень сильные магнитные поля. У таких сверхпроводящих магнитов есть множество применений: например, они стоят во всех магнитно-резонансных томографах мира. Они также используются в экспериментах по ЯМР для регулирования и измерения магнитных полей атомных ядер. Кроме того, сверхпроводящие магниты применяются для удержания плазмы в реакторах термоядерного синтеза и для ускорения элементарных частиц в Большом адронном коллайдере до поразительных энергий, которые не встречались во Вселенной с самых ранних стадий ее существования.

Несомненно, магическим применением сверхпроводников можно считать магнитную левитацию. Идея эта очень стара: еще Плиний Старший описывает попытку создать парящую в воздухе статую при помощи природных магнитов; они же использовались в летающем острове Лапуте в «Путешествиях Гулливера» Джонатана Свифта. Ни то ни другое устройство не могло бы работать, потому что теорема Ирншоу говорит нам, что ферромагнетики не могут обеспечивать статической левитации. Однако вспомним тот парящий кристалл, который я видел в Сент-Эндрюсском университете: дело было в том, что это был диамагнетик, то есть материал, намагничивающийся против прикладываемого к нему магнитного поля. В том случае речь шла о кристалле пиролитического графита, самого сильного из известных диамагнетиков в нормальных условиях. Но сверхпроводник абсолютно вытесняет магнитное поле – имею в виду эффект Мейснера. Поэтому сверхпроводники представляют собой абсолютные диамагнетики. Диамагнитные свойства любого сверхпроводника более чем в 2000 раз сильнее, чем у пиролитического графита.

Сверхпроводники уже используются в практических технологиях магнитной левитации, сокращенно «маглев». Существует несколько высокоскоростных поездов на магнитной подушке: самые быстрые из них – японские сверхпроводящие маглевы серии L0. Такой поезд развивает скорость 375 миль в час (603 км/ч), а для разгона ему требуется участок, в восемь раз более короткий, чем обычным поездам. Эти достижения связаны с отсутствием потерь энергии на трение, так как поезд летит над путями. Одним из важных остающихся источников потерь является сопротивление воздуха; существуют планы использования маглевов в вакуумных туннелях, что позволит получить новые огромные увеличения скорости. Коммерческие системы левитации не используют эффект Мейснера; вместо этого сверхпроводящие магниты создают сильнейшие магнитные поля, которые возбуждают парамагнитные поля в рельсах. Теорему Ирншоу снова удается обойти: на этот раз благодаря тому, что поезд движется.

Сверхпроводники несомненно соответствуют практическим критериям, по которым волшебники отличают магию. Объяснение их возникновения оказывается еще более волшебным.

Данс-макабр

Сверхтекучий гелий-4 образуется посредством конденсации Бозе – Эйнштейна. Этот механизм работает только для бозонов; поскольку электроны представляют собой фермионы, им нужно найти свой собственный путь к сверхтекучести. Они достигают ее при помощи любопытного скоординированного танца, у которого нет знакомых нам аналогов. Чтобы хоть в какой-то мере понять его, мы можем обратиться к области сверхъестественного, к танцорам, известным под многими разными именами, – Доброго народа, эльфов, Tylwyth Teg[114]. Это танец фей.

Входить в ведьмин круг может быть опасно. Современная наука говорит, что эти кольца грибов – появляющиеся на поверхности проростки большой грибницы, но в древнем фольклоре считалось, что в них водят хороводы феи. Тот, кто по глупости вступит в такой круг, услышит их завораживающую музыку и, скорее всего, уже никогда не сможет перестать танцевать. Танец фей упоминается в «Сне в летнюю ночь» Шекспира, в сцене свадьбы, на которой присутствуют как люди, так и сверхъестественные существа. Эта сцена, изображенная на картине Уильяма Блейка «Оберон, Титания и Пак танцуют с феями» (Oberon, Titania and Puck with Fairies Dancing, 1785) – таковы имена некоторых из главных волшебных персонажей, – была основана на традиционных представлениях: в Уэльсе считается, что когда несколько фей собираются вместе, они непременно начинают танцевать. В книге «Сказочная мифология» (The Fairy Mythology, 1828) Томас Кейтли описывает танец «под эту восхитительную волшебную мелодию, которая зачаровывает разум, приводя его в состояние столь сладкого помутнения».

Похожие кольца появляются в древнейшей пустыне мира, пустыне Намиб; это тесно расположенные, окруженные высокой травой песчаные круги, в которых ничего не растет. Местные легенды объясняют их происхождение по-разному: некоторые считают, что эти круги образуются от танцев фей, другие называют их следами богов. Общепринятого научного объяснения пока нет, но наиболее правдоподобные теории чрезвычайно интересны. В 2017 году исследователи из Принстона создали модель образования этих волшебных кругов в результате сочетания конкуренции между популяциями термитов и координированного роста растительности[115]. Кольца образуют структуру, напоминающую пчелиные соты, в которой у каждого из них есть в среднем шесть соседей: это самая плотная из возможных упаковок кругов на плоскости. Это явление дает великолепный пример эмерджентности: каждый термит и каждое растение выполняют простые задачи, но крупномасштабным результатом их поведения становится почти оптимальная упаковка волшебных колец.

Олаф Магнус. О ночных танцах фей, сиречь призраков. 1555 г.

Представим себе неосторожный караван, забредший в волшебное кольцо. Услышав манящую музыку, путешественники присоединяются к вечному танцу. Все, феи и люди, танцуют быстро; все возможные направления танца заняты людьми и, независимо от них, феями; все чувствуют, как от ног танцующих дрожит песок пустыни. Опьяняющая вибрация создает притяжение, воздействующее как на людей, так и на фей; однако эти чудесные чары таковы, что каждый из них оказывается привязан лишь к одному партнеру. Каждый человек получает партнера из числа фей и наоборот, причем пары образуют танцующие, движущиеся в этот момент в противоположных направлениях. Такие партнеры могут находиться в толпе далеко друг от друга, но их взгляды встречаются, и это связывает их судьбы; однако такая связь мимолетна, так как толпа движется хаотически, и все то и дело радостно меняют направление. Как только кто-нибудь из людей меняет направление, он немедленно находит себе нового партнера – фею, танцующую в противоположном направлении; так же находит себе новую пару при смене направления и каждая фея.

Позвольте объяснить эту аналогию. В обычном металле в электропроводности участвуют только электроны, находящиеся вблизи поверхности моря Ферми. У них больше всего энергии, они движутся быстрее всех остальных. Обычно их скорости приблизительно одинаковы, но перемещаются они в разных направлениях. Когда металл в достаточной степени охлаждается, именно эти электроны начинают сверхпроводящий танец. В нашей модели и люди, и феи изображают электроны – отрицательно заряженные частицы, обладающие магнитным полем (квантовым спином). При измерении проекции спина на некое выбранное направление всегда оказывается, что он ориентирован либо по этому направлению, либо против него; люди и феи и представляют эти два возможных направления спина.

Люди и феи притягиваются друг к другу вибрациями, которые возбуждают их шаги в почве пустыни; электроны тоже ощущают вибрацию друг друга, передаваемую через кристаллическую решетку. Поскольку у электронов одноименный заряд, они естественным образом отталкиваются друг от друга, но вибрация приводит к их взаимному притяжению. Это притяжение – первая замечательная особенность теории сверхпроводимости. Речь идет о притяжении в привычном физическом смысле – силе, притягивающей частицы друг к другу. Но появление его в этой ситуации странно, потому что два элементарных электрона должны ощущать воздействие силы, отталкивающей их друг от друга, и неясно, что именно противодействует этой силе.

Это притяжение объясняют следующим образом. Вспомним, что металл представляет собой смесь стихий земли и огня: в нем есть периодическая кристаллическая решетка из положительных ионов, окруженная морем отрицательных электронов, к которым они притягиваются. Утверждается, что в сверхпроводнике движущийся электрон притягивает положительные ионы чуть ближе к себе. За пролетающим электроном остается область несколько увеличенной концентрации положительного заряда, потому что возвращение более тяжелых ионов в исходное положение занимает некоторое время. Эта область положительного заряда притягивает второй электрон. Таким образом, возбуждая вибрацию в кристаллической решетке, первый электрон фактически притягивает к себе другой. Хотя эта базовая схема сверхпроводимости оказывается вполне понятной, не следует воспринимать ее слишком буквально, потому что у этого явления есть множество других аспектов, которых она не учитывает. На самом деле сверхпроводимость – явление квантовое, и классические аналогии просто не могут полностью отразить его.

Итоговый результат этих притяжений является второй замечательной особенностью: электроны связываются в пары. Кажется логичным, что два объекта, притягивающиеся друг к другу, могут стремиться к объединению. Но странно то, что притягиваются друг к другу очень и очень многие электроны, и тем не менее они образуют именно пары, а не тройки, не четверки и не более крупные скопления. Каждый электрон становится партнером электрона, имеющего противоположный спин и движущегося в противоположном направлении – как танцующие в противоположных направлениях человек и фея. Но эти пары – не пары конкретных электронов: человек не остается партнером конкретной феи, а все время становится партнером любой феи, танцующей в противоположном направлении, а направления эти все время изменяются. Это различие существенно. Если бы пары состояли из индивидуальных электронов, они могли бы разрушаться нарушениями порядка и примесями, как в обычных металлах. Но поскольку пары состоят из направлений, беспорядочно движущиеся электроны могут вступать в них и выходить из них. Если электрон меняет направление, он оказывается в паре с новым партнером, движущимся в противоположную сторону: как и в сутолочном танце людей и фей, пары постоянно меняются, но все танцующие все время находятся в парах.

Чтобы это работало, между танцующими должна существовать очень точная координация, но она возникает спонтанно. Например, пары должны одновременно расходиться в разных направлениях и в тот же момент находить себе новых партнеров. Эйнштейн говорит нам, что такие вещи не могут происходить на расстоянии мгновенно, так как ничто не может перемещаться быстрее скорости света, но это делает тот факт, что танец остается столь идеально скоординированным, еще более замечательным[116].

Танцующие, образующие пару, могут не быть друг рядом с другом: парные электроны в сверхпроводнике тоже могут находиться на большом расстоянии друг от друга – как правило, в нескольких тысячах атомов. Более того, расстояния между членами пар бывают гораздо больше, чем расстояния между разными парами; точно так же пару могут образовывать два участника танца, находящиеся на разных краях ведьмина круга, полного других танцующих. В результате многочисленные пары электронов вполне могут сосуществовать в одном и том же месте. С классической точки зрения такие «пары» по большей части состоят из пустого пространства.

В фигурах этого танца впервые разобрались в 1957 году Джон Бардин, Леон Купер и Дж. Роберт Шриффер; их объяснение, получившее название теории сверхпроводимости БКШ по инициалам ее авторов, стало одним из величайших достижений теоретической физики. Эта теория отличается изящной простотой, как в части математического аппарата, так и в части физического изложения. Теория БКШ – это полное квантовое описание поведения огромного числа взаимодействующих частиц; она превосходно объясняет целый ряд экспериментальных наблюдений, которые физики не могли понять в течение четырех десятилетий, с того самого времени, когда Камерлинг-Оннес открыл сверхпроводимость. Кроме того, она содержала несколько новых предсказаний, которые были быстро проверены, подтверждены и применены на практике. Ее создатели вполне заслуженно получили в 1972 году Нобелевскую премию.

Ключом к сверхпроводимости является образование пар притягивающихся электронов. Пары связываются за счет взаимного притяжения электронов: приблизительно так же Земля и Луна связаны гравитационным притяжением или два участника танца кружатся, держась за руки. Разница в том, что в этих случаях члены пары остаются на фиксированном пространственном расстоянии друг от друга, а пары в сверхпроводнике связаны относительным направлением движения[117]. Условия для появления теории БКШ появились, когда Леон Купер рассчитал, что любое притягивающее взаимодействие между многочисленными электронами должно приводить к связыванию всех их в пары. Они называются куперовскими парами: абсолютная проводимость возникает при охлаждении металла, как только появляются первые пары.

Куперовские пары

Именно куперовские пары позволяют электронам – фермионам – образовывать сверхтекучие среды, как если бы они были бозонами. В главе VII мы видели, что два одинаковых бозона выглядят неизменившимися, если их поменять местами, а два одинаковых фермиона после такой перестановки выглядят по-другому. На самом деле, описывающая их волновая функция приобретает отрицательный знак. Но минус на минус дает плюс – поэтому пары одинаковых фермионов могут быть похожи на бозоны. Это придает куперовским парам бозонные свойства; важно, что все они могут занимать одно и то же состояние с наименьшей энергией. Волшебники в башне научились танцевать танец фей: каждый из них находит себе партнера, что позволяет им набиться в номер на нижнем этаже, и таким образом они уменьшают свою энергию.

Куперовские пары помогли мне понять, что такое квазичастица, – потому что они не являются квазичастицами. По определению квазичастиц, которое мы дали в главе I:

Эмерджентная квазичастица может существовать сама по себе выше основного состояния материала и не может быть сведена к другим объектам, обладающим тем же свойством.

Так вот, куперовские пары нельзя разбить на более мелкие составляющие: хотя это пары, они возникают только благодаря взаимодействию многих частиц – также как для образования пар в ведьмином круге все находящиеся в нем многочисленные участники танца должны танцевать. Такова магия этой теории. Но они не являются квазичастицами, потому что квазичастицы представляют собой возбуждение над основным состоянием, а куперовские пары находятся в состоянии с наименьшей энергией. Их можно считать сверхпроводящим аналогом спокойного моря Ферми, а не возбуждений над ним.

Что же такое квазичастицы в сверхпроводниках? При приложении достаточной энергии куперовские пары могут распадаться. Но при этом получаются не два отдельных электрона, а нечто гораздо более странное – пара «квазичастиц Боголюбова», названных так по имени Николая Боголюбова; иногда их называют боголюбонами. Боголюбон – это квантовая суперпозиция электрона и дырки, то есть электрона и его отсутствия. Это придает ему некоторые необычные свойства. Например, электрон и дырка имеют электрический заряд противоположных знаков; у боголюбона, представляющего собой суперпозицию одного и другого, нет точно определенного заряда. Как установили экспериментаторы, его заряд бывает любым в диапазоне от отрицательного заряда электрона до положительного заряда дырки[118].

Сверхтоки, переносимые куперовскими парами, позволяют передавать энергию без потерь на произвольные расстояния. Но есть одна проблема. Теория БКШ предсказывает максимальную температуру, при которой могут существовать сверхпроводники. Она составляет около 40 К, что слишком холодно для практических приложений: самая низкая температура, зарегистрированная на поверхности Земли, была равна 183 К, и дело было в Антарктике. Хотя мы уже сейчас можем создавать не теряющие энергии сверхпроводящие линии электропередачи, в настоящее время на их охлаждение будет тратиться больше энергии, чем они позволят сэкономить.

Верная дорога в дюнах, которая, казалось, ведет в будущее без потерь, завела в зыбучие пески. Чтобы понять, что делать дальше, нам нужно вернуться к разнообразным определениям материи, с которыми мы встречались в нашем путешествии.

Друг в разных обличьях

Материя много раз появлялась на страницах этой книги, каждый раз в новом обличье. Сверхпроводники носят все ее многочисленные наряды одновременно.

В главе II материя принимала вид того, что возникает из взаимодействия огромного числа частиц. Сверхпроводники, несомненно, соответствуют этому определению, так как образуются только благодаря взаимодействиям между многочисленными электронами и фононами. В главе IV материя казалась равновесным состоянием между минимизацией энергии и максимизацией беспорядка, устойчивым низкоэнергетическим состоянием, испытывающим возмущения, которые порождают тепловые флуктуации. В главе V мы видели, что аналогичным образом могут действовать и квантовые флуктуации, что позволяет гелию избегать затвердевания при абсолютном нуле вопреки интуитивному представлению о том, что абсолютный нуль – это температура, при которой прекращается любое движение. На самом деле при абсолютном нуле гелий становится не жидким, а сверхтекучим. Сверхпроводники также сохраняют свои свойства при абсолютном нуле; движение не только не останавливается, но и может стать вечным. Но речь идет не о вечном движении в том самом запретном смысле: это «течение» происходит в странном квантовом смысле, с которым мы уже встречались, – и в точности в том же смысле, в котором электроны «текут» по орбитам вокруг атомного ядра.

В главе VI мы познакомились со спиновыми льдами, в которых есть дальние корреляции без дальнего порядка; сверхпроводники в этом отношении более обыденны, так как в них есть и то и другое. В главе VII мы говорили о топологически упорядоченной материи, которую определяет дальнее квантовое запутывание. Когда стало понятно, что такое топологический порядок, Вэнь Сяоган и другие исследователи выдвигали предположения, что, возможно, мы уже видели его почти веком раньше – когда Камерлинг-Оннес открыл сверхпроводимость. Хотя с основной идеей, которую предложил Вэнь и разработали другие ученые, согласны не все, она сводится к следующему. Вспомним, что сверхпроводники II рода пропускают сквозь себя достаточно сильные магнитные поля, но лишь в квантованных количествах: проходящие сквозь них силовые линии образуют пучки квантов магнитного потока. Вспомним также классический пример топологии – волшебника, выдувающего кольцо дыма: дым следует за воздушным вихрем, похожим на торнадо, замкнутое в кольцо. Объединим эти идеи и представим себе пучок линий магнитного потока, согнутый в кольцо, которое полностью находится внутри сверхпроводника. Получается нечто вроде дымового кольца из магнитного потока – и, как и кольцо дыма, кольцо магнитного потока будет устойчивым, то есть сможет изгибаться и растягиваться, не разрываясь. В дробном квантовом эффекте Холла при перемещении одного эниона вокруг другого оба они могут превращаться в нечто иное. Приблизительно так же при прохождении боголюбона сквозь такое кольцо и возвращении в исходную точку и кольцо и боголюбоны могут изменить свою форму.

Однако каноническое определение материи и пример, к которому мы постоянно возвращаемся в этой книге, – это пример вырастания кристалла из жидкости, приведенный в главе III. Это акт спонтанного нарушения симметрии. Жидкость обладает непрерывной вращательной симметрией: она выглядит одинаково под любым углом. У кристалла есть только дискретная вращательная симметрия: он выглядит одинаково только в некоторых определенных направлениях. При вырастании кристалла симметрии жидкости нарушаются – яйцо, стоявшее на конце, укатывается в произвольном направлении. Атомы кристалла спонтанно образуют периодическую структуру. В результате получается дальний порядок: если мы знаем положение одного атома, этого достаточно, чтобы определить положения всех остальных атомов. Это придает кристаллу жесткость: если толкнуть один его край, смещается весь кристалл. При вырастании сверхпроводника в металле происходит нечто в точности аналогичное. Сверхпроводимость возникает в процессе нарушения симметрии. Но когда в жидкости вырастает кристалл, вполне очевидно, какие симметрии нарушаются и в чем состоит его жесткость: толкая один конец, мы смещаем весь кристалл. Какая же симметрия нарушается при образовании сверхпроводника в металле? Какая жесткость при этом образуется?

Это просто такая фаза

Чтобы понять нарушение симметрии в сверхпроводнике, нужно еще более углубиться в квантовое описание микроскопического мира. Квантовая механика описывает объекты волновыми функциями. Классическая морская волна тоже описывается волновой функцией, которая определяет высоту волны в каждой точке поверхности воды и расстояние, на котором каждая точка находится от начала цикла подъема и спуска. Последняя величина называется фазой. Фазы Луны циклически сменяют друг друга; каждая точка поверхности волны так же циклически перемещается с самого высокого уровня на самый низкий и обратно. У квантовой волновой функции тоже есть фаза, и она играет ключевую роль в понимании нарушения симметрии в сверхпроводниках.

Вернемся к безрассудным людям, позволившим заманить себя в ведьмин круг, где они и танцуют свой нескончаемый танец. У каждого человека и у каждой феи есть карманные часы. Я знаю, о чем вы думаете: в тех редких случаях, когда людям, как рассказывают, удавалось вырваться из ведьмина круга, они возвращались домой через многие месяцы или годы после своего исчезновения, хотя им самим казалось, что прошло всего несколько часов. В этом месте время не имеет смысла; как же танцующие пары могут знать точное до секунды время? Но дело в том, что им не нужно, чтобы их часы показывали точное время, – им достаточно, чтобы часы показывали одинаковое время. Нужно только, чтобы карманные часы разных пар были синхронизированы. Пары договариваются о произвольном времени начала отсчета, устанавливают его с точностью до секунды – положения секундной стрелки – и запускают свои часы. Положение секундной стрелки часов изменяется так же циклически, как и фазы Луны; можно сказать, что пары случайным образом выбирают фазу (начальное угловое положение секундной стрелки), но если у какой-либо из пар она не совпадает с остальными, эта пара окажется рассинхронизированной с другими, что никак не годится для координированного хаоса ведьмина круга. Если часы какой-либо пары начнут отставать, пара быстро почувствует это, так как не будет успевать за всеми остальными; она вернется в такт с прочими, лишь подстроив свои часы соответствующим образом. В этом смысле все танцующие коллективно сопротивляются любым изменениям фазы, и поэтому коллективный танец обладает жесткостью: хотя начальная фаза была выбрана произвольно, изменить ее впоследствии очень трудно. Это в точности аналогично тому, как жесткость кристаллов придает им устойчивость к напряжению сдвига: фазовая жесткость сверхпроводников придает их сверхтокам устойчивость к потерям.

Такой танец спонтанного нарушения симметрии нам знаком: яйцо, поставленное на конец, падает только в одном направлении, выбирая его из всех возможных и нарушая вращательную симметрию, которой оно обладало до падения. Когда кристалл вырастает из жидкости, его атомы таким же образом выбирают одну конкретную точку из всех возможных. А когда из металла образуется сверхпроводник, куперовские пары выбирают для своей волновой функции одну фазу из всех возможных.

Тот факт, что все куперовские пары выбирают одну и ту же фазу, означает, что этой фазой может быть описан на повседневном масштабе весь сверхпроводник. В детстве меня восхищало именно это обстоятельство: сверхпроводимость и сверхтекучесть существуют в нашей срединной области – это свойства кусков вещества, которые вы можете взять в руки, если на них есть ваши (уже весьма поношенные) изолирующие перчатки. Но весь этот кусок вещества находится в одной и той же квантово-механической фазе; это квантовое безумие, увеличенное до наших масштабов благодаря магии жесткости.

Коллективная волновая функция сверхпроводников и сверхтекучих сред называется «когерентным состоянием». Как мы видели в главе V, когерентность наделяет квантовую систему способностью к магии. В этом есть одна восхитительная тонкость: сама по себе фаза квантовой волновой функции не имеет смысла, так как не может быть измерена в каком бы то ни было эксперименте. Смысл имеют только относительные сдвиги фаз разных волновых функций.

Как это согласуется с идеей о том, что сверхпроводимость возникает в результате выбора фазы? Вот как это происходит. Когда образуется сверхпроводник, он выбирает фазу относительно любого другого сверхпроводника во Вселенной. Это утверждение может показаться абстрактным, но оно поддается непосредственному измерению, и это измерение является одним из самых практических эффектов квантовой механики.

Джозефсоновские контакты

Существует простое устройство, измеряющее сдвиг фаз между двумя находящимися рядом друг с другом сверхпроводниками. Оно называется джозефсоновским контактом и имеет много практических применений. Помните, как в главе VI я говорил, что измерения магнитных монополей, которые проводила Ритика Дусад, были самыми чувствительными из когда-либо выполненных измерений магнитного потока? Так вот, в приборе, который она построила, использовался сверхпроводящий квантовый интерферометр, он же SQUID. Это устройство представляет собой всего лишь два джозефсоновских контакта, замкнутых в кольцо. Джозефсоновские контакты также используются для самых точных из когда-либо проводившихся измерений электрического заряда: величину вольта раньше определяли на основе измерений, выполненных при помощи джозефсоновского контакта. Вскоре они станут стандартными средствами регистрации изображений в астрономии и астрофизике; кроме того, именно они, вероятно, будут использоваться для практической реализации кубитов в квантовых компьютерах. Когда вы думаете о квантовом компьютере, воображаете ли вы угрожающего вида золотистого кальмара, свисающего с потолка? Если да, ваш воображаемый квантовый компьютер, вероятно, построен на основе джозефсоновских контактов.

Что же это такое?

Джозефсоновский контакт устроен очень просто. Это всего лишь два близко расположенных сверхпроводника, между которыми имеется узкий зазор, не обладающий сверхпроводимостью. Но получается из этого нечто магическое. Когда это явление было открыто, в него – как в любую порядочную магию – мало кто мог поверить. Его предсказал в 1962 году двадцатидвухлетний теоретик Брайан Джозефсон. Ставший впоследствии двукратным нобелевским лауреатом Джон Бардин, которому принадлежит буква Б в аббревиатуре БКШ, публично отрицал правильность предсказания Джозефсона, но уже в течение года они были подтверждены экспериментально, а в 1973 году Джозефсон в свою очередь тоже получил Нобелевскую премию. Эффект этот заключается в следующем: если поместить два сверхпроводника друг рядом с другом, между ними спонтанно возникает электрический ток. Если приложить напряжение, ток начинает менять направление течения между двумя сверхпроводниками с частотой, пропорциональной этому напряжению.

Вспомним танцующих в ведьмином круге посреди пустыни, движения которых координируются с точностью до секунды по карманным часам. Представим себе, что поблизости есть еще один ведьмин круг, в котором танцуют такой же танец. Время от времени одна из пар, не переставая танцевать, пересекает промежуток между кругами, попадая из одного в другой. Уже одно это достаточно странно, так как этот танец не должен существовать вне круга. Но это не самое странное. Хотя в обоих кругах находится одинаковое количество танцующих и они танцуют один и тот же танец, в результате получается чистый отток из одного круга и чистый приток в другой. Как такое может быть, если танцы одинаковы? Разве между ними нет абсолютной симметрии?

Дело тут вот в чем. Все танцующие в каждом из кругов установили на своих часах одно и то же произвольно выбранное начальное время – одну и ту же фазу. После этого танцующие жестко поддерживают выбранную фазу. Однако, поскольку она выбирается случайным образом, эта коллективная фаза, вероятно, будет разной в разных кругах. Часы танцующих в одном круге были синхронизированы раньше, чем часы танцующих в другом, что нарушает симметрию между кругами.

Я объясню эту аналогию поподробнее. Если поместить два сверхпроводника на близком расстоянии друг от друга, куперовские пары будут время от времени перемещаться из одного в другой. Бардин не верил, что это возможно, потому что зазор между сверхпроводниками не обладает сверхпроводимостью; если куперовские пары возникают из коллективного поведения частиц в сверхпроводнике, как же они могут существовать вне его? Но куперовские пары не пересекают этот разрыв в танце: они преодолевают его благодаря квантовому туннельному эффекту. Между двумя сверхпроводниками спонтанно возникает сверхток, интенсивность которого зависит от сдвига фаз между сверхпроводниками. Классических аналогов этого процесса не существует. Однако если вы позволите мне использовать не вполне точную аналогию, я могу дать вам некоторое представление о том, как сдвиг фаз может приводить к появлению тока.

Представьте себе, что время от времени какая-нибудь пара танцующих оказывается за пределами своего круга, но каждый раз, когда они слышат в коллективном танце топанье, они возвращаются в круг. Оказавшись вблизи второго круга, танцующие могут услышать первым топанье, доносящееся из него; в таком случае они попадают внутрь этого круга. В сверхпроводниках все происходит совершенно не так, но эта картина отражает вероятностный характер процесса. Теперь предположим, что в одном круге случайным образом решили согласовать часы в момент, когда секундная стрелка указывала на 12 часов, а во втором, так же случайно, на одну секунду позже. Представим себе также, что одинаковые танцы обоих кругов предполагают топанье каждые десять секунд. Тогда для пары, находящейся между кругами, вероятность оказаться в круге, в котором топают на секунду раньше, будет в девять раз больше, чем вероятность оказаться в другом круге, из какого бы круга исходно ни происходила эта пара. Вот почему это так: в каждом десятисекундном промежутке есть девять секунд, в течение которых топанье раздается из первого круга, и только одна секунда, когда оно раздается из второго.

Джозефсоновский контакт напоминает мне «заколдованный холм» – место, в котором остановившаяся машина, если отпустить ручной тормоз, начинает катиться по плоской дороге или даже вверх по склону. Это случается из-за оптической иллюзии, искажающей черты ландшафта: на самом деле машина катится вниз, но нам кажется, что она едет по горизонтали или вверх. В эффекте же Джозефсона никакой иллюзии нет. Если поместить два сверхпроводника на близком расстоянии друг от друга, из одного в другой без приложения какого бы то ни было напряжения потечет ток. По аналогии можно представить себе две одинаковые автомобильные парковки на разных концах заколдованной дороги: машины самопроизвольно катятся от одной парковки к другой без какого бы то ни было перепада высот. Если же припарковать машины на вершине заколдованного холма и у его подножия, они будут кататься туда и обратно между этим парковками, даже самопроизвольно поднимаясь вверх по склону.

Все это кажется совершенно неправдоподобным: самопроизвольные электрические токи наверняка должны относиться к области запретной магии. Да и способность сверхтоков течь вечно и безо всяких потерь должна быть невозможной. Тем не менее и то и другое существует на самом деле. Представление о том, как законы физики продолжают существовать, несмотря на столь экзотические состояния, позволяет нам еще глубже оценить сами эти законы.

Непоколебимые законы

Первое начало термодинамики говорит, что энергия не создается и не уничтожается. Электрон, движущийся по кругу, излучает свет; в квантовом описании он испускает фотоны, но, как бы то ни было, он теряет энергию. Тем не менее сверхток, поток электрически заряженных куперовских пар, может течь по кольцу вечно. Разве куперовские пары не должны терять энергию? Если должны, то они не могут двигаться вечно, потому что рано или поздно им не хватит пару (если вы извините мне этот термодинамический каламбур). На самом деле, даже когда сверхток течет по кольцу, куперовские пары остаются в состоянии с наименьшей возможной энергией. Они не могут терять энергию, будь то с испусканием фотонов или как-нибудь иначе. Как это возможно? Почему сверхпроводники не излучают света?

Это происходит по той же причине, по которой движущийся по орбите электрон не падает в ядро, но на большем масштабе. На самом деле электрон не движется по орбите: если бы он по ней двигался, он излучал бы энергию и действительно падал. Точнее сказать, что электрон находится в состоянии с определенной энергией в квантовой суперпозиции пространственных положений. В лучшем случае можно утверждать, что существует некоторая вероятность найти его в любом определенном месте. Загадочное обстоятельство, которое мы видели в главе V, заключается в том, что, если мы станем искать этот электрон, мы найдем его в одном конкретном месте. То же относится и к сверхтоку, текущему по кольцу: куперовские пары не могут двигаться по кругу, так как тогда они излучали бы энергию, а это противоречит тому обстоятельству, что они и так находятся в состоянии с наименьшей энергией. Течет не сама пара, а вероятность найти конкретную пару.

Второе начало термодинамики утверждает, что со временем энергия преобразуется из полезной работы в бесполезное тепло. Электрический ток, несомненно, полезен, и для перемещения тока по линии электропередачи требуется работа. При этом энергия теряется, преобразуясь в тепло, звук и вибрацию. Сверхток не менее полезен, но способен перемещаться без потерь. Не нарушает ли это второго начала? Нет, не нарушает: разгадка в том, что течение сверхтока не требует приложения работы. Работа требуется для преодоления сопротивления, а сверхтоки текут без сопротивления; следовательно, работа, которая преобразуется в тепло, отсутствует.

Понять оба эти положения мне лично помогают попытки вообразить, как выглядело бы настоящее нарушение законов термодинамики. Представим себе, что некое взаимодействие заставляет куперовские пары в сверхтоке собираться в группы. Ток по-прежнему течет по кольцу, но теперь его переносит крупный сгусток заряда. В этом случае такой сгусток действительно терял бы энергию через излучение в соответствии с первым началом. Поскольку излучение – это форма тепла, этот процесс приводил бы в действие и второе начало. Это говорит нам о том, что скопление заряда не может быть состоянием с наименьшей энергией: в сверхтоке заряд должен быть распределен равномерно.

Таким образом, законы термодинамики благополучно сохраняются и при наличии сверхтоков. Никакие фундаментальные законы физики не запрещают их существования и при высоких температурах; однако пока что сверхтоки существуют только в мире предельного холода. Это возвращает нас к побудительному вопросу этой главы: как можно практически использовать сверхтоки в нашей срединной области?

Философский камень

Танцующие в ведьмином круге испытывают притяжение друг к другу из-за вибрации, которую они создают; это притяжение связывает их в пары. В теории сверхпроводимости БКШ электроны испытывают притяжение друг к другу, порождаемое вибрациями кристаллической решетки – фононами. Существует экспериментальное подтверждение этой концепции в форме так называемого изотопического эффекта. Тяжелые изотопы любого элемента проявляют те же химические свойства, но, поскольку они содержат больше нейтронов, имеют бо́льшую массу. Как установил в 1911 году Камерлинг-Оннес, чистая ртуть обладает сверхпроводящими свойствами и тяжелые изотопы ртути становятся сверхпроводниками при более низких температурах. Это согласуется с предсказаниями теории БКШ, если предположить, что притяжение между электронами порождается именно фононами: более тяжелые атомы должны вибрировать медленнее. По этой же причине должна существовать и максимальная температура, при которой возможна сверхпроводимость: эта температура (равная при атмосферном давлении 40 К) задается возможными высокочастотными вибрациями.

Поэтому сделанное в 1986 году открытие сверхпроводимости в оксиде иттрия-бария-меди при температуре свыше 100 К стало для всех полной неожиданностью. Теория утверждала, что такое невозможно. Более того, теория утверждала, что YBCO (как сокращенно называют этот оксид) вообще не должен быть сверхпроводником: все известные до того момента сверхпроводники при нормальных условиях были металлами, а YBCO – керамический материал. Представьте себе, что вы спросили кого-нибудь в 1985 году, какой из предметов на каминной полке вероятнее всего обладает сверхпроводимостью при температуре выше 40 К. Все инстинктивно потянулись бы к металлическим часам и были бы неправы: точнее было бы выбрать фарфорового слоника.

С момента этого фундаментального открытия температура, при которой может наблюдаться сверхпроводимость, постепенно повышается. Сверхпроводимость уже была обнаружена в самых разных материалах, которые совершенно невозможно было заподозрить в чем-нибудь подобном. Рекордная температура превышает 150 К. Таким образом, был достигнут значительный прогресс, но самая низкая естественная температура на Земле все еще не превышена.

Высокотемпературные сверхпроводники пока что остаются загадкой. Их поиски возглавляют экспериментаторы; существует целая индустрия, занимающаяся проверкой любых материалов на сверхпроводящие свойства в надежде обнаружить тот самый философский камень – сверхпроводимость при комнатной температуре.

Кое-каких успехов уже удалось добиться. В 2020 году появились сообщения об обнаружении у углеродсодержащего гидрида серы сверхпроводимости при 15 °C – несколько прохладной комнатной температуре. К несчастью, однако, это явление наблюдали только при недостижимом при практическом применении давлении 2,6 миллиона атмосфер. Впоследствии эти результаты были подвергнуты сомнению, так как другие группы не смогли их повторить. На данный момент этот вопрос по-прежнему остается предметом яростных споров.

Все дело в том, что нам нужна теория высокотемпературной сверхпроводимости, которая направляла бы экспериментальные поиски. Сейчас имеется масса конкурирующих теорий, но нет ничего похожего на консенсус. Проблема отчасти заключается в том, что высокотемпературная сверхпроводимость сопровождается множеством странных явлений и пока неизвестно, какие из них способствуют ей, а какие мешают.

Несмотря на отсутствие теории, высокотемпературные сверхпроводники регулярно используются уже сейчас. Сверхпроводящий YBCO существует при температурах, значительно превышающих 77 К, точку кипения жидкого азота. Поскольку азот вполне доступен и легко приводится в жидкое состояние методом конденсации, любой сверхпроводник, существующий при температурах выше 77 К, можно считать сравнительно пригодным для практического использования. YBCO используется в сверхпроводящих магнитах исследовательских установок, в том числе Большого адронного коллайдера. В некоторых частях Соединенных Штатов и Германии высокотемпературные сверхпроводники уже применяются в коммерческих системах энергоснабжения; существуют планы объединения трех крупнейших энергосетей США с использованием сверхпроводников с азотным охлаждением. Это позволит сделать энергетическую нагрузку по всей стране более равномерной, что поможет при будущем переходе на возобновляемую энергетику.

Хотя мы уже добились немалых успехов, пока что нам известны только отдельные фрагменты этого заклинания. Мы смогли взглянуть на философский камень, но он еще не оказался у нас в руках, и теоретическое объяснение высокотемпературной сверхпроводимости все еще остается делом будущего. Между экспериментальным открытием обычной сверхпроводимости и ее теоретическим объяснением прошло сорок шесть лет; возможно, сейчас настало время для следующего прорыва такого рода.

Жесткая дорога в дюнах

Некогда алхимики искали философский камень, способный претворять низкие металлы в золото и дающий своему владельцу бессмертие и свободу от неизбежности потерь. Более ценен – и гораздо более редок, – чем золото, любой высокотемпературный сверхпроводник, дающий свободу от потерь в электрических токах. Камень, который ищут нынешние философы, – это сверхпроводимость при комнатной температуре. Имея его, мы, возможно, сумеем попасть в мир, в котором технологии будут обеспечивать не рост, а равновесие.

Было бы нечестно утверждать, что технологии позволят нам разрешить энергетические проблемы мира. Технические решения будут полезны только в том случае, если мы изменим свои личные привычки и позиции и обеспечим координированные действия со стороны государств. По счастью, прогресс в этих областях не обязательно бывает взаимоисключающим. Подходя к концу этой книги, мы возвращаемся к ее центральной теме – повторному очарованию обыденным. Я полагаю, что в отдаленном будущем важнее всего будет не создание чего-то нового, чего-то более крупного или более производительного, а оценка по достоинству того, что уже существует.

К слову, сверхпроводимость и сверхтекучесть могут преподать нам еще один урок относительно окружающего нас привычного мира. Они являются проявлением квантовых эффектов в нашей срединной области и совершенно не соответствуют нашему здравому смыслу. Это и есть настоящая магия, а точнее, практическая, прикладная магия волшебников. Но вот что интересно: сверхпроводники – явление ничуть не более квантовое, чем кристаллы. Они просто менее обыденны. Они делают в точности то же самое, что делает любая материя, – приобретают жесткость благодаря спонтанному нарушению симметрии. Если попытаться остановить течение сверхтока, куперовские пары окажут этим попыткам коллективное сопротивление. Если толкнуть кристалл, он сдвинется весь целиком. Сверхтекучая среда, убегающая а-ля Гудини из бутылки, из которой невозможно выбраться, – проявляет настоящую магию, но кристалл, лежащий на столе, проявляет точно такую же магию! Это не означает, что сверхтекучие среды менее волшебны. Скорее речь идет о том, что все виды материи не менее волшебны, чем сверхтекучие среды, – просто некоторые из них более привычны. Если бы мы жили в гораздо более холодном мире, сверхпроводимость казалась бы нам такой же обыденной, как твердость.

Возможно, создание теории высокотемпературной сверхпроводимости – дело отдаленного будущего. В связи с тем потенциалом изменения мира к лучшему, которым она обладает, ее получение является главной задачей физики конденсированного состояния. Когда мы будем понимать высокотемпературную сверхпроводимость так же хорошо, как мы понимаем теорию БКШ, мы, вероятнее всего, будем смотреть на мир совершенно другими глазами. Такие достижения не возникают на пустом месте и не бывают изолированными: если состояния материи приобретают устойчивость благодаря сотрудничеству множества составляющих материю частиц, то и развитие человеческого знания точно так же обеспечивается сотрудничеством множества отдельных людей. Если вы захотите присоединиться к этим поискам, там найдется место и для вас.

IX

Бескрайние дали

На самом северном из западных островов живет женщина, которую островитяне считают величайшим из живущих ныне узловых мастеров. В то же время другие узлоделы знают, что она – величайший из всех узловых мастеров прошлого, настоящего и будущего. Хотя узловые мастера обладают прирожденными способностями, очевидными наблюдателям, еще в юном возрасте, им тем не менее приходится обучаться ремеслу в течение всей жизни. В результате они по большей части специализируются на каком-либо из направлений своей сферы, одним из примеров которых является создание сплетений. Мастерица северного острова принадлежит к древнему матрилинейному роду ткачих виссона – узлоделов, которые выискивают в морских глубинах устриц особого вида. Ткачиха виссона закладывает в раковины устриц песчинки. В чрезвычайно редких случаях вокруг них образуются огромные жемчужины. Однако ткачиха надеется на еще более редкий результат: ей нужно, чтобы устрицы за долгие месяцы или годы вырастили несколько нитей виссона, или морского шелка – тонкого нитеобразного вещества с золотистым блеском. Ныряя в море, ткачихи собирают немногочисленные нити морского шелка. Вернувшись на берег, они вплетают их в великолепные шпалеры в честь важных событий или уважаемых гостей. Виссон так тонок, что на прядь толщиной с паучий шелк уходит бессчетное количество его нитей. Искусный узловой мастер делает виссонные шпалеры такими подробными, что их невозможно отличить от реальной сцены, которую они изображают.

Когда мастерице северного острова исполняется девяносто девять лет, она создает нечто такое, чего никогда не создавала раньше, – не виссонную шпалеру, а виссонное сплетение. Тем самым она создает мир. Если виссонная шпалера может изображать реальность во всем ее совершенстве и несовершенстве, то виссонное сплетение точно так же содержит в себе целую вселенную, оживающую по мере того, как мастерица нашептывает узлы и связывает ее паутину. С каждой связью, которую она включает в сплетение, происходят изменения. Тем обитателям виссонного сплетения, которые способны мыслить лишь линейными фразами, эти изменения кажутся частью линейного течения времени. Мастерица отдыхает; когда она возвращается к чтению и связыванию, обитатели ее вселенной не замечают разрывов в течение своего существования, возникающих при изменении связей всеохватывающей виссонной паутины. Все прошлое и все будущее виссонной вселенной зашифрованы в этой паутине с самого начала ее создания. Определенная последовательность звуков описывает гору; другая последовательность – смерть воробья; третья – отблеск молнии; четвертая – саму мастерицу.

На этом Вериана закрыла книгу и вернулась мыслями в суету библиотеки – и к размышлениям о том, как из нее выбраться.

Вериана стремилась вернуть в мир некогда повсеместно встречавшуюся в нем магию: классическая тема художественных вымыслов. Такие примеры встречаются во многих работах, упомянутых в этой книге, – во «Властелине колец» более магическая эпоха осталась в прошлом; возвращение магии является центральной темой «Луда-Туманного» Хоуп Мирлиз, «Дочери короля Эльфов» лорда Дансени и «Джонатана Стрейнджа и мистера Норрелла» Сюзанны Кларк; та же идея встречается в телесериалах – например, в «Легенде о Корре» или в «Аркейне» – и в фильмах – например в «Принцессе Мононоке» студии «Гибли».

Причины такой распространенности этой темы кажутся очевидными: если мы хотим верить в магические свойства мира, нужно объяснить, почему магии больше не видно. В древних повествованиях о мире часто встречаются события весьма магического свойства, и одно из возможных объяснений состоит в том, что магия действительно существовала, но исчезла перед наступлением современной эпохи. Часто бывает, что можно определить точное время исчезновения магии. И Мирлиз, и Дансени, и Толкин писали в межвоенный период, когда механизация вытесняла старый образ жизни. Толкин говорил, что угроза, которую механизированное зло сил Саурона представляло для Шира, пасторальной утопии хоббитов, символизировала распространение промышленного Бирмингема на окрестную сельскую местность, в которой он жил в детстве. Этой индустриализации способствовали, в частности, технические достижения периода Первой мировой войны, жестокость которой Толкин ощутил на собственном опыте, когда был на военной службе. Физика конденсированного состояния развивалась в то же самое время и по тем же самым причинам. Может показаться, что магию убили именно те знания и то мировоззрение, которые она принесла с собой.

Но я бы сказал, что на самом деле магия так и не исчезла – она лишь приняла новую форму. Своего рода магию легко увидеть в мире природы: она ясно присутствует, например, в деревьях, журчащих ручьях и замшелых камнях древних пещер. Это первая стадия восприятия магии – простое наслаждение представлением. По мере того как мы познаем окружающий нас мир, появляется искушение думать, что магия ушла из него. Но, если мы примем эту точку зрения, мы застрянем на второй стадии – будем понимать некоторые из фокусов и считать представление тривиальным. Но и в нашем современном мире есть магия. Мир никогда не терял ее, и вновь обретенное понимание позволяет нам перейти на третью стадию – оценить представление, опираясь на знания профессионального фокусника.

Хорошо известно, что проводить время на природе полезно – например, для облегчения стресса и тревожности[119]. Но откуда природа берет эту способность и какие формы она должна принимать, чтобы эта магия работала? Недавно я гулял по пустошам Дартмура, продуваемым ветрами, голым вересковым просторам с торфяными болотами, усеянными гигантскими гранитными монолитами и древними дубовыми лесами, в компании моего старого друга и учителя Деймиена Хакни. Он рассказывал об одной из идей, которые он разрабатывал, когда писал диссертацию. Идея эта состояла в изобретении способов достижения ощущений связности и спокойствия, столь легко достижимых на природе, для тех, кто знаком только с городской жизнью, – умения видеть магию не в деревьях и горных ручьях, а в бетоне и металле. Насколько я понимаю, это похоже на поиски возможностей видеть магию в конденсированных состояниях вещества, будь то нешлифованные куски руды или очищенный металл городской скамейки.

Дальнейший путь

Со всех сторон Вериану окружал лабиринт книжных стеллажей; сверху и снизу были чугунные решетки. Ее время истекало; враги подходили все ближе. Хотя они контролировали библиотеку, создали ее не они, и никакой любви к ней они не испытывали. Содержавшиеся в ней знания они ценили только за то могущество, которое черпали из них.

То, что прочитала Вериана, начало пробуждать в ней давным-давно усыпленные воспоминания. Она вспомнила солнечные утра, которые проводила за чтением историй о юношеских похождениях мистера Калабаша, о его учебе у мудрой леди Долгоух в те времена, когда он еще не стал легендарным мастером. В такие моменты похожей на сон отстраненности от мира она не раз ловила себя на том, что бездумно подцепляет по углам этих знакомых страниц нити реальности: она была тогда слишком мала, чтобы знать, что это невозможно. По мере воскрешения этих воспоминаний ее ощущения вновь начали выходить за пределы пространства и времени. Она вновь поняла, что время и пространство – лишь удобные условности, и вновь нащупала ту ткань, из которой они возникли.

Заметив выбившуюся из ткани нить, она осторожно поддела ее и минут десять спустя открыла в грубой холстине бытия проем – туннель, ведущий за пределы библиотеки. Вериана нашла то знание, которого искала. Этот этап ее путешествия подходил к концу. Но назначение знания – распространение и использование, и именно в этом состояло следующее приключение, к которому она теперь отправлялась. Настало время выбраться из библиотеки и вернуться в мир.

Кое-кто говорит, что между мировоззрениями, которые мы привносим в свои научные теории, и господствующими в обществе мнениями есть глубинная связь. Если это так, то развитие физики конденсированного состояния должно открывать оптимистичные перспективы. Один из вопросов, взглянуть на который по-новому позволяет эта научная дисциплина, – это вопрос редукционизма и эмерджентности. Редукционизм старается свести сложные явления к самым простым из всех возможных описаний – как Шерлок Холмс, который раскрывает очередное дело, определяя, какие подробности произошедшего следует исключить из рассмотрения. Эмерджентность – это утверждение о том, что результат, получающийся при участии множества мелких составляющих, может быть больше, чем их простая сумма.

Эти два подхода дополняют друг друга, и оба всегда будут играть в науке важную роль. Что противоречит идее эмерджентности, так это утверждения о том, что все существенные элементы всегда бывают самыми мелкими из составляющих. Примером такой точки зрения может служить любая программа описания реальности исключительно в терминах частиц и их взаимодействий, без учета коллективных явлений.

Древняя мудрость гласит, что стремление к одной крайности неизбежно приводит к другой, противоположной первой. Познание природы элементарных частиц потребовало разработки квантовой теории поля, которая говорит нам, что частицы никогда не существуют изолированно: они окружены морем потенциальных пар частиц и античастиц, возникающих из вселенского фокуса. Разделение сущности на части может быть не чем иным, как первым этапом обратной сборки ее в единое целое из тех же, но уже понятых частей.

В будущем эмерджентность ожидает эмерджентная роль. Физика конденсированного состояния, работающая с квантовыми компонентами микроскопического мира, нацелена на познание сложных систем, возникающих из сочетаний множества таких компонентов, – срединной области нашего повседневного существования. Особенный интерес представляют те случаи, в которых крупномасштабное описание оказывается фундаментально иным, нежели мелкомасштабное.

Поразительно, как мало существует книг о физике конденсированного состояния, хотя это крупнейшая дисциплина в физике. Как и многие другие физики, работающие в этой области, я рос, вдохновляясь рассказами о теории струн, черных дырах и множественных вселенных. Когда, уже в университете, мне открылась огромная увлекательная область, все эти годы остававшаяся скрытой от меня, это было приятной неожиданностью. Но почему эта сфера настолько недостаточно представлена в общественном сознании? В течение многих лет я спрашивал об этом физиков и журналистов, пишущих о науке, и их ответы распадались на две основные группы. Во-первых, суперструны и черные дыры волшебны, а привычная нам материя – нет. Во-вторых, суперструнам и черным дырам помогает отсутствие непосредственной практической пользы, что позволяет оценивать их собственные достоинства – по тому, насколько они интересуют исследователей. Физика конденсированного состояния страдает от собственной практической полезности. Надеюсь, вы согласитесь, что привычность и практическая польза отнюдь не исключают волшебности. Совсем наоборот: они и есть та магия, которую создают волшебники.

Недостаточная популярность физики конденсированного состояния дала мне счастливую возможность впервые рассказать о ней многим читателям. Я привел краткие портреты нескольких ученых, работающих в этой области, и надеюсь, что это дает хотя бы некоторое представление о том, какими разными путями можно в нее прийти. К сожалению, на протяжении значительной части истории занятия наукой были исключительным уделом малочисленной элиты. Но эти времена прошли, и нам остается только гадать, насколько дальше мы смогли бы продвинуться в своем коллективном путешествии, если бы в науке прошлого были лучше представлены выходцы из более разнообразных слоев. Если и есть какая-либо главная идея, которую я хотел выразить, то она сводится вот к чему: физика конденсированного состояния открыта для всех; кто угодно может стать волшебником, и если вам это интересно, я настоятельно советую вам присоединиться к их сообществу. Если вам кажется, что вы не соответствуете традиционным представлениям об ученых, ваша точка зрения будет еще полезнее для будущего развития этой науки.

Однажды я слышал, что главный секрет успеха любого эстрадного фокуса состоит в том, что фокусник прилагает больше усилий, чем представляет себе кто-либо из зрителей. В этом же состоит и секрет успеха в физике: он достижим, и достижим для кого угодно, но требует множества упражнений. Когда вы освоитесь в этой области, окружающие будут считать вас волшебником, потому что будут не в силах вообразить, каким трудом достались вам ваши знания. У такого восхищенного отношения есть свои недостатки: многие не решаются заниматься физикой, потому что им кажется, что со способностями к математике можно только родиться – или не родиться. Я могу утверждать, опираясь на собственный опыт, что это далеко не так: их можно выработать при помощи упражнений.

Нам постоянно внушают, что наука – занятие изолированное: несмотря на огромные коллективы, совместная работа которых неотъемлема от современной науки, Нобелевскую премию могут получить одновременно не более трех человек. В этой модели открытия приписываются отдельным лицам, без учета более широкой среды взаимодействий между людьми. Такие представления возможны, только если считать себя отделенным от мира, а мир – управляемым. Это противоречит законам колдовства; такая же философия побуждала нас считать окружающую среду потребляемым ресурсом, отдельным от нас самих. Но есть основания надеяться, что постепенный переход к эмерджентности позволит нам рассчитывать на позитивные перемены. Мы существуем не отдельно от своей среды, но в качестве ее части. Это согласуется с научной тенденцией к эмерджентности – идее о том, что целое больше суммы составляющих его частей, – и, несомненно, именно такова точка зрения волшебников.

Приложение

В данном приложении мы приведем доказательство утверждения из главы V. Вспомним, какую проблему нам требуется решить. Вам предстоит встреча с ночной прачкой в отдельной башне, и такие же встречи, с другими прачками и в других башнях, предстоят двум вашим друзьям (для удобства присвоим башням номера 1, 2 и 3). В полночь к каждой прачке прилетит ворон и доставит ей стеклянный шарик; прачка спрячет этот шарик в руке, а вам и вашим друзьям придется угадать, в какой именно, и тогда каждая из прачек объявит, верный ли вы дали ответ. Кроме того, прачки рассказали об условиях, которые будут соблюдаться неукоснительно:

i. Каждый раз, когда один из вас выберет левую руку, среди ваших ответов будет нечетное число правильных.

ii. Каждый раз, когда все трое выберут левую руку, среди ваших ответов будет четное число правильных.

В этом приложении мы докажем, что тайного правила, которому могли бы следовать ночные прачки и которое совместимо как с условием i, так и с условием ii, нет и не может быть; и даже если они жульничают, они не могут соблюсти условия i и ii, если только они не узнают в мгновение ока о том, что происходит вдалеке, каким-то неведомым образом.

Пусть {А, Б} – исход для {левой, правой} руки. Каждый исход может быть равен «д», что обозначает «да, шарик есть», или «н», что обозначает «нет, шарика нет». Обозначим символом «.» любой исход, в котором возможен любой результат.

Для каждого случая мы выпишем ряд из трех скобок {Л, П} {Л, П} {Л, П}, по одной скобке на каждый исход в башнях 1, 2 и 3 соответственно. При рассмотрении утверждений i и ii нужно рассмотреть случаи, когда один из вашего трио выбирает левую руку: ЛПП (в первой башне выбрана левая рука, в башнях 2 и 3 – правая), ПЛП или ППЛ; а также, обратившись к условию ii, нам нужно рассмотреть случай, когда все трое выбирают левую руку: ЛЛЛ.

Возьмем первый из этих случаев, ЛПП. С утверждением i совместимы следующие варианты:

{д,} {., н} {., н} (правильный выбор в башне 1 в случае ЛПП)

{н,} {., д} {., н} (правильный выбор в башне 2 в случае ЛПП)

{н,} {., н} {., д} (правильный выбор в башне 3 в случае ЛПП)

{д,} {., д} {., д} (правильный выбор в башнях 1, 2, 3 в случае ЛПП).

В каждом ряду человек, оказавшийся в башне 1, выбирает левую руку, а двое других выбирают правую, и именно поэтому в первую скобку мы вносим данные слева, а в каждую из последующих – справа. Условие i говорит, что верным должно быть нечетное число ответов, следовательно, в каждом ряду должно быть нечетное число отметок ‘д’. В четырех рядах полностью исчерпаны возможные варианты, при которых это может оказаться истиной; например, исход для правой руки в башне 1 обозначен отметкой ‘.’, поскольку до сих пор мы рассматривали только тот случай, в котором человек в первой башне выбрал левую руку. Таким образом, если все трое выбирают руки ЛПП, число правильных ответов оказывается нечетным.

Но может быть выбрана и комбинация ПЛП. Каким бы ни было тайное правило, оно должно быть совместимо с обеими этими комбинациями, поскольку правило должно охватывать все возможные случаи. Это накладывает дополнительные ограничения на тайное правило. Обратите внимание на первый ряд сверху. Есть две возможности вписать некоторые из отметок ‘.’, так что это тайное правило также совместимо со случаем ПЛП. Вот эти два варианта:

{д, д} {н, н} {., н} (правильный выбор в башне 1 в случае ПЛП) или

{д, н} {д, н} {., н} (правильный выбор в башне 2 в случае ПЛП).

Если взглянуть на второе из четырех изначальных условий, у нас опять есть две возможности:

{н, д} {н, д} {., н} (правильный выбор в башне 1 в случае ПЛП) или

{н, н} {д, д} {., н} (правильный выбор в башне 2 в случае ПЛП).

Если взглянуть на третье из четырех изначальных условий, у нас опять есть две возможности:

{н, н} {н, н} {., д} (правильный выбор в башне 3 в случае ПЛП) или

{н, д} {д, н} {., д} (правильный выбор в башнях 1, 2, 3 в случае ПЛП).

И если взглянуть на четвертое из четырех изначальных условий, у нас опять есть две возможности:

{д, н} {н, д} {., д} (правильный выбор в башне 3 в случае ПЛП) или

{д, д} {д, д} {., д} (правильный выбор в башнях 1, 2, 3 в случае ПЛП).

Также может быть выбрана комбинация ППЛ. Последний из восьми возможных вариантов теперь зафиксирован:

{д, д} {н, н} {н, н} (правильный выбор в башне 1 в случае ППЛ)

{д, н} {д, н} {д, н} (правильный выбор в башне 3 в случае ППЛ)

{н, д} {н, д} {д, н} (правильный выбор в башнях 1, 2, 3 в случае ППЛ)

{н, н} {д, д} {н, н} (правильный выбор в башне 2 в случае ППЛ)

{н, н} {н, н} {д, д} (правильный выбор в башне 3 в случае ППЛ)

{н, д} {д, н} {н, д} (правильный выбор в башне 1 в случае ППЛ)

{д, н} {н, д} {н, д} (правильный выбор в башне 2 в случае ППЛ) или

{д, д} {д, д} {д, д} (правильный выбор в башнях 1, 2, 3 в случае ППЛ).

Последнее правило в этом списке – то, о котором говорится в основном тексте, «все всегда правы». Таким образом, есть восемь возможных правил, совместимых с утверждением i. Чтобы проверить совместимость с утверждением ii, нужно подсчитать число «д» в левых частях всех пар в строке. Чтобы утверждение ii было истинным, это число должно быть четным. Но оно всегда оказывается нечетным. Следовательно, тайного правила, совместимого с утверждениями i и ii, быть не может.

Выражение благодарности

Я хотел бы поблагодарить многих людей, без чьей помощи эта книга либо не существовала бы, либо существовала в непригодном для чтения виде.

Прежде всего я хотел бы поблагодарить моего агента Энтони Топпинга, который направлял меня в течение всего процесса публикации и неизменно сохранял заразительный оптимизм. Я также хочу выразить признательность Маркусу дю Сотою, познакомившему нас.

Эту книгу стало возможным читать благодаря моим редакторам Хелен Конфорд, Эду Лейку и Нику Хамфри из издательства Profile, а также Эймону Долану из издательства Simon & Schuster. Нику Аллену из компании Forewords я обязан не только тщательной корректурой, но и множеством ценных научных замечаний.

Я хотел бы поблагодарить Фритьофа Капру, который вдохновил меня своими книгами, а впоследствии посоветовал мне написать мою собственную.

Я хотел бы поблагодарить Феми Фадугбу и Юджинию Чен за большую помощь, поддержку и советы как по написанию книги, так и по ее опубликованию.

Я хотел бы поблагодарить Рут Гордон за разрешение использовать ее изображение демона Максвелла, как и за само создание этого рисунка. Я хотел бы поблагодарить моего доброго друга Азима Закрию из оксфордского писчебумажного магазина Scriptum за то, что он создал для меня «волшебную тетрадь», в которую я мог заносить свои наблюдения повседневной магии. Я хотел бы поблагодарить Хелену Лоутон и Чэнь Сысюань за перевод отрывка из «Гуй Гу-цзы»; с учетом того, что это первое известное упоминание магнитов, найти готовый перевод оказалось на удивление трудно.

Я хотел бы поблагодарить всех моих друзей, нашедших время, чтобы прочитать разнообразные черновые варианты этой книги и поделиться со мною ценными советами и замечаниями. Мне помогли, в частности, Дина Генкина, Кунь Ли, Гвендолин Линдси-Эрли, Эллен Мастерс, Эмма Пауэлл, Леонид Тарасов, Джек Уинтер и Джон Хэнни. Подробные комментарии, которые предоставили мне Хольгер Гааз, Себастьян Монтес Валенсиа и Яспер ван Везель, побудили меня полностью переписать первый вариант книги, что сделало ее несравненно лучше. Кроме того, Монтес и Яспер подробно комментировали и последующие варианты, и только после учета их замечаний книга начала походить на нечто пригодное для чтения.

Наконец, я хотел бы поблагодарить свою невесту Беатрис Доминик Скарпа за ее огромную помощь и за то, что она неизменно остается источником вдохновения и волшебства с самого момента нашей случайной встречи в странствиях по пустыне.

Примечания

1

Я не хочу использовать слово «ведьмы» из-за его ассоциаций с историей преследований. Под «волшебниками» здесь подразумеваются занимающиеся магией люди любого типа и происхождения. – Примеч. автора.

Иногда я привожу ссылки на научные статьи, подтверждающие то, что я рассказываю о недавних исследованиях. Многие из этих статей написаны для специалистов; не предполагается, что их можно понять, не имея ученой степени в соответствующей области. Однако во многих случаях, если произвести поиск по названию статьи, можно найти в других местах ее краткое популярное изложение. Я привожу «цифровые идентификаторы объекта» (digital object identifiers, DOI), которые позволяют однозначно идентифицировать каждую работу.

Доступ к материалам по некоторым ссылкам требует платной подписки. Однако почти все современные публикации по физике также загружаются в виде препринтов на сайт arxiv.org, который обеспечивает бесплатный доступ к ним. Обычно препринты отличаются от журнальных публикаций только форматом, но не содержанием. Имейте в виду, что для загрузки статьи на сайт arxiv.org ей не требуется рецензирование специалистами; если статья, выложенная на arxiv.org, прошла рецензирование и была опубликована в журнале, к ней обычно прилагается ссылка на журнальную публикацию.

2

Avatar: The Last Airbender (в российском прокате «Аватар: Легенда об Аанге») – мультсериал, выходивший в 2005–2008 гг. К одноименному фильму Джеймса Кэмерона отношения не имеет. – Примеч. перев.

3

Пер. с англ. М. К. Рыклина. Цит. по: Фрэзер Дж. Дж. Золотая ветвь: Исследование магии и религии. 2-е изд. М.: Политиздат, 1983.

4

The Invisibles (1994–2000) – серия комиксов по сценариям шотландского писателя Гранта Моррисона. – Примеч. перев.

5

Corinne A. Moss-Racusin et al. Science faculty’s subtle gender biases favor male students // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. Vol. 109 (41). P. 16474–16479 (2012); doi.org/10.1073/pnas.1211286109

6

Как мы знаем из Толкина, орлы всегда рады явиться на помощь в самый нужный момент. – Примеч. автора.

7

Tom’s Midnight Garden (1958) – детский роман Филиппы Пирс. – Примеч. перев.

8

Некоторые физики предпочитают называть фононы не квазичастицами, а коллективными возбуждениями. Я не делаю здесь этого различия. – Примеч. автора.

9

Мария Кюри (1903) и Мария Гёпперт-Майер (1963). – Примеч. перев.

10

Это был индийский физик Чандрасекхара Венката Раман (1930). – Примеч. перев.

11

В 2018 г. премию получила Донна Стрикленд, а в 2020-м – Андреа Гез. – Примеч. перев.

12

Пер. с др. – кит. В. В. Малявина. Цит. по: Чжуан-цзы. Ле-цзы. М.: Мысль, 1995. Серия «Философское наследие». Т. 123.

13

Пер. с англ. Р. Г. Громова. Цит. по: Дуглас М. Чистота и опасность: анализ представлений об осквернении и табу. М.: Канон-пресс-Ц, Кучково поле, 2000.

14

Цит. по: Малявин В. В. Китайская наука стратегии. М.: Белые альвы, 1999.

15

В сочетании со словом stone (камень) получается «путеводный камень». – Примеч. перев.

16

В главе IV книги XVI «Природной магии», озаглавленной «Как можно писать внутри яйца», описываются целых шесть способов. Должен признаться, что мне не удалось повторить результаты делла Порты; единственный способ, демонстрацию которого я нашел в интернете, состоит в следующем: нужно вырезать в яйце небольшое отверстие и вложить в него записку. – Примеч. автора.

17

От англ. spin – «вращаться». – Примеч. перев.

18

Сходного и родственного мировоззрения придерживались западные алхимики – например сэр Исаак Ньютон, – но в их время известных планет было не пять, а семь. Ньютон решил, что в радуге семь цветов, потому что в музыкальной октаве было семь основных нот, которые соответствовали семи планетам. Нас до сих пор учат, что в радуге семь цветов, что в высшей степени неестественно, потому что достаточно даже беглого взгляда, чтобы увидеть, что цвета радуги образуют непрерывный спектр. – Примеч. автора.

19

Есть и другие причины, по которым у кружек делают вогнутое дно. Во-первых, если бы дно было плоским, возможные мелкие неровности выступали бы из него и кружка была бы менее устойчивой. Во-вторых, во время обжига в печи кружка стоит на кольце, что позволяет покрыть глазурью ее вогнутое дно. – Примеч. автора.

20

…или в кипящую воду. – Примеч. перев.

21

Строго говоря, спины ориентируются в одном и том же направлении в пределах так называемых магнитных доменов, то есть областей размером от одного микрона до одного миллиметра; разные домены могут быть намагничены в разных направлениях, если нет внешнего магнитного поля, которое придает им одинаковую ориентацию. – Примеч. автора.

22

Wool and Water (англ.) – литературная аллюзия, отсылка к названию пятой главы «Алисы в Зазеркалье». – Примеч. перев.

23

Пер. с валлийского В. В. Эрлихмана. Цит. по: Мабиногион: Легенды средневекового Уэльса. М.: Аграф, 2002.

24

…а первым описал это явление в 1820-х гг. уже упоминавшийся здесь Шарль Каньяр де ла Тур. – Примеч. перев.

25

Nathan J. Mlot, Craig A. Tovey and David L. Hu. Fire ants self-assemble into waterproof rafts to survive floods // Proceedings of the National Acade-my of Sciences of the USA. Vol. 108 (19). P. 7669–7673 (2011); https:// doi.org/10.1073/pnas.1016658108

26

Jesse L. Silverberg, Matthew Bierbaum, James P. Sethna and Itai Cohen. Collective motion of humans in mosh and circle pits at heavy metal concerts // Physical Review Letters. Vol. 110. 228701 (2013); https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.228701

27

Этот музей был по большей части геологическим, но в нем выставлялись также избранные ракушки, произведения искусства и прочие диковины, которые я нашел валявшимися в поле у нижнего края нашего сада. Вход в музей был бесплатным, но за посещение особой выставки – образца «павлиньей руды», по имени которой и назывался музей, взималась плата в размере двух пенсов. Там же были постоянно выставлены самые крупные и блестящие ракушки. – Примеч. автора.

«Павлинья руда» – борнит, он же пестрый медный колчедан, сульфит железа и меди Cu_5FeS 4. — Примеч. перев.

28

См., например: N. Mirkhani, M. G. Christiansen and S. Schuerle. Living, self-replicating ferrofluids for fluidic transport // Advanced Functional Materials. Vol. 30 (40). 2003912 (2020); doi.org/10.1002/adfm.202003912

29

Чтобы проверить справедливость этого утверждения, я обратился к двум крупным специалистам по психоделии: Дэнни Хэммонд не только занимается шаманством, но и выступает в качестве соло-гитариста в группе, работающей в жанре психоделического спейс-рока, а Беатрис Скарпа ведет радиопрограммы и подкасты, посвященные психоделическому движению 1960-х гг. Однако наши исследования закончились ничем: нам удалось только узнать о существовании одного-единственного кристалла ЛСД у знакомого знакомого знакомого. Этот человек, которого называют Улиссом, живет в некоем городе на Б то ли в Австрии, то ли в Швейцарии. По последним слухам, он собирался увезти свой кристалл в Гоа. Так что пока еще его триболюминесценцию приходится оставить в смутной области между мифологией и наукой. – Примеч. автора.

30

Пер. с др. – исл. Е. А. Гуревич. Цит. по: Исландские пряди. М.: Наука, 2016.

31

Почти одновременно с этой работой (X. Chen, Y. Luo, J. Zhang, et al. Macroscopic invisibility cloaking of visible light // Nature Communications. 2011. Vol. 2. 176; https://doi.org/10.1038/ncomms1176) практически такие же результаты были получены другой группой исследователей, из Сингапура и США (B. Zhang, Y. Luo, X. Liu and G. Barbastathis. Macroscopic Invisibility Cloak for Visible Light // Physical Review Letters. 2011. Vol. 106. 033901; doi.org/10.1103/PhysRevLett.106.033901). – Примеч. перев.

32

Отсылка к одному из эпизодов «Монти Пайтон и Священный Грааль» (Monty Python and the Holy Grail). – Примеч. перев.

33

Отсылка к «Тигру» У. Блейка (What immortal hand or eye / Could frame thy fearful symmetry). – Примеч. перев.

34

Следует отметить, что, если красный квадрат расположен, например, в одном из верхних углов, он останется вверху и в зеркале. – Примеч. перев.

35

Хиральность (от др. – греч. χειρ – рука) – различие правого и левого. – Примеч. перев.

36

Известно, что хиральная симметрия нарушается в слабом взаимодействии. В некоторых отношениях частицы, принимающие участие в этом взаимодействии (например, электроны), отличаются от своих зеркальных отражений. Но при одновременном зеркальном отражении, изменении знака заряда и обращении времени они выглядят одинаково. Тот факт, что такая, более сильная симметрия сохраняется для всех законов физики, известен под названием CPT-теоремы. – Примеч. автора.

37

В русской терминологии такую симметрию чаще называют центральной. – Примеч. перев.

38

То же самое, что симметрия переноса. – Примеч. перев.

39

От англ. ice cube – «кубик льда». – Примеч. перев.

40

Дочь Накайи, художница Фудзика Накайя, продолжает дело отца, создавая скульптуры из нежидкой воды. Однако ее скульптуры сделаны не изо льда, а из тумана. – Примеч. автора.

41

Ну, хорошо, строго говоря, в классическом профиле Несси есть зазор под ее головой и шеей, что невозможно. Но любую форму, состоящую из набора выпуклостей, построить можно. – Примеч. автора.

42

Аутбэк (англ. Outback) – малонаселенные засушливые области центральной части Австралии. – Примеч. перев.

43

Примечания Гарднера, а также его вступительную статью, можно найти, например, в русском издании книг Кэрролла в серии «Литературные памятники»: Кэрролл Л. Приключения Алисы в Стране чудес. Сквозь зеркало и что там увидела Алиса, или Алиса в Зазеркалье / Пер. с англ. Н. М. Демуровой. М.: Наука, 1978. — Примеч. перев.

44

Я говорю именно о своей первой публикации по физике, потому что, строго говоря, моей самой первой опубликованной работой был короткий комментарий к статье в посвященном паранормальным явлениям журнале Fortean Times, содержавший мою теорию о природе самовозгорания человека. – Примеч. автора.

45

От англ. steam – «пар» и punk – «панк». – Примеч. перев.

46

Между прочим, не могу не отметить, что эти же законы являются и правилами Игры, состоящей в том, что ее участники должны не думать об Игре. К сожалению, вы только что проиграли. – Примеч. автора.

47

Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance («Размышления о движущей силе огня и машинах, способных развивать эту силу») – единственная опубликованная работа Карно. – Примеч. перев.

48

Лазар Карно (1753–1823) был видным математиком, физиком, инженером, военачальником и государственным деятелем. – Примеч. перев.

49

На самом деле аналогия с водяным колесом несколько обманчива: КПД цикла Карно относится только к машинам, извлекающим полезное движение из тепла. – Примеч. автора.

50

Записи о том, что посоветовал Больцману профессор зоологии, по-видимому, не сохранились. Вероятно, он рекомендовал обратиться к крестьянину. – Примеч. автора.

51

Двоюродный брат Чарльза Дарвина. – Примеч. автора.

52

Поскольку этот случай стал знаменитым, цифры неоднократно проверялись. Те числа, которые называю я, взяты из проведенного в 2014 г. методического пересмотра исходных записей Гальтона, в которых содержались небольшие ошибки. Соответствующую статью можно найти здесь: Kenneth F. Wallis. Revisiting Francis Galton’s forecasting competition // Statistical Science. Vol. 29 (3). P. 420–424 (2014); DOI: 10.1214/14-STS 468

53

Кстати, при том же посещении Сент-Эндрюсского университета, когда я видел парящий в воздухе кристалл, меня поселили в факультетской гостинице, хозяйка которой за завтраком якобы предсказывала судьбу похожим способом с использованием маятника. Я объяснил, что энергия маятника имеет природу механическую, а не мистическую, и произвел, как мне казалось, в высшей степени убедительную демонстрацию, показав, что тоже могу приводить маятник (который я держал в руке) в движение «усилием мысли». Хозяйка заявила, что видит, как двигалась моя рука, в то время как ее рука, по ее словам, не двигается. Присяжные, роль которых досталась завтракавшим там же американским гольфистам, так и не смогли вынести решения. – Примеч. автора.

54

Лондонское королевское общество по развитию знаний о природе (Royal Society of London for Improving Natural Knowledge) – британский аналог Академии наук, одно из старейших научных обществ в мире, основано в 1660 г. – Примеч. перев.

55

Заметим, что да Винчи уверенно отвергал алхимию за несколько столетий до общепризнанного ее развенчания, вызванного развитием термодинамики. – Примеч. автора.

56

Shoichi Toyabe, Takahiro Sagawa, Masahito Ueda, Eiro Muneyuki and Masaki Sano. Experimental demonstration of information-to-energy conversion and validation of the generalized Jarzynski equality// Nature Physics. Vol. 6. 988–992 (2010); doi.org/10.1038/nphys1821

57

Узнать больше о квантовой термодинамике можно из книги Николь Юнгер-Халперн «Квантовый стимпанк» (Nicole Yunger-Halpern. Quantum Steampunk. Baltimore, MD, Johns Hopkins University Press, 2022). В ней тоже сочетаются истории в жанре фэнтези и фактологическое изложение научных данных.

58

Название этой работы – «Философское эссе о вероятностях» (Essai philosophique sur les probabilités). – Примеч. перев.

59

Этим же объясняется связь между градусами на шкале термометра и градусами дуги окружности: угол определяет разницу между двумя объектами – например двумя точками на окружности (и равен 90 °, если их разделяет четверть этой окружности). – Примеч. автора.

60

Полноты ради следует сказать, что свободную энергию Гельмгольца определяют при условии постоянной температуры в системе, способной обмениваться с окружающей средой энергией, но не материей. – Примеч. автора.

61

По общему мнению, Эйнштейн был совершенно не способен к мореплаванию. – Примеч. автора.

62

К сожалению, стереоскопические очки из кино для этого не годятся, потому что они фильтруют свет с круговой поляризацией: направление его поляризации поворачивается по мере распространения волны. Это позволяет вам, сидя в кинотеатре, наклонять голову набок без искажения изображения. – Примеч. автора.

63

На рус. яз.: Гриббин Дж. В поисках кота Шрёдингера (живого и мертвого). Квантовая физика и реальность / Пер. с англ. З. А. Мамедьярова и Е. А. Фоменко. М.: РИПОЛ-классик, 2017.

64

A. Ionescu and H. Riel. Tunnel field-effect transistors as energy-efficient electronic switches // Nature. Vol. 479. P. 329–337 (2011); doi.org/ 10.1038/nature10679

65

Обсуждение вопроса о том, так ли это, см.: Philip Ball. Is photosynthesis quantum-ish? // Physics World. Vol. 31 (4). P. 44 (2018); doi.org/10.1088/2058–7058/31/4/39

66

Официальное название квантовой пружины – «квантовый гармонический осциллятор». – Примеч. автора.

67

Дирак был поразительным персонажем. Он отказался от рыцарского звания просто потому, что ему не нравилось, когда к нему обращаются по имени, – а если бы он принял этот титул, его следовало бы называть «сэр Поль». Он был известен своей привычкой проспать весь семинар, а в самом конце проснуться и задать вопрос, ставящий докладчика в тупик. Я знаю по меньшей мере одного выдающегося физика, активно развивавшего у себя такое же умение. – Примеч. автора.

68

Два, если учесть их спины. – Примеч. автора.

69

О смюзах рассказал мне мой друг Джек Уинтер. Это слово используется только в Девоне, где он вырос. Он сказал, что, узнав это слово, внезапно начинаешь видеть смюзы повсюду, хотя смотришь на тот же мир, что и до того. Другой друг, Буч Маккэндлесс, заметил, что такие фокусы управляют нашей реальностью: мы видим в мире много «фаллических» предметов, но не видим их женских аналогов, поскольку для них не существует общеизвестного слова. Ближайший эквивалент – слово «йонический»; знакомство с ним восстанавливает равновесие, и вы начинаете замечать не меньше йонических объектов, чем фаллических. – Примеч. автора.

70

На самом деле каждый индивидуальный электрон движется в электрическом токе случайным образом. Ток создает лишь усредненный дрейф всех электронов. – Примеч. автора.

71

Пер. с фр. Т. А. Ворсановой. Цит. по: Домаль Р. Гора Аналог. М.: Энигма, 1996.

72

См.: Moore Gordon E. Cramming More Components onto Integrated Circuits // Electronics. 1965. April 19. P. 114–117.

73

F.-Q. Xie, L. Nittler, Ch. Obermair and Th. Schimmel. Gate-controlled atomic quantum switch // Physical Review Letters. Vol. 93, 128303 (2004); doi.org/10.1103/physrevlett.93.128303

74

Возможно, так и зародились легенды о ковре-самолете. – Примеч. автора.

75

Ее получили Джон Бардин, Уильям Шокли и Уолтер Браттейн. В 1972 г. Бардин стал первым и пока что единственным лауреатом двух Нобелевских премий по физике, получив вместе с Леоном Купером и Джоном Робертом Шриффером премию за создание основополагающей теории сверхпроводников (так называемой теории БКШ). – Примеч. перев.

76

Или (почему-то гораздо чаще) p-n-переходом. – Примеч. перев.

77

Четыре выпуска этой программы вышли в 1998 г., один специальный выпуск в 2002-м, а еще тринадцать – в 2008–2009 гг. – Примеч. перев.

78

Создать в квадратном льду структуру типа «два внутрь, два наружу» проще всего, используя заклинание деления: нужно расположить стрелки случайным образом, а затем считать вершины с тремя стрелками внутрь и одной наружу северными полюсами, с тремя наружу и одно внутрь – южными, с четырьмя внутрь и нулем наружу – двойными северными, а с четырьмя наружу и нулем внутрь – двойными южными. После этого нужно найти последовательности стрелок, направленные с юга на север: при перевороте такой стрелки один северный и один южный полюс исчезают, то есть происходит аннигиляция монополя с образованием вакуума – вершины «две внутрь, две наружу». – Примеч. автора.

79

C. Castelnovo, R. Moessner and S. L. Sondhi. Magnetic monopoles in spin ices // Nature. Vol. 451. P. 42–45 (2008); doi:10.1038/nature06433

80

F. K. K. Kirschner, F. Flicker, A. Yacoby, N. Y. Yao and S. J. Blundell. Proposal for the detection of magnetic monopoles in spin ice via nanoscale magnetometry // Physical Review B. Vol. 97. 140402 (2018); doi.org/10.1103/PhysRevB.97.140402

81

При этом вопрос об универсальности розового шума вызывает значительные споры: критики утверждают, что некоторые из аналитических исследований могли опираться на недостоверную статистику. – Примеч. автора.

82

Пер. с лат. Ф. Петровского. Цит. по: Тит Лукреций Кар. О природе вещей. М.: Художественная литература, 1983.

83

P. A. M. Dirac. Quantised singularities in the electromagnetic field // Proceedings of the Royal Society of London, Series A. Vol. 133. P. 60 (1931); doi.org/10.1098/rspa.1931.0130

84

R. Dusad, F. K. K. Kirschner, J. C. Hoke, B. R. Roberts, A. Eyal, F. Flicker, G. M. Luke, S. J. Blundell and J. C. S. Davis. Magnetic monopole noise // Nature. Vol. 571. P. 234–239 (2019); doi.org/10.1038/s41586–019–1358–1

85

От англ. Superconducting Quantum Interference Device; совпадает со словом squid – «кальмар» (англ.). – Примеч. перев.

86

Пер. с англ. Н. М. Демуровой. Цит. по указ. изд.

87

C. Kim, A. Y. Matsuura, Z.-X. Shen, N. Motoyama, H. Eisaki, S. Uchida, T. Tohyama and S. Maekawa. Observation of spin—charge separation in one-dimensional SrCuO2 // Physical Review Letters. Vol. 77, 4054 (1996); doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.4054

88

К слову, ученые называют эту технологию ядерно-магнитным резонансом (ЯМР), потому что в ней используются измерения магнитных спинов атомных ядер. Однако решили, что слово «ядерный» в названии устройства, в которое вам нужно засовывать голову, может отпугнуть пациентов (а кроме того, соответствующая английская аббревиатура, NMR, произносится слишком похоже на слово enema – «клизма», что может привести к нежелательной путанице в больницах). – Примеч. автора.

89

R. McDermott, S. Lee, B. ten Haken, A. H. Trabesinger, A. Pines and J. Clarke. Microtesla MRI with a superconducting quantum interference device // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. Vol. 101 (21). P. 7857–7861 (2004); doi:10.1073/pnas.0402382101

90

J. Hong, B. Lambson, S. Dhuey and J. Bokor. Experimental test of Landauer’s principle in single-bit operations on nanomagnetic memory bits // Science Advances. Vol. 2. e1501492 (2016); doi.org/10.1126/sciadv.1501492

91

Дойч Д. Структура реальности / Пер. с англ. Н. А. Зубченко. Ижевск: НИЦ РХД, 2001.

92

Помню, как я был удивлен, когда впервые узнал, что любое целое число можно записать в виде произведения простых чисел. Однако иначе и быть не может, потому что если число не может быть выражено в виде произведения других чисел, это означает, что оно само простое. – Примеч. автора.

93

Эта квантовая схема реализует преобразование Фурье для соответствующих операций, хотя для нашего обсуждения подробности и значение символов несущественны. – Примеч. автора.

94

Кстати, тот факт, что число линеек на левом и правом концах одинаково, может показаться самоочевидным, но на самом деле это весьма важное обстоятельство. Вспомним, что традиционная логическая операция может принимать на входе два утверждения и выдавать на выходе одно: условие ЕСЛИ (А и Б), ТО В имеет два входа, А и Б, и один выход, В. Такую логическую операцию может осуществлять транзистор. Но здесь число линеек всегда остается неизменным, что означает, что любой процесс может быть обращен вспять. Все квантовые компьютеры обратимы, но и классические компьютеры могут быть сделаны обратимыми, что дает возможность обойти предел максимальной производительности Ландауэра, накладываемый законами термодинамики. – Примеч. автора.

95

Точнее говоря, таких статей две. Первая из них: N. D. Mermin. Is the Moon there when nobody looks? Reality and the quantum theory // Physics Today. Vol. 38 (4). 38 (1985); doi.org/10.1063/1.880968 Этот раздел также опирается на ее продолжение: N. D. Mermin. Quantum mysteries revisited // American Journal of Physics. Vol. 58. 731 (1990); https://doi.org/10.1119/1.16503

96

А то обстоятельство, что имя Мермина всего на одну букву отличается от имени Мерлина, – совершенно случайное совпадение. – Примеч. автора.

97

A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Physical Review. Vol. 47 (10). 777–780 (1935); doi.org/10.1103/PhysRev.47.777

98

Pais А. Einstein and the quantum theory // Rev. Mod. Phys. Vol. 51. 1979. № 4. 863–914; doi.org/10.1103/RevModPhys.51.863

99

Точнее говоря, на валлийском языке, на котором говорят и сейчас. – Примеч. перев.

100

J.-W. Pan, D. Bouwmeester, M. Daniell, H. Weinfurter and A. Zeilinger. Experimental test of quantum nonlocality in three-photon Greenberger – Horne – Zeilinger entanglement // Nature. 403 (6769). P. 515–519 (2000); doi.org/10.1038/35000514

101

J. Yin et al. Satellite-based entanglement distribution over 1200 kilometers // Science. Vol. 356 (6343). P. 1140–1144 (2017); doi.org/10.1126/science.aan3211

102

Грин Б. Ткань космоса: пространство, время и текстура реальности / Пер. с англ. Ю. А. Артамонова и И. В. Савенкова. М.: Либроком, 2009.

103

Кстати, после этого Вэнь дал мне один бесценный даосский совет по части развития карьеры: он сказал, что не следует пытаться ловить волны модных тенденций, потому что к тому моменту, когда вы найдете такую волну, ее пик уже пройдет. Нужно заниматься тем, что вас интересует, надеясь, что это занятие станет волной для других. – Примеч. автора.

104

Если бы они разрывались, это в конечном счете приводило бы к образованию магнитных монополей, а мы знаем, что их, по-видимому, не бывает. – Примеч. автора.

105

Anyon, от англ. any – «любой». – Примеч. перев.

106

Были опубликованы две статьи двух конкурирующих исследовательских групп. Первая: H. Bartolomei et al. Fractional statistics in anyon collisions // Science. Vol. 368 (6487). P. 173–177 (2020); doi.org/10.1126/science. aaz5; вторая: J. Nakamura, S. Liang, G. C. Gardner and M. J. Manfra. Direct observation of anyonic braiding statistics // Nature Physics. Vol. 16 (9). P. 931–936 (2020); doi. org/10.1038/s41567–020–1019–1

107

Хотя это не единственный случай употребления слова «магический» в официальной терминологии теоретической физики, этот термин порождает весьма приятные фразы в рефератах статей, например: «Также остаются без ответа некоторые вопросы относительно силы состояний с исчезающе малым содержанием магии». См.: Stephen D. Bartlett. Powered by magic // Nature. 2014. Vol. 510. P. 345–347. — Примеч. автора.

108

United States Energy Information Administration (EIA). Monthly Energy Review, April 2022. В этом отчете говорится, что потери на передачу и распределение за 2021 г. составили 226 млрд кВт·ч (около 5,5 % всей произведенной электроэнергии). В мае 2022 г. стоимость электроэнергии была равна 13,83 цента за кВт·ч. По состоянию на май 2022 г. Департамент транспорта города Нью-Йорка содержал 315 000 уличных фонарей, причем среднее энергопотребление одного фонаря составляло 80 Вт (шоссейные фонари потребляют около 150 Вт, а фонари в жилых кварталах – 35 Вт).

109

Эта книга не переводилась на русский, а в русскоязычных источниках ее чаще называют «Горн и тигель» по названию английского перевода – «The Forge and the Crucible», 1962. — Примеч. перев.

110

В то же время история о том, что гигантский тарантул сбежал из лондонского зоопарка, открыв замок клетки своим «жалом», и в последний раз его видели в поезде из Лондона в Эксетер, оказалась беспочвенным слухом. – Примеч. автора.

111

Marmite – популярная в Великобритании и некоторых странах Британского Содружества бутербродная паста на основе дрожжевого экстракта. – Примеч. перев.

112

Я настаиваю на своем утверждении, что фокус с пробкой должен работать практически с любым напитком: поскольку ртуть ядовита, ее обычно не пьют. Правда, в китайских летописях, составлявшихся на протяжении двух с лишним тысячелетий, упомянуты по меньшей мере десять императоров, либо умерших, либо сошедших с ума из-за того, что они пили зелья на основе ртути, которые им преподносили в качестве жизненных эликсиров, дарующих бессмертие. – Примеч. автора.

113

Исходно ему не удавалось опубликовать свои результаты; он написал Эйнштейну, и тот немедленно понял их важность. Эйнштейн лично перевел их с английского на немецкий и опубликовал под именем Бозе в авторитетном журнале в сопровождении своих собственных работ. Сейчас принято говорить, что коллективное поведение многочисленных бозонов описывается статистикой Бозе – Эйнштейна. – Примеч. автора.

114

Tylwyth Teg (тилвит тег) – валлийское собирательное название сверхъестественных существ, приблизительно аналогичных ирландским сидхам или английским эльфам. – Примеч. перев.

115

Corina E. Tarnita, Juan A. Bonachela, Efrat Sheffer, Jennifer A. Guyton, Tyler C. Coverdale, Ryan A. Long and Robert M. Pringle. A theoretical foundation for multi-scale regular vegetation patterns // Nature. Vol. 541. 398–401 (2017); doi.org/10.1038/nature20801

116

Однажды, когда я разговаривал онлайн с большой компанией друзей, мы попытались спеть одному человеку «С днем рождения»: из-за мельчайших задержек, возникавших между всеми нами, песня все время замедлялась и в конце концов остановилась. – Примеч. автора.

117

Если использовать терминологию из главы III, образование пар происходит не в реальном, а в обратном пространстве. – Примеч. автора.

118

Y. Ronen et al. Charge of a quasiparticle in a superconductor // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. Vol. 113 (7). P. 1743–1748 (2016); doi.org/10.1073/pnas.1515173113

119

См., например: M. P. White et al. Spending at least 120 minutes a week in nature is associated with good health and wellbeing // Scientific Reports. Vol. 9. 7730 (2019); doi.org/10.1038/s41598–019–44097–3; G. N. Bratman et al. Nature experience reduces rumination and subgenual prefrontal cortex activation // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. Vol. 112 (28). P. 8567–8572 (2015); doi.org/ 10.1073/pnas.1510459112; V. F Gladwell et al. The great outdoors: how a green exercise environment can benefit all // Extreme Physiology & Medicine. Vol. 2. P. 3 (2013); doi. org/10.1186/2046–7648–2–3

Content

Феликс Фликер
Магия физики. Как управлять тайными силами материи, создавать вещества из квантового мира и вызывать кристаллы из хаоса

I «Физика грязи»

II Четыре стихии

III Магия кристаллов

IV Размышления о движущей силе огня

V За знакомыми нам полями

VI Заклинания деления

VII Защитные заклинания

VIII В поисках философского камня

IX Бескрайние дали

Приложение

Выражение благодарности

Примечания